Mercurial > hg > mpdl-xml-content
diff texts/archimedesOldCVSRepository/archimedes/raw/monte_mecha_01_la_1577.raw @ 6:22d6a63640c6
moved texts from SVN https://it-dev.mpiwg-berlin.mpg.de/svn/mpdl-project-content/trunk/texts/eXist/
| author | casties |
|---|---|
| date | Fri, 07 Dec 2012 17:05:22 +0100 |
| parents | |
| children |
line wrap: on
line diff
--- /dev/null Thu Jan 01 00:00:00 1970 +0000 +++ b/texts/archimedesOldCVSRepository/archimedes/raw/monte_mecha_01_la_1577.raw Fri Dec 07 17:05:22 2012 +0100 @@ -0,0 +1,7678 @@ +<pb id="p.0001"> +<head>GVIDIV BALDI +E MARCHIONIBVS +MONTIS +MECHANICORVM +LIBER.</head> +<fig> +<head>PISAVRI +Apud Hieronymum Concordiam.</head> +<head>M. D. LXXVII.</head> +<head>Cum Licentia Superiorum.</head> +<pb> +<fig> +<pb> +<head>GVIDIV BALDI +E MARCHIONIBVS +MONTIS +MECHANICORVM +LIBER.</head> +<fig> +<head>PISAVRI +Apud Hieronymum Concordiam.</head> +<head>M. D. LXXVII.</head> +<head>Cum Licentia Superiorum.</head> +<pb> +<head>PRAESENTI OPERE +CONTENTA.</head> +<p>De Libra. +<p>De Vecte. +<p>De Trochlea. +<p>De Axe in peritrochio. +<p>De Cuneo. +<p>De Cochlea. +<pb> +<head>AD FRANCISCVM +MARIAM II +VRBINATVM +AMPLISSIMVM DVCEM +GVIDIVBALDI +E MARCHIONIBVS +MONTIS</head> +<head>PRAEFATIO.</head> +<p>DV AE res (AMPLISSIME PRIN- +CEPS) quæ ad conciliandas homi +nibus facultates, vtilitas nempè, & +nobilitas, plurimùm valere con$ue +uerunt. illæ ad exornandam mecha +nicam facultatem, & eam præ om- +nibus alijs appetibilern reddendam con$pira$$e +mihi videnturinam $i nobilitatem (quod pleriq; +modò faciunt) ortuip$o metimur, occurret hinc +Geometria, illinc verò Phi$ica; quorumgemina +to complexunobili$$ima artium prodit mechani- +ca. $i enim nobilitatem magis, tùm $tratæ materiæ, +tùm argumentorum nece$$itati (quod Ari$tote- +les fatetur aliquandò) relatam volumus, omnium +proculdubiò nobili$$imam per$piciemus. quæ +<foot><12> 2</foot> +<pb> +quidem non $olum geometriam (vt Pappus te$ta +tur) ab$oluit, & perficit; verùm etiam & phi$ica- +rum rerum imperium habet: quandoquidem +quodcunq; Fabris, Architectis, Baiulis, Agricolis, +Nautis, & quàm plurimis alijs (repugnantibus na- +turæ legibus) opitulatur; id omne mechanicum +e$t imperium. quippè quod aduer$us naturam +vel eiu$dem emulata leges exercet; $umma id +certè admiratione dignum; veri$$imum tamen, +& à quocunque liberaliter admi$$um, qui pri- +us ab Ari$totele didicerit, omnia mechanica, +tùm problemata, tùm theoremata ad rotundam +machinam reduci, atq; ideo illo niti principio, +nõ minus $en$ui, quàm rationi noto. Rotunda ma +china e$t mouenti$$ima, & quò maior, eò mouen- +tior. Verùm huic nobilitati adnexa e$t $umma re +rum ad vitam pertinentium vtilitas, quæ propte- +rea omnes alias à diuer$is artibus propagatas an- +tecellit; quòd aliæ facultates po$t mundi gene$im +longa temporis intercapedine $uos explicarunt +v$us; i$ta verò & in ip$is mundi primordijs ita fuit +hominibus nece$$aria, vt ea $ublata Sol de mun- +do $ublatus videretur. nam quacunq; nece$$ita- +te Adæ vita degeretur; & quamuis etiam ca$is +contectis $tramine, & angu$tis tugurijs, ac gurgu- +$tijs cœli de fenderet iniurias; $ic & in corporis ve +$titu, licetip$e nihil aliud $pectaret, ni$i vt imbres, +<pb> +vt niues, vt ventos; vt Solem, vtfrigus arceret; +quodcunque tamen id fuit, omne mechanicum +fuit. neq; tamen huic facultati contingit, quod +ventis $olet, qui cùm vndè oriuntur, ibi vehe- +menti$$imi $int, ad longinqua tamen fracti, de- +bilitatiquè perueniunt: $ed quod magnis flumini- +bus crebriu$ accidit, quæ cùm in ip$o ortu parua +$int, perpetuò tamen aucta, eò ampliori ferun +tur alueo, quò à fontibus $uis longius rece$$e- +runt. Nam & temporis progre$$u mechanica fa +cultas $ub iugo æquum arationis laborem di- +$pen$are, atque aratrum agris circumagere cæ- +pit. deinceps bigis, & quadrigis docuit comea +tus, merces, onera quælibet vehere, è finibus +no$tri$ ad finitimos populos exportare, & ex il +lis contra importare ad nos. præterea cùm iam +res non tantùm nece$$itate, verùm etiam orna- +tu, & commoditate metirentur, mechanicæ +fuit $ubtilitatis, quòd nauigia remo impellere- +mus; quòd gubernaculo exiguo in extrema pup +pi collocato ingentes triremium moles inflecte- +remus; quòd vnius $æpè manu pro multis fabro- +rum manibus modò pondera lapidum, & tra- +bium Fabris, & Architectis $ubleuaremus; mo- +dò tollenonis $pecie aquas è puteis olitoribus e- +xhauriremus. hinc etiam è liquidorum prælis vi +na, olea, vnguenta expre$$a, & quicquid liquo- +<pb> +ris habent, per$oluere domino compul$a. hinc +magnas arborũ, & marmorum moles duobus in +contrarias partes di$trah&etilde;tibus vectibus diremp- +$imus; hinc militiæ in aggeribus extruendis, in +con$erenda manu, in opugnando, propugnan- +doq; loca infinitæ ferè redundarunt vtilitates; +hinc demum Lignatores, Lapicidæ, Marmorarij +Vinitores, Olearij, Vnguentarij, Ferrarij, Auri +fices, Metallici, Chirurgi, Ton$ores, Pi$tores, Sar +tores, omnes deniq; opifices beneficiarij, tot, tan +taq; vitæ humanæ $uppeditarunt commoda. Eant +nunc noui logodedali quidam mechanicorum +contemptores, perfricent frontem, $i quam ha- +bent, & ignobilitatem, atquè inutilitatem fal$ò +criminari de$inant: quòd $i & adhuc id minimè +velint, eos quæ$o in in$citia $ua relinquamus: +Ari$totelemquè potius philo$ophorum cory- +phæum imitemur, cuius mechanici amoris ardo +rem acuti$$imæ illæ mechanicæ quæ$tiones po$te +ris traditæ $atis declarant: qua quidem laude +Platonem magnificè $uperauit; qui (vt te$tatur +Plutarcus) Architam, & Eudoxum mechanicæ +vtilitatem impen$ius colentes ab in$tituto deter +ruit; quòd nobili$$imam philo$ophorum po$$e$- +$ionem in vulgus indicarent, ac publicarent; & +velut arcana philo$ophiæ my$teria proderent. +res $anè meo quidem iudicio pro$us vituperan- +<pb> +da, ni$i fortè velimus tam nobilis di$ciplinæ con +templationem quidem ocio$am laudare; fructum +verò, & v$um, arti$q; finem improbare. $ed præ +omnibus mathematicis vnus Archimedes ore +laudandus e$t pleniore, quem voluit Deus in me- +chanicis velut ideam $ingularem e$$e, quam om- +nes earum $tudio$i ad imitandum $ibi propone- +rent. is enim Cœle$tem globum exiguo admo- +dum, fragili què vitreo orbe conclu$um ita efin- +xit, $imulatis a$tris viuum naturæ opus, ac iura +poli motibus certis adeò præ$eferentibus; vt +æmula naturæ manus tale de $e encomium $it +promerita: $ic manus naturam, vt natura ma- +num ip$a immitata putetur. is poli$pa$tu manu +leua, & $ola, quinquies millenum modiorum +pondus attraxit. nauem in $iccum litus eductam, +ac grauius oneratam $olus machinis $uis ad $e +perindè pertraxit, ac $i in mari remis, veli$uè +impul$a moueretur, quã & po$tea in litore (quod +omnes Siciliæ vires non potuerunt) in mare de- +duxit. ab i$to etiam ea extiterunt bellica tor- +menta, quibus Syracu$æ aduer$us Marcellum +ita defen$æ $unt, vt pa$$im eorum machinator +Briareus, & centimanus à Romanis appellare- +tur. demum hac arte confi$us eò proce$$it au- +daciæ, vt eam vocem naturæ legibus adeò re- +pugnantem protulerit. Da mihi, vbi $i$tam, ter +<pb> +ramq; mouebo. quod tamen non modò nos +vecte tantùm fieri potui$$e in præ$enti libro doce +mus; verùm etiam, & omnis anti quitas (quod +multis forta$$è mirabile videbitur) id penitus +credidi$$e mihi videtur; quæ Neptuno tri- +dentem tanquam vectem attribuit; cuius ope +terræ concu$$or vbiq; nuncupatur à poetis. ad +quod etiam a$piciens celeberrimus no$ter poeta +Neptunum inducit i$ta machina $yrtes, quò ma- +gis apparerent Troianis, $ubleuantem. +<p>“Leuat ip$e tridenti +& va$tas aperit $yrtes.” +<p>Mechanici præterea fuerunt Heron, Cte$ibius, +& Pappus, qui licet ad mechanicæ apicem, perin- +de atq; Archimedes, euecti forta$$è minimè $int; +mechanicam tamen facultatem egregiè percal- +luerunt; tale$q; fuerunt, & præ$ertim Pappus, vt +eum me ducem $equentem nemo (vt opinor) cul +pauerit. quod & propterea libentius feci, quòd +nè latum quidem vnguem ab Archimedeis prin- +cipijs Pappus recedat. ego enim in hac præ$ertim +facultate Archimedis ve$tigijs hærere $emper vo +lui: & licet eius lucubrationes ad mechanicã per- +<pb> +tinentes multis ab hinc annis pa$$im $oleant do- +ctis de$iderari: eruditi$$imus tamen libellus de æ- +queponderantibus præ manibus hominũ adhuc +ver$atur, in quò tanquam in copio$i$$ima pœnu +omnia ferè mechanica dogmata repo$ita mihi vi- +dentur; quem $anè libellum, $i ætatis no$træ mathe +matici $ibi magis familiarem adhibui$$ent; reperi$ +$ent $anè $ent&etilde;tias multas, quas modó ip$i firmas, +& ratas e$$e docent; $ubtili$$imè, atquè veri$- +$imè conuul$as, & labefactatas. $ed hoc vi- +derint ip$i. ego enim ad Pappum redeo, qui +ad v$um mathematicarum vberiorem, emulu- +mentorumquè acce$$iones amplificandas peni- +tus conuer$us, de quinque principibus machi- +nis, Vecte nempè, Trochlea, Axe in peri- +trochio, Cuneo, & Cochlea, multa egre- +giè philo$ophatus e$t; demon$trauit què quicquid +in machinis, aut cogitari peritè, aut acutè +definiri, aut certò $tatui pote$t, idomne quin- +què illis infinita vi præditis machinis referen- +dum e$$e. atquè vtinam iniuria temporis ni- +hil è tanti viri $criptis abra$i$$et: nec enim tam +den$a in$citiæ caligo vniuer$um propè terra- +rum orbem obtexi$$et, neque tanta mechani +cæ facultatis e$$et ignoratio con$ecuta, vt ma- +thematicarum proceres exi$timarentur illi, qui +modò inepti$$ima quadam di$tinctione, diffi- +<foot><12><12></foot> +<pb> +cultates nonnullas, nec illas tamen $atis ar- +duas, & ob$curas è medio tollunt. reperiun- +tur enim aliqui, no$traq; ætate emunctæ naris +mathematici, qui mechanicam, tùm mathe- +maticè $eor$um, tùm phi$icè con$iderari po$- +$e affirmant; ac $i aliquando, vel $ine demon +$trationibus geometricis, vel $ine vero motu +res mechanicæ con$iderari po$$int: qua $anè di- +$tinctione (vt leuius cum illis agam) nihil aliud mi- +hi commini$ci videntur, quàm vt dum $e, tùm +phi$icos, tùm mathematicos proferant, vtra- +que (quod aiunt) $ella excludantur. nequè +enim amplius mechanica, $i à machinis ab$tra +hatur, & $eiungatur, mechanica pote$t appel +lari. Emicuit tamen inter i$tas tenebras (quam- +uis alij quoquè nonnulli fuerint præclari$$imi) +Solis in$tar Federicus Commandinus, qui multis +docti$$imis elucubrationibus ami$$um mathema +ticarum patrimonium non modò re$taurauit, +verùm etiam auctiùs, & locupletiùs effecit. +erat enim $ummus i$te vir omnibus adeò facul- +tatibus mathematicis ornatus, vt in eo Archi- +tas, Eudoxus, Heron, Euclides, Theon, Ari- +$tarcus, Diophantus, Theodo$ius, Ptolemæus +Apollonius, Serenus, Pappus, quin & ip- +$emet Archimedes ($iquidem ip$ius in Archi- +medem $cripta Archimedis olent lucernam) re +<pb> +uixi$$e viderentur. & ecce repentè è tenebris (vt +confidimus) ac vinculis corporis in lucem, li- +bertatem què productus mathematicas alieni$- +$imo tempore optimo, & præ$tanti$$imo patre +orbatas, nos verò ita con$ternatos reliquit, vt e- +ius de$iderium vix longo $ermone mitigare +po$$e videamur. Ille tamen perpetuò in alia- +rum mathematicarum explicationem ver$ans, +mechanicam facultatem, aut penitus præter- +mi$it, aut modicè attigit. Quapropter in hoc +$tudium ardentiùs ego incumbere cæpi, nec me +vnquam per omne mathematum genus vagan +tem ea $olicitudo de$eruit; ecquid ex vno +quoquè decerpi, ac delibari po$$it; quo ad me +chanicam expoliendam, & exornandam acco- +modatior e$$e po$$em. Nunc verò cùm mihi +videar, noni ea quidem omnia, quæ ad mecha +nicam pertinent, perfeci$$e; $ed eò v$q; tamen +progre$$us, vtijs, qui ex Pappo, ex Vitruuio, +& ex alijs didicerint, quid $it Vectis, quid Tro- +chlea, quid Axis in peritrochio, quid Cuneus, +quid Cochlea; quomodoq; vt pondera moueri +po$$int, aptari debeant; adhuc tamen acciden- +tia permulta, quæ inter potentiam, & pondus +vectis virtute illis in$unt in$trumentis, perdi$ce- +re cupiunt, opis aliquid adferre po$$im; putaui +tempus iam po$tulare, vt prodirem; & nauatæ +<foot><12><12> 2</foot> +<pb> +in hoc genere operæ $pecimen aliquod darem. +Verùm quò facilius totius operis $ub$tructio +ad fa$tigium $uum per duceretur, nonnulla quo- +què de libra fuerunt pertractanda, & præ$er- +tim dum vnico pondere alterum $olum ip$ius +brachium penitus deprimitur: que in re mi- +rum e$t quantas fecerint ruinas Iordanus (qui +inter recentiores maximæ fuit auctoritatis) & +alij; qui hanc rem $ibi di$cutiendam propo$ue +runt. opus $anè arduum, & for$an viribus no- +$tris impar aggre$si $umus; in eo tamen digni, vt +no$tros conatus, & indu$triam ad præclara ten +dentem bonorum omnium perpetuus applau- +$us, approbatioq; comitetur; quòd ad $tudium +tàm illu$tre, tam magnificum, tam laudabile +contulimus quicquid habuimus virium. quod +$anè qualecunq; $it, tibi celeberrime PRINCEPS +nuncupandum cen$uimus; cuius $anè con$ilij, +atq; in$tituti no$tri rationes multas reddere in +promptu e$t: & primùm hæreditaria tibi in fa- +miliam no$tram promerita, quibus nos ita de- +uictos habes; vt facilè intelligamus ad fortunas +non modò no$tras, verùm & ad $anguinem, & +vitam quoq; pro tua dignitate propendendam +parati$$imos e$$e debere. Præterea illud non +parui quoq; ponderis accedit, quòd à pueri- +tia literarum omnium, $ed præcipuè mathe- +<pb> +maticarum de$iderio ita fueris incen$us, vt ni- +$i illis adeptis vitam tibi acerbam, atq; in$ua- +uem $tatueres. proinde in earum $tudio infi- +xus primam ætatis partem in illis percipiendis +exegi$ti, eamquè $æpius verè principe dignam +vocem protuli$ti, te propterea mathematicis +præ$ertim delectari, quòd i$tæ maximè ex do- +me$tico illo, & vmbratili vitæ genere in Solem +(quod dicitur) & puluerem prodire po$sint: cu +ius $anè rei tuum flagranti$simum ab ineunte æta +te peritiæ militaris de$iderium, exploratum in- +dicium poterat e$$e, ni$i nimis emendicatæ men- +tis e$$et ea proponere, quæ à te $perari po$$ent; +quando tu penitus adole$cens, egregia multa fa +cinora proficere matura$ti. Tu enim cùm iam +à $ancti$$imo Pontifice Pio V $aluberrimæ Prin- +cipum Chri$tianorum coniunctionis fundamen- +ta iacta e$$ent, alacer admodum ad debellan- +dos Chri$ti ho$tes profectus, $olidi$$imam, ac ve- +ri$$imam gloriam tibi compara$ti. Tu quoties de +$umma rerum deliberatum e$t, eas $ententias +dixi$ti, quæ $ummam prudentiam cùm $umma +animi excel$itate coniunctam indicarent. ommit- +taminterim pleraq; alia illis temporibus egre- +giè, viriliter què à te ge$ta, ne tibi ip$iea, quæ +omnibus $unt manife$ta, palàm facere videar: +<pb> +quæ cùm omnia magna, & præclara $int; mul- +tò tamen à te maiora, & præclara expectant +adhuc homines. Vale interim præ$tanti$$imum +orbis decus, & $i quando aliquid otij nactus +fueris has meas vigiliolas a$picere ne dedi- +gneris. +<pb n=1> +<head>GVIDIVBALDI +E MARCHIONIBVS +MONTIS.</head> +<head>MECHANICORVM +LIBER.</head> +<fig> +<head>DEFINITIONES.</head> +<p>Centrvm grauitatis vniu$cu- +iu$q; corporis e$t punctum quod- +dam intra po$itum, à quo $i gra- +ue appen$um mente concipiatur, +dum fertur, quie$cit; & $eruat eam, +quam in principio habebat po$i- +tionem: neq; in ip$a latione circumuertitur. +<p>Hanc centri grauitatis definitionem Pappus Alexandrinus in +octauo Mathematicarum collectionum libro tradidit. Federicus +verò Commandinus in libro de centro grauitatis $olidorum idem +centrum de$cribendo ita explicauit. +<p>Centrum grauitatis vniu$cuiu$q; $olidæ figu- +ræ e$t punctum illud intra po$itum, circa quod +vndiq; partes æqualium momentorum con$i- +$tunt. $i enim per tale centrum ducatur planum +figuram quomodocunq; $ecans $emper in par- +tes æqueponderantes ip$am diuidet. +<foot>A</foot> +<pb> +<head>COMMVNES NOTIONES.</head> +<head>I</head> +<p>Si ab æqueponderantibus æqueponderantia au- +ferantur, reliqua æqueponderabunt. +<head>II</head> +<p>Si æqueponderantibus æqueponderantia adii- +ciantur, tota $imul æqueponderabunt. +<head>III</head> +<p>Quæ eidem æqueponderant, inter $e æquè $unt +grauia. +<head>SVPPOSITIONES.</head> +<head>I</head> +<p>Vnius corporis vnum tantùm e$t centrum gra- +uitatis. +<head>II</head> +<p>Vnius corporis centrum grauitatis $emper in +eodem e$t $itu re$pectu $ui corporis. +<head>III</head> +<p>Secundùm grauitatis centrum pondera deor- +$um feruntur. +<pb n=2> +<head>DE LIBRA.</head> +<p>Anteqvam de libra $ermo ha +beatur, vtres clarior eluce$cat, $it +libra AB recta linea; CD verò +trutina, quæ $ecundum commu- +nem con$uetudinem horizonti +$emper e$t perpendicularis. pun- +ctum autem C immobile, circa quod vertitur li- +bra, centrum libræ +vocetur. itidemque +(quamuis tamen im- +proprie) $iue $upra, +$iue infra libram fue +rit con$titutum. CA +verò, & CB, tum di +$tantiæ, tum libræ +brachia nuncupen- +tur. & $i à centro li- +bræ $upra, vel infra +<fig> +libram con$tituto ip$i AB perpendicularis duca- +tur, hæc perpendiculum vocetur, quæ libram AB +$ub$tinebit; & quocunque modo moueatur libra, +ip$i $emper perpendicularis exi$tet. +<foot>A 2</foot> +<pb> +<head>LEMMA.</head> +<p>Sit linea AB horizonti perpendicularis, & dia +metro AB circulus de$cribatur AEBD, cuius +centrum C. Dico punctum B infimum e$$e lo- +cum circumferentiæ circuli AEBD; punctum +verò A $ublimiorem; & quælibet puncta, vt DE +æqualiter à puncto A di$tantia æqualiter e$$e +deor$um; quæ verò propius $untip$i A eis, quæ +magis di$tant, $ublimiora e$$e. +<p>Producatur AB v$q; ad mundi cen- +trum, quod $it F; deinde in circuli circum- +<marg>8. <I>Tertil.</I></marg> ferentia quoduis accipiatur punctum G; +connectanturq; FG FD FE. Quoniam +n. BF minima e$t omnium, quæ à puncto +F ad circumferentiam AEBD ducun- +tur; erit BF ip$a FG minor. quare punctum +B propius erit puncto F, quàm G. hacq; +ratione o$tendetur punctum B quouis alio +puncto circumferentiæ circuli AEDB +mundi centro propius e$$e. erit igitur pun- +ctum B circumferentiæ circuli AEBD +infimus locus. Deinde quoniam AF per +centrum ducta maior e$t ip$a GF; erit +punctum A non $olũ ip$o G, verum etiam +quouis alio puncto circumferentiæ circuli +AEBD $ublimius. Præterea quoniam DF +FE $unt æquales; puncta DE æqualiter +<fig> +mundi centro di$tabunt. & cum DF maior $it FG; erit pun- +ctum D ip$i A propius puncto G $ublimius. quæ omnia demon- +$trare oportebat. +<pb n=3> +<head>PROPOSITIO I.</head> +<p>Si Pondus in eius centro grauitatis a recta $u- +$tineatur linea, nunquam manebit, ni$i eadem li- +nea horizonti fuerit per pendicularis. +<p>Sit pondus A, cuius centrum gra +uitatis B, quod à linea CE $u$ti- +neatur. Dico pondus nunquam +perman$urum, ni$i CB horizonti +perpendicularis exi$tat. $it pun- +ctum C immobile, quod vt pon +dus $u$tineatur, nece$$e e$t. & cum +punctum C $it immobile, $i pon- +dus A mouebitur, punctum B cir +culi circumferentiam de$cribet, +cuius $emidiameter erit CB. qua +re centro C, $patio verò BC, cir- +culus de$cribatur BFDE. $itq; +<fig> +primum BC horizonti perpendicularís, quæ víq; ad D produca- +tur; atq; punctum C $it infra punctum B. Quoniam enim pondus <marg><I>Supp.</I> 3. <I>huius.</I></marg> +A $ecundum grauitatis centrum B deor$um mouetur; punctum +B deor$um in centrum mundi, quò naturaliter tendit, per re- +ctam lineam BD mouebitur: totum ergo pondus A eius cen- +tro grauitatis B $uper rectam lineam BC graue$cet. cum au- +tem pondus à linea CB $u$tineatur, linea CB totum $u$ti- +nebit pondus A; $uper quam deor$um moueri non pote$t, cum +abip$a prohibeatur: per definitionem igitur centri grauitatis pun +ctum B, pondu$q; A in hoc $itu manebunt. & quamquam B quo- +cunq; alio puncto circuli $it $ublimius, ab hoc tamen $itu deor$um +per circuli circumferentiam nequaquam mouebitur non enim ver- +$us F magis, quàm ver$us E inclinabitur, cum ex vtraq; parte æqua- +lis $it de$cen$us; neq; pondus A in vnam magis, quàm in alteram +partem propen$ionem habeat: quod non accidit in quouis alio +puncto circumferentiæ circuli (præter D) $it ponderis eiu$dem +<pb> +centrum grauitatis, vt in F; cum ex +puncto F ver$us D $it de$cen$us, at +verò ver$us B a$cen$us. quare pun- +ctum F deor$um mouebitur. & quo +niam per rectam lineam in centrum +mundi moueri non pote$t, cum à +puncto C immobili propter lineam +CF prohibeatur; deor$um tamen +$icuti eius natura po$tulat, $emper +mouebitur. & cum infimus locus $it +D, per circumferentiã FD mouebi +tur, donec in D perueniat, in quo +$itu manebit, põdu$q; immobile exi +<fig> +$tet. tum quia deor$um amplius moueri non pote$t, cum ex pun- +cto C $it appen$um; tum etiam, quia in eius centro grauitatis $u$ti +netur. Quando autem F erit in D, erit quoq; linea FC in DC, +$imulq; horizonti perpendicularis. pondus ergo nunquam mane +bit, donec linea CF horizonti perpendicularis non exi$tat. quod +o$tendere oportebat. +<p>Ex hoc elici pote$t, pondus quocunq; modo +in dato puncto $u$tineatur, nunquam manere; ni +$i quando a centro grauitatis ponderis ad id pun +ctum ducta linea horizonti $it perpendicularis. +<p>Vt ii$dem po$itis, $u$tineatur +pondus à lineis CG CH. Dico +$i ducta BC horizonti $it perpen- +dicularis, pondus A manere. $i verò +ducta CF non $it horizonti per- +pendicularis, punctum F deor$um +v$q; ad D moueri; in quo $itu pon- +dus manebit, ductaq; CD horizon +ti perpendicularis exi$tet. quæ om- +nia eadem ratione o$tendentur. +<fig> +<pb n=4> +<head>PROPOSITIO II.</head> +<p>Libra horizonti æquidi$tans, cuius centrum +$it $upra libram, æqualia in extremitatibus, æqua +literq; à perpendiculo di$tantia habens pondera, +$i ab eiu$modi moueatur $itu, in eundem rur$us +relicta, redibit; ibíq; manebit. +<p>Sit libra AB recta li- +nea horizonti æquidi- +$tans, cuius centrum C +$it $upral ibram; $itq; CD +perpendiculũ, quod ho- +rizonti perpendiculare +erit: atq; di$tantia DA $it +di$tantiæ DB æqualis; +$intq; in AB pondera æ- +qualia, quorũ grauitatis +centra $int in AB pũctis. +Moueatur AB libra ab +<fig> +hoc $itu, putá in EF, deinde relinquatur. dico libram EF in AB ho +rizonti æquidi$tantem redire, ibíq; manere. Quoniam autem pun +ctum C e$t immobile, dum libra mouetur, punctum D circuli cir- +cumferentiam de$cribet, cuius $emidiameter erit CD. quare cen- +tro C, $patio verò CD, circulus de$cribatur DGH. Quoniam +enim CD ip$i libræ $emper e$t perpendicularis, dum libra erit in +EF, linea CD erit in CG, ita vt CG $it ip$i EF perpendicula- +ris. Cùm autem AB bifariam à puncto D diuidatur, & pondera +in AB $int æqualia; erit magnitudinis ex ip$is AB compo$itæ cen <marg>4. <I>primi Ar cbimedis de æqueponderantibus.</I></marg> +trum grauitatis in medio, hoc e$t in D. & quãdo libra vná cum pon +deribus erit in EF; erit magnitudinis ex vtri$q; EF compo$itæ cen +trum grauitatis G. & quoniam CG horizonti non e$t perpendi- <marg>1. <I>Huius</I></marg> +cularis; magnitudo ex ponderibus EF compo$ita in hoc $itu mi- +nimè per$i$tet, $ed deor$um $ecũdùm eius centrum grauitatis G per +circumferentiam GD mouebitur; donec CG horizonti fiat per- +<pb> +pendicularis, $cilicet do- +nec CG in CD redeat. +Quando autem CG erit +in CD, linea EF, cùm +ip$i CG $emper ad rectos +$it angulos, erit in AB; in +<marg>1. <I>Huius.</I></marg> quo $itu quoq; manebit. li +bra ergo EF in AB hori- +zonti æquidi$tãtem redi +bit, ibíq; manebit. quod +demon$trare oportebat. +<fig> +<head>PROPOSITIO III.</head> +<p>Libra horizonti æquidi$tans æqualia in extre- +mitatibus, æqualiterq; à perpendiculo di$tan- +tia habens pondera, centro infernè collocato, in +hoc $itu manebit. $i verò inde moueatur, deor- +$um relicta, $ecundùm partem decliuiorem mo- +uebitur. +<fig> +<p>Sit libra AB rectá li- +nea horizonti æquidi- +$tans, cuius centrum C +$it infra libram; perpen- +diculumq; $it CD, quod +horizonti perpendiculare +erit; & di$tantia AD $it +di$tantiæ DB æqualis; +$intq; in AB pondera +æqualia, quorum grauita- +tis centra $int in punctis +AB. Dico primùm libram AB in hoc $itu manere. Quoniam +enim AB bifariam diuiditur à puncto D, & pondera in AB $unt +æqualia; erit punctum D centrum grauitatis magnitudinis ex +<pb n=5> +vtri$q; AB ponderibus compo$itæ. & CD libram $u$tinens ho- <marg>4. <I>Primi Archim. de æquep.</I></marg> +rizonti e$t perpendicularis, libra ergo AB in hoc $itu manebit. <marg>1. <I>Huius.</I></marg> +moueatur autem libra AB ab hoc $itu, putà in EF, deinde relinqua +tur. dico libram EF ex parte F moueri. Quoniam igitur CD +ip$i libræ $emper e$t perpendicularis, dum libra erit in EF, erit +CD in CG ip$i EF perpendicularis. & punctum G magnitudi- +nis ex EF compo$itæ centrum grauitatis erit; quod dum moue- +tur, circuli circumferentiam de$cribet DGH, cuius $emidiameter +CD, & centrum C. Quoniam autem CG horizonti non e$t per- +pendicularis, magnitudo ex EF ponderibus compo$ita in hoc $i- +tu minimè manebit; $ed $ecundùm eius grauitatis centrum G deor +$um per circumferentiam GH mouebitur. libra ergo EF ex par +te F deor$um mouebitur, quod demon$trare oportebat. +<head>PROPOSITIO IIII.</head> +<p>Libra horizonti æquidi$tans æqualia in ex- +tremitatibus, æqualiterq; à centro in ip$a libra +collocato, di$tantia habens pondera; $iue inde +moueatur, $iue minus; vbicunq; reli cta, mane bit. +<fig> +<p>Sit libra recta linea A +B horizonti æquidi$tans, +cuius centrum C in ea- +dem $it linea AB; di$tan +tia verò CA $it di$tantiæ +CB æqualis: $intq; pon- +dera in AB æqualia, quo- +rum centra grauitatis $int +in puntis AB. Moueatur +libra, vt in DE, ibiquè +relinquatur. Dico primùm libram DE non moueri, in eoquè $itu +manere. Quoniam enim pondera AB $unt æqualia; erit magni- +tudinis ex vtroq; pondere, videlicet A, & B compo$itæ centrum +grauitatis C. quare idem punctum C, & centrum libræ, & centrũ +grauitatis totius ponderis erit. Quoniam autem centrum libræ +<foot>B</foot> +<pb> +C, dum libra AB vnà +cum ponderibus in DE +mouetur, immobile re- +manet, centrum quoq; +grauitatis, quod e$t idem +C, non mouebitur. nec +igitur libra DE mouebi +tur, per definitionem +centri grauitatis, cum in +ip$o $u$pendatur. Idip- +<fig> +$um quoq; contingit libra in AB horizonti æquidi$tante, vel in +quocunq; alio $itu exi$tente. Manebit ergolibra, vbi relinque- +tur. quod demon$trare oportebat. +<p>Cum verò in iis, quæ dicta $unt, grauitatis tantùm magnitudi +num, quæ in extremitatibus libræ po$itæ $unt æquales, ab$q; lí- +bræ grauitate con$iderauerimus; quoniam tamen adhuc libræ bra- +chia $unt æqualia, idcirco idem libræ, eius grauitate con$iderata, +vnà cum ponderibus, vel $ine ponderibus eueniet. idem enim cen +trum grauitatis fine ponderibus libræ tantùm grauitatis centrum +erit. Similiter $i pondera in libræ extremitatibus appendantur, vt +fieri $olet, idem cueniet; dummodo ex $u$pen$ionum punctis ad +centra grauitatum ponderum ductæ lineæ (quocunq; modo mo- +ueatur libra) $i protrahantur, in centrum mundi concurrant. vbi +enim pondera hoc modo $unt appen$a, ibi graue$cunt, ac$i in ii$- +dem punctis centra grauitatum haberent. præterea, quæ $equun- +tur, eodem pror$us modo con$iderare poterimus. +<p><marg><I>Iordanus de Ponderibus.</I></marg>Quoniam autem huic determinationi vltimæ multa à nonnullis +aliter $entientibus dicta officere videntur; idcirco in hac parte ali- +<marg><I>Hyerommus Carda nus de $ubtilitate.</I></marg> quantulum immorari oportebit; & pro viribus, non $olum pro- +priam $ententiam, $ed Archimedem ip$um, qui in hac eadem e$$e +<marg><I>Nicolaus Tartalea de quæ$itis, ac inuentio nibus.</I></marg> $ententia videtur, defendere conabor. +<pb n=6> +<fig> +<p>Ii$dem po$itis, duca- +tur FCG ip$i AB, & +horizonti perpendicula- +ris; & centro C, $patio- +què CA, circulus de$cri +batur ADFBEG. erunt +puncta ADBE in circu +li circumferentia; cum li- +bræ brachia $int æqualia. +& quoniam in vnam con +ueniunt $ententiam, a$$e- +rentes $cilicet libram DE +neq; in FG moueri, ne- +que in DE manere, $ed in AB horizonti æquidi$tantem rediré. +hanc corum $ententiam nullo modo con$i$tere po$$e o$tendam. +Non enim, $ed $i quod aiunt, euenerit, vel ideo erit, quia pondus +D pondere E grauius fuerit, vel $i pondera $unt æqualia, di$tantiæ, +quibus $unt po$ita, non erunt æquales, hoc e$t CD ip$i CE non erit +æqualis, $ed maior. Quòd autem pondera in DE $int æqualia, & +di$tantia CD $it æqualis di$tantiæ CE: hæc ex $uppo$itione pa- +tent. Sed quoniam dicunt pondus in D in eo $itu pondere in E +grauius e$$e in altero $itu deor$um: dum pondera $unt in DE, pun- +ctum C non erit amplius centrum grauitatis, nam non manent, $i +ex C $u$pendantur; $ed erit in linea CD, ex tertia primi Archi- +medis de æqueponderantibus. non autem erit in linea CE, cum pon +dus D grauius $it pondere E. $it igitur in H, in quo $i $u$pendan- +tur, manebunt. Quoniam autem centrum grauitatis ponderum +in AB connexorum e$t punctum C; ponderum verò in DE e$t +punctum H: dum igitur pondera AB mouentur in DE, centrum +grauitatis C ver$us D mouebitur, & ad D propius accedet; quod +e$t impo$sibile: cum pondera eandem inter $e $e $eruent di$tantiam. +Vniu$cuiu$q; enim corporis centrum grauitatis in eodem $emper <marg>2. <I>Sup. huius.</I></marg> +e$t $itu re$pectu $ui corporis. & quamquam punctum C $it duo- +rum corporum AB centrum grauitatis, quia tamen inter $e $e ita à +libra connexa $unt, vt $emper eodem modo $e $e habeant; Ideo +punctum C ita eorum erit centrum grauitatis, ac $i vna tantum +<foot>B 2</foot> +<pb> +<marg><I>Ex</I> 4. <I>primi Archim de Aequep.</I></marg> e$$et magnitudo. libra +enim vna cum ponderi- +bus vnum tantum conti +nuum efficit, cuius cen- +trum grauitatis erit $em- +per in medio. non igitur +pondus in D pondere in +E e$t grauius. Si autem +dicerent centrum graui- +tatis non in linea CD, +$ed in CE e$$e debere; +idem eueniet ab$urdum. +<fig> +<p>Amplius $i pondus D +deor$um mouebitur, pondus E $ur$um mouebit. pondus igitur gra- +uius, quàm $it E, in eodemmet $itu ponderi D æqueponderabit, & +grauia inæqualia æquali di$tantia po$ita æqueponderabunt. Adii- +ciatur ergo ponderi E aliquod graue, ita vt ip$i D contraponde- +ret, $i ex C $u$pendantur. $ed cum $upra o$ten$um $it punctum C +centrum e$$e grauitatis æqualium ponderum in DE; $i igitur pon- +<marg><I>Ex</I> 3. <I>primi Archim de Aequep.</I></marg> dus E grauius fuerit pondere D, erit centrum grauitatis in linea +CE. $itq; hoc centrum K. at per definitionem centri grauitatis, $i +pondera $u$pendantur ex K, manebunt. ergo $i $u$pendantur ex +C, non manebunt, quod e$t contra hypote$im: $ed pondus E deor +$um mouebitur. quòd $i ex C quoque $u$pen$a æqueponderarent; +<marg>1. <I>Suppo$. huius.</I></marg> vnius magnitudinis duo e$$ent centra grauitatis; quod e$t impo$si +bile. Non igitur pondus in E grauius eo, quod e$t in D, ip$i D æque- +ponderabit, cum ex puncto C fiat $u$pen$io. Pondera ergo in DE +æqualia ex eorum grauitatis centro C $u$pen$a, æqueponderabunt, +manebuntquè. quod demon$trare fuerat propo$itum. +<p><marg><I>Tartalea $exta propo $itione octa uilibri.</I></marg> Huic autem po$tremo inconuenienti ocurrunt dicentes, im- +po$sibile e$$e addere ip$i E pondus adeo minimum, quin adhuc $i +ex C $u$pendantur, pondus E $emper deor$um ver$us G moueatur. +quod nos fieri po$$e $uppo$uimus, at que fieri po$$e credebamus. ex- +ce$$um enim ponderis D $upra pondus E, cum quantitatis ratio- +nem habeat, non $olum minimum e$$e, verum in infinitum diuidi +po$$e immaginabamur, quod quidem ip$i, non $olum minimum, +<pb n=7> +$ed ne minimum quidem e$$e, cum reperiri non po$sit, hoc mo- +do demon$trare nituntur. +<fig> +<p>Exponantur eadem. +à puncti$què DE hori- +zonti perp&etilde;diculares du +cãtur DHEK, atq; alius +$it circulus LDM, cu- +ius centrũ N, qui FDG +in puncto D contingat, +ip$iq; FDG $it æqualis: +erit NC recta linea. & <marg><I>Ex</I> 12. <I>tertii.</I></marg> +quoniam angulus KEC +angulo HDN e$t æqua <marg>29. <I>Primi.</I></marg> +lis, angulusq; CEG an- +gulo NDM e$t etiam +æqualis; cum à $emidiametris, æqualibusq; circumferentiis conti- +neatur; erit reliquus mixtu$què angulus KEG reliquo mixtoquè +HDM æqualis. & quia $upponunt, quò minor e$t angulus linea +horizonti perpendiculari, & circumferentia contentus, eò pondus +in eo $itu grauius e$$e. vt quò minor e$t angulus HD, & circumfe +rentia DG contentus angulo KEG, hoc e$t angulo HDM; ita $e +cundum hanc proportionem pondus in D grauius e$$e pondere in +E. Proportio autem anguli MDH ad angulum HDG minor e$t +qualibet proportione, quæ $it inter maiorem, & minorem quanti +tatem: ergo proportio ponderum DE omnium proportionum mi +nima erit. immo neq; erit ferè proportio, cum $it omnium pro +portionum minima. quòd autem proportio MDH ad HDG $it +omnium minima, ex hac nece$sitate o$tendunt; quia MDH exce +dit HDG angulo curuilineo MDG, qui quidem angulus omnium +angulorum rectilineorum minimus exi$tit: ergo cum non po$sit da +ri angulus minor MDG, erit proportio MDH ad HDG omniũ +proportionum minima. quæ ratio inutilis valde videtur e$$e; quia +quamquam angulus MDG $it omnibus rectilineis angulis minor, +non idcirco $equitur, ab$olutè, $impliciterq; omnium e$$e angulorũ +minimum: nam ducatur à puncto D linea DO ip$i NC perpendicu +laris, hæc vtra$q; tanget circumferentias LDM FDG in puncto <marg><I>Ex</I> 18. <I>Ter tii.</I></marg> +<pb> +D. quia verò circumfe +rentiæ $unt æquales, erit +angulus MDO mixtus +angulo ODG mixto +æqualis; alter ergo an +gulus, vt ODG minor +erit MDG, hoc e$t mi +nor minimo. angulus +deinde OGH minor +erit angulo MDH; qua +re ODH ad angulum +<marg>8. <I>Quinti.</I></marg> HDG minorem habe +bit proportion&etilde;, quàm +<fig> +MDH ad eundem HDG. dabitur ergo quoquè proportio mi- +nor minima, quam in infinitum adhuc minorem ita o$tende- +mus. De$cribatur circulus DR, cuius centrum E, & $emidiame- +<marg><I>Ex</I> 11. <I>ter tit.</I></marg> ter ED. continget circumferentia DR circumferentiam DG in +<marg><I>Ex</I> 18. <I>ter tii.</I></marg> puncto D, lineamquè DO in puncto D; quare minor erit angu- +lus RDG angulo ODG. $imiliter & angulus RDH angulo +ODH. minorem igitur proportionem habebit RDH ad HDG, +quàm ODH ad HDG. Accipiatur deinde inter EC vtcun- +que punctum P, ex quo in di$tantia PD alia de$cribatur circum- +ferentia DQ, quæ circumferentiam DR, circumferentiamquè +DG in puncto D continget; & angulus QDH minor erit +angulo RDH: ergo QDH ad HDG minorem habebit propor +tionem, quàm RDH ad HDG. eodemquè pror$us modo, $i +inter PC aliud accipiatur punctum, & inter hoc &C aliud, & $ic +deinceps, infinitæ de$cribentur circum$erentiæ inter DO, & cir +cumferentiam DG; ex quibus proportionem in infinitum $emper +minorem inueniemus. atque ideo proportionem ponderis in D +ad pondus in E non adeo minorem e$$e $equitur, quin ad infini +tum ip$a $emper minorem reperiri po$sit. & quia angulus MDG +in infinitum diuidi pote$t; exce$$us quoque grauitatis D $upra E +diuidi ad infinitum poterit. +<pb n=8> +<p>Sed neque prætereundum +e$t, ip$os in demon$tratio- +ne angulum KEG maiorem +e$$e angulo HDG, tanquam +notum accepi$$e. quod e$t +quidem verum, $i DHEK +inter $e $e $int æquidi$tan- +tes. Quoniam autem (vt +ip$i quoque $upponunt) li- +neæ DHEK in centrum +mundi conueniunt; lineæ +DHEK æquidi$tantes nun +quam erunt, & angulus KEG +angirlo HDG non $olum +maior erit, $ed minor. vt +exempli gratia, producatur +FG v$que ad centrum mun +di, quod $it S; connectan- +turqué DSES. o$tenden- +dum e$t angulum SEG mi +norem e$$e angulo SDG. du +<fig> +catur à puncto E linea ET circulum DGEF contingens, ab eo +demqué puncto ip$i DS æquidi$tans ducatur EV. Quoniam igi +tur EVDS inter $e $e $unt æquidi$tantes: $imiliter ETDO æqui +di$tantes: erit angulus VET angulo SDO æqualis. & angulus +TEG angulo ODM e$t æqualis; cum à lineis contingentibus, +circumferentii$qué æqualibus contineatur: totus ergo angulus +VEG angulo SDM æqualis erit. Auferatur ab angulo SDM +angulus curuilineus MDG; ab angulo autem VEG angulus au- +feratur VES; & angulus VES rectilineus maior e$t curuilineo +MDG; erit reliquus angulus SE Gminor angulo SDG. +Quare ex ip$orum $uppo$itionibus non $olum pondus in D gra- +uius erit pondere in E; verùm è conuer$o, pondus in E ip$o D +grauius exi$tet. +<pb> +<p>Rationes tamen af +ferunt, quibus demon +$trare nituntur, libram +DE in AB horizon- +ti æquidi$tantem ex +nece$sitate redire. Pri- +mùm quidem o$ten- +dunt, idem pondus +grauius e$$e in A, +quàmin alio $itu, quem +æqualitatis $itum no- +minant, cum linea +AB $it horizonti æ- +<fig> +quidi$tans. deinde quò propius e$t ip$i A, quouis alio remotiori +grauius e$$e. Vt pondus in A grauius e$$e, quàm in D; & in D, +quàm in L. $imiliter in A grauius, quam in N; & in N grauius, +quàm in M. Vnum tantùm con$iderando pondus in altero libræ +<marg><I>Cardanus primo de $ubtilitate.</I></marg> brachio $ur$um deor$umq; moto. Quia (inquiunt) po$ita trutina +in CF, pondus in A longius e$t à trutina, quàm in D: & in D +longius, quàm in L. ductis enim DO LP ip$i CF perpendicula- +<marg><I>Ex</I> 15. <I>ter tii.</I></marg> ribus, li<*>ea AC maior e$t, quàm DO, & DO ip$a LP. quod +<marg><I>Cardanus.</I></marg> idem euenit in punctis NM. deinde ex quo loco (aiunt) pon +dus velocius mouetur, ibi grauius e$t; velocius autem ex A, quàm +ab alio $itu mouetur; ergo in A grauius e$t. $imili modo, quò +propius e$t ip$i A, velocius quoque mouetur; ergo in D gra- +<marg><I>Cardanus.</I></marg> uius erit, quàm in L. Altera deinde cau$a, quam ex rectiori, & obli +<marg><I>Iordanus propo$itio ne</I> 4.</marg> quiori motu deducunt, e$t; quò pondus in arcubus æqualibus re- +ctius de$cendit, grauius e$$e videtur; cum pondus liberum, atq; +<marg><I>Tartalea propo$itione</I> 5.</marg> $olutum $uaptè natura rectè moueatur; $ed in A rectius de$cen +dit; ergo in A grauius erit. hocq; o$tendunt accipiendo arcum +AN arcui LD æqualem; à puncti$q; NL lineæ FG (quam +etiam directionis vocant) æquidi$tantes ducantur NRLQ, quæ +lineas AB DO $ecent in QR; & à puncto N ip$i FG perpen +dicularis ducatur NT. rectèq; demon$trant LQ ip$i PO æqua +lem e$$e, & NR ip$i CT; lineamq; NR ip$a LQ maiorem e$$e. +Quoniam autem de$cen$u; ponderis ex A v$q; ad N per circum- +<pb n=9> +ferentiam AN maiorem portionem lineæ FG pertran$it (quod +ip$i vocant capere de directo) quàm de$cen$us ex L in D per cir +cumferentiam LD; cùm de$cen$us AN lineam CT pertran$eat, +de$cen$us verò LD lineam PO; & CT maior e$t PO; rectior erit +de$cen$us AN, quám de$cen$us LD. grauius ergo erit pondus +in A, quàm in L, & in quouis alio $itu. eodemq; pror$us +modo o$tendunt, quò propius e$t ip$i A, grauius e$$e. +Vt $int circumferentiæ LD DA inter $e $e æquales, & à puncto +Dip$i AB perpendicularis ducatur DR; erit DR ip$i CO æqua <marg>34 <I>Primi.</I></marg> +lis. lineam deinde DR ip$a LQ maiorem e$$e demon$trant. di- +cuntq; de$cen$um DA magis capere de directo de$cen$u LD, ma +ior enim e$t linea CO, quàm OP; quare pondus grauius erit +in D, quàm in L. quod ip$um euenit in punctis NM. Suppo- +$itionem itaq;, qua libram DE in AB redire demon$trant, vt <marg><I>Iordanus $uppo$itione</I> 4.</marg> +notam, manife$tamq; proferunt. Nempè Secundùm $itum pon +dus grauius e$$e, quanto in eodem $itu minus obliquus e$t de$cen +$us. huiu$q; reditus cau$am eam e$$e dicunt; Quoniam $cilicet <marg><I>Iordanus propo$itio ne</I> 3.</marg> +de$cen$us ponderis in D rectior e$t de$cen$u ponderis in E, cùm +minus capiat de directo pondus in E de$cendendo, quàm pon <marg><I>Tartalea propo$itio ne</I> 5.</marg> +dus in D $im liter de$cendendo. Vt $i arcus EV $it ip$i DA +æqualis, ducanturq; VH ET ip$i FG perpendiculares; maior +erit DR, quàm TH. quare per $uppo$itionem pondus in D ra +tione $itus grauius erit pondere in E. pondus ergo in D, cùm $it +grauius, deor$um mouebitur; pondus verò in E $ur$um, donec li +bra DE in AB redeat. +<p>Altera huius quoq; reditus ratio e$t, cùm trutina $upra libram <marg><I>Cardanus.</I></marg> +e$t in CF; linea CG e$t meta. & quoniam angulus GCD ma +ior e$t angulo GCE, & maior à meta angulus grauius reddit +pondus; trutina igitur $uperius exi$tente, grauius erit pondus in +D, quàm in E. idcirco D in A, & E in B redibit. +<p>His itaq; rationibus conantur o$tendere libram DE in AB re +dire; quæ meo quidem iuditio facile $olui po$$unt. +<foot>C</foot> +<pb> +<p>Primùm itaq; quan +tum attinet ad ratio- +nes pondus in A gra +uius e$$e, quàm in a- +lio $itu o$tendentes, +quas ex longiori, & +propinquiori di$tãtia à +linea FG, & ex velo- +ciori, & rectiori mo +tu à puncto A dedu- +cunt; primùm quidem +non demon$trant, cur +pondus ex A velocius +<fig> +moueatur, quàm ex alio $itu. nec quia CA e$t DO maior, +& DO ip$a LP, propterea $equitur tanquam ex vera cau$a, pon +dus in A grauius e$$e, quàm in D; & in D, quàm in L. neq; +enim intellectus quie$cit, ni$i alia huius o$tendatur cau$a; cùm po +tius $ignum, quàm vera cau$a e$$e videatur. id ip$um quoq; al- +teri rationi contintingit, quam ex rectiori & obliquiori motu de- +ducunt. Præterea quæcunq; ex velociori, & rectiori motu per- +$uadent pondus in A grauius e$$e, quàm in D; non ideo de- +mon$trant pondus in A, quatenus e$t in A, grauius e$$e pon +dere in D, quatenus e$t in D; $ed quatenus à punctis DA rece +dit. Idcirco antequàm vlterius progrediar, o$tendam primùm +pondus, quò propius e$t ip$is FG, minus grauitare; tum qua- +tenus in eo $itu, in quo reperitur, manet: tum quatenus ab eo +recedit. $imulq; fal$um e$$e, pondus in A grauius e$$e, quàm in +alio $itu. +<pb n=10> +<p>Producatur FG v$q; ad mun di con +trum, quod $it S. & à puncto S circu +lum AFBG contingens ducatur. neq; +enim linea à puncto S circulum con- +tingere pote$t in A; nam ducta AS +triangulum ACS duos haberet angu +los rectos, nempè SAC ACS, quod <marg>18 <I>Tertii.</I></marg> +e$t impo$sibile. neq; $upra punctum A +in circumferentia AF continget; cir +culum enim $ecatet. tanget igitur in- +fra, $itq; SO. connectantur deinde SD +SL, quæ circumferentiam AOG in +punctis KH $ecent. & Ck CH con +iungantur. Et quoniam pondus, quanto +propius e$t ip$i F, magis quoque inni- +titur centro; vt pondus in D magis ver- +$ionis puncto C innititur tanquam +centro; hoc e$t in D magis $upra li- +neam CD grauitat, quàm $i e$$et in A +$upralineam CA; & adhuc magis in +L $upra lineam CL; Nam cùm tres +anguli cuiu$cunq; trianguli duobus re- +<fig> +ctis $int æquales, & trianguli DCk æquicruris angulus DCk +minor $it angulo LCH æquicruris trianguli LCH: erunt reli- +qui ad ba$im $cilicet CDk CkD $imul $umpti reliquis CLH +CHL maiores. & horum dimidii; hoc e$t angulus CDS angu +lo CLS maior erit. cùm itaq; CLS $it minor, linea CL ma +gis adhærcbit motui naturali ponderis in L pror$us $oluti. hoc +e$t lineæ LS, quàm CD motui DS. pondus enim in L libe- +berum, atq; $olutum in centrum mundi per LS moueretur, pon- +dusq; in D per DS. quoniam verò pondus in L totum $uper LS +grauitat, in D verò $uper DS: pondus in L magis $upra lineam +CL grauitabit, quàm exi$tens in D $upra lineam DC. ergo +linea CL pondus magis $u$tentabit, quàm linea CD. Eodem- +qué modo, quò pondus propiu fuerit ip$i F, magis ob hanc cau- +$am à linea CL $u$tineri o$tendetur-$emper enim angulus CLS +<foot>C 2</foot> +<pb> +minor e$$et. quod etiam patet; quia $i +lineæ CL, & LS in vnam coinciderent +lineam, quod euenit in FCS; tunc linea +CF totum $u$tineret pondus in F, im- +mobilemq; redderet: neq; vllam pror- +$us grauitatem in circumferentia circu- +li haberet. Idem ergo pondus propter +$ituum diuer$itatem grauius, leuiu$q; erit. +non autem quia ratione $itus interdum +maiorem re vera acquirat grauitatem, +interdum verò amittat, cùm eiu$dem $it +$emper grauitatis, vbicunque reperiatur; +$ed quia magis, minu$uè in circumferen- +tia grauitat, vt in D magis $upra circum +ferentiam DA grauitat, quàm in L $upra +circumferentiam LD. hoc e$t, $i pon +dus à circumferentiis, recti$q; lineis $u +$tineatur; circumferentia AD magis $u +$tinebit pondus in D, quàm circumfe +rentia DL pondere exi$tente in <I>L.</I> mi +nus enim coadiuuat CD, quàm CL. +Præterea quando pondus e$t in L, $i e$- +<fig> +$et omnino liberum, penitu$q; $olutum, deor$um per LS moueretur; +ni$i à linea CL prohiberetur, quæ pondus in L vltra lineam LS per +circumferentiã LD moueri cogit; ip$umq; quodammodo impellit, +impellendoq; pondus partim $u$tentabit. ni$i enim $u$tineret, ip$iq; +reniteretur, deor$um per lineam LS moueretur, non autem per +circumferentiam LD. $imiliter CD ponderi in D renititur, cùm +illud per circumferentiam DA moucri cogat. eodemq; modo +exi$terte pondere in A, linea CA pondus vltra lineam AS per +circumferentiam AO moueri compellet. e$t enim angulus CAS +acutus; cùm angulus ACS $it rectus. lineæ igitur CA CD ali +qua ex parte, non tamen ex æquo ponderi renituntur. & quotie$ +cunque angulus in circumferentia circuli à lineis à centro +mundi S, & centro C prodeuntibus, fuerit acutus; idem eue- +nire $imiliter o$tendemus. Quoniam autem mixtus angulus CLD +<pb n=11> +æqualis e$t angulo CDA, cùm à femidiametris, eademq; circumfe +rentia contineantur; & angulus C<I>L</I>S angulo CDS e$t minor; +erit reliquus <I>s</I>LD reliquo SDA maior. quare circumferentia +DA, hoc e$t de$cen$us ponderis in D propior erit motui natu- +rali ponderis in D $oluti, lineæ $cilicet DS, quàm circumferen +tia LD lineæ LS. minus igitur linea CD ponderi in D reniti- +tur, quàm linea CL ponderi in L. linea ideo CD minus $u$tinet, +quàm CL; pondu$q; magis liberum erit in D, quàm in L: +cùm pondus naturaliter magis per DA moueatur, quàm per LD. +quare grauius erit in D, quàm in L. $imiliter o$tendemus CA +minus $u$tinere, quàm CD: pondu$q; magis in A, quàm in Dli +berum, grauiu$q, e$$e. Ex parte deinde inferiori ob ea$dem cau$as, +quò pondus propius fuerit ip$i G, magis detinebitur, vt in Hma +gis à linea CH, quàm in K à linea CK. nam cùm angulus CHS +maior $it angulo CkS, ad rectitudinem magis appropinquabunt <marg>21 <I>primi.</I></marg> +$e $e lineæ CHHS, quàm Ck kS; atq; obid pondus magis deti- +nebitur à CH, quàm à Ck $i enim CH HS in vnam conuenirent +lineam vt euenit pondere exi$tente in G; tunc linea CG to tum $u +$tineret' pondus in G, ita vt immobilis per$i$teret. quò igitur +minor erit angulus linea CH, & de$cen$u ponderis $oluti, $cilicet +HS contentus, eò minus quoq; eiu$modi linea pondus detinebit. +& vbiminus detinebitur, ibi magis liberum, grauiu$q; exi$tet. +Præterea $i pondus in k liberum e$$et, atq; $olutum, per lineam +k S moueretur; à linea verò Ck prohibetur, quæ cogit pondus +citrà lineam k S per circumferentiam k H moueri. ip$um enim +quodammodo retrahit, retrahendoq; $u$tinet. ni$i enim $u$tineret. +pondus deor$um per rectam k S moueretur, non autem per cir +cumferentiam k H. $imiliter CH pondus retinet, cùm per circum +ferentiã HG moueri compellat. Quoniã autem angulus CHS ma- +ior e$t angulo CKS, d&etilde;ptis æqualibus angulis CHG CkH; erit +reliquus SHG reliquo SKH maior. circumferentia igitur k H, hoc +e$t de$cen$us ponderis in k, propior erit motui naturali ponderis in +k $oluti, hoc e$t lineæ k S, quàm circumferentia HG lineæ HS. mi +nus idcirco detinet linea Ck, quàm CH: cùm pondus naturali- +ter magis moueatur per k H, quàm per HG. $imiliratione o$ten- +detur, quò minor erit angulus SkH, lineam Ck minus $u$tinere. +<pb> +exi$tente igitur pondere in O, quia angu +lus SOC non $olum minor e$t angulo +CKS, verùm etiam omnium angulorum +à punctis CS prodeuntium, verticemq; +in circumferuntia OkG habentium mi- +nimus; erit anglus SOK, & angulo SkH, +& eiu$modi omnium minimus. ergo de- +$cen$us ponderis in O propior erit motui +naturali ip$ius in O $oluti, quàm in alio +$itu circumferentiæ OkG. lineaq; CO +minus pondus $u$tinebit, quàm $i pon- +dusin quouis alio fuerit $itu eiu$dem cir +cumferentiæ OG. $imiliter quoniam con +tingentiæ angulus SOk, & angulo SDA, +& SAO, ac quibu$cunq; $imilibus e$t mi +nor; erit de$cen$us ponderis in O motui +naturali ip$ius ponderis in O $oluti pro- +pior, quàm in alio $itu circumferentiæ +ODF. Præte reaquoniam linea GO pon +dus in O dum deor$um mouetur, impelle- +re nonpote$t, ita vt vltra lineam OS mo +ueatur; cùm linea OS circulum non $ecet, +<fig> +$ed contingat; angulu$q; SOC $it rectus, & non acutus; pondus +in O nihil $upra lineam CO grauitabit. neq; centro innitetur. quem +admodum in quouis alio puncto $upra O accideret. erit igitur pon +dus in O magis ob has cau$as liberum, atq; $olutum in hoc $itu, +quàm in quouis alio circumferentiæ FOG. acidcirco in hoc +grauius erit, hoc e$t magis grauitabit, quàm in alio $itu. & quò +propius fuerit ip$i O remotiori grauius erit. lineaq; CO horizonti +æquidi$tans erit. non tamen puncti C horizonti (vt ip$i exi$ti- +mant) $ed ponderis in O con$tituti, cùm ex centro grauitatis +ponderis $ummendus $it horizon. quæ omnia demon$trare opor- +tebat. +<pb n=12> +<p>Si autem libræ brachium ip$o CO +fuerit maius, putá quantitate CD; erit +quoq; pondus in O grauius. circulus de- +$cribatur OH, cuius centrum $it D, $e <marg><I>Ex</I> 11 <I>Ter tit.</I></marg> +midiameterq; DO. tanget circulus OH +circulum FOG in puncto O, lineamq; <marg><I>Ex</I> 18 <I>Ter tii.</I></marg> +OS, quæ ponderis in O rectus, natura- +li$q; e$t de$cen$us, in eodem puncto con +tinget. & quoniam angulus SOH mi- +nor e$t angulo SOG, erit de$cen$us +ponderis in O per circumferentiam OH +motui naturali OS propior, quàm per +circumferentiam OG. magis ergo li- +berum, atq; $olutum, ac per con$equens +grauius erit in O, centro libræ exi$ten +te in D, quàm in C. $imiliter o$ten- +detur, quò maius fuerit brachium DO, +pondus in O adhuc grauius e$$e. +<fig> +<pb> +<p>Siverò idem circulus AFBG, +cuius centrum $it R, propius fuerit +mundi centro S; circulumqué à pun- +cto S ducatur contingens ST; punctum +T (vbi grauius e$t pondus) magis +à puncto A di$tabit, quàm punctum +O. ducantur enim à punctis OT ip$i +CS perpendiculares OMTN; conne +ctanturq; RT; $itq; centrum R in li- +nea CS; lineaq; ARB ip$i ACB æqui +<marg><I>Cor.</I> 8 <I>$exti</I></marg> di$tans. Quoniam igitur triangula COS +RTS $unt rectangula; erit SC ad CO, +vt CO ad CM. $imiliter SR ad RT, +vt RT ad RN. cùm itaq; $it RT ip- +<marg><I>Ex</I> 8 <I>quinti</I></marg> $i CO æqualis, & SC ip$a SR maior: +maiorem habebit proportionem SC +ad CO, quàm SR ad RT. quare ma +iorem quoq; proportionem habebit +CO ad CM, quàm RT ad RN. mi +<marg><I>Ex</I> 10 <I>quin ti.</I></marg> nor ergo erit CM, quàm RN. $ecetur +igitur RN in P, ita vt RP $it ip$i +<fig> +CM æqualis; & à puncto P ip$is MONT æquidi$tans ducatur +PQ, quæ circumferentiam AT $ecet in Q: deniq; connectatur +RQ. quoniam enim duæ CO CM duabus RQRP $unt æqua +<marg>7 <I>Sexti.</I></marg> les, & angulus CMO angulo RPQ e$t æqualis; erit & angu- +lus MCO angulo PRQ æqualis. angulus autem MCA rectus +<marg>26 <I>Tertii.</I></marg> recto PRA e$t æqualis; ergo reliquus OCA reliquo QRA +æqualis, & circumferentia OA circumferentiæ QA æqualis quo- +que erit. punctum idcirco T, quia magis à puncto A di$tat, +quàm Q; magis quoq; à puncto A di$tabit, quàm punctum O. +$imiliter o$tendetur, quò propius fuerit circulus mundi centro, eun- +dem magis di$tare. atq; ita vt prius demon$trabitur pondus in cir +cumferentia TAF centro R inniti, in circumferentia verò TG +à linea detineri; atq; in puncto T grauius e$$e. +<pb n=13> +<p>Si autem punctum G e$$et +in centro mundi; tunc quò +pondus propius fuerit ip$i G, +grauius erit: & vbicunq; po +natur pondus præterquàm in +ip$o G, $emper centro C inni +tetur, vt in K. nam ducta +G k, efficiet hæc ($ecun- +dùm quam fit ponderis natu +ralis motus) vná cum libræ +brachio k C angulum acu- +tum. æquicruris enim trian- +guli CkG ad ba$im anguli +ad k, & G $unt $emper acuti. +<fig> +Conferantur autem inuicem hæc duo, pondus videlicet in k, & +pondus in D: erit pondus in k grauius, quàm in D. nam iuncta +DG, cùm tres anguli cuiu$cunque trianguli duobus $int rectis +æquales, & trianguli CDG æquicruris angulus DCG maior $it +angulo kCG æquicruris trianguli CkG: erunt reliqui ad ba$im an +guli DGC GDC $imul $umpti reliquis KGCGkC $imul $umptis +minores. horumq; dimidii; angulus $cilicet CDG angulo CKG +minor erit. quare cùm pondus in k $olutum naturaliter per +KG moueatur, pondusq; in D per DG, tanquam per $patia, +quibus in centrum mundi feruntur; linea CD, hoc e$t libræ +brachium magis adhærebit motui naturali ponderis in D pror- +$us $oluti, lineæ $cilicet DG; quàm Ck motui $ecundùm kG +effecto. magis igitur $u$tinebit linea CD, quàm Ck. ac pro- +pterea pondus in k ex $uperius dictis grauius erit, quàm in D. +Præterea quoniam pondus in K $i e$$et omnino liberum, pror$u$q; +$olutum, deor$um per k G moueretur; ni$i à linea C k prohibere +tur, quæ pondus vltra lineam KG per circumferentiam KH mo- +ueri cogit; linea C k pondus partim $u$tinebit, ip$iq; renitetur; +cùm illud per circumferentiam k H moueri compellat. & +quoniam angulus CDG minor e$t angulo CkG, & angulus CDk +angulo CkH e$t æqualis; crit reliquus GDk reliquo G k H maior. +circumferentia igitur k H motui naturali ponderis in k $oluti, li- +<foot>D</foot> +<pb> +neæ $cilicet KG propior erit, +quàm circumferentia Dk li- +neæ DG. quare linea CD +ponderi in D magis renititur, +quàm linea C k ip$i ponde- +ri in K. ergo pondus in k +grauius erit, quàm in D. +Similiter o$tendetur pondus, +quò fuerit ip$i F propius, vt +in L, minus grauitare: pro- +pius verò ip$i G, vt in H, +grauius e$$e. +<fig> +<p>Si verò centrum mundi +S e$$et inter puncta CG; +primùm quidem $imili- +ter o$tendetur pondus vbi +cunq; po$itum centro C +initi, vt in H. ductis enim +HG HS, angulus ad +ba$im GHC æquicruris tri +anguli CHG e$t $emper +acutus: quare & SHC ip +$o minor erit quoq; $em +per acutus. ducatur au- +tem à puncto S ip$i CS +perpendicularis Sk. di- +<fig> +co pondus grauius e$$e in k, quàm in alio $itu circumferentiæ FKG. +& quò propius fuerit ip$i F, vel G, minus grauitare. Accipiantur +ver$us F puncta DL, connectanturq; LC LS DC DS, produ- +canturq; LS DS k SHS v$q; ad circuli circumferentiam in EM +NO; connectanturq; CE, CM, CN, CO. Quoniam enim +<marg>35 <I>Tertii.</I></marg> LE DM $e inuicem $ecant in S; erit rectangulum LSE rectan- +<marg>16 <I>Sexti.</I></marg> gulo DSM æquale. quare vt LS ad DS ita erit SM +<marg>7 <I>Tertii.</I></marg> ad SE. maior autem e$t LS, quàm DS; & SM ip$a SE. +<pb n=14> +ergo LS SE $imul $umptæ ip$is DS SM maiores erunt. eademq; <marg>25 <I>Quinti.</I></marg> +ratione kN minorem e$$e DM o$tendetur. rur$us quoniamre +ctangulum OSH æquale e$t rectangulo kSN; ob eandem cau$am +HO maior erit kN. eodemq; pror$us modo kN omnibus a- +liis per punctum S tran$euntibus minorem e$$e demon$trabitur. +& quoniam æquicrurium triangulorum CLE DCM latera LC +CE lateribus DC CM $unt æqualia; ba$is verò LE maior e$t +DM: erit angulus LCE angulo DCM maior. quare ad ba$im <marg>25 <I>Primi.</I></marg> +anguli C<I>L</I>E CEL $imul $umpti angulis CDM CMD mi- +nores erunt. & horum dimidii, angulus $cilicet CLS angulo CDS +minor erit. ergo pondus in <I>L</I> magis $upra lineam LC, quàm +in D $upra DC grauitabit, magisqué centro innitetur in L, quàm +in D. $imiliter o$tendetur in D magis c&etilde;tro Cinniti, quàm in k. ergo +ponds in k grauius erit, quàm in D; & in D, quàm in L. eademq; pror +$us ratione quoniam kN minor e$t HO, erit angulus CKS an- +gulo CHS maior. quare pondus in H magis centro C innite- +tur, quàm in k. & hoc modo o$tendetur, vbicunq; in circum- +ferentia FDG fuerit pondus, minus in K centro C inniti, quàm +in alio $itu: & quò propius fuerit ip$i F, vel G, magis inniti. dein- +de quoniam angulus CkS maior e$t CDS, & CDk æqualis +e$t CkH: erit reliquus SkH reliquo SDk minor. quare cir- +cumferentia k H propior erit motui naturali recto ponderis in K +$oluti, lineæ $cilicet k S, quàm circumferentia D k motui DS. & +ideo linea CD magis ip$i ponderi in D renititur, quàm CK +ponderi in k con$tituto. hacq; ratione o$tendetur angulum +SHG maiorem e$$e SkH: & per con$equens lineam CH magis +ponderi in H reniti, quàm CK ponderi in K. $imiliter demon- +$trabitur lineam C<I>L</I> magis pondus $u$tinere, quàm CD: ob +ea$demq; cau$as o$tendetur pondus in K minus $upra lineam Ck +grauitare, quàm in quouis alio $itu fuerit circumferentiæ FDG. +& quò propius fuerit ip$i F, vel G, minus grauitare. grauius ergo +erit in k, quàm in alio $itu: minu$q; graue erit, quò propius fue- +rit ip$i F. vel G. +<foot>D 2</foot> +<pb> +<p>Si deniq; centrum C +e$$et in centro mundi, +pondus vbicunque con- +$titutum manere mani- +fe$tum e$t. vt po$ito pon +dere in D, linea CD to- +tum $u$tinebit pondus; +cùm ip$ius ponderis in D +horizonti $it perpendicu +<marg>1 <I>Huius.</I></marg> laris. pondus ergo ma +nebit. +<fig> +<p>Quoniam autem in his hactenus demon$tratis, nullam de gra +uitate brachii libræ mentionem fecimus, idcirco $i brach$i quoq; +grauitatem con$iderare voluerimus, centrum grauitatis magnitu +dinis ex pondere, brachioq; compo$itæ inueniri poterit, circulo +rumq; circumferentiæ $ecundum di$tantiam à centro libræ ad +hoc ip$um grauitatis centrum de$cribentur, ac $i in ip$o (vt re ue +ra e$t) pondus con$titutum fuerit; omnia, $icuti ab$q; libræ bra +chii grauitate con$iderata inuenimus; hoc quoq; modo eius con$i +derata grauitate reperiemus. +<pb n=15> +<p>Ex dictis igitur, con$iderando li- +bram, vt longè à mundi centro a- +be$t, quemadmodum ip$i fecere, $i- +cuti etiam actu e$t, apparet fal$itas +dicentium pondus in A grauius e$$e, +quàm in alio $itu. $imulq; fal$um e$$e, +quò pondus à linea FG magis di$tat +grauiuis e$$e. nam punctum O pro- +pius e$t ip$i FG, quàm punctum A. +e$t enim linea à puncto O ip$i FG <marg><I>Ex</I> 15 <I>Tertii.</I></marg> +perpendicularis ip$a CA minor. de- +inde ex puncto A pondus velocius mo +ueri, quàm ab alio $itu, e$t quoque +fal$um. ex puncto enim O pondus ve- +locius mouebitur, quàm ex puncto +A; cùm in O $it magis liberum, atq; +$olutum, quàm in alio $itu: de$cen$us +qué ex puncto O propior $it motui na- +turali recto, quàm quilibet alius de- +$cen$us. +<fig> +<p>Præterea cùm ex re- +ctiori, & obliquiori defc&etilde; +$u o$tendunt, pondus in +A grauiur e$$e, quàm in +D; & in D, quàm in +L; primùm quidem fal +$um exi$timant, $i pon +dus aliquod collocatum +fuerit in quocunq; $itu +circunferentiæ, vt in D, +rectum eius de$cen$um +per rectam lineam DR +ip$i FG parallelam, tam +quàm $ecundùm mo- +<fig> +<pb> +tum naturalem fieri de- +bere; $icuti prius dictum +e$t. In quocunq; enim +$itu pondus aliquod con +$tituatur, $i naturalem +eius ad propium locum +motionem $pectemus, +cùm rectá ad eum $ua- +ptè natura moueatur, $up +po$ita totius vniuer$i figu +ra, eiu$modi erit; vt +$emper $patiũ, per quod +naturaliter mouetur, ra- +tionem habere videatur +<fig> +lineæ à circumferentia ad centrum productæ. non igitur natura +les de$cen$us recti cuiuslibet $oluti ponderis per lineas fieri po$ +$unt inter $e $e parallelas; cùm omnes in centrum mundi conue- +niant. $upponunt deinde ponderis ex Din A per rectam lineam +ver$us centrum mundi motum eiu$dem e$$e quantitatis, ac $i fui$ +$et ex O in C: ita vt punctum A æqualiter à centro mundi $it +di$tans, vt C. quod e$t etiam fal$um; nam punctum A magis +à centro mundi di$tat, quàm C: maior enim e$t linea à cen- +<marg>18 <I>Primi.</I></marg> tro mundi v$q; ad A, quàm à centro mundi v$q; ad C: cùm li- +nea à centro mundi v$q; ad A rectum $ubtendat angulum à li- +neis AC, & à puncto C ad centrum mundi contentum. ex qui- +bus non $olum $uppo$itio illa, qua libram DE in AB redire demon +$trant, verùm etiam omnes ferè ip$orum demon$trationes ruunt. +ni$i forta$$e dixerint, hæc omnia propter maximam à centro mun +di v$q; ad nos di$tantiam adeo in$en$ibilia e$$e, vt propter in$en +$ibilitatem tanquam vera $upponi po$sint: cùm omnes quid&etilde; alii, qui +hæc tractauerunt, tanquam nota $uppo$uerint. præ$ertim quia +$en$ibilitas illa non efficit, quin de$cen$us ponderis ex L in D +(vt eorum verbis vtar) minus capiat de directo, quàm de$cen- +$us DA. $imiliter arcus DA magis de directo capiet, quàm cir +cumferentia EV. quocirca vera erit $uppo$itio; aliæq; demon- +$trationes in $uo robore permanebunt. Concedamus etiam pon +<pb n=16> +dus in A grauius e$$e, quàm in alio $itu; rectumq; ponderis de- +$cen$um per rectam lineam ip$i FG parallelam fieri debere; & +quælibet puncta in lineis horizonti æquidi$tantibus accepta æ- +qualiter à centro mundi di$tare: non tamen propterea $equetur, +veram e$$e demon$trationem, qua inferunt pondus in A grauius +e$$e, quàm in alio $itu, vt in L. $i enim verum e$$et, quò pon +dus hoc modo rectius de$cendit, ibi grauius e$$e; $equeretur etiam, +quò idem pondus in æqualibus arcubus æqualiter rectè de$cende +ret, vt in ii$dem locis æqualem haberet grauitatem, quod fal +$um e$$e ita demon$tratur. +<p>Sint circumferentiæ AL AM inter $e $e æquales; & conne +ctatur LM, quæ AB $ecet in X: erit LM ip$i FG æquidi$tans, +ip$iq; AB perpendicularis. & XM ip$i XL æqualis erit. $i igi <marg><I>Ex</I> 3 <I>Tertii.</I></marg> +tur pondus ex L moueatur in A per circumferentiam LA, rectus +eius motus erit $ecundùm lineam LX. $i verò moueatur ex A +in M per circum$erentiam AM, $ecundùm rectam eius motus +erit XM. quare de$cen$us ex L in A æqualis erit de$cen$ui ex A +in M; tum ob circumferentias æquales, tum propter rectas li +neas ip$i AB perpendiculares æquales. ergo idem pondus in L +æquè graue erit, vt in A, quod e$t fal$um. cum longé grauius $it +in A, quàm in L. +<p>Quamuis autem AMLA æqualiter $ecundùm ip$os de directo +capiant; dicent forta$$e, quia tamen principium de$cen$us ex L +$cilicet LD minus de directo capit, quàm principium de$cen$us +ex A, $cilicet AN; pondus in A grauius erit, quàm in L. nam +cùm circumferentia AN $it ip$i LD (vt $upra po$itum e$t) +æqualis, quæ $ecundùm ip$os de directo capit CT; LD verò +de directo capit PO. ideo pondus grauius erit in A, quàm in L. +quod $i verum e$$et, $equeretur idem pondus in eodem $itu diuer +$o duntaxat modo con$ideratum in habitudine ad eundem $itum, +tum grauius, tum leuius e$$e. quod e$t impo$sibile. hoc e$t, $i +de$cen$um con$ideremus ponderis in L, quatenus ex L in A de- +$cendit, grauius erit, quàm $i eiu$dem ponderis de$cen$um con- +$ideremus ex L in D tantùm. neq; enim negare po$$unt ex ei$- +demmet dictis, quin de$cen$us ponderis ex L in A de directo ca +piat LX, $iue PC. de$cen$us verò AM, quin $imiliter de directo +<pb> +capiat XM: cùm ip$i +quoq; hoc modo acci- +piant, atq; ita accipe- +re $it nece$$e. $i enim li- +bram DE in AB redire +demon$trare volunt, com +parando de$cen$us pon- +deris in D cum de$cen- +$u ponderis in E, nece$$e +e$t, vt o$tendant rectum +de$cen$um OC corre- +$pondentem circumferen +tiæ DA maiorem e$$e re +cto de$cen$u TH circum +<fig> +ferentiæ EV corre$pondente. $i enim partem tantùm totius de- +$cen$us ex D in A acciperent, vt D k; o$tenderentq; magis cape- +re de directo de$cen$um Dk, quàm æqualis portio de$cen$us ex +puncto E. $equetur pondus in D $ecundùm ip$os grauius e$$e pon +dere in E; & v$q; ad k tantùm deor$um moueri: ita vt libra mo +ta $it in kI. $imiliter $i libram KI in AB redire demon$trare vo +lunt accipiendo portionem de$cen$us ex k in A; hoc e$t k S; +o$tenderentq; k S magis de directo capere, quàm ex aduer$o æ- +qualis de$cen$us ex puncto I: $imili modo $equetur pondus in k +grauius e$$e, quàm in I; & v$q; ad S tantùm moueri. & $i rur$us +o$tenderent portionem de$cen$us ex S in A, atq; ita deinceps, re +ctiorem e$$e æquali de$cen$u ponderis oppo$iti; $emper $equetur +libram SI ad AB propius accedere, nunquam tamen in AB per- +uenire demon$trabunt. $i igitur libram DE in AB redire demon +$trare volunt, nece$$e e$t, vt de$cen$um ponderis ex D in A de di +recro capere quantitatem lineæ ex puncto D ip$i AB ad rectos +angulos ductæ accipiant. atq; ita, $i æquales de$cen$us DA AN +inuicem comparemus, qui æqualiter de directo capient OC CT, +cueniet idem pondus in D æquè graue e$$e, vt in A. $i verò por +tiones tantum ex D A accipiamus; grauius erit in A, quàm +in D. ergo ex diuer$itate tantùm modi con$iderandi, idem pon +dus, & grauius, & leuius e$$e continget. non autem exip$a na- +<pb n=17> +tura rei. In$uper ip$orum $uppo$itio non a$$erit, pondus $ecun +dùm $itum grauius e$$e, quantò in eodem $itu minus obliquum +e$t principium ip$ius de$cen$us. Suppo$itio igitur $uperius alla +ta, hoc e$t, $ecundùm $itum pondus grauius e$$e, quantò in eo +dem $itu minus obliquus e$t de$cen$us; non $olum ex his, quæ +diximus, vllo modo concedi pote$t; $ed quoniam huius oppo$i +tum o$tendere quoq; non e$t difficile: $cilicet idem pondus in +æqualibus circumferentiis, quò minus obliquus e$t de$cen$us, ibi +minus grauitare. +<p>Sint enim vt prius cir +cumferentræ AL AM +inter $e $e æquales; $itq; +punctum L propè F. & +connectatur LM, quæ +ip$i AB perpendicularis +erit. & LX ip$i XM +æqualis. deinde propè +M inter MG quoduis +accipiatur punctum P. +fiatq; circumferentia PO +circumferentiæ AM æ- +qualis. erit punctum O +<fig> +propè A. connectanturq; CL, CO, CM, CP, OP. & à +puncto P ip$i OC perpendicularis ducatur PN. & quoniam cir +cumferentia AM circumferentiæ OP e$t æqualis: erit angu- <marg><I>Ex</I> 27 <I>Ter tii.</I></marg> +lus ACM æqualis angulo OCP; & angulus CXM rectus re- +cto CNP e$t æqualis: erit quoq; reliquus XMC trianguli MCX <marg><I>Ex</I> 32 <I>pri mi.</I></marg> +reliquo NPC trianguli PCN æqualis. $ed & latus CM lateri <marg>26 <I>Primi.</I></marg> +CP e$t æquale: ergo triangulum MCX triangulo PCN æquale +erit. latu$q; MX lateri NP æquale. quare linea PN ip$i LX æqua +lis erit. ducatur præterea à puncto O linea OT ip$i AC æqui +di$tans, quæ NP $ecet in V. atq; ip$i OT à puncto P perpendi +cularis ducatur, quæ quidem inter OV cadere non pote$t; nam +cùm angulus ONV $it rectus; erit OVN acutus. quare OVP <marg><I>Ex</I> 13 <I>Pri mi.</I></marg> +obtu$us erit. non igitur linea à puncto P ip$i OT intra OV +<foot>E</foot> +<pb> +perpendicularis cadet. +duo enim anguli vnius +trianguli, vnus quidem +rectus, alter verò ob- +tu$us e$$et. quod e$t im +po$sibile. cadet ergo in +linea OT in parte VT. +$itq; PT. erit PT $ecun +dùm ip$os rectus circum +ferentiæ OP de$cen$us. +Quoniam igitur angulus +ONV e$t rectus; erit +<marg>19 <I>Primi.</I></marg> linea OV ip$a ON ma +ior. quare OT ip$a +<fig> +quoq; ON maior exi$tet. Cùm itaq; linèa OP angulos $ubten- +dat rectos ONP OTP; erit quadratum ex OP quadratis ex +<marg>47 <I>Primi.</I></marg> ON NP $imul $umptis æquale. $imiliter quadratis ex OT TP +$imulæquale. quare quadrata $imul ex ON NP quadratis ex +OT TP $imul æqualia erunt. quadratum autem ex OT maius +e$t quadrato ex ON; cum linea OT $it ip$a ON maior. ergo qua +dratum ex NP maius erit quadrato ex TP. ac propterea linea +TP minor erit linea PN, & linea LX. minus obliquus igitur e$t +de$cen$us arcus LA, quàm arcus OP. ergo pondus in L, ex ip +$orum dictis, grauius erit, quàm in O. quod ex iis, quæ $upra di +ximus e$t manife$tè fal$um, cùm pondus in O grauius $it, quàm +in L. non igitur ex rectiori, & obliquiorimotu ita accepto col- +ligi pote$t, $ecundùm $itum pondus grauius e$$e, quantò in eo +dem $itu minus obliquus e$t de$cen$us. Atq; hinc oritur omnis +fermé ip$orum error in hacre, atq; deceptio: nam quamuis per +accidens interdum ex fal$is $equatur verum, per $e tamen ex fal +$is fal$um $equitur, quemadmodum ex veris $emper verum, nil +idcirco mirum, $i dum fal$a accipiunt; illi$q; tanquam veri$si- +mis innituntur; fal$i$sima omninò colligunt, atq; concludunt. +decipiuntur quinetiam, dùm libræ contemplationem mathemati +cè $impliciter a$$ummunt; cùm eius con$ideratio $it pror$us me- +chanica: nec vllo modo ab$q; vero motu, ac ponderibus (en- +<pb n=18> +tibus omninò naturalibus) de ip$a $ermo haberi po$sit: $ine qui- +bus eorum, quæ libræ accidunt, veræ caulæ reperiri nullo mo +do po$sint. +<p>Præterea $i adhuc $up +po$itionem conceda- +mus; à con$ideratione +libræ longè recedunt; +dum eo pacto, vt libra +DE in AB redire de- +beat, di$currunt. $emper +enim alterum pondus +$eor$um accipiunt, putá +D, vel E; ac $i modò vnũ +modò alterum in libra +con$titutum e$$et, nec +vllo modo ambo con- +<fig> +nexa; cuius tamen oppo$itum omninò fieri oportet; neq; alterum +$ine altero rectè con$iderari pote$t; cùm de ip$is in libra con$ti- +tutis $ermo habeatur. cùm enim dicunt, de$cen$um ponderis in +D minus obliquum e$$e de$cen$u ponderis in E; erit pondus in +D per $uppo$itionem grauius pondere in E: quare cùm $it graui- +us, nece$$e e$t deor$um moueri, libramq; DE in AB redire: di +$cur$us i$te nullius pror$us momenti e$t. Primùm quidem $em- +per argumentantur, ac $i pondera in DE de$cendere debeant, +vnius tantùm $ine alterius connexione con$iderando de$cen$um. +po$tremò tamen ob ponderum de$cen$uum comparationem colli- +gentes inferunt, pondus in D deor$um moueri, & pondus in E +$ur$um, vtraq; $imul in libra inuicem connexa accipientes. ve- +rùm ex ii$demmet, quibus vtuntur, principiis, ac demon$tratio +nibus, oppo$itum eius, quod defendere conantur, facillimè col- +ligi pote$t. Nam $i comparetur de$cen$us ponderis in D cum a- +$cen$u ponderis in E, vt ductis EK DH ip$i AB perpendicula- +ribus; cùm angulus DCH $it æqualis angulo ECk; & angulus <marg>15 <I>Primi.</I></marg> +DHC rectus æqualis e$t recto E k C; & latus DC lateri CE æqua +le: erit triangulum CDH triangulo CEk æquale, & latus DH la- <marg>26 <I>Primi.</I></marg> +<foot>E 2</foot> +<pb> +teri Ek æquale. cùm +autem angulus DCA +$it angulo ECB æqua- +lis: erit quoq; circum- +ferentia DA cirferen- +tiæ BE æqualis. dum +itaq; pondus in D de- +$cendit per circumfe- +rentiam DA, pondus +in E per circumferen- +tiam EB ip$i DA æ- +qualem a$cendit. & de- +$cen$us põderis in D de +directo (more ip$orũ) +<fig> +capiet DH; a$cen$us verò ponderis in E de directo capiet Ek ip +$i DH æqualem: erit itaq; de$cen$us ponderis in Da$cen$ui pon +deris in E æqualis, & qualis erit propen$io vnius ad motum deor +fum, talis etiam erit re$i$tentia alterius ad motum $ur$um. re- +$i$tentia $cilicet violentiæ ponderis in E in a$cen$u naturali po- +tentiæ ponderis in D in de$cen$u contrà nitendo apponitur; cùm +$it ip$i æqualis. quò enim pondus in D naturali potentia deor +$um velocius de$cendit, eò tardius pondus in E violenter a$cendit. +quare neutrum ip$orum alteri præponderabit, cùm ab æquali non +proueniat actio. Non igitur pondus in D pondus in E $ur$um +mouebit. $i enim moueret; nece$$e e$$et, pondus in D maiorem +habere virtutem de$cendendo, quàm pondus in E a$cendendo; +$ed hæc $unt æqualia: ergo pondera manebunt. & grauitas pon- +deris in D grauitati ponderis in E æqualis erit. Præterea quoniam +$upponunt, quò pondus à linea directionis FG magis di$tat, eò +grauius e$$e: Idcirco ductis quoq; à punctis DE ip$i FG perpen +dicularibus DO EI; $imili modo demon$trabitur, triangulum +CDO triangulo CEI æqualem e$$e: & lineam DO ip$i EI æqua +lem. tam igitur di$tat à linea FG pondus in D, quàm pondus in +E. ex ip$orum igitur rationibus, atq; $uppo$itionibus, pondera +in DE æquè grauia erunt. Amplius quid prohibet, quin libram +DE ex nece$sitate in FG moueri $imili ratione o$tendatur? Pri- +<pb n=19> +mùm quidem ex eorummet demon$trationibus colligi pote$t, a- +$cen$um ponderis in E ver$us B rectiorem e$$e a$cen$u ponderis +in D ver$us F; hoc e$t minus capere de directo a$cen$um pon- +deris in D in arcubus æqualibus a$cen$u ponderis in E. $uppona +tur ergo $ecundùm $itum pondus leuius e$$e, quantò in eodem $i- +tu minus rectus e$t a$cen$us: quæ quidem $uppo$itio, adeò ma- +nife$ta e$$e videtur, veluti ip$orum altera. Quoniam igitur a$cen- +$us ponderis in E rectior e$t a$cen$u ponderis in D; per $uppo$i- +tionem pondus in D leuius erit pondere in E. ergo pondus in +D $ur$um à pondere in E mouebitur, ita vt libra in FG perue +niat. atq; ita demon$trari poterit, libram DE in FG moueri. +quæ quidem demon$tratio inutilis e$t pror$us, ea$demq; patitur +difficultates. licet enim tanquàm verum admittatur pondus in E +a$cendendo grauius e$$e pondere in D $imiliter a$cendendo, +non tamen ex hoc $equitur, pondus in E de$cendendo grauius +e$$e pondere in D a$cendendo. Neutra igitur harum demon- +$trationum libram DE, vel in AB redire, vel in FG moue- +ri, o$tendentium, vera e$t. +<p>Præterea $i ip$orum $uppo$itionem, eorumq; verborum vim +rectè perpendamus; alium certè habere $en$um con$piciemus. nam +cùm $emper $patium, per quod naturaliter pondus mouetur, à cen +tro grauitatis ip$ius ponderis ad centrum mundi, in$tar rectæ li- +neæ à centro grauitatis ad centrum mundi productæ, $it $umendum; +tantò huiusmodi ponderis de$cen$us, magis, minusuè obliquus +dicetur; quantò $ecundùm $patium in$tar prædictæ lincæ de$igna +tum, magis, aut minus (naturalem tamen locum petens, $emperq; +magis ip$i appropinquans) mouebitur; ita vt tantò obliquior de- +$cen$us dicatur, quantò recedit ab eiu$modi $patio: rectiorverò, +quantò ad idem accedit. & in hoc $en$u $uppo$itio illa nemini +difficultatem parere debet, adeò enim veritas eius con$picua e$t; +rationiq; con$entanea: vt nulla pro$us manife$tatione egere vi- +deatur. +<pb> +<p>Si itaq; pondus $olutum in $itu D +collocatum ad propium locum mo- +ueri debeat; proculdubio po$ito cen- +tro mundi S, per lineam DS moue- +bitur. $imiliter pondus in E $olutum +per lineam ES mouebitur. quare $i +(vt rei veritas e$t) ponderis de$cen- +$us magis, minu$uè obliquus dicetur +$ecundùm rece$$um, & acce$$um ad +$patia per lineas DSES de$ignata, +iuxtanaturales ip$orum ad propria lo +ca lationes; con$picuum e$t, minus +obliquum e$$e de$cen$um ip$ius E +per EG, quàm ip$ius D per DA: +cùm angulum SEG angulo SDA +minorem e$$e $upra o$ten$um $it. qua +re in E pondus magis grauitabit, +quàm in D. quod e$t penitus oppo- +$itum eius, quod ip$i o$tendere cona +ti $unt. In$urgent autem forta$$e +contranos, $i igitur (dicent) pondus +in E grauius e$t pondere in D, libra +<fig> +DE in hoc $itu minimè per$i$tet, quod equid&etilde; tueri propo$uimus: +$ed in FG mouebitur. quibus re$pondemus, plurimum referre, $iue +con$ideremus pondera, quatenus $unt inuicem di$iuncta, $iue quate +nus $unt $ibi inuicem connexa. alia e$t enim ratio ponderis in E $ine +connexione ponderis in D, alia verò eiu$dem alteri ponderi con +nexi; ita vt alterum $ine altero moueri non po$sit. nam ponde +ris in E, quatenus e$t $ine alterius ponderis connexione, rectus +naturalis de$cen$us e$t per lineam ES; quatenus verò connexum +e$t ponderi in D, eius naturalis de$cen$us non erit amplius per +lineam ES, $ed per lineam ip$i CS parallelam. magnitudo enim +ex ponderibus ED, & libra DE compo$ita, cuius grauitatis cen- +trum e$t C, $i nullibi $u$tineatur, deor$um eo modo, quo reperi +tur, $ecundùm grauitatis centrum per rectam à centro grauita +tis C ad centrum mundi S ductam naturaliter mouebitur, donec +<pb n=20> +centrum C in centrum S perueniat. libra igitur DE vná cum pon +deribus eo modo, quo reperitur, deor$um mouebitur, ita vt pun- +ctum C perlineam CS moueatur, donec C in S, libraq; DE in +Hk perueniat; habeatq; libra in Hk eandem, quam prius habe- +bat po$itionem; hoc e$t Hk $it ip$i DE æquidi$tans. connect antur +igitur DH Ek. manife$tum e$t, dum libra DE in Hk mouetur pun +cta DE per lineas DH Ek moueri, quippe exi$tentibus inter $e <marg>33 <I>Prmi.</I></marg> +$e, ip$iq; CS æqualibus, & æquidi$tantibus. Quare pondera in +DE, quatenus $unt $ibi inuicem connexa, $i ip$orum naturalem mo +tum $pectemus, non $ecundùm lineas DS ES, $ed $ecundùm +LDH MEk ip$i CS æquidi$tantes mouebuntur. ponderis ve- +rò in E liberi, ac $oluti, naturalis propen$io erit per ES: ponderis +autem in D $imiliter $oluti erit per DS. ac propterea non e$t incon- +ueniens idem pondus modò in E, modò in D, grauius e$$e in E, +quàm in D. $i verò pondera in ED $ibi inuicem connexa, quate- +nusq; $unt connexa con$iderauerimus; erit ponderis in E natura- +lis propen$io per lineam MEK: grauitas enim alterius ponde- +ris in D efficit, nè pondus in E per lineam ES grauitet, $ed per +Ek. quod ip$um quoq; grauitas ponderis in E efficit, nè $cilicet +pondus in D per rectam DS degrauet; $ed $ecundùm DH: vtra- +que enim $e impediunt, nè ad propria loca permeent. Cùm igi +tur naturalis de$cen$us rectus ponderum in DE $it $ecundùm +LDH MEK: erit $imliter rectus eorum a$cen$us $ecundùm ea$ +dem lineas HDL KEM. atq; a$cen$us ponderis in E magis, mi +nu$uè obliquus dicetur; quantò $ecundùm $patium magis, mi- +nu$uè iuxta lineam Mk moucbitur. hocq; pror$us modo iuxta li +neam LH $ummendus e$t, tùm de$cen$us, tùm a$cen$us ponde- +ris in D. $i itaq; pondus in E deor$um per EG moueretur; pon +dus in D $ur$um per DF moueret. & quoniam angulus CEK <marg>29 <I>Primi.</I></marg> +æqualis e$t angulo CDL, & angulus CEG angulo CDF æqua- +lis; erit reliquus GEK reliquo LDF æqualis. cùm autem $up- +po$itio illa, quæ ait, $ecundúm $itum pondus grauius e$$e, quan- +tò in eodem $itu minus obliquus e$t de$cen$us; tanquam clara, +atq; con$picua admittatur; proculdubio hæc quoq; accipienda +erit; nempè, $ecundúm $itum pondus grauius e$$e, quantò in eo- +dem $itu minus obliquus e$t a$cen$us. cùm non minus manife$ta, +<pb> +rationiq; $it con$entanea. æqualis +igitur erit de$cen$us ponderis in E +a$cen$ui ponderis in D. eandem +enim obliquitatem habet de$cen$us +ponderis in E, quam habet a$cen- +$us ponderis in D; & qualis erit +propen$io vnius ad motum deor$um, +talis quoq; erit re$i$tentia alterius ad +motum $ur$um. nõ ergo pondus in E +pondus in D $ur$um mouebit. neq; +pondus in D deor$um mouebitur, ita +vt $ur$um moueat pondus in E. nam +cũ angulus CEB $it ip$i CDA æqua- +<marg>29 <I>Primi.</I></marg> lis, & Angulus CEM $it angulo +CDH æqualis; erit reliquus MEB +reliquo HDA æqualis. de$cen$us +igitur ponderis in D a$cen$ui ponde +ris in E æqualis erit. non ergo pon +dus in D pondus in E $ur$um moue +bit. ex quibus $equitur pondera in +DE, quatenus $unt $ibi inuicem con +nexa, æquè grauia e$$e. +<fig> +<p>Alia deinde ratio, li- +bram $imiliter DE in AB +redire o$tendens, cùm in- +quiunt, exi$tente trutina in +CF meta e$t CG. & quo- +niam angulus DCG maior +e$t angulo ECG; pondus +in D grauius erit pondere +in E; ergo libra DE in AB +redibit: nihil meo iudicio +concludit. figmentumq; +hoc de trutina, & meta po- +tius omittendum, ac $ilen- +<fig> +<pb n=21> +tio prætereundũ e$$et, quàm verbũ vllũ in eius confutatione $umen +dum; cùm $it pror$us voluntarium. nece$sitas enim cur pondus +in D ex maiore angulo $it grauius; curq; maior angulus maioris +$it cau$a grauitatis; nu$quam apparet. $i autem comparentur in- +uicem anguli, cùm angulus GCD $it æqualis angulo FCE; $i angu +lus GCD e$t cau$a grauitatis; quare angulus FCE $imiliter gra- +uitatis non e$t cau$a? Huius autem rei eam in medium rationem +afferre videntur, quoniam CG e$t meta, & CF trutina. $i (inquiunt) +CG e$$et trutina, & CF meta, tunc angulus FCE grauitatis e$$et +cau$a; non autem DCG ip$i æqualis. quæ quidem ratio imma- +ginaria pror$us, ac voluntaria e$$e videtur. quid enim refert, $iue tru +tina $it in CF, $iue in CG, cùm libra DE in eodem $emper pun- +cto C $u$tineatur? Vt autem eorum deceptio clarius appa- +reat. +<p>Sit eadem libra AB, cu- +ius medium C. $it deinde +tota FG trutina. eaq; im +mobilis exi$tat; quælibram +AB in puncto C $u$tineat. +moueaturq; libra in DE. & +quoniam trutina e$t, & $u- +pra, & infra libram, quis +nam angulus erit cau$a gra- +uitatis, cùm libra DE in +<fig> +eod&etilde; $emper puncto $u$tineatur? dicent for$an, $i trutina à potentia +in F $u$titencatur, tunc CG erit tanquam meta, & angulus +DCG grauitatis erit cau$a. $i verò $u$tineatur in G, tunc FCE +erit cau$a grauitatis, CF verò tanquam meta erit. cuius quidem +rei nulla videtur e$$e cau$a, ni$i immaginaria. meta enim (quod +aiunt) nullam pror$us vim attractiuam, quandoq; ex maioris an- +guli parte, quandoq; ex parte minoris habere videtur. Verùm à dua +bus potentiis $u$tineatur trutina, in F $cilicet, & in G, quod præ ne +ce$sitate fieri pote$t, veluti $i potentia in F $it adeò debilis, vt ex $e +ip$a medietatem tantùm ponderis $u$tinere quæat: $itq; potentia in +Gip$i potentiæ in F æqualis, vtræq; aut&etilde; $imul libram vná cum pon +deribus $u$tineant. tunc quis nam angulus erit cau$a grauitatis? non +<foot>F</foot> +<pb> +FCE, quia trutina e$t in +CF, & in F $u$tinetur. neq; +DCG, cùm trutina $it in +CG, & in G quoq; $u$ti +neatur; non igitur anguli +grauitatis cau$a erunt. ergo +neq; libra DE ab hoc $itu +ob hanc cau$am mo uebi- +<marg><I>Cardanus.</I></marg> tur. Hanc autem eorum +$ententiam dupliciter con- +<fig> +firmare videntur. primùm quidem a$$erunt Ari$totelem in quæ$tio +nibus mechanicis has duas tantùm quæ$tiones propo$ui$$e; eiu$q; +demon$trationes, tum maiori, & minori angulo, tùm trutinæ po$i +tioni inniti. Af$irmant deinde experientiam hoc idem docere; +hoc e$t libram DE trutina exi$tente in CF, in AB horizonti +æquidi$tantem redire. quando autem trutina e$t in CG, in FG +moueri. Verùm neq; Ari$toteles, neq; experientia huic eorum +opinioni fauent, quin potius aduer$antur. quantùm enim atti- +net ad experientiam decipiuntur, ip$a quidem experientia ma- +nife$tum e$t hoc accidere, quando libræ quoq; centrum, vel $u- +pra, vel infra libram fuerit collocatum: non autem trutina dun +taxat $upra, vel infra exi$tente, id contingere. +<pb n=22> +<p>Nam $i libra AB habeat +centrum C $upra libram; +$itq; trutina CD infra li- +bram; moueaturq; libra in +EF; tunc EF rur$us in AB +horizonti æquidi$tantem <marg>2 <I>Huius.</I></marg> +redibit. $imiliter $i libra +centrum C habeat infra li +bram, $itq; trutina CD $u +pra libram, & moueatur +libra in EF; patet libram <marg>3 <I>Huius.</I></marg> +ex parte F deor$um moue +ri, trutina $upra libram e- +xi$tente. & in quocunq; a- +lio $itu fuerit trutina, idem +$emper eueniet. non igitur +trutina, $ed centrum libræ +harum diuer$itatum cau- +$a erit. +<fig> +<p>Animaduertendum e$t +itaq; in hac parte difficulter materialem libram con$titui po$$e, +quæ in vno tantùm puncto $u$tineatur; quemadmodum mente +concipimus. brachiaq; ab eiu$modi centro adeò æqualia habeat, +non $olum in longitudine, verùm etiam in latitudine, & profun +ditate, vt omnes partes hinc indé ad vnguem æqueponderent. +hoc enim materia difficilimè patitur. quocirca $i centrum in ip$a +libra e$$e con$iderauerimus, ad $en$um confugiendum non e$t: +cùm artificilia ad $ummum illud perfectionis gradum ab artifice +deduci minimè po$sint. In aliis verò experientia quidem appa- +rentia docere poterit; proptereaquod, quamquam centrum libræ +$it $emper punctum, quando tamen $upra libram fuerit, parùm re- +fert, $i libra in eo puncto adamu$$im minimè $u$tineatur; quia cùm +$it $emper $upra libram, idem $emper eueniet. $imili quoq; modo +quando e$t infra libram: quod tamen non accidit centro in ip$a li- +bra exi$tente. $i enim ad vnguem $emper in illo medio non $u- +$tineatur, diuer$itatem efficiet; cùm facillimum $it, centrum il- +<foot>F 2</foot> +<pb> +lud, dùm libra mouetur, proprium mutare $itum. +<p>Quòd autem Ari$toteles duas tantùm quæ$tiones propo- +$uerit, cur $cilicet trutina $uperius exi$tente, $i libra non $it +horizonti æquidi$tans in æquilibrium, hoc e$t horizonti æqui +di$tans redit: $i autem trutina deor$um fuer it con$tituta, non +redit; $ed adhuc $ecundùm partem depre$$am mouetur: verum +quidem e$t. non tamen eius demon$trationes maiori, & mino +ri angulo, po$itioniqué trutinæ (vt ip$i dicunt) innituntur. In +hoc enim mentem philo$ophi a$ignantis rationem diuer$itatis +motuum libræ minimè attingunt. tantùm enim abe$t philo$o- +phum has diuer$itates in angulos referre, vt potius in cau$a e$$e +dicat magnitudinis alterius brachii libræ exce$$um à perpendiculo, +modò ex vna, modò ex altera parte contingentem. +<p>Vt trutina $uperius in +CF exi$tente, perpendicu +lum erit FCG, quod $e- +cundùm ip$um in centrum +mundi $emper vergit; +quod quidem libram mo- +tam in DE in partes di- +uidit inæquales; & maior +pars e$t ver$us D: id au- +tem, quod plus e$t, deor +$um fertur; ergo ex par- +te D deor$um libra moue +bitur, donec in AB re- +deat. $i verò trutina $it +<fig> +in CG deor$um, erit GCF perpendiculum, quod libram DE +in partes inæquales $imiliter diuidit: maior autem pars erit ver$us +E; quare ex parte E deor$um libra mouebitur. quod vt rectè in- +telligatur, cùm trutina e$t $upra libram, libræ quoq; centrum $u- +pra libram e$$e intelligendum e$t; & $i deor$um, centrum quoque +deor$um: vt infra patebit. Aliter ip$a Ari$totelis demon$tratio +nihil concluderet. exi$tente enim centro in ip$a libra, vt in C; quo- +cunq; modo moueatur libra, nunquam perpendiculum FG libram, +<pb n=23> +ni$i in puncto C, & in partes diuidet æquales. quare Ari$totelis +$ententia ip$is non $olum non fauet, verùm etiam maximè aduer- +$atur. quòd non $olum ex $ecunda, & rertia huius liquet; verùm +quia exi$tente centro $upra libram pondus eleuatum maiorem +propter $itum acquirit grauitatem. ex quò contingit redditus li- +bræ ad æqualem horizonti di$tantiam. è contra verò, quando +centrum e$t infra libram. Quæ omnia hoc modo o$tendentur; +$upponendo ea, quæ $upra declarata $unt. $cilicet pondus ex quò +loco rectius de$cendit, grauius fieri. & ex quo rectius a$cendit, gra +uius quoq; reddi. +<p>Sit libra AB horizonti +æquidi$tans, cuius centrum +C $it $upra libram, perpen- +diculumq; $it CD. $intq; in +AB ponderum æqualium +centra grauit atis po$ita: mo +taq; $it libra in EF. Dico +pondus in E maiorem ha- +bere grauitatem, quàm pon +dus in F. & ob id libram +EF in AB redire. Produ +catur primùm CD v$q; ad +mundi centrũ, quod $it S. de +inde AC CB EC CF HS +cõnectantur, à puncti$q; EF +ip$i HS æquidi$tantes du +cantur Ek GFL. Quoniam +igitur naturalis de$cen$us re +ctus totius magnitudinis, +libræ $cilicet EF $ic con$ti- +tutæ vná cum ponderibus, +e$t $cundùm grauitatis cen +trum H per rectam HS; erit +<fig> +quoq; ponderum in EF ita po$sitorum de$cen$us $ecundùm re- +ctas Ek FL ip$i HS parallelas; $icuti $upra demon$trauimus. +<pb> +De$cen$us igitur, & a$cen- +$us ponderum in EF ma- +gis, minu$uè obliquus di- +cetur $ecundùm acce$$um, +& rece$$um iuxta lineas Ek +FL de$ignatum. Quoniã au +t&etilde; duo latera AD DC duo +bus lateribus BD DE $unt +æqualia; anguliq; ad D $unt +<marg>4 <I>Primi.</I></marg> recti; erit latus AC lateri +CB æquale. & cùm pun- +ctum C $it immobile; dum +puncta AB mouentur, cir +culi circumferentiam de$cri +bent, cuius $emidiameter +erit AC. quare centro C, +circulus de$cribatur AEBF. +puncta AB EF in circuli +circumferentia erunt. $ed +cùm EF $it ip$i AB æqua +<marg><I>Ex</I> 28 <I>Ter tii.</I></marg> lis; erit circumferentia +EAF circumferentiæ AFB +æqualis. quare dempta +<fig> +communi AF, erit circumferentia EA circumferentiæ FB æqua +lis. Quoniam autem mixtus angulus CEA e$t æqualis mixto +CFB; & HFB ip$o CFB e$t maior; angulus verò HEA ip$o +CEA minor; erit angulus HFB angulo HEA maior. à quibus +<marg>29 <I>Primi.</I></marg> $i auferantur anguli HFG HEk æquales; erit angulus GFB an +gulo kEA maior. ergo de$cen$us ponderis in E minus obliquus +erit a$cen$u ponderis in F. & quamquam pondus in E de$cen +dendo, & pondus in F a$cendendo per circumferentias mouean +tur æquales; quia tamen pondus in E ex hoc loco rectius de$cen +dit, quàm pondus in F a$cendit: idcirco naturalis potentia pon +deris in E re$i$tentiam violentiæ ponderis F $uperabit. quare +maiorem grauitatem habebit pondus in E, quàm pondus in F. +ergo pondus in E deor$um, pondus verò in F $ur$um mouebitur: +<pb n=24> +donec libra EF in AB redeat. quod demon$trare oportebat. +<p>Huius autem effectus ratio ab Ari$totele po$ita, hic manife$ta in <marg><I>Ari$totelis ratio.</I></marg> +tueri pote$t. $it enim punctum N vbi CS EF $e inuicem $ecant. +& quoniam HE e$t ip$i HF æqualis; erit NE maior NF. li- +nea ergo CS, quam perpendiculum vocat, libram EF in partes di +uidet inæquales. cùm itaq; pars libræ NE $it maior NF; atq; id, +quod plus e$t, nece$$e e$t, deor$um ferri: libra ergo EF ex parte E +deor$um mouebitur, donec in AB redeat. +<p>Ex iis præterea, quæ ha +ctenus dicta $unt inferre li +cet, libram EF velocius ab +eo $itu in AB moueri; vndè +linea EF in directum pro- +tracta in centrum mundi +perueniat. vt $it EFS recta +linea. & quoniam CD +CH, $unt inter $e $e æqua +les. $i igitur centro C, $pa +tioq; CD, circulus de$cri- +batur DHM; erunt pun- +cta DH in circuli circum- +ferentia. Quoniam au- +tem CH ip$i EF e$t per- +pendicularis; continget li- +nea EHS circulum DHM +in puncto H. pondus igi- +tur in H ($icuti $upra de- +mon$trauimus) grauius +<fig> +erit, quàm in alio $itu circuli DHM. ergo magnitudo ex EF +ponderibus, & libra EF compo$ita, cuius centrum grauitatis e$t +in H, in hoc $itu magis grauitabit, quàm in quocunq; alio $itu +<pb> +circuli fuerit punctum H. +ab hoc igitur $itu velo- +cius, quàm à quocunq; +alio mouebitur. & $i H +propius fuerit ip$i D mi +nus grauitabit, minu$q; +ab eo $itu mouebitur. +$emper enim de$cen$us +obliquior e$t, & minus re +ctus. libra ergo EF velo +cius ab hoc $itu mouebi- +tur, quàm ab alio $itu. & +$i propius ad AB acce- +det, inde minus mouebi +tur. Deinde quò longius +punctum H à puncto C +di$tabit, velocius moue- +bitur; quod nõ $olũ ex Ari +$totele in principio quæ$t- +io num mechanicarum, & +<fig> +ex $uperius dictis patet; verùm etiam ex iis, quæ infra in $exta +propo$itione dicemus, manife$tum erit. libra igitur EF, quò ma +gis ab eius centro di$tabit, adhuc velocius mouebitur. +<pb n=25> +<p>Sit deinde libra AB, +cuius centrum C $it infra li +bram; $intq; in AB pon +deraæqualia; libraq; $it +mota in EF. Dico maio- +rem habere grauitatem +pondus in F, quàm pondus +in E. atq; ideo libram EF +deor$um ex parte F moue- +ri. Producatur DC ex +vtraq; parte v$q; ad mun- +di centrum S, & v$q; ad +O, lineaq; HS ducatur, +cui à punctis EF æquidi- +$tantes ducantur GEk FL; +connectanturq; CE CF: +atq; centro C, $patioq; CE +circulus de$cribatur AEO +BF. $imiliter demon$tra- +bitur puncta ABEF in +circuli circumferentia e$$e; +de$cen$umq; libræ EF vná +cum ponderibus rectum $e +cundùm lineam HS fieri; +ponderumq; in EF $ecun +<fig> +dùm lineas GK FL ip$i HS æquidi$tantes. Quoniam autem an +gulus CFP æqualis e$t angulo CEO: erit angulus HFP angulo +HEO maior. angulus verò HFL æqualis e$t angulo HEG. à <marg>29 <I>Primi.</I></marg> +quibus igitur $i demantur anguli HFP HEO, erit angulus +LFP angulo GEO minor. quare de$cen$us ponderis in F rectior +erit a$cen$u ponderis in E. ergo naturalis potentia ponderis in +F re$i$tentiam violentiæ ponderis in E $uperabit. & ideo ma- +iorem habebit grauitatem pondus in F, quàm pondus in E. +Pondus igitur in F deor$um, pondus verò in E $ur$um mo- +uebitur. +<p>Ari$totelis quoq; ratio hic per$picua erit. $it enim punctum <marg><I>Ari$totelis ratio.</I></marg> +<foot>G</foot> +<pb> +N vbi CO EF $e inuicem +$ecant; erit NF maior +NE. & quoniam CO per +pendiculum ($ecundùm +ip$um) libram EF in par +tes inæquales diuidit, & +maior pars e$t ver$us F, hoc +e$t NF; libra EF ex par +te F deor$um mouebitur: +cùmid, quod plus e$t, deor +$um feratur. +<p>Similiter, éx dictis +quoq; eliciemus libram EF +centrum habens infra li- +bram, quò magis à $itu +AB di$tabit, velocius mo +ueri. centrum enim graui +tatis H, quò magis á pun- +cto D di$tat, eò volecius +pondus ex EF ponderibus, +libraq; EF compo$itum +mouebitur, donec angulus +CHS rectus euadat. ad- +huc in$uper velocius moue +bitur, quò libram à centro +C magis di$tabit. +<fig> +<p>Ex ip$orum quinetiam rationibus, ac fal$is $upo$itionibus iam +declaratos libræ effectus, ac motus deducere, ac manife$tare libet; +vt quanta $it veritatis efficacia appareat, quippè ex fal$is etiam +eluce$cere contendit. +<pb n=26> +<p>Exponantur eadem, $ci +licet $it circulus AEBF; +libraqué AB, cuius cen- +trum C $it $upra libram, +moueatur in EF. dico +pondus in E maiorem ibi +habere grauitatem, quàm +pondus in F; libramq; EF +in AB redire. Ducantur +à punctis EF ip$i AB +perpendiculares EL FM, +quæ inter $e æquidi$tan- <marg>28 <I>Primi.</I></marg> +<fig> +tes erunt; $itq; punctum N, vbi AB EF $e inuicem $ecant. +Quoniam igitur angulus FNM e$t æqualis angulo ENL, & an- <marg>15 <I>Primi.</I></marg> +gulus F MN rectus recto ELN æqualis, ac reliquus NFM reli- <marg>29 <I>Primi.</I></marg> +quo NEL e$t etiam æqualis; erit triangulum NLE triangu +lo NMF $imile. vt igitur NE ad EL, ita NF ad FM; & per <marg>4 <I>Sexti.</I></marg> +mutando vt EN ad NF, ita EL ad FM. $ed cùm $it HE ip$i <marg>16 <I>Quinti.</I></marg> +HF æqualis, erit EN maior NF; quare & EL maior erit FM. +& quoniam dum pondus in E per circumferentiiam EA de$cendit, +pondus in F per circumferentiam FB ip$i circumferentiæ EA +æqualem a$cendit; de$cen$u$q; ponderis in E de directo (vt ip- +$i dicunt) capit EL: a$cen$us verò ponderis in F de directo ca- +pit FM; minus de directo capiet a$cen$us ponderis in F, quàm +de$cen$us ponderis in E. maiorem igitur grauitatem habebit pon +dus in E, quàm pondus in F. +<p>Producatur CD ex vtraq; parte in OP, quæ lineam EF in +puncto S $ecet. & quoniam (vt aiunt) quò magis pondus à li- +nea directionis OP di$tat, eò fit grauius; idcirco hoc quoq; me +dio pondus in E maiorem habere grauitauitatem pondere in F o- +$tendetur. Ducantur à punctis EF ip$i OP perpendiculares EQ +FR. $imiliratione o$tendetur, triangulum QES triangulo RFS +$imile e$$e; lineamq; EQ ip$a RF maiorem e$$e. pondus itaq; +in E magis à linea OP di$tabit, quàm pondus in F; ac propterea +pondus in E maiorem habebit grauitatem pondere in F. ex quibus +reditus libræ EF in AB manife$tus apparet. +<foot>G 2</foot> +<pb> +<p>Si autem centrum libræ +$it infra libram, tunc pon- +dus depre$$um maiorem +habere grauitatem eleuato +ii$dem mediis o$tendetur. +ducantur à punctis EF ip- +$i AB perpendiculares EL +FM. $imiliter demon$tra +bitur EL maiorem e$$e +FM; & ob id de$cen$us +ponderis in F minus de di +recto capiet, quàm a$cen- +<fig> +$us ponderis in E: quocirca re$i$tentia violentiæ ponderis in E $u +perabit naturalem propen$ionem ponderis in F. ergo pondus in E +pondere in F grauius erit. +<p>Producatur etiam CD ex vtraq; parte in OP; ip$iq; à punctis +EF perpendiculares ducantur EQ FR. eodem pror$us modo +o$tendetur, lineam EQ maiorem e$$e FR. pondus ideò in E ma +gis à linea directionis OP di$tabit, quàm pondus in F. maio- +rem igitur grauitatem habebit pondus in E, quàm pondus in F. +ex quibus $equitur, libram EF ex parte E deor$um moueri. +<p>Ari$toteles itaq; has duas tantùm quæ$tiones propo$uit, ter- +tiamq; reliquit; $cilicet cùm centrum libræ in ip$a e$t libra: hanc +autem ommi$sit, vt notam, quemadmodum res valde notas præ- +termittere $olet. nam cui dubium, $i pondus in eius centro gra +uitatis $u$tineatur, quin maneat? Ea verò, quæ ex ip$ius $enten +tia attulimus, aliquis reprehendere po$$et, nos integram eius $enten +tiam minimè protuli$$e affimans. nam cùm in $ecunda parte $e +cundæ quæ$tionis proponit, cur libra, trutina deor$um con$tituta, +quando deor$um lato pondere qui$piam id amouet, non a$cen +dit, $ed manet? non a$$erit adhuc libram deor$um moueri; $ed +manere. quod in vltima quoq; conclu$ione colligi$$e videtur. Ve +rùm hoc non $olum nobis non repugnat, $ed $i rectè intelligitur, +maximè $uffragatur. +<pb n=27> +<p>Sit enim libra AB +horizonti æquidi$tans, +cuius centrum E $it +infra libram. quia ve +rò Ari$toteles libram, +$icuti actu e$t, con$ide +rat; ideò nece$$e e$t +trutinam, vel aliquid +aliud infra centrum E +collocare, vt EF +(quod quidem truti- +na erit) ita vt centrum +E fu$tineat. $itq; per- +<fig> +pendiculum ECD. & vt libra AB ab hoc moueatur $itu; dicit +Ari$toteles, ponatur pondus in B, quod cùm $it graue, libram ex +parte B deor$um mouebit; putá in G. ita vt propter impedimen +tum deor$um amplius mouerinon poterit. non enim dicit Ari +$toteles, moueatur libra ex parte B deor$um, quou$q; libuerit; dein +de relinquatur, vt nos diximus: $ed præcipit, vt in ip$o B po- +natur pondus, quod ex ip$ius natura deor$um $emper mouebi- +tur; donec libra trutinæ, $iue alicui alii adhæreat. & quando B erit +in G, erit libra in GH; in quo $itu, ablato pondere, manebit: +cùm maior pars libræ à perpendiculo $it ver$us G, quæ e$t DG, +quàm DH. nec deor$um amplius mouebitur; nam libra, vel +trutinæ, vel alteri cuipiam, quod centrum libræ $u$tineat, incum +bet. $i enim huic non adhæreret, libra ex parte G deor$um ex +ip$ius $ententia moueretur; cùm id, quod plus e$t, $cilicet DG, +deor$um ferri $it nece$$e. +<p>Cæterum quis adhuc dicere poterit, $i paruum imponatur pon +dus in B, mouebitur quidem libra deor$um, non autem v$q; ad +G. in quò $itu $ecundùm Ari$totelem, ablato pondere, mane- +re deberet. quod experimento patet; cùm in vna tantùm libræ +extremitate, impo$ito onere, hocq; vel maiore, vel minore, libra +plus, minu$uè inclinetur. Quod e$t quidem veri$$imum, centro $upra +libram, non autem infra, neq; in ip$a libra collocato. Vt exempli +gratia. +<pb> +<p>Sit libra horizonti æ- +quidi$tans AB, cuius cen +trum C $it $upra libram, +perpendiculumq; CD ho +rizonti perpendiculare, +quod ex parte D produca +tur in H. Quoniam enim +con$iderata libræ grauita- +te, erit punctum D libræ +centrum grauitatis. $iergo +in B paruum imponatur +pondus, cuius centrum +<fig> +grauitatis $it in puncto B; magnitudinis ex libra AB, & pondere +in B compo$itæ non erit amplius centrum grauitatis D; $ed erit in +<marg>6 <I>Primi Ar chim. de æquep.</I></marg> linea DB, vt in E: ita vt DE ad EB $it, vt pondus in B ad gra- +uitatem libræ AB. Connectatur CE. Quoniam autem pun- +ctum Ce$t immobile, dum libra mouetur, punctum E circuli cir +cumferentiam EFG de$cribet, cuius $emidiameter CE, & cen- +trum C. quia verò CD horizonti e$t perpendicularis, linea CE +horizonti perpendicularis nequaquam erit. quare magnitudo ex +AB, & pondere in B compo$ita minimè in hoc $itu manebit; $ed +<marg>1. <I>Huius.</I></marg> deor$um $ecundùm eius grauitatis centrum E per circumferen- +tiam EFG mouebitur; donec CE horizonti perpendicularis eua +dat; hoc e$t, donec CE in CDF perueniat. atq; tunc libra AB +mota erit in kL, in quo $itu libra vná cum pondere manebit. nec +deor$um amplius mouebitur. Si verò in B ponatur pondus graui- +us; centrum grauitatis totius magnitudinis erit ip$i B propius, vt in +M. & tunclibra deor$um, doneciuncta CM in linea CDH per +ueniat, mouebitur. Ex maiore igitur, & minore pondere in B po +$ito, libra plus, minu$uè inclinabitur. ex quo $equitur pondus B +quarta circuli parte minorem $emper circumferentiam de$cribe- +re, cùm angulus FCE $it $emper acutus. nunquam enim punctum +B v$q; ad lineam CH perueniet, cùm centrum grauitatis ponde- +ris, & libræ $imul $emper inter DB exi$tat. quò tamen pondus +in B grauius fuerit, maiorem quoq; circumferentiam de$cribet. +eò enim magis punctum B ad lineam CH accedet. +<pb n=28> +<p>Habeat autem libra AB +centrum C in ip$a libra, atq; +in eius medio: erit C libræ +centrum quoq; grauitatis; +à quo ip$i AB, horizontiq; +perpendicularis ducatur FC +G. ponatur deinde in B +quoduis pondus; erit totius +magnitudinis centrum gra- +uitatis putá in E; ita vt CE +<fig> +ad EB $it, vt pondus in B ad libræ grauitatem. & quoniam CE +non e$t horizonti perpendicularis, libra AB, atq; pondus in B +in hoc $itu nunquam manebunt; $ed deor$um ex parte B mouebun +tur, donec CE horizontifiat perpendicularis. hoc e$t donec li- +bra AB in FG perueniat. ex quo patet, quolibet pondus in B +circuli quartam $emper de$cribere. +<p>Sit autem centrum Cin- +fra libram AB. $itq; DCE +perpendiculum. $imiliter +po$ito in B pondere, cen- +trum grauitatis magnitudi +nis ex AB libra, & ponde +re in B compo$itæ in linea +DB erit; vt in F; ita vt DF +ad FB $it, vt pondus in B +<fig> +ad libræ pondus. Iungatur CF. & quoniam CD horizonti e$t +perpendicularis; linea CF horizonti nequaquam perpendicula- +ris exi$tet. quare magnitudo ex AB libra, ac pondere in B com +po$ita in hoc $itu nunquam per$i$tet; $ed deor$um, ni$i aliquid +impediat, mouebitur; donec CF in DCE perueniat: in quo $itu +libra vná cum pondere manebit. & punctum B erit vt in G, atq; +punctum A in H, libraq; GH non amplius centruminfra, $ed $u +pra ip$am habebit. quod idem $emper eueniet; quamurs mini- +mum imponatur pondus in B. ergo priu$quam B perueniat ad +G; nece$$e e$t libram, $iue trutinæ deor$um po$itæ, vel alicui +<pb> +alteri, quod centrum C $u- +$tineat, occurrere; ibiq; ad- +hærere. ex hoc $equitur, pon +dus in B vltra lineam Dk +$emper moueri; ac circuli +quarta maiorem $emper cir +cumfer&etilde;tiam de$cribere: e$t +enim angulus FCE $emper +obtu$us, cùm angulus DCF +$emper $it acutus. quò au- +<fig> +tem pondus in B fuerit leuius, maiorem tamen adhuc circumfe- +rentiam de$cribet. nam quò pondus in G leuius fuerit, eò ma- +gis pondus in G eleuabitur; libraq; GH ad $itum horizontiæqui +di$tantem propius accedet. quæ omnia ex iis, quæ $upra dixi- +mus, manife$ta $unt. +<p>His demon$tratis. Manife$tum e$t, centrum libræ cau$am e$$e +diuer$itatis effectuum in libra. atq; patet omnes Archimedis de +æqueponderantibus propo$itiones ad hoc pertinentes in omni $itu +veras e$$e. hoc e$t $iue libra $it horizonti æquidi$tans, $iue non: +dummodo centrum libræ in ip$a $it libra; quemadmodum ip$e +con$iderat. & quamquam libra brachia habeat inæqualia, idem eue +niet; eodemq; pro$us modo o$tendetur, centrum libræ diuer$imo +dè collocatum varios producere effectus. +<p>Sit enim libra AB hori- +zonti æquidi$tans; & in AB +$int pondera inæqualia, quo +rum grauitatis centrum $it +C: $u$pendaturq; libra in +eodem puncto C. & mo- +ueatur libra in DE. mani +<marg><I>Per def.c&etilde; tri grauitatis.</I></marg> fe$tum e$t libram non $o- +lum in DE, $ed in quouis +alio $itu manere. +<fig> +<pb n=29> +<p>Sit autem centrum libræ +AB $upra C in F; $itq; +FC ip$i AB, & horizonti +perpendicularis: & $i mo- +ueatur libra in DE, linea +CF mota erit in FG; quæ +cùm non $it horizonti per- +pendicularis, libra DE <marg>1 <I>Huius.</I></marg> +deor$um ex parte D moue +bitur, donec FG in FC +redeat: atq; tunc libra DE +in AB erit, in quò $itu +quoq; manebit. +<fig> +<p>Et $i centrum libræ F +$it infra libram; $itq; mota +libra in DE; primùm qui +dem manife$tum e$t li- +bram in AB manere; in <marg>1. <I>Huius.</I></marg> +DE verò deor$um ex par +te E moueri: cùm linea +FG non $it horizonti per- +pendicularis. +<fig> +<p>Ex his determinatis $i libra $it +arcuata, vel libræ brachia angulum +con$tituant; centrumq; diuer$imo +dè collocetur (quamquam hæc pro +priè non $it libra) varios tamen +huius quoq; effectus o$tendere pote +rimus. Vt $it libra ACB, cuius +centrum, circa quod vertitur, $it C. +ductaq; AB, $it arcus $iue angulus +<fig> +ACB $upra lineam AB; & in AB grauitatis centra ponderum +ponantur, quæ in hoc $itu maneant. moueatur deinde libra ab +<foot>H</foot> +<pb> +hoc $itu, putá in ECF. Dico li- +bram ECF in ACB redire. to- +tius magnitudinis centrum grauita +tis inueniatur D. & CD iunga- +tur. Quoniam enim pondera AB +<marg>1 <I>Huius.</I></marg> manent, linea CD horizonti per- +pendicularis erit. quando igitur +libra erit in ECF, linea CD erit +putá in CG; quæ cùm non $it ho +<fig> +rizonti perpendicularis; libra ECF in ACB redibit. quod idem +eueniet, $i centrum C $upra libram con$tituatur, vt in H. +<p>Si verò arcus, $iue angulus +ACB, $it infra lineam AB; eo +dem modo libram ECF, cuius +centrum, $iue $it in C, $iue in H, +deor$um ex parte F moueri o- +$tendemus. +<fig> +<p>Sit autem angulus ACB $upra lineam AB; aclibræ centrum +$it H; lineaq; CH libram $u$tineat; & moueatur libra in EKF: +libra EkF in ACB redibit. +<pb n=30> +<p>Si verò centrum libræ $it D, quocunq; modo moueatur libra; +vbirelinquetur, manebit. +<p>Si deinde punctum H $it infra lineam AB; tunc libra EkF +deor$um ex parte F mouebitur. +<p>Similiq; pror$us ratione, $i an +gulus ACB $it infra lineam AB; +$itq; libræ centrum H; $u$tineaturq; +libralinea CH; $i libra ab hoc mo +ueatur $itu, deor$um ex parte pon- +deris inferioris mouebitur. & $i cen +trum libræ $it D; vbi relinquetur, +manebit. $i verò $it in K; $i ab eiu$ +<fig> +modi moueatur $itu, in eundem pro$us redibit. quæ omnia ex iis, +quæ in principio diximus, $unt manife$ta. $imiliter $i centrum li +bræ, vel in altero brachiorum, vel intra, vel extra vtcunq; po +natur; eadem inueniemus. +<foot>H 2</foot> +<pb> +<head>PROPOSITIO. V.</head> +<p>Duo pondera in libra appen$a, $i libra inter +hæc ita diuidatur, vt partes ponderibus per- +mutatim re$pondeant; tàm in punctis appen$is +ponderabunt, quàm $i vtraq; ex diui$ionis pun- +cto $u$pendantur. +<fig> +<p>Sit AB libra, cuius centrum C; $intq; duo pondera EF ex pun +ctis BG $u$pen$a: diuidaturq; BG in H, ita vt BH ad HG +eandem habeat proportionem, quam pondus E ad pondus F. +Dico pondera EF tàm in BG ponderare, quàm $i vtraq; ex pun +cto H $u$pendantur. fiat AC ip$i CH æqualis. & vt AC ad +CG, ita fiat pondus E ad pondus L. $imiliter vt AC ad CB, +ita fiat pondus F ad pondus M. ponderaq; LM ex puncto A $u +$pendantur. Quoniam enim AC e$t æqualis CH, erit BC ad +CH vt pondus M ad pondus F. & quoniam maior e$t BC, +quàm CH; erit & pondus M ip$o F maius. diuidatur igitur pon +dus M in duas partes QR, $itq; pars Q ip$i F æqualis; erit BC +<marg>17 <I>Quinti.</I></marg> ad CH, vt RQ ad Q: & diuidendo, vt BH ad HC, ita R ad Q. +<marg><I>Cor.</I>4 <I>quinti.</I></marg> deinde conuertendo, vt CH ad HB, ita Q ad R. Præterea quo- +niam CH e$t æqualis ip$i CA, erit HC ad CG, vt pondus +E ad pondus L: maior autem e$t HC, quàm CG; erit & pon- +<pb n=31> +dus E pondere L maius. diuidatur itaq; pondus E in duas partes +NO ita, vt pars O $it ip$i L æqualis, erit HC ad CG, vt to- +tum NO ad O; & diuidendo, vt HG ad GC, ita N ad O: <marg>17 <I>Quinti. Cor.</I>4 <I>quin ti.</I></marg> +conuertendoq; vt CG ad GH, ita O ad N. & iterum com- +ponendo, vt CH ad HG, ita ON ad N. vt autem GH <marg>18 <I>Quinti.</I></marg> +ad HB, ita e$t F ad ON. quare ex æquali, vt CH ad HB, ita F <marg>23 <I>Quinti.</I></marg> +ad N. $ed vt CH ad HB ita e$t Q ad R: erit igitur Q ad R, vt <marg>11 <I>Quinti.</I></marg> +F ad N; & permutando, vt Q ad F, ita R ad N. e$t autem pars <marg>16 <I>Quinti.</I></marg> +Q ip$i F æqualis; quare & pars R ip$i N æqualis erit. Itaq; cùm +pondus L $it ip$i O æquale, & pondus F ip$i Q etiam æquale, atq; +pars R ip$i N æqualis; erunt pondera LM ip$is EF ponderibus +æqualia. & quoniam e$t, vt AC ad CG, ita pondus E ad pon- +dus L; pondera EL æqueponderabunt. $imiliter quoniam e$t, vt <marg>6 <I>Primi Ar chim. de æquep.</I></marg> +AC ad CB, ita pundus F ad pondus M; pondera quoq; FM +æqueponderabunt. Pondera igitur LM ponderibus EF in BG <marg>2 <I>Com. not. huius.</I></marg> +appen$is æqueponderabunt. cùm autem di$tantia CA æqualis $it +di$tantiæ CH; $i igitur vtraq; pondera EF in H appendantur, +pondera LM ip$is EF ponderibus in H appen$is æquepondera- +bunt. $ed LM ip$is EF in GB quoq; æqueponderant: æquè <marg>3 <I>Com not. huius.</I></marg> +igitur grauia erunt pondera EF in GB, vt in H appen$a. tàm igi +tur ponderabunt in BG, quàm in H appen$a. +<fig> +<p>Sint autem pondera EF in CB appen$a; $itq; C libræ centrum; +& diuidatur CB in H, ita vt CH ad HB $it, vt pondus in F ad +E. Dico pondera EF tàm in CB ponderare, quàm in puncto H. +fiat CA ip$i CH æqualis, & vt CA ad CB, ita fiat pondus F ad +aliud D, quod appendatur in A. Quoniam enim CH e$t æqua- +<pb> +<fig> +lis CA, erit CH ad CB, vt F ad D; & maior quidem e$t CB, +quàm CH; idcirco D pondere F maius erit. Diuidatur ergo D +in duas partes Gk, $itq; G ip$i F æqualis; erit vt BC ad CH, +vt Gk ad G; & diuidendo, vt BH ad HC, ita K ad G; & conuer +<marg>17 <I>Quinti. Cor.</I>4 <I>quin ti.</I></marg> tendo, vt CH ad HB, ita G ad k. Vt autem CH ad HB, ita e$t +<marg>11 <I>Quinti.</I></marg> F ad E. vt igitur G ad k, ita e$t F ad E; & permutando vt G +<marg>16 <I>Quinti.</I></marg> ad F, ita k ad E. $unt autem GF æqualia; erunt & kE inter$e +$e æqualia. cùm itaq; pars G $it ip$i F æqualis, & K ip$i E; erit +totum C k ip$is EF ponderibus æquale. & quoniam AC e$t ip- +$i CH æqualis; $i igitur pondera EF ex puncto H $u$pendantur, +pondus D ip$is EF in H appen$is æqueponderabit. $ed & ip$is +æqueponderat in CB, hoc e$t F in B, & E in C; cùm $it vt AC +ad CB, ita F ad. D. pondus enim E ex centro libræ C $u$pen- +$um non efficit, vt libra in alterutram moueatur partem. tàm igi- +tur grauia erunt pondera EF in CB, quàm in H appen$a. +<pb n=32> +<fig> +<p>Sit deniq; libra AB, & ex punctis AB $u$pen$a $int pondera +EF; $itq; centrum libræ C intra pondera; diuidaturq; AB in +D, ita vt AD ad DB $it, vt pondus F ad pondus E. Dico pon +dera EF tàm in AB ponderare, quám $i vtraq; ex puncto D $u$pen +dantur. fiat CG æqualis ip$i CD; & vt DC ad CA, ita fiat +pondus E ad aliud H; quod appendatur in D. vt autem GC ad +CB, ita fiat pondus Fad aliud K; appendaturq; k in G. Quoniã enim +e$t, vt BC ad CG, hoc e$t ad CD, ita pondus k ad F; erit K ma +ius pondere F. quare diuidatur pondus k in L, & MN; fiatq; +pars L ip$i F æqualis; erit vt BC ad CD, vt totum LMN ad +L; & diuidendo, vt BD ad DC, ita pars MN ad partem L. vt <marg>17 <I>Quinti.</I></marg> +igitur BD ad DC, ita pars MN ad F. vt autem AD ad DB, +ita F ad E: quare ex æquali, vt AD ad DC, ita MN ad E. cùm <marg>23 <I>Quinti.</I></marg> +verò AD $it ip$a CD maior; erit & pars MN pondere E +maior: diuidatur ergo MN in duas partes MN, $itq; M æqua +lis ip$i E. erit vt AD ad DC, vt NM ad M; & diuidendo, vt <marg>17 <I>Quinti. Cor.</I>4 <I>quin ti</I></marg> +AC ad CD, ita N ad M: conuertendoq; vt DC ad CA, ita M +ad N. vt autem DC ad CA, ita e$t E ad H; erit igitur M ad N <marg>11 <I>Quinti.</I></marg> +vt E ad H; & permutando, vt M ad E, ita N ad H. $ed ME <marg>16 <I>Quinti.</I></marg> +$unt inter $e æqualia, erunt NH inter $e$e quoq; æqualia. & quo- +niam ita e$t AC ad CD, vt H ad E: pondera HE æqueponde- <marg>6 <I>Primi Ar chim. de æquep.</I></marg> +rabunt. $imiliter quoniam e$t vt GC ad CB, ita F ad k, ponde- +<pb> +<fig> +<marg>2 <I>Com.not. huius.</I></marg> ra etiam kF æqueponderabunt. pondera igitur Ek HF in li- +bra AB, cuius centrum C, æqueponderabunt. cùm autem GC +ip$i CD $it æqualis, & pondus H $it ip$i N æquale; pondera NH +æqueponderabunt. & quoniam omnia æqueponderant, demptis +<marg>1 <I>Com.not. huius.</I></marg> HN ponderibus, quæ æqueponderant, reliqua æqueponderabunt; +hoc e$t pondera EF & pondus LM ex centro libræ C $u$pen$a. +quia verò pars L ip$i F e$t æqualis, & pars M ip$i E æqualis; erit +totum LM ip$is FE ponderibus $imul $umptis æquale. & cùm +$it CG ip$i CD æqualis, $i igitur pondera EF ex puncto D $u$pen- +dantur, pondera EF in D appen$a ip$i LM æqueponderabunt. quare +LM tàm ip$is EF in AB appen$is æqueponderat, quàm in pun +cto D appen$is. libra enim $emper eodem modo manet. Ponde- +<marg>3 <I>Com.not. huius.</I></marg> ra ergo EF tàm in AB ponderabunt, quàm in puncto D. quod +demon$tre oportebat. +<p>Hæc autem omnia (mechanicè tamen ma- +gis) aliter o$tendemus. +<pb n=33> +<fig> +<p>Sit libra AB, cuius centrum C; $intq; vt in primo ca$u duo pon +dera EF ex punctis BG $u$pen$a: $itq; GH ad HB, vt pondus +F ad pondus E. Dico pondera EF tàm in GB ponderare, quàm +$i vtraq; ex diui$ionis puncto H $u$pendantur. Con$truantur ea +dem, hoc e$t fiat AC ip$i CH æqualis, & ex puncto A duo ap- +pendantur pondera LM, ita vt pondus E ad pondus L, $it vt +CA ad CG; vt autem CB ad CA, ita $it pondus M ad pondus +F. pondera LM ip$is EF in GB appen$is (vt $upra dictum e$t) +æqueponderabunt. Sint deinde puncta NO centra grauitatis pon +derum EF; conneci anturq; GN BO; iungaturq; NO, quæ tan- +quam libra erit; quæ etiam efficiat lineas GN BO inter $e $e æqui- +di$tantes e$$e; à punctoq; H horizonti perpendicularis ducatur +HP, quæ NO $ecet in P, atq; ip$is GN BO $it æquidi$tans. +deniq; connectatur GO, quæ HP $ecet in R. Quoniam igitur +HR e$t lateri BO trianguli GBO æquidi$tans; erit GH ad HB, +vt GR ad RO. $imiliter quoniam RP e$t lateri GN trianguli <marg>2 <I>Sexti.</I></marg> +OGN æquidi$tans; erit GR ad RO, vt NP ad PO. quare +vt GH ad HB, ita e$t NP ad PO. vt autem GH ad HB, ita <marg>11 <I>Quinti.</I></marg> +e$t pondus F ad pondus E; vt igitur NP ad PO, ita e$t pondus +F ad pondus E. punctum ergo P centrum erit grauitatis magni- +tudinis ex vtri$q; EF ponderibus compo$itæ. Intelligantur itaq; <marg>6 <I>Primi Ar chim. de æquep.</I></marg> +pondera EF ita e$$e à libra NO connexa, ac $i vna tantùm e$$et +magnitudo ex vtri$q; EF compo$ita, in puncti$q; BG appen$a. $i +igitur ponderum $u$pen$iones BG $oluantur, manebunt pondera <marg>1 <I>Huius.</I></marg> +EF ex HP $u$pen$a; $icuti in GB prius manebant. pondera verò EF +in GB appen$a ip$is LM ponderibus æqueponderant, & pondera +<foot>I</foot> +<pb> +<fig> +EF ex puncto H $u$pen$a, eandem habent con$titutionem ad li- +bram AB, quam in BG appen$a: eadem ergo pondera EF ex +H $u$pen$a ei$dem ponderibus LM æqueponderabunt. æquè igi- +tur $unt grauia pondera EF in GB, vt in H appen$a. +<fig> +<p>Similiter demon$trabitur, pondera EF in quibu$cunq; aliis pun +ctis appen$a tàm põderare, quàm $i vt raq; ex diui$ionis puncto H $u +$pendantur. $i enim (vt $upra docuimus) in libra pondera inue- +niantur, quibus pondera EF æqueponderent; eadem pondera EF +ex H $u$pen$a ei$dem inuentis ponderibus æqueponderabunt; cùm +punctum P $it $emper eorum centrum grauitatis; & HP horizon +ri perpendicularis. +<pb n=34> +<head>PROPOSITIO. VI.</head> +<p>Pondera æqualia in libra appen$a eam in gra +uitate proportionem habent; quam di$tantiæ, ex +quibus appenduntur. +<fig> +<p>Sit libra BAC $u$pen$a ex puncto A; & $ecetur AC vtcunq; +in D: ex punctis autem DC appendantur æqualia pondera EF. +Dico pondus F ad pondus E eam in grauitate proportionem ha- +bere, quam habet di$tantia CA ad di$tantiam AD. fiat enim vt +CA ad AD, ita pondus F ad aliud pondus, quod $it G. Dico pri +múm pondera GF ex puncto C $u$pen$a tantùm ponderare, quan +tùm pondera EF ex punctis DC. Secetur DC hifariam in H, & +ex H appendantur vtraq; pondera EF. ponderabunt EF $imul +$umpta in eo $itu, quantùm ponderant in DC. ponatur BA <marg>5 <I>Huius.</I></marg> +æqualis AH, $eceturq; BA in K, ita vt $it KA æqualis AD: +deinde ex puncto B appendatur pondus L duplum ponderis F, +hoc e$t æquale duobus ponderibus EF, quod quidem æqueponde +rabit ponderibus EF in H appen$is, hoc e$t appen$is in DC. Quoniã +igitur, vt CA ad AD, ita e$t pondus F ad pondus G; erit compo +nendo vt CA AD ad AD, hoc e$t vt Ck ad AD, ita ponde- <marg>18 <I>Quinti.</I></marg> +ra FG ad pondus G. $ed cùm $it, vt CA ad AD, ita F pon- +dus ad pondus G; erit conuertendo, vt DA ad AC, ita pondus <marg><I>Cor.</I> 4 <I>quinti.</I></marg> +G ad pondus F; & con$equentium dupla, vt DA ad duplam ip$ius +AC, ita pondus G ad duplum ponderis F, hoc e$t ad pondus +L. Quare vt Ck ad DA, ita pondera EF ad pondus G; & vt +<foot>I 2</foot> +<pb> +<fig> +<marg>22 <I>Quinti.</I></marg> AD ad duplã ip$ius AC, ita pondus G ad pondus L; ergo ex æquali, +vt Ck ad duplã ip$ius AC, ita pondera FG ad pondus L. $ed vt Ck +ad duplam AC, ita dimidia CK, videlicet AH, hoc e$t BA, ad +AC. Vt igitur BA ad AC, ita FG pondera ad pondus L. Qua +re ex $exta eiu$dem primi Archimedis, duo pondera FG ex pun +cto C $u$pen$a tantùm ponderabunt, quantùm pondus L ex B; +hoc e$t quantùm pondera EF ex punctis DC $u$pen$a. Itaq; quo +niam pondera FG tantùm ponderant, quantum pondera EF; $u- +blato communi pondere F, tàm ponderabit pondus G in C ap- +pen$um, quàm pondus E in D. ac propterea pondus F ad pon- +<marg>7 <I>Quinti.</I></marg> dus E eam in grauitate proportionem habet, quam habet ad pon +dus G. $ed pondus F ad G erat, vt CA ad AD:. ergo & F pon- +dus ad pondus E eam in grauitate proportionem habebit, quam ha +bet CA ad AD. quod demon$trare oportebat. +<p>Si verò in libra +BAC pondera EF +æqualia ex punctis +BC $u$pendantur; $i- +militer dico pondus +E ad pondus F eam +<fig> +in grauitate proportionem habere, quàm habet di$tantia CA ad di +$tantiam AB. fiat AD ip$i AB æqualis, & ex puncto D $u$pen- +datur pondus G æquale ponderi F; quod etiam ip$i E erit æquale. +& quoniam AD e$t æqualis ip$i AB; pondera FG æqueponde +rabunt, eandemq; habebunt grauitatem. cùm autem grauitas pon +deris E ad grauitatem ponderis G $it, vt CA ad AD; erit graui +tas ponderis E ad grauitatem ponderis F, vt CA ad AD, hoc e$t +CA ad AB. quod erat quoq; o$tendendum. +<pb n=35> +<head>ALITER.</head> +<p>Sit libra BAC, cu- +ius centrum A; in pun- +ctis verò BC pondera +appendantur æqualia G +F: $itq; primùm cen- +trum A vtcunque inter +BC. Dico pondus F ad +pondus G eam in graui +<fig> +tate proportionem habere, quam habet di$tantia CA ad di$tan- +tiam AB. fiat vt BA ad AC, ita pondus F ad aliud H, quod ap +pendatur in B: pondera HF ex A æqueponderabunt. $ed cùm <marg>6 <I>Primi Ar chim. de æquep.</I></marg> +pondera FG $int æqualia, habebit pondus H ad pondus G ean- +dem proportionem, quam habet ad F. vt igitur CA ad AB, ita <marg>7 <I>Quinti.</I></marg> +e$t H ad G. vt autem H ad G, ita e$t grauitas ip$ius H ad graui +tatem ip$ius G; cùm in eodem puncto B $int appen$a. quare vt CA +ad AB, ita grauitas ponderis H ad grauitatem ponderis G. cùm au +tem grauitas ponderis F in C appen$i $it æqualis grauitati ponderis +H in B; erit grauitas ponderis F ad grauitatem ponderis G, vt CA +ad AB, videlicet vt di$tantia ad di$tantiam. quod demon$trare +oportebat. +<p>Si verò libra B +AC $ecetur vtcunq; +in D, & in DC ap- +pendantur pondera +æqualia EF. Dico +$imiliter ita e$$e gra- +<fig> +uitatem ponderis F ad grauitatem ponderis E, vt di$tantia CA ad +di$tantiam AD. fiat AB æqualis ip$i AD, & in B appendatur +pondus G æquale ponderi E, & ponderi F. Quoniam enim AB e$t +æqualis AD; pondera GE æqueponderabunt. $ed cùm grauitas +ponderis F ad grauitatem ponderis G $it, vt CA ad AB, & graui +tas ponderis E $it æqualis grauitati ponderis G; erit grauitas pon<*> +deris F ad grauitatem ponderis E, vt CA ad AB, hoc e$t vt CA +ad AD. qu od demon$trare oportebat. +<pb> +<head>COROLLARIVM.</head> +<p>Ex hoc manife$tum e$t, quò pondus à centro +libræ magis di$tat, eò grauius e$$e; & per con$e- +quens velocius moueri. +<p><marg><I>Stateræ ratio.</I></marg> Hinc præterea $tateræ quoq; ratio facilè o$ten +detur. +<p>Sit enim $tate +ræ $capus AB, cu +ius trutina $it in +C; $itq; $tateræ +appendiculum E. +appendatur in A +pondus D, quod +æqueponderet ap +pendiculo E in F +<fig> +appen$o. aliud quoq; appendatur pondus G in A, quod etiam +appendiculo E in B appen$o æqueponderct. Dico grauitatem +ponderis D ad grauitatem ponderis G ita e$$e, vt CF ad CB. +Quoniam enim grauitas ponderis D e$t æqualis grauitati ponde- +ris E in F appen$i, & grauitas ponderis G e$t æqualis grauitati pon +deris E in B; erit grauitas ponderis D ad grauitatem ponderis E in +F, vt grauitas ponderis G ad grauitatem ponderis E in B: & permu +<marg>16 <I>Quinti.</I></marg> tando, vt grauitas ponderis D ad grauitatem ponderis G, ita graui +tas ip$ius E in F, ad grauitatem ip$ius E in B; grauitas autem pon +<marg>6 <I>Huius.</I></marg> deris E in F ad grauitatem ponderis E in B e$t, vt CF ad CB; vt +igitur grauitas ponderis D ad grauitatem ponderis G, ita e$t CF +ad CB $i ergo pars $capi CB in partes diuidatur æquales, $olo +pondere E, & propius, & longius à puncto C po$ito; ponderum +grauitates, quæ ex puncto A $u$penduntur inter $e $e notæ erunt. +<pb n=36> +Vt $i di$tantia CB tripla $it di$tantiæ CF, erit quoq; grauitas ip- +$ius G grauitatis ip$ius D tripla, quod demon$trare oportebat. +<p>Alio quoq; modo $tatera vti po$$umus, vt +ponderum grauitates notæ reddantur. +<p>Sit $capus AB, cuius tru- +tina $it in C; $itq; $tateræ ap +pendiculum E, quod appen- +datur in A; $intqué pon- +dera DG inæqualia, quorum +inter $e $e grauitatum propor- +tiones quærimus: appenda- +tur pondus D in B, ita vt ip$i +<fig> +E æqueponderet. $imiliter pondus G appendatur in F, quod ei- +dem ponderi E æqueponderet. dico D ad G ita e$$e, vt CF ad +CB. Quoniam enim pondera DE æqueponderant, erit D ad E, <marg>6 <I>Primi Ar chim. de æquep.</I></marg> +vt CA ad CB. cùm autem pondera quoque GE æquepon- +derent, erit pondus E ad pondus G, vt FC ad CA; quare ex æqua +li pondus D ad pondus G ita erit, vt CF ad CB. quod o$tende <marg>23 <I>Quinti.</I></marg> +re quoq; oportebat. +<pb> +<head>PROPOSITIO VII.</head> +<head>PROBLEMA.</head> +<p>Quotcunque datis in libra ponderibus +vbicunque appen$is, centrum libræ inuenire, +ex quo $i $u$pendatur libra, data pondera ma- +neant. +<fig> +<p>Sit libra AB, $intq; data quotcunque pondera CDEFG. +accipiantur in libra vtcunque puncta AHkLB, ex quibus +data pondera $pu$pendantur. Centrum libræ inuenire oportet, +ex quo $i fiat $u$pen$io, data pondera maneant. Diuidatur +<pb n=37> +<fig> +AH in M, ita vt HM ad MA, $it vt grauitas ponderis +C ad grauitatem ponderis D. deinde diuidatur BL in N, ita +vt LN ad NB, $it vt grauitas ponderis G ad grauitatem pon +deris F. diuidaturq; MN in O, ita vt MO ad ON $it, vt +granitas ponderum FG ad grauitatem ponderum CD. tandem- +qué diuidatur kO in P, ita vt kP ad PO, $it vt grauitas pon +derum CDFG ad grauitatem ponderis E. Quoniam igitur pon +dera CDFG tàm ponderant in O, quàm CD in M, & FG in N; <marg>5 <I>Huius.</I></marg> +æqueponderabunt pondera CD in M, & FG in N, & pondus E +in K, $i ex puncto P $u$pendantur. cùm verò pondera CD tan +tùm ponderent in M, quantùm in AH, & FG in N, quantùm +in LB; pondera CDFG ex AHLB punctis $u$pen$a, & pon- +dus E ex k, $i ex P $u$pendantur, æqueponderabunt, atq; mane- +bunt. Inuentum e$t ergo centrum libræ P, ex quo data pondera +manent. quod facere oportebat. +<foot>K</foot> +<pb> +<head>COROLLARIVM.</head> +<p>Ex hoc manife$tum e$t, $i ponderum CDEFG +centra grauitatis e$$ent in AHKLB punctis; e$- +$et punctum P magnitudinis ex omnibus CD +EFG ponderibus compo$itæ centrum graui- +tatis. +<fig> +<p>Hoc enim ex definitione centri grauitatis patet, cùm ponde- +ra, $i ex puncto P $u$pendantur, maneant. +<pb n=38> +<head>DE VECTE.</head> +<head>LEMMA.</head> +<p>Sint quatuor magnitudines A +BCD; $itq; A maior B, & C ma +ior D. Dico A ad D maiorem +habere proportionem; quàm +habet B ad C. +<p>Quoniam enim A ad C maiorem habet pro- +portionem, quàm B ad C; & A ad D maio- <marg>8 <I>Quinti.</I></marg> +rem quoq; habet proportionem, quam habet +ad C: A igitur ad D maiorem habebit, quam B +ad C. quod demon$trare oportebat. +<fig> +<head>PROPOSITIO I.</head> +<p>Potentia $u$tinens pondus vecti appen$um; +eandem ad ip$um pondus proportionem habe- +bit, quam vectis di$tantia inter fulcimentum, ac +ponderis $u$pen$ionem ad di$tantiam à fulcimen +to ad potentiam interiectam. +<foot>K 2</foot> +<pb> +<fig> +<p>Sit vectis AB, cuius fulcimeutum C; $itq; pondus D ex A $u- +$pen$um AH, ita vt AH $it $emper horizonti perpendicularis: +$itq; potentia $u$tinens pondus in B. Dico potentiam in B ad pon +dus D ita e$$e, vt CA ad CB. fiat vt BC ad CA, ita pondus D +<marg>6 <I>Primi Ar chim. de æquep.</I></marg> ad aliud pondus E, quippè quod $i in B appendatur; ip$i D æque +ponderabit, exi$tente C amborum grauitatis centro. quare poten +tia æqualis ip$i E ibidem con$tituta ip$i D æqueponderabit, vecte +AB, eius fulcimento in C collocato, hoc e$t prohibebit, ne pon +dus D deor$um vergat, quemadmodum prohibet pondus E. Po +<marg><I>Ex</I> 7 <I>quinti.</I></marg> tentia verò in B ad pondus D eandem habet proportionem, quam +pondus E ad idem pondus D: ergo potentia in B ad pondus D +erit, vt CA ad CB; hoc e$t vectis di$tantia à fulcimento ad pon +deris $u$pendium ad di$tantiam à fulcimento ad potentiam. quod +demon$trare oportebat. +<p>Hinc facilè o$tendi pote$t, fulcimentum quò +ponderi fuerit propius, minorem ad idem pon- +dus $u$tinendum requiri potentiam. +<p>Ii$dem po$i- +tis, $it fulcimen +tum in F ip$i A +propius, quàm +C; fiatq; vt BF +ad FA, ita pon +dus D ad aliud +<fig> +G, quod $i appendatur in B, pondera DG ex fulcimento E +<marg><I>Ex eadem Sexta.</I></marg> æqueponderabunt. quoniam autem BF maior e$t BC, & CA +<marg><I>Lemma.</I></marg> maior AC; maior erit proportio BF ad FA, quàm BC ad CA: +<pb n=39> +& ideo maior quoq; erit proportio ponderis D ad pondus G, +quàm idem D ad E: pondus igitur G minus erit pondere E. cùm <marg>10 <I>Quinti.</I></marg> +autem potentia in B ip$i G æqualis ponderi D æqueponderet, mi- +nor potentia, quàm ea, quæ ponderi E e$t æqualis, pondus D $u +$tinebit; exi$tente vecte AB, eius verò fulcimento vbi F, quàm $i +fuerit vbi C. $imiliter quoq; o$tendetur, quò propius erit fulci- +mentum ponderi D, adhuc $emper minorem requiri potentiam +ad $u$tinendum pondus D. +<head>COROLLARIVM.</head> +<p>Vnde palàm colligere licet, exi$tente AF ip$a +FB minore, minorem quoq; requiri potentiam +in ip$o B pondere D $u$tinendo. æquali verò +æqualem. maiore verò maiorem. +<head>PROPOSITIO II.</head> +<p>Alio modo vecte vti po$sumus. +<p>Sit vectis AB, cuius +fulcimentum $it B, & +pondus C vtcunq; in +D inter AB appen- +$um; $itq; potentia in +A $u$tinens pondus C. +Dico vt BD ad BA, +<fig> +ita e$$e potentiam in A ad pondus C. appendatur in A pondus +E æquale ip$i C; & vt AB ad BD, ita fiat pondus E ad aliud F. +& quoniam pondera CE $unt inter $e $e æqualia, erit pondus C +ad pondus F, vt AB ad BD. appendatur quoq; pondus F in A. +& quoniam pondus E ad pondus F e$t, vt grauitas ip$ius E ad gra- <marg><I>In $exta hu ius de libra Ex</I> 11 <I>quin ti.</I></marg> +uitatem ip$ius F; & pondus E ad F e$t, vt AB ad BD; vt igitur +grauitas ponderis E ad grauitatem ponderis F, ita e$t AB ab BD. +vt autem AB ad BD, ita e$t grauitas ponderis E ad grauitatem <marg>6 <I>Huius. de libra.</I></marg> +<pb> +ponderis C: quare gra +uitas ponderis E ad +grauitatem ponderis +F ita erit, vt grauitas +ponderis E ad gra- +uitatem ponderis C. +Pondera igitur CF +<fig> +<marg><I>Ex</I> 9 <I>quinti.</I></marg> eandem habent grauitatem. Ponatur itaq; potentia in A $u$tinens +pondus F; erit potentia in A æqualis ip$i ponderi F. & quoniam +pondus F in A appen$um æquè graue e$t, vt pondus C in D ap- +pen$um; eandem proportionem habebit potentia in A ad grauita- +<marg><I>Ex</I> 7 <I>quinti.</I></marg> tem ponderis F in A appen$i, quam habet ad grauitatem ponde- +ris C in D appen$i. Potentia verò in A ip$i F æqualis $u$tinet +pondus F, ergo potentia in A pondus quoq; C $u$tinebit. Itaq; +cùm potentia in A $it æqualis ponderi F, & pondus C ad pon- +dus F $it, vt AB ad BD; erit pondus C ad potentiam in A, vt +<marg><I>Cor.</I> 4 <I>quin ti.</I></marg> AB ad BD. & è conuer$o, vt BD ad BA, ita potentia in A ad +pondus C. potentia ergo ad pondus ita erit, vt di$tantia fulci- +mento, ac ponderis $u$pen$ioni intercepta ad di$tantiam à fulci +mento ad potentiam. quod oportebat demon$trare. +<head>ALITER.</head> +<fig> +<p>Sit vectis AB, cuius fulcimentum $it B, & pondus E ex puncto +C $u$pen$um; $itq; vis in A $u$tinens pondus E. Dico vt BC ad BA, +ita e$$e potentiam in A ad pondus E. Producatur AB in C, & +fiat BD æqualis BC; & ex puncto D appendatur pondus F æqua +le ponderi E; itemq; ex puncto A $u$pendatur pondus G ita, vt +pondus F ad pondus G eandem habeat proportionem, quam AB +<pb n=40> +ad BA. pondera FG æqueponderabunt. cùm autem $it CB æqua +lis BD, pondera quoq; FE æqualia æqueponderabunt. pondera +verò FEG in libra, $euvecte DBA appen$a, cuius fulcimentum +e$t B, non æqueponderabunt; $ed ex parte A deor$um tendent. po +natur itaq; in A tanta vis, vt pondera FEG æqueponderent; erit +potentia in A æqualis ponderi G. pondera enim FE æqueponderãt, +& visin A nihil aliud efficere debet, ni$i $u$tinere põdus G, ne de$cen +dat. & quoniam pondera FEG, & potentia in A æqueponderant, +demptis igitur FG ponderibus, quæ æqueponderant, reliqua æque +ponderabunt; $cilicet potentia in A ponderi E, hoc e$t potentia +in A pondus E $u$tinebit, ita vt vectis AB maneat, vt prius erat. +Cùm autem potentia in A $it æqualis ponderi G, & pondus E pon +deri F æquale; habebit potentia in A ad pondus E eandem pro- +portionem, quam habet BD, hoc e$t BC ad BA. quod demon- +$trare oportebat. +<head>COROLLARIVM I.</head> +<p>Ex hoc etiam (vt prius) manife$tum e$$e po- +te$t, $i ponatur pondus E propius fulcimento B, +vt in H; minorem potentiam in A $u$tinere po$- +$e ip$um pondus. +<p>Minorem enim proportionem habet HB ad BA, quam CB ad <marg>8 <I>Quinti.</I></marg> +BA. & quò propius pondus erit fulcimento, adhuc $emper mino +rem po$$e potentiam $u$tinere pondus E $imiliter o$tendetur. +<head>COROLLARIVM II.</head> +<p>Sequitur etiam potentiam in A $emper mino +rem e$$e pondere E. +<p>Sumatur enim inter AB quoduis punctum C, $emper BC +minor erit BA. +<pb> +<head>COROLLARIVM III.</head> +<p>Ex hoc quoq; elici pote$t, $i duæ fuerint poten +tiæ, vna in A, altera in B, & vtraq; $u$tentet +pondus E; potentiam in A ad potentiam in B e$- +$e, vt BC ad CA. +<p>Vectis enim BA fungi- +tur officio duorum vectiũ; +& AB $unt tanquam duo +fulcimenta, hoc e$t quan- +do AB e$t vectis, & poten +tia $u$tinens in A; erit eius +<fig> +fulcimentum B. Quando verò BA e$t vectis, & potentia in B; +erit A fulcimentum: & pondus $emper ex puncto C remanet $u- +$pen$um. & quoniam potentia in A ad pondus E e$t, vt BC ad +BA; vt autem pondus E ad potentiam, quæ e$t in B, ita e$t +<marg>22 <I>Quinti.</I></marg> BA ad AC; erit ex æquali, potentia in A ad potentiam in B, vt +BC ad CA. & hoc modo facilè etiam proportionem, quæ in +Quæ$tionibus Mechanicis quæ$tione vige$ima nona ab Ari$totele +ponitur, noui$$e poterimus. +<head>COROLLARIVM IIII.</head> +<p>E$t etiam manife$tum, vtra$q; potentias in A, +& B $imul $umptas æquales e$$e ponderi E. +<p>Pondus enim E ad potentiam in A e$t, vt BA ad BC; & idem +pondus E ad potentiam in B e$t, vt BA ad AC; quare pondus +E ad vtra$q; potentias in A, & B $imul $umptas e$t, vt AB ad BC +CA $imul, hoc e$t ad BA. pondus igitur E vtri$q; potentiis $imul +$umptis æquale erit. +<pb n=41> +<head>PROPOSITIO III.</head> +<p>Alio quoq; modo vecte vti po$sumus. +<p>Sit Vectis AB, +cuius fulcimentum +B; $itq; ex puncto +A pondus C appen- +$um; $itq; potentia +in D vtcunq; inter +AB $u$tinens pon- +dus C. Dico vt AB +<fig> +ad BD, ita e$$e potentiam in D ad pondus C. Appendatur ex +puncto D pondus E æquale ip$i C; & vt BD ad BA, ita fiat pon +dus E ad aliud F. & cùm pondera CE $int inter $e $e æqualia; erit +pondus C ad pondus F, vt BD ad BA. appendatur pondus +F quoq; in D. & quoniam pondus E ad ip$um F e$t, vt grauitas +ponderis E ad grauitatem ponderis F; & pondus E ad pondus F <marg><I>In $exta hu ius de libra.</I></marg> +e$t, vt BD ad BA: vt igitur grauitas ponderis E ad grauitatem +ponderis F, ita e$t BD ad BA. vt autem BD ad BA, ita e$t gra <marg>6 <I>Huius de libra.</I></marg> +uitas ponderis E ad grauitatem ponderis C; quare grauitas ponde- +ris E ad grauitatem ponderis F eandem habet proportionem, +quam habet ad grauitatem ponderis C. pondera ergo CF eandem <marg>9 <I>Quinti.</I></marg> +habent grauitatem. $it igitur potentia in D $u$tinens pondus F, +erit potentia in D ip$i ponderi F æqualis. & quoniam pondus F +in D æquè graue e$t, vt pondus C in A; habebit potentia in D +eandem proportionem ad grauitatem ponderis F, quam habet ad <marg>7 <I>Quinti.</I></marg> +grauitatem ponderis C. $ed potentia in D pondus F $u$tinet; po- +tentia igitur in D pondus quoq; C $u$tinebit: & pondus C ad po- +tentiam in D ita erit, vt pondus C ad pondus F; & C ad F e$t, vt +BD ad BA; erit igitur pondus C ad potentiam in D, vt BD ad +BA: & conuertendo, vt AB ad BD, ita potentia in D ad pondus +C. potentia ergo ad pondus e$t, vt di$tantia à fulcimento ad pon +deris $u$pendium ad di$tantiam à fulcimento ad potentiam. quod +demon$trare oportebat. +<foot>L</foot> +<pb> +<head>ALITER.</head> +<fig> +<p>Sit vectis AB, cuius fulcimentum B; & ex puncto A $it pon- +dus C $u$pen$um; $itq; potentia in D $u$tinens pondus C. Dico +vt AB ad BD, ita e$$e potentiam in D ad pondus C. Produca +tur AB in E, fiatq; BE æqualis ip$i BA; & ex puncto E appen +datur pondus F æquale ponderi C; & vt BD ad BE, ita fiat pon +dus F ad aliud G, quod ex puncto D $u$pendatur. pondera FG +æqueponderabunt. & quoniam AB e$t æqualis BE, & pondera +FC æqualia; $imiliter pondera FC æqueponderabunt. Pondera +verò FGC $u$pen$a in vecte EBA, cuius fulcimentum e$t B, non +æqueponderabunt; $ed ex parte A deor$um tendent. Ponatur igi +tur in D tanta vis, vt pondera FGC æqueponderent; erit po- +tentia in D æqualis ponderi G: pondera enim FC æquepon de- +rant, & potentia in D nil aliud efficere debet, ni$i $u$tinere pon- +dus G ne de$cendat. & quoniam pondera FGC, & potentia in +D æqueponderant, demptis igitur FG ponderibus, quæ æquepon +derant; reliqua æqueponderabunt, $cilicet potentia in D ponderi C. +hoc e$t potentia in D pondus C $u$tinebit, ita vt vectis AB ma- +neat, vt prius. & cùm potentia in D $it æqualis ponderi G, & pon- +dus C æquale ponderi F; habebit potentia in D ad pondus C ean +dem proportionem, quam EB, hoc e$t AB ad BD. quod de- +mon$trare oportebat. +<head>COROLLARIVM I.</head> +<p>Ex hoc etiam pàtet, vt prius, $i coftituatur pon +dus fulcimento B propius, vt in H; à minori po- +tentia pondus ip$um $ub$tineri debere. +<pb n=42> +<p>Minorem enim proportionem habet HB ad BD, quàm AB ad <marg>8 <I>Quinti.</I></marg> +BD. & quò propius erit fulcimento, adhuc $emper minorem re- +quiri potentiam. +<head>COROLLARIVM II.</head> +<p>Manife$tum quoq; e$t, potentiam in D $emper +maiorem e$$e pondere C. +<p>Si enim inter AB $umatur quoduis punctum D, $emper AB +maior erit BD. +<p>Et aduertendum e$t ha$ce, quas attulimus demon$trationes +non $olum vectibus horizonti æquidi$tantibus, verùm etiam ve- +ctibus horizonti inclinatis ad hæc omnia o$tendenda commodè +aptari po$$e. quod ex iis, quæ de libra diximus, patet. +<head>PROPOSITIO IIII.</head> +<p>Si potentia pondus in vecte appen$um mo- +ueat; erit $patium potentiæ motæ ad $patium +moti ponderis, vt di$tantia à fulcimento ad po- +tentiam ad di$tantiam ab eodem ad ponderis $u +$pen$ionem. +<foot>L 2</foot> +<pb> +<p>Sit vectis AB, cuius ful- +cimentum C; & ex puncto B +$it pondus D $u$pen$um; $itq; +potentia in A mouens pon- +dus D vecte AB. Dico $pa- +tium potentiæ in A ad $pa- +tium ponderis ita e$$e, vt CA +ad CB. Moueatur vectis AB, +& vt pondus D $ur$um mo- +ueatur, oportet B $ur$um mo +ueri, A verò deor$um. & quo- +niam C e$t punctum immobi +le; idcirco dum A, & B mo- +uentur, circulorũ circumferen +tias de$cribent. Moueatur igi- +tur AB in EF; erunt AE +<fig> +BF circulorum circumferentiæ, quorum $emidiametri $unt CA +CB. tota compleatur circumferentia AGE, & tota BHF; $intq; +KH puncta, vbi AB, & EF circulum BHF $ecant. Quoniam e- +<marg>15 <I>Primi.</I></marg> nim angulus BCF e$t æqualis angulo HCk; erit circumferentia +<marg><I>Ex</I> 26 <I>tertii.</I></marg> kH circumferentiæ BF æqualis. cùm autem circumferentiæ AE +kH $int $ub eodem angulo ACE, & circumferentia AE ad to- +tam circumferentiam AGE $it, vt angulus ACE ad quatuor re- +ctos; vt autem idem angulus HCk ad quatuor rectos, ita quoq; +e$t circumferentia HK ad totam circumferentiam HBK; erit cir +cumferentia AE ad totam circumferentiam AGE, vt circumfe- +<marg>16 <I>Quinti.</I></marg> rentia kH ad totam kFH. & permutando, vt circumferentia +AE ad circumferentiam kH, hoc e$t BF, ita tota circumferen- +tia AGE ad totam circumferentiam BHF. totaverò circumfe +rentia AGE ita $e habet ad totam BHF, vt diameter circuli AEG +<marg>23 <I>Octaui Pappi.</I></marg> ad diametrum circuli BHF. Vt igitur circumferentia AE ad cir +<marg>11 <I>Quinti.</I></marg> cumferentiam BF, ita diameter circuli AGE ad diametrum cir +culi BHF: vt autem diameter ad diametrum, ita $emidiameter +ad $emidiametrum, hoc e$t CA ad CB: quare vt circumferen- +tia AE ad circumferentiam BF, ita CA ad CF. circumferentia +verò AE $patium e$t potentiæ motæ, & circumferentia BF e$t +<pb n=43> +æqualis $patio ponderis D moti. $patium enim motus ponderis +D $emper æquale e$t $patio motus puncti B, cùm in B $it appen +$um: $patium ergo potentiæ motæ ad $patium moti ponderis e$t, +vt CA ad CB; hoc e$t vt di$tantia à fulcimento ad potentiam +ad di$tantiam ab eodem ad ponderis $u$pen$ionem. quod demon +$trare oportebat. +<p>Sit autem vectis AB, cu- +ius fulcimentum B; potentia- +qué mouens in A; & pondus +in C. dico $patium potentiæ +translatæ ad $patium transla +ti ponderis ita e$$e, vt BA ad +BC. Moueatur vectis, & vt +pondus $uríum attollatur, ne- +ce$$e e$t puncta C A $ur$um +moueri. Moueatur igitur A +$ur$um v$q; ad D; $itq; ve- +ctis motus BD. eodemq; +modo (vt prius dictum e$t) +o$tendemus puncta CA cir- +culorum circumferentias de- +<fig> +$cribere, quorũ $emidiametri $unt BA BC. $imiliterq; o$tendemus +ita e$$e AD ad CE, vt $emidiameter AB ad $emidiametrum BC. +<p>Eademq; ratione, $i potentia e$$et in C, & pondus in A, +o$tendetur ita e$$e CE ad AD, vt BC ad BA; hoc e$t di$tan +tia à fulcimento ad potentiam ad di$tantiam ab eodem ad ponde +ris $u$pen$ionem. quod oportebat demon$trare. +<head>COROLLARIVM.</head> +<p>Ex his manife$tum e$t maiorem habere pro- +portionem $patium potentiæ mouentis ad $pa- +tium ponderis moti, quàm pondus ad eandem +potentiam. +<p>Spatium enim potentiæ ad $patium ponderis eandem habet, +<pb> +quam pondus ad potentiam pondus $u$tinentem; potentia ve- +rò $u$tinens minor e$t potentia mouente, quare minorem habebit +<marg>8 <I>Quinti.</I></marg> proportionem pondus ad potentiam ip$um mouentem, quàm ad +potentiam ip$um $u$tinentem. $patium igitur potentiæ mouentis +ad $patium ponderis maiorem habebit proportionem, quàm pon- +dus ad candem potentiam. +<head>PROPOSITIO V.</head> +<p>Potentia quomodocunq; vecte pondus $u$ti- +nens ad ip$um pondus eandem habebit propor- +tionem, quam di$tantia à fulcimento ad punctum, +vbi à centro grauitatis ponderis horizonti ducta +perpendicularis vectem $ecat, intercepta, ad +di$tantiam inter fulcimentum, & potentiam. +<p>Sit vectis AB +horizonti æqui- +di$tans, cuius ful +cimentum N; $it +deinde pondus +AC, cuius cen- +trum grauitatis +$it D, quod pri +mùm $it infra ve +ctem; pondus ve +rò $it ex punctis +AO $u$pen$um; +<fig> +& à puncto D horizonti, & ip$i AB perpendicularis ducatur DE. +$i verò alii $int quoq; vectes AF AG, quorum fulcimenta $int +HK; pondu$q; AC in vecte AG ex punctis AQ $it appen$um; +in vecte autem AF in punctis AP: lineaq; DE producta $ecet +AF in L, & AG in M. dico potentiam in F pondus AC $u$tinen +tem ad ip$um pondus eam habere proportionem, quam habet kL +<pb n=44> +ad kF; & potentiam in B ad pondus eam habere, quam NE ad +NB; & potentiam in G ad pondus eam, quam HM ad HG. +Quoniam enim DL horizonti e$t perpendicularis, pondus AC +vbicunq; in linea DL fuerit appen$um, eodem modo, quo reperi- +tur, manebit. quare in vecte AB $i $u$pen$iones, quæ $unt ad AO +$oluantur, pondus AC in E appen$um eodem modo manebit, $i- +cutinunc manet; hoc e$t $ublato puncto A, & linea QO, codem +modo pondus in E appen$um manebit, vt ab ip$is AO pun- +ctis $u$tinebatur; ex commentario Federici Commandini in $extam +Archimedis propo$ion&etilde; de quadratura parabolæ, & ex prima huius +de libra. Itaq; quoniam pondus AC eandem ad libram habet con$ti +tutionem, $iue in AO $u$tineatur, $iue ex puncto E $it appen$um; +eadem potentia in B idem pondus AC, $iue in E, $iue in AO +$u$pen$um $u$tinebit. potentia verò in B $u$tinens pondus AC +in E appen$um ad ip$um pondus ita $e habet, vt NE ad NB; po- <marg>1 <I>Huius.</I></marg> +tentia igitur in B $u$tinens pondus AC ex punctis AO $u$pen +$um ad ip$um pondus ita erit, vt NE ad NB. Non aliter o$ten +detur pondus AC ex puncto L $u$pen$um manere, $icuti à pun +ctis AP $u$tinetur; potentiamq; in F ad ip$um pondus ita e$$e, vt kL +ad KF. In vecte verò AG pondus AC in M appen$um ita mane +re, vt à punctis AQ $u$tinetur; potentiamq; in G ad pondus +AC ita e$$e, vt HM ad HG; hoc e$t vt di$tantia à fulcimento +ad punctum, vbi à centro grauitatis ponderis horizonti ducta +perpendicularis vectem $ecat, ad di$tantiam à fulcimento ad poten +tiam. quod demon$trare oportebat. +<p>Si autem FBG e$$ent vectium fulcimenta, potentiæq; e$$ent +in KNH pondus $u$tinentes, $imili modo o$tendetur ita e$$e po +tentiam in H ad pondus, vt GM ad GH; & potentiam in N ad +pondus, vt BE ad BN; ac potentiam in k ad pondus, vt FL +ad Fk. +<pb> +<p>Et $i vectes AB +AF AG habeant +fulcimenta in A, +& pondus $it NO; +deinde ab eius +centro grauitatis +D ducatur ip$i A +B, & horizonti +perp&etilde;dicularis D +MEL; $intq; po +tentiæ in FBG: +$imiliter o$tende- +tur ita e$$e poten- +<fig> +tiam in G pondus NO $u$tinentem ad ip$um pondus, vt AM +ad AG; ac potentiam in B, vt AE ad AB; & potentiam in F, +vt AL ad AF. +<p>Sit deinde +vectis AB ho +rizonti æqui- +di$tans, cuius +fulcimentum +D; & $it BE +pondus, cuius +centrum gau i +tatis $it F $u- +pra vectem: à +punctoq; F ho +rizonti, & ip$i +AB ducatur +<fig> +FH; pondu$q; à puncto B, & PQ $u$tineatur. Sint deinde alii ve- +ctes BL BM, quorum fulcimenta $int NO; lineaq; FH producta $e- +cet BM in k, & BL in G; pondus autem in vecte BL in pun- +ctis BP $u$tineatur; in vecte autem BM à puncto B, & PR. Di- +co potentiam in L pondus BE vecte BL $u$tinentem ad ip$um +pondus eam habere proportionem, quam NG ad NL; & po- +<pb n=45> +tentiam in A ad pondus eam habere, quam DH ad DA; poten +tiamq; in M ad pondus eam, quam Ok ad OM. Quoniam e- +nim à centro grauitatis F ducta e$t kF horizonti perpendicularis, +ex quocunq; puncto lineæ kF $u$tineatur pondus, manebit; vt <marg>1 <I>Huius de libra.</I></marg> +nunc $e habet. $i igitur $u$tineatur in H, manebit vt prius; $cili- +cet $ublato puncto B, & PQ, quæ pondus $u$tinent, pondus BE +manebit, $icuti ab ip$is $u$tinebatur. quare in vecte AB graue$cet +in H, & ad vectem eandem habebit con$titutionem, quam prius; +idcirco erit, ac $i in H e$$et appen$um. eadem igitur potentiaìdem +pondus BE, $iue in H, $iue in B, & Q $uffultum, $u$tinebit. Potentia ve <marg>1 <I>Huius<*></I></marg> +rò in A $u$tinens pondus BE vecte AB in H appen$um ad ip$um +pondus eandem habet proportionem, quam DH ad DA; eadem +ergo potentia in A $u$tinens pondus BE in punctis BQ $u$tenta +tum ad ip$um pondus erit, vt DH ad DA. Similiter o$tende- +tur pondus BE $i in G $u$tineatur, manere; $icuti à punctis BP +$u$tinebatur: & in puncto k, vt à punctis BR. quare potentia in +L $u$tinens pondus BE ad ip$um pondus ita erit, vt NG ad NL. +potentia verò in M ad pondus, vt OK ad OM; hoc e$t vt di$tan +tia à fulcimento ad punctum, vbi à centro grauitatis ponderis ho +riz onti ducta perpendicularis vectem $ecat, ad di$tantiam à fulci- +mento ad potentiam. quod demon$trare quoq; oportebat. +<p>Si verò LAM e$$ent fulcimenta, & potentiæ in NDO; $imi +liter o$tendetur ita e$$e potentiam in N ad pondus, vt LG ad L +N; & potentiam in D, vt AH ad AD; & potentiam in O, vt +Mk ad MO. +<foot>M</foot> +<pb> +<p>Et $i vectes BA +BL BM habeant +fulcimenta in B, & +pondus $upra vect&etilde; +$it NO; & ab eius +centro grauitatis F +ducatur ip$i AB, & +horizonti perpendi +cularis FDEG; $int +qué potentiæ in L +AM; $imiliter o- +$tendetur ita e$$e po +tentiam in L pon- +<fig> +dus $u$tinentem ad ip$um pondus, vt BD ad BL; & potentiam +in A ad pondus, vt BE ad BA, atq; potentiam in M, vt BG +ad BM. +<p>Sit deniq; +vectis AB ho +rizonti æqui- +di$tans, cuius +fulcimentum +C, & pondus +DE habeat c&etilde; +trum grauita- +tis F in ip $o +vecte AB; +$intq; deniq; +alii vectes G +H kL, quo- +<fig> +rum fulcimenta $int MN; pondusq; in vecte GH $u$tineatur à +punctis GO; in vecte autem AB à punctis AP; & in uecte KL +à punctis KQ; & centrum grauitatis F $it quoq; in utroq; uecte +GH kL; $intq; potentiæ in HBL. Dico potentiam in H ad +pondus ita e$$e, ut NF ad NH; & potentiam in B ad pondus, ut +CF ad CB; ac potentiam in L ad pondus, ut MF ad ML. Quo- +niam enim F centrum e$t grauitatis ponderis DE, $i igitur in F +<pb n=46> +$u$tineatur, pondus DE manebit $icut prius, per deffinitionem cen +tri grauitatis; eritq; ac$iin F e$$et appen$um; atq; in vecte eodem +modo manebit, $iue à punctis AP, $iue à puncto F $u$tineatur. +quod idem in vectibus GH kL eueniet; $cilicet pondus eodem mo +do manere, $iue in F, $iue in GO, vel in kQ $u$tineatur. eadem +igitur potentia in B idem pondus DE, vel in F, vel in AP appen$um +$u$tinebit: & quando appen$um e$t in F ad ip$um pon- +dus e$t, vt CF ad CB, ergo potentia $u$tinens pondus DE in +AP appen$um ad ip$um pondus erit, vt CF ad CB. eodemq; mo +do potentia in H ad pondus in GO appen$um ita erit, vt NF ad +NH. potentiaq; in L ad pondus in kQ appen$um erit, vt MF +ad ML. quod o$tendere quoq; oportebat. +<p>Si verò HBL e$$ent ful<*>imenta, & potentiæ e$$ent in NCM; $i- +militer o$tendetur potentiam in N ad pondus ita e$$e, vt HF ad +HN; & potentiam in C, vt BF ad BC, & potentiam in M, vt +LF ad LM. +<p>Et $i vectes BA +BC BD habeãt ful +cimenta in B, $intq; +pondera in EF GH +kL, ita vt eorum +centra MNO gra- +uitatis $int in vecti +bus; $intq; poten- +tiæ in CAD: $imi +liter o$tendetur po +tentiam in C ad +pondus EF ita e$$e, +<fig> +vt BM ad BC, & potentiam in A ad pondus GH, vt BN ad +BA, potentiamq; in D ad pondus KL, vt BO ad BD. +<foot>M 2</foot> +<pb> +<head>PROPOSITIO VI.</head> +<p>Sit AB recta linea, cui ad angulos $it rectos +AD, quæ ex parte A producatur vtcunq; v$q; +ad C; connectaturq; CB, quæ ex parte B quoq; +producatur v$q; ad E. ducantur deinde à pun- +cto B vtcunq; inter AB BE lineæ BF BG ip$i +AB æquales; à puncti$q; FG ip$is perpendicula- +res ducantur FH GK, quæ & inter $e $e, & ip$i +AD con$tituantur æ- +quales, ac $i BA AD +motæ $int in BF FH, +& in BG GK; con- +nectanturq; CH CK, +quæ lineas BF BG +in punctis MN $e- +cent. Dico BN mi- +norem e$$e BM, & +BM ip$a BA. +<fig> +<p>Connectantur BD BH +BK. & quoniam duæ lineæ +DA AB duabus HF FB +$unt æquales, & angulus +DAB rectus recto HFB e$t +<marg>4 <I>Primi.</I></marg> etiam æqualis; erunt reliqui +anguli reliquis angulis æqua- +les, & HB ip$i DB æqualis. +fimiliter o$tendetur triangu- +lum BkG triangulo BHF æqualem e$$e. quare centro B, inter- +<pb n=47> +uallo quidem vna ip$arum circulus de$cribatur DH kE, qui li- +neas CH CK $ecet in punctis OP; connectanturq; OB PB. +Quoniam igitur punctum k propius e$t ip$i E, quàm H; erit linea <marg>8 <I>Tertii.</I></marg> +Ck maior ip$a CH, & CP ip$a CO minor: ergo PK ip$a OH +maior erit. Quoniam autem triangulum BkP æquicrure latera +Bk BP lateribus BH BO trianguli BHO æquicruris æqualia ha +bet, ba$im verò KP ba$i HO maiorem, erit angulus kBP an- <marg>25 <I>Primi.</I></marg> +gulo HBO maior. ergo reliqui ad ba$im anguli, hoc e$t kPB +PkB $imul $umpti, qui inter $e $unt æquales, reliquis ad ba$im an- +gulis, nempè OHB HOB, qui etiam inter $e $unt æquales, mino- <marg>5 <I>Primi.</I></marg> +res erunt: cùm omnes anguli cuiu$cunq; trianguli duobus $int rectis +æquales. quare & horum dimidii, $cilicet NkB minor MHB. +Cùm autem angulus BkG æqualis $it angulo BHF, erit NkG +ip$o MHF maior. $i igitur à puncto k con$tituatur angulus GKQ +ip$i FHM æqualis, fiet triangulum GkQ triangulo FHM æqua +le; nam duo anguli ad FH vnius duobus ad Gk alterius $unt +æquales, & latus FH lateri Gk e$t æquale, erit GQ ip$i FM æ- <marg>26 <I>Primi.</I></marg> +quale. ergo GN maiorerit ip$a FM. Cùm itaq; BG ip$i BF $it æqua +lis, erit BN minor ip$a BM. Quòd autem BM $it ip$a BA minor, +e$t manife$tum; cùm BM ip$a BF, quæ ip$i BA e$t æqualis, $it +minor. quod demon$trare oportebat. +<p>In$uper $i intra BG BE alia vtcunq; ducatur linea ip$i BG æ- +qualis; fiatq; operatio, quemadmodum $upra dictum e$t; $imili- +ter o$tendetur lineam BR minorem e$$e BN. & quò propius fue +rit ip$i BE, adhuc minorem $emper e$$e. +<pb> +<p>Si verò æqualia triangula BFH BGK $int +deor$um inter BC BA con$tituta; connectan- +turq; HC KC, quæ lineas BF BG ex parte +FG productas in punctis MN $ecent erit BN +maior BM, & BM ip$a BA. +<p>Nam producatur CH +Ck v$q; ad circumfe rentiam +in OP, Connectanture; BO +BP; $imili modo o$tende- +tur lineam Pk maiorem e$ +$e OH, angulumq; PkB mi +norem e$$e angulo OHB. & +quoniam angulus BHF e$t +æqualis angulo BkG; erit to +tus PKG angulus angulo +OHF minor: quare reliquus +GKN reliquo FHM maior +erit. $i it aq; con$tituatur angu +lus GkQ ip$i FHM æqua +lis, linea KQ ip$am GN ita +$ecabit, vt GQ ip$i FM æqua +lis euadat: quare maior. erit +GN, quàm FM; quibus $i +æquales adiiciantur BF BG, +erit BN ip$a BM maior. & +cùm BM $it ip$a FB maior, +erit quoq; ip$a BA maior. $i +militer o$tendetur, quò pro +pius fuerit BG ip$i BC, li- +neam BN $emper maiorem +e$$e. +<fig> +<pb n=48> +<head>PROPOSITIO VII.</head> +<p>Sit recta linea AB, cuì perpendi cularis exi- +$tat AD, quæ ex parte D producatur vtcunq; v$q; +ad C; connectaturq; CB, quæ producatur e- +tiam v$q, ad E; & inter AB BE lineæ $imiliter +vtcunq; ducantur BF BG ip$i AB æquales; à +punctisq; FG lineæ FH GK ip$i AB æquales, +ip$is verò BF BG per- +p&etilde;diculares ducantur; +ac $i BA AD motæ +$int in BF FH BG +GK: Connectanturq; +CH CK, quæ lineas +BF BG productas $e- +cent in punctis MN. +Dico BN maiorem e$ +$e BM, & BM ip$a BA. +<fig> +<p>Connectantur BD BH Bk, +& centro B, interuallo quidem +BD, circulus de$cribatur. $imi +liter vt in præcedenti demon- +$trabimus puncta kHDOP in +circuli circumferentia e$$e, trian +gulaq; ABD FBH GBk in- +ter $e $e æqualia e$$e, atq; lineam +Pk maiorem OH, angulumq; +PKB minorem e$$e angulo O +HB. Quoniam igitur angulus BHF æqualis e$t angulo BkG, +<pb> +erit totus angulus PkG angu- +lo OHF minor: quare reliquus +GkN reliquo FHM maior +erit. $i igitur fiat angulus GK +Q ip$i FHM æqualis, erit trian +gulum GKQ triangulo FHM +æquale, & latus GQ lateri FM +æquale; ergo maior erit GN ip +$a FM; ac propterea BN ma- +ior erit BM. BM autem ma- +ior erit BA; nam BM maior e$t +ip$a BF. quod demon$trare +oportebat. +<fig> +<p>Eodemq; pror$us modo, quo +propius fuerit BG ip$i BE, li- +neam BN $emper maiorem e$$e +o$tendetur. +<p>Si autem triangula BFH BGK deor$um in- +ter AB BC con$tituantur, ducanturq; CHO +CKP, quæ lineas BF BG $ecent in punctis M +N; erit linea BN minor ip$a BM, & BM +ip$a BA. +<pb n=49> +<p>Connectantur enim BO BP, +$imiliter o$tendetur angulum +PKB minorem e$$e OHB. & +quoniam angulus FHB æqua- +lis e$t angulo GkB; erit angu +lus GkN angulo FHM ma- +ior: quare & linea GN ma- +ior erit ip$a FM. ideoq; linea +nea BN minor erit linea BM. +Cùm autem maior $it BF ip$a +BM; erit BM ip$a BA minor. Si- +miliq; modo o$tendetur, quò +propius fuerit BG ip$i BC, li- +neam BN $emper minorem +e$$e. +<fig> +<head>PROPOSITIO VIII.</head> +<p>Potentia pondus $u$tinens centrum grauitatis +$upra vectem horizonti æquidi$tantem habens, +quò magis pondus ab hoc $itu vecte eleuabitur; +minori $emper, vt $u$tineatur, egebit potentia: +$i verò deprimetur, maiori. +<foot>N</foot> +<pb> +<fig> +<p>Sit vectis AB horizonti æquidi$tans, cuius fulcimentum C; +pondus autem BD, eiu$dem verò grauitatis centrum $it $upra ve +ctem vbi H: $itq; potentia $u$tinens in A. moueatur deinde ve +ctis AB in EF, $itq; pondus motum in FG. Dico primùm mino +rem potentiã in E $u$tinere pondus FG vecte EF, quàm pot&etilde;tia in +A pondus BD vecte AB. $it k centrum grauitatis ponderis FG; +deinde tùm ex H, tùm ex K ducantur HL kM ip$orum horizon +tibus perpendiculares, quæ in centrũ mundi conuenient; $itq; HL ip +$i quoq; AB perpendicularis. ducatur deinde kN ip$i EF perpen- +dicularis, quæ ip$i HL æqualis erit, & CN ip$i CL æqualis. Quo- +<marg>5 <I>Huius.</I></marg> niam enim HL horizonti e$t perpendicularis, potentia in A $u +$tinens pondus BD ad ip$um pondus eam habebit proportionem, +quam CL ad CA. rur$us quoniam kM horizonti e$t perpendicu +laris, potentia in E pondus FG $u$tinens ita erit ad pondus, vt +CM ad CE. Cùm autem CN NK ip$is CL LH $int æquales, +<marg>6 <I>Huius.</I></marg> angulosq; rectos contineant; erit CM minor ip$a CL; ergo CM +<marg>8 <I>Quinti.</I></marg> ad CA minorem habebit proportionem, quam CL ad CA; & +<pb n=45> +CA ip$i CE e$t æqualis, minorem igitur proportionem habebit +CM ad CE. quàm CL ad CA: & cùm pondera BD FG $int +æqualia, e$t enim idem pondus; ergo minor erit proportio po +tentiæ in E pondus FG $u$tinentis ad ip$um pondus, quàm po +tentiæ in A pondus BD $u$tinentis ad ip$um pondus. Quare <marg>10 <I>Quinti.</I></marg> +minor potentia in E $u$tinebit pondus FG, quàm potentia in A +pondus BD. & quò pondus magis eleuabitur; $emper o$tendetur +minorem adhuc potentiam pondus $u$tinere; cùm linea PC mi <marg>6 <I>Huius.</I></marg> +nor $it linea CM. $it deinde vectis in QR, & pondus in QS, +cuius centrũ grauitatis $it O. dico maiorem requiri potentiam in R +ad $u$tinendũ pondus QS, quàm in A ad pondus BD. ducatur à cen +tro grauitatis O linea OT horizonti perpendicularis. & quo- +niam HL OT, $i ex parte L, atq; T producantur, in centrum +mundi conuenient; erit CT maior CL: e$t autem CA ip$i CR <marg>6 <I>Huius.</I></marg> +æqualis, habebitergo TC ad CR maiorem proportionem, quàm +LC ad CA. Maior igitur erit potentia in R $u$tinens pondus <marg>8 <I>Quinti. Ex</I> 10 <I>quin ti.</I></marg> +QS, quàm in A $u$tinens BD. $imiliter o$tendetur; quò vectis +RQ magis à vecte AB di$tahit deor$um vergens, $emper maio- +rem potentiam requiri ad $u$tinendum pondus: di$tantia enim CV <marg>6 <I>Huius.</I></marg> +longior e$t CT. Quò igitur pondus à $itu horizonti æquidi$tan +temagis eleuabitur à minori $emper potentia pondus $u$tinebitur; +quò verò magis deprimetur, maiori, vt $u$tineatur, egebit potentia. +quod demon$trare oportebat. +<p>Hinc facile elicitur potentiam in A ad poten- +tiam in E ita e$$e, vt CL ad CM. +<p>Nam ita e$t LC ad CA, vt potentia in A ad pondus; vt au- +tem CA, hoc e$t CE ad CM, ita e$t pondus ad potentiam in E; +quare ex æquali potentia in A ad potentiam in E ita erit, vt CL <marg>22 <I>Quinti.</I></marg> +ad CM. +<p>Similiq; ratione non $olum o$tendetur, potentiam in A ad po- +tentiam in Rita e$$e, vt CL ad CT; $ed & potentiam quoq; in E +ad potentiam in R ita e$$e, vt CM ad CT. & ita in reliquis. +<foot>N 2</foot> +<pb> +<fig> +<p>Sit deinde vectis AB horizonti æquidi$tans, cuius fulcimen- +tum B; & centrum grauitatis H ponderis CD $it $upra vectem; +moueaturq; vectis in BE, pondu$q; in FG. dico minorem po- +tentiam in E $u$tinere pondus FG vecte EB, quàm potentia in +A pondus CD vecte AB. $it k centrum grauitatis ponderis FG, +& à centris grauitatum Hk ip$orum horizontibus perpendicu- +<marg>6 <I>Huius.</I></marg> lares ducantur HL kM. Quoniam enim (ex $upra demon$tratis) +<marg>8 <I>Quinti.</I></marg> BM minor e$t BL, & BE ip$i BA æqualis; minorem habebit +<marg>5 <I>Huius.</I></marg> proportionem BM ad BE, quàm BL ad BA. $ed vt BM ad +BE, ita potentia in E $u$tinens pondus FG ad ip$um pondus; & +vt BL ad BA, ita potentia in A ad pondus CD; minorem +habebit proportionem potentia in E ad pdndus FG, quàm poten +<marg>10 <I>Quinti.</I></marg> tia in A ad pondus CD. Ergo potentia in E minor erit poten- +tia in A. $imiliter o$tendetur, quò magis pondus eleuabitur, $em- +per minorem potentiam pondus $u$tinere. Sit autem vectis in +BO, & pondus in PQ, cuius cenrtum grauitatis $it R. dico maio +rem potentiam in O requiri ad $u$tinendum pondus PQ vecte BO, +quàm pondus CD vecte BA. ducatur à puncto R horizonti per- +<marg>6 <I>Huius.</I></marg> pendicularis RS. & quoniam BS maior e$t BL, habebit BS ad +BO maiorem proportionem, quàm BL ad BA; quare maior erit +potentia in O $u$tinens pondus PQ, quàm potentia in A $u$ti +nens pondus CD. & hoc modo o$tendetur' quò vectis BO ma +gis à vecte AB deor$um tendens di$tabit, $emper maiorem ponderi +<pb n=51> +$u$tinendo requiri potentiam. +<p>Hinc quoq; vt $upra patet pontentiam in A ad potentiam in E e$ +$e, vt BL ad BM; potentiamq; in A ad potentiam in O, vt BL +ad BS. atque potentiam in E ad potentiam in O, vt BM +ad BS. +<p>Præterea $i in B alia intelligatur potentia, ita vt duæ $int poten +tiæ pondus $u$tinentes; minor erit potentia in B $u$tinens pon- +dus PQ vecte BO, quàm pondus CD vecte BA. ex aduer$o au +tem maior requiritur potentia in B ad $u$tinendum pondus FG ve +cte BE, quàm pondus CD vecte AB. ducta enim kN ip$i EB +perpendicularis, erit EN ip$i AL æqualis: quare EM ip$a LA +maior erit. ergo maiorem habebit proportionem EM ad E<I>B</I>, <marg>8 <I>Quinti.</I></marg> +quàm LA ad A<I>B</I>; & LA ad A<I>B</I> maiorem, quàm SO ad O<I>B</I>; <marg>5 <I>Huius.</I></marg> +quæ $unt proportiones potentiæ ad pondus. +<p>Similiter o$tendetur potentiam in <I>B</I> pondus vecte A<I>B</I> $u$ti- +nentem ad potentiam in eodem puncto <I>B</I> vecte E<I>B</I> $u$tinentem +e$$e, vt LA ad EM; ad potentiam autem in B pondus vecte O<I>B</I> +$u$tinentem ita e$$e, vt AL ad OS. quæ verò vectibus E<I>B</I> OB +$u$tinent inter $e $e e$$e, vt EM ad OS. +<p>Deinde vt in iis, quæ $uperius dicta $unt, demon$trabimus po- +tentiam in <I>B</I> ad potentiam in E eam habere proportionem, quam <marg>3 <I>Cor.</I></marg> +EM ad M<I>B</I>; & potentiam in <I>B</I> ad potentiam in A ita e$$e, vt AL ad <marg>2 <I>Huius.</I></marg> +L<I>B</I>, potentiamq; in <I>B</I> ad potentiam in O, vt OS ad S<I>B.</I> +<p>Sit autem vectis A<I>B</I> +horizonti æquidi$tans, +cuius fulcimentum <I>B</I>, +grauitati$q; centrum H +ponderis AC $it $upra +vectem: moueaturq; ve +ctis in <I>B</I>E, ac pondus +in EF, potentiaq; in G. +$imiliter vt $upra o$ten- +detur potentiam in G +pondus EF $ui$tinen- +<fig> +tem minorem e$$e potentia in D pondus AC $u$tinente. cùm +<pb> +enim minor $it BM ip$a +BL, minorem habebit +proportionem MB ad +BG, quàm LB ad BD. +atq; hoc modo o$ten- +detur, quò pondus ve- +cte magis eleuabitur, mi +norem $emper. ad pon- +dus $u$tinendum requi- +ri potentiam. Simili- +ter $i moucatur vectis +in BO, potentiaq; $u- +<fig> +$tinens in N, o$tendetur potentiam in N maiorem e$$e potentia in +D. maiorem enim habet proportionem SB ad BN, quàm LB +ad BD. o$tendetur etiam, quò magis pondus deprimetur; ma- +iorem $emper (vt $u$tineatur) requiri potentiam. quod demon +$trare oportebat. +<p>Hinc quoq; liquet potentias in GDN inter $e $e ita e$$e, vt +BM ad BL, atq; vt BL ad BS, deniq; vt BM ad BS. +<head>COROLLARIVM.</head> +<p>Ex his manife$tum e$t; $i potentia vecte $ur- +$um moueat pondus, cuius centrum grauitatis +$it $upra vectem, quò magis pondus eleuabitur; +$emper minorem potentiam requiri vt pondus +moueatur. +<p>Vbi enim potentia pondus $u$tinens e$t $emper minor, erit +quoq; potentia ip$um mouens $emper minor. +<pb n=52> +<fig> +<p>Ex iis etiam demon$trabitur, $i centrum grauitatis eiu$dem pon +deris, $iue propinquius, $iue remotius fuerit à vecte AB horizon- +ti æquidi$tante, eandem potentiam in A pondus nihilominus +$u$tinere: vt$i centrum grauitatis H ponderis BD longius ab$it +à vecte BA, quàm centrum grauitatis N ponderis PV, dum- +modo ducta à puncto H perpendicularis HL horizonti, vectiq; +AB tran$eat per N; $itq; pondus PV ponderi BD æquale; +erit tùm pondus BD, tùm pondus PV, ac $i ambo in L e$- +$ent appen$a; atque $unt æqualia, cùm loco vnius ponderis ac- +cipiantur, eadem igitur potentia in A $u$tinens pondus BD, +pondus quoq; PV $u$tinebit. Vecte autem EF, quò centrum +grauitatis longius fuerit à vecte, eò facilius potentia idem pon- +dus $u$tinebit: vt $i centrum grauitatis k ponderis FG longius +$it à vecte EF, quàm centrum grauitatis X ponderis YZ; itata +men vt ducta à puncto k vecti FE perpendicularis tran$eat per +X; $itq; pondus FG ponderi YZ æquale; & à punctis kX ip- +$o<*>um horizontibus perpendiculares ducantur KM X9; erit C9 +maior CM; ac propterea pondus FG in vecte erit, ac $i in M e$ +$et appen$um, & pondus YZ, ac $i in 9 e$$et appen$um. quo +<pb> +<fig> +<marg>8 <I>Quinti.</I></marg> niam autem maiorem habet proportionem C9 ad CE, quàm +CM ad CE, maior potentia in E fu$tinebit pondus YZ, quàm +FG. In vecte autem QR è conuer$o demon$trabitur, $cilicet +quò centrum grauitatis eiu$dem ponderis $it longius à vecte, eò +maiorem e$$e potentiam pondus $u$tinentem. maior enim e$t +CT, quàm CI; & obid maiorem habebit proportionem CT +ad CR, quàm CI ad CR. Similiter demon$trabitur, $i pondus +intra potentiam, & fulcimentum fuerit collocatum; vel poten- +tia intra fulcimentum, & pondus. Quod idem etiam potentiæ +eueniet mouenti. vbi enim minor potentia $u$tinet pondus, ibi +minor potentia mouebit; & vbi maior in $u$tinendo, ibi maior +quoq; in mouendo re quiretur. +<head>RROPOSITIO VIIII.</head> +<p>Potentia pondus $u$tinens infra vectem ho- +rizonti æquidi$tantem ip$ius centrum grauitatis +<pb n=53> +habens, quò magis ab hoc $itu vecte pondus ele +uabitur maiori $emper potentia, vt $u$tineatur, +egebit. $i verò deprimetur, minori. +<fig> +<p>Sit vectis AB horizonti æquidi$tans, cuius fulcimentum C; +$itq; pondus AD, cuius centrum grauitatis L $it infra vectem; +$itq; potentia in B $u$tinens pondus AD: moueatur deinde ve- +ctis in FG, & pondus in FH. Dico primum maiorem requiri +potentiam in G ad $u$tinendum pondus FH vecte FG, quàm +$it potentia in B pondere exi$tente AD vecte autem AB. $it M +grauitatis centrum ponderis FH, & à punctis LM ip$orum ho- +rizontibus perpendiculares ducantur Lk MN: ip$i verò FG per- +pendicularis ducatur MS, quæ æqualis erit LK, & CK ip$i CS +erit etiam æqualis. Quoniam igitur CN maior e$t Ck, habe- <marg>7 <I>Huius.</I></marg> +bit NC ad CG maiorem proportionem, quàm Ck ad CB; po <marg>8 <I>Quinti.</I></marg> +tentia uerò in B ad pondus AD eandem habet, quam kC ad CB: <marg>5 <I>Huius.</I></marg> +& vt potentia in G ad pondus FH, ita e$t NC ad CG; ergo +maiorem habebit proportionem potentia in G ad pondus FH, +quàm potentia in B ad pondus AD. maior igitur e$t potentia <marg>10 <I>Quinti</I></marg> +in Gip$a potentia in B. $i verò vectis $it in OP, & pondus in +OQ; erit potentia in B maior, quàm in P. eodem enim mo- +do o$tendetur CR minorem e$$e Ck, & CR ad CP minorem <marg>7 <I>Huius.</I></marg> +<foot>O</foot> +<pb> +<fig> +habere proportionem, quàm Ck ad CB; & ob id potentiam in +B maiorem e$$e potentia in P. & hoc modo o$tendetur, quò ma- +gis à $itu AB pondus eleuabitur, $emper maiorem potentiam ad +pondus $u$tinendum requiri. è contra verò $i deprimetur. quod +demon$trare oportebat. +<p>Hinc quoq; facilè elici pote$t potentias in PBG inter $e $e ita +e$$e, vt CR ad Ck; & vt Ck ad CN; atq; vt CN ad CR. +<fig> +<p>Sit deinde vectis AB horizonti æquidi$tans, cuius fulcimentum +B; pondu$q; CD habeat centrum grauitatis O infra vectem; $itq; +potentia in A $u$tinens pondus CD. Moueatur deinde vectis in +<pb n=54> +BE BF, pondu$q; transferatur in GH kL. Dico maiorem re- +quiri potentiam in E, vt pondus $u$tineatur, quàm in A; & ma +iorem in A, quàm in F. ducantur à centris grauitatum horizon- +tibus perpendiculares NM OP QR, quæ ex parte NOQ +protractæ in centrum mundi conuenient. $imiliter vt $upra o$ten +detur BM maior&etilde; e$$e BP, & <I>B</I>P maiorem BR; & BM ad BE ma- <marg>7 <I>Huius.</I></marg> +iorem habere proportionem, qaàm BP ad BA; & BP ad BA ma- +iorem, quàm BR ad BF: & propter hoc potentiam in E maio- +rem e$$e potentia in A; & potentiam in A maiorem potentia in +F. & quò vectis magis à $itu AB eleuabitur, $emper o$tendetur, +maiorem requiri potentiam ponderi $u$tinendo. $i verò depri- +metur, minorem. +<p>Hinc patet etiam potentias in EAF inter $e $e ita e$$e, vt BM ad +BP; & vt BP ad BR; ac vt BM ad BR. +<p>In$uper $i in B altera $it potentia, ita vt duæ $int potentiæ pondus +$u$tinentes, maiore opus e$t potentia in B pondus kL $u$tinente +vecte BF, quàm pondus CD vecte AB. & adhuc maiore vecte +AB, quàm vecte BE. maiorem enim habet proportionem RF +ad FB, quàm PA ad AB; & PA ad AB maiorem habet, quàm +EM ad EB. +<p>Similiterq; o$tendetur potentias in B pondus vectibus $u$tinen- +tes inter $e $e ita e$$e, vt EM ad AP; & ut +AP ad FR; atque ut +EM ad FR. +<p>Præterea potentia in Bad potentiam in F ita erit, ut RF ad <marg>3 <I>Cor.</I></marg> +RB; & potentia in B ad potentiam in A, ut PA ad PB, & po- <marg>2 <I>Huius.</I></marg> +tentia in <I>B</I> ad potentiam in E, ut EM ad M<I>B.</I> +<foot>O 2</foot> +<pb> +<p>Sit autem vectis +AB horizonti æqui- +di$tans, cuius fulci- +mentum B; & pon- +dus AC, cuius cen- +trum grauitatis $it in- +fra vectem: $itq; po- +tentia in D pondus +$u$tin&etilde;s; moueaturq; +vectis in BE BF, & +potentia in GH: $i- +militer o$tendetur po +<fig> +tentiam in G maiorem e$$e debere potentia in D; & potentiam in +D maiorem potentia in H. maiorem enim proportionem habet +KB ad BG, quàm BL ad BD; & BL ad BD maiorem, quàm +MB ad BH. & hoc modo o$tendetur, quò vectis magis à $itu +AB eleuabitur, adhuc $emper maiorem e$$e debere potentiam pon +dus $u$tinentem. quò autem magis deprimetur; minorem. quod +demon$trare oportebat. +<p>Similiter in his potentiæ in GDH inter $e $e ita. erunt, vt BK +ad BL; & vt BL ad BM; deniq; vt Bk ad BM. +<head>COROLLARIVM.</head> +<p>Ex his patet etiam, $i potentia vecte $ur$um +moueat pondus, cuius centrum grauitatis $it in- +fra vectem; quò magis pondus eleuabitur, $em +per maiorem requiri potentiam, vt pondus mo +ueatur. +<p>Nam $i potentia pondus $u$tinens $emper e$t maior: erit quoq; +potentia mouens $emper maior. +<pb n=55> +<fig> +<p>Et his etiam facilè elicietur, $i centrum grauitatis eiu$dem pon- +deris, $iue propius, $iue remotius fuerit à vecte AB horizonti æ- +quidi$tante; eandem potentiam in B pondus $u$tinere. vt $i cen- +trum grauit atis L ponderis AD $it remotius à vecte BA, quàm +centrum grauitatis N ponderis PV; dummodo ducta à puncto L +perpendicularis LK horizonti, vectiq; AB tran$eat per N: $imili- +ter vt in præcedenti o$tendetur, eandem potentiam in B, & pondus +AD, & pondus PV $u$tinere. In vecte auté EF, quò centrũ grauitatis +longius aberit à vecte, eò maiori opus erit potentia ponderi $u$ti- +nendo. vt centrum grauitatis M ponderis FH remotius $it à ue +cte EF, quàm S centrum grauitatis ponderis XZ; ducantur à pun +ctis MS horizontibus perpendiculares MI SG; erit CI maior +CG: ac propterea maior e$$e debet potentia in E pondus FH $u +$tinens, quàm pondus XZ. Contra uerò in uecte OR o$tende +tur, quò $cilicet centrum grauitatis eiu$dem ponderis longius ab +$it à uecte, à minori potentia pondus $u$tineri. minor enim e$t +CY, quàm CT. Simili quoq; modo demon$trabitur, $i pondus +$it intra potentiam, & fulcimentum; uel potentia intra fulci- +mentum, & pondus. Quod idem potentiæ eueniet mouenti: +<pb> +vbi enim minor potentia $u$tinet pondus, ibi minor potentia mo- +uebit. & vhi maior potentia in $u$tinendo; ibi quoq; maior in mo +uendo aderit. +<head>PROPOSITIO X.</head> +<p>Potentia pondus $u$tinens in ip$o vecte cen- +trum grauitatis habens, quomodocunq; vecte +transferatur pondus; eadem $emper, vt $u$tinea- +tur, potentia opus erit. +<fig> +<p>Sit vectis AB horizonti æquidi$tàns, cuius fulcimentum C. +E verò centrum grauitatis ponderis in ip$o $it vecte. Moueatur +deinde uectis in FG, Hk; & centrum grauitatis in LM. dico ean +dem potentiam in kBG idemmet $emper $u$tinere pondus. +Quoniam enim pondus in uecte AB perinde $e habet, ac $i e$$et +<marg>5 <I>Huius.</I></marg> appen$um in E; & in uecte GF, ac $i e$$et appen$um in L; & in +uecte Hk. ac $i in M e$$et appen$um; di$tantiæ uerò CL CE +CM $unt inter $e $e æquales; nec non CK CB CG inter $e æ- +quales; erit potentia in B ad pondus, ut CE ad CB; atque poten +<pb n=56> +tia in k ad pondus, ut CM ad Ck; & potentia in G ad pondus, +vt CL ad CG. eadem igitur potentia in k<I>B</I>G idem translatum +pondus $u$tinebit. quod demon$trare oportebat. +<p>Similiter o$tendetur, $i pondus e$$et intra potentiam, & fulci- +mentum; vel potentia inter fulcimentum, & pondus. quod idem +potentiæ mouenti eueniet. +<head>RROPOSITIO XI.</head> +<p>Si vectis di$tantia inter fulcimentum, & poten +tiam ad di$tantiam fulcimento, punctoq;, vbi +à centro grauitatis ponderis horizonti ducta +perpendicularis vectem $ecat, interiectam ma- +iorem habuerit proportionem, quàm pondus +ad potentiam; pondus vtiq; à potentia moue- +bitur. +<p>Sit véctis AB, ex +punctoq; A $u$penda +tur pondus C; hoc e$t +punctum A $emper $it +punctum, vbi perpen +dicularis à grauitatis +centro ponderis du- +cta vectem $ecat; $itq; +<fig> +potentia in B, ac fulcimentum $it D; & DB ad DA maiorem +habeat proportionem, quàm pondus C ad potentiam in B. Di- +co pondus Cà potentia in B moueri. fiat vt BD ad DA, ita +pondus E ad potentiam in B; atq; pondus E quoq; appendatur +in A: patet potentiam in B æqueponderare ip$i E; hoc e$t pon- <marg>1 <I>Huius.</I></marg> +dus E $u$tinere. & quoniam BD ad DA maiorem habet pro- +portionem, quàm Cad potentiam in B; & vt BD ad DA, ita +<pb> +e$t pondus E ad po- +tentiam: igitur E ad +potentiam maiorem +habebit proportio- +nem, quàm pondus +C ad eandem poten- +<marg>10 <I>Quinti.</I></marg> tiam. quare pondus +E maius erit ponde- +<fig> +re C. & cùm potentia ip$<*> E æqueponderet, potentia igitur ip$i +C non æqueponderabit, $ed $ua ui deor$um verget. pondus igitur +C à potentia in B mouebitur vecte AB, cuius fulcimentum +e$t D. +<p>Si verò $it vectis AB, & +fulcimentum A, pondu$q; C +in D appen$um, & potentia +in B; & BA ad AD maio- +rem habeat proportionem, +quàm pondus C ad poten- +tiam in B. dico pondus C à +<fig> +potentia in B moueri. fiat vt BA ad AD; ita pondus E ad poten +<marg>2 <I>Huius.</I></marg> tiam in B: & $i E appendatur in D, potentia in B pondus E $u$ti +nebit. $ed cùm BA ad AD maiorem habeat proportionem, +quàm pondus C ad potentiam in B; & vt BA ad AD, ita e$t +pondus E ad potentiam in B: pondus igitur E ad potentiam, +quæ e$t in B, maiorem habebit proportionem, quàm pondus C +<marg>10 <I>Quinti.</I></marg> ad eandem potentiam. & ideo pondus E maius erit pondere C. +potentia verò in B $u$tinet pondus E; ergo potentia in B pondus +C minus pondere E in D appen$um mouebit vecte AB, cuius fulci +mentum e$t A. +<pb n=57> +<p>Sit rur$us vectis +AB, cuius fulcimen +tũ A; & pondus C in +B $it appen$um; $itq; +potentia in D: & +DA ad AB maio- +rem habeat propor- +tionem, quàm pon- +<fig> +dus C ad potentiam, quæ e$t in D. dico pondus C à potentia +in D moueri. fiat vt DA ad AB, ita pondus E ad potentiam in +D; & $it pondus E ex puncto B $u$pen$um: potentia in D pondus +E $u$tinebit. $ed DA ad AB maiorem habet proportionem, +quàm C ad potentiam in D; & vt DA ad AB, ita e$t pondus E +ad potentiam in D; pondus igitur E ad potentiam, quæ e$t in D, +maiorem habebit proportionem, quàm pondus C ad eandem po +tentiam. quare pondus E maius e$t pondere C. & cùm poten- +tia in D pondus E $u$tineat, potentia igitur in D pondus C in B +appen$um vecte AB, cuius fulcimentum e$t A, mouebit. quod +demon$trare oportebat. +<head>ALITER.</head> +<p>Sit vectis AB, & +pondus C in A ap- +pen$um & poten- +tia in B; $it qué fulci- +mentum D: & DB +<fig> +ad DA maiorem habeat proportionem, quàm pondus C ad po +tentiam in B. dico pondus C à potentia in B moueri. fiat BE ad +EA, vt pondus C ad potentiam, erit punctum E inter BD. opor +tet enim BE ad EA minorem habere proportionem, quàm DB +ad DA, & ideo BE minor erit BD. & quoniam potentia in B $u <marg>1 <I>Huius.</I></marg> +$tinet pondus C in A appen$um uecte AB, cuius fulcimentũ E; minor +igitur potentia in B, quàm data, idem pondus $u$tinebit fulcimen +to D. data ergo potentia in B pondus C mouebit uecte AB, cuius +$ulcimentum e$t D. +<foot>P</foot> +<pb> +<p>Sit deinde vectis AB, & fulci +mentum A, & pondus C in D +appen$um, $itq; potentia in B; & +AB ad AD maiorem habeat pro- +portionem, quàm pondus C ad +potentiam in B. dico pondus C +<fig> +à potentia in B moueri. Fiat AB ad AE, vt pondus C ad poten +<marg>8 <I>quinti.</I></marg> tiam; erit $imiliter punctum E inter BD. nece$$e e$t enim AE +maiorem e$$e AD. & $i pondus C e$$et in E appen$um, potentia +<marg>2 <I>Huius.</I></marg> in B illud $u$tineret. minor autem potentia in B, quàm data, $u$ti- +<marg>1 <I>Cor.</I></marg> net pondus C in D appen$um; data ergo potentia in B pondus C in +<marg>2 <I>Huius.</I></marg> D appen$um vecte AB, cuius $ulcimentum e$t A, mouebit. +<p>Sit rur$us vectis AB, cu +ius fulcimentum A, & pon +dus C in B $it appen$um; +$itq; potentia in D; & DA +ad AB maiorem habeat +<fig> +proportionem, quàm pondus C ad potentiam in D. dico pon- +dus C à potentia in D moueri. fiat vt pondus C ad potentiam, +<marg>8 <I>Quinti.</I></marg> ita DA ad AE; erit AE maior AB; cùm maior $it proportio +DA ad AB, quàm DA ad AE. & $i pondus C appendatur in +<marg>3 <I>Huius.</I></marg> E, patet potentiam in D $u$tinere pondus C in E appen$um. mi- +<marg>1 <I>Cor.</I></marg> nor autem potentia, quàm data, $u$tinet idem pondus C in B; +<marg>3 <I>Huius.</I></marg> data igitur potentia in D pondus C in B appen$um mouebit ve- +cte AB, cuius fulcimentum e$t A. quod oportebat demon- +$trare. +<head>PROPOSITIO XII.</head> +<head>PROBLEMA.</head> +<p>Datum pondus à data potentia dato vecte +moueri. +<pb n=58> +<fig> +<p>Sit pondus A vt centum, potentia verò mouens $it vt decem; +$itq; datus vectis BC. oportet potentiam, quæ e$t decem pondus +A centum vecte BC mouere. Diuidatur BC in D, ita vt CD +ad DB eandem habeat proportionem, quàm habet centum ad +decem, hoc e$t decem ad vnum; etenim $i D ficret fulcimentum, +con$tat potentiam vt decem in C æqueponderare ponderi A in B <marg>1 <I>Huius.</I></marg> +appen$o: hoc e$t pondus A $u$tinere. accipiatur inter BD quod +uis punctum E, & fiat E fulcimentum. Quoniam enim maior <marg><I>Lemma huius.</I></marg> +e$t proportio CE ad EB, quàm CD ad DB; maiorem habebit +proportionem CE ad EB, quàm pondus A ad potentiam decem +in C: potentia igitur decem in C pondus A centum in B appen- +$um vecte BC, cuius fulcimentum $it E, mouebit. <marg>11 <I>Huius.</I></marg> +<p>Si verò $it vectis +BC, & fulcimen- +tum B. diuidatur CB +in D, ita vt CB ad +BD eandem habeat +proportionem, quã +<fig> +habet centum ad decem: & $i pondus A in D $u$pendatur, & po- +tentia in C, potentia vt decem in C pondus A in D appen$um $u <marg>2 <I>Huius.</I></marg> +$tinebit. accipiatur inter DB quoduis punctum E, ponaturq; pon +dus A in E; & cùm $it maior proportio CB ad BE, quàm <marg>8 <I>Quinti.</I></marg> +BC ad BD; maiorem habebit proportionem CB ad BE, quàm +pondus A centum ad potentiam decem. potentia igitur decem <marg>11 <I>Huius.</I></marg> +in C pondus A centum in E appen$um mouebit vecte BC, cu +ius fulcimentum e$t B. quod facere oportebat. +<foot>P 2</foot> +<pb> +<p>Hoc autem fieri non po- +te$t exi$tente vecte BC, cuius +fulcimentum $it B, & pondus +A centum in C appen$um: po +natur enim potentia $u$tinens +pondus A vtcunq; inter BC, +<marg>2 <I>Cor.</I></marg> vt in D, $emper potentia ma +<marg>3 <I>Huius.</I></marg> ior erit pondere A. quare opor +<fig> +tet datam potentiam maiorem e$$e pondere A. $it igitur poten- +tia data vt centum quinquaginta. diuidatur BC in D, ita vt CB +ad BD $it, vt centum quinquaginta ad centum; hoc e$t tria ad duo: +<marg>3 <I>Huius.</I></marg> & $i ponatur potentia in D, patet potentiam in D $u$tinere pon- +dus A in C appep$um. accipiatur itaq; inter DC quoduis pun- +<marg>8 <I>Quinti.</I></marg> ctum E, ponaturq; potentia mouens in E; & cùm maior $it pro- +portio EB ad BC, quàm DB ad BC; habebit EB ad BC maio +rem proportionem, quàm pondus A ad potentiam in E. poten +<marg>11 <I>Huius.</I></marg> tia igitur vt centum quinquaginta in E pondus A centum in C +appen$um vecte BC, cuius fulcimentum e$t B, mouebit. quod +facere oportebat. +<head>COROLLARIVM.</head> +<p>Hinc manife$tum e$t $i data potentia $it dato +pondere maior; hoc fieri po$$e, $iue ita exi$ten +te vecte, vt eius fulcimentum $it inter pondus, +& potentiam; $iue pondus inter fulcimentum, +& potentiam habente; $iue demum potentia in- +ter pondus, & fulcimentum con$tituta. +<p>Sin autem data potentia minor, vel æqualis +dato pondere fuerit; palam quoq; e$t id ip$um +dumtaxat a$$e qui po$$e vecte ita exi$tente, vt eius +fulcimentum $it inter pondus, & pontentiam; +<pb n=59> +vel pondus intra fulcimentum, & potentiam +habente. +<head>PROPOSITIO XIII.</head> +<head>PROBLEMA.</head> +<p>Quotcunq; datis in vecte ponderibus vbicun- +què appen$is, cuius fulcimentum $it quoq; da- +tum, potentiam inuenire, quæ in dato puncto +data pondera $u$tineat. +<fig> +<p>Sint data pondera ABC in vecte DE, cuius fulcimentum F, +vbicunq; in punctis DGH appen$a: collocandaq; $it potentia in +puncto E. potentiam inuenire oportet, quæ in E data pondera +ABC vecte DE $u$tineat. diuidatur DG in k, ita vt Dk ad KG +$it, vt pondus B ad pondus A; deinde diuidatur kH in L, ita vt kL +ad LH, $it vt pondus C ad pondera BA; atq; vt FE ad FL, ita +fiant pondera ABC $imul ad potentiam, quæ ponatur in E. di- +co potentiam in E data pondera ABC in DGH appen$a vecte +DE, cuius fulcimentum e$t F, $u$tinere. Quoniam enim $i ponde +ra ABC $imul e$$ent in L appen$a, potentia in E data pondera <marg>1 <I>Huius.</I></marg> +in L appen$a $u$tineret; pondera verò ABC tàm in L ponderant, <marg>5 <I>Huius. de libra.</I></marg> +quàm $i C in H, & BA $imul in K e$$ent appen$a; & AB in k tàm +<pb> +<fig> +ponderant, quàm $i A in D, & B in G appen$a e$$ent; ergo po- +tentia in E data pondera ABC in DGH appen$a vecte DE, cu- +ius fulcimentum e$t F, $u$tinebit. Si autem potentia in quouis +alio puncto vectis DE (præterquàm in F) con$tituenda e$$et, +vt in k; fiat vt Fk ad FL, ita pondera ABC ad potentiam: $i- +<marg>2 <I>Huius.</I></marg> militer demon$trabimus potentiam in k pondera ABC in pun- +ctis DGH appen$a $u$tinere. quod facere oportebat. +<fig> +<p>Ex hac, & ex quinta huius, $i pondera ABC $int in vecte +DE quomodocunq; po$ita; oporteatq; potentiam inuenire, quæ +in E data pondera $u$tinere debeat: ducantur à centris grauita- +tum ponderum ABC horizontibus perpendiculares, quæ ve- +ctem DE in DGH punctis $ecent; cæteraq; eodem modo fiant: +Manife$tum e$t, potentiam in E, vel in K data pondera $u$tinere. +idem enim e$t, ac $i pondera in DGH e$$ent appen$a. +<pb n=60> +<head>PROPOSITIO XIIII.</head> +<head>PROBLEMA.</head> +<p>Data quotcunq; pondera in dato vecte vbi- +cunq; & quomodocunq; po$ita à data potentia +moueri. +<fig> +<p>Sit datus vectis DE, & $int data pondera vt in præcedentico +rollario; $itq; A vt centum, B vt quinquaginta, C vt triginta; +dataq; potentia $it vt triginta. exponantur eadem, inueniaturq; +punctum L; deinde diuidatur LE in F, ita vt FE ad FL $it, vt +centum octoginta ad triginta, hoc e$t $ex ad vnum: & $i F fieret +fulcimentum, potentia vt triginta in E $u$tineret pondera ABC. <marg>13 <I>Huius.</I></marg> +accipiatur igitur inter LF quoduis punctum M, fiatq; M fulci- +mentum: manife$tum e$t potentiam in E vt triginta pondera <marg>11 <I>Huius.</I></marg> +ABC vt centum octoginta vecte DE mouere. quod facere +oportebat. +<p>Hoc autem vniuersè a$$equi minimè poterimus, $i in extremita- +te vectis fulcimentum e$$et, vt in D; quia proportio DE, ad DL +hoc e$t proportio ponderum ABC ad potentiam, quæ pondera +$u$tinere debeat, $emper e$t data. quod multo quoq; minus fieri +po$$et, $i ponenda e$$et potentia inter DL. +<pb> +<head>PROPOSITIO XV.</head> +<head>PROBLEMA.</head> +<p>Quia verò dum pondera vecte mouentur, +vectis quoq; grauitatem habet, cuius nulla ha- +ctenus mentio facta e$t: idcirco primùm quo- +modo inueniatur potentia, quæ in dato puncto +datum vectem, cuius fulcimentum $it quoq; da- +tum, $u$tineat, o$tendamus. +<fig> +<p>Sit datus vectis AB, cuius fulcimentum $it datum C; $itq; +punctum D, in quo collocanda $it potentia, quæ vectem AB $u +$tinere debeat, ita vt immobilis per$i$tat. ducatur à puncto C +linea CE horizonti perpendicularis, quæ vectem AB in duas di- +uidat partes AE EF, $itq; partis AE centrum grauitatis G, & +partis EF centrum grauitatis H; à punctisqué GH horizon- +tibus perpendiculares ducantur Gk HL, quæ lineam AF +in punctis KL $ecent. quoniam enim vectis AB à linea CE in duas +diuiditur partes AE EF; ideo vectis AB nihil aliud erit, ni$i +duo pondera AE EF in vecte, $iue libra AF po$ita; cuius $u- +$pen$io, $iue fulcimentum e$t C. quare pondera AE EF ita erunt +po$ita, ac $i in kL e$$ent appen$a. diuidatur ergo kL in M, +ita vt kM ad ML, $it vt grauitas partis EF ad grauitatem par- +tis AE; & vt CA ad CM, ita fiat grauitas totius vectis AB ad +potentiam, quæ $i collocetur in D (dummodo DA horizonti +<pb n=61> +perpendicularis exi$tat) vecti æqueponderabit; hoc e$t vectem <marg>13 <I>Huius.</I></marg> +AB deor$um premendo $u$tinebit. quod inuenire oportebat. +<p>Si verò potentia in puncto B ponenda e$$et. fiat vt CF ad CM +ita pondus AB ad potentiam. $imili modo o$tendetur poten- +tiam in B vectem AB $u$tinere. $imiliterq; demon$trabitur in quo- +cunq; alio $itu (præterquàm in e) ponenda fuerit potentia, vt in +N. fiat enim vt CO ad CM, ita AB ad potentiam; quæ $i pona- +tur in N, vectem AB $u$tinebit. +<p>Adiiciatur autem pondus in vecte appen$um, +$iue po$itum; vt iisdem po$itis $it pondus P in +A appen$um; potentiaq; $it ponenda in B, ita +vt vectem AB vnà cum pondere P $u$tineat. +<fig> +<p>Diuidatur AM in Q, ita vt AQ ad QM $it, ut grauitas ue- +ctis AB ad grauitatem ponderis P; deinde ut CF ad CQ, ita fat +grauitas AB, & P $imul ad potentiam, quæ ponatur in B: patet +potentiam in B uectem AB unà cum pondere P $u$tinere. Si ue- <marg>13 <I>Huius.</I></marg> +rò e$$et CA ad CM, vt AB ad P; e$$et punctum C eorum centrum <marg><I>Ex $exta</I></marg> +grauitatis, & ideo vectis AB vná cum pondere P ab$q; potentia in <marg>1 <I>Arch. de æquep.</I></marg> +B manebit. $ed $i ponderum grauitatis centrum e$$et inter CF, vt +in O; fiat vt CF ad CO, ita AB&P $imul ad potentiam, quæ +in B, & vectem AB, & pondus P $u$tinebit. +<foot>Q</foot> +<pb> +<fig> +<p>Similiter o$tendetur, $i plura e$$ent pondera in vecte AB ubi- +cunq;, & quomodocunq; po$ita. +<p>In$uper ex his non $olum, ut in decimaquarta huius docuimus, +quomodo $cilicet data pondera ubicunq; in uecte po$it a data poten +tia dato uecte mouere po$$umus, eodem modo grauitate uectis +con$iderata idem facere poterimus; uerùm etiam accidentia reli- +qua, quæ $upra ab$q; uectis grauitatis con$ideratione demon$tra- +<*>a $unt; $imili modo uectis grauitate con$iderata vná cum ponde +ribus, uel $ine ponderibus o$tendentur. +<pb n=62> +<head>DE TROCHLEA.</head> +<p>Trochleae in$trumento pon +dus multipliciter moueri pote$t; +quia verò in omnibus e$t eadem +ratio: ideo (vt res euidentior ap- +pareat) in iis, quæ dicenda $unt, +intelligatur pondus $ur$um ad re +ctos horizontis plano angulos hoc modo $em- +per moueri. +<foot>Q 2</foot> +<pb> +<p>Sit pondus A, quod ip$i ho +rizontis plano $ur$um ad rectos +angulos $it attollendum; & vt +fieri $olet, trochlea duos habens +orbiculos, quorum axiculi $int +in BC, $upernè appendatur; +trochlea verò duos $imiliter ha +bens orbiculos, quorum axicu- +li $int in DE, ponderi alligetur: +ac per omnes vt riu$q; trochleæ +orbiculos circunducatur ducta- +rius funis, quem in altero eius ex +tremo, putá in F, oportet e$$e +religatum. potentia autem mo +uens ponatur in G, quæ dum +de$cendit, pondus A $ur$um ex +aduer$o attolletur; quemadmo +dum Pappus in octauo libro Ma +thematicarum collectionum a$- +$erit; nec non Vitruuius in deci +mo de Architectura, & alii. +<fig> +<p>Quomodo autem hoc trochleæ in$trumen- +tum reducatur ad vectem; cur magnum pondus +ab exigua virtute, & quomodo, quantoq; in tem +pore moueatur; cur funis in vno capite debeat +e$$e religatus; quodq; $uperioris, inferioris&qacute;ue +tro chleæ fuerit officium; & quomodo omnis in +<pb n=63> +numeris data proportio inter potentiam, & pon +dus inueniri po$sit; dicamus. +<head>LEMMA.</head> +<p>Sint rectæ lineæ AB CD parallelæ, quæ in +punctis AC circulum ACE contingant, cuius +centrum F: & FA FC connectantur. Dico +AFC rectam lineam e$$e. +<p>Ducatur FE ip$is AB CD æquidi$tans. +& quoniam AB, & FE $unt parallelæ, & +angulus BAF e$t rectus; erit & AFE re- +ctus. eodemq; modo CFE rectus erit. li- <marg>18 <I>Tertii.</I></marg> +neaigitur AFC recta e$t. quod erat de- <marg>29 <I>Primi.</I></marg> +mon$trandum. <marg>14 <I>Primi.</I></marg> +<fig> +<head>PROPOSITIO I.</head> +<p>Si funis trochleæ $upernè appen$æ orbiculo +circunducatur, alterumq; eius extremum pon- +deri alligetur, altero interim à potentia pondus +$u$tinente apprehen$o: erit potentia ponderi +æqualis. +<pb> +<p>Sit pondus A, +cui alligatus $it fu- +nis in B; trochleaq; +habens orbiculum C +EF, cuius centrum +D, $ur$um appenda- +tur; $itq; D quoq; +centrum axiculi; & +circa orbiculum uo- +luatur funis BC EF +G; $itq; potentia +in G $u$tinens pon- +dus A. dico poten- +tiam in G ponderi A +æqualem e$$e. Sit FG +æquidi$tans CB. +Quoniam igitur pon +<marg>1 <I>Huius. de libra.</I></marg> dus A manet; erit +<fig> +CB horizonti plano perpendicularis <*> quare FG eidem plano per- +<marg>8 <I>Vndecimi.</I></marg> pendicularis erit. Sint CF pũcta in orbiculo, à quibus funes CB FG +in horizontis planũ ad rectos angulos de$cendunt; tangent BC FG +orbiculũ CEF in punctis CF. orbiculũ enim $ecarenõ po$$unt. con +nectantur DC DF; erit CF recta linea, & anguli DCB DFG recti. +<marg>18 <I>Tertii.</I></marg> Quoniã aut&etilde; BC tùm horizonti, tùm ip$i CF e$t perpendicularis; +erit linea CF horizonti æquidi$tans. cùm verò põdus appen$um $it +<marg><I>Ex</I> 28 <I>Pri mi.</I></marg> in BC, & potentia $it in G; quod idem e$t, ac $i e$$et in F; erit +CF tanquam libra, $iue vectis, cuius centrum, $iue fulcimentum e$t +D; nam in axiculo orbuculus $u$tinetur; atq; punctum D, cùm $it +centrum axiculi, & orbiculi, etiam vtri$que circumuolutis +immobile remanet. Itaq; cùm di$tantia DC $it æqualis di$tantiæ +DF, potentiaq; in F ponderi A in C appen$o æqueponderet, cùm +<marg>1 <I>Primi. Archim. de æquepond.</I></marg> pondus $u$tineat, ne deor$um vergat; erit potentia in F, $iue in G +(nam idem e$t) con$tituta ponderi A æqualis. Idem enim effi- +cit potentia in G, ac $i in G aliud e$$et appen$um pondus æquale +ponderi A; quæ pondera in CF appen$a æquæponderabunt. Præ- +terea, cùm in neutram fiat motus partem, idem erit vnico exi- +<pb n=64> +$tente fune BC EFG hoc modo orbiculo circumuoluto, ac $i duo +e$$ent funes BC FG alligati in vecte, $iue libra CF. +<head>COROLLARIVM.</head> +<p>Ex hoc manife$tum e$$e pote$t, idem pon- +dus ab eadem potentia ab$q; ullo huius tro- +chleæ auxilio nihilominus $u$tineri po$$e. +<p>Sit enim pondus H æquale +ponderi A, cui alligatus $it funis +kL; $itq; potentia in L $u$tinens +pondus H. cùm autem pondus +ab$q; vllo adminiculo $u$tinere +volentes tanta vi opus $it, quanta +ponderi e$t æqualis; erit potentia +in L ponderi H æqualis; pondus +verò H ip$i ponderi A e$t æquale, +cui potentia in G e$t æqualis; erit +igitur potentia in G potentiæ in L +æqualis. quod idem e$t, ac $i ead&etilde; +potentia idem pondus $u$tineret. +<fig> +<p>Præterea $i potentiæ in G, & +in L inuicem fuerint æquales, $eor +$um autem ponderibus minores; +patet potentias ponderibus $u$ti- +nendis non $ufficere. $i verò maiores, manife$tum e$t pondera à +pontentiis moueri. & $ic in eadem e$$e proportione potentiam in +L. ad pondus H, veluti potentia in G ad pondus A. +<p>Sed quoniam in demon$tratione a$$umptum fuit axiculum cir- +cumuerti, qui vt plurimum immobilis manet; idcirco immobili +quoq; manente axiculo idem o$tendatur. +<pb> +<p>Sit orbiculus trochleæ CEF, cu +ius centrum D; $itq; axiculus GHk, +cuius idem $it centrum D. Ducatur +CG DkF diameter horizonti æ- +quidi$tans. & quoniam dum orbi- +culus circumuertitur, circumferen- +tia circuli CEF $emper e$t æquidi- +$tans circumferentiæ axiculi GHk; +circa enim axiculum circumuerti- +tur; & circulorum æquidi$tantes cir +cumferentiæ idem habent centrum; +erit punctum D $emper & orbiculi, +<fig> +& axiculi centrum. Itaq; cùm DC $it æqualis DF, & DG ip$i +Dk; erit GC ip$i kF æqualis. $i igitur in vecte, $iue libra CF +pondera appendantur æqualia, æqueponderabunt. di$tantia enim +CG æqualis e$t di$tantiæ kF; axiculu$<*>; GHK immobilis gerit +vicem centri, $iue fulcimenti. immobili igitur manente axicu- +lo, $i ponatur in F potentia $u$tinens pondus in C appen$um; erit +potentia in F ip$i ponderi æqualis. quod erat o$tendendum. +<p>Et cùm idem pror$us $it, $iue axiculus circumuertatur, $iue mi- +nus; liceat propterea in iis, quæ dicenda $unt, loco axiculi cen- +trum tantùm accipere. +<head>PROPOSITIO II.</head> +<p>Si funis orbiculo trochleæ ponderi alligatæ +circumducatur, altero eius extremo alicubi reli- +gato, altero uerò à potentia pondus $u$tinente +apprehen$o; erit potentia ponderis $ubdupla. +<pb n=65> +<p>Si pondus A; $it BCD +orbiculus trochleæ pon- +deri A alligate, cuius cen +trum E; funis deinde FB +CDG circa orbiculum +voluatur, qui religetur in +F; $itq; potentia in G $u +$tinens pondus A. dico +potentiam in G $ubdu- +plam e$$e ponderis A. $int +funes FB GD puncti E +horizonti perpendicula- +res, qui inter $e $e æqui- <marg>6 <I>Vndecimi</I></marg> +di$tantes erunt; tangantq; +funes FB GD circulum +BCD in BD punctis. +connectatur BD; erit BD +per centrum E ducta, <marg><I>Ex præcedenti.</I></marg> +<fig> +ip$iu$qué centri horizonti æquidi$tans. Cùm autem potén- +tia in G trochlea pondus A $u$tinere debeat, funem ex altero ex- +tremo religatum e$$e oportet, puta in F; ita vt F æqualiter $altem +potentiæ in G re$i$tat, alioquin potentia in G nullatenus pondus +$u$tinere po$$et. Et quoniam potentia fune $u$tinet orbiculum, +qui reliquam trochleæ partem, cui appen$um e$t pondus, $u$tinet +axiculo; grauitabit hæc trochleæ pars in axiculo, hoc e$t in centro +E. quare pondus A in eodem quoq; centro E ponder<*>bit, ac $i +in E e$$et appen$um. po$ita igitur potentia, quæ in G, vbi D +(idem enim pror$us e$t) erit BD tanquam vectis, cuius fulci +mentum erit B, pondus in E appen$um, & potentia in D. con +uenienter enim fulcimenti rationem ip$um B $ubire pote$t, exi +$tente fune FB immobili. cæterum hoc po$terius magis eluce$cet. +Quoniam autem potentia ad pondus eandem habet proportio- <marg>2 <I>Huius de vecte.</I></marg> +nem, quàm BE ad BD; & BE in $ubdupla e$t proportione +ad BD: potentia igitur in G ponderis A $ubdupla erit. quod de- +mon$trare oportebat. +<foot>R</foot> +<pb> +<p>Hoc igitur ita $e ha- +bet vnico exi$tent efune +FBC DG ip$i orbi culo +circumducto, ac $i duo e$ +$ent funes BF GD ve- +cti BD alligati, cuius ful +cimentum erit B, pon- +dus in E appen$um, & +potentia $u$tinens in D, +vel quod idem e$t in G. +<fig> +<head>COROLLARIVM I.</head> +<p>Ex hoc itaq; manife$tum e$t, pondus hoc mo +do à minori in $ubdupla proportione potentia +$u$tineri, quam $ine vllo huiu$inodi trochleæ +auxilio. +<pb n=66> +<p>Veluti $it pondus H ponderi A +æquale, cui religatus $it funis kL; +potentiaq; in L $u$tineat pondus H; +erit potentia in L $eor$um ponderi +H, & ponderi A æqualis; $ed poten +tia in G $ubdupla e$t ponderis A, +quare potentia in G $ubdupla erit po +tentiæ, quæ e$t in L. & ho cmodo in +huiu$cemodi reliquis omnibus pro +portio inueniri poterit. +<fig> +<head>COROLLARIVM. II.</head> +<p>Manife$tum e$t etiam; $i duæ fuerint poten- +tiæ vna in G, altera in F, pondus A $u$tinentes; +vtra$q; $imul ponderi A æquales e$$e: & vnam +quamque $u$tinere dimidium ponderis A. +<p>Hoc autem ex tertio, & quarto corollario $ecundæ huius in +tractatu de vecte patet. +<head>COROLLARIVM III.</head> +<p>Illud quoq; præterea innote$cit, cur $cilicet fu +nis ex altero religatus e$$e debeat extremo. +<foot>R 2</foot> +<pb> +<head>PROPOSITIO III.</head> +<p>Si vtri$q; duarum trochlearum $ingulis or- +biculis, quarum altera $upernè, altera verò in- +fernè con$tituta, ponderiq; alligata fuerit, cir +cunducatur funis; altero eius extremo alicubi +religato, altero verò à potentia pondus $u$ti- +nente detento; erit potentia ponderis $ub du- +pla. +<p>Sit pondus A; $it BCD orbiculus trochleæ pon +deri A alligatæ, cuius centrum K; EFG verò +$it trochleæ $ur$um appen$æ, cuius centrum H. +deinde LBC DME FGN funis circa orbicu- +los ducatur, qui religetur in L; $itq; potentia in +N $u$tinens pondus A. dico potentiam in N +$ubduplam e$$e ponderis A. $i enim potentia $u +$tinens pondus A vbi M collocata foret, e$$et +vtiq; potentia in M $ubdupla ponderis A. po- +<marg>2 <I>Huius.</I></marg> tentiæ verò in M æqualis e$t vis in N. e$t e- +<marg>1 <I>Huius.</I></marg> nim ac $i potentia in M dimidium ponderis +A $ine trochlea $u$tineret, cui æqueponderat +pondus in N ponderis A dimidio æquale. +quare vis in N æqualis dimidio ponderis A +ip$um A $u$tinebit. Potentia igitur in N $u$ti +nens pondus A $ubdupla e$t ip$ius A. quod +demon$trare oportebat. +<fig> +<pb n=67> +<p>Si verò vt in $ecunda figura $it fu +nis BC DEF GHkL orbiculis cir +cumuolutus, & religatus in B; poten +tiaq; in L pondus A $u$tineat: erit +potentia in L $imiliter ponderis $ubdu +pla. orbiculus enim trochleæ $upe- +rioris, ip$aqué trochlea penitus $unt +inutiles: & idem e$t, ac $i funis reli +gatus e$$et in F, & potentia in L $u +$tineret pondus $ola trochlea ponderi +alligata, quæ potentia ponderis A o$ten +$a e$t $ubdupla. +<fig> +<head>COROLLARIVM.</head> +<p>Ex his $equitur, $i duæ $int potentiæ in BL; +vtra$q; inter $e $e æquales e$$e. +<p>Vtraq; enim $eor$um e$t ip$ius A $ubdupla. +<pb> +<head>PROPOSITIO IIII.</head> +<p>Sit vectis AB, cuius fulcimentum $it A; qui +bifariam diuidatur in D: $itq; pondus C in D +appen$um; duæq; $int potentiæ æquales in BD +pondus C $u$tinentes. Dico unamquamq; poten +tiam in BD ponderis C $ubtriplam e$$e. +<p>Quoniam enim altera +potentia e$t in D colloca +ta, & pondus C in eodem +puncto D e$t appen$um; +potentia in D partem +ponderis C $u$t^{i}nebit ip- +$i potentiæ D æqualem. +<fig> +quare potentia in B partem $u$tinebit reliquam, quæ pars dupla erit +ip$ius potentiæ in B; cùm pondus ad potentiam eandem habeat +proportionem, quam AB ad AD: & potentiæ in BD $unt æqua- +les; ergo potentia in B duplam $u$tinebit partem eius, quam $u$ti +net potentia in D. diuidatur ergo pondus C in duas partes, qua +rum vna $it reliquæ dupla; quod fiet, $i in tres partes æquales EFG +diui$erimus: tunc enim FG dupla erit ip$ius E. Itaq; potentia +in D partem E $u$tinebit, & potentiam in B reliquas FG. vtreq; +igitur inter $e $e æquales potentiæ in BD $imul totum $u$tinebunt +pondus C. & quoniam potentia in D partem E $u$tinet, quæ ter +tia e$t pars ponderis C, ip$iq; e$t æqualis; erit potentia in D $ub +tripla ponderis C. & cùm potentia in B $u$tineat partes FG, qua +rum potentia in B e$t $ubdupla; erit in B potentia vni partium FG, +putà G æqualis. G verò tertia e$t pars ponderis C; potentia +igitur in B $ubtripla erit ponderis C. Vnaquæq; ergo potentia in +BD $ubtripla e$t ponderis C. quod demon$trare oportebat. +<pb n=68> +<fig> +<p>Et $i duo e$$ent vectes AB EF bifariam in GD diui$i, quorum +fulcimenta e$$ent AF, & pondus C in DG vtriq; vecti appen- +$um, ita tamen vt in vtroq; æqualiter ponderet; duæq; e$$ent +æquales potentiæ in BG: eadem pror$us ratione o$tendetur, +vnamquamq; potentiam in B, & G ponderis C $ubtriplam +e$$e. +<head>PROPOSITIO V.</head> +<p>Si vtri$q; duarum trochlearũ $ingulis orbiculis, +quarum altera $upernè, altera verò infernè con$ti +tuta, ponderiq; alligata fuerit, circumducatur fu +nis; altero eius extremo inferiori trochleæ reli- +gato, altero verò à potentia pondus $u$tinente +detento: erit potentia ponderis $ubtripla. +<pb> +<p>Sit pondus A; $it BCD orbiculus tro- +chleæ ponderi A alligate, cuius centrum +E; & FGH trochleæ $ur$um appen$æ, cu- +ius centrum k; & LFGHBCDM funis +orbiculis circumducatur, qui religetur in L +trochleæ inferiori; $itq; potentia in M $u- +$tinens pondus A. dico potentiam in M +$ubtriplam e$$e ponderis A. ducantur FH +BD per centra kE horizonti æquidi$tan- +tes, $icut in præcedentibus dictum e$t Quo- +niam enim funis FL trochleam $u$tinet in- +feriorem, quæ $u$tinet orbiculum in eius +centro E; erit funis in L vt potentia $u$ti- +nens orbiculum, ac $i in ip$o E centro e$$et; +potentia verò in M e$t, ac $i e$$et in D; +efficietur igitur DB tanquam vectis, cuius +<marg><I>In</I> 2 <I>Huius</I></marg> fulcimentum erit B; pondus verò A (vt $u +pra o$ten$um e$t) ex E $u$pen$um à dua- +bus potentiis altera in D, altera in E $u$ten +tatum. Cùm autem in pondere $u$tinendo +vectes FH BD immobiles maneant, $i in +funibus FL HB appendantur pondera, e- +<marg>1 <I>Huius.</I></marg> runt hæc ip$a æqualia; cùm vectis FH ha- +beat fulcimentum in medio; alioquin ex al +tera parte deor$um fieret motus, quod tam&etilde; +non contingit. tam igitur $u$tinet funis FL, +quàm HB. deinde quoniam ex medio ve- +<fig> +cte BD pondus $u$penditur, idcirco $i duæ fuerint potentiæ in BD +<marg><I>Ex</I> 3 <I>Cor.</I> 2 <I>Huius ve cte.</I></marg> pondus $u$tinentes, erunt inuicem æquales. & quamquam funis +<pb n=69> +FL ip$e quoq; pondus $u$tineat, cùm potentiæ in E vic&etilde; gerat; quia +tamen ex eodemmet puncto $u$tinet, vbi appen$um e$t pondus, non +efficiet propterea, quin pot entiæ in BD $int inter $e $e æquales; +opitulatur enim tàm vni, quàm alteri. potentiæ verò in BD eæ- +dem $unt, ac $i e$$ent in HM; quare tàm $u$tinebit funis MD, +quàm HB. ita verò $u$tinet HB, atq; FL; funis igitur MD ita +$u$tinebit, $icut FL, hoc e$t, ac $i in D, & L appen$a e$$ent pon- +dera æqualia. Cùm itaq; æqualia pondera à potentiis $u$tinean- +tur æqualibus, potentiæ in ML æquales erunt; quarum eadem pror +$us e$t ratio, ac $i e$$ent ambæ in DE. Itaq; cùm pondus A in +medio vectis BD $it appen$um, duæq; potentiæ $int æquales in +DE pondus $u$tinentes; erit B fulcimentum, ac vn aquæq; potentia, <marg>4 <I>Huius.</I></marg> +$iue in DE, $iue in ML $ubtripla ponderis A. ergo potentia in M +$u$tinens pondus $ubtripla erit ponderis A. quod o$tendere o- +portebat. +<head>COROLLARIVM.</head> +<p>Ex hoc manife$tum e$t, vnumquemq; funem +MD FL HB tertiam $u$tinere partem pon- +deris A. +<foot>S</foot> +<pb> +<p>Præterea, $ifunis ex M per a- +lium adhuc deferatur orbiculum $u +periorem in trochlea $ur$um $imi- +liter appen$a con$titutum, cuius +centrum N; ita vt perueniat in O; +ibiq; à potentia detineatur; erit po +tentia in O $u$tinens pondus A iti +dem $ubtripla ip$ius ponderis. fu +nis enim MD tantùm ponderis$u +$tinet, ac $i in D appen$um e$$et +pondus æquale tertiæ parti ponde +<marg>1 <I>Huius.</I></marg> ris A, cui æquiualet potentia in +O ip$i æqualis, hoc e$t $ubtripla +ponderis A. Potentia igitur in O +$ubtripla e$t ponderis A. +<fig> +<p>Et ne idem $æpius repetatur, no +ui$$e oportet potentiam in O $em +per æqualem e$$e ei, quæ e$t in M; +hoc e$t $i potentia in M e$$et $ub +quadrupla, $ubquintupla, vel huiu$ +modi aliter ip$ius ponderis; poten +tia quoq; in O erit itidem $ubqua +drupla, $ubquintupla, atq; ita dein +ceps eiu$demmet ponderis, quem +madmodum $e habet potentia +in M. +<pb n=70> +<head>PROPOSITIO VI.</head> +<p>Sint duo vectes AB CD bifariam diui$i in +EF, quorum fulcimenta $int. in BD; $itq; pon +dus G in EF vtriq; vecti appen$um, ita ut ex +vtroq; æqualiter ponderet; duæq; $int potentiæ +in AC æquales pondus $u$tinentes. Dico unam +quamq; potentiam in AC $ubquadruplam e$- +$e ponderis G. +<p>Cùm enim potentiæ in +AC totum $u$tineant pon- +dus G, potentiaq; in A ad +partem ponderis, quod $u$ti +net, $it vt BE ad BA; po- <marg>2 <I>Huius. de vecte.</I></marg> +tentia verò in C ad partem +ip$ius G, quod $u$tinet, ita +$it vt DF ad DC; & vt BE +ad BA, ita e$t DF ad DC; +<fig> +erit potentia in A ad partem ponderis, quod $u$tinet, vt poten- +tia in C ad ip$ius ponderis, quod $u$tinet, partem; & potentiæ +in AC $unt æquales; æquales igitur erunt partes ponderis G, +quæ à potentiis $u$tinentur. quare vnaquæq; potentia in A C di- +midium $u$tinebit ponderis G. Potentia verò in A $ubdupla e$t pon +deris, quod $u$tinet: ergo potentia in A dimidio dimidii, hoc +e$t quartæ portioni ponderis G æqualis erit; ideoq; $ubquadrupla +erit ponderis G. neq; aliter demon$trabitur potentiam in C $ub-quadruplam +e$$e eiu$dem ponderis G. quod demon$trare opor- +tebat. +<foot>S 2</foot> +<pb> +<p>Si verò tres $int vectes +AB CD EF bifariam di- +ui$i in GHk, quorum fulci +menta $int BDF; & pondus +L eodem modo in GHK +appen$um; $intq; tres poten +tiæ in ACE æquales pondus +$u$tinentes; $imiliter o$ten +detur vnamquamque po- +tentiam $ub$excuplam e$$e +ponderis L. atq; hoc ordi +ne $i quatuor e$$ent vectes, +& quatuor potentiæ; erit vnaquæq; potentia $uboctupla ponderis. +atq; ita deinceps in infinitum. +<fig> +<head>PROPOSITIO VII.</head> +<p>Si tribus duarum trochlearum orbiculis, quarũ +altera $upernè vnico duntaxat, altera verò infer- +nè duobus autem in$ignita orbiculis, ponderiq; +alligata con$tituta fuerit, funis circumponatur; al +tero eius extremo alicubi religato, altero verò à +potentia pondus $u$tinente retento; erit potentia +ponderis $ubquadrupla. +<pb n=71> +<p>Sit pondus A; $int tres orbiculi, quorum +centra BCD; orbiculu$q;, cuius centrum D, +$it trochleæ $ur$um appen$æ; quorum verò +$unt centra BC, $int trochleæ ponderi A alli +gatæ; funi$q; EFGHkLNOP per omnes +circumducatur orbiculos, qui religetur in E; +$itq; vis in P $u$tinens pondus A. dico po +tentiam in P $ubquadruplam e$$e ponderis +A. ducantur kL GF ON per rotularum +centra, & horizonti æquidi$tantes, quæ (ex +iis, quæ dicta $unt) tanquam vectes erunt. +& quoniam propter vectem, $iue libram kL, +cuius fulcimentum, $iue centrum e$t in me +dio, tàm $u$tinet funis kG, quàm LN, cùm <marg>1 <I>Huius.</I></marg> +in neutram partem fiat motus. nec non +propter vectem GF, è cuius medio veluti $u +$pen$um dependet onus; $i duæ e$$ent in GF +potentiæ, $eu in HE (e$t enim par vtriu$q; +$itus ratio, vt iam $epius dictum e$t) e$$ent <marg><I>Ex</I> 2 <I>Cor.</I> 2 <I>Huius.</I></marg> +vtiq; huiu$modi potentiæ inuicem æquales. +quare ita $u$tinet funis HG, vt EF. $imiliter +o$ten detur funem PO tàm $u$tinere, quàm +LN: quare funes PO kG EF LN æqua +liter $u$tinent. æqualiter igitur funis PO $u +$tinet, vt kG. $i ergo duæ intelligantur e$ +<fig> +$e potentiæ in OG, $eu in PH, quod idem e$t, pondus nihilomi +nus $u$tinentes, quemadmodum funes $u$tinent, æquales vtiq; e$ +$ent; & GF ON duorum vectium vires gerent; quorum fulci +menta erunt FN, & pondus A in BC medio vectium appen$um. +& quoniam omnes funes æqualiter $u$tinent, tàm $u$tinebunt +duo PO LN, quàm duo KGEF; tàm igitur $u$tinebit vectis +ON, quàm vectis GF. quare in vtroq; vecte ON GF æquali +ter pondus põderabit. erit ergo vnaquæq; potentia in PH $ubquadru <marg>6 <I>Huius.</I></marg> +pla ponderis A. & cùm funis KG potentiæ loco $umatur, quippè +qui haud $ecus $u$tinet, quàm PO; erit potentia in P $u$tinens pon- +dus A ip$ius ponderis $ubquadrupla. quod demon$trare oportebat. +<pb> +<head>COROLLARIVM I.</head> +<p>Hinc manife$tum e$t vnumquemq; funem EF +GK LN OP quartam $u$tinere partem pon- +deris A. +<head>COROLLARIVM II.</head> +<p>Patet etiam orbiculum, cuius centrum C, +non minus eo, cuius centrum e$t B, $u$tinere. +<head>ALITER.</head> +<p>Adhuc ii$dem po$itis, $i duæ e$$ent poten +tiæ æquales pondus A $u$tinentes, vna in O +<marg><I>Ex</I> 4 <I>Huius</I></marg> altera in C; e$$et vnaquæq; dictarum poten +riarum ponderis A $ubtripla. $ed quoniam +vectis GF, cuius fulcimentum e$t F bifariam +diui$us e$t in C; $i igitur ponatur in G poten +tia idem pondus $u$tinens, vt potentia in C; +erit potentia in G $ubdupla potentiæ, quæ e$ +$et in C; nam $i potentia in C $e ip$a pon- +dus in C appen$um $u$tineret, e$$et vtiq; ip +$i ponderi æqualis; & idem pondus, $i à po +<marg>2 <I>Huius. de vecte.</I></marg> tentia in G $u$tineretur, e$$et ip$ius poten +tiæ in G duplum; potentia veró in C $ubtri +pla e$$et ponderis A; ergo potentia in G +$ub$excupla e$$et ponderis A. Cùm itaq; +potentia in O $ubtripla $it ponderis A, & +potentia in G $ub$excupla; erunt vtræq; $i- +mul potentiæ in OG ip$ius ponderis A $ub +duplæ. tertia enim pars cum $exta dimi- +dium efficit. quoniam autem potentiæ in +OG, $iue in PH (vt prius dictum e$t) +$unt inter $e æquales, ac vtræq; $imul $ubdu +plæ $unt ponderis A. erit vnaquæq; poten +<fig> +<pb n=72> +tia in P Hip$ius A $ubquadrupla. Potentia igitur in P $u$tinens pon +dus A ip$ius ponderis A $ubquadrupla erit. quod erat o$ten- +dendum. +<p>Si verò funis religetur in E, +& $ecundùm quatuor adhuc +circumuoluatur orbiculos, per +ueniatq; ad P. $imiliter o$ten +detur potentiam in P $ubqua- +druplam e$$e ponderis A. +idem enim e$t, ac $i funis re- +ligatus e$$et in L, potentiaq; +$u$tineret pondus fune tribus +tantùm orbiculis circumdu- +cto, quorum centra e$$ent B +CQ. orbiculus enim cuius +centrum D e$t pœnitus inu- +tilis. +<fig> +<pb> +<head>PROPOSITIO VIII.</head> +<p>Sint duo vetes AB CD bifariam diui$i in EF, +quorum fulcimenta $int AC, & pondus G in +punctis EF vtriq; vecti $it appen$um, ita vt ex +vtroq; æqualiter ponderet; tre$q; $int potentiæ +æquales in BDE pondus G $u$tinentes. Dico +vnamquamq; $eor$um ex dictis potentiis $ub- +quintuplam e$$e ponderis G. +<p>Quoniam enim pondus G +appen$um e$t in EF, & tres +$unt potentiæ in EBD æqua +les; ideo potentia in E partem +tantùm ponderis G $u$tinebit +ip$i potentiæ in E æqualem; +potentiæ verò in BD partem +$u$tinebunt reliquam; & pars, +<marg>2 <I>Huius. de vecte.</I></marg> quam $u$tinet B, erit ip$ius +dupla; pars autem, quam $u +<fig> +$tinet D, erit $imiliter ip$ius D dupla; propter proportionem +BA ad AE, & DC ad CF. Cùm itaq; potentiæ in BD $int æqua +<marg><I>In</I> 6 <I>Huius</I></marg> les, erunt (ex iis, quæ $upra dictum e$t) partes ponderis G, quæ +à potentiis BD $u$tinentur, inter $e $e æquales; & vnaquæq; du +pla eius partis, quæ à potentia in E $u$tinetur. diuidatur er- +go pondus G in tres partes, quarum duæ $int inter $e $e æquales, +nec non vnaquæq; $eor$um alterius tertiæ partis dupla. quod +fiet, $i in quinq; partes æquales HKLMN diuidatur; pars +enim compo$ita ex duabus partibus kL dupla e$t partis H; pars +quoq; MN eiu$dem partis H e$t $imiliter dupla. quare & pars +kL parti MN erit æqualis. Su$tineat autem potentia in E par +tem H; & potentia in B partes KL; potentia verò in D partes +<pb n=73> +MN: tres igitur potentiæ æquales in BDE totum $u$tinebunt pon +dus G; & vnaquæq; potentia in BD duplum $u$tinebit eius, quod +$u$tinet potentia in E. Cùm itaq; potentia in E partem H $u$ti- +neat, quæ quinta e$t pars ponderis G, ip$iq; $it æqualis; erit po +tentia in E $ubquintupla ponderis G. & quoniam potentia in B +partes kL $u$tinet, quæ quidem duplæ $unt potentiæ B, & partis H; +erit quoq; potentia in B ip$i H æqualis: quare $ubquintupla erit +ponderis G. Non aliter o$tendetur potentiam in D $ubquintu- +plam e$$e ponderis G. vnaquæq; igitur potentia in BDE $ubquin- +tupla e$t ponderis G. quod demon$trare oportebat. +<p>Si verò $int tres vectes AB +CD EF bifariam diui$i in +GHk, quorum fulcimenta +$int ACE; & pondus L eo +dem modo in GHk $it ap- +pen$um; quatuorq; $int po- +tentiæ æquales in BDFG +pondus L $u$tinentes; $imili +modo o$tendetur vnam- +quamq; potentiam in BD +FG $ub$eptuplam e$$e ponde +ris L. & $i quatuor e$$ent vectes, & quinq; potentiæ æquales pon- +dus $u$tinentes; eodem quoq; modo o$tendetur vnamquamq; +potentiam $ubnonuplam e$$e ponderis. atq; ita deinceps. +<fig> +<head>PROPOSITIO VIIII.</head> +<p>Si quatuor duarum trochlearum binis orbi- +culis, quarum altera $upernè, altera vero in- +fernè, ponderiq; alligata, di$po$ita fuerit, cir +cumducatur funis; altero eius extremo inferiori +<foot>T</foot> +<pb> +trochleæ religato, altero verò à potentia pon- +dus $u$tinente retento: erit potentia ponderis +$ubquintupla. +<p>Sit pondus A, cui alligata $it trochlea duos +habens orbiculos, quorum centra $int BC; +$itq; trochlea $ur$um appen$a duos alios ha- +bens orbiculos, quorum centra $int DE; funi$q; +per omnes circumducatur orbiculos, qui tro- +chleæ inferiori religetur in F; $it qué poten +tia in G $u$tinens pondus A. dico poten- +tiam in G $ubquintuplam e$$e ponderis A. +ducantur Hk LM per centra BC horizon- +ti æquidi$tantes, quas eodem modo, quo $u- +pra dictum e$t, e$$e tanquam vectes o$tende- +mus, quorum fulcimenta kM, & pondus A +ex medio vtriu$q; vectis BC $u$pen$um, & tres +potentiæ in LHC pondus $u$tinentes, quas +$imili modo æquales e$$e demon$trabimus; fu +nes enim idem efficiunt, ac $i e$$ent potentiæ. +& quoniam pondus æqualiter ex vtroq; ve- +cte HK LM ponderat, quod quidem o$ten- +detur quoque, vt in præcedentibus demon- +<marg>8 <I>Huius.</I></marg> $tratum e$t: erit vnaquæq; potentia, tùm in +L, $eu in G, quod idem e$t; tùm in H, atq; +in C, hoc e$t in F, $ubquintupla ponderis A. +Potentia ergo in G $u$tinens pondus A ip$ius +A $ubquintupla erit. quod o$tendere opor- +tebat. +<fig> +<pb n=74> +<p>Si verò funis in F adhuc de- +feratur circa alium orbiculum, +cuius centrum N, qui religetur +in O; $imiliter duplici medio +(vt in $eptima huius) demon +$trabitur potentiam in G pon- +dus A $u$tinentem $ub$excu <marg><I>Ex</I> 6 <I>huius</I></marg> +plam e$$e ponderis A. Primùm +quidem ex tribus vectibus LM +Hk FP, quorum fulcimenta +$unt MkP, & pondus in me +dio vectium appen$um; & tres +potentiæ in LHF æquales pon +dus $u$tinétes. deinde ex poten <marg><I>Ex</I> 8 <I>huius</I></marg> +tiis in LHN, quarum vnaquæq; +$ubquintupla e$$et ponderis A. +e$$ent enim ambæ $imul poten +tiæ in LH $ubduplæ $exquialte +ræ ip$ius ponderis, pot&etilde;tia verò +in F $ubdecupla e$$et, cùm $it ip +$ius N $ubdupla: $ed duæ quin +tæ cùm decima dimidium ef +ficiunt, quòd $i per terna diui +datur, $exta pars ponderis re +$pondebit vnicuiq; potentiæ in +LHF. ex quibus patet poten +tiam in G $ub$excuplam e$$e +ponderis A. $imiliterq; demon +$trabitur vnumquemque orbi +culum æqualem $u$tinere por- +tionem. +<fig> +<foot>T 2</foot> +<pb> +<p>Quòd $i, vt in tertia figura +funis in O protrahatur; per +aliumq; circumducatur orbi- +culum, cuius centrum Q; qui +deinde in R trochleæ relige- +tur inferiori; erit potentia in +<marg><I>Ex</I> 8 <I>Huius</I></marg> G ponderis $ub$eptupla. atq; +ita in infinitum procedendo +proportio potentiæ ad pon- +dus quotcunq; $ubmulti- +plex inueniri poterit. dein- +de $emper o$tendetur vt in +præcedentibus; $i potentia +pondus $u$tinens fuerit, vel +$ubquadrupla, vel $ubquitu- +pla, vel quouis alio modo $e +habebit ad pondus; $imiliter +vnumquemque funem, vel +quartam, vel quintam, vel +quamuis aliam partem $u$ti- +nere ponderis, quemadmo- +dum potentia ip$a; funes e- +nim idem efficiunt, ac $i tot +e$$ent potentiæ: orbiculi ve +rò, ac $i tot e$$ent vectes. +<fig> +<head>COROLLARIVM</head> +<p>Ex his manife$tum e$t orbiculos trochleæ, cui +e$t alligatum pondus, efficere, vt pondus mino- +<pb n=75> +re $u$tineatur potentia, quàm $it ip$um pondus; +quod quidem trochleæ $uperioris orbiculi non +efficiunt. +<p>Noui$$e tamen oportet, quòd (vt fieri $olet) inferioris tro +chleæ orbiculus, cuius centrum N, minor e$$e debet eo, cuius cen +trum C; hic autem minor adhuc eo, cuius centrum B; ac deniq; +$i plures fuerint orbiculi in trochlea inferiori ponderi alligata, $em +per cæteris maior e$$e debet, qui annexo ponderi e$t propinquior. +oppo$ito autem modo di$ponendi $unt in trochlea $uperiori. quod +fieri con$ueuit, ne funes inuicem complicentur; nam quantùm +ad orbiculos attinet, $iue magni fuerint, $iue parui, nihil refert; +cùm $emper idem $equatur. +<p>Præterea notandum e$t, quod etiam ex dictis facilè patet, $i +funis, $iue religetur in R trochleæ inferiori, $iue in S, maximam +indè oriri differentiam inter potentiam, & pondus: nam $i relige +tur in S, erit potentia in G ponderis $ub$excupla. $i verò in R, +$ub$eptupla. quod trochleæ $uperiori non contingit, quia $iue +religetur funis (vt in præcedenti figura) in T, $iue in O; $em +per potentia in G $ub$excupla erit ip$ius ponderis. +<p>Po$t hæc con$iderandum e$t, quonam modo vis moueat pon +dus; necnon potentiæ mouentis, ponderi$q; moti $patium, atque +tempus. +<head>PROPOSITIO X.</head> +<p>Si funis orbiculo trochleæ $ur$um appen$æ +fuerit circumuolutus, cuius altero extremo $it al +ligatum pondus; alteri autem mouens collocata +$it potentia: mouebit hæc vecte horizonti $em- +per æquidi$tante. +<pb> +<p>Sit pondus A, $it orbiculus trochleæ $ur +$um appen$æ' cuius centrum K; $it deinde +funis HBCDEF al igatus ponderi A in H, +orbiculoq; circumductus; $itq; trochlea ita in +L appen$a, & nullum alium habeat motum +præter liberam orbiculi circa axem ver$ionem; +$itq; potentia in F mouens pondus A. Dico +potentiam in F $emper mouere pondus A +vecte horizonti æquidi$tante. ducatur BKE +horizonti æquidi$tans; $intq; BE puncta, vbi +funes BH, & EF circulum tangunt; erit BkE +<marg>1 <I>Huius.</I></marg> vectis, cuius fulcimentum e$t in eius medio +k. $icut $upra o$ten$um e$t. dum itaq; vis +in F deor$um tendit ver$us M, vectis EB +mouebitur, cùm totus orbiculus moueatur, +<fig> +hoc e$t circumuertatur. dum igitur F e$t in M, $it punctum E ve +ctis v$q; ad I motum; B autem v$q; ad C, ita vt vectis $it in +CI. fiat deinde NM æqualis ip$i FE: & quando punctum E +erit in I, tnnc funis punctum, quod erat in E, erit in N: quod au +tem erat in B erit in C; ita vt ducta CI per centrum K tran$eat. +dum autem B e$t in C, $it punctum H in G; eritq; BH ip$i +CBG æqualis; cùm $it idem funis. & quoniam dum EF tendit +in NM, adhuc $emper remanet EFM horizonti perpendicularis, +circulumq; tangens in puncto E; ita vt ducta à puncto E per cen +trum k, $it $emper horizonti æquidi$tans. quod idem euenit funi +BG, & puncto B. dum igitur circulus, $iue orbiculus circumuer +titur, $emper mouetur vectis EB, $emperq; adhuc remanet alius +vectis in EB. $iquidem ex ip$ius rotulæ natura, in qua $emper +dum mouetur, remanet diameter ex B in E (quæ vectis vicem ge +rit) euenit, vt recedente vna, $emper altera $uccedat; eiu$modi +durante circumductione: atq; ita fit, vt potentia $emper moueat +pondus vecte EB horizonti æquidi$tante. quod demon$trare opor- +tebat. +<pb n=76> +<p>Ii$dem po$itis, $patium potentiæ pondus +mouentis e$t æquale $patio eiu$dem ponderis +moti. +<p>Quoniam enim o$ten$um e$t, dum F e$t in M, pondus A, hoc +e$t punctum H e$$e in G; & cùm funis HBCDEF $it æqualis +GBCDENFM, e$t enim idem funis; dempto igitur communi +GBCDENF, erit HG ip$i FM æqualis. $imiliterq; o$tende- +tur, de$cen$um F iemper æqualem e$$e a$cen$ui H. ergo $patium +potentiæ æquale e$t $patio ponderis. quod erat demon$tran- +dum. +<p>Præterea potentia idem pondus per æquale +$patium in æquali tempore mouet, tàm fune +hoc modo orbiculo trochleæ $ur$um appen$æ +circumuoluto, quàm $ine trochlea: dummo- +do ip$ius potentiæ lationes in velocitate $int æ- +quales. +<pb> +<p>Ii$dem po$itis $it aliud pondus P +æquale ponderi A, cui alligatus $it +funis TQ horizõti perp&etilde; dicularis; +et $it TQ ip$i HB æqualis; moueat +qué pot&etilde;tia in Q põdus P $ur$um +ad rectos angulos horizonti, quem +admodum mouetur pondus A. di +co per æquale $patium in eodem +tempore potentiam in Q pondus +P, & potentiam in F pondus A +mouere. quod idem e$t, ac $i e$$et +idem pondus in æquali tempore +motum; $icut propo$uimus. Pro- +ducatur EF in S, & TQ in R; +fiantq; QR FS non $olum inter +$e $e, verùm etiam ip$i BH æqua +les. Cùm autem TQ QR $int +ip$is HB FS æquales, & vis in Q +moueat pondus P per rectam T +QR; vis autem in F moueat A +per rectam HB, & velocitates +<fig> +motuum vtriu$q; potentiæ $int æquales; tunc in eodem tempore +potentia in Q erit in R, & potentia in F erit in S; cùm $patia $int +æqualia. $ed dum potentia in Q e$t in R, pondus P, hoc e$t +punctum T erit in Q; cùm TQ $it ip$i QR æqualis. & dum po +tentia in F e$t in S, pondus A, hoc e$t punctum H erit in B; $ed +$patium TQ æquale e$t $patio HB, potentiæ ergo in FQ æquali +ter motæ pondera PA æqualia per æqualia $patia in eodem tempo +re mouebunt. quod erat demon$trandum +<head>PROPOSITIO XI.</head> +<p>Si funis orbiculo trochleæ ponderi alligatæ +fuerit circumuolutus, qui in altero eius extre- +<pb n=77> +mo alicubi religetur, altero autem à potentia +mouente pondus appræhen$o; vecte $emper ho +rizonti æqui$tante potentia mouebit. +<p>Sit pondus A; Sit orbiculus. +CED trochleæ ponderi A alli- +gatæ ex kH; $itq; KH ad rectos +angulos horizonti, ita vt pon- +dus $emper trochleæ motum, $i- +ue $ur$um, $iue deor$um factum +$equatur; $itq; orbiculi centrum +K; & funis orbiculo circumuo- +lutus $it BCDEF, qui relige- +tur in B, ita vt in B immobilis +maneat; & $it potentia in F mo- +uens pondus A. dico potentia m +in F $emper mouere põdus A ve +cte horizonti æquidi$tante. $int +BC EF inter $e $e, ip$iq; kH æ- +quidi$tantes, & eiu$dem kH ho +rizonti perpendiculares, tangen +te$q; circulũ CED in EC pũctis; +et connectatur EC, quæ per cen <marg><I>Ex</I> 1 <I>huius</I></marg> +trum k tran$ibit, horizontiq; +æquidi$tans erit; $icuti prius di +ctum e$t. Quoniam enim or +biculus CED circa eius cen +trum K vertitur; ideo dum vis +in F trahit $ur$um punctum E, +deberet punctum C de$cende +re, ac trahere deor$um B; $ed fu +<fig> +nis in B e$t immobilis, & BC de$cedere non pote$t; quare dum +potentia in F trahit $ur$um E, totus orbiculus $ur$um mouebitur; +ac per con$equens tota trochlea, & pondus; & EkC erit tanquam <marg><I>Ex</I> 2 <I>huius</I></marg> +vectis, cuius fulcimentum erit C; e$t enim punctum C propter BC +ferè immobile, potentia verò mouens vectem e$t in F fune EF, +<foot>V</foot> +<pb> +& pondus in k appen$um. +quòd $i punctum C omnino fue +rit immobile, moueaturq; ve +ctis EC in NC; & diuidatur +NC bifariam in L: erunt CL +LN ip$is Ck KE æquales. +quare $i vectis EC e$$et in CN, +punctum k e$$et in L; & $i du +catur LM horizonti perpendi +cularis, quæ $it etiam æqualis +kH; e$$et pondus A, hoc e$t +punctum H in M. $ed quoniam +potentia in F dum tendit $ur- +$um mouendo orbiculum, $em +per mouetur $uper rectam EFG, +quæ $emper e$t quoq; æquidi +$tans BC; nece$$e erit orbicu +lum trochleæ $emper inter li- +neas EG BC e$$e: & centrum +k, cum $it in medio, $uper +rectam lineam HkT $emper +moueri. Itaq; ducatur per L li +nea PTLQ horizonti, & EC +æquidi$tans, quæ $ecet Hk pro- +ductam in T; & centro T, $pa +tio verò TQ, circulus de$criba +<fig> +tur QRPS, qui æqualis erit circulo CED; & puncta PQ tangent fu +<marg><I>Ex</I> 34 <I>primi.</I></marg> nes FE BC in PQ punctis. rectangulum enim e$t PECQ, & +PT TQ ip$is EK kC $unt æquales. deinde per T ducatur R +TS diameter circuli PQS æquidi$tans ip$i NC; fiatqué TO æqua +lis kH. dum autem centrum k motum erit v$q; ad lineam PQ, +tunc centrum k erit in T. o$ten$um e$t enim centrum orbiculi $u +per rectam HT $emper moueri. idcirco vt centrum k $it in li +nea PQ ip$i EC æquidi$tante, nece$$e e$t vt $it in T. & vt vectis +EC eleuetur in angulo ECN, nece$$e e$t, vt $it in RS, non au- +<marg>29 <I>Primi.</I></marg> tem in CN: angulus enim RSE angulo NCE e$t æqualis, & $ic +<pb n=78> +fulcimentum C non e$t penitus immobile. cùm totus orbiculus $ur +$um moueatur, toru$q; mutet totum locum; habet tamen C ratio +nem fulcimenti, quia minus mouetur C, quàm k, & E: punctum +enim E mouetur v$q; ad R, & K v$q; ad T, punctum verò C v$q; +ad S tantùm. quare dum centrum K e$t in T, po$itio orbiculi erit +QR PS: & pondus A. hoc e$t punctum H erit in O; cùm TO +$it æqualis kH; po$itio verò EC, $cilicet vectis moti, erit RS, po +tentiaq; in F mota erit $ur$um per rectam EFG. eodem autem +tempore, quo k erit in T, $it potentia in G: dum autem vectis EC +hoc modo mouetur, adhuc $emper remanent GP BQ inter $e $e æ- +quidi$tantes, atq; horizonti perpendiculares, ita vt vbi orbiculum +tangunt, vt in punctis PQ; $emper linea PQ erit diameter orbi +culi, & tanquam vectis horizonti æquidi$tans. dum igitur orbi- +culus mouetur, & circumuertitur, $emper etiam mouetur vectis +EC, & $emper remanet alius vectis in orbiculo horizonti æqui$tans, +vt PQ; ita vt potentia in F $emper moueat pondus vecte hori +zonti æquidi$tante, cuius fulcimentum erit $emper in linea CB; & +pondus in medio vectis appen$um; potentiaq; in linea EG. quod +erat o$tendendum. +<p>Ii$dem po$itis, $patium potentiæ pondus +mouentis duplum e$t $patii eiu$dem ponderis +moti. +<p>Cùm enim o$ten$um $it, dum k e$t in T, pondus A, hoc e$t +punctum H e$$e in O, & in eodem etiam tempore potentiam in +F e$$e in G: & quoniam funis BCDEF e$t æqualis funi BQS +PG; funis enim e$t idem; & funis circa $emicirculum CDE e$t +æqualis funi circa $emicirculum QSP; demptis igitur communi +bus BQ, & FP; erit reliquus FG ip$is CQ, & EP $imul $umptis +æqualis. $ed EP ip$i TK e$t æqualis, & CQ ip$i quoq; Tk æqualis, +$unt enim Pk TC paralle logramma rectangula; quare lineæ EP +CQ $imulip$ius Tk duplæ erunt. funis igitur FC ip$ius TK du +plus erit. & quoniam kH e$t æqualis TO, dempto communi kO, +erit kT ip$i HO æqualis; quare funis FG ip$ius HO duplus erit; +<foot>V 2</foot> +<pb> +hoc e$t $patium potentiæ $patii ponderis duplum. quod erat +demon$trandum. +<p>Potentia deinde idem pondus in æquali tem- +pore per dimidium $patium mouebit fune circa +orbiculum trochleæ ponderi alligatæ reuoluto, +quàm $ine trochlea; dummodo ip$ius potentiæ +velocitates motuum $int æquales. +<p>Sit enim (ii$dem po$i +tis) aliud pondus V æqua +le ponderi A, cui alligatus +$it funis 9X; $itq; poten +tia in X mouens pondus +V. dico $i vtriu$q; poten +tiæ motuum velocitates +$int æquales, in eodem +tempore potentiam in F +mouere pondus A per di +midium $patium eius, per +quod à potentia in X mo +uetur pondus V; quod +idem e$t, ac $i e$$et idem +pondus in æquali tempo +re motum. Moueat po +tentia in X pondus V, po +tentiaq; perueniat in Y; +$itq; XY æqualis ip$i FG; +& fiat YZ æqualis X9, ita +vt quando potentia in X +erit in Y, $it pondus V, +hoc e$t punctum 9 in Z. +$ed 9 Z e$t æqualis FG, +<fig> +<pb n=79> +cùm $it æqualis XY; ergo 9 Zip$ius HO dupla erit. Itaq; dum poten +tiæ erunt in GY, pondera AV erunt in OZ. in eodem autem +tempore erunt potentiæ in GY, ip$arum enim velocitates mo +tuum $unt æquales; quare vis in F pondus A in eodem tempore +mouebit per dimidium $patium eius, per quod mouetur à poten +tia in X pondus V: & pondera $unt æqualia; Potentia ergo idem +pondus in æquali tempore per dimidium $patium mouebit fune, +trochleaq; hoc modo ponderi alligata, quàm $ine trochlea; dum +modo potentiæ motuum velocitates $int æquales. quod erat de- +mon$trandum. +<head>PROPOSITIO XII.</head> +<p>Si funis circa plures reuoluatur orbiculos, al- +tero eius extremo alicubi religato, altero au- +tem à potentia pondus mouente detento; poten +tia vectibus horizonti $emper æquidi$tantibus +mouebit. +<pb> +<p>Sit pondus A, $it orbiculus CED tro- +chleæ ponderi alligatæ ex kS ad rectos an +gulos horizonti; ita vt pondus $emper eius +motum $ur$um, ac deor$um factum $equa- +tur. $it deinde orbiculus circa centrum L +trochleæ $ur$um appen$æ $itq; funis circa +orbiculos reuolutus BCDEHMNO, +qui religatus $it in B; $itq; vis in O mouens +pondus A mouendo $e deor$um per OP. +dico potentiam in O $emper mouere pon- +dus A vectibus horizonti $emper æquidi. +$tantibus. ducatur NH per centrum L ho +<marg>1, <I>Et</I> 10 <I>Huius.</I></marg> rizonti æquidi$tans, quæ erit vectis orbi- +culi, cuius centrum e$t L. ducatur deinde +EC per centrum k $imiliter horizonti æqui +<marg>11 <I>huius.</I></marg> di$tans, quæ etiam erit vectis orbiculi, cu- +ius centrum e$t k. Moueatur potentia in +O deor$um, quæ dum deor$um mouetur, ve +ctem NH mouebit; & dum vectis moue- +<marg>10 <I>Huius.</I></marg> tur, N deor$um mouebitur, H verò $ur- +$um, vti$upra dictum e$t. dum autem H +mouetur $ur$um, mouet etiam $ur$um E; & +vectem EC, cuius fulcimentum e$t C, $ed +fulcimentum C non pote$t mouere deor- +$um B; ideo orbiculus, cuius centrum K, $ur +<fig> +$um mouebitur, & per con$equens trochlea, & pondus A; vt in +præcedenti dictum e$t. & quoniam ob eandem cau$am in præce- +dentibus a$signatam in HN, & EC $emper remanent vectes hori +zonti æquidi$tantes; potentia ergo mouens pondus A $emper +eum mouebit vectibus horizonti æquidi$tantibus. quod erat o- +$tendendum. +<p>Et $i funis circa plures $it reuolutus orbiculos; $imiliter o$tende- +tur, potentiam mouere pondus vectibus horizonti $emper æqui- +di$tantibus: & vectes orbiculorum trochleæ $uperioris $emper +e$$e, vt HN, quorum fulcimenta erunt $emper in medio: vectes au- +tem orbiculorum trochleæ inferioris $emper exi$tere, vt EC; quo- +<pb n=80> +rum fulcimenta erunt in extremitatibus vectium. +<p>Ii$dem po$itis, $patium potentiæ duplum e$t +$patii ponderis. +<p>Sit motum centrum K v$q; ad centrum R; & orbiculus $it FTG. +deinde per centrum R ducatur GF ip$i EC æquidi$tans: tangent +funes EH CB orbiculum in GF punctis. fiat deniq; RQ æqua +lis KS. dum igitur k erit in R; pondus A, $cilicet punctum S erit +in Q. & dum centrum orbiculi e$t in R, $it potentia in O mota +in P. & quoniam funis BCDEHMNO e$t æqualis funi BFT +GHMNP; e$t enim idem funis; & FTG æqualis e$t CDE; dem +ptis igitur communibus BF, & GHMNO, erit reliquus OP ip +$is FCEG $imul $umptis æqualis: & per con$equens duplus kR, +& QS & cùm OP $it $patium potentiæ motæ, & SQ $patium pon +deris moti; erit $patium potentiæ duplum $patii ponderis. quod +erat o$tendendum. +<p>Præterea potentia idem pondus in æquali +tempore per dimidium $patium mouebit fune +circa duos orbiculos reuoluto, quorum vnus +$it trochleæ $uperioris, alter verò $it trochleæ +ponderi alligatæ; quàm $ine trochleis: dummo- +do ip$ius potentiæ lationes $int æqualiter ve- +loces +<pb> +<p>Ii$dem namq; po$itis, $it pon +dus V æquale ip$i A, cui alliga- +tus $it funis X9; $itq; pot&etilde;tia in X +mouens põdus V; quæ dum pon +dus mouet, perueniat in Y: fiant +qué XY Z9 ip$i OP æquales; +erit Z9 dupla QS. & $i vtriu$- +que potentiæ velocitates mo- +tuum $int æquales; patet pon- +dus V duplum pertran$ire $pa- +tium in eodem tempore eìus, +quod pertran$it pondus A. in eo +dem enim tempore potentia in +X peruenit ad Y, & potentia in +O ad P; ponderaq; $imiliter in +ZQ. quod erat demon$tran- +dum. +<fig> +<head>PROPOSITIO XIII.</head> +<p>Fune circa $ingulos duarum trochlearum +orbiculos, quarum altera $upernè, altera verò +infernè, ponderiq; alligata fuerit, reuoluto; +altero etiam eius extremo inferiori trochleæ re- +<pb n=81> +ligata, altero autem à mouente potentia deten- +to: erit decur$um trahentis potentiæ $patium, mo +ti ponderis $patii triplum. +<p>Sit pondus A; $it BCD orbiculus tro +chleæ ponderi A ex EQ $u$pen$o alligatæ; +$itq; orbiculi centrum E; $it deinde FGH +orbiculus trochleæ $ur$um appen$æ, cuius +centrum k; $itq; funis LFGHDCBM +circa omnes reuolutus orbiculos, tro- +chleæq; inferiori in L religatus: $itq; in +M potentia mouens. dico $patium de- +cur$um à potentia in M, dum mouet pon +dus, triplum e$$e $patii moti ponderis A. +Moueatur potentia in M v$q; ad N; & +centrum E $it motum v$q; ad O; & L v$ +que ad P; atq; pondus A, hoc e$t pun- +ctum Q v$q; ad R; orbiculu$q; motus, $it +TSV. ducantur per EO lineæ ST BD +horizonti æquidi$tantes, quæ inter $e $e +quoq; æquidi$tantes erunt. quoniam au +tem dum E e$t in O, punctum Q e$t in +R; erit EQ æqualis OR, & EO ip$i QR +æqualis; $imiliter LQ æqualis erit PR, +& L Pip$i QR æqualis. tres igitur QR +EO LP inter $e $e æquales erunt; quibus +etiam $unt æquales BS DT. & quoniam fu +nis LFGHDCBM æqualis e$t funi PF +GHTVSN, cùm $it idem funis, & qui +circa $emicirculum TVS e$t æqualis funi +circa $emicirculum BCD; demptis igi +tur communibus PFGHT' & SM; erit +reliquus MN tribus BS LP DT $imul +$umptis æqualis. BS verò LP DT $imul +tripli $unt EO, & ex con$e quenti QR. +<fig> +<foot>X</foot> +<pb> +$patium igitur MN translatæ potentiæ $patii QR ponderis mo +ti triplum erit. quod erat demon$trandum. +<p>Tempus quoq; huius motus manife$tum e$t, eadem enim po +tentia in æquali tempore $patio $ecundùm triplum ampliori $ine +huiu$modi trochleis idem pondus mouebit, quàm cum ei$dem +hoc modo accomodatis. $patium ponderis $ine trochleis moti +æquale e$t $patio potentiæ. & hoc modo in omnibus inueniemus +tempus. +<head>PROPOSITIO XIIII.</head> +<p>Fune circa tres duarum trochlearum orbicu +los, quarum altera $upernè vnico dumtaxat, al +tera verò in$ernè, duobus autem in$ignita or- +biculis, ponderi&qacute;ue alligata fuerit, reuoluto; +altero eius e$tremo alicubi religato, altero autem +à potentia pondus mouente detento: erit decur- +$um trahentis potentiæ $patium moti ponderis +$patii quadruplum. +<pb n=82> +<p>Sit pondus A, $int duo orbiculi, quorū c&etilde; +tra k I trochleæ ponderi alligatæ k <G>a</G>; ita vt +pondus motum trochleæ $ur$um, & deor$um +$emper $equatur: $it deinde orbiculus, cuius cen +trum L, trochleæ $ur$um appenfæ in <35>; $itq; +funis circa omnes orbiculos eircumuolutus BC +DEFGHZMNO, religatu$q; in B; $itq; po +tentia in O mouens pondus A. dico $patium, +quod mouendo pertran$it potentia in O, qua- +druplum e$$e $patii moti ponderis A. mouean +tur orbiculi trochleæ ponderi alligatæ; & dum +centrum k e$t in R, centrum I $it in S, & pon +dus A, hoc e$t punctum <G>a</G> in <G>b</G>: erunt IS kR +<G>ab</G> inter $e $e æquales, itemq; k Iip$i RS e- +rit æqualis. orbiculi enim inter $e $e eandem +$emper $eruant di$tantiam; & k <G>a</G> ip$i R <G>b</G> æ- +qualis erit. ducantur per orbiculorum centra +lineæ FH QT EC VX NZ horizonti æqui +di$tantes, quæ tangent funes in FHQTEC +VX NZ punctis, & inter $e $e quoq; æquidi +$tantes erunt: & EQ CT VN XZ non $o +lum inter $e $e, $ed etiam ip$is IS KR <G>ab</G> æqua +les erunt. & dum centra kI $unt in RS, po +tentia in O $it mota in P. & quoniam funis +BCDEFGHZMNO e$t æqualis funi BT9 +QFGHXYVP, e$t enim id&etilde; funis, & funes cir +<fig> +ca T9Q XYV $emicir culos $unt æquales funibus, qui $unt circa +CDE ZMN; Demptis igitur communibus BT, QF GHX, +& VO; erit OP æqualis ip$is VN XZ CT QE $imul $umptis. +quatuor verò VN ZX CT QE $unt inter$e $e æquales, & $imul +quadruplæ kR, & <G>ab</G>; quare OP quadrupla erit ip$ius <G>ab</G>. $pa +tium igitur potentiæ quadruplum e$t $patii ponderis. quod erat +o$tendendum. +<p>Et $i funis in P circa alium adhuc reuoluatur orbiculum ver$us +<35>, potentiaqué mouendo $e deor$um moueat $ur$um pondus; $imi +liter o$tendetur $patium potentiæ quadruplum e$$e $patii ponderis. +<foot><I>X</I> 2</foot> +<pb> +<p>Si verò funis in Bcircumuoluatur al +teri orbiculo, qui deinde trochleæ in- +<marg>9 <I>Huius.</I></marg> feriori religetur; erit potentia in O +$u$tinens pondus A $ubquintupla pon +deris. & $i in O $it potentia mouens +pondus A; $imiliter demon$trabitur +$patium potentiæ in O quintuplum e$ +$e $patii ponderis A. +<fig> +<p>Et $i funis ita circa orbiculos apte- +tur, vt potentia in O $u$tinens pon- +dus $it ponderis $ub$extupla; & loco +potentiæ $u$tinentis ponatur in O po- +tentia mouens pondus: eodem modo +o$tendetur $patium potentiæ $extu- +plum e$$e $patii ponderis moti. & $ic +procedendo in infinitum proportiones +$patii potentiæ ad $patium ponderis +moti quotcunq; multiplices inuenien- +tur. +<head>COROLLARIVM I.</head> +<p>Ex his manife$tum e$t ita $e habere pondus +ad potentiam ip$um $u$tinentem, $icuti $patium +potentiæ mouentis ad $patium ponderis moti. +<p>Vt $i pondus A quintuplum $it potentiæ in O pondus A $u$ti- +nentis; erit & $patium OP potentiæ pondus mouentis quintuplum +$patii <G>ab</G> ponderis moti. +<pb n=83> +<head>COROLLARIVM II.</head> +<p>Patet etiam per ea, quæ dicta $unt, orbiculos +trochleæ, quæ ponderi e$t alligata, efficere; vt à +moto pondere minus, quàm à trahente poten- +tia de$cribatur $patium; maioriq; tempore datum +æquale $patium de$cribi, quàm $ine illis. quod +quidem orbiculi trochleæ $uperioris non effi- +ciunt. +<p>Multiplici o$ten$a ponderis ad potentiam proportione, iam ex +aduer$o potentiæ ad pondus proportio multiplex o$tendatur. +<head>PROPOSITIO XV.</head> +<p>Si funis orbiculo trochleæ à potentia $ur$um +detentæ fuerit circumuolutus; altero eius extre- +mo alicubi religato, alteri verò pondere appen +$o; dupla erit ponderis potentia. +<pb> +<p>Sit trochlea habens orbiculum, cuius +centrum A; & $it pondus B alligatum fu +ni CDEFG, qui circa orbiculum $it re- +uolutus, ac tandem religatus in G: $itq; +potentia in H $u$tinens pondus. dico po +tentiam in H duplam e$$e ponderis B. du +catur DF per centrũ A horizonti æquidi +$tans. quoniãigitur potentia in H $u$tinet +trochleã, quæ$u$tinet orbiculũin eius c&etilde;tro +A, qui pondus $u$tinet; erit potentia $u$ti +nens orbiculũ, ac $i in A cõ$tituta e$$et; ip$a +ergo in A exi$tente, pondere verò in D +appen$o, funiq; CD religato; erit DF +tanquam vectis, cuius fulcimentum erit +F, pondus in D, & potentia in A. po- +<marg>3 <I>Huius. de vecte.</I></marg> tentia verò ad pondus e$t, vt DF ad +ad FA, & DF dupla e$t ip$ius FA; Po- +<fig> +tentia igitur in A, $iue in H, quodidem e$t, ponderis B dupla erit. +quod demon$trare oportebat. +<p>Præterea con$iderandum occurrit, cùm hæc omnia maneant, +idem e$$e vnico exi$tente fune CD EFG hoc modo orbiculo cicum +uoluto, ac$i duo e$$ent funes CD FG in vecte $iue libra DF al- +ligati. +<head>ALITER.</head> +<p>Ii$dem po$itis, $i in G appen$um e$$et pondus k æquale pon- +deri B, pondera B k æqueponderabunt in libra DF, cuius centrum +A. potentia verò in H $u$tinens pondera Bk e$t ip$is $imul $um +ptis æqualis, & pondera BK ip$ius B $unt dupla; potentia ergo in +H ponderis B dupla erit. & quoniam funis religatus in G nihil a- +liud efficit, ni$i quòd pondus B $u$tinet, ne de$cendat; quod idem +efficit pondus k in G appen$um: potentia igitur in H $u$tinens +pondus B, fune religato in G, dupla e$t ponderis B. quod de- +mon$trare oportebat. +<pb n=84> +<head>PROPOSITIO XVI.</head> +<p>Ii$dem po$itis $i in H $it potentia mouens pon +dus, mouebit hæc eadem vecte horizonti $em- +per æquidi$tante +<p>Hoc etiam ($icut in $uperioribus dictum +e$t) o$tendetur. moueatur enim orbiculus +$ur$um, po$itionemq; habeat MNO, cuius +centrum L: & per L ducatur MLO ip$i DF, +& horizontiæquidi$tans. & quoniam funes +tangunt circulum MON in punctis MO; +ideo cùm potentia in A, $eu in H, quod +idem e$t, moueat pondus B in D appen$um +vecte DF, cuius fulcimentum e$t F; $emper +adhuc remanebit alius vectis, .vt MO hori +zonti æquidi$tans, ita vt $emper potentia +moueat pondus vecte horizonti æquidi$tan +te, cuius fulcimentum e$t $emper in linea +OG, & pondus in MC, potentiaq; in cen +tro orbiculi. +<fig> +<p>Ii$dem po$itis, $patium ponderis moti duplum +e$t $patii potentiæ mouentis. +<pb> +<p>Sit motus orbiculus à centro A +v$q; ad centrum L; & pondus B, +hoce$t punctum C, in eodem tem- +pore$it motum in P; & potentia in +H v$q; ad K; erit AH ip$i LK æqua +lis, & AL ip$i Hk. & quoniam fu +nis CDEFG e$t æqualis funi PM +NOG, idem enim e$t funis, & fu +nis circa $emicirculum MNO æ- +qualis e$t funi circa $emicirculum +DEF; demptis igitur communi- +bus DP FG, erit PC æqualis +DM FO $imul $umptis, qui funes +$unt dupli ip$ius AL, & con$equen- +ter ip$ius Hk. $patium ergo pon +deris moti CP duplum e$t $patii +Hk potentiæ. quod oportebat de- +mon$trare. +<fig> +<head>COROLLARIVM</head> +<p>Exhoc manife$tum e$t, idem pondus trahi +ab eadem potentia in æquali tempore per du- +plum $patium trochlea hoc modo accommoda +ta, quàm $ine trochlea; dummodo ip$ius poten +tiæ lationes in velocitate $int æquales. +<p>Spatium enim ponderis moti $ine trochlea æquale e$t $patio +potentiæ. +<pb n=85> +<p>Si autem funis in G circa alium reuoluatur +orbiculum, cuius centrum k; $itq; huiu$mo +di orbiculi trochlea deor$um affixa, quæ nul +lum alium habeat motum, ni$i liberam orbi +culi circa axem reuolutionem; funi$q; relige +tur in M; erit potentia in H $u$tinens pondus +B $imiliter ip$ius ponderis dupla. quod qui +dem manife$tum e$t, cùm idem pror$us $it, +$iue funis $it religatus in M, $iue in G. orbicu +lus enim, cuius centrum k, nihil efficit; penitu$ +qué inutilis e$t. +<fig> +<p>Si verò $it potentia in M $u$tinens pon +dus B, & trochlea $uperior $it $ur$um appen +$a; erit potentia in M æqualis ponderi B. +<p>Quoniam enim potentia in G $u$tinens <marg>1 <I>Huius.</I></marg> +pondus B æqualis e$t ponderi B, & ip$i po +tentiæ in G æqualis e$t potentia in L; e$t +enim GL vectis, cuius fulcimentum e$t k; +& di$tantia Gk di$tantiæ kL e$t æqualis; +erit igitur potentia in L, $iue (quod idem e$t) +in M, ponderi B æqualis. +<p>Huiu$modi autem motus fit vectibus DF LG, quorum fulci +menta $unt kA, & pondus in D, & potentia in F. $ed in vecte +LG potentia e$t in L, pondus verò, ac $i e$$et in G. +<p>Si deinde in M $it potentia mouens pondus, transferaturq; po +tentia in N, pondus autem motum fuerit v$q; ad O; erit MN +$patium potentiæ æquale $patio CO ponderis. Cùm enim funis +MLGFDC æqualis $it funi NLGFDO. e$t enim idem funis; +dempto communi MLGFDO; erit $patium MN potentiæ æ- +quale $patio CO ponderis. +<p>Et $i funis in M circa plures reuoluatur orbiculos, $emper erit +potentia altero eius extremo pondus $u$tinens æqualis ip$i ponderi. +$patiaq; ponderis, atq; potentiæ mouentis $emper o$tendentur +æqualia. +<foot>Y</foot> +<pb> +<head>PROPOSITIO XVII.</head> +<p>Si vtri$q; duarum trochlearum $ingulis orbicu +lis, quarum vna $upernè à potentia $u$tineatur, +altera verò infernè, ibiq; affixa, con$tituta fue- +rit, funis circumducatur; altero eius extremo $u +perioritrochleæ religato, alteri verò pondere +appen$o; tripla erit ponderis potentia. +<p>Sit orbiculus, cuius centrum A, tro- +chleæ infernè affixæ; & $it funis BCD +EFG non $olum huic orbiculo circumuo +lutus, verùm etiam orbiculo trochleæ $u- +perioris, cuius centrum k; $itq; funis in +B $uperioritrochleæ religatus; & in G $it ap +pen$um pondus H; potentiaq; in L $u$ti +neat pondus H. dico potentiam in L tri- +plam e$$e ponderis H. $i enim duæ e$$ent +potentiæ pondus H $u$tidentes, vna in +K, altera in B, erunt vtræq; $imul triplæ +<marg>15 <I>Huius. In præcedenti.</I></marg> ponderis H potentia enim in k dupla e$t +ponderis H, & potentia in B ip$i ponderi +æqualis. & quoniam $ola potentia in L +vtri$q; $cilicet potentiæ in KB e$t æqua- +lis. $u$tinet enim potentia in L; tùm po- +tentiam in K, tùm potentiam in B; idem +qué efficit potentia in L, ac $i duæ e$$ent +potentiæ, vna in k, altera in B: Tri- +pla igitur erit potentia in L ponderis H. +quod der<*>on$trare o<*>ortebat. +<fig> +<pb n=86> +<p>Si autem in L $it potentia mouens pondus. di +co $patium ponderis moti triplum e$$e $patii po- +tentiæ motæ. +<p>Moueatur centrum or- +biculi K v$q; ad M; cuius +quidem motus $patium +motæ potentiæ $patio e$t <marg><I>In præcedenti.</I></marg> +æquale, $icuti $upra dictum +e$t: & quando k erit in M, +B erit in N; & NB æqualis +erit M k; & dum k e$t in M, +$it pondus H, hoc e$t pun +ctum G motum in O; & per +MK ducantur EF PQ ho +rizonti æquidi$tantes; erit +vnaquæq; EP BN FQ ip +$i KM æqualis. & quoniam +funis BCDEFG æqualis +e$t funi NCDPQO; +idem enim e$t funis; & fu- +nis circa $emicirculum ER +F æqualis e$t funicirca $e- +micirculum PSQ: dem- +ptis igitur communibus +BCDE, & FO, erit OG +tribus QF NB PE $imul +$umptis æqualis. $ed QF +NB PE $imul triplæ $unt +Mk, hoc e$t $patii poten- +tiæ motæ; $patium ergo +GO ponderis H moti tri- +<fig> +plum e$t $patii potentiæ motæ. quod o$tendere oportebat. +<foot>Y 2</foot> +<pb> +<head>PROPOSITIO XVIII.</head> +<p>Si vtriu$q; duarum trochlearum binis orbicu +lis, quarum altera $upernè à potentia $u$tineatur, +altera verò infernè, ibiq; annexa, collocata fue- +rit, funis circumnectatur; altero eius extremo +alicubi, non autem $uperiori trochleæ religato, +alteri verò pondere appen$o; quadrupla erit +ponderis potentia. +<p>Sit trochlea inferior, duos habens orbiculos, +quorum centra AB; $it qué trochlea $uperior +duos $imiliter habens orbiculos, quorum cen- +tra CD; funi$q; EFGHKLMNOP $it cir- +ca omnes orbiculos reuolutus, qui $it religatus +in E; & in P appendatur pondus Q; $itq; po- +tentia in R. dico potentiam in R quadruplam +e$$e ponderis Q. Cùm enim $i duæ intelligan +tur potentiæ, vna in k, altera in D, potentia +<marg>16 <I>Huius.</I></marg> in k $u$tinens pondus Q fune k LMNOP æ- +qualis erit ponderi; erunt duæ$imul potentiæ, +vna in D, altera in k, pondus Q $u$tinentes, +triplæ eiu$dem ponderis. Potentia verò in C +dupla e$t potentiæ in k, & per con$equens pon +deris Q; idem enim e$t, ac $i in k appen$um e$ +<marg>15 <I>Huius.</I></marg> $et pondus æquale ponderi Q, cuius dupla e$t +potentia in C; duæ igitur potentiæ in DC qua- +druplæ $unt ponderis Q. & cùm potentia in R +orbiculis $u$tineat pondus Q, erit pot&etilde;tia in R, +ac $i duæ e$$ent potentiæ, vna in D, altera in C, +& vtræq; $imul pondus Q $u$tinerent. ergo po- +tentia in R quadrupla e$t ponderis Q. quod +oport<*>bat demon$trare. +<fig> +<pb n=87> +<head>COROLLARIVM</head> +<p>Ex quo patet, $i funis fuerit religatus in G, & +circa orbiculos, quorum centra $unt BCD reuo- +lutus; potentiam in R pondus $u$tinentem $imili- +ter ponderis Q quadruplam e$$e. orbiculus enim, +cuius centrum A, nihil efficit. +<p>Si autem in R $it potentia mouens pondus. dico +$patium ponderis moti quadruplum e$$e $patii +potentiæ. +<p>Moue antur centra CD orbiculorum v$q; ad +ST; erunt ex $uperius dictis CS DT $patio +potentiæ æqualia; & per CSDT ducantur Hk +VX NO YZ horizonti æquidi$tantes; & dũ +centra CD $unt in ST, $it pondus Q, hoc e$t +punctum P motum in 9. & quoniam funis EF +GHKLMNOP æqualis e$t funi EFGVX +LMYZ 9; cùm $it idem funis: & funes circa +$emicirculos NIO H <G>a</G> k $unt æquales funi- +bus, qui $unt circa $emicirculos Y<35>Z V<G>b</G>X; +demptis igitur communibus EFGH kLMN +& O9; erit P9 ip$is NY ZO VH <I>X</I>k $i- +mul $umptis æqualis. quatuor autem NY ZO +VH Xk $imul quadrupli $unt DT, hoc e$t +$patii potentiæ; $patium igitur P9 ponderis +quadruplum e$t $patii potentiæ quod demon +$trandum fuerat. +<fig> +<pb> +<p>Si autem funis $it re- +ligatus in E trochleæ $u +periori, & potentia in R +$u$tineat pondus Q; e- +rit potentia in R ponde +ris Q quintupla. & $i in +R $it potentia mouens +pondus; erit $patium pon +deris moti quintuplum +$patii potentiæ. quæ om- +nia $imili modo o$ten- +dentur, $icut in præce- +dentibus demon$tra- +tum e$t. +<fig> +<pb n=88> +<p>Si verò potentia in R $ub$tineat pon- +dus Q trochlea tres orbiculos habente, +quorum centra $int ABC; & $it alia tro +chlea infernè af$ixa duos, vel tres orbicu- +los habens, quorum centra DEF; $itq; +funis circa omnes orbiculos reuolutus, $i- +ue in G, $iue in H religatus; $imiliter +o$tendetur potentiam in R $excuplam +e$$e ponderis Q. Et $i in R $it potentia +mouens pondus, o$tendetur $patium pon +deris moti $excuplum e$$e $patii poten- +tiæ. +<fig> +<p>Et $i funis $it religatus in K trochleæ +$uperiori, & in R $it potentia pondus +$u$tinens; $imili modo o$tendetur poten +tiam in R $eptuplam e$$e ponderis Q. +<p>Et $i in R $it potentia mouens, o$ten +detur $patium ponderis Q $eptuplum e$$e +$patii potentiæ. atq; ita in infinitum +omnis potentiæ ad pondus multiplex +proportio inueniri poterit. $emperq; o- +$tendetur, ita e$$e pondus ad potentiam +ip$um $u$tinentem, $icuti $patium poten +tiæ pondus mouentis ad $patium ponde- +ris moti. +<p>Vectium autem ip$orum orbiculorum +motus in his fit hoc modo, videlicet vectes +orbiculorum trochleæ $uperioris mouen +tur, vti dictum e$t in decima $exta huius; +hoc e$t habent fulcimentum in extremita +te, potentiam in medio, pondus in altera extremitate appen$um. ve +ctes verò trochleæ inferioris habent fulcimentum in medio, pon +dus, & potentiam in extremitatibus. +<pb> +<head>COROLLARIVM</head> +<p>Manife$tum e$t in his, orbiculos trochleæ $u +perioris efficere, vt pondus moueatur maiori +potentia, quàm $it ip$um pondus, & per maius +$patium potentiæ $patio, & per æquale tempo- +re minori; quod quidem orbiculi trochleæ in- +ferioris non efficiunt. +<p>Alio quoq; modo hanc potentiæ ad pondus multiplicem propor +tionem inuenire po$$umus. +<head>PROPOSITIO XVIIII.</head> +<p>Si vtriu$q; duarum trochlearum $ingulis orbi +culis, quarum altera $upernè appen$a, altera ve- +rò infernè à $u$tinente potentia rententa fuerit, +funis circumuoluatur; altero eius extremo alicu +bi religato, alteri autem pondere appen$o; du- +pla erit ponderis potentia. +<pb n=89> +<p>Sit orbiculus trochleæ $upernè appen$æ, cu +ius centrum $it A; & BCD $it trochleæ infe +rioris; $it deinde funis EBC DFGHL reli- +gatus in E; & in L $it appen$um pondus M; +$itq; potentia in N $u$tinens pondus M. +dico potentiam in N duplam e$$e ponderis +M. Cùm enim $upra o$ten$um $it potentiam +in L, quæ pondus, exempli gratia, O $u$ti- <marg>3 <I>Huius.</I></marg> +neat in N appen$um, $ubduplam e$$e eiu$dem +ponderis; potentia igitur in N ponderi O æ- +qualis pondus M potentiæ in L æquale $u$ti +nebit; ponderi$q; M dupla erit. quod demon +$trare oportebat. +<fig> +<head>ALITER.</head> +<p>Ii$dem po$itis. Quoniam potentia in F, <marg>1 <I>Huius.</I></marg> +$eu in D, quod idem e$t, æqualis e$t ponde +ri M; & BD e$t vectis, cuius fulcimentum +e$t B, & potentia in N e$t, ac $i e$$et in me- +dio vectis, & pondus æquale ip$i M, ac$i e$- +$et in D propter funem FD; quod idem +e$t, ac $i BCD e$$et orbiculus trochleæ $upe +rioris, pondusq; appen$um e$$et in fune DF, +$icut in decimaquinta, & decima$exta dictum e$t; ergo potentia in +N dupla e$t ponderis M. quod erat o$tendendum. +<p>Si autem in N $it potentia mouens pondus M, erit $patium +ponderis M duplum $patii potentiæ in N. quod ex duodecima +huius manife$tum e$t; $patium enim puncti L deor$um ten- +dentis duplum e$t $pat^{1}i N $ur$um; erit igitur è conuer$o $patium +potentiæ in N deor$um tendentis dimidium $aptii ponderis M $ur +$um moti. +<p>Sicut autem ex tertia, quinta, $eptima huius, &c. colligi po$$unt +ponderis O rationes quotcunq; multiplices ip$ius potentiæ in L, +eod&etilde; quoq; modo o$tendi poterunt potentiæ in N pondus $u$tinen +tis ponderis M quotcunq; multiplices. Atq; ita ex decimatertia +<foot>Z</foot> +<pb> +decimaquarta rationes o$ten +dentur quotcunq; multiplices +$patii ponderis M ad $patium +potentiæ mouentis in N con$ti +tutæ. +<fig> +<p>Poterit quoq; ex decima$e +ptima decimaoctaua huius mul +tiplex inueniri proportio, quam +habet potentia pondus $u$ti +nens ad ip$um pondus; $icut +proportio potentiæ in N ad pon +dus M ex decimaquinta, & deci +ma$exta o$tendebatur: inuenie +turq; ita e$$e pondus ad poten +tiam pondus $u$tinentem, vt $pa +tium potentiæ mouentis ad $pa +tium ponderis. +<p>Vectium motus in his fit +hoc modo, videlicet vectes or +biculorum trochleæ inferioris +mouentur, vt vectis BD, quæ +mouetur, ac$i B e$$et fulcimen +tum, & pondus in D, & poten +tia in medio. Vectes verò or +biculorum trochleæ $uperioris mouentur, vt FH, cuius fulcimen +tum e$t in medio, pondus in H, & potentia in F. +<head>COROLLARIVM.</head> +<p>Ex hoc manife$tum e$t, orbiculos trochleæ +inferioris in his efficere, vt pondus maiori po- +<pb n=90> +tentia moueatur, quàm $it ip$um pondus, & +per maius $patium $patio potentiæ, & minori +tempore per æquale. quod quidem orbiculi $u +perioris trochleæ non efficiunt. +<p>Cognitis proportionibus multiplicibus, iam ad $uperparticu +lares accedendum e$t. +<head>PROPOSITIO XX.</head> +<p>Si vtriu$q; duarum trochlearum $ingulis or- +biculis, quarum altera $upernè à potentia $u$ti- +neatur, altera verò infernè, ponderiq; alligata, +cõ$tituta fuerit, funis reuoluatur; altero eius extre +mo alicuibi, altero verò inferiori trochleæ reli +gato; pondus potentiæ $e$quialterum erit. +<foot>Z 2</foot> +<pb> +<p>Sit ABC orbiculus +trochleæ $uperioris, & +DEF trochleæ inferio- +ris ponderi G alligatæ; +$itq; funis HABCDE +Fk circa orbiculos re- +uolutus, qui $it religatus +in K, & in H trochleæ +inferiori; $itq; potentia +in L $u$tinens pondus +G. dico pondus poten +tiæ $e$quialterum e$$e. +<marg><I>Cor.</I> 5 <I>huius.</I></marg> Quoniam enim vterque +funis CD AH tertiam +$u$tinet partem ponde- +ris G, erit vnaquæq; po +tentia in DH $ubtripla +ponderis G; quibus $i- +mul a$$umptis e$t æqua- +<fig> +<marg><I>Ex.</I> 15 <I>huius.</I></marg> lis potentia in L: potentia enim in L dupla e$t potentiæ in D, & +eius, quæ e$t in H. quare potentia in L $ub$e$quialtera e$t ponde- +ris G. pondus ergo G ad pontentiam in L e$t, vt tria ad duo; +hoc e$t $e$quialterum. quod demon$trare oportebat. +<pb n=91> +<p>Si autem in L $it potentia mouens pondus. +Dico $patium potentiæ $patii ponderis $e$quial- +terum e$$e. +<p>Ii$dem po$itis, perueniat orbi- +culus ABC v$q; ad MNO, & +DEF ad PQR; & H in S; & +pondus G v$q; ad T. Et quoniam +funis HABCDEFK e$t æqualis +funi SMNOPQRk, cùm $it +idem funis; & $unes circa $emicir +culos ABC MNO $unt inter $e +$e æquales; qui verò $unt circa +DEF PQR $imiliter inter $e æ- +quales; Demptis igitur AS CP +RK communibus, erunt duo CO +MA tribus DP HS FR æqua- +les. $ed vterq; CO AM $eor$um +e$t æqualis $patio potentiæ motæ. +quare duo CO MA, $imul $patii +potentiæ dupli erunt: tre$q; DP +HS FR $imul $imili modo $patii +ponderis moti tripli erunt. dimidia +verò pars, hoc e$t $patium poten +tiæ motæ ad tertiam, ad $patium +$cilicet ponderis moti ita $e habet, +vt duplum dimidii ad duplum ter- +tii; hoc e$t, vt totum ad duas ter +<fig> +tias, quod e$t vt tria ad duo. $patium ergo potentiæ in L $pa- +tii ponderis G moti $e$quialterum e$t. quod o$tendere opor- +tebat. +<pb> +<head>PROPOSITIO XXI.</head> +<p>Si tribus duarum trochlearum orbiculis, qua +rum altera vnius tantùm orbiculi $upernè à po- +tentia $u$tineatur, altera verò duorum infernè, +ponderiq; alligata, collocata fuerit, funis cir- +cumuoluatur; altero eius extremo alicubi, altero +autem $uperiori trochleæ religato: ponduspoten +tiæ $e$quitertium erit. +<p>Sit pondus A trochleæ inferiori alliga- +tum, quæ duos habeat orbiculos, quorum +centra $int BC; $uperiorq; trochlea orbicu- +lum habeat, cuius centrum D; & $it funis +EFGHkLMN circa omnes orbiculos re +uolutus, qui religatus $it in N, & in E tro +chleæ $uperiori; $itqué potentia in O +$u$tinens pondus A. dico pondus po- +<marg><I>Cor.</I> 1 <I>$eptime buius.</I></marg> tentiæ $e$quitertium e$$e. Quoniam enim +vnu$qui$q; funis NM HG EF KL quar- +tam $u$tinent partem ponderis A, & omnes +$imul totum $u$tinent pondus; tres HG +EF kL $imul tres $u$tinebunt partes pon- +deris A. quare pondus A ad hos omnes +$imul erit, vt quatuor ad tria: & cùm po- +tentia in O idem efficiat, quod HG EF kL +$imul efficiunt; omnes enim $u$tinet; erit po +tentia in O tribus $imul HG EF kL æ- +qualis; & ob id pondus A ad potentiam +in O erit, vt quatuor ad tria; hoc e$t $e$qui +tertium. quod demon$trare oportebat. +<fig> +<pb n=92> +<p>Si vero in O $it potentia mouens pondus A. +Dico $patium potentiæ in O decur$um $patii pon +deris A moti $e$quitertium e$$e. +<p>Ii$dem po$itis, $it centrum B motum +in P; &C v$q; ad Q; & D in R; & E in +S eodem tempore: & per centra ducantur +ML 9Z FG TV Hk XY horizonti, +& inter $e $e æquidi$tantes. Similiter, vt in +præcedente o$tendetur tres <I>X</I>H SE Yk +quatuor TG VF ZL 9M æquales e$$e. & +quoniam tres XH SE Yk $imul triplæ +$unt $patii potentiæ, quatuorverò TG VF +ZL 9M $imul quadruplæ $unt $patii pon +deris moti; erit $patium potentiæ ad $pa- +tium ponderis, vt tertia pars ad quartam. +$ed tertia pars ad quartam e$t, vt tres ter +tiæ ad tres quartas, hoc e$t, vt totum ad +tres quartas; quod e$t, vt quatuor ad tria. +$patium ergo potentiæ $patii ponderis mo +ti $e$quitertium e$t. quod erat demon- +$trandum. +<fig> +<p>Si verò funis in E per alium circumuol +uatur orbiculum, qui deinde trochleæ in +feriori religetur; $imiliter o$tendetur pro +portionem ponderis ad potentiã in O pon +dus $u$tinentem $e$quiquartam e$$e. quòd +$i in O $it potentia mouens pondus, o$ten +detur $patium potentiæ $patii ponderis $e$ +quiquartum e$$e. & $ic in infinitum proce +dendo quamcunq; $uperparticularem pro +portionem ponderis ad potentiam inuenie +mus; $emperq; reperiemus, ita e$$e pondus +ad potentiam pondus $u$tinentem, vt $pa- +tium potentiæ mouentis ad $patium ponde- +ris moti. +<pb> +<p>Motus verò vectium fit hoc mo +do, videlicet vectis ML fulci- +mentum e$t M, cùm funis $it re +ligatus in N, & pondus in me- +dio, & potentia in L. quia ve- +rò punctum L tendit $ur$um, quod +à fune KL mouetur, idcirco K $ur- +$um mouebitur, & vectis HK ful +cimentum erit H, pondus ac $i e$ +$ent in k, & potentia in medio; +vectis autem FG fulcimentum +erit G, pondus in medio; & poten +tia in F. punctum enim F $ur$um +mouetur à fune EF. Præterea +G in orbiculo deor$um tendit, +quia H quoque in eius orbiculo +deor$um mouetur. +<fig> +<pb n=93> +<head>PROPOSITIO XXII.</head> +<p>Si vtri$que duarum trochlearum $ingulis +orbiculis, quarum altera $upernè à potentia +$u$tineatur, altera verò infernè, ponderiq; alli- +gata, collocata fuerit, circumducatur funis; al- +tero eius extremo alicubi, altero autem $uperio +ri trochleæ religato. erit potentia ponderis $e$ +quialtera. +<p>Sit orbiculus ABC trochleæ ponderi D al +ligatæ; & EFG trochleæ $uperioris, cuius +centrum H; $it deinde funis k ABCEFGL +circa orbiculos reuolutus, & religatus in L, & +in k trochleæ $uperiori; $itq; potentia in M +$u$tinens pondus D. dico potentiam ponde +ris $e$quialteram e$$e. Quoniam enim poten <marg>2 <I>Huius.</I></marg> +tia in E $u$tinens pondus D $ubdupla e$t pon <marg><I>Ex</I> 15 <I>huius.</I></marg> +deris D, potentiæ verò in E dupla e$t poten <marg>2 <I>Cor.</I></marg> +tia in H; erit potentia in H ponderi D æqua <marg>2 <I>Huius.</I></marg> +lis; & cùm potentia in K $ubdupla $it ponde +ris D; erunt vtræq; $imul potentiæ in H k $e$ +quialteræ ponderis D. Itaq; cùm potentia in +M duabus potentiis in Hk $imul $umptis $it +æqualis, quemadmodum in $uperioribus o- +$ten$um e$t; erit potentia in M $e$quialtera +ponderis D. quod oportebat demon$trare. +<p>Si verò in M $it potentia mouens pondus, +$imiliter vt in præcedentibus o$tendetur, $pa +tium ponderis $patii potentiæ $e$quialterum +e$$e. +<fig> +<foot>Aa</foot> +<pb> +<p>Et $i funis in K per alium circumuoluatur +orbiculum, cuius centrum $it N; qui dein- +de trochleæ inferiori religetur in O; & po- +tentia in M $u$tineat pondus D. dico pro- +portionem potentiæ ad pondus $e$quiter- +tiam e$$e. +<fig> +<p>Quoniam enim potentia in E $u$tinens +<marg>5 <I>Huius.</I></marg> pondus D fune ECB AKPO $ubtripla e$t +<marg><I>Ex</I> 15 <I>huius.</I></marg> ip$ius D, ip$ius autem E dupla e$t potentia +in H; erit potentia in H $ub$e$quialtera pon +deris D. $imili quoq; modo quoniam po +tentia in O_{3} quæ e$t, ac $i e$$et in centro or +<marg>3, 15,<I>Huius.</I></marg> biculi ABC, $ubtripla e$t ponderis D; ip- +$ius autem O dupla e$t potentia in N; erit +quoq; potentia in N $ub$e$quialtera ponde- +ris D. quare duæ $imul potentiæ in HN pon +dus D $uperant tertia parte, $e $e habentq; ad +D in ratione $e$quitertia: & cùm potentia +in M duabus $it potentiis in HN $imul $um +ptis æqualis, $uperabit itidem potentia in +M pondus D tertia parte. ergo proportio +potentiæ in M ad pondus D $e$quitertia +e$t. quod demon$trare oportebat. +<p>Si autem in M $it potentia mouens pon- +dus, $imili modo o$tendetur $patium ponderis D $patii potentiæ in +M $e$quitertium e$$e. +<p>Et $i funis in O per alium circumuoluatur orbiçulum, qui tro- +chleæ $uperiori deinde religetur; eodem modo demon$tr abimus +proportionem potentiæ in M pondus $u$tinentis ad pondus $e$- +quiquartam e$$e. & $i in M $it potentia mouens, $imiliter o$ten- +detur $patium ponderis $patii potentiæ $e$quiquartum e$$e. pro- +cedendoq; hoc modo in infinitum quamcunq; proportionem +potentiæ ad pondus $uperparticularem inueniemus; $emperqué +<pb n=94> +o$tendemus potentiam pondus $u$tinentem ita e$$e ad pondus, +vt $patium ponderis ad $patium potentiæ pondus mouentis. +<p>Motus verò vectis EG e$t, ac $i G e$$et fulcimentum, cùm +funis $it religatus in L; pondus ac $i in E e$$et appen$um, & po- +tentia in medio. Vectis verò CA fulcimentum e$t A pondus in +medio, & potentia in C. & K fulcimentum e$t vectis Pk, pon- +dus in P, & potentia in medio. quæ omnia $icut in præceden- +ti o$tendentur. +<head>PROPOSITIO XXIII.</head> +<p>Si vtri$q; duarum trochlearum $ingulis or- +biculis, quarum altera $upernè à potentia $u$ti- +neatur, altera verò infernè, ponderiq; alligata, +cõ$tituta fuerit, circumferatur funis; vtroq; eius +extremo alicuibi, non autem trochleis religato; +æqualis erit ponderi potentia. +<foot>Aa 2</foot> +<pb> +<p>Sit orbiculus trochleæ $uperioris +ABC, cuius centrum D; & EFG +trochleæ ponderi H alligatæ, cu- +ius centrum k; & $it funis LEF +GABCM circa orbiculos reuo- +lutus, religatu$q; in LM; $itq; +potentia in N $u$tinens pondus +H. dico potentiam in N æqua +lem e$$e ponderi H. Accipiatur +quoduis punctum O in AG. & +quoniam $i in O e$$et potentia $u +<marg>2 <I>Huius.</I></marg> $tinens pondus H, $ubdupla e$$et +<marg><I>Ex</I> 15 <I>huius.</I></marg> ponderis H, & potentiæ in O +dupla e$t ea, quæ e$t in D, $iue +(quod idem e$t) in N; erit po +tentia in N ponderi H æqualis. +quod demon$trare oportebat. +<fig> +<p>Et $i in N $it potentia mouens pondus. Dico +$patium potentiæ in N æqualem e$$e $patio pon +deris H moti. +<p>Quoniam enim $patium puncti O moti, duplum e$t, tùm $patii +<marg>11 <I>Huius.</I></marg> ponderis H moti, tùm $patii potentiæ in N motæ; erit $patium +<marg>16 <I>Huius.</I></marg> potentiæ in N $patio ponderis H æquale. +<pb n=95> +<head>ALITER.</head> +<p>Ii$dem po$itis, transfera +tur centrum orbiculi ABC +v$q; ad P; orbiculu$q; po$i +tionem habeat QRS; dein +de eodem tempore orbiculus +EFG $it in TVX, cuius cen +trum $it Y; & pondus perue +nerit in Z. ducantur per or +biculorum centra lineæ GE +TX AC QS horizonti æqui +di$tantes. & $icut in aliis +demon$tratum fuit, d uo fu- +nes AQ CS duobus XG +TE æquales erunt; $ed AQ +CS $imul dupli$unt $patii po +tentiæ motæ; & duo XG TE +$imul $unt $imiliter dupli $pa +tii ponderis; erit igitur $patiũ +potentiæ $patio ponderis æ- +quale. quod demon$trare o- +portebat. +<fig> +<pb> +<p>Quod etiam $i vtraq; trochlea duos +habuerit orbiculos, quorum centra +$int ABCD, funi$q; per omnes cir +cumuoluatur, qui in LM religetur; +$imiliter o$tendetur potentiam in N +æqualem e$$e ponderi H. vnaquæq; +enim potentia in EF $u$tinens pon- +dus $ubquadrupla e$t ponderis; & po +tentiæ in CD duplæ $unt earum, +quæ $unt in EF; erit vnaquæq; po- +tentia in CD $ubdupla ponderis H. +quare potentiæ in CD $imul $umptæ +ponderi H erunt æquales. & quo- +niam potentia in N duabus in CD +pontentiis e$t æqualis; erit potentia +in N ponderi H, æqualis. +<p>Et $i in N $it potentia mouens, $i +mili modo o$tendetur, $patium po- +tentiæ æquale e$$e $patio ponderis. +<p>Si autem vtraq; trochlea tres, vel +quatuor, vel quotcunq; habeat orbi- +culos; $emper o$tendetur pot&etilde;tiam in +N æqualem e$$e ponderi H; & $pa +tium potentiæ pondus mouentis æ- +quale e$$e $patio ponderis moti. +<fig> +<p>Vectium autem motus hoc pacto $e habent; orbiculorum qui +dem trochleæ $uperioris, veluti AC in præcedenti figura fulcimen +tum e$t C, pondus verò in A appen$um, & potentia in D medio. +vectes autem orbiculorum trochleæ inferioris ita mouentur, vt ip +$ius GE fulcimentum $it E, pondus in medio appen$um, & po +tentia in G. +<pb n=96> +<head>PROPOSITIO XXIIII.</head> +<p>Si tribus duarum trochlearum orbiculis, qua +rum altera vnius dumtaxat orbiculi $upernè à +potentia $u$tineatur, altera verò duorum infer- +nè, ponderiq, alligata fuerit con$tituta, cir- +cundetur funis; vtroq; eius extremo alicubi, $ed +non $uperiori trochleæ religato: duplum erit +pondus potentiæ. +<p>Sint AB centra orbiculorum +trochleæ ponderi C alligatæ; D ve +rò $it centrum orbiculi trochleæ $u +perioris; $it deinde funis per om +nes orbiculos circumuolutus, reli +gatu$q; in EF; & $it potentia in +G $u$tinens pondus C. dico pon +dus C duplum e$$e potentiæ in G. +Quoniam enim $i in H k duæ e$- +$ent potentiæ pondus $u$tinentes +duobus funibus orbiculis trochleæ +inferioris tantùm circumuolutis, e$ +$et vtiq; vtraq; potentia in k H $ub <marg><I>Ex</I> 7 <I>huius</I></marg> +quadrupla ponderis C; $ed poten- +tia in G æqualis e$t potentiis in Hk <marg><I>Ex</I> 15 <I>huius.</I></marg> +$imul $umptis; vniu$cuiu$q; enim +potentiæ in H, & k dupla e$t: erit +potentia in G $ubdupla ponderis +C. pondus ergo potentiæ duplum +erit. quod demon$trare opor- +tebat. +<fig> +<pb> +<p>Et $i in G $it potentia mouens pondus. Dico +$patium potentiæ duplum e$$e $patii ponderis. +<p>Ii$dem po$itis, $int +moti orbiculi, $imiliter +demon$trabitur ambos +illos LM NO æquales +e$$e quatuor PQ RS +TV XY. $ed LM NO +$imul dupli$unt $patii po +tentiæ in G motæ; & +quatuor PQ RS TV +XY $imul quadrupli $unt +$patii ponderis moti.$pa +tium igitur potentiæ ad +$patium ponderis e$t tan +quam $ubduplum ad $ub +quadruplum. erit ergo +potentiæ $patium pon- +deris $patii duplum. +<fig> +<pb n=97> +<p>Hinc autem con$iderandum +e$t quomodo fiat motus; quia, +cùm funis $it religatur in F, vectis +NO in prima figura habebit ful- +cimentum O, pondus in medio, +& potentia in N. $imiliter quo- +niam funis e$t religatus in E, ve +ctis PQ habebit fulcimentũ P, & +pondus in medio, & potentia in +Q. idcirco partes orbiculorum +in N, & Q $ur$um mouebuntur; +orbiculi ergo non in eandem, $ed +in contrarias mouebuntur partes, +videlicet vnus dextro$um, alter$i- +ni$tror$um. & quoniam potentiæ +in NQ eædem $unt, quæ $unt in +LM; potentiæ igitur in LM æ- +quales $ur$um mouebuntur. ve +ctis igitur LM in neutram moue +bitur partem. quare neq; orbicu +lus circumuertetur. Itaq; LM +erit tanquam libra, cuius centrum +D, ponderaqué appen$a in LM +æqualia quartæ parti ponderis C; +vnu$qui$q; enim funis LN MQ +quartam $u$tinet partem ponderis C. mouebitur ergo totus orbi +culus, cuius centrum D, $ur$um; $ed non circumuertetur. +<fig> +<foot>Bb</foot> +<pb> +<p>Et $i funis in F circa alios duos +voluatur orbiculos, quorum cen- +tra $int HK, qui deinde religetur +in L; erit proportio ponderis ad +potentiam $e$quialtera. +<p>Si enim quatuor e$$ent potentiæ +<marg><I>Ex</I> 9 <I>huius</I></marg> in MNOI, e$$et vnaquæq; $ub$e$- +cupla ponderis C, quare quatuor +$imul potentiæ in MNOI qua- +tuor $extæ crunt ponderis C. & +quoniam duæ $imul potentiæ in +HD quatuor potentiis in MNOI +$unt æquales; & potentia in G æ- +qualis e$t potentiis in DH: erit +potentia in G quatuor $imul po- +tentiis in MNOI æqualis; & ob +id quatuor $extæ erit ponderis C. +proportio igitur ponderis C ad po +tentiam in G $e$quialtera e$t. +<p>Et $i in G $it potentia mouens, +$imili modo o$tendetur $patium +potentiæ $patii ponderis $e$quialte +rum e$$e. +<fig> +<p>Et $i funis in L adhuc circa duos +alios orbiculos reuoluatur $imi- +liter o$tendetur proportionem +ponderis ad potentiam $e$qui- +tertiam e$$e. quòd $i in G $it +potentia mouens, o$tende- +tur $patium potentiæ $patii ponde +ris $e$quitertium e$$e, atq; ita dein- +ceps in infinitum procedendo, +quamcunq; proportionem ponderis ad potentiam $uperparticula +rem inueniemus $emperq; reperiemus ita e$$e pondus ad poten +tiam pondus $u$tinentem, vt $patium potentiæ mouentis ad $pa +tium ponderis à potentia moti. +<pb n=98> +<p>Motus vectium fit hoc modo, vectis YZ, cùm funis $it religatus +in E, habet fulcimentum in Y, pondus in B medio appen$um, & +potentia in Z. & vectis PQ habet fulcimentum in P potentia in +medio, & pondus in Q. oportet enim orbiculos, quorum cen- +tra$unt BD in eandem partem moueri, videlicet vt QZ $ur- +$um moueantur. & quoniam funis religatus e$t in L, erit T fulci +mentum vectis ST, qui pondus habet in medio, & potentia in +S. & quia S mouetur $ur$um, nece$$e e$t etiam R $ur$um moue +ri; & ideo F erit fulcimentum vectis FR, & pondus erit in R, +& potentia in medio. orbiculi igitur, quorum centra $unt H k, +in contrariam mouentur partem eorum, quorum centra $unt BD: +quare partes orbiculorũ PF in orbiculis deor$um tend&etilde;t; videlicet +ver$us XV. vectis igitur VX in neutram partem mouebitur, cùm +P, & F deor$um moueantur; & VX erit tanquam vectis, in cuius +medio erit pondus appen$um, & in VX duæ potentiæ æquales +$extæ parti ponderis C. potentiæ enim in MO hoc e$t funes PV +FX $extam $u$tinent partem ponderis C. totus igitur orbiculus, +cuius centrum A $ur$um vnà cum trochlea mouebitur; non au- +tem circumuertetur. +<head>PROPOSITIO XXV.</head> +<p>Si tribus duarum trochlearum orbiculis, +quarum altera binis in$ignita rotulis à potentia +$upernè detineatur; altera verò vnius tantùm +rotulæ infernè cõ$tituta, ac ponderi alligata fue +rit, circumuoluatur funis; vtroq; eius extremo +alicuibi, non autem inferiori trochleæ religa- +to: dupla erit ponderis potentia. +<foot>Bb 2</foot> +<pb> +<p>Sit pondus A trochleæ inferiori alligatum, +quæ orbiculum habeat, cuius centrum $it B; tro +chlea verò $uperior duos orbiculos habeat, +quorum centra $int CD; $itq; funis circa om +nes orbiculos reuolutus, qui in EF $it religatus; +potentiaq; $u$tinens pondus $it in G. dico po +tentiam in G ponderis A duplam e$$e. $i enim +<marg>2. <I>Cor.</I></marg> in H k duæ e$$ent potentiæ pondus $u$tinen +<marg>2 <I>Huius.</I></marg> tes, e$$et vtraq; $ubdupla ponderis A; $ed po +<marg><I>Ex</I> 15 <I>huius.</I></marg> tentia in D dupla e$t potentiæ in H, & poten +tia in C dupla potentiæ in K; quare duæ $imul +potentiæ in CD vtriu$q; $imul potentiæ in H k +duplæ erunt. $ed potentiæ in H k ponderi A $unt +æquales, & potentiæ in CD ip$i potentiæ in G +$unt etiam æquales; potentia igitur in G ponde- +ris A dupla erit. quod oportebat demon$trare. +<p>Si autem in G $it potentia mouens pon- +dus, $imiliter vt in præcedenti o$tendetur $pa +tium ponderis $patii potentiæ duplum e$$e. +<fig> +<p>Hinc quoq; con$iderandum e$t vectem PQ +non moueri, quia vectis LM habet fulcimen +tum in L, potentia in medio, & pondus in M. +vectis autem NO habet fulcimentum in O, +potentia in medio, & pondus in N. quare M, & N $ur$um mo +uebuntur. in contrarias igitur partes orbiculi, quorum centra +$unt CD mouentur. idcirco vectis PQ in neutram partem mo +uebitur; eritq;, ac $i in medio e$$et appen$um pondus, & in PQ +duæ potentiæ æquales dimidio ponderis A. vtraq; enim potentia +in HK $ubdupla e$t ponderis A. totus igitur orbiculus, cuius +centrum B $ur$um mouebitur, $ed non circumuertetur. +<pb n=99> +<p>Et $i funis in F duobus aliis adhuc circumuol- +uatur orbiculis, quorum centra $int HK, qui de- +inde religetur in L; erit proportio potentiæ in G +ad pondus A $e$quialtera. +<p>Si enim in MNOP quatuor e$$ent poten +tiæ pondus $u$tinentes, vnaquæq; $ubquadru <marg><I>Ex</I> 7 <I>huius</I></marg> +pla e$$et ponderis A: $ed cùm potentia in k <marg>15 <I>Huius.</I></marg> +$it dupla potentiæ in N; erit potentia in k +ponderis A $ubdupla. & quoniam potentia +in D duabus in MO potentiis e$t æqualis; erit +quoq; potentia in D ponderis A $ubdupla. +cùm autem adhuc potentia in C potentiæ in P +$it dupla, erit $imiliter pot&etilde;tia in C ponderis A +$ubdupla. tres igitur potentiæ in CD k tribus +medietatibus ponderis A $unt æquales. quo- +niam autem potentia in G potentiis in CDK +e$t æqualis, erit potentia in G tribus medie- +tatibus ponderis A æqualis. Proportio igi- +tur potentiæ ad pondus $e$quialtera e$t. +<p>Si verò in G $it potentia mouens, erit $pa +tium ponderis $patii potentiæ $e$quialterum. +<fig> +<p>Et $i funis in L adhuc circa duos alios or +biculos reuoluatur, $imiliter o$tendetur pro- +portionem potentiæ ad pondus $e$quitertiam +e$$e. & $ic in infinitum omnes proportiones +potentiæ ad pondus $uperparticulares inue- +niemus. o$tendemu$q; potentiam pondus +$u$tinentem ad pondus ita e$$e, vt $patium +ponderis moti ad $patìum potentiæ pondus +mouentis. +<pb> +<p>Motus vectium fiet hoc +modo, videlicet Q erit ful +cimentum vectis QR, po- +tentia in medio, pondus +in R; & vectis Z 9 fulci +mentum erit Z, pondus in +medio, potentiaq; in 9. $i +militer X erit fulcimentum +vectis VX, potentia in me +dio, pondus in V. & quo +niam V $ur$um mouetur, Y +quoq; $ur$um mouebitur; +& vectis YF fulcimentum +erit F: quare F, & Z in orbi +culis deor$um mouebun- +tur. & ob id vectis ST in +neutram mouebitur par- +tem; & ST erit tamquam +libra, cuius centrum D, & +pondera in ST æqualia +quartæ parti ponderis A. +vnu$qui$q; enim funis SZ +TF quartam $u$tinet par- +tem ponderis A. orbicu- +lus ergo, cuius centrum D, +$ur$um mouebitur; non au +tem circumuertetur. +<fig> +<pb n=100> +<p>Hactenus proportiones ponderis ad potentiam multiplices, +& $ubmultiplices; deinde $uperparticulares, $ub$uperparticu- +lare$qué declaratæ fuerunt: nunc autem reliquum e$t, vt propor- +tiones inter pondus, & potentiam $uperpartientes, & multi- +plices $uperparticulares, multiplicesqué $uperpartientes mani- +fe$tentur. +<head>PROPOSITIO XXVI.</head> +<head>PROBLEMA.</head> +<p>Si proportionem $uperpartientem inuenire +volumus, quemadmodum $i proportio, quam +habet pondus ad potentiam pondus $u$tinen- +tem fuerit $uperbipartiens, $icut quinque ad +tria. +<pb> +<p><marg><I>Ex</I> 9 <I>huius.</I></marg> Exponatur potentia in A pondus B $u$ti +nens, proportionemq; habeat pondus B ad +potentiam in A, vt quinq; ad vnum; hoc e$t, +$it potentia in A $ubquintupla ponderis B: de- +inde eodem fune circa alios orbiculos reuo- +<marg><I>Ex</I> 17 <I>huius.</I></marg> luto inueniatur potentia in C, quæ tripla $it +potentiæ in A. & quoniam pondus Bad po +tentiam in A e$t, vt quinq; ad vnum; & +potentia in A ad potentiam in C e$t, vt vnum +ad tria; erit pondus B ad potentiam in C, vt +quinq; ad tria; hoc e$t $uperbipartiens. +<p>Et hoc modo omnes proportiones ponde +ris ad potentiam $uperpartientes inuenientur; +vt $i $upertripartientem quis inuenire volue- +rit; eodem incedat ordine; fiat $cilicet poten +tia in A $u$tinens pondus B $ub$eptupla ip- +$ius ponderis B; deinde fiat potentia in C ip- +$ius A quadrupla; erit pondus B ad poten- +tiam in C, vt $eptem ad quatuor: vídelicet +$upertripartiens. +<p>Si verò in C $it potentia mo- +uens pondus erit $patium pot&etilde;tiæ +$patii ponderis $uperbipartiens. +<fig> +<p><marg>17 <I>Huius.</I></marg> Spatium enim potentiæ in C tertia pars +e$t $patii potentiæ in A, ita videlicet $e habent, +vt quinq; ad quindecim; & $patium potentiæ +<marg>14 <I>Huius.</I></marg> in A quintuplum e$t $patii ponderis B, hoc +e$t, vt quindecim ad tria; erit igitur $patium +potentiæ in C ad $patium ponderis B, vt +quinq; ad tria; videlicet $uperbipartiens. & $emper o$tendemus, ita +e$$e $patium potentiæ mouentis ad $patium ponderis; vt pondus +ad potentiam pondus $u$tinentem. +<p>Similiq; pror$us ratione proportionem potentiæ ad pondus $u- +<pb n=101> +perpartientem inueniemus. $i enim C e$$et inferius, & in ip$o +appen$um e$$et pondus; B verò $uperius, in quo e$$et potentia pon +dus in C $u$tinens, e$$et potentia in B $uperbipartiens ponderis +in C appen$i: cùm B ad A $it, vtquinq; ad vnum; A verò ad <marg>18 <I>Huius.</I></marg> +C, vt vnum ad tria. <marg>5 <I>Huius.</I></marg> +<p>Si autem multiplicem $uperparticularem in- +uenire voluerimus; vt proportio, quam habet +pondus ad potentiam pondus $u$tinentem, $it +duplex $e$quialtera, vt quinq; ad duo. +<p>Eodem modo, quo $uperpartientes inuenimus, has quo- +que omnes multiplices $uperparticulares reperiemus. vt fiat <marg><I>Ex</I> 9 <I>huius.</I></marg> +pondus B ad potentiam in A, vt quinq; ad vnum; potentia ve <marg><I>Ex</I> 15, 16, <I>Huius.</I></marg> +rò in C ad potentiam in A, vt duo ad vnum; quod fiet, $i fu- +nis $it religatus in D, non autem trochleæ $uperiori, velin F: erit +pondus B ad potentiam in C, vt quinq; ad duo; hoc e$t duplum +$e$quialterum. +<p>Et è conuer$o proportionem potentiæ ad pondus multiplicem +$uperparticularem inueniemus; & vt in reliquis o$tendetur, ita e$ +$e $patium potentiæ mouentis ad $patium ponderis, vt pondus +ad potentiam pondus $u$tinentem. +<p>Omnem quoq; multiplicem $uperpartientem +eodem modo inueniemus; vt $i proportio, quam +habet pondus ad potentiam, $it duplex $uperbi +partiens, vt octo ad tria. +<p>Fiat potentia in A pondus B $u$tinens $uboctupla ponderis B; <marg><I>Ex</I> 9 <I>huius Ex</I> 17 <I>huius.</I></marg> +& potentia in C potentiæ in A $it tripla; erit pondus B ad po +tentiam in C, vt octo ad tria. & è conuer$o omnem potentiæ ad +<foot>Cc</foot> +<pb> +pondus proportionem multipticem $uperpartientem in ueniemus. +& vt in cæteris reperiemus ita e$$e pondus ad potentiam pondus +$u$tinentem, vt $patium potentiæ mouentis ad $patium pon- +deris. +<p>Notandum autem e$t, quòd cùm in præcedentibus demo$tratio +nibus $æpius dictum fuerit, potentiam pondus $u$tinentem ip$ius +ponderis duplam e$$e, vel triplam, & huiu$modi; vt in decima- +quinta huius o$ten$um e$t; quia tamen potentia non $olum pon +dus, verùm etiam trochleam $u$tinet; idcirco maioris longè vir- +tutis, maiori$q; ip$i ponderi proportionis con$tituenda videtur +ip$a potentia. quod quidem verum e$t, $i etiam trochleæ graui +tatem con$iderare voluerimus. $ed quoniam inter potentiam, & +pondus proportionem quærimus: ideo hanc trochleæ grauit at em +ommi$imus, quam $iquis etiam con$iderare voluerit, vim ip$i po- +tentiæ æqualem trochleæ addere poterit. Quod ip$um etiam in +fune ob$eruari poterit. & $icut hoc in decimaquinta con$ideraui +mus, idem quoq; in reliquis aliis con$iderare poterimus. +<pb n=97> +<p>Noui$$e etiam oportet, quòd $icuti proportio +nes omnes inter potentiam, & pondus vnico +fune inuentæ fuerunt; ita etiam pluribus funi- +bus, trochlei$qué eædem inueniri poterunt. vt +$i multiplicem $uperparticularem proportionem +pluribus funibus inuenire voluerimus, veluti $i +proportio, quam habet pondus ad potentiam +pondus $u$tinentem, fuerit duplex $e$quialtera, vt +quinq; ad duo; oportet hanc proportionem ex +pluribus componere. vt (exempli gratia) ex pro- +portione $e$quiquarta, vt quinqué ad quatuor, +& ex dupla, vt quatuor ad duo. exponatur igitur po <marg><I>Ex</I> 21 <I>huius.</I></marg> +tentia in A pondus B $u$tinens, ad quam pondus +proportion&etilde; habeat $e$quiquartam, vt quinq; ad +quatuor: deinde alio fune inueniatur pot&etilde;tia in C,<marg><I>Ex</I> 2 <I>huius.</I></marg> +cuius dupla $it potentia in A. & quoniã B ad A e$t, +vt quinq; ad quatuor; & A ad C, vt quatuor ad +duo; erit pondus B ad potentiam in C, vt quin +que ad duo; hoc e$t proportionem habebit du- +plicem $eíquialteram. +<fig> +<p>Et notandum e$t hanc quoq; proportion&etilde; inue +niri po$$e, $i proportionem quinq; ad duo ex pluri +bus componamus, vt quinq; ad quindecim & quin +decim ad viginti & viginti ad duo. Et hoc modo +non $olum omnem aliam proportionem inuenie +mus, $ed quamcunq, multis, infinitisqué mo- +dis comperiemus. omnis enim proportio ex infi- +nitis proportionibus componi pote$t. vt patet +in commentario Eutocii in quartam propo$itio- +nem $ecundi libri Archimedis de $phera, & cy- +lindro. +<p>Po$$umus quoq; pluribus funibus, trochleis +verò inferioribus tantùm, vel $uperioribus vti. +<foot>Cc 2</foot> +<!-- +<pb> +--> +<pb> +<p>Sit pondus A, cui alligata $it trochlea +orbiculum habens, cuius centrum B; +religetur funis in C, qui circa orbiculum +reuoluatur, funi$q; perueniat in D: erit +<marg>2 <I>Huius.</I></marg> potentia in D $u$tinens pondus A $ub- +dupla ponderis A. deinde funis in D +alteri trochleæ religetur, & circa huius +trochleæ orbiculum alius reuoluatur fu +nis, qui religetur in E, & perueniat in +<marg>2 <I>Huius.</I></marg> F; erit potentia in F $ubdupla eius, +quod $u$tinet pot&etilde;tia in D: e$tenim ac$i +D dimidium ponderis A $u$tineret $i +ne trochlea; quare potentia in F $ubqua- +drupla erit ponderis A. & $i adhuc fu +nis in F alteri trochleæ religetur, & +per eius orbiculum circumuoluatur a- +lius funis, qui religetur in G, & per +ueniat in H; erit potentia in H $ub +dupla potentiæ in F. ergo potentia in +H $uboctupla erit ponderis A. & $ic +in infinitum $emper $ubduplam poten +tiam præced&etilde;tis potentiæ inueniemus. +<fig> +<p>Et $i in H $it potentia mouens, erit +$patium potentiæ $patii ponderis octu +<marg>11 <I>Huius.</I></marg> plum. $patium enim D duplum e$t $pa +tii ponderis A, & $patium F $patii D +duplum; erit $patium F $patii ponde +ris A quadruplum. $imiliter quoniam +$patium potentiæ in H duplũ e$t $patii +F, erit $patium potentiæ in H $patii +ponderis A octuplum. +<pb n=103> +<p>Sit deinde pondus A funi alliga- +tum, qui orbiculo trochleæ $uperio +ris $it circumuolutus, & religatus in <marg>15 <I>Huius.</I></marg> +B; $itq; potentia in C $u$tinens pon +dus A: erit potentia in C ponderis A +dupla, deinde C alterifuni religetur, +qui per alterius trochleæ orbicu +lum circumuoluatur, & religetur +in D; erit potentia in E dupla po <marg><I>Ex e adem.</I></marg> +tentiæ in C. Quare potentia in E +quadrupla erit ponderis A. & $i ad +huc E alteri funi religetur, qui etiam +circa orbiculum alterius trochleæ re +uoluatur, & religetur in F; erit poten +tia in G dupla potentiæ in E. ergo +potentia in G octupla erit ponderis +A. & $ic in infinitum $emper præ +cedentis potentiæ potentiam du- +plam inueniemus. +<fig> +<p>Si autem in G $it potentia mo- <marg>16 <I>Huius.</I></marg> +uens, erit $patium ponderis octu- +plum $patii potentiæ in G. $patium +enim ponder is A duplum e$t $patii +potentiæ in C, & C duplum e$t $patii +ip$ius E; quare $patium ponderis +A $patii potentiæ in E quadruplum +erit. $imiliter quoniam $patium E +duplum e$t $patii potentiæ in G; erit ergo $patium ponderis A +octuplum $patii potentiæ in G. +<pb> +<head>COROLLARIVM.</head> +<p>Ex his manife$tum e$t maiorem $emper ha- +bere proportionem $patium potentiæ mouen- +tis ad $patium ponderis moti, quàm pondus +ad eandem potentiam. +<p>Hoc autem ex iis, quæ in corollario quartæ huius de vecte dicta +$unt, patet. +<head>PROPOSITIO XXVII.</head> +<head>PROBLEMA.</head> +<p>Datum pondus à data potentia trochleis +moueri. +<p>Data potentia, vel e$t maior, vel æqualis, vel minor dato +pondere. +<pb n=104> +<p>Et $i e$t maior, tunc poten- +tia, vel ab$q; alio in$trumento, +vel fune circa orbiculum trochleæ +$ur$um appen$æ reuoluto datum +pondus mouebit. Minor enim po <marg><I>Ex</I> 1 <I>huius</I></marg> +tentia; quàm data, ponderiæque- +ponderat, data ergo mouebit. +Quod idem fieri pote$t iuxta om- +nes propo$itiones, quibus poten- +tia pondus $u$tinens, vel æqualis, +vel minor pondere o$ten$a e$t. +<fig> +<p>Si autem æqualis, +pondus mouebit fune +per orbiculum trochleæ +ponderialligatæ circum +uoluto. potentia enim <marg>2 <I>Huius.</I></marg> +$u$tinens pondus $ubdu +pla e$t ponderis, poten +tia igitur ponderi æqua +lis datum pondus mo- +uebit. Quod etiam $e- +cundùm propo$itiones, +quibus potentiam pon +dere minorem e$$e o- +$ten$um e$t, fieri po- +te$t. +<fig> +<pb> +<p>Si verò minor, $it datum pondus +vt $ex aginta, potentia verò mouens +<marg><I>Ex</I> 9 <I>huius</I></marg> data $it tredecim. inueniatur poten- +tia in A $u$tinens pondus B, quæ pon +deris B $it $ubquintupla. & quoniam +potentia in A pondus $u$tinens e$t +vt duodecim; maior igitur poten- +tia, quàm duodecim in A pondus +B mouebit. Quare potentia vt tre- +decim in A pondus B mouebit. quod. +facere oportebat. +<p>Animaduertendũ quoq; e$t in mo +uendis ponderibus, potentiam ali- +quando for$itan melius mouere mo +uendo $e deor$um, quàm mouendo +$e $ur$um. vt circumuoluatur adhuc +funis per alium trochleæ $uperioris +orbiculum, cuius centrum C, funi$q; +<marg><I>Ex</I> 5 <I>Huius</I></marg> perueniat in D; erit pot&etilde;tia in D $u$ti +n&etilde;s põdus B $imiliter duodecim, qu&etilde; +admodum erat in A. Ideo poten- +tia vt tredecim in D pondus B mo- +uebit. & quia mouet $e deor$um, +forta$$e trahet facilius, quàm in A; +atq; tempus e$t idem, $icut etiam +erat in A. +<fig> +<pb n=105> +<head>PROPOSITIO XXVIII.</head> +<head>PROBLEMA.</head> +<p>Propo$itum $it nobis efficere, potentiam pon +dus mouentem, & pondus per data $patia $ibi in +uicem longitudine commen$urabilia moueri. +<p>Sit datum $patium potentiæ, vt tria, <marg><I>Ex</I> 22 <I>huius.</I></marg> +ponderis verò, vt quatuor. inueniatur po +tentia in A pondus B $u$tinens, quæ pon +deris $it $e$quitertia, vt quatuor ad trìa. $i +igitur in A $it potentia mouens pondus; <marg><I>Ex eadem.</I></marg> +erit $patium ponderis $patii potentiæ $e$- +quitertium, vt quatuor ad tria. quod face +re oportebat. +<fig> +<p>Hoc autem & ex iis, quæ dicta $unt in +vige$ima $ecunda, & in vige$imaquinta +huius efficere po$$umus $olo fune. Quòd $i +pluribus funibus id efficere voluerimus, +non $olum multis, $ed infinitis modis hoc +efficere poterimus, vt $upra dictum e$t. <marg><I>In</I> 26 <I>huius.</I></marg> +Quare hoc affirmare po$$umus, quod qui- +dem mirum e$$e videtur: videlicet. +<foot>Dd</foot> +<pb> +<head>COROLLARIVM. I.</head> +<p>Ex his manife$tum e$$e, Quamlibet datam in +numeris proportionem inter pondus, & poten +tiam; & inter $patium ponderis moti, & $patium +potentiæ motæ; infinitis modis trochleis inueni- +ri po$$e. +<head>COROLLARIVM II.</head> +<p>Ex dictis etiam manife$tum e$t, quò pondus +facilius mouetur, eò quoq; tempus maius e$$e; +quò verò difficilius, eò minus e$$e. & è con- +uer$o. +<pb n=106> +<head>DE AXE IN +PERITROCHIO.</head> +<fig> +<p>Fabricam, & cõ$tructionem hu- +ius in$trumenti Pappus in octauo +mathematicarum collectionum +libro docet; axemq; vocat AB, +tympanum verò CD circa idem +centrum; & $cytalas in foramini- +bus tympani EF GH & c. ita vt potentia, +<foot>Dd 2</foot> +<pb> +<fig> +quæ $emper in $cytalis e$t, vt in F, dum circum- +uertit tympanum, & axem, $ur$um moueat pon- +dus K axi appen$um fune LM circa axem reuo +luto. Nobis igitur re$tat, vt o$tendamus, cur ma- +gna pondera ab exigua virtute, quouè etiam mo +do hoc in$trumento moueantur; temporis quin +etiam, $patiiq; mouentis inuicem potentiæ, ac +moti ponderis rationem aperiamus; huiu$modi- +que in$trumenti v$um ad vectem reducamus. +<pb n=107> +<head>PROPOSITIO I.</head> +<p>Potentia pondus $u$tinens axe in peritrochio +ad pondus eandem habet proportionem, quam +$emidiameter axis ad $emidiametrum tympani +vná cum $cytala. +<fig> +<p>Sit diameter axis AB, cuius centrum C; $it diameter tympani +DCE circa idem centrum; $intq; AB DE in eadem recta linea; +$int deinde $cytalæ in foraminibus tympani DF GH & c.inter $e $e +æquales, atq; æquè di$tantes; $itq; FE horizonti æquidi$tans; +<pb> +<fig> +pondus autem K in fune BL circa axem volubili $it appen$um. & +potentia in F $u$tineat pondus K. Dico potentiam in F ad pondus +k ita $e habere, vt CB ad CF. fiat vt CF ad CB, ita pondus +k ad aliud M, quod appendatur in F. & quoniam pondera M k +appen$a $unt in FB; erit FB tanquam vectis, $iue libra; quia ve +rò Ce$t punctum immobile, circa quod axis, tympanusq; reuol- +uuntur; erit C fulcimentum vectis FB; vellibræ centrum. cùm +<marg>6. <I>Primi Archim. de æquepon.</I></marg> autem it a $it CF ad CB, vt k ad M, pondera k M æqueponde- +rabunt. Potentia igitur in F $u$tinens pondus k, ne deor$um ver- +gat, ponderi K æqueponderabit; ip$iq; M æqualis erit. idem enim +præ$tat potentia, quod pondus M. pondus igitur K ad poten +<marg><I>Cor.</I> 4. <I>quinti.</I></marg> tiam in F erit, vt CF ad CB; & conuertendo, potentia ad +pondus erit, vt CB ad CF, hoce$t, $emidiameter axis ad $emi +<pb n=108> +diametrum tympani vnà cum $cytala DF. Similiter etiam o$ten- +detur, $i potentia pondus $u$tinens fuerit in Q. tunc enim $u$ti- +neret vecte CQ; & ad pondus eam haberet proportionem, quam <marg>2 <I>Huuius. de vecte.</I></marg> +habet CB ad CQ. Videlicet $emidiameter axis ad $emidiame- +trum tympani vná cum $cytala EQ. quod demon$trare opor- +tebat. +<head>COROLLARIVM.</head> +<p>Manife$tum e$t potentiam $emper minorem +e$$e pondere. +<p>Semidiameter enim axis $emper $emidiametro tympani mi- +nor e$t. & potentia eò minor e$t pondere, quò $emidiameter axis +minor e$t $emidiametro tympani vná cum $cytala. quare quò lon +gior e$t CF, vel CQ; & quò breuior e$t CB, minor adhuc $em +per potentia in F, vel in Q pondus k $u$tinebit. quò enim minor +e$t CB, eò minorem habebit proportionem $emidiameter axis +ad $emidiametrum tympani vná cum $cytala. +<p>Hoc autem loco con$iderandum occurrit, quòd $i in alia $cyta- +la appendatur pondus, vt in T, $u$tinens pondus k; it a nempè, vt +pondus in T appen$um, pondusq; k circa axem con$titutum +maneant; erit pondus in T grauius pondere M in F appen$o. +iungatur enim TB, & à puncto C horizonti perpendicularis du- +catur CI, quæ lineam TB $ecet in I; tandemq; connectatur +TC, quæ æqualis erit CF. Quoniam autem pondera appen$a +$unt in TB, perindè $e $e habebunt, ac $i in punctis TB ip$orum +centra grauitatum haberent; vt antca dictum e$t. & quia ma- +nent, erit punctum I (ex prima huius de libra) amborum $imul +grauitatis centrum; cùm $it CI horizonti perpendicularis. $ed +quoniam angulus BCI e$t rectus, erit BIC acutus, lineaq; BI <marg><I>Ex</I> 19 <I>primi.</I></marg> +ip$a BC maior erit. quare angulus CIT erit obtu$us; atq; <marg><I>Ex</I> 13 <I>primi.</I></marg> +ideo line^{a} CT ip$a T^{I} maior erit. Cùm autem CT maior $it +TI, & IB maior BC; maiorem habebit proportionem TC ad +CB, quàm TI ad IB; & conuertendo, minorem habebit pro- +<pb> +<fig> +portionem BC ad CT, hoc e$t ad CF, quàm BI ad IT; vt ex +vige$ima $exta quinti elementorum (iuxta Commandini editio- +nem) patet. Quoniam verò punctum I e$t ponderum in TB +<marg>6. <I>Primi Archim. de æquepon.</I></marg> exi$tentium centrum grauit atis; erit pondus in T ad pondus in B, +vt BI ad IT. pondus verò in F ad idem pondus in Be$t, vt BC +ad CF; maiorem igitur proportionem habebit pondus in T ad +pondus in B, quàm pondus in F ad idem pondus in B. ergo +<marg>10. <I>Quinti.</I></marg> grauius erit pondus in T, quàm pondus in F. +<p>Si verò loco ponderis in T animata potentia $u$tinens pon- +dus k con$tituatur; quæ ita degrauet $e, ac $i in centrum mundi +tendere vellet; quemadmodum $uapte natura efficit pondus in T +appen$um; erit hæc eadem ponderi in T appen$o æqualis; alio- +quin non $u$tineret; quæ quidem ip$a potentia in F collocata ma +<pb n=109> +ior erit. $icuti enim $e $e habet pondus in T ad pondus in F, ita +& potentia in T ad potentiam in F; cùm potentiæ $int ponderi- +bus æquales. verùm $i vnaquæq; potentia $eor$um $umpta, tàm +in T, quàm in F $u$tinens pondus $ecundũ circũferentiam THFN +moueri $e vellet, veluti apprehen$a manu $cytala; tunc eademmet +potentia, vel in F, vel in T con$tituta idem pondus k $u$tinere po +terit; cùm $emper in cuiu$cunq; extremitate $cytalæ ponatur, ab +eodem centro C æquidi$tans fuerit, ac $ecundum eandem circum +ferentiam ab eodem centro æqualiter $emper di$tantem perpen$io +nem habeat. neq; enim ($icuti pondus) proprio nutu magis in +centrum ferri exoptat, qu<*>m circulariter moueri; cùm vtrunq;, $eu +quemlibet alium motum nullo pror$us re$piciat di$crimine. pro- +pterea non eodem modo res $e $e habet, $iue pondera, $iue anímatæ +potentiæ ii$dem locis eodem munere abeundo fuerint con$titutæ. +<p>Potentia autem mouet pondus vecte FB, videlicet dum po +tentia in F circumuertit tympanum, circumuertit etiam axem; & +FB fit tamquam vectis, cuius fulcimentum C, potentia mouens +in F, & podus in B appen$um. & dum punctum F peruenit in N; +punctum H erit in F, & punctum B erit in O; ita vt ducta NO +tran$eat per C; eodemq; tempore pondus k motum erit in P, ita +vt OBP $it æqualis ip$i BL, cùm $it idem funis. +<p>Deinde ex quarta huius de vecte facilè eliciemus $patium po- +tentiæ mouentis ad $patium ponderis moti ita e$$e, vt $emidiame +ter tympani cùm $cytala ad $emidiametrum axis, hoc e$t, vt CF +ad CB, cùm circumferentia FN ad BO, $it vt CF ad CB. & quo <marg><I>Ex</I> 4 <I>huius de vecte.</I></marg> +niam BL, e$t æqualis OBP, dempta communi BP, erit OB ip +$i PL æqualis. quare FN $patium potentiæ ad PL $patium pon- +deris erit, vt CF ad CB, videlicet $emidiameter tympani cùm +$cytala ad $emidiametrum axis. Quod idem o$tendetur, poten- +tia vel in Q, vel in qualibet alia $cytala exi$tente, vt in S. cùm +enim $cytalæ $int $ibi inuicem æquales, atq; æqualiter di$tantes; +vbicunq; $it potentia æquali mota velocitate $emper æquali tem- +pore æquale $patium pertran$ibit, hoc e$t ex Q in R, vel ex Sin T +eodem tempore mouebitur, quò ex F in N. $ed quò tempore po +tentia ex Fin N mouetur, eodemmet pror$us pondus k ex L in +P quoq; mouetur; vbicunq; igitur $it potentia, erit $patium poten- +<foot>Ee</foot> +<pb> +<fig> +tiæ ad $patium ponderis moti, vt CF ad CB, hoc e$t $emidia- +meter tympani cum $cytala, ad $emidiametrum axis. +<head>COROLLARIVM. I.</head> +<p>Ex his manife$tum e$t, ita e$$e pondus ad po- +tentiam pondus $u$tinentem, vt $patium poten- +tiæ mouentis ad $patium ponderis moti. +<pb n=110> +<head>COROLLARIVM II.</head> +<p>Manife$tum e$t etiam, maiorem $emper ha- +bere proportionem $patium potentiæ mouentis +ad $patium ponderis moti, quàm pondus ad ean +dem potentiam. +<p>Præterea quò circulus FHN circa $cytalas e$t maior, eò quoq; +in pondere mouendo maius $umetur tempus; dummodo potentia +æquali moueatur velocitate. tempu$q; eò maius erit, quò diame +ter vnius diametro alterius e$t maior. circulorum enim circumfe. <marg>23 <I>Octaui libri Pappi.</I></marg> +rentiæ ita $e habent, vt diametri. Cùm vero ex trige$ima $exta +quarti libri Pappi Mathematicarum collectionum, duorum inæ +qualium circulorum æquales circumferentias inuenire po$simus; +ideo tempus quoq; portionum circulorum inæqualium hoc modo +inueniemus. è conuer$o autem, quò maior erit axis circumferen +tia citius pondus $ur$um mouebitur. maior enim pars funis BL +in vna circumuer$ione completa circa circulum ABO reuoluitur, +quàm $i minor e$$et; cùm funis circumuolutus $it circumferen- +tiæ circuli æqualis, circa quem reuoluitur. +<head>COROLLAR VM.</head> +<p>Ex his manife$tum e$t, quò facilius pondus mo +uetur, tempus quoq; eò maius e$$e; & quò dif- +ficilius, eò tempus minus e$$e. & è conuer$o. +<foot>Ec 2</foot> +<pb> +<head>PROPOSITIO II.</head> +<head>PROBLEMA.</head> +<p>Datum pondus à data potentia axe in peritro- +chio moueri. +<p>Sit datum pondus $exagin +ta; potentia verò vt decem. +exponatur quædam recta li- +nea AB, quæ diuidatur in C, +ita vt AC ad CB eandem +<fig> +habeat proportionem, quam $exaginta ad decem. & $i CB axis +$emidiameter e$$et, & CA $emidiameter tympani cùm $cytalis; +<marg><I>Per præce dentem.</I></marg> patet potentiam vt decem in A ponderi $exaginta in B æquepon +derare. Accipiatur autem inter BC quoduis punctum D; fiatq; +BD $emidiameter axis, & DA $emidiameter tympani cùm $cy- +talis; ponaturq; pondus $exaginta in B fune circa axem, & potentia +<marg><I>Lemma in primi buius de vecte.</I></marg> <I>in A. Quoniam enim AD ad DB maiorem habet proportio- +nem, quam AC ad CB; maiorem habebit proportionem AD ad +DB, quam pondus $exaginta in B appen$um ad potentiam vt decem</I> +<marg><I>Ex</I> 11 <I>huius de vecte.</I></marg> in A. Quare potentia in A pondus $exaginta axe imperitro- +chio mouebit, cuius axis $emidiameter e$t BD, & DA $emidia +meter tympani cùm $cytalis. quod erat faciendum. +<pb n=111> +<head>ALITER.</head> +<head>Organicè verò melius erit hoc pacto.</head> +<p>Exponatur axis, cuius +diameter $it BD, & cen- +trum C, quem quidem +axem maiorem, vel mino +rem con$tituemus, veluti +<fig> +magnitudo, ponderi$q; grauitas po$tulat. producatur deinde BD +v$q; ad A: fiatq; BC ad CA, vt decem ad $exaginta. & $i CA tym +pani cùm $cytalis $emidiameter e$$et, potentia decem in A ponde +ri $exaginta in B æqueponderaret. producatur verò BA ex parte +A, & in hac producta linea quoduis accipiatur punctum E; fiatq; +CE $emidiameter tympani cùm $cytalis; ponaturq; potentia vt +decem in E; habebit EC ad CB maiorem proportionem, quàm +pondus $exaginta in B ad potentiam vt decem in E. potentia igi- +tur vt decem in E mouebit pondus $exaginta in B appen$um fune +circa axem, cuius $emidiameter e$t CB, & CE $emidiameter tym +pani cùm $cytalis. quod facere oportebat. +<pb> +<p>Sub hoc facultatis genere $unt ergatæ, $uccu- +læ, terebræ, tympana cum $uis axibus, $iue dentata, +$iue non; & $imilia. +<p>Terebra verò habet etiam ne$cioquid cochleæ; dum enim mo- +uet pondus, $cilicet dum perforat, ex $ua ferè natura $emper vlte- +rius progreditur<I>:</I> habet enim ferè helices tamquam circa conum +de$criptas. quoniam autem verticem habet acutum, ad cunei quoq; +rationem commodè referri poterit. +<fig> +<pb n=112> +<head>DE CVNEO.</head> +<p>Aristoteles in quæ$tioni- +bus Mechanicis quæ$tione deci- +ma$eptima a$$erit, cuneum $cin- +dendo ponderi duorum vicem +pror$us gerere vectium $ibi inui- +cem contrariorum hoc niodo. +<p>Sit cuneus ABC, cu +ius vertex B, & $it AB +æqualis BC; quod au +tem $cindendum e$t, +$it DEFG; $itq; pars +cunei HB k intra DE +FG, & HB æqualis +$it ip$i Bk. percutiatur +(vt fieri $olet) cuneus +in AC, dum cuneus in +AC percutitur, AB fit +vectis, cuius fulcimen +tum e$t H, & pondus in +B. eodemq; modo CB +fit vectis, cuius fulci- +<fig> +mentum e$t K, & pondus $imiliter in B. $ed dum percutitur cu- +neus, maiori adhuc ip$ius portione ip$um DEFG ingreditur, +quàm prius e$$et: $it autem portio hæc MBL; $itq; M Bip$i BL +æqualis. & cùm MB BI. $int ip$is HB BK maiores; erit ML maior +<pb> +Hk. dum igitur ML +erit in $itu Hk; opor- +ter, vt fiatmaior $ci$sio; +& D moueatur ver$us +O, G autem ver$us N: +& quò maior pars cu +nei intra DEFG ingre +dietur, eò maior fiet +$ci$sio; & DG ma- +gis adhuc impellentur +ver$us ON. pars igi +tur KG eius, quod $cin +ditur, mouebitur à ve- +cte AB, cuius fulcimen +tum e$t H, & pondus +<fig> +in B; ita vt punctum B ip$ius vectis AB impellat partem KG. +& pars HD mouebitur à vecte CB, cuius fulcimentum e$t k; ita +vt B vecte CB partem HD impellat. +<p>Cùm autem tria $int vectium genera, vt $upra +o$ten$um e$t; idcirco conuenientius erit forta$$è +cuneum hoc modo con$iderare. +<p>Ii$dem po$itis, intelligatur vectis AB, cuius fulcimentum B, & +pondus in H, vt in $ecunda huius de vecte diximus. $imiliter ve- +ctis CB, cuius fulcimentum B, & pondus in K; ita vt pars HD +moueatur à vecte AB, cuius fulcimentum e$t B, & pondus in H; +ita vt punctum H ip$ius vectis AB impellat partem HD. $imi +li quoq; modo pars KG moueatur à vecte CB, cuius fulcimentum +e$t B, & pondus in k, it aut k ip$ius uectis CB partem k G mo- +ueat. quod quidem for$itan rationi magis con$entaneum erit. +<pb n=113> +<p>Sit enim cuneus ABC; +$intq; duo pondera $epa- +rat a DEFG, & HIkL, +intra quæ $it pars cunei +DBH, cuius uertex B +medium inter utrumq; $i +tum obtineat. percutia- +tur autem cuneus, ita ut +magis adhuc intra pon- +dera propellatur, $icuti +prius dictum e$t; ponde- +<fig> +ra enim $unt, ac $i unum tantùm continuum e$$et GFkL, quod +$cindendum e$$et: eodem enim modo pars DG, dum cuneus +ulterius impellitur, mouebitur uer$us M; & pars HL uer$us N. +Moueatur itaq; pars DG uer$us M, & pars HL uer$us N, B uerò +dum ulterius progreditur, $emper medium inter utrunq; pondus +remaneat. dum autem DG à cuneo mouetur uer$us M; patet B +non mouere partem DG uer$us Muecte CB, cuius fulcimentum +H; punctũ enim B non tangit pondus; $ed DG mouebitur à pun- +cto uectis Duecte AB, cuius fulcimentum B; punctum enim D tan +git pondus, & in$trumenta mouent per contactum. Similiter +HL mouebitur ab H uecte CB, cuius fulcimentum B; & uterq; +uectis utriq; re$i$tit in B, ita ut B potius fulcimenti uice fungatur, +quàm mouendi ponderis. quod ip$um hoc quoq; modo manife- +$tum erit. +<foot>Ff</foot> +<pb> +<p>Sit, quod $cindendum e$t A +BCD parallelogrammũ rectan- +gulum; $intq; duo vectes æqua- +les EF GF, & partes vectium +HF KF $int intra ABCD; $itq; +HF æqualis Fk, & HA æqua +lis KB. Oporteat verò vecti- +bus EF GF $cindere ABCD +ab$q; percu$sione, videlicet $int +potentiæ mouentes in EG æqua +les. vt autem $cindatur ABCD, +oportet partem HA moueriuer +<fig> +$us M. & kB ver$us N; $ed dum vectes mouentur, putá alter in +M, alter verò in N; nece$$e e$t, vt punctum F immobile rema +neat; in illo enim fit vectium occur$us. quare F erit fulcimen- +tum vtriu$q; vectis, & FG mouebit partem kB, cuius fulcimen +tum erit F, & potentia mouens in G; & pondus in k. $imi- +liter pars HA mouebitur à vecte EF, cuius fulcimentum F, po +tentia in E, & pondus in H. +<p>Si autem k H e$$ent fulcimenta immobilia, & pondera in F; +dum vectis FG conatur mouere pondus in F, tunc ei re$i$tit ve- +ctis EF, qui etiam conatur mouere pondus in F ad partem op +po$itam; $ed quoniam potentiæ $unt æquales, & cætera æqualia; +ergo in Fnon fiet motus: æquale enim non mouet æquale. patet +igitur in F maximam fieri vectium $ibi inuicem occurrentium re$i +$tentiam, itaut F $it quoddam immobile. Quare con$iderando +cuneum, vtmouet vectibus $ibi inuicem aduer$is, for$itan eis po +tius utitur hoc $ecundo modo, quàm primo. +<p>Quoniam autem totus cuneus $cindendo mo +uetur, po$$umus idcirco eundem alio quoq; mo +do con$iderare; videlicet dum ingreditur id, +<pb n=114> +quod $cinditur, nihil aliud e$$e, ni$i pondus $u +pra planum horizonti inclinatum mouere. +<fig> +<p>Sit planum horizonti æquidi$tans tran$iens per AB; $it cuneus +CDB, & CD æqualis ip$i DB; & latus cunei DB $it $emper in +$ubiecto plano. $it deinde pondus AEFG immobile in A; $itq; +pars cunei EDH $ub AEFG. Quoniam enim dum percutitur cu +neus in CB, maior pars cunei ingreditur $ub AEFG, quàm $it +EDH; $it hæc pars IDH. & quoniam latus cunei DB $emper +e$t in $ubiecto plano per AB ducto horizonti parallelo, tunc quan +do pars cunei kDI erit $ub AEFG; erit punctum k in H, & I +$ub E. $ed Ik maior e$t HE; punctum igitur E $ur$um motum +erit. & dum cuneus $ub AEFG ingreditur, punctum E $ur$um +$uper latus cunei EI mouebitur, eodemq; modo $i cuneus vlterius +progredietur, $emper punctum E $uper latus cunei DC mouebitur: +punctum igitur E ponderis $uper planum DC mouebitur horizonti +inclinatum, cuius inclinatio e$t angulus BDC. quod demon- +$trare oportebat. +<foot>Ff 2</foot> +<pb> +<fig> +<p>In hoc exemplo, con$iderando cuneum in$tar vectis mouen- +tem, manife$tum e$t, cuneum BCD pondus AEFG vecte CD +mouere; ita vt D $it fulcimentum, & pondus in E. non autem ve +cte BD, cuius fulcimentum H, & pondus in D. +<p>Vt autem res clarior reddatur, alio vtamur +exemplo. +<p>Sit planum hori- +zonti æquidi$tans +tran$iens per AB; $it +cuneus CAB, cuius +latus AB $it $emper +in $ubiecto plano; $it- +qué pondus AEFG, +quod nullum alium +habeat motum, ni$i +<fig> +$ur$um, & deor$um ad rectos angulos horizonti; ita vt ducta IGk +$ubiecto plano, ip$iqué AB perpendicularis, punctum G $it $em +per in linea IGk. & quoniam dum cuneus percutitur in CB, to +tus $uper AB vlterius progreditur; pondus AEFG eleuabitur ex +<pb n=115> +iis, quæ $upra diximus. Moueatur cuneus ita, vt E tandem per- +ueniat in C, & po$itio cunei ABC $it MNO, & po$itio pon- +deris AEFG $it PMQI, & G$it in I. Quoniam itaq; dum cu +neus $uper lineam BO mouetur, pondus AEFG $ur$um moue- +tur à linea AC. & dum cuneus ABC vlterius progreditur, $em +per pondus AEFG magis à latere cunei AC eleuatur: pondus igi +tur AEFG $uper planum cunei AC mouebitur; quod quidem +nihil aliud e$t, ni$i planum horizonti inclinatum, cuius inclinatio +e$t angulus BAC. +<p>Hic motus facilè ad libram, vectemq; reducitur. quod enim +$uper planum horizonti inclinatum mouetur ex nona Pappi octa- +ui libri Mathematicarum collectionum reducitur ad libram. ea- +dem enim e$t ratio, $iue manente cuneo, vt pondus $uper cunei +latus moueatur; $iue eodem etiam moto, pondus adhuc $uper ip +$ius latus moueatur; tamquam $uper planum horizonti incli- +natum. +<p>Ea verò, quæ $cinduntur, quomodo tam- +quam $uper plana horizonti inclinata mouean. +tur, o$tendamus. +<p>Sit cuneus ABC, +& AB ip$i BC æqua- +lis. Diuidatur AC +bifariam in D, conne- +ctaturq; BD. $it dein- +de linea EF, per quam +tran$eat planum hori +zonti æquidi$tans; $itq; +BD in eadem linea EF; +& dum cuneus percuti +tur, dumq; mouetur ver +<fig> +$us E, $emper BD $it in linea EF. quod verò $cindendum e$t +$it GHLM, intra quod $it pars cunei kBI. manife$tum e$t, +<pb> +dum cuneus uer$us E +mouetur, partem kG +ver$us N moueri; & par +tem HI uer$us O. per +cutiatur cuneus, ita vt +AC $it in linea NO; +tunc k erit in A, & I in +C: & k ex $uperius di +ctis motum erit $uper +kA, & I $uper IC. +quare dum cuneus mo +<fig> +uetur, pars KG $uper BA latus cunei mouebitur, & pars IH $uper +latus BC. pars igitur kG $uper planum mouetur horizonti incli- +natum, cuius inclinatio e$t angulus FBA. $imiliter IH moue- +tur $uper planum BC in angulo FBC. Partes ergo eius, quod +$cinditur $uper plana horizonti inclinata mouebuntur. & quam- +quam planum BC $it $ub horizonte; pars tamen IH $uper IC mo +uetur, tamquam $i BC e$$et $upra horizont&etilde; in angulo DBC. partes +enim eius quod $inditur, eodem tempore, ab cadem potentia mo- +uentur; eadem ergo erit ratio motus partis IH, ac partis KG. $i- +militer eadem e$t ratio, $iue EF $it horizonti æquidi$tans, $iue +horizonti perpendicularis, vel alio modo. nece$$e e$t enim poten +tiam cuneum mouentem eandem e$$e, cùm cætera eadem rema +neant. eadem igitur erit ratio. +<p>Po$t hæc con$iderandum e$t, quæ nam $int ea, quæ efficiunt, +vt aliquod facilius moueatur, $iue $cindatur. quæ quidem duo +$unt. +<p>Primum, quod efficit, vt aliquod facilè $cin +datur, quod etiam ad e$$entiam cunei magis per- +tinet, e$t angulus ad verticem cunei; quò enim +minor e$t angulus, eò facilius mouet, ac $cindit. +<pb n=116> +<p>Sint duo cunei ABC DEF, & angulus +ABC ad verticem minor $it angulo DEF. +dico aliquod facilius moueri, $iue $cindi à cu +neo ABC, quàm à DEF. diuidantur AC +DF bifariam in G H punctis; connectan- +turq; BG, & EH. Quoniam enim partes +eius, quod $cinditur à cuneo ABC, $u- +per planum horizonti inclinatum mouen- +tur, cuius inclinatio e$t GBA: quæ ve- +rò à cuneo DEF, $uper planum horizonti +inclinatum mouentur, cuius inclinatio e$t +<fig> +HED; & angulus GBA minor e$t angulo HED; cùm +CBA minor $it DEF: & ex nona Pappi octaui libri mathe +maticarum collectionum, quod mouetur $uper planum AB faci- +lius mouebitur, & à minore potentia, quàm $uper ED; Quod +ergo $cinditur à cuneo ABC facilius, & à minore potentia $cin +detur, quàm à cuneo DEF. $imiliter o$tendetur, quò magis an- +gulus ad verticem cunei erit acutus, eò facilius aliquod moueri, +ac $cindi. quod demon$trare oportebat. +<p>Po$$umus etiam hoc alia ratione o$tendere +con$iderando cuneum, vt vectibus $ibi inuicem +aduer$is mouet, $icuti $ecundo modo dictum e$t. +hoc autem prius o$tendere oportet. +<pb> +<p>Sit vectis AB, cuius fulcimentum +$it B immobile; quod autem mouen- +dum e$t, $it CDEF rectangulum ita +accommodatum, vt deor$um ex par +te FE mouerinon po$sit; & punctum +E$it immobile, & tamquam centrum; +ita vt punctum D moueatur per cir- +cumferentiam circuli DH, cuius cen- +trum $it E. & C per circumferentiam +CL, ita vt iuncta CE $it eius $emi +diameter. tangat in$uper CDEF ve +<fig> +ctem AB in C, atq; vectis AB moueat pondus CDEF, & po +tentia mouens $it in A, fulcimentum B, & pondus in C. $it +deinde alius vectis MCN, qui etiam moueat CDEF, cuius ful +cimentum immobile $it N; potentia mouens in M, & pondus +$imiliter in C; $itq; CN æqualis ip$i CB, & CM ip$i CA; al +ternatimq; moueatur pondus CDEF vectibus AB MN. dico +CDEF facilius ab eadem potentia moueri vecte AB, quàm ve +cte MN. +<p>Fiat centrum B, & interuallo BC circumferentia de$cribatur +CO. $imiliter centro N, interuallo quidem NC, circumferen +tia de$cribatur CP. Quoniam enim dum vectis AB mouet CD +EF, punctum vetis C mouetur $uper circumferentiam CO; cùm +$it B fulcimentum, & centrum immobile. $imiliter dum vectis +MN mouet CDEF, punctum C mouetur per circumferentiam +CP; dum igitur vectis AB mouet CDEF, conatur mouere pun +ctum C ponderis $uper circumferentiam CO; quod quidem effi +cere non pote$t: quia C mouetur$uper circumferentiam CL. qua +re in motu vectis AB $ecundùm partem ip$i re$pondentem, ac mo +tu ponderis $ecundum C facto, contingit repugnantia quædam; +in diuer$as enim partes mouentur. $imiliter dum vectis MN mo +uet CDEF, conatur mouere C $uper circumferentiam CP; at- +que ideo in hoc etiam vtroq; motu $imilis oritur repugnantia. +quoniam autem circumferentia CO propior e$t circumferentiæ +CL, quam $it CP; hoc e$t propior e$t motui, quem facit pun- +ctum C ponderis; ideo minor erit repugnantia inter motum vectis +<pb n=117> +AB, & motum C ponderis, quàm inter motum vec tis MN, & +motum eiu$dem C. quod etiam patet, $i intelligatur CF hori- +zonti perpendicularis, tunc enim circumferentia CP magis ten +dit deor$um, quàm CO; & CL tendit $ur$um. & ideo minor fit re +pugnantia inter vectem AB, & motum C, quàm inter vect&etilde; MN, & +motum C. $ed vbi minor repugnantia ibi maior facilitas. ergo faci +liusmouebitur CD EF vecte AB, quàm vecte MN. quod demon +$trare oportebat. +<head>COROLLARIVM.</head> +<p>Ex hoc manife$tum e$t, quò minor e$t an- +gulus à linea CF, vel CE, vel CD contentus; +hoc e$t, quò minor e$t angulus BCF, vel BCE, +vel etiam BCD, eò facilius pondus moueri. +quod quidem eodem modo o$tendetur. +<p>Quod autem propo$itum e$t, $ic demon- +$trabimus. +<p>Sint cunei ABC DE +F, & angulus ABC mi- +nor $it angulo DEF, & +AB BC DE EF $int in +ter $e $e æquales. Sint de- +inde quatuor pondera æ- +qualia GH IL NO QR +rectan gula; $intq; LM +kH in eadem recta linea: +<fig> +$imiliter RS PO in recta linea; erunt GK IM parallelæ, & NP <marg><I>Ex</I> 28 <I>primi.</I></marg> +QS parallelæ. $it IBG pars cunei intra pondera GH IL; & cu +nei pars QEN intra pondera NO QR; $intqué IB BG QE +EN inter $e $e æquales. dico pondera GH IL facilius ab eadem +<foot>Gg</foot> +<pb> +potentia moueri cuneo +ABC, quàm pondera +NO QR cuneo DEF. +<p>Diuidantur AC DF +bifariam in TV, iungan +turq; TBVE, erunt an- +guli ad T, & V recti. con +nectatur IG, quæ $ecet +BT in X. Quoniam e- +<fig> +nim IB e$t æqualis BG, & BA æqualis BC; erit IA ip$i GC +<marg>2 <I>Sexti.</I></marg> æqualis. quare vt BI ad IA, ita e$t BG ad GC. parallela igitur +<marg><I>Ex</I> 29 <I>primi.</I></marg> e$t IG ip$i AC. ac propterea anguli ad X $unt recti: $ed & an +<marg>28 <I>Primi.</I></marg> guli XG k XIM $unt recti, rectangulum enim e$t GM; quare +TB æquidi$tans e$t ip$is Gk IM. angulus igitur TBC æqua- +lis e$t angulo BGK, & TBA ip$i BIM æqualis. $imiliter demon +$trabimus angulum VEF æqualem e$$e ENP, & VED æqualem +EQS. cùm autem angulus ABC minor $it angulo DEF; erit +& angulus TBC minor VEN. quare & BGk minor ENP. +$imili modo BIM minor EQS. quoniam autem cuneus ABC +duobus mouet vectibus AB BC, quorum fulcimenta $unt in B; +& pondera in GI: $imiliter cuneus DEF duobus vectibus mouet +DE EF, quorum fulcimenta $unt in E; & pondera in N Q: per +præcedentem pondera GH IL facilius vectibus AB BC mo- +uebuntur, quàm pondera NO QR vectibus DE EF. ponde- +ra ergo GH IL facilius cuneo ABC mouebuntur, quàm ponde- +ra NO QR cuneo DEF. & quia eadem e$t ratio in mouendo, +atq, in $cindendo; facilius idcirco aliquod cuneo ABC $cindetur +quàm cuneo DEF. $imiliterq; o$tendetur, quò minor e$t angu +lus ad verticem cunei, eò facilius aliquod moueri, vel $cindi. quod +demon$trare oportebat. +<p>Præterea quæ mouentur à cuneo DEF, per maiora mouentur +$patia; quàm ea, quæ à cuneo ABC. nam vt DF $it intra QN, +& AC $it intra IG; nece$$e e$t, vt QN per $patia moueantur +maiora; $cilicet vnum dextror$um, alter $ini$tror$um, quàm IG; +cùm DF maior $it AC; dummodo totus cuneus intra pondera in- +<pb n=118> +grediatur. à potentia verò facilius eodem tempore mouetur ali- +quod per minus $patium, quàm per maius; dummodo cætera, qui- +bus fit motus, $int æqualia: $i ergo eodem tempore AC DF in +IG QN perueniãt, cùm AI CG DQ FN $int inter$e $e æqua +les; facilius à potentia mouebuntur GI cuneo ABC, quàm QN +cuneo DEF. quare facilius pondera GH IL à potentia mouebun +tur cuneo ABC, quàm pondera NO QR cuneo DEF. $imiliter- +qué o$tendetur, quò angulus ad verticem cunei minor e$$et, eò fa +cilius pondera moueri, vel $cindi. +<p>Secundum, quod efficit, vt aliquod facilius +$cindatur, e$t percu$sio; qua cuneus mouetur, & +mouet; hoc e$t percutitur, ac $cindit. +<fig> +<p>Sit cuneus A, quod $cinditur B, quod +percutit C; quod quidem, vel ex $e ip$o, +vel à regente, atq; ip$um mouente poten +tia percutit, atq; mouet. $i quidem ex +$e ip$o, Primùm quò grauius erit, eò +maior fiet percu$sio. quinetiam, quò +longior fuerit di$tantia inter AC, maior +itidem fiet percu$sio. graue enim vnum- +quodq; dum mouetur; grauitatis ma- +gis a$$umit motum, quàm quie$cens: & +adhuc magis quo longius mouetur. +<fig> +<foot>Gg 2</foot> +<pb> +<p>Si verò C ab aliqua moueatur po +tentia, vt $i per manubrium DE mo +ueatur; primùm quò grauius erit C, +deinde quò longius erit DE, eò ma- +ior fiet percu$sio. $i enim ponatur po +tentia mouens in E, erit C magis di +$tans à centro & ideo citius mouebi +tur. vt in quæ$tionibus Mechanicis +latè mon$trat Ari$toteles; nec non +ex iis, quæ in tractatu de libra di- +cta fuere, patere pote$t, quò magis +<fig> +pondus Cà centro di$tat, eò grauius reddi. quod ip$um etiam va +lidiori pellet impul$u virtute in E potentiore exi$tente. +<p>Hoc verò $ecundùm e$t, quod efficit, vt hoc in$trumento ma- +gna moueantur, $cindanturq; pondera. percu$sio enim vis e$t ua +lidi$sima, vt ex decimanona quæ$tionū Mechanicarum Ari$totelis +patet. $i enim $upra cuneum maximum imponatur onus; tunc cu- +neus nihil ferè efficiet, præ$ertim ictus comparatione. quod $i ad +huc ip$i cuneo vectem, vel cochleam, vel quoduis aliud huiu$mo +di aptetur in$trumentum ad cuneum ponderi intimius propellen- +dum, nullius ferè momenti præ ictu continget effectus. cuius qui- +<pb n=119> +dem rei inditio e$$e pote$t, $i fuerit +corpus A lapideũ, ex quo aliquam eius +partem detrahere qui$piam voluerit, pu +tá partem anguli B; tunc malleo ferreo +ab$q; alio in$trumento percutiendo in B, +facilè aliquam anguli B partem franget. +quod quidem nullo alio in$trumento +percu$sionis munere carente, ni$i maxi +ma cùm difficultate efficere poterit; $iue +<fig> +fuerit vectis, $iue cochlea, $iue quoduis aliud huiu$modi. quare +percu$sio in cau$a e$t, quo magna $cindantur pondera. cùm autem +$ola percu$sio tantam vim habeat, $i ei aliquod adiiciamus in$tru +mentum ad mouendum, $cindendumq; accomodatum, admiran +da profectò videbimus. In$trumentum huiu$ +modi cuneus e$t, in quo duo (quantum ad ip- +$ius formam attinet) con$ideranda occurrunt. +Alterum e$t, cuneum ad $u$cipiendam, $u$tinen +damq; percu$sionem apti$simum e$$e; alterum +e$t quòd propter eius in altera parte $ubtilita- +tem facilè intra corpora ingreditur, vt manife +$tè patet. Cuneus ergo cum percu$sione ip$ius +efficit, vt in mouendis, $cindendi$q; ponderi- +bus ferè miracula cernamus. +<fig> +<pb> +<p>Ad huiu$modi facultatis in$trumentum, ea +quoquè omnia commodè referri po$$unt, quæ +percu$sione, $iue impul$u incidunt, diuidunt, +perforant, huiu$modiq; alia obeunt munera. vt +en$es, gladii, mucrones, $ecures, & $imilia. $erra +quoq; ad hoc reducetur; dentes enim percu- +tiunt, cuneiq; in$tar exi$tunt. +<pb n=120> +<head>DE COCHLEA.</head> +<p>Pappvs in eodem octauo libro +multa pertractans de cochlea, do +cet quomodo conficienda $it; & +quomodo magna huiu$modi in- +$trumento moueantnr pondera; +nec non alia theoremata ad eius +cognitionem valdè vtilia. Quoniam autem in- +ter cætera pollicetur, $e o$tendere velle, co- +chleam nihil aliud e$$e præter a$$umptum cu- +neum per cu$sionis expertem vecte motionem +facientem; hoc autem in ip$o de$ideratur; pro- +pterea idip$um o$tendere conabimur, nec non +eiu$dem cochleæ ad vectem, libramq; reductio- +nem; vt ip$ius tandem completa habeatur co- +gnitio. +<pb> +<fig> +<p>Sit cuneus ABC, qui circa cylindrum DE circumuoluatur:$itq; +IGH cuneus circa cylindrum reuolutus, cuius vertex $it I. $it de- +inde cylindrus cum circumpo$ito cuneo ita accomodatus, vt ab$q; +vllo impedim&etilde;to manubrio kF eius axi annexo circumuerti po$sit. +$itq; LMNO, quod $cindendum e$t; quod etiam ex parte MN +$it immobile: vt in iis, quæ $cinduntur, fieri $olet: & $it vertex +I intra RS. circumuertatur kF, & perueniat ad kP; dum autem kF +circumuertitur, circumuertitur etiam totus cylindrus DE, & cu- +neus IGH: quare dum KF erit in kP, vertex I non erit amplius +intra RS, $ed cuneipars alia, vt TV: $ed TV maior e$t, quàm +RS; $emper enim pars cunei, quæ magis à vertice di$tat, maior +e$tea, quæ ip$i e$t propinquior: vt igitur TV $it intra RS, opor- +tet, vt R cedat, moueaturq; ver$us X, & S ver$us Z, vt faciunt +ea, quæ $cinduntur. totum ergo LMNO $cindetur. $imiliter +què demon$trabimus, dum manubrium kP erit in kQ, tunc GH +e$$e intra RS: & vt GH $it intra RS, nece$$e e$t, vt R $it in X, +& S in Z; ita vt <I>X</I>Z $it æqualis GH; $emperq; LMNO amplius +$cindetur. $icigitur patet, dum kF circumuertitur, $emper R moue +ri ver$us X, atq; S ver$us Z: & R $emper $uper ITG moueri, S au +tem$uper IVH, hoc e$t $uper latera cunei circa cylindrum circum +uoluti. +<pb n=121> +<head>PROPOSIO I.</head> +<p>Cuneus hoc modocirca cylindrum accommo- +datus, nihil e$t aliud; ni$i cochlea duas habenshe +lices in vnic o punctoinuicem coniunctas. +<fig> +<p>Sit cuneus ABC; & AB +ip$i BC æqualis. diuidatur +AC bifariam in D, iunga +turq; BD; erit BD ip$i AC +perpendicularis; & AD +ip$i DC æqualis, triangu- +lumq; ABD triangulo C +BD æquale. fiant deinde +triangula rectangula EFG +HIk non $olum inter $e, +verùm etiam vtriq; ADB +& CDB æqualia. $itq; cy +lindrus LMNO, cuius perimeter $it æqualis vtriq; FG kI. & +LMNO $it parallelogrammum per axem. fiatq; MP æqualis +FE; & PN æqualis HI. ponaturq; HI in NP, circumuolua- +turq; triangulum HIk circa cylindrum; & $ecundùm kH helix +de$cribatur NQP, vt Pappus quoq; docet in octauo libro propo +$itione vige$ima quarta. $imiliter ponatur EF in MP, circum- +uoluaturq; triangulum EFG circa cylindrum; de$cribaturq; per +EG helix PRM. cùm itaq; PMPN $int æquales EFHI, erit +MN æqualis ip$i AC, & cùm helices PRM PQN $int æquales +lineis EGHk; helices igiturip$is ABBC æquales erunt. cu- +neus ergo ABC totus circumuolutus erit circa cylindrum LMNO. +<foot>Hh</foot> +<pb> +incidantur deinde helices, +vt docet Pappus $ecundùm +latitudinem cunei; & hoc +modo cuneus vná cum cy +lindro nihil aliud erit, +quàm cochlea duas habens +helices PRMPQN cir +ca cylindrum LN in vnico +puncto P inuicem coniun +ctas. quod demon$trare o- +portebat. +<fig> +<head>COROLLARIVM.</head> +<p>Hinc manife$tum e$$e pote$t, quomodo heli- +ces in ip$a cochlea de$cribi po$sint. +<p>Quomodo autem pondera $uper helices co- +chleæ moueantur, o$tendamus. +<fig> +<p>Sit (veluti prius) cuneus IGH circa cylindrum DE reuolutus, +cuius vertex $it I. apteturq; cylindrus ita, vt liberè vna cum $uo +axe circumuertatur. $intq; duo pondera MN cuiu$cunq; figuræ +voluerimus, ita tamen aptata, vt moueri non po$sint, ni$i $uper +<pb n=122> +rectam lineam LO, quæ axi cylindri $it æquidi$tans. $intq; MN +iuxta cunei verticem I. Circumuertatur KF, & perueniat ad kP: +dum autem kF erit in kP, tunc TV erit intra pondera MN; $i- +cut $upra diximus. M igitur ver$us L mouebitur, & N ver$us O. +$imiliter o$tendetur, dum kP erit in KQ, tunc GH e$$e intra pon- +dera MN; & M erit in X, & N in Z; ita vt XZ $it æqualis GH. +quare dum kF circumuertitur, $emper pondus N mouetur ver$us +O, & $uper helicem IRS; M verò $uper aliam helicem. +<fig> +<p>Similiter$i cochlea plures habeat hæ- +lices, vt in $ecunda figura, pondus A, +dum cochlea circumuertitur, $emper $u- +per helices BCDEFG mouebitur; +dummodo pondus A aptetur ita vt mo- +uerinon po$sit, ni$i $uper rectam HI ip$i +cylindro æquidi$tantem. eodem enim +modo, quo $uper primam mouetur heli +cem, mouetur etiam $upra $ecundam, +& tertiam, & cætera. quotcunq; enim +fuerint helices, nihil aliud $unt, quàm +latus cunei circa idem cylindrum iterum +atq; iterum circumuolutum. & $iue co- +chlea fuerit horizonti perpendicularis, +$iue horizonti æquidi$tans, vel alio mo- +do collocata, nihil refert: $emper enim +cadem erit ratio. +<foot>Hh 2</foot> +<pb> +<fig> +<p>Si verò (vt in tertia figura) $upra cochleam imponatur aliquod, +vt B, quod quidem tylum vocant, ita accommodatum, vt inferio +ri parte helices habeat concauas ip$i cochleæ appo$itè admodum +congruentes; per$picuum $atis e$$e poterit, ip$um B, dum coclhea +circumuertitur, $uper helices cochleæ eo pror$us modo moueri; +quo pondus iuxta primam figurã mouebatur: dummodo tylum ap- +tetur, vt docet Pappus in octauo libro; ita $cilicet vt tantùm an- +tè, retrouè axi cylindri æquidi$tans moueatur. +<fig> +<p>Et $i loco tyli, quod helices habet concauas in parte inferiori, con +$tituatur, vt in quarta figura, cylindrus concauus vt D, & in eius +concaua $uperficie de$cribantur helices, in cidanturq; ita, vt aptè +<pb n=123> +cùm cochlea congruant (eodem enim modo de$cribentur helices +in $uper$icie concatia cylindri, $icuti fit in conuexa) $i deiade co- +chlea in $uis polis firmetur, $cilicet in $uo axe, cir cumuertaturq;; +patet D ad motum circumuer$ionis cochleæ quemmadmodum ty +lum moueri. nec non $i D in EF firmetur, ita vt immobilis ma +neat, dum circumuertitur cochlea; $uper helices cylindri D, ad +motum $uæ circumuer$ionis dextror$um, vel $ini$tror$um factæ; +tùm in anteriorem, tùm in po$teriorem partem mouebitur. cylin- +drus autem D hoc modo accõmodatus vulgò mater, $iue cochleæ +fæmina nuncupatur. +<fig> +<p>Si autem cochleæ (vt in quinta figura) tympanum C dentibus +obliquis dentatum apponatur, vt docet Pappus in eodem octauo li- +bro; vel etiam rectis; ita tamen con$tructis, vt facilècum cochlea +conueniant: $imiliter manife$tum e$t ad motum cochleæ circumuer +ti etiam tympanum C. eodemq; modo tympani dentes $uper he +lices cochleæ moueri. & hæc dicitur cochlea infinita, quia & co +chlea, & tympanum dum circumuertuntur, $emper eodem modo +$e $e habent. +<pb> +<p>Hæc diximus, vt manife$tum $it cochleam in mouendo pondere +cunei munere ab$q; percu$sione fungi. Illud enim remouet à loco, +vbi erat; quemadmodum cuneus remouetea, quæ mouet, ac $cindit. +omnia enim hæc à cochlea mouentur, $icuti pondus A in $ecun- +da figura, & M in prima. +<p>Quoniam autem duplici ratione mouentem cuneum con$iderari +po$$e o$tendimus, videlicet vt mouet vectibus, vel vt e$t planum +horizonti inclinatum, dupliciter quoq; cochleam con$iderabimus; +<fig> +& primùm vt vectibus mouet, vt in prima figura circumuertatur +kF, & perueniat in KP; tunc, $icut dictum e$t, TV erit intra pon- +dera MN. & $icut con$ideramus vectes in cuneo, eodem quoq; +modo eos con$iderare po$$umus in cochlea hoc pacto. erit $cilicet +IVH vectis, cuius fulcimentum I, & pondus in V. $imiliter ITG ve +ctis, cuius fulcimentum I, & pondus in T. potentiæ verò mo- +uentes GH e$$e deberent; $ed $icuti in cuneo potentia mouens +e$t percu$sio, quæ mouet cuneum; idcirco erit, ubi potentia mo- +uet cochleam; $cilicet in P manubrio kP. cochlea enim $ine per- +cu$sione mouetur. Hæc autem con$ideratio propter vectes infle- +xos impropria for$itan e$$e videbitur; Quocirca $i id, quod moue +tur à cochlea, $upra planum horizonti inclinatum moueri intelli +gatur; erit quidem huiu$modi con$ideratio (cùm ip$i quoq; cuneo +conueniat) figuræ ip$ius cochleæ magis conformis. +<pb n=124> +<head>PROPOSITIO II.</head> +<p>Si fuerit cochlea AB helices habens æquales +CDEFG. Dico has nihil aliud e$$e præter pla +num horizonti inclinatum circa cylindrum re- +uolutum. +<fig> +<p>Sit cochlea AB horizonti perpendicularis duas habens helices +CDEFG. exponatur HI æqualis GC, quæ bifariam diui- +datur in k; erunt Hk kI non $olum inter $e $e, verùm etiam +ip$is GE EC æquales, & ip$i HI ad rectos angulos ducatur LI; +& per LI intelligatur planum horizonti æquidi$tans; $itq; LI du +pla perimetro cylindri AB, quæ bifariam diuidatur in M; erunt +IM ML cylindri perimetro æquales. connectatur HL, & à pun +cto M ducatur MN ip$i HI æquidi$tans, coniungaturq; KN. quo +niam enim $imilia $unt inter $e $e triangula HILNML, cùm <marg><I>Ex</I> 4. <I>$exti.</I></marg> +<pb> +<fig> +NM $it æquidi$tans HI; erit LI ad IH, vt LM ad MN: & +permutando vt IL ad LM; ita HI ad NM. $ed IL dupla e$t ip$ius +LM; ergo & HI dupla erit MN. $ed e$t etiam dupla ip$ius kI, +quare kI NM inter $e æquales erunt. & quoniam anguli ad MI +$unt recti; erit kM parallelogrammum rectangulum, & kN æqua +lis erit IM. quare KN perimetro cylindri AB æqualis erit. pona +tur itaq; HI in GC, erit Hk in GE. circumuoluatur deinde trian +gulum HkN circa cylindrum AB, de$cribet HN helicen GFE; +cùm NK perimetro cylindri $it æqualis; & punctum N erit in E; +& MN in CE. & quia ML æqualis e$t perimetro cylindri; cir- +cumuoluatur rur$us triangulum NML circa cylindrum AB, NL +de$cribet helicen EDC. quare tota LH duas de$cribet helices +CDEFG. patet igitur has helices cochleæ nihil aliud e$$e, ni- +$i planum horizonti inclinatum; cuius inclinatio e$t angulus HLI +circa cylindrum circumuolutum, $upra quod pondus mouctur. +quod demon$trare oportebat. +<p>Quomodo autem hoc ad libram reducatur mnnife$tum e$t ex +nona octaui libri eiu$dem Pappi. +<pb n=125> +<p>Po$tquam vidimus quomodo pondera huiu$modi moueantur +in$trumento; nunc con$iderandum e$t, quæ nam $int ea, quæ effi +ciunt, vt pondera facilè moueantur: hæc autem duo $unt. +<p>Primùm quidem, quod efficit, vt facilè pon- +dus moueatur, quod etiam ad e$$entiam cochleæ +magis pertinere videtur; e$t helix circa co- +chleam. vt $i circa datam cochleam AB duæ +$int helices inæquales CDA EFG, $itq; AC mi +nor EG. Dico idem pondus facilius $uper heli +cen CDA moueri, quàm $uper EFG. +<fig> +<p>Compleatur cuneus +ADCHI, hoc e$t de- +$cribatur helix CHI +æqualis CDA, & ver- +tex cunei $it C. $imili +ter compleatur cuneus +GFEKL, cuius ver- +tex E. exponatur de- +inderecta linea MN, +quæ $it ip$i AC æqua- +lis, cui ad rectos angu +los ducatur NP, quæ $it +æqualis perimetro cy- +lindri AB: & conne- <marg>1 <I>Huius.</I></marg> +ctatur PM; erit PM, +per ea, quæ dicta $unt, +ip$i CDA æqualis. +producatur deinde M +N in O, fiatq; ON æ- +qualis MN, coniunga +turq; OP; erit OPM cuneus cuneo ADCHI æqualis. $imili- <marg>1 <I>Huius.</I></marg> +<foot>Ii</foot> +<pb> +terq; exponatur cu- +neus STQ æqualis cu +neo GFEkL; erit TR +ip$i PN, & perime- +tro cylindri æqualis; & +QR æqualis GE. +cùm autem GE ma- +ior $it AC; erit & RQ +maior MN. $ecetur +RQ in V; fiatq; RV +ip$i MN æqualis, & +coniungatur TV; erit +triangulum TVR tri- +angulo MPN æquale: +duæ enim TR RV +duabus PN NM $unt +æquales, & anguli, +quos continent, $unt +æquales, nemperecti; +<marg>4 <I>Primi.</I></marg> angulus igitur RTV +<fig> +angulo NPM æqualis erit. quare angulus MPN minor e$t angu- +lo QTR; & horum dupli, angulus $cilicet MPO minor angulo +QTS. quoniam autem cuneus, qui angulum ad verticem mino +rem habet, facilius mouet, ac $cindit, quàm qui habet maiorem; +cuneus ergo MPO facilius mouebit, quàm QTS. facilius igitur +pondus à cuneo ADCHI mouebitur, quàm à cuneo GFEkL. +pondus ergo $uper helicen CDA facilius mouebitur, quàm $uper +EFG. eodemq; modo o$tendetur, quò minor erit AC, eò faci- +lius pondus moueri. quod demon$trare oportebat. +<pb n=126> +<fig> +<head>ALITER.</head> +<p>Sit data cochlea AB duas habens helices æquales CDEFG; $it +deinde alius cylindrus <G>ab</G> ip$i AB æqualis, in quo $ummatur OP ip +$i CG æqualis; diuidaturq; OP in tres partes æquales OR RT +TP, & tres de$cribantur helices OQRSTVP; erit vnaquæq; OR RT +TP minor CE, & EG: tertia enim pars minor e$t dimidia. dico +idem pondus facilius $uper helices OQRSTVP moueri, quàm $u +per CDEFG. exponatur HIL triangulum orthogonium, ita vt +HI $it ip$i CG æqualis, & IL duplo perimetri cylindri AB æqua +lis, & per <I>L</I>I intelligatur planum horizonti æqui$tans; erit H<I>L</I> +æqualis CDEFG; & H<I>L</I>I inclinationis angulus erit. exponatur <marg><I>Ex</I> 2 <I>huius.</I></marg> +$imiliter <I>X</I>YZ triangulum orthogonium, ita vt XZ ip$i OP $it æ- +qualis, quæ etiam æqualis erit CG, & HI; $itq; ZY cylindri pe- +rimetro tripla, erit XY æqualis OQRSTVP. diuidatur ZY in +<foot>Ii 2</foot> +<pb> +<fig> +tres partes æquales in <G>g</G><35>; erit vnàquæq; Z <G>g g</G> <35> <35> Y perimetro cy +lindri <G>ab</G> æqualis, quæ etiã perimetro cylindri AB æquales erunt; & +per con$equens ip$is IM, & ML. connectatur X<35>. & quoniam +duæ HI IL duabus XZ Z<35> $unt æquales, & angulus HIL re- +ctus æqualis e$t angulo XZ<35> recto; erit triangulum HIL trian- +gulo XZ<35> æquale; & angulus HLI angulo X<35>Z æqualis; & +<marg>21 <I>Primi.</I></marg> X<35> ip$i HL æqualis. $ed quoniam angulus X<35>Z maior e$t angu +lo <I>X</I>YZ; erit angulus HLI angulo <I>X</I>YZ maior. ac propterea planũ +HL magis horizonti inclinat, quàm XY. quare id&etilde; põdus à minore +potentia $uper planũ XY, quàm $uper planũ HL mouebitur; vt faci +lè elicitur ex ead&etilde; nona Pappi. cùm aut&etilde; helices OQRSTVP nihil +aliud $int, quàm planũ XY horizonti inclinatũ in angulo XYZ cir +ca cylindrum <G>ab</G> circumuolutum; & helices CDEFG nihil $unt +aliud, quàm planum HL horizonti inclinatum in angulo HLI cir +ca cylindrum AB circumuolutum; facilius ergo pondus $uper he- +<pb n=127> +lices OQRSTVP mouebitur, quàm $uper helices CDEFG. +<p>Si autem OP diuidatur in quatuor partes æquales, de$cribantur- +què circa <G>ab</G> quatuor helices; adhuc facilius pondus mouebitur $u- +per has quatuor, quàm $uper tres OQRSTVP. & quò plures +erunt helices, eò facilius pondus mouebitur. quod demon$trare +oportebat. +<p>Tempus verò huius motus facilè patet, helices enim CDEFG +$unt æquales HL; helices verò OQRSTVP $unt æquales +XY: $ed XY maior e$t HL; ideo fiat Y<G>e</G> ip$i HL æqualis: $i igi <marg><I>Ex</I> 18 <I>Primi.</I></marg> +tur duo pondera $uper lineas LHY<I>X</I> moueantur, & veloci- +tates motuum $int æquales, citius pertran$ibit quod mouetur $uper +LH, quàm quod $uper Y<I>X</I> mouetur. in eodem enim tempore erunt +in H<G>e</G>. quare tempus eius, quod mouetur $uper helices OQRS +TVP, maius erit eo, quod e$t men$ura eius, quod mouetur $uper C +DEFG. & quò plures erunt helices, eò maius erit tempus. cùm au +tem datæ $int lineæ HI<I>XZ</I>, & IL<I>Z</I>Y: datæ enim $unt cochleæ AB +<G>ab</G>; & anguli ad IZ recti dati; crit HL data. $imiliter & <I>X</I>Y data <marg><I>Ex</I> 48 <I>primi.</I></marg> +erit. quare & harum proportio data erit. temporum igitur propor <marg>1 <I>Datorum & Ex $exta primi Ioannis de Monte rego de triangulis.</I></marg> +tio eorum, quæ $uper helices mouentur data erit. +<p>Alterum, quod efficit, vt pondera facilè mo- +ueantur, $unt $cytalæ, aut manubria, quibus co- +chlea circumuertitur. +<pb> +<fig> +<p>Sit cochlea habens helices ABCD, quæ etiam $cytalas ha- +beat EFGH foraminibus cochleæ impo$itas. $it infra helices +cylindrus MN, in quo non $int inci$æ helices; & circa cylindrum +funis circumuoluatur trahens pondus O, quod ad motum $cytala +rum EFGH moueatur, ac $i ergatæ in$trumento traheretur. du +catur (per ea quæ prius dicta $unt de axe in peritrochio) Lk $cy +talæ æqualis, axiq; cylindri perpendicularis, eumq; $ecans in I: +patet quò longior $it LI, & quò breuior $it Ik, pondus O facilius +moueri. e$t autem animaduertendum, quòd dum cochlea mouet +pondus, $i mente concipiatur, quòd loco trahendi pondus O fune, +pondus $uper helices ABCD moueat; pondus quoq; in k, quod +$it R, $uper helices etiam facilius mouebit. e$t enim LK vectis, cuius +<marg>2 <I>Cor.</I></marg> fulcimentum e$t I: cùm circa axem cochlea circumuertatur; po- +<marg>1 <I>huius de vecte.</I></marg> tentia mouens in L; & pondus in k. facilius enim mouetur pon +dus vecte Lk, quàm $ine vecte; quia LI $emper maior e$t Ik. +<pb n=128> +Intelligatur itaq; manente cochlea pondus R moueri à potentia +in L vecte Lk $uper helicen Ck: vel quod idem e$t, $icut etiam +$upra diximus, $i pondus R aptetur ita, vt moueri non po$sit, ni +$i $uper rectam PQ axi cylindri æquidi$tantem; circumuertaturq; +cochlea, potentia exi$tente in L; mouebitur pondus R $uper he- +licen CD eodem modo, ac $i à vecte Lk moueretur. idem enim +e$t, $iue pondus manente cochlea $uper helicen moueatur; $iue he +lix circumuertatur, ita vt pondus $uper ip$am moueatur. cùm +ab eadem potentia in L moueatur. $imiliter o$tendetur, quò lon. +gior $it LI, adhuc pondus facilius $emper moueri. à minori enim <marg><I>Ex</I> 1 <I>huius de vecte.</I></marg> +potentia moueretur. quod erat propo$itum. +<p>Tempus quoq; huius motus manife$tum e$t, quò enim longior +e$t LI, eò tempus maius erit: dummodo potentiæ motuum $int +in yelocitate æquales; $icuti dictum e$t de axe in peritrochio. +<head>COROLLARIVM.</head> +<p>Ex his manife$tum e$t. quò plures $unt heli- +ces; & quò longiores $unt $eytalæ, $iue manu- +bria, pondus ip$um facilius quidem, tardius au +tem moueri. +<p>Virtus deniq; mouentis, atq; in $cytalis con- +$titutæ potentiæ, hinc manife$ta fiet. +<pb> +<fig> +<p>Sit datum A centum; $it planum horizonti inclinatum CD in +angulo DCE. inueniatur ex eadem nona Pappi quanta vi pondus +A $uper CD mouetur; quæ $it decem. exponatur cochlea LM +helices habens GHIK &c. in angulo ECD; per ea, quæ dicta +$unt, potentia decem pondus A $uper helices GHIk mouebit. $i +autem hac cochlea volumus pondus A mouere, & potentia mo- +uens $it vt duo. ducatur NP axi cochleæ perpendicularis, axem +$ecans in O; fiatq; PO ad ON, vt vnum ad quinq; hoc e$t duo ad +<marg><I>Ex</I> 1 <I>huius de vecte.</I></marg> decem. Quoniam enim potentia mouens pondus A in P, ide$t +$uper helices e$t vt decem, cui potentiæ re$i$tit, & æqualis e$t po +tentia in N vt duo; e$t enim NP vectis, cuius fulcimentum e$t +O. potentia ergo vt duo in N pondus A $uper helices cochleæ +mouebit. efficiantur igitur $cytalæ, $iue manubria, quæ v$q; ad N +<pb n=129> +perueniant; manife$tum e$t, potentiam vt duo in his pondus cen- +tum cochlea <I>L</I>M mouere. +<p>Si igitur $it cochlea QR helices habens in angulo DCE, & cir- +ca ip$am $it eius mater S, quæ $i pependerit centum, adiiciatur ST +manubrium quoddam, $iue $cytala; ita vt T in eadem proportio- +ne di$tet ab axe cylindri, vt NOP; patet potentiam vt duo in T +mouere S $uper helices cochleæ. nihil enim aliud e$t S, ni$i pon- +dus $uper helices cochleæ motum. $imiliter $i S $it immobilis, cir- +cumuertaturq; cochlea manubrio, $iue $cytala QX in eadem pro- +portione con$ecta; fueritq; cochlea centum pondo (quòd qui- +dem, vel ex $e ip$a, vel cum pondere V cochleæ appen$o, vel cum +pondere Y cochleæ $uper impo$ito centum pependerit) manife- +$tum e$t potentiam vt duo in X mouere co chleam QR $uper he +lices intra matricem cochleæ inci$as. atq; ita in aliis, quæ cochleæ +in$trumento mouentur; proportionem potentiæ ad pondus inue- +niemus. +<head>COROLLARIVM.</head> +<p>Ex hoc manife$tum e$t, quomodo datum pon +dus à data potentia cochlea moueatur. +<foot>Kk</foot> +<pb> +<fig> +<p>Illud quoq; præterea hoc loco ob$eruandum occurrit; quò plu- +res erunt matricis cochleæ helices, eò minus in pondere mouen- +do cochleam pati. $i enim matrix vnicam duntaxat helicen po$$e +derit, tunc pondus vt centrum à $ola cochleæ $u$tinebitur helice; +$i verò plures, in plures quoque, ac totidem cochleæ heli- +ces ponderis grauitas di$tribuetur; vt $i quatuor contineat helices, +tunc quatuor vici$sim cochleæ helices vniuer$o ponderi $u$tin endo +incumbent; $iquidem vnaquæquè quartam totius ponderis portio- +nem $u$tentabit. quòd $i adhuc plures contineat helices, ponderis +quoq; totius in plures, atque ideo minores portiones fiet di$tri- +butio. +<pb n=130> +<p>O$ten$um e$t igitur pondus à cochlea moueri +tamquam à cuneo percu$sionis experte: loco e- +nim percu$sionis mouet vecte, hoc e$t $cytala, $i- +ue manubrio. +<p>His demon$tratis liquet, quomodo datũ pon- +dus à data potentia moueri po$sit. quòd $i vecte +hoc a$$equi volumus; po$$umus & dato vecte da +tum pondus data potentia mouere. quod quidem +in nullis ex aliis fieri po$$e ab$olutè contin git: $iue +$it cochlea, $iue axis in peritrochio, $iue trochlea. +non enim datis trochleis, neq; dato axe in peri- +trochio, neq; data cochlea, datum pondus à data +potentia moueri pote$t, cùm potentia in his $em- +per $it determinata: $i igitur pot&etilde;tia, quæ pondus +mouere debeat, hac minor $it data, nun quam pon +dus mouebit. po$$umus tamen dato axe, & tympa- +no ab$q; $cytalis datum pondus data pot&etilde;tia mo- +uere; cùm $cytalas con$truere po$simus, ita vt $e +midiameter tympani dati vná cum longitudine +$cytalæ ad axis $emidiametrum datã habeat pro- +portionem. quod idem cochleæ contingere po +te$t, $cilicet datum pondus data cochlea $ine ma +nubrio, vel $cytala, data potentia mouere. co- +gnita enim potentia, quæ pondus $uper helices +moueat, po$$umus manubrium, $iue $cytalam ita +<foot>Kk 2</foot> +<pb> +con$truere, vt data potentia in $cytala eandem +vim haheat, quam potentia pondus $uper helices +mouens cùm autem hoc datis trochleis nullo mo +do fieri po$sit. datum tamen pondus data poten- +tia trochleis infinitis modis mouere po$$umus. +datum verò pondus data potentia cunei in$tru- +mento mouere, hoc minimè fieri po$$e clarum e$ +$e videtur; non enim data potentia datum pon- +dus $uper planum horizonti inclinatum mouere +pote$t, neq; datum pondus à data potentia moue +bitur vectibus $ibi inuic&etilde; aduer$is, quemmadmo- +dum in cuneo in$unt; cùm in vectibus cunei pro- +pria, veraq; vectis proportio $eruari non po$sit. +vectium enim fulcimenta non $unt immobilia, +cùm totus cuneus moueatur. +<p>Poterit deinde quis $truere machinas, atq; eas +ex pluribus componere; vt ex trochleis, & $uc- +culis, vel ergatis, pluribu$uè dentatis tympanis, +uel quocunq; alio modo; & ex ijs, quæ diximus; fa +cilè inter pondus, & potentiam proportionem +inuenire. +<head>FINIS.</head> +<pb> +<head>Locorum aliquot, quæ inter imprimendum deprauata +$unt, emendatior lectio.</head> +<p><I>Pagina</I> 2, <I>b, ver$u</I> 19, <I>AEBD</I> ¶ 5, <I>a</I>, 6, <I>ip$i</I> ¶ 7, <I>b</I>, 9, <I>ODH</I> ¶ 9, <I>b</I>, 19, <I>cõting it</I> +¶ 15, <I>a</I>, 24, <I>grauius</I> ¶ 16, <I>b</I>, 30, <I>recto</I> ¶ 21, <I>a</I>, 26, <I>$u$tineatur</I> ¶ 23, <I>b</I>, 8, <I>BD DC</I> ¶ 31, <I>b</I>, +9, <I>totum GK</I> ¶ 34, <I>a</I>, 24, <I>pondera FG</I> ¶ 38, <I>b</I>, 27, <I>maior AF</I> ¶ 39, <I>b</I>, 24 <I>AB in D</I> ¶ 40, +<I>a</I>, 1, <I>ad BD</I> ¶ 44, <I>b</I>, 24, <I>graui</I> ¶ 48, <I>a</I>, 7, <I>ip$i AD</I> ¶ 50, <I>b</I>, 12 <I>pondus</I> ¶ 54, <I>a</I>, 7, <I>quàm</I> ¶ 61, +<I>a</I>, 6, <I>præterquam in E</I> ¶ 65, <I>a</I>, 33, <I>quam</I> ¶ 81, <I>a</I>, 1, <I>ligato</I> ¶ 85, <I>b</I>, 22, <I>vtriq;</I> ¶ 97, <I>a</I>, 14, +<I>dextror$um</I> ¶ 98, <I>b</I>, 20, <I>Hic</I> ¶ 110, <I>b, in po$till. Lemma in primã</I> ¶ 122, <I>a</I>, 8, <I>&</I> 17, <I>helicen</I> +¶ 123, <I>b</I>, 15, <I>ventes in GH</I> ¶ 124, <I>b</I>, 17, <I>manife$tum</I> ¶ 127, <I>a, in po$til. Monteregio</I> +¶ 127, <I>b, in po$til. ex Cor.</I> +<head>REGISTRVM.</head> +<head><12><12><12> ABCDEFGHIKLMNOPQRSTVX +YZ, Aa Bb Cc Dd Ee Ff Gg Hh Ii Kk.</head> +<head>Omnes duerni.</head> +<head>PISAVRI</head> +<head>Apud Hieronymum Concordiam.</head> +<head>M. D. LXXVII.</head>