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| author | casties |
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| 16 | |
| 17 <!--l. 13--><p class="noindent"><pb/></p> | |
| 18 <div class="center" > | |
| 19 | |
| 20 <!--l. 14--><p class="noindent"> | |
| 21 </p><!--l. 15--><p class="noindent"><span | |
| 22 class="cmr-12x-x-120">5.</span><span | |
| 23 class="cmbxti-10x-x-144">Über die von der molekularkinetischen Theorie </span> <br/><span | |
| 24 class="cmbxti-10x-x-144">der</span> | |
| 25 <span | |
| 26 class="cmbxti-10x-x-144">W</span><span | |
| 27 class="cmbxti-10x-x-144">ärme geforderte Bewegung von in ruhenden</span> | |
| 28 <br/><span | |
| 29 class="cmbxti-10x-x-144">Fl</span><span | |
| 30 class="cmbxti-10x-x-144">üssigkeiten suspendierten Teilchen; </span> <br/><span | |
| 31 class="cmbxti-10x-x-144">von A.</span> | |
| 32 <span | |
| 33 class="cmbxti-10x-x-144">Einstein.</span></p></div> | |
| 34 <div class="center" > | |
| 35 | |
| 36 <!--l. 21--><p class="noindent"> | |
| 37 </p><!--l. 22--><p class="noindent">--------</p></div> | |
| 38 <!--l. 26--><p class="indent"> In dieser Arbeit soll gezeigt werden, daß nach der molekular-<br/>kinetischen Theorie der Wärme in Flüssigkeiten suspendierte <br/>Körper von mikroskopisch sichtbarer Größe infolge der Mole-<br/>kularbewegung der Wärme Bewegungen von solcher Größe <br/>ausführen müssen, daß diese Bewegungen leicht mit dem <br/>Mikroskop nachgewiesen werden können. Es ist möglich, daß <br/>die hier zu behandelnden Bewegungen mit der sogenannten <br/>,,Brown schen Molekularbewegung“ identisch sind; die mir <br/>erreichbaren Angaben über letztere sind jedoch so ungenau, <br/>daß ich mir hierüber kein Urteil bilden konnte. | |
| 39 </p><!--l. 39--><p class="indent"> Wenn sich die hier zu behandelnde Bewegung samt den <br/>für sie zu erwartenden Gesetzmäßigkeiten wirklich beobachten <br/>läßt, so ist die klassische Thermodynamik schon für mikro-<br/>skopisch unterscheidbare Räume nicht mehr als genau gültig | |
| 40 <br/>anzusehen und es ist dann eine exakte Bestimmung der wahren <br/>Atomgröße möglich. Erwiese sich umgekehrt die Voraussage <br/>dieser Bewegung als unzutreffend, so wäre damit ein schwer-<br/>wiegendes Argument gegen die molekularkinetische Auffassung <br/>der Wärme gegeben. | |
| 41 </p> | |
| 42 <div class="center" > | |
| 43 | |
| 44 <!--l. 52--><p class="noindent"> | |
| 45 </p><!--l. 53--><p class="noindent"><span | |
| 46 class="cmsy-10x-x-120">§ </span>1. Über den suspendierten Teilchen zuzuschreibenden <br/>osmotischen Druck.</p></div> | |
| 47 <!--l. 58--><p class="indent"> Im Teilvolumen <span | |
| 48 class="cmmi-12">V</span> <sup ><span | |
| 49 class="cmsy-8">*</span></sup> einer Flüssigkeit vom Gesamtvolumen <span | |
| 50 class="cmmi-12">V </span> <br/>seien | |
| 51 <span | |
| 52 class="cmmi-12">z</span>-Gramm - Moleküle eines Nichtelektrolyten gelöst. Ist <br/>das Volumen <span | |
| 53 class="cmmi-12">V</span> <sup ><span | |
| 54 class="cmsy-8">*</span></sup> durch eine für das Lösungsmittel, nicht aber <br/>für die gelöste Substanz durchlässige Wand vom reinen Lösungs-<br/><pb/> | |
| 55 </p><!--l. 66--><p class="indent"> | |
| 56 | |
| 57 </p><!--l. 67--><p class="noindent">mittel getrennt, so wirkt auf diese Wand der sogenannte os-<br/>motische Druck, welcher bei genügend großen Werten von <span | |
| 58 class="cmmi-12">V</span> <sup ><span | |
| 59 class="cmsy-8">*</span></sup>/<span | |
| 60 class="cmmi-12">z </span> <br/>der Gleichung genügt: | |
| 61 </p> | |
| 62 <center class="par-math-display" > | |
| 63 <img | |
| 64 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1905/fulltext/img/Einst_Ueber_de_19050x.png" alt="p V * = R T z . " class="par-math-display" /></center> | |
| 65 <!--l. 75--><p class="nopar"> | |
| 66 </p><!--l. 79--><p class="indent"> Sind hingegen statt der gelösten Substanz in dem Teil-<br/>volumen <span | |
| 67 class="cmmi-12">V</span> <sup ><span | |
| 68 class="cmsy-8">*</span></sup> der Flüssigkeit kleine suspendierte Körper vor-<br/>handen, welche ebenfalls nicht durch die für das Lösungs-<br/>mittel durchlässige Wand hindurchtreten können, so hat man <br/>nach der klassischen Theorie der Thermodynamik -- wenigstens <br/>bei Vernachlässigung der uns hier nicht interessierenden Schwer-<br/>kraft -- nicht zu erwarten, daß auf die Wand eine Kraft <br/>wirke; denn die ,,freie Energie“ des Systems scheint nach der <br/>üblichen Auffassung nicht von der Lage der Wand und der <br/>suspendierten Körper abzuhängen, sondern nur von den Ge-<br/>samtmassen und Qualitäten der suspendierten Substanz, der <br/>Flüssigkeit und der Wand, sowie von Druck und Temperatur. <br/>Es kämen allerdings für die Berechnung der freien Energie <br/>noch Energie und Entropie der Grenzflächen in Betracht | |
| 69 <br/>(Kapillarkräfte); hiervon können wir jedoch absehen, indem <br/>bei den ins Auge zu fassenden Lagenänderungen der Wand <br/>und der suspendierten Körper Änderungen der Größe und <br/>Beschaffenheit der Berührungsflächen nicht eintreten mögen. | |
| 70 </p><!--l. 102--><p class="indent"> Vom Standpunkte der molekularkinetischen Wärmetheorie <br/>aus kommt man aber zu einer anderen Auffassung. Nach <br/>dieser Theorie unterscheidet sich eingelöstes Molekül von einem <br/>suspendierten Körper <span | |
| 71 class="cmti-12">lediglich </span>durch die Größe, und man sieht <br/>nicht ein, warum einer Anzahl suspendierter Körper nicht der-<br/>selbe osmotische Druck entsprechen sollte, wie der nämlichen <br/>Anzahl gelöster Moleküle. Man wird anzunehmen haben, daß <br/>die suspendierten Körper infolge der Molekularbewegung der <br/>Flüssigkeit eine wenn auch sehr langsame ungeordnete Be-<br/>wegung in der Flüssigkeit ausführen; werden sie durch die <br/>Wand verhindert, das Volumen <span | |
| 72 class="cmmi-12">V</span> <sup ><span | |
| 73 class="cmsy-8">*</span></sup> zu verlassen, so werden sie | |
| 74 <br/>auf die Wand Kräfte ausüben, ebenso wie gelöste Moleküle. <br/>Sind also <span | |
| 75 class="cmmi-12">n</span> | |
| 76 suspendierte Körper im Volumen <span | |
| 77 class="cmmi-12">V</span> <sup ><span | |
| 78 class="cmsy-8">*</span></sup>, also <span | |
| 79 class="cmmi-12">n/V</span> <sup ><span | |
| 80 class="cmsy-8">*</span></sup> = <span | |
| 81 class="cmmi-12"><img | |
| 82 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1905/fulltext/img/cmmi12-17.png" alt="n" class="12x-x-17" /> </span> <br/>in der Volumeneinheit vorhanden, und sind benachbarte unter <br/>ihnen genügend weit voneinander entfernt, so wird ihnen ein <br/>osmotischer Druck <span | |
| 83 class="cmmi-12">p </span>entsprechen von der Größe: | |
| 84 <pb/> | |
| 85 </p><!--l. 125--><p class="indent"> | |
| 86 | |
| 87 </p> | |
| 88 <center class="par-math-display" > | |
| 89 <img | |
| 90 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1905/fulltext/img/Einst_Ueber_de_19051x.png" alt=" R T n R T p = -V-*-N--= -N---.n , " class="par-math-display" /></center> | |
| 91 <!--l. 130--><p class="nopar"> | |
| 92 </p><!--l. 134--><p class="noindent">wobei <span | |
| 93 class="cmmi-12">N </span>die Anzahl der in einem Gramm-Molekül enthaltenen <br/>wirklichen Moleküle bedeutet. Im nächsten Paragraph soll <br/>gezeigt werden, daß die molekularkinetische Theorie der Wärme <br/>wirklich zu dieser erweiterten Auffassung des osmotischen <br/>Druckes führt. | |
| 94 </p> | |
| 95 <div class="center" > | |
| 96 | |
| 97 <!--l. 143--><p class="noindent"> | |
| 98 </p><!--l. 144--><p class="noindent"><span | |
| 99 class="cmsy-10x-x-120">§ </span>2. Der osmotische Druck vom Standpunkte der molekular-<br/>kinetischen Theorie der Wärme.<sup ><span | |
| 100 class="cmr-8">1</span></sup>)</p></div> | |
| 101 <!--l. 149--><p class="indent"> Sind <span | |
| 102 class="cmmi-12">p</span><sub ><span | |
| 103 class="cmr-8">1</span></sub> <span | |
| 104 class="cmmi-12">p</span><sub ><span | |
| 105 class="cmr-8">2</span></sub><span | |
| 106 class="cmmi-12">...</span><span | |
| 107 class="cmmi-12">p</span><sub ><span | |
| 108 class="cmmi-8">l</span></sub> Zustandsvariable eines physikalischen <br/>Systems, welche den momentanen Zustand desselben voll-<br/>kommen bestimmen (z. B. die Koordinaten und Geschwindig-<br/>keitskomponenten aller Atome des Systems) und ist das voll-<br/>ständige System der Veränderungsgleichungen dieser Zustands-<br/>variabeln von der Form | |
| 109 </p> | |
| 110 <center class="par-math-display" > | |
| 111 <img | |
| 112 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1905/fulltext/img/Einst_Ueber_de_19052x.png" alt="@ pn @ t = fn (p1 ...pl)(n = 1, 2 ...l) " class="par-math-display" /></center> | |
| 113 <!--l. 161--><p class="nopar"> | |
| 114 </p><!--l. 165--><p class="noindent">gegeben, wobei <span | |
| 115 class="cmex-10x-x-120"><img | |
| 116 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1905/fulltext/img/cmex10-c-50.png" alt=" sum " class="10-120x-x-50" /></span> | |
| 117 <img | |
| 118 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1905/fulltext/img/Einst_Ueber_de_19053x.png" alt="@ fn @-p-- n" class="frac" align="middle" /> = 0<span | |
| 119 class="cmmi-12">, </span>so ist die Entropie des Systems <br/>durch den Ausdruck gegeben: | |
| 120 </p> | |
| 121 <center class="par-math-display" > | |
| 122 <img | |
| 123 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1905/fulltext/img/Einst_Ueber_de_19054x.png" alt=" integral | |
| 124 E- ---E-- S = T + 2 x lg e 2x T d p1... d pl. " class="par-math-display" /></center> | |
| 125 <!--l. 174--><p class="nopar"> | |
| 126 </p><!--l. 177--><p class="noindent">Hierbei bedeutet <span | |
| 127 class="cmmi-12">T </span>die absolute Temperatur, <img | |
| 128 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1905/fulltext/img/Einst_Ueber_de_19055x.png" alt="E" class="bar" /> die Energie <br/>des Systems, <span | |
| 129 class="cmmi-12">E </span>die Energie als Funktion der <span | |
| 130 class="cmmi-12">p</span><sub ><span | |
| 131 class="cmmi-8"><img | |
| 132 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1905/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub><span | |
| 133 class="cmmi-12">. </span>Das Inte-<br/>gral ist über alle mit den Bedingungen des Problems ver-<br/>einbaren Wertekombinationen der <span | |
| 134 class="cmmi-12">p</span><sub ><span | |
| 135 class="cmmi-8"><img | |
| 136 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1905/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub><span | |
| 137 class="cmmi-12">. </span>zu erstrecken. <span | |
| 138 class="cmbxti-10x-x-120">x</span> ist mit <br/>der oben erwähnten Konstanten <span | |
| 139 class="cmmi-12">N </span>durch die Relation 2 <span | |
| 140 class="cmbxti-10x-x-120">x</span> <span | |
| 141 class="cmmi-12">N </span>= <span | |
| 142 class="cmmi-12">R </span> <br/>verbunden. Für die freie Energie <span | |
| 143 class="cmmi-12">F </span>erhalten wir daher: | |
| 144 </p> | |
| 145 <center class="par-math-display" > | |
| 146 <img | |
| 147 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1905/fulltext/img/Einst_Ueber_de_19056x.png" alt=" integral | |
| 148 R - EN- R T F = - N--T lg e RT d p1... dpl = - -N---lg B . " class="par-math-display" /></center> | |
| 149 <!--l. 191--><p class="nopar"> | |
| 150 </p><!--l. 194--><p class="noindent">---------- | |
| 151 </p><!--l. 197--><p class="indent"> 1) In diesem Paragraph sind die Arbeiten des Verfassers über die <br/>Grundlagen der Thermodynamik als bekannt vorausgesetzt (vgl. Ann. d. <br/>Phys. <span | |
| 152 class="cmbx-12">9. </span>p. 417. 1902; | |
| 153 <span | |
| 154 class="cmbx-12">11. </span>p. 170. 1903). Für das Verständnis der <br/>Resultate der vorliegenden Arbeit ist die Kenntnis jener Arbeiten sowie <br/>dieses Paragraphen der vorliegenden Arbeit entbehrlich. <pb/> | |
| 155 </p><!--l. 207--><p class="indent"> | |
| 156 | |
| 157 </p><!--l. 208--><p class="indent"> Wir denken uns nun eine in dem Volumen <span | |
| 158 class="cmmi-12">V </span>eingeschlossene <br/>Flüssigkeit; in dem Teilvolumen <span | |
| 159 class="cmmi-12">V</span> <sup ><span | |
| 160 class="cmsy-8">*</span></sup> von <span | |
| 161 class="cmmi-12">V </span>mögen sich <span | |
| 162 class="cmmi-12">n </span>ge-<br/>löste Moleküle bez. suspendierte Körper befinden, welche im <br/>Volumen <span | |
| 163 class="cmmi-12">V</span> <sup ><span | |
| 164 class="cmsy-8">*</span></sup> durch eine semipermeabele Wand festgehalten <br/>seien; es werden hierdurch die Integrationsgrenzen des in den <br/>Ausdrücken für <span | |
| 165 class="cmmi-12">S </span>und <span | |
| 166 class="cmmi-12">F </span>auftretenden Integrales <span | |
| 167 class="cmmi-12">B </span>beeinflußt. <br/>Das Gesamtvolumen der gelösten Moleküle bez. suspendierten <br/>Körper sei klein gegen <span | |
| 168 class="cmmi-12">V</span> <sup ><span | |
| 169 class="cmsy-8">*</span></sup>. Dies System werde im Sinne der <br/>erwähnten Theorie durch die Zustandsvariabeln <span | |
| 170 class="cmmi-12">p</span><sub ><span | |
| 171 class="cmr-8">1</span></sub> <span | |
| 172 class="cmmi-12">...</span><span | |
| 173 class="cmmi-12">p</span><sub ><span | |
| 174 class="cmmi-8">l</span></sub> voll-<br/>ständig dargestellt. | |
| 175 </p><!--l. 221--><p class="indent"> Wäre nun auch das molekulare Bild bis in alle Einzel-<br/>heiten festgelegt, so böte doch die Ausrechnung des Integrales <span | |
| 176 class="cmmi-12">B </span> <br/>solche Schwierigkeiten, daß an eine exakte Berechnung von <span | |
| 177 class="cmmi-12">F </span> <br/>kaum gedacht werden könnte. Wir brauchen jedoch hier nur <br/>zu wissen, wie <span | |
| 178 class="cmmi-12">F </span>von der Größe des Volumens <span | |
| 179 class="cmmi-12">V</span> <sup ><span | |
| 180 class="cmsy-8">*</span></sup> abhängt, <br/>in welchem alle gelösten Moleküle bez. suspendierten Körper <br/>(im folgenden kurz ,,Teilchen“ genannt) enthalten sind. | |
| 181 </p><!--l. 231--><p class="indent"> Wir nennen <span | |
| 182 class="cmmi-12">x</span><sub ><span | |
| 183 class="cmr-8">1</span></sub><span | |
| 184 class="cmmi-12">, y</span><sub ><span | |
| 185 class="cmr-8">1</span></sub><span | |
| 186 class="cmmi-12">, z</span><sub ><span | |
| 187 class="cmr-8">1</span></sub> die rechtwinkligen Koordinaten des <br/>Schwerpunktes des ersten Teilchens, <span | |
| 188 class="cmmi-12">x</span><sub ><span | |
| 189 class="cmr-8">2</span></sub><span | |
| 190 class="cmmi-12">, y</span><sub ><span | |
| 191 class="cmr-8">2</span></sub><span | |
| 192 class="cmmi-12">, z</span><sub ><span | |
| 193 class="cmr-8">2</span></sub> die des zweiten etc., <br/><span | |
| 194 class="cmmi-12">x</span><sub ><span | |
| 195 class="cmmi-8">n</span></sub><span | |
| 196 class="cmmi-12">, y</span><sub ><span | |
| 197 class="cmmi-8">n</span></sub><span | |
| 198 class="cmmi-12">, z</span><sub ><span | |
| 199 class="cmmi-8">n</span></sub><span | |
| 200 class="cmmi-12">, </span>die des letzten Teilchens und geben für die Schwer-<br/>punkte der Teilchen die unendlich kleinen parallelepiped-<br/>förmigen Gebiete <span | |
| 201 class="cmmi-12">dx</span><sub ><span | |
| 202 class="cmr-8">1</span></sub> <span | |
| 203 class="cmmi-12">dy</span><sub ><span | |
| 204 class="cmr-8">1</span></sub> <span | |
| 205 class="cmmi-12">dz</span><sub ><span | |
| 206 class="cmr-8">1</span></sub><span | |
| 207 class="cmmi-12">, dx</span><sub ><span | |
| 208 class="cmr-8">2</span></sub> <span | |
| 209 class="cmmi-12">dy</span><sub ><span | |
| 210 class="cmr-8">2</span></sub> <span | |
| 211 class="cmmi-12">dz</span><sub ><span | |
| 212 class="cmr-8">2</span></sub> <span | |
| 213 class="cmmi-12">...</span> <span | |
| 214 class="cmmi-12">dx</span><sub ><span | |
| 215 class="cmmi-8">n</span></sub> <span | |
| 216 class="cmmi-12">dy</span><sub ><span | |
| 217 class="cmmi-8">n</span></sub> <span | |
| 218 class="cmmi-12">dz</span><sub ><span | |
| 219 class="cmmi-8">n</span></sub><span | |
| 220 class="cmmi-12">,</span> | |
| 221 <br/>welche alle in <span | |
| 222 class="cmmi-12">V</span> <sup ><span | |
| 223 class="cmsy-8">*</span></sup> gelegen seien. Gesucht sei der Wert des <br/>im Ausdruck für <span | |
| 224 class="cmmi-12">F</span> | |
| 225 auftretenden Integrales mit der Beschränkung, <br/>daß die Teilchenschwerpunkte in den ihnen soeben zugewiesenen <br/>Gebieten liegen. Dies Integral läßt sich jedenfalls auf die Form | |
| 226 </p> | |
| 227 <center class="par-math-display" > | |
| 228 <img | |
| 229 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1905/fulltext/img/Einst_Ueber_de_19057x.png" alt="d B = dx1 d y1 ... d zn.J " class="par-math-display" /></center> | |
| 230 <!--l. 248--><p class="nopar"> | |
| 231 </p><!--l. 252--><p class="noindent">bringen, wobei <span | |
| 232 class="cmmi-12">J </span>von <span | |
| 233 class="cmmi-12">dx</span><sub ><span | |
| 234 class="cmr-8">1</span></sub> <span | |
| 235 class="cmmi-12">dy</span><sub ><span | |
| 236 class="cmr-8">1</span></sub> etc., sowie von <span | |
| 237 class="cmmi-12">V</span> <sup ><span | |
| 238 class="cmsy-8">*</span></sup>, d. h. von <br/>der Lage der semipermeabeln Wand, unabhängig ist. <span | |
| 239 class="cmmi-12">J </span>ist <br/>aber auch unabhängig von der speziellen Wahl <span | |
| 240 class="cmti-12">der Lagen </span>der <br/>Schwerpunktsgebiete und von dem Werte von <span | |
| 241 class="cmmi-12">V</span> <sup ><span | |
| 242 class="cmsy-8">*</span></sup>, wie sogleich <br/>gezeigt werden soll. Sei nämlich ein zweites System von un-<br/>endlich kleinen Gebieten für die Teilchenschwerpunkte gegeben <br/>und bezeichnet durch | |
| 243 <span | |
| 244 class="cmmi-12">dx</span><span | |
| 245 class="cmsy-10x-x-120">'</span><sub ><span | |
| 246 class="cmr-8">1</span> </sub> <span | |
| 247 class="cmmi-12">dy</span><span | |
| 248 class="cmsy-10x-x-120">'</span><sub ><span | |
| 249 class="cmr-8">1</span></sub> <span | |
| 250 class="cmmi-12">dz</span><span | |
| 251 class="cmsy-10x-x-120">'</span><sub ><span | |
| 252 class="cmr-8">2</span></sub><span | |
| 253 class="cmmi-12">, dx</span><span | |
| 254 class="cmsy-10x-x-120">'</span><sub ><span | |
| 255 class="cmr-8">2</span></sub> <span | |
| 256 class="cmmi-12">dy</span><span | |
| 257 class="cmsy-10x-x-120">'</span><sub ><span | |
| 258 class="cmr-8">2</span></sub> <span | |
| 259 class="cmmi-12">dz</span><span | |
| 260 class="cmsy-10x-x-120">'</span><sub ><span | |
| 261 class="cmr-8">2</span></sub> <span | |
| 262 class="cmmi-12">...</span> <span | |
| 263 class="cmmi-12">dx</span><span | |
| 264 class="cmsy-10x-x-120">'</span><sub ><span | |
| 265 class="cmmi-8">n</span></sub> <span | |
| 266 class="cmmi-12">dy</span><span | |
| 267 class="cmsy-10x-x-120">'</span><sub ><span | |
| 268 class="cmmi-8">n</span></sub> <span | |
| 269 class="cmmi-12">dz</span><span | |
| 270 class="cmsy-10x-x-120">'</span><sub ><span | |
| 271 class="cmmi-8">n</span></sub><span | |
| 272 class="cmmi-12">, </span> <br/>welche Gebiete sich von den ursprünglich gegebenen nur durch <br/>ihre Lage, nicht aber durch ihre Größe unterscheiden mögen <br/>und ebenfalls alle in <span | |
| 273 class="cmmi-12">V</span> <sup ><span | |
| 274 class="cmsy-8">*</span></sup> enthalten seien, so gilt analog: | |
| 275 </p> | |
| 276 <center class="par-math-display" > | |
| 277 <img | |
| 278 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1905/fulltext/img/Einst_Ueber_de_19058x.png" alt="d B'= d x'1d y'1 ... dz'n .J', " class="par-math-display" /></center> | |
| 279 <!--l. 271--><p class="nopar"> <pb/> | |
| 280 </p><!--l. 276--><p class="indent"> | |
| 281 | |
| 282 </p><!--l. 277--><p class="noindent">wobei | |
| 283 </p> | |
| 284 <center class="par-math-display" > | |
| 285 <img | |
| 286 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1905/fulltext/img/Einst_Ueber_de_19059x.png" alt="dx1 d y1 ... d zn = d x'1 dy'1 ... dz'n . " class="par-math-display" /></center> | |
| 287 <!--l. 285--><p class="nopar"> | |
| 288 </p><!--l. 288--><p class="noindent">Es ist also: | |
| 289 </p> | |
| 290 <center class="par-math-display" > | |
| 291 <img | |
| 292 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1905/fulltext/img/Einst_Ueber_de_190510x.png" alt="d B J ---'= --'. dB J " class="par-math-display" /></center> | |
| 293 <!--l. 294--><p class="nopar"> | |
| 294 </p><!--l. 298--><p class="indent"> Aus der in den zitierten Arbeiten gegebenen molekularen <br/>Theorie der Wärme läßt sich aber leicht folgern<sup ><span | |
| 295 class="cmr-8">1</span></sup>), daß <span | |
| 296 class="cmmi-12">dB/B </span> <br/>bez. <span | |
| 297 class="cmmi-12">dB</span><span | |
| 298 class="cmsy-10x-x-120">'</span><span | |
| 299 class="cmmi-12">/B </span>gleich ist der Wahrscheinlichkeit dafür, daß sich <br/>in einem beliebig herausgegriffenen Zeitpunkte die Teilchen-<br/>schwerpunkte in den Gebieten (<span | |
| 300 class="cmmi-12">dx</span><sub ><span | |
| 301 class="cmr-8">1</span></sub> <span | |
| 302 class="cmmi-12">...</span><span | |
| 303 class="cmmi-12">dz</span><sub ><span | |
| 304 class="cmmi-8">n</span></sub>) bez. in den Ge-<br/>bieten (<span | |
| 305 class="cmmi-12">dx</span><span | |
| 306 class="cmsy-10x-x-120">'</span><sub ><span | |
| 307 class="cmr-8">1</span></sub> <span | |
| 308 class="cmmi-12">...</span><span | |
| 309 class="cmmi-12">dz</span><span | |
| 310 class="cmsy-10x-x-120">'</span><sub ><span | |
| 311 class="cmmi-8">n</span></sub>) befinden. Sind nun die Bewegungen der <br/>einzelnen Teilchen (mit genügender Annäherung) voneinander <br/>unabhängig, ist die Flüssigkeit homogen und wirken auf die <br/>Teilchen keine Kräfte, so müssen bei gleicher Größe der Ge-<br/>biete die den beiden Gebietssystemen zukommenden Wahr-<br/>scheinlichkeiten einander gleich sein, so daß gilt: | |
| 312 </p> | |
| 313 <center class="par-math-display" > | |
| 314 <img | |
| 315 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1905/fulltext/img/Einst_Ueber_de_190511x.png" alt=" ' d-B-= d-B-. B B " class="par-math-display" /></center> | |
| 316 <!--l. 316--><p class="nopar"> | |
| 317 </p><!--l. 319--><p class="noindent">Aus dieser und aus der zuletzt gefundenen Gleichung folgt aber | |
| 318 </p> | |
| 319 <center class="par-math-display" > | |
| 320 <img | |
| 321 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1905/fulltext/img/Einst_Ueber_de_190512x.png" alt="J = J'. " class="par-math-display" /></center> | |
| 322 <!--l. 326--><p class="nopar"> | |
| 323 </p><!--l. 330--><p class="indent"> Es ist somit erwiesen, daß <span | |
| 324 class="cmmi-12">J </span>weder von <span | |
| 325 class="cmmi-12">V</span> <sup ><span | |
| 326 class="cmsy-8">*</span></sup> noch von <br/><span | |
| 327 class="cmmi-12">x</span><sub > | |
| 328 <span | |
| 329 class="cmr-8">1</span></sub><span | |
| 330 class="cmmi-12">, y</span><sub ><span | |
| 331 class="cmr-8">1</span></sub><span | |
| 332 class="cmmi-12">...</span><span | |
| 333 class="cmmi-12">z</span><sub ><span | |
| 334 class="cmmi-8">n</span></sub> abhängig ist. Durch Integration erhält man | |
| 335 </p> | |
| 336 <center class="par-math-display" > | |
| 337 <img | |
| 338 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1905/fulltext/img/Einst_Ueber_de_190513x.png" alt=" integral | |
| 339 B = J dx1 ...dzn = J V *n " class="par-math-display" /></center> | |
| 340 <!--l. 337--><p class="nopar"> | |
| 341 </p><!--l. 341--><p class="noindent">und daraus | |
| 342 </p> | |
| 343 <center class="par-math-display" > | |
| 344 <img | |
| 345 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1905/fulltext/img/Einst_Ueber_de_190514x.png" alt="F = - R-T-{lgJ + n lg V *} N " class="par-math-display" /></center> | |
| 346 <!--l. 347--><p class="nopar"> | |
| 347 </p><!--l. 351--><p class="noindent">und | |
| 348 </p> | |
| 349 <center class="par-math-display" > | |
| 350 <img | |
| 351 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1905/fulltext/img/Einst_Ueber_de_190515x.png" alt=" @-F-- R-T-n-- R-T- p = - @ V * = V * N = N n . " class="par-math-display" /></center> | |
| 352 <!--l. 358--><p class="nopar"> | |
| 353 </p><!--l. 362--><p class="indent"> Durch diese Betrachtung ist gezeigt, daß die Existenz <br/>des osmotischen Druckes eine Konsequenz der molekular-<br/>kinetischen Theorie der Wärme ist, und daß nach dieser Theorie <br/>gelöste Moleküle und suspendierte Körper von gleicher Anzahl <br/>sich in bezug auf osmotischen Druck bei großer Verdünnung <br/>vollkommen gleich verhalten. | |
| 354 </p><!--l. 370--><p class="noindent">---------- | |
| 355 </p><!--l. 373--><p class="indent"> 1) A. Einstein, Ann. d. Phys. <span | |
| 356 class="cmbx-12">11. </span>p. 170. 1903. <pb/> | |
| 357 </p><!--l. 378--><p class="indent"> | |
| 358 | |
| 359 </p> | |
| 360 <div class="center" > | |
| 361 | |
| 362 <!--l. 379--><p class="noindent"> | |
| 363 </p><!--l. 380--><p class="noindent"><span | |
| 364 class="cmsy-10x-x-120">§ </span>3. Theorie der Diffusion kleiner suspendierter Kugeln.</p></div> | |
| 365 <!--l. 384--><p class="indent"> In einer Flüssigkeit seien suspendierte Teilchen regellos <br/>verteilt. Wir wollen den dynamischen Gleichgewichtszustand <br/>derselben untersuchen unter der Voraussetzung, daß auf die <br/>einzelnen Teilchen eine Kraft <span | |
| 366 class="cmmi-12">K </span>wirkt, welche vom Orte, <br/>nicht aber von der Zeit abhängt. Der Einfachheit halber | |
| 367 <br/>werde angenommen, daß die Kraft überall die Richtung der <br/><span | |
| 368 class="cmmi-12">X</span>-Achse habe. | |
| 369 </p><!--l. 393--><p class="indent"> Es sei <span | |
| 370 class="cmmi-12"><img | |
| 371 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1905/fulltext/img/cmmi12-17.png" alt="n" class="12x-x-17" /> </span>die Anzahl der suspendierten Teilchen pro <br/>Volumeneinheit, so ist im Falle des thermodynamischen Gleich-<br/>gewichtes <span | |
| 372 class="cmmi-12"><img | |
| 373 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1905/fulltext/img/cmmi12-17.png" alt="n" class="12x-x-17" /> </span>eine solche Funktion von <span | |
| 374 class="cmmi-12">x</span>, daß für eine beliebige <br/>virtuelle Verrückung <span | |
| 375 class="cmmi-12"><img | |
| 376 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1905/fulltext/img/cmmi12-e.png" alt="d" class="12x-x-e" /> x </span>der suspendierten Substanz die Variation <br/>der freien Energie verschwindet. Man hat also: | |
| 377 </p> | |
| 378 <center class="par-math-display" > | |
| 379 <img | |
| 380 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1905/fulltext/img/Einst_Ueber_de_190516x.png" alt="d F = d E - T dS = 0. " class="par-math-display" /></center> | |
| 381 <!--l. 403--><p class="nopar"> | |
| 382 </p><!--l. 406--><p class="noindent">Es werde angenommen, daß die Flüssigkeit senkrecht zur <br/><span | |
| 383 class="cmmi-12">X</span>-Achse den Querschnitt 1 habe und durch die Ebenen <span | |
| 384 class="cmmi-12">x </span>= 0 <br/>und <span | |
| 385 class="cmmi-12">x </span>= <span | |
| 386 class="cmmi-12">l </span>begrenzt sei. Man hat dann: | |
| 387 </p> | |
| 388 <center class="par-math-display" > | |
| 389 <img | |
| 390 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1905/fulltext/img/Einst_Ueber_de_190517x.png" alt=" integral l d E = - K n dx dx | |
| 391 0 " class="par-math-display" /></center> | |
| 392 <!--l. 417--><p class="nopar"> | |
| 393 </p><!--l. 421--><p class="noindent">und | |
| 394 </p> | |
| 395 <center class="par-math-display" > | |
| 396 <img | |
| 397 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1905/fulltext/img/Einst_Ueber_de_190518x.png" alt=" integral l n @ d x R integral l@ n d S = R --------dx = - --- --- dx dx . N @ x N @ x 0 0 " class="par-math-display" /></center> | |
| 398 <!--l. 431--><p class="nopar"> | |
| 399 </p><!--l. 434--><p class="noindent">Die gesuchte Gleichgewichtsbedingung ist also: | |
| 400 </p> | |
| 401 <table width="100%" | |
| 402 class="equation"><tr><td><a | |
| 403 id="x1-2r1"></a> | |
| 404 | |
| 405 <center class="math-display" > | |
| 406 <img | |
| 407 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1905/fulltext/img/Einst_Ueber_de_190519x.png" alt="- K n + R-T- @-n = 0 N @ x " class="math-display" /></center></td><td width="5%">(1)</td></tr></table> | |
| 408 <!--l. 440--><p class="nopar"> | |
| 409 </p><!--l. 444--><p class="noindent">oder | |
| 410 </p> | |
| 411 <center class="par-math-display" > | |
| 412 <img | |
| 413 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1905/fulltext/img/Einst_Ueber_de_190520x.png" alt="K n - @-p = 0 . @ x " class="par-math-display" /></center> | |
| 414 <!--l. 450--><p class="nopar"> | |
| 415 </p><!--l. 453--><p class="noindent">Die letzte Gleichung sagt aus, daß der Kraft <span | |
| 416 class="cmmi-12">K </span>durch osmo-<br/>tische Druckkräfte das Gleichgewicht geleistet wird. | |
| 417 </p><!--l. 458--><p class="indent"> Die Gleichung (1) benutzen wir, um den Diffusionskoeffi-<br/>zienten der suspendierten Substanz zu ermitteln. Wir können <br/>den eben betrachteten dynamischen Gleichgewichtszustand als <br/><pb/> | |
| 418 </p><!--l. 464--><p class="indent"> | |
| 419 | |
| 420 </p><!--l. 465--><p class="noindent">die Superposition zweier in umgekehrtem Sinne verlaufender <br/>Prozesse auffassen, nämlich | |
| 421 </p><!--l. 468--><p class="indent"> 1. einer Bewegung der suspendierten Substanz unter der <br/>Wirkung der auf jedes einzelne suspendierte Teilchen wirken-<br/>den Kraft <span | |
| 422 class="cmmi-12">K</span>, | |
| 423 </p><!--l. 472--><p class="indent"> 2. eines Diffusionsvorganges, welcher als Folge der un-<br/>geordneten Bewegungen der Teilchen infolge der Molekular-<br/>bewegung der Wärme aufzufassen ist. | |
| 424 </p><!--l. 476--><p class="indent"> Haben die suspendierten Teilchen Kugelform (Kugelradius <span | |
| 425 class="cmmi-12">P</span>) <br/>und besitzt die Flüssigkeit den Reibungskoeffizienten <span | |
| 426 class="cmmi-12">k</span>, so <br/>erteilt die Kraft <span | |
| 427 class="cmmi-12">K </span>dem einzelnen Teilchen die Geschwindigkeit<sup ><span | |
| 428 class="cmr-8">1</span></sup>) | |
| 429 </p> | |
| 430 <center class="par-math-display" > | |
| 431 <img | |
| 432 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1905/fulltext/img/Einst_Ueber_de_190521x.png" alt="--K---- 6 pk P , " class="par-math-display" /></center> | |
| 433 <!--l. 484--><p class="nopar"> | |
| 434 </p><!--l. 488--><p class="noindent">und es treten durch die Querschnittseinheit pro Zeiteinheit | |
| 435 </p> | |
| 436 <center class="par-math-display" > | |
| 437 <img | |
| 438 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1905/fulltext/img/Einst_Ueber_de_190522x.png" alt="-n-K--- 6p k P " class="par-math-display" /></center> | |
| 439 <!--l. 494--><p class="nopar"> | |
| 440 </p><!--l. 497--><p class="noindent">Teilchen hindurch. | |
| 441 </p><!--l. 500--><p class="indent"> Bezeichnet ferner <span | |
| 442 class="cmmi-12">D </span>den Diffusionskoeffizienten der sus-<br/>pendierten Substanz und <span | |
| 443 class="cmmi-12"><img | |
| 444 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1905/fulltext/img/cmmi12-16.png" alt="m" class="cmmi-12x-x-16" align="middle" /> </span>die Masse eines Teilchens, so treten <br/>pro Zeiteinheit infolge der Diffusion | |
| 445 </p> | |
| 446 <center class="par-math-display" > | |
| 447 <img | |
| 448 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1905/fulltext/img/Einst_Ueber_de_190523x.png" alt=" @ (m n) - D ------- Gramm @ x " class="par-math-display" /></center> | |
| 449 <!--l. 508--><p class="nopar"> | |
| 450 </p><!--l. 512--><p class="noindent">oder | |
| 451 </p> | |
| 452 <center class="par-math-display" > | |
| 453 <img | |
| 454 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1905/fulltext/img/Einst_Ueber_de_190524x.png" alt="- D @ n @ x " class="par-math-display" /></center> | |
| 455 <!--l. 518--><p class="nopar"> | |
| 456 </p><!--l. 521--><p class="noindent">Teilchen durch die Querschnittseinheit. Da dynamisches Gleich-<br/>gewicht herrschen | |
| 457 soll, so muß sein: | |
| 458 </p> | |
| 459 <table width="100%" | |
| 460 class="equation"><tr><td><a | |
| 461 id="x1-3r2"></a> | |
| 462 <center class="math-display" > | |
| 463 <img | |
| 464 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1905/fulltext/img/Einst_Ueber_de_190525x.png" alt=" n K @ n -------- D --- = 0 . 6p k P @ x " class="math-display" /></center></td><td width="5%">(2)</td></tr></table> | |
| 465 <!--l. 529--><p class="nopar"> | |
| 466 </p><!--l. 533--><p class="indent"> Aus den beiden für das dynamische Gleichgewicht ge-<br/>fundenen Bedingungen (1) und (2) kann man den Diffusions-<br/>koeffizienten berechnen. Man erhält: | |
| 467 </p> | |
| 468 <center class="par-math-display" > | |
| 469 <img | |
| 470 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1905/fulltext/img/Einst_Ueber_de_190526x.png" alt=" R-T- --1---- D = N 6p kP . " class="par-math-display" /></center> | |
| 471 <!--l. 540--><p class="nopar"> | |
| 472 </p><!--l. 543--><p class="noindent">Der Diffusionskoeffizient der suspendierten Substanz hängt also <br/>---------- | |
| 473 </p><!--l. 547--><p class="indent"> 1) Vgl. z. B. G. Kirchhoff, Vorlesungen über Mechanik, 26. Vor-<br/>lesung <span | |
| 474 class="cmsy-10x-x-120">§ </span>4. | |
| 475 <pb/> | |
| 476 </p><!--l. 552--><p class="indent"> | |
| 477 | |
| 478 </p><!--l. 553--><p class="noindent">außer von universellen Konstanten und der absoluten Tem-<br/>peratur nur vom Reibungskoeffizienten der Flüssigkeit und von <br/>der Größe der suspendierten Teilchen ab. | |
| 479 </p> | |
| 480 <div class="center" > | |
| 481 | |
| 482 <!--l. 559--><p class="noindent"> | |
| 483 </p><!--l. 560--><p class="noindent"><span | |
| 484 class="cmsy-10x-x-120">§ </span>4. Über die ungeordnete Bewegung von in einer Flüssigkeit | |
| 485 <br/>suspendierten Teilchen und deren Beziehung zur Diffusion.</p></div> | |
| 486 <!--l. 567--><p class="indent"> Wir gehen nun dazu über, die ungeordneten Bewegungen <br/>genauer zu untersuchen, welche, von der Molekularbewegung <br/>der Wärme hervorgerufen, Anlaß zu der im letzten Para-<br/>graphen untersuchten Diffusion geben. | |
| 487 </p><!--l. 573--><p class="indent"> Es muß offenbar angenommen werden, daß jedes einzelne <br/>Teilchen eine Bewegung ausführe, welche unabhängig ist von <br/>der Bewegung aller anderen Teilchen; es werden auch die <br/>Bewegungen eines und desselben Teilchens in verschiedenen <br/>Zeitintervallen als voneinander unabhängige Vorgänge aufzu-<br/>fassen sein, solange wir diese Zeitintervalle nicht zu klein ge-<br/>wählt denken. | |
| 488 </p><!--l. 582--><p class="indent"> Wir führen ein Zeitintervall <span | |
| 489 class="cmmi-12"><img | |
| 490 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1905/fulltext/img/cmmi12-1c.png" alt="t" class="12x-x-1c" /> </span>in die Betrachtung ein, <br/>welches sehr klein sei gegen die beobachtbaren Zeitintervalle, <br/>aber doch so groß, daß die in zwei aufeinanderfolgenden Zeit-<br/>intervallen <span | |
| 491 class="cmmi-12"><img | |
| 492 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1905/fulltext/img/cmmi12-1c.png" alt="t" class="12x-x-1c" /> </span>von einem Teilchen ausgeführten Bewegungen als <br/>voneinander unabhängige Ereignisse aufzufassen sind. | |
| 493 </p><!--l. 589--><p class="indent"> Seien nun in einer Flüssigkeit im ganzen <span | |
| 494 class="cmmi-12">n </span>suspendierte <br/>Teilchen vorhanden. In einem Zeitintervall <span | |
| 495 class="cmmi-12"><img | |
| 496 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1905/fulltext/img/cmmi12-1c.png" alt="t" class="12x-x-1c" /> </span>werden sich die <br/><span | |
| 497 class="cmmi-12">X</span>-Koordinaten der einzelnen Teilchen um <img | |
| 498 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1905/fulltext/img/cmr12-1.png" alt="D" class="12x-x-1" /> | |
| 499 vergrößern, wobei <br/><img | |
| 500 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1905/fulltext/img/cmr12-1.png" alt="D" class="12x-x-1" /> für jedes Teilchen einen anderen (positiven oder negativen) | |
| 501 <br/>Wert hat. Es wird für <img | |
| 502 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1905/fulltext/img/cmr12-1.png" alt="D" class="12x-x-1" /> ein gewisses Häufigkeitsgesetz gelten; <br/>die Anzahl <span | |
| 503 class="cmmi-12">d n</span> | |
| 504 der Teilchen, welche in dem Zeitintervall <span | |
| 505 class="cmmi-12"><img | |
| 506 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1905/fulltext/img/cmmi12-1c.png" alt="t" class="12x-x-1c" /> </span> <br/>eine Verschiebung erfahren, welche zwischen <img | |
| 507 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1905/fulltext/img/cmr12-1.png" alt="D" class="12x-x-1" /> und <img | |
| 508 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1905/fulltext/img/cmr12-1.png" alt="D" class="12x-x-1" /> + <span | |
| 509 class="cmmi-12">d </span><img | |
| 510 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1905/fulltext/img/cmr12-1.png" alt="D" class="12x-x-1" /> <br/>liegt, wird durch eine Gleichung von der Form | |
| 511 </p> | |
| 512 <center class="par-math-display" > | |
| 513 <img | |
| 514 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1905/fulltext/img/Einst_Ueber_de_190527x.png" alt="dn = n f (D) d D " class="par-math-display" /></center> | |
| 515 <!--l. 604--><p class="nopar"> | |
| 516 </p><!--l. 608--><p class="noindent">ausdrückbar sein, wobei | |
| 517 </p> | |
| 518 <center class="par-math-display" > | |
| 519 <img | |
| 520 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1905/fulltext/img/Einst_Ueber_de_190528x.png" alt=" integral +o o | |
| 521 | |
| 522 f (D) d D = 1 - oo | |
| 523 | |
| 524 " class="par-math-display" /></center> | |
| 525 <!--l. 615--><p class="nopar"> | |
| 526 </p><!--l. 619--><p class="noindent">und <span | |
| 527 class="cmmi-12"><img | |
| 528 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1905/fulltext/img/cmmi12-27.png" alt="f" class="cmmi-12x-x-27" align="middle" /> </span>nur für sehr kleine Werte von <img | |
| 529 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1905/fulltext/img/cmr12-1.png" alt="D" class="12x-x-1" /> von Null verschieden <br/>ist und die Bedingung | |
| 530 </p> | |
| 531 <center class="par-math-display" > | |
| 532 <img | |
| 533 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1905/fulltext/img/Einst_Ueber_de_190529x.png" alt="f (D) = f(- D ) " class="par-math-display" /></center> | |
| 534 <!--l. 625--><p class="nopar"> | |
| 535 </p><!--l. 629--><p class="noindent">erfüllt. <pb/> | |
| 536 </p><!--l. 633--><p class="indent"> | |
| 537 | |
| 538 </p><!--l. 634--><p class="indent"> Wir untersuchen nun, wie der Diffusionskoeffizient von <span | |
| 539 class="cmmi-12"><img | |
| 540 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1905/fulltext/img/cmmi12-27.png" alt="f" class="cmmi-12x-x-27" align="middle" /> </span> <br/>abhängt, wobei wir uns wieder auf den Fall beschränken, daß <br/>die Anzahl <span | |
| 541 class="cmmi-12"><img | |
| 542 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1905/fulltext/img/cmmi12-17.png" alt="n" class="12x-x-17" /> </span>der Teilchen pro Volumeneinheit nur von <span | |
| 543 class="cmmi-12">x </span>und <span | |
| 544 class="cmmi-12">t </span> <br/>abhängt. | |
| 545 </p><!--l. 640--><p class="indent"> Es sei <span | |
| 546 class="cmmi-12"><img | |
| 547 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1905/fulltext/img/cmmi12-17.png" alt="n" class="12x-x-17" /> </span>= <span | |
| 548 class="cmmi-12">f</span>(<span | |
| 549 class="cmmi-12">x, t</span>) die Anzahl der Teilchen pro Volumen-<br/>einheit, wir berechnen die Verteilung der Teilchen zur Zeit <br/><span | |
| 550 class="cmmi-12">t </span>+ <span | |
| 551 class="cmmi-12"><img | |
| 552 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1905/fulltext/img/cmmi12-1c.png" alt="t" class="12x-x-1c" /> </span>aus deren Verteilung zur Zeit <span | |
| 553 class="cmmi-12">t. </span>Aus der Definition <br/>der Funktion <span | |
| 554 class="cmmi-12"><img | |
| 555 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1905/fulltext/img/cmmi12-27.png" alt="f" class="cmmi-12x-x-27" align="middle" /> </span>(<img | |
| 556 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1905/fulltext/img/cmr12-1.png" alt="D" class="12x-x-1" />) ergibt sich leicht die Anzahl der Teilchen, <br/>welche sich zur Zeit <span | |
| 557 class="cmmi-12">t </span>+ <span | |
| 558 class="cmmi-12"><img | |
| 559 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1905/fulltext/img/cmmi12-1c.png" alt="t" class="12x-x-1c" /> </span>zwischen zwei zur <span | |
| 560 class="cmmi-12">X</span>-Achse senk-<br/>rechten Ebenen mit den Abszissen <span | |
| 561 class="cmmi-12">x </span>und <span | |
| 562 class="cmmi-12">x </span>+ <span | |
| 563 class="cmmi-12">dx </span>befinden. <br/>Man erhält: | |
| 564 </p> | |
| 565 <center class="par-math-display" > | |
| 566 <img | |
| 567 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1905/fulltext/img/Einst_Ueber_de_190530x.png" alt=" D=+ oo | |
| 568 integral | |
| 569 f (x, t + t) dx = d x . f (x + D) f(D) d D . D= - oo | |
| 570 " class="par-math-display" /></center> | |
| 571 <!--l. 655--><p class="nopar"> | |
| 572 </p><!--l. 658--><p class="noindent">Nun können wir aber, da <span | |
| 573 class="cmmi-12"><img | |
| 574 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1905/fulltext/img/cmmi12-1c.png" alt="t" class="12x-x-1c" /> </span>sehr klein ist, setzen: | |
| 575 </p> | |
| 576 <center class="par-math-display" > | |
| 577 <img | |
| 578 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1905/fulltext/img/Einst_Ueber_de_190531x.png" alt="f(x, t + t ) = f (x, t) + t@-f-. @ t " class="par-math-display" /></center> | |
| 579 <!--l. 666--><p class="nopar"> | |
| 580 </p><!--l. 669--><p class="noindent">Ferner entwickeln wir <span | |
| 581 class="cmmi-12">f</span>(<span | |
| 582 class="cmmi-12">x </span>+ <img | |
| 583 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1905/fulltext/img/cmr12-1.png" alt="D" class="12x-x-1" /><span | |
| 584 class="cmmi-12">, t</span>) nach Potenzen von <img | |
| 585 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1905/fulltext/img/cmr12-1.png" alt="D" class="12x-x-1" />: | |
| 586 </p> | |
| 587 <center class="par-math-display" > | |
| 588 <img | |
| 589 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1905/fulltext/img/Einst_Ueber_de_190532x.png" alt=" @ f (x,t) D2 @2f (x, t) f (x + D, t) = f(x, t) + D --------+ ---------2--- ... in inf. @ x 2! @ x " class="par-math-display" /></center> | |
| 590 <!--l. 679--><p class="nopar"> | |
| 591 </p><!--l. 682--><p class="noindent">Diese Entwicklung können wir unter dem Integral vornehmen, <br/>da zu letzterem nur sehr kleine Werte von <img | |
| 592 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1905/fulltext/img/cmr12-1.png" alt="D" class="12x-x-1" /> etwas beitragen. <br/>Wir erhalten: | |
| 593 </p> | |
| 594 <center class="par-math-display" > | |
| 595 <img | |
| 596 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1905/fulltext/img/Einst_Ueber_de_190533x.png" alt=" integral +o o integral +o o | |
| 597 @ f @ f f + ----.t = f . f (D) d D + ---- D f (D) dD @ t - oo @ x- oo | |
| 598 + oo | |
| 599 @2f integral D 2 + ---2 ----f (D) d D ... @ x- oo 2 " class="par-math-display" /></center> | |
| 600 <!--l. 705--><p class="nopar"> | |
| 601 </p><!--l. 708--><p class="noindent">Auf der rechten Seite verschwindet wegen <span | |
| 602 class="cmmi-12"><img | |
| 603 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1905/fulltext/img/cmmi12-27.png" alt="f" class="cmmi-12x-x-27" align="middle" /> </span>(<span | |
| 604 class="cmmi-12">x</span>) = <span | |
| 605 class="cmmi-12"><img | |
| 606 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1905/fulltext/img/cmmi12-27.png" alt="f" class="cmmi-12x-x-27" align="middle" /> </span>(<span | |
| 607 class="cmsy-10x-x-120">-</span><span | |
| 608 class="cmmi-12">x</span>) das <br/>zweite, vierte etc. Glied, während von dem ersten, dritten, <br/>fünften etc. Gliede jedes folgende gegen das vorhergehende <br/>sehr klein ist. Wir erhalten aus dieser Gleichung, indem wir | |
| 609 <br/>berücksichtigen, daß | |
| 610 </p> | |
| 611 <center class="par-math-display" > | |
| 612 <img | |
| 613 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1905/fulltext/img/Einst_Ueber_de_190534x.png" alt=" integral + oo | |
| 614 | |
| 615 f (D) dD = 1 , - oo | |
| 616 " class="par-math-display" /></center> | |
| 617 <!--l. 720--><p class="nopar"> <pb/> | |
| 618 </p><!--l. 727--><p class="indent"> | |
| 619 | |
| 620 </p><!--l. 728--><p class="noindent">und indem wir | |
| 621 </p> | |
| 622 <center class="par-math-display" > | |
| 623 <img | |
| 624 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1905/fulltext/img/Einst_Ueber_de_190535x.png" alt=" integral + oo 2 1- D-- f (D) dD = D t 2 - oo | |
| 625 " class="par-math-display" /></center> | |
| 626 <!--l. 736--><p class="nopar"> | |
| 627 </p><!--l. 740--><p class="noindent">setzen und nur das erste und dritte Glied der rechten Seite <br/>berücksichtigen:</p> | |
| 628 <table width="100%" | |
| 629 class="equation"><tr><td><a | |
| 630 id="x1-4r1"></a> | |
| 631 <center class="math-display" > | |
| 632 <img | |
| 633 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1905/fulltext/img/Einst_Ueber_de_190536x.png" alt=" 2 @ f-= D @-f- . @ t @ x2 " class="math-display" /></center></td><td width="5%">(1)</td></tr></table> | |
| 634 <!--l. 748--><p class="nopar"> | |
| 635 </p><!--l. 752--><p class="indent"> Dies ist die bekannte Differentialgleichung der Diffusion, <br/>und man erkennt, daß | |
| 636 <span | |
| 637 class="cmmi-12">D </span>der Diffusionskoeffizient ist. | |
| 638 </p><!--l. 756--><p class="indent"> An diese Entwicklung läßt sich noch eine wichtige Über-<br/>legung anknüpfen. Wir haben angenommen, daß die einzelnen <br/>Teilchen alle auf dasselbe Koordinatensystem bezogen seien. <br/>Dies ist jedoch nicht nötig, da die Bewegungen der einzelnen <br/>Teilchen voneinander unabhängig sind. Wir wollen nun die | |
| 639 <br/>Bewegung jedes Teilchens auf ein Koordinatensystem beziehen, <br/>dessen Ursprung mit der Lage des Schwerpunktes des be-<br/>treffenden Teilchens zur Zeit <span | |
| 640 class="cmmi-12">t </span>= 0 zusammenfällt, mit dem <br/>Unterschiede, daß jetzt <span | |
| 641 class="cmmi-12">f </span>(<span | |
| 642 class="cmmi-12">x, t</span>) <span | |
| 643 class="cmmi-12">dx </span>die Anzahl der Teilchen be-<br/>deutet, deren <span | |
| 644 class="cmmi-12">X</span>-Koordinaten von der Zeit <span | |
| 645 class="cmmi-12">t </span>= 0 bis zur Zeit <br/><span | |
| 646 class="cmmi-12">t </span>= <span | |
| 647 class="cmmi-12">t </span>um eine Größe <span | |
| 648 class="cmti-12">gewachsen </span>ist, welche zwischen <span | |
| 649 class="cmmi-12">x </span>und <br/><span | |
| 650 class="cmmi-12">x </span>+ <span | |
| 651 class="cmmi-12">dx </span>liegt. Auch in diesem Falle ändert sich also die <br/>Funktion <span | |
| 652 class="cmmi-12">f </span>gemäß Gleichung (1). Ferner muß offenbar für <br/><span | |
| 653 class="cmmi-12">x </span><span | |
| 654 class="msam-10x-x-120"><img | |
| 655 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1905/fulltext/img/msam10-c-3f.png" alt="><" class="10-120x-x-3f" /> </span>0 und <span | |
| 656 class="cmmi-12">t </span>= 0 | |
| 657 </p> | |
| 658 <center class="par-math-display" > | |
| 659 <img | |
| 660 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1905/fulltext/img/Einst_Ueber_de_190537x.png" alt=" integral + oo | |
| 661 | |
| 662 f(x,t) = 0 und f(x,t)d x = n - oo | |
| 663 " class="par-math-display" /></center> | |
| 664 <!--l. 779--><p class="nopar"> | |
| 665 </p><!--l. 783--><p class="noindent">sein. Das Problem, welches mit dem Problem der Diffusion <br/>von einem Punkte aus (unter Vernachlässigung der Wechsel-<br/>wirkung der diffundierenden Teilchen) übereinstimmt, ist nun <br/>mathematisch vollkommen bestimmt; seine Lösung ist: | |
| 666 </p> | |
| 667 <center class="par-math-display" > | |
| 668 <img | |
| 669 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1905/fulltext/img/Einst_Ueber_de_190538x.png" alt=" x2- ---n----e--4Dt f(x,t) = V~ ------ V~ t . 4 pD " class="par-math-display" /></center> | |
| 670 <!--l. 793--><p class="nopar"> | |
| 671 </p><!--l. 797--><p class="indent"> Die Häufigkeitsverteilung der in einer beliebigen Zeit <span | |
| 672 class="cmmi-12">t </span> <br/>erfolgten Lagenänderungen ist also dieselbe wie die der zu-<br/><pb/> | |
| 673 </p><!--l. 802--><p class="indent"> | |
| 674 | |
| 675 </p><!--l. 803--><p class="noindent">fälligen Fehler, was zu vermuten war. Von Bedeutung aber <br/>ist, wie die Konstante im Exponenten mit dem Diffusions-<br/>koeffizienten zusammenhängt. Wir berechnen nun mit Hilfe <br/>dieser Gleichung die Verrückung <span | |
| 676 class="cmmi-12"><img | |
| 677 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1905/fulltext/img/cmmi12-15.png" alt="c" class="12x-x-15" /></span><sub ><span | |
| 678 class="cmmi-8">x</span></sub> in Richtung der <span | |
| 679 class="cmmi-12">X</span>-Achse, | |
| 680 <br/>welche ein Teilchen im Mittel erfäbrt, oder -- genauer aus-<br/>gedrückt -- die Wurzel aus dem arithmetischen Mittel der <br/>Quadrate der Verrückungen in Richtung der <span | |
| 681 class="cmmi-12">X</span>-Achse; es ist: | |
| 682 </p> | |
| 683 <center class="par-math-display" > | |
| 684 <img | |
| 685 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1905/fulltext/img/Einst_Ueber_de_190539x.png" alt=" V~ --- V~ ----- cx = x2 = 2 D t . " class="par-math-display" /></center> | |
| 686 <!--l. 816--><p class="nopar"> | |
| 687 </p><!--l. 820--><p class="indent"> Die mittlere Verschiebung ist also proportional der Qua-<br/>dratwurzel aus der Zeit. Man kann leicht zeigen, daß die <br/>Wurzel aus dem Mittelwert der Quadrate der <span | |
| 688 class="cmti-12">Gesamtverschic- </span> <br/><span | |
| 689 class="cmti-12">bungen </span>der Teilchen den Wert <span | |
| 690 class="cmmi-12"><img | |
| 691 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1905/fulltext/img/cmmi12-15.png" alt="c" class="12x-x-15" /></span><sub ><span | |
| 692 class="cmmi-8">x</span></sub><img | |
| 693 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1905/fulltext/img/Einst_Ueber_de_190540x.png" alt=" V~ 3" class="sqrt" /> | |
| 694 besitzt. | |
| 695 </p> | |
| 696 <div class="center" > | |
| 697 | |
| 698 <!--l. 827--><p class="noindent"> | |
| 699 </p><!--l. 828--><p class="noindent"><span | |
| 700 class="cmsy-10x-x-120">§ </span>5. Formel für die mittlere Verschiebung suspendierter Teilchen. <br/>Eine neue Methode zur Bestimmung der wahren Größe der Atome.</p></div> | |
| 701 <!--l. 835--><p class="indent"> In <span | |
| 702 class="cmsy-10x-x-120">§ </span>3 haben wir für den Diffusionskoeffizienten <span | |
| 703 class="cmmi-12">D </span>eines <br/>in einer Flüssigkeit in Form von kleinen Kugeln vom Radius <span | |
| 704 class="cmmi-12">P </span> <br/>suspendierten Stoffes den Wert gefunden: | |
| 705 </p> | |
| 706 <center class="par-math-display" > | |
| 707 <img | |
| 708 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1905/fulltext/img/Einst_Ueber_de_190541x.png" alt=" R T 1 D = -----------. N 6p k P " class="par-math-display" /></center> | |
| 709 <!--l. 843--><p class="nopar"> | |
| 710 </p><!--l. 846--><p class="noindent">Ferner fanden wir in <span | |
| 711 class="cmsy-10x-x-120">§ </span>4 für den Mittelwert der Verschie-<br/>bungen der Teilchen in Richtung der <span | |
| 712 class="cmmi-12">X</span>-Achse in der Zeit <span | |
| 713 class="cmmi-12">t</span>: | |
| 714 </p> | |
| 715 <center class="par-math-display" > | |
| 716 <img | |
| 717 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1905/fulltext/img/Einst_Ueber_de_190542x.png" alt=" V~ ----- cx = 2D t . " class="par-math-display" /></center> | |
| 718 <!--l. 853--><p class="nopar"> | |
| 719 </p><!--l. 856--><p class="noindent">Durch Eliminieren von <span | |
| 720 class="cmmi-12">D </span>erhalten wir: | |
| 721 </p> | |
| 722 | |
| 723 <center class="par-math-display" > | |
| 724 <img | |
| 725 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1905/fulltext/img/Einst_Ueber_de_190543x.png" alt=" V~ ------------ V~ - R T 1 cx = t. -----------. N 3p k P " class="par-math-display" /></center> | |
| 726 <!--l. 863--><p class="nopar"> | |
| 727 </p><!--l. 866--><p class="noindent">Diese Gleichung läßt erkennen, wie <span | |
| 728 class="cmmi-12"><img | |
| 729 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1905/fulltext/img/cmmi12-15.png" alt="c" class="12x-x-15" /></span><sub ><span | |
| 730 class="cmmi-8">x</span></sub> von <span | |
| 731 class="cmmi-12">T, k </span>und <span | |
| 732 class="cmmi-12">P </span>ab-<br/>hängen muß. | |
| 733 </p><!--l. 869--><p class="indent"> Wir wollen berechnen, wie groß <span | |
| 734 class="cmmi-12"><img | |
| 735 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1905/fulltext/img/cmmi12-15.png" alt="c" class="12x-x-15" /></span><sub ><span | |
| 736 class="cmmi-8">x</span></sub> für eine Sekunde ist, <br/>wenn <span | |
| 737 class="cmmi-12">N </span>gemäß den Resultaten der kinetischen Gastheorie <br/>6.10<sup ><span | |
| 738 class="cmr-8">23</span></sup> gesetzt wird; es sei als Flüssigkeit Wasser von 17<sup ><span | |
| 739 class="cmr-8">0</span></sup> C<span | |
| 740 class="cmmi-12">. </span> <br/>gewählt (<span | |
| 741 class="cmmi-12">k </span>= 1<span | |
| 742 class="cmmi-12">, </span>35 <span | |
| 743 class="cmmi-12">. </span>10<sup ><span | |
| 744 class="cmsy-8">-</span><span | |
| 745 class="cmr-8">2</span></sup>) und der Teilchendurchmesser sei | |
| 746 <br/>0,001 mm. Man erhält: | |
| 747 </p> | |
| 748 <center class="par-math-display" > | |
| 749 <img | |
| 750 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1905/fulltext/img/Einst_Ueber_de_190544x.png" alt="cx = 8.10- 5 cm = 0,8 Mikron. " class="par-math-display" /></center> | |
| 751 <!--l. 880--><p class="nopar"> | |
| 752 </p><!--l. 883--><p class="noindent">Die mittlere Verschiebung in 1 Min. wäre also ca. 6 Mikron. <pb/> | |
| 753 </p><!--l. 888--><p class="indent"> | |
| 754 | |
| 755 </p><!--l. 889--><p class="indent"> Umgekehrt läßt sich die gefundene Beziehung zur Be-<br/>stimmung von <span | |
| 756 class="cmmi-12">N</span> | |
| 757 benutzen. Man erhält: | |
| 758 </p> | |
| 759 <center class="par-math-display" > | |
| 760 <img | |
| 761 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1905/fulltext/img/Einst_Ueber_de_190545x.png" alt=" t R T N = --2-.------- . cx 3 p kP " class="par-math-display" /></center> | |
| 762 <!--l. 896--><p class="nopar"> | |
| 763 </p><!--l. 900--><p class="indent"> Möge es bald einem Forscher gelingen, die hier auf-<br/>geworfene, für die Theorie der Wärme wichtige Frage zu ent-<br/>scheiden! | |
| 764 </p><!--l. 904--><p class="indent"> Bern, Mai 1905. </p> | |
| 765 <div class="center" > | |
| 766 | |
| 767 <!--l. 906--><p class="noindent"> | |
| 768 </p><!--l. 907--><p class="noindent">(Eingegangen 11. Mai 1905.)</p></div> | |
| 769 <div class="center" > | |
| 770 | |
| 771 <!--l. 912--><p class="noindent"> | |
| 772 </p><!--l. 913--><p class="noindent">----------</p></div> | |
| 773 | |
| 774 </body></html> | |
| 775 | |
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