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date Fri, 07 Dec 2012 17:05:22 +0100
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7 <head><title></title>
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15 </head><body >
16
17 <!--l. 12--><p class="noindent"><pb/></p>
18 <div class="center" >
19
20 <!--l. 13--><p class="noindent">
21 </p><!--l. 14--><p class="noindent"><span
22 class="cmr-12x-x-120">2</span><span
23 class="cmbx-12x-x-120">. </span><span
24 class="cmbxti-10x-x-144">Über einen Satz </span> <br/><span
25 class="cmbxti-10x-x-144">der Wahrscheinlichkeitsrechnung</span>
26 <span
27 class="cmbxti-10x-x-144">und seine </span> <br/><span
28 class="cmbxti-10x-x-144">Anwendung in der Strahlungstheorie; </span> <br/><span
29 class="cmbxti-10x-x-144">von</span>
30 <span
31 class="cmbxti-10x-x-144">A. Einstein und L. Hopf.</span></p></div>
32 <div class="center" >
33
34 <!--l. 20--><p class="noindent">
35 </p><!--l. 21--><p class="noindent">----------</p></div>
36 <div class="center" >
37
38 <!--l. 24--><p class="noindent">
39 </p><!--l. 25--><p class="noindent"><span
40 class="cmsy-10x-x-120">§ </span>1. Das physikalische Problem als Ausgangspunkt.</p></div>
41 <!--l. 29--><p class="indent"> Will man in der Theorie der Temperaturstrahlung irgend <br/>eine Wirkung der Strahlung berechnen, etwa die auf einen <br/>Oszillator wirkende Kraft, so verwendet man dazu stets als <br/>analytischen Ausdruck für die elektrische oder magnetische
42 <br/>Kraft Fouriersche Reihen der allgemeinen Gestalt
43 </p>
44 <center class="par-math-display" >
45 <img
46 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/Einst_Ueber_de_19100x.png" alt=" sum -t t- nA n sin 2 p nT + Bn cos 2 p n T . " class="par-math-display" /></center>
47 <!--l. 40--><p class="nopar">
48 </p><!--l. 43--><p class="noindent">Hierbei ist das Problem gleich auf einen bestimmten Raum-<br/>punkt spezialisiert, was für das Folgende ohne Bedeutung <br/>ist, <span
49 class="cmmi-12">t </span>bedeutet die variable Zeit, <span
50 class="cmmi-12">T </span>die sehr große Zeitdauer, <br/>für welche die Entwickelung gilt. Bei der Berechnung irgend-<br/>welcher Mittelwerte -- und nur solche kommen in der Strahlungs-<br/>theorie überhaupt vor -- nimmt man die einzelnen Koeffi-<br/>zienten <span
51 class="cmmi-12">A</span><sub ><span
52 class="cmmi-8">n</span></sub>, <span
53 class="cmmi-12">B</span><sub ><span
54 class="cmmi-8">n</span></sub> als unabhängig voneinander an, man setzt voraus, <br/>daß jeder Koeffizient unabhängig von den Zahlenwerten der <br/>anderen das Gauss sche Fehlergesetz befolge, so daß die
55 <br/>Wahrscheinlichkeit<sup ><span
56 class="cmr-8">1</span></sup>) <span
57 class="cmmi-12">dW </span>einer Kombination von Werten <span
58 class="cmmi-12">A</span><sub >
59 <span
60 class="cmmi-8">n</span></sub>, <span
61 class="cmmi-12">B</span><sub ><span
62 class="cmmi-8">n</span></sub> <br/>sich aus den Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Koeffizienten <br/>einfach als Produkt darstellen müsse.</p>
63 <table width="100%"
64 class="equation"><tr><td><a
65 id="x1-2r1"></a>
66 <center class="math-display" >
67
68 <img
69 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/Einst_Ueber_de_19101x.png" alt="d W = WA .WA ... WB .WB ... dA1 ... dB1 ... 1 2 1 2 " class="math-display" /></center></td><td width="5%">(1)</td></tr></table>
70 <!--l. 58--><p class="nopar">
71 </p><!--l. 62--><p class="indent"> Da bekanntlich die Strahlungslehre, so wie sie exakt aus <br/>den allgemein anerkannten Fundamenten der Elektrizitäts-<br/>----------
72 </p><!--l. 67--><p class="indent"> 1) Unter ,,Wahrscheinlichkeit eines Koeffizienten&#8220; ist offenbar <br/>folgendes zu verstehen: Wir denken uns die elektrische Kraft in sehr <br/>vielen Zeitmomenten in Fourier sche Reihen entwickelt. Derjenige <br/>Bruchteil dieser Entwickelungen, bei welchem ein Koeffizient in einem <br/>bestimmten Wertbereich liegt, ist die Wahrscheinlichkeit dieses Wert-<br/>bereiches des betreffenden Koeffizienten.
73 <pb/>
74 </p><!--l. 78--><p class="indent">
75
76 </p><!--l. 79--><p class="noindent">theorie und der statistischen Mechanik folgt, in unlösbare Wider-<br/>sprüche mit der Erfahrung führt, liegt es nahe, dieser ein-<br/>fachen Annahme der Unabhängigkeit zu mißtrauen und ihr die <br/>Schuld an den Mißerfolgen der Strahlungstheorie zuzuschreiben.
77 </p><!--l. 85--><p class="indent"> Im folgenden soll nun gezeigt werden, daß dieser Ausweg <br/>unmöglich ist, daß sich vielmehr das physikalische Problem <br/>auf ein rein mathematisches zurückführen läßt, das zum <br/>statistischen Gesetze (1) führt.
78 </p><!--l. 91--><p class="indent"> Betrachten wir nämlich die aus einer bestimmten Rich-<br/>tung herkommende<sup ><span
79 class="cmr-8">1</span></sup>) Strahlung, so hat diese gewiß einen höheren <br/>Grad von Ordnung, als die gesamte in einem Punkte wirkende <br/>Strahlung. Die Strahlung aus einer bestimmten Richtung
80 <br/>können wir aber immer noch auffassen als von sehr vielen <br/>Emissionszentren herrührend, d. h. wir können die Fläche, <br/>welche die Strahlung aussendet, noch in sehr viele unabhängig <br/>voneinander ausstrahlende Flächenelemente zerlegen; denn der <br/>Entfernung dieser Fläche vom Aufpunkt sind ja keine Grenzen <br/>gesteckt, also auch nicht ihrer gesamten Ausdehnung. In <br/>diese von den einzelnen Flächenelementen herrührenden Strah-<br/>lungselemente führen wir wieder ein höheres Ordnungsprinzip <br/>ein, indem wir diese Strahlungselemente alle als von gleicher <br/>Form und nur durch eine zeitliche Phase verschieden auf-<br/>fassen; mathematisch gesprochen: die Koeffizienten der Fourier-<br/>schen Reihen, welche die Strahlung der einzelnen Flächenele-<br/>mente darstellen, seien für alle Flächenelemente dieselben, nur <br/>der Anfangspunkt der Zeit von Element zu Element verschie-<br/>den. Können wir Gleichung (1) unter Zugrundelegung dieser <br/>Ordnungsprinzipien beweisen, so gilt sie a fortiori für den <br/>Fall, daß man diese Ordnungsprinzipien fallen läßt. Be-<br/>zeichnet der Index <span
81 class="cmmi-12">s </span>das einzelne Flächenelement, so erhält <br/>die dort ausgesandte Strahlung die Form:
82 </p>
83 <center class="par-math-display" >
84 <img
85 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/Einst_Ueber_de_19102x.png" alt=" sum t---ts- (n) an sin 2p n T . " class="par-math-display" /></center>
86 <!--l. 124--><p class="nopar">
87 </p><!--l. 127--><p class="noindent">Die gesamte von uns betrachtete Strahlung wird also dar-<br/>gestellt durch die Doppelsummen:
88 </p>
89 <table width="100%"
90 class="equation"><tr><td><a
91 id="x1-3r2"></a>
92 <center class="math-display" >
93 <img
94 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/Einst_Ueber_de_19103x.png" alt=" ( ) sum s sum n a sin 2p n t-cos 2 pn ts - cos 2p n t-sin 2p n ts . n T T T T " class="math-display" /></center></td><td width="5%">(2)</td></tr></table>
95 <!--l. 136--><p class="nopar">
96 </p><!--l. 139--><p class="noindent">----------
97 </p><!--l. 142--><p class="indent"> 1) genauer; ,,einem bestimmten Elementarwinkel <span
98 class="cmmi-12">d</span><span
99 class="cmbx-12">x</span> entsprechende&#8220; <br/>Annalen der Physik. IV. Folge. 38. <pb/>
100 </p><!--l. 148--><p class="indent">
101
102 </p><!--l. 149--><p class="noindent">Vergleichung von (2) und (1) führt also zu den Ausdrücken:</p>
103 <table width="100%"
104 class="equation"><tr><td><a
105 id="x1-4r3"></a>
106 <center class="math-display" >
107 <img
108 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/Einst_Ueber_de_19104x.png" alt=" sum ts { An = an s cos 2 pn T , sum ts Bn = an n sin 2 pn -- , T " class="math-display" /></center></td><td width="5%">(3)</td></tr></table>
109 <!--l. 160--><p class="nopar">
110 </p><!--l. 164--><p class="noindent"><span
111 class="cmmi-12">n </span>ist eine sehr große Zahl, <span
112 class="cmmi-12">t</span><sub ><span
113 class="cmmi-8">s</span></sub> kann jeden Wert zwischen 0 <br/>und <span
114 class="cmmi-12">T </span>annehmen, die einzelnen Summanden
115 </p>
116 <center class="par-math-display" >
117 <img
118 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/Einst_Ueber_de_19105x.png" alt="cos 2p n ts bzw. sin 2 pn ts T T " class="par-math-display" /></center>
119 <!--l. 174--><p class="nopar">
120 </p><!--l. 178--><p class="noindent">liegen also regellos zwischen <span
121 class="cmsy-10x-x-120">-</span>1 und +1 verteilt und sind <br/>gleich wahrscheinlich positiv wie negativ. Können wir für <br/>eine Kombination von Summen solcher Größen allgemein die <br/>Gültigkeit unserer Gleichung (1) nachweisen, so ist damit auch <br/>die Unmöglichkeit erwiesen, irgend ein Ordnungsprinzip in die <br/>im leeren Raum sich ausbreitende Strahlung einzuführen.
122 </p>
123 <div class="center" >
124
125 <!--l. 188--><p class="noindent">
126 </p><!--l. 189--><p class="noindent"><span
127 class="cmsy-10x-x-120">§ </span>2. Formulierung des allgemeinen mathematischen Problems.</p></div>
128 <!--l. 193--><p class="indent"> Wir stellen uns also folgendes mathematische Problem: <br/>Gegeben ist eine sehr große Anzahl von Elementen, deren <br/>Zahlenwerte <span
129 class="cmmi-12"><img
130 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/cmmi12-b.png" alt="a" class="12x-x-b" /> </span>ein bekanntes statistisches Gesetz befolgen <br/>(entsprechend den <span
131 class="cmmi-12">t</span><sub ><span
132 class="cmmi-8">s</span></sub>). Von jedem dieser
133 Zahlenwerte werden <br/>gewisse Funktionen <span
134 class="cmmi-12">f</span><sub ><span
135 class="cmr-8">1</span></sub> (<span
136 class="cmmi-12"><img
137 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/cmmi12-b.png" alt="a" class="12x-x-b" /></span>) <span
138 class="cmmi-12">f</span><sub ><span
139 class="cmr-8">2</span></sub> (<span
140 class="cmmi-12"><img
141 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/cmmi12-b.png" alt="a" class="12x-x-b" /></span>)<span
142 class="cmmi-12">...</span> gebildet (entsprechend
143 <br/><img
144 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/Einst_Ueber_de_19106x.png" alt=" ) sin 2 p n ts-n .cos 2p n ts T T" class="left" align="middle" />. Diese Funktionen müssen wir <br/>noch einer Einschränkung unterwerfen: Es ergibt sich nämlich <br/>aus der Wahrscheinlichkeit, daß eine der Größen <span
145 class="cmmi-12"><img
146 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/cmmi12-b.png" alt="a" class="12x-x-b" /> </span>zwischen <br/><span
147 class="cmmi-12"><img
148 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/cmmi12-b.png" alt="a" class="12x-x-b" /> </span>+ <span
149 class="cmmi-12">d<img
150 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/cmmi12-b.png" alt="a" class="12x-x-b" /> </span>liegt, ein statistisches Gesetz für die <span
151 class="cmmi-12">f</span>; die Wahr-<br/>scheinlichkeit <span
152 class="cmmi-12"><img
153 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/cmmi12-27.png" alt="f" class="cmmi-12x-x-27" align="middle" /></span><img
154 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/Einst_Ueber_de_19107x.png" alt="(f)" class="left" align="middle" /> <span
155 class="cmmi-12">df, </span>daß <span
156 class="cmmi-12">f </span>einen Zahlenwert zwischen <span
157 class="cmmi-12">f </span> <br/>und <span
158 class="cmmi-12">f </span>+ <span
159 class="cmmi-12">df</span>
160 habe, sei nun stets eine solche Funktion, daß der <br/>Mittelwert
161 </p>
162 <center class="par-math-display" >
163 <img
164 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/Einst_Ueber_de_19108x.png" alt=" + integral oo
165 f-= f f (f) df = 0.
166 - oo
167 " class="par-math-display" /></center>
168 <!--l. 216--><p class="nopar">
169 </p><!--l. 219--><p class="noindent">(Es ist leicht einzusehen, daß unsere Funktionen sin und cos <br/>wirklich diese Voraussetzung erfüllen; denn wenn jeder Wert <br/>von <span
170 class="cmmi-12">t</span><sub ><span
171 class="cmmi-8">s</span></sub> zwischen 0 und <span
172 class="cmmi-12">T </span>gleich wahrscheinlich ist, verschwinden <br/>die Mittelwerte <span class="overline"> sin 2 <span
173 class="cmmi-12"><img
174 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/cmmi12-19.png" alt="p" class="12x-x-19" /> n</span><img
175 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/Einst_Ueber_de_19109x.png" alt="ts -- T" class="frac" align="middle" /></span> und <img
176 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/Einst_Ueber_de_191010x.png" alt="---------ts-) cos 2 p n-- . T" class="left" align="middle" />
177 <pb/>
178 </p><!--l. 229--><p class="indent">
179
180 </p><!--l. 230--><p class="indent"> Wir fassen nun eine (sehr große) Anzahl <span
181 class="cmmi-12">Z </span>solcher Ele-<br/>mente <span
182 class="cmmi-12"><img
183 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/cmmi12-b.png" alt="a" class="12x-x-b" /> </span>zu einem System zusammen. Zu einem derartigen <br/>System gehören bestimmte Summen
184 </p>
185 <center class="par-math-display" >
186 <img
187 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/Einst_Ueber_de_191011x.png" alt=" sum sum
188 (Z)f1(a), (Z)f2(a) ... " class="par-math-display" /></center>
189 <!--l. 239--><p class="nopar">
190 </p><!--l. 242--><p class="noindent">(entsprechend den Koeffizienten <span
191 class="cmmi-12">A</span><sub ><sub ><span
192 class="cmmi-6">n</span></sub></sub><img
193 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/Einst_Ueber_de_191012x.png" alt="/" class="left" align="middle" /> <span
194 class="cmmi-12">a</span><sub ><sub ><span
195 class="cmmi-6">n</span></sub></sub><span
196 class="cmmi-12">,</span> <span
197 class="cmmi-12">B</span><sub ><sub ><span
198 class="cmmi-6">n</span></sub></sub><img
199 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/Einst_Ueber_de_191013x.png" alt="/" class="left" align="middle" /> <span
200 class="cmmi-12">a</span><sub ><sub ><span
201 class="cmmi-6">n</span></sub></sub>). Wir stellen <br/>uns die Aufgabe, das statistische Gesetz zu ermitteln, welches <br/>eine Kombination dieser Summen befolgt.
202 </p><!--l. 250--><p class="indent"> Zunächst müssen wir über einen prinzipiellen Punkt Klar-<br/>heit schaffen:
203 </p><!--l. 253--><p class="indent"> Das statistische Gesetz, das die Summen <span
204 class="cmex-10x-x-120"><img
205 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/cmex10-c-50.png" alt=" sum " class="10-120x-x-50" /></span>
206 selbst be-<br/>folgen, wird gar nicht von der Anzahl <span
207 class="cmmi-12">Z </span>der Elemente un-<br/>abhängig sein. Das können wir leicht an dem einfachen <br/>Spezialfall sehen, daß <span
208 class="cmmi-12">f</span>(<span
209 class="cmmi-12"><img
210 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/cmmi12-b.png" alt="a" class="12x-x-b" /></span>) nur die Werte +1 und <span
211 class="cmsy-10x-x-120">-</span>1 an-<br/>nehmen könne. Dann ist offenbar:
212 </p>
213 <center class="par-math-display" >
214 <img
215 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/Einst_Ueber_de_191014x.png" alt=" sum sum
216 (Z+1) = (Z)± 1 " class="par-math-display" /></center>
217 <!--l. 262--><p class="nopar">
218 </p><!--l. 266--><p class="noindent">und
219 </p>
220 <center class="par-math-display" >
221 <img
222 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/Einst_Ueber_de_191015x.png" alt=" sum ------ sum ---- 2 = 2 + 1. (Z+1) (Z) " class="par-math-display" /></center>
223 <!--l. 273--><p class="nopar">
224 </p><!--l. 277--><p class="noindent">Der quadratische Mittelwert der Summe wächst also pro-<br/>portional mit der Anzahl der Elemente. Wollen wir also zu <br/>einem von <span
225 class="cmmi-12">Z </span>unabhängigen statistischen Gesetze gelangen, so <br/>dürfen wir nicht die <span
226 class="cmex-10x-x-120"><img
227 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/cmex10-c-50.png" alt=" sum " class="10-120x-x-50" /></span>
228 betrachten, sondern, da <span class="overline"> <span
229 class="cmex-10x-x-120"><img
230 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/cmex10-c-50.png" alt=" sum " class="10-120x-x-50" /></span>
231 <sup ><span
232 class="cmr-8">2</span></sup></span><img
233 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/Einst_Ueber_de_191016x.png" alt="/" class="left" align="middle" /> <span
234 class="cmmi-12">Z </span>kon-<br/>stant bleibt, die Größen
235 </p>
236 <center class="par-math-display" >
237 <img
238 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/Einst_Ueber_de_191017x.png" alt=" sum
239 ---- S = V~ --. Z " class="par-math-display" /></center>
240 <!--l. 289--><p class="nopar">
241 </p>
242 <div class="center" >
243
244
245 <!--l. 293--><p class="noindent">
246 </p><!--l. 294--><p class="noindent"><span
247 class="cmsy-10x-x-120">§ </span>3. Statistisches Gesetz der einzelnen <span
248 class="cmmi-12">S</span>.</p></div>
249 <!--l. 298--><p class="indent"> Ehe wir nun eine Kombination aller Größen
250 </p>
251 <center class="par-math-display" >
252 <img
253 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/Einst_Ueber_de_191018x.png" alt=" sum
254 S(n) = --(Z) V~ fn(a)- Z " class="par-math-display" /></center>
255 <!--l. 303--><p class="nopar">
256 </p><!--l. 306--><p class="noindent">untersuchen, wollen wir das Wahrscheinlichkeitsgesetz einer <br/>einzelnen solchen Größe aufstellen.
257 </p><!--l. 309--><p class="indent"> Wir betrachten eine Vielheit von <span
258 class="cmmi-12">N</span>-Systemen der oben <br/>definierten Art. Zu jedem System gehört ein Zahlenwert <span
259 class="cmmi-12">S</span>. <br/>Diese Größen befolgen wegen der statistischen Verteilung der <span
260 class="cmmi-12"><img
261 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/cmmi12-b.png" alt="a" class="12x-x-b" /> </span> <br/>ein gewisses Wahrscheinlichkeitsgesetz, so daß die Anzahl der <br/>Systeme, deren Zahlenwert zwischen <span
262 class="cmmi-12">S </span>und <span
263 class="cmmi-12">S </span>+ <span
264 class="cmmi-12">dS</span>
265 liegt:</p>
266 <table width="100%"
267 class="equation"><tr><td><a
268 id="x1-5r4"></a>
269 <center class="math-display" >
270 <img
271 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/Einst_Ueber_de_191019x.png" alt="dN = F (S) d S . " class="math-display" /></center></td><td width="5%">(4)</td></tr></table>
272 <!--l. 319--><p class="nopar">
273 <pb/>
274 </p><!--l. 326--><p class="indent">
275
276 </p><!--l. 327--><p class="noindent">Fügen wir nun zu den aus <span
277 class="cmmi-12">Z</span>-Elementen bestehenden Systemen <br/>noch je ein weiteres Element, d. h. gehen wir von <span
278 class="cmmi-12">S</span><sub ><span
279 class="cmmi-8">Z</span></sub> zu <span
280 class="cmmi-12">S</span><sub ><span
281 class="cmmi-8">Z</span><span
282 class="cmr-8">+1</span></sub> <br/>über, so werden die einzelnen Glieder unserer Vielheit ihren <br/>Zahlenwert ändern und in ein anderes Gebiet <span
283 class="cmmi-12">dS </span>einrücken. <br/>Wenn es trotzdem möglich sein soll, zu einem von <span
284 class="cmmi-12">Z</span>
285 unab-<br/>hängigen statistischen Gesetz zu gelangen, so darf sich bei <br/>diesem Übergang die Anzahl <span
286 class="cmmi-12">dN </span>nicht ändern. Es muß also <br/>in ein bestimmtes (in unserem einfachsten Fall eindimensionales) <br/>Gebiet <span
287 class="cmmi-12">dS </span>die gleiche Anzahl von Systemen ein- wie austreten. <br/>Bezeichnet <img
288 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/cmr12-8.png" alt="P" class="12x-x-8" /> die Zahl der Systeme, welche vom Übergang <br/>von <span
289 class="cmmi-12">Z </span>zu <span
290 class="cmmi-12">Z </span>+ 1 Elementen einen gewissen Zahlenwert <span
291 class="cmmi-12">S</span><sub ><span
292 class="cmr-8">0</span></sub>
293 durch-<br/>schreiten und zwar sowohl der Größe wie der Richtung nach, <br/>so muß:</p>
294 <table width="100%"
295 class="equation"><tr><td><a
296 id="x1-6r5"></a>
297 <center class="math-display" >
298 <img
299 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/Einst_Ueber_de_191020x.png" alt="divP = 0, " class="math-display" /></center></td><td width="5%">(5)</td></tr></table>
300 <!--l. 347--><p class="nopar">
301 </p><!--l. 351--><p class="noindent">also
302 </p>
303 <center class="par-math-display" >
304 <img
305 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/Einst_Ueber_de_191021x.png" alt="d P ----= 0 d S " class="par-math-display" /></center>
306 <!--l. 358--><p class="nopar">
307 </p><!--l. 362--><p class="noindent">und, da ja <img
308 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/cmr12-8.png" alt="P" class="12x-x-8" /> für <span
309 class="cmmi-12">S </span>= <span
310 class="cmsy-10x-x-120"><img
311 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/cmsy10-c-31.png" alt=" oo " class="10-120x-x-31" /> </span>jedenfalls gleich 0 sein muß, auch</p>
312 <table width="100%"
313 class="equation"><tr><td><a
314 id="x1-7r6"></a>
315 <center class="math-display" >
316 <img
317 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/Einst_Ueber_de_191022x.png" alt="P = 0 .
318 " class="math-display" /></center></td><td width="5%">(6)</td></tr></table>
319 <!--l. 368--><p class="nopar">
320 </p><!--l. 372--><p class="noindent">Nun ist:
321 </p>
322 <center class="par-math-display" >
323 <img
324 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/Einst_Ueber_de_191023x.png" alt=" sum V~ ------- (Z+1)f (a) Z f(a) S(Z+1) = -- V~ -------- = S(Z) ------+ V~ ------ , Z + 1 Z + 1 Z + 1 " class="par-math-display" /></center>
325 <!--l. 381--><p class="nopar">
326 </p><!--l. 385--><p class="noindent">oder, da <span
327 class="cmmi-12">Z </span>eine sehr große Zahl sein soll:</p>
328 <table width="100%"
329 class="equation"><tr><td><a
330 id="x1-8r7"></a>
331 <center class="math-display" >
332 <img
333 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/Einst_Ueber_de_191024x.png" alt=" S(Z) f(a)- S(Z+1) = S(Z)- 2Z + V~ -- . Z " class="math-display" /></center></td><td width="5%">(7)</td></tr></table>
334 <!--l. 393--><p class="nopar">
335 </p><!--l. 396--><p class="noindent">Die Anzahl <img
336 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/cmr12-8.png" alt="P" class="12x-x-8" /> setzt sich also aus zwei Teilen zusammen, <br/>einem <img
337 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/cmr12-8.png" alt="P" class="12x-x-8" /><sub ><span
338 class="cmr-8">1</span></sub>, der vom Summanden <span
339 class="cmsy-10x-x-120">-</span><span
340 class="cmmi-12">S</span><img
341 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/Einst_Ueber_de_191025x.png" alt="/" class="left" align="middle" /> 2 <span
342 class="cmmi-12">Z</span> und einem <img
343 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/cmr12-8.png" alt="P" class="12x-x-8" /><sub ><span
344 class="cmr-8">2</span></sub>, der <br/>von <span
345 class="cmmi-12">f</span>(<span
346 class="cmmi-12"><img
347 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/cmmi12-b.png" alt="a" class="12x-x-b" /></span>)<img
348 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/Einst_Ueber_de_191026x.png" alt="/" class="left" align="middle" /> <img
349 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/Einst_Ueber_de_191027x.png" alt=" V~ -- Z" class="sqrt" /> herrührt.
350 </p><!--l. 404--><p class="indent"> <img
351 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/cmr12-8.png" alt="P" class="12x-x-8" /><sub ><span
352 class="cmr-8">1</span></sub> enthält alle diejenigen <span
353 class="cmmi-12">S</span>, welche in einem positiven <br/>Abstand <span
354 class="msam-10x-x-120"><img
355 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/msam10-c-35.png" alt="&lt;=" class="10-120x-x-35" /></span> <span
356 class="cmmi-12">S</span><sub ><span
357 class="cmr-8">0</span></sub><img
358 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/Einst_Ueber_de_191028x.png" alt="/" class="left" align="middle" />2 <span
359 class="cmmi-12">Z</span>
360 vom Werte <span
361 class="cmmi-12">S</span><sub ><span
362 class="cmr-8">0</span></sub> gelegen waren; und zwar <br/>durchschreiten diese Glieder <span
363 class="cmmi-12">S</span><sub ><span
364 class="cmr-8">0</span></sub> in negativer Richtung. Ihre <br/>Anzahl ist, da <span
365 class="cmmi-12">S</span><sub ><span
366 class="cmr-8">0</span></sub><img
367 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/Einst_Ueber_de_191029x.png" alt="/" class="left" align="middle" /> 2 <span
368 class="cmmi-12">Z</span> eine sehr kleine Zahl ist, bis auf un-<br/>endlich kleine Größen höherer Ordnung:</p>
369 <table width="100%"
370 class="equation"><tr><td><a
371 id="x1-9r8"></a>
372 <center class="math-display" >
373 <img
374 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/Einst_Ueber_de_191030x.png" alt="P = - -S0-F (S ) . 1 2 Z 0 " class="math-display" /></center></td><td width="5%">(8)</td></tr></table>
375 <!--l. 417--><p class="nopar">
376 </p><!--l. 420--><p class="noindent">Zur Anzahl <img
377 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/cmr12-8.png" alt="P" class="12x-x-8" /><sub ><span
378 class="cmr-8">2</span></sub> kommt ein Beitrag aus jeder beliebigen posi-<br/>tiven und negativen Entfernung <img
379 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/cmr12-1.png" alt="D" class="12x-x-1" /> von <span
380 class="cmmi-12">S</span><sub ><span
381 class="cmr-8">0</span></sub>, und zwar ein <br/><pb/>
382 </p><!--l. 426--><p class="indent">
383
384 </p><!--l. 427--><p class="noindent">positiver oder negativer Beitrag, je nachdem <img
385 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/cmr12-1.png" alt="D" class="12x-x-1" /> negativ oder <br/>positiv ist. In der Entfernung <img
386 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/cmr12-1.png" alt="D" class="12x-x-1" /> ist die Anzahl <span
387 class="cmmi-12">dN </span>gegeben <br/>durch</p>
388 <center class="par-math-display" >
389 <img
390 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/Einst_Ueber_de_191031x.png" alt="F (S0 + D) dS = F (S0 + D) d D , " class="par-math-display" /></center>
391 <!--l. 437--><p class="nopar"></p><!--l. 441--><p class="noindent">oder, da doch nur kleine Werte von <img
392 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/cmr12-1.png" alt="D" class="12x-x-1" /> ins Gewicht fallen, durch <br/></p>
393 <center class="par-math-display" >
394 <img
395 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/Einst_Ueber_de_191032x.png" alt="{ ( ) } dF-- F (S0) + D dD dD . S0 " class="par-math-display" /></center>
396 <!--l. 449--><p class="nopar">
397 </p><!--l. 452--><p class="noindent">Von dieser Anzahl durchqueren alle diejenigen den Wert <span
398 class="cmmi-12">S</span><sub ><span
399 class="cmr-8">0</span></sub> <br/>in positiver Richtung, die, von einem negativen <img
400 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/cmr12-1.png" alt="D" class="12x-x-1" /> herkommend, <br/>ein so großes <span
401 class="cmmi-12">f</span>(<span
402 class="cmmi-12"><img
403 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/cmmi12-b.png" alt="a" class="12x-x-b" /></span>) haben, daß
404 </p>
405 <center class="par-math-display" >
406 <img
407 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/Einst_Ueber_de_191033x.png" alt="f(a) V~ ---&gt;= |D | , Z " class="par-math-display" /></center>
408 <!--l. 461--><p class="nopar">
409 </p><!--l. 464--><p class="noindent">also die Anzahl
410 </p>
411 <center class="par-math-display" >
412 <img
413 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/Einst_Ueber_de_191034x.png" alt=" + integral o o
414
415 f (f )df . -D V~ Z- " class="par-math-display" /></center>
416 <!--l. 471--><p class="nopar">
417 </p><!--l. 474--><p class="noindent">In der negativen Richtung geht analog die Anzahl
418 </p>
419 <center class="par-math-display" >
420 <img
421 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/Einst_Ueber_de_191035x.png" alt=" V ~ - -D integral Z f (f) df .
422 - oo
423 " class="par-math-display" /></center>
424 <!--l. 481--><p class="nopar">
425 </p><!--l. 484--><p class="noindent">So wird:</p>
426 <center class="par-math-display" >
427
428 <img
429 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/Einst_Ueber_de_191036x.png" alt=" { } integral 0 (d F ) integral + oo
430 P2 = dD F (S0) + D ---- f (f)d f d D S0 V~ - - oo - D V~ -Z integral oo { ( ) } - integral D Z d-F- - dD F (S0) + D d D f (f)d f . 0 S0 - oo
431 " class="par-math-display" /></center>
432 <!--l. 501--><p class="nopar">
433 </p><!--l. 504--><p class="noindent">Durch partielle Integration geht dies über in:</p>
434 <center class="par-math-display" >
435 <img
436 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/Einst_Ueber_de_191037x.png" alt=" integral 0 { ( ) } ( ) D2- dF-- V ~ -- V~ -- P2 = - d D D .F (S0) + 2 dD f - D Z . Z - oo S0 integral oo { 2( ) } ( ) - dD D .F (S ) + D-- d-F- f - D V~ Z- . V~ Z-. 0 2 d D S 0 0 " class="par-math-display" /></center>
437 <!--l. 522--><p class="nopar"></p><!--l. 525--><p class="noindent">Da nun nach Voraussetzung
438 </p>
439 <center class="par-math-display" >
440 <img
441 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/Einst_Ueber_de_191038x.png" alt=" + integral oo
442 f f(f )df = 0
443 - oo
444 " class="par-math-display" /></center>
445 <!--l. 531--><p class="nopar"> <pb/>
446 </p><!--l. 538--><p class="indent">
447
448 </p><!--l. 539--><p class="noindent">wird, wenn wir <img
449 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/cmr12-1.png" alt="D" class="12x-x-1" /><img
450 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/Einst_Ueber_de_191039x.png" alt=" V~ -- Z" class="sqrt" /> = <span
451 class="cmmi-12">f </span>als Variable einführen:</p>
452 <table width="100%"
453 class="equation"><tr><td><a
454 id="x1-10r9"></a>
455 <center class="math-display" >
456 <img
457 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/Einst_Ueber_de_191040x.png" alt=" 1 (d F ) integral + oo
458 P 2 = - ---- ---- f 2f (f)d f { 2Z dD S0 ( ) - oo
459 -1-- dF-- --2 = - 2 Z dD .f . S0 " class="math-display" /></center></td><td width="5%">(9)</td></tr></table>
460 <!--l. 553--><p class="nopar">
461 </p><!--l. 556--><p class="noindent">(8) und (9) in (6) eingesetzt, ergeben die Differentialgleichung:
462 </p>
463 <center class="par-math-display" >
464 <img
465 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/Einst_Ueber_de_191041x.png" alt=" ---d F S F + f 2----= 0, d S " class="par-math-display" /></center>
466 <!--l. 563--><p class="nopar">
467 </p><!--l. 567--><p class="noindent">deren Lösung:</p>
468 <table width="100%"
469 class="equation"><tr><td><a
470 id="x1-11r10"></a>
471 <center class="math-display" >
472 <img
473 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/Einst_Ueber_de_191042x.png" alt=" - S22 F = const.e 2f , " class="math-display" /></center></td><td width="5%">(10)</td></tr></table>
474 <!--l. 574--><p class="nopar">
475
476 </p><!--l. 578--><p class="noindent">das Gausssche Fehlergesetz ausspricht.
477 </p>
478 <div class="center" >
479
480 <!--l. 583--><p class="noindent">
481 </p><!--l. 584--><p class="noindent"><span
482 class="cmsy-10x-x-120">§ </span>4. Statistisches Gesetz einer Kombination aller <span
483 class="cmmi-12">S</span><sup ><span
484 class="cmr-8">(</span><span
485 class="cmmi-8">n</span><span
486 class="cmr-8">)</span></sup>.</p></div>
487 <!--l. 588--><p class="indent"> Wir dehnen nun die Betrachtungen des vorigen Paragraphen <br/>vom eindimensionalen Fall auf den beliebig vieler Dimen-<br/>sionen aus. Wir haben diesmal eine Kombination von vielen <br/>Größen <span
488 class="cmmi-12">S</span><sup ><span
489 class="cmr-8">(</span><span
490 class="cmmi-8">n</span><span
491 class="cmr-8">)</span></sup> zu betrachten. Die Anzahl der in einem un-<br/>endlich kleinen Gebiete <span
492 class="cmmi-12">dS</span><sup ><span
493 class="cmr-8">(1)</span></sup> <span
494 class="cmmi-12">dS</span><sup ><span
495 class="cmr-8">(2)</span></sup><span
496 class="cmmi-12">...</span> liegenden Systeme sei:</p>
497 <table width="100%"
498 class="equation"><tr><td><a
499 id="x1-12r11"></a>
500 <center class="math-display" >
501 <img
502 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/Einst_Ueber_de_191043x.png" alt=" ( (1) (2) ) (1) (2) d N = F S , S ... dS d S ... " class="math-display" /></center></td><td width="5%">(11)</td></tr></table>
503 <!--l. 600--><p class="nopar">
504 </p><!--l. 603--><p class="noindent">Wieder fordern wir, daß <span
505 class="cmmi-12">dN </span>sich nicht ändern soll, wenn wir <br/>von <span
506 class="cmmi-12">S</span><sub><img
507 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/Einst_Ueber_de_191044x.png" alt="(Z)" class="left" align="middle" /></sub><sup> <span
508 class="cmr-8">(</span><span
509 class="cmmi-8">n</span><span
510 class="cmr-8">)</span></sup>
511 zu <span
512 class="cmmi-12">S</span><sub><img
513 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/Einst_Ueber_de_191045x.png" alt="(Z+1)" class="left" align="middle" /></sub><sup> <span
514 class="cmr-8">(</span><span
515 class="cmmi-8">n</span><span
516 class="cmr-8">)</span></sup> übergehen, wieder führt dies zu der Diffe-<br/>rentialgleichung (5)
517 </p>
518 <center class="par-math-display" >
519 <img
520 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/Einst_Ueber_de_191046x.png" alt="div P = 0 . " class="par-math-display" /></center>
521 <!--l. 611--><p class="nopar">
522 </p><!--l. 614--><p class="noindent">Nur hat die Anzahl <img
523 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/cmr12-8.png" alt="P" class="12x-x-8" /> in unserem jetzigen Fall Komponenten <br/>in jeder Richtung
524 <span
525 class="cmmi-12">S</span><sup ><span
526 class="cmr-8">(1)</span></sup><span
527 class="cmmi-12">, S</span><sup ><span
528 class="cmr-8">(2)</span></sup><span
529 class="cmmi-12">...</span><span
530 class="cmmi-12">, </span>die wir mit <img
531 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/cmr12-8.png" alt="P" class="12x-x-8" /><sup ><span
532 class="cmr-8">(1)</span></sup>, <img
533 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/cmr12-8.png" alt="P" class="12x-x-8" /><sup ><span
534 class="cmr-8">(2)</span></sup><span
535 class="cmmi-12">...</span> be-<br/>zeichnen wollen. (5) nimmt also die Gestalt an
536 </p>
537 <center class="par-math-display" >
538 <img
539 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/Einst_Ueber_de_191047x.png" alt=" (n) sum @-P--- n @ S(n) = 0.
540 " class="par-math-display" /></center>
541 <!--l. 624--><p class="nopar">
542 </p><!--l. 627--><p class="noindent">Zwischen <span
543 class="cmmi-12">S</span><sub><img
544 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/Einst_Ueber_de_191048x.png" alt="(Z)" class="left" align="middle" /></sub><sup> <span
545 class="cmr-8">(</span><span
546 class="cmmi-8">n</span><span
547 class="cmr-8">)</span></sup> und <span
548 class="cmmi-12">S</span><sub><img
549 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/Einst_Ueber_de_191049x.png" alt="(Z+1)" class="left" align="middle" /></sub><sup> <span
550 class="cmr-8">(</span><span
551 class="cmmi-8">n</span><span
552 class="cmr-8">)</span></sup> besteht, wie früher Gleichung (7), <br/>daher bleiben die Betrachtungen des vorigen Paragraphen <br/>vollkommen gültig zur Berechnung der einzelnen <img
553 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/cmr12-8.png" alt="P" class="12x-x-8" /><sup ><span
554 class="cmr-8">(</span><span
555 class="cmmi-8">n</span><span
556 class="cmr-8">)</span></sup>. Es <br/>wird also
557 </p>
558 <center class="par-math-display" >
559 <img
560 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/Einst_Ueber_de_191050x.png" alt=" ---@ F P(n) = S(n)F + f2n------ @ S(n) " class="par-math-display" /></center>
561 <!--l. 637--><p class="nopar"> <pb/>
562 </p><!--l. 644--><p class="indent">
563
564 </p><!--l. 645--><p class="noindent">Wir können diesen Ausdruck noch vereinfachen, indem wir <br/>alle <span class="overline"><span
565 class="cmmi-12">f</span><sub><span
566 class="cmmi-8">n</span></sub><sup><span
567 class="cmr-8">2</span></sup></span> als gleich annehmen. Dies kommt ersichtlich nur <br/>darauf hinaus, daß wir die einzelnen Funktionen <span
568 class="cmmi-12">f</span><sub ><span
569 class="cmmi-8">n</span></sub> mit passen-<br/>den Konstanten multipliziert denken. (Im speziellen Fall <br/>unserer sin und cos ist diese vereinfachende Annahme von <br/>selbst erfüllt.)
570 </p><!--l. 653--><p class="indent"> So erhalten wir schließlich für die Funktion <span
571 class="cmmi-12">F </span>die Diffe-<br/>rentialgleichung:</p>
572 <table width="100%"
573 class="equation"><tr><td><a
574 id="x1-13r12"></a>
575 <center class="math-display" >
576 <img
577 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/Einst_Ueber_de_191051x.png" alt=" sum @ ( --- @ F ) n ---(n) S(n)F + f2----(n) = 0. @ S @ S " class="math-display" /></center></td><td width="5%">(12)</td></tr></table>
578 <!--l. 662--><p class="nopar">
579 </p><!--l. 666--><p class="noindent">Zur Lösung dieser Differentialgleichung führt uns die Be-<br/>trachtung des über den ganzen Raum erstreckten Integrals:
580 </p>
581 <table width="100%"
582 class="equation"><tr><td><a
583 id="x1-14r13"></a>
584 <center class="math-display" >
585 <img
586 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/Einst_Ueber_de_191052x.png" alt=" integral sum n1 { ( --- )2} -1 n S(n)F + f 2-@ F-- d S(1) ...dS(n1) F 0 @ S(n) { integral n1 { ( ) ( )} sum (n) -2-@-F-- (n) --2@-log-F-- (1) (n1) = n S F + f @ S(n) S + f @ S(n) d S ...dS . 0 " class="math-display" /></center></td><td width="5%">(13)</td></tr></table>
587 <!--l. 685--><p class="nopar">
588 </p><!--l. 688--><p class="noindent">Nun ist aber:
589 </p>
590 <center class="par-math-display" >
591 <img
592 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/Einst_Ueber_de_191053x.png" alt=" integral sum n1 { ( --- @ F ) } n S(n)F + f 2---(n) S(n) dS(1)...d S(n1) 0 @ S integral ( sum n1 sum n1 ) = F nS(n)2 + f2- n S(n)-@-F-- dS(1)...d S(n1), @ S(n) 0 0 " class="par-math-display" /></center>
593 <!--l. 705--><p class="nopar">
594 </p><!--l. 709--><p class="noindent">oder wenn wir den zweiten Summanden partiell integrieren <br/>und bedenken, daß im Unendlichen <span
595 class="cmmi-12">F </span>= 0 sein muß,
596 </p>
597 <center class="par-math-display" >
598 <img
599 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/Einst_Ueber_de_191054x.png" alt=" ( ) integral sum n1 (n)2 --- (1) (n ) = F n S - f 2 .n1 dS ...d S 1 . 0 " class="par-math-display" /></center>
600 <!--l. 719--><p class="nopar">
601 </p><!--l. 722--><p class="noindent">Dieser Ausdruck verschwindet aber, weil
602 </p>
603 <center class="par-math-display" >
604 <img
605 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/Einst_Ueber_de_191055x.png" alt=" integral
606 F S(n)2d S(1)...d S(n1) " class="par-math-display" /></center>
607 <!--l. 729--><p class="nopar">
608 </p><!--l. 733--><p class="noindent">nichts anderes ist, als der im letzten Paragraphen abgeleitete <br/>Mittelwert <span class="overline"><span
609 class="cmmi-12">S</span><sup ><span
610 class="cmr-8">(</span><span
611 class="cmmi-8">n</span><span
612 class="cmr-8">)2</span></sup></span><span
613 class="cmmi-12">,</span>
614 falls nur ein einziges <span
615 class="cmmi-12">S </span>betrachtet wird; für <br/>diesen folgt aus Gleichung (10)
616 </p>
617 <center class="par-math-display" >
618 <img
619 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/Einst_Ueber_de_191056x.png" alt="--- --- S2 = f2 . " class="par-math-display" /></center>
620 <!--l. 741--><p class="nopar"> <pb/>
621 </p><!--l. 748--><p class="indent">
622
623 </p><!--l. 749--><p class="noindent">Andererseits wird durch partielle Integration:</p>
624 <center class="par-math-display" >
625 <img
626 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/Einst_Ueber_de_191057x.png" alt=" { ( ) } integral sum (n) --- @ F ---@ log F (1) (n ) S F + f2 ---(n) f2 ----(n)-- dS ...d S 1 integral ( @ S( @ S )} --2 sum --@--- (n) -2--@-F-- (1) (n1) = f log F @ S(n) S F + f @ S(n) d S ...d S , " class="par-math-display" /></center>
627 <!--l. 766--><p class="nopar">
628 </p><!--l. 770--><p class="noindent">was nach Gleichung (12) ebenfalls verschwindet.
629 </p><!--l. 773--><p class="indent"> Somit ist erwiesen, daß das Integral (13) verschwindet; <br/>dies ist aber wegen des quadratischen Charakters des Inte-<br/>granden nur möglich, wenn überall für jedes <span
630 class="cmmi-12">n</span>
631 gilt:</p>
632 <table width="100%"
633 class="equation"><tr><td><a
634 id="x1-15r14"></a>
635 <center class="math-display" >
636 <img
637 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/Einst_Ueber_de_191058x.png" alt=" --- S(n)F + f 2-@-F-- = 0. @ S(n) " class="math-display" /></center></td><td width="5%">(14)</td></tr></table>
638 <!--l. 782--><p class="nopar">
639 </p><!--l. 785--><p class="noindent">So gelangen wir also für <span
640 class="cmmi-12">F </span>zu einem statistischen Gesetz, <br/>welches in bezug auf jedes <span
641 class="cmmi-12">S</span><sup ><span
642 class="cmr-8">(</span><span
643 class="cmmi-8">n</span><span
644 class="cmr-8">)</span></sup> mit dem Gaussschen Fehler-<br/>gesetz identisch ist:</p>
645 <table width="100%"
646 class="equation"><tr><td><a
647 id="x1-16r15"></a>
648 <center class="math-display" >
649 <img
650 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/Einst_Ueber_de_191059x.png" alt=" 2 2 - S(21f)2- - S(22f)2- F = const.e .e . " class="math-display" /></center></td><td width="5%">(15)</td></tr></table>
651 <!--l. 795--><p class="nopar">
652 </p><!--l. 798--><p class="noindent">Die Wahrscheinlichkeit einer Kombination von Werten <span
653 class="cmmi-12">S</span><sup ><span
654 class="cmr-8">(</span><span
655 class="cmmi-8">n</span><span
656 class="cmr-8">)</span></sup> <br/>setzt sich also einfach als Produkt aus den Wahrscheinlich-<br/>keiten der einzelnen <span
657 class="cmmi-12">S</span><sup ><span
658 class="cmr-8">(</span><span
659 class="cmmi-8">n</span><span
660 class="cmr-8">)</span></sup>
661 zusammen.
662 </p><!--l. 804--><p class="indent"> Es ist klar, daß, wenn für <span
663 class="cmmi-12">S</span><sup ><img
664 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/Einst_Ueber_de_191060x.png" alt="(1)" class="left" align="middle" /></sup><span
665 class="cmmi-12">, S</span><sup ><img
666 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/Einst_Ueber_de_191061x.png" alt="(2)" class="left" align="middle" /></sup><span
667 class="cmmi-12">...</span> die Gleichung (15) <br/>gilt, dieselbe Gleichung für eine Kombination von Größen
668 </p>
669 <center class="par-math-display" >
670 <img
671 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/Einst_Ueber_de_191062x.png" alt="S(n)'= a S(n) n " class="par-math-display" /></center>
672 <!--l. 812--><p class="nopar">
673 </p><!--l. 816--><p class="noindent">erfüllt ist. In diesem Falle tritt statt <span class="overline"><span
674 class="cmmi-12">f</span><sup ><span
675 class="cmr-8">2</span></sup></span> die Größe <span
676 class="cmmi-12"><img
677 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/cmmi12-b.png" alt="a" class="12x-x-b" /></span><sub >
678 <span
679 class="cmmi-8"><img
680 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/cmmi8-19.png" alt="p" class="8x-x-19" /></span></sub><sup ><span
681 class="cmr-8">2</span></sup> <span class="overline"><span
682 class="cmmi-12">f</span><sup ><span
683 class="cmr-8">2</span></sup></span> <br/>in die Exponenten ein. Von der Art der <span
684 class="cmmi-12">S</span><sup ><span
685 class="cmr-8">(</span><span
686 class="cmmi-8">n</span><span
687 class="cmr-8">)</span><span
688 class="cmsy-8">'</span></sup> sind aber die <br/>Koeffizienten <span
689 class="cmmi-12">A</span><sub >
690 <span
691 class="cmmi-8">n</span></sub>, <span
692 class="cmmi-12">B</span><sub ><span
693 class="cmmi-8">n</span></sub> unseres physikalischen Problems; und <br/>zwar ist</p>
694 <center class="par-math-display" >
695 <img
696 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/Einst_Ueber_de_191063x.png" alt=" (n) An S = --V ~ ---, an Z " class="par-math-display" /></center>
697 <!--l. 826--><p class="nopar">
698 </p><!--l. 830--><p class="noindent">also</p>
699 <center class="par-math-display" >
700 <img
701 src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Ueber_de_1910/fulltext/img/Einst_Ueber_de_191064x.png" alt="a = a V~ Z- n n " class="par-math-display" /></center>
702 <!--l. 836--><p class="nopar">
703 </p><!--l. 840--><p class="noindent">zu setzen.
704 </p><!--l. 843--><p class="indent"> Somit ist auch die Gültigkeit der Gleichung (1) und die <br/>Unmöglichkeit erwiesen, eine wahrscheinlichkeits-theoretische <br/>Beziehung zwischen den Koeffizienten der die Temperatur-<br/>strahlung darstellenden Fourierreihe aufzustellen.
705 </p>
706 <div class="center" >
707
708 <!--l. 849--><p class="noindent">
709 </p><!--l. 850--><p class="noindent">(Eingegangen 29. August 1910.)</p></div>
710
711 <div class="center" >
712
713 <!--l. 854--><p class="noindent">
714 </p><!--l. 855--><p class="noindent">----------</p></div>
715
716 </body></html>
717
718
719