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</head><body >

<!--l. 17--><p class="noindent"><pb/>
</p>
<div class="center" >

<!--l. 19--><p class="noindent">
</p><!--l. 20--><p class="noindent"><span
class="cmr-12x-x-120">2. </span><span
class="cmbxti-10x-x-144">Elementare Betrachtungen </span> <br/><span
class="cmbxti-10x-x-144">über die thermische</span>
<span
class="cmbxti-10x-x-144">Molekularbewegung in festen </span> <br/><span
class="cmbxti-10x-x-144">K</span><span
class="cmbxti-10x-x-144">örpern; </span> <br/>
</p><!--l. 24--><p class="noindent"><span
class="cmbxti-10x-x-144">von A. Einstein.</span></p></div>
<div class="center" >

<!--l. 27--><p class="noindent">
</p><!--l. 28--><p class="noindent">--------</p></div>
<!--l. 31--><p class="indent">   In einer früheren Arbeit<sup ><span
class="cmr-8">1</span></sup>) habe ich dargelegt, daß zwischen <br/>dem Strahlungsgesetz und dem Gesetz der spezifischen Wärme <br/>fester Körper (Abweichung vom Dulong-Petitschen Gesetz) <br/>ein Zusammenhang existieren müsse<sup ><span
class="cmr-8">2</span></sup>). Die Untersuchungen <br/>Nernsts und seiner Schüler haben nun ergeben, daß die spezi-<br/>fische Wärme zwar im ganzen das aus der Strahlungstheorie <br/>gefolgerte Verhalten zeigt, daß aber das wahre Gesetz der <br/>spezifischen Wärme von dem theoretisch gefundenen syste-<br/>matisch abweicht. Es ist ein erstes Ziel dieser Arbeit, zu <br/>zeigen, daß diese Abweichungen darin ihren Grund haben, daß <br/>die Schwingungen der Moleküle weit davon entfernt sind, <br/><span
class="cmti-12">monochromatische </span>Schwingungen zu sein. Die thermische Kapa-<br/>zität eines Atoms eines festen Körpers ist nicht gleich der
 <br/>eines schwach gedämpften, sondern ähnlich der eines stark <br/>gedämpften Oszillators im Strahlungsfelde. Der Abfall der <br/>spezifischen Wärme nach Null hin bei abnehmender Temperatur <br/>erfolgt deshalb weniger rasch, als er nach der früheren Theorie <br/>erfolgen sollte; der Körper verhält sich ähnlich wie ein Ge-<br/>misch von Resonatoren, deren Eigenfrequenzen über ein ge-<br/>wisses Gebiet verteilt sind. Des weiteren wird gezeigt, daß <br/>sowohl Lindemanns Formel, als auch meine Formel zur <br/>Berechnung der Eigenfrequenz <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/cmmi12-17.png" alt="n" class="12x-x-17" /></span>
der Atome durch Dimen-<br/>sionalbertrachtung abgeleitet werden können, insbesondere auch <br/>die Größenordnung der in diesen Formeln auftretenden Zahlen-<br/>----------
</p><!--l. 63--><p class="indent">   1) A. Einstein, Ann. d. Phys. <span
class="cmbx-12">22. </span>p. 184. 1907.
</p><!--l. 65--><p class="indent">   2) Die Wärmebewegung in festen Körpern wurde dabei aufgefaßt <br/>als in monochromatischen Schwingungen der Atome bestehend. Vgl. hierzu <br/><span
class="cmsy-10x-x-120">§ </span>2 dieser Arbeit. <pb/>
</p><!--l. 71--><p class="indent">

</p><!--l. 74--><p class="noindent">koeffizienten. Endlich wird gezeigt, daß die Gesetze der <br/>Wärmeleitung in kristallisierten Isolatoren mit der Molekular-<br/>mechanik nicht im Einklang sind, daß man aber die Größen-<br/>ordnung. der tatsächlich zu beobachtenden Wärmeleitfähigkeit <br/>durch eine Dimensionalbetrachtung ableiten kann, wobei sich
 <br/>gleichzeitig ergibt, wie die thermische Leitfähigkeit einatomiger <br/>Stoffe. von deren Atomgewicht, Atomvolumen und Eigenfrequenz <br/>mutmaßlich abhängt.
</p>
<div class="center" >

<!--l. 80--><p class="noindent">
</p><!--l. 81--><p class="noindent"><span
class="cmsy-10x-x-120">§ </span>1.  Über die Dämpfung der thermischen Atomschwingungen.</p></div>
<!--l. 85--><p class="indent">   In einer kürzlich erschienenen Arbeit<sup ><span
class="cmr-8">1</span></sup>) habe ich gezeigt, <br/>daß man zu angenähert richtigen Werten für die Eigen-<br/>frequenzen der thermischen Atomschwingungen gelangt, indem <br/>man von folgenden Annahmen ausgeht:
</p><!--l. 90--><p class="indent">   1. Die die Atome an ihre Ruhelage fesselnden Kräfte <br/>sind wesensgleich den elastischen Kräften der Mechanik.
</p><!--l. 93--><p class="indent">   2. Die elastischen Kräfte wirken nur zwischen unmittelbar <br/>benachbarten Atomen.
</p><!--l. 96--><p class="indent">   Durch diese beiden Annahmen ist zwar die Theorie noch <br/>nicht vollständig festgelegt, da man die Elementargesetze der <br/>Wechselwirkung zwischen unmittelbar benachbarten Atomen <br/>noch bis zu einem gewissen Grade frei wählen kann. Auch <br/>ist nicht a priori klar, wie viele Moleküle man noch als ,,un-<br/>mittelbar benachbart&#8220; ansehen will. Die spezielle Wahl der <br/>hieher gehörigen Hypothesen ändert jedoch wenig an den <br/>Resultaten, so daß ich mich wieder an die einfachen An-<br/>nahmen halten will, die ich in jener Arbeit eingeführt habe. <br/>Auch die dort eingeführte Bezeichnungsweise will ich hier <br/>wieder benutzen.
</p><!--l. 109--><p class="indent">   In der zitierten Arbeit denke ich mir, daß jedes Atom <br/>26 mit ihm elastisch in Wechselwirkung stehende Nachbar-<br/>atome habe, die rechnerisch in bezug auf ihre elastische Wir-<br/>kung auf das betrachtete Atom alle als gleichwertig an-<br/>gesehen werden dürfen. Die Berechnung der Eigenfrequenz <br/>wurde folgendermaßen durchgeführt. Man denkt sich die <br/>26 Nachbaratome festgehalten und nur das betrachtete Atom <br/>schwingend; dieses führt dann eine ungedämpfte Pendel-<br/>----------
</p><!--l. 120--><p class="indent">   1) A. Einstein, Ann. d. Phys. <span
class="cmbx-12">34. </span>p. 170. 1911. <pb/>
</p><!--l. 124--><p class="indent">

</p><!--l. 125--><p class="noindent">schwingung aus, deren Frequenz man berechnet (aus der <br/>kubischen Kompressibilität). In Wahrheit sind aber die <br/>26 Nachbarmoleküle nicht festgehalten, sondern sie schwingen <br/>in ähnlicher Weise wie das betrachtete Atom um ihre Gleich-<br/>gewichtslage. Durch ihre elastischen Verknüpfungen mit dem
 <br/>betrachteten Atom beeinflussen sie die Schwingungen dieses <br/>letzteren, so daß dessen Schwingungsamplituden in den Ko-<br/>ordinatenrichtungen sich fortwährend ändern, oder -- was auf <br/>dasselbe hinauskommt -- die Schwingung weicht von einer <br/>monochromatischen Schwingung ab. Es ist unsere erste Auf-<br/>gabe, den Betrag dieser Abweichung abzuschätzen.<br class="newline" />
</p><center>
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/Einst_Eleme_de_19111x.png" alt=" (q1 - x cosf1) cosf1."/>
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/Einst_Eleme_de_19110x.png" alt="PIC" class="graphics" width="79.67007pt" height="199.16815pt"  /></center>
<br class="newline" />   Ist    <span
class="cmmi-12">m    </span>die    Masse    von    <span
class="cmmi-12">M</span>,    so    erhält    man    für    <span
class="cmmi-12">M</span> <br/>die Bewegungsgleichung<center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/Einst_Eleme_de_19112x.png" alt="   d2x          sum              sum
m  --2-=  - x .   a cos2f1 +     a q1cos f1,    d t " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 167--><p class="nopar">
</p><!--l. 171--><p class="noindent">wobei über alle 26 Nachbaratome zu summieren ist.
</p><!--l. 174--><p class="indent">   Nun berechnen wir die auf das Atom von den Nachbar-<br/>atomen während einer halben Schwingung übertragene Energie. <br/>Dabei rechnen wir so, wie wenn die Oszillation sowohl des <br/>betrachteten Moleküls, als auch der Nachbarmoleküle während <br/>der Zeit einer halben Schwingung rein sinusartig erfolgte, <br/>d. h. wir setzen
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/Einst_Eleme_de_19113x.png" alt=" x = A si'n 2p n t, q1 = A1  sin(2 pn t + a1)  .  . .  . .  . .  . . " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 191--><p class="nopar">
</p><!--l. 195--><p class="indent">   Indem wir obige Gleichung mit (<span
class="cmmi-12">dx</span><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/Einst_Eleme_de_19114x.png" alt="/"  class="left" align="middle" /> <span
class="cmmi-12">dt</span>) <span
class="cmmi-12">dt </span>multiplizieren <br/>und über die genannte Zeit integrieren, erhalten wir als Aus-<br/>druck für die Änderung der Energie <pb/>
</p><!--l. 202--><p class="indent">

</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/Einst_Eleme_de_19115x.png" alt="    {                         }  integral       x&#x02D9;2    sum        2     x2      sum           integral     dx    d  m ---+     (acos  f) .---  =     acos f1   q1 ---d t.          2                  2                       dt " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 207--><p class="nopar">
</p><!--l. 211--><p class="indent">   Bezeichnen wir mit <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/cmr12-1.png" alt="D" class="12x-x-1" /> die ganze Energiezunahme des <br/>Atoms, mit <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/cmmi12-11.png" alt="j" class="cmmi-12x-x-11" align="middle" /></span><sub ><span
class="cmr-8">1</span></sub><span
class="cmmi-12">, <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/cmmi12-11.png" alt="j" class="cmmi-12x-x-11" align="middle" /></span> <sub ><span
class="cmr-8">2</span></sub> usw. die von den einzelnen Nachbaratomen <br/>während der Zeit einer halben Schwingung auf das Atom <br/>übertragenen Energiemengen, so können wir diese Gleichung <br/>in der Form</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/Einst_Eleme_de_19116x.png" alt="      sum
D  =     j            n " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 221--><p class="nopar">
</p><!--l. 225--><p class="noindent">schreiben, wobei</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/Einst_Eleme_de_19117x.png" alt="              integral     dx jn = a cos fn   qn ---d t                    dt " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 231--><p class="nopar">
</p><!--l. 235--><p class="noindent">gesetzt ist. Nach obigen Ansätzen für <span
class="cmmi-12">x, <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/cmmi12-18.png" alt="q" class="cmmi-12x-x-18" align="middle" /></span><sub ><span
class="cmr-8">1</span></sub><span
class="cmmi-12">...</span> ergibt sich <br/>hiefür</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/Einst_Eleme_de_19118x.png" alt="      p                     ' jn  = --a cos fn sin an A An .       2 " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 242--><p class="nopar">
</p><!--l. 246--><p class="indent">   Hieraus ergibt sich, daß die einzelnen Größen <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/cmmi12-11.png" alt="j" class="cmmi-12x-x-11" align="middle" /></span><sub ><span
class="cmmi-8">n</span></sub> gleich <br/>wahrscheinlich positiv wie negativ sind, wenn man be-<br/>rücksichtigt, daß die Winkel <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/cmmi12-b.png" alt="a" class="12x-x-b" /></span><sub ><span
class="cmmi-8">n</span></sub> jeden Wert gleich oft an-<br/>nehmen, und zwar unabhängig voneinander. Deshalb ist auch <br/><span class="overline"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/cmr12-1.png" alt="D" class="12x-x-1" /></span> = 0<span
class="cmmi-12">. </span>Wir bilden nun als Maß für die Energieänderung den
 <br/>Mittelwert <span class="overline"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/cmr12-1.png" alt="D" class="12x-x-1" /><sup ><span
class="cmr-8">2</span></sup></span>. Wegen der angegebenen statistischen Eigen-<br/>schaft von <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/cmmi12-11.png" alt="j" class="cmmi-12x-x-11" align="middle" /></span><sub >
<span
class="cmr-8">1</span></sub> usw. ist</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/Einst_Eleme_de_19119x.png" alt="       sum
D2- =     j-2.            n " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 255--><p class="nopar">
</p><!--l. 258--><p class="noindent">Da, wie leicht einzusehen ist,
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/Einst_Eleme_de_191110x.png" alt="---2-----2---'2   1--2 2 sin  an A  An   =  2A   , " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 265--><p class="nopar">
</p><!--l. 269--><p class="noindent">so hat man
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/Einst_Eleme_de_191111x.png" alt="      (    ) j--2 =  p-a  2 .1 A2-2 .cos2 f  n      2      2             n " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 277--><p class="nopar">
</p><!--l. 281--><p class="noindent">und
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/Einst_Eleme_de_191112x.png" alt="---   p2  2---2  sum      2 D2 =  ---a A2       cos f n .       8 " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 288--><p class="nopar">
</p><!--l. 292--><p class="indent">   Zur angenäherten Ausführung dieser Summe nehmen wir <br/>an, daß zwei der 26 Atome <span
class="cmmi-12">M</span><span
class="cmsy-10x-x-120">' </span>auf der <span
class="cmmi-12">x</span>-Ache liegen, 16 der-<br/>selben einen Winkel von nahezu 45<sup ><span
class="cmr-8">0</span></sup>
(bzw. 135<sup ><span
class="cmr-8">0</span></sup> )gegen die <br/><span
class="cmmi-12">x</span>-Achse machen, die übrigen acht in der <span
class="cmmi-12">y</span>-<span
class="cmmi-12">z</span>-Ebene liegen.
 <br/>Wir erhalten dann <span
class="cmex-10x-x-120"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/cmex10-c-50.png" alt=" sum " class="10-120x-x-50" /></span>
  cos <sup ><span
class="cmr-8">2</span></sup><span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/cmmi12-27.png" alt="f" class="cmmi-12x-x-27" align="middle" /></span><sub >
<span
class="cmmi-8">n</span></sub> = 10, so daß folgt:
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/Einst_Eleme_de_191113x.png" alt="         V~ ---  V~ ---      10    ---   D2  =    --p a A2.            8 " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 300--><p class="nopar">
</p><!--l. 303--><p class="noindent">Wir vergleichen nun mit diesem Mittelwert für die Energie-<br/><pb/>
</p><!--l. 308--><p class="indent">

</p><!--l. 309--><p class="noindent">zunahme des Atoms die mittlere Energie des Atoms. Der <br/>Momentanwert für die potentielle Energie des Atoms ist
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/Einst_Eleme_de_191114x.png" alt="   2  sum              2 a x--    cos2f = a x--.10.    2               2 " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 317--><p class="nopar">
</p><!--l. 320--><p class="noindent">Der Mittelwert der potentiellen Energie ist also
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/Einst_Eleme_de_191115x.png" alt="    ---     --- 5 a x2 = 52 a A2 . " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 326--><p class="nopar">
</p><!--l. 329--><p class="noindent">Der Mittelwert der Gesamtenergie <span
class="cmmi-12">E </span>ist also
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/Einst_Eleme_de_191116x.png" alt="--      --2 E  = 5 aA  . " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 334--><p class="nopar">
</p><!--l. 337--><p class="noindent">Der Vergleich von <span class="overline"><span
class="cmmi-12">E</span></span> mit <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/Einst_Eleme_de_191117x.png" alt=" V~ ----   --2-    D"  class="sqrt"  /> zeigt, <span
class="cmti-12">da</span><span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/cmmi12-c.png" alt="b" class="cmmi-12x-x-c" align="middle" /> </span><span
class="cmti-12">die Energie</span><span
class="cmti-12">änderung </span> <br/><span
class="cmti-12">w</span><span
class="cmti-12">ährend der Zeit</span>
<span
class="cmti-12">einer halben Schwingung von derselben Gr</span><span
class="cmti-12">ö</span><span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/cmmi12-c.png" alt="b" class="cmmi-12x-x-c" align="middle" /></span><span
class="cmti-12">en- </span> <br/><span
class="cmti-12">ordnung ist wie die Energie</span>
<span
class="cmti-12">selbst.</span>
</p><!--l. 343--><p class="indent">   Die von uns zugrunde gelegten Ansätze für <span
class="cmmi-12">x</span>, <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/cmmi12-18.png" alt="q" class="cmmi-12x-x-18" align="middle" /></span><sub ><span
class="cmr-8">1</span></sub> usw. <br/>sind also eigentlich nicht einmal für die Zeit einer halben <br/>Schwingung angenähert richtig. Unser Resultat aber, daß sich <br/>die Schwingungsenergie bereits während einer halben Schwin-<br/>gung bedeutend ändert, wird hiervon nicht berührt.
</p>
<div class="center" >

<!--l. 350--><p class="noindent">
</p><!--l. 351--><p class="noindent"><span
class="cmsy-10x-x-120">§ </span>2.  Spezifische Wärme einfacher fester Stoffe und <br/>Strahlungstheorie.</p></div>
<!--l. 355--><p class="indent">   Bevor wir uns fragen, was für eine Konsequenz das soeben <br/>erlangte Resultat für die Theorie der spezifischen Wärme hat, <br/>müssen wir uns des Gedankenganges erinnern, der von der <br/>Strahlungstheorie zur Theorie der spezifischen Wärme führt.
 <br/>Planck hat bewiesen, daß ein durch Ausstrahlung schwach <br/>gedämpfter Oszillator von der Eigenfrequenz <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/cmmi12-17.png" alt="n" class="12x-x-17" /></span><sub ><sub ><span
class="cmr-6">0</span></sub></sub>  in einem <br/>Strahlungsfelde von der Dichte u (u <span
class="cmmi-12">d<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/cmmi12-17.png" alt="n" class="12x-x-17" /> </span>= Strahlungsenergie <br/>des Frequenzbereiches <span
class="cmmi-12">d<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/cmmi12-17.png" alt="n" class="12x-x-17" /> </span>pro Volumeneinheit) die mittlere
 <br/>Energie
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/Einst_Eleme_de_191118x.png" alt="      c3 u0 E  = ------2      8 p n0 " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 370--><p class="nopar">
</p><!--l. 374--><p class="noindent">annimmt, wenn <span
class="cmmi-12">c </span>die Vakuumlichtgeschwindigkeit, <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/cmmi12-17.png" alt="n" class="12x-x-17" /></span><sub ><sub ><span
class="cmr-6">0</span></sub></sub>  die Eigen-<br/>frequenz des Oszillators, <span
class="cmmi-12">u</span><sub ><sub ><span
class="cmr-6">0</span></sub></sub>  die Strahlungsdichte für die Fre-<br/>quenz <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/cmmi12-17.png" alt="n" class="12x-x-17" /></span><sub ><sub ><span
class="cmr-6">0</span></sub></sub>  bedeutet.
</p><!--l. 379--><p class="indent">   Der betrachtete Oszillator bestehe in einem Ion, das durch <br/>quasielastische Kräfte an eine Gleichgewichtslage gebunden <br/>sei. Es mögen sich im Strahlungsraum auch noch Gasmoleküle <br/><pb/>
</p><!--l. 385--><p class="indent">

</p><!--l. 386--><p class="noindent">befinden, welche sich mit der Strahlung im statistischen (Tem-<br/>peratur-) Gleichgewichte befinden, und welche mit dem unseren <br/>Oszillator bildenden Ion Zusammenstöße erfabren können. <br/>Durch diese Zusammenstöße darf auf den Oszillator im Mittel <br/>keine Energie übertragen werden, da sonst der Oszillator das <br/>thermodynamische Gleichgewicht zwischen Gas und Strahlung <br/>stören würde. Es muß deshalb geschlossen werden, daß die
 <br/>mittlere Energie, welche die Gasmoleküle allein unserem Os-<br/>zillator erteilen würden, genau gleich groß ist wie die mittlere <br/>Energie, welche die Strahlung allein dem Oszillator erteilt, <br/>also gleich<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/Einst_Eleme_de_191119x.png" alt="E"  class="bar"  /><span
class="cmmi-12">. </span>Da es ferner für die molekularen Zusammen-<br/>stöße prinzipiell ohne Belang ist, ob das betreffende Gebilde
 <br/>eine elektrische Ladung trägt oder nicht, so gilt die obige <br/>Relation für jedes annähernd monochromatisch schwingende <br/>Gebilde. Seine mittlere Energie ist verknüpft mit der mitt-<br/>leren Dichte u der Strahlung von der gleichen Frequenz bei der <br/>betreffenden Temperatur. Faßt man die Atome fester Körper <br/>als nahezu monochromatisch schwingende Gebilde auf, so er-<br/>hält man demnach aus der Strahlungsformel direkt die Formel <br/>für die spezifische Wärme, welche für ein Grammolekül den <br/>Wert <span
class="cmmi-12">N</span>(<span
class="cmmi-12">d</span><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/Einst_Eleme_de_191120x.png" alt="E"  class="bar"  /><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/Einst_Eleme_de_191121x.png" alt="/"  class="left" align="middle" /> <span
class="cmmi-12">dT</span>) haben müßte.
</p><!--l. 414--><p class="indent">   Man sieht, daß diese Überlegung, deren Resultat mit den <br/>Resultaten der statistischen Mechanik bekanntlich nicht im <br/>Einklang steht, unabhängig ist von der Quantentheorie, über-<br/>haupt unabhängig von jeder speziellen Theorie der Strahlung. <br/>Sie stützt sich nur       </p><ol  class="enumerate1" >
      <li class="enumerate" value="1"
><a
 id="x1-3x1"></a>auf das empirisch bekannte Strahlungsgesetz,       </li>
      <li class="enumerate" value="2"
><a
 id="x1-5x2"></a>aufdie Plancksche Resonatorenbetrachtung, welche <br/>ihrerseits auf die       Maxwellsche Elektromagnetik und <br/>Mechanik gegründet ist,       </li>
      <li class="enumerate" value="3"
><a
 id="x1-7x3"></a>auf dieAuffassung, daß die Atomschwingungen mit <br/>großer Annäherung       sinusförmig sind.</li></ol>
<!--l. 430--><p class="indent">   Zu 2. ist ausdrücklich zu bemerken, daß die von Planck <br/>benutzte Schwingungsgleichung des Oszillators nicht ohne <br/>Mechanik streng abgeleitet werden kann. Die Elektromagnetik <br/>bedient sich nämlich bei der Lösung von Bewegungsaufgaben <br/>der Voraussetzung, daß die Summe der am Gerüst eines Elek-<br/>trons angreifenden elektrodynamischen und sonstigen Kräfte
 <br/><pb/>
</p><!--l. 437--><p class="indent">

</p><!--l. 438--><p class="noindent">stets Null sei, oder -- wenn man dem betreffenden Gebilde <br/>ponderable Masse zuschreibt -- daß die Summe der elektro-<br/>dynamischen und sonstigen Kräfte gleich sei der Masse multi-<br/>pliziert mit der Beschleunigung. Man hat also a priori wohl <br/>Grund, an der Richtigkeit des Resultates der Planckschen <br/>Betrachtung zu zweifeln, wenn man bedenkt, daß das Funda-<br/>ment unserer Mechanik, auf rasch periodische Vorgänge an-<br/>gewendet, zu der Erfahrung widersprechenden Resultaten führt<sup ><span
class="cmr-8">1</span></sup>), <br/>daß also die Anwendung jenes Fundamentes auch hier Be-<br/>denken erregen muß. Trotzdem glaube ich, daß an der Planck-<br/>schen Beziehung zwischen <span
class="cmmi-12">u</span><sub ><span
class="cmr-8">0</span></sub> und <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/Einst_Eleme_de_191122x.png" alt="E"  class="bar"  /> festzuhalten ist, schon <br/>deshalb, weil sie eben zu einer angenähert richtigen Darstellung <br/>der spezifischen Wärme bei tiefen Temperaturen geführt hat.
</p><!--l. 449--><p class="indent">   Dagegen haben wir im vorigen Paragraphen gezeigt, daß <br/>die Annahme 3. nicht aufrecht erhalten werden kann. Die <br/>Atomschwingungen sind nicht angenähert harmonische Schwin-<br/>gungen. Der Frequenzbereich eines Atoms ist so groß, daß
 <br/>sich die Schwingungsenergie während einer halben Schwingung <br/>um einen Betrag von der Größenordnung der Schwingungs-<br/>energie ändert. Wir haben also jedem Atom nicht eine bestimmte <br/>Frequenz, sondern einen Frequenzbereich <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/cmr12-1.png" alt="D" class="12x-x-1" /> <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/cmmi12-17.png" alt="n" class="12x-x-17" /> </span>zuzuschreiben, <br/>der von derselben Größenordnung wie die Frequenz selber ist. <br/>Um die Formel für die spezifische Wärme fester Körper exakt <br/>abzuleiten, müßte man für ein Atom eines festen Körpers
 <br/>unter Zugrundelegung eines mechanischen Modelles eine Be-<br/>trachtung durchführen, die der von Planck für den unend-<br/>lich wenig gedämpften Oszillator durchgeführten völlig analog <br/>ist. Man müßte berechnen, bei welcher mittleren Schwingungs-<br/>energie ein Atom, wenn es mit einer elektrischen Ladung ver-<br/>sehen wird, in einem Temperaturstrahlungsfelde ebensoviel <br/>Energie emittiert wie absorbiert.
</p><!--l. 472--><p class="indent">   Während ich mich ziemlich resultatlos mit der Durch-<br/>führung dieses Planes quälte, erhielt ich von Nernst den <br/>Korrekturbogen einer Arbeit zugesandt<sup ><span
class="cmr-8">2</span></sup>), in welcher eine über-<br/>----------
</p><!--l. 478--><p class="indent">   1) Unsere Mechanik vermag nämlich die kleinen spezifischen Wärmen <br/>fester Körper bei tiefen Temperaturen nicht zu erklären.
</p><!--l. 482--><p class="indent">   2) W. Nernst u. F. A. Lindemann, Sitzungsber. d. preuß. Akad. <br/>d. Wiss. <span
class="cmbx-12">22.</span>
1911 <pb/>
</p><!--l. 486--><p class="indent">

</p><!--l. 487--><p class="noindent">raschend brauchbare vorläufige Lösung der Aufgabe enthalten <br/>ist. Er findet, daß die Form
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/Einst_Eleme_de_191123x.png" alt="   (                           )       (bn-)2ebnT     (bn-)2eb2nT 3R   (--T-----)- + (--2T-----)- 2      ebTn - 1 2     eb2nT - 1 2 " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 497--><p class="nopar">
</p><!--l. 501--><p class="noindent">die Temperaturabhängigkeit der Atomwärme vorzüglich dar-<br/>stellt. Daß diese Form sich der Erfahrung besser anschmiegt <br/>als die ursprünglich von mir gewählte, ist nach dem Voran-<br/>gehenden leicht zu erklären. Man kommt ja zu derselben <br/>unter der Annahme, daß ein Atom in der halben Zeit mit der
 <br/>Frequenz <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/cmmi12-17.png" alt="n" class="12x-x-17" /></span>, in der andern Hälfte der Zeit mit der Frequenz <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/cmmi12-17.png" alt="n" class="12x-x-17" /></span><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/Einst_Eleme_de_191124x.png" alt="/"  class="left" align="middle" /> 2 <br/>quasi ungedämpft sinusartig schwinge. Die bedeutende Ab. <br/>weichung des Gebildes vom monochromatischen Verhalten findet <br/>auf diese Weise ihren primitivsten Ausdruck.
</p><!--l. 515--><p class="indent">   Allerdings ist es dann nicht gerechtfertigt, <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/cmmi12-17.png" alt="n" class="12x-x-17" /> </span>als die Eigen-<br/>frequenz des Gebildes zu betrachten, sondern es wird als mitt-<br/>lere Eigenfrequenz ein zwischen <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/cmmi12-17.png" alt="n" class="12x-x-17" /> </span>und <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/cmmi12-17.png" alt="n" class="12x-x-17" /></span><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/Einst_Eleme_de_191125x.png" alt="/"  class="left" align="middle" /> 2 liegender Wert <br/>anzusehen sein. Es muß ferner bemerkt werden, daß an eine <br/>genaue Übereinstimmung der thermischen und optischen Eigen-<br/>frequenz nicht gedacht werden kann, auch wenn die Eigen-<br/>frequenzen der verschiedenen Atome der betreffenden Ver-<br/>bindung nahe übereinstimmen, weil bei der thermischen <br/>Schwingung das Atom gegenüber allen benachbarten Atomen <br/>schwingt, bei der optischen Schwingung aber nur gegenüber <br/>den benachbarten Atomen entgegengesetzten Vorzeichens.
</p>
<div class="center" >

<!--l. 530--><p class="noindent">
</p><!--l. 531--><p class="noindent"><span
class="cmsy-10x-x-120">§ </span>3.  Dimensionalbetrachtung zu Lindemanns Formel und zu <br/>meiner Formel zur Berechnung der Eigenfrequenz.</p></div>
<!--l. 535--><p class="indent">   Aus Dimensionalbetrachtungen kann man bekanntlich zu-<br/>nächst allgemeine funktionelle Zusammenhänge zwischen physi-<br/>kalischen Größen finden, wenn man alle physikalischen Größen <br/>kennt, welche in dem betreffenden Zusammenhang vorkommen. <br/>Wenn man z. B. weiß, daß die Schwingungszeit <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/cmr12-2.png" alt="Q" class="12x-x-2" /> eines mathe-<br/>matischen Pendels von der Pendellänge <span
class="cmmi-12">l</span>, von der Beschleuni-<br/>gung <span
class="cmmi-12">g </span>des freien Falles, von der Pendelmasse <span
class="cmmi-12">m</span>, aber von <br/>keiner anderen Größe abhängen kann, so führt eine einfache <br/><pb/>
</p><!--l. 548--><p class="indent">

</p><!--l. 549--><p class="noindent">Dimensionalbetrachtung dazu, daß der Zusammenhang durch <br/>die Gleichung
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/Einst_Eleme_de_191126x.png" alt="          V~ ---             -l Q  = C  .   g " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 555--><p class="nopar">
</p><!--l. 559--><p class="noindent">gegeben sein muß, wobei <span
class="cmmi-12">C </span>eine dimensionslose Zahl ist. Man <br/>kann aber bekanntlich noch etwas mehr aus der Dimensional-<br/>betrachtung entnehmen, wenn auch nicht mit voller Strenge. <br/>Es pflegen nämlich dimensionale Zahlenfaktoren (wie hier der <br/>Faktor <span
class="cmmi-12">C</span>), deren Größe sich nur durch eine mehr oder weniger
 <br/>detaillierte mathematische Theorie deduzieren läßt, im all-<br/>gemeinen von der Größenordnung Eins zu sein. Dies läßt sich <br/>zwar nicht streng fordern, denn warum sollte ein numerischer <br/>Faktor (12 <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/cmmi12-19.png" alt="p" class="12x-x-19" /></span>)<sup ><span
class="cmr-8">3</span></sup> nicht bei einer mathematisch-physikalischen
 <br/>Betrachtung auftreten können? Aber derartige Fälle gehören <br/>unstreitig zu den Seltenheiten. Gesetzt also, wir würden an <br/>einem einzigen mathematischen Pendel die Schwingungszeit <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/cmr12-2.png" alt="Q" class="12x-x-2" /> <br/>und die Pendellänge <span
class="cmmi-12">l </span>messen, und wir würden aus obiger
 <br/>Formel für die Konstante <span
class="cmmi-12">C </span>den Wert 10<sup ><span
class="cmr-8">10</span></sup> herausbekommen, <br/>so würden wir unserer Formel bereits mit berechtigtem Miß-<br/>trauen gegenüberstehen. Umgekehrt werden wir, falls wir <br/>aus unseren Versuchsdaten für <span
class="cmmi-12">C </span>etwa 6,3 finden, an Vertrauen <br/>gewinnen; unsere Grundannahme, daß in der gesuchten Be-<br/>ziehung nur die Größen <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/cmr12-2.png" alt="Q" class="12x-x-2" />, <span
class="cmmi-12">l </span>und <span
class="cmmi-12">g</span>, aber keine anderen <br/>Größen vorkommen, wird für uns an Wahrscheinlichkeit ge-<br/>winnen.
</p><!--l. 587--><p class="indent">   Wir suchen nun die Eigenfrequenz <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/cmmi12-17.png" alt="n" class="12x-x-17" /> </span>eines Atoms eines <br/>festen Körpers durch eine Dimensionalbetrachtung zu ermitteln. <br/>Die einfachste Möglichkeit ist offenbar die, daß der Schwin-<br/>gungsmechanismus durch folgende Größen bestimmt ist:
</p><!--l. 593--><p class="indent">   1.  durch die Masse <span
class="cmmi-12">m </span>eines Atoms (Dimension <span
class="cmmi-12">m</span>),
</p><!--l. 595--><p class="indent">   2.  durch den Abstand <span
class="cmmi-12">d </span>zweier benachbarter Atome <br/>(Dimension <span
class="cmmi-12">l</span>),
</p><!--l. 597--><p class="indent">   3.  durch die Kräfte, welche benachbarte Atome einer <br/>Veränderung ihres Abstandes entgegensetzen. Diese Kräfte <br/>äußern sich auch bei elastischen Deformationen; ihre Größe <br/>wird gemessen durch den Koeffizienten der Kompressibilität <span
class="cmmi-12">x </span> <br/>(Dimension <span
class="cmmi-12">lt</span><sup ><span
class="cmr-8">2</span></sup><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/Einst_Eleme_de_191127x.png" alt="/"  class="left" align="middle" /> <span
class="cmmi-12">m</span>). <pb/>
</p><!--l. 603--><p class="indent">

</p><!--l. 604--><p class="indent">   Der einzige Ausdruck für <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/cmmi12-17.png" alt="n" class="12x-x-17" /> </span>aus diesen drei Größen, <br/>welcher die richtige Dimension hat, ist
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/Einst_Eleme_de_191128x.png" alt="       V~  -----          -d-- n =  C   m  x, " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 611--><p class="nopar">
</p><!--l. 615--><p class="noindent">wobei <span
class="cmmi-12">C </span>wieder ein dimensionsloser Zahlenfaktor ist. Führt <br/>man für d das Molekularvolumen <span
class="cmmi-12">v </span>ein (<span
class="cmmi-12">d </span>= <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/Einst_Eleme_de_191129x.png" alt="3 V~  ------   v/ N"  class="root" align="middle"  />), statt <span
class="cmmi-12">m </span> <br/>das sogenannte Atomgewicht
<span
class="cmmi-12">M </span>(<span
class="cmmi-12">M </span>= <span
class="cmmi-12">N .m</span>), so erhält man <br/>daraus
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/Einst_Eleme_de_191130x.png" alt="        1/2 1/6  -1/2 -1/2             7   -1/3  -1/6  -1/2 n = C N   v   M     x    = C .1, 9.10  M     r   x    , " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 630--><p class="nopar">
</p><!--l. 634--><p class="noindent">wobei <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/cmmi12-25.png" alt="r" class="cmmi-12x-x-25" align="middle" /> </span>die Dichte bezeichnet.
</p><!--l. 637--><p class="indent">   Die von mir durch molekularkinetische Betrachtung ge-<br/>fundene Formel</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/Einst_Eleme_de_191131x.png" alt="                 1  1   1 c = 1,08 .103 .M  /2r /6x /2 " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 646--><p class="nopar">
</p><!--l. 650--><p class="noindent">oder</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/Einst_Eleme_de_191132x.png" alt="n = 2,8 .107M  -1/2 r-1/6 x-1/2 " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 659--><p class="nopar">
</p><!--l. 663--><p class="noindent">stimmt mit dieser Formel überein mit einem Faktor <span
class="cmmi-12">C </span>von <br/>der Größenordnung Eins. Der Zahlenfaktor, der sich aus <br/>meiner früheren Betrachtung ergibt, ist in befriedigender Über-<br/>einstimmung mit der Erfahrung.<sup ><span
class="cmr-8">1</span></sup>) So berechnet man für Kupfer <br/>nach meiner Formel aus der Kompressibilität
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/Einst_Eleme_de_191133x.png" alt="            12 n = 5,7 .10  , " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 673--><p class="nopar">
</p><!--l. 677--><p class="noindent">während sich mit Hilfe der im <span
class="cmsy-10x-x-120">§ </span>2 besprochenen Nernstschen <br/>Formel aus der
spezifischen Wärme
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/Einst_Eleme_de_191134x.png" alt="n =  6,6.10 12 " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 683--><p class="nopar">
</p><!--l. 687--><p class="noindent">ergibt. Dieser Wert von <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/cmmi12-17.png" alt="n" class="12x-x-17" /> </span>ist aber nicht als ,,wahre Eigen-<br/>frequenz&#8220; aufzufassen. Von letzterer wissen wir nur, daß sie <br/>zwischen Nernsts <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/cmmi12-17.png" alt="n" class="12x-x-17" /> </span>und der Hälfte dieses Wertes liegt. Es <br/>liegt am nächsten, in Ermangelung einer genauen Theorie
 <br/><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/Einst_Eleme_de_191135x.png" alt="n-+-n/2-     2"  class="frac" align="middle" /> als ,,wahre Eigenfrequenz&#8220; aufzufassen, für welche <br/>Größe man nach Nernst für Kupfer den Wert
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/Einst_Eleme_de_191136x.png" alt="            12 n =  5,0.10 " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 697--><p class="nopar">
</p><!--l. 701--><p class="noindent">erhält, in naher Übereinstimmung mit dem aus der Kom-<br/>pressibilität berechneten Wert.
</p><!--l. 704--><p class="noindent">----------
</p><!--l. 707--><p class="indent">   1) Bezüglich der Annäherung, mit der die Formel gilt, vgl. den <br/>letzten Absatz dieses Paragraphen. <pb/>
</p><!--l. 711--><p class="indent">

</p><!--l. 712--><p class="indent">   Wir wenden uns zu Lindemanns Formel.<sup ><span
class="cmr-8">1</span></sup>) Wir nehmen <br/>wieder an, daß zunächst die Masse eines Atoms und der <br/>Abstand <span
class="cmmi-12">d </span>zweier Nachbaratome auf die Eigenfrequenz von <br/>Einfluß sind. Außerdem nehmen wir an, es gebe mit einer <br/>hier genügenden Annäherung ein Gesetz der übereinstimmenden <br/>Zustände für den festen Zustand. Dann muß durch Hinzu-<br/>fügung einer weiteren charakteristischen Größe der Substanz, <br/>welche durch die vorgenannten noch nicht bestimmt ist, das
 <br/>Verhalten der Substanz, also auch die Eigenfrequenz, voll-<br/>kommen bestimmt sein. Als diese dritte Größe nehmen wir <br/>die Schmelztemperatur <span
class="cmmi-12">T</span><sub ><span
class="cmmi-8">s</span></sub>. Diese ist natürlich für Dimensional-<br/>betrachtungen nicht ohne weiteres verwendbar, da sie nicht <br/>im C.G.S.-System unmittelbar gemessen werden kann. Wir <br/>wählen deshalb statt <span
class="cmmi-12">T</span><sub ><span
class="cmmi-8">s</span></sub> die Energiegröße <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/cmmi12-1c.png" alt="t" class="12x-x-1c" /> </span>= <span
class="cmmi-12">RT</span><sub ><span
class="cmmi-8">s</span></sub><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/Einst_Eleme_de_191137x.png" alt="/"  class="left" align="middle" /> <span
class="cmmi-12">N </span>als <br/>Temperaturmaß. <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/cmmi12-1c.png" alt="t" class="12x-x-1c" /></span>
ist ein Drittel der Energie, welche ein Atom <br/>beim Schmelzpunkt nach der kinetischen Theorie der Wärme <br/>besitzt (<span
class="cmmi-12">R </span>= Gaskonstante, <span
class="cmmi-12">N </span>= Zahl der Atome im Gramm-<br/>atom). Die Dimensionalbetrachtung liefert unmittelbar
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/Einst_Eleme_de_191138x.png" alt="         V~ --t---               V~ ---T----                 V~ ---T--- n = C  .   -----= C .R1/2N 1/3    ---s2--= C .0,77 .10 12   ----s2-.            m d2                  M  v /3                    M v /3 " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 744--><p class="nopar">
</p><!--l. 747--><p class="noindent">Die Lindemannsche Formel lautet:
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/Einst_Eleme_de_191139x.png" alt="                 --------                 V~    T n =  2,12.10 12   ----s2--.                   M  v /3 " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 756--><p class="nopar">
</p><!--l. 759--><p class="noindent">Auch hier ist also die dimensionslose Konstante <span
class="cmmi-12">C </span>von der <br/>Größenordnung Eins.
</p><!--l. 763--><p class="indent">   Die Untersuchungen Nernsts und seiner Schüler<sup ><span
class="cmr-8">2</span></sup>) zeigen, <br/>daß diese Formel, trotzdem sie auf einer sehr gewagten An-<br/>nahme ruht, überraschend gute Übereinstimmung mit den aus <br/>der spezifischen Wärme bestimmten <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/cmmi12-17.png" alt="n" class="12x-x-17" /></span>-Werten liefert. Es <br/>scheint daraus hervorzugehen, daß das Gesetz der überein-<br/>stimmenden Zustände für einfache Körper im festen und <br/>flüssigen Zustande mit bemerkenswerter Annäherung gilt. Die <br/>Lindemannsche Formel scheint sogar viel besser zu stimmen <br/>als meine auf weniger gewagter Grundlage ruhende Formel.
 <br/>--------
</p><!--l. 776--><p class="indent">   1) F. Lindemann, Physik. Zeitschr. <span
class="cmbx-12">11. </span>p. 609. 1910.
</p><!--l. 778--><p class="indent">   2) Vgl. insbesondere W. Nernst, Sitzungsber. d. prenß. Akad. d. <br/>Wiss. <span
class="cmbx-12">13. </span>p.
311. 1911. <pb/>
</p><!--l. 782--><p class="indent">

</p><!--l. 783--><p class="noindent">Dies ist um so merkwürdiger, als meine Formel natürlich auch <br/>aus dem Gesetz der übereinstimmenden Zustände gefolgert <br/>werden kann. Sollte sowohl meine wie Lindemanns Formel <br/>zutreffen, so müßte, wie durch Division beider Formeln folgt,
 <br/><span
class="cmmi-12">M</span><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/Einst_Eleme_de_191140x.png" alt="/"  class="left" align="middle" /> <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/cmmi12-25.png" alt="r" class="cmmi-12x-x-25" align="middle" /> T</span><sub ><span
class="cmmi-8">s</span></sub> <span
class="cmmi-12">x</span> von der Natur des Stoffes unabhängig sein, eine Be-<br/>ziehung, die übrigens auch direkt aus dem Gesetz der <br/>übereinstimmenden Zustände gefolgert werden kann. Unter <br/>Zugrundelegung der Grüneisenschen<sup ><span
class="cmr-8">1</span></sup>) Werte für die <br/>Kompressibilität der Metalle erhält man für diese Größe in-<br/>dessen Werte, die etwa zwischen 6 <span
class="cmmi-12">. </span>10<sup ><span
class="cmsy-8">-</span><span
class="cmr-8">15</span></sup> und 15 <span
class="cmmi-12">. </span>10<sup ><span
class="cmsy-8">-</span><span
class="cmr-8">15</span></sup> <br/>schwanken! Dies ist in Verbindung mit der Tatsache, daß <br/>sich das Gesetz der übereinstimmenden Zustände im Falle der <br/>Lindemannschen Formel so befriedigend bewährt, recht
 <br/>sonderbar. Wäre es nicht vielleicht möglich, daß in allen Be-<br/>stimmungen der kubischen Kompressibilität der Metalle noch <br/>systematische Fehler stecken? Die Kompression unter all-<br/>seitig gleichem Druck ist noch nicht zur Messung verwendet <br/>worden, wohl wegen der bedeutenden experimentellen Schwierig-<br/>keiten. Vielleicht würden derartige Messungen bei Deformation <br/>ohne Winkeldeformation zu beträchtlich anderen Werten von <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/cmmi12-1f.png" alt="x" class="12x-x-1f" /> </span> <br/>führen als die bisherigen Messungen. Vom theoretischen <br/>Standpunkt aus liegt dieser Verdacht wenigstens nahe.
</p>
<div class="center" >

<!--l. 802--><p class="noindent">
</p><!--l. 803--><p class="noindent"><span
class="cmsy-10x-x-120">§ </span>4.  Bemerkungen über das thermische Leitvermögen <br/>von Isolatoren.</p></div>
   Das in <span
class="cmsy-10x-x-120">§ </span>1 gefundene Resultat läßt einen Versuch ge-<br/>rechtfertigt erscheinen, das thermische Leitvermögen fester, <br/>nicht metallisch leitender Substanzen angenähert zu berechnen. <br/>Es sei nämlich <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/cmmi12-22.png" alt="e" class="12x-x-22" /> </span>die mittlere kinetische Energie eines Atoms, <br/>dann gibt nach <span
class="cmsy-10x-x-120">§ </span>1 das Atom in der Zeit einer halben <br/>Schwingung im
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/Einst_Eleme_de_191141x.png" alt="PIC" class="graphics" width="71.13304pt" height="113.80994pt"  /><!--tex4ht:graphics
name="img/Einst_Eleme_de_191141x.png" src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/Einst_Eleme_de_1911_002.EPS"
--> Mittel eine Energie von der Größe <br/><span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/cmmi12-b.png" alt="a" class="12x-x-b" />.<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/cmmi12-22.png" alt="e" class="12x-x-22" /> </span>an die umgebenden                     Atome ab, wobei <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/cmmi12-b.png" alt="a" class="12x-x-b" /> </span>ein <br/>Koeffizient von der Größenordnung                     Eins,  aber  kleiner  <br/>als  Eins  ist.  Denken  wir  uns  die                     Atome in einem <br/>Gitter gelagert und betrachten wir ein                     Atom <span
class="cmmi-12">A</span>, <br/>welches unmittelbar neben einer gedachten Ebene <br/>
<!--l. 819--><p class="noindent">--------
</p><!--l. 822--><p class="indent">   1) E. Grüneisen, Ann. d. Phys. <span
class="cmbx-12">25. </span>p. 848. 1900. <pb/>
</p><!--l. 826--><p class="indent">

</p><!--l. 827--><p class="noindent">liegt, die kein Molekül schneidet, so wird im Mittel etwa <br/>die Energie</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/Einst_Eleme_de_191142x.png" alt="    9-- a.e 26 " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 833--><p class="nopar">
</p><!--l. 837--><p class="noindent">vom Molekül <span
class="cmmi-12">A </span>während der Zeit einer halben Schwingung <br/>durch die Ebene hindurchgesandt werden, in der Zeiteinheit <br/>also die Energie
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/Einst_Eleme_de_191143x.png" alt="     9 a e.---.2 n .     26 " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 844--><p class="nopar">
</p><!--l. 847--><p class="noindent">Ist <span
class="cmmi-12">d </span>der kleinste Abstand benachbarter Atome, so liegen pro <br/>Flächeneinheit (1<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/Einst_Eleme_de_191144x.png" alt="/"  class="left" align="middle" /> <span
class="cmmi-12">d </span>)<sup ><span
class="cmr-8">2</span></sup> Atome auf einer Seite an der Ebene an, <br/>die zusammen die Energie
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/Einst_Eleme_de_191145x.png" alt="   9     1 a .---n .--e    13    d2 " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 856--><p class="nopar">
</p><!--l. 860--><p class="noindent">pro Flächeneinheit in der einen Richtung (Richtung der wach-<br/>senden <span
class="cmmi-12">x</span>) durch die Flächeneinheit der Ebene senden. Da <br/>die Moleküle auf der anderen Seite der Schicht in der Zeit-<br/>einheit die Energiemenge
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/Einst_Eleme_de_191146x.png" alt="            (          )     9-- -1-      d-e - a 13 nd2   e + d x .d " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 869--><p class="nopar">
</p><!--l. 873--><p class="noindent">in der Richtung der negativen <span
class="cmmi-12">x </span>durch die Flächeneinheit <br/>senden, so ist die ganze Energieströmung
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/Einst_Eleme_de_191147x.png" alt="     9    1  de - a .---n .---- .      13   d d x " class="par-math-display"  /></center>

<!--l. 880--><p class="nopar">
</p><!--l. 884--><p class="indent">   Benutzen wir, daß <span
class="cmmi-12">d </span>= (<span
class="cmmi-12">v</span><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/Einst_Eleme_de_191148x.png" alt="/"  class="left" align="middle" /> <span
class="cmmi-12">N</span>)<sup ><span
class="cmr-8">1</span>
 <span
class="cmmi-8">/</span><span
class="cmr-8">3</span></sup> und bezeichnen wir mit <span
class="cmmi-12">W </span> <br/>den Wärmeinhalt des Grammatoms bei der Temperatur <span
class="cmmi-12">T</span>, so <br/>erhalten wir den Ausdruck
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/Einst_Eleme_de_191149x.png" alt="- a -9-n v-1/3N - 2/3 d-W dT-,     13              dT  dx " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 899--><p class="nopar">
</p><!--l. 903--><p class="noindent">also für den Wärmeleitungskoeffizienten <span
class="cmmi-12">k</span>
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/Einst_Eleme_de_191150x.png" alt="k = a .9--n v- 1/2N -2/3 dW--.         13             d T " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 914--><p class="nopar">
</p><!--l. 917--><p class="noindent">Wird <span
class="cmmi-12">W </span>in Kalorien gemessen, so erhält man <span
class="cmmi-12">k </span>im üblichen <br/>Maß (cal/cm secgrad). Erfüllt der Stoff in dem in Betracht <br/>kommenden Temperaturbereich das Gesetz von Dulong-Petit, <br/>so kann man, weil
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/Einst_Eleme_de_191151x.png" alt="dW            3 R           3 .8,3.107 ---- = ------------------ = --------7-- ~ 6 , d T     Wa¨rmeaq¨uivalent      4,2 .10 " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 927--><p class="nopar">
</p><!--l. 929--><p class="indent">   <pb/>
</p><!--l. 932--><p class="indent">

</p><!--l. 933--><p class="noindent">hierfür etwa setzen
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/Einst_Eleme_de_191152x.png" alt="           -2/3   - 1/3 k =  a.4 N     n v   . " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 942--><p class="nopar">
</p><!--l. 945--><p class="noindent">Diese Formel wenden wir zunächst auf KCl an, welches sich <br/>nach Nernst bezüglich seiner spezifischen Wärme ähnlich wie <br/>ein Stoff mit lauter gleichen Atomen verhält, und erhalten, <br/>indem wir für <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/cmmi12-17.png" alt="n" class="12x-x-17" /> </span>den von Nernst aus dem Verlaufe der spezi-<br/>fischen Wärme ermittelten Wert 3<span
class="cmmi-12">, </span>5 <span
class="cmmi-12">. </span>10<sup ><span
class="cmr-8">12</span></sup> nehmen,
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/Einst_Eleme_de_191153x.png" alt="                                   (74, 4) -1/3 k =  a.4 .(6,3.10 23)- 2/3.3,5 .1012.  -----     = a .0,0007 ,                                      2 .2 " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 963--><p class="nopar">
</p><!--l. 967--><p class="noindent">während die Erfahrung bei gewöhnlicher Temperatur etwa <br/>
</p>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/Einst_Eleme_de_191154x.png" alt="k = 0, 016 " class="math-display"  /></center>
<!--l. 971--><p class="nopar">
</p><!--l. 975--><p class="noindent">ergibt.<sup ><span
class="cmr-8">1</span></sup>) Die Wärmeleitung ist also viel größer als nach <br/>unserer Betrachtung zu erwarten wäre. Aber nicht nur dies. <br/>Nach unserer Formel<sup ><span
class="cmr-8">2</span></sup>) sollte innerhalb der Gültigkeit des <br/>Dulong-Petitschen Gesetzes <span
class="cmmi-12">k </span>von der Temperatur unab-<br/>hängig sein. Nach Euckens Resultaten ist aber das tat-<br/>sächliche Verhalten kristallinischer Nichtleiter ein ganz anderes; <br/><span
class="cmmi-12">x </span>ändert sich annähernd wie 1<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/Einst_Eleme_de_191155x.png" alt="/"  class="left" align="middle" /> <span
class="cmmi-12">T</span>. Wir müssen daraus schließen, <br/>daß die Mechanik nicht imstande ist, die thermische Leitfähig-<br/>keit der Nichtleiter zu erklären.<sup ><span
class="cmr-8">3</span></sup>) Es ist hinzuzufügen, daß auch <br/>die Annahme von einer quantenhaften Verteilung der Energie <br/>zur Erklärung von Euckens Resultaten nichts beiträgt.
</p><!--l. 992--><p class="indent">   Man kann auf Euckens wichtiges Resultat, daß die <br/>Wärmeleitungsfähigkeit kristallinischer Isolatoren nahezu pro-<br/>portional 1<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/Einst_Eleme_de_191156x.png" alt="/"  class="left" align="middle" /> <span
class="cmmi-12">T </span>ist, eine sehr interessante Dimensionalbetrachtung <br/>gründen. Wir definieren die ,,Wärmeleitfähigkeit in natür-<br/>lichem Maße&#8220; <span
class="cmmi-12">k</span><sub ><span
class="cmmi-8">nat</span></sub> durch die Gleichung:
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/Einst_Eleme_de_191157x.png" alt="                                                    d t War¨meflu  ß pro Fl¨acheneinheit und Sekunde  = - knat---,                                                     d x " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 1004--><p class="nopar">
</p><!--l. 1008--><p class="noindent">wobei der Wärmefluß in absoluten Einheiten ausgedrückt <br/>zu denken ist und
<span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/cmmi12-1c.png" alt="t" class="12x-x-1c" /> </span>= <span
class="cmmi-12">R T</span> <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/Einst_Eleme_de_191158x.png" alt="/"  class="left" align="middle" /> <span
class="cmmi-12">N </span>gesetzt ist. <span
class="cmmi-12">k</span><sub ><span
class="cmmi-8">nat</span></sub> ist eine im <br/>C.G.S.-System zu messende Größe von der Dimension <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/Einst_Eleme_de_191159x.png" alt="[l-1 t- 1]"  class="left" align="middle" />. <br/>--------
</p><!--l. 1016--><p class="indent">   1) Vgl. A. Eucken, Ann. d. Phys. <span
class="cmbx-12">34. </span>p. 217. 1911.
</p><!--l. 1018--><p class="indent">   2) bzw. nach einer auf der Hand liegenden Ähnlichkeitsbetrachtung.
</p><!--l. 1020--><p class="indent">   3) Es muß bemerkt werden, daß hierdurch auch die Betrachtungen <br/>der <span
class="cmsy-10x-x-120">§§ </span>1 und 2 unsicher werden. <pb/>
</p><!--l. 1025--><p class="indent">

</p><!--l. 1026--><p class="noindent">Diese Größe kann bei einem einatomigen festen Isolator ab-<br/>hängen von den Größen:
</p><!--l. 1029--><p class="indent">   <span
class="cmmi-12">d </span>(Abstand benachbarter Atome; Dimension <span
class="cmmi-12">l</span>),
</p><!--l. 1031--><p class="indent">   <span
class="cmmi-12">m </span>(Masse eines Atoms; Dimension <span
class="cmmi-12">m</span>),
</p><!--l. 1033--><p class="indent">   <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/cmmi12-17.png" alt="n" class="12x-x-17" /> </span>(Frequenz des Atoms; Dimension <span
class="cmmi-12">t</span><sup ><span
class="cmsy-8">-</span><span
class="cmr-8">1</span></sup>),
</p><!--l. 1035--><p class="indent">   <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/cmmi12-1c.png" alt="t" class="12x-x-1c" />  </span>(Temperaturmaß Dimension <span
class="cmmi-12">m</span><sup ><span
class="cmr-8">1</span></sup> <span
class="cmmi-12">l</span><sup ><span
class="cmr-8">2</span></sup> <span
class="cmmi-12">t</span><sup ><span
class="cmsy-8">-</span><span
class="cmr-8">2</span></sup>).
</p><!--l. 1037--><p class="noindent">Nehmen wir eine Abhängigkeit von weiteren Größen nicht an, <br/>so zeigt die Dimensionalbetrachtung, daß <span
class="cmmi-12">k</span><sub ><span
class="cmmi-8">nat</span></sub> sich durch eine <br/>Gleichung von der Form
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/Einst_Eleme_de_191160x.png" alt="                (         )           -1  1   m1-d2-n2 knat = C.d  n f      t1 " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 1046--><p class="nopar">
</p><!--l. 1050--><p class="noindent">ausdrücken lassen muß, wobei <span
class="cmmi-12">C </span>wieder eine Konstante von <br/>der Größenordnung Eins und <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/cmmi12-27.png" alt="f" class="cmmi-12x-x-27" align="middle" /> </span>eine a priori willkürliche <br/>Funktion bedeutet, die aber nach dem mechanischen Bilde <br/>bei Annahme quasielastischer Kräfte zwischen den Atomen
 <br/>gleich einer Konstanten sein müßte. Nach Euckens Resultaten <br/>haben wir aber annähernd <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/cmmi12-27.png" alt="f" class="cmmi-12x-x-27" align="middle" /> </span>dem Argument proportional zu <br/>setzen, damit <span
class="cmmi-12">k</span><sub ><span
class="cmmi-8">nat</span></sub> dem absoluten Temperaturmaß <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/cmmi12-1c.png" alt="t" class="12x-x-1c" /> </span>umgekehrt <br/>proportional werde. Wir erhalten also
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/Einst_Eleme_de_191161x.png" alt="knat = C m1 d1 n3t -1, " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 1060--><p class="nopar">
</p><!--l. 1064--><p class="noindent">wobei <span
class="cmmi-12">C </span>eine andere Konstante von der Größenordnung Eins <br/>bedeutet. Führen wir statt <span
class="cmmi-12">k</span><sub ><span
class="cmmi-8">nat</span></sub> wieder <span
class="cmmi-12">k </span>ein, indem wir zur <br/>Messung des Wärmestromes die Kalorie und zur Messung des <br/>Temperaturgefälles den Celsiusgrad verwenden, und ersetzen <br/>wir <span
class="cmmi-12">m</span>, <span
class="cmmi-12">d</span>, <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/cmmi12-1c.png" alt="t" class="12x-x-1c" /> </span>durch ihre Ausdrücke in <span
class="cmmi-12">M</span>, <span
class="cmmi-12">v</span>, <span
class="cmmi-12">T</span>, so erhalten wir
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/Einst_Eleme_de_191162x.png" alt="                                                     1      1     ----1----  R--    M-- (v--)1/3  3  -N--     -N---/3-M--v-/3-n3 k = 4, 2.10 7 . N .C .N  .  N     .n  .R T  = C 4,2 .107    T    . " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 1079--><p class="nopar">
</p><!--l. 1082--><p class="noindent">Diese Gleichung spricht eine Beziehung zwischen der Wärme-<br/>leitfähigkeit, dem
Atomgewicht, dem Atomvolumen und der <br/>Eigenfrequenz aus. Für KCl bekommen wir aus dieser Formel
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/Einst_Eleme_de_191163x.png" alt="k273 = C .0,007. " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 1090--><p class="nopar">
</p><!--l. 1093--><p class="noindent">Die Erfahrung ergibt <span
class="cmmi-12">k</span><sub ><span
class="cmr-8">273</span></sub> = 0<span
class="cmmi-12">, </span>0166, so daß <span
class="cmmi-12">C </span>in der Tat von <br/>der Größenordnung Eins wird. Wir müssen dies als eine Be-<br/>stätigung der unserer Dimensionalbetrachtung zugrunde liegen-<br/>den Annahmen ansehen. Ob <span
class="cmmi-12">C </span>einigermaßen unabhängig ist <br/>von der Natur der Substanz, wird die Erfahrung entscheiden <br/><pb/>
</p><!--l. 1102--><p class="indent">

</p><!--l. 1103--><p class="noindent">müssen; Aufgabe der Theorie wird es sein, die Molekular-<br/>mechanik so zu modifizieren, daß sie sowohl das Gesetz der <br/>spezifischen Wärme als auch das dem Anscheine nach so ein-<br/>fache Gesetz der thermischen Leitfähigkeit liefert.
</p><!--l. 1109--><p class="indent">   Prag, Mai 1911.
</p>
<div class="center" >

<!--l. 1111--><p class="noindent">
</p><!--l. 1112--><p class="noindent">(Eingegangen 4. Mai 1911.)</p></div>
<div class="center" >

<!--l. 1115--><p class="noindent">
</p><!--l. 1116--><p class="noindent">--------</p></div>
<div class="center" >

<!--l. 1119--><p class="noindent">
</p><!--l. 1120--><p class="noindent">Nachtrag zur Korrektur.</p></div>
<!--l. 1123--><p class="indent">   Zur Verdeutlichung der letzten Absätze von <span
class="cmsy-10x-x-120">§ </span>2 sei <br/>folgendes bemerkt. Bezeichnet man mit <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/cmmi12-27.png" alt="f" class="cmmi-12x-x-27" align="middle" /></span>(<span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/cmmi12-17.png" alt="n" class="12x-x-17" /></span><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/Einst_Eleme_de_191164x.png" alt="/"  class="left" align="middle" /> <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/cmmi12-17.png" alt="n" class="12x-x-17" /></span><sub ><sub ><span
class="cmr-6">0</span></sub></sub>) eine als zeit-<br/>liche Häufigkeit der momentanen Frequenz <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/cmmi12-17.png" alt="n" class="12x-x-17" /> </span>aufzufassende <br/>Funktion, mit <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/cmr12-8.png" alt="P" class="12x-x-8" />(<span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/cmmi12-17.png" alt="n" class="12x-x-17" /></span><sub ><sub ><span
class="cmr-6">0</span></sub></sub><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/Einst_Eleme_de_191165x.png" alt="/"  class="left" align="middle" /> <span
class="cmmi-12">T</span>) die spezifische Wärme des mono-<br/>chromatischen Gebildes von der Frequenz <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/cmmi12-17.png" alt="n" class="12x-x-17" /></span><sub ><span
class="cmr-8">0</span></sub>, so kann man <br/>die spezifische Wärme des nicht monochromatischen Gebildes <br/>durch die Formel ausdrücken
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/Einst_Eleme_de_191166x.png" alt="     x integral = oo
          (n0-x-) t =     P    T   f (x) dx.     x=0 " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 1139--><p class="nopar">
</p><!--l. 1143--><p class="indent">   Zu Nernsts Formel kommt man, wenn man der Funk-<br/>tion <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Eleme_de_1911/fulltext/img/cmmi12-27.png" alt="f" class="cmmi-12x-x-27" align="middle" /> </span>( <span
class="cmmi-12">x</span>) nur für die Argumente 1 und <span
class="cmr-8">1</span> <span
class="cmmi-12">/</span><span
class="cmr-8">2</span> von Null ver-<br/>schiedene Werte gibt.
</p>
<div class="center" >

<!--l. 1150--><p class="noindent">
</p><!--l. 1151--><p class="noindent">----------</p></div>

</body></html>
author	Klaus Thoden <kthoden@mpiwg-berlin.mpg.de>
date	Thu, 02 May 2013 14:10:28 +0200
parents	22d6a63640c6
children