Mercurial > hg > mpdl-xml-content
view texts/archimedesOldCVSRepository/archimedes/raw/monte_mecha_01_la_1577.raw @ 11:35edd67cabf9
Appendix Version 2009-02-14
| author | Klaus Thoden <kthoden@mpiwg-berlin.mpg.de> |
|---|---|
| date | Thu, 02 May 2013 11:12:52 +0200 |
| parents | 22d6a63640c6 |
| children |
line wrap: on
line source
<pb id="p.0001"> <head>GVIDIV BALDI E MARCHIONIBVS MONTIS MECHANICORVM LIBER.</head> <fig> <head>PISAVRI Apud Hieronymum Concordiam.</head> <head>M. D. LXXVII.</head> <head>Cum Licentia Superiorum.</head> <pb> <fig> <pb> <head>GVIDIV BALDI E MARCHIONIBVS MONTIS MECHANICORVM LIBER.</head> <fig> <head>PISAVRI Apud Hieronymum Concordiam.</head> <head>M. D. LXXVII.</head> <head>Cum Licentia Superiorum.</head> <pb> <head>PRAESENTI OPERE CONTENTA.</head> <p>De Libra. <p>De Vecte. <p>De Trochlea. <p>De Axe in peritrochio. <p>De Cuneo. <p>De Cochlea. <pb> <head>AD FRANCISCVM MARIAM II VRBINATVM AMPLISSIMVM DVCEM GVIDIVBALDI E MARCHIONIBVS MONTIS</head> <head>PRAEFATIO.</head> <p>DV AE res (AMPLISSIME PRIN- CEPS) quæ ad conciliandas homi nibus facultates, vtilitas nempè, & nobilitas, plurimùm valere con$ue uerunt. illæ ad exornandam mecha nicam facultatem, & eam præ om- nibus alijs appetibilern reddendam con$pira$$e mihi videnturinam $i nobilitatem (quod pleriq; modò faciunt) ortuip$o metimur, occurret hinc Geometria, illinc verò Phi$ica; quorumgemina to complexunobili$$ima artium prodit mechani- ca. $i enim nobilitatem magis, tùm $tratæ materiæ, tùm argumentorum nece$$itati (quod Ari$tote- les fatetur aliquandò) relatam volumus, omnium proculdubiò nobili$$imam per$piciemus. quæ <foot><12> 2</foot> <pb> quidem non $olum geometriam (vt Pappus te$ta tur) ab$oluit, & perficit; verùm etiam & phi$ica- rum rerum imperium habet: quandoquidem quodcunq; Fabris, Architectis, Baiulis, Agricolis, Nautis, & quàm plurimis alijs (repugnantibus na- turæ legibus) opitulatur; id omne mechanicum e$t imperium. quippè quod aduer$us naturam vel eiu$dem emulata leges exercet; $umma id certè admiratione dignum; veri$$imum tamen, & à quocunque liberaliter admi$$um, qui pri- us ab Ari$totele didicerit, omnia mechanica, tùm problemata, tùm theoremata ad rotundam machinam reduci, atq; ideo illo niti principio, nõ minus $en$ui, quàm rationi noto. Rotunda ma china e$t mouenti$$ima, & quò maior, eò mouen- tior. Verùm huic nobilitati adnexa e$t $umma re rum ad vitam pertinentium vtilitas, quæ propte- rea omnes alias à diuer$is artibus propagatas an- tecellit; quòd aliæ facultates po$t mundi gene$im longa temporis intercapedine $uos explicarunt v$us; i$ta verò & in ip$is mundi primordijs ita fuit hominibus nece$$aria, vt ea $ublata Sol de mun- do $ublatus videretur. nam quacunq; nece$$ita- te Adæ vita degeretur; & quamuis etiam ca$is contectis $tramine, & angu$tis tugurijs, ac gurgu- $tijs cœli de fenderet iniurias; $ic & in corporis ve $titu, licetip$e nihil aliud $pectaret, ni$i vt imbres, <pb> vt niues, vt ventos; vt Solem, vtfrigus arceret; quodcunque tamen id fuit, omne mechanicum fuit. neq; tamen huic facultati contingit, quod ventis $olet, qui cùm vndè oriuntur, ibi vehe- menti$$imi $int, ad longinqua tamen fracti, de- bilitatiquè perueniunt: $ed quod magnis flumini- bus crebriu$ accidit, quæ cùm in ip$o ortu parua $int, perpetuò tamen aucta, eò ampliori ferun tur alueo, quò à fontibus $uis longius rece$$e- runt. Nam & temporis progre$$u mechanica fa cultas $ub iugo æquum arationis laborem di- $pen$are, atque aratrum agris circumagere cæ- pit. deinceps bigis, & quadrigis docuit comea tus, merces, onera quælibet vehere, è finibus no$tri$ ad finitimos populos exportare, & ex il lis contra importare ad nos. præterea cùm iam res non tantùm nece$$itate, verùm etiam orna- tu, & commoditate metirentur, mechanicæ fuit $ubtilitatis, quòd nauigia remo impellere- mus; quòd gubernaculo exiguo in extrema pup pi collocato ingentes triremium moles inflecte- remus; quòd vnius $æpè manu pro multis fabro- rum manibus modò pondera lapidum, & tra- bium Fabris, & Architectis $ubleuaremus; mo- dò tollenonis $pecie aquas è puteis olitoribus e- xhauriremus. hinc etiam è liquidorum prælis vi na, olea, vnguenta expre$$a, & quicquid liquo- <pb> ris habent, per$oluere domino compul$a. hinc magnas arborũ, & marmorum moles duobus in contrarias partes di$trah&etilde;tibus vectibus diremp- $imus; hinc militiæ in aggeribus extruendis, in con$erenda manu, in opugnando, propugnan- doq; loca infinitæ ferè redundarunt vtilitates; hinc demum Lignatores, Lapicidæ, Marmorarij Vinitores, Olearij, Vnguentarij, Ferrarij, Auri fices, Metallici, Chirurgi, Ton$ores, Pi$tores, Sar tores, omnes deniq; opifices beneficiarij, tot, tan taq; vitæ humanæ $uppeditarunt commoda. Eant nunc noui logodedali quidam mechanicorum contemptores, perfricent frontem, $i quam ha- bent, & ignobilitatem, atquè inutilitatem fal$ò criminari de$inant: quòd $i & adhuc id minimè velint, eos quæ$o in in$citia $ua relinquamus: Ari$totelemquè potius philo$ophorum cory- phæum imitemur, cuius mechanici amoris ardo rem acuti$$imæ illæ mechanicæ quæ$tiones po$te ris traditæ $atis declarant: qua quidem laude Platonem magnificè $uperauit; qui (vt te$tatur Plutarcus) Architam, & Eudoxum mechanicæ vtilitatem impen$ius colentes ab in$tituto deter ruit; quòd nobili$$imam philo$ophorum po$$e$- $ionem in vulgus indicarent, ac publicarent; & velut arcana philo$ophiæ my$teria proderent. res $anè meo quidem iudicio pro$us vituperan- <pb> da, ni$i fortè velimus tam nobilis di$ciplinæ con templationem quidem ocio$am laudare; fructum verò, & v$um, arti$q; finem improbare. $ed præ omnibus mathematicis vnus Archimedes ore laudandus e$t pleniore, quem voluit Deus in me- chanicis velut ideam $ingularem e$$e, quam om- nes earum $tudio$i ad imitandum $ibi propone- rent. is enim Cœle$tem globum exiguo admo- dum, fragili què vitreo orbe conclu$um ita efin- xit, $imulatis a$tris viuum naturæ opus, ac iura poli motibus certis adeò præ$eferentibus; vt æmula naturæ manus tale de $e encomium $it promerita: $ic manus naturam, vt natura ma- num ip$a immitata putetur. is poli$pa$tu manu leua, & $ola, quinquies millenum modiorum pondus attraxit. nauem in $iccum litus eductam, ac grauius oneratam $olus machinis $uis ad $e perindè pertraxit, ac $i in mari remis, veli$uè impul$a moueretur, quã & po$tea in litore (quod omnes Siciliæ vires non potuerunt) in mare de- duxit. ab i$to etiam ea extiterunt bellica tor- menta, quibus Syracu$æ aduer$us Marcellum ita defen$æ $unt, vt pa$$im eorum machinator Briareus, & centimanus à Romanis appellare- tur. demum hac arte confi$us eò proce$$it au- daciæ, vt eam vocem naturæ legibus adeò re- pugnantem protulerit. Da mihi, vbi $i$tam, ter <pb> ramq; mouebo. quod tamen non modò nos vecte tantùm fieri potui$$e in præ$enti libro doce mus; verùm etiam, & omnis anti quitas (quod multis forta$$è mirabile videbitur) id penitus credidi$$e mihi videtur; quæ Neptuno tri- dentem tanquam vectem attribuit; cuius ope terræ concu$$or vbiq; nuncupatur à poetis. ad quod etiam a$piciens celeberrimus no$ter poeta Neptunum inducit i$ta machina $yrtes, quò ma- gis apparerent Troianis, $ubleuantem. <p>“Leuat ip$e tridenti & va$tas aperit $yrtes.” <p>Mechanici præterea fuerunt Heron, Cte$ibius, & Pappus, qui licet ad mechanicæ apicem, perin- de atq; Archimedes, euecti forta$$è minimè $int; mechanicam tamen facultatem egregiè percal- luerunt; tale$q; fuerunt, & præ$ertim Pappus, vt eum me ducem $equentem nemo (vt opinor) cul pauerit. quod & propterea libentius feci, quòd nè latum quidem vnguem ab Archimedeis prin- cipijs Pappus recedat. ego enim in hac præ$ertim facultate Archimedis ve$tigijs hærere $emper vo lui: & licet eius lucubrationes ad mechanicã per- <pb> tinentes multis ab hinc annis pa$$im $oleant do- ctis de$iderari: eruditi$$imus tamen libellus de æ- queponderantibus præ manibus hominũ adhuc ver$atur, in quò tanquam in copio$i$$ima pœnu omnia ferè mechanica dogmata repo$ita mihi vi- dentur; quem $anè libellum, $i ætatis no$træ mathe matici $ibi magis familiarem adhibui$$ent; reperi$ $ent $anè $ent&etilde;tias multas, quas modó ip$i firmas, & ratas e$$e docent; $ubtili$$imè, atquè veri$- $imè conuul$as, & labefactatas. $ed hoc vi- derint ip$i. ego enim ad Pappum redeo, qui ad v$um mathematicarum vberiorem, emulu- mentorumquè acce$$iones amplificandas peni- tus conuer$us, de quinque principibus machi- nis, Vecte nempè, Trochlea, Axe in peri- trochio, Cuneo, & Cochlea, multa egre- giè philo$ophatus e$t; demon$trauit què quicquid in machinis, aut cogitari peritè, aut acutè definiri, aut certò $tatui pote$t, idomne quin- què illis infinita vi præditis machinis referen- dum e$$e. atquè vtinam iniuria temporis ni- hil è tanti viri $criptis abra$i$$et: nec enim tam den$a in$citiæ caligo vniuer$um propè terra- rum orbem obtexi$$et, neque tanta mechani cæ facultatis e$$et ignoratio con$ecuta, vt ma- thematicarum proceres exi$timarentur illi, qui modò inepti$$ima quadam di$tinctione, diffi- <foot><12><12></foot> <pb> cultates nonnullas, nec illas tamen $atis ar- duas, & ob$curas è medio tollunt. reperiun- tur enim aliqui, no$traq; ætate emunctæ naris mathematici, qui mechanicam, tùm mathe- maticè $eor$um, tùm phi$icè con$iderari po$- $e affirmant; ac $i aliquando, vel $ine demon $trationibus geometricis, vel $ine vero motu res mechanicæ con$iderari po$$int: qua $anè di- $tinctione (vt leuius cum illis agam) nihil aliud mi- hi commini$ci videntur, quàm vt dum $e, tùm phi$icos, tùm mathematicos proferant, vtra- que (quod aiunt) $ella excludantur. nequè enim amplius mechanica, $i à machinis ab$tra hatur, & $eiungatur, mechanica pote$t appel lari. Emicuit tamen inter i$tas tenebras (quam- uis alij quoquè nonnulli fuerint præclari$$imi) Solis in$tar Federicus Commandinus, qui multis docti$$imis elucubrationibus ami$$um mathema ticarum patrimonium non modò re$taurauit, verùm etiam auctiùs, & locupletiùs effecit. erat enim $ummus i$te vir omnibus adeò facul- tatibus mathematicis ornatus, vt in eo Archi- tas, Eudoxus, Heron, Euclides, Theon, Ari- $tarcus, Diophantus, Theodo$ius, Ptolemæus Apollonius, Serenus, Pappus, quin & ip- $emet Archimedes ($iquidem ip$ius in Archi- medem $cripta Archimedis olent lucernam) re <pb> uixi$$e viderentur. & ecce repentè è tenebris (vt confidimus) ac vinculis corporis in lucem, li- bertatem què productus mathematicas alieni$- $imo tempore optimo, & præ$tanti$$imo patre orbatas, nos verò ita con$ternatos reliquit, vt e- ius de$iderium vix longo $ermone mitigare po$$e videamur. Ille tamen perpetuò in alia- rum mathematicarum explicationem ver$ans, mechanicam facultatem, aut penitus præter- mi$it, aut modicè attigit. Quapropter in hoc $tudium ardentiùs ego incumbere cæpi, nec me vnquam per omne mathematum genus vagan tem ea $olicitudo de$eruit; ecquid ex vno quoquè decerpi, ac delibari po$$it; quo ad me chanicam expoliendam, & exornandam acco- modatior e$$e po$$em. Nunc verò cùm mihi videar, noni ea quidem omnia, quæ ad mecha nicam pertinent, perfeci$$e; $ed eò v$q; tamen progre$$us, vtijs, qui ex Pappo, ex Vitruuio, & ex alijs didicerint, quid $it Vectis, quid Tro- chlea, quid Axis in peritrochio, quid Cuneus, quid Cochlea; quomodoq; vt pondera moueri po$$int, aptari debeant; adhuc tamen acciden- tia permulta, quæ inter potentiam, & pondus vectis virtute illis in$unt in$trumentis, perdi$ce- re cupiunt, opis aliquid adferre po$$im; putaui tempus iam po$tulare, vt prodirem; & nauatæ <foot><12><12> 2</foot> <pb> in hoc genere operæ $pecimen aliquod darem. Verùm quò facilius totius operis $ub$tructio ad fa$tigium $uum per duceretur, nonnulla quo- què de libra fuerunt pertractanda, & præ$er- tim dum vnico pondere alterum $olum ip$ius brachium penitus deprimitur: que in re mi- rum e$t quantas fecerint ruinas Iordanus (qui inter recentiores maximæ fuit auctoritatis) & alij; qui hanc rem $ibi di$cutiendam propo$ue runt. opus $anè arduum, & for$an viribus no- $tris impar aggre$si $umus; in eo tamen digni, vt no$tros conatus, & indu$triam ad præclara ten dentem bonorum omnium perpetuus applau- $us, approbatioq; comitetur; quòd ad $tudium tàm illu$tre, tam magnificum, tam laudabile contulimus quicquid habuimus virium. quod $anè qualecunq; $it, tibi celeberrime PRINCEPS nuncupandum cen$uimus; cuius $anè con$ilij, atq; in$tituti no$tri rationes multas reddere in promptu e$t: & primùm hæreditaria tibi in fa- miliam no$tram promerita, quibus nos ita de- uictos habes; vt facilè intelligamus ad fortunas non modò no$tras, verùm & ad $anguinem, & vitam quoq; pro tua dignitate propendendam parati$$imos e$$e debere. Præterea illud non parui quoq; ponderis accedit, quòd à pueri- tia literarum omnium, $ed præcipuè mathe- <pb> maticarum de$iderio ita fueris incen$us, vt ni- $i illis adeptis vitam tibi acerbam, atq; in$ua- uem $tatueres. proinde in earum $tudio infi- xus primam ætatis partem in illis percipiendis exegi$ti, eamquè $æpius verè principe dignam vocem protuli$ti, te propterea mathematicis præ$ertim delectari, quòd i$tæ maximè ex do- me$tico illo, & vmbratili vitæ genere in Solem (quod dicitur) & puluerem prodire po$sint: cu ius $anè rei tuum flagranti$simum ab ineunte æta te peritiæ militaris de$iderium, exploratum in- dicium poterat e$$e, ni$i nimis emendicatæ men- tis e$$et ea proponere, quæ à te $perari po$$ent; quando tu penitus adole$cens, egregia multa fa cinora proficere matura$ti. Tu enim cùm iam à $ancti$$imo Pontifice Pio V $aluberrimæ Prin- cipum Chri$tianorum coniunctionis fundamen- ta iacta e$$ent, alacer admodum ad debellan- dos Chri$ti ho$tes profectus, $olidi$$imam, ac ve- ri$$imam gloriam tibi compara$ti. Tu quoties de $umma rerum deliberatum e$t, eas $ententias dixi$ti, quæ $ummam prudentiam cùm $umma animi excel$itate coniunctam indicarent. ommit- taminterim pleraq; alia illis temporibus egre- giè, viriliter què à te ge$ta, ne tibi ip$iea, quæ omnibus $unt manife$ta, palàm facere videar: <pb> quæ cùm omnia magna, & præclara $int; mul- tò tamen à te maiora, & præclara expectant adhuc homines. Vale interim præ$tanti$$imum orbis decus, & $i quando aliquid otij nactus fueris has meas vigiliolas a$picere ne dedi- gneris. <pb n=1> <head>GVIDIVBALDI E MARCHIONIBVS MONTIS.</head> <head>MECHANICORVM LIBER.</head> <fig> <head>DEFINITIONES.</head> <p>Centrvm grauitatis vniu$cu- iu$q; corporis e$t punctum quod- dam intra po$itum, à quo $i gra- ue appen$um mente concipiatur, dum fertur, quie$cit; & $eruat eam, quam in principio habebat po$i- tionem: neq; in ip$a latione circumuertitur. <p>Hanc centri grauitatis definitionem Pappus Alexandrinus in octauo Mathematicarum collectionum libro tradidit. Federicus verò Commandinus in libro de centro grauitatis $olidorum idem centrum de$cribendo ita explicauit. <p>Centrum grauitatis vniu$cuiu$q; $olidæ figu- ræ e$t punctum illud intra po$itum, circa quod vndiq; partes æqualium momentorum con$i- $tunt. $i enim per tale centrum ducatur planum figuram quomodocunq; $ecans $emper in par- tes æqueponderantes ip$am diuidet. <foot>A</foot> <pb> <head>COMMVNES NOTIONES.</head> <head>I</head> <p>Si ab æqueponderantibus æqueponderantia au- ferantur, reliqua æqueponderabunt. <head>II</head> <p>Si æqueponderantibus æqueponderantia adii- ciantur, tota $imul æqueponderabunt. <head>III</head> <p>Quæ eidem æqueponderant, inter $e æquè $unt grauia. <head>SVPPOSITIONES.</head> <head>I</head> <p>Vnius corporis vnum tantùm e$t centrum gra- uitatis. <head>II</head> <p>Vnius corporis centrum grauitatis $emper in eodem e$t $itu re$pectu $ui corporis. <head>III</head> <p>Secundùm grauitatis centrum pondera deor- $um feruntur. <pb n=2> <head>DE LIBRA.</head> <p>Anteqvam de libra $ermo ha beatur, vtres clarior eluce$cat, $it libra AB recta linea; CD verò trutina, quæ $ecundum commu- nem con$uetudinem horizonti $emper e$t perpendicularis. pun- ctum autem C immobile, circa quod vertitur li- bra, centrum libræ vocetur. itidemque (quamuis tamen im- proprie) $iue $upra, $iue infra libram fue rit con$titutum. CA verò, & CB, tum di $tantiæ, tum libræ brachia nuncupen- tur. & $i à centro li- bræ $upra, vel infra <fig> libram con$tituto ip$i AB perpendicularis duca- tur, hæc perpendiculum vocetur, quæ libram AB $ub$tinebit; & quocunque modo moueatur libra, ip$i $emper perpendicularis exi$tet. <foot>A 2</foot> <pb> <head>LEMMA.</head> <p>Sit linea AB horizonti perpendicularis, & dia metro AB circulus de$cribatur AEBD, cuius centrum C. Dico punctum B infimum e$$e lo- cum circumferentiæ circuli AEBD; punctum verò A $ublimiorem; & quælibet puncta, vt DE æqualiter à puncto A di$tantia æqualiter e$$e deor$um; quæ verò propius $untip$i A eis, quæ magis di$tant, $ublimiora e$$e. <p>Producatur AB v$q; ad mundi cen- trum, quod $it F; deinde in circuli circum- <marg>8. <I>Tertil.</I></marg> ferentia quoduis accipiatur punctum G; connectanturq; FG FD FE. Quoniam n. BF minima e$t omnium, quæ à puncto F ad circumferentiam AEBD ducun- tur; erit BF ip$a FG minor. quare punctum B propius erit puncto F, quàm G. hacq; ratione o$tendetur punctum B quouis alio puncto circumferentiæ circuli AEDB mundi centro propius e$$e. erit igitur pun- ctum B circumferentiæ circuli AEBD infimus locus. Deinde quoniam AF per centrum ducta maior e$t ip$a GF; erit punctum A non $olũ ip$o G, verum etiam quouis alio puncto circumferentiæ circuli AEBD $ublimius. Præterea quoniam DF FE $unt æquales; puncta DE æqualiter <fig> mundi centro di$tabunt. & cum DF maior $it FG; erit pun- ctum D ip$i A propius puncto G $ublimius. quæ omnia demon- $trare oportebat. <pb n=3> <head>PROPOSITIO I.</head> <p>Si Pondus in eius centro grauitatis a recta $u- $tineatur linea, nunquam manebit, ni$i eadem li- nea horizonti fuerit per pendicularis. <p>Sit pondus A, cuius centrum gra uitatis B, quod à linea CE $u$ti- neatur. Dico pondus nunquam perman$urum, ni$i CB horizonti perpendicularis exi$tat. $it pun- ctum C immobile, quod vt pon dus $u$tineatur, nece$$e e$t. & cum punctum C $it immobile, $i pon- dus A mouebitur, punctum B cir culi circumferentiam de$cribet, cuius $emidiameter erit CB. qua re centro C, $patio verò BC, cir- culus de$cribatur BFDE. $itq; <fig> primum BC horizonti perpendicularís, quæ víq; ad D produca- tur; atq; punctum C $it infra punctum B. Quoniam enim pondus <marg><I>Supp.</I> 3. <I>huius.</I></marg> A $ecundum grauitatis centrum B deor$um mouetur; punctum B deor$um in centrum mundi, quò naturaliter tendit, per re- ctam lineam BD mouebitur: totum ergo pondus A eius cen- tro grauitatis B $uper rectam lineam BC graue$cet. cum au- tem pondus à linea CB $u$tineatur, linea CB totum $u$ti- nebit pondus A; $uper quam deor$um moueri non pote$t, cum abip$a prohibeatur: per definitionem igitur centri grauitatis pun ctum B, pondu$q; A in hoc $itu manebunt. & quamquam B quo- cunq; alio puncto circuli $it $ublimius, ab hoc tamen $itu deor$um per circuli circumferentiam nequaquam mouebitur non enim ver- $us F magis, quàm ver$us E inclinabitur, cum ex vtraq; parte æqua- lis $it de$cen$us; neq; pondus A in vnam magis, quàm in alteram partem propen$ionem habeat: quod non accidit in quouis alio puncto circumferentiæ circuli (præter D) $it ponderis eiu$dem <pb> centrum grauitatis, vt in F; cum ex puncto F ver$us D $it de$cen$us, at verò ver$us B a$cen$us. quare pun- ctum F deor$um mouebitur. & quo niam per rectam lineam in centrum mundi moueri non pote$t, cum à puncto C immobili propter lineam CF prohibeatur; deor$um tamen $icuti eius natura po$tulat, $emper mouebitur. & cum infimus locus $it D, per circumferentiã FD mouebi tur, donec in D perueniat, in quo $itu manebit, põdu$q; immobile exi <fig> $tet. tum quia deor$um amplius moueri non pote$t, cum ex pun- cto C $it appen$um; tum etiam, quia in eius centro grauitatis $u$ti netur. Quando autem F erit in D, erit quoq; linea FC in DC, $imulq; horizonti perpendicularis. pondus ergo nunquam mane bit, donec linea CF horizonti perpendicularis non exi$tat. quod o$tendere oportebat. <p>Ex hoc elici pote$t, pondus quocunq; modo in dato puncto $u$tineatur, nunquam manere; ni $i quando a centro grauitatis ponderis ad id pun ctum ducta linea horizonti $it perpendicularis. <p>Vt ii$dem po$itis, $u$tineatur pondus à lineis CG CH. Dico $i ducta BC horizonti $it perpen- dicularis, pondus A manere. $i verò ducta CF non $it horizonti per- pendicularis, punctum F deor$um v$q; ad D moueri; in quo $itu pon- dus manebit, ductaq; CD horizon ti perpendicularis exi$tet. quæ om- nia eadem ratione o$tendentur. <fig> <pb n=4> <head>PROPOSITIO II.</head> <p>Libra horizonti æquidi$tans, cuius centrum $it $upra libram, æqualia in extremitatibus, æqua literq; à perpendiculo di$tantia habens pondera, $i ab eiu$modi moueatur $itu, in eundem rur$us relicta, redibit; ibíq; manebit. <p>Sit libra AB recta li- nea horizonti æquidi- $tans, cuius centrum C $it $upral ibram; $itq; CD perpendiculũ, quod ho- rizonti perpendiculare erit: atq; di$tantia DA $it di$tantiæ DB æqualis; $intq; in AB pondera æ- qualia, quorũ grauitatis centra $int in AB pũctis. Moueatur AB libra ab <fig> hoc $itu, putá in EF, deinde relinquatur. dico libram EF in AB ho rizonti æquidi$tantem redire, ibíq; manere. Quoniam autem pun ctum C e$t immobile, dum libra mouetur, punctum D circuli cir- cumferentiam de$cribet, cuius $emidiameter erit CD. quare cen- tro C, $patio verò CD, circulus de$cribatur DGH. Quoniam enim CD ip$i libræ $emper e$t perpendicularis, dum libra erit in EF, linea CD erit in CG, ita vt CG $it ip$i EF perpendicula- ris. Cùm autem AB bifariam à puncto D diuidatur, & pondera in AB $int æqualia; erit magnitudinis ex ip$is AB compo$itæ cen <marg>4. <I>primi Ar cbimedis de æqueponderantibus.</I></marg> trum grauitatis in medio, hoc e$t in D. & quãdo libra vná cum pon deribus erit in EF; erit magnitudinis ex vtri$q; EF compo$itæ cen trum grauitatis G. & quoniam CG horizonti non e$t perpendi- <marg>1. <I>Huius</I></marg> cularis; magnitudo ex ponderibus EF compo$ita in hoc $itu mi- nimè per$i$tet, $ed deor$um $ecũdùm eius centrum grauitatis G per circumferentiam GD mouebitur; donec CG horizonti fiat per- <pb> pendicularis, $cilicet do- nec CG in CD redeat. Quando autem CG erit in CD, linea EF, cùm ip$i CG $emper ad rectos $it angulos, erit in AB; in <marg>1. <I>Huius.</I></marg> quo $itu quoq; manebit. li bra ergo EF in AB hori- zonti æquidi$tãtem redi bit, ibíq; manebit. quod demon$trare oportebat. <fig> <head>PROPOSITIO III.</head> <p>Libra horizonti æquidi$tans æqualia in extre- mitatibus, æqualiterq; à perpendiculo di$tan- tia habens pondera, centro infernè collocato, in hoc $itu manebit. $i verò inde moueatur, deor- $um relicta, $ecundùm partem decliuiorem mo- uebitur. <fig> <p>Sit libra AB rectá li- nea horizonti æquidi- $tans, cuius centrum C $it infra libram; perpen- diculumq; $it CD, quod horizonti perpendiculare erit; & di$tantia AD $it di$tantiæ DB æqualis; $intq; in AB pondera æqualia, quorum grauita- tis centra $int in punctis AB. Dico primùm libram AB in hoc $itu manere. Quoniam enim AB bifariam diuiditur à puncto D, & pondera in AB $unt æqualia; erit punctum D centrum grauitatis magnitudinis ex <pb n=5> vtri$q; AB ponderibus compo$itæ. & CD libram $u$tinens ho- <marg>4. <I>Primi Archim. de æquep.</I></marg> rizonti e$t perpendicularis, libra ergo AB in hoc $itu manebit. <marg>1. <I>Huius.</I></marg> moueatur autem libra AB ab hoc $itu, putà in EF, deinde relinqua tur. dico libram EF ex parte F moueri. Quoniam igitur CD ip$i libræ $emper e$t perpendicularis, dum libra erit in EF, erit CD in CG ip$i EF perpendicularis. & punctum G magnitudi- nis ex EF compo$itæ centrum grauitatis erit; quod dum moue- tur, circuli circumferentiam de$cribet DGH, cuius $emidiameter CD, & centrum C. Quoniam autem CG horizonti non e$t per- pendicularis, magnitudo ex EF ponderibus compo$ita in hoc $i- tu minimè manebit; $ed $ecundùm eius grauitatis centrum G deor $um per circumferentiam GH mouebitur. libra ergo EF ex par te F deor$um mouebitur, quod demon$trare oportebat. <head>PROPOSITIO IIII.</head> <p>Libra horizonti æquidi$tans æqualia in ex- tremitatibus, æqualiterq; à centro in ip$a libra collocato, di$tantia habens pondera; $iue inde moueatur, $iue minus; vbicunq; reli cta, mane bit. <fig> <p>Sit libra recta linea A B horizonti æquidi$tans, cuius centrum C in ea- dem $it linea AB; di$tan tia verò CA $it di$tantiæ CB æqualis: $intq; pon- dera in AB æqualia, quo- rum centra grauitatis $int in puntis AB. Moueatur libra, vt in DE, ibiquè relinquatur. Dico primùm libram DE non moueri, in eoquè $itu manere. Quoniam enim pondera AB $unt æqualia; erit magni- tudinis ex vtroq; pondere, videlicet A, & B compo$itæ centrum grauitatis C. quare idem punctum C, & centrum libræ, & centrũ grauitatis totius ponderis erit. Quoniam autem centrum libræ <foot>B</foot> <pb> C, dum libra AB vnà cum ponderibus in DE mouetur, immobile re- manet, centrum quoq; grauitatis, quod e$t idem C, non mouebitur. nec igitur libra DE mouebi tur, per definitionem centri grauitatis, cum in ip$o $u$pendatur. Idip- <fig> $um quoq; contingit libra in AB horizonti æquidi$tante, vel in quocunq; alio $itu exi$tente. Manebit ergolibra, vbi relinque- tur. quod demon$trare oportebat. <p>Cum verò in iis, quæ dicta $unt, grauitatis tantùm magnitudi num, quæ in extremitatibus libræ po$itæ $unt æquales, ab$q; lí- bræ grauitate con$iderauerimus; quoniam tamen adhuc libræ bra- chia $unt æqualia, idcirco idem libræ, eius grauitate con$iderata, vnà cum ponderibus, vel $ine ponderibus eueniet. idem enim cen trum grauitatis fine ponderibus libræ tantùm grauitatis centrum erit. Similiter $i pondera in libræ extremitatibus appendantur, vt fieri $olet, idem cueniet; dummodo ex $u$pen$ionum punctis ad centra grauitatum ponderum ductæ lineæ (quocunq; modo mo- ueatur libra) $i protrahantur, in centrum mundi concurrant. vbi enim pondera hoc modo $unt appen$a, ibi graue$cunt, ac$i in ii$- dem punctis centra grauitatum haberent. præterea, quæ $equun- tur, eodem pror$us modo con$iderare poterimus. <p><marg><I>Iordanus de Ponderibus.</I></marg>Quoniam autem huic determinationi vltimæ multa à nonnullis aliter $entientibus dicta officere videntur; idcirco in hac parte ali- <marg><I>Hyerommus Carda nus de $ubtilitate.</I></marg> quantulum immorari oportebit; & pro viribus, non $olum pro- priam $ententiam, $ed Archimedem ip$um, qui in hac eadem e$$e <marg><I>Nicolaus Tartalea de quæ$itis, ac inuentio nibus.</I></marg> $ententia videtur, defendere conabor. <pb n=6> <fig> <p>Ii$dem po$itis, duca- tur FCG ip$i AB, & horizonti perpendicula- ris; & centro C, $patio- què CA, circulus de$cri batur ADFBEG. erunt puncta ADBE in circu li circumferentia; cum li- bræ brachia $int æqualia. & quoniam in vnam con ueniunt $ententiam, a$$e- rentes $cilicet libram DE neq; in FG moueri, ne- que in DE manere, $ed in AB horizonti æquidi$tantem rediré. hanc corum $ententiam nullo modo con$i$tere po$$e o$tendam. Non enim, $ed $i quod aiunt, euenerit, vel ideo erit, quia pondus D pondere E grauius fuerit, vel $i pondera $unt æqualia, di$tantiæ, quibus $unt po$ita, non erunt æquales, hoc e$t CD ip$i CE non erit æqualis, $ed maior. Quòd autem pondera in DE $int æqualia, & di$tantia CD $it æqualis di$tantiæ CE: hæc ex $uppo$itione pa- tent. Sed quoniam dicunt pondus in D in eo $itu pondere in E grauius e$$e in altero $itu deor$um: dum pondera $unt in DE, pun- ctum C non erit amplius centrum grauitatis, nam non manent, $i ex C $u$pendantur; $ed erit in linea CD, ex tertia primi Archi- medis de æqueponderantibus. non autem erit in linea CE, cum pon dus D grauius $it pondere E. $it igitur in H, in quo $i $u$pendan- tur, manebunt. Quoniam autem centrum grauitatis ponderum in AB connexorum e$t punctum C; ponderum verò in DE e$t punctum H: dum igitur pondera AB mouentur in DE, centrum grauitatis C ver$us D mouebitur, & ad D propius accedet; quod e$t impo$sibile: cum pondera eandem inter $e $e $eruent di$tantiam. Vniu$cuiu$q; enim corporis centrum grauitatis in eodem $emper <marg>2. <I>Sup. huius.</I></marg> e$t $itu re$pectu $ui corporis. & quamquam punctum C $it duo- rum corporum AB centrum grauitatis, quia tamen inter $e $e ita à libra connexa $unt, vt $emper eodem modo $e $e habeant; Ideo punctum C ita eorum erit centrum grauitatis, ac $i vna tantum <foot>B 2</foot> <pb> <marg><I>Ex</I> 4. <I>primi Archim de Aequep.</I></marg> e$$et magnitudo. libra enim vna cum ponderi- bus vnum tantum conti nuum efficit, cuius cen- trum grauitatis erit $em- per in medio. non igitur pondus in D pondere in E e$t grauius. Si autem dicerent centrum graui- tatis non in linea CD, $ed in CE e$$e debere; idem eueniet ab$urdum. <fig> <p>Amplius $i pondus D deor$um mouebitur, pondus E $ur$um mouebit. pondus igitur gra- uius, quàm $it E, in eodemmet $itu ponderi D æqueponderabit, & grauia inæqualia æquali di$tantia po$ita æqueponderabunt. Adii- ciatur ergo ponderi E aliquod graue, ita vt ip$i D contraponde- ret, $i ex C $u$pendantur. $ed cum $upra o$ten$um $it punctum C centrum e$$e grauitatis æqualium ponderum in DE; $i igitur pon- <marg><I>Ex</I> 3. <I>primi Archim de Aequep.</I></marg> dus E grauius fuerit pondere D, erit centrum grauitatis in linea CE. $itq; hoc centrum K. at per definitionem centri grauitatis, $i pondera $u$pendantur ex K, manebunt. ergo $i $u$pendantur ex C, non manebunt, quod e$t contra hypote$im: $ed pondus E deor $um mouebitur. quòd $i ex C quoque $u$pen$a æqueponderarent; <marg>1. <I>Suppo$. huius.</I></marg> vnius magnitudinis duo e$$ent centra grauitatis; quod e$t impo$si bile. Non igitur pondus in E grauius eo, quod e$t in D, ip$i D æque- ponderabit, cum ex puncto C fiat $u$pen$io. Pondera ergo in DE æqualia ex eorum grauitatis centro C $u$pen$a, æqueponderabunt, manebuntquè. quod demon$trare fuerat propo$itum. <p><marg><I>Tartalea $exta propo $itione octa uilibri.</I></marg> Huic autem po$tremo inconuenienti ocurrunt dicentes, im- po$sibile e$$e addere ip$i E pondus adeo minimum, quin adhuc $i ex C $u$pendantur, pondus E $emper deor$um ver$us G moueatur. quod nos fieri po$$e $uppo$uimus, at que fieri po$$e credebamus. ex- ce$$um enim ponderis D $upra pondus E, cum quantitatis ratio- nem habeat, non $olum minimum e$$e, verum in infinitum diuidi po$$e immaginabamur, quod quidem ip$i, non $olum minimum, <pb n=7> $ed ne minimum quidem e$$e, cum reperiri non po$sit, hoc mo- do demon$trare nituntur. <fig> <p>Exponantur eadem. à puncti$què DE hori- zonti perp&etilde;diculares du cãtur DHEK, atq; alius $it circulus LDM, cu- ius centrũ N, qui FDG in puncto D contingat, ip$iq; FDG $it æqualis: erit NC recta linea. & <marg><I>Ex</I> 12. <I>tertii.</I></marg> quoniam angulus KEC angulo HDN e$t æqua <marg>29. <I>Primi.</I></marg> lis, angulusq; CEG an- gulo NDM e$t etiam æqualis; cum à $emidiametris, æqualibusq; circumferentiis conti- neatur; erit reliquus mixtu$què angulus KEG reliquo mixtoquè HDM æqualis. & quia $upponunt, quò minor e$t angulus linea horizonti perpendiculari, & circumferentia contentus, eò pondus in eo $itu grauius e$$e. vt quò minor e$t angulus HD, & circumfe rentia DG contentus angulo KEG, hoc e$t angulo HDM; ita $e cundum hanc proportionem pondus in D grauius e$$e pondere in E. Proportio autem anguli MDH ad angulum HDG minor e$t qualibet proportione, quæ $it inter maiorem, & minorem quanti tatem: ergo proportio ponderum DE omnium proportionum mi nima erit. immo neq; erit ferè proportio, cum $it omnium pro portionum minima. quòd autem proportio MDH ad HDG $it omnium minima, ex hac nece$sitate o$tendunt; quia MDH exce dit HDG angulo curuilineo MDG, qui quidem angulus omnium angulorum rectilineorum minimus exi$tit: ergo cum non po$sit da ri angulus minor MDG, erit proportio MDH ad HDG omniũ proportionum minima. quæ ratio inutilis valde videtur e$$e; quia quamquam angulus MDG $it omnibus rectilineis angulis minor, non idcirco $equitur, ab$olutè, $impliciterq; omnium e$$e angulorũ minimum: nam ducatur à puncto D linea DO ip$i NC perpendicu laris, hæc vtra$q; tanget circumferentias LDM FDG in puncto <marg><I>Ex</I> 18. <I>Ter tii.</I></marg> <pb> D. quia verò circumfe rentiæ $unt æquales, erit angulus MDO mixtus angulo ODG mixto æqualis; alter ergo an gulus, vt ODG minor erit MDG, hoc e$t mi nor minimo. angulus deinde OGH minor erit angulo MDH; qua re ODH ad angulum <marg>8. <I>Quinti.</I></marg> HDG minorem habe bit proportion&etilde;, quàm <fig> MDH ad eundem HDG. dabitur ergo quoquè proportio mi- nor minima, quam in infinitum adhuc minorem ita o$tende- mus. De$cribatur circulus DR, cuius centrum E, & $emidiame- <marg><I>Ex</I> 11. <I>ter tit.</I></marg> ter ED. continget circumferentia DR circumferentiam DG in <marg><I>Ex</I> 18. <I>ter tii.</I></marg> puncto D, lineamquè DO in puncto D; quare minor erit angu- lus RDG angulo ODG. $imiliter & angulus RDH angulo ODH. minorem igitur proportionem habebit RDH ad HDG, quàm ODH ad HDG. Accipiatur deinde inter EC vtcun- que punctum P, ex quo in di$tantia PD alia de$cribatur circum- ferentia DQ, quæ circumferentiam DR, circumferentiamquè DG in puncto D continget; & angulus QDH minor erit angulo RDH: ergo QDH ad HDG minorem habebit propor tionem, quàm RDH ad HDG. eodemquè pror$us modo, $i inter PC aliud accipiatur punctum, & inter hoc &C aliud, & $ic deinceps, infinitæ de$cribentur circum$erentiæ inter DO, & cir cumferentiam DG; ex quibus proportionem in infinitum $emper minorem inueniemus. atque ideo proportionem ponderis in D ad pondus in E non adeo minorem e$$e $equitur, quin ad infini tum ip$a $emper minorem reperiri po$sit. & quia angulus MDG in infinitum diuidi pote$t; exce$$us quoque grauitatis D $upra E diuidi ad infinitum poterit. <pb n=8> <p>Sed neque prætereundum e$t, ip$os in demon$tratio- ne angulum KEG maiorem e$$e angulo HDG, tanquam notum accepi$$e. quod e$t quidem verum, $i DHEK inter $e $e $int æquidi$tan- tes. Quoniam autem (vt ip$i quoque $upponunt) li- neæ DHEK in centrum mundi conueniunt; lineæ DHEK æquidi$tantes nun quam erunt, & angulus KEG angirlo HDG non $olum maior erit, $ed minor. vt exempli gratia, producatur FG v$que ad centrum mun di, quod $it S; connectan- turqué DSES. o$tenden- dum e$t angulum SEG mi norem e$$e angulo SDG. du <fig> catur à puncto E linea ET circulum DGEF contingens, ab eo demqué puncto ip$i DS æquidi$tans ducatur EV. Quoniam igi tur EVDS inter $e $e $unt æquidi$tantes: $imiliter ETDO æqui di$tantes: erit angulus VET angulo SDO æqualis. & angulus TEG angulo ODM e$t æqualis; cum à lineis contingentibus, circumferentii$qué æqualibus contineatur: totus ergo angulus VEG angulo SDM æqualis erit. Auferatur ab angulo SDM angulus curuilineus MDG; ab angulo autem VEG angulus au- feratur VES; & angulus VES rectilineus maior e$t curuilineo MDG; erit reliquus angulus SE Gminor angulo SDG. Quare ex ip$orum $uppo$itionibus non $olum pondus in D gra- uius erit pondere in E; verùm è conuer$o, pondus in E ip$o D grauius exi$tet. <pb> <p>Rationes tamen af ferunt, quibus demon $trare nituntur, libram DE in AB horizon- ti æquidi$tantem ex nece$sitate redire. Pri- mùm quidem o$ten- dunt, idem pondus grauius e$$e in A, quàmin alio $itu, quem æqualitatis $itum no- minant, cum linea AB $it horizonti æ- <fig> quidi$tans. deinde quò propius e$t ip$i A, quouis alio remotiori grauius e$$e. Vt pondus in A grauius e$$e, quàm in D; & in D, quàm in L. $imiliter in A grauius, quam in N; & in N grauius, quàm in M. Vnum tantùm con$iderando pondus in altero libræ <marg><I>Cardanus primo de $ubtilitate.</I></marg> brachio $ur$um deor$umq; moto. Quia (inquiunt) po$ita trutina in CF, pondus in A longius e$t à trutina, quàm in D: & in D longius, quàm in L. ductis enim DO LP ip$i CF perpendicula- <marg><I>Ex</I> 15. <I>ter tii.</I></marg> ribus, li<*>ea AC maior e$t, quàm DO, & DO ip$a LP. quod <marg><I>Cardanus.</I></marg> idem euenit in punctis NM. deinde ex quo loco (aiunt) pon dus velocius mouetur, ibi grauius e$t; velocius autem ex A, quàm ab alio $itu mouetur; ergo in A grauius e$t. $imili modo, quò propius e$t ip$i A, velocius quoque mouetur; ergo in D gra- <marg><I>Cardanus.</I></marg> uius erit, quàm in L. Altera deinde cau$a, quam ex rectiori, & obli <marg><I>Iordanus propo$itio ne</I> 4.</marg> quiori motu deducunt, e$t; quò pondus in arcubus æqualibus re- ctius de$cendit, grauius e$$e videtur; cum pondus liberum, atq; <marg><I>Tartalea propo$itione</I> 5.</marg> $olutum $uaptè natura rectè moueatur; $ed in A rectius de$cen dit; ergo in A grauius erit. hocq; o$tendunt accipiendo arcum AN arcui LD æqualem; à puncti$q; NL lineæ FG (quam etiam directionis vocant) æquidi$tantes ducantur NRLQ, quæ lineas AB DO $ecent in QR; & à puncto N ip$i FG perpen dicularis ducatur NT. rectèq; demon$trant LQ ip$i PO æqua lem e$$e, & NR ip$i CT; lineamq; NR ip$a LQ maiorem e$$e. Quoniam autem de$cen$u; ponderis ex A v$q; ad N per circum- <pb n=9> ferentiam AN maiorem portionem lineæ FG pertran$it (quod ip$i vocant capere de directo) quàm de$cen$us ex L in D per cir cumferentiam LD; cùm de$cen$us AN lineam CT pertran$eat, de$cen$us verò LD lineam PO; & CT maior e$t PO; rectior erit de$cen$us AN, quám de$cen$us LD. grauius ergo erit pondus in A, quàm in L, & in quouis alio $itu. eodemq; pror$us modo o$tendunt, quò propius e$t ip$i A, grauius e$$e. Vt $int circumferentiæ LD DA inter $e $e æquales, & à puncto Dip$i AB perpendicularis ducatur DR; erit DR ip$i CO æqua <marg>34 <I>Primi.</I></marg> lis. lineam deinde DR ip$a LQ maiorem e$$e demon$trant. di- cuntq; de$cen$um DA magis capere de directo de$cen$u LD, ma ior enim e$t linea CO, quàm OP; quare pondus grauius erit in D, quàm in L. quod ip$um euenit in punctis NM. Suppo- $itionem itaq;, qua libram DE in AB redire demon$trant, vt <marg><I>Iordanus $uppo$itione</I> 4.</marg> notam, manife$tamq; proferunt. Nempè Secundùm $itum pon dus grauius e$$e, quanto in eodem $itu minus obliquus e$t de$cen $us. huiu$q; reditus cau$am eam e$$e dicunt; Quoniam $cilicet <marg><I>Iordanus propo$itio ne</I> 3.</marg> de$cen$us ponderis in D rectior e$t de$cen$u ponderis in E, cùm minus capiat de directo pondus in E de$cendendo, quàm pon <marg><I>Tartalea propo$itio ne</I> 5.</marg> dus in D $im liter de$cendendo. Vt $i arcus EV $it ip$i DA æqualis, ducanturq; VH ET ip$i FG perpendiculares; maior erit DR, quàm TH. quare per $uppo$itionem pondus in D ra tione $itus grauius erit pondere in E. pondus ergo in D, cùm $it grauius, deor$um mouebitur; pondus verò in E $ur$um, donec li bra DE in AB redeat. <p>Altera huius quoq; reditus ratio e$t, cùm trutina $upra libram <marg><I>Cardanus.</I></marg> e$t in CF; linea CG e$t meta. & quoniam angulus GCD ma ior e$t angulo GCE, & maior à meta angulus grauius reddit pondus; trutina igitur $uperius exi$tente, grauius erit pondus in D, quàm in E. idcirco D in A, & E in B redibit. <p>His itaq; rationibus conantur o$tendere libram DE in AB re dire; quæ meo quidem iuditio facile $olui po$$unt. <foot>C</foot> <pb> <p>Primùm itaq; quan tum attinet ad ratio- nes pondus in A gra uius e$$e, quàm in a- lio $itu o$tendentes, quas ex longiori, & propinquiori di$tãtia à linea FG, & ex velo- ciori, & rectiori mo tu à puncto A dedu- cunt; primùm quidem non demon$trant, cur pondus ex A velocius <fig> moueatur, quàm ex alio $itu. nec quia CA e$t DO maior, & DO ip$a LP, propterea $equitur tanquam ex vera cau$a, pon dus in A grauius e$$e, quàm in D; & in D, quàm in L. neq; enim intellectus quie$cit, ni$i alia huius o$tendatur cau$a; cùm po tius $ignum, quàm vera cau$a e$$e videatur. id ip$um quoq; al- teri rationi contintingit, quam ex rectiori & obliquiori motu de- ducunt. Præterea quæcunq; ex velociori, & rectiori motu per- $uadent pondus in A grauius e$$e, quàm in D; non ideo de- mon$trant pondus in A, quatenus e$t in A, grauius e$$e pon dere in D, quatenus e$t in D; $ed quatenus à punctis DA rece dit. Idcirco antequàm vlterius progrediar, o$tendam primùm pondus, quò propius e$t ip$is FG, minus grauitare; tum qua- tenus in eo $itu, in quo reperitur, manet: tum quatenus ab eo recedit. $imulq; fal$um e$$e, pondus in A grauius e$$e, quàm in alio $itu. <pb n=10> <p>Producatur FG v$q; ad mun di con trum, quod $it S. & à puncto S circu lum AFBG contingens ducatur. neq; enim linea à puncto S circulum con- tingere pote$t in A; nam ducta AS triangulum ACS duos haberet angu los rectos, nempè SAC ACS, quod <marg>18 <I>Tertii.</I></marg> e$t impo$sibile. neq; $upra punctum A in circumferentia AF continget; cir culum enim $ecatet. tanget igitur in- fra, $itq; SO. connectantur deinde SD SL, quæ circumferentiam AOG in punctis KH $ecent. & Ck CH con iungantur. Et quoniam pondus, quanto propius e$t ip$i F, magis quoque inni- titur centro; vt pondus in D magis ver- $ionis puncto C innititur tanquam centro; hoc e$t in D magis $upra li- neam CD grauitat, quàm $i e$$et in A $upralineam CA; & adhuc magis in L $upra lineam CL; Nam cùm tres anguli cuiu$cunq; trianguli duobus re- <fig> ctis $int æquales, & trianguli DCk æquicruris angulus DCk minor $it angulo LCH æquicruris trianguli LCH: erunt reli- qui ad ba$im $cilicet CDk CkD $imul $umpti reliquis CLH CHL maiores. & horum dimidii; hoc e$t angulus CDS angu lo CLS maior erit. cùm itaq; CLS $it minor, linea CL ma gis adhærcbit motui naturali ponderis in L pror$us $oluti. hoc e$t lineæ LS, quàm CD motui DS. pondus enim in L libe- berum, atq; $olutum in centrum mundi per LS moueretur, pon- dusq; in D per DS. quoniam verò pondus in L totum $uper LS grauitat, in D verò $uper DS: pondus in L magis $upra lineam CL grauitabit, quàm exi$tens in D $upra lineam DC. ergo linea CL pondus magis $u$tentabit, quàm linea CD. Eodem- qué modo, quò pondus propiu fuerit ip$i F, magis ob hanc cau- $am à linea CL $u$tineri o$tendetur-$emper enim angulus CLS <foot>C 2</foot> <pb> minor e$$et. quod etiam patet; quia $i lineæ CL, & LS in vnam coinciderent lineam, quod euenit in FCS; tunc linea CF totum $u$tineret pondus in F, im- mobilemq; redderet: neq; vllam pror- $us grauitatem in circumferentia circu- li haberet. Idem ergo pondus propter $ituum diuer$itatem grauius, leuiu$q; erit. non autem quia ratione $itus interdum maiorem re vera acquirat grauitatem, interdum verò amittat, cùm eiu$dem $it $emper grauitatis, vbicunque reperiatur; $ed quia magis, minu$uè in circumferen- tia grauitat, vt in D magis $upra circum ferentiam DA grauitat, quàm in L $upra circumferentiam LD. hoc e$t, $i pon dus à circumferentiis, recti$q; lineis $u $tineatur; circumferentia AD magis $u $tinebit pondus in D, quàm circumfe rentia DL pondere exi$tente in <I>L.</I> mi nus enim coadiuuat CD, quàm CL. Præterea quando pondus e$t in L, $i e$- <fig> $et omnino liberum, penitu$q; $olutum, deor$um per LS moueretur; ni$i à linea CL prohiberetur, quæ pondus in L vltra lineam LS per circumferentiã LD moueri cogit; ip$umq; quodammodo impellit, impellendoq; pondus partim $u$tentabit. ni$i enim $u$tineret, ip$iq; reniteretur, deor$um per lineam LS moueretur, non autem per circumferentiam LD. $imiliter CD ponderi in D renititur, cùm illud per circumferentiam DA moucri cogat. eodemq; modo exi$terte pondere in A, linea CA pondus vltra lineam AS per circumferentiam AO moueri compellet. e$t enim angulus CAS acutus; cùm angulus ACS $it rectus. lineæ igitur CA CD ali qua ex parte, non tamen ex æquo ponderi renituntur. & quotie$ cunque angulus in circumferentia circuli à lineis à centro mundi S, & centro C prodeuntibus, fuerit acutus; idem eue- nire $imiliter o$tendemus. Quoniam autem mixtus angulus CLD <pb n=11> æqualis e$t angulo CDA, cùm à femidiametris, eademq; circumfe rentia contineantur; & angulus C<I>L</I>S angulo CDS e$t minor; erit reliquus <I>s</I>LD reliquo SDA maior. quare circumferentia DA, hoc e$t de$cen$us ponderis in D propior erit motui natu- rali ponderis in D $oluti, lineæ $cilicet DS, quàm circumferen tia LD lineæ LS. minus igitur linea CD ponderi in D reniti- tur, quàm linea CL ponderi in L. linea ideo CD minus $u$tinet, quàm CL; pondu$q; magis liberum erit in D, quàm in L: cùm pondus naturaliter magis per DA moueatur, quàm per LD. quare grauius erit in D, quàm in L. $imiliter o$tendemus CA minus $u$tinere, quàm CD: pondu$q; magis in A, quàm in Dli berum, grauiu$q, e$$e. Ex parte deinde inferiori ob ea$dem cau$as, quò pondus propius fuerit ip$i G, magis detinebitur, vt in Hma gis à linea CH, quàm in K à linea CK. nam cùm angulus CHS maior $it angulo CkS, ad rectitudinem magis appropinquabunt <marg>21 <I>primi.</I></marg> $e $e lineæ CHHS, quàm Ck kS; atq; obid pondus magis deti- nebitur à CH, quàm à Ck $i enim CH HS in vnam conuenirent lineam vt euenit pondere exi$tente in G; tunc linea CG to tum $u $tineret' pondus in G, ita vt immobilis per$i$teret. quò igitur minor erit angulus linea CH, & de$cen$u ponderis $oluti, $cilicet HS contentus, eò minus quoq; eiu$modi linea pondus detinebit. & vbiminus detinebitur, ibi magis liberum, grauiu$q; exi$tet. Præterea $i pondus in k liberum e$$et, atq; $olutum, per lineam k S moueretur; à linea verò Ck prohibetur, quæ cogit pondus citrà lineam k S per circumferentiam k H moueri. ip$um enim quodammodo retrahit, retrahendoq; $u$tinet. ni$i enim $u$tineret. pondus deor$um per rectam k S moueretur, non autem per cir cumferentiam k H. $imiliter CH pondus retinet, cùm per circum ferentiã HG moueri compellat. Quoniã autem angulus CHS ma- ior e$t angulo CKS, d&etilde;ptis æqualibus angulis CHG CkH; erit reliquus SHG reliquo SKH maior. circumferentia igitur k H, hoc e$t de$cen$us ponderis in k, propior erit motui naturali ponderis in k $oluti, hoc e$t lineæ k S, quàm circumferentia HG lineæ HS. mi nus idcirco detinet linea Ck, quàm CH: cùm pondus naturali- ter magis moueatur per k H, quàm per HG. $imiliratione o$ten- detur, quò minor erit angulus SkH, lineam Ck minus $u$tinere. <pb> exi$tente igitur pondere in O, quia angu lus SOC non $olum minor e$t angulo CKS, verùm etiam omnium angulorum à punctis CS prodeuntium, verticemq; in circumferuntia OkG habentium mi- nimus; erit anglus SOK, & angulo SkH, & eiu$modi omnium minimus. ergo de- $cen$us ponderis in O propior erit motui naturali ip$ius in O $oluti, quàm in alio $itu circumferentiæ OkG. lineaq; CO minus pondus $u$tinebit, quàm $i pon- dusin quouis alio fuerit $itu eiu$dem cir cumferentiæ OG. $imiliter quoniam con tingentiæ angulus SOk, & angulo SDA, & SAO, ac quibu$cunq; $imilibus e$t mi nor; erit de$cen$us ponderis in O motui naturali ip$ius ponderis in O $oluti pro- pior, quàm in alio $itu circumferentiæ ODF. Præte reaquoniam linea GO pon dus in O dum deor$um mouetur, impelle- re nonpote$t, ita vt vltra lineam OS mo ueatur; cùm linea OS circulum non $ecet, <fig> $ed contingat; angulu$q; SOC $it rectus, & non acutus; pondus in O nihil $upra lineam CO grauitabit. neq; centro innitetur. quem admodum in quouis alio puncto $upra O accideret. erit igitur pon dus in O magis ob has cau$as liberum, atq; $olutum in hoc $itu, quàm in quouis alio circumferentiæ FOG. acidcirco in hoc grauius erit, hoc e$t magis grauitabit, quàm in alio $itu. & quò propius fuerit ip$i O remotiori grauius erit. lineaq; CO horizonti æquidi$tans erit. non tamen puncti C horizonti (vt ip$i exi$ti- mant) $ed ponderis in O con$tituti, cùm ex centro grauitatis ponderis $ummendus $it horizon. quæ omnia demon$trare opor- tebat. <pb n=12> <p>Si autem libræ brachium ip$o CO fuerit maius, putá quantitate CD; erit quoq; pondus in O grauius. circulus de- $cribatur OH, cuius centrum $it D, $e <marg><I>Ex</I> 11 <I>Ter tit.</I></marg> midiameterq; DO. tanget circulus OH circulum FOG in puncto O, lineamq; <marg><I>Ex</I> 18 <I>Ter tii.</I></marg> OS, quæ ponderis in O rectus, natura- li$q; e$t de$cen$us, in eodem puncto con tinget. & quoniam angulus SOH mi- nor e$t angulo SOG, erit de$cen$us ponderis in O per circumferentiam OH motui naturali OS propior, quàm per circumferentiam OG. magis ergo li- berum, atq; $olutum, ac per con$equens grauius erit in O, centro libræ exi$ten te in D, quàm in C. $imiliter o$ten- detur, quò maius fuerit brachium DO, pondus in O adhuc grauius e$$e. <fig> <pb> <p>Siverò idem circulus AFBG, cuius centrum $it R, propius fuerit mundi centro S; circulumqué à pun- cto S ducatur contingens ST; punctum T (vbi grauius e$t pondus) magis à puncto A di$tabit, quàm punctum O. ducantur enim à punctis OT ip$i CS perpendiculares OMTN; conne ctanturq; RT; $itq; centrum R in li- nea CS; lineaq; ARB ip$i ACB æqui <marg><I>Cor.</I> 8 <I>$exti</I></marg> di$tans. Quoniam igitur triangula COS RTS $unt rectangula; erit SC ad CO, vt CO ad CM. $imiliter SR ad RT, vt RT ad RN. cùm itaq; $it RT ip- <marg><I>Ex</I> 8 <I>quinti</I></marg> $i CO æqualis, & SC ip$a SR maior: maiorem habebit proportionem SC ad CO, quàm SR ad RT. quare ma iorem quoq; proportionem habebit CO ad CM, quàm RT ad RN. mi <marg><I>Ex</I> 10 <I>quin ti.</I></marg> nor ergo erit CM, quàm RN. $ecetur igitur RN in P, ita vt RP $it ip$i <fig> CM æqualis; & à puncto P ip$is MONT æquidi$tans ducatur PQ, quæ circumferentiam AT $ecet in Q: deniq; connectatur RQ. quoniam enim duæ CO CM duabus RQRP $unt æqua <marg>7 <I>Sexti.</I></marg> les, & angulus CMO angulo RPQ e$t æqualis; erit & angu- lus MCO angulo PRQ æqualis. angulus autem MCA rectus <marg>26 <I>Tertii.</I></marg> recto PRA e$t æqualis; ergo reliquus OCA reliquo QRA æqualis, & circumferentia OA circumferentiæ QA æqualis quo- que erit. punctum idcirco T, quia magis à puncto A di$tat, quàm Q; magis quoq; à puncto A di$tabit, quàm punctum O. $imiliter o$tendetur, quò propius fuerit circulus mundi centro, eun- dem magis di$tare. atq; ita vt prius demon$trabitur pondus in cir cumferentia TAF centro R inniti, in circumferentia verò TG à linea detineri; atq; in puncto T grauius e$$e. <pb n=13> <p>Si autem punctum G e$$et in centro mundi; tunc quò pondus propius fuerit ip$i G, grauius erit: & vbicunq; po natur pondus præterquàm in ip$o G, $emper centro C inni tetur, vt in K. nam ducta G k, efficiet hæc ($ecun- dùm quam fit ponderis natu ralis motus) vná cum libræ brachio k C angulum acu- tum. æquicruris enim trian- guli CkG ad ba$im anguli ad k, & G $unt $emper acuti. <fig> Conferantur autem inuicem hæc duo, pondus videlicet in k, & pondus in D: erit pondus in k grauius, quàm in D. nam iuncta DG, cùm tres anguli cuiu$cunque trianguli duobus $int rectis æquales, & trianguli CDG æquicruris angulus DCG maior $it angulo kCG æquicruris trianguli CkG: erunt reliqui ad ba$im an guli DGC GDC $imul $umpti reliquis KGCGkC $imul $umptis minores. horumq; dimidii; angulus $cilicet CDG angulo CKG minor erit. quare cùm pondus in k $olutum naturaliter per KG moueatur, pondusq; in D per DG, tanquam per $patia, quibus in centrum mundi feruntur; linea CD, hoc e$t libræ brachium magis adhærebit motui naturali ponderis in D pror- $us $oluti, lineæ $cilicet DG; quàm Ck motui $ecundùm kG effecto. magis igitur $u$tinebit linea CD, quàm Ck. ac pro- pterea pondus in k ex $uperius dictis grauius erit, quàm in D. Præterea quoniam pondus in K $i e$$et omnino liberum, pror$u$q; $olutum, deor$um per k G moueretur; ni$i à linea C k prohibere tur, quæ pondus vltra lineam KG per circumferentiam KH mo- ueri cogit; linea C k pondus partim $u$tinebit, ip$iq; renitetur; cùm illud per circumferentiam k H moueri compellat. & quoniam angulus CDG minor e$t angulo CkG, & angulus CDk angulo CkH e$t æqualis; crit reliquus GDk reliquo G k H maior. circumferentia igitur k H motui naturali ponderis in k $oluti, li- <foot>D</foot> <pb> neæ $cilicet KG propior erit, quàm circumferentia Dk li- neæ DG. quare linea CD ponderi in D magis renititur, quàm linea C k ip$i ponde- ri in K. ergo pondus in k grauius erit, quàm in D. Similiter o$tendetur pondus, quò fuerit ip$i F propius, vt in L, minus grauitare: pro- pius verò ip$i G, vt in H, grauius e$$e. <fig> <p>Si verò centrum mundi S e$$et inter puncta CG; primùm quidem $imili- ter o$tendetur pondus vbi cunq; po$itum centro C initi, vt in H. ductis enim HG HS, angulus ad ba$im GHC æquicruris tri anguli CHG e$t $emper acutus: quare & SHC ip $o minor erit quoq; $em per acutus. ducatur au- tem à puncto S ip$i CS perpendicularis Sk. di- <fig> co pondus grauius e$$e in k, quàm in alio $itu circumferentiæ FKG. & quò propius fuerit ip$i F, vel G, minus grauitare. Accipiantur ver$us F puncta DL, connectanturq; LC LS DC DS, produ- canturq; LS DS k SHS v$q; ad circuli circumferentiam in EM NO; connectanturq; CE, CM, CN, CO. Quoniam enim <marg>35 <I>Tertii.</I></marg> LE DM $e inuicem $ecant in S; erit rectangulum LSE rectan- <marg>16 <I>Sexti.</I></marg> gulo DSM æquale. quare vt LS ad DS ita erit SM <marg>7 <I>Tertii.</I></marg> ad SE. maior autem e$t LS, quàm DS; & SM ip$a SE. <pb n=14> ergo LS SE $imul $umptæ ip$is DS SM maiores erunt. eademq; <marg>25 <I>Quinti.</I></marg> ratione kN minorem e$$e DM o$tendetur. rur$us quoniamre ctangulum OSH æquale e$t rectangulo kSN; ob eandem cau$am HO maior erit kN. eodemq; pror$us modo kN omnibus a- liis per punctum S tran$euntibus minorem e$$e demon$trabitur. & quoniam æquicrurium triangulorum CLE DCM latera LC CE lateribus DC CM $unt æqualia; ba$is verò LE maior e$t DM: erit angulus LCE angulo DCM maior. quare ad ba$im <marg>25 <I>Primi.</I></marg> anguli C<I>L</I>E CEL $imul $umpti angulis CDM CMD mi- nores erunt. & horum dimidii, angulus $cilicet CLS angulo CDS minor erit. ergo pondus in <I>L</I> magis $upra lineam LC, quàm in D $upra DC grauitabit, magisqué centro innitetur in L, quàm in D. $imiliter o$tendetur in D magis c&etilde;tro Cinniti, quàm in k. ergo ponds in k grauius erit, quàm in D; & in D, quàm in L. eademq; pror $us ratione quoniam kN minor e$t HO, erit angulus CKS an- gulo CHS maior. quare pondus in H magis centro C innite- tur, quàm in k. & hoc modo o$tendetur, vbicunq; in circum- ferentia FDG fuerit pondus, minus in K centro C inniti, quàm in alio $itu: & quò propius fuerit ip$i F, vel G, magis inniti. dein- de quoniam angulus CkS maior e$t CDS, & CDk æqualis e$t CkH: erit reliquus SkH reliquo SDk minor. quare cir- cumferentia k H propior erit motui naturali recto ponderis in K $oluti, lineæ $cilicet k S, quàm circumferentia D k motui DS. & ideo linea CD magis ip$i ponderi in D renititur, quàm CK ponderi in k con$tituto. hacq; ratione o$tendetur angulum SHG maiorem e$$e SkH: & per con$equens lineam CH magis ponderi in H reniti, quàm CK ponderi in K. $imiliter demon- $trabitur lineam C<I>L</I> magis pondus $u$tinere, quàm CD: ob ea$demq; cau$as o$tendetur pondus in K minus $upra lineam Ck grauitare, quàm in quouis alio $itu fuerit circumferentiæ FDG. & quò propius fuerit ip$i F, vel G, minus grauitare. grauius ergo erit in k, quàm in alio $itu: minu$q; graue erit, quò propius fue- rit ip$i F. vel G. <foot>D 2</foot> <pb> <p>Si deniq; centrum C e$$et in centro mundi, pondus vbicunque con- $titutum manere mani- fe$tum e$t. vt po$ito pon dere in D, linea CD to- tum $u$tinebit pondus; cùm ip$ius ponderis in D horizonti $it perpendicu <marg>1 <I>Huius.</I></marg> laris. pondus ergo ma nebit. <fig> <p>Quoniam autem in his hactenus demon$tratis, nullam de gra uitate brachii libræ mentionem fecimus, idcirco $i brach$i quoq; grauitatem con$iderare voluerimus, centrum grauitatis magnitu dinis ex pondere, brachioq; compo$itæ inueniri poterit, circulo rumq; circumferentiæ $ecundum di$tantiam à centro libræ ad hoc ip$um grauitatis centrum de$cribentur, ac $i in ip$o (vt re ue ra e$t) pondus con$titutum fuerit; omnia, $icuti ab$q; libræ bra chii grauitate con$iderata inuenimus; hoc quoq; modo eius con$i derata grauitate reperiemus. <pb n=15> <p>Ex dictis igitur, con$iderando li- bram, vt longè à mundi centro a- be$t, quemadmodum ip$i fecere, $i- cuti etiam actu e$t, apparet fal$itas dicentium pondus in A grauius e$$e, quàm in alio $itu. $imulq; fal$um e$$e, quò pondus à linea FG magis di$tat grauiuis e$$e. nam punctum O pro- pius e$t ip$i FG, quàm punctum A. e$t enim linea à puncto O ip$i FG <marg><I>Ex</I> 15 <I>Tertii.</I></marg> perpendicularis ip$a CA minor. de- inde ex puncto A pondus velocius mo ueri, quàm ab alio $itu, e$t quoque fal$um. ex puncto enim O pondus ve- locius mouebitur, quàm ex puncto A; cùm in O $it magis liberum, atq; $olutum, quàm in alio $itu: de$cen$us qué ex puncto O propior $it motui na- turali recto, quàm quilibet alius de- $cen$us. <fig> <p>Præterea cùm ex re- ctiori, & obliquiori defc&etilde; $u o$tendunt, pondus in A grauiur e$$e, quàm in D; & in D, quàm in L; primùm quidem fal $um exi$timant, $i pon dus aliquod collocatum fuerit in quocunq; $itu circunferentiæ, vt in D, rectum eius de$cen$um per rectam lineam DR ip$i FG parallelam, tam quàm $ecundùm mo- <fig> <pb> tum naturalem fieri de- bere; $icuti prius dictum e$t. In quocunq; enim $itu pondus aliquod con $tituatur, $i naturalem eius ad propium locum motionem $pectemus, cùm rectá ad eum $ua- ptè natura moueatur, $up po$ita totius vniuer$i figu ra, eiu$modi erit; vt $emper $patiũ, per quod naturaliter mouetur, ra- tionem habere videatur <fig> lineæ à circumferentia ad centrum productæ. non igitur natura les de$cen$us recti cuiuslibet $oluti ponderis per lineas fieri po$ $unt inter $e $e parallelas; cùm omnes in centrum mundi conue- niant. $upponunt deinde ponderis ex Din A per rectam lineam ver$us centrum mundi motum eiu$dem e$$e quantitatis, ac $i fui$ $et ex O in C: ita vt punctum A æqualiter à centro mundi $it di$tans, vt C. quod e$t etiam fal$um; nam punctum A magis à centro mundi di$tat, quàm C: maior enim e$t linea à cen- <marg>18 <I>Primi.</I></marg> tro mundi v$q; ad A, quàm à centro mundi v$q; ad C: cùm li- nea à centro mundi v$q; ad A rectum $ubtendat angulum à li- neis AC, & à puncto C ad centrum mundi contentum. ex qui- bus non $olum $uppo$itio illa, qua libram DE in AB redire demon $trant, verùm etiam omnes ferè ip$orum demon$trationes ruunt. ni$i forta$$e dixerint, hæc omnia propter maximam à centro mun di v$q; ad nos di$tantiam adeo in$en$ibilia e$$e, vt propter in$en $ibilitatem tanquam vera $upponi po$sint: cùm omnes quid&etilde; alii, qui hæc tractauerunt, tanquam nota $uppo$uerint. præ$ertim quia $en$ibilitas illa non efficit, quin de$cen$us ponderis ex L in D (vt eorum verbis vtar) minus capiat de directo, quàm de$cen- $us DA. $imiliter arcus DA magis de directo capiet, quàm cir cumferentia EV. quocirca vera erit $uppo$itio; aliæq; demon- $trationes in $uo robore permanebunt. Concedamus etiam pon <pb n=16> dus in A grauius e$$e, quàm in alio $itu; rectumq; ponderis de- $cen$um per rectam lineam ip$i FG parallelam fieri debere; & quælibet puncta in lineis horizonti æquidi$tantibus accepta æ- qualiter à centro mundi di$tare: non tamen propterea $equetur, veram e$$e demon$trationem, qua inferunt pondus in A grauius e$$e, quàm in alio $itu, vt in L. $i enim verum e$$et, quò pon dus hoc modo rectius de$cendit, ibi grauius e$$e; $equeretur etiam, quò idem pondus in æqualibus arcubus æqualiter rectè de$cende ret, vt in ii$dem locis æqualem haberet grauitatem, quod fal $um e$$e ita demon$tratur. <p>Sint circumferentiæ AL AM inter $e $e æquales; & conne ctatur LM, quæ AB $ecet in X: erit LM ip$i FG æquidi$tans, ip$iq; AB perpendicularis. & XM ip$i XL æqualis erit. $i igi <marg><I>Ex</I> 3 <I>Tertii.</I></marg> tur pondus ex L moueatur in A per circumferentiam LA, rectus eius motus erit $ecundùm lineam LX. $i verò moueatur ex A in M per circum$erentiam AM, $ecundùm rectam eius motus erit XM. quare de$cen$us ex L in A æqualis erit de$cen$ui ex A in M; tum ob circumferentias æquales, tum propter rectas li neas ip$i AB perpendiculares æquales. ergo idem pondus in L æquè graue erit, vt in A, quod e$t fal$um. cum longé grauius $it in A, quàm in L. <p>Quamuis autem AMLA æqualiter $ecundùm ip$os de directo capiant; dicent forta$$e, quia tamen principium de$cen$us ex L $cilicet LD minus de directo capit, quàm principium de$cen$us ex A, $cilicet AN; pondus in A grauius erit, quàm in L. nam cùm circumferentia AN $it ip$i LD (vt $upra po$itum e$t) æqualis, quæ $ecundùm ip$os de directo capit CT; LD verò de directo capit PO. ideo pondus grauius erit in A, quàm in L. quod $i verum e$$et, $equeretur idem pondus in eodem $itu diuer $o duntaxat modo con$ideratum in habitudine ad eundem $itum, tum grauius, tum leuius e$$e. quod e$t impo$sibile. hoc e$t, $i de$cen$um con$ideremus ponderis in L, quatenus ex L in A de- $cendit, grauius erit, quàm $i eiu$dem ponderis de$cen$um con- $ideremus ex L in D tantùm. neq; enim negare po$$unt ex ei$- demmet dictis, quin de$cen$us ponderis ex L in A de directo ca piat LX, $iue PC. de$cen$us verò AM, quin $imiliter de directo <pb> capiat XM: cùm ip$i quoq; hoc modo acci- piant, atq; ita accipe- re $it nece$$e. $i enim li- bram DE in AB redire demon$trare volunt, com parando de$cen$us pon- deris in D cum de$cen- $u ponderis in E, nece$$e e$t, vt o$tendant rectum de$cen$um OC corre- $pondentem circumferen tiæ DA maiorem e$$e re cto de$cen$u TH circum <fig> ferentiæ EV corre$pondente. $i enim partem tantùm totius de- $cen$us ex D in A acciperent, vt D k; o$tenderentq; magis cape- re de directo de$cen$um Dk, quàm æqualis portio de$cen$us ex puncto E. $equetur pondus in D $ecundùm ip$os grauius e$$e pon dere in E; & v$q; ad k tantùm deor$um moueri: ita vt libra mo ta $it in kI. $imiliter $i libram KI in AB redire demon$trare vo lunt accipiendo portionem de$cen$us ex k in A; hoc e$t k S; o$tenderentq; k S magis de directo capere, quàm ex aduer$o æ- qualis de$cen$us ex puncto I: $imili modo $equetur pondus in k grauius e$$e, quàm in I; & v$q; ad S tantùm moueri. & $i rur$us o$tenderent portionem de$cen$us ex S in A, atq; ita deinceps, re ctiorem e$$e æquali de$cen$u ponderis oppo$iti; $emper $equetur libram SI ad AB propius accedere, nunquam tamen in AB per- uenire demon$trabunt. $i igitur libram DE in AB redire demon $trare volunt, nece$$e e$t, vt de$cen$um ponderis ex D in A de di recro capere quantitatem lineæ ex puncto D ip$i AB ad rectos angulos ductæ accipiant. atq; ita, $i æquales de$cen$us DA AN inuicem comparemus, qui æqualiter de directo capient OC CT, cueniet idem pondus in D æquè graue e$$e, vt in A. $i verò por tiones tantum ex D A accipiamus; grauius erit in A, quàm in D. ergo ex diuer$itate tantùm modi con$iderandi, idem pon dus, & grauius, & leuius e$$e continget. non autem exip$a na- <pb n=17> tura rei. In$uper ip$orum $uppo$itio non a$$erit, pondus $ecun dùm $itum grauius e$$e, quantò in eodem $itu minus obliquum e$t principium ip$ius de$cen$us. Suppo$itio igitur $uperius alla ta, hoc e$t, $ecundùm $itum pondus grauius e$$e, quantò in eo dem $itu minus obliquus e$t de$cen$us; non $olum ex his, quæ diximus, vllo modo concedi pote$t; $ed quoniam huius oppo$i tum o$tendere quoq; non e$t difficile: $cilicet idem pondus in æqualibus circumferentiis, quò minus obliquus e$t de$cen$us, ibi minus grauitare. <p>Sint enim vt prius cir cumferentræ AL AM inter $e $e æquales; $itq; punctum L propè F. & connectatur LM, quæ ip$i AB perpendicularis erit. & LX ip$i XM æqualis. deinde propè M inter MG quoduis accipiatur punctum P. fiatq; circumferentia PO circumferentiæ AM æ- qualis. erit punctum O <fig> propè A. connectanturq; CL, CO, CM, CP, OP. & à puncto P ip$i OC perpendicularis ducatur PN. & quoniam cir cumferentia AM circumferentiæ OP e$t æqualis: erit angu- <marg><I>Ex</I> 27 <I>Ter tii.</I></marg> lus ACM æqualis angulo OCP; & angulus CXM rectus re- cto CNP e$t æqualis: erit quoq; reliquus XMC trianguli MCX <marg><I>Ex</I> 32 <I>pri mi.</I></marg> reliquo NPC trianguli PCN æqualis. $ed & latus CM lateri <marg>26 <I>Primi.</I></marg> CP e$t æquale: ergo triangulum MCX triangulo PCN æquale erit. latu$q; MX lateri NP æquale. quare linea PN ip$i LX æqua lis erit. ducatur præterea à puncto O linea OT ip$i AC æqui di$tans, quæ NP $ecet in V. atq; ip$i OT à puncto P perpendi cularis ducatur, quæ quidem inter OV cadere non pote$t; nam cùm angulus ONV $it rectus; erit OVN acutus. quare OVP <marg><I>Ex</I> 13 <I>Pri mi.</I></marg> obtu$us erit. non igitur linea à puncto P ip$i OT intra OV <foot>E</foot> <pb> perpendicularis cadet. duo enim anguli vnius trianguli, vnus quidem rectus, alter verò ob- tu$us e$$et. quod e$t im po$sibile. cadet ergo in linea OT in parte VT. $itq; PT. erit PT $ecun dùm ip$os rectus circum ferentiæ OP de$cen$us. Quoniam igitur angulus ONV e$t rectus; erit <marg>19 <I>Primi.</I></marg> linea OV ip$a ON ma ior. quare OT ip$a <fig> quoq; ON maior exi$tet. Cùm itaq; linèa OP angulos $ubten- dat rectos ONP OTP; erit quadratum ex OP quadratis ex <marg>47 <I>Primi.</I></marg> ON NP $imul $umptis æquale. $imiliter quadratis ex OT TP $imulæquale. quare quadrata $imul ex ON NP quadratis ex OT TP $imul æqualia erunt. quadratum autem ex OT maius e$t quadrato ex ON; cum linea OT $it ip$a ON maior. ergo qua dratum ex NP maius erit quadrato ex TP. ac propterea linea TP minor erit linea PN, & linea LX. minus obliquus igitur e$t de$cen$us arcus LA, quàm arcus OP. ergo pondus in L, ex ip $orum dictis, grauius erit, quàm in O. quod ex iis, quæ $upra di ximus e$t manife$tè fal$um, cùm pondus in O grauius $it, quàm in L. non igitur ex rectiori, & obliquiorimotu ita accepto col- ligi pote$t, $ecundùm $itum pondus grauius e$$e, quantò in eo dem $itu minus obliquus e$t de$cen$us. Atq; hinc oritur omnis fermé ip$orum error in hacre, atq; deceptio: nam quamuis per accidens interdum ex fal$is $equatur verum, per $e tamen ex fal $is fal$um $equitur, quemadmodum ex veris $emper verum, nil idcirco mirum, $i dum fal$a accipiunt; illi$q; tanquam veri$si- mis innituntur; fal$i$sima omninò colligunt, atq; concludunt. decipiuntur quinetiam, dùm libræ contemplationem mathemati cè $impliciter a$$ummunt; cùm eius con$ideratio $it pror$us me- chanica: nec vllo modo ab$q; vero motu, ac ponderibus (en- <pb n=18> tibus omninò naturalibus) de ip$a $ermo haberi po$sit: $ine qui- bus eorum, quæ libræ accidunt, veræ caulæ reperiri nullo mo do po$sint. <p>Præterea $i adhuc $up po$itionem conceda- mus; à con$ideratione libræ longè recedunt; dum eo pacto, vt libra DE in AB redire de- beat, di$currunt. $emper enim alterum pondus $eor$um accipiunt, putá D, vel E; ac $i modò vnũ modò alterum in libra con$titutum e$$et, nec vllo modo ambo con- <fig> nexa; cuius tamen oppo$itum omninò fieri oportet; neq; alterum $ine altero rectè con$iderari pote$t; cùm de ip$is in libra con$ti- tutis $ermo habeatur. cùm enim dicunt, de$cen$um ponderis in D minus obliquum e$$e de$cen$u ponderis in E; erit pondus in D per $uppo$itionem grauius pondere in E: quare cùm $it graui- us, nece$$e e$t deor$um moueri, libramq; DE in AB redire: di $cur$us i$te nullius pror$us momenti e$t. Primùm quidem $em- per argumentantur, ac $i pondera in DE de$cendere debeant, vnius tantùm $ine alterius connexione con$iderando de$cen$um. po$tremò tamen ob ponderum de$cen$uum comparationem colli- gentes inferunt, pondus in D deor$um moueri, & pondus in E $ur$um, vtraq; $imul in libra inuicem connexa accipientes. ve- rùm ex ii$demmet, quibus vtuntur, principiis, ac demon$tratio nibus, oppo$itum eius, quod defendere conantur, facillimè col- ligi pote$t. Nam $i comparetur de$cen$us ponderis in D cum a- $cen$u ponderis in E, vt ductis EK DH ip$i AB perpendicula- ribus; cùm angulus DCH $it æqualis angulo ECk; & angulus <marg>15 <I>Primi.</I></marg> DHC rectus æqualis e$t recto E k C; & latus DC lateri CE æqua le: erit triangulum CDH triangulo CEk æquale, & latus DH la- <marg>26 <I>Primi.</I></marg> <foot>E 2</foot> <pb> teri Ek æquale. cùm autem angulus DCA $it angulo ECB æqua- lis: erit quoq; circum- ferentia DA cirferen- tiæ BE æqualis. dum itaq; pondus in D de- $cendit per circumfe- rentiam DA, pondus in E per circumferen- tiam EB ip$i DA æ- qualem a$cendit. & de- $cen$us põderis in D de directo (more ip$orũ) <fig> capiet DH; a$cen$us verò ponderis in E de directo capiet Ek ip $i DH æqualem: erit itaq; de$cen$us ponderis in Da$cen$ui pon deris in E æqualis, & qualis erit propen$io vnius ad motum deor fum, talis etiam erit re$i$tentia alterius ad motum $ur$um. re- $i$tentia $cilicet violentiæ ponderis in E in a$cen$u naturali po- tentiæ ponderis in D in de$cen$u contrà nitendo apponitur; cùm $it ip$i æqualis. quò enim pondus in D naturali potentia deor $um velocius de$cendit, eò tardius pondus in E violenter a$cendit. quare neutrum ip$orum alteri præponderabit, cùm ab æquali non proueniat actio. Non igitur pondus in D pondus in E $ur$um mouebit. $i enim moueret; nece$$e e$$et, pondus in D maiorem habere virtutem de$cendendo, quàm pondus in E a$cendendo; $ed hæc $unt æqualia: ergo pondera manebunt. & grauitas pon- deris in D grauitati ponderis in E æqualis erit. Præterea quoniam $upponunt, quò pondus à linea directionis FG magis di$tat, eò grauius e$$e: Idcirco ductis quoq; à punctis DE ip$i FG perpen dicularibus DO EI; $imili modo demon$trabitur, triangulum CDO triangulo CEI æqualem e$$e: & lineam DO ip$i EI æqua lem. tam igitur di$tat à linea FG pondus in D, quàm pondus in E. ex ip$orum igitur rationibus, atq; $uppo$itionibus, pondera in DE æquè grauia erunt. Amplius quid prohibet, quin libram DE ex nece$sitate in FG moueri $imili ratione o$tendatur? Pri- <pb n=19> mùm quidem ex eorummet demon$trationibus colligi pote$t, a- $cen$um ponderis in E ver$us B rectiorem e$$e a$cen$u ponderis in D ver$us F; hoc e$t minus capere de directo a$cen$um pon- deris in D in arcubus æqualibus a$cen$u ponderis in E. $uppona tur ergo $ecundùm $itum pondus leuius e$$e, quantò in eodem $i- tu minus rectus e$t a$cen$us: quæ quidem $uppo$itio, adeò ma- nife$ta e$$e videtur, veluti ip$orum altera. Quoniam igitur a$cen- $us ponderis in E rectior e$t a$cen$u ponderis in D; per $uppo$i- tionem pondus in D leuius erit pondere in E. ergo pondus in D $ur$um à pondere in E mouebitur, ita vt libra in FG perue niat. atq; ita demon$trari poterit, libram DE in FG moueri. quæ quidem demon$tratio inutilis e$t pror$us, ea$demq; patitur difficultates. licet enim tanquàm verum admittatur pondus in E a$cendendo grauius e$$e pondere in D $imiliter a$cendendo, non tamen ex hoc $equitur, pondus in E de$cendendo grauius e$$e pondere in D a$cendendo. Neutra igitur harum demon- $trationum libram DE, vel in AB redire, vel in FG moue- ri, o$tendentium, vera e$t. <p>Præterea $i ip$orum $uppo$itionem, eorumq; verborum vim rectè perpendamus; alium certè habere $en$um con$piciemus. nam cùm $emper $patium, per quod naturaliter pondus mouetur, à cen tro grauitatis ip$ius ponderis ad centrum mundi, in$tar rectæ li- neæ à centro grauitatis ad centrum mundi productæ, $it $umendum; tantò huiusmodi ponderis de$cen$us, magis, minusuè obliquus dicetur; quantò $ecundùm $patium in$tar prædictæ lincæ de$igna tum, magis, aut minus (naturalem tamen locum petens, $emperq; magis ip$i appropinquans) mouebitur; ita vt tantò obliquior de- $cen$us dicatur, quantò recedit ab eiu$modi $patio: rectiorverò, quantò ad idem accedit. & in hoc $en$u $uppo$itio illa nemini difficultatem parere debet, adeò enim veritas eius con$picua e$t; rationiq; con$entanea: vt nulla pro$us manife$tatione egere vi- deatur. <pb> <p>Si itaq; pondus $olutum in $itu D collocatum ad propium locum mo- ueri debeat; proculdubio po$ito cen- tro mundi S, per lineam DS moue- bitur. $imiliter pondus in E $olutum per lineam ES mouebitur. quare $i (vt rei veritas e$t) ponderis de$cen- $us magis, minu$uè obliquus dicetur $ecundùm rece$$um, & acce$$um ad $patia per lineas DSES de$ignata, iuxtanaturales ip$orum ad propria lo ca lationes; con$picuum e$t, minus obliquum e$$e de$cen$um ip$ius E per EG, quàm ip$ius D per DA: cùm angulum SEG angulo SDA minorem e$$e $upra o$ten$um $it. qua re in E pondus magis grauitabit, quàm in D. quod e$t penitus oppo- $itum eius, quod ip$i o$tendere cona ti $unt. In$urgent autem forta$$e contranos, $i igitur (dicent) pondus in E grauius e$t pondere in D, libra <fig> DE in hoc $itu minimè per$i$tet, quod equid&etilde; tueri propo$uimus: $ed in FG mouebitur. quibus re$pondemus, plurimum referre, $iue con$ideremus pondera, quatenus $unt inuicem di$iuncta, $iue quate nus $unt $ibi inuicem connexa. alia e$t enim ratio ponderis in E $ine connexione ponderis in D, alia verò eiu$dem alteri ponderi con nexi; ita vt alterum $ine altero moueri non po$sit. nam ponde ris in E, quatenus e$t $ine alterius ponderis connexione, rectus naturalis de$cen$us e$t per lineam ES; quatenus verò connexum e$t ponderi in D, eius naturalis de$cen$us non erit amplius per lineam ES, $ed per lineam ip$i CS parallelam. magnitudo enim ex ponderibus ED, & libra DE compo$ita, cuius grauitatis cen- trum e$t C, $i nullibi $u$tineatur, deor$um eo modo, quo reperi tur, $ecundùm grauitatis centrum per rectam à centro grauita tis C ad centrum mundi S ductam naturaliter mouebitur, donec <pb n=20> centrum C in centrum S perueniat. libra igitur DE vná cum pon deribus eo modo, quo reperitur, deor$um mouebitur, ita vt pun- ctum C perlineam CS moueatur, donec C in S, libraq; DE in Hk perueniat; habeatq; libra in Hk eandem, quam prius habe- bat po$itionem; hoc e$t Hk $it ip$i DE æquidi$tans. connect antur igitur DH Ek. manife$tum e$t, dum libra DE in Hk mouetur pun cta DE per lineas DH Ek moueri, quippe exi$tentibus inter $e <marg>33 <I>Prmi.</I></marg> $e, ip$iq; CS æqualibus, & æquidi$tantibus. Quare pondera in DE, quatenus $unt $ibi inuicem connexa, $i ip$orum naturalem mo tum $pectemus, non $ecundùm lineas DS ES, $ed $ecundùm LDH MEk ip$i CS æquidi$tantes mouebuntur. ponderis ve- rò in E liberi, ac $oluti, naturalis propen$io erit per ES: ponderis autem in D $imiliter $oluti erit per DS. ac propterea non e$t incon- ueniens idem pondus modò in E, modò in D, grauius e$$e in E, quàm in D. $i verò pondera in ED $ibi inuicem connexa, quate- nusq; $unt connexa con$iderauerimus; erit ponderis in E natura- lis propen$io per lineam MEK: grauitas enim alterius ponde- ris in D efficit, nè pondus in E per lineam ES grauitet, $ed per Ek. quod ip$um quoq; grauitas ponderis in E efficit, nè $cilicet pondus in D per rectam DS degrauet; $ed $ecundùm DH: vtra- que enim $e impediunt, nè ad propria loca permeent. Cùm igi tur naturalis de$cen$us rectus ponderum in DE $it $ecundùm LDH MEK: erit $imliter rectus eorum a$cen$us $ecundùm ea$ dem lineas HDL KEM. atq; a$cen$us ponderis in E magis, mi nu$uè obliquus dicetur; quantò $ecundùm $patium magis, mi- nu$uè iuxta lineam Mk moucbitur. hocq; pror$us modo iuxta li neam LH $ummendus e$t, tùm de$cen$us, tùm a$cen$us ponde- ris in D. $i itaq; pondus in E deor$um per EG moueretur; pon dus in D $ur$um per DF moueret. & quoniam angulus CEK <marg>29 <I>Primi.</I></marg> æqualis e$t angulo CDL, & angulus CEG angulo CDF æqua- lis; erit reliquus GEK reliquo LDF æqualis. cùm autem $up- po$itio illa, quæ ait, $ecundúm $itum pondus grauius e$$e, quan- tò in eodem $itu minus obliquus e$t de$cen$us; tanquam clara, atq; con$picua admittatur; proculdubio hæc quoq; accipienda erit; nempè, $ecundúm $itum pondus grauius e$$e, quantò in eo- dem $itu minus obliquus e$t a$cen$us. cùm non minus manife$ta, <pb> rationiq; $it con$entanea. æqualis igitur erit de$cen$us ponderis in E a$cen$ui ponderis in D. eandem enim obliquitatem habet de$cen$us ponderis in E, quam habet a$cen- $us ponderis in D; & qualis erit propen$io vnius ad motum deor$um, talis quoq; erit re$i$tentia alterius ad motum $ur$um. nõ ergo pondus in E pondus in D $ur$um mouebit. neq; pondus in D deor$um mouebitur, ita vt $ur$um moueat pondus in E. nam cũ angulus CEB $it ip$i CDA æqua- <marg>29 <I>Primi.</I></marg> lis, & Angulus CEM $it angulo CDH æqualis; erit reliquus MEB reliquo HDA æqualis. de$cen$us igitur ponderis in D a$cen$ui ponde ris in E æqualis erit. non ergo pon dus in D pondus in E $ur$um moue bit. ex quibus $equitur pondera in DE, quatenus $unt $ibi inuicem con nexa, æquè grauia e$$e. <fig> <p>Alia deinde ratio, li- bram $imiliter DE in AB redire o$tendens, cùm in- quiunt, exi$tente trutina in CF meta e$t CG. & quo- niam angulus DCG maior e$t angulo ECG; pondus in D grauius erit pondere in E; ergo libra DE in AB redibit: nihil meo iudicio concludit. figmentumq; hoc de trutina, & meta po- tius omittendum, ac $ilen- <fig> <pb n=21> tio prætereundũ e$$et, quàm verbũ vllũ in eius confutatione $umen dum; cùm $it pror$us voluntarium. nece$sitas enim cur pondus in D ex maiore angulo $it grauius; curq; maior angulus maioris $it cau$a grauitatis; nu$quam apparet. $i autem comparentur in- uicem anguli, cùm angulus GCD $it æqualis angulo FCE; $i angu lus GCD e$t cau$a grauitatis; quare angulus FCE $imiliter gra- uitatis non e$t cau$a? Huius autem rei eam in medium rationem afferre videntur, quoniam CG e$t meta, & CF trutina. $i (inquiunt) CG e$$et trutina, & CF meta, tunc angulus FCE grauitatis e$$et cau$a; non autem DCG ip$i æqualis. quæ quidem ratio imma- ginaria pror$us, ac voluntaria e$$e videtur. quid enim refert, $iue tru tina $it in CF, $iue in CG, cùm libra DE in eodem $emper pun- cto C $u$tineatur? Vt autem eorum deceptio clarius appa- reat. <p>Sit eadem libra AB, cu- ius medium C. $it deinde tota FG trutina. eaq; im mobilis exi$tat; quælibram AB in puncto C $u$tineat. moueaturq; libra in DE. & quoniam trutina e$t, & $u- pra, & infra libram, quis nam angulus erit cau$a gra- uitatis, cùm libra DE in <fig> eod&etilde; $emper puncto $u$tineatur? dicent for$an, $i trutina à potentia in F $u$titencatur, tunc CG erit tanquam meta, & angulus DCG grauitatis erit cau$a. $i verò $u$tineatur in G, tunc FCE erit cau$a grauitatis, CF verò tanquam meta erit. cuius quidem rei nulla videtur e$$e cau$a, ni$i immaginaria. meta enim (quod aiunt) nullam pror$us vim attractiuam, quandoq; ex maioris an- guli parte, quandoq; ex parte minoris habere videtur. Verùm à dua bus potentiis $u$tineatur trutina, in F $cilicet, & in G, quod præ ne ce$sitate fieri pote$t, veluti $i potentia in F $it adeò debilis, vt ex $e ip$a medietatem tantùm ponderis $u$tinere quæat: $itq; potentia in Gip$i potentiæ in F æqualis, vtræq; aut&etilde; $imul libram vná cum pon deribus $u$tineant. tunc quis nam angulus erit cau$a grauitatis? non <foot>F</foot> <pb> FCE, quia trutina e$t in CF, & in F $u$tinetur. neq; DCG, cùm trutina $it in CG, & in G quoq; $u$ti neatur; non igitur anguli grauitatis cau$a erunt. ergo neq; libra DE ab hoc $itu ob hanc cau$am mo uebi- <marg><I>Cardanus.</I></marg> tur. Hanc autem eorum $ententiam dupliciter con- <fig> firmare videntur. primùm quidem a$$erunt Ari$totelem in quæ$tio nibus mechanicis has duas tantùm quæ$tiones propo$ui$$e; eiu$q; demon$trationes, tum maiori, & minori angulo, tùm trutinæ po$i tioni inniti. Af$irmant deinde experientiam hoc idem docere; hoc e$t libram DE trutina exi$tente in CF, in AB horizonti æquidi$tantem redire. quando autem trutina e$t in CG, in FG moueri. Verùm neq; Ari$toteles, neq; experientia huic eorum opinioni fauent, quin potius aduer$antur. quantùm enim atti- net ad experientiam decipiuntur, ip$a quidem experientia ma- nife$tum e$t hoc accidere, quando libræ quoq; centrum, vel $u- pra, vel infra libram fuerit collocatum: non autem trutina dun taxat $upra, vel infra exi$tente, id contingere. <pb n=22> <p>Nam $i libra AB habeat centrum C $upra libram; $itq; trutina CD infra li- bram; moueaturq; libra in EF; tunc EF rur$us in AB horizonti æquidi$tantem <marg>2 <I>Huius.</I></marg> redibit. $imiliter $i libra centrum C habeat infra li bram, $itq; trutina CD $u pra libram, & moueatur libra in EF; patet libram <marg>3 <I>Huius.</I></marg> ex parte F deor$um moue ri, trutina $upra libram e- xi$tente. & in quocunq; a- lio $itu fuerit trutina, idem $emper eueniet. non igitur trutina, $ed centrum libræ harum diuer$itatum cau- $a erit. <fig> <p>Animaduertendum e$t itaq; in hac parte difficulter materialem libram con$titui po$$e, quæ in vno tantùm puncto $u$tineatur; quemadmodum mente concipimus. brachiaq; ab eiu$modi centro adeò æqualia habeat, non $olum in longitudine, verùm etiam in latitudine, & profun ditate, vt omnes partes hinc indé ad vnguem æqueponderent. hoc enim materia difficilimè patitur. quocirca $i centrum in ip$a libra e$$e con$iderauerimus, ad $en$um confugiendum non e$t: cùm artificilia ad $ummum illud perfectionis gradum ab artifice deduci minimè po$sint. In aliis verò experientia quidem appa- rentia docere poterit; proptereaquod, quamquam centrum libræ $it $emper punctum, quando tamen $upra libram fuerit, parùm re- fert, $i libra in eo puncto adamu$$im minimè $u$tineatur; quia cùm $it $emper $upra libram, idem $emper eueniet. $imili quoq; modo quando e$t infra libram: quod tamen non accidit centro in ip$a li- bra exi$tente. $i enim ad vnguem $emper in illo medio non $u- $tineatur, diuer$itatem efficiet; cùm facillimum $it, centrum il- <foot>F 2</foot> <pb> lud, dùm libra mouetur, proprium mutare $itum. <p>Quòd autem Ari$toteles duas tantùm quæ$tiones propo- $uerit, cur $cilicet trutina $uperius exi$tente, $i libra non $it horizonti æquidi$tans in æquilibrium, hoc e$t horizonti æqui di$tans redit: $i autem trutina deor$um fuer it con$tituta, non redit; $ed adhuc $ecundùm partem depre$$am mouetur: verum quidem e$t. non tamen eius demon$trationes maiori, & mino ri angulo, po$itioniqué trutinæ (vt ip$i dicunt) innituntur. In hoc enim mentem philo$ophi a$ignantis rationem diuer$itatis motuum libræ minimè attingunt. tantùm enim abe$t philo$o- phum has diuer$itates in angulos referre, vt potius in cau$a e$$e dicat magnitudinis alterius brachii libræ exce$$um à perpendiculo, modò ex vna, modò ex altera parte contingentem. <p>Vt trutina $uperius in CF exi$tente, perpendicu lum erit FCG, quod $e- cundùm ip$um in centrum mundi $emper vergit; quod quidem libram mo- tam in DE in partes di- uidit inæquales; & maior pars e$t ver$us D: id au- tem, quod plus e$t, deor $um fertur; ergo ex par- te D deor$um libra moue bitur, donec in AB re- deat. $i verò trutina $it <fig> in CG deor$um, erit GCF perpendiculum, quod libram DE in partes inæquales $imiliter diuidit: maior autem pars erit ver$us E; quare ex parte E deor$um libra mouebitur. quod vt rectè in- telligatur, cùm trutina e$t $upra libram, libræ quoq; centrum $u- pra libram e$$e intelligendum e$t; & $i deor$um, centrum quoque deor$um: vt infra patebit. Aliter ip$a Ari$totelis demon$tratio nihil concluderet. exi$tente enim centro in ip$a libra, vt in C; quo- cunq; modo moueatur libra, nunquam perpendiculum FG libram, <pb n=23> ni$i in puncto C, & in partes diuidet æquales. quare Ari$totelis $ententia ip$is non $olum non fauet, verùm etiam maximè aduer- $atur. quòd non $olum ex $ecunda, & rertia huius liquet; verùm quia exi$tente centro $upra libram pondus eleuatum maiorem propter $itum acquirit grauitatem. ex quò contingit redditus li- bræ ad æqualem horizonti di$tantiam. è contra verò, quando centrum e$t infra libram. Quæ omnia hoc modo o$tendentur; $upponendo ea, quæ $upra declarata $unt. $cilicet pondus ex quò loco rectius de$cendit, grauius fieri. & ex quo rectius a$cendit, gra uius quoq; reddi. <p>Sit libra AB horizonti æquidi$tans, cuius centrum C $it $upra libram, perpen- diculumq; $it CD. $intq; in AB ponderum æqualium centra grauit atis po$ita: mo taq; $it libra in EF. Dico pondus in E maiorem ha- bere grauitatem, quàm pon dus in F. & ob id libram EF in AB redire. Produ catur primùm CD v$q; ad mundi centrũ, quod $it S. de inde AC CB EC CF HS cõnectantur, à puncti$q; EF ip$i HS æquidi$tantes du cantur Ek GFL. Quoniam igitur naturalis de$cen$us re ctus totius magnitudinis, libræ $cilicet EF $ic con$ti- tutæ vná cum ponderibus, e$t $cundùm grauitatis cen trum H per rectam HS; erit <fig> quoq; ponderum in EF ita po$sitorum de$cen$us $ecundùm re- ctas Ek FL ip$i HS parallelas; $icuti $upra demon$trauimus. <pb> De$cen$us igitur, & a$cen- $us ponderum in EF ma- gis, minu$uè obliquus di- cetur $ecundùm acce$$um, & rece$$um iuxta lineas Ek FL de$ignatum. Quoniã au t&etilde; duo latera AD DC duo bus lateribus BD DE $unt æqualia; anguliq; ad D $unt <marg>4 <I>Primi.</I></marg> recti; erit latus AC lateri CB æquale. & cùm pun- ctum C $it immobile; dum puncta AB mouentur, cir culi circumferentiam de$cri bent, cuius $emidiameter erit AC. quare centro C, circulus de$cribatur AEBF. puncta AB EF in circuli circumferentia erunt. $ed cùm EF $it ip$i AB æqua <marg><I>Ex</I> 28 <I>Ter tii.</I></marg> lis; erit circumferentia EAF circumferentiæ AFB æqualis. quare dempta <fig> communi AF, erit circumferentia EA circumferentiæ FB æqua lis. Quoniam autem mixtus angulus CEA e$t æqualis mixto CFB; & HFB ip$o CFB e$t maior; angulus verò HEA ip$o CEA minor; erit angulus HFB angulo HEA maior. à quibus <marg>29 <I>Primi.</I></marg> $i auferantur anguli HFG HEk æquales; erit angulus GFB an gulo kEA maior. ergo de$cen$us ponderis in E minus obliquus erit a$cen$u ponderis in F. & quamquam pondus in E de$cen dendo, & pondus in F a$cendendo per circumferentias mouean tur æquales; quia tamen pondus in E ex hoc loco rectius de$cen dit, quàm pondus in F a$cendit: idcirco naturalis potentia pon deris in E re$i$tentiam violentiæ ponderis F $uperabit. quare maiorem grauitatem habebit pondus in E, quàm pondus in F. ergo pondus in E deor$um, pondus verò in F $ur$um mouebitur: <pb n=24> donec libra EF in AB redeat. quod demon$trare oportebat. <p>Huius autem effectus ratio ab Ari$totele po$ita, hic manife$ta in <marg><I>Ari$totelis ratio.</I></marg> tueri pote$t. $it enim punctum N vbi CS EF $e inuicem $ecant. & quoniam HE e$t ip$i HF æqualis; erit NE maior NF. li- nea ergo CS, quam perpendiculum vocat, libram EF in partes di uidet inæquales. cùm itaq; pars libræ NE $it maior NF; atq; id, quod plus e$t, nece$$e e$t, deor$um ferri: libra ergo EF ex parte E deor$um mouebitur, donec in AB redeat. <p>Ex iis præterea, quæ ha ctenus dicta $unt inferre li cet, libram EF velocius ab eo $itu in AB moueri; vndè linea EF in directum pro- tracta in centrum mundi perueniat. vt $it EFS recta linea. & quoniam CD CH, $unt inter $e $e æqua les. $i igitur centro C, $pa tioq; CD, circulus de$cri- batur DHM; erunt pun- cta DH in circuli circum- ferentia. Quoniam au- tem CH ip$i EF e$t per- pendicularis; continget li- nea EHS circulum DHM in puncto H. pondus igi- tur in H ($icuti $upra de- mon$trauimus) grauius <fig> erit, quàm in alio $itu circuli DHM. ergo magnitudo ex EF ponderibus, & libra EF compo$ita, cuius centrum grauitatis e$t in H, in hoc $itu magis grauitabit, quàm in quocunq; alio $itu <pb> circuli fuerit punctum H. ab hoc igitur $itu velo- cius, quàm à quocunq; alio mouebitur. & $i H propius fuerit ip$i D mi nus grauitabit, minu$q; ab eo $itu mouebitur. $emper enim de$cen$us obliquior e$t, & minus re ctus. libra ergo EF velo cius ab hoc $itu mouebi- tur, quàm ab alio $itu. & $i propius ad AB acce- det, inde minus mouebi tur. Deinde quò longius punctum H à puncto C di$tabit, velocius moue- bitur; quod nõ $olũ ex Ari $totele in principio quæ$t- io num mechanicarum, & <fig> ex $uperius dictis patet; verùm etiam ex iis, quæ infra in $exta propo$itione dicemus, manife$tum erit. libra igitur EF, quò ma gis ab eius centro di$tabit, adhuc velocius mouebitur. <pb n=25> <p>Sit deinde libra AB, cuius centrum C $it infra li bram; $intq; in AB pon deraæqualia; libraq; $it mota in EF. Dico maio- rem habere grauitatem pondus in F, quàm pondus in E. atq; ideo libram EF deor$um ex parte F moue- ri. Producatur DC ex vtraq; parte v$q; ad mun- di centrum S, & v$q; ad O, lineaq; HS ducatur, cui à punctis EF æquidi- $tantes ducantur GEk FL; connectanturq; CE CF: atq; centro C, $patioq; CE circulus de$cribatur AEO BF. $imiliter demon$tra- bitur puncta ABEF in circuli circumferentia e$$e; de$cen$umq; libræ EF vná cum ponderibus rectum $e cundùm lineam HS fieri; ponderumq; in EF $ecun <fig> dùm lineas GK FL ip$i HS æquidi$tantes. Quoniam autem an gulus CFP æqualis e$t angulo CEO: erit angulus HFP angulo HEO maior. angulus verò HFL æqualis e$t angulo HEG. à <marg>29 <I>Primi.</I></marg> quibus igitur $i demantur anguli HFP HEO, erit angulus LFP angulo GEO minor. quare de$cen$us ponderis in F rectior erit a$cen$u ponderis in E. ergo naturalis potentia ponderis in F re$i$tentiam violentiæ ponderis in E $uperabit. & ideo ma- iorem habebit grauitatem pondus in F, quàm pondus in E. Pondus igitur in F deor$um, pondus verò in E $ur$um mo- uebitur. <p>Ari$totelis quoq; ratio hic per$picua erit. $it enim punctum <marg><I>Ari$totelis ratio.</I></marg> <foot>G</foot> <pb> N vbi CO EF $e inuicem $ecant; erit NF maior NE. & quoniam CO per pendiculum ($ecundùm ip$um) libram EF in par tes inæquales diuidit, & maior pars e$t ver$us F, hoc e$t NF; libra EF ex par te F deor$um mouebitur: cùmid, quod plus e$t, deor $um feratur. <p>Similiter, éx dictis quoq; eliciemus libram EF centrum habens infra li- bram, quò magis à $itu AB di$tabit, velocius mo ueri. centrum enim graui tatis H, quò magis á pun- cto D di$tat, eò volecius pondus ex EF ponderibus, libraq; EF compo$itum mouebitur, donec angulus CHS rectus euadat. ad- huc in$uper velocius moue bitur, quò libram à centro C magis di$tabit. <fig> <p>Ex ip$orum quinetiam rationibus, ac fal$is $upo$itionibus iam declaratos libræ effectus, ac motus deducere, ac manife$tare libet; vt quanta $it veritatis efficacia appareat, quippè ex fal$is etiam eluce$cere contendit. <pb n=26> <p>Exponantur eadem, $ci licet $it circulus AEBF; libraqué AB, cuius cen- trum C $it $upra libram, moueatur in EF. dico pondus in E maiorem ibi habere grauitatem, quàm pondus in F; libramq; EF in AB redire. Ducantur à punctis EF ip$i AB perpendiculares EL FM, quæ inter $e æquidi$tan- <marg>28 <I>Primi.</I></marg> <fig> tes erunt; $itq; punctum N, vbi AB EF $e inuicem $ecant. Quoniam igitur angulus FNM e$t æqualis angulo ENL, & an- <marg>15 <I>Primi.</I></marg> gulus F MN rectus recto ELN æqualis, ac reliquus NFM reli- <marg>29 <I>Primi.</I></marg> quo NEL e$t etiam æqualis; erit triangulum NLE triangu lo NMF $imile. vt igitur NE ad EL, ita NF ad FM; & per <marg>4 <I>Sexti.</I></marg> mutando vt EN ad NF, ita EL ad FM. $ed cùm $it HE ip$i <marg>16 <I>Quinti.</I></marg> HF æqualis, erit EN maior NF; quare & EL maior erit FM. & quoniam dum pondus in E per circumferentiiam EA de$cendit, pondus in F per circumferentiam FB ip$i circumferentiæ EA æqualem a$cendit; de$cen$u$q; ponderis in E de directo (vt ip- $i dicunt) capit EL: a$cen$us verò ponderis in F de directo ca- pit FM; minus de directo capiet a$cen$us ponderis in F, quàm de$cen$us ponderis in E. maiorem igitur grauitatem habebit pon dus in E, quàm pondus in F. <p>Producatur CD ex vtraq; parte in OP, quæ lineam EF in puncto S $ecet. & quoniam (vt aiunt) quò magis pondus à li- nea directionis OP di$tat, eò fit grauius; idcirco hoc quoq; me dio pondus in E maiorem habere grauitauitatem pondere in F o- $tendetur. Ducantur à punctis EF ip$i OP perpendiculares EQ FR. $imiliratione o$tendetur, triangulum QES triangulo RFS $imile e$$e; lineamq; EQ ip$a RF maiorem e$$e. pondus itaq; in E magis à linea OP di$tabit, quàm pondus in F; ac propterea pondus in E maiorem habebit grauitatem pondere in F. ex quibus reditus libræ EF in AB manife$tus apparet. <foot>G 2</foot> <pb> <p>Si autem centrum libræ $it infra libram, tunc pon- dus depre$$um maiorem habere grauitatem eleuato ii$dem mediis o$tendetur. ducantur à punctis EF ip- $i AB perpendiculares EL FM. $imiliter demon$tra bitur EL maiorem e$$e FM; & ob id de$cen$us ponderis in F minus de di recto capiet, quàm a$cen- <fig> $us ponderis in E: quocirca re$i$tentia violentiæ ponderis in E $u perabit naturalem propen$ionem ponderis in F. ergo pondus in E pondere in F grauius erit. <p>Producatur etiam CD ex vtraq; parte in OP; ip$iq; à punctis EF perpendiculares ducantur EQ FR. eodem pror$us modo o$tendetur, lineam EQ maiorem e$$e FR. pondus ideò in E ma gis à linea directionis OP di$tabit, quàm pondus in F. maio- rem igitur grauitatem habebit pondus in E, quàm pondus in F. ex quibus $equitur, libram EF ex parte E deor$um moueri. <p>Ari$toteles itaq; has duas tantùm quæ$tiones propo$uit, ter- tiamq; reliquit; $cilicet cùm centrum libræ in ip$a e$t libra: hanc autem ommi$sit, vt notam, quemadmodum res valde notas præ- termittere $olet. nam cui dubium, $i pondus in eius centro gra uitatis $u$tineatur, quin maneat? Ea verò, quæ ex ip$ius $enten tia attulimus, aliquis reprehendere po$$et, nos integram eius $enten tiam minimè protuli$$e affimans. nam cùm in $ecunda parte $e cundæ quæ$tionis proponit, cur libra, trutina deor$um con$tituta, quando deor$um lato pondere qui$piam id amouet, non a$cen dit, $ed manet? non a$$erit adhuc libram deor$um moueri; $ed manere. quod in vltima quoq; conclu$ione colligi$$e videtur. Ve rùm hoc non $olum nobis non repugnat, $ed $i rectè intelligitur, maximè $uffragatur. <pb n=27> <p>Sit enim libra AB horizonti æquidi$tans, cuius centrum E $it infra libram. quia ve rò Ari$toteles libram, $icuti actu e$t, con$ide rat; ideò nece$$e e$t trutinam, vel aliquid aliud infra centrum E collocare, vt EF (quod quidem truti- na erit) ita vt centrum E fu$tineat. $itq; per- <fig> pendiculum ECD. & vt libra AB ab hoc moueatur $itu; dicit Ari$toteles, ponatur pondus in B, quod cùm $it graue, libram ex parte B deor$um mouebit; putá in G. ita vt propter impedimen tum deor$um amplius mouerinon poterit. non enim dicit Ari $toteles, moueatur libra ex parte B deor$um, quou$q; libuerit; dein de relinquatur, vt nos diximus: $ed præcipit, vt in ip$o B po- natur pondus, quod ex ip$ius natura deor$um $emper mouebi- tur; donec libra trutinæ, $iue alicui alii adhæreat. & quando B erit in G, erit libra in GH; in quo $itu, ablato pondere, manebit: cùm maior pars libræ à perpendiculo $it ver$us G, quæ e$t DG, quàm DH. nec deor$um amplius mouebitur; nam libra, vel trutinæ, vel alteri cuipiam, quod centrum libræ $u$tineat, incum bet. $i enim huic non adhæreret, libra ex parte G deor$um ex ip$ius $ententia moueretur; cùm id, quod plus e$t, $cilicet DG, deor$um ferri $it nece$$e. <p>Cæterum quis adhuc dicere poterit, $i paruum imponatur pon dus in B, mouebitur quidem libra deor$um, non autem v$q; ad G. in quò $itu $ecundùm Ari$totelem, ablato pondere, mane- re deberet. quod experimento patet; cùm in vna tantùm libræ extremitate, impo$ito onere, hocq; vel maiore, vel minore, libra plus, minu$uè inclinetur. Quod e$t quidem veri$$imum, centro $upra libram, non autem infra, neq; in ip$a libra collocato. Vt exempli gratia. <pb> <p>Sit libra horizonti æ- quidi$tans AB, cuius cen trum C $it $upra libram, perpendiculumq; CD ho rizonti perpendiculare, quod ex parte D produca tur in H. Quoniam enim con$iderata libræ grauita- te, erit punctum D libræ centrum grauitatis. $iergo in B paruum imponatur pondus, cuius centrum <fig> grauitatis $it in puncto B; magnitudinis ex libra AB, & pondere in B compo$itæ non erit amplius centrum grauitatis D; $ed erit in <marg>6 <I>Primi Ar chim. de æquep.</I></marg> linea DB, vt in E: ita vt DE ad EB $it, vt pondus in B ad gra- uitatem libræ AB. Connectatur CE. Quoniam autem pun- ctum Ce$t immobile, dum libra mouetur, punctum E circuli cir cumferentiam EFG de$cribet, cuius $emidiameter CE, & cen- trum C. quia verò CD horizonti e$t perpendicularis, linea CE horizonti perpendicularis nequaquam erit. quare magnitudo ex AB, & pondere in B compo$ita minimè in hoc $itu manebit; $ed <marg>1. <I>Huius.</I></marg> deor$um $ecundùm eius grauitatis centrum E per circumferen- tiam EFG mouebitur; donec CE horizonti perpendicularis eua dat; hoc e$t, donec CE in CDF perueniat. atq; tunc libra AB mota erit in kL, in quo $itu libra vná cum pondere manebit. nec deor$um amplius mouebitur. Si verò in B ponatur pondus graui- us; centrum grauitatis totius magnitudinis erit ip$i B propius, vt in M. & tunclibra deor$um, doneciuncta CM in linea CDH per ueniat, mouebitur. Ex maiore igitur, & minore pondere in B po $ito, libra plus, minu$uè inclinabitur. ex quo $equitur pondus B quarta circuli parte minorem $emper circumferentiam de$cribe- re, cùm angulus FCE $it $emper acutus. nunquam enim punctum B v$q; ad lineam CH perueniet, cùm centrum grauitatis ponde- ris, & libræ $imul $emper inter DB exi$tat. quò tamen pondus in B grauius fuerit, maiorem quoq; circumferentiam de$cribet. eò enim magis punctum B ad lineam CH accedet. <pb n=28> <p>Habeat autem libra AB centrum C in ip$a libra, atq; in eius medio: erit C libræ centrum quoq; grauitatis; à quo ip$i AB, horizontiq; perpendicularis ducatur FC G. ponatur deinde in B quoduis pondus; erit totius magnitudinis centrum gra- uitatis putá in E; ita vt CE <fig> ad EB $it, vt pondus in B ad libræ grauitatem. & quoniam CE non e$t horizonti perpendicularis, libra AB, atq; pondus in B in hoc $itu nunquam manebunt; $ed deor$um ex parte B mouebun tur, donec CE horizontifiat perpendicularis. hoc e$t donec li- bra AB in FG perueniat. ex quo patet, quolibet pondus in B circuli quartam $emper de$cribere. <p>Sit autem centrum Cin- fra libram AB. $itq; DCE perpendiculum. $imiliter po$ito in B pondere, cen- trum grauitatis magnitudi nis ex AB libra, & ponde re in B compo$itæ in linea DB erit; vt in F; ita vt DF ad FB $it, vt pondus in B <fig> ad libræ pondus. Iungatur CF. & quoniam CD horizonti e$t perpendicularis; linea CF horizonti nequaquam perpendicula- ris exi$tet. quare magnitudo ex AB libra, ac pondere in B com po$ita in hoc $itu nunquam per$i$tet; $ed deor$um, ni$i aliquid impediat, mouebitur; donec CF in DCE perueniat: in quo $itu libra vná cum pondere manebit. & punctum B erit vt in G, atq; punctum A in H, libraq; GH non amplius centruminfra, $ed $u pra ip$am habebit. quod idem $emper eueniet; quamurs mini- mum imponatur pondus in B. ergo priu$quam B perueniat ad G; nece$$e e$t libram, $iue trutinæ deor$um po$itæ, vel alicui <pb> alteri, quod centrum C $u- $tineat, occurrere; ibiq; ad- hærere. ex hoc $equitur, pon dus in B vltra lineam Dk $emper moueri; ac circuli quarta maiorem $emper cir cumfer&etilde;tiam de$cribere: e$t enim angulus FCE $emper obtu$us, cùm angulus DCF $emper $it acutus. quò au- <fig> tem pondus in B fuerit leuius, maiorem tamen adhuc circumfe- rentiam de$cribet. nam quò pondus in G leuius fuerit, eò ma- gis pondus in G eleuabitur; libraq; GH ad $itum horizontiæqui di$tantem propius accedet. quæ omnia ex iis, quæ $upra dixi- mus, manife$ta $unt. <p>His demon$tratis. Manife$tum e$t, centrum libræ cau$am e$$e diuer$itatis effectuum in libra. atq; patet omnes Archimedis de æqueponderantibus propo$itiones ad hoc pertinentes in omni $itu veras e$$e. hoc e$t $iue libra $it horizonti æquidi$tans, $iue non: dummodo centrum libræ in ip$a $it libra; quemadmodum ip$e con$iderat. & quamquam libra brachia habeat inæqualia, idem eue niet; eodemq; pro$us modo o$tendetur, centrum libræ diuer$imo dè collocatum varios producere effectus. <p>Sit enim libra AB hori- zonti æquidi$tans; & in AB $int pondera inæqualia, quo rum grauitatis centrum $it C: $u$pendaturq; libra in eodem puncto C. & mo- ueatur libra in DE. mani <marg><I>Per def.c&etilde; tri grauitatis.</I></marg> fe$tum e$t libram non $o- lum in DE, $ed in quouis alio $itu manere. <fig> <pb n=29> <p>Sit autem centrum libræ AB $upra C in F; $itq; FC ip$i AB, & horizonti perpendicularis: & $i mo- ueatur libra in DE, linea CF mota erit in FG; quæ cùm non $it horizonti per- pendicularis, libra DE <marg>1 <I>Huius.</I></marg> deor$um ex parte D moue bitur, donec FG in FC redeat: atq; tunc libra DE in AB erit, in quò $itu quoq; manebit. <fig> <p>Et $i centrum libræ F $it infra libram; $itq; mota libra in DE; primùm qui dem manife$tum e$t li- bram in AB manere; in <marg>1. <I>Huius.</I></marg> DE verò deor$um ex par te E moueri: cùm linea FG non $it horizonti per- pendicularis. <fig> <p>Ex his determinatis $i libra $it arcuata, vel libræ brachia angulum con$tituant; centrumq; diuer$imo dè collocetur (quamquam hæc pro priè non $it libra) varios tamen huius quoq; effectus o$tendere pote rimus. Vt $it libra ACB, cuius centrum, circa quod vertitur, $it C. ductaq; AB, $it arcus $iue angulus <fig> ACB $upra lineam AB; & in AB grauitatis centra ponderum ponantur, quæ in hoc $itu maneant. moueatur deinde libra ab <foot>H</foot> <pb> hoc $itu, putá in ECF. Dico li- bram ECF in ACB redire. to- tius magnitudinis centrum grauita tis inueniatur D. & CD iunga- tur. Quoniam enim pondera AB <marg>1 <I>Huius.</I></marg> manent, linea CD horizonti per- pendicularis erit. quando igitur libra erit in ECF, linea CD erit putá in CG; quæ cùm non $it ho <fig> rizonti perpendicularis; libra ECF in ACB redibit. quod idem eueniet, $i centrum C $upra libram con$tituatur, vt in H. <p>Si verò arcus, $iue angulus ACB, $it infra lineam AB; eo dem modo libram ECF, cuius centrum, $iue $it in C, $iue in H, deor$um ex parte F moueri o- $tendemus. <fig> <p>Sit autem angulus ACB $upra lineam AB; aclibræ centrum $it H; lineaq; CH libram $u$tineat; & moueatur libra in EKF: libra EkF in ACB redibit. <pb n=30> <p>Si verò centrum libræ $it D, quocunq; modo moueatur libra; vbirelinquetur, manebit. <p>Si deinde punctum H $it infra lineam AB; tunc libra EkF deor$um ex parte F mouebitur. <p>Similiq; pror$us ratione, $i an gulus ACB $it infra lineam AB; $itq; libræ centrum H; $u$tineaturq; libralinea CH; $i libra ab hoc mo ueatur $itu, deor$um ex parte pon- deris inferioris mouebitur. & $i cen trum libræ $it D; vbi relinquetur, manebit. $i verò $it in K; $i ab eiu$ <fig> modi moueatur $itu, in eundem pro$us redibit. quæ omnia ex iis, quæ in principio diximus, $unt manife$ta. $imiliter $i centrum li bræ, vel in altero brachiorum, vel intra, vel extra vtcunq; po natur; eadem inueniemus. <foot>H 2</foot> <pb> <head>PROPOSITIO. V.</head> <p>Duo pondera in libra appen$a, $i libra inter hæc ita diuidatur, vt partes ponderibus per- mutatim re$pondeant; tàm in punctis appen$is ponderabunt, quàm $i vtraq; ex diui$ionis pun- cto $u$pendantur. <fig> <p>Sit AB libra, cuius centrum C; $intq; duo pondera EF ex pun ctis BG $u$pen$a: diuidaturq; BG in H, ita vt BH ad HG eandem habeat proportionem, quam pondus E ad pondus F. Dico pondera EF tàm in BG ponderare, quàm $i vtraq; ex pun cto H $u$pendantur. fiat AC ip$i CH æqualis. & vt AC ad CG, ita fiat pondus E ad pondus L. $imiliter vt AC ad CB, ita fiat pondus F ad pondus M. ponderaq; LM ex puncto A $u $pendantur. Quoniam enim AC e$t æqualis CH, erit BC ad CH vt pondus M ad pondus F. & quoniam maior e$t BC, quàm CH; erit & pondus M ip$o F maius. diuidatur igitur pon dus M in duas partes QR, $itq; pars Q ip$i F æqualis; erit BC <marg>17 <I>Quinti.</I></marg> ad CH, vt RQ ad Q: & diuidendo, vt BH ad HC, ita R ad Q. <marg><I>Cor.</I>4 <I>quinti.</I></marg> deinde conuertendo, vt CH ad HB, ita Q ad R. Præterea quo- niam CH e$t æqualis ip$i CA, erit HC ad CG, vt pondus E ad pondus L: maior autem e$t HC, quàm CG; erit & pon- <pb n=31> dus E pondere L maius. diuidatur itaq; pondus E in duas partes NO ita, vt pars O $it ip$i L æqualis, erit HC ad CG, vt to- tum NO ad O; & diuidendo, vt HG ad GC, ita N ad O: <marg>17 <I>Quinti. Cor.</I>4 <I>quin ti.</I></marg> conuertendoq; vt CG ad GH, ita O ad N. & iterum com- ponendo, vt CH ad HG, ita ON ad N. vt autem GH <marg>18 <I>Quinti.</I></marg> ad HB, ita e$t F ad ON. quare ex æquali, vt CH ad HB, ita F <marg>23 <I>Quinti.</I></marg> ad N. $ed vt CH ad HB ita e$t Q ad R: erit igitur Q ad R, vt <marg>11 <I>Quinti.</I></marg> F ad N; & permutando, vt Q ad F, ita R ad N. e$t autem pars <marg>16 <I>Quinti.</I></marg> Q ip$i F æqualis; quare & pars R ip$i N æqualis erit. Itaq; cùm pondus L $it ip$i O æquale, & pondus F ip$i Q etiam æquale, atq; pars R ip$i N æqualis; erunt pondera LM ip$is EF ponderibus æqualia. & quoniam e$t, vt AC ad CG, ita pondus E ad pon- dus L; pondera EL æqueponderabunt. $imiliter quoniam e$t, vt <marg>6 <I>Primi Ar chim. de æquep.</I></marg> AC ad CB, ita pundus F ad pondus M; pondera quoq; FM æqueponderabunt. Pondera igitur LM ponderibus EF in BG <marg>2 <I>Com. not. huius.</I></marg> appen$is æqueponderabunt. cùm autem di$tantia CA æqualis $it di$tantiæ CH; $i igitur vtraq; pondera EF in H appendantur, pondera LM ip$is EF ponderibus in H appen$is æquepondera- bunt. $ed LM ip$is EF in GB quoq; æqueponderant: æquè <marg>3 <I>Com not. huius.</I></marg> igitur grauia erunt pondera EF in GB, vt in H appen$a. tàm igi tur ponderabunt in BG, quàm in H appen$a. <fig> <p>Sint autem pondera EF in CB appen$a; $itq; C libræ centrum; & diuidatur CB in H, ita vt CH ad HB $it, vt pondus in F ad E. Dico pondera EF tàm in CB ponderare, quàm in puncto H. fiat CA ip$i CH æqualis, & vt CA ad CB, ita fiat pondus F ad aliud D, quod appendatur in A. Quoniam enim CH e$t æqua- <pb> <fig> lis CA, erit CH ad CB, vt F ad D; & maior quidem e$t CB, quàm CH; idcirco D pondere F maius erit. Diuidatur ergo D in duas partes Gk, $itq; G ip$i F æqualis; erit vt BC ad CH, vt Gk ad G; & diuidendo, vt BH ad HC, ita K ad G; & conuer <marg>17 <I>Quinti. Cor.</I>4 <I>quin ti.</I></marg> tendo, vt CH ad HB, ita G ad k. Vt autem CH ad HB, ita e$t <marg>11 <I>Quinti.</I></marg> F ad E. vt igitur G ad k, ita e$t F ad E; & permutando vt G <marg>16 <I>Quinti.</I></marg> ad F, ita k ad E. $unt autem GF æqualia; erunt & kE inter$e $e æqualia. cùm itaq; pars G $it ip$i F æqualis, & K ip$i E; erit totum C k ip$is EF ponderibus æquale. & quoniam AC e$t ip- $i CH æqualis; $i igitur pondera EF ex puncto H $u$pendantur, pondus D ip$is EF in H appen$is æqueponderabit. $ed & ip$is æqueponderat in CB, hoc e$t F in B, & E in C; cùm $it vt AC ad CB, ita F ad. D. pondus enim E ex centro libræ C $u$pen- $um non efficit, vt libra in alterutram moueatur partem. tàm igi- tur grauia erunt pondera EF in CB, quàm in H appen$a. <pb n=32> <fig> <p>Sit deniq; libra AB, & ex punctis AB $u$pen$a $int pondera EF; $itq; centrum libræ C intra pondera; diuidaturq; AB in D, ita vt AD ad DB $it, vt pondus F ad pondus E. Dico pon dera EF tàm in AB ponderare, quám $i vtraq; ex puncto D $u$pen dantur. fiat CG æqualis ip$i CD; & vt DC ad CA, ita fiat pondus E ad aliud H; quod appendatur in D. vt autem GC ad CB, ita fiat pondus Fad aliud K; appendaturq; k in G. Quoniã enim e$t, vt BC ad CG, hoc e$t ad CD, ita pondus k ad F; erit K ma ius pondere F. quare diuidatur pondus k in L, & MN; fiatq; pars L ip$i F æqualis; erit vt BC ad CD, vt totum LMN ad L; & diuidendo, vt BD ad DC, ita pars MN ad partem L. vt <marg>17 <I>Quinti.</I></marg> igitur BD ad DC, ita pars MN ad F. vt autem AD ad DB, ita F ad E: quare ex æquali, vt AD ad DC, ita MN ad E. cùm <marg>23 <I>Quinti.</I></marg> verò AD $it ip$a CD maior; erit & pars MN pondere E maior: diuidatur ergo MN in duas partes MN, $itq; M æqua lis ip$i E. erit vt AD ad DC, vt NM ad M; & diuidendo, vt <marg>17 <I>Quinti. Cor.</I>4 <I>quin ti</I></marg> AC ad CD, ita N ad M: conuertendoq; vt DC ad CA, ita M ad N. vt autem DC ad CA, ita e$t E ad H; erit igitur M ad N <marg>11 <I>Quinti.</I></marg> vt E ad H; & permutando, vt M ad E, ita N ad H. $ed ME <marg>16 <I>Quinti.</I></marg> $unt inter $e æqualia, erunt NH inter $e$e quoq; æqualia. & quo- niam ita e$t AC ad CD, vt H ad E: pondera HE æqueponde- <marg>6 <I>Primi Ar chim. de æquep.</I></marg> rabunt. $imiliter quoniam e$t vt GC ad CB, ita F ad k, ponde- <pb> <fig> <marg>2 <I>Com.not. huius.</I></marg> ra etiam kF æqueponderabunt. pondera igitur Ek HF in li- bra AB, cuius centrum C, æqueponderabunt. cùm autem GC ip$i CD $it æqualis, & pondus H $it ip$i N æquale; pondera NH æqueponderabunt. & quoniam omnia æqueponderant, demptis <marg>1 <I>Com.not. huius.</I></marg> HN ponderibus, quæ æqueponderant, reliqua æqueponderabunt; hoc e$t pondera EF & pondus LM ex centro libræ C $u$pen$a. quia verò pars L ip$i F e$t æqualis, & pars M ip$i E æqualis; erit totum LM ip$is FE ponderibus $imul $umptis æquale. & cùm $it CG ip$i CD æqualis, $i igitur pondera EF ex puncto D $u$pen- dantur, pondera EF in D appen$a ip$i LM æqueponderabunt. quare LM tàm ip$is EF in AB appen$is æqueponderat, quàm in pun cto D appen$is. libra enim $emper eodem modo manet. Ponde- <marg>3 <I>Com.not. huius.</I></marg> ra ergo EF tàm in AB ponderabunt, quàm in puncto D. quod demon$tre oportebat. <p>Hæc autem omnia (mechanicè tamen ma- gis) aliter o$tendemus. <pb n=33> <fig> <p>Sit libra AB, cuius centrum C; $intq; vt in primo ca$u duo pon dera EF ex punctis BG $u$pen$a: $itq; GH ad HB, vt pondus F ad pondus E. Dico pondera EF tàm in GB ponderare, quàm $i vtraq; ex diui$ionis puncto H $u$pendantur. Con$truantur ea dem, hoc e$t fiat AC ip$i CH æqualis, & ex puncto A duo ap- pendantur pondera LM, ita vt pondus E ad pondus L, $it vt CA ad CG; vt autem CB ad CA, ita $it pondus M ad pondus F. pondera LM ip$is EF in GB appen$is (vt $upra dictum e$t) æqueponderabunt. Sint deinde puncta NO centra grauitatis pon derum EF; conneci anturq; GN BO; iungaturq; NO, quæ tan- quam libra erit; quæ etiam efficiat lineas GN BO inter $e $e æqui- di$tantes e$$e; à punctoq; H horizonti perpendicularis ducatur HP, quæ NO $ecet in P, atq; ip$is GN BO $it æquidi$tans. deniq; connectatur GO, quæ HP $ecet in R. Quoniam igitur HR e$t lateri BO trianguli GBO æquidi$tans; erit GH ad HB, vt GR ad RO. $imiliter quoniam RP e$t lateri GN trianguli <marg>2 <I>Sexti.</I></marg> OGN æquidi$tans; erit GR ad RO, vt NP ad PO. quare vt GH ad HB, ita e$t NP ad PO. vt autem GH ad HB, ita <marg>11 <I>Quinti.</I></marg> e$t pondus F ad pondus E; vt igitur NP ad PO, ita e$t pondus F ad pondus E. punctum ergo P centrum erit grauitatis magni- tudinis ex vtri$q; EF ponderibus compo$itæ. Intelligantur itaq; <marg>6 <I>Primi Ar chim. de æquep.</I></marg> pondera EF ita e$$e à libra NO connexa, ac $i vna tantùm e$$et magnitudo ex vtri$q; EF compo$ita, in puncti$q; BG appen$a. $i igitur ponderum $u$pen$iones BG $oluantur, manebunt pondera <marg>1 <I>Huius.</I></marg> EF ex HP $u$pen$a; $icuti in GB prius manebant. pondera verò EF in GB appen$a ip$is LM ponderibus æqueponderant, & pondera <foot>I</foot> <pb> <fig> EF ex puncto H $u$pen$a, eandem habent con$titutionem ad li- bram AB, quam in BG appen$a: eadem ergo pondera EF ex H $u$pen$a ei$dem ponderibus LM æqueponderabunt. æquè igi- tur $unt grauia pondera EF in GB, vt in H appen$a. <fig> <p>Similiter demon$trabitur, pondera EF in quibu$cunq; aliis pun ctis appen$a tàm põderare, quàm $i vt raq; ex diui$ionis puncto H $u $pendantur. $i enim (vt $upra docuimus) in libra pondera inue- niantur, quibus pondera EF æqueponderent; eadem pondera EF ex H $u$pen$a ei$dem inuentis ponderibus æqueponderabunt; cùm punctum P $it $emper eorum centrum grauitatis; & HP horizon ri perpendicularis. <pb n=34> <head>PROPOSITIO. VI.</head> <p>Pondera æqualia in libra appen$a eam in gra uitate proportionem habent; quam di$tantiæ, ex quibus appenduntur. <fig> <p>Sit libra BAC $u$pen$a ex puncto A; & $ecetur AC vtcunq; in D: ex punctis autem DC appendantur æqualia pondera EF. Dico pondus F ad pondus E eam in grauitate proportionem ha- bere, quam habet di$tantia CA ad di$tantiam AD. fiat enim vt CA ad AD, ita pondus F ad aliud pondus, quod $it G. Dico pri múm pondera GF ex puncto C $u$pen$a tantùm ponderare, quan tùm pondera EF ex punctis DC. Secetur DC hifariam in H, & ex H appendantur vtraq; pondera EF. ponderabunt EF $imul $umpta in eo $itu, quantùm ponderant in DC. ponatur BA <marg>5 <I>Huius.</I></marg> æqualis AH, $eceturq; BA in K, ita vt $it KA æqualis AD: deinde ex puncto B appendatur pondus L duplum ponderis F, hoc e$t æquale duobus ponderibus EF, quod quidem æqueponde rabit ponderibus EF in H appen$is, hoc e$t appen$is in DC. Quoniã igitur, vt CA ad AD, ita e$t pondus F ad pondus G; erit compo nendo vt CA AD ad AD, hoc e$t vt Ck ad AD, ita ponde- <marg>18 <I>Quinti.</I></marg> ra FG ad pondus G. $ed cùm $it, vt CA ad AD, ita F pon- dus ad pondus G; erit conuertendo, vt DA ad AC, ita pondus <marg><I>Cor.</I> 4 <I>quinti.</I></marg> G ad pondus F; & con$equentium dupla, vt DA ad duplam ip$ius AC, ita pondus G ad duplum ponderis F, hoc e$t ad pondus L. Quare vt Ck ad DA, ita pondera EF ad pondus G; & vt <foot>I 2</foot> <pb> <fig> <marg>22 <I>Quinti.</I></marg> AD ad duplã ip$ius AC, ita pondus G ad pondus L; ergo ex æquali, vt Ck ad duplã ip$ius AC, ita pondera FG ad pondus L. $ed vt Ck ad duplam AC, ita dimidia CK, videlicet AH, hoc e$t BA, ad AC. Vt igitur BA ad AC, ita FG pondera ad pondus L. Qua re ex $exta eiu$dem primi Archimedis, duo pondera FG ex pun cto C $u$pen$a tantùm ponderabunt, quantùm pondus L ex B; hoc e$t quantùm pondera EF ex punctis DC $u$pen$a. Itaq; quo niam pondera FG tantùm ponderant, quantum pondera EF; $u- blato communi pondere F, tàm ponderabit pondus G in C ap- pen$um, quàm pondus E in D. ac propterea pondus F ad pon- <marg>7 <I>Quinti.</I></marg> dus E eam in grauitate proportionem habet, quam habet ad pon dus G. $ed pondus F ad G erat, vt CA ad AD:. ergo & F pon- dus ad pondus E eam in grauitate proportionem habebit, quam ha bet CA ad AD. quod demon$trare oportebat. <p>Si verò in libra BAC pondera EF æqualia ex punctis BC $u$pendantur; $i- militer dico pondus E ad pondus F eam <fig> in grauitate proportionem habere, quàm habet di$tantia CA ad di $tantiam AB. fiat AD ip$i AB æqualis, & ex puncto D $u$pen- datur pondus G æquale ponderi F; quod etiam ip$i E erit æquale. & quoniam AD e$t æqualis ip$i AB; pondera FG æqueponde rabunt, eandemq; habebunt grauitatem. cùm autem grauitas pon deris E ad grauitatem ponderis G $it, vt CA ad AD; erit graui tas ponderis E ad grauitatem ponderis F, vt CA ad AD, hoc e$t CA ad AB. quod erat quoq; o$tendendum. <pb n=35> <head>ALITER.</head> <p>Sit libra BAC, cu- ius centrum A; in pun- ctis verò BC pondera appendantur æqualia G F: $itq; primùm cen- trum A vtcunque inter BC. Dico pondus F ad pondus G eam in graui <fig> tate proportionem habere, quam habet di$tantia CA ad di$tan- tiam AB. fiat vt BA ad AC, ita pondus F ad aliud H, quod ap pendatur in B: pondera HF ex A æqueponderabunt. $ed cùm <marg>6 <I>Primi Ar chim. de æquep.</I></marg> pondera FG $int æqualia, habebit pondus H ad pondus G ean- dem proportionem, quam habet ad F. vt igitur CA ad AB, ita <marg>7 <I>Quinti.</I></marg> e$t H ad G. vt autem H ad G, ita e$t grauitas ip$ius H ad graui tatem ip$ius G; cùm in eodem puncto B $int appen$a. quare vt CA ad AB, ita grauitas ponderis H ad grauitatem ponderis G. cùm au tem grauitas ponderis F in C appen$i $it æqualis grauitati ponderis H in B; erit grauitas ponderis F ad grauitatem ponderis G, vt CA ad AB, videlicet vt di$tantia ad di$tantiam. quod demon$trare oportebat. <p>Si verò libra B AC $ecetur vtcunq; in D, & in DC ap- pendantur pondera æqualia EF. Dico $imiliter ita e$$e gra- <fig> uitatem ponderis F ad grauitatem ponderis E, vt di$tantia CA ad di$tantiam AD. fiat AB æqualis ip$i AD, & in B appendatur pondus G æquale ponderi E, & ponderi F. Quoniam enim AB e$t æqualis AD; pondera GE æqueponderabunt. $ed cùm grauitas ponderis F ad grauitatem ponderis G $it, vt CA ad AB, & graui tas ponderis E $it æqualis grauitati ponderis G; erit grauitas pon<*> deris F ad grauitatem ponderis E, vt CA ad AB, hoc e$t vt CA ad AD. qu od demon$trare oportebat. <pb> <head>COROLLARIVM.</head> <p>Ex hoc manife$tum e$t, quò pondus à centro libræ magis di$tat, eò grauius e$$e; & per con$e- quens velocius moueri. <p><marg><I>Stateræ ratio.</I></marg> Hinc præterea $tateræ quoq; ratio facilè o$ten detur. <p>Sit enim $tate ræ $capus AB, cu ius trutina $it in C; $itq; $tateræ appendiculum E. appendatur in A pondus D, quod æqueponderet ap pendiculo E in F <fig> appen$o. aliud quoq; appendatur pondus G in A, quod etiam appendiculo E in B appen$o æqueponderct. Dico grauitatem ponderis D ad grauitatem ponderis G ita e$$e, vt CF ad CB. Quoniam enim grauitas ponderis D e$t æqualis grauitati ponde- ris E in F appen$i, & grauitas ponderis G e$t æqualis grauitati pon deris E in B; erit grauitas ponderis D ad grauitatem ponderis E in F, vt grauitas ponderis G ad grauitatem ponderis E in B: & permu <marg>16 <I>Quinti.</I></marg> tando, vt grauitas ponderis D ad grauitatem ponderis G, ita graui tas ip$ius E in F, ad grauitatem ip$ius E in B; grauitas autem pon <marg>6 <I>Huius.</I></marg> deris E in F ad grauitatem ponderis E in B e$t, vt CF ad CB; vt igitur grauitas ponderis D ad grauitatem ponderis G, ita e$t CF ad CB $i ergo pars $capi CB in partes diuidatur æquales, $olo pondere E, & propius, & longius à puncto C po$ito; ponderum grauitates, quæ ex puncto A $u$penduntur inter $e $e notæ erunt. <pb n=36> Vt $i di$tantia CB tripla $it di$tantiæ CF, erit quoq; grauitas ip- $ius G grauitatis ip$ius D tripla, quod demon$trare oportebat. <p>Alio quoq; modo $tatera vti po$$umus, vt ponderum grauitates notæ reddantur. <p>Sit $capus AB, cuius tru- tina $it in C; $itq; $tateræ ap pendiculum E, quod appen- datur in A; $intqué pon- dera DG inæqualia, quorum inter $e $e grauitatum propor- tiones quærimus: appenda- tur pondus D in B, ita vt ip$i <fig> E æqueponderet. $imiliter pondus G appendatur in F, quod ei- dem ponderi E æqueponderet. dico D ad G ita e$$e, vt CF ad CB. Quoniam enim pondera DE æqueponderant, erit D ad E, <marg>6 <I>Primi Ar chim. de æquep.</I></marg> vt CA ad CB. cùm autem pondera quoque GE æquepon- derent, erit pondus E ad pondus G, vt FC ad CA; quare ex æqua li pondus D ad pondus G ita erit, vt CF ad CB. quod o$tende <marg>23 <I>Quinti.</I></marg> re quoq; oportebat. <pb> <head>PROPOSITIO VII.</head> <head>PROBLEMA.</head> <p>Quotcunque datis in libra ponderibus vbicunque appen$is, centrum libræ inuenire, ex quo $i $u$pendatur libra, data pondera ma- neant. <fig> <p>Sit libra AB, $intq; data quotcunque pondera CDEFG. accipiantur in libra vtcunque puncta AHkLB, ex quibus data pondera $pu$pendantur. Centrum libræ inuenire oportet, ex quo $i fiat $u$pen$io, data pondera maneant. Diuidatur <pb n=37> <fig> AH in M, ita vt HM ad MA, $it vt grauitas ponderis C ad grauitatem ponderis D. deinde diuidatur BL in N, ita vt LN ad NB, $it vt grauitas ponderis G ad grauitatem pon deris F. diuidaturq; MN in O, ita vt MO ad ON $it, vt granitas ponderum FG ad grauitatem ponderum CD. tandem- qué diuidatur kO in P, ita vt kP ad PO, $it vt grauitas pon derum CDFG ad grauitatem ponderis E. Quoniam igitur pon dera CDFG tàm ponderant in O, quàm CD in M, & FG in N; <marg>5 <I>Huius.</I></marg> æqueponderabunt pondera CD in M, & FG in N, & pondus E in K, $i ex puncto P $u$pendantur. cùm verò pondera CD tan tùm ponderent in M, quantùm in AH, & FG in N, quantùm in LB; pondera CDFG ex AHLB punctis $u$pen$a, & pon- dus E ex k, $i ex P $u$pendantur, æqueponderabunt, atq; mane- bunt. Inuentum e$t ergo centrum libræ P, ex quo data pondera manent. quod facere oportebat. <foot>K</foot> <pb> <head>COROLLARIVM.</head> <p>Ex hoc manife$tum e$t, $i ponderum CDEFG centra grauitatis e$$ent in AHKLB punctis; e$- $et punctum P magnitudinis ex omnibus CD EFG ponderibus compo$itæ centrum graui- tatis. <fig> <p>Hoc enim ex definitione centri grauitatis patet, cùm ponde- ra, $i ex puncto P $u$pendantur, maneant. <pb n=38> <head>DE VECTE.</head> <head>LEMMA.</head> <p>Sint quatuor magnitudines A BCD; $itq; A maior B, & C ma ior D. Dico A ad D maiorem habere proportionem; quàm habet B ad C. <p>Quoniam enim A ad C maiorem habet pro- portionem, quàm B ad C; & A ad D maio- <marg>8 <I>Quinti.</I></marg> rem quoq; habet proportionem, quam habet ad C: A igitur ad D maiorem habebit, quam B ad C. quod demon$trare oportebat. <fig> <head>PROPOSITIO I.</head> <p>Potentia $u$tinens pondus vecti appen$um; eandem ad ip$um pondus proportionem habe- bit, quam vectis di$tantia inter fulcimentum, ac ponderis $u$pen$ionem ad di$tantiam à fulcimen to ad potentiam interiectam. <foot>K 2</foot> <pb> <fig> <p>Sit vectis AB, cuius fulcimeutum C; $itq; pondus D ex A $u- $pen$um AH, ita vt AH $it $emper horizonti perpendicularis: $itq; potentia $u$tinens pondus in B. Dico potentiam in B ad pon dus D ita e$$e, vt CA ad CB. fiat vt BC ad CA, ita pondus D <marg>6 <I>Primi Ar chim. de æquep.</I></marg> ad aliud pondus E, quippè quod $i in B appendatur; ip$i D æque ponderabit, exi$tente C amborum grauitatis centro. quare poten tia æqualis ip$i E ibidem con$tituta ip$i D æqueponderabit, vecte AB, eius fulcimento in C collocato, hoc e$t prohibebit, ne pon dus D deor$um vergat, quemadmodum prohibet pondus E. Po <marg><I>Ex</I> 7 <I>quinti.</I></marg> tentia verò in B ad pondus D eandem habet proportionem, quam pondus E ad idem pondus D: ergo potentia in B ad pondus D erit, vt CA ad CB; hoc e$t vectis di$tantia à fulcimento ad pon deris $u$pendium ad di$tantiam à fulcimento ad potentiam. quod demon$trare oportebat. <p>Hinc facilè o$tendi pote$t, fulcimentum quò ponderi fuerit propius, minorem ad idem pon- dus $u$tinendum requiri potentiam. <p>Ii$dem po$i- tis, $it fulcimen tum in F ip$i A propius, quàm C; fiatq; vt BF ad FA, ita pon dus D ad aliud <fig> G, quod $i appendatur in B, pondera DG ex fulcimento E <marg><I>Ex eadem Sexta.</I></marg> æqueponderabunt. quoniam autem BF maior e$t BC, & CA <marg><I>Lemma.</I></marg> maior AC; maior erit proportio BF ad FA, quàm BC ad CA: <pb n=39> & ideo maior quoq; erit proportio ponderis D ad pondus G, quàm idem D ad E: pondus igitur G minus erit pondere E. cùm <marg>10 <I>Quinti.</I></marg> autem potentia in B ip$i G æqualis ponderi D æqueponderet, mi- nor potentia, quàm ea, quæ ponderi E e$t æqualis, pondus D $u $tinebit; exi$tente vecte AB, eius verò fulcimento vbi F, quàm $i fuerit vbi C. $imiliter quoq; o$tendetur, quò propius erit fulci- mentum ponderi D, adhuc $emper minorem requiri potentiam ad $u$tinendum pondus D. <head>COROLLARIVM.</head> <p>Vnde palàm colligere licet, exi$tente AF ip$a FB minore, minorem quoq; requiri potentiam in ip$o B pondere D $u$tinendo. æquali verò æqualem. maiore verò maiorem. <head>PROPOSITIO II.</head> <p>Alio modo vecte vti po$sumus. <p>Sit vectis AB, cuius fulcimentum $it B, & pondus C vtcunq; in D inter AB appen- $um; $itq; potentia in A $u$tinens pondus C. Dico vt BD ad BA, <fig> ita e$$e potentiam in A ad pondus C. appendatur in A pondus E æquale ip$i C; & vt AB ad BD, ita fiat pondus E ad aliud F. & quoniam pondera CE $unt inter $e $e æqualia, erit pondus C ad pondus F, vt AB ad BD. appendatur quoq; pondus F in A. & quoniam pondus E ad pondus F e$t, vt grauitas ip$ius E ad gra- <marg><I>In $exta hu ius de libra Ex</I> 11 <I>quin ti.</I></marg> uitatem ip$ius F; & pondus E ad F e$t, vt AB ad BD; vt igitur grauitas ponderis E ad grauitatem ponderis F, ita e$t AB ab BD. vt autem AB ad BD, ita e$t grauitas ponderis E ad grauitatem <marg>6 <I>Huius. de libra.</I></marg> <pb> ponderis C: quare gra uitas ponderis E ad grauitatem ponderis F ita erit, vt grauitas ponderis E ad gra- uitatem ponderis C. Pondera igitur CF <fig> <marg><I>Ex</I> 9 <I>quinti.</I></marg> eandem habent grauitatem. Ponatur itaq; potentia in A $u$tinens pondus F; erit potentia in A æqualis ip$i ponderi F. & quoniam pondus F in A appen$um æquè graue e$t, vt pondus C in D ap- pen$um; eandem proportionem habebit potentia in A ad grauita- <marg><I>Ex</I> 7 <I>quinti.</I></marg> tem ponderis F in A appen$i, quam habet ad grauitatem ponde- ris C in D appen$i. Potentia verò in A ip$i F æqualis $u$tinet pondus F, ergo potentia in A pondus quoq; C $u$tinebit. Itaq; cùm potentia in A $it æqualis ponderi F, & pondus C ad pon- dus F $it, vt AB ad BD; erit pondus C ad potentiam in A, vt <marg><I>Cor.</I> 4 <I>quin ti.</I></marg> AB ad BD. & è conuer$o, vt BD ad BA, ita potentia in A ad pondus C. potentia ergo ad pondus ita erit, vt di$tantia fulci- mento, ac ponderis $u$pen$ioni intercepta ad di$tantiam à fulci mento ad potentiam. quod oportebat demon$trare. <head>ALITER.</head> <fig> <p>Sit vectis AB, cuius fulcimentum $it B, & pondus E ex puncto C $u$pen$um; $itq; vis in A $u$tinens pondus E. Dico vt BC ad BA, ita e$$e potentiam in A ad pondus E. Producatur AB in C, & fiat BD æqualis BC; & ex puncto D appendatur pondus F æqua le ponderi E; itemq; ex puncto A $u$pendatur pondus G ita, vt pondus F ad pondus G eandem habeat proportionem, quam AB <pb n=40> ad BA. pondera FG æqueponderabunt. cùm autem $it CB æqua lis BD, pondera quoq; FE æqualia æqueponderabunt. pondera verò FEG in libra, $euvecte DBA appen$a, cuius fulcimentum e$t B, non æqueponderabunt; $ed ex parte A deor$um tendent. po natur itaq; in A tanta vis, vt pondera FEG æqueponderent; erit potentia in A æqualis ponderi G. pondera enim FE æqueponderãt, & visin A nihil aliud efficere debet, ni$i $u$tinere põdus G, ne de$cen dat. & quoniam pondera FEG, & potentia in A æqueponderant, demptis igitur FG ponderibus, quæ æqueponderant, reliqua æque ponderabunt; $cilicet potentia in A ponderi E, hoc e$t potentia in A pondus E $u$tinebit, ita vt vectis AB maneat, vt prius erat. Cùm autem potentia in A $it æqualis ponderi G, & pondus E pon deri F æquale; habebit potentia in A ad pondus E eandem pro- portionem, quam habet BD, hoc e$t BC ad BA. quod demon- $trare oportebat. <head>COROLLARIVM I.</head> <p>Ex hoc etiam (vt prius) manife$tum e$$e po- te$t, $i ponatur pondus E propius fulcimento B, vt in H; minorem potentiam in A $u$tinere po$- $e ip$um pondus. <p>Minorem enim proportionem habet HB ad BA, quam CB ad <marg>8 <I>Quinti.</I></marg> BA. & quò propius pondus erit fulcimento, adhuc $emper mino rem po$$e potentiam $u$tinere pondus E $imiliter o$tendetur. <head>COROLLARIVM II.</head> <p>Sequitur etiam potentiam in A $emper mino rem e$$e pondere E. <p>Sumatur enim inter AB quoduis punctum C, $emper BC minor erit BA. <pb> <head>COROLLARIVM III.</head> <p>Ex hoc quoq; elici pote$t, $i duæ fuerint poten tiæ, vna in A, altera in B, & vtraq; $u$tentet pondus E; potentiam in A ad potentiam in B e$- $e, vt BC ad CA. <p>Vectis enim BA fungi- tur officio duorum vectiũ; & AB $unt tanquam duo fulcimenta, hoc e$t quan- do AB e$t vectis, & poten tia $u$tinens in A; erit eius <fig> fulcimentum B. Quando verò BA e$t vectis, & potentia in B; erit A fulcimentum: & pondus $emper ex puncto C remanet $u- $pen$um. & quoniam potentia in A ad pondus E e$t, vt BC ad BA; vt autem pondus E ad potentiam, quæ e$t in B, ita e$t <marg>22 <I>Quinti.</I></marg> BA ad AC; erit ex æquali, potentia in A ad potentiam in B, vt BC ad CA. & hoc modo facilè etiam proportionem, quæ in Quæ$tionibus Mechanicis quæ$tione vige$ima nona ab Ari$totele ponitur, noui$$e poterimus. <head>COROLLARIVM IIII.</head> <p>E$t etiam manife$tum, vtra$q; potentias in A, & B $imul $umptas æquales e$$e ponderi E. <p>Pondus enim E ad potentiam in A e$t, vt BA ad BC; & idem pondus E ad potentiam in B e$t, vt BA ad AC; quare pondus E ad vtra$q; potentias in A, & B $imul $umptas e$t, vt AB ad BC CA $imul, hoc e$t ad BA. pondus igitur E vtri$q; potentiis $imul $umptis æquale erit. <pb n=41> <head>PROPOSITIO III.</head> <p>Alio quoq; modo vecte vti po$sumus. <p>Sit Vectis AB, cuius fulcimentum B; $itq; ex puncto A pondus C appen- $um; $itq; potentia in D vtcunq; inter AB $u$tinens pon- dus C. Dico vt AB <fig> ad BD, ita e$$e potentiam in D ad pondus C. Appendatur ex puncto D pondus E æquale ip$i C; & vt BD ad BA, ita fiat pon dus E ad aliud F. & cùm pondera CE $int inter $e $e æqualia; erit pondus C ad pondus F, vt BD ad BA. appendatur pondus F quoq; in D. & quoniam pondus E ad ip$um F e$t, vt grauitas ponderis E ad grauitatem ponderis F; & pondus E ad pondus F <marg><I>In $exta hu ius de libra.</I></marg> e$t, vt BD ad BA: vt igitur grauitas ponderis E ad grauitatem ponderis F, ita e$t BD ad BA. vt autem BD ad BA, ita e$t gra <marg>6 <I>Huius de libra.</I></marg> uitas ponderis E ad grauitatem ponderis C; quare grauitas ponde- ris E ad grauitatem ponderis F eandem habet proportionem, quam habet ad grauitatem ponderis C. pondera ergo CF eandem <marg>9 <I>Quinti.</I></marg> habent grauitatem. $it igitur potentia in D $u$tinens pondus F, erit potentia in D ip$i ponderi F æqualis. & quoniam pondus F in D æquè graue e$t, vt pondus C in A; habebit potentia in D eandem proportionem ad grauitatem ponderis F, quam habet ad <marg>7 <I>Quinti.</I></marg> grauitatem ponderis C. $ed potentia in D pondus F $u$tinet; po- tentia igitur in D pondus quoq; C $u$tinebit: & pondus C ad po- tentiam in D ita erit, vt pondus C ad pondus F; & C ad F e$t, vt BD ad BA; erit igitur pondus C ad potentiam in D, vt BD ad BA: & conuertendo, vt AB ad BD, ita potentia in D ad pondus C. potentia ergo ad pondus e$t, vt di$tantia à fulcimento ad pon deris $u$pendium ad di$tantiam à fulcimento ad potentiam. quod demon$trare oportebat. <foot>L</foot> <pb> <head>ALITER.</head> <fig> <p>Sit vectis AB, cuius fulcimentum B; & ex puncto A $it pon- dus C $u$pen$um; $itq; potentia in D $u$tinens pondus C. Dico vt AB ad BD, ita e$$e potentiam in D ad pondus C. Produca tur AB in E, fiatq; BE æqualis ip$i BA; & ex puncto E appen datur pondus F æquale ponderi C; & vt BD ad BE, ita fiat pon dus F ad aliud G, quod ex puncto D $u$pendatur. pondera FG æqueponderabunt. & quoniam AB e$t æqualis BE, & pondera FC æqualia; $imiliter pondera FC æqueponderabunt. Pondera verò FGC $u$pen$a in vecte EBA, cuius fulcimentum e$t B, non æqueponderabunt; $ed ex parte A deor$um tendent. Ponatur igi tur in D tanta vis, vt pondera FGC æqueponderent; erit po- tentia in D æqualis ponderi G: pondera enim FC æquepon de- rant, & potentia in D nil aliud efficere debet, ni$i $u$tinere pon- dus G ne de$cendat. & quoniam pondera FGC, & potentia in D æqueponderant, demptis igitur FG ponderibus, quæ æquepon derant; reliqua æqueponderabunt, $cilicet potentia in D ponderi C. hoc e$t potentia in D pondus C $u$tinebit, ita vt vectis AB ma- neat, vt prius. & cùm potentia in D $it æqualis ponderi G, & pon- dus C æquale ponderi F; habebit potentia in D ad pondus C ean dem proportionem, quam EB, hoc e$t AB ad BD. quod de- mon$trare oportebat. <head>COROLLARIVM I.</head> <p>Ex hoc etiam pàtet, vt prius, $i coftituatur pon dus fulcimento B propius, vt in H; à minori po- tentia pondus ip$um $ub$tineri debere. <pb n=42> <p>Minorem enim proportionem habet HB ad BD, quàm AB ad <marg>8 <I>Quinti.</I></marg> BD. & quò propius erit fulcimento, adhuc $emper minorem re- quiri potentiam. <head>COROLLARIVM II.</head> <p>Manife$tum quoq; e$t, potentiam in D $emper maiorem e$$e pondere C. <p>Si enim inter AB $umatur quoduis punctum D, $emper AB maior erit BD. <p>Et aduertendum e$t ha$ce, quas attulimus demon$trationes non $olum vectibus horizonti æquidi$tantibus, verùm etiam ve- ctibus horizonti inclinatis ad hæc omnia o$tendenda commodè aptari po$$e. quod ex iis, quæ de libra diximus, patet. <head>PROPOSITIO IIII.</head> <p>Si potentia pondus in vecte appen$um mo- ueat; erit $patium potentiæ motæ ad $patium moti ponderis, vt di$tantia à fulcimento ad po- tentiam ad di$tantiam ab eodem ad ponderis $u $pen$ionem. <foot>L 2</foot> <pb> <p>Sit vectis AB, cuius ful- cimentum C; & ex puncto B $it pondus D $u$pen$um; $itq; potentia in A mouens pon- dus D vecte AB. Dico $pa- tium potentiæ in A ad $pa- tium ponderis ita e$$e, vt CA ad CB. Moueatur vectis AB, & vt pondus D $ur$um mo- ueatur, oportet B $ur$um mo ueri, A verò deor$um. & quo- niam C e$t punctum immobi le; idcirco dum A, & B mo- uentur, circulorũ circumferen tias de$cribent. Moueatur igi- tur AB in EF; erunt AE <fig> BF circulorum circumferentiæ, quorum $emidiametri $unt CA CB. tota compleatur circumferentia AGE, & tota BHF; $intq; KH puncta, vbi AB, & EF circulum BHF $ecant. Quoniam e- <marg>15 <I>Primi.</I></marg> nim angulus BCF e$t æqualis angulo HCk; erit circumferentia <marg><I>Ex</I> 26 <I>tertii.</I></marg> kH circumferentiæ BF æqualis. cùm autem circumferentiæ AE kH $int $ub eodem angulo ACE, & circumferentia AE ad to- tam circumferentiam AGE $it, vt angulus ACE ad quatuor re- ctos; vt autem idem angulus HCk ad quatuor rectos, ita quoq; e$t circumferentia HK ad totam circumferentiam HBK; erit cir cumferentia AE ad totam circumferentiam AGE, vt circumfe- <marg>16 <I>Quinti.</I></marg> rentia kH ad totam kFH. & permutando, vt circumferentia AE ad circumferentiam kH, hoc e$t BF, ita tota circumferen- tia AGE ad totam circumferentiam BHF. totaverò circumfe rentia AGE ita $e habet ad totam BHF, vt diameter circuli AEG <marg>23 <I>Octaui Pappi.</I></marg> ad diametrum circuli BHF. Vt igitur circumferentia AE ad cir <marg>11 <I>Quinti.</I></marg> cumferentiam BF, ita diameter circuli AGE ad diametrum cir culi BHF: vt autem diameter ad diametrum, ita $emidiameter ad $emidiametrum, hoc e$t CA ad CB: quare vt circumferen- tia AE ad circumferentiam BF, ita CA ad CF. circumferentia verò AE $patium e$t potentiæ motæ, & circumferentia BF e$t <pb n=43> æqualis $patio ponderis D moti. $patium enim motus ponderis D $emper æquale e$t $patio motus puncti B, cùm in B $it appen $um: $patium ergo potentiæ motæ ad $patium moti ponderis e$t, vt CA ad CB; hoc e$t vt di$tantia à fulcimento ad potentiam ad di$tantiam ab eodem ad ponderis $u$pen$ionem. quod demon $trare oportebat. <p>Sit autem vectis AB, cu- ius fulcimentum B; potentia- qué mouens in A; & pondus in C. dico $patium potentiæ translatæ ad $patium transla ti ponderis ita e$$e, vt BA ad BC. Moueatur vectis, & vt pondus $uríum attollatur, ne- ce$$e e$t puncta C A $ur$um moueri. Moueatur igitur A $ur$um v$q; ad D; $itq; ve- ctis motus BD. eodemq; modo (vt prius dictum e$t) o$tendemus puncta CA cir- culorum circumferentias de- <fig> $cribere, quorũ $emidiametri $unt BA BC. $imiliterq; o$tendemus ita e$$e AD ad CE, vt $emidiameter AB ad $emidiametrum BC. <p>Eademq; ratione, $i potentia e$$et in C, & pondus in A, o$tendetur ita e$$e CE ad AD, vt BC ad BA; hoc e$t di$tan tia à fulcimento ad potentiam ad di$tantiam ab eodem ad ponde ris $u$pen$ionem. quod oportebat demon$trare. <head>COROLLARIVM.</head> <p>Ex his manife$tum e$t maiorem habere pro- portionem $patium potentiæ mouentis ad $pa- tium ponderis moti, quàm pondus ad eandem potentiam. <p>Spatium enim potentiæ ad $patium ponderis eandem habet, <pb> quam pondus ad potentiam pondus $u$tinentem; potentia ve- rò $u$tinens minor e$t potentia mouente, quare minorem habebit <marg>8 <I>Quinti.</I></marg> proportionem pondus ad potentiam ip$um mouentem, quàm ad potentiam ip$um $u$tinentem. $patium igitur potentiæ mouentis ad $patium ponderis maiorem habebit proportionem, quàm pon- dus ad candem potentiam. <head>PROPOSITIO V.</head> <p>Potentia quomodocunq; vecte pondus $u$ti- nens ad ip$um pondus eandem habebit propor- tionem, quam di$tantia à fulcimento ad punctum, vbi à centro grauitatis ponderis horizonti ducta perpendicularis vectem $ecat, intercepta, ad di$tantiam inter fulcimentum, & potentiam. <p>Sit vectis AB horizonti æqui- di$tans, cuius ful cimentum N; $it deinde pondus AC, cuius cen- trum grauitatis $it D, quod pri mùm $it infra ve ctem; pondus ve rò $it ex punctis AO $u$pen$um; <fig> & à puncto D horizonti, & ip$i AB perpendicularis ducatur DE. $i verò alii $int quoq; vectes AF AG, quorum fulcimenta $int HK; pondu$q; AC in vecte AG ex punctis AQ $it appen$um; in vecte autem AF in punctis AP: lineaq; DE producta $ecet AF in L, & AG in M. dico potentiam in F pondus AC $u$tinen tem ad ip$um pondus eam habere proportionem, quam habet kL <pb n=44> ad kF; & potentiam in B ad pondus eam habere, quam NE ad NB; & potentiam in G ad pondus eam, quam HM ad HG. Quoniam enim DL horizonti e$t perpendicularis, pondus AC vbicunq; in linea DL fuerit appen$um, eodem modo, quo reperi- tur, manebit. quare in vecte AB $i $u$pen$iones, quæ $unt ad AO $oluantur, pondus AC in E appen$um eodem modo manebit, $i- cutinunc manet; hoc e$t $ublato puncto A, & linea QO, codem modo pondus in E appen$um manebit, vt ab ip$is AO pun- ctis $u$tinebatur; ex commentario Federici Commandini in $extam Archimedis propo$ion&etilde; de quadratura parabolæ, & ex prima huius de libra. Itaq; quoniam pondus AC eandem ad libram habet con$ti tutionem, $iue in AO $u$tineatur, $iue ex puncto E $it appen$um; eadem potentia in B idem pondus AC, $iue in E, $iue in AO $u$pen$um $u$tinebit. potentia verò in B $u$tinens pondus AC in E appen$um ad ip$um pondus ita $e habet, vt NE ad NB; po- <marg>1 <I>Huius.</I></marg> tentia igitur in B $u$tinens pondus AC ex punctis AO $u$pen $um ad ip$um pondus ita erit, vt NE ad NB. Non aliter o$ten detur pondus AC ex puncto L $u$pen$um manere, $icuti à pun ctis AP $u$tinetur; potentiamq; in F ad ip$um pondus ita e$$e, vt kL ad KF. In vecte verò AG pondus AC in M appen$um ita mane re, vt à punctis AQ $u$tinetur; potentiamq; in G ad pondus AC ita e$$e, vt HM ad HG; hoc e$t vt di$tantia à fulcimento ad punctum, vbi à centro grauitatis ponderis horizonti ducta perpendicularis vectem $ecat, ad di$tantiam à fulcimento ad poten tiam. quod demon$trare oportebat. <p>Si autem FBG e$$ent vectium fulcimenta, potentiæq; e$$ent in KNH pondus $u$tinentes, $imili modo o$tendetur ita e$$e po tentiam in H ad pondus, vt GM ad GH; & potentiam in N ad pondus, vt BE ad BN; ac potentiam in k ad pondus, vt FL ad Fk. <pb> <p>Et $i vectes AB AF AG habeant fulcimenta in A, & pondus $it NO; deinde ab eius centro grauitatis D ducatur ip$i A B, & horizonti perp&etilde;dicularis D MEL; $intq; po tentiæ in FBG: $imiliter o$tende- tur ita e$$e poten- <fig> tiam in G pondus NO $u$tinentem ad ip$um pondus, vt AM ad AG; ac potentiam in B, vt AE ad AB; & potentiam in F, vt AL ad AF. <p>Sit deinde vectis AB ho rizonti æqui- di$tans, cuius fulcimentum D; & $it BE pondus, cuius centrum gau i tatis $it F $u- pra vectem: à punctoq; F ho rizonti, & ip$i AB ducatur <fig> FH; pondu$q; à puncto B, & PQ $u$tineatur. Sint deinde alii ve- ctes BL BM, quorum fulcimenta $int NO; lineaq; FH producta $e- cet BM in k, & BL in G; pondus autem in vecte BL in pun- ctis BP $u$tineatur; in vecte autem BM à puncto B, & PR. Di- co potentiam in L pondus BE vecte BL $u$tinentem ad ip$um pondus eam habere proportionem, quam NG ad NL; & po- <pb n=45> tentiam in A ad pondus eam habere, quam DH ad DA; poten tiamq; in M ad pondus eam, quam Ok ad OM. Quoniam e- nim à centro grauitatis F ducta e$t kF horizonti perpendicularis, ex quocunq; puncto lineæ kF $u$tineatur pondus, manebit; vt <marg>1 <I>Huius de libra.</I></marg> nunc $e habet. $i igitur $u$tineatur in H, manebit vt prius; $cili- cet $ublato puncto B, & PQ, quæ pondus $u$tinent, pondus BE manebit, $icuti ab ip$is $u$tinebatur. quare in vecte AB graue$cet in H, & ad vectem eandem habebit con$titutionem, quam prius; idcirco erit, ac $i in H e$$et appen$um. eadem igitur potentiaìdem pondus BE, $iue in H, $iue in B, & Q $uffultum, $u$tinebit. Potentia ve <marg>1 <I>Huius<*></I></marg> rò in A $u$tinens pondus BE vecte AB in H appen$um ad ip$um pondus eandem habet proportionem, quam DH ad DA; eadem ergo potentia in A $u$tinens pondus BE in punctis BQ $u$tenta tum ad ip$um pondus erit, vt DH ad DA. Similiter o$tende- tur pondus BE $i in G $u$tineatur, manere; $icuti à punctis BP $u$tinebatur: & in puncto k, vt à punctis BR. quare potentia in L $u$tinens pondus BE ad ip$um pondus ita erit, vt NG ad NL. potentia verò in M ad pondus, vt OK ad OM; hoc e$t vt di$tan tia à fulcimento ad punctum, vbi à centro grauitatis ponderis ho riz onti ducta perpendicularis vectem $ecat, ad di$tantiam à fulci- mento ad potentiam. quod demon$trare quoq; oportebat. <p>Si verò LAM e$$ent fulcimenta, & potentiæ in NDO; $imi liter o$tendetur ita e$$e potentiam in N ad pondus, vt LG ad L N; & potentiam in D, vt AH ad AD; & potentiam in O, vt Mk ad MO. <foot>M</foot> <pb> <p>Et $i vectes BA BL BM habeant fulcimenta in B, & pondus $upra vect&etilde; $it NO; & ab eius centro grauitatis F ducatur ip$i AB, & horizonti perpendi cularis FDEG; $int qué potentiæ in L AM; $imiliter o- $tendetur ita e$$e po tentiam in L pon- <fig> dus $u$tinentem ad ip$um pondus, vt BD ad BL; & potentiam in A ad pondus, vt BE ad BA, atq; potentiam in M, vt BG ad BM. <p>Sit deniq; vectis AB ho rizonti æqui- di$tans, cuius fulcimentum C, & pondus DE habeat c&etilde; trum grauita- tis F in ip $o vecte AB; $intq; deniq; alii vectes G H kL, quo- <fig> rum fulcimenta $int MN; pondusq; in vecte GH $u$tineatur à punctis GO; in vecte autem AB à punctis AP; & in uecte KL à punctis KQ; & centrum grauitatis F $it quoq; in utroq; uecte GH kL; $intq; potentiæ in HBL. Dico potentiam in H ad pondus ita e$$e, ut NF ad NH; & potentiam in B ad pondus, ut CF ad CB; ac potentiam in L ad pondus, ut MF ad ML. Quo- niam enim F centrum e$t grauitatis ponderis DE, $i igitur in F <pb n=46> $u$tineatur, pondus DE manebit $icut prius, per deffinitionem cen tri grauitatis; eritq; ac$iin F e$$et appen$um; atq; in vecte eodem modo manebit, $iue à punctis AP, $iue à puncto F $u$tineatur. quod idem in vectibus GH kL eueniet; $cilicet pondus eodem mo do manere, $iue in F, $iue in GO, vel in kQ $u$tineatur. eadem igitur potentia in B idem pondus DE, vel in F, vel in AP appen$um $u$tinebit: & quando appen$um e$t in F ad ip$um pon- dus e$t, vt CF ad CB, ergo potentia $u$tinens pondus DE in AP appen$um ad ip$um pondus erit, vt CF ad CB. eodemq; mo do potentia in H ad pondus in GO appen$um ita erit, vt NF ad NH. potentiaq; in L ad pondus in kQ appen$um erit, vt MF ad ML. quod o$tendere quoq; oportebat. <p>Si verò HBL e$$ent ful<*>imenta, & potentiæ e$$ent in NCM; $i- militer o$tendetur potentiam in N ad pondus ita e$$e, vt HF ad HN; & potentiam in C, vt BF ad BC, & potentiam in M, vt LF ad LM. <p>Et $i vectes BA BC BD habeãt ful cimenta in B, $intq; pondera in EF GH kL, ita vt eorum centra MNO gra- uitatis $int in vecti bus; $intq; poten- tiæ in CAD: $imi liter o$tendetur po tentiam in C ad pondus EF ita e$$e, <fig> vt BM ad BC, & potentiam in A ad pondus GH, vt BN ad BA, potentiamq; in D ad pondus KL, vt BO ad BD. <foot>M 2</foot> <pb> <head>PROPOSITIO VI.</head> <p>Sit AB recta linea, cui ad angulos $it rectos AD, quæ ex parte A producatur vtcunq; v$q; ad C; connectaturq; CB, quæ ex parte B quoq; producatur v$q; ad E. ducantur deinde à pun- cto B vtcunq; inter AB BE lineæ BF BG ip$i AB æquales; à puncti$q; FG ip$is perpendicula- res ducantur FH GK, quæ & inter $e $e, & ip$i AD con$tituantur æ- quales, ac $i BA AD motæ $int in BF FH, & in BG GK; con- nectanturq; CH CK, quæ lineas BF BG in punctis MN $e- cent. Dico BN mi- norem e$$e BM, & BM ip$a BA. <fig> <p>Connectantur BD BH BK. & quoniam duæ lineæ DA AB duabus HF FB $unt æquales, & angulus DAB rectus recto HFB e$t <marg>4 <I>Primi.</I></marg> etiam æqualis; erunt reliqui anguli reliquis angulis æqua- les, & HB ip$i DB æqualis. fimiliter o$tendetur triangu- lum BkG triangulo BHF æqualem e$$e. quare centro B, inter- <pb n=47> uallo quidem vna ip$arum circulus de$cribatur DH kE, qui li- neas CH CK $ecet in punctis OP; connectanturq; OB PB. Quoniam igitur punctum k propius e$t ip$i E, quàm H; erit linea <marg>8 <I>Tertii.</I></marg> Ck maior ip$a CH, & CP ip$a CO minor: ergo PK ip$a OH maior erit. Quoniam autem triangulum BkP æquicrure latera Bk BP lateribus BH BO trianguli BHO æquicruris æqualia ha bet, ba$im verò KP ba$i HO maiorem, erit angulus kBP an- <marg>25 <I>Primi.</I></marg> gulo HBO maior. ergo reliqui ad ba$im anguli, hoc e$t kPB PkB $imul $umpti, qui inter $e $unt æquales, reliquis ad ba$im an- gulis, nempè OHB HOB, qui etiam inter $e $unt æquales, mino- <marg>5 <I>Primi.</I></marg> res erunt: cùm omnes anguli cuiu$cunq; trianguli duobus $int rectis æquales. quare & horum dimidii, $cilicet NkB minor MHB. Cùm autem angulus BkG æqualis $it angulo BHF, erit NkG ip$o MHF maior. $i igitur à puncto k con$tituatur angulus GKQ ip$i FHM æqualis, fiet triangulum GkQ triangulo FHM æqua le; nam duo anguli ad FH vnius duobus ad Gk alterius $unt æquales, & latus FH lateri Gk e$t æquale, erit GQ ip$i FM æ- <marg>26 <I>Primi.</I></marg> quale. ergo GN maiorerit ip$a FM. Cùm itaq; BG ip$i BF $it æqua lis, erit BN minor ip$a BM. Quòd autem BM $it ip$a BA minor, e$t manife$tum; cùm BM ip$a BF, quæ ip$i BA e$t æqualis, $it minor. quod demon$trare oportebat. <p>In$uper $i intra BG BE alia vtcunq; ducatur linea ip$i BG æ- qualis; fiatq; operatio, quemadmodum $upra dictum e$t; $imili- ter o$tendetur lineam BR minorem e$$e BN. & quò propius fue rit ip$i BE, adhuc minorem $emper e$$e. <pb> <p>Si verò æqualia triangula BFH BGK $int deor$um inter BC BA con$tituta; connectan- turq; HC KC, quæ lineas BF BG ex parte FG productas in punctis MN $ecent erit BN maior BM, & BM ip$a BA. <p>Nam producatur CH Ck v$q; ad circumfe rentiam in OP, Connectanture; BO BP; $imili modo o$tende- tur lineam Pk maiorem e$ $e OH, angulumq; PkB mi norem e$$e angulo OHB. & quoniam angulus BHF e$t æqualis angulo BkG; erit to tus PKG angulus angulo OHF minor: quare reliquus GKN reliquo FHM maior erit. $i it aq; con$tituatur angu lus GkQ ip$i FHM æqua lis, linea KQ ip$am GN ita $ecabit, vt GQ ip$i FM æqua lis euadat: quare maior. erit GN, quàm FM; quibus $i æquales adiiciantur BF BG, erit BN ip$a BM maior. & cùm BM $it ip$a FB maior, erit quoq; ip$a BA maior. $i militer o$tendetur, quò pro pius fuerit BG ip$i BC, li- neam BN $emper maiorem e$$e. <fig> <pb n=48> <head>PROPOSITIO VII.</head> <p>Sit recta linea AB, cuì perpendi cularis exi- $tat AD, quæ ex parte D producatur vtcunq; v$q; ad C; connectaturq; CB, quæ producatur e- tiam v$q, ad E; & inter AB BE lineæ $imiliter vtcunq; ducantur BF BG ip$i AB æquales; à punctisq; FG lineæ FH GK ip$i AB æquales, ip$is verò BF BG per- p&etilde;diculares ducantur; ac $i BA AD motæ $int in BF FH BG GK: Connectanturq; CH CK, quæ lineas BF BG productas $e- cent in punctis MN. Dico BN maiorem e$ $e BM, & BM ip$a BA. <fig> <p>Connectantur BD BH Bk, & centro B, interuallo quidem BD, circulus de$cribatur. $imi liter vt in præcedenti demon- $trabimus puncta kHDOP in circuli circumferentia e$$e, trian gulaq; ABD FBH GBk in- ter $e $e æqualia e$$e, atq; lineam Pk maiorem OH, angulumq; PKB minorem e$$e angulo O HB. Quoniam igitur angulus BHF æqualis e$t angulo BkG, <pb> erit totus angulus PkG angu- lo OHF minor: quare reliquus GkN reliquo FHM maior erit. $i igitur fiat angulus GK Q ip$i FHM æqualis, erit trian gulum GKQ triangulo FHM æquale, & latus GQ lateri FM æquale; ergo maior erit GN ip $a FM; ac propterea BN ma- ior erit BM. BM autem ma- ior erit BA; nam BM maior e$t ip$a BF. quod demon$trare oportebat. <fig> <p>Eodemq; pror$us modo, quo propius fuerit BG ip$i BE, li- neam BN $emper maiorem e$$e o$tendetur. <p>Si autem triangula BFH BGK deor$um in- ter AB BC con$tituantur, ducanturq; CHO CKP, quæ lineas BF BG $ecent in punctis M N; erit linea BN minor ip$a BM, & BM ip$a BA. <pb n=49> <p>Connectantur enim BO BP, $imiliter o$tendetur angulum PKB minorem e$$e OHB. & quoniam angulus FHB æqua- lis e$t angulo GkB; erit angu lus GkN angulo FHM ma- ior: quare & linea GN ma- ior erit ip$a FM. ideoq; linea nea BN minor erit linea BM. Cùm autem maior $it BF ip$a BM; erit BM ip$a BA minor. Si- miliq; modo o$tendetur, quò propius fuerit BG ip$i BC, li- neam BN $emper minorem e$$e. <fig> <head>PROPOSITIO VIII.</head> <p>Potentia pondus $u$tinens centrum grauitatis $upra vectem horizonti æquidi$tantem habens, quò magis pondus ab hoc $itu vecte eleuabitur; minori $emper, vt $u$tineatur, egebit potentia: $i verò deprimetur, maiori. <foot>N</foot> <pb> <fig> <p>Sit vectis AB horizonti æquidi$tans, cuius fulcimentum C; pondus autem BD, eiu$dem verò grauitatis centrum $it $upra ve ctem vbi H: $itq; potentia $u$tinens in A. moueatur deinde ve ctis AB in EF, $itq; pondus motum in FG. Dico primùm mino rem potentiã in E $u$tinere pondus FG vecte EF, quàm pot&etilde;tia in A pondus BD vecte AB. $it k centrum grauitatis ponderis FG; deinde tùm ex H, tùm ex K ducantur HL kM ip$orum horizon tibus perpendiculares, quæ in centrũ mundi conuenient; $itq; HL ip $i quoq; AB perpendicularis. ducatur deinde kN ip$i EF perpen- dicularis, quæ ip$i HL æqualis erit, & CN ip$i CL æqualis. Quo- <marg>5 <I>Huius.</I></marg> niam enim HL horizonti e$t perpendicularis, potentia in A $u $tinens pondus BD ad ip$um pondus eam habebit proportionem, quam CL ad CA. rur$us quoniam kM horizonti e$t perpendicu laris, potentia in E pondus FG $u$tinens ita erit ad pondus, vt CM ad CE. Cùm autem CN NK ip$is CL LH $int æquales, <marg>6 <I>Huius.</I></marg> angulosq; rectos contineant; erit CM minor ip$a CL; ergo CM <marg>8 <I>Quinti.</I></marg> ad CA minorem habebit proportionem, quam CL ad CA; & <pb n=45> CA ip$i CE e$t æqualis, minorem igitur proportionem habebit CM ad CE. quàm CL ad CA: & cùm pondera BD FG $int æqualia, e$t enim idem pondus; ergo minor erit proportio po tentiæ in E pondus FG $u$tinentis ad ip$um pondus, quàm po tentiæ in A pondus BD $u$tinentis ad ip$um pondus. Quare <marg>10 <I>Quinti.</I></marg> minor potentia in E $u$tinebit pondus FG, quàm potentia in A pondus BD. & quò pondus magis eleuabitur; $emper o$tendetur minorem adhuc potentiam pondus $u$tinere; cùm linea PC mi <marg>6 <I>Huius.</I></marg> nor $it linea CM. $it deinde vectis in QR, & pondus in QS, cuius centrũ grauitatis $it O. dico maiorem requiri potentiam in R ad $u$tinendũ pondus QS, quàm in A ad pondus BD. ducatur à cen tro grauitatis O linea OT horizonti perpendicularis. & quo- niam HL OT, $i ex parte L, atq; T producantur, in centrum mundi conuenient; erit CT maior CL: e$t autem CA ip$i CR <marg>6 <I>Huius.</I></marg> æqualis, habebitergo TC ad CR maiorem proportionem, quàm LC ad CA. Maior igitur erit potentia in R $u$tinens pondus <marg>8 <I>Quinti. Ex</I> 10 <I>quin ti.</I></marg> QS, quàm in A $u$tinens BD. $imiliter o$tendetur; quò vectis RQ magis à vecte AB di$tahit deor$um vergens, $emper maio- rem potentiam requiri ad $u$tinendum pondus: di$tantia enim CV <marg>6 <I>Huius.</I></marg> longior e$t CT. Quò igitur pondus à $itu horizonti æquidi$tan temagis eleuabitur à minori $emper potentia pondus $u$tinebitur; quò verò magis deprimetur, maiori, vt $u$tineatur, egebit potentia. quod demon$trare oportebat. <p>Hinc facile elicitur potentiam in A ad poten- tiam in E ita e$$e, vt CL ad CM. <p>Nam ita e$t LC ad CA, vt potentia in A ad pondus; vt au- tem CA, hoc e$t CE ad CM, ita e$t pondus ad potentiam in E; quare ex æquali potentia in A ad potentiam in E ita erit, vt CL <marg>22 <I>Quinti.</I></marg> ad CM. <p>Similiq; ratione non $olum o$tendetur, potentiam in A ad po- tentiam in Rita e$$e, vt CL ad CT; $ed & potentiam quoq; in E ad potentiam in R ita e$$e, vt CM ad CT. & ita in reliquis. <foot>N 2</foot> <pb> <fig> <p>Sit deinde vectis AB horizonti æquidi$tans, cuius fulcimen- tum B; & centrum grauitatis H ponderis CD $it $upra vectem; moueaturq; vectis in BE, pondu$q; in FG. dico minorem po- tentiam in E $u$tinere pondus FG vecte EB, quàm potentia in A pondus CD vecte AB. $it k centrum grauitatis ponderis FG, & à centris grauitatum Hk ip$orum horizontibus perpendicu- <marg>6 <I>Huius.</I></marg> lares ducantur HL kM. Quoniam enim (ex $upra demon$tratis) <marg>8 <I>Quinti.</I></marg> BM minor e$t BL, & BE ip$i BA æqualis; minorem habebit <marg>5 <I>Huius.</I></marg> proportionem BM ad BE, quàm BL ad BA. $ed vt BM ad BE, ita potentia in E $u$tinens pondus FG ad ip$um pondus; & vt BL ad BA, ita potentia in A ad pondus CD; minorem habebit proportionem potentia in E ad pdndus FG, quàm poten <marg>10 <I>Quinti.</I></marg> tia in A ad pondus CD. Ergo potentia in E minor erit poten- tia in A. $imiliter o$tendetur, quò magis pondus eleuabitur, $em- per minorem potentiam pondus $u$tinere. Sit autem vectis in BO, & pondus in PQ, cuius cenrtum grauitatis $it R. dico maio rem potentiam in O requiri ad $u$tinendum pondus PQ vecte BO, quàm pondus CD vecte BA. ducatur à puncto R horizonti per- <marg>6 <I>Huius.</I></marg> pendicularis RS. & quoniam BS maior e$t BL, habebit BS ad BO maiorem proportionem, quàm BL ad BA; quare maior erit potentia in O $u$tinens pondus PQ, quàm potentia in A $u$ti nens pondus CD. & hoc modo o$tendetur' quò vectis BO ma gis à vecte AB deor$um tendens di$tabit, $emper maiorem ponderi <pb n=51> $u$tinendo requiri potentiam. <p>Hinc quoq; vt $upra patet pontentiam in A ad potentiam in E e$ $e, vt BL ad BM; potentiamq; in A ad potentiam in O, vt BL ad BS. atque potentiam in E ad potentiam in O, vt BM ad BS. <p>Præterea $i in B alia intelligatur potentia, ita vt duæ $int poten tiæ pondus $u$tinentes; minor erit potentia in B $u$tinens pon- dus PQ vecte BO, quàm pondus CD vecte BA. ex aduer$o au tem maior requiritur potentia in B ad $u$tinendum pondus FG ve cte BE, quàm pondus CD vecte AB. ducta enim kN ip$i EB perpendicularis, erit EN ip$i AL æqualis: quare EM ip$a LA maior erit. ergo maiorem habebit proportionem EM ad E<I>B</I>, <marg>8 <I>Quinti.</I></marg> quàm LA ad A<I>B</I>; & LA ad A<I>B</I> maiorem, quàm SO ad O<I>B</I>; <marg>5 <I>Huius.</I></marg> quæ $unt proportiones potentiæ ad pondus. <p>Similiter o$tendetur potentiam in <I>B</I> pondus vecte A<I>B</I> $u$ti- nentem ad potentiam in eodem puncto <I>B</I> vecte E<I>B</I> $u$tinentem e$$e, vt LA ad EM; ad potentiam autem in B pondus vecte O<I>B</I> $u$tinentem ita e$$e, vt AL ad OS. quæ verò vectibus E<I>B</I> OB $u$tinent inter $e $e e$$e, vt EM ad OS. <p>Deinde vt in iis, quæ $uperius dicta $unt, demon$trabimus po- tentiam in <I>B</I> ad potentiam in E eam habere proportionem, quam <marg>3 <I>Cor.</I></marg> EM ad M<I>B</I>; & potentiam in <I>B</I> ad potentiam in A ita e$$e, vt AL ad <marg>2 <I>Huius.</I></marg> L<I>B</I>, potentiamq; in <I>B</I> ad potentiam in O, vt OS ad S<I>B.</I> <p>Sit autem vectis A<I>B</I> horizonti æquidi$tans, cuius fulcimentum <I>B</I>, grauitati$q; centrum H ponderis AC $it $upra vectem: moueaturq; ve ctis in <I>B</I>E, ac pondus in EF, potentiaq; in G. $imiliter vt $upra o$ten- detur potentiam in G pondus EF $ui$tinen- <fig> tem minorem e$$e potentia in D pondus AC $u$tinente. cùm <pb> enim minor $it BM ip$a BL, minorem habebit proportionem MB ad BG, quàm LB ad BD. atq; hoc modo o$ten- detur, quò pondus ve- cte magis eleuabitur, mi norem $emper. ad pon- dus $u$tinendum requi- ri potentiam. Simili- ter $i moucatur vectis in BO, potentiaq; $u- <fig> $tinens in N, o$tendetur potentiam in N maiorem e$$e potentia in D. maiorem enim habet proportionem SB ad BN, quàm LB ad BD. o$tendetur etiam, quò magis pondus deprimetur; ma- iorem $emper (vt $u$tineatur) requiri potentiam. quod demon $trare oportebat. <p>Hinc quoq; liquet potentias in GDN inter $e $e ita e$$e, vt BM ad BL, atq; vt BL ad BS, deniq; vt BM ad BS. <head>COROLLARIVM.</head> <p>Ex his manife$tum e$t; $i potentia vecte $ur- $um moueat pondus, cuius centrum grauitatis $it $upra vectem, quò magis pondus eleuabitur; $emper minorem potentiam requiri vt pondus moueatur. <p>Vbi enim potentia pondus $u$tinens e$t $emper minor, erit quoq; potentia ip$um mouens $emper minor. <pb n=52> <fig> <p>Ex iis etiam demon$trabitur, $i centrum grauitatis eiu$dem pon deris, $iue propinquius, $iue remotius fuerit à vecte AB horizon- ti æquidi$tante, eandem potentiam in A pondus nihilominus $u$tinere: vt$i centrum grauitatis H ponderis BD longius ab$it à vecte BA, quàm centrum grauitatis N ponderis PV, dum- modo ducta à puncto H perpendicularis HL horizonti, vectiq; AB tran$eat per N; $itq; pondus PV ponderi BD æquale; erit tùm pondus BD, tùm pondus PV, ac $i ambo in L e$- $ent appen$a; atque $unt æqualia, cùm loco vnius ponderis ac- cipiantur, eadem igitur potentia in A $u$tinens pondus BD, pondus quoq; PV $u$tinebit. Vecte autem EF, quò centrum grauitatis longius fuerit à vecte, eò facilius potentia idem pon- dus $u$tinebit: vt $i centrum grauitatis k ponderis FG longius $it à vecte EF, quàm centrum grauitatis X ponderis YZ; itata men vt ducta à puncto k vecti FE perpendicularis tran$eat per X; $itq; pondus FG ponderi YZ æquale; & à punctis kX ip- $o<*>um horizontibus perpendiculares ducantur KM X9; erit C9 maior CM; ac propterea pondus FG in vecte erit, ac $i in M e$ $et appen$um, & pondus YZ, ac $i in 9 e$$et appen$um. quo <pb> <fig> <marg>8 <I>Quinti.</I></marg> niam autem maiorem habet proportionem C9 ad CE, quàm CM ad CE, maior potentia in E fu$tinebit pondus YZ, quàm FG. In vecte autem QR è conuer$o demon$trabitur, $cilicet quò centrum grauitatis eiu$dem ponderis $it longius à vecte, eò maiorem e$$e potentiam pondus $u$tinentem. maior enim e$t CT, quàm CI; & obid maiorem habebit proportionem CT ad CR, quàm CI ad CR. Similiter demon$trabitur, $i pondus intra potentiam, & fulcimentum fuerit collocatum; vel poten- tia intra fulcimentum, & pondus. Quod idem etiam potentiæ eueniet mouenti. vbi enim minor potentia $u$tinet pondus, ibi minor potentia mouebit; & vbi maior in $u$tinendo, ibi maior quoq; in mouendo re quiretur. <head>RROPOSITIO VIIII.</head> <p>Potentia pondus $u$tinens infra vectem ho- rizonti æquidi$tantem ip$ius centrum grauitatis <pb n=53> habens, quò magis ab hoc $itu vecte pondus ele uabitur maiori $emper potentia, vt $u$tineatur, egebit. $i verò deprimetur, minori. <fig> <p>Sit vectis AB horizonti æquidi$tans, cuius fulcimentum C; $itq; pondus AD, cuius centrum grauitatis L $it infra vectem; $itq; potentia in B $u$tinens pondus AD: moueatur deinde ve- ctis in FG, & pondus in FH. Dico primum maiorem requiri potentiam in G ad $u$tinendum pondus FH vecte FG, quàm $it potentia in B pondere exi$tente AD vecte autem AB. $it M grauitatis centrum ponderis FH, & à punctis LM ip$orum ho- rizontibus perpendiculares ducantur Lk MN: ip$i verò FG per- pendicularis ducatur MS, quæ æqualis erit LK, & CK ip$i CS erit etiam æqualis. Quoniam igitur CN maior e$t Ck, habe- <marg>7 <I>Huius.</I></marg> bit NC ad CG maiorem proportionem, quàm Ck ad CB; po <marg>8 <I>Quinti.</I></marg> tentia uerò in B ad pondus AD eandem habet, quam kC ad CB: <marg>5 <I>Huius.</I></marg> & vt potentia in G ad pondus FH, ita e$t NC ad CG; ergo maiorem habebit proportionem potentia in G ad pondus FH, quàm potentia in B ad pondus AD. maior igitur e$t potentia <marg>10 <I>Quinti</I></marg> in Gip$a potentia in B. $i verò vectis $it in OP, & pondus in OQ; erit potentia in B maior, quàm in P. eodem enim mo- do o$tendetur CR minorem e$$e Ck, & CR ad CP minorem <marg>7 <I>Huius.</I></marg> <foot>O</foot> <pb> <fig> habere proportionem, quàm Ck ad CB; & ob id potentiam in B maiorem e$$e potentia in P. & hoc modo o$tendetur, quò ma- gis à $itu AB pondus eleuabitur, $emper maiorem potentiam ad pondus $u$tinendum requiri. è contra verò $i deprimetur. quod demon$trare oportebat. <p>Hinc quoq; facilè elici pote$t potentias in PBG inter $e $e ita e$$e, vt CR ad Ck; & vt Ck ad CN; atq; vt CN ad CR. <fig> <p>Sit deinde vectis AB horizonti æquidi$tans, cuius fulcimentum B; pondu$q; CD habeat centrum grauitatis O infra vectem; $itq; potentia in A $u$tinens pondus CD. Moueatur deinde vectis in <pb n=54> BE BF, pondu$q; transferatur in GH kL. Dico maiorem re- quiri potentiam in E, vt pondus $u$tineatur, quàm in A; & ma iorem in A, quàm in F. ducantur à centris grauitatum horizon- tibus perpendiculares NM OP QR, quæ ex parte NOQ protractæ in centrum mundi conuenient. $imiliter vt $upra o$ten detur BM maior&etilde; e$$e BP, & <I>B</I>P maiorem BR; & BM ad BE ma- <marg>7 <I>Huius.</I></marg> iorem habere proportionem, qaàm BP ad BA; & BP ad BA ma- iorem, quàm BR ad BF: & propter hoc potentiam in E maio- rem e$$e potentia in A; & potentiam in A maiorem potentia in F. & quò vectis magis à $itu AB eleuabitur, $emper o$tendetur, maiorem requiri potentiam ponderi $u$tinendo. $i verò depri- metur, minorem. <p>Hinc patet etiam potentias in EAF inter $e $e ita e$$e, vt BM ad BP; & vt BP ad BR; ac vt BM ad BR. <p>In$uper $i in B altera $it potentia, ita vt duæ $int potentiæ pondus $u$tinentes, maiore opus e$t potentia in B pondus kL $u$tinente vecte BF, quàm pondus CD vecte AB. & adhuc maiore vecte AB, quàm vecte BE. maiorem enim habet proportionem RF ad FB, quàm PA ad AB; & PA ad AB maiorem habet, quàm EM ad EB. <p>Similiterq; o$tendetur potentias in B pondus vectibus $u$tinen- tes inter $e $e ita e$$e, vt EM ad AP; & ut AP ad FR; atque ut EM ad FR. <p>Præterea potentia in Bad potentiam in F ita erit, ut RF ad <marg>3 <I>Cor.</I></marg> RB; & potentia in B ad potentiam in A, ut PA ad PB, & po- <marg>2 <I>Huius.</I></marg> tentia in <I>B</I> ad potentiam in E, ut EM ad M<I>B.</I> <foot>O 2</foot> <pb> <p>Sit autem vectis AB horizonti æqui- di$tans, cuius fulci- mentum B; & pon- dus AC, cuius cen- trum grauitatis $it in- fra vectem: $itq; po- tentia in D pondus $u$tin&etilde;s; moueaturq; vectis in BE BF, & potentia in GH: $i- militer o$tendetur po <fig> tentiam in G maiorem e$$e debere potentia in D; & potentiam in D maiorem potentia in H. maiorem enim proportionem habet KB ad BG, quàm BL ad BD; & BL ad BD maiorem, quàm MB ad BH. & hoc modo o$tendetur, quò vectis magis à $itu AB eleuabitur, adhuc $emper maiorem e$$e debere potentiam pon dus $u$tinentem. quò autem magis deprimetur; minorem. quod demon$trare oportebat. <p>Similiter in his potentiæ in GDH inter $e $e ita. erunt, vt BK ad BL; & vt BL ad BM; deniq; vt Bk ad BM. <head>COROLLARIVM.</head> <p>Ex his patet etiam, $i potentia vecte $ur$um moueat pondus, cuius centrum grauitatis $it in- fra vectem; quò magis pondus eleuabitur, $em per maiorem requiri potentiam, vt pondus mo ueatur. <p>Nam $i potentia pondus $u$tinens $emper e$t maior: erit quoq; potentia mouens $emper maior. <pb n=55> <fig> <p>Et his etiam facilè elicietur, $i centrum grauitatis eiu$dem pon- deris, $iue propius, $iue remotius fuerit à vecte AB horizonti æ- quidi$tante; eandem potentiam in B pondus $u$tinere. vt $i cen- trum grauit atis L ponderis AD $it remotius à vecte BA, quàm centrum grauitatis N ponderis PV; dummodo ducta à puncto L perpendicularis LK horizonti, vectiq; AB tran$eat per N: $imili- ter vt in præcedenti o$tendetur, eandem potentiam in B, & pondus AD, & pondus PV $u$tinere. In vecte auté EF, quò centrũ grauitatis longius aberit à vecte, eò maiori opus erit potentia ponderi $u$ti- nendo. vt centrum grauitatis M ponderis FH remotius $it à ue cte EF, quàm S centrum grauitatis ponderis XZ; ducantur à pun ctis MS horizontibus perpendiculares MI SG; erit CI maior CG: ac propterea maior e$$e debet potentia in E pondus FH $u $tinens, quàm pondus XZ. Contra uerò in uecte OR o$tende tur, quò $cilicet centrum grauitatis eiu$dem ponderis longius ab $it à uecte, à minori potentia pondus $u$tineri. minor enim e$t CY, quàm CT. Simili quoq; modo demon$trabitur, $i pondus $it intra potentiam, & fulcimentum; uel potentia intra fulci- mentum, & pondus. Quod idem potentiæ eueniet mouenti: <pb> vbi enim minor potentia $u$tinet pondus, ibi minor potentia mo- uebit. & vhi maior potentia in $u$tinendo; ibi quoq; maior in mo uendo aderit. <head>PROPOSITIO X.</head> <p>Potentia pondus $u$tinens in ip$o vecte cen- trum grauitatis habens, quomodocunq; vecte transferatur pondus; eadem $emper, vt $u$tinea- tur, potentia opus erit. <fig> <p>Sit vectis AB horizonti æquidi$tàns, cuius fulcimentum C. E verò centrum grauitatis ponderis in ip$o $it vecte. Moueatur deinde uectis in FG, Hk; & centrum grauitatis in LM. dico ean dem potentiam in kBG idemmet $emper $u$tinere pondus. Quoniam enim pondus in uecte AB perinde $e habet, ac $i e$$et <marg>5 <I>Huius.</I></marg> appen$um in E; & in uecte GF, ac $i e$$et appen$um in L; & in uecte Hk. ac $i in M e$$et appen$um; di$tantiæ uerò CL CE CM $unt inter $e $e æquales; nec non CK CB CG inter $e æ- quales; erit potentia in B ad pondus, ut CE ad CB; atque poten <pb n=56> tia in k ad pondus, ut CM ad Ck; & potentia in G ad pondus, vt CL ad CG. eadem igitur potentia in k<I>B</I>G idem translatum pondus $u$tinebit. quod demon$trare oportebat. <p>Similiter o$tendetur, $i pondus e$$et intra potentiam, & fulci- mentum; vel potentia inter fulcimentum, & pondus. quod idem potentiæ mouenti eueniet. <head>RROPOSITIO XI.</head> <p>Si vectis di$tantia inter fulcimentum, & poten tiam ad di$tantiam fulcimento, punctoq;, vbi à centro grauitatis ponderis horizonti ducta perpendicularis vectem $ecat, interiectam ma- iorem habuerit proportionem, quàm pondus ad potentiam; pondus vtiq; à potentia moue- bitur. <p>Sit véctis AB, ex punctoq; A $u$penda tur pondus C; hoc e$t punctum A $emper $it punctum, vbi perpen dicularis à grauitatis centro ponderis du- cta vectem $ecat; $itq; <fig> potentia in B, ac fulcimentum $it D; & DB ad DA maiorem habeat proportionem, quàm pondus C ad potentiam in B. Di- co pondus Cà potentia in B moueri. fiat vt BD ad DA, ita pondus E ad potentiam in B; atq; pondus E quoq; appendatur in A: patet potentiam in B æqueponderare ip$i E; hoc e$t pon- <marg>1 <I>Huius.</I></marg> dus E $u$tinere. & quoniam BD ad DA maiorem habet pro- portionem, quàm Cad potentiam in B; & vt BD ad DA, ita <pb> e$t pondus E ad po- tentiam: igitur E ad potentiam maiorem habebit proportio- nem, quàm pondus C ad eandem poten- <marg>10 <I>Quinti.</I></marg> tiam. quare pondus E maius erit ponde- <fig> re C. & cùm potentia ip$<*> E æqueponderet, potentia igitur ip$i C non æqueponderabit, $ed $ua ui deor$um verget. pondus igitur C à potentia in B mouebitur vecte AB, cuius fulcimentum e$t D. <p>Si verò $it vectis AB, & fulcimentum A, pondu$q; C in D appen$um, & potentia in B; & BA ad AD maio- rem habeat proportionem, quàm pondus C ad poten- tiam in B. dico pondus C à <fig> potentia in B moueri. fiat vt BA ad AD; ita pondus E ad poten <marg>2 <I>Huius.</I></marg> tiam in B: & $i E appendatur in D, potentia in B pondus E $u$ti nebit. $ed cùm BA ad AD maiorem habeat proportionem, quàm pondus C ad potentiam in B; & vt BA ad AD, ita e$t pondus E ad potentiam in B: pondus igitur E ad potentiam, quæ e$t in B, maiorem habebit proportionem, quàm pondus C <marg>10 <I>Quinti.</I></marg> ad eandem potentiam. & ideo pondus E maius erit pondere C. potentia verò in B $u$tinet pondus E; ergo potentia in B pondus C minus pondere E in D appen$um mouebit vecte AB, cuius fulci mentum e$t A. <pb n=57> <p>Sit rur$us vectis AB, cuius fulcimen tũ A; & pondus C in B $it appen$um; $itq; potentia in D: & DA ad AB maio- rem habeat propor- tionem, quàm pon- <fig> dus C ad potentiam, quæ e$t in D. dico pondus C à potentia in D moueri. fiat vt DA ad AB, ita pondus E ad potentiam in D; & $it pondus E ex puncto B $u$pen$um: potentia in D pondus E $u$tinebit. $ed DA ad AB maiorem habet proportionem, quàm C ad potentiam in D; & vt DA ad AB, ita e$t pondus E ad potentiam in D; pondus igitur E ad potentiam, quæ e$t in D, maiorem habebit proportionem, quàm pondus C ad eandem po tentiam. quare pondus E maius e$t pondere C. & cùm poten- tia in D pondus E $u$tineat, potentia igitur in D pondus C in B appen$um vecte AB, cuius fulcimentum e$t A, mouebit. quod demon$trare oportebat. <head>ALITER.</head> <p>Sit vectis AB, & pondus C in A ap- pen$um & poten- tia in B; $it qué fulci- mentum D: & DB <fig> ad DA maiorem habeat proportionem, quàm pondus C ad po tentiam in B. dico pondus C à potentia in B moueri. fiat BE ad EA, vt pondus C ad potentiam, erit punctum E inter BD. opor tet enim BE ad EA minorem habere proportionem, quàm DB ad DA, & ideo BE minor erit BD. & quoniam potentia in B $u <marg>1 <I>Huius.</I></marg> $tinet pondus C in A appen$um uecte AB, cuius fulcimentũ E; minor igitur potentia in B, quàm data, idem pondus $u$tinebit fulcimen to D. data ergo potentia in B pondus C mouebit uecte AB, cuius $ulcimentum e$t D. <foot>P</foot> <pb> <p>Sit deinde vectis AB, & fulci mentum A, & pondus C in D appen$um, $itq; potentia in B; & AB ad AD maiorem habeat pro- portionem, quàm pondus C ad potentiam in B. dico pondus C <fig> à potentia in B moueri. Fiat AB ad AE, vt pondus C ad poten <marg>8 <I>quinti.</I></marg> tiam; erit $imiliter punctum E inter BD. nece$$e e$t enim AE maiorem e$$e AD. & $i pondus C e$$et in E appen$um, potentia <marg>2 <I>Huius.</I></marg> in B illud $u$tineret. minor autem potentia in B, quàm data, $u$ti- <marg>1 <I>Cor.</I></marg> net pondus C in D appen$um; data ergo potentia in B pondus C in <marg>2 <I>Huius.</I></marg> D appen$um vecte AB, cuius $ulcimentum e$t A, mouebit. <p>Sit rur$us vectis AB, cu ius fulcimentum A, & pon dus C in B $it appen$um; $itq; potentia in D; & DA ad AB maiorem habeat <fig> proportionem, quàm pondus C ad potentiam in D. dico pon- dus C à potentia in D moueri. fiat vt pondus C ad potentiam, <marg>8 <I>Quinti.</I></marg> ita DA ad AE; erit AE maior AB; cùm maior $it proportio DA ad AB, quàm DA ad AE. & $i pondus C appendatur in <marg>3 <I>Huius.</I></marg> E, patet potentiam in D $u$tinere pondus C in E appen$um. mi- <marg>1 <I>Cor.</I></marg> nor autem potentia, quàm data, $u$tinet idem pondus C in B; <marg>3 <I>Huius.</I></marg> data igitur potentia in D pondus C in B appen$um mouebit ve- cte AB, cuius fulcimentum e$t A. quod oportebat demon- $trare. <head>PROPOSITIO XII.</head> <head>PROBLEMA.</head> <p>Datum pondus à data potentia dato vecte moueri. <pb n=58> <fig> <p>Sit pondus A vt centum, potentia verò mouens $it vt decem; $itq; datus vectis BC. oportet potentiam, quæ e$t decem pondus A centum vecte BC mouere. Diuidatur BC in D, ita vt CD ad DB eandem habeat proportionem, quàm habet centum ad decem, hoc e$t decem ad vnum; etenim $i D ficret fulcimentum, con$tat potentiam vt decem in C æqueponderare ponderi A in B <marg>1 <I>Huius.</I></marg> appen$o: hoc e$t pondus A $u$tinere. accipiatur inter BD quod uis punctum E, & fiat E fulcimentum. Quoniam enim maior <marg><I>Lemma huius.</I></marg> e$t proportio CE ad EB, quàm CD ad DB; maiorem habebit proportionem CE ad EB, quàm pondus A ad potentiam decem in C: potentia igitur decem in C pondus A centum in B appen- $um vecte BC, cuius fulcimentum $it E, mouebit. <marg>11 <I>Huius.</I></marg> <p>Si verò $it vectis BC, & fulcimen- tum B. diuidatur CB in D, ita vt CB ad BD eandem habeat proportionem, quã <fig> habet centum ad decem: & $i pondus A in D $u$pendatur, & po- tentia in C, potentia vt decem in C pondus A in D appen$um $u <marg>2 <I>Huius.</I></marg> $tinebit. accipiatur inter DB quoduis punctum E, ponaturq; pon dus A in E; & cùm $it maior proportio CB ad BE, quàm <marg>8 <I>Quinti.</I></marg> BC ad BD; maiorem habebit proportionem CB ad BE, quàm pondus A centum ad potentiam decem. potentia igitur decem <marg>11 <I>Huius.</I></marg> in C pondus A centum in E appen$um mouebit vecte BC, cu ius fulcimentum e$t B. quod facere oportebat. <foot>P 2</foot> <pb> <p>Hoc autem fieri non po- te$t exi$tente vecte BC, cuius fulcimentum $it B, & pondus A centum in C appen$um: po natur enim potentia $u$tinens pondus A vtcunq; inter BC, <marg>2 <I>Cor.</I></marg> vt in D, $emper potentia ma <marg>3 <I>Huius.</I></marg> ior erit pondere A. quare opor <fig> tet datam potentiam maiorem e$$e pondere A. $it igitur poten- tia data vt centum quinquaginta. diuidatur BC in D, ita vt CB ad BD $it, vt centum quinquaginta ad centum; hoc e$t tria ad duo: <marg>3 <I>Huius.</I></marg> & $i ponatur potentia in D, patet potentiam in D $u$tinere pon- dus A in C appep$um. accipiatur itaq; inter DC quoduis pun- <marg>8 <I>Quinti.</I></marg> ctum E, ponaturq; potentia mouens in E; & cùm maior $it pro- portio EB ad BC, quàm DB ad BC; habebit EB ad BC maio rem proportionem, quàm pondus A ad potentiam in E. poten <marg>11 <I>Huius.</I></marg> tia igitur vt centum quinquaginta in E pondus A centum in C appen$um vecte BC, cuius fulcimentum e$t B, mouebit. quod facere oportebat. <head>COROLLARIVM.</head> <p>Hinc manife$tum e$t $i data potentia $it dato pondere maior; hoc fieri po$$e, $iue ita exi$ten te vecte, vt eius fulcimentum $it inter pondus, & potentiam; $iue pondus inter fulcimentum, & potentiam habente; $iue demum potentia in- ter pondus, & fulcimentum con$tituta. <p>Sin autem data potentia minor, vel æqualis dato pondere fuerit; palam quoq; e$t id ip$um dumtaxat a$$e qui po$$e vecte ita exi$tente, vt eius fulcimentum $it inter pondus, & pontentiam; <pb n=59> vel pondus intra fulcimentum, & potentiam habente. <head>PROPOSITIO XIII.</head> <head>PROBLEMA.</head> <p>Quotcunq; datis in vecte ponderibus vbicun- què appen$is, cuius fulcimentum $it quoq; da- tum, potentiam inuenire, quæ in dato puncto data pondera $u$tineat. <fig> <p>Sint data pondera ABC in vecte DE, cuius fulcimentum F, vbicunq; in punctis DGH appen$a: collocandaq; $it potentia in puncto E. potentiam inuenire oportet, quæ in E data pondera ABC vecte DE $u$tineat. diuidatur DG in k, ita vt Dk ad KG $it, vt pondus B ad pondus A; deinde diuidatur kH in L, ita vt kL ad LH, $it vt pondus C ad pondera BA; atq; vt FE ad FL, ita fiant pondera ABC $imul ad potentiam, quæ ponatur in E. di- co potentiam in E data pondera ABC in DGH appen$a vecte DE, cuius fulcimentum e$t F, $u$tinere. Quoniam enim $i ponde ra ABC $imul e$$ent in L appen$a, potentia in E data pondera <marg>1 <I>Huius.</I></marg> in L appen$a $u$tineret; pondera verò ABC tàm in L ponderant, <marg>5 <I>Huius. de libra.</I></marg> quàm $i C in H, & BA $imul in K e$$ent appen$a; & AB in k tàm <pb> <fig> ponderant, quàm $i A in D, & B in G appen$a e$$ent; ergo po- tentia in E data pondera ABC in DGH appen$a vecte DE, cu- ius fulcimentum e$t F, $u$tinebit. Si autem potentia in quouis alio puncto vectis DE (præterquàm in F) con$tituenda e$$et, vt in k; fiat vt Fk ad FL, ita pondera ABC ad potentiam: $i- <marg>2 <I>Huius.</I></marg> militer demon$trabimus potentiam in k pondera ABC in pun- ctis DGH appen$a $u$tinere. quod facere oportebat. <fig> <p>Ex hac, & ex quinta huius, $i pondera ABC $int in vecte DE quomodocunq; po$ita; oporteatq; potentiam inuenire, quæ in E data pondera $u$tinere debeat: ducantur à centris grauita- tum ponderum ABC horizontibus perpendiculares, quæ ve- ctem DE in DGH punctis $ecent; cæteraq; eodem modo fiant: Manife$tum e$t, potentiam in E, vel in K data pondera $u$tinere. idem enim e$t, ac $i pondera in DGH e$$ent appen$a. <pb n=60> <head>PROPOSITIO XIIII.</head> <head>PROBLEMA.</head> <p>Data quotcunq; pondera in dato vecte vbi- cunq; & quomodocunq; po$ita à data potentia moueri. <fig> <p>Sit datus vectis DE, & $int data pondera vt in præcedentico rollario; $itq; A vt centum, B vt quinquaginta, C vt triginta; dataq; potentia $it vt triginta. exponantur eadem, inueniaturq; punctum L; deinde diuidatur LE in F, ita vt FE ad FL $it, vt centum octoginta ad triginta, hoc e$t $ex ad vnum: & $i F fieret fulcimentum, potentia vt triginta in E $u$tineret pondera ABC. <marg>13 <I>Huius.</I></marg> accipiatur igitur inter LF quoduis punctum M, fiatq; M fulci- mentum: manife$tum e$t potentiam in E vt triginta pondera <marg>11 <I>Huius.</I></marg> ABC vt centum octoginta vecte DE mouere. quod facere oportebat. <p>Hoc autem vniuersè a$$equi minimè poterimus, $i in extremita- te vectis fulcimentum e$$et, vt in D; quia proportio DE, ad DL hoc e$t proportio ponderum ABC ad potentiam, quæ pondera $u$tinere debeat, $emper e$t data. quod multo quoq; minus fieri po$$et, $i ponenda e$$et potentia inter DL. <pb> <head>PROPOSITIO XV.</head> <head>PROBLEMA.</head> <p>Quia verò dum pondera vecte mouentur, vectis quoq; grauitatem habet, cuius nulla ha- ctenus mentio facta e$t: idcirco primùm quo- modo inueniatur potentia, quæ in dato puncto datum vectem, cuius fulcimentum $it quoq; da- tum, $u$tineat, o$tendamus. <fig> <p>Sit datus vectis AB, cuius fulcimentum $it datum C; $itq; punctum D, in quo collocanda $it potentia, quæ vectem AB $u $tinere debeat, ita vt immobilis per$i$tat. ducatur à puncto C linea CE horizonti perpendicularis, quæ vectem AB in duas di- uidat partes AE EF, $itq; partis AE centrum grauitatis G, & partis EF centrum grauitatis H; à punctisqué GH horizon- tibus perpendiculares ducantur Gk HL, quæ lineam AF in punctis KL $ecent. quoniam enim vectis AB à linea CE in duas diuiditur partes AE EF; ideo vectis AB nihil aliud erit, ni$i duo pondera AE EF in vecte, $iue libra AF po$ita; cuius $u- $pen$io, $iue fulcimentum e$t C. quare pondera AE EF ita erunt po$ita, ac $i in kL e$$ent appen$a. diuidatur ergo kL in M, ita vt kM ad ML, $it vt grauitas partis EF ad grauitatem par- tis AE; & vt CA ad CM, ita fiat grauitas totius vectis AB ad potentiam, quæ $i collocetur in D (dummodo DA horizonti <pb n=61> perpendicularis exi$tat) vecti æqueponderabit; hoc e$t vectem <marg>13 <I>Huius.</I></marg> AB deor$um premendo $u$tinebit. quod inuenire oportebat. <p>Si verò potentia in puncto B ponenda e$$et. fiat vt CF ad CM ita pondus AB ad potentiam. $imili modo o$tendetur poten- tiam in B vectem AB $u$tinere. $imiliterq; demon$trabitur in quo- cunq; alio $itu (præterquàm in e) ponenda fuerit potentia, vt in N. fiat enim vt CO ad CM, ita AB ad potentiam; quæ $i pona- tur in N, vectem AB $u$tinebit. <p>Adiiciatur autem pondus in vecte appen$um, $iue po$itum; vt iisdem po$itis $it pondus P in A appen$um; potentiaq; $it ponenda in B, ita vt vectem AB vnà cum pondere P $u$tineat. <fig> <p>Diuidatur AM in Q, ita vt AQ ad QM $it, ut grauitas ue- ctis AB ad grauitatem ponderis P; deinde ut CF ad CQ, ita fat grauitas AB, & P $imul ad potentiam, quæ ponatur in B: patet potentiam in B uectem AB unà cum pondere P $u$tinere. Si ue- <marg>13 <I>Huius.</I></marg> rò e$$et CA ad CM, vt AB ad P; e$$et punctum C eorum centrum <marg><I>Ex $exta</I></marg> grauitatis, & ideo vectis AB vná cum pondere P ab$q; potentia in <marg>1 <I>Arch. de æquep.</I></marg> B manebit. $ed $i ponderum grauitatis centrum e$$et inter CF, vt in O; fiat vt CF ad CO, ita AB&P $imul ad potentiam, quæ in B, & vectem AB, & pondus P $u$tinebit. <foot>Q</foot> <pb> <fig> <p>Similiter o$tendetur, $i plura e$$ent pondera in vecte AB ubi- cunq;, & quomodocunq; po$ita. <p>In$uper ex his non $olum, ut in decimaquarta huius docuimus, quomodo $cilicet data pondera ubicunq; in uecte po$it a data poten tia dato uecte mouere po$$umus, eodem modo grauitate uectis con$iderata idem facere poterimus; uerùm etiam accidentia reli- qua, quæ $upra ab$q; uectis grauitatis con$ideratione demon$tra- <*>a $unt; $imili modo uectis grauitate con$iderata vná cum ponde ribus, uel $ine ponderibus o$tendentur. <pb n=62> <head>DE TROCHLEA.</head> <p>Trochleae in$trumento pon dus multipliciter moueri pote$t; quia verò in omnibus e$t eadem ratio: ideo (vt res euidentior ap- pareat) in iis, quæ dicenda $unt, intelligatur pondus $ur$um ad re ctos horizontis plano angulos hoc modo $em- per moueri. <foot>Q 2</foot> <pb> <p>Sit pondus A, quod ip$i ho rizontis plano $ur$um ad rectos angulos $it attollendum; & vt fieri $olet, trochlea duos habens orbiculos, quorum axiculi $int in BC, $upernè appendatur; trochlea verò duos $imiliter ha bens orbiculos, quorum axicu- li $int in DE, ponderi alligetur: ac per omnes vt riu$q; trochleæ orbiculos circunducatur ducta- rius funis, quem in altero eius ex tremo, putá in F, oportet e$$e religatum. potentia autem mo uens ponatur in G, quæ dum de$cendit, pondus A $ur$um ex aduer$o attolletur; quemadmo dum Pappus in octauo libro Ma thematicarum collectionum a$- $erit; nec non Vitruuius in deci mo de Architectura, & alii. <fig> <p>Quomodo autem hoc trochleæ in$trumen- tum reducatur ad vectem; cur magnum pondus ab exigua virtute, & quomodo, quantoq; in tem pore moueatur; cur funis in vno capite debeat e$$e religatus; quodq; $uperioris, inferioris&qacute;ue tro chleæ fuerit officium; & quomodo omnis in <pb n=63> numeris data proportio inter potentiam, & pon dus inueniri po$sit; dicamus. <head>LEMMA.</head> <p>Sint rectæ lineæ AB CD parallelæ, quæ in punctis AC circulum ACE contingant, cuius centrum F: & FA FC connectantur. Dico AFC rectam lineam e$$e. <p>Ducatur FE ip$is AB CD æquidi$tans. & quoniam AB, & FE $unt parallelæ, & angulus BAF e$t rectus; erit & AFE re- ctus. eodemq; modo CFE rectus erit. li- <marg>18 <I>Tertii.</I></marg> neaigitur AFC recta e$t. quod erat de- <marg>29 <I>Primi.</I></marg> mon$trandum. <marg>14 <I>Primi.</I></marg> <fig> <head>PROPOSITIO I.</head> <p>Si funis trochleæ $upernè appen$æ orbiculo circunducatur, alterumq; eius extremum pon- deri alligetur, altero interim à potentia pondus $u$tinente apprehen$o: erit potentia ponderi æqualis. <pb> <p>Sit pondus A, cui alligatus $it fu- nis in B; trochleaq; habens orbiculum C EF, cuius centrum D, $ur$um appenda- tur; $itq; D quoq; centrum axiculi; & circa orbiculum uo- luatur funis BC EF G; $itq; potentia in G $u$tinens pon- dus A. dico poten- tiam in G ponderi A æqualem e$$e. Sit FG æquidi$tans CB. Quoniam igitur pon <marg>1 <I>Huius. de libra.</I></marg> dus A manet; erit <fig> CB horizonti plano perpendicularis <*> quare FG eidem plano per- <marg>8 <I>Vndecimi.</I></marg> pendicularis erit. Sint CF pũcta in orbiculo, à quibus funes CB FG in horizontis planũ ad rectos angulos de$cendunt; tangent BC FG orbiculũ CEF in punctis CF. orbiculũ enim $ecarenõ po$$unt. con nectantur DC DF; erit CF recta linea, & anguli DCB DFG recti. <marg>18 <I>Tertii.</I></marg> Quoniã aut&etilde; BC tùm horizonti, tùm ip$i CF e$t perpendicularis; erit linea CF horizonti æquidi$tans. cùm verò põdus appen$um $it <marg><I>Ex</I> 28 <I>Pri mi.</I></marg> in BC, & potentia $it in G; quod idem e$t, ac $i e$$et in F; erit CF tanquam libra, $iue vectis, cuius centrum, $iue fulcimentum e$t D; nam in axiculo orbuculus $u$tinetur; atq; punctum D, cùm $it centrum axiculi, & orbiculi, etiam vtri$que circumuolutis immobile remanet. Itaq; cùm di$tantia DC $it æqualis di$tantiæ DF, potentiaq; in F ponderi A in C appen$o æqueponderet, cùm <marg>1 <I>Primi. Archim. de æquepond.</I></marg> pondus $u$tineat, ne deor$um vergat; erit potentia in F, $iue in G (nam idem e$t) con$tituta ponderi A æqualis. Idem enim effi- cit potentia in G, ac $i in G aliud e$$et appen$um pondus æquale ponderi A; quæ pondera in CF appen$a æquæponderabunt. Præ- terea, cùm in neutram fiat motus partem, idem erit vnico exi- <pb n=64> $tente fune BC EFG hoc modo orbiculo circumuoluto, ac $i duo e$$ent funes BC FG alligati in vecte, $iue libra CF. <head>COROLLARIVM.</head> <p>Ex hoc manife$tum e$$e pote$t, idem pon- dus ab eadem potentia ab$q; ullo huius tro- chleæ auxilio nihilominus $u$tineri po$$e. <p>Sit enim pondus H æquale ponderi A, cui alligatus $it funis kL; $itq; potentia in L $u$tinens pondus H. cùm autem pondus ab$q; vllo adminiculo $u$tinere volentes tanta vi opus $it, quanta ponderi e$t æqualis; erit potentia in L ponderi H æqualis; pondus verò H ip$i ponderi A e$t æquale, cui potentia in G e$t æqualis; erit igitur potentia in G potentiæ in L æqualis. quod idem e$t, ac $i ead&etilde; potentia idem pondus $u$tineret. <fig> <p>Præterea $i potentiæ in G, & in L inuicem fuerint æquales, $eor $um autem ponderibus minores; patet potentias ponderibus $u$ti- nendis non $ufficere. $i verò maiores, manife$tum e$t pondera à pontentiis moueri. & $ic in eadem e$$e proportione potentiam in L. ad pondus H, veluti potentia in G ad pondus A. <p>Sed quoniam in demon$tratione a$$umptum fuit axiculum cir- cumuerti, qui vt plurimum immobilis manet; idcirco immobili quoq; manente axiculo idem o$tendatur. <pb> <p>Sit orbiculus trochleæ CEF, cu ius centrum D; $itq; axiculus GHk, cuius idem $it centrum D. Ducatur CG DkF diameter horizonti æ- quidi$tans. & quoniam dum orbi- culus circumuertitur, circumferen- tia circuli CEF $emper e$t æquidi- $tans circumferentiæ axiculi GHk; circa enim axiculum circumuerti- tur; & circulorum æquidi$tantes cir cumferentiæ idem habent centrum; erit punctum D $emper & orbiculi, <fig> & axiculi centrum. Itaq; cùm DC $it æqualis DF, & DG ip$i Dk; erit GC ip$i kF æqualis. $i igitur in vecte, $iue libra CF pondera appendantur æqualia, æqueponderabunt. di$tantia enim CG æqualis e$t di$tantiæ kF; axiculu$<*>; GHK immobilis gerit vicem centri, $iue fulcimenti. immobili igitur manente axicu- lo, $i ponatur in F potentia $u$tinens pondus in C appen$um; erit potentia in F ip$i ponderi æqualis. quod erat o$tendendum. <p>Et cùm idem pror$us $it, $iue axiculus circumuertatur, $iue mi- nus; liceat propterea in iis, quæ dicenda $unt, loco axiculi cen- trum tantùm accipere. <head>PROPOSITIO II.</head> <p>Si funis orbiculo trochleæ ponderi alligatæ circumducatur, altero eius extremo alicubi reli- gato, altero uerò à potentia pondus $u$tinente apprehen$o; erit potentia ponderis $ubdupla. <pb n=65> <p>Si pondus A; $it BCD orbiculus trochleæ pon- deri A alligate, cuius cen trum E; funis deinde FB CDG circa orbiculum voluatur, qui religetur in F; $itq; potentia in G $u $tinens pondus A. dico potentiam in G $ubdu- plam e$$e ponderis A. $int funes FB GD puncti E horizonti perpendicula- res, qui inter $e $e æqui- <marg>6 <I>Vndecimi</I></marg> di$tantes erunt; tangantq; funes FB GD circulum BCD in BD punctis. connectatur BD; erit BD per centrum E ducta, <marg><I>Ex præcedenti.</I></marg> <fig> ip$iu$qué centri horizonti æquidi$tans. Cùm autem potén- tia in G trochlea pondus A $u$tinere debeat, funem ex altero ex- tremo religatum e$$e oportet, puta in F; ita vt F æqualiter $altem potentiæ in G re$i$tat, alioquin potentia in G nullatenus pondus $u$tinere po$$et. Et quoniam potentia fune $u$tinet orbiculum, qui reliquam trochleæ partem, cui appen$um e$t pondus, $u$tinet axiculo; grauitabit hæc trochleæ pars in axiculo, hoc e$t in centro E. quare pondus A in eodem quoq; centro E ponder<*>bit, ac $i in E e$$et appen$um. po$ita igitur potentia, quæ in G, vbi D (idem enim pror$us e$t) erit BD tanquam vectis, cuius fulci mentum erit B, pondus in E appen$um, & potentia in D. con uenienter enim fulcimenti rationem ip$um B $ubire pote$t, exi $tente fune FB immobili. cæterum hoc po$terius magis eluce$cet. Quoniam autem potentia ad pondus eandem habet proportio- <marg>2 <I>Huius de vecte.</I></marg> nem, quàm BE ad BD; & BE in $ubdupla e$t proportione ad BD: potentia igitur in G ponderis A $ubdupla erit. quod de- mon$trare oportebat. <foot>R</foot> <pb> <p>Hoc igitur ita $e ha- bet vnico exi$tent efune FBC DG ip$i orbi culo circumducto, ac $i duo e$ $ent funes BF GD ve- cti BD alligati, cuius ful cimentum erit B, pon- dus in E appen$um, & potentia $u$tinens in D, vel quod idem e$t in G. <fig> <head>COROLLARIVM I.</head> <p>Ex hoc itaq; manife$tum e$t, pondus hoc mo do à minori in $ubdupla proportione potentia $u$tineri, quam $ine vllo huiu$inodi trochleæ auxilio. <pb n=66> <p>Veluti $it pondus H ponderi A æquale, cui religatus $it funis kL; potentiaq; in L $u$tineat pondus H; erit potentia in L $eor$um ponderi H, & ponderi A æqualis; $ed poten tia in G $ubdupla e$t ponderis A, quare potentia in G $ubdupla erit po tentiæ, quæ e$t in L. & ho cmodo in huiu$cemodi reliquis omnibus pro portio inueniri poterit. <fig> <head>COROLLARIVM. II.</head> <p>Manife$tum e$t etiam; $i duæ fuerint poten- tiæ vna in G, altera in F, pondus A $u$tinentes; vtra$q; $imul ponderi A æquales e$$e: & vnam quamque $u$tinere dimidium ponderis A. <p>Hoc autem ex tertio, & quarto corollario $ecundæ huius in tractatu de vecte patet. <head>COROLLARIVM III.</head> <p>Illud quoq; præterea innote$cit, cur $cilicet fu nis ex altero religatus e$$e debeat extremo. <foot>R 2</foot> <pb> <head>PROPOSITIO III.</head> <p>Si vtri$q; duarum trochlearum $ingulis or- biculis, quarum altera $upernè, altera verò in- fernè con$tituta, ponderiq; alligata fuerit, cir cunducatur funis; altero eius extremo alicubi religato, altero verò à potentia pondus $u$ti- nente detento; erit potentia ponderis $ub du- pla. <p>Sit pondus A; $it BCD orbiculus trochleæ pon deri A alligatæ, cuius centrum K; EFG verò $it trochleæ $ur$um appen$æ, cuius centrum H. deinde LBC DME FGN funis circa orbicu- los ducatur, qui religetur in L; $itq; potentia in N $u$tinens pondus A. dico potentiam in N $ubduplam e$$e ponderis A. $i enim potentia $u $tinens pondus A vbi M collocata foret, e$$et vtiq; potentia in M $ubdupla ponderis A. po- <marg>2 <I>Huius.</I></marg> tentiæ verò in M æqualis e$t vis in N. e$t e- <marg>1 <I>Huius.</I></marg> nim ac $i potentia in M dimidium ponderis A $ine trochlea $u$tineret, cui æqueponderat pondus in N ponderis A dimidio æquale. quare vis in N æqualis dimidio ponderis A ip$um A $u$tinebit. Potentia igitur in N $u$ti nens pondus A $ubdupla e$t ip$ius A. quod demon$trare oportebat. <fig> <pb n=67> <p>Si verò vt in $ecunda figura $it fu nis BC DEF GHkL orbiculis cir cumuolutus, & religatus in B; poten tiaq; in L pondus A $u$tineat: erit potentia in L $imiliter ponderis $ubdu pla. orbiculus enim trochleæ $upe- rioris, ip$aqué trochlea penitus $unt inutiles: & idem e$t, ac $i funis reli gatus e$$et in F, & potentia in L $u $tineret pondus $ola trochlea ponderi alligata, quæ potentia ponderis A o$ten $a e$t $ubdupla. <fig> <head>COROLLARIVM.</head> <p>Ex his $equitur, $i duæ $int potentiæ in BL; vtra$q; inter $e $e æquales e$$e. <p>Vtraq; enim $eor$um e$t ip$ius A $ubdupla. <pb> <head>PROPOSITIO IIII.</head> <p>Sit vectis AB, cuius fulcimentum $it A; qui bifariam diuidatur in D: $itq; pondus C in D appen$um; duæq; $int potentiæ æquales in BD pondus C $u$tinentes. Dico unamquamq; poten tiam in BD ponderis C $ubtriplam e$$e. <p>Quoniam enim altera potentia e$t in D colloca ta, & pondus C in eodem puncto D e$t appen$um; potentia in D partem ponderis C $u$t^{i}nebit ip- $i potentiæ D æqualem. <fig> quare potentia in B partem $u$tinebit reliquam, quæ pars dupla erit ip$ius potentiæ in B; cùm pondus ad potentiam eandem habeat proportionem, quam AB ad AD: & potentiæ in BD $unt æqua- les; ergo potentia in B duplam $u$tinebit partem eius, quam $u$ti net potentia in D. diuidatur ergo pondus C in duas partes, qua rum vna $it reliquæ dupla; quod fiet, $i in tres partes æquales EFG diui$erimus: tunc enim FG dupla erit ip$ius E. Itaq; potentia in D partem E $u$tinebit, & potentiam in B reliquas FG. vtreq; igitur inter $e $e æquales potentiæ in BD $imul totum $u$tinebunt pondus C. & quoniam potentia in D partem E $u$tinet, quæ ter tia e$t pars ponderis C, ip$iq; e$t æqualis; erit potentia in D $ub tripla ponderis C. & cùm potentia in B $u$tineat partes FG, qua rum potentia in B e$t $ubdupla; erit in B potentia vni partium FG, putà G æqualis. G verò tertia e$t pars ponderis C; potentia igitur in B $ubtripla erit ponderis C. Vnaquæq; ergo potentia in BD $ubtripla e$t ponderis C. quod demon$trare oportebat. <pb n=68> <fig> <p>Et $i duo e$$ent vectes AB EF bifariam in GD diui$i, quorum fulcimenta e$$ent AF, & pondus C in DG vtriq; vecti appen- $um, ita tamen vt in vtroq; æqualiter ponderet; duæq; e$$ent æquales potentiæ in BG: eadem pror$us ratione o$tendetur, vnamquamq; potentiam in B, & G ponderis C $ubtriplam e$$e. <head>PROPOSITIO V.</head> <p>Si vtri$q; duarum trochlearũ $ingulis orbiculis, quarum altera $upernè, altera verò infernè con$ti tuta, ponderiq; alligata fuerit, circumducatur fu nis; altero eius extremo inferiori trochleæ reli- gato, altero verò à potentia pondus $u$tinente detento: erit potentia ponderis $ubtripla. <pb> <p>Sit pondus A; $it BCD orbiculus tro- chleæ ponderi A alligate, cuius centrum E; & FGH trochleæ $ur$um appen$æ, cu- ius centrum k; & LFGHBCDM funis orbiculis circumducatur, qui religetur in L trochleæ inferiori; $itq; potentia in M $u- $tinens pondus A. dico potentiam in M $ubtriplam e$$e ponderis A. ducantur FH BD per centra kE horizonti æquidi$tan- tes, $icut in præcedentibus dictum e$t Quo- niam enim funis FL trochleam $u$tinet in- feriorem, quæ $u$tinet orbiculum in eius centro E; erit funis in L vt potentia $u$ti- nens orbiculum, ac $i in ip$o E centro e$$et; potentia verò in M e$t, ac $i e$$et in D; efficietur igitur DB tanquam vectis, cuius <marg><I>In</I> 2 <I>Huius</I></marg> fulcimentum erit B; pondus verò A (vt $u pra o$ten$um e$t) ex E $u$pen$um à dua- bus potentiis altera in D, altera in E $u$ten tatum. Cùm autem in pondere $u$tinendo vectes FH BD immobiles maneant, $i in funibus FL HB appendantur pondera, e- <marg>1 <I>Huius.</I></marg> runt hæc ip$a æqualia; cùm vectis FH ha- beat fulcimentum in medio; alioquin ex al tera parte deor$um fieret motus, quod tam&etilde; non contingit. tam igitur $u$tinet funis FL, quàm HB. deinde quoniam ex medio ve- <fig> cte BD pondus $u$penditur, idcirco $i duæ fuerint potentiæ in BD <marg><I>Ex</I> 3 <I>Cor.</I> 2 <I>Huius ve cte.</I></marg> pondus $u$tinentes, erunt inuicem æquales. & quamquam funis <pb n=69> FL ip$e quoq; pondus $u$tineat, cùm potentiæ in E vic&etilde; gerat; quia tamen ex eodemmet puncto $u$tinet, vbi appen$um e$t pondus, non efficiet propterea, quin pot entiæ in BD $int inter $e $e æquales; opitulatur enim tàm vni, quàm alteri. potentiæ verò in BD eæ- dem $unt, ac $i e$$ent in HM; quare tàm $u$tinebit funis MD, quàm HB. ita verò $u$tinet HB, atq; FL; funis igitur MD ita $u$tinebit, $icut FL, hoc e$t, ac $i in D, & L appen$a e$$ent pon- dera æqualia. Cùm itaq; æqualia pondera à potentiis $u$tinean- tur æqualibus, potentiæ in ML æquales erunt; quarum eadem pror $us e$t ratio, ac $i e$$ent ambæ in DE. Itaq; cùm pondus A in medio vectis BD $it appen$um, duæq; potentiæ $int æquales in DE pondus $u$tinentes; erit B fulcimentum, ac vn aquæq; potentia, <marg>4 <I>Huius.</I></marg> $iue in DE, $iue in ML $ubtripla ponderis A. ergo potentia in M $u$tinens pondus $ubtripla erit ponderis A. quod o$tendere o- portebat. <head>COROLLARIVM.</head> <p>Ex hoc manife$tum e$t, vnumquemq; funem MD FL HB tertiam $u$tinere partem pon- deris A. <foot>S</foot> <pb> <p>Præterea, $ifunis ex M per a- lium adhuc deferatur orbiculum $u periorem in trochlea $ur$um $imi- liter appen$a con$titutum, cuius centrum N; ita vt perueniat in O; ibiq; à potentia detineatur; erit po tentia in O $u$tinens pondus A iti dem $ubtripla ip$ius ponderis. fu nis enim MD tantùm ponderis$u $tinet, ac $i in D appen$um e$$et pondus æquale tertiæ parti ponde <marg>1 <I>Huius.</I></marg> ris A, cui æquiualet potentia in O ip$i æqualis, hoc e$t $ubtripla ponderis A. Potentia igitur in O $ubtripla e$t ponderis A. <fig> <p>Et ne idem $æpius repetatur, no ui$$e oportet potentiam in O $em per æqualem e$$e ei, quæ e$t in M; hoc e$t $i potentia in M e$$et $ub quadrupla, $ubquintupla, vel huiu$ modi aliter ip$ius ponderis; poten tia quoq; in O erit itidem $ubqua drupla, $ubquintupla, atq; ita dein ceps eiu$demmet ponderis, quem madmodum $e habet potentia in M. <pb n=70> <head>PROPOSITIO VI.</head> <p>Sint duo vectes AB CD bifariam diui$i in EF, quorum fulcimenta $int. in BD; $itq; pon dus G in EF vtriq; vecti appen$um, ita ut ex vtroq; æqualiter ponderet; duæq; $int potentiæ in AC æquales pondus $u$tinentes. Dico unam quamq; potentiam in AC $ubquadruplam e$- $e ponderis G. <p>Cùm enim potentiæ in AC totum $u$tineant pon- dus G, potentiaq; in A ad partem ponderis, quod $u$ti net, $it vt BE ad BA; po- <marg>2 <I>Huius. de vecte.</I></marg> tentia verò in C ad partem ip$ius G, quod $u$tinet, ita $it vt DF ad DC; & vt BE ad BA, ita e$t DF ad DC; <fig> erit potentia in A ad partem ponderis, quod $u$tinet, vt poten- tia in C ad ip$ius ponderis, quod $u$tinet, partem; & potentiæ in AC $unt æquales; æquales igitur erunt partes ponderis G, quæ à potentiis $u$tinentur. quare vnaquæq; potentia in A C di- midium $u$tinebit ponderis G. Potentia verò in A $ubdupla e$t pon deris, quod $u$tinet: ergo potentia in A dimidio dimidii, hoc e$t quartæ portioni ponderis G æqualis erit; ideoq; $ubquadrupla erit ponderis G. neq; aliter demon$trabitur potentiam in C $ub-quadruplam e$$e eiu$dem ponderis G. quod demon$trare opor- tebat. <foot>S 2</foot> <pb> <p>Si verò tres $int vectes AB CD EF bifariam di- ui$i in GHk, quorum fulci menta $int BDF; & pondus L eodem modo in GHK appen$um; $intq; tres poten tiæ in ACE æquales pondus $u$tinentes; $imiliter o$ten detur vnamquamque po- tentiam $ub$excuplam e$$e ponderis L. atq; hoc ordi ne $i quatuor e$$ent vectes, & quatuor potentiæ; erit vnaquæq; potentia $uboctupla ponderis. atq; ita deinceps in infinitum. <fig> <head>PROPOSITIO VII.</head> <p>Si tribus duarum trochlearum orbiculis, quarũ altera $upernè vnico duntaxat, altera verò infer- nè duobus autem in$ignita orbiculis, ponderiq; alligata con$tituta fuerit, funis circumponatur; al tero eius extremo alicubi religato, altero verò à potentia pondus $u$tinente retento; erit potentia ponderis $ubquadrupla. <pb n=71> <p>Sit pondus A; $int tres orbiculi, quorum centra BCD; orbiculu$q;, cuius centrum D, $it trochleæ $ur$um appen$æ; quorum verò $unt centra BC, $int trochleæ ponderi A alli gatæ; funi$q; EFGHkLNOP per omnes circumducatur orbiculos, qui religetur in E; $itq; vis in P $u$tinens pondus A. dico po tentiam in P $ubquadruplam e$$e ponderis A. ducantur kL GF ON per rotularum centra, & horizonti æquidi$tantes, quæ (ex iis, quæ dicta $unt) tanquam vectes erunt. & quoniam propter vectem, $iue libram kL, cuius fulcimentum, $iue centrum e$t in me dio, tàm $u$tinet funis kG, quàm LN, cùm <marg>1 <I>Huius.</I></marg> in neutram partem fiat motus. nec non propter vectem GF, è cuius medio veluti $u $pen$um dependet onus; $i duæ e$$ent in GF potentiæ, $eu in HE (e$t enim par vtriu$q; $itus ratio, vt iam $epius dictum e$t) e$$ent <marg><I>Ex</I> 2 <I>Cor.</I> 2 <I>Huius.</I></marg> vtiq; huiu$modi potentiæ inuicem æquales. quare ita $u$tinet funis HG, vt EF. $imiliter o$ten detur funem PO tàm $u$tinere, quàm LN: quare funes PO kG EF LN æqua liter $u$tinent. æqualiter igitur funis PO $u $tinet, vt kG. $i ergo duæ intelligantur e$ <fig> $e potentiæ in OG, $eu in PH, quod idem e$t, pondus nihilomi nus $u$tinentes, quemadmodum funes $u$tinent, æquales vtiq; e$ $ent; & GF ON duorum vectium vires gerent; quorum fulci menta erunt FN, & pondus A in BC medio vectium appen$um. & quoniam omnes funes æqualiter $u$tinent, tàm $u$tinebunt duo PO LN, quàm duo KGEF; tàm igitur $u$tinebit vectis ON, quàm vectis GF. quare in vtroq; vecte ON GF æquali ter pondus põderabit. erit ergo vnaquæq; potentia in PH $ubquadru <marg>6 <I>Huius.</I></marg> pla ponderis A. & cùm funis KG potentiæ loco $umatur, quippè qui haud $ecus $u$tinet, quàm PO; erit potentia in P $u$tinens pon- dus A ip$ius ponderis $ubquadrupla. quod demon$trare oportebat. <pb> <head>COROLLARIVM I.</head> <p>Hinc manife$tum e$t vnumquemq; funem EF GK LN OP quartam $u$tinere partem pon- deris A. <head>COROLLARIVM II.</head> <p>Patet etiam orbiculum, cuius centrum C, non minus eo, cuius centrum e$t B, $u$tinere. <head>ALITER.</head> <p>Adhuc ii$dem po$itis, $i duæ e$$ent poten tiæ æquales pondus A $u$tinentes, vna in O <marg><I>Ex</I> 4 <I>Huius</I></marg> altera in C; e$$et vnaquæq; dictarum poten riarum ponderis A $ubtripla. $ed quoniam vectis GF, cuius fulcimentum e$t F bifariam diui$us e$t in C; $i igitur ponatur in G poten tia idem pondus $u$tinens, vt potentia in C; erit potentia in G $ubdupla potentiæ, quæ e$ $et in C; nam $i potentia in C $e ip$a pon- dus in C appen$um $u$tineret, e$$et vtiq; ip $i ponderi æqualis; & idem pondus, $i à po <marg>2 <I>Huius. de vecte.</I></marg> tentia in G $u$tineretur, e$$et ip$ius poten tiæ in G duplum; potentia veró in C $ubtri pla e$$et ponderis A; ergo potentia in G $ub$excupla e$$et ponderis A. Cùm itaq; potentia in O $ubtripla $it ponderis A, & potentia in G $ub$excupla; erunt vtræq; $i- mul potentiæ in OG ip$ius ponderis A $ub duplæ. tertia enim pars cum $exta dimi- dium efficit. quoniam autem potentiæ in OG, $iue in PH (vt prius dictum e$t) $unt inter $e æquales, ac vtræq; $imul $ubdu plæ $unt ponderis A. erit vnaquæq; poten <fig> <pb n=72> tia in P Hip$ius A $ubquadrupla. Potentia igitur in P $u$tinens pon dus A ip$ius ponderis A $ubquadrupla erit. quod erat o$ten- dendum. <p>Si verò funis religetur in E, & $ecundùm quatuor adhuc circumuoluatur orbiculos, per ueniatq; ad P. $imiliter o$ten detur potentiam in P $ubqua- druplam e$$e ponderis A. idem enim e$t, ac $i funis re- ligatus e$$et in L, potentiaq; $u$tineret pondus fune tribus tantùm orbiculis circumdu- cto, quorum centra e$$ent B CQ. orbiculus enim cuius centrum D e$t pœnitus inu- tilis. <fig> <pb> <head>PROPOSITIO VIII.</head> <p>Sint duo vetes AB CD bifariam diui$i in EF, quorum fulcimenta $int AC, & pondus G in punctis EF vtriq; vecti $it appen$um, ita vt ex vtroq; æqualiter ponderet; tre$q; $int potentiæ æquales in BDE pondus G $u$tinentes. Dico vnamquamq; $eor$um ex dictis potentiis $ub- quintuplam e$$e ponderis G. <p>Quoniam enim pondus G appen$um e$t in EF, & tres $unt potentiæ in EBD æqua les; ideo potentia in E partem tantùm ponderis G $u$tinebit ip$i potentiæ in E æqualem; potentiæ verò in BD partem $u$tinebunt reliquam; & pars, <marg>2 <I>Huius. de vecte.</I></marg> quam $u$tinet B, erit ip$ius dupla; pars autem, quam $u <fig> $tinet D, erit $imiliter ip$ius D dupla; propter proportionem BA ad AE, & DC ad CF. Cùm itaq; potentiæ in BD $int æqua <marg><I>In</I> 6 <I>Huius</I></marg> les, erunt (ex iis, quæ $upra dictum e$t) partes ponderis G, quæ à potentiis BD $u$tinentur, inter $e $e æquales; & vnaquæq; du pla eius partis, quæ à potentia in E $u$tinetur. diuidatur er- go pondus G in tres partes, quarum duæ $int inter $e $e æquales, nec non vnaquæq; $eor$um alterius tertiæ partis dupla. quod fiet, $i in quinq; partes æquales HKLMN diuidatur; pars enim compo$ita ex duabus partibus kL dupla e$t partis H; pars quoq; MN eiu$dem partis H e$t $imiliter dupla. quare & pars kL parti MN erit æqualis. Su$tineat autem potentia in E par tem H; & potentia in B partes KL; potentia verò in D partes <pb n=73> MN: tres igitur potentiæ æquales in BDE totum $u$tinebunt pon dus G; & vnaquæq; potentia in BD duplum $u$tinebit eius, quod $u$tinet potentia in E. Cùm itaq; potentia in E partem H $u$ti- neat, quæ quinta e$t pars ponderis G, ip$iq; $it æqualis; erit po tentia in E $ubquintupla ponderis G. & quoniam potentia in B partes kL $u$tinet, quæ quidem duplæ $unt potentiæ B, & partis H; erit quoq; potentia in B ip$i H æqualis: quare $ubquintupla erit ponderis G. Non aliter o$tendetur potentiam in D $ubquintu- plam e$$e ponderis G. vnaquæq; igitur potentia in BDE $ubquin- tupla e$t ponderis G. quod demon$trare oportebat. <p>Si verò $int tres vectes AB CD EF bifariam diui$i in GHk, quorum fulcimenta $int ACE; & pondus L eo dem modo in GHk $it ap- pen$um; quatuorq; $int po- tentiæ æquales in BDFG pondus L $u$tinentes; $imili modo o$tendetur vnam- quamq; potentiam in BD FG $ub$eptuplam e$$e ponde ris L. & $i quatuor e$$ent vectes, & quinq; potentiæ æquales pon- dus $u$tinentes; eodem quoq; modo o$tendetur vnamquamq; potentiam $ubnonuplam e$$e ponderis. atq; ita deinceps. <fig> <head>PROPOSITIO VIIII.</head> <p>Si quatuor duarum trochlearum binis orbi- culis, quarum altera $upernè, altera vero in- fernè, ponderiq; alligata, di$po$ita fuerit, cir cumducatur funis; altero eius extremo inferiori <foot>T</foot> <pb> trochleæ religato, altero verò à potentia pon- dus $u$tinente retento: erit potentia ponderis $ubquintupla. <p>Sit pondus A, cui alligata $it trochlea duos habens orbiculos, quorum centra $int BC; $itq; trochlea $ur$um appen$a duos alios ha- bens orbiculos, quorum centra $int DE; funi$q; per omnes circumducatur orbiculos, qui tro- chleæ inferiori religetur in F; $it qué poten tia in G $u$tinens pondus A. dico poten- tiam in G $ubquintuplam e$$e ponderis A. ducantur Hk LM per centra BC horizon- ti æquidi$tantes, quas eodem modo, quo $u- pra dictum e$t, e$$e tanquam vectes o$tende- mus, quorum fulcimenta kM, & pondus A ex medio vtriu$q; vectis BC $u$pen$um, & tres potentiæ in LHC pondus $u$tinentes, quas $imili modo æquales e$$e demon$trabimus; fu nes enim idem efficiunt, ac $i e$$ent potentiæ. & quoniam pondus æqualiter ex vtroq; ve- cte HK LM ponderat, quod quidem o$ten- detur quoque, vt in præcedentibus demon- <marg>8 <I>Huius.</I></marg> $tratum e$t: erit vnaquæq; potentia, tùm in L, $eu in G, quod idem e$t; tùm in H, atq; in C, hoc e$t in F, $ubquintupla ponderis A. Potentia ergo in G $u$tinens pondus A ip$ius A $ubquintupla erit. quod o$tendere opor- tebat. <fig> <pb n=74> <p>Si verò funis in F adhuc de- feratur circa alium orbiculum, cuius centrum N, qui religetur in O; $imiliter duplici medio (vt in $eptima huius) demon $trabitur potentiam in G pon- dus A $u$tinentem $ub$excu <marg><I>Ex</I> 6 <I>huius</I></marg> plam e$$e ponderis A. Primùm quidem ex tribus vectibus LM Hk FP, quorum fulcimenta $unt MkP, & pondus in me dio vectium appen$um; & tres potentiæ in LHF æquales pon dus $u$tinétes. deinde ex poten <marg><I>Ex</I> 8 <I>huius</I></marg> tiis in LHN, quarum vnaquæq; $ubquintupla e$$et ponderis A. e$$ent enim ambæ $imul poten tiæ in LH $ubduplæ $exquialte ræ ip$ius ponderis, pot&etilde;tia verò in F $ubdecupla e$$et, cùm $it ip $ius N $ubdupla: $ed duæ quin tæ cùm decima dimidium ef ficiunt, quòd $i per terna diui datur, $exta pars ponderis re $pondebit vnicuiq; potentiæ in LHF. ex quibus patet poten tiam in G $ub$excuplam e$$e ponderis A. $imiliterq; demon $trabitur vnumquemque orbi culum æqualem $u$tinere por- tionem. <fig> <foot>T 2</foot> <pb> <p>Quòd $i, vt in tertia figura funis in O protrahatur; per aliumq; circumducatur orbi- culum, cuius centrum Q; qui deinde in R trochleæ relige- tur inferiori; erit potentia in <marg><I>Ex</I> 8 <I>Huius</I></marg> G ponderis $ub$eptupla. atq; ita in infinitum procedendo proportio potentiæ ad pon- dus quotcunq; $ubmulti- plex inueniri poterit. dein- de $emper o$tendetur vt in præcedentibus; $i potentia pondus $u$tinens fuerit, vel $ubquadrupla, vel $ubquitu- pla, vel quouis alio modo $e habebit ad pondus; $imiliter vnumquemque funem, vel quartam, vel quintam, vel quamuis aliam partem $u$ti- nere ponderis, quemadmo- dum potentia ip$a; funes e- nim idem efficiunt, ac $i tot e$$ent potentiæ: orbiculi ve rò, ac $i tot e$$ent vectes. <fig> <head>COROLLARIVM</head> <p>Ex his manife$tum e$t orbiculos trochleæ, cui e$t alligatum pondus, efficere, vt pondus mino- <pb n=75> re $u$tineatur potentia, quàm $it ip$um pondus; quod quidem trochleæ $uperioris orbiculi non efficiunt. <p>Noui$$e tamen oportet, quòd (vt fieri $olet) inferioris tro chleæ orbiculus, cuius centrum N, minor e$$e debet eo, cuius cen trum C; hic autem minor adhuc eo, cuius centrum B; ac deniq; $i plures fuerint orbiculi in trochlea inferiori ponderi alligata, $em per cæteris maior e$$e debet, qui annexo ponderi e$t propinquior. oppo$ito autem modo di$ponendi $unt in trochlea $uperiori. quod fieri con$ueuit, ne funes inuicem complicentur; nam quantùm ad orbiculos attinet, $iue magni fuerint, $iue parui, nihil refert; cùm $emper idem $equatur. <p>Præterea notandum e$t, quod etiam ex dictis facilè patet, $i funis, $iue religetur in R trochleæ inferiori, $iue in S, maximam indè oriri differentiam inter potentiam, & pondus: nam $i relige tur in S, erit potentia in G ponderis $ub$excupla. $i verò in R, $ub$eptupla. quod trochleæ $uperiori non contingit, quia $iue religetur funis (vt in præcedenti figura) in T, $iue in O; $em per potentia in G $ub$excupla erit ip$ius ponderis. <p>Po$t hæc con$iderandum e$t, quonam modo vis moueat pon dus; necnon potentiæ mouentis, ponderi$q; moti $patium, atque tempus. <head>PROPOSITIO X.</head> <p>Si funis orbiculo trochleæ $ur$um appen$æ fuerit circumuolutus, cuius altero extremo $it al ligatum pondus; alteri autem mouens collocata $it potentia: mouebit hæc vecte horizonti $em- per æquidi$tante. <pb> <p>Sit pondus A, $it orbiculus trochleæ $ur $um appen$æ' cuius centrum K; $it deinde funis HBCDEF al igatus ponderi A in H, orbiculoq; circumductus; $itq; trochlea ita in L appen$a, & nullum alium habeat motum præter liberam orbiculi circa axem ver$ionem; $itq; potentia in F mouens pondus A. Dico potentiam in F $emper mouere pondus A vecte horizonti æquidi$tante. ducatur BKE horizonti æquidi$tans; $intq; BE puncta, vbi funes BH, & EF circulum tangunt; erit BkE <marg>1 <I>Huius.</I></marg> vectis, cuius fulcimentum e$t in eius medio k. $icut $upra o$ten$um e$t. dum itaq; vis in F deor$um tendit ver$us M, vectis EB mouebitur, cùm totus orbiculus moueatur, <fig> hoc e$t circumuertatur. dum igitur F e$t in M, $it punctum E ve ctis v$q; ad I motum; B autem v$q; ad C, ita vt vectis $it in CI. fiat deinde NM æqualis ip$i FE: & quando punctum E erit in I, tnnc funis punctum, quod erat in E, erit in N: quod au tem erat in B erit in C; ita vt ducta CI per centrum K tran$eat. dum autem B e$t in C, $it punctum H in G; eritq; BH ip$i CBG æqualis; cùm $it idem funis. & quoniam dum EF tendit in NM, adhuc $emper remanet EFM horizonti perpendicularis, circulumq; tangens in puncto E; ita vt ducta à puncto E per cen trum k, $it $emper horizonti æquidi$tans. quod idem euenit funi BG, & puncto B. dum igitur circulus, $iue orbiculus circumuer titur, $emper mouetur vectis EB, $emperq; adhuc remanet alius vectis in EB. $iquidem ex ip$ius rotulæ natura, in qua $emper dum mouetur, remanet diameter ex B in E (quæ vectis vicem ge rit) euenit, vt recedente vna, $emper altera $uccedat; eiu$modi durante circumductione: atq; ita fit, vt potentia $emper moueat pondus vecte EB horizonti æquidi$tante. quod demon$trare opor- tebat. <pb n=76> <p>Ii$dem po$itis, $patium potentiæ pondus mouentis e$t æquale $patio eiu$dem ponderis moti. <p>Quoniam enim o$ten$um e$t, dum F e$t in M, pondus A, hoc e$t punctum H e$$e in G; & cùm funis HBCDEF $it æqualis GBCDENFM, e$t enim idem funis; dempto igitur communi GBCDENF, erit HG ip$i FM æqualis. $imiliterq; o$tende- tur, de$cen$um F iemper æqualem e$$e a$cen$ui H. ergo $patium potentiæ æquale e$t $patio ponderis. quod erat demon$tran- dum. <p>Præterea potentia idem pondus per æquale $patium in æquali tempore mouet, tàm fune hoc modo orbiculo trochleæ $ur$um appen$æ circumuoluto, quàm $ine trochlea: dummo- do ip$ius potentiæ lationes in velocitate $int æ- quales. <pb> <p>Ii$dem po$itis $it aliud pondus P æquale ponderi A, cui alligatus $it funis TQ horizõti perp&etilde; dicularis; et $it TQ ip$i HB æqualis; moueat qué pot&etilde;tia in Q põdus P $ur$um ad rectos angulos horizonti, quem admodum mouetur pondus A. di co per æquale $patium in eodem tempore potentiam in Q pondus P, & potentiam in F pondus A mouere. quod idem e$t, ac $i e$$et idem pondus in æquali tempore motum; $icut propo$uimus. Pro- ducatur EF in S, & TQ in R; fiantq; QR FS non $olum inter $e $e, verùm etiam ip$i BH æqua les. Cùm autem TQ QR $int ip$is HB FS æquales, & vis in Q moueat pondus P per rectam T QR; vis autem in F moueat A per rectam HB, & velocitates <fig> motuum vtriu$q; potentiæ $int æquales; tunc in eodem tempore potentia in Q erit in R, & potentia in F erit in S; cùm $patia $int æqualia. $ed dum potentia in Q e$t in R, pondus P, hoc e$t punctum T erit in Q; cùm TQ $it ip$i QR æqualis. & dum po tentia in F e$t in S, pondus A, hoc e$t punctum H erit in B; $ed $patium TQ æquale e$t $patio HB, potentiæ ergo in FQ æquali ter motæ pondera PA æqualia per æqualia $patia in eodem tempo re mouebunt. quod erat demon$trandum <head>PROPOSITIO XI.</head> <p>Si funis orbiculo trochleæ ponderi alligatæ fuerit circumuolutus, qui in altero eius extre- <pb n=77> mo alicubi religetur, altero autem à potentia mouente pondus appræhen$o; vecte $emper ho rizonti æqui$tante potentia mouebit. <p>Sit pondus A; Sit orbiculus. CED trochleæ ponderi A alli- gatæ ex kH; $itq; KH ad rectos angulos horizonti, ita vt pon- dus $emper trochleæ motum, $i- ue $ur$um, $iue deor$um factum $equatur; $itq; orbiculi centrum K; & funis orbiculo circumuo- lutus $it BCDEF, qui relige- tur in B, ita vt in B immobilis maneat; & $it potentia in F mo- uens pondus A. dico potentia m in F $emper mouere põdus A ve cte horizonti æquidi$tante. $int BC EF inter $e $e, ip$iq; kH æ- quidi$tantes, & eiu$dem kH ho rizonti perpendiculares, tangen te$q; circulũ CED in EC pũctis; et connectatur EC, quæ per cen <marg><I>Ex</I> 1 <I>huius</I></marg> trum k tran$ibit, horizontiq; æquidi$tans erit; $icuti prius di ctum e$t. Quoniam enim or biculus CED circa eius cen trum K vertitur; ideo dum vis in F trahit $ur$um punctum E, deberet punctum C de$cende re, ac trahere deor$um B; $ed fu <fig> nis in B e$t immobilis, & BC de$cedere non pote$t; quare dum potentia in F trahit $ur$um E, totus orbiculus $ur$um mouebitur; ac per con$equens tota trochlea, & pondus; & EkC erit tanquam <marg><I>Ex</I> 2 <I>huius</I></marg> vectis, cuius fulcimentum erit C; e$t enim punctum C propter BC ferè immobile, potentia verò mouens vectem e$t in F fune EF, <foot>V</foot> <pb> & pondus in k appen$um. quòd $i punctum C omnino fue rit immobile, moueaturq; ve ctis EC in NC; & diuidatur NC bifariam in L: erunt CL LN ip$is Ck KE æquales. quare $i vectis EC e$$et in CN, punctum k e$$et in L; & $i du catur LM horizonti perpendi cularis, quæ $it etiam æqualis kH; e$$et pondus A, hoc e$t punctum H in M. $ed quoniam potentia in F dum tendit $ur- $um mouendo orbiculum, $em per mouetur $uper rectam EFG, quæ $emper e$t quoq; æquidi $tans BC; nece$$e erit orbicu lum trochleæ $emper inter li- neas EG BC e$$e: & centrum k, cum $it in medio, $uper rectam lineam HkT $emper moueri. Itaq; ducatur per L li nea PTLQ horizonti, & EC æquidi$tans, quæ $ecet Hk pro- ductam in T; & centro T, $pa tio verò TQ, circulus de$criba <fig> tur QRPS, qui æqualis erit circulo CED; & puncta PQ tangent fu <marg><I>Ex</I> 34 <I>primi.</I></marg> nes FE BC in PQ punctis. rectangulum enim e$t PECQ, & PT TQ ip$is EK kC $unt æquales. deinde per T ducatur R TS diameter circuli PQS æquidi$tans ip$i NC; fiatqué TO æqua lis kH. dum autem centrum k motum erit v$q; ad lineam PQ, tunc centrum k erit in T. o$ten$um e$t enim centrum orbiculi $u per rectam HT $emper moueri. idcirco vt centrum k $it in li nea PQ ip$i EC æquidi$tante, nece$$e e$t vt $it in T. & vt vectis EC eleuetur in angulo ECN, nece$$e e$t, vt $it in RS, non au- <marg>29 <I>Primi.</I></marg> tem in CN: angulus enim RSE angulo NCE e$t æqualis, & $ic <pb n=78> fulcimentum C non e$t penitus immobile. cùm totus orbiculus $ur $um moueatur, toru$q; mutet totum locum; habet tamen C ratio nem fulcimenti, quia minus mouetur C, quàm k, & E: punctum enim E mouetur v$q; ad R, & K v$q; ad T, punctum verò C v$q; ad S tantùm. quare dum centrum K e$t in T, po$itio orbiculi erit QR PS: & pondus A. hoc e$t punctum H erit in O; cùm TO $it æqualis kH; po$itio verò EC, $cilicet vectis moti, erit RS, po tentiaq; in F mota erit $ur$um per rectam EFG. eodem autem tempore, quo k erit in T, $it potentia in G: dum autem vectis EC hoc modo mouetur, adhuc $emper remanent GP BQ inter $e $e æ- quidi$tantes, atq; horizonti perpendiculares, ita vt vbi orbiculum tangunt, vt in punctis PQ; $emper linea PQ erit diameter orbi culi, & tanquam vectis horizonti æquidi$tans. dum igitur orbi- culus mouetur, & circumuertitur, $emper etiam mouetur vectis EC, & $emper remanet alius vectis in orbiculo horizonti æqui$tans, vt PQ; ita vt potentia in F $emper moueat pondus vecte hori zonti æquidi$tante, cuius fulcimentum erit $emper in linea CB; & pondus in medio vectis appen$um; potentiaq; in linea EG. quod erat o$tendendum. <p>Ii$dem po$itis, $patium potentiæ pondus mouentis duplum e$t $patii eiu$dem ponderis moti. <p>Cùm enim o$ten$um $it, dum k e$t in T, pondus A, hoc e$t punctum H e$$e in O, & in eodem etiam tempore potentiam in F e$$e in G: & quoniam funis BCDEF e$t æqualis funi BQS PG; funis enim e$t idem; & funis circa $emicirculum CDE e$t æqualis funi circa $emicirculum QSP; demptis igitur communi bus BQ, & FP; erit reliquus FG ip$is CQ, & EP $imul $umptis æqualis. $ed EP ip$i TK e$t æqualis, & CQ ip$i quoq; Tk æqualis, $unt enim Pk TC paralle logramma rectangula; quare lineæ EP CQ $imulip$ius Tk duplæ erunt. funis igitur FC ip$ius TK du plus erit. & quoniam kH e$t æqualis TO, dempto communi kO, erit kT ip$i HO æqualis; quare funis FG ip$ius HO duplus erit; <foot>V 2</foot> <pb> hoc e$t $patium potentiæ $patii ponderis duplum. quod erat demon$trandum. <p>Potentia deinde idem pondus in æquali tem- pore per dimidium $patium mouebit fune circa orbiculum trochleæ ponderi alligatæ reuoluto, quàm $ine trochlea; dummodo ip$ius potentiæ velocitates motuum $int æquales. <p>Sit enim (ii$dem po$i tis) aliud pondus V æqua le ponderi A, cui alligatus $it funis 9X; $itq; poten tia in X mouens pondus V. dico $i vtriu$q; poten tiæ motuum velocitates $int æquales, in eodem tempore potentiam in F mouere pondus A per di midium $patium eius, per quod à potentia in X mo uetur pondus V; quod idem e$t, ac $i e$$et idem pondus in æquali tempo re motum. Moueat po tentia in X pondus V, po tentiaq; perueniat in Y; $itq; XY æqualis ip$i FG; & fiat YZ æqualis X9, ita vt quando potentia in X erit in Y, $it pondus V, hoc e$t punctum 9 in Z. $ed 9 Z e$t æqualis FG, <fig> <pb n=79> cùm $it æqualis XY; ergo 9 Zip$ius HO dupla erit. Itaq; dum poten tiæ erunt in GY, pondera AV erunt in OZ. in eodem autem tempore erunt potentiæ in GY, ip$arum enim velocitates mo tuum $unt æquales; quare vis in F pondus A in eodem tempore mouebit per dimidium $patium eius, per quod mouetur à poten tia in X pondus V: & pondera $unt æqualia; Potentia ergo idem pondus in æquali tempore per dimidium $patium mouebit fune, trochleaq; hoc modo ponderi alligata, quàm $ine trochlea; dum modo potentiæ motuum velocitates $int æquales. quod erat de- mon$trandum. <head>PROPOSITIO XII.</head> <p>Si funis circa plures reuoluatur orbiculos, al- tero eius extremo alicubi religato, altero au- tem à potentia pondus mouente detento; poten tia vectibus horizonti $emper æquidi$tantibus mouebit. <pb> <p>Sit pondus A, $it orbiculus CED tro- chleæ ponderi alligatæ ex kS ad rectos an gulos horizonti; ita vt pondus $emper eius motum $ur$um, ac deor$um factum $equa- tur. $it deinde orbiculus circa centrum L trochleæ $ur$um appen$æ $itq; funis circa orbiculos reuolutus BCDEHMNO, qui religatus $it in B; $itq; vis in O mouens pondus A mouendo $e deor$um per OP. dico potentiam in O $emper mouere pon- dus A vectibus horizonti $emper æquidi. $tantibus. ducatur NH per centrum L ho <marg>1, <I>Et</I> 10 <I>Huius.</I></marg> rizonti æquidi$tans, quæ erit vectis orbi- culi, cuius centrum e$t L. ducatur deinde EC per centrum k $imiliter horizonti æqui <marg>11 <I>huius.</I></marg> di$tans, quæ etiam erit vectis orbiculi, cu- ius centrum e$t k. Moueatur potentia in O deor$um, quæ dum deor$um mouetur, ve ctem NH mouebit; & dum vectis moue- <marg>10 <I>Huius.</I></marg> tur, N deor$um mouebitur, H verò $ur- $um, vti$upra dictum e$t. dum autem H mouetur $ur$um, mouet etiam $ur$um E; & vectem EC, cuius fulcimentum e$t C, $ed fulcimentum C non pote$t mouere deor- $um B; ideo orbiculus, cuius centrum K, $ur <fig> $um mouebitur, & per con$equens trochlea, & pondus A; vt in præcedenti dictum e$t. & quoniam ob eandem cau$am in præce- dentibus a$signatam in HN, & EC $emper remanent vectes hori zonti æquidi$tantes; potentia ergo mouens pondus A $emper eum mouebit vectibus horizonti æquidi$tantibus. quod erat o- $tendendum. <p>Et $i funis circa plures $it reuolutus orbiculos; $imiliter o$tende- tur, potentiam mouere pondus vectibus horizonti $emper æqui- di$tantibus: & vectes orbiculorum trochleæ $uperioris $emper e$$e, vt HN, quorum fulcimenta erunt $emper in medio: vectes au- tem orbiculorum trochleæ inferioris $emper exi$tere, vt EC; quo- <pb n=80> rum fulcimenta erunt in extremitatibus vectium. <p>Ii$dem po$itis, $patium potentiæ duplum e$t $patii ponderis. <p>Sit motum centrum K v$q; ad centrum R; & orbiculus $it FTG. deinde per centrum R ducatur GF ip$i EC æquidi$tans: tangent funes EH CB orbiculum in GF punctis. fiat deniq; RQ æqua lis KS. dum igitur k erit in R; pondus A, $cilicet punctum S erit in Q. & dum centrum orbiculi e$t in R, $it potentia in O mota in P. & quoniam funis BCDEHMNO e$t æqualis funi BFT GHMNP; e$t enim idem funis; & FTG æqualis e$t CDE; dem ptis igitur communibus BF, & GHMNO, erit reliquus OP ip $is FCEG $imul $umptis æqualis: & per con$equens duplus kR, & QS & cùm OP $it $patium potentiæ motæ, & SQ $patium pon deris moti; erit $patium potentiæ duplum $patii ponderis. quod erat o$tendendum. <p>Præterea potentia idem pondus in æquali tempore per dimidium $patium mouebit fune circa duos orbiculos reuoluto, quorum vnus $it trochleæ $uperioris, alter verò $it trochleæ ponderi alligatæ; quàm $ine trochleis: dummo- do ip$ius potentiæ lationes $int æqualiter ve- loces <pb> <p>Ii$dem namq; po$itis, $it pon dus V æquale ip$i A, cui alliga- tus $it funis X9; $itq; pot&etilde;tia in X mouens põdus V; quæ dum pon dus mouet, perueniat in Y: fiant qué XY Z9 ip$i OP æquales; erit Z9 dupla QS. & $i vtriu$- que potentiæ velocitates mo- tuum $int æquales; patet pon- dus V duplum pertran$ire $pa- tium in eodem tempore eìus, quod pertran$it pondus A. in eo dem enim tempore potentia in X peruenit ad Y, & potentia in O ad P; ponderaq; $imiliter in ZQ. quod erat demon$tran- dum. <fig> <head>PROPOSITIO XIII.</head> <p>Fune circa $ingulos duarum trochlearum orbiculos, quarum altera $upernè, altera verò infernè, ponderiq; alligata fuerit, reuoluto; altero etiam eius extremo inferiori trochleæ re- <pb n=81> ligata, altero autem à mouente potentia deten- to: erit decur$um trahentis potentiæ $patium, mo ti ponderis $patii triplum. <p>Sit pondus A; $it BCD orbiculus tro chleæ ponderi A ex EQ $u$pen$o alligatæ; $itq; orbiculi centrum E; $it deinde FGH orbiculus trochleæ $ur$um appen$æ, cuius centrum k; $itq; funis LFGHDCBM circa omnes reuolutus orbiculos, tro- chleæq; inferiori in L religatus: $itq; in M potentia mouens. dico $patium de- cur$um à potentia in M, dum mouet pon dus, triplum e$$e $patii moti ponderis A. Moueatur potentia in M v$q; ad N; & centrum E $it motum v$q; ad O; & L v$ que ad P; atq; pondus A, hoc e$t pun- ctum Q v$q; ad R; orbiculu$q; motus, $it TSV. ducantur per EO lineæ ST BD horizonti æquidi$tantes, quæ inter $e $e quoq; æquidi$tantes erunt. quoniam au tem dum E e$t in O, punctum Q e$t in R; erit EQ æqualis OR, & EO ip$i QR æqualis; $imiliter LQ æqualis erit PR, & L Pip$i QR æqualis. tres igitur QR EO LP inter $e $e æquales erunt; quibus etiam $unt æquales BS DT. & quoniam fu nis LFGHDCBM æqualis e$t funi PF GHTVSN, cùm $it idem funis, & qui circa $emicirculum TVS e$t æqualis funi circa $emicirculum BCD; demptis igi tur communibus PFGHT' & SM; erit reliquus MN tribus BS LP DT $imul $umptis æqualis. BS verò LP DT $imul tripli $unt EO, & ex con$e quenti QR. <fig> <foot>X</foot> <pb> $patium igitur MN translatæ potentiæ $patii QR ponderis mo ti triplum erit. quod erat demon$trandum. <p>Tempus quoq; huius motus manife$tum e$t, eadem enim po tentia in æquali tempore $patio $ecundùm triplum ampliori $ine huiu$modi trochleis idem pondus mouebit, quàm cum ei$dem hoc modo accomodatis. $patium ponderis $ine trochleis moti æquale e$t $patio potentiæ. & hoc modo in omnibus inueniemus tempus. <head>PROPOSITIO XIIII.</head> <p>Fune circa tres duarum trochlearum orbicu los, quarum altera $upernè vnico dumtaxat, al tera verò in$ernè, duobus autem in$ignita or- biculis, ponderi&qacute;ue alligata fuerit, reuoluto; altero eius e$tremo alicubi religato, altero autem à potentia pondus mouente detento: erit decur- $um trahentis potentiæ $patium moti ponderis $patii quadruplum. <pb n=82> <p>Sit pondus A, $int duo orbiculi, quorū c&etilde; tra k I trochleæ ponderi alligatæ k <G>a</G>; ita vt pondus motum trochleæ $ur$um, & deor$um $emper $equatur: $it deinde orbiculus, cuius cen trum L, trochleæ $ur$um appenfæ in <35>; $itq; funis circa omnes orbiculos eircumuolutus BC DEFGHZMNO, religatu$q; in B; $itq; po tentia in O mouens pondus A. dico $patium, quod mouendo pertran$it potentia in O, qua- druplum e$$e $patii moti ponderis A. mouean tur orbiculi trochleæ ponderi alligatæ; & dum centrum k e$t in R, centrum I $it in S, & pon dus A, hoc e$t punctum <G>a</G> in <G>b</G>: erunt IS kR <G>ab</G> inter $e $e æquales, itemq; k Iip$i RS e- rit æqualis. orbiculi enim inter $e $e eandem $emper $eruant di$tantiam; & k <G>a</G> ip$i R <G>b</G> æ- qualis erit. ducantur per orbiculorum centra lineæ FH QT EC VX NZ horizonti æqui di$tantes, quæ tangent funes in FHQTEC VX NZ punctis, & inter $e $e quoq; æquidi $tantes erunt: & EQ CT VN XZ non $o lum inter $e $e, $ed etiam ip$is IS KR <G>ab</G> æqua les erunt. & dum centra kI $unt in RS, po tentia in O $it mota in P. & quoniam funis BCDEFGHZMNO e$t æqualis funi BT9 QFGHXYVP, e$t enim id&etilde; funis, & funes cir <fig> ca T9Q XYV $emicir culos $unt æquales funibus, qui $unt circa CDE ZMN; Demptis igitur communibus BT, QF GHX, & VO; erit OP æqualis ip$is VN XZ CT QE $imul $umptis. quatuor verò VN ZX CT QE $unt inter$e $e æquales, & $imul quadruplæ kR, & <G>ab</G>; quare OP quadrupla erit ip$ius <G>ab</G>. $pa tium igitur potentiæ quadruplum e$t $patii ponderis. quod erat o$tendendum. <p>Et $i funis in P circa alium adhuc reuoluatur orbiculum ver$us <35>, potentiaqué mouendo $e deor$um moueat $ur$um pondus; $imi liter o$tendetur $patium potentiæ quadruplum e$$e $patii ponderis. <foot><I>X</I> 2</foot> <pb> <p>Si verò funis in Bcircumuoluatur al teri orbiculo, qui deinde trochleæ in- <marg>9 <I>Huius.</I></marg> feriori religetur; erit potentia in O $u$tinens pondus A $ubquintupla pon deris. & $i in O $it potentia mouens pondus A; $imiliter demon$trabitur $patium potentiæ in O quintuplum e$ $e $patii ponderis A. <fig> <p>Et $i funis ita circa orbiculos apte- tur, vt potentia in O $u$tinens pon- dus $it ponderis $ub$extupla; & loco potentiæ $u$tinentis ponatur in O po- tentia mouens pondus: eodem modo o$tendetur $patium potentiæ $extu- plum e$$e $patii ponderis moti. & $ic procedendo in infinitum proportiones $patii potentiæ ad $patium ponderis moti quotcunq; multiplices inuenien- tur. <head>COROLLARIVM I.</head> <p>Ex his manife$tum e$t ita $e habere pondus ad potentiam ip$um $u$tinentem, $icuti $patium potentiæ mouentis ad $patium ponderis moti. <p>Vt $i pondus A quintuplum $it potentiæ in O pondus A $u$ti- nentis; erit & $patium OP potentiæ pondus mouentis quintuplum $patii <G>ab</G> ponderis moti. <pb n=83> <head>COROLLARIVM II.</head> <p>Patet etiam per ea, quæ dicta $unt, orbiculos trochleæ, quæ ponderi e$t alligata, efficere; vt à moto pondere minus, quàm à trahente poten- tia de$cribatur $patium; maioriq; tempore datum æquale $patium de$cribi, quàm $ine illis. quod quidem orbiculi trochleæ $uperioris non effi- ciunt. <p>Multiplici o$ten$a ponderis ad potentiam proportione, iam ex aduer$o potentiæ ad pondus proportio multiplex o$tendatur. <head>PROPOSITIO XV.</head> <p>Si funis orbiculo trochleæ à potentia $ur$um detentæ fuerit circumuolutus; altero eius extre- mo alicubi religato, alteri verò pondere appen $o; dupla erit ponderis potentia. <pb> <p>Sit trochlea habens orbiculum, cuius centrum A; & $it pondus B alligatum fu ni CDEFG, qui circa orbiculum $it re- uolutus, ac tandem religatus in G: $itq; potentia in H $u$tinens pondus. dico po tentiam in H duplam e$$e ponderis B. du catur DF per centrũ A horizonti æquidi $tans. quoniãigitur potentia in H $u$tinet trochleã, quæ$u$tinet orbiculũin eius c&etilde;tro A, qui pondus $u$tinet; erit potentia $u$ti nens orbiculũ, ac $i in A cõ$tituta e$$et; ip$a ergo in A exi$tente, pondere verò in D appen$o, funiq; CD religato; erit DF tanquam vectis, cuius fulcimentum erit F, pondus in D, & potentia in A. po- <marg>3 <I>Huius. de vecte.</I></marg> tentia verò ad pondus e$t, vt DF ad ad FA, & DF dupla e$t ip$ius FA; Po- <fig> tentia igitur in A, $iue in H, quodidem e$t, ponderis B dupla erit. quod demon$trare oportebat. <p>Præterea con$iderandum occurrit, cùm hæc omnia maneant, idem e$$e vnico exi$tente fune CD EFG hoc modo orbiculo cicum uoluto, ac$i duo e$$ent funes CD FG in vecte $iue libra DF al- ligati. <head>ALITER.</head> <p>Ii$dem po$itis, $i in G appen$um e$$et pondus k æquale pon- deri B, pondera B k æqueponderabunt in libra DF, cuius centrum A. potentia verò in H $u$tinens pondera Bk e$t ip$is $imul $um ptis æqualis, & pondera BK ip$ius B $unt dupla; potentia ergo in H ponderis B dupla erit. & quoniam funis religatus in G nihil a- liud efficit, ni$i quòd pondus B $u$tinet, ne de$cendat; quod idem efficit pondus k in G appen$um: potentia igitur in H $u$tinens pondus B, fune religato in G, dupla e$t ponderis B. quod de- mon$trare oportebat. <pb n=84> <head>PROPOSITIO XVI.</head> <p>Ii$dem po$itis $i in H $it potentia mouens pon dus, mouebit hæc eadem vecte horizonti $em- per æquidi$tante <p>Hoc etiam ($icut in $uperioribus dictum e$t) o$tendetur. moueatur enim orbiculus $ur$um, po$itionemq; habeat MNO, cuius centrum L: & per L ducatur MLO ip$i DF, & horizontiæquidi$tans. & quoniam funes tangunt circulum MON in punctis MO; ideo cùm potentia in A, $eu in H, quod idem e$t, moueat pondus B in D appen$um vecte DF, cuius fulcimentum e$t F; $emper adhuc remanebit alius vectis, .vt MO hori zonti æquidi$tans, ita vt $emper potentia moueat pondus vecte horizonti æquidi$tan te, cuius fulcimentum e$t $emper in linea OG, & pondus in MC, potentiaq; in cen tro orbiculi. <fig> <p>Ii$dem po$itis, $patium ponderis moti duplum e$t $patii potentiæ mouentis. <pb> <p>Sit motus orbiculus à centro A v$q; ad centrum L; & pondus B, hoce$t punctum C, in eodem tem- pore$it motum in P; & potentia in H v$q; ad K; erit AH ip$i LK æqua lis, & AL ip$i Hk. & quoniam fu nis CDEFG e$t æqualis funi PM NOG, idem enim e$t funis, & fu nis circa $emicirculum MNO æ- qualis e$t funi circa $emicirculum DEF; demptis igitur communi- bus DP FG, erit PC æqualis DM FO $imul $umptis, qui funes $unt dupli ip$ius AL, & con$equen- ter ip$ius Hk. $patium ergo pon deris moti CP duplum e$t $patii Hk potentiæ. quod oportebat de- mon$trare. <fig> <head>COROLLARIVM</head> <p>Exhoc manife$tum e$t, idem pondus trahi ab eadem potentia in æquali tempore per du- plum $patium trochlea hoc modo accommoda ta, quàm $ine trochlea; dummodo ip$ius poten tiæ lationes in velocitate $int æquales. <p>Spatium enim ponderis moti $ine trochlea æquale e$t $patio potentiæ. <pb n=85> <p>Si autem funis in G circa alium reuoluatur orbiculum, cuius centrum k; $itq; huiu$mo di orbiculi trochlea deor$um affixa, quæ nul lum alium habeat motum, ni$i liberam orbi culi circa axem reuolutionem; funi$q; relige tur in M; erit potentia in H $u$tinens pondus B $imiliter ip$ius ponderis dupla. quod qui dem manife$tum e$t, cùm idem pror$us $it, $iue funis $it religatus in M, $iue in G. orbicu lus enim, cuius centrum k, nihil efficit; penitu$ qué inutilis e$t. <fig> <p>Si verò $it potentia in M $u$tinens pon dus B, & trochlea $uperior $it $ur$um appen $a; erit potentia in M æqualis ponderi B. <p>Quoniam enim potentia in G $u$tinens <marg>1 <I>Huius.</I></marg> pondus B æqualis e$t ponderi B, & ip$i po tentiæ in G æqualis e$t potentia in L; e$t enim GL vectis, cuius fulcimentum e$t k; & di$tantia Gk di$tantiæ kL e$t æqualis; erit igitur potentia in L, $iue (quod idem e$t) in M, ponderi B æqualis. <p>Huiu$modi autem motus fit vectibus DF LG, quorum fulci menta $unt kA, & pondus in D, & potentia in F. $ed in vecte LG potentia e$t in L, pondus verò, ac $i e$$et in G. <p>Si deinde in M $it potentia mouens pondus, transferaturq; po tentia in N, pondus autem motum fuerit v$q; ad O; erit MN $patium potentiæ æquale $patio CO ponderis. Cùm enim funis MLGFDC æqualis $it funi NLGFDO. e$t enim idem funis; dempto communi MLGFDO; erit $patium MN potentiæ æ- quale $patio CO ponderis. <p>Et $i funis in M circa plures reuoluatur orbiculos, $emper erit potentia altero eius extremo pondus $u$tinens æqualis ip$i ponderi. $patiaq; ponderis, atq; potentiæ mouentis $emper o$tendentur æqualia. <foot>Y</foot> <pb> <head>PROPOSITIO XVII.</head> <p>Si vtri$q; duarum trochlearum $ingulis orbicu lis, quarum vna $upernè à potentia $u$tineatur, altera verò infernè, ibiq; affixa, con$tituta fue- rit, funis circumducatur; altero eius extremo $u perioritrochleæ religato, alteri verò pondere appen$o; tripla erit ponderis potentia. <p>Sit orbiculus, cuius centrum A, tro- chleæ infernè affixæ; & $it funis BCD EFG non $olum huic orbiculo circumuo lutus, verùm etiam orbiculo trochleæ $u- perioris, cuius centrum k; $itq; funis in B $uperioritrochleæ religatus; & in G $it ap pen$um pondus H; potentiaq; in L $u$ti neat pondus H. dico potentiam in L tri- plam e$$e ponderis H. $i enim duæ e$$ent potentiæ pondus H $u$tidentes, vna in K, altera in B, erunt vtræq; $imul triplæ <marg>15 <I>Huius. In præcedenti.</I></marg> ponderis H potentia enim in k dupla e$t ponderis H, & potentia in B ip$i ponderi æqualis. & quoniam $ola potentia in L vtri$q; $cilicet potentiæ in KB e$t æqua- lis. $u$tinet enim potentia in L; tùm po- tentiam in K, tùm potentiam in B; idem qué efficit potentia in L, ac $i duæ e$$ent potentiæ, vna in k, altera in B: Tri- pla igitur erit potentia in L ponderis H. quod der<*>on$trare o<*>ortebat. <fig> <pb n=86> <p>Si autem in L $it potentia mouens pondus. di co $patium ponderis moti triplum e$$e $patii po- tentiæ motæ. <p>Moueatur centrum or- biculi K v$q; ad M; cuius quidem motus $patium motæ potentiæ $patio e$t <marg><I>In præcedenti.</I></marg> æquale, $icuti $upra dictum e$t: & quando k erit in M, B erit in N; & NB æqualis erit M k; & dum k e$t in M, $it pondus H, hoc e$t pun ctum G motum in O; & per MK ducantur EF PQ ho rizonti æquidi$tantes; erit vnaquæq; EP BN FQ ip $i KM æqualis. & quoniam funis BCDEFG æqualis e$t funi NCDPQO; idem enim e$t funis; & fu- nis circa $emicirculum ER F æqualis e$t funicirca $e- micirculum PSQ: dem- ptis igitur communibus BCDE, & FO, erit OG tribus QF NB PE $imul $umptis æqualis. $ed QF NB PE $imul triplæ $unt Mk, hoc e$t $patii poten- tiæ motæ; $patium ergo GO ponderis H moti tri- <fig> plum e$t $patii potentiæ motæ. quod o$tendere oportebat. <foot>Y 2</foot> <pb> <head>PROPOSITIO XVIII.</head> <p>Si vtriu$q; duarum trochlearum binis orbicu lis, quarum altera $upernè à potentia $u$tineatur, altera verò infernè, ibiq; annexa, collocata fue- rit, funis circumnectatur; altero eius extremo alicubi, non autem $uperiori trochleæ religato, alteri verò pondere appen$o; quadrupla erit ponderis potentia. <p>Sit trochlea inferior, duos habens orbiculos, quorum centra AB; $it qué trochlea $uperior duos $imiliter habens orbiculos, quorum cen- tra CD; funi$q; EFGHKLMNOP $it cir- ca omnes orbiculos reuolutus, qui $it religatus in E; & in P appendatur pondus Q; $itq; po- tentia in R. dico potentiam in R quadruplam e$$e ponderis Q. Cùm enim $i duæ intelligan tur potentiæ, vna in k, altera in D, potentia <marg>16 <I>Huius.</I></marg> in k $u$tinens pondus Q fune k LMNOP æ- qualis erit ponderi; erunt duæ$imul potentiæ, vna in D, altera in k, pondus Q $u$tinentes, triplæ eiu$dem ponderis. Potentia verò in C dupla e$t potentiæ in k, & per con$equens pon deris Q; idem enim e$t, ac $i in k appen$um e$ <marg>15 <I>Huius.</I></marg> $et pondus æquale ponderi Q, cuius dupla e$t potentia in C; duæ igitur potentiæ in DC qua- druplæ $unt ponderis Q. & cùm potentia in R orbiculis $u$tineat pondus Q, erit pot&etilde;tia in R, ac $i duæ e$$ent potentiæ, vna in D, altera in C, & vtræq; $imul pondus Q $u$tinerent. ergo po- tentia in R quadrupla e$t ponderis Q. quod oport<*>bat demon$trare. <fig> <pb n=87> <head>COROLLARIVM</head> <p>Ex quo patet, $i funis fuerit religatus in G, & circa orbiculos, quorum centra $unt BCD reuo- lutus; potentiam in R pondus $u$tinentem $imili- ter ponderis Q quadruplam e$$e. orbiculus enim, cuius centrum A, nihil efficit. <p>Si autem in R $it potentia mouens pondus. dico $patium ponderis moti quadruplum e$$e $patii potentiæ. <p>Moue antur centra CD orbiculorum v$q; ad ST; erunt ex $uperius dictis CS DT $patio potentiæ æqualia; & per CSDT ducantur Hk VX NO YZ horizonti æquidi$tantes; & dũ centra CD $unt in ST, $it pondus Q, hoc e$t punctum P motum in 9. & quoniam funis EF GHKLMNOP æqualis e$t funi EFGVX LMYZ 9; cùm $it idem funis: & funes circa $emicirculos NIO H <G>a</G> k $unt æquales funi- bus, qui $unt circa $emicirculos Y<35>Z V<G>b</G>X; demptis igitur communibus EFGH kLMN & O9; erit P9 ip$is NY ZO VH <I>X</I>k $i- mul $umptis æqualis. quatuor autem NY ZO VH Xk $imul quadrupli $unt DT, hoc e$t $patii potentiæ; $patium igitur P9 ponderis quadruplum e$t $patii potentiæ quod demon $trandum fuerat. <fig> <pb> <p>Si autem funis $it re- ligatus in E trochleæ $u periori, & potentia in R $u$tineat pondus Q; e- rit potentia in R ponde ris Q quintupla. & $i in R $it potentia mouens pondus; erit $patium pon deris moti quintuplum $patii potentiæ. quæ om- nia $imili modo o$ten- dentur, $icut in præce- dentibus demon$tra- tum e$t. <fig> <pb n=88> <p>Si verò potentia in R $ub$tineat pon- dus Q trochlea tres orbiculos habente, quorum centra $int ABC; & $it alia tro chlea infernè af$ixa duos, vel tres orbicu- los habens, quorum centra DEF; $itq; funis circa omnes orbiculos reuolutus, $i- ue in G, $iue in H religatus; $imiliter o$tendetur potentiam in R $excuplam e$$e ponderis Q. Et $i in R $it potentia mouens pondus, o$tendetur $patium pon deris moti $excuplum e$$e $patii poten- tiæ. <fig> <p>Et $i funis $it religatus in K trochleæ $uperiori, & in R $it potentia pondus $u$tinens; $imili modo o$tendetur poten tiam in R $eptuplam e$$e ponderis Q. <p>Et $i in R $it potentia mouens, o$ten detur $patium ponderis Q $eptuplum e$$e $patii potentiæ. atq; ita in infinitum omnis potentiæ ad pondus multiplex proportio inueniri poterit. $emperq; o- $tendetur, ita e$$e pondus ad potentiam ip$um $u$tinentem, $icuti $patium poten tiæ pondus mouentis ad $patium ponde- ris moti. <p>Vectium autem ip$orum orbiculorum motus in his fit hoc modo, videlicet vectes orbiculorum trochleæ $uperioris mouen tur, vti dictum e$t in decima $exta huius; hoc e$t habent fulcimentum in extremita te, potentiam in medio, pondus in altera extremitate appen$um. ve ctes verò trochleæ inferioris habent fulcimentum in medio, pon dus, & potentiam in extremitatibus. <pb> <head>COROLLARIVM</head> <p>Manife$tum e$t in his, orbiculos trochleæ $u perioris efficere, vt pondus moueatur maiori potentia, quàm $it ip$um pondus, & per maius $patium potentiæ $patio, & per æquale tempo- re minori; quod quidem orbiculi trochleæ in- ferioris non efficiunt. <p>Alio quoq; modo hanc potentiæ ad pondus multiplicem propor tionem inuenire po$$umus. <head>PROPOSITIO XVIIII.</head> <p>Si vtriu$q; duarum trochlearum $ingulis orbi culis, quarum altera $upernè appen$a, altera ve- rò infernè à $u$tinente potentia rententa fuerit, funis circumuoluatur; altero eius extremo alicu bi religato, alteri autem pondere appen$o; du- pla erit ponderis potentia. <pb n=89> <p>Sit orbiculus trochleæ $upernè appen$æ, cu ius centrum $it A; & BCD $it trochleæ infe rioris; $it deinde funis EBC DFGHL reli- gatus in E; & in L $it appen$um pondus M; $itq; potentia in N $u$tinens pondus M. dico potentiam in N duplam e$$e ponderis M. Cùm enim $upra o$ten$um $it potentiam in L, quæ pondus, exempli gratia, O $u$ti- <marg>3 <I>Huius.</I></marg> neat in N appen$um, $ubduplam e$$e eiu$dem ponderis; potentia igitur in N ponderi O æ- qualis pondus M potentiæ in L æquale $u$ti nebit; ponderi$q; M dupla erit. quod demon $trare oportebat. <fig> <head>ALITER.</head> <p>Ii$dem po$itis. Quoniam potentia in F, <marg>1 <I>Huius.</I></marg> $eu in D, quod idem e$t, æqualis e$t ponde ri M; & BD e$t vectis, cuius fulcimentum e$t B, & potentia in N e$t, ac $i e$$et in me- dio vectis, & pondus æquale ip$i M, ac$i e$- $et in D propter funem FD; quod idem e$t, ac $i BCD e$$et orbiculus trochleæ $upe rioris, pondusq; appen$um e$$et in fune DF, $icut in decimaquinta, & decima$exta dictum e$t; ergo potentia in N dupla e$t ponderis M. quod erat o$tendendum. <p>Si autem in N $it potentia mouens pondus M, erit $patium ponderis M duplum $patii potentiæ in N. quod ex duodecima huius manife$tum e$t; $patium enim puncti L deor$um ten- dentis duplum e$t $pat^{1}i N $ur$um; erit igitur è conuer$o $patium potentiæ in N deor$um tendentis dimidium $aptii ponderis M $ur $um moti. <p>Sicut autem ex tertia, quinta, $eptima huius, &c. colligi po$$unt ponderis O rationes quotcunq; multiplices ip$ius potentiæ in L, eod&etilde; quoq; modo o$tendi poterunt potentiæ in N pondus $u$tinen tis ponderis M quotcunq; multiplices. Atq; ita ex decimatertia <foot>Z</foot> <pb> decimaquarta rationes o$ten dentur quotcunq; multiplices $patii ponderis M ad $patium potentiæ mouentis in N con$ti tutæ. <fig> <p>Poterit quoq; ex decima$e ptima decimaoctaua huius mul tiplex inueniri proportio, quam habet potentia pondus $u$ti nens ad ip$um pondus; $icut proportio potentiæ in N ad pon dus M ex decimaquinta, & deci ma$exta o$tendebatur: inuenie turq; ita e$$e pondus ad poten tiam pondus $u$tinentem, vt $pa tium potentiæ mouentis ad $pa tium ponderis. <p>Vectium motus in his fit hoc modo, videlicet vectes or biculorum trochleæ inferioris mouentur, vt vectis BD, quæ mouetur, ac$i B e$$et fulcimen tum, & pondus in D, & poten tia in medio. Vectes verò or biculorum trochleæ $uperioris mouentur, vt FH, cuius fulcimen tum e$t in medio, pondus in H, & potentia in F. <head>COROLLARIVM.</head> <p>Ex hoc manife$tum e$t, orbiculos trochleæ inferioris in his efficere, vt pondus maiori po- <pb n=90> tentia moueatur, quàm $it ip$um pondus, & per maius $patium $patio potentiæ, & minori tempore per æquale. quod quidem orbiculi $u perioris trochleæ non efficiunt. <p>Cognitis proportionibus multiplicibus, iam ad $uperparticu lares accedendum e$t. <head>PROPOSITIO XX.</head> <p>Si vtriu$q; duarum trochlearum $ingulis or- biculis, quarum altera $upernè à potentia $u$ti- neatur, altera verò infernè, ponderiq; alligata, cõ$tituta fuerit, funis reuoluatur; altero eius extre mo alicuibi, altero verò inferiori trochleæ reli gato; pondus potentiæ $e$quialterum erit. <foot>Z 2</foot> <pb> <p>Sit ABC orbiculus trochleæ $uperioris, & DEF trochleæ inferio- ris ponderi G alligatæ; $itq; funis HABCDE Fk circa orbiculos re- uolutus, qui $it religatus in K, & in H trochleæ inferiori; $itq; potentia in L $u$tinens pondus G. dico pondus poten tiæ $e$quialterum e$$e. <marg><I>Cor.</I> 5 <I>huius.</I></marg> Quoniam enim vterque funis CD AH tertiam $u$tinet partem ponde- ris G, erit vnaquæq; po tentia in DH $ubtripla ponderis G; quibus $i- mul a$$umptis e$t æqua- <fig> <marg><I>Ex.</I> 15 <I>huius.</I></marg> lis potentia in L: potentia enim in L dupla e$t potentiæ in D, & eius, quæ e$t in H. quare potentia in L $ub$e$quialtera e$t ponde- ris G. pondus ergo G ad pontentiam in L e$t, vt tria ad duo; hoc e$t $e$quialterum. quod demon$trare oportebat. <pb n=91> <p>Si autem in L $it potentia mouens pondus. Dico $patium potentiæ $patii ponderis $e$quial- terum e$$e. <p>Ii$dem po$itis, perueniat orbi- culus ABC v$q; ad MNO, & DEF ad PQR; & H in S; & pondus G v$q; ad T. Et quoniam funis HABCDEFK e$t æqualis funi SMNOPQRk, cùm $it idem funis; & $unes circa $emicir culos ABC MNO $unt inter $e $e æquales; qui verò $unt circa DEF PQR $imiliter inter $e æ- quales; Demptis igitur AS CP RK communibus, erunt duo CO MA tribus DP HS FR æqua- les. $ed vterq; CO AM $eor$um e$t æqualis $patio potentiæ motæ. quare duo CO MA, $imul $patii potentiæ dupli erunt: tre$q; DP HS FR $imul $imili modo $patii ponderis moti tripli erunt. dimidia verò pars, hoc e$t $patium poten tiæ motæ ad tertiam, ad $patium $cilicet ponderis moti ita $e habet, vt duplum dimidii ad duplum ter- tii; hoc e$t, vt totum ad duas ter <fig> tias, quod e$t vt tria ad duo. $patium ergo potentiæ in L $pa- tii ponderis G moti $e$quialterum e$t. quod o$tendere opor- tebat. <pb> <head>PROPOSITIO XXI.</head> <p>Si tribus duarum trochlearum orbiculis, qua rum altera vnius tantùm orbiculi $upernè à po- tentia $u$tineatur, altera verò duorum infernè, ponderiq; alligata, collocata fuerit, funis cir- cumuoluatur; altero eius extremo alicubi, altero autem $uperiori trochleæ religato: ponduspoten tiæ $e$quitertium erit. <p>Sit pondus A trochleæ inferiori alliga- tum, quæ duos habeat orbiculos, quorum centra $int BC; $uperiorq; trochlea orbicu- lum habeat, cuius centrum D; & $it funis EFGHkLMN circa omnes orbiculos re uolutus, qui religatus $it in N, & in E tro chleæ $uperiori; $itqué potentia in O $u$tinens pondus A. dico pondus po- <marg><I>Cor.</I> 1 <I>$eptime buius.</I></marg> tentiæ $e$quitertium e$$e. Quoniam enim vnu$qui$q; funis NM HG EF KL quar- tam $u$tinent partem ponderis A, & omnes $imul totum $u$tinent pondus; tres HG EF kL $imul tres $u$tinebunt partes pon- deris A. quare pondus A ad hos omnes $imul erit, vt quatuor ad tria: & cùm po- tentia in O idem efficiat, quod HG EF kL $imul efficiunt; omnes enim $u$tinet; erit po tentia in O tribus $imul HG EF kL æ- qualis; & ob id pondus A ad potentiam in O erit, vt quatuor ad tria; hoc e$t $e$qui tertium. quod demon$trare oportebat. <fig> <pb n=92> <p>Si vero in O $it potentia mouens pondus A. Dico $patium potentiæ in O decur$um $patii pon deris A moti $e$quitertium e$$e. <p>Ii$dem po$itis, $it centrum B motum in P; &C v$q; ad Q; & D in R; & E in S eodem tempore: & per centra ducantur ML 9Z FG TV Hk XY horizonti, & inter $e $e æquidi$tantes. Similiter, vt in præcedente o$tendetur tres <I>X</I>H SE Yk quatuor TG VF ZL 9M æquales e$$e. & quoniam tres XH SE Yk $imul triplæ $unt $patii potentiæ, quatuorverò TG VF ZL 9M $imul quadruplæ $unt $patii pon deris moti; erit $patium potentiæ ad $pa- tium ponderis, vt tertia pars ad quartam. $ed tertia pars ad quartam e$t, vt tres ter tiæ ad tres quartas, hoc e$t, vt totum ad tres quartas; quod e$t, vt quatuor ad tria. $patium ergo potentiæ $patii ponderis mo ti $e$quitertium e$t. quod erat demon- $trandum. <fig> <p>Si verò funis in E per alium circumuol uatur orbiculum, qui deinde trochleæ in feriori religetur; $imiliter o$tendetur pro portionem ponderis ad potentiã in O pon dus $u$tinentem $e$quiquartam e$$e. quòd $i in O $it potentia mouens pondus, o$ten detur $patium potentiæ $patii ponderis $e$ quiquartum e$$e. & $ic in infinitum proce dendo quamcunq; $uperparticularem pro portionem ponderis ad potentiam inuenie mus; $emperq; reperiemus, ita e$$e pondus ad potentiam pondus $u$tinentem, vt $pa- tium potentiæ mouentis ad $patium ponde- ris moti. <pb> <p>Motus verò vectium fit hoc mo do, videlicet vectis ML fulci- mentum e$t M, cùm funis $it re ligatus in N, & pondus in me- dio, & potentia in L. quia ve- rò punctum L tendit $ur$um, quod à fune KL mouetur, idcirco K $ur- $um mouebitur, & vectis HK ful cimentum erit H, pondus ac $i e$ $ent in k, & potentia in medio; vectis autem FG fulcimentum erit G, pondus in medio; & poten tia in F. punctum enim F $ur$um mouetur à fune EF. Præterea G in orbiculo deor$um tendit, quia H quoque in eius orbiculo deor$um mouetur. <fig> <pb n=93> <head>PROPOSITIO XXII.</head> <p>Si vtri$que duarum trochlearum $ingulis orbiculis, quarum altera $upernè à potentia $u$tineatur, altera verò infernè, ponderiq; alli- gata, collocata fuerit, circumducatur funis; al- tero eius extremo alicubi, altero autem $uperio ri trochleæ religato. erit potentia ponderis $e$ quialtera. <p>Sit orbiculus ABC trochleæ ponderi D al ligatæ; & EFG trochleæ $uperioris, cuius centrum H; $it deinde funis k ABCEFGL circa orbiculos reuolutus, & religatus in L, & in k trochleæ $uperiori; $itq; potentia in M $u$tinens pondus D. dico potentiam ponde ris $e$quialteram e$$e. Quoniam enim poten <marg>2 <I>Huius.</I></marg> tia in E $u$tinens pondus D $ubdupla e$t pon <marg><I>Ex</I> 15 <I>huius.</I></marg> deris D, potentiæ verò in E dupla e$t poten <marg>2 <I>Cor.</I></marg> tia in H; erit potentia in H ponderi D æqua <marg>2 <I>Huius.</I></marg> lis; & cùm potentia in K $ubdupla $it ponde ris D; erunt vtræq; $imul potentiæ in H k $e$ quialteræ ponderis D. Itaq; cùm potentia in M duabus potentiis in Hk $imul $umptis $it æqualis, quemadmodum in $uperioribus o- $ten$um e$t; erit potentia in M $e$quialtera ponderis D. quod oportebat demon$trare. <p>Si verò in M $it potentia mouens pondus, $imiliter vt in præcedentibus o$tendetur, $pa tium ponderis $patii potentiæ $e$quialterum e$$e. <fig> <foot>Aa</foot> <pb> <p>Et $i funis in K per alium circumuoluatur orbiculum, cuius centrum $it N; qui dein- de trochleæ inferiori religetur in O; & po- tentia in M $u$tineat pondus D. dico pro- portionem potentiæ ad pondus $e$quiter- tiam e$$e. <fig> <p>Quoniam enim potentia in E $u$tinens <marg>5 <I>Huius.</I></marg> pondus D fune ECB AKPO $ubtripla e$t <marg><I>Ex</I> 15 <I>huius.</I></marg> ip$ius D, ip$ius autem E dupla e$t potentia in H; erit potentia in H $ub$e$quialtera pon deris D. $imili quoq; modo quoniam po tentia in O_{3} quæ e$t, ac $i e$$et in centro or <marg>3, 15,<I>Huius.</I></marg> biculi ABC, $ubtripla e$t ponderis D; ip- $ius autem O dupla e$t potentia in N; erit quoq; potentia in N $ub$e$quialtera ponde- ris D. quare duæ $imul potentiæ in HN pon dus D $uperant tertia parte, $e $e habentq; ad D in ratione $e$quitertia: & cùm potentia in M duabus $it potentiis in HN $imul $um ptis æqualis, $uperabit itidem potentia in M pondus D tertia parte. ergo proportio potentiæ in M ad pondus D $e$quitertia e$t. quod demon$trare oportebat. <p>Si autem in M $it potentia mouens pon- dus, $imili modo o$tendetur $patium ponderis D $patii potentiæ in M $e$quitertium e$$e. <p>Et $i funis in O per alium circumuoluatur orbiçulum, qui tro- chleæ $uperiori deinde religetur; eodem modo demon$tr abimus proportionem potentiæ in M pondus $u$tinentis ad pondus $e$- quiquartam e$$e. & $i in M $it potentia mouens, $imiliter o$ten- detur $patium ponderis $patii potentiæ $e$quiquartum e$$e. pro- cedendoq; hoc modo in infinitum quamcunq; proportionem potentiæ ad pondus $uperparticularem inueniemus; $emperqué <pb n=94> o$tendemus potentiam pondus $u$tinentem ita e$$e ad pondus, vt $patium ponderis ad $patium potentiæ pondus mouentis. <p>Motus verò vectis EG e$t, ac $i G e$$et fulcimentum, cùm funis $it religatus in L; pondus ac $i in E e$$et appen$um, & po- tentia in medio. Vectis verò CA fulcimentum e$t A pondus in medio, & potentia in C. & K fulcimentum e$t vectis Pk, pon- dus in P, & potentia in medio. quæ omnia $icut in præceden- ti o$tendentur. <head>PROPOSITIO XXIII.</head> <p>Si vtri$q; duarum trochlearum $ingulis or- biculis, quarum altera $upernè à potentia $u$ti- neatur, altera verò infernè, ponderiq; alligata, cõ$tituta fuerit, circumferatur funis; vtroq; eius extremo alicuibi, non autem trochleis religato; æqualis erit ponderi potentia. <foot>Aa 2</foot> <pb> <p>Sit orbiculus trochleæ $uperioris ABC, cuius centrum D; & EFG trochleæ ponderi H alligatæ, cu- ius centrum k; & $it funis LEF GABCM circa orbiculos reuo- lutus, religatu$q; in LM; $itq; potentia in N $u$tinens pondus H. dico potentiam in N æqua lem e$$e ponderi H. Accipiatur quoduis punctum O in AG. & quoniam $i in O e$$et potentia $u <marg>2 <I>Huius.</I></marg> $tinens pondus H, $ubdupla e$$et <marg><I>Ex</I> 15 <I>huius.</I></marg> ponderis H, & potentiæ in O dupla e$t ea, quæ e$t in D, $iue (quod idem e$t) in N; erit po tentia in N ponderi H æqualis. quod demon$trare oportebat. <fig> <p>Et $i in N $it potentia mouens pondus. Dico $patium potentiæ in N æqualem e$$e $patio pon deris H moti. <p>Quoniam enim $patium puncti O moti, duplum e$t, tùm $patii <marg>11 <I>Huius.</I></marg> ponderis H moti, tùm $patii potentiæ in N motæ; erit $patium <marg>16 <I>Huius.</I></marg> potentiæ in N $patio ponderis H æquale. <pb n=95> <head>ALITER.</head> <p>Ii$dem po$itis, transfera tur centrum orbiculi ABC v$q; ad P; orbiculu$q; po$i tionem habeat QRS; dein de eodem tempore orbiculus EFG $it in TVX, cuius cen trum $it Y; & pondus perue nerit in Z. ducantur per or biculorum centra lineæ GE TX AC QS horizonti æqui di$tantes. & $icut in aliis demon$tratum fuit, d uo fu- nes AQ CS duobus XG TE æquales erunt; $ed AQ CS $imul dupli$unt $patii po tentiæ motæ; & duo XG TE $imul $unt $imiliter dupli $pa tii ponderis; erit igitur $patiũ potentiæ $patio ponderis æ- quale. quod demon$trare o- portebat. <fig> <pb> <p>Quod etiam $i vtraq; trochlea duos habuerit orbiculos, quorum centra $int ABCD, funi$q; per omnes cir cumuoluatur, qui in LM religetur; $imiliter o$tendetur potentiam in N æqualem e$$e ponderi H. vnaquæq; enim potentia in EF $u$tinens pon- dus $ubquadrupla e$t ponderis; & po tentiæ in CD duplæ $unt earum, quæ $unt in EF; erit vnaquæq; po- tentia in CD $ubdupla ponderis H. quare potentiæ in CD $imul $umptæ ponderi H erunt æquales. & quo- niam potentia in N duabus in CD pontentiis e$t æqualis; erit potentia in N ponderi H, æqualis. <p>Et $i in N $it potentia mouens, $i mili modo o$tendetur, $patium po- tentiæ æquale e$$e $patio ponderis. <p>Si autem vtraq; trochlea tres, vel quatuor, vel quotcunq; habeat orbi- culos; $emper o$tendetur pot&etilde;tiam in N æqualem e$$e ponderi H; & $pa tium potentiæ pondus mouentis æ- quale e$$e $patio ponderis moti. <fig> <p>Vectium autem motus hoc pacto $e habent; orbiculorum qui dem trochleæ $uperioris, veluti AC in præcedenti figura fulcimen tum e$t C, pondus verò in A appen$um, & potentia in D medio. vectes autem orbiculorum trochleæ inferioris ita mouentur, vt ip $ius GE fulcimentum $it E, pondus in medio appen$um, & po tentia in G. <pb n=96> <head>PROPOSITIO XXIIII.</head> <p>Si tribus duarum trochlearum orbiculis, qua rum altera vnius dumtaxat orbiculi $upernè à potentia $u$tineatur, altera verò duorum infer- nè, ponderiq, alligata fuerit con$tituta, cir- cundetur funis; vtroq; eius extremo alicubi, $ed non $uperiori trochleæ religato: duplum erit pondus potentiæ. <p>Sint AB centra orbiculorum trochleæ ponderi C alligatæ; D ve rò $it centrum orbiculi trochleæ $u perioris; $it deinde funis per om nes orbiculos circumuolutus, reli gatu$q; in EF; & $it potentia in G $u$tinens pondus C. dico pon dus C duplum e$$e potentiæ in G. Quoniam enim $i in H k duæ e$- $ent potentiæ pondus $u$tinentes duobus funibus orbiculis trochleæ inferioris tantùm circumuolutis, e$ $et vtiq; vtraq; potentia in k H $ub <marg><I>Ex</I> 7 <I>huius</I></marg> quadrupla ponderis C; $ed poten- tia in G æqualis e$t potentiis in Hk <marg><I>Ex</I> 15 <I>huius.</I></marg> $imul $umptis; vniu$cuiu$q; enim potentiæ in H, & k dupla e$t: erit potentia in G $ubdupla ponderis C. pondus ergo potentiæ duplum erit. quod demon$trare opor- tebat. <fig> <pb> <p>Et $i in G $it potentia mouens pondus. Dico $patium potentiæ duplum e$$e $patii ponderis. <p>Ii$dem po$itis, $int moti orbiculi, $imiliter demon$trabitur ambos illos LM NO æquales e$$e quatuor PQ RS TV XY. $ed LM NO $imul dupli$unt $patii po tentiæ in G motæ; & quatuor PQ RS TV XY $imul quadrupli $unt $patii ponderis moti.$pa tium igitur potentiæ ad $patium ponderis e$t tan quam $ubduplum ad $ub quadruplum. erit ergo potentiæ $patium pon- deris $patii duplum. <fig> <pb n=97> <p>Hinc autem con$iderandum e$t quomodo fiat motus; quia, cùm funis $it religatur in F, vectis NO in prima figura habebit ful- cimentum O, pondus in medio, & potentia in N. $imiliter quo- niam funis e$t religatus in E, ve ctis PQ habebit fulcimentũ P, & pondus in medio, & potentia in Q. idcirco partes orbiculorum in N, & Q $ur$um mouebuntur; orbiculi ergo non in eandem, $ed in contrarias mouebuntur partes, videlicet vnus dextro$um, alter$i- ni$tror$um. & quoniam potentiæ in NQ eædem $unt, quæ $unt in LM; potentiæ igitur in LM æ- quales $ur$um mouebuntur. ve ctis igitur LM in neutram moue bitur partem. quare neq; orbicu lus circumuertetur. Itaq; LM erit tanquam libra, cuius centrum D, ponderaqué appen$a in LM æqualia quartæ parti ponderis C; vnu$qui$q; enim funis LN MQ quartam $u$tinet partem ponderis C. mouebitur ergo totus orbi culus, cuius centrum D, $ur$um; $ed non circumuertetur. <fig> <foot>Bb</foot> <pb> <p>Et $i funis in F circa alios duos voluatur orbiculos, quorum cen- tra $int HK, qui deinde religetur in L; erit proportio ponderis ad potentiam $e$quialtera. <p>Si enim quatuor e$$ent potentiæ <marg><I>Ex</I> 9 <I>huius</I></marg> in MNOI, e$$et vnaquæq; $ub$e$- cupla ponderis C, quare quatuor $imul potentiæ in MNOI qua- tuor $extæ crunt ponderis C. & quoniam duæ $imul potentiæ in HD quatuor potentiis in MNOI $unt æquales; & potentia in G æ- qualis e$t potentiis in DH: erit potentia in G quatuor $imul po- tentiis in MNOI æqualis; & ob id quatuor $extæ erit ponderis C. proportio igitur ponderis C ad po tentiam in G $e$quialtera e$t. <p>Et $i in G $it potentia mouens, $imili modo o$tendetur $patium potentiæ $patii ponderis $e$quialte rum e$$e. <fig> <p>Et $i funis in L adhuc circa duos alios orbiculos reuoluatur $imi- liter o$tendetur proportionem ponderis ad potentiam $e$qui- tertiam e$$e. quòd $i in G $it potentia mouens, o$tende- tur $patium potentiæ $patii ponde ris $e$quitertium e$$e, atq; ita dein- ceps in infinitum procedendo, quamcunq; proportionem ponderis ad potentiam $uperparticula rem inueniemus $emperq; reperiemus ita e$$e pondus ad poten tiam pondus $u$tinentem, vt $patium potentiæ mouentis ad $pa tium ponderis à potentia moti. <pb n=98> <p>Motus vectium fit hoc modo, vectis YZ, cùm funis $it religatus in E, habet fulcimentum in Y, pondus in B medio appen$um, & potentia in Z. & vectis PQ habet fulcimentum in P potentia in medio, & pondus in Q. oportet enim orbiculos, quorum cen- tra$unt BD in eandem partem moueri, videlicet vt QZ $ur- $um moueantur. & quoniam funis religatus e$t in L, erit T fulci mentum vectis ST, qui pondus habet in medio, & potentia in S. & quia S mouetur $ur$um, nece$$e e$t etiam R $ur$um moue ri; & ideo F erit fulcimentum vectis FR, & pondus erit in R, & potentia in medio. orbiculi igitur, quorum centra $unt H k, in contrariam mouentur partem eorum, quorum centra $unt BD: quare partes orbiculorũ PF in orbiculis deor$um tend&etilde;t; videlicet ver$us XV. vectis igitur VX in neutram partem mouebitur, cùm P, & F deor$um moueantur; & VX erit tanquam vectis, in cuius medio erit pondus appen$um, & in VX duæ potentiæ æquales $extæ parti ponderis C. potentiæ enim in MO hoc e$t funes PV FX $extam $u$tinent partem ponderis C. totus igitur orbiculus, cuius centrum A $ur$um vnà cum trochlea mouebitur; non au- tem circumuertetur. <head>PROPOSITIO XXV.</head> <p>Si tribus duarum trochlearum orbiculis, quarum altera binis in$ignita rotulis à potentia $upernè detineatur; altera verò vnius tantùm rotulæ infernè cõ$tituta, ac ponderi alligata fue rit, circumuoluatur funis; vtroq; eius extremo alicuibi, non autem inferiori trochleæ religa- to: dupla erit ponderis potentia. <foot>Bb 2</foot> <pb> <p>Sit pondus A trochleæ inferiori alligatum, quæ orbiculum habeat, cuius centrum $it B; tro chlea verò $uperior duos orbiculos habeat, quorum centra $int CD; $itq; funis circa om nes orbiculos reuolutus, qui in EF $it religatus; potentiaq; $u$tinens pondus $it in G. dico po tentiam in G ponderis A duplam e$$e. $i enim <marg>2. <I>Cor.</I></marg> in H k duæ e$$ent potentiæ pondus $u$tinen <marg>2 <I>Huius.</I></marg> tes, e$$et vtraq; $ubdupla ponderis A; $ed po <marg><I>Ex</I> 15 <I>huius.</I></marg> tentia in D dupla e$t potentiæ in H, & poten tia in C dupla potentiæ in K; quare duæ $imul potentiæ in CD vtriu$q; $imul potentiæ in H k duplæ erunt. $ed potentiæ in H k ponderi A $unt æquales, & potentiæ in CD ip$i potentiæ in G $unt etiam æquales; potentia igitur in G ponde- ris A dupla erit. quod oportebat demon$trare. <p>Si autem in G $it potentia mouens pon- dus, $imiliter vt in præcedenti o$tendetur $pa tium ponderis $patii potentiæ duplum e$$e. <fig> <p>Hinc quoq; con$iderandum e$t vectem PQ non moueri, quia vectis LM habet fulcimen tum in L, potentia in medio, & pondus in M. vectis autem NO habet fulcimentum in O, potentia in medio, & pondus in N. quare M, & N $ur$um mo uebuntur. in contrarias igitur partes orbiculi, quorum centra $unt CD mouentur. idcirco vectis PQ in neutram partem mo uebitur; eritq;, ac $i in medio e$$et appen$um pondus, & in PQ duæ potentiæ æquales dimidio ponderis A. vtraq; enim potentia in HK $ubdupla e$t ponderis A. totus igitur orbiculus, cuius centrum B $ur$um mouebitur, $ed non circumuertetur. <pb n=99> <p>Et $i funis in F duobus aliis adhuc circumuol- uatur orbiculis, quorum centra $int HK, qui de- inde religetur in L; erit proportio potentiæ in G ad pondus A $e$quialtera. <p>Si enim in MNOP quatuor e$$ent poten tiæ pondus $u$tinentes, vnaquæq; $ubquadru <marg><I>Ex</I> 7 <I>huius</I></marg> pla e$$et ponderis A: $ed cùm potentia in k <marg>15 <I>Huius.</I></marg> $it dupla potentiæ in N; erit potentia in k ponderis A $ubdupla. & quoniam potentia in D duabus in MO potentiis e$t æqualis; erit quoq; potentia in D ponderis A $ubdupla. cùm autem adhuc potentia in C potentiæ in P $it dupla, erit $imiliter pot&etilde;tia in C ponderis A $ubdupla. tres igitur potentiæ in CD k tribus medietatibus ponderis A $unt æquales. quo- niam autem potentia in G potentiis in CDK e$t æqualis, erit potentia in G tribus medie- tatibus ponderis A æqualis. Proportio igi- tur potentiæ ad pondus $e$quialtera e$t. <p>Si verò in G $it potentia mouens, erit $pa tium ponderis $patii potentiæ $e$quialterum. <fig> <p>Et $i funis in L adhuc circa duos alios or biculos reuoluatur, $imiliter o$tendetur pro- portionem potentiæ ad pondus $e$quitertiam e$$e. & $ic in infinitum omnes proportiones potentiæ ad pondus $uperparticulares inue- niemus. o$tendemu$q; potentiam pondus $u$tinentem ad pondus ita e$$e, vt $patium ponderis moti ad $patìum potentiæ pondus mouentis. <pb> <p>Motus vectium fiet hoc modo, videlicet Q erit ful cimentum vectis QR, po- tentia in medio, pondus in R; & vectis Z 9 fulci mentum erit Z, pondus in medio, potentiaq; in 9. $i militer X erit fulcimentum vectis VX, potentia in me dio, pondus in V. & quo niam V $ur$um mouetur, Y quoq; $ur$um mouebitur; & vectis YF fulcimentum erit F: quare F, & Z in orbi culis deor$um mouebun- tur. & ob id vectis ST in neutram mouebitur par- tem; & ST erit tamquam libra, cuius centrum D, & pondera in ST æqualia quartæ parti ponderis A. vnu$qui$q; enim funis SZ TF quartam $u$tinet par- tem ponderis A. orbicu- lus ergo, cuius centrum D, $ur$um mouebitur; non au tem circumuertetur. <fig> <pb n=100> <p>Hactenus proportiones ponderis ad potentiam multiplices, & $ubmultiplices; deinde $uperparticulares, $ub$uperparticu- lare$qué declaratæ fuerunt: nunc autem reliquum e$t, vt propor- tiones inter pondus, & potentiam $uperpartientes, & multi- plices $uperparticulares, multiplicesqué $uperpartientes mani- fe$tentur. <head>PROPOSITIO XXVI.</head> <head>PROBLEMA.</head> <p>Si proportionem $uperpartientem inuenire volumus, quemadmodum $i proportio, quam habet pondus ad potentiam pondus $u$tinen- tem fuerit $uperbipartiens, $icut quinque ad tria. <pb> <p><marg><I>Ex</I> 9 <I>huius.</I></marg> Exponatur potentia in A pondus B $u$ti nens, proportionemq; habeat pondus B ad potentiam in A, vt quinq; ad vnum; hoc e$t, $it potentia in A $ubquintupla ponderis B: de- inde eodem fune circa alios orbiculos reuo- <marg><I>Ex</I> 17 <I>huius.</I></marg> luto inueniatur potentia in C, quæ tripla $it potentiæ in A. & quoniam pondus Bad po tentiam in A e$t, vt quinq; ad vnum; & potentia in A ad potentiam in C e$t, vt vnum ad tria; erit pondus B ad potentiam in C, vt quinq; ad tria; hoc e$t $uperbipartiens. <p>Et hoc modo omnes proportiones ponde ris ad potentiam $uperpartientes inuenientur; vt $i $upertripartientem quis inuenire volue- rit; eodem incedat ordine; fiat $cilicet poten tia in A $u$tinens pondus B $ub$eptupla ip- $ius ponderis B; deinde fiat potentia in C ip- $ius A quadrupla; erit pondus B ad poten- tiam in C, vt $eptem ad quatuor: vídelicet $upertripartiens. <p>Si verò in C $it potentia mo- uens pondus erit $patium pot&etilde;tiæ $patii ponderis $uperbipartiens. <fig> <p><marg>17 <I>Huius.</I></marg> Spatium enim potentiæ in C tertia pars e$t $patii potentiæ in A, ita videlicet $e habent, vt quinq; ad quindecim; & $patium potentiæ <marg>14 <I>Huius.</I></marg> in A quintuplum e$t $patii ponderis B, hoc e$t, vt quindecim ad tria; erit igitur $patium potentiæ in C ad $patium ponderis B, vt quinq; ad tria; videlicet $uperbipartiens. & $emper o$tendemus, ita e$$e $patium potentiæ mouentis ad $patium ponderis; vt pondus ad potentiam pondus $u$tinentem. <p>Similiq; pror$us ratione proportionem potentiæ ad pondus $u- <pb n=101> perpartientem inueniemus. $i enim C e$$et inferius, & in ip$o appen$um e$$et pondus; B verò $uperius, in quo e$$et potentia pon dus in C $u$tinens, e$$et potentia in B $uperbipartiens ponderis in C appen$i: cùm B ad A $it, vtquinq; ad vnum; A verò ad <marg>18 <I>Huius.</I></marg> C, vt vnum ad tria. <marg>5 <I>Huius.</I></marg> <p>Si autem multiplicem $uperparticularem in- uenire voluerimus; vt proportio, quam habet pondus ad potentiam pondus $u$tinentem, $it duplex $e$quialtera, vt quinq; ad duo. <p>Eodem modo, quo $uperpartientes inuenimus, has quo- que omnes multiplices $uperparticulares reperiemus. vt fiat <marg><I>Ex</I> 9 <I>huius.</I></marg> pondus B ad potentiam in A, vt quinq; ad vnum; potentia ve <marg><I>Ex</I> 15, 16, <I>Huius.</I></marg> rò in C ad potentiam in A, vt duo ad vnum; quod fiet, $i fu- nis $it religatus in D, non autem trochleæ $uperiori, velin F: erit pondus B ad potentiam in C, vt quinq; ad duo; hoc e$t duplum $e$quialterum. <p>Et è conuer$o proportionem potentiæ ad pondus multiplicem $uperparticularem inueniemus; & vt in reliquis o$tendetur, ita e$ $e $patium potentiæ mouentis ad $patium ponderis, vt pondus ad potentiam pondus $u$tinentem. <p>Omnem quoq; multiplicem $uperpartientem eodem modo inueniemus; vt $i proportio, quam habet pondus ad potentiam, $it duplex $uperbi partiens, vt octo ad tria. <p>Fiat potentia in A pondus B $u$tinens $uboctupla ponderis B; <marg><I>Ex</I> 9 <I>huius Ex</I> 17 <I>huius.</I></marg> & potentia in C potentiæ in A $it tripla; erit pondus B ad po tentiam in C, vt octo ad tria. & è conuer$o omnem potentiæ ad <foot>Cc</foot> <pb> pondus proportionem multipticem $uperpartientem in ueniemus. & vt in cæteris reperiemus ita e$$e pondus ad potentiam pondus $u$tinentem, vt $patium potentiæ mouentis ad $patium pon- deris. <p>Notandum autem e$t, quòd cùm in præcedentibus demo$tratio nibus $æpius dictum fuerit, potentiam pondus $u$tinentem ip$ius ponderis duplam e$$e, vel triplam, & huiu$modi; vt in decima- quinta huius o$ten$um e$t; quia tamen potentia non $olum pon dus, verùm etiam trochleam $u$tinet; idcirco maioris longè vir- tutis, maiori$q; ip$i ponderi proportionis con$tituenda videtur ip$a potentia. quod quidem verum e$t, $i etiam trochleæ graui tatem con$iderare voluerimus. $ed quoniam inter potentiam, & pondus proportionem quærimus: ideo hanc trochleæ grauit at em ommi$imus, quam $iquis etiam con$iderare voluerit, vim ip$i po- tentiæ æqualem trochleæ addere poterit. Quod ip$um etiam in fune ob$eruari poterit. & $icut hoc in decimaquinta con$ideraui mus, idem quoq; in reliquis aliis con$iderare poterimus. <pb n=97> <p>Noui$$e etiam oportet, quòd $icuti proportio nes omnes inter potentiam, & pondus vnico fune inuentæ fuerunt; ita etiam pluribus funi- bus, trochlei$qué eædem inueniri poterunt. vt $i multiplicem $uperparticularem proportionem pluribus funibus inuenire voluerimus, veluti $i proportio, quam habet pondus ad potentiam pondus $u$tinentem, fuerit duplex $e$quialtera, vt quinq; ad duo; oportet hanc proportionem ex pluribus componere. vt (exempli gratia) ex pro- portione $e$quiquarta, vt quinqué ad quatuor, & ex dupla, vt quatuor ad duo. exponatur igitur po <marg><I>Ex</I> 21 <I>huius.</I></marg> tentia in A pondus B $u$tinens, ad quam pondus proportion&etilde; habeat $e$quiquartam, vt quinq; ad quatuor: deinde alio fune inueniatur pot&etilde;tia in C,<marg><I>Ex</I> 2 <I>huius.</I></marg> cuius dupla $it potentia in A. & quoniã B ad A e$t, vt quinq; ad quatuor; & A ad C, vt quatuor ad duo; erit pondus B ad potentiam in C, vt quin que ad duo; hoc e$t proportionem habebit du- plicem $eíquialteram. <fig> <p>Et notandum e$t hanc quoq; proportion&etilde; inue niri po$$e, $i proportionem quinq; ad duo ex pluri bus componamus, vt quinq; ad quindecim & quin decim ad viginti & viginti ad duo. Et hoc modo non $olum omnem aliam proportionem inuenie mus, $ed quamcunq, multis, infinitisqué mo- dis comperiemus. omnis enim proportio ex infi- nitis proportionibus componi pote$t. vt patet in commentario Eutocii in quartam propo$itio- nem $ecundi libri Archimedis de $phera, & cy- lindro. <p>Po$$umus quoq; pluribus funibus, trochleis verò inferioribus tantùm, vel $uperioribus vti. <foot>Cc 2</foot> <!-- <pb> --> <pb> <p>Sit pondus A, cui alligata $it trochlea orbiculum habens, cuius centrum B; religetur funis in C, qui circa orbiculum reuoluatur, funi$q; perueniat in D: erit <marg>2 <I>Huius.</I></marg> potentia in D $u$tinens pondus A $ub- dupla ponderis A. deinde funis in D alteri trochleæ religetur, & circa huius trochleæ orbiculum alius reuoluatur fu nis, qui religetur in E, & perueniat in <marg>2 <I>Huius.</I></marg> F; erit potentia in F $ubdupla eius, quod $u$tinet pot&etilde;tia in D: e$tenim ac$i D dimidium ponderis A $u$tineret $i ne trochlea; quare potentia in F $ubqua- drupla erit ponderis A. & $i adhuc fu nis in F alteri trochleæ religetur, & per eius orbiculum circumuoluatur a- lius funis, qui religetur in G, & per ueniat in H; erit potentia in H $ub dupla potentiæ in F. ergo potentia in H $uboctupla erit ponderis A. & $ic in infinitum $emper $ubduplam poten tiam præced&etilde;tis potentiæ inueniemus. <fig> <p>Et $i in H $it potentia mouens, erit $patium potentiæ $patii ponderis octu <marg>11 <I>Huius.</I></marg> plum. $patium enim D duplum e$t $pa tii ponderis A, & $patium F $patii D duplum; erit $patium F $patii ponde ris A quadruplum. $imiliter quoniam $patium potentiæ in H duplũ e$t $patii F, erit $patium potentiæ in H $patii ponderis A octuplum. <pb n=103> <p>Sit deinde pondus A funi alliga- tum, qui orbiculo trochleæ $uperio ris $it circumuolutus, & religatus in <marg>15 <I>Huius.</I></marg> B; $itq; potentia in C $u$tinens pon dus A: erit potentia in C ponderis A dupla, deinde C alterifuni religetur, qui per alterius trochleæ orbicu lum circumuoluatur, & religetur in D; erit potentia in E dupla po <marg><I>Ex e adem.</I></marg> tentiæ in C. Quare potentia in E quadrupla erit ponderis A. & $i ad huc E alteri funi religetur, qui etiam circa orbiculum alterius trochleæ re uoluatur, & religetur in F; erit poten tia in G dupla potentiæ in E. ergo potentia in G octupla erit ponderis A. & $ic in infinitum $emper præ cedentis potentiæ potentiam du- plam inueniemus. <fig> <p>Si autem in G $it potentia mo- <marg>16 <I>Huius.</I></marg> uens, erit $patium ponderis octu- plum $patii potentiæ in G. $patium enim ponder is A duplum e$t $patii potentiæ in C, & C duplum e$t $patii ip$ius E; quare $patium ponderis A $patii potentiæ in E quadruplum erit. $imiliter quoniam $patium E duplum e$t $patii potentiæ in G; erit ergo $patium ponderis A octuplum $patii potentiæ in G. <pb> <head>COROLLARIVM.</head> <p>Ex his manife$tum e$t maiorem $emper ha- bere proportionem $patium potentiæ mouen- tis ad $patium ponderis moti, quàm pondus ad eandem potentiam. <p>Hoc autem ex iis, quæ in corollario quartæ huius de vecte dicta $unt, patet. <head>PROPOSITIO XXVII.</head> <head>PROBLEMA.</head> <p>Datum pondus à data potentia trochleis moueri. <p>Data potentia, vel e$t maior, vel æqualis, vel minor dato pondere. <pb n=104> <p>Et $i e$t maior, tunc poten- tia, vel ab$q; alio in$trumento, vel fune circa orbiculum trochleæ $ur$um appen$æ reuoluto datum pondus mouebit. Minor enim po <marg><I>Ex</I> 1 <I>huius</I></marg> tentia; quàm data, ponderiæque- ponderat, data ergo mouebit. Quod idem fieri pote$t iuxta om- nes propo$itiones, quibus poten- tia pondus $u$tinens, vel æqualis, vel minor pondere o$ten$a e$t. <fig> <p>Si autem æqualis, pondus mouebit fune per orbiculum trochleæ ponderialligatæ circum uoluto. potentia enim <marg>2 <I>Huius.</I></marg> $u$tinens pondus $ubdu pla e$t ponderis, poten tia igitur ponderi æqua lis datum pondus mo- uebit. Quod etiam $e- cundùm propo$itiones, quibus potentiam pon dere minorem e$$e o- $ten$um e$t, fieri po- te$t. <fig> <pb> <p>Si verò minor, $it datum pondus vt $ex aginta, potentia verò mouens <marg><I>Ex</I> 9 <I>huius</I></marg> data $it tredecim. inueniatur poten- tia in A $u$tinens pondus B, quæ pon deris B $it $ubquintupla. & quoniam potentia in A pondus $u$tinens e$t vt duodecim; maior igitur poten- tia, quàm duodecim in A pondus B mouebit. Quare potentia vt tre- decim in A pondus B mouebit. quod. facere oportebat. <p>Animaduertendũ quoq; e$t in mo uendis ponderibus, potentiam ali- quando for$itan melius mouere mo uendo $e deor$um, quàm mouendo $e $ur$um. vt circumuoluatur adhuc funis per alium trochleæ $uperioris orbiculum, cuius centrum C, funi$q; <marg><I>Ex</I> 5 <I>Huius</I></marg> perueniat in D; erit pot&etilde;tia in D $u$ti n&etilde;s põdus B $imiliter duodecim, qu&etilde; admodum erat in A. Ideo poten- tia vt tredecim in D pondus B mo- uebit. & quia mouet $e deor$um, forta$$e trahet facilius, quàm in A; atq; tempus e$t idem, $icut etiam erat in A. <fig> <pb n=105> <head>PROPOSITIO XXVIII.</head> <head>PROBLEMA.</head> <p>Propo$itum $it nobis efficere, potentiam pon dus mouentem, & pondus per data $patia $ibi in uicem longitudine commen$urabilia moueri. <p>Sit datum $patium potentiæ, vt tria, <marg><I>Ex</I> 22 <I>huius.</I></marg> ponderis verò, vt quatuor. inueniatur po tentia in A pondus B $u$tinens, quæ pon deris $it $e$quitertia, vt quatuor ad trìa. $i igitur in A $it potentia mouens pondus; <marg><I>Ex eadem.</I></marg> erit $patium ponderis $patii potentiæ $e$- quitertium, vt quatuor ad tria. quod face re oportebat. <fig> <p>Hoc autem & ex iis, quæ dicta $unt in vige$ima $ecunda, & in vige$imaquinta huius efficere po$$umus $olo fune. Quòd $i pluribus funibus id efficere voluerimus, non $olum multis, $ed infinitis modis hoc efficere poterimus, vt $upra dictum e$t. <marg><I>In</I> 26 <I>huius.</I></marg> Quare hoc affirmare po$$umus, quod qui- dem mirum e$$e videtur: videlicet. <foot>Dd</foot> <pb> <head>COROLLARIVM. I.</head> <p>Ex his manife$tum e$$e, Quamlibet datam in numeris proportionem inter pondus, & poten tiam; & inter $patium ponderis moti, & $patium potentiæ motæ; infinitis modis trochleis inueni- ri po$$e. <head>COROLLARIVM II.</head> <p>Ex dictis etiam manife$tum e$t, quò pondus facilius mouetur, eò quoq; tempus maius e$$e; quò verò difficilius, eò minus e$$e. & è con- uer$o. <pb n=106> <head>DE AXE IN PERITROCHIO.</head> <fig> <p>Fabricam, & cõ$tructionem hu- ius in$trumenti Pappus in octauo mathematicarum collectionum libro docet; axemq; vocat AB, tympanum verò CD circa idem centrum; & $cytalas in foramini- bus tympani EF GH & c. ita vt potentia, <foot>Dd 2</foot> <pb> <fig> quæ $emper in $cytalis e$t, vt in F, dum circum- uertit tympanum, & axem, $ur$um moueat pon- dus K axi appen$um fune LM circa axem reuo luto. Nobis igitur re$tat, vt o$tendamus, cur ma- gna pondera ab exigua virtute, quouè etiam mo do hoc in$trumento moueantur; temporis quin etiam, $patiiq; mouentis inuicem potentiæ, ac moti ponderis rationem aperiamus; huiu$modi- que in$trumenti v$um ad vectem reducamus. <pb n=107> <head>PROPOSITIO I.</head> <p>Potentia pondus $u$tinens axe in peritrochio ad pondus eandem habet proportionem, quam $emidiameter axis ad $emidiametrum tympani vná cum $cytala. <fig> <p>Sit diameter axis AB, cuius centrum C; $it diameter tympani DCE circa idem centrum; $intq; AB DE in eadem recta linea; $int deinde $cytalæ in foraminibus tympani DF GH & c.inter $e $e æquales, atq; æquè di$tantes; $itq; FE horizonti æquidi$tans; <pb> <fig> pondus autem K in fune BL circa axem volubili $it appen$um. & potentia in F $u$tineat pondus K. Dico potentiam in F ad pondus k ita $e habere, vt CB ad CF. fiat vt CF ad CB, ita pondus k ad aliud M, quod appendatur in F. & quoniam pondera M k appen$a $unt in FB; erit FB tanquam vectis, $iue libra; quia ve rò Ce$t punctum immobile, circa quod axis, tympanusq; reuol- uuntur; erit C fulcimentum vectis FB; vellibræ centrum. cùm <marg>6. <I>Primi Archim. de æquepon.</I></marg> autem it a $it CF ad CB, vt k ad M, pondera k M æqueponde- rabunt. Potentia igitur in F $u$tinens pondus k, ne deor$um ver- gat, ponderi K æqueponderabit; ip$iq; M æqualis erit. idem enim præ$tat potentia, quod pondus M. pondus igitur K ad poten <marg><I>Cor.</I> 4. <I>quinti.</I></marg> tiam in F erit, vt CF ad CB; & conuertendo, potentia ad pondus erit, vt CB ad CF, hoce$t, $emidiameter axis ad $emi <pb n=108> diametrum tympani vnà cum $cytala DF. Similiter etiam o$ten- detur, $i potentia pondus $u$tinens fuerit in Q. tunc enim $u$ti- neret vecte CQ; & ad pondus eam haberet proportionem, quam <marg>2 <I>Huuius. de vecte.</I></marg> habet CB ad CQ. Videlicet $emidiameter axis ad $emidiame- trum tympani vná cum $cytala EQ. quod demon$trare opor- tebat. <head>COROLLARIVM.</head> <p>Manife$tum e$t potentiam $emper minorem e$$e pondere. <p>Semidiameter enim axis $emper $emidiametro tympani mi- nor e$t. & potentia eò minor e$t pondere, quò $emidiameter axis minor e$t $emidiametro tympani vná cum $cytala. quare quò lon gior e$t CF, vel CQ; & quò breuior e$t CB, minor adhuc $em per potentia in F, vel in Q pondus k $u$tinebit. quò enim minor e$t CB, eò minorem habebit proportionem $emidiameter axis ad $emidiametrum tympani vná cum $cytala. <p>Hoc autem loco con$iderandum occurrit, quòd $i in alia $cyta- la appendatur pondus, vt in T, $u$tinens pondus k; it a nempè, vt pondus in T appen$um, pondusq; k circa axem con$titutum maneant; erit pondus in T grauius pondere M in F appen$o. iungatur enim TB, & à puncto C horizonti perpendicularis du- catur CI, quæ lineam TB $ecet in I; tandemq; connectatur TC, quæ æqualis erit CF. Quoniam autem pondera appen$a $unt in TB, perindè $e $e habebunt, ac $i in punctis TB ip$orum centra grauitatum haberent; vt antca dictum e$t. & quia ma- nent, erit punctum I (ex prima huius de libra) amborum $imul grauitatis centrum; cùm $it CI horizonti perpendicularis. $ed quoniam angulus BCI e$t rectus, erit BIC acutus, lineaq; BI <marg><I>Ex</I> 19 <I>primi.</I></marg> ip$a BC maior erit. quare angulus CIT erit obtu$us; atq; <marg><I>Ex</I> 13 <I>primi.</I></marg> ideo line^{a} CT ip$a T^{I} maior erit. Cùm autem CT maior $it TI, & IB maior BC; maiorem habebit proportionem TC ad CB, quàm TI ad IB; & conuertendo, minorem habebit pro- <pb> <fig> portionem BC ad CT, hoc e$t ad CF, quàm BI ad IT; vt ex vige$ima $exta quinti elementorum (iuxta Commandini editio- nem) patet. Quoniam verò punctum I e$t ponderum in TB <marg>6. <I>Primi Archim. de æquepon.</I></marg> exi$tentium centrum grauit atis; erit pondus in T ad pondus in B, vt BI ad IT. pondus verò in F ad idem pondus in Be$t, vt BC ad CF; maiorem igitur proportionem habebit pondus in T ad pondus in B, quàm pondus in F ad idem pondus in B. ergo <marg>10. <I>Quinti.</I></marg> grauius erit pondus in T, quàm pondus in F. <p>Si verò loco ponderis in T animata potentia $u$tinens pon- dus k con$tituatur; quæ ita degrauet $e, ac $i in centrum mundi tendere vellet; quemadmodum $uapte natura efficit pondus in T appen$um; erit hæc eadem ponderi in T appen$o æqualis; alio- quin non $u$tineret; quæ quidem ip$a potentia in F collocata ma <pb n=109> ior erit. $icuti enim $e $e habet pondus in T ad pondus in F, ita & potentia in T ad potentiam in F; cùm potentiæ $int ponderi- bus æquales. verùm $i vnaquæq; potentia $eor$um $umpta, tàm in T, quàm in F $u$tinens pondus $ecundũ circũferentiam THFN moueri $e vellet, veluti apprehen$a manu $cytala; tunc eademmet potentia, vel in F, vel in T con$tituta idem pondus k $u$tinere po terit; cùm $emper in cuiu$cunq; extremitate $cytalæ ponatur, ab eodem centro C æquidi$tans fuerit, ac $ecundum eandem circum ferentiam ab eodem centro æqualiter $emper di$tantem perpen$io nem habeat. neq; enim ($icuti pondus) proprio nutu magis in centrum ferri exoptat, qu<*>m circulariter moueri; cùm vtrunq;, $eu quemlibet alium motum nullo pror$us re$piciat di$crimine. pro- pterea non eodem modo res $e $e habet, $iue pondera, $iue anímatæ potentiæ ii$dem locis eodem munere abeundo fuerint con$titutæ. <p>Potentia autem mouet pondus vecte FB, videlicet dum po tentia in F circumuertit tympanum, circumuertit etiam axem; & FB fit tamquam vectis, cuius fulcimentum C, potentia mouens in F, & podus in B appen$um. & dum punctum F peruenit in N; punctum H erit in F, & punctum B erit in O; ita vt ducta NO tran$eat per C; eodemq; tempore pondus k motum erit in P, ita vt OBP $it æqualis ip$i BL, cùm $it idem funis. <p>Deinde ex quarta huius de vecte facilè eliciemus $patium po- tentiæ mouentis ad $patium ponderis moti ita e$$e, vt $emidiame ter tympani cùm $cytala ad $emidiametrum axis, hoc e$t, vt CF ad CB, cùm circumferentia FN ad BO, $it vt CF ad CB. & quo <marg><I>Ex</I> 4 <I>huius de vecte.</I></marg> niam BL, e$t æqualis OBP, dempta communi BP, erit OB ip $i PL æqualis. quare FN $patium potentiæ ad PL $patium pon- deris erit, vt CF ad CB, videlicet $emidiameter tympani cùm $cytala ad $emidiametrum axis. Quod idem o$tendetur, poten- tia vel in Q, vel in qualibet alia $cytala exi$tente, vt in S. cùm enim $cytalæ $int $ibi inuicem æquales, atq; æqualiter di$tantes; vbicunq; $it potentia æquali mota velocitate $emper æquali tem- pore æquale $patium pertran$ibit, hoc e$t ex Q in R, vel ex Sin T eodem tempore mouebitur, quò ex F in N. $ed quò tempore po tentia ex Fin N mouetur, eodemmet pror$us pondus k ex L in P quoq; mouetur; vbicunq; igitur $it potentia, erit $patium poten- <foot>Ee</foot> <pb> <fig> tiæ ad $patium ponderis moti, vt CF ad CB, hoc e$t $emidia- meter tympani cum $cytala, ad $emidiametrum axis. <head>COROLLARIVM. I.</head> <p>Ex his manife$tum e$t, ita e$$e pondus ad po- tentiam pondus $u$tinentem, vt $patium poten- tiæ mouentis ad $patium ponderis moti. <pb n=110> <head>COROLLARIVM II.</head> <p>Manife$tum e$t etiam, maiorem $emper ha- bere proportionem $patium potentiæ mouentis ad $patium ponderis moti, quàm pondus ad ean dem potentiam. <p>Præterea quò circulus FHN circa $cytalas e$t maior, eò quoq; in pondere mouendo maius $umetur tempus; dummodo potentia æquali moueatur velocitate. tempu$q; eò maius erit, quò diame ter vnius diametro alterius e$t maior. circulorum enim circumfe. <marg>23 <I>Octaui libri Pappi.</I></marg> rentiæ ita $e habent, vt diametri. Cùm vero ex trige$ima $exta quarti libri Pappi Mathematicarum collectionum, duorum inæ qualium circulorum æquales circumferentias inuenire po$simus; ideo tempus quoq; portionum circulorum inæqualium hoc modo inueniemus. è conuer$o autem, quò maior erit axis circumferen tia citius pondus $ur$um mouebitur. maior enim pars funis BL in vna circumuer$ione completa circa circulum ABO reuoluitur, quàm $i minor e$$et; cùm funis circumuolutus $it circumferen- tiæ circuli æqualis, circa quem reuoluitur. <head>COROLLAR VM.</head> <p>Ex his manife$tum e$t, quò facilius pondus mo uetur, tempus quoq; eò maius e$$e; & quò dif- ficilius, eò tempus minus e$$e. & è conuer$o. <foot>Ec 2</foot> <pb> <head>PROPOSITIO II.</head> <head>PROBLEMA.</head> <p>Datum pondus à data potentia axe in peritro- chio moueri. <p>Sit datum pondus $exagin ta; potentia verò vt decem. exponatur quædam recta li- nea AB, quæ diuidatur in C, ita vt AC ad CB eandem <fig> habeat proportionem, quam $exaginta ad decem. & $i CB axis $emidiameter e$$et, & CA $emidiameter tympani cùm $cytalis; <marg><I>Per præce dentem.</I></marg> patet potentiam vt decem in A ponderi $exaginta in B æquepon derare. Accipiatur autem inter BC quoduis punctum D; fiatq; BD $emidiameter axis, & DA $emidiameter tympani cùm $cy- talis; ponaturq; pondus $exaginta in B fune circa axem, & potentia <marg><I>Lemma in primi buius de vecte.</I></marg> <I>in A. Quoniam enim AD ad DB maiorem habet proportio- nem, quam AC ad CB; maiorem habebit proportionem AD ad DB, quam pondus $exaginta in B appen$um ad potentiam vt decem</I> <marg><I>Ex</I> 11 <I>huius de vecte.</I></marg> in A. Quare potentia in A pondus $exaginta axe imperitro- chio mouebit, cuius axis $emidiameter e$t BD, & DA $emidia meter tympani cùm $cytalis. quod erat faciendum. <pb n=111> <head>ALITER.</head> <head>Organicè verò melius erit hoc pacto.</head> <p>Exponatur axis, cuius diameter $it BD, & cen- trum C, quem quidem axem maiorem, vel mino rem con$tituemus, veluti <fig> magnitudo, ponderi$q; grauitas po$tulat. producatur deinde BD v$q; ad A: fiatq; BC ad CA, vt decem ad $exaginta. & $i CA tym pani cùm $cytalis $emidiameter e$$et, potentia decem in A ponde ri $exaginta in B æqueponderaret. producatur verò BA ex parte A, & in hac producta linea quoduis accipiatur punctum E; fiatq; CE $emidiameter tympani cùm $cytalis; ponaturq; potentia vt decem in E; habebit EC ad CB maiorem proportionem, quàm pondus $exaginta in B ad potentiam vt decem in E. potentia igi- tur vt decem in E mouebit pondus $exaginta in B appen$um fune circa axem, cuius $emidiameter e$t CB, & CE $emidiameter tym pani cùm $cytalis. quod facere oportebat. <pb> <p>Sub hoc facultatis genere $unt ergatæ, $uccu- læ, terebræ, tympana cum $uis axibus, $iue dentata, $iue non; & $imilia. <p>Terebra verò habet etiam ne$cioquid cochleæ; dum enim mo- uet pondus, $cilicet dum perforat, ex $ua ferè natura $emper vlte- rius progreditur<I>:</I> habet enim ferè helices tamquam circa conum de$criptas. quoniam autem verticem habet acutum, ad cunei quoq; rationem commodè referri poterit. <fig> <pb n=112> <head>DE CVNEO.</head> <p>Aristoteles in quæ$tioni- bus Mechanicis quæ$tione deci- ma$eptima a$$erit, cuneum $cin- dendo ponderi duorum vicem pror$us gerere vectium $ibi inui- cem contrariorum hoc niodo. <p>Sit cuneus ABC, cu ius vertex B, & $it AB æqualis BC; quod au tem $cindendum e$t, $it DEFG; $itq; pars cunei HB k intra DE FG, & HB æqualis $it ip$i Bk. percutiatur (vt fieri $olet) cuneus in AC, dum cuneus in AC percutitur, AB fit vectis, cuius fulcimen tum e$t H, & pondus in B. eodemq; modo CB fit vectis, cuius fulci- <fig> mentum e$t K, & pondus $imiliter in B. $ed dum percutitur cu- neus, maiori adhuc ip$ius portione ip$um DEFG ingreditur, quàm prius e$$et: $it autem portio hæc MBL; $itq; M Bip$i BL æqualis. & cùm MB BI. $int ip$is HB BK maiores; erit ML maior <pb> Hk. dum igitur ML erit in $itu Hk; opor- ter, vt fiatmaior $ci$sio; & D moueatur ver$us O, G autem ver$us N: & quò maior pars cu nei intra DEFG ingre dietur, eò maior fiet $ci$sio; & DG ma- gis adhuc impellentur ver$us ON. pars igi tur KG eius, quod $cin ditur, mouebitur à ve- cte AB, cuius fulcimen tum e$t H, & pondus <fig> in B; ita vt punctum B ip$ius vectis AB impellat partem KG. & pars HD mouebitur à vecte CB, cuius fulcimentum e$t k; ita vt B vecte CB partem HD impellat. <p>Cùm autem tria $int vectium genera, vt $upra o$ten$um e$t; idcirco conuenientius erit forta$$è cuneum hoc modo con$iderare. <p>Ii$dem po$itis, intelligatur vectis AB, cuius fulcimentum B, & pondus in H, vt in $ecunda huius de vecte diximus. $imiliter ve- ctis CB, cuius fulcimentum B, & pondus in K; ita vt pars HD moueatur à vecte AB, cuius fulcimentum e$t B, & pondus in H; ita vt punctum H ip$ius vectis AB impellat partem HD. $imi li quoq; modo pars KG moueatur à vecte CB, cuius fulcimentum e$t B, & pondus in k, it aut k ip$ius uectis CB partem k G mo- ueat. quod quidem for$itan rationi magis con$entaneum erit. <pb n=113> <p>Sit enim cuneus ABC; $intq; duo pondera $epa- rat a DEFG, & HIkL, intra quæ $it pars cunei DBH, cuius uertex B medium inter utrumq; $i tum obtineat. percutia- tur autem cuneus, ita ut magis adhuc intra pon- dera propellatur, $icuti prius dictum e$t; ponde- <fig> ra enim $unt, ac $i unum tantùm continuum e$$et GFkL, quod $cindendum e$$et: eodem enim modo pars DG, dum cuneus ulterius impellitur, mouebitur uer$us M; & pars HL uer$us N. Moueatur itaq; pars DG uer$us M, & pars HL uer$us N, B uerò dum ulterius progreditur, $emper medium inter utrunq; pondus remaneat. dum autem DG à cuneo mouetur uer$us M; patet B non mouere partem DG uer$us Muecte CB, cuius fulcimentum H; punctũ enim B non tangit pondus; $ed DG mouebitur à pun- cto uectis Duecte AB, cuius fulcimentum B; punctum enim D tan git pondus, & in$trumenta mouent per contactum. Similiter HL mouebitur ab H uecte CB, cuius fulcimentum B; & uterq; uectis utriq; re$i$tit in B, ita ut B potius fulcimenti uice fungatur, quàm mouendi ponderis. quod ip$um hoc quoq; modo manife- $tum erit. <foot>Ff</foot> <pb> <p>Sit, quod $cindendum e$t A BCD parallelogrammũ rectan- gulum; $intq; duo vectes æqua- les EF GF, & partes vectium HF KF $int intra ABCD; $itq; HF æqualis Fk, & HA æqua lis KB. Oporteat verò vecti- bus EF GF $cindere ABCD ab$q; percu$sione, videlicet $int potentiæ mouentes in EG æqua les. vt autem $cindatur ABCD, oportet partem HA moueriuer <fig> $us M. & kB ver$us N; $ed dum vectes mouentur, putá alter in M, alter verò in N; nece$$e e$t, vt punctum F immobile rema neat; in illo enim fit vectium occur$us. quare F erit fulcimen- tum vtriu$q; vectis, & FG mouebit partem kB, cuius fulcimen tum erit F, & potentia mouens in G; & pondus in k. $imi- liter pars HA mouebitur à vecte EF, cuius fulcimentum F, po tentia in E, & pondus in H. <p>Si autem k H e$$ent fulcimenta immobilia, & pondera in F; dum vectis FG conatur mouere pondus in F, tunc ei re$i$tit ve- ctis EF, qui etiam conatur mouere pondus in F ad partem op po$itam; $ed quoniam potentiæ $unt æquales, & cætera æqualia; ergo in Fnon fiet motus: æquale enim non mouet æquale. patet igitur in F maximam fieri vectium $ibi inuicem occurrentium re$i $tentiam, itaut F $it quoddam immobile. Quare con$iderando cuneum, vtmouet vectibus $ibi inuicem aduer$is, for$itan eis po tius utitur hoc $ecundo modo, quàm primo. <p>Quoniam autem totus cuneus $cindendo mo uetur, po$$umus idcirco eundem alio quoq; mo do con$iderare; videlicet dum ingreditur id, <pb n=114> quod $cinditur, nihil aliud e$$e, ni$i pondus $u pra planum horizonti inclinatum mouere. <fig> <p>Sit planum horizonti æquidi$tans tran$iens per AB; $it cuneus CDB, & CD æqualis ip$i DB; & latus cunei DB $it $emper in $ubiecto plano. $it deinde pondus AEFG immobile in A; $itq; pars cunei EDH $ub AEFG. Quoniam enim dum percutitur cu neus in CB, maior pars cunei ingreditur $ub AEFG, quàm $it EDH; $it hæc pars IDH. & quoniam latus cunei DB $emper e$t in $ubiecto plano per AB ducto horizonti parallelo, tunc quan do pars cunei kDI erit $ub AEFG; erit punctum k in H, & I $ub E. $ed Ik maior e$t HE; punctum igitur E $ur$um motum erit. & dum cuneus $ub AEFG ingreditur, punctum E $ur$um $uper latus cunei EI mouebitur, eodemq; modo $i cuneus vlterius progredietur, $emper punctum E $uper latus cunei DC mouebitur: punctum igitur E ponderis $uper planum DC mouebitur horizonti inclinatum, cuius inclinatio e$t angulus BDC. quod demon- $trare oportebat. <foot>Ff 2</foot> <pb> <fig> <p>In hoc exemplo, con$iderando cuneum in$tar vectis mouen- tem, manife$tum e$t, cuneum BCD pondus AEFG vecte CD mouere; ita vt D $it fulcimentum, & pondus in E. non autem ve cte BD, cuius fulcimentum H, & pondus in D. <p>Vt autem res clarior reddatur, alio vtamur exemplo. <p>Sit planum hori- zonti æquidi$tans tran$iens per AB; $it cuneus CAB, cuius latus AB $it $emper in $ubiecto plano; $it- qué pondus AEFG, quod nullum alium habeat motum, ni$i <fig> $ur$um, & deor$um ad rectos angulos horizonti; ita vt ducta IGk $ubiecto plano, ip$iqué AB perpendicularis, punctum G $it $em per in linea IGk. & quoniam dum cuneus percutitur in CB, to tus $uper AB vlterius progreditur; pondus AEFG eleuabitur ex <pb n=115> iis, quæ $upra diximus. Moueatur cuneus ita, vt E tandem per- ueniat in C, & po$itio cunei ABC $it MNO, & po$itio pon- deris AEFG $it PMQI, & G$it in I. Quoniam itaq; dum cu neus $uper lineam BO mouetur, pondus AEFG $ur$um moue- tur à linea AC. & dum cuneus ABC vlterius progreditur, $em per pondus AEFG magis à latere cunei AC eleuatur: pondus igi tur AEFG $uper planum cunei AC mouebitur; quod quidem nihil aliud e$t, ni$i planum horizonti inclinatum, cuius inclinatio e$t angulus BAC. <p>Hic motus facilè ad libram, vectemq; reducitur. quod enim $uper planum horizonti inclinatum mouetur ex nona Pappi octa- ui libri Mathematicarum collectionum reducitur ad libram. ea- dem enim e$t ratio, $iue manente cuneo, vt pondus $uper cunei latus moueatur; $iue eodem etiam moto, pondus adhuc $uper ip $ius latus moueatur; tamquam $uper planum horizonti incli- natum. <p>Ea verò, quæ $cinduntur, quomodo tam- quam $uper plana horizonti inclinata mouean. tur, o$tendamus. <p>Sit cuneus ABC, & AB ip$i BC æqua- lis. Diuidatur AC bifariam in D, conne- ctaturq; BD. $it dein- de linea EF, per quam tran$eat planum hori zonti æquidi$tans; $itq; BD in eadem linea EF; & dum cuneus percuti tur, dumq; mouetur ver <fig> $us E, $emper BD $it in linea EF. quod verò $cindendum e$t $it GHLM, intra quod $it pars cunei kBI. manife$tum e$t, <pb> dum cuneus uer$us E mouetur, partem kG ver$us N moueri; & par tem HI uer$us O. per cutiatur cuneus, ita vt AC $it in linea NO; tunc k erit in A, & I in C: & k ex $uperius di ctis motum erit $uper kA, & I $uper IC. quare dum cuneus mo <fig> uetur, pars KG $uper BA latus cunei mouebitur, & pars IH $uper latus BC. pars igitur kG $uper planum mouetur horizonti incli- natum, cuius inclinatio e$t angulus FBA. $imiliter IH moue- tur $uper planum BC in angulo FBC. Partes ergo eius, quod $cinditur $uper plana horizonti inclinata mouebuntur. & quam- quam planum BC $it $ub horizonte; pars tamen IH $uper IC mo uetur, tamquam $i BC e$$et $upra horizont&etilde; in angulo DBC. partes enim eius quod $inditur, eodem tempore, ab cadem potentia mo- uentur; eadem ergo erit ratio motus partis IH, ac partis KG. $i- militer eadem e$t ratio, $iue EF $it horizonti æquidi$tans, $iue horizonti perpendicularis, vel alio modo. nece$$e e$t enim poten tiam cuneum mouentem eandem e$$e, cùm cætera eadem rema neant. eadem igitur erit ratio. <p>Po$t hæc con$iderandum e$t, quæ nam $int ea, quæ efficiunt, vt aliquod facilius moueatur, $iue $cindatur. quæ quidem duo $unt. <p>Primum, quod efficit, vt aliquod facilè $cin datur, quod etiam ad e$$entiam cunei magis per- tinet, e$t angulus ad verticem cunei; quò enim minor e$t angulus, eò facilius mouet, ac $cindit. <pb n=116> <p>Sint duo cunei ABC DEF, & angulus ABC ad verticem minor $it angulo DEF. dico aliquod facilius moueri, $iue $cindi à cu neo ABC, quàm à DEF. diuidantur AC DF bifariam in G H punctis; connectan- turq; BG, & EH. Quoniam enim partes eius, quod $cinditur à cuneo ABC, $u- per planum horizonti inclinatum mouen- tur, cuius inclinatio e$t GBA: quæ ve- rò à cuneo DEF, $uper planum horizonti inclinatum mouentur, cuius inclinatio e$t <fig> HED; & angulus GBA minor e$t angulo HED; cùm CBA minor $it DEF: & ex nona Pappi octaui libri mathe maticarum collectionum, quod mouetur $uper planum AB faci- lius mouebitur, & à minore potentia, quàm $uper ED; Quod ergo $cinditur à cuneo ABC facilius, & à minore potentia $cin detur, quàm à cuneo DEF. $imiliter o$tendetur, quò magis an- gulus ad verticem cunei erit acutus, eò facilius aliquod moueri, ac $cindi. quod demon$trare oportebat. <p>Po$$umus etiam hoc alia ratione o$tendere con$iderando cuneum, vt vectibus $ibi inuicem aduer$is mouet, $icuti $ecundo modo dictum e$t. hoc autem prius o$tendere oportet. <pb> <p>Sit vectis AB, cuius fulcimentum $it B immobile; quod autem mouen- dum e$t, $it CDEF rectangulum ita accommodatum, vt deor$um ex par te FE mouerinon po$sit; & punctum E$it immobile, & tamquam centrum; ita vt punctum D moueatur per cir- cumferentiam circuli DH, cuius cen- trum $it E. & C per circumferentiam CL, ita vt iuncta CE $it eius $emi diameter. tangat in$uper CDEF ve <fig> ctem AB in C, atq; vectis AB moueat pondus CDEF, & po tentia mouens $it in A, fulcimentum B, & pondus in C. $it deinde alius vectis MCN, qui etiam moueat CDEF, cuius ful cimentum immobile $it N; potentia mouens in M, & pondus $imiliter in C; $itq; CN æqualis ip$i CB, & CM ip$i CA; al ternatimq; moueatur pondus CDEF vectibus AB MN. dico CDEF facilius ab eadem potentia moueri vecte AB, quàm ve cte MN. <p>Fiat centrum B, & interuallo BC circumferentia de$cribatur CO. $imiliter centro N, interuallo quidem NC, circumferen tia de$cribatur CP. Quoniam enim dum vectis AB mouet CD EF, punctum vetis C mouetur $uper circumferentiam CO; cùm $it B fulcimentum, & centrum immobile. $imiliter dum vectis MN mouet CDEF, punctum C mouetur per circumferentiam CP; dum igitur vectis AB mouet CDEF, conatur mouere pun ctum C ponderis $uper circumferentiam CO; quod quidem effi cere non pote$t: quia C mouetur$uper circumferentiam CL. qua re in motu vectis AB $ecundùm partem ip$i re$pondentem, ac mo tu ponderis $ecundum C facto, contingit repugnantia quædam; in diuer$as enim partes mouentur. $imiliter dum vectis MN mo uet CDEF, conatur mouere C $uper circumferentiam CP; at- que ideo in hoc etiam vtroq; motu $imilis oritur repugnantia. quoniam autem circumferentia CO propior e$t circumferentiæ CL, quam $it CP; hoc e$t propior e$t motui, quem facit pun- ctum C ponderis; ideo minor erit repugnantia inter motum vectis <pb n=117> AB, & motum C ponderis, quàm inter motum vec tis MN, & motum eiu$dem C. quod etiam patet, $i intelligatur CF hori- zonti perpendicularis, tunc enim circumferentia CP magis ten dit deor$um, quàm CO; & CL tendit $ur$um. & ideo minor fit re pugnantia inter vectem AB, & motum C, quàm inter vect&etilde; MN, & motum C. $ed vbi minor repugnantia ibi maior facilitas. ergo faci liusmouebitur CD EF vecte AB, quàm vecte MN. quod demon $trare oportebat. <head>COROLLARIVM.</head> <p>Ex hoc manife$tum e$t, quò minor e$t an- gulus à linea CF, vel CE, vel CD contentus; hoc e$t, quò minor e$t angulus BCF, vel BCE, vel etiam BCD, eò facilius pondus moueri. quod quidem eodem modo o$tendetur. <p>Quod autem propo$itum e$t, $ic demon- $trabimus. <p>Sint cunei ABC DE F, & angulus ABC mi- nor $it angulo DEF, & AB BC DE EF $int in ter $e $e æquales. Sint de- inde quatuor pondera æ- qualia GH IL NO QR rectan gula; $intq; LM kH in eadem recta linea: <fig> $imiliter RS PO in recta linea; erunt GK IM parallelæ, & NP <marg><I>Ex</I> 28 <I>primi.</I></marg> QS parallelæ. $it IBG pars cunei intra pondera GH IL; & cu nei pars QEN intra pondera NO QR; $intqué IB BG QE EN inter $e $e æquales. dico pondera GH IL facilius ab eadem <foot>Gg</foot> <pb> potentia moueri cuneo ABC, quàm pondera NO QR cuneo DEF. <p>Diuidantur AC DF bifariam in TV, iungan turq; TBVE, erunt an- guli ad T, & V recti. con nectatur IG, quæ $ecet BT in X. Quoniam e- <fig> nim IB e$t æqualis BG, & BA æqualis BC; erit IA ip$i GC <marg>2 <I>Sexti.</I></marg> æqualis. quare vt BI ad IA, ita e$t BG ad GC. parallela igitur <marg><I>Ex</I> 29 <I>primi.</I></marg> e$t IG ip$i AC. ac propterea anguli ad X $unt recti: $ed & an <marg>28 <I>Primi.</I></marg> guli XG k XIM $unt recti, rectangulum enim e$t GM; quare TB æquidi$tans e$t ip$is Gk IM. angulus igitur TBC æqua- lis e$t angulo BGK, & TBA ip$i BIM æqualis. $imiliter demon $trabimus angulum VEF æqualem e$$e ENP, & VED æqualem EQS. cùm autem angulus ABC minor $it angulo DEF; erit & angulus TBC minor VEN. quare & BGk minor ENP. $imili modo BIM minor EQS. quoniam autem cuneus ABC duobus mouet vectibus AB BC, quorum fulcimenta $unt in B; & pondera in GI: $imiliter cuneus DEF duobus vectibus mouet DE EF, quorum fulcimenta $unt in E; & pondera in N Q: per præcedentem pondera GH IL facilius vectibus AB BC mo- uebuntur, quàm pondera NO QR vectibus DE EF. ponde- ra ergo GH IL facilius cuneo ABC mouebuntur, quàm ponde- ra NO QR cuneo DEF. & quia eadem e$t ratio in mouendo, atq, in $cindendo; facilius idcirco aliquod cuneo ABC $cindetur quàm cuneo DEF. $imiliterq; o$tendetur, quò minor e$t angu lus ad verticem cunei, eò facilius aliquod moueri, vel $cindi. quod demon$trare oportebat. <p>Præterea quæ mouentur à cuneo DEF, per maiora mouentur $patia; quàm ea, quæ à cuneo ABC. nam vt DF $it intra QN, & AC $it intra IG; nece$$e e$t, vt QN per $patia moueantur maiora; $cilicet vnum dextror$um, alter $ini$tror$um, quàm IG; cùm DF maior $it AC; dummodo totus cuneus intra pondera in- <pb n=118> grediatur. à potentia verò facilius eodem tempore mouetur ali- quod per minus $patium, quàm per maius; dummodo cætera, qui- bus fit motus, $int æqualia: $i ergo eodem tempore AC DF in IG QN perueniãt, cùm AI CG DQ FN $int inter$e $e æqua les; facilius à potentia mouebuntur GI cuneo ABC, quàm QN cuneo DEF. quare facilius pondera GH IL à potentia mouebun tur cuneo ABC, quàm pondera NO QR cuneo DEF. $imiliter- qué o$tendetur, quò angulus ad verticem cunei minor e$$et, eò fa cilius pondera moueri, vel $cindi. <p>Secundum, quod efficit, vt aliquod facilius $cindatur, e$t percu$sio; qua cuneus mouetur, & mouet; hoc e$t percutitur, ac $cindit. <fig> <p>Sit cuneus A, quod $cinditur B, quod percutit C; quod quidem, vel ex $e ip$o, vel à regente, atq; ip$um mouente poten tia percutit, atq; mouet. $i quidem ex $e ip$o, Primùm quò grauius erit, eò maior fiet percu$sio. quinetiam, quò longior fuerit di$tantia inter AC, maior itidem fiet percu$sio. graue enim vnum- quodq; dum mouetur; grauitatis ma- gis a$$umit motum, quàm quie$cens: & adhuc magis quo longius mouetur. <fig> <foot>Gg 2</foot> <pb> <p>Si verò C ab aliqua moueatur po tentia, vt $i per manubrium DE mo ueatur; primùm quò grauius erit C, deinde quò longius erit DE, eò ma- ior fiet percu$sio. $i enim ponatur po tentia mouens in E, erit C magis di $tans à centro & ideo citius mouebi tur. vt in quæ$tionibus Mechanicis latè mon$trat Ari$toteles; nec non ex iis, quæ in tractatu de libra di- cta fuere, patere pote$t, quò magis <fig> pondus Cà centro di$tat, eò grauius reddi. quod ip$um etiam va lidiori pellet impul$u virtute in E potentiore exi$tente. <p>Hoc verò $ecundùm e$t, quod efficit, vt hoc in$trumento ma- gna moueantur, $cindanturq; pondera. percu$sio enim vis e$t ua lidi$sima, vt ex decimanona quæ$tionū Mechanicarum Ari$totelis patet. $i enim $upra cuneum maximum imponatur onus; tunc cu- neus nihil ferè efficiet, præ$ertim ictus comparatione. quod $i ad huc ip$i cuneo vectem, vel cochleam, vel quoduis aliud huiu$mo di aptetur in$trumentum ad cuneum ponderi intimius propellen- dum, nullius ferè momenti præ ictu continget effectus. cuius qui- <pb n=119> dem rei inditio e$$e pote$t, $i fuerit corpus A lapideũ, ex quo aliquam eius partem detrahere qui$piam voluerit, pu tá partem anguli B; tunc malleo ferreo ab$q; alio in$trumento percutiendo in B, facilè aliquam anguli B partem franget. quod quidem nullo alio in$trumento percu$sionis munere carente, ni$i maxi ma cùm difficultate efficere poterit; $iue <fig> fuerit vectis, $iue cochlea, $iue quoduis aliud huiu$modi. quare percu$sio in cau$a e$t, quo magna $cindantur pondera. cùm autem $ola percu$sio tantam vim habeat, $i ei aliquod adiiciamus in$tru mentum ad mouendum, $cindendumq; accomodatum, admiran da profectò videbimus. In$trumentum huiu$ modi cuneus e$t, in quo duo (quantum ad ip- $ius formam attinet) con$ideranda occurrunt. Alterum e$t, cuneum ad $u$cipiendam, $u$tinen damq; percu$sionem apti$simum e$$e; alterum e$t quòd propter eius in altera parte $ubtilita- tem facilè intra corpora ingreditur, vt manife $tè patet. Cuneus ergo cum percu$sione ip$ius efficit, vt in mouendis, $cindendi$q; ponderi- bus ferè miracula cernamus. <fig> <pb> <p>Ad huiu$modi facultatis in$trumentum, ea quoquè omnia commodè referri po$$unt, quæ percu$sione, $iue impul$u incidunt, diuidunt, perforant, huiu$modiq; alia obeunt munera. vt en$es, gladii, mucrones, $ecures, & $imilia. $erra quoq; ad hoc reducetur; dentes enim percu- tiunt, cuneiq; in$tar exi$tunt. <pb n=120> <head>DE COCHLEA.</head> <p>Pappvs in eodem octauo libro multa pertractans de cochlea, do cet quomodo conficienda $it; & quomodo magna huiu$modi in- $trumento moueantnr pondera; nec non alia theoremata ad eius cognitionem valdè vtilia. Quoniam autem in- ter cætera pollicetur, $e o$tendere velle, co- chleam nihil aliud e$$e præter a$$umptum cu- neum per cu$sionis expertem vecte motionem facientem; hoc autem in ip$o de$ideratur; pro- pterea idip$um o$tendere conabimur, nec non eiu$dem cochleæ ad vectem, libramq; reductio- nem; vt ip$ius tandem completa habeatur co- gnitio. <pb> <fig> <p>Sit cuneus ABC, qui circa cylindrum DE circumuoluatur:$itq; IGH cuneus circa cylindrum reuolutus, cuius vertex $it I. $it de- inde cylindrus cum circumpo$ito cuneo ita accomodatus, vt ab$q; vllo impedim&etilde;to manubrio kF eius axi annexo circumuerti po$sit. $itq; LMNO, quod $cindendum e$t; quod etiam ex parte MN $it immobile: vt in iis, quæ $cinduntur, fieri $olet: & $it vertex I intra RS. circumuertatur kF, & perueniat ad kP; dum autem kF circumuertitur, circumuertitur etiam totus cylindrus DE, & cu- neus IGH: quare dum KF erit in kP, vertex I non erit amplius intra RS, $ed cuneipars alia, vt TV: $ed TV maior e$t, quàm RS; $emper enim pars cunei, quæ magis à vertice di$tat, maior e$tea, quæ ip$i e$t propinquior: vt igitur TV $it intra RS, opor- tet, vt R cedat, moueaturq; ver$us X, & S ver$us Z, vt faciunt ea, quæ $cinduntur. totum ergo LMNO $cindetur. $imiliter què demon$trabimus, dum manubrium kP erit in kQ, tunc GH e$$e intra RS: & vt GH $it intra RS, nece$$e e$t, vt R $it in X, & S in Z; ita vt <I>X</I>Z $it æqualis GH; $emperq; LMNO amplius $cindetur. $icigitur patet, dum kF circumuertitur, $emper R moue ri ver$us X, atq; S ver$us Z: & R $emper $uper ITG moueri, S au tem$uper IVH, hoc e$t $uper latera cunei circa cylindrum circum uoluti. <pb n=121> <head>PROPOSIO I.</head> <p>Cuneus hoc modocirca cylindrum accommo- datus, nihil e$t aliud; ni$i cochlea duas habenshe lices in vnic o punctoinuicem coniunctas. <fig> <p>Sit cuneus ABC; & AB ip$i BC æqualis. diuidatur AC bifariam in D, iunga turq; BD; erit BD ip$i AC perpendicularis; & AD ip$i DC æqualis, triangu- lumq; ABD triangulo C BD æquale. fiant deinde triangula rectangula EFG HIk non $olum inter $e, verùm etiam vtriq; ADB & CDB æqualia. $itq; cy lindrus LMNO, cuius perimeter $it æqualis vtriq; FG kI. & LMNO $it parallelogrammum per axem. fiatq; MP æqualis FE; & PN æqualis HI. ponaturq; HI in NP, circumuolua- turq; triangulum HIk circa cylindrum; & $ecundùm kH helix de$cribatur NQP, vt Pappus quoq; docet in octauo libro propo $itione vige$ima quarta. $imiliter ponatur EF in MP, circum- uoluaturq; triangulum EFG circa cylindrum; de$cribaturq; per EG helix PRM. cùm itaq; PMPN $int æquales EFHI, erit MN æqualis ip$i AC, & cùm helices PRM PQN $int æquales lineis EGHk; helices igiturip$is ABBC æquales erunt. cu- neus ergo ABC totus circumuolutus erit circa cylindrum LMNO. <foot>Hh</foot> <pb> incidantur deinde helices, vt docet Pappus $ecundùm latitudinem cunei; & hoc modo cuneus vná cum cy lindro nihil aliud erit, quàm cochlea duas habens helices PRMPQN cir ca cylindrum LN in vnico puncto P inuicem coniun ctas. quod demon$trare o- portebat. <fig> <head>COROLLARIVM.</head> <p>Hinc manife$tum e$$e pote$t, quomodo heli- ces in ip$a cochlea de$cribi po$sint. <p>Quomodo autem pondera $uper helices co- chleæ moueantur, o$tendamus. <fig> <p>Sit (veluti prius) cuneus IGH circa cylindrum DE reuolutus, cuius vertex $it I. apteturq; cylindrus ita, vt liberè vna cum $uo axe circumuertatur. $intq; duo pondera MN cuiu$cunq; figuræ voluerimus, ita tamen aptata, vt moueri non po$sint, ni$i $uper <pb n=122> rectam lineam LO, quæ axi cylindri $it æquidi$tans. $intq; MN iuxta cunei verticem I. Circumuertatur KF, & perueniat ad kP: dum autem kF erit in kP, tunc TV erit intra pondera MN; $i- cut $upra diximus. M igitur ver$us L mouebitur, & N ver$us O. $imiliter o$tendetur, dum kP erit in KQ, tunc GH e$$e intra pon- dera MN; & M erit in X, & N in Z; ita vt XZ $it æqualis GH. quare dum kF circumuertitur, $emper pondus N mouetur ver$us O, & $uper helicem IRS; M verò $uper aliam helicem. <fig> <p>Similiter$i cochlea plures habeat hæ- lices, vt in $ecunda figura, pondus A, dum cochlea circumuertitur, $emper $u- per helices BCDEFG mouebitur; dummodo pondus A aptetur ita vt mo- uerinon po$sit, ni$i $uper rectam HI ip$i cylindro æquidi$tantem. eodem enim modo, quo $uper primam mouetur heli cem, mouetur etiam $upra $ecundam, & tertiam, & cætera. quotcunq; enim fuerint helices, nihil aliud $unt, quàm latus cunei circa idem cylindrum iterum atq; iterum circumuolutum. & $iue co- chlea fuerit horizonti perpendicularis, $iue horizonti æquidi$tans, vel alio mo- do collocata, nihil refert: $emper enim cadem erit ratio. <foot>Hh 2</foot> <pb> <fig> <p>Si verò (vt in tertia figura) $upra cochleam imponatur aliquod, vt B, quod quidem tylum vocant, ita accommodatum, vt inferio ri parte helices habeat concauas ip$i cochleæ appo$itè admodum congruentes; per$picuum $atis e$$e poterit, ip$um B, dum coclhea circumuertitur, $uper helices cochleæ eo pror$us modo moueri; quo pondus iuxta primam figurã mouebatur: dummodo tylum ap- tetur, vt docet Pappus in octauo libro; ita $cilicet vt tantùm an- tè, retrouè axi cylindri æquidi$tans moueatur. <fig> <p>Et $i loco tyli, quod helices habet concauas in parte inferiori, con $tituatur, vt in quarta figura, cylindrus concauus vt D, & in eius concaua $uperficie de$cribantur helices, in cidanturq; ita, vt aptè <pb n=123> cùm cochlea congruant (eodem enim modo de$cribentur helices in $uper$icie concatia cylindri, $icuti fit in conuexa) $i deiade co- chlea in $uis polis firmetur, $cilicet in $uo axe, cir cumuertaturq;; patet D ad motum circumuer$ionis cochleæ quemmadmodum ty lum moueri. nec non $i D in EF firmetur, ita vt immobilis ma neat, dum circumuertitur cochlea; $uper helices cylindri D, ad motum $uæ circumuer$ionis dextror$um, vel $ini$tror$um factæ; tùm in anteriorem, tùm in po$teriorem partem mouebitur. cylin- drus autem D hoc modo accõmodatus vulgò mater, $iue cochleæ fæmina nuncupatur. <fig> <p>Si autem cochleæ (vt in quinta figura) tympanum C dentibus obliquis dentatum apponatur, vt docet Pappus in eodem octauo li- bro; vel etiam rectis; ita tamen con$tructis, vt facilècum cochlea conueniant: $imiliter manife$tum e$t ad motum cochleæ circumuer ti etiam tympanum C. eodemq; modo tympani dentes $uper he lices cochleæ moueri. & hæc dicitur cochlea infinita, quia & co chlea, & tympanum dum circumuertuntur, $emper eodem modo $e $e habent. <pb> <p>Hæc diximus, vt manife$tum $it cochleam in mouendo pondere cunei munere ab$q; percu$sione fungi. Illud enim remouet à loco, vbi erat; quemadmodum cuneus remouetea, quæ mouet, ac $cindit. omnia enim hæc à cochlea mouentur, $icuti pondus A in $ecun- da figura, & M in prima. <p>Quoniam autem duplici ratione mouentem cuneum con$iderari po$$e o$tendimus, videlicet vt mouet vectibus, vel vt e$t planum horizonti inclinatum, dupliciter quoq; cochleam con$iderabimus; <fig> & primùm vt vectibus mouet, vt in prima figura circumuertatur kF, & perueniat in KP; tunc, $icut dictum e$t, TV erit intra pon- dera MN. & $icut con$ideramus vectes in cuneo, eodem quoq; modo eos con$iderare po$$umus in cochlea hoc pacto. erit $cilicet IVH vectis, cuius fulcimentum I, & pondus in V. $imiliter ITG ve ctis, cuius fulcimentum I, & pondus in T. potentiæ verò mo- uentes GH e$$e deberent; $ed $icuti in cuneo potentia mouens e$t percu$sio, quæ mouet cuneum; idcirco erit, ubi potentia mo- uet cochleam; $cilicet in P manubrio kP. cochlea enim $ine per- cu$sione mouetur. Hæc autem con$ideratio propter vectes infle- xos impropria for$itan e$$e videbitur; Quocirca $i id, quod moue tur à cochlea, $upra planum horizonti inclinatum moueri intelli gatur; erit quidem huiu$modi con$ideratio (cùm ip$i quoq; cuneo conueniat) figuræ ip$ius cochleæ magis conformis. <pb n=124> <head>PROPOSITIO II.</head> <p>Si fuerit cochlea AB helices habens æquales CDEFG. Dico has nihil aliud e$$e præter pla num horizonti inclinatum circa cylindrum re- uolutum. <fig> <p>Sit cochlea AB horizonti perpendicularis duas habens helices CDEFG. exponatur HI æqualis GC, quæ bifariam diui- datur in k; erunt Hk kI non $olum inter $e $e, verùm etiam ip$is GE EC æquales, & ip$i HI ad rectos angulos ducatur LI; & per LI intelligatur planum horizonti æquidi$tans; $itq; LI du pla perimetro cylindri AB, quæ bifariam diuidatur in M; erunt IM ML cylindri perimetro æquales. connectatur HL, & à pun cto M ducatur MN ip$i HI æquidi$tans, coniungaturq; KN. quo niam enim $imilia $unt inter $e $e triangula HILNML, cùm <marg><I>Ex</I> 4. <I>$exti.</I></marg> <pb> <fig> NM $it æquidi$tans HI; erit LI ad IH, vt LM ad MN: & permutando vt IL ad LM; ita HI ad NM. $ed IL dupla e$t ip$ius LM; ergo & HI dupla erit MN. $ed e$t etiam dupla ip$ius kI, quare kI NM inter $e æquales erunt. & quoniam anguli ad MI $unt recti; erit kM parallelogrammum rectangulum, & kN æqua lis erit IM. quare KN perimetro cylindri AB æqualis erit. pona tur itaq; HI in GC, erit Hk in GE. circumuoluatur deinde trian gulum HkN circa cylindrum AB, de$cribet HN helicen GFE; cùm NK perimetro cylindri $it æqualis; & punctum N erit in E; & MN in CE. & quia ML æqualis e$t perimetro cylindri; cir- cumuoluatur rur$us triangulum NML circa cylindrum AB, NL de$cribet helicen EDC. quare tota LH duas de$cribet helices CDEFG. patet igitur has helices cochleæ nihil aliud e$$e, ni- $i planum horizonti inclinatum; cuius inclinatio e$t angulus HLI circa cylindrum circumuolutum, $upra quod pondus mouctur. quod demon$trare oportebat. <p>Quomodo autem hoc ad libram reducatur mnnife$tum e$t ex nona octaui libri eiu$dem Pappi. <pb n=125> <p>Po$tquam vidimus quomodo pondera huiu$modi moueantur in$trumento; nunc con$iderandum e$t, quæ nam $int ea, quæ effi ciunt, vt pondera facilè moueantur: hæc autem duo $unt. <p>Primùm quidem, quod efficit, vt facilè pon- dus moueatur, quod etiam ad e$$entiam cochleæ magis pertinere videtur; e$t helix circa co- chleam. vt $i circa datam cochleam AB duæ $int helices inæquales CDA EFG, $itq; AC mi nor EG. Dico idem pondus facilius $uper heli cen CDA moueri, quàm $uper EFG. <fig> <p>Compleatur cuneus ADCHI, hoc e$t de- $cribatur helix CHI æqualis CDA, & ver- tex cunei $it C. $imili ter compleatur cuneus GFEKL, cuius ver- tex E. exponatur de- inderecta linea MN, quæ $it ip$i AC æqua- lis, cui ad rectos angu los ducatur NP, quæ $it æqualis perimetro cy- lindri AB: & conne- <marg>1 <I>Huius.</I></marg> ctatur PM; erit PM, per ea, quæ dicta $unt, ip$i CDA æqualis. producatur deinde M N in O, fiatq; ON æ- qualis MN, coniunga turq; OP; erit OPM cuneus cuneo ADCHI æqualis. $imili- <marg>1 <I>Huius.</I></marg> <foot>Ii</foot> <pb> terq; exponatur cu- neus STQ æqualis cu neo GFEkL; erit TR ip$i PN, & perime- tro cylindri æqualis; & QR æqualis GE. cùm autem GE ma- ior $it AC; erit & RQ maior MN. $ecetur RQ in V; fiatq; RV ip$i MN æqualis, & coniungatur TV; erit triangulum TVR tri- angulo MPN æquale: duæ enim TR RV duabus PN NM $unt æquales, & anguli, quos continent, $unt æquales, nemperecti; <marg>4 <I>Primi.</I></marg> angulus igitur RTV <fig> angulo NPM æqualis erit. quare angulus MPN minor e$t angu- lo QTR; & horum dupli, angulus $cilicet MPO minor angulo QTS. quoniam autem cuneus, qui angulum ad verticem mino rem habet, facilius mouet, ac $cindit, quàm qui habet maiorem; cuneus ergo MPO facilius mouebit, quàm QTS. facilius igitur pondus à cuneo ADCHI mouebitur, quàm à cuneo GFEkL. pondus ergo $uper helicen CDA facilius mouebitur, quàm $uper EFG. eodemq; modo o$tendetur, quò minor erit AC, eò faci- lius pondus moueri. quod demon$trare oportebat. <pb n=126> <fig> <head>ALITER.</head> <p>Sit data cochlea AB duas habens helices æquales CDEFG; $it deinde alius cylindrus <G>ab</G> ip$i AB æqualis, in quo $ummatur OP ip $i CG æqualis; diuidaturq; OP in tres partes æquales OR RT TP, & tres de$cribantur helices OQRSTVP; erit vnaquæq; OR RT TP minor CE, & EG: tertia enim pars minor e$t dimidia. dico idem pondus facilius $uper helices OQRSTVP moueri, quàm $u per CDEFG. exponatur HIL triangulum orthogonium, ita vt HI $it ip$i CG æqualis, & IL duplo perimetri cylindri AB æqua lis, & per <I>L</I>I intelligatur planum horizonti æqui$tans; erit H<I>L</I> æqualis CDEFG; & H<I>L</I>I inclinationis angulus erit. exponatur <marg><I>Ex</I> 2 <I>huius.</I></marg> $imiliter <I>X</I>YZ triangulum orthogonium, ita vt XZ ip$i OP $it æ- qualis, quæ etiam æqualis erit CG, & HI; $itq; ZY cylindri pe- rimetro tripla, erit XY æqualis OQRSTVP. diuidatur ZY in <foot>Ii 2</foot> <pb> <fig> tres partes æquales in <G>g</G><35>; erit vnàquæq; Z <G>g g</G> <35> <35> Y perimetro cy lindri <G>ab</G> æqualis, quæ etiã perimetro cylindri AB æquales erunt; & per con$equens ip$is IM, & ML. connectatur X<35>. & quoniam duæ HI IL duabus XZ Z<35> $unt æquales, & angulus HIL re- ctus æqualis e$t angulo XZ<35> recto; erit triangulum HIL trian- gulo XZ<35> æquale; & angulus HLI angulo X<35>Z æqualis; & <marg>21 <I>Primi.</I></marg> X<35> ip$i HL æqualis. $ed quoniam angulus X<35>Z maior e$t angu lo <I>X</I>YZ; erit angulus HLI angulo <I>X</I>YZ maior. ac propterea planũ HL magis horizonti inclinat, quàm XY. quare id&etilde; põdus à minore potentia $uper planũ XY, quàm $uper planũ HL mouebitur; vt faci lè elicitur ex ead&etilde; nona Pappi. cùm aut&etilde; helices OQRSTVP nihil aliud $int, quàm planũ XY horizonti inclinatũ in angulo XYZ cir ca cylindrum <G>ab</G> circumuolutum; & helices CDEFG nihil $unt aliud, quàm planum HL horizonti inclinatum in angulo HLI cir ca cylindrum AB circumuolutum; facilius ergo pondus $uper he- <pb n=127> lices OQRSTVP mouebitur, quàm $uper helices CDEFG. <p>Si autem OP diuidatur in quatuor partes æquales, de$cribantur- què circa <G>ab</G> quatuor helices; adhuc facilius pondus mouebitur $u- per has quatuor, quàm $uper tres OQRSTVP. & quò plures erunt helices, eò facilius pondus mouebitur. quod demon$trare oportebat. <p>Tempus verò huius motus facilè patet, helices enim CDEFG $unt æquales HL; helices verò OQRSTVP $unt æquales XY: $ed XY maior e$t HL; ideo fiat Y<G>e</G> ip$i HL æqualis: $i igi <marg><I>Ex</I> 18 <I>Primi.</I></marg> tur duo pondera $uper lineas LHY<I>X</I> moueantur, & veloci- tates motuum $int æquales, citius pertran$ibit quod mouetur $uper LH, quàm quod $uper Y<I>X</I> mouetur. in eodem enim tempore erunt in H<G>e</G>. quare tempus eius, quod mouetur $uper helices OQRS TVP, maius erit eo, quod e$t men$ura eius, quod mouetur $uper C DEFG. & quò plures erunt helices, eò maius erit tempus. cùm au tem datæ $int lineæ HI<I>XZ</I>, & IL<I>Z</I>Y: datæ enim $unt cochleæ AB <G>ab</G>; & anguli ad IZ recti dati; crit HL data. $imiliter & <I>X</I>Y data <marg><I>Ex</I> 48 <I>primi.</I></marg> erit. quare & harum proportio data erit. temporum igitur propor <marg>1 <I>Datorum & Ex $exta primi Ioannis de Monte rego de triangulis.</I></marg> tio eorum, quæ $uper helices mouentur data erit. <p>Alterum, quod efficit, vt pondera facilè mo- ueantur, $unt $cytalæ, aut manubria, quibus co- chlea circumuertitur. <pb> <fig> <p>Sit cochlea habens helices ABCD, quæ etiam $cytalas ha- beat EFGH foraminibus cochleæ impo$itas. $it infra helices cylindrus MN, in quo non $int inci$æ helices; & circa cylindrum funis circumuoluatur trahens pondus O, quod ad motum $cytala rum EFGH moueatur, ac $i ergatæ in$trumento traheretur. du catur (per ea quæ prius dicta $unt de axe in peritrochio) Lk $cy talæ æqualis, axiq; cylindri perpendicularis, eumq; $ecans in I: patet quò longior $it LI, & quò breuior $it Ik, pondus O facilius moueri. e$t autem animaduertendum, quòd dum cochlea mouet pondus, $i mente concipiatur, quòd loco trahendi pondus O fune, pondus $uper helices ABCD moueat; pondus quoq; in k, quod $it R, $uper helices etiam facilius mouebit. e$t enim LK vectis, cuius <marg>2 <I>Cor.</I></marg> fulcimentum e$t I: cùm circa axem cochlea circumuertatur; po- <marg>1 <I>huius de vecte.</I></marg> tentia mouens in L; & pondus in k. facilius enim mouetur pon dus vecte Lk, quàm $ine vecte; quia LI $emper maior e$t Ik. <pb n=128> Intelligatur itaq; manente cochlea pondus R moueri à potentia in L vecte Lk $uper helicen Ck: vel quod idem e$t, $icut etiam $upra diximus, $i pondus R aptetur ita, vt moueri non po$sit, ni $i $uper rectam PQ axi cylindri æquidi$tantem; circumuertaturq; cochlea, potentia exi$tente in L; mouebitur pondus R $uper he- licen CD eodem modo, ac $i à vecte Lk moueretur. idem enim e$t, $iue pondus manente cochlea $uper helicen moueatur; $iue he lix circumuertatur, ita vt pondus $uper ip$am moueatur. cùm ab eadem potentia in L moueatur. $imiliter o$tendetur, quò lon. gior $it LI, adhuc pondus facilius $emper moueri. à minori enim <marg><I>Ex</I> 1 <I>huius de vecte.</I></marg> potentia moueretur. quod erat propo$itum. <p>Tempus quoq; huius motus manife$tum e$t, quò enim longior e$t LI, eò tempus maius erit: dummodo potentiæ motuum $int in yelocitate æquales; $icuti dictum e$t de axe in peritrochio. <head>COROLLARIVM.</head> <p>Ex his manife$tum e$t. quò plures $unt heli- ces; & quò longiores $unt $eytalæ, $iue manu- bria, pondus ip$um facilius quidem, tardius au tem moueri. <p>Virtus deniq; mouentis, atq; in $cytalis con- $titutæ potentiæ, hinc manife$ta fiet. <pb> <fig> <p>Sit datum A centum; $it planum horizonti inclinatum CD in angulo DCE. inueniatur ex eadem nona Pappi quanta vi pondus A $uper CD mouetur; quæ $it decem. exponatur cochlea LM helices habens GHIK &c. in angulo ECD; per ea, quæ dicta $unt, potentia decem pondus A $uper helices GHIk mouebit. $i autem hac cochlea volumus pondus A mouere, & potentia mo- uens $it vt duo. ducatur NP axi cochleæ perpendicularis, axem $ecans in O; fiatq; PO ad ON, vt vnum ad quinq; hoc e$t duo ad <marg><I>Ex</I> 1 <I>huius de vecte.</I></marg> decem. Quoniam enim potentia mouens pondus A in P, ide$t $uper helices e$t vt decem, cui potentiæ re$i$tit, & æqualis e$t po tentia in N vt duo; e$t enim NP vectis, cuius fulcimentum e$t O. potentia ergo vt duo in N pondus A $uper helices cochleæ mouebit. efficiantur igitur $cytalæ, $iue manubria, quæ v$q; ad N <pb n=129> perueniant; manife$tum e$t, potentiam vt duo in his pondus cen- tum cochlea <I>L</I>M mouere. <p>Si igitur $it cochlea QR helices habens in angulo DCE, & cir- ca ip$am $it eius mater S, quæ $i pependerit centum, adiiciatur ST manubrium quoddam, $iue $cytala; ita vt T in eadem proportio- ne di$tet ab axe cylindri, vt NOP; patet potentiam vt duo in T mouere S $uper helices cochleæ. nihil enim aliud e$t S, ni$i pon- dus $uper helices cochleæ motum. $imiliter $i S $it immobilis, cir- cumuertaturq; cochlea manubrio, $iue $cytala QX in eadem pro- portione con$ecta; fueritq; cochlea centum pondo (quòd qui- dem, vel ex $e ip$a, vel cum pondere V cochleæ appen$o, vel cum pondere Y cochleæ $uper impo$ito centum pependerit) manife- $tum e$t potentiam vt duo in X mouere co chleam QR $uper he lices intra matricem cochleæ inci$as. atq; ita in aliis, quæ cochleæ in$trumento mouentur; proportionem potentiæ ad pondus inue- niemus. <head>COROLLARIVM.</head> <p>Ex hoc manife$tum e$t, quomodo datum pon dus à data potentia cochlea moueatur. <foot>Kk</foot> <pb> <fig> <p>Illud quoq; præterea hoc loco ob$eruandum occurrit; quò plu- res erunt matricis cochleæ helices, eò minus in pondere mouen- do cochleam pati. $i enim matrix vnicam duntaxat helicen po$$e derit, tunc pondus vt centrum à $ola cochleæ $u$tinebitur helice; $i verò plures, in plures quoque, ac totidem cochleæ heli- ces ponderis grauitas di$tribuetur; vt $i quatuor contineat helices, tunc quatuor vici$sim cochleæ helices vniuer$o ponderi $u$tin endo incumbent; $iquidem vnaquæquè quartam totius ponderis portio- nem $u$tentabit. quòd $i adhuc plures contineat helices, ponderis quoq; totius in plures, atque ideo minores portiones fiet di$tri- butio. <pb n=130> <p>O$ten$um e$t igitur pondus à cochlea moueri tamquam à cuneo percu$sionis experte: loco e- nim percu$sionis mouet vecte, hoc e$t $cytala, $i- ue manubrio. <p>His demon$tratis liquet, quomodo datũ pon- dus à data potentia moueri po$sit. quòd $i vecte hoc a$$equi volumus; po$$umus & dato vecte da tum pondus data potentia mouere. quod quidem in nullis ex aliis fieri po$$e ab$olutè contin git: $iue $it cochlea, $iue axis in peritrochio, $iue trochlea. non enim datis trochleis, neq; dato axe in peri- trochio, neq; data cochlea, datum pondus à data potentia moueri pote$t, cùm potentia in his $em- per $it determinata: $i igitur pot&etilde;tia, quæ pondus mouere debeat, hac minor $it data, nun quam pon dus mouebit. po$$umus tamen dato axe, & tympa- no ab$q; $cytalis datum pondus data pot&etilde;tia mo- uere; cùm $cytalas con$truere po$simus, ita vt $e midiameter tympani dati vná cum longitudine $cytalæ ad axis $emidiametrum datã habeat pro- portionem. quod idem cochleæ contingere po te$t, $cilicet datum pondus data cochlea $ine ma nubrio, vel $cytala, data potentia mouere. co- gnita enim potentia, quæ pondus $uper helices moueat, po$$umus manubrium, $iue $cytalam ita <foot>Kk 2</foot> <pb> con$truere, vt data potentia in $cytala eandem vim haheat, quam potentia pondus $uper helices mouens cùm autem hoc datis trochleis nullo mo do fieri po$sit. datum tamen pondus data poten- tia trochleis infinitis modis mouere po$$umus. datum verò pondus data potentia cunei in$tru- mento mouere, hoc minimè fieri po$$e clarum e$ $e videtur; non enim data potentia datum pon- dus $uper planum horizonti inclinatum mouere pote$t, neq; datum pondus à data potentia moue bitur vectibus $ibi inuic&etilde; aduer$is, quemmadmo- dum in cuneo in$unt; cùm in vectibus cunei pro- pria, veraq; vectis proportio $eruari non po$sit. vectium enim fulcimenta non $unt immobilia, cùm totus cuneus moueatur. <p>Poterit deinde quis $truere machinas, atq; eas ex pluribus componere; vt ex trochleis, & $uc- culis, vel ergatis, pluribu$uè dentatis tympanis, uel quocunq; alio modo; & ex ijs, quæ diximus; fa cilè inter pondus, & potentiam proportionem inuenire. <head>FINIS.</head> <pb> <head>Locorum aliquot, quæ inter imprimendum deprauata $unt, emendatior lectio.</head> <p><I>Pagina</I> 2, <I>b, ver$u</I> 19, <I>AEBD</I> ¶ 5, <I>a</I>, 6, <I>ip$i</I> ¶ 7, <I>b</I>, 9, <I>ODH</I> ¶ 9, <I>b</I>, 19, <I>cõting it</I> ¶ 15, <I>a</I>, 24, <I>grauius</I> ¶ 16, <I>b</I>, 30, <I>recto</I> ¶ 21, <I>a</I>, 26, <I>$u$tineatur</I> ¶ 23, <I>b</I>, 8, <I>BD DC</I> ¶ 31, <I>b</I>, 9, <I>totum GK</I> ¶ 34, <I>a</I>, 24, <I>pondera FG</I> ¶ 38, <I>b</I>, 27, <I>maior AF</I> ¶ 39, <I>b</I>, 24 <I>AB in D</I> ¶ 40, <I>a</I>, 1, <I>ad BD</I> ¶ 44, <I>b</I>, 24, <I>graui</I> ¶ 48, <I>a</I>, 7, <I>ip$i AD</I> ¶ 50, <I>b</I>, 12 <I>pondus</I> ¶ 54, <I>a</I>, 7, <I>quàm</I> ¶ 61, <I>a</I>, 6, <I>præterquam in E</I> ¶ 65, <I>a</I>, 33, <I>quam</I> ¶ 81, <I>a</I>, 1, <I>ligato</I> ¶ 85, <I>b</I>, 22, <I>vtriq;</I> ¶ 97, <I>a</I>, 14, <I>dextror$um</I> ¶ 98, <I>b</I>, 20, <I>Hic</I> ¶ 110, <I>b, in po$till. Lemma in primã</I> ¶ 122, <I>a</I>, 8, <I>&</I> 17, <I>helicen</I> ¶ 123, <I>b</I>, 15, <I>ventes in GH</I> ¶ 124, <I>b</I>, 17, <I>manife$tum</I> ¶ 127, <I>a, in po$til. Monteregio</I> ¶ 127, <I>b, in po$til. ex Cor.</I> <head>REGISTRVM.</head> <head><12><12><12> ABCDEFGHIKLMNOPQRSTVX YZ, Aa Bb Cc Dd Ee Ff Gg Hh Ii Kk.</head> <head>Omnes duerni.</head> <head>PISAVRI</head> <head>Apud Hieronymum Concordiam.</head> <head>M. D. LXXVII.</head>