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| author | Klaus Thoden <kthoden@mpiwg-berlin.mpg.de> |
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| date | Tue, 14 May 2013 12:45:18 +0200 |
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<?xml version="1.0" encoding="utf-8"?><echo xmlns="http://www.mpiwg-berlin.mpg.de/ns/echo/1.0/" xmlns:de="http://www.mpiwg-berlin.mpg.de/ns/de/1.0/" xmlns:dcterms="http://purl.org/dc/terms" xmlns:xsi="http://www.w3.org/2001/XMLSchema-instance" xmlns:echo="http://www.mpiwg-berlin.mpg.de/ns/echo/1.0/" xmlns:xhtml="http://www.w3.org/1999/xhtml" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" version="1.0RC"><metadata><dcterms:identifier>ECHO:QFWN4Q67.xml</dcterms:identifier> <dcterms:creator>DelMonte, Guidubaldo</dcterms:creator> <dcterms:title xml:lang="la">Meditatiunculae Guidi Ubaldi emmarchionibus Montis Santae de rebus mathematicis</dcterms:title><dcterms:date xsi:type="dcterms:W3CDTF">-</dcterms:date><dcterms:language xsi:type="dcterms:ISO639-3">lat</dcterms:language><dcterms:rights>open access</dcterms:rights><dcterms:license>http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/policy/oa_basics/declaration</dcterms:license><dcterms:accessRights>free</dcterms:accessRights><echodir>/permanent/library/QFWN4Q67</echodir><log>Automatically generated by BareEchoXml.java on 20.02.2012 16:11 Original notes: Criteri adottati per l'edizione del testo Il testo delle Meditatiunculae è stato trascritto mantenendosi il più aderenti all'originale per quanto riguarda ortografia, punteggiatura e disposizione del testo nelle varie carte. Le aggiunte e le citazioni a margine dotate di un esplicito segno di richiamo sono state integrate nel testo nel luogo indicato nel manoscritto, evidenziandole però con uno sfondo giallo; le annotazioni marginali prive di segno di richiamo sono state anch'esse inserite dove sembrava opportuno, ma per distinguerle dalle precedenti sono evidenziate con uno sfondo rosa. La punteggiatura è stata rispettata, nonostante essa sia spesso diversa da quella cui il lettore moderno è abituato; abbiamo tuttavia adottato l'uso costante della lettera maiuscola dopo il punto non sempre presente nel manoscritto ed in alcuni casi abbiamo sostituito il punto e virgola o il punto con una virgola. Nelle parti in volgare, al fine di facilitare la lettura, abbiamo introdotto l'uso sistematico degli accenti spesso assenti nel manoscritto. Convenzioni adottate 1. Come detto, le citazioni a margine per le quali un segno di rinvio, generalmente una crocetta sulla parola del testo prima della quale deve essere collocata la citazione, indica il punto di inserimento nel testo sono evidenziate da uno sfondo giallo. 2. Le parti di testo sottolineate sono state rese come nel ms. 3. Le lezioni dubbie o congetturali sono inserite fra parentesi uncinate <nbsp /><nbsp />. 4. Abbiamo utilizzato tre asterischi *** in sostituzione delle parole illeggibili. La sigla M che compare nell'apparato indica la lezione del manoscritto. [2012-08-10 Fri 14:44] Klaus Thoden (kthoden at mpiwg hyphen berlin dot mpg dot de): The version of this xml document is based on an xml file called med.xml, transcribed by Roberta Tassora. Most of the work was done via an xsl script. This was done in the beginning of 2012. Some more scripts were used to the present version. There are no line breaks in the original transcription which is why the lines in the document viewer do not correlate with the lines in the orignal manuscript. With the present set of tags, not everything of the original markup was retained (e. g. diverso atramento). During the transformation it was however ensured that the original comments are still present in the text, but hidden from sight (that is, in XML comments). What was added, was information about the language. The main language is set to Latin, but parts in Italian are tagged as such. </log></metadata><text xml:lang="lat" type="free"> <div type="section" level="1" n="1"><!-- </div> <div type="section" level="0" n="0"> <edition><header><title content=""/></header><content> <title>Meditatiunculae Guidi Ubaldi ex Marchionibus Montis Sanctae Mariae De Rebus Mathematicis</title> <center> <b>Trascrizione di Roberta Tassora</b> </center> <center> Mise en page da M. Frank, P. Mascellani, P.D. Napolitani </center> --> <pb file="0001" n="1"/> <pb file="0002" n="2"/> <pb file="0003" n="3"/> <pb file="0004" n="4"/> <pb file="0005" n="5"/> <pb file="0006" n="6"/> <pb file="0007" n="7"/> <pb file="0008" n="8"/> <div type="titlepage" level="0" n="0"> <head xml:space="preserve" lang="la">Meditatiunculae Guidiubaldi ex Marchionibus (the title)</head> </div> <pb file="0009" n="9"/> <pb file="0010" n="10"/> </div> <div xml:lang="it" type="section" level="1" n="2" class="MMM"> <head xml:id="head1" xml:space="preserve">Degl'horologgi </head> <p> <s xml:id="s1" xml:space="preserve"> Modo di descrivere gl'horologgi in tutte le superficie piane solamente con le circonferenze horizontali, e descensive, cioè farli con quelle medesime circonferenze che si fanno quelli in piano equidistanti all'horizonte e gli horizontali inclinati, delle quali non dirò il modo di farli per non dire il medesimo, che ha detto Tolomeo nel libro de analemmate et il Comandino nel libro de horologiorum descriptione, ma dirò solo il modo di descriverli in tutte le superficie piane perpendicolari all'horizonte, cioè tanto verticali quanto meridiani, e quanto a questi inclinati.</s> <s xml:id="s2" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s3" xml:space="preserve"> Sia il piano perpendicolare all'horizonte <mml:math><mml:mi>cdxy</mml:mi></mml:math>, sia la linea <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math> commune settione del piano e dell'horizonte, sia la lunghezza dello stile <mml:math><mml:mi>ba</mml:mi></mml:math>, ilqual ce lo immagineremo perpendicolar'al piano et alla linea <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math>, adunque sarà nel medesimo piano con la linea <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math> <anchor type="note" xlink:label="note-0010-01a" xlink:href="note-0010-01"/> , hora io metto il centro del circolo nella punta ( <anchor type="note" xlink:label="note-0010-02a" xlink:href="note-0010-02"/> ) del detto stile e lo metto equidistante all'horizonte, ilqual verrà ad esser nel medesimo piano dello stile e della linea <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math> et metto la commune settione del meridiano, e dell'horizonte, cioè la linea meridiana al suo luogo cioè secondo la dispositione del cielo, dipoi rapresento tutte le circonferenze horizontali nella linea <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s4" xml:space="preserve"> Ma per la difficultà del metter'il centro del circolo nella punta dello stile, e per la difficultà che ci saria nell'operar in questo modo, ci potemo immaginar lo stile abassato, e disteso nel piano dell'horologio, ma chel sia perpendicolare alla linea <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math>, tirisi adunque dal punto <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math> una linea perpendicolar alla linea <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math>, et sia <mml:math><mml:mi>ba</mml:mi></mml:math>, laqual sia equale allo stile, poi atorn'al centro <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> descrivo il circolo <mml:math><mml:mi>fnpm</mml:mi></mml:math>, nel qual siano tutte le linee e circonferenze dell'analemma, e questo bisogna situarlo in modo chel venghi a corrisponder al circolo situato in piano equidistante all'horizonte, e si po far in questo modo.</s> <s xml:id="s5" xml:space="preserve"> Trovisi la declination della linea <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math> overo di tutto il piano dell'horologio dalla linea meridiana, come per esempio sia la <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math> 45 gradi verso levante, trovisi la sua perpendicolare, che sarà 45 gradi verso ponente, sia la linea <mml:math><mml:mi>ag</mml:mi></mml:math> la meridiana, e posto il centro del circolo in <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math>, e sia da <mml:math><mml:mi>gf</mml:mi></mml:math> 45 gradi verso ponente bisogna metter'il punto <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math> nella linea <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> per essere commune sectione del piano dell'horologio, e del circolo maggior che passa per li 45 gradi fra ponente e tramontana e subito il circolo, le linee, e le circonferenze saranno situate secondo le loro disposizioni <pb o="2" file="0011" n="11"/> <anchor type="figure" xlink:label="med2a" xlink:href="med2"/> et secondo che si havevano da rapresentar le circonferenze horizontali dalla punta del stile come s'è detto di sopra, così medesimamente dal punto <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math>, si rapresentaranno nella linea <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s6" xml:space="preserve"> <anchor type="note" xlink:label="note-0011-01a" xlink:href="note-0011-01"/> </s> </p> <div type="float" level="2" n="1"> <note position="left" xlink:label="note-0010-01" xlink:href="note-0010-01a" xml:space="preserve"> per 2a dell'11mo </note> <note position="left" xlink:label="note-0010-02" xlink:href="note-0010-02a" xml:space="preserve"> qui il circolo se intende per l'analemma </note> <note position="left" xlink:label="note-0011-01" xlink:href="note-0011-01a" xml:space="preserve"> Et avverrà il medesimo perchè si formano sempre triangoli simili et equali, per essere la linea <mml:math><mml:mi>ba</mml:mi></mml:math> equale al stile e gli angoli si fanno equali. </note> <figure xlink:label="med2" xlink:href="med2a"> <image file="med2" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med2"/> </figure> </div> <p> <s xml:id="s7" xml:space="preserve"> Et essendo <mml:math><mml:mi>ag</mml:mi></mml:math> la linea meridiana, vedasi dove <mml:math><mml:mi>ag</mml:mi></mml:math> sega la <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math>, e sia <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math>, sia <mml:math><mml:mi>pk</mml:mi></mml:math> la circonferenza horizontale delle 28 hore di capricorno, et <mml:math><mml:mi>pi</mml:mi></mml:math> quella delle 17, et <mml:math><mml:mi>po</mml:mi></mml:math> delle 15 et per rappresentar queste nella linea <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math>, tirisi dalli punti <mml:math><mml:mi>kio</mml:mi></mml:math> per il centro <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> linee rette, e dove segaranno la <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math>, in quelli punti saranno rappresentate, e siano dove sono, 16, 17, 18 di ♑, sia <mml:math><mml:mi>pq</mml:mi></mml:math> la circonferenza horizontale delle 11 hore di cancro, <mml:math><mml:mi>po</mml:mi></mml:math> delle 12, et <mml:math><mml:mi>pr</mml:mi></mml:math> delle 16, e nel medesimo <emph style="super">modo<!--variant supralineam--></emph> siano rappresentate nella linea <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math> nelli punti 11, 12, 16 di ♋;</s> <s xml:id="s8" xml:space="preserve"> similmente si rappresentaranno tutte l'altre circonferenze horizontali di cancro e di capricorno dell'equinottiale e degli altri circoli, purchè le seghino la linea <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math> e quelle che non la segano lasciarle che sarà segnale chel sole non mostrava quelle hore nel dato piano, dipoi da tutti li punti rappresentati nella linea <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math> si tirino tante perpendicolari alla linea <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math>, lequali saranno anche perpendicolare <emph style="bf">all'horizonte<!--variant postcorrectionem--></emph> <anchor type="note" xlink:label="note-0011-02a" xlink:href="note-0011-02"/> , et purchè la linea <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math> è commune sectione del piano dell'horologgio e dell'horizonte, però se li rappresentano tutte le circonferenze horizontali, acciochè le perpendicolari che cascano da questi punti vengano a esser commune sectione del piano dell'horologio e delli circoli maggiori, che passano per le loro circonferenze horizontali <anchor type="note" xlink:label="note-0011-03a" xlink:href="note-0011-03"/> , che per essere maggiori vengono a passar per la punta dello stile, per esser nel centro del mondo e da questo è manifesto, che essendo il sole in qualsivoglia di questi circoli maggiori e dove si voglia, cioè o alto o basso, purchè 'l sia sopra l'horizonte, sempre farà l'ombra della punta del stile nella commune sectione del piano e del circol maggior dove lui si trova per esser tutti in un medesimo piano, et ogni volta per la medesima ragione chel sole sarà nel circolo meridiano, l'ombra della punta del stile sarà nella perpendicolare che nasce da <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math>, per esser'ella commune sectione del piano dell'horologio e del meridiano.</s> <s xml:id="s9" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="2"> <note position="left" xlink:label="note-0011-02" xlink:href="note-0011-02a" xml:space="preserve"> perchè il dato piano è perpendicolar'al horizonte </note> <note position="left" xlink:label="note-0011-03" xlink:href="note-0011-03a" xml:space="preserve"> per la 6a del primo di Theodosio </note> </div> <pb o="3" file="0016" n="16"/> <p> <s xml:id="s10" xml:space="preserve"> Ci resta a trovar i termini delle ombre nelle commune sectioni con le circonferenze descensive, et prima immaginiamoci il stile perpendicolar'al piano dell'horologio metteremo il centro del circolo nella punta del stile, et lo metteremo perpendicolar'all'horizonte;</s> <s xml:id="s11" xml:space="preserve"> et per essere <mml:math><mml:mi>ε g</mml:mi></mml:math> la linea meridiana, la metteremo alta dal'horizonte quanti gradi è la elevation del polo, et a quanta elevatione e fatto l'analemma, e poniamo ch'ella sia gradi 44, e da <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math> verso <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math> nummero 44 gradi che siano <mml:math><mml:mi>gu</mml:mi></mml:math>, e dal punto <mml:math><mml:mi>u</mml:mi></mml:math> per il centro <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math>, tiro una linea retta <mml:math><mml:mi>ubx</mml:mi></mml:math> la qual mi rappresentarà l'horizonte, et essend'il circolo perpendicolar'all'horizonte, bisogna metter questa linea <mml:math><mml:mi>ubx</mml:mi></mml:math>, equidistante all'horizonte anzi per esser la punta dello stile nel centro del mondo, la linea <mml:math><mml:mi>ubx</mml:mi></mml:math> sarà nel medesimo piano dell'horizonte, e nelle operationi bisogna avertir sempre ch'ella sia sempre equidistante all'horizonte, acciochè le circonferenze descensive siano sempre al suo luogo, e volendo sempre essend'il sole in capricorno, dove l'ombra della punta dello stile farà l'ombra alle 18 hore, voltisi il circolo che è nella punta dello stile verso la perpendicolar delle 18 hore di ♑, finchè 'l piano del circolo, et al linea perpendicolar che nasce dalle 18 di ♑, sia in un medesimo piano, il qual circolo verrà a esser nel medesimo piano del circolo maggior, che passa per la circonferenza horizontale delle 18 ore di ♑.</s> <s xml:id="s12" xml:space="preserve"> Sia la circonferenza descensiva delle 18 hore di ♑, equale alla <mml:math><mml:mi>ft</mml:mi></mml:math>, e tirando da quel punto una linea retta che passi per il centro laqual segarà la commune sectione del piano dell'horologio e del circolo maggiore che passa per la circonferenza horizontale dell 18 hore di ♑ cio è la perpendicolar delle 18 di ♑;</s> <s xml:id="s13" xml:space="preserve"> per essere tutti in un medesimo piano et in quel punto dove sarà segata detta perpendicolar, essend'il sole in ♑;</s> <s xml:id="s14" xml:space="preserve"> la punta dello stile alle 18 hore farà l'ombra;</s> <s xml:id="s15" xml:space="preserve"> la dimostratione di questo è facile, perchè essendo il circolo grande, che passa per la circonferenza horizontale delle 18 hore di ♑ et il circolo dell'analemma, et la perpendicolar commune sectione del circolo grande, e del piano dell'horologio, tutti in un medesimo piano, et essendo la punta del stile centro di tutti doi li circoli, et centro del mondo, et l'angolo fatto nel centro dell'analemma, è equale anzi commune all'angolo fatto dal nostro Zenit, et il centro del mondo e dove si trova il sole, bisogna di necessità, che essend'il sole in ♑ alle 18 hore, l'ombra della punta del stile sia nel detto punto, fatto nella perpendicolare delle 18 hore di ♑ e nel medesimo modo, si operi con le altre perpendicolari, voltand'il circolo dello <pb o="4" file="0021" n="21"/> <anchor type="figure" xlink:label="med4a" xlink:href="med4"/> analemma, accio sia nel medesimo piano della <emph style="bf">perpendicolare<!--variant postcorrectionem--></emph> che si ha da trovar la determinazione dell'ombra della punta del stile, dipoi trovar la sua circonferenza descensiva, laqual ne mostra, la latitudine, e l'altezza del sole sopra l'horizonte et dalla circonferenza et il centro tirar una linea, che seghi la perpendicolar e notar li punti di poi congiunger le 16 hore di ♑ con le 16 di ♋, et le 17, con le 17 , et similmente le altre, e così determinaremo, e finiremo l'horologio, ma per la difficultà che saria nel operar bene in questo modo, si potrà formar nel piano dell'horologio il circolo, e dove si voglia, ma per comodità nella linea <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math>, et il suo centro nel punto <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s16" xml:space="preserve"> Et sia <mml:math><mml:mi>fnpx</mml:mi></mml:math> e far che <mml:math><mml:mi>xu</mml:mi></mml:math> sia nella linea <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math> perchè tutte due ci rappresentano l'horizonte, e per trovar dove vadi segata la perpendicolar delle 18 hore di ♑, piglisi la lunghezza della linea che è dalla parte del stile alle 18 di ♑ che sia <mml:math><mml:mi>z</mml:mi></mml:math>, che è la medesima che è da <mml:math><mml:mi>az</mml:mi></mml:math>, per essere triangoli simili et equali, e si facci a detta linea equale la <mml:math><mml:mi>b </mml:mi></mml:math>α, e dal punto α sia tirata la perpendicolare α<mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math> alla linea <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math>, et essendo <mml:math><mml:mi>ft</mml:mi></mml:math> la circonferenza descensiva delle 18 hore di ♑, si tiri dal punto <mml:math><mml:mi>t</mml:mi></mml:math> et <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math> una linea retta, che seghi αβ nel β, et sia segata la perpendicolare delle 18 di ♑ nel punto Ω, et sia equale la linea <mml:math><mml:mi>z </mml:mi></mml:math>Ω alla αβ, dico che l'ombra della punta del stile quand'il sole sarà nel ♑ alle 18 hore sarà nel punto Ω, e questo medesimo si farà in tutte le altre perpendicolari con le loro circonferenze descensive, et ritornarà il medesimo, come se havessimo fatto stand'il centro del circolo nella punta del stile si come s'è detto di sopra, perchè essendo li doi angoli <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math>αβ retto;</s> <s xml:id="s17" xml:space="preserve"> et <mml:math><mml:mi>a b</mml:mi></mml:math>β del triangolo <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math>αβ equali agl'angoli fatti dalla linea Ω<mml:math><mml:mi> z</mml:mi></mml:math>, e dalla linea che va da <mml:math><mml:mi>z</mml:mi></mml:math> alla punta del stile che è angolo retto, et all'angolo fatto dalla linea <pb o="5" file="0025" n="25"/> che va da <mml:math><mml:mi>z</mml:mi></mml:math> alla punta del stile, e dalla linea che va dalla punta del stile a Ω del triangolo Ω<mml:math><mml:mi> z</mml:mi></mml:math>, et della punta del stile, et essendo <mml:math><mml:mi>b </mml:mi></mml:math>α equale alla linea che va da <mml:math><mml:mi>z</mml:mi></mml:math> alla punta del stile, adunque tutti gli angoli, e tutti i lati saranno equali <anchor type="note" xlink:label="note-0025-01a" xlink:href="note-0025-01"/> , e tutt'il triangolo al triangolo, adunque la linea αβ sarà equale alla <mml:math><mml:mi>z </mml:mi></mml:math>Ω, si come per maggiore intelligentia di quanto s'è detto e per esempio.</s> <s xml:id="s18" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="3"> <note position="left" xlink:label="note-0025-01" xlink:href="note-0025-01a" xml:space="preserve"> per la 26 del primo </note> <figure xlink:label="med4" xlink:href="med4a"> <image file="med4" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med4"/> </figure> </div> <figure> <image file="med5" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med5"/> </figure> <p> <s xml:id="s19" xml:space="preserve"> Sia la linea <mml:math><mml:mi>b </mml:mi></mml:math>α la commune sectione del piano dell'horologio, e dell'horizonte, sia <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math>ξ il stile perpendicolar'al piano dell'horologio et alla linea <mml:math><mml:mi>b </mml:mi></mml:math>α et <mml:math><mml:mi>ba</mml:mi></mml:math> sia equale a <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math>ξ et sia <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> perpendicolar'a <mml:math><mml:mi>b </mml:mi></mml:math>α;</s> <s xml:id="s20" xml:space="preserve"> sia <mml:math><mml:mi>z </mml:mi></mml:math>Ω la perpendicolar delle 18 hore di ♑, sia <mml:math><mml:mi>b </mml:mi></mml:math>α, equale a <mml:math><mml:mi>za</mml:mi></mml:math> et a <mml:math><mml:mi>z </mml:mi></mml:math>ξ perchè l'angolo <mml:math><mml:mi>zba</mml:mi></mml:math> del triangolo <mml:math><mml:mi>baz</mml:mi></mml:math> è retto et equale all'angolo <mml:math><mml:mi>zb </mml:mi></mml:math>ξ, et la linea <mml:math><mml:mi>ba</mml:mi></mml:math> è equale a <mml:math><mml:mi>b </mml:mi></mml:math>ξ, e la <mml:math><mml:mi>bz</mml:mi></mml:math>, è commune a tutti doi li triangoli, adunque <mml:math><mml:mi>za</mml:mi></mml:math> è equale a <mml:math><mml:mi>z </mml:mi></mml:math>ξ <anchor type="note" xlink:label="note-0025-02a" xlink:href="note-0025-02"/> , adunque <mml:math><mml:mi>b </mml:mi></mml:math>α è equale a <mml:math><mml:mi>az </mml:mi></mml:math>ξ, et essendo l'angolo <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math>αβ angolo retto del triangolo <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math>αβ equale all'angolo ξ<mml:math><mml:mi>z </mml:mi></mml:math>Ω angolo retto del triangolo ξ<mml:math><mml:mi> z </mml:mi></mml:math>Ω, perchè le linee <mml:math><mml:mi>b </mml:mi></mml:math>ξ, et <mml:math><mml:mi>bz</mml:mi></mml:math> sono equidistante all'horizonte o vogliam dire nel horizonte medesimo et ξ<mml:math><mml:mi> z</mml:mi></mml:math> è nel medesimo piano delle linee ξ<mml:math><mml:mi> b</mml:mi></mml:math> et <mml:math><mml:mi>bz</mml:mi></mml:math> <anchor type="note" xlink:label="note-0025-03a" xlink:href="note-0025-03"/> , et la linea <mml:math><mml:mi>z </mml:mi></mml:math>Ω è perpendicolare all'horizonte e alla linea <mml:math><mml:mi>bz</mml:mi></mml:math>, adunque Ω<mml:math><mml:mi> z</mml:mi></mml:math> sarà perpendicolar'al piano <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math>ξ<mml:math><mml:mi>z</mml:mi></mml:math> <anchor type="note" xlink:label="note-0025-04a" xlink:href="note-0025-04"/> ;</s> <s xml:id="s21" xml:space="preserve"> adunque alla linea <mml:math><mml:mi>z </mml:mi></mml:math>ξ, et l'angoloα<mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math>β del triangolo <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math>αβ si fa equale all'angolo <mml:math><mml:mi>z</mml:mi></mml:math>ξΩ del triangolo ξ<mml:math><mml:mi> z </mml:mi></mml:math>Ω, et la linea <mml:math><mml:mi>ba</mml:mi></mml:math> è equale alla linea ξ<mml:math><mml:mi> z</mml:mi></mml:math> adunque, <anchor type="note" xlink:label="note-0025-05a" xlink:href="note-0025-05"/> , tutti gli angoli e tutti lati del triangolo <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math>αβ saranno equali a tutti gli angoli e a tutti i lati del triangolo ξ<mml:math><mml:mi> z </mml:mi></mml:math>Ω, adunque la linea αβ sarà equale alla linea <mml:math><mml:mi>z </mml:mi></mml:math>Ω.</s> <s xml:id="s22" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="4"> <note position="left" xlink:label="note-0025-02" xlink:href="note-0025-02a" xml:space="preserve"> per la 4a del primo </note> <note position="left" xlink:label="note-0025-03" xlink:href="note-0025-03a" xml:space="preserve"> per la 2a del 11o </note> <note position="left" xlink:label="note-0025-04" xlink:href="note-0025-04a" xml:space="preserve"> per la 4a del 11o </note> <note position="left" xlink:label="note-0025-05" xlink:href="note-0025-05a" xml:space="preserve"> per la 26 del primo </note> </div> </div> <div type="section" level="1" n="3"> <head xml:id="head2" xml:space="preserve"> <pb o="6" file="0028" n="28"/> Problema proposto dal Conte Giulio da Thiene </head> <figure> <image file="med6" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med6"/> </figure> <p> <s xml:id="s23" xml:space="preserve"> Sit triangulum <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> latus maius latere <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math>, sit autem <mml:math><mml:mi>ed</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> aequidistans, et connectatur <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math>, et fiat ut <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>db</mml:mi></mml:math>, sic <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math> ad aliam quae sit <mml:math><mml:mi>af</mml:mi></mml:math> ( <anchor type="note" xlink:label="note-0028-01a" xlink:href="note-0028-01"/> ), et a signo <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math> ducatur <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>ed</mml:mi></mml:math> aequidistans.</s> <s xml:id="s24" xml:space="preserve"> Dico lineam <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> aequalem esse <mml:math><mml:mi>db</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s25" xml:space="preserve"> Quoniam enim <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> est aequidistans ipsi <mml:math><mml:mi>ed</mml:mi></mml:math>, triangulum <mml:math><mml:mi>aed</mml:mi></mml:math>, aequiangulum, et simile erit triangulo <mml:math><mml:mi>agf</mml:mi></mml:math> <anchor type="note" xlink:label="note-0028-02a" xlink:href="note-0028-02"/> , quare eandem habet proportionem <mml:math><mml:mi>da</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>af</mml:mi></mml:math>, quam <mml:math><mml:mi>ed</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>gf</mml:mi></mml:math>, proportio vero quam habet <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>af</mml:mi></mml:math>, eandem est, quam habet <mml:math><mml:mi>ed</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>db</mml:mi></mml:math> <reg norm="igitur sicut" type="context">sicut igitur<!--variant correxitex --></reg> <mml:math><mml:mi>ed</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>gf</mml:mi></mml:math>, sic <mml:math><mml:mi>ed</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>db</mml:mi></mml:math> <anchor type="note" xlink:label="note-0028-03a" xlink:href="note-0028-03"/> , ergo <mml:math><mml:mi>gf</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>db</mml:mi></mml:math> est aequalis <anchor type="note" xlink:label="note-0028-04a" xlink:href="note-0028-04"/> , quod erat demonstrandum.</s> <s xml:id="s26" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="1"> <note position="left" xlink:label="note-0028-01" xlink:href="note-0028-01a" xml:space="preserve"> 12 sexti Elementorum </note> <note position="left" xlink:label="note-0028-02" xlink:href="note-0028-02a" xml:space="preserve"> per 4 sexti </note> <note position="left" xlink:label="note-0028-03" xlink:href="note-0028-03a" xml:space="preserve"> per 11 quinti </note> <note position="left" xlink:label="note-0028-04" xlink:href="note-0028-04a" xml:space="preserve"> per 9 quinti </note> </div> <p> <s xml:id="s27" xml:space="preserve"> Sit <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> aequalis <mml:math><mml:mi>cb</mml:mi></mml:math>, erit et <mml:math><mml:mi>ed</mml:mi></mml:math> equalis <mml:math><mml:mi>db</mml:mi></mml:math> et fiat ut <mml:math><mml:mi>ed</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>db</mml:mi></mml:math>, sic <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math> ad aliam, quae erit <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math> <anchor type="note" xlink:label="note-0028-05a" xlink:href="note-0028-05"/> , punctum <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math> erit punctum quaesitum.</s> <s xml:id="s28" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="2"> <note position="left" xlink:label="note-0028-05" xlink:href="note-0028-05a" xml:space="preserve"> per quartam sexti ob similitudinem triangulorum </note> </div> <p> <s xml:id="s29" xml:space="preserve"> Sit <mml:math><mml:mi>ed</mml:mi></mml:math> minor <mml:math><mml:mi>db</mml:mi></mml:math>, et fiat, ut <mml:math><mml:mi>ed</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>db</mml:mi></mml:math>, sic <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math> ad aliam, quae sit <mml:math><mml:mi>af</mml:mi></mml:math>, et a signo <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math> ducatur <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>ed</mml:mi></mml:math> aequidistans, erit <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> aequalis <mml:math><mml:mi>db</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s30" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s31" xml:space="preserve"> <emph style="it">Questo<!--variant descriptio: diverso atramento--></emph> problema serve assai alla prospettiva che essendo l'occhio in <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> e vedendosi la linea <mml:math><mml:mi>db</mml:mi></mml:math>, trovar la linea <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math>, laqual paia et sia equale alla <mml:math><mml:mi>db</mml:mi></mml:math>, e la settione sia sempre equidistante alla <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s32" xml:space="preserve"> </s> </p> </div> <div xml:lang="it" type="section" level="1" n="4"> <head xml:id="head3" xml:space="preserve"> <pb o="7" file="0031" n="31"/> Dell'hyperbola </head> <p> <s xml:id="s33" xml:space="preserve"> Doi modi di descriver l'hiperbola (oltre a quelli che ha detto Eutocio <anchor type="note" xlink:label="note-0031-01a" xlink:href="note-0031-01"/> , et Alberto Durero <anchor type="note" xlink:label="note-0031-02a" xlink:href="note-0031-02"/> , et il Comandino <anchor type="note" xlink:label="note-0031-03a" xlink:href="note-0031-03"/> ) l'uno per punti l'altro continuatamente.</s> <s xml:id="s34" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="1"> <note position="left" xlink:label="note-0031-01" xlink:href="note-0031-01a" xml:space="preserve"> nella 21 del primo d'Appollonio </note> <note position="left" xlink:label="note-0031-02" xlink:href="note-0031-02a" xml:space="preserve"> nella sua geometria </note> <note position="left" xlink:label="note-0031-03" xlink:href="note-0031-03a" xml:space="preserve"> nel libro de horologiorum descriptione </note> </div> <figure> <image file="med7" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med7"/> </figure> <p> <s xml:id="s35" xml:space="preserve"> Sia l'asse dell'hyperbola <mml:math><mml:mi>cg</mml:mi></mml:math>, sia il rettangolo <mml:math><mml:mi>gbc</mml:mi></mml:math> equale al rettangolo <mml:math><mml:mi>cag</mml:mi></mml:math>, et l'uno e l'altro sia equale alla quarta parte della figura.</s> <s xml:id="s36" xml:space="preserve"> Siano <mml:math><mml:mi>kl</mml:mi></mml:math> et <mml:math><mml:mi>bm</mml:mi></mml:math> doi righe di qual si voglia materia inequale et sia <mml:math><mml:mi>kl</mml:mi></mml:math> maggiore <mml:math><mml:mi>bm</mml:mi></mml:math> sia la parte <mml:math><mml:mi>nl</mml:mi></mml:math> equale a <mml:math><mml:mi>bm</mml:mi></mml:math>, et siano <mml:math><mml:mi>bm</mml:mi></mml:math> et <mml:math><mml:mi>nl</mml:mi></mml:math> divise equalmente, et si notino le <reg norm="divisione" type="context">divisioni<!--variant correxitex --></reg> et nella parte <mml:math><mml:mi>nk</mml:mi></mml:math>, ci sia un cursore con una punta, accio si possa fermare dove si vuole, et nella riga <mml:math><mml:mi>bm</mml:mi></mml:math>, nel <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math> ci sia una punta stabile.</s> <s xml:id="s37" xml:space="preserve"> Per descriver l'yperbola della quale sia l'asse <mml:math><mml:mi>cg</mml:mi></mml:math> et <mml:math><mml:mi>cbg</mml:mi></mml:math> rettangolo, sia equale alla quarta parte della figura, mettasi la punta che è in <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math> della riga <mml:math><mml:mi>bm</mml:mi></mml:math> nel punto <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math>, accio si possa voltar la riga <mml:math><mml:mi>bm</mml:mi></mml:math> atorn'atorno, e la punta stia sempre nel punto <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s38" xml:space="preserve"> si metta dipoi la punta del cursor che è nella riga <mml:math><mml:mi>kl</mml:mi></mml:math>, nel punto <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> e si mandi tanto innanzi, et in dietro, fin che dal cursor, et <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math>, cio è, <mml:math><mml:mi>an</mml:mi></mml:math> sia equale all'asse <mml:math><mml:mi>cg</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s39" xml:space="preserve"> Dipoi facendo intersecar le righe, segnando tutti li punti, dove si confrontano le divisioni, cio è il 20 dell'una con il vinti dell'altra, et così il 30, con il 30 e siano li punti <mml:math><mml:mi>cdefhp</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>p</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s40" xml:space="preserve"> Dico che <mml:math><mml:mi>cdefh</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>p</mml:mi></mml:math> sono punti dell'hyperbola, perchè le linee che vengono fatte dalla riga <mml:math><mml:mi>al</mml:mi></mml:math>, superano sempre quelle che vengono fatte dalla riga <mml:math><mml:mi>bm</mml:mi></mml:math> di una medesima quantità equale all'asse dell'hyperbola, per esser <mml:math><mml:mi>an</mml:mi></mml:math> equale a <mml:math><mml:mi>eg</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>nl</mml:mi></mml:math> equale a <mml:math><mml:mi>bm</mml:mi></mml:math>, e similmente equale dove le si fanno intersecare, cio è la quantità, che è da <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math> a 20, è equale a quella che è da <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math> a 20, e così da <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math> a 30.</s> <s xml:id="s41" xml:space="preserve"> Adunque li punti <mml:math><mml:mi>cdefh</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>p</mml:mi></mml:math> sono nell'hyperbola <anchor type="note" xlink:label="note-0031-04a" xlink:href="note-0031-04"/> , et in tal modo sarà fatta per punti.</s> <s xml:id="s42" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="2"> <note position="left" xlink:label="note-0031-04" xlink:href="note-0031-04a" xml:space="preserve"> per la 51 del 3o di Appollonio </note> </div> <pb o="8" file="0032" n="32"/> <p> <s xml:id="s43" xml:space="preserve"> Ma per descriverla continuatamente, mettasi nelli punti <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> doi punte sottilissime, e si pigli doi fili e si leghino a una punta come sta <mml:math><mml:mi>o</mml:mi></mml:math>, la qual ci descriverà l'hyperbola;</s> <s xml:id="s44" xml:space="preserve"> mettasi <mml:math><mml:mi>o</mml:mi></mml:math> nel punto <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> et un filo si tiri verso <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math>, et da <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> ritorni verso <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math>, l'altro filo si tiri verso <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math>, e con una mano si pigli la punta <mml:math><mml:mi>o</mml:mi></mml:math> che è in <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> e con l'altra si pigli tutti doi li fili, facendoli star tirati, tirando la punta <mml:math><mml:mi>o</mml:mi></mml:math> et accompagnando con l'altra mano lassando scorrer li fili pian piano li quali sempre passano per li punti <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> la punta <mml:math><mml:mi>o</mml:mi></mml:math> ci descriverà l'hyperbola per la medesima ragione che habbiamo detto delle righe essendo che il filo che nasce da <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> sempre eccede quel che vien da <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math> d'una medesima quantità equale all'asse dell'hyperbola, cio è tanto il filo <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math> eccede <mml:math><mml:mi>db</mml:mi></mml:math> quanto <mml:math><mml:mi>accb</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>aeeb</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s45" xml:space="preserve"> perchè mentre che cammina la punta <mml:math><mml:mi>o</mml:mi></mml:math> si allungano li fili et sempre si allungano equalmente, e però quel che da principio era più lungo si mantiene sempre più lungo dell'altro quant'egli era da principio <emph style="super">più lungo<!--variant supralineam--></emph> et da principio eccedeva quanto era la lunghezza dell'asse dell'asse <mml:math><mml:mi>cg</mml:mi></mml:math>, adunque il più lungo <emph style="super">sempre<!--variant supralineam--></emph> eccederà l'altro quanto è la lunghezza dell'asse <mml:math><mml:mi>cg</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s46" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med8" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med8"/> </figure> <p> <s xml:id="s47" xml:space="preserve"> Adunque, <anchor type="note" xlink:label="note-0032-01a" xlink:href="note-0032-01"/> , la punta <mml:math><mml:mi>o</mml:mi></mml:math> descriverà continuamente l'hyperbola.</s> <s xml:id="s48" xml:space="preserve"> In cambio delle punte che sono in <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math>, si pò far passar li fili per doi bugi, ovvero in qual si voglia altro modo, pur che li fili passino sempre per li punti <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s49" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="3"> <note position="left" xlink:label="note-0032-01" xlink:href="note-0032-01a" xml:space="preserve"> per la 51 del 3o di Appollonio </note> </div> </div> <div xml:lang="it" type="section" level="1" n="5"> <head xml:id="head4" xml:space="preserve"> <pb o="9" file="0033" n="33"/> Del misurar </head> <p> <s xml:id="s50" xml:space="preserve"> Per voler misurar è d'avertir che tutti li modi che son già stati scritti, ancor che paiano diversi, sono però quasi tutti conformi, ma è ben vero che nell'operar uno viene meglio dell'altro, et a mio giudizio meglio di tutti, quello di Gemma Phrisio, che è il medesimo di quello che mette Leon Battista Alberti nelli suoi opuscoli, volendo però misurare le cose in piano, perchè con quello si può senza dubbio sicuramente misurar qualsi voglia lunga distanza, e descrivere le regioni sicome ognun di loro insegna benissimo.</s> <s xml:id="s51" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med9" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med9"/> </figure> <p> <s xml:id="s52" xml:space="preserve"> Per voler misurar l'altezze, profondità, et inclinationi si farà in questo modo.</s> <s xml:id="s53" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s54" xml:space="preserve"> Essend'io nel <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math>, e volendo misurar l'altezza della torre <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> perpendicolar' all'horizonte, nel modo che insegna Leon Battista e Gemma Phrisio con le due positioni <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math>, saprò quant'è da <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> a <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math> pie' della torre, e quant'è da <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math> a <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math> vedendosi però il pie' della torre, e presupponendo che'l pie' della torre <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math> et <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> et <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math> siano in un medesimo piano equidistante all'horizonte, overo nell'horizonte medesimo, di poi essend'io in <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> osservo la quantità dell'angolo <mml:math><mml:mi>bca</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s55" xml:space="preserve"> Dico che essend'a noi cogniti li doi angoli <mml:math><mml:mi>acb</mml:mi></mml:math> e <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math> retto del triangolo <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math>, et cognito il lato <mml:math><mml:mi>cb</mml:mi></mml:math>, sapremo, <anchor type="note" xlink:label="note-0033-01a" xlink:href="note-0033-01"/> , quanto sarà alta la torre <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s56" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="1"> <note position="left" xlink:label="note-0033-01" xlink:href="note-0033-01a" xml:space="preserve"> per la quarta del secondo dei triangoli del Monteregio </note> </div> <p> <s xml:id="s57" xml:space="preserve"> Ma nell'operar ci sarà più facile tirar una linea separatamente che sia <mml:math><mml:mi>gf</mml:mi></mml:math>, et a questa sia perpendicolar <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math>, e poniamo che da <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> a <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math> vi sia 30 piedi facciamo che da <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math> a <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math> siano 30 misure equali di qual si voglia grandezza, et dal punto <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math> faccio l'angolo <mml:math><mml:mi>fge</mml:mi></mml:math> equale all'angolo <mml:math><mml:mi>bca</mml:mi></mml:math> li triangoli <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math> et <mml:math><mml:mi>efg</mml:mi></mml:math> sono equiangoli <anchor type="note" xlink:label="note-0033-02a" xlink:href="note-0033-02"/> , adunque sono simili e proportionali, haverà adunque la medesima proportione <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> a <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> che ha <mml:math><mml:mi>ba</mml:mi></mml:math> a <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> <anchor type="note" xlink:label="note-0033-03a" xlink:href="note-0033-03"/> e di quante misure che sono nella linea <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math>, sarà <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math>, di tante sarà <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> di quelle che sono nella <mml:math><mml:mi>cb</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s58" xml:space="preserve"> e se subbito volemo saper quant'è alta la finestra <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math> nella torre, osservate la quantità dell'angolo <mml:math><mml:mi>bch</mml:mi></mml:math>, et si faccia a lui equale <mml:math><mml:mi>fgi</mml:mi></mml:math>, et dove vien segata la linea <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math>, ciò è nel punto <mml:math><mml:mi>i</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s59" xml:space="preserve"> <mml:math><mml:mi>fi</mml:mi></mml:math> darà l'altezza di <mml:math><mml:mi>bh</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s60" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="2"> <note position="left" xlink:label="note-0033-02" xlink:href="note-0033-02a" xml:space="preserve"> dalla 32 del primo </note> <note position="left" xlink:label="note-0033-03" xlink:href="note-0033-03a" xml:space="preserve"> per la 4 del sesto </note> </div> <pb o="10" file="0034" n="34"/> <figure> <image file="med10" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med10"/> </figure> <p> <s xml:id="s61" xml:space="preserve"> Ma non si vedendo il pie' della torre et essendo inacessibile con le due positioni <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math> saprò quanto è da <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> all'<mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math>, et da <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math> all'<mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> sommità della torre, facend'il triangolo <mml:math><mml:mi>acd</mml:mi></mml:math>, similmente sapendo la quantità dell'angolo <mml:math><mml:mi>bca</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>cba</mml:mi></mml:math> retto, et havendo cognito il lato <mml:math><mml:mi>ca</mml:mi></mml:math>, sapremo <anchor type="note" xlink:label="note-0034-01a" xlink:href="note-0034-01"/> la quantità della torre, ma all'operation più facile, tirisi la linea <mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math>, la qual ci rappresentava il piano <mml:math><mml:mi>cb</mml:mi></mml:math>, et faccio l'angolo <mml:math><mml:mi>mln</mml:mi></mml:math>, equal'all'angolo <mml:math><mml:mi>bca</mml:mi></mml:math> già asservato, e poniamo che da <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> all'<mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math>, siano 40 piedi, facciamo che da <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math> a <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math> siano 40 misure equali di che grandezza si voglia, si tiri poi dal punto <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math> una perpendicolare <mml:math><mml:mi>nm</mml:mi></mml:math> alla linea <mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math>, dico che <mml:math><mml:mi>nm</mml:mi></mml:math> per le ragioni dette ne darà l'altezza della torre <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math>, et essendo l'angolo <mml:math><mml:mi>mlo</mml:mi></mml:math> equale all'angolo <mml:math><mml:mi>bch</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>om</mml:mi></mml:math> ci darà l'altezza <mml:math><mml:mi>bh</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s62" xml:space="preserve"> Et è d'avertir, che se non saremo in sito piano, ma aspro e montuoso, essendo nel punto <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> osservaremo il punto <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math> et <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math> che siano tutti in un medesimo piano equidistanti all'horizonte, et operaremo come si è detto.</s> <s xml:id="s63" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="3"> <note position="left" xlink:label="note-0034-01" xlink:href="note-0034-01a" xml:space="preserve"> per la quarta del secondo delli Triangoli del Monteregio </note> </div> <figure> <image file="med10_2" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med10_2"/> </figure> <p> <s xml:id="s64" xml:space="preserve"> Nelle profondità operaremo nel medesimo modo, ma quasi contrariamente, cioè che secondo che nelle altezze si opera all'in su, nelle profondità si opera all'ingiù.</s> <s xml:id="s65" xml:space="preserve"> Da quel che si è detto:</s> <s xml:id="s66" xml:space="preserve"> sarà facil cosa misurar l'inclinazioni che volendo saper quant'è da <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math> all'<mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math>, e quant'è la sua inclinatione, essendo in <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math>, per le cose dette sapremo, quanto è <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math>, et quanto è <mml:math><mml:mi>be</mml:mi></mml:math>, et quanto è <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math> et <mml:math><mml:mi>ce</mml:mi></mml:math>, e se separatamente operaremo come si è detto, sapremo quanto è <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">da</emph><mml:math><mml:mi>ba</mml:mi></mml:math><!--end variant delevit ante--> , et quant'è la sua inclinatione sopra l'horizonte si come per esempio facendo li triangoli simili <mml:math><mml:mi>fhi</mml:mi></mml:math>, all'<mml:math><mml:mi>acd</mml:mi></mml:math> et, <mml:math><mml:mi>ghk</mml:mi></mml:math>, al <mml:math><mml:mi>bce</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s67" xml:space="preserve"> congiungendo <mml:math><mml:mi>gf</mml:mi></mml:math>, e di quante parti sarà <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> di quelle che sono nell'<mml:math><mml:mi>hi</mml:mi></mml:math>, di tante sarà <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> di quelle che sono in <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math>, e slungato il lato <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> fin che seghi <mml:math><mml:mi>hi</mml:mi></mml:math>, nel punto <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math>, l'angolo <mml:math><mml:mi>inf</mml:mi></mml:math> darà l'inclinatio di <mml:math><mml:mi>gf</mml:mi></mml:math> che sarà la medesima di quella di <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s68" xml:space="preserve"> E tutte queste operationi si possono far con qual si voglia instrumento che ci paia a ciò più accomodato.</s> <s xml:id="s69" xml:space="preserve"> Dalle altre misure in piano, cioè quant'è da un luogo a un altro, Gemma Phrisio e Leon Battista l'hanno benissimo insegnato, e molti altri che hanno usato il medesimo modo.</s> <s xml:id="s70" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="11" file="0035" n="35"/> <figure> <image file="med11" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med11"/> </figure> <p> <s xml:id="s71" xml:space="preserve"> Siano le doi positioni <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> et sia cognita <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> poniamo 4 canne, et essendo in <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> e guardando <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math>, similmente nel <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math> e guardando <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s72" xml:space="preserve"> Dico che si potrà saper quanto è la <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math> e quanto è ognuna delle distanze, che è da <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> a <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math> havendo solamente cognita la <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math>, ancorchè non si possa slongar le linee dilà dalla <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s73" xml:space="preserve"> Tirisi da qual si voglia punto della linea <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math>, una parallela a quella che si vol aver cognita, pur che la non ecceda <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math>, come dal punto <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math> tirisi <mml:math><mml:mi>hi</mml:mi></mml:math> parallela alla distanza <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math>, <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">e dividasi</emph>e dividasi<!--end variant delevit ante--> <mml:math><mml:mi>ah</mml:mi></mml:math> in tante parti quante è <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math>, cio è in 4, e di queste misure vedasi quanto è <mml:math><mml:mi>hi</mml:mi></mml:math>, et tanto sarà la distanza da <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math> a <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> di quelle di <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math>, per la 4 del sesto per essere i triangoli simili, e nel medesimo modo saranno cognite tutte le distanze, dividasi poi <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>i</mml:mi></mml:math> et <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math> delle misure <mml:math><mml:mi>ah</mml:mi></mml:math>, cioè di quante della <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> sono <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math>, e congiungasi <mml:math><mml:mi>ki</mml:mi></mml:math> e dividasi delle misure <mml:math><mml:mi>ah</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math> sarà tante misure della <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> quanto è <mml:math><mml:mi>ki</mml:mi></mml:math> della <mml:math><mml:mi>ah</mml:mi></mml:math>, e per essere <mml:math><mml:mi>ki</mml:mi></mml:math> equidistante a <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math> si saprà la sua positione, cioè per qual vento vada, e similmente le altre.</s> <s xml:id="s74" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med11_2" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med11_2"/> </figure> <p> <s xml:id="s75" xml:space="preserve"> Per tirar una parallela a <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math> non potendo andar di là dalla <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math>, tirisi <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> in qual si voglia modo, e si guardi <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math>, e si tirino <mml:math><mml:mi>ag</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>ai</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>bhbk</mml:mi></mml:math>, e da qual si voglia punto della <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math>, cioè da <mml:math><mml:mi>m</mml:mi></mml:math> si tiri <mml:math><mml:mi>ml</mml:mi></mml:math> parallela a <mml:math><mml:mi>kb</mml:mi></mml:math>, e da <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math> si tiri <mml:math><mml:mi>ln</mml:mi></mml:math> parallela a <mml:math><mml:mi>hb</mml:mi></mml:math> e congiunta <mml:math><mml:mi>nm</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s76" xml:space="preserve"> Dico che <mml:math><mml:mi>nm</mml:mi></mml:math> è parallela a <mml:math><mml:mi>dc</mml:mi></mml:math>, per che slungando le linee <mml:math><mml:mi>agacbhbk</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>dc</mml:mi></mml:math>, et essendo <mml:math><mml:mi>ml</mml:mi></mml:math> parallela a <mml:math><mml:mi>cb</mml:mi></mml:math> haverà la medesima proportione <mml:math><mml:mi>am</mml:mi></mml:math> a <mml:math><mml:mi>mc</mml:mi></mml:math>, che ha <mml:math><mml:mi>al</mml:mi></mml:math> a <mml:math><mml:mi>lb</mml:mi></mml:math> <anchor type="note" xlink:label="note-0035-01a" xlink:href="note-0035-01"/> , e per essere <mml:math><mml:mi>nl</mml:mi></mml:math> parallela a <mml:math><mml:mi>db</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>al</mml:mi></mml:math> haverà medesima proportione a <mml:math><mml:mi>lb</mml:mi></mml:math>, che ha <mml:math><mml:mi>an</mml:mi></mml:math> a <mml:math><mml:mi>nd</mml:mi></mml:math>, adunque <mml:math><mml:mi>am</mml:mi></mml:math> haverà la medesima proportione a <mml:math><mml:mi>mc</mml:mi></mml:math>, che ha <mml:math><mml:mi>an</mml:mi></mml:math> a <mml:math><mml:mi>nd</mml:mi></mml:math> <anchor type="note" xlink:label="note-0035-02a" xlink:href="note-0035-02"/> , adunque <mml:math><mml:mi>nm</mml:mi></mml:math> sarà parallela a <mml:math><mml:mi>dc</mml:mi></mml:math> <anchor type="note" xlink:label="note-0035-03a" xlink:href="note-0035-03"/> .</s> <s xml:id="s77" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="4"> <note position="left" xlink:label="note-0035-01" xlink:href="note-0035-01a" xml:space="preserve"> per la seconda del sesto </note> <note position="left" xlink:label="note-0035-02" xlink:href="note-0035-02a" xml:space="preserve"> per la 11a del quinto </note> <note position="left" xlink:label="note-0035-03" xlink:href="note-0035-03a" xml:space="preserve"> per la seconda del sesto </note> </div> </div> <div xml:lang="it" type="section" level="1" n="6"> <head xml:id="head5" xml:space="preserve"> <pb o="12" file="0036" n="36"/> Misurar con lo squadro tagliato in otto parti </head> <figure> <image file="med12" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med12"/> </figure> <p> <s xml:id="s78" xml:space="preserve"> Prima per saper una distanza come <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> mettasi lo squadro in <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math>, et si veda ad angoli retti <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math>, poi si metta lo squadro in <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math>, et si veda <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> et <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math> con mezzo squadro.</s> <s xml:id="s79" xml:space="preserve"> Dico che essendo gli angoli <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> mezzi retti et eguali, che lo <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> sarà eguale a <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s80" xml:space="preserve"> Si che misurata <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> sapremo la distanza di <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s81" xml:space="preserve"> E questo è comodo quando la distanza che si ha da misurare non è molto lontana.</s> <s xml:id="s82" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s83" xml:space="preserve"> Ma per una distanza lunga come <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math>, si guardi in squadro dall'<mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> li punti <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math>, e non vi sia più sito che fin'al <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s84" xml:space="preserve"> Poi messo lo squadro in <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math> si guardi <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math> in squadro con <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s85" xml:space="preserve"> Misurate poi le linee <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>ca</mml:mi></mml:math>, sarà nota anche <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math>, essendo <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math> a <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math>, come <mml:math><mml:mi>ca</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s86" xml:space="preserve"> Li punti <mml:math><mml:mi>ce</mml:mi></mml:math> si trovaranno con la vista, e con due segnali, come fili canne, e simili.</s> <s xml:id="s87" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s88" xml:space="preserve"> E se fusse un monte, e che non si vedesse il <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math> guardisi per le spaccature la sommità del monte, facendo star lo squadro sempre retto all'horizonte.</s> <s xml:id="s89" xml:space="preserve"> In ogni modo sarà cognito il punto dove cade la perpendicolare dalla sommità al piano, dove è lo squadro.</s> <s xml:id="s90" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med12_3" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med12_3"/> </figure> <p> <s xml:id="s91" xml:space="preserve"> Per tirar una parallela a <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math> mettasi lo squadro in <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math>, et si veda <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> con mezzo squadro.</s> <s xml:id="s92" xml:space="preserve"> Poi si metta <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s93" xml:space="preserve"> et si veda <mml:math><mml:mi>ae</mml:mi></mml:math> con squadro, et senza moversi, si veda <mml:math><mml:mi>dg</mml:mi></mml:math> con mezzo squadro.</s> <s xml:id="s94" xml:space="preserve"> Finalmente messo lo squadro in <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math> si veda <mml:math><mml:mi>fd</mml:mi></mml:math> con lo squadro.</s> <s xml:id="s95" xml:space="preserve"> Dico che gli angoli <mml:math><mml:mi>aed</mml:mi></mml:math> sono mezzi retti, e però le linee <mml:math><mml:mi>fa</mml:mi></mml:math> <reg norm="ef" type="context">ae<!--variant 2 variants--></reg> sono eguali, come anche le linee <mml:math><mml:mi>gfgd</mml:mi></mml:math> eguali.</s> <s xml:id="s96" xml:space="preserve"> Fatta adunque <mml:math><mml:mi>gh</mml:mi></mml:math> eguale all'eccesso, che <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> supera <mml:math><mml:mi>fa</mml:mi></mml:math>, che sarà il medesimo che <mml:math><mml:mi>gd</mml:mi></mml:math> supera <mml:math><mml:mi>fe</mml:mi></mml:math>, la linea da <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math> sarà parallela a <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s97" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med12_4" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med12_4"/> </figure> <p> <s xml:id="s98" xml:space="preserve"> L'altezza <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> si troverà in questo modo, voltisi lo squadro, che li tagli siano equidistanti all'horizonte, e si metta un taglio, che sia retto all'horizonte (che facilmente si farà con un filo) poi si veda <mml:math><mml:mi>cacd</mml:mi></mml:math> per linea retta et con il mezzo squadro.</s> <s xml:id="s99" xml:space="preserve"> è manifesto che <mml:math><mml:mi>db</mml:mi></mml:math> sarà eguale a <mml:math><mml:mi>ba</mml:mi></mml:math>, e perchè per le cose dette si pò saper quanto è <mml:math><mml:mi>db</mml:mi></mml:math>, adunque sarà cognita l'altezza <mml:math><mml:mi>ba</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s100" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med12_5" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med12_5"/> </figure> <p> <s xml:id="s101" xml:space="preserve"> Da questi si potrà con molt'altri modi misurar con lo squadro, e tor piante e situar piante <emph style="super">dentro e fuori<!--variant supralineam--></emph> e simili altre cose, come mettendo lo squadro in <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math> e misurando le distanze, che sono ad angoli retti, e questo serve per tor piante, et anche volendole situar.</s> </p> <figure> <image file="med12_6" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med12_6"/> </figure> </div> <div xml:lang="it" type="section" level="1" n="7"> <head xml:id="head6" xml:space="preserve"> <pb o="13" file="0037" n="37"/> Degl'horologgi </head> <p> <s xml:id="s102" xml:space="preserve"> Descrivasi l'analemma come dice Tolomeo e il Comandino che sia <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> il diametro dell'equinottiale;</s> <s xml:id="s103" xml:space="preserve"> <mml:math><mml:mi>fk</mml:mi></mml:math> del tropico di ♋ et ξω del capricorno, l'un e l'altro 23 gradi e mezzo discosto dal equinottiale, sia <mml:math><mml:mi>m</mml:mi></mml:math> l'horizonte 43 gradi e mezzo discosto dal polo, il qual seghi li tropici in <mml:math><mml:mi>r x</mml:mi></mml:math>, e l'equinottiale in <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>rn</mml:mi></mml:math> sarà commune sectione del tropico e dell'horizonte.</s> <s xml:id="s104" xml:space="preserve"> Sia <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> l'horizonte, sia <mml:math><mml:mi>on</mml:mi></mml:math> commune sectione dell'horizonte e del meridiano, e dalli punti <mml:math><mml:mi>rex</mml:mi></mml:math> si tirino <mml:math><mml:mi>trszeghxi</mml:mi></mml:math> perpendicolar'a <mml:math><mml:mi>on</mml:mi></mml:math>, le quale saranno commune sectione dell'horizonte e delli tropici e dell'equinottiale, per essere <mml:math><mml:mi>rn</mml:mi></mml:math> equale a <mml:math><mml:mi>rt</mml:mi></mml:math>, perchè <mml:math><mml:mi>rurt</mml:mi></mml:math> arivano nel cielo e sono tutte due perpendicolar'a <mml:math><mml:mi>on</mml:mi></mml:math> <emph style="super">laqual passa per <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> immaginandosi <mml:math><mml:mi>rn</mml:mi></mml:math> perpendicolar'all'horizonte dove il punto <mml:math><mml:mi>u</mml:mi></mml:math> sarà nel tropico nel cielo <emph style="super">si come dimostra Tolomeo<!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s105" xml:space="preserve"> Et <mml:math><mml:mi>st</mml:mi></mml:math> saranno li punti dove il tropico di cancro sega l'horizonte, et <mml:math><mml:mi>s</mml:mi></mml:math> sarà dove in quel di si leva il sole, e <mml:math><mml:mi>t</mml:mi></mml:math> dove il tramonta, similmente <mml:math><mml:mi>gz</mml:mi></mml:math> dell'equinottiale, et <mml:math><mml:mi>ih</mml:mi></mml:math> del ♑;</s> <s xml:id="s106" xml:space="preserve"> et essendo per centro del ♋, facciasi <mml:math><mml:mi>rq</mml:mi></mml:math> equale a <mml:math><mml:mi>rp</mml:mi></mml:math>, e fatto centro <mml:math><mml:mi>q</mml:mi></mml:math> si descriva il circolo <mml:math><mml:mi>smt</mml:mi></mml:math> equal al tropico, e si divida in 24 parte cominciando dal <mml:math><mml:mi>t</mml:mi></mml:math> volendo far l'hore italiane, e l'arco <mml:math><mml:mi>smt</mml:mi></mml:math> sarà l'arco diurno del ♋.</s> <s xml:id="s107" xml:space="preserve"> E perchè l'altezza del mezzo di di ♋ è 70 gradi, laqual è equale a <mml:math><mml:mi>of</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s108" xml:space="preserve"> tirisi <mml:math><mml:mi>fy</mml:mi></mml:math> perpendicolar'a <mml:math><mml:mi>on</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s109" xml:space="preserve"> il punto <mml:math><mml:mi>y</mml:mi></mml:math> sarà dove casca la perpendicolar dal tropico di ♋ nel mezzo di nell'horizonte, et <mml:math><mml:mi>yf</mml:mi></mml:math> sarà la sua altezza, et <mml:math><mml:mi>a λ </mml:mi></mml:math> dell'equinottiale, e <mml:math><mml:mi>ν </mml:mi></mml:math>ξ del ♑, e per trovar dove cascano le perpendicolar nell'horizonte delle altre hore, e le loro altezze, si operarà come si è detto nella prima et 2a propositione della perspectiva, essendo <mml:math><mml:mi>st</mml:mi></mml:math> la commune sectione del piano dell'horizonte e del circolo <mml:math><mml:mi>smt</mml:mi></mml:math> inclinato, facendo il centro <mml:math><mml:mi>r</mml:mi></mml:math>, tirando la quarta <mml:math><mml:mi>mf[3]</mml:mi></mml:math> fin che la seghi <mml:math><mml:mi>st</mml:mi></mml:math> slungata, laqual passava per <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math> essendo <mml:math><mml:mi>rfrm</mml:mi></mml:math> equale, e così <mml:math><mml:mi>fy</mml:mi></mml:math> sarà l'altezza, et <mml:math><mml:mi>y</mml:mi></mml:math> sarà dove la perpendicolar casca nell'horizonte, similmente si faranno le altre hore, come le 23 di ♋ nell'horizonte sarà in α, e la sua altezza αβ, dell'equinottiale nell'horizonte in ♌, e la sua altezza ♌<mml:math><mml:mi> r</mml:mi></mml:math>, del ♑ in <mml:math><mml:mi>i</mml:mi></mml:math>, e la sua altezza <mml:math><mml:mi>ix</mml:mi></mml:math>, e l'inclinatione di tutte l'hore di tutti li circoli, saranno le medesime, perchè l'equinottiale e li tropici e gli altri circoli sono paralleli tra loro, et sono inclinati all'horizonte adunque haveranno la medesima inclinatione, e facendo le hore dell'equinottiale la commune sectione sarà <mml:math><mml:mi>gz</mml:mi></mml:math> e del ♑ <mml:math><mml:mi>ih</mml:mi></mml:math>, e se si vorrà far quelle di ♌ si trovarà la commune settione di leone nell'horizonte, et il suo arco diurno, e si operarà come si è detto negl'altri.</s> <s xml:id="s110" xml:space="preserve"> Et perchè <mml:math><mml:mi>a </mml:mi></mml:math>λ è la perpendicolare dell'equinottiale nel mezzo di, è chiara cosa che l'ombra (essend'il stile elevato perpendicolarmente nell'horizonte in <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math>) sarà nella linea <mml:math><mml:mi>on</mml:mi></mml:math> per esser <mml:math><mml:mi>on</mml:mi></mml:math> commune sectione dell'horizonte e del meridiano, sia <mml:math><mml:mi>et</mml:mi></mml:math> la lunghezza del stile perpendicolar'a <mml:math><mml:mi>on</mml:mi></mml:math>, laqual sarà parallela a λ<mml:math><mml:mi> a</mml:mi></mml:math> e perchè la punta del stile vol essere nel centro del mondo aggiungasi a λ<mml:math><mml:mi> a</mml:mi></mml:math> la quantità <mml:math><mml:mi>a ρ</mml:mi></mml:math> equale a <mml:math><mml:mi>eτ</mml:mi></mml:math>, e tirata <mml:math><mml:mi>ρ τ</mml:mi></mml:math> in infinito;</s> <s xml:id="s111" xml:space="preserve"> dove la sega <mml:math><mml:mi>on</mml:mi></mml:math> sarà le 18 hore nell'equinottio, similmente si tiri α<mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math> in infinito nella qual sarà l'ombra delle 23 di ♋ , per essere commune sectione dell'horizonte e del circulo verticale che passa per il sole alle 23 hore di ♋, e tirasi <mml:math><mml:mi>a </mml:mi></mml:math>ς perpendicolar'a <mml:math><mml:mi>e </mml:mi></mml:math>α equal a <mml:math><mml:mi>a </mml:mi></mml:math>Α, perchè l'altezza del sole è perpendicolar all'horizonte e alla linea <mml:math><mml:mi>e </mml:mi></mml:math>α e casca nel punto α, e dal centro <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math> si tiri una perpendicolar'a <mml:math><mml:mi>e </mml:mi></mml:math>α dell'altezza del stile, e la medesima altezza si aggiunga a ας, e si tiri dalla detta altezza alla punta del stile una linea in infinito e dove la sega α<mml:math><mml:mi> e </mml:mi></mml:math> sarà le 23 hore di ♋, e nel medesimo modo si faranno le altre hore.</s> <s xml:id="s112" xml:space="preserve"> Et è da notar chel punto ς e gl'altri simili punti saranno nel circolo grande <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> per che elevando <mml:math><mml:mi>a </mml:mi></mml:math>ς perpendicolar'all'<!--begin variant delevit post-->horizonte<emph style="st">e dimostrata che la linea <mml:math><mml:mi>er</mml:mi></mml:math> per essere il semidiametro sempre tocchi il cielo e per conseguenza<!--end variant delevit post--></emph> , <pb o="14" file="0038" n="38"/> il punto ς toccarà il cielo, et considerando il triangolo <emph style="super">hortogonio<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>ae </mml:mi></mml:math>ς elevato e poi <!--milestone lacs--> nell'horizonte, è di necessità che la linea <mml:math><mml:mi>e </mml:mi></mml:math>ς, per essere il semidiametro sempre tocchi il cielo, e per conseguenza anche l'horizonte per essere circolo maggiore.</s> <s xml:id="s113" xml:space="preserve"> Gli altri punti cioè, dove cascano le perpendicolar nell'horizonte faranno un'elisse come dimostra il Comandino nel libro de horologiorum descriptione.</s> <s xml:id="s114" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med_p14" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med_p14"/> </figure> <!-- La figura di pagina 14 delle <italics>Meditatiunculae</italics> --> </div> <div xml:lang="it" type="section" level="1" n="8"> <head xml:id="head7" xml:space="preserve"> <pb o="15" file="0039" n="39"/> In un altro modo </head> <p> <s xml:id="s115" xml:space="preserve"> Descrivasi l'analemma come nella precedente, e descrivansi li tropici al suo luogo.</s> <s xml:id="s116" xml:space="preserve"> <mml:math><mml:mi>mnqh</mml:mi></mml:math> saranno equale e commune settione dell'horizonte e delli tropici, <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math> dell'horizonte e del equinottiale, e si dividano li detti tropici e l'equinottiale in 24 parte cominciando da <mml:math><mml:mi>udh</mml:mi></mml:math>, volendo far l'hore italiane, e volendo trovar dove casca la perpendicolar delle 23 hore di ♋ e la sua altezza, tirisi <mml:math><mml:mi>rs</mml:mi></mml:math> perpendicolar a <mml:math><mml:mi>fk</mml:mi></mml:math>, e dal punto <mml:math><mml:mi>s</mml:mi></mml:math> si tiri <mml:math><mml:mi>ts </mml:mi></mml:math>α perpendicolar'a <mml:math><mml:mi>on</mml:mi></mml:math> laqual si facci equale a <mml:math><mml:mi>sr</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s117" xml:space="preserve"> Il punto α sarà nell'horizonte dove casca la perpendicolr delle 23 hore di ♋, si come dimostra Tolomeo nel libro de analemmate, dove egl'insegna di tor le circonferenze horizontale, e tirata <mml:math><mml:mi>ea</mml:mi></mml:math>, et ας perpendicolar'a <mml:math><mml:mi>e </mml:mi></mml:math>α la qual si facci equal a <mml:math><mml:mi>st</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s118" xml:space="preserve"> ας sarà l'altezza della perpendicolar sopra l'horizonte, perchè <mml:math><mml:mi>st</mml:mi></mml:math> è equale alla detta altezza;</s> <s xml:id="s119" xml:space="preserve"> che tirando una parallela dal punto <mml:math><mml:mi>s</mml:mi></mml:math> a <mml:math><mml:mi>on</mml:mi></mml:math> mostra nella circonferenza l'altezza del sole, et <mml:math><mml:mi>st</mml:mi></mml:math> viene ad esser'il suo sino retto, si come dimostra il Comandino nel comento sopra Tolomeo nel detto luogo.</s> <s xml:id="s120" xml:space="preserve"> Et il punto ς sarà nella circonferenza del circolo <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> per la precedente.</s> <s xml:id="s121" xml:space="preserve"> Le altre cose, e l'horologgio si faranno come si è detto nella precedente.</s> <s xml:id="s122" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="16" file="0040" n="40"/> <figure> <image file="med_p16" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med_p16"/> </figure> <!-- La figura di pagina 16 delle <italics>Meditatiunculae</italics> --> <pb o="17" file="0041" n="41"/> <p> <s xml:id="s123" xml:space="preserve"> Fatto che sarà l'analemma, per far gl'horologgi in piano dell'horizonte, si faranno come si è detto di sopra nelle precedenti, ma li verticali, prima bisogna trovar l'aspetto e sia per esempio 58 gradi e mezzo da ponente verso tramontana, ilqual si notarà nell'analemma, et dal centro <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math> se gli tirarà <mml:math><mml:mi>def</mml:mi></mml:math> perpendicolar, laqual sarà la dirittura del piano dove si ha da far l'horologgio, e perchè la punta del stile vuol essere nel centro del mondo, facciasi <mml:math><mml:mi>ea</mml:mi></mml:math> della lunghezza del stile perpendicolar a <mml:math><mml:mi>df</mml:mi></mml:math> e dal punto <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> si tiri <mml:math><mml:mi>gh</mml:mi></mml:math> parallela a <mml:math><mml:mi>df</mml:mi></mml:math>, laqual sarà commune settione dell'horizonte e del piano done vi ha da far l'horologgio, nel qual si vede che non vi saranno più hore, che le 19, 20, 21, 22, 23 di ♋, e le 22, 23, di ♈, <anchor type="note" xlink:label="note-0041-01a" xlink:href="note-0041-01"/> e per trovar li termini dell'ombre tirisi dalle vintitre di ♋ nel piano dell'horizonte una linea che passi per <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math>, che è la punta del stile, laqual seghi <mml:math><mml:mi>gh</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math>, questa linea è, <anchor type="note" xlink:label="note-0041-02a" xlink:href="note-0041-02"/> , commune settione dell'horizonte e del circolo verticale che passa per il sole alle 24 hore di ♋, adunque l'ombra sarà nella linea che casca dal <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math> perpendicolarmente a <mml:math><mml:mi>gh</mml:mi></mml:math> et all'horizonte, perchè questa linea sarà commune settione del detto circolo verticale e del piano dell'horologgio, per esser parallela alla perpendicolar che casca dal sole nell'horizonte.</s> <s xml:id="s124" xml:space="preserve"> Tirisi adunque dal <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math> la perpendicolar <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> alla linea <mml:math><mml:mi>bep</mml:mi></mml:math> e dal punto <mml:math><mml:mi>m</mml:mi></mml:math>, che è l'altezza del sole delle 23 hore di ♋, si tiri <mml:math><mml:mi>mec</mml:mi></mml:math> che passa per la punta del stile, laqual sega la linea <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math>, il <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> sarà dove termina l'ombra delle 23 hore di ♋ sotto l'horizonte perpendicolarmente sotto il <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math>, perchè li doi triangoli <mml:math><mml:mi>ebc</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>em23</mml:mi></mml:math> sono in un medesimo piano, et immaginandoci <mml:math><mml:mi>m</mml:mi></mml:math> elevato perpendicolarmente sopra l'horizonte, et il <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> abassato, e che restino in un medesimo piano, <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> sarà perpendicolar all'horizonte et alla linea <mml:math><mml:mi>gh</mml:mi></mml:math>, e sarà nel piano dell'horologgio.</s> <s xml:id="s125" xml:space="preserve"> Facciasi <mml:math><mml:mi>gh</mml:mi></mml:math> separatamente come nel horologgio, et α<mml:math><mml:mi> b</mml:mi></mml:math> equal a <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> nell'analemma, e dal <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math> si tiri <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> perpendicolar a <mml:math><mml:mi>gh</mml:mi></mml:math>, e far <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> equal a <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math>, il <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> <emph style="super">nell'horologgio<!--variant supralineam--></emph> sarà il termine delle 23 hore di ♋ mettendo il stile in α perpendicolar'al piano dell'horologgio lungo quanto è <mml:math><mml:mi>ae</mml:mi></mml:math>, e nel medesimo modo si faranno le altre hore.</s> <s xml:id="s126" xml:space="preserve"> Sicome appar nella figura.</s> <s xml:id="s127" xml:space="preserve"> Delle cose dette ne nasce che <mml:math><mml:mi>pm</mml:mi></mml:math> è la quantità dell'arco sopra l'horizonte alle 23 hore di ♋, per essere <mml:math><mml:mi>m23</mml:mi></mml:math> la perpendicolar che casca dal sole nell'horizonte alla detta hora, laqual è il suo sino retto;</s> <s xml:id="s128" xml:space="preserve"> vedasi adunque in un circolo equale a <mml:math><mml:mi>omn</mml:mi></mml:math> diviso in 360 gradi, quanti gradi <mml:math><mml:mi>pm</mml:mi></mml:math> è di quello, e tanto sarà il sole sopra l'horizonte alla detta hora, e nel medesimo modo si sapranno gl'altri archi.</s> <s xml:id="s129" xml:space="preserve"> E per esser <mml:math><mml:mi>on</mml:mi></mml:math> commune sectione del meridiano e dell'horizonte, <mml:math><mml:mi>pn</mml:mi></mml:math> mostrarà la circonferenza horizontale, e <mml:math><mml:mi>p</mml:mi></mml:math> il sito nell'horizonte.</s> <s xml:id="s130" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="1"> <note position="left" xlink:label="note-0041-01" xlink:href="note-0041-01a" xml:space="preserve"> ♎<!--variant signopositoinmargine--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0041-02" xlink:href="note-0041-02a" xml:space="preserve"> per le precedenti </note> </div> <pb o="18" file="0042" n="42"/> <figure> <image file="med_p18" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med_p18"/> </figure> <!-- La figura di pagina 18 delle <italics>Meditatiunculae</italics> --> <pb o="19" file="0043" n="43"/> <p> <s xml:id="s131" xml:space="preserve"> Da notar negli horologi piani horizontali che la linea delle <mml:math><mml:mi>12</mml:mi></mml:math> hore è aequidistante alla linea equinoctiale.</s> <s xml:id="s132" xml:space="preserve"> Et che trovati li punti delli 11, 10, 9, del tropico estivo senza trovar li medesimi d'un'altro parallelo basta tirar dalle 23 dell'equinottiale, et le dette 11, così dalle 22 dell'equinottiale et le 10, et dalle 21 et dalle 9:</s> <s xml:id="s133" xml:space="preserve"> e saranno fatte giustamente e molto meglio quanto all'operatione per essere detti puncti assai distanti.</s> <s xml:id="s134" xml:space="preserve"> E questo si dimostrarà poi <emph style="it">in c. 129<!--variant EDdiverso atramento--></emph> .</s> <s xml:id="s135" xml:space="preserve"> </s> </p> </div> <div type="section" level="1" n="9"> <head xml:id="head8" xml:space="preserve"> <pb o="20" file="0044" n="44"/> In dato semicirculo quadratum describere </head> <figure> <image file="med20" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med20"/> </figure> <p> <s xml:id="s136" xml:space="preserve"> Sit datus semicirculus <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> cuius centrum <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math>, oportet in <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> semicirculo quadratum describere.</s> <s xml:id="s137" xml:space="preserve"> Describatur super <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math> quadratum <mml:math><mml:mi>ahid</mml:mi></mml:math>, et connectatur <mml:math><mml:mi>eieh</mml:mi></mml:math>, quae semicirculum in <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> secent et a punctis <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> ducantur <mml:math><mml:mi>bfcg</mml:mi></mml:math>, perpendiculares ad <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math> quae aequidistantes erunt <mml:math><mml:mi>haid</mml:mi></mml:math> et interse, et connectatur <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s138" xml:space="preserve"> Quoniam enim duo latera <mml:math><mml:mi>ed</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>di</mml:mi></mml:math> trianguli <mml:math><mml:mi>edi</mml:mi></mml:math>, sunt aequalia duuobus lateribus <mml:math><mml:mi>ea</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>ah</mml:mi></mml:math> trianguli <mml:math><mml:mi>eah</mml:mi></mml:math>, et anguli ad <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math> sunt recti, erit (per 4 primi) <mml:math><mml:mi>eid</mml:mi></mml:math> triangulum triangulo <mml:math><mml:mi>eha</mml:mi></mml:math> equale, et angulus <mml:math><mml:mi>dei</mml:mi></mml:math> aequalis angulo <mml:math><mml:mi>aeh</mml:mi></mml:math>, et quoniam trianguli <mml:math><mml:mi>ecg</mml:mi></mml:math> duo anguli <mml:math><mml:mi>ceg</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>egc</mml:mi></mml:math>, duobus angulis <mml:math><mml:mi>bef</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>efb</mml:mi></mml:math> trianguli <mml:math><mml:mi>bef</mml:mi></mml:math> sunt aequales et latus <mml:math><mml:mi>ec</mml:mi></mml:math> aequale lateri <mml:math><mml:mi>eb</mml:mi></mml:math> quia sunt ex centro, erit triangulum <mml:math><mml:mi>ceg</mml:mi></mml:math> aequale triangulo <mml:math><mml:mi>bef</mml:mi></mml:math> <anchor type="note" xlink:label="note-0044-01a" xlink:href="note-0044-01"/> , et latus <mml:math><mml:mi>cg</mml:mi></mml:math> aequle lateri <mml:math><mml:mi>bf</mml:mi></mml:math> et latus <mml:math><mml:mi>eg</mml:mi></mml:math> aequale lateri <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s139" xml:space="preserve"> et quoniam propter similitudinem triangulorum <mml:math><mml:mi>die</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>cge</mml:mi></mml:math>, est sicut <mml:math><mml:mi>id</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math>, ita <mml:math><mml:mi>cg</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ge</mml:mi></mml:math> <anchor type="note" xlink:label="note-0044-02a" xlink:href="note-0044-02"/> , sed dupla est proportio <mml:math><mml:mi>id</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math>, quia <mml:math><mml:mi>id</mml:mi></mml:math> est aequalis <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math>, dupla igitur est <mml:math><mml:mi>cg</mml:mi></mml:math> ipsius <mml:math><mml:mi>eg</mml:mi></mml:math>, sed <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> dupla est <mml:math><mml:mi>eg</mml:mi></mml:math>, quare <anchor type="note" xlink:label="note-0044-03a" xlink:href="note-0044-03"/> <mml:math><mml:mi>cg</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>gf</mml:mi></mml:math> est aequalis, sed <mml:math><mml:mi>cg</mml:mi></mml:math> est aequalis <mml:math><mml:mi>bf</mml:mi></mml:math>, tres igitur <mml:math><mml:mi>cggffb</mml:mi></mml:math> sunt interse aequales, et quoniam <mml:math><mml:mi>bfcg</mml:mi></mml:math> sunt aequales et parallelae, erit <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> aequalis et parallela <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> ( <anchor type="note" xlink:label="note-0044-04a" xlink:href="note-0044-04"/> ), quatuor igitur lineae <mml:math><mml:mi>bccggffb</mml:mi></mml:math> sunt interse aequales, et quoniam parallelogrammum est <mml:math><mml:mi>bcgf</mml:mi></mml:math> et anguli ad <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> sunt recti, reliqui igitur anguli hoc est <mml:math><mml:mi>fbcbcg</mml:mi></mml:math> recti sunt ( <anchor type="note" xlink:label="note-0044-05a" xlink:href="note-0044-05"/> ), quadratum igitur est <mml:math><mml:mi>bcgf</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s140" xml:space="preserve"> In dato igitur semicirculo <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> quadratum <mml:math><mml:mi>bcgf</mml:mi></mml:math> descriptum est, quod facere oportebat.</s> <s xml:id="s141" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="1"> <note position="left" xlink:label="note-0044-01" xlink:href="note-0044-01a" xml:space="preserve"> per 26 primi </note> <note position="left" xlink:label="note-0044-02" xlink:href="note-0044-02a" xml:space="preserve"> per <mml:math><mml:msup><mml:mi>46</mml:mi><mml:mn>i</mml:mn></mml:msup></mml:math> </note> <note position="left" xlink:label="note-0044-03" xlink:href="note-0044-03a" xml:space="preserve"> per <mml:math><mml:msup><mml:mi>95</mml:mi><mml:mn>i</mml:mn></mml:msup></mml:math> </note> <note position="left" xlink:label="note-0044-04" xlink:href="note-0044-04a" xml:space="preserve"> <mml:math><mml:mi>33</mml:mi></mml:math> primi </note> <note position="left" xlink:label="note-0044-05" xlink:href="note-0044-05a" xml:space="preserve"> <mml:math><mml:mi>34</mml:mi></mml:math> primi </note> </div> <figure> <image file="med20_2" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med20_2"/> </figure> <p> <s xml:id="s142" xml:space="preserve"> Descripto in semicirculo quadrato connectatur <mml:math><mml:mi>db</mml:mi></mml:math> quae <mml:math><mml:mi>cg</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>t</mml:mi></mml:math> secet.</s> <s xml:id="s143" xml:space="preserve"> Dico lineas <mml:math><mml:mi>fddbcg</mml:mi></mml:math> extrema ac media ratione sectas esse in <mml:math><mml:mi>gt</mml:mi></mml:math> punctis, et proportio quam habet diameter semicirculi ad latus quadrati, est eadem, quam habet, tota linea extrema ac media ratione secta, et minor pars simul, ad partem maiorem.</s> <s xml:id="s144" xml:space="preserve"> Producatur <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> ex parte <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> in infinitum et a puncto <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math> ducatur <mml:math><mml:mi>dp</mml:mi></mml:math> ipsis <mml:math><mml:mi>cg</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>bf</mml:mi></mml:math> aequidistans.</s> <s xml:id="s145" xml:space="preserve"> Erit <mml:math><mml:mi>b p</mml:mi></mml:math> aequalis et parallela <mml:math><mml:mi>fd</mml:mi></mml:math>, quae, <anchor type="note" xlink:label="note-0044-06a" xlink:href="note-0044-06"/> , similiter secta est in <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>fd</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math>, quia <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> est aequalis <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s146" xml:space="preserve"> et quoniam <mml:math><mml:mi>edea</mml:mi></mml:math> sunt aequales, et <mml:math><mml:mi>egef</mml:mi></mml:math> aequales, erit <mml:math><mml:mi>ag</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>fd</mml:mi></mml:math> aequalis et <mml:math><mml:mi>af</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>gd</mml:mi></mml:math>, et quoniam <mml:math><mml:mi>cg</mml:mi></mml:math> <anchor type="note" xlink:label="note-0044-07a" xlink:href="note-0044-07"/> media est proportionalis inter <mml:math><mml:mi>aggd</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>cg</mml:mi></mml:math> est aequalis <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>ag</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>fd</mml:mi></mml:math>, erit <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> media proportionalis inter <mml:math><mml:mi>fddg</mml:mi></mml:math> <anchor type="note" xlink:label="note-0044-08a" xlink:href="note-0044-08"/> , quare <mml:math><mml:mi>fd</mml:mi></mml:math> extrema ac media ratione secta est in <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s147" xml:space="preserve"> et quoniam propter similitudinem triangulorum <mml:math><mml:mi>bdpbtc</mml:mi></mml:math> <anchor type="note" xlink:label="note-0044-09a" xlink:href="note-0044-09"/> , sicut est <mml:math><mml:mi>pb</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math>, ita est <mml:math><mml:mi>pd</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ct</mml:mi></mml:math>, hoc est, ut <mml:math><mml:mi>df</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math>, ita <mml:math><mml:mi>pd</mml:mi></mml:math> hoc est <mml:math><mml:mi>cg</mml:mi></mml:math> ei aequalis, ad <mml:math><mml:mi>ct</mml:mi></mml:math>, similiter propter similitudinem triangulorum <mml:math><mml:mi>dbfdtg</mml:mi></mml:math> sicut est <mml:math><mml:mi>fd</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>dg</mml:mi></mml:math> ita est <mml:math><mml:mi>bf</mml:mi></mml:math> hoc est <mml:math><mml:mi>cg</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>tg</mml:mi></mml:math> et dividendo, ut <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>gd</mml:mi></mml:math>, ita <mml:math><mml:mi>ct</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>tg</mml:mi></mml:math> <anchor type="note" xlink:label="note-0044-10a" xlink:href="note-0044-10"/> , sicut igitur est <mml:math><mml:mi>df</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math>, ita est <mml:math><mml:mi>gc</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ct</mml:mi></mml:math>, et ut <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>gd</mml:mi></mml:math>, ita <mml:math><mml:mi>ct</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>tg</mml:mi></mml:math>, quare <reg norm="ct" type="context">cg<!--variant correxitex --></reg> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">media est proportionalis inter <mml:math><mml:mi>cggt</mml:mi></mml:math>;</emph></s> <s xml:id="s148" xml:space="preserve"><emph style="st"> <mml:math><mml:mi>cg</mml:mi></mml:math> igitur</emph>extrema<!--end variant delevit ante--> ac media ratione secta est in <mml:math><mml:mi>t</mml:mi></mml:math>, similiter propter similitudinem triangulorum <mml:math><mml:mi>bdp</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>btc</mml:mi></mml:math>, sicut est <mml:math><mml:mi>pb</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math>, hoc est, <mml:math><mml:mi>df</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> ita est <mml:math><mml:mi>db</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>bt</mml:mi></mml:math>, et propter similtitudinem triangulorum <mml:math><mml:mi>bdf</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>tgd</mml:mi></mml:math>, sicut est <mml:math><mml:mi>fd</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>dg</mml:mi></mml:math>, ita est <mml:math><mml:mi>db</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>dt</mml:mi></mml:math> et dividendo, ut <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>gd</mml:mi></mml:math>, ita <mml:math><mml:mi>bt</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>td</mml:mi></mml:math>, sicut igitur <mml:math><mml:mi>df</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> ita <mml:math><mml:mi>db</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>bt</mml:mi></mml:math>, et ut <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>gd</mml:mi></mml:math>, ita <mml:math><mml:mi>bt</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>td</mml:mi></mml:math>, <!--begin variant delevit post-->quare<emph style="st"><mml:math><mml:mi>bt</mml:mi></mml:math> media est proportionalis inter <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math> et <mml:math><mml:mi>dt</mml:mi></mml:math>;</emph></s> <s xml:id="s149" xml:space="preserve"><emph style="st"> linea igitur<!--end variant delevit post--></emph> <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math> extrema ac media ratione secta est in <mml:math><mml:mi>t</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s150" xml:space="preserve"> Et quoniam proportio <mml:math><mml:mi>df</mml:mi></mml:math> ad<mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> est eadem, quam habet tota linea extrema ac media ratione secta, ad maiorem partem sed <mml:math><mml:mi>af</mml:mi></mml:math> est aequalis <mml:math><mml:mi>gd</mml:mi></mml:math> quae est minor pars, erit ut <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> ita <mml:math><mml:mi>fd</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>dg</mml:mi></mml:math> simul ad <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s151" xml:space="preserve"> Diameter igitur semicirculi eandem habet proportionem ad quadrati latus quam habet tota linea extrema ac media ratione secta, et minor pars simul, ad partem maiorem quod demonstrare oportebat.</s> <s xml:id="s152" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="2"> <note position="left" xlink:label="note-0044-06" xlink:href="note-0044-06a" xml:space="preserve"> per 33 primi </note> <note position="left" xlink:label="note-0044-07" xlink:href="note-0044-07a" xml:space="preserve"> per <mml:math><mml:msup><mml:mi>136</mml:mi><mml:mn>i</mml:mn></mml:msup></mml:math> </note> <note position="left" xlink:label="note-0044-08" xlink:href="note-0044-08a" xml:space="preserve"> per <mml:math><mml:mi>3</mml:mi></mml:math> def. <mml:math><mml:msup><mml:mi>6</mml:mi><mml:mn>i</mml:mn></mml:msup></mml:math> </note> <note position="left" xlink:label="note-0044-09" xlink:href="note-0044-09a" xml:space="preserve"> per <mml:math><mml:msup><mml:mi>46</mml:mi><mml:mn>i</mml:mn></mml:msup></mml:math> </note> <note position="left" xlink:label="note-0044-10" xlink:href="note-0044-10a" xml:space="preserve"> per <mml:math><mml:msup><mml:mi>175</mml:mi><mml:mn>i</mml:mn></mml:msup></mml:math> </note> </div> <pb o="21" file="0045" n="45"/> <figure> <image file="med21" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med21"/> </figure> <p> <s xml:id="s153" xml:space="preserve"> Ex hoc manifestum est, quod sit datus semicirculus <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> in quo oporteat quadratum describere.</s> <s xml:id="s154" xml:space="preserve"> Exponatur quaedam recta linea <mml:math><mml:mi>hi</mml:mi></mml:math> quae extrema ac media ratione secetur in <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math> <anchor type="note" xlink:label="note-0045-01a" xlink:href="note-0045-01"/> .</s> <s xml:id="s155" xml:space="preserve"> Et fiat <anchor type="note" xlink:label="note-0045-02a" xlink:href="note-0045-02"/> ut eandem habeat proportionem <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math> ad aliam <mml:math><mml:mi>mn</mml:mi></mml:math>, quam habet <mml:math><mml:mi>liih</mml:mi></mml:math> simul ad <mml:math><mml:mi>hl</mml:mi></mml:math>, et bifariam secetur <mml:math><mml:mi>mn</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>o</mml:mi></mml:math> et fiat <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> aequalis <mml:math><mml:mi>mo</mml:mi></mml:math> et <mml:math><mml:mi>eg</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>on</mml:mi></mml:math> et a punctis <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> ducantur <mml:math><mml:mi>bfcg</mml:mi></mml:math> perpendiculares super <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math> et connectatur <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math>, erit <mml:math><mml:mi>bcgf</mml:mi></mml:math> quadratum.</s> <s xml:id="s156" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="3"> <note position="left" xlink:label="note-0045-01" xlink:href="note-0045-01a" xml:space="preserve"> per 30 <mml:math><mml:msup><mml:mi>6</mml:mi><mml:mn>i</mml:mn></mml:msup></mml:math> </note> <note position="left" xlink:label="note-0045-02" xlink:href="note-0045-02a" xml:space="preserve"> per 12 <mml:math><mml:msup><mml:mi>6</mml:mi><mml:mn>i</mml:mn></mml:msup></mml:math> </note> </div> </div> <div type="section" level="1" n="10"> <head xml:id="head9" xml:space="preserve"> Problema </head> <p> <s xml:id="s157" xml:space="preserve"> Super data recta linea triangulum aequicrure constituere, angulum ad verticem dato angulo aequalem <emph style="it">habens<!--variant descriptio: diverso atramento--></emph> .</s> <s xml:id="s158" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med21_2" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med21_2"/> </figure> <p> <s xml:id="s159" xml:space="preserve"> Sit data recta linea <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math>, et datus angulus <mml:math><mml:mi>cde</mml:mi></mml:math>, oportet super <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> triangulum aequicrure constituere, qui habeat angulum ad verticem angulo <mml:math><mml:mi>cde</mml:mi></mml:math> aequalem.</s> <s xml:id="s160" xml:space="preserve"> Producatur <!--begin variant delevit post--><mml:math><mml:mi>ed</mml:mi></mml:math><emph style="st">in directum<!--end variant delevit post--></emph> in <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math>, et, <mml:math><mml:mi>cdf</mml:mi></mml:math> angulum bifariam secetur a linea <mml:math><mml:mi>dg</mml:mi></mml:math>, et a puncto <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> constituatur angulus <mml:math><mml:mi>bah</mml:mi></mml:math>, aequalis angulo <mml:math><mml:mi>cdg</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s161" xml:space="preserve"> <emph style="super">similiter fiat<!--variant supralineam--></emph> angulus <mml:math><mml:mi>abh</mml:mi></mml:math> aequalis angulo <mml:math><mml:mi>fdg</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s162" xml:space="preserve"> <!--begin variant delevit post-->lineaeque<emph style="st">ex <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math><!--end variant delevit post--></emph> concurrant in <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s163" xml:space="preserve"> <emph style="it">Dico<!--variant descriptio: diverso atramento --></emph> triangulum <mml:math><mml:mi>abh</mml:mi></mml:math> esse aequicrure, angulumque <mml:math><mml:mi>ahb</mml:mi></mml:math> aequalem esse <emph style="super">dato<!--variant supralineam--></emph> angulo <mml:math><mml:mi>cde</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s164" xml:space="preserve"> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">quasdam literas</emph>Quoniam<!--end variant delevit ante--> angulus <mml:math><mml:mi>abh</mml:mi></mml:math> est aequalis angulo <mml:math><mml:mi>fdg</mml:mi></mml:math> et angulus <mml:math><mml:mi>bah</mml:mi></mml:math> similiter aequalis <mml:math><mml:mi>cdg</mml:mi></mml:math>, erunt anguli ad <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> aequales, quare <anchor type="note" xlink:label="note-0045-03a" xlink:href="note-0045-03"/> latus <mml:math><mml:mi>ah</mml:mi></mml:math> lateri <mml:math><mml:mi>bh</mml:mi></mml:math> aequale erit, et triangulum <mml:math><mml:mi>abh</mml:mi></mml:math> aequicrure.</s> <s xml:id="s165" xml:space="preserve"> Sed quoniam trianguli <mml:math><mml:mi>abh</mml:mi></mml:math> <anchor type="note" xlink:label="note-0045-04a" xlink:href="note-0045-04"/> tres interiores anguli duobus rectis sunt aequales, et <anchor type="note" xlink:label="note-0045-05a" xlink:href="note-0045-05"/> tres anguli <mml:math><mml:mi>fdggdccde</mml:mi></mml:math> etiam duobus rectis sunt aequales, cum in recta linea <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> sint constituti;</s> <s xml:id="s166" xml:space="preserve"> et anguli ad <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> et <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math> ipsis <mml:math><mml:mi>cdg</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>gdf</mml:mi></mml:math> sunt aequales, erit et reliquus <mml:math><mml:mi>ahb</mml:mi></mml:math> reliquo <mml:math><mml:mi>cde</mml:mi></mml:math> aequalis.</s> <s xml:id="s167" xml:space="preserve"> Triangulum igitur <mml:math><mml:mi>abh</mml:mi></mml:math> aequicrure constitutum est, anguli ad verticem <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math> angulo <mml:math><mml:mi>cde</mml:mi></mml:math> aequalem habens.</s> <s xml:id="s168" xml:space="preserve"> Quod facere oportebat.</s> <s xml:id="s169" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="1"> <note position="left" xlink:label="note-0045-03" xlink:href="note-0045-03a" xml:space="preserve"> 6 primi<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0045-04" xlink:href="note-0045-04a" xml:space="preserve"> 32 primi<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0045-05" xlink:href="note-0045-05a" xml:space="preserve"> ex 13 primi<!--citmargsign--> </note> </div> </div> <div type="section" level="1" n="11"> <head xml:id="head10" xml:space="preserve"> <pb o="22" file="0046" n="46"/> Problema </head> <p> <s xml:id="s170" xml:space="preserve"> Sint <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math> lineae aequidistantes et in <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> duo quaevis punta accipiantur <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math>, et inter <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math> accipiatur quodvis punctum <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s171" xml:space="preserve"> Oportet circuli portionem describere, per tria puncta <mml:math><mml:mi>abe</mml:mi></mml:math>, ita, tamen ut operatio semper fiat in plano per <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> ducto, et semper inter lineas <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s172" xml:space="preserve"> Oportet autem lineas <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math>, tantum esse intersese distantes, ut portio circuli describenda intra ipsas cadat.</s> <s xml:id="s173" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med22" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med22"/> </figure> <p> <s xml:id="s174" xml:space="preserve"> Connectatur <mml:math><mml:mi>aeeb</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s175" xml:space="preserve"> Et si angulus <mml:math><mml:mi>aeb</mml:mi></mml:math>, vel rectus, vel minor est recto, tunc circuli portionem describemus, quemadmodum Euclides in 33 tertii, vel in 5 quarti docet;</s> <s xml:id="s176" xml:space="preserve"> centrum enim vel in linea <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> vel intra triangulum cadit.</s> <s xml:id="s177" xml:space="preserve"> Si autem angulus <mml:math><mml:mi>aeb</mml:mi></mml:math> est obtusus.</s> <s xml:id="s178" xml:space="preserve"> Fiat <mml:math><mml:mi>afb</mml:mi></mml:math> triangulum aequale triangulo <mml:math><mml:mi>aeb</mml:mi></mml:math>, hoc est linea <mml:math><mml:mi>af</mml:mi></mml:math> sit aequalis lineae <mml:math><mml:mi>eb</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>fb</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>ae</mml:mi></mml:math>, erit angulus <mml:math><mml:mi>afb</mml:mi></mml:math> angulo <mml:math><mml:mi>aeb</mml:mi></mml:math> aequalis.</s> <s xml:id="s179" xml:space="preserve"> Describatur deinde super <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> triangulum <mml:math><mml:mi>agb</mml:mi></mml:math> aequicrure habens angulum <mml:math><mml:mi>agb</mml:mi></mml:math> angulo <mml:math><mml:mi>aeb</mml:mi></mml:math> aequalem, et quoniam anguli <mml:math><mml:mi>aebagbafb</mml:mi></mml:math> sunt inter se aequales erunt <anchor type="note" xlink:label="note-0046-01a" xlink:href="note-0046-01"/> puncta <mml:math><mml:mi>aegfb</mml:mi></mml:math> in circuli circumferentia.</s> <s xml:id="s180" xml:space="preserve"> Connectatur <mml:math><mml:mi>gegf</mml:mi></mml:math> quae in <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> producantur.</s> <s xml:id="s181" xml:space="preserve"> Si igitur angulus <mml:math><mml:mi>egf</mml:mi></mml:math> circumvolvatur ita ut latus <mml:math><mml:mi>eg</mml:mi></mml:math> tangat semper punctum <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math> et latus <mml:math><mml:mi>gf</mml:mi></mml:math> semper tangat punctum <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s182" xml:space="preserve"> <anchor type="note" xlink:label="note-0046-02a" xlink:href="note-0046-02"/> punctum <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math> circuli circumferentia describet.</s> <s xml:id="s183" xml:space="preserve"> Ut autem circumferentia <mml:math><mml:mi>egf</mml:mi></mml:math> ad puncta <mml:math><mml:mi>ba</mml:mi></mml:math> perveniat, circumvertatur angulus <mml:math><mml:mi>egf</mml:mi></mml:math>, sed puncta <mml:math><mml:mi>eg</mml:mi></mml:math> sint semper in circumferentia <mml:math><mml:mi>egf</mml:mi></mml:math> et dum punctum <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math> erit in <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math>, punctum <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math> erit in <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math>, ita ut ducta <mml:math><mml:mi>fh</mml:mi></mml:math> recta linea ipsi <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> sit aequalis, et dum <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math> super circumferentiam <mml:math><mml:mi>gf</mml:mi></mml:math> movetur, et <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math> super circumferentiam <mml:math><mml:mi>eg</mml:mi></mml:math>, punctum <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math> circuli circumferentiam <mml:math><mml:mi>fh</mml:mi></mml:math> describet, <anchor type="note" xlink:label="note-0046-03a" xlink:href="note-0046-03"/> ;</s> <s xml:id="s184" xml:space="preserve"> et hoc modo semper fiat donec circumferentia ad <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math> perveniat.</s> <s xml:id="s185" xml:space="preserve"> Similiter ex parte <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> punctum <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math> circuli circumferentiam describet usque ad punctum <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s186" xml:space="preserve"> Quod facere oportebat.</s> <s xml:id="s187" xml:space="preserve"> Si autem sint puncta data <mml:math><mml:mi>agb</mml:mi></mml:math>, et ut puncta <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> inveniamus, connectatur <mml:math><mml:mi>aggb</mml:mi></mml:math> deinde a puncto <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> ducatur utcumque <mml:math><mml:mi>af</mml:mi></mml:math> in qua sumatur quodvis punctum <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math> et a puncto <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math> constituatur angulus <mml:math><mml:mi>akl</mml:mi></mml:math> aequalis angulo <mml:math><mml:mi>agb</mml:mi></mml:math>, et a puncto <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math> fiat angulus <mml:math><mml:mi>abf</mml:mi></mml:math> aequalis angulo <mml:math><mml:mi>alk</mml:mi></mml:math>, <anchor type="note" xlink:label="note-0046-04a" xlink:href="note-0046-04"/> erit <mml:math><mml:mi>bf</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>kl</mml:mi></mml:math> aequidistans <anchor type="note" xlink:label="note-0046-05a" xlink:href="note-0046-05"/> ac propterea angulus <mml:math><mml:mi>afb</mml:mi></mml:math> aequalis est angulo <mml:math><mml:mi>akl</mml:mi></mml:math>, hoc est <mml:math><mml:mi>agb</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s188" xml:space="preserve"> Et hoc modo non solum punctum <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math> inveniemus <anchor type="note" xlink:label="note-0046-06a" xlink:href="note-0046-06"/> quod <reg norm="ineadem" type="context">in eadem<!--variant correxitex --></reg> circumferentia est cum <mml:math><mml:mi>agfb</mml:mi></mml:math>, sed infinita puncta inveniemus.</s> <s xml:id="s189" xml:space="preserve"> Quae omnia in eadem circumferentia erunt fiat deinde operatio ut supra.</s> <s xml:id="s190" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="1"> <note position="left" xlink:label="note-0046-01" xlink:href="note-0046-01a" xml:space="preserve"> ex 21 tertii<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0046-02" xlink:href="note-0046-02a" xml:space="preserve"> Ex eadem<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0046-03" xlink:href="note-0046-03a" xml:space="preserve"> ex eadem </note> <note position="left" xlink:label="note-0046-04" xlink:href="note-0046-04a" xml:space="preserve"> 28 primi<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0046-05" xlink:href="note-0046-05a" xml:space="preserve"> 29 primi<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0046-06" xlink:href="note-0046-06a" xml:space="preserve"> ex 21 tertii<!--citmargsign--> </note> </div> </div> <div type="section" level="1" n="12"> <head xml:id="head11" xml:space="preserve"> <pb o="23" file="0047" n="47"/> De horologiorum descriptione </head> <head xml:id="head12" xml:space="preserve"> Propositio prima </head> <p> <s xml:id="s191" xml:space="preserve"> Sit <mml:math><mml:mi>pdf</mml:mi></mml:math> meridianus, cuius centrum <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math>, sit <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> communis sectio horizontis, et meridiani.</s> <s xml:id="s192" xml:space="preserve"> Sit <mml:math><mml:mi>cad</mml:mi></mml:math> communis sectio meridiani et aequinoctialis, <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> meridiani et capricorni.</s> <s xml:id="s193" xml:space="preserve"> Sit <mml:math><mml:mi>nfme</mml:mi></mml:math> circulus capricorni, sit <mml:math><mml:mi>mn</mml:mi></mml:math> communis sectio horizontis et capricorni.</s> <s xml:id="s194" xml:space="preserve"> Erit <mml:math><mml:mi>ma</mml:mi></mml:math> perpendicularis ad <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> ( <anchor type="note" xlink:label="note-0047-01a" xlink:href="note-0047-01"/> ), quare et ad planum per <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> et <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math>, erit igitur <mml:math><mml:mi>mn</mml:mi></mml:math> perpendicularis <emph style="super">ad<!--variant supralineam--></emph> <reg norm="meridiani" type="context">meridianum<!--variant correxitex --></reg> , sit <mml:math><mml:mi>ap</mml:mi></mml:math> perpendicularis ipsi <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math>, sit <mml:math><mml:mi>pi</mml:mi></mml:math> aequidistans ipsi <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math>, quae erit in eodem plano meridiani, et intelligatur planum per <mml:math><mml:mi>pi</mml:mi></mml:math>, aequidistans horizonti:</s> <s xml:id="s195" xml:space="preserve"> sit sol in capricorno in <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math>, supra horizontem.</s> <s xml:id="s196" xml:space="preserve"> Ducatur <mml:math><mml:mi>hg</mml:mi></mml:math> perpendicularis <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math>, quae erit aequidistans <mml:math><mml:mi>mn</mml:mi></mml:math>, et perpendicularis ad planum meridiani.</s> <s xml:id="s197" xml:space="preserve"> Ducatur <mml:math><mml:mi>go</mml:mi></mml:math> aequidistans <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math>, et pertrahatur <mml:math><mml:mi>ap</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>o</mml:mi></mml:math>, et a puncto <mml:math><mml:mi>o</mml:mi></mml:math> ducatur <mml:math><mml:mi>ot</mml:mi></mml:math> perpendicularis ad <mml:math><mml:mi>op</mml:mi></mml:math>, et ad planum meridiani, quae sit aequalis <mml:math><mml:mi>hg</mml:mi></mml:math>, erit <mml:math><mml:mi>to</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>hg</mml:mi></mml:math> aequidistans <anchor type="note" xlink:label="note-0047-02a" xlink:href="note-0047-02"/> .</s> <s xml:id="s198" xml:space="preserve"> Ducatur <mml:math><mml:mi>tax</mml:mi></mml:math>, quae cum plano per <mml:math><mml:mi>pi</mml:mi></mml:math> conveniat in <mml:math><mml:mi>x</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>hak</mml:mi></mml:math>, quae cum eodem plano conveniat in <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math> et connectatur <mml:math><mml:mi>kx</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s199" xml:space="preserve"> Dico <mml:math><mml:mi>kx</mml:mi></mml:math> parallelam esse <mml:math><mml:mi>pi</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s200" xml:space="preserve"> Connectatur <mml:math><mml:mi>th</mml:mi></mml:math>, erit <mml:math><mml:mi>th</mml:mi></mml:math> aequalis, et aequidistans <mml:math><mml:mi>og</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s201" xml:space="preserve"> Sed <mml:math><mml:mi>og</mml:mi></mml:math> est aequidistans <mml:math><mml:mi>pi</mml:mi></mml:math>, cum sit aequidistans <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math>, quare <mml:math><mml:mi>th</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>piy</mml:mi></mml:math> parallela erit, sed quoniam <mml:math><mml:mi>og</mml:mi></mml:math> est aequidistans <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> et <mml:math><mml:mi>tohg</mml:mi></mml:math> sunt perpendiculares ad planum meridiani erit planum <mml:math><mml:mi>tgho</mml:mi></mml:math> ad rectos angulos ad planum meridiani <anchor type="note" xlink:label="note-0047-03a" xlink:href="note-0047-03"/> .</s> <s xml:id="s202" xml:space="preserve"> Ergo planum <mml:math><mml:mi>thgo</mml:mi></mml:math> horizonti, et plano per <mml:math><mml:mi>pi</mml:mi></mml:math> est aequidistans;</s> <s xml:id="s203" xml:space="preserve"> et quoniam triangula <mml:math><mml:mi>athakx</mml:mi></mml:math> in uno et eodem sunt plano <anchor type="note" xlink:label="note-0047-04a" xlink:href="note-0047-04"/> ;</s> <s xml:id="s204" xml:space="preserve"> <anchor type="note" xlink:label="note-0047-05a" xlink:href="note-0047-05"/> erit <mml:math><mml:mi>th</mml:mi></mml:math> aequidistans <mml:math><mml:mi>kx</mml:mi></mml:math>, sed <mml:math><mml:mi>th</mml:mi></mml:math> est aequidistans <mml:math><mml:mi>pi</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>kx</mml:mi></mml:math> igitur <anchor type="note" xlink:label="note-0047-06a" xlink:href="note-0047-06"/> ipsi <mml:math><mml:mi>pi</mml:mi></mml:math> est aequidistans, quod erat demonstrandum.</s> <s xml:id="s205" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="1"> <note position="left" xlink:label="note-0047-01" xlink:href="note-0047-01a" xml:space="preserve"> hoc patet per ea quae dicta sunt in analemmate </note> <note position="left" xlink:label="note-0047-02" xlink:href="note-0047-02a" xml:space="preserve"> per 16 undecimi </note> <note position="left" xlink:label="note-0047-03" xlink:href="note-0047-03a" xml:space="preserve"> per 18 undecimi </note> <note position="left" xlink:label="note-0047-04" xlink:href="note-0047-04a" xml:space="preserve"> per 2 undecimi </note> <note position="left" xlink:label="note-0047-05" xlink:href="note-0047-05a" xml:space="preserve"> per 16 undecimi </note> <note position="left" xlink:label="note-0047-06" xlink:href="note-0047-06a" xml:space="preserve"> per 9 undecimi </note> </div> <p> <s xml:id="s206" xml:space="preserve"> Insuper ducta <mml:math><mml:mi>px</mml:mi></mml:math>, dico <mml:math><mml:mi>px</mml:mi></mml:math> perpendicularem esse ipsis <mml:math><mml:mi>pikx</mml:mi></mml:math> quia triangula <mml:math><mml:mi>atoapx</mml:mi></mml:math> in uno et eodem sunt plano, <anchor type="note" xlink:label="note-0047-07a" xlink:href="note-0047-07"/> erit <mml:math><mml:mi>px</mml:mi></mml:math> parallela <mml:math><mml:mi>to</mml:mi></mml:math>, quae est perpendicularis ad meridianum, <anchor type="note" xlink:label="note-0047-08a" xlink:href="note-0047-08"/> erit <mml:math><mml:mi>px</mml:mi></mml:math> ad <reg norm="meridiani" type="context">meridianum<!--variant correxitex --></reg> perpendicularis, ergo et ad <mml:math><mml:mi>pi</mml:mi></mml:math> et <mml:math><mml:mi>kx</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s207" xml:space="preserve"> Quod est propositum.</s> <s xml:id="s208" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="2"> <note position="left" xlink:label="note-0047-07" xlink:href="note-0047-07a" xml:space="preserve"> per 16 undecimi </note> <note position="left" xlink:label="note-0047-08" xlink:href="note-0047-08a" xml:space="preserve"> per 18 eiusdem </note> </div> <pb o="24" file="0048" n="48"/> <figure> <image file="med24" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med24"/> </figure> <p> <s xml:id="s209" xml:space="preserve"> Iisdem positis ducatur <mml:math><mml:mi>gai</mml:mi></mml:math>, quae conveniat cum <mml:math><mml:mi>pi</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>i</mml:mi></mml:math>, sunt enim omnes in eodem plano meridiani.</s> <s xml:id="s210" xml:space="preserve"> Connectaturque <mml:math><mml:mi>ik</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s211" xml:space="preserve"> Dico <mml:math><mml:mi>ik</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>pi</mml:mi></mml:math> perpendicularem esse.</s> <s xml:id="s212" xml:space="preserve"> Triangula enim <mml:math><mml:mi>ahg</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>aik</mml:mi></mml:math> in uno et <emph style="bf">eodem<!--variant postcorrectionem--></emph> sunt plano <anchor type="note" xlink:label="note-0048-01a" xlink:href="note-0048-01"/> , ideo erit <mml:math><mml:mi>hg</mml:mi></mml:math> aequidistans <mml:math><mml:mi>ik</mml:mi></mml:math> <anchor type="note" xlink:label="note-0048-02a" xlink:href="note-0048-02"/> , sed <mml:math><mml:mi>hg</mml:mi></mml:math> est perpendicularis ad planum meridiani, <anchor type="note" xlink:label="note-0048-03a" xlink:href="note-0048-03"/> <mml:math><mml:mi>ik</mml:mi></mml:math> igitur eidem plano perpendicularis erit, sed <mml:math><mml:mi>pi</mml:mi></mml:math> est in plano meridiani, ergo <mml:math><mml:mi>ki</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>pi</mml:mi></mml:math> est perpendicularis, quod erat ostendendum.</s> <s xml:id="s213" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="3"> <note position="left" xlink:label="note-0048-01" xlink:href="note-0048-01a" xml:space="preserve"> per 2 undecimi </note> <note position="left" xlink:label="note-0048-02" xlink:href="note-0048-02a" xml:space="preserve"> per 16 undecimi </note> <note position="left" xlink:label="note-0048-03" xlink:href="note-0048-03a" xml:space="preserve"> per 18 undecimi </note> </div> <p> <s xml:id="s214" xml:space="preserve"> Patet etiam, si <mml:math><mml:mi>ap</mml:mi></mml:math> <reg norm="est" type="context">sit<!--variant correxitex --></reg> altitudo gnomonis supra planum planum per <mml:math><mml:mi>pi</mml:mi></mml:math> horizonti aequidistantem, cum sol est in <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math>, solis umbram terminare in <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s215" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="25" file="0049" n="49"/> </div> <div type="section" level="1" n="13"> <head xml:id="head13" xml:space="preserve"> Propositio secunda </head> <figure> <image file="med25" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med25"/> </figure> <p> <s xml:id="s216" xml:space="preserve"> Sit <mml:math><mml:mi>pi</mml:mi></mml:math> linea meridiana, <mml:math><mml:mi>pa</mml:mi></mml:math> altitudo gnomonis <emph style="bf">quae sit<!--variant postcorrectionem--></emph> perpendicularis <mml:math><mml:mi>pi</mml:mi></mml:math> et centrum <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> spatioque <mml:math><mml:mi>ap</mml:mi></mml:math> describatur circulus <mml:math><mml:mi>pfd</mml:mi></mml:math> meridanus, in quo accipiatur circumferentia <mml:math><mml:mi>pc</mml:mi></mml:math>, quae sit aequalis latitudini regionis, ductaque <mml:math><mml:mi>cad</mml:mi></mml:math>, erit <mml:math><mml:mi>cad</mml:mi></mml:math> diameter aequinoctialis, et ducantur diametri tropicorum, ut in analemmate <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> capricorni, <mml:math><mml:mi>uz</mml:mi></mml:math> cancri, qui secentur a diametro horizontis in <mml:math><mml:mi>ls</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s217" xml:space="preserve"> Descibatur seorsum circulus tropicorum, qui dividatur in 24 partes, ex quibus ducantur perpendiculares ad diametrum, notenturque divisiones in diametris tropicorum <mml:math><mml:mi>lz</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>sf</mml:mi></mml:math> sicut fit in Analemmate.</s> <s xml:id="s218" xml:space="preserve"> Ut exempli gratia facienda sit 20 hora cancri at capricorni, fiat <mml:math><mml:mi>sg</mml:mi></mml:math> aequalis <mml:math><mml:mi>qr</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>ly</mml:mi></mml:math> aequalis <mml:math><mml:mi>q </mml:mi></mml:math>α, et <reg norm="ducantur" type="context">ducatur<!--variant correxitex --></reg> <mml:math><mml:mi>gai</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s219" xml:space="preserve"> Deinde in linea meridiana sit <mml:math><mml:mi>p A</mml:mi></mml:math> aequalis <mml:math><mml:mi>pa</mml:mi></mml:math>, hoc est <emph style="bf">altitudini gnomonis<!--variant postcorrectionem--></emph> sitque <mml:math><mml:mi>px</mml:mi></mml:math> perpendicularis <mml:math><mml:mi>pA</mml:mi></mml:math>, ducaturque <mml:math><mml:mi>go</mml:mi></mml:math> aequidistans <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math>, et fiat <mml:math><mml:mi>A</mml:mi></mml:math>ω aequalis <mml:math><mml:mi>ao</mml:mi></mml:math>, fiatque <reg norm="at" type="context">ω t<!--variant correxitex --></reg> perpendicularis ipsi ω<mml:math><mml:mi> p</mml:mi></mml:math>, quae sit aequalis <mml:math><mml:mi>r20</mml:mi></mml:math> ♑, et ducatur <mml:math><mml:mi>tAx</mml:mi></mml:math>, et a puncto <mml:math><mml:mi>x</mml:mi></mml:math> ducatur <mml:math><mml:mi>xk</mml:mi></mml:math> parallela <mml:math><mml:mi>pi</mml:mi></mml:math>, et a puncto <mml:math><mml:mi>i</mml:mi></mml:math> ducatur <mml:math><mml:mi>ik</mml:mi></mml:math> perpendicularis ad <mml:math><mml:mi>pi</mml:mi></mml:math>, quae se invicem secent in <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math>, punctum <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math> per precedentem est terminus umbrae sole existente in tropico ♑, hora 20 similiter fiat in aliis:</s> <s xml:id="s220" xml:space="preserve"> β♌ erit communis sectio horizontis et aequinoctialis.</s> <s xml:id="s221" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s222" xml:space="preserve"> Sed ne fiat confusio linearum, <emph style="bf">possumus<!--variant postcorrectionem--></emph> seorsum invenire distantias <mml:math><mml:mi>pi</mml:mi></mml:math> et <mml:math><mml:mi>px</mml:mi></mml:math> postea ponere eas ubi conficiendum est horologium.</s> <s xml:id="s223" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s224" xml:space="preserve"> Similiter possumus eas invenire per lineas parallelas lineis <mml:math><mml:mi>pipx</mml:mi></mml:math>, ut patet in horologio sequenti.</s> <s xml:id="s225" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="26" file="0050" n="50"/> <figure> <image file="med26" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med26"/> </figure> <pb o="27" file="0051" n="51"/> <p> <s xml:id="s226" xml:space="preserve"> Duobus datis solidis similibus parallelepipedis, duo media solida parallelepipeda in continua proportione invenire.</s> <s xml:id="s227" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s228" xml:space="preserve"> Sint data solida similia parallelepipeda <mml:math><mml:mi>agdo</mml:mi></mml:math>, oportet inter haec solida, duo media solida parallelepipeda in continua proportione invenire:</s> <s xml:id="s229" xml:space="preserve"> constituantur data solida ita, ut sese tangant in puncto <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math>, et sit in directum <mml:math><mml:mi>hddk</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>iddc</mml:mi></mml:math>, et parallelogramma <mml:math><mml:mi>dcgh</mml:mi></mml:math> sit simile parallelogrammo <mml:math><mml:mi>dkui</mml:mi></mml:math>, (per 7 definitionem undecimi):</s> <s xml:id="s230" xml:space="preserve"> producantur <mml:math><mml:mi>gcuk</mml:mi></mml:math>, quae in <mml:math><mml:mi>p</mml:mi></mml:math> conveniant, erit <mml:math><mml:mi>dcpk</mml:mi></mml:math> parallelogrammum, ex quo secundum altitudinem <mml:math><mml:mi>dm</mml:mi></mml:math> compleatur solidum <mml:math><mml:mi>kr</mml:mi></mml:math>, similiter compleatur solidum <mml:math><mml:mi>ds</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s231" xml:space="preserve"> Dico solidum <mml:math><mml:mi>ag</mml:mi></mml:math> ad solidum <mml:math><mml:mi>gm</mml:mi></mml:math> eandem habere proportionem, quam habet solidum <mml:math><mml:mi>gm</mml:mi></mml:math> ad solidum <mml:math><mml:mi>mp</mml:mi></mml:math>, et solidum <mml:math><mml:mi>pm</mml:mi></mml:math> ad solidum <mml:math><mml:mi>mu</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s232" xml:space="preserve"> Quoniam enim parallelogrammum <mml:math><mml:mi>hgcd</mml:mi></mml:math> simile est parallelogrammo <mml:math><mml:mi>idku</mml:mi></mml:math> erit (per primam definitionem sexti) latus <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math> ad latus <mml:math><mml:mi>dh</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>id</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>dk</mml:mi></mml:math>, et permutando ut <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>di</mml:mi></mml:math>, ita <mml:math><mml:mi>hd</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>dk</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s233" xml:space="preserve"> similiter propter similitudinem parallelepipedorum erit parallelogrammum <mml:math><mml:mi>ah</mml:mi></mml:math> simile parallelogrammo <mml:math><mml:mi>dl</mml:mi></mml:math>, eritque latus <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math> ad latus <mml:math><mml:mi>dh</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>md</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>dk</mml:mi></mml:math> et permutando ut <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>dm</mml:mi></mml:math>, ita <mml:math><mml:mi>hd</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>dk</mml:mi></mml:math>, quare (per 11 quinti) in eadem sunt proportione, <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>di</mml:mi></mml:math> et <mml:math><mml:mi>hd</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>dk</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>dm</mml:mi></mml:math>:</s> <s xml:id="s234" xml:space="preserve"> et quoniam totum solidum <mml:math><mml:mi>abfemrst</mml:mi></mml:math> secatur plano <mml:math><mml:mi>dcgh</mml:mi></mml:math> parallelo eis, quae ex opposito planis, erit (per 25 undecimi) solidum <mml:math><mml:mi>ag</mml:mi></mml:math> ad solidum <mml:math><mml:mi>gm</mml:mi></mml:math>, ut basis <mml:math><mml:mi>ed</mml:mi></mml:math> ad basim <mml:math><mml:mi>dt</mml:mi></mml:math>, sed ut basis <mml:math><mml:mi>ed</mml:mi></mml:math> ad basim <mml:math><mml:mi>dt</mml:mi></mml:math>, ita (per primam sexti) <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>dm</mml:mi></mml:math> erit igitur solidum <mml:math><mml:mi>ag</mml:mi></mml:math> ad solidum <mml:math><mml:mi>gm</mml:mi></mml:math> ut <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>dm</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s235" xml:space="preserve"> Similiter solidum <mml:math><mml:mi>hgstkpql</mml:mi></mml:math> secatur plano <mml:math><mml:mi>dcrm</mml:mi></mml:math> parallelo eis, quae ex opposito planis, erit solidum <mml:math><mml:mi>hr</mml:mi></mml:math> ad solidum <mml:math><mml:mi>rk</mml:mi></mml:math>, ut basis <mml:math><mml:mi>hdmt</mml:mi></mml:math>, ad basim <mml:math><mml:mi>dklm</mml:mi></mml:math>, sed ut basis <mml:math><mml:mi>hm</mml:mi></mml:math> ad basim <mml:math><mml:mi>mk</mml:mi></mml:math>, ita est <mml:math><mml:mi>hd</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>dk</mml:mi></mml:math>, ut igitur solidum <mml:math><mml:mi>hr</mml:mi></mml:math>, ad solidum <mml:math><mml:mi>rk</mml:mi></mml:math>, ita est <mml:math><mml:mi>hd</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>dk</mml:mi></mml:math>, sed ut <mml:math><mml:mi>hd</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>dk</mml:mi></mml:math>, ita est <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>dm</mml:mi></mml:math>, quare ut solidum <mml:math><mml:mi>ag</mml:mi></mml:math>, ad solidum <mml:math><mml:mi>gm</mml:mi></mml:math>, ita est solidum <mml:math><mml:mi>gm</mml:mi></mml:math> ad solidum <mml:math><mml:mi>mp</mml:mi></mml:math>, similiter quoniam solidum <mml:math><mml:mi>iuoncpqr</mml:mi></mml:math>, secatur plano <mml:math><mml:mi>dklm</mml:mi></mml:math> parallelo eis, quae ex opposito planis, erit solidum <mml:math><mml:mi>dq</mml:mi></mml:math> ad solidum <mml:math><mml:mi>do</mml:mi></mml:math>, ut basis <mml:math><mml:mi>pd</mml:mi></mml:math> ad basim <mml:math><mml:mi>du</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s236" xml:space="preserve"> sed ut basis <mml:math><mml:mi>pd</mml:mi></mml:math> ad basim <mml:math><mml:mi>du</mml:mi></mml:math>, ita est <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>di</mml:mi></mml:math>, ut igitur solidum <mml:math><mml:mi>qd</mml:mi></mml:math> ad solidum <mml:math><mml:mi>do</mml:mi></mml:math>, ita est <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>di</mml:mi></mml:math>, sed ut <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>di</mml:mi></mml:math>, <pb o="28" file="0052" n="52"/> <anchor type="figure" xlink:label="med28a" xlink:href="med28"/> ita est <mml:math><mml:mi>hd</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>dk</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>dm</mml:mi></mml:math>, ut igitur solidum <mml:math><mml:mi>ag</mml:mi></mml:math> ad <anchor type="note" xlink:label="note-0052-01a" xlink:href="note-0052-01"/> <mml:math><mml:mi>gm</mml:mi></mml:math> ita est solidum <mml:math><mml:mi>gm</mml:mi></mml:math>, ad solidum <mml:math><mml:mi>mp</mml:mi></mml:math>, et solidum <mml:math><mml:mi>pm</mml:mi></mml:math> ad solidum <mml:math><mml:mi>mu</mml:mi></mml:math>, quare in continua sunt proportione.</s> <s xml:id="s237" xml:space="preserve"> Duobus ergo datis solidis similibus parallelepipedis <mml:math><mml:mi>df</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>do</mml:mi></mml:math>, duo media solida parallelepipeda <mml:math><mml:mi>gm</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>mp</mml:mi></mml:math> in continua proportione constituta sunt, quod fecisse oportebat.</s> <s xml:id="s238" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="1"> <note position="left" xlink:label="note-0052-01" xlink:href="note-0052-01a" xml:space="preserve"> solidum<!--variant inmargine--> </note> <figure xlink:label="med28" xlink:href="med28a"> <image file="med28" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med28"/> </figure> </div> </div> <div type="section" level="1" n="14"> <head xml:id="head14" xml:space="preserve"> Operatio in numeris </head> <figure> <image file="med28_2" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med28_2"/> </figure> <p> <s xml:id="s239" xml:space="preserve"> Ex his manifestum est solida media <emph style="super">data solida similia<!--variant supralineam--></emph> , ex datis solidis oriri.</s> <s xml:id="s240" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="29" file="0053" n="53"/> <p> <s xml:id="s241" xml:space="preserve"> Duobus datis quadratis rectangulum ex diametris contentum, duplum simileque est ei, quod ex lateribus continetur.</s> <s xml:id="s242" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s243" xml:space="preserve"> Aliter </s> </p> <p> <s xml:id="s244" xml:space="preserve"> Rectangulum ex diametris duorum datorum quadratorum contentum, duplum, simileque est ei, quod ex lateribus continetur.</s> <s xml:id="s245" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med29" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med29"/> </figure> <p> <s xml:id="s246" xml:space="preserve"> Sint data quadrata <mml:math><mml:mi>acge</mml:mi></mml:math> et rectangulum ex diametris contentum sit <mml:math><mml:mi>dh</mml:mi></mml:math>, ex lateribus vero <mml:math><mml:mi>ag</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s247" xml:space="preserve"> Dico <mml:math><mml:mi>dh</mml:mi></mml:math> duplum simileque esse ipsi <mml:math><mml:mi>ag</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s248" xml:space="preserve"> Exponatur quadrata ita, ut <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> sit in directum <mml:math><mml:mi>be</mml:mi></mml:math>, et quia <mml:math><mml:mi>bfbh</mml:mi></mml:math> sunt aequales compleatur quadratum <mml:math><mml:mi>hf</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s249" xml:space="preserve"> Quoniam enim triangulum <mml:math><mml:mi>abd</mml:mi></mml:math> simile est triangulo <mml:math><mml:mi>bfe</mml:mi></mml:math> sunt enim <emph style="super">quadratorum<!--variant supralineam--></emph> mediatates.</s> <s xml:id="s250" xml:space="preserve"> Erit <mml:math><mml:mi>db</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>bf</mml:mi></mml:math> <anchor type="note" xlink:label="note-0053-01a" xlink:href="note-0053-01"/> <emph style="super">hoc est ad <mml:math><mml:mi>bh</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> ut <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>be</mml:mi></mml:math> <emph style="super">hoc est ad <mml:math><mml:mi>bg</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> et propterea <mml:math><mml:mi>dh</mml:mi></mml:math> simile erit <mml:math><mml:mi>ag</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s251" xml:space="preserve"> Sed ut <mml:math><mml:mi>db</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>bf</mml:mi></mml:math>, ita <anchor type="note" xlink:label="note-0053-02a" xlink:href="note-0053-02"/> rectangulum <mml:math><mml:mi>dh</mml:mi></mml:math> ad quadratum <mml:math><mml:mi>hf</mml:mi></mml:math>, similiter ut <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>be</mml:mi></mml:math> ita rectangulum <mml:math><mml:mi>ag</mml:mi></mml:math> ad quadratum <mml:math><mml:mi>ge</mml:mi></mml:math>, quare ut <mml:math><mml:mi>dh</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>hf</mml:mi></mml:math> ita <mml:math><mml:mi>ag</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ge</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s252" xml:space="preserve"> Et permutando, <anchor type="note" xlink:label="note-0053-03a" xlink:href="note-0053-03"/> ut <mml:math><mml:mi>dh</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ag</mml:mi></mml:math>, ita <mml:math><mml:mi>hf</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ge</mml:mi></mml:math> sed <mml:math><mml:mi>hf</mml:mi></mml:math> duplum est <mml:math><mml:mi>ge</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s253" xml:space="preserve"> Ergo <anchor type="note" xlink:label="note-0053-04a" xlink:href="note-0053-04"/> <mml:math><mml:mi>dh</mml:mi></mml:math> ipsius <mml:math><mml:mi>ag</mml:mi></mml:math> duplum erit, quod ostendere oportebat.</s> <s xml:id="s254" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="1"> <note position="left" xlink:label="note-0053-01" xlink:href="note-0053-01a" xml:space="preserve"> per 4 <mml:math><mml:msup><mml:mi>6</mml:mi><mml:mn>i</mml:mn></mml:msup></mml:math> </note> <note position="left" xlink:label="note-0053-02" xlink:href="note-0053-02a" xml:space="preserve"> per primam sexti </note> <note position="left" xlink:label="note-0053-03" xlink:href="note-0053-03a" xml:space="preserve"> per 16 quinti </note> <note position="left" xlink:label="note-0053-04" xlink:href="note-0053-04a" xml:space="preserve"> per 47 primi </note> </div> <pb o="30" file="0054" n="54"/> </div> <div type="section" level="1" n="15"> <head xml:id="head15" xml:space="preserve">De libra: Questiones Aristotelis de libra aliter demonstratae.</head> <p> <s xml:id="s255" xml:space="preserve"> Suppositio Centrum gravitatis deorsum tendere.</s> <s xml:id="s256" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s257" xml:space="preserve"> Propositio prima Libra horizonti aequidistans, spartum habens sursum, cum mota fuerit, in aequilibrium horizonti aequidistans redit.</s> <s xml:id="s258" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med30" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med30"/> </figure> <p> <s xml:id="s259" xml:space="preserve"> Sit libra <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> horizonti aequidistans, cuius medium <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math>, sitque <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math> ad rectos angulos ad <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math>, et sit <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math> ita cum <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> connexa, ut ad <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> sit semper perpendicularis.</s> <s xml:id="s260" xml:space="preserve"> Sitque <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math> spartum, <anchor type="note" xlink:label="note-0054-01a" xlink:href="note-0054-01"/> immobile sive truttina supra libram, et in <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> pondera appensa sint aequalia.</s> <s xml:id="s261" xml:space="preserve"> Moveatur libra, quae perventiat ad <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math>, tunc <mml:math><mml:mi>dc</mml:mi></mml:math> erit in <mml:math><mml:mi>dg</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s262" xml:space="preserve"> Et <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> circumferentiam circuli <mml:math><mml:mi>cgh</mml:mi></mml:math>, cuius centrum <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math> describet;</s> <s xml:id="s263" xml:space="preserve"> et quoniam in <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> appensa sunt pondera aequalia, centrum gravitatis eorum erit in medio in puncto <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math> <anchor type="note" xlink:label="note-0054-02a" xlink:href="note-0054-02"/> , sed centrum gravitatis semper deorsum tendit, <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math> igitur movebitur deorsum per circumferentiam <mml:math><mml:mi>gc</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s264" xml:space="preserve"> Est enim <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math> punctum immobile;</s> <s xml:id="s265" xml:space="preserve"> et quia infimus locus est <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math>, ideo <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math> semper movebitur donec redeat in <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math>, et cum <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math> erit in <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> libra <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> redibit horizonti aequidistans in <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math>, quod erat demonstrandum.</s> <s xml:id="s266" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="1"> <note position="left" xlink:label="note-0054-01" xlink:href="note-0054-01a" xml:space="preserve"> hoc est, centrum<!--variant signopositoinmargine--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0054-02" xlink:href="note-0054-02a" xml:space="preserve"> per 4 primi Archimedis de aequeponderantibus </note> </div> <p> <s xml:id="s267" xml:space="preserve"> Propositio secunda Si vero libra habet spartum deorsum, non redit in aequilibrium sed deorsum tendit.</s> <s xml:id="s268" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med30_2" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med30_2"/> </figure> <p> <s xml:id="s269" xml:space="preserve"> Sit libra <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math>, sitque <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math>, ut supra dictum est.</s> <s xml:id="s270" xml:space="preserve"> Et sit <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math> spartum sub libra.</s> <s xml:id="s271" xml:space="preserve"> Moveatur libra <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math>, quae perveniat in <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math>, tunc <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math>, erit in <mml:math><mml:mi>dg</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math> erit centrum gravitatis ponderum, quae sunt in <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math>, sed <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math> deorsum tendit, cum sit centrum gravitatis quare deorsum per circumferentiam <mml:math><mml:mi>gb</mml:mi></mml:math> cuius centrum <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math> movevitur, linea ergo <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math>, hoc est libra, in qua est punctum <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math> similiter deorsum movebitur.</s> <s xml:id="s272" xml:space="preserve"> Quod erat ostendendum.</s> <s xml:id="s273" xml:space="preserve"> Novisse tamen oportet Aristotelem non proponere hanc questionem hoc modo nempe, ut <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> deorsum tendat, sed asserit eam manere.</s> <s xml:id="s274" xml:space="preserve"> Quod quidem Alexander Piccolomineus in sua parafrasi, Senensisque ille qui est lingua nona vernacula venit, minime animadverterunt quippe qui conclusionem quamvis veram a problemate tamen Aristotelis diversam attulerunt.</s> <s xml:id="s275" xml:space="preserve"> Quomodo autem Aristotelis sententia sit intelligenda nos in nostro mechanicorum libro in tractatu de libra, docuimus.</s> <s xml:id="s276" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="31" file="0055" n="55"/> </div> <div type="section" level="1" n="16"> <head xml:id="head16" xml:space="preserve">Pondera aequalia in libra appensa eam in gravitate proportionem habent; quam distantiae, ex quibus appenduntur.</head> <figure> <image file="med31" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med31"/> </figure> <p> <s xml:id="s277" xml:space="preserve"> Sit libra <mml:math><mml:mi>bac</mml:mi></mml:math>, quae suspendatur in <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> et ex punctis <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> appendantur aequalia pondera <mml:math><mml:mi>gf</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s278" xml:space="preserve"> Dico pondus <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math> ad pondus <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math> eam in gravitate proportionem habere, quam habet distantia <mml:math><mml:mi>ca</mml:mi></mml:math> ad distantiam <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s279" xml:space="preserve"> Fiat ut <mml:math><mml:mi>ba</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> ita pondus <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math> et <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math> appendatur in <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s280" xml:space="preserve"> Pondera igitur <mml:math><mml:mi>hf</mml:mi></mml:math> aequeponderabunt ex <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math>:</s> <s xml:id="s281" xml:space="preserve"> sed cum pondera <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> sint aequalia habebit pondus <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math> ad pondus <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math> eandem proportionem, quam habet ad <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math>, ut igitur <mml:math><mml:mi>ca</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math>, ita est <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math>, et quoniam pondera <mml:math><mml:mi>gh</mml:mi></mml:math> in eodem puncto <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math> sunt appensa, ideo in eadem proportione erit gravitas ad gravitatem, ut magnitudo ad magnitudinem, hoc est si pondus <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math> triplum sit ponderis <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math>, gravitas etiam ponderis <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math> tripla erit ponderis <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math>, quare ut <mml:math><mml:mi>ca</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math>, ita est gravitas ponderis <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math> ad gravitatem ponderis <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math>, sed gravitas ponderis <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math>, est aequalis gravitati ponderis <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math>, gravitas igitur ponderis <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math> ad gravitatem ponderis <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math> est, ut <mml:math><mml:mi>ca</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math>, videlicet ut distantia ad distantiam.</s> <s xml:id="s282" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="32" file="0056" n="56"/> <figure> <image file="med32" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med32"/> </figure> <p> <s xml:id="s283" xml:space="preserve"> Si vero libra <mml:math><mml:mi>bac</mml:mi></mml:math> secetur utcumque in <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math>, et in <mml:math><mml:mi>dc</mml:mi></mml:math> appendantur pondera aequalia <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s284" xml:space="preserve"> Dico simile pondus <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math> ad pondus <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math> eam in gravitate proportionem habere, quam habet distantia <mml:math><mml:mi>ca</mml:mi></mml:math> ad distantiam <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s285" xml:space="preserve"> Fiat <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> aequalis <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math>, et in <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math> appendatur pondus <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math> aequale utrique ponderi <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math> et <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s286" xml:space="preserve"> Quoniam enim <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> est aequalis <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math>, pondera <!--begin variant delevit post--><mml:math><mml:mi>ge</mml:mi></mml:math><emph style="st">in <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math><!--end variant delevit post--></emph> aequeponderabunt.</s> <s xml:id="s287" xml:space="preserve"> Sed cum gravitas ponderis <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math>, ad gravitatem ponderis <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math>, sit ut <mml:math><mml:mi>ca</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math>, et gravitas ponderis <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math> sit aequalis gravitati ponderis <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math>:</s> <s xml:id="s288" xml:space="preserve"> gravitas ergo ponderis <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math> ad gravitatem ponderis <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s289" xml:space="preserve"> erit ut <mml:math><mml:mi>ca</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> <emph style="super">hoc<!--variant supralineam--></emph> est ut <mml:math><mml:mi>ca</mml:mi></mml:math> <sic comment="bis">ad<!--variant bis--></sic> <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s290" xml:space="preserve"> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">sed <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math> est aequalis ipsi <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> quare ita est gravitas ponderis <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math> ad gravitatem ponderis <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math> ut distantia <mml:math><mml:mi>ca</mml:mi></mml:math> ad distantiam <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math></emph>Quod<!--end variant delevit ante--> erat ostendendum.</s> <s xml:id="s291" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="33" file="0057" n="57"/> <p> <s xml:id="s292" xml:space="preserve"> Sint lineae <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math>, quae ex parte <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> concurrant.</s> <s xml:id="s293" xml:space="preserve"> Oportet super <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> et <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math> rectam lineam ducere, quae angulos ex parte <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> aequales efficiat et operatio fiat semper a punctis <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> versus <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s294" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med33" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med33"/> </figure> <p> <s xml:id="s295" xml:space="preserve"> Accipiatur in <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> quodvis punctum <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math>, a quo ipsi <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math> aequidistans ducatur <mml:math><mml:mi>be</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s296" xml:space="preserve"> Similiter in <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math> accipiatur <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math>, a quo ipsi <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> aequidistans ducatur <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math>, quae in puncto <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math> conveniant.</s> <s xml:id="s297" xml:space="preserve"> Deinde fiat <mml:math><mml:mi>efeg</mml:mi></mml:math> aequales;</s> <s xml:id="s298" xml:space="preserve"> connectaturque <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> quae lineas <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> secet in <mml:math><mml:mi>hk</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s299" xml:space="preserve"> Et quoniam <anchor type="note" xlink:label="note-0057-01a" xlink:href="note-0057-01"/> angulus <mml:math><mml:mi>efg</mml:mi></mml:math> aequalis est angulo <mml:math><mml:mi>egf</mml:mi></mml:math>, et <anchor type="note" xlink:label="note-0057-02a" xlink:href="note-0057-02"/> angulus <mml:math><mml:mi>fbh</mml:mi></mml:math> aequalis angulo <mml:math><mml:mi>feg</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s300" xml:space="preserve"> Et angulus <mml:math><mml:mi>gdk</mml:mi></mml:math> eidem <mml:math><mml:mi>gef</mml:mi></mml:math> aequalis, erunt anguli <mml:math><mml:mi>fbhgdk</mml:mi></mml:math> intersese aequales;</s> <s xml:id="s301" xml:space="preserve"> quare et reliquus angulus <mml:math><mml:mi>bhf</mml:mi></mml:math> angulo <mml:math><mml:mi>dkg</mml:mi></mml:math> aequalis erit, sed <anchor type="note" xlink:label="note-0057-03a" xlink:href="note-0057-03"/> <mml:math><mml:mi>bhf</mml:mi></mml:math> est <mml:math><mml:mi>ahk</mml:mi></mml:math> aequalis, et <mml:math><mml:mi>dkg</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>ckh</mml:mi></mml:math> aequalis.</s> <s xml:id="s302" xml:space="preserve"> Anguli igitur <mml:math><mml:mi>ahk</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>ckh</mml:mi></mml:math> sunt intersese aequales.</s> <s xml:id="s303" xml:space="preserve"> Ergo ducta est <mml:math><mml:mi>kh</mml:mi></mml:math>, quae angulos ex parte <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> aequales efficit.</s> <s xml:id="s304" xml:space="preserve"> Quod erat faciendum.</s> <s xml:id="s305" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="1"> <note position="left" xlink:label="note-0057-01" xlink:href="note-0057-01a" xml:space="preserve"> 5 primi<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0057-02" xlink:href="note-0057-02a" xml:space="preserve"> 29 primi<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0057-03" xlink:href="note-0057-03a" xml:space="preserve"> 15 primi<!--citmargsign--> </note> </div> <p> <s xml:id="s306" xml:space="preserve"> <emph style="it">Quod<!--variant descriptio: diverso atramento--></emph> si hoc idem ab aliquo dato puncto in lineis <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> ut <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math> fieri opus fuerit constituantur eadem, et a puncto <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>kh</mml:mi></mml:math> aequidistans ducatur quod factum erit.</s> <s xml:id="s307" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s308" xml:space="preserve"> Sint aequidistantes lineae <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> datae, <!--begin variant delevit post-->ductaque<emph style="st"><mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math> ad ipsas perpendicularis<!--end variant delevit post--></emph> <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math> sit quoque data.</s> <s xml:id="s309" xml:space="preserve"> Ducatur <mml:math><mml:mi>ace</mml:mi></mml:math>, quae productam lineam <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math> secet.</s> <s xml:id="s310" xml:space="preserve"> Dico lineam <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math> cognitam <emph style="it">esse<!--variant descriptio: diverso atramento--></emph> .</s> <s xml:id="s311" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med33_2" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med33_2"/> </figure> <p> <s xml:id="s312" xml:space="preserve"> Ducatur <mml:math><mml:mi>cf</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math> aequidistans, erit <mml:math><mml:mi>cb</mml:mi></mml:math> parallelogrammum.</s> <s xml:id="s313" xml:space="preserve"> Data vero est <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math>, similiter et data est <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math>, hoc est <mml:math><mml:mi>fb</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s314" xml:space="preserve"> Ergo et <mml:math><mml:mi>af</mml:mi></mml:math> data erit.</s> <s xml:id="s315" xml:space="preserve"> Cum itaque data sit <mml:math><mml:mi>af</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s316" xml:space="preserve"> et <mml:math><mml:mi>cf</mml:mi></mml:math>, cum sit aequalis <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math> sit quoque data;</s> <s xml:id="s317" xml:space="preserve"> erit proportio <mml:math><mml:mi>af</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>fc</mml:mi></mml:math> data;</s> <s xml:id="s318" xml:space="preserve"> <emph style="ul">atqui ut <mml:math><mml:mi>af</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>fc</mml:mi></mml:math>, ita est <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>be</mml:mi></mml:math>, et cognita est <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math>, cognita igitur <anchor type="note" xlink:label="note-0057-04a" xlink:href="note-0057-04"/> erit et <mml:math><mml:mi>be</mml:mi></mml:math>.</emph></s> <s xml:id="s319" xml:space="preserve"> <emph style="ul">Quare, cum sit <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math> cognita, reliqua etiam <mml:math><mml:mi>dc</mml:mi></mml:math> data erit.</emph></s> <s xml:id="s320" xml:space="preserve"> <anchor type="note" xlink:label="note-0057-05a" xlink:href="note-0057-05"/> atqui ut <mml:math><mml:mi>af</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>fc</mml:mi></mml:math> ita <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math> quippe cum triangula <mml:math><mml:mi>acf</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>cde</mml:mi></mml:math> interse sint similia.</s> <s xml:id="s321" xml:space="preserve"> Datae vero sunt <mml:math><mml:mi>affccd</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s322" xml:space="preserve"> Ergo <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math> data erit.</s> <s xml:id="s323" xml:space="preserve"> Quod demonstrare oportebat.</s> <s xml:id="s324" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="2"> <note position="left" xlink:label="note-0057-04" xlink:href="note-0057-04a" xml:space="preserve"> 6 primi triangulorum Jo. de Monteregio<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0057-05" xlink:href="note-0057-05a" xml:space="preserve"> Brevius<!--variant signopositoinmargine--> </note> </div> </div> <div type="section" level="1" n="17"> <head xml:id="head17" xml:space="preserve"> Operatio in numeris </head> <figure> <image file="med33_3" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med33_3"/> </figure> </div> <div type="section" level="1" n="18"> <head xml:id="head18" xml:space="preserve"> <pb o="34" file="0058" n="58"/> Theorema ex Pappo suppositum / 117 /--- / </head> <p> <s xml:id="s325" xml:space="preserve"> Sit <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> recta linea transiens per centrum <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> circuli <mml:math><mml:mi>aef</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s326" xml:space="preserve"> In lineaque <mml:math><mml:mi>fb</mml:mi></mml:math> extra circulum summatur quodvis punctum <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math>, a quo ducatur linea <mml:math><mml:mi>be</mml:mi></mml:math> circulum contingens in puncto <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math>, a quo ipsi <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> perpendicularis ducatur <mml:math><mml:mi>eg</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s327" xml:space="preserve"> Dico <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>bf</mml:mi></mml:math> ita esse, ut <mml:math><mml:mi>ag</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>gf</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s328" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med34" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med34"/> </figure> <p> <s xml:id="s329" xml:space="preserve"> Ducatur a punto <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> perpendicularis <mml:math><mml:mi>bh</mml:mi></mml:math>, quae <anchor type="note" xlink:label="note-0058-01a" xlink:href="note-0058-01"/> aequidistans erit ipsi <mml:math><mml:mi>ge</mml:mi></mml:math>, producaturque <mml:math><mml:mi>ae</mml:mi></mml:math> usque ad <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math>, deinde a puncto <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> aequidistans ducatur <mml:math><mml:mi>km</mml:mi></mml:math>, connectaturque <mml:math><mml:mi>ce</mml:mi></mml:math>, quae producatur ex parte <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math> utcumque in <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math>, similiterque producatur <mml:math><mml:mi>ge</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s330" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="1"> <note position="left" xlink:label="note-0058-01" xlink:href="note-0058-01a" xml:space="preserve"> 28 primi<!--citmargsign--> </note> </div> <p> <s xml:id="s331" xml:space="preserve"> Quoniam enim <anchor type="note" xlink:label="note-0058-02a" xlink:href="note-0058-02"/> angulus <mml:math><mml:mi>bec</mml:mi></mml:math> est rectus, erit <mml:math><mml:mi>bel</mml:mi></mml:math> rectus, sed et <mml:math><mml:mi>ken</mml:mi></mml:math> est quoque rectus, ergo <mml:math><mml:mi>bel</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>ken</mml:mi></mml:math> est aequalis, quibus dematur communis <mml:math><mml:mi>kel</mml:mi></mml:math>, erit <mml:math><mml:mi>keb</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>len</mml:mi></mml:math> aequalis.</s> <s xml:id="s332" xml:space="preserve"> Quoniam autem <mml:math><mml:mi>ce</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>ca</mml:mi></mml:math> est aequalis, <anchor type="note" xlink:label="note-0058-03a" xlink:href="note-0058-03"/> erit angulus <mml:math><mml:mi>cea</mml:mi></mml:math> angulo <mml:math><mml:mi>cae</mml:mi></mml:math> aequalis, et <anchor type="note" xlink:label="note-0058-04a" xlink:href="note-0058-04"/> <mml:math><mml:mi>cae</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>aem</mml:mi></mml:math> est aequalis, erit igitur <mml:math><mml:mi>cea</mml:mi></mml:math> angulo <mml:math><mml:mi>aem</mml:mi></mml:math> aequalis.</s> <s xml:id="s333" xml:space="preserve"> Cum <anchor type="note" xlink:label="note-0058-05a" xlink:href="note-0058-05"/> autem <mml:math><mml:mi>cea</mml:mi></mml:math> sit ipsi <mml:math><mml:mi>leh</mml:mi></mml:math> aequalis, et <mml:math><mml:mi>aem</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>hek</mml:mi></mml:math> itidem aequalis:</s> <s xml:id="s334" xml:space="preserve"> erit angulus <mml:math><mml:mi>hel</mml:mi></mml:math> angulo <mml:math><mml:mi>hek</mml:mi></mml:math> aequalis, quare <mml:math><mml:mi>hen</mml:mi></mml:math> est ipsi <mml:math><mml:mi>heb</mml:mi></mml:math> aequalis, sed <anchor type="note" xlink:label="note-0058-06a" xlink:href="note-0058-06"/> <mml:math><mml:mi>hen</mml:mi></mml:math> est ipsi <mml:math><mml:mi>ehb</mml:mi></mml:math> aequalis.</s> <s xml:id="s335" xml:space="preserve"> Ergo <mml:math><mml:mi>heb</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>ehb</mml:mi></mml:math> aequalis erit, quare <anchor type="note" xlink:label="note-0058-07a" xlink:href="note-0058-07"/> <mml:math><mml:mi>be</mml:mi></mml:math> est ipsi <mml:math><mml:mi>bh</mml:mi></mml:math> aequalis.</s> <s xml:id="s336" xml:space="preserve"> Quoniam itaque <mml:math><mml:mi>eg</mml:mi></mml:math> est ipsi <mml:math><mml:mi>hb</mml:mi></mml:math> aequiditans, ob similitudinem triangulorum erit <anchor type="note" xlink:label="note-0058-08a" xlink:href="note-0058-08"/> <mml:math><mml:mi>ag</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ge</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>bh</mml:mi></mml:math>, hoc est ad <mml:math><mml:mi>be</mml:mi></mml:math>, <anchor type="note" xlink:label="note-0058-09a" xlink:href="note-0058-09"/> quadratum autem ex <mml:math><mml:mi>be</mml:mi></mml:math> est aequale rectangulo <mml:math><mml:mi>abf</mml:mi></mml:math>, <emph style="super">sunt igitur<!--variant supralineam--></emph> <anchor type="note" xlink:label="note-0058-10a" xlink:href="note-0058-10"/> <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>be</mml:mi></mml:math>, <emph style="super">ut<!--variant supralineam--></emph> est <mml:math><mml:mi>be</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>bf</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s337" xml:space="preserve"> Quia vero <anchor type="note" xlink:label="note-0058-11a" xlink:href="note-0058-11"/> est <mml:math><mml:mi>ag</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ge</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>eg</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>gf</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s338" xml:space="preserve"> Tres igitur lineae <mml:math><mml:mi>abbebf</mml:mi></mml:math> continue proportionales, in eadem erunt proportione, ut tres lineae in continua proportione <mml:math><mml:mi>aggegf</mml:mi></mml:math>, quare <anchor type="note" xlink:label="note-0058-12a" xlink:href="note-0058-12"/> ex aequali est <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>bf</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>ag</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>gf</mml:mi></mml:math>, quod demonstrare oportebat.</s> <s xml:id="s339" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="2"> <note position="left" xlink:label="note-0058-02" xlink:href="note-0058-02a" xml:space="preserve"> 18 tertii<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0058-03" xlink:href="note-0058-03a" xml:space="preserve"> 5 primi<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0058-04" xlink:href="note-0058-04a" xml:space="preserve"> 29 primi<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0058-05" xlink:href="note-0058-05a" xml:space="preserve"> 15 primi<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0058-06" xlink:href="note-0058-06a" xml:space="preserve"> 29 primi<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0058-07" xlink:href="note-0058-07a" xml:space="preserve"> 6 primi<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0058-08" xlink:href="note-0058-08a" xml:space="preserve"> ex 4 sexti </note> <note position="left" xlink:label="note-0058-09" xlink:href="note-0058-09a" xml:space="preserve"> 36 tertii<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0058-10" xlink:href="note-0058-10a" xml:space="preserve"> 17 sexti<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0058-11" xlink:href="note-0058-11a" xml:space="preserve"> ex 13 sexti<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0058-12" xlink:href="note-0058-12a" xml:space="preserve"> 22 quinti<!--citmargsign--> </note> </div> <p> <s xml:id="s340" xml:space="preserve"> <anchor type="note" xlink:label="note-0058-13a" xlink:href="note-0058-13"/> hoc est ex 36 primi Conicorum Apollonii manifestum est, sed demonstratio est ad impossibile.</s> <s xml:id="s341" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="3"> <note position="left" xlink:label="note-0058-13" xlink:href="note-0058-13a" xml:space="preserve"> Theorema<!--variant inmargine--> </note> </div> <p> <s xml:id="s342" xml:space="preserve"> Ducta insuper utcumque <mml:math><mml:mi>bo</mml:mi></mml:math> secans <mml:math><mml:mi>eg</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>p</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s343" xml:space="preserve"> Erit <mml:math><mml:mi>ob</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>bq</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>op</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>pq</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s344" xml:space="preserve"> Quod infra demonstravimus 62.</s> <s xml:id="s345" xml:space="preserve"> </s> </p> </div> <div type="section" level="1" n="19"> <head xml:id="head19" xml:space="preserve"> <pb o="35" file="0059" n="59"/> A Pappo suppositum Proposto dal Comandino </head> <figure> <image file="med35" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med35"/> </figure> <p> <s xml:id="s346" xml:space="preserve"> Sit triangulum acutiangulum <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math>, et a puncto <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> perpendicularis ducatur <!--begin variant delevit ante--><emph style="st"><mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> secans <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math>, et</emph><mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math><!--end variant delevit ante--> , a puncto autem <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> rursus perpendicularis ducatur <mml:math><mml:mi>be</mml:mi></mml:math>, secans <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math>, et iuncta <mml:math><mml:mi>cf</mml:mi></mml:math> producatur ad <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s347" xml:space="preserve"> Dico <mml:math><mml:mi>cg</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> perpendicularem esse.</s> <s xml:id="s348" xml:space="preserve"> Ducatur <mml:math><mml:mi>ai</mml:mi></mml:math> perpendicularis ipsi <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math>, et protrahatur <mml:math><mml:mi>be</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>i</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s349" xml:space="preserve"> Seceturque <mml:math><mml:mi>fc</mml:mi></mml:math> bifariam in <mml:math><mml:mi>m</mml:mi></mml:math>, et centro <mml:math><mml:mi>m</mml:mi></mml:math>, spatio vero <mml:math><mml:mi>mf</mml:mi></mml:math> circulus describatur <mml:math><mml:mi>fec</mml:mi></mml:math>, qui <anchor type="note" xlink:label="note-0059-01a" xlink:href="note-0059-01"/> per <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math> transibit, cum angulus <mml:math><mml:mi>fec</mml:mi></mml:math> sit rectus.</s> <s xml:id="s350" xml:space="preserve"> Similiter secetur <mml:math><mml:mi>ai</mml:mi></mml:math> bifariam in <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math>, et centro <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math>, spatioque <mml:math><mml:mi>li</mml:mi></mml:math> circulus describatur <mml:math><mml:mi>aei</mml:mi></mml:math>, <!--begin variant delevit post-->qui<emph style="st">quasdam literas<!--end variant delevit post--></emph> per <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math> quoque transibit.</s> <s xml:id="s351" xml:space="preserve"> Connectatur deinde <mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math>, quae per <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math> transibit <anchor type="note" xlink:label="note-0059-02a" xlink:href="note-0059-02"/> , denique ducantur <mml:math><mml:mi>lsmt</mml:mi></mml:math> perpendiculares <mml:math><mml:mi>fei</mml:mi></mml:math>, quae inter se parallelae erunt, eritque <mml:math><mml:mi>es</mml:mi></mml:math> aequalis <mml:math><mml:mi>si</mml:mi></mml:math> <anchor type="note" xlink:label="note-0059-03a" xlink:href="note-0059-03"/> , et <mml:math><mml:mi>et</mml:mi></mml:math> aequalis <mml:math><mml:mi>tf</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s352" xml:space="preserve"> Quoniam enim trianguli <mml:math><mml:mi>etm</mml:mi></mml:math> angulus <mml:math><mml:mi>met</mml:mi></mml:math> aequalis est angulo <mml:math><mml:mi>les</mml:mi></mml:math> trianguli <mml:math><mml:mi>esl</mml:mi></mml:math>, et angulus <mml:math><mml:mi>etm</mml:mi></mml:math> rectus, aequalis <mml:math><mml:mi>esl</mml:mi></mml:math> recto, et <mml:math><mml:mi>emt</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>els</mml:mi></mml:math> aequalis;</s> <s xml:id="s353" xml:space="preserve"> erit ut <mml:math><mml:mi>le</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>es</mml:mi></mml:math>, ita <mml:math><mml:mi>me</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>et</mml:mi></mml:math>, et <emph style="super">consequentium dupla<!--variant supralineam--></emph> , ut <mml:math><mml:mi>es</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ei</mml:mi></mml:math> eius duplam, ita est <mml:math><mml:mi>et</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> eius duplam.</s> <s xml:id="s354" xml:space="preserve"> Ex aequali <anchor type="note" xlink:label="note-0059-04a" xlink:href="note-0059-04"/> igitur ut <mml:math><mml:mi>le</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ei</mml:mi></mml:math>, sic <mml:math><mml:mi>me</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s355" xml:space="preserve"> Quoniam autem angulus <mml:math><mml:mi>mef</mml:mi></mml:math> aequalis est angulo <mml:math><mml:mi>lei</mml:mi></mml:math>, <anchor type="note" xlink:label="note-0059-05a" xlink:href="note-0059-05"/> erit <mml:math><mml:mi>efm</mml:mi></mml:math> triangulum triangulo <mml:math><mml:mi>eli</mml:mi></mml:math> aequiangulum, et angulus <mml:math><mml:mi>efm</mml:mi></mml:math> aequalis erit angulo <mml:math><mml:mi>eil</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s356" xml:space="preserve"> linea igitur <anchor type="note" xlink:label="note-0059-06a" xlink:href="note-0059-06"/> <mml:math><mml:mi>fm</mml:mi></mml:math> aequidistans est lineae <mml:math><mml:mi>il</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s357" xml:space="preserve"> Sed <mml:math><mml:mi>ai</mml:mi></mml:math> perpendicularis est ipsi <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s358" xml:space="preserve"> Ergo <anchor type="note" xlink:label="note-0059-07a" xlink:href="note-0059-07"/> et <mml:math><mml:mi>cg</mml:mi></mml:math> eidem <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> perpendicularis erit.</s> <s xml:id="s359" xml:space="preserve"> Quod demonstrare oportebat.</s> <s xml:id="s360" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="1"> <note position="left" xlink:label="note-0059-01" xlink:href="note-0059-01a" xml:space="preserve"> ex 31 tertii<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0059-02" xlink:href="note-0059-02a" xml:space="preserve"> 12 tertii </note> <note position="left" xlink:label="note-0059-03" xlink:href="note-0059-03a" xml:space="preserve"> 3 tertii </note> <note position="left" xlink:label="note-0059-04" xlink:href="note-0059-04a" xml:space="preserve"> 22 quinti<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0059-05" xlink:href="note-0059-05a" xml:space="preserve"> 6 sexti<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0059-06" xlink:href="note-0059-06a" xml:space="preserve"> 27 primi<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0059-07" xlink:href="note-0059-07a" xml:space="preserve"> 29 primi<!--citmargsign--> </note> </div> <figure> <image file="med35_2" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med35_2"/> </figure> <p> <s xml:id="s361" xml:space="preserve"> Sit obtusiangulum triangulum <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math>, et protrahatur latera <mml:math><mml:mi>bcac</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>eg</mml:mi></mml:math>, et a puncto <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> ducatur <mml:math><mml:mi>ae</mml:mi></mml:math> perpendicularis lateri <mml:math><mml:mi>bce</mml:mi></mml:math>, quae producatur ad <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math>, et a puncto <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> ducatur <mml:math><mml:mi>dc</mml:mi></mml:math> perpendicularis lateri <mml:math><mml:mi>ba</mml:mi></mml:math>, quae protracta secet <mml:math><mml:mi>ae</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math>, et connectatur <mml:math><mml:mi>bf</mml:mi></mml:math>, quae latus <mml:math><mml:mi>acg</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math> secet.</s> <s xml:id="s362" xml:space="preserve"> Dico <mml:math><mml:mi>bgf</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>acg</mml:mi></mml:math> perpendicularem esse.</s> <s xml:id="s363" xml:space="preserve"> Quoniam enim <reg norm="enim triangulus" type="context">in triangulo<!--variant correxitex --></reg> <mml:math><mml:mi>abf</mml:mi></mml:math> linea <mml:math><mml:mi>be</mml:mi></mml:math> perpendicularis est ipsi <mml:math><mml:mi>af</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>fd</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>ba</mml:mi></mml:math>, erit <mml:math><mml:mi>acg</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>bf</mml:mi></mml:math> perpendicularis, ut supra ostensum est.</s> <s xml:id="s364" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="36" file="0060" n="60"/> <figure> <image file="med36" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med36"/> </figure> <p> <s xml:id="s365" xml:space="preserve"> In triangulo <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math> rectangulo ducatur <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math> perpendicularis ad <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math>, et perpendicularis a puncto <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> ad latus <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> est ipsa <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math>, similiter a puncto <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math> ad latus <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> est ipsa <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math>, quae omnes perpendiculares in puncto <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> conveniunt, sicut in prima et 2a figura in unum et eundem punctum conveniebant.</s> <s xml:id="s366" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s367" xml:space="preserve"> Theorema hoc in omnibus speciebus trianguli quandam habere videtur similitudinem perpendiculares enim ab angulis trianguli ad latera in unum punctum conveniunt.</s> <s xml:id="s368" xml:space="preserve"> In prima enim figura lineae <emph style="bf"><mml:math><mml:mi>adbe</mml:mi></mml:math><!--variant postcorrectionem--></emph> <mml:math><mml:mi>cg</mml:mi></mml:math> in <emph style="bf">punctum<!--variant postcorrectionem--></emph> <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math> concurrunt, in secunda quoque lineae <mml:math><mml:mi>aecdbg</mml:mi></mml:math> protractae in <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math> concurrunt, in tertia vero in <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s369" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med36_2" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med36_2"/> </figure> <p> <s xml:id="s370" xml:space="preserve"> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">In quadrante <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math> sit linea <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> aequidistans, sitque <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math> aequalis <mml:math><mml:mi>ae</mml:mi></mml:math>, quod fiat completo circulo;</emph></s> <s xml:id="s371" xml:space="preserve"> <emph style="st">factoque in ipso <mml:math><mml:mi>df</mml:mi></mml:math> quadrato.</emph></s> <s xml:id="s372" xml:space="preserve"> <emph style="st">In quadrante autem <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math> ubicumque ducatur <mml:math><mml:mi>gh</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> parallela.</emph></s> <s xml:id="s373" xml:space="preserve"> <emph style="st">Dico <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math> mediam esse proportionalem inter <mml:math><mml:mi>gh</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>ho</mml:mi></mml:math>.</emph></s> <s xml:id="s374" xml:space="preserve"> <emph style="st">Iungatur <mml:math><mml:mi>adag</mml:mi></mml:math> quae interse sunt aequales, quarum etiam quadrata sunt aequalia, quadratis vero <mml:math><mml:mi>agad</mml:mi></mml:math> aequalia sunt quadrata <mml:math><mml:mi>ghhadeea</mml:mi></mml:math>, ergo quadrata <mml:math><mml:mi>gh</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>ha</mml:mi></mml:math> sunt ipsis.</emph></s> <s xml:id="s375" xml:space="preserve"><emph style="st"> Dico quadrata <mml:math><mml:mi>ghha</mml:mi></mml:math> aequalia.</emph></s> <s xml:id="s376" xml:space="preserve">In<!--end variant delevit ante--> quadrante <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math> ubicumque ducantur lineae <mml:math><mml:mi>degh</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> parallelae eruntque quadrata ex <mml:math><mml:mi>deea</mml:mi></mml:math> quadratis ex <mml:math><mml:mi>ghha</mml:mi></mml:math> aequalia.</s> <s xml:id="s377" xml:space="preserve"> Ut perspicuum est ductis <mml:math><mml:mi>adag</mml:mi></mml:math> quarum (cum <emph style="super">ipsae<!--variant supralineam--></emph> sunt aequales) quadrata sunt aequalia, quibus aequalia sunt quadrata ex <mml:math><mml:mi>ghha</mml:mi></mml:math>, et ex <mml:math><mml:mi>deea</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s378" xml:space="preserve"> Quemadmodum in semicirculo <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math> ductis ubicumque lineis <mml:math><mml:mi>abbcadde</mml:mi></mml:math>, erunt quadrata ex <mml:math><mml:mi>abbc</mml:mi></mml:math> aequalia quadratis ex <mml:math><mml:mi>addc</mml:mi></mml:math>, sunt enim aequalia quadrato ex <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math>, cum sint anguli ad <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math> recti.</s> <s xml:id="s379" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med36_3" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med36_3"/> </figure> </div> <div type="section" level="1" n="20"> <head xml:id="head20" xml:space="preserve"> <pb o="37" file="0061" n="61"/> Problema a Comandino propositum ad Pappum pertinens </head> <p> <s xml:id="s380" xml:space="preserve"> Tribus <reg norm="circulis datisdatis circulis" type="context">datis circulis<!--variant correxitex --></reg> <emph style="ul">inaequalibus</emph> <emph style="super">sese tangentibus<!--variant supralineam--></emph> circulum describere qui omnes contingat.</s> <s xml:id="s381" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med37" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med37"/> </figure> <p> <s xml:id="s382" xml:space="preserve"> Sint tres circuli inaequales, quorum centra <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math>, et circulus circa centrum <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> maior, et circa <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math> minor.</s> <s xml:id="s383" xml:space="preserve"> Oportet circulum describere, qui omnes contingat.</s> <s xml:id="s384" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s385" xml:space="preserve"> Iungantur <mml:math><mml:mi>abbcca</mml:mi></mml:math>, quae <anchor type="note" xlink:label="note-0061-01a" xlink:href="note-0061-01"/> transibunt per contactus <mml:math><mml:mi>hm</mml:mi></mml:math>, et protrahatur <mml:math><mml:mi>cb</mml:mi></mml:math> usque ad <mml:math><mml:mi>i</mml:mi></mml:math>, ita ut <reg norm="ch" type="context">hi<!--variant correxitex --></reg> sit aequalis <reg norm="hi" type="context">ch<!--variant correxitex --></reg> , erit <emph style="super">utique<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>bi</mml:mi></mml:math> excessus quo <mml:math><mml:mi>ch</mml:mi></mml:math> superat <mml:math><mml:mi>hb</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s386" xml:space="preserve"> <reg norm="Seceturque" type="context">Secetur<!--variant correxitex --></reg> <emph style="super">deinde<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>hc</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>x</mml:mi></mml:math>, ita ut <mml:math><mml:mi>hx</mml:mi></mml:math> sit aequalis <mml:math><mml:mi>bi</mml:mi></mml:math> <emph style="super">unde<!--variant supralineam--></emph> erit <mml:math><mml:mi>xc</mml:mi></mml:math> aequalis erit <!--begin variant delevit post--><mml:math><mml:mi>hb</mml:mi></mml:math><emph style="st">et<!--end variant delevit post--></emph> , <emph style="super">deinde<!--variant supralineam--></emph> a puncto <mml:math><mml:mi>x</mml:mi></mml:math> describatur hyperbole <mml:math><mml:mi>xnq</mml:mi></mml:math>, ita ut <mml:math><mml:mi>xh</mml:mi></mml:math> sit <emph style="super">axis<!--variant supralineam--></emph> , et quartae parti figurae sit aequale utrumque rectangulorum <mml:math><mml:mi>xch</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>xbh</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s387" xml:space="preserve"> Similiter secetur <mml:math><mml:mi>am</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>p</mml:mi></mml:math>, ita ut <mml:math><mml:mi>m p</mml:mi></mml:math> sit aequalis <mml:math><mml:mi>mc</mml:mi></mml:math> <emph style="super">unde<!--variant supralineam--></emph> erit <mml:math><mml:mi>a p</mml:mi></mml:math> excessus, quo <mml:math><mml:mi>am</mml:mi></mml:math> excedet <mml:math><mml:mi>mc</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s388" xml:space="preserve"> <emph style="super">Rursusque<!--variant supralineam--></emph> <reg norm="seceturque" type="context">secetur<!--variant correxitex --></reg> <mml:math><mml:mi>am</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>r</mml:mi></mml:math>, ita ut <mml:math><mml:mi>mr</mml:mi></mml:math> sit aequalis <mml:math><mml:mi>a p</mml:mi></mml:math>, erit <emph style="super">utique<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>mc</mml:mi></mml:math> aequalis <mml:math><mml:mi>ar</mml:mi></mml:math>, et a puncto <mml:math><mml:mi>r</mml:mi></mml:math> describatur hyperbole <mml:math><mml:mi>gnrl</mml:mi></mml:math>, ita ut <mml:math><mml:mi>rm</mml:mi></mml:math> sit <emph style="super">axis<!--variant supralineam--></emph> , et quartae parti figurae sit aequale utrumque rectangulorum <mml:math><mml:mi>ram</mml:mi></mml:math> et <mml:math><mml:mi>mcr</mml:mi></mml:math>, sitque punctum <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math>, ubi hyperbolae se invicem secant, et a puncto <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math> perque centra <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math> lineae ducantur <mml:math><mml:mi>nbfnadnce</mml:mi></mml:math> usque ad circumferentias datorum circulorum;</s> <s xml:id="s389" xml:space="preserve"> denique centro <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math>, spatio vero una ipsarum <mml:math><mml:mi>nfnend</mml:mi></mml:math> circulus describatur <mml:math><mml:mi>edf</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s390" xml:space="preserve"> Dico circulum <mml:math><mml:mi>edf</mml:mi></mml:math> datos circulos contingere.</s> <s xml:id="s391" xml:space="preserve"> Quoniam enim a punctis <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> </s> </p> <pb o="38bis" file="0062" n="62"/> <!-- lost text --> <!-- 38bis --> <div type="section" level="2" n="1"> <p> <s xml:id="s392" xml:space="preserve"> Tribus datis circulis inaequalibus <emph style="super">sese tangentibus<!--variant supralineam--></emph> circulum describere qui omnes contingat.</s> <s xml:id="s393" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s394" xml:space="preserve"> Sint tres dati circuli inaequales, quorum centra <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s395" xml:space="preserve"> Circulus autem circa centrum <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> sit maior, qui vero circa <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math>, sit minor.</s> <s xml:id="s396" xml:space="preserve"> Oportet circulum describere, qui omnes contingat.</s> <s xml:id="s397" xml:space="preserve"> Iungantur <mml:math><mml:mi>abbcca</mml:mi></mml:math>, quae per contactus <mml:math><mml:mi>hm</mml:mi></mml:math> transibunt.</s> <s xml:id="s398" xml:space="preserve"> <!--begin variant delevit post-->Deinde<emph style="st">producatur <mml:math><mml:mi>cb</mml:mi></mml:math>, usque ad <mml:math><mml:mi>i</mml:mi></mml:math>, ita ut <mml:math><mml:mi>hi</mml:mi></mml:math> sit aequalis <mml:math><mml:mi>ch</mml:mi></mml:math>.</emph></s> <s xml:id="s399" xml:space="preserve"><emph style="st"> Seceturque <mml:math><mml:mi>ch</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>x</mml:mi></mml:math>, sitque <mml:math><mml:mi>hx</mml:mi></mml:math> aequalis <mml:math><mml:mi>bi</mml:mi></mml:math><!--end variant delevit post--></emph> <anchor type="note" xlink:label="note-0064-05a" xlink:href="note-0064-05"/> <anchor type="note" xlink:label="note-0064-06a" xlink:href="note-0064-06"/> erit <mml:math><mml:mi>bx</mml:mi></mml:math> aequalis <emph style="bf"><mml:math><mml:mi>ch</mml:mi></mml:math><!--variant postcorrectionem--></emph> .</s> <s xml:id="s400" xml:space="preserve"> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">et <mml:math><mml:mi>ih</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>bx</mml:mi></mml:math></emph>Et<!--end variant delevit ante--> ob id <!--begin variant delevit post-->rectangulum<emph style="st">quasdam literas<!--end variant delevit post--></emph> contentum <!--begin variant delevit ante--><emph style="st"><mml:math><mml:mi>cx</mml:mi></mml:math></emph><mml:math><mml:mi>ch</mml:mi></mml:math><!--end variant delevit ante--> <mml:math><mml:mi>cx</mml:mi></mml:math>, <!--begin variant delevit post-->rectangulo<emph style="st">quasdam literas<!--end variant delevit post--></emph> <mml:math><mml:mi>xbbh</mml:mi></mml:math> contento <emph style="super">erit<!--variant supralineam--></emph> <reg norm="aequalis" type="context">aequale<!--variant correxitex --></reg> .</s> <s xml:id="s401" xml:space="preserve"> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">quasdam literas</emph>Quare<!--end variant delevit ante--> a puncto <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">unde ut <mml:math><mml:mi>cx</mml:mi></mml:math> aequalis <mml:math><mml:mi>hb</mml:mi></mml:math></emph><mml:math><mml:mi>x</mml:mi></mml:math><!--end variant delevit ante--> describatur hyperbole <mml:math><mml:mi>xnq</mml:mi></mml:math>, <emph style="super">cuius quidem<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>xh</mml:mi></mml:math> sit axis, et quartae parti figurae sit aequale utrumque rectangulorum <mml:math><mml:mi>xch</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>xbh</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s402" xml:space="preserve"> <emph style="super">Fiat<!--variant supralineam--></emph> deinde <emph style="super"><mml:math><mml:mi>ar</mml:mi></mml:math> ipsi<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>ar</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>mc</mml:mi></mml:math> <emph style="super">aequalis<!--variant supralineam--></emph> erit utique <mml:math><mml:mi>am</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>cr</mml:mi></mml:math> aequalis.</s> <s xml:id="s403" xml:space="preserve"> Ac propterea rectangulum <!--begin variant delevit post--><mml:math><mml:mi>ar</mml:mi></mml:math><emph style="st">aliquot literas<!--end variant delevit post--></emph> <mml:math><mml:mi>am</mml:mi></mml:math> contentum aequale est rectangulo <emph style="super"><mml:math><mml:mi>cm</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>cr</mml:mi></mml:math> contento.</s> <s xml:id="s404" xml:space="preserve"> Rursusque a puncto <mml:math><mml:mi>r</mml:mi></mml:math> describatur hyperbole <mml:math><mml:mi>gnrl</mml:mi></mml:math>, ita ut <mml:math><mml:mi>rm</mml:mi></mml:math> sit axis, et quartae parti figurae sit aequale utrumque rectangulorum <mml:math><mml:mi>ram</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>mcr</mml:mi></mml:math>, <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">sitque punctum <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math> ubi</emph>secentque<!--end variant delevit ante--> se invicem hyperbolae in puncto <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s405" xml:space="preserve"> <reg norm="Per punctum" type="context">A puncto<!--variant correxitex --></reg> autem <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math>, et per circulorum centra lineae ducantur <mml:math><mml:mi>nbfnadnce</mml:mi></mml:math> usque ad circumferentias datorum circulorum <emph style="super">primum<!--variant supralineam--></emph> <emph style="super">quidem ostendendum est<!--variant supralineam--></emph> lineas <mml:math><mml:mi>nfndne</mml:mi></mml:math> interse aequales <!--begin variant delevit post-->esse<emph style="st">Unde centro <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math> spatio vero una ipsarum circulus describatur.</emph></s> <s xml:id="s406" xml:space="preserve"> <emph style="st">Dico circulum <mml:math><mml:mi>edf</mml:mi></mml:math> datos circulos contingere.</emph></s> <!--end variant delevit post--> <s xml:id="s407" xml:space="preserve"> <emph style="super">Secetur <mml:math><mml:mi>bn</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math> sitque<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>bk</mml:mi></mml:math> aequalis <mml:math><mml:mi>hx</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s408" xml:space="preserve"> <emph style="super"><mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math> vero secetur in <mml:math><mml:mi>o</mml:mi></mml:math>, ita ut<!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">et</emph><mml:math><mml:mi>ao</mml:mi></mml:math><!--end variant delevit ante--> <reg norm="ipsi" type="context">sit ipsi<!--variant correxitex --></reg> <mml:math><mml:mi>rm</mml:mi></mml:math> <emph style="super">aequalis<!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s409" xml:space="preserve"> Quoniam enim a punctis <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> ad hyperbolen <mml:math><mml:mi>xnq</mml:mi></mml:math> <emph style="super">inclinatae<!--variant supralineam--></emph> sunt lineae <mml:math><mml:mi>bnnc</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s410" xml:space="preserve"> linea <mml:math><mml:mi>bn</mml:mi></mml:math> excedet <emph style="super">ipsam<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>nc</mml:mi></mml:math> quantitate <mml:math><mml:mi>xh</mml:mi></mml:math> <emph style="super">hoc est <mml:math><mml:mi>bk</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s411" xml:space="preserve"> Quare <mml:math><mml:mi>nk</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>nc</mml:mi></mml:math> aequalis <reg norm="existit" type="context">existet<!--variant correxitex --></reg> .</s> <s xml:id="s412" xml:space="preserve"> Similiter quoniam a punctis <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> ad hyperbolen <mml:math><mml:mi>qnrl</mml:mi></mml:math> <emph style="super">inclinatae<!--variant supralineam--></emph> sunt <emph style="super">lineae<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>cnna</mml:mi></mml:math>, linea <mml:math><mml:mi>nc</mml:mi></mml:math> superabit ipsam <mml:math><mml:mi>ia</mml:mi></mml:math> quantitate <mml:math><mml:mi>rm</mml:mi></mml:math> <emph style="super">hoc est <mml:math><mml:mi>ao</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s413" xml:space="preserve"> <emph style="super">Quapropter<!--variant supralineam--></emph> erit <mml:math><mml:mi>no</mml:mi></mml:math> aequalis <mml:math><mml:mi>nc</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s414" xml:space="preserve"> Ac propterea tres <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">aliquot literas</emph>lineae<!--end variant delevit ante--> <mml:math><mml:mi>nkncno</mml:mi></mml:math> interse sunt aequales.</s> <s xml:id="s415" xml:space="preserve"> Quoniam autem <!--begin variant delevit post--><mml:math><mml:mi>bh</mml:mi></mml:math><emph style="st">et<!--end variant delevit post--></emph> <mml:math><mml:mi>bf</mml:mi></mml:math> sunt aequales, et <mml:math><mml:mi>hx</mml:mi></mml:math>, <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">ut</emph><mml:math><mml:mi>bk</mml:mi></mml:math><!--end variant delevit ante--> aequales, erit <!--begin variant delevit ante--><emph style="st"><mml:math><mml:mi>hi</mml:mi></mml:math> aequalis</emph><mml:math><mml:mi>kf</mml:mi></mml:math><!--end variant delevit ante--> ipsi <mml:math><mml:mi>bx</mml:mi></mml:math> hoc est <emph style="super">ipsi<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>ch</mml:mi></mml:math> aequalis.</s> <s xml:id="s416" xml:space="preserve"> Est autem <mml:math><mml:mi>ce</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>ch</mml:mi></mml:math> aequalis, ergo <mml:math><mml:mi>kf</mml:mi></mml:math> <emph style="super">est<!--variant supralineam--></emph> ipsi <mml:math><mml:mi>ce</mml:mi></mml:math> <!--begin variant delevit post-->aequalis<emph style="st">existit<!--end variant delevit post--></emph> .</s> <s xml:id="s417" xml:space="preserve"> At numquam <mml:math><mml:mi>am</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math> est aequalis, et <mml:math><mml:mi>ao</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>rm</mml:mi></mml:math>, erit <mml:math><mml:mi>od</mml:mi></mml:math> <emph style="super">aequalis<!--variant supralineam--></emph> ipsi <mml:math><mml:mi>nr</mml:mi></mml:math> hoc est <emph style="super">ipsi<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>mc</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s418" xml:space="preserve"> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">aliquot literas</emph>Sed<!--end variant delevit ante--> <emph style="super"><mml:math><mml:mi>mc</mml:mi></mml:math> est aequalis <mml:math><mml:mi>ce</mml:mi></mml:math>, linea igitur <mml:math><mml:mi>od</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>ce</mml:mi></mml:math> aequalis existit<!--variant supralineam--></emph> </s> </p> <div type="float" level="3" n="1"> <note position="left" xlink:label="note-0064-05" xlink:href="note-0064-05a" xml:space="preserve"> fiat <mml:math><mml:mi>cx</mml:mi></mml:math> aequalis <mml:math><mml:mi>bh</mml:mi></mml:math> <!--variant inmargine--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0064-06" xlink:href="note-0064-06a" xml:space="preserve"> unde<!--variant signopositoinmargine--> </note> </div> <p> <s xml:id="s419" xml:space="preserve"> Quare tres lineae <mml:math><mml:mi>kfceod</mml:mi></mml:math> sunt interse aequales.</s> <s xml:id="s420" xml:space="preserve"> <emph style="super">Atque sunt<!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">cum</emph>etiam<!--end variant delevit ante--> <mml:math><mml:mi>nkncno</mml:mi></mml:math> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">sint</emph>interse<!--end variant delevit ante--> aequales.</s> <s xml:id="s421" xml:space="preserve"> Ergo <mml:math><mml:mi>nfnend</mml:mi></mml:math> interse sunt aequales.</s> <s xml:id="s422" xml:space="preserve"> Circulus igitur <mml:math><mml:mi>edf</mml:mi></mml:math> <emph style="super">cuius centrum <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">descriptus inaequales <!--milestone lacs--></emph>datos<!--end variant delevit ante--> circulos contingit.</s> <s xml:id="s423" xml:space="preserve"> Quod facere oportebat.</s> <s xml:id="s424" xml:space="preserve"> </s> </p> <!-- end of lost text --> </div> <pb file="0063" n="63"/> <pb o="38" file="0064" n="64"/> <p> <s xml:id="s425" xml:space="preserve"> ad hyperbolen <mml:math><mml:mi>xnq</mml:mi></mml:math> applicatae sunt lineae <mml:math><mml:mi>bnnc</mml:mi></mml:math>, <anchor type="note" xlink:label="note-0064-01a" xlink:href="note-0064-01"/> linea <mml:math><mml:mi>bn</mml:mi></mml:math> excedit <mml:math><mml:mi>nc</mml:mi></mml:math> quantitate <mml:math><mml:mi>xh</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s426" xml:space="preserve"> Secetur itaque <mml:math><mml:mi>nb</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math>, ita ut <mml:math><mml:mi>bk</mml:mi></mml:math> sit aequalis <mml:math><mml:mi>xh</mml:mi></mml:math>, quae etiam erit aequalis <mml:math><mml:mi>bi</mml:mi></mml:math>, erit <emph style="super"> utique<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>nk</mml:mi></mml:math> aequalis <mml:math><mml:mi>nc</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s427" xml:space="preserve"> Similiter <anchor type="note" xlink:label="note-0064-02a" xlink:href="note-0064-02"/> a punctis <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math>, ad hyperbolen <mml:math><mml:mi>gnrl</mml:mi></mml:math> ductae sunt <mml:math><mml:mi>cnna</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s428" xml:space="preserve"> linea <mml:math><mml:mi>nc</mml:mi></mml:math> superabit <mml:math><mml:mi>an</mml:mi></mml:math> quantitate <mml:math><mml:mi>rm</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s429" xml:space="preserve"> Addatur ipsi <mml:math><mml:mi>an</mml:mi></mml:math> quantitas <mml:math><mml:mi>ao</mml:mi></mml:math>, ita ut <mml:math><mml:mi>ao</mml:mi></mml:math> sit aequalis <mml:math><mml:mi>rm</mml:mi></mml:math>, quae etiam aequalis erit <mml:math><mml:mi>ap</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s430" xml:space="preserve"> erit <mml:math><mml:mi>no</mml:mi></mml:math> aequalis <mml:math><mml:mi>nc</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s431" xml:space="preserve"> Tres igitur lineae <mml:math><mml:mi>akncno</mml:mi></mml:math> inter se sunt aequales.</s> <s xml:id="s432" xml:space="preserve"> Quoniam autem <mml:math><mml:mi>bh</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>bf</mml:mi></mml:math> sunt aequales, et <mml:math><mml:mi>hi</mml:mi></mml:math> et <mml:math><mml:mi>bk</mml:mi></mml:math> aequales, erit <mml:math><mml:mi>hi</mml:mi></mml:math> aequalis <mml:math><mml:mi>kf</mml:mi></mml:math>, sed <mml:math><mml:mi>hi</mml:mi></mml:math> est aequalis <mml:math><mml:mi>hc</mml:mi></mml:math>, hoc est <mml:math><mml:mi>ce</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s433" xml:space="preserve"> ergo <mml:math><mml:mi>kf</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>ce</mml:mi></mml:math> aequalis erit, <emph style="super">et<!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">quia</emph>vero<!--end variant delevit ante--> <emph style="super">quoniam<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>am</mml:mi></mml:math> est ipsi <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math> aequalis, et <mml:math><mml:mi>ap</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>ao</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s434" xml:space="preserve"> erit <mml:math><mml:mi>od</mml:mi></mml:math> aequalis <mml:math><mml:mi>pm</mml:mi></mml:math>, <emph style="super">hoc est<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>mc</mml:mi></mml:math>, <anchor type="note" xlink:label="note-0064-03a" xlink:href="note-0064-03"/> <!--begin variant delevit post--><mml:math><mml:mi>ce</mml:mi></mml:math><emph style="st">quare ergo <mml:math><mml:mi>od</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>ce</mml:mi></mml:math> aequalis erit<!--end variant delevit post--></emph> .</s> <s xml:id="s435" xml:space="preserve"> Quare tres lineae <mml:math><mml:mi>kfceod</mml:mi></mml:math> sunt inter se aequales, cum autem <mml:math><mml:mi>nkncno</mml:mi></mml:math> sint inter se aequales, erunt <mml:math><mml:mi>nfnend</mml:mi></mml:math> aequales;</s> <s xml:id="s436" xml:space="preserve"> circulus igitur <mml:math><mml:mi>edf</mml:mi></mml:math> descriptus circa centrum <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math> datos circulos, quorum centra sunt <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math> in punctis <mml:math><mml:mi>edf</mml:mi></mml:math> contingit <anchor type="note" xlink:label="note-0064-04a" xlink:href="note-0064-04"/> .</s> <s xml:id="s437" xml:space="preserve"> Quod facere oportebat.</s> <s xml:id="s438" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="1"> <note position="left" xlink:label="note-0061-01" xlink:href="note-0061-01a" xml:space="preserve"> 12 tertii<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0064-01" xlink:href="note-0064-01a" xml:space="preserve"> 51 tertii Conicorum Apollonii<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0064-02" xlink:href="note-0064-02a" xml:space="preserve"> quoniam<!--variant inmargine--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0064-03" xlink:href="note-0064-03a" xml:space="preserve"> et ipsi<!--variant inmargine--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0064-04" xlink:href="note-0064-04a" xml:space="preserve"> ex 11 tertii </note> </div> <pb o="39" file="0065" n="65"/> <p xml:lang="it"> <s xml:id="s439" xml:space="preserve"> Sia un pezzo d'artiglieria, il qual si ha da tirar nel muro <mml:math><mml:mi>hk</mml:mi></mml:math> nel punto <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s440" xml:space="preserve"> Piglisi il punto <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> nella culatta vicino al focone, e sopra la bocca si pigli il <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math>, e si facci che <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math> sia tant'alto dalla linea <mml:math><mml:mi>dc</mml:mi></mml:math> quanto è il punto <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math>, e questo si farà in questo modo.</s> <s xml:id="s441" xml:space="preserve"> Mettasi una paglia, o puntarolo giù per il focone pur che arrivi nel fondo della canna, cioè nella linea <mml:math><mml:mi>dc</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s442" xml:space="preserve"> Dipoi con quella medesima misura si vadi alla bocca, e si metta la misura nel <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math>, e vadasi quant'è alto il <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math>, facendo che detta misura passi per il mezzo della bocca.</s> <s xml:id="s443" xml:space="preserve"> Piglisi poi la mira dall'<mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> al <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math>, e vedasi che nella muraglia dia nel punto <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s444" xml:space="preserve"> Se 'l pezzo è giusto, e che porti di mira fin'alla detta muraglia, darà nel punto <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s445" xml:space="preserve"> Ma però un poco più basso, quant'è da <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math> al mezzo della bocca del pezzo;</s> <s xml:id="s446" xml:space="preserve"> si per esser la linea <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> parallela alla <mml:math><mml:mi>dc</mml:mi></mml:math>, et all'asse della canna, poi anche perchè la grandezza della palla sempre declina al basso.</s> <s xml:id="s447" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med39" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med39"/> </figure> <p xml:lang="it"> <s xml:id="s448" xml:space="preserve"> Ma sel pezzo non fusse giusto, ne ben fatto, e che la palla desse in qual si voglia altro luogo, come in <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s449" xml:space="preserve"> acciochè certamente alla seconda volta habbi a dar nel punto <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math>, si farà in questo modo.</s> <s xml:id="s450" xml:space="preserve"> Ritornisi il pezzo nel sito dove era prima ripigliando la medesima misura mira <mml:math><mml:mi>abe</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s451" xml:space="preserve"> Chiara cosa è, che stando il pezzo così <pb o="40" file="0066" n="66"/> darà in <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math> per l'esperienza fatta.</s> <s xml:id="s452" xml:space="preserve"> Hora per farlo dar in <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math>, piglisi una paglia, o bastoncino sottile <mml:math><mml:mi>mg</mml:mi></mml:math>, ilqual si metta nella bocca del pezzo, e si mandi tanto in su, in giù, o in qua in là, finchè pigliando la mira da <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math> passi per la punta di detta paglia, come per il <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s453" xml:space="preserve"> Hora è cosa chiara, che pigliando la mira dall'<mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math> il pezzo dà giusto dove si mira, perchè stando così da in <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math>, e si mira nel medesimo punto <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s454" xml:space="preserve"> Essendo <emph style="super">dunque<!--variant supralineam--></emph> così movasi il pezzo tanto fin che pigliando la mira <mml:math><mml:mi>ag</mml:mi></mml:math> si veda il punto <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math>, e così il pezzo darà giusto in <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s455" xml:space="preserve"> è ben vero, che quando li pezzi sono mal fatti poche volte rifermano le botte.</s> <s xml:id="s456" xml:space="preserve"> </s> </p> <p xml:lang="it"> <s xml:id="s457" xml:space="preserve"> Et con questo secondo modo se si tirarà un pezzo più lontano di quello ch'egli può portar di mira, si farà dar giusto.</s> <s xml:id="s458" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med40" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med40"/> </figure> <p xml:lang="it"> <s xml:id="s459" xml:space="preserve"> Per trovar il più alto punto che sia nella bocca, e nella culatta del pezzo si farà così.</s> <s xml:id="s460" xml:space="preserve"> Sia per esempio la parte dinanti <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math>, il cui centro <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">sia</emph>sia<!--end variant delevit ante--> <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s461" xml:space="preserve"> Piglisi una riga, o staggiuolo giusto, cioè che habbi i lati paralleli, ilqual si metta sopra la bocca, e sopra questo staggiuolo se li metta un'archipendolo ordinario, acciochè si accomodi il detto stagiuolo che stia a livello, segnisi poi dove'l stagiuolo tocca il circolo <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math>, e sia in <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s462" xml:space="preserve"> E perchè il staggiuolo è a squadra con il perpendicolo, e la linea <mml:math><mml:mi>af</mml:mi></mml:math> <anchor type="note" xlink:label="note-0066-01a" xlink:href="note-0066-01"/> è a squadra con il staggiuolo, adunque <mml:math><mml:mi>af</mml:mi></mml:math> va al centro del mondo.</s> <s xml:id="s463" xml:space="preserve"> E <anchor type="note" xlink:label="note-0066-02a" xlink:href="note-0066-02"/> il punto <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> sarà il più alto.</s> <s xml:id="s464" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="2"> <note position="left" xlink:label="note-0066-01" xlink:href="note-0066-01a" xml:space="preserve"> 28 del terzo<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0066-02" xlink:href="note-0066-02a" xml:space="preserve"> lemma de libra<!--citmargsign--> </note> </div> <p> <s xml:id="s465" xml:space="preserve"> Facend'il medesimo alla parte di dietro, si haveranno li dui punti corrispondenti nel pezzo, con li quali anche per prescia si potrà tor la mira.</s> <s xml:id="s466" xml:space="preserve"> Questo anche servirà assai all'operatione detta di sopra.</s> <s xml:id="s467" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="41" file="0067" n="67"/> <p> <s xml:id="s468" xml:space="preserve"> Solidae magnitudines eiusdem speciei, et eiusdem figurae humido graviores, demissae in humidum, eodem tempore aequale spatium pertransibunt.</s> <s xml:id="s469" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med41" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med41"/> </figure> <p> <s xml:id="s470" xml:space="preserve"> Solidae magnitudines humido graviores, aut <emph style="super">interse<!--variant supralineam--></emph> sunt aequales, aut inaequales, si sunt aequales, patet propositum.</s> <s xml:id="s471" xml:space="preserve"> Sed sint inaequales.</s> <s xml:id="s472" xml:space="preserve"> Sint solidae magnitudines humido graviores <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> eiusdem speciei, et eiusdem figurae, sitque <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> maior <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s473" xml:space="preserve"> Dico solidas magnitudines <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> in humido demissas eodem tempore aequale spatium pertransire.</s> <s xml:id="s474" xml:space="preserve"> Sit <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> magnitudo humidi aequalem molem habens ipsi <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math>, hoc est sint <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> eiusdem <!--begin variant delevit post-->magnitudinis<emph style="st">et figurae<!--end variant delevit post--></emph> , similiter <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math> sit magnitudo humidi aequalem molem habens ipsi <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s475" xml:space="preserve"> Quoniam enim solidae magnitudines <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> sunt eiusdem <!--begin variant delevit post-->magnitudinis<emph style="st">et figurae, similiter magnitudines<!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super">itidemque<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math> <!--begin variant delevit post-->eiusdem<emph style="st">sunt<!--end variant delevit post--></emph> <!--begin variant delevit post-->magnitudinis<emph style="st">et figurae<!--end variant delevit post--></emph> ;</s> <s xml:id="s476" xml:space="preserve"> erit proportio <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math> <anchor type="note" xlink:label="note-0067-01a" xlink:href="note-0067-01"/> aequales enim magnitudines ad <!--begin variant delevit post-->aequales<emph style="st">magnitudines<!--end variant delevit post--></emph> eandem habent proportionem.</s> <s xml:id="s477" xml:space="preserve"> Ut autem magnitudo <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> ad magnitudinem <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math>, sic gravitas magnitudinis <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> ad gravitatem ipsius <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math>, cum sint eiusdem speciei.</s> <s xml:id="s478" xml:space="preserve"> Similiter ut magnitudo <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> ad magnitudinem <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math>, ita gravitas ipsius <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> ad gravitatem <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s479" xml:space="preserve"> Ergo <anchor type="note" xlink:label="note-0067-02a" xlink:href="note-0067-02"/> proportio gravitatis <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> ad gravitatem <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math> est, ut gravitas <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> ad gravitatem <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math>, et permutando <anchor type="note" xlink:label="note-0067-03a" xlink:href="note-0067-03"/> , gravitas magnitudinis <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> ad gravitatem magnitudinis <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math>, sic gravitas magnitudinis <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math> ad gravitatem magitudinis <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math>, et convertendo <anchor type="note" xlink:label="note-0067-04a" xlink:href="note-0067-04"/> , gravitas <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> ad gravitatem <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math>, sic gravitas <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math> ad gravitatem <!--begin variant delevit post--><mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math><emph style="st"> quia vero <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> est<!--end variant delevit post--></emph> .</s> <s xml:id="s480" xml:space="preserve"> <emph style="super">Idcirco, cum sit <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> magnitudo humidi aequalem molem habens ipsi <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math>, <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">estque (sit)</emph>proportio<!--end variant delevit ante--> , quam habet <emph style="super">gravitas<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> ad <emph style="super">gravitatem<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math>, et <emph style="super">gravitas<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math> ad <emph style="super">gravitatem<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math> nihil aliud <emph style="super">erit<!--variant supralineam--></emph> , nisi proportio resistentiae, quam facit humidum ad magnitudines <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> <anchor type="note" xlink:label="note-0067-05a" xlink:href="note-0067-05"/> .</s> <s xml:id="s481" xml:space="preserve"> <emph style="super">Quoniam autem<!--variant supralineam--></emph> solidae magnitudines humido graviores demissae in humidum, feruntur deorsum, donec descendant;</s> <s xml:id="s482" xml:space="preserve"> et sunt in humido tanto leviores, quanto est gravitas humidi molem habentis solidae magnitudini aequalem <emph style="super">ut demonstrat Archimedes in 7a primi<!--variant supralineam--></emph> de iis, quae vehuntur in aqua.</s> <s xml:id="s483" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="3"> <note position="left" xlink:label="note-0067-01" xlink:href="note-0067-01a" xml:space="preserve"> ex 7 quinti<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0067-02" xlink:href="note-0067-02a" xml:space="preserve"> 11 quinti<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0067-03" xlink:href="note-0067-03a" xml:space="preserve"> 16 quinti<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0067-04" xlink:href="note-0067-04a" xml:space="preserve"> cor. 4 quinti<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0067-05" xlink:href="note-0067-05a" xml:space="preserve"> quae iam ostensa est aequalis<!--variant signopositoinmargine--> </note> </div> <pb o="42" file="0068" n="68"/> <p> <s xml:id="s484" xml:space="preserve"> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">Cum itaque sit</emph>Eadem<!--end variant delevit ante--> <emph style="super">igitur erit<!--variant supralineam--></emph> proportio resistentiae, quam habet humidum ad magnitudinem <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math>, et ad magnitudinem <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math>, <anchor type="note" xlink:label="note-0068-01a" xlink:href="note-0068-01"/> magnitudines <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> in humidum demissae ferentur deorsum, et eodem tempore aequale spatium pertransibunt;</s> <s xml:id="s485" xml:space="preserve"> cum medium pro quod fit motus sit <!--begin variant delevit post-->idem<emph style="st">aliquot verba<!--end variant delevit post--></emph> , et resistentia in proportione aequalis.</s> <s xml:id="s486" xml:space="preserve"> Si enim non eodem tempore transirent, necesse <!--begin variant delevit post-->esset<emph style="st">quod<!--end variant delevit post--></emph> <reg norm="resistentia" type="context">resistentiam<!--variant correxitex --></reg> humidi maiorem <reg norm="habeat" type="context">habere<!--variant correxitex --></reg> ad magnitudinem quae tardius pertransiret <emph style="super">quam ad aliam<!--variant supralineam--></emph> quod non est.</s> <s xml:id="s487" xml:space="preserve"> <emph style="it">Ergo<!--variant EDdiverso atramento--></emph> eodem tempore spatium aequale pertransibunt.</s> <s xml:id="s488" xml:space="preserve"> Quod demonstrandum oportebat.</s> <s xml:id="s489" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="4"> <note position="left" xlink:label="note-0068-01" xlink:href="note-0068-01a" xml:space="preserve"> ac propterea<!--variant signopositoinmargine--> </note> </div> <p> <s xml:id="s490" xml:space="preserve"> Hoc etiam patet, si magnitudo <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> talis esset speciei, ut esset in gravitate <emph style="super">humido<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> aequalis, et <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s491" xml:space="preserve"> <emph style="super">Tunc<!--variant supralineam--></emph> per 3am eiusdem Archimedis magnitudines <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> demissae in humidum demergent ita, ut ex humidi superficie nihil existet.</s> <s xml:id="s492" xml:space="preserve"> Et quamquam pondus <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> <emph style="super">propter magnitudinem<!--variant supralineam--></emph> sit gravius, quam <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s493" xml:space="preserve"> neutra tamen ipsarum magnitudinum <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> feretur deorsum, donec descendat, quia humidum eandem habet proportioneem ad magnitudines <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s494" xml:space="preserve"> Hoc est magnitudines <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> in proportione eandem habent resistentiam, quod eodem modo demonstrabit.</s> <s xml:id="s495" xml:space="preserve"> Hoc idem quoque manifestum est, si <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> et <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math> essent humido leviores, neutra enim ipsarum tota demergetur.</s> <s xml:id="s496" xml:space="preserve"> Quamvis <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> sit gravior <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s497" xml:space="preserve"> Sed in eadem proportione ad humidum in humido permanebunt, ex quinta eiusdem Archimedis.</s> <s xml:id="s498" xml:space="preserve"> </s> </p> </div> <div type="section" level="1" n="21"> <head xml:id="head21" xml:space="preserve"> <pb o="45" file="0069" n="69"/> Contra Orontii Finei libellum, de multangularum omnium et regularium figurarum descriptione </head> <p> <s xml:id="s499" xml:space="preserve"> Totus hic liber in hac fundatur conclusione, quam ipse colligit problemate secundo:</s> <s xml:id="s500" xml:space="preserve"> ``In quibuslibet duobus triangulis habentibus duo latera duobus lateribus aequalia alterum alteri;</s> <s xml:id="s501" xml:space="preserve"> ex data basium magnitudine proportionatam subsequi eorundem angulorum, qui sub aequis continentur lateribus, quantitatem, hoc est angulos ipsos basium immitari proportionem.</s> <s xml:id="s502" xml:space="preserve"> Et e diverso.</s> <s xml:id="s503" xml:space="preserve">'' </s> </p> <figure> <image file="med45" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med45"/> </figure> <p> <s xml:id="s504" xml:space="preserve"> Sit triangulum <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math> aequicrure latera habens <mml:math><mml:mi>abac</mml:mi></mml:math> aequalia.</s> <s xml:id="s505" xml:space="preserve"> Fiat angulus <mml:math><mml:mi>bad</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>bac</mml:mi></mml:math> aequalis, erit angulus <mml:math><mml:mi>dac</mml:mi></mml:math> ipsius <mml:math><mml:mi>bac</mml:mi></mml:math> duplus.</s> <s xml:id="s506" xml:space="preserve"> Fiatque linea <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> aequalis, et connectatur <mml:math><mml:mi>dc</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s507" xml:space="preserve"> Dico <mml:math><mml:mi>dc</mml:mi></mml:math> minorem esse, quam duplam ipsius <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s508" xml:space="preserve"> Quoniam enim aequicruris trianguli <mml:math><mml:mi>dac</mml:mi></mml:math> angulus <mml:math><mml:mi>dac</mml:mi></mml:math> sub aequalibus rectis lineis contentus bifariam dividitur a linea <mml:math><mml:mi>aeb</mml:mi></mml:math>, <anchor type="note" xlink:label="note-0069-01a" xlink:href="note-0069-01"/> erit <mml:math><mml:mi>aeb</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>dc</mml:mi></mml:math> perpendicularis;</s> <s xml:id="s509" xml:space="preserve"> segmentaque <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>ec</mml:mi></mml:math> interse aequalia erunt <emph style="super">insuper<!--variant supralineam--></emph> triangulum <mml:math><mml:mi>bec</mml:mi></mml:math> rectangulum <emph style="super">erit<!--variant supralineam--></emph> , rectum habens angulum <mml:math><mml:mi>bec</mml:mi></mml:math>, <anchor type="note" xlink:label="note-0069-02a" xlink:href="note-0069-02"/> quare <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> maior est ipsa <mml:math><mml:mi>ce</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>ce</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>ed</mml:mi></mml:math> est aequalis, ergo <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math> minor est, quam dupla ipsius <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s510" xml:space="preserve"> Quae quidem <mml:math><mml:mi>dc</mml:mi></mml:math> secundum Orontium duplam esse deberet ipsius <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s511" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="1"> <note position="left" xlink:label="note-0069-01" xlink:href="note-0069-01a" xml:space="preserve"> ex 10 primi<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0069-02" xlink:href="note-0069-02a" xml:space="preserve"> 18 primi<!--citmargsign--> </note> </div> </div> <div type="section" level="1" n="22"> <head xml:id="head22" xml:space="preserve"> <pb o="46" file="0070" n="70"/> Aliter </head> <figure> <image file="med46" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med46"/> </figure> <p> <s xml:id="s512" xml:space="preserve"> Sit aequicrure triangulum <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math> latera habens <mml:math><mml:mi>abac</mml:mi></mml:math> aequalia.</s> <s xml:id="s513" xml:space="preserve"> Deinde <emph style="bf">fiat<!--variant postcorrectionem--></emph> angulus <mml:math><mml:mi>cad</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>bac</mml:mi></mml:math> aequalis, et <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> aequalis.</s> <s xml:id="s514" xml:space="preserve"> Connectaturque <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s515" xml:space="preserve"> Erit angulus <mml:math><mml:mi>bad</mml:mi></mml:math> duplus ipsius <mml:math><mml:mi>bac</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s516" xml:space="preserve"> Dico <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math> minorem esse, quam duplam ipsius <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s517" xml:space="preserve"> Connectatur <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s518" xml:space="preserve"> Quoniam igitur angulus <mml:math><mml:mi>bac</mml:mi></mml:math> est ipsi <mml:math><mml:mi>cad</mml:mi></mml:math> aequalis, lateraque angulos continentia sunt aequalia, <anchor type="note" xlink:label="note-0070-01a" xlink:href="note-0070-01"/> erit basis <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>cb</mml:mi></mml:math> aequalis.</s> <s xml:id="s519" xml:space="preserve"> Quare duae <mml:math><mml:mi>bccd</mml:mi></mml:math> ipsius <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> sunt duplae.</s> <s xml:id="s520" xml:space="preserve"> Duae vero <anchor type="note" xlink:label="note-0070-02a" xlink:href="note-0070-02"/> <mml:math><mml:mi>bccd</mml:mi></mml:math> maiores sunt ipsa <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s521" xml:space="preserve"> Ergo <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math> minor est, quam dupla ipsius <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s522" xml:space="preserve"> Quod oportebat demonstrare.</s> <s xml:id="s523" xml:space="preserve"> Fiat propterea iisdem positis angulus <mml:math><mml:mi>dae</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>bac</mml:mi></mml:math> aequalis, lineaque <mml:math><mml:mi>ae</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math> aequalis.</s> <s xml:id="s524" xml:space="preserve"> Erit totus <mml:math><mml:mi>bae</mml:mi></mml:math> triplus ipsius <mml:math><mml:mi>bac</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s525" xml:space="preserve"> Connectantur <mml:math><mml:mi>bede</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s526" xml:space="preserve"> Dico <mml:math><mml:mi>be</mml:mi></mml:math> minorem esse, quam triplam ipsius <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s527" xml:space="preserve"> Nam cum ob eandem causam <anchor type="note" xlink:label="note-0070-03a" xlink:href="note-0070-03"/> basis <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math> sit aequalis ipsi <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s528" xml:space="preserve"> Erunt tres lineae <mml:math><mml:mi>bccdde</mml:mi></mml:math> intersese aequales;</s> <s xml:id="s529" xml:space="preserve"> et simul triplae ipsius <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s530" xml:space="preserve"> <anchor type="note" xlink:label="note-0070-04a" xlink:href="note-0070-04"/> at duae <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math> maiores sunt ipsa <mml:math><mml:mi>be</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>bccd</mml:mi></mml:math> ipsa <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math> sunt quoque maiores.</s> <s xml:id="s531" xml:space="preserve"> Erunt tres <mml:math><mml:mi>bccdde</mml:mi></mml:math> ipsa <mml:math><mml:mi>be</mml:mi></mml:math> maiores.</s> <s xml:id="s532" xml:space="preserve"> Minor igitur est <mml:math><mml:mi>be</mml:mi></mml:math>, quam tripla ipsius <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s533" xml:space="preserve"> Quae ex Orontii sententia tripla esse deberet.</s> <s xml:id="s534" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="1"> <note position="left" xlink:label="note-0070-01" xlink:href="note-0070-01a" xml:space="preserve"> 4 primi<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0070-02" xlink:href="note-0070-02a" xml:space="preserve"> 20 primi<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0070-03" xlink:href="note-0070-03a" xml:space="preserve"> 4 primi<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0070-04" xlink:href="note-0070-04a" xml:space="preserve"> 20 primi<!--citmargsign--> </note> </div> <p> <s xml:id="s535" xml:space="preserve"> <emph style="it">Conclusio<!--variant descriptio: diverso atramento--></emph> igitur superius allata falsa est, quare et totus Orontii libellus ruit, atque falsus est, cum nitatur principio falso.</s> <s xml:id="s536" xml:space="preserve"> Universalium autem hoc demonstravimus pagina 112.</s> <s xml:id="s537" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s538" xml:space="preserve"> Quomodo autem figurae in circulis inscribantur ea respice, quae seorsum in Pappum adnotavimus.</s> <s xml:id="s539" xml:space="preserve"> </s> </p> </div> <div type="section" level="1" n="23"> <head xml:id="head23" xml:space="preserve"> <pb o="47" file="0071" n="71"/> Immaginis species in speculo recipitur in puncto </head> <figure> <image file="med47" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med47"/> </figure> <p> <s xml:id="s540" xml:space="preserve"> Sit speculo <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s541" xml:space="preserve"> Immago <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s542" xml:space="preserve"> Dico speciem immaginis <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math> in speculo <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> in puncto recipi.</s> <s xml:id="s543" xml:space="preserve"> Sit oculus <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math>, qui videat extremitatem <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> in speculo in puncto <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s544" xml:space="preserve"> Deinde connectatur <mml:math><mml:mi>df</mml:mi></mml:math>, fiatque angulus <mml:math><mml:mi>afg</mml:mi></mml:math> angulo <mml:math><mml:mi>bdf</mml:mi></mml:math> aequalis.</s> <s xml:id="s545" xml:space="preserve"> Si in <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math> ponatur oculus, manifestum est, quod <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math> videt punctum <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math> in speculo in puncto <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s546" xml:space="preserve"> Accipiatur denique in immagine <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math> quodvis punctum <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math>, atque iungatur <mml:math><mml:mi>fh</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s547" xml:space="preserve"> Fiatque angulus <mml:math><mml:mi>afk</mml:mi></mml:math> angulo <mml:math><mml:mi>bfh</mml:mi></mml:math> aequalis:</s> <s xml:id="s548" xml:space="preserve"> eadem ratione, si in <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math> sit oculus, patet, oculum <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math> videre in speculo punctum <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math> in eodem puncto <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s549" xml:space="preserve"> Et si ipsius immaginis <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math> aliud quodvis accipiatur punctum, similiter ostendetur, ipsum recipi in speculo in puncto <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s550" xml:space="preserve"> Tota igitur species immaginis <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math> in speculo <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> in puncto <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math> recipitur.</s> <s xml:id="s551" xml:space="preserve"> Quod demonstrare oportebat.</s> <s xml:id="s552" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="48" file="0072" n="72"/> <p> <s xml:id="s553" xml:space="preserve"> Huic tamen determinationi aliquis obiiciet.</s> <s xml:id="s554" xml:space="preserve"> Ponatur quidem oculum <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math> <!--begin variant delevit post-->videre<emph style="st">videre<!--end variant delevit post--></emph> punctum <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> in speculo in puncto <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s555" xml:space="preserve"> Alteram vero extremitatem <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math> in puncto <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s556" xml:space="preserve"> Procul dubbio <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math> in speculo recipitur non in puncto, sed in quantitate <mml:math><mml:mi>fl</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s557" xml:space="preserve"> Cui respondendum est, quod tota species immaginis <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math>, non solum recipitur in in puncto <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math>, ut demonstratum est, verum etiam in puncto <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math>, quod eodem modo ostendetur.</s> <s xml:id="s558" xml:space="preserve"> Praeterea non solum <emph style="super">in punctis <mml:math><mml:mi>fl</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> sed et in quolibet puncto speculi.</s> <s xml:id="s559" xml:space="preserve"> Idcirco quamvis <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math> ab oculo <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math> videatur sub quantitate <mml:math><mml:mi>fl</mml:mi></mml:math>, hoc non pervenit, quia cd in speculo non recipiatur in puncto;</s> <s xml:id="s560" xml:space="preserve"> sed quia unus tantum oculus in uno, et eodem situ, non potest eisdem lineis visualibus nisi unum tantum punctum videre.</s> <s xml:id="s561" xml:space="preserve"> Ut lineis <mml:math><mml:mi>cfe</mml:mi></mml:math> videt tantum punctum <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math>:</s> <s xml:id="s562" xml:space="preserve"> propterea his lineis nulla potest aliam partem videre ipsius immaginis <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math>, quamvis tota recipiatur in puncto <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math>, ut dictum est.</s> <s xml:id="s563" xml:space="preserve"> Hoc itaque evenit ratione situs ipsius oculi, et non quia species non recipiatur in puncto.</s> <s xml:id="s564" xml:space="preserve"> </s> </p> </div> <div type="section" level="1" n="24"> <head xml:id="head24" xml:space="preserve"> Corollarium </head> <p> <s xml:id="s565" xml:space="preserve"> Ex his patet, immaginis speciem in speculo omnibus speculi punctis totam recipi.</s> <s xml:id="s566" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s567" xml:space="preserve"> Hoc in speculis planis est manifestum.</s> <s xml:id="s568" xml:space="preserve"> In concavis autem, et in convexis species recipietur aliquando in omnibus;</s> <s xml:id="s569" xml:space="preserve"> aliquando vero in punctis illius parti speculi, ad quae species ad ipsum speculum pervenit rectis lineis.</s> <s xml:id="s570" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s571" xml:space="preserve"> Postquam hanc inveni demonstrationem, reperi Albertum Magnum, qui in libro de homine cap.</s> <s xml:id="s572" xml:space="preserve"> utrum color est obiectum visus (pagina scilicet 97) huic similem demonstrationem confecit, et in hoc alia multa dicit.</s> <s xml:id="s573" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="49" file="0073" n="73"/> <figure> <image file="med49" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med49"/> </figure> <p> <s xml:id="s574" xml:space="preserve"> Dato puncto, positoque oculo, punctum in speculo invenire, per quem oculus datum punctum videat.</s> <s xml:id="s575" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s576" xml:space="preserve"> Sit speculum <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math>, datum punctum <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math>, oculusque sit in <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s577" xml:space="preserve"> Punctum in speculo invenire oportet, per quem oculus datum punctum <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> videat.</s> <s xml:id="s578" xml:space="preserve"> Ab altero ipsorum <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math> ad speculum perpendicularis ducatur:</s> <s xml:id="s579" xml:space="preserve"> sitque <mml:math><mml:mi>ce</mml:mi></mml:math>, quae pertrahatur in <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math> fiatque <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>ce</mml:mi></mml:math> aequalis.</s> <s xml:id="s580" xml:space="preserve"> Deinde connectatur <mml:math><mml:mi>df</mml:mi></mml:math>, quae speculum secet in <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s581" xml:space="preserve"> Dico punctum <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math> esse, quod quaerimus.</s> <s xml:id="s582" xml:space="preserve"> Iungantur <mml:math><mml:mi>cgge</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s583" xml:space="preserve"> Quoniam enim duae <mml:math><mml:mi>ceeg</mml:mi></mml:math> duabus <mml:math><mml:mi>feeg</mml:mi></mml:math> sunt aequales, angulosque continent aequales, nempe rectos, erit <anchor type="note" xlink:label="note-0073-01a" xlink:href="note-0073-01"/> triangulum <mml:math><mml:mi>ceg</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>feg</mml:mi></mml:math> aequale;</s> <s xml:id="s584" xml:space="preserve"> et angulus <mml:math><mml:mi>fge</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>cge</mml:mi></mml:math> aequalis.</s> <s xml:id="s585" xml:space="preserve"> Sed <anchor type="note" xlink:label="note-0073-02a" xlink:href="note-0073-02"/> et <mml:math><mml:mi>dgb</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>fge</mml:mi></mml:math> est etiam aequalis.</s> <s xml:id="s586" xml:space="preserve"> Ergo <mml:math><mml:mi>dgb</mml:mi></mml:math> angulo <mml:math><mml:mi>cge</mml:mi></mml:math> est aequalis, angulus scilicet incidentiae angulo reflexionis.</s> <s xml:id="s587" xml:space="preserve"> Videt igitur oculus <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math> punctum <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> per punctum <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s588" xml:space="preserve"> Quod invenire oportebat.</s> <s xml:id="s589" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="1"> <note position="left" xlink:label="note-0073-01" xlink:href="note-0073-01a" xml:space="preserve"> 4 primi<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0073-02" xlink:href="note-0073-02a" xml:space="preserve"> 15 primi<!--citmargsign--> </note> </div> <pb o="50" file="0074" n="74"/> <figure> <image file="med50" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med50"/> </figure> <p> <s xml:id="s590" xml:space="preserve"> Idem invenire oporteat, sed operatio ultra speculum non egrediatur.</s> <s xml:id="s591" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s592" xml:space="preserve"> Iisdem positis.</s> <s xml:id="s593" xml:space="preserve"> A punctis <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math> ad speculum perpendiculares ducantur <mml:math><mml:mi>cedf</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s594" xml:space="preserve"> Iungaturque <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math>, quae dividatur in <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math>, <anchor type="note" xlink:label="note-0074-01a" xlink:href="note-0074-01"/> ita ut <mml:math><mml:mi>eg</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>gf</mml:mi></mml:math> sit ut <mml:math><mml:mi>ce</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>df</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s595" xml:space="preserve"> Connectanturque <mml:math><mml:mi>cggd</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s596" xml:space="preserve"> Quoniam igitur <mml:math><mml:mi>eg</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>gf</mml:mi></mml:math> est, ut <mml:math><mml:mi>ce</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>df</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s597" xml:space="preserve"> Erit permutando, ut <mml:math><mml:mi>ge</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ec</mml:mi></mml:math>, ita <mml:math><mml:mi>gf</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>fd</mml:mi></mml:math>, quae cum angulos contineant aequales, hoc est rectos, <anchor type="note" xlink:label="note-0074-02a" xlink:href="note-0074-02"/> erit triangulum <mml:math><mml:mi>egc</mml:mi></mml:math> triangulo <mml:math><mml:mi>fgd</mml:mi></mml:math> simile, ac propterea angulus <mml:math><mml:mi>fgd</mml:mi></mml:math> angulo <mml:math><mml:mi>egc</mml:mi></mml:math> est aequalis.</s> <s xml:id="s598" xml:space="preserve"> Videt ergo <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math> punctum <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> per punctum <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math>, operatioque semper facta est inter speculum, et <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s599" xml:space="preserve"> Quod facere oportebat.</s> <s xml:id="s600" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="2"> <note position="left" xlink:label="note-0074-01" xlink:href="note-0074-01a" xml:space="preserve"> ex 10 sexti<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0074-02" xlink:href="note-0074-02a" xml:space="preserve"> 6 sexti<!--citmargsign--> </note> </div> <pb o="51" file="0075" n="75"/> <figure> <image file="med51" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med51"/> </figure> <p> <s xml:id="s601" xml:space="preserve"> Ut unica tantum altitudinis horizontalis observatione <emph style="super">et in horizonte declinatione<!--variant supralineam--></emph> (quae omnium facillima est) in quo caeli situ, cometa, sidusve aliquod collocatum sit invemiamus, hoc modo assequemur.</s> <s xml:id="s602" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s603" xml:space="preserve"> Sit sphera, cuius meridianus sit <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math>, horizon <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math>, aequinoctialis <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math> ecliptica <mml:math><mml:mi>gh</mml:mi></mml:math>, cuius poli sint <mml:math><mml:mi>kl</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s604" xml:space="preserve"> Sitque circulus <mml:math><mml:mi>klm</mml:mi></mml:math> mobilis, qui circa Zodiaci polos <mml:math><mml:mi>kl</mml:mi></mml:math> circumverti possit.</s> <s xml:id="s605" xml:space="preserve"> Sitque post quarta circuli <mml:math><mml:mi>nmo</mml:mi></mml:math> in gradus divisa, mobilisque in <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s606" xml:space="preserve"> ut fieri solet.</s> <s xml:id="s607" xml:space="preserve"> Habeat deinde sphera circulum <mml:math><mml:mi>qr</mml:mi></mml:math> <emph style="super">secundum<!--variant supralineam--></emph> horas <emph style="super">astronomicas<!--variant supralineam--></emph> divisum, et iuxta hunc, alium habeat circulum <mml:math><mml:mi>st</mml:mi></mml:math> in viginti quatuor horas divisum, qui circumverti possit, ut ad meridiem possimus aptare horam meridiei, horarum ab ortu, vel ab occasu.</s> <s xml:id="s608" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s609" xml:space="preserve"> Sitque <mml:math><mml:mi>an</mml:mi></mml:math> harum horarum index, qui circumvolvatur una cum sphera, ut fieri solet.</s> <s xml:id="s610" xml:space="preserve"> His stantibus, inveniamus altitudinem horizontalem cometae, sive astri, cum quadrante, vel aliquo alio instrumento.</s> <s xml:id="s611" xml:space="preserve"> Et cum bussola distantiam inveniamus horizontalem ab aliquo quatuor punctorum principalium.</s> <s xml:id="s612" xml:space="preserve"> Quod fiet aptando bussolam ipsi <pb o="52" file="0076" n="76"/> quadranti dum altitudinem quaerimus.</s> <s xml:id="s613" xml:space="preserve"> Vel instrumentum construamus, ut simul, et distantiam horizontalem, eiusque altitudinem ostendat, quod erit quidem facillimum.</s> <s xml:id="s614" xml:space="preserve"> Horaque huius observationis notetur.</s> <s xml:id="s615" xml:space="preserve"> His notatis, aptetur sphera secundum regionis latitudinem, quae sit <mml:math><mml:mi>fa</mml:mi></mml:math>, inveniaturque Zenit, quod sit <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s616" xml:space="preserve"> Et sub meridiano ponatur Zodiaci signum, inventum, vel per almanach, vel per astrolabi dorsum, vel quod melius est, in ipso spherae Zodiaco menses quoque describantur, diemque sub meridiano ponamus.</s> <s xml:id="s617" xml:space="preserve"> Ostendatque <mml:math><mml:mi>au</mml:mi></mml:math> horam meridiei, deinde circumvolvatur sphera, donec <mml:math><mml:mi>au</mml:mi></mml:math> horam observationis ostendat;</s> <s xml:id="s618" xml:space="preserve"> spheraque in hoc loco firmetur.</s> <s xml:id="s619" xml:space="preserve"> Et in <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math> ponatur quarta mobilis <mml:math><mml:mi>nmo</mml:mi></mml:math>, quae circumvertatur donec in horizonte ostendat circumferentiam horizontalem, quae sit <mml:math><mml:mi>eo</mml:mi></mml:math> in qua etiam notetur astri altitudo, quae sit <mml:math><mml:mi>om</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s620" xml:space="preserve"> Volvatur deinde circulus <mml:math><mml:mi>klm</mml:mi></mml:math>, donec secet <mml:math><mml:mi>nmo</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>m</mml:mi></mml:math>, qui eclipticam secet in <mml:math><mml:mi>x</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s621" xml:space="preserve"> Erit punctum <mml:math><mml:mi>x</mml:mi></mml:math> signi gradus, in quo sidus reperitur.</s> <s xml:id="s622" xml:space="preserve"> Et si in <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> firmetur alius circulus mobilis, quartaque aequinoctialis inter meridianum et horizontem, in tres dividatur partes aequales, cum hoc circulo statim, in qua domo sit punctum <mml:math><mml:mi>m</mml:mi></mml:math>, inveniemus.</s> <s xml:id="s623" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="53" file="0077" n="77"/> <p> <s xml:id="s624" xml:space="preserve"> Pappus in quarto Collectionum Mathematicarum per lineam quadrantem angulos incommensurabiles invenire docet.</s> <s xml:id="s625" xml:space="preserve"> Oportet autem, hos, aut rectos, aut recto minores esse, cum linea quadrans non excedat circuli quadrantem.</s> <s xml:id="s626" xml:space="preserve"> Caeterum hoc per lineam spiralem universalius hoc modo assequemur.</s> <s xml:id="s627" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s628" xml:space="preserve"> Angulum invenire, ad quem datus angulus datam habeat proportionem.</s> <s xml:id="s629" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med53" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med53"/> </figure> <p> <s xml:id="s630" xml:space="preserve"> Sit datus angulus <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math>, dataque proportio <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s631" xml:space="preserve"> Angulum invenire oportet, ad quem angulus <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math> proportionem habeat, quam <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s632" xml:space="preserve"> Describatur circulus <mml:math><mml:mi>acn</mml:mi></mml:math>, lineaque spiralis in prima circulatione <mml:math><mml:mi>bkma</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s633" xml:space="preserve"> Et ut <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math>, ita fiat <mml:math><mml:mi>bk</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>kl</mml:mi></mml:math>, et centro <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s634" xml:space="preserve"> intervallo quidem <mml:math><mml:mi>bl</mml:mi></mml:math>, circulus describatur <mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math>, qui lineam spiralem secet in <mml:math><mml:mi>m</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s635" xml:space="preserve"> iunctaque <mml:math><mml:mi>bm</mml:mi></mml:math> producatur usque ad circumferentiam in <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s636" xml:space="preserve"> Quoniam <anchor type="note" xlink:label="note-0077-01a" xlink:href="note-0077-01"/> enim est <mml:math><mml:mi>bm</mml:mi></mml:math>, hoc est <mml:math><mml:mi>bl</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>bk</mml:mi></mml:math>, ut circumferentia <mml:math><mml:mi>nca</mml:mi></mml:math> ad circumferentiam <mml:math><mml:mi>ca</mml:mi></mml:math>, erit convertendo, ut <mml:math><mml:mi>bk</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>bl</mml:mi></mml:math>, ita circumferentia <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> ad circumferentiam <mml:math><mml:mi>acn</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s637" xml:space="preserve"> Dividendo igitur ut <mml:math><mml:mi>bk</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>kl</mml:mi></mml:math>, hoc est ut <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math>, ita <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>cn</mml:mi></mml:math>, hoc est <anchor type="note" xlink:label="note-0077-02a" xlink:href="note-0077-02"/> angulus <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math> ad angulum <mml:math><mml:mi>cbn</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s638" xml:space="preserve"> Quod demonstrare oportebat.</s> <s xml:id="s639" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="3"> <note position="left" xlink:label="note-0077-01" xlink:href="note-0077-01a" xml:space="preserve"> 14 Archimedis de lineis spiralibus<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0077-02" xlink:href="note-0077-02a" xml:space="preserve"> ex ultima sexti<!--citmargsign--> </note> </div> </div> <div type="section" level="1" n="25"> <head xml:id="head25" xml:space="preserve"> Corollarium </head> <p> <s xml:id="s640" xml:space="preserve"> Ex hoc patet, quomodo inveniatur circumferentia, ad quam data circumferentia datam habeat proportionem;</s> <s xml:id="s641" xml:space="preserve"> dummodo utraeque circuli circumferentiam non excedant.</s> <s xml:id="s642" xml:space="preserve"> </s> </p> </div> <div type="section" level="1" n="26"> <head xml:id="head26" xml:space="preserve"> <pb o="54" file="0078" n="78"/> Terram moveri hoc modo ostendetur </head> <figure> <image file="med54" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med54"/> </figure> <p> <s xml:id="s643" xml:space="preserve"> Sit centrum mundi <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math>, sitque terra, et aqua <mml:math><mml:mi>bcde</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s644" xml:space="preserve"> Et quoniam totum <mml:math><mml:mi>bcde</mml:mi></mml:math> est grave, et manet;</s> <s xml:id="s645" xml:space="preserve"> erit ipsius <mml:math><mml:mi>bcde</mml:mi></mml:math> gravitatis centrum in centro universi.</s> <s xml:id="s646" xml:space="preserve"> <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> igitur centrum erit gravitatis <mml:math><mml:mi>bcde</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s647" xml:space="preserve"> <anchor type="note" xlink:label="note-0078-01a" xlink:href="note-0078-01"/> ita ut partes undique aequeponderent.</s> <s xml:id="s648" xml:space="preserve"> Adiiciatur terrae ubicumque quodvis pondus <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math>, cuius centrum gravitatis sit <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math>, et connectatur <mml:math><mml:mi>ha</mml:mi></mml:math>, quae dividatur in <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math>, ita ut <mml:math><mml:mi>hk</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ka</mml:mi></mml:math> eandem habeat proportionem, quam gravitas magnitudinis <mml:math><mml:mi>bcde</mml:mi></mml:math> ad gravitatem magnitudinis <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math>, <anchor type="note" xlink:label="note-0078-02a" xlink:href="note-0078-02"/> erit <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math> centrum gravitatis utriusque magnitudinis ex <mml:math><mml:mi>bcde</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math> compositae.</s> <s xml:id="s649" xml:space="preserve"> Quia vero centrum gravitatis ex sui natura in centrum mundi tendit.</s> <s xml:id="s650" xml:space="preserve"> Movebitur punctum <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math>, tota igitur magnitudo <mml:math><mml:mi>bcde</mml:mi></mml:math> una cum magnitudine <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math> movebitur.</s> <s xml:id="s651" xml:space="preserve"> Ergo terra et aqua moventur quandoquidem in superficie terrae modo in unam modo in aliam partem adiicitur aliquid.</s> <s xml:id="s652" xml:space="preserve"> Ut domus, turris, oppidum, insuper motus animantium, caeteraque huiusmodi ex quibus perspicuum est, (quamvis hic motus sit omnino insensibilis) saepissime terra moveri.</s> <s xml:id="s653" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="1"> <note position="left" xlink:label="note-0078-01" xlink:href="note-0078-01a" xml:space="preserve"> <reg norm="ex" type="context"> :<!--variant 2 variants--></reg> definitione centri gravitatis<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0078-02" xlink:href="note-0078-02a" xml:space="preserve"> <reg norm="Equilibrio dei piani prop. 7" type="context"> :<!--variant 2 variants--></reg> <!--citmargsign--> </note> </div> <pb o="55" file="0079" n="79"/> <p> <s xml:id="s654" xml:space="preserve"> In principio questionum Mechanicorum infert Aristotelis maiores libras minoribus exactiores esse, quod ex iisdemmet verbis elicitur hoc prius demonstrato.</s> <s xml:id="s655" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med55" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med55"/> </figure> <p> <s xml:id="s656" xml:space="preserve"> Sint duo circuli <mml:math><mml:mi>abcdef</mml:mi></mml:math> inaequales, quorum minor sit <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s657" xml:space="preserve"> <reg norm="Applicetur diametro" type="context">Applicentur diametris<!--variant correxitex --></reg> <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> <emph style="super"> <mml:math><mml:mi>df</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> ad angulos rectos <emph style="super">aequales lineae<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>bg</mml:mi></mml:math>, <emph style="it"><mml:math><mml:mi> he</mml:mi></mml:math><!--variant descriptio: diverso atramento add. in eadem linea--></emph> <emph style="ul">diametroque <mml:math><mml:mi>df</mml:mi></mml:math> linea <mml:math><mml:mi>he</mml:mi></mml:math> sintque <mml:math><mml:mi>gbhe</mml:mi></mml:math> aequales.</emph></s> <s xml:id="s658" xml:space="preserve"> Dico minorem habere proportionem <mml:math><mml:mi>bg</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ga</mml:mi></mml:math>, quam <mml:math><mml:mi>eh</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>hd</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s659" xml:space="preserve"> <anchor type="note" xlink:label="note-0079-01a" xlink:href="note-0079-01"/> quoniam enim <mml:math><mml:mi>bg</mml:mi></mml:math> media est proportionalis inter <mml:math><mml:mi>cg</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>ga</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s660" xml:space="preserve"> <anchor type="note" xlink:label="note-0079-02a" xlink:href="note-0079-02"/> erit rectangulum <mml:math><mml:mi>cga</mml:mi></mml:math> quadrato ex <mml:math><mml:mi>bg</mml:mi></mml:math> aequale.</s> <s xml:id="s661" xml:space="preserve"> Ob eandemque causam rectangulum <mml:math><mml:mi>fhd</mml:mi></mml:math> quadrato ex <mml:math><mml:mi>he</mml:mi></mml:math> aequale erit.</s> <s xml:id="s662" xml:space="preserve"> Quia vero quadrata ex <mml:math><mml:mi>bghe</mml:mi></mml:math> sunt interse aequalia, rectangula quoque <mml:math><mml:mi>cgafhd</mml:mi></mml:math> intersese aequalia erunt.</s> <s xml:id="s663" xml:space="preserve"> <anchor type="note" xlink:label="note-0079-03a" xlink:href="note-0079-03"/> in eadem igitur est proportione <mml:math><mml:mi>fh</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>cg</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>ga</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>hd</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s664" xml:space="preserve"> Quoniam autem maior est diameter <mml:math><mml:mi>fd</mml:mi></mml:math>, quam diameter <mml:math><mml:mi>ca</mml:mi></mml:math>, necesse est <anchor type="note" xlink:label="note-0079-04a" xlink:href="note-0079-04"/> <mml:math><mml:mi>fh</mml:mi></mml:math> maximam esse quatuor linearum proportionalium, et <mml:math><mml:mi>hd</mml:mi></mml:math> minimam.</s> <s xml:id="s665" xml:space="preserve"> Minor igitur est <mml:math><mml:mi>dh</mml:mi></mml:math>, quam <mml:math><mml:mi>ag</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s666" xml:space="preserve"> Ergo <anchor type="note" xlink:label="note-0079-05a" xlink:href="note-0079-05"/> <mml:math><mml:mi>bg</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ga</mml:mi></mml:math> minorem habet proportionem, quam <mml:math><mml:mi>eh</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>hd</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s667" xml:space="preserve"> Quod demonstrare oportebat.</s> <s xml:id="s668" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="2"> <note position="left" xlink:label="note-0079-01" xlink:href="note-0079-01a" xml:space="preserve"> Ex 13 sexti<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0079-02" xlink:href="note-0079-02a" xml:space="preserve"> 17 sexti<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0079-03" xlink:href="note-0079-03a" xml:space="preserve"> 16 sexti<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0079-04" xlink:href="note-0079-04a" xml:space="preserve"> 25 quinti<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0079-05" xlink:href="note-0079-05a" xml:space="preserve"> ex 8 quinti<!--citmargsign--> </note> </div> <pb o="56" file="0080" n="80"/> <figure> <image file="med56" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med56"/> </figure> <p> <s xml:id="s669" xml:space="preserve"> Sit itaque alterum librae brachium <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math>, alterius vero <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math>, maiusque sit <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math>, quod motum sit in <mml:math><mml:mi>ae</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s670" xml:space="preserve"> brachiumque <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>cf</mml:mi></mml:math>, ita ut ducta <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> sit ipsis <mml:math><mml:mi>ba</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math> in directum positis aequidistans.</s> <s xml:id="s671" xml:space="preserve"> Dico facilius moveri punctum <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math>, quam <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s672" xml:space="preserve"> Ducantur a punctis <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> ipsis <mml:math><mml:mi>badc</mml:mi></mml:math> perpendiculares <mml:math><mml:mi>egfh</mml:mi></mml:math>, quae intersese aequales erunt.</s> <s xml:id="s673" xml:space="preserve"> Quoniam igitur maiorem habet proportionem <mml:math><mml:mi>eg</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>gb</mml:mi></mml:math>, hoc est motus secundum naturam ad id, quod est praeter naturam, quam <mml:math><mml:mi>fh</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>hd</mml:mi></mml:math>, hoc est motus secundum naturam ad praeter naturam;</s> <s xml:id="s674" xml:space="preserve"> minus repelletur punctum <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math>, quam <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s675" xml:space="preserve"> facilius ergo movebitur punctum <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math>, quam punctum <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math>, et si facilius, ergo in eodem tempore ab eadem potentia velocius.</s> <s xml:id="s676" xml:space="preserve"> </s> </p> </div> <div type="section" level="1" n="27"> <head xml:id="head27" xml:space="preserve"> <pb o="57" file="0081" n="81"/> De cochlea </head> <figure> <image file="med57" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med57"/> </figure> <p> <s xml:id="s677" xml:space="preserve"> Sit data cochlea <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> <emph style="super">quotcumque habens elices, ut puta quatuor<!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s678" xml:space="preserve"> Inveniatur ex iis, quae de cochlea diximus in libro mechanicorum, triangulum <mml:math><mml:mi>cde</mml:mi></mml:math>, <emph style="super">ostendens<!--variant supralineam--></emph> angulum elicium in cylindro <emph style="super">existentium<!--variant supralineam--></emph> hoc est <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">ita ut</emph>helices<!--end variant delevit ante--> in cochlea sint in angulo <mml:math><mml:mi>ced</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s679" xml:space="preserve"> <emph style="super">Intelliga[tur]<!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit post--><mml:math><mml:mi>hk</mml:mi></mml:math><emph style="st">aliquot literas<!--end variant delevit post--></emph> horizonti aequidistans.</s> <s xml:id="s680" xml:space="preserve"> Manifestum est, si cochlea <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> sit horizonti perpendicularis <emph style="super">hoc est sit latus cylindri ad horizontem in angulo recto <mml:math><mml:mi>cdk</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> ipsius helices nihil aliud esse, nisi <!--begin variant delevit post-->planum<emph style="st"><mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math><!--end variant delevit post--></emph> <!--begin variant delevit post-->horizonti<emph style="st"><mml:math><mml:mi>hk</mml:mi></mml:math><!--end variant delevit post--></emph> inclinatum in angulo <mml:math><mml:mi>ced</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s681" xml:space="preserve"> <anchor type="note" xlink:label="note-0081-01a" xlink:href="note-0081-01"/> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">aliquot literas</emph><mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math><!--end variant delevit ante--> cylindri <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> quadrupla, <!--begin variant delevit post-->cum<emph style="st">aliquot literas<!--end variant delevit post--></emph> <!--begin variant delevit post-->cylindrus<emph style="st">aliquot literas<!--end variant delevit post--></emph> quatuor helices possideat.</s> <s xml:id="s682" xml:space="preserve"> <!--begin variant delevit post-->Ducaturque<emph style="st">aliquot literas<!--end variant delevit post--></emph> a puncto <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ce</mml:mi></mml:math> perpendicularis <mml:math><mml:mi>df</mml:mi></mml:math> <emph style="super">moveatur triangulum <mml:math><mml:mi>cde</mml:mi></mml:math> ab hoc situ<!--variant supralineam--></emph> ponaturque (ut in 2a figura) <mml:math><mml:mi>df</mml:mi></mml:math> horizonti perpendicularis <emph style="super">maneatque <mml:math><mml:mi>hk</mml:mi></mml:math> horizonti aequidistans<!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s683" xml:space="preserve"> <anchor type="note" xlink:label="note-0081-02a" xlink:href="note-0081-02"/> erit <emph style="super">utique<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>ce</mml:mi></mml:math> horizonti, <emph style="it">et<!--variant descriptio: diverso atramento add. in eadem linea --></emph> <mml:math><mml:mi>hk</mml:mi></mml:math> aequidistans.</s> <s xml:id="s684" xml:space="preserve"> Si itaque <emph style="super">taliter constituatur<!--variant supralineam--></emph> cochlea <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> <emph style="super">ut cylindri latus<!--variant supralineam--></emph> ad horizontem eandem habeat inclinationem, quam linea <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math> <emph style="super">cum <mml:math><mml:mi>dk</mml:mi></mml:math> hoc est sit in angulo <mml:math><mml:mi>cdk</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> cochlea inquam, habebit <!--begin variant delevit post-->helices<emph style="st">quamvis<!--end variant delevit post--></emph> ac si horizonti essent aequidistantes <emph style="super">quippe cum in cylindrum in angulo <mml:math><mml:mi>dec</mml:mi></mml:math> existant<!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s685" xml:space="preserve"> Si vero, ut in 3a figura <mml:math><mml:mi>df</mml:mi></mml:math> una cum horizonte angulum effecerit acutum <mml:math><mml:mi>fdk</mml:mi></mml:math> <emph style="super">ita tamen ut duo anguli <mml:math><mml:mi>fdccdk</mml:mi></mml:math> simul sumpti sint recto minores<!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s686" xml:space="preserve"> .</s> <s xml:id="s687" xml:space="preserve"> Linea <mml:math><mml:mi>ec</mml:mi></mml:math> ex parte <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> cum horizonte <mml:math><mml:mi>hk</mml:mi></mml:math> concurret cum angulus <mml:math><mml:mi>dfc</mml:mi></mml:math> sit rectus <emph style="super">et <mml:math><mml:mi>fdk</mml:mi></mml:math> acutus<!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s688" xml:space="preserve"> <emph style="bf">Constituetur<!--variant postcorrectionem--></emph> itaque <emph style="super">cochlea<!--variant supralineam--></emph> <emph style="super">ut ipsius latus<!--variant supralineam--></emph> ad horizontem inclinationem haberet secundum angulum <mml:math><mml:mi>cdk</mml:mi></mml:math>, <emph style="super">nimirum cochlea ob eandem rationem<!--variant supralineam--></emph> helices habebit <emph style="super">ad horizontem<!--variant supralineam--></emph> inclinatas, ut <emph style="super"><mml:math><mml:mi>ec</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s689" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="1"> <note position="left" xlink:label="note-0081-01" xlink:href="note-0081-01a" xml:space="preserve"> Sit<!--variant signopositoinmargine--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0081-02" xlink:href="note-0081-02a" xml:space="preserve"> 28 primi<!--citmargsign--> </note> </div> <p> <s xml:id="s690" xml:space="preserve"> <emph style="it">In prima<!--variant descriptio: diverso atramento --></emph> itaque figura helices cochleae <reg norm="eg" type="context">ex<!--variant correxitex --></reg> <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math> sursum tendunt, habentque ad horizontem inclinationem in angulo <mml:math><mml:mi>dec</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s691" xml:space="preserve"> In 2a vero figura helices ad horizontem se habent, ac si ipsi horizonti essent aequidistantes, sunt enim ut <mml:math><mml:mi>ec</mml:mi></mml:math>, quae horizonti est aequidistans.</s> <s xml:id="s692" xml:space="preserve"> Sed in 3a figura helices ex <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math> horizontem versus descendunt, quemadmodum efficit linea ex <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s693" xml:space="preserve"> Ergo si <!--begin variant delevit post-->producta<emph style="st">aliquot literas<!--end variant delevit post--></emph> <mml:math><mml:mi>ce</mml:mi></mml:math> <!--begin variant delevit post-->donec<emph style="st">ad<!--end variant delevit post--></emph> ipsi <mml:math><mml:mi>hk</mml:mi></mml:math> productae occurrat, erunt helices ad horizontem ut angulus <mml:math><mml:mi>elk</mml:mi></mml:math> que quidem demonstrare oportebat.</s> <s xml:id="s694" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s695" xml:space="preserve"> <emph style="super">His<!--variant supralineam--></emph> constitutis si aqua fuerit in <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math> tunc ex <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> permearet, quare et <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math> similiter tenderet.</s> <s xml:id="s696" xml:space="preserve"> Ac propterea <!--milestone lacs--> attollet aquam, <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">ut posuit Vitruvius</emph>quod<!--end variant delevit ante--> quidem non est propriam attollere, sed deorsum tendere, cum idem prosus sit, ac si super planum <mml:math><mml:mi>ec</mml:mi></mml:math> permearet.</s> <s xml:id="s697" xml:space="preserve"> Dum autem aqua deorsum movetur sursum tendit, ut infra clarius patebit.</s> <s xml:id="s698" xml:space="preserve"> </s> </p> </div> <div type="section" level="1" n="28"> <head xml:id="head28" xml:space="preserve"> <pb o="58bis" file="0082" n="82"/> Propositio </head> <p> <s xml:id="s699" xml:space="preserve"> Data cochlea, <emph style="super">ipsius<!--variant supralineam--></emph> inclinationem invenire, ita ut aqua super elicen flui possit.</s> <s xml:id="s700" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s701" xml:space="preserve"> Sit <mml:math><mml:mi>AB</mml:mi></mml:math> horizon, sitque <emph style="super">data<!--variant supralineam--></emph> cochlea <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math>, cuius elix sit <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s702" xml:space="preserve"> Cochleae inclinationem invenire oportet, ut <!--begin variant delevit post-->aqua<emph style="st">aliquot literas<!--end variant delevit post--></emph> ex <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math> super elicen flui possit.</s> <s xml:id="s703" xml:space="preserve"> Secetur cylindrus per axem sectioque <mml:math><mml:mi>bcde</mml:mi></mml:math> sit horizonti erecta exponatur <anchor type="note" xlink:label="note-0082-01a" xlink:href="note-0082-01"/> triangulum <mml:math><mml:mi>agh</mml:mi></mml:math>, <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">sitque</emph>rectangulum<!--end variant delevit ante--> , rectum habens angulum ad <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math>, sitque <mml:math><mml:mi>ag</mml:mi></mml:math> aequalis dimidio perimetri cylindri <mml:math><mml:mi>bkc</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s704" xml:space="preserve"> Et <mml:math><mml:mi>ah</mml:mi></mml:math> sit ipsi <mml:math><mml:mi>bf</mml:mi></mml:math> aequalis.</s> <s xml:id="s705" xml:space="preserve"> Unde patet elicen in cylindro esse in angulo <mml:math><mml:mi>agh</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s706" xml:space="preserve"> Ducaturque <mml:math><mml:mi>al</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>gh</mml:mi></mml:math> perpendicularis, constituaturque triangulum <mml:math><mml:mi>agh</mml:mi></mml:math> ita ut <mml:math><mml:mi>lah</mml:mi></mml:math> sit angulus acutus, deinde <!--begin variant delevit post-->constituatur<emph style="st">aliquot literas<!--end variant delevit post--></emph> latus cylindri <mml:math><mml:mi>bfe</mml:mi></mml:math> ita ad horizontem <emph style="super">inclinatus<!--variant supralineam--></emph> ut angulus <mml:math><mml:mi>ebm</mml:mi></mml:math> sit aequalis angulo <mml:math><mml:mi>hab</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s707" xml:space="preserve"> <emph style="super">Nimirum se habebit<!--variant supralineam--></emph> elix ad horizontem, ut <!--begin variant delevit post--><mml:math><mml:mi>gh</mml:mi></mml:math><emph style="st">aqua<!--end variant delevit post--></emph> si igitur fuerit aqua in <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math>, procul dubio movebitur fluetque super elicen ex <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s708" xml:space="preserve"> Quod demonstrare oportebat </s> </p> <div type="float" level="2" n="1"> <note position="left" xlink:label="note-0082-01" xlink:href="note-0082-01a" xml:space="preserve"> deinde<!--variant signopositoinmargine--> </note> </div> <pb file="0083" n="83"/> <pb o="58" file="0084" n="84"/> <p> <s xml:id="s709" xml:space="preserve"> Angulum invenire, secundum quem oporteat <reg norm="helices" type="context">helicem<!--variant correxitex --></reg> construere, ut cochlea in data inclinatione, <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">sursum</emph>aquam<!--end variant delevit ante--> <emph style="it">super<!--variant descriptio: diverso atramento--></emph> ipsas <emph style="super">fluere<!--variant supralineam--></emph> possit.</s> <s xml:id="s710" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med58" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med58"/> </figure> <p> <s xml:id="s711" xml:space="preserve"> Sit horizon <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math>, sit cylindrus, qui secetur plano per axem, ad rectosque angulos ad horizontem <mml:math><mml:mi>bcde</mml:mi></mml:math>, erit <emph style="super">utique<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>abe</mml:mi></mml:math> angulus inclinationis datus <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">aliquot literas</emph>elicem<!--end variant delevit ante--> construere oportet, ut <emph style="super">aqua<!--variant supralineam--></emph> in hac data inclinatione <emph style="super">super elicem fluere possit<!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s712" xml:space="preserve"> Ducatur a puncto <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>ba</mml:mi></mml:math> aequidistans <mml:math><mml:mi>cf</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s713" xml:space="preserve"> Deinde seorsum exponatur <mml:math><mml:mi>kl</mml:mi></mml:math> aequalis <mml:math><mml:mi>bf</mml:mi></mml:math>, cui a puncto <emph style="super"><mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> perpendicularis ducatur <mml:math><mml:mi>km</mml:mi></mml:math>, quae sit aequalis dimidio perimetri cylindri, circumferentiae scilicet <emph style="bf"><mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math><!--variant postcorrectionem--></emph> et in linea <mml:math><mml:mi>kl</mml:mi></mml:math> quodvis summatur punctum <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s714" xml:space="preserve"> Connectanturque <mml:math><mml:mi>ml</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>mn</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s715" xml:space="preserve"> Ponatur itaque <mml:math><mml:mi>m</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math>:</s> <s xml:id="s716" xml:space="preserve"> erit <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s717" xml:space="preserve"> Sitque punctum <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s718" xml:space="preserve"> Si igitur describatur helix secundum lineam <mml:math><mml:mi>mn</mml:mi></mml:math>, <emph style="super">si fuerit aqua in <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit post-->patet<emph style="st">pondus, vel aqua moveri<!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super">ipsam<!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">fluere</emph>ex<!--end variant delevit ante--> <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> versus <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math>, cum sit <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math> horizonti propius, quam <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s719" xml:space="preserve"> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">Si enim describeretur helix secundum <mml:math><mml:mi>ml</mml:mi></mml:math>, tunc pondus a cochlea ex <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math> non moveretur, et esset, ac si helix horizonti aequidistans esset</emph>Describantur<!--end variant delevit ante--> itaque helices super totam cochleam secundum angulum <mml:math><mml:mi>kmn</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s720" xml:space="preserve"> <emph style="ul">Pondus semper <emph style="super">in infima parte<!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">super se</emph>movebitur<!--end variant delevit ante--> ;</emph></s> <s xml:id="s721" xml:space="preserve"> <emph style="ul">nam dum cochlea circumvertitur semper manebit pondus in infima <emph style="super">helicis<!--variant supralineam--></emph> </emph> parte.</s> <s xml:id="s722" xml:space="preserve"> Non enim <emph style="super">gratia exempli<!--variant supralineam--></emph> ex <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math>, neque ex <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math> in alteram cochleae partem movebitur.</s> <s xml:id="s723" xml:space="preserve"> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">cochlea igitur pondus in <!--milestone lacs--> super <mml:math><mml:mi>be</mml:mi></mml:math></emph>Dum<!--end variant delevit ante--> <!--begin variant delevit post-->pondus<emph style="st">movebit<!--end variant delevit post--></emph> enim cochleae circumvertitur punctum <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math> sursum tendit per circumferentiam <mml:math><mml:mi>boq</mml:mi></mml:math>, et dum <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math> erit in <mml:math><mml:mi>o</mml:mi></mml:math> pondus <emph style="super">puta<!--variant supralineam--></emph> ex <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math> erit <emph style="super">puta<!--variant supralineam--></emph> in <mml:math><mml:mi>p</mml:mi></mml:math>, cum sit <mml:math><mml:mi>p</mml:mi></mml:math> horizonti propius quam <mml:math><mml:mi>o</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s724" xml:space="preserve"> Similiter quando punctum <mml:math><mml:mi>o</mml:mi></mml:math> erit in <mml:math><mml:mi>q</mml:mi></mml:math>, pondus erit in <emph style="super">iuxta<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>r</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s725" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s726" xml:space="preserve"> Hinc manifestum est, quomodo in cochlea inclinationem datam habente helices inscribi possint, quae sint, ac si horizonti essent aequidistantes, quod patet si secundum <mml:math><mml:mi>kml</mml:mi></mml:math> describerentur.</s> <s xml:id="s727" xml:space="preserve"> </s> </p> </div> <div type="section" level="1" n="29"> <head xml:id="head29" xml:space="preserve"> <pb o="59" file="0085" n="85"/> Cur maioribus <emph style="ul">rotis</emph> <emph style="super">orbiculis<!--variant supralineam--></emph> (quo ad praxim) facilius pondera moventur. </head> <figure> <image file="med59" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med59"/> </figure> <p> <s xml:id="s728" xml:space="preserve"> An quia, si duo sint <emph style="ul">rotae</emph> <emph style="super">orbiculi<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> circa axem <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math>, quorum centrum sit <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s729" xml:space="preserve"> Sintque in <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> pondera aequalia;</s> <s xml:id="s730" xml:space="preserve"> manifestum est potentias in <mml:math><mml:mi>db</mml:mi></mml:math> pondera sustinentes intersese aequales esse.</s> <s xml:id="s731" xml:space="preserve"> Sint autem in <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math> potentiae moventes;</s> <s xml:id="s732" xml:space="preserve"> erit minor potentia in <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math>, quam in <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s733" xml:space="preserve"> Quoniam enim circa axem <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math>, dum rota circumvertitur, fit resistentia quaedam ex ipsorum contactu, et fricatione, et <anchor type="note" xlink:label="note-0085-01a" xlink:href="note-0085-01"/> maiorem habet proportionem <mml:math><mml:mi>bg</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>gf</mml:mi></mml:math>, vel ad <mml:math><mml:mi>ge</mml:mi></mml:math>, quam <mml:math><mml:mi>dg</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>gf</mml:mi></mml:math>, vel <mml:math><mml:mi>ge</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s734" xml:space="preserve"> minor erit potentia in <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math> superans repugnantiam quae est in <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math> vel in <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math>, hoc est quae fit circa axem, quam potentia in <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s735" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="1"> <note position="left" xlink:label="note-0085-01" xlink:href="note-0085-01a" xml:space="preserve"> 18 quinti<!--citmargsign--> </note> </div> <p> <s xml:id="s736" xml:space="preserve"> Quare quamvis in <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> pondera sint aequalia, et resistentia circa axem sit eadem, minor tamen potentia in <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math> movebit pondus in <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> quam potentia in <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math> pondus in <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s737" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s738" xml:space="preserve"> Et advertendum est, hoc sequi, quando rotarum axes fuerint interse aequales.</s> <s xml:id="s739" xml:space="preserve"> </s> </p> </div> <div type="section" level="1" n="30"> <head xml:id="head30" xml:space="preserve"> <pb o="60" file="0086" n="86"/> Idem de scytalis </head> <figure> <image file="med60" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med60"/> </figure> <p> <s xml:id="s740" xml:space="preserve"> Sint circuli, quorum centra <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math>, qui non solum inter sese, verum etiam lineam <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math> in puncto <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> contingant.</s> <s xml:id="s741" xml:space="preserve"> Iunctaque <mml:math><mml:mi>bac</mml:mi></mml:math>, <anchor type="note" xlink:label="note-0086-01a" xlink:href="note-0086-01"/> quodvis summatur punctum <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math>, a quo <emph style="super">ipsi <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> aequidistans ducatur <mml:math><mml:mi>fgh</mml:mi></mml:math> circulos secans in <mml:math><mml:mi>gh</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s742" xml:space="preserve"> Similiter a punctis <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math> aequidistantes ducantur <mml:math><mml:mi>aik</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>blm</mml:mi></mml:math>, et a punctis <mml:math><mml:mi>gh</mml:mi></mml:math> ducantur ipsi <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> parallelae <mml:math><mml:mi>gihl</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s743" xml:space="preserve"> Dico <mml:math><mml:mi>ai</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ik</mml:mi></mml:math> maiorem habere proportionem, quam <mml:math><mml:mi>bl</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s744" xml:space="preserve"> Producatur <mml:math><mml:mi>gi</mml:mi></mml:math> usque ad <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s745" xml:space="preserve"> connectaturque <mml:math><mml:mi>ag</mml:mi></mml:math>, cui a puncto <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math> aequidistans ducatur <mml:math><mml:mi>bop</mml:mi></mml:math> quae neque in circumferentia <mml:math><mml:mi>ch</mml:mi></mml:math>, neque in punctum <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math> perveniet, sed <emph style="bf">inter<!--variant postcorrectionem--></emph> <mml:math><mml:mi>hm</mml:mi></mml:math> ut infra ostendetur.</s> <s xml:id="s746" xml:space="preserve"> Denique a puncto <mml:math><mml:mi>p</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>cb</mml:mi></mml:math> aequidistans ducatur <mml:math><mml:mi>pq</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s747" xml:space="preserve"> Quoniam igitur <mml:math><mml:mi>agbo</mml:mi></mml:math> sunt parallelae, <anchor type="note" xlink:label="note-0086-02a" xlink:href="note-0086-02"/> angulus <mml:math><mml:mi>agi</mml:mi></mml:math> angulo <mml:math><mml:mi>bon</mml:mi></mml:math> aequalis, et anguli ad <mml:math><mml:mi>in</mml:mi></mml:math> sunt recti, ergo reliquus <mml:math><mml:mi>gai</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>obn</mml:mi></mml:math> est etiam aequalis, <anchor type="note" xlink:label="note-0086-03a" xlink:href="note-0086-03"/> sed et <mml:math><mml:mi>bn</mml:mi></mml:math> est aequalis <mml:math><mml:mi>ai</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s748" xml:space="preserve"> triangulum igitur <mml:math><mml:mi>agi</mml:mi></mml:math> triangulo <mml:math><mml:mi>bon</mml:mi></mml:math> est aequale;</s> <s xml:id="s749" xml:space="preserve"> quare ut <mml:math><mml:mi>ag</mml:mi></mml:math>, hoc est <mml:math><mml:mi>ka</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ai</mml:mi></mml:math>, ita est <mml:math><mml:mi>ob</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>bn</mml:mi></mml:math>, <anchor type="note" xlink:label="note-0086-04a" xlink:href="note-0086-04"/> .</s> <s xml:id="s750" xml:space="preserve"> Ut autem <mml:math><mml:mi>ob</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>bn</mml:mi></mml:math>, ita est <mml:math><mml:mi>pb</mml:mi></mml:math>, hoc est <mml:math><mml:mi>mb</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>bq</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s751" xml:space="preserve"> Ergo ut <mml:math><mml:mi>ka</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ai</mml:mi></mml:math> ita <mml:math><mml:mi>mb</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>bq</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s752" xml:space="preserve"> Et convertendo, ut <mml:math><mml:mi>ai</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ak</mml:mi></mml:math>, ita <mml:math><mml:mi>qb</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>bm</mml:mi></mml:math>, atque dividendo, ut <mml:math><mml:mi>ai</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ik</mml:mi></mml:math>, ita <mml:math><mml:mi>bq</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>qm</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s753" xml:space="preserve"> Quoniam autem <mml:math><mml:mi>qb</mml:mi></mml:math> maior est, quam <mml:math><mml:mi>bl</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math>, quam <mml:math><mml:mi>qm</mml:mi></mml:math>:</s> <s xml:id="s754" xml:space="preserve"> <anchor type="note" xlink:label="note-0086-05a" xlink:href="note-0086-05"/> maiorem habebit proportionem <mml:math><mml:mi>bq</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>qm</mml:mi></mml:math>, quam <mml:math><mml:mi>bl</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s755" xml:space="preserve"> Ergo <mml:math><mml:mi>ai</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ik</mml:mi></mml:math> maiorem habebit proportionem, quam <mml:math><mml:mi>bl</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s756" xml:space="preserve"> Quod demonstrare oportebat.</s> <s xml:id="s757" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="1"> <note position="left" xlink:label="note-0086-01" xlink:href="note-0086-01a" xml:space="preserve"> inter <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math><!--variant inmargine--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0086-02" xlink:href="note-0086-02a" xml:space="preserve"> 29 primi<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0086-03" xlink:href="note-0086-03a" xml:space="preserve"> 34 primi<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0086-04" xlink:href="note-0086-04a" xml:space="preserve"> 4 sexti </note> <note position="left" xlink:label="note-0086-05" xlink:href="note-0086-05a" xml:space="preserve"> lemma de vecte in libro Mechanicorum<!--citmargsign--> </note> </div> <p> <s xml:id="s758" xml:space="preserve"> Quod autem <mml:math><mml:mi>bp</mml:mi></mml:math> perveniat inter <mml:math><mml:mi>hm</mml:mi></mml:math>, sic ostendetur.</s> <s xml:id="s759" xml:space="preserve"> Iungatur <mml:math><mml:mi>bh</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s760" xml:space="preserve"> Et quoniam <anchor type="note" xlink:label="note-0086-06a" xlink:href="note-0086-06"/> <mml:math><mml:mi>cf</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>fb</mml:mi></mml:math> minorem habet proportionem, quam ad <mml:math><mml:mi>fa</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s761" xml:space="preserve"> Habebit <anchor type="note" xlink:label="note-0086-07a" xlink:href="note-0086-07"/> componendo <mml:math><mml:mi>cb</mml:mi></mml:math> hoc est <mml:math><mml:mi>hb</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>bf</mml:mi></mml:math> minorem, quam <mml:math><mml:mi>ca</mml:mi></mml:math>, hoc est <mml:math><mml:mi>ga</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>af</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s762" xml:space="preserve"> Angulus vero ad <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math> utrique triangulorum <mml:math><mml:mi>afg</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>bfh</mml:mi></mml:math> communis est rectus, cum sit angulo <mml:math><mml:mi>ace</mml:mi></mml:math> aequalis.</s> <s xml:id="s763" xml:space="preserve"> <anchor type="note" xlink:label="note-0086-08a" xlink:href="note-0086-08"/> angulus <mml:math><mml:mi>fag</mml:mi></mml:math> maior angulo <mml:math><mml:mi>fbh</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s764" xml:space="preserve"> Ergo et angulus <mml:math><mml:mi>cbp</mml:mi></mml:math> angulo <mml:math><mml:mi>cbh</mml:mi></mml:math> est maior.</s> <s xml:id="s765" xml:space="preserve"> Cum autem <anchor type="note" xlink:label="note-0086-09a" xlink:href="note-0086-09"/> angulus <mml:math><mml:mi>cbh</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>cbp</mml:mi></mml:math> sit, ut circumferentia <mml:math><mml:mi>ch</mml:mi></mml:math> ad circumferentiam <mml:math><mml:mi>cp</mml:mi></mml:math>, et maior est <mml:math><mml:mi>cbp</mml:mi></mml:math> ipso <mml:math><mml:mi>cbh</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s766" xml:space="preserve"> Maior quoque eri circumferentia <mml:math><mml:mi>cp</mml:mi></mml:math>, quam <mml:math><mml:mi>ch</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s767" xml:space="preserve"> Ducta igitur <mml:math><mml:mi>bp</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>ag</mml:mi></mml:math> aequidistans, erit punctum <mml:math><mml:mi>p</mml:mi></mml:math> inter <mml:math><mml:mi>hm</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s768" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="2"> <note position="left" xlink:label="note-0086-06" xlink:href="note-0086-06a" xml:space="preserve"> 8 quinti<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0086-07" xlink:href="note-0086-07a" xml:space="preserve"> 28 quinti ex Commandino<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0086-08" xlink:href="note-0086-08a" xml:space="preserve"> Ex Pappo pagina 110<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0086-09" xlink:href="note-0086-09a" xml:space="preserve"> 33 sexti<!--citmargsign--> </note> </div> <pb o="61" file="0087" n="87"/> <figure> <image file="med61" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med61"/> </figure> <p> <s xml:id="s769" xml:space="preserve"> His itaque demonstratis.</s> <s xml:id="s770" xml:space="preserve"> Duae sint rotae <mml:math><mml:mi>bef</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>dgh</mml:mi></mml:math>, lineam horizontis <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math> tangentes in <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math> punctis.</s> <s xml:id="s771" xml:space="preserve"> Earumque centra sint <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s772" xml:space="preserve"> Connectantur <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math>, et in <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> quodvis summatur punctum <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math>, a quo ipsi <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math> aequidistans ducatur <mml:math><mml:mi>keg</mml:mi></mml:math> rotas secans in <mml:math><mml:mi>eg</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s773" xml:space="preserve"> Intelligantur in horizonte, et sub rotis duo obstacula, puta duo lapides aequales, qui rotas tangant in <mml:math><mml:mi>eg</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s774" xml:space="preserve"> Dico rotam <mml:math><mml:mi>dgh</mml:mi></mml:math> facilius pertransire supra lapidem <mml:math><mml:mi>o</mml:mi></mml:math>, quam rota <mml:math><mml:mi>bef</mml:mi></mml:math> supra <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s775" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s776" xml:space="preserve"> Ducantur <mml:math><mml:mi>af</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>ch</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math> horizonti aequidistantes;</s> <s xml:id="s777" xml:space="preserve"> et a punctis <mml:math><mml:mi>eg</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>afch</mml:mi></mml:math> perpendiculares ducantur <mml:math><mml:mi>elgm</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s778" xml:space="preserve"> Intelliganturque puncta <mml:math><mml:mi>eg</mml:mi></mml:math> fulcimenta.</s> <s xml:id="s779" xml:space="preserve"> Quoniam enim <mml:math><mml:mi>elgm</mml:mi></mml:math> sunt horizonti perpendiculares, si in <mml:math><mml:mi>fh</mml:mi></mml:math> ponantur potentiae rotarum pondera sustinentes;</s> <s xml:id="s780" xml:space="preserve"> erit ex nona Pappi 8vi libri, potentia in <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math> ad rotam ut <mml:math><mml:mi>al</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>lf</mml:mi></mml:math>, potentiaque in <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math> ad rotam ut <mml:math><mml:mi>cm</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>mh</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s781" xml:space="preserve"> minorem autem habet proportionem <mml:math><mml:mi>cm</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>mh</mml:mi></mml:math>, quam <mml:math><mml:mi>al</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>lf</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s782" xml:space="preserve"> Minor igitur potentia in <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math> sustinebit rotam <mml:math><mml:mi>dgh</mml:mi></mml:math>, quam potentia in <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math> rotam <mml:math><mml:mi>bef</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s783" xml:space="preserve"> Ergo et minor potentia movebit rotam <mml:math><mml:mi>dgh</mml:mi></mml:math>, quam <mml:math><mml:mi>bef</mml:mi></mml:math> ergo et facilius.</s> <s xml:id="s784" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s785" xml:space="preserve"> Advertendum tamen est hoc sequi, quando rotae sunt eiusdem gravitatis <anchor type="note" xlink:label="note-0087-01a" xlink:href="note-0087-01"/> <emph style="super">quando<!--variant supralineam--></emph> eandem sustinent gravitatem.</s> <s xml:id="s786" xml:space="preserve"> Ut in curvibus evenit;</s> <s xml:id="s787" xml:space="preserve"> curvus, enim, semper eandem servant gravitatem, sive maiores, sive minores habeant rotas.</s> <s xml:id="s788" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="3"> <note position="left" xlink:label="note-0087-01" xlink:href="note-0087-01a" xml:space="preserve"> vel<!--variant signopositoinmargine--> </note> </div> <pb o="62" file="0088" n="88"/> <p> <s xml:id="s789" xml:space="preserve"> Eadem constituatur ut in 34.</s> <s xml:id="s790" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med62" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med62"/> </figure> <p> <s xml:id="s791" xml:space="preserve"> Dico <mml:math><mml:mi>ob</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>bq</mml:mi></mml:math> ita esse, ut <mml:math><mml:mi>op</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>pq</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s792" xml:space="preserve"> Intelligantur sphera circa axem <mml:math><mml:mi>af</mml:mi></mml:math> et centrum <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s793" xml:space="preserve"> <anchor type="note" xlink:label="note-0088-01a" xlink:href="note-0088-01"/> erit <mml:math><mml:mi>fea</mml:mi></mml:math> circulus maximus, et a puncto <mml:math><mml:mi>p</mml:mi></mml:math> ad huius circuli <emph style="bf">planum<!--variant postcorrectionem--></emph> perpendicularis erigatur <mml:math><mml:mi>pr</mml:mi></mml:math> usque ad spherae superficiem, quae et ad <mml:math><mml:mi>eg</mml:mi></mml:math> perpendicularis existet.</s> <s xml:id="s794" xml:space="preserve"> Deinde per <mml:math><mml:mi>eg</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>pr</mml:mi></mml:math> planum ducatur, quod faciet in sphera circulum <mml:math><mml:mi>ert</mml:mi></mml:math>, qui <anchor type="note" xlink:label="note-0088-02a" xlink:href="note-0088-02"/> ad rectos erit angulos ad planum per <mml:math><mml:mi>fea</mml:mi></mml:math> ductum, eiusque diameter erit <mml:math><mml:mi>et</mml:mi></mml:math>, et centrum <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s795" xml:space="preserve"> Similiter per <mml:math><mml:mi>qopr</mml:mi></mml:math> planum ducatur faciens in sphera circulum <mml:math><mml:mi>qro</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s796" xml:space="preserve"> Denique connectatur <mml:math><mml:mi>br</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s797" xml:space="preserve"> Erit <mml:math><mml:mi>qo</mml:mi></mml:math> circuli <mml:math><mml:mi>qro</mml:mi></mml:math> diameter, lineaeque <mml:math><mml:mi>br</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>bqpo</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>pr</mml:mi></mml:math>, itidemque semicirculus <mml:math><mml:mi>qro</mml:mi></mml:math> in uno, et eodem <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">erunt</emph>plano<!--end variant delevit ante--> <anchor type="note" xlink:label="note-0088-03a" xlink:href="note-0088-03"/> .</s> <s xml:id="s798" xml:space="preserve"> Quoniam igitur <mml:math><mml:mi>be</mml:mi></mml:math> circulum <mml:math><mml:mi>fea</mml:mi></mml:math> maximum, ac per consequens spheram contingit, et <mml:math><mml:mi>be</mml:mi></mml:math> est aequalis <mml:math><mml:mi>br</mml:mi></mml:math>, cum <anchor type="note" xlink:label="note-0088-04a" xlink:href="note-0088-04"/> linea <mml:math><mml:mi>bfgca</mml:mi></mml:math> per polos circuli <mml:math><mml:mi>ert</mml:mi></mml:math> <emph style="bf">transeat<!--variant postcorrectionem--></emph> , continget <mml:math><mml:mi>br</mml:mi></mml:math> spheram in puncto <mml:math><mml:mi>r</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s799" xml:space="preserve"> Ac propterea semicirculum quoque <mml:math><mml:mi>qro</mml:mi></mml:math> in eodem puncto tanget.</s> <s xml:id="s800" xml:space="preserve"> Quia vero <mml:math><mml:mi>br</mml:mi></mml:math> semicirculum <mml:math><mml:mi>qro</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>r</mml:mi></mml:math> contingit, a quo ducta est <mml:math><mml:mi>rp</mml:mi></mml:math> ad diametrum <mml:math><mml:mi>qpo</mml:mi></mml:math> perpendicularis:</s> <s xml:id="s801" xml:space="preserve"> erit ex demonstratis <anchor type="note" xlink:label="note-0088-05a" xlink:href="note-0088-05"/> <mml:math><mml:mi>ob</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>bq</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>op</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>pq</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s802" xml:space="preserve"> Quod demonstrare oportebat.</s> <s xml:id="s803" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="4"> <note position="left" xlink:label="note-0088-01" xlink:href="note-0088-01a" xml:space="preserve"> 6 primi Theodosii<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0088-02" xlink:href="note-0088-02a" xml:space="preserve"> 18 undecimi<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0088-03" xlink:href="note-0088-03a" xml:space="preserve"> ex 2 undecimi </note> <note position="left" xlink:label="note-0088-04" xlink:href="note-0088-04a" xml:space="preserve"> 5 primi Theodosii<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0088-05" xlink:href="note-0088-05a" xml:space="preserve"> in 34<!--variant signopositoinmargine--> </note> </div> <p> <s xml:id="s804" xml:space="preserve"> Hoc idem in ellipsi eodem methodo ostendemus.</s> <s xml:id="s805" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="63" file="0089" n="89"/> <figure> <image file="med63" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med63"/> </figure> <p> <s xml:id="s806" xml:space="preserve"> Sit <mml:math><mml:mi>feat</mml:mi></mml:math> ellipsis, sitque ut in 36 primi Conicorum Apollonii <mml:math><mml:mi>be</mml:mi></mml:math> ellipsim contingens.</s> <s xml:id="s807" xml:space="preserve"> Ordinatimque sit applicata <mml:math><mml:mi>eg</mml:mi></mml:math>:</s> <s xml:id="s808" xml:space="preserve"> erit ex eadem 36 ut <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>bf</mml:mi></mml:math>, ita <mml:math><mml:mi>ag</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>gf</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s809" xml:space="preserve"> Ducatur itaque utcumque linea <mml:math><mml:mi>bpo</mml:mi></mml:math> secans <mml:math><mml:mi>eg</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>p</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s810" xml:space="preserve"> Dico <mml:math><mml:mi>ob</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>bq</mml:mi></mml:math> ita esse, ut <mml:math><mml:mi>op</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>pq</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s811" xml:space="preserve"> Intelligatur spheroides circa axem <mml:math><mml:mi>af</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s812" xml:space="preserve"> Ducaturque <mml:math><mml:mi>pr</mml:mi></mml:math> ad planum per ellipsim <mml:math><mml:mi>feat</mml:mi></mml:math> ductum perpendicularis, et per <mml:math><mml:mi>egt</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>pr</mml:mi></mml:math> planum ducatur <mml:math><mml:mi>ert</mml:mi></mml:math> spheroidem secans;</s> <s xml:id="s813" xml:space="preserve"> <anchor type="note" xlink:label="note-0089-01a" xlink:href="note-0089-01"/> erit <mml:math><mml:mi>ert</mml:mi></mml:math> semicirculus, cuius diameter <mml:math><mml:mi>et</mml:mi></mml:math>, et centrum <!--begin variant delevit post--><mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math><emph style="st">Rursus per <mml:math><mml:mi>qo</mml:mi></mml:math><!--end variant delevit post--></emph> ad planum per ellipsim <mml:math><mml:mi>feat</mml:mi></mml:math> ductum perpendicularis.</s> <s xml:id="s814" xml:space="preserve"> Rursus per <mml:math><mml:mi>qopr</mml:mi></mml:math> aliud ducatur planum <mml:math><mml:mi>qro</mml:mi></mml:math>, quod <anchor type="note" xlink:label="note-0089-02a" xlink:href="note-0089-02"/> in spheroide sectionem efficiet ellipsim, cuius diameter erit <mml:math><mml:mi>qo</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s815" xml:space="preserve"> Connectanturque <mml:math><mml:mi>brgr</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s816" xml:space="preserve"> erunt lineae <mml:math><mml:mi>bo prbr</mml:mi></mml:math>, et ellipsis <mml:math><mml:mi>qro</mml:mi></mml:math> in uno, et eodem plano.</s> <s xml:id="s817" xml:space="preserve"> Quoniam enim duae <mml:math><mml:mi>bgge</mml:mi></mml:math> duabus <mml:math><mml:mi>bggr</mml:mi></mml:math> sunt aequales, angulumque rectum continent:</s> <s xml:id="s818" xml:space="preserve"> erit <mml:math><mml:mi>be</mml:mi></mml:math> aequalis <mml:math><mml:mi>br</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s819" xml:space="preserve"> <mml:math><mml:mi>be</mml:mi></mml:math> vero spheroidem tangit, ergo <mml:math><mml:mi>br</mml:mi></mml:math> spheroidem, et ellipsim <mml:math><mml:mi>qro</mml:mi></mml:math> quoque continget, cum sit <mml:math><mml:mi>bfa</mml:mi></mml:math> recta linea, et <mml:math><mml:mi>fa</mml:mi></mml:math> axis spheroidis.</s> <s xml:id="s820" xml:space="preserve"> Cum autem ellipsim <mml:math><mml:mi>qro</mml:mi></mml:math>, cuius diameter <mml:math><mml:mi>oq</mml:mi></mml:math>, linea contingat <mml:math><mml:mi>br</mml:mi></mml:math> et a puncto <mml:math><mml:mi>r</mml:mi></mml:math> ordinatim ad <emph style="super">diametrum<!--variant supralineam--></emph> applicata <emph style="bf">sit<!--variant postcorrectionem--></emph> <mml:math><mml:mi>rp</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s821" xml:space="preserve"> Erit ex eadem 36 primi Conicorum <mml:math><mml:mi>ob</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>bq</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>op</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>pq</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s822" xml:space="preserve"> Quod erat quoque demonstrandum.</s> <s xml:id="s823" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="5"> <note position="left" xlink:label="note-0089-01" xlink:href="note-0089-01a" xml:space="preserve"> ex 12 Archimedis de conoidibus et spheroidibus<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0089-02" xlink:href="note-0089-02a" xml:space="preserve"> 15 Archimedis in eodem libro<!--citmargsign--> </note> </div> <pb o="64" file="0090" n="90"/> <p> <s xml:id="s824" xml:space="preserve"> Potentiam invenire quae datam sphaeram subiectum planum horizonti inclinatum tangentem <emph style="super">in dato puncto<!--variant supralineam--></emph> sustineat.</s> <s xml:id="s825" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med64" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med64"/> </figure> <p> <s xml:id="s826" xml:space="preserve"> Oportet vero potentiam ita in sphaera constituere ut circulus maximus per potentiam, et tactum transiens sit horizonti erectus.</s> <s xml:id="s827" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s828" xml:space="preserve"> Sphaera enim <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math> habeat centrum <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math>, quae subiectum planum <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> horizonti inclinatum in <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> contingat.</s> <s xml:id="s829" xml:space="preserve"> Sphaera vero secetur per centrum, et per <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math>, plano horizonti erecto.</s> <s xml:id="s830" xml:space="preserve"> Quod quidem in sphaera circulum efficiat maximum <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s831" xml:space="preserve"> Sitque in hoc circulo constituenda potentia sphaeram sustinens in <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s832" xml:space="preserve"> Ducatur <mml:math><mml:mi>gh</mml:mi></mml:math> horizonti aequidistans, cui ad rectos angulos ducantur <mml:math><mml:mi>chdk</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s833" xml:space="preserve"> Intelligatur itaque <mml:math><mml:mi>gh</mml:mi></mml:math> vectis, cuius fulcimentum est in h, cum planum <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> sphaeram tangat in <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s834" xml:space="preserve"> Pondus vero in <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math> appensum.</s> <s xml:id="s835" xml:space="preserve"> Cum enim <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math> sit centrum gravitatis sphaerae, erit perinde, ac si in <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math> esset appensum ex dictis in tractatum de vecte nostrorum mechanicorum.</s> <s xml:id="s836" xml:space="preserve"> Quam vero proportionem habet <mml:math><mml:mi>gh</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>hk</mml:mi></mml:math>, ita fiat gravitas sphaerae ad potentiam in <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s837" xml:space="preserve"> Potentia igitur in <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math> cognita erit.</s> <s xml:id="s838" xml:space="preserve"> Ac in prima quidem figura erit primus modus de vecte, in secunda:</s> <s xml:id="s839" xml:space="preserve"> secundus in tertia:</s> <s xml:id="s840" xml:space="preserve"> tertius.</s> <s xml:id="s841" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med64_2" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med64_2"/> </figure> <p> <s xml:id="s842" xml:space="preserve"> Notandum tum quod si potentia esset in <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math>, ita ut ducta horizonti perpendicularis per centrum sphaerae <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math> transiret, ut <mml:math><mml:mi>dg</mml:mi></mml:math> tunc potentiam totam sustineret sphaeram.</s> <s xml:id="s843" xml:space="preserve"> Ac propterea ipsi aequalis existeret.</s> <s xml:id="s844" xml:space="preserve"> <emph style="it">Veluti<!--variant descriptio: diverso atramento--></emph> in puncto quoque <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math> ob eandem causam.</s> <s xml:id="s845" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="65" file="0091" n="91"/> <p> <s xml:id="s846" xml:space="preserve"> Quae in circulo rectas aequidistantes <!--begin variant delevit post-->lineas<emph style="st">in extremitatibus<!--end variant delevit post--></emph> coniungunt intersese sunt aequales.</s> <s xml:id="s847" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med65" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med65"/> </figure> <p> <s xml:id="s848" xml:space="preserve"> Sint in circulo parallelae lineae <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math>, quas coniungant <mml:math><mml:mi>acbd</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>adcb</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s849" xml:space="preserve"> Dico lineas <mml:math><mml:mi>acbd</mml:mi></mml:math> interse aequales esse.</s> <s xml:id="s850" xml:space="preserve"> Similiter <mml:math><mml:mi>adbc</mml:mi></mml:math> interse aequales quoque esse.</s> <s xml:id="s851" xml:space="preserve"> Sit punctum <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math>, ubi <mml:math><mml:mi>adbc</mml:mi></mml:math> se invicem secant.</s> <s xml:id="s852" xml:space="preserve"> Et quoniam <anchor type="note" xlink:label="note-0091-01a" xlink:href="note-0091-01"/> angulus <mml:math><mml:mi>aeb</mml:mi></mml:math> aequalis est angulo <mml:math><mml:mi>ced</mml:mi></mml:math>, et <anchor type="note" xlink:label="note-0091-02a" xlink:href="note-0091-02"/> <mml:math><mml:mi>eba</mml:mi></mml:math> aequalis <mml:math><mml:mi>ecd</mml:mi></mml:math>, atque <mml:math><mml:mi>eab</mml:mi></mml:math> angulo <mml:math><mml:mi>edc</mml:mi></mml:math> aequalis;</s> <s xml:id="s853" xml:space="preserve"> erit triangulum <mml:math><mml:mi>aeb</mml:mi></mml:math> triangulo <mml:math><mml:mi>ced</mml:mi></mml:math> simile, quare <anchor type="note" xlink:label="note-0091-03a" xlink:href="note-0091-03"/> ut <mml:math><mml:mi>ae</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>eb</mml:mi></mml:math>, ita <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ec</mml:mi></mml:math>, et permutando ut <mml:math><mml:mi>ae</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ed</mml:mi></mml:math>, ita <mml:math><mml:mi>be</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ec</mml:mi></mml:math>, componendoque <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math> <anchor type="note" xlink:label="note-0091-04a" xlink:href="note-0091-04"/> <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ce</mml:mi></mml:math>, <anchor type="note" xlink:label="note-0091-05a" xlink:href="note-0091-05"/> .</s> <s xml:id="s854" xml:space="preserve"> Rursus quoniam angulus <mml:math><mml:mi>bed</mml:mi></mml:math> angulo <mml:math><mml:mi>aec</mml:mi></mml:math> est aequalis, et <anchor type="note" xlink:label="note-0091-06a" xlink:href="note-0091-06"/> <mml:math><mml:mi>acb</mml:mi></mml:math> angulo <mml:math><mml:mi>adb</mml:mi></mml:math> est aequalis, similiter angulus <mml:math><mml:mi>cad</mml:mi></mml:math> angulo <mml:math><mml:mi>cbd</mml:mi></mml:math> aequalis, erit triangulum <mml:math><mml:mi>aec</mml:mi></mml:math> triangulo <mml:math><mml:mi>bed</mml:mi></mml:math> simile.</s> <s xml:id="s855" xml:space="preserve"> Ergo ut <mml:math><mml:mi>ec</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ca</mml:mi></mml:math>, ita <mml:math><mml:mi>ed</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>db</mml:mi></mml:math>, quare ex aequali <anchor type="note" xlink:label="note-0091-07a" xlink:href="note-0091-07"/> <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ca</mml:mi></mml:math> ita est, ut <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>db</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s856" xml:space="preserve"> Quia vero est <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ca</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>db</mml:mi></mml:math>, angulusque <mml:math><mml:mi>bca</mml:mi></mml:math> angulo <mml:math><mml:mi>adb</mml:mi></mml:math> est aequalis.</s> <s xml:id="s857" xml:space="preserve"> Simile erit <anchor type="note" xlink:label="note-0091-08a" xlink:href="note-0091-08"/> triangulum <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math> triangulo <mml:math><mml:mi>adb</mml:mi></mml:math>, quare ut <mml:math><mml:mi>ba</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math>, ita est <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s858" xml:space="preserve"> Ergo <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math> sunt intersese aequales.</s> <s xml:id="s859" xml:space="preserve"> Simili ratione quoniam ob eandem triangulorum similitudinem ita est <mml:math><mml:mi>ba</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math>, erunt itidem <mml:math><mml:mi>adbc</mml:mi></mml:math> intersese aequales.</s> <s xml:id="s860" xml:space="preserve"> Quod demonstrare oportebat.</s> <s xml:id="s861" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="6"> <note position="left" xlink:label="note-0091-01" xlink:href="note-0091-01a" xml:space="preserve"> 15 primi<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0091-02" xlink:href="note-0091-02a" xml:space="preserve"> 29 primi<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0091-03" xlink:href="note-0091-03a" xml:space="preserve"> 4 sexti<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0091-04" xlink:href="note-0091-04a" xml:space="preserve"> ad<!--variant signopositoinmargine--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0091-05" xlink:href="note-0091-05a" xml:space="preserve"> 16 quinti et 18 </note> <note position="left" xlink:label="note-0091-06" xlink:href="note-0091-06a" xml:space="preserve"> 21 tertii<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0091-07" xlink:href="note-0091-07a" xml:space="preserve"> 22 quinti<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0091-08" xlink:href="note-0091-08a" xml:space="preserve"> 6 sexti<!--citmargsign--> </note> </div> <pb o="68" file="0092" n="92"/> <p> <s xml:id="s862" xml:space="preserve"> Quae in circulo aequales rectas lineas coniungunt, intersese sunt, vel aequales, vel aequidistantes.</s> <s xml:id="s863" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med68" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med68"/> </figure> <p> <s xml:id="s864" xml:space="preserve"> Sint in circulo aequales rectae lineae <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math>, quae primum se invicem dispescant in <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s865" xml:space="preserve"> quas coniungant <mml:math><mml:mi>adcb</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s866" xml:space="preserve"> Dico has aequales esse.</s> <s xml:id="s867" xml:space="preserve"> Nam, cum <anchor type="note" xlink:label="note-0092-01a" xlink:href="note-0092-01"/> sint circumferentiae <mml:math><mml:mi>acb</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>cad</mml:mi></mml:math> aequales.</s> <s xml:id="s868" xml:space="preserve"> Communi dempta <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math>, erit circumferentia <mml:math><mml:mi>cb</mml:mi></mml:math> circumferentiae <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math> aequalis, et ob id <anchor type="note" xlink:label="note-0092-02a" xlink:href="note-0092-02"/> recta <mml:math><mml:mi>cb</mml:mi></mml:math> rectae <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math> est aequalis.</s> <s xml:id="s869" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="7"> <note position="left" xlink:label="note-0092-01" xlink:href="note-0092-01a" xml:space="preserve"> 28 tertii<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0092-02" xlink:href="note-0092-02a" xml:space="preserve"> 29 tertii<!--citmargsign--> </note> </div> <p> <s xml:id="s870" xml:space="preserve"> Coniungant autem <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> lineae <mml:math><mml:mi>acdb</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s871" xml:space="preserve"> Dico <mml:math><mml:mi>acdb</mml:mi></mml:math> inter se aequidistantes esse.</s> <s xml:id="s872" xml:space="preserve"> Quoniam enim <anchor type="note" xlink:label="note-0092-03a" xlink:href="note-0092-03"/> circumferentia <mml:math><mml:mi>acbd</mml:mi></mml:math> aequalis est circumferentiae <mml:math><mml:mi>cadb</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s873" xml:space="preserve"> anguli <mml:math><mml:mi>cdb</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>abd</mml:mi></mml:math> interse aequales erunt <anchor type="note" xlink:label="note-0092-04a" xlink:href="note-0092-04"/> .</s> <s xml:id="s874" xml:space="preserve"> Et <anchor type="note" xlink:label="note-0092-05a" xlink:href="note-0092-05"/> angulus <mml:math><mml:mi>cab</mml:mi></mml:math> angulo <mml:math><mml:mi>cdb</mml:mi></mml:math> est aequalis.</s> <s xml:id="s875" xml:space="preserve"> Ergo angulus <mml:math><mml:mi>abd</mml:mi></mml:math> angulo <mml:math><mml:mi>bac</mml:mi></mml:math> est aequalis, quare <anchor type="note" xlink:label="note-0092-06a" xlink:href="note-0092-06"/> linea <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math> lineae <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> est aequidistans.</s> <s xml:id="s876" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="8"> <note position="left" xlink:label="note-0092-03" xlink:href="note-0092-03a" xml:space="preserve"> 28 tertii<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0092-04" xlink:href="note-0092-04a" xml:space="preserve"> ex 27 tertii </note> <note position="left" xlink:label="note-0092-05" xlink:href="note-0092-05a" xml:space="preserve"> ex 21 tertii<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0092-06" xlink:href="note-0092-06a" xml:space="preserve"> 27 primi<!--citmargsign--> </note> </div> <p> <s xml:id="s877" xml:space="preserve"> Si vero datae sint in circulo lineae aequales <mml:math><mml:mi>adcb</mml:mi></mml:math> se invicem minime secantes, quas coniungant <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s878" xml:space="preserve"> Dico similiter <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> aequales esse.</s> <s xml:id="s879" xml:space="preserve"> Cum enim circumferentia <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math> sint circumferentiae <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> aequalis, communi addita <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math>, erit circumferentia <mml:math><mml:mi>dac</mml:mi></mml:math> circumferentiae <mml:math><mml:mi>bca</mml:mi></mml:math> aequalis, ac propterea linea <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> aequalis erit.</s> <s xml:id="s880" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s881" xml:space="preserve"> Lineas vero <mml:math><mml:mi>acbd</mml:mi></mml:math> rectas aequales <mml:math><mml:mi>adcb</mml:mi></mml:math> coniungentes aequidistantes esse, eodem modo ostendetur.</s> <s xml:id="s882" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="69" file="0093" n="93"/> <p> <s xml:id="s883" xml:space="preserve"> Poli altitudinem supra circulum maximum <emph style="super">ad<!--variant supralineam--></emph> planum horizonti inclinatum invenire.</s> <s xml:id="s884" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med69" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med69"/> </figure> <p> <s xml:id="s885" xml:space="preserve"> Sit horizon <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math>, sit <mml:math><mml:mi>aec</mml:mi></mml:math> meridianus, cuius, et horizontis sit communis sectio <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s886" xml:space="preserve"> Sitque centrum mundi <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math>, et polus <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s887" xml:space="preserve"> Sit planum inclinatum <mml:math><mml:mi>bfd</mml:mi></mml:math>, lineaque <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math> sit plani inclinati, et horizontis communis sectio, cui ad angulos rectos sit <mml:math><mml:mi>hgk</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s888" xml:space="preserve"> Manifestum est planum circuli <mml:math><mml:mi>hfk</mml:mi></mml:math> <anchor type="note" xlink:label="note-0093-01a" xlink:href="note-0093-01"/> ad rectos esse angulos ad planum <mml:math><mml:mi>bfd</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s889" xml:space="preserve"> Connectatur <mml:math><mml:mi>gf</mml:mi></mml:math>, erit <mml:math><mml:mi>fgk</mml:mi></mml:math> angulus inclinationis plani inclinati <mml:math><mml:mi>bfd</mml:mi></mml:math>, et horizontis.</s> <s xml:id="s890" xml:space="preserve"> <anchor type="note" xlink:label="note-0093-02a" xlink:href="note-0093-02"/> Quoniam enim si a puncto <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math> ad horizontis planum ducatur perpendicularis in lineam <mml:math><mml:mi>gk</mml:mi></mml:math> cadet, cumque sit <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>bgd</mml:mi></mml:math> perpendicularis, et <mml:math><mml:mi>hgk</mml:mi></mml:math> eidem <mml:math><mml:mi>bgd</mml:mi></mml:math> perpendicularis;</s> <s xml:id="s891" xml:space="preserve"> erit angulus <mml:math><mml:mi>fgk</mml:mi></mml:math> minimus omnium angulorum contentorum a linea <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math>, et omnibus lineis in plano horizontis per punctum <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math> transeuntibus.</s> <s xml:id="s892" xml:space="preserve"> Fiat deinde circumferentia <mml:math><mml:mi>fl</mml:mi></mml:math> circuli quarta erit <mml:math><mml:mi>hl</mml:mi></mml:math> complementum circumferentiae <mml:math><mml:mi>fk</mml:mi></mml:math>, atque punctum <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math> polus circuli <mml:math><mml:mi>bfd</mml:mi></mml:math>, huiusque plani inclinati Zenit.</s> <s xml:id="s893" xml:space="preserve"> Ducatur itaque per <mml:math><mml:mi>le</mml:mi></mml:math> circulum in sphera maximus <mml:math><mml:mi>lem</mml:mi></mml:math>, erit <mml:math><mml:mi>lem</mml:mi></mml:math> quarta circuli ergo <mml:math><mml:mi>em</mml:mi></mml:math> erit altitudo poli supra planum <mml:math><mml:mi>bfd</mml:mi></mml:math> inclinatum.</s> <s xml:id="s894" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="9"> <note position="left" xlink:label="note-0093-01" xlink:href="note-0093-01a" xml:space="preserve"> ad horizontem erecti<!--variant signopositoinmargine--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0093-02" xlink:href="note-0093-02a" xml:space="preserve"> Quae hic obscura videntur ex 7o libro Pappi mathematicorum collectionum sunt manifesta. </note> </div> <pb o="70" file="0094" n="94"/> <figure> <image file="med70" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med70"/> </figure> <p> <s xml:id="s895" xml:space="preserve"> Ut autem faciliter rectis tamen lineis, circulique circumferentiis, quanta sit huius poli altitudo <emph style="super">inveniatur<!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s896" xml:space="preserve"> Describatur seorsum maximus circulus <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math>, cuius centrum <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math>, et ducatur <mml:math><mml:mi>agc</mml:mi></mml:math>, quae sit communis sectio meridiani, et horizontis.</s> <s xml:id="s897" xml:space="preserve"> Sitque <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math> diameter circuli inclinati, cui perpendicularis existat <mml:math><mml:mi>hgk</mml:mi></mml:math>, sitque <mml:math><mml:mi>pqr</mml:mi></mml:math> angulus huius plani inclinationis, sitque <mml:math><mml:mi>prs</mml:mi></mml:math> circuli maximi quarta, sit <emph style="super">postea<!--variant supralineam--></emph> circumferentia <mml:math><mml:mi>ae</mml:mi></mml:math> poli altitudo, et ab <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math> <emph style="super">ad <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> ducatur <emph style="it">perpendicularis<!--variant descriptio: diverso atramento--></emph> <mml:math><mml:mi>en</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s898" xml:space="preserve"> Si itaque intelligatur semicirculum <mml:math><mml:mi>abkc</mml:mi></mml:math> elevatum esse, ut <mml:math><mml:mi>aec</mml:mi></mml:math> in superiori figura, erit <mml:math><mml:mi>en</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>en</mml:mi></mml:math> superioris figurae aequalis, et <mml:math><mml:mi>gn</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>gn</mml:mi></mml:math> aequalis.</s> <s xml:id="s899" xml:space="preserve"> Eodem modo summatur circumferentia <mml:math><mml:mi>hl</mml:mi></mml:math> aequalis <mml:math><mml:mi>rs</mml:mi></mml:math>, quae aequalis erit circumferentiae <mml:math><mml:mi>hl</mml:mi></mml:math> superioris figurae et a puncto <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>bk</mml:mi></mml:math> perpendicularis ducatur <mml:math><mml:mi>lo</mml:mi></mml:math>, erit <mml:math><mml:mi>lo</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>lo</mml:mi></mml:math> superioris figurae aequalis;</s> <s xml:id="s900" xml:space="preserve"> et <mml:math><mml:mi>og</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>og</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s901" xml:space="preserve"> intelligendo semicirculum <mml:math><mml:mi>hdk</mml:mi></mml:math> esse semicirculum <mml:math><mml:mi>hlfk</mml:mi></mml:math> superioris figurae.</s> <s xml:id="s902" xml:space="preserve"> Connectatur igitur <mml:math><mml:mi>no</mml:mi></mml:math>, erit <mml:math><mml:mi>no</mml:mi></mml:math> alteri <mml:math><mml:mi>no</mml:mi></mml:math> aequalis, cum sint triangula <mml:math><mml:mi>ngo</mml:mi></mml:math> interse aequalia.</s> <s xml:id="s903" xml:space="preserve"> Ponatur tandem non seorsum, ad quam perpendiculares ducantur <mml:math><mml:mi>neol</mml:mi></mml:math>, erunt quadrilatera <mml:math><mml:mi>enol</mml:mi></mml:math> aequalia.</s> <s xml:id="s904" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s905" xml:space="preserve"> Ducatur igitur per puncta <mml:math><mml:mi>el</mml:mi></mml:math> circulus maximus, fiatque <mml:math><mml:mi>lem</mml:mi></mml:math> quarta circuli erunt circumferentiae <mml:math><mml:mi>el</mml:mi></mml:math>, et circumferentiae <mml:math><mml:mi>em</mml:mi></mml:math> aequales.</s> <s xml:id="s906" xml:space="preserve"> Ergo circumferentia <mml:math><mml:mi>em</mml:mi></mml:math> erit altitudo poli supra planum horizonti inclinatum in angulo <mml:math><mml:mi>pqr</mml:mi></mml:math>, cuius positio in horizonte sit <mml:math><mml:mi>bgd</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s907" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="71" file="0095" n="95"/> <p> <s xml:id="s908" xml:space="preserve"> <emph style="it"><emph style="it">Di questo si potrebbe far doi problemi separati</emph><!--variant descriptio: diverso atramento--></emph> .</s> <s xml:id="s909" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s910" xml:space="preserve"> Communem sectionem coluri solstitiorum et cuiuscumque solis <!--begin variant delevit post-->paralleli<emph style="st">simulque<!--end variant delevit post--></emph> , <anchor type="note" xlink:label="note-0095-01a" xlink:href="note-0095-01"/> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">decliantionem</emph>cuiuscumque<!--end variant delevit ante--> <!--begin variant delevit post-->eclipticae<emph style="st">gradus<!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super">puncti declinationem<!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit post-->invenire<emph style="st">declinationem <!--milestone lacs--> autem hoc<!--end variant delevit post--></emph> <anchor type="figure" xlink:label="med71a" xlink:href="med71"/> <!--begin variant delevit post-->Sit<emph style="st">meridianus<!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super">colurus solstitiorumcolurusque solstitiorum<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math>, <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">aliquot literas</emph>sintque<!--end variant delevit ante--> mundi <emph style="super">poli <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit post--><mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math><emph style="st">polus vero mundi sit sit <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math><!--end variant delevit post--></emph> .</s> <s xml:id="s911" xml:space="preserve"> Sit <mml:math><mml:mi>aecf</mml:mi></mml:math> aequinoctialis, <emph style="super">lineaque<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> <emph style="super">sit<!--variant supralineam--></emph> ipsius <!--begin variant delevit post-->et<emph style="st">meridiani<!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super">solstitiorum coluri<!--variant supralineam--></emph> communis sectio.</s> <s xml:id="s912" xml:space="preserve"> Sit zodiacus <mml:math><mml:mi>egfh</mml:mi></mml:math>, cuius et meridiani sit <emph style="bf"><mml:math><mml:mi>hg</mml:mi></mml:math><!--variant postcorrectionem--></emph> sectio <!--begin variant delevit post-->communis<emph style="st"><mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> vero Zodiaci et aequinotialis communis sectio<!--end variant delevit post--></emph> <anchor type="note" xlink:label="note-0095-02a" xlink:href="note-0095-02"/> .</s> <s xml:id="s913" xml:space="preserve"> Summatur in zodiaco quodvis punctum <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math> et per puncta <mml:math><mml:mi>bkd</mml:mi></mml:math> circulus describatur maximus <mml:math><mml:mi>bkld</mml:mi></mml:math> <emph style="super">qui aequinotialem secet in <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s914" xml:space="preserve"> Manifestum est <mml:math><mml:mi>kl</mml:mi></mml:math> declinationem esse puncti <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s915" xml:space="preserve"> Ducatur itaque a puncto <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math> ad <emph style="super"> meridianum <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> perpendicularis <mml:math><mml:mi>km</mml:mi></mml:math>, <!--begin variant delevit post-->quae<emph style="st">et meridiani <anchor type="note" xlink:label="note-0095-03a" xlink:href="note-0095-03"/> plano perpendicularis existet, aequinoctialis vero plano aequidistant<!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super">in <mml:math><mml:mi>hg</mml:mi></mml:math> quae est communis sectio zodiaci et meridiani cadet<!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s916" xml:space="preserve"> Deinde a puncto <mml:math><mml:mi>m</mml:mi></mml:math> ipsi <!--begin variant delevit ante--><emph style="st"><mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math></emph><mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math><!--end variant delevit ante--> aequidistans ducatur <mml:math><mml:mi>smrl</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s917" xml:space="preserve"> <!--begin variant delevit post-->Dico<emph style="st">aliquot literas<!--end variant delevit post--></emph> circumferentiam <mml:math><mml:mi>nc</mml:mi></mml:math> circumferentiae <mml:math><mml:mi>kl</mml:mi></mml:math> aequalem esse.</s> <s xml:id="s918" xml:space="preserve"> Ducatur a puncto <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math> ad <emph style="super">meridianum<!--variant supralineam--></emph> perpendicularis <mml:math><mml:mi>lo</mml:mi></mml:math>, <!--begin variant delevit post-->quae<emph style="st">meridiani plano perpendicularis erit, idcirco<!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super">in<!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">lin</emph><mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math><!--end variant delevit ante--> cadet.</s> <s xml:id="s919" xml:space="preserve"> Eritque <anchor type="note" xlink:label="note-0095-04a" xlink:href="note-0095-04"/> <mml:math><mml:mi>km</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>lo</mml:mi></mml:math> <!--begin variant delevit post-->aequidistans<emph style="st">erit, cadet<!--end variant delevit post--></emph> .</s> <s xml:id="s920" xml:space="preserve"> <emph style="super">Quia vero linea quoque<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>smn</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>aoc</mml:mi></mml:math> est aequidistans <!--begin variant delevit post-->planum<emph style="st">itaque<!--end variant delevit post--></emph> <anchor type="note" xlink:label="note-0095-05a" xlink:href="note-0095-05"/> per <mml:math><mml:mi>kmsmn</mml:mi></mml:math> ductum <emph style="super">hoc est<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>nks</mml:mi></mml:math> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">aliquot literas</emph>erit<!--end variant delevit ante--> <emph style="super">aequinoctialis<!--variant supralineam--></emph> plano <emph style="super"><mml:math><mml:mi>alc</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> <emph style="super">aequidistans<!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">aliquot literas</emph>autem<!--end variant delevit ante--> <mml:math><mml:mi>bklbnc</mml:mi></mml:math> sunt circuli maximi per <reg norm="polum" type="context">polos<!--variant correxitex --></reg> <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math> <reg norm="descripti" type="context">transeuntes<!--variant correxitex --></reg> ,qui <reg norm="est polus" type="context">sunt poli<!--variant correxitex --></reg> et aequinoctialis et plani per <mml:math><mml:mi>kmsmn</mml:mi></mml:math> descripti <emph style="super">hoc est circuli <mml:math><mml:mi>nks</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s921" xml:space="preserve"> Erit <mml:math><mml:mi>nc</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>kl</mml:mi></mml:math> aequalis <anchor type="note" xlink:label="note-0095-06a" xlink:href="note-0095-06"/> , <anchor type="note" xlink:label="note-0095-07a" xlink:href="note-0095-07"/> .</s> <s xml:id="s922" xml:space="preserve"> Simulque patet <mml:math><mml:mi>ns</mml:mi></mml:math> communem esse sectionem meridiani, et paralleli <mml:math><mml:mi>nks</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>ns</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> aequidistantem esse.</s> <s xml:id="s923" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="10"> <figure xlink:label="med71" xlink:href="med71a"> <image file="med71" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med71"/> </figure> <note position="left" xlink:label="note-0095-01" xlink:href="note-0095-01a" xml:space="preserve"> data solis maxima declinatione<!--variant signopositoinmargine--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0095-02" xlink:href="note-0095-02a" xml:space="preserve"> Erit utique arcus <mml:math><mml:mi>cg</mml:mi></mml:math> maxima solis declinatio<!--variant signopositoinmargine--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0095-03" xlink:href="note-0095-03a" xml:space="preserve"> 3811mi<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0095-04" xlink:href="note-0095-04a" xml:space="preserve"> 38 undecimi 6 undecimi<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0095-05" xlink:href="note-0095-05a" xml:space="preserve"> 13 undecimi<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0095-06" xlink:href="note-0095-06a" xml:space="preserve"> arcus ergo <mml:math><mml:mi>cn</mml:mi></mml:math> declinationem puncti <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math> ostendit<!--variant signopositoinmargine--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0095-07" xlink:href="note-0095-07a" xml:space="preserve"> 10 secundi Sphaericorum Theodosii </note> </div> </div> <div type="section" level="1" n="31"> <head xml:id="head31" xml:space="preserve"> Operatio </head> <figure> <image file="med71_2" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med71_2"/> </figure> <p> <s xml:id="s924" xml:space="preserve"> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">hoc demonstrato</emph>Sit<!--end variant delevit ante--> circulus <emph style="bf"><mml:math><mml:mi>afch</mml:mi></mml:math><!--variant postcorrectionem--></emph> cuius centrum <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s925" xml:space="preserve"> Ductaque <mml:math><mml:mi>aec</mml:mi></mml:math>, fiat <emph style="bf"><mml:math><mml:mi>cg</mml:mi></mml:math><!--variant postcorrectionem--></emph> maxima solis <!--begin variant delevit post-->declinatio<emph style="st">quae est tropicorum<!--end variant delevit post--></emph> .</s> <s xml:id="s926" xml:space="preserve"> Ducaturque <emph style="super"><mml:math><mml:mi>geh</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s927" xml:space="preserve"> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">erit <!--milestone lacs--> *<mml:math><mml:mi> eh</mml:mi></mml:math>* altera polis declinatio maxima</emph>Sitque<!--end variant delevit ante--> circuli quarta <reg norm="ghf" type="context"> gf<!--variant correxitex --></reg> .</s> <s xml:id="s928" xml:space="preserve"> <!--begin variant delevit post-->Intelligatur<emph style="st">aliquot literas<!--end variant delevit post--></emph> circulum <mml:math><mml:mi>afgh</mml:mi></mml:math> esse lineam <!--begin variant delevit post-->eclipticam<emph style="st">in qua sumatur quodlibet punctum<!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super"> et<!--variant supralineam--></emph> <emph style="super">punctum<!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">intelligaturque</emph><mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math><!--end variant delevit ante--> principium arietis sive librae.</s> <s xml:id="s929" xml:space="preserve"> <reg norm="Hoc demonstrato sit circulus afc cuius centrum e ductaque aec fiat c maxima solis declinatio quae est tropicorum. Ducaturque bed sitque arcum quarta bf. Intelligatur primum circulum afcd esse lineam eclipticam in qua sumatur quodlibet punctum k a milestone lacs ad, bd perpendicularis ducatur km. Deinde ducatur mn ipsi ec aequidistans; circulumque abcd intelligatur esse meridianum, erit nc declinatio puncti k" type="context">Principium tauri<!--variant correxitex --></reg> oportet in solstitiorum coluro diametrum invenire.</s> <s xml:id="s930" xml:space="preserve"> Ducatur a puncto <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>hg</mml:mi></mml:math> perpendicularis <mml:math><mml:mi>km</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s931" xml:space="preserve"> Deinde invento puncto <mml:math><mml:mi>m</mml:mi></mml:math> a puncto <mml:math><mml:mi>m</mml:mi></mml:math> ducatur <mml:math><mml:mi>smn</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> aequidistans.</s> <s xml:id="s932" xml:space="preserve"> <emph style="super">Intelligatur circulum <mml:math><mml:mi>afch</mml:mi></mml:math> solstitiorum colurus lineaque <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> aequinoctialis diameter<!--variant supralineam--></emph> <anchor type="note" xlink:label="note-0095-08a" xlink:href="note-0095-08"/> .</s> <s xml:id="s933" xml:space="preserve"> Erit <mml:math><mml:mi>nc</mml:mi></mml:math> declinatio puncti <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>ns</mml:mi></mml:math> parallelus qui oritur ex perpendiculari ab ecliptica ad meridianum ducta.</s> <s xml:id="s934" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="1"> <note position="left" xlink:label="note-0095-08" xlink:href="note-0095-08a" xml:space="preserve"> <mml:math><mml:mi>sn</mml:mi></mml:math> in solstitiorum coluro diameter paralleli principi tauri arietisque <mml:math><mml:mi>go</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>hp</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> similiter aequidistantes, erunt <mml:math><mml:mi>go</mml:mi></mml:math> ,<mml:math><mml:mi>ho</mml:mi></mml:math> in dicto coluro tropicorum diametri<!--variant signopositoinmargine--> </note> </div> <pb o="72" file="0096" n="96"/> <p> <s xml:id="s935" xml:space="preserve"> <anchor type="note" xlink:label="note-0096-01a" xlink:href="note-0096-01"/> .</s> <s xml:id="s936" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="2"> <note position="left" xlink:label="note-0096-01" xlink:href="note-0096-01a" xml:space="preserve"> Et hoc modo unumquemque diametrum cuiscumque paralleli facile inveniemus<!--variant inmargine--> </note> </div> <p> <s xml:id="s937" xml:space="preserve"> Et hoc modo facile <emph style="super">unumquemque parallelum<!--variant supralineam--></emph> , et cuiuscumque gradus declinationem inveniemus.</s> <s xml:id="s938" xml:space="preserve"> Facileque tabulas conficiemus.</s> <s xml:id="s939" xml:space="preserve"> Ut si <mml:math><mml:mi>fk</mml:mi></mml:math> tertia sit pars <mml:math><mml:mi>fb</mml:mi></mml:math>, sitque punctum <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math> arietis principium erit <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math> principium tauri, cuius declinatio est arcus <mml:math><mml:mi>nc</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s940" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med72" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med72"/> </figure> <p> <s xml:id="s941" xml:space="preserve"> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">Alii et praecipue</emph>Joannes<!--end variant delevit ante--> <emph style="super">autem<!--variant supralineam--></emph> de Roias <emph style="super">et aliis ut parallelos in planisphaerio inveniant<!--variant supralineam--></emph> aliter construunt. </s> </p> <note position="left" xml:space="preserve"> Iisdem namque positis<!--variant signopositoinmargine--> </note> <p> <s xml:id="s942" xml:space="preserve"> <!--begin variant delevit post-->ducant<emph style="st">enim<!--end variant delevit post--></emph> lineam <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">aliquot literas</emph><mml:math><mml:mi>gp</mml:mi></mml:math><!--end variant delevit ante--> inter tropicos <emph style="super">et<!--variant supralineam--></emph> </s> </p> <note position="left" xml:space="preserve"> quam aequinoctialis in <mml:math><mml:mi>t</mml:mi></mml:math> bifariam et ad rectos angulos secet<!--variant signopositoinmargine--> </note> <p> <s xml:id="s943" xml:space="preserve"> et centro <!--begin variant delevit post--><mml:math><mml:mi>t</mml:mi></mml:math><emph style="st">in aequinoctialis <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math><!--end variant delevit post--></emph> circulum describunt <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">aliquot literas</emph><mml:math><mml:mi>glp</mml:mi></mml:math><!--end variant delevit ante--> <reg norm="eruntque" type="context">erunt<!--variant correxitex --></reg> utique <mml:math><mml:mi>gllp</mml:mi></mml:math> circuli <!--begin variant delevit post-->quartae<emph style="st">aliquot literas<!--end variant delevit post--></emph> </s> </p> <note position="left" xml:space="preserve"> accipiuntque circulum <mml:math><mml:mi>plg</mml:mi></mml:math> vel ecliptica et punctum <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math> pro principio Arietis et librae si itaque summatur<!--variant signopositoinmargine--> </note> <p> <s xml:id="s944" xml:space="preserve"> <mml:math><mml:mi>lo</mml:mi></mml:math> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">similiter</emph>tertia<!--end variant delevit ante--> pars <emph style="super">quartae<!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit post--><mml:math><mml:mi>lg</mml:mi></mml:math><emph style="st">aliquot literas<!--end variant delevit post--></emph> erit <emph style="super">punctum<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>o</mml:mi></mml:math> principium tauri <emph style="super">et virginis<!--variant supralineam--></emph> a quo ducant <mml:math><mml:mi>smon</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> <!--begin variant delevit post-->aequidistans<emph style="st">erit similiter <mml:math><mml:mi>ns</mml:mi></mml:math> parallelus et <mml:math><mml:mi>nc</mml:mi></mml:math> solstitiorum coluri diametrum esse paralleli principium tauri ipius declinatio. Quod sic ostendetur. Quod sic demonstrabitur<!--end variant delevit post--></emph> , <emph style="super">asserunt <mml:math><mml:mi>sn</mml:mi></mml:math> in<!--variant supralineam--></emph> planispherio <emph style="super">cum principii<!--variant supralineam--></emph> </s> </p><p> <s xml:id="s945" xml:space="preserve"> Tauri parallelum ostendere.</s> <s xml:id="s946" xml:space="preserve"> Nos autem <emph style="super"><mml:math><mml:mi>sn</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> ipsius <emph style="super">tauri<!--variant supralineam--></emph> paralleli diametrum quoque existere.</s> <s xml:id="s947" xml:space="preserve"> Hoc modo demonstrabimus.</s> <s xml:id="s948" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s949" xml:space="preserve"> Sit <mml:math><mml:mi>fk</mml:mi></mml:math> <emph style="super">ut supra<!--variant supralineam--></emph> tertia pars <emph style="super">ipsius<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> et <mml:math><mml:mi>lo</mml:mi></mml:math> <emph style="super">similiter<!--variant supralineam--></emph> tertia <emph style="super">ipsius<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>lob</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s950" xml:space="preserve"> Ductaque <mml:math><mml:mi>km</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>gh</mml:mi></mml:math> perpendicularis, <reg norm="iunganturque" type="context">iungatur<!--variant correxitex --></reg> <mml:math><mml:mi>mo</mml:mi></mml:math>, quae producatur <emph style="super">ex utraque parte usque ad circumferentiam in<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>sn</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s951" xml:space="preserve"> Demonstrare oportet lineam <mml:math><mml:mi>sn</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> aequidistantem esse <emph style="super">secet <mml:math><mml:mi>tg</mml:mi></mml:math> lineam <mml:math><mml:mi>sn</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>u</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s952" xml:space="preserve"> Quoniam enim <emph style="super">circumferentiae<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>fklo</mml:mi></mml:math> <!--begin variant delevit post-->sunt<emph style="st">circumferentiae<!--end variant delevit post--></emph> similes, et <mml:math><mml:mi>fglg</mml:mi></mml:math> similes, erunt <mml:math><mml:mi>gkgo</mml:mi></mml:math> similes, iunctis ergo <mml:math><mml:mi>keot</mml:mi></mml:math>, erit angulus <mml:math><mml:mi>kem</mml:mi></mml:math> angulo <mml:math><mml:mi>otu</mml:mi></mml:math> aequalis, quoniam autem angulus <mml:math><mml:mi>emk</mml:mi></mml:math> rectus recto <mml:math><mml:mi>tuo</mml:mi></mml:math> est aequalis, erit <emph style="super">reliquus<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>ekm</mml:mi></mml:math> <emph style="super">reliquo<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>tou</mml:mi></mml:math> aequalis, quare <anchor type="note" xlink:label="note-0096-05a" xlink:href="note-0096-05"/> ut <mml:math><mml:mi>me</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ek</mml:mi></mml:math>, hoc est ad <mml:math><mml:mi>eg</mml:mi></mml:math>, ita ut <mml:math><mml:mi>ut</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>to</mml:mi></mml:math> hoc est ad <mml:math><mml:mi>tg</mml:mi></mml:math>, et <anchor type="note" xlink:label="note-0096-06a" xlink:href="note-0096-06"/> convertendo, ut <mml:math><mml:mi>ge</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>em</mml:mi></mml:math> ita <mml:math><mml:mi>gt</mml:mi></mml:math>, ad <mml:math><mml:mi>tu</mml:mi></mml:math>, <anchor type="note" xlink:label="note-0096-07a" xlink:href="note-0096-07"/> dividendoque ut <mml:math><mml:mi>gm</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>me</mml:mi></mml:math>, ita <mml:math><mml:mi>gu</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ut</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s953" xml:space="preserve"> <anchor type="note" xlink:label="note-0096-08a" xlink:href="note-0096-08"/> Linea igitur <mml:math><mml:mi>moun</mml:mi></mml:math> <emph style="super">hoc est <mml:math><mml:mi>sn</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> est ipsi <reg norm="ac" type="context">aec<!--variant correxitex --></reg> <!--begin variant delevit post-->aequidistans<emph style="st">Quod demonstrare oportebat<!--end variant delevit post--></emph> .</s> <s xml:id="s954" xml:space="preserve"> <anchor type="note" xlink:label="note-0096-09a" xlink:href="note-0096-09"/> <mml:math><mml:mi>son</mml:mi></mml:math> per punctum <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math> transit, ex supra demonstratis erit <mml:math><mml:mi>sn</mml:mi></mml:math> paralleli principii tauri in solstitiorum coluro <!--begin variant delevit post-->diameter<emph style="st">si itaque<!--end variant delevit post--></emph> secundum igitur ipsorum operationem dum parallelos in planispherio qui sunt ipsorum parallelorum diametros inveniunt quod quidem demonstrare propositum fuerat.</s> <s xml:id="s955" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="3"> <note position="left" xlink:label="note-0096-05" xlink:href="note-0096-05a" xml:space="preserve"> 4 sexti<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0096-06" xlink:href="note-0096-06a" xml:space="preserve"> cor. 4 quinti<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0096-07" xlink:href="note-0096-07a" xml:space="preserve"> 11 quinti<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0096-08" xlink:href="note-0096-08a" xml:space="preserve"> 2 sexti<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0096-09" xlink:href="note-0096-09a" xml:space="preserve"> Quoniam autem<!--variant signopositoinmargine--> </note> </div> <p> <s xml:id="s956" xml:space="preserve"> Quamvis hoc modo brevior sit operatio, ad <emph style="super">inveniendos tantum parallelos<!--variant supralineam--></emph> conficiendas <emph style="super">tantum<!--variant supralineam--></emph> tabulas melior <emph style="super">certior<!--variant supralineam--></emph> erit <!--begin variant delevit post-->operatio<emph style="st">quemadmodum<!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super">primo quo<!--variant supralineam--></emph> supra dictum est <emph style="super">modo quam secundum Ioannes de Roias<!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">cum</emph>semper<!--end variant delevit ante--> operatio fiat in circumferentia <emph style="bf"><mml:math><mml:mi>hfgr</mml:mi></mml:math><!--variant postcorrectionem--></emph> , quae magna fieri potest gradusque distincte magis in 90 partes distribuentur <sic comment="bis">in<!--variant bis--></sic> quartis <mml:math><mml:mi>hffg</mml:mi></mml:math> quam in <mml:math><mml:mi>lglp</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s957" xml:space="preserve"> Post sit horizon <mml:math><mml:mi>qr</mml:mi></mml:math>, sitque cognita <mml:math><mml:mi>rc</mml:mi></mml:math>, hoc est <!--begin variant delevit post-->aequinoctialis<emph style="st">maxima<!--end variant delevit post--></emph> altitudo, quae latitudinis, sive quod idem est, poli altitudinis est complementum.</s> <s xml:id="s958" xml:space="preserve"> Si hinc addatur <mml:math><mml:mi>nc</mml:mi></mml:math> erit <mml:math><mml:mi>rn</mml:mi></mml:math> cognita, quae erit altitudo meridiana puncti <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s959" xml:space="preserve"> Et hoc modo omnes cuiuscumque puncti eclipticae altitudines meridianae notae erunt.</s> <s xml:id="s960" xml:space="preserve"> Ex quibus tabulas quoque facile conficere poterimus.</s> <s xml:id="s961" xml:space="preserve"> Advertendum tamen, ut declinationes signorum borealium altitudini aequinoctialis addantur;</s> <s xml:id="s962" xml:space="preserve"> australium vero demantur.</s> <s xml:id="s963" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="73" file="0097" n="97"/> <figure> <image file="med73" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med73"/> </figure> <p> <s xml:id="s964" xml:space="preserve"> Gemma Phrisius antiquum Astrolabum catholicum edidit, cuius alii quoque mentionem fecere, ut Orontius.</s> <s xml:id="s965" xml:space="preserve"> Ortumque habet huius modi.</s> <s xml:id="s966" xml:space="preserve"> Ponitur oculus in sectionis puncto aequinoctialis et coluri aequinoctiorum, et omnes <!--begin variant delevit post-->meridiani<emph style="st">aliquot literas<!--end variant delevit post--></emph> ac <!--begin variant delevit post-->paralleli<emph style="st">aliquot literas<!--end variant delevit post--></emph> , qui in hemispherio oculo <reg norm="opposito existunt" type="context">existunt opposito<!--variant correxitex --></reg> , quemadmodum oculo apparent in coluro solstitiorum, tamquam in sectione <!--begin variant delevit post-->describunt<emph style="st">hoc modo<!--end variant delevit post--></emph> <anchor type="note" xlink:label="note-0097-01a" xlink:href="note-0097-01"/> <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> aequinoctialis.</s> <s xml:id="s967" xml:space="preserve"> Sit <mml:math><mml:mi>afcg</mml:mi></mml:math> aequinoctiorum colurus.</s> <s xml:id="s968" xml:space="preserve"> <mml:math><mml:mi>bfdg</mml:mi></mml:math> vero colurus solstitiorum.</s> <s xml:id="s969" xml:space="preserve"> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">aliquot literas</emph>Erunt<!--end variant delevit ante--> utique puncta <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> mundi poli.</s> <s xml:id="s970" xml:space="preserve"> Per quos deinde utcumque quotlibet circuli, <emph style="super">in sphera<!--variant supralineam--></emph> ducantur maximi, qui meridiani erunt deinde aequinoctiali aequidistantes ubicumque et quotcumque ex utraque parte ducantur circuli <mml:math><mml:mi>lmnopqrst</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>uxy</mml:mi></mml:math> quos omnes <emph style="super">in plano <mml:math><mml:mi>bfdg</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> circulorum circumferentias esse <emph style="super">sine demonstratione<!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit post-->affirmant<emph style="st">non tunc demonstrant<!--end variant delevit post--></emph> .</s> <s xml:id="s971" xml:space="preserve"> <emph style="super">Quae quidem omnia<!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">aliquot verba</emph>hoc<!--end variant delevit ante--> modo <!--begin variant delevit post-->ostendetur<emph style="st">aliquot verba<!--end variant delevit post--></emph> <!--milestone lacs--> primum de meridianis.</s> <s xml:id="s972" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="4"> <note position="left" xlink:label="note-0097-01" xlink:href="note-0097-01a" xml:space="preserve"> ut sit<!--variant signopositoinmargine--> </note> </div> <p> <s xml:id="s973" xml:space="preserve"> Sit <emph style="super">rursus<!--variant supralineam--></emph> circulus <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> aequinoctialis, cuius mundi centrum sit <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math>, polique sint <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> <emph style="super">et sit <mml:math><mml:mi>afcg</mml:mi></mml:math> aequinoctiorum colurus cuius et aequinoctialis<!--variant supralineam--></emph> sit <mml:math><mml:mi>aec</mml:mi></mml:math> communis <!--begin variant delevit post-->sectio<emph style="st">equinoctialis et coluri <mml:math><mml:mi>afcg</mml:mi></mml:math> aequinoctiorum<!--end variant delevit post--></emph> .</s> <s xml:id="s974" xml:space="preserve"> <emph style="super">Sit deinde <mml:math><mml:mi>bfdg</mml:mi></mml:math> colurus solstitiorum, lineaque<!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit post--><mml:math><mml:mi>bcd</mml:mi></mml:math><emph style="st">vero<!--end variant delevit post--></emph> aequinoctialis, et coluri <mml:math><mml:mi>bfdg</mml:mi></mml:math> solstitiorum sit sectio communis.</s> <s xml:id="s975" xml:space="preserve"> <emph style="super">Ducatur<!--variant supralineam--></emph> ita <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">atque</emph>per<!--end variant delevit ante--> polos <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> circulus aliquis <mml:math><mml:mi>fhgk</mml:mi></mml:math> qui <emph style="super">cum sit per polos<!--variant supralineam--></emph> meridianorum <emph style="super">aliquis utique<!--variant supralineam--></emph> erit.</s> <s xml:id="s976" xml:space="preserve"> <anchor type="note" xlink:label="note-0097-02a" xlink:href="note-0097-02"/> <!--begin variant delevit post-->iungatur<emph style="st">aliquot literas<!--end variant delevit post--></emph> <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s977" xml:space="preserve"> Ponaturque oculus in <emph style="super">puncto<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> <emph style="super">quod est sectio aequinoctialis, atque aequinoctiorum coluri<!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s978" xml:space="preserve"> Si itaque circulum <mml:math><mml:mi>fhgk</mml:mi></mml:math> in coluro solstitiorum hoc est in plano <mml:math><mml:mi>bfdg</mml:mi></mml:math>, tamquam in sectione, ut oculo in <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> existenti apparet, ostendere voluerimus.</s> <s xml:id="s979" xml:space="preserve"> Dico sectionem hanc circulum esse.</s> <s xml:id="s980" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="5"> <note position="left" xlink:label="note-0097-02" xlink:href="note-0097-02a" xml:space="preserve"> Secetque <mml:math><mml:mi>fhgk</mml:mi></mml:math> aequinoctialem <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> in punctis <mml:math><mml:mi>hk</mml:mi></mml:math>. Deinde<!--variant signopositoinmargine--> </note> </div> <p> <s xml:id="s981" xml:space="preserve"> Primum quidem manifestum est puncta <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> non punctari, eademque in sectione apparere, cum in ipsa sint <!--begin variant delevit post-->sectione<emph style="st">Ducatur <mml:math><mml:mi>ah</mml:mi></mml:math> quae lineam <mml:math><mml:mi>be</mml:mi></mml:math> secet in <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math>.</emph></s> <s xml:id="s982" xml:space="preserve"> <emph style="st">Similiter patet punctum <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math> in sectione <mml:math><mml:mi>bfdg</mml:mi></mml:math> esse in <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math>, cum sit linea <mml:math><mml:mi>bed</mml:mi></mml:math> in sectione.</emph></s> <s xml:id="s983" xml:space="preserve"> <emph style="st">Connectatur <mml:math><mml:mi>ak</mml:mi></mml:math>, et<!--end variant delevit post--></emph> oculus <pb o="74" file="0098" n="98"/> <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math> <!--begin variant delevit post--><mml:math><mml:mi>ak</mml:mi></mml:math><emph style="st">producantur<!--end variant delevit post--></emph> ex parte <mml:math><mml:mi>dk</mml:mi></mml:math> <emph style="super">producantur<!--variant supralineam--></emph> quae intersese concurrent.</s> <s xml:id="s984" xml:space="preserve"> Primum quidem quoniam in eodem sunt plano, aequinoctialis scilicet.</s> <s xml:id="s985" xml:space="preserve"> Deinde <anchor type="note" xlink:label="note-0098-01a" xlink:href="note-0098-01"/> angulus <mml:math><mml:mi>aem</mml:mi></mml:math> est rectus sed <mml:math><mml:mi>eak</mml:mi></mml:math> necessario est acutus, cum sit minor <mml:math><mml:mi>hak</mml:mi></mml:math>, qui <anchor type="note" xlink:label="note-0098-02a" xlink:href="note-0098-02"/> <emph style="super">in semicirculo<!--variant supralineam--></emph> rectus est.</s> <s xml:id="s986" xml:space="preserve"> Conveniant <!--begin variant delevit post-->igitur<emph style="st">interse quare concurrant<!--end variant delevit post--></emph> in <mml:math><mml:mi>m</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s987" xml:space="preserve"> Et a puncto <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>bm</mml:mi></mml:math> aequidistans ducatur <mml:math><mml:mi>knp</mml:mi></mml:math>, quae <anchor type="note" xlink:label="note-0098-03a" xlink:href="note-0098-03"/> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st"><mml:math><mml:mi>knp</mml:mi></mml:math></emph>ad<!--end variant delevit ante--> <mml:math><mml:mi>ea</mml:mi></mml:math> perpendicularis, et <anchor type="note" xlink:label="note-0098-04a" xlink:href="note-0098-04"/> <mml:math><mml:mi>kn</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>np</mml:mi></mml:math> aequalis <emph style="super">existet<!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s988" xml:space="preserve"> Iuncta igitur <mml:math><mml:mi>ap</mml:mi></mml:math>, quoniam ad <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math> sunt anguli recti, <anchor type="note" xlink:label="note-0098-05a" xlink:href="note-0098-05"/> erit <mml:math><mml:mi>ap</mml:mi></mml:math> aequalis <mml:math><mml:mi>ak</mml:mi></mml:math> et <anchor type="note" xlink:label="note-0098-06a" xlink:href="note-0098-06"/> ob id angulus <mml:math><mml:mi>akp</mml:mi></mml:math> angulo <mml:math><mml:mi>apk</mml:mi></mml:math> est aequalis.</s> <s xml:id="s989" xml:space="preserve"> Quoniam igitur <anchor type="note" xlink:label="note-0098-07a" xlink:href="note-0098-07"/> angulus <mml:math><mml:mi>akn</mml:mi></mml:math> angulo <mml:math><mml:mi>aml</mml:mi></mml:math> est aequalis, et <anchor type="note" xlink:label="note-0098-08a" xlink:href="note-0098-08"/> <mml:math><mml:mi>apk</mml:mi></mml:math> angulo <mml:math><mml:mi>ahk</mml:mi></mml:math> aequalis, erit angulus <mml:math><mml:mi>aml</mml:mi></mml:math> angulo <mml:math><mml:mi>ahk</mml:mi></mml:math> aequalis.</s> <s xml:id="s990" xml:space="preserve"> Cum itaque duo sint triangula <mml:math><mml:mi>ahk</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>alm</mml:mi></mml:math>, quorum angulus <mml:math><mml:mi>mah</mml:mi></mml:math> est utrique communis, et <mml:math><mml:mi>ahk</mml:mi></mml:math> est <mml:math><mml:mi>aml</mml:mi></mml:math> aequalis, <anchor type="note" xlink:label="note-0098-09a" xlink:href="note-0098-09"/> erit reliquus <mml:math><mml:mi>alm</mml:mi></mml:math> reliquo <mml:math><mml:mi>akh</mml:mi></mml:math> aequalis.</s> <s xml:id="s991" xml:space="preserve"> Intelligatur itaque conus <emph style="super"><mml:math><mml:mi>ahk</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> cuius basis sit circulus <emph style="super">meridianus<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>fhgk</mml:mi></mml:math>, et vertex <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> et <emph style="super">axis <mml:math><mml:mi>ae</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> qui <!--begin variant delevit post-->secetur<emph style="st">plano per <mml:math><mml:mi>lemfeg</mml:mi></mml:math> ducto, erit planum <mml:math><mml:mi>fhgm</mml:mi></mml:math> plano <mml:math><mml:mi>fhgk</mml:mi></mml:math> subcontarie positum<!--end variant delevit post--></emph> <anchor type="note" xlink:label="note-0098-10a" xlink:href="note-0098-10"/> per axem <mml:math><mml:mi>ahk</mml:mi></mml:math> <emph style="super">ducto<!--variant supralineam--></emph> basique <mml:math><mml:mi>fhgk</mml:mi></mml:math> erecto, cum planum <mml:math><mml:mi>ahk</mml:mi></mml:math> sit in plano aequinoctialis <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math>, quod est erectum ad planum <mml:math><mml:mi>fhgk</mml:mi></mml:math> <emph style="super">quippe quippe<!--variant supralineam--></emph> cum aequinoctialis planum sit semper ad omnes meridianos <!--begin variant delevit post-->erectum<emph style="st">Si igitur conus hoc altero plano sectus intelligatur<!--end variant delevit post--></emph> .</s> <s xml:id="s992" xml:space="preserve"> <emph style="super">Sitque triangulum per axem<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>ahk</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s993" xml:space="preserve"> Si <!--begin variant delevit post-->igitur<emph style="st">per<!--end variant delevit post--></emph> ex parte <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math> protracta usque ad <mml:math><mml:mi>m</mml:mi></mml:math> <reg norm="conica superficies" type="context">superficies conica<!--variant correxitex --></reg> intelligatur.</s> <s xml:id="s994" xml:space="preserve"> Conusque altero quoque plano <!--begin variant delevit post-->seceturque<emph style="st">intelligeret<!--end variant delevit post--></emph> per <mml:math><mml:mi>bdm</mml:mi></mml:math> <!--begin variant delevit post--><mml:math><mml:mi>feg</mml:mi></mml:math><emph style="st">aliquot verba<!--end variant delevit post--></emph> <!--begin variant delevit post-->ducto<emph style="st">quod est solstitiorum coluri planum, eiusdem<!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super">erit hoc planum ad<!--variant supralineam--></emph> planum trianguli per axem <emph style="super"><mml:math><mml:mi>ahk</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> erectum.</s> <s xml:id="s995" xml:space="preserve"> Cum colurus solstitiorum et aequinoctialis ad rectos sint angulos.</s> <s xml:id="s996" xml:space="preserve"> Quoniam autem in <emph style="super">plano<!--variant supralineam--></emph> <reg norm="triangulo" type="context">trianguli<!--variant correxitex --></reg> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st"><mml:math><mml:mi>abk</mml:mi></mml:math></emph>per<!--end variant delevit ante--> axem triangulum inest <mml:math><mml:mi>aml</mml:mi></mml:math> quod est quidem triangulo <mml:math><mml:mi>ahk</mml:mi></mml:math> <!--begin variant delevit post-->simile<emph style="st">ac subcontrarie positum<!--end variant delevit post--></emph> angulusque <mml:math><mml:mi>ahk</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>aml</mml:mi></mml:math> aequalis et <!--begin variant delevit ante--><emph style="st"><mml:math><mml:mi>akh</mml:mi></mml:math></emph><mml:math><mml:mi>alm</mml:mi></mml:math><!--end variant delevit ante--> angulo <mml:math><mml:mi>akh</mml:mi></mml:math> aequalis erit triangulum <mml:math><mml:mi>alm</mml:mi></mml:math> triangulo <mml:math><mml:mi>ahk</mml:mi></mml:math> subcontrarie positum <emph style="super">sectio<!--variant supralineam--></emph> <anchor type="note" xlink:label="note-0098-11a" xlink:href="note-0098-11"/> ergo <reg norm="flgm" type="context">fmgl<!--variant correxitex --></reg> circulus est, <emph style="super">quarequare<!--variant supralineam--></emph> existente oculo in <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> circumferentia <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">et</emph><mml:math><mml:mi>flg</mml:mi></mml:math><!--end variant delevit ante--> meridiani medietatem, hoc est <mml:math><mml:mi>fhg</mml:mi></mml:math> ostendet et <!--begin variant delevit post--><mml:math><mml:mi>fmg</mml:mi></mml:math><emph style="st">reliqua<!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super">alteram meridiani medietatem <mml:math><mml:mi>fkg</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> , quae quidem in astrolabo non <reg norm="pingitur" type="context">lineatur<!--variant correxitex --></reg> , et <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> se ipsam ostendet.</s> <s xml:id="s997" xml:space="preserve"> <mml:math><mml:mi>le</mml:mi></mml:math> vero semidiametrum <mml:math><mml:mi>eh</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s998" xml:space="preserve"> Et hoc modo oculo in <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> existente omnes alios meridianos in coluro solstitiorum circulorum <emph style="super">circumferentias<!--variant supralineam--></emph> esse ostendetur et <anchor type="note" xlink:label="note-0098-12a" xlink:href="note-0098-12"/> constat etiam aequinoctiorum colurum <mml:math><mml:mi>afcg</mml:mi></mml:math> in sectione rectam apparere lineam <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s999" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="6"> <note position="left" xlink:label="note-0098-01" xlink:href="note-0098-01a" xml:space="preserve"> quoniam coluri ad rectos sunt sibi invicem angulos ipsorum quoque diametri <emph style="super"><mml:math><mml:mi>acbd</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> in plano aequinoctialis ad rectos angulos erunt, ac propterea<!--variant signopositoinmargine--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0098-02" xlink:href="note-0098-02a" xml:space="preserve"> 31 tertii<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0098-03" xlink:href="note-0098-03a" xml:space="preserve"> ex 29 primi<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0098-04" xlink:href="note-0098-04a" xml:space="preserve"> 3 tertii<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0098-05" xlink:href="note-0098-05a" xml:space="preserve"> ex 4 primi<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0098-06" xlink:href="note-0098-06a" xml:space="preserve"> 5 primi<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0098-07" xlink:href="note-0098-07a" xml:space="preserve"> 29 primi<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0098-08" xlink:href="note-0098-08a" xml:space="preserve"> 21 tertii<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0098-09" xlink:href="note-0098-09a" xml:space="preserve"> ex 32 primi<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0098-10" xlink:href="note-0098-10a" xml:space="preserve"> plano<!--variant signopositoinmargine--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0098-11" xlink:href="note-0098-11a" xml:space="preserve"> 5 primi Conicorum Apollonii<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0098-12" xlink:href="note-0098-12a" xml:space="preserve"> 22 perspectivae Euclidis<!--citmargsign--> </note> </div> <pb o="75" file="0099" n="99"/> <figure> <image file="med75" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med75"/> </figure> <p> <s xml:id="s1000" xml:space="preserve"> <anchor type="note" xlink:label="note-0099-01a" xlink:href="note-0099-01"/> <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> aequinoctialis.</s> <s xml:id="s1001" xml:space="preserve"> Sit aequinoctiorum colurus <mml:math><mml:mi>afcg</mml:mi></mml:math>, solstitiorum vero <mml:math><mml:mi>bfdg</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1002" xml:space="preserve"> Sitque centrum mundi <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math>, ac poli <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> <emph style="super">lineaque <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> mundi axis<!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s1003" xml:space="preserve"> Sit <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> communis sectio aequinoctialis et aequinoctiorum coluri <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math> vero <emph style="super">solstitiorum<!--variant supralineam--></emph> coluri et <emph style="super">aequinoctialis<!--variant supralineam--></emph> sectio communis.</s> <s xml:id="s1004" xml:space="preserve"> Deinde aequinoctiali aequidistans utcumque ducatur circulus <mml:math><mml:mi>hklm</mml:mi></mml:math> qui parallelorum aliquis existet.</s> <s xml:id="s1005" xml:space="preserve"> Ponaturque oculus itidem in <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math>, in sectione scilicet aequinoctialis aequinoctiorumque coluri.</s> <s xml:id="s1006" xml:space="preserve"> Si igitur paralleum <mml:math><mml:mi>hklm</mml:mi></mml:math> in coluro solstitiorum, in plano scilicet <mml:math><mml:mi>bfdg</mml:mi></mml:math> tamquam in sectione, sicuti oculo in <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> apparet, ostendere nos voluerimus.</s> <s xml:id="s1007" xml:space="preserve"> Dico sectionem circulum <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">circumferentiam</emph>esse<!--end variant delevit ante--> .</s> <s xml:id="s1008" xml:space="preserve"> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">Connectatur <mml:math><mml:mi>hl</mml:mi></mml:math></emph>Sit<!--end variant delevit ante--> <mml:math><mml:mi>hl</mml:mi></mml:math> paralleli <mml:math><mml:mi>hklm</mml:mi></mml:math> et coluri <mml:math><mml:mi>afcg</mml:mi></mml:math> communis sectio.</s> <s xml:id="s1009" xml:space="preserve"> Linea vero <mml:math><mml:mi>mk</mml:mi></mml:math> sit eiusdem circuli <mml:math><mml:mi>hklm</mml:mi></mml:math> colurique solstitiorum <mml:math><mml:mi>bfdg</mml:mi></mml:math> sectio communis.</s> <s xml:id="s1010" xml:space="preserve"> Et quoniam aequinoctiorum colurus <mml:math><mml:mi>afcg</mml:mi></mml:math> ad aequinoctialem <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> est ad angulos rectos, circulusque <mml:math><mml:mi>hklm</mml:mi></mml:math> est aequinoctiali <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> aequidistans.</s> <s xml:id="s1011" xml:space="preserve"> Erit <mml:math><mml:mi>afcg</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>hklm</mml:mi></mml:math> erectus.</s> <s xml:id="s1012" xml:space="preserve"> Ergo <mml:math><mml:mi>hl</mml:mi></mml:math> diameter est circuli <mml:math><mml:mi>hklm</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1013" xml:space="preserve"> Ob eandemque causam, cum circulus <mml:math><mml:mi>bfdg</mml:mi></mml:math> sit ad <mml:math><mml:mi>hklm</mml:mi></mml:math> erectus, linea <mml:math><mml:mi>km</mml:mi></mml:math> ipsius circuli <mml:math><mml:mi>hklm</mml:mi></mml:math> diameter <emph style="super">quoque<!--variant supralineam--></emph> existet.</s> <s xml:id="s1014" xml:space="preserve"> Punctum ergo <mml:math><mml:mi>s</mml:mi></mml:math> in quo se invicem secant, centrum est circuli <mml:math><mml:mi>hklm</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1015" xml:space="preserve"> Quoniam autem <emph style="super">axis<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> ad aequinoctialem est erectus, erit et ad <mml:math><mml:mi>hklm</mml:mi></mml:math> quoque rectus.</s> <s xml:id="s1016" xml:space="preserve"> Quare cum <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> transeat per spherae centrum <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math>, per centrum quoque <mml:math><mml:mi>s</mml:mi></mml:math> transibit.</s> <s xml:id="s1017" xml:space="preserve"> <emph style="super">Deinde<!--variant supralineam--></emph> ducatur <mml:math><mml:mi>al</mml:mi></mml:math>, quae lineam <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> <emph style="super">in <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math> secet<!--variant supralineam--></emph> secabit enim, cum <mml:math><mml:mi>fgal</mml:mi></mml:math> in eodem sint <reg norm="plano circuli" type="context">circulo<!--variant correxitex --></reg> <mml:math><mml:mi>afcg</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1018" xml:space="preserve"> (secet itaque in <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1019" xml:space="preserve"> Connectaturque <mml:math><mml:mi>mk</mml:mi></mml:math>, quae est communis sectio paralleli <mml:math><mml:mi>hmlk</mml:mi></mml:math>, et coluri <mml:math><mml:mi>bfdg</mml:mi></mml:math>, estque diameter circuli <mml:math><mml:mi>hmlk</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1020" xml:space="preserve">) Quoniam igitur <mml:math><mml:mi>bddg</mml:mi></mml:math> sunt quartae circuli maximi, <anchor type="note" xlink:label="note-0099-02a" xlink:href="note-0099-02"/> erit circumferentia <mml:math><mml:mi>bk</mml:mi></mml:math> circumferentiae <mml:math><mml:mi>dm</mml:mi></mml:math> aequalis, et <mml:math><mml:mi>gk</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>gm</mml:mi></mml:math> aequalis.</s> <s xml:id="s1021" xml:space="preserve"> (Primum itaque manifestum est puncta <mml:math><mml:mi>mk</mml:mi></mml:math> semicirculi <mml:math><mml:mi>klm</mml:mi></mml:math> non <!--milestone lacs--> eademque in sectione apparere, atque puntum <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math> apparere in <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math>, cum linea <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> sit in sectione).</s> <s xml:id="s1022" xml:space="preserve"> <!--begin variant delevit post-->Connectanturque<emph style="st">deinde<!--end variant delevit post--></emph> <!--begin variant delevit post--><mml:math><mml:mi>ah</mml:mi></mml:math><emph style="st">aliquot literas<!--end variant delevit post--></emph> , lineaequa <mml:math><mml:mi>aheg</mml:mi></mml:math> ex parte <mml:math><mml:mi>hg</mml:mi></mml:math> protrahantur, quae cum in eodem sint plano <mml:math><mml:mi>afcg</mml:mi></mml:math> <emph style="super">sitque angulus <mml:math><mml:mi>aeg</mml:mi></mml:math> rectus, et <mml:math><mml:mi>eha</mml:mi></mml:math> recto minor<!--variant supralineam--></emph> intersese convenient <emph style="super">quare<!--variant supralineam--></emph> <reg norm="concurrantque" type="context">concurrant<!--variant correxitex --></reg> in <mml:math><mml:mi>o</mml:mi></mml:math>, a punctoque <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>fgo</mml:mi></mml:math> aequidistans ducatur <mml:math><mml:mi>hp</mml:mi></mml:math>, quae linea <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> <anchor type="note" xlink:label="note-0099-03a" xlink:href="note-0099-03"/> in <mml:math><mml:mi>r</mml:mi></mml:math> perpendiculariter secabit, <anchor type="note" xlink:label="note-0099-04a" xlink:href="note-0099-04"/> eritque <mml:math><mml:mi>hr</mml:mi></mml:math> aequalis <mml:math><mml:mi>rp</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1023" xml:space="preserve"> <reg norm="iunctaque igitur" type="context">Iungaturuqe<!--variant correxitex --></reg> <mml:math><mml:mi>ap</mml:mi></mml:math> <anchor type="note" xlink:label="note-0099-05a" xlink:href="note-0099-05"/> duae <mml:math><mml:mi>hrra</mml:mi></mml:math> angulum rectum <!--begin variant delevit post-->continentes<emph style="st">aliquot literas<!--end variant delevit post--></emph> duabus <mml:math><mml:mi>prra</mml:mi></mml:math> angulum similiter rectum comprehendentibus sint aequales, <anchor type="note" xlink:label="note-0099-06a" xlink:href="note-0099-06"/> erit <emph style="super"><mml:math><mml:mi>ap</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> aequalis <mml:math><mml:mi>ah</mml:mi></mml:math>, ac propterea <anchor type="note" xlink:label="note-0099-07a" xlink:href="note-0099-07"/> angulus <mml:math><mml:mi>ahp</mml:mi></mml:math> angulo <mml:math><mml:mi>aph</mml:mi></mml:math> aequalis erit.</s> <s xml:id="s1024" xml:space="preserve"> Quoniam igitur <anchor type="note" xlink:label="note-0099-08a" xlink:href="note-0099-08"/> angulus <mml:math><mml:mi>ahp</mml:mi></mml:math> est angulo <mml:math><mml:mi>hog</mml:mi></mml:math> aequalis, et <anchor type="note" xlink:label="note-0099-09a" xlink:href="note-0099-09"/> <mml:math><mml:mi>aph</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>alh</mml:mi></mml:math> aequalis, erit angulus <mml:math><mml:mi>hog</mml:mi></mml:math> angulo <mml:math><mml:mi>alh</mml:mi></mml:math> aequalis.</s> <s xml:id="s1025" xml:space="preserve"> Sunt autem duo triangula <mml:math><mml:mi>alh</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>ano</mml:mi></mml:math>, quorum angulus <mml:math><mml:mi>hal</mml:mi></mml:math> est utrique communis et angulus <mml:math><mml:mi>aon</mml:mi></mml:math> est ipsi <mml:math><mml:mi>alh</mml:mi></mml:math> aequalis, erit reliquus <mml:math><mml:mi>ahl</mml:mi></mml:math> reliquo <mml:math><mml:mi>ano</mml:mi></mml:math> aequalis <emph style="super">triangulum ergo <mml:math><mml:mi>ahl</mml:mi></mml:math> simile est triangulo <mml:math><mml:mi>ano</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s1026" xml:space="preserve"> Si itaque <emph style="super">connectatur <mml:math><mml:mi>as</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> intelligaturque <reg norm="scalenus conus" type="context">conus scalenus<!--variant correxitex --></reg> <emph style="super"><mml:math><mml:mi>ahl</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> cuius basis parallelus circulus sit <reg norm="hmlk" type="context">hklm<!--variant correxitex --></reg> <emph style="super">axis <mml:math><mml:mi>as</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> et vertex <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math>, qui per axem <mml:math><mml:mi>as</mml:mi></mml:math> <emph style="super">ducto<!--variant supralineam--></emph> plano secetur <mml:math><mml:mi>ahl</mml:mi></mml:math>, quod est ad rectos angulos plano basi <mml:math><mml:mi>bmlk</mml:mi></mml:math>, cum <!--begin variant delevit post-->sit<emph style="st">planum<!--end variant delevit post--></emph> <mml:math><mml:mi>ahl</mml:mi></mml:math> in plano <mml:math><mml:mi>afcg</mml:mi></mml:math>, quod est erectum plano <!--begin variant delevit post--><mml:math><mml:mi>hklm</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>hklm</mml:mi></mml:math><emph style="st">aequinoctiali aequidistans<!--end variant delevit post--></emph> .</s> <s xml:id="s1027" xml:space="preserve"> <emph style="super">EritErit<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>ahl</mml:mi></mml:math> triangulum per axem basis erectum.</s> <s xml:id="s1028" xml:space="preserve"> Intelligatur praeterea conica <emph style="it">superficies ex parte<!--variant descriptio: add, in marg. folii 76--></emph> <!--begin variant delevit post--><mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math><emph style="st">producta<!--end variant delevit post--></emph> usque ad <mml:math><mml:mi>o</mml:mi></mml:math> producta.</s> <s xml:id="s1029" xml:space="preserve"> <reg norm="Conusque" type="context">Conus<!--variant correxitex --></reg> deinde altero quoque plano secetur per <emph style="super">lineas<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>nso</mml:mi></mml:math>, <!--begin variant delevit post--><mml:math><mml:mi>nsk</mml:mi></mml:math><emph style="st">ducto<!--end variant delevit post--></emph> hoc est per planum <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">aliquot literas</emph>solstitiorum<!--end variant delevit ante--> coluri ducto.</s> <s xml:id="s1030" xml:space="preserve"> Sitque sectio <mml:math><mml:mi>knmo</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1031" xml:space="preserve"> Erit huius sectionis <mml:math><mml:mi>knmo</mml:mi></mml:math> planum ad planum trianguli <mml:math><mml:mi>ahl</mml:mi></mml:math> erectum.</s> <s xml:id="s1032" xml:space="preserve"> Cum solstitiorum colurus <mml:math><mml:mi>bfdg</mml:mi></mml:math> <emph style="super">in cuius plano<!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">in quo</emph>est<!--end variant delevit ante--> sectio <mml:math><mml:mi>knmo</mml:mi></mml:math>, <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">aliquot literas</emph>aequinoctiorum<!--end variant delevit ante--> coluro <emph style="super"><mml:math><mml:mi>afcg</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> in <!--begin variant delevit post-->quo<emph style="st">est<!--end variant delevit post--></emph> triangulum per axem <mml:math><mml:mi>ahl</mml:mi></mml:math> existit, ad rectos sit angulos.</s> <s xml:id="s1033" xml:space="preserve"> <reg norm="Cum itaque" type="context">Itaque cum<!--variant correxitex --></reg> in plano trianguli <mml:math><mml:mi>ahl</mml:mi></mml:math>, triangulum existat <mml:math><mml:mi>ano</mml:mi></mml:math> <emph style="super">ipsi<!--variant supralineam--></emph> triangulo <mml:math><mml:mi>ahl</mml:mi></mml:math> simile angulus autem <mml:math><mml:mi>ahl</mml:mi></mml:math> est aequalis angulo <mml:math><mml:mi>ano</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>alh</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>aon</mml:mi></mml:math> aequalis.</s> <s xml:id="s1034" xml:space="preserve"> Erit triangulum <mml:math><mml:mi>ano</mml:mi></mml:math> triangulo <mml:math><mml:mi>ahl</mml:mi></mml:math> subcontrarie positum.</s> <s xml:id="s1035" xml:space="preserve"> Ergo sectio <mml:math><mml:mi>knmo</mml:mi></mml:math> circulus est.</s> <s xml:id="s1036" xml:space="preserve"> Quare oculo existente in <!--begin variant delevit post--><mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math><emph style="st">parallelus <!--milestone lacs--> <!--milestone lacs--><!--end variant delevit post--></emph> circulus <mml:math><mml:mi>knmo</mml:mi></mml:math> in plano solstitiorum coluri parallelum <mml:math><mml:mi>hklm</mml:mi></mml:math> ostendet.</s> <s xml:id="s1037" xml:space="preserve"> Quod demonstrare oportebat.</s> <s xml:id="s1038" xml:space="preserve"> Secat deinde altero plano per <mml:math><mml:mi>mkngo</mml:mi></mml:math> ducto.</s> <s xml:id="s1039" xml:space="preserve"> Erit planum <mml:math><mml:mi>mnko</mml:mi></mml:math> plano <mml:math><mml:mi>hmlk</mml:mi></mml:math> subcontrarie <pb o="76" file="0100" n="100"/> positum, <anchor type="note" xlink:label="note-0100-01a" xlink:href="note-0100-01"/> ergo <mml:math><mml:mi>mnko</mml:mi></mml:math> circulus est, circumferentiaque <mml:math><mml:mi>mnk</mml:mi></mml:math> semicirculum <mml:math><mml:mi>mlk</mml:mi></mml:math> in sectione ostendet, et <mml:math><mml:mi>mok</mml:mi></mml:math> semicirculum <mml:math><mml:mi>mhk</mml:mi></mml:math>, qui in astrolabo non lineatur, et <mml:math><mml:mi>mk</mml:mi></mml:math> se ipsam ostendet, et <mml:math><mml:mi>sn</mml:mi></mml:math> semidiametrum <mml:math><mml:mi>sl</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1040" xml:space="preserve"> Et hac ratione existente oculo in <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> omnes alios parallelos in solstitiorum coluro tamquam in sectione circulos esse demonstrabitur praeterquam <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math>, <anchor type="note" xlink:label="note-0100-02a" xlink:href="note-0100-02"/> quae aequinoctialem ostendet.</s> <s xml:id="s1041" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="7"> <note position="left" xlink:label="note-0099-01" xlink:href="note-0099-01a" xml:space="preserve"> Sit ut prius<!--variant signopositoinmargine--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0099-02" xlink:href="note-0099-02a" xml:space="preserve"> 10 secundi sphericorum Theodosii<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0099-03" xlink:href="note-0099-03a" xml:space="preserve"> ex 29 primi<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0099-04" xlink:href="note-0099-04a" xml:space="preserve"> 3 tertii<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0099-05" xlink:href="note-0099-05a" xml:space="preserve"> cum enim<!--variant signopositoinmargine--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0099-06" xlink:href="note-0099-06a" xml:space="preserve"> ex 4 primi<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0099-07" xlink:href="note-0099-07a" xml:space="preserve"> 5 primi<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0099-08" xlink:href="note-0099-08a" xml:space="preserve"> 29 primi<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0099-09" xlink:href="note-0099-09a" xml:space="preserve"> 21 tertii<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0100-01" xlink:href="note-0100-01a" xml:space="preserve"> 5 primi Conicorum Apollonii<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0100-02" xlink:href="note-0100-02a" xml:space="preserve"> 22 <emph style="it">Perspectivae</emph><!--citmargsign--> </note> </div> <figure> <image file="med76" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med76"/> </figure> <p> <s xml:id="s1042" xml:space="preserve"> His demonstratis, si in astrolabo omnes meridianos, parallelosque per omnes gradus transeuntes describere voluerimus.</s> <s xml:id="s1043" xml:space="preserve"> Exponatur circulus <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math>, qui dividatur in <mml:math><mml:mi>360</mml:mi></mml:math> gradus, ut fieri solet.</s> <s xml:id="s1044" xml:space="preserve"> Sintque diametri <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math> invicem perpendiculares.</s> <s xml:id="s1045" xml:space="preserve"> Intelligatur primum <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> aequinoctiorum colurus, et punctum <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> esse in aequinoctiali, et a punto <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> ad singulos gradus in <mml:math><mml:mi>bcd</mml:mi></mml:math> existentes ducantur lineae, quae diametrum <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math> secent.</s> <s xml:id="s1046" xml:space="preserve"> Post intelligatur <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> solstitiorum colurus, si igitur per tria puncta quorum duo sunt gradus utrinque a punctis <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math> <emph style="super">vel<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math>, quae polorum vicem gerunt, aequaliter distantes, alterum est in linea <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math>, quod dictis gradibus respondet, circuli describentur, erunt hi ex proxime demonstratis tot paralleli.</s> <s xml:id="s1047" xml:space="preserve"> Intelligatur deinde <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> circulus aequinoctialis, et punctum <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math> esse in coluro aequinoctiorum a quo ad singulos gradus in <mml:math><mml:mi>cda</mml:mi></mml:math> existentes ducantur lineae, quae diametrum <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> secent.</s> <s xml:id="s1048" xml:space="preserve"> Rursum intelligatur <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> solstitiorum colurus, et <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math> poli mundi, ac per singulas divisiones, et per <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math> circuli describantur, ex antecedente demonstratione erunt hi tot meridiani.</s> <s xml:id="s1049" xml:space="preserve"> Ergo in coluro solstitiorum, et paralleli, et meridiani, qui in dimidia sphera existunt, descripti erunt.</s> <s xml:id="s1050" xml:space="preserve"> Et <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math> aequinoctiorum colurum ostendet, <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> vero aequinoctialem Caetera hinc astrolabo necessaria a Gemma Phrisio dicta sunt.</s> <s xml:id="s1051" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="77" file="0101" n="101"/> <figure> <image file="med77" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med77"/> </figure> <p> <s xml:id="s1052" xml:space="preserve"> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">supposuimus</emph>Si<!--end variant delevit ante--> <reg norm="circulus maximus" type="context">maximus circulus<!--variant correxitex --></reg> <emph style="super">quempiam<!--variant supralineam--></emph> circulum ad rectos angulos <emph style="bf">secet<!--variant postcorrectionem--></emph> <emph style="super"> communem sectionem esse alii circuli diametrum<!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s1053" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s1054" xml:space="preserve"> Sit maximus circulus <emph style="super"><mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> , qui ad rectos angulos circulum <emph style="super"><mml:math><mml:mi>afcg</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> <emph style="super">secet;</emph></s> <s xml:id="s1055" xml:space="preserve"> <emph style="super">ipsorumque sit <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> sectio communis<!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s1056" xml:space="preserve"> Dico <!--begin variant delevit ante--><emph style="st"><mml:math><mml:mi>hl</mml:mi></mml:math></emph><mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math><!--end variant delevit ante--> diametrum esse circuli <emph style="super"><mml:math><mml:mi>afcg</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s1057" xml:space="preserve"> <emph style="super"> Primum quidem circulus <mml:math><mml:mi>afcg</mml:mi></mml:math> vel maximus est, vel non, si non<!--variant supralineam--></emph> :</s> <s xml:id="s1058" xml:space="preserve"> sit spherae centrum <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math> <anchor type="note" xlink:label="note-0101-01a" xlink:href="note-0101-01"/> et a puncto <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math> ad planum <emph style="super"><mml:math><mml:mi>afcg</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> perpendicularis ducatur <mml:math><mml:mi>eh</mml:mi></mml:math>, <anchor type="note" xlink:label="note-0101-02a" xlink:href="note-0101-02"/> cadet <mml:math><mml:mi>eh</mml:mi></mml:math> in communem sectionem <emph style="super"><mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> ;</s> <s xml:id="s1059" xml:space="preserve"> sed et in centrum <anchor type="note" xlink:label="note-0101-03a" xlink:href="note-0101-03"/> circuli cadit, ergo punctum <emph style="bf"><mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math><!--variant postcorrectionem--></emph> centrum est circuli <emph style="super"> <mml:math><mml:mi>afcg</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> quare <emph style="super"><mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> diameter est circuli <emph style="super"> <mml:math><mml:mi>afcg</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s1060" xml:space="preserve"> <anchor type="note" xlink:label="note-0101-04a" xlink:href="note-0101-04"/> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">quod si <mml:math><mml:mi>hflg</mml:mi></mml:math></emph>circulum<!--end variant delevit ante--> secaret maximum.</s> <s xml:id="s1061" xml:space="preserve"> Ex undecimi primi sphericorum Theodosii patet propositum.</s> <s xml:id="s1062" xml:space="preserve"> Quod demonstrare oportebat.</s> <s xml:id="s1063" xml:space="preserve"> Aliud est quoque planispherium catholicum a D.</s> <s xml:id="s1064" xml:space="preserve"> Ioanne de Roias editum, a nobisque <!--begin variant delevit post-->cognitum<emph style="st">quod sectionem quoque habet in coluro solstitiorum<!--end variant delevit post--></emph> .</s> <s xml:id="s1065" xml:space="preserve"> Nemo tamen demonstravit quid sit.</s> <s xml:id="s1066" xml:space="preserve"> Immo quicquid de ipso in <emph style="super">eius cognitionem<!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">hoc</emph>dixere<!--end variant delevit ante--> <emph style="super">quod viderim<!--variant supralineam--></emph> meo quidem iudicio male locuti sunt.</s> <s xml:id="s1067" xml:space="preserve"> Nam ipsemet Ioannes de Roias <emph style="super">nos docere volens unde planispherium hoc ortum suum ducat<!--variant supralineam--></emph> primo libro capite undecimo inquit.</s> <s xml:id="s1068" xml:space="preserve"> ``Universa igitur ratio nobis hoc loci a perspectiva trahitur'' </s> </p> <div type="float" level="2" n="8"> <note position="left" xlink:label="note-0101-01" xlink:href="note-0101-01a" xml:space="preserve"> quod et circuli <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> centrum quoque erit<!--variant signopositoinmargine--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0101-02" xlink:href="note-0101-02a" xml:space="preserve"> 38 undecimi<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0101-03" xlink:href="note-0101-03a" xml:space="preserve"> ex 7 primi sphericorum Theodosii<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0101-04" xlink:href="note-0101-04a" xml:space="preserve"> Si vero <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math><!--variant signopositoinmargine--> </note> </div> <p> <s xml:id="s1069" xml:space="preserve"> Gemma Phrisius <emph style="super">vero instrumenti huius originem intimius explicare contendens<!--variant supralineam--></emph> in libro de astrolabo catholico capite primo dicit:</s> <s xml:id="s1070" xml:space="preserve"> ``Huius autem deformatio unde originem sumat difficile est explicare mihi vero videtur ab intuitu per spheram in planum produci, quemadmodum reliquae iam dictae spherae planae.</s> <s xml:id="s1071" xml:space="preserve"> Sed intellectu potius id concipitur, quam manu perficitur siquis igitur cogitet spheram cum suis circulis meridianis, et parallelis, qui omnium maximos habent usus proponi visui, oculus vero in infinitum (si fieri potest) absistat radiosque per hemispherium in planum subiectum fundat, ita ut puncta aequinoctialia in rectum oculo opponatur.</s> <s xml:id="s1072" xml:space="preserve">'' <anchor type="note" xlink:label="note-0101-05a" xlink:href="note-0101-05"/> quam simplicite est eius cognitionem verba faciat <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">sum</emph>nam<!--end variant delevit ante--> quomodo <reg norm="possibile est rem aliquam ex perspectiva oriri" type="context">rem aliquam ex perspectiva oriri possibile est<!--variant correxitex --></reg> , minus vero infinita sit distantia positus.</s> <s xml:id="s1073" xml:space="preserve"> Hoc enim ipsi perspectivae repugnet.</s> <s xml:id="s1074" xml:space="preserve"> Verum <reg norm="in presentarum eius verba propendere" type="context">eius verba propendere in presentarum<!--variant correxitex --></reg> non <emph style="super">est<!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit post-->opus<emph style="st">est<!--end variant delevit post--></emph> , sat est <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">Ex quibus apparet</emph>illos<!--end variant delevit ante--> in eadem esse scientia, nempe ex perspectiva ortum <!--begin variant delevit post-->ducere<emph style="st">nihil <!--milestone lacs--> demonstratione<!--end variant delevit post--></emph> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">quod <!--milestone lacs--> falsum est, nam nihil et aliud, quam proprie <!--milestone lacs--></emph>et<!--end variant delevit ante--> qui parum in analemmate Ptolomei versati sunt facile, nullaque difficultate hoc cognoscent;</s> <s xml:id="s1075" xml:space="preserve"> quod <!--begin variant delevit post-->enim<emph style="st">est<!--end variant delevit post--></emph> aliud sunt rectae lineae, quae in planispherio aequinoctialem, tropicos, reliquosque solis parallelos ostendunt, <pb o="78" file="0102" n="102"/> quam aequinoctialis, et <emph style="super">meridiani<!--variant supralineam--></emph> , tropicorum <emph style="super">et meridiani<!--variant supralineam--></emph> ac reliquorum solis parallelorum, et meridiani communes sectiones.</s> <s xml:id="s1076" xml:space="preserve"> Hoc enim ex ipsius constructione <emph style="super">nec non operatione<!--variant supralineam--></emph> et ex analemmate prospicuum est.</s> <s xml:id="s1077" xml:space="preserve"> Sed ut universaliter eius cognitionem habeamus, <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">ostendemus</emph>ea<!--end variant delevit ante--> omnia, quae in hoc astrolabo continentur, nihil aliud esse <emph style="super">ostendamus<!--variant supralineam--></emph> quam perpendiculares, quae a <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">dimidio</emph>spherae<!--end variant delevit ante--> circulis ad planum coluri solstitiorum ducuntur.</s> <s xml:id="s1078" xml:space="preserve"> <emph style="super">Ita ut planispheriiIta<!--variant supralineam--></emph> ut planispherii planum sit solstitiorum colurus, in quo non solum <emph style="super">ea quae<!--variant supralineam--></emph> ex altera <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">parte</emph>dimidiae<!--end variant delevit ante--> spheare parte <emph style="super">ad diametrum coluri perpendiculariter cadunt<!--variant supralineam--></emph> ostenduntur verum etiam, quae <emph style="super">utrinque<!--variant supralineam--></emph> a tota sphera ad ipsum planum <!--begin variant delevit post-->perpendiculares<emph style="st">ducuntur<!--end variant delevit post--></emph> ex utraque parte ducuntur in dicto plano solstitiorum coluri ostenduntur.</s> <s xml:id="s1079" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="9"> <note position="left" xlink:label="note-0101-05" xlink:href="note-0101-05a" xml:space="preserve"> Ex quibus apparet<!--variant signopositoinmargine--> </note> </div> <figure> <image file="med78" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med78"/> </figure> <p> <s xml:id="s1080" xml:space="preserve"> Sit solstitiorum colurus, <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">et meridianus</emph><mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math><!--end variant delevit ante--> , <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">sitque</emph>centrum<!--end variant delevit ante--> mundi <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math>, poli <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">et</emph>ductaque<!--end variant delevit ante--> <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math> <emph style="super">mundi axis<!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s1081" xml:space="preserve"> Sit <mml:math><mml:mi>afcg</mml:mi></mml:math> aequinoctialis, <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">aliquot literas</emph><mml:math><mml:mi>hklm</mml:mi></mml:math><!--end variant delevit ante--> tropicus cancri, <emph style="super"><mml:math><mml:mi>nopq</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> capricorni, et <emph style="super"><mml:math><mml:mi>nflg</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> ecliptica.</s> <s xml:id="s1082" xml:space="preserve"> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">Sitque <mml:math><mml:mi>bfdg</mml:mi></mml:math> colurus aequinoctiorum</emph>Sit<!--end variant delevit ante--> itaque <anchor type="note" xlink:label="note-0102-01a" xlink:href="note-0102-01"/> <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> aequinoctialis, et <emph style="super">solstitiorum coluri<!--variant supralineam--></emph> communis sectio, <anchor type="note" xlink:label="note-0102-02a" xlink:href="note-0102-02"/> sint <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">sint</emph><mml:math><mml:mi>gkln</mml:mi></mml:math> vero<!--end variant delevit ante--> <emph style="super">solstitiorum coluri<!--variant supralineam--></emph> et tropicorum sectiones <!--begin variant delevit post-->communes<emph style="st">et <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math> colurorum atque<!--end variant delevit post--></emph> , <emph style="super">recta vero linea<!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit post--><mml:math><mml:mi>nl</mml:mi></mml:math><emph style="st">in<!--end variant delevit post--></emph> eclipticae, <emph style="super">solstitiorum coluri sit<!--variant supralineam--></emph> communis sectio.</s> <s xml:id="s1083" xml:space="preserve"> Quoniam enim aequinoctialis, et tropici ad rectos sint <!--begin variant delevit post-->angulos<emph style="st">ad<!--end variant delevit post--></emph> <anchor type="note" xlink:label="note-0102-03a" xlink:href="note-0102-03"/> <mml:math><mml:mi>bacd</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1084" xml:space="preserve"> Si igitur in circumferentiis quaevis summantur puncta <emph style="super"> <mml:math><mml:mi>kmfgoq</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> , a quibus ad planum <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> perpendiculares ducantur.</s> <s xml:id="s1085" xml:space="preserve"> Haec <anchor type="note" xlink:label="note-0102-04a" xlink:href="note-0102-04"/> omnes in suas communes cadent sectiones.</s> <s xml:id="s1086" xml:space="preserve"> Et hoc accidet omnibus punctis horum circulorum.</s> <s xml:id="s1087" xml:space="preserve"> Similiter quoniam <emph style="super">ecliptica <mml:math><mml:mi>nflg</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">Zodiacus <mml:math><mml:mi>bfk</mml:mi></mml:math>, et colurus <mml:math><mml:mi>bfdg</mml:mi></mml:math></emph>ad<!--end variant delevit ante--> idem planum <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> ad rectos <emph style="super">est<!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">aliquot literas</emph>angulos<!--end variant delevit ante--> , <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">ab</emph>si igitur<!--end variant delevit ante--> omnibus <emph style="super">igitur<!--variant supralineam--></emph> punctis in <anchor type="note" xlink:label="note-0102-05a" xlink:href="note-0102-05"/> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st"><mml:math><mml:mi>bfdg</mml:mi></mml:math></emph>sumptis<!--end variant delevit ante--> ad planumque <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> <reg norm="ducatur" type="context">ductis<!--variant correxitex --></reg> , cadent omnes in <!--begin variant delevit post--><mml:math><mml:mi>nl</mml:mi></mml:math><emph style="st"><mml:math><mml:mi>k[hl]</mml:mi></mml:math> et quod<!--end variant delevit post--></emph> idem <!--begin variant delevit post-->eveniet<emph style="st">in omnibus<!--end variant delevit post--></emph> aliis <emph style="super">solis<!--variant supralineam--></emph> parallelis, ut si <reg norm="op" type="context">rs<!--variant correxitex --></reg> sit communis sectio <emph style="super">solstitiorum coluri<!--variant supralineam--></emph> , et principii tauri, similiter si ab eius circumferentia ad planum <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> perpendiculares ducantur;</s> <s xml:id="s1088" xml:space="preserve"> omnes in lineam <emph style="super"><mml:math><mml:mi>rs</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s1089" xml:space="preserve"> cadent.</s> <s xml:id="s1090" xml:space="preserve"> Et ita <!--begin variant delevit post-->in<emph style="st">reliquis parallelis, et<!--end variant delevit post--></emph> circulis articis, et antarticis <emph style="super">atque reliquis<!--variant supralineam--></emph> omnibus parallelis <!--begin variant delevit post-->qui<emph style="st">aliquot literas<!--end variant delevit post--></emph> inter <mml:math><mml:mi>hb</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>nd</mml:mi></mml:math> existunt et in planispherio <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> aequinoctialem ostendet, <reg norm="gkln" type="context">hlns<!--variant correxitex --></reg> tropicos, <reg norm="nl" type="context">nlk<!--variant correxitex --></reg> eclipticam <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math> mundi <!--begin variant delevit post-->axem<emph style="st">aliquot verba<!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super"><mml:math><mml:mi>rs</mml:mi></mml:math> vero<!--variant supralineam--></emph> principii tauri parallelum ostendet.</s> <s xml:id="s1091" xml:space="preserve"> <anchor type="note" xlink:label="note-0102-06a" xlink:href="note-0102-06"/> potius, quam demonstratione cum nihil penitus demonstrent.</s> <s xml:id="s1092" xml:space="preserve"> Affirmant, his forsan adducti <emph style="super">probabilibus<!--variant supralineam--></emph> persuasionibus primum ut ex ipsorum verbis etiam <!--begin variant delevit post--> colligitur<emph style="st">aliquot verba<!--end variant delevit post--></emph> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">aliquot verba</emph>alia<!--end variant delevit ante--> planispheria.</s> <s xml:id="s1093" xml:space="preserve"> Astrolabum scilicet a nobis supra declaratum, necnon Ptolomei planispherium a Ioanne Stoflerino editum, ortum ducere a perspectiva.</s> <s xml:id="s1094" xml:space="preserve"> Et hoc est quoque <!--begin variant delevit post-->planispherium<emph style="st">aliquot literas<!--end variant delevit post--></emph> .</s> <s xml:id="s1095" xml:space="preserve"> Ergo ex perspectiva hoc quoque oritur.</s> <s xml:id="s1096" xml:space="preserve"> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">ita propositionem faciant utilem omnia <mml:math><mml:mi>pl</mml:mi></mml:math>.</emph></s> <s xml:id="s1097" xml:space="preserve">.Post<!--end variant delevit ante--> cum in planispheria philosofarent.</s> <s xml:id="s1098" xml:space="preserve"> Impossibile forsan ipsis visum est.</s> <s xml:id="s1099" xml:space="preserve"> Spheram aliquam in plano posse describi, nisi suam <emph style="super">fuerat<!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">ducat</emph>originem<!--end variant delevit ante--> a perspectiva, ita ut ex his propositionem faciant universalem.</s> <s xml:id="s1100" xml:space="preserve"> Omnia planispheria ex perspectiva oriri.</s> <s xml:id="s1101" xml:space="preserve"> Quod tum est manifeste falsum.</s> <s xml:id="s1102" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="10"> <note position="left" xlink:label="note-0102-01" xlink:href="note-0102-01a" xml:space="preserve"> recta<!--variant signopositoinmargine--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0102-02" xlink:href="note-0102-02a" xml:space="preserve"> rectaeque <mml:math><mml:mi>hlnp</mml:mi></mml:math><!--variant signopositoinmargine--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0102-03" xlink:href="note-0102-03a" xml:space="preserve"> solstitiorum coluro<!--variant signopositoinmargine--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0102-04" xlink:href="note-0102-04a" xml:space="preserve"> 38 undecimi<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0102-05" xlink:href="note-0102-05a" xml:space="preserve"> <mml:math><mml:mi>nflg</mml:mi></mml:math><!--variant signopositoinmargine--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0102-06" xlink:href="note-0102-06a" xml:space="preserve"> Et hoc immaginatione<!--variant inmargine--> </note> </div> <p> <s xml:id="s1103" xml:space="preserve"> Rationem autem, quo in planispherio hae rectae lineae est D.</s> <s xml:id="s1104" xml:space="preserve">Ioan de Roias describuntur, vide supra, 71, 72, qua ponenda sunt.</s> <s xml:id="s1105" xml:space="preserve"> .</s> <s xml:id="s1106" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="79" file="0103" n="103"/> <figure> <image file="med79" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med79"/> </figure> <p> <s xml:id="s1107" xml:space="preserve"> Sed ad meridianos <emph style="super">itaque<!--variant supralineam--></emph> circulosque horarios deveniamus, et quod sint in astrolabo ostendamus.</s> <s xml:id="s1108" xml:space="preserve"> Nam eos nonnulli vocant circulos, alii lineas curvas anomalas, quae neque "circuli sunt, neque certa designatione constitutae, sed tantum per puncta adsignata ut ipsemet D.</s> <s xml:id="s1109" xml:space="preserve"> Ioannes de Roias.</s> <s xml:id="s1110" xml:space="preserve"> Nobis vero facile erit ostendere <emph style="super">etiam ex ipsorum constructione<!--variant supralineam--></emph> ellipses esse.</s> <s xml:id="s1111" xml:space="preserve"> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">Eadem autem ut prius construantur axisque <mml:math><mml:mi>bed</mml:mi></mml:math> secet <mml:math><mml:mi>gk</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>i</mml:mi></mml:math></emph>Erit<!--end variant delevit ante--> <anchor type="note" xlink:label="note-0103-01a" xlink:href="note-0103-01"/> <emph style="super"> utique punctum<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>i</mml:mi></mml:math> centrum <emph style="super">circuli<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>gqko</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1112" xml:space="preserve"> Sit postea in sphera meridianus aliquis <mml:math><mml:mi>brdh</mml:mi></mml:math> qui aequinoctialem secet in <emph style="super">punctis<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>rl</mml:mi></mml:math> <emph style="super">parallelum<!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">tropicum</emph>vero<!--end variant delevit ante--> in <mml:math><mml:mi>q</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1113" xml:space="preserve"> Et a punctis <mml:math><mml:mi>qrl</mml:mi></mml:math> ad planum <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> perpendiculares ducantur <mml:math><mml:mi>rs,lz,qt</mml:mi></mml:math>, quae <anchor type="note" xlink:label="note-0103-02a" xlink:href="note-0103-02"/> in <mml:math><mml:mi>acgk</mml:mi></mml:math> cadent <anchor type="note" xlink:label="note-0103-03a" xlink:href="note-0103-03"/> <mml:math><mml:mi>rl</mml:mi></mml:math> sunt in aequinoctiali atque punctum <mml:math><mml:mi>q</mml:mi></mml:math> in parallelo qui quidem <!--begin variant delevit post-->circuli<emph style="st">ad<!--end variant delevit post--></emph> solstitiorum coluro ad rectos existunt angulos quia vero circulus <mml:math><mml:mi>bqrdl</mml:mi></mml:math> inclinatus est ad planum <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> <anchor type="note" xlink:label="note-0103-04a" xlink:href="note-0103-04"/> per centrum <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math> circuli <mml:math><mml:mi>brdl</mml:mi></mml:math> transit cum sit <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math> ipsorum communis sectio suntque <mml:math><mml:mi>qt,rs</mml:mi></mml:math>, <emph style="it"><mml:math><mml:mi>lz</mml:mi></mml:math><!--variant descriptio: add. in eadem linea--></emph> <emph style="super">ad<!--variant supralineam--></emph> planum <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> perpendiculares;</s> <s xml:id="s1114" xml:space="preserve"> erunt puncta <mml:math><mml:mi>btsdz</mml:mi></mml:math> in <!--begin variant delevit post-->ellipsi<emph style="st">ut demonstravit Federicus Commandinus in libro de horologiorum descriptione, <!--milestone lacs--><!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super">ipsiusque<!--variant supralineam--></emph> maior axis <emph style="super">erit<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math>, minor vero <!--begin variant delevit post--><mml:math><mml:mi>sz</mml:mi></mml:math><emph style="st">ipsius <mml:math><mml:mi>es</mml:mi></mml:math> duplum, (quoniam ut) nam cum<!--end variant delevit post--></emph> .</s> <s xml:id="s1115" xml:space="preserve"> <emph style="super">Nam cum<!--variant supralineam--></emph> <reg norm="punctum" type="context">puncta<!--variant correxitex --></reg> <mml:math><mml:mi>rl</mml:mi></mml:math> <emph style="bf">sint<!--variant postcorrectionem--></emph> in aequinoctiali, <reg norm="erit" type="context">erunt<!--variant correxitex --></reg> <!--begin variant delevit post--><mml:math><mml:mi>br</mml:mi></mml:math><emph style="st">ipsi<!--end variant delevit post--></emph> <mml:math><mml:mi>rd</mml:mi></mml:math> aequales <emph style="super">et <mml:math><mml:mi>bl</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>ld</mml:mi></mml:math> aequales, nec non omnes circuli quartae, iuncta igitur <mml:math><mml:mi>lr</mml:mi></mml:math> per centrum <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math> transibit<!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">et utraque quarta circuli</emph>eritque<!--end variant delevit ante--> <emph style="super"> diameter <mml:math><mml:mi>lr</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> diametro <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math> perpendicularis ac propterea <mml:math><mml:mi>sz</mml:mi></mml:math> <emph style="super">ellipsis<!--variant supralineam--></emph> minor est axis.</s> <s xml:id="s1116" xml:space="preserve"> Nunc autem considerandum est, an <mml:math><mml:mi>st</mml:mi></mml:math> sint puncta, quae D.</s> <s xml:id="s1117" xml:space="preserve"> Iannis de Roias reperire docet, ut quae per ipsa transit curva linea, sit in planispherio meridianus, circulusque horarius.</s> <s xml:id="s1118" xml:space="preserve"> <emph style="super">Nam cumNam cumNam<!--variant supralineam--></emph> circumferentia <reg norm="gqk" type="context">gpk<!--variant correxitex --></reg> <emph style="super">sit<!--variant supralineam--></emph> semicirculus, itidemque <mml:math><mml:mi>arc</mml:mi></mml:math> semicirculus, et circuli maximi <reg norm="bqrd" type="context">bprd<!--variant correxitex --></reg> <mml:math><mml:mi>bkcd</mml:mi></mml:math> parallelos secant circulos <reg norm="gqk" type="context">gpk<!--variant correxitex --></reg> <mml:math><mml:mi>arc</mml:mi></mml:math>, quorum poli sunt <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1119" xml:space="preserve"> <anchor type="note" xlink:label="note-0103-05a" xlink:href="note-0103-05"/> erit circumferentia <reg norm="kq" type="context">kp<!--variant correxitex --></reg> circumferentiae <mml:math><mml:mi>cr</mml:mi></mml:math> similis, quia vero a punctis <reg norm="rq" type="context">rp<!--variant correxitex --></reg> ad diametros <mml:math><mml:mi>gkac</mml:mi></mml:math> ductae sunt perpendiculares <reg norm="qt" type="context">pt<!--variant correxitex --></reg> <mml:math><mml:mi>rs</mml:mi></mml:math>, erit <mml:math><mml:mi>es</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>sc</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>it</mml:mi></mml:math> ad <!--begin variant delevit post--><mml:math><mml:mi>tk</mml:mi></mml:math><emph style="st">ut infra eandem<!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super">ex supra demonstratis<!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s1120" xml:space="preserve"> Et hoc modo si ab omnibus punctis circuli <reg norm="bqrd" type="context">bprd<!--variant correxitex --></reg> <emph style="super">ut<!--variant supralineam--></emph> ad planum <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> perpendiculares ducantur ad <!--begin variant delevit post--><mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math><emph style="st">ut <mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math> ex loco curvo<!--end variant delevit post--></emph> omnes in ellipsi cadent <emph style="super">demonstrabimus<!--variant supralineam--></emph> , ostendemusque semidiametros <!--begin variant delevit post-->parallelorum<emph style="st">et aliorum, ut <mml:math><mml:mi>mr</mml:mi></mml:math><!--end variant delevit post--></emph> ab <emph style="super">ut <mml:math><mml:mi>omn</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> ita esse divisos, ut <mml:math><mml:mi>es</mml:mi></mml:math> <!--begin variant delevit post--><mml:math><mml:mi>se</mml:mi></mml:math><emph style="st"><!--milestone lacs--> ut supra in meridiani punctum <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math> qui ad <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> perpendicularis ducatur <mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math>, a punctaque <!--milestone lacs--><!--end variant delevit post--></emph> .</s> <s xml:id="s1121" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="11"> <note position="left" xlink:label="note-0103-01" xlink:href="note-0103-01a" xml:space="preserve"> 10 primi sphericorum Theodosii<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0103-02" xlink:href="note-0103-02a" xml:space="preserve"> 38 undecimi<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0103-03" xlink:href="note-0103-03a" xml:space="preserve"> 18ottobre6: siquidem puncta<!--variant signopositoinmargine--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0103-04" xlink:href="note-0103-04a" xml:space="preserve"> quod quidem<!--variant signopositoinmargine--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0103-05" xlink:href="note-0103-05a" xml:space="preserve"> 10 secundi sphericorum Theodosii<!--citmargsign--> </note> </div> <pb o="80" file="0104" n="104"/> <p> <s xml:id="s1122" xml:space="preserve"> Quoniam autem quando meridianos, circulosve horarios in planispherio describere volunt;</s> <s xml:id="s1123" xml:space="preserve"> in circumferentiis <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">aliquot literas</emph><mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math><!--end variant delevit ante--> <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math> arcus accipiunt aequales, ut <mml:math><mml:mi>budx</mml:mi></mml:math>, vel quod idem est <emph style="bf"><mml:math><mml:mi>cu</mml:mi></mml:math><!--variant postcorrectionem--></emph> <emph style="bf"><mml:math><mml:mi>cx</mml:mi></mml:math><!--variant postcorrectionem--></emph> , sitque <mml:math><mml:mi>cu</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>cr</mml:mi></mml:math> aequalis <emph style="super">erit enim et <mml:math><mml:mi>bn</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>fr</mml:mi></mml:math> aequalis.</emph></s> <s xml:id="s1124" xml:space="preserve"> <emph style="super">Deinde<!--variant supralineam--></emph> <reg norm="ducunturque" type="context">ducuntur<!--variant correxitex --></reg> lineam <mml:math><mml:mi>ux</mml:mi></mml:math>, quae <emph style="super">diametrum<!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">lineam</emph>aequinoctialis<!--end variant delevit ante--> <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> <emph style="super">secet<!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">secabit</emph>in<!--end variant delevit ante--> <mml:math><mml:mi>s</mml:mi></mml:math> sinus versus <mml:math><mml:mi>cs</mml:mi></mml:math> est utrique arcui <mml:math><mml:mi>cucr</mml:mi></mml:math> communis.</s> <s xml:id="s1125" xml:space="preserve"> Deinde secundum hanc proportionem, et tropicos, ac reliquos parallelos dividunt, ita <emph style="super">nimirum<!--variant supralineam--></emph> ut <!--begin variant delevit post-->sit<emph style="st">aliquot literas<!--end variant delevit post--></emph> <mml:math><mml:mi>es</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>sc</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>it</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>tk</mml:mi></mml:math>, et <!--begin variant delevit ante--><emph style="st"><mml:math><mml:mi>fm</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>mn</mml:mi></mml:math></emph>et<!--end variant delevit ante--> per puncta in parallelis signata <emph style="super">nempe <mml:math><mml:mi>stm</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> et <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math> manu ducunt lineam curvam, puta <mml:math><mml:mi>bmtsd</mml:mi></mml:math>, <reg norm="quae" type="context">quam<!--variant correxitex --></reg> in astrolabo meridianum ostendere affirmant et est quidem verissimum.</s> <s xml:id="s1126" xml:space="preserve"> <emph style="super">QuareQuare<!--variant supralineam--></emph> <emph style="super">puncta<!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">ellipsis</emph><mml:math><mml:mi>bmtsd</mml:mi></mml:math><!--end variant delevit ante--> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">aliquot literas</emph>sunt<!--end variant delevit ante--> in ellipsi <emph style="super">nam<!--variant supralineam--></emph> puncta <emph style="super"><mml:math><mml:mi>tm</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> in <reg norm="parallelis" type="context">parallelorum<!--variant correxitex --></reg> <emph style="super">diametris<!--variant supralineam--></emph> ipsi <mml:math><mml:mi>s</mml:mi></mml:math> respondentia eadem ex dictis sunt prorsus, ubi a <emph style="super"> sectionibus<!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">punctis</emph>circuli<!--end variant delevit ante--> <mml:math><mml:mi>brd</mml:mi></mml:math> <emph style="super">ac parallelorum<!--variant supralineam--></emph> ad planum <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> perpendiculares cadunt, quae omnia in ellipsi esse ostensa sunt.</s> <s xml:id="s1127" xml:space="preserve"> Ellipsis igitur <emph style="super">medietas<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>bmtsd</mml:mi></mml:math> in astrolabo medietatem meridiani, scilicet <mml:math><mml:mi>brd</mml:mi></mml:math> ostendet.</s> <s xml:id="s1128" xml:space="preserve"> Et hac ratione, meridianos omnes in planispherio ellipses esse ostendetur.</s> <s xml:id="s1129" xml:space="preserve"> </s> </p> <note position="left" xml:space="preserve"> Quamvis Ioannes de Roias in sexto libro cap. 5 per tria punctaque utinque ab aequinoctialis respondent circulorum circumferentias describi posse falso existimat cum nulla sit in ellipsi pars quae sit circuli circumferentia.<!--variant inmargine--> </note> <p> <s xml:id="s1130" xml:space="preserve"> Postea considerandum occurrit, si altera sit medietas meridiani <reg norm="bhd" type="context">bhyd<!--variant correxitex --></reg> aequaliter distans a <mml:math><mml:mi>bad</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>brd</mml:mi></mml:math> a <mml:math><mml:mi>bcd</mml:mi></mml:math> <emph style="super">vel aequaliter a punto <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math> distans, ut sit <mml:math><mml:mi>fy</mml:mi></mml:math> aequalis <mml:math><mml:mi>fr</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> eodemque modo inveniatur in plano <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> ellipsis <mml:math><mml:mi>bzd</mml:mi></mml:math>, meridiani medietatem <reg norm="bld" type="context">byd<!--variant correxitex --></reg> ostendens.</s> <s xml:id="s1131" xml:space="preserve"> Erit haec ellipsis medietas <mml:math><mml:mi>bzd</mml:mi></mml:math> ellipsis medietati <mml:math><mml:mi>bsd</mml:mi></mml:math> aequalis.</s> <s xml:id="s1132" xml:space="preserve"> Tota ergo <mml:math><mml:mi>bsdz</mml:mi></mml:math> ellipsiss integra erit cuius maior axis est <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>sz</mml:mi></mml:math> minor.</s> <s xml:id="s1133" xml:space="preserve"> <emph style="super">Quae quidem<!--variant supralineam--></emph> ut diximus <emph style="super">in planisphaerio<!--variant supralineam--></emph> non solum has meridianorum <!--begin variant delevit post-->medietates<emph style="st">ostendet<!--end variant delevit post--></emph> verum etiam reliquas ipsorum meridianorum medietates, quae in altero sunt planisphaerio, ostendet.</s> <s xml:id="s1134" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s1135" xml:space="preserve"> Ex dictis patet omnia ex perpendicularibus, quae a circulis <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">dimidiae</emph>spherae<!--end variant delevit ante--> ad planum solstitiorum <emph style="bf">coluri<!--variant postcorrectionem--></emph> ducuntur, oriri.</s> <s xml:id="s1136" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="81" file="0105" n="105"/> <figure> <image file="med81" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med81"/> </figure> <p> <s xml:id="s1137" xml:space="preserve"> Quod suppositum est sic ostendetur.</s> <s xml:id="s1138" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s1139" xml:space="preserve"> Sint inaequales semicirculi <mml:math><mml:mi>abcdef</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1140" xml:space="preserve"> Quorum centra <mml:math><mml:mi>gh</mml:mi></mml:math> <emph style="super">diametrique vero <mml:math><mml:mi>acdf</mml:mi></mml:math>.</emph></s> <s xml:id="s1141" xml:space="preserve"> <emph style="super">Summantur<!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">Sit</emph>autem<!--end variant delevit ante--> <anchor type="note" xlink:label="note-0105-01a" xlink:href="note-0105-01"/> circumferentiae <emph style="super"><mml:math><mml:mi> bcef</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st"><mml:math><mml:mi> bc</mml:mi></mml:math> circumferentia <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math></emph>similes<!--end variant delevit ante--> <emph style="super">quae sint circuli quartae minores<!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">et</emph>a<!--end variant delevit ante--> punctisque <mml:math><mml:mi>be</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>acdf</mml:mi></mml:math> perpendiculares ducantur <mml:math><mml:mi>bkel</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1142" xml:space="preserve"> Dico ita esse <mml:math><mml:mi>gk</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>kc</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>hl</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>lf</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1143" xml:space="preserve"> Connectantur <mml:math><mml:mi>gbhe</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1144" xml:space="preserve"> Quoniam enim circumferentia <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> similis est circumferentiae <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math>, erit angulus <mml:math><mml:mi>bgc</mml:mi></mml:math> angulo <mml:math><mml:mi>ehf</mml:mi></mml:math> aequalis, et anguli ad <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math>, sunt recti ergo reliquus <mml:math><mml:mi>gbk</mml:mi></mml:math> reliquo <mml:math><mml:mi>hel</mml:mi></mml:math> est <!--begin variant delevit post-->aequalis<emph style="st">ut igitur <mml:math><mml:mi>kg</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>gb</mml:mi></mml:math>, hoc est ad <mml:math><mml:mi>gc</mml:mi></mml:math>, ita <mml:math><mml:mi>lh</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>he</mml:mi></mml:math>, hoc est ad <mml:math><mml:mi>hf</mml:mi></mml:math>.</emph></s> <s xml:id="s1145" xml:space="preserve"> <emph style="st">Et convertendo <mml:math><mml:mi>cg</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>gk</mml:mi></mml:math>, ita <mml:math><mml:mi>fh</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>hl</mml:mi></mml:math>, atque<!--end variant delevit post--></emph> .</s> <s xml:id="s1146" xml:space="preserve"> <anchor type="note" xlink:label="note-0105-02a" xlink:href="note-0105-02"/> <mml:math><mml:mi>bg</mml:mi></mml:math> hoc est <mml:math><mml:mi>cg</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>gk</mml:mi></mml:math>, ita <mml:math><mml:mi>eh</mml:mi></mml:math>, hoc est <mml:math><mml:mi>fh</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi> fl</mml:mi></mml:math> et dividendo, <anchor type="note" xlink:label="note-0105-03a" xlink:href="note-0105-03"/> ut <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>kg</mml:mi></mml:math>, ita <mml:math><mml:mi>fl</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>lh</mml:mi></mml:math>, <emph style="super">denique<!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">aliquot verba</emph>convertendo<!--end variant delevit ante--> ut <mml:math><mml:mi>gk</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>kc</mml:mi></mml:math>, ita <mml:math><mml:mi>hl</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>lf</mml:mi></mml:math>, quod demonstrare oportebat.</s> <s xml:id="s1147" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="12"> <note position="left" xlink:label="note-0105-01" xlink:href="note-0105-01a" xml:space="preserve"> in extremitatibus <mml:math><mml:mi>cf</mml:mi></mml:math><!--variant signopositoinmargine--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0105-02" xlink:href="note-0105-02a" xml:space="preserve"> Ut igitur<!--variant signopositoinmargine--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0105-03" xlink:href="note-0105-03a" xml:space="preserve"> 11 quinti<!--citmargsign--> </note> </div> <pb o="82" file="0106" n="106"/> <p> <s xml:id="s1148" xml:space="preserve"> <!--begin variant delevit post-->Poli altitudinem<emph style="st"><!--begin dag-->qualibet die<!--end dag--> quadam ora inveniatur<!--end variant delevit post--></emph> absque <emph style="super">solis<!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">stellarumque</emph>observatione<!--end variant delevit ante--> meridiana, ac sine cognitione Zodiaci gradus, in quo sol reperitur <anchor type="note" xlink:label="note-0106-01a" xlink:href="note-0106-01"/> .</s> <s xml:id="s1149" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="13"> <note position="left" xlink:label="note-0106-01" xlink:href="note-0106-01a" xml:space="preserve"> inveniri<!--variant signopositoinmargine--> </note> </div> <p> <s xml:id="s1150" xml:space="preserve"> Haec autem prius ostendere oportet.</s> <s xml:id="s1151" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med82" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med82"/> </figure> <p> <s xml:id="s1152" xml:space="preserve"> Duobus datis punctis unum tantum planum per data puncta transiens ad alterum planum ad rectos angulos <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">duci potest</emph>duci<!--end variant delevit ante--> potest.</s> <s xml:id="s1153" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s1154" xml:space="preserve"> Sit planum <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1155" xml:space="preserve"> Sintque data duo puncta <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1156" xml:space="preserve"> Dico unum tantum planum per puncta <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math> transiens ad planum <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> erectum duci posse.</s> <s xml:id="s1157" xml:space="preserve"> Si enim fieri potest, <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">sint</emph>duo<!--end variant delevit ante--> <emph style="super">ducantur<!--variant supralineam--></emph> plana <mml:math><mml:mi>ckfdclhd</mml:mi></mml:math>, quae per puncta <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math> transeant, et utraque ad rectos sint <!--begin variant delevit post-->angulos<emph style="st">ad<!--end variant delevit post--></emph> <reg norm="planum" type="context">plano<!--variant correxitex --></reg> <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> <anchor type="note" xlink:label="note-0106-02a" xlink:href="note-0106-02"/> planorum <mml:math><mml:mi>abcf</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>lh</mml:mi></mml:math> planorum <mml:math><mml:mi>abdl</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1158" xml:space="preserve"> Et a puncto <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>kf</mml:mi></mml:math> perpendicularis ducatur <mml:math><mml:mi>ce</mml:mi></mml:math> quae <anchor type="note" xlink:label="note-0106-03a" xlink:href="note-0106-03"/> ad planum <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> perpendicularis existet, similiter ab eodem puncto <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>lh</mml:mi></mml:math> perpendicularis ducatur <mml:math><mml:mi>cg</mml:mi></mml:math>, quae ad idem planum <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> itidem perpendicularis erit.</s> <s xml:id="s1159" xml:space="preserve"> Denique connectatur <mml:math><mml:mi>eg</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1160" xml:space="preserve"> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">Connectatur <mml:math><mml:mi>eg</mml:mi></mml:math>.</emph></s> <s xml:id="s1161" xml:space="preserve"><emph style="st"> <!--milestone lacs--> puncta <mml:math><mml:mi>eg</mml:mi></mml:math> in plano <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> <!--milestone lacs--> lineae <!--milestone lacs--> <!--milestone lacs--> <!--milestone lacs--> <!--milestone lacs--> <!--milestone lacs--></emph>Quoniam<!--end variant delevit ante--> igitur <mml:math><mml:mi>ce</mml:mi></mml:math> est ad planum <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> perpendicularis, erit angulus <mml:math><mml:mi>ceg</mml:mi></mml:math> rectus.</s> <s xml:id="s1162" xml:space="preserve"> Similiter quoniam <mml:math><mml:mi>cg</mml:mi></mml:math> est ad <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> quoque perpendicularis, erit angulus <mml:math><mml:mi>gce</mml:mi></mml:math> rectus.</s> <s xml:id="s1163" xml:space="preserve"> In triangulo igitur <mml:math><mml:mi>ceg</mml:mi></mml:math> duo anguli ad <mml:math><mml:mi>eg</mml:mi></mml:math> duobus sunt rectis aequales.</s> <s xml:id="s1164" xml:space="preserve"> Quod est impossibile.</s> <s xml:id="s1165" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="14"> <note position="left" xlink:label="note-0106-02" xlink:href="note-0106-02a" xml:space="preserve"> sit <mml:math><mml:mi>kf</mml:mi></mml:math> communis sectio<!--variant signopositoinmargine--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0106-03" xlink:href="note-0106-03a" xml:space="preserve"> 38 undecimi<!--citmargsign--> </note> </div> </div> <div type="section" level="1" n="32"> <head xml:id="head32" xml:space="preserve"> Aliter </head> <p> <s xml:id="s1166" xml:space="preserve"> Iisdem <!--begin variant delevit post-->positis<emph style="st">sit <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> communis sectio plani <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>gh</mml:mi></mml:math> vero ipsius <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>dg</mml:mi></mml:math>, et a puncto <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> perpendicularis ducatur <mml:math><mml:mi>ce</mml:mi></mml:math> quae ad <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> perpendicularis sit similiter a puncto <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>gh</mml:mi></mml:math> perpendicularis agatur <mml:math><mml:mi>cg</mml:mi></mml:math>.</emph></s> <s xml:id="s1167" xml:space="preserve"> <emph style="st">Erit quoque <mml:math><mml:mi>cg</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> perpendicularis<!--end variant delevit post--></emph> et <emph style="super">constructis<!--variant supralineam--></emph> quoniam igitur <emph style="super">linea<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>ce</mml:mi></mml:math> est ad <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> perpendicularis.</s> <s xml:id="s1168" xml:space="preserve"> Similiter <mml:math><mml:mi>cg</mml:mi></mml:math> ad idem planum perpendicularis.</s> <s xml:id="s1169" xml:space="preserve"> <anchor type="note" xlink:label="note-0106-04a" xlink:href="note-0106-04"/> erunt <mml:math><mml:mi>cecg</mml:mi></mml:math> parallelae quod est impossibile Per puncta ergo <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math> unum tantum duci potest planum ad <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> erectum.</s> <s xml:id="s1170" xml:space="preserve"> Quod demonstrare oportebat.</s> <s xml:id="s1171" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="1"> <note position="left" xlink:label="note-0106-04" xlink:href="note-0106-04a" xml:space="preserve"> <!--milestone lacs--> undecimi<!--citmargsign--> </note> </div> <pb o="83" file="0107" n="107"/> <figure> <image file="med83" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med83"/> </figure> <p> <s xml:id="s1172" xml:space="preserve"> Sit meridianus <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math>, cuius centrum <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math>, sitque horizon <mml:math><mml:mi>afc</mml:mi></mml:math>, cuius, et meridiani sit communis sectio <mml:math><mml:mi>aec</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1173" xml:space="preserve"> Sitque punctum verticis <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math>, oppositum <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1174" xml:space="preserve"> Et qualibet hora solis altitudo supra <!--begin variant delevit post-->horizontem<emph style="st">accipiatur<!--end variant delevit post--></emph> , eiusque in horizonte circumferentia, quantum scilicet a meridiano distat <emph style="super">accipiatur<!--variant supralineam--></emph> sitque primum <emph style="super">sol<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s1175" xml:space="preserve"> ita ut in verticali circulo <mml:math><mml:mi>bgfd</mml:mi></mml:math> solis altitudo sit <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1176" xml:space="preserve"> Circumferentiaque in horizonte a meridiano distans sit <mml:math><mml:mi>cf</mml:mi></mml:math> et per <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math> circulus describatur <mml:math><mml:mi>hgk</mml:mi></mml:math> horizonti aequidistans, cuius centrum <emph style="super">erit in ducta linea <!--milestone lacs--> ut in<!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit post--><mml:math><mml:mi> i</mml:mi></mml:math><emph style="st">et<!--end variant delevit post--></emph> huiusque circuli, et meridiani sit <mml:math><mml:mi>hik</mml:mi></mml:math> sectio communis;</s> <s xml:id="s1177" xml:space="preserve"> quae <anchor type="note" xlink:label="note-0107-01a" xlink:href="note-0107-01"/> erit aequidistans <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1178" xml:space="preserve"> Et cum <mml:math><mml:mi>bgfbkc</mml:mi></mml:math> sint maximorum <!--begin variant delevit post-->circulorum<emph style="st">aliquot literas<!--end variant delevit post--></emph> quartae.</s> <s xml:id="s1179" xml:space="preserve"> <anchor type="note" xlink:label="note-0107-02a" xlink:href="note-0107-02"/> erit circumferentia <mml:math><mml:mi>kc</mml:mi></mml:math> circumferentiae <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math>, hoc est solis altitudini aequalis.</s> <s xml:id="s1180" xml:space="preserve"> Rursus eadem die, atque altera quacumque hora solis altitudo inveniatur, nec non in horizonte circumferentia a meridiano distans <emph style="super">ut si fuerit sol in <mml:math><mml:mi>m</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> <reg norm="sitque" type="context">sit<!--variant correxitex --></reg> altitudo <mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math> in circulo verticali <mml:math><mml:mi>bmld</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1181" xml:space="preserve"> Circumferentiaque in horizonte a meridie distans, sit <mml:math><mml:mi>cl</mml:mi></mml:math> et per <mml:math><mml:mi>m</mml:mi></mml:math> circulus horizonti aequidistans describatur <mml:math><mml:mi>nmo</mml:mi></mml:math>, cuius centrum <mml:math><mml:mi>p</mml:mi></mml:math> <emph style="super">erit quoque in linea <mml:math><mml:mi>be</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> cuius <emph style="super">quidem circuli<!--variant supralineam--></emph> et meridiani sit communis sectio <mml:math><mml:mi>npo</mml:mi></mml:math>, quae itidem ipsi <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> erit aequidistans, et <emph style="super">cum similiter sint <mml:math><mml:mi>blbc</mml:mi></mml:math> circuli quartae erit<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>co</mml:mi></mml:math> solis altitudini <mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math> <!--begin variant delevit post-->aequalis<emph style="st">sunt<!--end variant delevit post--></emph> .</s> <s xml:id="s1182" xml:space="preserve"> <emph style="super">Postea<!--variant supralineam--></emph> connectantur <mml:math><mml:mi>gi</mml:mi></mml:math> <!--begin variant delevit post--><mml:math><mml:mi>fe</mml:mi></mml:math><emph style="st"> <anchor type="note" xlink:label="note-0107-03a" xlink:href="note-0107-03"/> linea <mml:math><mml:mi>ba</mml:mi></mml:math> per centra <mml:math><mml:mi>ip</mml:mi></mml:math> transibit<!--end variant delevit post--></emph> et quoniam plana <mml:math><mml:mi>hgk</mml:mi></mml:math> <emph style="bf"><mml:math><mml:mi> afc</mml:mi></mml:math><!--variant postcorrectionem--></emph> ad rectos sunt angulos ad verticalem circulum <!--begin variant delevit post--><mml:math><mml:mi>bgfd</mml:mi></mml:math><emph style="st">aliquot verba<!--end variant delevit post--></emph> , <anchor type="note" xlink:label="note-0107-04a" xlink:href="note-0107-04"/> erunt <emph style="super">communes sectiones<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>igef </mml:mi></mml:math>parallelae.</s> <s xml:id="s1183" xml:space="preserve"> Eademque ratione, ductis <mml:math><mml:mi>pmel</mml:mi></mml:math>, erunt hae quoque <emph style="super">propter verticalem circulum <mml:math><mml:mi>bmld</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> intersese parallelae.</s> <s xml:id="s1184" xml:space="preserve"> Quoniam <anchor type="note" xlink:label="note-0107-05a" xlink:href="note-0107-05"/> autem <mml:math><mml:mi>bie</mml:mi></mml:math> est ad plana <mml:math><mml:mi>hgkafc</mml:mi></mml:math> perpendicularis, erunt anguli <mml:math><mml:mi>eigief</mml:mi></mml:math> recti.</s> <s xml:id="s1185" xml:space="preserve"> Ducatur itaque a puncto <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math> ad horizontem perpendicularis <mml:math><mml:mi>gq</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1186" xml:space="preserve"> Cadet haec in lineam <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> <anchor type="note" xlink:label="note-0107-06a" xlink:href="note-0107-06"/> et <anchor type="note" xlink:label="note-0107-07a" xlink:href="note-0107-07"/> <mml:math><mml:mi>eq</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>ig</mml:mi></mml:math> semidiametro circuli <mml:math><mml:mi>hgk</mml:mi></mml:math> <emph style="super">hoc est <mml:math><mml:mi>ik</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> erit aequalis.</s> <s xml:id="s1187" xml:space="preserve"> Similiter ducta <mml:math><mml:mi>mr</mml:mi></mml:math> ad horizontem perpendicularis:</s> <s xml:id="s1188" xml:space="preserve"> <emph style="super">demonstrabitur<!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">erit</emph><mml:math><mml:mi> er</mml:mi></mml:math><!--end variant delevit ante--> semidiametro <emph style="bf"><mml:math><mml:mi> pm</mml:mi></mml:math><!--variant postcorrectionem--></emph> <emph style="super">hoc est <mml:math><mml:mi>po</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> <reg norm="aequalis" type="context">aequalem<!--variant correxitex --></reg> <emph style="super">esse<!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s1189" xml:space="preserve"> Ducantur deinde <pb o="84" file="0108" n="108"/> a punctis <mml:math><mml:mi>qg</mml:mi></mml:math> ad meridianum perpendiculares <mml:math><mml:mi>qsgt</mml:mi></mml:math>, quae <anchor type="note" xlink:label="note-0108-01a" xlink:href="note-0108-01"/> in <mml:math><mml:mi>hk</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> cadent, et <anchor type="note" xlink:label="note-0108-02a" xlink:href="note-0108-02"/> interse aequidistantes erunt.</s> <s xml:id="s1190" xml:space="preserve"> Et quoniam <anchor type="note" xlink:label="note-0108-03a" xlink:href="note-0108-03"/> cirumferentia <mml:math><mml:mi>kg</mml:mi></mml:math> est circumferentiae <mml:math><mml:mi>cf</mml:mi></mml:math> similis, erit angulus <mml:math><mml:mi>gik</mml:mi></mml:math> angulo <mml:math><mml:mi>fec</mml:mi></mml:math> aequalis, et angulus <mml:math><mml:mi>itg</mml:mi></mml:math> rectus recto <mml:math><mml:mi>esq</mml:mi></mml:math> <emph style="super">est<!--variant supralineam--></emph> aequalis, estque <mml:math><mml:mi>ig</mml:mi></mml:math> aequalis <mml:math><mml:mi>eq</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1191" xml:space="preserve"> Ergo <anchor type="note" xlink:label="note-0108-04a" xlink:href="note-0108-04"/> <mml:math><mml:mi>gt</mml:mi></mml:math> aequalis est <mml:math><mml:mi>qs</mml:mi></mml:math>, quare ducta <mml:math><mml:mi>ts</mml:mi></mml:math> <anchor type="note" xlink:label="note-0108-05a" xlink:href="note-0108-05"/> erit ipsi <mml:math><mml:mi>gq</mml:mi></mml:math> aequalis, et aequidistans.</s> <s xml:id="s1192" xml:space="preserve"> Similiter ostendetur ductis <emph style="super"><mml:math><mml:mi>rn</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>mx</mml:mi></mml:math> ad meridianum perpendicularibus, ductaque <mml:math><mml:mi>nx</mml:mi></mml:math>, <emph style="super">ipsum<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>nx</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi> rm</mml:mi></mml:math> <reg norm="aequalis" type="context">aequalem<!--variant correxitex --></reg> , <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">esse</emph>et<!--end variant delevit ante--> et <reg norm="aequisdistans" type="context">aequidistantem<!--variant correxitex --></reg> <anchor type="note" xlink:label="note-0108-06a" xlink:href="note-0108-06"/> .</s> <s xml:id="s1193" xml:space="preserve"> Itaque ducitur per puncta <mml:math><mml:mi>tx</mml:mi></mml:math> in meridiano recta linea <mml:math><mml:mi>ytxz</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1194" xml:space="preserve"> Et quoniam <mml:math><mml:mi>gtmx</mml:mi></mml:math> sunt ad meridianum perpendiculares, <anchor type="note" xlink:label="note-0108-07a" xlink:href="note-0108-07"/> erunt intersese parallelae, et ad <mml:math><mml:mi>yz</mml:mi></mml:math> perpendiculares.</s> <s xml:id="s1195" xml:space="preserve"> Ergo <anchor type="note" xlink:label="note-0108-08a" xlink:href="note-0108-08"/> in uno, et eodem sunt sunt plano lineae <mml:math><mml:mi>yz</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>tgxm</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1196" xml:space="preserve"> Per quas idcirco ducatur planum, circulum in sphera efficiens <mml:math><mml:mi>ygmz</mml:mi></mml:math>, <anchor type="note" xlink:label="note-0108-09a" xlink:href="note-0108-09"/> erit circulus <mml:math><mml:mi>ygmz</mml:mi></mml:math> ad meridianum erectus.</s> <s xml:id="s1197" xml:space="preserve"> Quoniam autem, sol qualibet die circulum describit, qui ad meridianum est erectus, cuius polus est polus mundi, ac circulus <mml:math><mml:mi>ygmz</mml:mi></mml:math> ubi sol bis eadem die reperitur, est ad meridianum erectus.</s> <s xml:id="s1198" xml:space="preserve"> Impossibileque <emph style="bf">est<!--variant postcorrectionem--></emph> aliud planum ducere per puncta <mml:math><mml:mi>gm</mml:mi></mml:math> transiens, quod ad idem meridianum sit erectum.</s> <s xml:id="s1199" xml:space="preserve"> Erit circulus <mml:math><mml:mi>ygmz</mml:mi></mml:math> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">solis</emph>parallelus<!--end variant delevit ante--> , quem sol ea die percurrit, cuius diameter est <mml:math><mml:mi>yz</mml:mi></mml:math> <emph style="super">quae ad axem mundi est perpendicularis, parallelique<!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">aliquot literas</emph>polus<!--end variant delevit ante--> est mundi polus.</s> <s xml:id="s1200" xml:space="preserve"> Quare dividatur circumferentia <mml:math><mml:mi>ykz</mml:mi></mml:math> bifariam in puncto <mml:math><mml:mi>ρ</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1201" xml:space="preserve"> Erit <mml:math><mml:mi>ρ</mml:mi></mml:math> polus mundi.</s> <s xml:id="s1202" xml:space="preserve"> Ergo <mml:math><mml:mi>c ρ</mml:mi></mml:math> poli <reg norm="altitudo" type="context">altitudinem<!--variant correxitex --></reg> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">est</emph>supra<!--end variant delevit ante--> horizontem <mml:math><mml:mi>afc</mml:mi></mml:math> ostendet.</s> <s xml:id="s1203" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="2"> <note position="left" xlink:label="note-0107-01" xlink:href="note-0107-01a" xml:space="preserve"> 16 undecimi<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0107-02" xlink:href="note-0107-02a" xml:space="preserve"> 10 secundi sphericorum Theodosii<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0107-03" xlink:href="note-0107-03a" xml:space="preserve"> 10 primi sphericorum Theodosii<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0107-04" xlink:href="note-0107-04a" xml:space="preserve"> 16 undecimi<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0107-05" xlink:href="note-0107-05a" xml:space="preserve"> 9 et 10 primi sphericorum Theodosii<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0107-06" xlink:href="note-0107-06a" xml:space="preserve"> ipsaque <!--milestone lacs--> ipsi aequalis et aequidistans <!--milestone lacs--> ergo<!--variant signopositoinmargine--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0107-07" xlink:href="note-0107-07a" xml:space="preserve"> 33 primi<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0108-01" xlink:href="note-0108-01a" xml:space="preserve"> 34 undecimi<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0108-02" xlink:href="note-0108-02a" xml:space="preserve"> 6 undecimi<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0108-03" xlink:href="note-0108-03a" xml:space="preserve"> 10 secundi sphericorum Theodosii<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0108-04" xlink:href="note-0108-04a" xml:space="preserve"> 6 primi<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0108-05" xlink:href="note-0108-05a" xml:space="preserve"> 33 primi<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0108-06" xlink:href="note-0108-06a" xml:space="preserve"> esse<!--variant signopositoinmargine--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0108-07" xlink:href="note-0108-07a" xml:space="preserve"> 6 undecimi<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0108-08" xlink:href="note-0108-08a" xml:space="preserve"> 7 undecimi<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0108-09" xlink:href="note-0108-09a" xml:space="preserve"> 18 undecimi<!--citmargsign--> </note> </div> <p> <s xml:id="s1204" xml:space="preserve"> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">aliquot verba</emph>Operatio<!--end variant delevit ante--> facillima quidem erit <reg norm="hoc modo" type="context">hoc modo<!--variant correxitex --></reg> .</s> <s xml:id="s1205" xml:space="preserve"> facillima quidem erit hoc modo.</s> <s xml:id="s1206" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="85" file="0109" n="109"/> <figure> <image file="med85" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med85"/> </figure> <p> <s xml:id="s1207" xml:space="preserve"> Sit circulus <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math>, cuius centrum <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math>, sintque diametri <mml:math><mml:mi>acbd</mml:mi></mml:math> invicem ad rectos angulos.</s> <s xml:id="s1208" xml:space="preserve"> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">Accipiatur primum circulus per meridiana, et <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> meridiani, et per horizontes communis sectio</emph>Sumatur<!--end variant delevit ante--> solis altitudo, <emph style="super">cui aequalis ponatur<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>ck</mml:mi></mml:math> <emph style="super">necnon eodem tempore quantum sit distans a meridiano, cui sit aequalis circumferentia <mml:math><mml:mi>cf</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> et a puncto <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> aequidistans ducatur <mml:math><mml:mi>kih</mml:mi></mml:math>, quae a linea <mml:math><mml:mi>be</mml:mi></mml:math> bifariam dividitur in <mml:math><mml:mi>i</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1209" xml:space="preserve"> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">Sitque <mml:math><mml:mi>cf</mml:mi></mml:math> circumferentia in horizonte, <!--milestone lacs--> sit a meridiano distans</emph>Et<!--end variant delevit ante--> connectatur <mml:math><mml:mi>fe</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1210" xml:space="preserve"> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">Et</emph>Fiatque<!--end variant delevit ante--> <mml:math><mml:mi>eq</mml:mi></mml:math> aequalis <mml:math><mml:mi>ik</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1211" xml:space="preserve"> Rursus eadem die <emph style="super">aliaque quacumque hora<!--variant supralineam--></emph> solis altitudo accipiatur, quae sit <mml:math><mml:mi>co</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1212" xml:space="preserve"> Circumferentiaque in horizonte a meridiano distans sit <mml:math><mml:mi>cl</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1213" xml:space="preserve"> Et a puncto <mml:math><mml:mi>o</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> similiter aequidistans ducatur <mml:math><mml:mi>opn</mml:mi></mml:math>, quae a linea <mml:math><mml:mi>be</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>p</mml:mi></mml:math> bifariam dividitur.</s> <s xml:id="s1214" xml:space="preserve"> Et <emph style="super">iungatur <mml:math><mml:mi>el</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> fiatque <mml:math><mml:mi>er</mml:mi></mml:math> aequalis <mml:math><mml:mi>po</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1215" xml:space="preserve"> <emph style="super">Nunc itaque<!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">Propterea</emph>intelligatur<!--end variant delevit ante--> <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> horizon, et <mml:math><mml:mi>eqferl</mml:mi></mml:math> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">in</emph>esse<!--end variant delevit ante--> in horizonte <emph style="super">lineaque <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> horizontis et meridiani communis sectio<!--variant supralineam--></emph> et a punctis <mml:math><mml:mi>qr</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> perpendiculares ducantur <mml:math><mml:mi>qsrn</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1216" xml:space="preserve"> <emph style="super">Inventis punctis <mml:math><mml:mi>sn </mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">Rursus</emph>intelligatur<!--end variant delevit ante--> <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> meridianus <emph style="super">et <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit post-->horizontis<emph style="st">deinde<!--end variant delevit post--></emph> et meridiani sectio communis maneat deinde <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">et</emph>a<!--end variant delevit ante--> punctis <mml:math><mml:mi>sn</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> perpendiculares ducantur <mml:math><mml:mi>stux</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1217" xml:space="preserve"> Secetque <mml:math><mml:mi>st</mml:mi></mml:math> lineam <mml:math><mml:mi>bk</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>t</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>ux</mml:mi></mml:math> lineam <mml:math><mml:mi>no</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>x</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1218" xml:space="preserve"> Ducaturque <mml:math><mml:mi>ytxz</mml:mi></mml:math>, erit ex dictis <mml:math><mml:mi>ytxz</mml:mi></mml:math> communis sectio meridiani et paralleli, quem sol ea die perlustrat.</s> <s xml:id="s1219" xml:space="preserve"> Dividatur itaque circumferentia <mml:math><mml:mi>ykz</mml:mi></mml:math> bifariam in <mml:math><mml:mi>ρ</mml:mi></mml:math>:</s> <s xml:id="s1220" xml:space="preserve"> erit <mml:math><mml:mi>ρ</mml:mi></mml:math> polus mundi.</s> <s xml:id="s1221" xml:space="preserve"> Et <mml:math><mml:mi>i ρ</mml:mi></mml:math> ipsius altitudinem horizontem <emph style="super">ostendet<!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s1222" xml:space="preserve"> Quod invenire oportebat.</s> <s xml:id="s1223" xml:space="preserve"> Quoniam autem in operatione <emph style="super">ntelligentiam separatim duximus<!--variant supralineam--></emph> perpendiculares <mml:math><mml:mi>ruux</mml:mi></mml:math> <emph style="super">quae quidem<!--variant supralineam--></emph> in unam rectam coincidunt lineam, cum anguli ad <mml:math><mml:mi>u</mml:mi></mml:math> sint recti.</s> <s xml:id="s1224" xml:space="preserve"> Quod idem evenit ipsis <mml:math><mml:mi>qsst</mml:mi></mml:math> idcircirco <emph style="super">ut puncta <mml:math><mml:mi>tx</mml:mi></mml:math> inveniantur<!--variant supralineam--></emph> sat erit a puncto <mml:math><mml:mi>r</mml:mi></mml:math> ad lineam <mml:math><mml:mi>no</mml:mi></mml:math> perpendicularem ducere <mml:math><mml:mi>rx</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1225" xml:space="preserve"> Et a puncto <mml:math><mml:mi>q</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>hk</mml:mi></mml:math> perpendicularem <!--begin variant delevit post--><mml:math><mml:mi>qt</mml:mi></mml:math><emph style="st">ut puncta <mml:math><mml:mi>tx</mml:mi></mml:math> inveniantur per qua ducatur recta<!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super">ut<!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit post--><!--milestone lacs--><emph style="st">recta<!--end variant delevit post--></emph> parallelorum inveniatur <mml:math><mml:mi>ytxz</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1226" xml:space="preserve"> </s> </p> </div> <div type="section" level="1" n="33"> <head xml:id="head33" xml:space="preserve"> Corollarium </head> <p> <s xml:id="s1227" xml:space="preserve"> Hoc idem <emph style="super">iisdem observationibus<!--variant supralineam--></emph> assequi <emph style="super">nocte<!--variant supralineam--></emph> poterimus quacumque stella, praeterque luna, quae propter eius maximam velocitatem parallelos non servat.</s> <s xml:id="s1228" xml:space="preserve"> </s> </p> </div> <div type="section" level="1" n="34"> <head xml:id="head34" xml:space="preserve"> Corollarium </head> <p> <s xml:id="s1229" xml:space="preserve"> Ex hac operatione cognita erit quoque cuiuscumque stellae, praeterque lunae maxima illius dies altitudo, quam ostendet <mml:math><mml:mi>ay</mml:mi></mml:math>, nam sol, vel alia stella, dum parallelum describit.</s> <s xml:id="s1230" xml:space="preserve"> Quando erit in <mml:math><mml:mi>y</mml:mi></mml:math>, erit et in meridiano ubi maxima est altitudo supra horizontem.</s> <s xml:id="s1231" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb file="0110" n="110"/> <pb o="86" file="0111" n="111"/> <figure> <image file="med86" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med86"/> </figure> <p> <s xml:id="s1232" xml:space="preserve"> Cognito gradu, in quo sol recipitur, data poli altitudine, qualibet die maximam solis declinationem invenire.</s> <s xml:id="s1233" xml:space="preserve"> </s> </p> </div> <div type="section" level="1" n="35"> <head xml:id="head35" xml:space="preserve"> Operatio </head> <p> <s xml:id="s1234" xml:space="preserve"> Sit meridianus <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math> poli mundi, <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math> verum centrum.</s> <s xml:id="s1235" xml:space="preserve"> Sit <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> <emph style="super">diameter<!--variant supralineam--></emph> aequinoctialis, <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> horizontis, polique altitudo sit <mml:math><mml:mi>gb</mml:mi></mml:math> data.</s> <s xml:id="s1236" xml:space="preserve"> Quare, et data est <mml:math><mml:mi>fa</mml:mi></mml:math> complementum scilicet arcus <mml:math><mml:mi>bg</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1237" xml:space="preserve"> .</s> <s xml:id="s1238" xml:space="preserve"> Accipiatur solis altitudo meridiana, <emph style="super">cui aequalis ponatur<!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">quae sit</emph><mml:math><mml:mi> fh</mml:mi></mml:math><!--end variant delevit ante--> et a puncto <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> aequidistans ducatur <mml:math><mml:mi>hk</mml:mi></mml:math> <emph style="super">quae<!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit post-->diameter<emph style="st">solis<!--end variant delevit post--></emph> paralleli solis existet et quantum sol distat ab ariete, ita fiat <mml:math><mml:mi>bl</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1239" xml:space="preserve"> Ut si sol sit ea die in principio tauri;</s> <s xml:id="s1240" xml:space="preserve"> fiat <mml:math><mml:mi>bl</mml:mi></mml:math> 30 gradus, et a puncto <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ae</mml:mi></mml:math> perpendicularis ducatur <mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1241" xml:space="preserve"> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">Et si ponamus <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math> arietis principium, erit <mml:math><mml:mi>em</mml:mi></mml:math> aequalis quantitas diametri eclipticae, ubi a principiis arietis, et tauri ad ipsum perpendicularis ducuntur</emph>ItaqueItaque<!--end variant delevit ante--> deinde centro <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math>, spatio vero <mml:math><mml:mi>em</mml:mi></mml:math> circulus describatur <mml:math><mml:mi>mn</mml:mi></mml:math>, qui <mml:math><mml:mi>hk</mml:mi></mml:math> secet in <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> et per <mml:math><mml:mi>ne</mml:mi></mml:math> recta ducatur linea <!--begin variant delevit post--><mml:math><mml:mi> onep</mml:mi></mml:math><emph style="st">ad quam ad rectos angulos a puncto <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math> ducatur <mml:math><mml:mi>nq</mml:mi></mml:math>.</emph></s> <s xml:id="s1242" xml:space="preserve"><emph style="st"> Tandemque connectatur <mml:math><mml:mi>el</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>eq</mml:mi></mml:math>, atque circumferentia <mml:math><mml:mi>oqp</mml:mi></mml:math> bifariam dividatur in <mml:math><mml:mi>r</mml:mi></mml:math> unde erit <mml:math><mml:mi>or</mml:mi></mml:math> quarta circuli.</emph></s> <s xml:id="s1243" xml:space="preserve"> <emph style="st">Quoniam enim duae <mml:math><mml:mi>meel</mml:mi></mml:math> duabus <mml:math><mml:mi>neeq</mml:mi></mml:math> sunt aequales, et angulus <mml:math><mml:mi>eml</mml:mi></mml:math> rectus recto <mml:math><mml:mi>enq</mml:mi></mml:math> est aequalis, erit <mml:math><mml:mi>ml</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>nq</mml:mi></mml:math> aequalis, et angulus <mml:math><mml:mi>lea</mml:mi></mml:math> angulus <mml:math><mml:mi>oeq</mml:mi></mml:math> aequalis circumferentia <mml:math><mml:mi>al</mml:mi></mml:math> circumferentiae <mml:math><mml:mi>oq</mml:mi></mml:math> est aequalis, et circumferentia vero <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> est circumferentiae <mml:math><mml:mi>or</mml:mi></mml:math> aequalis cum sint circuli quartae.</emph></s> <s xml:id="s1244" xml:space="preserve"> <emph style="st">Ergo circumferentia <mml:math><mml:mi>bl</mml:mi></mml:math> est ipsi <mml:math><mml:mi>rq</mml:mi></mml:math> aequalis, ac propterea <mml:math><mml:mi>rq</mml:mi></mml:math> spatium erit 30 graduum.</emph></s> <s xml:id="s1245" xml:space="preserve"> <emph style="st">Quoniam autem perpendicularis a puncto <mml:math><mml:mi>r</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>op</mml:mi></mml:math> ducta, cadit in <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>ah</mml:mi></mml:math> ex iis quae diximus in <!--milestone lacs--> declinatio est puncti <mml:math><mml:mi>q</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>en</mml:mi></mml:math> est aequalis <mml:math><mml:mi>em</mml:mi></mml:math>, erit <mml:math><mml:mi>en</mml:mi></mml:math> <!--milestone lacs--> diametri eclipticae, quae a perpendicularibus a principiis arietis et tauri ductis intercipitur;</emph></s> <s xml:id="s1246" xml:space="preserve"> <emph style="st">erit ergo <mml:math><mml:mi>q</mml:mi></mml:math> principium tauri, et <mml:math><mml:mi>r</mml:mi></mml:math> principium arietis, et punctum <mml:math><mml:mi>o</mml:mi></mml:math> erit cancri principium, quare <mml:math><mml:mi>oep</mml:mi></mml:math> diameter erit eclipticae et circumferentia <mml:math><mml:mi>ao</mml:mi></mml:math> erit eius maxima declinatio.</emph></s> <s xml:id="s1247" xml:space="preserve"><emph style="st"> Quod invenire opus erat.</emph></s><!--end variant delevit post--> <s xml:id="s1248" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s1249" xml:space="preserve"> <emph style="it">Non deveno andar a quest'altra propositione</emph> </s> </p></div> <div type="section" level="1" n="36"> <head xml:id="head36" xml:space="preserve"> Corollarium </head> <p> <s xml:id="s1250" xml:space="preserve"> Ex hoc <reg norm="apparet" type="context">innotescit<!--variant correxitex --></reg> tropicorum distantia.</s> <s xml:id="s1251" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="87" file="0112" n="112"/> <p> <s xml:id="s1252" xml:space="preserve"> Idem invenire, absque solis observatione meridiana.</s> <s xml:id="s1253" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med86" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med86"/> </figure> <p> <s xml:id="s1254" xml:space="preserve"> Sit ut prius <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> meridianus, cuius centrum <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1255" xml:space="preserve"> <emph style="super">Mundi poli <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s1256" xml:space="preserve"> <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> aequinoctialis diameter.</s> <s xml:id="s1257" xml:space="preserve"> <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> vero horizontis.</s> <s xml:id="s1258" xml:space="preserve"> <anchor type="note" xlink:label="note-0112-01a" xlink:href="note-0112-01"/> </s> </p> <div type="float" level="2" n="1"> <note position="left" xlink:label="note-0112-01" xlink:href="note-0112-01a" xml:space="preserve"> Poli altitudo <mml:math><mml:mi>gb</mml:mi></mml:math><!--variant signopositoinmargine--> </note> </div> <p> <s xml:id="s1259" xml:space="preserve"> Accipiatur qualibet hora simul, et solis supra horizontem altitudo, quae sit <mml:math><mml:mi>fs</mml:mi></mml:math>, et in horizonte circumferentia <reg norm="gu" type="context"> fu<!--variant correxitex --></reg> , quantum scilicet a meridiano sit distans.</s> <s xml:id="s1260" xml:space="preserve"> Et a puncto <mml:math><mml:mi>s</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> aequidistans ducatur <mml:math><mml:mi>st</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1261" xml:space="preserve"> Deinde <emph style="super">ducta <mml:math><mml:mi>eu</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> secetur <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">aliquot literas</emph>in<!--end variant delevit ante--> <mml:math><mml:mi>x</mml:mi></mml:math>, ita ut sit <mml:math><mml:mi>ex</mml:mi></mml:math> aequalis dimidiae ipsius <mml:math><mml:mi>st</mml:mi></mml:math>, a punctoque <mml:math><mml:mi>x</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>st</mml:mi></mml:math> perpendicularis ducatur <mml:math><mml:mi>xy</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1262" xml:space="preserve"> Erit (ex 85) punctum <mml:math><mml:mi>y</mml:mi></mml:math> in diametro circuli paralleli, quem sol ea die percurrit.</s> <s xml:id="s1263" xml:space="preserve"> <emph style="super">Cuiuscumque vero<!--variant supralineam--></emph> <emph style="super">paralleli<!--variant supralineam--></emph> <emph style="bf">diametri<!--variant postcorrectionem--></emph> est diameter <reg norm="aequinoctiali" type="context">aequinoctialis<!--variant correxitex --></reg> <!--begin variant delevit post-->aequidistans<emph style="st">vel quod idem est ad axem mundi perpendicularis<!--end variant delevit post--></emph> , <emph style="super">quare<!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit post-->ducatur<emph style="st">itaque<!--end variant delevit post--></emph> per punctum <mml:math><mml:mi>y</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> aequidistans <emph style="super"><mml:math><mml:mi> hyk</mml:mi></mml:math>, erit<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>hk</mml:mi></mml:math> paralleli diameter in quo sol reperitur.</s> <s xml:id="s1264" xml:space="preserve"> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">qua invento</emph>Hoc<!--end variant delevit ante--> itaque invento <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">deinde</emph>quantum<!--end variant delevit ante--> sol ab ariete distat, ita fiat circumferentia <mml:math><mml:mi>bl</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1265" xml:space="preserve"> Caeteraque eodem modo fiant, ut in precedenti.</s> <s xml:id="s1266" xml:space="preserve"> Similiter inveniemus <emph style="super"><mml:math><mml:mi> op</mml:mi></mml:math> eclipticae diametrum, et<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>ao</mml:mi></mml:math> maximam solis declinationem.</s> <s xml:id="s1267" xml:space="preserve"> Quod facere oportebat.</s> <s xml:id="s1268" xml:space="preserve"> Ex hac operatione possumus qualibet die Zodiaci gradum invenire in quo sol reperitur inveniatur enim, ut dictum est, <mml:math><mml:mi>hk</mml:mi></mml:math> diameter paralleli, quem sol ea die percurrit.</s> <s xml:id="s1269" xml:space="preserve"> Sit autem <mml:math><mml:mi>op</mml:mi></mml:math> eclipticae diameter data, secetque <mml:math><mml:mi>hk</mml:mi></mml:math> lineam <mml:math><mml:mi>op</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math>, et a puncto <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>op</mml:mi></mml:math> perpendicularis erigatur <mml:math><mml:mi>nq</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1270" xml:space="preserve"> Si igitur intelligatur <mml:math><mml:mi>orp</mml:mi></mml:math> ecliptica, sitque <mml:math><mml:mi>or</mml:mi></mml:math> quarta circuli.</s> <s xml:id="s1271" xml:space="preserve"> Erit punctum <mml:math><mml:mi>q</mml:mi></mml:math>, ubi sol reperitur, cum <mml:math><mml:mi>hk</mml:mi></mml:math> (ex 71) sit <emph style="super">illius<!--variant supralineam--></emph> diameter paralleli, quando sol est in <mml:math><mml:mi>q</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1272" xml:space="preserve"> Ac propterea circumferentia <mml:math><mml:mi>rq</mml:mi></mml:math> quantum sol ab ariete <emph style="super">vel libra<!--variant supralineam--></emph> distat, ostendet.</s> <s xml:id="s1273" xml:space="preserve"> Scire enim oportet, cui sol propius est, arieti scilicet vel librae, et si est in signis meridionalibus, vel septentrionalibus.</s> <s xml:id="s1274" xml:space="preserve"> Ut si sol sit librae propinquius, et in signis septentrionalibus, tunc <mml:math><mml:mi>rq</mml:mi></mml:math> gradus ostendet a libra arietem rursus.</s> <s xml:id="s1275" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="88" file="0113" n="113"/> <figure> <image file="med88" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med88"/> </figure> <p> <s xml:id="s1276" xml:space="preserve"> Stellarum fixarum ab aequinoctiali declinationem invenire.</s> <s xml:id="s1277" xml:space="preserve"> Sit meridianus <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math>, cuius centrum <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1278" xml:space="preserve"> Sitque <mml:math><mml:mi>aec</mml:mi></mml:math> communis sectio horizontis et meridiani <emph style="super"><mml:math><mml:mi> hek</mml:mi></mml:math> vero sit diameter aequinoctialis<!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s1279" xml:space="preserve"> Inveniatur stellae <emph style="super">cuius oportet declinationem invenire<!--variant supralineam--></emph> paralleli <!--begin variant delevit post-->diameter<emph style="st"><mml:math><mml:mi> fg</mml:mi></mml:math> ex precedenti, si cognita est poli altitudo.</emph></s> <s xml:id="s1280" xml:space="preserve"> <emph style="st">Si vero minime (ex 85), quae sit <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math>, et per centrum <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> aequidistans ducatur <mml:math><mml:mi>hek</mml:mi></mml:math><!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super">quae sit<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math>, ut multis modis <emph style="super">osservatione<!--variant supralineam--></emph> docuimus.</s> <s xml:id="s1281" xml:space="preserve"> <emph style="super">Meridianimeridiani<!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit post-->circumferentia<emph style="st">igitur<!--end variant delevit post--></emph> <!--begin variant delevit post--> <mml:math><mml:mi>hf</mml:mi></mml:math><emph style="st">meridiani<!--end variant delevit post--></emph> declinationem stellae ab aequinoctiali demonstrabit.</s> <s xml:id="s1282" xml:space="preserve"> </s> </p> </div> <div type="section" level="1" n="37"> <head xml:id="head37" xml:space="preserve"> Corollarium I </head> <p> <s xml:id="s1283" xml:space="preserve"> <emph style="super">Hinc<!--variant supralineam--></emph> <emph style="super">stellarum<!--variant supralineam--></emph> maxima hoc est meridiana:</s> <s xml:id="s1284" xml:space="preserve"> altitudo <emph style="super"><mml:math><mml:mi> af</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> innotescet.</s> <s xml:id="s1285" xml:space="preserve"> </s> </p> </div> <div type="section" level="1" n="38"> <head xml:id="head38" xml:space="preserve"> Corollarium II </head> <p> <s xml:id="s1286" xml:space="preserve"> Ex hoc quoque manifestum est si <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> horizontem <emph style="super">non<!--variant supralineam--></emph> secat tunc astrum numquam occidere et semper apparere.</s> <s xml:id="s1287" xml:space="preserve"> Si vero sciat, minime.</s> <s xml:id="s1288" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="88bis" file="0114" n="114"/> <figure> <image file="med88_2" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med88_2"/> </figure> <pb o="89" file="0115" n="115"/> <figure> <image file="med89" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med89"/> </figure> <p> <s xml:id="s1289" xml:space="preserve"> Qualibet hora, <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">lineam</emph>altitudine tantum solis observatur<!--end variant delevit ante--> meridianam invenire.</s> <s xml:id="s1290" xml:space="preserve"> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">Sit</emph>praemittitur autem hoc<!--end variant delevit ante--> <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> meridianus, cuuius centrum <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1291" xml:space="preserve"> Sit horizon <mml:math><mml:mi>afc</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>aec</mml:mi></mml:math> sit horizontis, et meridiani communis sectio.</s> <s xml:id="s1292" xml:space="preserve"> Sit <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math> Zenit, <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math> vero oppositum.</s> <s xml:id="s1293" xml:space="preserve"> <emph style="super">Iungatur <mml:math><mml:mi>bed</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s1294" xml:space="preserve"> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">Et</emph>Qualibet<!--end variant delevit ante--> hora <emph style="super">supra horizontem<!--variant supralineam--></emph> solis altitudo observetur <emph style="super">ut<!--variant supralineam--></emph> <reg norm="sitque" type="context">sit<!--variant correxitex --></reg> sol in <mml:math><mml:mi> g</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1295" xml:space="preserve"> <emph style="super">Verticalisque Verticalisque<!--variant supralineam--></emph> <emph style="bf">circulus<!--variant postcorrectionem--></emph> <emph style="super"> per solem transiens sititaque<!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">meridiani</emph><mml:math><mml:mi> bgfd</mml:mi></mml:math><!--end variant delevit ante--> sitque <emph style="super">solis altitudo<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1296" xml:space="preserve"> Ac per <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math> secetur sphera plano horizonti aequidistante, sectioque sit circulus <mml:math><mml:mi>hgk</mml:mi></mml:math>, cuius centrum <mml:math><mml:mi>i</mml:mi></mml:math>, erit in linea <!--begin variant delevit post--><mml:math><mml:mi>bed</mml:mi></mml:math><emph style="st">ducta<!--end variant delevit post--></emph> atque huius vero <!--begin variant delevit post-->circuli<emph style="st">aliquotliteras<!--end variant delevit post--></emph> , et meridiani sit <mml:math><mml:mi>hik</mml:mi></mml:math> sectio <!--begin variant delevit post-->communis<emph style="st">unde<!--end variant delevit post--></emph> .</s> <s xml:id="s1297" xml:space="preserve"> Erit <emph style="super">utique<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>hi</mml:mi></mml:math> aequalis <mml:math><mml:mi>ik</mml:mi></mml:math>:</s> <s xml:id="s1298" xml:space="preserve"> <reg norm="connectaturque" type="context">connectatur<!--variant correxitex --></reg> <mml:math><mml:mi>ig</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1299" xml:space="preserve"> Deinde huius diei parallelus solis <emph style="super">sit<!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">ex perpendicularibus inveniatur, qui sit</emph><mml:math><mml:mi>mgn</mml:mi></mml:math><!--end variant delevit ante--> ;</s> <s xml:id="s1300" xml:space="preserve"> cuius et meridiani sit communis sectio<mml:math><mml:mi> mn</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1301" xml:space="preserve"> Secet autem <mml:math><mml:mi>mn</mml:mi></mml:math> lineam <mml:math><mml:mi>hk</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>t</mml:mi></mml:math> <emph style="super">cum autem sit sol in <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">ac</emph>circumferentia<!--end variant delevit ante--> <mml:math><mml:mi>hgk</mml:mi></mml:math> circumferentiam <mml:math><mml:mi>mgn</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math> <emph style="super">secabit<!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s1302" xml:space="preserve"> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">Iungaturque <mml:math><mml:mi>gt</mml:mi></mml:math></emph>Quoniam<!--end variant delevit ante--> enim perpendicularis a puncto <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math> ad meridianum ducta propter circumferentiam <mml:math><mml:mi>hgk</mml:mi></mml:math>, <!--begin variant delevit post-->quae<emph style="st">est<!--end variant delevit post--></emph> ad meridianum <emph style="super">est<!--variant supralineam--></emph> erecta, <anchor type="note" xlink:label="note-0115-01a" xlink:href="note-0115-01"/> cadit in <mml:math><mml:mi>hk</mml:mi></mml:math>, et propter circumferentiam <mml:math><mml:mi>mgn</mml:mi></mml:math>, quae <emph style="super">itidem<!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">similiter</emph>est<!--end variant delevit ante--> ad meridianum erecta, in <mml:math><mml:mi>mn</mml:mi></mml:math> cadit <emph style="it">in intersectione<!--variant descriptio: add. in folio 90--></emph> igitur diametrorum <mml:math><mml:mi>hkmn</mml:mi></mml:math> cadet, quare cadet in <mml:math><mml:mi>t</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1303" xml:space="preserve"> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">Ac propterea</emph>Ducta<!--end variant delevit ante--> igitur <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">quare cadet in <!--milestone lacs--> <!--milestone lacs--></emph><mml:math><mml:mi>gt</mml:mi></mml:math><!--end variant delevit ante--> ad meridianum est perpendicularis, <emph style="super"> ac propterea<!--variant supralineam--></emph> angulus <mml:math><mml:mi>gti</mml:mi></mml:math> rectus est.</s> <s xml:id="s1304" xml:space="preserve"> Ducatur post a puncto <mml:math><mml:mi>t</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> perpendicularis <mml:math><mml:mi>ts</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s1305" xml:space="preserve"> erit <mml:math><mml:mi>es</mml:mi></mml:math> aequalis <mml:math><mml:mi>it</mml:mi></mml:math>, <emph style="super">siquidem<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>iets</mml:mi></mml:math> <emph style="super">interse sunt<!--variant supralineam--></emph> , <reg norm="et" type="context">ac<!--variant correxitex --></reg> , <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">et</emph>a<!--end variant delevit ante--> puncto <emph style="super">autem<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>s</mml:mi></mml:math> in horizonte ad <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> perpendicularis ducatur <mml:math><mml:mi>sq</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1306" xml:space="preserve"> Appliceturque a puncto <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math> linea <mml:math><mml:mi>eq</mml:mi></mml:math> aequalis <mml:math><mml:mi>ig</mml:mi></mml:math>, hoc est semidiametro circuli <mml:math><mml:mi>hgk</mml:mi></mml:math> <emph style="super">aequalis<!--variant supralineam--></emph> quae <mml:math><mml:mi>sq</mml:mi></mml:math> secet in <mml:math><mml:mi>q</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1307" xml:space="preserve"> Quoniam igitur duae <mml:math><mml:mi>se</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>eq</mml:mi></mml:math> duabus <mml:math><mml:mi>tiig</mml:mi></mml:math> sunt aequales, et angulus <mml:math><mml:mi>esq</mml:mi></mml:math> rectus recto <mml:math><mml:mi>itg</mml:mi></mml:math> est aequalis.</s> <s xml:id="s1308" xml:space="preserve"> Erit triangulum <mml:math><mml:mi>esq</mml:mi></mml:math> triangulo <mml:math><mml:mi>tig</mml:mi></mml:math> aequale, et <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">aliud</emph>angulus<!--end variant delevit ante--> <mml:math><mml:mi>seq</mml:mi></mml:math> angulo <mml:math><mml:mi>tig</mml:mi></mml:math> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">aliquot literas</emph>aequalis<!--end variant delevit ante--> , et est <mml:math><mml:mi>es</mml:mi></mml:math> aequidistans <mml:math><mml:mi>it</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1309" xml:space="preserve"> Ergo <anchor type="note" xlink:label="note-0115-02a" xlink:href="note-0115-02"/> <emph style="it">et<!--variant descriptio: add. in eadem linea--></emph> <mml:math><mml:mi>eq</mml:mi></mml:math> est aequidistans <mml:math><mml:mi>ig</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1310" xml:space="preserve"> <emph style="super">Quare<!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit post-->iuncta<emph style="st">igitur<!--end variant delevit post--></emph> <mml:math><mml:mi>gq</mml:mi></mml:math>, erit <anchor type="note" xlink:label="note-0115-03a" xlink:href="note-0115-03"/> ipsi <mml:math><mml:mi>ie</mml:mi></mml:math> aequalis, et aequidistans, <emph style="super">sed quoniam<!--variant supralineam--></emph> <reg norm="estque" type="context">est<!--variant correxitex --></reg> <mml:math><mml:mi>ie</mml:mi></mml:math> <reg norm="ad horizontem" type="context">horizonti<!--variant correxitex --></reg> perpendicularis.</s> <s xml:id="s1311" xml:space="preserve"> <emph style="super"> Erit<!--variant supralineam--></emph> et <mml:math><mml:mi>gq</mml:mi></mml:math> <pb o="90" file="0116" n="116"/> <emph style="super">circulo<!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">ipsi</emph><mml:math><mml:mi> afc</mml:mi></mml:math><!--end variant delevit ante--> perpendicularis <anchor type="note" xlink:label="note-0116-01a" xlink:href="note-0116-01"/> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">*distat, <!--milestone lacs--> perinde</emph>lineae<!--end variant delevit ante--> <emph style="super">igitur<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>gqqeeiig</mml:mi></mml:math> in uno, et eodem sunt plano.</s> <s xml:id="s1312" xml:space="preserve"> Producatur itaque <mml:math><mml:mi>qe</mml:mi></mml:math> <emph style="super">usque ad circumferentiam<!--variant supralineam--></emph> in <mml:math><mml:mi>o</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1313" xml:space="preserve"> Erunt lineae <mml:math><mml:mi>qobeiggq</mml:mi></mml:math> in uno, et eodem plano.</s> <s xml:id="s1314" xml:space="preserve"> Existente igitur sole in <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s1315" xml:space="preserve"> erit punctum <mml:math><mml:mi>q</mml:mi></mml:math>, ubi perpendicularis a solis ad horizontem ducta, cadit, <emph style="super">lineaque <mml:math><mml:mi>eo</mml:mi></mml:math> erit<!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">lineaque</emph>umbra<!--end variant delevit ante--> a linea <mml:math><mml:mi>be</mml:mi></mml:math> facta <!--begin variant delevit post-->facta<emph style="st">erit <mml:math><mml:mi>eo</mml:mi></mml:math>.</emph></s> <s xml:id="s1316" xml:space="preserve"> <emph style="st">Et<!--end variant delevit post--></emph> .</s> <s xml:id="s1317" xml:space="preserve"> Angulus <emph style="super">autem<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>aeo</mml:mi></mml:math>, hoc est circumferentia <mml:math><mml:mi>ao</mml:mi></mml:math> distantiam, quae inter lineam meridianam, et umbram <mml:math><mml:mi>eo</mml:mi></mml:math> intercipitur <!--begin variant delevit post-->ostendet<emph style="st">Operatio fiet in hoc modum<!--end variant delevit post--></emph> .</s> <s xml:id="s1318" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="1"> <note position="left" xlink:label="note-0115-01" xlink:href="note-0115-01a" xml:space="preserve"> 38 undecimi<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0115-02" xlink:href="note-0115-02a" xml:space="preserve"> ex 10 undecimi<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0115-03" xlink:href="note-0115-03a" xml:space="preserve"> 33 primi<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0116-01" xlink:href="note-0116-01a" xml:space="preserve"> ex 7 undecimi<!--citmargsign--> </note> </div> <pb o="91" file="0117" n="117"/> <figure> <image file="med91" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med91"/> </figure> </div> <div type="section" level="1" n="39"> <head xml:id="head39" xml:space="preserve"> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">Operatio</emph>Praxis<!--end variant delevit ante--> </head> <p> <s xml:id="s1319" xml:space="preserve"> <anchor type="note" xlink:label="note-0117-01a" xlink:href="note-0117-01"/> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">aliquot verba</emph>planum<!--end variant delevit ante--> <mml:math><mml:mi>ux</mml:mi></mml:math> horizonti aequidistans, in quo designanda est linea meridiana.</s> <s xml:id="s1320" xml:space="preserve"> Sitque supra hoc planum gnomon <emph style="super">ut supra diximus<!--variant supralineam--></emph> vel perpendiculum <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> <emph style="super">quod<!--variant supralineam--></emph> ad planum <mml:math><mml:mi>ux</mml:mi></mml:math> <emph style="super">sit<!--variant supralineam--></emph> perpendiculare.</s> <s xml:id="s1321" xml:space="preserve"> Sit deinde circulus <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math>, cuius centrum <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1322" xml:space="preserve"> Sintque diametri <mml:math><mml:mi>acbd</mml:mi></mml:math> ad rectos angulos.</s> <s xml:id="s1323" xml:space="preserve"> Intelligatur primum circulus per meridiano, et <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> ipsius, et horizontis sit communis sectio.</s> <s xml:id="s1324" xml:space="preserve">. <!--begin variant delevit post-->Inveniaturque<emph style="st">deinde ex <!--milestone lacs--> iis quae <!--milestone lacs--><!--end variant delevit post--></emph> <anchor type="note" xlink:label="note-0117-02a" xlink:href="note-0117-02"/> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">aliquot verba</emph><mml:math><mml:mi> mn</mml:mi></mml:math><!--end variant delevit ante--> , quae sit diameter paralleli, quem sol ea die percurrit.</s> <s xml:id="s1325" xml:space="preserve"> <!--begin variant delevit post-->Accipiaturque<emph style="st">deinde<!--end variant delevit post--></emph> quacumque hora solis altitudo, quae sit <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> <emph style="super">gnomon<!--variant supralineam--></emph> <emph style="super">vero<!--variant supralineam--></emph> sive perpendiculum <emph style="super"><mml:math><mml:mi> fg</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> eodem tempore umbram faciat <mml:math><mml:mi>gp</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1326" xml:space="preserve"> Lineaque ducatur <mml:math><mml:mi>gp</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1327" xml:space="preserve"> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">Et</emph>A<!--end variant delevit ante--> puncto <emph style="super">autem<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> aequidistans ducatur <mml:math><mml:mi>hik</mml:mi></mml:math> <emph style="super">quae <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math> secet in <mml:math><mml:mi>i</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> erit <emph style="super">sane<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>hi</mml:mi></mml:math> aequalis <mml:math><mml:mi>ik</mml:mi></mml:math> <emph style="super">siquidem estest<!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">aliquot literas</emph><mml:math><mml:mi> hk</mml:mi></mml:math><!--end variant delevit ante--> ipsi <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math> perpendicularis.</s> <s xml:id="s1328" xml:space="preserve"> .</s> <s xml:id="s1329" xml:space="preserve"> la riga seguente è da sistemare <emph style="super"><mml:math><mml:mi> hk</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> lineam <emph style="super"><mml:math><mml:mi> mn</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> in <mml:math><mml:mi>t</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1330" xml:space="preserve"> Erit ex dictis punctum <mml:math><mml:mi>t</mml:mi></mml:math>, ubi perpendicularis a sole ad meridianum cadit.</s> <s xml:id="s1331" xml:space="preserve"> Ducaturque a puncto <mml:math><mml:mi>t</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> perpendicularis <mml:math><mml:mi>ts</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1332" xml:space="preserve"> Nunc vero <emph style="super">invento puncto <mml:math><mml:mi>s</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> intelligatur circulus <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> horizon <anchor type="note" xlink:label="note-0117-03a" xlink:href="note-0117-03"/> communis sectio <emph style="super">similiter<!--variant supralineam--></emph> horizontis et meridiani et a puncto <mml:math><mml:mi>s</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> perpendicularis ducatur <mml:math><mml:mi>sq</mml:mi></mml:math>, <emph style="super">deinde<!--variant supralineam--></emph> a puncto <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math> applicetur <mml:math><mml:mi>eq</mml:mi></mml:math> aequalis <mml:math><mml:mi>ik</mml:mi></mml:math>, quae <mml:math><mml:mi>sq</mml:mi></mml:math> secet in <mml:math><mml:mi>q</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1333" xml:space="preserve"> Erit itidem ex dictis punctum <mml:math><mml:mi>q</mml:mi></mml:math>, ubi perpendicularis a sole in horizontem cadit.</s> <s xml:id="s1334" xml:space="preserve"> Producatur itaque <mml:math><mml:mi>qeo</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1335" xml:space="preserve"> Ostendet circumferentia <mml:math><mml:mi>ao</mml:mi></mml:math> distantiam inter lineam meridianam, et lineam <mml:math><mml:mi>eo</mml:mi></mml:math>, quae est tamquam umbra a linea, quae a puncto <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math> horizonti <emph style="super">esset erecta<!--variant supralineam--></emph> , eodem tempore facta, quo facta est umbra <mml:math><mml:mi>gp</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1336" xml:space="preserve"> Fiat igitur in plano <mml:math><mml:mi>ux</mml:mi></mml:math> angulus <mml:math><mml:mi>pgr</mml:mi></mml:math> aequalis <mml:math><mml:mi>oea</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1337" xml:space="preserve"> Ducaturque <mml:math><mml:mi>rgy</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1338" xml:space="preserve"> Erit <mml:math><mml:mi>rgy</mml:mi></mml:math> linea meridiana.</s> <s xml:id="s1339" xml:space="preserve"> Advertendum tum est quod si observatio solis facta est ante meridiem tunc angulus <mml:math><mml:mi>pgr</mml:mi></mml:math> in una <!--begin variant delevit post-->parte<emph style="st">constituendus est<!--end variant delevit post--></emph> , si vero post, in altera <emph style="super">est constituendus<!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s1340" xml:space="preserve"> Quod facere oportebat.</s> <s xml:id="s1341" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="1"> <note position="left" xlink:label="note-0117-01" xlink:href="note-0117-01a" xml:space="preserve"> Exponatur<!--variant signopositoinmargine--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0117-02" xlink:href="note-0117-02a" xml:space="preserve"> linea<!--variant signopositoinmargine--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0117-03" xlink:href="note-0117-03a" xml:space="preserve"> et <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math><!--variant signopositoinmargine--> </note> </div> <pb o="92" file="0118" n="118"/> <p> <s xml:id="s1342" xml:space="preserve"> Est quoque animadvertendum, in operatione perpendiculares <mml:math><mml:mi>tssq</mml:mi></mml:math> in unam coincidere lineam, cum ad <mml:math><mml:mi>s</mml:mi></mml:math> sint recti.</s> <s xml:id="s1343" xml:space="preserve"> Idcirco, ut inveniatur punctum <mml:math><mml:mi>q</mml:mi></mml:math> sat erit, a puncto <mml:math><mml:mi>t</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>hk</mml:mi></mml:math> perpendicularem ducere ex utraque parte, ita ut ducta <mml:math><mml:mi>eq</mml:mi></mml:math>, quae sit aequalis <mml:math><mml:mi>ik</mml:mi></mml:math>, ipsam secet in <mml:math><mml:mi>q</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1344" xml:space="preserve"> </s> </p> </div> <div type="section" level="1" n="40"> <head xml:id="head40" xml:space="preserve"> Corollarium </head> <p> <s xml:id="s1345" xml:space="preserve"> Ex hoc manifestum est, quo modo inveniantur puncta, ubi a sole ad meridianum, et horizontem perpendiculares cadunt.</s> <s xml:id="s1346" xml:space="preserve"> Si enim intelligatur <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> meridianus erit punctum <mml:math><mml:mi>t</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1347" xml:space="preserve"> <emph style="bf">Si<!--variant postcorrectionem--></emph> vero intelligatur <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> horizon, erit punctum <mml:math><mml:mi>q</mml:mi></mml:math>.</s> </p> <figure> <image file="med92" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med92"/> </figure> <p> <s xml:id="s1348" xml:space="preserve"> Qualibet hora lineae positione datae aspectum invenire.</s> <s xml:id="s1349" xml:space="preserve"> Sit linea <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> positione data, cuius oportet <emph style="bf">aspectum<!--variant postcorrectionem--></emph> invenire.</s> <s xml:id="s1350" xml:space="preserve"> Describatur circulus <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math>, cuius centrum <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math>, et qualibet <emph style="bf">hora<!--variant postcorrectionem--></emph> (ex praecedenti) linea inveniatur meridiana <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math>, quae si protrahatur, vel cum linea <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> concurret, vel minime.</s> <s xml:id="s1351" xml:space="preserve"> Et si non concurret, erit ipsi <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> aequidistans, ac propterea erit <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> linea meridiana cuius aspectus notus est.</s> <s xml:id="s1352" xml:space="preserve"> Si vero conveniet, conveniat ut in <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1353" xml:space="preserve"> Et per centrum et ipsi <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> aequidistans ducatur <mml:math><mml:mi>bed</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1354" xml:space="preserve"> <anchor type="note" xlink:label="note-0118-01a" xlink:href="note-0118-01"/> erit angulus <mml:math><mml:mi>bea</mml:mi></mml:math> aequalis <mml:math><mml:mi>fge</mml:mi></mml:math> circumferentia igitur <mml:math><mml:mi>ba</mml:mi></mml:math> distantiam a linea meridiana ostendet.</s> <s xml:id="s1355" xml:space="preserve"> Ducatur itaque <mml:math><mml:mi>eh</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math> perpendicularis.</s> <s xml:id="s1356" xml:space="preserve"> Erit <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math> aspectus ipsius <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math>, ac per consequens ipsius <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1357" xml:space="preserve"> Producta enim <mml:math><mml:mi>bh</mml:mi></mml:math>, <anchor type="note" xlink:label="note-0118-02a" xlink:href="note-0118-02"/> erit ad <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> perpendicularis.</s> <s xml:id="s1358" xml:space="preserve"> Quare circumferentia <mml:math><mml:mi>ah</mml:mi></mml:math> gradus ostendet, quantum a meridie et hac parte ipsius <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> aspectus sit distans.</s> <s xml:id="s1359" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="1"> <note position="left" xlink:label="note-0118-01" xlink:href="note-0118-01a" xml:space="preserve"> 29 primi<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0118-02" xlink:href="note-0118-02a" xml:space="preserve"> ex 29 primi<!--citmargsign--> </note> </div> </div> <div type="section" level="1" n="41"> <head xml:id="head41" xml:space="preserve"> Corollarium </head> <p> <s xml:id="s1360" xml:space="preserve"> Ex hoc facillimum erit invenire cuiscumque parietis aspectum.</s> <s xml:id="s1361" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="93" file="0119" n="119"/> <p> <s xml:id="s1362" xml:space="preserve"> Cum <emph style="super">autem<!--variant supralineam--></emph> in his operationibus maxime opus sit altitudinem solis supra horizontem, quando libet invenire, nec non aliquando simul, et eius altitudinem, et circumferentiam in horizonte, quantum a meridiano sit distans invenire sit necesse.</s> <s xml:id="s1363" xml:space="preserve"> Idcirco, quamvis hoc multis in strumentis fieri possit, tamen valde mihi videtur fore utile, si has quoque operationes rectis lineis circulique circumferentiis tantum <emph style="super">inveniri<!--variant supralineam--></emph> posse doceamus.</s> <s xml:id="s1364" xml:space="preserve"> Cum operationes, quae lineis tantum rectis, circulique circumferentiis fiunt, omnibus aliis sint meliores, et ad unguem magis veritatem ostendant, ut manifestum est in horologiis solaribus.</s> <s xml:id="s1365" xml:space="preserve"> Nam quae fiunt analemmatibus, sunt omnino meliora iis, quae fiunt calculis, vel strumentis.</s> <s xml:id="s1366" xml:space="preserve"> Illo enim ad <!--milestone lacs-->, et ita veritatem ostendunt, ut nihil amplius desiderari possit.</s> <s xml:id="s1367" xml:space="preserve"> Quare quomodo quandolibet altitudinem solis, nec non circumferentia in horizonte, quantum sol a meridiano sit distans inveniri possit, ostendamus.</s> </p> <figure> <image file="med93" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med93"/> </figure> <p> <s xml:id="s1368" xml:space="preserve"> Sit meridianus <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math>, cuius, et mundi centrum <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1369" xml:space="preserve"> Sit horizon <mml:math><mml:mi>afch</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> horizontis, et meridiani communis sectio <emph style="super">quae quidem <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> erit linea meridiana<!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s1370" xml:space="preserve"> Sitque <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math> punctum verticis, <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math> vero eius oppositum.</s> <s xml:id="s1371" xml:space="preserve"> Ponatur <emph style="super">astrum<!--variant supralineam--></emph> in <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math>, transeatque per <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math> verticalis circulus <mml:math><mml:mi>bgdh</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1372" xml:space="preserve"> Huiusque circuli, et horizontis sit <mml:math><mml:mi>feh</mml:mi></mml:math> sectio communis.</s> <s xml:id="s1373" xml:space="preserve"> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">proculdubio circumferentia <mml:math><mml:mi>cf</mml:mi></mml:math> in horizonte, quantum sol a meridiano sit distans, ostendet</emph>Ducaturque<!--end variant delevit ante--> linea <mml:math><mml:mi>bed</mml:mi></mml:math>, et sub horizonte, ipsique horizonti aequidistans ducatur planum <mml:math><mml:mi>kolp</mml:mi></mml:math>, quod lineam <mml:math><mml:mi>bed</mml:mi></mml:math> secet in <mml:math><mml:mi>m</mml:mi></mml:math> sitque huius plani, et verticalis <mml:math><mml:mi>bfdh</mml:mi></mml:math> communis sectio <mml:math><mml:mi>po</mml:mi></mml:math> et <mml:math><mml:mi>lk</mml:mi></mml:math>, ipsius, et meridiani <pb o="94" file="0120" n="120"/> sectio communis.</s> <s xml:id="s1374" xml:space="preserve"> Et quoniam planum <mml:math><mml:mi>afch</mml:mi></mml:math> est aequidistans <mml:math><mml:mi>kolp</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s1375" xml:space="preserve"> <anchor type="note" xlink:label="note-0120-01a" xlink:href="note-0120-01"/> erit <mml:math><mml:mi>fh</mml:mi></mml:math> aequidistans <mml:math><mml:mi>op</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>kl</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1376" xml:space="preserve"> Atque linea <mml:math><mml:mi>bem</mml:mi></mml:math> <anchor type="note" xlink:label="note-0120-02a" xlink:href="note-0120-02"/> erit ad planum <mml:math><mml:mi>kolp</mml:mi></mml:math> perpendicularis.</s> <s xml:id="s1377" xml:space="preserve"> <reg norm="Iunctaturque" type="context">Iunctatur<!--variant correxitex --></reg> <emph style="super">deinde<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>ge</mml:mi></mml:math> <emph style="super">quae<!--variant supralineam--></emph> producatur, donec in planum <mml:math><mml:mi>kolp</mml:mi></mml:math> perveniat.</s> <s xml:id="s1378" xml:space="preserve"> Sitque <mml:math><mml:mi>gen</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1379" xml:space="preserve"> Quoniam autem <mml:math><mml:mi>bdhfgen</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>po</mml:mi></mml:math> in uno, et eodem sunt plano, verticalis nempe circuli <mml:math><mml:mi>bfdh</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>op</mml:mi></mml:math> est aequidistans <mml:math><mml:mi>fh</mml:mi></mml:math>, linea <mml:math><mml:mi>gen</mml:mi></mml:math> cum <emph style="super">linea<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>op</mml:mi></mml:math> <!--begin variant delevit post-->conveniet<emph style="st">quare concurrat in <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math><!--end variant delevit post--></emph> , <emph style="super">unde constat punctum <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math> esse in linea <mml:math><mml:mi>op</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s1380" xml:space="preserve"> Si itaque intelligatur lineam <mml:math><mml:mi>gen</mml:mi></mml:math> solis esse radium, et <mml:math><mml:mi>me</mml:mi></mml:math> gnomon supra planum <mml:math><mml:mi>kolp</mml:mi></mml:math> erectum;</s> <s xml:id="s1381" xml:space="preserve"> erit <mml:math><mml:mi>mn</mml:mi></mml:math> umbra in plano <emph style="bf"><mml:math><mml:mi> k</mml:mi></mml:math><!--variant postcorrectionem--></emph> <mml:math><mml:mi>olp</mml:mi></mml:math> facta a linea, sive gnomone <mml:math><mml:mi>me</mml:mi></mml:math>, et circumferentia <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> solis altitudinem supra horizontem ostendet.</s> <s xml:id="s1382" xml:space="preserve"> Et circumferentia <mml:math><mml:mi>lo</mml:mi></mml:math>, cum sit circumferentiae <mml:math><mml:mi>cf</mml:mi></mml:math> similis, quantum sol a merdiano sit distans in plano <mml:math><mml:mi>kplo</mml:mi></mml:math> horizonti aequidistante, <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">ostendet</emph>demonstrabit<!--end variant delevit ante--> , ita ut cognitis gradibus circumferentiae <mml:math><mml:mi>lo</mml:mi></mml:math>, cogniti quoque erunt gradus circumferetiae <mml:math><mml:mi>cp</mml:mi></mml:math>, cum numero sint pares.</s> <s xml:id="s1383" xml:space="preserve"> Operatio fiet hoc modo.</s> <s xml:id="s1384" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="1"> <note position="left" xlink:label="note-0120-01" xlink:href="note-0120-01a" xml:space="preserve"> 6 undecimi<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0120-02" xlink:href="note-0120-02a" xml:space="preserve"> 6 undecimi<!--citmargsign--> </note> </div> <pb o="95" file="0121" n="121"/> <figure> <image file="med95" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med95"/> </figure> <p> <s xml:id="s1385" xml:space="preserve"> Sit planum <mml:math><mml:mi>acl</mml:mi></mml:math> horizonti aequidistans, in quo describatur cirulus <mml:math><mml:mi>acl</mml:mi></mml:math>, cuius centrum <mml:math><mml:mi>q</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1386" xml:space="preserve"> Erigaturque <mml:math><mml:mi>qr</mml:mi></mml:math> gnomon huic plano perpendicularis <emph style="super">qui verticem <mml:math><mml:mi>r</mml:mi></mml:math> aliquantulum habeat acutum ut fieri solet<!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s1387" xml:space="preserve"> Et ut operatio clarior innotescat;</s> <s xml:id="s1388" xml:space="preserve"> describatur seorsum circulus <mml:math><mml:mi>bfdh</mml:mi></mml:math>, cuius centrum <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math>, in quo diameter <emph style="bf">ducatur<!--variant postcorrectionem--></emph> <mml:math><mml:mi>feh</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1389" xml:space="preserve"> Et a puncto <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>fh</mml:mi></mml:math> perpendicularis ducatur <mml:math><mml:mi>em</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1390" xml:space="preserve"> <emph style="bf">Quae<!--variant postcorrectionem--></emph> fiat aequalis <mml:math><mml:mi>qr</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1391" xml:space="preserve"> Et a puncto <mml:math><mml:mi>m</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>fh</mml:mi></mml:math> aequidistans ducatur <mml:math><mml:mi>op</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1392" xml:space="preserve"> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">Et</emph>Sit<!--end variant delevit ante--> <emph style="super">igitur<!--variant supralineam--></emph> quacumque hora altitudinem solis invenire voluerimus.</s> <s xml:id="s1393" xml:space="preserve"> Observetur solis umbra facta a gnomone <mml:math><mml:mi>qr</mml:mi></mml:math>, <!--begin variant delevit post-->quae<emph style="st"><!--milestone lacs--> exempli<!--end variant delevit post--></emph> sit <mml:math><mml:mi>qs</mml:mi></mml:math>, <emph style="super">tunc<!--variant supralineam--></emph> fiat <mml:math><mml:mi>mn</mml:mi></mml:math> aequalis <mml:math><mml:mi>qs</mml:mi></mml:math>, denique connectatur <mml:math><mml:mi>ne</mml:mi></mml:math>, quae in directum producta usque ad circumferentiam perveniat in <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1394" xml:space="preserve"> Circumferentia <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> altitudinem solis ostendet.</s> <s xml:id="s1395" xml:space="preserve"> Nam si intelligatur <emph style="super">punctum <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math> Zenit et<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>bfdh</mml:mi></mml:math> circulus verticalis transiens per solem, et <mml:math><mml:mi>fh</mml:mi></mml:math> ipsius, et horizontis communis sectio.</s> <s xml:id="s1396" xml:space="preserve"> Et <mml:math><mml:mi>op</mml:mi></mml:math> diameter plani horizonti aequidistantis, <emph style="super">et<!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">estque</emph>a<!--end variant delevit ante--> centro mundi <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math> linea <mml:math><mml:mi>em</mml:mi></mml:math> <emph style="super">est<!--variant supralineam--></emph> ipsi <mml:math><mml:mi>op</mml:mi></mml:math> perpendicularis, cuius umbra est <mml:math><mml:mi>mn</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1397" xml:space="preserve"> Iuncta <mml:math><mml:mi>ne</mml:mi></mml:math> si producatur proculdubio ad solem pertinget.</s> <s xml:id="s1398" xml:space="preserve"> Sol ergo erit in <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1399" xml:space="preserve"> Ac propterea circumferentia <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> solis altitudinem supra ostendet.</s> <s xml:id="s1400" xml:space="preserve"> Quod invenire oportebat.</s> <s xml:id="s1401" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s1402" xml:space="preserve"> <anchor type="note" xlink:label="note-0121-01a" xlink:href="note-0121-01"/> <!--begin variant delevit post-->quantum<emph style="st">autem<!--end variant delevit post--></emph> hac hora sol a meridiano sit distans <emph style="super">invenire voluerimus supponatur<!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">Hoc modo inveniatur Inveniatur axis vel altitudo</emph>in<!--end variant delevit ante--> plano <mml:math><mml:mi>acl</mml:mi></mml:math> linea meridiana <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> quam <emph style="super">infra invenire docebimus<!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">quae</emph>erit<!--end variant delevit ante--> <emph style="super">nimirum <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> communis sectio plani <mml:math><mml:mi>acl</mml:mi></mml:math>, et meridiani.</s> <s xml:id="s1403" xml:space="preserve"> Ductaque <mml:math><mml:mi>sq</mml:mi></mml:math> producatur usque ad circumferentiam in <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1404" xml:space="preserve"> <reg norm="quoniam enim" type="context">Cum itaque<!--variant correxitex --></reg> <emph style="super"><mml:math><mml:mi> qs</mml:mi></mml:math> sit umbra solis erit<!--variant supralineam--></emph> linea <!--milestone lacs--> plani <mml:math><mml:mi>acl</mml:mi></mml:math>, verticalisque circuli per solem transeuntis, <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">sit</emph>communis<!--end variant delevit ante--> sectio.</s> <s xml:id="s1405" xml:space="preserve"> Circumferentia <emph style="super">igitur<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>al</mml:mi></mml:math> ex ductis in horizonte, quantum sol a meridiano distat, ostendet.</s> <s xml:id="s1406" xml:space="preserve"> Quod facere oportebat.</s> <s xml:id="s1407" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="2"> <note position="left" xlink:label="note-0121-01" xlink:href="note-0121-01a" xml:space="preserve"> Si autem<!--variant signopositoinmargine--> </note> </div> </div> <div type="section" level="1" n="42"> <head xml:id="head42" xml:space="preserve"> Corollarium </head> <p> <s xml:id="s1408" xml:space="preserve"> Hinc patet circumferentiam <mml:math><mml:mi>bg</mml:mi></mml:math>, quantum <emph style="super">in hora<!--variant supralineam--></emph> sol a nostro Zenit distat, ostendere.</s> <s xml:id="s1409" xml:space="preserve"> </s> </p> </div> <div type="section" level="1" n="43"> <head xml:id="head43" xml:space="preserve"> Corollarium </head> <p> <s xml:id="s1410" xml:space="preserve"> Constat etiam, quam facile sit cognoscere cum <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> sit linea meridiana.</s> <s xml:id="s1411" xml:space="preserve"> An ante, vel post meridiem sit.</s> <s xml:id="s1412" xml:space="preserve"> Unde etiam liquet quam facillimum sit solis meridianam observare altitudinem.</s> <s xml:id="s1413" xml:space="preserve"> Quod fiet, quando umbra in linea <mml:math><mml:mi>ca</mml:mi></mml:math> existet.</s> <s xml:id="s1414" xml:space="preserve"> </s> </p> </div> <div type="section" level="1" n="44"> <head xml:id="head44" xml:space="preserve"> <pb o="96" file="0122" n="122"/> Lemma </head> <figure> <image file="med96" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med96"/> </figure> <p> <s xml:id="s1415" xml:space="preserve"> Sit circulus <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math>, cuius diameter <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1416" xml:space="preserve"> Summatur in <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math> ubicumque punctum <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math>, a quo ad <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math> perpendicularis ducatur <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1417" xml:space="preserve"> Dico circumferentiam <mml:math><mml:mi>ba</mml:mi></mml:math> circumferentiae <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> aequalem esse.</s> <s xml:id="s1418" xml:space="preserve"> Connectantur <mml:math><mml:mi>abbc</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1419" xml:space="preserve"> Quoniam enim <anchor type="note" xlink:label="note-0122-01a" xlink:href="note-0122-01"/> <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> est aequalis <mml:math><mml:mi>ec</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>be</mml:mi></mml:math> est utrique triangulo <mml:math><mml:mi>abebec</mml:mi></mml:math> communis.</s> <s xml:id="s1420" xml:space="preserve"> Et rectus angulus <mml:math><mml:mi>bec</mml:mi></mml:math> est recto <mml:math><mml:mi>aeb</mml:mi></mml:math> aequalis.</s> <s xml:id="s1421" xml:space="preserve"> <anchor type="note" xlink:label="note-0122-02a" xlink:href="note-0122-02"/> erit latus <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> lateri <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> aequale.</s> <s xml:id="s1422" xml:space="preserve"> Ergo <anchor type="note" xlink:label="note-0122-03a" xlink:href="note-0122-03"/> circumferentia <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> circumferentiae <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> est aequalis.</s> <s xml:id="s1423" xml:space="preserve"> Quod demonstrare oportebat.</s> <s xml:id="s1424" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="1"> <note position="left" xlink:label="note-0122-01" xlink:href="note-0122-01a" xml:space="preserve"> 3 tertii<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0122-02" xlink:href="note-0122-02a" xml:space="preserve"> 4 primi<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0122-03" xlink:href="note-0122-03a" xml:space="preserve"> ex 28 tertii<!--citmargsign--> </note> </div> <figure> <image file="med96_2" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med96_2"/> </figure> <pb file="0123" n="123"/> <pb o="97" file="0124" n="124"/> <p> <s xml:id="s1425" xml:space="preserve"> Cuiuscumque <emph style="super">astri<!--variant supralineam--></emph> arcum quem supra horizontem, et sub horizontem describit, invenire.</s> <s xml:id="s1426" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med97" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med97"/> </figure> <p> <s xml:id="s1427" xml:space="preserve"> Sit circulus <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> meridianus, <mml:math><mml:mi>aecf</mml:mi></mml:math> horizon, cuius et meridiani sit communis sectio <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> sitque parallelus <emph style="super">quem<!--variant supralineam--></emph> stella <emph style="super"><!--milestone lacs--> describit<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>hfke</mml:mi></mml:math>, cuius, et meridiani sit communis sectio <mml:math><mml:mi>hk</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1428" xml:space="preserve"> Primum quidem vel <mml:math><mml:mi>hekf</mml:mi></mml:math> horizontem <mml:math><mml:mi>aecf</mml:mi></mml:math> intersecat, vel minime.</s> <s xml:id="s1429" xml:space="preserve"> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">aliquot literas</emph>Si<!--end variant delevit ante--> non, tunc semper stella, <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">vel</emph>supra<!--end variant delevit ante--> horizontem erit et numquam <!--begin variant delevit post-->ocultabitur<emph style="st">dummodo parallelus sit supra horizontem, vel numquam supra horizontem apparebit, si sit sub horizonte<!--end variant delevit post--></emph> .</s> <s xml:id="s1430" xml:space="preserve"> Caeterum <emph style="super"><mml:math><mml:mi> hekf</mml:mi></mml:math> horizontem<!--variant supralineam--></emph> secet in <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1431" xml:space="preserve"> Diametri quoque <mml:math><mml:mi>achk</mml:mi></mml:math>, cum in eodem sint plano se invicem secabunt, <emph style="super">secent itaque se invicem<!--variant supralineam--></emph> in <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1432" xml:space="preserve"> Connectaturque <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math>, quae cum sit communis sectio <emph style="super">circulorum<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>aecf</mml:mi></mml:math> et <reg norm="hecf" type="context"> hekf<!--variant correxitex --></reg> per punctum <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math> transibit, <emph style="super">siquidem punctum <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math> est<!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">cum sit communis sectio diemetrorum, ac</emph>in<!--end variant delevit ante--> utroque plano <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">sit</emph>plano<!--end variant delevit ante--> .</s> <s xml:id="s1433" xml:space="preserve"> <emph style="super">At<!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">Et</emph>quoniam<!--end variant delevit ante--> <mml:math><mml:mi>aecfbekf</mml:mi></mml:math> ad meridianum <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> ad rectos sunt angulos;</s> <s xml:id="s1434" xml:space="preserve"> <anchor type="note" xlink:label="note-0124-01a" xlink:href="note-0124-01"/> erit <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> ad eundem meridianum <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> perpendicularis, estque <mml:math><mml:mi>hk</mml:mi></mml:math> in plano meridiani, ergo <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>hk</mml:mi></mml:math> est perpendicularis.</s> <s xml:id="s1435" xml:space="preserve"> Quia vero <mml:math><mml:mi>ehf</mml:mi></mml:math> est supra horizontem, et <mml:math><mml:mi>fke</mml:mi></mml:math> infra horizontem.</s> <s xml:id="s1436" xml:space="preserve"> Ostendet <mml:math><mml:mi>ehf</mml:mi></mml:math> arcum, quem stella supra horizontem describit et <mml:math><mml:mi>fke</mml:mi></mml:math>, quem infra horizontem.</s> <s xml:id="s1437" xml:space="preserve"> et si <!--milestone lacs--> a puncto <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math>, quod est in horizonte, circulum <mml:math><mml:mi>ehfk</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>24</mml:mi></mml:math> partes <emph style="super">aequales<!--variant supralineam--></emph> diviserimus.</s> <s xml:id="s1438" xml:space="preserve"> Statim innotescet spatium quod occupat <!--begin variant delevit post--><mml:math><mml:mi>efh</mml:mi></mml:math><emph style="st"><!--milestone lacs--> <!--milestone lacs--> proportionatum<!--end variant delevit post--></emph> , quod quidem est nuova stellae supra horizontem.</s> <s xml:id="s1439" xml:space="preserve"> Et <mml:math><mml:mi>fke</mml:mi></mml:math> <reg norm="quem" type="context">quod<!--variant correxitex --></reg> sub <!--begin variant delevit post-->horizonte<emph style="st">Ut ex analemmate est quoque manifestum.</emph></s> <s xml:id="s1440" xml:space="preserve"> <emph style="st">Et hoc modo omnium planetarum (praeterque lunae) arcus, quos planetae supra horizontem ac infra horizontem describunt cuiuslibet diei, inveniemus.</emph></s> <s xml:id="s1441" xml:space="preserve"><emph style="st"> In super arcus semidiurni seminocturnoque respondentes patefien?</emph></s> <s xml:id="s1442" xml:space="preserve"> <emph style="st">ut <mml:math><mml:mi>ehfk</mml:mi></mml:math>, cum puncta <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> sint in horizonte, puncta vero <mml:math><mml:mi>sk</mml:mi></mml:math> in meridiano<!--end variant delevit post--></emph> .</s> <s xml:id="s1443" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="2"> <note position="left" xlink:label="note-0124-01" xlink:href="note-0124-01a" xml:space="preserve"> 19 undecimi<!--citmargsign--> </note> </div> <pb o="98bis" file="0125" n="125"/> <figure> <image file="med115_B" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med115_B"/> </figure> <pb file="0126" n="126"/> </div> <div type="section" level="1" n="45"> <head xml:id="head45" xml:space="preserve"> <pb o="98" file="0127" n="127"/> Operatio </head> <figure> <image file="med98" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med98"/> </figure> <p> <s xml:id="s1444" xml:space="preserve"> <emph style="it">senza li numeri</emph> </s> </p><p> <s xml:id="s1445" xml:space="preserve"> Sit meridianus ut supra <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math>, <emph style="super"><mml:math><mml:mi> b</mml:mi></mml:math> punctum verticis<!--variant supralineam--></emph> , horizontis, et meridiane sit <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> comunis sectio.</s> <s xml:id="s1446" xml:space="preserve"> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">Et</emph>Paralleli<!--end variant delevit ante--> diameter stellae <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">ex praecedentibus</emph>inveniatur<!--end variant delevit ante--> .</s> <s xml:id="s1447" xml:space="preserve"> Sitque <mml:math><mml:mi>hk</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1448" xml:space="preserve"> Et diametro <mml:math><mml:mi>hk</mml:mi></mml:math> circulus describatur <mml:math><mml:mi>hekf</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1449" xml:space="preserve"> Et primum vel <mml:math><mml:mi>hk</mml:mi></mml:math> secat <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math>, vel non.</s> <s xml:id="s1450" xml:space="preserve"> Si non, tunc semper stella <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">vel</emph>supra<!--end variant delevit ante--> horizontem <emph style="super">existet<!--variant supralineam--></emph> , et numquam ocultabitur <!--begin variant delevit post-->ocultabitur<emph style="st">si <mml:math><mml:mi>hk</mml:mi></mml:math> infra horizontem, vel numquam supra horizontem apparebit, si sit infra horizontem<!--end variant delevit post--></emph> .</s> <s xml:id="s1451" xml:space="preserve"> Sed secet in <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math>, et a puncto <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math>, ad <mml:math><mml:mi>hk</mml:mi></mml:math> perpendicularis ducatur <mml:math><mml:mi>elf</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1452" xml:space="preserve"> Erit ex dictis circumferentia <mml:math><mml:mi>ehf</mml:mi></mml:math> ea pars <emph style="ul">quae est supra horizontem</emph>, quam stella supra horizontem describit, et <mml:math><mml:mi>fke</mml:mi></mml:math>, quam sub horizonte.</s> <s xml:id="s1453" xml:space="preserve"> Dividatur itaque, exordium summendo a puncto <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math> circulus <mml:math><mml:mi>ehfk</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>24</mml:mi></mml:math> partes, et <mml:math><mml:mi>ehf</mml:mi></mml:math> nuovam ostendet stellae supra horizontem, et <mml:math><mml:mi>fke</mml:mi></mml:math>, quae sub horizonte.</s> <s xml:id="s1454" xml:space="preserve"> Quod invenire oportebat.</s> <s xml:id="s1455" xml:space="preserve"> </s> </p> </div> <div type="section" level="1" n="46"> <head xml:id="head46" xml:space="preserve"> Corollarium </head> <p> <s xml:id="s1456" xml:space="preserve"> Hacque prorsus ratione arcus planetarum <emph style="super">(praeterquam lunae)<!--variant supralineam--></emph> cuiuslibet diei inveniemus, ex quibus etiam arcus <reg norm="semidiurno seminocturnoque" type="context">semidiurni seminocturnique<!--variant correxitex --></reg> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">respondentes</emph>manifesti<!--end variant delevit ante--> sunt.</s> <s xml:id="s1457" xml:space="preserve"> Ut <mml:math><mml:mi>eh</mml:mi></mml:math> <reg norm="efk" type="context">ek <!--variant correxitex --></reg> .</s> <s xml:id="s1458" xml:space="preserve"> </s> </p> </div> <div type="section" level="1" n="47"> <head xml:id="head47" xml:space="preserve"> Corollarium </head> <p> <s xml:id="s1459" xml:space="preserve"> Hinc si ponatur <emph style="super">circulus<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>hekf</mml:mi></mml:math> solis parallelus.</s> <s xml:id="s1460" xml:space="preserve"> Intelligaturque punctum <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math> in occidente, in quo sunt <mml:math><mml:mi>24</mml:mi></mml:math> horae more italico.</s> <s xml:id="s1461" xml:space="preserve"> Punctum <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math> erit in Oriente.</s> <s xml:id="s1462" xml:space="preserve"> Et qua hora sol oriatur ad unguem ostendet, et punctum <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math> meridiem indicabit.</s> <s xml:id="s1463" xml:space="preserve"> <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math> vero mediae noctis horam <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">aliquot literas</emph>demonstrabit<!--end variant delevit ante--> .</s> <s xml:id="s1464" xml:space="preserve"> <emph style="ul">Quae omnino (ut diximus) ex analemmate ortum ducunt</emph>.</s> <s xml:id="s1465" xml:space="preserve"> <pb o="99" file="0128" n="128"/> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">Solis atque</emph>Stellarum<!--end variant delevit ante--> ortus, occasusque amplitudinem invenire.</s> <s xml:id="s1466" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med99" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med99"/> </figure> <p> <s xml:id="s1467" xml:space="preserve"> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st"> Eadem exponantur, quae in (97).</emph></s> <s xml:id="s1468" xml:space="preserve"> <emph style="st">Sitque <mml:math><mml:mi> efh</mml:mi></mml:math> pars, quae est supra horizontem.</emph></s> <s xml:id="s1469" xml:space="preserve"><emph style="st"> Et quoniam <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> est communis sectio horizontis, et meridiani.</emph></s> <s xml:id="s1470" xml:space="preserve"><emph style="st"> Dividantur semicirculi <mml:math><mml:mi>aec</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>afc</mml:mi></mml:math> bifariam in <mml:math><mml:mi>mn</mml:mi></mml:math>.</emph></s> <s xml:id="s1471" xml:space="preserve"><emph style="st"> Erunt puncta <mml:math><mml:mi>mn </mml:mi></mml:math>;</emph></s> <s xml:id="s1472" xml:space="preserve"><emph style="st"> in quibus horizon aequinoctialem intersecat.</emph></s> <s xml:id="s1473" xml:space="preserve"><emph style="st"> Quare</emph>Si<!--end variant delevit ante--> <emph style="super">igitur<!--variant supralineam--></emph> ponatur <mml:math><mml:mi>m</mml:mi></mml:math> <emph style="super">versus<!--variant supralineam--></emph> oriens, <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math> <emph style="super">versus<!--variant supralineam--></emph> occidens.</s> <s xml:id="s1474" xml:space="preserve"> <emph style="super">Punctum vero <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math> astri oriens <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math> autem occidens<!--variant supralineam--></emph> circumferentia <mml:math><mml:mi>me</mml:mi></mml:math> ortus amplitudinem ostendet.</s> <s xml:id="s1475" xml:space="preserve"> Et <mml:math><mml:mi>nf</mml:mi></mml:math> occasus.</s> <s xml:id="s1476" xml:space="preserve"> Quae sunt quidem interse se aequales.</s> <s xml:id="s1477" xml:space="preserve"> Nam <!--begin variant delevit post-->cum<emph style="st">(ex 97) <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> sit meridiano perpendicularis, et <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> est in plano meridiani, linea <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> perpendicularis existet.</emph></s> <s xml:id="s1478" xml:space="preserve"> <emph style="st">Quare ex 96<!--end variant delevit post--></emph> sit circumferentia <mml:math><mml:mi>cf</mml:mi></mml:math> circumferentiae <mml:math><mml:mi>ce</mml:mi></mml:math> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">est</emph>aequalis<!--end variant delevit ante--> .</s> <s xml:id="s1479" xml:space="preserve"> Et <mml:math><mml:mi>cmcn</mml:mi></mml:math> interse sunt aequales, cum sint <emph style="super">eiusdem<!--variant supralineam--></emph> circuli quartae.</s> <s xml:id="s1480" xml:space="preserve"> <reg norm="Ergo" type="context">Erit<!--variant correxitex --></reg> <mml:math><mml:mi>me</mml:mi></mml:math> <!--begin variant delevit post-->circumferentia<emph style="st">est<!--end variant delevit post--></emph> circumferentiae <mml:math><mml:mi>nf</mml:mi></mml:math> aequalis.</s> <s xml:id="s1481" xml:space="preserve"> In sphera vero recta cuiuscumque puncti eadem est declinatio, et ortus <emph style="bf">amplitudo<!--variant postcorrectionem--></emph> <reg norm="amplitudo ortus" type="context">ortus amplitudo <!--variant correxitex --></reg> .</s> <s xml:id="s1482" xml:space="preserve"> Si enim accipiatur in sphera recta circulus <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> pro horizonte, cum per mundi polos transeat erit punctum <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math> versus oriens.</s> <s xml:id="s1483" xml:space="preserve"> Unde <mml:math><mml:mi>hk</mml:mi></mml:math> astri amplitudinem ortus ostendet.</s> <s xml:id="s1484" xml:space="preserve"> Quae quidem circumferentia <mml:math><mml:mi>hk</mml:mi></mml:math> ipsius astri <emph style="super">existit<!--variant supralineam--></emph> <emph style="bf">declinatio<!--variant postcorrectionem--></emph> .</s> <s xml:id="s1485" xml:space="preserve"> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">ostendit</emph>Sit<!--end variant delevit ante--> <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> meridianus.</s> <s xml:id="s1486" xml:space="preserve"> Sit astri parallelus <mml:math><mml:mi>bekf</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1487" xml:space="preserve"> Horizon <mml:math><mml:mi>aecf</mml:mi></mml:math>, <anchor type="note" xlink:label="note-0128-01a" xlink:href="note-0128-01"/> .</s> <s xml:id="s1488" xml:space="preserve"> Sitque aequinoctialis <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">vero</emph><mml:math><mml:mi> gmhn</mml:mi></mml:math><mml:math><mml:mi> gmhn</mml:mi></mml:math><!--end variant delevit ante--> , qui horizontem secet in punctis <mml:math><mml:mi>mn</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1489" xml:space="preserve"> Erunt puncta <mml:math><mml:mi>mn</mml:mi></mml:math> versus oriens, et ocidens.</s> <s xml:id="s1490" xml:space="preserve"> Et cum sit <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> meridianus erunt <emph style="super">semicirculi<!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit post--><mml:math><mml:mi> anc</mml:mi></mml:math><emph style="st"><!--milestone lacs--> similiter<!--end variant delevit post--></emph> <!--begin variant delevit post--><mml:math><mml:mi> amc</mml:mi></mml:math><emph style="st"><!--milestone lacs--> circuli quartae<!--end variant delevit post--></emph> bifariam in <mml:math><mml:mi>mn</mml:mi></mml:math> divisi <reg norm="sint" type="context">sit<!--variant correxitex --></reg> postea <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> horizontis diameter, <mml:math><mml:mi> bk</mml:mi></mml:math> vero paralleli.</s> <s xml:id="s1491" xml:space="preserve"> Connectaturque <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math>, <emph style="super">similiter<!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">quae ut</emph>ut<!--end variant delevit ante--> in praecedenti ostendetur <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> ad meridianum <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> perpendicularem esse ac propterea, cum <emph style="super">linea<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> sit in meridiano, erit <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> perpendicularis circumferentiaque <mml:math><mml:mi>ce</mml:mi></mml:math> circumferentiae <mml:math><mml:mi>cf</mml:mi></mml:math> aequalis.</s> <s xml:id="s1492" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="1"> <note position="left" xlink:label="note-0128-01" xlink:href="note-0128-01a" xml:space="preserve"> qui se invicem secent in punctis <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math><!--variant signopositoinmargine--> </note> </div> <pb o="100" file="0129" n="129"/> <figure> <image file="med100" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med100"/> </figure> <p> <s xml:id="s1493" xml:space="preserve"> Sit <mml:math><mml:mi>abck</mml:mi></mml:math> meridianus, et <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> communis sectio horizontis, et meridiani.</s> <s xml:id="s1494" xml:space="preserve"> Inveniatur diameter paralleli <emph style="super">stellae cuius oporteat ortus altitudinem invenire<!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s1495" xml:space="preserve"> Quae sit <mml:math><mml:mi>bk</mml:mi></mml:math>, quae <emph style="super">quidem<!--variant supralineam--></emph> horizontis diametrum secet in <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1496" xml:space="preserve"> Nunc vero <emph style="super">invento puncto <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> intelligatur circulus <mml:math><mml:mi>abck</mml:mi></mml:math> horizon, et <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> horizontis et meridiani communis sectio, quae erit linea meridiana.</s> <s xml:id="s1497" xml:space="preserve"> Et a puncto <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> perpendicularis ducatur <mml:math><mml:mi>elf</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1498" xml:space="preserve"> Semicirculique <mml:math><mml:mi>aecafc</mml:mi></mml:math> bifariam dividantur in <mml:math><mml:mi>mn</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1499" xml:space="preserve"> Erunt ex dictis <emph style="super">puncta<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>mn</mml:mi></mml:math> versus oriens, <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">et <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math></emph>et<!--end variant delevit ante--> versus occidens.</s> <s xml:id="s1500" xml:space="preserve"> Unde <anchor type="note" xlink:label="note-0129-01a" xlink:href="note-0129-01"/> circumferentia <mml:math><mml:mi>me</mml:mi></mml:math> ortus amplitudinem ostendet, circumferentia vero <mml:math><mml:mi>nf</mml:mi></mml:math> occasus.</s> <s xml:id="s1501" xml:space="preserve"> Quae intersese <emph style="super">iam ostensae sunt<!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">sunt</emph>aequales<!--end variant delevit ante--> .</s> <s xml:id="s1502" xml:space="preserve"> Quod facere oportebat.</s> <s xml:id="s1503" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="2"> <note position="left" xlink:label="note-0129-01" xlink:href="note-0129-01a" xml:space="preserve"> si intelligatur <mml:math><mml:mi>m</mml:mi></mml:math> oriens <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math> occidens<!--variant signopositoinmargine--> </note> </div> </div> <div type="section" level="1" n="48"> <head xml:id="head48" xml:space="preserve"> Corollarium </head> <p> <s xml:id="s1504" xml:space="preserve"> Hinc cuiuslibet paralleli planetarum inventa diametro.</s> <s xml:id="s1505" xml:space="preserve"> <emph style="bf">Eorum<!--variant postcorrectionem--></emph> ortus, et occasus altitudinem invenire facillimum erit.</s> <s xml:id="s1506" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="101" file="0130" n="130"/> <p> <s xml:id="s1507" xml:space="preserve"> Cuiuscumque eclipticae puncti rectam invenire ascensionem.</s> <s xml:id="s1508" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med101" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med101"/> </figure> <p> <s xml:id="s1509" xml:space="preserve"> Sit <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> solstitiorum colurus.</s> <s xml:id="s1510" xml:space="preserve"> Cuius et mundi centrum <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math>, <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">et</emph>poli<!--end variant delevit ante--> <emph style="super">vero mundi<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1511" xml:space="preserve"> Sit <mml:math><mml:mi>afcg</mml:mi></mml:math> aequinoctialis, et <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> ipsius, dictique coluri communis sectio, et ipsi <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> perpendicularis existat diameter <mml:math><mml:mi>feg</mml:mi></mml:math>, quae ad planum <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> <anchor type="note" xlink:label="note-0130-01a" xlink:href="note-0130-01"/> perpendicularis erit.</s> <s xml:id="s1512" xml:space="preserve"> Sit <mml:math><mml:mi>fkgh</mml:mi></mml:math> linea ecliptica, quae aequinoctialem secet in punctis <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1513" xml:space="preserve"> Sitque <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math> principium arietis.</s> <s xml:id="s1514" xml:space="preserve"> <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math> principium cancri, et caetera <emph style="super">circumferentia quidem <mml:math><mml:mi>ck</mml:mi></mml:math> erit<!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">aliquot verba</emph>solis<!--end variant delevit ante--> maxima declinatio.</s> <s xml:id="s1515" xml:space="preserve"> <reg norm="Sitque" type="context">Sit<!--variant correxitex --></reg> <emph style="super">deinde<!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit post--><mml:math><mml:mi> hek</mml:mi></mml:math><emph style="st">zodiacus <!--milestone lacs--><!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super">eclipticae<!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">et</emph>circulique<!--end variant delevit ante--> <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> communis sectio;</s> <s xml:id="s1516" xml:space="preserve"> quae ipsi <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> perpendicularis <emph style="super">erit<!--variant supralineam--></emph> , <emph style="super">siquidem<!--variant supralineam--></emph> linea <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> ad planum <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">est</emph>perpendicularis<!--end variant delevit ante--> <emph style="super">existit<!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s1517" xml:space="preserve"> Et <mml:math><mml:mi>cek</mml:mi></mml:math> erit angulus inclinationis lineae eclipticae, et aequinoctialis.</s> <s xml:id="s1518" xml:space="preserve"> Summatur in <emph style="super">quarta<!--variant supralineam--></emph> ecliptica <emph style="super"><mml:math><mml:mi>fk</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> quodvis punctum <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1519" xml:space="preserve"> Et per polos <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math>, et punctum <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math> circulus ducatur <mml:math><mml:mi>bld</mml:mi></mml:math>, qui aequinoctialem secet in <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1520" xml:space="preserve"> Manifestum est, aequinoctialis circumferentiam <mml:math><mml:mi>fn</mml:mi></mml:math> rectam esse ascensionem circumferentiae <mml:math><mml:mi>fl</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1521" xml:space="preserve"> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">aliquot literas</emph>Connectatur<!--end variant delevit ante--> itaque <mml:math><mml:mi>en</mml:mi></mml:math>, quae erit communis sectio aequinoctialis, et circuli <mml:math><mml:mi>blnd</mml:mi></mml:math>, a punctoque <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math> ad planum aequinoctialis perpendicularis ducatur <mml:math><mml:mi>lo</mml:mi></mml:math>, quae <anchor type="note" xlink:label="note-0130-02a" xlink:href="note-0130-02"/> in <mml:math><mml:mi>en</mml:mi></mml:math> cadet, et ab hoc puncto <mml:math><mml:mi>o</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> perpendicularis ducatur <mml:math><mml:mi>om</mml:mi></mml:math>, quae aequidistans erit <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1522" xml:space="preserve"> Connectaturque <mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math>:</s> <s xml:id="s1523" xml:space="preserve"> erit <mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> perpendicularis, et ob id ipsi <mml:math><mml:mi>ek</mml:mi></mml:math> aequidistans.</s> <s xml:id="s1524" xml:space="preserve"> Cum autem duae <mml:math><mml:mi>omml</mml:mi></mml:math> sint ipsis <mml:math><mml:mi>ceck</mml:mi></mml:math> aequidistantes.</s> <s xml:id="s1525" xml:space="preserve"> <anchor type="note" xlink:label="note-0130-03a" xlink:href="note-0130-03"/> erit angulus <mml:math><mml:mi>lmo</mml:mi></mml:math> angulo <mml:math><mml:mi>kec</mml:mi></mml:math> aequalis.</s> <s xml:id="s1526" xml:space="preserve"> Qui est angulus inclinationis eclipticae, et aequinoctialis.</s> <s xml:id="s1527" xml:space="preserve"> Datus est ergo angulus <mml:math><mml:mi>oml</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1528" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="1"> <note position="left" xlink:label="note-0130-01" xlink:href="note-0130-01a" xml:space="preserve"> ex conversa 18 undecimi<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0130-02" xlink:href="note-0130-02a" xml:space="preserve"> 38 undecimi<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0130-03" xlink:href="note-0130-03a" xml:space="preserve"> 10 undecimi<!--citmargsign--> </note> </div> </div> <div type="section" level="1" n="49"> <head xml:id="head49" xml:space="preserve"> Corollarium </head> <p> <s xml:id="s1529" xml:space="preserve"> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">A circumferentiaque <mml:math><mml:mi> l</mml:mi></mml:math></emph>Hinc<!--end variant delevit ante--> manifestum est circumferentiam <mml:math><mml:mi>ln</mml:mi></mml:math> ipsius puncti <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math> declinationem esse.</s> <s xml:id="s1530" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="102" file="0131" n="131"/> </div> <div type="section" level="1" n="50"> <head xml:id="head50" xml:space="preserve"> Operatio </head> <figure> <image file="med102" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med102"/> </figure> <p> <s xml:id="s1531" xml:space="preserve"> Sit circa centrum <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math> circulus <mml:math><mml:mi>afcg</mml:mi></mml:math>, qui primum accipiatur per <emph style="super">ecliptica<!--variant supralineam--></emph> , <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">Zodiaco</emph>in<!--end variant delevit ante--> quo ad rectos insint angulos diametri <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1532" xml:space="preserve"> <emph style="super">Intelligaturque punctum<!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">sitque</emph><mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math><!--end variant delevit ante--> principium arietis.</s> <s xml:id="s1533" xml:space="preserve"> Summatur in circumferentia circuli <emph style="super"><mml:math><mml:mi>fc</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> quodvis punctum <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math>, cuius oporteat rectam invenire ascensionem.</s> <s xml:id="s1534" xml:space="preserve"> Ducatur a puncto <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> perpendicularis <mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1535" xml:space="preserve"> Deinde seorsum exponatur angulus <mml:math><mml:mi>pqr</mml:mi></mml:math>, qui aequalis sit angulo inclinationis Zodiaci, et aequinoctialis.</s> <s xml:id="s1536" xml:space="preserve"> Contineat <emph style="super">nimirum<!--variant supralineam--></emph> angulus <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">scilicet</emph>angulis<!--end variant delevit ante--> <mml:math><mml:mi>pqr</mml:mi></mml:math> <emph style="super">circuli<!--variant supralineam--></emph> vigintitres gradus, cum dimidio fere, ut recentioribus placet.</s> <s xml:id="s1537" xml:space="preserve"> Fiatque <mml:math><mml:mi>qr</mml:mi></mml:math> aequalis <mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math>, et a puncto <mml:math><mml:mi>r</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>qp</mml:mi></mml:math> perpendicularis ducatur <mml:math><mml:mi>rp</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1538" xml:space="preserve"> Intelligaturque nunc circulus <mml:math><mml:mi>afcg</mml:mi></mml:math> aequinoctialis, itidemque punctum <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math> arietis principium.</s> <s xml:id="s1539" xml:space="preserve"> Et a puncto <mml:math><mml:mi>m</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> perpendicularis ducatur, quae in <emph style="super">eandem<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>ml</mml:mi></mml:math> coincidet.</s> <s xml:id="s1540" xml:space="preserve"> Fiatque <mml:math><mml:mi>mo</mml:mi></mml:math> aequalis <mml:math><mml:mi>qp</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1541" xml:space="preserve"> Erit ex supradictis punctum <mml:math><mml:mi>o</mml:mi></mml:math> ubi ducta perpendicularis a puncto eclipticae ipsi circumferentiae <mml:math><mml:mi>fl</mml:mi></mml:math> respondente in planum aequinoctialis cadit.</s> <s xml:id="s1542" xml:space="preserve"> Ducatur itaque <mml:math><mml:mi>eon</mml:mi></mml:math>, quae circumferentiam secet in <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1543" xml:space="preserve"> Circumferentia <mml:math><mml:mi>fn</mml:mi></mml:math> rectam ostendet ascensionem arcus eclipticae ipsi <mml:math><mml:mi>fl</mml:mi></mml:math> aequalis.</s> <s xml:id="s1544" xml:space="preserve"> Quod invenire <anchor type="note" xlink:label="note-0131-01a" xlink:href="note-0131-01"/> .</s> <s xml:id="s1545" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="1"> <note position="left" xlink:label="note-0131-01" xlink:href="note-0131-01a" xml:space="preserve"> oportebat<!--variant signopositoinmargine--> </note> </div> <p> <s xml:id="s1546" xml:space="preserve"> Si autem ipsius puncti eclipticae declinationem invenire voluerimus ducatur a puncto <mml:math><mml:mi>o</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>en</mml:mi></mml:math> perpendicularis <mml:math><mml:mi>oi</mml:mi></mml:math> <emph style="super"><!--milestone lacs--> secans in <mml:math><mml:mi>i</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> ,, quae quidem ipsi <mml:math><mml:mi>pr</mml:mi></mml:math> aequalis erit.</s> <s xml:id="s1547" xml:space="preserve"> Circumferentia <mml:math><mml:mi>ni</mml:mi></mml:math> ipsius eclipticae puncti <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math> declinationem ostendet.</s> <s xml:id="s1548" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="103" file="0132" n="132"/> <p> <s xml:id="s1549" xml:space="preserve"> Data <emph style="super">in ecliptica<!--variant supralineam--></emph> cuiuscumque stellae longitudine, et latitudine, rectam eius ascensionem invenire.</s> <s xml:id="s1550" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med103" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med103"/> </figure> <p> <s xml:id="s1551" xml:space="preserve"> Sit <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> solstitiorum colurus, cuius centrum <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1552" xml:space="preserve"> Sint poli mundi <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1553" xml:space="preserve"> Sit <mml:math><mml:mi>afc</mml:mi></mml:math> aequinoctialis, cuius, dictique coluri sit <mml:math><mml:mi>aec</mml:mi></mml:math> communis sectio.</s> <s xml:id="s1554" xml:space="preserve"> Sit <mml:math><mml:mi>gkh</mml:mi></mml:math> ecliptica, qua aequinoctialem secet in <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1555" xml:space="preserve"> Sitque <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math> principium <!--begin variant delevit post-->Arietis<emph style="st">erit <mml:math><mml:mi> ak</mml:mi></mml:math> aequalis <mml:math><mml:mi>kc</mml:mi></mml:math><!--end variant delevit post--></emph> et <mml:math><mml:mi>gh</mml:mi></mml:math> zodiaci, et coluri <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> <emph style="super">sit<!--variant supralineam--></emph> sectio communis.</s> <s xml:id="s1556" xml:space="preserve"> Sint <mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math> poli zodiaci.</s> <s xml:id="s1557" xml:space="preserve"> Sit stella <emph style="super">punctum<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math>, et per <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math>, perque polos zodiaci circulus ducatur <mml:math><mml:mi>lnm</mml:mi></mml:math>, qui <emph style="super">eclipticam<!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">zodiacum</emph>secet<!--end variant delevit ante--> in <mml:math><mml:mi>o</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1558" xml:space="preserve"> Erit <mml:math><mml:mi>ko</mml:mi></mml:math> stellae longitudo data.</s> <s xml:id="s1559" xml:space="preserve"> Et <mml:math><mml:mi>on</mml:mi></mml:math> eius latitudo data.</s> <s xml:id="s1560" xml:space="preserve"> Si itaque per polos mundi <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math>, et per <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math> circulus ducatur <mml:math><mml:mi>bnd</mml:mi></mml:math> aequinoctialem secans in <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1561" xml:space="preserve"> Manifestum est <mml:math><mml:mi>kf</mml:mi></mml:math> rectam esse ascensionem stellae in <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math> constitutae.</s> <s xml:id="s1562" xml:space="preserve"> Ducatur igitur per <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math> planum zodiaco aequidistantem, quod in sphera circulum faciat <mml:math><mml:mi>pnq</mml:mi></mml:math>, quod quidem ad planum <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> erit erectum;</s> <s xml:id="s1563" xml:space="preserve"> sitque <emph style="super">linea<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>pq</mml:mi></mml:math> ipsius, et <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> communis sectio;</s> <s xml:id="s1564" xml:space="preserve"> <anchor type="note" xlink:label="note-0132-01a" xlink:href="note-0132-01"/> erit <mml:math><mml:mi>pq</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>gh</mml:mi></mml:math> aequidistans.</s> <s xml:id="s1565" xml:space="preserve"> Quoniam enim <mml:math><mml:mi>lnolqh</mml:mi></mml:math> sunt maximarum circulorum quartae, et <mml:math><mml:mi>pnq</mml:mi></mml:math> est ipsi <mml:math><mml:mi>goh</mml:mi></mml:math> aequidistans, <anchor type="note" xlink:label="note-0132-02a" xlink:href="note-0132-02"/> <mml:math><mml:mi>hq</mml:mi></mml:math> aequalis <mml:math><mml:mi>on</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1566" xml:space="preserve"> Ergo data est <mml:math><mml:mi>hq</mml:mi></mml:math>, quae latitudini stellae est aequalis.</s> <s xml:id="s1567" xml:space="preserve"> Et ob eandem causam <anchor type="note" xlink:label="note-0132-03a" xlink:href="note-0132-03"/> <mml:math><mml:mi>qu</mml:mi></mml:math> similis erit <!--begin variant delevit post--><mml:math><mml:mi>ho</mml:mi></mml:math><emph style="st">est autem <mml:math><mml:mi>ko</mml:mi></mml:math> data, et <mml:math><mml:mi>koh</mml:mi></mml:math> quarta circuli.</emph></s> <s xml:id="s1568" xml:space="preserve"> <emph style="st">Data, ergo <mml:math><mml:mi>ho</mml:mi></mml:math> complementum ipsius <mml:math><mml:mi>ko</mml:mi></mml:math> data erit.</emph></s> <s xml:id="s1569" xml:space="preserve"> <emph style="st">Quare quando data erit.</emph></s> <s xml:id="s1570" xml:space="preserve"> <emph style="st">Hoc est, quae gradus continet <!--milestone lacs--> <!--milestone lacs--> circuli <mml:math><mml:mi>hog</mml:mi></mml:math>, tot quoque continet quando <!--milestone lacs--> circuli <mml:math><mml:mi>qnpo</mml:mi></mml:math><!--end variant delevit post--></emph> .</s> <s xml:id="s1571" xml:space="preserve"> <anchor type="note" xlink:label="note-0132-04a" xlink:href="note-0132-04"/> <mml:math><mml:mi>pnq</mml:mi></mml:math> bifariam in puncto <mml:math><mml:mi>u</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1572" xml:space="preserve"> Erit utique quarta <mml:math><mml:mi>q</mml:mi></mml:math> similis quartae <mml:math><mml:mi>kh</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1573" xml:space="preserve"> Ac propterea circumferentia <mml:math><mml:mi>un</mml:mi></mml:math> similis erit circumferentiae <mml:math><mml:mi>ko</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1574" xml:space="preserve"> Ergo data est, quippe <!--begin variant delevit post-->quae<emph style="st">longitudinis stellae est aequalis hoc est, aequales<!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super">tot numero<!--variant supralineam--></emph> continet gradus.</s> <s xml:id="s1575" xml:space="preserve"> Quot sit ipius stellae <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">et</emph>longitudine<!--end variant delevit ante--> dati.</s> <s xml:id="s1576" xml:space="preserve"> Ducatur deinde a puncto <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math> ad planum <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> perpendicularis <mml:math><mml:mi>nr</mml:mi></mml:math>, quae <anchor type="note" xlink:label="note-0132-05a" xlink:href="note-0132-05"/> in <mml:math><mml:mi>pq</mml:mi></mml:math> cadet, et ab hoc puncto <mml:math><mml:mi>r</mml:mi></mml:math> ad aequinoctialis planum <mml:math><mml:mi>afc</mml:mi></mml:math> perpendicularis ducatur <mml:math><mml:mi>rs</mml:mi></mml:math>, quae in <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> cadet.</s> <s xml:id="s1577" xml:space="preserve"> Et a puncto <mml:math><mml:mi>s</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> in aequinoctialis plano perpendicularis ducatur <mml:math><mml:mi>st</mml:mi></mml:math>, <anchor type="note" xlink:label="note-0132-06a" xlink:href="note-0132-06"/> erit <mml:math><mml:mi>st</mml:mi></mml:math> plano <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> perpendicularis.</s> <s xml:id="s1578" xml:space="preserve"> <anchor type="note" xlink:label="note-0132-07a" xlink:href="note-0132-07"/> quare <mml:math><mml:mi>st</mml:mi></mml:math> aequidistans erit <mml:math><mml:mi>nr</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1579" xml:space="preserve"> Fiat itaque <mml:math><mml:mi>st</mml:mi></mml:math> aequalis <mml:math><mml:mi>nr</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1580" xml:space="preserve"> Iunctaque <mml:math><mml:mi>nt</mml:mi></mml:math>, <anchor type="note" xlink:label="note-0132-08a" xlink:href="note-0132-08"/> erit <mml:math><mml:mi>nt</mml:mi></mml:math> aequidistans <mml:math><mml:mi>rs</mml:mi></mml:math>, ac propterea <mml:math><mml:mi> nt</mml:mi></mml:math> <anchor type="note" xlink:label="note-0132-09a" xlink:href="note-0132-09"/> aequinoctialis plano perpendicularis existet.</s> <s xml:id="s1581" xml:space="preserve"> Iandem connectatur <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math>, quae aequinoctialis, et circuli <mml:math><mml:mi>bnfd</mml:mi></mml:math> est communis sectio.</s> <s xml:id="s1582" xml:space="preserve"> Quoniam igitur <mml:math><mml:mi>nt</mml:mi></mml:math> est aequinoctialis plano perpendicularis, <anchor type="note" xlink:label="note-0132-10a" xlink:href="note-0132-10"/> cadet <mml:math><mml:mi>nt</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1583" xml:space="preserve"> Linea ergo <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> per punctum <mml:math><mml:mi>t</mml:mi></mml:math> transit.</s> <s xml:id="s1584" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="2"> <note position="left" xlink:label="note-0132-01" xlink:href="note-0132-01a" xml:space="preserve"> 16 undecimi<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0132-02" xlink:href="note-0132-02a" xml:space="preserve"> secundi sphericorum Theodosii<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0132-03" xlink:href="note-0132-03a" xml:space="preserve"> secundi sphericorum Theodosii<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0132-04" xlink:href="note-0132-04a" xml:space="preserve"> Dividatur circumferentia<!--variant signopositoinmargine--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0132-05" xlink:href="note-0132-05a" xml:space="preserve"> 38 undecimi<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0132-06" xlink:href="note-0132-06a" xml:space="preserve"> 6 undecimi<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0132-07" xlink:href="note-0132-07a" xml:space="preserve"> 6 undecimi<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0132-08" xlink:href="note-0132-08a" xml:space="preserve"> 33 primi<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0132-09" xlink:href="note-0132-09a" xml:space="preserve"> 8 undecimi<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0132-10" xlink:href="note-0132-10a" xml:space="preserve"> 38 undecimi<!--citmargsign--> </note> </div> <pb o="104" file="0133" n="133"/> </div> <div type="section" level="1" n="51"> <head xml:id="head51" xml:space="preserve"> Operatio </head> <figure> <image file="med104" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med104"/> </figure> <p> <s xml:id="s1585" xml:space="preserve"> Sit circulus <mml:math><mml:mi>aqcg</mml:mi></mml:math>, qui primum accipiatur per solstitiorum coluro, cuius sit centrum <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1586" xml:space="preserve"> Sit <mml:math><mml:mi>aec</mml:mi></mml:math> aequinoctialis diameter, <mml:math><mml:mi>geh</mml:mi></mml:math> eclipticae.</s> <s xml:id="s1587" xml:space="preserve"> Fiat <mml:math><mml:mi>hq</mml:mi></mml:math> stellae latitudini <anchor type="note" xlink:label="note-0133-01a" xlink:href="note-0133-01"/> aequalis, et a puncto <mml:math><mml:mi>q</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>hg</mml:mi></mml:math> aequidistans ducatur <mml:math><mml:mi>qp</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1588" xml:space="preserve"> Et diametro <mml:math><mml:mi>pq</mml:mi></mml:math> circulus describatur <!--begin variant delevit post--><mml:math><mml:mi>puq</mml:mi></mml:math><emph style="st">deinde fiat <mml:math><mml:mi>qu</mml:mi></mml:math> complemento longitudinis stellae similis<!--end variant delevit post--></emph> .</s> <s xml:id="s1589" xml:space="preserve"> <anchor type="note" xlink:label="note-0133-02a" xlink:href="note-0133-02"/> aequalis <mml:math><mml:mi>uq</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1590" xml:space="preserve"> Et quot <emph style="super">longitudine sunt<!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit post-->gradus<emph style="st">sunt<!--end variant delevit post--></emph> ipsius stellae, tot fiant ipsius circuli <mml:math><mml:mi>un</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1591" xml:space="preserve"> Et a puncto <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>pq</mml:mi></mml:math> perpendicularis ducatur <mml:math><mml:mi>nr</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1592" xml:space="preserve"> Erit punctum <mml:math><mml:mi>r</mml:mi></mml:math>, ubi perpendicularis a stella ad solstitiorum colurum cadit, et a puncto <mml:math><mml:mi>r</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> perpendicularis ducatur <mml:math><mml:mi>rs</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1593" xml:space="preserve"> Nunc vero invento puncto <mml:math><mml:mi>s</mml:mi></mml:math> intelligatur circulus <mml:math><mml:mi>akc</mml:mi></mml:math> aequinoctialis, et sit <mml:math><mml:mi>kc</mml:mi></mml:math> quarta circuli.</s> <s xml:id="s1594" xml:space="preserve"> Intelligaturque <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math> Arietis principium.</s> <s xml:id="s1595" xml:space="preserve"> Deinde a puncto <mml:math><mml:mi>s</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> perpendicularis ducatur <mml:math><mml:mi>st</mml:mi></mml:math> <emph style="super">fiatque <mml:math><mml:mi>st</mml:mi></mml:math> aequalis <mml:math><mml:mi>nr</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s1596" xml:space="preserve"> Erit punctum <mml:math><mml:mi>t</mml:mi></mml:math>, ubi cadit perpendicularis a stella in planum aequinoctialis.</s> <s xml:id="s1597" xml:space="preserve"> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">fiatque <mml:math><mml:mi>st</mml:mi></mml:math> aequalis <mml:math><mml:mi>nr</mml:mi></mml:math></emph>Ducatur<!--end variant delevit ante--> itaque <mml:math><mml:mi>etf</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1598" xml:space="preserve"> Circumferentia <mml:math><mml:mi>kf</mml:mi></mml:math> rectam ostendet stella oblatae ascensionem.</s> <s xml:id="s1599" xml:space="preserve"> <anchor type="note" xlink:label="note-0133-03a" xlink:href="note-0133-03"/> .</s> <s xml:id="s1600" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="1"> <note position="left" xlink:label="note-0133-01" xlink:href="note-0133-01a" xml:space="preserve"> ab ecliptica<!--variant signopositoinmargine--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0133-02" xlink:href="note-0133-02a" xml:space="preserve"> Sitque <mml:math><mml:mi>pu</mml:mi></mml:math><!--variant signopositoinmargine--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0133-03" xlink:href="note-0133-03a" xml:space="preserve"> Quod invenire oportebat<!--variant signopositoinmargine--> </note> </div> <pb o="105" file="0134" n="134"/> <p> <s xml:id="s1601" xml:space="preserve"> Aliter invenire, quod in (101) propositum est.</s> <s xml:id="s1602" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med105" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med105"/> </figure> <p> <s xml:id="s1603" xml:space="preserve"> Eadem <!--begin variant delevit post-->exponatur<emph style="st">primum quidem <mml:math><mml:mi>kl</mml:mi></mml:math> complementum puncti eclipticae dati, datum est<!--end variant delevit post--></emph> .</s> <s xml:id="s1604" xml:space="preserve"> <anchor type="note" xlink:label="note-0134-01a" xlink:href="note-0134-01"/> <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> solstitiorum colurus, <mml:math><mml:mi>afc</mml:mi></mml:math> aequinoctialis, cuius diameter <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1605" xml:space="preserve"> Sit <mml:math><mml:mi>hfk</mml:mi></mml:math> ecliptica, cuius diameter <mml:math><mml:mi>hk</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1606" xml:space="preserve"> Sitque <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math> principium Ariets <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math> vero principium cancri.</s> <s xml:id="s1607" xml:space="preserve"> Summatur punctum <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math>, circulusque ducatur <mml:math><mml:mi>blnd</mml:mi></mml:math>, cuius et aequinoctialis sit <mml:math><mml:mi>en</mml:mi></mml:math> communis sectio.</s> <s xml:id="s1608" xml:space="preserve"> Iam constat <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">aliquot literas</emph>circumferentiam<!--end variant delevit ante--> <mml:math><mml:mi>fn</mml:mi></mml:math> circumferentiae <mml:math><mml:mi>fl</mml:mi></mml:math> rectam esse ascensionem.</s> <s xml:id="s1609" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="2"> <note position="left" xlink:label="note-0134-01" xlink:href="note-0134-01a" xml:space="preserve"> Sit scilicet<!--variant signopositoinmargine--> </note> </div> <p> <s xml:id="s1610" xml:space="preserve"> Ducatur <emph style="super">itaque<!--variant supralineam--></emph> a puncto <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math> ad planum <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> perpendicularis <mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math>, quae <anchor type="note" xlink:label="note-0134-02a" xlink:href="note-0134-02"/> in <mml:math><mml:mi>hk</mml:mi></mml:math> cadet, deinde a puncto <mml:math><mml:mi>m</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> perpendicularis ducatur <mml:math><mml:mi>mp</mml:mi></mml:math>, et a puncto <mml:math><mml:mi>p</mml:mi></mml:math> in plano aequinoctialis ad <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> perpendicularis ducatur <mml:math><mml:mi>po</mml:mi></mml:math>, fiatque <mml:math><mml:mi>po</mml:mi></mml:math> aequalis <mml:math><mml:mi>ml</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1611" xml:space="preserve"> Erit (ut saepius dictum est) <mml:math><mml:mi>po</mml:mi></mml:math> aequalis, et aequidistans <anchor type="note" xlink:label="note-0134-03a" xlink:href="note-0134-03"/> <mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s1612" xml:space="preserve"> <emph style="super">ac proptera<!--variant supralineam--></emph> <reg norm="iunctaque" type="context">iuncta<!--variant correxitex --></reg> <mml:math><mml:mi>lo</mml:mi></mml:math>, erit <!--begin variant delevit ante--><emph style="st"><mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math></emph>aequinoctialis<!--end variant delevit ante--> plano perpendicularis.</s> <s xml:id="s1613" xml:space="preserve"> Quae quidem in <mml:math><mml:mi>en</mml:mi></mml:math> cadet ergo punctum <mml:math><mml:mi>o</mml:mi></mml:math> in linea <mml:math><mml:mi>en</mml:mi></mml:math> <emph style="super">existit<!--variant supralineam--></emph> et <mml:math><mml:mi>fn</mml:mi></mml:math> <!--begin variant delevit post-->rectam<emph style="st">puncti <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math>, secet<!--end variant delevit post--></emph> <anchor type="note" xlink:label="note-0134-04a" xlink:href="note-0134-04"/> ascensionem ostendet.</s> <s xml:id="s1614" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="3"> <note position="left" xlink:label="note-0134-02" xlink:href="note-0134-02a" xml:space="preserve"> 38 undecimi<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0134-03" xlink:href="note-0134-03a" xml:space="preserve"> ipsi<!--variant signopositoinmargine--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0134-04" xlink:href="note-0134-04a" xml:space="preserve"> circumferentiae <mml:math><mml:mi>fl</mml:mi></mml:math><!--variant inmargine--> </note> </div> <pb o="106" file="0135" n="135"/> </div> <div type="section" level="1" n="52"> <head xml:id="head52" xml:space="preserve"> Operatio </head> <figure> <image file="med106" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med106"/> </figure> <p> <s xml:id="s1615" xml:space="preserve"> Sit primum circulus <mml:math><mml:mi>akch</mml:mi></mml:math> <emph style="super">ecliptica<!--variant supralineam--></emph> , cuius diameter <mml:math><mml:mi>hk</mml:mi></mml:math>, sitque <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math> cancri <!--begin variant delevit post-->principium<emph style="st">Fiatque <mml:math><mml:mi>kl</mml:mi></mml:math> complementum puncti <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math> ab Ariete<!--end variant delevit post--></emph> . <!--begin variant delevit post--><mml:math><mml:mi> hk</mml:mi></mml:math> circuli quartaascensionem<emph style="st">a cancro distans circumferentia <mml:math><mml:mi>kl</mml:mi></mml:math> quae minor sit quadrante<!--end variant delevit post--></emph> intelligaturque punctum <mml:math><mml:mi>q</mml:mi></mml:math> Arietis principium summaturque in quarta <mml:math><mml:mi>qk</mml:mi></mml:math> circumferentia sitque <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">aliquot verba</emph><mml:math><mml:mi>ql</mml:mi></mml:math><!--end variant delevit ante--> , cuius oporteat rectam invenire ascensionem. Et a puncto <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>hk</mml:mi></mml:math> perpendicularis ducatur <mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math>. Deinde intelligatur circulus solstitiorum colurus, in quo sit <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> aequinoctialis diameter, et <mml:math><mml:mi>hk</mml:mi></mml:math> eclipticae diameter maneat. A punctoque <mml:math><mml:mi>m</mml:mi></mml:math> ducatur ad <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> perpendicularis <mml:math><mml:mi>mp</mml:mi></mml:math>. Nunc itaque invento puncto <mml:math><mml:mi>p</mml:mi></mml:math>, intelligatur <mml:math><mml:mi>afc</mml:mi></mml:math> aequinoctialis, et <mml:math><mml:mi>cf</mml:mi></mml:math> sit circuli quarta, <emph style="super">punctum vero<!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">aliquot literas</emph><mml:math><mml:mi> f</mml:mi></mml:math><!--end variant delevit ante--> </s> </p><p> <s xml:id="s1616" xml:space="preserve"> Arietis principium, et a puncto <mml:math><mml:mi>p</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> perpendicularis ducatur <mml:math><mml:mi>po</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1617" xml:space="preserve"> Quae fiat aequalis <mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1618" xml:space="preserve"> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">Erit punctum <mml:math><mml:mi>o</mml:mi></mml:math>, ubi cadit perpendicularis a dato zodiaci puncto in planum aequinoctialis</emph>Ducta<!--end variant delevit ante--> igitur <mml:math><mml:mi>eon</mml:mi></mml:math> circumferentia <mml:math><mml:mi>fn</mml:mi></mml:math> rectam ostendet <emph style="super">circumferentiae <mml:math><mml:mi>ql</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">dati puncti</emph>ascensionem<!--end variant delevit ante--> .</s> <s xml:id="s1619" xml:space="preserve"> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">Corollarium</emph>Ascensiones<!--end variant delevit ante--> <emph style="super">rectas<!--variant supralineam--></emph> tantum in primo quadrante invenire <reg norm="docuimus" type="context">docuerimus<!--variant correxitex --></reg> , quia vero ab ariete quadrantes omnes aequalem habent ascensionem.</s> <s xml:id="s1620" xml:space="preserve"> Si igitur data sit a puncto <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math> <emph style="super">ab<!--variant supralineam--></emph> </s> </p> <p> <s xml:id="s1621" xml:space="preserve"> Arietis nimirum principio circumferentia <mml:math><mml:mi>fb</mml:mi></mml:math> quae maior sit <mml:math><mml:mi>fc</mml:mi></mml:math>, cuius oporteat rectam invenire ascensionem.</s> <s xml:id="s1622" xml:space="preserve"> Inveniatur ex dictis circumferentiae <mml:math><mml:mi>gb</mml:mi></mml:math> recta ascensio <mml:math><mml:mi>gd</mml:mi></mml:math>, <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">erit</emph>circumferentia<!--end variant delevit ante--> <mml:math><mml:mi>fcd</mml:mi></mml:math> circumferentiae <mml:math><mml:mi>fcb</mml:mi></mml:math> rectam ostendet ascensionem.</s> <s xml:id="s1623" xml:space="preserve"> Si vero data sit circumferentia <mml:math><mml:mi>fgr</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1624" xml:space="preserve"> Inveniatur ipsius <mml:math><mml:mi>gr</mml:mi></mml:math> ascensio recta <mml:math><mml:mi>gp</mml:mi></mml:math>, erit <mml:math><mml:mi>fgp</mml:mi></mml:math> ascensio recta circumferentiae <mml:math><mml:mi>fgr</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1625" xml:space="preserve"> Data autem sit circumferentia <mml:math><mml:mi>fan</mml:mi></mml:math> inveniatur circumferentiae <mml:math><mml:mi>fn</mml:mi></mml:math> recta ascensio <mml:math><mml:mi>fx</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1626" xml:space="preserve"> <emph style="super">Et<!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">erit</emph>circumferentia<!--end variant delevit ante--> <mml:math><mml:mi>fax</mml:mi></mml:math> circumferentiae <mml:math><mml:mi>fan</mml:mi></mml:math> ascensio recta existet.</s> <s xml:id="s1627" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="107" file="0136" n="136"/> <p> <s xml:id="s1628" xml:space="preserve"> Cuilibet rectae ascensioni arcum eclipticae coascendentem invenire.</s> <s xml:id="s1629" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med107" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med107"/> </figure> <p> <s xml:id="s1630" xml:space="preserve"> Sit ut supra <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> solstitiorum colurus.</s> <s xml:id="s1631" xml:space="preserve"> <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math> poli mundi.</s> <s xml:id="s1632" xml:space="preserve"> Sit <mml:math><mml:mi>afc</mml:mi></mml:math> aequinoctialis.</s> <s xml:id="s1633" xml:space="preserve"> <mml:math><mml:mi>hfk</mml:mi></mml:math> ecliptica.</s> <s xml:id="s1634" xml:space="preserve"> Sitque <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math> principium Arietis, et sit <mml:math><mml:mi>fn</mml:mi></mml:math> ascensio recta.</s> <s xml:id="s1635" xml:space="preserve"> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st"><mml:math><mml:mi> nc </mml:mi></mml:math>eius complementum datum</emph>Ducatur<!--end variant delevit ante--> per <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math> planum, quod in sphera circulum efficiat <mml:math><mml:mi>bnd</mml:mi></mml:math>, qui eclipticam secet in <mml:math><mml:mi>o</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1636" xml:space="preserve"> Iam constat <mml:math><mml:mi>fo</mml:mi></mml:math> arcum esse eclipticae cum <mml:math><mml:mi>fn</mml:mi></mml:math> coascendentem.</s> <s xml:id="s1637" xml:space="preserve"> Ducatur <emph style="super">itaque<!--variant supralineam--></emph> a puncto <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> ad planum <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> perpendicularis <mml:math><mml:mi>nm</mml:mi></mml:math>, quae <anchor type="note" xlink:label="note-0136-01a" xlink:href="note-0136-01"/> in <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> cadet.</s> <s xml:id="s1638" xml:space="preserve"> Deinde a puncto <mml:math><mml:mi>m</mml:mi></mml:math> in plano <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> perpendicularis ducatur <mml:math><mml:mi>mp</mml:mi></mml:math>, quae <mml:math><mml:mi>hk</mml:mi></mml:math> secet in <mml:math><mml:mi>p</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1639" xml:space="preserve"> Rursus a puncto <mml:math><mml:mi>p</mml:mi></mml:math> ad idem planum <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> perpendicularis ducatur <mml:math><mml:mi>pl</mml:mi></mml:math>, erit haec in plano eclipticae, fiatque <mml:math><mml:mi>pl</mml:mi></mml:math> aequalis <mml:math><mml:mi>mn</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1640" xml:space="preserve"> Iunctaque <mml:math><mml:mi>nl</mml:mi></mml:math>, <!--begin variant delevit ante--><emph style="st"><mml:math><mml:mi>nl</mml:mi></mml:math></emph>erit<!--end variant delevit ante--> ipsi <mml:math><mml:mi>mp</mml:mi></mml:math> aequalis, et aequidistans quare <mml:math><mml:mi>nl</mml:mi></mml:math> aequinoctialis plano perpendicularis existet.</s> <s xml:id="s1641" xml:space="preserve"> Planum vero per <mml:math><mml:mi>bad</mml:mi></mml:math> transiens eidem aequinoctialis plano est perpendicularis.</s> <s xml:id="s1642" xml:space="preserve"> Ergo <mml:math><mml:mi>nl</mml:mi></mml:math> est in plano per <mml:math><mml:mi>bnd</mml:mi></mml:math> ducto.</s> <s xml:id="s1643" xml:space="preserve"> Sed et iuncta <mml:math><mml:mi>en</mml:mi></mml:math> est in eodem plano <mml:math><mml:mi>bnd</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1644" xml:space="preserve"> <anchor type="note" xlink:label="note-0136-02a" xlink:href="note-0136-02"/> iuncta igitur <mml:math><mml:mi>el</mml:mi></mml:math>, erit in plano <mml:math><mml:mi>bnd</mml:mi></mml:math> <emph style="super">siquidem omne triangulum in uno existit plano<!--variant supralineam--></emph> quoniam autem <mml:math><mml:mi>oppl</mml:mi></mml:math> sunt in eclipticae plano <mml:math><mml:mi>hok</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1645" xml:space="preserve"> <anchor type="note" xlink:label="note-0136-03a" xlink:href="note-0136-03"/> erit quoque <mml:math><mml:mi>el</mml:mi></mml:math> in eodem eclipticae plano.</s> <s xml:id="s1646" xml:space="preserve"> Ergo <mml:math><mml:mi>el</mml:mi></mml:math> est et in plano <mml:math><mml:mi>bond</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>hok</mml:mi></mml:math>, et ob id ipsorum est communis sectio.</s> <s xml:id="s1647" xml:space="preserve"> Ac propterea linea <mml:math><mml:mi>el</mml:mi></mml:math> per punctum <mml:math><mml:mi>o</mml:mi></mml:math> transit.</s> <s xml:id="s1648" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="1"> <note position="left" xlink:label="note-0136-01" xlink:href="note-0136-01a" xml:space="preserve"> 38 undecimi<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0136-02" xlink:href="note-0136-02a" xml:space="preserve"> 2 undecimi<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0136-03" xlink:href="note-0136-03a" xml:space="preserve"> 2 undecimi<!--citmargsign--> </note> </div> </div> <div type="section" level="1" n="53"> <head xml:id="head53" xml:space="preserve"> <pb o="108" file="0137" n="137"/> Operatio </head> <figure> <image file="med108" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med108"/> </figure> <p> <s xml:id="s1649" xml:space="preserve"> Sit circulus <mml:math><mml:mi>acng</mml:mi></mml:math>, cuius centrum <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math>, et diameter <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math>, qui primum accipiatur per aequinoctiali.</s> <s xml:id="s1650" xml:space="preserve"> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">Sit <mml:math><mml:mi>nc</mml:mi></mml:math> complementum ascensionis rectae, hoc est</emph>Sit<!--end variant delevit ante--> <mml:math><mml:mi>cg</mml:mi></mml:math> quarta circuli, et sit <mml:math><mml:mi>gn</mml:mi></mml:math> ascensio recta data, cui oportet eclipticae arcum coascendentem invenire.</s> <s xml:id="s1651" xml:space="preserve"> Ducatur a puncto <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> perpendicularis <mml:math><mml:mi>nm</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1652" xml:space="preserve"> Deinde intelligatur circulus solstitiorum colurus in quo sit <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> aequinoctialis diameter, et <mml:math><mml:mi>hk</mml:mi></mml:math> eclipticae.</s> <s xml:id="s1653" xml:space="preserve"> Et a puncto <mml:math><mml:mi>m</mml:mi></mml:math> rursus ad <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> perpendicularis ducatur <mml:math><mml:mi>mp</mml:mi></mml:math>, quae <mml:math><mml:mi>hk</mml:mi></mml:math> secet in <mml:math><mml:mi>p</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1654" xml:space="preserve"> Iandem invento puncto <mml:math><mml:mi>p</mml:mi></mml:math> intelligatur circulus ecliptica.</s> <s xml:id="s1655" xml:space="preserve"> Sitque <mml:math><mml:mi>kf</mml:mi></mml:math> quarta circuli punctumque <!--begin variant delevit ante--><emph style="st"><mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math> cancri principium, et</emph><mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math><!--end variant delevit ante--> </s> </p> <p> <s xml:id="s1656" xml:space="preserve"> Arietis <emph style="super">principium<!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s1657" xml:space="preserve"> <reg norm="Ducaturque" type="context">Ducatur<!--variant correxitex --></reg> a puncto <mml:math><mml:mi>p</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>hk</mml:mi></mml:math> perpendicularis <mml:math><mml:mi>pl</mml:mi></mml:math>, quae fiat aequalis <mml:math><mml:mi>mn</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1658" xml:space="preserve"> Iungaturque <mml:math><mml:mi>el</mml:mi></mml:math>, quae circulum secet in <mml:math><mml:mi>o</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1659" xml:space="preserve"> Erit <mml:math><mml:mi>fo</mml:mi></mml:math> eclipticae arcus, qui cum recta ascensione data <mml:math><mml:mi>gn</mml:mi></mml:math> simul ascendit.</s> <s xml:id="s1660" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="109" file="0138" n="138"/> <p xml:lang="it"> <s xml:id="s1661" xml:space="preserve"> <emph style="it">Bisogna accomodar che <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> sia minor della metà di <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> et accomodar tutta la figura cioè far li gradi come s'usa con tre circuli</emph> </s> </p> <p> <s xml:id="s1662" xml:space="preserve"> Datae circuli portionis uno gradu minoris, minuta, secunda, tertia et caetera invenire.</s> <s xml:id="s1663" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med109" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med109"/> </figure> <p> <s xml:id="s1664" xml:space="preserve"> Sit portio circuli <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math>, quae integro gradu <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> sit minor.</s> <s xml:id="s1665" xml:space="preserve"> Summatur portio circuli <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math> quae <mml:math><mml:mi>60</mml:mi></mml:math> contineat gradus integros.</s> <s xml:id="s1666" xml:space="preserve"> Erit <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> sexagesima pars ipsius <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1667" xml:space="preserve"> Secetur deinde ex <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math> portio <mml:math><mml:mi>ae</mml:mi></mml:math>, cuius <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> sit sexagesima pars.</s> <s xml:id="s1668" xml:space="preserve"> Quod fiet si circumferentiam <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> <emph style="super">super circumferentia <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> usque ad sexaginta multiplicaverimus.</s> <s xml:id="s1669" xml:space="preserve"> Quoniam enim ita est <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ae</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math>, erit permutando <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>ae</mml:mi></mml:math> ad <emph style="bf"><mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math><!--variant postcorrectionem--></emph> .</s> <s xml:id="s1670" xml:space="preserve"> <emph style="bf">Ergo quot<!--variant postcorrectionem--></emph> Quot ergo partes continet <mml:math><mml:mi>ae</mml:mi></mml:math> ipsius <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math>, tot continebit <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> ipsius <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1671" xml:space="preserve"> Unusquisque autem gradus in <mml:math><mml:mi>60</mml:mi></mml:math> dividitur partes, quae minuta vocantur.</s> <s xml:id="s1672" xml:space="preserve"> Quot igitur gradus ostendit <mml:math><mml:mi>ae</mml:mi></mml:math>, tot erunt minuta ipsius <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1673" xml:space="preserve"> Quod si <mml:math><mml:mi>ae</mml:mi></mml:math> ad unguem integros non ostendit gradus, sed aliqua supererit pars, ut <mml:math><mml:mi>fe</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1674" xml:space="preserve"> Rursus secundum quantitatem <mml:math><mml:mi>fe</mml:mi></mml:math>, incipiendo ab <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math>, multiplicetur <mml:math><mml:mi>fe</mml:mi></mml:math> super circumferentiam usque ad <mml:math><mml:mi>60</mml:mi></mml:math>, sitque <mml:math><mml:mi>ag</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1675" xml:space="preserve"> Tunc quot gradus ostendet <mml:math><mml:mi>ag</mml:mi></mml:math>, tot erunt ipsius <mml:math><mml:mi>fe</mml:mi></mml:math> secunda.</s> <s xml:id="s1676" xml:space="preserve"> Nam ita se habent secunda ad minutum, ut minuta ad gradum, et gradus ad circumferentiam <!--begin variant delevit post--><mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math><emph style="st">quae est <mml:math><mml:mi>60</mml:mi></mml:math> gradus<!--end variant delevit post--></emph> , ac propterea, si accipiamus <mml:math><mml:mi>ae</mml:mi></mml:math> loco minutorum, <!--begin variant delevit post--> erit<emph style="st">aliquot verba in inter.</emph></s><!--end variant delevit post--> <s xml:id="s1677" xml:space="preserve"> <mml:math><mml:mi>fe</mml:mi></mml:math> secundorum vice.</s> <s xml:id="s1678" xml:space="preserve"> Unde colligitur, circumferentiam <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> tot esse minuta, quot sunt gradus <emph style="super">in circumferentia<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>ae</mml:mi></mml:math> <emph style="super">contenti, ut <mml:math><mml:mi>af</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> totque secunda, quot sunt gradus <mml:math><mml:mi>ag</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1679" xml:space="preserve"> Quod si <mml:math><mml:mi>ag</mml:mi></mml:math> <emph style="super">quoque<!--variant supralineam--></emph> ad ammissim?</s> <s xml:id="s1680" xml:space="preserve"> gradus non ostedet, summatur <emph style="super">similiter<!--variant supralineam--></emph> quod superest.</s> <s xml:id="s1681" xml:space="preserve"> Exordiendoque ab <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> per <mml:math><mml:mi>60</mml:mi></mml:math> super circumferentiam multiplicetur.</s> <s xml:id="s1682" xml:space="preserve"> Gradusque <emph style="super">ob eandem causam<!--variant supralineam--></emph> tertia ostendent.</s> <s xml:id="s1683" xml:space="preserve"> Et ita in reliquis.</s> <s xml:id="s1684" xml:space="preserve"> Et quarta, et quinta, et millesima inveniemus, donec, vel ad integrum pervenerimus gradum, vel in infinitum abibit operatio.</s> <s xml:id="s1685" xml:space="preserve"> Quod facere oportebat.</s> <s xml:id="s1686" xml:space="preserve"> <emph style="super">Unde constatUnde constat operationem hanc<!--variant supralineam--></emph> omnibus circumferentiis tam astrolabiorum, quam aliorum maxime describere, cum possimus cuiuscumque oblatae circumferentiae <emph style="super">gradus<!--variant supralineam--></emph> et minuta secunda tertia et caetera invenire.</s> <s xml:id="s1687" xml:space="preserve"> Propter operationem autem est primo advertendum <anchor type="note" xlink:label="note-0138-01a" xlink:href="note-0138-01"/> quod circumferentia non minor uno pede diametri constituenda est, <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">deinde</emph>ut<!--end variant delevit ante--> operatio sub sensibiliori quantitate <reg norm="perveniat" type="context">pervenire<!--variant correxitex --></reg> <emph style="super">possit<!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s1688" xml:space="preserve"> Deinde, et hoc est maxime notandum, si <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math>, cuius minuta quaerimus.</s> <s xml:id="s1689" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="1"> <note position="left" xlink:label="note-0138-01" xlink:href="note-0138-01a" xml:space="preserve"> quamvis hoc non imperat necessitatem, sed commoditatem tantum<!--variant signopositoinmargine--> </note> </div> <pb o="110" file="0139" n="139"/> <p> <s xml:id="s1690" xml:space="preserve"> <anchor type="note" xlink:label="note-0139-01a" xlink:href="note-0139-01"/> , quam dimidia <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math>, tunc accipiatur <mml:math><mml:mi>cb</mml:mi></mml:math> exordiendoque a puncto <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math>, multiplicetur <mml:math><mml:mi>co</mml:mi></mml:math> super circumferentia <mml:math><mml:mi>da</mml:mi></mml:math> usque ad <mml:math><mml:mi>60</mml:mi></mml:math> sitque <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math>, tunc <emph style="super">quot gradus ostendet et reliqua erit<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>ae</mml:mi></mml:math> tot erunt ipsius <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> minuta.</s> <s xml:id="s1691" xml:space="preserve"> Nam cum sit <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>cb</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math>, erit et <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ae</mml:mi></mml:math> ut <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1692" xml:space="preserve"> <emph style="super">Erit igitur <mml:math><mml:mi>ae</mml:mi></mml:math> ipsius <mml:math><mml:mi>db</mml:mi></mml:math> multiplex sexagenaria<!--variant supralineam--></emph> et hoc fit ut nunquam moltiplicetur minor, quam dimidia, pars, unius gradus siquidem quae ad actum operationis producuntur facilius quae sub aliqua quantitate connectantur, quam quae sub minima vel modica.</s> <s xml:id="s1693" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="2"> <note position="left" xlink:label="note-0139-01" xlink:href="note-0139-01a" xml:space="preserve"> Manifestum est<!--variant signopositoinmargine--> </note> </div> <p> <s xml:id="s1694" xml:space="preserve"> Circinus vero ille Fabricius Mordentis Neapolitani cursoribus constructus rectibus quidem lineis valde accomodus est, atque utilis.</s> <s xml:id="s1695" xml:space="preserve"> Non tamen circulorum circumferentiis, ut ipsemet aliquando fateri ausus est, ita praecipue, ut circino ipso, et minuta, et secunda et caetera ut supra inventa sunt, inveniri possint.</s> <s xml:id="s1696" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med110" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med110"/> </figure> <p> <s xml:id="s1697" xml:space="preserve"> Sit enim circinus <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math>, cursores habens utcumque in <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math>, aequaliter a centro <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> distantes.</s> <s xml:id="s1698" xml:space="preserve"> Comprehendatque circinus secundum extremitates rectam lineam <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math>, cursores vero rectam comprehendant <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1699" xml:space="preserve"> Cum enim sint <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> aequales, et <mml:math><mml:mi>adae</mml:mi></mml:math> similiter aequales;</s> <s xml:id="s1700" xml:space="preserve"> erit <mml:math><mml:mi>ca</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ae</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>ba</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1701" xml:space="preserve"> <anchor type="note" xlink:label="note-0139-02a" xlink:href="note-0139-02"/> aequidistans igitur est <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1702" xml:space="preserve"> Ac propeterea <anchor type="note" xlink:label="note-0139-03a" xlink:href="note-0139-03"/> erit <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ae</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1703" xml:space="preserve"> Deinde circinus alium comprehendat angulum, ut <mml:math><mml:mi>fac</mml:mi></mml:math>, nec non secundum extremitates rectam accipiat lineam <mml:math><mml:mi>fc</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1704" xml:space="preserve"> Et cursores rectam <mml:math><mml:mi>be</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1705" xml:space="preserve"> Et quoniam ob eandem causam <mml:math><mml:mi>be</mml:mi></mml:math> est ipsi <mml:math><mml:mi>fe</mml:mi></mml:math> aequidistans, erit <mml:math><mml:mi>ca</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ae</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>fc</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>he</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1706" xml:space="preserve"> Ergo <anchor type="note" xlink:label="note-0139-04a" xlink:href="note-0139-04"/> ut <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math>, ita est <mml:math><mml:mi>fc</mml:mi></mml:math> ad <!--begin variant delevit post--><mml:math><mml:mi>he</mml:mi></mml:math><emph style="st">Permutandoque, ut <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>cf</mml:mi></mml:math>, ita est <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>eh</mml:mi></mml:math><!--end variant delevit post--></emph> .</s> <s xml:id="s1707" xml:space="preserve"> Ac ita in reliquis, circino ita disposito, semper ostendetur, lineam ab extremitatibus comprehensam, ad lineam cursoribus comprehensam ita esse, ut <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1708" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="3"> <note position="left" xlink:label="note-0139-02" xlink:href="note-0139-02a" xml:space="preserve"> 2 sexti<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0139-03" xlink:href="note-0139-03a" xml:space="preserve"> 4 sexti<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0139-04" xlink:href="note-0139-04a" xml:space="preserve"> 11 quinti<!--citmargsign--> </note> </div> <pb file="0140" n="140"/> <pb o="111" file="0141" n="141"/> <figure> <image file="med111" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med111"/> </figure> <p> <s xml:id="s1709" xml:space="preserve"> Sit autem circumferentiae quaelibet portio <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1710" xml:space="preserve"> Summatur ex hoc portione, alia quaevis portio <mml:math><mml:mi>ec</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1711" xml:space="preserve"> Dividatur <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math> bifariam in <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1712" xml:space="preserve"> Similiter <mml:math><mml:mi>ec</mml:mi></mml:math> bifariam in <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1713" xml:space="preserve"> Apteturque circinus, ita ut extremitatibus circumferentiam accipiat <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math>, cursoribus vero accipiat circumferentiam <mml:math><mml:mi>ec</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1714" xml:space="preserve"> Dico, circino ita disposito, si deinde circinus extrmitatibus circumferentiam accipiat <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math>, cursores maiorem, quam <mml:math><mml:mi>cf</mml:mi></mml:math> accipere.</s> <s xml:id="s1715" xml:space="preserve"> Connectantur <mml:math><mml:mi>abafacbceceffc</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1716" xml:space="preserve"> <emph style="super"> <anchor type="note" xlink:label="note-0141-01a" xlink:href="note-0141-01"/> erunt lineae <mml:math><mml:mi>abbc</mml:mi></mml:math> interse aequales, et <mml:math><mml:mi>effc</mml:mi></mml:math> similiter aequales<!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s1717" xml:space="preserve"> Quoniam enim <anchor type="note" xlink:label="note-0141-02a" xlink:href="note-0141-02"/> angulus <mml:math><mml:mi>afc</mml:mi></mml:math> aequalis est angulo <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1718" xml:space="preserve"> Erit angulus <mml:math><mml:mi>efc</mml:mi></mml:math> maior angulo <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1719" xml:space="preserve"> Ergo reliqui <mml:math><mml:mi>fecfce</mml:mi></mml:math> simul sumpti reliquis <mml:math><mml:mi>bacbca</mml:mi></mml:math> simul sumptis minores erunt.</s> <s xml:id="s1720" xml:space="preserve"> Quare, et horum dimidii, angulus scilicet <mml:math><mml:mi>fce</mml:mi></mml:math> minor angulo <mml:math><mml:mi>bca</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>fec</mml:mi></mml:math> angulo <mml:math><mml:mi>bac</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s1721" xml:space="preserve"> sunt enim triangula <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>efc</mml:mi></mml:math> <!--begin variant delevit post-->aequicrura<emph style="st">cum lineae <mml:math><mml:mi>abbc</mml:mi></mml:math> sint intersese aequales, et lineae <mml:math><mml:mi>effc</mml:mi></mml:math> similiter aequales<!--end variant delevit post--></emph> .</s> <s xml:id="s1722" xml:space="preserve"> Fiat itaque super <mml:math><mml:mi>ec</mml:mi></mml:math> angulus <mml:math><mml:mi>ecg</mml:mi></mml:math> aequalis angulo <mml:math><mml:mi>acb</mml:mi></mml:math>, et angulus <mml:math><mml:mi>ceg</mml:mi></mml:math> angulo <mml:math><mml:mi>cab</mml:mi></mml:math> aequalis.</s> <s xml:id="s1723" xml:space="preserve"> <anchor type="note" xlink:label="note-0141-03a" xlink:href="note-0141-03"/> erit <mml:math><mml:mi>cg</mml:mi></mml:math> aequalis <mml:math><mml:mi>eg</mml:mi></mml:math>, et angulus <mml:math><mml:mi>egc</mml:mi></mml:math> angulo <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math> aequalis, ut <anchor type="note" xlink:label="note-0141-04a" xlink:href="note-0141-04"/> igitur <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>cb</mml:mi></mml:math>, ita <mml:math><mml:mi>ec</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>cg</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1724" xml:space="preserve"> Atque <anchor type="note" xlink:label="note-0141-05a" xlink:href="note-0141-05"/> duae <mml:math><mml:mi>eggc</mml:mi></mml:math> duabus <mml:math><mml:mi>effc</mml:mi></mml:math> sunt maiores, ergo et horum dimidiae, linea scilicet <mml:math><mml:mi>cg</mml:mi></mml:math> maior est ipsa <mml:math><mml:mi>cf</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1725" xml:space="preserve"> Sed quoniam quando suis circinus extremitatibus rectam accipit <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math>, cursoribus autem rectam accipiat <mml:math><mml:mi>ec</mml:mi></mml:math>, ut evenit circino, ut supra positum est, disposito.</s> <s xml:id="s1726" xml:space="preserve"> Extremitatibus deinde accipiat <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math>, tunc cursoribus <mml:math><mml:mi>cg</mml:mi></mml:math> accipiet.</s> <s xml:id="s1727" xml:space="preserve"> Ex ante dictis, quae cum sit maior <mml:math><mml:mi>cf</mml:mi></mml:math>, maiorem quoque circumferentiam subtendet.</s> <s xml:id="s1728" xml:space="preserve"> Cursores igitur maiorem comprehendent circumferentiam, quam sit <mml:math><mml:mi>cf</mml:mi></mml:math> quod demonstrare oportebat.</s> <s xml:id="s1729" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="4"> <note position="left" xlink:label="note-0141-01" xlink:href="note-0141-01a" xml:space="preserve"> 29 sexti <!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0141-02" xlink:href="note-0141-02a" xml:space="preserve"> 21 tertii<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0141-03" xlink:href="note-0141-03a" xml:space="preserve"> 6 primi<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0141-04" xlink:href="note-0141-04a" xml:space="preserve"> 4 sexti<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0141-05" xlink:href="note-0141-05a" xml:space="preserve"> 21 primi<!--citmargsign--> </note> </div> </div> <div type="section" level="1" n="54"> <head xml:id="head54" xml:space="preserve"> Corollarium </head> <p> <s xml:id="s1730" xml:space="preserve"> Unde sequitur si cursores circumferentiam accipiant <mml:math><mml:mi>cf</mml:mi></mml:math>, circini extremitates minorem, quam <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> circumferentiam accipere.</s> <s xml:id="s1731" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="112" file="0142" n="142"/> <p xml:lang="it"> <s xml:id="s1732" xml:space="preserve"> Per far linee parallele </s> </p> <figure> <image file="med112" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med112"/> </figure> <p xml:lang="it"> <s xml:id="s1733" xml:space="preserve"> Nella prima bisogna che siano eguali <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>acbd</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1734" xml:space="preserve"> Et li punti <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> sono fissi et lasciano girar le righe.</s> <s xml:id="s1735" xml:space="preserve"> Nella seconda bisogna che siano eguali <mml:math><mml:mi>abac</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>adae</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1736" xml:space="preserve"> Et il punto <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> sta fisso e lascia girar le righe, et li punti <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math> camminano per canale.</s> <s xml:id="s1737" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s1738" xml:space="preserve"> Quod propositum fuit pagina 45, 46 contra Orontius universalius hoc modo ostendemus.</s> <s xml:id="s1739" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med112_2" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med112_2"/> </figure> <p> <s xml:id="s1740" xml:space="preserve"> Sit triangulum aequicrure <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math>, itidemque <mml:math><mml:mi>bcd</mml:mi></mml:math> aequicrure, sintque latera <mml:math><mml:mi>cacbcd</mml:mi></mml:math> aequalia.</s> <s xml:id="s1741" xml:space="preserve"> Dico angulum <mml:math><mml:mi>acb</mml:mi></mml:math> ad angulum <mml:math><mml:mi>bcd</mml:mi></mml:math> non habere eandem proportionem <emph style="bf">quam<!--variant postcorrectionem--></emph> habet basis <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> ad basim <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1742" xml:space="preserve"> Quoniam enim latera triangulorum sunt aequalia.</s> <s xml:id="s1743" xml:space="preserve"> Describatur circa centrum <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> circulus <mml:math><mml:mi>abd</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1744" xml:space="preserve"> Et quoniam (ut a multis ostensum est, qui sinus pertractant, praecipue vero a Maurizio Bressio propositione 7a secundi libri metrices astronomicae.</s> <s xml:id="s1745" xml:space="preserve"> Deinde a Christoforo Clavio in suis sphaericis libro de sinubus propositione 10a) maiorem habet proportionem circumferentia <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> ad circumferentiam <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math>, quam recta <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> ad rectam <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1746" xml:space="preserve"> Ut vero circumferentia <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math>, ad circumferentiam <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math> ita <anchor type="note" xlink:label="note-0142-01a" xlink:href="note-0142-01"/> se habet angulus <mml:math><mml:mi>acb</mml:mi></mml:math> ad angulum <mml:math><mml:mi>bcd</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1747" xml:space="preserve"> Maiorem igitur proportionem habet angulus <mml:math><mml:mi>acb</mml:mi></mml:math> ad angulum <mml:math><mml:mi>bcd</mml:mi></mml:math>, quam basis <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> ad basim <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1748" xml:space="preserve"> Quod demonstrare oportebat.</s> <s xml:id="s1749" xml:space="preserve"> Eandem tamen proportionem habere deberet angulus ad angulum, quam basis ad basim secundum Orontium.</s> <s xml:id="s1750" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="1"> <note position="left" xlink:label="note-0142-01" xlink:href="note-0142-01a" xml:space="preserve"> 33 sexti<!--citmargsign--> </note> </div> <pb o="113" file="0143" n="143"/> <p> <s xml:id="s1751" xml:space="preserve"> Dato solido parallelepipedo, aequalem ei cubum constituere.</s> <s xml:id="s1752" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med113" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med113"/> </figure> <p> <s xml:id="s1753" xml:space="preserve"> Sit solidum parallelepipedum <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math>, cui oportet aequalem cubum constituere.</s> <s xml:id="s1754" xml:space="preserve"> Primum quidem vel <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> est rectangulum, vel non.</s> <s xml:id="s1755" xml:space="preserve"> <emph style="super">Si non<!--variant supralineam--></emph> fiat super eadem basi <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> et sub eadem altitudine solidum rectangulum <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math>, <anchor type="note" xlink:label="note-0143-01a" xlink:href="note-0143-01"/> , erit <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math> <emph style="bf">aequale<!--variant postcorrectionem--></emph> <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1756" xml:space="preserve"> Eruntque <mml:math><mml:mi>bcde</mml:mi></mml:math> parallelogramma, quae quidem vel quadrata erunt, <emph style="super">vel<!--variant supralineam--></emph> non, vel alterum tantum.</s> <s xml:id="s1757" xml:space="preserve"> Neutrum autem sit quadratum, idcirco inter <mml:math><mml:mi>dcce</mml:mi></mml:math> media inveniatur proportionalis <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math>, super qua constituatur quadratum <mml:math><mml:mi>fh</mml:mi></mml:math> quod quidem <anchor type="note" xlink:label="note-0143-02a" xlink:href="note-0143-02"/> ipsi <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math> <reg norm="aequalis" type="context">aequale<!--variant correxitex --></reg> erit.</s> <s xml:id="s1758" xml:space="preserve"> Deinde compleatur solidum <mml:math><mml:mi>fk</mml:mi></mml:math>, cuius altitudo <mml:math><mml:mi>hk</mml:mi></mml:math> sit altitudini <mml:math><mml:mi>eb</mml:mi></mml:math> aequalis, <emph style="super">quoniam enim<!--variant supralineam--></emph> solida <mml:math><mml:mi>dbfk</mml:mi></mml:math> in aequalibus sunt basibus <mml:math><mml:mi>defh</mml:mi></mml:math>, eandemque habent altitudinem, <anchor type="note" xlink:label="note-0143-03a" xlink:href="note-0143-03"/> erit solidum <mml:math><mml:mi>fk</mml:mi></mml:math> solido <mml:math><mml:mi>db</mml:mi></mml:math> aequale, ac propterea <mml:math><mml:mi>fk</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> est quoque aequale.</s> <s xml:id="s1759" xml:space="preserve"> Praeterea super basi <mml:math><mml:mi>kl</mml:mi></mml:math>, quae est quadratum, cubus constituatur <mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math>, deinde inter <mml:math><mml:mi>mkkh</mml:mi></mml:math> binae inveniatur mediae proportionales, <mml:math><mml:mi>op</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>q</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1760" xml:space="preserve"> Sitque <mml:math><mml:mi>mk</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>op</mml:mi></mml:math>, ita <mml:math><mml:mi>op</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>q</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>q</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>kh</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1761" xml:space="preserve"> Iamdemque cubus constituatur <mml:math><mml:mi>or</mml:mi></mml:math>, cuius latus sit <mml:math><mml:mi>op</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1762" xml:space="preserve"> Dico cubum <mml:math><mml:mi>or</mml:mi></mml:math> solido <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> aequalem esse.</s> <s xml:id="s1763" xml:space="preserve"> Quoniam enim <emph style="super"> solidum<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>ml</mml:mi></mml:math> solidumque <mml:math><mml:mi>lh</mml:mi></mml:math> sub eadem sunt altitudine <mml:math><mml:mi>nl</mml:mi></mml:math>, <anchor type="note" xlink:label="note-0143-04a" xlink:href="note-0143-04"/> erit <mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>lh</mml:mi></mml:math>, ut basis <mml:math><mml:mi>mn</mml:mi></mml:math> ad basim <mml:math><mml:mi>nh</mml:mi></mml:math>, ut autem basis <mml:math><mml:mi>mn</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>nh</mml:mi></mml:math> <anchor type="note" xlink:label="note-0143-05a" xlink:href="note-0143-05"/> ita est <mml:math><mml:mi>mk</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>kh</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1764" xml:space="preserve"> Ut igitur solidum <mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>lh</mml:mi></mml:math>, ita est <mml:math><mml:mi>mk</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>kh</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1765" xml:space="preserve"> Quoniam autem quatuor sunt lineae <emph style="super">continue<!--variant supralineam--></emph> proportionales <mml:math><mml:mi>mk</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>op</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>q</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>kh</mml:mi></mml:math>, et cubus <mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math> ad cubus <mml:math><mml:mi>or</mml:mi></mml:math>, <anchor type="note" xlink:label="note-0143-06a" xlink:href="note-0143-06"/> in tripla est proportione <mml:math><mml:mi>mk</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>op</mml:mi></mml:math> cubus ergo <mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>or</mml:mi></mml:math> est, ut <mml:math><mml:mi>mk</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>kh</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1766" xml:space="preserve"> Quare ita est <mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>lh</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>or</mml:mi></mml:math> ergo cubus <mml:math><mml:mi>or</mml:mi></mml:math> est <mml:math><mml:mi>lh</mml:mi></mml:math> aequalis, <anchor type="note" xlink:label="note-0143-07a" xlink:href="note-0143-07"/> , ac per consequens est quoque ipsi <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> aequalis.</s> <s xml:id="s1767" xml:space="preserve"> Quod invenire oportebat.</s> <s xml:id="s1768" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="2"> <note position="left" xlink:label="note-0143-01" xlink:href="note-0143-01a" xml:space="preserve"> 29 vel 30 undecimi<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0143-02" xlink:href="note-0143-02a" xml:space="preserve"> 17 <reg norm="sexti" type="context">tertii<!--variant 2 variants--></reg> <!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0143-03" xlink:href="note-0143-03a" xml:space="preserve"> 31 undecimi<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0143-04" xlink:href="note-0143-04a" xml:space="preserve"> 32 undecimi<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0143-05" xlink:href="note-0143-05a" xml:space="preserve"> 1 sexti<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0143-06" xlink:href="note-0143-06a" xml:space="preserve"> 33 undecimi<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0143-07" xlink:href="note-0143-07a" xml:space="preserve"> 11 quinti </note> </div> <pb o="114" file="0144" n="144"/> <p> <s xml:id="s1769" xml:space="preserve"> Duobus datis cubis simul sumptis aequalem cubum constituere.</s> <s xml:id="s1770" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med114" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med114"/> </figure> <p> <s xml:id="s1771" xml:space="preserve"> Sint dati cubi <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math>, quibus simul sumptis oportet aequalem cubum invenire.</s> <s xml:id="s1772" xml:space="preserve"> Tertia inveniatur ipsis lateribus proportionalis, ut scilicet <emph style="super">sit<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>ae</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>cf</mml:mi></mml:math>, ita <mml:math><mml:mi>cf</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math>, <emph style="bf">cum<!--variant postcorrectionem--></emph> enim <mml:math><mml:mi>ahck</mml:mi></mml:math> sint quadrata, <anchor type="note" xlink:label="note-0144-01a" xlink:href="note-0144-01"/> erit <mml:math><mml:mi>ah</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ck</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>ae</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math>, deinde <!--begin variant delevit post-->ut<emph style="st">ubi<!--end variant delevit post--></emph> latus cubi <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math>, ita fiat latus cubi <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math> ad aliam, quae sit <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math>, ita nimirum, ut <mml:math><mml:mi>ae</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math>, ita sit <mml:math><mml:mi>dk</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math> <emph style="super">vel quod idem est permutando ut <mml:math><mml:mi>ae</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>cf</mml:mi></mml:math> hoc est ad <mml:math><mml:mi>dk</mml:mi></mml:math> ita <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s1773" xml:space="preserve"> Producaturque <mml:math><mml:mi>hb</mml:mi></mml:math>, fiatque <mml:math><mml:mi>bm</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math> aequalis.</s> <s xml:id="s1774" xml:space="preserve"> Solidumque compleaturque <mml:math><mml:mi>bn</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1775" xml:space="preserve"> Cum itaque <mml:math><mml:mi>mn</mml:mi></mml:math> sit quadratum aequale ipsi <mml:math><mml:mi>ah</mml:mi></mml:math>, erit <mml:math><mml:mi>mn</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ck</mml:mi></mml:math>, ut latus quadrati <mml:math><mml:mi>mn</mml:mi></mml:math>, hoc est <mml:math><mml:mi>no</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1776" xml:space="preserve"> Ergo ut <mml:math><mml:mi>mn</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ck</mml:mi></mml:math>, ita est <mml:math><mml:mi>kd</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>bm</mml:mi></mml:math>, solidorum igitur <mml:math><mml:mi>cdbn</mml:mi></mml:math> bases ex contraria parte altitudinibus respondent, <anchor type="note" xlink:label="note-0144-02a" xlink:href="note-0144-02"/> quare <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math> est ipsi <mml:math><mml:mi>bn</mml:mi></mml:math> aequale.</s> <s xml:id="s1777" xml:space="preserve"> Si igitur solido <mml:math><mml:mi>am</mml:mi></mml:math> cubus inveniatur aequalis, erit utique hic ipsis <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> simul sumptis aequalis.</s> <s xml:id="s1778" xml:space="preserve"> Quod fiet <anchor type="note" xlink:label="note-0144-03a" xlink:href="note-0144-03"/> si inter <mml:math><mml:mi>bhhm</mml:mi></mml:math> binae inveniantur mediae proportionales, <reg norm="vel sit" type="context">vel ut sit<!--variant correxitex --></reg> <mml:math><mml:mi>hb</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>o</mml:mi></mml:math>, ita <mml:math><mml:mi>o</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>p</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>p</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>hm</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1779" xml:space="preserve"> Cubusque constituatur cuius latus sit <mml:math><mml:mi>o</mml:mi></mml:math> erit hic ipsi <mml:math><mml:mi>am</mml:mi></mml:math> aequalis, ac propterea ipsis <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> simul sumptis aequalis quod facere oportebat.</s> <s xml:id="s1780" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="3"> <note position="left" xlink:label="note-0144-01" xlink:href="note-0144-01a" xml:space="preserve"> cor. 20 sexti<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0144-02" xlink:href="note-0144-02a" xml:space="preserve"> 29 undecimi<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0144-03" xlink:href="note-0144-03a" xml:space="preserve"> ex antecedenti<!--variant inmargine--> </note> </div> <pb o="115" file="0146_0" n="146"/> <figure> <image file="med115" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med115"/> </figure> <p> <s xml:id="s1781" xml:space="preserve"> Datis duarum sphaerarum diametris, alteram sphaerae diametrum invenire, <emph style="super">cuius sphaera<!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">quae</emph>datis<!--end variant delevit ante--> sphaeris simul sumptis sit aequalis.</s> <s xml:id="s1782" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s1783" xml:space="preserve"> Sint dati diametri <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> duarum sphaerarum <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math>, alteram invenire oportet sphaerae diametrum, quae ipsis <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math> simul sumptis sit aequalis.</s> <s xml:id="s1784" xml:space="preserve"> Duo fiant cubi <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> quorum latera <mml:math><mml:mi>gh</mml:mi></mml:math> sint ipsis <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> aequalia, cubusque inveniatur <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math>, qui ipsis <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> simul sumptis sit aequalis.</s> <s xml:id="s1785" xml:space="preserve"> Sitque sphaera <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math>, quae diametrum habeat lineam <mml:math><mml:mi>m</mml:mi></mml:math>, quae sit ipsi <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math> aequalis.</s> <s xml:id="s1786" xml:space="preserve"> Dico sphaeram <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math> ipsis <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math> simul sumptis aequalem esse.</s> <s xml:id="s1787" xml:space="preserve"> Quoniam enim <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math> in tripla se habet proportionem <anchor type="note" xlink:label="note-0146_0-01a" xlink:href="note-0146_0-01"/> quam <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1788" xml:space="preserve"> Similiter <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> in tripla est proportione, <anchor type="note" xlink:label="note-0146_0-02a" xlink:href="note-0146_0-02"/> quam <mml:math><mml:mi>m</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math>, et est <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math> ut <mml:math><mml:mi>m</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math>, cum <mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>ga</mml:mi></mml:math> <emph style="super">interse<!--variant supralineam--></emph> sint aequales, <!--begin variant delevit post-->erit<emph style="st">igitur<!--end variant delevit post--></emph> <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math> ut <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1789" xml:space="preserve"> Simili modo ostendetur <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math>, sequitur ergo ita esse <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> simul, ut <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math> simul;</s> <s xml:id="s1790" xml:space="preserve"> <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math> vero est ipsis <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> simul sumptis aequale.</s> <s xml:id="s1791" xml:space="preserve"> Sphaera igitur <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math> sphaeris <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math> simul sumptis est aequalis.</s> <s xml:id="s1792" xml:space="preserve"> Diameter itaque inventa est <mml:math><mml:mi>m</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1793" xml:space="preserve"> Quod facere oprtebat.</s> <s xml:id="s1794" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="4"> <note position="left" xlink:label="note-0146_0-01" xlink:href="note-0146_0-01a" xml:space="preserve"> 33 undecimi<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0146_0-02" xlink:href="note-0146_0-02a" xml:space="preserve"> 18 duodecimi<!--citmargsign--> </note> </div> </div> <div type="section" level="1" n="55"> <head xml:id="head55" xml:space="preserve"> Corollarium </head> <p> <s xml:id="s1795" xml:space="preserve"> Ex his si tres sint datae sphaerae <mml:math><mml:mi>cdn</mml:mi></mml:math>, <reg norm="quas" type="context">quibus<!--variant correxitex --></reg> <emph style="super">simul<!--variant supralineam--></emph> oporteat sphaeram invenire aequalem, primum inveniatur sphaera duabus <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math> aequalis, deinde inventae <emph style="super">iam<!--variant supralineam--></emph> sphaerae, ipsiusque <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math> altera aequalis, erit haec tribus <mml:math><mml:mi>cdn</mml:mi></mml:math> aequalis.</s> <s xml:id="s1796" xml:space="preserve"> Et ita si quatuor, et sic deinceps quod idem invenietur de cubis.</s> <s xml:id="s1797" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb file="0146_2r" n="145"/> </div> <div type="section" level="1" n="56"> <head xml:id="head56" xml:space="preserve"> Problema I </head> <!-- lost text starts here --> <!-- 115_2r --> <p> <s xml:id="s1798" xml:space="preserve"> Dato prismati aequalem cubum constituere.</s> <s xml:id="s1799" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s1800" xml:space="preserve"> Datum prisma vel erit rectum, vel non rectum erit inclinatum et vel bases habebit trilateras, vel quadrilateras, vel plurilateras prisma autem rectum appello, cuius plana sunt ad subiectum planum recta;</s> <s xml:id="s1801" xml:space="preserve"> inclinatum vero cuius plana sunt inclinati.</s> <s xml:id="s1802" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s1803" xml:space="preserve"> Sit primo rectum, et bases habeat quadratas, sit autem <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math>, cuius inferior basis sit <mml:math><mml:mi>cedf</mml:mi></mml:math>:</s> <s xml:id="s1804" xml:space="preserve"> exponaturque recta linea <mml:math><mml:mi>gh</mml:mi></mml:math> aequalis lateri basis, videlicet ipsi <mml:math><mml:mi>cf</mml:mi></mml:math> et exponatur <mml:math><mml:mi>ik</mml:mi></mml:math> aequalis altitudini basi prismatis hoc est ipsi <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math>:</s> <s xml:id="s1805" xml:space="preserve"> atque inter <mml:math><mml:mi>gh</mml:mi></mml:math>, erit iam dictis sumantur duae mediae proportionales <mml:math><mml:mi>lmno</mml:mi></mml:math> ita ut sint quatuor rectae lineae proportionales in continua analogia <mml:math><mml:mi>ghlmnoik</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1806" xml:space="preserve"> Dico cubum, qui fit ex <mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math> dato prismati <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> aequalem esse.</s> <s xml:id="s1807" xml:space="preserve"> Secetur enim datum prisma plano <mml:math><mml:mi>pqrs</mml:mi></mml:math> parallelo existenti eisque ex opposito planis ita ut <mml:math><mml:mi>cp</mml:mi></mml:math> sit aequalis ipsi <mml:math><mml:mi>cf</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1808" xml:space="preserve"> Erit igitur <mml:math><mml:mi>cr</mml:mi></mml:math> cubus pro definitionem sex enim quadratis aequalibus continetur atque erit ex 25 undecimi libri Elementorum ut basis <mml:math><mml:mi>cq</mml:mi></mml:math> ad basim <mml:math><mml:mi>qa</mml:mi></mml:math> ita cubus <mml:math><mml:mi>cr</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ra</mml:mi></mml:math> videlicet ad reliquum dati prismatis sed ex prima sexti libri Elementorum ut <mml:math><mml:mi>cp</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>pa</mml:mi></mml:math> ita basis <mml:math><mml:mi>cq</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>qa</mml:mi></mml:math> basim ergo ut <mml:math><mml:mi>cp</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>pa</mml:mi></mml:math>, ita cubus <mml:math><mml:mi>cr</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ra</mml:mi></mml:math> componendoque et per conversionem rationis et convertendo ut <mml:math><mml:mi>pc</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ca</mml:mi></mml:math> ita <mml:math><mml:mi>rc</mml:mi></mml:math> cubus ad datum prisma <mml:math><mml:mi>cb</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1809" xml:space="preserve"> Aequalis autem est <mml:math><mml:mi>pc</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>cf</mml:mi></mml:math> hoc ipsi expositae <mml:math><mml:mi>gh</mml:mi></mml:math> et ob id cubus <mml:math><mml:mi>cr</mml:mi></mml:math> aequalis cubo, qui fit ex <mml:math><mml:mi>gh</mml:mi></mml:math>, estque <mml:math><mml:mi>ca</mml:mi></mml:math> aequalis <mml:math><mml:mi>ik</mml:mi></mml:math> ut igitur <mml:math><mml:mi>gh</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ik</mml:mi></mml:math>, ita cubus ex <mml:math><mml:mi>gh</mml:mi></mml:math> ad datum prisma <mml:math><mml:mi>cb</mml:mi></mml:math>, sed ut <mml:math><mml:mi>gh</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ik</mml:mi></mml:math> ita cubus ex <mml:math><mml:mi>gh</mml:mi></mml:math> ad cubum qui ex <mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math> per corollarium 33 undecimi Elementorum.</s> <s xml:id="s1810" xml:space="preserve"> Ergo per 9 quinti Elementorum cubus qui fit ex <mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math> dato prismati <mml:math><mml:mi>eb</mml:mi></mml:math> est aequalis.</s> <s xml:id="s1811" xml:space="preserve"> Quod facere oportebat.</s> <s xml:id="s1812" xml:space="preserve"> </s> </p> <!-- 115_2v --> <pb o="115 2v" file="0146_2v" n="12"/> <p> <s xml:id="s1813" xml:space="preserve"> Si vero dati prismatis basis sit vel trilatera, <emph style="super">vel<!--variant supralineam--></emph> quadrilatera quidem non autem quadrata, vel plurilatera, vel etiam prisma non sit rectum primo inveniatur ipsius basis aequales superficies quadrata.</s> <s xml:id="s1814" xml:space="preserve"> Deinde super eam statuatur prisma rectum aequali altitudinae quod dato aequale erit ex 31 undecimi cui per modum iam dictum aequalis cubus constitutus erit etiam dato prismati quomodocunque firmato aequalis.</s> <s xml:id="s1815" xml:space="preserve"> Quod facere oportebat.</s> <s xml:id="s1816" xml:space="preserve"> </s> </p> </div> <div type="section" level="1" n="57"> <head xml:id="head57" xml:space="preserve"> Problema II </head> <p> <s xml:id="s1817" xml:space="preserve"> Datis duobus cubis, utrisque simul sumptis aequalem cubum constituere.</s> <s xml:id="s1818" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s1819" xml:space="preserve"> Cubi dati vel erunt aequales inter se, vel inaequales.</s> <s xml:id="s1820" xml:space="preserve"> Si aequales simul iuncta conficiant solidum parallelepipedum seu prisma cuius basis erit eadem quae alterius cubis et altitudo dupla.</s> <s xml:id="s1821" xml:space="preserve"> Per praemissam igitur id quod propositum est conficere poterimus.</s> <s xml:id="s1822" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s1823" xml:space="preserve"> Si vero sunt inaequales, ut <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math>, primum exponemus rectam lineam <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> aequalem lateri minoris cubi videlicet <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math>, deinde aliam exponemus lateri maioris cubi <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math>, aequalem quae sit <mml:math><mml:mi>gh</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1824" xml:space="preserve"> Et <anchor type="note" xlink:label="note-0146_2v-01a" xlink:href="note-0146_2v-01"/> ipsis <mml:math><mml:mi>efgh</mml:mi></mml:math> tertiam et quartam proportionalem inveniamus <mml:math><mml:mi>iklm</mml:mi></mml:math> ut sint quatuor rectae lineae proportionales in continua analogia <mml:math><mml:mi>efghiklm</mml:mi></mml:math>, postremo exponemus aliam rectam lineam <mml:math><mml:mi>no</mml:mi></mml:math> aequalem duabus extremis simul sumptis hoc est ipsis <mml:math><mml:mi>eflm</mml:mi></mml:math> et inter <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> et <mml:math><mml:mi>no</mml:mi></mml:math> inveniantur duae mediae proportionales <mml:math><mml:mi>pqrs</mml:mi></mml:math> et rursus sint aliae quatuor proportionales in continua analogia <mml:math><mml:mi>efpqrsno</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1825" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="1"> <note position="left" xlink:label="note-0146_2v-01" xlink:href="note-0146_2v-01a" xml:space="preserve"> 11 e 12 sexti<!--citmargsign--> </note> </div> <p> <s xml:id="s1826" xml:space="preserve"> Dico cubum qui fit ex <mml:math><mml:mi>pq</mml:mi></mml:math> aequalem esse duobus datis cubis simul sumptis, quoniam enim quatuor rectae lineae proportionales sunt <mml:math><mml:mi>efghiklm</mml:mi></mml:math>, erit per corollarium 33 undecimi ut <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math> ita cubus qui fit ex <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> qui fit ex <mml:math><mml:mi>gh</mml:mi></mml:math> cubum et convertendo <pb o="115 3 bis" file="0146_3bisr" n="13"/> <anchor type="figure" xlink:label="med115_1a" xlink:href="med115_1"/> <pb file="0146_3bisv" n="13"/> <pb o="115 3" file="0146_3r" n="13"/> <!-- 115_3r --> componendoque et rursus convertendo, ut <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> et <mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math> hoc est ad <mml:math><mml:mi>no</mml:mi></mml:math>, ita cubus, qui fit ex <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> ad utrosque cubos, videlicet ad eum qui fit ex <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math>, et eum qui ex <mml:math><mml:mi>gh</mml:mi></mml:math>, quiquidem sunt aequales duobus datis cubis <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> et rursus per idem corollarium erit ut <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>no</mml:mi></mml:math> ita cubus qui fit ex <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> ad eum qui ex <mml:math><mml:mi>pq</mml:mi></mml:math> est igitur per 9 quinti cubus qui fit ex <mml:math><mml:mi>pq</mml:mi></mml:math> aequalis duobus datis cubis <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> simul sumptis.</s> <s xml:id="s1827" xml:space="preserve"> Quod faciendum proponebatur.</s> <s xml:id="s1828" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="2"> <figure xlink:label="med115_1" xlink:href="med115_1a"> <image file="med115_1" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med115_1"/> </figure> </div> </div> <div type="section" level="1" n="58"> <head xml:id="head58" xml:space="preserve"> Corollarium </head> <p> <s xml:id="s1829" xml:space="preserve"> Ex iam demonstratis manifestum aparere potest, si plures quam duo cubi dentur, quomodo his ipsis aequalem cubum constituamus nam si sint quatuor cubi quibus simul iunctis aequalem cubum constituere libeat duobus primis unum aequalem inveniemus deinde huic ipsi, quo ex duobus compactus est et tertio alium <emph style="super">efficiemus<!--variant supralineam--></emph> aequalem, et rursus huic qui ex tribus constat et quarto alium aequalem formabimus, et ita deindeps.</s> <s xml:id="s1830" xml:space="preserve"> Si sint plures quam quatuor non dissimili ratione duobus vel pluribus prismatibus, sive aequalibus <reg norm="sive" type="context">sivae<!--variant 2 variants--></reg> inaequalibus vel etiam dissimilibus datis aequalem cubum constituemus, si prius singulis prismatibus aequalem cubum efficientes cubos deinde ipsos in unum omnibus aequalem coaptabimus et ita etiam duabus, aut pluribus spheris datis, tam aequalibus quam inaequalibus una sphera aequalis constitui poterit, quippe cum proportio unius ad alteram sit, eadem, quae diametri ad diametrum triplicati.</s> <s xml:id="s1831" xml:space="preserve"> </s> </p> </div> <div type="section" level="1" n="59"> <head xml:id="head59" xml:space="preserve"> Problema III </head> <p> <s xml:id="s1832" xml:space="preserve"> Dato cubo aequale prisma constituere dato prismati simile.</s> <s xml:id="s1833" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s1834" xml:space="preserve"> Sit datus cubus <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math>, cui oportet aequale prisma constituere et simile dato prismati <emph style="bf"><mml:math><mml:mi>ed</mml:mi></mml:math><!--variant postcorrectionem--></emph> .</s> <s xml:id="s1835" xml:space="preserve"> Sit ergo primum datum prisma, cui simile aliud constituendum est, rectum et basim habens quadratam <mml:math><mml:mi>ed</mml:mi></mml:math> et altitudinem <mml:math><mml:mi>ce</mml:mi></mml:math> exponaturque recta linea <mml:math><mml:mi>gh</mml:mi></mml:math> aequalis lateris basis videlicet ipsi <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> et exponatur alia <pb o="115 3v" file="0146_3v" n="13"/> <!-- 115_3v --> recta linea <mml:math><mml:mi>ik</mml:mi></mml:math> aequalis altitudini <mml:math><mml:mi>ce</mml:mi></mml:math> inter quas sumantur duae mediae proportionales <mml:math><mml:mi>lmno</mml:mi></mml:math>, ut sint quatuor <reg norm="rectae" type="context">raectae<!--variant 2 variants--></reg> lineae in continua analogia proportionales <mml:math><mml:mi>ghlmnoik</mml:mi></mml:math> deinde exponatur <reg norm="recta linea" type="context">raecta linaea<!--variant 2 variants--></reg> <mml:math><mml:mi>qr</mml:mi></mml:math> aequalis lateri ipsius dati cubi, videlicet <mml:math><mml:mi>ap</mml:mi></mml:math>, et fiat ut <mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>gh</mml:mi></mml:math> ita <mml:math><mml:mi>qr</mml:mi></mml:math> ad aliam quae sit <mml:math><mml:mi>st</mml:mi></mml:math> itaque duabus <reg norm="rectis" type="context">raectis<!--variant 2 variants--></reg> lineis <mml:math><mml:mi>stgr</mml:mi></mml:math> <anchor type="note" xlink:label="note-0146_3v-01a" xlink:href="note-0146_3v-01"/> tertiam et quartam proportionalem inveniemus <mml:math><mml:mi>uxyz</mml:mi></mml:math> ut rursus sint aliae quatuor deinceps proportionales <mml:math><mml:mi>stqruxyz</mml:mi></mml:math>, quae quidem in eadem erunt proportione, in qua quatuor iam dictae <mml:math><mml:mi>ghlmnoik</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1836" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="1"> <note position="left" xlink:label="note-0146_3v-01" xlink:href="note-0146_3v-01a" xml:space="preserve"> 11 12 sexti<!--citmargsign--> </note> </div> <p> <s xml:id="s1837" xml:space="preserve"> Dico prisma cuius basis sit quadratum <reg norm="rectae" type="context">raectae<!--variant 2 variants--></reg> lineae <mml:math><mml:mi>st</mml:mi></mml:math> et altitudo <mml:math><mml:mi>yz</mml:mi></mml:math> hoc est prisma αβ dato cubo esse aequale ac dato prismati simile nam dato prismati simile esse patet per diffinitionem similium solidorum, cum similibus planis et multitudine aequalibus contineatur at vero rectae aequale dato cubo sic ostendemus.</s> <s xml:id="s1838" xml:space="preserve"> Resecetur a prisma ipso constituto αβ cubus γβ, eodem quo supra modo concludemus ut recta linea δ<mml:math><mml:mi> y</mml:mi></mml:math> ad totam δα, ita esse cubum γβ ad totum prisma βα hoc est ut <mml:math><mml:mi>st</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>yz</mml:mi></mml:math>, ita esse cubus qui fit ex <mml:math><mml:mi>st</mml:mi></mml:math> ad totum prisma βα.</s> <s xml:id="s1839" xml:space="preserve"> Est enim δγ aequalis <mml:math><mml:mi>st</mml:mi></mml:math> et δα ipsi <mml:math><mml:mi>yz</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1840" xml:space="preserve"> Sed per corollarium 33 undecimi ut <mml:math><mml:mi>st</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>yz</mml:mi></mml:math> ita cubus qui fit ex <mml:math><mml:mi>st</mml:mi></mml:math> ad eum qui fit ex <mml:math><mml:mi>qr</mml:mi></mml:math> cubum hoc est ad datum cubum <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1841" xml:space="preserve"> Ergo prisma αβ est aequale dato cubo ostensum autem est et dato prismati <mml:math><mml:mi>ed</mml:mi></mml:math> simile quod ipsum facere oportebat.</s> <s xml:id="s1842" xml:space="preserve"> Si vero datum prisma cui simile aliud constituendum est non sit rectum, neque basim habeat quadratam inveniatur ipsius basi aequalis superficies quadrata cuius lateri fiat aequalis <mml:math><mml:mi>gh</mml:mi></mml:math> et eius altitudini aequalis <mml:math><mml:mi>ik</mml:mi></mml:math> inter quas duae mediae proportionales sumantur et cum omia confacta fuerunt sicuti proxime docuimus postremo quadratae basi ipsius prismatis αβ inveniatur superficies aequales et similis basi prismatis, cui simile aliud constituere propositum est, super quam ex similibus <pb o="115 4 bis 1 + 2" file="0146_4bisr" n="13"/> <anchor type="figure" xlink:label="med115_3a" xlink:href="med115_3"/> <anchor type="figure" xlink:label="med115_2a" xlink:href="med115_2"/> <pb file="0146_4bisv" n="13"/> <pb o="115 4" file="0146_4r" n="13"/> <!-- 115_4r --> planis prisma constitutum illud ipsum erit quod quaerimus, erit enim aequale dato cubo <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> cum sit aequale ipsi prismati αβ;</s> <s xml:id="s1843" xml:space="preserve"> et simile dato prismati quod similibus planis contineatur.</s> <s xml:id="s1844" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="2"> <figure xlink:label="med115_3" xlink:href="med115_3a"> <image file="med115_3" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med115_3"/> </figure> <figure xlink:label="med115_2" xlink:href="med115_2a"> <image file="med115_2" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med115_2"/> </figure> </div> </div> <div type="section" level="1" n="60"> <head xml:id="head60" xml:space="preserve"> Problema IIII </head> <p> <s xml:id="s1845" xml:space="preserve"> Duos cubos invenire in data proportione, qui simul sumpti aequales sint dato cubo.</s> <s xml:id="s1846" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s1847" xml:space="preserve"> Sit datus cubus <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> cui uni aequales duos cubos invenire voluimus qui inter se sint ut duo dati cubi;</s> <s xml:id="s1848" xml:space="preserve"> vel ergo dati cubi erunt aequales inter se vel inaequales.</s> <s xml:id="s1849" xml:space="preserve"> Si aequales in posito altero alteri constituatur prisma per praecedens igitur dato cubo aequale prisma constituemus ipsi prismati quae ex duodus cubis compactus est simile quod quidem prisma si plano eis quae ex opposito planis parallelo in duas partes aequales secetur prodibunt duo cubi quaesiti aequales dato cubo atque in eadem proportionem duobus datis cum sint inter se aequales, si vero dati cubi sint inaequales ut <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> exponantur duae rectae lineae <mml:math><mml:mi>gh</mml:mi></mml:math> quarum altera quidem <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math> sit aequalis lateri minori dati cubi <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math> alteri vero <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math> aequalis lateri maioris <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1850" xml:space="preserve"> His igitur duabus tertiam et quartam inveniamus proportionales <mml:math><mml:mi>ik</mml:mi></mml:math> ut sint quatuor rectae lineae in continua analogia proportionales <mml:math><mml:mi>gh</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>ik</mml:mi></mml:math> deinde exponatur alia recta linea itidem aequalis lateri minoris cubi quae sit <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math> et alia exponatur aequalis duabus extremis.</s> <s xml:id="s1851" xml:space="preserve"> Quatuor iam dictarum proportionalium simul sumptis, videlicet <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math> et <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math> quae sit <mml:math><mml:mi>m</mml:mi></mml:math> et inter <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math> et <mml:math><mml:mi>m</mml:mi></mml:math> sumantur duae mediae proportionales <mml:math><mml:mi>no</mml:mi></mml:math> ut sint quatuor deinceps proportionales <mml:math><mml:mi>lnom</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1852" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s1853" xml:space="preserve"> Rursus exponatur recta linea <mml:math><mml:mi>p</mml:mi></mml:math> aequalis lateri dati cubi <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> fiatque ut <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math>, ita <mml:math><mml:mi>p</mml:mi></mml:math> ad aliam quae sit <mml:math><mml:mi>q</mml:mi></mml:math> quibus quidem tertiam et quartam proportionalem inveniamus <mml:math><mml:mi>r</mml:mi></mml:math> et <mml:math><mml:mi>s</mml:mi></mml:math> atque erunt quatuor proportionales <mml:math><mml:mi>qprs</mml:mi></mml:math> in eadem proportione in qua sunt <mml:math><mml:mi>lnom</mml:mi></mml:math> postremo exposita recta <pb file="0146_4v" n="13"/> <!-- 115_4v --> linea <mml:math><mml:mi>t</mml:mi></mml:math> aequali ipsi <mml:math><mml:mi>q</mml:mi></mml:math> fiat ut <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math> ita <mml:math><mml:mi>t</mml:mi></mml:math> ad aliam quae sit <mml:math><mml:mi>u</mml:mi></mml:math> et nisi <mml:math><mml:mi>tu</mml:mi></mml:math> tertiam et quartam proportionalem indagabimus <mml:math><mml:mi>xy</mml:mi></mml:math> eruntque quatuor proportionales <mml:math><mml:mi>tuxy</mml:mi></mml:math> in eadem proportione;</s> <s xml:id="s1854" xml:space="preserve"> in qua sunt aliae quatuor iam dictae <mml:math><mml:mi>ghik</mml:mi></mml:math> itaque constituantur duo cubi;</s> <s xml:id="s1855" xml:space="preserve"> unus quidem ex ipsa <mml:math><mml:mi>t</mml:mi></mml:math> qui sit αβ, alter vero ex <mml:math><mml:mi>u</mml:mi></mml:math> videlicet <mml:math><mml:mi>y</mml:mi></mml:math>δ.</s> <s xml:id="s1856" xml:space="preserve"> Dico hos duos cubos simul sumptos aequales esse dato cubo <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math>, et in eadem proportionem in qua dati cubi <mml:math><mml:mi>cdef</mml:mi></mml:math> et enim in eadem esse proportione manifestissime patet, cum sit ut <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math> ita <mml:math><mml:mi>t</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>u</mml:mi></mml:math> si autem quatuor rectae lineae proportionales fuerint, et quae in ipsis solida parallelepipeda similia similiterque descripta proportionalia erunt ex 37 undecimi, ergo ut cubus <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math> qui fit ex <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math> ad cubum <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> qui fit ex <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math> ita cubus αβ, qui fit ex <mml:math><mml:mi>t</mml:mi></mml:math> ad γδ cubum qui fit ex <!--begin variant delevit ante--><emph style="st"><mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math></emph><mml:math><mml:mi>u</mml:mi></mml:math><!--end variant delevit ante--> at vero eos simul sumptos aequales esse dato cubo <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> ita demonstrabimus;</s> <s xml:id="s1857" xml:space="preserve"> quoniam enim quatuor rectae lineae sunt proportionales <mml:math><mml:mi>tuxy</mml:mi></mml:math>, erit per per corollarium 33 undecimi ut <mml:math><mml:mi>t</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>y</mml:mi></mml:math> ita cubus qui fit ex <mml:math><mml:mi>t</mml:mi></mml:math> ad eum qui fit ex <mml:math><mml:mi>u</mml:mi></mml:math> cubum et convertendo, componendoque et rursus convertendo ut <mml:math><mml:mi>t</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>t</mml:mi></mml:math> et <mml:math><mml:mi>y</mml:mi></mml:math> videlicet ad <mml:math><mml:mi>s</mml:mi></mml:math> ita cubus αδ factus ex <mml:math><mml:mi>t</mml:mi></mml:math> ad duos cubos simul sumptos αβ γδ quoniam αβ, quidem fit ex <mml:math><mml:mi>t</mml:mi></mml:math> γδ vero ex <mml:math><mml:mi>u</mml:mi></mml:math> et per idem corollarium ut <mml:math><mml:mi>q</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>s</mml:mi></mml:math> ita cubus qui fit ex <mml:math><mml:mi>q</mml:mi></mml:math> ad eum qui ex <mml:math><mml:mi>p</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1858" xml:space="preserve"> Sed cum sit <mml:math><mml:mi>q</mml:mi></mml:math> aequalis ipsi <mml:math><mml:mi>t</mml:mi></mml:math> erit ut <mml:math><mml:mi>q</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>s</mml:mi></mml:math> ita cubus αβ, qui fit ex <mml:math><mml:mi>et</mml:mi></mml:math>, hoc est ex <mml:math><mml:mi>q</mml:mi></mml:math> ad duos cubos simul sumptos αβ γδ.</s> <s xml:id="s1859" xml:space="preserve"> ergo per 9 quinti duo cubi αβ γδ simul sumpti sunt aequales cubo qui fit ex <mml:math><mml:mi>p</mml:mi></mml:math> hoc est dato cubo <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1860" xml:space="preserve"> Quod facere oportebat.</s> <s xml:id="s1861" xml:space="preserve"> </s> </p> </div> <div type="section" level="1" n="61"> <head xml:id="head61" xml:space="preserve"> Corollarium </head> <p> <s xml:id="s1862" xml:space="preserve"> Ex his manifestum est, sicut placeat uni cubo plures quam duo cubos aequales facere, ex aliis datis cubis proportionales quo pactu illud perficiendum sit nam si tres volit cubos facere qui simul sumpti sint uni cubo aequales et in eadem proportione, in qua tres alii dati primum ex his tribus <!-- 115_5r --> <pb o="115 5" file="0146_5r" n="13"/> datis duos in unus coaptabimus deinde dato cubo per precedens aequales duos faciemus in eademmet proportione duobus datis, videlicet illi, qui ex duobus constat ex reliquo denique huic ipsi, qui ad <!--milestone lacs--> illius compositi factum est duos alios formabimus, atque in eadem proportione in qua illi qui in unum primo <!--milestone lacs--> erant, ex hoc pacto tres cubi erunt uni aequales qui interse eandem habebunt proportionem, quam tres alii dati, non aliter faciemus si vel quatuor vel plures, quam quatuor placeat uni aequales constituere in data aliorum proportione per hoc antea et per antecedentia accuratius intuenti patebitur via, quae uni prismati dati aliud prisma constituatur aequale, vel etiam plura, quae simul sumpta sint illi aequalia, vel similia inter se vel etiam dissimilia et inaequalia.</s> </p> <figure> <image file="med115_4" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med115_4"/> </figure> <pb file="0146_5v1" n="13"/> <pb file="0146_5v2" n="13"/> </div> <div type="section" level="1" n="62"> <head xml:id="head62" xml:space="preserve"><!-- 115_5v --> Parabola </head> <figure> <image file="med115_5v" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med115_5v"/> </figure> <p> <s xml:id="s1863" xml:space="preserve"> Puncta <mml:math><mml:mi>aa</mml:mi></mml:math> sunt in parabola.</s> <s xml:id="s1864" xml:space="preserve"> <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> semper <!--begin variant delevit post-->est<emph style="st">perpendi<!--end variant delevit post--></emph> media proportionali inter <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> et <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> est linea iuxta quam possunt.</s> <s xml:id="s1865" xml:space="preserve"> </s> </p> </div> <div type="section" level="1" n="63"> <head xml:id="head63" xml:space="preserve"> Hyperbole </head> <figure> <image file="med115_5v_2" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med115_5v_2"/> </figure> <p> <s xml:id="s1866" xml:space="preserve"> <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> semper est media proportionalis inter <mml:math><mml:mi>bcbd</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math> rectum latus et <mml:math><mml:mi>df</mml:mi></mml:math> transversum.</s> <s xml:id="s1867" xml:space="preserve"> Et puncta <mml:math><mml:mi>aa</mml:mi></mml:math> sunt in hyperbola.</s> <s xml:id="s1868" xml:space="preserve"> </s> </p> </div> <div type="section" level="1" n="64"> <head xml:id="head64" xml:space="preserve"> Ellipsis </head> <figure> <image file="med115_5v_3" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med115_5v_3"/> </figure> <p> <s xml:id="s1869" xml:space="preserve"> <reg norm="ab" type="context">ad<!--variant 2 variants--></reg> semper est media proportionalis inter <mml:math><mml:mi>bcbd</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math> est rectum latus, <mml:math><mml:mi>df</mml:mi></mml:math> transversum et puncta <mml:math><mml:mi>aa</mml:mi></mml:math> sunt in ellipsi.</s> <s xml:id="s1870" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="115 6" file="0146_6r" n="13"/> </div> <div type="section" level="1" n="65"> <head xml:id="head65" xml:space="preserve"><!-- 115_6r --> Prima propositio </head> <figure> <image file="med115_6r" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med115_6r"/> </figure> <p> <s xml:id="s1871" xml:space="preserve"> <emph style="super">rectilinea<!--variant supralineam--></emph> quae bases habent aequales, aequalemque altitudinem inter se sunt aequalia.</s> <s xml:id="s1872" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s1873" xml:space="preserve"> Rectilinea sint solida, quorum bases <mml:math><mml:mi>abcdefgh</mml:mi></mml:math> sint aequales, solidorum autem <emph style="bf">altitudo sit<!--variant postcorrectionem--></emph> <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1874" xml:space="preserve"> Dico solida aequalia esse inter se.</s> <s xml:id="s1875" xml:space="preserve"> Dividantur solidorum bases in triangula in <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math>, et <!--begin variant delevit post--><mml:math><mml:mi> cdefgh</mml:mi></mml:math><emph style="st"> Et quoniam prisma cuius basis est <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math>, altitudo autem <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math>, (18 undecimi) est dimidium solidi parallelepipedi cuius basis est dupla trianguli <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math>, (dummodo lateris sint lateribus paralleli), altitudo autem <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math>.</emph></s> <s xml:id="s1876" xml:space="preserve"><emph style="st"> Prisma scilicet cuius basis est <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math>, et altitudo <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math>, est dimidium solidi parallelepipedi, cuius basis <mml:math><mml:mi>ba</mml:mi></mml:math>, (dummodo <mml:math><mml:mi>ba</mml:mi></mml:math> sit parallelogrammum) et altitudo <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math>.</emph></s> <s xml:id="s1877" xml:space="preserve"><emph style="st"> Similiter prisma cuius basis est <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math>, et altitudo <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math>, dimidium est solidi parallelepipedi cuius basis est dupla <!--milestone lacs--> trianguli <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> et altitudo <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math>.</emph></s> <s xml:id="s1878" xml:space="preserve"><emph style="st"> Hoc est prisma, cuius basis est <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> et altitudo <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math> est dimidium solidi parallelepipedi cuius basis est <mml:math><mml:mi>cl</mml:mi></mml:math>, (dummodo <mml:math><mml:mi>cl</mml:mi></mml:math> sit parallelogrammum) et altitudo <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math> <!--milestone lacs--> ita vero solida parallelepipeda sunt, ut basis <mml:math><mml:mi>ba</mml:mi></mml:math> ad basim <mml:math><mml:mi>cl</mml:mi></mml:math> <!--milestone lacs--> et horum dimidia in eadem erit erit proportione.</emph></s> <s xml:id="s1879" xml:space="preserve"><emph style="st"> Hoc est prisma erit cuius basis <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math> altitudo <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math>, erit, ut<!--end variant delevit post--></emph> .</s> <s xml:id="s1880" xml:space="preserve"> Et quoniam prisma cuius basis est <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math>, et altitudo <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math>, ad prisma cuius basis est <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math>, et altitudo <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math>, ita se habet, <!--begin variant delevit post-->ut<emph style="st">basis<!--end variant delevit post--></emph> triangulum <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math> ad triangulum <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1881" xml:space="preserve"> (Per corollarium 32 undecimi) similiter prisma cuius basis est <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math> et altitudo <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math>, ita erit ad prisma, cuius basis est <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math> et altitudo <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math> ut triangulum <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math> ad triangulum <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1882" xml:space="preserve"> Et ita deinceps, ergo prisma cuius basis est <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math>, <!--begin variant delevit post-->altitudo<emph style="st">aliquot literas<!--end variant delevit post--></emph> <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math> <emph style="super">erit<!--variant supralineam--></emph> ad prismata omnia cuius bases sunt triangula <mml:math><mml:mi>cdefg</mml:mi></mml:math> et altitudo <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math>, ut triangulum <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math> ad omnia triangula <mml:math><mml:mi>cdefg</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1883" xml:space="preserve"> Et quoniam prisma cuius basis est <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> et altitudo <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math>, est ad prisma, cuius basis est <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math> et altitudo <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math>, ut triangulum <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> ad ipsum <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math>, erit solidum cuius basis <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> et altitudo <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math>, ut solidum cuius basis <mml:math><mml:mi>cdefgh</mml:mi></mml:math> et altitudo <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math>, ut basis <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> ad basim <mml:math><mml:mi>cdefgh</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1884" xml:space="preserve"> Quia vero hae bases sunt aequales, ergo et solida interse sunt aequalia.</s> <s xml:id="s1885" xml:space="preserve"> Quod demonstrare oportebat.</s> <s xml:id="s1886" xml:space="preserve"> </s> </p> <note position="left" xml:space="preserve"> Corollarium<!--variant inmargine--> </note> <p> <s xml:id="s1887" xml:space="preserve"> Ostendetur si fuerint duo solida <emph style="super">rectilinea<!--variant supralineam--></emph> aequealta, id quod maiorem basim habet maius esse.</s> <s xml:id="s1888" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb file="0146_6v" n="13"/> <!-- this page is not transcribed --> <pb o="115 7" file="0146_7r" n="13"/> </div> <div type="section" level="1" n="66"> <head xml:id="head66" xml:space="preserve"><!-- 115_7r --> Secunda propositio </head> <p> <s xml:id="s1889" xml:space="preserve"> Sit solidum, cuius rectilinea basis sit <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math>, altitudo autem <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1890" xml:space="preserve"> Sitque cylindrus cuius basis sit circulus <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math>, altitudoque <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1891" xml:space="preserve"> Dico solidum cylindro aequalem esse.</s> <s xml:id="s1892" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med115_7r" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med115_7r"/> </figure> <p> <s xml:id="s1893" xml:space="preserve"> Si enim non est, alter altero maior erit.</s> <s xml:id="s1894" xml:space="preserve"> Si itaque maior est cylindrus quam solidum, ergo in cylindro poterit solidum <reg norm="describi" type="context">inscribi<!--variant correxitex --></reg> rectilineum, quod <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">sit</emph>eandem<!--end variant delevit ante--> habeat altitudinem, aequale solido cuius basis est <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> et altitudo <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1895" xml:space="preserve"> Sitque solidum inscriptum cuius basis <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math> et altitudo <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1896" xml:space="preserve"> Erit utique basis rectilinea <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math> intra circulum, cum sit totum solidum rectilineum intra cylindrum.</s> <s xml:id="s1897" xml:space="preserve"> Ac propetera erit circulus maior figura <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math>, cum itaque sit basis <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> circulo aequalis erit <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> maior <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1898" xml:space="preserve"> Ac propterea solidum, cuius basis <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math>, et altitudo <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math> maius est solido, cuius basis <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math> et altitudo <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1899" xml:space="preserve"> Quod fieri non potest, <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">aliquot literas</emph>ponebatur<!--end variant delevit ante--> enim aequalis.</s> <s xml:id="s1900" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s1901" xml:space="preserve"> Si vero solidum maius est, quam cylindrus circa cylindrum describi poterit solidum, <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">cuius</emph>eandem<!--end variant delevit ante--> altitudinem habens <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math> <emph style="super">cuius basis sit <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s1902" xml:space="preserve"> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">sit</emph>Pari<!--end variant delevit ante--> ratione ostendetur basim <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> maiorem esse circulo et basi <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1903" xml:space="preserve"> Quare solidum, cuius basis <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> et altitudo <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math> maior est solido cuius basis <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> et altitudo <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1904" xml:space="preserve"> Quod esse non potest.</s> <s xml:id="s1905" xml:space="preserve"> Supponebantur enim esse interse aequalia.</s> <s xml:id="s1906" xml:space="preserve"> Solidum ergo cuius basis <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> et altitudo <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math> est aequale cylindro.</s> <s xml:id="s1907" xml:space="preserve"> Quod demonstrare oportebat.</s> <s xml:id="s1908" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb file="0146_7v" n="13"/> </div> <div type="section" level="1" n="67"> <head xml:id="head67" xml:space="preserve"><!-- 115_7v --> Tertia propositio </head> <p> <s xml:id="s1909" xml:space="preserve"> <reg norm="Datae sphaerae aequalem cubum constituere" type="context">Data<!--variant correxitex --></reg> sphaera <emph style="super">quis cubus sit ipsae aequalis determinare<!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s1910" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med115_7v" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med115_7v"/> </figure> <p> <s xml:id="s1911" xml:space="preserve"> Data sit sphaera, cuius diameter <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math>, <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">aliquot literas</emph>oportet<!--end variant delevit ante--> ei cubum <reg norm="constituere aequalem" type="context">determinare aequalemconsituere determinare<!--variant correxitex --></reg> .</s> <s xml:id="s1912" xml:space="preserve"> <emph style="super">Sit<!--variant supralineam--></emph> cylindrus <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math>, qui basim habeat circulum sphaerae maximum, altitudinem vero aequalem ipsi <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1913" xml:space="preserve"> <emph style="super">Sit<!--variant supralineam--></emph> deinde quadratum <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math>, quod sit aequale basi cylindri <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1914" xml:space="preserve"> Erigaturque <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> <emph style="super">quae sit<!--variant supralineam--></emph> super basim <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math> erecta.</s> <s xml:id="s1915" xml:space="preserve"> Quae quidem sit altitudini cylindri aequalis.</s> <s xml:id="s1916" xml:space="preserve"> Denique exponatur cubus <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math> ita ut solidum <!--begin variant delevit post--><mml:math><mml:mi> df</mml:mi></mml:math><emph style="st">sit ad<!--end variant delevit post--></emph> <reg norm="cubum" type="context">cubi<!--variant correxitex --></reg> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">aliquot literas</emph>sit<!--end variant delevit ante--> sesquialterum.</s> <s xml:id="s1917" xml:space="preserve"> <anchor type="note" xlink:label="note-0146_7v-01a" xlink:href="note-0146_7v-01"/> hoc modo.</s> <s xml:id="s1918" xml:space="preserve"> Secetur <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math> sitque <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> ipsius <mml:math><mml:mi>eh</mml:mi></mml:math> sesquialtera compleaturque solidum <mml:math><mml:mi>dh</mml:mi></mml:math>, erit utique solidum <mml:math><mml:mi>df</mml:mi></mml:math> solidi <mml:math><mml:mi>dh</mml:mi></mml:math> sesquialterum.</s> <s xml:id="s1919" xml:space="preserve"> Deinde exponatur cubus <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math>, qui sit aequalis solido <mml:math><mml:mi>dh</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1920" xml:space="preserve"> Erit <mml:math><mml:mi>df</mml:mi></mml:math> <!--begin variant delevit post-->solidum<emph style="st">ad<!--end variant delevit post--></emph> cubi <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math> sesquialterum.</s> <s xml:id="s1921" xml:space="preserve"> Dico cubum <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math> datae spherae aequalem esse.</s> <s xml:id="s1922" xml:space="preserve"> <emph style="super">Quoniam enim<!--variant supralineam--></emph> ex iis, quae Archimedes post 32am propositionem de sphera et cylindro collegit, cylindrus <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> est sesquialter datae spherae, cylindro autem <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> aequale est solidum <mml:math><mml:mi>df</mml:mi></mml:math> <anchor type="note" xlink:label="note-0146_7v-02a" xlink:href="note-0146_7v-02"/> erit igitur solidum <mml:math><mml:mi>df</mml:mi></mml:math> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">ipsae</emph>datae<!--end variant delevit ante--> sphaerae sesquialterum, sed <mml:math><mml:mi>df</mml:mi></mml:math> est etiam sesquialterum cubi <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1923" xml:space="preserve"> Ergo cubus <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math> est datae sphaerae <reg norm="aequale" type="context">aequalis<!--variant correxitex --></reg> .</s> <s xml:id="s1924" xml:space="preserve"> Quod demonstrare oportebat.</s> <s xml:id="s1925" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="1"> <note position="left" xlink:label="note-0146_7v-01" xlink:href="note-0146_7v-01a" xml:space="preserve"> Vel<!--variant signopositoinmargine--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0146_7v-02" xlink:href="note-0146_7v-02a" xml:space="preserve"> <emph style="super">Hoc<!--variant supralineam--></emph> demonstratum est antea sed demonstratio consideranda? <!--citmargsign--> </note> </div> <pb o="116" file="0147" n="147"/> <p xml:lang="it"> <s xml:id="s1926" xml:space="preserve"> I scuri devono passar dentro gl'altri.</s> <s xml:id="s1927" xml:space="preserve"> Vogliono esser solo nella piastra di ferro, senza passar nel legno.</s> <s xml:id="s1928" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med116" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med116"/> </figure> <p> <s xml:id="s1929" xml:space="preserve"> Figura per centrum gravitatis in duas partes secta non semper in <emph style="super">partes<!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">aequalia</emph>dividitur<!--end variant delevit ante--> aequales.</s> <s xml:id="s1930" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med116_2" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med116_2"/> </figure> <p> <s xml:id="s1931" xml:space="preserve"> Sit triangulum aequilaterum <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math>, cuius centrum gravitatis <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math>, a quo ipsi <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> aequidistans ducatur <mml:math><mml:mi>fdg</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1932" xml:space="preserve"> Dico partem <mml:math><mml:mi>afg</mml:mi></mml:math> minorem esse <mml:math><mml:mi>bfgc</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1933" xml:space="preserve"> Ducatur per <mml:math><mml:mi>da</mml:mi></mml:math> usque ad basim linea <mml:math><mml:mi>ade</mml:mi></mml:math>, cui <emph style="super">per <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> aequidistans ducatur <mml:math><mml:mi>hgk</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1934" xml:space="preserve"> Compleanturque figurae <mml:math><mml:mi>eh</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>kf</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1935" xml:space="preserve"> Quoniam igitur <emph style="super"><mml:math><mml:mi> d</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">ob</emph>centrum<!--end variant delevit ante--> <emph style="super">est<!--variant supralineam--></emph> gravitatis <emph style="super">trianguli <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math> erit<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math> <!--begin variant delevit post-->dupla<emph style="st">est<!--end variant delevit post--></emph> <reg norm="est" type="context">ipsius<!--variant correxitex --></reg> <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math>, <reg norm="erit" type="context">ergo<!--variant correxitex --></reg> parallelogrammum <mml:math><mml:mi>ag</mml:mi></mml:math> duplum est <emph style="super">parallelogrammi<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>ge</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1936" xml:space="preserve"> Et quia <mml:math><mml:mi>gddf</mml:mi></mml:math> sunt aequales, erit quoque <mml:math><mml:mi>kf</mml:mi></mml:math> ipsius <mml:math><mml:mi>kd</mml:mi></mml:math> duplum.</s> <s xml:id="s1937" xml:space="preserve"> Ergo <mml:math><mml:mi>ag</mml:mi></mml:math>, hoc est, <mml:math><mml:mi>afg</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>fk</mml:mi></mml:math> est aequale.</s> <s xml:id="s1938" xml:space="preserve"> Quare <mml:math><mml:mi>afg</mml:mi></mml:math> minor est, quam <mml:math><mml:mi>bfgc</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1939" xml:space="preserve"> Quod oportebat demonstrare.</s> <s xml:id="s1940" xml:space="preserve"> Hoc idem sequitur in triangulo aequicrure.</s> <s xml:id="s1941" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="117" file="0148" n="148"/> <p> <s xml:id="s1942" xml:space="preserve"> Sit linea <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math> perpendicularis, similiter <mml:math><mml:mi>da</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>ca</mml:mi></mml:math> perpendicularis.</s> <s xml:id="s1943" xml:space="preserve"> Dico angulum <mml:math><mml:mi>bad</mml:mi></mml:math> angulo <mml:math><mml:mi>bca</mml:mi></mml:math> aequalem esse.</s> <s xml:id="s1944" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med117" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med117"/> </figure> <p> <s xml:id="s1945" xml:space="preserve"> Patet hoc ex 8a sexti in triangulo enim rectangulo <mml:math><mml:mi>cad</mml:mi></mml:math> ab angulo recto <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> ducta est <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math> perpendicularis.</s> <s xml:id="s1946" xml:space="preserve"> Unde pervenit triangulum <mml:math><mml:mi>abd</mml:mi></mml:math> simile triangulo <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math>, et <!--begin variant delevit post-->est<emph style="st">ut<!--end variant delevit post--></emph> <mml:math><mml:mi>cb</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ba</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>ba</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math> angulus ergo <mml:math><mml:mi>bad</mml:mi></mml:math> angulo <mml:math><mml:mi>bca</mml:mi></mml:math> est aequalis, quod demonstrare oportebat.</s> <s xml:id="s1947" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="118" file="0149" n="149"/> <p> <s xml:id="s1948" xml:space="preserve"> Parallelogrammum <emph style="super">ita<!--variant supralineam--></emph> dividere, ut gnomon sit reliquo aequalis, <emph style="it">hoc est<!--variant descriptio: diverso atramento--></emph> , <emph style="super">sit totius<!--variant supralineam--></emph> ipsius dimidium.</s> <s xml:id="s1949" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med118" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med118"/> </figure> <p> <s xml:id="s1950" xml:space="preserve"> Sit paralelogrammum <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math>, oportet ipsum <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> ita dividere, ut gnomon sit reliquo parallelogrammo aequalis.</s> <s xml:id="s1951" xml:space="preserve"> Dividatur <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> parallelogrammi diameter in <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> bifariam, a quo lateribus aequidistans ducatur <mml:math><mml:mi>dce</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1952" xml:space="preserve"> Erit <mml:math><mml:mi>db</mml:mi></mml:math> dimidium parallelogrammi <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1953" xml:space="preserve"> Fiat deinde ipsi <mml:math><mml:mi>db</mml:mi></mml:math> <reg norm="aequalis" type="context">aequale<!--variant correxitex --></reg> parallelogrammum <mml:math><mml:mi>af</mml:mi></mml:math>, quod quidem sit simile toti <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math>, <anchor type="note" xlink:label="note-0149-01a" xlink:href="note-0149-01"/> .</s> <s xml:id="s1954" xml:space="preserve"> Erit ergo <mml:math><mml:mi>af</mml:mi></mml:math> circa dimetientem <emph style="super"><mml:math><mml:mi> ab</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> constitutum quod, cum sit aequale <mml:math><mml:mi>db</mml:mi></mml:math>, erit ipsius <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> dimidium.</s> <s xml:id="s1955" xml:space="preserve"> Gnomon igitur <mml:math><mml:mi>gbh</mml:mi></mml:math> quod relinquitur, erit quoque <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">ipsi</emph>dimidio<!--end variant delevit ante--> ipsius <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> aequalis.</s> <s xml:id="s1956" xml:space="preserve"> Gnomon ergo <mml:math><mml:mi>gbh</mml:mi></mml:math> parallelogrammo <mml:math><mml:mi>af</mml:mi></mml:math> est aequalis quod facere oportebat.</s> <s xml:id="s1957" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="2"> <note position="left" xlink:label="note-0149-01" xlink:href="note-0149-01a" xml:space="preserve"> 25 sexti </note> </div> <pb o="119" file="0150" n="150"/> <p xml:lang="it"> <s xml:id="s1958" xml:space="preserve"> Per trovar com'Archimede ritrovò quant'oro, et argento era nella corona di Hierone re di Siracusa.</s> <s xml:id="s1959" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med119" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med119"/> </figure> <p xml:lang="it"> <s xml:id="s1960" xml:space="preserve"> Prima sia la corona di 30 libre la qual si ponga in un vaso <emph style="super">pien<!--variant supralineam--></emph> d'acqua.</s> <s xml:id="s1961" xml:space="preserve"> E quando la sarà tutta sott'acqua si <emph style="super">misuri o<!--variant supralineam--></emph> pesi l'acqua, che ne sarà uscita.</s> <s xml:id="s1962" xml:space="preserve"> Che sia libre 12, poi piglisi 30 libre d'oro schietto, e nel medesimo modo mettasi nel medesimo vaso di acqua, dal quale ne eschi 10 libre d'acqua similmente facciasi con 30 libre di argento <emph style="super">schietto<!--variant supralineam--></emph> e pesata l'acqua che esce, sia libre 15.</s> <s xml:id="s1963" xml:space="preserve"> Hora la differenza del 12 al 10 è 2.</s> <s xml:id="s1964" xml:space="preserve"> E quella del 12 al 15 è 3 se adunque divideremo il 30 che è il peso della corona, in modo, che una parte sia 3 e l'altra due, haveremo la proporzione.</s> <s xml:id="s1965" xml:space="preserve"> Che per ciò fare, essendo che in tutto siano cinque parti, dividasi il 30 per 5 e ne verrà 6.</s> <s xml:id="s1966" xml:space="preserve"> Si che una parte sarà 18 l'altra 12.</s> <s xml:id="s1967" xml:space="preserve"> Ma per trovar qual di queste due sia l'oro, prima dico che le 18 saranno d'oro, e le 12 d'argento <emph style="super">ancorchè parrà il contrario<!--variant supralineam--></emph> </s> </p> <figure> <image file="med119_2" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med119_2"/> </figure> <p xml:lang="it"> <s xml:id="s1968" xml:space="preserve"> Per che essendo che l'acqua che fece uscire l'oro schietto sia 10, e quella della corona sia 12, per l'essere il 12 maggiore di 10 ne seguita che la corona sia di maggiore quantità di corpo, che non è l'oro schietto.</s> <s xml:id="s1969" xml:space="preserve"> E per che sono di trenta libre tutti due, <emph style="super">adunque<!--variant supralineam--></emph> la maggioranza del corpo della corona nasce dall'argento che è in essa.</s> <s xml:id="s1970" xml:space="preserve"> E per conseguenza quel di più d'acqua che fece uscir la corona <emph style="super">che è 2<!--variant supralineam--></emph> , nasce dall'argento, che è nella corona.</s> <s xml:id="s1971" xml:space="preserve"> Per l'istessa ragione la quantità <pb o="120" file="0151" n="151"/> dell'acqua della corona che è 12 per essere minore del 15 che è quella dell'argento schietto, arguisce che la corona è minore di corpo che non è l'argento, e però quel di manco d'acqua che ha fatt'uscir la corona rispetto all'argento, che è 3 nasce dall'oro, che è nella corona.</s> <s xml:id="s1972" xml:space="preserve"> Dove ne seguita che le tre parti della corona <emph style="super">bisogna attribuirle<!--variant supralineam--></emph> all'oro, et le due all'argento.</s> <s xml:id="s1973" xml:space="preserve"> A tal che la corona havrà 18 libre d'oro, e <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">3</emph>12<!--end variant delevit ante--> d'argento.</s> <s xml:id="s1974" xml:space="preserve"> Et a questo risponde anche la regola della proporzione de numeri.</s> <s xml:id="s1975" xml:space="preserve"> Cioè che se <emph style="super">30 libre<!--variant supralineam--></emph> d'oro schietto fa uscir 10 libre d'acqua.</s> <s xml:id="s1976" xml:space="preserve"> L'oro della corona che è 18 ne farà uscir 6 medesimamente se 30 libre d'argento, ne fa uscire 15, l'argento della corona, che è 12 ne farà uscire 6, dove si vede che le acque, che fanno uscire le parti della corona, sono apunto 12.</s> <s xml:id="s1977" xml:space="preserve"> </s> </p> <p xml:lang="it"> <s xml:id="s1978" xml:space="preserve"> Il medesimo ancor aviene nel secondo esempio, che al senso par più manifesto.</s> <s xml:id="s1979" xml:space="preserve"> Il Philandro sopra Vitruvio nel 9 libro a 3 capitolo molto confusamente insegna di trovare questo, e se ben par ch'egli metta la ragione, non è vero.</s> <s xml:id="s1980" xml:space="preserve"> Si come non la mette neanche Vitruvio.</s> <s xml:id="s1981" xml:space="preserve"> <emph style="it">è nondimeno difficile<!--variant descriptio: diverso atramento--></emph> a venir all'atto pratico di questa esperienza, perchè non troppo esattamente si possono pesar le acque, che escano di un vaso, restandone sempre attaccata al vaso, ma si potrà prima metter la corona nel vaso e pesar quest'acqua, e così far con l'oro et argento e così più esattamente si troverà quanto si desidera.</s> <s xml:id="s1982" xml:space="preserve"> Ma con la libra esattissimamente si farà come habbiamo detto a carte 233.</s> <s xml:id="s1983" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="121" file="0152" n="152"/> <p> <s xml:id="s1984" xml:space="preserve"> Angulum contingentiae quantitatem <emph style="it">essenon esse<!--variant descriptio: diverso atramento--></emph> esse contra Peletarium, sic ostendetur.</s> <s xml:id="s1985" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med121" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med121"/> </figure> <p> <s xml:id="s1986" xml:space="preserve"> Praeter ea, quae a Cristophoro Clavio in 3o Elementorum, et a nobis in libro Mechanicorum in tractatu de libra dicta fuere.</s> <s xml:id="s1987" xml:space="preserve"> Sit <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math> angulus contingentiae, quem quantitatem esse ostendere oportet.</s> <s xml:id="s1988" xml:space="preserve"> Ducatur a centro circuli <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math> linea <mml:math><mml:mi>dae</mml:mi></mml:math>, quae cum <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> conveniat, non in <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math>, sed ut in <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1989" xml:space="preserve"> Quae etiam circulum secet in <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1990" xml:space="preserve"> Primum quidem si <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math> non est quantitas, sequitur <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>da</mml:mi></mml:math> aequalem esse.</s> <s xml:id="s1991" xml:space="preserve"> Etenim, cum non sit <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math> quantitas, neque <mml:math><mml:mi>ae</mml:mi></mml:math> quantitas existet.</s> <s xml:id="s1992" xml:space="preserve"> Eruntque puncta <mml:math><mml:mi>ae</mml:mi></mml:math> unum tantum punctum.</s> <s xml:id="s1993" xml:space="preserve"> Quod si duo essent puncta, duo darentur puncta, inter quae linea non cadit.</s> <s xml:id="s1994" xml:space="preserve"> Quae omnia sunt omnino absurda.</s> <s xml:id="s1995" xml:space="preserve"> Quia vero potest ostendi <mml:math><mml:mi>ae</mml:mi></mml:math> quantitatem esse, ducta scilicet <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math> existenteque <mml:math><mml:mi>dbe</mml:mi></mml:math> angulo recto, erit <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math> maior <mml:math><mml:mi>db</mml:mi></mml:math>, hoc est maior <mml:math><mml:mi>da</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1996" xml:space="preserve"> Erit igitur <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math> <emph style="super">divisa in <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math>, eritque<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>ae</mml:mi></mml:math> pars ipsius <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s1997" xml:space="preserve"> Ac propterea <mml:math><mml:mi>ae</mml:mi></mml:math> quantitas est.</s> <s xml:id="s1998" xml:space="preserve"> Cum non sit possibile quantitatem dividere, cuius altera pars non sit quanta.</s> <s xml:id="s1999" xml:space="preserve"> Contrarium enim pronunciare ridiculum esset, et a communissimis principiis geometriae alienissimum.</s> <s xml:id="s2000" xml:space="preserve"> Itaque si <mml:math><mml:mi>ae</mml:mi></mml:math> quantitas est, erit et spatium, in quo allocata est, quantitas.</s> <s xml:id="s2001" xml:space="preserve"> Est autem in <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math> sita.</s> <s xml:id="s2002" xml:space="preserve"> Ergo angulus contactus est quantitas <emph style="super">ergo divisibilis<!--variant supralineam--></emph> quod ostendere oportebat.</s> <s xml:id="s2003" xml:space="preserve"> Ratio enim haec semper concludit, etsi <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math> propinquissima ipsi <mml:math><mml:mi>db</mml:mi></mml:math> ducta fuerit.</s> <s xml:id="s2004" xml:space="preserve"> Siquidem linea <mml:math><mml:mi>cb</mml:mi></mml:math> circulum non nisi in puncto <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math> contingit.</s> <s xml:id="s2005" xml:space="preserve"> Et sic ratio est efficax.</s> <s xml:id="s2006" xml:space="preserve"> Et hoc etiam si supponamus <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math> non esse quantitatem, cum sit <mml:math><mml:mi>ae</mml:mi></mml:math> quantitas, ut ostensum est, dabitur aliqua quantitas, ut <mml:math><mml:mi>ae</mml:mi></mml:math>, quae collocata erit in situ, ut <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math>, qui non erit quantitas.</s> <s xml:id="s2007" xml:space="preserve"> Hoc est erit quantum in non quanto.</s> <s xml:id="s2008" xml:space="preserve"> Quod est impossibile.</s> <s xml:id="s2009" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med121_2" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med121_2"/> </figure> <p> <s xml:id="s2010" xml:space="preserve"> Idem sequitur in angulis curvilineis contactuum <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math> harum duarum figurarum.</s> <s xml:id="s2011" xml:space="preserve"> Ut paucis mutatis, perspicuum est.</s> <s xml:id="s2012" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="122" file="0153" n="153"/> <p> <s xml:id="s2013" xml:space="preserve"> Circulum invenire duobus inaequalibus datis aequalem.</s> <s xml:id="s2014" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med122" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med122"/> </figure> <p> <s xml:id="s2015" xml:space="preserve"> Sint dati circuli, quorum diametri <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2016" xml:space="preserve"> Ipsique <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> perpendicularis ducatur <mml:math><mml:mi>ae</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2017" xml:space="preserve"> <emph style="super">Sitque <mml:math><mml:mi>ae</mml:mi></mml:math> aequalis <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s2018" xml:space="preserve"> Iungaturque <mml:math><mml:mi>eb</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2019" xml:space="preserve"> Quoniam enim ita se habent circuli ut diametrorum quadrata;</s> <s xml:id="s2020" xml:space="preserve"> erit quadratum ex <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> ad quadratum ex <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math>, hoc est ex <mml:math><mml:mi>ae</mml:mi></mml:math>, ut circulus <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> ad <emph style="super">circulum<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2021" xml:space="preserve"> Dictis vero quadratis aequale est quadratum ex <mml:math><mml:mi>eb</mml:mi></mml:math> circulus ergo cuius diameter <mml:math><mml:mi>eb</mml:mi></mml:math> erit circulis <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> simul sumptis aequalis.</s> <s xml:id="s2022" xml:space="preserve"> Quod invenire oportebat.</s> <s xml:id="s2023" xml:space="preserve"> </s> </p> </div> <div type="section" level="1" n="68"> <head xml:id="head68" xml:space="preserve"> Corollarium </head> <figure> <image file="med122_2" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med122_2"/> </figure> <p> <s xml:id="s2024" xml:space="preserve"> Hinc si tres fuerint dati circuli <mml:math><mml:mi>mno</mml:mi></mml:math>, quibus simul sumptis aequalem circulum oporteat invenire.</s> <s xml:id="s2025" xml:space="preserve"> Primum, ut iam dictum est, duobus tantum, puta <mml:math><mml:mi>mn</mml:mi></mml:math> inveniatur aequalis <mml:math><mml:mi>s</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2026" xml:space="preserve"> Similiter ipsis <mml:math><mml:mi>os</mml:mi></mml:math> aequalis fiat circulus <mml:math><mml:mi>t</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2027" xml:space="preserve"> Erit hic tribus <mml:math><mml:mi>mno</mml:mi></mml:math> simul sumptis aequalis.</s> <s xml:id="s2028" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s2029" xml:space="preserve"> Atque ita si quatuor dati fuerant.</s> <s xml:id="s2030" xml:space="preserve"> Et sic deinceps in pluribus.</s> <s xml:id="s2031" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="123" file="0154" n="154"/> <p> <s xml:id="s2032" xml:space="preserve"> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">aliquot verba</emph>Ultima<!--end variant delevit ante--> <reg norm="propositionis" type="context">propositio<!--variant correxitex --></reg> </s> <s xml:id="s2033" xml:space="preserve"> Federici Commandini De centro gravitatis solidorum, <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">quae</emph>ut<!--end variant delevit ante--> notavimus in ipso libro, falsa existit;</s> <s xml:id="s2034" xml:space="preserve"> hac ratione restitui poterit.</s> <s xml:id="s2035" xml:space="preserve"> <emph style="it">Et haec demonstratio est Christophori Clavii e societate Jesu<!--variant EDdiverso atramento--></emph> .</s> <s xml:id="s2036" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s2037" xml:space="preserve"> Cuiuslibet frusti a portione parabolici conoidis abscissi, centrum gravitatis est in axe, ita ut dempta primum a quadrato diametri maioris basis tertia ipsius parte, et a reliquo demptis quoque duabus <emph style="super">tertiis<!--variant supralineam--></emph> quadrati, quod fit ex diametro minoris basis:</s> <s xml:id="s2038" xml:space="preserve"> deinde a tertia parte quadrati diametri maioris basis versus dempta portionis quadam, ad quam reliquum quadrati diametri basis maioris (reliquum appello, quod remansit post detractionem duarum tertiarum quadrati minoris basis ex duabus tertiis quadrati basis maioris) una cum dicta portione, duplicatam proportionem habeat eius, quae est quadrati diametri basis maioris ad quadratum diametri basis minoris, et rursus ab hoc eodem reliquo una cum dicta portione, sublata reliqua parte tertia quadrati diametri minoris basis, centrum erit in eo axis puncto, quo ita dividitur, ut pars, quae minorem basim attingit, ad alteram partem habeat proportionem eandem, quam habet id, quod ultimo relictum est, quando tertia pars quadrati basis minoris dempta fuit a reliquo quadrati diametri maioris basis, una cum dicta illa portione tertiae partis quadrati diametri maioris basis ad reliquam eiusdem tertiae partis portionem.</s> <s xml:id="s2039" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med123" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med123"/> </figure> <p> <s xml:id="s2040" xml:space="preserve"> Sit frustum a portione conoidis parabolici abscissum <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math>, cuius maior basis circulus, vel ellipsis diametri <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2041" xml:space="preserve"> Minor vero diametri <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2042" xml:space="preserve"> Et axis <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2043" xml:space="preserve"> Perficiatur autem tota portio conoidis <mml:math><mml:mi>agd</mml:mi></mml:math>, a qua dictum frustum est abscissum.</s> <s xml:id="s2044" xml:space="preserve"> Et secetur plano per axem <mml:math><mml:mi>gf</mml:mi></mml:math>, ut fiat <anchor type="note" xlink:label="note-0154-01a" xlink:href="note-0154-01"/> parabole <mml:math><mml:mi>agd</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s2045" xml:space="preserve"> cuius diameter <mml:math><mml:mi>gf</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2046" xml:space="preserve"> Deinde divisis rectis <mml:math><mml:mi>gf</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>ge</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>hi</mml:mi></mml:math>, ita ut <mml:math><mml:mi>gh</mml:mi></mml:math> ipsius <mml:math><mml:mi>hfi</mml:mi></mml:math> et <mml:math><mml:mi>gi</mml:mi></mml:math> ipsius <mml:math><mml:mi>ie</mml:mi></mml:math> sit dupla, erit <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math> <anchor type="note" xlink:label="note-0154-02a" xlink:href="note-0154-02"/> centrum gravitatis portionis conoidis <mml:math><mml:mi>agd</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s2047" xml:space="preserve"> et <mml:math><mml:mi>i</mml:mi></mml:math> portionis <mml:math><mml:mi>bgc</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2048" xml:space="preserve"> Quod si fiat, ut portio <mml:math><mml:mi>agd</mml:mi></mml:math> ad portionem <mml:math><mml:mi>bgc</mml:mi></mml:math>, ita recta <mml:math><mml:mi>ik</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>hk</mml:mi></mml:math>, erit dividendo, ut frustum <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> ad portionem <mml:math><mml:mi>bgc</mml:mi></mml:math>, ita <mml:math><mml:mi>ih</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>hk</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2049" xml:space="preserve"> Et convertendo, ut portio <mml:math><mml:mi>bgc</mml:mi></mml:math> ad frustum <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math>, ita <mml:math><mml:mi>hk</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>hi</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2050" xml:space="preserve"> Quare erit punctum <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math> <anchor type="note" xlink:label="note-0154-03a" xlink:href="note-0154-03"/> centrum gravitatis frusti <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2051" xml:space="preserve"> Eritque <mml:math><mml:mi>ik</mml:mi></mml:math> maior, quam <mml:math><mml:mi>ih</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2052" xml:space="preserve"> Quandoquidem et portio <mml:math><mml:mi>agd</mml:mi></mml:math> maior est frusto <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2053" xml:space="preserve"> <anchor type="note" xlink:label="note-0154-04a" xlink:href="note-0154-04"/> .</s> <s xml:id="s2054" xml:space="preserve"> Erit per conversionem rationis, ut portio <mml:math><mml:mi>agd</mml:mi></mml:math> ad frustum <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math>, ita <mml:math><mml:mi>ik</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ih</mml:mi></mml:math>, ideoque punctum <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math> infra <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math> cadet.</s> <s xml:id="s2055" xml:space="preserve"> Dematur a quadrato rectae <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math> pars tertia.</s> <s xml:id="s2056" xml:space="preserve"> Quae sit <mml:math><mml:mi>lmn</mml:mi></mml:math>, et a reliquis duabus tertiis auferantur duae tertiae quadrati rectae <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2057" xml:space="preserve"> Sitque reliquum spatium <mml:math><mml:mi>o</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2058" xml:space="preserve"> Deinde ex <mml:math><mml:mi>lmn</mml:mi></mml:math> auferatur portio <mml:math><mml:mi>mn</mml:mi></mml:math>, ita ut <mml:math><mml:mi>o</mml:mi></mml:math> una cum <mml:math><mml:mi>mn</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>mn</mml:mi></mml:math> duplicatam proportionem habeat eius, quam habet quadratum <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math> ad quadratum <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2059" xml:space="preserve"> Rursus ex <mml:math><mml:mi>o</mml:mi></mml:math> una cum <mml:math><mml:mi>mn</mml:mi></mml:math> subtrahatur <emph style="super">tertia<!--variant supralineam--></emph> pars quadrati rectae <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math>, sitque reliquum spatium <mml:math><mml:mi>p</mml:mi></mml:math> (est enim spatium <mml:math><mml:mi>o</mml:mi></mml:math> una cum <mml:math><mml:mi>mn</mml:mi></mml:math> maius, quam tertia pars quadrati <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> ut infra ostendetur).</s> <s xml:id="s2060" xml:space="preserve"> Dico axem <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> a <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math> centro gravitatis <pb o="124" file="0155" n="155"/> frusti <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> ita dividi, ut <mml:math><mml:mi>ek</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>kf</mml:mi></mml:math> eandem proportionem habeat, quam habet spatium <mml:math><mml:mi>p</mml:mi></mml:math> <emph style="super">ultimo relictum<!--variant supralineam--></emph> ad <mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math> reliquam portionem tertiae partis quadrati <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2061" xml:space="preserve"> Quoniam enim <anchor type="note" xlink:label="note-0155-01a" xlink:href="note-0155-01"/> quadratum <mml:math><mml:mi>af</mml:mi></mml:math> ad quadratum <mml:math><mml:mi>be</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s2062" xml:space="preserve"> hoc est quadratum <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math> ad quadratum <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math>, (cum haec illorum sint quadrupla) est, ut <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ge</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s2063" xml:space="preserve"> erit quoque tertia pars quadrati <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math> ad tertiam partem quadrati <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>hf</mml:mi></mml:math> tertia pars <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ie</mml:mi></mml:math> tertiam partem <mml:math><mml:mi>ge</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2064" xml:space="preserve"> Et reliquae duae tertiae quadrati <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math> ad reliquas duas tertias quadrati <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math>, ut reliqua <mml:math><mml:mi>gh</mml:mi></mml:math> ad reliquam <mml:math><mml:mi>gi</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2065" xml:space="preserve"> Si igitur duae tertiae quadrati rectae <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> ex duabus tertiis quadrati <mml:math><mml:mi>ed</mml:mi></mml:math> demantur erit dividendo reliquum spatium <mml:math><mml:mi>o</mml:mi></mml:math> ad easdem duas tertias quadrati rectae <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>ih</mml:mi></mml:math> ad eandem <mml:math><mml:mi>gi</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2066" xml:space="preserve"> Relictum enim fuit spatium <mml:math><mml:mi>o</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2067" xml:space="preserve"> Detractis duabus tertiis quadrati <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> a duabus tertiis quadrati <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2068" xml:space="preserve"> Quia vero duae tertiae quadrati <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math> ad duas tertias quadrati <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> sunt, ut <mml:math><mml:mi>gh</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>gi</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s2069" xml:space="preserve"> erunt convertendo duae tertiae quadrati <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> ad duas tertias quadrati <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>gi</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>gh</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2070" xml:space="preserve"> Et rursus duae tertiae quadrati <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math> <emph style="super">ad<!--variant supralineam--></emph> tertiam eiusdem quadrati partem, nempe ad <mml:math><mml:mi>lmn</mml:mi></mml:math>, sunt, ut <mml:math><mml:mi>gh</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>hf</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2071" xml:space="preserve"> Utrobique enim est dupla proportio.</s> <s xml:id="s2072" xml:space="preserve"> Erit ex aequali spatium <mml:math><mml:mi>o</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>lmn</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>ih</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>hf</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2073" xml:space="preserve"> Et convertendo <mml:math><mml:mi>lmn</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>o</mml:mi></mml:math> ita erit, ut <mml:math><mml:mi>hf</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>hi</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2074" xml:space="preserve"> Quoniam autem spatium <mml:math><mml:mi>o</mml:mi></mml:math>, una cum <mml:math><mml:mi>mn</mml:mi></mml:math> ponitur habere ad <mml:math><mml:mi>mn</mml:mi></mml:math> proportionem duplicatam eius, quam habet quadratum <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math> ad quadratum <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2075" xml:space="preserve"> Habet autem, et portio conoidis <mml:math><mml:mi>agd</mml:mi></mml:math> ad portionem conoidis <mml:math><mml:mi>bgc</mml:mi></mml:math> <anchor type="note" xlink:label="note-0155-02a" xlink:href="note-0155-02"/> proportionem duplicatam eiusdem proportionis quadrati <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math> ad quadratum <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2076" xml:space="preserve"> Et ut portio <mml:math><mml:mi>agd</mml:mi></mml:math> ad portionem <mml:math><mml:mi>bgc</mml:mi></mml:math>, ita posita est <mml:math><mml:mi>ik</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>hk</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2077" xml:space="preserve"> Erit quoque <mml:math><mml:mi>o</mml:mi></mml:math> una cum <mml:math><mml:mi>mn</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>mn</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>ik</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>hk</mml:mi></mml:math>, et dividendo spatium <mml:math><mml:mi>o</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>mn</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>ih</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>hk</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2078" xml:space="preserve"> Itaque quoniam est <mml:math><mml:mi>lmn</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>o</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>hf</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ih</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2079" xml:space="preserve"> Et rursus ex proxime demonstratis <mml:math><mml:mi>o</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>mn</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>ih</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>hk</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s2080" xml:space="preserve"> erit ex aequo <mml:math><mml:mi>lmn</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>mn</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>hf</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>hk</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2081" xml:space="preserve"> Per conversionem ergo rationis, erit quoque <mml:math><mml:mi>lmn</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>hf</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>kf</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2082" xml:space="preserve"> Et dividendo <mml:math><mml:mi>mn</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>hk</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>kf</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2083" xml:space="preserve"> Quoniam igitur est <mml:math><mml:mi>o</mml:mi></mml:math> una cum <mml:math><mml:mi>mn</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>mn</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>ik</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>hk</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>mn</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math> est, ut <mml:math><mml:mi>hk</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>kf</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s2084" xml:space="preserve"> erit ex aequali <mml:math><mml:mi>o</mml:mi></mml:math> una cum <mml:math><mml:mi>mn</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>ik</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>kf</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2085" xml:space="preserve"> Rursus quia est quadratum <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> ad quadratum <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>ge</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>gf</mml:mi></mml:math>, erit quoque tertia pars quadrati <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> ad tertiam partem quadrati <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math>, hoc est ad <mml:math><mml:mi>lmn</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>ie</mml:mi></mml:math> tertia pars ipsius <mml:math><mml:mi>ge</mml:mi></mml:math>, ad <mml:math><mml:mi>hf</mml:mi></mml:math> tertiam ipsius <mml:math><mml:mi>gf</mml:mi></mml:math>, <anchor type="note" xlink:label="note-0155-03a" xlink:href="note-0155-03"/> .</s> <s xml:id="s2086" xml:space="preserve"> Ut vero tertia pars quadrati <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math>, nempe spatium <mml:math><mml:mi>lmn</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math>, ita ostensa est <mml:math><mml:mi>hf</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>kf</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2087" xml:space="preserve"> Ex aequali igitur erit tertia pars quadrati <mml:math><mml:mi>be </mml:mi></mml:math>ad <mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>ie</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>kf</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2088" xml:space="preserve"> Itaque quoniam est <mml:math><mml:mi>o</mml:mi></mml:math> una cum <mml:math><mml:mi>mn</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>ik</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>kf</mml:mi></mml:math>, atque tertia pars quadrati <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> ad idem spatium <mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math> est, ut <mml:math><mml:mi>ie</mml:mi></mml:math> ad eandem <mml:math><mml:mi>kf</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2089" xml:space="preserve"> Si igitur tertia pars quadrati <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> dematur ex <mml:math><mml:mi>o</mml:mi></mml:math> una cum <mml:math><mml:mi>mn</mml:mi></mml:math>, quod quidem fuit <mml:math><mml:mi>p</mml:mi></mml:math>, similiter recta <mml:math><mml:mi>ie</mml:mi></mml:math> ex <mml:math><mml:mi>ik</mml:mi></mml:math> remanebitque <mml:math><mml:mi>ek</mml:mi></mml:math>, erit spatium <mml:math><mml:mi>p</mml:mi></mml:math> ad idem spatium <mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math>, nempe ad reliquam portionem tertiae partis quadrati <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s2090" xml:space="preserve"> ut reliqua <mml:math><mml:mi>ek</mml:mi></mml:math> ad eandem <mml:math><mml:mi>kf</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2091" xml:space="preserve"> At adeo axis <pb o="125" file="0156" n="156"/> <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> a centro gravitatis <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math> frusti <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> dividitur ita, ut <mml:math><mml:mi>ek</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>kf</mml:mi></mml:math> eam habeat proportionem, quam <mml:math><mml:mi>p</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2092" xml:space="preserve"> Cuiuslibet ergo frusti a portione parabolici conoidis abscissi, centrum gravitatis et caetera.</s> <s xml:id="s2093" xml:space="preserve"> Quod demonstrare oportebat.</s> <s xml:id="s2094" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="1"> <note position="left" xlink:label="note-0154-01" xlink:href="note-0154-01a" xml:space="preserve"> 12 Archimedis de conoidibus et spheroidibus<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0154-02" xlink:href="note-0154-02a" xml:space="preserve"> 29 Federici Commandini De centro gravitatis solidorum<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0154-03" xlink:href="note-0154-03a" xml:space="preserve"> 8 primi Archimedis aequeponderantium<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0154-04" xlink:href="note-0154-04a" xml:space="preserve"> Cumque sit <mml:math><mml:mi>agd</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>bgc</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>ik</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>kh</mml:mi></mml:math><!--variant signopositoinmargine--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0155-01" xlink:href="note-0155-01a" xml:space="preserve"> 20 primi conicorum Apollonii<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0155-02" xlink:href="note-0155-02a" xml:space="preserve"> 30 Federici Commandini De centro gravitatis solidorum<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0155-03" xlink:href="note-0155-03a" xml:space="preserve"> 20 primi Conicorum Apollonii </note> </div> <figure> <image file="med123" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med123"/> </figure> <p> <s xml:id="s2095" xml:space="preserve"> Quod autem (ut suppositum fuit) spatium <mml:math><mml:mi>o</mml:mi></mml:math> una cum <mml:math><mml:mi>mn</mml:mi></mml:math>, maius sit, quam tertia pars quadrati <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math>, ac perinde haec ab illo possit subtrahi, ita ostendemus.</s> <s xml:id="s2096" xml:space="preserve"> Primum quidem eodem modo ostendetur spatium <mml:math><mml:mi>o</mml:mi></mml:math> una cum <mml:math><mml:mi>mn</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math> ita esse ut <mml:math><mml:mi>ik</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>kf</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2097" xml:space="preserve"> Est autem <anchor type="note" xlink:label="note-0156-01a" xlink:href="note-0156-01"/> proportio <mml:math><mml:mi>ik</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>kf</mml:mi></mml:math> maior, quam proportio <mml:math><mml:mi>ie</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>kf</mml:mi></mml:math>, propterea quod <mml:math><mml:mi>ik</mml:mi></mml:math> maior est <mml:math><mml:mi>ie</mml:mi></mml:math>, cum punctum <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math> cadat infra <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2098" xml:space="preserve"> Quod <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math> sit centrum gravitatis frusti <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2099" xml:space="preserve"> Quare et proportio ipsius <mml:math><mml:mi>o</mml:mi></mml:math> una cum <mml:math><mml:mi>mn</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math> maior erit, quam proportio <mml:math><mml:mi>ie</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>kf</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2100" xml:space="preserve"> Est autem ut <mml:math><mml:mi>ie</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>kf</mml:mi></mml:math>, ita tertia pars quadrati <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2101" xml:space="preserve"> Maior igitur quoque erit proportio <mml:math><mml:mi>o</mml:mi></mml:math>, una cum <mml:math><mml:mi>mn</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math>, quam tertiae partis quadrati <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2102" xml:space="preserve"> Quare spatium <mml:math><mml:mi>o</mml:mi></mml:math> una cum <mml:math><mml:mi>mn</mml:mi></mml:math> maius est, quam tertia pars quadrati <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2103" xml:space="preserve"> Quod est propositum.</s> <s xml:id="s2104" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="2"> <note position="left" xlink:label="note-0156-01" xlink:href="note-0156-01a" xml:space="preserve"> 8 quinti<!--citmargsign--> </note> </div> </div> <div type="section" level="1" n="69"> <head xml:id="head69" xml:space="preserve"> <pb o="126" file="0157" n="157"/> De Usu Astrolabii Ptolemei </head> <p> <s xml:id="s2105" xml:space="preserve"> Si horas ab occasu scire voluerimus.</s> <s xml:id="s2106" xml:space="preserve"> Ponatur gradus solis in rete notatur in horizonte occiduo, quo manente ponatur Almuri super hora 12.</s> <s xml:id="s2107" xml:space="preserve"> Deinde Almuri cum rete hac dispositione voluantur;</s> <s xml:id="s2108" xml:space="preserve"> donec gradus solis perveniat in circulum altitudinis i Almicantarath ex parte orientis, vel occidentis secundum altitudinem inventam in dorso Astrolabii.</s> <s xml:id="s2109" xml:space="preserve"> Almurique in limbo determinatam signatamque horam ostendet.</s> <s xml:id="s2110" xml:space="preserve"> Quae si 12 excesserit (cum horae ab occasu ad 24 terminum recipiant) facile erit primam in limbo signatam per 13a, secundam per 14a et caetera accipere.</s> <s xml:id="s2111" xml:space="preserve"> Haecque regula multis huiusmodi aliis deserviet.</s> <s xml:id="s2112" xml:space="preserve"> Nonnullasque speculationes circa horas, temporaque cognoscenda;</s> <s xml:id="s2113" xml:space="preserve"> quas Stoflerinus absolvit in limbo, gradus nempe ipsius limbi <emph style="super">inter<!--variant supralineam--></emph> duas Almuri stationes numerando, ut tempus quaesitum inveniat;</s> <s xml:id="s2114" xml:space="preserve"> nos facilius, primam Almuri stationem in 12 hora collocando, hac ratione assequemur.</s> <s xml:id="s2115" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s2116" xml:space="preserve"> In dorso Astrolabii utile erit, si in altera tamen quarta a summitate horizontem versus numerorum series progrediatur ut statim etiam in observationibus distantiae solis, atque stellarum a Zenit perspiciantur.</s> <s xml:id="s2117" xml:space="preserve"> In invenienda enim poli altitudine, cognita solis, aut stellae a Zenit distantia tempore meridiano;</s> <s xml:id="s2118" xml:space="preserve"> huicque (nobis sub artico polo vitam degentibus) ipsius solis <emph style="super">aut stellae<!--variant supralineam--></emph> declinatio, si septentrionalis fuerit, addatur, si vero Australis dematur;</s> <s xml:id="s2119" xml:space="preserve"> quodque pervenit, erit loci latitudo quaesita, quippe quae semper poli altitudini est aequalis.</s> <s xml:id="s2120" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="127" file="0158" n="158"/> <p> <s xml:id="s2121" xml:space="preserve"> Ex horologio horizontali quodlibet verticale describere.</s> <s xml:id="s2122" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s2123" xml:space="preserve"> Sit <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math> centrum mundi.</s> <s xml:id="s2124" xml:space="preserve"> Sitque <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> linea horaria horologii horizonti aequidistantis.</s> <s xml:id="s2125" xml:space="preserve"> Cuius quidem gnomon sit <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2126" xml:space="preserve"> <mml:math><mml:mi>ed</mml:mi></mml:math> vero sit <anchor type="note" xlink:label="note-0158-01a" xlink:href="note-0158-01"/> horologii ad horizontem erecti.</s> <s xml:id="s2127" xml:space="preserve"> Eruntque utique haec horologia invicem ad rectos angulos.</s> <s xml:id="s2128" xml:space="preserve"> Ducatur <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> aequalis, et aequidistans <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2129" xml:space="preserve"> Iunctaque <mml:math><mml:mi>cf</mml:mi></mml:math> erit ipsi <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math> aequalis, et aequidistans.</s> <s xml:id="s2130" xml:space="preserve"> Ac propterea parieti perpendicularis.</s> <s xml:id="s2131" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="1"> <note position="left" xlink:label="note-0158-01" xlink:href="note-0158-01a" xml:space="preserve"> gnomon<!--variant signopositoinmargine--> </note> </div> <figure> <image file="med127" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med127"/> </figure> <p> <s xml:id="s2132" xml:space="preserve"> Deinde a puncto <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math> horizonti aequidistans linea ducatur <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s2133" xml:space="preserve"> quae erit communis sectio planorum horologiorum.</s> <s xml:id="s2134" xml:space="preserve"> Ducaturque <mml:math><mml:mi>cbg</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2135" xml:space="preserve"> Deinde in pariete ipsi <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> perpendicularis ducatur <mml:math><mml:mi>gh</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2136" xml:space="preserve"> Postea ducatur <mml:math><mml:mi>bk</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>cf</mml:mi></mml:math> aequidistans, ducaturque <mml:math><mml:mi>ekh</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2137" xml:space="preserve"> Ostendendum est, horam puncti <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math> in pariete in <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math> existere.</s> <s xml:id="s2138" xml:space="preserve"> Quod patebit ostendendo lineas <mml:math><mml:mi>ekhdbh</mml:mi></mml:math> lineam <mml:math><mml:mi>gh</mml:mi></mml:math> in puncto <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math> secare.</s> <s xml:id="s2139" xml:space="preserve"> Primum enim quoniam <mml:math><mml:mi>dbh</mml:mi></mml:math> est radius solis horam terminans in pariete, lineaque <mml:math><mml:mi>he</mml:mi></mml:math> umbram gnomonis <mml:math><mml:mi>ed</mml:mi></mml:math> in pariete repraesentat;</s> <s xml:id="s2140" xml:space="preserve"> estque triangulum <mml:math><mml:mi>dhe</mml:mi></mml:math>, et punctum <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math> in uno, et eodem plano;</s> <s xml:id="s2141" xml:space="preserve"> ducta igitur a puncto <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math> aequidistans, erit in plano <mml:math><mml:mi>deh</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2142" xml:space="preserve"> Haec vero est <mml:math><mml:mi>bk</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2143" xml:space="preserve"> Ergo ducta <mml:math><mml:mi>bk</mml:mi></mml:math>, ductaque <mml:math><mml:mi>ekh</mml:mi></mml:math>, secabit haec lineam <mml:math><mml:mi>gh</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2144" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s2145" xml:space="preserve"> Quod autem punctum <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math> cadat in linea <mml:math><mml:mi>gh</mml:mi></mml:math> ostensum est supra, in pagina 2, 3, 4.</s> <s xml:id="s2146" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="128" file="0159" n="159"/> <p> <s xml:id="s2147" xml:space="preserve"> Quo ad <emph style="super">praxim<!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">aliquot literas</emph>vero<!--end variant delevit ante--> .</s> <s xml:id="s2148" xml:space="preserve"> Ducatur linea <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> quae sit secundum situm parietis, in quo conficiendum est horologium, quae quidem linea ita ut distans a puncto <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math>, ut ducta <mml:math><mml:mi>cf</mml:mi></mml:math> ipsi perpendicularis, sit aequalis longitudini gnomonis.</s> <s xml:id="s2149" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med128" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med128"/> </figure> <p> <s xml:id="s2150" xml:space="preserve"> Producaturque <mml:math><mml:mi>cf</mml:mi></mml:math>, fiatque <mml:math><mml:mi>fe</mml:mi></mml:math> aequalis <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math>, nimirum gnomoni horologii horizontalis.</s> <s xml:id="s2151" xml:space="preserve"> Deinde ducatur <mml:math><mml:mi>cbg</mml:mi></mml:math>, ipsique <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> perpendicularis ducatur <mml:math><mml:mi>gh</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2152" xml:space="preserve"> Deinceps ducatur <mml:math><mml:mi>bk</mml:mi></mml:math> aequidistans <mml:math><mml:mi>cf</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2153" xml:space="preserve"> Ducaturque <mml:math><mml:mi>ekh</mml:mi></mml:math>, erit <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math> punctum horae quaesitum in pariete, posito nempe gnomone in <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math> ad parietem perpendiculari, cuius longitudo sit <mml:math><mml:mi>cf</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2154" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s2155" xml:space="preserve"> Il Clavio a carta 568 et caetera assegna un'altro modo.</s> <s xml:id="s2156" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med128_2" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med128_2"/> </figure> <pb file="0160" n="160"/> <pb o="129" file="0161" n="161"/> </div> <div type="section" level="1" n="70"> <head xml:id="head70" xml:space="preserve">De Horologgis Italicis conficiendis absque divisione tropicorum </head> <head xml:id="head71" xml:space="preserve"> Lemma </head> <figure> <image file="med129" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med129"/> </figure> <p> <s xml:id="s2157" xml:space="preserve"> Circuli in eodem plano minime existentes (quorum centra <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math>) se invicem contingant in <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math>, quorum sit communis sectio <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2158" xml:space="preserve"> Dico lineam <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math> ductis <mml:math><mml:mi>accb</mml:mi></mml:math> perpendicularem esse.</s> <s xml:id="s2159" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s2160" xml:space="preserve"> Primum quidem perspicuum est <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math> per <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> transire;</s> <s xml:id="s2161" xml:space="preserve"> cum sit <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> in utroque plano.</s> <s xml:id="s2162" xml:space="preserve"> Ex quo sequitur <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math> circulos contingere ac propterea ipsis <mml:math><mml:mi>accb</mml:mi></mml:math> perpendicularem esse.</s> <s xml:id="s2163" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med129_2" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med129_2"/> </figure> <p> <s xml:id="s2164" xml:space="preserve"> Sit in sphaera <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math>, horizon <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math>, aequinoctialis <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2165" xml:space="preserve"> Parallelusque apparentium maximus sit <mml:math><mml:mi>cb</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2166" xml:space="preserve"> Iam constat horizontem <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> circulum esse horarium, ipsumque <mml:math><mml:mi>cb</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math> contingere.</s> <s xml:id="s2167" xml:space="preserve"> Et quoniam horarii circuli (nunc de horis italicis sermo est) similes auferunt circumferentias parallelorum, cum paralleli in 24 partes ab ipsis divisi perveniant aequales:</s> <s xml:id="s2168" xml:space="preserve"> ex 16 secundi sphaericorum Theodosii si omnes horarii circuli circulum <mml:math><mml:mi>cb</mml:mi></mml:math> contingent.</s> <s xml:id="s2169" xml:space="preserve"> Quare ipsum in 24 partes aequales dispescent.</s> <s xml:id="s2170" xml:space="preserve"> Horariusque 12ae ipsum <emph style="super">contingat<!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">aliquot literas</emph>in<!--end variant delevit ante--> <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math>, cuius quidem umbra posito gnomone <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> erit in <mml:math><mml:mi>m</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2171" xml:space="preserve"> Quod si intelligatur <mml:math><mml:mi>kl</mml:mi></mml:math> <emph style="super">communis sectio<!--variant supralineam--></emph> plani horologii, et circuli <mml:math><mml:mi>cb</mml:mi></mml:math>, in quo iungatur <mml:math><mml:mi>r23</mml:mi></mml:math>, cui perpendicularis ducatur <mml:math><mml:mi>23l</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2172" xml:space="preserve"> Erit haec in plano horarii 23ae horae.</s> <s xml:id="s2173" xml:space="preserve"> Ac per consequens, punctum <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math> in plano horologii in linea horaria existet.</s> <s xml:id="s2174" xml:space="preserve"> <emph style="super">Ex his, et ex 15 secundi sphaericorum Theodosii patet, horarios circulos in sphaera maximos esse<!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s2175" xml:space="preserve"> Facto igitur (ut in sequenti figura) in plano circulo <mml:math><mml:mi>cb</mml:mi></mml:math> qui in 24 partes aequales ex <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math> dividatur intelligaturque <mml:math><mml:mi>kl</mml:mi></mml:math> communis sectio plani circuli <mml:math><mml:mi>cb</mml:mi></mml:math>, et horologii, deinde iungatur <mml:math><mml:mi>r23</mml:mi></mml:math>, cui perpendicularis ducatur <mml:math><mml:mi>23l</mml:mi></mml:math>, erit haec ex dictis perinde ac si esset communis sectio circuli <mml:math><mml:mi>cb</mml:mi></mml:math>, et horarii 23ae horae.</s> <s xml:id="s2176" xml:space="preserve"> Punctum ergo <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math> in plano horologii est in linea horaria 23ae horae.</s> <s xml:id="s2177" xml:space="preserve"> Divisa itaque linea <mml:math><mml:mi>ho</mml:mi></mml:math>, aequinoctialis scilicet, ut fieri solet <emph style="super">vel187<!--variant supralineam--></emph> ut ostendetur 187.</s> <s xml:id="s2178" xml:space="preserve"> Sitque <mml:math><mml:mi>o</mml:mi></mml:math> 23a hora.</s> <s xml:id="s2179" xml:space="preserve"> Iungaturque <mml:math><mml:mi>lo</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2180" xml:space="preserve"> Erit haec linea horaria 23 horae quod idem fiat in reliquis.</s> <s xml:id="s2181" xml:space="preserve"> Ex quo statim apparet horariam 12ae <mml:math><mml:mi>hp</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>ho</mml:mi></mml:math> aequidistantem esse.</s> <s xml:id="s2182" xml:space="preserve"> Quia circulus horarius tangit circulum <mml:math><mml:mi>cb</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2183" xml:space="preserve"> Ut autem omnes horariae lineae ducantur, notandum est, quod <emph style="super">quamvis<!--variant supralineam--></emph> circuli horarii sint 24, horarius tunc 12ae transit per 24am aequinoctialis quemadmodum horarius 13ae transit etiam per primam <emph style="super">aequinoctialis<!--variant supralineam--></emph> et horarius 2ae etiam per 14am <emph style="super">aequinoctialis<!--variant supralineam--></emph> , et ita aliis, ut (3 per 15) 4 per 16) (5 per 17) 6 per 18) 7 per 19) 8 per 20) 9 per 21) 10 per 22) 11 per 23) 12 per 24) quare iungatur 9, quae cadit in <mml:math><mml:mi>kl</mml:mi></mml:math> cum 21 aequinoctialis <mml:math><mml:mi>ho</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2184" xml:space="preserve"> Statimque consurget horaria horae 9ae et ita in aliis.</s> <s xml:id="s2185" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="130" file="0162" n="162"/> <figure> <image file="med130" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med130"/> </figure> <p> <s xml:id="s2186" xml:space="preserve"> Quamvis horariae lineae sint satis per complemento horologii, tamen ut inveniantur termini tropicorum, ut fieri solet, sint dati termini tropicorum 23ae horae (quos invenire docebimus) deinde sint divisae in aequinoctiali <mml:math><mml:mi>ho</mml:mi></mml:math> horarum medietates.</s> <s xml:id="s2187" xml:space="preserve"> Ut inter 22, et 23 <mml:math><mml:mi>r</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2188" xml:space="preserve"> Ducanturque per 23 et <mml:math><mml:mi>r</mml:mi></mml:math> lineae hae enim terminabunt horas <mml:math><mml:mi>22</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2189" xml:space="preserve"> Et ita in aliis.</s> <s xml:id="s2190" xml:space="preserve"> Nam circulus per 23 cancri, et 22 capricorni transiens per mediam aequinoctialis horam inter 22 et 23 existentem transibit.</s> <s xml:id="s2191" xml:space="preserve"> Vel per eosdem terminos 23 et per <mml:math><mml:mi>r</mml:mi></mml:math>, deinde per 22 aequinoctialis, postea per huius medietatem, et sic deinceps, omnes alii horarum termini invenientur.</s> <s xml:id="s2192" xml:space="preserve"> Cuius quidem ideo est, quia circulus per 23 capricorni et 21 cancri transiens necessario per 22 aequinoctialis pertransit.</s> <s xml:id="s2193" xml:space="preserve"> Et quae per 23 capricorni et 20 cancri, per aequinoctialis punctum medium inter 21 et 22 existentem pertransit.</s> <s xml:id="s2194" xml:space="preserve"> Similiterque in aliis.</s> <s xml:id="s2195" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="131" file="0163" n="163"/> <figure> <image file="med131" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med131"/> </figure> <p> <s xml:id="s2196" xml:space="preserve"> Ut autem inveniantur termini horarum 23, sit gnomon <mml:math><mml:mi>gf</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2197" xml:space="preserve"> Linea vero <mml:math><mml:mi>lo</mml:mi></mml:math> sit horaria 23ae ut in praecedenti.</s> <s xml:id="s2198" xml:space="preserve"> Punctumque <mml:math><mml:mi>o</mml:mi></mml:math> aequinoctialis.</s> <s xml:id="s2199" xml:space="preserve"> Ducatur per verticem <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math> linea <mml:math><mml:mi>ofx</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2200" xml:space="preserve"> Sitque horarius horarum 23 <mml:math><mml:mi>qxp</mml:mi></mml:math>:</s> <s xml:id="s2201" xml:space="preserve"> qui in eodem est plano cum <mml:math><mml:mi>lo</mml:mi></mml:math>, in quo quando sol est in Cancro sit in <mml:math><mml:mi>q</mml:mi></mml:math>, in Capricorno autem in <mml:math><mml:mi>p</mml:mi></mml:math> in aequinoctiali vero erit in <mml:math><mml:mi>x</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2202" xml:space="preserve"> Eruntque circumferentiae <mml:math><mml:mi>xqxp</mml:mi></mml:math> latitudines horizontales.</s> <s xml:id="s2203" xml:space="preserve"> Horarii enim circuli tot sunt horizontes, eodemque prorsus modo a tropicis et aequinoctiali divisi perveniunt, ut horizon ipse <emph style="super">qui cum sint circuli maximi, patet ex 13 sphericorum Theodosi<!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s2204" xml:space="preserve"> Cognitis ergo tropicorum latitudinibus horizontalibus, datae quoque erunt <mml:math><mml:mi>xqxp</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2205" xml:space="preserve"> Quod idem fiet in aliis parallelis, ductae igitur <mml:math><mml:mi>qftpfs</mml:mi></mml:math>, erunt <mml:math><mml:mi>st</mml:mi></mml:math> puncta horarum <mml:math><mml:mi>23</mml:mi></mml:math> tropicorum.</s> <s xml:id="s2206" xml:space="preserve"> Quod ut inveniantur in eodem plano.</s> <s xml:id="s2207" xml:space="preserve"> Summatur in linea horaria quodvis punctum <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2208" xml:space="preserve"> Iungantur <mml:math><mml:mi>goglfl</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2209" xml:space="preserve"> Et quoniam angulus <mml:math><mml:mi>fgo</mml:mi></mml:math> est rectus, lineaeque <mml:math><mml:mi>fggo</mml:mi></mml:math> <emph style="super">ex praecedenti figura<!--variant supralineam--></emph> datae;</s> <s xml:id="s2210" xml:space="preserve"> erit et <mml:math><mml:mi>fo</mml:mi></mml:math> data.</s> <s xml:id="s2211" xml:space="preserve"> Similiter <mml:math><mml:mi>fgl</mml:mi></mml:math> est rectus, dataeque sunt <mml:math><mml:mi>fggl</mml:mi></mml:math>, data quoque erit <mml:math><mml:mi>fl</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2212" xml:space="preserve"> Tres igitur datae sun <mml:math><mml:mi>flfool</mml:mi></mml:math>, quae sunt in plano circuli horarii <mml:math><mml:mi>qxp</mml:mi></mml:math> 23 horae.</s> <s xml:id="s2213" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med131_2" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med131_2"/> </figure> <pb o="132" file="0164" n="164"/> <figure> <image file="med132" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med132"/> </figure> <p> <s xml:id="s2214" xml:space="preserve"> Fiant igitur duo triangula rectangula <mml:math><mml:mi>fgofgl</mml:mi></mml:math>, fiantque <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> aequales altitudini gnomonis <mml:math><mml:mi>go</mml:mi></mml:math> vero et <mml:math><mml:mi>gl</mml:mi></mml:math> eliciantur ex figura 130 in qua punctatim ductae sunt.</s> <s xml:id="s2215" xml:space="preserve"> Deinde ex duabus <mml:math><mml:mi>fofb</mml:mi></mml:math> <emph style="super">triangulorum<!--variant supralineam--></emph> huius figurae, et ex <mml:math><mml:mi>lo</mml:mi></mml:math> illius figurae <emph style="super">(130)<!--variant supralineam--></emph> construatur triangulum <mml:math><mml:mi>flo</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2216" xml:space="preserve"> Producaturque <mml:math><mml:mi>ofx</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2217" xml:space="preserve"> Et centro <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math>, quolibetque intervallo circulus describatur <mml:math><mml:mi>qxp</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2218" xml:space="preserve"> Deinde (ex amplitudinem ortuum, ut supra in 100 huius diximus) inveniantur tropicorum latitudines horizontales <mml:math><mml:mi>xqxp</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2219" xml:space="preserve"> Ducanturque <mml:math><mml:mi>qftpfs</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2220" xml:space="preserve"> Erunt <mml:math><mml:mi>st</mml:mi></mml:math> terminorum puncta 23ae horae.</s> <s xml:id="s2221" xml:space="preserve"> Dum sol est in tropicis.</s> <s xml:id="s2222" xml:space="preserve"> Quod si aliorum parallelorum quoque invenientur latitudines horizontales, <emph style="super">quae inveniantur in linea <mml:math><mml:mi>st</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">aliquot verba</emph>statim<!--end variant delevit ante--> in horologio per omnes horas, ut dictum est in <emph style="super">130<!--variant supralineam--></emph> invenientur termini omnium parallelorum.</s> <s xml:id="s2223" xml:space="preserve"> Per quae si ducantur lineae in nostris regionibus hyperboles erunt.</s> <s xml:id="s2224" xml:space="preserve"> Poterimus quoque in singulis lineis horariis invenire puncta <emph style="super">tropicorum<!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">aliquot literas</emph>terminantia<!--end variant delevit ante--> , ut factum est in linea horaria 23.</s> <s xml:id="s2225" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="133" file="0165" n="165"/> </div> <div type="section" level="1" n="71"> <head xml:id="head72" xml:space="preserve">De divisione lineae aequinoctialis in plano horologii </head> <figure> <image file="med133" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med133"/> </figure> <p> <s xml:id="s2226" xml:space="preserve"> Quoniam autem horae aequinoctialis maximam afferunt utilitatem, ut linea aequinoctialis in horologio divisa perveniat, intelligatur circulus <mml:math><mml:mi>del</mml:mi></mml:math> aequinoctialis.</s> <s xml:id="s2227" xml:space="preserve"> Lineaque <mml:math><mml:mi>fh</mml:mi></mml:math> pars diametri a mundi centro usque ad planum horologii contenta.</s> <s xml:id="s2228" xml:space="preserve"> Quae est aequalis lineis <mml:math><mml:mi>bi</mml:mi></mml:math> in supra expositis figuris 129 130.</s> <s xml:id="s2229" xml:space="preserve"> Atqui <mml:math><mml:mi>ho</mml:mi></mml:math> (ipsi <mml:math><mml:mi>fe</mml:mi></mml:math> perpendicularis) aequinoctialis, planique horologii sit sectio communis.</s> <s xml:id="s2230" xml:space="preserve"> Si igitur dividatur quarta <mml:math><mml:mi>dl</mml:mi></mml:math> in sex partes aequales, ac per centrum lineae ducantur, statim <mml:math><mml:mi>ho</mml:mi></mml:math> divisa erit, ut quaeritur.</s> <s xml:id="s2231" xml:space="preserve"> Et ut horarum medietatem quoque reperiantur, dividatur <mml:math><mml:mi>dl</mml:mi></mml:math> in 12 partes aequales.</s> <s xml:id="s2232" xml:space="preserve"> Eodemque modo statim in <mml:math><mml:mi>ho</mml:mi></mml:math> consurgent.</s> <s xml:id="s2233" xml:space="preserve"> Quae quidem omnia referunt ad ea, quae in 129 dicta sunt.</s> </p> <figure> <image file="med133_2" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med133_2"/> </figure> <pb o="134" file="0166" n="166"/> <figure> <image file="med134" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med134"/> </figure> <p xml:lang="it"> <s xml:id="s2234" xml:space="preserve"> Per far, che una cochlea da se alzi l'acqua da un fiume, mettasi il timpano <mml:math><mml:mi>acb</mml:mi></mml:math> eretto alla cochlea <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math>, laqual sia inclinat'all'horizonte nell'angolo <mml:math><mml:mi>edf</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2235" xml:space="preserve"> Et il piano tirato per <mml:math><mml:mi>edf</mml:mi></mml:math> attraversi il fiume ad angoli retti.</s> <s xml:id="s2236" xml:space="preserve"> Et corra il fiume da <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math> verso <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2237" xml:space="preserve"> Et sia il <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> un poco sott'acqua.</s> <s xml:id="s2238" xml:space="preserve"> Tirisino dal centro <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>kckbka</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2239" xml:space="preserve"> Poi da <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> si tiri equidistante all'horizonte <mml:math><mml:mi>cl</mml:mi></mml:math>, laqual sarà equalmente sotto l'acqua del fiume.</s> <s xml:id="s2240" xml:space="preserve"> Et secondo questa <mml:math><mml:mi>cl</mml:mi></mml:math> si metta la tavola secondo che si costuma eretta all'horizonte.</s> <s xml:id="s2241" xml:space="preserve"> Accio che il fiume urtando nella tavola facci voltar la rota, et la cochlea.</s> <s xml:id="s2242" xml:space="preserve"> E si faccino gl'angoli <mml:math><mml:mi>kbmkan</mml:mi></mml:math> eguali ad <mml:math><mml:mi>acl</mml:mi></mml:math>, secondo li quali si ponghino le tavole.</s> <s xml:id="s2243" xml:space="preserve"> E così medesimamente tutte le altre.</s> <s xml:id="s2244" xml:space="preserve"> Poi facciasi l'altro timpano <mml:math><mml:mi>lnm</mml:mi></mml:math>, il qual insieme con il timpano <mml:math><mml:mi>acb</mml:mi></mml:math> tenghi le tavole ben incastrate, et <reg norm="forti" type="context">fortificate<!--variant correxitex --></reg> , che per esser <mml:math><mml:mi>kcl</mml:mi></mml:math> angulo obtuso il timpano <mml:math><mml:mi>lnm</mml:mi></mml:math> sarà maggiore del timpano <mml:math><mml:mi>acb</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2245" xml:space="preserve"> E le dette tavole saranno in un medesimo piano con l'asse della cochlea.</s> <s xml:id="s2246" xml:space="preserve"> </s> </p> <p xml:lang="it"> <s xml:id="s2247" xml:space="preserve"> Ma se la cochlea non attraversasse il fiume ad angoli retti, all'hora (acciò la rota venghi ben voltata dal fiume) tirisi la <mml:math><mml:mi>cl</mml:mi></mml:math> non solamente equidistante all'horizonte, ma che l'attraversi ancora il corso del fiume ad angoli retti, poi si metta la tavola eretta all'horizonte, e con la medesima dispositione si mettino l'altre tavole, le quali così disposte saranno ben accomodate, che se ben elle non saranno in un medesimo piano con l'asse della <emph style="super">cochlea<!--variant supralineam--></emph> non importa.</s> <s xml:id="s2248" xml:space="preserve"> Perchè secondo la dispositione, nella quale ha da star la cochlea, così bisogna accomodar il timpano, acciò l'acqua lo giri facilmente.</s> <s xml:id="s2249" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="135" file="0167" n="167"/> <p xml:lang="it"> <s xml:id="s2250" xml:space="preserve"> Comodità e incomodità delle rote erette, et equidistanti all'horizonte, con le quali si muoveno li pesi.</s> <s xml:id="s2251" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med135" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med135"/> </figure> <p xml:lang="it"> <s xml:id="s2252" xml:space="preserve"> Nelle machine, che hanno la forza nelle rote erette e perpendicolari all'horizonte, che gli caminano dentro huomini dico che queste rote hanno in sè alcune <emph style="bf">incomodità<!--variant postcorrectionem--></emph> .</s> <s xml:id="s2253" xml:space="preserve"> Come per esempio, sia la rota <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math>, e sia il suo diametro <mml:math><mml:mi>aeb</mml:mi></mml:math> equidistante all'horizonte, ma <reg norm="hl" type="context"> hel<!--variant correxitex --></reg> perpendicolare.</s> <s xml:id="s2254" xml:space="preserve"> Prima non è possibile, che si possi caminar in <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math>, dove è la maggior forza.</s> <s xml:id="s2255" xml:space="preserve"> Perchè di dentro l'huomo non potria star in piedi.</s> <s xml:id="s2256" xml:space="preserve"> E di fuori, ancorchè si attaccasse con le mani, e se gli facesse li scalini, non di meno <emph style="super">non<!--variant supralineam--></emph> potria camminar, perchè li scalini li darebbero sempre nelli ginocchi.</s> <s xml:id="s2257" xml:space="preserve"> Si che bisogna, ch'l camini, com'in <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math>, dove vien a scortare la leva, secondo la quantità <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math>, che viene a fare il circolo <mml:math><mml:mi>dfg</mml:mi></mml:math>, come se egli caminasse in <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2258" xml:space="preserve"> E perchè bisogna ch'l camini nella rota grande <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s2259" xml:space="preserve"> è necessario ch'l camini tutta la rota, per far dar'una volta al circolo <mml:math><mml:mi>dfg</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2260" xml:space="preserve"> Che se sarà doppio <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> di <mml:math><mml:mi>df</mml:mi></mml:math> (havendo le circonferenze fra di loro la medesima propotione, che hanno li suoi diametri) l'huomo camminarà il doppio di quello che bisognarebbe.</s> <s xml:id="s2261" xml:space="preserve"> Che se la rota stesse equidistante all'horizonte, l'huomo si attaccarebbe in <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math>, e caminaria per terra, quanto è il circulo <mml:math><mml:mi>dfg</mml:mi></mml:math>, che sarebbe il suo viaggio giusto, come si fa negli argani e simili.</s> <s xml:id="s2262" xml:space="preserve"> Vi si aggionge ancora, che in questo modo caminaria sempre alla piana, che quando la rota è eretta, bisogna (ancor che non si muova di luogo) ch'l vadi sempre all'in sù.</s> <s xml:id="s2263" xml:space="preserve"> Nelle quali però vi è questa comodità, che in questa l'huomo fa quanto pesa, et in quelle, se ben camina alla piana, bisogna che continuamente vada spingendo per forza.</s> <s xml:id="s2264" xml:space="preserve"> Ma queste horizontali hanno poi questo comodo, che si possono metter uomini atorn'atorn'al circulo per quanto comporta la sua grandezza, e tutti hanno la medesima forza, che nelle rote erette non si possono metter se non da <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math>, e di fuori da <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2265" xml:space="preserve"> Li quali hanno sempre minor forza et in <mml:math><mml:mi>hl</mml:mi></mml:math> non ne hanno niente.</s> <s xml:id="s2266" xml:space="preserve"> Oltre che a questa non si possono adattar cavalli, et altre bestie, come a quelle horizontali.</s> <s xml:id="s2267" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="136" file="0168" n="168"/> <p xml:lang="it"> <s xml:id="s2268" xml:space="preserve"> Considerando poi la spesa, quella eretta vuol maggior spesa assai perchè vuol esser doppia, e foderata con altre cose acciò vi si possi caminar.</s> <s xml:id="s2269" xml:space="preserve"> Che alle horizontali, il più delle volte bastano le stanghe con il fuso, della lunghezza che si vuole.</s> <s xml:id="s2270" xml:space="preserve"> Come appar ne gl'argani e simili.</s> <s xml:id="s2271" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med136" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med136"/> </figure> <p xml:lang="it"> <s xml:id="s2272" xml:space="preserve"> Circa le <emph style="ul">girelle</emph> <emph style="super">taglie<!--variant supralineam--></emph> , accade alle volte, che volendo far le taglie con molte girelle, et che una sia di mano in mano maggior dell'altra, acciò che le corde non si tocchino, e si sfreghino l'una con l'altra, par che bisogna farle tanto grande, come di cinque, et sei piedi di diametro, e più, che non sia imposssibile il farle, et per rimediar a questo alcuni le voltano per altri versi, ma si potrà far in questi due modi et in altri simili.</s> <s xml:id="s2273" xml:space="preserve"> Le girelle si potranno far di bronzo, gettate tutte a un modo grosse, et fidate di diametro di <mml:math><mml:mi>2/3</mml:mi></mml:math>, o di <mml:math><mml:mi>3/4</mml:mi></mml:math> di un piede.</s> <s xml:id="s2274" xml:space="preserve"> E se bene queste girelle hanno molti assi, e per conseguenza hanno più resistenze, non dimeno havendosi a muovere grandissimi pesi, serviranno benissimo, anzi pare, che quelle da tre ordini, si aiutino meglio l'un'all'altra.</s> <s xml:id="s2275" xml:space="preserve"> Che si potriano far'ancora di più ordini, come di quattro, cinque, sei et caetera.</s> <s xml:id="s2276" xml:space="preserve"> Et in questo modo si potranno scomporre, et comporre, et portarle con facilità.</s> <s xml:id="s2277" xml:space="preserve"> Potendosi accomodar benissimo di scomporre i legnami congl'incastri, et ogni <emph style="super">altra<!--variant supralineam--></emph> cosa.</s> <s xml:id="s2278" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="137" file="0169" n="169"/> <p> <s xml:id="s2279" xml:space="preserve"> Duobus datis circulis inaequalibus alium invenire circulum, qui <emph style="super">una<!--variant supralineam--></emph> cum minore dato <reg norm="alteri" type="context">maiori dato<!--variant correxitex --></reg> sit aequalis.</s> <s xml:id="s2280" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med137" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med137"/> </figure> <p> <s xml:id="s2281" xml:space="preserve"> Inaequales sint circuli dati <mml:math><mml:mi>abk</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>cdl</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s2282" xml:space="preserve"> quorum minor <mml:math><mml:mi>cdl</mml:mi></mml:math>, oportet alium invenire circulum qui <emph style="super">una<!--variant supralineam--></emph> cum <mml:math><mml:mi>cdl</mml:mi></mml:math> <reg norm="sint" type="context">sit<!--variant correxitex --></reg> ipsi <mml:math><mml:mi>abk</mml:mi></mml:math> aequalis.</s> <s xml:id="s2283" xml:space="preserve"> Ducantur diametri <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2284" xml:space="preserve"> Rectis deinde lineis <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> tertia inveniatur proportionalis <mml:math><mml:mi>bg</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2285" xml:space="preserve"> Erit utique <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>bg</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>abk</mml:mi></mml:math> ad circulum <mml:math><mml:mi>cdl</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2286" xml:space="preserve"> Inter rectas vero <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>ag</mml:mi></mml:math> media inveniatur proportionalis <mml:math><mml:mi>fh</mml:mi></mml:math>, circa quam circulus describatur <mml:math><mml:mi>fhm</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2287" xml:space="preserve"> Unde erit quidem <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ag</mml:mi></mml:math> ut circulus <mml:math><mml:mi>abk</mml:mi></mml:math> ad circulum <mml:math><mml:mi>fhm</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2288" xml:space="preserve"> Quoniam igitur ita est <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>bg</mml:mi></mml:math> ut circulus <mml:math><mml:mi>abk</mml:mi></mml:math> ad circulum <mml:math><mml:mi>cdl</mml:mi></mml:math>, atque ut <mml:math><mml:mi>ba</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ag</mml:mi></mml:math>, ita circulus <mml:math><mml:mi>abk</mml:mi></mml:math> ad circulum <mml:math><mml:mi>fhm</mml:mi></mml:math>, erit ut <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>bg</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>ag</mml:mi></mml:math> simul, hoc est ad ipsamet <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math>, ut circulus <mml:math><mml:mi>abk</mml:mi></mml:math> ad circulos <mml:math><mml:mi>cdlfhn</mml:mi></mml:math> simul sumptos.</s> <s xml:id="s2289" xml:space="preserve"> Estque recta <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> sibimet ipsi aequalis.</s> <s xml:id="s2290" xml:space="preserve"> Ergo circulus <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> circulis <mml:math><mml:mi>cdlfhm</mml:mi></mml:math> simul sumptis est aequalis.</s> <s xml:id="s2291" xml:space="preserve"> Quod erat faciendum.</s> <s xml:id="s2292" xml:space="preserve"> </s> </p> </div> <div type="section" level="1" n="72"> <head xml:id="head73" xml:space="preserve"> Corollarium </head> <p> <s xml:id="s2293" xml:space="preserve"> Ex hoc erit quoque perspicuum (si describatur circa centrum circuli <mml:math><mml:mi>abk</mml:mi></mml:math>, circulus <mml:math><mml:mi>nop</mml:mi></mml:math> aequalis circulo <mml:math><mml:mi>cdl</mml:mi></mml:math>) circulum <mml:math><mml:mi>fhm</mml:mi></mml:math> aequalem esse spatio circulis <mml:math><mml:mi>abknop</mml:mi></mml:math> contento.</s> <s xml:id="s2294" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s2295" xml:space="preserve"> <emph style="super">Aliter<!--variant supralineam--></emph> quoque quod propositum est ostendetur.</s> <s xml:id="s2296" xml:space="preserve"> Ponatur <mml:math><mml:mi>bx</mml:mi></mml:math>, quae sit aequalis <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math> in circumferentia <mml:math><mml:mi>abk</mml:mi></mml:math>, iungaturque <mml:math><mml:mi>ax</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2297" xml:space="preserve"> Et quoniam ex 122 circuli quorum diametri sunt <mml:math><mml:mi> bx</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>xa</mml:mi></mml:math> ?</s> <s xml:id="s2298" xml:space="preserve"> sunt aequales circulo <mml:math><mml:mi>abk</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2299" xml:space="preserve"> Erit inventus circulus cuius diameter <mml:math><mml:mi>ax</mml:mi></mml:math>, qui una cum circulo <mml:math><mml:mi>cdl</mml:mi></mml:math> erit ipsi <mml:math><mml:mi>abk</mml:mi></mml:math> aequalis.</s> <s xml:id="s2300" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s2301" xml:space="preserve"> Duas datas rectas ita secare, ut quatuor partes in continua sint proportione.</s> <s xml:id="s2302" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med137_2" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med137_2"/> </figure> <p> <s xml:id="s2303" xml:space="preserve"> Sint datae rectae lineae <mml:math><mml:mi>abbc</mml:mi></mml:math>, quas ita secare oportet, ut partes in continua sint proportione.</s> <s xml:id="s2304" xml:space="preserve"> Exponantur in angulo recto <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math> semicirculique describantur <mml:math><mml:mi>adbbdc</mml:mi></mml:math>, qui se dispescant in <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2305" xml:space="preserve"> A quo ad datas rectas ducantur perpendiculares <mml:math><mml:mi>dedf</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2306" xml:space="preserve"> Itaque quoniam est <mml:math><mml:mi>ae</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ed</mml:mi></mml:math>, hoc est <mml:math><mml:mi>bf</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>eb</mml:mi></mml:math>, hoc est <mml:math><mml:mi>bf</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>fd</mml:mi></mml:math>:</s> <s xml:id="s2307" xml:space="preserve"> et ut <mml:math><mml:mi>bf</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>fd</mml:mi></mml:math>, ita est <mml:math><mml:mi>df</mml:mi></mml:math>, hoc est <mml:math><mml:mi>eb</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>fc</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2308" xml:space="preserve"> Erit <mml:math><mml:mi>ae</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>bf</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>bf</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>be</mml:mi></mml:math>, et ut <mml:math><mml:mi>be</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>fc</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2309" xml:space="preserve"> Rectae igitur lineae <mml:math><mml:mi>abbc</mml:mi></mml:math> et caetera.</s> <s xml:id="s2310" xml:space="preserve"> Quod faciendum erat.</s> <s xml:id="s2311" xml:space="preserve"> </s> </p> <note position="left" xml:space="preserve"> Vide infra in <mml:math><mml:mi>141</mml:mi></mml:math><!--variant inmargine--> </note> <pb o="138" file="0170" n="170"/> <p> <s xml:id="s2312" xml:space="preserve"> Duabus datis lineis rectis alteram ita dividere ut <emph style="super">ipsius<!--variant supralineam--></emph> partes cum altera data sint in continua proportione.</s> <s xml:id="s2313" xml:space="preserve"> </s> </p> </div> <div type="section" level="1" n="73"> <head xml:id="head74" xml:space="preserve"> <emph style="super">Organice<!--variant supralineam--></emph> </head> <figure> <image file="med138" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med138"/> </figure> <p> <s xml:id="s2314" xml:space="preserve"> Sint datae rectae lineae <mml:math><mml:mi>abbc</mml:mi></mml:math>, quae constituantur in angulo recto <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2315" xml:space="preserve"> Oporteatque dividere <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s2316" xml:space="preserve"> ut propositum est.</s> <s xml:id="s2317" xml:space="preserve"> Ducatur a puncto <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>ba</mml:mi></mml:math> aequidistans <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2318" xml:space="preserve"> <emph style="ul">Deinde ducatur <mml:math><mml:mi>aed</mml:mi></mml:math>, ita ut <mml:math><mml:mi>eb</mml:mi></mml:math> sit aequalis <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math></emph>.</s> <s xml:id="s2319" xml:space="preserve"> Quoniam enim ob similitudinem triangulorum, ita est <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math> ut <mml:math><mml:mi>be</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ec</mml:mi></mml:math>, et est <mml:math><mml:mi>ed</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>be</mml:mi></mml:math> aequalis:</s> <s xml:id="s2320" xml:space="preserve"> erit <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>be</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>be</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ec</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2321" xml:space="preserve"> Quod facere oportebat.</s> <s xml:id="s2322" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s2323" xml:space="preserve"> <emph style="super">Quod<!--variant supralineam--></emph> autem <emph style="super">problema<!--variant supralineam--></emph> fieri possit, ut scilicet ducta <mml:math><mml:mi>aed</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s2324" xml:space="preserve"> <mml:math><mml:mi>eb</mml:mi></mml:math> sit ipsi <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math> aequalis, ex iis, quae infra in <mml:math><mml:mi>141142</mml:mi></mml:math> demonstrata sunt;</s> <s xml:id="s2325" xml:space="preserve"> fiat <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>be</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>be</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ec</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s2326" xml:space="preserve"> ducaturque <mml:math><mml:mi>aed</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s2327" xml:space="preserve"> erit utique <mml:math><mml:mi>be</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math> aequalis, cum ob triangulorum similitudinem, sit <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>be</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ec</mml:mi></mml:math>, ac propterea ut <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>be</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2328" xml:space="preserve"> Unde <mml:math><mml:mi>becd</mml:mi></mml:math> interse sunt aequales.</s> <s xml:id="s2329" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s2330" xml:space="preserve"> Si sint quotcumque magnitudines, et aliae ipsis numero aequales in eadem proportione, erit prima priorum ad omnes consequentes simul sumptas, ut prima posteriorum ad suas consequentes simul sumptas.</s> <s xml:id="s2331" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med138_2" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med138_2"/> </figure> <p> <s xml:id="s2332" xml:space="preserve"> Sint quotcumque magnitudines <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math>, totidemque numero pares <mml:math><mml:mi>def</mml:mi></mml:math>, et in eadem proportione, nempe, ut <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math>, ita <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math>, et ut <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> ita <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2333" xml:space="preserve"> Dico <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> ad omnes simul <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> ita esse, ut <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math> ad omnes simul <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2334" xml:space="preserve"> Quoniam enim expositae magnitudines sunt proportionales, erit ex aequali <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math>, et e converso, <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2335" xml:space="preserve"> At vero quoniam <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> est, ut <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math>, erit componendo <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s2336" xml:space="preserve"> <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> vero ad <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> est, ut <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2337" xml:space="preserve"> Rursus igitur ex aequali <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> est, ut <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math>, Tandemque convertendo <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> simul est, ut <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2338" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s2339" xml:space="preserve"> Si vero plures fuerint magnitudines ut <mml:math><mml:mi>gabc</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>hdef</mml:mi></mml:math>, sitque <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math> et caetera.</s> <s xml:id="s2340" xml:space="preserve"> Similiter ostendetur, <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math> ad omnes <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math> simul sumptas ita esse, ut <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math> ad omnes <mml:math><mml:mi>def</mml:mi></mml:math>, sumendo <anchor type="note" xlink:label="note-0170-01a" xlink:href="note-0170-01"/> <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> pro una tantum magnitudine, et <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> pro alia.</s> <s xml:id="s2341" xml:space="preserve"> Eruntuqe ex utraque parte tres magnitudines, et sic in infinitum.</s> <s xml:id="s2342" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med138_3" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med138_3"/> </figure> <div type="float" level="2" n="1"> <note position="left" xlink:label="note-0170-01" xlink:href="note-0170-01a" xml:space="preserve"> ut in secunda figura<!--variant signopositoinmargine--> </note> </div> <pb o="139" file="0171" n="171"/> <p> <s xml:id="s2343" xml:space="preserve"> Coni frustum invenire dato cono aequale;</s> <s xml:id="s2344" xml:space="preserve"> cuius quidem frusti altera basis sit data, altitudoque sit aequalis altitudini dati coni.</s> <s xml:id="s2345" xml:space="preserve"> Oportet autem datam basim frusti minorem esse basi coni.</s> <s xml:id="s2346" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s2347" xml:space="preserve"> Si enim haec basis maior, vel aequalis esset, tunc frustum (cum aequalem cono debeat habere altitudinem) semper ipso cono maius existeret.</s> <s xml:id="s2348" xml:space="preserve"> Quandoquidem conum intra se contineret.</s> <s xml:id="s2349" xml:space="preserve"> Ac propterea dato cono aequale <emph style="super">huismodi<!--variant supralineam--></emph> frustum invenire, esset impossibile.</s> <s xml:id="s2350" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med139" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med139"/> </figure> <p> <s xml:id="s2351" xml:space="preserve"> Sit datus conus <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math>, cuius altitudo <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2352" xml:space="preserve"> Diameter vero basis <mml:math><mml:mi>ach</mml:mi></mml:math> sit <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2353" xml:space="preserve"> Minor autem <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> data sit linea <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math>, quae sit diameter circuli <mml:math><mml:mi>efg</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2354" xml:space="preserve"> Habeantque circuli idem centrum <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2355" xml:space="preserve"> Oportet coni frustum constituere, aequalem dato cono <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math>, eandemque altitudinem habens <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2356" xml:space="preserve"> Cuius quidem altera basis sit <mml:math><mml:mi>efg</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2357" xml:space="preserve"> Inveniatur <anchor type="note" xlink:label="note-0171-01a" xlink:href="note-0171-01"/> primum circulus <mml:math><mml:mi>klm</mml:mi></mml:math> aequalis spatio circulis <mml:math><mml:mi>achefg</mml:mi></mml:math> contento;</s> <s xml:id="s2358" xml:space="preserve"> cuius diameter sit <mml:math><mml:mi>kl</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2359" xml:space="preserve"> Deinde ut <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>kl</mml:mi></mml:math>, ita fiat <mml:math><mml:mi>kl</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>no</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2360" xml:space="preserve"> Erit utique <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>no</mml:mi></mml:math>, ut circulus <mml:math><mml:mi>efg</mml:mi></mml:math> ad circulum <mml:math><mml:mi>klm</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2361" xml:space="preserve"> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">Inter vero <mml:math><mml:mi>efnp</mml:mi></mml:math> media inveniatur</emph>Dividatur<!--end variant delevit ante--> <anchor type="note" xlink:label="note-0171-02a" xlink:href="note-0171-02"/> <mml:math><mml:mi>no</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>p</mml:mi></mml:math>, ita ut sit <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>np</mml:mi></mml:math>, quemadmodum <mml:math><mml:mi>np</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>po</mml:mi></mml:math> ac inter <mml:math><mml:mi>efnp</mml:mi></mml:math> media fiat proportionalis <mml:math><mml:mi>qr</mml:mi></mml:math>, circa quam circulus describatur <mml:math><mml:mi>qrs</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2362" xml:space="preserve"> Et inter <mml:math><mml:mi>nppo</mml:mi></mml:math> media similiter inveniatur proportionalis <mml:math><mml:mi>z</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2363" xml:space="preserve"> Atque ut <mml:math><mml:mi>np</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>z</mml:mi></mml:math>, ita fiat <mml:math><mml:mi>qr</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>tu</mml:mi></mml:math>, circa quam circulus describatur <mml:math><mml:mi>tux</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2364" xml:space="preserve"> Denique circa centrum <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math> circulus describatur αβΓ aequalis <emph style="super">circulo<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>tux</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s2365" xml:space="preserve"> cuius quidem planum plano <mml:math><mml:mi>ach</mml:mi></mml:math> aequidistat.</s> <s xml:id="s2366" xml:space="preserve"> <!--begin variant delevit post-->Intelligaturque<emph style="st">ductis <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math>α <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math>β<!--end variant delevit post--></emph> <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math>αβ<mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math> frustum coni.</s> <s xml:id="s2367" xml:space="preserve"> Dico frustum hoc <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math>β dato cono <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math> aequale esse.</s> <s xml:id="s2368" xml:space="preserve"> Cuius quidem data est altera basis <mml:math><mml:mi>efg</mml:mi></mml:math>, et existit <pb o="140" file="0172" n="172"/> sub altitudine <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2369" xml:space="preserve"> Quoniam enim <mml:math><mml:mi>qr</mml:mi></mml:math> media est proportionalis inter <mml:math><mml:mi>efnp</mml:mi></mml:math>, erit <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>np</mml:mi></mml:math>, ut circulus <mml:math><mml:mi>efg</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>qrs</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2370" xml:space="preserve"> Parique ratione quoniam <mml:math><mml:mi>z</mml:mi></mml:math> inter <mml:math><mml:mi>nppo</mml:mi></mml:math> proportionalis existit;</s> <s xml:id="s2371" xml:space="preserve"> et ut <mml:math><mml:mi>np</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>z</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s2372" xml:space="preserve"> ita factum est <mml:math><mml:mi>qr</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>tu</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s2373" xml:space="preserve"> erit <mml:math><mml:mi>np</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>po</mml:mi></mml:math>, ut circulus <mml:math><mml:mi>qrs</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>tux</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2374" xml:space="preserve"> Ergo <!--milestone lacs--> <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> ad suas consequentes <mml:math><mml:mi>nppo</mml:mi></mml:math> simul sumptas, hoc est ad <mml:math><mml:mi>no</mml:mi></mml:math>, ita erit, ut circulus <mml:math><mml:mi>efg</mml:mi></mml:math> ad circulos simul sumptos <mml:math><mml:mi>qrstux</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2375" xml:space="preserve"> At quoniam <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>no</mml:mi></mml:math> est, ut circulus <mml:math><mml:mi>efg</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>klm</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s2376" xml:space="preserve"> circuli <mml:math><mml:mi>qrstux</mml:mi></mml:math> simul circulo <mml:math><mml:mi>klm</mml:mi></mml:math> aequales erunt.</s> <s xml:id="s2377" xml:space="preserve"> Ac per consequens spatio circulis <mml:math><mml:mi>achefg</mml:mi></mml:math> contento aequales existent.</s> <s xml:id="s2378" xml:space="preserve"> Unde sequitur etiam tres circulos <mml:math><mml:mi>efgqrstux</mml:mi></mml:math>, vel huius loco αβΓ, circulo <mml:math><mml:mi>ach</mml:mi></mml:math> aequales esse.</s> <s xml:id="s2379" xml:space="preserve"> Qui quidem tres circuli in continua sunt proportione.</s> <s xml:id="s2380" xml:space="preserve"> Quippe cum lineae <mml:math><mml:mi>efnppo</mml:mi></mml:math>, quibus circuli proportionaliter respondent in continua existant proportione.</s> <s xml:id="s2381" xml:space="preserve"> Quapropter quoniam coni frustum <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math>β bases habet <mml:math><mml:mi>efg</mml:mi></mml:math>, αβΓ, quae una cum circulo <mml:math><mml:mi>qrs</mml:mi></mml:math> (qui inter ipsas est proportionalis) sunt aequales basi coni <mml:math><mml:mi>ach</mml:mi></mml:math>, frustumque eandem habet coni altitudinem <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2382" xml:space="preserve"> Erit frustum <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math>β dato cono <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math> aequale.</s> <s xml:id="s2383" xml:space="preserve"> Quod patet in demonstratione XXV propositionis Federici Commandini in libro De centro gravitatis solidorum.</s> <s xml:id="s2384" xml:space="preserve"> Quodque facere propositum fuerat.</s> <s xml:id="s2385" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="2"> <note position="left" xlink:label="note-0171-01" xlink:href="note-0171-01a" xml:space="preserve"> ex praecedentibus<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0171-02" xlink:href="note-0171-02a" xml:space="preserve"> ut infra<!--citmargsign--> </note> </div> <p> <s xml:id="s2386" xml:space="preserve"> Ex eadem XXV propositione Federici Commandini facile hanc nostram demonstrationem aptabimus portioni coni ac frusto portionis coni.</s> <s xml:id="s2387" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s2388" xml:space="preserve"> Novisse tamen oportet, quod si casu in constructione accideret, lineam <mml:math><mml:mi>no</mml:mi></mml:math> duplam esse ipsius <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math>, tunc <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math>β non eveniet frustum coni, sed cylindrus.</s> <s xml:id="s2389" xml:space="preserve"> Nam divisa <mml:math><mml:mi>no</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>p</mml:mi></mml:math>, ita ut sit <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>np</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>np</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>po</mml:mi></mml:math>, cum sit <mml:math><mml:mi>no</mml:mi></mml:math> ipsius <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> duplex.</s> <s xml:id="s2390" xml:space="preserve"> Erit unaquaeque <mml:math><mml:mi>nppo</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> aequalis.</s> <s xml:id="s2391" xml:space="preserve"> Similiter <mml:math><mml:mi>qr</mml:mi></mml:math> media proportionalis inter <mml:math><mml:mi>efnp</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> aequalis existet.</s> <s xml:id="s2392" xml:space="preserve"> Sicuti etiam eidem aequalis eveniet <mml:math><mml:mi>tu</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2393" xml:space="preserve"> Et ob id circulus αβΓ circulo <mml:math><mml:mi>efg</mml:mi></mml:math> aequalis eveniet.</s> <s xml:id="s2394" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="141" file="0173" n="173"/> <p> <s xml:id="s2395" xml:space="preserve"> Datis duobus circulis inaequalibus duos alios circulos invenire <!--begin variant delevit post-->qui<emph style="st">cum minore dato<!--end variant delevit post--></emph> in continua sint proportione, atque tres simul omnes <emph style="super">scilicet duo inventi una cum minori dato<!--variant supralineam--></emph> maiori dato sint aequales.</s> <s xml:id="s2396" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s2397" xml:space="preserve"> Hoc quidem problema ex praecedenti demonstratione perspicuum est, ut sint dati circuli (in eadem figura) <mml:math><mml:mi>achefg</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2398" xml:space="preserve"> Inventique sunt <mml:math><mml:mi>qrstux</mml:mi></mml:math>, qui una cum <mml:math><mml:mi>efg</mml:mi></mml:math> sunt aequales <mml:math><mml:mi>ach</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>efg</mml:mi></mml:math> est ad <mml:math><mml:mi>qrs</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>qrs</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>tux</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2399" xml:space="preserve"> Quod facere oportebat.</s> <s xml:id="s2400" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s2401" xml:space="preserve"> Ex eadem demonstratione sequens quoque problema colligi poterit, nempe.</s> <s xml:id="s2402" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s2403" xml:space="preserve"> Similes construere figuras, quae inter sese datas habeant proportiones.</s> <s xml:id="s2404" xml:space="preserve"> In eadem enim figura, datae sint proportiones, quas debeat habere figurae inveniendae, <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>np</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>np</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>po</mml:mi></mml:math> (quae quidem, etsi non sint in eadem proportionem, nihil refert).</s> <s xml:id="s2405" xml:space="preserve"> Invenianturque figurae similes <mml:math><mml:mi>efgqrstux</mml:mi></mml:math>, quae sive circuli, vel quadrata, sive aliae quomodocumque exponantur figurae similes super rectis <mml:math><mml:mi>efqrtu</mml:mi></mml:math> constructae.</s> <s xml:id="s2406" xml:space="preserve"> Et factum erit.</s> <s xml:id="s2407" xml:space="preserve"> </s> </p> </div> <div type="section" level="1" n="74"> <head xml:id="head75" xml:space="preserve"> Quod propositum est in <mml:math><mml:mi>138</mml:mi></mml:math> aliter <emph style="super">geometrice<!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">neque titubanter</emph>invenire<!--end variant delevit ante--> nempe. </head> <p> <s xml:id="s2408" xml:space="preserve"> Duabus datis rectis lineis, alteram ita dividere, ut ipsius partes <emph style="super">una<!--variant supralineam--></emph> cum altera data in continua sint proportione.</s> <s xml:id="s2409" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s2410" xml:space="preserve"> Datae sint lineae <mml:math><mml:mi>abbc</mml:mi></mml:math>, quae ita interse se aptentur ut angulum contineant rectum <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2411" xml:space="preserve"> Oporteatque dividere <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math>, ut propositum est.</s> <s xml:id="s2412" xml:space="preserve"> Fiant super <mml:math><mml:mi>abbc</mml:mi></mml:math> quadrata <mml:math><mml:mi>apcd</mml:mi></mml:math>, non ad easdem partes.</s> <s xml:id="s2413" xml:space="preserve"> Compleaturque rectangulum <mml:math><mml:mi>be</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2414" xml:space="preserve"> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">aliquot verba</emph>Iungaturque<!--end variant delevit ante--> <mml:math><mml:mi>ae</mml:mi></mml:math>, quae bifariam dividatur in <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math>, et centro <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math> intervalloque <mml:math><mml:mi>ha</mml:mi></mml:math> circulus describatur <emph style="bf"><mml:math><mml:mi> afe</mml:mi></mml:math><!--variant postcorrectionem--></emph> .</s> <s xml:id="s2415" xml:space="preserve"> Dico <emph style="super"><mml:math><mml:mi> ab</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>bf</mml:mi></mml:math> esse ut <mml:math><mml:mi>bf</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>fc</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> primum quidem circulum <mml:math><mml:mi>afde</mml:mi></mml:math> lineam <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> dispescere <emph style="super">ostendendum est<!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s2416" xml:space="preserve"> Nam quoniam linea <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> ipsa <mml:math><mml:mi>ba</mml:mi></mml:math> minor esse potest, ut in prima figura, vel ipsi <mml:math><mml:mi>ba</mml:mi></mml:math> aequalis, ut in 2a, vel <reg norm="minor" type="context">maior<!--variant correxitex --></reg> un in 3a.</s> <s xml:id="s2417" xml:space="preserve"> Tunc si <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> minor est <mml:math><mml:mi>ba</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s2418" xml:space="preserve"> iungantur in prima figura <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">aliquot literas</emph><mml:math><mml:mi> hb</mml:mi></mml:math><!--end variant delevit ante--> <mml:math><mml:mi>hd</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2419" xml:space="preserve"> Et quoniam <mml:math><mml:mi>ade</mml:mi></mml:math> rectus est angulus, circumferentia <mml:math><mml:mi>afe</mml:mi></mml:math> per punctum <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math> transibit.</s> <s xml:id="s2420" xml:space="preserve"> Ergo <mml:math><mml:mi>hd</mml:mi></mml:math> circuli semidiameter existit.</s> <s xml:id="s2421" xml:space="preserve"> Ducatur deinde per <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math> aequidistans <mml:math><mml:mi>khl</mml:mi></mml:math>, erit <emph style="super">utique<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>kh</mml:mi></mml:math> aequalis <mml:math><mml:mi>hl</mml:mi></mml:math>, quandoquidem est <mml:math><mml:mi>ah</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>he</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>kh</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>hl</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2422" xml:space="preserve"> Et quoniam <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> maior est, quam <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math>, ac per consequens, quam <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math>, erit <mml:math><mml:mi>ko</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> aequalis maior, quam <mml:math><mml:mi>ol</mml:mi></mml:math>, quae est aequalis <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2423" xml:space="preserve"> Punctum ergo <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math> in linea <mml:math><mml:mi>ko</mml:mi></mml:math> <emph style="super">existit<!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s2424" xml:space="preserve"> Quoniam autem <mml:math><mml:mi>obd</mml:mi></mml:math> est angulus rectus, erit <mml:math><mml:mi>hbd</mml:mi></mml:math> obtusus;</s> <s xml:id="s2425" xml:space="preserve"> linea igitur <mml:math><mml:mi>hd</mml:mi></mml:math>, hoc est semidiameter circuli maior erit <mml:math><mml:mi>hb</mml:mi></mml:math>, quare circumferentia <mml:math><mml:mi>afde</mml:mi></mml:math> ulterius erit quam sit <mml:math><mml:mi>hb</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2426" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s2427" xml:space="preserve"> Postea iungatur <mml:math><mml:mi>hc</mml:mi></mml:math>, ducaturque in quadrato <mml:math><mml:mi>ap</mml:mi></mml:math> diameter <mml:math><mml:mi>bm</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s2428" xml:space="preserve"> secetque <emph style="super"><mml:math><mml:mi> bm</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> ipsam <mml:math><mml:mi>ko</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2429" xml:space="preserve"> Quoniam igitur <mml:math><mml:mi>kl</mml:mi></mml:math> transit per punctum <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math> quod quidem est in medio rectanguli <mml:math><mml:mi>ae</mml:mi></mml:math>, atque <mml:math><mml:mi>kl</mml:mi></mml:math> est ipsi <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math> aequidistans, dividet <mml:math><mml:mi>kl</mml:mi></mml:math> rectangulum <mml:math><mml:mi>ae</mml:mi></mml:math> in duo aequalia nempe rectangulum <mml:math><mml:mi>kd</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math> erit aequale <emph style="super">ac per consequens <mml:math><mml:mi>kb</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>kp</mml:mi></mml:math> aequale<!--variant supralineam--></emph> quare <mml:math><mml:mi>bo</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>op</mml:mi></mml:math> aequalis existit.</s> <s xml:id="s2430" xml:space="preserve"> Ut autem <mml:math><mml:mi>bo</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>op</mml:mi></mml:math> ita est <anchor type="note" xlink:label="note-0173-01a" xlink:href="note-0173-01"/> ad <mml:math><mml:mi>nm</mml:mi></mml:math> atque ut <mml:math><mml:mi>bn</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>nm</mml:mi></mml:math>, ita <mml:math><mml:mi>on</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>nk</mml:mi></mml:math>, unde sequitur <mml:math><mml:mi>kn</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>no</mml:mi></mml:math> aequalem esse.</s> <s xml:id="s2431" xml:space="preserve"> Cum autem minor sit <mml:math><mml:mi>kl</mml:mi></mml:math>, quam <mml:math><mml:mi>ko</mml:mi></mml:math>, et horum dimidia scilicet <mml:math><mml:mi>kh</mml:mi></mml:math> maior erit <mml:math><mml:mi>kn</mml:mi></mml:math>, ex quo perspicuum est punctum <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math> inter puncta <mml:math><mml:mi>no</mml:mi></mml:math> reperiri, lineamque <mml:math><mml:mi>hb</mml:mi></mml:math> in triangulo <mml:math><mml:mi>nbo</mml:mi></mml:math> existere.</s> <s xml:id="s2432" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="1"> <note position="left" xlink:label="note-0173-01" xlink:href="note-0173-01a" xml:space="preserve"> <mml:math><mml:mi>bn</mml:mi></mml:math><!--variant inmargine--> </note> </div> <pb o="142" file="0174" n="174"/> <figure> <image file="med142" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med142"/> </figure> <p> <s xml:id="s2433" xml:space="preserve"> Ac propterea angulum <mml:math><mml:mi>obn</mml:mi></mml:math> maiorem esse angulo <mml:math><mml:mi>obh</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2434" xml:space="preserve"> Cum vero sit <mml:math><mml:mi>bm</mml:mi></mml:math> diameter quadrati <mml:math><mml:mi>ap</mml:mi></mml:math>, erit angulus <mml:math><mml:mi>abm</mml:mi></mml:math> angulo <mml:math><mml:mi>obm</mml:mi></mml:math> aequalis, ergo <mml:math><mml:mi>abn</mml:mi></mml:math> maior est <mml:math><mml:mi>obh</mml:mi></mml:math>, quare multo maior est <mml:math><mml:mi>abh</mml:mi></mml:math> ipso <mml:math><mml:mi>hbo</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2435" xml:space="preserve"> Quibus si addantur aequales anguli <mml:math><mml:mi>abcobd</mml:mi></mml:math> (nempe recti) erit <mml:math><mml:mi>cbh</mml:mi></mml:math> maior <mml:math><mml:mi>hbd</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2436" xml:space="preserve"> Quoniam itaque duo latera <mml:math><mml:mi>hbbc</mml:mi></mml:math> duobus lateribus <mml:math><mml:mi>hbbd</mml:mi></mml:math> sunt aequalia, erit basis <mml:math><mml:mi>ch</mml:mi></mml:math> maior <mml:math><mml:mi>hd</mml:mi></mml:math> <emph style="super">circuli semidiametro<!--variant supralineam--></emph> , ac propterea <emph style="super">cum<!--variant supralineam--></emph> sit <mml:math><mml:mi>hd</mml:mi></mml:math> circuli semidiameter minor <mml:math><mml:mi>hc</mml:mi></mml:math>, maior vero <mml:math><mml:mi>hd</mml:mi></mml:math> necesse est circumferentiam <mml:math><mml:mi>afde</mml:mi></mml:math> inter puncta <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> <reg norm="transibit" type="context">transire<!--variant correxitex --></reg> quapropter lineam <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> secabit.</s> <s xml:id="s2437" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s2438" xml:space="preserve"> In 2a figura quoniam <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> aequalis est <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math>, hoc est <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>ah</mml:mi></mml:math> est aequalis <mml:math><mml:mi>he</mml:mi></mml:math>, erit centrum <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math> in linea <mml:math><mml:mi>bp</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2439" xml:space="preserve"> Cum itaque sit angulus <mml:math><mml:mi>abh</mml:mi></mml:math> rectus;</s> <s xml:id="s2440" xml:space="preserve"> erit linea <mml:math><mml:mi>ha</mml:mi></mml:math>, circuli nempe semidiameter, maior <mml:math><mml:mi>hb</mml:mi></mml:math> et quoniam <mml:math><mml:mi>ha</mml:mi></mml:math> minor est, quam duae simul <mml:math><mml:mi>hbba</mml:mi></mml:math>, hoc est <mml:math><mml:mi>hc</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s2441" xml:space="preserve"> circumferentia <mml:math><mml:mi>afde</mml:mi></mml:math> inter puncta <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> transibit:</s> <s xml:id="s2442" xml:space="preserve"> lineam igitur <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> secabit.</s> <s xml:id="s2443" xml:space="preserve"> </s> </p> </div> <div type="section" level="1" n="75"> <head xml:id="head76" xml:space="preserve"> Corollarium </head> <note position="left" xml:space="preserve"> Corollarium<!--variant signopositoinmargine--> </note> <p> <s xml:id="s2444" xml:space="preserve"> <anchor type="note" xlink:label="note-0174-02a" xlink:href="note-0174-02"/> patet quomodo lineam extrema ac media ratione dividere possimus, ut <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> hoc est <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> hoc est <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>bf</mml:mi></mml:math> ut <mml:math><mml:mi>bf</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>fc</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2445" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="1"> <note position="left" xlink:label="note-0174-02" xlink:href="note-0174-02a" xml:space="preserve"> Ex hac<!--variant signopositoinmargine--> </note> </div> <p> <s xml:id="s2446" xml:space="preserve"> Problema in 2a figura dividendo lineam <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> extrema ac media ratione.</s> <s xml:id="s2447" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s2448" xml:space="preserve"> In 3a figura, quoniam <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math>, hoc est <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math>, maior est <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s2449" xml:space="preserve"> ducta <mml:math><mml:mi>khl</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math> aequidistans, <emph style="super">simili ratione<!--variant supralineam--></emph> ut in prima figura ostendetur, centrum <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math> esse in linea <mml:math><mml:mi>ol</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2450" xml:space="preserve"> Iuncta igitur <mml:math><mml:mi>hb</mml:mi></mml:math>, erit <mml:math><mml:mi>hba</mml:mi></mml:math> angulus obtusus.</s> <s xml:id="s2451" xml:space="preserve"> Ergo <mml:math><mml:mi>ha</mml:mi></mml:math> semidiameter circuli maior erit <mml:math><mml:mi>hb</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2452" xml:space="preserve"> Ductis vero <mml:math><mml:mi>hdhccd</mml:mi></mml:math> <emph style="super">lineis<!--variant supralineam--></emph> , quoniam <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> est aequalis <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math> erit angulus <mml:math><mml:mi>cdb</mml:mi></mml:math> angulo <mml:math><mml:mi>dcb</mml:mi></mml:math> aequalis.</s> <s xml:id="s2453" xml:space="preserve"> <emph style="super">Sed <mml:math><mml:mi>cdh</mml:mi></mml:math> maior est <mml:math><mml:mi>cdb</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>deh</mml:mi></mml:math> vero minor <mml:math><mml:mi>dcb</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s2454" xml:space="preserve"> Maior igitur erit <mml:math><mml:mi>cdh</mml:mi></mml:math> ipso <mml:math><mml:mi>dch</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2455" xml:space="preserve"> Ac propterea <mml:math><mml:mi>hd</mml:mi></mml:math> semidiameter circuli minor est <mml:math><mml:mi>hc</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2456" xml:space="preserve"> Ex quibus constat, circumferentiam <mml:math><mml:mi>afde</mml:mi></mml:math> lineam <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> dispescere.</s> <s xml:id="s2457" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s2458" xml:space="preserve"> Hoc itaque demonstrato secet circumferentia <mml:math><mml:mi>afde</mml:mi></mml:math> lineam <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2459" xml:space="preserve"> Iunganturque <mml:math><mml:mi>affe</mml:mi></mml:math>, secetque <mml:math><mml:mi>fe</mml:mi></mml:math> lineam <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2460" xml:space="preserve"> Quoniam enim angulus <mml:math><mml:mi>afe</mml:mi></mml:math> est rectus, et <mml:math><mml:mi>fb</mml:mi></mml:math> est perpendicularis ad <mml:math><mml:mi>ag</mml:mi></mml:math>, <anchor type="note" xlink:label="note-0174-03a" xlink:href="note-0174-03"/> erit triangulum <mml:math><mml:mi>abf</mml:mi></mml:math> triangulo <mml:math><mml:mi>fbg</mml:mi></mml:math> simile.</s> <s xml:id="s2461" xml:space="preserve"> Et angulus <mml:math><mml:mi>afb</mml:mi></mml:math> angulo <mml:math><mml:mi>fgb</mml:mi></mml:math> aequalis.</s> <s xml:id="s2462" xml:space="preserve"> Sed <mml:math><mml:mi>fgb</mml:mi></mml:math> est ipsi <mml:math><mml:mi>dge</mml:mi></mml:math> aequalis;</s> <s xml:id="s2463" xml:space="preserve"> angulus ergo <mml:math><mml:mi>afb</mml:mi></mml:math> angulo <mml:math><mml:mi>dge</mml:mi></mml:math> est aequalis.</s> <s xml:id="s2464" xml:space="preserve"> Quoniam autem <mml:math><mml:mi>abf</mml:mi></mml:math> rectus recto <mml:math><mml:mi>edg</mml:mi></mml:math> est aequalis, atque latus <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> aequale;</s> <s xml:id="s2465" xml:space="preserve"> cum utraque <emph style="super"><mml:math><mml:mi> abde</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> sint ipsi <mml:math><mml:mi>bp</mml:mi></mml:math> aequalia.</s> <s xml:id="s2466" xml:space="preserve"> <anchor type="note" xlink:label="note-0174-04a" xlink:href="note-0174-04"/> erit triangulum <mml:math><mml:mi>edg</mml:mi></mml:math> triangulo <mml:math><mml:mi>abf</mml:mi></mml:math> aequale.</s> <s xml:id="s2467" xml:space="preserve"> Quare latus <mml:math><mml:mi>bf</mml:mi></mml:math> erit lateri <mml:math><mml:mi>dg</mml:mi></mml:math> aequale.</s> <s xml:id="s2468" xml:space="preserve"> Cum itaque <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> sit aequalis <mml:math><mml:mi>db</mml:mi></mml:math>, erit reliqua <mml:math><mml:mi>fc</mml:mi></mml:math> reliquae <mml:math><mml:mi>bg</mml:mi></mml:math> aequalis.</s> <s xml:id="s2469" xml:space="preserve"> Quoniam igitur in triangulo rectangulo <mml:math><mml:mi>afg</mml:mi></mml:math>, ab angulo recto ad basim ducta est perpendicularis <mml:math><mml:mi>fb</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s2470" xml:space="preserve"> <anchor type="note" xlink:label="note-0174-05a" xlink:href="note-0174-05"/> erit <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>bf</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>bf</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>bg</mml:mi></mml:math>, hoc est ad <mml:math><mml:mi>fc</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2471" xml:space="preserve"> Divisa est igitur <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> in puncto <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math>, ut propositum fuerat.</s> <s xml:id="s2472" xml:space="preserve"> Quod facere oportebat.</s> <s xml:id="s2473" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="2"> <note position="left" xlink:label="note-0174-03" xlink:href="note-0174-03a" xml:space="preserve"> 8 sexti<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0174-04" xlink:href="note-0174-04a" xml:space="preserve"> 26 primi<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0174-05" xlink:href="note-0174-05a" xml:space="preserve"> Cor. 8 sexti<!--citmargsign--> </note> </div> <pb o="143" file="0175" n="175"/> <p> <s xml:id="s2474" xml:space="preserve"> Data recta linea utcumque divisa, alterum segmentum in duas partes ita dispescere, ut reliquum segmentum ad minorem partem sit, ut data linea ad maiorem partem.</s> <s xml:id="s2475" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med143" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med143"/> </figure> <p> <s xml:id="s2476" xml:space="preserve"> Sit data recta linea <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math>, quae utcumque sit divisa in <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2477" xml:space="preserve"> Oportet alterum segmentum, puta, <mml:math><mml:mi>cb</mml:mi></mml:math> ita in <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math> dividere, ut <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math> sit ut <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2478" xml:space="preserve"> Dividatur <mml:math><mml:mi>cb</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math>, in data proportione <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math>, ut scilicet sit <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> quemadmodum <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>db</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2479" xml:space="preserve"> Erit enim permutando <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2480" xml:space="preserve"> Quod fecisse oportebat.</s> <s xml:id="s2481" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s2482" xml:space="preserve"> Data recta linea utcumque in partes inaequales secta;</s> <s xml:id="s2483" xml:space="preserve"> lineam invenire, quae ad minorem partem eandem habeat proportionem, quam data cum inventa ad maiorem.</s> <s xml:id="s2484" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med143_2" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med143_2"/> </figure> <p> <s xml:id="s2485" xml:space="preserve"> Sit data recta linea <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> utcumque <emph style="super">in partes inaequales<!--variant supralineam--></emph> secta in <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2486" xml:space="preserve"> Sitque minor <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math> quam <mml:math><mml:mi>db</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2487" xml:space="preserve"> Lineam invenire oportet, quae ad <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math> eandem habeat proportionem, quam <mml:math><mml:mi>cb</mml:mi></mml:math>, una cum inventa linea habet ad <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2488" xml:space="preserve"> Ducatur <mml:math><mml:mi>bf</mml:mi></mml:math> angulum cum <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> constituens.</s> <s xml:id="s2489" xml:space="preserve"> Quae fiat aequalis ipsi <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math>, ex qua secetur <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> aequalis <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2490" xml:space="preserve"> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">Deinde <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> fiat aequalis <mml:math><mml:mi>fe</mml:mi></mml:math></emph>Iungaturque<!--end variant delevit ante--> <mml:math><mml:mi>gc</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2491" xml:space="preserve"> Productaque linea <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> ex <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s2492" xml:space="preserve"> a puncto <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">denique</emph><mml:math><mml:mi> f</mml:mi></mml:math><!--end variant delevit ante--> ipsi <mml:math><mml:mi>gc</mml:mi></mml:math> aequidistans.</s> <s xml:id="s2493" xml:space="preserve"> <reg norm="Ducantur" type="context">Ducatur<!--variant correxitex --></reg> <!--begin variant delevit post--><mml:math><mml:mi> fa</mml:mi></mml:math><emph style="st"><mml:math><mml:mi> ah</mml:mi></mml:math>.</emph></s> <s xml:id="s2494" xml:space="preserve"> <emph style="st">Quoniam enim <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> est aequalis <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math>, erit <mml:math><mml:mi>ha</mml:mi></mml:math> aequalis <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math>.</emph></s> <s xml:id="s2495" xml:space="preserve"> <emph style="st">Et ut <mml:math><mml:mi>ha</mml:mi></mml:math>, hoc est<!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super">Quoniam enim<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> ita est, <emph style="super">ut<!--variant supralineam--></emph> <reg norm="ef" type="context"> gf<!--variant correxitex --></reg> ad <mml:math><mml:mi>fb</mml:mi></mml:math>, hoc est <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>db</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2496" xml:space="preserve"> <emph style="super">Erit<!--variant supralineam--></emph> permutando <emph style="it"><mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math><!--variant descriptio: diverso atramento ante igitur--></emph> ad <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math>, <emph style="it">ut<!--variant descriptio: diverso atramento ante est--></emph> <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2497" xml:space="preserve"> Inventa ergo est <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2498" xml:space="preserve"> Quod facere oportebat.</s> <s xml:id="s2499" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med143_3" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med143_3"/> </figure> <p> <s xml:id="s2500" xml:space="preserve"> Lineam vero <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> in partes inaequales divisam esse oportet.</s> <s xml:id="s2501" xml:space="preserve"> Nam si <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math> esset aequalis <mml:math><mml:mi>db</mml:mi></mml:math>, tunc esset impossibile lineam reperiri, ut problema proponit.</s> <s xml:id="s2502" xml:space="preserve"> Nam si fieri posset <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s2503" xml:space="preserve"> <reg norm="et" type="context">esset<!--variant correxitex --></reg> permutando <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>db</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2504" xml:space="preserve"> At vero <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math> est aequalis <mml:math><mml:mi>db</mml:mi></mml:math>, ergo <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> esset <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">esset</emph>aequalis<!--end variant delevit ante--> .</s> <s xml:id="s2505" xml:space="preserve"> Quod est absurdum.</s> <s xml:id="s2506" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med143_4" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med143_4"/> </figure> <p> <s xml:id="s2507" xml:space="preserve"> Absurdum quoque eveniet si invenienda linea esse <emph style="super">invenienda<!--variant supralineam--></emph> ad maiorem partem, ut haec cum <mml:math><mml:mi>cb</mml:mi></mml:math> ad minorem.</s> <s xml:id="s2508" xml:space="preserve"> Nam si <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math> esset maior, quam <mml:math><mml:mi>db</mml:mi></mml:math>, essetque <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2509" xml:space="preserve"> Similiter permutando esset <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>db</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2510" xml:space="preserve"> Quare <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> ipsa <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> maior existeret.</s> <s xml:id="s2511" xml:space="preserve"> Quod est inconveniens.</s> <s xml:id="s2512" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="144" file="0176" n="176"/> <p> <s xml:id="s2513" xml:space="preserve"> Si intra lineas parallelas duae ductae fuerunt lineae aequales, suos terminos in parallelis possidentes, erunt intersese parallelae.</s> <s xml:id="s2514" xml:space="preserve"> <emph style="super">Oportet ut lineae tendant ad easdem partes<!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s2515" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med144" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med144"/> </figure> <p> <s xml:id="s2516" xml:space="preserve"> Aequidistantes sint rectae lineae <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math>, intra quas duae ducantur lineae <mml:math><mml:mi>acbd</mml:mi></mml:math> aequales <emph style="super">et ad easdem partes id est non ut <mml:math><mml:mi>ca</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>bg</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s2517" xml:space="preserve"> Dico <mml:math><mml:mi>acbd</mml:mi></mml:math> aequidistantes esse.</s> <s xml:id="s2518" xml:space="preserve"> Ducantur a punctis <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> perpendiculares <mml:math><mml:mi>aebf</mml:mi></mml:math> <!--begin variant delevit post-->ad<emph style="st">aliquot literas<!--end variant delevit post--></emph> parallelas, quippe quae <anchor type="note" xlink:label="note-0176-01a" xlink:href="note-0176-01"/> inter se aequidistantes erunt, ac propterea aequales.</s> <s xml:id="s2519" xml:space="preserve"> Quoniam autem trianguli rectanguli <mml:math><mml:mi>aec</mml:mi></mml:math> quadratum lateris <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> <emph style="super">est<!--variant supralineam--></emph> aequale quadratis laterum <mml:math><mml:mi>aeec</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2520" xml:space="preserve"> Parique ratione quadratum ex <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math> ipsis ex <mml:math><mml:mi>bf</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>fd</mml:mi></mml:math> quadratis aequale existit.</s> <s xml:id="s2521" xml:space="preserve"> Cumque sint <mml:math><mml:mi>acbd</mml:mi></mml:math> aequales, erunt et ipsorum quadrata aequalia.</s> <s xml:id="s2522" xml:space="preserve"> Ergo quadrata ex <mml:math><mml:mi>aeec</mml:mi></mml:math> quadratis ex <mml:math><mml:mi>bffd</mml:mi></mml:math> aequalia erunt.</s> <s xml:id="s2523" xml:space="preserve"> Quia vero quadrata ex <mml:math><mml:mi>ae</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>bf</mml:mi></mml:math> sunt aequalia, siquidem lineae <mml:math><mml:mi>aebf</mml:mi></mml:math> sunt aequales;</s> <s xml:id="s2524" xml:space="preserve"> erit quadratum ex <mml:math><mml:mi>ec</mml:mi></mml:math> quadrato ex <mml:math><mml:mi>fd</mml:mi></mml:math> aequale.</s> <s xml:id="s2525" xml:space="preserve"> Linea igitur <mml:math><mml:mi>ec</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>fd</mml:mi></mml:math> aequalis existet.</s> <s xml:id="s2526" xml:space="preserve"> Itaque quoniam <mml:math><mml:mi>acaeec</mml:mi></mml:math> aequales sunt ipsis <mml:math><mml:mi>bdbffd</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s2527" xml:space="preserve"> erit triangulum <mml:math><mml:mi>aec</mml:mi></mml:math> triangulo <mml:math><mml:mi>bfd</mml:mi></mml:math> aequale, unde sequitur angulum <mml:math><mml:mi>ace</mml:mi></mml:math> angulo <mml:math><mml:mi>bdf</mml:mi></mml:math> aequalem esse;</s> <s xml:id="s2528" xml:space="preserve"> et ob id <mml:math><mml:mi>acbd</mml:mi></mml:math> intersese parallelas existere.</s> <s xml:id="s2529" xml:space="preserve"> Quod demonstrare oportebat.</s> <s xml:id="s2530" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="3"> <note position="left" xlink:label="note-0176-01" xlink:href="note-0176-01a" xml:space="preserve"> 29, 34 primi<!--citmargsign--> </note> </div> <p> <s xml:id="s2531" xml:space="preserve"> Si duo triangula duo latera duobus lateribus habuerunt aequalia, unumque angulum uni angulo sibi respondentem aequalem, non autem eum, qui aequalibus continetur datis lineis, erit triangulum triangulo aequale, et latera angulique unius lateribus angulisque alterius aequales erunt.</s> <s xml:id="s2532" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med144_2" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med144_2"/> </figure> <p> <s xml:id="s2533" xml:space="preserve"> Sint triangula <mml:math><mml:mi>abcdef</mml:mi></mml:math>, quorum latera <mml:math><mml:mi>abde</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>acdf</mml:mi></mml:math> sint aequalia, sint autem anguli <mml:math><mml:mi>abcdef</mml:mi></mml:math> aequales.</s> <s xml:id="s2534" xml:space="preserve"> Dico et caetera.</s> <s xml:id="s2535" xml:space="preserve"> Exponatur (iuncta <mml:math><mml:mi>ce</mml:mi></mml:math>) in directum linea <reg norm="bcef" type="context"> bcef<!--variant correxitex --></reg> , iungaturque <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2536" xml:space="preserve"> Quoniam enim anguli <mml:math><mml:mi>abcdef</mml:mi></mml:math> sunt aequales, erit <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> aequidistans <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2537" xml:space="preserve"> Suntque <mml:math><mml:mi>abde</mml:mi></mml:math> aequales, ergo <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math> est aequidistans <mml:math><mml:mi>bf</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2538" xml:space="preserve"> At vero quoniam <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> est aequalis <mml:math><mml:mi>df</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>adcf</mml:mi></mml:math> sunt aequidistantes, erunt <mml:math><mml:mi>acdf</mml:mi></mml:math> intersese parallelae.</s> <s xml:id="s2539" xml:space="preserve"> Angulus igitur <mml:math><mml:mi>dfe</mml:mi></mml:math> angulo <mml:math><mml:mi>acb</mml:mi></mml:math> est aequalis.</s> <s xml:id="s2540" xml:space="preserve"> Cum itaque sint anguli ad <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> aequales ipsis ad <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math>, et latus <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> aequale ipsi <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2541" xml:space="preserve"> <anchor type="note" xlink:label="note-0176-02a" xlink:href="note-0176-02"/> erit triangulum triangulo, et latera, et anguli aequales.</s> <s xml:id="s2542" xml:space="preserve"> Quod demonstrare oportebat.</s> <s xml:id="s2543" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="4"> <note position="left" xlink:label="note-0176-02" xlink:href="note-0176-02a" xml:space="preserve"> 26 primi<!--citmargsign--> </note> </div> <p> <s xml:id="s2544" xml:space="preserve"> <anchor type="note" xlink:label="note-0176-03a" xlink:href="note-0176-03"/> si possono mettere in una, e sarà meglio.</s> <s xml:id="s2545" xml:space="preserve"> Questo non è universale perchè si pò dar caso, che doi triangoli <mml:math><mml:mi>abcadc</mml:mi></mml:math> habbino doi lati <mml:math><mml:mi>accb</mml:mi></mml:math> eguali a <mml:math><mml:mi>aead</mml:mi></mml:math>, et l'angolo <mml:math><mml:mi>acb</mml:mi></mml:math> commune eguale, con tutto ciò li triangoli <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>ade</mml:mi></mml:math> non sono uguali et caetera.</s> <s xml:id="s2546" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med144_3" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med144_3"/> </figure> <div type="float" level="2" n="5"> <note position="left" xlink:label="note-0176-03" xlink:href="note-0176-03a" xml:space="preserve"> Queste due dimostrationi<!--variant signopositoinmargine--> </note> </div> </div> <div type="section" level="1" n="76"> <head xml:id="head77" xml:space="preserve"> <pb o="145" file="0177" n="177"/> Contra Cap. 2 Jo. de Benedicti de Mechanicis </head> <figure> <image file="med145" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med145"/> </figure> <p> <s xml:id="s2547" xml:space="preserve"> Inquit auctor in demonstratione <emph style="super">idem<!--variant supralineam--></emph> pondus in <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math>, aeque grave esse ut in <mml:math><mml:mi>u</mml:mi></mml:math> et in <mml:math><mml:mi>E</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2548" xml:space="preserve"> Quod est tamen falsum.</s> <s xml:id="s2549" xml:space="preserve"> Nam lineae <mml:math><mml:mi>fm</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>aq</mml:mi></mml:math> non sunt aequidistantes, cum in centrum mundi conveniant.</s> <s xml:id="s2550" xml:space="preserve"> Ac propterea ducta per <mml:math><mml:mi>u</mml:mi></mml:math> linea <mml:math><mml:mi>lus</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>aq</mml:mi></mml:math> aquidistante;</s> <s xml:id="s2551" xml:space="preserve"> erit <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math> inter <mml:math><mml:mi>fuab</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s2552" xml:space="preserve"> <mml:math><mml:mi>ue</mml:mi></mml:math> vero inter <mml:math><mml:mi>us</mml:mi></mml:math> et <mml:math><mml:mi>bq</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2553" xml:space="preserve"> Quare ducta <mml:math><mml:mi>srd</mml:mi></mml:math>, erit <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>bu</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>dr</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>rs</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2554" xml:space="preserve"> Ac propterea si <mml:math><mml:mi>bu</mml:mi></mml:math> dimidia est ipsius <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>sr</mml:mi></mml:math> erit dimidia ipsius <mml:math><mml:mi>rd</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2555" xml:space="preserve"> Si igitur ducatur <mml:math><mml:mi>bs</mml:mi></mml:math>, quae intelligatur consolidata cum <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math> ponaturque pondus in <mml:math><mml:mi>s</mml:mi></mml:math> duplum ponderis <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math>, aequeponderabunt pondera <mml:math><mml:mi>sd</mml:mi></mml:math> ex distantiis <mml:math><mml:mi>brrs</mml:mi></mml:math> ita constitutis.</s> <s xml:id="s2556" xml:space="preserve"> Cum sit <mml:math><mml:mi>r</mml:mi></mml:math> ipsorum centrum gravitatis in linea <mml:math><mml:mi>bq</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2557" xml:space="preserve"> Hoc est in infimo loco.</s> <s xml:id="s2558" xml:space="preserve"> Ut ex nostris mechanicis patet.</s> <s xml:id="s2559" xml:space="preserve"> Pondus igitur in <mml:math><mml:mi>s</mml:mi></mml:math> aequegrave erit, atque <mml:math><mml:mi>u</mml:mi></mml:math> non autem pondus in <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math>, ut ipse existimat.</s> <s xml:id="s2560" xml:space="preserve"> Idem enim pondus gravius est in <mml:math><mml:mi>s</mml:mi></mml:math> quam in <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2561" xml:space="preserve"> Ut ipse fatetur quod probabitur quoque hoc modo.</s> <s xml:id="s2562" xml:space="preserve"> Nam productis <mml:math><mml:mi>lsde</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>x</mml:mi></mml:math> est quidem <mml:math><mml:mi>dz</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>zx</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>dr</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>rs</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2563" xml:space="preserve"> Atque maiorem habet proportionem <mml:math><mml:mi>dz</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ze</mml:mi></mml:math>, quam ad <mml:math><mml:mi>zx</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s2564" xml:space="preserve"> duplum igitur ponderis <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>x</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math> aequeponderabit.</s> <s xml:id="s2565" xml:space="preserve"> Positum ergo in <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math> non aequeponderabit.</s> <s xml:id="s2566" xml:space="preserve"> Et ut aequeponderet, maius erit quam duplum.</s> <s xml:id="s2567" xml:space="preserve"> Similiter ad partem <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math> ducta <mml:math><mml:mi>lgb</mml:mi></mml:math> quoniam <mml:math><mml:mi>lu</mml:mi></mml:math> est <mml:math><mml:mi>gb</mml:mi></mml:math> aequidistans;</s> <s xml:id="s2568" xml:space="preserve"> erit <mml:math><mml:mi>dg</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>gl</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>db</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>bu</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2569" xml:space="preserve"> Si igitur intelligatur <mml:math><mml:mi>bl</mml:mi></mml:math> consolidata cum <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math>, idem pondus, tam in <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math>, quam in <mml:math><mml:mi>u</mml:mi></mml:math> eidem ponderi in <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math> aequeponderabit.</s> <s xml:id="s2570" xml:space="preserve"> Cum <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math> sit centrum gravitatis ponderum in <mml:math><mml:mi>ld</mml:mi></mml:math> existentium.</s> <s xml:id="s2571" xml:space="preserve"> Non igitur pondus in <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math> aequegrave est, ut idem pondus in <mml:math><mml:mi>u</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2572" xml:space="preserve"> Praeterea secet <mml:math><mml:mi>fd</mml:mi></mml:math> ipsam <mml:math><mml:mi>lu</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2573" xml:space="preserve"> Patet idem pondus in <mml:math><mml:mi>u</mml:mi></mml:math> et in <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math> ipsi ponderi in <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math> aequeponderare.</s> <s xml:id="s2574" xml:space="preserve"> Cum sit <mml:math><mml:mi>dk</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>kb</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>db</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>bn</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>dg</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>gl</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2575" xml:space="preserve"> Minorem autem proportionem habet <mml:math><mml:mi>dk</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>kf</mml:mi></mml:math>, quam ad <mml:math><mml:mi>kh</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2576" xml:space="preserve"> Minus igitur pondus in <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math> quam duplum ipsius <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math>, ipsi <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math> aequeponderabit.</s> <s xml:id="s2577" xml:space="preserve"> Et quibus etiam constat idem pondus in <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math>, <emph style="it">et in <mml:math><mml:mi>u</mml:mi></mml:math><!--variant descriptio: diverso atramento--></emph> , et in <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math>, diversi modo gravitare.</s> <s xml:id="s2578" xml:space="preserve"> Gravius est enim in situ <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math> quam in <mml:math><mml:mi>u</mml:mi></mml:math> et in <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2579" xml:space="preserve"> <anchor type="note" xlink:label="note-0177-01a" xlink:href="note-0177-01"/> .</s> <s xml:id="s2580" xml:space="preserve"> .</s> <s xml:id="s2581" xml:space="preserve"> Fallacia vero argumenti est cum inquit, existente filo <mml:math><mml:mi>fue</mml:mi></mml:math> perpendiculari, idem pondus in <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math> et in <mml:math><mml:mi>u</mml:mi></mml:math> eodem modo gravitabit.</s> <s xml:id="s2582" xml:space="preserve"> Quod est quidem verum, si intelligatur quod eodem modo gravitet in <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math> a quo libere pendet.</s> <s xml:id="s2583" xml:space="preserve"> Cum vero inquit, quoniam punctum fili <mml:math><mml:mi>u</mml:mi></mml:math> secet <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>u</mml:mi></mml:math>, ergo pondus in puncto <mml:math><mml:mi>u</mml:mi></mml:math> librae <mml:math><mml:mi>dbu</mml:mi></mml:math>, ac propterea in <mml:math><mml:mi>u</mml:mi></mml:math> <emph style="super">brachii <mml:math><mml:mi>bn</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> eandem habebit <!--begin variant delevit post-->gravitatem<emph style="st">Et<!--end variant delevit post--></emph> ut in <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s2584" xml:space="preserve"> est falsum.</s> <s xml:id="s2585" xml:space="preserve"> Nunc enim valet consequentia pondus in filo in <mml:math><mml:mi>u</mml:mi></mml:math> eandem habet gravitatem ut in <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2586" xml:space="preserve"> Ergo pondus in <mml:math><mml:mi>u</mml:mi></mml:math> brachii <mml:math><mml:mi>bu</mml:mi></mml:math> eandem habet gravitatem ut in <!--begin variant delevit post--><mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math><emph style="st">est falsum<!--end variant delevit post--></emph> .</s> <s xml:id="s2587" xml:space="preserve"> Veluti quoque falsum est propter filum pondus in <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math> est aequegrave, ut <!--begin variant delevit post-->pondus<emph style="st">aliquot literas<!--end variant delevit post--></emph> in <mml:math><mml:mi>u</mml:mi></mml:math> brachii <mml:math><mml:mi> bu</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2588" xml:space="preserve"> Non est igitur haec vera et proxima <!--milestone lacs-->, et per se harum gravitatum.</s> <s xml:id="s2589" xml:space="preserve"> Ut ipse profitetur.</s> <s xml:id="s2590" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="1"> <note position="left" xlink:label="note-0177-01" xlink:href="note-0177-01a" xml:space="preserve"> In <mml:math><mml:mi>u</mml:mi></mml:math> vero gravius, quam in <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math><!--variant signopositoinmargine--> </note> </div> <pb o="145bis" file="0178" n="178"/> <figure> <image file="med145bis" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med145bis"/> </figure> <p> <s xml:id="s2591" xml:space="preserve"> Libra <mml:math><mml:mi>abd</mml:mi></mml:math> habeat <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> horizonti aequidistans.</s> <s xml:id="s2592" xml:space="preserve"> Ponderaque in <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math> maneant.</s> <s xml:id="s2593" xml:space="preserve"> Primum ducta <mml:math><mml:mi>dc</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> perpendiculari, dico pondus <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math> ad pondus <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> esse, ut <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2594" xml:space="preserve"> Sit <mml:math><mml:mi>bk</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> perpendicularis, et in centrum mundi tendat, <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">sintque <mml:math><mml:mi>ah</mml:mi></mml:math></emph>iungaturque<!--end variant delevit ante--> <mml:math><mml:mi>agd</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2595" xml:space="preserve"> Et quoniam pondera manent, erit ex nostris mechanicis punctum <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math> centrum gravitatis, et ut pondus <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math> ad pondus <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math>, it <mml:math><mml:mi>ag</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>gd</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2596" xml:space="preserve"> Et quoniam <mml:math><mml:mi>bgdc</mml:mi></mml:math> sunt parallelae erit <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> ut <mml:math><mml:mi>ag</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>gd</mml:mi></mml:math>, hoc est ut pondus <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2597" xml:space="preserve"> <anchor type="note" xlink:label="note-0178-01a" xlink:href="note-0178-01"/> <reg norm="idem pondus" type="context">aequalia pondera<!--variant correxitex --></reg> in <!--begin variant delevit post--><mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math><emph style="st">ad idem pondus in <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math> (intelligatur semper pondera in hoc situ ut et invicem connexa, et non separata)<!--end variant delevit post--></emph> ita esse <emph style="super">pondus <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> ad pondus <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> ut <mml:math><mml:mi>ag</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>gd</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2598" xml:space="preserve"> Sit enim ob evitandam confusionem pondus <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math>, quod intelligatur in <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> aequale existens ipsi ponderi in <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2599" xml:space="preserve"> Quoniam enim pondus in <!--begin variant delevit post--><mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math><emph style="st">aliquot verba<!--end variant delevit post--></emph> ad pondus in <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> <emph style="super">cui aequeponderat<!--variant supralineam--></emph> est ut <mml:math><mml:mi>ag</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>gd</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2600" xml:space="preserve"> Pondus vero in <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math> eandem habet <!--begin variant delevit post-->gravitatem<emph style="st">aliquot literas<!--end variant delevit post--></emph> ut pondus in <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math>, ergo pondus <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math> ad <emph style="super">pondus <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> scilicet ad<!--variant supralineam--></emph> pondus in <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math> est ut <mml:math><mml:mi>ag</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>gd</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2601" xml:space="preserve"> Et per consequens ut <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2602" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="2"> <note position="left" xlink:label="note-0178-01" xlink:href="note-0178-01a" xml:space="preserve"> Ex hoc patet<!--variant signopositoinmargine--> </note> </div> <p> <s xml:id="s2603" xml:space="preserve"> Levius ergo est pondus in <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math> quam pondus in <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math>, quando minor est <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> quam <mml:math><mml:mi>ba</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2604" xml:space="preserve"> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">dummodo intelligantur pondera connexa</emph>Quod<!--end variant delevit ante--> demonstrare oportebat.</s> <s xml:id="s2605" xml:space="preserve"> Sit deinde planum <reg norm="de" type="context">pde<!--variant correxitex --></reg> horizonti <emph style="super">inclinatum<!--variant supralineam--></emph> , et per <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> horizonti erectum <emph style="super">sitque <mml:math><mml:mi>df</mml:mi></mml:math> horizonti aequidistans<!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s2606" xml:space="preserve"> Dico potentiam pondus sustinentem in <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> ad potentiam idem pondus sustinentem super <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math>, ita esse, ut <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2607" xml:space="preserve"> <emph style="super">Intelligatur idem pondus in <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s2608" xml:space="preserve"> Quoniam enim pondus in <reg norm="e" type="context">n<!--variant correxitex --></reg> super <reg norm="ef" type="context">no<!--variant correxitex --></reg> est, ac si esset libra <reg norm="abe" type="context">abn<!--variant correxitex --></reg> <emph style="super">essetque<!--variant supralineam--></emph> pondus in brachio <!--begin variant delevit post--><mml:math><mml:mi>bn</mml:mi></mml:math><emph style="st">ut patet centro <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math> intervalloque <mml:math><mml:mi>be</mml:mi></mml:math> circulo descripto <mml:math><mml:mi>em</mml:mi></mml:math><!--end variant delevit post--></emph> , cum sit <emph style="bf"><mml:math><mml:mi>bnp</mml:mi></mml:math><!--variant postcorrectionem--></emph> angulus rectus.</s> <s xml:id="s2609" xml:space="preserve"> Similiter ob eandem causam pondus in <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math> super <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math> est ac si esset in brachio <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math>, cum sit <mml:math><mml:mi>bde</mml:mi></mml:math> angulus quoque rectus.</s> <s xml:id="s2610" xml:space="preserve"> Hoc enim modo pondera tangunt <!--begin variant delevit post-->plana<emph style="st">ucatur <mml:math><mml:mi>npo</mml:mi></mml:math> ipsis <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>bk</mml:mi></mml:math> aequidistans<!--end variant delevit post--></emph> quoniam enim similiter pondus in <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math> super planum <mml:math><mml:mi>npo</mml:mi></mml:math> est ac si esset in brachio <mml:math><mml:mi>bn</mml:mi></mml:math> pondus vero in <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math> est aequegrave ut in <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> erit pondus in <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math> ad pondus <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math> ut <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> hoc est <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2611" xml:space="preserve"> Et quoniam triangula <mml:math><mml:mi>cdeedf</mml:mi></mml:math> <emph style="super"><mml:math><mml:mi>pdo</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> sunt similia, <!--begin variant delevit post-->et<emph style="st">aliquot literas<!--end variant delevit post--></emph> <mml:math><mml:mi>cde</mml:mi></mml:math> simile est ipsi <mml:math><mml:mi>bdc</mml:mi></mml:math> erit <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> ut <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math>, hoc est ut <mml:math><mml:mi>dp</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>po</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2612" xml:space="preserve"> <anchor type="note" xlink:label="note-0178-02a" xlink:href="note-0178-02"/> in <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math> sustinetur a pondere <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2613" xml:space="preserve"> Pondus vero <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math> sustinetur a pondere in <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math>, pondus vero in <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math> ad ipsum in <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> est ut <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> <emph style="super">hoc est <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> ad <mml:math><mml:mi>be</mml:mi></mml:math>, ergo potentia sustinens pondus super <mml:math><mml:mi>no</mml:mi></mml:math> ad potentiam pondus sustinens super <mml:math><mml:mi>dpe</mml:mi></mml:math> est ut <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2614" xml:space="preserve"> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">quod ostendere oportebat</emph>Eodem<!--end variant delevit ante--> autem modo sustinetur pondus super <mml:math><mml:mi>dp</mml:mi></mml:math>, veluti super <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math>, et super <mml:math><mml:mi>po</mml:mi></mml:math>, ut super <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> ergo potentia sustinens pondus super <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math> ad eam, quae sustinet <emph style="super">pondus<!--variant supralineam--></emph> super <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> est ut <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2615" xml:space="preserve"> Quod demonstrare oportebat.</s> <s xml:id="s2616" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="3"> <note position="left" xlink:label="note-0178-02" xlink:href="note-0178-02a" xml:space="preserve"> Pondus autem<!--variant signopositoinmargine--> </note> </div> </div> <div type="section" level="1" n="77"> <head xml:id="head78" xml:space="preserve"> <pb file="0179" n="179"/> <pb o="146" file="0180" n="180"/> Contra capitulum 3 eiusdem </head> <figure> <image file="med146" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med146"/> </figure> <p> <s xml:id="s2617" xml:space="preserve"> Falsum est igitur ex dictis, quod in principio tertii capitoli inquit.</s> <s xml:id="s2618" xml:space="preserve"> Praeterea demonstratio falsa quoque videtur.</s> <s xml:id="s2619" xml:space="preserve"> Inquit enim sint <mml:math><mml:mi>ec</mml:mi></mml:math> duo pondera, aut duae virtutes, ita ut intelligat, et supponat virtutes ponderum officio fungi.</s> <s xml:id="s2620" xml:space="preserve"> Intelligantur itaque ad maiorem evidentia duo pondera <mml:math><mml:mi>ec</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2621" xml:space="preserve"> Sitque <mml:math><mml:mi>bac</mml:mi></mml:math> angulus primum acutus.</s> <s xml:id="s2622" xml:space="preserve"> Et quoniam pondus (inquit) in <mml:math><mml:mi>i</mml:mi></mml:math> aequale <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math> aequeponderat, cum sit pondus <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> ad pondus <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>bo</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>oi</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2623" xml:space="preserve"> Quia vero facta est <mml:math><mml:mi>oi</mml:mi></mml:math> aequalis <mml:math><mml:mi>ot</mml:mi></mml:math> inquit.</s> <s xml:id="s2624" xml:space="preserve"> <emph style="ul">Si loco <mml:math><mml:mi>oi</mml:mi></mml:math> imaginabimur <mml:math><mml:mi>ot</mml:mi></mml:math> consolidata cum <mml:math><mml:mi>ob</mml:mi></mml:math>, et per lineam <mml:math><mml:mi>tc</mml:mi></mml:math> attractam virtute <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math>, similiter quoque continget, ut <mml:math><mml:mi>bot</mml:mi></mml:math>, communi quadam scientia, non moveatur situ</emph>.</s> <s xml:id="s2625" xml:space="preserve"> Fateor me hanc quamdam communem scientiam non intelligere.</s> <s xml:id="s2626" xml:space="preserve"> At propendamus sensum quod nil aliud significat, nisi quod idem pondus ipsi <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> aequale, in <mml:math><mml:mi>i</mml:mi></mml:math>, rectam libram <mml:math><mml:mi>boi</mml:mi></mml:math>, idemque pondus <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> consolidatam libram <mml:math><mml:mi>botc</mml:mi></mml:math>, ponderi <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math> aequeponderat.</s> <s xml:id="s2627" xml:space="preserve"> Quod esse non potest.</s> <s xml:id="s2628" xml:space="preserve"> Nam si intelligatur linea <mml:math><mml:mi>ba</mml:mi></mml:math> horizonti aequidistans.</s> <s xml:id="s2629" xml:space="preserve"> Centroque <mml:math><mml:mi>o</mml:mi></mml:math> circulus describatur <mml:math><mml:mi>it</mml:mi></mml:math>, idem pondus gravius erit in <mml:math><mml:mi>i</mml:mi></mml:math>, quam in <mml:math><mml:mi>t</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2630" xml:space="preserve"> Quare pondus in <mml:math><mml:mi>t</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> aequale non aequeponderabit libram <mml:math><mml:mi>tob</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2631" xml:space="preserve"> Quod patet etiam ducta primum <mml:math><mml:mi>oq</mml:mi></mml:math> linea perpendiculari, quam ipse lineam verticalem, et axem horizontis nuncupat.</s> <s xml:id="s2632" xml:space="preserve"> Deinde ducatur <mml:math><mml:mi>id</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>oq</mml:mi></mml:math> aequidistans, ducaturque <mml:math><mml:mi>bftd</mml:mi></mml:math>:</s> <s xml:id="s2633" xml:space="preserve"> erit <mml:math><mml:mi>bf</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>fd</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>bo</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>oi</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2634" xml:space="preserve"> Si igitur intelligatur <mml:math><mml:mi>od</mml:mi></mml:math> consolidata cum <mml:math><mml:mi>ob</mml:mi></mml:math>, idem pondus in <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math> aequeponberabit.</s> <s xml:id="s2635" xml:space="preserve"> Cum punctum <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math> ponderum in <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math> centrum gravitatis existens sit in linea <emph style="bf"><mml:math><mml:mi>ofq</mml:mi></mml:math><!--variant postcorrectionem--></emph> .</s> <s xml:id="s2636" xml:space="preserve"> Pondus ergo in <mml:math><mml:mi>t</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math> non aequeponderabit.</s> <s xml:id="s2637" xml:space="preserve"> Multoque minus pondus <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math> aequeponderare potest.</s> <s xml:id="s2638" xml:space="preserve"> Nam si iungatur <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math>, fiatque ut <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math>, ita <mml:math><mml:mi>bs</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>sc</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s2639" xml:space="preserve"> erit <mml:math><mml:mi>s</mml:mi></mml:math> ponderum centrum gravitatis.</s> <s xml:id="s2640" xml:space="preserve"> Quod quidem in linea <mml:math><mml:mi>oq</mml:mi></mml:math> existere non potest.</s> <s xml:id="s2641" xml:space="preserve"> Productis enim <mml:math><mml:mi>idbc</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>x</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s2642" xml:space="preserve"> erit <mml:math><mml:mi>bo</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>oi</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>bu</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ux</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2643" xml:space="preserve"> Quare ducta <mml:math><mml:mi>ox</mml:mi></mml:math>, quae intelligatur consolidata cum <mml:math><mml:mi>bo</mml:mi></mml:math>, pondus in <mml:math><mml:mi>x</mml:mi></mml:math> aequale ipsi <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> ponderi <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math> aequeponderabit.</s> <s xml:id="s2644" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s2645" xml:space="preserve"> Itaque existente pondere <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> in recta linea <mml:math><mml:mi>bcx</mml:mi></mml:math>, intelligaturque ducta <mml:math><mml:mi>co</mml:mi></mml:math> consolidata cum <mml:math><mml:mi>ob</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s2646" xml:space="preserve"> pondus <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> non aequeponderabit <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2647" xml:space="preserve"> Idem enim sequitur sive intelliganturque <mml:math><mml:mi>coob</mml:mi></mml:math> consolidatae, sive <mml:math><mml:mi>cttoob</mml:mi></mml:math> consolidatae.</s> <s xml:id="s2648" xml:space="preserve"> Non enim punctum <mml:math><mml:mi>u</mml:mi></mml:math> esse potest centrum gravitatis ponderum in <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> existentium.</s> <s xml:id="s2649" xml:space="preserve"> Cum maiorem habeat proportionem <mml:math><mml:mi>bu</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>uc</mml:mi></mml:math> quam ad <mml:math><mml:mi>ux</mml:mi></mml:math>, ac propterea maiorem quam pondus <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2650" xml:space="preserve"> Quare centrum gravitatis <mml:math><mml:mi>s</mml:mi></mml:math> ponderum in <mml:math><mml:mi>cb</mml:mi></mml:math> est inter <mml:math><mml:mi>ub</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2651" xml:space="preserve"> Numquam autem manebit libra <mml:math><mml:mi>cotb</mml:mi></mml:math>, donec punctum <mml:math><mml:mi>s</mml:mi></mml:math> sit in linea <mml:math><mml:mi>oq</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2652" xml:space="preserve"> Ergo non aequeponderabunt.</s> <s xml:id="s2653" xml:space="preserve"> .</s> <s xml:id="s2654" xml:space="preserve"> Similiter existente <mml:math><mml:mi>bac</mml:mi></mml:math> angulo obtuso, ostendetur pondus in <mml:math><mml:mi>t</mml:mi></mml:math> minorem habere gravitatem, quam in <mml:math><mml:mi>i</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2655" xml:space="preserve"> Deinde pondus in <mml:math><mml:mi>x</mml:mi></mml:math> aequale ipsi <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> aequeponderare ipsi <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s2656" xml:space="preserve"> cum sit <mml:math><mml:mi>bu</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ux</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>bo</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>oi</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2657" xml:space="preserve"> Si itaque sit <mml:math><mml:mi>s</mml:mi></mml:math> centrum gravitatis ponderum in <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s2658" xml:space="preserve"> erit <mml:math><mml:mi>s</mml:mi></mml:math> inter <mml:math><mml:mi>uc</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2659" xml:space="preserve"> Quare cum non sit <mml:math><mml:mi>s</mml:mi></mml:math> in linea <mml:math><mml:mi>oq</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2660" xml:space="preserve"> Pondera <mml:math><mml:mi>ce</mml:mi></mml:math> consolidatam libram <mml:math><mml:mi>ctob</mml:mi></mml:math> non aequepoberabunt.</s> <s xml:id="s2661" xml:space="preserve"> Falsa igitur est demonstratio.</s> <s xml:id="s2662" xml:space="preserve"> Fallacia vero est, cum inquit, continget, ut <mml:math><mml:mi>bot</mml:mi></mml:math> communi quadam scientia, non moveatur situ.</s> <s xml:id="s2663" xml:space="preserve"> Et est omnino falsum si intelligatur <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> esse pondus, quod in centrum mundi sempre tendit.</s> <s xml:id="s2664" xml:space="preserve"> Ut ipse supponere videtur.</s> <s xml:id="s2665" xml:space="preserve"> Et ut ipse in seguentibus capitolis accipit hoc tamquam de ponderibus demonstratum.</s> <s xml:id="s2666" xml:space="preserve"> At vero si intelligatur <mml:math><mml:mi>i</mml:mi></mml:math> potentia movens, ut hominis, qui potest trahere <mml:math><mml:mi>t</mml:mi></mml:math> per rectam lineam <mml:math><mml:mi>tc</mml:mi></mml:math>, tunc vera esse potest demonstratio.</s> <s xml:id="s2667" xml:space="preserve"> Ut patet <emph style="super">ex tractatum de axe in peritrochio nostrorum Mechanicorum<!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s2668" xml:space="preserve"> Notandum tamen, quod conclusiones per communem quandam scientiam deductae, non sunt periti mathematici cum propriis uti oporteat.</s> <s xml:id="s2669" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med146_2" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med146_2"/> </figure> <p> <s xml:id="s2670" xml:space="preserve"> Ex hac etiam figura magis patet absurdum, hoc est pondera <mml:math><mml:mi>ec</mml:mi></mml:math> aequeponderare non posse.</s> <s xml:id="s2671" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="147" file="0181" n="181"/> <figure> <image file="med147" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med147"/> </figure> <p xml:lang="it"> <s xml:id="s2672" xml:space="preserve"> Circa le machine è d'avertir, che alcuna volta per comodità, come per la strettezza del luogo, dove si ha da metter la machina;</s> <s xml:id="s2673" xml:space="preserve"> come anche non si potendo far le machine grandissime per la difficultà di metterle in opera, o per altro rispetto, all'hora si pò divider una machina in più parte, come per esempio.</s> <s xml:id="s2674" xml:space="preserve"> Se la ruota <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math> voltarà il suo rochello, et il suo rochello voltarà la ruota <mml:math><mml:mi>ce</mml:mi></mml:math>, et <!--begin variant delevit post-->il<emph style="st">suo<!--end variant delevit post--></emph> rochello di <mml:math><mml:mi>ce</mml:mi></mml:math> volti poi unaltra cosa;</s> <s xml:id="s2675" xml:space="preserve"> et la proportion delle ruote a i suoi rochelli sia per esempio dupla.</s> <s xml:id="s2676" xml:space="preserve"> La forza in <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math> a quella che è in <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math> sarà quadrupla.</s> <s xml:id="s2677" xml:space="preserve"> Ma volendo mover'una cosa in <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math> con una sola ruota con la medesima forza, bisognarà far una rota grande atorno al rochello <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math>, che gli sia quadrupla come <mml:math><mml:mi>gh</mml:mi></mml:math>, et occuparà più spatio <mml:math><mml:mi>gh</mml:mi></mml:math>, che non fa da <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math> per diritto.</s> <s xml:id="s2678" xml:space="preserve"> Che in questo caso quando le ruote et li rochelli fussero aequali (dico delle piccole) sarebbe quanto da otto a sette.</s> <s xml:id="s2679" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med147_2" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med147_2"/> </figure> <p xml:lang="it"> <s xml:id="s2680" xml:space="preserve"> E se fussero tre ruote medesimamente in dupla proportione a i suoi rochelli, all'hora la forza <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math> sarà ottupla all'<mml:math><mml:mi> f</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s2681" xml:space="preserve"> che volendo far una sola ruota, come <mml:math><mml:mi>gh</mml:mi></mml:math>, laqual sia ottupla al suo rochello, questa occuparà più spatio, che non fanno le tre;</s> <s xml:id="s2682" xml:space="preserve"> e sarà come da 16 a 10 cioè 8 a 5.</s> <s xml:id="s2683" xml:space="preserve"> È ben vero che la ruota sola <mml:math><mml:mi>gf</mml:mi></mml:math> sarà più sbrigata;</s> <s xml:id="s2684" xml:space="preserve"> perchè non ha senò una sola resistenza di un fuso solo, che le altre tanto ne hanno più;</s> <s xml:id="s2685" xml:space="preserve"> quant'hanno più fusi.</s> <s xml:id="s2686" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med147_3" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med147_3"/> </figure> <p> <s xml:id="s2687" xml:space="preserve"> In circulo <mml:math><mml:mi>bcd</mml:mi></mml:math>, cuius centrum <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math>, sit brachium <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2688" xml:space="preserve"> Iam constat ex nostro mechanicorum libro, tractatum de axe in peritrochio pondus <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math> ad pondus <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math> libra existente <mml:math><mml:mi>bad</mml:mi></mml:math> ita esse, ut <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>eb</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2689" xml:space="preserve"> Producantur vero brachia <mml:math><mml:mi>abad</mml:mi></mml:math> aequaliter;</s> <s xml:id="s2690" xml:space="preserve"> eademque pondera ponantur in <mml:math><mml:mi>fh</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2691" xml:space="preserve"> Dico similiter aequeponderare quando <mml:math><mml:mi>bf</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>dh</mml:mi></mml:math> sunt aequalia, erit <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>bf</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>dh</mml:mi></mml:math>, quare <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>fh</mml:mi></mml:math> est aequidistans.</s> <s xml:id="s2692" xml:space="preserve"> Ac propterea <mml:math><mml:mi>bdfh</mml:mi></mml:math> a linea <mml:math><mml:mi>aeg</mml:mi></mml:math> in eadem dividuntur proportione.</s> <s xml:id="s2693" xml:space="preserve"> Erit igitur <mml:math><mml:mi>be</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ed</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>gh</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2694" xml:space="preserve"> Ac propterea, cum sit <mml:math><mml:mi>aeg</mml:mi></mml:math> horizonti perpendicularis, pondera in <mml:math><mml:mi>fh</mml:mi></mml:math> aequiponderare perspicuum est.</s> <s xml:id="s2695" xml:space="preserve"> </s> </p> </div> <div type="section" level="1" n="78"> <head xml:id="head79" xml:space="preserve"> <pb o="148" file="0182" n="182"/> Problema </head> <p> <s xml:id="s2696" xml:space="preserve"> Quotcumque datis circulis circulum invenire circumferentiam omnibus datis circulorum circumferentiis simul sumptis aequalem habentem.</s> <s xml:id="s2697" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s2698" xml:space="preserve"> Quotcumque sint dati circuli <mml:math><mml:mi>abcbdedfg</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2699" xml:space="preserve"> Circulum invenire oportet, qui circumferentiam habeat circumferentiis <mml:math><mml:mi>abcbdedfg</mml:mi></mml:math> simul sumptis aequalem.</s> <s xml:id="s2700" xml:space="preserve"> Exponantur circuli ita ut eorum diametri <mml:math><mml:mi>abbddf</mml:mi></mml:math> in <!--begin variant delevit post-->recta<emph style="st">aliquot literas<!--end variant delevit post--></emph> sint linea.</s> <s xml:id="s2701" xml:space="preserve"> Et circa diametrum <mml:math><mml:mi>af</mml:mi></mml:math> circulus describatur <mml:math><mml:mi>afh</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2702" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med148" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med148"/> </figure> <p> <s xml:id="s2703" xml:space="preserve"> Quoniam igitur ex Pappo in <anchor type="note" xlink:label="note-0182-01a" xlink:href="note-0182-01"/> et octavo libro mathematicarum collectionum ita se habet circumferentia <mml:math><mml:mi>afh</mml:mi></mml:math> ad circumferentiam <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math>, ut diameter <mml:math><mml:mi>af</mml:mi></mml:math> ad diametrum <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math>, similiter <mml:math><mml:mi>af</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math>, ut circumferentia <mml:math><mml:mi>afh</mml:mi></mml:math> ad <!--begin variant delevit post--><mml:math><mml:mi> bde</mml:mi></mml:math><emph style="st">erit <mml:math><mml:mi>af</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math> simul, ut circumferentia <mml:math><mml:mi>afh</mml:mi></mml:math> ad circumferentias <mml:math><mml:mi>abcbde</mml:mi></mml:math> simul sumptis.</emph></s> <s xml:id="s2704" xml:space="preserve"> <emph style="st">Eademque ratione quoniam est <mml:math><mml:mi>af</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>df</mml:mi></mml:math><!--end variant delevit post--></emph> , <emph style="super">et adhuc<!--variant supralineam--></emph> ut circumferentia <mml:math><mml:mi>afh</mml:mi></mml:math> ad circumferentiam <mml:math><mml:mi>dfg</mml:mi></mml:math>, <emph style="super">ita <mml:math><mml:mi>af</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>df</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> erit <mml:math><mml:mi>af</mml:mi></mml:math> ad omnes diametros <mml:math><mml:mi>abbddf</mml:mi></mml:math> simul sumptos, ut circumferentia <mml:math><mml:mi>afh</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>abcbdedfg</mml:mi></mml:math> circumferentias simul sumptas:</s> <s xml:id="s2705" xml:space="preserve"> et vero <mml:math><mml:mi>af</mml:mi></mml:math> omnibus diametris simul sumptis aequalis.</s> <s xml:id="s2706" xml:space="preserve"> Ergo circumferentia <mml:math><mml:mi>afh</mml:mi></mml:math> circumferentiis <mml:math><mml:mi>abcbdedfg</mml:mi></mml:math> simul sumptis aequalis existit.</s> <s xml:id="s2707" xml:space="preserve"> Quod fieri oportebat.</s> <s xml:id="s2708" xml:space="preserve"> Et ita si plures dati fuerint circuli.</s> <s xml:id="s2709" xml:space="preserve"> Quorum diametri in directum ponantur et caetera.</s> <s xml:id="s2710" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="1"> <note position="left" xlink:label="note-0182-01" xlink:href="note-0182-01a" xml:space="preserve"> quinto<!--variant edspatium rel--> </note> </div> </div> <div type="section" level="1" n="79"> <head xml:id="head80" xml:space="preserve"> <pb o="149" file="0183" n="183"/> Error Francisci Barocii </head> <p> <s xml:id="s2711" xml:space="preserve"> Decima demonstratio libri Francisci Barocii de lineis assymptotis omnino falsa est.</s> <s xml:id="s2712" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s2713" xml:space="preserve"> Nam cum inquit (in eius figura) lineam <mml:math><mml:mi>ik</mml:mi></mml:math> rectam esse non posse, decipitur.</s> <s xml:id="s2714" xml:space="preserve"> Primumque in ipsamet figura recta apparet.</s> <s xml:id="s2715" xml:space="preserve"> Nos vero rectam esse posse <emph style="super">atque lineas aequidistantes<!--variant supralineam--></emph> <reg norm="omnesque" type="context">omnes<!--variant correxitex --></reg> conditiones, quas ipse in constructione ponit, habere posse;</s> <s xml:id="s2716" xml:space="preserve"> hoc modo ostendemus.</s> <s xml:id="s2717" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med149" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med149"/> </figure> <p> <s xml:id="s2718" xml:space="preserve"> Tangant intus sese circuli <mml:math><mml:mi>xbcxefxpk</mml:mi></mml:math> in puncto <mml:math><mml:mi>x</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2719" xml:space="preserve"> Quorum quidem circulorum centra sint <mml:math><mml:mi>adg</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2720" xml:space="preserve"> Sitque <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>dg</mml:mi></mml:math> aequalis.</s> <s xml:id="s2721" xml:space="preserve"> Et utcumque ducatur <mml:math><mml:mi>xbtu</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2722" xml:space="preserve"> Dico primum <mml:math><mml:mi>bt</mml:mi></mml:math> aequalem esse <mml:math><mml:mi>tu</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2723" xml:space="preserve"> Primum quidem <mml:math><mml:mi>xu</mml:mi></mml:math>, vel ducta est per centra <mml:math><mml:mi>adg</mml:mi></mml:math>, vel minus.</s> <s xml:id="s2724" xml:space="preserve"> Si ducta est per centra <mml:math><mml:mi>adg</mml:mi></mml:math> ut <mml:math><mml:mi>acfk</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2725" xml:space="preserve"> Ostendendum est <mml:math><mml:mi>cf</mml:mi></mml:math> aequalem esse <mml:math><mml:mi>fk</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2726" xml:space="preserve"> Quod cum sint <mml:math><mml:mi>ax</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> aequales, et <mml:math><mml:mi>dxdf</mml:mi></mml:math> aequales, superetque <mml:math><mml:mi>dx</mml:mi></mml:math> ipsam <mml:math><mml:mi>ax</mml:mi></mml:math> quantitate <mml:math><mml:mi>da</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s2727" xml:space="preserve"> superabit et <mml:math><mml:mi>df</mml:mi></mml:math> ipsam <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> eadem quantitate <mml:math><mml:mi>da</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2728" xml:space="preserve"> Diameter igitur <mml:math><mml:mi>fx</mml:mi></mml:math> ipsam <mml:math><mml:mi>cx</mml:mi></mml:math> superat quantitate ipsius <mml:math><mml:mi>da</mml:mi></mml:math> dupla.</s> <s xml:id="s2729" xml:space="preserve"> Sed <mml:math><mml:mi>fx</mml:mi></mml:math> superat <mml:math><mml:mi>cx</mml:mi></mml:math> quantitate etiam <mml:math><mml:mi>cf</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2730" xml:space="preserve"> Ergo <mml:math><mml:mi>cf</mml:mi></mml:math> dupla est ipsius <mml:math><mml:mi>da</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2731" xml:space="preserve"> Eademque prorsus ratione ostendetur <mml:math><mml:mi>fk</mml:mi></mml:math> duplam esse <mml:math><mml:mi>dg</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2732" xml:space="preserve"> Sunt vero <mml:math><mml:mi>addg</mml:mi></mml:math> aequales:</s> <s xml:id="s2733" xml:space="preserve"> ergo et earum duplae, hoc est <mml:math><mml:mi>cffk</mml:mi></mml:math> inter se sunt aequales.</s> <s xml:id="s2734" xml:space="preserve"> Non transeat autem <mml:math><mml:mi>xu</mml:mi></mml:math> per centra.</s> <s xml:id="s2735" xml:space="preserve"> Iunganturque <mml:math><mml:mi>bctfuk</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2736" xml:space="preserve"> Quoniam igitur anguli <mml:math><mml:mi>kuxftxcbx</mml:mi></mml:math> in semicirculis <anchor type="note" xlink:label="note-0183-01a" xlink:href="note-0183-01"/> sunt recti, ac propterea invicem aequales, erunt <mml:math><mml:mi>uktfbc</mml:mi></mml:math> <anchor type="note" xlink:label="note-0183-02a" xlink:href="note-0183-02"/> inter se parallelae.</s> <s xml:id="s2737" xml:space="preserve"> Quae cum secent lineas <mml:math><mml:mi>btucfk</mml:mi></mml:math> <anchor type="note" xlink:label="note-0183-03a" xlink:href="note-0183-03"/> in eadem proportione;</s> <s xml:id="s2738" xml:space="preserve"> erit <mml:math><mml:mi>cf</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>fk</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>bt</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>tu</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2739" xml:space="preserve"> Quare <mml:math><mml:mi>bt</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>tu</mml:mi></mml:math> aequalis existit.</s> <s xml:id="s2740" xml:space="preserve"> Similiter si plures essent circuli idem ostedentur.</s> <s xml:id="s2741" xml:space="preserve"> Dico insuper <mml:math><mml:mi>bt</mml:mi></mml:math> minorem esse <mml:math><mml:mi>cf</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2742" xml:space="preserve"> Cum enim sit <mml:math><mml:mi>cbx</mml:mi></mml:math> angulus rectus;</s> <s xml:id="s2743" xml:space="preserve"> erit <mml:math><mml:mi>bcx</mml:mi></mml:math> acutus.</s> <s xml:id="s2744" xml:space="preserve"> Ac propterea <mml:math><mml:mi>xc</mml:mi></mml:math> <anchor type="note" xlink:label="note-0183-04a" xlink:href="note-0183-04"/> maior est <mml:math><mml:mi>xb</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2745" xml:space="preserve"> Et quoniam <anchor type="note" xlink:label="note-0183-05a" xlink:href="note-0183-05"/> est <mml:math><mml:mi>xc</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>cf</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>xb</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>bt</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s2746" xml:space="preserve"> erit permutando <mml:math><mml:mi>xc</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>xb</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>cf</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>bt</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2747" xml:space="preserve"> Et est <mml:math><mml:mi>xc</mml:mi></mml:math> maior quam <mml:math><mml:mi>xb</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2748" xml:space="preserve"> Ergo <mml:math><mml:mi>cf</mml:mi></mml:math> maior est, quam <mml:math><mml:mi>bt</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2749" xml:space="preserve"> Unde sequitur <mml:math><mml:mi>fk</mml:mi></mml:math> maiorem esse, quam <mml:math><mml:mi>tu</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2750" xml:space="preserve"> Praeterea ducatur <mml:math><mml:mi>xoep</mml:mi></mml:math>, ita ut sit angulus <mml:math><mml:mi>pxk</mml:mi></mml:math> maior, quam <mml:math><mml:mi>uxk</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2751" xml:space="preserve"> Dico <mml:math><mml:mi>oe</mml:mi></mml:math> adhuc minorem esse <mml:math><mml:mi>bt</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2752" xml:space="preserve"> Eodem enim modo (ductis <mml:math><mml:mi>ocefpk</mml:mi></mml:math>) ostedentur <mml:math><mml:mi>cx</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>xo</mml:mi></mml:math> ita esse, ut <mml:math><mml:mi>cf</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>oe</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2753" xml:space="preserve"> Sed quoniam <mml:math><mml:mi>cx</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>xb</mml:mi></mml:math> est, ut <mml:math><mml:mi>cf</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>bt</mml:mi></mml:math> <emph style="super">est<!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">quoddam signum</emph>autem<!--end variant delevit ante--> <mml:math><mml:mi>xo</mml:mi></mml:math> <anchor type="note" xlink:label="note-0183-06a" xlink:href="note-0183-06"/> <!--begin variant delevit post-->minor<emph style="st">est<!--end variant delevit post--></emph> , quam <mml:math><mml:mi>xb</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s2754" xml:space="preserve"> habebit <mml:math><mml:mi>cx</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>xo</mml:mi></mml:math> <anchor type="note" xlink:label="note-0183-07a" xlink:href="note-0183-07"/> maiorem proportionem, quam ad <mml:math><mml:mi>xb</mml:mi></mml:math>, ergo <mml:math><mml:mi>cf</mml:mi></mml:math> maiorem habet proportionem ad <mml:math><mml:mi>oe</mml:mi></mml:math>, quam ad <mml:math><mml:mi>bt</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2755" xml:space="preserve"> Ac propterea <anchor type="note" xlink:label="note-0183-08a" xlink:href="note-0183-08"/> minor est <mml:math><mml:mi>oe</mml:mi></mml:math>, quam <mml:math><mml:mi>bt</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2756" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="1"> <note position="left" xlink:label="note-0183-01" xlink:href="note-0183-01a" xml:space="preserve"> 31 tertii<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0183-02" xlink:href="note-0183-02a" xml:space="preserve"> 28 primi<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0183-03" xlink:href="note-0183-03a" xml:space="preserve"> 1 lemma in 13 primi Archimedis aequiponderantium<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0183-04" xlink:href="note-0183-04a" xml:space="preserve"> 19 primi<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0183-05" xlink:href="note-0183-05a" xml:space="preserve"> 2 sexti<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0183-06" xlink:href="note-0183-06a" xml:space="preserve"> ex 7 tertii<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0183-07" xlink:href="note-0183-07a" xml:space="preserve"> 8 quinti<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0183-08" xlink:href="note-0183-08a" xml:space="preserve"> 10 quinti<!--citmargsign--> </note> </div> <p> <s xml:id="s2757" xml:space="preserve"> Ex quo sequitur <mml:math><mml:mi>ep</mml:mi></mml:math> minorem esse <mml:math><mml:mi>tu</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2758" xml:space="preserve"> <!--begin variant delevit post--><mml:math><mml:mi>tu</mml:mi></mml:math><emph style="st">Sint <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> parallelae.</emph></s> <s xml:id="s2759" xml:space="preserve"><emph style="st"> Ductaque <mml:math><mml:mi>af</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> perpendicularis deinde ducatur <mml:math><mml:mi>egeh</mml:mi></mml:math> aequidistantes ipsis <mml:math><mml:mi>af,ab</mml:mi></mml:math>.</emph></s> <s xml:id="s2760" xml:space="preserve"><emph style="st"> Adhuc deinde ducatur <mml:math><mml:mi>klkm</mml:mi></mml:math> similiter aequidistantes ipsis <mml:math><mml:mi>afab</mml:mi></mml:math>.</emph></s> <s xml:id="s2761" xml:space="preserve"><emph style="st"> <!--milestone lacs--> <!--milestone lacs--> sint <mml:math><mml:mi>klkm</mml:mi></mml:math> proximiores ipsis <mml:math><mml:mi>ge</mml:mi></mml:math> <!--milestone lacs-->, quam sint <mml:math><mml:mi>eg,eh</mml:mi></mml:math> ipsis <mml:math><mml:mi>afab</mml:mi></mml:math> eodemque modo ducantur <mml:math><mml:mi>bnnf</mml:mi></mml:math> Iunganturque <mml:math><mml:mi>ae,ek,kn</mml:mi></mml:math>.</emph></s> <s xml:id="s2762" xml:space="preserve"><emph style="st"> Et hoc modo semper fiat ita tamen ut <mml:math><mml:mi>lg</mml:mi></mml:math>minor sit quam dimidia ipsius <mml:math><mml:mi>ga</mml:mi></mml:math> et <mml:math><mml:mi>bl</mml:mi></mml:math> minor quam dimidia <mml:math><mml:mi>lg</mml:mi></mml:math>, quod idem fiat in parallelis <mml:math><mml:mi>eh</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>km,nf</mml:mi></mml:math>.</emph></s> <s xml:id="s2763" xml:space="preserve"><emph style="st">Manifestum est lineam <mml:math><mml:mi>aekh</mml:mi></mml:math> cum <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math> nunquam convenire posse.</emph></s> <s xml:id="s2764" xml:space="preserve"><emph style="st"> Quod tamen est falsum nam si <mml:math><mml:mi>ga</mml:mi></mml:math> est recta linea proculdubio conveniet.</emph></s> <s xml:id="s2765" xml:space="preserve"><emph style="st"> Et falsitas similis est praedictae facillimo ostendere <mml:math><mml:mi>aek</mml:mi></mml:math> rectam esse.</emph></s><!--end variant delevit post--> </p> <figure> <image file="med149canc" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med149canc"/> </figure> <pb o="150" file="0184" n="184"/> <figure> <image file="med150" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med150"/> </figure> <p> <s xml:id="s2766" xml:space="preserve"> His cognitis, ducatur utcumque <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> recta linea, quae sit inter <mml:math><mml:mi>anxz</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2767" xml:space="preserve"> Sintque <mml:math><mml:mi>anxz</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>ax</mml:mi></mml:math> perpendiculares.</s> <s xml:id="s2768" xml:space="preserve"> Dico <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> maiorem esse <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math>:</s> <s xml:id="s2769" xml:space="preserve"> ducantur <mml:math><mml:mi>xbfh</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>xocg</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>xsd</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2770" xml:space="preserve"> Et <mml:math><mml:mi>bocscfgd</mml:mi></mml:math> iungantur.</s> <s xml:id="s2771" xml:space="preserve"> Quoniam enim <mml:math><mml:mi>cg</mml:mi></mml:math> <anchor type="note" xlink:label="note-0184-01a" xlink:href="note-0184-01"/> maior est <mml:math><mml:mi>ds</mml:mi></mml:math>, rectae lineae <mml:math><mml:mi>gdcs</mml:mi></mml:math> concurrent ex parte <mml:math><mml:mi>ds</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2772" xml:space="preserve"> Similiter quoniam <mml:math><mml:mi>fb</mml:mi></mml:math> maior est <mml:math><mml:mi>co</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>bofc</mml:mi></mml:math> ex <mml:math><mml:mi>co</mml:mi></mml:math> concurrent, quia vero <mml:math><mml:mi>fc</mml:mi></mml:math> producta, ut in <mml:math><mml:mi>u</mml:mi></mml:math>, cadit <mml:math><mml:mi>cu</mml:mi></mml:math> extra circulum <mml:math><mml:mi>csx</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2773" xml:space="preserve"> Linea <mml:math><mml:mi>cs</mml:mi></mml:math> in circulo multo magis cum <mml:math><mml:mi>bo</mml:mi></mml:math> concurret.</s> <s xml:id="s2774" xml:space="preserve"> Ac propterea ducta <mml:math><mml:mi>cm</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>bo</mml:mi></mml:math> aequidistans;</s> <s xml:id="s2775" xml:space="preserve"> erunt <mml:math><mml:mi>cscu</mml:mi></mml:math> inter lineas <mml:math><mml:mi>cmbo</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2776" xml:space="preserve"> Quoniam autem <mml:math><mml:mi>gd</mml:mi></mml:math> cum <mml:math><mml:mi>cs</mml:mi></mml:math> convenit, eadem <mml:math><mml:mi>gd</mml:mi></mml:math> multo magis cum <mml:math><mml:mi>cm</mml:mi></mml:math> conveniet.</s> <s xml:id="s2777" xml:space="preserve"> Ducta igitur <mml:math><mml:mi>ge</mml:mi></mml:math> ipsis <mml:math><mml:mi>cmbo</mml:mi></mml:math> aequidistans;</s> <s xml:id="s2778" xml:space="preserve"> erit <mml:math><mml:mi>gd</mml:mi></mml:math> inter lineas <mml:math><mml:mi>gecm</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2779" xml:space="preserve"> Unde <mml:math><mml:mi>ge</mml:mi></mml:math> ipsam <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math> extra circulum secabit, ut in <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2780" xml:space="preserve"> At vero quoniam lineae <mml:math><mml:mi>becocg</mml:mi></mml:math> a lineis dividuntur aequidistantibus <mml:math><mml:mi>bocmge</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s2781" xml:space="preserve"> erit <anchor type="note" xlink:label="note-0184-02a" xlink:href="note-0184-02"/> <mml:math><mml:mi>oc</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>cg</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ce</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2782" xml:space="preserve"> Est autem <mml:math><mml:mi>oc</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>cg</mml:mi></mml:math> <anchor type="note" xlink:label="note-0184-03a" xlink:href="note-0184-03"/> aequalis;</s> <s xml:id="s2783" xml:space="preserve"> ergo <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>ce</mml:mi></mml:math> est aequalis.</s> <s xml:id="s2784" xml:space="preserve"> Quare <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> maior est, quam <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2785" xml:space="preserve"> Et ita si plures essent circuli lineae semper minores erunt.</s> <s xml:id="s2786" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="2"> <note position="left" xlink:label="note-0184-01" xlink:href="note-0184-01a" xml:space="preserve"> ex proxime demonstratis<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0184-02" xlink:href="note-0184-02a" xml:space="preserve"> <reg norm="primo" type="context"> :<!--variant 2 variants--></reg> lemma in 13 primi Archimedis aequeponderantium<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0184-03" xlink:href="note-0184-03a" xml:space="preserve"> ex proxime demonstratis<!--citmargsign--> </note> </div> <figure> <image file="med150_2" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med150_2"/> </figure> <p> <s xml:id="s2787" xml:space="preserve"> Ductis denique <mml:math><mml:mi>tbluckdq</mml:mi></mml:math> ipsis <mml:math><mml:mi>anxz</mml:mi></mml:math> aequidistantibus.</s> <s xml:id="s2788" xml:space="preserve"> Et a punctis <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math> ipsis <mml:math><mml:mi>tluk</mml:mi></mml:math> perpendiculares ducantur <mml:math><mml:mi>ctdu</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2789" xml:space="preserve"> Dico <mml:math><mml:mi>ct</mml:mi></mml:math> maiorem esse <mml:math><mml:mi>du</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2790" xml:space="preserve"> Quoniam anim ob similitudinem triangulorum <mml:math><mml:mi>bctcdu</mml:mi></mml:math>, ita est <anchor type="note" xlink:label="note-0184-04a" xlink:href="note-0184-04"/> <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ct</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>du</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2791" xml:space="preserve"> Erit <anchor type="note" xlink:label="note-0184-05a" xlink:href="note-0184-05"/> permutando <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>ct</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>du</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2792" xml:space="preserve"> Est vero <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> maior <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s2793" xml:space="preserve"> erit igitur <mml:math><mml:mi>ct</mml:mi></mml:math> maior, quam <mml:math><mml:mi>du</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2794" xml:space="preserve"> Ex quibus patet parallelam <mml:math><mml:mi>dq</mml:mi></mml:math> proximiorem esse <mml:math><mml:mi>uk</mml:mi></mml:math>, quam <mml:math><mml:mi>uk</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>tl</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2795" xml:space="preserve"> Et ita in aliis si plures darentur circuli patet igitur, quod propositum fuit.</s> <s xml:id="s2796" xml:space="preserve"> Praefata igitur demonstratio nihil valet.</s> <s xml:id="s2797" xml:space="preserve"> Lineae enim <mml:math><mml:mi>adxz</mml:mi></mml:math> concurrunt.</s> <s xml:id="s2798" xml:space="preserve"> Et falsitas in hoc consistit.</s> <s xml:id="s2799" xml:space="preserve"> Nempe in illis verbis.</s> <s xml:id="s2800" xml:space="preserve"> (Quoniam si infiniti et caetera) Nam aliud est ducere lineam in infinitum absolute et simpliciter.</s> <s xml:id="s2801" xml:space="preserve"> Aliud est eam ducere per infinita <emph style="super">spacia sive<!--variant supralineam--></emph> puncta <emph style="super">terminata<!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s2802" xml:space="preserve"> Linea enim <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math> (quae in eius figura est <mml:math><mml:mi>ik</mml:mi></mml:math>) ut ostensum est esse quidem potest recta linea.</s> <s xml:id="s2803" xml:space="preserve"> Quocirca cum inquit (quoniam si infiniti describantur circuli infinitisque parallelis secentur et caetera) tunc recta linea <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math> ducetur per <emph style="super">spacia sive<!--variant supralineam--></emph> puncta infinita <emph style="super">semper tamen terminata<!--variant supralineam--></emph> non tamen linea absolute in infinitum protrahitur.</s> <s xml:id="s2804" xml:space="preserve"> Ut Proclus et iam in primum Euclidis librum pag.</s> <s xml:id="s2805" xml:space="preserve"> 222 efficit.</s> <s xml:id="s2806" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="3"> <note position="left" xlink:label="note-0184-04" xlink:href="note-0184-04a" xml:space="preserve"> 4 sexti<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0184-05" xlink:href="note-0184-05a" xml:space="preserve"> 16 quinti<!--citmargsign--> </note> </div> <p> <s xml:id="s2807" xml:space="preserve"> Neque enim iis quae diximus obstat, quoniam ipse in demonstratione posticipit, ut secundum punctum sumatur.</s> <s xml:id="s2808" xml:space="preserve"> Proximius <emph style="super">primae<!--variant supralineam--></emph> lineae parallelae quo ad fieri potest.</s> <s xml:id="s2809" xml:space="preserve"> Et sic tertium, et quartum punctum et caetera.</s> <s xml:id="s2810" xml:space="preserve"> Nam sumatur punctum <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math>, lineae <mml:math><mml:mi>an</mml:mi></mml:math> <emph style="super">proximum<!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s2811" xml:space="preserve"> Deinde ducatur recta linea <mml:math><mml:mi>aefhs</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2812" xml:space="preserve"> Si igitur per puncta <mml:math><mml:mi>efhs</mml:mi></mml:math> lineae ducantur ipsi <mml:math><mml:mi>an</mml:mi></mml:math> aequidistantes.</s> <s xml:id="s2813" xml:space="preserve"> Erunt ad unguem interse, sicut ipse <sic comment="bis">in<!--variant bis--></sic> eius demonstratione posuit.</s> <s xml:id="s2814" xml:space="preserve"> Fallacia vero huic similem per rectas lineas efficere possumus hoc pacto.</s> <s xml:id="s2815" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="151" file="0185" n="185"/> <p> <s xml:id="s2816" xml:space="preserve"> Sint <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> parallelae, sitque <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> ipsis perpendicularis;</s> <s xml:id="s2817" xml:space="preserve"> quae bifariam dividatur in <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2818" xml:space="preserve"> Ducaturque <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> aequidistans.</s> <s xml:id="s2819" xml:space="preserve"> Factaque <mml:math><mml:mi>ag</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>ae</mml:mi></mml:math> aequali.</s> <s xml:id="s2820" xml:space="preserve"> Ducatur <mml:math><mml:mi>gf</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> aequidistans.</s> <s xml:id="s2821" xml:space="preserve"> Deinde divisa <mml:math><mml:mi>ec</mml:mi></mml:math> bifariam in <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math>, factaque <mml:math><mml:mi>al</mml:mi></mml:math> aequali <mml:math><mml:mi>ah</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s2822" xml:space="preserve"> similiter ab ipsis aequidistantes ducantur <mml:math><mml:mi>hklk</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2823" xml:space="preserve"> Adhuc deinceps eadem ratione eodemque ordine ducantur <mml:math><mml:mi>mnbn</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2824" xml:space="preserve"> Iungantuque <mml:math><mml:mi>affkkn</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2825" xml:space="preserve"> Et hoc modo semper fiat.</s> <s xml:id="s2826" xml:space="preserve"> Manifestum est <mml:math><mml:mi>afkn</mml:mi></mml:math> cum <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math> cuncurrere non posse.</s> <s xml:id="s2827" xml:space="preserve"> Divisio enim facta in <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> semper per dimidium, quod relinquitur, numquam ad <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> pertingere potest.</s> <s xml:id="s2828" xml:space="preserve"> Attamen <mml:math><mml:mi>an</mml:mi></mml:math> recta est linea.</s> <s xml:id="s2829" xml:space="preserve"> Quadrata enim sunt <mml:math><mml:mi>anakaf</mml:mi></mml:math> circa diametrum <mml:math><mml:mi>an</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2830" xml:space="preserve"> Huiusque falsitas similis est praedictae.</s> <s xml:id="s2831" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med151" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med151"/> </figure> <p> <s xml:id="s2832" xml:space="preserve"> Pagina 101 eiusdem libri reprehendit auctor Apollonium, qui demonstratio vigesimaeprimae propositionis primi libri Conicorum non sit <emph style="super">neque una neque<!--variant supralineam--></emph> utilis.</s> <s xml:id="s2833" xml:space="preserve"> Quando hyperbole, ellipsis, et circulus habent commune genus innominatum.</s> <s xml:id="s2834" xml:space="preserve"> Sed haec ratio nihil prorsus valet.</s> <s xml:id="s2835" xml:space="preserve"> Nam Apollonius non demonstrat hoc per genus.</s> <s xml:id="s2836" xml:space="preserve"> Sed applicanda sunt verba demonstrationis seorsum unicumque figurae.</s> <s xml:id="s2837" xml:space="preserve"> Siquidem Apollonius nominatim particulariterque inquit hoc accidere, hyperbolae ellipsi, et circulo <emph style="super">hoc est omnibus hyperbolis, et omnibus ellipsibus, et omnibus circulis<!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s2838" xml:space="preserve"> Ob hanc vanam rationem multa in libris Conicorum male demonstrata essent.</s> <s xml:id="s2839" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="152" file="0186" n="186"/> <p> <s xml:id="s2840" xml:space="preserve"> Sit ellipsis <mml:math><mml:mi>adbc</mml:mi></mml:math> cuius axes <mml:math><mml:mi>abdc</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2841" xml:space="preserve"> Describatur centro <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math>, circulus <mml:math><mml:mi>anbm</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2842" xml:space="preserve"> Ubicumque autem in ellipsi sumatur punctum <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math> a quo axibus aequidistantes ducantur <mml:math><mml:mi>glgo</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2843" xml:space="preserve"> Ducaturque <mml:math><mml:mi>op</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>gl</mml:mi></mml:math> aequidistans.</s> <s xml:id="s2844" xml:space="preserve"> Dico ita esse rectangulum <mml:math><mml:mi>nem</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>npm</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>dec</mml:mi></mml:math> rectangulum ad rectangulum <mml:math><mml:mi>dlc</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2845" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med152" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med152"/> </figure> <p> <s xml:id="s2846" xml:space="preserve"> Quoniam enim rectangulum <mml:math><mml:mi>nem</mml:mi></mml:math> est aequale quadrato ex <mml:math><mml:mi>ae</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2847" xml:space="preserve"> Ipsum vero rectangulum <mml:math><mml:mi>npm</mml:mi></mml:math> est aequale quadrato ex <mml:math><mml:mi>op</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2848" xml:space="preserve"> Est vero quadratum ex <mml:math><mml:mi>op</mml:mi></mml:math> quadrato ex <mml:math><mml:mi>gl</mml:mi></mml:math> aequale.</s> <s xml:id="s2849" xml:space="preserve"> Cum sint lineae <mml:math><mml:mi>opgl</mml:mi></mml:math> aequales, erit quadratum ex <mml:math><mml:mi>ae</mml:mi></mml:math> ad quadratum ex <mml:math><mml:mi>gl</mml:mi></mml:math> ut rectangulum <mml:math><mml:mi>nem</mml:mi></mml:math> ad rectangulum <mml:math><mml:mi>npm</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2850" xml:space="preserve"> Sed <anchor type="note" xlink:label="note-0186-01a" xlink:href="note-0186-01"/> ut quadratum ex <mml:math><mml:mi>ae</mml:mi></mml:math> ad quadratum ex <mml:math><mml:mi>gl</mml:mi></mml:math>, ita est rectangulum <mml:math><mml:mi>dec</mml:mi></mml:math> ad rectangulum <mml:math><mml:mi>dle</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2851" xml:space="preserve"> Ut igitur rectangulum <mml:math><mml:mi>nem</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>npm</mml:mi></mml:math>, ita rectangulum <mml:math><mml:mi>dec</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>dlc</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2852" xml:space="preserve"> Quod demonstrare oportebat.</s> <s xml:id="s2853" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="4"> <note position="left" xlink:label="note-0186-01" xlink:href="note-0186-01a" xml:space="preserve"> 21 primi conicorum Apollonii<!--citmargsign--> </note> </div> <figure> <image file="med152_2" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med152_2"/> </figure> <p> <s xml:id="s2854" xml:space="preserve"> Sit <emph style="super">rursus <mml:math><mml:mi>as</mml:mi></mml:math> lineaque altitudinis circuli, quae<!--variant supralineam--></emph> perpendicularis ad planum <mml:math><mml:mi>bcd</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2855" xml:space="preserve"> vero per <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> duo plana <mml:math><mml:mi>abcabd</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2856" xml:space="preserve"> Sitque linea <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math> perpendicularis.</s> <s xml:id="s2857" xml:space="preserve"> Dico angulum <mml:math><mml:mi>acd</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>bcd</mml:mi></mml:math> aequalem esse.</s> <s xml:id="s2858" xml:space="preserve"> Angulum vero <mml:math><mml:mi>cbd</mml:mi></mml:math> maiorem esse <mml:math><mml:mi>cad</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2859" xml:space="preserve"> Angulum vero <mml:math><mml:mi>bdc</mml:mi></mml:math> angulo <mml:math><mml:mi>adc</mml:mi></mml:math> minorem Quoniam enim <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> est plano <mml:math><mml:mi>bcd</mml:mi></mml:math> erecta, erit planum <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math> erectum plano <mml:math><mml:mi>bdc</mml:mi></mml:math>, et est <mml:math><mml:mi>dc</mml:mi></mml:math> communi sectioni <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> perpendicularis, ergo erit <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math> plano <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math> erecta.</s> <s xml:id="s2860" xml:space="preserve"> Quare angulus <mml:math><mml:mi>acd</mml:mi></mml:math> rectus angulo <mml:math><mml:mi>bcd</mml:mi></mml:math> recto est aequalis.</s> <s xml:id="s2861" xml:space="preserve"> Quia vero <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math> est angulus rectus, erit <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> maior, quam <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2862" xml:space="preserve"> Itaque fiat <mml:math><mml:mi>ce</mml:mi></mml:math> aequalis <mml:math><mml:mi>cb</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2863" xml:space="preserve"> Iungaturque <mml:math><mml:mi>ed</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2864" xml:space="preserve"> Quoniam igitur duo latera <mml:math><mml:mi>cdce</mml:mi></mml:math> duobus lateribus <mml:math><mml:mi>cdcb</mml:mi></mml:math> sunt aequalia, angulique <mml:math><mml:mi>ecdbcd</mml:mi></mml:math> interse sunt aequales, cum sint recti, erit angulus <mml:math><mml:mi>edc</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>bdc</mml:mi></mml:math> aequalis.</s> <s xml:id="s2865" xml:space="preserve"> Quare cum sit <mml:math><mml:mi>edc</mml:mi></mml:math> minor, quam <mml:math><mml:mi>adc</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2866" xml:space="preserve"> Erit <mml:math><mml:mi>bdc</mml:mi></mml:math> minor quoque angulo <mml:math><mml:mi>adc</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2867" xml:space="preserve"> Quae demonstrare oportebat.</s> <s xml:id="s2868" xml:space="preserve"> Hinc sequitur angulum <mml:math><mml:mi>bdf</mml:mi></mml:math> angulo <mml:math><mml:mi>adf</mml:mi></mml:math> maiorem esse.</s> <s xml:id="s2869" xml:space="preserve"> Quandoquidem <mml:math><mml:mi>cdbbdf</mml:mi></mml:math> simul sunt aequales ipsis <mml:math><mml:mi>cdaadf</mml:mi></mml:math> simul sumptis.</s> <s xml:id="s2870" xml:space="preserve"> Ambo enim sunt duobus rectis aequales, estque <mml:math><mml:mi>bdc</mml:mi></mml:math> minor <mml:math><mml:mi>adf</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2871" xml:space="preserve"> Hinc similiter ostendetur, si producatur <mml:math><mml:mi>ba</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2872" xml:space="preserve"> Ductaeque <emph style="super">fuerint<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>cggd</mml:mi></mml:math> <!--begin variant delevit post-->esse<emph style="st">aliquot literas<!--end variant delevit post--></emph> <reg norm="angulus" type="context">angulum<!--variant correxitex --></reg> <mml:math><mml:mi>gcd</mml:mi></mml:math> <reg norm="rectus" type="context">rectum<!--variant correxitex --></reg> <reg norm="angulus" type="context">angulum<!--variant correxitex --></reg> vero <mml:math><mml:mi>cgd</mml:mi></mml:math> adhuc minorem angulo <mml:math><mml:mi>cad</mml:mi></mml:math>, <reg norm="angulusque" type="context">angulumque<!--variant correxitex --></reg> <mml:math><mml:mi>adc</mml:mi></mml:math> minorem angulo <mml:math><mml:mi>gdc</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2873" xml:space="preserve"> </s> </p> </div> <div type="section" level="1" n="80"> <head xml:id="head81" xml:space="preserve"> <pb o="153" file="0187" n="187"/> De horologiis describendis </head> <figure> <image file="med153" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med153"/> </figure> <p> <s xml:id="s2874" xml:space="preserve"> Sit sphera, cuiusque meridianus <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math>, cuius et horizontis communis sectio sit <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2875" xml:space="preserve"> Tropicus aestivus <mml:math><mml:mi>ber</mml:mi></mml:math>, cuius in meridiano diameter <mml:math><mml:mi>br</mml:mi></mml:math> horizontem secans in <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2876" xml:space="preserve"> Sit centrum mundi <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2877" xml:space="preserve"> Gnomonisque altitudo <mml:math><mml:mi>gh</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2878" xml:space="preserve"> Sitque horologii planum <mml:math><mml:mi>klo</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2879" xml:space="preserve"> <mml:math><mml:mi>kc</mml:mi></mml:math> vero sit plani horologii, et meridiani communis sectio.</s> <s xml:id="s2880" xml:space="preserve"> Sitque <mml:math><mml:mi>lo</mml:mi></mml:math> sectio communis plani horologii et tropici <mml:math><mml:mi>ber</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2881" xml:space="preserve"> Lineaeque <mml:math><mml:mi>ckbr</mml:mi></mml:math> sive productae, sive minus, secent se se in <mml:math><mml:mi>s</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2882" xml:space="preserve"> Sit in tropico data hora quaelibet <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math>, puta decima.</s> <s xml:id="s2883" xml:space="preserve"> Ducaturque <mml:math><mml:mi>egn</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2884" xml:space="preserve"> Erit utique <emph style="super"><mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> punctum horae decimae tropici aestivi in plano horologii.</s> <s xml:id="s2885" xml:space="preserve"> Ducatur <mml:math><mml:mi>efp</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2886" xml:space="preserve"> Sitque <mml:math><mml:mi>p</mml:mi></mml:math> in plano <mml:math><mml:mi>klo</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2887" xml:space="preserve"> Et quoniam <mml:math><mml:mi>efp</mml:mi></mml:math> est in plano tropici, erit <mml:math><mml:mi>p</mml:mi></mml:math> in linea <mml:math><mml:mi>ol</mml:mi></mml:math>, quae in eodem est plano .</s> <s xml:id="s2888" xml:space="preserve"> .</s> <s xml:id="s2889" xml:space="preserve"> Iungatur <mml:math><mml:mi>np</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2890" xml:space="preserve"> Ducaturque <mml:math><mml:mi>eq</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>br</mml:mi></mml:math> perpendicularis.</s> <s xml:id="s2891" xml:space="preserve"> Ducaturque <mml:math><mml:mi>qgt</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2892" xml:space="preserve"> Quae quidem cadet in linea <mml:math><mml:mi>ck</mml:mi></mml:math>, cum sit <emph style="super"><mml:math><mml:mi> qgt</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> in eodem plano linearum <mml:math><mml:mi>qssk</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2893" xml:space="preserve"> Denique iungatur <mml:math><mml:mi>tn</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2894" xml:space="preserve"> Quoniam igitur lineae <mml:math><mml:mi>egnefp</mml:mi></mml:math> planis secantur parallelis nempe ab horizonte, et plano horologii <mml:math><mml:mi>klo</mml:mi></mml:math>, erit <mml:math><mml:mi>eg</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>gn</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>fp</mml:mi></mml:math>, <anchor type="note" xlink:label="note-0187-01a" xlink:href="note-0187-01"/> .</s> <s xml:id="s2895" xml:space="preserve"> Quare linea <mml:math><mml:mi>np</mml:mi></mml:math> aequidistans est lineae <mml:math><mml:mi>agd</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2896" xml:space="preserve"> Ac propterea est etiam aequidistans lineae <mml:math><mml:mi>ck</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2897" xml:space="preserve"> At vero quoniam plana <mml:math><mml:mi>berklo</mml:mi></mml:math> sunt meridiano <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math> erecta, erit eorum communis sectio <mml:math><mml:mi>lso</mml:mi></mml:math> plano <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math> <emph style="super">erecta<!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s2898" xml:space="preserve"> Ac per consequens <reg norm="lineis" type="context">lineae<!--variant correxitex --></reg> <mml:math><mml:mi>kc</mml:mi></mml:math> perpendicularis.</s> <s xml:id="s2899" xml:space="preserve"> Et quoniam <mml:math><mml:mi>eq</mml:mi></mml:math> est perpendicularis <mml:math><mml:mi>br</mml:mi></mml:math>, erit <mml:math><mml:mi>eq</mml:mi></mml:math> plano <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math> perpendicularis.</s> <s xml:id="s2900" xml:space="preserve"> Unde <mml:math><mml:mi>lseq</mml:mi></mml:math> sunt aequidistantes.</s> <s xml:id="s2901" xml:space="preserve"> Quare erit <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>fp</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>qf</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>fs</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2902" xml:space="preserve"> Et quoniam sunt <mml:math><mml:mi>gfts</mml:mi></mml:math> parallelae, erit <mml:math><mml:mi>qf</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>fs</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>qg</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>gt</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2903" xml:space="preserve"> Est igitur <mml:math><mml:mi>qg</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>gt</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>fp</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2904" xml:space="preserve"> Sed <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>fp</mml:mi></mml:math> est ut <mml:math><mml:mi>eg</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>gn</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s2905" xml:space="preserve"> ergo <mml:math><mml:mi>eg</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>gn</mml:mi></mml:math> est ut <mml:math><mml:mi>qg</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>gt</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2906" xml:space="preserve"> Ac propterea <mml:math><mml:mi>nteq</mml:mi></mml:math> sunt parallelae.</s> <s xml:id="s2907" xml:space="preserve"> Et quoniam est <mml:math><mml:mi>eq</mml:mi></mml:math> plano <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math> erecta, erit et <mml:math><mml:mi>nt</mml:mi></mml:math> eidem plano erecta.</s> <s xml:id="s2908" xml:space="preserve"> Quare est ipsi <mml:math><mml:mi>ls</mml:mi></mml:math> parallela.</s> <s xml:id="s2909" xml:space="preserve"> Quod cum sint <mml:math><mml:mi>tsnp</mml:mi></mml:math> parallelae, erit <mml:math><mml:mi>nt</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>ps</mml:mi></mml:math> aequalis, suntque ambae ipsi <mml:math><mml:mi>kc</mml:mi></mml:math> perpendiculares.</s> <s xml:id="s2910" xml:space="preserve"> Ad inveniendum igitur punctum <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math>, ducatur <mml:math><mml:mi>efp</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2911" xml:space="preserve"> Ipsique <mml:math><mml:mi>br</mml:mi></mml:math> perpendicularis agatur <mml:math><mml:mi>eq</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2912" xml:space="preserve"> Ducaturque <mml:math><mml:mi>qgt</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2913" xml:space="preserve"> Et a puncto <mml:math><mml:mi>t</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ck</mml:mi></mml:math> perpendicularis ducatur <mml:math><mml:mi>tn</mml:mi></mml:math>, quae fiat aequalis <mml:math><mml:mi>sp</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2914" xml:space="preserve"> Erit punctum <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math> terminus horae decimae Cancri in plano horologii.</s> <s xml:id="s2915" xml:space="preserve"> Et ita in aliis.</s> <s xml:id="s2916" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="1"> <note position="left" xlink:label="note-0187-01" xlink:href="note-0187-01a" xml:space="preserve"> 17 undecimi </note> </div> <pb o="154" file="0188" n="188"/> </div> <div type="section" level="1" n="81"> <head xml:id="head82" xml:space="preserve"> Praxis </head> <figure> <image file="med154" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med154"/> </figure> <p> <s xml:id="s2917" xml:space="preserve"> Exponatur Analemma, ut in prima figura, ut fieri solet, sitque seorsum tropicus aestivus <mml:math><mml:mi>bol</mml:mi></mml:math>, ut in 2a figura, qui dividatur more solito in 24 partes aequales initio sumpto in horizonte occiduo.</s> <s xml:id="s2918" xml:space="preserve"> Sitque punctum <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math> hora 10a et in hac figura fiat <mml:math><mml:mi>fs</mml:mi></mml:math> aequalis <mml:math><mml:mi>fs</mml:mi></mml:math> primae figurae.</s> <s xml:id="s2919" xml:space="preserve"> Ducaturque <mml:math><mml:mi>osl</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>br</mml:mi></mml:math> perpendicularis.</s> <s xml:id="s2920" xml:space="preserve"> Iungaturque <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math>, et producatur ad <mml:math><mml:mi>p</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2921" xml:space="preserve"> Ducaturque <mml:math><mml:mi>eq</mml:mi></mml:math> perpendicularis ipsi <mml:math><mml:mi>br</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2922" xml:space="preserve"> Fiat deinde in prima figura <mml:math><mml:mi>fq</mml:mi></mml:math> aequallis <mml:math><mml:mi>fq</mml:mi></mml:math> 2ae figurae.</s> <s xml:id="s2923" xml:space="preserve"> Ducaturque <mml:math><mml:mi>qgt</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2924" xml:space="preserve"> Ipsique <mml:math><mml:mi>kc</mml:mi></mml:math> perpendicularis ducatur <mml:math><mml:mi>tn</mml:mi></mml:math>, quae fiat aequalis lineae <mml:math><mml:mi>sp</mml:mi></mml:math> in secunda figura existenti.</s> <s xml:id="s2925" xml:space="preserve"> Erit utique <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math> <emph style="super">in prima figura<!--variant supralineam--></emph> punctum horae 10 Cancri.</s> <s xml:id="s2926" xml:space="preserve"> Intelligendo nempe planum <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math> per plano horologii in quo linea meridiana erit <mml:math><mml:mi>kc</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> ad septentrionem.</s> <s xml:id="s2927" xml:space="preserve"> Gnomon vero in <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math> collocandus est, cuius altitudo est <mml:math><mml:mi>hg</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2928" xml:space="preserve"> Et ita in aliis horis.</s> <s xml:id="s2929" xml:space="preserve"> </s> </p> </div> <div xml:lang="it" type="section" level="1" n="82"> <head xml:id="head83" xml:space="preserve"> <pb o="155" file="0189" n="189"/> Della Prospettiva </head> <div type="section" level="2" n="1"> <head xml:id="head84" xml:space="preserve"> 1o modo </head> <figure> <image file="med155" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med155"/> </figure> <p> <s xml:id="s2930" xml:space="preserve"> Siano <mml:math><mml:mi>A</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>B</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>C</mml:mi></mml:math> li punti che si hanno da tirar in prospettiva, sia <mml:math><mml:mi>ut</mml:mi></mml:math> la commune settione della tavola, laqual sia perpendicolar al piano, e del piano.</s> <s xml:id="s2931" xml:space="preserve"> Sia <mml:math><mml:mi>nq</mml:mi></mml:math> la diatanza dalla tavola al piede, sia <mml:math><mml:mi>qx</mml:mi></mml:math> l'altezza dell'occhio perpendicolare a <mml:math><mml:mi>ut</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>x</mml:mi></mml:math> l'occhio, sia <mml:math><mml:mi>nz</mml:mi></mml:math> prependicolare a <mml:math><mml:mi>ut</mml:mi></mml:math>, et equale a <mml:math><mml:mi>qx</mml:mi></mml:math>, e volendo tirar il punto <mml:math><mml:mi>aA</mml:mi></mml:math> in prospettiva, tirisi dal punto <mml:math><mml:mi>A</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>As</mml:mi></mml:math> perpendicolar a <mml:math><mml:mi>ut</mml:mi></mml:math>, e facciasi <mml:math><mml:mi>sk</mml:mi></mml:math> equale a a <mml:math><mml:mi>sA</mml:mi></mml:math> e tirisi <mml:math><mml:mi>sz</mml:mi></mml:math> et <mml:math><mml:mi>kx</mml:mi></mml:math>, e dove le se intersecano (come in <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math>) rappresentaranno il punto <mml:math><mml:mi>A</mml:mi></mml:math> in prospettiva e nel medesimo modo si tiraranno gl'altri punti, e volendo alzar il punto <mml:math><mml:mi>A</mml:mi></mml:math>, tirisi <mml:math><mml:mi>pd</mml:mi></mml:math> parallela a <mml:math><mml:mi>ut</mml:mi></mml:math> tanto alta da <mml:math><mml:mi>ut</mml:mi></mml:math> quanto si vuol che sia alto il punto <mml:math><mml:mi>A</mml:mi></mml:math>, e si tiri <mml:math><mml:mi>Am</mml:mi></mml:math> perpendicolare a <mml:math><mml:mi>pd</mml:mi></mml:math>, e facciasi <mml:math><mml:mi>mo</mml:mi></mml:math> aequale a <mml:math><mml:mi>As</mml:mi></mml:math>, e si tiri <mml:math><mml:mi>mz</mml:mi></mml:math> et <mml:math><mml:mi>ox</mml:mi></mml:math> e dove le se intersecano, rapresentaranno il punto <mml:math><mml:mi>A</mml:mi></mml:math> in prospettiva alzato, e nel medesimo modo si faranno gl'altri punti.</s> <s xml:id="s2932" xml:space="preserve"> In questo modo ci serviamo delli punti <mml:math><mml:mi>x</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>z</mml:mi></mml:math> </s> </p> </div> <div type="section" level="2" n="2"> <head xml:id="head85" xml:space="preserve"> 2o modo </head> <p> <s xml:id="s2933" xml:space="preserve"> Servendosi della medesima costruttione, tirisi <mml:math><mml:mi>Aq</mml:mi></mml:math>, laqual seghi <mml:math><mml:mi>ut</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math>, e dalli punti <mml:math><mml:mi>A</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math> si tirino <mml:math><mml:mi>As</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>fa</mml:mi></mml:math> perpendicolari a <mml:math><mml:mi>ut</mml:mi></mml:math>, e si tiri <mml:math><mml:mi>sz</mml:mi></mml:math> e dove la sega <mml:math><mml:mi>fa</mml:mi></mml:math> sarà il punto <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> tirato in prospettiva, e volendo alzar in <mml:math><mml:mi>pd</mml:mi></mml:math>, slunghisi <mml:math><mml:mi>fa</mml:mi></mml:math>, e sia <mml:math><mml:mi>Am</mml:mi></mml:math> perpendicolare a <mml:math><mml:mi>pd</mml:mi></mml:math>, e si tiri <mml:math><mml:mi>mz</mml:mi></mml:math> e dove le se intersecano, sarà rapresentato il punto <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> elevato.</s> <s xml:id="s2934" xml:space="preserve"> In questo modo ci serviamo delli punti <mml:math><mml:mi>q</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>z</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2935" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med155_2" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med155_2"/> </figure> <pb o="156" file="0190" n="190"/> </div> <div type="section" level="2" n="3"> <head xml:id="head86" xml:space="preserve"> 3o modo </head> <figure> <image file="med156" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med156"/> </figure> <p> <s xml:id="s2936" xml:space="preserve"> Facciasi come nella seconda e si faccia <mml:math><mml:mi>sk</mml:mi></mml:math> et <mml:math><mml:mi>mo</mml:mi></mml:math>, aequale a <mml:math><mml:mi>sA</mml:mi></mml:math> come nella prima, e si tirino <mml:math><mml:mi>kx</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>ox</mml:mi></mml:math>, e dove le <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">aliquot literas</emph>intersecano<!--end variant delevit ante--> <mml:math><mml:mi>fa</mml:mi></mml:math> sarà il punto <mml:math><mml:mi>A</mml:mi></mml:math> tirato in perspectiva, così in <mml:math><mml:mi>ut</mml:mi></mml:math> come in <mml:math><mml:mi>pd</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2937" xml:space="preserve"> In questo modo ci serviamo delli punti <mml:math><mml:mi>q</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>x</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2938" xml:space="preserve"> </s> </p> </div> <div type="section" level="2" n="4"> <head xml:id="head87" xml:space="preserve"> 4o modo </head> <figure> <image file="med156_2" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med156_2"/> </figure> <p> <s xml:id="s2939" xml:space="preserve"> Facciasi come nella prima, e si tirino le doi <mml:math><mml:mi>kx</mml:mi></mml:math>, e nell'altezza <mml:math><mml:mi>pd</mml:mi></mml:math>, le doi <mml:math><mml:mi>ox</mml:mi></mml:math>, e dove le se intersecano rappresentaranno il punto <mml:math><mml:mi>A</mml:mi></mml:math> et in questo ci serviamo di due punti <mml:math><mml:mi>x</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>x</mml:mi></mml:math> senza il <mml:math><mml:mi>z</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2940" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s2941" xml:space="preserve"> Le dimostrationi di questi quattro modi <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">dipendono dalla dimostratione del Commandino nel principio del comento sopra il planispherio di Tolomeo</emph>saranno più di sotto<!--end variant delevit ante--> .</s> <s xml:id="s2942" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="157" file="0191" n="191"/> </div> <div type="section" level="2" n="5"> <head xml:id="head88" xml:space="preserve"> 5o modo </head> <figure> <image file="med157" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med157"/> </figure> <p> <s xml:id="s2943" xml:space="preserve"> Sia <mml:math><mml:mi>ut</mml:mi></mml:math> la tavola, <mml:math><mml:mi>nq</mml:mi></mml:math> la distanza dalla tavola al piede, e si tirino <mml:math><mml:mi>Aq</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>Bq</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>Cq</mml:mi></mml:math>, e se si vol tirar in prospettiva il punto <mml:math><mml:mi>A</mml:mi></mml:math> tirisi <mml:math><mml:mi>qx</mml:mi></mml:math> perpendicolar'a <mml:math><mml:mi>qA</mml:mi></mml:math> tanto longa <emph style="super">quanto<!--variant supralineam--></emph> è l'altezza dell'occhio, di poi si tiri <mml:math><mml:mi>xA</mml:mi></mml:math>, e dal punto <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math> dove <mml:math><mml:mi>qA</mml:mi></mml:math> sega la tavola <mml:math><mml:mi>ut</mml:mi></mml:math> si tiri <mml:math><mml:mi>fo</mml:mi></mml:math> perpendicolare a <mml:math><mml:mi>qA</mml:mi></mml:math>, et è manifesto che se noi elevaremo il triangolo <mml:math><mml:mi>Aqx</mml:mi></mml:math> per pendicolare al piano, i punto <mml:math><mml:mi>A</mml:mi></mml:math> ci parerà in <mml:math><mml:mi>o</mml:mi></mml:math>, tirisi adunque <mml:math><mml:mi>fa</mml:mi></mml:math> perpendicolare a <mml:math><mml:mi>ut</mml:mi></mml:math>, e facciasi <mml:math><mml:mi>fa</mml:mi></mml:math> aequale a <mml:math><mml:mi>fo</mml:mi></mml:math>, il punto <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> rapresentarà il punto <mml:math><mml:mi>A</mml:mi></mml:math> in perspettiva, e volendolo alzare tirisi <mml:math><mml:mi>Am</mml:mi></mml:math> perpendicolare a <mml:math><mml:mi>qA</mml:mi></mml:math>, e si tiri <mml:math><mml:mi>xm</mml:mi></mml:math>, laqual seghi <mml:math><mml:mi>fo</mml:mi></mml:math> slongata in <mml:math><mml:mi>p</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2944" xml:space="preserve"> <mml:math><mml:mi>op</mml:mi></mml:math> sarà la sua altezza perchè se ci immaginaremo che'l quadrilatero <mml:math><mml:mi>Aqxm</mml:mi></mml:math> sia elevato perpendicolarmente sopr'al piano, il punto <mml:math><mml:mi>m</mml:mi></mml:math> parerà in <mml:math><mml:mi>p</mml:mi></mml:math>, slungata adunque <mml:math><mml:mi>fa</mml:mi></mml:math> facciasi <mml:math><mml:mi>aa</mml:mi></mml:math>, equale a <mml:math><mml:mi>op</mml:mi></mml:math>, il punto <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> di sopra rapresentarà il punto <mml:math><mml:mi>A</mml:mi></mml:math> elevato in <mml:math><mml:mi>m</mml:mi></mml:math>, e così si procederà negli altri punti, et acciochè le cose vengano manco confuse, si potrà far tutti li triangoli e quadrilateri separati.</s> <s xml:id="s2945" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="158" file="0192" n="192"/> </div> <div type="section" level="2" n="6"> <head xml:id="head89" xml:space="preserve"> 6o modo </head> <figure> <image file="med158" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med158"/> </figure> <p> <s xml:id="s2946" xml:space="preserve"> Siano le medesime distanze, et altezze, come in questa di sopra e sia <mml:math><mml:mi>qx</mml:mi></mml:math> parallela a <mml:math><mml:mi>ut</mml:mi></mml:math>, e si tirino <mml:math><mml:mi>qA</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>Ax</mml:mi></mml:math>, e si tiri <mml:math><mml:mi>fa</mml:mi></mml:math> perpendicolare a <mml:math><mml:mi>ut</mml:mi></mml:math>, e si facci <mml:math><mml:mi>fa</mml:mi></mml:math> equale a <mml:math><mml:mi>fo</mml:mi></mml:math>, il punto <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> rappresentarà il punto <mml:math><mml:mi>A</mml:mi></mml:math> in perspectiva, perchè essendo li doi triangoli <mml:math><mml:mi>Aqx</mml:mi></mml:math> di questa figura e di quella di sopra, li quali hanno <mml:math><mml:mi>fo</mml:mi></mml:math> parallela a <mml:math><mml:mi>qx</mml:mi></mml:math>, e la proporzione che hanno le doi <mml:math><mml:mi>qx</mml:mi></mml:math> a <mml:math><mml:mi>qA</mml:mi></mml:math>, la medesima hanno le doi <mml:math><mml:mi>fo</mml:mi></mml:math> a <mml:math><mml:mi>fa</mml:mi></mml:math> <anchor type="note" xlink:label="note-0192-01a" xlink:href="note-0192-01"/> , e perchè le doi <mml:math><mml:mi>qc</mml:mi></mml:math> e le doi <mml:math><mml:mi>qA</mml:mi></mml:math>, e le doi <mml:math><mml:mi>fA</mml:mi></mml:math> sono equali, di necessità ancora le doi <mml:math><mml:mi>fo</mml:mi></mml:math> saranno equali, e volendo alzare il punto <mml:math><mml:mi>A</mml:mi></mml:math>, tirisi <mml:math><mml:mi>Am</mml:mi></mml:math> parallela a <mml:math><mml:mi>ut</mml:mi></mml:math>, e si tiri <mml:math><mml:mi>mx</mml:mi></mml:math>, e slungata <mml:math><mml:mi>fa</mml:mi></mml:math> facciasi <mml:math><mml:mi>AA</mml:mi></mml:math> equale a <mml:math><mml:mi>op</mml:mi></mml:math>, che per la medesima ragione sarà equale alla <mml:math><mml:mi>op</mml:mi></mml:math> della figura di sopra.</s> <s xml:id="s2947" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="3" n="1"> <note position="left" xlink:label="note-0192-01" xlink:href="note-0192-01a" xml:space="preserve"> per la 4a del sesto </note> </div> <p> <s xml:id="s2948" xml:space="preserve"> Per questi doi ultimi modi vedi la propositione 14 e nella 15 si mostra il 7o modo da tirar in perspectiva.</s> <s xml:id="s2949" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med158_2" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med158_2"/> </figure> <p> <s xml:id="s2950" xml:space="preserve"> Modo di tirar i circoli in perspectiva separati </s> </p> <pb o="159" file="0193" n="193"/> <p> <s xml:id="s2951" xml:space="preserve"> Modo di metter l'ombre in piano per tirarle in perspettiva </s> </p> <p> <s xml:id="s2952" xml:space="preserve"> Sia <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math> il puno nel piano, che cadendo la perpendicolar dal lume al piano, cada in <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math>, sia l'altezza del lume <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math>, e si tiri <mml:math><mml:mi>bg</mml:mi></mml:math> perpendicolar a <mml:math><mml:mi>ba</mml:mi></mml:math>, sia il corpo, la base del quale sia <mml:math><mml:mi>cdef</mml:mi></mml:math>, e la sua altezza <mml:math><mml:mi>ch</mml:mi></mml:math>, e si tirino <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>bf</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>be</mml:mi></mml:math> in infinito, le quali saranno commune sectioni del piano, e dell'ombre che passano per gl'angoli, di poi si facci <mml:math><mml:mi>bk</mml:mi></mml:math> equale a <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math>, e si tiri <mml:math><mml:mi>ki</mml:mi></mml:math> perpendicolar a <mml:math><mml:mi>bk</mml:mi></mml:math>, e si facci equale a <mml:math><mml:mi>ch</mml:mi></mml:math>, laqual sarà parallela a <mml:math><mml:mi>ba</mml:mi></mml:math>, e si tiri <mml:math><mml:mi>ai</mml:mi></mml:math> laqual seghi <mml:math><mml:mi>bg</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>m</mml:mi></mml:math>, e si faccia <mml:math><mml:mi>cn</mml:mi></mml:math> equale a <mml:math><mml:mi>km</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s2953" xml:space="preserve"> <anchor type="figure" xlink:label="med159a" xlink:href="med159"/> <mml:math><mml:mi>cn</mml:mi></mml:math> sarà il termine dell'ombra, perchè se ci immaginaremo il lume ellevato sopr'al <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math> dell'altezza di <mml:math><mml:mi>ba</mml:mi></mml:math>, e che erett, al medesimo piano, li triangoli <mml:math><mml:mi>abn</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>ikm</mml:mi></mml:math> saranno equali alli triangoli <mml:math><mml:mi>nbc</mml:mi></mml:math> del lume, et <mml:math><mml:mi>hcn</mml:mi></mml:math>, e nel medesimo modo si procederà nelle altre ombre.</s> <s xml:id="s2954" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="3" n="2"> <figure xlink:label="med159" xlink:href="med159a"> <image file="med159" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med159"/> </figure> </div> <figure> <image file="med159_2" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med159_2"/> </figure> <figure> <image file="med159_3" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med159_3"/> </figure> <p> <s xml:id="s2955" xml:space="preserve"> Si pò ancora, tirato che si ha il corpo in perspettiva, e posto il punto <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math>, si tiri <mml:math><mml:mi>ba</mml:mi></mml:math> perpendicolare al piano, laqual sarà parallela alle perpendicolari del corpo tirato in perspettiva e dal <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math> si tirino le linee agl'angoli della base di sopra e dove se intersecano, come in <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math> saranno li termini dell'ombra.</s> <s xml:id="s2956" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s2957" xml:space="preserve"> E tirato che si ha le ombre in perspettiva, procedendo al contrario, si trovarà dove è <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math>, tirando dalli termini dell'ombre agl'angoli, e veder dove le se intersecano.</s> <s xml:id="s2958" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="160" file="0194" n="194"/> </div> </div> <div xml:lang="it" type="section" level="1" n="83"> <head xml:id="head90" xml:space="preserve"> Per far le piante Modo di trovar dove cascano le perpendicolare in un piano da una superficie inclinata a quel piano </head> <div xml:lang="it" type="section" level="2" n="1"> <head xml:id="head91" xml:space="preserve"> 1a propositio </head> <figure> <image file="med160" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med160"/> </figure> <p> <s xml:id="s2959" xml:space="preserve"> <anchor type="note" xlink:label="note-0194-01a" xlink:href="note-0194-01"/> .</s> <s xml:id="s2960" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="3" n="1"> <note position="left" xlink:label="note-0194-01" xlink:href="note-0194-01a" xml:space="preserve"> In questa figura il punto <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> tocca il piano<!--variant inmargine--> </note> </div> <p> <s xml:id="s2961" xml:space="preserve"> Sia <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> il rettilineo inclinato al piano, e sie <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> commune settione del piano e del piano che passa per il rettilineo <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2962" xml:space="preserve"> Tirisi <mml:math><mml:mi>bh</mml:mi></mml:math> perpendicolare a <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math>, e sia il <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math>, cioè essendo inclinato il <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math> e cadendo la perpendicolare nel piano cada in <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math>, e per trovar dove <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math> caderanno nel piano, facciasi <mml:math><mml:mi>hf</mml:mi></mml:math> equale a <mml:math><mml:mi>bh</mml:mi></mml:math>, e si descriva la quarta del circolo <mml:math><mml:mi>bf</mml:mi></mml:math> essendo il centro <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math>, e si tiri <mml:math><mml:mi>gh</mml:mi></mml:math> parallela a <mml:math><mml:mi>hf</mml:mi></mml:math>, prima dico che <mml:math><mml:mi>gk</mml:mi></mml:math> è l'altezza della perpendicolar che casca dal <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math> essendo la superficie inclinata, perchè se ce immaginaremo <mml:math><mml:mi>hf</mml:mi></mml:math> eretta perpendicolarmente sopra il piano insieme con la quarta <mml:math><mml:mi>bkf</mml:mi></mml:math> e che <mml:math><mml:mi>bh</mml:mi></mml:math> resti nel piano, è manifesto che <mml:math><mml:mi>gk</mml:mi></mml:math> sarà perpendicolare al piano, e se la superficie <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> fusse perpendicolar sopr'al piano, il punto <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math> saria in <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math> e la sua perpendicolar saria <mml:math><mml:mi>fh</mml:mi></mml:math>, et inclinatosi, il punto <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math> sempre toccarà la quatrta <mml:math><mml:mi>fkb</mml:mi></mml:math> e perchè havemo posto che la perpendicolar che casca dal <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math> della superficie inclinata caschi nel <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math>, di necessità adunque il <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math> sarà in <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math>, e la sua perpendicolar et altezza sarà <mml:math><mml:mi>kg</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2963" xml:space="preserve"> Hora per saper (essendo <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math>) dove sarà il <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math>, tirisi <mml:math><mml:mi>cn</mml:mi></mml:math> perpendicolare a <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math>, e si facci <mml:math><mml:mi>ne</mml:mi></mml:math> equale a <mml:math><mml:mi>cn</mml:mi></mml:math>, e sia <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">il</emph>centro<!--end variant delevit ante--> <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math> si descriva la quarta del circolo <mml:math><mml:mi>ce</mml:mi></mml:math>, e perchè li punti <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> inclinandosi caminano proportionalmente nella loro quarte dei circoli, facciasi che la medesima proportione habbia <mml:math><mml:mi>em</mml:mi></mml:math> a <mml:math><mml:mi>mc</mml:mi></mml:math> che ha <mml:math><mml:mi>fk</mml:mi></mml:math> a <mml:math><mml:mi>kb</mml:mi></mml:math>, cioè facciasi l'angolo <mml:math><mml:mi>enm</mml:mi></mml:math> equale a <mml:math><mml:mi>fhk</mml:mi></mml:math> e si tiri <mml:math><mml:mi>mo</mml:mi></mml:math> parallela a <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> il punto <mml:math><mml:mi>o</mml:mi></mml:math> sarà dove il <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> cascarà nel piano, e la sua altezza sarà <mml:math><mml:mi>mo</mml:mi></mml:math>, che per la medesima ragione, se ce immaginaremo <mml:math><mml:mi>ne</mml:mi></mml:math> eretta al piano, in quel medesimo tempo che <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math> sarà in <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math> il <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> sarà in <mml:math><mml:mi>m</mml:mi></mml:math> e così si faranno gl'altri punti.</s> <s xml:id="s2964" xml:space="preserve"> </s> </p> </div> <div type="section" level="2" n="2"> <head xml:id="head92" xml:space="preserve"> Corollario </head> <p> <s xml:id="s2965" xml:space="preserve"> E da questo è manifesto che se <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> non sarà inclinata, ma eretta perpendicolarmente sopr'al piano, il <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math> sarà in <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math> e la sua altezza sarà <mml:math><mml:mi>bh</mml:mi></mml:math>, et il <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> sarà in <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math>, e la sua altezza sarà <mml:math><mml:mi>cn</mml:mi></mml:math>, e così gl'altri saranno nella linea <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2966" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med160_2" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med160_2"/> </figure> <p> <s xml:id="s2967" xml:space="preserve"> <mml:math><mml:mi>nilp</mml:mi></mml:math> rapresenta in perspectiva la figura <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> inclinata come di sopra.</s> <s xml:id="s2968" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="161" file="0195" n="195"/> <p> <s xml:id="s2969" xml:space="preserve"> La medesima solamente mutata la settione <mml:math><mml:mi>ut</mml:mi></mml:math> </s> </p> <figure> <image file="med161" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med161"/> </figure> </div> <div type="section" level="2" n="3"> <head xml:id="head93" xml:space="preserve"> 2a propositio </head> <figure> <image file="med161_2" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med161_2"/> </figure> <p> <s xml:id="s2970" xml:space="preserve"> Se la figura <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> sarà tutta elevata dal piano <mml:math><mml:mi>zx</mml:mi></mml:math>, cioè che neanche il punto <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> tocchi il piano <mml:math><mml:mi>zx</mml:mi></mml:math>, e che voliamo sapere dove caderanno le perpendicolare da <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math>, tirisi <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math>, che passi per <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math>, laqual sia in un medesimo piano con <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> e l'altezza delli piani si a<mml:math><mml:mi>at</mml:mi></mml:math> perpendicolare al piano <mml:math><mml:mi>zx</mml:mi></mml:math>, e se c'immaginiamo che per <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> passi un piano equidistante al piano, che passa per <mml:math><mml:mi>zx</mml:mi></mml:math>, e per la pesedente troviamo le perpendicolare che cascano nel piano <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math>, che se le si slungaranno fin al piano <mml:math><mml:mi>zx</mml:mi></mml:math>, per essere li piani paralleli, e per esser le linee perpendicolare a tutti doi li piani, faranno la medesima figura nel piano di sotto <mml:math><mml:mi>zx</mml:mi></mml:math>, come nel piano <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math>, e l'altezza del <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math> sarà <mml:math><mml:mi>kg</mml:mi></mml:math> agiunteli l'altezza che è da un piano all'altro, laqual sia <mml:math><mml:mi>gu</mml:mi></mml:math>, equale a <mml:math><mml:mi>ta</mml:mi></mml:math>, perchè se ce immaginaremo, come nella precedente, che <mml:math><mml:mi>hf</mml:mi></mml:math> insieme con la quarta <mml:math><mml:mi>fkb</mml:mi></mml:math> sia eretta sopra al piano <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math>, e che <mml:math><mml:mi>hb</mml:mi></mml:math> resti nel detto piano, e chel <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math> sia in <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>gk</mml:mi></mml:math> sarà perpendicolar al piano <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math>, laqual slongata sarà perpendicolar al piano <mml:math><mml:mi>zx</mml:mi></mml:math> e per esser <mml:math><mml:mi>ug</mml:mi></mml:math> l'altezza da un piano all'altro, il punto <mml:math><mml:mi>u</mml:mi></mml:math>, sarà nel piano <mml:math><mml:mi>zx</mml:mi></mml:math> et <mml:math><mml:mi>uk</mml:mi></mml:math> sarà l'altezza dal <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math> al piano <mml:math><mml:mi>zx</mml:mi></mml:math>, aggiunta adunque a <mml:math><mml:mi>mo</mml:mi></mml:math> l'altexzza che è da un piano all'altro, tutta insieme sar`a l'altezza cheè dal <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> al piano <mml:math><mml:mi>zx</mml:mi></mml:math>, e così si procederà negl'altri punti.</s> <s xml:id="s2971" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s2972" xml:space="preserve"> E nel modo che si sa l'inclinatione delli rettilinei, nel medesimo modo si saprà quella dei curvilinei o sia circolo, elipse, parabola, hyperbola, o qualsiasi altra figura descrivendoli dentro una figura rettilinea, che habbia molti lati, della quale si saprà la sua inclinatione, per le precedenti.</s> <s xml:id="s2973" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="162" file="0196" n="196"/> <figure> <image file="med162" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med162"/> </figure> <p> <s xml:id="s2974" xml:space="preserve"> <mml:math><mml:mi>stpa</mml:mi></mml:math> rapresenta in perspettiva la figura <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> inclinata come in questa di sopra.</s> <s xml:id="s2975" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med162_2" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med162_2"/> </figure> <p> <s xml:id="s2976" xml:space="preserve"> La medesima solamente mutata la settione.</s> <s xml:id="s2977" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="163" file="0197" n="197"/> <figure> <image file="med163" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med163"/> </figure> </div> <div type="section" level="2" n="4"> <head xml:id="head94" xml:space="preserve"> 3a propositio </head> <p> <s xml:id="s2978" xml:space="preserve"> Sia il corpo di superficie equidistante rettangolo la base del quale sia <mml:math><mml:mi>ABCD</mml:mi></mml:math>, et il punto <mml:math><mml:mi>A</mml:mi></mml:math> tocchi il piano et inclinata questa base al piano per laprima propositione <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">della precedente</emph>tirando<!--end variant delevit ante--> <mml:math><mml:mi>EF</mml:mi></mml:math> commune settione trovaremo dove cascano le perpendicolare nel detto piano, che sarà <mml:math><mml:mi>AGOR</mml:mi></mml:math>, e sapremo le sue altezze.</s> <s xml:id="s2979" xml:space="preserve"> Sia <mml:math><mml:mi>AP</mml:mi></mml:math> l'altezza del corpo, e sia <mml:math><mml:mi>Ap</mml:mi></mml:math> perpendicolare a <mml:math><mml:mi>EF</mml:mi></mml:math> e fatto centro <mml:math><mml:mi>A</mml:mi></mml:math> si descriva la quarta <mml:math><mml:mi>ps</mml:mi></mml:math>, e facciasi che la proportione che ha <mml:math><mml:mi>FK</mml:mi></mml:math> a <mml:math><mml:mi>KB</mml:mi></mml:math> la medesima abbia <mml:math><mml:mi>pt</mml:mi></mml:math> a<mml:math><mml:mi>ts</mml:mi></mml:math>, e si tiri <mml:math><mml:mi>ta</mml:mi></mml:math> perpendicolare a <mml:math><mml:mi>Ap</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2980" xml:space="preserve"> Prima dico che quando il punto <mml:math><mml:mi>B</mml:mi></mml:math> sarà in <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math>, il punto <mml:math><mml:mi>p</mml:mi></mml:math> sarà in <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math>, perchè se c'immaginaremo che <mml:math><mml:mi>bF</mml:mi></mml:math> insieme con la quarta <mml:math><mml:mi>FKB</mml:mi></mml:math> sia eretta perpendicolarmente sopr'al pinao <mml:math><mml:mi>EF</mml:mi></mml:math> e che medesimamente <mml:math><mml:mi>As</mml:mi></mml:math> insieme con la quarta <mml:math><mml:mi>stp</mml:mi></mml:math> sia eretta sopr'al medesimo piano e che <mml:math><mml:mi>bB</mml:mi></mml:math> et <mml:math><mml:mi>Ap</mml:mi></mml:math> restino nel piano è chiara cosa che quando <mml:math><mml:mi>ABCD</mml:mi></mml:math> sarà perpendicolare al piano che <mml:math><mml:mi>B</mml:mi></mml:math> sarà in <mml:math><mml:mi>F</mml:mi></mml:math> e che il punto <mml:math><mml:mi>p</mml:mi></mml:math> sarà nel piano in <mml:math><mml:mi>p</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s2981" xml:space="preserve"> et inclinandosi la figura <mml:math><mml:mi>ABCD</mml:mi></mml:math>, il <mml:math><mml:mi>p</mml:mi></mml:math> s'inalzarà, e quanto s'inclinarà il <mml:math><mml:mi>B</mml:mi></mml:math> sopra la sua quarta <mml:math><mml:mi>FKB</mml:mi></mml:math>, tanto s'alzarà il <mml:math><mml:mi>p</mml:mi></mml:math> nella sua <mml:math><mml:mi>pts</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2982" xml:space="preserve"> Adunque quando il <mml:math><mml:mi>B</mml:mi></mml:math> sarà in <mml:math><mml:mi>K</mml:mi></mml:math>, il <mml:math><mml:mi>p</mml:mi></mml:math> sarà in <mml:math><mml:mi>t</mml:mi></mml:math> e la sua altezza sarà <mml:math><mml:mi>ta</mml:mi></mml:math>, per le cose dette nelle precedente, e per essere il corpo parallelepipedo descrivasi dal punto <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> equale a <mml:math><mml:mi>ABCD</mml:mi></mml:math> e similmente posta laquale ne rapresentarà la base di sopra, che è equidistante a quella di sotto, e si tiri <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> parallela a <mml:math><mml:mi>EF</mml:mi></mml:math> che passi per il punto <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math>, e se c'immaginaremoun piano che passi per <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> equidistante a quello che passa per <mml:math><mml:mi>EF</mml:mi></mml:math>, e per esser <mml:math><mml:mi>ABCD</mml:mi></mml:math> equidistante a <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math>, e trovando le perpendicolare di <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> nel piano <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2983" xml:space="preserve"> Farà la figura <mml:math><mml:mi>agor</mml:mi></mml:math> simile et equale a <mml:math><mml:mi>AGOR</mml:mi></mml:math>, per haver quelle due base equal inclinatione alli doi piani paralleli, e per essere <mml:math><mml:mi>at</mml:mi></mml:math> l'altezza che è da <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> al piano che passa per <mml:math><mml:mi>EF</mml:mi></mml:math> aggiunda adunque a <mml:math><mml:mi>gk</mml:mi></mml:math> et alle altre altezze una linea equale a <mml:math><mml:mi>ta</mml:mi></mml:math>, tutte insieme saranno le altezze di <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> sopr'al piano che passa per <mml:math><mml:mi>EF</mml:mi></mml:math> per la 2a <reg norm="begin congparteend cong della precedente" type="context">propositione<!--variant correxitex --></reg> , et <mml:math><mml:mi>agor</mml:mi></mml:math> per la medesima sarà la figura dove cascano le perpendicolare da <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> nel detto piano <mml:math><mml:mi>EF</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2984" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s2985" xml:space="preserve"> E se ben la superficie <mml:math><mml:mi>ABCD</mml:mi></mml:math> et <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> non sono rettangole, in goni modo si procederà nel medesimo modo.</s> <s xml:id="s2986" xml:space="preserve"> Purchè l'altezze del solido siano ad angoli retti alle dette base <mml:math><mml:mi>ABCD</mml:mi></mml:math> et <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2987" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="164" file="0198" n="198"/> <figure> <image file="med164" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med164"/> </figure> <p> <s xml:id="s2988" xml:space="preserve"> Le lettere piccole <mml:math><mml:mi>AGOR</mml:mi></mml:math> et <mml:math><mml:mi>agor</mml:mi></mml:math> rappresentano in perspettiva <mml:math><mml:mi>AGOR</mml:mi></mml:math> et <mml:math><mml:mi>agor</mml:mi></mml:math>, e congiunte dipoi <mml:math><mml:mi>Aa</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>Gg</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>Oo</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>Rr</mml:mi></mml:math> come qui sotto tutt'insieme rapresentarà tutto il solido in perspettiva.</s> <s xml:id="s2989" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="165" file="0199" n="199"/> <figure> <image file="med165" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med165"/> </figure> </div> <div type="section" level="2" n="5"> <head xml:id="head95" xml:space="preserve"> 4a propositio </head> <p> <s xml:id="s2990" xml:space="preserve"> E se il solido non sarà rettangolo, tirisi <mml:math><mml:mi>AP</mml:mi></mml:math> che non sia perpendicolare a <mml:math><mml:mi>EF</mml:mi></mml:math>, ma che facci l'angolo <mml:math><mml:mi>EAP</mml:mi></mml:math> equale all'angolo del solido, e tirata <mml:math><mml:mi>pn</mml:mi></mml:math> perpendicolare a <mml:math><mml:mi>EF</mml:mi></mml:math>, e fatto centro <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math> si descriva la quarta <mml:math><mml:mi>ps</mml:mi></mml:math> laqual si divida in <mml:math><mml:mi>t</mml:mi></mml:math> che la proportione che ha <mml:math><mml:mi>FK</mml:mi></mml:math> a <mml:math><mml:mi>KB</mml:mi></mml:math> la medesima habbia <mml:math><mml:mi>pt</mml:mi></mml:math> a <mml:math><mml:mi>ts</mml:mi></mml:math>, e si tiri <mml:math><mml:mi>ta</mml:mi></mml:math> perpendicolare a <mml:math><mml:mi>pn</mml:mi></mml:math>, che per la medesima ragione, quando <mml:math><mml:mi>B</mml:mi></mml:math> sarà in <mml:math><mml:mi>G</mml:mi></mml:math>, il <mml:math><mml:mi>p</mml:mi></mml:math> sarà in <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math>, e la sua altezza sarà <mml:math><mml:mi>at</mml:mi></mml:math> e dal punto <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> si descriva <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> equale alla base di sopra del solido, o sia equale, o simile <emph style="super">a quella di sotto<!--variant supralineam--></emph> o no, non importa, e si tiri <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> equidistante a <mml:math><mml:mi>EF</mml:mi></mml:math> e si operi come si è detto di sopra, aggiungendo all'altezzze la quantità <mml:math><mml:mi>at</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2991" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s2992" xml:space="preserve"> E se <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> non sarà equidistante a <mml:math><mml:mi>EF</mml:mi></mml:math>, tirisi a traverso dov'ella è, e si veda l'inclinatione del rettilineo sopr'al detto piano, si operarà nel medesimo modo agiungendo alle altezze, la quantità <mml:math><mml:mi>at</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s2993" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s2994" xml:space="preserve"> E sel solido haverà le base di molti lati si procederà nel medesimo modo.</s> <s xml:id="s2995" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="166" file="0200" n="200"/> <p> <s xml:id="s2996" xml:space="preserve"> Le lettere piccole <mml:math><mml:mi>AGOR</mml:mi></mml:math> et <mml:math><mml:mi>agor</mml:mi></mml:math> rappresentano in perspettiva <mml:math><mml:mi>AGOR</mml:mi></mml:math> et <mml:math><mml:mi>agor</mml:mi></mml:math> le quale si congiungeranno come di sopra si è detto.</s> <s xml:id="s2997" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med166" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med166"/> </figure> </div> <div type="section" level="2" n="6"> <head xml:id="head96" xml:space="preserve"> <pb o="167" file="0201" n="201"/> 5a propositio </head> <figure> <image file="med167" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med167"/> </figure> <p> <s xml:id="s2998" xml:space="preserve"> E se il solido non toccarà il piano, cioè che ne anche il punto <mml:math><mml:mi>A</mml:mi></mml:math> tocchi il piano.</s> <s xml:id="s2999" xml:space="preserve"> Sia <mml:math><mml:mi>Ai</mml:mi></mml:math> l'altezza, che è da <mml:math><mml:mi>A</mml:mi></mml:math> al piano, et aggiunte alle altezze di <mml:math><mml:mi>AGOR</mml:mi></mml:math> la quantità <mml:math><mml:mi>Ai</mml:mi></mml:math>, tutte insieme saranno le altezze di <mml:math><mml:mi>ABCD</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>AGOR</mml:mi></mml:math> sarà la figura nel piano per la 2a.</s> <s xml:id="s3000" xml:space="preserve"> Similmente agiunte a tutte le altezze di <mml:math><mml:mi>agor</mml:mi></mml:math> la quantità <mml:math><mml:mi>ai</mml:mi></mml:math> tutte insieme saranno le altezze di <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> per le cose dette.</s> <s xml:id="s3001" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s3002" xml:space="preserve"> Nel metter'in perspettiva si operarà come di sopra.</s> <s xml:id="s3003" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="168" file="0202" n="202"/> <figure> <image file="med168" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med168"/> </figure> </div> <div type="section" level="2" n="7"> <head xml:id="head97" xml:space="preserve"> 6a propositio </head> <p> <s xml:id="s3004" xml:space="preserve"> Se la settione sarà di là della figura <mml:math><mml:mi>ABC</mml:mi></mml:math> che si haverà di tirar in perspettiva, sarà rapresentata in <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math> di sotto, immaginandoci chel piano che passa per la settione sia lungo in infinito dall'una e l'altra parte, cioè di sotto e di sopra, e se <mml:math><mml:mi>AD</mml:mi></mml:math> sarà l'altezza dal piano in giù, et <mml:math><mml:mi>aE</mml:mi></mml:math> dal piano in su, si tirino le linee <mml:math><mml:mi>xDm</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>xEn</mml:mi></mml:math>, e si facci <mml:math><mml:mi>fa</mml:mi></mml:math> che è perpendicolare alla settione, equale a <mml:math><mml:mi>fo</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math> equale a <mml:math><mml:mi>om</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>ae</mml:mi></mml:math> a <mml:math><mml:mi>on</mml:mi></mml:math>, e così il <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math> rapresentarà il <mml:math><mml:mi>D</mml:mi></mml:math> et <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math> rapresentarà l'<mml:math><mml:mi>E</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>fd</mml:mi></mml:math> sarà equale a <mml:math><mml:mi>fm</mml:mi></mml:math> et <mml:math><mml:mi>fe</mml:mi></mml:math> a <mml:math><mml:mi>fn</mml:mi></mml:math>, l'occhio che è in <mml:math><mml:mi>x</mml:mi></mml:math> se intende alto dal piano in su, quanto è <mml:math><mml:mi>qx</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3005" xml:space="preserve"> Il piano s'intende dove è <mml:math><mml:mi>ABC</mml:mi></mml:math>, e la linea della settione, et il punto <mml:math><mml:mi>q</mml:mi></mml:math> perchè tutti s'intendono et sono in un medesimo piano.</s> <s xml:id="s3006" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med168_2" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med168_2"/> </figure> <p> <s xml:id="s3007" xml:space="preserve"> La settione lascia una parte della figura <mml:math><mml:mi>ABC</mml:mi></mml:math> di là, che è <mml:math><mml:mi>BC</mml:mi></mml:math> et una parte di qua, che è <mml:math><mml:mi>A</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3008" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="169" file="0203" n="203"/> </div> <div type="section" level="2" n="8"> <head xml:id="head98" xml:space="preserve"> 7a propositio </head> <p> <s xml:id="s3009" xml:space="preserve"> Se l'occhio sarà abassato dal piano in giù quanto è <mml:math><mml:mi>qx</mml:mi></mml:math>, e che la settione sia di là della figura <mml:math><mml:mi>ABC</mml:mi></mml:math>, sarà rapresentata in <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math> di sopra, e se <mml:math><mml:mi>AD</mml:mi></mml:math> sarà l'altezza all'ingiù, et <mml:math><mml:mi>AE</mml:mi></mml:math> all'insu, si facci <mml:math><mml:mi>ae</mml:mi></mml:math> equale a <mml:math><mml:mi>on</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math> a <mml:math><mml:mi>om</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math> rapresentaranno <mml:math><mml:mi>D</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>E</mml:mi></mml:math> in perspettiva, et <mml:math><mml:mi>fe</mml:mi></mml:math> sarà equale a <mml:math><mml:mi>fn</mml:mi></mml:math> et <mml:math><mml:mi>fd</mml:mi></mml:math> a <mml:math><mml:mi>fm</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3010" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med169" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med169"/> </figure> <figure> <image file="med169_2" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med169_2"/> </figure> </div> <div type="section" level="2" n="9"> <head xml:id="head99" xml:space="preserve"> 8a propositio </head> <p> <s xml:id="s3011" xml:space="preserve"> Se l'occhio sarà medesimamente abassato in giù, e che la settione sia di qua dalla figura <mml:math><mml:mi>ABC</mml:mi></mml:math> sarà rapresentata in giù dove è <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3012" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="170" file="0204" n="204"/> <figure> <image file="med170" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med170"/> </figure> <p> <s xml:id="s3013" xml:space="preserve"> <mml:math><mml:mi>ABC</mml:mi></mml:math> è rapresentata nel convexo del cilindro.</s> <s xml:id="s3014" xml:space="preserve"> </s> </p> </div> <div type="section" level="2" n="10"> <head xml:id="head100" xml:space="preserve"> 9a propositio </head> <p> <s xml:id="s3015" xml:space="preserve"> Sia <mml:math><mml:mi>ABC</mml:mi></mml:math> la figura che si ha da mettere in prospettiva, e sia la settione un cilindro retto la base del qual sia il circolo <mml:math><mml:mi>pAs</mml:mi></mml:math>, laqual sarà commune settione del piano dove è <mml:math><mml:mi>ABC</mml:mi></mml:math> e del cilindro, e volendo tirare il <mml:math><mml:mi>B</mml:mi></mml:math> in perspettiva tirasi <mml:math><mml:mi>qB</mml:mi></mml:math> e <mml:math><mml:mi>fB</mml:mi></mml:math>, e <mml:math><mml:mi>qB</mml:mi></mml:math> seghi il circolo in <mml:math><mml:mi>p</mml:mi></mml:math>, e dal punto <mml:math><mml:mi>p</mml:mi></mml:math> si tiri <mml:math><mml:mi>pr</mml:mi></mml:math> paralella a <mml:math><mml:mi>qx</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>xB</mml:mi></mml:math> seghi <mml:math><mml:mi>pr</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>r</mml:mi></mml:math>, e dal punto <mml:math><mml:mi>p</mml:mi></mml:math> si tiri <mml:math><mml:mi>pb</mml:mi></mml:math> perpendicolare a <mml:math><mml:mi>pr</mml:mi></mml:math>, e si facci <mml:math><mml:mi>pb</mml:mi></mml:math> equale a <mml:math><mml:mi>pr</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3016" xml:space="preserve"> Dico che'l <mml:math><mml:mi>B</mml:mi></mml:math> sarà rapresentato in perspettiva nella superficie del cilindro in <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math>, cioè se <mml:math><mml:mi>pb</mml:mi></mml:math> saràeretta perpendicolarmente sopr'al piano.</s> <s xml:id="s3017" xml:space="preserve"> Perchè se ce immaginaremo che <mml:math><mml:mi>pb</mml:mi></mml:math> sia eretta perpendicolarmente sopr'al piano, e che un piano passi per <mml:math><mml:mi>pr</mml:mi></mml:math>, il qual sia anche egli perpendicolare al piano, è chiara cosa, (essendo il cilindro retto) che <mml:math><mml:mi>pb</mml:mi></mml:math> sarà comune settione del detto piano, e del cilindro, <mml:math><mml:mi>A</mml:mi></mml:math>dunque per le cose dette, il <mml:math><mml:mi>B</mml:mi></mml:math> sarà nella settione in <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3018" xml:space="preserve"> Similmente volendo trovare il <mml:math><mml:mi>C</mml:mi></mml:math> tirasi <mml:math><mml:mi>qC</mml:mi></mml:math>, laqual seghi il circolo in <mml:math><mml:mi>s</mml:mi></mml:math>, e dal punto <mml:math><mml:mi>s</mml:mi></mml:math> si tiri una paralella a <mml:math><mml:mi>qx</mml:mi></mml:math>, e si operi come si è detto.</s> <s xml:id="s3019" xml:space="preserve"> Trovaremo che <mml:math><mml:mi>C</mml:mi></mml:math> sarà in <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math>, e per esser la superficie del cilindro rotonda, non bisogna congiongere <mml:math><mml:mi>Abc</mml:mi></mml:math> con linee rette ma divider <mml:math><mml:mi>ABC</mml:mi></mml:math> in quante parte si vuole, e di tutte trovar dove le saranno nel cilindro, e poi congiongerle che così sarà rapresentato benissimo in perspettiva ogni cosa tirando le perpendicolar nel cilindro <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">dove</emph>di<!--end variant delevit ante--> dove le linee che si partono dal <mml:math><mml:mi>q</mml:mi></mml:math> segano il circolo, sicome si è fatto <mml:math><mml:mi>pb</mml:mi></mml:math> e <mml:math><mml:mi>sc</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3020" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s3021" xml:space="preserve"> E nel medesimo modo si farà se <mml:math><mml:mi>pAs</mml:mi></mml:math> sarà elipse.</s> <s xml:id="s3022" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="171" file="0205" n="205"/> <p> <s xml:id="s3023" xml:space="preserve"> Questa è rapresentata nel concavo del cilindro.</s> <s xml:id="s3024" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med171" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med171"/> </figure> </div> <div type="section" level="2" n="11"> <head xml:id="head101" xml:space="preserve"> 10a propositio </head> <p> <s xml:id="s3025" xml:space="preserve"> In questa si opererà come nella precedente.</s> <s xml:id="s3026" xml:space="preserve"> </s> </p> </div> <div type="section" level="2" n="12"> <head xml:id="head102" xml:space="preserve"> Nota </head> <p> <s xml:id="s3027" xml:space="preserve"> Et è d'avertir che la figura <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math> che si rapresenta in carta, non mostra come quella che è nella settione del cilindro, ma mostra le altezze et il sito dove vanno poste nel cilindro.</s> <s xml:id="s3028" xml:space="preserve"> E questo è da notar in tutte le altre simil settione.</s> <s xml:id="s3029" xml:space="preserve"> </s> </p> </div> <div type="section" level="2" n="13"> <head xml:id="head103" xml:space="preserve"> 11a propositio </head> <p> <s xml:id="s3030" xml:space="preserve"> Similmente se la settione sarà parte convexa e parte concava e parte retta, si procederà nel medesimo modo come nelle due precedenti.</s> <s xml:id="s3031" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med171_2" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med171_2"/> </figure> </div> <div type="section" level="2" n="14"> <head xml:id="head104" xml:space="preserve"> 12a propositio </head> <p> <s xml:id="s3032" xml:space="preserve"> E di qui nasce che la settione retta non sarà equidistante a <mml:math><mml:mi>xq</mml:mi></mml:math> si procederà come si è detto nella 9a perchè se <mml:math><mml:mi>pb</mml:mi></mml:math> sarà elevata perpendicolarmente sopr'al piano.</s> <s xml:id="s3033" xml:space="preserve"> <mml:math><mml:mi>pb</mml:mi></mml:math> sarà commune settione del piano che passa per <mml:math><mml:mi>pr</mml:mi></mml:math>, e della settione.</s> <s xml:id="s3034" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s3035" xml:space="preserve"> E bisogna che <mml:math><mml:mi>pb</mml:mi></mml:math> et <mml:math><mml:mi>cs</mml:mi></mml:math> siano tirate perpendicolarmente alla settione, acciochè venghi nel piano la figura <mml:math><mml:mi>Abc</mml:mi></mml:math>, equale a quella che viene nella settione eretta.</s> <s xml:id="s3036" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s3037" xml:space="preserve"> E se faremo <mml:math><mml:mi>qx</mml:mi></mml:math> equidistante alla settione et operando come si è detto di sopra nel 6o modo, troveremo che ci tornerà il medesimo.</s> <s xml:id="s3038" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med171_3" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med171_3"/> </figure> <pb o="172" file="0206" n="206"/> <figure> <image file="med172" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med172"/> </figure> </div> <div type="section" level="2" n="15"> <head xml:id="head105" xml:space="preserve"> 13a propositio </head> <p> <s xml:id="s3039" xml:space="preserve"> Se si vorrà mettere in perspettiva come pareno le figure nel cilindro, come nella 9 et 10.</s> <s xml:id="s3040" xml:space="preserve"> Piglisi la figura che è in carta con le altezze, e si metta in perspettiva con la veduta che ci parerà e sia per esempio la 10.</s> <s xml:id="s3041" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="173" file="0207" n="207"/> </div> <div type="section" level="2" n="16"> <head xml:id="head106" xml:space="preserve"> 14a propositio </head> <p> <s xml:id="s3042" xml:space="preserve"> Sia <mml:math><mml:mi>qx</mml:mi></mml:math> l'altezza dell'occhio perpendicolar al piano <mml:math><mml:mi>qBA</mml:mi></mml:math>, sia <mml:math><mml:mi>ACDB</mml:mi></mml:math> la <!--begin variant delevit post-->figura<emph style="st">rettangola<!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super">e <mml:math><mml:mi>CD AB</mml:mi></mml:math> parallele <!--variant supralineam--></emph> , sia <mml:math><mml:mi>CD</mml:mi></mml:math>la commune settione del piano e della settione, sia <mml:math><mml:mi>CghD</mml:mi></mml:math> la settione ad angoli retti sopr'al piano, laqual sia segata dalli raggi <mml:math><mml:mi>xAxB</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3043" xml:space="preserve"> <anchor type="note" xlink:label="note-0207-01a" xlink:href="note-0207-01"/> </s> </p> <div type="float" level="3" n="1"> <note position="left" xlink:label="note-0207-01" xlink:href="note-0207-01a" xml:space="preserve"> Li raggi segano le perpendicolar <mml:math><mml:mi>Cg</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>Dh</mml:mi></mml:math> perchè il punto <mml:math><mml:mi>A</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>Cg</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>qx</mml:mi></mml:math> sono in un medesimo piano, et il punto <mml:math><mml:mi>B</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>Dh</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>qx</mml:mi></mml:math><!--variant signopositoinmargine--> </note> </div> <p> <s xml:id="s3044" xml:space="preserve"> Sia <mml:math><mml:mi>qCA</mml:mi></mml:math> perpendicolare a <mml:math><mml:mi>CD</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>AB</mml:mi></mml:math> <emph style="super"> et <mml:math><mml:mi>qDB</mml:mi></mml:math> una linea retta<!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s3045" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med173" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med173"/> </figure> <p> <s xml:id="s3046" xml:space="preserve"> Dico che <mml:math><mml:mi>gh</mml:mi></mml:math> è parallela a <mml:math><mml:mi>CD</mml:mi></mml:math> et <mml:math><mml:mi>AB</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3047" xml:space="preserve"> Perchè essendo <mml:math><mml:mi>CD</mml:mi></mml:math> paralella a <mml:math><mml:mi>AB</mml:mi></mml:math> et a <mml:math><mml:mi>Cg</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>Dh</mml:mi></mml:math> paralelle a <mml:math><mml:mi>qx</mml:mi></mml:math> la medesima proportione ha <mml:math><mml:mi>BD</mml:mi></mml:math> a <mml:math><mml:mi>Dq</mml:mi></mml:math> che ha <mml:math><mml:mi>Ag</mml:mi></mml:math> a <mml:math><mml:mi>gx</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3048" xml:space="preserve"> Adunque la medesima proportione ha <mml:math><mml:mi>Ag</mml:mi></mml:math> a <mml:math><mml:mi>gx</mml:mi></mml:math> che ha <mml:math><mml:mi>Bh</mml:mi></mml:math> a <mml:math><mml:mi>hx</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3049" xml:space="preserve"> <mml:math><mml:mi>gh</mml:mi></mml:math> adunque è paralella a <mml:math><mml:mi>AB</mml:mi></mml:math> et a <mml:math><mml:mi>CD</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3050" xml:space="preserve"> E per esser gl'angoli <mml:math><mml:mi>C</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>D</mml:mi></mml:math> retti <mml:math><mml:mi>CghD</mml:mi></mml:math> sarà paralellogrammo rettangolo e <mml:math><mml:mi>gh</mml:mi></mml:math> sarà equale a <mml:math><mml:mi>CD</mml:mi></mml:math> e <mml:math><mml:mi>Cg</mml:mi></mml:math> equale a <mml:math><mml:mi>Dh</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3051" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s3052" xml:space="preserve"> Et è manifesto che <mml:math><mml:mi>CDBA</mml:mi></mml:math> parerà nella settione in <mml:math><mml:mi>CghD</mml:mi></mml:math>, e se si farà <mml:math><mml:mi>Ca</mml:mi></mml:math> equale a <mml:math><mml:mi>Cg</mml:mi></mml:math>, e <mml:math><mml:mi>Db</mml:mi></mml:math> equale a <mml:math><mml:mi>Dh</mml:mi></mml:math> et <mml:math><mml:mi>Cg</mml:mi></mml:math> congiungendo <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s3053" xml:space="preserve"> la figura <mml:math><mml:mi>CDba</mml:mi></mml:math> nel piano q<mml:math><mml:mi>BA</mml:mi></mml:math> sarà equale a <mml:math><mml:mi>CghD</mml:mi></mml:math>, per esser tutte due rettangole.</s> <s xml:id="s3054" xml:space="preserve"> </s> </p> </div> <div type="section" level="2" n="17"> <head xml:id="head107" xml:space="preserve"> Dimostratione per le altezze </head> <note position="left" xml:space="preserve"> Dimostratione per le altezze<!--variant signopositoinmargine--> </note> <p> <s xml:id="s3055" xml:space="preserve"> E se <mml:math><mml:mi>AE</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>BF</mml:mi></mml:math> saranno equale e perpendicolare al piano.</s> <s xml:id="s3056" xml:space="preserve"> Tirisino li raggi <mml:math><mml:mi>Ex</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>Fx</mml:mi></mml:math>, li quali segaranno la settione in <mml:math><mml:mi>kl</mml:mi></mml:math> per esser <mml:math><mml:mi>AE</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>Ck</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>qx</mml:mi></mml:math> in un medesimo piano, e similmente <mml:math><mml:mi>BF</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>Dl</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>qx</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3057" xml:space="preserve"> E tirata <mml:math><mml:mi>kl</mml:mi></mml:math>, Dico che <mml:math><mml:mi>kl</mml:mi></mml:math> sarà similmente paralella a <mml:math><mml:mi>CD</mml:mi></mml:math> perchè la medesima proportione ha <mml:math><mml:mi>Ax</mml:mi></mml:math> a <mml:math><mml:mi>xg</mml:mi></mml:math> che ha <mml:math><mml:mi>Bx</mml:mi></mml:math> a <mml:math><mml:mi>xh</mml:mi></mml:math>, per esser li triangoli simili e la proportione che ha <mml:math><mml:mi>Ax</mml:mi></mml:math> a <mml:math><mml:mi>xg</mml:mi></mml:math> la medesima ha <mml:math><mml:mi>AE</mml:mi></mml:math> a <mml:math><mml:mi>gk</mml:mi></mml:math>, e la medesima ha <mml:math><mml:mi>Bx</mml:mi></mml:math> a <mml:math><mml:mi>xh</mml:mi></mml:math> che ha <mml:math><mml:mi>BF</mml:mi></mml:math> a <mml:math><mml:mi>hl</mml:mi></mml:math>, per la similitudine dei triangoli, adunque la medesima proportione ha <mml:math><mml:mi>AE</mml:mi></mml:math> a <mml:math><mml:mi>gk</mml:mi></mml:math>, che ha <mml:math><mml:mi>BF</mml:mi></mml:math> a <mml:math><mml:mi>hl</mml:mi></mml:math>, e permutando, la medesima ha <mml:math><mml:mi>AE</mml:mi></mml:math> a <mml:math><mml:mi>BF</mml:mi></mml:math>, che ha <mml:math><mml:mi>gk</mml:mi></mml:math> a <mml:math><mml:mi>hl</mml:mi></mml:math>, ma <mml:math><mml:mi>AE</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>BF</mml:mi></mml:math> sono equale, Adunque <mml:math><mml:mi>gk</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>hl</mml:mi></mml:math> sono equale, e gl'angoli <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math> sono retti adunque <mml:math><mml:mi>kl</mml:mi></mml:math> è parallela a <mml:math><mml:mi>gh</mml:mi></mml:math> et a <mml:math><mml:mi>CD</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3058" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s3059" xml:space="preserve"> E perchè <mml:math><mml:mi>gklh</mml:mi></mml:math> rapresenta nella settione <mml:math><mml:mi>AEFB</mml:mi></mml:math>, facciasi adunque <mml:math><mml:mi>ae</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>bf</mml:mi></mml:math> equale a <mml:math><mml:mi>gk</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>hl</mml:mi></mml:math> congiungendo <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> la figura <mml:math><mml:mi>abfe</mml:mi></mml:math> nel piano sarà equale a <mml:math><mml:mi>gklh</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3060" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s3061" xml:space="preserve"> In questa propositione si vede anche la dimostrazione del 5o e 6o modo.</s> <s xml:id="s3062" xml:space="preserve"> </s> </p> </div> <div type="section" level="2" n="18"> <head xml:id="head108" xml:space="preserve"> <pb o="174" file="0208" n="208"/> 15a propositio </head> <p> <s xml:id="s3063" xml:space="preserve"> Dalla precedente si po cavar un'altro modo da tirar in perspettiva.</s> <s xml:id="s3064" xml:space="preserve"> <anchor type="note" xlink:label="note-0208-01a" xlink:href="note-0208-01"/> <anchor type="figure" xlink:label="med174a" xlink:href="med174"/> Siano <mml:math><mml:mi>A</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>B</mml:mi></mml:math> li punti che si hanno da tirar in perspettiva, tirisi dal <mml:math><mml:mi>q</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>qf</mml:mi></mml:math> perpendicolare alla settione, laqual si slunghi in infinito, e dal punto <mml:math><mml:mi>A</mml:mi></mml:math> si tiri <mml:math><mml:mi>AE</mml:mi></mml:math> parallela alla settione, e si tiri <mml:math><mml:mi>xe</mml:mi></mml:math> laqual seghi la settione in <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math>, e si tiri <mml:math><mml:mi>qA</mml:mi></mml:math> laqual seghi la settione in <mml:math><mml:mi>m</mml:mi></mml:math>, e si tiri <mml:math><mml:mi>ma</mml:mi></mml:math> perpendicolare alla settione laqual si facci equale a <mml:math><mml:mi>fn</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3065" xml:space="preserve"> Dico che da chel punto <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> rapresenterà il punto <mml:math><mml:mi>A</mml:mi></mml:math> in perspettiva perchè se faremo il paralellogrammo <mml:math><mml:mi>fnam</mml:mi></mml:math>, per le cose dette nella precedente, <mml:math><mml:mi>fnam</mml:mi></mml:math> ne rapresenterà <mml:math><mml:mi>feAm</mml:mi></mml:math>, et il medesimo si farà negl'altri punti.</s> <s xml:id="s3066" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="3" n="1"> <note position="left" xlink:label="note-0208-01" xlink:href="note-0208-01a" xml:space="preserve"> 7o modo da tirare in perspettiva<!--variant signopositoinmargine--> </note> <figure xlink:label="med174" xlink:href="med174a"> <image file="med174" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med174"/> </figure> </div> <p> <s xml:id="s3067" xml:space="preserve"> E se <mml:math><mml:mi>AD</mml:mi></mml:math> sarà l'altezza perpendicolarmente sopr'al piano, facciasi <mml:math><mml:mi>eg</mml:mi></mml:math> equale a <mml:math><mml:mi>AD</mml:mi></mml:math>, e perpendicolare a <mml:math><mml:mi>qe</mml:mi></mml:math>, e tirata <mml:math><mml:mi>xg</mml:mi></mml:math>, la qual seghi la settione in <mml:math><mml:mi>i</mml:mi></mml:math>, e slungata <mml:math><mml:mi>ma</mml:mi></mml:math> fin al <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math>, e si facci <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math> equale a <mml:math><mml:mi>ni</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3068" xml:space="preserve"> il <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math> rapresenterà il <mml:math><mml:mi>D</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3069" xml:space="preserve"> perchè <mml:math><mml:mi>nida</mml:mi></mml:math> rapresenterà <mml:math><mml:mi>ehDA</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3070" xml:space="preserve"> </s> </p> </div> <div type="section" level="2" n="19"> <head xml:id="head109" xml:space="preserve"> <pb o="175" file="0209" n="209"/> 16a propositio </head> <figure> <image file="med175" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med175"/> </figure> <p> <s xml:id="s3071" xml:space="preserve"> Sia <mml:math><mml:mi>qx</mml:mi></mml:math> l'altezza dell'occhio perpendicolare al piano <mml:math><mml:mi>qBa</mml:mi></mml:math>, sia <mml:math><mml:mi>ABCD</mml:mi></mml:math> la figura che si ha da tirar in perspettiva, siano <mml:math><mml:mi>AB</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>CD</mml:mi></mml:math> parallele, sia <mml:math><mml:mi>CD</mml:mi></mml:math> la commune settione del piano e della settione, sia <mml:math><mml:mi>CefD</mml:mi></mml:math> la settione piana, ma non ad angoli retti sopr'al piano, e sia <mml:math><mml:mi>qCA</mml:mi></mml:math> paerpendicolare a <mml:math><mml:mi>CD</mml:mi></mml:math> et <mml:math><mml:mi>AB</mml:mi></mml:math> ;</s> <s xml:id="s3072" xml:space="preserve"> e volendo rapresentar nella settione la figura <mml:math><mml:mi>ABCD</mml:mi></mml:math>, tirisino li raggi <mml:math><mml:mi>xA</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>xB</mml:mi></mml:math> liquali seghino la settione in <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math>, e tirata la linea <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> è manifesto che <mml:math><mml:mi>ABCD</mml:mi></mml:math> parerà in <mml:math><mml:mi>CDef</mml:mi></mml:math>, e volendo metter nel piano <mml:math><mml:mi>qAB</mml:mi></mml:math> una figura equale a <mml:math><mml:mi>CefD</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3073" xml:space="preserve"> Prima Dico che <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> è paralella a <mml:math><mml:mi>CD</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3074" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s3075" xml:space="preserve"> Sia <mml:math><mml:mi>Cghd</mml:mi></mml:math> la settione retta nella quale (per la 14) <mml:math><mml:mi>gh</mml:mi></mml:math> è paralella a <mml:math><mml:mi>CD</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3076" xml:space="preserve"> Tirisi dal punto <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>hm</mml:mi></mml:math> paralella a <mml:math><mml:mi>ge</mml:mi></mml:math>, laqual seghi <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>m</mml:mi></mml:math>, che per eseer il punto <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math> nel medesimo piano che è <mml:math><mml:mi>ge</mml:mi></mml:math>, cioè nel piano <mml:math><mml:mi>xAB</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>hm</mml:mi></mml:math> sarà nel medesimo piano <emph style="super"> e si congiunga <mml:math><mml:mi>mD</mml:mi></mml:math> laqual sarà nel piano <mml:math><mml:mi>CefD</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> e perchè <mml:math><mml:mi>Cg</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>Dh</mml:mi></mml:math> sono paralelle <anchor type="note" xlink:label="note-0209-01a" xlink:href="note-0209-01"/> e <mml:math><mml:mi>ge</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>hm</mml:mi></mml:math> paralelle;</s> <s xml:id="s3077" xml:space="preserve"> l'angolo adunque <mml:math><mml:mi>Cge</mml:mi></mml:math> sarà equale all'angolo <mml:math><mml:mi>Dhm</mml:mi></mml:math>, e li piani <mml:math><mml:mi>Cge</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>Dhm</mml:mi></mml:math> saranno paralelli, e perchè <mml:math><mml:mi>Cge</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>Dhm</mml:mi></mml:math> sono segati dal piano <mml:math><mml:mi>CemD</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>Ce</mml:mi></mml:math> sarà <anchor type="note" xlink:label="note-0209-02a" xlink:href="note-0209-02"/> paralella a <mml:math><mml:mi>Dm</mml:mi></mml:math>, e perchè <mml:math><mml:mi>Cg</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>Dh</mml:mi></mml:math> sono paralelle, e <mml:math><mml:mi>Ce</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>Dm</mml:mi></mml:math> paralelle, l'angolo adunque <mml:math><mml:mi>gCe</mml:mi></mml:math> è equale all'angolo <mml:math><mml:mi>hDm</mml:mi></mml:math>, e perchè gl'angoli <mml:math><mml:mi>Cge</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>gCe</mml:mi></mml:math> del triangolo <mml:math><mml:mi>gCe</mml:mi></mml:math> sono equali all'angoli <mml:math><mml:mi>Dhm</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>hDm</mml:mi></mml:math> del triangolo <mml:math><mml:mi>hDm</mml:mi></mml:math>, et il lato <mml:math><mml:mi>gC</mml:mi></mml:math> (per la 14) è equale al lato <mml:math><mml:mi>hD</mml:mi></mml:math>, adunque per la 26 del primo il triangolo <mml:math><mml:mi>gCe</mml:mi></mml:math> sarà equale al triangolo <mml:math><mml:mi>hDm</mml:mi></mml:math> e la linea <mml:math><mml:mi>ge</mml:mi></mml:math> sarà equale alla linea <mml:math><mml:mi>hm</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>em</mml:mi></mml:math> adunque cioè <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> sarà paralella a <mml:math><mml:mi>gh</mml:mi></mml:math> et a <mml:math><mml:mi>CD</mml:mi></mml:math>, e volendo metter nel <emph style="super"> piano<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>qAB</mml:mi></mml:math>, lequale cascaranno <anchor type="note" xlink:label="note-0209-03a" xlink:href="note-0209-03"/> nelle linee <mml:math><mml:mi>qA</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>qB</mml:mi></mml:math>, per esser li piani <mml:math><mml:mi>qBx</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>qAx</mml:mi></mml:math> perpendicolari al piano <mml:math><mml:mi>qAB</mml:mi></mml:math> e congiunta <mml:math><mml:mi>po</mml:mi></mml:math>, la linea <mml:math><mml:mi>po</mml:mi></mml:math> sarà equale e paralella a <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math>, Perchè essendo <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> paralella a <mml:math><mml:mi>CD</mml:mi></mml:math> la sarà anche paralella a <mml:math><mml:mi>AB</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>ep</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>fo</mml:mi></mml:math> sono paralelle <anchor type="note" xlink:label="note-0209-04a" xlink:href="note-0209-04"/> a <mml:math><mml:mi>qx</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3078" xml:space="preserve"> Adunque la medesima proportione ha <mml:math><mml:mi>Ae</mml:mi></mml:math> a <mml:math><mml:mi>ex</mml:mi></mml:math> che ha <mml:math><mml:mi>Bf</mml:mi></mml:math> a <mml:math><mml:mi>fx</mml:mi></mml:math>, e che ha <mml:math><mml:mi>Ap</mml:mi></mml:math> a <mml:math><mml:mi>pq</mml:mi></mml:math> che ha <mml:math><mml:mi>Bo</mml:mi></mml:math> a <mml:math><mml:mi>oq</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3079" xml:space="preserve"> Adunque <mml:math><mml:mi>po</mml:mi></mml:math> è paralella a <mml:math><mml:mi>AB</mml:mi></mml:math> et a <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> et <mml:math><mml:mi>CD</mml:mi></mml:math>:</s> <s xml:id="s3080" xml:space="preserve"> e gl'angoli della figura <mml:math><mml:mi>pefo</mml:mi></mml:math> saranno retti, adunque <mml:math><mml:mi>pefo</mml:mi></mml:math> sarà pralellogrammo rettangolo, e <mml:math><mml:mi>po</mml:mi></mml:math> sarà equale a <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3081" xml:space="preserve"> Facciasi poi <mml:math><mml:mi>Ca</mml:mi></mml:math> equale a <mml:math><mml:mi>Ce</mml:mi></mml:math> e dal punto <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> si tiri <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> equale e paralella a <mml:math><mml:mi>po</mml:mi></mml:math>, e congiunta <mml:math><mml:mi>Db</mml:mi></mml:math> la figura <mml:math><mml:mi>CDba</mml:mi></mml:math> sarà simile et equale a <mml:math><mml:mi>CefD</mml:mi></mml:math> perchè <mml:math><mml:mi>CD</mml:mi></mml:math> è commune, e <mml:math><mml:mi>Ca</mml:mi></mml:math> è equale a <mml:math><mml:mi>Ce</mml:mi></mml:math> e l'angolo <mml:math><mml:mi>eCD</mml:mi></mml:math> è retto per esser <mml:math><mml:mi>CD</mml:mi></mml:math> perpendicolare al piano <mml:math><mml:mi>qAx</mml:mi></mml:math>, et equale a <mml:math><mml:mi>DCa</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> è equale a <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> e paralella a <mml:math><mml:mi>CD</mml:mi></mml:math>, quella che resta adunque cioè <mml:math><mml:mi>Db</mml:mi></mml:math> sarà equale a <mml:math><mml:mi>Df</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3082" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="3" n="1"> <note position="left" xlink:label="note-0209-01" xlink:href="note-0209-01a" xml:space="preserve"> per la 10 e 15 del 11o<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0209-02" xlink:href="note-0209-02a" xml:space="preserve"> per la 16 del 11o<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0209-03" xlink:href="note-0209-03a" xml:space="preserve"> per la 38 et 18 del 11o<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0209-04" xlink:href="note-0209-04a" xml:space="preserve"> per la 2 del 6o<!--citmargsign--> </note> </div> <pb o="176" file="0210" n="210"/> <figure> <image file="med176" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med176"/> </figure> <note position="left" xml:space="preserve"> le altezze<!--variant signopositoinmargine--> </note> <p> <s xml:id="s3083" xml:space="preserve"> Siano <mml:math><mml:mi>AN</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>BR</mml:mi></mml:math> equale e perpendicolare al piano <mml:math><mml:mi>qAB</mml:mi></mml:math>, e si tirino li raggi <mml:math><mml:mi>xN</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>xR</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3084" xml:space="preserve"> liquali seghino la settione inclinata in <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>i</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3085" xml:space="preserve"> Prima dico che slungate le linee <mml:math><mml:mi>Ce</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>Df</mml:mi></mml:math> le saranno segate dalli raggi <mml:math><mml:mi>xN</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>xR</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3086" xml:space="preserve"> Perchè essendo <mml:math><mml:mi>AN</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>qx</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>xA</mml:mi></mml:math> in un medesimo piano per esser il piano <mml:math><mml:mi>qaX</mml:mi></mml:math> perpendicolare al piano <mml:math><mml:mi>qAB</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>xN</mml:mi></mml:math> adunque sarà nel medesimo piano, slungata adunque <mml:math><mml:mi>Ce</mml:mi></mml:math>, per esser nel medesimo piano sarà segata da <mml:math><mml:mi>xN</mml:mi></mml:math>, e sia in <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3087" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s3088" xml:space="preserve"> Similmente per esset <mml:math><mml:mi>qx</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>xB</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>BR</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>xR</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>Df</mml:mi></mml:math> in un medesimo piano, slungata adunque <mml:math><mml:mi>Df</mml:mi></mml:math> sia segata da <mml:math><mml:mi>xR</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>i</mml:mi></mml:math>, e si tirino <mml:math><mml:mi>NR</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>ki</mml:mi></mml:math> è manifesto che <mml:math><mml:mi>ANRB</mml:mi></mml:math> parerà nella settione in <mml:math><mml:mi>ekif</mml:mi></mml:math> e <mml:math><mml:mi>ki</mml:mi></mml:math> sarà paralella a <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math>, perchè essendo <mml:math><mml:mi>gsth</mml:mi></mml:math> la settione ad angoli retti (per la 14) <mml:math><mml:mi>st</mml:mi></mml:math> sarà <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">equale a </emph> paralella<!--end variant delevit ante--> a <mml:math><mml:mi>gh</mml:mi></mml:math> et a <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math>, e <mml:math><mml:mi>Cs</mml:mi></mml:math> sarà equale a <mml:math><mml:mi>Dt</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s3089" xml:space="preserve"> e se dal punto <mml:math><mml:mi>t</mml:mi></mml:math> tiraremo <mml:math><mml:mi>tu</mml:mi></mml:math> paralella a <mml:math><mml:mi>sk</mml:mi></mml:math> congiungendo <mml:math><mml:mi>uD</mml:mi></mml:math>, il triangolo <mml:math><mml:mi>sCk</mml:mi></mml:math>, per la medesima ragione detta di sopra, sarà equale al triangolo <mml:math><mml:mi>tDu</mml:mi></mml:math>, e <mml:math><mml:mi>tu</mml:mi></mml:math> sarà equale a <mml:math><mml:mi>sk</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>ku</mml:mi></mml:math> adunque, cioè <mml:math><mml:mi>ki</mml:mi></mml:math> sarà paralella a <mml:math><mml:mi>st</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math>, e volendo metter nel piano <mml:math><mml:mi>qAB</mml:mi></mml:math> una figura equale a <mml:math><mml:mi>ekif</mml:mi></mml:math> facciasi <mml:math><mml:mi>an</mml:mi></mml:math> equale a <mml:math><mml:mi>ek</mml:mi></mml:math>, e dal punto <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math> si tiri una paralella a <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math>, laqual seghi <mml:math><mml:mi>Db</mml:mi></mml:math> slungata, in <mml:math><mml:mi>r</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3090" xml:space="preserve"> Dico che <mml:math><mml:mi>abrn</mml:mi></mml:math> sarà equale a <mml:math><mml:mi>ekif</mml:mi></mml:math>, perchè essendo <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> equlae a <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math>, e gl'angoli <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math> retti equali agl'angoli <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math> retti, e per esser <mml:math><mml:mi>Df</mml:mi></mml:math> equale a <mml:math><mml:mi>Db</mml:mi></mml:math>, gl'angoli al <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math> saranno equali agl'angoli al <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math>, e di necessità sarà che <mml:math><mml:mi>nr</mml:mi></mml:math> sia equale a <mml:math><mml:mi>ki</mml:mi></mml:math> et <mml:math><mml:mi>fi</mml:mi></mml:math> a <mml:math><mml:mi>br</mml:mi></mml:math> e gl'anoli <mml:math><mml:mi>i</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>r</mml:mi></mml:math> equali.</s> <s xml:id="s3091" xml:space="preserve"> </s> </p> </div> <div type="section" level="2" n="20"> <pb o="177" file="0211" n="211"/> <figure> <image file="med177" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med177"/> </figure> <head xml:id="head110" xml:space="preserve"> 17a propositio </head> <p> <s xml:id="s3092" xml:space="preserve"> Sia <mml:math><mml:mi>B</mml:mi></mml:math> il punto che si ha da tirare in perspettiva, tirisi <mml:math><mml:mi>qC</mml:mi></mml:math> perpendicolare alla settione e si slunghi in infinito, sia <mml:math><mml:mi>DCe</mml:mi></mml:math> l'angolo della settione inclinata e si tiri <mml:math><mml:mi>qB</mml:mi></mml:math>, et dal <mml:math><mml:mi>B</mml:mi></mml:math> si tiri la linea <mml:math><mml:mi>BA</mml:mi></mml:math> paralella alla settione finchè la seghi <mml:math><mml:mi>qC</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>A</mml:mi></mml:math>, e si tiri <mml:math><mml:mi>xA</mml:mi></mml:math>, laqual seghi la settione inclinata in <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math>, e dal punto <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math> si tiri <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> perpendicolar a <mml:math><mml:mi>CA</mml:mi></mml:math>, e dal <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math> si tiri <mml:math><mml:mi>qh</mml:mi></mml:math> paralella alla settione, laqual seghi <mml:math><mml:mi>qB</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math>, e si facci <mml:math><mml:mi>Ca</mml:mi></mml:math> equale a <mml:math><mml:mi>Cf</mml:mi></mml:math>, e dal punto <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> si tiri <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> equale e paralella a <mml:math><mml:mi>gh</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3093" xml:space="preserve"> Dico che per la precedente il punto <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math> rapresenta il <mml:math><mml:mi>B</mml:mi></mml:math> in perspettiva, nella settione inclinata, perchè il quadrilatero <mml:math><mml:mi>CDba</mml:mi></mml:math> rapresenta <mml:math><mml:mi>CDBA</mml:mi></mml:math>, e così si faranno gl'altri punti, et il punto <mml:math><mml:mi>A</mml:mi></mml:math> sarà in <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3094" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s3095" xml:space="preserve"> Per le altezze, facciasi <mml:math><mml:mi>AN</mml:mi></mml:math> equale all'altezza del punto che è sopr'al <mml:math><mml:mi>B</mml:mi></mml:math>, laqual sia <mml:math><mml:mi>BR</mml:mi></mml:math> perpendicolar sopr'al piano, e si tiri <mml:math><mml:mi>Nx</mml:mi></mml:math>, laqual seghi <mml:math><mml:mi>Ce</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math>, e si facci <mml:math><mml:mi>an</mml:mi></mml:math> equale a <mml:math><mml:mi>fk</mml:mi></mml:math>, e dal punto <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math> si tiri una paralella a <mml:math><mml:mi>AB</mml:mi></mml:math> laqual seghi <mml:math><mml:mi>Db</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3096" xml:space="preserve"> slungata in <mml:math><mml:mi>r</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3097" xml:space="preserve"> il punto <mml:math><mml:mi>r</mml:mi></mml:math> per la precedente rapresenterà il punto <mml:math><mml:mi>R</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3098" xml:space="preserve"> et il medesimo si farà tirando <mml:math><mml:mi>ki</mml:mi></mml:math> perpendicolare a <mml:math><mml:mi>qA</mml:mi></mml:math> et <mml:math><mml:mi>io</mml:mi></mml:math> paralella a <mml:math><mml:mi>BA</mml:mi></mml:math>, e facendo <mml:math><mml:mi>aN</mml:mi></mml:math> equale a <mml:math><mml:mi>fk</mml:mi></mml:math> overo <mml:math><mml:mi>Cn</mml:mi></mml:math> equale a <mml:math><mml:mi>Ck</mml:mi></mml:math>, e tirando <mml:math><mml:mi>nr</mml:mi></mml:math> equale e paralella a <mml:math><mml:mi>io</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3099" xml:space="preserve"> </s> </p> </div> <pb o="178" file="0212" n="212"/> </div> <div xml:lang="it" type="section" level="1" n="84"> <head xml:id="head111" xml:space="preserve">Tre circoli ad angoli retti </head> <figure> <image file="med178" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med178"/> </figure> <p> <s xml:id="s3100" xml:space="preserve"> Fatto che si ha il circolo <mml:math><mml:mi>abcd</mml:mi></mml:math> in un piano, e volendo tirar sopr'al diametro <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> un circolo eretto perpendicolarmente, operaremo come si è detto nella prima, maxime nel suo corollario, immaginandoci <mml:math><mml:mi>ceba</mml:mi></mml:math>, la parte di sopra, et <mml:math><mml:mi>efda</mml:mi></mml:math> la parte di sotto, trovando le altezze nel diametro <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> operando come si è detto nella prima mettendo le altezze paralelle alla settione, similmente volendo tira un circolo sopr'al diametro <mml:math><mml:mi>db</mml:mi></mml:math>, immaginandoci <mml:math><mml:mi>bcgd</mml:mi></mml:math> la parte di sopra, et <mml:math><mml:mi>bahl</mml:mi></mml:math> quella di sotto, tirando le altezze nel diametro <mml:math><mml:mi>db</mml:mi></mml:math>, et operando come si è detto.</s> <s xml:id="s3101" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="179" file="0213" n="213"/> <p> <s xml:id="s3102" xml:space="preserve"> Ordinariamente come nei primi modi si rapresenta il <mml:math><mml:mi>D</mml:mi></mml:math> tirando <mml:math><mml:mi>df</mml:mi></mml:math> perpendicolare alla tavola <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> et facendo <mml:math><mml:mi>fe</mml:mi></mml:math> eguale a <mml:math><mml:mi>fd</mml:mi></mml:math> poi tirando <mml:math><mml:mi>eb</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>fa</mml:mi></mml:math>, et il <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math> rappresenterà il <mml:math><mml:mi>D</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3103" xml:space="preserve"> Se bene li punti <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> nei primi modi sono di qua dalla tavola <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> e però tutt'una cosa.</s> <s xml:id="s3104" xml:space="preserve"> Et forsi così si (innica?</s> <s xml:id="s3105" xml:space="preserve">) manco il rappresentato in perspettiva con la pianta.</s> <s xml:id="s3106" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s3107" xml:space="preserve"> Ma havendo molti punti da rappresentare per far presto si rappresentino in qualsivoglia modo li punti <mml:math><mml:mi>m</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math> di maniera situati che gl'altri punti <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math> siano fra <mml:math><mml:mi>m</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math> et la tavola <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3108" xml:space="preserve"> acciochè da ognuno di loro si possi tirar le linee, come <mml:math><mml:mi>mk</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>nk</mml:mi></mml:math>, lequali slungate seghino <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3109" xml:space="preserve"> Tirate adunque <mml:math><mml:mi>mkq</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>nkr</mml:mi></mml:math>, poi tirate <mml:math><mml:mi>qo</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>rp</mml:mi></mml:math>, è manifesto, che dove si segano in <mml:math><mml:mi>s</mml:mi></mml:math> chel punto <mml:math><mml:mi>s</mml:mi></mml:math> rappresenta il <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3110" xml:space="preserve"> Perchè <mml:math><mml:mi>qo</mml:mi></mml:math> rappresenta <mml:math><mml:mi>qm</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>np</mml:mi></mml:math> rappresenta <mml:math><mml:mi>rn</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3111" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s3112" xml:space="preserve"> Et così si faranno gl'altri punti prestissimo.</s> <s xml:id="s3113" xml:space="preserve"> Et per far gl'altri si potrà servir dei punti <mml:math><mml:mi>o</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>s</mml:mi></mml:math>, overo <mml:math><mml:mi>s</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>p</mml:mi></mml:math>, et così di <mml:math><mml:mi>m</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math> et <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math>, come dire tirando le linee <mml:math><mml:mi>mg</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>kg</mml:mi></mml:math> volendo rapresentar il <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3114" xml:space="preserve"> Et in questo modo servirsi di tutti quelli che saranno rappresentati.</s> <s xml:id="s3115" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med179" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med179"/> </figure> <pb o="180" file="0214" n="214"/> <p xml:lang="la"> <s xml:id="s3116" xml:space="preserve"> Sit oculus <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math>, sit <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> paries, in quo describendae sint distantiae <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> et.</s> <s xml:id="s3117" xml:space="preserve">c.</s> <s xml:id="s3118" xml:space="preserve"> quae visui <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> vere videantur aequales.</s> <s xml:id="s3119" xml:space="preserve"> Fiat <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> perpendicularis, et <mml:math><mml:mi>ba</mml:mi></mml:math> ipsa <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> maior, iungaturque <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s3120" xml:space="preserve"> erit <mml:math><mml:mi>bac</mml:mi></mml:math> minor recti dimidio, et centro <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> spatioque <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> circulus describatur <mml:math><mml:mi>bg</mml:mi></mml:math>, qui a puncto <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math> aequaliter dividatur in <mml:math><mml:mi>bh</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>hk</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>kl</mml:mi></mml:math> et.</s> <s xml:id="s3121" xml:space="preserve">c.</s> <s xml:id="s3122" xml:space="preserve"> Deinde a centro <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> per puncta <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math> ducantur lineae quae <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> secent in <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math> et.</s> <s xml:id="s3123" xml:space="preserve">c.</s> <s xml:id="s3124" xml:space="preserve"> punctis neque ultra lineam <mml:math><mml:mi>cga</mml:mi></mml:math> in circulo describendae secat divisiones, ut deinde in linea <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> protracta designatae videatur aequales, cum <emph style="super">recta<!--variant supralineam--></emph> visio <!--begin variant delevit post-->visio<emph style="st">fiat<!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super">fieri<!--variant supralineam--></emph> <emph style="super">debeat<!--variant supralineam--></emph> in angulo acuto ut <mml:math><mml:mi>CAN</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3125" xml:space="preserve"> Quia vero perpendiculares ab oculo <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>cn</mml:mi></mml:math> est <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math>, visio igitur fiet ex utraque parte scilicet ex <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>bn</mml:mi></mml:math> et hoc modo divisiones videbuntur aequales, cum sub aequalibus angulis videantur.</s> <s xml:id="s3126" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med180" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med180"/> </figure> <p xml:lang="la"> <s xml:id="s3127" xml:space="preserve"> Si autem divisiones fierent ultra lineam <mml:math><mml:mi>ca</mml:mi></mml:math>, tunc non esset una tamen visio, sed plures, et propterea hoc sensus cum iudicio non deciperetur, quia multo maiores videbuntur divisiones supra <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> factae, quam quae sunt infra <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3128" xml:space="preserve"> </s> </p> <p xml:lang="la"> <s xml:id="s3129" xml:space="preserve"> Et hoc maxime notandum est, quo longius aberit visus a pariete, ut quo longius erit <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math>, eo magis decipietur sensus, nam visio a totam <mml:math><mml:mi>cn</mml:mi></mml:math> melius videbit, quo minor erit angulus <mml:math><mml:mi>can</mml:mi></mml:math>, cum visio vera fiat in puncto, quod est tamen intelligendum in debita distantia, dummodo scilicet visus ea, quae videt recte percipere possit.</s> <s xml:id="s3130" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="181" file="0215" n="215"/> <p xml:lang="la"> <s xml:id="s3131" xml:space="preserve"> Quadrilatera, quae duo latera sese tangentia duobus lateribus sese tangentibus aequalia habeant, et tres angulos tribus angulis aequales, qui lateribus adiacent aequalibus;</s> <s xml:id="s3132" xml:space="preserve"> erit reliquus angulus reliquo angulo aequalis, et reliqua latera reliquis lateribus aequalia.</s> <s xml:id="s3133" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med181" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med181"/> </figure> <p xml:lang="la"> <s xml:id="s3134" xml:space="preserve"> Sint quadrilatera <mml:math><mml:mi>pqrxomzy</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3135" xml:space="preserve"> Sintque <mml:math><mml:mi>pqom</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>pxoy</mml:mi></mml:math> aequalia.</s> <s xml:id="s3136" xml:space="preserve"> Similiter anguli ad <mml:math><mml:mi>po</mml:mi></mml:math> aequales, itidemque <mml:math><mml:mi>pqromz</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>pxroyz</mml:mi></mml:math> aequales.</s> <s xml:id="s3137" xml:space="preserve"> Dico reliquum angulum reliquo angulo, et reliqua latera <emph style="super"> reliquis lateribus<!--variant supralineam--></emph> aequalia esse.</s> <s xml:id="s3138" xml:space="preserve"> Iungantur <mml:math><mml:mi>qxym</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3139" xml:space="preserve"> Quoniam enim duae <mml:math><mml:mi>pqpx</mml:mi></mml:math> sunt duabus <mml:math><mml:mi>omoy</mml:mi></mml:math> aequales, quae quidem angulos continent aequales ad <mml:math><mml:mi>po</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3140" xml:space="preserve"> Erit basis <mml:math><mml:mi>qx</mml:mi></mml:math> basi <mml:math><mml:mi>my</mml:mi></mml:math> aequalis.</s> <s xml:id="s3141" xml:space="preserve"> Angulusque <mml:math><mml:mi>omy</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>pqx</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>oym</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>pxq</mml:mi></mml:math> erit aequalis.</s> <s xml:id="s3142" xml:space="preserve"> Quod cum totus <mml:math><mml:mi>omz</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>pqr</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>oyz</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>pxr</mml:mi></mml:math> sit aequalis <anchor type="note" xlink:label="note-0215-01a" xlink:href="note-0215-01"/> .</s> <s xml:id="s3143" xml:space="preserve"> <reg norm="Sitque" type="context">Estque<!--variant correxitex --></reg> linea <mml:math><mml:mi>my</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>qx</mml:mi></mml:math> aequalis;</s> <s xml:id="s3144" xml:space="preserve"> erit igitur triangulum <mml:math><mml:mi>myz</mml:mi></mml:math> triangulo <mml:math><mml:mi>qxr</mml:mi></mml:math> aequale.</s> <s xml:id="s3145" xml:space="preserve"> Quare anguli ad <mml:math><mml:mi>zr</mml:mi></mml:math> sunt aequales.</s> <s xml:id="s3146" xml:space="preserve"> Lateraque <mml:math><mml:mi>mzqr</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>zyrx</mml:mi></mml:math> interse sunt aequalia.</s> <s xml:id="s3147" xml:space="preserve"> Quod demonstrare oportebat.</s> <s xml:id="s3148" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="1"> <note position="left" xlink:label="note-0215-01" xlink:href="note-0215-01a" xml:space="preserve"> erit reliquus <mml:math><mml:mi>ymz</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>xqr</mml:mi></mml:math> et <mml:math><mml:mi>myz</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>qxr</mml:mi></mml:math> aequalis<!--variant signopositoinmargine--> </note> </div> <figure> <image file="med181_2" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med181_2"/> </figure> <p xml:lang="la"> <s xml:id="s3149" xml:space="preserve"> Sit <mml:math><mml:mi>ba</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math>, sintque <mml:math><mml:mi>bcde</mml:mi></mml:math> parallelae.</s> <s xml:id="s3150" xml:space="preserve"> <emph style="super">Iungantur <mml:math><mml:mi>ceea</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s3151" xml:space="preserve"> Dico <mml:math><mml:mi>cea</mml:mi></mml:math> rectam lineam esse.</s> <s xml:id="s3152" xml:space="preserve"> </s> </p> <p xml:lang="la"> <s xml:id="s3153" xml:space="preserve"> Non sit quidem, sed sit recta linea <mml:math><mml:mi>afc</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3154" xml:space="preserve"> Erit utique triangulum <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math> triangulo <reg norm="ade" type="context">adf<!--variant correxitex --></reg> simile.</s> <s xml:id="s3155" xml:space="preserve"> Quare ut <mml:math><mml:mi>ba</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math>, ita <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>bf</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3156" xml:space="preserve"> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">Quod fieri non potest</emph>Est<!--end variant delevit ante--> autem <mml:math><mml:mi>ba</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math> ut <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math> ergo <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> eandem habet proportionem ad <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math>, quam habet ad <mml:math><mml:mi>df</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3157" xml:space="preserve"> Quod fieri non potest.</s> <s xml:id="s3158" xml:space="preserve"> Recta igitur est recta linea <mml:math><mml:mi>aec</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3159" xml:space="preserve"> Quod demonstrare oportebat.</s> <s xml:id="s3160" xml:space="preserve"> </s> </p> </div> <div type="section" level="1" n="85"> <head xml:id="head112" xml:space="preserve"> <pb o="182" file="0216" n="216"/> Propositio </head> <p> <s xml:id="s3161" xml:space="preserve"> Cuiuslibet aequilaterae figurae in circulo inscriptae angulus exterior aequalis est angulo ad centrum facto, basim figurae latus <emph style="super">subtendenti<!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s3162" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med182" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med182"/> </figure> <p> <s xml:id="s3163" xml:space="preserve"> Quaelibet sit figura in circulo aequilatera <mml:math><mml:mi>abcdef</mml:mi></mml:math>, cuius exteriores anguli (productis nempe lateribus) sint <mml:math><mml:mi>cbg</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>dch</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>edk</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>fel</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>afm</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>ban</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3164" xml:space="preserve"> Sitque <mml:math><mml:mi>o</mml:mi></mml:math> circuli centrum.</s> <s xml:id="s3165" xml:space="preserve"> Et anguli ad centrum sint <mml:math><mml:mi>aob</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>boc</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>cod</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>doe</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>eof</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>foa</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3166" xml:space="preserve"> Dico <mml:math><mml:mi>cbg</mml:mi></mml:math> angulo <mml:math><mml:mi>aob</mml:mi></mml:math> aequalem esse.</s> <s xml:id="s3167" xml:space="preserve"> Quoniam enim anguli <mml:math><mml:mi>abccbg</mml:mi></mml:math> simul duobus sunt rectis aequales, quemadmodum <mml:math><mml:mi>bcddch</mml:mi></mml:math> simul sunt duobus rectis aequales, erunt anguli <mml:math><mml:mi>abccbg</mml:mi></mml:math> simul sumpti angulis <mml:math><mml:mi>bcddch</mml:mi></mml:math> simul sumptis aequales.</s> <s xml:id="s3168" xml:space="preserve"> Angulus vero <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math> est ipsi <mml:math><mml:mi>bcd</mml:mi></mml:math> aequalis.</s> <s xml:id="s3169" xml:space="preserve"> Siquidem cuiuslibet <reg norm="figurae aequilaterae" type="context">aequilaterae figurae<!--variant correxitex --></reg> in circulo descriptae omnes anguli interse sunt aequales.</s> <s xml:id="s3170" xml:space="preserve"> Erit igitur exterior angulus <mml:math><mml:mi>cbg</mml:mi></mml:math> angulo <mml:math><mml:mi>dch</mml:mi></mml:math> exteriori aequalis.</s> <s xml:id="s3171" xml:space="preserve"> Et ita ostedentur, omnes angulos exteriores interse aequales esse.</s> <s xml:id="s3172" xml:space="preserve"> At vero quoniam lineae <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math> et caetera interse sunt aequales, erunt circumferentiae <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>de </mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>fa</mml:mi></mml:math>, inter se aequales.</s> <s xml:id="s3173" xml:space="preserve"> Quare ad centrum anguli <mml:math><mml:mi>aobboccoddoeeoffoa</mml:mi></mml:math> interse sunt aequales.</s> <s xml:id="s3174" xml:space="preserve"> Quia vero tres anguli cuiuslibet trianguli duobus sunt rectis aequales.</s> <s xml:id="s3175" xml:space="preserve"> Erunt in hac figura anguli sex triangulorum <mml:math><mml:mi>aobboccoddoeeoffoa</mml:mi></mml:math> duodecim rectis aequales.</s> <s xml:id="s3176" xml:space="preserve"> Anguli vero <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>cbg</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>bcd</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>dch </mml:mi></mml:math>, et caetera hoc est anguli figurae cum suis exterioribus sunt etiam aequales duodecim rectis.</s> <s xml:id="s3177" xml:space="preserve"> Quandoquidem unusquisque cum suo exteriori est duobus rectis aequalis.</s> <s xml:id="s3178" xml:space="preserve"> Erunt <emph style="super">quippe<!--variant supralineam--></emph> omnes anguli triangulorum <mml:math><mml:mi>aobboc</mml:mi></mml:math> et caeterum angulis figurae cum suis exterioribus, nempe <mml:math><mml:mi>abccbg</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>bcddch</mml:mi></mml:math>, et caetera aequales.</s> <s xml:id="s3179" xml:space="preserve"> Quia vero triangulorum <emph style="super">omnes<!--variant supralineam--></emph> anguli ad basim <emph style="super">scilicet<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>obaobc</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>ocbocd</mml:mi></mml:math> et caetera sunt aequales angulis figurae, nimirum <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>bcd</mml:mi></mml:math> et caetera.</s> <s xml:id="s3180" xml:space="preserve"> Si itaque a triangulis demantur omnes anguli <mml:math><mml:mi>obaobc</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>ocbocd</mml:mi></mml:math> et caetera qui sunt ad basim;</s> <s xml:id="s3181" xml:space="preserve"> ab <reg norm="angulo" type="context">angulis<!--variant correxitex --></reg> vero figurae cum suis exterioribus demantur anguli <mml:math><mml:mi>abcbcd</mml:mi></mml:math> et caetera, quae relinquuntur, erunt interse aequalia.</s> <s xml:id="s3182" xml:space="preserve"> Sex igitur anguli ad <mml:math><mml:mi>o</mml:mi></mml:math> simul sumpti sex angulis eexterioribus <mml:math><mml:mi>cbgdchedkfelafmban</mml:mi></mml:math> simul sumtpis aequales.</s> <s xml:id="s3183" xml:space="preserve"> Quia vero exteriores anguli interse sunt aequales.</s> <s xml:id="s3184" xml:space="preserve"> Angulique ad <mml:math><mml:mi>o</mml:mi></mml:math> interse <emph style="super">quoque<!--variant supralineam--></emph> sunt aequales, erit unusquisque unicuique aequalis.</s> <s xml:id="s3185" xml:space="preserve"> Quare angulus <mml:math><mml:mi>cbg</mml:mi></mml:math> angulo <mml:math><mml:mi>aob</mml:mi></mml:math>, est aequalis.</s> <s xml:id="s3186" xml:space="preserve"> Et <mml:math><mml:mi>dch</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>doc</mml:mi></mml:math> et caetera.</s> <s xml:id="s3187" xml:space="preserve"> Quod demonstrare oportebat.</s> <s xml:id="s3188" xml:space="preserve"> </s> </p> </div> <div type="section" level="1" n="86"> <head xml:id="head113" xml:space="preserve"> <pb o="183" file="0217" n="217"/> Propositio </head> <p> <s xml:id="s3189" xml:space="preserve"> Si angulus cuiuslibet aequilaterae figurae in circulo descriptae minor fuerit angulo recto, <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">eadem</emph>quantitate<!--end variant delevit ante--> <emph style="super">qua<!--variant supralineam--></emph> superatur ab angulo recto <emph style="super">eadem et<!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">aliquot literas</emph>rectus<!--end variant delevit ante--> angulus ab angulo ad centrum facto superabitur.</s> <s xml:id="s3190" xml:space="preserve"> Si vero sit recto aequalis, <!--begin variant delevit post-->et<emph style="st">rectus<!--end variant delevit post--></emph> <reg norm="angulo" type="context">angulus<!--variant correxitex --></reg> ad centrum <emph style="super">recto<!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">facto</emph>erit<!--end variant delevit ante--> aequalis.</s> <s xml:id="s3191" xml:space="preserve"> Quod si fuerit maior, quantitate, quam superat angulum rectum;</s> <s xml:id="s3192" xml:space="preserve"> eadem, et rectus angulus angulum ad centrum factum superabit.</s> <s xml:id="s3193" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med183" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med183"/> </figure> <p> <s xml:id="s3194" xml:space="preserve"> Sit primo aequilaterum triangulum <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math> in circulo descriptum, cuius centrum <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3195" xml:space="preserve"> Sitque angulus ad centrum <mml:math><mml:mi>adb</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3196" xml:space="preserve"> Dico angulum <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math> eadem quantitate minorem esse angulo recto, qua rectus angulus minor est angulo <mml:math><mml:mi>adb</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3197" xml:space="preserve"> Producatur <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3198" xml:space="preserve"> Ducaturque <mml:math><mml:mi>be</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>ba</mml:mi></mml:math> perpendicularis.</s> <s xml:id="s3199" xml:space="preserve"> Quoniam enim <mml:math><mml:mi>abe</mml:mi></mml:math> minor est recto <mml:math><mml:mi>abe</mml:mi></mml:math> quantitate anguli <mml:math><mml:mi>cbe</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3200" xml:space="preserve"> Angulus vero <mml:math><mml:mi>cbf</mml:mi></mml:math> exterior maior est recto angulo <mml:math><mml:mi>fbe</mml:mi></mml:math> eadem quantitate anguli <mml:math><mml:mi>cbe</mml:mi></mml:math>, eo igitur minor est angulus <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math> recto angulo, quo rectus angulus minor est angulo <mml:math><mml:mi>cbf</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3201" xml:space="preserve"> At vero quoniam exterior angulus <mml:math><mml:mi>cbf</mml:mi></mml:math> est aequalis <mml:math><mml:mi>adb</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3202" xml:space="preserve"> Eo minor erit angulus <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math> recto angulo, quo minor est angulus rectus angulo <mml:math><mml:mi>adb</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3203" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med183_2" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med183_2"/> </figure> <p> <s xml:id="s3204" xml:space="preserve"> Sit deinde quadratum <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> in circulo inscriptum, cuius angulus <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math> est rectus, verum ad centrum <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math> angulus <mml:math><mml:mi>adb</mml:mi></mml:math> est quoque rectus.</s> <s xml:id="s3205" xml:space="preserve"> Quoniam producta <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math>, duae <mml:math><mml:mi>addb</mml:mi></mml:math> duabus <mml:math><mml:mi>dbdc</mml:mi></mml:math> <emph style="it">sunt aequales<!--variant descriptio: diverso atramento--></emph> basisque <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> basi <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> est aequalis;</s> <s xml:id="s3206" xml:space="preserve"> erit angulus <mml:math><mml:mi>adb</mml:mi></mml:math> angulo <mml:math><mml:mi>bdc</mml:mi></mml:math> aequalis.</s> <s xml:id="s3207" xml:space="preserve"> Quare <mml:math><mml:mi>adb</mml:mi></mml:math> est rectus.</s> <s xml:id="s3208" xml:space="preserve"> Angulus igitur <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math> est aequalis recto, rectusque est aequalis ipsi <mml:math><mml:mi>adb</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3209" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="184" file="0218" n="218"/> <p> <s xml:id="s3210" xml:space="preserve"> Praeterea sit aequilatera figura in circulo inscripta <mml:math><mml:mi>ag</mml:mi></mml:math> quotcumque laterum, cuius angulus <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s3211" xml:space="preserve"> ad centrum vero sit angulus <mml:math><mml:mi>adb</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3212" xml:space="preserve"> Dico angulum <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math> eadem quantitate superare angulum rectum, qua rectus angulus superat <mml:math><mml:mi>adb</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3213" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med184" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med184"/> </figure> <p> <s xml:id="s3214" xml:space="preserve"> Producatur <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3215" xml:space="preserve"> Ducaturque <mml:math><mml:mi>be</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> perpendicularis.</s> <s xml:id="s3216" xml:space="preserve"> Quoniam enim angulus <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math> excedit angulum rectum <mml:math><mml:mi>abe</mml:mi></mml:math> quantitate anguli <mml:math><mml:mi>ebc</mml:mi></mml:math>, angulus vero rectus <mml:math><mml:mi>ebf</mml:mi></mml:math> superat <mml:math><mml:mi>cbf</mml:mi></mml:math> eodem angulo <mml:math><mml:mi>ebc</mml:mi></mml:math>, tam igitur angulus <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math> superat angulum rectum <mml:math><mml:mi>abe</mml:mi></mml:math>, quam angulus rectus superat angulum <mml:math><mml:mi>cbf</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3217" xml:space="preserve"> Exterior autem angulus <mml:math><mml:mi>cbf</mml:mi></mml:math> est aequalis angulo <mml:math><mml:mi>adb</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3218" xml:space="preserve"> Quo ergo anguls <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math> excedit angulum rectum, eo rectus angulus excedit angulum <mml:math><mml:mi>adb</mml:mi></mml:math>, quae quidem demonstrare oportebat.</s> <s xml:id="s3219" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med184_2" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med184_2"/> </figure> <p> <s xml:id="s3220" xml:space="preserve"> Ex his si sint pentagona, vel exagona, vel alia <emph style="super">quaepiam<!--variant supralineam--></emph> aequilatera et aequiangula <mml:math><mml:mi>acdf</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3221" xml:space="preserve"> Ad centrum vero anguli ad <mml:math><mml:mi>gh</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3222" xml:space="preserve"> Erunt hi aequales interse.</s> <s xml:id="s3223" xml:space="preserve"> Quoniam <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>def</mml:mi></mml:math> sunt aequales tamque excedunt angulum rectum, quam angulus rectus excedit angulos <!--begin variant delevit post--><mml:math><mml:mi>gh</mml:mi></mml:math><emph style="st">sunt igitur <mml:math><mml:mi>gh</mml:mi></mml:math> sunt vero <mml:math><mml:mi>abcdef</mml:mi></mml:math> aequales ergo et <mml:math><mml:mi>agbdhe</mml:mi></mml:math>.</emph></s> <s xml:id="s3224" xml:space="preserve"><emph style="st"> Sunt intersese aequales aequales.</emph></s> <s xml:id="s3225" xml:space="preserve"><emph style="st"> Et ideo angulus <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math> tum excedit angulum rectum quam rectus angulum ad <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math>.</emph></s> <s xml:id="s3226" xml:space="preserve"><emph style="st"> Similiter angulus <mml:math><mml:mi>def</mml:mi></mml:math> eo superat rectum, quo rectus ipsum ad <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math><!--end variant delevit post--></emph> .</s> <s xml:id="s3227" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med184_3" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med184_3"/> </figure> <p> <s xml:id="s3228" xml:space="preserve"> Ex his patet si sit <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math> circumferentia cuius centrum <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3229" xml:space="preserve"> Sitque <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> quarta circuli sitque <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math> circumferentia anguli pentagoni.</s> <s xml:id="s3230" xml:space="preserve"> Fiat <mml:math><mml:mi>be</mml:mi></mml:math> aequalis <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math>, erit <mml:math><mml:mi>ae</mml:mi></mml:math> circumferentia anguli ad centrum pentagoni.</s> <s xml:id="s3231" xml:space="preserve"> Ductis enim lineis <mml:math><mml:mi>fdfbfefa</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3232" xml:space="preserve"> Cum sit angulus <mml:math><mml:mi>afd</mml:mi></mml:math> angulus pentagoni, erit <mml:math><mml:mi>afe</mml:mi></mml:math> angulus ad centrum.</s> <s xml:id="s3233" xml:space="preserve"> Quoniam <mml:math><mml:mi>afd</mml:mi></mml:math> rectum angulum <mml:math><mml:mi>afb</mml:mi></mml:math> excedit quantitate anguli <mml:math><mml:mi>dfb</mml:mi></mml:math>, hoc est <mml:math><mml:mi>bfe</mml:mi></mml:math>, et angulus rectus <mml:math><mml:mi>afb</mml:mi></mml:math> excedit <mml:math><mml:mi>afc</mml:mi></mml:math> eadem quantitate anguli <mml:math><mml:mi>bfe</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3234" xml:space="preserve"> Et ita in aliis.</s> <s xml:id="s3235" xml:space="preserve"> Ut si <mml:math><mml:mi>ah</mml:mi></mml:math> sit circumferentia anguli eptagoni, facta <mml:math><mml:mi>bk</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>bh</mml:mi></mml:math> aequali, erit <mml:math><mml:mi>ak</mml:mi></mml:math> circumferentia <emph style="super">anguli<!--variant supralineam--></emph> ad centrum eptagoni.</s> <s xml:id="s3236" xml:space="preserve"> Praeterea erit <mml:math><mml:mi>ae</mml:mi></mml:math> quinta pars circumferentiae <emph style="super">totius<!--variant supralineam--></emph> circuli <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3237" xml:space="preserve"> <mml:math><mml:mi>ak</mml:mi></mml:math> septima.</s> <s xml:id="s3238" xml:space="preserve"> Hinc e contra si <mml:math><mml:mi>ae</mml:mi></mml:math> fuerit quinta pars circumferentiae circuli <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math> facta <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math> aequali <mml:math><mml:mi>be</mml:mi></mml:math>, erit <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math>, hoc est angulus <mml:math><mml:mi>afd</mml:mi></mml:math> pentagoni angulus.</s> <s xml:id="s3239" xml:space="preserve"> Et si <mml:math><mml:mi>ak</mml:mi></mml:math> est septima pars circuli <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math>, facta <mml:math><mml:mi>bh</mml:mi></mml:math> aequali <mml:math><mml:mi>ak</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3240" xml:space="preserve"> Erit angulus <mml:math><mml:mi>afh</mml:mi></mml:math> eptagoni angulus.</s> <s xml:id="s3241" xml:space="preserve"> Et ita in aliis.</s> <s xml:id="s3242" xml:space="preserve"> Sed si fuerit <mml:math><mml:mi>am</mml:mi></mml:math> hoc est angulus <mml:math><mml:mi>afm</mml:mi></mml:math> trianguli angulus.</s> <s xml:id="s3243" xml:space="preserve"> Erit (existentibus <mml:math><mml:mi>blbm</mml:mi></mml:math> aequalibus) <mml:math><mml:mi>al</mml:mi></mml:math>, hoc est <mml:math><mml:mi>afh</mml:mi></mml:math> angulus ad centrum.</s> <s xml:id="s3244" xml:space="preserve"> Et circumferentia <mml:math><mml:mi>ah</mml:mi></mml:math> tertia pars circuli.</s> <s xml:id="s3245" xml:space="preserve"> </s> </p> </div> <div type="section" level="1" n="87"> <pb o="185" file="0219" n="219"/> <figure> <image file="med185" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med185"/> </figure> <head xml:id="head114" xml:space="preserve"> De horologiis, praecipue italicis describendis, absque divisione tropicorum et aequinoctialis </head> <p> <s xml:id="s3246" xml:space="preserve"> Primum inteligantur ea, quae dicta sunt in 129, eodem modo constructa, et demonstrata.</s> <s xml:id="s3247" xml:space="preserve"> Sitque inventum punctum <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math>, ut in figura 129.</s> <s xml:id="s3248" xml:space="preserve"> Sed ob commoditatem aliquando loco circuli semper apparentium maximi, poterimus eandem operationem efficere aliis circulis hoc modo.</s> <s xml:id="s3249" xml:space="preserve"> Nempe sumatur quodvis punctum <mml:math><mml:mi>o</mml:mi></mml:math> in axe <mml:math><mml:mi>fn</mml:mi></mml:math>, et centro <mml:math><mml:mi>o</mml:mi></mml:math> circulus describatur horizontem contingens.</s> <s xml:id="s3250" xml:space="preserve"> Sitque hic circulus circulo semper apparentium maximo aequidistans.</s> <s xml:id="s3251" xml:space="preserve"> Erit <mml:math><mml:mi>fcb</mml:mi></mml:math> conus rectus, cuius axis <mml:math><mml:mi>fn</mml:mi></mml:math>, basis circulus <mml:math><mml:mi>cb</mml:mi></mml:math>, cui aequidistans est circulus <mml:math><mml:mi>klm</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3252" xml:space="preserve"> Quoniam autem horarii circuli contingunt circulum <mml:math><mml:mi>cb</mml:mi></mml:math> transeuntque dicti circuli per centrum <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s3253" xml:space="preserve"> siquidem maximi sunt.</s> <s xml:id="s3254" xml:space="preserve"> Contingent quoque circuli horarii superficiem conicam, eamque divident in 24 partes aequales.</s> <s xml:id="s3255" xml:space="preserve"> Quemadmodum dividunt maximum semper apparentium.</s> <s xml:id="s3256" xml:space="preserve"> Ut exempli gratia horizon, qui est circulus horarius horae 24 tanget circulum <mml:math><mml:mi>cb</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math>, superficiem vero conicam tanget secundum lineam <mml:math><mml:mi>flb</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3257" xml:space="preserve"> Unde circulum <mml:math><mml:mi>klm</mml:mi></mml:math> continget in <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3258" xml:space="preserve"> Similiter horarius, puta, horae 22, continget superficiem conicam secundum lineam <mml:math><mml:mi>fm 22</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3259" xml:space="preserve"> Ex quo patet hunc circulum horarium contingere circulum <mml:math><mml:mi>klm</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>m</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3260" xml:space="preserve"> Et ita in aliis.</s> <s xml:id="s3261" xml:space="preserve"> Quapropter circuli horarii dividunt circulum <mml:math><mml:mi>klm</mml:mi></mml:math> in 24 partes aequales, sicuti dividunt maximum semper apparentium.</s> <s xml:id="s3262" xml:space="preserve"> Itaque possumus loco circuli <mml:math><mml:mi>cb</mml:mi></mml:math> accipere circulum <mml:math><mml:mi>klm</mml:mi></mml:math>, eodemque prorsus modo operari.</s> <s xml:id="s3263" xml:space="preserve"> Veluti Producatur <mml:math><mml:mi>kl</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3264" xml:space="preserve"> Ducaturque in plano horologii linea <mml:math><mml:mi>ed</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>gd</mml:mi></mml:math> perpendicularis.</s> <s xml:id="s3265" xml:space="preserve"> <anchor type="note" xlink:label="note-0219-01a" xlink:href="note-0219-01"/> erit <mml:math><mml:mi>ed</mml:mi></mml:math> communis sectio circuli <mml:math><mml:mi>klm</mml:mi></mml:math>, et plani horologii.</s> <s xml:id="s3266" xml:space="preserve"> Itaque iungatur <mml:math><mml:mi>om</mml:mi></mml:math>, cui ducatur in plano circuli <mml:math><mml:mi>klm</mml:mi></mml:math> perpendicularis <mml:math><mml:mi>me</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3267" xml:space="preserve"> Erit utique <mml:math><mml:mi>me</mml:mi></mml:math> communis sectio circuli <mml:math><mml:mi>klm</mml:mi></mml:math>, et circuli horarii horae 22.</s> <s xml:id="s3268" xml:space="preserve"> Quare punctum <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math> in <pb o="186" file="0220" n="220"/> plano horologii est in linea horaria horae 22.</s> <s xml:id="s3269" xml:space="preserve"> Similiter ad alteras partes sub horizonte in axe sumatur <mml:math><mml:mi>fp</mml:mi></mml:math> aequalis <mml:math><mml:mi>fo</mml:mi></mml:math>, et centro <mml:math><mml:mi>p</mml:mi></mml:math> circulus describatur <mml:math><mml:mi>qst</mml:mi></mml:math> aequalis, et aequidistans <mml:math><mml:mi>klm</mml:mi></mml:math>, productisque <mml:math><mml:mi>kfmf</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>sq</mml:mi></mml:math>, erit conus <mml:math><mml:mi>fts</mml:mi></mml:math> cono <mml:math><mml:mi>ekl</mml:mi></mml:math> aequalis, quorum axes <mml:math><mml:mi>peeo</mml:mi></mml:math> in directum existunt, circulusque <mml:math><mml:mi>qst</mml:mi></mml:math> horizontem contingat in <mml:math><mml:mi>t</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3270" xml:space="preserve"> Eodemque modo ostendetur circulos horarios contingere circulum <mml:math><mml:mi>qst</mml:mi></mml:math>, conumque <mml:math><mml:mi>fts</mml:mi></mml:math>, sicuti contingunt circulum <mml:math><mml:mi>klm</mml:mi></mml:math>, conumque <mml:math><mml:mi>fkl</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3271" xml:space="preserve"> Linea igitur horaria horae 22 continget conum <mml:math><mml:mi>fts</mml:mi></mml:math> secundum lineam <reg norm="fl" type="context"> fq<!--variant correxitex --></reg> .</s> <s xml:id="s3272" xml:space="preserve"> Cum sit <mml:math><mml:mi>mfq</mml:mi></mml:math> recta linea.</s> <s xml:id="s3273" xml:space="preserve"> Sit communis sectio plani horologii, et circuli <mml:math><mml:mi>qst</mml:mi></mml:math> linea <mml:math><mml:mi>xr</mml:mi></mml:math>, quae ipsi <mml:math><mml:mi>xd</mml:mi></mml:math> erit perpendicularis iunctaque <mml:math><mml:mi>pq</mml:mi></mml:math>, cui in eodem plano circuli <mml:math><mml:mi>qst</mml:mi></mml:math> perpendicularis ducatur <mml:math><mml:mi>qr</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3274" xml:space="preserve"> Erit <mml:math><mml:mi>qr</mml:mi></mml:math> communis sectio circuli <mml:math><mml:mi>qst</mml:mi></mml:math>, circulique horarii horae 22.</s> <s xml:id="s3275" xml:space="preserve"> Quare punctum <mml:math><mml:mi>r</mml:mi></mml:math> in plano horologii erit in linea horaria horae 22.</s> <s xml:id="s3276" xml:space="preserve"> Linea igitur <mml:math><mml:mi>er</mml:mi></mml:math> in plano horologii est linea horaria horae 22.</s> <s xml:id="s3277" xml:space="preserve"> Quoniam autem coni <mml:math><mml:mi>ftsfkl</mml:mi></mml:math> sunt recti, et aequales, axisque <mml:math><mml:mi>fp</mml:mi></mml:math> est aequalis axi <mml:math><mml:mi>fo</mml:mi></mml:math>, qui sunt erecti circulis <mml:math><mml:mi>qstklm</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3278" xml:space="preserve"> Erunt <mml:math><mml:mi>tskm</mml:mi></mml:math> interse aequales et parallelae.</s> <s xml:id="s3279" xml:space="preserve"> Cum circuli <mml:math><mml:mi>qstklm</mml:mi></mml:math> sint aequales, sintque <mml:math><mml:mi>tskl</mml:mi></mml:math> in eodem plano, nempe meridiani.</s> <s xml:id="s3280" xml:space="preserve"> Fiat <mml:math><mml:mi>ly</mml:mi></mml:math> aequalis <mml:math><mml:mi>ld</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3281" xml:space="preserve"> In planoque circuli <mml:math><mml:mi>klm</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>ly</mml:mi></mml:math> perpendicularis ducatur <mml:math><mml:mi>yz</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3282" xml:space="preserve"> Producaturque <mml:math><mml:mi>em</mml:mi></mml:math> usque ad <mml:math><mml:mi>z</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3283" xml:space="preserve"> Quoniam enim <mml:math><mml:mi>ts</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>xd</mml:mi></mml:math> sunt parallelae, similiter <mml:math><mml:mi>txld</mml:mi></mml:math> parallelae, erit <mml:math><mml:mi>tx</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>ld</mml:mi></mml:math>, ac per consequens ipsi <mml:math><mml:mi>ly</mml:mi></mml:math>, aequalis;</s> <s xml:id="s3284" xml:space="preserve"> et <mml:math><mml:mi>tl</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>xd</mml:mi></mml:math> aequalis.</s> <s xml:id="s3285" xml:space="preserve"> At vero quoniam diameter aequinoctialis <mml:math><mml:mi>fh</mml:mi></mml:math> est ipsis <mml:math><mml:mi>txld</mml:mi></mml:math> aequidistans.</s> <s xml:id="s3286" xml:space="preserve"> Sunt enim omnes axi <mml:math><mml:mi>peo</mml:mi></mml:math> perpendiculares;</s> <s xml:id="s3287" xml:space="preserve"> erit <mml:math><mml:mi>xh</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>hd</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>tf</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>fl</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3288" xml:space="preserve"> Sunt vero <mml:math><mml:mi>tffl</mml:mi></mml:math> aequales, cum sint ut <mml:math><mml:mi>pffo</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3289" xml:space="preserve"> Ergo <mml:math><mml:mi>xh</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>hd</mml:mi></mml:math> est aequalis.</s> <s xml:id="s3290" xml:space="preserve"> Sed quoniam <mml:math><mml:mi>ly</mml:mi></mml:math> est ipsi <mml:math><mml:mi>tx</mml:mi></mml:math> aequalis.</s> <s xml:id="s3291" xml:space="preserve"> Quarum <mml:math><mml:mi>tp</mml:mi></mml:math> est ipsi <mml:math><mml:mi>lo</mml:mi></mml:math> aequalis, cum sint semidiametri circulorum aequalium erit reliqua <mml:math><mml:mi>oy</mml:mi></mml:math> reliquae <mml:math><mml:mi>px</mml:mi></mml:math> aequalis.</s> <s xml:id="s3292" xml:space="preserve"> Quoniam autem (iunctis <mml:math><mml:mi>lmtq</mml:mi></mml:math>) circumferentia <mml:math><mml:mi>tq</mml:mi></mml:math> circumferentiae <mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math> respondet propter lineas rectas <mml:math><mml:mi>lftmfq</mml:mi></mml:math> in superficie conica ductas, quae ad verticem continent angulos aequales <mml:math><mml:mi>lfmtfq</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3293" xml:space="preserve"> Suntque <mml:math><mml:mi>tffq</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>lffm</mml:mi></mml:math> interse aequales, erit basis <mml:math><mml:mi>qt</mml:mi></mml:math> basi <mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math> aequalis.</s> <s xml:id="s3294" xml:space="preserve"> Cumque circuli <mml:math><mml:mi>qstklm</mml:mi></mml:math> sint aequales;</s> <s xml:id="s3295" xml:space="preserve"> erit igitur circumferentia <mml:math><mml:mi>tq</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math> aequalis.</s> <s xml:id="s3296" xml:space="preserve"> Quare angulus <mml:math><mml:mi>tpq</mml:mi></mml:math> angulo <mml:math><mml:mi>lom</mml:mi></mml:math> est aequalis.</s> <s xml:id="s3297" xml:space="preserve"> Unde et reliquus <mml:math><mml:mi>qpx</mml:mi></mml:math> reliquo <mml:math><mml:mi>moy</mml:mi></mml:math> est aequalis.</s> <s xml:id="s3298" xml:space="preserve"> Angulus vero <mml:math><mml:mi>pqr</mml:mi></mml:math> rectus recto <mml:math><mml:mi>omz</mml:mi></mml:math> aequalis, et recti quoque sunt <mml:math><mml:mi>rxpzyo</mml:mi></mml:math>, ac propterea aequales, cum sint <mml:math><mml:mi>rxzy</mml:mi></mml:math> meridiano erectae lineaeque <mml:math><mml:mi>pqom</mml:mi></mml:math> sunt aequales, sunt enim ex centro circulorum aequalium.</s> <s xml:id="s3299" xml:space="preserve"> <anchor type="note" xlink:label="note-0220-01a" xlink:href="note-0220-01"/> erit quadrilaterum <mml:math><mml:mi>pqrx</mml:mi></mml:math> quadrilatero <mml:math><mml:mi>omzy</mml:mi></mml:math> aequale.</s> <s xml:id="s3300" xml:space="preserve"> Quocirca <mml:math><mml:mi>rx</mml:mi></mml:math> est ipsi <mml:math><mml:mi>yz</mml:mi></mml:math> aequalis.</s> <s xml:id="s3301" xml:space="preserve"> Ad inveniendam igitur lineam horariam <mml:math><mml:mi>re</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3302" xml:space="preserve"> Fiat <mml:math><mml:mi>ly</mml:mi></mml:math> aequalis <mml:math><mml:mi>ld</mml:mi></mml:math>, et ipsi <mml:math><mml:mi>ly</mml:mi></mml:math> <emph style="super">in plano circuli <mml:math><mml:mi>klm</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> perpendicularis ducatur <mml:math><mml:mi>yz</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3303" xml:space="preserve"> Iungaturque <mml:math><mml:mi>om</mml:mi></mml:math>, cui <emph style="super">in eodem plano<!--variant supralineam--></emph> ducatur perpendicularis <mml:math><mml:mi>emz</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3304" xml:space="preserve"> Deinde fiat <mml:math><mml:mi>hx</mml:mi></mml:math> aequalis ipsi <mml:math><mml:mi>hd</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3305" xml:space="preserve"> Ducaturque in plano horologii <mml:math><mml:mi>xr</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>xd</mml:mi></mml:math> perpendicularis.</s> <s xml:id="s3306" xml:space="preserve"> Fiatque <mml:math><mml:mi>xr</mml:mi></mml:math> aequalis <mml:math><mml:mi>yz</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3307" xml:space="preserve"> Iunctaque <mml:math><mml:mi>re</mml:mi></mml:math>, erit <mml:math><mml:mi>rc</mml:mi></mml:math> linea horaria horae 22.</s> <s xml:id="s3308" xml:space="preserve"> Et ita in aliis.</s> <s xml:id="s3309" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="1"> <note position="left" xlink:label="note-0219-01" xlink:href="note-0219-01a" xml:space="preserve"> Ex 129<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0220-01" xlink:href="note-0220-01a" xml:space="preserve"> Ex 181<!--citmargsign--> </note> </div> </div> <div type="section" level="1" n="88"> <head xml:id="head115" xml:space="preserve"> <pb o="187" file="0221" n="221"/> Praxis </head> <figure> <image file="med187" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med187"/> </figure> <p> <s xml:id="s3310" xml:space="preserve"> Exponatur linea <mml:math><mml:mi>yx</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3311" xml:space="preserve"> Fiantque <mml:math><mml:mi>xhhd</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>dlly</mml:mi></mml:math>, deinde <mml:math><mml:mi>lohg</mml:mi></mml:math>, quae sint aequales lineis superioris figurae:</s> <s xml:id="s3312" xml:space="preserve"> iisdem literis signatis.</s> <s xml:id="s3313" xml:space="preserve"> Quae quidem figura pro Analemmate deserviet.</s> <s xml:id="s3314" xml:space="preserve"> A punctisque <mml:math><mml:mi>xhdy</mml:mi></mml:math> perpendiculares ducantur ad <mml:math><mml:mi>xy</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3315" xml:space="preserve"> Centroque <mml:math><mml:mi>o</mml:mi></mml:math>, intervalloque <mml:math><mml:mi>ol</mml:mi></mml:math> circulus describatur;</s> <s xml:id="s3316" xml:space="preserve"> qui ab <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math> dividatur in 24 partes aequales.</s> <s xml:id="s3317" xml:space="preserve"> Ut factum fuit in 130.</s> <s xml:id="s3318" xml:space="preserve"> Ducatur <mml:math><mml:mi>o22</mml:mi></mml:math>, cui perpendicularis ducaur <mml:math><mml:mi>ze</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3319" xml:space="preserve"> Fiat deinde <mml:math><mml:mi>xr</mml:mi></mml:math> aequalis <mml:math><mml:mi>yz</mml:mi></mml:math>, erit ducta <mml:math><mml:mi>er</mml:mi></mml:math> linea horaria horae 22.</s> <s xml:id="s3320" xml:space="preserve"> Et ita fiet in aliis.</s> <s xml:id="s3321" xml:space="preserve"> Gnomon vero collocandus erit in <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math>, cuius altitudo <mml:math><mml:mi>gf</mml:mi></mml:math>, ut superioris figurae.</s> <s xml:id="s3322" xml:space="preserve"> Eritque <mml:math><mml:mi>bhc</mml:mi></mml:math> linea aequinoctialis, quae <emph style="super">a lineis horariis<!--variant supralineam--></emph> divisa perveniet.</s> <s xml:id="s3323" xml:space="preserve"> Ut ab <mml:math><mml:mi>er</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3324" xml:space="preserve"> Pro inveniendis punctis tropicorum fiet, ut dictum est in 131, 132, et 130, in quibus plures traditi sunt modi ad hoc efficiendum.</s> <s xml:id="s3325" xml:space="preserve"> Novisse etiam oportet, hanc operationem posse fieri circulo semper apparentium maximo.</s> <s xml:id="s3326" xml:space="preserve"> Nam et eadem demonstratio, et <emph style="super">eadem<!--variant supralineam--></emph> operatio erit.</s> <s xml:id="s3327" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="188" file="0222" n="222"/> <figure> <image file="med188" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med188"/> </figure> </div> <div type="section" level="1" n="89"> <head xml:id="head116" xml:space="preserve"> Theorema. Propositio </head> <p> <s xml:id="s3328" xml:space="preserve"> Si oculos parallelas <!--begin variant delevit post-->lineas<emph style="st">in planum existentes<!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super">videt<!--variant supralineam--></emph> , <emph style="super">sitque<!--variant supralineam--></emph> <emph style="super">sectio<!--variant supralineam--></emph> lineis aequidistantibus parallela, lineae <anchor type="note" xlink:label="note-0222-01a" xlink:href="note-0222-01"/> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">secundum quas oculus per tabulam videt lineas parallelas</emph>erunt<!--end variant delevit ante--> inter se parallelae.</s> <s xml:id="s3329" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="1"> <note position="left" xlink:label="note-0222-01" xlink:href="note-0222-01a" xml:space="preserve"> in sectione<!--variant signopositoinmargine--> </note> </div> <p> <s xml:id="s3330" xml:space="preserve"> Sit oculus <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math>, <!--begin variant delevit post-->qui<emph style="st">in subiecto plano videat<!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super">videat<!--variant supralineam--></emph> aequidistantes lineas <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math> <!--begin variant delevit post--><mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math><emph style="st">huius plani<!--end variant delevit post--></emph> <anchor type="note" xlink:label="note-0222-02a" xlink:href="note-0222-02"/> <emph style="super">sitque<!--variant supralineam--></emph> <emph style="super">sectio<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>rhk</mml:mi></mml:math> quomocumque <emph style="super">sita<!--variant supralineam--></emph> dummodo sit <!--begin variant delevit ante--><emph style="st"><!--begin cong-->fuerint ipsis<!--end cong--></emph><mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math><!--end variant delevit ante--> <mml:math><mml:mi>defg</mml:mi></mml:math> parallela.</s> <s xml:id="s3331" xml:space="preserve"> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">Sitque tabula <mml:math><mml:mi>rhk</mml:mi></mml:math></emph>Sintque<!--end variant delevit ante--> visuales radii <mml:math><mml:mi>baca,daea</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>faga</mml:mi></mml:math> <!--begin variant delevit post-->qui<emph style="st">tabulam<!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super">sectionem<!--variant supralineam--></emph> secent in <mml:math><mml:mi>lmnopq</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3332" xml:space="preserve"> Iunganturque <mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>no</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>pq</mml:mi></mml:math> <emph style="super">quae<!--variant supralineam--></emph> nimirum in sectione ostendunt, <mml:math><mml:mi>bcdefg</mml:mi></mml:math> in sectione apparent.</s> <s xml:id="s3333" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="2"> <note position="left" xlink:label="note-0222-02" xlink:href="note-0222-02a" xml:space="preserve"> quomodocunque et ubicunque sitas <emph style="super">ita<!--variant supralineam--></emph> est sive <emph style="super">sint<!--variant supralineam--></emph> in uno, vel pluribus planis<!--citmargsign--> </note> </div> <p> <s xml:id="s3334" xml:space="preserve"> Dico lineas <mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>no</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>pq</mml:mi></mml:math> inter se parallelas esse.</s> <s xml:id="s3335" xml:space="preserve"> Intelligatur per <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> planum plano <mml:math><mml:mi>rhk</mml:mi></mml:math> <emph style="super">hoc est sectioni<!--variant supralineam--></emph> aequidistans, lineae <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> a planis dividentur parallelis, eritque <anchor type="note" xlink:label="note-0222-03a" xlink:href="note-0222-03"/> <mml:math><mml:mi>al</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>lb</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>am</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>mc</mml:mi></mml:math> <emph style="super">quare<!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit post-->linea<emph style="st">igitur<!--end variant delevit post--></emph> <mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math> est ipsi <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> parallela.</s> <s xml:id="s3336" xml:space="preserve"> Eodemque modo, si intelligatur planum per <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math> aequidistans plano <mml:math><mml:mi>rhk</mml:mi></mml:math>, ostenditur <mml:math><mml:mi>no</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math> parallelam esse.</s> <s xml:id="s3337" xml:space="preserve"> Et ita in aliis.</s> <s xml:id="s3338" xml:space="preserve"> Et vero lineae <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> inter se sunt parallelae, ergo et <mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>no</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>pq</mml:mi></mml:math> inter se sunt parallelae.</s> <s xml:id="s3339" xml:space="preserve"> Quod demonstrare oportebat.</s> <s xml:id="s3340" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="3"> <note position="left" xlink:label="note-0222-03" xlink:href="note-0222-03a" xml:space="preserve"> 17 undecimo<!--citmargsign--> </note> </div> </div> <div type="section" level="1" n="90"> <head xml:id="head117" xml:space="preserve"> Corollarium </head> <p> <s xml:id="s3341" xml:space="preserve"> Ex his patet <mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>no</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>pq</mml:mi></mml:math> ipsis <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> parallelas esse.</s> <s xml:id="s3342" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="189" file="0223" n="223"/> <figure> <image file="med189" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med189"/> </figure> <p> <s xml:id="s3343" xml:space="preserve"> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">Iisdem positis, sed ducantur <mml:math><mml:mi>sb</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>sc</mml:mi></mml:math>, et per <mml:math><mml:mi>bs</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>sa</mml:mi></mml:math>, et per <mml:math><mml:mi>cs</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>sa</mml:mi></mml:math> plana ducantur quae erunt erecta plano <mml:math><mml:mi>bsc</mml:mi></mml:math>.</emph></s> <s xml:id="s3344" xml:space="preserve"><emph style="st"> a punctisque <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math> plano <mml:math><mml:mi>bsc</mml:mi></mml:math> perpendiculares ducantur <mml:math><mml:mi>hl</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>km</mml:mi></mml:math>.</emph></s> <s xml:id="s3345" xml:space="preserve"><emph style="st"> erunt hae in planis <mml:math><mml:mi>asb</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>asc</mml:mi></mml:math>.</emph></s> <s xml:id="s3346" xml:space="preserve"><emph style="st"> Ac propterea per ipsas visuales radii transibunt.</emph></s> <s xml:id="s3347" xml:space="preserve"><emph style="st"> Dico igitur <mml:math><mml:mi>ln</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>mo</mml:mi></mml:math> aequalem esse, et <mml:math><mml:mi>np</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>oq</mml:mi></mml:math>.</emph></s> <s xml:id="s3348" xml:space="preserve"><emph style="st"> Iungantur <mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>no</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>pq</mml:mi></mml:math>, quae inter se aequidistantes erunt.</emph></s> <s xml:id="s3349" xml:space="preserve"><emph style="st"> Quod quidem eodem prorsus modo, ut in praecedenti ostenditur.</emph></s> <s xml:id="s3350" xml:space="preserve"><emph style="st"> At vero <mml:math><mml:mi>lh</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>mk</mml:mi></mml:math> sunt aequidistantes.</emph></s> <s xml:id="s3351" xml:space="preserve"><emph style="st"> Ergo <mml:math><mml:mi>ln</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>mo</mml:mi></mml:math> inter se sunt aequales, veluti <mml:math><mml:mi>np</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>oq</mml:mi></mml:math> aequales.</emph></s> <s xml:id="s3352" xml:space="preserve"><emph style="st"> Quod demonstrare oportebat.</emph></s> <s xml:id="s3353" xml:space="preserve">Exponantur<!--end variant delevit ante--> eadem, sed <emph style="super">sectio<!--variant supralineam--></emph> non sit lineis <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> aequidistans.</s> <s xml:id="s3354" xml:space="preserve"> Sed sit <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math> ipsis propinquius.</s> <s xml:id="s3355" xml:space="preserve"> Ostendendum est lineas <mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>no</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>pq</mml:mi></mml:math> non esse parallelas, et ex parte <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>p</mml:mi></mml:math> in unum, et idem punctum concurrere.</s> <s xml:id="s3356" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s3357" xml:space="preserve"> <emph style="super">Ducatur<!--variant supralineam--></emph> <emph style="super">a puncto <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math> in subiecto plano<!--variant supralineam--></emph> lineis <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> aequidistans <emph style="super">Deinde ducatur planum per <mml:math><mml:mi>lhhr</mml:mi></mml:math>, sitque <mml:math><mml:mi>hi</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> , <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">quae</emph>secetque<!--end variant delevit ante--> <mml:math><mml:mi>ri</mml:mi></mml:math> lineas <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>aeag</mml:mi></mml:math> in punctis <mml:math><mml:mi>itu</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3358" xml:space="preserve"> Erit nimirum <mml:math><mml:mi>ln</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>it</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>np</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>tu</mml:mi></mml:math> aequalis.</s> <s xml:id="s3359" xml:space="preserve"> <anchor type="note" xlink:label="note-0223-01a" xlink:href="note-0223-01"/> est <reg norm="tabula" type="context">tabulas<!--variant 2 variants--></reg> esse plano per <mml:math><mml:mi>shk</mml:mi></mml:math> ducto <reg norm="erecta" type="context">erectas<!--variant 2 variants--></reg> .</s> <s xml:id="s3360" xml:space="preserve"> <mml:math><mml:mi>as</mml:mi></mml:math> vero oculi altitudo supra dictum planum.</s> <s xml:id="s3361" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="1"> <note position="left" xlink:label="note-0223-01" xlink:href="note-0223-01a" xml:space="preserve"> Intelligendum<!--variant signopositoinmargine--> </note> </div> <p> <s xml:id="s3362" xml:space="preserve"> Quoniam enim <mml:math><mml:mi>mo</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>it</mml:mi></mml:math> sunt aequidistantes siquidem <mml:math><mml:mi>mkir</mml:mi></mml:math> sunt parallelae;</s> <s xml:id="s3363" xml:space="preserve"> erit, ob similitudinem triangulorum <mml:math><mml:mi>amoait</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>ma</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ai</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>mo</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>it</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3364" xml:space="preserve"> Sed <emph style="super">cum sit punctum <mml:math><mml:mi>r</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>s</mml:mi></mml:math> propinquius quam <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math> erit<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>ma</mml:mi></mml:math> <emph style="super">maior<!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">est</emph>quam<!--end variant delevit ante--> <mml:math><mml:mi>ai</mml:mi></mml:math> ergo <mml:math><mml:mi>mo</mml:mi></mml:math> maior est, quam <mml:math><mml:mi>it</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3365" xml:space="preserve"> Ac per consequens maior, quam <mml:math><mml:mi>ln</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3366" xml:space="preserve"> Quia vero lineae <mml:math><mml:mi>mklh</mml:mi></mml:math> <!--begin variant delevit post-->sunt<emph style="st">subiecto plano <mml:math><mml:mi>shr</mml:mi></mml:math> erectae erunt<!--end variant delevit post--></emph> <reg norm="intersese" type="context">interse<!--variant correxitex --></reg> aequidistantes, <!--begin variant delevit post-->lineae<emph style="st">igitur<!--end variant delevit post--></emph> <mml:math><mml:mi>lmno</mml:mi></mml:math> non erunt parallelae sed ex parte <mml:math><mml:mi>ln</mml:mi></mml:math> inter se convenient, cum sit <mml:math><mml:mi>ln</mml:mi></mml:math> minor quam <mml:math><mml:mi>mo</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3367" xml:space="preserve"> Itaque concurrant in <mml:math><mml:mi>x</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3368" xml:space="preserve"> Eritque, ob similitudinem triangulorum <mml:math><mml:mi>xmo</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>xln</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>mx</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>xl</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>mo</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ln</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3369" xml:space="preserve"> Ostensum autem est <mml:math><mml:mi>ma</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ai</mml:mi></mml:math> ita esse, ut <mml:math><mml:mi>mo</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>it</mml:mi></mml:math> <pb o="190" file="0224" n="224"/> <anchor type="figure" xlink:label="med190a" xlink:href="med190"/> et <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">quoniam</emph><mml:math><mml:mi>it</mml:mi></mml:math><!--end variant delevit ante--> <mml:math><mml:mi>ln</mml:mi></mml:math> sunt aequales;</s> <s xml:id="s3370" xml:space="preserve"> habebit <mml:math><mml:mi>mo</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>it</mml:mi></mml:math> eandem proportionem, quam ad <mml:math><mml:mi>ln</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3371" xml:space="preserve"> Quare ita erit <mml:math><mml:mi>mx</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>xl</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>ma</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ai</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3372" xml:space="preserve"> Eodemque prorsus modo ostenditur <mml:math><mml:mi>mq</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>iu</mml:mi></mml:math> ita esse, ut <mml:math><mml:mi>ma</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ai</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s3373" xml:space="preserve"> <emph style="super">Suntque <mml:math><mml:mi>iulp</mml:mi></mml:math> aequales, erit<!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">et ut</emph><mml:math><mml:mi>mq</mml:mi></mml:math><!--end variant delevit ante--> ad <mml:math><mml:mi>lp</mml:mi></mml:math>, <reg norm="ita" type="context">ut<!--variant correxitex --></reg> <emph style="super"> ut <mml:math><mml:mi>ma</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ai</mml:mi></mml:math> hoc est<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>mx</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>xl</mml:mi></mml:math>:</s> <s xml:id="s3374" xml:space="preserve"> linea igitur <emph style="super"><mml:math><mml:mi>qpx</mml:mi></mml:math> est recta linea quare <anchor type="note" xlink:label="note-0224-01a" xlink:href="note-0224-01"/> <!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st"><mml:math><mml:mi>pq</mml:mi></mml:math></emph>producta<!--end variant delevit ante--> <mml:math><mml:mi>pq</mml:mi></mml:math> ex <mml:math><mml:mi>p</mml:mi></mml:math> lineis <mml:math><mml:mi>ox</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>mx</mml:mi></mml:math> occurret in <mml:math><mml:mi>x</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3375" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="2"> <note position="left" xlink:label="note-0224-01" xlink:href="note-0224-01a" xml:space="preserve"> 181<!--citmargsign--> </note> <figure xlink:label="med190" xlink:href="med190a"> <image file="med190" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med190"/> </figure> </div> <p> <s xml:id="s3376" xml:space="preserve"> Et ita si plures essent lineae, omnes in <mml:math><mml:mi>x</mml:mi></mml:math> concurrere ostenditur.</s> <s xml:id="s3377" xml:space="preserve"> Quod demonstrare oportebat.</s> <s xml:id="s3378" xml:space="preserve"> </s> </p> </div> <div type="section" level="1" n="91"> <head xml:id="head118" xml:space="preserve"> Propositio </head> <p> <s xml:id="s3379" xml:space="preserve"> Dico punctum <emph style="super"><mml:math><mml:mi>x</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit post-->aequealtum<emph style="st">esse<!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super">esse<!--variant supralineam--></emph> supra <emph style="super">subiectum<!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit post-->planum<emph style="st">per <mml:math><mml:mi>sbc</mml:mi></mml:math> ductum<!--end variant delevit post--></emph> , veluti punctum <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> </s> </p> <note position="left" xml:space="preserve"> 18 undecimi<!--citmargsign--> </note> <p> <s xml:id="s3380" xml:space="preserve"> Quoniam igitur ita est <mml:math><mml:mi>ma</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ai</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>mx</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>xl</mml:mi></mml:math>; erit dividendo <mml:math><mml:mi>mi</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ia</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>ml</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>lx</mml:mi></mml:math>. Quare linea <mml:math><mml:mi>li</mml:mi></mml:math> est ipsi <mml:math><mml:mi>ax</mml:mi></mml:math> parallela. Sed <mml:math><mml:mi>li</mml:mi></mml:math> est ipsi <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> <!--begin variant delevit post-->aequidistans<emph style="st">quae quidem <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> est ipsi <mml:math><mml:mi>hr</mml:mi></mml:math> parallela<!--end variant delevit post--></emph> , erit igitur <mml:math><mml:mi>ax</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> <!--begin variant delevit post-->aequidistans.<emph style="st">Quoniam autem duae lineae <mml:math><mml:mi>illh</mml:mi></mml:math> duabus <mml:math><mml:mi>axxy</mml:mi></mml:math> sunt aequidistantes, erit planum <mml:math><mml:mi>lr</mml:mi></mml:math> plano <mml:math><mml:mi>ay</mml:mi></mml:math> aequidistans. quae quidem plana secantur a plano <mml:math><mml:mi>syk</mml:mi></mml:math>. Ergo line <mml:math><mml:mi>hr</mml:mi></mml:math> est ipsi <mml:math><mml:mi>sy</mml:mi></mml:math> aequidistans quare <mml:math><mml:mi>sy</mml:mi></mml:math> est ipsi <mml:math><mml:mi>ax</mml:mi></mml:math> aequidistans. Suntque <mml:math><mml:mi>as</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>sy</mml:mi></mml:math> parallelae. Erit igitur <mml:math><mml:mi>xy</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>as</mml:mi></mml:math> aequalis. Quocirco punctum <mml:math><mml:mi>x</mml:mi></mml:math> supra planum per <mml:math><mml:mi>sbc</mml:mi></mml:math> ductum est aequealtum ut <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math>. q.d.o.<!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super">Ac per consequens subiectum planum aequidistans ex quibus liquet punctum <mml:math><mml:mi>x</mml:mi></mml:math> aequealtum <mml:math><mml:mi>s</mml:mi></mml:math> supra subiectum planum ut <mml:math><mml:mi>a </mml:mi></mml:math>. Quod demonstrare oportebat.<!--variant supralineam--></emph></s> </p> <p> <s xml:id="s3381" xml:space="preserve"> In tabula punctum linearum concursus invenire;</s> <s xml:id="s3382" xml:space="preserve"> nempe <mml:math><mml:mi>x</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3383" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s3384" xml:space="preserve"> Ducatur (iisdem <!--begin variant delevit post-->positis<emph style="st">ductaque <mml:math><mml:mi>hr</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> et. c. aequidistantes<!--end variant delevit post--></emph> ) <mml:math><mml:mi>sy</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> aequidistans.</s> <s xml:id="s3385" xml:space="preserve"> Producaturque <mml:math><mml:mi>khy</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3386" xml:space="preserve"> A punctoque <mml:math><mml:mi>y</mml:mi></mml:math> in plano <mml:math><mml:mi>kx</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>ky</mml:mi></mml:math> perpendicularis ducatur <mml:math><mml:mi>yx</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s3387" xml:space="preserve"> quae fiat aequalis <mml:math><mml:mi>as</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3388" xml:space="preserve"> Erit ex dictis punctum <mml:math><mml:mi>x</mml:mi></mml:math> punctum quaesitum.</s> <s xml:id="s3389" xml:space="preserve"> Quod facere oportebat.</s> <s xml:id="s3390" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="191" file="0225" n="225"/> <figure> <image file="med191" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med191"/> </figure> </div> <div type="section" level="1" n="92"> <head xml:id="head119" xml:space="preserve"> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st"> Sequitur demonstratio quae est in 189. Similiter, si <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> non fuerint in plano <mml:math><mml:mi>shk</mml:mi></mml:math>, ut in praecedentibus, eodem adhuc modo ostenditur <mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>nopq</mml:mi></mml:math> aequidistantes esse, et <mml:math><mml:mi>ln</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>mo</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>np</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>oq</mml:mi></mml:math> aequalem esse. Eodem modo, si <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>defg</mml:mi></mml:math> non fuerint in uno et eodem plano, eadem contingent nempe <mml:math><mml:mi>lmnopq</mml:mi></mml:math> aequidistantes esse. Et <mml:math><mml:mi>ln</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>mo</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>np</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>oq</mml:mi></mml:math> aequalem esse. Quae quidem eodem modo ostendentur.</emph>Propositio<!--end variant delevit ante--> </head> <figure> <image file="med191_2" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med191_2"/> </figure> <p> <s xml:id="s3391" xml:space="preserve"> Si <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math> <emph style="super"><mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> fuerint inter <mml:math><mml:mi>s</mml:mi></mml:math> et tabula <mml:math><mml:mi>hk</mml:mi></mml:math>, eodem prorsus modo, ductis <mml:math><mml:mi>sklbh</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>sgeck</mml:mi></mml:math>, et sub plano <mml:math><mml:mi>shk</mml:mi></mml:math> producta tabula lineis <mml:math><mml:mi>hpkq</mml:mi></mml:math> plano <mml:math><mml:mi>shk</mml:mi></mml:math> erectis, ductisque <mml:math><mml:mi>abl</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>adn</mml:mi></mml:math> <emph style="super"><mml:math><mml:mi>apq</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>acm</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>aeo</mml:mi></mml:math> demonstrabitur, lineas <mml:math><mml:mi>lmno</mml:mi></mml:math> <emph style="super"><mml:math><mml:mi>pq</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> aequidistantes esse, et <mml:math><mml:mi>ln</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>mo</mml:mi></mml:math> inter se aequales esse.</s> <s xml:id="s3392" xml:space="preserve"> Veluti <mml:math><mml:mi>npoq</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3393" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s3394" xml:space="preserve"> Idemque pari ratione ostenditur, si aequidistantes lineae <mml:math><mml:mi>bcdefg</mml:mi></mml:math> non fuerint in eodem plano.</s> <s xml:id="s3395" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med191_4" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med191_4"/> </figure> <pb o="192" file="0226" n="226"/> <figure> <image file="med192" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med192"/> </figure> <p> <s xml:id="s3396" xml:space="preserve"> Sequitur demonstratio quae est in 190.</s> <s xml:id="s3397" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s3398" xml:space="preserve"> Eodem modo, si <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> non fuerint in plano <mml:math><mml:mi>shk</mml:mi></mml:math>, ut in praecedenti, ostenditur <mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>no</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>pq</mml:mi></mml:math> in unum et idem punctum concurrere.</s> </p> <figure> <image file="med192_2" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med192_2"/> </figure> <p> <s xml:id="s3399" xml:space="preserve"> Quod idem continget, etiam si <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> in uno, et eodem plano non fuerint, punctum <mml:math><mml:mi>x</mml:mi></mml:math> invenietur ut in praecedenti.</s> <s xml:id="s3400" xml:space="preserve"> Protrahendo <mml:math><mml:mi>khy</mml:mi></mml:math>, ductaque <mml:math><mml:mi>sy</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>hr</mml:mi></mml:math> aequidistans, ductaque ad <mml:math><mml:mi>yk</mml:mi></mml:math> perpendicularis <mml:math><mml:mi>yx</mml:mi></mml:math>, quae fiat aequalis <mml:math><mml:mi>sa</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3401" xml:space="preserve"> Et inventum erit punctum <mml:math><mml:mi>x</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3402" xml:space="preserve"> Hac eadem quoque ostenditur, si lineae <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> fuerint inter tabulam <mml:math><mml:mi>hk</mml:mi></mml:math>, et punctum <mml:math><mml:mi>s</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3403" xml:space="preserve"> Quae quidem in tabula erunt sub plano <mml:math><mml:mi>shk</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3404" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="193" file="0227" n="227"/> <figure> <image file="med193" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med193"/> </figure> <p> <s xml:id="s3405" xml:space="preserve"> Si oculus videt lineas aequidistantes in <emph style="super">subiecto<!--variant supralineam--></emph> plano existentes, quae <!--begin variant delevit post-->sint<emph style="st">tabulae<!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super">sectionis lineae<!--variant supralineam--></emph> perpendiculares lineae <reg norm="in tabula" type="context">in sectione<!--variant correxitex --></reg> apparentes in unum, et idem punctum convenient <emph style="super">in subiectum planum aequealtum ut oculus<!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s3406" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s3407" xml:space="preserve"> Sit oculus <!--begin variant delevit post--><mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math><emph style="st">quidem videat<!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super">cuius altitudo supra subiectum planum sit <mml:math><mml:mi>as</mml:mi></mml:math> qui quidem<!--variant supralineam--></emph> aequidistantes lineas <mml:math><mml:mi>bcde fg</mml:mi></mml:math> in subiecto plano existentes <emph style="super">videat<!--variant supralineam--></emph> ;</s> <s xml:id="s3408" xml:space="preserve"> <reg norm="sitque" type="context">sit<!--variant correxitex --></reg> <emph style="super">sectionis linea <mml:math><mml:mi>bf</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> sintque lineae <mml:math><mml:mi>bcde</mml:mi></mml:math> <emph style="super"><mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> <reg norm="plano" type="context">ipsi<!--variant correxitex --></reg> <reg norm="bsf" type="context">bf<!--variant correxitex --></reg> <reg norm="erectae" type="context">perpendiculares<!--variant correxitex --></reg> <emph style="super">lineae autem que in sectione ostenduntlineae<!--variant supralineam--></emph> lineas <mml:math><mml:mi>bcdefg</mml:mi></mml:math>, sint <mml:math><mml:mi>bldofm</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3409" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s3410" xml:space="preserve"> <!--begin variant delevit post-->Dico<emph style="st">Has<!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super"><mml:math><mml:mi>bldofm</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> in unum, et idem punctum concurrere <emph style="super">quod<!--variant supralineam--></emph> supra subiectum planum sit aequealtum ut <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3411" xml:space="preserve"> Sit <!--begin variant delevit post-->sectio<emph style="st">aliquot literas<!--end variant delevit post--></emph> <mml:math><mml:mi>bxf</mml:mi></mml:math>, quae vel erit subiecto plano erecta vel <!--begin variant delevit post-->minus<emph style="st">ac per consequens <!--milestone lacs--><!--end variant delevit post--></emph> .</s> <s xml:id="s3412" xml:space="preserve"> Sit autem quomodocumque lineae <emph style="super">autem<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>bcdefg</mml:mi></mml:math> <emph style="super">sint vel fiant interse<!--variant supralineam--></emph> aequales <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">erit nimirum ducta</emph><mml:math><mml:mi>ceg</mml:mi></mml:math><!--end variant delevit ante--> recta linea <emph style="super">quae<!--variant supralineam--></emph> ipsi <mml:math><mml:mi>bf</mml:mi></mml:math> <emph style="super">erit<!--variant supralineam--></emph> aequidistans.</s> <s xml:id="s3413" xml:space="preserve"> Eritque <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>ce</mml:mi></mml:math> et <mml:math><mml:mi>df</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>eg</mml:mi></mml:math> aequalis.</s> <s xml:id="s3414" xml:space="preserve"> Sint visuales <!--begin variant delevit post-->radii<emph style="st">puncta <mml:math><mml:mi>ceg</mml:mi></mml:math> repraesentantes <mml:math><mml:mi>cla</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>eoa</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>gma</mml:mi></mml:math> puncta vero <mml:math><mml:mi>bdf</mml:mi></mml:math> erunt in tabula<!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super"><mml:math><mml:mi>cla</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>eoa</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>gma</mml:mi></mml:math> qui sectionem secant <emph style="super">in punctis<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>lom</mml:mi></mml:math> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">primam quidem <!--milestone lacs--></emph>puncta<!--end variant delevit ante--> <mml:math><mml:mi>bdf</mml:mi></mml:math> sunt in sectione <emph style="super">in<!--variant supralineam--></emph> in iisdemmet punctis <mml:math><mml:mi>bdf</mml:mi></mml:math> <emph style="super">in sectione apparentes<!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s3415" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s3416" xml:space="preserve"> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">(Si igitur iungantur <mml:math><mml:mi>bl</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>dofm</mml:mi></mml:math> linea <mml:math><mml:mi>bl</mml:mi></mml:math> ipsam <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> in sectione ostendit lineaque <mml:math><mml:mi>do</mml:mi></mml:math> ipsam <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math> linea vero <mml:math><mml:mi>fm</mml:mi></mml:math> lineam <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> ostendit).</emph></s> <s xml:id="s3417" xml:space="preserve"><emph style="st"> Ducantur (in subiecto plano) <mml:math><mml:mi>scsesg</mml:mi></mml:math>, quae ipsum <mml:math><mml:mi>bf</mml:mi></mml:math> secent in puncti <mml:math><mml:mi>npq</mml:mi></mml:math> a quibus in tabula (sectione) ipsi <mml:math><mml:mi>bf</mml:mi></mml:math> perpendiculares erigantur <mml:math><mml:mi>nl</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>po</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>qm</mml:mi></mml:math>.</emph></s> <s xml:id="s3418" xml:space="preserve"><emph style="st"> Qui cum sit <mml:math><mml:mi>bxf</mml:mi></mml:math> (subiecto) plano per <mml:math><mml:mi>sbf</mml:mi></mml:math> erectum.</emph></s> <s xml:id="s3419" xml:space="preserve"><emph style="st"> Erunt <mml:math><mml:mi>nl</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>po</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>qm</mml:mi></mml:math> subiecto plano (nempe plano) per <mml:math><mml:mi>s</mml:mi></mml:math> et <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math> ducto erectae.</emph></s> <s xml:id="s3420" xml:space="preserve"><emph style="st"> Quare (<mml:math><mml:mi>ln</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>op</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>mq</mml:mi></mml:math>) inter se sunt parallelae.</emph></s> <s xml:id="s3421" xml:space="preserve"><emph style="st"> At vero quoniam <mml:math><mml:mi>nl</mml:mi></mml:math> est in plano <mml:math><mml:mi>acs</mml:mi></mml:math>, erit <mml:math><mml:mi>nl</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>as</mml:mi></mml:math> aequidistans.</emph></s> <s xml:id="s3422" xml:space="preserve"><emph style="st"> Ubi igitur <mml:math><mml:mi>nlac</mml:mi></mml:math> se invicem secant, ut in <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math>, apparebit in tabula punctum <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math>.</emph></s> <s xml:id="s3423" xml:space="preserve"><emph style="st"> <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math> vero apparet in <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math>.</emph></s> <s xml:id="s3424" xml:space="preserve"><emph style="st"> Linea igitur <mml:math><mml:mi>bl</mml:mi></mml:math> in tabula lineam <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> ostendit.</emph></s> <s xml:id="s3425" xml:space="preserve"><emph style="st"> Parique ratione ostenditur lineas <mml:math><mml:mi>po</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>qm</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>as</mml:mi></mml:math> aequidistantes esse, lineamque <mml:math><mml:mi>do</mml:mi></mml:math> ipsam <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math>, lineam vero <mml:math><mml:mi>fm</mml:mi></mml:math> ipsam <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> ostendit.</emph></s> <s xml:id="s3426" xml:space="preserve">Iungantur<!--end variant delevit ante--> <anchor type="note" xlink:label="note-0227-01a" xlink:href="note-0227-01"/> <mml:math><mml:mi>loom</mml:mi></mml:math> <emph style="super">et quoniam punctum <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math> in sectione ostendit punctum <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>o</mml:mi></mml:math> ipsum <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math> et <mml:math><mml:mi>m</mml:mi></mml:math> ipsum <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> <emph style="super">erit<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>lo</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>ce</mml:mi></mml:math> et <mml:math><mml:mi>om</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>eg</mml:mi></mml:math> aequidistans recta vero linea est <mml:math><mml:mi>ceg</mml:mi></mml:math> ergo recta quoque est <!--begin variant delevit post--><mml:math><mml:mi>lom</mml:mi></mml:math><emph style="st">quoniam autem<!--end variant delevit post--></emph> .</s> <s xml:id="s3427" xml:space="preserve"> <emph style="super">Quoniam itaque<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>lo</mml:mi></mml:math> est ipsi aequidistans;</s> <s xml:id="s3428" xml:space="preserve"> erit ob similitudinem <pb o="194" file="0228" n="228"/> triangulorum <mml:math><mml:mi>ace</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>alo</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>ca</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>al</mml:mi></mml:math> ita <mml:math><mml:mi>ce</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>lo</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3429" xml:space="preserve"> Est vero <mml:math><mml:mi>ca</mml:mi></mml:math> maior quam <mml:math><mml:mi>al</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3430" xml:space="preserve"> Ergo et <mml:math><mml:mi>ce</mml:mi></mml:math> maior est, quam <mml:math><mml:mi>ol</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3431" xml:space="preserve"> <emph style="super">Cum vero sit <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>ce</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">quia vero <mml:math><mml:mi>be</mml:mi></mml:math> est parallelogrammum, erit <mml:math><mml:mi>ce</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math></emph>aequalis<!--end variant delevit ante--> .</s> <s xml:id="s3432" xml:space="preserve"> <emph style="super">Erit<!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">Quare</emph><mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math><!--end variant delevit ante--> maior <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">aliquot literas</emph>quam<!--end variant delevit ante--> <mml:math><mml:mi>lo</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3433" xml:space="preserve"> Et quoniam <mml:math><mml:mi>bdlo</mml:mi></mml:math> sunt ipsi <mml:math><mml:mi>ce</mml:mi></mml:math> aequidistantes, erunt <mml:math><mml:mi>bdlo</mml:mi></mml:math> inter se parallelae.</s> <s xml:id="s3434" xml:space="preserve"> Lineae igitur <mml:math><mml:mi>bldo</mml:mi></mml:math> ex parte <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>o</mml:mi></mml:math> inter se convenient.</s> <s xml:id="s3435" xml:space="preserve"> Itaque concurrant in <mml:math><mml:mi>x</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3436" xml:space="preserve"> Eodemque modo ostenditur <mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math> minorem esse, quam <mml:math><mml:mi>bf</mml:mi></mml:math>, ipsique parallelam esse.</s> <s xml:id="s3437" xml:space="preserve"> Unde et <mml:math><mml:mi>blfm</mml:mi></mml:math> inter se convenient.</s> <s xml:id="s3438" xml:space="preserve"> <emph style="super">At vero<!--variant supralineam--></emph> quoniam <mml:math><mml:mi>bdlo</mml:mi></mml:math> sunt parallelae, erit ob similitudinem triangulorum <mml:math><mml:mi>bdx</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>lox</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>bx</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>xl</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>lo</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3439" xml:space="preserve"> Cumque sit <mml:math><mml:mi>ce</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math> aequalis, <emph style="super">eandem<!--variant supralineam--></emph> habebit <emph style="super">proportionem<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>ce</mml:mi></mml:math> ad <!--begin variant delevit post--><mml:math><mml:mi>lo</mml:mi></mml:math><emph style="st">eandem proportionem<!--end variant delevit post--></emph> , quam habet <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>lo</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3440" xml:space="preserve"> Ut vero <mml:math><mml:mi>ce</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>lo</mml:mi></mml:math> ita est <mml:math><mml:mi>ca</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>al</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s3441" xml:space="preserve"> erit igitur <mml:math><mml:mi>bx</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>xl</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>ca</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>al</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3442" xml:space="preserve"> Eademque <!--begin variant delevit post-->ratione<emph style="st">ita est<!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super">ostenditur ita esse<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>ca</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>al</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>cg</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3443" xml:space="preserve"> Est vero <mml:math><mml:mi>bf</mml:mi></mml:math> equalis ipsi <mml:math><mml:mi>cg</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3444" xml:space="preserve"> Erit igitur <mml:math><mml:mi>bf</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math> ut <mml:math><mml:mi>ca</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>al</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3445" xml:space="preserve"> Sed est <mml:math><mml:mi>ca</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>al</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>bx</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>xl</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3446" xml:space="preserve"> Ergo erit <mml:math><mml:mi>bf</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math> ut <mml:math><mml:mi>bx</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>xl</mml:mi></mml:math>, suntque <mml:math><mml:mi>df</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math> parallelae.</s> <s xml:id="s3447" xml:space="preserve"> Linea igitur <!--begin variant delevit post--><mml:math><mml:mi>fmx</mml:mi></mml:math><emph style="st">ex <mml:math><mml:mi>m</mml:mi></mml:math> producta lineis<!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super">recta est.</emph></s> <s xml:id="s3448" xml:space="preserve"> <emph style="super">Quare <mml:math><mml:mi>fm</mml:mi></mml:math> ex <mml:math><mml:mi>m</mml:mi></mml:math> producta ipsis<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>bx</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>dx</mml:mi></mml:math> in idem punctum <mml:math><mml:mi>x</mml:mi></mml:math> occurret.</s> <s xml:id="s3449" xml:space="preserve"> Et ita ostenditur omnes alias in <mml:math><mml:mi>x</mml:mi></mml:math> <!--begin variant delevit post-->concurrere<emph style="st">Quod demonstrare oportebat<!--end variant delevit post--></emph> .</s> <s xml:id="s3450" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="1"> <note position="left" xlink:label="note-0227-01" xlink:href="note-0227-01a" xml:space="preserve"> 188<!--citmargsign--> </note> </div> <p> <s xml:id="s3451" xml:space="preserve"> Dico insuper punctum <mml:math><mml:mi>x</mml:mi></mml:math> aequealtum esse supra <emph style="super">subiectum<!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit post-->planum<emph style="st">per <mml:math><mml:mi>sbf</mml:mi></mml:math> ductum<!--end variant delevit post--></emph> , sicut punctum <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3452" xml:space="preserve"> Quoniam enim ita est <mml:math><mml:mi>ca</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>al</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>bx</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>xl</mml:mi></mml:math>, erit dividendo <mml:math><mml:mi>cl</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>la</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>bl</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>lx</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3453" xml:space="preserve"> Estque angulus <mml:math><mml:mi>bla</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>xla</mml:mi></mml:math> <emph style="super">aequalis<!--variant supralineam--></emph> <emph style="super">cum sint ad verticem<!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s3454" xml:space="preserve"> Ergo triangulum <mml:math><mml:mi>blc</mml:mi></mml:math> triangulo <mml:math><mml:mi>xla</mml:mi></mml:math> est simile.</s> <s xml:id="s3455" xml:space="preserve"> Ac propterea angulus <mml:math><mml:mi>xbc</mml:mi></mml:math> angulo <mml:math><mml:mi>bxa</mml:mi></mml:math> <emph style="super">est<!--variant supralineam--></emph> aequalis.</s> <s xml:id="s3456" xml:space="preserve"> Quare linea <mml:math><mml:mi>ax</mml:mi></mml:math> est ipsi <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math>, et ideo subiecto plano aequidistans.</s> <s xml:id="s3457" xml:space="preserve"> ergo punctum <mml:math><mml:mi>x</mml:mi></mml:math> <emph style="super">supra subiectum planum<!--variant supralineam--></emph> est aequealtum ut <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3458" xml:space="preserve"> Itaque punctum in quo lineae in sectione concurrunt puta <mml:math><mml:mi>x</mml:mi></mml:math>, vocatur punctum linearum conrcursus.</s> <s xml:id="s3459" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s3460" xml:space="preserve"> Punctum <mml:math><mml:mi>x</mml:mi></mml:math> invenire.</s> <s xml:id="s3461" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s3462" xml:space="preserve"> <anchor type="note" xlink:label="note-0228-01a" xlink:href="note-0228-01"/> .</s> <s xml:id="s3463" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="2"> <note position="left" xlink:label="note-0228-01" xlink:href="note-0228-01a" xml:space="preserve"> Haec demonstratio totius est per resolutionem <!--milestone lacs--> compositionem<!--variant signopositoinmargine--> </note> </div> <p> <s xml:id="s3464" xml:space="preserve"> Ducatur <mml:math><mml:mi>sr</mml:mi></mml:math> ipsis <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> aequidistans.</s> <s xml:id="s3465" xml:space="preserve"> Et in tabula ducatur <mml:math><mml:mi>rx</mml:mi></mml:math> perpendicularis ipsi <mml:math><mml:mi>bf</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3466" xml:space="preserve"> Fiatque <mml:math><mml:mi>rx</mml:mi></mml:math> aequalis <mml:math><mml:mi>sa</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3467" xml:space="preserve"> Quoniam enim planum ductum per punctum <mml:math><mml:mi>x</mml:mi></mml:math>, et lineam <mml:math><mml:mi>as</mml:mi></mml:math> est planum <mml:math><mml:mi>axrs</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3468" xml:space="preserve"> Cum sint <mml:math><mml:mi>as</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>xr</mml:mi></mml:math> subiecto plano per <mml:math><mml:mi>sr</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>bf</mml:mi></mml:math> ducto perpendiculares.</s> <s xml:id="s3469" xml:space="preserve"> Et quoniam <mml:math><mml:mi>ax</mml:mi></mml:math> est aequidistans <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math>, quae est ipsi <mml:math><mml:mi>sr</mml:mi></mml:math> parallela, erit <mml:math><mml:mi>ax</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>sr</mml:mi></mml:math> aequidistans.</s> <s xml:id="s3470" xml:space="preserve"> Parallelogrammum est igitur <mml:math><mml:mi>xs</mml:mi></mml:math> ac propterea <mml:math><mml:mi>xr</mml:mi></mml:math> est ipsi <mml:math><mml:mi>as</mml:mi></mml:math> aequalis, punctumque <mml:math><mml:mi>x</mml:mi></mml:math> ex dictis est punctum quaesitum.</s> <s xml:id="s3471" xml:space="preserve"> Quod facere oportebat.</s> <s xml:id="s3472" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="195" file="0229" n="229"/> <figure> <image file="med195" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med195"/> </figure> <figure xlink:label="med195_2" xlink:href="med195_2a"> <image file="med195_2" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med195_2"/> </figure> <p> <s xml:id="s3473" xml:space="preserve"> <emph style="super">Si veroSi<!--variant supralineam--></emph> lineae <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">autem</emph><mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math><!--end variant delevit ante--> <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> sint inter <emph style="super">punctum<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>s</mml:mi></mml:math> <!--begin variant delevit post-->et<emph style="st">tabulam<!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super">sectionem<!--variant supralineam--></emph> ;</s> <s xml:id="s3474" xml:space="preserve"> lineas <mml:math><mml:mi>lbodmf</mml:mi></mml:math> <!--begin variant delevit post-->in<emph style="st">tabula<!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super">sectione<!--variant supralineam--></emph> , infra vero <emph style="super">subiectum<!--variant supralineam--></emph> planum per <mml:math><mml:mi>s</mml:mi></mml:math> <emph style="super">et<!--variant supralineam--></emph> <anchor type="note" xlink:label="note-0229-01a" xlink:href="note-0229-01"/> <emph style="super"><mml:math><mml:mi>bf</mml:mi></mml:math> ductum<!--variant supralineam--></emph> existentes, ipsasque <mml:math><mml:mi>bcdefg</mml:mi></mml:math> ostendentes.</s> <s xml:id="s3475" xml:space="preserve"> In idem punctum <mml:math><mml:mi>x</mml:mi></mml:math> concurrere similiter ostenditur.</s> <s xml:id="s3476" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="3"> <note position="left" xlink:label="note-0229-01" xlink:href="note-0229-01a" xml:space="preserve"> sectionis lineam<!--variant signopositoinmargine--> </note> </div> <pb o="196" file="0230" n="230"/> <figure> <image file="med196" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med196"/> </figure> <p> <s xml:id="s3477" xml:space="preserve"> <emph style="super">Sit data linea <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math>.</emph></s> <s xml:id="s3478" xml:space="preserve"> <emph style="super">Datum vero punctum <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> recta lineam<!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s3479" xml:space="preserve"> Sitque datus <reg norm="angulus acutus def" type="context">angulus acutus abc<!--variant correxitex --></reg> .</s> <s xml:id="s3480" xml:space="preserve"> Oportet a puncto <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> lineam <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> ducere, quae angulum <mml:math><mml:mi>acb</mml:mi></mml:math> dato <!--begin variant delevit post-->angulo<emph style="st"><mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math><!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super"><mml:math><mml:mi>def</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> aequalem <!--begin variant delevit post-->efficiat<emph style="st">Oportet autem angulos ad <mml:math><mml:mi>bg</mml:mi></mml:math> duobus rectis esse minores.</emph></s> <s xml:id="s3481" xml:space="preserve"><emph style="st"> Aliter enim tres abguli trianguli duobus essent rectis maiores.</emph></s> <s xml:id="s3482" xml:space="preserve"><emph style="st"> Quod fieri non potest.</emph></s> <s xml:id="s3483" xml:space="preserve"><emph style="st"> Exponatur angulus <mml:math><mml:mi>def</mml:mi></mml:math> aequalis angulo <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math>, producaturque <mml:math><mml:mi>fe</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math> et a puncto <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math> fiat angulus <mml:math><mml:mi>hek</mml:mi></mml:math> aequalis angulo <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math>.</emph></s> <s xml:id="s3484" xml:space="preserve"><!--end variant delevit post--> .</s> <s xml:id="s3485" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s3486" xml:space="preserve"> <emph style="super">Producatur <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math>, et ipsi <mml:math><mml:mi>dg</mml:mi></mml:math> perpendiculariter agatur <mml:math><mml:mi>he</mml:mi></mml:math> a punctum <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> perpendicularis ducatur <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s3487" xml:space="preserve"> Deinde fiat angulus <mml:math><mml:mi>bac</mml:mi></mml:math> aequalis <!--begin variant delevit post-->angulo<emph style="st"><mml:math><mml:mi>ked</mml:mi></mml:math><!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super"><mml:math><mml:mi>hef</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s3488" xml:space="preserve"> Et quoniam angulus <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math> est aequale <!--begin variant delevit post-->angulo<emph style="st"><mml:math><mml:mi>def</mml:mi></mml:math><!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super"><mml:math><mml:mi>geh</mml:mi></mml:math> cum sint recti<!--variant supralineam--></emph> , angulus vero <mml:math><mml:mi>bac</mml:mi></mml:math> est <!--begin variant delevit post-->angulo<emph style="st"><mml:math><mml:mi>ked</mml:mi></mml:math><!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super"><mml:math><mml:mi>hef</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> aequalis, erit reliquus angulus <mml:math><mml:mi>acb</mml:mi></mml:math> <!--begin variant delevit post-->reliquo<emph style="st"><mml:math><mml:mi>ked</mml:mi></mml:math><!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super"><mml:math><mml:mi>fed</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> aequalis cum sit tres anguli trianguli duobus rectis aequales;</s> <s xml:id="s3489" xml:space="preserve"> veluti <!--begin variant delevit post-->sunt<emph style="st">tres <mml:math><mml:mi>defkedkeh</mml:mi></mml:math><!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super"><mml:math><mml:mi>geh,hef,fed</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> duobus rectis aequales.</s> <s xml:id="s3490" xml:space="preserve"> Quare angulus <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> est <emph style="super">dato<!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit post-->angulo<emph style="st"><mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math><!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super">acuto <mml:math><mml:mi>def</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> aequalis.</s> <s xml:id="s3491" xml:space="preserve"> Quod facere oportebat.</s> <s xml:id="s3492" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="197" file="0231" n="231"/> <figure> <image file="med197" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med197"/> </figure> <p> <s xml:id="s3493" xml:space="preserve"> Eadem, ut in 193, exponantur sed lineae <mml:math><mml:mi>bc,de,fg</mml:mi></mml:math> non <!--begin variant delevit post-->sint<emph style="st">tabulae <mml:math><mml:mi>bxf</mml:mi></mml:math><!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super">sectionis lineae <mml:math><mml:mi>bf</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> erectae.</s> <s xml:id="s3494" xml:space="preserve"> Lineae autem quae <!--begin variant delevit post-->in<emph style="st">tabula<!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super">sectione<!--variant supralineam--></emph> ostendunt lineas <mml:math><mml:mi>bc,de,fg</mml:mi></mml:math>, sint eodem modo <mml:math><mml:mi>bl,do,fm</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3495" xml:space="preserve"> <!--begin variant delevit post-->Sitque<emph style="st">tabula<!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super">sectio<!--variant supralineam--></emph> quomodocumque sita;</s> <s xml:id="s3496" xml:space="preserve"> hoc est sive <emph style="super">subiecto<!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit post-->plano<emph style="st">per <mml:math><mml:mi>s,c,g</mml:mi></mml:math> ducto<!--end variant delevit post--></emph> erecta, sive minus.</s> <s xml:id="s3497" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s3498" xml:space="preserve"> Dico lineas <mml:math><mml:mi>bl,do,fm</mml:mi></mml:math> in unum, et idem punctum concurrere.</s> <s xml:id="s3499" xml:space="preserve"> <!--begin variant delevit post-->Quod<emph style="st">est<!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super">erit<!--variant supralineam--></emph> supra <emph style="super">subiectum<!--variant supralineam--></emph> planum <!--begin variant delevit ante--><emph style="st"><mml:math><mml:mi>scg</mml:mi></mml:math></emph>auquealtum<!--end variant delevit ante--> , ut <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3500" xml:space="preserve"> Ducantur <mml:math><mml:mi>bh,fk</mml:mi></mml:math> ipsis <mml:math><mml:mi>bc,de,fg</mml:mi></mml:math> perpendiculares.</s> <s xml:id="s3501" xml:space="preserve"> Planaque erigantur <mml:math><mml:mi>bph</mml:mi></mml:math>, <!--begin variant delevit post--><mml:math><mml:mi>kqf</mml:mi></mml:math><emph style="st">quae intelligantur aliae duae tabulae.</emph></s> <s xml:id="s3502" xml:space="preserve"> <emph style="st">Quae quidem sint plano <mml:math><mml:mi>sc</mml:mi></mml:math> erectae.</emph></s> <s xml:id="s3503" xml:space="preserve"> <emph style="st">Lineae autem<!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super">subiecto plano erecta quae intelligantur esse altrae duae sectiones<!--variant supralineam--></emph> <emph style="super">ducatur visuales radii <mml:math><mml:mi>c9lua,eiona,gzmta</mml:mi></mml:math>.</emph></s> <s xml:id="s3504" xml:space="preserve"> <emph style="super">Producanturque <mml:math><mml:mi>defg</mml:mi></mml:math> donec ipsi <mml:math><mml:mi>bh</mml:mi></mml:math> occurrat in punctis <mml:math><mml:mi>r,h,b,t</mml:mi></mml:math> vero et <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math> secet <mml:math><mml:mi>fk</mml:mi></mml:math> in punctis <mml:math><mml:mi>y,k</mml:mi></mml:math> lineaeducatur<!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s3505" xml:space="preserve"> <emph style="super">Quae<!--variant supralineam--></emph> ostendunt lineas <mml:math><mml:mi>bcrehg</mml:mi></mml:math> <!--begin variant delevit post-->in<emph style="st">tabula<!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super">sectione<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>bph</mml:mi></mml:math> sint <mml:math><mml:mi>bu,rn,ht</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3506" xml:space="preserve"> Quae in unum, et idem punctum conveniant, ut in <mml:math><mml:mi>p</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3507" xml:space="preserve"> Ita ut ducta <mml:math><mml:mi>ap</mml:mi></mml:math> sit ipsis <mml:math><mml:mi>bc,re,hg</mml:mi></mml:math> aequidistans.</s> <s xml:id="s3508" xml:space="preserve"> Lineae vero easdem lineas <mml:math><mml:mi>kc,ye,fg</mml:mi></mml:math> <!--begin variant delevit post-->in<emph style="st">tabula<!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super">sectione<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>kqf</mml:mi></mml:math> ostendentes sint <mml:math><mml:mi>k9,yi,fz</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3509" xml:space="preserve"> Quae similiter in unum punctum, puta <mml:math><mml:mi>q</mml:mi></mml:math> concurrent.</s> <s xml:id="s3510" xml:space="preserve"> Ita ut ducta <mml:math><mml:mi>aq</mml:mi></mml:math> sit ipsis <mml:math><mml:mi>bc,de,fg</mml:mi></mml:math> aequidistans <emph style="super">et quoniam <mml:math><mml:mi>ap,aq</mml:mi></mml:math> sunt eisdem lineis aequidistantes<!--variant supralineam--></emph> erit <!--milestone lacs--> <mml:math><mml:mi>apq</mml:mi></mml:math> recta linea.</s> <s xml:id="s3511" xml:space="preserve"> <anchor type="note" xlink:label="note-0231-01a" xlink:href="note-0231-01"/> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">Cum sit <mml:math><mml:mi>ap</mml:mi></mml:math> iisdem lineis quoque aequidistans.</emph></s> <s xml:id="s3512" xml:space="preserve">Quoniam<!--end variant delevit ante--> autem in triangulo <mml:math><mml:mi>cbu</mml:mi></mml:math> sunt lineae <mml:math><mml:mi>bl,k9</mml:mi></mml:math>, erunt lineae <mml:math><mml:mi>bu,bl,k9</mml:mi></mml:math> in uno, et eodem plano.</s> <s xml:id="s3513" xml:space="preserve"> Quia vero rectae lineae <mml:math><mml:mi>bup,k0q</mml:mi></mml:math> lineas coniungunt <emph style="super">parallelas<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>pq,bk</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3514" xml:space="preserve"> Erunt <pb o="198" file="0232" n="232"/> <mml:math><mml:mi>bp,kq</mml:mi></mml:math> in eodem plano, in quo sunt <mml:math><mml:mi>pq,bk</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3515" xml:space="preserve"> Quare planum erit <mml:math><mml:mi>bpqk</mml:mi></mml:math> <emph style="super">cuius pars est planum <mml:math><mml:mi>bu9k</mml:mi></mml:math>.</emph></s> <s xml:id="s3516" xml:space="preserve"> <emph style="super">Quod quidem<!--variant supralineam--></emph> planum est idem cum plano trianguli <mml:math><mml:mi>cbu</mml:mi></mml:math>, in quo est <emph style="super">etiam<!--variant supralineam--></emph> linea <mml:math><mml:mi>bl</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3517" xml:space="preserve"> Quoniam igitur <mml:math><mml:mi>bl</mml:mi></mml:math> st in <!--begin variant delevit post-->plano<emph style="st"><mml:math><mml:mi>bq</mml:mi></mml:math><!--end variant delevit post--></emph> <reg norm="pk" type="context">bq<!--variant correxitex --></reg> convenitque <mml:math><mml:mi>bl</mml:mi></mml:math> cum linea <mml:math><mml:mi>bk</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s3518" xml:space="preserve"> conveniet quoque <mml:math><mml:mi>bl</mml:mi></mml:math> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">et</emph>producta<!--end variant delevit ante--> cum <mml:math><mml:mi>pq</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3519" xml:space="preserve"> Itaque producatur, atque ipsi <mml:math><mml:mi>pq</mml:mi></mml:math> occurrat in <mml:math><mml:mi>x</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3520" xml:space="preserve"> Eademque ratione ob triangulum <mml:math><mml:mi>enr</mml:mi></mml:math>, in quo sunt lineae <mml:math><mml:mi>do,yi</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s3521" xml:space="preserve"> triangulumque <mml:math><mml:mi>enr</mml:mi></mml:math> est in plano <mml:math><mml:mi>rpqy</mml:mi></mml:math>, ostenditur <mml:math><mml:mi>do</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>pq</mml:mi></mml:math> occurrere.</s> <s xml:id="s3522" xml:space="preserve"> Parique ratione, cum sint lineae <mml:math><mml:mi>fm,fz</mml:mi></mml:math> in triangulo <mml:math><mml:mi>gth</mml:mi></mml:math>, quod est in plano <mml:math><mml:mi>hpqf</mml:mi></mml:math> demonstrabitur lineam <mml:math><mml:mi>fm</mml:mi></mml:math> lineae <mml:math><mml:mi>pq</mml:mi></mml:math> occurrere.</s> <s xml:id="s3523" xml:space="preserve"> Tres igitur lineae <mml:math><mml:mi>bl,do</mml:mi></mml:math>, <!--begin variant delevit post--><mml:math><mml:mi>fm</mml:mi></mml:math><emph style="st">cum<!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super">in<!--variant supralineam--></emph> linea <!--begin variant delevit post--><mml:math><mml:mi>pq</mml:mi></mml:math><emph style="st">concurrunt<!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super">conveniunt<!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s3524" xml:space="preserve"> Sunt vero <mml:math><mml:mi>bl,do,fm</mml:mi></mml:math> in uno et eodem plano.</s> <s xml:id="s3525" xml:space="preserve"> Ergo omnes in unum, et idem punctum in linea <mml:math><mml:mi>pq</mml:mi></mml:math> existens concurrent, ut in <mml:math><mml:mi>x</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3526" xml:space="preserve"> Planum enim per <mml:math><mml:mi>b,x,f</mml:mi></mml:math> ductum in uno tantum puncto linea <!--begin variant delevit post--><mml:math><mml:mi>pq</mml:mi></mml:math><emph style="st">secat<!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super"><!--begin cong-->dispescit<!--end cong--><!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s3527" xml:space="preserve"> Quod necesse est id esse, in quo lineae <mml:math><mml:mi>bl,do,fm</mml:mi></mml:math> conveniunt inter se.</s> <s xml:id="s3528" xml:space="preserve"> At vero quoniam punctum <mml:math><mml:mi>x</mml:mi></mml:math> est in linea <mml:math><mml:mi>aq</mml:mi></mml:math>, quae <!--begin variant delevit post-->est<emph style="st">aequidistans<!--end variant delevit post--></emph> lineis <mml:math><mml:mi>bc,de,fg</mml:mi></mml:math>, hoc est plano <mml:math><mml:mi>scg</mml:mi></mml:math> <emph style="super">aequidistans<!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s3529" xml:space="preserve"> Erit punctum <mml:math><mml:mi>x</mml:mi></mml:math> aequealtum, ut <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3530" xml:space="preserve"> Quod demonstrare oportebat.</s> <s xml:id="s3531" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="4"> <note position="left" xlink:label="note-0231-01" xlink:href="note-0231-01a" xml:space="preserve"> Questa è la medesima proposizione della 190. che potrà servir per Aliter. </note> </div> <p> <s xml:id="s3532" xml:space="preserve"> Punctum <mml:math><mml:mi>x</mml:mi></mml:math> invenire </s> </p> <p> <s xml:id="s3533" xml:space="preserve"> Ducatur <mml:math><mml:mi>s</mml:mi></mml:math>α ipsi <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> aequidistans, et <!--begin variant delevit post-->si<emph style="st">tabula<!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super">sectio est plano <mml:math><mml:mi>scg</mml:mi></mml:math> erecta, in ipsa ducatur<!--variant supralineam--></emph> a puncto <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>bk</mml:mi></mml:math> perpendicularis ducatur <mml:math><mml:mi>ax</mml:mi></mml:math>, quae fiat aequalis <mml:math><mml:mi>as</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3534" xml:space="preserve"> Erit <mml:math><mml:mi>x</mml:mi></mml:math> punctum quaesitum.</s> <s xml:id="s3535" xml:space="preserve"> Planum enim per <mml:math><mml:mi>x</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>as</mml:mi></mml:math> ductum, est ipsum <!--begin variant delevit post--><mml:math><mml:mi>as</mml:mi></mml:math>α<mml:math><mml:mi>x</mml:mi></mml:math><emph style="st">sunt quippe <mml:math><mml:mi>as</mml:mi></mml:math>,<mml:math><mml:mi>x</mml:mi></mml:math>α et <mml:math><mml:mi>ax</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>s</mml:mi></mml:math>α parallelae<!--end variant delevit post--></emph> .</s> <s xml:id="s3536" xml:space="preserve"> <emph style="super">Sunt quippe <mml:math><mml:mi>as,x</mml:mi></mml:math>α, et <mml:math><mml:mi>ax,s</mml:mi></mml:math>α parallelae<!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s3537" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s3538" xml:space="preserve"> Idemque accidere similiter ostenditur, si lineae repraesentandae essent <!--begin variant delevit post-->inter<emph style="st">tabulam<!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super">sectionem<!--variant supralineam--></emph> , et punctum <mml:math><mml:mi>s</mml:mi></mml:math>, lineae <!--milestone lacs--> has ostendentes sub plano per <mml:math><mml:mi>s,b,f</mml:mi></mml:math> ducto existerent.</s> <s xml:id="s3539" xml:space="preserve"> Ut supra in aliis dictum est.</s> <s xml:id="s3540" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="199" file="0233" n="233"/> <figure> <image file="med199" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med199"/> </figure> <p> <s xml:id="s3541" xml:space="preserve"> Si <!--begin variant delevit post-->autem<emph style="st">tabula<!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super">sectio<!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit post--><mml:math><mml:mi>bxf</mml:mi></mml:math><emph style="st">fuerit<!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super">subiecto<!--variant supralineam--></emph> plano <emph style="super">nempe<!--variant supralineam--></emph> per <reg norm="sd" type="context">sp<!--variant correxitex --></reg> , <mml:math><mml:mi>bf</mml:mi></mml:math> ducto inclinata;</s> <s xml:id="s3542" xml:space="preserve"> cuius inclinatiosit angulus <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3543" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s3544" xml:space="preserve"> Ducatur <reg norm="sd" type="context">sp<!--variant correxitex --></reg> ipsis <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> <emph style="super"><mml:math><mml:mi>de,fg</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit post-->aequidistans<emph style="st">et in linea ad partem inclinationis tabulae<!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super">sectionis<!--variant supralineam--></emph> in linea <reg norm="sd" type="context">sp<!--variant correxitex --></reg> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">(producta si opus est)</emph>vel producta vel nonvel<!--end variant delevit ante--> quodvis sumatur <!--begin variant delevit post-->punctum<emph style="st"><mml:math><mml:mi>g,d</mml:mi></mml:math><!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super">m<!--variant supralineam--></emph> a quo ad planum per <reg norm="sd" type="context">sp<!--variant correxitex --></reg> <mml:math><mml:mi>bf</mml:mi></mml:math> ductum <emph style="super">hoc est subiectum planum<!--variant supralineam--></emph> erigatur perpendicularis <reg norm="gl" type="context">ml<!--variant correxitex --></reg> ;</s> <s xml:id="s3545" xml:space="preserve"> quae plano <emph style="super">sectionis<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>bxf</mml:mi></mml:math> occurrat in puncto <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3546" xml:space="preserve"> Deinde ab eodem puncto <emph style="super">m<!--variant supralineam--></emph> ducatur ad <mml:math><mml:mi>bf</mml:mi></mml:math> perpendicularis <reg norm="gh" type="context">mh<!--variant correxitex --></reg> , et iungatur <mml:math><mml:mi>hl</mml:mi></mml:math>, quae <anchor type="note" xlink:label="note-0233-01a" xlink:href="note-0233-01"/> erit perpendicularis ipsi <mml:math><mml:mi>bf</mml:mi></mml:math> erit <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">utique</emph><mml:math><mml:mi>lhg</mml:mi></mml:math><!--end variant delevit ante--> angulus <!--begin variant delevit post-->inclinationis<emph style="st">ducti<!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super">transientis<!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s3547" xml:space="preserve"> <reg norm="Deinde iungatur ld" type="context">Iungatur deinde lp<!--variant correxitex --></reg> , <!--begin variant delevit post-->quae<emph style="st">est<!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super">erit<!--variant supralineam--></emph> in plano <emph style="super">sectionis<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>bxf</mml:mi></mml:math>, cum in hoc plano sit triangulum <reg norm="hld" type="context">hlp<!--variant correxitex --></reg> .</s> <s xml:id="s3548" xml:space="preserve"> <emph style="super">Deinceps<!--variant supralineam--></emph> ducatur <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">deinde</emph>linea<!--end variant delevit ante--> <mml:math><mml:mi>an</mml:mi></mml:math>, quae faciat <anchor type="note" xlink:label="note-0233-02a" xlink:href="note-0233-02"/> angulum <mml:math><mml:mi>ans</mml:mi></mml:math> aequale angulo <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math><emph style="super"><mml:math><mml:mi>m</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s3549" xml:space="preserve"> Producaturque <reg norm="dl" type="context">pl<!--variant correxitex --></reg> in <mml:math><mml:mi>x</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3550" xml:space="preserve"> Fiatque <reg norm="dx" type="context">px<!--variant correxitex --></reg> aequalis <mml:math><mml:mi>na</mml:mi></mml:math> iunctaque <mml:math><mml:mi>ax</mml:mi></mml:math>, erit haec ipsi <reg norm="sd" type="context">sp<!--variant correxitex --></reg> , ac per consequens ipsi <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> aequidistans.</s> <s xml:id="s3551" xml:space="preserve"> Cum sint <mml:math><mml:mi>an,dx</mml:mi></mml:math> aequales, et parallelae.</s> <s xml:id="s3552" xml:space="preserve"> Ergo ex dictis <mml:math><mml:mi>x</mml:mi></mml:math> est punctum quaesitum.</s> <s xml:id="s3553" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="5"> <note position="left" xlink:label="note-0233-01" xlink:href="note-0233-01a" xml:space="preserve"> 43 sexti libri Pappi<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0233-02" xlink:href="note-0233-02a" xml:space="preserve"> 196<!--citmargsign--> </note> </div> <pb o="200" file="0234" n="234"/> <figure> <image file="med200" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med200"/> </figure> <p> <s xml:id="s3554" xml:space="preserve"> <reg norm="In una et eadem tabula" type="context">In eadem sectione<!--variant correxitex --></reg> infinita possunt esse puncta linearum concursus <emph style="super">supra subiectum planum<!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit post-->aequealta<emph style="st">Eadem intelligantur suntque<!--end variant delevit post--></emph> .</s> <s xml:id="s3555" xml:space="preserve"> <emph style="super">Oculus<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> cuius altitudo supra subiectum planum sit <mml:math><mml:mi>as</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3556" xml:space="preserve"> Sit sectionis linea <mml:math><mml:mi>bf</mml:mi></mml:math>, sectio autem sit quomodocumque sita hoc est sive subiecto plano erecta, sive minus.</s> <s xml:id="s3557" xml:space="preserve"> <!--begin variant delevit post-->Sintque<emph style="st">Exponantur<!--end variant delevit post--></emph> in subiecto plano parallelae lineae <mml:math><mml:mi>bc,de,fg</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3558" xml:space="preserve"> Deinde <!--begin variant delevit post-->aliae<emph style="st">sint parallelae<!--end variant delevit post--></emph> <mml:math><mml:mi>bh,dk,fl</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3559" xml:space="preserve"> Denique aliae <!--begin variant delevit post-->quoque<emph style="st">sint parallelae<!--end variant delevit post--></emph> <mml:math><mml:mi>bm,dn,</mml:mi></mml:math> <!--begin variant delevit post--><mml:math><mml:mi>fo</mml:mi></mml:math><emph style="st">omnes in eodem plano sitque communis sectionis plani et tabulae linea <mml:math><mml:mi>bf</mml:mi></mml:math><!--end variant delevit post--></emph> .</s> <s xml:id="s3560" xml:space="preserve"> In <reg norm="tabula" type="context">sectione<!--variant correxitex --></reg> autem <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">ex dictis inveniatur</emph>punctum<!--end variant delevit ante--> concursus linearum <mml:math><mml:mi>bc,de,fg</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3561" xml:space="preserve"> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">quod</emph>Sit<!--end variant delevit ante--> <mml:math><mml:mi>x</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3562" xml:space="preserve"> Itidemque <emph style="super">concursus<!--variant supralineam--></emph> linearum <mml:math><mml:mi>bh,dk,fl</mml:mi></mml:math> sit punctum <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">inveniatur concursus</emph><mml:math><mml:mi>p</mml:mi></mml:math><!--end variant delevit ante--> .</s> <s xml:id="s3563" xml:space="preserve"> Linearum vero <mml:math><mml:mi>bm,dn,fo</mml:mi></mml:math> punctum <!--begin variant delevit post-->concursus<emph style="st">inveniatur<!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super">sit<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>q</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3564" xml:space="preserve"> <reg norm="Iungaturque" type="context">Iungatur<!--variant correxitex --></reg> <mml:math><mml:mi>bx,dx,fx</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>bp,dp,fp</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>bq,dq,fq</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3565" xml:space="preserve"> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">Intelligantur autem parallelae lineae primo expositae infinitae</emph>Ex<!--end variant delevit ante--> dictis enim <mml:math><mml:mi>bc,de ,fg</mml:mi></mml:math> <!--begin variant delevit post-->in<emph style="st">tabula repraesentabunt<!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super">sectione apparent in<!--variant supralineam--></emph> lineas <mml:math><mml:mi>bx,dx,fx</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3566" xml:space="preserve"> Lineae vero <mml:math><mml:mi>bh,dk,fl</mml:mi></mml:math> in <!--begin variant delevit post-->lineis<emph style="st">ostendent<!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super">apparent<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>bp,dp,fp</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3567" xml:space="preserve"> Atque lineae <mml:math><mml:mi>bm,dn,fo</mml:mi></mml:math> in lineis <emph style="super">apparent<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>bq,dq,</mml:mi></mml:math> <!--begin variant delevit post--><mml:math><mml:mi>fq</mml:mi></mml:math><emph style="st">repraesentant<!--end variant delevit post--></emph> .</s> <s xml:id="s3568" xml:space="preserve"> At vero quoniam infinitis modis <emph style="super">in<!--variant supralineam--></emph> <reg norm="eodem" type="context">subiecto<!--variant correxitex --></reg> plano <reg norm="possumus ducere" type="context">possunt esse<!--variant correxitex --></reg> lineas parallelae <emph style="super">diversimode collocatae<!--variant supralineam--></emph> infinita quoque possunt <!--begin variant delevit post-->esse<emph style="st">puncta aequealta<!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super">puncta<!--variant supralineam--></emph> linearum concursus <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">Quod demonstrare oportebat.</emph></s> <s xml:id="s3569" xml:space="preserve"> <emph style="super">Quae</emph>Cumque<!--end variant delevit ante--> unum quodque <!--begin variant delevit post-->punctum<emph style="st"><mml:math><mml:mi>p,x,q</mml:mi></mml:math><!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super">linearum concursus<!--variant supralineam--></emph> sit aequealtum supra subiectum planum ut oculus <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3570" xml:space="preserve"> <reg norm="Ergo" type="context">Ergo aequealta quare<!--variant correxitex --></reg> infinita <emph style="super">esse<!--variant supralineam--></emph> possunt puncta linearum concursus supra subiectum planum aequealta.</s> <s xml:id="s3571" xml:space="preserve"> <!--begin variant delevit post-->Quod demonstrare oportebat<emph style="st">Hinc patet puncta <mml:math><mml:mi>p,x,q</mml:mi></mml:math> esse aequealta supra planum per <mml:math><mml:mi>s</mml:mi></mml:math> et <mml:math><mml:mi>fl</mml:mi></mml:math> ductum.</emph></s> <s xml:id="s3572" xml:space="preserve"> <emph style="st">Quare ducta <mml:math><mml:mi>pxq</mml:mi></mml:math> est recta linea et dicto plano aequidistans<!--end variant delevit post--></emph> .</s> <s xml:id="s3573" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="201" file="0235" n="235"/> <figure> <image file="med201" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med201"/> </figure> <p> <s xml:id="s3574" xml:space="preserve"> Aliter, quae in 193 et 197 demonstrata sunt tantum unica demonstratione ostendemus.</s> <s xml:id="s3575" xml:space="preserve"> Exponantur eadem, et sit sectio <mml:math><mml:mi>bxf</mml:mi></mml:math> quomodocumque sita.</s> <s xml:id="s3576" xml:space="preserve"> Et a puncto <mml:math><mml:mi>s</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>bf</mml:mi></mml:math> aequidistans ducatur <mml:math><mml:mi>nh</mml:mi></mml:math> producaturque <mml:math><mml:mi>cb,ed</mml:mi></mml:math>, <!--begin variant delevit post--><mml:math><mml:mi>gf</mml:mi></mml:math><emph style="st">usque<!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super">donec<!--variant supralineam--></emph> <reg norm="adhic" type="context">hic<!--variant correxitex --></reg> linea <emph style="super">occurrat<!--variant supralineam--></emph> in <mml:math><mml:mi>n,p,h</mml:mi></mml:math> <emph style="super">linea vero sectionis in punctis <mml:math><mml:mi>b,d,f</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s3577" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s3578" xml:space="preserve"> Iungatque <mml:math><mml:mi>ah,ap,an</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3579" xml:space="preserve"> <emph style="super">Ducanturque visuales radii <mml:math><mml:mi>cls,eoa,gma</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s3580" xml:space="preserve"> Quoniam enim planum trianguli <mml:math><mml:mi>agh</mml:mi></mml:math> transit per <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math>, possibile erit per <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> in hoc plano per <mml:math><mml:mi>agh</mml:mi></mml:math> ducto ipsi <mml:math><mml:mi>hg</mml:mi></mml:math> parallelam lineam ducere.</s> <s xml:id="s3581" xml:space="preserve"> Itaque ducatur, et sit <mml:math><mml:mi>ax</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3582" xml:space="preserve"> Et quoniam <mml:math><mml:mi>fm</mml:mi></mml:math> est in plano <emph style="super">trianguli<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>ahg</mml:mi></mml:math>, ac per consequens est in plano per <mml:math><mml:mi>ax,hg</mml:mi></mml:math> ducto.</s> <s xml:id="s3583" xml:space="preserve"> Si igitur <mml:math><mml:mi>fm</mml:mi></mml:math> producatur, ipsam <mml:math><mml:mi>ax</mml:mi></mml:math> secabit, quandoquidem ipsa <!--begin variant delevit post--><mml:math><mml:mi>hg</mml:mi></mml:math><emph style="st">dispescit<!--end variant delevit post--></emph> ipsi <mml:math><mml:mi>ax</mml:mi></mml:math> parallelam <emph style="super">dispescit<!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s3584" xml:space="preserve"> Quonima autem <mml:math><mml:mi>nc</mml:mi></mml:math> est aequidistans ipsi <mml:math><mml:mi>hg</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3585" xml:space="preserve"> Erit, et <mml:math><mml:mi>ax</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>nc</mml:mi></mml:math> aequidistans.</s> <s xml:id="s3586" xml:space="preserve"> Quare <mml:math><mml:mi>ax,nc</mml:mi></mml:math> in uno sunt plano, in <reg norm="est" type="context">sunt<!--variant correxitex --></reg> etiam lineam <mml:math><mml:mi>an</mml:mi></mml:math> <anchor type="note" xlink:label="note-0235-01a" xlink:href="note-0235-01"/> parallelas <emph style="super"><mml:math><mml:mi>ax,nc</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> secant.</s> <s xml:id="s3587" xml:space="preserve"> <reg norm="Sed lineae milestone lacs lb sunt in eodem plano" type="context">Sed linea lb in eodem est plano<!--variant correxitex --></reg> linearum <mml:math><mml:mi>ac,cn</mml:mi></mml:math> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">planum igitur per <mml:math><mml:mi>anc</mml:mi></mml:math> ductum tansibit per <mml:math><mml:mi>ax</mml:mi></mml:math>.</emph></s> <s xml:id="s3588" xml:space="preserve"> <emph style="st">Cum omnes lineae <mml:math><mml:mi>cn,na,ac,ax</mml:mi></mml:math> in uno, et eodem sint plano.</emph></s> <s xml:id="s3589" xml:space="preserve"> <emph style="st">Ac propterea</emph>linea<!--end variant delevit ante--> <emph style="super">igitur<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>bl</mml:mi></mml:math> <emph style="super">producta<!--variant supralineam--></emph> ipsam <mml:math><mml:mi>ax</mml:mi></mml:math> secabit <emph style="super">cum ipsi <mml:math><mml:mi>nc</mml:mi></mml:math> occurrat in <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s3590" xml:space="preserve"> Parique ratione ostenditur <emph style="super">planum<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>ape</mml:mi></mml:math> per <mml:math><mml:mi>ax</mml:mi></mml:math> transire;</s> <s xml:id="s3591" xml:space="preserve"> lineaque <mml:math><mml:mi>do</mml:mi></mml:math> <emph style="super">producta<!--variant supralineam--></emph> ipsa <mml:math><mml:mi>ax</mml:mi></mml:math> dispescere.</s> <s xml:id="s3592" xml:space="preserve"> At vero quoniam <mml:math><mml:mi>bl,do,fm</mml:mi></mml:math> in uno sunt plano, nempe <reg norm="tabulae" type="context">sectionis<!--variant correxitex --></reg> , lineae <mml:math><mml:mi>bl,do,fm</mml:mi></mml:math> in uno tantum puncto secabunt lineam <mml:math><mml:mi>ax</mml:mi></mml:math>, ut in <mml:math><mml:mi>x</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3593" xml:space="preserve"> Planum enim <mml:math><mml:mi>bxf</mml:mi></mml:math>, in quo sunt lineae <mml:math><mml:mi>bl,do,fm</mml:mi></mml:math>, lineam <mml:math><mml:mi>ax</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>x</mml:mi></mml:math> tantum secat.</s> <s xml:id="s3594" xml:space="preserve"> Quod est punctum, in quo lineae concurrunt.</s> <s xml:id="s3595" xml:space="preserve"> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">Quod demonstrare oportebat</emph>At<!--end variant delevit ante--> vero quoniam<mml:math><mml:mi>ax</mml:mi></mml:math> est ipsis <mml:math><mml:mi>bc,de,fg</mml:mi></mml:math> aequidistans.</s> <s xml:id="s3596" xml:space="preserve"> Ac propterea est subiecto plano aequidistans.</s> <s xml:id="s3597" xml:space="preserve"> Erit punctum <mml:math><mml:mi>x</mml:mi></mml:math> super subiectum planum aequealtum ut oculus <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3598" xml:space="preserve"> Quod demonstrare oportebat.</s> <s xml:id="s3599" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="6"> <note position="left" xlink:label="note-0235-01" xlink:href="note-0235-01a" xml:space="preserve"> siquidem<!--variant inmargine--> </note> </div> <pb o="202" file="0236" n="236"/> <figure> <image file="med202" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med202"/> </figure> <p> <s xml:id="s3600" xml:space="preserve"> Si oculus videt lineas <emph style="super">subiecto<!--variant supralineam--></emph> plano perpendiculares;</s> <s xml:id="s3601" xml:space="preserve"> sitque <reg norm="tabula" type="context">sectio<!--variant correxitex --></reg> eidem plano erecta;</s> <s xml:id="s3602" xml:space="preserve"> <!--begin variant delevit post-->lineae<emph style="st">quae perpendiculares repraesentant<!--end variant delevit post--></emph> , <emph style="super">in sectione apparentes<!--variant supralineam--></emph> , <!--begin variant delevit post-->erunt<emph style="st">eodem<!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super">et subiecto<!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit post-->plano<emph style="st">erectae<!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super">et sectionis lineae perpendiculares<!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s3603" xml:space="preserve"> Sit oculus <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math>, qui videat lineas <mml:math><mml:mi>bc,de</mml:mi></mml:math>, quae sint perpendiculares <emph style="super">subiecto<!--variant supralineam--></emph> plano per <mml:math><mml:mi>sc,se</mml:mi></mml:math> ducto.</s> <s xml:id="s3604" xml:space="preserve"> <!--begin variant delevit post-->Sitque<emph style="st">huiusque plani, et tabulae sit communis sectio<!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super">sectionis linea<!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit post--><mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math><emph style="st">sitque tabula<!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super">sectio autem sit subiecto<!--variant supralineam--></emph> plano <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">per <mml:math><mml:mi>sc,se</mml:mi></mml:math> ducto</emph>erecta<!--end variant delevit ante--> .</s> <s xml:id="s3605" xml:space="preserve"> <!--begin variant delevit post-->Lineaque<emph style="st"><mml:math><mml:mi>hm</mml:mi></mml:math> in tabula ostendat linea <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math>.</emph></s> <s xml:id="s3606" xml:space="preserve"> <emph style="st">Ipsa vero <mml:math><mml:mi>kl</mml:mi></mml:math> lineam <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math> repraesentat<!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super">in sectione apparentes sint <mml:math><mml:mi>hm,kl</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s3607" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s3608" xml:space="preserve"> Dico <mml:math><mml:mi>hm,kl</mml:mi></mml:math> <emph style="super">subiecto<!--variant supralineam--></emph> plano per <!--begin variant delevit ante--><emph style="st"><mml:math><mml:mi>sc,se</mml:mi></mml:math> ducto</emph>erectas<!--end variant delevit ante--> esse.</s> <s xml:id="s3609" xml:space="preserve"> <emph style="super">Sint visuales radii <mml:math><mml:mi>bha,cma,dka,ela</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s3610" xml:space="preserve"> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">Quoniam enim <mml:math><mml:mi>hm,kl</mml:mi></mml:math> ostendant lineas <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math>.</emph></s> <s xml:id="s3611" xml:space="preserve"> <emph style="st">Ductis <mml:math><mml:mi>ba,ca</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>da</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>ea</mml:mi></mml:math> lineis visualibus transibunt hae quidem per puncta <mml:math><mml:mi>hm</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>kl</mml:mi></mml:math></emph>Quoniam<!--end variant delevit ante--> enim linea <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> est <emph style="super">subiecto<!--variant supralineam--></emph> plano <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">per <mml:math><mml:mi>sc</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>se</mml:mi></mml:math> ducto</emph>erecta<!--end variant delevit ante--> , erit <anchor type="note" xlink:label="note-0236-01a" xlink:href="note-0236-01"/> planum trianguli <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math> eidem plano erectum.</s> <s xml:id="s3612" xml:space="preserve"> Et quoniam <mml:math><mml:mi>hm</mml:mi></mml:math> est in triangulo <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math>, eademque <mml:math><mml:mi>hm</mml:mi></mml:math> est in <reg norm="tabula" type="context">sectio<!--variant correxitex --></reg> , erit <mml:math><mml:mi>hm</mml:mi></mml:math> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">plani</emph>trianguli<!--end variant delevit ante--> <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math>, ac <reg norm="tabulae" type="context">sectionis<!--variant correxitex --></reg> communis sectio.</s> <s xml:id="s3613" xml:space="preserve"> <reg norm="Tabula vero" type="context">Sectio autem<!--variant correxitex --></reg> et planum <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math> sunt <emph style="super">subiecto<!--variant supralineam--></emph> plano <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">per ducto</emph>erecta<!--end variant delevit ante--> .</s> <s xml:id="s3614" xml:space="preserve"> Ergo linea <anchor type="note" xlink:label="note-0236-02a" xlink:href="note-0236-02"/> quoque <mml:math><mml:mi>hm</mml:mi></mml:math> <emph style="super">subiecto<!--variant supralineam--></emph> plano <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">per <mml:math><mml:mi>sc,se</mml:mi></mml:math> ducto est</emph>erecta<!--end variant delevit ante--> erit.</s> <s xml:id="s3615" xml:space="preserve"> Eodemque modo ostenditur <mml:math><mml:mi>kl</mml:mi></mml:math> esse <reg norm="eodem" type="context">subiecto<!--variant correxitex --></reg> plano <!--begin variant delevit post-->erecta<emph style="st">quod demonstrare oportebat<!--end variant delevit post--></emph> .</s> <s xml:id="s3616" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="7"> <note position="left" xlink:label="note-0236-01" xlink:href="note-0236-01a" xml:space="preserve"> 18 undecimi<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0236-02" xlink:href="note-0236-02a" xml:space="preserve"> 19 undecimi<!--citmargsign--> </note> </div> <p> <s xml:id="s3617" xml:space="preserve"> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">Propterea dico <mml:math><mml:mi>hm</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>kl</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> perpendiculares esse.</emph></s> <s xml:id="s3618" xml:space="preserve"> <emph style="st">Producantur autem <mml:math><mml:mi>hm,kl</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math>, quae nimirum in linea <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> cadent omnes enim sunt in tabula sectione</emph>Et<!--end variant delevit ante--> quoniam <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> <!--begin variant delevit post-->est<emph style="st">communis sectio tabulae<!--end variant delevit post--></emph> in <emph style="super">subiecto<!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit post-->plano<emph style="st">per <mml:math><mml:mi>sc,se</mml:mi></mml:math> ducto<!--end variant delevit post--></emph> .</s> <s xml:id="s3619" xml:space="preserve"> Suntque <mml:math><mml:mi>hg</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>kf</mml:mi></mml:math> <emph style="super">subiecto<!--variant supralineam--></emph> plano <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">per <mml:math><mml:mi>sc</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>se</mml:mi></mml:math> ducto</emph>erectae<!--end variant delevit ante--> .</s> <s xml:id="s3620" xml:space="preserve"> Ergo et ipsi <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> perpendiculares erunt.</s> <s xml:id="s3621" xml:space="preserve"> Quod demonstrare oportebat.</s> <s xml:id="s3622" xml:space="preserve"> </s> </p> </div> <div type="section" level="1" n="93"> <head xml:id="head120" xml:space="preserve"> Aliter </head> <p> <s xml:id="s3623" xml:space="preserve"> Iisdem constructis quoniam enim <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math> sunt subiecto plano <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">erectae</emph>perpendiculares<!--end variant delevit ante--> , estque sectio eidem plano erecta, erunt <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math> sectioni aequidistantes.</s> <s xml:id="s3624" xml:space="preserve"> Quare <mml:math><mml:mi>hm</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>kl</mml:mi></mml:math> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">sunt</emph>et<!--end variant delevit ante--> inter se et ipsis <mml:math><mml:mi>bc,de</mml:mi></mml:math> sunt parallelae, sunt autem <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math> subiecto plano erectae, ergo <mml:math><mml:mi>hm</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>kl</mml:mi></mml:math> sunt subiecto plano perpendiculares.</s> <s xml:id="s3625" xml:space="preserve"> Quod autem <mml:math><mml:mi>hg</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>kf</mml:mi></mml:math> sint ipsi <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> perpendiculares eodem modo ostenditur.</s> <s xml:id="s3626" xml:space="preserve"> Quod demonstrare oportebat.</s> <s xml:id="s3627" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="203" file="0237" n="237"/> <figure> <image file="med203" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med203"/> </figure> <p> <s xml:id="s3628" xml:space="preserve"> <emph style="super">Si oculusSi oculus<!--variant supralineam--></emph> videat datas lineas <emph style="super">quomodocumque sitas<!--variant supralineam--></emph> quae tamen existant in planis per ipsas et oculum ductis subiecto plano erectis.</s> <s xml:id="s3629" xml:space="preserve"> Sectio autem sit <emph style="super">quoque<!--variant supralineam--></emph> subiecto plano erecta lineae in sectione apparentes erunt subiecto plano perpendiculares .</s> <s xml:id="s3630" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s3631" xml:space="preserve"> Sit oculus <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math>, datae autem utcumque lineae <mml:math><mml:mi>bg</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>cf</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3632" xml:space="preserve"> Sit sectionis linea <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> sectioque sit subiecto plano erecta.</s> <s xml:id="s3633" xml:space="preserve"> Plana vero per <mml:math><mml:mi>bg</mml:mi></mml:math> et <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>cf</mml:mi></mml:math> et <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> ducta sint subiecto plano erecta.</s> <s xml:id="s3634" xml:space="preserve"> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">Erit</emph>Lineae<!--end variant delevit ante--> <emph style="super">autem<!--variant supralineam--></emph> in sectione apparentes sint <mml:math><mml:mi>ef,dg</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3635" xml:space="preserve"> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">Intelligantur eada, sed sint lineae <mml:math><mml:mi>gb,fc</mml:mi></mml:math> plano <mml:math><mml:mi>scf</mml:mi></mml:math> inclinatae.</emph></s> <s xml:id="s3636" xml:space="preserve"><emph style="st"> Ducanturque <mml:math><mml:mi>ag</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>af</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math>.</emph></s> <s xml:id="s3637" xml:space="preserve"><emph style="st"> Sintque lineae <mml:math><mml:mi>gb</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>fc</mml:mi></mml:math> in planis <mml:math><mml:mi>agb</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>afc</mml:mi></mml:math>, quae sint plano <mml:math><mml:mi>sgf</mml:mi></mml:math> erecta</emph>Dico<!--end variant delevit ante--> lineas <mml:math><mml:mi>dg</mml:mi></mml:math>, <!--begin variant delevit post--><mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math><emph style="st">in tabula sectione ipsas <mml:math><mml:mi>gb</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>fc</mml:mi></mml:math> ostendentes<!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super">subiecto<!--variant supralineam--></emph> plano per <mml:math><mml:mi>sgf</mml:mi></mml:math> <emph style="super">ducto<!--variant supralineam--></emph> perpendiculares esse.</s> <s xml:id="s3638" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s3639" xml:space="preserve"> <emph style="super">Sint visuales radii <mml:math><mml:mi>bda</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>ga</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>cea</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>fa</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s3640" xml:space="preserve"> Quoniam enim <emph style="super">sectio<!--variant supralineam--></emph> planumque <mml:math><mml:mi>agb</mml:mi></mml:math>, <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">tabulaeque sectionisque planum</emph>sunt<!--end variant delevit ante--> <emph style="super">subiecto<!--variant supralineam--></emph> plano <!--begin variant delevit ante--><emph style="st"><mml:math><mml:mi>sgf</mml:mi></mml:math></emph>erecta<!--end variant delevit ante--> .</s> <s xml:id="s3641" xml:space="preserve"> Lineaque <mml:math><mml:mi>dg</mml:mi></mml:math> horum planorum est communis sectio;</s> <s xml:id="s3642" xml:space="preserve"> erit <mml:math><mml:mi>dg</mml:mi></mml:math> <emph style="super">subiecto<!--variant supralineam--></emph> plano <!--begin variant delevit ante--><emph style="st"><mml:math><mml:mi>sgf</mml:mi></mml:math></emph>perpendicularis<!--end variant delevit ante--> .</s> <s xml:id="s3643" xml:space="preserve"> Similiterque ostenditur <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> plano <mml:math><mml:mi>sgf</mml:mi></mml:math> erectam esse.</s> <s xml:id="s3644" xml:space="preserve"> Quod demonstrare oportebat.</s> <s xml:id="s3645" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s3646" xml:space="preserve"> Sit oculus <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> supra <emph style="super">subiectum<!--variant supralineam--></emph> planum per <mml:math><mml:mi>sbf</mml:mi></mml:math> <emph style="super">ductum<!--variant supralineam--></emph> altitudine <mml:math><mml:mi>as</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3647" xml:space="preserve"> Aequidistantes vero <!--begin variant delevit post-->lineae<emph style="st">in uno plano existentes<!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super">in uno plano existentes<!--variant supralineam--></emph> sint <mml:math><mml:mi>bc,de,fg</mml:mi></mml:math> <emph style="super">quae non sint sectionis lineae <mml:math><mml:mi>bf</mml:mi></mml:math> aequidistantes<!--variant supralineam--></emph> <emph style="super">planum autemplanum<!--variant supralineam--></emph> <anchor type="note" xlink:label="note-0237-01a" xlink:href="note-0237-01"/> <reg norm="sint" type="context">sit<!--variant correxitex --></reg> <emph style="super">subiecdto<!--variant supralineam--></emph> plano <!--begin variant delevit ante--><emph style="st"><mml:math><mml:mi>sbf</mml:mi></mml:math></emph>inclinatum<!--end variant delevit ante--> .</s> <s xml:id="s3648" xml:space="preserve"> <reg norm="Sitque tabula" type="context">Sit sectio<!--variant correxitex --></reg> <mml:math><mml:mi>bxf</mml:mi></mml:math> quomodocumque sita.</s> <s xml:id="s3649" xml:space="preserve"> In qua sint lineae <mml:math><mml:mi>bl,do</mml:mi></mml:math>, <!--begin variant delevit post--><mml:math><mml:mi> fm</mml:mi></mml:math><emph style="st">lines <mml:math><mml:mi>bc,de,fg</mml:mi></mml:math> ostendentes<!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super">apparentes<!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s3650" xml:space="preserve"> Dico <mml:math><mml:mi>bl,do,fg</mml:mi></mml:math> in unum, et idem punctum concurrere, aequealtum supra planum per <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> ductum, veluti est punctum <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3651" xml:space="preserve"> <emph style="super">Sint<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> aequales <anchor type="note" xlink:label="note-0237-02a" xlink:href="note-0237-02"/> sintque visuales radii <mml:math><mml:mi>cla</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>eoa</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>gma</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3652" xml:space="preserve"> <reg norm="Iunganturque" type="context">Iungaturque<!--variant correxitex --></reg> <mml:math><mml:mi>ceb</mml:mi></mml:math>, quae quidem recta erit linea, cum sint <mml:math><mml:mi>bc,de,fg</mml:mi></mml:math> aequales, et parallelae.</s> <s xml:id="s3653" xml:space="preserve"> Eritque <mml:math><mml:mi>ceg</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>bf</mml:mi></mml:math> aequalis et aequidistans.</s> <s xml:id="s3654" xml:space="preserve"> Iungantque deinde <mml:math><mml:mi>lo,om</mml:mi></mml:math>, quae erit recta linea, cum sit <!--begin variant delevit post--><mml:math><mml:mi>cg</mml:mi></mml:math><emph style="st">tabulae<!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super">sectionis linea <mml:math><mml:mi>bf</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> aequidistans.</s> <s xml:id="s3655" xml:space="preserve"> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">Eruntque ductis visualibus lineis <mml:math><mml:mi>cla</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>eoa</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>gma</mml:mi></mml:math> rectae lineae</emph>Quoniam<!--end variant delevit ante--> enim <mml:math><mml:mi>ce</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>lo</mml:mi></mml:math> sunt aequidistantes, ob similitudinem triangulorum <mml:math><mml:mi>ace</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>alo</mml:mi></mml:math> erit ut <mml:math><mml:mi>ca</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>al</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>ce</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>lo</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3656" xml:space="preserve"> est autem <mml:math><mml:mi>ca</mml:mi></mml:math> maior, quam <mml:math><mml:mi>al</mml:mi></mml:math>, ergo <mml:math><mml:mi>ce</mml:mi></mml:math> maior est, quam <mml:math><mml:mi>lo</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3657" xml:space="preserve"> Quia vero <mml:math><mml:mi>ce</mml:mi></mml:math> est aequalis <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math>, erit <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math> maior, quam <mml:math><mml:mi>lo</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3658" xml:space="preserve"> Suntque <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>lo</mml:mi></mml:math> parallelae, cum sit <mml:math><mml:mi>ce</mml:mi></mml:math> ipsis <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>lo</mml:mi></mml:math> aequidistans;</s> <s xml:id="s3659" xml:space="preserve"> lineae igitur <mml:math><mml:mi>bl</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>do</mml:mi></mml:math> ex <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>o</mml:mi></mml:math> productae <pb o="204" file="0238" n="238"/> <anchor type="figure" xlink:label="med204a" xlink:href="med204"/> concurrent.</s> <s xml:id="s3660" xml:space="preserve"> Quare concurrant in <mml:math><mml:mi>x</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3661" xml:space="preserve"> Ob similitudinemque triangulorum <mml:math><mml:mi>bxd</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>lxo</mml:mi></mml:math>, erit <mml:math><mml:mi>bx</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>xl</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math> ad <!--begin variant delevit post--><mml:math><mml:mi>lo</mml:mi></mml:math><emph style="st">Quoniam autem lineae <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>ce</mml:mi></mml:math> sunt aequales, erit<!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super">et ut<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>lo</mml:mi></mml:math>, ita <mml:math><mml:mi>ce</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>lo</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3662" xml:space="preserve"> Ut vero <mml:math><mml:mi>ce</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>lo</mml:mi></mml:math>, ita est <mml:math><mml:mi>ca</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>al</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3663" xml:space="preserve"> Ut igitur <mml:math><mml:mi>bx</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>xl</mml:mi></mml:math>, ita <mml:math><mml:mi>ca</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>al</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3664" xml:space="preserve"> Eademque ratione ostenditur ita esse <mml:math><mml:mi>bx</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>xl</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>bf</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3665" xml:space="preserve"> Estque <mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>bf</mml:mi></mml:math> aequidistans.</s> <s xml:id="s3666" xml:space="preserve"> Ergo <mml:math><mml:mi>fm</mml:mi></mml:math> <!--begin variant delevit post-->producta<emph style="st">in<!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super">puncto<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>x</mml:mi></mml:math> occurret.</s> <s xml:id="s3667" xml:space="preserve"> Quare <mml:math><mml:mi>bl</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>do</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>fm</mml:mi></mml:math> in unum, et idem punctum concurrent.</s> <s xml:id="s3668" xml:space="preserve"> At vero quoniam ita est <mml:math><mml:mi>ca</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>al</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>bx</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>xl</mml:mi></mml:math>, dividendo erit <mml:math><mml:mi>cl</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>la</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>bl</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>lx</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3669" xml:space="preserve"> Ducta igitur <mml:math><mml:mi>ax</mml:mi></mml:math> est ipsi <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math>, ac per consequens plano per <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> ducto aequidistans.</s> <s xml:id="s3670" xml:space="preserve"> Ergo punctum <mml:math><mml:mi>x</mml:mi></mml:math> supra hoc planum est aequealtum ut <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3671" xml:space="preserve"> Quod demonstrare oportebat.</s> <s xml:id="s3672" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="1"> <note position="left" xlink:label="note-0237-01" xlink:href="note-0237-01a" xml:space="preserve"> in quo sint parallelae lineae<!--variant signopositoinmargine--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0237-02" xlink:href="note-0237-02a" xml:space="preserve"> quae cum non sint ipsi <mml:math><mml:mi>bf</mml:mi></mml:math> parallelae, cum ipsa concurrent quare concurrant in <mml:math><mml:mi>bdf</mml:mi></mml:math><!--variant signopositoinmargine--> </note> <figure xlink:label="med204" xlink:href="med204a"> <image file="med204" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med204"/> </figure> </div> </div> <div type="section" level="1" n="94"> <head xml:id="head121" xml:space="preserve"> Aliter </head> <p> <s xml:id="s3673" xml:space="preserve"> Iisdem constructis.</s> <s xml:id="s3674" xml:space="preserve"> Intelligatur planum per <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> ductum productum esse;</s> <s xml:id="s3675" xml:space="preserve"> cui <emph style="super">ab <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> perpendicularis ducatur <!--begin variant delevit post--><mml:math><mml:mi>ah</mml:mi></mml:math><emph style="st">Manifestum est ex 193 et 197<!--end variant delevit post--></emph> .</s> <s xml:id="s3676" xml:space="preserve"> <emph style="super">Tunc<!--variant supralineam--></emph> si intelligatur <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">oculum</emph>planum<!--end variant delevit ante--> per <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math> et <mml:math><mml:mi>bf</mml:mi></mml:math> ductum esse subiectum planum in quo sunt lineae <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> manifestum est lineas <mml:math><mml:mi>bl</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>do</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>fm</mml:mi></mml:math> in idem punctum concurrere, esseque punctum <mml:math><mml:mi>x</mml:mi></mml:math> supra dictum planum aequealtum, ut <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3677" xml:space="preserve"> Quod demonstrare oportebat.</s> <s xml:id="s3678" xml:space="preserve"> </s> </p> </div> <div type="section" level="1" n="95"> <head xml:id="head122" xml:space="preserve"> Le altezze Corollarium </head> <p> <s xml:id="s3679" xml:space="preserve"> Ex hoc manifestum est si intelligatur panum <mml:math><mml:mi>sbf</mml:mi></mml:math> horizonti aequidistans;</s> <s xml:id="s3680" xml:space="preserve"> punctum <mml:math><mml:mi>x</mml:mi></mml:math> linearum concursus non esse supra hoc planum semper aequealtum, ut oculus <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3681" xml:space="preserve"> Ut nonnulli fortasse falso extimarunt.</s> <s xml:id="s3682" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s3683" xml:space="preserve"> Punctum <mml:math><mml:mi>x</mml:mi></mml:math> linearum concursus invenire.</s> <s xml:id="s3684" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s3685" xml:space="preserve"> Ducatur <mml:math><mml:mi>snk</mml:mi></mml:math> perpendicularis ad <mml:math><mml:mi>bf</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3686" xml:space="preserve"> Iungaturque <mml:math><mml:mi>an</mml:mi></mml:math>, quae <anchor type="note" xlink:label="note-0238-01a" xlink:href="note-0238-01"/> eidem <mml:math><mml:mi>bf</mml:mi></mml:math> perpendicularis erit.</s> <s xml:id="s3687" xml:space="preserve"> Rursus ipsi <mml:math><mml:mi>bf</mml:mi></mml:math> in plano per <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> ducto perpendicularis ducatur <mml:math><mml:mi>np</mml:mi></mml:math>, quae producatur ipsique ad <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> perpendicularis agatur <mml:math><mml:mi>ah</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3688" xml:space="preserve"> Erit utique <anchor type="note" xlink:label="note-0238-02a" xlink:href="note-0238-02"/> <mml:math><mml:mi>ah</mml:mi></mml:math> plano per <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> ducto perpendicularis.</s> <s xml:id="s3689" xml:space="preserve"> Eritque <mml:math><mml:mi>snh</mml:mi></mml:math> veluti <mml:math><mml:mi>knp</mml:mi></mml:math> inclinationis angulus planorum per <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> et per <mml:math><mml:mi>sbf</mml:mi></mml:math> ductorum.</s> <s xml:id="s3690" xml:space="preserve"> Itaque invento puncto <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math>, et altitudine <mml:math><mml:mi>ah</mml:mi></mml:math>, ex 198, et 199 invenietur punctum <mml:math><mml:mi>x</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3691" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="1"> <note position="left" xlink:label="note-0238-01" xlink:href="note-0238-01a" xml:space="preserve"> 34 sexti libri Pappi<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0238-02" xlink:href="note-0238-02a" xml:space="preserve"> 2 undecimi<!--citmargsign--> </note> </div> <pb o="205" file="0239" n="239"/> <figure> <image file="med205" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med205"/> </figure> <p> <s xml:id="s3692" xml:space="preserve"> <emph style="super">In<!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">una, et</emph>eadem<!--end variant delevit ante--> <reg norm="tabula" type="context">sectione<!--variant correxitex --></reg> , infinita possunt esse puncta linearum <!--begin variant delevit post-->concursus<emph style="st">non<!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super">supra subiectum planum non<!--variant supralineam--></emph> aequealta.</s> <s xml:id="s3693" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s3694" xml:space="preserve"> <emph style="super">Sit<!--variant supralineam--></emph> oculus <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> cuius altitudo supra subiectum planum sit <mml:math><mml:mi>as</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3695" xml:space="preserve"> Sectionis vero linea sit <mml:math><mml:mi>bf</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3696" xml:space="preserve"> Sectio autem sit quacumque.</s> <s xml:id="s3697" xml:space="preserve"> <reg norm="Exponantur" type="context">Sint<!--variant correxitex --></reg> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">in subiecto</emph>in<!--end variant delevit ante--> uno plano <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">Iisdem positis sint</emph>aequidistantes<!--end variant delevit ante--> lineae <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math>, <!--begin variant delevit post--><mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math><emph style="st">quid plana<!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super">quod quidem planum<!--variant supralineam--></emph> ad <emph style="super">subiectum<!--variant supralineam--></emph> <emph style="super">planum<!--variant supralineam--></emph> <emph style="super">sit<!--variant supralineam--></emph> inclinatum in angulo <mml:math><mml:mi>r</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3698" xml:space="preserve"> Similiter <mml:math><mml:mi>bh</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>dk</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>fl</mml:mi></mml:math> sint <emph style="super">inin<!--variant supralineam--></emph> <emph style="super">altero<!--variant supralineam--></emph> plano <!--begin variant delevit post-->aequidistantes<emph style="st">in plano<!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super">quod<!--variant supralineam--></emph> ad <emph style="super">subiectum<!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit post-->planum<emph style="st"><mml:math><mml:mi>sbf</mml:mi></mml:math><!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super">sit<!--variant supralineam--></emph> inclinatum in angulo <mml:math><mml:mi>t</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3699" xml:space="preserve"> Lineae vero parallelae <mml:math><mml:mi>bm</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>dn</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>fo</mml:mi></mml:math> sint in <emph style="super">subiecto<!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit post-->plano<emph style="st">per <mml:math><mml:mi>s,b,f</mml:mi></mml:math> ducto.</emph></s> <s xml:id="s3700" xml:space="preserve"> <emph style="st">Itaque ducatur in tabula ostedendum<!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super"><mml:math><mml:mi>bh</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>bm</mml:mi></mml:math> non sint in uno et eodem plano veluti <mml:math><mml:mi>dk</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>dn</mml:mi></mml:math> et <mml:math><mml:mi>fl</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>fo</mml:mi></mml:math> sectione autem sit punctum <mml:math><mml:mi>x</mml:mi></mml:math> linearum concursus <emph style="super">ipsarum<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3701" xml:space="preserve"> Linearum vero <mml:math><mml:mi>bh</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>dk</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>fl</mml:mi></mml:math> <emph style="super">punctum<!--variant supralineam--></emph> concursus sit punctum <mml:math><mml:mi>q</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3702" xml:space="preserve"> Linearum autem <mml:math><mml:mi>bm</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>dn</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>fo</mml:mi></mml:math> sit punctum <mml:math><mml:mi>p</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3703" xml:space="preserve"> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">Erit utique ducta <mml:math><mml:mi>ax</mml:mi></mml:math> ipsis <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> aequidistans.</emph></s> <s xml:id="s3704" xml:space="preserve"> <emph style="st"><mml:math><mml:mi>aq</mml:mi></mml:math> vero ipsis <mml:math><mml:mi>bh</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>dk</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>fl</mml:mi></mml:math>, et linea <mml:math><mml:mi>ap</mml:mi></mml:math> ipsis <mml:math><mml:mi>bm</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>dn</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>fo</mml:mi></mml:math> aequidistans</emph>Si<!--end variant delevit ante--> igitur <emph style="super">iunganturque <mml:math><mml:mi>bx</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>dx</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>fx</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>bq</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>dq</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>fq</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>bp</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>dp</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>fp</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> parallelae lineae.</s> <s xml:id="s3705" xml:space="preserve"> <emph style="super"><mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math><mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> , <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> in sectione apparebunt in <mml:math><mml:mi>bx</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>dx</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>fx</mml:mi></mml:math> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">lineas <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> in tabula repraesentabunt</emph>lineae<!--end variant delevit ante--> vero <emph style="super"><mml:math><mml:mi>bh</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>dk</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>fl</mml:mi></mml:math> apparebunt in<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>bq</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>dq</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>fq</mml:mi></mml:math> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">lineas <mml:math><mml:mi>bh</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>dk</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>fl</mml:mi></mml:math> ostendent</emph>lineae<!--end variant delevit ante--> denique <emph style="super"><mml:math><mml:mi>bm</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>dn</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>fo</mml:mi></mml:math> apparebunt in<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>bp</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>dp</mml:mi></mml:math>, <!--begin variant delevit post--><mml:math><mml:mi>fp</mml:mi></mml:math><emph style="st">ipsas <mml:math><mml:mi>bm</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>dn</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>fo</mml:mi></mml:math> repraesentabunt<!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super">si<!--variant supralineam--></emph> igitur iungantur <mml:math><mml:mi>ax</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>aq</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>ap</mml:mi></mml:math> erit <mml:math><mml:mi>ax</mml:mi></mml:math> ipsis <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> aequidistans, <mml:math><mml:mi>aq</mml:mi></mml:math> vero ipsis <mml:math><mml:mi>bh</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>dk</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>fl</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>ap</mml:mi></mml:math> ipsis <mml:math><mml:mi>bm</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>dn</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>fo</mml:mi></mml:math> parallela erit.</s> <s xml:id="s3706" xml:space="preserve"> Parallelae vero lineae sunt in diversis planis diversas inclinationes habentibus.</s> <s xml:id="s3707" xml:space="preserve"> Ergo puncta <mml:math><mml:mi>x</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>q</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>p</mml:mi></mml:math> <emph style="super">non<!--variant supralineam--></emph> erunt supra subiectum planum aequealta.</s> <s xml:id="s3708" xml:space="preserve"> Quoniam autem infinitis modis lineas ducere possumus parallelas in planis existentes, magis, minusque subiecto plano inclinatis, infinita quoque poterunt esse puncta linearum concursus, quae non erunt <emph style="super">supra subiectum planum<!--variant supralineam--></emph> aequealta.</s> <s xml:id="s3709" xml:space="preserve"> Quod demonstrare oportebat.</s> <s xml:id="s3710" xml:space="preserve"> <anchor type="figure" xlink:label="med205_2a" xlink:href="med205_2"/> Hoc sequitur 188 est enim pars illius <!--begin variant delevit post-->propositionis<emph style="st">Similiter si sint aequidistantes lineae <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math>.</emph></s> <s xml:id="s3711" xml:space="preserve"><emph style="st"> Lineae vero in tabula sectione sint <mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>no</mml:mi></mml:math>.</emph></s> <s xml:id="s3712" xml:space="preserve"><emph style="st"> Sitque tabula sectio ipsis <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math> parallela.</emph></s> <s xml:id="s3713" xml:space="preserve"><emph style="st"> Dico <mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math> esse ipsi <mml:math><mml:mi>no</mml:mi></mml:math> aequidistante.</emph></s> <s xml:id="s3714" xml:space="preserve"><emph style="st"> Eadem enim est demonstratio<!--end variant delevit post--></emph> .</s> <s xml:id="s3715" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="2"> <figure xlink:label="med205_2" xlink:href="med205_2a"> <image file="med205_2" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med205_2"/> </figure> </div> <pb o="206" file="0240" n="240"/> <p> <s xml:id="s3716" xml:space="preserve"> <anchor type="figure" xlink:label="med206a" xlink:href="med206"/> si <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math> sint horizonti herectae, videntur erectae quare et aequidistantes videntur (omittatur nunc qui?</s> <s xml:id="s3717" xml:space="preserve"> ex <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math> in centrum mundi concurrant) linea tamen <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> minor videtur quam <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> quam <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3718" xml:space="preserve"> Ratio haec est.</s> </p> <div type="float" level="2" n="3"> <figure xlink:label="med206" xlink:href="med206a"> <image file="med206" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med206"/> </figure> </div> <p> <s xml:id="s3719" xml:space="preserve"> Sint aequidistantes lineae <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math> plano <mml:math><mml:mi>ebd</mml:mi></mml:math> erectae.</s> <s xml:id="s3720" xml:space="preserve"> Sitque <mml:math><mml:mi>ebd</mml:mi></mml:math> angulus rectus.</s> <s xml:id="s3721" xml:space="preserve"> Sintque <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math> aequidistantes.</s> <s xml:id="s3722" xml:space="preserve"> Iungantur <mml:math><mml:mi>ea</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>ec</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>eg</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3723" xml:space="preserve"> Dico angulos <mml:math><mml:mi>efg</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>eac</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>ebd</mml:mi></mml:math> aequales esse.</s> <s xml:id="s3724" xml:space="preserve"> Angulum vero <mml:math><mml:mi>feg</mml:mi></mml:math> minorem esse angulo <mml:math><mml:mi>bed</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>aec</mml:mi></mml:math> minorem <mml:math><mml:mi>feg</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3725" xml:space="preserve"> Angulum <mml:math><mml:mi>efg</mml:mi></mml:math> maiorem esse angulo <mml:math><mml:mi>edb</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>eca</mml:mi></mml:math> maiorem angulo <mml:math><mml:mi>egf</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3726" xml:space="preserve"> Quoniam enim <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> est erecta plano <mml:math><mml:mi>ebd</mml:mi></mml:math>, erit <mml:math><mml:mi>dba</mml:mi></mml:math> angulus rectus.</s> <s xml:id="s3727" xml:space="preserve"> Sed et <mml:math><mml:mi>dbe</mml:mi></mml:math> est rectus;</s> <s xml:id="s3728" xml:space="preserve"> linea igitur <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math> <anchor type="note" xlink:label="note-0240-01a" xlink:href="note-0240-01"/> est plano <mml:math><mml:mi>eba</mml:mi></mml:math> perpendicularis.</s> <s xml:id="s3729" xml:space="preserve"> Quia vero <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> sunt ipsi .</s> <s xml:id="s3730" xml:space="preserve"><mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math> parallelae;</s> <s xml:id="s3731" xml:space="preserve"> erunt <anchor type="note" xlink:label="note-0240-02a" xlink:href="note-0240-02"/> <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> <emph style="super"> eidem<!--variant supralineam--></emph> plano <mml:math><mml:mi>eab</mml:mi></mml:math> erectae.</s> <s xml:id="s3732" xml:space="preserve"> Quare angulus <mml:math><mml:mi>efg</mml:mi></mml:math> est rectus.</s> <s xml:id="s3733" xml:space="preserve"> Veltui <mml:math><mml:mi>eac</mml:mi></mml:math> rectus.</s> <s xml:id="s3734" xml:space="preserve"> Unde anguli <mml:math><mml:mi>efg</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>eac</mml:mi></mml:math> sunt ipsi <mml:math><mml:mi>ebd</mml:mi></mml:math> aequales.</s> <s xml:id="s3735" xml:space="preserve"> At vero quoniam angulus <mml:math><mml:mi>ebf</mml:mi></mml:math> est rectus, erit <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> maior que <mml:math><mml:mi>eb</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3736" xml:space="preserve"> Quare secetur <mml:math><mml:mi>ef</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3737" xml:space="preserve"> Sitque <mml:math><mml:mi>fh</mml:mi></mml:math> aequalis <mml:math><mml:mi>eb</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3738" xml:space="preserve"> Iungaturque <mml:math><mml:mi>hg</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3739" xml:space="preserve"> Et quoniam parallelogrammum est <mml:math><mml:mi>fd</mml:mi></mml:math>, erit <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math> aequalis;</s> <s xml:id="s3740" xml:space="preserve"> sed et <mml:math><mml:mi>fh</mml:mi></mml:math> est ipsi <mml:math><mml:mi>be</mml:mi></mml:math> aequalis, et anguli <mml:math><mml:mi>ebd</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>hfg</mml:mi></mml:math>, quos continent, sunt aequales, nempe recti;</s> <s xml:id="s3741" xml:space="preserve"> erit triangulum <mml:math><mml:mi>hfg</mml:mi></mml:math> triangulo <mml:math><mml:mi>ebd</mml:mi></mml:math> aequale.</s> <s xml:id="s3742" xml:space="preserve"> Ac propterea angulus <mml:math><mml:mi>fhg</mml:mi></mml:math> angulo <mml:math><mml:mi>bed</mml:mi></mml:math>, et angulus <mml:math><mml:mi>fgh</mml:mi></mml:math>angulo <mml:math><mml:mi>bde</mml:mi></mml:math> aequalis.</s> <s xml:id="s3743" xml:space="preserve"> Sed <emph style="super">cum<!--variant supralineam--></emph> angulus <mml:math><mml:mi>feg</mml:mi></mml:math> minor est angulo <mml:math><mml:mi>fhg</mml:mi></mml:math>, erit angulus <mml:math><mml:mi>feg</mml:mi></mml:math> minor angulo <mml:math><mml:mi>bed</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3744" xml:space="preserve"> Hacque prorsus ratione ostenditur angulum <mml:math><mml:mi>aec</mml:mi></mml:math> minorem esse angulo <mml:math><mml:mi>feg</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3745" xml:space="preserve"> Et <mml:math><mml:mi>eca</mml:mi></mml:math> minorem angulo <mml:math><mml:mi>egf</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3746" xml:space="preserve"> Quod demonstrare oportebat.</s> <s xml:id="s3747" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="4"> <note position="left" xlink:label="note-0240-01" xlink:href="note-0240-01a" xml:space="preserve"> 4 undecimo<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0240-02" xlink:href="note-0240-02a" xml:space="preserve"> 8 undecimi<!--citmargsign--> </note> </div> <pb o="207" file="0241" n="241"/> <figure> <image file="med207" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med207"/> </figure> <p> <s xml:id="s3748" xml:space="preserve"> Sit datum punctum <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3749" xml:space="preserve"> Oporteatque invenire ubi punctum <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> apparet in tabula erecta plano per <mml:math><mml:mi>bt</mml:mi></mml:math> et <mml:math><mml:mi>s</mml:mi></mml:math> ducto.</s> <s xml:id="s3750" xml:space="preserve"> Ducatur ut in 193 <mml:math><mml:mi>sr</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>rx</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3751" xml:space="preserve"> Deinde in linea <mml:math><mml:mi>bt</mml:mi></mml:math> fiat <mml:math><mml:mi>rt</mml:mi></mml:math> aequalis et <mml:math><mml:mi>rs</mml:mi></mml:math> et in tabula ducatur <mml:math><mml:mi>tu</mml:mi></mml:math> perpendicularis lineae <mml:math><mml:mi>tb</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3752" xml:space="preserve"> His ita expositis ducatur <mml:math><mml:mi>cb</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>tb</mml:mi></mml:math> perpendicularis.</s> <s xml:id="s3753" xml:space="preserve"> In lineaque <mml:math><mml:mi>bt</mml:mi></mml:math> fiat <mml:math><mml:mi>bh</mml:mi></mml:math> (non ad partem <mml:math><mml:mi>t</mml:mi></mml:math>, sed ad alteram) aequalis <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3754" xml:space="preserve"> Ducanturque <mml:math><mml:mi>bx</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>hu</mml:mi></mml:math>, quae se invicem secent in <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3755" xml:space="preserve"> Dico punctum <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math> in tabula ostendere punctum <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3756" xml:space="preserve"> Iungantur <mml:math><mml:mi>st</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>hc</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3757" xml:space="preserve"> Quoniam enim <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>sr</mml:mi></mml:math> sunt ipsi <mml:math><mml:mi>rb</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>srt</mml:mi></mml:math> aequalis.</s> <s xml:id="s3758" xml:space="preserve"> Quare anguli <mml:math><mml:mi>rst</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>rts</mml:mi></mml:math> uno recto aequales simul sunt angulis <mml:math><mml:mi>bhc</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>bch</mml:mi></mml:math> aequales.</s> <s xml:id="s3759" xml:space="preserve"> Quia vero lineae <mml:math><mml:mi>sr</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>rt</mml:mi></mml:math> sunt aequales;</s> <s xml:id="s3760" xml:space="preserve"> erit angulus <mml:math><mml:mi>rst</mml:mi></mml:math> aequalis <mml:math><mml:mi>rts</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3761" xml:space="preserve"> Qui cum ambo simul sint uni recto aequales, erit <mml:math><mml:mi>rts</mml:mi></mml:math> recti dimidius.</s> <s xml:id="s3762" xml:space="preserve"> Ob eandemque causam cum sint lineae <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>bh</mml:mi></mml:math> aequales;</s> <s xml:id="s3763" xml:space="preserve"> erit anguus <mml:math><mml:mi>bhc</mml:mi></mml:math> recti dimidius.</s> <s xml:id="s3764" xml:space="preserve"> Unde sequitur angulum <mml:math><mml:mi>rts</mml:mi></mml:math> angulo <mml:math><mml:mi>bhc</mml:mi></mml:math> aequalem esse.</s> <s xml:id="s3765" xml:space="preserve"> Ac propterea linea <mml:math><mml:mi>st</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>ch</mml:mi></mml:math> est aequidistans.</s> <s xml:id="s3766" xml:space="preserve"> At vero quoniam ducta est <mml:math><mml:mi>st</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>ch</mml:mi></mml:math> aequidistans.</s> <s xml:id="s3767" xml:space="preserve"> In tabulaque ducta est <mml:math><mml:mi>tu</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>tb</mml:mi></mml:math> perpendicularis, quae ipsi <mml:math><mml:mi>sa</mml:mi></mml:math> <emph style="super"> est<!--variant supralineam--></emph> aequalis.</s> <s xml:id="s3768" xml:space="preserve"> Erit <anchor type="note" xlink:label="note-0241-01a" xlink:href="note-0241-01"/> punctum <mml:math><mml:mi>u</mml:mi></mml:math> linearum concursus ipsius <mml:math><mml:mi>ch</mml:mi></mml:math>, et omnium, quae sunt ipsi <mml:math><mml:mi>ch</mml:mi></mml:math> aequidistantium.</s> <s xml:id="s3769" xml:space="preserve"> Quapropter linea <mml:math><mml:mi>hu</mml:mi></mml:math> in tabula ostendit lineam <mml:math><mml:mi>hc</mml:mi></mml:math>, etiam si ex <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> infinite produceretur.</s> <s xml:id="s3770" xml:space="preserve"> Sed ex 193 <mml:math><mml:mi>bx</mml:mi></mml:math> in tabula ostendit lineam <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3771" xml:space="preserve"> Ergo cum punctum <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> sit in utraque linea <mml:math><mml:mi>ch</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>cb</mml:mi></mml:math> punctum quod <emph style="super"> in tabula<!--variant supralineam--></emph> ostendit ipsum <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> erit ubi se invicem secant <mml:math><mml:mi>hu</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>bx</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3772" xml:space="preserve"> Quare punctum <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math> <!--begin variant delevit post-->, ostendit<emph style="st">ubi se invicem secant<!--end variant delevit post--></emph> punctum <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3773" xml:space="preserve"> Quod facere oportebat.</s> <s xml:id="s3774" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="5"> <note position="left" xlink:label="note-0241-01" xlink:href="note-0241-01a" xml:space="preserve"> 190 197<!--citmargsign--> </note> </div> <pb o="208" file="0242" n="242"/> <p> <s xml:id="s3775" xml:space="preserve"> Itaque, duobus tantum punctis <mml:math><mml:mi>u</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>x</mml:mi></mml:math>, inveniri poterit quodlibet datum punctum in subiecto plano, ut <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3776" xml:space="preserve"> Ducta nempe <mml:math><mml:mi>gf</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>fb</mml:mi></mml:math> perpendiculari;</s> <s xml:id="s3777" xml:space="preserve"> factaque <mml:math><mml:mi>fk</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> aequalis sed non ad partes <mml:math><mml:mi>t</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3778" xml:space="preserve"> Deinde ductis <mml:math><mml:mi>ku</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>fx</mml:mi></mml:math>, quae se invicem secent in <mml:math><mml:mi>m</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3779" xml:space="preserve"> Punctum <mml:math><mml:mi>m</mml:mi></mml:math> in tabula ostendit punctum <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3780" xml:space="preserve"> Quod eodem prorsus modo demonstrabitur.</s> <s xml:id="s3781" xml:space="preserve"> Ducta nempe <mml:math><mml:mi>gk</mml:mi></mml:math>, quae ipsis <mml:math><mml:mi>st</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>hc</mml:mi></mml:math> aequidistans esse ostenditur.</s> <s xml:id="s3782" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s3783" xml:space="preserve"> Quod si ducta fuerit <mml:math><mml:mi>gc</mml:mi></mml:math>, iungatur <mml:math><mml:mi>ml</mml:mi></mml:math>, ostendit haec in tabula lineam <mml:math><mml:mi>gc</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3784" xml:space="preserve"> Quod idem in aliis punctis, et aliis lineis fieri<!--begin variant delevit post--> potest<emph style="st"><mml:math><mml:mi>cb</mml:mi></mml:math> et <mml:math><mml:mi>bh</mml:mi></mml:math>, ducatur <mml:math><mml:mi>ch</mml:mi></mml:math><!--end variant delevit post--></emph> .</s> <s xml:id="s3785" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med208" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med208"/> </figure> </div> <div type="section" level="1" n="96"> <head xml:id="head123" xml:space="preserve"> Praxis </head> <p> <s xml:id="s3786" xml:space="preserve"> Cadat perpendicularis ab oculo ad subiectum planum in <mml:math><mml:mi>s</mml:mi></mml:math>, cuius altitudo sit data, quae sit <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3787" xml:space="preserve"> Communis autem sectio plani, et tabulae supra planum erectae sit <mml:math><mml:mi>tb</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3788" xml:space="preserve"> Data vero linea, quam repraesentare oportet sit <mml:math><mml:mi>cg</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3789" xml:space="preserve"> Ducatur a puncto <mml:math><mml:mi>s</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>tb</mml:mi></mml:math> perpendicularis <mml:math><mml:mi>sr</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3790" xml:space="preserve"> Fiatque <mml:math><mml:mi>rt</mml:mi></mml:math> aequalis <mml:math><mml:mi>rs</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3791" xml:space="preserve"> Ducaturque a punctis <mml:math><mml:mi>t</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>r</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>tb</mml:mi></mml:math> perpendiculares <mml:math><mml:mi>tu</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>rx</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3792" xml:space="preserve"> Et unaquaeque fiat aequalis datae altitudini ipsius oculi supra subiectum planum, hoc est aequalis ipsi <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3793" xml:space="preserve"> His constructis ducatur <mml:math><mml:mi>cb</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>tb</mml:mi></mml:math> perpendicularis.</s> <s xml:id="s3794" xml:space="preserve"> Fiatque ad alteram ipsius <mml:math><mml:mi>t</mml:mi></mml:math> partem <mml:math><mml:mi>bh</mml:mi></mml:math> aequalis <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3795" xml:space="preserve"> Iungaturque <mml:math><mml:mi>bx</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>hu</mml:mi></mml:math>, quae se invicem secent in <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3796" xml:space="preserve"> Punctum <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math> in tabula ostendit ipsum <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3797" xml:space="preserve"> Similiter fiat <mml:math><mml:mi>gf</mml:mi></mml:math> perpendicularis ipsi <mml:math><mml:mi>tb</mml:mi></mml:math>, et fiat <mml:math><mml:mi>fk</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> aequalis.</s> <s xml:id="s3798" xml:space="preserve"> Ducanturque <mml:math><mml:mi>fx</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>ku</mml:mi></mml:math>, quae se secent in <mml:math><mml:mi>m</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3799" xml:space="preserve"> Punctum <mml:math><mml:mi>m</mml:mi></mml:math> ostendit punctum <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3800" xml:space="preserve"> Quare iungatur <mml:math><mml:mi>ml</mml:mi></mml:math>, ostendit <mml:math><mml:mi>ml</mml:mi></mml:math> in tabula lineam <mml:math><mml:mi>gc</mml:mi></mml:math>, oculo existente supra punctum <mml:math><mml:mi>s</mml:mi></mml:math> altitudinbe <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3801" xml:space="preserve"> Quod facere oportebat.</s> <s xml:id="s3802" xml:space="preserve"> His itaque tantum duobus punctis <mml:math><mml:mi>u</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>x</mml:mi></mml:math> quodlibet <emph style="super">aliud<!--variant supralineam--></emph> punctum in subiecto plano datum ac per consequens quaelibet data linea in tabula eodem prorsus modo invenientur.</s> <s xml:id="s3803" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s3804" xml:space="preserve"> <emph style="it">Hae<!--variant descriptio: signo posito in marg. folii 209--></emph> autem operationes hoc modo sunt intelligendae, nempe, ut in subiecto plano inveniatur puncta, lineae, superficies ut apparent in tabula.</s> <s xml:id="s3805" xml:space="preserve"> Quae ostendant puncta lineae superficies, et corpora, quae ab oculo cernuntur?</s> <s xml:id="s3806" xml:space="preserve"> Ut in hac praxi exempli gratia, si intelligantur planum, in quo sunt lineae <mml:math><mml:mi>rx</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>tu</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>bx</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>hu</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>fx</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>ku</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>kl</mml:mi></mml:math> erectum supra <emph style="super">subiectum<!--variant supralineam--></emph> planum, in quo sunt lineae <mml:math><mml:mi>th</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>gc</mml:mi></mml:math>, et punctum in <mml:math><mml:mi>s</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3807" xml:space="preserve"> Tunc si oculus esset <emph style="super">ad subiectum planum<!--variant supralineam--></emph> perpendiculariter erectus supra punctum <mml:math><mml:mi>s</mml:mi></mml:math> altitudine <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math>, visuales radii et <mml:math><mml:mi>cg</mml:mi></mml:math> ad oculum pervenientes per <mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math> transirent, ita ut in tabula linea <mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math> ipsam ostenderet <mml:math><mml:mi>cg</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3808" xml:space="preserve"> Quod idem in aliis operationibus observandum est.</s> <s xml:id="s3809" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="209" file="0243" n="243"/> <figure> <image file="med209" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med209"/> </figure> <p> <s xml:id="s3810" xml:space="preserve"> <emph style="super">Situti<!--variant supralineam--></emph> rursus oculus <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> cuius altitudo <mml:math><mml:mi>as</mml:mi></mml:math>, sitque sectionis linea <mml:math><mml:mi>nf</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3811" xml:space="preserve"> Data vero figura <mml:math><mml:mi>bcd</mml:mi></mml:math> oporteat <emph style="super">in erecta sectione<!--variant supralineam--></emph> figura apparente describere oporteatque duabus tantum punctis <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>s</mml:mi></mml:math> uti <reg norm="ducantur ac, sc, et ipsi sc" type="context">ducatur sc quae lineam nf secent in n et<!--variant correxitex --></reg> a puncto <!--begin variant delevit post--><mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math><emph style="st">in plano trianguli <mml:math><mml:mi>asc</mml:mi></mml:math> perpendicularis ducatur <mml:math><mml:mi>nl</mml:mi></mml:math><!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super">in sectione perpendicularis ducatur <mml:math><mml:mi>nl</mml:mi></mml:math> fiatque ut <mml:math><mml:mi>sc</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>cn</mml:mi></mml:math> ita <mml:math><mml:mi>as</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>nl</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s3812" xml:space="preserve"> Dico <emph style="super">primum<!--variant supralineam--></emph> punctum <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math> in <reg norm="tabula ostendere" type="context">sectione ipsum c repraesentare<!--variant correxitex --></reg> .</s> <s xml:id="s3813" xml:space="preserve"> Quonima enim <mml:math><mml:mi>as</mml:mi></mml:math> est subiecto plano erecta, erit <mml:math><mml:mi>as</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>sc</mml:mi></mml:math> perpendicularis, sed et <mml:math><mml:mi>ln</mml:mi></mml:math> est ipsi <mml:math><mml:mi>sc</mml:mi></mml:math> perpendicularis ergo <mml:math><mml:mi>as</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>ln</mml:mi></mml:math> sunt parallelae.</s> <s xml:id="s3814" xml:space="preserve"> Et quoniam <mml:math><mml:mi>as</mml:mi></mml:math> est subiecto plano erecta, erit <mml:math><mml:mi>ln</mml:mi></mml:math> eidem plano erecta.</s> <s xml:id="s3815" xml:space="preserve"> Sed tabula est subiecto plano erecta, erit igitur punczum <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math> in tabula.</s> <s xml:id="s3816" xml:space="preserve"> Quare propter lineam <mml:math><mml:mi>cla</mml:mi></mml:math> visualem, ostendit punctum <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math> ipsum <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3817" xml:space="preserve"> Duobus igitur tantum punctis <mml:math><mml:mi>sa</mml:mi></mml:math> quodlibetaliud punctum inveniemus ut si <emph style="super">in subiecto plano<!--variant supralineam--></emph> datum fuerit aliud punctum <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3818" xml:space="preserve"> Ductis <mml:math><mml:mi>ag</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>skg</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3819" xml:space="preserve">Ductaque <mml:math><mml:mi>km</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>sg</mml:mi></mml:math> perpendiculari, ostendit intabula punctum <mml:math><mml:mi>m</mml:mi></mml:math> ipsum <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3820" xml:space="preserve"> Et si connectatur <mml:math><mml:mi>cg</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3821" xml:space="preserve"> Iungatur <mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math>, ostendit <mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math> in tabula ipsam <mml:math><mml:mi>cg</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3822" xml:space="preserve"> Fiat praxis <emph style="super">inveniendo<!--variant supralineam--></emph> puncta <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>m</mml:mi></mml:math> supra <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math> perpendiculariter quantitate <mml:math><mml:mi>nl</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>km</mml:mi></mml:math> quod fiet demittendo triangula <mml:math><mml:mi>asc</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>asg</mml:mi></mml:math> cum lineis <mml:math><mml:mi>nl</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>km</mml:mi></mml:math> <emph style="super">subiecto plano<!--variant supralineam--></emph> quae quidem deservient, ac si essent erecta.</s> <s xml:id="s3823" xml:space="preserve"> Cum sint eadem hoc modo.</s> <s xml:id="s3824" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="210" file="0244" n="244"/> <figure> <image file="med210" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med210"/> </figure> </div> <div type="section" level="1" n="97"> <head xml:id="head124" xml:space="preserve"> Praxis </head> <p> <s xml:id="s3825" xml:space="preserve"> Datum sit punctum <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math>, linea vero tabule <mml:math><mml:mi>kn</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3826" xml:space="preserve"> Cadatque perpendicularis ab oculo in subiectum planum in <mml:math><mml:mi>s</mml:mi></mml:math>, cuius altitudo sit <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3827" xml:space="preserve"> Ducatur <mml:math><mml:mi>sc</mml:mi></mml:math>, cui perpendicularis ducatur <mml:math><mml:mi>sa</mml:mi></mml:math>, quae fiat aequalis <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3828" xml:space="preserve"> Iungaturque <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3829" xml:space="preserve"> Et a puncto <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>sc</mml:mi></mml:math> perpendicularis ducatur <mml:math><mml:mi>nl</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3830" xml:space="preserve"> Invento itaque puncto <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math>, inventaque altitudine <mml:math><mml:mi>nl</mml:mi></mml:math>, fiat a puncto <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>nk</mml:mi></mml:math> perpendicularis <mml:math><mml:mi>nb</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3831" xml:space="preserve"> Quae fiat aequalis ipsi <mml:math><mml:mi>nl</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3832" xml:space="preserve"> Punctum <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math> in tabula ostendit punctum <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3833" xml:space="preserve"> Et hoc modo invenietur punctum <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3834" xml:space="preserve"> Quod in tabula ostendat ipsum <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math>, ductaque <mml:math><mml:mi>be</mml:mi></mml:math> lineam <mml:math><mml:mi>cg</mml:mi></mml:math> ostendit.</s> <s xml:id="s3835" xml:space="preserve"> <!--begin variant delevit post-->Quod facere oportebat<emph style="st">Aliter quoque iisdem duobus punctis <mml:math><mml:mi>sa</mml:mi></mml:math>, ubi quodlibet datum punctum in sectione apparet, facilius et expeditius inveniemus hoc modo<!--end variant delevit post--></emph> .</s> <s xml:id="s3836" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="211" file="0245" n="245"/> <figure> <image file="med211" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med211"/> </figure> <p> <s xml:id="s3837" xml:space="preserve"> Eadem, ut in praecedenti demonstratione exponatur.</s> <s xml:id="s3838" xml:space="preserve"> Atque punctum <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math> ostendat in tabula ipsum <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3839" xml:space="preserve"> Deinde in subiecto plano ducatur <mml:math><mml:mi>sb</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>dk</mml:mi></mml:math> aequidistans, quae fiat aequalis <mml:math><mml:mi>sa</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3840" xml:space="preserve"> Ducaturque <mml:math><mml:mi>bdc</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3841" xml:space="preserve"> Dico <mml:math><mml:mi>dn</mml:mi></mml:math> in subiecto plano ipsi <mml:math><mml:mi>nl</mml:mi></mml:math> erectae aequalem esse.</s> <s xml:id="s3842" xml:space="preserve"> Quoniam enim <mml:math><mml:mi>as</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>ln</mml:mi></mml:math> sunt parallelae, erunt triangula <mml:math><mml:mi>acs</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>lcn</mml:mi></mml:math> similia quare est <mml:math><mml:mi>sc</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>cn</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>as</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>nl</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3843" xml:space="preserve"> Similiter cum sint <mml:math><mml:mi>bs</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>dn</mml:mi></mml:math> parallelae, ob similitudinem triangulorum <mml:math><mml:mi>scb</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>ncd</mml:mi></mml:math>, erit <mml:math><mml:mi>sc</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>cn</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>sb</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>nd</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3844" xml:space="preserve"> Quapropter erit <mml:math><mml:mi>as</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>nl</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>sb</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>dn</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3845" xml:space="preserve"> Et permutando <mml:math><mml:mi>as</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>sb</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>nl</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>dn</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3846" xml:space="preserve"> Suntque <mml:math><mml:mi>as</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>sb</mml:mi></mml:math> aequales ergo <mml:math><mml:mi>dn</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>nl</mml:mi></mml:math> est aequalis.</s> <s xml:id="s3847" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s3848" xml:space="preserve"> Similiter cum punctum <mml:math><mml:mi>m</mml:mi></mml:math> in tabula ostendat punctum <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math>, ducta <mml:math><mml:mi>bfg</mml:mi></mml:math> ostenditur <mml:math><mml:mi>fk</mml:mi></mml:math> aequalem ipsi <mml:math><mml:mi>km</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3849" xml:space="preserve"> Iuctaque <mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math> ostendit haec lineam <mml:math><mml:mi>cg</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3850" xml:space="preserve"> </s> </p> </div> <div type="section" level="1" n="98"> <head xml:id="head125" xml:space="preserve"> <pb o="212" file="0246" n="246"/> Praxis </head> <figure> <image file="med212" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med212"/> </figure> <p> <s xml:id="s3851" xml:space="preserve"> <anchor type="note" xlink:label="note-0246-01a" xlink:href="note-0246-01"/> Sit datum punctum <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math>, linea vero tabulae sit <mml:math><mml:mi>dk</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3852" xml:space="preserve"> Perpendicularis vero ab oculo in subiectum planum cadat in <mml:math><mml:mi>s</mml:mi></mml:math>, cuius altitudo sit <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3853" xml:space="preserve"> Ducatur <mml:math><mml:mi>sb</mml:mi></mml:math> aequidistans ipsi <mml:math><mml:mi>dk</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3854" xml:space="preserve"> Fiatque <mml:math><mml:mi>sb</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math> aequalis.</s> <s xml:id="s3855" xml:space="preserve"> Ducaturque <mml:math><mml:mi>sc</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math>, quae ipsam <mml:math><mml:mi>dk</mml:mi></mml:math> secent in <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math>, a punctoque <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>dk</mml:mi></mml:math> ducatur perpendicularis ipsi <mml:math><mml:mi>nl</mml:mi></mml:math>, quae fiat aequalis ipsi <mml:math><mml:mi>nd</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3856" xml:space="preserve"> Ostendit punctum <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math> in tabula ipsum <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3857" xml:space="preserve"> Similiter ductis <mml:math><mml:mi>sg</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>bg</mml:mi></mml:math>, factaque <mml:math><mml:mi>km</mml:mi></mml:math> aequali <mml:math><mml:mi>kf</mml:mi></mml:math>, quae sit perpendicularis ipsi <mml:math><mml:mi>dk</mml:mi></mml:math>, ostendit punctum <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math> ipsum <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3858" xml:space="preserve"> Ductaque <mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math> ostendit <mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math> lineam <mml:math><mml:mi>cg</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3859" xml:space="preserve"> Quod facere oportebat.</s> <s xml:id="s3860" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="1"> <note position="left" xlink:label="note-0246-01" xlink:href="note-0246-01a" xml:space="preserve"> questa si pò far alla rovescia. </note> </div> <pb o="213" file="0247" n="247"/> <figure> <image file="med213" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med213"/> </figure> <p> <s xml:id="s3861" xml:space="preserve"> Sit ostendendum punctum <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> in sectione supra subiecto plano erecta.</s> <s xml:id="s3862" xml:space="preserve"> Intelligantur eadem <emph style="super">ut in 207<!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s3863" xml:space="preserve"> Ducatur <mml:math><mml:mi>snc</mml:mi></mml:math>, et a puncto <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>fb</mml:mi></mml:math> ducatur perpendicularis <mml:math><mml:mi>cf</mml:mi></mml:math> rursus in sectione a puncto <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>fb</mml:mi></mml:math> perpendicularis ducatur <mml:math><mml:mi>nl</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3864" xml:space="preserve"> Iungaturque <mml:math><mml:mi>fx</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3865" xml:space="preserve"> Quae <mml:math><mml:mi>nl</mml:mi></mml:math> secet in <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3866" xml:space="preserve"> Dico punctum <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math> in sectione ostendere punctum <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3867" xml:space="preserve"> Primam quidem ex 209 patet, punctum in sectione quod ostendit ipsum <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math>, esse in linea <mml:math><mml:mi>nl</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3868" xml:space="preserve"> Sed ex 207 est etiam in linea <mml:math><mml:mi>fx</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3869" xml:space="preserve"> Ergo ubi se invicem secant, ut in <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math> est punctum, quod in sectione ostendit ipsum <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3870" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s3871" xml:space="preserve"> Duobus igitur tantum punctis <mml:math><mml:mi>s</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>x</mml:mi></mml:math> inveniemus in sectione quodlibet punctum quaesitum.</s> <s xml:id="s3872" xml:space="preserve"> Ut ducta <mml:math><mml:mi>skg</mml:mi></mml:math>, factaque <mml:math><mml:mi>gb</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>fb</mml:mi></mml:math> perpendiculari.</s> <s xml:id="s3873" xml:space="preserve"> Rursusque ipsi <mml:math><mml:mi>fb</mml:mi></mml:math> in sectione facta perpendiculari <mml:math><mml:mi>km</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3874" xml:space="preserve"> Ductaque <mml:math><mml:mi>mx</mml:mi></mml:math>, punctum <mml:math><mml:mi>m</mml:mi></mml:math> ostendit ipsum <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3875" xml:space="preserve"> Ductaque <mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math> ostendit lineam <mml:math><mml:mi>cg</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3876" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="214" file="0248" n="248"/> <figure> <image file="med214" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med214"/> </figure> </div> <div type="section" level="1" n="99"> <head xml:id="head126" xml:space="preserve"> Praxis </head> <p> <s xml:id="s3877" xml:space="preserve"> Cadat perpendicularis ab oculo in subiectum planum in <mml:math><mml:mi>s</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3878" xml:space="preserve"> Duaturque <mml:math><mml:mi>sr</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>bf</mml:mi></mml:math> perpendicularis.</s> <s xml:id="s3879" xml:space="preserve"> Fiatque <mml:math><mml:mi>rx</mml:mi></mml:math> aequalis altitudini oculi.</s> <s xml:id="s3880" xml:space="preserve"> Inventisque punctis <mml:math><mml:mi>s</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>x</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3881" xml:space="preserve"> Sit datum punctum <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> in subiecto plano.</s> <s xml:id="s3882" xml:space="preserve"> Ducaturque <mml:math><mml:mi>snt</mml:mi></mml:math>, et a puncto <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>cf</mml:mi></mml:math> perpendicularis ducatur <mml:math><mml:mi>cf</mml:mi></mml:math>, quae intelligantur in subiecto plano.</s> <s xml:id="s3883" xml:space="preserve"> Inventis autem punctis <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math> nunc intelligantur sectio per <mml:math><mml:mi>fb</mml:mi></mml:math> et <mml:math><mml:mi>x</mml:mi></mml:math> transiens.</s> <s xml:id="s3884" xml:space="preserve"> Ducaturque <mml:math><mml:mi>nl</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>fb</mml:mi></mml:math> perpendicularis.</s> <s xml:id="s3885" xml:space="preserve"> Iungaturque <mml:math><mml:mi>fx</mml:mi></mml:math>, quae ipsam <mml:math><mml:mi>nl</mml:mi></mml:math> secet in <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3886" xml:space="preserve"> Punctum <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math> in sectione ostendit ipsum <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3887" xml:space="preserve"> Eodemque modo invenietur punctum <mml:math><mml:mi>m</mml:mi></mml:math> ostendens ipsum <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3888" xml:space="preserve"> Ductaque <mml:math><mml:mi>lm </mml:mi></mml:math>ostendit lineam <mml:math><mml:mi>cg</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3889" xml:space="preserve"> Quod facere oportebat.</s> <s xml:id="s3890" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="215" file="0249" n="249"/> <figure> <image file="med215" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med215"/> </figure> <p> <s xml:id="s3891" xml:space="preserve"> Eadem construantur fiat <mml:math><mml:mi>rrt</mml:mi></mml:math> aequalis <mml:math><mml:mi>rs</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3892" xml:space="preserve"> In sectione autem ipsi <mml:math><mml:mi>fr</mml:mi></mml:math> ducatur <mml:math><mml:mi>tu</mml:mi></mml:math> perpendicularis, quae fiat aequalis <mml:math><mml:mi>sa</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3893" xml:space="preserve"> Deinde ut in praecedenti ducatur <mml:math><mml:mi>snc</mml:mi></mml:math> ipsique <mml:math><mml:mi>tr</mml:mi></mml:math> perpendicularis ducatur <mml:math><mml:mi>cf</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3894" xml:space="preserve"> Fiatque (non ad partem <mml:math><mml:mi>t</mml:mi></mml:math>) <mml:math><mml:mi>fk</mml:mi></mml:math> aequalis <mml:math><mml:mi>fc</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3895" xml:space="preserve"> In sectione autem ducatur ipsi <mml:math><mml:mi>ft</mml:mi></mml:math> perpendicularis <mml:math><mml:mi>nl</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3896" xml:space="preserve"> Ducaturque <mml:math><mml:mi>ku</mml:mi></mml:math>, quae ipsam <mml:math><mml:mi>nl</mml:mi></mml:math> secet in <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3897" xml:space="preserve"> Dico punctum <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math> ostendere ipsum <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3898" xml:space="preserve"> Ex praecedentibuss, et ex 209 constat punctum, quod in sectione ostendit ipsum <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math>, esse in linea <mml:math><mml:mi>nl</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3899" xml:space="preserve"> Sed ex 207 est etiam in linea <mml:math><mml:mi>ku</mml:mi></mml:math>, quae quidem lineae cum se invicem secent in <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math>, ostendit <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math> in sectione punctum <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3900" xml:space="preserve"> Parique ratione <emph style="super">duobus tantum punctis <mml:math><mml:mi>s</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math> alia invenientur puncta<!--variant supralineam--></emph> autem?</s> <s xml:id="s3901" xml:space="preserve"> invenietur punctum <mml:math><mml:mi>m</mml:mi></mml:math>, quod ostendit ipsum <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3902" xml:space="preserve"> Lineaque <mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math> ipsam <mml:math><mml:mi>cg</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3903" xml:space="preserve"> <emph style="super">Iisdem<!--variant supralineam--></emph> positis Loco autem <mml:math><mml:mi>cf</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>fk</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3904" xml:space="preserve"> Iungatur <mml:math><mml:mi>st</mml:mi></mml:math> cui aequidistans ducatur <mml:math><mml:mi>ck</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3905" xml:space="preserve"> Ducaturque <mml:math><mml:mi>ku</mml:mi></mml:math>, quae ipsam <mml:math><mml:mi>nl</mml:mi></mml:math> secet in <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3906" xml:space="preserve"> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">ostendit erit punctum</emph>ostedit<!--end variant delevit ante--> (ex 207) linea <mml:math><mml:mi>ku</mml:mi></mml:math> ipsam <mml:math><mml:mi>kc</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3907" xml:space="preserve"> Ergo punctum <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math> in sectione ostendit punctum <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3908" xml:space="preserve"> <anchor type="note" xlink:label="note-0249-01a" xlink:href="note-0249-01"/> </s> </p> <div type="float" level="2" n="1"> <note position="left" xlink:label="note-0249-01" xlink:href="note-0249-01a" xml:space="preserve"> Bisogna far la sua figura.<!--variant signopositoinmargine--> </note> </div> <pb o="216" file="0250" n="250"/> <figure> <image file="med216" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med216"/> </figure> </div> <div type="section" level="1" n="100"> <head xml:id="head127" xml:space="preserve"> Praxis </head> <p> <s xml:id="s3909" xml:space="preserve"> Perpendicularis ab oculo in subiectum planum cadat in <mml:math><mml:mi>s</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3910" xml:space="preserve"> Ducaturque <mml:math><mml:mi>sr</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>tr</mml:mi></mml:math> perpendicularis.</s> <s xml:id="s3911" xml:space="preserve"> Fiatque <mml:math><mml:mi>rt</mml:mi></mml:math> aequalis <mml:math><mml:mi>rs</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3912" xml:space="preserve"> Ipsique <mml:math><mml:mi>tr</mml:mi></mml:math> agatur perpendicularis <mml:math><mml:mi>tu</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3913" xml:space="preserve"> Sitque datum punctum <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3914" xml:space="preserve"> Intelligaturque nunc subiectum planum.</s> <s xml:id="s3915" xml:space="preserve"> Ducaturque <mml:math><mml:mi>snc</mml:mi></mml:math>, ducaturque <mml:math><mml:mi>cf</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>fr</mml:mi></mml:math> perpendicularis.</s> <s xml:id="s3916" xml:space="preserve"> Fiatque <mml:math><mml:mi>fk</mml:mi></mml:math> aequalis <mml:math><mml:mi>fc</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3917" xml:space="preserve"> Inventis punctis <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math>, intelligatur nunc sectio per <mml:math><mml:mi>tr</mml:mi></mml:math> et <mml:math><mml:mi>u</mml:mi></mml:math> transiens.</s> <s xml:id="s3918" xml:space="preserve"> Ducaturque <mml:math><mml:mi>nl</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>nr</mml:mi></mml:math> perpendicularis.</s> <s xml:id="s3919" xml:space="preserve"> Iunctaque <mml:math><mml:mi>ku</mml:mi></mml:math>, quae <mml:math><mml:mi>nl</mml:mi></mml:math> secet in <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3920" xml:space="preserve"> Erit punctum <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math> in sectione quaesitum.</s> <s xml:id="s3921" xml:space="preserve"> Quod quidem ostendit ipsum <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3922" xml:space="preserve"> Parique ratione invenietur punctum <mml:math><mml:mi>m</mml:mi></mml:math>, quod ipsum <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math> ostendit.</s> <s xml:id="s3923" xml:space="preserve"> Lineaque <mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math> ipsam <mml:math><mml:mi>cg</mml:mi></mml:math> in sectione represaentabit.</s> <s xml:id="s3924" xml:space="preserve"> </s> </p> </div> <div type="section" level="1" n="101"> <head xml:id="head128" xml:space="preserve"> <emph style="super">Praxis<!--variant supralineam--></emph> </head> <p> <s xml:id="s3925" xml:space="preserve"> Loco autem <mml:math><mml:mi>cf</mml:mi></mml:math> et <mml:math><mml:mi>fk</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3926" xml:space="preserve"> Iungatur <mml:math><mml:mi>st</mml:mi></mml:math>, cui aequidistans ducatur <mml:math><mml:mi>ck</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3927" xml:space="preserve"> Iungaturque <mml:math><mml:mi>kl</mml:mi></mml:math>, quae <mml:math><mml:mi>nl</mml:mi></mml:math> secabit in <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3928" xml:space="preserve"> Punctumque <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math> ostendit ipsum <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math>, et ita in aliis.</s> <s xml:id="s3929" xml:space="preserve"> <anchor type="note" xlink:label="note-0250-01a" xlink:href="note-0250-01"/> </s> </p> <div type="float" level="2" n="1"> <note position="left" xlink:label="note-0250-01" xlink:href="note-0250-01a" xml:space="preserve"> Bisogna far la sua figura.<!--variant signopositoinmargine--> </note> </div> <pb o="217" file="0251" n="251"/> <figure> <image file="med217" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med217"/> </figure> <p> <s xml:id="s3930" xml:space="preserve"> Iisdem positis, fiat <mml:math><mml:mi>rt</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>rz</mml:mi></mml:math> aequales ipsi <mml:math><mml:mi>sr</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3931" xml:space="preserve"> Ducaturque <mml:math><mml:mi>tu</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>zy</mml:mi></mml:math> perpendiculares ipsi <mml:math><mml:mi>fz</mml:mi></mml:math>, quae fiant aequales ipsi <mml:math><mml:mi>as</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3932" xml:space="preserve"> Deinde a puncto <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> ducatur ipsi <mml:math><mml:mi>fr</mml:mi></mml:math> perpendicularis <mml:math><mml:mi>cf</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3933" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s3934" xml:space="preserve"> Fiatque ex utraque parte <mml:math><mml:mi>fb</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>fk</mml:mi></mml:math> aequales ipsi <mml:math><mml:mi>fc</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3935" xml:space="preserve"> Ducaturque <mml:math><mml:mi>ku</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>b y</mml:mi></mml:math>, quae se invicem secent in <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3936" xml:space="preserve"> Dico punctum <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math> ostendere in sectione ipsum <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3937" xml:space="preserve"> Quod patet ex 207.</s> <s xml:id="s3938" xml:space="preserve"> Hisque duobus punctis <mml:math><mml:mi>u</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>y</mml:mi></mml:math> alia omnia puncta inveniemus, ut <mml:math><mml:mi>m</mml:mi></mml:math>, quod quidem ipsum <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math> ostendat, lineaque <mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math> ipsam <mml:math><mml:mi>cg</mml:mi></mml:math> repraesentabit.</s> <s xml:id="s3939" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="218" file="0252" n="252"/> <figure> <image file="med218" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med218"/> </figure> <p> <s xml:id="s3940" xml:space="preserve"> Ut in praecedenti fiat <mml:math><mml:mi>rt</mml:mi></mml:math> aequalis <mml:math><mml:mi>rs</mml:mi></mml:math>, ad alteram quoque partem fiat <mml:math><mml:mi>rz</mml:mi></mml:math> eidem <mml:math><mml:mi>rs</mml:mi></mml:math> aequalis.</s> <s xml:id="s3941" xml:space="preserve"> Ipsique <mml:math><mml:mi>tz</mml:mi></mml:math> perpendiculares ducantur <mml:math><mml:mi>tu</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>zy</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3942" xml:space="preserve"> A datoque puncto <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> ducatur in subiecto plano <mml:math><mml:mi>cf</mml:mi></mml:math> perpendicularis ipsi <mml:math><mml:mi>tz</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3943" xml:space="preserve"> Et ex utraque parte fiant <mml:math><mml:mi>fb</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>fk</mml:mi></mml:math> aequales ipsi <mml:math><mml:mi>fc</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3944" xml:space="preserve"> Nunc vero intelligatur sectio per <mml:math><mml:mi>tz</mml:mi></mml:math>, punctaque <mml:math><mml:mi>u</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>y</mml:mi></mml:math> transiens.</s> <s xml:id="s3945" xml:space="preserve"> Ducanturque <mml:math><mml:mi>by</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>ku</mml:mi></mml:math>, quae secent sese in <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3946" xml:space="preserve"> Punctum <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math> ostendit ipsum <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3947" xml:space="preserve"> Duobusque tantum punctis <mml:math><mml:mi>u</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>y</mml:mi></mml:math> alia omnia invenietur ut <mml:math><mml:mi>m</mml:mi></mml:math>, quod ipsumk <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math> repraesentabit, veluti linea <mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math> ipsam <mml:math><mml:mi>cg</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3948" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s3949" xml:space="preserve"> Sit oculus <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> cuius supra <emph style="super">subiectum<!--variant supralineam--></emph> planum altitudo sit <mml:math><mml:mi>as</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3950" xml:space="preserve"> Sit sectionis linea <mml:math><mml:mi>bf</mml:mi></mml:math> in sectione vero <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">constituantur</emph>ubicumque<!--end variant delevit ante--> <emph style="super">sumantur<!--variant supralineam--></emph> puncta <mml:math><mml:mi>u</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>x</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3951" xml:space="preserve"> Quorum tamen perpendiculares <mml:math><mml:mi>ut</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>xf</mml:mi></mml:math> sint aequales ipsi <mml:math><mml:mi>as</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3952" xml:space="preserve"> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">Sitque</emph>daraque<!--end variant delevit ante--> <!--begin variant delevit post-->dataque<emph style="st">punctis<!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super"> sit in subiecto plano figura<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>cgh</mml:mi></mml:math> <emph style="super"> oportet in sectione figuram apparentem describere tribusque tantum punctis <mml:math><mml:mi>s</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>u</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>x</mml:mi></mml:math> uti oporteat<!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s3953" xml:space="preserve"> Iungantur <mml:math><mml:mi>st</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>sf</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3954" xml:space="preserve"> Et a puncto <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> ipsis <mml:math><mml:mi>st</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>sf</mml:mi></mml:math> aequidistantes ducantur <mml:math><mml:mi>ck</mml:mi></mml:math> <!--begin variant delevit post--><mml:math><mml:mi>cb</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3955" xml:space="preserve"><emph style="st">a punctisque<mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math> ducanturque<!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super">iunganturque<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>ku</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>bx</mml:mi></mml:math>, quae se invicem secent in <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3956" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="219" file="0253" n="253"/> <figure> <image file="med219" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med219"/> </figure> <p> <s xml:id="s3957" xml:space="preserve"> Dico <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math> ostendere ipsum <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> in sectione.</s> <s xml:id="s3958" xml:space="preserve"> Quoniam enim <mml:math><mml:mi>ck</mml:mi></mml:math> est aequidistans ipsi <mml:math><mml:mi>st</mml:mi></mml:math>, erit punctum <!--begin variant delevit post--><mml:math><mml:mi>u</mml:mi></mml:math><emph style="st">ex<!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super">punctum<!--variant supralineam--></emph> linearum concursus lineae <mml:math><mml:mi>ck</mml:mi></mml:math>, et omnorum ipsi <mml:math><mml:mi>ck</mml:mi></mml:math> aequidistantium.</s> <s xml:id="s3959" xml:space="preserve"> Similiter cum sit <mml:math><mml:mi>cb</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>sf</mml:mi></mml:math> parallela, erit punctum <mml:math><mml:mi>x</mml:mi></mml:math> linearum concursus ipsius <mml:math><mml:mi>cb</mml:mi></mml:math>, et aliarum, <!--begin variant delevit post-->quae<emph style="st">sunt<!--end variant delevit post--></emph> fuerint ipsi <mml:math><mml:mi>cb</mml:mi></mml:math> aequidistantes.</s> <s xml:id="s3960" xml:space="preserve"> Quare linea <mml:math><mml:mi>ku</mml:mi></mml:math> ostendit in sectione lineam <mml:math><mml:mi>kc</mml:mi></mml:math>, ipsa vero <mml:math><mml:mi>bx</mml:mi></mml:math> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">ostendit</emph>ipsam<!--end variant delevit ante--> <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3961" xml:space="preserve"> <emph style="super">At vero<!--variant supralineam--></emph> punctum <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">vero</emph><mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math><!--end variant delevit ante--> est in utraque linea <mml:math><mml:mi>ck</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>cb</mml:mi></mml:math> ergo punctum <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math> ubi <mml:math><mml:mi>ku</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>bx</mml:mi></mml:math> se invicem secant, ostendit in sectione punctum <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3962" xml:space="preserve"> Hacque ratione <!--begin variant delevit post-->inveniemus<emph style="st">caetera<!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super">quaelibet alia<!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit post-->puncta,<emph style="st">ut <mml:math><mml:mi>m</mml:mi></mml:math> ostendens ipsum <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math><!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super">ut <mml:math><mml:mi>m</mml:mi></mml:math> in quo punctum <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math> apparebit<!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s3963" xml:space="preserve"> Unde linea <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">que</emph><mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math><!--end variant delevit ante--> ipsam <mml:math><mml:mi>cg</mml:mi></mml:math> repraesentabit.</s> <s xml:id="s3964" xml:space="preserve"> Et quoniam punctum <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math> est in ipsa sectione iunctis <mml:math><mml:mi>lh</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>hm</mml:mi></mml:math>, apparebit <mml:math><mml:mi>ch</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>hl</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3965" xml:space="preserve"> Et <mml:math><mml:mi>gh</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>hm</mml:mi></mml:math>, <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">descripta est</emph>quare<!--end variant delevit ante--> figura <mml:math><mml:mi>cgh</mml:mi></mml:math> in sectione in <mml:math><mml:mi>lmh</mml:mi></mml:math> apparebit.</s> <s xml:id="s3966" xml:space="preserve"> Est igitur <mml:math><mml:mi>lmh</mml:mi></mml:math> in sectione figura apparens.</s> <s xml:id="s3967" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="220" file="0254" n="254"/> <figure> <image file="med220" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med220"/> </figure> </div> <div type="section" level="1" n="102"> <head xml:id="head129" xml:space="preserve"> Praxis </head> <p> <s xml:id="s3968" xml:space="preserve"> <emph style="super">In subiectoIn subiecto<!--variant supralineam--></emph> plano datum sit <mml:math><mml:mi>s</mml:mi></mml:math> punctum distantiae, dataque sit sectionis linea <mml:math><mml:mi>bf</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3969" xml:space="preserve"> Figura vero <emph style="super">rectilinea<!--variant supralineam--></emph> in subiecto plano data sit <mml:math><mml:mi>cgh</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3970" xml:space="preserve"> Nunc planum habeatur per sectione in qua <reg norm="dataque erunt " type="context">data sunt aliaque<!--variant correxitex --></reg> duo puncta <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">ubicunque</emph><mml:math><mml:mi>u</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>x</mml:mi></mml:math><!--end variant delevit ante--> .</s> <s xml:id="s3971" xml:space="preserve"> Ita ut <emph style="super">ambae<!--variant supralineam--></emph> perpendiculares <mml:math><mml:mi>ut,xf</mml:mi></mml:math> ipsi sectionis linea <mml:math><mml:mi>bf</mml:mi></mml:math> ductae sint <!--begin variant delevit post-->aequales<emph style="st">altitudini oculi supra punctum <mml:math><mml:mi>s</mml:mi></mml:math><!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super">ipsi<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>as</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3972" xml:space="preserve"> Nunc vero rursus <reg norm="intelligatur" type="context">accipiatur<!--variant correxitex --></reg> planum per subiecto plano in quo connectantur <mml:math><mml:mi>st</mml:mi></mml:math>, <!--begin variant delevit post--><mml:math><mml:mi>sf</mml:mi></mml:math><emph style="st">his ita aexpositis intelligatur subiectum planum in quo a dato<!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super">a quo<!--variant supralineam--></emph> <reg norm="punctoque" type="context">puncto<!--variant correxitex --></reg> <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> ducantur <mml:math><mml:mi>cb</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>ck</mml:mi></mml:math> ipsis <mml:math><mml:mi>sf</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>st</mml:mi></mml:math> <!--begin variant delevit post-->parallelae<emph style="st">hunc vero<!--end variant delevit post--></emph> .</s> <s xml:id="s3973" xml:space="preserve"> <emph style="super">Inventis itaque punctis <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math> planum<!--variant supralineam--></emph> intelligatur sectio per <mml:math><mml:mi>bf</mml:mi></mml:math> et puncta <mml:math><mml:mi>u</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>x</mml:mi></mml:math> transiens, iunganturque <mml:math><mml:mi>ku</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>bx</mml:mi></mml:math>, quae se secent il <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3974" xml:space="preserve"> Ostendit <emph style="super">punctum<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math> <emph style="super">in sectione<!--variant supralineam--></emph> punctum <!--begin variant delevit post--><mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math><emph style="st">in sectione<!--end variant delevit post--></emph> .</s> <s xml:id="s3975" xml:space="preserve"> Hacque prorsus ratione invenietur punctum <mml:math><mml:mi>m</mml:mi></mml:math>, quod ipsum <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math> ostendat.</s> <s xml:id="s3976" xml:space="preserve"> Unde <reg norm="lineaque" type="context">ducta<!--variant correxitex --></reg> <mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math> ipsam <mml:math><mml:mi>cg</mml:mi></mml:math> ostendit.</s> <s xml:id="s3977" xml:space="preserve"> Et quoniampunctum <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math> est in ipsa sectione, iungantur <mml:math><mml:mi>lh</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>hm</mml:mi></mml:math>, apparebit <mml:math><mml:mi>ch</mml:mi></mml:math> in sectione in <mml:math><mml:mi>hl</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>gh</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>hm</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3978" xml:space="preserve"> Atque idem figura <mml:math><mml:mi>cgh</mml:mi></mml:math> in sectione apparebit in <mml:math><mml:mi>lmh</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3979" xml:space="preserve"> Quod manifestum est si intelligatur sectio, lineaque <mml:math><mml:mi>sa</mml:mi></mml:math> subiecto plano <!--begin variant delevit post-->erectae<emph style="st">aliquot verba<!--end variant delevit post--></emph> unde figura <mml:math><mml:mi>lmh</mml:mi></mml:math> erit <emph style="super">in sectione<!--variant supralineam--></emph> figura apparens.</s> <s xml:id="s3980" xml:space="preserve"> Quod facere oportebat.</s> <s xml:id="s3981" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="221" file="0255" n="255"/> <figure> <image file="med221" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med221"/> </figure> <p> <s xml:id="s3982" xml:space="preserve"> Questa seguita la 209, 210.</s> <s xml:id="s3983" xml:space="preserve"> Exponatur <emph style="super">prorsus<!--variant supralineam--></emph> eadem <emph style="super">ut in praecedenti<!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit post-->et<emph style="st">a puncto <mml:math><mml:mi>s</mml:mi></mml:math> sectionis lineae <mml:math><mml:mi>nf</mml:mi></mml:math> perpendicularis ducatur <mml:math><mml:mi>skb</mml:mi></mml:math>.</emph></s> <s xml:id="s3984" xml:space="preserve"> <emph style="st">A dato autem<!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super">a<!--variant supralineam--></emph> puncto <emph style="super">autem<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> ducatur <reg norm="cl" type="context">cg<!--variant correxitex --></reg> .</s> <s xml:id="s3985" xml:space="preserve"> In sectione autem ducatur <mml:math><mml:mi>ko</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>nf</mml:mi></mml:math> perpendicularis.</s> <s xml:id="s3986" xml:space="preserve"> Ducaturque <reg norm="aol" type="context">aog<!--variant correxitex --></reg> .</s> <s xml:id="s3987" xml:space="preserve"> Deinde <reg norm="iungatur sc" type="context">ducatur snc<!--variant correxitex --></reg> , et a puncto <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math> in sectione ipsi <mml:math><mml:mi>nf</mml:mi></mml:math> perpendicularis ducatur <mml:math><mml:mi>nl</mml:mi></mml:math>, quae fiat aequalis ipsi <mml:math><mml:mi>ko</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3988" xml:space="preserve"> dico punctum <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math> in sectione ostendere punctum <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3989" xml:space="preserve"> Iungatur <mml:math><mml:mi>ol</mml:mi></mml:math> erit utique <mml:math><mml:mi>ol</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>kn</mml:mi></mml:math> aequidistans.</s> <s xml:id="s3990" xml:space="preserve"> Siquidem sunt <mml:math><mml:mi>ko</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>nl</mml:mi></mml:math> aequales, et aequidistantes.</s> <s xml:id="s3991" xml:space="preserve"> Est vero <reg norm="cl" type="context">cg<!--variant correxitex --></reg> est ipsi <mml:math><mml:mi>ol</mml:mi></mml:math> parallela.</s> <s xml:id="s3992" xml:space="preserve"> Quare <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">aliquot literas</emph><mml:math><mml:mi>ol</mml:mi></mml:math><!--end variant delevit ante--> in sectione ostendit ipsam <reg norm="cl" type="context">cg<!--variant correxitex --></reg> .</s> <s xml:id="s3993" xml:space="preserve"> At vero ex praecedenti <reg norm="punctum, quod ostendit ipsum c, est in linea nl" type="context">linea nc apparet in nl<!--variant correxitex --></reg> .</s> <s xml:id="s3994" xml:space="preserve"> Cum sit igitur <emph style="super">punctum <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> in <!--begin variant delevit post-->lineis<emph style="st">quoque <mml:math><mml:mi>ol</mml:mi></mml:math>, igitur ostendit ipsum <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math>.</emph></s> <s xml:id="s3995" xml:space="preserve"> <emph style="st">Quod facere oportebat<!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super"><mml:math><mml:mi>cg</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>nc</mml:mi></mml:math> apparebit punctum <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math>, ubi similiter <mml:math><mml:mi>ol</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>nl</mml:mi></mml:math> inter se conveniunt<!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s3996" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s3997" xml:space="preserve"> Eodem modo iisdem punctis <mml:math><mml:mi>s</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> linaque <mml:math><mml:mi>sb</mml:mi></mml:math> alia quotcumque data puncta inveniemus.</s> <s xml:id="s3998" xml:space="preserve"> Ut punctum <mml:math><mml:mi>m</mml:mi></mml:math>, quod in sectione ostendit ipsum <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s3999" xml:space="preserve"> Iunctaque <mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math> ipsam <mml:math><mml:mi>cg</mml:mi></mml:math> repraesentabit.</s> <s xml:id="s4000" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="222" file="0256" n="256"/> <figure> <image file="med222" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med222"/> </figure> </div> <div type="section" level="1" n="103"> <head xml:id="head130" xml:space="preserve"> Praxis </head> <p> <s xml:id="s4001" xml:space="preserve"> Sit <emph style="super">in subiecto plano<!--variant supralineam--></emph> punctum <!--begin variant delevit post--><mml:math><mml:mi>s</mml:mi></mml:math><emph style="st">ubi cadit ab oculo perpendicularis, sitque<!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super">punctum distantiae oculi vero altitudo <mml:math><mml:mi>as</mml:mi></mml:math> quae sit<!--variant supralineam--></emph> sectionis linea <mml:math><mml:mi>nf</mml:mi></mml:math> <emph style="super">aequidistans<!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s4002" xml:space="preserve"> Data <anchor type="note" xlink:label="note-0256-01a" xlink:href="note-0256-01"/> <emph style="super">figura <mml:math><mml:mi>bcd</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> ducattur <mml:math><mml:mi>skg</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>nf</mml:mi></mml:math> perpendicularis, a punctoque <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> <!--begin variant delevit post-->ipsi<emph style="st"><mml:math><mml:mi>nf</mml:mi></mml:math> aequidistans<!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super"><mml:math><mml:mi>sg</mml:mi></mml:math> perpendicularis<!--variant supralineam--></emph> ducatur <!--begin variant delevit post--><mml:math><mml:mi>cg</mml:mi></mml:math><emph style="st">connectaturque <mml:math><mml:mi>sc</mml:mi></mml:math>, deinde ducatur<!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super">ducanturque <mml:math><mml:mi>sc</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> , <mml:math><mml:mi>ag</mml:mi></mml:math> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">ipsi <mml:math><mml:mi>bs</mml:mi></mml:math> perpendicularis, quae sit aequalis altitudini oculi.</emph></s> <s xml:id="s4003" xml:space="preserve"> <emph style="st">Ducaturque <mml:math><mml:mi>aob</mml:mi></mml:math> quae</emph>lineam<!--end variant delevit ante--> sectionis <mml:math><mml:mi>nf</mml:mi></mml:math> secent in <emph style="super">punctis <mml:math><mml:mi>p</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>o</mml:mi></mml:math>.</emph></s> <s xml:id="s4004" xml:space="preserve"> <emph style="super">Inventisque punctis <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>o</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> nunc <reg norm="autem" type="context">prorsus<!--variant correxitex --></reg> intelligatur <!--begin variant delevit post-->sectio<emph style="st">transiens per <mml:math><mml:mi>nf</mml:mi></mml:math><!--end variant delevit post--></emph> , cui perpendicularis ductaur <mml:math><mml:mi>nl</mml:mi></mml:math>, quae fiat aequalis <mml:math><mml:mi>ko</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s4005" xml:space="preserve"> <emph style="super">Ex demonstratis<!--variant supralineam--></emph> punctum <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math> ostendit in sectionem ipsum <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> <anchor type="note" xlink:label="note-0256-02a" xlink:href="note-0256-02"/> modo invenietur punctum <mml:math><mml:mi>m</mml:mi></mml:math> ipsum <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math> ostendens, qui cum sit <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math> in sectione iunctis <mml:math><mml:mi>bl</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>mb</mml:mi></mml:math>, erit <mml:math><mml:mi>blm</mml:mi></mml:math> in sectione figura apparens quod quidem patet si manentem <reg norm="sl" type="context">sg<!--variant correxitex --></reg> connectatur triangulum <mml:math><mml:mi>asb</mml:mi></mml:math> una cum linea <mml:math><mml:mi>ko</mml:mi></mml:math> donec subiecto plano fiat erectum.</s> <s xml:id="s4006" xml:space="preserve"> Intelligaturque sectio una <!--begin variant delevit post-->cum<emph style="st">linea <mml:math><mml:mi>nl</mml:mi></mml:math><!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super">figura <mml:math><mml:mi>blm</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> subiecto plano <!--begin variant delevit post-->erecta<emph style="st">Eademque ratione invenietur punctum <mml:math><mml:mi>m</mml:mi></mml:math> ostendens ipsum <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math>.</emph></s> <s xml:id="s4007" xml:space="preserve"> <emph style="st">Ex quibus sequitur ductam lineam <mml:math><mml:mi>clm</mml:mi></mml:math> ipsam <mml:math><mml:mi>cg</mml:mi></mml:math> ostendere.</emph></s> <s xml:id="s4008" xml:space="preserve"> <emph style="st">Quod facere oportebat.</emph></s> <s xml:id="s4009" xml:space="preserve"><!--end variant delevit post--> .</s> <s xml:id="s4010" xml:space="preserve"> <emph style="super">Oculus fuerit in <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math>.</emph></s> <s xml:id="s4011" xml:space="preserve"> <emph style="super">Quod facere oportebat<!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s4012" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="1"> <note position="left" xlink:label="note-0256-01" xlink:href="note-0256-01a" xml:space="preserve"> verovero<!--variant signopositoinmargine--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0256-02" xlink:href="note-0256-02a" xml:space="preserve"> eodemque<!--variant signopositoinmargine--> </note> </div> <p> <s xml:id="s4013" xml:space="preserve"> Qui seguita 211, 212.</s> <s xml:id="s4014" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="223" file="0257" n="257"/> <figure> <image file="med223" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med223"/> </figure> <p> <s xml:id="s4015" xml:space="preserve"> Questo vuol essere ilprimo modo da tirar in perspettiva.</s> <s xml:id="s4016" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s4017" xml:space="preserve"> Ut ad praxim deveniamus primum quoniam in sectione subiecto plano erecta lineas indefinitas <emph style="super">terminatas<!--variant supralineam--></emph> inveniri possine ostendamus.</s> <s xml:id="s4018" xml:space="preserve"> Veluti.</s> <s xml:id="s4019" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s4020" xml:space="preserve"> Sit oculus <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math>, cuius altitudo supra subiectum planum sit <mml:math><mml:mi>as</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s4021" xml:space="preserve"> Sit sectionis linea <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s4022" xml:space="preserve"> Datae vero sint lineae in subiecto plano <mml:math><mml:mi>ei</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>gh</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>kl</mml:mi></mml:math>, <!--begin variant delevit ante--><emph style="st"><mml:math><mml:mi>mn</mml:mi></mml:math></emph><mml:math><mml:mi>op</mml:mi></mml:math><!--end variant delevit ante--> <!--begin variant delevit post-->quae<emph style="st">primam non sint ipsi <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> parallelae<!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super">cum <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> conveniant in punctis <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>o</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s4023" xml:space="preserve"> <emph style="super">Sintqueeas <mml:math><mml:mi>ei</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>gh</mml:mi></mml:math> parallelae veluti <mml:math><mml:mi>kl</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>op</mml:mi></mml:math> quoque parallelae, qui si etiam<!--variant supralineam--></emph> eas <mml:math><mml:mi>ei</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>gh</mml:mi></mml:math> parallelae veluti <mml:math><mml:mi>kl</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>op</mml:mi></mml:math> quoque parallelae, qui si etiam linearum termini <mml:math><mml:mi>i</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math> in recta fuerint linea.</s> <s xml:id="s4024" xml:space="preserve"> Ducatur <mml:math><mml:mi>lhi</mml:mi></mml:math>, quae <emph style="super">tamen producta<!--variant supralineam--></emph> sectionis lineae occurrat in <mml:math><mml:mi>m</mml:mi></mml:math>, <emph style="super">qui<!--variant supralineam--></emph> si iungantur termini <mml:math><mml:mi>pl</mml:mi></mml:math> fueritque <emph style="super">linea<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>pl</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> aequidistans, non coniungatur <mml:math><mml:mi>pl</mml:mi></mml:math>, sed a puncto <mml:math><mml:mi>p</mml:mi></mml:math> utcumque ducatur <mml:math><mml:mi>pn</mml:mi></mml:math>, quae tamen proportionis facilitatem ducatur ipsis <mml:math><mml:mi>ei</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>gh</mml:mi></mml:math> aequidistans.</s> <s xml:id="s4025" xml:space="preserve"> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">Sintque</emph>Itaque<!--end variant delevit ante--> inveniatur punctum <emph style="super">x<!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">ducta nempe</emph>linearum<!--end variant delevit ante--> concursus ipsarum <mml:math><mml:mi>ei</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>gh</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s4026" xml:space="preserve"> Ductis nempe <mml:math><mml:mi>sf</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>fx</mml:mi></mml:math> ut in praecedenti.</s> <s xml:id="s4027" xml:space="preserve"> Similter inveniatur punctum linearum concursus <mml:math><mml:mi>kl</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>op</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s4028" xml:space="preserve"> Quod sit <mml:math><mml:mi>y</mml:mi></mml:math> ducta <mml:math><mml:mi>sc</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>kl</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>op</mml:mi></mml:math> parallela et <mml:math><mml:mi>cy</mml:mi></mml:math> in sectione perpendiculari <!--begin variant delevit post--><mml:math><mml:mi>cb</mml:mi></mml:math><emph style="st">quae sit<!--end variant delevit post--></emph> , <emph style="super">et<!--variant supralineam--></emph> ipsi <mml:math><mml:mi>as</mml:mi></mml:math> aequali.</s> <s xml:id="s4029" xml:space="preserve"> Deinde inveeniatur adhuc punctum <mml:math><mml:mi>u</mml:mi></mml:math> quod si punctum linearum concursus <mml:math><mml:mi>ml</mml:mi></mml:math> et aliarum ipsi <mml:math><mml:mi>ml</mml:mi></mml:math> aequidistantium, si existerint.</s> <s xml:id="s4030" xml:space="preserve"> <emph style="super">Quod sint<!--variant supralineam--></emph> ducta <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">nempe</emph><mml:math><mml:mi>sb</mml:mi></mml:math><!--end variant delevit ante--> parallela <mml:math><mml:mi>ml</mml:mi></mml:math>, et in sectio <mml:math><mml:mi>bu</mml:mi></mml:math> aequali <mml:math><mml:mi>sa</mml:mi></mml:math> perpendicularique <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math>, ut saepe dictum est.</s> <s xml:id="s4031" xml:space="preserve"> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">Ducatur <mml:math><mml:mi>sf</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>ei</mml:mi></mml:math> aequidistans, et in sectione ipsi <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> perpendicularis ducatur <mml:math><mml:mi>fx</mml:mi></mml:math>, quae fiat aequalis ipsi <mml:math><mml:mi>as</mml:mi></mml:math>.</emph></s> <s xml:id="s4032" xml:space="preserve"><emph style="st"> Erit utique punctum <mml:math><mml:mi>x</mml:mi></mml:math> ex .</emph></s> <s xml:id="s4033" xml:space="preserve"><emph style="st">..</emph></s> <s xml:id="s4034" xml:space="preserve"><emph style="st"> linearum concursus iparum <mml:math><mml:mi>ei</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>gh</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>kl</mml:mi></mml:math>.</emph></s> <s xml:id="s4035" xml:space="preserve"><emph style="st"> Iunctis igitur</emph>IunganturIungantur<!--end variant delevit ante--> <mml:math><mml:mi>ex</mml:mi></mml:math>, <!--begin variant delevit post--><mml:math><mml:mi>gx</mml:mi></mml:math><emph style="st"><mml:math><mml:mi>kx</mml:mi></mml:math><!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super">et etiam <mml:math><mml:mi>nx</mml:mi></mml:math>, cum sit <mml:math><mml:mi>np</mml:mi></mml:math> ipsis <mml:math><mml:mi>ei</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>gh</mml:mi></mml:math> aequidistans<!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s4036" xml:space="preserve"> Ostendent hae lineae in sectione ipsas <mml:math><mml:mi>ei</mml:mi></mml:math>, <!--begin variant delevit post--><mml:math><mml:mi>gh</mml:mi></mml:math><emph style="st"><mml:math><mml:mi>kl</mml:mi></mml:math><!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super"><mml:math><mml:mi>np</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> <!--begin variant delevit post--><mml:math><mml:mi>ex</mml:mi></mml:math> scilicet<mml:math><mml:mi>np</mml:mi></mml:math><mml:math><mml:mi>np</mml:mi></mml:math><emph style="st">Ut vero ostendamus <mml:math><mml:mi>mn</mml:mi></mml:math>, ducatur <mml:math><mml:mi>sb</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>mn</mml:mi></mml:math> aequidistans.</emph></s> <s xml:id="s4037" xml:space="preserve"> <emph style="st">In sectione autem ducatur <mml:math><mml:mi>bu</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> perpendicularis quae sit aequalis <mml:math><mml:mi>as</mml:mi></mml:math>, iungaturque <mml:math><mml:mi>mu</mml:mi></mml:math>, ob eandem causam <mml:math><mml:mi>mu</mml:mi></mml:math> ostendit ipsam <mml:math><mml:mi>mn</mml:mi></mml:math>.</emph></s> <s xml:id="s4038" xml:space="preserve"> <emph style="st">Qui si velimus ostendere <mml:math><mml:mi>op</mml:mi></mml:math>, ducatur <mml:math><mml:mi>sc</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>op</mml:mi></mml:math> parallela, et <mml:math><mml:mi>cy</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> perpendicularis, aequalis vero <mml:math><mml:mi>as</mml:mi></mml:math>, ducta <mml:math><mml:mi>oy</mml:mi></mml:math> ipsam <mml:math><mml:mi>op</mml:mi></mml:math> ostendit, et ita in aliis<!--end variant delevit post--></emph> vero ipsam <mml:math><mml:mi>ei</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>gx</mml:mi></mml:math> ipsam <mml:math><mml:mi>gh</mml:mi></mml:math>, et <reg norm="mx" type="context">nx<!--variant correxitex --></reg> ipsam <mml:math><mml:mi>np</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s4039" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="224" file="0258" n="258"/> <figure> <image file="med224" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med224"/> </figure> </div> <div type="section" level="1" n="104"> <head xml:id="head131" xml:space="preserve"> Praxis </head> <p> <s xml:id="s4040" xml:space="preserve"> Sit punctum <mml:math><mml:mi>s</mml:mi></mml:math> <emph style="super">punctum distantiae<!--variant supralineam--></emph> ubi ab oculo in subiectum planum cadit perpendicularis cuius quidem oculi <!--begin variant delevit post-->altitudo<emph style="st">sit<!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super">intelligatur quantitate <mml:math><mml:mi>sa</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s4041" xml:space="preserve"> Sit sectionis linea <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s4042" xml:space="preserve"> Datae vero <emph style="super">quotcumque<!--variant supralineam--></emph> lineae <emph style="super">sint<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>ei</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>gh</mml:mi></mml:math>, <!--begin variant delevit post--><mml:math><mml:mi>kl</mml:mi></mml:math><emph style="st"><mml:math><mml:mi>mn</mml:mi></mml:math><!--end variant delevit post--></emph> <!--begin variant delevit post--><mml:math><mml:mi>op</mml:mi></mml:math><emph style="st">non tamen ipsi <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> paralleae.</emph></s> <s xml:id="s4043" xml:space="preserve"> <emph style="st">Sintque <mml:math><mml:mi>ei</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>gh</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>kl</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>op</mml:mi></mml:math> parallelae<!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super">teminatae<!--variant supralineam--></emph> , quae cum <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">sectione</emph><mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math><!--end variant delevit ante--> conveniant in punctis <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>o</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s4044" xml:space="preserve"> Sintque casu?</s> <s xml:id="s4045" xml:space="preserve"> <mml:math><mml:mi>ei</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>gh</mml:mi></mml:math> parallelae veluti <emph style="super"><mml:math><mml:mi>kl</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>po</mml:mi></mml:math> quoque<!--variant supralineam--></emph> parallelae.</s> <s xml:id="s4046" xml:space="preserve"> Et si casu fuerint puncta <mml:math><mml:mi>i</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s4047" xml:space="preserve"> <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math> in recta linea ducatur <emph style="super">linea <mml:math><mml:mi>lhi</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> quid si modo producta ipsi <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> occurrat ut in <mml:math><mml:mi>m</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s4048" xml:space="preserve"> Qui si <reg norm="iungantur" type="context">iuncta fuerit<!--variant correxitex --></reg> <mml:math><mml:mi>pl</mml:mi></mml:math>, quae ipsi <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> esser aequidistans non <emph style="super"><!--milestone lacs--><!--variant supralineam--></emph> iungantur <mml:math><mml:mi>pl</mml:mi></mml:math>, sed ducatur <mml:math><mml:mi>pn</mml:mi></mml:math> utcunque dummodo conveniat cum <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math>, qui per facilitatem operationis ducatur <mml:math><mml:mi>pn</mml:mi></mml:math> ipsis <mml:math><mml:mi>ei</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>gh</mml:mi></mml:math> aequidistans.</s> <s xml:id="s4049" xml:space="preserve"> Itaque intelligatur subiectum planum.</s> <s xml:id="s4050" xml:space="preserve"> <reg norm="Ducaturque" type="context">Ducatur<!--variant correxitex --></reg> <mml:math><mml:mi>sf</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>ei</mml:mi></mml:math> <emph style="super"><mml:math><mml:mi>gh</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> aequisdistans Ducaturque <mml:math><mml:mi>fx</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> perpendicularis, quae fiat aequalis <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s4051" xml:space="preserve"> Nunc vero intelligatur sectio per <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math>, et punctum <mml:math><mml:mi>x</mml:mi></mml:math> transiens.</s> <s xml:id="s4052" xml:space="preserve"> Erit utique <emph style="super">ex ...</emph></s> <s xml:id="s4053" xml:space="preserve"><!--variant supralineam--> punctum <mml:math><mml:mi>x</mml:mi></mml:math> linearum concursus ipsarum <mml:math><mml:mi>ei</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>gh</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>kl</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s4054" xml:space="preserve"> Itaque ducantur <mml:math><mml:mi>ex</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>gx</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>kx</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s4055" xml:space="preserve"> Nimirum hae lineae in sectione lineas <mml:math><mml:mi>ei</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>gh</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>kl</mml:mi></mml:math> ostendent <anchor type="note" xlink:label="note-0258-01a" xlink:href="note-0258-01"/> <mml:math><mml:mi>ex</mml:mi></mml:math> ipsam <mml:math><mml:mi>ei</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>gx</mml:mi></mml:math> ipsam <mml:math><mml:mi>gh</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>kx</mml:mi></mml:math> ipsam <mml:math><mml:mi>kl</mml:mi></mml:math> ostendit per linea vero <mml:math><mml:mi>mn</mml:mi></mml:math> ducatur <mml:math><mml:mi>sb</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>mn</mml:mi></mml:math> aequidistans.</s> <s xml:id="s4056" xml:space="preserve"> Ducaturque <mml:math><mml:mi>bn</mml:mi></mml:math> perpendicularis <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math>, quae fiat aequalis <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s4057" xml:space="preserve"> Erit punctum <mml:math><mml:mi>u</mml:mi></mml:math> linearumconcursus ipsius <mml:math><mml:mi>mn</mml:mi></mml:math>, et omnium ipsi <mml:math><mml:mi>mn</mml:mi></mml:math> aequidistantium.</s> <s xml:id="s4058" xml:space="preserve"> Quare ducta <mml:math><mml:mi>mu</mml:mi></mml:math> in sectione ostendit ipsam <mml:math><mml:mi>mn</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s4059" xml:space="preserve"> Similiter per linea <mml:math><mml:mi>op</mml:mi></mml:math> ducatur ipsi aeuidistans <mml:math><mml:mi>sc</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s4060" xml:space="preserve"> Ipsique <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> agatur perpendicularis <mml:math><mml:mi>cy</mml:mi></mml:math> aequalis <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math>, ducta <mml:math><mml:mi>oy</mml:mi></mml:math> ipsam <mml:math><mml:mi>op</mml:mi></mml:math> in sectione repraesentabit.</s> <s xml:id="s4061" xml:space="preserve"> Quod facere oportebat.</s> </p> <div type="float" level="2" n="1"> <note position="left" xlink:label="note-0258-01" xlink:href="note-0258-01a" xml:space="preserve"> hoc est<!--variant signopositoinmargine--> </note> </div> <pb o="225" file="0259" n="259"/> <figure> <image file="med225" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med225"/> </figure> <p> <s xml:id="s4062" xml:space="preserve"> Quoniam in sectione subiecto plano erecta inveniri possint lineae ostedentes lineas terminatas sectioni aequidistantes in subiecto plano existentes.</s> <s xml:id="s4063" xml:space="preserve"> Ostendamus exponantur eadem.</s> <s xml:id="s4064" xml:space="preserve"> Sintque indeterminatae lineae sectionis <emph style="super">lineae <mml:math><mml:mi>bf</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> parallele <mml:math><mml:mi>il</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>ho</mml:mi></mml:math>, <!--begin variant delevit post--><mml:math><mml:mi>np</mml:mi></mml:math><emph style="st">ducatur utcumque<!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super">sumatur utcumque in <mml:math><mml:mi>bf</mml:mi></mml:math> punctum <mml:math><mml:mi>m</mml:mi></mml:math>.</emph></s> <s xml:id="s4065" xml:space="preserve"> <emph style="super">Ducaturque<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>mihn</mml:mi></mml:math> <emph style="super">quae parallelas lineas secet in punctis <mml:math><mml:mi>i</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s4066" xml:space="preserve"> Deinde utcumque ducatur <!--begin variant delevit post--><mml:math><mml:mi>ie</mml:mi></mml:math><emph style="st">deinde <mml:math><mml:mi>hg</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>nk</mml:mi></mml:math><!--end variant delevit post--></emph> <emph style="super">dummodo sectionis lineae occurrat, ut in <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math> et a punctis <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> ipsi <mml:math><mml:mi>ie</mml:mi></mml:math> aequidistantes <emph style="super">ducatur <mml:math><mml:mi>hg</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>nk</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> <reg norm="et ex praecedenti inveniatur punctum x linearum" type="context">inveniantur ex praecedenti<!--variant correxitex --></reg> lineae <mml:math><mml:mi>ex</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>gx</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>kx</mml:mi></mml:math> <emph style="super"><mml:math><mml:mi>eq</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>gr</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>t</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> quae in sectione ostendant ipsas <mml:math><mml:mi>ei</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>gh</mml:mi></mml:math>, <!--begin variant delevit post--><mml:math><mml:mi>kn</mml:mi></mml:math><emph style="st">similiter inveniatur <mml:math><mml:mi>mu</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>mt</mml:mi></mml:math> ostendens ipsam <mml:math><mml:mi>mn</mml:mi></mml:math><!--end variant delevit post--></emph> .</s> <s xml:id="s4067" xml:space="preserve"> <emph style="super">Puncta sane <mml:math><mml:mi>i</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math>.</emph></s> <s xml:id="s4068" xml:space="preserve"><emph style="st"> <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math> in sectione apparebunt in punctis <mml:math><mml:mi>q</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>r</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>t</mml:mi></mml:math> hoc est <mml:math><mml:mi>i</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>r</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>t</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s4069" xml:space="preserve"> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">Primum quidem punctum <mml:math><mml:mi>q</mml:mi></mml:math> ubi <mml:math><mml:mi>mu</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>ex</mml:mi></mml:math> se invicem secant ostendit punctum <mml:math><mml:mi>i</mml:mi></mml:math>, cum sit <mml:math><mml:mi>i</mml:mi></mml:math> in utraque linea <mml:math><mml:mi>ei, mi</mml:mi></mml:math>, lineaque <mml:math><mml:mi>ex</mml:mi></mml:math> ostendat ipsam <mml:math><mml:mi>ei</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>mu</mml:mi></mml:math> vero ipsam <mml:math><mml:mi>mi</mml:mi></mml:math>.</emph></s> <s xml:id="s4070" xml:space="preserve"> <emph style="st">Quare ubi se invicem secant, nempe in <mml:math><mml:mi>q</mml:mi></mml:math>, in sectione apparebit punctum <mml:math><mml:mi>i</mml:mi></mml:math>.</emph></s> <s xml:id="s4071" xml:space="preserve"> <emph style="st">Ob eandempque causam punctum <mml:math><mml:mi>r</mml:mi></mml:math> ostendit ipsum <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>t</mml:mi></mml:math> ipsum <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math></emph>Et<!--end variant delevit ante--> quoniam lineae <mml:math><mml:mi>il</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>ho</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>np</mml:mi></mml:math> sunt sectionis <emph style="super">lineae <mml:math><mml:mi>bf</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> aequidistantes, lineae, quae in setione ostendunt <mml:math><mml:mi>il</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>no</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>np</mml:mi></mml:math>, erunt ipsis <mml:math><mml:mi>il</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>no</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>np</mml:mi></mml:math> parallelae.</s> <s xml:id="s4072" xml:space="preserve"> Quare <anchor type="note" xlink:label="note-0259-01a" xlink:href="note-0259-01"/> ducatur <mml:math><mml:mi>qy</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>rz</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>tc</mml:mi></mml:math> ipsi <reg norm="bm" type="context">bf<!--variant correxitex --></reg> parallelae <emph style="super">ex utraque parte infinitae<!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s4073" xml:space="preserve"> Hae quidem lineae erunt ipsis <mml:math><mml:mi>il</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>ho</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>np</mml:mi></mml:math> parallelae, cum omnes sint ipsi <reg norm="bm" type="context">bf<!--variant correxitex --></reg> parallelae.</s> <s xml:id="s4074" xml:space="preserve"> Lineae igitur <mml:math><mml:mi>qy</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>rz</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>tc</mml:mi></mml:math> in sectione ostednunt lineas <mml:math><mml:mi>il</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>no</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>np</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s4075" xml:space="preserve"> <reg norm="Ipsaque" type="context">Ipsa<!--variant correxitex --></reg> nempe <mml:math><mml:mi>qy</mml:mi></mml:math> ipsam <mml:math><mml:mi>il</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>rz</mml:mi></mml:math> ipsam <mml:math><mml:mi>il</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>rz</mml:mi></mml:math> ipsam <mml:math><mml:mi>ho</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>tc</mml:mi></mml:math> vero ipsam <mml:math><mml:mi>np</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s4076" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="2"> <note position="left" xlink:label="note-0259-01" xlink:href="note-0259-01a" xml:space="preserve"> a punctis <mml:math><mml:mi>q</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>r</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>t</mml:mi></mml:math><!--variant signopositoinmargine--> </note> </div> <pb o="226" file="0260" n="260"/> <figure> <image file="med226" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med226"/> </figure> </div> <div type="section" level="1" n="105"> <head xml:id="head132" xml:space="preserve"> Praxis </head> <p> <s xml:id="s4077" xml:space="preserve"> <emph style="super">Accipiatur primam planum per subiecto plano in quo<!--variant supralineam--></emph> sit <emph style="super">punctum<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> ubi cadit ab oculo in subiectum planum perpendicularis <emph style="super">hoc est sit punctum distantiae.</emph></s> <s xml:id="s4078" xml:space="preserve"><emph style="super"> Oculi vero altitudo intelligatur <mml:math><mml:mi>as</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> ;</s> <s xml:id="s4079" xml:space="preserve"> sintque in subiecto plano datae lineae <emph style="super">ex utraque parte infinitae<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>il</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>ho</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>np</mml:mi></mml:math> aequidistantes.</s> <s xml:id="s4080" xml:space="preserve"> Linea vero sectionis sit <mml:math><mml:mi>bf</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s4081" xml:space="preserve"> Datis lineis aequidistans <emph style="super">sumatur in <mml:math><mml:mi>bf</mml:mi></mml:math> quodvis punctum <mml:math><mml:mi>m</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s4082" xml:space="preserve"> Ducaturque utcumque <reg norm="mn" type="context">mihn<!--variant correxitex --></reg> <emph style="super">quae parallelas secet in punctis <mml:math><mml:mi>i</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> deinde utcumque etiam ducatur <mml:math><mml:mi>ie</mml:mi></mml:math> <emph style="super">dummododummodo<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>bf</mml:mi></mml:math> secet ut in <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math> deinde <emph style="super">iungantur<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>hg</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>nk</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>ie</mml:mi></mml:math> parallelae.</s> <s xml:id="s4083" xml:space="preserve"> <anchor type="note" xlink:label="note-0260-01a" xlink:href="note-0260-01"/> itaque punctis <mml:math><mml:mi>m</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>r</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math> intelligatur nunc planum per sectionem.</s> <s xml:id="s4084" xml:space="preserve"> Et ex praecedenti <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">autem</emph>inveniatur<!--end variant delevit ante--> in sectione lineae <mml:math><mml:mi>ex</mml:mi></mml:math>, <emph style="super"><mml:math><mml:mi>eq</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> , <mml:math><mml:mi>gx</mml:mi></mml:math>, <emph style="super"><mml:math><mml:mi>gr</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> , <mml:math><mml:mi>kx</mml:mi></mml:math>, <emph style="super"><mml:math><mml:mi>kt</mml:mi></mml:math><!--variant supralineam--></emph> , quae ostendant ipsas <mml:math><mml:mi>ei</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>gh</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>kn</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s4085" xml:space="preserve"> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">Similiter inveniatur <mml:math><mml:mi>mu</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>mt</mml:mi></mml:math>, quae ostendat <mml:math><mml:mi>mn</mml:mi></mml:math>, quae quidem ipsis <mml:math><mml:mi>iq</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>gr</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>kt</mml:mi></mml:math> occurrat in punctis <mml:math><mml:mi>q</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>r</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>t</mml:mi></mml:math> ipsas <mml:math><mml:mi>ex</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>gx</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>kx</mml:mi></mml:math> secet in <mml:math><mml:mi>q</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>r</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>t</mml:mi></mml:math></emph>A punctisque<!--end variant delevit ante--> <mml:math><mml:mi>q</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>r</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>t</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>bf</mml:mi></mml:math> aequidistantes ducantur <mml:math><mml:mi>qy</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>rz</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>tc</mml:mi></mml:math> <emph style="super">ex utraque parte infinitae<!--variant supralineam--></emph> , <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">in sectione ostendit <mml:math><mml:mi>qy</mml:mi></mml:math> ipsam <mml:math><mml:mi>il</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>rz</mml:mi></mml:math> ipsam <mml:math><mml:mi>ho</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>tc</mml:mi></mml:math> ipsam <mml:math><mml:mi>np</mml:mi></mml:math>.</emph></s> <s xml:id="s4086" xml:space="preserve"> <emph style="st">Quod facere oportebat</emph>Linea<!--end variant delevit ante--> <mml:math><mml:mi>il</mml:mi></mml:math> in sectione apparebit in <mml:math><mml:mi>qy</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>ho</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>rz</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>np</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>tc</mml:mi></mml:math> <anchor type="note" xlink:label="note-0260-02a" xlink:href="note-0260-02"/> est si intelligatur sectio <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">cum lineia <mml:math><mml:mi>qy</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>rz</mml:mi></mml:math></emph>subiecto<!--end variant delevit ante--> plano erecta, similiter <mml:math><mml:mi>as</mml:mi></mml:math> eidem quoque plano erecta, oculusque intelligatur in <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s4087" xml:space="preserve"> Hoc enim modo erunt <mml:math><mml:mi>qy</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>rz</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>tc</mml:mi></mml:math> lineae apparentes.</s> <s xml:id="s4088" xml:space="preserve"> Quod facere oportebat.</s> <s xml:id="s4089" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="1"> <note position="left" xlink:label="note-0260-01" xlink:href="note-0260-01a" xml:space="preserve"> Inventis<!--variant signopositoinmargine--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0260-02" xlink:href="note-0260-02a" xml:space="preserve"> quod perspicuum<!--variant signopositoinmargine--> </note> </div> <pb o="227" file="0261" n="261"/> <p xml:lang="it"> <s xml:id="s4090" xml:space="preserve"> Questa vorrebbe esser prima della 221 ma accomodar la dimostratione lunga a questa, et quella ridurla breve come questa, perchè quella è più facile di questa.</s> <s xml:id="s4091" xml:space="preserve"> La figura della dimostratione è la medesima.</s> <s xml:id="s4092" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s4093" xml:space="preserve"> Eadem ut in 221 intelligantur constructa et demonstrata.</s> <s xml:id="s4094" xml:space="preserve"> Si ducatur <mml:math><mml:mi>ol</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>ok</mml:mi></mml:math> proportionalis quae fiat aequalis ipsi <mml:math><mml:mi>kn</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s4095" xml:space="preserve"> Dico punctum <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math> ostendere in sectione punctum <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s4096" xml:space="preserve"> Eodem enim modo ostenditur <mml:math><mml:mi>ok</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>ln</mml:mi></mml:math> esse interse aequales, et aequidistantes.</s> <s xml:id="s4097" xml:space="preserve"> Quare <mml:math><mml:mi>ol</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>kn</mml:mi></mml:math> est aequalis, et aequidistans.</s> <s xml:id="s4098" xml:space="preserve"> <!--begin variant delevit ante--><emph style="st">punctum vero <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math> ob lineam</emph>lineaque<!--end variant delevit ante--> <mml:math><mml:mi>ol</mml:mi></mml:math> ostendit ipsam <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s4099" xml:space="preserve"> <mml:math><mml:mi>nl</mml:mi></mml:math> vero ostendit ipsam <mml:math><mml:mi>nc</mml:mi></mml:math> ex .</s> <s xml:id="s4100" xml:space="preserve">..</s> <s xml:id="s4101" xml:space="preserve"> punctum vero <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> est in utraque linea <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>nc</mml:mi></mml:math>, punctum ergo <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math> ubi se invicem secant <mml:math><mml:mi>ol</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>nl</mml:mi></mml:math> in sectione ostendit ipsum <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s4102" xml:space="preserve"> Similiterque invenietur <mml:math><mml:mi>m</mml:mi></mml:math> ipsum <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math> ostendens.</s> <s xml:id="s4103" xml:space="preserve"> Lineaque <mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math> ipsam <mml:math><mml:mi>cg</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s4104" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med227" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med227"/> </figure> </div> <div type="section" level="1" n="106"> <head xml:id="head133" xml:space="preserve"> Praxis </head> <p> <s xml:id="s4105" xml:space="preserve"> Eadem, ut in antecedenti praxi exponantur.</s> <s xml:id="s4106" xml:space="preserve"> Ductisque <mml:math><mml:mi>cb</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>sc</mml:mi></mml:math>, fiat <mml:math><mml:mi>kp</mml:mi></mml:math> aequalis <mml:math><mml:mi>ko</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s4107" xml:space="preserve"> Ducaturque <mml:math><mml:mi>pl</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>sb</mml:mi></mml:math> perpendicularis, quae fiat aequalis <mml:math><mml:mi>kn</mml:mi></mml:math> punctum <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math> erit in sectione quaesitum, nempe ostendens punctum <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s4108" xml:space="preserve"> Similiter inveniatur <mml:math><mml:mi>m</mml:mi></mml:math>, quod ipsum <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math> ostendat.</s> <s xml:id="s4109" xml:space="preserve"> Quare linea <mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math> ipsam <mml:math><mml:mi>cg</mml:mi></mml:math> ostendit.</s> <s xml:id="s4110" xml:space="preserve"> Hoc?</s> <s xml:id="s4111" xml:space="preserve"> Enim patet si manente <mml:math><mml:mi>sb</mml:mi></mml:math> triangulum <mml:math><mml:mi>asb</mml:mi></mml:math> connectatur una cum linea - donec subiecto plano sit erectum, similiter intelligatur <mml:math><mml:mi>kp</mml:mi></mml:math> subiecto plano erecta unde erit punctum <mml:math><mml:mi>p</mml:mi></mml:math>, et punctum <mml:math><mml:mi>o</mml:mi></mml:math>, unum et idem, ex quibus sequitur lineam <mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math> in sectione ipsam <mml:math><mml:mi>cg</mml:mi></mml:math> ostendere.</s> <s xml:id="s4112" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="228" file="0262" n="262"/> <figure> <image file="med228" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med228"/> </figure> <p> <s xml:id="s4113" xml:space="preserve"> Possumus quoque invento puncto <mml:math><mml:mi>o</mml:mi></mml:math> ducere <mml:math><mml:mi>ol</mml:mi></mml:math> perpendicularem ipsi <mml:math><mml:mi>ok</mml:mi></mml:math>, similiterque invenire punctum <mml:math><mml:mi>m</mml:mi></mml:math>, ductaque <mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math> ipsam <mml:math><mml:mi>cg</mml:mi></mml:math> repraesentabit. Intelligendo nempe planum <mml:math><mml:mi>asb</mml:mi></mml:math> supra subiectum planum erectum, lineaeque <mml:math><mml:mi>lo</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi>qm</mml:mi></mml:math> connectatur, donec sint in sectione, sitque <mml:math><mml:mi>ol</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>kn</mml:mi></mml:math>, et quoniam ipsi <mml:math><mml:mi>kf</mml:mi></mml:math> aequidistantes. Eritque linea <mml:math><mml:mi>lm</mml:mi></mml:math> in sectione ostendens ipsam <mml:math><mml:mi>cg</mml:mi></mml:math>. Quod facere oportebat. qui seguita la 221 questo è il primo modo di tirare in perspettiva del Vignuola </s> </p> <pb o="229" file="0263" n="263"/> <p> <s xml:id="s4114" xml:space="preserve"> In linea esse puncta actu infinita sic probatur.</s> <s xml:id="s4115" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s4116" xml:space="preserve"> Linea in infinitum dividi potest, ergo in ipsa sunt puncta infnita.</s> <s xml:id="s4117" xml:space="preserve"> Probatur <emph style="it">consequentia<!--variant descriptio: diverso atramento--></emph> quia divisio in linea fit in punctis.</s> <s xml:id="s4118" xml:space="preserve"> Quod si linea non haberet puncta actu infinita in ipsa non posset fieri divisio in infinitum.</s> <s xml:id="s4119" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s4120" xml:space="preserve"> Neque obstat, quia divisio non fit tota simul, ergo neque puncta sunt infinita actu.</s> <s xml:id="s4121" xml:space="preserve"> Quia quoniam divisio fieri potest in infinitum, idcirco oportet, qui semper in linea reperiatur aliud, atque aliud, atque aliud punctum, in quo fieri possit divisio.</s> <s xml:id="s4122" xml:space="preserve"> Ergo puncta infinita.</s> <s xml:id="s4123" xml:space="preserve"> Vero autem infinitum non fiat totum simul, pervenit ex ipsa divisione infinita, et non ex punctis in linea existentibus.</s> <s xml:id="s4124" xml:space="preserve"> Si enim divisio debet esse infinita non potest absolvi aliter enim esset terminata, et non infinita, ut in successivis patet.</s> <s xml:id="s4125" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s4126" xml:space="preserve"> Praeterea in qualibet linea, puncta sunt infiities infinita.</s> <s xml:id="s4127" xml:space="preserve"> Omnis enim linea dividi potest in infinita puncta, inter quae sunt similiter puncta infinita.</s> <s xml:id="s4128" xml:space="preserve"> Ergo, et caetera.</s> <s xml:id="s4129" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s4130" xml:space="preserve"> Immo propter hoc in qualibet linea sunt puncta infinities infinita, inter quae sunt puncta infinities infinita, et iterum, et sic semper in infinitum.</s> <s xml:id="s4131" xml:space="preserve"> </s> </p> </div> <div type="section" level="1" n="107"> <head xml:id="head134" xml:space="preserve"> De infinito </head> <p> <s xml:id="s4132" xml:space="preserve"> Infinitum cum infinito comparari non potest, ut alterum altero sit aequale, vel inaequale, ut per maius et minus, et aequale determinari possint.</s> <s xml:id="s4133" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s4134" xml:space="preserve"> Hoc primum patet ex iis, quae dicta sunt de lineis.</s> <s xml:id="s4135" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s4136" xml:space="preserve"> Praeterea numeri quadrati sunt infiniti, sed plures sunt numeri <emph style="super">non<!--variant supralineam--></emph> quadrati, quam quadrati.</s> <s xml:id="s4137" xml:space="preserve"> Ergo quadrati sunt minores aliis numeris.</s> <s xml:id="s4138" xml:space="preserve"> Et per consequens, numeri omnes sunt quadratis numeris maiores.</s> <s xml:id="s4139" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s4140" xml:space="preserve"> At vero omnis numerus est radix, et omis radix habet quadratum, ergo tot sunt numeri quot sunt quadrati numeri.</s> <s xml:id="s4141" xml:space="preserve"> Patet igitur quod oppositum fuerat.</s> <s xml:id="s4142" xml:space="preserve"> Cum probatum sit quadrata, et minora, et aequalia esse aliis numeris et <emph style="super">ipsismet quadratis<!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s4143" xml:space="preserve"> Omnes vero numeri, et maiores, et aequales ipsis quadratis.</s> <s xml:id="s4144" xml:space="preserve"> Quae sunt absurda, et esse non possunt.</s> <s xml:id="s4145" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s4146" xml:space="preserve"> Ex his patet infinitum non esse proprie sub genere quantitatis.</s> <s xml:id="s4147" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="230" file="0264" n="264"/> <p> <s xml:id="s4148" xml:space="preserve"> Oculo in superficie sphaerae dato <emph style="super">a quo<!--variant supralineam--></emph> recta linea in centrum ducta sit plano per centrum ducto erecta, omnes circuli in sphaera in dicto plano circuli apparebunt.</s> <s xml:id="s4149" xml:space="preserve"> </s> </p> </div> <div type="section" level="1" n="108"> <head xml:id="head135" xml:space="preserve"> Hoc prius lemma ostendemus. </head> <figure> <image file="med230" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med230"/> </figure> <p> <s xml:id="s4150" xml:space="preserve"> Sit circulus, cuius centrum <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math>, sitque <mml:math><mml:mi>acbce</mml:mi></mml:math> ad rectos angulos.</s> <s xml:id="s4151" xml:space="preserve"> Ducatur utcumque <mml:math><mml:mi>bda</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s4152" xml:space="preserve"> Dico rectangulum <mml:math><mml:mi>abd</mml:mi></mml:math> aequale esse quadrato in circulo descripto.</s> <s xml:id="s4153" xml:space="preserve"> Iungatur <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s4154" xml:space="preserve"> Primum quidem triangula <mml:math><mml:mi>abcdbe</mml:mi></mml:math> sunt similia, quia anguli ad <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math> sunt recti, et angulus <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math> est utrique communis.</s> <s xml:id="s4155" xml:space="preserve"> Quare <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> est, ut <mml:math><mml:mi>eb</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s4156" xml:space="preserve"> Ergo rectangulum <mml:math><mml:mi>abd</mml:mi></mml:math> aequale est rectangulo <mml:math><mml:mi>ebc</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s4157" xml:space="preserve"> Rectangulum vero <mml:math><mml:mi>ebc</mml:mi></mml:math> est aequale quadrato in circulo descripto, quia rectangulum <mml:math><mml:mi>ebc</mml:mi></mml:math> dimidium est quadrati circa circulum descripti, quod quidem quadratum quadrati in circulo descripti duplum existit.</s> <s xml:id="s4158" xml:space="preserve"> Patet igitur rectangulum <mml:math><mml:mi>abd</mml:mi></mml:math> aequale esse quadrato in circulo descripto.</s> <s xml:id="s4159" xml:space="preserve"> Quod demonstrare oportebat.</s> <s xml:id="s4160" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med230_2" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med230_2"/> </figure> <p> <s xml:id="s4161" xml:space="preserve"> Eodem modo in altera figura utcumque in circulo ducta linea <mml:math><mml:mi>bad</mml:mi></mml:math>, rectangulum <mml:math><mml:mi>abd</mml:mi></mml:math> aequale est quadrato in circulo descripto.</s> <s xml:id="s4162" xml:space="preserve"> Iuncta enim <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math> triangula <mml:math><mml:mi>abcdbe</mml:mi></mml:math> sunt similia siquidem anguli ad <mml:math><mml:mi>cd</mml:mi></mml:math> sunt recti, et <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math> communis.</s> <s xml:id="s4163" xml:space="preserve"> Unde ita est <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>eb</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s4164" xml:space="preserve"> Quare rectangulum <mml:math><mml:mi>abd</mml:mi></mml:math> est rectangulo <mml:math><mml:mi>ebc</mml:mi></mml:math>, hoc est quadrato in ciruclo descripto aequale.</s> <s xml:id="s4165" xml:space="preserve"> Quod demonstrare oportebat.</s> <s xml:id="s4166" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med230_3" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med230_3"/> </figure> <p> <s xml:id="s4167" xml:space="preserve"> Hoc demonstrato, sit <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> oculus, a quo ducta linea in centrum sit ipsi per <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math> <emph style="super">plano<!--variant supralineam--></emph> perpendicularis .</s> <s xml:id="s4168" xml:space="preserve"> <emph style="super">Sitque per centrum<!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s4169" xml:space="preserve"> Sitque in sphaera ubicumque circulus, cuius diameter sit <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s4170" xml:space="preserve"> Per polosque circuli et per <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> circulus describatur maximus <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s4171" xml:space="preserve"> Dico circulum <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math> in plano ducto per <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math>, <emph style="ul">cui linea ab <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> in centrum ducta sit erecta</emph> circulum esse.</s> <s xml:id="s4172" xml:space="preserve"> Ducantur lineae <mml:math><mml:mi>abeacd</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s4173" xml:space="preserve"> Quoniam enim rectangula <mml:math><mml:mi>eabdac</mml:mi></mml:math> sunt inter se aequalia, cum sint utraque quadrato in circulo descripto aequalia, erit <mml:math><mml:mi>ae</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ad</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>ca</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math>, suntque circa eundem angulum <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math>, ergo triangula <mml:math><mml:mi>adeabc</mml:mi></mml:math> sunt subcontrarie posita.</s> <s xml:id="s4174" xml:space="preserve"> Intelligatur igitur conus <mml:math><mml:mi>bac</mml:mi></mml:math>, erit <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math> sectio subcontraria.</s> <s xml:id="s4175" xml:space="preserve"> ergo circulus.</s> <s xml:id="s4176" xml:space="preserve"> Quod demonstrare oportebat.</s> <s xml:id="s4177" xml:space="preserve"> </s> </p> </div> <div type="section" level="1" n="109"> <head xml:id="head136" xml:space="preserve"> Corollarium </head> <p> <s xml:id="s4178" xml:space="preserve"> Ex hoc manifestum est, in omnibus planis dicto plano <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math> planis, circulos in sphaera, ut <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math>, circulos apparere.</s> <s xml:id="s4179" xml:space="preserve"> Hoc patet ex 4a primi Apollonii.</s> <s xml:id="s4180" xml:space="preserve"> Siquidem <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math> circulus existit.</s> <s xml:id="s4181" xml:space="preserve"> Ex his talis constitui potest universalis propositio nempe.</s> <s xml:id="s4182" xml:space="preserve"> Oculo in superficie sphaerae dato, a quo recta linea per centrum ducta sit cuicumque plano erecta, omnes sphaerae circuli in dicto plano circuli apparebunt.</s> <s xml:id="s4183" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="231" file="0265" n="265"/> <p> <s xml:id="s4184" xml:space="preserve"> Cylindri, quorum superficies <emph style="super">(ex ipsis basibus)<!--variant supralineam--></emph> sunt aequales, ita se habent, ut eorem altitudines permutatim.</s> <s xml:id="s4185" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med231" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med231"/> </figure> <p> <s xml:id="s4186" xml:space="preserve"> Sint cylindrorum superficies <mml:math><mml:mi>acdf</mml:mi></mml:math> aequales.</s> <s xml:id="s4187" xml:space="preserve"> Dico ita esse cylindrum <mml:math><mml:mi>df</mml:mi></mml:math> ad cylindrum <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math>, ut recta <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s4188" xml:space="preserve"> Quoniam enim <anchor type="note" xlink:label="note-0265-01a" xlink:href="note-0265-01"/> cylindri <mml:math><mml:mi>df</mml:mi></mml:math> ad cylindrum <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> proportio composita est ex proportione <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math>, et ex proportione basis <mml:math><mml:mi>feh</mml:mi></mml:math> ad basim <mml:math><mml:mi>cbg</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>feh</mml:mi></mml:math> vero ad <mml:math><mml:mi>cbg</mml:mi></mml:math> eam habet proportionem, quam <emph style="super">diameter<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>fe</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>cb</mml:mi></mml:math> duplam, et quam proportionem habet <mml:math><mml:mi>fe</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>cb</mml:mi></mml:math>, eandem habet <anchor type="note" xlink:label="note-0265-02a" xlink:href="note-0265-02"/> circumferentia <mml:math><mml:mi>feh</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>cbg</mml:mi></mml:math>, basis <mml:math><mml:mi>feh</mml:mi></mml:math> ad basim <mml:math><mml:mi>cbg</mml:mi></mml:math> proportionem habebit compositam ex proportione circumferentiae <mml:math><mml:mi>feh</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>cbg</mml:mi></mml:math>, et ex proportione <mml:math><mml:mi>fe</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>cb</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s4189" xml:space="preserve"> Quapropter proportio cylindri <mml:math><mml:mi>df</mml:mi></mml:math> ad ipsum <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> composita est ex proportione <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math>, et circumferentia <mml:math><mml:mi>feh</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>cbg</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>fe</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>cb</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s4190" xml:space="preserve"> At vero quoniam superficies cylindrorum sunt aequales, quippe quae sunt parallelogramma circa cylindros convoluta, <anchor type="note" xlink:label="note-0265-03a" xlink:href="note-0265-03"/> horum latera parallelogrammorum ex adverso erunt proportionalia, hoc est erit <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math>, ut circumferentia <mml:math><mml:mi>feh</mml:mi></mml:math> ad circumferentiam <mml:math><mml:mi>cbg</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s4191" xml:space="preserve"> Cum itaque cylindrus <mml:math><mml:mi>df</mml:mi></mml:math> ad cylindrum <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> proportionem habeat compositam ex proportione <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math>, et circumferentia <mml:math><mml:mi>feh</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>cbg</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>fe</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>cb</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s4192" xml:space="preserve"> cylindrus <mml:math><mml:mi>df</mml:mi></mml:math> ad ipsum <mml:math><mml:mi>ae</mml:mi></mml:math> proportionem habebit compositam ex proportione superficiei cylindri <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> ad superficiem cylindri <mml:math><mml:mi>df</mml:mi></mml:math>, et ex <mml:math><mml:mi>fe</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>cb</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s4193" xml:space="preserve"> Superficies autem cylindrorum sunt aequales, ergo cylindrus <mml:math><mml:mi>df</mml:mi></mml:math> ad ipsum <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> est, ut <mml:math><mml:mi>fe</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>cb</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s4194" xml:space="preserve"> Sed cum sit <mml:math><mml:mi>fe</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>cb</mml:mi></mml:math>, ut circumferentia <mml:math><mml:mi>feh</mml:mi></mml:math> ad ipsam <mml:math><mml:mi>cbg</mml:mi></mml:math>, circumferentiae vero sunt (ut diximus) ut <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s4195" xml:space="preserve"> Cylindrus igitur <mml:math><mml:mi>df</mml:mi></mml:math> ad cylindrum <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> est, ut <emph style="super">altitudo<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math> ad <emph style="super">altitudem<!--variant supralineam--></emph> <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s4196" xml:space="preserve"> Quod demonstrare oportebat.</s> <s xml:id="s4197" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="1"> <note position="left" xlink:label="note-0265-01" xlink:href="note-0265-01a" xml:space="preserve"> Archimedis de conoidibus et spheroidibus propositione 5a vide Commandinum<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0265-02" xlink:href="note-0265-02a" xml:space="preserve"> Pappus in 8o libro<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0265-03" xlink:href="note-0265-03a" xml:space="preserve"> 23 sexti<!--citmargsign--> </note> </div> <pb o="232" file="0266" n="266"/> <p> <s xml:id="s4198" xml:space="preserve"> Gravitatum proportionem cuiuslibet gravis humido gravioris ad humidum <reg norm="libra" type="context">libram<!--variant 2 variants--></reg> notam reddere.</s> <s xml:id="s4199" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med232" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med232"/> </figure> <p> <s xml:id="s4200" xml:space="preserve"> Sit in <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> pondus <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> humido gravius, distantiaeque sumantur utcunque <mml:math><mml:mi>bc</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s4201" xml:space="preserve"> Appendaturque in <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math> pondus <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math>, quod ipsi <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> equeponderet.</s> <s xml:id="s4202" xml:space="preserve"> Deinde ponatur <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> in humido, moveatur pondus <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math>, donec aequeponderet ipsi <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> in humido.</s> <s xml:id="s4203" xml:space="preserve"> Dico gravitatem ponderis <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> extra humidum, ad gravitatem molis humidi ipsi <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> aequalis esse, ut <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>fd</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s4204" xml:space="preserve"> Cum enim <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> extra humidum aequeponderet <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math>, sed <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> in humido aequeponderet ipsi <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math>, erit gravitas <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> extra humidum ad <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> in humido ad <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math>, et permutando, ut <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> extra humidum ad <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> in humido, ut <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math>;</s> <s xml:id="s4205" xml:space="preserve"> hoc est, ut <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>bf</mml:mi></mml:math> <anchor type="note" xlink:label="note-0266-01a" xlink:href="note-0266-01"/> .</s> <s xml:id="s4206" xml:space="preserve"> At vero quoniam <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> in humido est levior quam extra humidum quanta est gravitas molis humidi ipsi <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> aequalis <anchor type="note" xlink:label="note-0266-02a" xlink:href="note-0266-02"/> , erit gravitas ipius <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> in humido una cum mole humidi aequegravis, ut <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> extra humidum.</s> <s xml:id="s4207" xml:space="preserve"> Unde sequitur <reg norm=" a in humido una cum mole humidi aequegrave esse ut a extra humidum. Ergo" type="context">a in humido una cum mole humidi aequeponderat ipsi e in d<!--variant correxitex --></reg> .</s> <s xml:id="s4208" xml:space="preserve"> Siquidem <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> extra humidum aequeponderat ipsi <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s4209" xml:space="preserve"> Cum igitur <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> in humido aequeponderet <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> vero in humido una cum mole humidi aequeponderat <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math>, erit <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> in humido ad <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> in humido una cum mole humidi, ut <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math>:</s> <s xml:id="s4210" xml:space="preserve"> hoc est <anchor type="note" xlink:label="note-0266-03a" xlink:href="note-0266-03"/> , ut <mml:math><mml:mi>bf</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s4211" xml:space="preserve"> Quare, <emph style="super">convertendo et<!--variant supralineam--></emph> dividendo, <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> in hummido ad molem aquae erit ut <mml:math><mml:mi>bf</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>fd</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s4212" xml:space="preserve"> Sed quoniam <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> extra humidum ad <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> in humido, est ut <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>bf</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> vero in humido ad molem humidi est, ut <mml:math><mml:mi>bf</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>fd</mml:mi></mml:math>, erit ex aequali <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> extra humidum ad molem humidi, sicut <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>df</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s4213" xml:space="preserve"> Quod demonstrare oportebat.</s> <s xml:id="s4214" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="2"> <note position="left" xlink:label="note-0266-01" xlink:href="note-0266-01a" xml:space="preserve"> 6 de libra<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0266-02" xlink:href="note-0266-02a" xml:space="preserve"> 7a primi Archimedis de iis quae vehuntur in aqua<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0266-03" xlink:href="note-0266-03a" xml:space="preserve"> 6 de libra<!--citmargsign--> </note> </div> <p> <s xml:id="s4215" xml:space="preserve"> Ex hoc colligitur si fuerit <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math>, puta aurum, cui aequeponderet pondus <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math>, si ponatur aurum in aqua et pondus <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math> aequeponderet, auro in aqua in <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math>, tunc si in <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> fuerit appensum aliud quodcunque pondus auri, ut <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math>, et in <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math> appendatur pondus <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math>, quod aequeponderet ipsi <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math> extra aquam, posito pondere <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math>, aequeponderabit <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math> auro <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math> in aqua demerso.</s> <s xml:id="s4216" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s4217" xml:space="preserve"> Eandem enim proportionem habet <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> ad molem aquae sibi aequalem, ut <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math> ad molem aquae sibi <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math> aequalem.</s> <s xml:id="s4218" xml:space="preserve"> Siquidem ex Archimede unumquodque in aqua est levius, quanta est gravitas aquae unicuique aequalis.</s> <s xml:id="s4219" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s4220" xml:space="preserve"> Hoc idem eveniet aliis metallis, caeterisque rebus humido gravioribus, etiam si datum pondus fuerit mixtum, ut puta ex auro, plumboque compositum.</s> <s xml:id="s4221" xml:space="preserve"> Eadem enim est ratio.</s> <s xml:id="s4222" xml:space="preserve"> </s> </p> </div> <div type="section" level="1" n="110"> <head xml:id="head137" xml:space="preserve"> Aliter </head> <p> <s xml:id="s4223" xml:space="preserve"> Simili modo, si prius ponetur <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> in humido, cui aequeponderet <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math>, deinde auferatur <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> ex humido, cui aequeponderet <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math>, eodem modo ostendetur <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> ad molem aquae ita esse, ut <mml:math><mml:mi>bd</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>fd</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s4224" xml:space="preserve"> </s> </p> <p> <s xml:id="s4225" xml:space="preserve"> Similiter sequitur, si <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math> fuerit eiusdem materiae ut <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math>, ponaturque <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math> in aqua, cui aequeponderabit <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math>, similiter <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math> aequeponderabit <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math> extra aquam, veluti pondus <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> aequeponderat in <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math>, et in <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s4226" xml:space="preserve"> </s> </p> </div> <div type="section" level="1" n="111"> <head xml:id="head138" xml:space="preserve"> <pb o="233" file="0267" n="267"/> Mixti proportionem invenire </head> <figure> <image file="med233" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med233"/> </figure> <p> <s xml:id="s4227" xml:space="preserve"> Sit <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> mixtum ex <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> compositum, cuius oporteat gravitatem utriusque <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> seorsum notam reddere.</s> <s xml:id="s4228" xml:space="preserve"> Exponatur libra <mml:math><mml:mi>bed</mml:mi></mml:math>, cuius suspensio sit in <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s4229" xml:space="preserve"> Deinde in <mml:math><mml:mi>ed</mml:mi></mml:math> ubicunque appendatur pondus <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math>, quod aequeponderet ipsi <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s4230" xml:space="preserve"> Ponaturque gratia exempli partem <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> esse auri, et <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> argenti.</s> <s xml:id="s4231" xml:space="preserve"> Deinde in <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math> ponatur pondus <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math> <!--begin variant delevit post-->auri<emph style="st">puri<!--end variant delevit post--></emph> , cui aequeponderet aliquod pondus in <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s4232" xml:space="preserve"> Deinde ponatur <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math> in humido, ut exempli gratia in aqua, cui pondus <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math> aequeponderet in <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s4233" xml:space="preserve"> Deinceps in <mml:math><mml:mi>b</mml:mi></mml:math> aliud appendatur pondus <!--begin variant delevit post--><mml:math><mml:mi> m</mml:mi></mml:math><emph style="st">aliquot literas<!--end variant delevit post--></emph> <reg norm="argento" type="context">argenti<!--variant correxitex --></reg> , cui aequeponderet pondus <mml:math><mml:mi>o</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s4234" xml:space="preserve"> Demersoque pondere <mml:math><mml:mi>m</mml:mi></mml:math> in aqua, pondus <mml:math><mml:mi>o</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>m</mml:mi></mml:math> in aqua constituto aequeponderet in <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s4235" xml:space="preserve"> Denique ponatur mixtum <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> in aqua, cui aequeponderet pondus <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>p</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s4236" xml:space="preserve"> Dico auri gravitatem ad gravitatem argenti se habere ut <mml:math><mml:mi>np</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>pl</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s4237" xml:space="preserve"> Intelligatur <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> divisum, ita ut <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math> aequeponderet <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math> vero ipsi <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math>, tunc posito <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> in aqua pondus <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math> ipsi auro aequeponderabit in <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math> ex ante dictis.</s> <s xml:id="s4238" xml:space="preserve"> Similiterque posito <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> in aqua pondus <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> aequeponderabit.</s> <s xml:id="s4239" xml:space="preserve"> Ex quibus patet ponderi mixto <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> in aqua posito, pondus <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math>, ex <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math> aequeponderare.</s> <s xml:id="s4240" xml:space="preserve"> Sed <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> in aqua aequeponderat ipsi <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>p</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s4241" xml:space="preserve"> Ergo eandem habebit gravitatem <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math>, sicut <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>p</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s4242" xml:space="preserve"> Quare ex quinta de libra ita est gravitas <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>np</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>pl</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s4243" xml:space="preserve"> Gravitas vero <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math>, et <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math> est, ut <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math>, siquidem interse aequeponderant.</s> <s xml:id="s4244" xml:space="preserve"> Ergo <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> est, ut <mml:math><mml:mi>np</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>pl</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s4245" xml:space="preserve"> Quod facere oportebat.</s> <s xml:id="s4246" xml:space="preserve"> </s> </p> </div> <div type="section" level="1" n="112"> <head xml:id="head139" xml:space="preserve"> <pb o="234" file="0268" n="268"/> Aliter </head> <figure> <image file="med234" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med234"/> </figure> <p> <s xml:id="s4247" xml:space="preserve"> Si iisdem positis ipsi <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> in aqua posito primum aequeponderet <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math>, ipsi vero <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> extra aquam aequeponderet <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>p</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s4248" xml:space="preserve"> Sed auro <mml:math><mml:mi>h</mml:mi></mml:math> in aqua aequeponderet <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math>, eidem autem auro extra aquam aequeponderet <mml:math><mml:mi>k</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s4249" xml:space="preserve"> Similiter argento <mml:math><mml:mi>m</mml:mi></mml:math> in aqua aequeponderet <mml:math><mml:mi>o</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>d</mml:mi></mml:math>, ipsi vero <mml:math><mml:mi>m</mml:mi></mml:math> extra aquam aequeponderet <mml:math><mml:mi>o</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s4250" xml:space="preserve"> Dico <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> esse, ut <mml:math><mml:mi>np</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>pl</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s4251" xml:space="preserve"> Si enim appendatur <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>l</mml:mi></mml:math> et <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>n</mml:mi></mml:math>, ut diximus <anchor type="note" xlink:label="note-0268-01a" xlink:href="note-0268-01"/> , aequeponderabunt <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>ln</mml:mi></mml:math> ipsi <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> extra aquam, cui etiam aequeponderat <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>p</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s4252" xml:space="preserve"> Ob eandem igitur rationem aequegrave est <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>ln</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>fg</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi>p</mml:mi></mml:math>, <anchor type="note" xlink:label="note-0268-02a" xlink:href="note-0268-02"/> .</s> <s xml:id="s4253" xml:space="preserve"> Ergo ita est <mml:math><mml:mi>f</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>g</mml:mi></mml:math>, hoc est <mml:math><mml:mi>a</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>c</mml:mi></mml:math>, ut <mml:math><mml:mi>np</mml:mi></mml:math> ad <mml:math><mml:mi>pl</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s4254" xml:space="preserve"> Quod facere oportebat.</s> <s xml:id="s4255" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="1"> <note position="left" xlink:label="note-0268-01" xlink:href="note-0268-01a" xml:space="preserve"> in antecedente<!--citmargsign--> </note> <note position="left" xlink:label="note-0268-02" xlink:href="note-0268-02a" xml:space="preserve"> 5 de libra </note> </div> <p xml:lang="it"> <s xml:id="s4256" xml:space="preserve"> Potrà forse accadere, che <mml:math><mml:mi>np</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>pl</mml:mi></mml:math> venghimo linee tanto piccole, che non si possi comodamente trovar la loro proportione.</s> <s xml:id="s4257" xml:space="preserve"> Et però si potrà pigliar il punto <mml:math><mml:mi>q</mml:mi></mml:math>, dove si voglia, e tirar le linee <mml:math><mml:mi>qnr</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>qps</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi>qlt</mml:mi></mml:math>, e tirar la linea <mml:math><mml:mi>rst</mml:mi></mml:math> parallela a <mml:math><mml:mi>npl</mml:mi></mml:math>, che haverà <mml:math><mml:mi>rs</mml:mi></mml:math> a <mml:math><mml:mi>st</mml:mi></mml:math> la medesima proportione, che ha <mml:math><mml:mi>np</mml:mi></mml:math> a <mml:math><mml:mi>pl</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s4258" xml:space="preserve"> Poi si potrà pigliar un bastone diritto, et avvolgergli atorno una corda di citara ben sottile, e che le spire si tocchino l'un l'altra, che per esser pari, si potrà veder quante spire siano <mml:math><mml:mi>nppl</mml:mi></mml:math>, overo <mml:math><mml:mi>rsst</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s4259" xml:space="preserve"> E così, quanto comporta l'atto pratico, si haverà in numeri la proportion dell'oro e dell'argento della magnitudine di <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s4260" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="235" file="0269" n="269"/> <p xml:lang="it"> <s xml:id="s4261" xml:space="preserve"> Le corde tirate egualmente, quella che è più leggiera fa il suono più acuto essendo lunga egualmente, come per esperienza si prova con una corda di ottone, o acciaio, et una di leuto alle quali se gli pò attaccar due pesi eguali, essendo gl'intervalli eguali, se quella di leuto sarà più leggiera, ancorchè più grossa dell'altra, farà il suono più acuto.</s> <s xml:id="s4262" xml:space="preserve"> La ragione è che percotendole tutte due, quella più leggiera riceve il moto più veloce nell'andar e tornar che fa la corda e però fa il suono più acuto.</s> <s xml:id="s4263" xml:space="preserve"> E di qui è, che due corde in unisono, sonano bene insieme, e non si percotono tra loro, mentre sonano.</s> <s xml:id="s4264" xml:space="preserve"> Che nasce, per che hanno il medesimo moto nell'andar e tornar, che se se ne scorda, e muove una, non sonano bene insieme, ma si percoteno, et urtano insieme l'una con l'altra, perchè il moto dell'una non è come il moto dell'altra, che per essere un moto più veloce dell'altro è causa, che si urtano, come si sente per esperienza con due corde di leuto vicine.</s> <s xml:id="s4265" xml:space="preserve"> Di qui ancora si pò render ragione per che causa, se saranno due instrumenti vicini, che habbino più corde, e posta una paglia sopra le corde di uno, e con l'altro si tocchi una corda, si sente, che quella corda dell'altro instrumento che sarà unisono con quella che si tocca suona ancor lei, e le altre non suonano.</s> <s xml:id="s4266" xml:space="preserve"> E questo potrebbe nascer da questo, che l'aere della corda che è sonata per la sua agitazione ne muove tutte le altre corde, ma perchè quelle che non sono in unisono non possono ricevere il medesimo moto di quella che è sonata, e quella che è in unisono lo pò ricevere, però ancor'ella suona, e le altre non sonano.</s> <s xml:id="s4267" xml:space="preserve"> La paglia poi, che se gli mette sopra fa, che movendosi la corda, urta nella paglia spesso e si sente il suono, favorisce questa ragione, che bisogna, che gl'instrumenti siano fra loro vicini, che come sono lontani, non segue l'effetto.</s> <s xml:id="s4268" xml:space="preserve"> Le corde sono false, quando non sono per tutto di egual grossezza, perchè quando si toccano per farle sonare le parti più sottili pigliano di moto più veloce, che non fanno le parti più grosse, e così non possono far il suono eguale <emph style="super">cioè di una sol voce, ma mista<!--variant supralineam--></emph> .</s> <s xml:id="s4269" xml:space="preserve"> E però non si possono accordare con le altre, massime con le buone.</s> <s xml:id="s4270" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="236" file="0270" n="270"/> <p xml:lang="it"> <s xml:id="s4271" xml:space="preserve"> Quand'una caduta sarà alta dieci, per dar l'acqua a un molino la canala vuol esser 15 come la caduta <mml:math><mml:mi>ab</mml:mi></mml:math>, et la canala <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s4272" xml:space="preserve"> Ma per regola generale, vuole esser <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> elevata <emph style="super">circa<!--variant supralineam--></emph> a 45 gradi per l'ordinario, secondo la considerazione della grandezza dell'acqua che si ha.</s> <s xml:id="s4273" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med236" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med236"/> </figure> <p xml:lang="it"> <s xml:id="s4274" xml:space="preserve"> <anchor type="figure" xlink:label="med236_2a" xlink:href="med236_2"/> Se si tira una palla, o con una balestra, o con artiglieria, o con la mano o con altro instrumento, sopra la linea dell'horizonte, il medesimo viaggio fa nel callar, che nel montar, e la figura è quella, che <emph style="super">rivoltata<!--variant supralineam--></emph> sotto la linea horizontale fa una corda, che non stia tirata, essendo l'un e l'altro composto di naturale, e di violento, et è una linea in vista simile alla parabola, et hyperbole Disegno.</s> <s xml:id="s4275" xml:space="preserve"> E questo si vede meglio con una catena, che con una corda per che la corda <mml:math><mml:mi>abc</mml:mi></mml:math> Disegno quando <mml:math><mml:mi>ac</mml:mi></mml:math> sono vicini la parte <mml:math><mml:mi> b</mml:mi></mml:math> non si accosta come doverebbe, perciochè la corda resta in se dura.</s> <s xml:id="s4276" xml:space="preserve"> Che non fa cosìuna catena, o catenina.</s> <s xml:id="s4277" xml:space="preserve"> La esperienza di questo moto si pò far pigliando una palla tinta d'inchiostro, e tirandola sopra un piano di una tavola, il qual stia quasi perpendicolare all'horizonte, che se ben la palla va saltando, va però facendo li punti, dalli quali si vede chiaro, che sicome ella ascende, cosìanco descende, et è cosìragionevole, perchè la violentia che ella ha acquistata nell'andar in su, fa che nel callar vadi medesimamente superando il moto naturale nel venire in giù.</s> <s xml:id="s4278" xml:space="preserve"> Che la violentia che superò da <mml:math><mml:mi> b</mml:mi></mml:math> al <mml:math><mml:mi> c</mml:mi></mml:math> conservandosi fa che dal <mml:math><mml:mi> c</mml:mi></mml:math> al <mml:math><mml:mi> d</mml:mi></mml:math> sia eguale a <mml:math><mml:mi> cb</mml:mi></mml:math>, e descendendo di mano in mano perdendosi la <anchor type="figure" xlink:label="med236_3a" xlink:href="med236_3"/> violentia fa che dal <mml:math><mml:mi> d</mml:mi></mml:math> al <mml:math><mml:mi> e</mml:mi></mml:math> sia eguale a <mml:math><mml:mi> ba</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s4279" xml:space="preserve"> Essendo che non vi è ragione, che dal <mml:math><mml:mi> c</mml:mi></mml:math> verso <mml:math><mml:mi>de</mml:mi></mml:math> mostri, che si perda a fatto la violentia, che se ben va continuamente perdendo verso <mml:math><mml:mi>e</mml:mi></mml:math>, nondimeno sempre se ne resta, che è causa, che verso <mml:math><mml:mi> e</mml:mi></mml:math> il peso non va mai per linea retta.</s> <s xml:id="s4280" xml:space="preserve"> <emph style="it">Una corda che sostenta un peso, tanto sostien essendo corta, quanto lunga.</emph></s> <s xml:id="s4281" xml:space="preserve"> È ben vero che nella longa, prima per la sua gravità, poi perchè nella lunga ci possono esser molte parti deboli, pò essere che ella si tronchi più facilmente e da minor peso.</s> <s xml:id="s4282" xml:space="preserve"> Ma se dove ella si stronca per la sua distrattione, la corda fusse sostenuta poco di sopra, e poco di sotto fusse stato il peso senza dubbio ella medesimamente si sarebbe stroncata, perchè si sarebbe nel medesimo modo distratta.</s> <s xml:id="s4283" xml:space="preserve"> </s> </p> <div type="float" level="2" n="2"> <figure xlink:label="med236_2" xlink:href="med236_2a"> <image file="med236_2" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med236_2"/> </figure> <figure xlink:label="med236_3" xlink:href="med236_3a"> <image file="med236_3" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med236_3"/> </figure> </div> <pb o="237" file="0271" n="271"/> <figure> <image file="med237" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med237"/> </figure> <p> <s xml:id="s4284" xml:space="preserve"> Sit <mml:math><mml:mi> abc</mml:mi></mml:math> triangulum obtusum habens angulum ad <mml:math><mml:mi> b</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s4285" xml:space="preserve"> Dico fieri posse, ut a punctis <mml:math><mml:mi> bc</mml:mi></mml:math> latera duo erigantur, ut <mml:math><mml:mi> bd</mml:mi></mml:math> <mml:math><mml:mi> cd</mml:mi></mml:math>, ita ut <mml:math><mml:mi> bd</mml:mi></mml:math> sit maius <mml:math><mml:mi> ba</mml:mi></mml:math>, <mml:math><mml:mi> cd</mml:mi></mml:math> vero sit maius <mml:math><mml:mi>ca</mml:mi></mml:math>, angulus vero <mml:math><mml:mi> bdc</mml:mi></mml:math> maior sit angulo <mml:math><mml:mi> bac</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s4286" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med237_2" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med237_2"/> </figure> <p> <s xml:id="s4287" xml:space="preserve"> Fiat centro <mml:math><mml:mi> c</mml:mi></mml:math> et secundum <mml:math><mml:mi> ca</mml:mi></mml:math> circulus describatur <reg norm="ak" type="context">ac<!--variant correxitex --></reg> , similiter centro <mml:math><mml:mi> b</mml:mi></mml:math> intervallo autem <mml:math><mml:mi> ba</mml:mi></mml:math> circulus describatur <mml:math><mml:mi> af</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s4288" xml:space="preserve"> Et inter circumferentiam <mml:math><mml:mi> aeag</mml:mi></mml:math> punctum utcumque sumatur <mml:math><mml:mi> d</mml:mi></mml:math> iunganturque <mml:math><mml:mi>bdcd</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s4289" xml:space="preserve"> Primum quidem <mml:math><mml:mi> cd</mml:mi></mml:math> maior est <mml:math><mml:mi> ce</mml:mi></mml:math>, sed <mml:math><mml:mi> ce</mml:mi></mml:math> est aequalis <mml:math><mml:mi> ca</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s4290" xml:space="preserve"> Ergo <mml:math><mml:mi> cd</mml:mi></mml:math> maior est <mml:math><mml:mi> ca</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s4291" xml:space="preserve"> Parique ratione <mml:math><mml:mi> bd</mml:mi></mml:math> maior est <mml:math><mml:mi> bf</mml:mi></mml:math>, et sunt <mml:math><mml:mi>bfba</mml:mi></mml:math> aequales ergo <mml:math><mml:mi> bd</mml:mi></mml:math> maior est <mml:math><mml:mi> ba</mml:mi></mml:math>.</s> <s xml:id="s4292" xml:space="preserve"> Secet <mml:math><mml:mi> bd</mml:mi></mml:math> circunferentiam <mml:math><mml:mi>ag</mml:mi></mml:math> in <mml:math><mml:mi> g</mml:mi></mml:math>, iungaturque <mml:math><mml:mi> cg</mml:mi></mml:math> et quoniam angulus <mml:math><mml:mi> bgc</mml:mi></mml:math> est aequalis <mml:math><mml:mi> bag</mml:mi></mml:math>, sed <mml:math><mml:mi>bdc</mml:mi></mml:math> maior est <mml:math><mml:mi> bgc</mml:mi></mml:math> erit igitur <mml:math><mml:mi> bdc</mml:mi></mml:math> angulo <mml:math><mml:mi> bac</mml:mi></mml:math> maior.</s> <s xml:id="s4293" xml:space="preserve"> Quod facere oportebat.</s> <s xml:id="s4294" xml:space="preserve"> </s> </p> <pb o="238" file="0272" n="272"/> <p> <s xml:id="s4295" xml:space="preserve"> 1587 </s> </p> <p> <s xml:id="s4296" xml:space="preserve"> Canicula sub poli altitudini <mml:math><mml:mi>43.30.</mml:mi></mml:math> </s> </p> <xhtml:table> <xhtml:tr> <xhtml:td><s xml:id="s4297" xml:space="preserve">longitudo </s></xhtml:td> <xhtml:td><s xml:id="s4298" xml:space="preserve">♋ .8.57 </s></xhtml:td> </xhtml:tr> <xhtml:tr> <xhtml:td><s xml:id="s4299" xml:space="preserve">latitudo austrina </s></xhtml:td> <xhtml:td><s xml:id="s4300" xml:space="preserve">.39.10 </s></xhtml:td> </xhtml:tr> <xhtml:tr> <xhtml:td><s xml:id="s4301" xml:space="preserve">declinatio </s></xhtml:td> <xhtml:td><s xml:id="s4302" xml:space="preserve">.15.55 </s></xhtml:td> </xhtml:tr> <xhtml:tr> <xhtml:td><s xml:id="s4303" xml:space="preserve">ascensio recta </s></xhtml:td> <xhtml:td><s xml:id="s4304" xml:space="preserve">.97.11 </s></xhtml:td> </xhtml:tr> <xhtml:tr> <xhtml:td><s xml:id="s4305" xml:space="preserve">differentia ascensionalis </s></xhtml:td> <xhtml:td><s xml:id="s4306" xml:space="preserve">.15.42 </s></xhtml:td> </xhtml:tr> <xhtml:tr> <xhtml:td><s xml:id="s4307" xml:space="preserve">ascensio obliqua </s></xhtml:td> <xhtml:td><s xml:id="s4308" xml:space="preserve">.112.53 </s></xhtml:td> </xhtml:tr> <xhtml:tr> <xhtml:td><s xml:id="s4309" xml:space="preserve">oritur cum puncto Zodiaci idest die prima vel secunda Augusti </s></xhtml:td> <xhtml:td><s xml:id="s4310" xml:space="preserve">♌ .8.36 </s></xhtml:td> </xhtml:tr> <xhtml:tr> <xhtml:td><s xml:id="s4311" xml:space="preserve">Ortus <!--milestone lacs-->, apparens illius est quando sole est in </s></xhtml:td> <xhtml:td><s xml:id="s4312" xml:space="preserve">♌ .22.41 </s></xhtml:td> </xhtml:tr> <xhtml:tr> <xhtml:td><s xml:id="s4313" xml:space="preserve">quod fit die 17 Augusti. </s></xhtml:td> </xhtml:tr> </xhtml:table> <pb o="239" file="0273" n="273"/> <pb o="240" file="0274" n="274"/> <pb o="241" file="0275" n="275"/> <pb o="242" file="0276" n="276"/> <pb o="243" file="0277" n="277"/> <figure> <image file="med243" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med243"/> </figure> <p xml:lang="it"> <s xml:id="s4314" xml:space="preserve"> Proposto di saper quanti stara di grano sta in una fossa da grano la qual'in fondo sia di diametro 7 piedi, alta 6 piedi, et in cima di diametro Il staro sia sei toppi, et un toppo cilindro sia di diametro un piede, e tre oncie, alto oncie 7 Prima circa la fossa si ridurrà ogni cosa a mezzi piedi, per esser nel diametro di sopra piede.</s> <s xml:id="s4315" xml:space="preserve"> Et fatta la figura, trovisi o per via di linea, o <emph style="super"> come si è detto a carte 33<!--variant supralineam--></emph> il lato <mml:math><mml:mi> id</mml:mi></mml:math>, il qual sia 7 per esempio non essendo così apunto.</s> <s xml:id="s4316" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med243_2" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med243_2"/> </figure> <pb o="244" file="0278" n="278"/> <p xml:lang="it"> <s xml:id="s4317" xml:space="preserve"> La ragion del zoppo bisogna ridurla a oncie </s> </p> <figure> <image file="med244" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med244"/> </figure> <p xml:lang="it"> <s xml:id="s4318" xml:space="preserve"> Multiplichisi adunque li 116 pie' cubi trovati sopr per 1728, poi partisi per 1232, ovvero multiplichisi per 108, e si parta per 77, et quel che viene saranno quante volte entra un zoppo di grano nella fossa data.</s> <s xml:id="s4319" xml:space="preserve"> </s> </p> <figure> <image file="med244_2" xlink:href="http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/QFWN4Q67/figures/med244_2"/> </figure> <pb o="245" file="0279" n="279"/> <p xml:lang="it"> <s xml:id="s4320" xml:space="preserve"> Un pie' cubo d'acqua della misura di Pesaro pesa libre --- 129 mezza soma d'acqua pesa libre --- 119.</s> <s xml:id="s4321" xml:space="preserve"> < Il foglietto di collocazione incerta> </s> </p> <pb file="0280" n="280"/> <pb file="0281" n="281"/> <pb file="0282" n="282"/> </div></text></echo>