Mercurial > hg > mpdl-xml-content
view texts/XML/diverse/de/Einst_Zurel_de_1905.xml @ 6:22d6a63640c6
moved texts from SVN https://it-dev.mpiwg-berlin.mpg.de/svn/mpdl-project-content/trunk/texts/eXist/
author | casties |
---|---|
date | Fri, 07 Dec 2012 17:05:22 +0100 |
parents | |
children |
line wrap: on
line source
<?xml version="1.0" encoding="utf-8" ?> <!--http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-transitional.dtd--> <html> <head><title></title> <meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=iso-8859-1" /> <meta name="generator" content="TeX4ht (http://www.cse.ohio-state.edu/~gurari/TeX4ht/mn.html)" /> <meta name="originator" content="TeX4ht (http://www.cse.ohio-state.edu/~gurari/TeX4ht/mn.html)" /> <!-- xhtml,html --> <meta name="src" content="Einst_Zurel_de_1905.tex" /> <meta name="date" content="2005-03-10 17:42:00" /> <link rel="stylesheet" type="text/css" href="Einst_Zurel_de_1905.css" /> </head><body > <!--l. 13--><p class="noindent"><pb/></p> <div class="center" > <!--l. 14--><p class="noindent"> </p><!--l. 15--><p class="noindent"><span class="cmr-12x-x-120">3. </span><span class="cmbxti-10x-x-144">Zur Elektrodynamik bewegter K</span><span class="cmbxti-10x-x-144">örper; </span> <br/><span class="cmbxti-10x-x-144">von A.</span> <span class="cmbxti-10x-x-144">Einstein.</span></p></div> <div class="center" > <!--l. 19--><p class="noindent"> </p><!--l. 20--><p class="noindent">--------</p></div> <!--l. 23--><p class="indent"> Daß die Elektrodynamik Maxwells -- wie dieselbe gengen-<br/>wärtig aufgefaßt zu werden pflegt -- in ihrer Anwendung auf <br/>bewegte Körper zu Asymmetrien führt, welche den Phänomenen <br/>nicht anzuhaften scheinen, ist bekannt. Man denke z. B. an <br/>die elektrodynamische Wechselwirkung zwischen einem Mag-<br/>neten und einem Leiter. Das beobachtbare Phänomen hängt <br/>hier nur ab von der Relativbewegung von Leiter und Magnet, <br/>während nach der üblichen Auffassung die beiden Fälle, daß <br/>der eine oder der andere dieser Körper der bewegte sei, streng <br/>voneinander zu trennen sind. Bewegt sich nämlich der Magnet <br/>und ruht der Leiter, so entsteht in der Umgebung des Magneten <br/>ein elektrisches Feld von gewissem Energiewerte, welches an <br/>den Orten, wo sich Teile des Leiters befinden, einen Strom <br/>erzeugt. Ruht aber der Magnet und bewegt sich der Leiter, <br/>so entsteht in der Umgebung des Magneten kein elektrisches <br/>Feld, dagegen im Leiter eine elektromotorische Kraft, welcher <br/>an sich keine Energie entspricht, die aber -- Gleichheit der <br/>Relativbewegung bei den beiden ins Auge gefaßten Fällen <br/>vorausgesetzt -- zu elektrischen Strömen von derselben Größe <br/>und demselben Verlaufe Veranlassung gibt, wie im ersten Falle <br/>die elektrischen Kräfte. </p><!--l. 48--><p class="indent"> Beispiele ähnlicher Art, sowie die mißlungenen Versuche, <br/>eine Bewegung der Erde relativ zum ,,Lichtmedium“ zu kon-<br/>statieren, führen zu der Vermutung, daß dem Begriffe der <br/>absoluten Ruhe nicht nur in der Mechanik, sondern auch in <br/>der Elektrodynamik keine Eigenschaften der Erscheinungen ent-<br/>sprechen, sondern daß vielmehr für alle Koordinatensysteme, <br/>für welche die mechanischen Gleichungen gelten, auch die <br/>gleichen elektrodynamischen und optischen Gesetze gelten, wie <br/>dies für die Größen erster Ordnung bereits erwiesen ist. Wir <br/>wollen diese Vermutung (deren Inhalt im folgenden ,,Prinzip <br/>der Relativität“ genannt werden wird) zur Voraussetzung er-<br/>heben und außerdem die mit ihm nur scheinbar unverträgliche <br/><pb/> </p><!--l. 66--><p class="indent"> </p><!--l. 67--><p class="noindent">Voraussetzung einführen, daß sich das Licht im leeren Raume <br/>stets mit einer bestimmten, vom Bewegungszustande des emit-<br/>tierenden Körpers unabhängigen Geschwindigkeit <span class="cmmi-12">V </span>fortpflanze. <br/>Diese beiden Voraussetzungen genügen, um zu einer einfachen <br/>und widerspruchsfreien Elektrodynamik bewegter Körper zu ge-<br/>langen unter Zugrundelegung der Maxwellschen Theorie für <br/>ruhende Körper. Die Einführung eines ,,Lichtäthers“ wird sich <br/>insofern als überflüssig erweisen, als nach der zu entwickelnden <br/>Auffassung weder ein mit besonderen Eigenschaften ausgestatteter <br/>,,absolut ruhender Raum“ eingeführt, noch einem Punkte des <br/>leeren Raumes, in welchem elektromagnetische Prozesse statt-<br/>finden, ein Geschwindigkeitsvektor zugeordnet wird. </p><!--l. 83--><p class="indent"> Die zu entwickelnde Theorie stützt sich -- wie jede andere <br/>Elektrodynamik -- auf die Kinematik des starren Körpers, da <br/>die Aussagen einer jeden Theorie Beziehungen zwischen starren <br/>Körpern (Koordinatensystemen), Uhren und elektromagnetischen <br/>Prozessen betreffen. Die nicht genügende Berücksichtigung <br/>dieses Umstandes ist die Wurzel der Schwierigkeiten, mit <br/>denen die Elektrodynamik bewegter Körper gegenwärtig zu <br/>kämpfen hat. </p> <div class="center" > <!--l. 94--><p class="noindent"> </p><!--l. 95--><p class="noindent">I. Kinematischer Teil.</p></div> <div class="center" > <!--l. 98--><p class="noindent"> </p><!--l. 99--><p class="noindent"><span class="cmsy-10x-x-120">§ </span>1. Definition der Gleichzeitigkeit.</p></div> <!--l. 103--><p class="indent"> Es liege ein Koordinatensystem vor, in welchem die <br/>Newtonschen mechanischen Gleichungen gelten. Wir nennen <br/>dies Koordinatensystem zur sprachlichen Unterscheidung von <br/>später einzuführenden Koordinatensystemen und zur Präzi-<br/>sierung der Vorstellung das ,,ruhende System“. </p><!--l. 110--><p class="indent"> Ruht ein materieller Punkt relativ zu diesem Koordinaten-<br/>system, so kann seine Lage relativ zu letzterem durch starre <br/>Maßstäbe unter Benutzung der Methoden der euklidischen <br/>Geometrie bestimmt und in kartesischen Koordinaten aus-<br/>gedrückt werden. </p><!--l. 116--><p class="indent"> Woolen wir die <span class="cmti-12">Bewegung </span>eines materiellen Punktes be-<br/>schreiben, so geben wir die Werte seiner Koordinaten in <br/>Funktion der Zeit. Es ist nun wohl im Auge zu behalten, <br/>daß eine derartige mathematische Beschreibung erst dann <br/>einen physikalischen Sinn hat, wenn man sich vorher darüber <br/>klar geworden ist, was hier unter ,,Zeit“ verstanden wird <br/><pb/> </p><!--l. 126--><p class="indent"> </p><!--l. 127--><p class="noindent">Wir haben zu berücksichtigen, daß alle unsere Urteile, in <br/>welchen die Zeit eine Rolle spielt, immer Urteile über <span class="cmti-12">gleich- </span> <br/><span class="cmti-12">zeitige Ereignisse </span>sind. Wenn ich z. B. sage: ,,Jener Zug <br/>kommt hier um 7 Uhr an,“ so heißt dies etwa: ,,Das Zeigen <br/>des kleinen Zeigers meiner Uhr auf 7 und das Ankommen des <br/>Zuges sind gleichzeitige Ereignisse.“<sup ><span class="cmr-8">1</span></sup>) </p><!--l. 135--><p class="indent"> Es könnte scheinen, daß alle die Definition der ,,Zeit“ be-<br/>treffenden Schwierigkeiten dadurch überwunden werden könnten, <br/>daß ich an Stelle der ,,Zeit“ die ,,Stellung des kleinen Zeigers <br/>meiner Uhr“ setze. Eine solche Definition genügt in der Tat, <br/>wenn es sich darum handelt, eine Zeit zu definieren ausschließ-<br/>lich für den Ort, an welchem sich die Uhr eben befindet; die <br/>Definition genügt aber nicht mehr, sobald es sich darum handelt, <br/>an verschiedenen Orten stattfindende Ereignisreihen miteinander <br/>zeitlich zu verknüpfen, oder -- was auf dasselbe hinausläuft --<br/>Ereignisse zeitlich zu werten, welche in von der Uhr entfernten <br/>Orten stattfinden. </p><!--l. 149--><p class="indent"> Wir könnten uns allerdings damit begnügen, die Ereignisse <br/>dadurch zeitlich zu werten, daß ein samt der Uhr im Koordinaten-<br/>ursprung befindlicher Beobachter jedem von einem zu wertenden <br/>Ereignis Zeugnis gebenden, durch den leeren Raum zu ihm ge-<br/>langenden Lichtzeichen die entsprechende Uhrzeigerstellung zu-<br/>ordnet. Eine solche Zuordnung bringt aber den Übelstand mit <br/>sich, daß sie vom Standpunkte des mit der Uhr versehenen <br/>Beobachters nicht unabhängig ist, wie wir durch die Erfahrung <br/>wissen. Zu einer weit praktischeren Festsetzung gelangen wir <br/>durch folgende Betrachtung. </p><!--l. 161--><p class="indent"> Befindet sich im Punkte <span class="cmmi-12">A </span>des Raumes eine Uhr, so kann <br/>ein in <span class="cmmi-12">A </span>befindlicher Beobachter die Ereignisse in der un-<br/>mittelbaren Umgebung von <span class="cmmi-12">A </span>zeitlich werten durch Aufsuchen <br/>der mit diesen Ereignissen gleichzeitigen Uhrzeigerstellungen. <br/>Befindet sich auch im Punkte <span class="cmmi-12">B </span>des Raumes eine Uhr -- wir <br/>wollen hinzufügen, ,,eine Uhr von genau derselben Beschaffen-<br/>heit wie die in <span class="cmmi-12">A </span>befindliche“ -- so ist auch eine zeitliche <br/>Wertung der Ereignisse in der unmittelbaren Umgebung von <br/>---------- </p><!--l. 173--><p class="indent"> 1) Die Ungenauigkeit, welche in dem Begriffe der Gleichzeitigkeit <br/>zweier Ereignisse an (annähernd) demselben Orte steckt und gleichfalls <br/>durch eine Abstraktion überbrückt werden muß, soll hier nicht erörtert <br/>werden. <pb/> </p><!--l. 182--><p class="indent"> </p><!--l. 183--><p class="noindent"><span class="cmmi-12">B </span>durch einen in <span class="cmmi-12">B </span>befindlichen Beobachter möglich. Es ist <br/>aber ohne weitere Festsetzung nicht möglich, ein Ereignis in <br/><span class="cmmi-12">A </span>mit einem Ereignis in <span class="cmmi-12">B </span>zeitlich zu vergleichen; wir haben <br/>bisher nur eine ,,<span class="cmmi-12">A</span>-Zeit“ und eine ,,<span class="cmmi-12">B</span>-Zeit“, aber keine für <span class="cmmi-12">A </span> <br/>und <span class="cmmi-12">B </span>gemeinsame ,,Zeit“ definiert. Die letztere Zeit kann <br/>nun definiert werden, indem man <span class="cmti-12">durch Definition </span>festsetzt, daß <br/>die ,,Zeit“, welche das Licht braucht, um von <span class="cmmi-12">A </span>nach <span class="cmmi-12">B </span>zu <br/>gelangen, gleich ist der ,,Zeit“, welche es braucht, um von <span class="cmmi-12">B </span> <br/>nach <span class="cmmi-12">A </span>zu gelangen. Es gehe nämlich ein Lichtstrahl zur <br/>,,<span class="cmmi-12">A</span>-Zeit“ <span class="cmmi-12">t</span><sub ><span class="cmmi-8">A</span></sub> von <span class="cmmi-12">A </span>nach <span class="cmmi-12">B </span>ab, werde zur ,,<span class="cmmi-12">B</span>-Zeit“ <span class="cmmi-12">t</span><sub ><span class="cmmi-8">B</span></sub> in <span class="cmmi-12">B </span> <br/>gegen <span class="cmmi-12">A </span>zu reflektiert und gelange zur ,,<span class="cmmi-12">A</span>-Zeit“ <span class="cmmi-12">t</span><span class="cmsy-10x-x-120">'</span><sub ><span class="cmmi-8">A</span></sub> nach <span class="cmmi-12">A </span> <br/>zurück. Die beiden Uhren laufen definitionsgemäß synchron, <br/>wenn </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_19050x.png" alt=" ' tB - tA = tA - tB. " class="par-math-display" /></center> <!--l. 203--><p class="nopar"> </p><!--l. 207--><p class="indent"> Wir nehmen an, daß diese Definition des Synchronismus <br/>in widerspruchsfreier Weise möglich sei, und zwar für beliebig <br/>viele Punkte, daß also allgemein die Beziehungen gelten: </p><!--l. 212--><p class="indent"> 1. Wenn die Uhr in <span class="cmmi-12">B </span>synchron mit der Uhr in <span class="cmmi-12">A </span>läuft, <br/>so läuft die Uhr in <span class="cmmi-12">A</span> synchron mit der Uhr in <span class="cmmi-12">B</span>. </p><!--l. 216--><p class="indent"> 2. Wenn die Uhr in <span class="cmmi-12">A </span>sowohl mit der Uhr in <span class="cmmi-12">B </span>als auch <br/>mit der Uhr in <span class="cmmi-12">C</span> synchron läuft, so laufen auch die Uhren in <br/><span class="cmmi-12">B </span>und <span class="cmmi-12">C </span>synchron relativ zueinander. </p><!--l. 220--><p class="indent"> Wir haben so unter Zuhilfenahme gewisser (gedachter) <br/>physikalischer Erfahrungen festgelegt, was unter synchron <br/>laufenden, an verschiedenen Orten befindlichen, ruhenden <br/>Uhren zu verstehen ist und damit offenbar eine Definition <br/>von ,,gleichzeitig“ und ,,Zeit“ gewonnen. Die ,,Zeit“ eines <br/>Ereignisses ist die mit dem Ereignis gleichzeitige Angabe <br/>einer am Orte des Ereignisses befindlichen, ruhenden Uhr, <br/>welche mit einer bestimmten, ruhenden Uhr, und zwar für <br/>alle Zeitbestimmungen mit der nämlichen Uhr, synchron läuft. </p><!--l. 231--><p class="indent"> Wir setzen noch der Erfahrung gemäß fest, daß die <br/>Größe </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_19051x.png" alt=" ---- 2A B -'------= V tA - tA " class="par-math-display" /></center> <!--l. 237--><p class="nopar"> </p><!--l. 241--><p class="noindent">eine universelle Konstante (die Lichtgeschwindigkeit im leeren <br/>Raume) sei. </p><!--l. 244--><p class="indent"> Wesentlich ist, daß wir die Zeit mittels im ruhenden System <br/><pb/> </p><!--l. 249--><p class="indent"> </p><!--l. 250--><p class="noindent">ruhender Uhren definiert haben; wir nennen die eben definierte <br/>Zeit wegen dieser Zugehörigkeit zum ruhenden System ,,die <br/>Zeit des ruhenden Systems“. </p> <div class="center" > <!--l. 255--><p class="noindent"> </p><!--l. 256--><p class="noindent"><span class="cmsy-10x-x-120">§ </span>2. Über die Relativität von Längen und Zeiten.</p></div> <!--l. 261--><p class="indent"> Die folgenden Überlegungen stützen sich auf das Relativitäts-<br/>prinzip und auf das Prinzip der Konstanz der Lichtgeschwindig-<br/>keit, welche beiden Prinzipien wir folgendermaßen definieren. </p><!--l. 266--><p class="indent"> 1. Die Gesetze, nach denen sich die Zustände der physi-<br/>kalischen Systeme ändern, sind unabhängig davon, auf welches <br/>von zwei relativ zueinander in gleichförmiger Translations-<br/>bewegung befindlichen Koordinatensystemen diese Zustands-<br/>änderungen bezogen werden. </p><!--l. 273--><p class="indent"> 2. Jeder Lichtstrahl bewegt sich im ,,ruhenden“ Koordi-<br/>natensystem mit der bestimmten Geschwindigkeit <span class="cmmi-12">V </span>, unabhängig <br/>davon, ob dieser Lichtstrahl von einem ruhenden oder be-<br/>wegten Körper emittiert ist. Hierbei ist </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_19052x.png" alt=" -Lichtweg- Geschwindigkeit = Zeitdauer , " class="par-math-display" /></center> <!--l. 283--><p class="nopar"> </p><!--l. 287--><p class="noindent">wobei ,,Zeitdauer“ im Sinne der Definition des <span class="cmsy-10x-x-120">§ </span>1 auf-<br/>zufassen ist. </p><!--l. 290--><p class="indent"> Es sei ein ruhender starrer Stab gegeben; derselbe be-<br/>sitze, mit einem ebenfalls ruhenden Maßstabe gemessen, die <br/>Länge <span class="cmmi-12">l</span>. Wir denken uns nun die Stabachse in die <span class="cmmi-12">X</span>-Achse <br/>des ruhenden Koordinatensystems gelegt und dem Stabe hierauf <br/>eine gleichförmige Paralleltranslationsbewegung (Geschwindig-<br/>keit <span class="cmmi-12">v</span>) längs der <span class="cmmi-12">X</span>-Achse im Sinne der wachsenden <span class="cmmi-12">x </span>erteilt. <br/>Wir fragen nun nach der Länge des <span class="cmti-12">bewegten </span>Stabes, welche <br/>wir uns durch folgende zwei Operationen ermittelt denken: </p><!--l. 301--><p class="indent"> a) Der Beobachter bewegt sich samt dem vorher genannten <br/>Maßstabe mit dem auszumessenden Stabe und mißt direkt <br/>durch Anlegen des Maßstabes die Länge des Stabes, ebenso, <br/>wie wenn sich auszumessender Stab, Beobachter und Maßstab <br/>in Ruhe befänden. </p><!--l. 307--><p class="indent"> b) Der Beobachter ermittelt mittels im ruhenden Systeme <br/>aufgestellter, gemäß <span class="cmsy-10x-x-120">§ </span>1 synchroner, ruhender Uhren, in welchen <br/>Punkten des ruhenden Systems sich Anfang und Ende des <br/>auszumessenden Stabes zu einer bestimmten Zeit <span class="cmmi-12">t</span> befinden. <br/><pb/> </p><!--l. 314--><p class="indent"> </p><!--l. 315--><p class="noindent">Die Entfernung dieser beiden Punkte, gemessen mit dem <br/>schon benutzten, in diesem Falle ruhenden Maßstabe ist <br/>ebenfalls eine Länge, welche man als ,,Länge des Stabes“ <br/>bezeichnen kann. </p><!--l. 320--><p class="indent"> Nach dem Relativitätsprinzip muß die bei der Operation a) <br/>zu findende Länge, welche wir ,,die Länge des Stabes im be-<br/>wegten System“ nennen wollen, gleich der Länge <span class="cmmi-12">l </span>des ruhen-<br/>den Stabes sein. </p><!--l. 325--><p class="indent"> Die bei der Operation b) zu findende Länge, welche wir <br/>,,die Länge des (bewegten) Stabes im ruhenden System“ <br/>nennen wollen, werden wir unter Zugrundelegung unserer <br/>beiden Prinzipien bestimmen und finden, daß sie von <span class="cmmi-12">l</span> ver-<br/>schieden ist. </p><!--l. 331--><p class="indent"> Die allgemein gebrauchte Kinematik nimmt stillschweigend <br/>an, daß die durch die beiden erwähnten Operationen bestimmten <br/>Längen einander genau gleich seien, oder mit anderen Worten, <br/>daß ein bewegter starrer Körper in der Zeitepoche <span class="cmmi-12">t </span>in geo-<br/>metrischer Beziehung vollständig durch <span class="cmti-12">denselben </span>Körper, wenn <br/>er in bestimmter Lage <span class="cmti-12">ruht</span>, ersetzbar sei. </p><!--l. 340--><p class="indent"> Wir denken uns ferner an den beiden Stabenden (<span class="cmmi-12">A </span>und B) <br/>Uhren angebracht, welche mit den Uhren des ruhenden Systems <br/>synchron sind, d. h. deren Angaben jeweilen der ,,Zeit des <br/>ruhenden Systems“ an den Orten, an welchen sie sich gerade <br/>befinden, entsprechen; diese Uhren sind also ,,synchron im <br/>ruhenden System“. </p><!--l. 347--><p class="indent"> Wir denken uns ferner, daß sich bei jeder Uhr ein mit <br/>ihr bewegter Beobachter befinde, und daß diese Beobachter <br/>auf die beiden Uhren das im <span class="cmsy-10x-x-120">§ </span>1 aufgestellte Kriterium für <br/>den synchronen Gang zweier Uhren anwenden. Zur Zeit<sup ><span class="cmr-8">1</span></sup>) <br/><span class="cmmi-12">t</span><sub > <span class="cmmi-8">A</span></sub> gehe ein Lichtstrahl von <span class="cmmi-12">A </span>aus, werde zur Zeit <span class="cmmi-12">t</span><sub ><span class="cmmi-8">B</span></sub> in <span class="cmmi-12">B </span> <br/>reflektiert und gelange zur Zeit <span class="cmmi-12">t</span><span class="cmsy-10x-x-120">'</span><sub ><span class="cmmi-8">A</span></sub> nach <span class="cmmi-12">A </span>zurück. Unter Be-<br/>rücksichtigung des Prinzipes von der Konstanz der Licht-<br/>geschwindigkeit finden wir: </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_19053x.png" alt=" r tB - tA = --A-B- V - v " class="par-math-display" /></center> <!--l. 360--><p class="nopar"> </p><!--l. 364--><p class="noindent">---------- </p><!--l. 366--><p class="indent"> 1) ,,Zeit“ bedeutet hier ,,Zeit des ruhenden Systems“ und zugleich <br/>,,Zeigerstellung der bewegten Uhr, welche sich an dem Orte, von dem <br/>die Rede ist, befindet“. <pb/> </p><!--l. 373--><p class="indent"> </p><!--l. 374--><p class="noindent">und </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_19054x.png" alt=" ' -rAB-- tA - tB = V + v , " class="par-math-display" /></center> <!--l. 380--><p class="nopar"> </p><!--l. 384--><p class="noindent">wobei <span class="cmmi-12">r</span><sub ><span class="cmmi-8">AB</span></sub> die Länge des bewegten Stabes -- im ruhenden System <br/>gemessen -- bedeutet. Mit dem bewegten Stabe bewegte Be-<br/>obachter würden also die beiden Uhren nicht synchron gehend <br/>finden, während im ruhenden System befindliche Beobachter <br/>die Uhren als synchron laufend erklären würden. </p><!--l. 391--><p class="indent"> Wir sehen also, daß wir dem Begriffe der Gleichzeitigkeit <br/>keine <span class="cmti-12">absolute</span> Bedeutung beimessen dürfen, sondern daß zwei <br/>Ereignisse, welche, von einem Koordinatensystem aus betrachtet, <br/>gleichzeitig sind, von einem relativ zu diesem System bewegten <br/>System aus betrachtet, nicht mehr als gleichzeitige Ereignisse <br/>aufzufassen sind. </p> <div class="center" > <!--l. 400--><p class="noindent"> </p><!--l. 401--><p class="noindent"><span class="cmsy-10x-x-120">§ </span>3. Theorie der Koordinaten- und Zeittransformation <br/>von dem ruhenden auf ein relativ zu diesem in gleichförmiger <br/>Translationsbewegung befindliches System.</p></div> <!--l. 408--><p class="indent"> Seien im ,,ruhenden“ Raume zwei Koordinatensysteme, <br/>d. h. zwei Systeme von je drei von einem Punkte ausgehenden, <br/>aufeinander senkrechten starren materiellen Linien, gegeben. <br/>Die <span class="cmmi-12">X</span>-Achsen beider Systeme mögen zusammenfallen, ihre <br/><span class="cmmi-12">Y </span>- und <span class="cmmi-12">Z</span>-Achsen bezüglich parallel sein. Jedem Systeme sei <br/>ein starrer Maßstab und eine Anzahl Uhren beigegeben, und <br/>es seien beide Maßstäbe sowie alle Uhren beider Systeme <br/>einander genau gleich. </p><!--l. 418--><p class="indent"> Es werde nun dem Anfangspunkte des einen der beiden <br/>Systeme (<span class="cmmi-12">k</span>) eine (konstante) Geschwindigkeit <span class="cmmi-12">v </span>in Richtung <br/>der wachsenden <span class="cmmi-12">x </span>des anderen, ruhenden Systems (<span class="cmmi-12">K</span>) erteilt, <br/>welche sich auch den Koordinatenachsen, dem betreffenden <br/>Maßstabe sowie den Uhren mitteilen möge. Jeder Zeit <span class="cmmi-12">t </span>des <br/>ruhenden Systems <span class="cmmi-12">K </span>entspricht dann eine bestimmte Lage der <br/>Achsen des bewegten Systems und wir sind aus Symmetrie-<br/>gründen befugt anzunehmen, daß die Bewegung von <span class="cmmi-12">k </span>so be-<br/>schaffen sein kann, daß die Achsen des bewegten Systems zur <br/>Zeit <span class="cmmi-12">t </span>(es ist mit ,,<span class="cmmi-12">t</span>“ immer eine Zeit des ruhenden Systems <br/>bezeichnet) den Achsen des ruhenden Systems parallel seien. </p><!--l. 432--><p class="indent"> Wir denken uns nun den Raum sowohl vom ruhenden <br/>System <span class="cmmi-12">K </span>aus mittels des ruhenden Maßstabes als auch vom <br/><pb/> </p><!--l. 437--><p class="indent"> </p><!--l. 438--><p class="noindent">bewegten System <span class="cmmi-12">k </span>mittels des mit ihm bewegten Maßstabes <br/>ausgemessen und so die Koordinaten <span class="cmmi-12">x, y, z </span>bez. <span class="cmmi-12"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-18.png" alt="q" class="cmmi-12x-x-18" align="middle" />, <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-11.png" alt="j" class="cmmi-12x-x-11" align="middle" />, <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-10.png" alt="z" class="cmmi-12x-x-10" align="middle" /></span> er-<br/>mittelt. Es werde ferner mittels der im ruhenden System be-<br/>findlichen ruhenden Uhren durch Lichtsignale in der in <span class="cmsy-10x-x-120">§ </span>1 <br/>angegebenen Weise die Zeit <span class="cmmi-12">t </span>des ruhenden Systems für alle <br/>Punkte des letzteren bestimmt, in denen sich Uhren befinden; <br/>ebenso werde die Zeit <span class="cmmi-12"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-1c.png" alt="t" class="12x-x-1c" /> </span>des bewegten Systems für alle Punkte <br/>des bewegten Systems, in welchen sich relativ zu letzterem <br/>ruhende Uhren befinden, bestimmt durch Anwendung der in <br/><span class="cmsy-10x-x-120">§ </span>1 genannten Methode der Lichtsignale zwischen den Punkten, <br/>in denen sich die letzteren Uhren befinden. </p><!--l. 453--><p class="indent"> Zu jedem Wertsystem <span class="cmmi-12">x, y , z , t, </span>welches Ort und Zeit <br/>eines Ereignisses im ruhenden System vollkommen bestimmt, <br/>gehört ein jenes Ereignis relativ zum System <span class="cmmi-12">k </span>festlegendes <br/>Wertsystem <span class="cmmi-12"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-18.png" alt="q" class="cmmi-12x-x-18" align="middle" /> ,<img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-11.png" alt="j" class="cmmi-12x-x-11" align="middle" /> , <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-10.png" alt="z" class="cmmi-12x-x-10" align="middle" /> , <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-1c.png" alt="t" class="12x-x-1c" /> ,</span> und es ist nun die Aufgabe zu lösen, <br/>das diese Größen verknüpfende Gleichungssystem zu finden. </p><!--l. 461--><p class="indent"> Zunächst ist klar, daß die Gleichungen <span class="cmti-12">linear </span>sein müssen <br/>wegen der Homogenitätseigenschaften, welche wir Raum und <br/>Zeit beilegen. </p><!--l. 466--><p class="indent"> Setzen wir <span class="cmmi-12">x</span><span class="cmsy-10x-x-120">' </span>= <span class="cmmi-12">x </span><span class="cmsy-10x-x-120">- </span><span class="cmmi-12">v t</span>, so ist klar, daß einem im System <span class="cmmi-12">k </span> <br/>ruhenden Punkte ein bestimmtes, von der Zeit unabhängiges <br/>Wertsystem <span class="cmmi-12">x</span><span class="cmsy-10x-x-120">'</span><span class="cmmi-12">, y , z </span>zukommt. Wir bestimmen zuerst <span class="cmmi-12">t </span>als <br/>Funktion von <span class="cmmi-12">x</span><span class="cmsy-10x-x-120">'</span><span class="cmmi-12">, y , z </span>und <span class="cmmi-12">t. </span>Zu diesem Zwecke haben wir <br/>in Gleichungen auszudrücken, daß <span class="cmmi-12"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-1c.png" alt="t" class="12x-x-1c" /> </span>nichts anderes ist als <br/>der Inbegriff der Angaben von im System <span class="cmmi-12">k </span>ruhenden Uhren, <br/>welche nach der im <span class="cmsy-10x-x-120">§ </span>1 gegebenen Regel synchron gemacht <br/>worden sind. </p><!--l. 476--><p class="indent"> Vom Anfangspunkt des Systems <span class="cmmi-12">k </span>aus werde ein Licht-<br/>strahl zur Zeit <span class="cmmi-12"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-1c.png" alt="t" class="12x-x-1c" /></span><sub ><span class="cmr-8">0</span></sub> längs der <span class="cmmi-12">X</span>-Achse nach <span class="cmmi-12">x</span><span class="cmsy-10x-x-120">' </span>gesandt und von <br/>dort zur Zeit <span class="cmmi-12"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-1c.png" alt="t" class="12x-x-1c" /></span><sub ><span class="cmr-8">1</span></sub> nach dem Koordinatenursprung reflektiert, <br/>wo er zur Zeit <span class="cmmi-12"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-1c.png" alt="t" class="12x-x-1c" /></span><sub ><span class="cmr-8">2</span></sub> anlange; so muß dann sein: </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_19055x.png" alt="12(t0 + t2) = t1 " class="par-math-display" /></center> <!--l. 486--><p class="nopar"> </p><!--l. 490--><p class="noindent">oder, indem man die Argumente der Funktion <span class="cmmi-12"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-1c.png" alt="t" class="12x-x-1c" /> </span>beifügt und <br/>das Prinzip der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit im ruhen-<br/>den Systeme anwendet: </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_19056x.png" alt=" [ ( { x' x' } )] 12 t(0, 0, 0, t) + t 0, 0, 0, t +------ + ------ ( V - v) V + v ' --x'-- = t x , 0, 0, t + V - v . " class="par-math-display" /></center> <!--l. 505--><p class="nopar"> <pb/> </p><!--l. 512--><p class="indent"> </p><!--l. 513--><p class="noindent">Hieraus folgt, wenn man <span class="cmmi-12">x</span><span class="cmsy-10x-x-120">' </span>unendlich klein wählt: </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_19057x.png" alt=" ( 1 1 ) @ t @t 1 @ t 12 ------ + ------ ---= ---'+ --------- , V - v V + v @ t @ x V - v @ t " class="par-math-display" /></center> <!--l. 523--><p class="nopar"> </p><!--l. 527--><p class="noindent">oder </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_19058x.png" alt="-@ t + ---v---- @ t-= 0. @ x' V 2- v2 @ t " class="par-math-display" /></center> <!--l. 534--><p class="nopar"> </p><!--l. 538--><p class="indent"> Es ist zu bemerken, daß wir statt des Koordinatenursprunges <br/>jeden anderen Punkt als Ausgangspunkt des Lichtstrahles <br/>hätten wählen können und es gilt deshalb die eben erhaltene <br/>Gleichung für alle Werte von <span class="cmmi-12">x</span><span class="cmsy-10x-x-120">'</span><span class="cmmi-12">, y, z.</span> </p><!--l. 544--><p class="indent"> Eine analoge Überlegung -- auf die <span class="cmmi-12">H</span>- und <span class="cmmi-12">Z</span>-Achse an-<br/>gewandt -- liefert, wenn man beachtet, daß sich das Licht <br/>längs dieser Achsen vom ruhenden System aus betrachtet <br/>stets mit der Geschwindigkeit <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_19059x.png" alt=" V~ ------- V 2- v2" class="sqrt" /> fortpflanzt: </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190510x.png" alt="@-t @ y = 0 @-t = 0 . @ z " class="par-math-display" /></center> <!--l. 556--><p class="nopar"> </p><!--l. 560--><p class="noindent">Aus diesen Gleichungen folgt, da <span class="cmmi-12"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-1c.png" alt="t" class="12x-x-1c" /> </span>eine <span class="cmti-12">lineare </span>Funktion ist: </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190511x.png" alt=" ( v ) t = a t - --2----2 x' , V - v " class="par-math-display" /></center> <!--l. 566--><p class="nopar"> </p><!--l. 570--><p class="noindent">wobei <span class="cmmi-12">a </span>eine vorläufig unbekannte Funktion <span class="cmmi-12"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-27.png" alt="f" class="cmmi-12x-x-27" align="middle" /></span>(<span class="cmmi-12">v</span>) ist und der <br/>Kürze halber angenommen ist, daß im Anfangspunkte von <span class="cmmi-12">k </span> <br/>für <span class="cmmi-12"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-1c.png" alt="t" class="12x-x-1c" /> </span>= 0 <span class="cmmi-12">t </span>= 0 sei. </p><!--l. 575--><p class="indent"> Mit Hilfe dieses Resultates ist es leicht, die Größen <span class="cmmi-12"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-18.png" alt="q" class="cmmi-12x-x-18" align="middle" /> , <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-11.png" alt="j" class="cmmi-12x-x-11" align="middle" /> , <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-10.png" alt="z" class="cmmi-12x-x-10" align="middle" /></span> <br/>zu ermitteln, indem man durch Gleichungen ausdrückt, daß <br/>sich das Licht (wie das Prinzip der Konstanz der Licht-<br/>geschwindigkeit in Verbindung mit dem Relativitätsprinzip <br/>verlangt) auch im bewegten System gemessen mit der Ge-<br/>schwindigkeit <span class="cmmi-12">V</span> fortpflanzt. Für einen zur Zeit <span class="cmmi-12"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-1c.png" alt="t" class="12x-x-1c" /> </span>= 0 in <br/>Richtung der wachsenden <span class="cmmi-12"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-18.png" alt="q" class="cmmi-12x-x-18" align="middle" /> </span>ausgesandten Lichtstrahl gilt: </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190512x.png" alt="q = V t , " class="par-math-display" /></center> <!--l. 589--><p class="nopar"> </p><!--l. 591--><p class="noindent">oder </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190513x.png" alt=" ( ) q = aV t- ---v----x' . V 2- v2 " class="par-math-display" /></center> <!--l. 597--><p class="nopar"> </p><!--l. 601--><p class="noindent">Nun bewegt sich aber der Lichtstrahl relativ zum Anfangs-<br/><pb/> </p><!--l. 605--><p class="indent"> </p><!--l. 606--><p class="noindent">punkt von <span class="cmmi-12">k </span>im ruhenden System gemessen mit der Ge-<br/>schwindigkeit <span class="cmmi-12">V </span><span class="cmsy-10x-x-120">- </span><span class="cmmi-12">v</span>, so daß gilt: </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190514x.png" alt=" ' --x---= t. V - v " class="par-math-display" /></center> <!--l. 612--><p class="nopar"> </p><!--l. 616--><p class="noindent">Setzen wir diesen Wert von <span class="cmmi-12">t </span>in die Gleichung für <span class="cmmi-12"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-18.png" alt="q" class="cmmi-12x-x-18" align="middle" /> </span>ein, so <br/>erhalten wir:</p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190515x.png" alt=" 2 q = a---V---- x'. V 2 - v2 " class="par-math-display" /></center> <!--l. 622--><p class="nopar"> </p><!--l. 626--><p class="noindent">Auf analoge Weise finden wir durch Betrachtung von längs <br/>den beiden anderen Achsen bewegte Lichtstrahlen: </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190516x.png" alt=" ( v ) j = V t = a V t - --2----2 x' , V - v " class="par-math-display" /></center> <!--l. 634--><p class="nopar"></p><!--l. 638--><p class="noindent">wobei</p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190517x.png" alt=" y ' V~ --2----2 = t; x = 0; V - v " class="par-math-display" /></center> <!--l. 644--><p class="nopar"></p><!--l. 648--><p class="noindent">also</p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190518x.png" alt=" V j = a V~ --2----2 y V - v " class="par-math-display" /></center> <!--l. 654--><p class="nopar"></p><!--l. 658--><p class="noindent">und</p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190519x.png" alt=" V z = a V~ -------- z. V 2- v2 " class="par-math-display" /></center> <!--l. 664--><p class="nopar"> </p><!--l. 668--><p class="indent"> Setzen wir für <span class="cmmi-12">x</span><span class="cmsy-10x-x-120">' </span>seinen Wert ein, so erhalten wir: </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190520x.png" alt=" ( v ) t = f(v)b t - --2 x , V q = f(v)b(x - v t), j = f(v)y , z = f(v)z , " class="par-math-display" /></center> <!--l. 681--><p class="nopar"> </p><!--l. 685--><p class="noindent">wobei </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190521x.png" alt="b = V~ ----1------ (v )2 1- -- V " class="par-math-display" /></center> <!--l. 692--><p class="nopar"> </p><!--l. 696--><p class="noindent">und <span class="cmmi-12"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-27.png" alt="f" class="cmmi-12x-x-27" align="middle" /> </span>eine vorläufig unbekannte Funktion von <span class="cmmi-12">v </span>ist. Macht <br/>man über die Anfangslage des bewegten Systems und über <br/>den Nullpunkt von <span class="cmmi-12"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-1c.png" alt="t" class="12x-x-1c" /> </span>keinerlei Voraussetzung, so ist auf den <br/>rechten Seiten dieser Gleichungen je eine additive Konstante <br/>zuzufügen. </p><!--l. 703--><p class="indent"> Wir haben nun zu beweisen, daß jeder Lichtstrahl sich, <br/>im bewegten System gemessen, mit der Geschwindigkeit <span class="cmmi-12">V </span> <br/>fortpflanzt, falls dies, wie wir angenommen haben, im ruhenden <br/><pb/> </p><!--l. 710--><p class="indent"> </p><!--l. 711--><p class="noindent">System der Fall ist; denn wir haben den Beweis dafür noch <br/>nicht geliefert, daß das Prinzip der Konstanz der Licht-<br/>geschwindigkeit mit dem Relativitätsprinzip vereinbar sei. </p><!--l. 716--><p class="indent"> Zur Zeit <span class="cmmi-12">t </span>= <span class="cmmi-12"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-1c.png" alt="t" class="12x-x-1c" /> </span>= 0 werde von dem zu dieser Zeit gemein-<br/>samen Koordinatenursprung beider Systeme aus eine Kugelwelle <br/>ausgesandt, welche sich im System <span class="cmmi-12">K </span>mit der Geschwindigkeit <span class="cmmi-12">V </span> <br/>ausbreitet. Ist (<span class="cmmi-12">x, y, z</span>) ein eben von dieser Welle ergriffener <br/>Punkt, so ist also</p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190522x.png" alt="x2 + y2 + z2 = V2 t2 . " class="par-math-display" /></center> <!--l. 726--><p class="nopar"></p><!--l. 730--><p class="indent"> Diese Gleichung transformieren wir mit Hilfe unserer Trans-<br/>formationsgleichungen und erhalten nach einfacher Rechnung: </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190523x.png" alt=" 2 2 2 2 2 q + j + z = V t . " class="par-math-display" /></center> <!--l. 737--><p class="nopar"> </p><!--l. 741--><p class="indent"> Die betrachtete Welle ist also auch im bewegten System <br/>betrachtet eine Kugelwelle von der Ausbreitungsgeschwindig-<br/>keit <span class="cmmi-12">V. </span>Hiermit ist gezeigt, daß unsere beiden Grundprinzipien <br/>miteinander vereinbar sind. </p><!--l. 746--><p class="indent"> In den entwickelten Transformationsgleichungen tritt noch <br/>eine unbekannte Funktion <span class="cmmi-12"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-27.png" alt="f" class="cmmi-12x-x-27" align="middle" /> </span>von <span class="cmmi-12">v </span>auf, welche wir nun be-<br/>stimmen wollen. </p><!--l. 750--><p class="indent"> Wir führen zu diesem Zwecke noch ein drittes Koordinaten-<br/>system <span class="cmmi-12">K</span><span class="cmsy-10x-x-120">' </span>ein, welches relativ zum System <span class="cmmi-12">k </span>derart in Parallel-<br/>translationsbewegung parallel zur <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmr12-4.png" alt="E" class="12x-x-4" />-Achse begriffen sei, daß <br/>sich dessen Koordinatenursprung mit der Geschwindigkeit -- <span class="cmmi-12">v </span> <br/>auf der <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmr12-4.png" alt="E" class="12x-x-4" />-Achse bewege. Zur Zeit <span class="cmmi-12">t </span>= 0 mögen alle drei <br/>Koordinatenanfangspunkte zusammenfallen und es sei für <br/><span class="cmmi-12">t </span>= <span class="cmmi-12">x </span>= <span class="cmmi-12">y </span>= <span class="cmmi-12">z </span>= 0 die Zeit <span class="cmmi-12">t</span><span class="cmsy-10x-x-120">' </span>des Systems <span class="cmmi-12">K</span><span class="cmsy-10x-x-120">' </span>gleich Null. Wir <br/>nennen <span class="cmmi-12">x</span><span class="cmsy-10x-x-120">'</span><span class="cmmi-12">, y</span><span class="cmsy-10x-x-120">'</span><span class="cmmi-12">, z</span><span class="cmsy-10x-x-120">' </span>die Koordinaten, im System <span class="cmmi-12">K</span><span class="cmsy-10x-x-120">' </span>gemessen, und <br/>erhalten durch zweimalige Anwendung unserer Transformations-<br/>gleichungen: </p><!--l. 764--><p class="indent"> </p> <center class="math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190524x.png" alt=" ' { v-- } t = f (- v)b (- v) t + V2 q = f (v)f (- v)t, ' x = f (- v)b (- v){q + vt} = f (v)f (- v)x , y'= f (- v)j = f (v)f (- v)y , z'= f (- v)z = f (v)f (- v)z . " class="math-display" /></center> <!--l. 779--><p class="nopar"> </p><!--l. 783--><p class="indent"> Da die Beziehungen zwischen <span class="cmmi-12">x</span><span class="cmsy-10x-x-120">'</span><span class="cmmi-12">, y</span><span class="cmsy-10x-x-120">'</span><span class="cmmi-12">, z</span><span class="cmsy-10x-x-120">' </span>und <span class="cmmi-12">x, y, z </span>die Zeit <span class="cmmi-12">t </span> <br/>nicht enthalten, so ruhen die Systeme <span class="cmmi-12">K </span>und <span class="cmmi-12">K</span><span class="cmsy-10x-x-120">' </span>gegeneinander, <br/><pb/> </p><!--l. 788--><p class="indent"> </p><!--l. 789--><p class="noindent">und es ist klar, daß die Transformation von <span class="cmmi-12">K </span>auf <span class="cmmi-12">K</span><span class="cmsy-10x-x-120">' </span>die <br/>identische Transformation sein muß. Es ist also: </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190525x.png" alt="f (v)f (-v) = 1 . " class="par-math-display" /></center> <!--l. 795--><p class="nopar"> </p><!--l. 797--><p class="noindent">Wir fragen nun nach der Bedeutung von <span class="cmmi-12"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-27.png" alt="f" class="cmmi-12x-x-27" align="middle" /></span>(<span class="cmmi-12">v</span>). Wir fassen <br/>das Stück der <span class="cmmi-12">H</span>-Achse des Systems <span class="cmmi-12">k </span>ins Auge, das zwischen <br/><span class="cmmi-12"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-18.png" alt="q" class="cmmi-12x-x-18" align="middle" /> </span>= 0<span class="cmmi-12">, <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-11.png" alt="j" class="cmmi-12x-x-11" align="middle" /> </span>= 0<span class="cmmi-12">, <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-10.png" alt="z" class="cmmi-12x-x-10" align="middle" /> </span>= 0 und <span class="cmmi-12"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-18.png" alt="q" class="cmmi-12x-x-18" align="middle" /> </span>= 0<span class="cmmi-12">, <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-11.png" alt="j" class="cmmi-12x-x-11" align="middle" /> </span>= <span class="cmmi-12">l, <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-10.png" alt="z" class="cmmi-12x-x-10" align="middle" /> </span>= 0 gelegen ist. Dieses <br/>Stück der <span class="cmmi-12">H</span>-Achse ist ein relativ zum System <span class="cmmi-12">K </span>mit der Ge-<br/>schwindigkeit <span class="cmmi-12">v </span>senkrecht zu seiner Achse bewegter Stab, <br/>dessen Enden in <span class="cmmi-12">K </span>die Koordinaten besitzen: </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190526x.png" alt=" --l-- x1 = v t, y1 = f (v), z1 = 0 " class="par-math-display" /></center> <!--l. 810--><p class="nopar"></p><!--l. 814--><p class="noindent">und</p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190527x.png" alt="x2 = v t, y2 = 0, z2 = 0. " class="par-math-display" /></center> <!--l. 821--><p class="nopar"></p><!--l. 825--><p class="noindent">Die Länge des Stabes, in <span class="cmmi-12">K </span>gemessen, ist also <span class="cmmi-12">l</span><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190528x.png" alt="/" class="left" align="middle" /> <span class="cmmi-12"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-27.png" alt="f" class="cmmi-12x-x-27" align="middle" /> </span>(<span class="cmmi-12">v</span>); damit <br/>ist die Bedeutung der Funktion <span class="cmmi-12"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-27.png" alt="f" class="cmmi-12x-x-27" align="middle" /> </span>gegeben. Aus Symmetrie-<br/>gründen ist nun einleuchtend, daß die im ruhenden System <br/>gemessene Länge eines bestimmten Stabes, welcher senkrecht <br/>zu seiner Achse bewegt ist, nur von der Geschwindigkeit, nicht <br/>aber von der Richtung und dem Sinne der Bewegung abhängig <br/>sein kann. Es ändert sich also die im ruhenden System ge-<br/>messene Länge des bewegten Stabes nicht, wenn <span class="cmmi-12">v</span> mit <span class="cmsy-10x-x-120">-</span><span class="cmmi-12">v </span> <br/>vertauscht wird. Hieraus folgt: </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190529x.png" alt=" l l ----- = -------, f (v) f (- v) " class="par-math-display" /></center> <!--l. 841--><p class="nopar"></p><!--l. 845--><p class="noindent">oder</p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190530x.png" alt="f (v) = f (- v). " class="par-math-display" /></center> <!--l. 851--><p class="nopar"> </p><!--l. 855--><p class="noindent">Aus dieser und der vorhin gefundenen Relation folgt, daß <br/><span class="cmmi-12"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-27.png" alt="f" class="cmmi-12x-x-27" align="middle" /> </span>(<span class="cmmi-12">v</span>) = 1 sein muß, so daß die gefundenen Transformations-<br/>gleichungen übergehen in: </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190531x.png" alt=" ( ) t = b t- v--x , V2 q = b (x- vt), j = y , z = z , " class="par-math-display" /></center> <!--l. 868--><p class="nopar"></p><!--l. 872--><p class="noindent">wobei</p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190532x.png" alt=" 1 b = V~ -----(--)---, -v 2 1 - V " class="par-math-display" /></center> <!--l. 879--><p class="nopar"> <pb/> </p><!--l. 886--><p class="indent"> </p> <div class="center" > <!--l. 887--><p class="noindent"> </p><!--l. 888--><p class="noindent"><span class="cmsy-10x-x-120">§ </span>4. Physikalische Bedeutung der erhaltenen Gleichungen, <br/>bewegte starre Körper und bewegte Uhren betreffend.</p></div> <!--l. 894--><p class="indent"> Wir betrachten eine starre Kugel<sup ><span class="cmr-8">1</span></sup>) vom Radius <span class="cmmi-12">R</span>, welche <br/>relativ zum bewegten System <span class="cmmi-12">k </span>ruht, und deren Mittelpunkt <br/>im Koordinatenursprung von <span class="cmmi-12">k</span> liegt. Die Gleichung der Ober-<br/>fläche dieser relativ zum System <span class="cmmi-12">K </span>mit der Geschwindigkeit <span class="cmmi-12">v </span> <br/>bewegten Kugel ist:</p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190533x.png" alt="q2 + j2 + z2 = R2 . " class="par-math-display" /></center> <!--l. 904--><p class="nopar"></p><!--l. 908--><p class="noindent">Die Gleichung dieser Oberfläche ist in <span class="cmmi-12">x, y, z </span>ausgedrückt zur <br/>Zeit <span class="cmmi-12">t </span>= 0:</p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190534x.png" alt=" x2 2 2 2 (V ~ -----------)2 + y + z = R . (v-)2 1- V " class="par-math-display" /></center> <!--l. 915--><p class="nopar"> </p><!--l. 919--><p class="noindent">Ein starrer Körper, welcher in ruhendem Zustande ausgemessen <br/>die Gestalt einer Kugel hat, hat also in bewegtem Zustande --<br/>vom ruhenden System aus betrachtet -- die Gestalt eines <br/>Rotationsellipsoides mit den Achsen </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190535x.png" alt=" V~ ----------- (v-)2 R 1 - V , R , R . " class="par-math-display" /></center> <!--l. 928--><p class="nopar"> </p><!--l. 932--><p class="indent"> Während also die <span class="cmmi-12">Y </span>- und <span class="cmmi-12">Z</span>-Dimension der Kugel (also <br/>auch jedes starren Körpers von beliebiger Gestalt) durch die Be-<br/>wegung nicht modifiziert erscheinen, erscheint die <span class="cmmi-12">X</span>-Dimension <br/>im Verhältnis 1 : <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190536x.png" alt=" V~ ------------ 1- (v/V )2" class="sqrt" /> verkürzt, also um so stärker, je <br/>größer <span class="cmmi-12">v </span>ist. Für <span class="cmmi-12">v </span>= <span class="cmmi-12">V </span>schrumpfen alle bewegten Objekte --<br/>vom ,,ruhenden“ System aus betrachtet -- in flächenhafte <br/>Gebilde zusammen. Für Überlichtgeschwindigkeiten werden <br/>unsere Überlegungen sinnlos; wir werden übrigens in den <br/>folgenden Betrachtungen finden, daß die Lichtgeschwindigkeit <br/>in unserer Theorie physikalisch die Rolle der unendlich großen <br/>Geschwindigkeiten spielt. </p><!--l. 946--><p class="indent"> Es ist klar, daß die gleichen Resultate von im ,,ruhenden“ <br/>System ruhenden Körpern gelten, welche von einem gleich-<br/>förmig bewegten System aus betrachtet werden. -- </p><!--l. 952--><p class="indent"> Wir denken uns ferner eine der Uhren, welche relativ <br/>zum ruhenden System ruhend die Zeit <span class="cmmi-12">t</span>, relativ zum bewegten <br/></p><!--l. 958--><p class="noindent">---------- </p><!--l. 960--><p class="indent"> 1) Das heißt einen Körper, welcher ruhend untersucht Kugelgestalt <br/>besitzt. <pb/> </p><!--l. 966--><p class="indent"> </p><!--l. 967--><p class="noindent">System ruhend die Zeit <span class="cmmi-12"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-1c.png" alt="t" class="12x-x-1c" /> </span>anzugeben befähigt sind, im Koordi-<br/>natenursprung von <span class="cmmi-12">k </span>gelegen und so gerichtet, daß sie die <br/>Zeit <span class="cmmi-12"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-1c.png" alt="t" class="12x-x-1c" /> </span>angibt. Wie schnell geht diese Uhr, vom ruhenden <br/>System aus betrachtet? </p><!--l. 973--><p class="indent"> Zwischen die Größen <span class="cmmi-12">x, t </span>und <span class="cmmi-12"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-1c.png" alt="t" class="12x-x-1c" /></span>, welche sich auf den Ort <br/>dieser Uhr beziehen, gelten offenbar die Gleichungen: </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190537x.png" alt=" ( ) t = V~ ---1------ t- -v-x (v-)2 V 2 1 - V " class="par-math-display" /></center> <!--l. 981--><p class="nopar"></p><!--l. 985--><p class="noindent">und</p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190538x.png" alt="x = v t. " class="par-math-display" /></center> <!--l. 991--><p class="nopar"></p><!--l. 994--><p class="noindent">Es ist also</p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190539x.png" alt=" V~ -----(--)-- ( V~ ----(---)-) -v 2 v- 2 t = t 1- V = t- 1 - 1- V t, " class="par-math-display" /></center> <!--l. 1002--><p class="nopar"> </p><!--l. 1006--><p class="noindent">woraus folgt, daß die Angabe der Uhr (im ruhenden System <br/>betrachtet) pro Sekunde um <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190540x.png" alt="( V~ ----------2) 1- 1 - (v/V )" class="left" align="middle" /> Sek. oder -- bis <br/>auf Größen vierter und höherer Ordnung um <span class="cmr-8">1</span> <span class="cmr-8">2</span>(<span class="cmmi-12">v</span><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190541x.png" alt="/" class="left" align="middle" /> <span class="cmmi-12">V </span>)<sup ><span class="cmr-8">2</span></sup> Sek. <br/>zurückbleibt. </p><!--l. 1014--><p class="indent"> Hieraus ergibt sich folgende eigentümliche Konsequenz. <br/>Sind in den Punkten <span class="cmmi-12">A</span> und <span class="cmmi-12">B </span>von <span class="cmmi-12">K </span>ruhende, im ruhenden <br/>System betrachtet, synchron gehende Uhren vorhanden, und <br/>bewegt man die Uhr in <span class="cmmi-12">A </span>mit der Geschwindigkeit <span class="cmmi-12">v </span>auf der <br/>Verbindungslinie nach <span class="cmmi-12">B</span>, so gehen nach Ankunft dieser Uhr <br/>in <span class="cmmi-12">B </span>die beiden Uhren nicht mehr synchron, sondern die von <span class="cmmi-12">A </span> <br/>nach <span class="cmmi-12">B </span>bewegte Uhr geht gegenüber der von Anfang an in <span class="cmmi-12">B </span> <br/>befindlichen um <span class="cmr-8">1</span> <span class="cmr-8">2</span> <span class="cmmi-12">tv</span><sup ><span class="cmr-8">2</span></sup><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190542x.png" alt="/" class="left" align="middle" /> <span class="cmmi-12">V</span> <sup ><span class="cmr-8">2</span></sup> Sek. (bis auf Größen vierter und <br/>höherer Ordnung) nach, wenn <span class="cmmi-12">t </span>die Zeit ist, welche die Uhr <br/>von <span class="cmmi-12">A </span>nach <span class="cmmi-12">B </span>braucht. </p><!--l. 1029--><p class="indent"> Man sieht sofort, daß dies Resultat auch dann noch gilt, <br/>wenn die Uhr in einer beliebigen polygonalen Linie sich von <span class="cmmi-12">A </span> <br/>nach <span class="cmmi-12">B </span>bewegt, und zwar auch dann, wenn die Punkte <span class="cmmi-12">A </span> <br/>und <span class="cmmi-12">B </span>zusammenfallen. </p><!--l. 1034--><p class="indent"> Nimmt man an, daß das für eine polygonale Linie be-<br/>wiesene Resultat auch für eine stetig gekrümmte Kurve gelte, <br/>so erhält man den Satz: Befinden sich in <span class="cmmi-12">A</span> zwei synchron <br/>gehende Uhren und bewegt man die eine derselben auf einer <br/>geschlossenen Kurve mit konstanter Geschwindigkeit, bis sie <br/>wieder nach <span class="cmmi-12">A</span> zurückkommt, was <span class="cmmi-12">t </span>Sek. dauern möge, so geht <br/>die letztere Uhr bei ihrer Ankunft in <span class="cmmi-12">A </span>gegenüber der un-<br/><pb/> </p><!--l. 1046--><p class="indent"> </p><!--l. 1047--><p class="noindent">bewegt gebliebenen um <span class="cmr-8">1</span> <span class="cmr-8">2</span> <span class="cmmi-12">t </span>(<span class="cmmi-12">v</span><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190543x.png" alt="/" class="left" align="middle" /> <span class="cmmi-12">V </span>)<sup ><span class="cmr-8">2</span></sup> Sek. nach. Man schließt <br/>daraus, daß eine am Erdäquator befindliche Unruhuhr um einen <br/>sehr kleinen Betrag langsamer laufen muß als eine genau <br/>gleich beschaffene, sonst gleichen Bedingungen unterworfene, <br/>an einem Erdpole befindliche Uhr. </p> <div class="center" > <!--l. 1057--><p class="noindent"> </p><!--l. 1058--><p class="noindent"><span class="cmsy-10x-x-120">§ </span>5. Additionstheorem der Geschwindigkeiten.</p></div> <!--l. 1062--><p class="indent"> In dem längs der <span class="cmmi-12">X</span>-Achse des Systems <span class="cmmi-12">K </span>mit der Ge-<br/>schwindigkeit <span class="cmmi-12">v</span> bewegten System <span class="cmmi-12">k </span>bewege sich ein Punkt <br/>gemäß den Gleichungen:</p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190544x.png" alt="q = wq t , " class="par-math-display" /></center> <!--l. 1071--><p class="nopar"></p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190545x.png" alt="j = wj t , " class="par-math-display" /></center> <!--l. 1080--><p class="nopar"></p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190546x.png" alt="z = 0 , " class="par-math-display" /></center> <!--l. 1089--><p class="nopar"></p><!--l. 1093--><p class="noindent">wobei <span class="cmmi-12">w</span><sub ><span class="cmmi-8"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi8-18.png" alt="q" class="cmmi-8x-x-18" align="middle" /></span></sub> und <span class="cmmi-12">w</span><sub ><span class="cmmi-8"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi8-11.png" alt="j" class="cmmi-8x-x-11" align="middle" /></span></sub> Konstanten bedeuten. </p><!--l. 1095--><p class="indent"> Gesucht ist die Bewegung des Punktes relativ zum System <span class="cmmi-12">K</span>. <br/>Führt man in die Bewegungsgleichungen des Punktes mit Hilfe <br/>der in <span class="cmsy-10x-x-120">§ </span>3 entwickelten Transformationsgleichungen die Größen <br/><span class="cmmi-12">x, y, z, t </span>ein, so erhält man: </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190547x.png" alt=" -wq-+-v-- x = v-wq-t, 1 + V 2 " class="par-math-display" /></center> <!--l. 1105--><p class="nopar"></p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190548x.png" alt=" V~ ----(---)-- 1 - v- 2 ---------V--- y = vwq-- wj t , 1 + V 2 " class="par-math-display" /></center> <!--l. 1115--><p class="nopar"></p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190549x.png" alt="z = 0. " class="par-math-display" /></center> <!--l. 1125--><p class="nopar"> </p><!--l. 1129--><p class="noindent">Das Gesetz vom Parallelogramm der Geschwindigkeiten gilt <br/>also nach unserer Theorie nur in erster Annäherung. Wir <br/>setzen: </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190550x.png" alt=" (d x )2 (d y )2 U 2 = --- + --- , dt d t " class="par-math-display" /></center> <!--l. 1139--><p class="nopar"> </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190551x.png" alt="w2 = w2q + w2j " class="par-math-display" /></center> <!--l. 1149--><p class="nopar"></p><!--l. 1153--><p class="noindent">und</p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190552x.png" alt=" wj- a = arctg wq ; " class="par-math-display" /></center> <!--l. 1159--><p class="nopar"> <pb/> </p><!--l. 1166--><p class="indent"> </p><!--l. 1167--><p class="noindent"><span class="cmmi-12"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-b.png" alt="a" class="12x-x-b" /> </span>ist dann als der Winkel zwischen den Geschwindigkeiten <span class="cmmi-12">v </span> <br/>und <span class="cmmi-12">w </span>anzusehen. Nach einfacher Rechnung ergibt sich: </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190553x.png" alt=" V~ -------------------------(----------)-- 2 2 v-w-sin-a- 2 (v + w + 2 vw cos a) - V U = ----------------------------------------- . 1 + v-w-cos-a- V 2 " class="par-math-display" /></center> <!--l. 1176--><p class="nopar"> </p><!--l. 1180--><p class="noindent">Es ist bemerkenswert, daß <span class="cmmi-12">v </span>und <span class="cmmi-12">w </span>in symmetrischer Weise <br/>in den Ausdruck für die resultierende Geschwindigkeit ein-<br/>gehen. Hat auch <span class="cmmi-12">w </span>die Richtung der <span class="cmmi-12">X</span>-Achse (<img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmr12-4.png" alt="E" class="12x-x-4" />-Achse), so <br/>erhalten wir: </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190554x.png" alt=" -v-+-w-- U = v-w-. 1 + V 2 " class="par-math-display" /></center> <!--l. 1189--><p class="nopar"> </p><!--l. 1193--><p class="noindent">Aus dieser Gleichung folgt, daß aus der Zusammensetzung <br/>zweier Geschwindigkeiten, welche kleiner sind als <span class="cmmi-12">V </span>, stets eine <br/>Geschwindigkeit kleiner als <span class="cmmi-12">V </span>resultiert. Setzt man nämlich <br/><span class="cmmi-12">v </span>= <span class="cmmi-12">V </span><span class="cmsy-10x-x-120">-</span> <span class="cmbxti-10x-x-120">x</span><span class="cmmi-12">, w </span>= <span class="cmmi-12">V </span><span class="cmsy-10x-x-120">- </span><span class="cmmi-12"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-15.png" alt="c" class="12x-x-15" /></span>, wobei <span class="cmbxti-10x-x-120">x </span>und <span class="cmmi-12"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-15.png" alt="c" class="12x-x-15" /> </span>positiv und kleiner als <span class="cmmi-12">V</span> <br/>seien, so ist: </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190555x.png" alt="U = V ----2V----x---c----< V . 2 V - x - c + x-c- V " class="par-math-display" /></center> <!--l. 1202--><p class="nopar"> </p><!--l. 1206--><p class="indent"> Es folgt ferner, daß die Lichtgeschwindigkeit <span class="cmmi-12">V </span>durch <br/>Zusammensetzung mit einer ,,Unterlichtgeschwindigkeit“ nicht <br/>geändert werden kann. Man erhält für diesen Fall: </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190556x.png" alt=" V + w U = -----w-= V . 1 + -- V " class="par-math-display" /></center> <!--l. 1214--><p class="nopar"> </p><!--l. 1218--><p class="noindent">Wir hätten die Formel für <span class="cmmi-12">U </span>für den Fall, daß <span class="cmmi-12">v </span>und <span class="cmmi-12">w </span> <br/>gleiche Richtung besitzen, auch durch Zusammensetzen zweier <br/>Transformationen gemäß <span class="cmsy-10x-x-120">§ </span>3 erhalten können. Führen wir <br/>neben den in <span class="cmsy-10x-x-120">§ </span>3 figurierenden Systemen <span class="cmmi-12">K </span>und <span class="cmmi-12">k </span>noch ein <br/>drittes, zu <span class="cmmi-12">k </span>in Parallelbewegung begriffenes Koordinaten-<br/>system <span class="cmmi-12">k</span><span class="cmsy-10x-x-120">' </span>ein, dessen Anfangspunkt sich auf der <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmr12-4.png" alt="E" class="12x-x-4" />-Achse mit <br/>der Geschwindigkeit <span class="cmmi-12">w </span>bewegt, so erhalten wir zwischen den <br/>Größen <span class="cmmi-12">x, y, z, t </span>und den entsprechenden Größen von <span class="cmmi-12">k</span><span class="cmsy-10x-x-120">' </span>Glei-<br/>chungen, welche sich von den in <span class="cmsy-10x-x-120">§ </span>3 gefundenen nur dadurch <br/>unterscheiden, daß an Stelle von ,,<span class="cmmi-12">v</span>“ die Größe </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190557x.png" alt=" v + w ----v-w- 1 + --2- V " class="par-math-display" /></center> <!--l. 1230--><p class="nopar"> <pb/> </p><!--l. 1237--><p class="indent"> </p><!--l. 1238--><p class="noindent">tritt; man sieht daraus, daß solche Paralleltransformationen --<br/>wie dies sein muß -- eine Gruppe bilden. </p><!--l. 1242--><p class="indent"> Wir haben nun die für uns notwendigen Sätze der unseren <br/>zwei Prinzipien entsprechenden Kinematik hergeleitet und gehen <br/>dazu über, deren Anwendung in der Elektrodynamik zu zeigen. </p> <div class="center" > <!--l. 1247--><p class="noindent"> </p><!--l. 1248--><p class="noindent"><span class="cmr-12x-x-120">II. Eektrodynamischer Teil.</span></p></div> <div class="center" > <!--l. 1251--><p class="noindent"> </p><!--l. 1252--><p class="noindent"><span class="cmsy-10x-x-120">§ </span>6. Transformation der Maxwell-Hertzschen Gleichungen für <br/>den leeren Raum. Über die Natur der bei Bewegung in einem <br/>Magnetfeld auftretenden elektromotorischen Kräfte.</p></div> <!--l. 1259--><p class="indent"> Die Maxwell-Hertzschen Gleichungen für den leeren <br/>Raum mögen gültig sein für das ruhende System <span class="cmmi-12">K</span>, so daß <br/>gelten möge: </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190558x.png" alt=" 1 @ X @ N @ M 1 @ L @ Y @ Z V- @-t-= @-y-- -@ z-, V-@-t-= @-z-- -@ y-, -1 @ Y- @-L- @-N- 1-@-M-- @ Z- @-X- V @ t = @ z - @ x , V @ t = @ x - @ z , -1 @ Z- = @-M--- @ L-, 1-@-N-= @-X- - @-Y-, V @ t @ x @ y V @ t @ y @ x " class="par-math-display" /></center> <!--l. 1284--><p class="nopar"> </p><!--l. 1288--><p class="noindent">wobei (<span class="cmmi-12">X, Y, Z</span>) den Vektor der elektrischen, (<span class="cmmi-12">L, M, N</span>) den der <br/>magnetischen Kraft bedeutet. </p><!--l. 1291--><p class="indent"> Wenden wir auf diese Gleichungen die in <span class="cmsy-10x-x-120">§ </span>3 entwickelte <br/>Transformation an, indem wir die elektromagnetischen Vor-<br/>gänge auf das dort eingeführte, mit der Geschwindigkeit <span class="cmmi-12">v </span> <br/>bewegte Koordinatensystem beziehen, so erhalten wir die <br/>Gleichungen:</p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190559x.png" alt=" ( v ) ( v ) 1 @ X @ b N - -- Y @ b M + -- Z -- ---- = ----------V------ ----------V-----, V @ t @ j @ z ( -v ) ( -v ) -1 @ b-Y----V--N--- @ L- @ b-N----V--Y--- V @ t = @ z - @ q , ( ) ( ) @ b Z + v- M @ b M + v-Z -1 ---------V------= ----------V------ @ L-, V @ t @ q @ j ( v ) ( v ) 1 @ L @ b Y - --N @ b Z + -- M -- ---- = ----------V------ ---------V------, V @ t @ z @ j " class="par-math-display" /></center> <!--l. 1327--><p class="nopar"> <pb/> </p><!--l. 1334--><p class="indent"> </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190560x.png" alt=" ( ) ( ) -v v- 1-@-b--M--+-V--Z-- @-b--Z-+--V-M--- @-X- V @t = @ q - @ z , ( ) ( ) @ b N - v- Y @ b Y - v-N 1-----------V----- = @-X- - ----------V-----, V @ t @ j @ q " class="par-math-display" /></center> <!--l. 1350--><p class="nopar"> </p><!--l. 1354--><p class="noindent">wobei </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190561x.png" alt=" 1 b = V~ -----(--)---. -v 2 1 - V " class="par-math-display" /></center> <!--l. 1361--><p class="nopar"> </p><!--l. 1365--><p class="indent"> Das Relativitätsprinzip fordert nun, daß die Maxwell-<br/>Hertzschen Gleichungen für den leeren Raum auch im <br/>System <span class="cmmi-12">k </span>gelten, wenn sie im System <span class="cmmi-12">K </span>gelten, d. h. daß für <br/>die im bewegten System <span class="cmmi-12">k </span>durch ihre ponderomotorischen <br/>Wirkungen auf elektrische bez. magnetische Massen definierten <br/>Vektoren der elektrischen und magnetischen Kraft <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190562x.png" alt="((X', Y ', Z')" class="left" align="middle" /> <br/>und <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190563x.png" alt="(L', M ', N '))" class="left" align="middle" /> des bewegten Systems <span class="cmmi-12">k </span>die Gleichungen gelten: </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190564x.png" alt="1-@-X'- @-N-' @ M-' 1-@-L' @-Y-' @ Z' V @ t = @ j - @ z , V @ t = @ z - @ j , 1 @ Y ' @ L' @ N ' 1@ M ' @ Z' @ X' -------= ----- -----, ------- = ----- -----, V @ t @ z @ q V @ t @ q @ z 1 @ Z' @ M ' @ L' 1 @ N ' @ X' @ Y' ------ = ------ ----, -- -----= ------ -----. V @ t @ q @ j V @ t @ j @ q " class="par-math-display" /></center> <!--l. 1397--><p class="nopar"> </p><!--l. 1401--><p class="indent"> Offenbar müssen nun die beiden für das System <span class="cmmi-12">k </span>ge-<br/>fundenen Gleichungssysteme genau dasselbe ausdrücken, da <br/>beide Gleichungssysteme den Maxwell-Hertzschen Gleichungen <br/>für das System <span class="cmmi-12">K </span>äquivalent sind. Da die Gleichungen beider <br/>Systeme ferner bis auf die die Vektoren darstellenden Symbole <br/>übereinstimmen, so folgt, daß die in den Gleichungssystemen <br/>an entsprechenden Stellen auftretenden Funktionen bis auf <br/>einen für alle Funktionen des einen Gleichungssystems ge-<br/>meinsamen, von <span class="cmmi-12"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-18.png" alt="q" class="cmmi-12x-x-18" align="middle" /> , <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-11.png" alt="j" class="cmmi-12x-x-11" align="middle" /> , <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-10.png" alt="z" class="cmmi-12x-x-10" align="middle" /></span> und <span class="cmmi-12"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-1c.png" alt="t" class="12x-x-1c" /> </span>unabhängigen, eventuell von <span class="cmmi-12">v </span> <br/>abhängigen Faktor <span class="cmmi-12"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-20.png" alt="y" class="12x-x-20" /></span>(<span class="cmmi-12">v</span>) übereinstimmen müssen. Es gelten <br/>also die Beziehungen: </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190565x.png" alt=" ' ' X = y (v)X ( v ) L = y (v)L ,( v ) Y '= y (v)b Y - -- N , M '= y (v)b M + -- Z , ( V ) ( V ) Z'= y (v)b Z + v- M , N ' = y (v) b N - v-Y . V V " class="par-math-display" /></center> <!--l. 1429--><p class="nopar"> <pb/> </p><!--l. 1436--><p class="indent"> </p><!--l. 1437--><p class="indent"> Bildet man nun die Umkehrung dieses Gleichungssystems, <br/>erstens durch Auflösen der soeben erhaltenen Gleichungen, <br/>zweitens durch Anwendung der Gleichungen auf die inverse <br/>Transformation (von <span class="cmmi-12">k </span>auf <span class="cmmi-12">K</span>), welche durch die Geschwindig-<br/>keit <span class="cmsy-10x-x-120">-</span><span class="cmmi-12">v </span>charakterisiert ist, so folgt, indem man berücksichtigt, <br/>daß die beiden so erhaltenen Gleichungssysteme identisch sein <br/>müssen:</p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190566x.png" alt="f(v) .f( -v) = 1. " class="par-math-display" /></center> <!--l. 1449--><p class="nopar"></p><!--l. 1453--><p class="noindent">Ferner folgt aus Symmetriegründen<sup ><span class="cmr-8">1</span></sup>) </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190567x.png" alt="f(v) = f(- v) ; " class="par-math-display" /></center> <!--l. 1458--><p class="nopar"></p><!--l. 1462--><p class="noindent">es ist also</p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190568x.png" alt="f(v) = 1, " class="par-math-display" /></center> <!--l. 1468--><p class="nopar"></p><!--l. 1472--><p class="noindent">und unsere Gleichungen nehmen die Form an: </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190569x.png" alt="X'= X (, ) L'= L ,( ) Y'= b Y - v-N , M '= b M + v-Z , V V ' ( v- ) ' ( -v ) Z = b Z + V M , N = b N - V Y . " class="par-math-display" /></center> <!--l. 1486--><p class="nopar"> </p><!--l. 1490--><p class="noindent">Zur Interpretation dieser Gleichungen bemerken wir folgendes. <br/>Es liegt eine punktförmige Elektrizitätsmenge vor, welche im <br/>ruhenden System <span class="cmmi-12">K </span>gemessen von der Größe ,,eins“ sei, d. h. <br/>im ruhenden System ruhend auf eine gleiche Elektrizitätsmenge <br/>im Abstand 1 cm die Kraft 1 Dyn ausübe. Nach dem Relativitäts-<br/>prinzip ist diese elektrische Masse auch im bewegten System <br/>gemessen von der Größe ,,eins“. Ruht diese Elektrizitäts-<br/>menge relativ zum ruhenden System, so ist definitionsgemäß <br/>der Vektor (<span class="cmmi-12">X,Y,Z</span>) gleich der auf sie wirkenden Kraft. Ruht <br/>die Elektrizitätsmenge gegenüber dem bewegten System (wenig-<br/>stens in dem betreffenden Augenblick), so ist die auf sie <br/>wirkende, in dem bewegten System gemessene Kraft gleich <br/>dem Vektor (<span class="cmmi-12">X</span><span class="cmsy-10x-x-120">'</span><span class="cmmi-12">, Y </span><span class="cmsy-10x-x-120">'</span><span class="cmmi-12">, Z</span><span class="cmsy-10x-x-120">'</span>). Die ersten drei der obigen Gleichungen <br/>lassen sich mithin auf folgende zwei Weisen in Worte kleiden: </p><!--l. 1509--><p class="indent"> 1. Ist ein punktförmiger elektrischer Einheitspol in einem <br/>elektromagnetischen Felde bewegt, so wirkt auf ihn außer der <br/>---------- </p><!--l. 1514--><p class="indent"> 1) Ist z. B. <span class="cmmi-12">X </span>= <span class="cmmi-12">Y </span>= <span class="cmmi-12">Z </span>= <span class="cmmi-12">L </span>= <span class="cmmi-12">M </span>= 0 und <span class="cmmi-12">N</span><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190570x.png" alt="/=" class="neq" align="middle" />0, so ist aus Symmetrie-<br/>gründen klar, daß bei Zeichenwechsel von <span class="cmmi-12">v </span>ohne Änderung des nume-<br/>rischen Wertes auch <span class="cmmi-12">Y </span><span class="cmsy-10x-x-120">' </span>sein Vorzeichen ändern muß, ohne seinen nume-<br/>rischen Wert zu ändern. <pb/> </p><!--l. 1523--><p class="indent"> </p><!--l. 1524--><p class="noindent">elektrischen Kraft eine ,,elektromotorische Kraft“, welche unter <br/>Vernachlässigung von mit der zweiten und höheren Potenzen <br/>von <span class="cmmi-12">v</span><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190571x.png" alt="/" class="left" align="middle" /> <span class="cmmi-12">V </span>multiplizierten Gliedern gleich ist dem mit der <br/>Lichtgeschwindigkeit dividierten Vektorprodukt der Bewegungs-<br/>geschwindigkeit des Einheitspoles und der magnetischen Kraft. <br/>(Alte Ausdrucksweise.) </p><!--l. 1533--><p class="indent"> 2. Ist ein punktförmiger elektrischer Einheitspol in einem <br/>elektromagnetischen Felde bewegt, so ist die auf ihn wirkende <br/>Kraft gleich der an dem Orte des Einheitspoles vorhandenen <br/>elektrischen Kraft, welche man durch Transformation des Feldes <br/>auf ein relativ zum elektrischen Einheitspol ruhendes Koordi-<br/>natensystem erhält. (Neue Ausdrucksweise.) </p><!--l. 1541--><p class="indent"> Analoges gilt über die ,,magnetomotorischen Kräfte“. Man <br/>sieht, daß in der entwickelten Theorie die elektromotorische <br/>Kraft nur die Rolle eines Hilfsbegriffes spielt, welcher seine <br/>Einführung dem Umstande verdankt, daß die elektrischen und <br/>magnetischen Kräfte keine von dem Bewegungszustande des <br/>Koordinatensystems unabhängige Existenz besitzen. </p><!--l. 1549--><p class="indent"> Es ist ferner klar, daß die in der Einleitung angeführte <br/>Asymmetrie bei der Betrachtung der durch Relativbewegung <br/>eines Magneten und eines Leiters erzeugten Ströme verschwindet. <br/>Auch werden die Fragen nach dem ,,Sitz“ der elektrodynamischen <br/>elektromotorischen Kräfte (Unipolarmaschinen) gegenstandslos. </p> <div class="center" > <!--l. 1557--><p class="noindent"> </p><!--l. 1558--><p class="noindent"><span class="cmsy-10x-x-120">§ </span>7. Theorie des Doppelerschen Prinzips und der Aberration.</p></div> <!--l. 1563--><p class="indent"> Im Systeme <span class="cmmi-12">K </span>befinde sich sehr ferne vom Koordinaten-<br/>ursprung eine Quelle elektrodynamischer Wellen, welche in <br/>einem den Koordinatenursprung enthaltenden Raumteil mit <br/>genügender Annäherung durch die Gleichungen dargestellt sei:</p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190572x.png" alt="X = X0 sin P, L = L0sinP , ( ) Y = Y0sinP, M = M0 sin P, P = w t- a-x-+-by-+-c-z . V Z = Z0sin P, N = N0 sinP , " class="par-math-display" /></center> <!--l. 1581--><p class="nopar"> </p><!--l. 1585--><p class="noindent">Hierbei sind (<span class="cmmi-12">X</span><sub ><span class="cmr-8">0</span></sub><span class="cmmi-12">, Y</span> <sub ><span class="cmr-8">0</span></sub><span class="cmmi-12">, Z</span><sub ><span class="cmr-8">0</span></sub>) und (<span class="cmmi-12">L</span><sub ><span class="cmr-8">0</span></sub><span class="cmmi-12">, M</span><sub ><span class="cmr-8">0</span></sub><span class="cmmi-12">, N</span><sub ><span class="cmr-8">0</span></sub>) die Vektoren, welche <br/>die Amplitude des Wellenzuges bestimmen, <span class="cmmi-12">a,b,c </span>die Richtungs-<br/>kosinus der Wellennormalen. </p><!--l. 1590--><p class="indent"> Wir fragen nach der Beschaffenheit dieser Wellen, wenn <br/>dieselben von einem in dem bewegten System <span class="cmmi-12">k </span>ruhenden <br/><pb/> </p><!--l. 1595--><p class="indent"> </p><!--l. 1596--><p class="noindent">Beobachter untersucht werden. -- Durch Anwendung der in <br/><span class="cmsy-10x-x-120">§ </span>6 gefundenen Transformationsgleichungen für die elektrischen <br/>und magnetischen Kräfte und der in <span class="cmsy-10x-x-120">§ </span>3 gefundenen Trans-<br/>formationsgleichungen für die Koordinaten und die Zeit er-<br/>halten wir unmittelbar:</p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190573x.png" alt=" ' ' ' ' X = X0 sin P , L = L0 sinP , ' ( -v ) ' ' ( -v ) ' Y = b Y0 - V N0 sinP , M = b M0 + V Z0 sin P , ( v ) ( v ) Z'= b Z0 + --M0 sin P', N '= b N0 - -- Y0 sin P', V ( )V ' ' a'q + b 'j + c'z P = w t - ---------------- , V " class="par-math-display" /></center> <!--l. 1622--><p class="nopar"></p><!--l. 1626--><p class="noindent">wobei</p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190574x.png" alt=" ( ) ' v- w = w b 1 - a V , v- ' a----V-- a = -v , 1- aV b b'= -(--------),- b 1- a-v V c'= -(---c----)-- b 1- a-v V " class="par-math-display" /></center> <!--l. 1644--><p class="nopar"> </p><!--l. 1648--><p class="noindent">gesetzt ist. </p><!--l. 1651--><p class="indent"> Aus der Gleichung für <span class="cmmi-12"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-21.png" alt="w" class="12x-x-21" /></span><span class="cmsy-10x-x-120">' </span>folgt: Ist ein Beobachter relativ <br/>zu einer unendlich fernen Lichtquelle von der Frequenz <span class="cmmi-12"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-17.png" alt="n" class="12x-x-17" /> </span>mit <br/>der Geschwindigkeit <span class="cmmi-12">v </span>derart bewegt, daß die Verbindungs-<br/>linie ,,Lichtquelle--Beobachter“ mit der auf ein relativ zur <br/>Lichtquelle ruhendes Koordinatensystem bezogenen Geschwindig-<br/>keit des Beobachters den Winkel <span class="cmmi-12"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-27.png" alt="f" class="cmmi-12x-x-27" align="middle" /> </span>bildet, so ist die von <br/>dem Beobachter wahrgenommene Frequenz <span class="cmmi-12"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-17.png" alt="n" class="12x-x-17" /></span><span class="cmsy-10x-x-120">' </span>des Lichtes <br/>durch die Gleichung gegeben: </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190575x.png" alt=" v 1- cosf -- n'= n V~ -----(--V)-. 1 - -v 2 V " class="par-math-display" /></center> <!--l. 1667--><p class="nopar"> </p><!--l. 1671--><p class="noindent">Dies ist das Doppelersche Prinzip für beliebige Geschwindig-<br/><pb/> </p><!--l. 1675--><p class="indent"> </p><!--l. 1676--><p class="noindent">keiten. Für <span class="cmmi-12"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-27.png" alt="f" class="cmmi-12x-x-27" align="middle" /> </span>= 0 nimmt die Gleichung die übersichtliche <br/>Form an: </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190576x.png" alt=" -----v-- 1 - -- n'= n V~ ----Vv--. 1 + -- V " class="par-math-display" /></center> <!--l. 1683--><p class="nopar"> </p><!--l. 1687--><p class="noindent">Man sieht, daß -- im Gegensatz zu der üblichen Auffassung --<br/>für <span class="cmmi-12">v </span>= <span class="cmsy-10x-x-120">-<img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmsy10-c-31.png" alt=" oo " class="10-120x-x-31" /></span><span class="cmmi-12">, <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-17.png" alt="n" class="12x-x-17" /> </span>= <span class="cmsy-10x-x-120"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmsy10-c-31.png" alt=" oo " class="10-120x-x-31" /></span> ist. </p><!--l. 1691--><p class="indent"> Nennt man <span class="cmmi-12"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-27.png" alt="f" class="cmmi-12x-x-27" align="middle" /></span><span class="cmsy-10x-x-120">' </span>den Winkel zwischen Wellennormale (Strahl-<br/>richtung) im bewegten System und der Verbindungslinie ,,Licht-<br/>quelle--Beobachter“, so nimmt die Gleichung für <span class="cmmi-12">a</span><span class="cmsy-10x-x-120">' </span>die Form an: </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190577x.png" alt=" v- ' cosf - V cos f = ----v-------. 1- -- cosf V " class="par-math-display" /></center> <!--l. 1700--><p class="nopar"> </p><!--l. 1704--><p class="noindent">Diese Gleichung drückt das Aberrationsgesetz in seiner all-<br/>gemeinsten Form aus. Ist <span class="cmmi-12"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-27.png" alt="f" class="cmmi-12x-x-27" align="middle" /> </span>= <span class="cmmi-12"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-19.png" alt="p" class="12x-x-19" /></span> <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190578x.png" alt="/" class="left" align="middle" />2, so nimmt die Gleichung <br/>die einfache Gestalt an: </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190579x.png" alt=" v cos f'= - --. V " class="par-math-display" /></center> <!--l. 1713--><p class="nopar"> </p><!--l. 1717--><p class="indent"> Wir haben nun noch die Amplitude der Wellen, wie <br/>dieselbe im bewegten System erscheint, zu suchen. Nennt <br/>man <span class="cmmi-12">A </span>bez. <span class="cmmi-12">A</span><span class="cmsy-10x-x-120">' </span>die Amplitude der elektrischen oder magne-<br/>tischen Kraft im ruhenden bez. im bewegten System gemessen, <br/>so erhält man: </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190580x.png" alt=" ( v )2 1- --cos f A'2 = A2 ------V(--)-----, 1 - -v 2 V " class="par-math-display" /></center> <!--l. 1728--><p class="nopar"> </p><!--l. 1732--><p class="noindent">welche Gleichung für <span class="cmmi-12"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-27.png" alt="f" class="cmmi-12x-x-27" align="middle" /> </span>= 0 in die einfachere übergeht: </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190581x.png" alt=" v 1- -- A'2 = A2 ----V--. 1 + v- V " class="par-math-display" /></center> <!--l. 1739--><p class="nopar"> </p><!--l. 1743--><p class="indent"> Es folgt aus den entwickelten Gleichungen, daß für einen <br/>Beobachter, der sich mit der Geschwindigkeit <span class="cmmi-12">V </span>einer Licht-<br/>quelle näherte, diese Lichtquelle unendlich intensiv erscheinen <br/>müßte. <pb/> </p><!--l. 1751--><p class="indent"> </p> <div class="center" > <!--l. 1752--><p class="noindent"> </p><!--l. 1753--><p class="noindent"><span class="cmsy-10x-x-120">§ </span>8. Transformation der Energie der Lichtstrahlen. Theorie des <br/>auf vollkommene Spiegel ausgeübten Strahlungsdruckes.</p></div> <!--l. 1758--><p class="indent"> Da <span class="cmmi-12">A</span><sup ><span class="cmr-8">2</span></sup><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190582x.png" alt="/" class="left" align="middle" /> 8 <span class="cmmi-12"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-19.png" alt="p" class="12x-x-19" /></span> gleich der Lichtenergie pro Volumeneinheit <br/>ist, so haben wir nach dem Relativitätsprinzip <span class="cmmi-12">A</span><span class="cmsy-10x-x-120">'</span><sup ><span class="cmr-8">2</span></sup><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190583x.png" alt="/" class="left" align="middle" /> 8 <span class="cmmi-12"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-19.png" alt="p" class="12x-x-19" /></span> als die <br/>Lichtenergie im bewegten System zu betrachten. Es wäre <br/>daher <span class="cmmi-12">A</span><span class="cmsy-10x-x-120">'</span><sup ><span class="cmr-8">2</span></sup><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190584x.png" alt="/" class="left" align="middle" /> <span class="cmmi-12">A</span><sup ><span class="cmr-8">2</span></sup> das Verhältnis der ,,bewegt gemessenen“ und <br/>,,ruhend gemessenen“ Energie eines bestimmten Lichtkomplexes, <br/>wenn das Volumen eines Lichtkomplexes in <span class="cmmi-12">K </span>gemessen und <br/>in <span class="cmmi-12">k </span>gemessen das gleiche wäre. Dies ist jedoch nicht der <br/>Fall. Sind <span class="cmmi-12">a, b, c </span>die Richtungskosinus der Wellennormalen <br/>des Lichtes im ruhenden System, so wandert durch die Ober-<br/>flächenelemente der mit Lichtgeschwindigkeit bewegten Kugel-<br/>fläche </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190585x.png" alt=" 2 2 2 2 (x - V a t) + (y- V bt) + (z - V ct) = R " class="par-math-display" /></center> <!--l. 1779--><p class="nopar"> </p><!--l. 1783--><p class="noindent">keine Energie hindurch; wir können daher sagen, daß diese <br/>Fläche dauernd denselben Lichtkomplex umschließt. Wir <br/>fragen nach der Energiemenge, welche diese Fläche im System <span class="cmmi-12">k </span> <br/>betrachtet umschließt, d. h. nach der Energie des Lichtkomplexes <br/>relativ zum System <span class="cmmi-12">k</span>. </p><!--l. 1790--><p class="indent"> Die Kugelfläche ist -- im bewegten System betrachtet --<br/>eine Ellipsoidfläche, welche zur Zeit <span class="cmmi-12"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-1c.png" alt="t" class="12x-x-1c" /> </span>= 0 die Gleichung besitzt: </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190586x.png" alt="( ) ( ) ( ) b q - a b v-q 2 + j- bb v- q 2 + z - cb -v q 2 = R2 . V V V " class="par-math-display" /></center> <!--l. 1799--><p class="nopar"> </p><!--l. 1803--><p class="noindent">Nennt man <span class="cmmi-12">S </span>das Volumen der Kugel, <span class="cmmi-12">S</span><span class="cmsy-10x-x-120">' </span>dasjenige dieses <br/>Ellipsoides, so ist, wie eine einfache Rechnung zeigt: </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190587x.png" alt=" V~ -----(--)-- 1- -v 2 S'- --------V---- S = v- . 1- V cos f " class="par-math-display" /></center> <!--l. 1811--><p class="nopar"> </p><!--l. 1815--><p class="noindent">Nennt man also <span class="cmmi-12">E </span>die im ruhenden System gemessene, <span class="cmmi-12">E</span><span class="cmsy-10x-x-120">' </span>die <br/>im bewegten System gemessene Lichtenergie, welche von der <br/>betrachteten Fläche umschlossen wird, so erhält man: </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190588x.png" alt=" A'2 v ' ---S' 1 - -- cos f E--= 8p----= V~ --V--------, E A2- (v--)2 8 pS 1 - V " class="par-math-display" /></center> <!--l. 1826--><p class="nopar"> <pb/> </p><!--l. 1833--><p class="indent"> </p><!--l. 1834--><p class="noindent">welche Formel für <span class="cmmi-12"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-27.png" alt="f" class="cmmi-12x-x-27" align="middle" /> </span>= 0 in die einfachere übergeht: </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190589x.png" alt=" -----v-- E' 1- -- ---= V~ ----Vv--. E 1 + -- V " class="par-math-display" /></center> <!--l. 1841--><p class="nopar"> </p><!--l. 1845--><p class="indent"> Es ist bemerkenswert, daß die Energie und die Frequenz <br/>eines Lichtkomplexes sich nach demselben Gesetze mit dem <br/>Bewegungszustande des Beobachters ändern. </p><!--l. 1849--><p class="indent"> Es sei nun die Koordinatenebene <span class="cmmi-12"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-18.png" alt="q" class="cmmi-12x-x-18" align="middle" /> </span>= 0 eine vollkommen <br/>spiegelnde Fläche, an welcher die im letzten Paragraph be-<br/>trachteten ebenen Wellen reflektiert werden. Wir fragen nach <br/>dem auf die spiegelnde Fläche ausgeübten Lichtdruck und <br/>nach der Richtung, Frequenz und Intensität des Lichtes nach <br/>der Reflexion. </p><!--l. 1857--><p class="indent"> Das einfallende Licht sei durch die Größen <span class="cmmi-12">A, cos<img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-27.png" alt="f" class="cmmi-12x-x-27" align="middle" />, <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-17.png" alt="n" class="12x-x-17" /> </span> <br/>(auf das System <span class="cmmi-12">K</span> bezogen) definiert. Von <span class="cmmi-12">k </span>aus betrachtet <br/>sind die entsprechenden Größen: </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190590x.png" alt=" v ' 1- V-cos f A = A V~ -----(--)2-, 1 - -v V v cosf - -- cos f'= ---------V--, 1 - -v cosf V v ' 1- V-cos f n = n V~ -----(--)2-. 1- -v V " class="par-math-display" /></center> <!--l. 1872--><p class="nopar"> </p><!--l. 1876--><p class="noindent">Für das reflektierte Licht erhalten wir, wenn wir den Vor-<br/>gang auf das System <span class="cmmi-12">k</span> beziehen: </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190591x.png" alt=" '' ' A = A , '' ' cosf = - cosf , '' ' n = n . " class="par-math-display" /></center> <!--l. 1886--><p class="nopar"> </p><!--l. 1890--><p class="noindent">Endlich erhält man durch Rücktransformieren aufs ruhende <br/>System <span class="cmmi-12">K </span>für das reflektierte Licht: <pb/> </p><!--l. 1896--><p class="indent"> </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190592x.png" alt=" -v '' v- (v-)2 ''' ''1 + V cosf 1 - 2 V cosf + V A = A V~ -----(--)2--= A ----------(v-)2-------, 1 - -v 1- -- V V ( ( ) ) '' v- 1 + v- 2 cos f - 2 v- ''' -cosf--+--V-- -------V---------------V- cosf = -v ''= - v (v )2 , 1 + V cosf 1- 2--cos f + -- V V v- '' -v (v--)2 ''' ''1 + V cos f 1- 2V cosf + V n = n V~ ----(---)2-= n ------(----v-)2-------. 1 - v- 1 - -- V V " class="par-math-display" /></center> <!--l. 1917--><p class="nopar"> </p><!--l. 1921--><p class="indent"> Die auf die Flächeneinheit des Spiegels pro Zeiteinheit <br/>auftreffende (im ruhenden System gemessene) Energie ist <br/>offenbar <span class="cmmi-12">A</span><sup ><span class="cmr-8">2</span></sup><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190593x.png" alt="/" class="left" align="middle" /> 8 <span class="cmmi-12"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-19.png" alt="p" class="12x-x-19" /> </span>(<span class="cmmi-12">V</span> cos <span class="cmmi-12"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-27.png" alt="f" class="cmmi-12x-x-27" align="middle" /> </span><span class="cmsy-10x-x-120">- </span><span class="cmmi-12">v</span>). Die von der Flächeneinheit <br/>des Spiegels in der Zeiteinheit sich entfernende Energie ist <br/><span class="cmmi-12">A</span><span class="cmsy-10x-x-120">'''</span><sup ><span class="cmr-8">2</span></sup><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190594x.png" alt="/" class="left" align="middle" />8 <span class="cmmi-12"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-19.png" alt="p" class="12x-x-19" /> </span>(<span class="cmsy-10x-x-120">-</span><span class="cmmi-12">V</span> cos <span class="cmmi-12"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-27.png" alt="f" class="cmmi-12x-x-27" align="middle" /></span><span class="cmsy-10x-x-120">'''</span> + <span class="cmmi-12">v</span>). Die Differenz dieser beiden Aus-<br/>drücke ist nach dem Energieprinzip die vom Lichtdrucke in <br/>der Zeiteinheit geleistete Arbeit. Setzt man die letztere gleich <br/>dem Produkt <span class="cmmi-12">P .v</span>, wobei <span class="cmmi-12">P </span>der Lichtdruck ist, so erhält man: </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190595x.png" alt=" ( )2 2 cos f - v- P = 2 A--------(---V)--- . 8 p v- 2 1 - V " class="par-math-display" /></center> <!--l. 1942--><p class="nopar"> </p><!--l. 1946--><p class="noindent">In erster Annäherung erhält man in Übereinstimmung mit der <br/>Erfahrung und mit anderen Theorien </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190596x.png" alt=" A2 2 P = 2 --- cos f . 8 p " class="par-math-display" /></center> <!--l. 1953--><p class="nopar"> </p><!--l. 1957--><p class="indent"> Nach der hier benutzten Methode können alle Probleme <br/>der Optik bewegter Körper gelöst werden. Das Wesentliche <br/>ist, daß die elektrische und magnetische Kraft des Lichtes, <br/>welches durch einen bewegten Körper beeinflußt wird, auf ein <br/>relativ zu dem Körper ruhendes Koordinatensystem trans-<br/>formiert werden. Dadurch wird jedes Problem der Optik be-<br/>wegter Körper auf eine Reihe von Problemen der Optik ruhender <br/>Körper zurückgeführt. <pb/> </p><!--l. 1970--><p class="indent"> </p> <div class="center" > <!--l. 1971--><p class="noindent"> </p><!--l. 1972--><p class="noindent"><span class="cmsy-10x-x-120">§ </span>9. Transformation der Maxwell-Hertzschen Gleichungen <br/>mit Berücksichtigung der Konvektionsströme.</p></div> <!--l. 1976--><p class="indent"> Wir gehen aus von den Gleichungen: </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190597x.png" alt=" { } 1- u r + @ X- = @ N-- @ M-, -1 @ L-= @-Y- - @-Z-, V x @ t @ y @ z V @ t @ z @ y { } 1- uy r + @ Y- = @-L-- @-N-, -1 @ M--= @-Z-- @ X-, V @ t @ z @ x V @ t @ x @ z 1 { @ Z } @ M @ L 1 @ N @ X @ Y -- uz r + ---- = ------ ---, ------= ----- ----, V @ t @ x @ y V @ t @ y @ x " class="par-math-display" /></center> <!--l. 1997--><p class="nopar"> </p><!--l. 2001--><p class="noindent">wobei </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190598x.png" alt=" @ X @ Y @ Z r = @-x-+ @-y-+ -@ z " class="par-math-display" /></center> <!--l. 2008--><p class="nopar"> </p><!--l. 2012--><p class="noindent">die 4 <span class="cmmi-12"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-19.png" alt="p" class="12x-x-19" /></span>-fache Dichte der Elektrizität und (<span class="cmmi-12">u</span><sub ><span class="cmmi-8">x</span></sub><span class="cmmi-12">, u</span><sub ><span class="cmmi-8">y</span></sub><span class="cmmi-12">, u</span><sub ><span class="cmmi-8">z</span></sub>) den Ge-<br/>schwindigkeitsvektor der Elektrizität bedeutet. Denkt man <br/>sich die elektrischen Massen unveränderlich an kleine, starre <br/>Körper (Ionen, Elektronen) gebunden, so sind diese Gleichungen <br/>die elektromagnetische Grundlage der Lorentzschen Elektro-<br/>dynamik und Optik bewegter Körper. </p><!--l. 2021--><p class="indent"> Transformiert man diese Gleichungen, welche im System <span class="cmmi-12">K </span> <br/>gelten mögen, mit Hilfe der Transformationsgleichungen von <br/><span class="cmsy-10x-x-120">§ </span>3 und <span class="cmsy-10x-x-120">§ </span>6 auf das System <span class="cmmi-12">k</span>, so erhält man die Gleichungen: </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190599x.png" alt=" { '} ' ' ' ' ' 1- uq r'+ @-X-- = @-N--- @-M-- , @ L-= @-Y--- @-Z- , V @ t @ j @ z @ t @ z @ j 1 { @ Y '} @ L' @ N ' @ M ' @ Z' @ X' -- uj r'+ ----- = ----- -----, -----= ----- -----, V { @ t } @ z @ q @ t @ q @ z 1- ' @ Z' @ M-' @-L' @-N-' @ X'- @-Y-' V uz r + @ t = @ q - @ j , @ t = @ j - @ q , " class="par-math-display" /></center> <!--l. 2049--><p class="nopar"> </p><!--l. 2053--><p class="noindent">wobei</p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_1905100x.png" alt=" ux- v ----uxv--= uq , 1- --2- V ' ' ' ( ) --(--uy----)-= u , r'= @-X--+ @ Y-+ @-Z- = b 1 - v-ux r. b 1 - ux-v j @ q @ j @ z V 2 V2 u --(---zu--v)-= uz . b 1 - -x-- V2 " class="par-math-display" /></center> <!--l. 2071--><p class="nopar"> <pb/> </p><!--l. 2078--><p class="indent"> </p><!--l. 2079--><p class="noindent">Da -- wie aus dem Additionstheorem der Geschwindigkeiten <br/>(<span class="cmsy-10x-x-120">§ </span>5) folgt -- der Vektor (<span class="cmmi-12">u</span><sub ><span class="cmmi-8"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi8-18.png" alt="q" class="cmmi-8x-x-18" align="middle" /></span></sub><span class="cmmi-12">, u</span><sub ><span class="cmmi-8"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi8-11.png" alt="j" class="cmmi-8x-x-11" align="middle" /></span></sub><span class="cmmi-12">, u</span><sub ><span class="cmmi-8"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi8-10.png" alt="z" class="cmmi-8x-x-10" align="middle" /></span></sub>) nichts anderes ist als <br/>die Geschwindigkeit der elektrischen Massen im System <span class="cmmi-12">k </span>ge-<br/>messen, so ist damit gezeigt, daß unter Zugrundelegung unserer <br/>kinematischen Prinzipien die elektrodynamische Grundlage der <br/>Lorentzschen Theorie der Elektrodynamik bewegter Körper <br/>dem Relativitätsprinzip entspricht. </p><!--l. 2089--><p class="indent"> Es möge noch kurz bemerkt werden, daß aus den ent-<br/>wickelten Gleichungen leicht der folgende wichtige Satz ge-<br/>folgert werden kann: Bewegt sich ein elektrisch geladener <br/>Körper beliebig im Raume und ändert sich hierbei seine <br/>Ladung nicht, von einem mit dem Körper bewegten Koordi-<br/>natensystem aus betrachtet, so bleibt seine Ladung auch --<br/>von dem ,,ruhenden“ System <span class="cmmi-12">K </span>aus betrachtet -- konstant. </p> <div class="center" > <!--l. 2099--><p class="noindent"> </p><!--l. 2100--><p class="noindent"><span class="cmsy-10x-x-120">§ </span>10. Dynamik des (langsam beschleunigten) Elektrons.</p></div> <!--l. 2104--><p class="indent"> In einem elektromagnetischen Felde bewege sich ein punkt-<br/>förmiges, mit einer elektrischen Ladung <span class="cmmi-12"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-22.png" alt="e" class="12x-x-22" /> </span>versehenes Teilchen <br/>(im folgenden ,,Elektron“ genannt), über dessen Bewegungs-<br/>gesetz wir nur folgendes annehmen: </p><!--l. 2110--><p class="indent"> Ruht das Elektron in einer bestimmten Epoche, so erfolgt <br/>in dem nächsten Zeitteilchen die Bewegung des Elektrons nach <br/>den Gleichungen</p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_1905101x.png" alt=" 2 m d-x-= eX dt2 2 m d-y-= eY dt2 2 m d-z-= eZ , dt2 " class="par-math-display" /></center> <!--l. 2121--><p class="nopar"> </p><!--l. 2125--><p class="noindent">wobei <span class="cmmi-12">x, y, z </span>die Koordinaten des Elektrons, <span class="cmmi-12"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-16.png" alt="m" class="cmmi-12x-x-16" align="middle" /> </span>die Masse <br/>des Elektrons bedeutet, sofern dasselbe langsam bewegt ist. </p><!--l. 2129--><p class="indent"> Es besitze nun zweitens das Elektron in einer gewissen <br/>Zeitepoche die Geschwindigkeit <span class="cmmi-12">v . </span>Wir suchen das Gesetz, <br/>nach welchem sich das Elektron im unmittelbar darauf folgen-<br/>den Zeitteilchen bewegt. </p><!--l. 2134--><p class="indent"> Ohne die Allgemeinheit der Betrachtung zu beeinflussen, <br/>können und wollen wir annehmen, daß das Elektron in dem <br/>Momente, wo wir es ins Auge fassen, sich im Koordinaten-<br/><pb/> </p><!--l. 2141--><p class="indent"> </p><!--l. 2142--><p class="noindent">sprung befinde und sich längs der <span class="cmmi-12">X</span>-Achse des Systems <span class="cmmi-12">K </span>mit <br/>der Geschwindigkeit <span class="cmmi-12">v </span>bewege. Es ist dann einleuchtend, daß <br/>das Elektron im genannten Momente (<span class="cmmi-12">t </span>= 0) relativ zu einem <br/>längs der <span class="cmmi-12">X </span>- Achse mit der konstanten Geschwindigkeit <span class="cmmi-12">v </span> <br/>parallelbewegten Koordinatensystem <span class="cmmi-12">k</span> ruht. </p><!--l. 2149--><p class="indent"> Aus der oben gemachten Voraussetzung in Verbindung <br/>mit dem Relativitätsprinzip ist klar, daß sich das Elektron in <br/>der unmittelbar folgenden Zeit (für kleine Werte von <span class="cmmi-12">t</span>) vom <br/>System <span class="cmmi-12">k </span>aus betrachtet nach den Gleichungen bewegt: </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_1905102x.png" alt=" d2-q ' m d t2 = e X , d2-j ' m d t2 = e Y , d2-z ' m d t2 = e Z , " class="par-math-display" /></center> <!--l. 2162--><p class="nopar"> </p><!--l. 2166--><p class="noindent">wobei die Zeichen <span class="cmmi-12"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-18.png" alt="q" class="cmmi-12x-x-18" align="middle" />, <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-11.png" alt="j" class="cmmi-12x-x-11" align="middle" />, <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-10.png" alt="z" class="cmmi-12x-x-10" align="middle" />, <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-1c.png" alt="t" class="12x-x-1c" />, X</span><span class="cmsy-10x-x-120">'</span><span class="cmmi-12">, Y </span><span class="cmsy-10x-x-120">'</span><span class="cmmi-12">, Z</span><span class="cmsy-10x-x-120">' </span>sich auf das System <span class="cmmi-12">k </span> <br/>beziehen. Setzen wir noch fest, daß für <span class="cmmi-12">t </span>= <span class="cmmi-12">x </span>= <span class="cmmi-12">y </span>= <span class="cmmi-12">z </span>= 0 <br/><span class="cmmi-12"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-1c.png" alt="t" class="12x-x-1c" /> </span>= <span class="cmmi-12"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-18.png" alt="q" class="cmmi-12x-x-18" align="middle" /> </span>= <span class="cmmi-12"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-11.png" alt="j" class="cmmi-12x-x-11" align="middle" /> </span>= <span class="cmmi-12"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-10.png" alt="z" class="cmmi-12x-x-10" align="middle" /> </span>= 0 sein soll, so gelten die Transformations-<br/>gleichungen der <span class="cmsy-10x-x-120">§§ </span>3 und 6, so daß gilt: </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_1905103x.png" alt=" ( -v- ) t = b t- V 2 x , ' q = b(x - v t), X = X (, ) j = y , Y '= b Y - -v N , ( V ) ' v- z = z, Z = b Z + V M . " class="par-math-display" /></center> <!--l. 2189--><p class="nopar"> </p><!--l. 2193--><p class="indent"> Mit Hilfe dieser Gleichungen transformieren wir die obigen <br/>Bewegungsgleichungen vom System <span class="cmmi-12">k </span>auf das System <span class="cmmi-12">K </span>und <br/>erhalten:</p> <table width="100%" class="equation"><tr><td><a id="x1-2r1"></a> <center class="math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_1905104x.png" alt=" d2x- e--1- d t2 = m b3 X, 2 ( ) { d-y-= e-1- Y - -v N , d t2 m b V d2z e 1 ( v ) ---2 = ---- Z + -- M . d t m b V " class="math-display" /></center></td><td width="5%">(A)</td></tr></table> <!--l. 2208--><p class="nopar"> </p><!--l. 2212--><p class="indent"> Wir fragen nun in Anlehnung an die übliche Betrachtungs-<br/>weise nach der ,,longitudinalen“ und ,,transversalen“ Masse <br/><pb/> </p><!--l. 2218--><p class="indent"> </p><!--l. 2219--><p class="noindent">des bewegten Elektrons. Wir schreiben die Gleichungen (A) <br/>in der Form </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_1905105x.png" alt=" 2 m b3 d-x- = eX = e X', d t2 d2y ( v ) m b2 ----= eb Y - --N = eY ', d t2 V 2 d2z ( v ) ' m b ---2 = eb Z + --M = eZ d t V " class="par-math-display" /></center> <!--l. 2232--><p class="nopar"> </p><!--l. 2236--><p class="noindent">und bemerken zunächst, daß <span class="cmmi-12"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-22.png" alt="e" class="12x-x-22" />X</span><span class="cmsy-10x-x-120">'</span><span class="cmmi-12">, <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-22.png" alt="e" class="12x-x-22" />Y </span><span class="cmsy-10x-x-120">'</span><span class="cmmi-12">, <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-22.png" alt="e" class="12x-x-22" />Z</span><span class="cmsy-10x-x-120">' </span>die Komponenten <br/>der auf das Elektron wirkenden ponderomotorischen Kraft sind, <br/>und zwar in einem in diesem Moment mit dem Elektron mit <br/>gleicher Geschwindigkeit wie dieses bewegten System betrachtet. <br/>(Diese Kraft könnte beispielsweise mit einer im letzten System <br/>ruhenden Federwage gemessen werden.) Wenn wir nun diese <br/>Kraft schlechtweg ,,die auf das Elektron wirkende Kraft“ <br/>nennen und die Gleichung </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_1905106x.png" alt="Massenzahl × Beschleunigungszahl = Kraftzahl " class="par-math-display" /></center> <!--l. 2250--><p class="nopar"> </p><!--l. 2254--><p class="noindent">aufrechterhalten, und wenn wir ferner festsetzen, daß die Be-<br/>schleunigungen im ruhenden System <span class="cmmi-12">K </span>gemessen werden sollen, <br/>so erhalten wir aus obigen Gleichungen: </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_1905107x.png" alt=" m LongitudinaleMasse = ( V~ -----------)3-, (v )2 1 - -- V m TransversaleMasse = ----(---)2 . 1 - v- V " class="par-math-display" /></center> <!--l. 2267--><p class="nopar"> </p><!--l. 2271--><p class="indent"> Natürlich würde man bei anderer Definition der Kraft <br/>und der Beschleunigung andere Zahlen für die Massen erhalten; <br/>man ersieht daraus, daß man bei der Vergleichung ver-<br/>schiedener Theorien der Bewegung des Elektrons sehr vor-<br/>sichtig verfahren muß. </p><!--l. 2277--><p class="indent"> Wir bemerken, daß diese Resultate über die Masse auch <br/>für die ponderabeln materiellen Punkte gilt; denn ein pon-<br/>derabler materieller Punkt kann durch Zufügen einer <span class="cmti-12">beliebig </span> <br/><span class="cmti-12">kleinen </span>elektrischen Ladung zu einem Elektron (in unserem <br/>Sinne) gemacht werden. </p><!--l. 2284--><p class="indent"> Wir bestimmen die kinetische Energie des Elektrons. <br/>Bewegt sich ein Elektron vom Koordinatenursprung des Systems <br/><span class="cmmi-12">K </span>aus mit der Anfangsgeschwindigkeit 0 beständig auf der <br/><pb/> </p><!--l. 2291--><p class="indent"> </p><!--l. 2292--><p class="noindent"><span class="cmmi-12">X</span>-Achse unter der Wirkung einer elektrostatischen Kraft <span class="cmmi-12">X</span>, <br/>so ist klar, daß die dem elektrostatischen Felde entzogene <br/>Energie den Wert <span class="cmex-10x-x-120"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmex10-c-52.png" alt=" integral " class="cmex-10-120x-x-52" align="middle" /></span> <span class="cmmi-12"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-22.png" alt="e" class="12x-x-22" />X dx</span> hat. Da das Elektron langsam <br/>beschleunigt sein soll und infolgedessen keine Energie in Form <br/>von Strahlung abgeben möge, so muß die dem elektrostatischen <br/>Felde entzogene Energie gleich der Bewegungsenergie <span class="cmmi-12">W </span>des <br/>Elektrons gesetzt werden. Man erhält daher, indem man be-<br/>achtet, daß während des ganzen betrachteten Bewegungsvor-<br/>ganges die erste der Gleichungen (A) gilt: </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_1905108x.png" alt=" integral integral v 3 2{ -----1------- } W = e X d x = b v dv = mV V~ ----(---)2-- 1 . 0 1 - v- V " class="par-math-display" /></center> <!--l. 2309--><p class="nopar"> </p><!--l. 2313--><p class="indent"> <span class="cmmi-12">W </span>wird also für <span class="cmmi-12">v </span>= <span class="cmmi-12">V </span>unendlich groß. Überlicht-<br/>geschwindigkeiten haben -- wie bei unseren früheren Resultaten <br/>-- keine Existenzmöglichkeit. </p><!--l. 2318--><p class="indent"> Auch dieser Ausdruck für die kinetische Energie muß dem <br/>oben angeführten Argument zufolge ebenso für ponderable <br/>Massen gelten. </p><!--l. 2322--><p class="indent"> Wir wollen nun die aus dem Gleichungssystem (A) resul-<br/>tierenden, dem Experimente zugänglichen Eigenschaften der <br/>Bewegung des Elektrons aufzählen. </p><!--l. 2326--><p class="indent"> 1. Aus der zweiten Gleichung des Systems (A) folgt, daß <br/>eine elektrische Kraft <span class="cmmi-12">Y </span>und eine magnetische Kraft <span class="cmmi-12">N </span>dann <br/>gleich stark ablenkend wirken auf ein mit der Geschwindigkeit <br/><span class="cmmi-12">v </span>bewegtes Elektron, wenn <span class="cmmi-12">Y </span>= <span class="cmmi-12">N.</span><span class="cmmi-12">v</span><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_1905109x.png" alt="/" class="left" align="middle" /> <span class="cmmi-12">V </span>. Man ersieht also, daß <br/>die Ermittelung der Geschwindigkeit des Elektrons aus dem <br/>Verhältnis der magnetischen Ablenkbarkeit <span class="cmmi-12">A</span><sub ><span class="cmmi-8">m</span></sub> und der elek-<br/>trischen Ablenkbarkeit <span class="cmmi-12">A</span><sub ><span class="cmmi-8">e</span></sub> nach unserer Theorie für beliebige <br/>Geschwindigkeiten möglich ist durch Anwendung des Gesetzes: </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_1905110x.png" alt="A v --m-= --. Ae V " class="par-math-display" /></center> <!--l. 2341--><p class="nopar"> </p><!--l. 2345--><p class="indent"> Diese Beziehung ist der Prüfung durch das Experiment <br/>zugänglich, da die Geschwindigkeit des Elektrons auch direkt, <br/>z. B. mittels rasch oszillierender elektrischer und magnetischer <br/>Felder, gemessen werden kann. </p><!--l. 2351--><p class="indent"> 2. Aus der Ableitung für die kinetische Energie des <br/>Elektrons folgt, daß zwischen der durchlaufenen Potential-<br/><pb/> </p><!--l. 2357--><p class="indent"> </p><!--l. 2358--><p class="noindent">differenz und der erlangten Geschwindigkeit <span class="cmmi-12">v </span>des Elektrons <br/>die Beziehung gelten muß: </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_1905111x.png" alt=" integral { } P = X d x = m-V 2 V~ ---1-------- 1 . e (v )2 1 - -- V " class="par-math-display" /></center> <!--l. 2366--><p class="nopar"> </p><!--l. 2370--><p class="indent"> 3. Wir berechnen den Krümmungsradius <span class="cmmi-12">R </span>der Bahn, <br/>wenn eine senkrecht zur Geschwindigkeit des Elektrons wirkende <br/>magnetische Kraft <span class="cmmi-12">N </span>(als einzige ablenkende Kraft) vorhanden <br/>ist. Aus der zweiten der Gleichungen (A) erhalten wir: </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_1905112x.png" alt=" V~ ----------- d2 y v2 e v (v )2 - ---2 = --= ---- N . 1- -- dt R m V V " class="par-math-display" /></center> <!--l. 2381--><p class="nopar"> </p><!--l. 2385--><p class="noindent">oder</p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_1905113x.png" alt=" v m -- 1 R = V 2 --. V~ ---V-------.---. e (v--)2 N 1- V " class="par-math-display" /></center> <!--l. 2393--><p class="nopar"> </p><!--l. 2397--><p class="indent"> Diese drei Beziehungen sind ein vollständiger Ausdruck <br/>für die Gesetze, nach denen sich gemäß vorliegender Theorie <br/>das Elektron bewegen muß. </p><!--l. 2403--><p class="indent"> Zum Schlusse bemerke ich, daß mir beim Arbeiten an <br/>dem hier behandelten Probleme mein Freund und Kollege <br/>M. Besso treu zur Seite stand und daß ich demselben manche <br/>wertvolle Anregung verdanke. </p><!--l. 2411--><p class="indent"> Bern, Juni 1905. </p> <div class="center" > <!--l. 2415--><p class="noindent"> </p><!--l. 2416--><p class="noindent">(Eingegangen 30. Juni 1905.)</p></div> <div class="center" > <!--l. 2420--><p class="noindent"> </p><!--l. 2421--><p class="noindent">----------</p></div> </body></html>