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</head><body >

<!--l. 15--><p class="noindent"><pb/></p>
<div class="center" >

<!--l. 16--><p class="noindent">
</p><!--l. 17--><p class="noindent"><span
class="cmr-12x-x-120">3. </span><span
class="cmbxti-10x-x-144">Statistische Untersuchung der Bewegung eines</span>
 <br/><span
class="cmbxti-10x-x-144">Resonators in einem Strahlungsfeld; </span> <br/><span
class="cmbxti-10x-x-144">von A. Einstein</span>
<span
class="cmbxti-10x-x-144">und L. Hopf.</span></p></div>
<div class="center" >

<!--l. 22--><p class="noindent">
</p><!--l. 23--><p class="noindent">--------</p></div>
<div class="center" >

<!--l. 27--><p class="noindent">
</p><!--l. 28--><p class="noindent"><span
class="cmsy-10x-x-120">§ </span>1.   Gedankengang.</p></div>
<!--l. 32--><p class="indent">   Es ist bereits auf verschiedenen Wegen gezeigt worden <br/>und heute wohl allgemein anerkannt, daß unsere gegenwärtigen <br/>Anschauungen von der Verteilung und Ausbreitung der elektro-<br/>magnetischen Energie einerseits, von der statistischen Energie-<br/>verteilung anderseits, bei richtiger Anwendung in der Strahlen-<br/>theorie zu keinem anderen als dem sogenannten Rayleigh-<br/>schen (Jeansschen) Strahlungsgesetz führen können. Da dieses <br/>mit der Erfahrung in vollkommenem Widerspruch steht, ist <br/>es nötig, an den Grundlagen der zur Ableitung verwendeten <br/>Theorien eine Änderung vorzunehmen, und man hat vielfach <br/>vermutet, daß die Anwendung der statistischen Energiever-<br/>teilungsgesetze auf die Strahlung oder auf rasch oszillierende <br/>Bewegungen (Resonatoren) nicht einwandfrei sei. Die folgende <br/>Untersuchung soll nun zeigen, daß es einer derartigen zweifel-<br/>haften Anwendung gar nicht bedarf, und daß es genügt, den <br/>Satz der Äquipartition der Energie nur auf die
<span
class="cmti-12">fortschreitende</span> <br/>Bewegung der Moleküle und Oszillatoren anzuwenden, um zum
 <br/>Rayleighschen Strahlungsgesetz zu gelangen. Die Anwen-<br/>dungsfähigkeit des Satzes auf die fortschreitende Bewegung ist <br/>durch die Erfolge der kinetischen Gastheorie genügend er-<br/>wiesen; wir werden daher schließen dürfen, daß erst eine
 <br/>prinzipiellere und tiefer gehende Änderung der grundlegenden <br/>Anschauungen zu einem der Erfahrung besser entsprechenden <br/>Strahlungsgesetz führen kann.
</p><!--l. 62--><p class="indent">   Wir betrachten einen beweglichen elektromagnetischen Os-<br/>zillator<sup ><span
class="cmr-8">1</span></sup>), der einesteils den Wirkungen eines Strahlungsfeldes <br/>unterliegt, andernteils mit einer Masse <span
class="cmmi-12">m </span>behaftet ist und mit den <br/>im Strahlungsraum vorhandenen Molekülen in Wechselwirkung <br/>----------
</p><!--l. 69--><p class="indent">   1) Der Einfachheit halber werden wir annehmen, der Oszillator <br/>schwinge nur in der <span
class="cmmi-12">z</span>-Richtung und sei nur in der <span
class="cmmi-12">x </span>Richtung beweglich. <pb/>
</p><!--l. 75--><p class="indent">

</p><!--l. 76--><p class="noindent">tritt. Betände diese letztere Wechselwirkung allein, so wäre <br/>der quadratische Mittelwert der Bewegungsgröße der fort-<br/>schreitenden Bewegung des Oszillators durch die statistische <br/>Mechanik vollkommen bestimmt. In unserem Falle besteht
 <br/>außerdem die Wechselwirkung des Oszillators mit dem Strah-<br/>lungsfelde. Damit statistisches Gleichgewicht möglich sei, <br/>darf diese letztere Wechselwirkung an jenem Mittelwerte nichts <br/>ändern. Mit anderen Worten: der quadratische Mittelwert <br/>der Bewegungsgröße der fortschreitenden Bewegung, welchen <br/>der Oszillator unter der Einwirkung <span
class="cmti-12">der Strahlung allein </span>an-<br/>nimmt, muß derselbe sein wie derjenige, welchen er nach der <br/>statistischen Mechanik unter der mechanischen Einwirkung der <br/>Moleküle allein annähme. Damit reduziert sich das Problem <br/>auf dasjenige, den quadratischen Mittelwert <span class="overline">(<span
class="cmmi-12">mv</span>)<sup ><span
class="cmr-8">2</span></sup></span> der Be-<br/>wegungsgröße zu ermitteln, den der Oszillator unter der Ein-<br/>wirkung des Strahlungsfeldes allein annimmt.
</p><!--l. 97--><p class="indent">   Dieser Mittelwert muß zur Zeit <span
class="cmmi-12">t </span>= 0 derselbe sein wie <br/>zur Zeit <span
class="cmmi-12">t </span>= <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/cmmi12-1c.png" alt="t" class="12x-x-1c" /></span>, so daß man hat:
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/Einst_Stati_de_19100x.png" alt="--------   --------- (m v)2t=0 = (m v)2t=t . " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 104--><p class="nopar">
</p><!--l. 108--><p class="indent">   Für das folgende ist es zweckmäßig, zweierlei Kraft-<br/>wirkungen zu unterscheiden, durch welche das Strahlungsfeld <br/>den Oszillator beeinflußt, nämlich
</p><!--l. 113--><p class="indent">   1. Die Widerstandskraft <span
class="cmmi-12">K</span>, welche der Strahlungsdruck <br/>einer geradlinigen Bewegung des Oszillators entgegenstellt. <br/>Diese ist bei Vernachlässigung der Glieder von Größenordnung <br/>(<span
class="cmmi-12">v</span><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/Einst_Stati_de_19101x.png" alt="/"  class="left" align="middle" /> <span
class="cmmi-12">c</span>)<sup ><span
class="cmr-8">2</span></sup> (<span
class="cmmi-12">c </span>= Lichtgeschwindigkeit) proportional der Geschwindig-<br/>keit <span
class="cmmi-12">v</span>, wir können also schreiben: <span
class="cmmi-12">K </span>= <span
class="cmsy-10x-x-120">-</span><span
class="cmmi-12">P v</span>. Nehmen wir <br/>ferner an, daß während der Zeit <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/cmmi12-1c.png" alt="t" class="12x-x-1c" /> </span>die Geschwindigkeit <span
class="cmmi-12">v </span>sich <br/>nicht merklich ändert, so wird der von dieser Kraft her-<br/>rührende Impuls = <span
class="cmsy-10x-x-120">-</span><span
class="cmmi-12">P v <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/cmmi12-1c.png" alt="t" class="12x-x-1c" /></span>.
</p><!--l. 125--><p class="indent">   2. Die Schwankungen <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/cmr12-1.png" alt="D" class="12x-x-1" /> des elektromagnetischen Im-<br/>pulses, die infolge der Bewegung elektrischer Massen im un-<br/>geordneten Strahlungsfelde auftreten. Diese können ebensowohl <br/>positiv, wie negativ sein und sind von dem Umstande, daß <br/>der Oszillator bewegt ist, in erster Annäherung unabhängig.
</p><!--l. 132--><p class="indent">   Diese Impulse superponieren sich während der Zeit <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/cmmi12-1c.png" alt="t" class="12x-x-1c" /> </span>auf <br/>den Impuls (<span
class="cmmi-12">m<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/cmmi12-1d.png" alt="v" class="12x-x-1d" /></span>)<sub ><span
class="cmmi-8">t</span><span
class="cmr-8">=0</span></sub>
und unsere Gleichung wird:</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-2r1"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/Einst_Stati_de_19102x.png" alt="--------   ---------------------- (m  v)2t=0 = (m  vt=0 + D  - P v t)2. " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(1)</td></tr></table>
<!--l. 140--><p class="nopar">
<pb/>
</p><!--l. 147--><p class="indent">

</p><!--l. 148--><p class="indent">   Durch Vergrößerung der Masse <span
class="cmmi-12">m </span>können wir jederzeit <br/>erreichen, daß das mit
<span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/cmmi12-1c.png" alt="t" class="12x-x-1c" /></span><sup ><span
class="cmr-8">2</span></sup> multiplizierte Glied, welches auf der <br/>rechten Seite von Gleichung (1) erscheint, vernachlässigt werden <br/>darf. Ferner verschwindet das mit <span class="overline"><span
class="cmmi-12">v </span><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/cmr12-1.png" alt="D" class="12x-x-1" /></span> multiplizierte Glied,
 <br/>da <span
class="cmmi-12">v </span>und <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/cmr12-1.png" alt="D" class="12x-x-1" /> voneinander ganz unabhängig sowohl negativ wie <br/>positiv werden können. Ersetzen wir noch <span
class="cmmi-12">m</span><span class="overline"><span
class="cmmi-12">v</span><sup ><span
class="cmr-8">2</span></sup></span> durch die <br/>Temperatur <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/cmr12-2.png" alt="Q" class="12x-x-2" /> mittels der aus der Gastheorie bekannten <br/>Gleichung:
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/Einst_Stati_de_19103x.png" alt="  --2   R-- m v  =  N Q " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 162--><p class="nopar">
</p><!--l. 165--><p class="noindent">(<span
class="cmmi-12">R </span>= absolute Gaskonstante, <span
class="cmmi-12">N </span>= Loschmidtsche Zahl), so er-<br/>hält Gleichung (1) die Form:</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-3r2"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/Einst_Stati_de_19104x.png" alt="---    R D2 = 2 ---P Q t .        N " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(2)</td></tr></table>
<!--l. 174--><p class="nopar">
</p><!--l. 176--><p class="noindent">Wir haben also nur <span class="overline"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/cmr12-1.png" alt="D" class="12x-x-1" /><sup ><span
class="cmr-8">2</span></sup></span> und <span
class="cmmi-12">P </span>(bzw. <span class="overline"><span
class="cmmi-12">K</span></span>) durch elektromagne-<br/>tische Betrachtungen zu ermitteln, dann liefert Gleichung (2) <br/>das Strahlungsgesetz.
</p>
<div class="center" >

<!--l. 183--><p class="noindent">
</p><!--l. 184--><p class="noindent"><span
class="cmsy-10x-x-120">§ </span>2.   Berechnung der Kraft <span class="overline"><span
class="cmmi-12">K</span></span><span
class="cmmi-12">.</span><sup ><span
class="cmr-8">1</span></sup>)</p></div>
   Um  die  Kraft  zu  berechnen,  welche  die  Strahlung  einem  <br/>bewegten Oszillator entgegenstellt, berechnen wir zuerst die <br/>Kraft auf einen ruhenden
Oszillator und <br/>transformieren diese dann mit Hilfe der <br/>aus der Relativitätstheorie folgenden <br/>Formeln.
<br class="newline" />Der Oszillator mit Eigenschwingung <br/><span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/cmmi12-17.png" alt="n" class="12x-x-17" /></span><sub ><span
class="cmr-8">0</span></sub> schwinge frei  in  der  <span
class="cmmi-12">z</span>-Richtung  eines  <br/>rechtwinkeligen Koordinatensystems  <span
class="cmmi-12">x, y, z.  </span> <br/>Bezeichnen  dann G und H die elek-<br/>trische bzw. magnetische Kraft des <br/>äußeren Feldes, so gehorcht das Moment <span
class="cmmi-12">f </span> <br/>des Oszillators nach Planck<sup ><span
class="cmr-8">2</span></sup>) der Diffe-<br/>rentialgleichung:                                                 <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/Einst_Stati_de_19105x.png" alt="PIC" class="graphics" width="108.12054pt" height="178.25528pt"  /><!--tex4ht:graphics
name="img/Einst_Stati_de_19105x.png" src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/Einst_Stati_de_1910_001.EPS"
--><table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-4r3"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/Einst_Stati_de_19106x.png" alt="16p4 n03f + 4p2 n0¨f - 2 sf¨&#x02D9;=  3s c3Gz. " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(3)</td></tr></table>
<!--l. 210--><p class="nopar">
</p><!--l. 212--><p class="noindent">Hierbei ist noch <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/cmmi12-1b.png" alt="s" class="12x-x-1b" /> </span>eine für die Dämpfung des Oszillators durch <br/>Ausstrahlung charakteristische Konstante.
</p><!--l. 216--><p class="noindent">----------
</p><!--l. 219--><p class="indent">   1) Vgl. auch M. Abraham, Ann. d. Phys. <span
class="cmbx-12">14. </span>p. 273 ff., 1904.
</p><!--l. 221--><p class="indent">   2) M. Planck, Vorl. über die Theorie der Wärmestrahlung p. 113.
<pb/>
</p><!--l. 226--><p class="indent">

</p><!--l. 227--><p class="indent">   Es falle nun eine ebene Welle auf den Oszillator; der <br/>Strahl schließe mit der
<span
class="cmmi-12">z</span>-Achse den Winkel <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/cmmi12-27.png" alt="f" class="cmmi-12x-x-27" align="middle" /> </span>ein, seine Pro-<br/>jektion auf die <span
class="cmmi-12">xy</span>-Ebene mit der <span
class="cmmi-12">x</span>-Achse den Winkel <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/cmmi12-21.png" alt="w" class="12x-x-21" /></span>. Zer-<br/>legen wir diese Welle in zwei senkrecht zueinander polarisierte,
 <br/>davon die elektrische Kraft der einen in der Strahloszillator-<br/>ebene liege, die der anderen senkrecht dazu, so ist klar, daß <br/>nur die erstere dem Oszillator ein gewisses Moment erteilt. <br/>Schreiben wir die elektrische Kraft dieser ersteren Wellen als
 <br/>Fouriersche Reihe</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-5r4"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/Einst_Stati_de_19107x.png" alt="               {      (                   )      }       sum           2-pn-      a-x +-b y-+-y-z G =    n An cos   T     t-        c         -  hn   , " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(4)</td></tr></table>
<!--l. 244--><p class="nopar">
</p><!--l. 247--><p class="noindent">wobei <span
class="cmmi-12">T </span>eine sehr große Zeit bedeute, so drücken sich die <br/>Richtungskosinus
<span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/cmmi12-b.png" alt="a" class="12x-x-b" />, <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/cmmi12-c.png" alt="b" class="cmmi-12x-x-c" align="middle" /> , <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/cmmi12-d.png" alt="g" class="12x-x-d" /> </span>des Strahles durch <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/cmmi12-27.png" alt="f" class="cmmi-12x-x-27" align="middle" /> </span>und <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/cmmi12-21.png" alt="w" class="12x-x-21" /> </span>in folgen-<br/>der Weise aus:</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/Einst_Stati_de_19108x.png" alt="a = sin f  cos w,  b =  sin  f sin w,  g =  cos f " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 256--><p class="nopar"></p><!--l. 260--><p class="noindent">und die für unsere weitere Rechnung in Betracht kommenden <br/>Komponenten der elektrischen und der magnetischen Kraft sind:</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-6r5"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/Einst_Stati_de_19109x.png" alt="   Gx =  G cos f cos w , {  Gx =  - G sin f ,
   Hy =  G cos f sin w . " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(5)</td></tr></table>
<!--l. 272--><p class="nopar">
</p><!--l. 275--><p class="noindent">Die ponderomotorische Kraft, welche auf den Oszillator aus-<br/>geübt wird, ist</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/Einst_Stati_de_191010x.png" alt="               [      ] k = f @-G- + 1-  df-H  .        @ z   c   dt " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 283--><p class="nopar">
</p><!--l. 286--><p class="noindent">Damit diese Gleichung, sowie Gleichung (3) gültig sei, muß <br/>angenommen werden, daß die Abmessungen des Oszillators <br/>stets klein seien gegen die in Betracht kommenden Strahlungs-<br/>wellenlängen. Die <span
class="cmmi-12">x</span>-Komponente <span
class="cmmi-12">k</span><sub ><span
class="cmmi-8">x</span></sub> der ponderomotorischen <br/>Kraft ist</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-7r6"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/Einst_Stati_de_191011x.png" alt="      @ G      1    df kx =  ---xf -  -Hy  ---.       @ z      c    d t " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(6)</td></tr></table>
<!--l. 297--><p class="nopar">
</p><!--l. 300--><p class="noindent">Durch Auflösung von (3)<sup ><span
class="cmr-8">1</span></sup>) erhalten wir mit Berücksichtigung <br/>von (4) und (5):
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/Einst_Stati_de_191012x.png" alt="          3           sum
f =  - 3-c--T 3 sin f   nAn sin-gn cos(tn - gn),        16p3                   n3  &#x02D9;      3-c3-  2        sum     sin-gn f =     8p3 T   sin f    nAn   n2   sin(tn - gn), " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 312--><p class="nopar">
</p><!--l. 315--><p class="noindent">----------
</p><!--l. 318--><p class="indent">   1) M. Planck, l. c. p. 114. <pb/>
</p><!--l. 322--><p class="indent">

</p><!--l. 323--><p class="noindent">wobei zur Abkürzung</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/Einst_Stati_de_191013x.png" alt="           t tn = 2 p n --- hn            T " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 329--><p class="nopar">
</p><!--l. 333--><p class="noindent">gesetzt ist und <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/cmmi12-d.png" alt="g" class="12x-x-d" /></span><sub ><span
class="cmmi-8">n</span></sub> durch die Gleichung gegeben ist:
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/Einst_Stati_de_191014x.png" alt="              (          )                   2   n2-           p n0  n0 -  T 2 cotg gn = ---------3-------.                 s n--                   T 3 " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 341--><p class="nopar">
</p><!--l. 344--><p class="noindent">Da ferner:
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/Einst_Stati_de_191015x.png" alt="@ G     2 p               sum
----x = --- cos2 f cos w    nn An sin2 tn1),  @ z    c T " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 353--><p class="nopar">
</p><!--l. 357--><p class="noindent">erscheint <span
class="cmmi-12">k</span><sub ><span
class="cmmi-8">x</span></sub> als Doppelsumme:
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/Einst_Stati_de_191016x.png" alt="       3c2                        sum    sum       sin  gn kx = - ----T 2 cos2 f sin f cos w  n    m An ---3---        8p                                      n                            Am m  cos(tn - gn) sin tm ,        3c2                 sum     sum       sin g      - ----T 2 sin f cos w   n   m An ---2-n-        8 p                              n                            Am  sin (tn- gn) cos tm. " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 374--><p class="nopar">
</p><!--l. 377--><p class="noindent">Bei der Mittelwertbildung kommen wegen der Unabhängigkeit <br/>der Phasenwinkel <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/cmmi12-23.png" alt="h" class="12x-x-23" /></span>
voneinander nur die Glieder <span
class="cmmi-12">n </span>= <span
class="cmmi-12">m </span>in Be-<br/>tracht<sup ><span
class="cmr-8">2</span></sup>) und es wird:
</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-8r7"></a>

   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/Einst_Stati_de_191017x.png" alt="  ---   3 c2   2   3          sum      2 sin gn   kx = ----2 T  sin  f cos w    nAn  ---2-- {      16 p   2  ------                n         =  -3c-- A2   T  -s-- sin3 f cos w.3)            16 p2  n0T    2 n0 " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(7)</td></tr></table>
<!--l. 392--><p class="nopar">
</p><!--l. 395--><p class="noindent">Dies ist der Mittelwert der <span
class="cmmi-12">x</span>-Komponente der Kraft, welche <br/>eine in Richtung <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/cmmi12-27.png" alt="f" class="cmmi-12x-x-27" align="middle" />, <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/cmmi12-21.png" alt="w" class="12x-x-21" /></span>
einfallende Welle auf den ruhenden <br/>Oszillator ausübt.
</p><!--l. 400--><p class="indent">   Bewegt sich der Oszillator in der <span
class="cmmi-12">x</span>-Richtung mit der Ge-<br/>schwindigkeit <span
class="cmmi-12">v</span>, so ersetzen wir die Winkel <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/cmmi12-27.png" alt="f" class="cmmi-12x-x-27" align="middle" />, <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/cmmi12-21.png" alt="w" class="12x-x-21" /> </span>praktischer <br/>durch den Winkel <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/cmmi12-27.png" alt="f" class="cmmi-12x-x-27" align="middle" /></span><sub ><span
class="cmr-8">1</span></sub> zwischen Strahl und <span
class="cmmi-12">x</span>-Achse und den <br/>----------
</p><!--l. 406--><p class="indent">   1) Eigentlich wäre dieser Ausdruck für <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/cmmi12-40.png" alt="@" class="12x-x-40" /> G</span><sub ><span
class="cmmi-8">x</span></sub><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/Einst_Stati_de_191018x.png" alt="/"  class="left" align="middle" /> <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/cmmi12-40.png" alt="@" class="12x-x-40" /> z</span> ebenso wie der <br/>fü H<sub ><span
class="cmmi-8">y</span></sub> durch die Komponenten der Welle zu ergänzen, die senkrecht zu <br/>der den Oszillator erregenden polarisiert ist; doch ist klar, daß diese <br/>Ausdrücke wegen der Unabhängigkeit ihrer Phasen von denjenigen des <br/>Oszillators nichts zum Mittelwert der Kraft beitragen.
</p><!--l. 416--><p class="indent">   2) Diese Unabhängigkeit folgt aus dem Endergebnis der vorher-<br/>gehenden Abhandlung.
</p><!--l. 419--><p class="indent">   3) M. Planck, l. c. p. 122. <pb/>
</p><!--l. 423--><p class="indent">

</p><!--l. 424--><p class="noindent">Winkel <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/cmmi12-21.png" alt="w" class="12x-x-21" /></span><sub ><span
class="cmr-8">1</span></sub> zwischen der Projektion des Strahles auf die <span
class="cmmi-12">y z</span>-<br/>Ebene und der
<span
class="cmmi-12">y </span><span
class="cmsy-10x-x-120">- </span><span
class="cmmi-12">A</span>chse. Es gelten dann die Beziehungen:
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/Einst_Stati_de_191019x.png" alt="       cos f1 = sin  f cos w , sin f  cos w  = sin  f sin w ,      1      1 sin f1 sin  w1 = cos f . " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 438--><p class="nopar">
</p><!--l. 441--><p class="noindent">Zum Werte der Kraft <span class="overline"><span
class="cmmi-12">k</span><sub ><span
class="cmmi-8">x</span></sub><sup ><span
class="cmsy-8">'</span></sup></span>, welche auf den bewegten Oszillator <br/>wirkt, führen uns die Transformationsformeln der Relativitäts-<br/>theorie<sup ><span
class="cmr-8">1</span></sup>)
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/Einst_Stati_de_191020x.png" alt="        (    v        ) A'=  A   1 - --cos f1   ,         (    c       ) T '= T   1 + v-cos f1   ,        (     c       ) n'=  n   1-  v-cos f   ,              c      1 " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 455--><p class="nopar">
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/Einst_Stati_de_191021x.png" alt="          cos f  - v-       '   ------1---c--   ' cos f1 =      v-      , w1 = w1 .           1-  c cosf1 " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 464--><p class="nopar">
</p><!--l. 467--><p class="noindent">Es wird:
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/Einst_Stati_de_191022x.png" alt="---   3 c2 -------    s kx'=  -----A'2n 'T'.T'----(1 - sin2 f1'sin2 w1') cos f1'.       16p2    0      2 n0' " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 476--><p class="nopar">
</p><!--l. 479--><p class="noindent">Nun ist, wenn Glieder mit (<span
class="cmmi-12">v</span><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/Einst_Stati_de_191023x.png" alt="/"  class="left" align="middle" /> <span
class="cmmi-12">c</span>)<sup ><span
class="cmr-8">2</span></sup> vernachlässigt werden:
</p>
   <center class="par-math-display" >

<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/Einst_Stati_de_191024x.png" alt="-------       (      v        ) A'2n0'T'=  A2n0 T  1-  2-- cos f1  ,                      c " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 488--><p class="nopar">
</p><!--l. 492--><p class="noindent">oder, da wir alles auf die Eigenschwingung <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/cmmi12-17.png" alt="n" class="12x-x-17" /></span><sub ><span
class="cmr-8">0</span></sub><sup ><span
class="cmsy-8">'</span></sup> des bewegten <br/>Oszillators zu beziehen haben:</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/Einst_Stati_de_191025x.png" alt="-------  ----             (              ) A'2n 'T'=  A2n'   v          1 - 2 v-cos f1    0     {  0(1+c cos f1)T      ( c ---)    }            ----       v          d A2          (      v       )        =   A2n0'T + n0'-- cos f1  -----        . 1 - 2 --cos f1  .                        c          d n   n0 T           c " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 509--><p class="nopar">
</p><!--l. 512--><p class="noindent">Wir drücken weiterhin die Größe <span class="overline"><span
class="cmmi-12">A</span><sup ><span
class="cmr-8">2</span></sup></span> <span
class="cmmi-12">T </span>durch die mittlere <br/>Strahlungsdichte <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/cmmi12-25.png" alt="r" class="cmmi-12x-x-25" align="middle" /> </span>aus. Die mittlere Energie einer ebenen <br/>Welle, welche aus einer bestimmten Richtung kommt, setzen <br/>wir gleich der Energiedichte in einem Kegel vom Öffnungs-<br/>winkel
<span
class="cmmi-12">d</span><span
class="cmbxti-10x-x-120">x</span>. Nehmen wir noch Rücksicht auf die Gleichheit <br/>der elektrischen und magnetischen Kraft und auf die beiden <br/>Polarisationsebenen, so gelangen wir zu der Beziehung:
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/Einst_Stati_de_191026x.png" alt="            ---  d-x-   -1- A2-T- r4 p =  8p   2   .2.2 . " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 526--><p class="nopar">
</p><!--l. 529--><p class="noindent">----------
</p><!--l. 532--><p class="indent">   1) A. Einstein, Ann. d. Phys. <span
class="cmbx-12">17. </span>p. 914. 1905. <pb/>
</p><!--l. 536--><p class="indent">

</p><!--l. 537--><p class="noindent">Unser Kraftausdruck wird:</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-9r8"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/Einst_Stati_de_191027x.png" alt="                     {                   (    )   } (           )    --'   3-c2-  --s--          'v-         dr-                 v-    kx =  16p2  .2 n0'  rn0'+ n0 c cos f1   dn    '   cos f1 -  c {                              (               n0          )                                             2                                  1 - ----sin-f1---- sin2 w1  d x .                                      1 - 2 v-cos f1                                            c " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(8)</td></tr></table>
<!--l. 554--><p class="nopar">
</p><!--l. 558--><p class="noindent">Integrieren wir schließlich noch über alle Öffnungswinkel, so <br/>erhalten wir die gesuchte Gesamtkraft:</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-10r9"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/Einst_Stati_de_191028x.png" alt="---              {         '(    )   } K  = - --3c-s- v   rn'-  n0-  d-r      .        10 p n0'      0    3   d n  n0' " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(9)</td></tr></table>
<!--l. 569--><p class="nopar">
</p>
<div class="center" >

<!--l. 574--><p class="noindent">
</p><!--l. 575--><p class="noindent"><span
class="cmsy-10x-x-120">§ </span>3.   Berechnung der Impulsschwankungen <span class="overline"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/cmr12-1.png" alt="D" class="12x-x-1" /><sup ><span
class="cmr-8">2</span></sup></span> <span
class="cmmi-12">.</span></p></div>

<!--l. 580--><p class="indent">   Die Berechnung der Impulsschwankungen läßt sich gegen-<br/>über der Kraftberechnung bedeutend vereinfachen, da eine <br/>Transformation nach der Relativitätstheorie unnötig ist.<sup ><span
class="cmr-8">1</span></sup>) Es <br/>genügt, die elektrische und magnetische Kraft im Anfangs-<br/>punkt, als nur von der Zeit abhängig, in eine Fourierreihe zu
 <br/>entwickeln, wenn man nur den Beweis führen kann, daß die <br/>einzelnen in diesem Ausdruck auftretenden Kraftkomponenten <br/>voneinander unabhängig sind.
</p><!--l. 590--><p class="indent">   Der Impuls, welchen der Oszillator in der Zeit <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/cmmi12-1c.png" alt="t" class="12x-x-1c" /> </span>in der <br/><span
class="cmmi-12">x</span>-Richtung erfährt, ist:
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/Einst_Stati_de_191029x.png" alt="     integral t         integral t (                 )                    @-Gx-     1-   df- J =    kx dt =      @ z f -  c Hy dt   dt .      0         0 " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 598--><p class="nopar">
</p><!--l. 601--><p class="noindent">Partielle Integration ergibt:
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/Einst_Stati_de_191030x.png" alt=" integral  t                      integral t       d-f            t     @-Hy-    Hy d t dt = [Hy f]0-     @ t  f d t.  0                       0 " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 609--><p class="nopar">
</p><!--l. 612--><p class="noindent">Der erste Summand verschwindet, wenn man <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/cmmi12-1c.png" alt="t" class="12x-x-1c" /> </span>passend wählt, <br/>bzw. wenn <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/cmmi12-1c.png" alt="t" class="12x-x-1c" /> </span>groß genug ist. Setzt man noch -- nach der <br/>Maxwellschen Gleichung
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/Einst_Stati_de_191031x.png" alt="1@-Hy- = @-Gz- - @-Gx-, c @ t     @ x     @ z " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 622--><p class="nopar">
</p><!--l. 626--><p class="noindent">so gelangt man zu dem einfachen Ausdruck:</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-11r10"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/Einst_Stati_de_191032x.png" alt="      t       integral  @ Gz J =     -----f dt.      0   @ x " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(10)</td></tr></table>
<!--l. 634--><p class="nopar">
</p><!--l. 636--><p class="noindent">----------
</p><!--l. 639--><p class="indent">   1) Die von den Unregelmäßigkeiten des Strahlungsvorganges her-<br/>rührenden Impulse wechselnden Vorzeichens können nämlich für einen <br/><span
class="cmti-12">ruhenden </span>Resonator ermittelt werden. <pb/>
</p><!--l. 646--><p class="indent">

</p><!--l. 647--><p class="noindent">Nun treten in unserem Ausdruck nur die Komponente <span
class="cmmi-12">E</span><sub ><span
class="cmmi-8">z</span></sub> und <br/>ihre Ableitung
<span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/cmmi12-40.png" alt="@" class="12x-x-40" /> G</span><sub ><span
class="cmmi-8">z</span></sub><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/Einst_Stati_de_191033x.png" alt="/"  class="left" align="middle" /><span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/cmmi12-40.png" alt="@" class="12x-x-40" /> x</span> auf. Deren Unabhängkeit läßt sich <br/>aber leicht nachweisen. Denn betrachten wir nur zwei sich <br/>entgegenkommende Wellenzüge (vom gleichen Öffnungswinkel), <br/>so können wir schreiben:</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/Einst_Stati_de_191034x.png" alt="                  {             (                   )                 sum           2p-n-      ax-+-b-y-+-g-z-          Ez =       an sin  T     t-        c                                        (                   )                          + b  cos 2p-n-  t- a-x-+-b-y-+-g-z                             n      T               c                                        (                    )                          + an'sin 2-pn-  t + a-x-+-b-y +-g-z                                     T               c                                   2 p n (    a x + b y + g z )} und                      + bn'cos -----  t + ---------------                {        [           T               c    @-Gz-    sum     2p-n-a-          2-p-n              2-pn-     @ x  =        T c    - an cos   T  (...) + bn sin  T  (...)                                                                  ]}                          + a  'cos 2-p-n(...)-  b 'sin 2-pn-(...)   .                             n        T           n      T " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 681--><p class="nopar">
</p><!--l. 684--><p class="noindent">Die Größen <span
class="cmmi-12">a</span><sub ><span
class="cmmi-8">n</span></sub> + <span
class="cmmi-12">a</span><sub ><span
class="cmmi-8">n</span></sub><sup ><span
class="cmsy-8">'</span></sup><span
class="cmmi-12">, a</span><sub >
<span
class="cmmi-8">n</span></sub> <span
class="cmsy-10x-x-120">- </span><span
class="cmmi-12">a</span><sub ><span
class="cmmi-8">n</span></sub><sup ><span
class="cmsy-8">'</span></sup><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/Einst_Stati_de_191035x.png" alt="..."  class="@cdots"  /> sind aber voneinander unab-<br/>hängig und vom selben Charakter, wie die in der vorangehen-<br/>den Abhandlung mit <span
class="cmmi-12">S </span>bezeichneten; für solche ist dort nach-<br/>gewiesen, daß sich das Wahrscheinlichkeitsgesetz einer Kombi-<br/>nation darstellt als Produkt von Gaussschen Fehlerfunktionen <br/>der einzelnen Größen. Aus dem Gesagten schließt man leicht, <br/>daß zwischen den Koeffizienten der Entwickelungen von G<sub ><span
class="cmmi-8">z</span></sub> und <br/><span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/cmmi12-40.png" alt="@" class="12x-x-40" /> G</span><sub ><span
class="cmmi-8">z</span></sub><span
class="cmmi-12">/<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/cmmi12-40.png" alt="@" class="12x-x-40" /> x </span>keinerlei Wahrscheinlichkeitsbeziehung bestehen kann.
</p><!--l. 697--><p class="indent">   Wir setzen nun <span
class="cmmi-12">G</span><sub ><span
class="cmmi-8">z</span></sub> und <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/cmmi12-40.png" alt="@" class="12x-x-40" /> G</span><sub ><span
class="cmmi-8">z</span></sub><span
class="cmmi-12">/<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/cmmi12-40.png" alt="@" class="12x-x-40" /> x </span>als Fourierreihen an:
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/Einst_Stati_de_191036x.png" alt="         sum          (      t      )   Gz =    m Bn cos   2p n ---  hn   ,                    (      T       ) @-Gz-   sum                   t- @ x  =    nCm  cos   2p m  T - qm   .    z " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 710--><p class="nopar">
</p><!--l. 713--><p class="noindent">Dann wird:
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/Einst_Stati_de_191037x.png" alt="                               (                  )      3 c3   3  sum       sin gn             t f =  ----3 T    nBn  ---3-- cos  2p n -- - hn - gn      16p               n              T " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 721--><p class="nopar">
</p><!--l. 725--><p class="noindent">und</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/Einst_Stati_de_191038x.png" alt="        3      integral t    sum     sum -- J  = -3c-- T3   d t   m   n Cm Bn sin-gn      16 p3                          n3              [0   {                             }                                t-                cos  2 p(n + m) T -  qm - hn - gn
                     - cos {2p(n -  m) t + qm - hn - gn}]. " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 741--><p class="nopar"> <pb/>
</p><!--l. 748--><p class="indent">

</p><!--l. 749--><p class="noindent">Bei der Integration über <span
class="cmmi-12">t </span>ergeben sich zwei Summanden mit <br/>den Faktoren 1<span
class="cmmi-12">/</span><span
class="cmmi-12">n </span>+ <span
class="cmmi-12">m</span> und 1<span
class="cmmi-12">/</span><span
class="cmmi-12">n </span><span
class="cmsy-10x-x-120">- </span><span
class="cmmi-12">m</span>; da <span
class="cmmi-12">n </span>und <span
class="cmmi-12">m </span>sehr große <br/>Zahlen sind, ist der erstere sehr klein, kann also vernach-<br/>lässigt werden. Man gelangt so zu dem Ausdruck:</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-12r11"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/Einst_Stati_de_191039x.png" alt="            3      sum    sum
   J = - -3c--T 4   m    nCm  Bn sin-gn----1---cos dm n {        32 p4                     n3  n - m                          . sin p(n -  m) t--                                         T " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(11)</td></tr></table>
<!--l. 764--><p class="nopar">
</p><!--l. 769--><p class="noindent">mit der Abkürzung:
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/Einst_Stati_de_191040x.png" alt="dmn = p(n -  m) t-+  qm - hn - gn .                 T " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 776--><p class="nopar">
</p><!--l. 779--><p class="noindent"><span
class="cmmi-12">J</span><sup ><span
class="cmr-8">2</span></sup> erscheint dann als vierfache Summe über <span
class="cmmi-12">n, m </span>und zwei <br/>weitere Variable <span
class="cmmi-12">n</span><span
class="cmsy-10x-x-120">'</span>
und <span
class="cmmi-12">m</span><span
class="cmsy-10x-x-120">'</span>. Bilden wir den Mittelwert <span class="overline"><span
class="cmmi-12">J</span><sup ><span
class="cmr-8">2</span></sup></span>, so <br/>haben wir darauf zu achten, daß die Winkel <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/cmmi12-e.png" alt="d" class="12x-x-e" /></span><sub ><span
class="cmmi-8">mn</span></sub> und <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/cmmi12-e.png" alt="d" class="12x-x-e" /></span><sub ><span
class="cmmi-8">m</span><span
class="cmsy-8">'</span><span
class="cmmi-8">n</span><span
class="cmsy-8">'</span></sub> <br/>vollkommen voneinander unabhängig sind, daß also bei der <br/>Mittelwertbildung nur die Terme in Betracht kommen, bei <br/>denen diese Unabhängigkeit aufgehoben ist. Ersichtlich ist <br/>dies nur der Fall, wenn</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/Einst_Stati_de_191041x.png" alt="m  = m'  und   n = n', " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 793--><p class="nopar"></p><!--l. 797--><p class="noindent">gelangen wir zu dem gesuchten Mittelwert:</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/Einst_Stati_de_191042x.png" alt="     (    3  4)2  sum    sum              (       )2 J2-=   3-c-T--     m    n 1C  2 B  2  sin-gn-   ----1---- sin2 p (n-  m) -t,         32 p4             2  m   n     n3      (n - m)2                T " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 807--><p class="nopar">
</p><!--l. 811--><p class="noindent">da</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/Einst_Stati_de_191043x.png" alt=" sum       1                    t    m--------2 sin2 p (n - m)  --     (n - m)                  T                  1  integral  oo    1                           p2 t               =  --   ---------sin2(n - m) p t .d m = ----                  T    (n - m)2                         T                     0 " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 823--><p class="nopar"></p><!--l. 827--><p class="noindent">und
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/Einst_Stati_de_191044x.png" alt="                   integral  oo
 sum   sin2-gn   -1-    sin-gn-      -1- -s---    n  n6    = T 5      n6  d n = T 5 2n 5 ,                   0                    0 " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 836--><p class="nopar">
</p><!--l. 840--><p class="noindent">wird:</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-13r12"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/Einst_Stati_de_191045x.png" alt="---  (  3 c3)2   st  ----- ----- J2 =   -----    -----B2n0T C2n0T T 2 .        32 p3    4n05 " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(12)</td></tr></table>
<!--l. 850--><p class="nopar">
</p><!--l. 854--><p class="noindent">Nun ist:
</p>

   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/Einst_Stati_de_191046x.png" alt="---  ---------                --- J 2 = (J + D)2 = J 2 + 2J D + D2 , " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 861--><p class="nopar">
</p><!--l. 865--><p class="noindent">und da die Mittelwerte <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/Einst_Stati_de_191047x.png" alt="J"  class="bar"  /> und <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/Einst_Stati_de_191048x.png" alt="D"  class="bar"  /> verschwinden, gibt Aus-<br/>druck (12) den Wert der Impulsschwankungen <span class="overline"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/cmr12-1.png" alt="D" class="12x-x-1" /><sup ><span
class="cmr-8">2</span></sup></span> selbst an. <br/><pb/>
</p><!--l. 871--><p class="indent">

</p><!--l. 872--><p class="noindent">Es erübrigt noch die Mittelwerte der Amplituden <span
class="cmmi-12">B</span><sub><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span><sub ><span
class="cmr-6">0</span></sub> <span
class="cmmi-8">T</span> </sub><sup><span
class="cmr-8">2</span></sup> und <br/><span
class="cmmi-12">C</span><sub>
<span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span><sub ><span
class="cmr-6">0</span></sub> <span
class="cmmi-8">T</span> </sub><sup><span
class="cmr-8">2</span></sup> durch die Strahlungsdichte <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/cmmi12-25.png" alt="r" class="cmmi-12x-x-25" align="middle" /></span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span><sub ><span
class="cmr-6">0</span></sub></sub>  auszudrücken.
</p><!--l. 877--><p class="indent">   Zu diesem Zweck müssen wir wieder die von den ver-<br/>schiedenen Richtungen herkommende Strahlung betrachten und, <br/>wie oben, die Amplitude der aus einer bestimmten Richtung <br/>kommenden Strahlung mit der Energiedichte in Beziehung
 <br/>setzen durch die Gleichung:
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/Einst_Stati_de_191049x.png" alt="----- A2n0T T =  rn0 dx . " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 888--><p class="nopar"></p><!--l. 891--><p class="noindent">Die Amplitude:</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/Einst_Stati_de_191050x.png" alt="         sum
B    =      A    sin f   n0 T        n0T " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 897--><p class="nopar"></p><!--l. 900--><p class="noindent">über alle Einfallswinkel, also</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-14r13"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/Einst_Stati_de_191051x.png" alt="-----      -----     sum
B2    .T = A2    .T     sin2 f =  8p rn .   n0T        n0T                 3    0 " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(13)</td></tr></table>
<!--l. 908--><p class="nopar">
</p><!--l. 911--><p class="noindent">Analog ergibt sich:
</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-15r14"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/Einst_Stati_de_191052x.png" alt="          (      )2 --2--       2-pn-   -2---   sum      4      2     64-p3-n02 C n0T T =     c     An0T T     sin  f  cos w =  15   c2  rn0. " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(14)</td></tr></table>
<!--l. 920--><p class="nopar">
</p><!--l. 923--><p class="noindent">So erhalten wir schließlich durch Einsetzen von (13) und (14) <br/>in (12):</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-16r15"></a>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/Einst_Stati_de_191053x.png" alt="--2   -c4-st--- 2 D  =  40 p2n03 rn0. " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(15)</td></tr></table>
<!--l. 932--><p class="nopar">
</p>
<div class="center" >

<!--l. 936--><p class="noindent">
</p><!--l. 937--><p class="noindent"><span
class="cmsy-10x-x-120">§ </span>5.   Das Strahlungsgesetz.</p></div>
<!--l. 941--><p class="indent">   Wir haben jetzt nur noch die gefundenen Werte (9) <br/>und (15) in unsere Gleichung (2) einzusetzen, so gelangen wir <br/>zu der das Strahlungsgesetz enthaltenden Differentialgleichung:
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/Einst_Stati_de_191054x.png" alt="   c3N              n  dr -----------r2 = r - ----- , 24p R Q n2          3 d n " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 951--><p class="nopar">
</p><!--l. 955--><p class="noindent">welche integriert ergibt:
</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-17r16"></a>

   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Stati_de_1910/fulltext/img/Einst_Stati_de_191055x.png" alt="     8p-R-Q-n2- r =    c3 N    . " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(16)</td></tr></table>
<!--l. 962--><p class="nopar">
</p><!--l. 966--><p class="noindent">Dies ist das wohlbekannte Rayleighsche Strahlungsgesetz, <br/>welches mit der Erfabrung im grellsten Widerspruche steht. <br/>In den Grundlagen unserer Ableitung muß also eine Aussage <br/>stecken, welche sich mit den wirklichen Erscheinungen bei
 <br/>der Temperaturstrahlung nicht im Einklang befindet.
</p><!--l. 974--><p class="indent">   Betrachten wir darum diese Grundlagen kritisch näher:
</p><!--l. 976--><p class="indent">   Man hat den Grund dafür, daß alle exakten statistischen <br/>Betrachtungen im Gebiete der Strahlungslehre zum Rayleigh-<br/><pb/>
</p><!--l. 981--><p class="indent">

</p><!--l. 982--><p class="noindent">schen Gesetze führen, in der Anwendung dieser Betrachtungs-<br/>weise auf die Strahlung selbst finden wollen. Planck<sup ><span
class="cmr-8">1</span></sup>) hält <br/>dies Argument mit einem gewissen Recht der Jeansschen <br/>Ableitung entgegen. Bei der obigen Ableitung war aber von
 <br/>einer irgendwie willkürlichen Übertragung statistischer Be-<br/>trachtungen auf die Strahlung gar nicht die Rede; der Satz <br/>von der Äquipartition der Energie wurde nur auf die fort-<br/>schreitende Bewegung der Oszillatoren angewandt. Die Er-<br/>folge der kinetischen Gastheorie zeigen aber, daß für die fort-<br/>schreitende Bewegung dieser Satz als durchaus bewiesen an-<br/>gesehen werden kann.
</p><!--l. 995--><p class="indent">   Das bei unserer Ableitung benutzte theoretische Funda-<br/>ment, das eine unzutreffende Annahme enthalten muß, ist <br/>also kein anderes, als das der Dispersionstheorie des Lichtes <br/>bei vollkommen durchsichtigen Körpern zugrunde liegende. <br/>Die wirklichen Erscheinungen unterscheiden sich von den aus <br/>diesem Fundament zu erschließenden Resultaten dadurch, daß <br/>bei ersteren noch Impulsschwankungen anderer Art sich be-<br/>merkbar machen, die bei kurzwelliger Strahlung von geringer <br/>Dichte die von der Theorie gelieferten ungeheuer überwiegen.<sup ><span
class="cmr-8">3</span></sup>)
</p><!--l. 1008--><p class="indent">   Zürich, August 1910.
</p><!--l. 1010--><p class="noindent">----------
</p><!--l. 1013--><p class="indent">   1) M. Planck, 1. c. p. 178.
</p><!--l. 1015--><p class="indent">   2) Vgl. A. Einstein, Phys. Zeitschr. <span
class="cmbx-12">10. </span>p. 185 ff. Das wesentlich <br/>Neue der vorliegenden Arbeit besteht darin, daß die Impulsschwankungen <br/>zum erstenmal exakt ausgerechnet wurden. </p>
<div class="center" >

<!--l. 1019--><p class="noindent">
</p><!--l. 1020--><p class="noindent">(Eingegangen 29. August 1910.)</p></div>
<div class="center" >

<!--l. 1025--><p class="noindent">
</p><!--l. 1026--><p class="noindent">----------</p></div>

</body></html>
author	Klaus Thoden <kthoden@mpiwg-berlin.mpg.de>
date	Wed, 30 Jul 2014 15:58:21 +0200
parents	22d6a63640c6
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