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| author | Klaus Thoden <kthoden@mpiwg-berlin.mpg.de> |
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| date | Thu, 02 May 2013 15:04:28 +0200 |
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<?xml version="1.0" encoding="utf-8" ?> <!--http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-transitional.dtd--> <html> <head><title></title> <meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=iso-8859-1" /> <meta name="generator" content="TeX4ht (http://www.cse.ohio-state.edu/~gurari/TeX4ht/mn.html)" /> <meta name="originator" content="TeX4ht (http://www.cse.ohio-state.edu/~gurari/TeX4ht/mn.html)" /> <!-- xhtml,html --> <meta name="src" content="Einst_Kinet_de_1902.tex" /> <meta name="date" content="2005-02-25 10:08:00" /> <link rel="stylesheet" type="text/css" href="Einst_Kinet_de_1902.css" /> </head><body > <!--l. 12--><p class="noindent"><pb/></p> <div class="center" > <!--l. 13--><p class="noindent"> </p><!--l. 14--><p class="noindent"><span class="cmr-12">6. </span><span class="cmbxti-10x-x-120">Kinetische Theorie des W</span><span class="cmbxti-10x-x-120">ärmegleichgewichtes </span> <br/><span class="cmbxti-10x-x-120">und des</span> <span class="cmbxti-10x-x-120">zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik; </span> <br/><span class="cmbxti-10x-x-120">von A.</span> <span class="cmbxti-10x-x-120">Einstein.</span></p></div> <div class="center" > <!--l. 19--><p class="noindent"> </p><!--l. 20--><p class="noindent">----------</p></div> <!--l. 23--><p class="indent"> So gross die Errungenschaften der kinetischen Theorie <br/>der Wärme auf dem Gebiete der Gastheorie gewesen sind, so <br/>ist doch bis jetzt die Mechanik nicht im stande gewesen, eine <br/>hinreichende Grundlage für die allgemeine Wärmetheorie zu <br/>liefern, weil es bis jetzt nicht gelungen ist, die Sätze über <br/>das Wärmegleichgewicht und den zweiten Hauptsatz unter <br/>alleiniger Benutzung der mechanischen Gleichungen und der <br/>Wahrscheinlichkeitsrechnung herzuleiten, obwohl Maxwell’s <br/>und Boltzmann’s Theorien diesem Ziele bereits nahe ge-<br/>kommen sind. Zweck der nachfolgenden Betrachtung ist es, <br/>diese Lücke auszufüllen. Dabei wird sich gleichzeitig eine <br/>Erweiterung des zweiten Hauptsatzes ergeben, welche für die <br/>Anwendung der Thermodynamik von Wichtigkeit ist. Ferner <br/>wird sich der mathematische Ausdruck für die Entropie vom <br/>mechanischen Standpunkt aus ergeben. </p> <div class="center" > <!--l. 41--><p class="noindent"> </p><!--l. 42--><p class="noindent"><span class="cmsy-10">§ </span>1. Mechanisches Bild für ein physikalisches System.</p></div> <!--l. 45--><p class="indent"> Wir denken uns ein beliebiges physikalisches System dar-<br/>stellbar durch ein mechanisches System, dessen Zustand durch <br/>sehr viele Coordinaten <span class="cmmi-10">p</span><sub ><sub ><span class="cmr-5">1</span></sub></sub><span class="cmmi-10">,</span> <span class="cmmi-10">...</span> <span class="cmmi-10">p</span><sub ><span class="cmmi-7">n</span></sub> und die dazu gehörigen Ge-<br/>schwindigkeiten </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/Einst_Kinet_de_19020x.png" alt="dp1- dpn- d t , ... dt " class="par-math-display" /></center> <!--l. 53--><p class="nopar"> </p><!--l. 57--><p class="noindent">eindeutig bestimmt sei. Die Energie <span class="cmmi-10">E </span>derselben bestehe aus <br/>zwei Summanden, der potentiellen Energie <span class="cmmi-10">V </span>und der lebendigen <br/>Kraft <span class="cmmi-10">L. </span>Erstere sei eine Function der Coordinaten allein, <br/>letztere eine quadratische Function der </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/Einst_Kinet_de_19021x.png" alt="d-pn- ' dt = pn, " class="par-math-display" /></center> <!--l. 66--><p class="nopar"> </p><!--l. 70--><p class="noindent">deren Coefficienten beliebige Function der <span class="cmmi-10">p </span>sind. Auf die <br/>Massen des Systems sollen zweierlei äussere Kräfte wirken. <br/><pb/> </p><!--l. 76--><p class="indent"> </p><!--l. 77--><p class="noindent">Die einen seien von einem Potentiale <span class="cmmi-10">V</span> <sub ><span class="cmmi-7">a</span></sub> ableitbar und sollen <br/>die äusseren Bedingungen (Schwerkraft, Wirkung von festen <br/>Wänden ohne thermische Wirkung etc.) darstellen; ihr Potential <br/>kann die Zeit explicite enthalten, doch soll seine Ableitung <br/>nach derselben sehr klein sein. Die anderen Kräfte seien <br/>nicht von einem Potential ableitbar und seien schnell ver-<br/>änderlich. Sie sind als diejenigen Kräfte aufzufassen, welche <br/>die Wärmezufuhr bewirken. Wirken solche Kräfte nicht, ist <br/>aber <span class="cmmi-10">V</span> <sub ><span class="cmmi-7">a</span></sub> explicite von der Zeit abhängig, so haben wir einen <br/>adiabatischen Process vor uns. </p><!--l. 91--><p class="indent"> Wir werden auch statt der Geschwindigkeiten, lineare <br/>Functionen derselben, die Momente <span class="cmmi-10">q</span><sub ><span class="cmr-7">1</span></sub><span class="cmmi-10">,</span> <span class="cmmi-10">...</span> <span class="cmmi-10">q</span><sub ><span class="cmmi-7">n</span></sub> als Zustands-<br/>variable des System einführen, welche durch <span class="cmmi-10">n</span> Gleichungen <br/>von der Form </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/Einst_Kinet_de_19022x.png" alt=" -@L- qn = @ p'n " class="par-math-display" /></center> <!--l. 99--><p class="nopar"> </p><!--l. 103--><p class="noindent">definirt sind, wobei <span class="cmmi-10">L </span>als Function der <span class="cmmi-10">p</span><sub ><sub ><span class="cmr-5">1</span></sub></sub><span class="cmmi-10">,</span> <span class="cmmi-10">...</span> <span class="cmmi-10">p</span><sub ><span class="cmmi-7">n</span></sub> und <br/><span class="cmmi-10">p</span><sub ><span class="cmr-7">1</span></sub><sup ><span class="cmsy-7">'</span></sup><span class="cmmi-10">,</span> <span class="cmmi-10">...</span> <span class="cmmi-10">p</span><sub ><span class="cmmi-7">n</span></sub><sup ><span class="cmsy-7">'</span></sup> zu denken ist. </p> <div class="center" > <!--l. 107--><p class="noindent"> </p><!--l. 108--><p class="noindent"><span class="cmsy-10">§ </span>2. Ueber die Verteilung der möglichen Zustände unter <span class="cmmi-10">N </span> <br/>identischen adiabatischen stationären Systemen, bei nahezu <br/>gleichem Energieinhalt.</p></div> <!--l. 112--><p class="indent"> Seien unendlich viele (<span class="cmmi-10">N</span>) Systeme gleicher Art vorhanden, <br/>deren Energieinhalt zwischen den bestimmten sehr wenig ver-<br/>schiedenen Werten <span class="overline"><span class="cmmi-10">E</span></span> und <span class="overline"><span class="cmmi-10">E</span></span> + <span class="cmmi-10"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmmi10-e.png" alt="d" class="10x-x-e" /> E</span> continuirlich verteilt sind. <br/>Aeussere Kräfte, welche nicht von einem Potential ableitbar <br/>sind, sollen nicht vorhanden sein und <span class="cmmi-10">V</span> <sub ><span class="cmmi-7">a</span></sub> möge die Zeit nicht <br/>explicite enthalten, sodass das System ein conservatives System <br/>ist. Wir untersuchen die Zustandsverteilung, von welcher wir <br/>voraussetzen, dass sie stationär sei. </p><!--l. 123--><p class="indent"> Wir machen die Voraussetzung, dass ausser der Energie <br/><span class="cmmi-10">E </span>= <span class="cmmi-10">L </span>+ <span class="cmmi-10">V</span> <sub ><span class="cmmi-7">a</span></sub> + <span class="cmmi-10">V</span> <sub ><span class="cmmi-7">i</span></sub> oder einer Function dieser Grösse, für das <br/>einzelne System keine Function der Zustandsvariabeln <span class="cmmi-10">p </span>und <span class="cmmi-10">q </span> <br/>allein vorhanden sei, welche mit der Zeit sich nicht ändert; <br/>auch fernerhin seien nur Systeme betrachtet, welche diese <br/>Bedingung erfüllen. Unsere Voraussetzung ist gleichbedeutend <br/>mit der Annahme, dass die Zustandsverteilung unserer Systeme <br/>durch den Wert von <span class="cmmi-10">E </span>bestimmt sei, und sich aus jeden be-<br/>liebigen Anfangswerten der Zustandsvariabeln, welche nur <br/><pb/> </p><!--l. 136--><p class="indent"> </p><!--l. 137--><p class="noindent">unserer Bedingung für den Wert der Energie Genüge leisten, <br/>von selbst herstelle. Existirte nämlich für das System noch <br/>eine Bedingung von der Art <span class="cmmi-10"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmmi10-27.png" alt="f" class="cmmi-10x-x-27" align="middle" /></span>(<span class="cmmi-10">p</span><sub ><span class="cmr-7">1</span></sub><span class="cmmi-10">.</span> <span class="cmmi-10">...</span> <span class="cmmi-10">q</span><sub ><span class="cmmi-7">n</span></sub>) = const., welche <br/>nicht auf die Form <span class="cmmi-10"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmmi10-27.png" alt="f" class="cmmi-10x-x-27" align="middle" /> </span><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/Einst_Kinet_de_19023x.png" alt="(E)" class="left" align="middle" /> = const. gebracht werden kann, so <br/>wäre offenbar durch geeignete Wahl der Anfangsbedingungen <br/>zu erzielen, dass für jedes der <span class="cmmi-10">N </span>Systeme <span class="cmmi-10"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmmi10-27.png" alt="f" class="cmmi-10x-x-27" align="middle" /> </span>einen beliebigen <br/>vorgeschriebenen Wert hätte. Da sich diese Werte aber mit <br/>der Zeit nicht ändern, so folgt z. B., dass der Grösse <span class="cmex-10"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmex10-50.png" alt=" sum " class="10x-x-50" /></span> <span class="cmmi-10"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmmi10-27.png" alt="f" class="cmmi-10x-x-27" align="middle" /></span>, <br/>erstreckt über alle Systeme, bei gegebenem Werte von <span class="cmmi-10">E</span>, <br/>durch geeignete Wahl der Anfangsbedingungen, jeder beliebige <br/>Wert erteilt werden könnte. <span class="cmex-10"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmex10-50.png" alt=" sum " class="10x-x-50" /></span> <span class="cmmi-10"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmmi10-27.png" alt="f" class="cmmi-10x-x-27" align="middle" /> </span>ist nun andererseits aus <br/>der Zustandsverteilung eindeutig berechenbar, sodass anderen <br/>Werten von <span class="cmex-10"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmex10-50.png" alt=" sum " class="10x-x-50" /></span> <span class="cmmi-10"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmmi10-27.png" alt="f" class="cmmi-10x-x-27" align="middle" /> </span>andere Zustandsverteilungen entsprechen. <br/>Man ersieht also, dass die Existenz eines zweiten solchen <br/>Integrals <span class="cmmi-10"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmmi10-27.png" alt="f" class="cmmi-10x-x-27" align="middle" /> </span>notwendig zur Folge hat, dass durch <span class="cmmi-10">E </span>allein die <br/>Zustandsverteilung noch nicht bestimmt wäre, sondern dass <br/>dieselbe notwendig vom Anfangszustande der Systeme abhängen <br/>müsste. </p><!--l. 161--><p class="indent"> Bezeichnet man mit <span class="cmmi-10">g </span>ein unendlich kleines Gebiet aller <br/>Zustandsvariabeln <span class="cmmi-10">p</span><sub ><sub ><span class="cmr-5">1</span></sub></sub><span class="cmmi-10">,</span> <span class="cmmi-10">...</span> <span class="cmmi-10">p</span><sub ><span class="cmmi-7">n</span></sub><span class="cmmi-10">, q</span><sub ><sub ><span class="cmr-5">1</span></sub></sub><span class="cmmi-10">,</span> <span class="cmmi-10">...</span> <span class="cmmi-10">q</span><sub ><span class="cmmi-7">n</span></sub><span class="cmmi-10">, </span>welches so gewählt <br/>sein soll, dass <span class="cmmi-10">E </span>(<span class="cmmi-10">p</span><sub ><sub ><span class="cmr-5">1</span></sub></sub><span class="cmmi-10">,</span> <span class="cmmi-10">...</span> <span class="cmmi-10">q</span><sub ><span class="cmmi-7">n</span></sub>) zwischen <span class="overline"><span class="cmmi-10">E</span></span> und <span class="overline"><span class="cmmi-10">E</span></span> + <span class="cmmi-10"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmmi10-e.png" alt="d" class="10x-x-e" /> E </span>liegt, <br/>wenn die Zustandsvariabeln dem Gebiete <span class="cmmi-10">g </span>angehören, so ist <br/>die Verteilung der Zustände durch eine Gleichung von folgender <br/>Form zu charakterisiren </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/Einst_Kinet_de_19024x.png" alt=" integral dN = y (p1, ... qn) d p1 ... dqn, g " class="par-math-display" /></center> <!--l. 175--><p class="nopar"> </p><!--l. 178--><p class="noindent"><span class="cmmi-10">dN </span>bedeutet die Anzahl der Systeme, deren Zustandsvariable <br/>zu einer bestimmten Zeit dem Gebiete <span class="cmmi-10">g </span>zugehören. Die <br/>Gleichung sagt die Bedingung aus, dass die Verteilung <br/>stationär ist. </p><!--l. 184--><p class="indent"> Wir wählen nun ein solches unendlich kleines Gebiet <span class="cmmi-10">G. </span> <br/>Die Anzahl der Systeme, deren Zustandsvariable zu irgend <br/>einer bestimmten Zeit <span class="cmmi-10">t </span>= 0 dem Gebiete <span class="cmmi-10">G</span> angehören, ist dann <br/> </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/Einst_Kinet_de_19025x.png" alt=" integral dN = y (P1, ... Qn) d P1 ... dQn, G " class="par-math-display" /></center> <!--l. 194--><p class="nopar"> </p><!--l. 198--><p class="noindent">wobei die grossen Buchstaben die Zugehörigkeit der abhängigen <br/>Variabeln zur Zeit <span class="cmmi-10">t </span>= 0 andeuten sollen. <pb/> </p><!--l. 205--><p class="indent"> </p><!--l. 206--><p class="indent"> Wir lassen nun die beliebige Zeit <span class="cmmi-10">t </span>verstreichen. Besass <br/>ein System in <span class="cmmi-10">t </span>= 0 die bestimmten Zustandsvariabeln <span class="cmmi-10">P</span><sub ><span class="cmr-7">1</span></sub><span class="cmmi-10">,</span> <span class="cmmi-10">...</span> <span class="cmmi-10">Q</span><sub ><span class="cmmi-7">n</span></sub><span class="cmmi-10">, </span> <br/>so besitzt es zur Zeit <span class="cmmi-10">t </span>= <span class="cmmi-10">t </span>die bestimmten Zustandsvariabeln <br/><span class="cmmi-10">p</span><sub ><span class="cmr-7">1</span></sub><span class="cmmi-10">,</span> <span class="cmmi-10">...</span> <span class="cmmi-10">q</span><sub ><span class="cmmi-7">n</span></sub><span class="cmmi-10">. </span>Die Systeme, deren Zustandsvariabeln in <span class="cmmi-10">t </span>= 0 dem <br/>Gebiete <span class="cmmi-10">G </span>angehörten, und zwar nur diese, gehören zur Zeit <span class="cmmi-10">t </span>= <span class="cmmi-10">t </span> <br/>einem bestimmten Gebiete <span class="cmmi-10">g </span>an, sodass also die Gleichung gilt: </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/Einst_Kinet_de_19026x.png" alt=" integral d N = y (p1, ... qn) . g " class="par-math-display" /></center> <!--l. 219--><p class="nopar"> </p><!--l. 222--><p class="noindent">Für jedes derartige System gilt aber der Satz von Liouville, <br/>welcher die Form hat: </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/Einst_Kinet_de_19027x.png" alt=" integral integral dP1, ... dQn = d p1, ... dqn. " class="par-math-display" /></center> <!--l. 230--><p class="nopar"> </p><!--l. 233--><p class="noindent">Aus den drei letzten Gleichungen folgt </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/Einst_Kinet_de_19028x.png" alt="y (P1, ... Qn) = y (p1, ... qn).1) " class="par-math-display" /></center> <!--l. 240--><p class="nopar"> </p><!--l. 243--><p class="noindent"><span class="cmmi-10"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmmi10-20.png" alt="y" class="10x-x-20" /> </span>ist also eine Invariante des Systems, welche nach dem <br/>obigen die Form haben muss <span class="cmmi-10"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmmi10-20.png" alt="y" class="10x-x-20" /> </span>(<span class="cmmi-10">p</span><sub ><span class="cmr-7">1</span></sub><span class="cmmi-10">,</span> <span class="cmmi-10">...</span> <span class="cmmi-10">q</span><sub ><span class="cmmi-7">n</span></sub>) = <span class="cmmi-10"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmmi10-20.png" alt="y" class="10x-x-20" /></span><sup ><span class="cmsy-7">*</span></sup>(<span class="cmmi-10">E</span>)<span class="cmmi-10">. </span>Für <br/>alle betrachteten Systeme ist aber <span class="cmmi-10"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmmi10-20.png" alt="y" class="10x-x-20" /></span><sup ><span class="cmsy-7">*</span></sup>(<span class="cmmi-10">E</span>) nur unendlich wenig <br/>verschieden von <span class="cmmi-10"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmmi10-20.png" alt="y" class="10x-x-20" /></span><sup ><span class="cmsy-7">*</span></sup>(<span class="overline"><span class="cmmi-10">E</span></span>) = const., und unsere Zustandsgleichung <br/>lautet einfach </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/Einst_Kinet_de_19029x.png" alt=" integral dN = A dp1, ... dqn, g " class="par-math-display" /></center> <!--l. 254--><p class="nopar"> </p><!--l. 258--><p class="noindent">wobei <span class="cmmi-10">A </span>eine von den <span class="cmmi-10">p </span>und <span class="cmmi-10">q </span>unabhängige Grösse bedeutet. </p> <div class="center" > <!--l. 261--><p class="noindent"> </p><!--l. 262--><p class="noindent"><span class="cmsy-10">§ </span>3. Ueber die (stationäre) Wahrscheinlichkeit der Zustände <br/>eines Systems <span class="cmmi-10">S</span>, das mit einem System <span class="cmex-10"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmex10-50.png" alt=" sum " class="10x-x-50" /></span> von relativ unendlich <br/>grosser Energie mechanisch verbunden ist.</p></div> <!--l. 266--><p class="indent"> Wir betrachten wieder unendlich viele (<span class="cmmi-10">N</span>) mechanische <br/>Systeme, deren Energie zwischen zwei unendlich wenig ver-<br/>schiedenen Grenzen <span class="overline"><span class="cmmi-10">E</span></span> und <span class="overline"><span class="cmmi-10">E</span></span> + <span class="cmmi-10"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmmi10-e.png" alt="d" class="10x-x-e" /> </span><span class="overline"><span class="cmmi-10">E</span></span> liege. Jedes solche mecha-<br/>nische System sei wieder eine mechanische Verbindung eines <br/>Systems <span class="cmmi-10">S </span>mit den Zustandsvariabeln <span class="cmmi-10">p</span><sub ><span class="cmr-7">1</span></sub><span class="cmmi-10">,</span> <span class="cmmi-10">...</span><span class="cmmi-10">q</span><sub ><span class="cmmi-7">n</span></sub> und eines <br/>Systems <span class="cmex-10"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmex10-50.png" alt=" sum " class="10x-x-50" /></span> mit den Zustandsvariabeln <span class="cmmi-10"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmmi10-19.png" alt="p" class="10x-x-19" /></span><sub ><span class="cmr-7">1</span></sub> <span class="cmmi-10">...</span> <span class="cmmi-10"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmmi10-1f.png" alt="x" class="10x-x-1f" /></span><sub ><span class="cmmi-7">n</span></sub><span class="cmmi-10">. </span>Der Aus-<br/>druck für die Gesamtenergie beider Systeme soll so beschaffen <br/>sein, dass jene Terme der Energie, welche durch Einwirkung <br/>der Massen eines Teilsystems auf die des anderen Teilsystems <br/>---------- </p><!--l. 280--><p class="indent"> 1) Vgl. L. Boltzmann, Gastheorie, II. Teil. <span class="cmsy-10">§ </span>32 u. <span class="cmsy-10">§ </span>37. <pb/> </p><!--l. 285--><p class="indent"> </p><!--l. 286--><p class="noindent">hinzukommen, gegen die Energie <span class="cmmi-10">E </span>des Teilsystems <span class="cmmi-10">S </span>zu ver-<br/>nachlässigen seien. Ferner sei die Energie <span class="cmmi-10">H </span>des Teilsystems <span class="cmex-10"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmex10-50.png" alt=" sum " class="10x-x-50" /></span> <br/>unendlich gross gegen <span class="cmmi-10">E. </span>Bis auf unendlich Kleines höherer <br/>Ordnung lässt sich dann setzen: </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/Einst_Kinet_de_190210x.png" alt="E = H + E. " class="par-math-display" /></center> <!--l. 294--><p class="nopar"> </p><!--l. 296--><p class="noindent">Wir wählen nun ein in allen Zustandsvariabeln <span class="cmmi-10">p</span><sub ><span class="cmr-7">1</span></sub> <span class="cmmi-10">...</span> <span class="cmmi-10">q</span><sub ><span class="cmmi-7">n</span></sub>, <br/><span class="cmmi-10"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmmi10-19.png" alt="p" class="10x-x-19" /></span><sub ><span class="cmr-7">1</span></sub> <span class="cmmi-10">...</span> <span class="cmmi-10"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmmi10-1f.png" alt="x" class="10x-x-1f" /></span><sub ><span class="cmmi-7">n</span></sub> unendlich kleines Gebiet <span class="cmmi-10">g</span>, welches so beschaffen sei, <br/>dass E zwischen den constanten Werten <span class="overline"><span class="cmmi-10">E</span></span> und <span class="overline"><span class="cmmi-10">E</span></span> + <span class="cmmi-10"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmmi10-e.png" alt="d" class="10x-x-e" /> </span><span class="overline"><span class="cmmi-10">E</span></span> liege. <br/>Die Anzahl <span class="cmmi-10">dN </span>der Systeme, deren Zustandsvariabeln dem <br/>Gebiet <span class="cmmi-10">g</span> angehören, ist dann nach dem Resultate des vorigen <br/>Paragraphen: </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/Einst_Kinet_de_190211x.png" alt=" integral dN = A d p1 ... d xn. g " class="par-math-display" /></center> <!--l. 309--><p class="nopar"> </p><!--l. 312--><p class="noindent">Wir bemerken nun, dass es in unserem Belieben steht, statt <span class="cmmi-10">A </span> <br/>irgend eine stetige Function der Energie zu setzen, welche <br/>für <span class="cmmi-10">E </span>+ <span class="overline"><span class="cmmi-10">E</span></span> den Wert <span class="cmmi-10">A </span>annimmt. Dadurch ändert sich nämlich <br/>unser Resultat nur unendlich wenig. Als diese Function wählen <br/>wir <span class="cmmi-10">A</span><span class="cmsy-10">'</span><span class="cmmi-10">.e</span><sup ><span class="cmsy-7">-</span><span class="cmr-7">2</span><span class="cmmi-7">hE</span></sup><span class="cmmi-10">, </span>wobei <span class="cmmi-10">h </span>eine vorläufig beliebige Constante <br/>bedeutet, über welche wir bald verfügen werden. Wir <br/>schreiben also: </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/Einst_Kinet_de_190212x.png" alt=" i ntegral d N = A' e-2hEdp ... dx . 1 n g " class="par-math-display" /></center> <!--l. 326--><p class="nopar"> </p><!--l. 329--><p class="noindent">Wir fragen nun: Wie viele Systeme befinden sich in Zuständen, <br/>sodass <span class="cmmi-10">p</span><sub ><span class="cmr-7">1</span></sub> zwischen <span class="cmmi-10">p</span><sub ><span class="cmr-7">1</span></sub> und <span class="cmmi-10">p</span><sub ><span class="cmr-7">1</span></sub> + <span class="cmmi-10">dp</span><sub ><span class="cmr-7">1</span></sub><span class="cmmi-10">,p</span><sub ><span class="cmr-7">2</span></sub> bez. <span class="cmmi-10">p</span><sub ><span class="cmr-7">2</span></sub> und <span class="cmmi-10">p</span><sub ><span class="cmr-7">2</span></sub> + <span class="cmmi-10">dp</span><sub ><span class="cmr-7">2</span></sub> <span class="cmmi-10">...</span> <span class="cmmi-10">q</span><sub ><span class="cmmi-7">n</span></sub> <br/>zwischen <span class="cmmi-10">q</span><sub ><span class="cmmi-7">n</span></sub> und <span class="cmmi-10">q</span><sub ><span class="cmmi-7">n</span></sub> + <span class="cmmi-10">dq</span><sub ><span class="cmmi-7">n</span></sub><span class="cmmi-10">, <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmmi10-19.png" alt="p" class="10x-x-19" /></span><sub ><span class="cmr-7">1</span></sub> <span class="cmmi-10">...</span> <span class="cmmi-10"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmmi10-1f.png" alt="x" class="10x-x-1f" /></span><sub ><span class="cmmi-7">n</span></sub> aber beliebige, mit den <br/>Bedingungen unserer Systeme verträgliche Werte besitzen? <br/>Nennt man diese Anzahl <span class="cmmi-10">dN</span><span class="cmsy-10">'</span><span class="cmmi-10">, </span>so erhält man: </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/Einst_Kinet_de_190213x.png" alt=" ' '-2hE integral - 2hH dN = A e dp1 ... dqn e dp1 ... dxn. g " class="par-math-display" /></center> <!--l. 340--><p class="nopar"> </p><!--l. 343--><p class="noindent">Die Integration erstreckt sich dabei auf jene Werte der Zu-<br/>standsvariabeln, für welche <span class="cmmi-10">H </span>zwischen <span class="overline"><span class="cmmi-10">E</span></span> <span class="cmsy-10">- </span><span class="cmmi-10">E </span>und <span class="overline"><span class="cmmi-10">E</span></span> <span class="cmsy-10">- </span><span class="cmmi-10">E </span>+ <span class="cmmi-10"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmmi10-e.png" alt="d" class="10x-x-e" /> </span><span class="overline"><span class="cmmi-10">E</span></span> <br/>liegt. Wir behaupten nun, der Wert von <span class="cmmi-10">h </span>sei auf eine und <br/>nur eine Weise so zu wählen, dass das in unserer Gleichung <br/>auftretende Integral von <span class="cmmi-10">E </span>unabhängig wird. </p><!--l. 352--><p class="indent"> Das Integral <span class="cmsy-10"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmsy10-73.png" alt=" integral " class="10x-x-73" /></span> <span class="cmmi-10">e</span><sup ><span class="cmsy-7">-</span><span class="cmr-7">2</span><span class="cmmi-7">hH</span></sup> <span class="cmmi-10">d<img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmmi10-19.png" alt="p" class="10x-x-19" /></span><sub ><span class="cmr-7">1</span></sub> <span class="cmmi-10">...</span> <span class="cmmi-10">d<img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmmi10-1f.png" alt="x" class="10x-x-1f" /></span><sub ><span class="cmmi-7">n</span></sub><span class="cmmi-10">, </span>wobei die Grenzen der <br/>Integration durch die Grenzen E und <span class="cmmi-10">E </span>+<span class="overline"> <span class="cmmi-10"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmmi10-e.png" alt="d" class="10x-x-e" /> E</span></span> bestimmt sein <br/>mögen, ist nämlich bei bestimmtem <span class="cmmi-10"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmmi10-e.png" alt="d" class="10x-x-e" /> </span><span class="overline"><span class="cmmi-10">E</span></span> offenbar lediglich <br/><pb/> </p><!--l. 360--><p class="indent"> </p><!--l. 361--><p class="noindent">Function von E allein; nennen wir dieselbe <span class="cmmi-10"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmmi10-1f.png" alt="x" class="10x-x-1f" /></span>(<span class="cmmi-10">E</span>)<span class="cmmi-10">. </span>Dass in <br/>dem Ausdruck für <span class="cmmi-10">dN</span><span class="cmsy-10">'</span> auftretende Integral lässt sich dann <br/>in der Form schreiben: </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/Einst_Kinet_de_190214x.png" alt="x (E-- E). " class="par-math-display" /></center> <!--l. 369--><p class="nopar"> </p><!--l. 372--><p class="noindent">Da nun <span class="cmmi-10">E </span>gegen <span class="overline"><span class="cmmi-10">E</span></span> unendlich klein ist, so lässt sich dies bis <br/>auf unendlich Kleines höherer Ordnung in der Form schreiben: </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/Einst_Kinet_de_190215x.png" alt=" -- -- -- x (E - E) = x(E)- Ex'(E). " class="par-math-display" /></center> <!--l. 379--><p class="nopar"> </p><!--l. 382--><p class="noindent">Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass jenes <br/>Integral von <span class="cmmi-10">E</span> unabhängig ist, lautet also </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/Einst_Kinet_de_190216x.png" alt=" -- x'(E) = 0. " class="par-math-display" /></center> <!--l. 390--><p class="nopar"> </p><!--l. 393--><p class="noindent">Nun lässt sich aber setzen </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/Einst_Kinet_de_190217x.png" alt=" -2hE x (E) = e .w(E). " class="par-math-display" /></center> <!--l. 399--><p class="nopar"> </p><!--l. 403--><p class="noindent">wobei <span class="cmmi-10"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmmi10-21.png" alt="w" class="10x-x-21" /> </span>(<span class="cmmi-10">E</span>) = <span class="cmsy-10"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmsy10-73.png" alt=" integral " class="10x-x-73" /></span> <span class="cmmi-10">d<img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmmi10-19.png" alt="p" class="10x-x-19" /></span><sub ><span class="cmr-7">1</span></sub> <span class="cmmi-10">...</span> <span class="cmmi-10">d<img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmmi10-1f.png" alt="x" class="10x-x-1f" /></span><sub ><span class="cmmi-7">n</span></sub><span class="cmmi-10">, </span>erstreckt über alle Werte der <br/>Variabeln, deren Energiefunction zwischen E und <span class="cmmi-10">E </span>+ <span class="cmmi-10"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmmi10-e.png" alt="d" class="10x-x-e" /> E </span>liegt. </p><!--l. 408--><p class="indent"> Die gefundene Bedingung für <span class="cmmi-10">h </span>nimmt also die Form an: </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/Einst_Kinet_de_190218x.png" alt=" -- -- { w'(E) } e-2hE.w (E). -2h + ----- = 0, w (E) " class="par-math-display" /></center> <!--l. 415--><p class="nopar"> </p><!--l. 419--><p class="noindent">oder </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/Einst_Kinet_de_190219x.png" alt=" -- 1w'(E)- h = 2w (E) . " class="par-math-display" /></center> <!--l. 426--><p class="nopar"> </p><!--l. 430--><p class="indent"> Es giebt also stets einen und nur einen Wert für <span class="cmmi-10">h</span>, <br/>welcher die gefundenen Bedingungen erfüllt. Da ferner, wie <br/>im nächsten Paragraphen gezeigt werden soll, <span class="cmmi-10"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmmi10-21.png" alt="w" class="10x-x-21" /> </span>(<span class="cmmi-10">E</span>) und <span class="cmmi-10"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmmi10-21.png" alt="w" class="10x-x-21" /></span><span class="cmsy-10">'</span>(<span class="cmmi-10">E</span>) <br/>stets positiv sind, ist auch <span class="cmmi-10">h </span>stets eine positive Grösse. </p><!--l. 437--><p class="indent"> Wählen wir <span class="cmmi-10">h </span>in dieser Weise, so reducirt sich das <br/>Integral auf eine von <span class="cmmi-10">E</span> unabhängige Grösse, sodass wir für <br/>die Zahl der Systeme, deren Variabeln <span class="cmmi-10">p</span><sub ><sub ><span class="cmr-5">1</span></sub></sub><span class="cmmi-10">,</span> <span class="cmmi-10">...</span> <span class="cmmi-10">q</span><sub ><span class="cmmi-7">n</span></sub> in den be-<br/>zeichneten Grenzen liegen, den Ausdruck erhalten </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/Einst_Kinet_de_190220x.png" alt="dN '= A''e-2hE .dp1 ... dqn. " class="par-math-display" /></center> <!--l. 446--><p class="nopar"> </p><!--l. 449--><p class="noindent">Dies ist also auch bei anderer Bedeutung von <span class="cmmi-10">A</span><span class="cmsy-10">''</span> der Aus-<br/>druck für die Wahrscheinlichkeit, dass die Zustandsvariabeln <br/>eines mit einem System von relativ unendlich grosser Energie <br/>mechanisch verbundenen Systems zwischen unendlich nahen <br/>Grenzen liegen, wenn der Zustand stationär geworden ist. <pb/> </p><!--l. 460--><p class="indent"> </p> <div class="center" > <!--l. 461--><p class="noindent"> </p><!--l. 462--><p class="noindent"><span class="cmsy-10">§ </span>4. Beweis dafür, dass die Grösse <span class="cmmi-10">h </span>positiv ist.</p></div> <!--l. 465--><p class="indent"> Sei <span class="cmmi-10"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmmi10-27.png" alt="f" class="cmmi-10x-x-27" align="middle" /></span>(<span class="cmmi-10">x</span>) eine homogene, quadratische Function der Variabeln <br/><span class="cmmi-10">x</span><sub ><span class="cmr-7">1</span></sub> <span class="cmmi-10">...</span> <span class="cmmi-10">x</span><sub ><span class="cmmi-7">n</span></sub><span class="cmmi-10">. </span>Wir betrachten die Grösse <span class="cmmi-10">z </span>= <span class="cmsy-10"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmsy10-73.png" alt=" integral " class="10x-x-73" /></span> <span class="cmmi-10">dx</span><sub ><span class="cmr-7">1</span></sub> <span class="cmmi-10">...</span> <span class="cmmi-10">x</span><sub ><span class="cmmi-7">n</span></sub><span class="cmmi-10">, </span>wobei <br/>die Integrationsgrenzen dadurch bestimmt sein mögen, dass <br/><span class="cmmi-10"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmmi10-27.png" alt="f" class="cmmi-10x-x-27" align="middle" /></span>(<span class="cmmi-10">x</span>) zwischen einem gewissen Wert <span class="cmmi-10">y </span>und <span class="cmmi-10">y </span>+ <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmr10-1.png" alt="D" class="10x-x-1" /> liege, wobei <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmr10-1.png" alt="D" class="10x-x-1" /> <br/>eine Constante sei. Wir behaupten, dass <span class="cmmi-10">z</span>, welches allein <br/>von <span class="cmmi-10">y </span>Function ist, stets mit wachsendem <span class="cmmi-10">y </span>zunimmt, wenn <br/><span class="cmmi-10">n > </span>2. </p><!--l. 475--><p class="indent"> Führen wir die neuen Variabeln ein <span class="cmmi-10">x</span><sub ><span class="cmr-7">1</span></sub> = <span class="cmmi-10"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmmi10-b.png" alt="a" class="10x-x-b" />x</span><sub ><span class="cmr-7">1</span></sub><sup ><span class="cmsy-7">'</span></sup> <span class="cmmi-10">...</span> <span class="cmmi-10">x</span><sub ><span class="cmmi-7">n</span></sub> = <span class="cmmi-10"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmmi10-b.png" alt="a" class="10x-x-b" />x</span><sub ><span class="cmmi-7">n</span></sub><sup ><span class="cmsy-7">'</span></sup><span class="cmmi-10">, </span> <br/>wobei <span class="cmmi-10"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmmi10-b.png" alt="a" class="10x-x-b" /> </span>= const., dann ist: </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/Einst_Kinet_de_190221x.png" alt=" integral z = an dx1'... d xn'. " class="par-math-display" /></center> <!--l. 483--><p class="nopar"> </p><!--l. 486--><p class="noindent">Ferner erhalten wir <span class="cmmi-10"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmmi10-27.png" alt="f" class="cmmi-10x-x-27" align="middle" /></span>(<span class="cmmi-10">x</span>) = <span class="cmmi-10"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmmi10-b.png" alt="a" class="10x-x-b" /></span><sup ><span class="cmr-7">2</span></sup> <span class="cmmi-10"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmmi10-27.png" alt="f" class="cmmi-10x-x-27" align="middle" /></span>(<span class="cmmi-10">x</span><span class="cmsy-10">'</span>). </p><!--l. 490--><p class="indent"> Die Integrationsgrenzen des gewonnenen Integrals lauten <br/>also für <span class="cmmi-10"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmmi10-27.png" alt="f" class="cmmi-10x-x-27" align="middle" /></span>(<span class="cmmi-10">x</span><span class="cmsy-10">'</span>) </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/Einst_Kinet_de_190222x.png" alt=" y y D a2- und a2-+ a2-. " class="par-math-display" /></center> <!--l. 497--><p class="nopar"> </p><!--l. 500--><p class="noindent">Ist ferner <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmr10-1.png" alt="D" class="10x-x-1" /> unendlich klein, was wir annehmen, so erhalten wir </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/Einst_Kinet_de_190223x.png" alt=" integral z = an-2 dx1' ... dxn'. " class="par-math-display" /></center> <!--l. 508--><p class="nopar"> </p><!--l. 511--><p class="noindent">Hierbei ist <span class="cmmi-10">y</span><span class="cmsy-10">' </span>zwischen den Grenzen </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/Einst_Kinet_de_190224x.png" alt="y-- und y--+ D. a2 a2 " class="par-math-display" /></center> <!--l. 518--><p class="nopar"> </p><!--l. 521--><p class="noindent">Obige Gleichung lässt sich auch schreiben </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/Einst_Kinet_de_190225x.png" alt=" ( ) z(y) = an- 2z-y- . a2 " class="par-math-display" /></center> <!--l. 527--><p class="nopar"> </p><!--l. 530--><p class="noindent">Wählt man <span class="cmmi-10"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmmi10-b.png" alt="a" class="10x-x-b" /> </span>positiv und <span class="cmmi-10">n > </span>2<span class="cmmi-10">, </span>so ist also stets </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/Einst_Kinet_de_190226x.png" alt=" z(y) -(-y-)> 1, z a2 " class="par-math-display" /></center> <!--l. 538--><p class="nopar"> </p><!--l. 542--><p class="noindent">was zu beweisen war. </p><!--l. 545--><p class="indent"> Dieses Resultat benutzen wir, um zu beweisen, dass <span class="cmmi-10">h </span> <br/>positiv ist. </p><!--l. 548--><p class="indent"> Wir fanden </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/Einst_Kinet_de_190227x.png" alt=" w'(E) h = 12------, w (E) " class="par-math-display" /></center> <!--l. 554--><p class="nopar"> </p><!--l. 558--><p class="noindent">wobei </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/Einst_Kinet_de_190228x.png" alt=" integral w (E) = dp1 ... d qn, " class="par-math-display" /></center> <!--l. 564--><p class="nopar"> <pb/> </p><!--l. 571--><p class="indent"> </p><!--l. 572--><p class="noindent">und E zwischen E und <span class="cmmi-10">E </span>+ <span class="cmmi-10"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmmi10-e.png" alt="d" class="10x-x-e" /> </span><span class="overline"><span class="cmmi-10">E</span></span><span class="cmmi-10">. <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmmi10-21.png" alt="w" class="10x-x-21" /> </span>(<span class="cmmi-10">E</span>) ist der Definition nach <br/>notwendig positiv, wir haben nur zu zeigen, dass auch <span class="cmmi-10"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmmi10-21.png" alt="w" class="10x-x-21" /></span><span class="cmsy-10">'</span>(<span class="cmmi-10">E</span>) <br/>stets positiv ist. </p><!--l. 577--><p class="indent"> Wir wählen <span class="cmmi-10">E</span><sub ><span class="cmr-7">1</span></sub> und <span class="cmmi-10">E</span><sub ><span class="cmr-7">2</span></sub>, sodass <span class="cmmi-10">E</span><sub ><span class="cmr-7">2</span></sub> <span class="cmmi-10">> E</span><sub ><span class="cmr-7">1</span></sub>, und beweisen, <br/>dass <span class="cmmi-10"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmmi10-21.png" alt="w" class="10x-x-21" /> </span>(<span class="cmmi-10">E</span><sub ><span class="cmr-7">2</span></sub>) <span class="cmmi-10">> <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmmi10-21.png" alt="w" class="10x-x-21" /> </span>(<span class="cmmi-10">E</span><sub ><span class="cmr-7">1</span></sub>) und zerlegen <span class="cmmi-10"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmmi10-21.png" alt="w" class="10x-x-21" /> </span>(<span class="cmmi-10">E</span><sub ><span class="cmr-7">1</span></sub>) in unendlich viele <br/>Summanden von der Form </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/Einst_Kinet_de_190229x.png" alt=" integral d (w (E1)) = dp1 ... d pn d q1 ... dqn. " class="par-math-display" /></center> <!--l. 586--><p class="nopar"> </p><!--l. 589--><p class="noindent">Bei dem angedeuteten Integral besitzen die <span class="cmmi-10">p </span>bestimmte und <br/>zwar solche Werte, dass <span class="cmmi-10">V </span><span class="msam-10"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/msam10-35.png" alt="<=" class="10x-x-35" /> </span><span class="cmmi-10">E</span><sub ><span class="cmr-7">1</span></sub><span class="cmmi-10">. </span>Die Integrationsgrenzen des <br/>lntegrals sind so charakterisirt, dass <span class="cmmi-10">L </span>zwischen <span class="cmmi-10">E</span><sub ><span class="cmr-7">1</span></sub> <span class="cmsy-10">- </span><span class="cmmi-10">V </span>und <br/><span class="cmmi-10">E</span><sub ><span class="cmr-7">1</span></sub> + <span class="cmmi-10"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmmi10-e.png" alt="d" class="10x-x-e" /></span><span class="overline"><span class="cmmi-10">E</span></span> <span class="cmsy-10">- </span><span class="cmmi-10">V </span>liegt. </p><!--l. 593--><p class="indent"> Jedem unendlich kleinen derartigen Summanden entspricht <br/>aus <span class="cmmi-10"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmmi10-21.png" alt="w" class="10x-x-21" /> </span>(<span class="cmmi-10">E</span><sub ><span class="cmr-7">2</span></sub>) ein Term von der Grösse </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/Einst_Kinet_de_190230x.png" alt=" integral d [w (E2)] = dp1 ... dpn dq1 ... d qn, " class="par-math-display" /></center> <!--l. 600--><p class="nopar"> </p><!--l. 604--><p class="noindent">wobei die <span class="cmmi-10">p </span>und <span class="cmmi-10">dp </span>die nämlichen Werte haben wie in <span class="cmmi-10">d</span><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/Einst_Kinet_de_190231x.png" alt="[w(E1)]" class="left" align="middle" /><span class="cmmi-10">, </span> <br/><span class="cmmi-10">L </span>aber zwischen den Grenzen <span class="cmmi-10">E</span><sub ><span class="cmr-7">2</span></sub> <span class="cmsy-10">- </span><span class="cmmi-10">V </span>und <span class="cmmi-10">E</span><sub ><span class="cmr-7">2</span></sub> <span class="cmsy-10">- </span><span class="cmmi-10">V </span>+ <span class="cmmi-10"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmmi10-e.png" alt="d" class="10x-x-e" /> </span><span class="overline"><span class="cmmi-10">E</span></span> liegt. </p><!--l. 609--><p class="indent"> Es ist also nach dem eben bewiesenen Satze </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/Einst_Kinet_de_190232x.png" alt="d [w (E2)] > d [w(E1)]. " class="par-math-display" /></center> <!--l. 615--><p class="nopar"> </p><!--l. 618--><p class="noindent">Folglich </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/Einst_Kinet_de_190233x.png" alt=" sum sum d [w (E2)] > d [w(E1)], " class="par-math-display" /></center> <!--l. 625--><p class="nopar"> </p><!--l. 629--><p class="noindent">wobei <span class="cmex-10"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmex10-50.png" alt=" sum " class="10x-x-50" /></span> über alle entsprechende Gebiete der <span class="cmmi-10">p </span>zu erstrecken ist. <br/> </p><!--l. 632--><p class="indent"> Es ist aber </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/Einst_Kinet_de_190234x.png" alt=" sum d [w (E1)] > w(E1), " class="par-math-display" /></center> <!--l. 637--><p class="nopar"> </p><!--l. 641--><p class="noindent">wenn das Summenzeichen über alle <span class="cmmi-10">p </span>erstreckt wird, sodass <br/> </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/Einst_Kinet_de_190235x.png" alt="V <= E1. " class="par-math-display" /></center> <!--l. 647--><p class="nopar"> </p><!--l. 650--><p class="noindent">Ferner ist </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/Einst_Kinet_de_190236x.png" alt=" sum d [w (E2)] < w(E2), " class="par-math-display" /></center> <!--l. 656--><p class="nopar"> </p><!--l. 660--><p class="noindent">weil das Gebiet der <span class="cmmi-10">p</span>, welches durch die Gleichung </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/Einst_Kinet_de_190237x.png" alt="V <= E2 " class="par-math-display" /></center> <!--l. 666--><p class="nopar"> </p><!--l. 670--><p class="noindent">bestimmt wird, das durch die Gleichung </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/Einst_Kinet_de_190238x.png" alt="V <= E1 " class="par-math-display" /></center> <!--l. 676--><p class="nopar"> </p><!--l. 680--><p class="noindent">definirte Gebiet vollständig in sich einschliesst. <pb/> </p><!--l. 686--><p class="indent"> </p> <div class="center" > <!--l. 687--><p class="noindent"> </p><!--l. 688--><p class="noindent"><span class="cmsy-10">§ </span>5. Ueber das Temperaturgleichgewicht.</p></div> <!--l. 691--><p class="indent"> Wir wählen nun ein System <span class="cmmi-10">S </span>von ganz bestimmter Be-<br/>schaffenheit und nennen es Thermometer. Es stehe mit dem <br/>System <span class="cmex-10"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmex10-50.png" alt=" sum " class="10x-x-50" /></span> von relativ unendlich grosser Energie in mecha-<br/>nischer Wechselwirkung. Ist der Zustand des Ganzen stationär, <br/>so ist der Zustand des Thermometers durch die Gleichung <br/>definirt </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/Einst_Kinet_de_190239x.png" alt="d W = A e-2hEd p1 ... dqn, " class="par-math-display" /></center> <!--l. 701--><p class="nopar"> </p><!--l. 705--><p class="noindent">wobei <span class="cmmi-10">d W </span>die Wahrscheinlichkeit dafür bedeutet, dass die <br/>Werte der Zustandsvariabeln des Thermometers innerhalb der <br/>angedeuteten Grenzen liegen. Dabei besteht zwischen den <br/>Constanten <span class="cmmi-10">A </span>und <span class="cmmi-10">h </span>die Gleichung </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/Einst_Kinet_de_190240x.png" alt=" integral 1 = A. e-2hE dp1 ... dqn, " class="par-math-display" /></center> <!--l. 712--><p class="nopar"> </p><!--l. 716--><p class="noindent">wobei die Integration über alle möglichen Werte der Zustands-<br/>variabeln erstreckt ist. Die Grösse <span class="cmmi-10">h </span>bestimmt also den Zu-<br/>stand des Thermometers vollkommen. Wir nennen <span class="cmmi-10">h </span>die Tem-<br/>peraturfunction, indem wir bemerken, dass nach dem Gesagten <br/>jede an dem System <span class="cmmi-10">S </span>beobachtbare Grösse <span class="cmmi-10">H</span> Function von <span class="cmmi-10">h </span> <br/>allein sein muss, solange <span class="cmmi-10">V</span> <sub ><span class="cmmi-7">a</span></sub> unverändert bleibt, was wir an-<br/>genommen haben. Die Grösse <span class="cmmi-10">h </span>aber hängt lediglich vom <br/>Zustande des Systems <span class="cmex-10"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmex10-50.png" alt=" sum " class="10x-x-50" /></span> ab (<span class="cmsy-10">§ </span>3), ist also unabhängig davon, <br/>wie <span class="cmex-10"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmex10-50.png" alt=" sum " class="10x-x-50" /></span> mit <span class="cmmi-10">S </span>thermisch verbunden ist. Es folgt daraus un-<br/>mittelbar der Satz: Ist ein System <span class="cmex-10"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmex10-50.png" alt=" sum " class="10x-x-50" /></span> mit zwei unendlich <br/>kleinen Thermometern <span class="cmmi-10">S </span>und <span class="cmmi-10">S</span><span class="cmsy-10">' </span>verbunden, so kommt diesen <br/>beiden Thermometern dieselbe Grösse <span class="cmmi-10">h </span>zu. Sind <span class="cmmi-10">S </span>und <span class="cmmi-10">S</span><span class="cmsy-10">'</span> <br/>identische Systeme, so kommt ihnen auch noch derselbe Wert <br/>der beobachtbaren Grösse <span class="cmmi-10">H</span> zu. </p><!--l. 727--><p class="indent"> Wir führen nun nur identische Thermometer <span class="cmmi-10">S </span>ein und <br/>nennen <span class="cmmi-10">H </span>das beobachtbare Temperaturmaass. Wir erhalten <br/>also den Satz: Das an <span class="cmmi-10">S </span>beobachtbare Temperaturmaass <span class="cmmi-10">H </span> <br/>ist unabhängig von der Art, wie <span class="cmex-10"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmex10-50.png" alt=" sum " class="10x-x-50" /></span> mit <span class="cmmi-10">S </span>mechanisch ver-<br/>bunden ist; die Grösse <span class="cmmi-10">H </span>bestimmt <span class="cmmi-10">h</span>, dieses die Energie E <br/>des Systems <span class="cmex-10"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmex10-50.png" alt=" sum " class="10x-x-50" /></span> und diese dessen Zustand nach unserer Vor-<br/>aussetzung. </p><!--l. 736--><p class="indent"> Aus dem Bewiesenen folgt sofort, dass zwei Systeme <br/><span class="cmex-10"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmex10-50.png" alt=" sum " class="10x-x-50" /></span> <sub ><span class="cmr-7">1</span></sub> und <span class="cmex-10"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmex10-50.png" alt=" sum " class="10x-x-50" /></span> <sub ><span class="cmr-7">2</span></sub> im Falle mechanischer Verbindung kein im statio-<br/><pb/> </p><!--l. 742--><p class="indent"> </p><!--l. 743--><p class="noindent">nären Zustand befindliches System bilden können, wenn nicht <br/>zwei mit ihnen verbundene Thermometer <span class="cmmi-10">S </span>gleiches Tem-<br/>peraturmaass oder, was dasselbe bedeutet, sie selbst gleiche <br/>Temperaturfunction besitzen. Da der Zustand der Systeme <br/><span class="cmex-10"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmex10-50.png" alt=" sum " class="10x-x-50" /></span> <sub ><span class="cmr-7">1</span></sub> und <span class="cmex-10"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmex10-50.png" alt=" sum " class="10x-x-50" /></span> <sub ><span class="cmr-7">2</span></sub> durch die Grössen <span class="cmmi-10">h</span><sub ><span class="cmr-7">1</span></sub> und <span class="cmmi-10">h</span><sub ><span class="cmr-7">2</span></sub> oder <span class="cmmi-10">H</span><sub ><span class="cmr-7">1</span></sub> und <span class="cmmi-10">H</span><sub ><span class="cmr-7">2</span></sub> <br/>vollständig definirt wird, so folgt, dass das Temperaturgleich-<br/>gewicht lediglich durch die Bedingungen <span class="cmmi-10">h</span><sub ><span class="cmr-7">1</span></sub> = <span class="cmmi-10">h</span><sub ><span class="cmr-7">2</span></sub> oder <span class="cmmi-10">H</span><sub ><span class="cmr-7">1</span></sub> = <span class="cmmi-10">H</span><sub ><span class="cmr-7">2</span></sub> <br/>bestimmt sein kann. </p><!--l. 754--><p class="indent"> Es bleibt jetzt noch übrig, zu zeigen, dass zwei Systeme <br/>von gleicher Temperaturfunction <span class="cmmi-10">h </span>(oder gleichem Temperatur-<br/>maass <span class="cmmi-10">H</span>) mechanisch verbunden werden können zu einem <br/>einzigen System von gleicher Temperaturfunction. </p><!--l. 760--><p class="indent"> Seien zwei mechanische Systeme <span class="cmex-10"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmex10-50.png" alt=" sum " class="10x-x-50" /></span> <sub ><span class="cmr-7">1</span></sub> und <span class="cmex-10"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmex10-50.png" alt=" sum " class="10x-x-50" /></span> <sub ><span class="cmr-7">2</span></sub> mechanisch <br/>zu einem System verschmolzen, so jedoch, dass die Terme <br/>der Energie unendlich klein sind, welche Zustandsvariabeln <br/>beider Systeme enthalten. Sowohl <span class="cmex-10"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmex10-50.png" alt=" sum " class="10x-x-50" /></span> <sub ><span class="cmr-7">1</span></sub> als <span class="cmex-10"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmex10-50.png" alt=" sum " class="10x-x-50" /></span> <sub ><span class="cmr-7">2</span></sub> seien verknüpft <br/>mit einem unendlich kleinen Thermometer <span class="cmmi-10">S. </span>Die Angaben <br/><span class="cmmi-10">H</span><sub ><span class="cmr-7">1</span></sub> und <span class="cmmi-10">H</span><sub ><span class="cmr-7">2</span></sub> desselben sind bis auf unendlich Kleines jeden-<br/>falls dieselben, weil sie sich nur auf verschiedene Stellen, eines <br/>einzigen, im stationären Zustande befindlichen Systems be-<br/>ziehen. Ebenso natürlich die Grössen <span class="cmmi-10">h</span><sub ><span class="cmr-7">1</span></sub> und <span class="cmmi-10">h</span><sub ><span class="cmr-7">2</span></sub>. Wir denken <br/>uns nun unendlich langsam die beiden Systemen gemeinsame <br/>Terme der Energie gegen Null hin abnehmen. Hierbei ändern <br/>sich sowohl die Grössen <span class="cmmi-10">H</span> und <span class="cmmi-10">h</span>, als auch die Zustands-<br/>verteilungen beider Systeme unendlich wenig, da diese allein <br/>durch die Energie bestimmt sind. Ist dann die vollständige <br/>mechanische Trennung von <span class="cmex-10"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmex10-50.png" alt=" sum " class="10x-x-50" /></span> <sub ><span class="cmr-7">1</span></sub> und <span class="cmex-10"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmex10-50.png" alt=" sum " class="10x-x-50" /></span> <sub ><span class="cmr-7">2</span></sub> ausgeführt, so bleiben <br/>gleichwohl die Beziehungen </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/Einst_Kinet_de_190241x.png" alt="H1 = H2, h1 = h2 " class="par-math-display" /></center> <!--l. 783--><p class="nopar"> </p><!--l. 787--><p class="noindent">bestehen und die Zustandsverteilung ist unendlich wenig ver-<br/>ändert. <span class="cmmi-10">H</span><sub ><span class="cmr-7">1</span></sub> und <span class="cmmi-10">h</span><sub ><span class="cmr-7">1</span></sub> beziehen sich aber nur mehr auf <span class="cmex-10"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmex10-50.png" alt=" sum " class="10x-x-50" /></span> <sub ><span class="cmr-7">1</span></sub>, <br/><span class="cmmi-10">H</span><sub ><span class="cmr-7">2</span></sub> und <span class="cmmi-10">h</span><sub ><span class="cmr-7">2</span></sub> nur mehr auf <span class="cmex-10"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmex10-50.png" alt=" sum " class="10x-x-50" /></span> <sub ><span class="cmr-7">2</span></sub>. Unser Process ist streng um-<br/>kehrbar, da er sich aus einer Aufeinanderfolge von stationären <br/>Zuständen zusammensetzt. Wir erhalten also den Satz: </p><!--l. 794--><p class="indent"> Zwei Systeme von der gleichen Temperaturfunction <span class="cmmi-10">h </span> <br/>lassen sich zu einem einzigen System von der Temperatur-<br/>function <span class="cmmi-10">h </span>verknüpfen, sodass sich deren Zustandsverteilung <br/>unendlich wenig ändert. <pb/> </p><!--l. 803--><p class="indent"> </p><!--l. 804--><p class="indent"> Gleichheit der Grössen <span class="cmmi-10">h </span>ist also die notwendige und <br/>hinreichende Bedingung für die stationäre Verknüpfung (Wärme-<br/>gleichgewicht) zweier Systeme. Daraus folgt sofort: Sind die <br/>Systeme <span class="cmex-10"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmex10-50.png" alt=" sum " class="10x-x-50" /></span> <sub ><span class="cmr-7">1</span></sub> und <span class="cmex-10"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmex10-50.png" alt=" sum " class="10x-x-50" /></span> <sub ><span class="cmr-7">2</span></sub>, und die Systeme <span class="cmex-10"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmex10-50.png" alt=" sum " class="10x-x-50" /></span> <sub ><span class="cmr-7">1</span></sub> und <span class="cmex-10"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmex10-50.png" alt=" sum " class="10x-x-50" /></span> <sub ><span class="cmr-7">3</span></sub> statiouär <br/>mechanisch verknüpfbar (im Wärmegleichgewichte), so sind <br/>es auch <span class="cmex-10"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmex10-50.png" alt=" sum " class="10x-x-50" /></span> <sub ><span class="cmr-7">2</span></sub> und <span class="cmex-10"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmex10-50.png" alt=" sum " class="10x-x-50" /></span> <sub ><span class="cmr-7">3</span></sub>. </p><!--l. 813--><p class="indent"> Ich will hier bemerken, dass wir bis jetzt von der Vor-<br/>aussetzung, dass unsere Systeme mechanische seien, nur inso-<br/>fern Gebrauch gemacht haben, als wir den Liouville’schen <br/>Satz und das Energieprincip verwendet haben. Wahrschein-<br/>lich lassen sich die Fundamente der Wärmetheorie für noch <br/>weit allgemeiner definirte Systeme entwickeln. Solches wollen <br/>wir hier jedoch nicht versuchen, sondern uns auf die mecha-<br/>nischen Gleichungen stützen. Die wichtige Frage, inwiefern <br/>sich der Gedankengang von dem benutzten Bilde loslösen und <br/>verallgemeinern lässt, werden wir hier nicht behandeln. </p> <div class="center" > <!--l. 826--><p class="noindent"> </p><!--l. 827--><p class="noindent"><span class="cmsy-10">§ </span>6. Ueber die mechanische Bedeutung der Grösse <span class="cmmi-10">h.</span><sup ><span class="cmr-7">1</span></sup>)</p></div> <!--l. 830--><p class="indent"> Die lebendige Kraft <span class="cmmi-10">L </span>eines Systems ist eine homogene <br/>quadratische Function der Grössen <span class="cmmi-10">q. </span>Durch eine lineare <br/>Substitution lassen sich stets Variable <span class="cmmi-10">r </span>einführen, sodass die <br/>lebendige Kraft in der Form erscheint </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/Einst_Kinet_de_190242x.png" alt="L = 1(a r2+ a r2+ ...+ a r 2) 2 1 1 2 2 n n " class="par-math-display" /></center> <!--l. 839--><p class="nopar"> </p><!--l. 843--><p class="noindent">und dass </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/Einst_Kinet_de_190243x.png" alt=" integral integral d q1 ... dqn = dr1...drn, " class="par-math-display" /></center> <!--l. 850--><p class="nopar"> </p><!--l. 854--><p class="noindent">wenn man die Integrale über entsprechende unendlich kleine <br/>Gebiete ausdehnt. Die Grössen <span class="cmmi-10">r </span>nennt Boltzmann Momen-<br/>toiden. Die mittlere lebendige Kraft, welche einer Momentoide <br/>entspricht, wenn das System mit einem anderen, von viel <br/>grösserer Energie, ein System bildet, nimmt die Form an: </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/Einst_Kinet_de_190244x.png" alt=" integral '' -2h[V+a1r2+a2r2+...+anrn2] anr2n -A- integral e--------1----2--------.--2--.dp1-... d-pn.dr1-... d-rn= 1-. A''e-2h [V+a1 r21+a2r22+...+an rn2].dp1 ... dpn dr1 ... drn 4h " class="par-math-display" /></center> <!--l. 868--><p class="nopar"> </p><!--l. 871--><p class="noindent">---------- </p><!--l. 874--><p class="indent"> 1) Vgl. L. Boltzmann, Gastheorie, II. Teil, <span class="cmsy-10">§§ </span>33, 34, 42. <pb/> </p><!--l. 879--><p class="indent"> </p><!--l. 880--><p class="indent"> Die mittlere lebendige Kraft aller Momentoiden eines <br/>Systems ist also dieselbe und gleich: </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/Einst_Kinet_de_190245x.png" alt="1-- L- 4h = n , " class="par-math-display" /></center> <!--l. 886--><p class="nopar"> </p><!--l. 890--><p class="noindent">wobei <span class="cmmi-10">L </span>die lebendige Kraft des Systems bedeutet. </p> <div class="center" > <!--l. 891--><p class="noindent"> </p><!--l. 892--><p class="noindent"><span class="cmsy-10">§ </span>7. Ideale Gase. Absolute Temperatur.</p></div> <!--l. 895--><p class="indent"> Die entwickelte Theorie enthält als speciellen Fall die <br/>Maxwell’sche Zustandsverteilung der idealen Gase. Verstehen <br/>wir nämlich in <span class="cmsy-10">§ </span>3 unter dem System <span class="cmmi-10">S </span>ein Gasmolecül, unter <br/><span class="cmex-10"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmex10-50.png" alt=" sum " class="10x-x-50" /></span> die Gesamtheit aller anderen, so folgt für die Wahrschein-<br/>lichkeit, dass die Werte der Variabeln <span class="cmmi-10">p</span><sub ><span class="cmr-7">1</span></sub><span class="cmmi-10">...</span><span class="cmmi-10">q</span><sub ><span class="cmmi-7">n</span></sub> von <span class="cmmi-10">S </span>in <br/>einem in Bezug auf alle Variabeln unendlich kleinen Gebiet <span class="cmmi-10">g </span> <br/>liegen, der Ausdruck </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/Einst_Kinet_de_190246x.png" alt=" integral dW = A e-2hE dp1 ... dqn. g " class="par-math-display" /></center> <!--l. 905--><p class="nopar"> </p><!--l. 908--><p class="noindent">Auch erkennt man sogleich aus unserem, für die Grösse <span class="cmmi-10">h </span>in <br/><span class="cmsy-10">§ </span>3 gefundenen Ausdruck, dass die Grösse <span class="cmmi-10">h </span>bis auf unend-<br/>lich Kleines die nämliche wäre für ein Gasmolecül anderer <br/>Art, welches in dem Systeme vorkommt, in dem die Systeme <span class="cmex-10"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmex10-50.png" alt=" sum " class="10x-x-50" /></span> , <br/>welche <span class="cmmi-10">h </span>bestimmen, für beide Molecüle bis auf unendlich <br/>Kleines identisch sind. Damit ist die verallgemeinerte Max-<br/>well’sche Zustandsverteilung für ideale Gase erwiesen. -- </p><!--l. 914--><p class="indent"> Ferner folgt sofort, dass die mittlere lebendige Kraft der <br/>Schwerpunktsbewegung eines Gasmolecüles, welches in einem <br/>System <span class="cmmi-10">S </span>vorkommt, den Wert 3/4 <span class="cmmi-10">h</span> besitzt, weil dieselbe drei <br/>Momentoiden entspricht. Nun lehrt die kinetische Gastheorie, <br/>dass diese Grösse proportional dem vom Gase bei constanten <br/>Volumen ausgeübten Druck ist. Setzt man diesen definitions-<br/>gemäss der absoluten Temperatur <span class="cmmi-10">T </span>proportional, so hat man <br/>eine Beziehung von der Form </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/Einst_Kinet_de_190247x.png" alt=" -- -1-- 1w-(E)-- 4h = z.T = 2w'(E), " class="par-math-display" /></center> <!--l. 925--><p class="nopar"> </p><!--l. 929--><p class="noindent">wobei <span class="cmmi-10">z </span>eine universelle Constante, <span class="cmmi-10"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmmi10-21.png" alt="w" class="10x-x-21" /> </span>die in <span class="cmsy-10">§ </span>3 eingeführte <br/>Function bedeutet. <pb/> </p><!--l. 935--><p class="indent"> </p> <div class="center" > <!--l. 936--><p class="noindent"> </p><!--l. 937--><p class="noindent"><span class="cmsy-10">§ </span>8. Der zweite Hauptsatz der Wärmetheorie als Folgerung der <br/>mechanischen Theorie.</p></div> <!--l. 940--><p class="indent"> Wir betrachten ein gegebenes physikalisches System <span class="cmmi-10">S </span> <br/>als mechanisches System mit den Coordinaten <span class="cmmi-10">p</span><sub ><span class="cmr-7">1</span></sub> <span class="cmmi-10">...</span> <span class="cmmi-10">p</span><sub ><span class="cmmi-7">n</span></sub><span class="cmmi-10">. </span>Als <br/>Zustandsvariable in demselben führen wir ferner die Grössen </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/Einst_Kinet_de_190248x.png" alt="d p d p ---1 = p1'...---n = pn' dt dt " class="par-math-display" /></center> <!--l. 949--><p class="nopar"> </p><!--l. 953--><p class="noindent">ein. <span class="cmmi-10">P</span><sub ><span class="cmr-7">1</span></sub> <span class="cmmi-10">...</span> <span class="cmmi-10">P</span><sub ><span class="cmmi-7">n</span></sub> seien die äusseren Kräfte, welche die Coordi-<br/>naten des Systems zu vergrössern streben. <span class="cmmi-10">V</span> <sub ><span class="cmmi-7">i</span></sub> sei die poten-<br/>tielle Energie des Systems, <span class="cmmi-10">L </span>dessen lebendige Kraft, welche <br/>eine homogene quadratische Function der <span class="cmmi-10">p</span><sub ><span class="cmmi-7"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmmi7-17.png" alt="n" class="7x-x-17" /></span></sub><sup ><span class="cmsy-7">'</span></sup> ist. Die Be-<br/>wegungsgleichungen von Lagrange nehmen für ein solches <br/>System die Form an </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/Einst_Kinet_de_190249x.png" alt=" [ ] @-(Vi---L)+ -d- @-L- - P = 0, (n = 1,..n = n). @pn dt @pn' n " class="par-math-display" /></center> <!--l. 964--><p class="nopar"> </p><!--l. 967--><p class="noindent">Die äusseren Kräfte setzen sich aus zweierlei Kräften zu-<br/>sammen. Die einen, <span class="cmmi-10">P </span><sub><span class="cmmi-7"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmmi7-17.png" alt="n" class="7x-x-17" /></span></sub><sup><span class="cmr-7">(1)</span></sup>, sind diejenigen Kräfte, welche die <br/>Bedingungen des Systems darstellen, und von einem Potential <br/>ableitbar sind, welches nur Function der <span class="cmmi-10">p</span><sub ><span class="cmr-7">1</span></sub> <span class="cmmi-10">...</span> <span class="cmmi-10">p</span><sub ><span class="cmmi-7">n</span></sub> ist (adia-<br/>batische Wände, Schwerkraft etc.): </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/Einst_Kinet_de_190250x.png" alt=" @V P (n1) = --a-. @pn " class="par-math-display" /></center> <!--l. 978--><p class="nopar"> </p><!--l. 981--><p class="noindent">Da wir Processe zu betrachten haben, welche mit unendlicher <br/>Annäherung aus stationären Zuständen bestehen, haben wir <br/>anzunehmen, dass <span class="cmmi-10">V</span> <sub ><span class="cmmi-7">a</span></sub> die Zeit zwar explicite enthalte, dass <br/>aber die partiellen Ableitungen der Grössen <span class="cmmi-10"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmmi10-40.png" alt="@" class="10x-x-40" /> V</span> <sub ><span class="cmmi-7">a</span></sub><span class="cmmi-10">/<img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmmi10-40.png" alt="@" class="10x-x-40" /> p</span><sub ><span class="cmmi-7"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmmi7-17.png" alt="n" class="7x-x-17" /></span></sub> nach <br/>der Zeit unendlich klein seien. </p><!--l. 989--><p class="indent"> Die anderen Kräfte, <span class="cmmi-10">P</span><sub> <span class="cmmi-7"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmmi7-17.png" alt="n" class="7x-x-17" /></span></sub><sup><span class="cmr-7">(2)</span></sup> = <span class="cmmi-10">II</span><sub ><span class="cmmi-7"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmmi7-17.png" alt="n" class="7x-x-17" /></span></sub><span class="cmmi-10">, </span>seien nicht von einem <br/>Potential ableitbar, welches nur von den <span class="cmmi-10">p</span><sub ><span class="cmmi-7"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmmi7-17.png" alt="n" class="7x-x-17" /></span></sub> abhängt. Die <br/>Kräfte <span class="cmmi-10">II</span><sub ><span class="cmmi-7"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmmi7-17.png" alt="n" class="7x-x-17" /></span></sub> stellen die Kräfte dar, welche die Wärmezufuhr <br/>vermitteln. </p><!--l. 993--><p class="indent"> Setzt man <span class="cmmi-10">V</span> <sub ><span class="cmmi-7">a</span></sub> + <span class="cmmi-10">V</span> <sub ><span class="cmmi-7">i</span></sub> = <span class="cmmi-10">V, </span>so gehen die Gleichungen (1) <br/>über in </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/Einst_Kinet_de_190251x.png" alt=" { } @-(V--L)- d-- -@L- IIn = @pn + dt @ pn' . " class="par-math-display" /></center> <!--l. 1001--><p class="nopar"> </p><!--l. 1004--><p class="noindent">Die Arbeit, welche durch die Kräfte <span class="cmmi-10">II</span><sub ><span class="cmmi-7"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmmi7-17.png" alt="n" class="7x-x-17" /></span></sub> in der Zeit <span class="cmmi-10">dt </span>dem <br/>System zugeführt wird, ist dann die Darstellung der vom <br/><pb/> </p><!--l. 1010--><p class="indent"> </p><!--l. 1011--><p class="noindent">System <span class="cmmi-10">S </span>während <span class="cmmi-10">dt </span>aufgenommenen Wärmemenge <span class="cmmi-10">dQ</span>, welche <br/>wir im mechanischen Maass messen wollen. </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/Einst_Kinet_de_190252x.png" alt=" sum sum -@V- sum -@-L dQ = Hn dpn = @pn dpn- @pn dpn{ } sum -dpn -d- @-L- + d t d t @p'n dt. " class="par-math-display" /></center> <!--l. 1027--><p class="nopar"> </p><!--l. 1030--><p class="noindent">Da aber </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/Einst_Kinet_de_190253x.png" alt=" sum { } sum sum pn'd- -@L-' d t = d pn'@-L' - -@L'd pn'. dt @ pn @ pn @ pn " class="par-math-display" /></center> <!--l. 1040--><p class="nopar"> </p><!--l. 1044--><p class="noindent">ferner </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/Einst_Kinet_de_190254x.png" alt=" sum @ L ' sum @ L ' sum @L ' @pn'pn = 2L, @pn-dpn + @-pn'dpn = dL, " class="par-math-display" /></center> <!--l. 1052--><p class="nopar"> </p><!--l. 1056--><p class="noindent">so ist </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/Einst_Kinet_de_190255x.png" alt="dQ = sum @L--dpn + dL. @pn " class="par-math-display" /></center> <!--l. 1062--><p class="nopar"> </p><!--l. 1065--><p class="noindent">Da ferner </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/Einst_Kinet_de_190256x.png" alt=" 1 L T = 4-zh-= -nz-, " class="par-math-display" /></center> <!--l. 1071--><p class="nopar"> </p><!--l. 1075--><p class="noindent">so ist </p> <table width="100%" class="equation"><tr><td><a id="x1-2r1"></a> <center class="math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/Einst_Kinet_de_190257x.png" alt=" dQ dL sum @ V ---- = nz----+ 4z h ----d pn. T L @ pn " class="math-display" /></center></td><td width="5%">(1)</td></tr></table> <!--l. 1082--><p class="nopar"> </p><!--l. 1086--><p class="indent"> Wir beschäftigen uns nun mit dem Ausdruck </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/Einst_Kinet_de_190258x.png" alt=" sum -@V- @ pn dpn. " class="par-math-display" /></center> <!--l. 1091--><p class="nopar"> </p><!--l. 1094--><p class="noindent">Derselbe stellt die Zunahme des Systems an potentieller Energie <br/>dar, welche stattfinden würde während der Zeit <span class="cmmi-10">dt</span>, wenn <span class="cmmi-10">V </span> <br/>nicht explicite von der Zeit abhängig wäre. Das Zeitelement <span class="cmmi-10">dt </span> <br/>sei so gross gewählt, dass an die Stelle jener Summe deren <br/>Mittelwert für unendlich viele gleichtemperirte Systeme <span class="cmmi-10">S </span>ge-<br/>setzt werden kann, aber doch so klein, dass die expliciten <br/>Aenderungen von <span class="cmmi-10">h </span>und <span class="cmmi-10">V </span>nach der Zeit unendlich klein seien. </p><!--l. 1105--><p class="indent"> Unendlich viele Systeme <span class="cmmi-10">S </span>im stationären Zustande, welche <br/>alle identische <span class="cmmi-10">h</span> und <span class="cmmi-10">V</span> <sub ><span class="cmmi-7">a</span></sub> besitzen, mögen übergehen in neue <br/>stationäre Zustände, welche durch die allen gemeinsamen Werte <br/><span class="cmmi-10">h </span>+ <span class="cmmi-10"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmmi10-e.png" alt="d" class="10x-x-e" /> h, V </span>+ <span class="cmmi-10"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmmi10-e.png" alt="d" class="10x-x-e" /> V </span>charakterisirt sein mögen. ,,<span class="cmmi-10"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmmi10-e.png" alt="d" class="10x-x-e" /></span>“ bezeichne <br/>allgemein die Aenderung einer Grösse beim Uebergang des <br/>Systems in den neuen Zustand; das Zeichen ,,<span class="cmmi-10">d</span>“ bezeichne <br/>nicht mehr die Aenderung mit der Zeit, sondern Differentiale <br/>bestimmter Integrale. -- <pb/> </p><!--l. 1119--><p class="indent"> </p><!--l. 1120--><p class="indent"> Die Anzahl der Systeme, deren Zustandsvariable vor der <br/>Aenderung innerhalb des unendlich kleinen Gebietes <span class="cmmi-10">g </span>sich <br/>befinden, ist durch die Formel gegeben </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/Einst_Kinet_de_190259x.png" alt=" integral - 2 h (V+L) dN = Ae dp1 ... dqn, " class="par-math-display" /></center> <!--l. 1128--><p class="nopar"> </p><!--l. 1132--><p class="noindent">dabei steht es in unserer Willkür, für jedes gegebene <span class="cmmi-10">h </span>und <span class="cmmi-10">V</span> <sub ><span class="cmmi-7">a</span></sub> <br/>die willkürliche Constante von <span class="cmmi-10">V </span>so zu wählen, dass die Con-<br/>stante <span class="cmmi-10">A </span>der Einheit gleich wird. Wir wollen dies thun, um <br/>die Rechnung einfacher zu gestalten, und die so genauer defi-<br/>nirte Function <span class="cmmi-10">V</span> <sup ><span class="cmsy-7">*</span></sup> nennen. </p><!--l. 1139--><p class="indent"> Man sieht nun leicht, dass die von uns gesuchte Grösse <br/>den Wert erhält: </p> <table width="100%" class="equation"><tr><td><a id="x1-3r2"></a> <center class="math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/Einst_Kinet_de_190260x.png" alt=" sum * integral @-V-d pn = N1 d{e-2h(V +L)}.V*d p1 ... dqn, @ pn " class="math-display" /></center></td><td width="5%">(2)</td></tr></table> <!--l. 1146--><p class="nopar"> </p><!--l. 1150--><p class="noindent">wobei die Integration über alle Werte der Variabeln zu er-<br/>strecken ist. Dieser Ausdruck stellt nämlich die Vermehrung <br/>der mittleren potentiellen Energie des Systems dar, welche <br/>einträte, wenn zwar die Zustandsverteilung sich gemäss <span class="cmmi-10"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmmi10-e.png" alt="d" class="10x-x-e" /> V</span> <sup ><span class="cmsy-7">*</span></sup> <br/>und <span class="cmmi-10"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmmi10-e.png" alt="d" class="10x-x-e" /> h </span>änderte, <span class="cmmi-10">V </span>aber sich nicht explicite veränderte. </p><!--l. 1158--><p class="indent"> Ferner erhalten wir: </p> <table width="100%" class="equation"><tr><td><a id="x1-4r3"></a> <center class="math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/Einst_Kinet_de_190261x.png" alt=" integral sum @-V- 1- -2h(V*+L) ' 4z h @pn dpv = 4 zN d{e integral }.h.V.dp1 ... d qn { = 4zd [hV-]- 4z- e-2h(V*+L)d[hV ] N d p1 ... dqn. " class="math-display" /></center></td><td width="5%">(3)</td></tr></table> <!--l. 1172--><p class="nopar"> </p><!--l. 1175--><p class="noindent">Die Integrationen sind hier und im Folgenden über alle mög-<br/>lichen Werte der Variabeln zu erstrecken. Ferner hat man <br/>zu bedenken, dass die Anzahl der betrachteten Systeme sich <br/>nicht ändert. Dies liefert die Gleichung: </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/Einst_Kinet_de_190262x.png" alt=" integral * d(e-2h[(V +L)])d p1 ... dqn = 0, " class="par-math-display" /></center> <!--l. 1186--><p class="nopar"> </p><!--l. 1190--><p class="noindent">oder </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/Einst_Kinet_de_190263x.png" alt=" integral integral e-2 h (V *+L)d(h V)d p1 ... d qn + dh e-2h(V*+L)d(L) dp1 ... d qn = 0, " class="par-math-display" /></center> <!--l. 1200--><p class="nopar"> </p><!--l. 1204--><p class="noindent">oder </p> <table width="100%" class="equation"><tr><td><a id="x1-5r4"></a> <center class="math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/Einst_Kinet_de_190264x.png" alt=" integral -- -4z e-2h(V*+L)d(hV )dp1 ... d qn + 4zL dh = 0. N " class="math-display" /></center></td><td width="5%">(4)</td></tr></table> <!--l. 1211--><p class="nopar"> <pb/> </p><!--l. 1218--><p class="indent"> </p><!--l. 1219--><p class="indent"> <span class="overline"><span class="cmmi-10">V</span> </span> und <span class="overline"><span class="cmmi-10">L</span></span> bezeichnen die Mittelwerte der potentiellen Energie <br/>und der lebendigen Kraft der <span class="cmmi-10">N </span>- Systeme. Durch Addition <br/>von (3) und (4) erhält man: </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/Einst_Kinet_de_190265x.png" alt=" sum @-V* -- -- 4zh @pn dpn = 4 zd[hV ]+ 4zL .dh, " class="par-math-display" /></center> <!--l. 1228--><p class="nopar"> </p><!--l. 1232--><p class="noindent">oder, weil </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/Einst_Kinet_de_190266x.png" alt=" n n h = 4-L, dh = -4-L2.dL, " class="par-math-display" /></center> <!--l. 1239--><p class="nopar"> </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/Einst_Kinet_de_190267x.png" alt=" sum 4 zh @-V-dpn = 4zd[h V]- n z @-L. @pn L " class="par-math-display" /></center> <!--l. 1247--><p class="nopar"> </p><!--l. 1250--><p class="noindent">Setzt man diese Formel in (1) ein, so erhält man </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/Einst_Kinet_de_190268x.png" alt=" [ -- ] [ -*] d-Q-= d 4 zhV * = d V-- . T T " class="par-math-display" /></center> <!--l. 1257--><p class="nopar"> </p><!--l. 1260--><p class="noindent"><span class="cmmi-10">dQ/T </span>ist also ein vollständiges Differential. Da </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/Einst_Kinet_de_190269x.png" alt="-- ( ) L-= n z, also d L- = 0 T T " class="par-math-display" /></center> <!--l. 1265--><p class="nopar"> </p><!--l. 1269--><p class="noindent">ist, so lässt sich auch setzen </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/Einst_Kinet_de_190270x.png" alt=" ( ) -dQ- E*-- T = d T . " class="par-math-display" /></center> <!--l. 1275--><p class="nopar"> </p><!--l. 1278--><p class="noindent"><span class="cmmi-10">E</span><sup ><span class="cmsy-7">*</span></sup><span class="cmmi-10">/T </span>ist also bis auf eine willkürliche additive Constante der <br/>Ausdruck für die Entropie des Systems, wobei <span class="cmmi-10">E</span><sup ><span class="cmsy-7">*</span></sup> = <span class="cmmi-10">V</span> <sup ><span class="cmsy-7">*</span></sup> + <span class="cmmi-10">L </span> <br/>gesetzt ist. Der zweite Hauptsatz erscheint also als not-<br/>wendige Folge des mechanischen Weltbildes. </p> <div class="center" > <!--l. 1284--><p class="noindent"> </p><!--l. 1285--><p class="noindent"><span class="cmsy-10">§ </span>9. Berechnung der Entropie.</p></div> <!--l. 1288--><p class="indent"> Der für die Entropie <span class="cmmi-10"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmmi10-22.png" alt="e" class="10x-x-22" /> </span>gefundene Ausdruck <span class="cmmi-10"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmmi10-22.png" alt="e" class="10x-x-22" /> </span>= <span class="cmmi-10">E</span><sup ><span class="cmsy-7">*</span></sup><span class="cmmi-10">/T </span> <br/>ist nur scheinbar so einfach, da <span class="cmmi-10">E</span><sup ><span class="cmsy-7">*</span></sup> aus den Bedingungen des <br/>mechanischen Systems erst berechnet werden muss. Es ist <br/>nämlich </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/Einst_Kinet_de_190271x.png" alt=" * E = E + E0, " class="par-math-display" /></center> <!--l. 1297--><p class="nopar"> </p><!--l. 1301--><p class="noindent">wobei <span class="cmmi-10">E </span>unmittelbar gegeben, <span class="cmmi-10">E</span><sub ><span class="cmr-7">0</span></sub> aber durch die Bedingung </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/Einst_Kinet_de_190272x.png" alt=" integral - 2h(E+E0) e d p1 ... dqn = N " class="par-math-display" /></center> <!--l. 1307--><p class="nopar"> </p><!--l. 1311--><p class="noindent">als Function von <span class="cmmi-10">E </span>und <span class="cmmi-10">h </span>zu bestimmen ist. Man erhält so: </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/Einst_Kinet_de_190273x.png" alt=" * { integral } e =-E- = E--+ 2z log e-2hEd p1 ... dqn + const. T T " class="par-math-display" /></center> <!--l. 1318--><p class="nopar"> <pb/> </p><!--l. 1325--><p class="indent"> </p><!--l. 1326--><p class="noindent">In dem so gefundenen Ausdruck ist die der Grösse <span class="cmmi-10">E </span>zuzu-<br/>fügende willkürliche Constante ohne Einfluss auf das Resultat, <br/>und das als ,,const“ bezeichnete dritte Glied ist von <span class="cmmi-10">V </span>und <span class="cmmi-10">T </span> <br/>unabhängig. </p><!--l. 1333--><p class="indent"> Der Ausdruck für die Entropie <span class="cmmi-10"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Kinet_de_1902/fulltext/img/cmmi10-22.png" alt="e" class="10x-x-22" /> </span>ist darum merkwürdig, <br/>weil er lediglich von <span class="cmmi-10">E</span> und <span class="cmmi-10">T </span>abhängt, die specielle Form <br/>von <span class="cmmi-10">E </span>als Summe potentieller Energie und lebendiger Kraft <br/>aber nicht mehr hervortreten lässt. Diese Thatsache lässt <br/>vermuten, dass unsere Resultate allgemeiner sind als die be-<br/>nutzte mechanische Darstellung, zumal der in <span class="cmsy-10">§ </span>3 für <span class="cmmi-10">h </span>ge-<br/>fundene Ausdruck dieselbe Eigenschaft aufweist. </p> <div class="center" > <!--l. 1339--><p class="noindent"> </p><!--l. 1340--><p class="noindent"><span class="cmsy-10">§ </span>10. Erweiterung des zweiten Hauptsatzes.</p></div> <!--l. 1343--><p class="indent"> Ueber die Natur der Kräfte, welche dem Potential <span class="cmmi-10">V</span> <sub ><span class="cmmi-7">a</span></sub> <br/>entsprechen, brauchte nichts vorausgesetzt zu werden, auch <br/>nicht, dass solche Kräfte in der Natur vorkommen. Die mecha-<br/>nische Theorie der Wärme verlangt also, dass wir zu rich-<br/>tigen Resultaten gelangen, wenn wir das Carnot’sche Princip <br/>auf ideale Processe anwenden, welche aus den beobachteten <br/>durch Einführung beliebiger <span class="cmmi-10">V</span> <sub ><span class="cmmi-7">a</span></sub> erzeugt werden können. Natür-<br/>lich haben die aus der theoretischen Betrachtung jener Processe <br/>gewonnenen Resultate nur dann reale Bedeutung, wenn in <br/>ihnen die idealen Hülfskräfte <span class="cmmi-10">V</span> <sub ><span class="cmmi-7">a</span></sub> nicht mehr vorkommen. </p><!--l. 1356--><p class="indent"> Bern, Juni 1902. </p> <div class="center" > <!--l. 1358--><p class="noindent"> </p><!--l. 1359--><p class="noindent">(Eingegangen 26. Juni 1902.)</p></div> <!--l. 1362--><p class="indent"> </p> <div class="center" > <!--l. 1363--><p class="noindent"> </p><!--l. 1364--><p class="noindent">----------</p></div> </body></html>