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</head><body >

<!--l. 15--><p class="noindent"><pb/></p>
<div class="center" >

<!--l. 16--><p class="noindent">
</p><!--l. 17--><p class="noindent"><span
class="cmr-17x-x-120">ANNALEN DER PHYSIK.</span></p></div>
<div class="center" >

<!--l. 20--><p class="noindent">
</p><!--l. 21--><p class="noindent"><span
class="cmr-12x-x-120">VIERTE FOLGE. BAND 49.</span></p></div>
<!--l. 26--><p class="noindent"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_19160x.png" alt="PICT"  />
</p>
<div class="center" >

<!--l. 32--><p class="noindent">
</p><!--l. 33--><p class="noindent"><span
class="cmr-12x-x-120">1.</span><span
class="cmbxti-10x-x-144">Die Grundlage </span> <br/><span
class="cmbxti-10x-x-144">der allgemeinen Relativit</span><span
class="cmbxti-10x-x-144">ätstheorie;</span>
 <br/><span
class="cmbxti-10x-x-144">von A. Einstein.</span></p></div>
<div class="center" >

<!--l. 38--><p class="noindent">
</p><!--l. 39--><p class="noindent">--------</p></div>
<!--l. 42--><p class="indent">   Die im nachfolgenden dargelegte Theorie bildet die denk-<br/>bar weitgehendste Verallgemeinerung der heute allgemein als <br/>,,Relativitätstheorie&#8220; bezeichneten Theorie; die letztere nenne <br/>ich im folgenden zur Unterscheidung von der ersteren ,,spezielle <br/>Relativitätstheorie&#8220; und setze sie als bekannt voraus. Die
 <br/>Verallgemeinerung der Relativitätstheorie wurde sehr er-<br/>leichtert durch die Gestalt, welche der speziellen Relativitäts-<br/>theorie durch Minkowski gegeben wurde, welcher Mathe-<br/>matiker zuerst die formale Gleichwertigkeit der räumlichen
 <br/>Koordinaten und der Zeitkoordinate klar erkannte und für <br/>den Aufbau der Theorie nutzbar machte. Die für die all-<br/>gemeine Relativitätstheorie nötigen mathematischen Hilfs-<br/>mittel lagen fertig bereit in dem ,,absoluten Differentialkalkül&#8220;, <br/>welcher auf den Forschungen von Gauss, Riemann und
 <br/>Christoffel über nichteuklidische Mannigfaltigkeiten ruht und <br/>von Ricci und Levi-Civita in ein System gebracht und <br/>bereits auf Probleme der theoretischen Physik angewendet <br/>wurde. Ich habe im Abschnitt B der vorliegenden Abhand-<br/>lung alle für uns nötigen, bei dem Physiker nicht als bekannt <br/>vorauszusetzenden mathematischen Hilfsmittel in möglichst <br/>einfacher und durchsichtiger Weise entwickelt, so daß ein <br/>Studium mathematischer Literatur für das Verständnis der
 <br/>vorliegenden Abhandlung nicht erforderlich ist. Endlich sei <br/>an dieser Stelle dankbar meines Freundes, des Mathematikers <br/>Grossmann, gedacht, der mir durch
seine Hilfe nicht nur <br/>das Studium der einschlägigen mathematischen Literatur er-<br/>sparte, sondern mich auch beim Suchen nach den Feldgleichun-<br/>gen der Gravitation unterstützte.
</p>
<div class="center" >

<!--l. 62--><p class="noindent">
</p><!--l. 63--><p class="noindent">--------</p></div>
<!--l. 65--><p class="noindent"><pb/>
</p><!--l. 69--><p class="indent">

</p>
<div class="center" >

<!--l. 70--><p class="noindent">
</p><!--l. 71--><p class="noindent"><span
class="cmbx-12">A. Prinzipielle Erw</span><span
class="cmbx-12">ägungen zum Postulat der Relativit</span><span
class="cmbx-12">ät.</span></p></div>
<div class="center" >

<!--l. 74--><p class="noindent">
</p><!--l. 76--><p class="noindent"><span
class="cmbsy-10x-x-120">§ </span><span
class="cmbx-12">1.   Bemerkungen zu der speziellen Relativit</span><span
class="cmbx-12">ätstheorie.</span></p></div>
<!--l. 80--><p class="indent">   Der speziellen Relativitätstheorie liegt folgendes Postulat <br/>zugrunde, welchem auch durch die Galilei-Newtonsche <br/>Mechanik Genüge geleistet wird: Wird ein Koordinatensystem <span
class="cmmi-12">K </span> <br/>so gewählt, daß in bezug auf dasselbe die physikalischen Ge-<br/>setze in ihrer einfachsten Form gelten, so gelten <span
class="cmti-12">dieselben </span> <br/>Gesetze auch in bezug auf jedes andere Koordinatens ystem <span
class="cmmi-12">K</span><span
class="cmsy-10x-x-120">'</span>, <br/>das relativ zu <span
class="cmmi-12">K </span>in gleichförmiger Translationsbewegung be-<br/>griffen ist. Dieses Postulat nennen wir ,,spezielles Relativitäts-<br/>prinzip&#8220;. Durch das Wort ,,speziell&#8220; soll angedeutet werden,
 <br/>daß das Prinzip auf den Fall beschränkt ist, daß <span
class="cmmi-12">K</span><span
class="cmsy-10x-x-120">' </span>eine <span
class="cmti-12">gleich- </span> <br/><span
class="cmti-12">f</span><span
class="cmti-12">örmige</span>
<span
class="cmti-12">Translationsbewegung </span>gegen <span
class="cmmi-12">K </span>ausführt, daß sich <br/>aber die Gleichwertigkeit von <span
class="cmmi-12">K</span><span
class="cmsy-10x-x-120">'</span>
und <span
class="cmmi-12">K </span>nicht auf den Fall <br/><span
class="cmti-12">ungleichf</span><span
class="cmti-12">örmiger </span>Bewegung von <span
class="cmmi-12">K</span><span
class="cmsy-10x-x-120">' </span>gegen <span
class="cmmi-12">K</span>
erstreckt.
</p><!--l. 99--><p class="indent">   Die spezielle Relativitätstheorie weicht also von der klas-<br/>sischen Mechanik nicht durch das Relativitätspostulat ab, <br/>sondern allein durch das Postulat von der Konstanz der <br/>Vakuum-Lichtgeschwindigkeit, aus welchem im Verein mit <br/>dem speziellen Relativitätsprinzip die Relativität der Gleich-<br/>zeitigkeit sowie die Lorentztransformation und die mit dieser <br/>verknüpften Gesetze über das Verhalten bewegter starrer <br/>Körper und Uhren in bekannter Weise folgen.
</p><!--l. 110--><p class="indent">   Die Modifikation, welche die Theorie von Raum und Zeit <br/>durch die spezielle Relativitätstheorie erfahren hat, ist zwar <br/>eine tiefgehende; aber <span
class="cmti-12">ein </span>wichtiger Punkt blieb unangetastet. <br/>Auch gemäß der speziellen Relativitätstheorie sind nämlich <br/>die Sätze der Geometrie unmittelbar als die Gesetze über <br/>die möglichen relativen Lagen (ruhender) fester Körper zu <br/>deuten, allgemeiner die Sätze der Kinematik als Sätze, welche <br/>das Verhalten von Meßkörpern und Uhren beschreiben. Zwei <br/>hervorgehobenen materiellen Punkten eines ruhenden (starren)
 <br/>Körpers entspricht hierbei stets eine Strecke von ganz be-<br/>stimmter Länge, unabhängig von Ort und Orientierung des <br/>Körpers sowie von der Zeit; zwei hervorgehobenen Zeiger-<br/>stellungen einer relativ zum (berechtigten) Bezugssystem ruhen-<br/>den Uhr entspricht stets eine Zeitstrecke von bestimmter Länge,
 <br/>unabhängig von Ort und Zeit. Es wird sich bald zeigen, daß <br/>die allgemeine Relativitätstheorie an dieser einfachen physika-<br/>lischen Deutung von Raum und Zeit nicht festhalten kann. <pb/>
</p><!--l. 126--><p class="indent">

</p>
<div class="center" >

<!--l. 127--><p class="noindent">
</p><!--l. 130--><p class="noindent"><span
class="cmbsy-10x-x-120">§ </span><span
class="cmbx-12">2.   </span><span
class="cmbx-12">Über die Gr</span><span
class="cmbx-12">ünde, welche eine Erweiterung des Relativit</span><span
class="cmbx-12">äts-</span>
 <br/><span
class="cmbx-12">postulates nahelegen.</span></p></div>
<!--l. 134--><p class="indent">   Der klassischen Mechanik und nicht minder der speziellen <br/>Relativitätstheorie haftet ein erkenntnistheoretischer Mangel <br/>an, der vielleicht zum ersten Male von E. Mach klar hervor-<br/>gehoben wurde. Wir erläutern ihn am folgenden Beispiel.
 <br/>Zwei flüssige Körper von gleicher Größe und Art schweben <br/>frei im Raume in so großer Entfernung voneinander (und von <br/>allen übrigen Massen), daß nur diejenigen Gravitationskräfte <br/>berücksichtigt werden müssen, welche die Teile <span
class="cmti-12">eines</span>
dieser <br/>Körper aufeinander ausüben. Die Entfernung der Körper <br/>voneinander sei unveränderlich. Relative Bewegungen der <br/>Teile eines der Körper gegeneinander sollen nicht auftreten. <br/>Aber jede Masse soll -- von einem relativ zu der anderen Masse <br/>ruhenden Beobachter aus beurteilt -- um die Verbindungslinie <br/>der Massen mit konstanter Winkelgeschwindigkeit rotieren (es <br/>ist dies eine konstatierbare Relativbewegung beider Massen). <br/>Nun denken wir uns die Oberflächen beider Körper (<span
class="cmmi-12">S</span><sub ><span
class="cmr-8">1</span></sub> und <span
class="cmmi-12">S</span><sub ><span
class="cmr-8">2</span></sub>) <br/>mit Hilfe (relativ ruhender) Maßstäbe ausgemessen; es ergebe
 <br/>sich, daß die Oberfläche von <span
class="cmmi-12">S</span><sub ><span
class="cmr-8">1</span></sub> eine Kugel, die von <span
class="cmmi-12">S</span><sub ><span
class="cmr-8">2</span></sub> ein <br/>Rotationsellipsoid sei.
</p><!--l. 159--><p class="indent">   Wir fragen nun: Aus welchem Grunde verhalten sich die <br/>Körper <span
class="cmmi-12">S</span><sub ><span
class="cmr-8">1</span></sub>
und <span
class="cmmi-12">S</span><sub ><span
class="cmr-8">2</span></sub> verschieden? Eine Antwort auf diese Frage <br/>kann nur dann als erkenntnistheoretisch befriedigend<sup ><span
class="cmr-8">1</span></sup>) an-<br/>erkannt werden, wenn die als Grund angegebene Sache eine <br/><span
class="cmti-12">beobachtbare Erfahrungstatsache </span>ist; denn das Kausalitäts-<br/>gesetz hat nur dann den Sinn einer Aussage über die Er-<br/>fahrungswelt, wenn als Ursachen und Wirkungen letzten <br/>Endes nur <span
class="cmti-12">beobachtbare Tatsachen</span>
auftreten.
</p><!--l. 169--><p class="indent">   Die Newtonsche Mechanik gibt auf diese Frage keine <br/>befriedigende Antwort. Sie sagt nämlich folgendes. Die Ge-<br/>setze der Mechanik gelten wohl für einen Raum <span
class="cmmi-12">R</span><sub ><span
class="cmr-8">1</span></sub>, gegen <br/>welchen der Körper <span
class="cmmi-12">S</span><sub ><span
class="cmr-8">1</span></sub> in Ruhe ist, nicht aber gegenüber einem
 <br/>Raume <span
class="cmmi-12">R</span><sub ><span
class="cmr-8">2</span></sub>, gegen welchen <span
class="cmmi-12">S</span><sub ><span
class="cmr-8">2</span></sub> in Ruhe ist. Der berechtigte <br/>Galileische Raum <span
class="cmmi-12">R</span><sub ><span
class="cmr-8">1</span></sub>, der hierbei eingeführt wird, ist aber <br/>eine <span
class="cmti-12">blo</span><span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-c.png" alt="b" class="cmmi-12x-x-c" align="middle" /> </span><span
class="cmti-12">fingierte </span>Ursache, keine beobachtbare Sache. Es <br/>ist also klar, daß die Newtonsche Mechanik der Forderung <br/>----------
</p><!--l. 177--><p class="indent">   1) Eine derartige erkenntnistheoretisch befriedigende Antwort kann <br/>natürlich immer noch <span
class="cmti-12">physikalisch </span>unzutreffend sein, falls sie mit anderen <br/>Erfahrungen im Widerspruch ist. <pb/>
</p><!--l. 184--><p class="indent">

</p><!--l. 185--><p class="noindent">der Kausalität in dem betrachteten Falle nicht wirklich, son-<br/>dern nur scheinbar Genüge leistet, indem sie die bloß fin-<br/>gierte Ursache <span
class="cmmi-12">R</span><sub ><span
class="cmr-8">1</span></sub> für das beobachtbare verschiedene Ver-<br/>halten der Körper <span
class="cmmi-12">S</span><sub ><span
class="cmr-8">1</span></sub> und <span
class="cmmi-12">S</span><sub ><span
class="cmr-8">2</span></sub> verantwortlich macht.
</p><!--l. 191--><p class="indent">   Eine befriedigende Antwort auf die oben aufgeworfene <br/>Frage kann nur so lauten: Das aus <span
class="cmmi-12">S</span><sub ><span
class="cmr-8">1</span></sub> und <span
class="cmmi-12">S</span><sub ><span
class="cmr-8">2</span></sub> bestehende <br/>physikalische System zeigt für sich allein keine denkbare Ur-<br/>sache, auf welche das verschiedene Verhalten von <span
class="cmmi-12">S</span><sub ><span
class="cmr-8">1</span></sub> und <span
class="cmmi-12">S</span><sub ><span
class="cmr-8">2</span></sub>
 <br/>zurückgeführt werden könnte. Die Ursache muß also <span
class="cmti-12">au</span><span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-c.png" alt="b" class="cmmi-12x-x-c" align="middle" /></span><span
class="cmti-12">er- </span> <br/><span
class="cmti-12">halb </span>dieses Systems liegen. Man gelangt zu der Auffassung, <br/>daß die allgemeinen Bewegungsgesetze, welche im speziellen <br/>die Gestalten von <span
class="cmmi-12">S</span><sub ><span
class="cmr-8">1</span></sub> und <span
class="cmmi-12">S</span><sub ><span
class="cmr-8">2</span></sub> bestimmen, derart sein müssen,
 <br/>daß das mechanische Verhalten von <span
class="cmmi-12">S</span><sub ><span
class="cmr-8">1</span></sub> und <span
class="cmmi-12">S</span><sub ><span
class="cmr-8">2</span></sub> ganz wesentlich <br/>durch ferne Massen mitbedingt werden muß, welche wir nicht zu <br/>dem betrachteten System gerechnet hatten. Diese fernen Massen <br/>(und ihre Relativbewegungen gegen die betrachteten Körper) <br/>sind dann als Träger prinzipiell beobachtbarer Ursachen für <br/>das verschiedene Verhalten unserer betrachteten Körper an-<br/>zusehen; sie übernehmen die Rolle der fingierten Ursache <span
class="cmmi-12">R</span><sub ><span
class="cmr-8">1</span></sub>. <br/>Von allen denkbaren, relativ zueinander beliebig bewegten <br/>Räumen <span
class="cmmi-12">R</span><sub ><span
class="cmr-8">1</span></sub>, <span
class="cmmi-12">R</span><sub ><span
class="cmr-8">2</span></sub> usw. darf a priori keiner als bevorzugt an-<br/>gesehen werden, wenn nicht der dargelegte erkenntnistheo-<br/>retische Einwand wieder aufleben soll. <span
class="cmti-12">Die Gesetze der</span>
<span
class="cmti-12">Physik </span> <br/><span
class="cmti-12">m</span><span
class="cmti-12">üssen so beschaffen sein, da</span><span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-c.png" alt="b" class="cmmi-12x-x-c" align="middle" /> </span><span
class="cmti-12">sie in bezug auf beliebig bewegte</span>
 <br/><span
class="cmti-12">Bezugssysteme gelten. </span>Wir gelangen also auf diesem Wege <br/>zu einer Erweiterung des Relativitätspostulates.
</p><!--l. 219--><p class="indent">   Außer diesem schwerwiegenden erkenntnistheoretischen <br/>Argument spricht aber auch eine wohlbekannte physikalische <br/>Tatsache für eine Erweiterung der Relativitätstheorie. Es <br/>sei <span
class="cmmi-12">K </span>ein Galileisches Bezugssystem, d. h. ein solches,
 <br/>relativ zu welchem (mindestens in dem betrachteten vier-<br/>dimensionalen Gebiete) eine von anderen hinlänglich ent-<br/>fernte Masse sich geradlinig und gleichförmig bewegt. Es <br/>sei <span
class="cmmi-12">K</span><span
class="cmsy-10x-x-120">' </span>ein zweites Koordinatensystem, welches relativ zu <span
class="cmmi-12">K </span> <br/>in
<span
class="cmti-12">gleichf</span><span
class="cmti-12">örmig beschleunigter </span>Translationsbewegung sei. Relativ <br/>zu <span
class="cmmi-12">K</span><span
class="cmsy-10x-x-120">' </span>führte dann eine von anderen hinreichend getrennte Masse <br/>eine beschleunigte Bewegung aus, derart, daß deren Beschleuni-<br/>gung und Beschleunigungsrichtung von ihrer stofflichen Zusam-<br/>mensetzung und ihrem physikalischen Zustande unabhängig ist.
</p><!--l. 236--><p class="indent">   Kann ein relativ zu <span
class="cmmi-12">K</span><span
class="cmsy-10x-x-120">' </span>ruhender Beobachter hieraus <br/><pb/>
</p><!--l. 239--><p class="indent">

</p><!--l. 240--><p class="noindent">den Schluß ziehen, daß er sich auf einem ,,wirklich&#8220; be-<br/>schleunigten Bezugssystem befindet? Diese Frage ist zu ver-<br/>neinen; denn das vorhin genannte Verhalten frei beweglicher <br/>Massen relativ zu <span
class="cmmi-12">K</span><span
class="cmsy-10x-x-120">' </span>kann ebensogut auf folgende Weise ge-<br/>deutet werden. Das Bezugssystem <span
class="cmmi-12">K</span><span
class="cmsy-10x-x-120">' </span>ist unbeschleunigt; in <br/>dem betrachteten zeiträumlichen Gebiete herrscht aber ein <br/>Gravitationsfeld, welches die beschleunigte Bewegung der <br/>Körper relativ zu <span
class="cmmi-12">K</span><span
class="cmsy-10x-x-120">' </span>erzeugt.
</p><!--l. 250--><p class="indent">   Diese Auffassung wird dadurch ermöglicht, daß uns die <br/>Erfahrung die Existenz eines Kraftfeldes (nämlich des Gravi-<br/>tationsfeldes) gelehrt hat, welches die merkwürdige Eigen-<br/>schaft hat, allen Körpein dieselbe Beschleunigung zu erteilen.<sup ><span
class="cmr-8">1</span></sup>) <br/>Das mechanische Verhalten der Körper relativ zu <span
class="cmmi-12">K</span><span
class="cmsy-10x-x-120">' </span>ist das-<br/>selbe, wie es gegenüber Systemen sich der Erfahrung dar-<br/>bietet, die wir als, ,,ruhende&#8220; bzw. als ,,berechtigte&#8220; Systeme <br/>anzusehen gewohnt sind; deshalb liegt es auch vom physi-<br/>kalischen Standpunkt nahe, anzunehmen, daß die Systeme <span
class="cmmi-12">K </span> <br/>und <span
class="cmmi-12">K</span><span
class="cmsy-10x-x-120">' </span>beide mit demselben Recht als ,,ruhend&#8220; angesehen <br/>werden können, bzw. daß sie als Bezugssysteme für die physi-<br/>kalische Beschreibung der Vorgänge gleichberechtigt seien.
</p><!--l. 266--><p class="indent">   Aus diesen Erwägungen sieht man, daß die Durchführung <br/>der allgemeinen Relativitätstheorie zugleich zu einer Theorie der <br/>Gravitation führen muß; denn man kann ein Gravitations-<br/>feld durch bloße Änderung des Koordinatensystems ,,erzeugen&#8220;. <br/>Ebenso sieht man unmittelbar, daß das Prinzip von der Kon-<br/>stanz der Vakuum-Lichtgeschwindigkeit eine Modifikation er-<br/>fahren muß. Denn man erkennt leicht, daß die Bahn eines <br/>Lichtstrahles in bezug auf <span
class="cmmi-12">K</span><span
class="cmsy-10x-x-120">' </span>im allgemeinen eine krumme <br/>sein muß, wenn sich das Licht in bezug auf <span
class="cmmi-12">K </span>geradlinig und <br/>mit bestimmter, konstanter Geschwindigkeit fortpflanzt.
</p>
<div class="center" >

<!--l. 279--><p class="noindent">
</p><!--l. 282--><p class="noindent"><span
class="cmbsy-10x-x-120">§ </span><span
class="cmbx-12">3.   Das Raum-Zeit-Kontinuum. Forderung der allgemeinen</span>
 <br/><span
class="cmbx-12">Kovarianz f</span><span
class="cmbx-12">ür die die allgemeinen Naturgesetze ausdr</span><span
class="cmbx-12">ückenden</span>
 <br/><span
class="cmbx-12">Gleichungen.</span></p></div>
<!--l. 286--><p class="indent">   In der klassischen Mechanik sowie in der speziellen Rela-<br/>tivitätstheorie haben die Koordinaten des Raumes und der <br/>Zeit eine unmittelbare physikalische Bedeutung. Ein Punkt-<br/>ereignis hat die <span
class="cmmi-12">X</span><sub ><span
class="cmr-8">1</span></sub>-Koordinate <span
class="cmmi-12">x</span><sub ><span
class="cmr-8">1</span></sub>, bedeutet: Die nach den
 <br/>----------
</p><!--l. 293--><p class="indent">   1) Daß das Gravitationsfeld diese Eigenschaft mit großer Genauig-<br/>keit besitzt, hat Eötvös experimentell bewiesen. <pb/>
</p><!--l. 299--><p class="indent">

</p><!--l. 300--><p class="noindent">Regeln der Euklidischen Geometrie mittels starrer Stäbe er-<br/>mittelte Projektion des Punktereignisses auf die <span
class="cmmi-12">X</span><sub ><span
class="cmr-8">1</span></sub>-Achse <br/>wird erhalten, indem man einen bestimmten Stab, den Ein-<br/>heitsmaßstab, <span
class="cmmi-12">x</span><sub ><span
class="cmr-8">1</span></sub>mal vom Anfangspunkt des Koordinaten-<br/>körpers auf der (positiven) <span
class="cmmi-12">X</span><sub ><span
class="cmr-8">1</span></sub>-Achse abträgt. Ein Punkt <br/>hat die
<span
class="cmmi-12">X</span><sub ><span
class="cmr-8">4</span></sub>-Koordinate <span
class="cmmi-12">x</span><sub ><span
class="cmr-8">4</span></sub> = <span
class="cmmi-12">t</span>, bedeutet: Eine relativ zum <br/>Koordinatensystem ruhend angeordnete, mit dem Punkt-<br/>ereignis räumlich (praktisch) zusammenfallende Einheitsuhr, <br/>welche nach bestimmten Vorschriften gerichtet ist, hat <span
class="cmmi-12">x</span><sub ><span
class="cmr-8">4</span></sub> = <span
class="cmmi-12">t</span>
 <br/>Perioden zurückgelegt beim Eintreten des Punktereignisses.<sup ><span
class="cmr-8">1</span></sup>)
</p><!--l. 314--><p class="indent">   Diese Auffassung von Raum und Zeit schwebte den Phy-<br/>sikern stets, wenn auch meist unbewußt, vor, wie aus der <br/>Rolle klar erkennbar ist, welche diese Begriffe in der messenden <br/>Physik spielen; diese Auffassung mußte der Leser auch der <br/>zweiten Betrachtung des letzten Paragraphen zugrunde legen, <br/>um mit diesen Ausführungen einen Sinn verbinden zu können. <br/>Aber wir wollen nun zeigen, daß man sie fallen lassen und <br/>durch eine allgemeinere ersetzen muß, um das Postulat der <br/>allgemeinen Relativität durchführen zu können, falls die <br/>spezielle Relativitätstheorie für den Grenzfall des Fehlens <br/>eines Gravitationsfeldes zutrifft.
</p><!--l. 328--><p class="indent">   Wir führen in einem Raume, der frei sei von Gravitations-<br/>feldern, ein Galileisches Bezugssystem <span
class="cmmi-12">K </span>(<span
class="cmti-12">x, y, z, t</span>) ein, und <br/>außerdem ein relativ zu <span
class="cmmi-12">K</span>
gleichförmig rotierendes Koordi-<br/>natensystem <span
class="cmmi-12">K</span><span
class="cmsy-10x-x-120">'</span><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_19161x.png" alt="  '  '  ' ' (x, y , z t)"  class="left" align="middle" /> Die Anfangspunkte beider Sy-<br/>steme sowie deren <span
class="cmmi-12">Z</span>-Achsen mögen dauernd zusammenfallen. <br/>Wir wollen zeigen, daß für eine Raum--Zeitmessung im <br/>System <span
class="cmmi-12">K</span><span
class="cmsy-10x-x-120">' </span>die obige Festsetzung für die physikalische Bedeu-<br/>tung von Längen und Zeiten nicht aufrecht erhalten werden <br/>kann. Aus Symmetriegründen ist klar, daß ein Kreis um den <br/>Anfangspunkt in der <span
class="cmti-12">X-Y </span>-Ebene von <span
class="cmmi-12">K </span>zugleich als Kreis in der
 <br/><span
class="cmmi-12">X</span><span
class="cmsy-10x-x-120">'</span>-<span
class="cmmi-12">Y </span><span
class="cmsy-10x-x-120">'</span>-Ebene von <span
class="cmmi-12">K</span><span
class="cmsy-10x-x-120">' </span>aufgefaßt werden kann. Wir denken uns <br/>nun Umfang und Durchmesser dieses Kreises mit einem (relativ <br/>zum Radius unendlich kleinen) Einheitsmaßstabe ausgemessen <br/>und den Quotienten beider Meßresultate gebildet. Würde man <br/>dieses Experiment mit einem relativ zum Galileischen System
 <br/>----------
</p><!--l. 349--><p class="indent">   1) Die Konstatierbarkeit der ,,Gleichzeitigkeit&#8220; für räumlich un-<br/>mittelbar benachbarte Ereignisse, oder -- präziser gesagt -- für das <br/>raumzeitliche unmittelbare Benachbartsein (Koinzidenz) nehmen wir an, <br/>ohne für diesen fundamentalen Begriff eine Definition zu geben. <pb/>
</p><!--l. 358--><p class="indent">

</p><!--l. 359--><p class="noindent"><span
class="cmmi-12">K </span>ruhenden Maßstabe ausführen, so würde man als Quotienten <br/>die Zahl <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-19.png" alt="p" class="12x-x-19" /></span>
erhalten. Das Resultat der mit einem relativ zu <br/><span
class="cmmi-12">K</span><span
class="cmsy-10x-x-120">' </span>ruhenden Maßstabe ausgeführten Bestimmung würde eine <br/>Zahl sein, die größer ist als <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-19.png" alt="p" class="12x-x-19" /></span>. Man erkennt dies leicht, wenn <br/>man den ganzen Meßprozeß vom ,,ruhenden&#8220; System <span
class="cmmi-12">K </span>aus
 <br/>beurteilt und berücksichtigt, daß der peripherisch angelegte <br/>Maßstab eine Lorentzverkürzung erleidet, der radial angelegte <br/>Maßstab aber nicht. Es gilt daher in bezug auf <span
class="cmmi-12">K</span><span
class="cmsy-10x-x-120">' </span>nicht die <br/>Euklidische Geometrie; der oben festgelegte Koordinaten-<br/>begriff, welcher die Gültigkeit der Euklidischen Geometrie
 <br/>voraussetzt, versagt also mit Bezug auf das System <span
class="cmmi-12">K</span><span
class="cmsy-10x-x-120">'</span>. Ebenso-<br/>wenig kann man in <span
class="cmmi-12">K</span><span
class="cmsy-10x-x-120">' </span>eine den physikalischen Bedürfnissen <br/>entsprechende Zeit einführen, welche durch relativ zu <span
class="cmmi-12">K</span><span
class="cmsy-10x-x-120">'</span> <br/>ruhende, gleich beschaffene Uhren angezeigt wird. Um dies
 <br/>einzusehen, denke man sich im Koordinatenursprung und an <br/>der Peripherie des Kreises je eine von zwei gleich beschaffenen <br/>Uhren angeordnet und vom ,,ruhenden&#8220; System <span
class="cmmi-12">K </span>aus be-<br/>trachtet. Nach einem bekannten Resultat der speziellen Rela-<br/>tivitätstheorie geht -- von <span
class="cmmi-12">K </span>aus beurteilt -- die auf der
 <br/>Kreisperipherie angeordnete Uhr langsamer als die im Anfangs-<br/>punkt angeordnete Uhr, weil erstere Uhr bewegt ist letztere <br/>aber nicht. Ein im gemeinsamen Koordinatenursprung be-<br/>findlicher Beobachter, welcher auch die an der Peripherie <br/>befindliche Uhr mittels des Lichtes zu beobachten fähig wäre,
 <br/>würde also die an der Peripherie angeordnete Uhr langsamer <br/>gehen sehen als die neben ihm angeordnete Uhr. Da er sich <br/>nicht dazu entschließen wird, die Lichtgeschwindigkeit auf <br/>dem in Betracht kommenden Wege explizite von der Zeit <br/>abhängen zu lassen, wird er seine Beobachtung dahin inter-<br/>pretieren, daß die Uhr an der Peripherie ,,wirklich&#8220; lang-<br/>samer gehe als die im Ursprung angeordnete. Er wird also <br/>nicht umhin können, die Zeit so zu definieren, daß die Gang-<br/>geschwindigkeit einer Uhr vom Orte abhängt.
</p><!--l. 400--><p class="indent">   Wir gelangen also zu dem Ergebnis: In der allgemeinen <br/>Relativitätstheorie können Raum- und Zeitgrößen nicht so <br/>definiert werden, daß räumliche Koordinatendifferenzen un-<br/>mittelbar mit dem Einheitsmaßstab, zeitliche mit einer Normal-<br/>uhr gemessen werden könnten.
</p><!--l. 407--><p class="indent">   Das bisherige Mittel, in das zeiträumliche Kontinuum <br/>in bestimmter Weise Koordinaten zu legen, versagt also, und <br/><pb/>
</p><!--l. 412--><p class="indent">

</p><!--l. 413--><p class="noindent">es scheint sich auch kein <span
class="cmti-12">anderer </span>Weg darzubieten, der ge-<br/>statten würde, der vierdimensionalen Welt Koordinatensysteme <br/>so anzupassen, daß bei ihrer Verwendung eine besonders <br/>einfache Formulierung der Naturgesetze zu erwarten wäre. <br/>Es bleibt daher nichts anderes übrig, als alle denkbaren<sup ><span
class="cmr-8">1</span></sup>)
 <br/>Koordinatensysteme als für die Naturbeschreibung prinzipiell <br/>gleichberechtigt anzusehen. Dies kommt auf die Forderung <br/>hinaus:
</p><!--l. 426--><p class="indent">   <span
class="cmti-12">Die allgemeinen Naturgesetze sind durch Gleichungen aus- </span> <br/><span
class="cmti-12">zudr</span><span
class="cmti-12">ücken, die f</span><span
class="cmti-12">ür</span>
<span
class="cmti-12">alle Koordinatensysteme gelten, d. h. die </span> <br/><span
class="cmti-12">beliebigen Substitutionen gegen</span><span
class="cmti-12">über</span>
<span
class="cmti-12">kovariant (allgemein ko- </span> <br/><span
class="cmti-12">variant) sind.</span>
</p><!--l. 428--><p class="indent">   Es ist klar, daß eine Physik, welche diesem Postulat ge-<br/>nügt, dem allgemeinen Relativitätspostulat gerecht wird. <br/>Denn in <span
class="cmti-12">allen </span>Substitutionen sind jedenfalls auch diejenigen <br/>enthalten, welche allen Relativbewegungen der (dreidimen-<br/>sionalen) Koordinatensysteme entsprechen. Daß diese Forde-<br/>rung der allgemeinen Kovarianz, welche dem Raum und der <br/>Zeit den letzten Rest physikalischer Gegenständlichkeit nehmen, <br/>eine natürliche Forderung ist, geht aus folgender Überlegung <br/>hervor. Alle unsere zeiträumlichen Konstatierungen laufen <br/>stets auf die Bestimmung zeiträumlicher Koinzidenzen hinaus. <br/>Bestände beispielsweise das Geschehen nur in der Bewegung <br/>materieller Punkte, so wäre letzten Endes nichts beobachtbar <br/>als die Begegnungen zweier oder mehrerer dieser Punkte. <br/>Auch die Ergebnisse unserer Messungen sind nichts anderes <br/>als die Konstatierung derartiger Begegnungen materieller <br/>Punkte unserer Maßstäbe mit anderen materiellen Punkten <br/>bzw. Koinzidenzen zwischen Uhrzeigern, Zifferblattpunkten <br/>und ins Auge gefaßten, am gleichen Orte und zur gleichen <br/>Zeit stattfindenden Punktereignissen.
</p><!--l. 451--><p class="indent">   Die Einführung eines Bezugssystems dient zu nichts <br/>anderem als zur leichteren Beschreibung der Gesamtheit <br/>solcher Koinzidenzen. Man ordnet der Welt vier zeiträum-<br/>liche Variable <span
class="cmmi-12">x</span><sub ><span
class="cmr-8">1</span></sub>, <span
class="cmmi-12">x</span><sub ><span
class="cmr-8">2</span></sub>, <span
class="cmmi-12">x</span><sub ><span
class="cmr-8">3</span></sub>, <span
class="cmmi-12">x</span><sub ><span
class="cmr-8">4</span></sub> zu, derart, daß jedem Punkt-<br/>ereignis ein Wertesystem der Variablen <span
class="cmmi-12">x</span><sub ><span
class="cmr-8">1</span></sub><span
class="cmmi-12">...</span><span
class="cmmi-12">.x</span><sub ><span
class="cmr-8">4</span></sub> entspricht, <br/>Zwei koinzidierenden Punktereignissen entspricht dasselbe <br/>----------
</p><!--l. 460--><p class="indent">   1) Von gewissen Beschränkungen, welche der Forderung der ein-<br/>deutigen Zuordnung und derjenigen der Stetigkeit entsprechen, wollen <br/>wir hier nicht sprechen. <pb/>
</p><!--l. 466--><p class="indent">

</p><!--l. 467--><p class="noindent">Wertesystem der Variablen <span
class="cmmi-12">x</span><sub ><span
class="cmr-8">1</span></sub><span
class="cmmi-12">...</span><span
class="cmmi-12">.x</span><sub ><span
class="cmr-8">4</span></sub>; d. h. die Koinzidenz <br/>ist durch die Übereinstimmung der Koordinaten charak-<br/>terisiert. Führt man statt der Variablen <span
class="cmmi-12">x</span><sub ><span
class="cmr-8">1</span></sub><span
class="cmmi-12">...</span><span
class="cmmi-12">.x</span><sub ><span
class="cmr-8">4</span></sub> beliebige <br/>Funktionen derselben, <span
class="cmmi-12">x</span><sub ><span
class="cmr-8">1</span></sub><sup ><span
class="cmsy-8">'</span></sup>, <span
class="cmmi-12">x</span><sub >
<span
class="cmr-8">2</span></sub><sup ><span
class="cmsy-8">'</span></sup>, <span
class="cmmi-12">x</span><sub >
<span
class="cmr-8">3</span></sub><sup ><span
class="cmsy-8">'</span></sup>, <span
class="cmmi-12">x</span><sub >
<span
class="cmr-8">4</span></sub><sup ><span
class="cmsy-8">'</span></sup> als neues Koordinaten-<br/>system ein, so daß die Wertesysteme einander eindeutig zu-<br/>geordnet sind, so ist die Gleichheit aller vier Koordinaten <br/>auch im neuen System der Ausdruck für die raumzeitliche <br/>Koinzidenz zweier Punktereignisse. Da sich alle unsere physi-<br/>kalischen Erfahrungen letzten Endes auf solche Koinzidenzen <br/>zurückführen lassen, ist zunächst kein Grund vorhanden, <br/>gewisse Koordinatensysteme vor anderen zu bevorzugen, d. h. <br/>wir gelangen zu der Forderung der allgemeinen Kovarianz.
</p>
<div class="center" >

<!--l. 483--><p class="noindent">
</p><!--l. 486--><p class="noindent"><span
class="cmbsy-10x-x-120">§ </span><span
class="cmbx-12">4.   Beziehung der vier Koordinaten zu r</span><span
class="cmbx-12">äumlichen und zeit-</span>
 <br/><span
class="cmbx-12">lichen Meßergebnissen. </span> <br/><span
class="cmbx-12">Analytischer Ausdruck f</span><span
class="cmbx-12">ür das</span>
<span
class="cmbx-12">Gravitationsfeld.</span></p></div>
<!--l. 490--><p class="indent">   Es kommt mir in dieser Abhandlung nicht darauf an, <br/>die allgemeine Relativitätstheorie als ein möglichst einfaches <br/>logisches System mit einem Minimum von Axiomen darzu-<br/>stellen. Sondern es ist mein Hauptziel, diese Theorie so zu <br/>entwickeln, daß der Leser die psychologische Natürlichkeit <br/>des eingeschlagenen Weges empfindet und daß die zugrunde <br/>gelegten Voraussetzungen durch die Erfahrung möglichst ge-<br/>sichert erscheinen. In diesem Sinne sei nun die Voraus-<br/>setzung eingeführt:
</p><!--l. 501--><p class="indent">   Für unendlich kleine vierdimensionale Gebiete ist die <br/>Relativitätstheorie im engeren Sinne bei passender Koordi-<br/>natenwahl zutreffend.
</p><!--l. 505--><p class="indent">   Der Beschleunigungszustand des unendlich kleinen (,,ört-<br/>lichen&#8220;) Koordinatensystems ist hierbei so zu wählen, daß <br/>ein Gravitationsfeld nicht auftritt; dies ist für ein unendlich <br/>kleines Gebiet möglich. <span
class="cmmi-12">X</span><sub ><span
class="cmr-8">1</span></sub>, <span
class="cmmi-12">X</span><sub ><span
class="cmr-8">2</span></sub>, <span
class="cmmi-12">X</span><sub ><span
class="cmr-8">3</span></sub> seien die räumlichen <br/>Koordinaten; <span
class="cmmi-12">X</span><sub ><span
class="cmr-8">4</span></sub> die zugehörige, in geeignetem Maßstabe ge-<br/>messene<sup ><span
class="cmr-8">1</span></sup>) Zeitkoordinate. Diese Koordinaten haben, wenn <br/>ein starres Stäbchen als Einheitsmaßstab gegeben gedacht <br/>wird, bei gegebener Orientierung des Koordinatensystems <br/>eine unmittelbare physikalische Bedeutung im Sinne der
 <br/>speziellen Relativitätstheorie. Der Ausdruck</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-2r1"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_19162x.png" alt="d s2 = - dX12 -  dX22 -  dX32 +  dX42 " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(1)</td></tr></table>
<!--l. 521--><p class="nopar"></p><!--l. 524--><p class="noindent">----------
</p><!--l. 527--><p class="indent">   1) Die Zeiteinheit ist so zu wählen, daß die Vakuum-Lichtgeschwindig-<br/>keit -- in dem ,,lokalen&#8220; Koordinatensystem gemessen -- gleich 1 wird.<pb/>
</p><!--l. 532--><p class="indent">

</p><!--l. 533--><p class="noindent">hat dann nach der speziellen Relativitätstheorie einen von <br/>der Orientierung des lokalen Koordinatensystems unabhängigen, <br/>durch Raum--Zeitmessung ermittelbaren Wert. Wir nennen <br/><span
class="cmmi-12">ds </span>die Größe des zu den unendlich benachbarten Punkten <br/>des vierdimensionalen Raumes gehörigen Linienelementes. Ist <br/>das zu dem Element <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_19163x.png" alt="(d X1 ....d X4)"  class="left" align="middle" /> gehörige <span
class="cmmi-12">ds</span><sup ><span
class="cmr-8">2</span></sup> positiv, <br/>so nennen wir mit Minkowski ersteres zeitartig, im entgegen-<br/>gesetzten Falle raumartig.
</p><!--l. 545--><p class="indent">   Zu dem betrachteten ,,Linienelement&#8220; bzw. zu den beiden <br/>unendlich benachbarten Punktereignissen gehören auch be-<br/>stimmte Differentiale <span
class="cmmi-12">dx</span><sub ><span
class="cmr-8">1</span></sub><span
class="cmmi-12">...</span><span
class="cmmi-12">.dx</span><sub ><span
class="cmr-8">4</span></sub>
der vierdimensionalen Ko-<br/>ordinaten des gewählten Bezugssystems. Ist dieses sowie ein <br/>,,lokales&#8220; System obiger Art für die betrachtete Stelle gegeben, <br/>so werden sich hier die <span
class="cmmi-12">dX</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub> durch bestimmte lineare homogene <br/>Ausdrücke der <span
class="cmmi-12">dx</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b" /></span></sub>
darstellen lassen:</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-3r2"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_19164x.png" alt="d X  =   sum  a   d x .     n        ns   s          s " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(2)</td></tr></table>
<!--l. 558--><p class="nopar">
</p><!--l. 561--><p class="noindent">Setzt man diese Ausdrücke in (1) ein, so erhält man</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-4r3"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_19165x.png" alt="ds2 =  sum   g   dx  dx ,            st    s   t        st " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(3)</td></tr></table>
<!--l. 568--><p class="nopar">

</p><!--l. 571--><p class="noindent">wobei die <span
class="cmmi-12">g</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1c.png" alt="t" class="8x-x-1c" /></span></sub> Funktionen der <span
class="cmmi-12">x</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b" /></span></sub> sein werden, die nicht mehr <br/>von der Orientierung und dem Bewegungszustand des ,,lokalen&#8220; <br/>Koordinatensystems abhängen können; denn <span
class="cmmi-12">ds</span><sup ><span
class="cmr-8">2</span></sup> ist eine <br/>durch Maßstab-Uhrenmessung ermittelbare, zu den betrach-<br/>teten, zeiträumlich unendlich benachbarten Punktereignissen <br/>gehörige, unabhängig von jeder besonderen Koordinatenwahl <br/>definierte Größe. Die <span
class="cmmi-12">g</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1c.png" alt="t" class="8x-x-1c" /></span></sub> sind hierbei so zu wählen, daß <br/><span
class="cmmi-12">g</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1c.png" alt="t" class="8x-x-1c" /></span></sub> = <span
class="cmmi-12">g</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1c.png" alt="t" class="8x-x-1c" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b" /></span></sub> ist; die Summation ist über alle Werte von <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-1b.png" alt="s" class="12x-x-1b" /></span>
und <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-1c.png" alt="t" class="12x-x-1c" /> </span> <br/>zu erstrecken, so daß die Summe aus 4 <span
class="cmsy-10x-x-120">× </span>4 Summanden be-<br/>steht, von denen 12 paarweise gleich sind.
</p><!--l. 586--><p class="indent">   Der Fall der gewöhnlichen Relativitätstheorie geht aus <br/>dem hier Betrachteten hervor, falls es, vermöge des beson-<br/>deren Verhaltens der <span
class="cmmi-12">g</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1c.png" alt="t" class="8x-x-1c" /></span></sub> in einem endlichen Gebiete, möglich <br/>ist, in diesem das Bezugssystem so zu wählen, daß die <span
class="cmmi-12">g</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1c.png" alt="t" class="8x-x-1c" /></span></sub> die
 <br/>konstanten Werte</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-5r4"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_19166x.png" alt="  - 1    0    0   0
{   0  - 1    0   0     0    0  - 1   0
    0    0    0  +1 " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(4)</td></tr></table>
<!--l. 616--><p class="nopar">
 <pb/></p><!--l. 623--><p class="indent">

</p><!--l. 624--><p class="noindent">annehmen. Wir werden später sehen, daß die Wahl solcher Ko-<br/>ordinaten für endliche Gebiete im allgemeinen nicht möglich ist.
</p><!--l. 628--><p class="indent">   Aus den Betrachtungen der <span
class="cmsy-10x-x-120">§§ </span>2 und 3 geht hervor, <br/>daß die Größen <span
class="cmmi-12">g</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1c.png" alt="t" class="8x-x-1c" /></span></sub> vom physikalischen Standpunkte aus als <br/>diejenigen Größen anzusehen sind, welche das Gravitations-<br/>feld in bezug auf das gewählte Bezugssystem beschreiben. <br/>Nehmen wir nämlich zunächst an, es sei für ein gewisses be-<br/>trachtetes vierdimensionales Gebiet bei geeigneter Wahl der <br/>Koordinaten die spezielle Relativitätstheorie gültig. Die <span
class="cmmi-12">g</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1c.png" alt="t" class="8x-x-1c" /></span></sub> <br/>haben dann die in (4) angegebenen Werte. Ein freier materieller
 <br/>Punkt bewegt sich dann bezüglich dieses Systems geradlinig <br/>gleichförmig. Führt man nun durch eine beliebige Substitution <br/>neue Raum--Zeitkoordinaten <span
class="cmmi-12">x</span><sub ><span
class="cmr-8">1</span></sub><span
class="cmmi-12">...</span><span
class="cmmi-12">.x</span><sub ><span
class="cmr-8">4</span></sub>
ein, so werden in <br/>diesem neuen System die <span
class="cmmi-12">g</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub> nicht mehr Konstante, sondern
 <br/>Raum--Zeitfunktionen sein. Gleichzeitig wird sich die Be-<br/>wegung des freien Massenpunktes in den neuen Koordinaten <br/>als eine krummlinige, nicht gleichförmige, darstellen, wobei <br/>dies Bewegungsgesetz unabhängig sein wird von der Natur <br/>des bewegten Massenpunktes. Wir werden also diese Be-<br/>wegung als eine solche unter dem Einfluß eines Gravitations-<br/>feldes deuten. Wir sehen das Auftreten eines Gravitations-<br/>feldes geknüpft an eine raumzeitliche Veränderlichkeit der <span
class="cmmi-12">g</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1c.png" alt="t" class="8x-x-1c" /></span></sub><span
class="cmmi-12">. </span> <br/>Auch in dem allgemeinen Falle, daß wir nicht in einem end-<br/>lichen Gebiete bei passender Koordinatenwahl die Gültigkeit <br/>der speziellen Relativitätstheorie herbeiführen können, werden <br/>wir an der Auffassung festzuhalten haben, daß die <span
class="cmmi-12">g</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1c.png" alt="t" class="8x-x-1c" /></span></sub> das <br/>Gravitationsfeld beschreiben.
</p><!--l. 660--><p class="indent">   Die Gravitation spielt also gemäß der allgemeinen Rela-<br/>tivitätstheorie eine Ausnahmerolle gegenüber den übrigen, ins-<br/>besondere den elektromagnetischen Kräften, indem die das <br/>Gravitationsfeld darstellenden 10 Funktionen <span
class="cmmi-12">g</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1c.png" alt="t" class="8x-x-1c" /></span></sub>
zugleich die <br/>metrischen Eigenschaften des vierdimensionalen Meßraumes
 <br/>bestimmen.
</p>
<div class="center" >

<!--l. 668--><p class="noindent">
</p><!--l. 670--><p class="noindent"><span
class="cmbx-12">B. Mathematische Hilfsmittel f</span><span
class="cmbx-12">ür die Aufstellung allgemein</span>
 <br/><span
class="cmbx-12">kovarianter Gleichungen.</span></p></div>
<!--l. 674--><p class="indent">   Nachdem wir im vorigen gesehen haben, daß das all-<br/>gemeine Relativitätspostulat zu der Forderung führt, daß die <br/>Gleichungssysteme der Physik beliebigen Substitutionen der <br/>Koordinaten <span
class="cmmi-12">x</span><sub ><span
class="cmr-8">1</span></sub><span
class="cmmi-12">...</span><span
class="cmmi-12">.x</span><sub ><span
class="cmr-8">4</span></sub> gegenüber kovariant sein müssen,
 <br/><pb/>
</p><!--l. 681--><p class="indent">

</p><!--l. 682--><p class="noindent">haben wir zu überlegen, wie derartige allgemein kovariante <br/>Gleichungen gewonnen werden können. Dieser rein mathe-<br/>matischen Aufgabe wenden wir uns jetzt zu; es wird sich <br/>dabei zeigen, daß bei deren Lösung die in Gleichung (3) an-<br/>gegebene Invariante <span
class="cmmi-12">ds </span>eine fundamentale Rolle spielt, welche <br/>wir in Anlehnung an die Gausssche Flächentheorie als ,,Linien-<br/>element&#8220; bezeichnet haben.
</p><!--l. 691--><p class="indent">   Der Grundgedanke dieser allgemeinen Kovariantentheorie <br/>ist folgender. Es seien gewisse Dinge (,,Tensoren&#8220;) mit Bezug <br/>auf jedes Koordinatensystem definiert durch eine Anzahl <br/>Raumfunktionen, welche die ,,Komponenten&#8220; des Tensors <br/>genannt werden. Es gibt dann gewisse Regeln, nach welchen <br/>diese Komponenten für ein neues Koordinatensystem be-<br/>rechnet werden, wenn sie für das ursprüngliche System be-<br/>kannt sind, und wenn die beide Systeme verknüpfende Trans-<br/>formation bekannt ist. Die nachher als Tensoren bezeichneten <br/>Dinge sind ferner dadurch gekennzeichnet, daß die Trans-<br/>formationsgleichungen für ihre Komponenten linear und homo-<br/>gen sind. Demnach verschwinden sämtliche Komponenten im <br/>neuen System, wenn sie im ursprünglichen System sämtlich <br/>verschwinden. Wird also ein Naturgesetz durch das Null-<br/>setzen aller Komponenten eines Tensors formuliert, so ist es <br/>allgemein kovariant; indem wir die Bildungsgesetze der Ten-<br/>soren untersuchen, erlangen wir die Mittel zur Aufstellung all-<br/>gemein kovarianter Gesetze.
</p>
<div class="center" >

<!--l. 712--><p class="noindent">
</p><!--l. 714--><p class="noindent"><span
class="cmbsy-10x-x-120">§ </span><span
class="cmbx-12">5.   Kontravarianter und kovarianter Vierervektor.</span></p></div>
<!--l. 718--><p class="indent">   <span
class="cmti-12">Kontravarianter Vierervektor. </span>Das Linienelement ist defi-<br/>niert durch die vier ,,Komponenten&#8220; <span
class="cmmi-12">dx</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub><span
class="cmmi-12">, </span>deren Trans-<br/>formationsgesetz durch die Gleichung</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-6r5"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_19167x.png" alt="        sum   @ xs' dxs'=      -----d xn         n   @ xn " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(5)</td></tr></table>

<!--l. 727--><p class="nopar">
</p><!--l. 732--><p class="noindent">ausgedrückt wird. Die <span
class="cmmi-12">dx</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b" /></span></sub><sup ><span
class="cmsy-8">'</span></sup> drücken sich linear und homogen <br/>durch die <span
class="cmmi-12">dx</span><sub >
<span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub> aus; wir können diese Koordinatendifferentiale <br/><span
class="cmmi-12">dx</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub> daher als die Komponenten eines ,,Tensors&#8220; ansehen, den <br/>wir speziell als kontravarianten Vierervektor bezeichnen. Jedes <br/>Ding, was bezüglich des Koordinatensystems durch vier <br/>Größen <span
class="cmmi-12">A</span><sup ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sup> definiert ist, die sich nach demselben Gesetz</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-7r6"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_19168x.png" alt="  s'   sum   @-xs'  n A   =      @ xn A         n " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(5a)</td></tr></table>
<!--l. 746--><p class="nopar">
<pb/></p><!--l. 754--><p class="indent">

</p><!--l. 755--><p class="noindent">transformieren, bezeichnen wir ebenfalls als kontravarianten <br/>Vierervektor. Aus (5a) folgt sogleich, daß die Summen <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_19169x.png" alt="(As  ± Bs)"  class="left" align="middle" /> <br/>ebenfalls Komponenten eines Vierervektors sind, wenn <span
class="cmmi-12">A</span><sup ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b" /></span></sup> und <br/><span
class="cmmi-12">B</span><sup ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b" /></span></sup> es sind. Entsprechendes gilt für alle später als ,,Tensoren&#8220; <br/>einzuführenden Systeme (Regel von der Addition und Sub-<br/>traktion der Tensoren).
</p><!--l. 764--><p class="indent">   <span
class="cmti-12">Kovarianter Vierervektor. </span>Vier Größen <span
class="cmmi-12">A</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub> nennen wir die <br/>Komponenten eines kovarianten Vierervektors, wenn für jede <br/>beliebige Wahl des kontravarianten Vierervektors <span
class="cmmi-12">B</span><sup ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sup>
</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-8r6"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191610x.png" alt=" sum        n     An B   = Invariante.   n " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(6)</td></tr></table>
<!--l. 774--><p class="nopar">
</p><!--l. 777--><p class="noindent">Aus dieser Definition folgt das Transformationsgesetz des <br/>kovarianten Vierervektors. Ersetzt man nämlich auf der <br/>rechten Seite der Gleichung
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191611x.png" alt=" sum          '   sum
    As'Bs   =     An Bn   s            n " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 786--><p class="nopar">
</p><!--l. 789--><p class="noindent"><span
class="cmmi-12">B</span><sup ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sup> durch den aus der Umkehrung der Gleichung (5a) folgenden <br/>Ausdruck
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191612x.png" alt=" sum
    @-xnBs',  s  @ xs' " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 797--><p class="nopar">
</p><!--l. 801--><p class="noindent">so erhält man
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191613x.png" alt=" sum        sum   @ x        sum
    Bs'     ---n-An =     Bs'As'.  s       n  @ xs'       s " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 809--><p class="nopar">
</p><!--l. 812--><p class="noindent">Hieraus folgt aber, weil in dieser Gleichung die <span
class="cmmi-12">B</span><sup ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b" /></span><sup ><span
class="cmsy-6">'</span></sup></sup> unabhängig <br/>voneinander frei wählbar sind, das Transformationsgesetz</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-9r7"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191614x.png" alt="       sum
A '=      @-xn-A  .  s        @ xs'  n " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(7)</td></tr></table>
<!--l. 821--><p class="nopar">
</p><!--l. 826--><p class="noindent"><span
class="cmbx-12">Bemerkungzur Vereinfachung der Schreibweise der Ausdr</span><span
class="cmbx-12">ücke.</span> <br/></p><!--l. 829--><p class="indent">Ein Blick auf die Gleichungen dieses Paragraphen zeigt, <br/>daß über Indizes, die zweimal unter einem Summenzeichen <br/>auftreten [z. B. der Index <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-17.png" alt="n" class="12x-x-17" /></span>
in (5)], stets summiert wird, <br/>und zwar <span
class="cmti-12">nur </span>über zweimal auftretende Indizes. Es ist des-<br/>halb möglich, ohne die Klarheit zu beeinträchtigen, die
 <br/>Summenzeichen wegzulassen. Dafür führen wir die Vorschrift <br/>ein: Tritt ein Index in einem Term eines Ausdruckes zweimal <br/>auf, so ist über ihn stets zu summieren, wenn nicht ausdrück-<br/>lich das Gegenteil bemerkt ist.
</p><!--l. 841--><p class="indent">   Der Unterschied zwischen dem kovarianten und kontra-<br/>varianten Vierervektor liegt in dem Transformationsgesetz <br/><pb/>
</p><!--l. 846--><p class="indent">

</p><!--l. 847--><p class="noindent">[(7) bzw. (5)]. Beide Gebilde sind Tensoren im Sinne der <br/>obigen allgemeinen Bemerkung; hierin liegt ihre Bedeutung. <br/>Im Anschluß an Ricci und Levi-Civita wird der kontra-<br/>variante Charakter durch oberen, der kovariante durch unteren
 <br/>Index bezeichnet.
</p>
<div class="center" >

<!--l. 854--><p class="noindent">
</p><!--l. 855--><p class="noindent"><span
class="cmbsy-10x-x-120">§ </span><span
class="cmbx-12">6.   Tensoren zweiten und h</span><span
class="cmbx-12">öheren Ranges.</span></p></div>
<!--l. 859--><p class="indent">   <span
class="cmti-12">Kontravarianter Tensor. </span>Bilden wir sämtliche 16 Produkte <br/><span
class="cmmi-12">A</span><sup ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sup> der Komponenten <span
class="cmmi-12">A</span><sup ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /></span></sup> und <span
class="cmmi-12">B</span><sup ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sup> zweier kontravarianten <br/>Vierervektoren
</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-10r8"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191615x.png" alt="Amn  = Am Bn, " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(8)</td></tr></table>
<!--l. 866--><p class="nopar">
</p><!--l. 871--><p class="noindent">so erfüllt <span
class="cmmi-12">A</span><sup ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sup> gemäß (8) und (5a) das Transformationsgesetz
</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-11r9"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191616x.png" alt="           '     ' Ast'=  @-xs- @ xt-Am n.        @ xm  @ xn " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(9)</td></tr></table>
<!--l. 879--><p class="nopar">

</p><!--l. 884--><p class="indent">   Wir nennen ein Ding, das bezüglich eines jeden Bezugs-<br/>systems durch 16 Größen (Funktionen) beschrieben wird, die <br/>das Transformationsgesetz (9) erfüllen, einen kontravarianten <br/>Tensor zweiten Ranges. Nicht jeder solcher Tensor läßt sich
 <br/>gemäß (8) aus zwei Vierervektoren bilden. Aber es ist leicht <br/>zu beweisen, daß sich 16 beliebig gegebene <span
class="cmmi-12">A</span><sup ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sup> darstellen <br/>lassen als die Summe der <span
class="cmmi-12">A</span><sup ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /></span></sup> <span
class="cmmi-12">B</span><sup ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sup> von vier geeignet gewählten <br/>Paaren von Vierervektoren. Deshalb kann man beinahe alle
 <br/>Sätze, die für den durch (9) definierten Tensor zweiten Ranges <br/>gelten, am einfachsten dadurch beweisen, daß man sie für <br/>spezielle Tensoren vom Typus (8) dartut.
</p><!--l. 899--><p class="indent">   <span
class="cmti-12">Kontravarianter Tensor beliebigen Ranges. </span>Es ist klar, daß <br/>man entsprechend (8) und (9) auch kontravariante Tensoren <br/>dritten und höheren Ranges definieren kann mit 4<sup ><span
class="cmr-8">3</span></sup> usw. <br/>Komponenten. Ebenso erhellt aus (8) und (9), daß man in
 <br/>diesem Sinne den kontravarianten Vierervektor als kontra-<br/>varianten Tensor ersten Ranges auffassen kann.
</p><!--l. 907--><p class="indent">   <span
class="cmti-12">Kovarianter Tensor. </span>Bildet man andererseits die 16 Pro-<br/>dukte <span
class="cmmi-12">A</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub> der Komponenten zweier <span
class="cmti-12">kovarianter </span>Vierervektoren <br/><span
class="cmmi-12">A</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /></span></sub> und <span
class="cmmi-12">B</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub></p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-12r10"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191617x.png" alt="Amn  = Am Bn, " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(10)</td></tr></table>
<!--l. 916--><p class="nopar">
</p><!--l. 921--><p class="noindent">so gilt für diese das Transformationsgesetz</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-13r11"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191618x.png" alt="    '   @ xm  @ xn Ast  =  ----'----'Amn  .         @ xs @ xt " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(11)</td></tr></table>

<!--l. 929--><p class="nopar">
 <pb/></p><!--l. 936--><p class="indent">

</p><!--l. 937--><p class="indent">   Durch dieses Transformationsgesetz wird der kovariante <br/>Tensor zweiten Ranges definiert. Alle Bemerkungen, welche <br/>vorher über die kontravarianten Tensoren gemacht wurden, <br/>gelten auch für die kovarianten Tensoren.
</p><!--l. 942--><p class="indent">   <span
class="cmti-12">Bemerkung. </span>Es ist bequem, den Skalar (Invariante) so-<br/>wohl als kontravarianten wie als kovarianten Tensor vom <br/>Range Null zu behandeln.
</p><!--l. 946--><p class="indent">   <span
class="cmti-12">Gemischter Tensor. </span>Man kann auch einen Tensor zweiten <br/>Ranges vom Typus</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-14r12"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191619x.png" alt="A n = A   Bn  m      m " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(12)</td></tr></table>
<!--l. 953--><p class="nopar">
</p><!--l. 956--><p class="noindent">definieren, der bezüglich des Index <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-16.png" alt="m" class="cmmi-12x-x-16" align="middle" /> </span>kovariant, bezüglich <br/>des Index <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-17.png" alt="n" class="12x-x-17" /></span>
kontravariant ist. Sein Transformationsgesetz ist</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-15r13"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191620x.png" alt="            ' Ast'=   @ xt-@-xa-Ab .         @ xb @ xs'  a " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(13)</td></tr></table>
<!--l. 964--><p class="nopar">
</p><!--l. 969--><p class="indent">   Natürlich gibt es gemischte Tensoren mit beliebig vielen <br/>Indizes kovarianten und beliebig vielen Indizes kontravarianten <br/>Charakters. Der kovariante und der kontravariante Tensor <br/>können als spezielle Fälle des gemischten angesehen werden.
</p><!--l. 975--><p class="indent">   <span
class="cmti-12">Symmetrische Tensoren. </span>Ein kontravarianter bzw. ko-<br/>varianter Tensor zweiten oder höheren Ranges heißt <span
class="cmti-12">sym- </span> <br/><span
class="cmti-12">metrisch</span>, wenn zwei Komponenten, die durch Vertauschung <br/>irgend zweier Indizes auseinander hervorgehen, gleich sind. <br/>Der Tensor <span
class="cmmi-12">A</span><sup ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sup> bzw. <span
class="cmmi-12">A</span><sub >
<span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub> ist also symmetrisch, wenn für jede <br/>Kombination der
Indizes</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-16r14"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191621x.png" alt="  mn     nm A    = A   , " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(14)</td></tr></table>
<!--l. 986--><p class="nopar">
 bzw.
</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-17r15"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191622x.png" alt="Am n = Anm " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(14a)</td></tr></table>
<!--l. 992--><p class="nopar">
</p><!--l. 995--><p class="noindent">ist.
</p><!--l. 998--><p class="indent">   Es muß bewiesen werden, daß die so definierte Symmetrie <br/>eine vom Bezugssystem unabhängige Eigenschaft ist. (Aus (9) <br/>folgt in der Tat mit Rücksicht auf (14)</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191623x.png" alt=" st'   @-xs'@-xt'  mn    @ xs'-@-xt' nm   @-xt' @ xs' m n    ts' A   =  @ xm  @ xn A   =  @ xm @ xn A    = @ xm  @ xn A   =  A   . " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 1013--><p class="nopar"></p><!--l. 1016--><p class="noindent">Die vorletzte Gleichsetzung beruht auf der Vertauschung der <br/>Summationsindizes <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-16.png" alt="m" class="cmmi-12x-x-16" align="middle" /></span>
und <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-17.png" alt="n" class="12x-x-17" /> </span>(d. h. auf bloßer Änderung der <br/>Bezeichnungsweise).
</p><!--l. 1020--><p class="indent">   <span
class="cmti-12">Antisymmetrische Tensoren. </span>Ein kontravarianter bzw. ko-<br/>varianter Tenor zweiten, dritten oder vierten Ranges heißt <br/><pb/>
</p><!--l. 1025--><p class="indent">

</p><!--l. 1026--><p class="noindent">antisymmetrisch, wenn zwei Komponenten, die durch Ver-<br/>tauschung irgend zweier Indizes auseinander hervorgehen, <br/><span
class="cmti-12">entgegengesetzt gleich </span>sind. Der Tensor
<span
class="cmmi-12">A</span><sup ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sup> bzw. <span
class="cmmi-12">A</span><sub >
<span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub> ist also <br/>antisymmetrisch, wenn stets</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-18r15"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191624x.png" alt="  mn       nm A    = - A   , " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(15)</td></tr></table>
<!--l. 1035--><p class="nopar">
</p><!--l. 1038--><p class="noindent">bzw.</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-19r16"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191625x.png" alt="Am n = -An m " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(15a)</td></tr></table>
<!--l. 1045--><p class="nopar">
</p><!--l. 1048--><p class="noindent">ist.
</p><!--l. 1051--><p class="indent">   Von den 16 Komponenten <span
class="cmmi-12">A</span><sup ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sup> verschwinden die vier <br/>Komponenten <span
class="cmmi-12">A</span><sup ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /></span></sup>; die übrigen sind paarweise entgegengesetzt <br/>gleich, so daß nur 6 numerisch verschiedene Komponenten <br/>vorhanden sind (Sechservektor). Ebenso sieht man, daß der <br/>antisymmetrische Tensor <span
class="cmmi-12">A</span><sup ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /> <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b" /></span></sup> (dritten Ranges) nur vier nume-<br/>risch verschiedene Komponenten hat, der antisymmetrische <br/>Tensor <span
class="cmmi-12">A</span><sup ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /> <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b" /> <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1c.png" alt="t" class="8x-x-1c" /></span></sup> nur eine einzige. Symmetrische Tensoren höheren <br/>als vierten Ranges gibt es in einem Kontinuum von vier Dimen-<br/>sionen nicht.
</p>
<div class="center" >

<!--l. 1063--><p class="noindent">
</p><!--l. 1064--><p class="noindent"><span
class="cmbsy-10x-x-120">§ </span><span
class="cmbx-12">7.   Multiplikation der Tensoren.</span></p></div>

<!--l. 1068--><p class="indent">   <span
class="cmti-12">Äu</span><span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-c.png" alt="b" class="cmmi-12x-x-c" align="middle" /></span><span
class="cmti-12">ere Multiplikation der Tensoren. </span>Man erhält aus den <br/>Komponenten eines Tensors vom Range <span
class="cmmi-12">z </span>und eines solchen <br/>vom Range <span
class="cmmi-12">z</span><span
class="cmsy-10x-x-120">' </span>die Komponenten eines Tensors vom Range <br/><span
class="cmmi-12">z </span>+ <span
class="cmmi-12">z</span><span
class="cmsy-10x-x-120">'</span>, indem man alle Komponenten des ersten mit allen <br/>Komponenten des zweiten paarweise multipliziert. So ent-<br/>stehen beispielsweise die Tensoren <span
class="cmmi-12">T </span>aus den Tensoren <span
class="cmmi-12">A </span> <br/>und <span
class="cmmi-12">B </span>verschiedener Art
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191626x.png" alt="Tmns  =  Am nBs,  ab gd    a b  gd T     =  A   B   , Tgd   =  Aa b Bg d.  ab " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 1087--><p class="nopar">
</p><!--l. 1089--><p class="indent">   Der Beweis des Tensorcharakters der <span
class="cmmi-12">T </span>ergibt sich un-<br/>mittelbar aus den Darstellungen (8), (10), (12) oder aus den <br/>Transformationsregeln (9), (11), (13). Die Gleichungen (8), <br/>(10), (12) sind selbst Beispiele äußerer Multiplikation (von
 <br/>Tensoren ersten Ranges).
</p><!--l. 1095--><p class="indent">   <span
class="cmti-12">,,Verj</span><span
class="cmti-12">üngung&#8220; eines gemischten Tensors. </span>Aus jedem ge-<br/>mischten Tensor kann ein Tensor von einem um zwei kleineren <br/>Range gebildet werden, indem man einen Index kovarianten <br/>und einen Index kontravarianten Charakters gleichsetzt und
 <br/><pb/>
</p><!--l. 1102--><p class="indent">

</p><!--l. 1103--><p class="noindent">nach diesem Index summiert (,,Verjüngung&#8220;). Man gewinnt <br/>so z. B. aus dem gemischten Tensor vierten Ranges <span
class="cmmi-12">A</span><sub><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-b.png" alt="a" class="8x-x-b" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-c.png" alt="b" class="cmmi-8x-x-c" align="middle" /></span></sub><sup><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-d.png" alt="g" class="8x-x-d" /> <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-e.png" alt="d" class="8x-x-e" /></span></sup> den <br/>gemischten Tensor zweiten Ranges
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191627x.png" alt="  d    a d(    sum     a d) A b = Aa b =     a Aa b " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 1114--><p class="nopar">
</p><!--l. 1118--><p class="noindent">und aus diesem, abermals durch Verjüngung, den Tensor <br/>nullten Ranges
<span
class="cmmi-12">A </span>= <span
class="cmmi-12">A</span><sub><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-c.png" alt="b" class="cmmi-8x-x-c" align="middle" /></span></sub><sup><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-c.png" alt="b" class="cmmi-8x-x-c" align="middle" /></span></sup> = <span
class="cmmi-12">A</span><sub>
<span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-b.png" alt="a" class="8x-x-b" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-c.png" alt="b" class="cmmi-8x-x-c" align="middle" /></span></sub><sup><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-b.png" alt="a" class="8x-x-b" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-c.png" alt="b" class="cmmi-8x-x-c" align="middle" /></span></sup><span
class="cmmi-12">.</span>
</p><!--l. 1121--><p class="indent">   Der Beweis dafür, daß das Ergebnis der Verjüngung wirk-<br/>lich Tensorcharakter besitzt, ergibt sich entweder aus der <br/>Tensordarstellung gemäß der Verallgemeinerung von (12) in <br/>Verbindung mit (6) oder aus der Verallgemeinerung von (13). <br/></p><!--l. 1127--><p class="indent"><span
class="cmti-12">Innere und gemischte Multiplikation der Tensoren. </span>Diese <br/>bestehen in der Kombination der äußeren Multiplikation mit <br/>der Verjüngung.
</p><!--l. 1131--><p class="indent">   Beispiele. -- Aus dem kovarianten Tensor zweiten Ranges <br/><span
class="cmmi-12">A</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub> und dem kontravarianten Tensor ersten Ranges <span
class="cmmi-12">B</span><sup ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b" /></span></sup> bilden <br/>wir durch äußere Multiplikation den gemischten Tensor
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191628x.png" alt="  s          s D mn = Amn B  . " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 1140--><p class="nopar">
</p><!--l. 1143--><p class="noindent">Durch Verjüngung nach den Indizes <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-17.png" alt="n" class="12x-x-17" />, <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-1b.png" alt="s" class="12x-x-1b" /> </span>entsteht der ko-<br/>variante Vierervektor</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191629x.png" alt="Dm =  Dnmn = Amn Bn. " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 1151--><p class="nopar">
</p><!--l. 1154--><p class="noindent">Diesen bezeichnen wir auch als inneres Produkt der Tensoren <br/><span
class="cmmi-12">A</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub> und <span
class="cmmi-12">B</span><sup ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b" /></span></sup>. Analog bildet man aus den Tensoren <span
class="cmmi-12">A</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub> und <br/><span
class="cmmi-12">B</span><sup ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1c.png" alt="t" class="8x-x-1c" /></span></sup> durch äußere Multiplikation und zweimalige Verjüngung <br/>das innere Produkt <span
class="cmmi-12">A</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub> <span
class="cmmi-12">B</span><sup ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sup><span
class="cmmi-12">. </span>Durch äußere Produktbildung <br/>und einmalige Verjüngung erhält man aus <span
class="cmmi-12">A</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub> und <span
class="cmmi-12">B</span><sup ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1c.png" alt="t" class="8x-x-1c" /></span></sup>
den <br/>gemischten Tensor zweiten Ranges <span
class="cmmi-12">D</span><sub><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /></span></sub><sup><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1c.png" alt="t" class="8x-x-1c" /></span></sup> = <span
class="cmmi-12">A</span><sub >
<span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub> <span
class="cmmi-12">B</span><sup ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1c.png" alt="t" class="8x-x-1c" /></span></sup><span
class="cmmi-12">. </span>Man kann <br/>diese Operation passend als eine gemischte bezeichnen; denn <br/>sie ist eine äußere bezüglich der Indizes <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-16.png" alt="m" class="cmmi-12x-x-16" align="middle" /> </span>und <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-1c.png" alt="t" class="12x-x-1c" /></span>, eine innere <br/>bezüglich der Indizes <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-17.png" alt="n" class="12x-x-17" /> </span>und
<span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-1b.png" alt="s" class="12x-x-1b" /></span>.
</p><!--l. 1169--><p class="indent">   Wir beweisen nun einen Satz, der zum Nachweis des <br/>Tensorcharakters oft verwendbar ist. Nach dem soeben Dar-<br/>gelegten ist <span
class="cmmi-12">A</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub> <span
class="cmmi-12">B</span><sup ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sup> ein Skalar, wenn <span
class="cmmi-12">A</span><sub >
<span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub>
und <span
class="cmmi-12">B</span><sup ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1c.png" alt="t" class="8x-x-1c" /></span></sup> Tensoren <br/>sind. Wir behaupten aber auch folgendes. Wenn <span
class="cmmi-12">A</span><sub >
<span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub> <span
class="cmmi-12">B</span><sup ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sup>
für <br/>jede Wahl <span
class="cmti-12">des Tensors </span><span
class="cmmi-12">B</span><sup ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sup> eine Invariante ist, so hat <span
class="cmmi-12">A</span><sub >
<span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub> Tensor-<br/>charakter.
</p><!--l. 1178--><p class="indent">   Beweis. -- Es ist nach Voraussetzung für eine beliebige <br/>Substitution</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191630x.png" alt="    ' st'         mn Ast B    =  Amn B   . " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 1186--><p class="nopar">
</p><!--l. 1192--><p class="indent">

</p><!--l. 1193--><p class="noindent">Nach der Umkehrung von (9) ist aber
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191631x.png" alt="  mn   @-xm-@-xn-  st' B   =  @ xs'@ xt'B    . " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 1202--><p class="nopar">
</p><!--l. 1204--><p class="noindent">Dies, eingesetzt in obige Gleichung, liefert:
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191632x.png" alt="(                      )  Ast '- -@ xm @-xn-Amn   Bst'=  0 .         @ xs' @ xt' " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 1213--><p class="nopar">
</p><!--l. 1215--><p class="indent">   Dies kann bei beliebiger Wahl von <span
class="cmmi-12">B</span><sup ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1c.png" alt="t" class="8x-x-1c" /></span></sup><sup ><span
class="cmsy-8">'</span></sup> nur dann erfüllt <br/>sein, wenn die Klammer verschwindet, woraus mit Rück-<br/>sicht auf (11) die Behauptung folgt.
</p><!--l. 1220--><p class="indent">   Dieser Satz gilt entsprechend für Tensoren beliebigen <br/>Ranges und Charakters; der Beweis ist stets analog zu führen.
</p><!--l. 1224--><p class="indent">   Der Satz läßt sich ebenso beweisen in der Form: Sind <br/><span
class="cmmi-12">B</span><sup ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /></span></sup> und <span
class="cmmi-12">C</span><sup ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sup> beliebige Vektoren, und ist bei jeder Wahl der-<br/>selben das innere Produkt</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191633x.png" alt="A   Bm Cn   mn " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 1231--><p class="nopar">
</p><!--l. 1234--><p class="noindent">ein Skalar, so ist <span
class="cmmi-12">A</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub> ein kovarianter Tensor. Dieser letztere <br/>Satz gilt auch dann noch, wenn nur die speziellere Aussage <br/>zutrifft, daß bei beliebiger Wahl des Vierervektors <span
class="cmmi-12">B</span><sup ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /></span></sup> das <br/>skalare Produkt
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191634x.png" alt="Amn Bm Bn " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 1243--><p class="nopar">
</p><!--l. 1245--><p class="noindent">ein Skalar ist, falls man außerdem weiß, daß <span
class="cmmi-12">A</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub> der Sym-<br/>metriebedingung
<span
class="cmmi-12">A</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub> = <span
class="cmmi-12">A</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /></span></sub> genügt. Denn auf dem vorhin <br/>angegebenen Wege beweist man den Tensorcharakter von <br/><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191635x.png" alt="(Amn +  Anm)"  class="left" align="middle" /> <span
class="cmmi-12">, </span>woraus dann wegen der Symmetrieeigenschaft
 <br/>der Tensorcharakter von <span
class="cmmi-12">A</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub> selbst folgt. Auch dieser Satz <br/>läßt sich leicht verallgemeinern auf den Fall kovarianter und <br/>kontravarianter Tensoren beliebigen Ranges.
</p><!--l. 1255--><p class="indent">   Endlich folgt aus dem Bewiesenen der ebenfalls auf be-<br/>liebige Tensoren zu
verallgemeinernde Satz: Wenn die Größen <br/><span
class="cmmi-12">A</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub> <span
class="cmmi-12">B</span><sup ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sup> bei beliebiger Wahl des Vierervektors <span
class="cmmi-12">B</span><sup ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sup> einen Tensor <br/>ersten Ranges bilden, so ist <span
class="cmmi-12">A</span><sub >
<span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub> ein Tensor zweiten Ranges. <br/>Ist nämlich <span
class="cmmi-12">C</span><sup ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /></span></sup> ein beliebiger Vierervektor, so ist wegen des
 <br/>Tensorcharakters <span
class="cmmi-12">A</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub> <span
class="cmmi-12">B</span><sup ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sup> das innere Produkt <span
class="cmmi-12">A</span><sub >
<span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub> <span
class="cmmi-12">C</span><sup ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /></span></sup> <span
class="cmmi-12">B</span><sup ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sup> bei <br/>beliebiger Wahl der beiden Vierervektoren <span
class="cmmi-12">C</span><sup ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /></span></sup> und <span
class="cmmi-12">B</span><sup ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sup> ein <br/>Skalar, woraus die Behauptung folgt.
</p>
<div class="center" >

<!--l. 1266--><p class="noindent">
</p><!--l. 1268--><p class="noindent"><span
class="cmbsy-10x-x-120">§ </span><span
class="cmbx-12">8.   Einiges </span><span
class="cmbx-12">über den Fundamentaltensor der </span><span
class="cmmi-12">g</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub><span
class="cmmi-12">.</span></p></div>
<!--l. 1272--><p class="indent">   <span
class="cmti-12">Der kovariante Fundamentaltensor. </span>In dem invarianten <br/>Ausdruck des Quadrates des Linienelementes</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191636x.png" alt="ds2 = g mn d xmd xn " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 1279--><p class="nopar">
</p><!--l. 1282--><p class="indent">

</p><!--l. 1283--><p class="noindent">spielt <span
class="cmmi-12">d x</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /></span></sub> die Rolle eines beliebig wählbaren kontravarianten <br/>Vektors. Da ferner
<span
class="cmmi-12">g</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub> = <span
class="cmmi-12">g</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /></span></sub>, so folgt nach den Betrachtungen <br/>des letzten Paragraphen hieraus, daß <span
class="cmmi-12">g</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub> ein kovarianter Tensor <br/>zweiten Ranges ist. Wir nennen ihn ,,Fundamentaltensor&#8220;. <br/>Im folgenden leiten wir einige Eigenschaften dieses Tensors
 <br/>ab, die zwar jedem Tensor zweiten Ranges eigen sind; aber <br/>die besondere Rolle des Fundamentaltensors in unserer Theorie, <br/>welche in der Besonderheit der Gravitationswirkungen ihren <br/>physikalischen Grund hat, bringt es mit sich, daß die zu ent-<br/>wickelnden Relationen nur bei dem Fundamentaltensor für <br/>uns von Bedeutung sind.
</p><!--l. 1297--><p class="indent">   <span
class="cmti-12">Der kontravariante Fundamentaltensor. </span>Bildet man in dem <br/>Determinantenschema der <span
class="cmmi-12">g</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub> zu jedem <span
class="cmmi-12">g</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub> die Unterdetermi-<br/>nante und dividiert diese durch die Determinante <span
class="cmmi-12">g </span>= <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191637x.png" alt="|g mn|"  class="left" align="middle" /> der <br/><span
class="cmmi-12">g</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub>, so erhält man gewisse Größen <span
class="cmmi-12">g</span><sup ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sup>(= <span
class="cmmi-12">g</span><sup ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /> <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /></span></sup>), von denen wir <br/>beweisen wollen, daß sie einen kontravarianten Tensor bilden.
</p><!--l. 1306--><p class="indent">   Nach einem bekannten Determinantensatze ist</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-20r16"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191638x.png" alt="gm s gns = dmn, " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(16)</td></tr></table>
<!--l. 1312--><p class="nopar">
</p><!--l. 1317--><p class="noindent">wobei das Zeichen <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-e.png" alt="d" class="12x-x-e" /></span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /></span></sub><sup ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sup> 1 oder 0 bedeutet, je nachdem <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-16.png" alt="m" class="cmmi-12x-x-16" align="middle" /> </span>= <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-17.png" alt="n" class="12x-x-17" /> </span> <br/>oder <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-16.png" alt="m" class="cmmi-12x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-17.png" alt="n" class="12x-x-17" /> </span>ist. Statt des obigen Ausdruckes für <span
class="cmmi-12">d s</span><sup ><span
class="cmr-8">2</span></sup> können <br/>wir auch
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191639x.png" alt="g ms dns d xm d xn, " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 1327--><p class="nopar">
</p><!--l. 1329--><p class="noindent">oder nach (16) auch</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191640x.png" alt="gms gnt gsn d xm d xn " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 1336--><p class="nopar">
</p><!--l. 1338--><p class="noindent">schreiben. Nun bilden aber nach den Multiplikationsregeln <br/>des vorigen Paragraphen die Größen
</p>

   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191641x.png" alt="d qs = g ms d xm " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 1346--><p class="nopar">
</p><!--l. 1349--><p class="noindent">einen kovarianten Vierervektor, und zwar (wegen der will-<br/>kürlichen Wählbarkeit der <span
class="cmmi-12">d x</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /></span></sub>) einen beliebig wählbaren <br/>Vierervektor. Indem wir ihn in unseren Ausdruck einführen, <br/>erhalten wir</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191642x.png" alt="d s2 = gst d qs d qt. " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 1359--><p class="nopar">
</p><!--l. 1361--><p class="indent">   Da dies bei beliebiger Wahl des Vektors <span
class="cmmi-12">d <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-18.png" alt="q" class="cmmi-12x-x-18" align="middle" /></span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b" /></span></sub> ein Skalar <br/>ist und <span
class="cmmi-12">g</span><sup ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1c.png" alt="t" class="8x-x-1c" /></span></sup> nach seiner Definition in den Indizes <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-1b.png" alt="s" class="12x-x-1b" /> </span>und <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-1c.png" alt="t" class="12x-x-1c" /> </span>sym-<br/>metrisch ist, folgt aus den Ergebnissen des vorigen Para-<br/>graphen, daß <span
class="cmmi-12">g</span><sup ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1c.png" alt="t" class="8x-x-1c" /></span></sup> ein kontravarianter Tensor ist. Aus (16) <br/>folgt noch, daß auch <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-e.png" alt="d" class="12x-x-e" /></span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /></span></sub><sup ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sup> ein Tensor ist, den wir den gemischten <br/>Fundamentaltensor nennen können. <pb/>
</p><!--l. 1372--><p class="indent">

</p><!--l. 1373--><p class="indent">   <span
class="cmti-12">Determinante des Fundamentaltensors. </span>Nach dem Multi-<br/>plikationssatz der Determinanten ist
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191643x.png" alt="|gma gan| = |gma| |gan|. " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 1382--><p class="nopar">
</p><!--l. 1385--><p class="noindent">Andererseits ist
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191644x.png" alt="      an      n |g ma g  |= |dm |=  1. " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 1392--><p class="nopar">
</p><!--l. 1395--><p class="noindent">Also folgt</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-21r17"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191645x.png" alt="       mn |gmn||g  |= 1. " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(17)</td></tr></table>
<!--l. 1401--><p class="nopar">
</p><!--l. 1406--><p class="indent">   <span
class="cmti-12">Invariante des Volumens. </span>Wir suchen zuerst das Trans-<br/>formationsgesetz der Determinante <span
class="cmmi-12">g </span>= <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191646x.png" alt="|g  |   mn"  class="left" align="middle" />. Gemäß (11) ist
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191647x.png" alt="     |              |  '   |@ xm @ xn     | g =  ||----'----'g mn||.       @ xs @ xt " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 1414--><p class="nopar">
</p><!--l. 1416--><p class="noindent">Hieraus folgt durch zweimalige Anwendung des Multiplikations-<br/>satzes der Determinanten
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191648x.png" alt="     |     ||      |       |     |2 g'=  ||@--xm||||-@-xn |||g   |= ||-@-xm||  g,      |@ xs'||@  xt'|  mn   |@ xs'| " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 1426--><p class="nopar">
</p><!--l. 1429--><p class="noindent">oder</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191649x.png" alt="        |     |  V~  -'-  ||@-xm-||  V~ -    g =  |@ xs'|   g. " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 1436--><p class="nopar">
</p><!--l. 1438--><p class="noindent">Andererseits ist das Gesetz der Transformation des Volum-<br/>elementes</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191650x.png" alt="        integral
   ' d t =    d x1 d x2 d x3 d x4 " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 1446--><p class="nopar">
</p><!--l. 1450--><p class="noindent">nach dem bekannten Jakobischen Satze
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191651x.png" alt="       |    '| d t'=  ||@-xs-||d t.        |@ xm | " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 1457--><p class="nopar">
</p><!--l. 1459--><p class="noindent">Durch Multiplikation der beiden letzten Gleichungen erhält <br/>man</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-22r18"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191652x.png" alt=" V~  ---    g'd t'=   V~  g-d t. " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(18)</td></tr></table>
<!--l. 1466--><p class="nopar">
</p><!--l. 1470--><p class="noindent">Statt <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191653x.png" alt=" V~  g"  class="sqrt"  /> wird im folgenden die Größe <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191654x.png" alt=" V~  --g"  class="sqrt"  /> eingeführt, welche <br/>wegen des hyperbolischen Charakters des zeiträumlichen Kon-<br/>tinuums stets einen reellen Wert hat. Die Invariante <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191655x.png" alt=" V~ ----    -g"  class="sqrt"  /><span
class="cmmi-12">d<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-1c.png" alt="t" class="12x-x-1c" /> </span> <br/>ist gleich der Größe des im ,,örtlichen
Bezugssystem&#8220; mit <br/>starren Maßstäben und Uhren im Sinne der speziellen Rela-<br/>tivitätstheorie gemessenen vierdimensionalen Volumelementes.
</p><!--l. 1481--><p class="indent">   <span
class="cmti-12">Bemerkung </span><span
class="cmti-12">über den Charakter des raumzeitlichen Kon- </span> <br/><span
class="cmti-12">tinuums. </span>Unsere Voraussetzung, daß im unendlich Kleinen <br/>stets die spezielle Relativitätstheorie gelte, bringt es mit sich, <br/><pb/>
</p><!--l. 1485--><p class="indent">

</p><!--l. 1486--><p class="noindent">daß sich <span
class="cmmi-12">d s</span><sup ><span
class="cmr-8">2</span></sup> immer gemäß (1) durch die reellen Größen <br/><span
class="cmmi-12">d X</span><sub >
<span
class="cmr-8">1</span></sub><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191656x.png" alt="..."  class="@cdots"  /><span
class="cmsy-10x-x-120"><sup class="htf"><strong>.</strong></sup></span><span
class="cmmi-12">d X</span><sub ><span
class="cmr-8">4</span></sub> ausdrücken läßt. Nennen wir <span
class="cmmi-12">d <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-1c.png" alt="t" class="12x-x-1c" /></span><sub ><sub ><span
class="cmr-6">0</span></sub></sub> das ,,natür-<br/>liche&#8220; Volumelement <span
class="cmmi-12">d X</span><sub ><span
class="cmr-8">1</span></sub> <span
class="cmmi-12">d X</span><sub ><span
class="cmr-8">2</span></sub> <span
class="cmmi-12">d X</span><sub ><span
class="cmr-8">3</span></sub> <span
class="cmmi-12">d X</span><sub ><span
class="cmr-8">4</span></sub>, so ist also</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-23r19"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191657x.png" alt="        V~ --- d t0 =   - g d t. " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(18a)</td></tr></table>
<!--l. 1496--><p class="nopar">
</p><!--l. 1499--><p class="indent">   Soll an einer Stelle des vierdimensionalen Kontinuums <br/><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191658x.png" alt=" V~  --g"  class="sqrt"  /> verschwinden, so bedeutet dies, daß hier einem end-<br/>lichen Koordinatenvolumen ein unendlich kleines ,,natürliches&#8220; <br/>Volumen entspreche. Dies möge nirgends der Fall sein. Dann <br/>kann <span
class="cmmi-12">g </span>sein Vorzeichen nicht ändern; wir werden im Sinne
 <br/>der speziellen Relativitätstheorie annehmen, daß <span
class="cmmi-12">g </span>stets einen <br/>endlichen negativen Wert habe. Es ist dies eine Hypothese <br/>über die physikalische Natur des betrachteten Kontinuums <br/>und gleichzeitig eine Festsetzung über die Koordinatenwahl.
</p><!--l. 1511--><p class="indent">   Ist aber <span
class="cmsy-10x-x-120">-</span><span
class="cmmi-12">g </span>stets positiv und endlich, so liegt es nahe, <br/>die Koordinatenwahl a posteriori so zu treffen, daß diese <br/>Größe gleich 1 wird. Wir werden später sehen, daß durch <br/>eine solche Beschränkung der Koordinatenwahl eine bedeutende
 <br/>Vereinfachung der Naturgesetze erzielt werden kann. An Stelle <br/>von (18) tritt dann einfach</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191659x.png" alt="   ' d t =  d t, " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 1523--><p class="nopar">
</p><!--l. 1525--><p class="noindent">woraus mit Rücksicht auf Jakobis Satz folgt</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-24r19"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191660x.png" alt="|    '| ||@-xs-|| = 1. |@ xm | " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(19)</td></tr></table>
<!--l. 1532--><p class="nopar">
</p><!--l. 1536--><p class="noindent">Bei dieser Koordinatenwahl sind also nur Substitutionen der <br/>Koordinaten von der Determinante 1 zulässig.
</p><!--l. 1539--><p class="indent">   Es wäre aber irrtümlich, zu glauben, daß dieser Schritt <br/>einen partiellen Verzicht auf das allgemeine Relativitäts-<br/>postulat bedeute. Wir fragen nicht: ,,Wie heißen die Natur-<br/>gesetze, welche gegenüber allen Transformationen von der
 <br/>Determinante 1 kovariant sind?&#8220; Sondern wir fragen: ,,Wie <br/>heißen die
<span
class="cmti-12">allgemein </span>kovarianten Naturgesetze?&#8220; Erst nach-<br/>dem wir diese aufgestellt haben, vereinfachen wir ihren Aus-<br/>druck durch eine besondere Wahl des Bezugssystems.
</p><!--l. 1551--><p class="indent">   <span
class="cmti-12">Bildung neuer Tensoren vermittelst des Fundamentaltensors. </span> <br/>Durch innere, äußere und gemischte Multiplikation eines <br/>Tensors mit dem Fundamentaltensor entstehen Tensoren <br/>anderen Charakters und Ranges. <pb/>
</p><!--l. 1558--><p class="indent">

</p><!--l. 1559--><p class="indent">   Beispiele:</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191661x.png" alt="Am =  gms As,             mn A  =  gm n A  . " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 1568--><p class="nopar">
</p><!--l. 1570--><p class="noindent">Besonders sei auf folgende Bildungen hingewiesen:
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191662x.png" alt="Am n = gma gnb Aa b,                  a b Am n = gm a g nb A " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 1581--><p class="nopar">
</p><!--l. 1584--><p class="noindent">(,,Ergänzung&#8220; des kovarianten bzw. kontravarianten Tensors) <br/>und</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191663x.png" alt="Bm n = gmn ga b Aa b. " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 1592--><p class="nopar">
</p><!--l. 1594--><p class="noindent">Wir nennen <span
class="cmmi-12">B</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub> den zu <span
class="cmmi-12">A</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub> gehörigen reduzierten Tensor. <br/>Analog</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191664x.png" alt="Bm n = gmn g    Aab.             a b " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 1602--><p class="nopar">
</p><!--l. 1604--><p class="noindent">Es sei bemerkt, daß <span
class="cmmi-12">g</span><sup ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sup> nichts anderes ist als die Ergänzung <br/>von <span
class="cmmi-12">g</span><sub >
<span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub><span
class="cmmi-12">. </span>Denn man hat
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191665x.png" alt="gma g nb g ab = g ma dan = gm n. " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 1613--><p class="nopar">
</p>
<div class="center" >

<!--l. 1616--><p class="noindent">

</p><!--l. 1618--><p class="noindent"><span
class="cmbsy-10x-x-120">§ </span><span
class="cmbx-12">9.   Gleichung der geod</span><span
class="cmbx-12">ätischen Linie (bzw. der Punkt-</span>
 <br/><span
class="cmbx-12">bewegung).</span></p></div>
<!--l. 1622--><p class="indent">   Da das ,,Linienelement&#8220; <span
class="cmmi-12">d s </span>eine unabhängig vom Koordi-<br/>natensystem definierte Größe ist, hat auch die zwischen zwei <br/>Punkten <span
class="cmmi-12">P</span><sub ><span
class="cmr-8">1</span></sub> und <span
class="cmmi-12">P</span><sub ><span
class="cmr-8">2</span></sub> des vierdimensionalen Kontinuums ge-<br/>zogene Linie, für welche <span
class="cmsy-10x-x-120"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmsy10-c-73.png" alt=" integral " class="10-120x-x-73" /></span> <span
class="cmmi-12">d s </span>ein Extremum ist (geodätische <br/>Linie), eine von der Koordinatenwahl unabhängige Bedeutung. <br/>Ihre Gleichung ist</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-25r20"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191666x.png" alt=" {  P integral 2    } d     d s   =  0.
   P1 " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(20)</td></tr></table>
<!--l. 1634--><p class="nopar">
</p><!--l. 1637--><p class="noindent">Aus dieser Gleichung findet man in bekannter Weise durch <br/>Ausführung der Variation vier totale Differentialgleichungen, <br/>welche diese geodätische Linie bestimmen; diese Ableitung <br/>soll der Vollständigkeit halber hier Platz finden. Es sei <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-15.png" alt="c" class="12x-x-15" /> </span>eine <br/>Funktion der Koordinaten <span
class="cmmi-12">x</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub>; diese definiert eine Schar von
 <br/>Flächen, welche die gesuchte geodätische Linie sowie alle ihr <br/>unendlich benachbarten, durch die Punkte <span
class="cmmi-12">P</span><sub ><span
class="cmr-8">1</span></sub> und <span
class="cmmi-12">P</span><sub ><span
class="cmr-8">2</span></sub> gezoge-<br/>nen Linien schneiden. Jede solche Kurve kann dann dadurch <br/>gegeben gedacht werden, daß ihre Koordinaten <span
class="cmmi-12">x</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub> in Funk-<br/>tion von <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-15.png" alt="c" class="12x-x-15" /> </span>ausgedrückt werden. Das Zeichen <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-e.png" alt="d" class="12x-x-e" /></span>
entspreche <br/>dem Übergang von einem Punkte der gesuchten geodätischen
 <br/><pb/>
</p><!--l. 1653--><p class="indent">

</p><!--l. 1654--><p class="noindent">Linie zu demjenigen Punkte einer benachbarten Kurve, welcher <br/>zu dem nämlichen
<span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-15.png" alt="c" class="12x-x-15" /> </span>gehört. Dann läßt sich (20) durch</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-26r21"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191667x.png" alt="   integral c2      d w d c = 0 {
  c1     2      d xm d xn   w  =  gmn----------             d c d c " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(20a)</td></tr></table>
<!--l. 1666--><p class="nopar">
</p><!--l. 1669--><p class="noindent">ersetzen. Da aber
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191668x.png" alt="         {                                   (     )} d w =  1-  1-@-gm-nd-xm-d-xn-d xs + g mnd-xm-d d-xn-   ,        w   2  @ xs  d c d c             d c    d c " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 1678--><p class="nopar">
</p><!--l. 1680--><p class="noindent">so erhält man nach Einsetzen von <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-e.png" alt="d" class="12x-x-e" /> w </span>in (20a) mit Rücksicht <br/>darauf, daß</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191669x.png" alt="  (     )     d-xn-    d-d-xn d   d c   =   d c  , " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 1686--><p class="nopar">
</p><!--l. 1688--><p class="noindent">nach partieller Integration</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-27r21"></a>

   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191670x.png" alt="   integral c2      d c xs d xs = 0 {
  c1        {         }         -d-- g-mn d xm-    -1--@ g-mnd-xm-d-xn   xs =  d c   w   @ c   -  2w  @ x   d c  d c .                                   s " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(20b)</td></tr></table>
<!--l. 1699--><p class="nopar">
</p><!--l. 1702--><p class="noindent">Hieraus folgt wegen der freien Wählbarkeit der <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-e.png" alt="d" class="12x-x-e" /> x</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b" /></span></sub> das Ver-<br/>schwinden der <span
class="cmbxti-10x-x-120">x</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b" /></span></sub>. Also sind</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-28r21"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191671x.png" alt="xs = 0 " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(20c)</td></tr></table>
<!--l. 1708--><p class="nopar">
</p><!--l. 1711--><p class="noindent">die Gleichungen der geodätischen Linie. Ist auf der betrach-<br/>teten geodätischen Linie nicht <span
class="cmmi-12">d s </span>= 0, so können wir als <br/>Parameter <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-15.png" alt="c" class="12x-x-15" /> </span>die auf der geodätischen Linie gemessene ,,Bogen-<br/>länge&#8220; <span
class="cmmi-12">s </span>wählen. Dann wird <span
class="cmmi-12">w </span>= 1, und man erhält an Stelle
 <br/>von (20c)
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191672x.png" alt="    d2 x    @ g   d x  d x    1 @ g   d x  d x gm n----m2-+ ----mn----s---m-- ------mn---m----n-= 0,      d s     @ xs  d c  d c   2  @ xs  d c d c " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 1726--><p class="nopar">

</p><!--l. 1728--><p class="noindent">oder durch bloße Änderung der Bezeichnungsweise</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-29r21"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191673x.png" alt="             |_      _|
      2       m n g   d--xa-+     s   d-xmd-xn-=  0,   as d s2    |_      _|  d s d s " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(20d)</td></tr></table>
<!--l. 1737--><p class="nopar">
</p><!--l. 1740--><p class="noindent">wobei nach Christoffel gesetzt ist</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-30r21"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191674x.png" alt=" |_     _|
  m n       (                        )    s   =  1-  @-gms-+  @-gns--  @ g-mn .  |_     _|    2    @ xn    @ xm     @ xs " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(21)</td></tr></table>
<!--l. 1751--><p class="nopar">
</p><!--l. 1754--><p class="noindent">Multipliziert man endlich (20d) mit <span
class="cmmi-12">g</span><sup ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1c.png" alt="t" class="8x-x-1c" /></span></sup> (äußere Multiplikation <br/>bezüglich <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-1c.png" alt="t" class="12x-x-1c" /></span>, innere bezüglich <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-1b.png" alt="s" class="12x-x-1b" /></span>), so erhält man schließlich als <br/>endgültige Form der Gleichung der geodätischen Linie <pb/>
</p><!--l. 1762--><p class="indent">

</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-31r22"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191675x.png" alt="  2     {  m n} d--xt-+     t    d xm-d-xn-= 0.  d s2            d s  d s " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(22)</td></tr></table>
<!--l. 1770--><p class="nopar">
</p><!--l. 1774--><p class="noindent">Hierbei ist nach Christoffel gesetzt</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-32r23"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191676x.png" alt="               |_     _|
{ m n }         m n     t   =  gta |_  a  _|  . " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(23)</td></tr></table>
<!--l. 1786--><p class="nopar">
</p>
<div class="center" >

<!--l. 1791--><p class="noindent">
</p><!--l. 1793--><p class="noindent"><span
class="cmbsy-10x-x-120">§ </span><span
class="cmbx-12">10.   Die Bildung von Tensoren durch Differentiation.</span></p></div>
<!--l. 1797--><p class="indent">   Gestützt auf die Gleichung der geodätischen Linie können <br/>wir nun leicht die Gesetze ableiten, nach welchen durch Diffe-<br/>rentiation aus Tensoren neue Tensoren gebildet werden können. <br/>Dadurch werden wir erst in den Stand gesetzt, allgemein ko-<br/>variante Differentialgleichungen aufzustellen. Wir erreichen <br/>dies Ziel durch wiederholte Anwendung des folgenden ein-<br/>fachen
Satzes.
</p><!--l. 1806--><p class="indent">   Ist in unserem Kontinuum eine Kurve gegeben, deren <br/>Punkte durch die Bogendistanz <span
class="cmmi-12">s </span>von einem Fixpunkt auf <br/>der Kurve charakterisiert sind, ist ferner <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-27.png" alt="f" class="cmmi-12x-x-27" align="middle" /> </span>eine invariante <br/>Raumfunktion, so ist auch <span
class="cmmi-12">d <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-27.png" alt="f" class="cmmi-12x-x-27" align="middle" /></span><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191677x.png" alt="/"  class="left" align="middle" /> <span
class="cmmi-12">d s</span> eine Invariante. Der Be-<br/>weis liegt darin, daß sowohl <span
class="cmmi-12">d<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-27.png" alt="f" class="cmmi-12x-x-27" align="middle" /> </span>als auch <span
class="cmmi-12">ds </span>Invariante sind.
</p><!--l. 1815--><p class="indent">   Da</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191678x.png" alt="d f    @ f d x ----=  -------m-, d s    @ xm d s " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 1822--><p class="nopar">
</p><!--l. 1824--><p class="noindent">so ist auch</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191679x.png" alt="     @ f  d x y =  --------m-      @ xm d s " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 1831--><p class="nopar">
</p><!--l. 1833--><p class="noindent">eine Invariante, und zwar für alle Kurven, die von einem <br/>Punkte des Kontinuums ausgehen, d. h. für beliebige Wahl <br/>des Vektors der <span
class="cmmi-12">d x</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /></span></sub><span
class="cmmi-12">. </span>Daraus folgt unmittelbar, daß</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-33r24"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191680x.png" alt="Am =  @-f--       @ xm " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(24)</td></tr></table>
<!--l. 1842--><p class="nopar">
</p><!--l. 1847--><p class="noindent">ein kovarianter Vierervektor ist (Gradient von <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-27.png" alt="f" class="cmmi-12x-x-27" align="middle" /></span>).
</p><!--l. 1850--><p class="indent">   Nach unserem Satze ist ebenso der auf einer Kurve ge-<br/>nommene Differentialquotient</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191681x.png" alt="     d y x =  ----      d s " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 1857--><p class="nopar">
</p><!--l. 1859--><p class="noindent">eine Invariante. Durch Einsetzen von <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-27.png" alt="f" class="cmmi-12x-x-27" align="middle" /> </span>erhalten wir zunächst
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191682x.png" alt="       @2 f   d xm d xn    @ f d 2 xm x =  @-x--@-x--d-s--d s-+ @-x---d-s2-.         m    n                m " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 1869--><p class="nopar">
</p><!--l. 1871--><p class="noindent">Hieraus läßt sich zunächst die Existenz eines Tensors <br/>nicht ableiten. Setzen wir nun aber fest, daß die Kurve, <br/><pb/>
</p><!--l. 1876--><p class="indent">

</p><!--l. 1877--><p class="noindent">auf welcher wir differenziiert haben, eine geodätische Kurve <br/>sei, so erhalten wir nach (22) durch Ersetzen von <span
class="cmmi-12">d</span><sup ><span
class="cmr-8">2</span></sup> <span
class="cmmi-12">x</span><sub >
<span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191683x.png" alt="/"  class="left" align="middle" /> <span
class="cmmi-12">d s</span><sup ><span
class="cmr-8">2</span></sup>
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191684x.png" alt="                     m n      { --@2-f----  {     } -@-f-} d-xm-d-xn- x =    @ x  @ x  -     t   @ x     d s  d s .           m    n              t " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 1892--><p class="nopar">
</p><!--l. 1894--><p class="indent">   Aus der Vertauschbarkeit der Differentiationen nach <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-16.png" alt="m" class="cmmi-12x-x-16" align="middle" /> </span> <br/>und <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-17.png" alt="n" class="12x-x-17" /> </span>und daraus, daß gemäß (23) und (21) die Klammer <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191685x.png" alt=" mn { t }"  class="left" align="middle" /> <br/>bezüglich <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-16.png" alt="m" class="cmmi-12x-x-16" align="middle" /> </span>und <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-17.png" alt="n" class="12x-x-17" /> </span>symmetrisch ist, folgt, daß der Klammer-<br/>ausdruck in <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-16.png" alt="m" class="cmmi-12x-x-16" align="middle" /> </span>und <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-17.png" alt="n" class="12x-x-17" /> </span>symmetrisch ist. Da man von einem <br/>Punkt des Kontinuums aus in beliebiger Richtung eine geo-<br/>dätische Linie ziehen kann, <span
class="cmmi-12">d x</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /></span></sub><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191686x.png" alt="/"  class="left" align="middle" /> <span
class="cmmi-12">d s</span> also ein Vierervektor mit <br/>frei wählbarem Verhältnis der Komponenten ist, folgt nach <br/>den Ergebnissen des <span
class="cmsy-10x-x-120">§ </span>7, daß</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-34r25"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191687x.png" alt="          @2 f      { m n}  @ f Am n = -----------     t    -----:        @ xm @ xm            @ xt " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(25)</td></tr></table>
<!--l. 1915--><p class="nopar">
</p><!--l. 1920--><p class="noindent">ein kovarianter Tensor zweiten Ranges ist. Wir haben also <br/>das Ergebnis gewonnen: Aus dem kovarianten Tensor ersten <br/>Ranges</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191688x.png" alt="      @ f Am =  -----       @ xm " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 1928--><p class="nopar">
</p><!--l. 1930--><p class="noindent">können wir durch Differentiation einen kovarianten Tensor <br/>zweiten Ranges</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-35r26"></a>

   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191689x.png" alt="               { m n } A    = @-Am- -     t   A   mn    @ xn             t " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(26)</td></tr></table>
<!--l. 1941--><p class="nopar">
</p><!--l. 1946--><p class="noindent">bilden. Wir nennen den Tensor <span
class="cmmi-12">A</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub> die ,,<span
class="cmti-12">Erweiterung</span>&#8220; des <br/>Tensors <span
class="cmmi-12">A</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /></span></sub>. Zunächst können wir leicht zeigen, daß diese <br/>Bildung auch dann auf einen Tensor führt, wenn der Vektor <span
class="cmmi-12">A</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /></span></sub> <br/>nicht als ein Gradient darstellbar ist. Um dies einzusehen,
 <br/>bemerken wir zunächst, daß</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191690x.png" alt="  @ f y @-x--      m " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 1958--><p class="nopar">
</p><!--l. 1960--><p class="noindent">ein kovarianter Vierervektor ist, wenn <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-27.png" alt="f" class="cmmi-12x-x-27" align="middle" /> </span>und <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-27.png" alt="f" class="cmmi-12x-x-27" align="middle" /> </span>Skalare sind. <br/>Dies ist auch der Fall für eine aus vier solchen Gliedern be-<br/>stehende Summe
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191691x.png" alt="          @ f(1)             @ f(4) Sm =  y(1)------+ .+  .+ y(4)------,           @ xm                @ xm " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 1970--><p class="nopar">
</p><!--l. 1972--><p class="noindent">falls <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-20.png" alt="y" class="12x-x-20" /></span><sup ><span
class="cmr-8">(1)</span></sup> <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-27.png" alt="f" class="cmmi-12x-x-27" align="middle" /></span><sup ><span
class="cmr-8">(1)</span></sup><span
class="cmmi-12">...</span><span
class="cmmi-12">.<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-20.png" alt="y" class="12x-x-20" /></span><sup ><span
class="cmr-8">(4)</span></sup> <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-27.png" alt="f" class="cmmi-12x-x-27" align="middle" /></span><sup ><span
class="cmr-8">(4)</span></sup> Skalare sind. Nun ist aber klar, daß <br/>sich jeder kovariante Vierervektor in der Form <span
class="cmmi-12">S</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /></span></sub> darstellen <br/>läßt. Ist nämlich <span
class="cmmi-12">A</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /></span></sub> ein Vierervektor, dessen Komponenten <br/><pb/>
</p><!--l. 1977--><p class="indent">

</p><!--l. 1978--><p class="noindent">beliebig gegebene Funktionen der <span
class="cmmi-12">x</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub> sind, so hat man nur <br/>(bezüglich des gewählten Koordinatensystems) zu setzen
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191692x.png" alt="y(1) = A1,           f(1) = x1,  (2)                   (2) y   = A2,            f    = x2, y(3) = A3,           f(3) = x3,  (4)                   (4) y   = A4,            f    = x4, " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 1995--><p class="nopar">
</p><!--l. 1999--><p class="noindent">um zu erreichen, daß <span
class="cmmi-12">S</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /></span></sub> gleich <span
class="cmmi-12">A</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /></span></sub> wird.
</p><!--l. 2002--><p class="indent">   Um daher zu beweisen, daß <span
class="cmmi-12">A</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub> ein Tensor ist, wenn auf <br/>der rechten Seite für
<span
class="cmmi-12">A</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /></span></sub> ein beliebiger kovarianter Vierer-<br/>vektor eingesetzt wird, brauchen wir nur zu zeigen, daß dies <br/>für den Vierervektor <span
class="cmmi-12">S</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /></span></sub> zutrifft. Für letzteres ist es aber, <br/>wie ein Blick auf die rechte Seite von (26) lehrt, hinreichend, <br/>den Nachweis für den Fall</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191693x.png" alt="        @ f Am =  y -----         @ xm " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 2014--><p class="nopar">
</p><!--l. 2018--><p class="noindent">zu führen. Es hat nun die mit <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-20.png" alt="y" class="12x-x-20" /> </span>multiplizierte rechte Seite <br/>von (25)</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191694x.png" alt="                m n     @2 f     {     }    @ f y ----------     t   y  -----   @xm @ xn              @ xt " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 2029--><p class="nopar">
</p><!--l. 2031--><p class="noindent">Tensorcharakter. Ebenso ist</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191695x.png" alt=" @ y  @ f ----------  @ xm@ xn " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 2038--><p class="nopar">
</p><!--l. 2043--><p class="noindent">ein Tensor (äußeres Produkt zweier Vierervektoren). Durch <br/>Addition folgt der Tensorcharakter von
</p>

   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191696x.png" alt="     (       )   {  m n} (       ) --@--   -@-f-                @-f-- @ xn   y@ xm   -     t     y @ xt  . " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 2057--><p class="nopar">
</p><!--l. 2059--><p class="noindent">Damit ist, wie ein Blick auf (26) lehrt, der verlangte Nachweis <br/>für den Vierervektor
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191697x.png" alt="y -@-f-,   @ xm " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 2066--><p class="nopar">
</p><!--l. 2069--><p class="noindent">und daher nach dem vorhin Bewiesenen für jeden beliebigen <br/>Vierervektor <span
class="cmmi-12">A</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /></span></sub>
geführt. --
</p><!--l. 2072--><p class="indent">   Mit Hilfe der Erweiterung des Vierervektors kann man <br/>leicht die ,,Erweiterung&#8220; eines kovarianten Tensors beliebigen <br/>Ranges definieren; diese Bildung ist eine Verallgemeinerung <br/>der Erweiterung des Vierervektors. Wir beschränken uns auf <br/>die Aufstellung der Erweiterung des Tensors zweiten Ranges, <br/>da dieser das Bildungsgesetz bereits klar übersehen läßt.
<pb/>
</p><!--l. 2082--><p class="indent">

</p><!--l. 2083--><p class="indent">   Wie bereits bemerkt, läßt sich jeder kovariante Tensor <br/>zweiten Ranges darstellen<sup ><span
class="cmr-8">1</span></sup>) als eine Summe von Tensoren <br/>vom Typus <span
class="cmmi-12">A</span><sub >
<span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /></span></sub> <span
class="cmmi-12">B</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub>. Es wird deshalb genügen, den Ausdruck <br/>der Erweiterung für einen solchen speziellen Tensor abzuleiten. <br/>Nach (26) haben die Ausdrücke
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191698x.png" alt="@ A    {  s m} ---m--     t    At, @ xs
          s n @-Bn-  {     } @ xs -     t   Bt " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 2105--><p class="nopar">
</p><!--l. 2107--><p class="noindent">Tensorcharakter. Durch äußere Multiplikation des ersten mit <br/><span
class="cmmi-12">B</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub>, des zweiten mir
<span
class="cmmi-12">A</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /></span></sub> erhält man je einen Tensor dritten <br/>Ranges; deren Addition ergibt den Tensor dritten Ranges</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-36r27"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191699x.png" alt="                 { s m }        { s n} Am ns = @-Am-n -     t   At n-     t    Am t,          @ xs " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(27)</td></tr></table>
<!--l. 2124--><p class="nopar">
</p><!--l. 2129--><p class="noindent">wobei <span
class="cmmi-12">A</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub> = <span
class="cmmi-12">A</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /></span></sub> <span
class="cmmi-12">B</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub> gesetzt ist. Da die rechte Seite von (27) <br/>linear und homogen ist bezüglich der <span
class="cmmi-12">A</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub> und deren ersten <br/>Ableitungen, führt dieses Bildungsgesetz nicht nur bei einem <br/>Tensor vom Typus <span
class="cmmi-12">A</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /></span></sub> <span
class="cmmi-12">B</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub>, sondern auch bei einer Summe
 <br/>solcher Tensoren, d. h. bei einem beliebigen kovarianten <br/>Tensor zweiten Ranges, zu einem Tensor. Wir nennen <span
class="cmmi-12">A</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /> <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b" /></span></sub> <br/>die Erweiterung des Tensors
<span
class="cmmi-12">A</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub><span
class="cmmi-12">.</span>
</p><!--l. 2135--><p class="indent">   Es ist klar, daß (26) und (24) nur spezielle Fälle von (27) <br/>sind (Erweiterung
des Tensors ersten bzw. nullten Ranges). <br/>Überhaupt lassen sich alle speziellen Bildungsgesetze von <br/>Tensoren auf (27) in Verbindung mit Tensormultiplikationen
 <br/>auffassen.
</p>
<div class="center" >

<!--l. 2141--><p class="noindent">
</p><!--l. 2143--><p class="noindent"><span
class="cmbsy-10x-x-120">§ </span><span
class="cmbx-12">11.   Einige Spezialf</span><span
class="cmbx-12">älle von besonderer Bedeutung.</span></p></div>
<!--l. 2147--><p class="indent">   <span
class="cmti-12">Einige den Fundamentaltensor betreffende Hilfss</span><span
class="cmti-12">ätze. </span>Wir <br/>leiten zunächst einige im folgenden viel gebrauchte Hilfs-<br/></p><!--l. 2151--><p class="noindent">----------
</p><!--l. 2154--><p class="indent">   1) Durch äußere Multiplikation der Vektoren mit den (beliebig <br/>gegebenen) Komponenten <span
class="cmmi-12">A</span><sub ><span
class="cmr-8">11</span></sub>, <span
class="cmmi-12">A</span><sub ><span
class="cmr-8">12</span></sub>, <span
class="cmmi-12">A</span><sub ><span
class="cmr-8">13</span></sub>, <span
class="cmmi-12">A</span><sub ><span
class="cmr-8">14</span></sub> bzw. 1, 0, 0, 0 entsteht <br/>ein Tensor mit den Komponenten
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916100x.png" alt="A11 A12  A13 A14   0   0   0    0
  0   0   0    0   0   0   0    0 " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 2168--><p class="nopar">
</p><!--l. 2171--><p class="noindent">Durch Addition von vier Tensoren von diesem Typus erhält man den <br/>Tensor <span
class="cmmi-12">A</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub>
mit beliebig vorgeschriebenen Komponenten. <pb/>
</p><!--l. 2177--><p class="indent">

</p><!--l. 2178--><p class="noindent">gleichungen ab. Nach der Regel von der Differentiation der <br/>Determinanten ist</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-37r28"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916101x.png" alt="d g = gm n g d g  = - g   g d gmn.                mn      m n " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(28)</td></tr></table>
<!--l. 2185--><p class="nopar">
</p><!--l. 2189--><p class="noindent">Die letzte Form rechtfertigt sich durch die vorletzte, wenn <br/>man bedenkt, daß
<span
class="cmmi-12">g</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub> <span
class="cmmi-12">g</span><sup ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /></span><span
class="cmsy-8">'</span><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sup> = <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-e.png" alt="d" class="12x-x-e" /></span><sub >
<span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /></span></sub><sup ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /></span><span
class="cmsy-8">'</span></sup>, daß also <span
class="cmmi-12">g</span><sub >
<span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub> <span
class="cmmi-12">g</span><sup ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sup> = 4, folglich
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916102x.png" alt="g   d gmn + gmn d g   = 0.  mn                mn " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 2198--><p class="nopar">
</p><!--l. 2201--><p class="noindent">Aus (28) folgt</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-38r29"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916103x.png" alt="        V~ --- --1--@-----g   1-@-1g-(--g)   1- mn @-gmn-    1-    @-gmn-  V~  -g @ xs   = 2    @ xs    = 2 g   @ xs  = - 2 gm n@ xs  . " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(29)</td></tr></table>
<!--l. 2212--><p class="nopar">
</p><!--l. 2216--><p class="noindent">Aus</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916104x.png" alt="g ms gn s = dmn " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 2222--><p class="nopar">
</p><!--l. 2224--><p class="noindent">folgt ferner durch Differentiation</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-39r30"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916105x.png" alt="             g   d gns =  -gn s d g {             m s                 m s                  @-gns-     n s@-gms-      bzw.    gm s@ xc  = - g   @ xc  . " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(30)</td></tr></table>
<!--l. 2236--><p class="nopar">
</p><!--l. 2240--><p class="noindent">Durch gemischte Multiplikation mit <span
class="cmmi-12">g</span><sup ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1c.png" alt="t" class="8x-x-1c" /></span></sup> bzw. <span
class="cmmi-12">g</span><sub >
<span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-15.png" alt="c" class="8x-x-15" /></span></sub> erhält man <br/>hieraus (bei geänderter Bezeichnungsweise der Indizes)</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-40r31"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916106x.png" alt="           d gmn = - gma gn b d ga b, {             mn                ab            @-g---= - gma gn b@-g---            @ xs              @ xs " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(31)</td></tr></table>
<!--l. 2255--><p class="nopar">
</p><!--l. 2260--><p class="noindent">bzw.</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-41r32"></a>

   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916107x.png" alt="           d gmn = - gm a g nb d ga b {                               ab           @-g-mn = - gma g nb@-g---.            @ xs               @ xs " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(32)</td></tr></table>
<!--l. 2274--><p class="nopar">
</p><!--l. 2278--><p class="noindent">Die Beziehung (31) erlaubt eine Umformung, von der wir <br/>ebenfalls öfter Gebrauch zu machen haben. Gemäß (21) ist</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-42r33"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916108x.png" alt="          |_     _|    |_      _|
           a s      b s @-ga-b  @ x  =   |_  b  _|  +  |_  a  _|  .     s " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(33)</td></tr></table>
<!--l. 2291--><p class="nopar">
</p><!--l. 2295--><p class="noindent">Setzt man dies in die zweite der Formeln (31) ein, so erhält <br/>man mit Rücksicht auf (23)</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-43r34"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916109x.png" alt="           (                          )                  { t s}       {  t s} @-gm-n = -   gmt    n    + gnt    m  @ xa " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(34)</td></tr></table>
<!--l. 2308--><p class="nopar">
</p><!--l. 2312--><p class="noindent">Durch Substitution der rechten Seite von (34) in (29) ergibt sich
</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-44r35"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916110x.png" alt="  1   @  V~ --g   { m s}  V~ --- -------=     m    .   - y  @ xs " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(29a)</td></tr></table>
<!--l. 2319--><p class="nopar">
<pb/></p><!--l. 2326--><p class="indent">

</p><!--l. 2327--><p class="indent">   <span
class="cmti-12">Divergenz des kontravarianten Vierervektors. </span>Multipliziert <br/>man (26) mit dem kontravarianten Fundamentaltensor <span
class="cmmi-12">g</span><sup ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sup> <br/>(innere Multiplikation), so nimmt die rechte Seite nach Um-<br/>formung des ersten Gliedes zunächst die Form an</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916111x.png" alt="                    mn         (   ma                 ) -@--  mn         @g---   1- ta   @g---   @gna-  @g-mn    mn @xn (g  Am) - Am  @xn  - 2 g     @xn  +  @xm  -  @xa    g  At . " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 2341--><p class="nopar">
</p><!--l. 2344--><p class="noindent">Das letzte Glied dieses Ausdruckes kann gemäß (31) und (29) <br/>in die Form
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916112x.png" alt="                                   V~ -- 1-@-gt-n     1-@-gtm-     --1-- @----g- mn 2  @ xn At + 2  @ xm At +  V~  --g @ xa  g   At. " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 2354--><p class="nopar">
</p><!--l. 2356--><p class="noindent">gebracht werden. Da es auf die Benennung der Summations-<br/>indizes nicht ankommt, heben sich die beiden ersten Glieder <br/>dieses Ausdruckes gegen das zweite des obigen weg; das letzte <br/>läßt sich mit dem ersten des obigen Ausdruckes vereinigen. <br/>Setzt man noch</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916113x.png" alt="gmn Am = An, " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 2366--><p class="nopar">
</p><!--l. 2368--><p class="noindent">wobei <span
class="cmmi-12">A</span><sup ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sup> ebenso wie <span
class="cmmi-12">A</span><sub >
<span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /></span></sub> ein frei wählbarer Vektor ist, so er-<br/>hält man endlich</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-45r35"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916114x.png" alt="P  =  V~ -1---@--( V~  -g-An) .        - g@ xn " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(35)</td></tr></table>

<!--l. 2376--><p class="nopar">
</p><!--l. 2380--><p class="noindent">Dieser Skalar ist die <span
class="cmti-12">Divergenz </span>des kontravarianten Vierer-<br/>vektors <span
class="cmmi-12">A</span><sup ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sup><span
class="cmmi-12">.</span>
</p><!--l. 2383--><p class="indent">   <span
class="cmti-12">,,Rotation&#8220; des </span>(<span
class="cmti-12">kovarianten</span>) <span
class="cmti-12">Vierervektors. </span>Das zweite <br/>Glied in (26) ist in den Indizes <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-16.png" alt="m" class="cmmi-12x-x-16" align="middle" /> </span>und <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-17.png" alt="n" class="12x-x-17" /> </span>symmetrisch. Es ist <br/>deshalb <span
class="cmmi-12">A</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub> <span
class="cmsy-10x-x-120">-</span><span
class="cmmi-12">A</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /></span></sub> ein besonders einfach gebauter (anti-<br/>symmetrischer) Tensor. Man erhält</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-46r36"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916115x.png" alt="        @-Am-   @ An- Bm n =  @ x  -  @ x  .            n       m " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(36)</td></tr></table>
<!--l. 2395--><p class="nopar">
</p><!--l. 2400--><p class="indent">   <span
class="cmti-12">Antisymmetrische Erweiterung eines Sechservektors. </span>Wendet <br/>man (27) auf einen antisymmetrischen Tensor zweiten Ranges <br/><span
class="cmmi-12">A</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub> an, bildet hierzu die beiden durch zyklische Vertauschung <br/>der Indizes <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-16.png" alt="m" class="cmmi-12x-x-16" align="middle" />, <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-17.png" alt="n" class="12x-x-17" />, <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-1b.png" alt="s" class="12x-x-1b" /> </span>entstehenden Gleichungen und addiert <br/>diese drei Gleichungen, so erhält man den Tensor dritten
 <br/>Ranges</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-47r37"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916116x.png" alt="                                @-Am-n   @-An-s   @-Asm- Bm n s = Am ns + Ansm + Asm n =  @ xs  +  @ xm  +  @ xn  , " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(37)</td></tr></table>
<!--l. 2413--><p class="nopar">
</p><!--l. 2418--><p class="noindent">von welchem leicht zu beweisen ist, daß er antisymmetrisch ist.
</p><!--l. 2420--><p class="indent">   <span
class="cmti-12">Divergenz des Sechservektors. </span>Multipliziert man (27) mit <br/><span
class="cmmi-12">g</span><sup ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-b.png" alt="a" class="8x-x-b" /></span></sup> <span
class="cmmi-12">g</span><sup ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /> <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-c.png" alt="b" class="cmmi-8x-x-c" align="middle" /></span></sup> (gemischte Multiplikation), so erhält man ebenfalls <br/><pb/>
</p><!--l. 2424--><p class="indent">

</p><!--l. 2425--><p class="noindent">einen Tensor. Das erste Glied der rechten Seite von (27) kann <br/>man in der Form
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916117x.png" alt="-@--- m a  nb         ma @-gnb-       nb @-gma- @ xs(g   g   Am n) - g   @ xs Am n - g   @ xa Am n " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 2436--><p class="nopar">
</p><!--l. 2438--><p class="noindent">schreiben. Ersetzt man <span
class="cmmi-12">g</span><sup ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-b.png" alt="a" class="8x-x-b" /></span></sup> <span
class="cmmi-12">g</span><sup ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /> <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-c.png" alt="b" class="cmmi-8x-x-c" align="middle" /></span></sup> <span
class="cmmi-12">A</span><sub >
<span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /> <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b" /></span></sub> durch <span
class="cmmi-12">A</span><sub><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b" /></span></sub><sup><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-b.png" alt="a" class="8x-x-b" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-c.png" alt="b" class="cmmi-8x-x-c" align="middle" /></span></sup><span
class="cmmi-12">,</span> g<sup ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-b.png" alt="a" class="8x-x-b" /></span></sup> <span
class="cmmi-12">g</span><sup ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /> <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-c.png" alt="b" class="cmmi-8x-x-c" align="middle" /></span></sup> <span
class="cmmi-12">A</span><sub >
<span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub> durch <br/><span
class="cmmi-12">A</span><sup ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-b.png" alt="a" class="8x-x-b" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-c.png" alt="b" class="cmmi-8x-x-c" align="middle" /></span></sup> und ersetzt man in dem umgeformten ersten Gliede
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916118x.png" alt="@-gnb-       @-gma- @ xs   und    @ xs " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 2447--><p class="nopar">
</p><!--l. 2451--><p class="noindent">vermittelst (34), so entsteht aus der rechten Seite von (27) <br/>ein siebengliedriger Ausdruck, von dem sich vier Glieder weg-<br/>heben. Es bleibt übrig</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-48r38"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916119x.png" alt="       @ Aa b   {  s x}        { s x } Aasb = -------+     a    Axb +     b   Aax .         @ xs " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(38)</td></tr></table>
<!--l. 2466--><p class="nopar">
</p><!--l. 2470--><p class="noindent">Es ist dies der Ausdruck für die Erweiterung eines kontra-<br/>varianten Tensors zweiten Ranges, der sich entsprechend auch <br/>für kontravariante Tensoren höheren und niedrigeren Ranges <br/>bilden läßt.
</p><!--l. 2475--><p class="indent">   Wir merken an, daß sich auf analogem Wege auch die <br/>Erweiterung eines gemischten Tensors <span
class="cmmi-12">A</span><sub><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /></span></sub><sup><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-b.png" alt="a" class="8x-x-b" /></span></sup> bilden läßt:
</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-49r39"></a>

   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916120x.png" alt="          a    { s m}       {  s t} Aa  =  @-Am--     t    Aa +     a   At  .  m s   @ xs             t             m " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(39)</td></tr></table>
<!--l. 2490--><p class="nopar">
</p><!--l. 2494--><p class="noindent">Durch Verjüngung von (38) bezüglich der Indizes <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-c.png" alt="b" class="cmmi-12x-x-c" align="middle" /> </span>und <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-1b.png" alt="s" class="12x-x-1b" /> </span> <br/>(innere Multiplikation mit <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-e.png" alt="d" class="12x-x-e" /></span><sub><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-c.png" alt="b" class="cmmi-8x-x-c" align="middle" /></span></sub><sup><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b" /></span></sup>) erhält man den kontravarianten <br/>Vierervektor
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916121x.png" alt="         a b   { b x }        { b x} Aa =  @-A----+    b    Aa x +    a    Ax b.        @ xb                   n " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 2510--><p class="nopar">
</p><!--l. 2513--><p class="noindent">Wegen der Symmetrie von <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916122x.png" alt="{   }  b x   a"  class="left" align="middle" /> bezüglich der Indizes <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-c.png" alt="b" class="cmmi-12x-x-c" align="middle" /> </span>und <span
class="cmmi-12">x</span><span
class="cmbxti-10x-x-120">x</span> <br/>verschwindet das dritte Glied der rechten Seite, falls <span
class="cmmi-12">A</span><sup ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-b.png" alt="a" class="8x-x-b" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-c.png" alt="b" class="cmmi-8x-x-c" align="middle" /></span></sup> ein <br/>antisymmetrischer Tensor ist, was wir annehmen wollen; das <br/>zweite Glied läßt sich gemäß (29a) umformen. Man erhält also
</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-50r40"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916123x.png" alt="        1  @ ( V~  --g Aa b) Aa =   V~ -----------------.         - g     @ xb " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(40)</td></tr></table>
<!--l. 2521--><p class="nopar">
</p><!--l. 2525--><p class="noindent">Dies ist der Ausdruck der Divergenz eines kontravarianten <br/>Sechservektors.
</p><!--l. 2528--><p class="indent">   <span
class="cmti-12">Divergenz des gemischten Tensors zweiten Ranges. </span>Bilden <br/>wir die Verjüngung von (39) bezüglich der Indizes <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-b.png" alt="a" class="12x-x-b" /> </span>und <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-1b.png" alt="s" class="12x-x-1b" /></span>, <br/>so erhalten wir mit Rücksicht auf (29a)
<pb/>
</p><!--l. 2535--><p class="indent">

</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-51r41"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916124x.png" alt="             ( V~ ---   s)   { s m }  V~  -g-A =  @------g-A-m--     t     V~  --g As .        m       @ xs                       t " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(41)</td></tr></table>
<!--l. 2545--><p class="nopar">
</p><!--l. 2549--><p class="noindent">Führt man im letzten Gliede den kontravarianten Tensor <br/><span
class="cmmi-12">A</span><sup ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-25.png" alt="r" class="cmmi-8x-x-25" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b" /></span></sup> = <span
class="cmmi-12">g</span><sup ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-25.png" alt="r" class="cmmi-8x-x-25" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1c.png" alt="t" class="8x-x-1c" /></span></sup> <span
class="cmmi-12">A</span><sub >
<span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1c.png" alt="t" class="8x-x-1c" /></span></sub><sup ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b" /></span></sup> ein, so nimmt es die Form an
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916125x.png" alt="    |_     _|
    s m            V~ ---  rs -   |_  r  _|   -g A   . " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 2559--><p class="nopar">
</p><!--l. 2561--><p class="noindent">Ist ferner der Tensor <span
class="cmmi-12">A</span><sup ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-25.png" alt="r" class="cmmi-8x-x-25" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b" /></span></sup> ein symmetrischer, so reduziert sich <br/>dies auf
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916126x.png" alt="  1 V~ --- @-grs- r s - 2  - g @ xm  A   . " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 2569--><p class="nopar">
</p><!--l. 2571--><p class="noindent">Hätte man statt <span
class="cmmi-12">A</span><sup ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-25.png" alt="r" class="cmmi-8x-x-25" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b" /></span></sup> den ebenfalls symmetrischen kovarianten <br/>Tensor
<span
class="cmmi-12">A</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-25.png" alt="r" class="cmmi-8x-x-25" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b" /></span></sub> = <span
class="cmmi-12">g</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-25.png" alt="r" class="cmmi-8x-x-25" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-b.png" alt="a" class="8x-x-b" /></span></sub> <span
class="cmmi-12">g</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-c.png" alt="b" class="cmmi-8x-x-c" align="middle" /></span></sub> <span
class="cmmi-12">A</span><sup ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-b.png" alt="a" class="8x-x-b" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-c.png" alt="b" class="cmmi-8x-x-c" align="middle" /></span></sup> eingeführt, so würde das letzte Glied <br/>vermöge (31) die Form</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916127x.png" alt="   V~ --- @ grs 12  - g ------Ars        @ xm " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 2582--><p class="nopar">

</p><!--l. 2586--><p class="noindent">annehmen. In dem betrachteten Symmetriefalle kann also <br/>(41) auch durch die beiden Formen</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-52r42"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916128x.png" alt="              ( V~ ---   )  V~ ---      @     -g Asm    1 @ gr s V~ ---  rs   - g Am = ------------- - --------  - g A                @ xs        2  @ xm " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(41a)</td></tr></table>
<!--l. 2596--><p class="nopar">
</p><!--l. 2601--><p class="noindent">und</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-53r42"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916129x.png" alt="              ( V~ ---  s)        r s  V~  --g Am = @------g A-m-+ 1-@-g--- V~  --g Asr                 @ xs       2  @ xm " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(41b)</td></tr></table>
<!--l. 2610--><p class="nopar">
</p><!--l. 2613--><p class="noindent">ersetzt werden, von denen wir im folgenden Gebrauch zu <br/>machen haben.
</p>
<div class="center" >

<!--l. 2616--><p class="noindent">
</p><!--l. 2617--><p class="noindent"><span
class="cmbsy-10x-x-120">§ </span><span
class="cmbx-12">12.   Der Riemann-Christoffelsche Tensor.</span></p></div>

<!--l. 2621--><p class="indent">   Wir fragen nun nach denjenigen Tensoren, welche aus <br/>dem Fundamentaltensor der <span
class="cmmi-12">g</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub> <span
class="cmti-12">allein </span>durch Differentiation <br/>gewonnen werden können. Die Antwort scheint zunächst auf <br/>der Hand zu liegen. Man setzt in (27) statt des beliebig ge-<br/>gebenen Tensors <span
class="cmmi-12">A</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub> den Fundamentaltensor der <span
class="cmmi-12">g</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub> ein und <br/>erhält dadurch einen neuen Tensor, nämlich die Erweiterung <br/>des Fundamentaltensors. Man überzeugt sich jedoch leicht, <br/>daß diese letztere identisch verschwindet. Man gelangt jedoch <br/>auf folgendem Wege zum Ziel. Man setze in (27)
</p>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916130x.png" alt="                 m n        @-Am-   {    } Am n = @ x  -     r    Ar ,           n " class="math-display"  /></center>
<!--l. 2638--><p class="nopar"> <pb/>
</p><!--l. 2645--><p class="indent">

</p><!--l. 2646--><p class="noindent">d. h. die Erweiterung des Vierervektors <span
class="cmmi-12">A</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub> ein. Dann erhält <br/>man (bei etwas geänderter Benennung der Indizes) den Tensor <br/>dritten Ranges</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916131x.png" alt="          @2 A Am st =  ------m---          @ xs @ xt         { m s }         { m t }         { s t}                 @-Ar-           @-Ar-           @-Am-       -     r    @ xt -     r   @ xs -     r    @ xr
         |_                                                     _|
             @  {  m s}    { m t}  { a s }   {  s t}  { a m}       +  |_ ------    r    +     a       r   +     a       r    _|  Ar .            @ xt " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 2686--><p class="nopar">
</p><!--l. 2689--><p class="noindent">Dieser Ausdruck ladet zur Bildung des Tensors <span
class="cmmi-12">A</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b" /> <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1c.png" alt="t" class="8x-x-1c" /></span></sub> <span
class="cmsy-10x-x-120">- </span><span
class="cmmi-12">A</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1c.png" alt="t" class="8x-x-1c" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b" /></span></sub> <br/>ein. Denn dabei heben sich folgende Terme des Ausdruckes <br/>für <span
class="cmmi-12">A</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b" /> <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1c.png" alt="t" class="8x-x-1c" /></span></sub> gegen solche von <span
class="cmmi-12">A</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1c.png" alt="t" class="8x-x-1c" /> <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b" /></span><span
class="cmmi-8">  </span></sub> weg: das erste Glied, das vierte <br/>Glied, sowie das dem letzten Term in der eckigen Klammer <br/>entsprechende Glied; denn alle diese sind in <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-1b.png" alt="s" class="12x-x-1b" /> </span>und <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-1c.png" alt="t" class="12x-x-1c" /> </span>symme-<br/>trisch. Gleiches gilt von der Summe des zweiten und dritten <br/>Gliedes. Wir erhalten also</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-54r42"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916132x.png" alt="                 r Am st-  Amts = B mst Ar, " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(42)</td></tr></table>
<!--l. 2705--><p class="nopar"></p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-55r43"></a>

   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916133x.png" alt="                    m s             m t     r         @   {    }      @  {     }    Bms t = - @-x--   r    + @-x--    r                 t               s {
             { m s } {  a t}    { m t}  { a s}            -     a       r   +     a       r    . " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(43)</td></tr></table>
<!--l. 2737--><p class="nopar">
</p><!--l. 2741--><p class="noindent">Wesentlich ist an diesem Resultat, daß auf der rechten Seite <br/>von (42) nur die <span
class="cmmi-12">A</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-25.png" alt="r" class="cmmi-8x-x-25" align="middle" /></span></sub>, aber nicht mehr ihre Ableitungen auf-<br/>treten. Aus dem Tensorcharakter von
<span
class="cmmi-12">A</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b" /> <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1c.png" alt="t" class="8x-x-1c" /></span></sub> <span
class="cmsy-10x-x-120">- </span><span
class="cmmi-12">A</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1c.png" alt="t" class="8x-x-1c" /> <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b" /></span></sub> in Ver-<br/>bindung damit, daß <span
class="cmmi-12">A</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-25.png" alt="r" class="cmmi-8x-x-25" align="middle" /></span></sub> ein frei wählbarer Vierervektor ist, <br/>folgt, vermöge der Resultate des <span
class="cmsy-10x-x-120">§ </span>7, daß <span
class="cmmi-12">B</span><sub><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b" /> <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1c.png" alt="t" class="8x-x-1c" /></span></sub><sup><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-25.png" alt="r" class="cmmi-8x-x-25" align="middle" /></span></sup> ein Tensor <br/>ist (Riemann-Christoffelscher Tensor).
</p><!--l. 2751--><p class="indent">   Die mathematische Bedeutung dieses Tensors liegt im <br/>folgenden. Wenn das Kontinuum so beschaffen ist, daß es <br/>ein Koordinatensystem gibt, bezüglich dessen die <span
class="cmmi-12">g</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub> Kon-<br/>stanten sind, so verschwinden alle <span
class="cmmi-12">R</span><sub><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b" /> <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1c.png" alt="t" class="8x-x-1c" /></span></sub><sup><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-25.png" alt="r" class="cmmi-8x-x-25" align="middle" /></span></sup>. Wählt man statt des <br/>ursprünglichen Koordinatensystems ein beliebiges neues, so <br/>werden die auf letzteres bezogenen <span
class="cmmi-12">g</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub> nicht Konstanten sein. <br/>Der Tensorcharakter von <span
class="cmmi-12">R</span><sub><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b" /> <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1c.png" alt="t" class="8x-x-1c" /></span></sub><sup><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-25.png" alt="r" class="cmmi-8x-x-25" align="middle" /></span></sup> bringt es aber mit sich, daß <br/>diese Komponenten auch in dem beliebig gewählten Bezugs-<br/>system sämtlich verschwinden. Das Verschwinden des Rie-<br/>mannschen Tensors ist also eine notwendige Bedingung dafür, <br/>daß durch geeignete Wahl des Bezugssystems die Konstanz
 <br/><pb/>
</p><!--l. 2768--><p class="indent">

</p><!--l. 2769--><p class="noindent">der <span
class="cmmi-12">g</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub> herbeigeführt werden kann.<sup ><span
class="cmr-8">1</span></sup>) In unserem Problem <br/>entspricht dies dem Falle, daß bei passender Wahl des Ko-<br/>ordinatensystems in endlichen Gebieten die spezielle Rela-<br/>tivitätstheorie gilt.
</p><!--l. 2775--><p class="indent">   Durch Verjüngung von (43) bezüglich der Indizes <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-1c.png" alt="t" class="12x-x-1c" /> </span>und <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-25.png" alt="r" class="cmmi-12x-x-25" align="middle" />  </span> <br/>erhält man den kovarianten Tensor zweiten Ranges</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-56r44"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916134x.png" alt="   Bm n = Rm n + Sm n                     m n       m a     n b               @  {     }    {     } {     }    Rm n = - @-x--    a   +     b        a {               a
               V~ ---   {  m n}       V~ ---    Sm n = @-lg----g--     a    @-lg-----g-.           @ xm @ xn              @ xa " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(44)</td></tr></table>
<!--l. 2803--><p class="nopar">
</p><!--l. 2808--><p class="indent">   <span
class="cmti-12">Bemerkung </span><span
class="cmti-12">über die Koordinatenwahl. </span>Es ist schon in <span
class="cmsy-10x-x-120">§ </span>8 <br/>im Anschluß an Gleichung (18a) bemerkt worden, daß die <br/>Koordinatenwahl mit Vorteil so getroffen werden kann, daß <br/><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916135x.png" alt=" V~  --g"  class="sqrt"  /> = 1 wird. Ein Blick auf die in den beiden letzten Para-<br/>graphen erlangten Gleichungen zeigt, daß durch eine solche
 <br/>Wahl die Bildungsgesetze der Tensoren eine bedeutende Ver-<br/>einfachung erfahren. Besonders gilt dies für den soeben ent-<br/>wickelten Tensor <span
class="cmmi-12">B</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub>, welcher in der darzulegenden Theorie <br/>eine fundamentale Rolle spielt. Die ins Auge gefaßte Speziali-<br/>sierung der Koordinatenwahl bringt nämlich das Ver-<br/>schwinden von <span
class="cmmi-12">S</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub> mit sich, so daß sich der Tensor <span
class="cmmi-12">B</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub> auf <br/><span
class="cmmi-12">R</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub>
reduziert.
</p><!--l. 2823--><p class="indent">   Ich will deshalb im folgenden alle Beziehungen in der <br/>vereinfachten Form angeben, welche die genannte Speziali-<br/>sierung der Koordinatenwahl mit sich bringt. Es ist dann <br/>ein Leichtes, auf die <span
class="cmti-12">allgemein </span>kovarianten Gleichungen zu-<br/>rückzugreifen, falls dies in einem speziellen Falle erwünscht
 <br/>erscheint.
</p>
<div class="center" >


<!--l. 2830--><p class="noindent">
</p><!--l. 2831--><p class="noindent"><span
class="cmbx-12">C. Theorie des Gravitationsfeldes.</span></p></div>
<div class="center" >

<!--l. 2834--><p class="noindent">
</p><!--l. 2837--><p class="noindent"><span
class="cmbsy-10x-x-120">§ </span><span
class="cmbx-12">13.   Bewegungsgleichung des materiellen Punktes </span> <br/><span
class="cmbx-12">im</span>
<span
class="cmbx-12">Gravitationsfeld. </span> <br/><span
class="cmbx-12">Ausdruck f</span><span
class="cmbx-12">ür die Feldkomponenten der</span>
<span
class="cmbx-12">Gravitation.</span></p></div>
<!--l. 2841--><p class="indent">   Ein frei beweglicher, äußeren Kräften nicht unterworfener <br/>Körper bewegt sich nach der speziellen Relativitätstheorie <br/>geradlinig und gleichförmig. Dies gilt auch nach der allgemeinen <br/>----------
</p><!--l. 2847--><p class="indent">   1) Die Mathematiker haben bewiesen, daß diese Bedingung auch <br/>eine
<span
class="cmti-12">hinreichende </span>ist. <pb/>
</p><!--l. 2852--><p class="indent">

</p><!--l. 2853--><p class="noindent">Relativitätstheorie für einen Teil des vierdimensionalen Raumes, <br/>in welchem das Koordinatensystem <span
class="cmmi-12">K</span><sub ><span
class="cmr-8">0</span></sub> so wählbar und so <br/>gewählt ist, daß die <span
class="cmmi-12">g</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub> die in (4) gegebenen speziellen kon-<br/>stanten Werte haben.
</p><!--l. 2859--><p class="indent">   Betrachten wir eben diese Bewegung von einem beliebig <br/>gewählten Koordinatensystem <span
class="cmmi-12">K</span><sub ><span
class="cmr-8">1</span></sub> aus, so bewegt er sich von <br/><span
class="cmmi-12">K</span><sub ><span
class="cmr-8">1</span></sub> aus, beurteilt nach den Überlegungen des <span
class="cmsy-10x-x-120">§ </span>2 in einem <br/>Gravitationsfelde. Das Bewegungsgesetz mit Bezug auf <span
class="cmmi-12">K</span><sub ><span
class="cmr-8">1</span></sub> <br/>ergibt sich leicht aus folgender Überlegung. Mit Bezug auf <br/><span
class="cmmi-12">K</span><sub ><span
class="cmr-8">0</span></sub> ist das Bewegungsgesetz eine vierdimensionale Gerade, <br/>also eine geodätische Linie. Da nun die geodätische Linie <br/>unabhängig vom Bezugssystem definiert ist, wird ihre Glei-<br/>chung auch die Bewegungsgleichung des materiellen Punktes <br/>in bezug auf
<span
class="cmmi-12">K</span><sub ><span
class="cmr-8">1</span></sub> sein. Setzen wir</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-57r45"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916136x.png" alt="         { m n }   t          t G mn = -         , " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(45)</td></tr></table>
<!--l. 2872--><p class="nopar">
</p><!--l. 2875--><p class="noindent">so lautet also die Gleichung der Punktbewegung inbezug auf <span
class="cmmi-12">K</span><sub ><span
class="cmr-8">1</span></sub></p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-58r46"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916137x.png" alt="d2 xt       d xn d xn ----2-= Gtmn----------.  d s         d s d s " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(46)</td></tr></table>
<!--l. 2880--><p class="nopar">

</p><!--l. 2884--><p class="noindent">Wir machen nun die sehr naheliegende Annahme, daß dieses <br/>allgemein kovariante Gleichungssystem die Bewegung des <br/>Punktes im Gravitationsfeld auch in dem Falle bestimmt, <br/>daß kein Bezugssystem <span
class="cmmi-12">K</span><sub ><span
class="cmr-8">0</span></sub> existiert, bezüglich dessen in end-<br/>lichen Räumen die spezielle Relativitätstheorie gilt. Zu dieser <br/>Annahme sind wir um so berechtigter, als (46) nur <span
class="cmti-12">erste </span>Ab-<br/>leitungen der <span
class="cmmi-12">g</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub> enthält, zwischen denen auch im Spezial-<br/>falle der Existenz von <span
class="cmmi-12">K</span><sub ><span
class="cmr-8">0</span></sub> keine Beziehungen bestehen.<sup ><span
class="cmr-8">1</span></sup>)
</p><!--l. 2895--><p class="indent">   Verschwinden die <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmr12-0.png" alt="G" class="12x-x-0" /><sub><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub><sup><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1c.png" alt="t" class="8x-x-1c" /></span></sup>, so bewegt sich der Punkt gerad-<br/>linig und gleichförmig; diese Größen bedingen also die Ab-<br/>weichung der Bewegung von der Gleichförmigkeit. Sie sind <br/>die Komponenten des Gravitationsfeldes.
</p>
<div class="center" >

<!--l. 2901--><p class="noindent">
</p><!--l. 2903--><p class="noindent"><span
class="cmbsy-10x-x-120">§ </span><span
class="cmbx-12">14.   Die Feldgleichungen der Gravitation bei Abwesenheit </span> <br/><span
class="cmbx-12">von</span>
<span
class="cmbx-12">Materie.</span></p></div>
<!--l. 2907--><p class="indent">   Wir unterscheiden im folgenden zwischen ,,Gravitations-<br/>feld&#8220; und ,,Materie&#8220;, in dem Sinne, daß alles außer dem <br/>Gravitationsfeld als ,,Materie&#8220; bezeichnet wird, also nicht nur <br/>----------
</p><!--l. 2913--><p class="indent">   1) Erst zwischen den zweiten (und ersten) Ableitungen bestehen <br/>gemäß <span
class="cmsy-10x-x-120">§ </span>12 die Beziehungen <span
class="cmmi-12">B</span><sub><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b" /> <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1c.png" alt="t" class="8x-x-1c" /></span></sub><sup><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-25.png" alt="r" class="cmmi-8x-x-25" align="middle" /></span></sup> = 0. <pb/>
</p><!--l. 2919--><p class="indent">

</p><!--l. 2920--><p class="noindent">die ,,Materie&#8220; im üblichen Sinne, sondern auch das elektro-<br/>magnetische Feld.
</p><!--l. 2924--><p class="indent">   Unsere nächste Aufgabe ist es, die Feldgleichungen der <br/>Gravitation bei Abwesenheit von Materie aufzusuchen. Dabei <br/>verwenden wir wieder dieselbe Methode wie im vorigen Para-<br/>graphen bei der Aufstellung der Bewegungsgleichung des <br/>materiellen Punktes. Ein Spezialfall, in welchem die gesuchten <br/>Feldgleichungen jedenfalls erfüllt sein müssen, ist der der <br/>ursprünglichen Relativitätstheorie, in dem die <span
class="cmmi-12">g</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub> gewisse <br/>konstante Werte haben. Dies sei der Fall in einem gewissen <br/>endlichen Gebiete in bezug auf ein bestimmtes Koordinaten-<br/>system <span
class="cmmi-12">K</span><sub ><span
class="cmr-8">0</span></sub>. In bezug auf dies System verschwinden sämtliche
 <br/>Komponenten <span
class="cmmi-12">B</span><sub><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b" /> <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1c.png" alt="t" class="8x-x-1c" /></span></sub><sup><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-25.png" alt="r" class="cmmi-8x-x-25" align="middle" /></span></sup> des Riemannschen Tensors [Gleichung (43)]. <br/>Diese verschwinden dann für das betrachtete Gebiet auch be-<br/>züglich jedes anderen Koordinatensystems.
</p><!--l. 2942--><p class="indent">   Die gesuchten Gleichungen des materiefreien Gravitations-<br/>feldes müssen also jedenfalls erfüllt sein, wenn alle <span
class="cmmi-12">B</span><sub><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b" /> <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1c.png" alt="t" class="8x-x-1c" /></span></sub><sup><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-25.png" alt="r" class="cmmi-8x-x-25" align="middle" /></span></sup> ver-<br/>schwinden. Aber diese Bedingung ist jedenfalls eine zu weit-<br/>gehende. Denn es ist klar, daß z. B. das von einem Massen-<br/>punkte in seiner Umgebung erzeugte Gravitationsfeld sicher-<br/>lich durch keine Wahl des Koordinatensystems ,,wegtrans-<br/>formiert&#8220;, d. h. auf den Fall konstanter
<span
class="cmmi-12">g</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub> transformiert <br/>werden kann.
</p><!--l. 2954--><p class="indent">   Deshalb liegt es nahe, für das materiefreie Gravitations-<br/>feld das Verschwinden des aus dem Tensor <span
class="cmmi-12">B</span><sub><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b" /> <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1c.png" alt="t" class="8x-x-1c" /></span></sub><sup><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-25.png" alt="r" class="cmmi-8x-x-25" align="middle" /></span></sup> abgeleiteten <br/>symmetrischen Tensors <span
class="cmmi-12">B</span><sub >
<span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub> zu verlangen. Man erhält so <br/>10 Gleichungen für die 10 Größen <span
class="cmmi-12">g</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub>, welche im speziellen <br/>erfüllt sind, wenn sämtliche <span
class="cmmi-12">B</span><sub><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b" /> <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1c.png" alt="t" class="8x-x-1c" /></span></sub><sup><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-25.png" alt="r" class="cmmi-8x-x-25" align="middle" /></span></sup> verschwinden. Diese Glei-<br/>chungen lauten mit Rücksicht auf (44) bei der von uns ge-<br/>troffenen Wahl für das Koordinatensystem für das materie-<br/>freie Feld</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-59r47"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916138x.png" alt="   @ Ga {  ---mn-+ Gamb Gbna = 0    @ xa    V~ ---             -g = 1. " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(47)</td></tr></table>
<!--l. 2974--><p class="nopar">
</p><!--l. 2977--><p class="indent">   Es muß darauf hingewiesen werden, daß der Wahl dieser <br/>Gleichungen ein Minimum von Willkür anhaftet. Denn es <br/>gibt außer <span
class="cmmi-12">B</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub> keinen Tensor zweiten
Ranges, der aus den <br/><pb/>
</p><!--l. 2983--><p class="indent">

</p><!--l. 2984--><p class="noindent"><span
class="cmmi-12">g</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub> und deren Ableitungen gebildet ist, keine höheren als <br/>zweite Ableitungen enthält und in letzteren linear ist.<sup ><span
class="cmr-8">1</span></sup>)
</p><!--l. 2987--><p class="indent">   Daß diese aus der Forderung der allgemeinen Relativität <br/>auf rein mathematischem Wege fließenden Gleichungen in <br/>Verbindung mit den Bewegungsgleichungen (46) in erster Nähe-<br/>rung das Newtonsche Attraktionsgesetz, in zweiter Nähe-<br/>rung die Erklärung der von Leverrier entdeckten (nach
 <br/>Anbringung der Störungskorrektionen übrigbleibenden) Perihel-<br/>bewegung des Merkur liefern, muß nach meiner Ansicht von <br/>der physikalischen Richtigkeit der Theorie überzeugen.
</p>
<div class="center" >

<!--l. 2998--><p class="noindent">
</p><!--l. 3000--><p class="noindent"><span
class="cmbsy-10x-x-120">§ </span><span
class="cmbx-12">15.   Hamiltonsche Funktion f</span><span
class="cmbx-12">ür das Gravitationsfeld,</span>
 <br/><span
class="cmbx-12">Impulsenergiesatz.</span></p></div>
<!--l. 3004--><p class="indent">   Um zu zeigen, daß die Feldgleichungen dem Impuls-<br/>energiesatz entsprechen, ist es am bequemsten, sie in folgender <br/>Hamilton scher Form zu schreiben:</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-60r48"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916139x.png" alt="    {  integral        }
   d     H  d t  =  0 {        mn  a    b    H =  g-- Gmb G na        V~  - g = 1 . " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(47a)</td></tr></table>
<!--l. 3017--><p class="nopar">
</p><!--l. 3021--><p class="noindent">Dabei verschwinden die Variationen an den Grenzen des be-<br/>trachteten begrenzten vierdimensionalen Integrationsraumes.
</p><!--l. 3025--><p class="indent">   Es ist zunächst zu zeigen, daß die Form (47a) den Glei-<br/>chungen (47) äquivalent ist. Zu diesem Zweck betrachten <br/>wir <span
class="cmmi-12">H </span>als Funktion der <span
class="cmmi-12">g</span><sup ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sup> und der
</p>

   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916140x.png" alt="    (        )  mn     @-gmn- gs   =  @ xs    . " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 3035--><p class="nopar">
</p><!--l. 3039--><p class="noindent">Dann ist zunächst
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916141x.png" alt="dH  = Gam b Gbna d gm n + 2gmn Gamb d Gbna          a    b    m n     a    ( mn  b  )     = - Gm b G na d g + 2G mb d  g   Gn a . " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 3054--><p class="nopar">
</p><!--l. 3058--><p class="noindent">Nun ist aber
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916142x.png" alt=" (        )        [        (             ac        )] d gm n Gbna = - 1 d gm n gb c @-gnc-+ @-g----  @-gan-   .                 2              @ xa    @ xn    @ xc " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 3070--><p class="nopar">
</p><!--l. 3073--><p class="noindent">----------
</p><!--l. 3076--><p class="indent">   1) Eigentlich läßt sich dies nur von dem Tensor <span
class="cmmi-12">B</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub> + <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-15.png" alt="c" class="12x-x-15" /> g</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub>(<span
class="cmmi-12">g</span><sup ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-b.png" alt="a" class="8x-x-b" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-c.png" alt="b" class="cmmi-8x-x-c" align="middle" /></span></sup> <span
class="cmmi-12">B</span><sub >
<span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-b.png" alt="a" class="8x-x-b" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-c.png" alt="b" class="cmmi-8x-x-c" align="middle" /></span></sub>)
 <br/>behaupten, wobei <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-15.png" alt="c" class="12x-x-15" /> </span>eine Konstante ist. Setzt man jedoch diesen = 0, <br/>so kommt man wieder zu den Gleichungen <span
class="cmmi-12">B</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub> = 0. <pb/>
</p><!--l. 3086--><p class="indent">

</p><!--l. 3087--><p class="noindent">Die aus den beiden letzten Termen der runden Klammer hervor-<br/>gehenden Terme sind von verschiedenem Vorzeichen und <br/>gehen auseinander (da die Benennung der Summationsindizes <br/>belanglos ist) durch Vertauschung der Indizes <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-16.png" alt="m" class="cmmi-12x-x-16" align="middle" /> </span>und <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-c.png" alt="b" class="cmmi-12x-x-c" align="middle" /> </span>hervor.
 <br/>Sie heben einander im Ausdruck für <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-e.png" alt="d" class="12x-x-e" /></span><span
class="cmti-12">H </span>weg, weil sie mit <br/>der bezüglich der Indizes
<span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-16.png" alt="m" class="cmmi-12x-x-16" align="middle" /> </span>und <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-c.png" alt="b" class="cmmi-12x-x-c" align="middle" /> </span>symmetrischen Größe <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmr12-0.png" alt="G" class="12x-x-0" /><sub><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-c.png" alt="b" class="cmmi-8x-x-c" align="middle" /></span></sub><sup><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-b.png" alt="a" class="8x-x-b" /></span></sup> <br/>multipliziert werden. Es bleibt also nur das erste Glied der <br/>runden Klammer zu berücksichtigen, so daß man mit Rück-<br/>sicht auf (31) erhält
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916143x.png" alt="dH   =  - Ga  Gb d gmn -  Ga  dgm b .            m b na          m b   a " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 3107--><p class="nopar">
</p><!--l. 3109--><p class="noindent">Es ist also</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-61r48"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916144x.png" alt="     @ H      --m-n-=  - Gam b Gbn a {    @ g      @-H---    s      @ gms n = G mn . " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(48)</td></tr></table>
<!--l. 3120--><p class="nopar">
</p><!--l. 3124--><p class="noindent">Die Ausführung der Variation in (47a) ergibt zunächst das <br/>Gleichungssystem</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-62r49"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916145x.png" alt="    (       ) -@--  -@-H--  -  -@-H-- = 0 , @xa   @ gman      @ gmn " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(47b)</td></tr></table>
<!--l. 3133--><p class="nopar">
</p><!--l. 3138--><p class="noindent">welches wegen (48) mit (47) übereinstimmt, was zu beweisen <br/>war. -- Multipliziert man (47b) mit <span
class="cmmi-12">g</span><sub><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-b.png" alt="a" class="8x-x-b" /></span></sub><sup><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sup>, so erhält man, weil
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916146x.png" alt="   mn       mn @-gs--=  @-ga-- @ xa      @ xs " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 3147--><p class="nopar">
</p><!--l. 3149--><p class="noindent">und folglich
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916147x.png" alt="      @   ( @ H  )      @   (     @ H  )     @ H  @ gmn gms n -----  ---mn-  =  ----- gms n---m-n  -  ---m-n---a--      @ xa   @ ga       @ xa      @ ga       @ ga   @ xs " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 3161--><p class="nopar">
</p><!--l. 3163--><p class="noindent">die Gleichung
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916148x.png" alt="  @  (      @ H  )   @ H -----  gmsn ---mn-  - -----=  0 @ xa       @ ga      @ xs " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 3171--><p class="nopar">
</p><!--l. 3174--><p class="noindent">oder<sup ><span
class="cmr-8">1</span></sup>)
</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-63r49"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916149x.png" alt="                a              @-ts-= 0 {            @ xa                    @ H     - 2 x tas = gmsn---m-n-  das H,                   @ ga " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(49)</td></tr></table>
<!--l. 3186--><p class="nopar">
</p><!--l. 3190--><p class="noindent">----------
</p><!--l. 3193--><p class="indent">   1) Der Grund der Einführung des Faktors <span
class="cmsy-10x-x-120">-</span>2 <span
class="cmbxti-10x-x-120">x</span> wird später deut-<br/>lich werden.
<pb/>
</p><!--l. 3198--><p class="indent">

</p><!--l. 3199--><p class="noindent">oder, wegen (48), der zweiten Gleichung (47) und (34)</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-64r50"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916150x.png" alt="x tas  =  1das gmn Gam b Gbna- gm n Gamb Gbns .         2 " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(50)</td></tr></table>
<!--l. 3207--><p class="nopar">
</p><!--l. 3212--><p class="indent">   Es ist zu beachten, daß <span
class="cmmi-12">t</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b" /></span></sub><sup ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-b.png" alt="a" class="8x-x-b" /></span></sup> kein Tensor ist; dagegen gilt <br/>(49) für alle Koordinatensysteme, für welche <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916151x.png" alt=" V~ ----    -g"  class="sqrt"  /> = 1 ist. <br/>Diese Gleichung drückt den Erhaltungssatz des Impulses und <br/>der Energie für das Gravitationsfeld aus. In der Tat liefert <br/>die Integration dieser Gleichung über ein <span
class="cmti-12">dreidimensionales </span> <br/>Volumen <span
class="cmmi-12">V</span>
die vier Gleichungen</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-65r51"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916152x.png" alt="    {  integral        }     integral
-d--    t 4d V   =     (t 1 a  +  t2 a  +  t 3 a )d S , dx4      s               s   1    s   2     s   3 " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(49a)</td></tr></table>
<!--l. 3227--><p class="nopar">
</p><!--l. 3232--><p class="noindent">wobei <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-b.png" alt="a" class="12x-x-b" /></span><sub ><span
class="cmr-8">1</span></sub><span
class="cmmi-12">, <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-b.png" alt="a" class="12x-x-b" /></span><sub ><span
class="cmr-8">2</span></sub><span
class="cmmi-12">, <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-b.png" alt="a" class="12x-x-b" /></span><sub ><span
class="cmr-8">3</span></sub> der Richtungskosinus der nach innen ge-<br/>richteten Normale eines Flächenelementes der Begrenzung <br/>von der Größe <span
class="cmmi-12">dS </span>(im Sinne der euklidischen Geometrie) be-<br/>deuten. Man erkennt hierin den Ausdruck der Erhaltungs-<br/>sätze in üblicher Fassung. Die Größen <span
class="cmmi-12">t</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b" /></span></sub><sup ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-b.png" alt="a" class="8x-x-b" /></span></sup> bezeichnen wir als <br/>die ,,Energiekomponenten&#8220; des Gravitationsfeldes.
</p><!--l. 3238--><p class="indent">   Ich will nun die Gleichungen (47) noch in einer dritten <br/>Form angeben, die einer lebendigen Erfassung unseres Gegen-<br/>standes besonders dienlich ist. Durch Multiplikation der <br/>Feldgleichungen (47) mit <span
class="cmmi-12">g</span><sup ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /> <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b" /></span></sup> ergeben sich diese in der ,,ge-<br/>mischten&#8220; Form. Beachtet man, daß
</p>

   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916153x.png" alt=" ns @-Gamn-    -@---( ns a  )    @ gn-s a g    @ x   =  @ x   g  Gm n  -  @ x  G mn ,         a        a                 a " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 3253--><p class="nopar">
</p><!--l. 3255--><p class="noindent">welche Größe wegen (34) gleich
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916154x.png" alt="  @  (        ) ----- gn s Gamn - gnb Gsab Gamn -  gsb GnbaGamn , @ xa " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 3264--><p class="nopar">
</p><!--l. 3266--><p class="noindent">oder (nach geänderter Benennung der Summationsindizes) gleich</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916155x.png" alt="--@--(gs b Ga ) - gm n Gs   Gb  -  gns Ga  Gb  . @ xa        mb          m b  n m         mb na " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 3275--><p class="nopar">
</p><!--l. 3279--><p class="noindent">Das dritte Glied dieses Ausdrucks hebt sich weg gegen das <br/>aus dem zweiten Glied der Feldgleichungen (47) entstehende; <br/>an Stelle des zweiten Gliedes dieses Ausdruckes läßt sich nach <br/>Beziehung (50)</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916156x.png" alt="x (t s -  1d st)     m     2 m " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 3288--><p class="nopar">
</p><!--l. 3291--><p class="noindent">setzen (<span
class="cmmi-12">t </span>= <span
class="cmmi-12">t</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b" /></span></sub><sup ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-b.png" alt="a" class="8x-x-b" /></span></sup>). Man erhält also an Stelle der Gleichungen (47)
</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-66r51"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916157x.png" alt="    --@--(gsb Ga ) =  - x (ts  -  1d st) {   @ xa       mb          m      2 m                     V~ ---g =  1. " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(51)</td></tr></table>
<!--l. 3301--><p class="nopar">
<pb/>
</p><!--l. 3308--><p class="indent">

</p>
<div class="center" >

<!--l. 3309--><p class="noindent">
</p><!--l. 3311--><p class="noindent"><span
class="cmbsy-10x-x-120">§ </span><span
class="cmbx-12">16.   Allgemeine Fassung der Feldgleichungen der Gravitation.</span></p></div>
<!--l. 3315--><p class="indent">   Die im vorigen Paragraphen aufgestellten Feldgleichungen <br/>für materiefreie Räume sind mit der Feldgleichung
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916158x.png" alt="D f  = 0 " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 3323--><p class="nopar">
</p><!--l. 3326--><p class="noindent">der Newtonschen Theorie zu vergleichen. Wir haben die <br/>Gleichungen aufzusuchen, welche der Poissonschen Gleichung
</p>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916159x.png" alt="D f = 4 p xr " class="math-display"  /></center>
<!--l. 3330--><p class="nopar">
</p><!--l. 3332--><p class="noindent">entspricht, wobei <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-25.png" alt="r" class="cmmi-12x-x-25" align="middle" /> </span>die Dichte der Materie bedeutet.
</p><!--l. 3335--><p class="indent">   Die spezielle Relativitätstheorie hat zu dem Ergebnis <br/>geführt, daß die träge Masse nichts anderes ist als Energie, <br/>welche ihren vollständigen mathematischen Ausdruck in einem <br/>symmetrischen Tensor zweiten Ranges, dem Energietensor, <br/>findet. Wir werden daher auch in der allgemeinen Relativitäts-<br/>theorie einen Energietensor der Materie <span
class="cmmi-12">T</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b" /></span></sub><sup ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-b.png" alt="a" class="8x-x-b" /></span></sup> einzuführen haben, <br/>der wie die Energiekomponenten <span
class="cmmi-12">t</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b" /></span></sub><sup ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-b.png" alt="a" class="8x-x-b" /></span></sup> [Gleichungen (49) und (50)] <br/>des Gravitationsfeldes gemischten Charakter haben wird, aber <br/>zu einem symmetrischen kovarianten Tensor gehören wird<sup ><span
class="cmr-8">1</span></sup>).
</p><!--l. 3348--><p class="indent">   Wie dieser Energietensor(entsprechend der Dichte <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-25.png" alt="r" class="cmmi-12x-x-25" align="middle" /> </span>in <br/>der Poissonschen Gleichung) in die Feldgleichungen der <br/>Gravitation einzuführen ist, lehrt das Gleichungssystem (51). <br/>Betrachtet man nämlich ein vollständiges System (z. B. das <br/>Sonnensystem), so wird die Gesamtmasse des Systems, also <br/>auch seine gesamte gravitierende Wirkung, von der Gesamt-<br/>energie des Systems, also von der ponderablen und Gravi-<br/>tationsenergie zusammen, abhängen. Dies wird sich dadurch <br/>ausdrücken lassen, daß man in (51) an Stelle der Energie-<br/>komponenten
<span
class="cmmi-12">t</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /></span></sub><sup ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b" /></span></sup> des Gravitationsfeldes allein die Summen <br/><span
class="cmmi-12">t</span><sub >
<span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /></span></sub><sup ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b" /></span></sup>  + <span
class="cmmi-12">T</span><sub >
<span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /></span></sub><sup ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b" /></span></sup> der Energiekomponenten von Materie und Gravi-<br/>tationsfeld einführt. Man erhält so statt (51) die Tensor-<br/>gleichung</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-67r52"></a>

   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916160x.png" alt="    -@--(gs b Ga ) =  - x [(t s +  T  s)-  1 d s (t + T )] {   @ xa      m b           m      m      2  m                           V~ ----                            - g  =  1, " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(52)</td></tr></table>
<!--l. 3373--><p class="nopar">
</p><!--l. 3378--><p class="noindent">wobei <span
class="cmmi-12">T  </span>=  <span
class="cmmi-12">T</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /></span></sub><sup ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /></span></sup> gesetzt ist (Lauescher Skalar). Dies sind die <br/>gesuchten allgemeinen Feldgleichungen der Gravitation in ge-<br/>----------
</p><!--l. 3383--><p class="indent">   1) <span
class="cmmi-12">g</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1c.png" alt="t" class="8x-x-1c" /></span></sub> <span
class="cmmi-12">T</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b" /></span></sub><sup ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-b.png" alt="a" class="8x-x-b" /></span></sup>  = <span
class="cmmi-12">T</span><sub >
<span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1c.png" alt="t" class="8x-x-1c" /></span></sub>  und  <span
class="cmmi-12">g</span><sup ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b" /> <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-c.png" alt="b" class="cmmi-8x-x-c" align="middle" /></span></sup> <span
class="cmmi-12">T</span><sub >
<span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b" /></span></sub><sup ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-b.png" alt="a" class="8x-x-b" /></span></sup>  = <span
class="cmmi-12">T</span><sup ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-b.png" alt="a" class="8x-x-b" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-c.png" alt="b" class="cmmi-8x-x-c" align="middle" /></span></sup> sollen symmetrische Tensoren <br/>sein.
<pb/>
</p><!--l. 3390--><p class="indent">

</p><!--l. 3391--><p class="noindent">mischter Form. An Stelle von (47) ergibt sich daraus rück-<br/>wärts das System</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-68r53"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916161x.png" alt="      @ Gamn     a    b                  1 {     -@-x-- +  Gn b G na = -  x(Tm n -  2 gmn T),           a              V~ -----                            - g =  1. " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(53)</td></tr></table>
<!--l. 3403--><p class="nopar">
</p><!--l. 3408--><p class="indent">   Es muß zugegeben werden, daß diese Einführung des <br/>Energietensors der Materie durch das Relativitätspostulat <br/>allein nicht gerechtfertigt wird; deshalb haben wir sie im <br/>vorigen aus der Forderung abgeleitet, daß die Energie des
 <br/>Gravitationsfeldes in gleicher Weise gravitierend wirken soll, <br/>wie jegliche Energie anderer Art. Der stärkste Grund für <br/>die Wahl der vorstehenden Gleichungen liegt aber darin, daß <br/>sie zur Folge haben, daß für die Komponenten der Total-<br/>energie Erhaltungsgleichungen (des Impulses und der Energie) <br/>gelten, welche den Gleichungen (49) und (49a) genau ent-<br/>sprechen. Dies soll im folgenden dargetan werden.
</p>
<div class="center" >

<!--l. 3422--><p class="noindent">
</p><!--l. 3424--><p class="noindent"><span
class="cmbsy-10x-x-120">§ </span><span
class="cmbx-12">17.   Die Erhaltungss</span><span
class="cmbx-12">ätze im allgemeinen Falle.</span></p></div>
<!--l. 3428--><p class="indent">   Die Gleichung (52) ist leicht so umzuformen, daß auf <br/>der rechten Seite das zweite Glied wegfällt. Man verjünge (52) <br/>nach den Indizes <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-16.png" alt="m" class="cmmi-12x-x-16" align="middle" /> </span>und <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-1b.png" alt="s" class="12x-x-1b" /> </span>und subtrahiere die so erhaltene, <br/>mit <span
class="cmr-8">1</span>
<span
class="cmr-8">2</span>  <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-e.png" alt="d" class="12x-x-e" /></span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /></span></sub><sup ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b" /></span></sup> multiplizierte Gleichung von (52). Es ergibt sich</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-69r54"></a>
   <center class="math-display" >

<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916162x.png" alt="--@--  sb  a      1   s  cb  a             s       s @ xa (g   Gm b -  2 @m  g   Gcb)  =  -x (tm  +  Tm  ) . " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(52a)</td></tr></table>
<!--l. 3441--><p class="nopar">
</p><!--l. 3445--><p class="noindent">An dieser Gleichung bilden wir die Operation <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-40.png" alt="@" class="12x-x-40" /></span><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916163x.png" alt="/"  class="left" align="middle" /> <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-40.png" alt="@" class="12x-x-40" />x</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b" /></span></sub>. Es ist <br/></p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916164x.png" alt="    @2 ----------(gsbGamb) @ xa @ xs                    [        (                          )]                  1-----@2----  s b  ac  @-gmc-    @-gbc-   @-g-mb             =  - 2 @ xa @ xs  g   g      @ xb  +  @ xm  -   @ xc     . " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 3461--><p class="nopar">
</p><!--l. 3465--><p class="noindent">Das erste und das dritte Glied der runden Klammer liefern <br/>Beiträge, die einander wegheben, wie man erkennt, wenn <br/>man im Beitrage des dritten Gliedes die Summationsindizes <br/><span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-b.png" alt="a" class="12x-x-b" /> </span>und <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-1b.png" alt="s" class="12x-x-1b" /> </span>einerseits, <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-c.png" alt="b" class="cmmi-12x-x-c" align="middle" /> </span>und <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-15.png" alt="c" class="12x-x-15" /> </span>andererseits vertauscht. Das <br/>zweite Glied läßt sich nach (31) umformen, so daß man erhält</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-70r54"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916165x.png" alt="     2                         3  ab ----@-----(gsb Ga  ) =  1-----@--g-------. @ xa @ xs       m b     2 @ xa @ xb @ xm " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(54)</td></tr></table>
<!--l. 3478--><p class="nopar">
</p><!--l. 3482--><p class="noindent">Das zweite Glied der linken Seite von (52a) liefert zunächst
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916166x.png" alt="          2 -  1----@-----(gc b Ga )    2 @ xa @ xm       cb " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 3489--><p class="nopar"> <pb/>
</p><!--l. 3496--><p class="indent">

</p><!--l. 3497--><p class="noindent">oder
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916167x.png" alt="        2   [        (                          )] 1- ---@----- gc bgad   @ g-dc-+ @-g-db -  @-g-cb   . 4  @ xa@ xm            @ xb      @ xc      @ xd " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 3506--><p class="nopar">
</p><!--l. 3510--><p class="noindent">Das vom letzten Glied der runden Klammer herrührende <br/>Glied verschwindet wegen (29) bei der von uns getroffenen <br/>Koordinatenwahl. Die beiden anderen lassen sich zusammen-<br/>fassen und liefern wegen (31) zusammen
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916168x.png" alt="   1-----@3ga-b---- -  2 @ x  @ x  @ x ,         a    b   m " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 3520--><p class="nopar">
</p><!--l. 3525--><p class="noindent">so daß mit Rücksicht auf (54) die Identität</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-71r55"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916169x.png" alt="----@2---  s b  a    1   s  cb  a @ xa @ xs(g   G mb - 2 dm g    Gcb)  =_  0 " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(55)</td></tr></table>
<!--l. 3534--><p class="nopar">
</p><!--l. 3539--><p class="noindent">besteht. Aus (55) und (52a) folgt</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-72r56"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916170x.png" alt="    s      s @-(tm--+--Tm-)- =  0 .      @ xs " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(56)</td></tr></table>
<!--l. 3546--><p class="nopar">
</p><!--l. 3551--><p class="indent">   Aus unseren Feldgleichungen der Gravitation geht also <br/>hervor, daß den Erhaltungssätzen des Impulses und der Energie <br/>Genüge geleistet ist. Man sieht dies am einfachsten nach <br/>der Betrachtung ein, die zu Gleichung (49a) führt; nur hat <br/>man hier an Stelle der Energiekomponenten <span
class="cmmi-12">t</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /></span></sub><sup ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b" /></span></sup> des Gravi-<br/>tationsfeldes die Gesamtenergiekomponenten von Materie und <br/>Gravitationsfeld einzuführen.
</p>
<div class="center" >

<!--l. 3560--><p class="noindent">
</p><!--l. 3562--><p class="noindent"><span
class="cmbsy-10x-x-120">§ </span><span
class="cmbx-12">18.   Der Impulsenergiesatz f</span><span
class="cmbx-12">ür die Materie als Folge der</span>
 <br/><span
class="cmbx-12">Feldgleichungen.</span></p></div>
<!--l. 3566--><p class="indent">   Multipliziert man (53) mit <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-40.png" alt="@" class="12x-x-40" />g</span><sup ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sup><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916171x.png" alt="/"  class="left" align="middle" /> <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-40.png" alt="@" class="12x-x-40" />x</span><sub >
<span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b" /></span></sub>, so erhält man auf <br/>dem in <span
class="cmsy-10x-x-120">§ </span>15 eingeschlagenen Wege mit Rücksicht auf das <br/>Verschwinden von</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916172x.png" alt="    @ gmn g mn------      @ xs " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 3578--><p class="nopar">
</p><!--l. 3582--><p class="noindent">die Gleichung</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916173x.png" alt="@ tsa     1 @ gmn -----  +  --------Tm n =  0,  @ xa     2  @ xs " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 3590--><p class="nopar">
</p><!--l. 3593--><p class="noindent">oder mit Rücksicht auf (56)</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-73r57"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916174x.png" alt="    a          mn @-Ts-- +  1-@-g---T    =  0 . @ xa      2  @ xs   mn " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(57)</td></tr></table>
<!--l. 3601--><p class="nopar">
</p><!--l. 3606--><p class="indent">   Ein Vergleich mit (41 b) zeigt, daß diese Gleichung bei <br/>der getroffenen Wahl für das Koordinatensystem nichts anderes <br/><pb/>
</p><!--l. 3610--><p class="indent">

</p><!--l. 3611--><p class="noindent">aussagt als das Verschwinden der Divergenz des Tensors der <br/>Energiekomponenten der Materie. Physikalisch zeigt das Auf-<br/>treten des zweiten Gliedes der linken Seite, daß für die Materie <br/>allein Erhaltungssätze des Impulses und der Energie im eigent-<br/>lichen Sinne nicht, bzw. nur dann gelten, wenn die <span
class="cmmi-12">g</span><sup ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sup> kon-<br/>stant sind, d. h. wenn die Feldstärken der Gravitation ver-<br/>schwinden. Dies zweite Glied ist ein Ausdruck für Impuls <br/>bzw. Energie, welche pro Volumen und Zeiteinheit vom Gravi-<br/>tationsfelde auf die Materie übertragen werden. Dies tritt <br/>noch klarer hervor, wenn man statt (57) im Sinne von (41)
 <br/>schreibt</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-74r58"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916175x.png" alt="     a @-Ts-- =  -  Ga  T b .  @ xa         s b a " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(57a)</td></tr></table>
<!--l. 3629--><p class="nopar">
</p><!--l. 3633--><p class="noindent">Die rechte Seite drückt die energetische Einwirkung des Gravi-<br/>tationsfeldes auf die Materie aus.
</p><!--l. 3636--><p class="indent">   Die Feldgleichungen der Gravitation enthalten also gleich-<br/>zeitig vier Bedingungen, welchen der materielle Vorgang zu <br/>genügen hat. Sie liefern die Gleichungen des materiellen Vor-<br/>ganges vollständig, wenn letzterer durch vier voneinander <br/>unabhängige Differentialgleichungen charakterisierbar ist.<sup ><span
class="cmr-8">1</span></sup>)
</p>
<div class="center" >

<!--l. 3643--><p class="noindent">
</p><!--l. 3644--><p class="noindent"><span
class="cmbx-12">D. Die ,,materiellen&#8220; Vorg</span><span
class="cmbx-12">änge.</span></p></div>
<!--l. 3648--><p class="indent">   Die unter B entwickelten mathematischen Hilfsmittel <br/>setzen uns ohne weiteres in den Stand, die physikalischen <br/>Gesetze der Materie (Hydrodynamik, Maxwellsche Elektro-<br/>dynamik), wie sie in der speziellen Relativitätstheorie formu-<br/>liert vorliegen, so zu verallgemeinern, daß sie in die allgemeine
 <br/>Relativitätstheorie hineinpassen. Dabei ergibt das allgemeine <br/>Relativitätsprinzip zwar keine weitere Einschränkung der <br/>Möglichkeiten; aber es lehrt den Einfluß des Gravitations-<br/>feldes auf alle Prozesse exakt kennen, ohne daß irgendwelche <br/>neue Hypothese eingeführt werden müßte.
</p><!--l. 3661--><p class="indent">   Diese Sachlage bringt es mit sich, daß über die physi-<br/>kalische Natur der Materie (im engeren Sinne) nicht notwendig <br/>bestimmte Voraussetzungen eingeführt werden müssen. Ins-<br/>besondere kann die Frage offen bleiben, ob die Theorie des <br/>elektromagnetischen Feldes und des Gravitationsfeldes zu-<br/>----------
</p><!--l. 3669--><p class="indent">   1) Vgl. hierüber D. Hilbert, Nachr. d. K. Gesellsch. d. Wiss. zu <br/>Göttingen, Math.-phys. Klasse. p. 3. 1915. <pb/>
</p><!--l. 3675--><p class="indent">

</p><!--l. 3676--><p class="noindent">sammen eine hinreichende Basis für die Theorie der Materie <br/>liefern oder nicht. Das allgemeine Relativitätspostulat kann <br/>uns hierüber im Prinzip nichts lehren. Es muß sich bei dem <br/>Ausbau der Theorie zeigen, ob Elektromagnetik und Gravi-<br/>tationslehre zusammen leisten können, was ersterer allein <br/>nicht gelingen will.
</p>
<div class="center" >

<!--l. 3684--><p class="noindent">
</p><!--l. 3686--><p class="noindent"><span
class="cmbsy-10x-x-120">§ </span><span
class="cmbx-12">19.   Eulersche Gleichungen f</span><span
class="cmbx-12">ür reibungslose adiabatische</span>
 <br/><span
class="cmbx-12">Fl</span><span
class="cmbx-12">üssigkeiten.</span></p></div>
<!--l. 3690--><p class="indent">   Es seien <span
class="cmmi-12">p </span>und <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-25.png" alt="r" class="cmmi-12x-x-25" align="middle" /> </span>zwei Skalare, von denen wir ersteren <br/>als den ,,Druck&#8220;, letzteren als die ,,Dichte&#8220; einer Flüssigkeit <br/>bezeichnen; zwischen ihnen bestehe eine Gleichung. Der <br/>kontravariante symmetrische Tensor</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-75r58"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916176x.png" alt="  ab       ab       d xa  d xb T    =  - g   p +  r----- -----                      d s  d s " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(58)</td></tr></table>
<!--l. 3700--><p class="nopar">
</p><!--l. 3705--><p class="noindent">sei der kontravariante Energietensor der Flüssigkeit. Zu ihm <br/>gehört der kovariante Tensor</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-76r59"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916177x.png" alt="                       d xa-    d-xb- Tm n =  - gm np +  gma d s  gmb  d s r , " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(58a)</td></tr></table>

<!--l. 3715--><p class="nopar">
</p><!--l. 3720--><p class="noindent">sowie der gemischte Tensor<sup ><span
class="cmr-8">1</span></sup>)
</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-77r59"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916178x.png" alt="  a        a          d xb d xa Ts   =  -ds  p +  gsb ----------r .                       d s  d s " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(58b)</td></tr></table>
<!--l. 3728--><p class="nopar">
</p><!--l. 3732--><p class="noindent">Setzt man die rechte Seite von (58b) in (57a) ein, so erhält <br/>man die Eulerschen hydrodynamischen Gleichungen der all-<br/>gemeinen Relativitätstheorie. Diese lösen das Bewegungs-<br/>problem im Prinzip vollständig; denn die vier Gleichungen (57a) <br/>zusammen mit der gegebenen Gleichung zwischen <span
class="cmmi-12">p </span>und <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-25.png" alt="r" class="cmmi-12x-x-25" align="middle" /> </span>und <br/>der Gleichung</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916179x.png" alt="   d xa  d xb gsb----- -----=  1     d s  d s " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 3745--><p class="nopar">
</p><!--l. 3750--><p class="noindent">genügen bei gegebenen <span
class="cmmi-12">g</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-b.png" alt="a" class="8x-x-b" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-c.png" alt="b" class="cmmi-8x-x-c" align="middle" /></span></sub> zur Bestimmung der 6 Unbekannten
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916180x.png" alt="       d x1  d x2   d x3   d x4 p, r,  ----, ---- , ----,  ---- .        d s    d s    d s   d s " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 3756--><p class="nopar">
</p><!--l. 3758--><p class="noindent">----------
</p><!--l. 3761--><p class="indent">   1) Für einen mitbewegten Beobachter, der im unendlich Kleinen <br/>ein Bezugssystem im Sinne der speziellen Relativitätstheorie benutzt, <br/>ist die Energiedichte <span
class="cmmi-12">T</span><sub ><span
class="cmr-8">4</span></sub><sup ><span
class="cmr-8">4</span></sup> gleich <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-25.png" alt="r" class="cmmi-12x-x-25" align="middle" /> </span><span
class="cmsy-10x-x-120">- </span><span
class="cmmi-12">p</span>. Hierin liegt die Definition von <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-25.png" alt="r" class="cmmi-12x-x-25" align="middle" /></span>. <br/>Es ist also <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-25.png" alt="r" class="cmmi-12x-x-25" align="middle" /></span>; nicht konstant für eine inkompressible Flüssigkeit. <pb/>
</p><!--l. 3770--><p class="indent">

</p><!--l. 3771--><p class="noindent">Sind auch die <span
class="cmmi-12">g</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub> unbekannt, so kommen hierzu noch die <br/>Gleichungen (53). Dies sind 11 Gleichungen zur Bestimmung <br/>der 10 Funktionen <span
class="cmmi-12">g</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub>, so daß diese überbestimmt scheinen. <br/>Es ist indessen zu beachten, daß die Gleichungen (57a) in
 <br/>den Gleichungen (53) bereits enthalten sind, so daß letztere <br/>nur mehr 7 unabhöngige Gleichungen repräsentieren. Diese <br/>Unbestimmtheit hat ihren guten Grund darin, daß die weit-<br/>gehende Freiheit in der Wahl der Koordinaten es mit sich <br/>bringt, daß das Problem mathematisch in solchem Grade
 <br/>unbestimmt bleibt, daß drei der Raumfunktionen beliebig <br/>gewählt werden können.<sup ><span
class="cmr-8">1</span></sup>)
</p>
<div class="center" >

<!--l. 3785--><p class="noindent">
</p><!--l. 3787--><p class="noindent"><span
class="cmbsy-10x-x-120">§ </span><span
class="cmbx-12">20.   Maxwellsche elektromagnetische Feldgleichungen </span> <br/><span
class="cmbx-12">f</span><span
class="cmbx-12">ür das</span>
<span
class="cmbx-12">Vakuum.</span></p></div>
<!--l. 3791--><p class="indent">   Es seien <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-27.png" alt="f" class="cmmi-12x-x-27" align="middle" /></span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub> die Komponenten eines kovarianten Vierer-<br/>vektors, des Vierervektors des elektromagnetischen Potentials. <br/>Aus ihnen bilden wir gemäß (36) die Komponenten <span
class="cmmi-12">F</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-25.png" alt="r" class="cmmi-8x-x-25" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b" /></span></sub> des <br/>kovarianten Sechservektors des elektromagnetischen Feldes <br/>gemäß dem Gleichungssystem</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-78r59"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916181x.png" alt="       @ fr     @ fs Fr s = ----- -  -----.        @ xs     @ xr " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(59)</td></tr></table>
<!--l. 3804--><p class="nopar">
</p><!--l. 3808--><p class="noindent">Aus (59) folgt, daß das Gleichungssystem</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-79r60"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916182x.png" alt="@-Frs-+  @-Fst- + @-Ftr- =  0 @ xt      @ xr     @ xr " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(60)</td></tr></table>
<!--l. 3817--><p class="nopar">
</p><!--l. 3822--><p class="noindent">erfüllt ist, dessen linke Seite gemäß (37) ein antisymmetrischer <br/>Tensor dritten Ranges ist. Das System (60) enthält also im <br/>wesentlichen 4 Gleichungen, die ausgeschrieben wie folgt lauten:</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-80r61"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916183x.png" alt="      @ F23    @ F34    @ F42       -@ x--+  -@-x--+  @-x---=  0           4        2        3       @-F34-+  @-F41-+  @-F13-=  0 {      @ x1     @ x3    @ x4       @ F41    @ F12    @ F24       ------+  ------+  ------=  0        @ x2     @ x4    @ x1       @-F12-+  @-F23-+  @-F31-=  0 .        @ x3     @ x1    @ x2 " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(60a)</td></tr></table>
<!--l. 3848--><p class="nopar">
</p><!--l. 3852--><p class="noindent">----------
</p><!--l. 3855--><p class="indent">   1) Bei Verzicht auf die Koordinatenwahl gemäß <span
class="cmmi-12">g  </span>=   <span
class="cmsy-10x-x-120">- </span>1 blieben
 <br/><span
class="cmti-12">vier </span>Raumfunktionen frei wählbar, entsprechend den vier willkürlichen
 <br/>Funktionen, über die man bei der Koordinatenwahl frei verfügen kann.
<pb/>
</p><!--l. 3861--><p class="indent">

</p><!--l. 3862--><p class="indent">   Dieses Gleichungssystem entspricht dem zweiten Glei-<br/>chungssystem Maxwells. Man erkennt dies sofort, indem <br/>man setzt</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-81r61"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916184x.png" alt="  F   =  h    F   =  e {  23      x   14     x   F31 =  hy   F24 =  ey   F12 =  hz   F34 =  ez . " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(61)</td></tr></table>
<!--l. 3875--><p class="nopar">
</p><!--l. 3879--><p class="noindent">Dann kann man statt (60a) in üblicher Schreibweise der drei-<br/>dimensionalen Vektoranalyse setzen</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-82r62"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916185x.png" alt="   @ h {  ----+  rot e =  0    @ t        divh  =  0 . " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(60b)</td></tr></table>
<!--l. 3890--><p class="nopar">
</p><!--l. 3895--><p class="indent">   Das erste Maxwellsche System erhalten wir durch Ver-<br/>allgemeinerung der von Minkowski angegebenen Form. Wir <br/>führen den zu <span
class="cmmi-12">F</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-b.png" alt="a" class="8x-x-b" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-c.png" alt="b" class="cmmi-8x-x-c" align="middle" /></span></sub> gehörigen kontravarianten Sechservektor</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-83r62"></a>

   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916186x.png" alt="F mn =  gm a qn b Fa b " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(62)</td></tr></table>
<!--l. 3905--><p class="nopar">
</p><!--l. 3910--><p class="noindent">ein sowie den kontravarianten Vierervektor <span
class="cmmi-12">J</span><sup ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /></span></sup> der elektrischen <br/>Vakuumstromdichte; dann kann man das mit Rücksicht auf <br/>(40) gegenüber beliebigen Substitutionen von der Determinante 1 <br/>(gemäß der von uns getroffenen Koordinatenwahl) invariante <br/>Gleichungssystem ansetzen:</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-84r63"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916187x.png" alt="@-F-mn      m  @ x   =  J   .     n " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(63)</td></tr></table>
<!--l. 3922--><p class="nopar">
</p><!--l. 3926--><p class="noindent">Setzt man nämlich</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-85r64"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916188x.png" alt="   F23 =  hx'  F 14 =  - ex' {  F31 =  h  ' F 24 =  - e '     12      y'    34       y'    F   =  hz   F    =  - ez ,
" class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(64)</td></tr></table>
<!--l. 3939--><p class="nopar">
</p><!--l. 3944--><p class="noindent">welche Größen im Spezialfall der speziellen Relativitätstheorie <br/>den Größen
<span
class="cmmi-12">h</span><sub ><span
class="cmmi-8">x</span></sub> <span
class="cmmi-12">. . . . e</span><sub ><span
class="cmmi-8">z</span></sub> gleich sind, und außerdem
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916189x.png" alt=" 1           2          3          4 J   =  ix,  J   =  iy,  J   =  iz,  J   =  r, " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 3952--><p class="nopar">
</p><!--l. 3956--><p class="noindent">so erhält man an Stelle von (63)</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-86r65"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916190x.png" alt="         '    @-e' {   rot h -   @ t  =  i             '        div e  =  r. " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(63a)</td></tr></table>
<!--l. 3966--><p class="nopar">
</p><!--l. 3971--><p class="indent">   Die Gleichungen (60), (62) und (63) bilden also die <br/>Verallgemeinerung der Maxwellschen Feldgleichungen des <br/><pb/>
</p><!--l. 3976--><p class="indent">

</p><!--l. 3977--><p class="noindent">Vakuums bei der von uns bezüglich der Koordinatenwahl <br/>getroffenen Festsetzung.
</p><!--l. 3981--><p class="indent">   <span
class="cmti-12">Die Energiekomponenten des elektromagnetischen Feldes</span>. <br/>Wir bilden das innere Produkt</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-87r65"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916191x.png" alt="xs =  Fsm  Jm . " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(65)</td></tr></table>
<!--l. 3987--><p class="nopar">
</p><!--l. 3991--><p class="noindent">Seine Komponenten lauten gemäß (61) in dreidimensionaler <br/>Schreibweise</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-88r66"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916192x.png" alt="    x1 =  r ex +  [i, h]x      .  .  .   .  .  .  . {
     .  .  .   .  .  .  .     x  =  -  (i, e) .      4 " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(65a)</td></tr></table>
<!--l. 4003--><p class="nopar">
</p><!--l. 4008--><p class="indent">   Es ist <span
class="cmbxti-10x-x-120">x</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b" /></span></sub> ein kovarianter Vierervektor, dessen Kompo-<br/>nenten gleich sind dem negativen Impuls bzw. der Energie, <br/>welche pro Zeit- und Volumeinheit auf das elektromagnetische <br/>Feld von den elektrischen Massen übertragen werden. Sind <br/>die elektrischen Massen frei, d. h. unter dem alleinigen Ein-<br/>fluß des elektromagnetischen Feldes, so wird der kovariante <br/>Vierervektor <span
class="cmbxti-10x-x-120">x</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b" /></span></sub>
verschwinden.
</p><!--l. 4014--><p class="indent">   Um die Energiekomponenten <span
class="cmmi-12">T</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b" /></span></sub><sup ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sup> des elektromagnetischen <br/>Feldes zu erhalten, brauchen wir nur der Gleichung <span
class="cmbxti-10x-x-120">x</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b" /></span></sub>  =  0 <br/>die Gestalt der Gleichung (57) zu geben. Aus (63) und (65) <br/>ergibt sich zunächst
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916193x.png" alt="          @-F-mn     -@---      mn       mn@-Fsm- xs =  Fsm  @ x    =  @ x (Fsm F   ) -  F    @ x   .               n         n                      n " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 4024--><p class="nopar">
</p><!--l. 4026--><p class="noindent">Das zweite Glied der rechten Seite gestattet vermöge (60) <br/>die Umformung
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916194x.png" alt="Fm n @-Fsm =  -  1-F mn @-Fmn- =  - 1-gmagn b F  @-Fm-n ,      @ xn        2       @ xs       2          ab @ xs " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 4035--><p class="nopar">
</p><!--l. 4038--><p class="noindent">welch letzterer Ausdruck aus Symmetriegründen auch in der <br/>Form</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916195x.png" alt="    [                                        ] - 1- gmagn b F   @-Fmn- +  gmagnb @-Fa-b F   4           ab @ xs              @ xs   m n " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 4048--><p class="nopar">
</p><!--l. 4053--><p class="noindent">geschrieben werden kann. Dafür aber läßt sich setzen
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916196x.png" alt="  1   @                       1           @ - -- ---(gm agnb Fa b Fm n) + --Fa b Fmn ---(gm agnb) .   4  @xs                      4          @xs " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 4062--><p class="nopar">
</p><!--l. 4066--><p class="noindent">Das erste dieser Glieder lautet in kürzerer Schreibweise
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916197x.png" alt="- 1- -@--(F mn F  ) ,   4  @ xs       mn " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 4074--><p class="nopar"> <pb/>
</p><!--l. 4081--><p class="indent">

</p><!--l. 4082--><p class="noindent">das zweite ergibt nach Ausführung der Differentiation nach <br/>einiger Umformung</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916198x.png" alt="  1   mt      nr @ gs t - --F    Fmn g   ------.   2               @ xs " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 4090--><p class="nopar">
</p><!--l. 4093--><p class="noindent">Nimmt man alle drei berechneten Glieder zusammen, so erhält <br/>man die Relation</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-89r66"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916199x.png" alt="       @-Tsn-   1-  tm @-gmn-  n xs  =   @ xn  - 2 g    @ xs  Tt  , " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(66)</td></tr></table>
<!--l. 4101--><p class="nopar">
</p><!--l. 4106--><p class="noindent">wobei</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-90r67"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916200x.png" alt="   n            na     1-  n       ab Ts   =  - Fsa  F    +  4 ds  Fab F   . " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(66a)</td></tr></table>
<!--l. 4114--><p class="nopar">
</p><!--l. 4119--><p class="indent">   Die Gleichung (66) ist für verschwindendes <span
class="cmbxti-10x-x-120">x</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b" /></span></sub> wegen (30) <br/>mit (57) bzw. (57a) gleichwertig. Es sind also die <span
class="cmmi-12">T</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b" /></span></sub><sup ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sup> die <br/>Energiekomponenten des elektromagnetischen Feldes. Mit <br/>Hilfe von (61) und (64) zeigt man leicht, daß diese Energie-<br/>komponenten des elektromagnetischen Feldes im Falle der <br/>speziellen Relativitätstheorie die wohlbekannten Maxwell-<br/>Pointingschen Ausdrücke
ergeben.
</p><!--l. 4125--><p class="indent">   Wir haben nun die allgemeinsten Gesetze abgeleitet, <br/>welchen das Gravitationsfeld und die Materie genügen, indem <br/>wir uns konsequent eines Koordinatensystems bedienten, für <br/>welches <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916201x.png" alt=" V~ ---g-"  class="sqrt"  /> =  1 wird. Wir erzielten dadurch eine erhebliche
 <br/>Vereinfachung der Formeln und Rechnungen, ohne daß wir <br/>auf die Forderung der allgemeinen Kovarianz verzichtet hätten: <br/>denn wir fanden unsere Gleichungen durch Spezialisierung <br/>des Koordinatensystems aus allgemein kovarianten Gleichungen.
</p><!--l. 4136--><p class="indent">   Immerhin ist die Frage nicht ohne formales Interesse, <br/>ob bei entsprechend verallgemeinerter Definition der Energie-<br/>komponenten des Gravitationsfeldes und der Materie auch <br/>ohne Spezialisierung des Koordinatensystems Erhaltungssätze
 <br/>von der Gestalt der Gleichung (56) sowie Feldgleichungen der <br/>Gravitation von der Art der Gleichungen (52) bzw. (52a) <br/>gelten, derart, daß links eine Divergenz (im gewöhnlichen <br/>Sinne), rechts die Summe der Energiekomponenten der Materie <br/>und der Gravitation steht. Ich habe gefunden, daß beides <br/>in der Tat der Fall ist. Doch glaube ich, daß sich eine Mit-<br/>teilung meiner ziemlich umfangreichen Betrachtungen über <br/>diesen Gegenstand nicht lohnen würde, da doch etwas sach-<br/>lich Neues dabei nicht herauskommt. <pb/>
</p><!--l. 4154--><p class="indent">

</p>
<div class="center" >

<!--l. 4155--><p class="noindent">
</p><!--l. 4157--><p class="noindent"><span
class="cmbx-12">E. </span><span
class="cmbsy-10x-x-120">§ </span><span
class="cmbx-12">21.   Newtons Theorie als erste N</span><span
class="cmbx-12">äherung.</span></p></div>
<!--l. 4161--><p class="indent">   Wie schon mehrfach erwähnt, ist die spezielle Relativitäts-<br/>theorie als Spezialfall der allgemeinen dadurch charakterisiert, <br/>daß die <span
class="cmmi-12">g</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub> die konstanten Werte (4) haben. Dies bedeutet <br/>nach dem Vorherigen eine völlige Vernachlässigung der Gravi-<br/>tationswirkungen. Eine der Wirklichkeit näher liegende Ap-<br/>proximation erhalten wir, indem wir den Fall betrachten, daß <br/>die <span
class="cmmi-12">g</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub>
von den Werten (4) nur um (gegen 1) kleine Größen <br/>abweichen, wobei wir kleine Größen zweiten und höheren <br/>Grades vernachlässigen. (Erster Gesichtspunkt der Ap-<br/>proximation.)
</p><!--l. 4175--><p class="indent">   Ferner soll angenommen werden, daß in dem betrach-<br/>teten zeiträumlichen Gebiete die <span
class="cmmi-12">g</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub> im räumlich Unendlichen <br/>bei passender Wahl der Koordinaten den Werten (4) zustreben; <br/>d. h. wir betrachten Gravitationsfelder, welche als ausschließ-<br/>lich durch im Endlichen befindliche Materie erzeugt betrachtet <br/>werden können.
</p><!--l. 4183--><p class="indent">   Man könnte annehmen, daß diese Vernachlässigungen auf <br/>Newtons Theorie hinführen müßten. Indessen bedarf es <br/>hierfür noch der approximativen Behandlung der Grund-<br/>gleichungen nach einem zweiten Gesichtspunkte. Wir fassen <br/>die Bewegung eines Massenpunktes gemäß den Gleichungen (46) <br/>ins Auge. Im Falle der speziellen Relativitätstheorie können <br/>die Komponenten</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916202x.png" alt="d x1   d-x2   d-x3 d s ,   d s ,  d s " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 4197--><p class="nopar">
</p><!--l. 4201--><p class="noindent">beliebige Werte annehmen; dies bedeutet, daß beliebige Ge-<br/>schwindigkeiten
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916203x.png" alt="       V~ -------------------------         d-x12    d-x22     d-x32 v  =     d x4 +   d x4  +  d x4 " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 4209--><p class="nopar">
</p><!--l. 4213--><p class="noindent">auftreten können, die kleiner sind als die Vakuumlichtgeschwin-<br/>digkeit (<span
class="cmmi-12">v  &lt; </span>1). Will man sich auf den fast ausschließlich <br/>der Erfahrung sich darbietenden Fall beschränken, daß <span
class="cmmi-12">v </span> <br/>gegen die Lichtgeschwindigkeit klein ist, so bedeutet dies, <br/>daß die Komponenten
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916204x.png" alt="d x    d x    d x ---1,  ---2,  ---3 d s     d s    d s " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 4225--><p class="nopar">
</p><!--l. 4229--><p class="noindent">als kleine Größen zu behandeln sind, während <span
class="cmmi-12">dx</span><sub ><span
class="cmr-8">4</span></sub><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916205x.png" alt="/"  class="left" align="middle" /> <span
class="cmmi-12">ds</span> bis <br/>auf Größen zweiter Ordnung gleich 1 ist (zweiter Gesichts-<br/>punkt der Approximation).
<pb/>
</p><!--l. 4237--><p class="indent">

</p><!--l. 4238--><p class="indent">   Nun beachten wir, daß nach dem ersten Gesichtspunkte <br/>der Approximation die Größen <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmr12-0.png" alt="G" class="12x-x-0" /><sub><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub><sup><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1c.png" alt="t" class="8x-x-1c" /></span></sup> alle kleine Größen mindestens <br/>erster Ordnung sind. Ein Blick auf (46) lehrt also, daß in dieser <br/>Gleichung nach dem zweiten Gesichtspunkt der Approximation <br/>nur Glieder zu berücksichtigen sind, für welche <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-16.png" alt="m" class="cmmi-12x-x-16" align="middle" /> </span>=  <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-17.png" alt="n" class="12x-x-17" />  </span>=  4 <br/>ist. Bei Beschränkung auf Glieder niedrigster Ordnung erhält <br/>man an Stelle von (46) zunächst die Gleichungen
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916206x.png" alt="d-2 xt      t  d t2  =  G44 , " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 4254--><p class="nopar">
</p><!--l. 4259--><p class="noindent">wobei <span
class="cmmi-12">ds </span>=  <span
class="cmmi-12">dx</span><sub ><span
class="cmr-8">4</span></sub>  =  <span
class="cmmi-12">dt </span>gesetzt ist, oder unter Beschränkung <br/>auf Glieder, die nach dem ersten Gesichtspunkte der Ap-<br/>proximation erster Ordnung sind:
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916207x.png" alt="           |_     _|
            44 d-2 xt  d t2  =   |_  t _|  (t =  1, 2, 3)
             |_    _|
d 2 x         44 ----4- =  -  |_  4  _|  .  d t2 " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 4276--><p class="nopar">
</p><!--l. 4278--><p class="noindent">Setzt man außerdem voraus, daß das Gravitationsfeld ein <br/>quasi statisches sei, indem man sich auf den Fall beschränkt, <br/>daß die das Gravitationsfeld erzeugende Materie nur langsam <br/>(im Vergleich mit der Fortpflanzungsgeschwindigkeit des
 <br/>Lichtes) bewegt ist, so kann man auf der rechten Seite Ab-<br/>leitungen nach der Zeit neben solchen nach den örtlichen <br/>Koordinaten vernachlässigen, so daß man erhält</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-91r67"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916208x.png" alt="  2 d--xt- =  - 1-@-g44(t  =  1, 2, 3).  d t2       2  @ xt " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(67)</td></tr></table>
<!--l. 4293--><p class="nopar">
</p><!--l. 4297--><p class="noindent">Dies ist die Bewegungsgleichung des materiellen Punktes nach <br/>Newtons Theorie, wobei <span
class="cmmi-12">g</span><sub ><span
class="cmr-8">44</span></sub><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916209x.png" alt="/"  class="left" align="middle" /> 2 die Rolle des Gravitations-<br/>potentiales spielt. Das Merkwürdige an diesem Resultat ist, <br/>daß nur die Komponente <span
class="cmmi-12">g</span><sub ><span
class="cmr-8">44</span></sub> des Fundamentaltensors allein <br/>in erster Näherung die Bewegung des materiellen Punktes <br/>bestimmt.
</p><!--l. 4306--><p class="indent">   Wir wenden uns nun zu den Feldgleichungen (53). Dabei <br/>ist zu berücksichtigen, daß der Energietensor der ,,Materie&#8220; <br/>fast ausschließlich durch die Dichte <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-25.png" alt="r" class="cmmi-12x-x-25" align="middle" /> </span>der Materie im engeren <br/>Sinne bestimmt wird, d. h. durch das zweite Glied der rechten <br/>Seite von (58) [bzw. (58a) oder (58b)]. Bildet man die uns
 <br/>interessierende Näherung, so verschwinden alle Komponenten <br/>bis auf die Komponente</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916210x.png" alt="T44 =  r =  T . " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 4319--><p class="nopar"> <pb/>
</p><!--l. 4326--><p class="indent">

</p><!--l. 4327--><p class="noindent">Auf der linken Seite von (53) ist das zweite Glied klein von <br/>zweiter Ordnung; das erste liefert in der uns interessierenden <br/>Näherung</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916211x.png" alt="        |_     _|           |_     _|           |_     _|           |_     _|
    @    m n       @     m n       @     m n       @     mn + ----  |_  1  _|  +  ----  |_  2  _|  +  ----  |_  3  _|  -  ----  |_  4  _|  .   @ x1            @ x2            @ x3            @ x4 " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 4350--><p class="nopar">
</p><!--l. 4352--><p class="noindent">Dies liefert für <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-16.png" alt="m" class="cmmi-12x-x-16" align="middle" /> </span>=  <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-17.png" alt="n" class="12x-x-17" />  </span>=  4 bei Weglassung von nach der Zeit <br/>differenzierten Gliedern
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916212x.png" alt="     (  2         2        2    ) - 1-   @-g-44+  @--g44 +  @--g44   =  - 1 D g   .   2    @ x12     @ x22    @ x32         2     44 " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 4362--><p class="nopar">
</p><!--l. 4365--><p class="noindent">Die letzte der Gleichungen (53) liefert also</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-92r68"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916213x.png" alt="D g    =  x r .     44 " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(68)</td></tr></table>
<!--l. 4371--><p class="nopar">
</p><!--l. 4375--><p class="noindent">Die Gleichungen (67) und (68) zusammen sind äquivalent <br/>dem Newtonschen Gravitationsgesetz.
</p><!--l. 4378--><p class="indent">   Für das Gravitationspotential ergibt sich nach (67) und <br/>(68) der Ausdruck</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-93r69"></a>
   <center class="math-display" >

<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916214x.png" alt="      integral
  -x-   r-d-t - 8p      r   , " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(68a)</td></tr></table>
<!--l. 4385--><p class="nopar">
</p><!--l. 4390--><p class="noindent">während Newtons Theorie bei der von uns gewählten Zeit-<br/>einheit</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916215x.png" alt="   K   integral  r d t -  -2-   -----    c      r " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 4397--><p class="nopar">
</p><!--l. 4402--><p class="noindent">ergibt, wobei <span
class="cmmi-12">K </span>die gewöhnlich als Gravitationskonstante <br/>bezeichnete Konstante 6,7 . 10<sup ><span
class="cmsy-8">-</span><span
class="cmr-8">8</span></sup> bedeutet. Durch Vergleich <br/>ergibt sich</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-94r69"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916216x.png" alt="x  =  8-p-K- =  1,87 .10-27.         c2 " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(69)</td></tr></table>
<!--l. 4411--><p class="nopar">
</p>
<div class="center" >

<!--l. 4416--><p class="noindent">
</p><!--l. 4419--><p class="noindent"><span
class="cmbsy-10x-x-120">§ </span><span
class="cmbx-12">22.   Verhalten von Masst</span><span
class="cmbx-12">äben und Uhren im statischen</span>
 <br/><span
class="cmbx-12">Gravitationsfelde. Kr</span><span
class="cmbx-12">ümmung der Lichtstrahlen.</span> <br/><span
class="cmbx-12">Perihelbewegung</span>
<span
class="cmbx-12">der Planetenbahnen.</span></p></div>
<!--l. 4423--><p class="indent">   Um die Newton sche Theorie als erste Näherung zu er-<br/>halten, brauchten wir von den 10 Komponenten des Gravi-<br/>tationspotentials <span
class="cmmi-12">g</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub> nur <span
class="cmmi-12">g</span><sub ><span
class="cmr-8">44</span></sub> zu berechnen, da nur diese Kom-<br/>ponente in die erste Näherung (67) der Bewegungsgleichung
 <br/>des materiellen Punktes im Gravitationsfelde eingeht. Man <br/>sieht indessen schon daraus, daß noch andere Komponenten <br/>der <span
class="cmmi-12">g</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub> von den in (4) angegebenen
Werten in erster Näherung <br/>abweichen müssen, daß letzteres durch die Bedingung
<span
class="cmmi-12">g  </span>=  <span
class="cmsy-10x-x-120">- </span>1 <br/>verlangt wird. <pb/>
</p><!--l. 4437--><p class="indent">

</p><!--l. 4438--><p class="indent">   Für einen im Anfangspunkt des Koordinatensystems be-<br/>findlichen felderzeugenden Massenpunkt erhält man in erster <br/>Näherung die radialsymmetrische Lösung</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-95r70"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916217x.png" alt="                       xr-xs-     grs  =  - drs  - a   r3   (r und s zwischen 1 und 3) {   g    =  g   =  0 (r zwischen 1 und 3)       r4     4r      g44 =  1 -  a- .                   r " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(70)</td></tr></table>
<!--l. 4454--><p class="nopar">
</p><!--l. 4458--><p class="noindent"><span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-e.png" alt="d" class="12x-x-e" /></span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-25.png" alt="r" class="cmmi-8x-x-25" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b" /></span></sub> ist dabei 1 bzw. 0, je nachdem <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-25.png" alt="r" class="cmmi-12x-x-25" align="middle" /> </span>= <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-1b.png" alt="s" class="12x-x-1b" /> </span>oder <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-25.png" alt="r" class="cmmi-12x-x-25" align="middle" /> <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-1b.png" alt="s" class="12x-x-1b" />,   r </span>ist die <br/>Größe</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916218x.png" alt="   V~ ------------------ +   x12 +  x22  + x32 . " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 4466--><p class="nopar">
</p><!--l. 4469--><p class="noindent">Dabei ist wegen (68a)</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-96r71"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916219x.png" alt="      x-M-- a  =   8 p , " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(70a)</td></tr></table>

<!--l. 4475--><p class="nopar">
</p><!--l. 4480--><p class="noindent">wenn mit <span
class="cmmi-12">M </span>die felderzeugende Masse bezeichnet wird. Daß <br/>durch diese Lösung die Feldgleichungen (außerhalb der Masse) <br/>in erster Näherung erfüllt werden, ist leicht zu verifizieren.
</p><!--l. 4485--><p class="indent">   Wir untersuchen nun die Beeinflussung, welche die metri-<br/>schen Eigenschaften des Raumes durch das Feld der Masse <span
class="cmmi-12">M </span> <br/>erfahren. Stets gilt zwischen den ,,lokal&#8220; (<span
class="cmsy-10x-x-120">§ </span>4) gemessenen <br/>Längen und Zeiten <span
class="cmmi-12">ds </span>einerseits und den Koordinatendifferenzen <br/><span
class="cmmi-12">d x</span><sub ><span
class="cmmi-8">v</span></sub> andererseits die Beziehung
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916220x.png" alt="d s2 =  gm n d xm d xn . " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 4496--><p class="nopar">
</p><!--l. 4500--><p class="indent">   Für einen ,,parallel&#8220; der <span
class="cmmi-12">x</span>-Achse gelegten Einheitsmaßstab <br/>wäre beispielsweise zu setzen
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916221x.png" alt="d s2 =  - 1;  d x2 =  d x3 =   d x4 =  0 , " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 4508--><p class="nopar">
</p><!--l. 4512--><p class="noindent">also</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916222x.png" alt="-1  =  g11 d x12 . " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 4518--><p class="nopar">
</p><!--l. 4521--><p class="noindent">Liegt der Einheitsmaßstab außerdem auf der <span
class="cmmi-12">x</span>-Achse, so <br/>ergibt die erste der Gleichungen (70)
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916223x.png" alt="         (      a ) g11 =  -   1 +  --  .                 r " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 4528--><p class="nopar">
</p><!--l. 4531--><p class="noindent">Aus beiden Relationen folgt in erster Näherung genau</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-97r71"></a>

   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916224x.png" alt="            -a- d x =  1 -  2 r . " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(71)</td></tr></table>
<!--l. 4537--><p class="nopar">
 <pb/></p><!--l. 4544--><p class="indent">

</p><!--l. 4545--><p class="noindent">Der Einheitsmaßstab erscheint also mit Bezug auf das Ko-<br/>ordinatensystem in dem gefundenen Betrage durch das Vor-<br/>handensein des Gravitationsfeldes verkürzt, wenn er radial <br/>angelegt wird.
</p><!--l. 4550--><p class="indent">   Analog erhält man seine Koordinatenlänge in tangentialer <br/>Richtung, indem man beispielsweise setzt</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916225x.png" alt="d s2 =  - 1; d x  =   d x  =   d x  =  0 ; x  =  r,  x  =  x   =  0 .                 1        3        4         1         2     3 " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 4558--><p class="nopar">
</p><!--l. 4561--><p class="noindent">Es ergibt sich</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-98r72"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916226x.png" alt="               2          2 - 1  =  g22 d x2 =  - d x2 . " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(71a)</td></tr></table>
<!--l. 4567--><p class="nopar">
</p><!--l. 4571--><p class="noindent">Bei tangentialer Stellung hat also das Gravitationsfeld des <br/>Massenpunktes keinen Einfluß auf die Stablänge.
</p><!--l. 4575--><p class="indent">   Es gilt also die Euklidische Geometrie im Gravitations-<br/>felde nicht einmal in erster Näherung, falls man einen und <br/>denselben Stab unabhängig von seinem Ort und seiner Orien-<br/>tierung als Realisierung derselben Strecke auffassen will.
 <br/>Allerdings zeigt ein Blick auf (70a) und (69), daß die zu er-<br/>wartenden Abweichungen viel zu gering sind, um sich bei <br/>der Vermessung der Erdoberfläche bemerkbar machen zu <br/>können.
</p><!--l. 4584--><p class="indent">   Es werde ferner die auf die Zeitkoordinate untersuchte <br/>Ganggeschwindigkeit einer Einheitsuhr untersucht, welche in <br/>einem statischen Gravitationsfelde ruhend angeordnet ist. Hier <br/>gilt für eine Uhrperiode
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916227x.png" alt="d s = 1;  d x1 =   d x2 =  d x3  =  0 . " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 4593--><p class="nopar">

</p><!--l. 4596--><p class="noindent">Also ist</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916228x.png" alt="                 1 =  g44 dx42 ;
d x4 =    V~ 1-- =   V~ -------1--------- =  1 -  g-44----1           g 44       1 +  (g 44 -  1)             2 " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 4606--><p class="nopar">
</p><!--l. 4611--><p class="noindent">oder</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-99r72"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916229x.png" alt="                 integral
d x4 =  1 + -x--   r-d-t-.             8 p      r " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(72)</td></tr></table>
<!--l. 4617--><p class="nopar">
</p><!--l. 4621--><p class="noindent">Die Uhr läuft also langsamer, wenn sie in der Nähe ponde-<br/>rabler Massen aufgestellt ist. Es folgt daraus, daß die Spektral-<br/>linien von der Oberfläche großer Sterne zu uns gelangenden <br/>Lichtes nach dem roten Spektralende verschoben erscheinen <br/>müssen.<sup ><span
class="cmr-8">1</span></sup>)
</p><!--l. 4628--><p class="noindent">----------
</p><!--l. 4631--><p class="indent">   1) Für das Bestehen eines derartigen Effektes sprechen nach <br/>E. Freundlich spektrale Beobachtungen an Fixsternen bestimmter <br/>Typen. Eine endgültige Prüfung dieser Konsequenz steht indes noch aus. <pb/>
</p><!--l. 4637--><p class="indent">

</p><!--l. 4638--><p class="indent">   Wir untersuchen ferner den Gang der Lichtstrahlen im <br/>statischen Gravitationsfeld. Gemäß der speziellen Relativitäts-<br/>theorie ist die Lichtgeschwindigkeit durch die Gleichung
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916230x.png" alt="      2       2       2       2 - d x1  - d x2  - d x3  + d x4  =  0 " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 4647--><p class="nopar">
</p><!--l. 4649--><p class="noindent">gegeben, also gemäß der allgemeinen Relativitätstheorie durch <br/>die Gleichung</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-100r73"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916231x.png" alt="d s2 =  gmn dxm d xn =  0. " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(73)</td></tr></table>
<!--l. 4655--><p class="nopar">
</p><!--l. 4658--><p class="noindent">Ist die Richtung, d. h. das Verhältnis <span
class="cmmi-12">d x</span><sub ><span
class="cmr-8">1</span></sub>  : <span
class="cmmi-12">d x</span><sub ><span
class="cmr-8">2</span></sub>  : <span
class="cmmi-12">d x</span><sub ><span
class="cmr-8">3</span></sub> ge-<br/>geben, so liefert die Gleichung (73) die Größen
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916232x.png" alt="d x1   d x2   d x3 ----,  ----,  ---- dx4    d x4   d x4 " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 4665--><p class="nopar">
</p><!--l. 4667--><p class="noindent">und somit die Geschwindigkeit
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916233x.png" alt=" V~  -----------------------------------    (     )2     (     )2    (     )2      d-x1    +    dx2-   +    d-x3    =  g ,      d x4         dx4         d x4 " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 4674--><p class="nopar">
</p><!--l. 4676--><p class="noindent">im Sinne der Euklidischen Geometrie definiert. Man erkennt <br/>leicht, daß die Lichtstrahlen gekrümmt verlaufen müssen mit <br/>Bezug auf das Koordinatensystem, falls die <span
class="cmmi-12">g</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle" /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub> nicht konstant <br/>sind. Ist <span
class="cmmi-12">n </span>eine Richtung senkrecht zur
Lichtfortpflanzung, <br/>so ergibt das Huggenssche Prinzip, daß der Lichtstrahl [in <br/>der Ebene (<span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-d.png" alt="g" class="12x-x-d" />,  n</span>) betrachtet] die Krümmung <span
class="cmsy-10x-x-120">-</span><span
class="cmmi-12">d<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-d.png" alt="g" class="12x-x-d" /></span><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916234x.png" alt="/"  class="left" align="middle" /> <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-40.png" alt="@" class="12x-x-40" /> n</span> besitzt.            <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916235x.png" alt="PIC" class="graphics" width="244.6948pt" height="170.72084pt"  /><!--tex4ht:graphics
name="img/Einst_Grund_de_1916235x.png" src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/Einst_Grund_de_1916_001.eps"
-->
</p><!--l. 4689--><p class="indent">   Wir untersuchen die Krümmung, welche ein Lichtstrahl <br/>erleidet, der im Abstand <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmr12-1.png" alt="D" class="12x-x-1" /> an einer Masse <span
class="cmmi-12">M </span>vorbeigeht. <br/>Wählt man das Koordinatensystem gemäß der vorstehenden <br/>Skizze, so ist die gesamte Biegung <span
class="cmmi-12">B </span>des Lichtstrahles (positiv <br/>gerechnet, wenn sie nach dem Ursprung hin konkav ist) in <br/>genügender Näherung gegeben durch
</p>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916236x.png" alt="       + integral  oo
B  =      @-g--d x ,           @ x1    2       - oo
" class="math-display"  /></center>
<!--l. 4700--><p class="nopar"> <pb/>
</p><!--l. 4703--><p class="indent">

</p><!--l. 4704--><p class="noindent">während (73) und (70) ergeben
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916237x.png" alt="       V~ ------             (         )           g-44-         -a-        x22- g  =    - g 22  =  1 +  2 r  1  +  r2   . " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 4711--><p class="nopar">
</p><!--l. 4713--><p class="noindent">Die Ausrechnung ergibt</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-101r74"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916238x.png" alt="B  =  2a- =   x-M--.        D      4p D " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(74)</td></tr></table>
<!--l. 4719--><p class="nopar">
</p><!--l. 4723--><p class="noindent">Ein an der Sonne vorbeigehender Lichtstrahl erfährt dem-<br/>nach eine Biegung von 1<span
class="cmmi-12">, </span>7<span
class="cmsy-10x-x-120">''</span>, ein am Planeten Jupiter vorbei-<br/>gehender eine solche von etwa 0<span
class="cmmi-12">, </span>02<span
class="cmsy-10x-x-120">''</span>.
</p><!--l. 4728--><p class="indent">   Berechnet man das Gravitationsfeld um eine Größen-<br/>ordnung genauer, und ebenso mit entsprechender Genauig-<br/>keit die Bahnbewegung eines materiellen Punktes von relativ <br/>unendlich kleiner Masse, so erhält man gegenüber den Kepler-<br/>Newtonschen Gesetzen der Planetenbewegung eine Abwei-<br/>chung von folgender Art. Die Bahnellipse eines Planeten er-<br/>fährt in Richtung der Bahnbewegung eine langsame Drehung <br/>vom Betrage</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-102r75"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916239x.png" alt="         3------a2------ e =  24 p T 2 c2(1 - e2)
" class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(75)</td></tr></table>
<!--l. 4742--><p class="nopar">
</p><!--l. 4747--><p class="noindent">pro Umlauf. In dieser Formel bedeutet <span
class="cmmi-12">a </span>die große Halbachse, <br/><span
class="cmmi-12">c </span>die Lichtgeschwindigkeit in üblichem Maße, <span
class="cmmi-12">e </span>die Exzentrizität, <br/><span
class="cmmi-12">T </span>die Umlaufszeit in Sekunden.<sup ><span
class="cmr-8">1</span></sup>)
</p><!--l. 4752--><p class="indent">   Die Rechnung ergibt für den Planeten Merkur eine Drehung <br/>der Bahn um 43<span
class="cmsy-10x-x-120">''</span>
pro Jahrhundert, genau entsprechend der <br/>Konstatierung der Astronomen (Leverrier); diese fanden <br/>nämlich einen durch Störungen der übrigen Planeten nicht <br/>erklärbaren Rest der Perihelbewegung dieses Planeten von <br/>der angegebenen Größe.
</p><!--l. 4760--><p class="noindent">----------
</p><!--l. 4763--><p class="indent">   1) Bezüglich der Rechnung verweise ich auf die Originalabhand-<br/>lungen A. Einstein, Sitzungsber. d. Preuß. Akad. d. Wiss. <span
class="cmbx-12">47. </span>p. 831. <br/>1915. -- K. Schwarzschild, Sitzungsber. d. Preuß. Akad. d. Wiss. <span
class="cmbx-12">7. </span> <br/>p. 189. 1916.
</p>
<div class="center" >

<!--l. 4769--><p class="noindent">
</p><!--l. 4770--><p class="noindent">(Eingegangen 20. März 1916.)</p></div>
<div class="center" >

<!--l. 4775--><p class="noindent">
</p><!--l. 4776--><p class="noindent">----------</p></div>

</body></html>
author	Klaus Thoden <kthoden@mpiwg-berlin.mpg.de>
date	Wed, 30 Jul 2014 15:58:21 +0200
parents	22d6a63640c6
children