Mercurial > hg > mpdl-xml-content
view texts/XML/archimedes/la/torri_opere_090_la.xml @ 10:d7b79f6537bb
Version vom 2009-02-14
| author | Klaus Thoden <kthoden@mpiwg-berlin.mpg.de> |
|---|---|
| date | Thu, 02 May 2013 11:08:12 +0200 |
| parents | 22d6a63640c6 |
| children |
line wrap: on
line source
<?xml version="1.0"?> <archimedes xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" > <info> <author>Torricelli, Evangelista </author> <title>Opere</title> <date>1919-1944</date> <place>Faenza</place> <translator></translator> <lang>la</lang> <cvs_file>torri_opere_090_la.xml</cvs_file> <locator>090.xml</locator> </info> <text> <front></front> <body> <chap> <pb></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>OPERE <lb></lb>DI <lb></lb>EVANGELISTA TORRICELLI <lb></lb>EDITE IN OCCASIONE DEL III CENTENARIO DELLA NASCITA <lb></lb>COL CONCORSO DEL COMUNE DI FAENZA <lb></lb>DA <lb></lb>GINO LORIA E GIUSEPPE VASSURA <lb></lb> <emph.end type="center"></emph.end></foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>VOLUME I: GEOMETRIA <lb></lb>PUBBLICATO PER CURA DI GINO LORIA <lb></lb> <emph.end type="center"></emph.end></foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>PARTE I. <lb></lb>CON IL RITRATTO DI E. TORRICELLI E 373 FIGURE<emph.end type="center"></emph.end></foreign></s></p> <figure></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>FAENZA<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>STABILIMENTO TIPO-LITOGRAFICO G. MONTANARI<emph.end type="center"></emph.end></foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>AMMINISTRATO DALL'ORFANOTROFIO MASCHI<emph.end type="center"></emph.end></foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>1919.<emph.end type="center"></emph.end></foreign></s></p> <pb></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Riservati tutti i diritti accordati dalla Legge <lb></lb>in Italia c all'Estero.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></foreign></s></p> <pb></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>INDICE<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> </s></p> <pb></pb> <table> <row><cell>Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . .</cell><cell>Pag.</cell><cell>I—XXXVIII</cell></row> <row><cell>DE SPHAERA ET SOLIDIS SPHAERALIBUS LIBRI DUO.</cell><cell></cell><cell></cell></row> <row><cell> Dedica . . . . . . . . . . . . . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>1— 2</cell></row> <row><cell> Proemium . . . . . . . . . . . . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>3— 10</cell></row> <row><cell> Liber primus . . . . . . . . . . . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>11— 44</cell></row> <row><cell> ” secundus . . . . . . . . . . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>45— 87</cell></row> <row><cell>DE DIMENSIONE PARABOLAE.</cell><cell></cell><cell></cell></row> <row><cell> Dedica . . . . . . . . . . . . . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>91— 92</cell></row> <row><cell> Ad lectorem proemium . . . . . . . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>93— 98</cell></row> <row><cell> Suppositiones et definitiones . . . . . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>98—101</cell></row> <row><cell> Quadratura parabolae pluribus modis per duplicem</cell><cell></cell><cell></cell></row> <row><cell> positionem, more antiquorum absoluta . . . .</cell><cell>”</cell><cell>102—162</cell></row> <row><cell> Appendix — De dimensione cycloidis . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>163—169</cell></row> <row><cell> Scholium — De cycloidibus aliarum specierum . .</cell><cell>”</cell><cell>170—172</cell></row> <row><cell>DE SOLIDO ACUTO HYPERBOLICUM PROBLEMA ALTERUM . .</cell><cell>”</cell><cell>173—190</cell></row> <row><cell>DE SOLIDO HYPERBOLICO ACUTO PROBLEMA SECUNDUM . .</cell><cell>”</cell><cell>191—221</cell></row> <row><cell> Appendix — De dimensione cochleae . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>223—230</cell></row> <row><cell>APPENDICE AL LEMMA XX DELLA MEMORIA “ DE DIMENSIONE</cell><cell></cell><cell></cell></row> <row><cell> PARABOLAE ” . . . . . . . . . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>231—238</cell></row> <row><cell>DE TACTIONIBUS . . . . . . . . . . . . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>239—290</cell></row> <row><cell> Nota dell'editore . . . . . . . . . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>291—292</cell></row> <row><cell>DE PROPORTIONIBUS LIBER.</cell><cell></cell><cell></cell></row> <row><cell> Ad amicum lectorem proemium in quo de defini-</cell><cell></cell><cell></cell></row> <row><cell> tionibus geometricis . . . . . . , . . . .</cell><cell>”</cell><cell>295—305</cell></row> <row><cell> Definitiones . . . . . . . . . . . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>305 </cell></row> <row><cell> Suppositiones et axiomata . . . . . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>306 </cell></row> <row><cell> (Teoremi) . . . . . . . . . . . . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>307—318</cell></row> <row><cell> Appendix . . . . . . . . . . . . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>319—327</cell></row> <row><cell>DE PLANIS VARIA . . . . . . . . . . . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>329—345</cell></row> <row><cell>DE SOLIDIS VARIA . . . . . . . . . . . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>347—363</cell></row> <row><cell>DE CIRCULO ET ADSCRIPTIS . . . . . . . . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>365—375</cell></row> <row><cell>DE COMPARAT. PERIMETRORUM CYLINDRI, CONI AC SPHAERAE</cell><cell>”</cell><cell>377—386</cell></row> <row><cell>DE AEQUALIT. PERIMETRORUM CYLINDRI CONI AC SPHAERAE</cell><cell>”</cell><cell>387—407</cell></row></table> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>INTRODUZIONE.<emph.end type="center"></emph.end></foreign></s></p> <pb></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>INTRODUZIONE<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>I. — <emph type="italics"></emph>Ad uno svolto della storia.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Quantunque non siasi ancora stabilito perfetto accordo <lb></lb>fra i competenti intorno all'anno in cui, nella storia civile <lb></lb>e politica, debbasi collocare l'inizio dell'èra moderna, pure <lb></lb>l'evo medio si suole da tutti gli storici chiudere nell'ul<lb></lb>timo decennio del secolo XV o nel secondo del successivo. </foreign></s><s><foreign lang="it"><lb></lb>L'analoga questione relativa alla storia delle matematiche, <lb></lb>per quanto ci consta, non venne sinora posta, almeno in <lb></lb>modo esplicito. </foreign></s><s><foreign lang="it">Ma, ove lo fosse stata, non sarebbe certa<lb></lb>mente stato malagevole l'accordarsi nello scegliere la data <lb></lb>1650 come inizio dell'ultima delle grandi divisioni della <lb></lb>storia delle scienze esatte; chè allora appunto i germi fe<lb></lb>condi deposti da DESCARTES e FERMAT cominciarono a <lb></lb>produrre l'aritmetizzazione della geometria, cioè il grande <lb></lb>fenomeno che servì ad imprimerle una fisonomia del tutto <lb></lb>nuova ed era destinato a rinnovare tutta la scienza del<lb></lb>l'estensione figurata; inoltre, allora si trovavano in istato <lb></lb>d'imminente fioritura le idee ed i metodi chiamati ad as<lb></lb>sicurare sistematica unità alle indagini relative alla misura <lb></lb>della superficie e dei solidi a contorni arbitrari; allora <lb></lb>finalmente avevano intrapresa la loro gloriosa corsa nel <lb></lb>mondo i principi fondamentali posti alla dottrina dei moti <lb></lb>e delle forze dall'immortale autore dei <emph type="italics"></emph>Discorsi e dimo<lb></lb>strazioni matematiche intorno a due nuove scienze.<emph.end type="italics"></emph.end></foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ora la matematica della rinascenza — al pari di lam<lb></lb>pada che, nell'istante in cui sta per spegnersi, diffonde <pb pagenum="IV"></pb>all'intorno uno sprazzo di fulgidissima luce — presenta in <lb></lb>Italia un epilogo oltre ogni dire brillante in un perso<lb></lb>naggio di primo ordine, degno continuatore delle tradizioni <lb></lb>scientifiche che, nella patria nostra, sia pure con lunghe <lb></lb>deplorevoli lacune, si perpetuarono durante l'enorme pe<lb></lb>riodo storico che corre da ARCHIMEDE a GALILEO: è EVAN<lb></lb>GELISTA TORRICELLI, la cui altissima rinomanza presso i <lb></lb>contemporanei è attestata dall'anagramma </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>En virescit Galileus alter<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb>che un suo anonimo ammiratore compose con le lettere che <lb></lb>ne formano il nome . </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>II. — <emph type="italics"></emph>Alunnato e noviziato di E. Torricelli.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Colui a cui la sorte affidò il nobile còmpito di conso<lb></lb>lare gli ultimi giorni della travagliata esistenza di GALILEO <lb></lb>GALILEI, vide la luce il 15 ottobre 1608; sebbene nessun <lb></lb>documento lo dichiari esplicitamente, pure è pressochè <lb></lb>certo che egli nacque in Faenza , perchè suo padre GA<lb></lb>SPARE, apparteneva ad una famiglia, di modeste condizioni <pb pagenum="V"></pb>di fortuna , la quale, a partire dalla metà del secolo XV <lb></lb>ebbe costante dimora in quella città ed ivi si spense sullo <lb></lb>scorcio del secolo XVII. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">I suoi studi in umanità furono compiuti sotto la guida <lb></lb>amorosa e sapiente di uno zio paterno, ALESSANDRO (che <lb></lb>assunse il nome di JACOPO quando entrò nell'ordine ca<lb></lb>maldolese e che morì quasi novantenne priore del mona<lb></lb>stero di S. Giovanni della città natìa ); invece nelle <lb></lb>scienze, in particolare nelle matematiche, fu istruito dai <lb></lb>Padri Gesuiti. </foreign></s><s><foreign lang="it">Ed in tali discipline diede prove lampanti <lb></lb>di tali spiccate attitudini che il suo ottimo zio persuase <lb></lb>la famiglia ad inviarlo a Roma allo scopo di perfezionarlo <lb></lb>sotto la direzione oculata di uno dei luminari del tempo, <lb></lb>BENEDETTO CASTELLI, il celebre discepolo di GALILEO che, <lb></lb>a partire dal marzo 1626, era lustro e decoro della Corte di <lb></lb>papa URBANO VIII. Ciò accadeva verso la metà dell'anno <lb></lb>1627. Subendo la benefica influenza di tanto istitutore, il <lb></lb>TORRICELLI fece progressi talmente rapidi e sorprendenti <lb></lb>che ben presto potè affermarsi pensatore originale con la <lb></lb>memoria, oggi notissima, <emph type="italics"></emph>Sul moto dei corpi naturalmente <lb></lb>discendenti<emph.end type="italics"></emph.end> , la quale d'un tratto lo collocò senza con<lb></lb>trasto in prima linea fra gli alunni del celebre matema<lb></lb>tico . </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Nelle mani di P. BENEDETTO CASTELLI questa me<lb></lb>moria servì come mezzo per assicurare al diletto alunno <lb></lb>una situazione economica e sociale onorevole, lucrosa, <pb pagenum="VI"></pb>stabile . Narra infatti VINCENZO VIVIANI per il tramite <lb></lb>di LODOVICO SERENAI quanto segue : </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">“ Questo Padre (cioè il CASTELLI) nell'aprile del 1641 <lb></lb>venendo di Roma per Pisa a Firenze per passare a Ve<lb></lb>nezia al suo Capitolo generale, portò con sè manoscritto <lb></lb>il trattatello del Moto composto allora dal Torricelli sui <lb></lb>principi del medesimo Galileo, al quem il predetto Abate <lb></lb>fece sentire il contenuto e la diversità di maniera che in <lb></lb>varie cose aveva quegli tenuta per ampliare quella nuova <lb></lb>scienza meravigliosa del Galileo, di cui commiserando il <lb></lb>predetto Abate la cecità e scorgendo insieme il pericolo <lb></lb>in che, per la di lui grave età travagliata ancora da tante <lb></lb>indisposizioni, si stava di perdere per la di lui morte, il <lb></lb>residuo delle sue speculazioni non pubblicate che aveva <lb></lb>in sè e che gli rimanevano ancora da porre sulla carta, <lb></lb>glielo propose in ajuto; e il Galileo che dall'opera sopra <lb></lb>detta e dalle relazioni che di quella date gli aveva il Pa<lb></lb>dre, già ne aveva formato gran concetto, volontierissimo <lb></lb>lo accettò per ajuto e per compagno e restò col Padre <lb></lb>Castelli che al suo ritorno a Roma poteva trattar d'in<lb></lb>viarglielo, come seguì. </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">“ Giunse dunque il Torricelli alla Villa d'Arcetri (dove <lb></lb>abitava Galileo) verso la fine del settembre del medesimo <lb></lb>anno ed immantinente incominciò Galileo a comuni<lb></lb>cargli nei discorsi che quegli teneva tutto giorno, ciò che <lb></lb>gli rimaneva delle proprie fatiche e meditazioni, le quali <lb></lb>aveva stabilite di includere e distribuire in due giornate in <pb pagenum="VII"></pb>dialogo da aggiungersi alle altre quattro dell'opera pochi <lb></lb>anni prima stampata sopra le sue due nuove scienze della <lb></lb>Meccanica e del Moto locale e la prima di quelle due con<lb></lb>tener doveva l'esplicazione d'alcune delle cose già dette <lb></lb>nelle prime quattro, e la soluzione di vari problemi natu<lb></lb>rali suoi e d'Aristotile, esaminati e purgati da alcune fal<lb></lb>lacie prese dal Filosofo e particolarmente nel Trattato <lb></lb>“ de incessu animalium ”. </foreign></s> <s><foreign lang="it">La seconda doveva comprendere <lb></lb>il racconto di varie esperienze antiche del Galileo da lui <lb></lb>fatte per l'investigazione della forza infinita della percossa <lb></lb>di cui stimava il medesimo Galileo di avere dopo lunghe <lb></lb>vigilie ed applicazioni arrivati i veri principi e fondamenti <lb></lb>da poter sopra di essi fabbricare una terza nuova scienza <lb></lb>e con progresso geometrico dimostrare proprietà stupende <lb></lb>e fuori della comune immaginazione. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma iniqua sorte invi<lb></lb>diando agli uomini così grandi acquisti nelle scienze, volle <lb></lb>che (appena dato principio il Torricelli a distendere la <lb></lb>quinta giornata) in capo a poco più di tre mesi dopo la <lb></lb>congiunzione in terra di quei due grandi luminari, si estin<lb></lb>guesse il Maggiore conceduto alle vite umane da Dio, <lb></lb>sommo Sole, per dimostrar loro nei Cieli e nella Natura <lb></lb>novità ammirande e verità peregrine state occulte a tutta <lb></lb>l'Antichità ”. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>III. — <emph type="italics"></emph>Il periodo fiorentino.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Come è notorio la morte di GALILEO seguì il 6 gen<lb></lb>naio 1641. </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"> “ Per sì funesto accidente non così presto aspetta<lb></lb>tosi dal Torricelli rimaneva qua egli come smarrito; ma <lb></lb>la gloriosa memoria del Ser. Gran Duca Ferdinando II sti<lb></lb>molata dalla sua nativa inclinazione a promuovere e pro<lb></lb>teggere le buone lettere e le matematiche in particolare, <lb></lb>prese subito a risarcire in parte così gran perdita di simil <pb pagenum="VIII"></pb>soggetto statogli rappresentato dal Sen. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Andrea Arrighetti <lb></lb>a relazione del medesimo Galileo di altissima aspettazione. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>E mentre questi preparavasi a licenziarsi per tornarsene <lb></lb>a Roma fu fatto aspettare d'ordine del G. Duca che allora <lb></lb>trovavasi a Pisa e dichiarato successore ad un Galileo cioè <lb></lb>matematico di S. A. e per lui fu rinnovata l'antica ma per <lb></lb>lungo tempo dimessa lettura di matematiche in questo <lb></lb>Studio ” . </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">In conseguenza di questa provvida ed illuminata deli<lb></lb>berazione il Nostro, sorpassati di poco i trentadue anni, <lb></lb>vedeva assicurata a sè stessa una posizione pienamente <lb></lb>soddisfacente, perchè, in qualità di matematico dello studio <lb></lb>fiorentino, gli era assegnato lo stipendio annuo di scudi 200, <lb></lb>ed inoltre il governo toscano gli concesse gratuito alloggio <lb></lb>in un quartiere dell'antico palazzo dei Medici che divenne <lb></lb>poi palazzo Riccardi (oggi sede della prefettura); più <lb></lb>tardi, e precisamente in data 2 gennaio 1644, gli fu con<lb></lb>ferita anche l'ufficio di lettore di fortificazioni militari <lb></lb>nella fiorentina Accademia del Disegno con l'annuo emo<lb></lb>lumento di scudi 40 . </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Non pago di avere liberato il grande faentino da ogni <lb></lb>sorta di preoccupazioni materiali, il Granduca di Toscana lo <lb></lb>colmò di altri benefici, il primo e forse più importante dei <lb></lb>quali (almeno dal punto di vista dei supremi interessi della <lb></lb>scienza), è quello di avere spontaneamente assunta tutte le <lb></lb>spese per la stampa e le figure dell'unica opera geometrica <lb></lb>che a lui fu concesso di presentare al pubblico , quel- <pb pagenum="IX"></pb>l'opera che ebbe virtù di estendere ai lontani l'altissima <lb></lb>stima che il Torricelli si era acquistata da parte delle per<lb></lb>sone che ebbe la fortuna di avvicinarlo. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Col suo trasferimento a Firenze comincia per il TOR<lb></lb>RICELLI il periodo più felice della sua esistenza, quello in <lb></lb>cui potè consacrarsi serenamente e con maggiore intensità <lb></lb>alla ricerca scientifica ed in cui si affollarono più nume<lb></lb>rose alla sua mente le idee originali . Libero da qual- <pb pagenum="X"></pb>siasi preoccupazione materiale, essendo bello della persona, <lb></lb>gentile di maniera ed amante dell'onesto conversare, non <lb></lb>tardò a stringere rapporti di amicizia con le personalità <lb></lb>più spiccate viventi allora in Firenze (basti ricordare il <lb></lb>celebre pittore SALVATORE ROSA ed il dotto ellenista <lb></lb>CARLO DATI); anzi dai regolari convegni che egli tenne <lb></lb>con questi valentuomini trasse origine l'Accademia dei <lb></lb>“ Percossi ”, in seno alla quale forse egli fece conoscere <lb></lb>le <emph type="italics"></emph>Commedie<emph.end type="italics"></emph.end> che vuolsi scrivesse ed ove recitò, con <lb></lb>plauso generale, quell'<emph type="italics"></emph>Encomio del secol d'oro<emph.end type="italics"></emph.end> destinato a <lb></lb>prendere posto più tardi nella collezione delle sue <emph type="italics"></emph>Lezioni <lb></lb>accademiche<emph.end type="italics"></emph.end> . D'altronde l'Accademia della Crusca, onde <lb></lb>rendere solenne omaggio alla sua perizia nel maneggio <lb></lb>della patria lingua, volle annoverarlo fra i propri membri <lb></lb>ed egli, entrando a far parte di quel celebre sodalizio, ri<lb></lb>volse ai nuovi colleghi un ringraziamento che venne pure <lb></lb>accolto nella medesima raccolta . </foreign></s> </p> <pb pagenum="XI"></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Le più fruttifere indagini da lui condotte a termine nel <lb></lb>regno delle scienze matematiche e fisiche durante il pro<lb></lb>prio soggiorno alla Corte di Toscana diedero alcuni risul<lb></lb>tati a cui fu ben presto concesso un posto eminente nei <lb></lb>fasti della scienza; fra questi meritano uno speciale ri<lb></lb>cordo i seguenti: </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">1. Le mirabili qualità da lui avvertite nella cicloide <lb></lb>ed in parecchie altre classi di curve piane; </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">2. La classica esperienza col mercurio e la con<lb></lb>seguente invenzione del barometro ; </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">3. I procedimenti da lui ideati ed applicati per <lb></lb>costruire certi speciali microscopi e per ripulire le lenti <lb></lb>destinate ai telescopi . </foreign></s></p> <pb pagenum="XII"></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Esse valsero a diffondere rapidamente la rinomanza del <lb></lb>Torricelli, non soltanto al di là delle mura di Firenze, ma <lb></lb>eziandio oltre i confini d'Italia. </foreign></s><s><foreign lang="it">In pari tempo però fecero <lb></lb>pullulare detrattori invidiosi che vollero, alcuni diminuire <lb></lb>il valore dei suoi ritrovati, altri contestargli i diritti di prio<lb></lb>rità che egli con piena ragione accampava sopra di essi. </foreign></s><s><foreign lang="it"><lb></lb>Da tale ingiustificata ostilità egli fu spinto a scrivere quel <lb></lb><emph type="italics"></emph>Racconto d'alcuni problemi ecc.<emph.end type="italics"></emph.end> che oggi rappresenta, dal <lb></lb>punto di vista umano, una delle più interessanti pagine, <lb></lb>delle sue <emph type="italics"></emph>Opere<emph.end type="italics"></emph.end> ; da ciò più tardi un suo amico, CARLO <lb></lb>DATI, consigliato e spalleggiato dal fedelissimo esecutore <lb></lb>testamentario LODOVICO SERENAI, fu indotto a pubblicare <lb></lb>nel 1663, sotto forma di lettera pseudonima, tutti i docu<lb></lb>menti atti ad illustrare e completamente chiarire alcune <lb></lb>controversie originate da invenzioni del Nostro e che sono <lb></lb>fra le più celebri che siano registrate nella storia delle <lb></lb>scienze positive . </foreign></s></p> <pb pagenum="XIII"></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>IV. — <emph type="italics"></emph>La morte.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ebbero tali incresciose discussioni il potere di minare <lb></lb>la fibra robusta del TORRICELLI e di avvicinare la fine <lb></lb>di un'esistenza che sembrava rigogliosa? </foreign></s><s><foreign lang="it">Il corpo umano <lb></lb>è un organismo talmente complicato e misterioso, i rap<lb></lb>porti fra il fisico ed il morale sono tuttora avvolti in così <lb></lb>fitta oscurità, che qualunque risposta a questa inquietante <lb></lb>domanda dovrebbe giudicarsi imprudente ed infondata; <lb></lb>onde noi, dopo di avere richiamata l'attenzione dei lettori <lb></lb>sopra le frequenti infermità sofferte dal TORRICELLI anche <lb></lb>prima che gli invidiosi cominciassero a latrargli alle cal<lb></lb>cagna , ci limiteremo a riferire i fenomeni che contras<lb></lb>segnarono la sua ultima malattia, quali vengono descritti <lb></lb>da un testimonio oculare, meritevole di fede assoluta e <lb></lb>completa. </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">In data 14 ottobre 1647 scriveva LODOVICO SERENAI a <lb></lb>FRANCESCO fratello di EVANGELISTA TORRICELLI : </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">“ Si trova in letto malato il sig. Vangelista fratello di <lb></lb>V. S. con febbre che per otto giorni non è stata stimata <lb></lb>di gran pericolo, ma hiersera aggravò, e dopo essersi que<lb></lb>sta mattina confessato con grandissimo sentimento e haver <lb></lb>fatto testamento, e discorso di tutte le cose sue con gran<lb></lb>dissimo senno sino alle 21 ore incirca, ha poi sull'accen<lb></lb>sione della febbre dato in delirio, e delirò furioso a segno <lb></lb>che non si può ajutare con medicamenti senza gran diffi<lb></lb>cultà, e si teme d'incontrarla ancora nel cibarlo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Con la <lb></lb>commodità del primo riposo che conceda il delirio sarà <lb></lb>pronto il Parocc.<emph type="sup"></emph>no<emph.end type="sup"></emph.end> col Santissimo Viatico, e non si man<lb></lb>cherà di vigilanza per ogni rimedio spirituale; siccome <pb pagenum="XIV"></pb>attorno al corpo s'è fatto, e si farà tutto il possibile: e <lb></lb>acciocchè V. S. possa crederlo sappia che oltre alla servitù <lb></lb>sua ordinaria ci assiste quasi del continuo il sig. Dottor <lb></lb>Buonajuti suo medico e amico carissimo, io me ne parto <lb></lb>soltanto tanto quanto vo à desinare, e a cena con mia <lb></lb>moglie habitando vicinissimo, e due astanti mandatici dal <lb></lb>Ser.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Gran Duca non se ne partono punto. </foreign></s> <s><foreign lang="it">In compagnia <lb></lb>del sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Bonajuti viene alla cura il sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Dottore Scafucci <lb></lb>medico di S. A. S. la quale somministra regali di delizie e <lb></lb>di medicamenti preziosi della sua fonderia. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Finalmente la <lb></lb>servitù e gli ajuti sono da principi e meritamente essendo <lb></lb>egli un Principe della sua professione ”. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ma tutte queste cure, per quanto assidue, amorose, sa<lb></lb>pienti, non sortirono il desiderato effetto, chè nulla pote<lb></lb>rono contro il delirio che si rinnovava in modo sempre più <lb></lb>allarmante; ed il SERENAI addì 25 ottobre 1647 era co<lb></lb>stretto a riprendere la penna per informare FRANCESCO <lb></lb>TORRICELLI dell'avvenuta catastrofe : </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">“ Quel che più ”, egli scriveva, “ anzi infinitamente mi <lb></lb>duole è che io devo a dare a V. E. l'infelice nuova della <lb></lb>morte del sig. Vangelista seguita questa mattina due ore <lb></lb>incirca avanti giorno con pianto universale della Città, e <lb></lb>sentimento straordinario del Gran Duca ”, </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">aggiungendo che </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">“ il corpo si è depositato nelle Volte della Chiesa Princi<lb></lb>palissima di San Lorenzo questa sera, e gli si farà qualche <lb></lb>inscrizione per memoria, e per consolazione nostra, e di <lb></lb>lor parenti ”. </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Tale epigrafe fu del seguente tenore : </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>EVANGELISTA TORRICELLIUS <lb></lb>FAVENTINUS <lb></lb>MAGNI DUCI ETRURIAE MATHEMATICUS <lb></lb>ET PHILOSOPHUS <lb></lb>OBIIT VIII KAL. NOVEMBRIS ANNO SALUTIS <lb></lb>M DC XLVII <lb></lb>AETATIS SUAE XXXIX;<emph.end type="center"></emph.end> <pb pagenum="XV"></pb>disgraziatamente questa non fu sufficiente a far distinguere <lb></lb>per sempre le ossa del grande pensatore da quelle dei suoi <lb></lb>oscuri vicini ; infatti le ricerche dei suoi resti mortali, <lb></lb>eseguite per ordine della civica Amministrazione di Fi<lb></lb>renze in occasione del III Centenario della sua nascita, <lb></lb>non soltanto non condussero ad alcun risultato, ma gui<lb></lb>darono alla sconsolante conclusione di trovarsi di fronte <lb></lb>ad un problema che la scienza è nella impossibilità di scio<lb></lb>gliere . </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>V. — <emph type="italics"></emph>Le disposizioni testamentarie.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Durante la tregua che il 14 ottobre 1647 si verificò nel <lb></lb>delirio che riuscì fatale ad EVANGELISTA TORRICELLI fu <lb></lb>concesso all'eminente scienziato di dettare, all'incompara<lb></lb>bile suo amico SERENAI, alcune disposizioni relative ai suoi <lb></lb>averi e di dare forma legale alle sue ultime volontà . <lb></lb>Mentre per noi ben poco interesse presenta il sapere in <lb></lb>qual modo egli abbia diviso le proprie sostanze, possiedono <lb></lb>la massima importanza le disposizioni relative alla sorte <lb></lb>futura dei lavori scientifici a cui la morte inattesa gli <lb></lb>vietò di dare forma ed assetto definitivi; giova pertanto <lb></lb>riferirle: </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Nel testamento si legge quanto segue: </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">“ Item ordina al sopradetto Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Lodovico suo esecu<lb></lb>tore che quanto prima, seguita sua morte, trasmetta e <lb></lb>mandi a spese della sua eredità al M. R. P. fra Bonaven<lb></lb>tura Cavalieri Matematico dello Studio di Bologna tutti <lb></lb>i suoi scritti, studii e fatiche di Geometria quali aveva <lb></lb>disegnato di pubblicare alla stampa, essendo già ordinate <lb></lb>con le dimostrazioni promesse, acciocchè detto Padre fra <pb pagenum="XVI"></pb>Bonaventura ne pubblichi quella quantita che a esso libe<lb></lb>ramente parrà o piacerà, et il restante li mandi a Roma <lb></lb>al Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Michelangelo Ricci gentiluomo splendidissimo et <lb></lb>amicissimo di detto Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Testatore et intendentissimo di <lb></lb>queste scienze, acciò li metta insieme e li pubblichi, come <lb></lb>meglio ha significate et ordinate in vece al medesimo <lb></lb>Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> esecutore. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Fra le quali scritture di Geometria detto <lb></lb>Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Testatore intende che restino comprese lettere e ri<lb></lb>sposte passate fra lui e i Matematici di Francia ”. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">D'accordo ed a complemento di tali ordini stanno al<lb></lb>cuni <emph type="italics"></emph>Ricordi<emph.end type="italics"></emph.end> dettati al Serenai, ove fra l'altro è avver<lb></lb>tito che </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">“ nell'ultima parte del Proemio del libro delle Propor<lb></lb>zioni vi è il Compendio e Indice delle mie altre opere, di <lb></lb>quelle che io stimava ” </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">e riguardo al segreto per la fabbricazione dei vetri <lb></lb>è detto: </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">“ Dettogli: che vuol ella fare del suo segreto delli oc<lb></lb>chiali? </foreign></s><s><foreign lang="it">Il negozio e segreto dei vetri non occorre neanche <lb></lb>mettercelo , perchè io farò che questa mattina sia in <lb></lb>mano al Gran Duca serrato: ma ha fatto male S. A. a <lb></lb>non mi far lavorare in sua presenza, perchè avrebbe ve<lb></lb>duto e imparato meglio; e non troverà chi lo faccia. </foreign></s><s><foreign lang="it">Le <lb></lb>forme di vetri fatte da me con grandissima diligenza, che <lb></lb>S. A. non ne troverà, le lascio alla stessa Altezza S.; e <lb></lb>perchè mi costano molti denari, avendole fatte fare in <lb></lb>Galleria, dove sempre ho pagato e date mance larghissime, <lb></lb>desidero che S. A. se ne mostri benigno con i poveri miei <lb></lb>fratelli per quanto le parrà che elle vaglino ”. </foreign></s></p> <pb pagenum="XVII"></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>VI. — <emph type="italics"></emph>Alla ricerca di un editore.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">La consegna al Gran Duca di tutto il materiale ottico <lb></lb>relitto dal Torricelli venne eseguita dal SERENAI la sera <lb></lb>stessa del 27 ottobre 1647; in che cosa consistesse risulta <lb></lb>da un particolareggiato Elenco degli oggetti rimessi al <lb></lb>Sovrano, del quale esiste tuttora una copia . </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Esaurita questa parte, la più agevole, della missione <lb></lb>affidatagli dal compianto amico, il SERENAI si volse sen<lb></lb>z'indugio a preparare la stampa degli scritti lasciati inediti <lb></lb>dal TORRICELLI, tanto più fervorosamente avendo avuta <lb></lb>l'assicurazione da parte del Gran Duca Ferdinando II che <lb></lb>egli stesso avrebbe sostenute le spese della stampa. </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Le trattative col CAVALIERI si può dire che finirono <lb></lb>prima di venire iniziate; chè, avendo il SERENAI scritto <lb></lb>al geometra degli indivisibili sino dal 26 ottobre 1647 per <lb></lb>partecipargli la morte del TORRICELLI , ne ebbe risposta <lb></lb>di mano di un confratello, fra PLACIDO GHIRLANDI , <lb></lb>nella quale è detto che le condizioni di salute del CAVA<lb></lb>LIERI, da cattive che erano da molto tempo, si erano fatte <lb></lb>allarmanti: nè in tale apprezzamento vi era alcuna esage<lb></lb>razione, chè il giorno 30 del seguente novembre il CAVA<lb></lb>LIERI passava a miglior vita. </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Il SERENAI volse allora il proprio pensiero a MICHE<lb></lb>LANGELO RICCI e, per assicurarsi la sua collaborazione, <lb></lb>pregò il MAGIOTTI (con lettere del 30 novembre e del 21 <lb></lb>dicembre 1647 ) di assumere la parte di intermediario; <lb></lb>il MAGIOTTI non rimase sordo alla preghiera dell'amico <lb></lb>(come risulta dalle risposte inviate il 15 dicembre 1647 <lb></lb>ed il 10 gennaio 1648 ), ma con esito ben poco soddi<lb></lb>sfacente. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Tentò allora il SERENAI un assalto diretto alla <pb pagenum="XVIII"></pb>troppo ben difesa fortezza , ma, con dolore dovette ri<lb></lb>conoscere ben presto che questa era inespugnabile: ciò è <lb></lb>attestato nel modo più chiaro dal seguente brano di let<lb></lb>tera inviata dal RICCI al SERENAI addì 11 aprile 1648 : </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">“ Quel fervore, col quale gli anni passati intrapresi lo <lb></lb>studio delle Matematiche, incominciò ad intiepidirsi alcuni <lb></lb>mesi prima che morisse la buona memoria del Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Tor<lb></lb>ricelli, e dopo la sua morte è di maniera diminuito che <lb></lb>sento più tosto repugnanza che diletto nell'applicarmivi. </foreign></s><s><foreign lang="it"><lb></lb>Questo però non sarebbe sufficiente a ritardarmi da quel<lb></lb>l'impresa, alla quale mi aveva destinato il Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Vangelista, <lb></lb>in riguardo forse di lasciare in sua morte un memorabile <lb></lb>onore nella persona d'un suo discepolo, e servitore affe<lb></lb>zionat.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end>, cioè dichiarandomi abile alla revisione delle sue <lb></lb>degniss.<emph type="sup"></emph>me<emph.end type="sup"></emph.end> speculazioni: ma per il peso accresciutomi sù <lb></lb>le spalle per la morte di mio Zio, seguita sotto il 15 di <lb></lb>Gennaro, e per la grande età di mio Padre, restando sotto <lb></lb>la mia direzione quasi in tutto gli affari di mia casa; sono <lb></lb>talm.<emph type="sup"></emph>te<emph.end type="sup"></emph.end> occupato che nella varietà d'altri pensieri non <lb></lb>hanno luogo i concetti Geometrici, che richiedono per se <lb></lb>stessi tutto l'ingegno, e la fantasia. </foreign></s><s><foreign lang="it">Dirò di vantaggio che <lb></lb>nei tre mesi decorsi dell'anno corrente sono stato quasi <lb></lb>sempre indisposto, et inetto alle fatiche della mente; per <lb></lb>le quali cose parmi di avere tanta ragione, e scusa che <lb></lb>V. S. possa rendersi persuasa della difficoltà grandiss.<emph type="sup"></emph>ma<emph.end type="sup"></emph.end>, <lb></lb>che forse potrebbesi e con altro titolo chiamare impossi<lb></lb>bilità, la quale mi fa ricusare la carica di ripulir le opere <lb></lb>del Sig. Torricelli ”. </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Dolente per questo nuovo insuccesso, ma non scorag<lb></lb>giato, parve al SERENAI che il MAGIOTTI fosse persona <lb></lb>indicatissima per assumere l'ufficio a cui il TORRICELLI <lb></lb>aveva destinati il CAVALIERI ed il RICCI e si cullò nella <lb></lb>dolce illusione di potere giungere a persuaderlo ad addos<lb></lb>sarselo in occasione di una visita che quel valentuomo <lb></lb>aveva in animo di fare ad un proprio fratello residente in <pb pagenum="XIX"></pb>Firenze ; ma, per ragioni che ignoriamo, anche il MA<lb></lb>GIOTTI declinò l'onorevole ma gravosissimo incarico. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Il seguito delle spinose trattative è narrato dal SERENAI <lb></lb>con le seguenti parole : </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">“ Mancandomi pertanto così gran capitale di questi <lb></lb>due matematici e sapendo che tra i veri e buoni Amici <lb></lb>che si acquistasse quì il Torricelli il primo era stato Vin<lb></lb>cenzo Viviani, in quel tempo che vivevano amendue in<lb></lb>sieme ospiti e commensali del medesimo Galileo e avendo <lb></lb>veduto poi con quanto amore e con qual reciproca fami<lb></lb>gliarità si praticassero continuamente; ricorsi a questo <lb></lb>pregandolo contentarsi di faticare sopra le opere geome<lb></lb>triche lasciate in confuso e imperfette dall'Amico nostro, <lb></lb>ma egli per lungo tempo ricusò sempre, dicendo non co<lb></lb>noscersi abile a tanta impresa e quando ne fusse stato <lb></lb>non aver tempo da impiegarvelo stante le sue occupazioni <lb></lb>domestiche e negli affari pubblici e in servigio di S. A. che <lb></lb>già un tempo gli impedirono di proseguire i suoi propri <lb></lb>studi nonchè applicare agli altri, soggiungendomi altri <lb></lb>vari motivi che lo dissuadevano dall'intraprendere questo <lb></lb>lavoro. </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">“ Infine dopo reiterati assalti cedè alle istanze mie e <lb></lb>di altri Amici accettando il travagliare sopra tali mano<lb></lb>scritti in quei tempi che gli fossero restati liberi e quieti <lb></lb>come diceva richiedersi per lui in simili speculazioni; ma <lb></lb>però mi protestò apertamente che volentieri per far cosa <lb></lb>grata a me e servire alla memoria del comune amico ac<lb></lb>consentiva di faticarci, ma che siccome ciò faceva senza <lb></lb>alcun fine e speranza nè di guadagno nè di premio nè di <lb></lb>lode, così voleva almeno assicurarsi di non esporre abben<lb></lb>chè minimo sospetto la sua lealtà, e che però si dichiarava <lb></lb>di non voler mai nelle sue mani alcun benchè piccolo fo<lb></lb>gliuzzo degli Originali del Torricelli, con tutto che nume<lb></lb>rati, nè assai nè poco maneggiarli per tempo alcuno, ma <pb pagenum="XX"></pb>che voleva solamente le copie puntuali con le figure foglio <lb></lb>per foglio come appresso di me si trovavano. </foreign></s> <s><foreign lang="it">A proposi<lb></lb>zione tanto rispettosa e discreta non seppi che replicare, <lb></lb>anzi questa m'insinuò di fare le copie domandate di mia <lb></lb>mano propria, come veramente con mia fatica incredibile <lb></lb>io lo feci di tutti gli originali matematici imitando giu<lb></lb>stamente, anzi dipingendo tutte le figure, non tanto le ben <lb></lb>fatte quanto le guaste e cassate, e ogni parola dello scritto <lb></lb>ancorchè cancellata ” . </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Quando si tenga presente che molti manoscritti del <lb></lb>TORRICELLI consistevano di semplici appunti da lui rapida<lb></lb>mente presi nel corso delle sue ricerche, mentre altri rap<lb></lb>presentano prime stesure di lavori, alle quali erano indi<lb></lb>spensabili molteplici miglioramenti di sostanza e di forma, <lb></lb>e che il SERENAI era un giureconsulto di grande reputa<lb></lb>zione , ma affatto digiuno di studi matematici, si vedrà <lb></lb>chiaramente che la fatica a cui egli spontaneamente si <lb></lb>sobbarcava (e che occupò tutti i suoi ozi durante quattro <lb></lb>lunghi anni ) è la più eroica prova di amore per la <lb></lb>scienza e di disinteressata amicizia per un illustre defunto <lb></lb>che si trovi registrata nella storia. </foreign></s><s><foreign lang="it">Tante pene avrebbero <lb></lb>ben meritato l'unico guiderdone che il SERENAI ne atten<lb></lb>deva, quello cioè di vedere esaudito l'ardente voto formu<lb></lb>lato dal TORRICELLI sul suo letto di morte; ma anche esso <lb></lb>fu negato da una sorte implacabilmente avversa! </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Non è da credersi che il VIVIANI di deliberato proposito <lb></lb>sia venuto meno all'impegno che aveva assunto; la rac- <pb pagenum="XXI"></pb>colta fiorentina consacrata ai “ <emph type="italics"></emph>Discepoli di Galileo<emph.end type="italics"></emph.end> ” sta a <lb></lb>provare quante ore di lavoro egli abbia speso a riordinare, <lb></lb>compilare, commentare, trascrivere le opere del diletto <lb></lb>commilitone ; ma sia che fosse distratto da indagini <lb></lb>sue proprie o quasi totalmente assorbito dalle altre cariche <lb></lb>affidategli, sia che le frequenti malattie gli vietassero con<lb></lb>tinuità di lavoro o che preferisse dedicare alla memoria del <lb></lb>suo venerato maestro GALILEO il meglio delle sue forze, sia <lb></lb>finalmente che, anche in questa contingenza, non gli riu<lb></lb>scisse di vincere la proverbiale incontentabilità che lo in<lb></lb>duceva a correggere, rifare, trascrivere un numero stermi<lb></lb>nato di volte tutto ciò che uscivagli dalla penna, fatto sta <lb></lb>che egli scese nella tomba prima che l'augurata edizione <lb></lb>si avviasse verso un lontano indizio di attuazione . </foreign></s> </p> <pb pagenum="XXII"></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ed il SERENAI, probabilmente avvedendosi della cattiva <lb></lb>piega che stava prendendo l'impresa a cui aveva dedicata <lb></lb>la vita e sentendo approssimarsi la propria fine, nel testa<lb></lb>mento dettato il 26 settembre 1674 disponeva che tutti <lb></lb>i manoscritti torricelliani fossero consegnati ad AGOSTINO <lb></lb>NELLI e, in caso di morte di costui, a RIDOLFO PAGANELLI, <lb></lb>oppure, nell'ipotesi che anche questi premorisse al testa<lb></lb>tore, a CARLO DATI, in ogni caso a disposizione del VI<lb></lb>VIANI in servizio della progettata edizione: uscita questa <lb></lb>in luce tutte quelle carte dovevano essere (come da tempo <lb></lb>aveva consigliato il VIVIANI) consegnato al Gran Duca <lb></lb>regnante per venire depositato nella Libreria medicea di <lb></lb>S. Lorenzo. </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Il 28 febbraio 1685 il SERENAI cessava di vivere ed il <lb></lb>VIVIANI lo seguiva nel sepolcro addì 22 settembre 1703. <lb></lb>In conseguenza le speranze nutrite a lungo e con buon <lb></lb>fondamento, che tutte le scoperte fatte dal TORRICELLI <lb></lb>venissero poste a disposizione degli studiosi, a maggior <lb></lb>gloria di lui ed a vantaggio della scienza, erano, almeno <lb></lb>pel il momento, irreparabilmente deluse; per colmo di scia<lb></lb>gura anche le provvide disposizioni prese dal SERENAI <lb></lb>onde assicurare la perfetta conservazione dei manoscritti, <lb></lb>non sortirono il desiderato effetto, come ci apprestiamo a <lb></lb>narrare brevemente . </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>VII. — <emph type="italics"></emph>Vicissitudini subite dai manoscritti torricelliani.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Morto AGOSTINO NELLI, il figliuol suo GIOVANNI BAT<lb></lb>TISTA, discepolo ed amico del VIVIANI, indusse questi ad <lb></lb>assumere la custodia di tutti i manoscritti che il SERENAI <lb></lb>aveva ricevuti in deposito fiduciario dal suo compianto <lb></lb>amico. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Tale adesione non può non recare grande mera- <pb pagenum="XXIII"></pb>viglia a chi ricordi l'invincibile riluttanza che il VIVIANI <lb></lb>aveva da giovane sentita e manifestata di assumere la <lb></lb>grave responsabilità di un siffatto deposito. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma ancor più <lb></lb>stupefacente è il fatto che egli, sentendo approssimarsi la <lb></lb>grande ombra, mentre diede precise disposizioni a tutela <lb></lb>delle ricchissime collezioni di libri e di quadri dei quali <lb></lb>era legittimo proprietario, non fece alcun cenno del tesoro <lb></lb>di cui un capriccio della sorte (sempre nemica al TORRI<lb></lb>CELLI) avevalo fatto depositario. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Questa negligenza imperdonabile, e che non riusciamo <lb></lb>a non chiamare colpevole, visti i deplorevoli effetti che <lb></lb>ebbe, proietta sopra la figura morale del VIVIANI una <lb></lb>luce ancor più tetra di quanto sia il mancato impegno di <lb></lb>pubblicare gli scritti inediti del suo commensale di gio<lb></lb>ventù. </foreign></s><s><foreign lang="it">In conseguenza di quella dimenticanza (che vo<lb></lb>gliamo giudicare pura e semplice conseguenza di senile <lb></lb>amnesia) i manoscritti torricelliani passarono, insieme ad <lb></lb>altre carte, in eredità, come mobili, all'abate JACOPO PAN<lb></lb>ZANINI (nipote del VIVIANI e lettore di matematica nello <lb></lb>studio fiorentino) e, morto costui (1733), ai suoi nipoti <lb></lb>CARLO ed ANGELO, i quali nell'incapacità di comprenderne <lb></lb>il valore, un brutto giorno, per fare spazio in armadi so<lb></lb>verchiamente ingombri di biancheria, ne vendettero una <lb></lb>parte ad un pizzicagnolo. “ Le vie di Dio son molte ” di<lb></lb>remo con ALESSANDRO MANZONI; giacchè fortuna volle che <lb></lb>quel negoziante, ignaro dei più elementari precetti del<lb></lb>l'igiene, si servisse di un autografo del Galilei per avvol<lb></lb>gere una piccola quantità di mortadella da lui venduta a <lb></lb>G. B. CLEMENTE NELLI; questi riconobbe subito la scrit<lb></lb>tura del celebre scienziato e, per il tramite di quel pizzi<lb></lb>cagnolo, si pose in relazione con i PANZANINI e riuscì ad <lb></lb>acquistare in blocco tutto il materiale scientifico del quale <lb></lb>essi a torto, benchè senza alcuna colpa, si consideravano <lb></lb>legittimi proprietari. </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ora dal paragone dell'inventario redatto dal NELLI di <lb></lb>tutti gli scritti del TORRICELLI da lui comperati con <pb pagenum="XXIV"></pb>l'<emph type="italics"></emph>Elenco delle Opere inedite<emph.end type="italics"></emph.end> del TORRICELLI compilato dal <lb></lb>SERENAI con l'aiuto del VIVIANI risulta (fatto incredi<lb></lb>bile, ma pur vero) che, durante le traversie subìte da quei <lb></lb>manoscritti, se pure essi subirono qualche perdita, si tratta <lb></lb>di cosa pressochè insignificante. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Giunto in possesso di tanto tesoro pensò il NELLI di <lb></lb>mostrarsi meritevole dell'insperata fortuna toccatagli col <lb></lb>portare a compimento la desideratissima edizione delle <lb></lb><emph type="italics"></emph>Opere inedite<emph.end type="italics"></emph.end> del TORRICELLI; mise anche mano ai lavori <lb></lb>preparatori, ma sgraziatamente non potè toccare l'ago<lb></lb>gnata mèta. </foreign></s><s><foreign lang="it">Però, quando ebbe a perdere la speranza di <lb></lb>raggiungerla, provvide a che quel tesoro non fosse una <lb></lb>nuova volta esposto ad essere disperso; a tale scopo, nel <lb></lb>testamento da lui dettato il 14 dicembre 1793, impose ai <lb></lb>propri eredi che, qualora pensassero di alienarlo, prima di <lb></lb>trattare la vendita con privati, lo offrissero al Gran Duca <lb></lb>di Toscana; ora le meno floride condizioni finanziarie della <lb></lb>famiglia NELLI avendo consigliata tale vendita, nell'ot<lb></lb>tobre del 1818 Ferdinando III, che deteneva allora lo <lb></lb>scettro, esercitando il diritto di prelazione che eragli stato <lb></lb>fortunatamente conferito, entrò in possesso di quella ine<lb></lb>stimabile suppellettile scientifica, corrispondendo alla fa<lb></lb>miglia NELLI la somma di zecchini 1046, nella quale le <lb></lb>opere del TORRICELLI venivano valutate 80 zecchini. </foreign></s><s><foreign lang="it">Così <lb></lb>finalmente gli scritti del sommo faentino toccavano un <lb></lb>porto sicuro! Essi, nel 1861, passarono dalla Biblioteca <lb></lb>Palatina alla Nazionale di Firenze, e, con gli altri scritti <lb></lb>dell'epoca, diedero origine alla collezione dei “ <emph type="italics"></emph>Discepoli di <lb></lb>Galileo<emph.end type="italics"></emph.end> ” da noi tante volte ricordata e che, per avventura, <lb></lb>è la più importante del genere che esista nel mondo . </foreign></s></p> <pb pagenum="XXV"></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>VIII. — <emph type="italics"></emph>Pubblicazioni parziali di lavori torricelliani.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ma nel frattempo alcuni scritti nel Nostro avevano <lb></lb>vista la luce in differenti epoche ed in varie occasioni. </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Anzitutto, sino dal 1674 il VIVIANI, col consenso del <lb></lb>SERENAI , pubblicava tre teoremi dell'opuscolo <emph type="italics"></emph>De pro<lb></lb>porlionibus<emph.end type="italics"></emph.end> nel corpo della nota sua opera <emph type="italics"></emph>Quinto Libro <lb></lb>degli Elementi di Euclide ovvero Scienza universale delle <lb></lb>Proporzioni spiegata con la dottrina del Galileo<emph.end type="italics"></emph.end> (Firenze). </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Inoltre nel 1715 — come abbiamo già avuto occasione <lb></lb>di accennare — uscivano stampate le <emph type="italics"></emph>Lezioni accademiche,<emph.end type="italics"></emph.end><lb></lb>per merito di TOMMASO BUONAVENTURI, il benemerito eru<lb></lb>dito che, col concorso di GUIDO GRANDI, BENEDETTO BRE<lb></lb>SCIANI e GIUSEPPE AVERANI curò la prima edizione fio<lb></lb>rentina delle <emph type="italics"></emph>Opere<emph.end type="italics"></emph.end> di GALILEO: non è forse fuor di luogo <lb></lb>di rilevare, a scanso di equivoci, che per condurre a ter<lb></lb>mine questa importante pubblicazione il BUONAVENTURI <lb></lb>si giovò di materiali passati direttamente dalle mani del <lb></lb>SERENAI alla Libreria di palazzo Pitti. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Gli stessi docu<lb></lb>menti resero possibile che le scritture del Nostro <emph type="italics"></emph>Sopra <lb></lb>la bonificazione della Valle di Chiana<emph.end type="italics"></emph.end> fossero nel 1768 in<lb></lb>seriti nel T. IV della celebre <emph type="italics"></emph>Raccolta d'autori che trattano <lb></lb>del moto delle acque<emph.end type="italics"></emph.end> e che dieci anni più tardi, giun<lb></lb>gesse in dominio del pubblico, come Appendice alla bio<lb></lb>grafia del Torricelli scritta da A. FABBRONI, il <emph type="italics"></emph>Racconto <lb></lb>d'alcune proposizioni proposte e passate scambievolmente tra <lb></lb>matematici di Francia e me dall'anno 1640, in qua<emph.end type="italics"></emph.end> . Nè <pb pagenum="XXVI"></pb>è da credersi che alla pubblicazione integrale delle <emph type="italics"></emph>Opere<emph.end type="italics"></emph.end><lb></lb>del TORRICELLI si fosse in quell'epoca del tutto rinunziato; <lb></lb>giacchè da una lettera scritta da P. FRISI appunto al <lb></lb>FABBRONI il 3 settembre 1774 si apprende che allora <lb></lb>vi volgeva la mente un certo GIANNINI (forse il noto ma<lb></lb>tematico toscano PIETRO GIANNINI); ma, come ignoriamo <lb></lb>i particolari di questo progetto, ci sono ignote le ragioni <lb></lb>per le quali esso venne abbandonato. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Nessun nuovo piano dello stesso genere venne escogi<lb></lb>tato, per quanto ci consta, durante il secolo XIX. Però, <lb></lb>inaugurandosi nel 1864 un monumento marmoreo al TOR<lb></lb>RICELLI nella nativa Faenza, furono da G. GHINASSI pub<lb></lb>blicate, asssieme ad altri documenti, alcuni elementi inte<lb></lb>ressanti del suo carteggio scientifico . All'inesauribile <lb></lb>munificenza di BALDASSARRE BUONCOMPAGNI si deve la <lb></lb>pubblicazione, avvenuta undici anni dopo, di altre impor<lb></lb>tanti sezioni del medesimo carteggio . Ancora: una <pb pagenum="XXVII"></pb>lettera del Torricelli si trova in una pubblicazione di <lb></lb>C. HENRY e nel corso degli anni 1891-98 moltissimi <lb></lb>squarci delle <emph type="italics"></emph>Opere inedite<emph.end type="italics"></emph.end> del TORRICELLI furono inseriti <lb></lb>dal CAVERNI nei primi cinque volumi della sua <emph type="italics"></emph>Storia del <lb></lb>metodo sperimentale in Italia,<emph.end type="italics"></emph.end> opera che (non è fuor di luogo <lb></lb>notarlo) conviene usare con somma cautela, chè troppo <lb></lb>spesso il desiderio di denigrare Galileo offusca nell'autore <lb></lb>la serenità del giudizio e l'onestà storica . Finalmente <lb></lb>allo spirare del secolo scorso giungevano in dominio del <lb></lb>pubblico gli studi del TORRICELLI sulla spirale logarit<lb></lb>mica , importante saggio delle sue ricerche sopra “ de <lb></lb>lineis novis ”, a cui egli attribuiva tanta importanza. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ne va dimenticato e taciuto che le indagini amoro<lb></lb>samente condotte sopra le opere già edite guidarono a <lb></lb>rivendicare al TORRICELLI la scoperta del metodo delle <lb></lb>tangenti che porta il nome del ROBERVAL e la gloria <lb></lb>di avere scoperta la prima curva esattamente rettifica<lb></lb>bile . Da ultimo l'importanza dei risultati da lui otte<lb></lb>nuti studiando il celebre problema di FERMAT “ ricerca <lb></lb>del punto nel piano di un triangolo per cui è minima la <lb></lb>somma delle distanze dai vertici ” consigliarono a chia<lb></lb>mare <emph type="italics"></emph>circonferenze di Torricelli<emph.end type="italics"></emph.end> quelle che servono a risol<lb></lb>verlo e <emph type="italics"></emph>punto di Torricelli<emph.end type="italics"></emph.end> quello che ne rappresenta <lb></lb>la soluzione . </foreign></s></p> <pb pagenum="XXVIII"></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>IX. — <emph type="italics"></emph>Risorge il progetto d'un'edizione completa.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Questi vari fatti, mentre ragionevolmente alimentavano <lb></lb>la speranza che altre gemme fossero tuttora sepolte nei <lb></lb>manoscritti lasciati dal sommo faentino, sembravano im<lb></lb>porre all'Italia risorta un duplice preciso dovere, senti<lb></lb>mentale e scientifico, cioè di soddisfare l'ardente voto <lb></lb>espresso sul letto di morte da uno dei più illustri fra i <lb></lb>suoi figli e di porre a disposizione di tutti i documenti <lb></lb>autentici, atti a costituire i “ considerando ” della sentenza <lb></lb>in ultima istanza relativa alle spinose questioni di pro<lb></lb>prietà e priorità che egli aveva dovuto sostenere con ma<lb></lb>tematici ultramontani del tempo suo. </foreign></s><s><foreign lang="it">La convinzione del<lb></lb>l'imprescindibilità di siffatto dovere spinse chi scrive ad <lb></lb>esporre per esteso in occasione del Congresso internazio<lb></lb>nale di scienze storiche che ebbe luogo a Roma nella <lb></lb>prima decade dell'aprile 1903 i vari ordini di ragioni che <lb></lb>consigliano, e fors'anche impongono, alla patria nostra, il <lb></lb>còmpito di continuare nella via in cui essa si pose provve<lb></lb>dendo ad una edizione nazionale, veramente degna, delle <lb></lb><emph type="italics"></emph>Opere<emph.end type="italics"></emph.end> di GALILEO, col decretare le stesse postume onore <lb></lb>a colui che ebbe a succedergli nella cattedra dello Studio <lb></lb>fiorentino . </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Questa proposta riscossa l'unanime adesione dei pre<lb></lb>senti (fra i quali si trovava P. TANNERY, l'illustre storico <lb></lb>francese che così efficacemente contribuì al buon esito della <lb></lb>pubblicazione delle <emph type="italics"></emph>Opere<emph.end type="italics"></emph.end> di FERMAT e di DESCARTES), i <lb></lb>quali, nella seduta del 6 aprile 1903 concordi votarono il <lb></lb>seguente ordine del giorno: </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">“ La Sezione VIII del Congresso internazionale di <lb></lb>scienze storiche (Roma, 1903) fa voti che il governo di <lb></lb>S. M. il Re d'Italia affidi alla R. Accademia dei Lincei <lb></lb>il còmpito di esaminare le opere manoscritte di Evange<lb></lb>lista Torricelli nell'intento di determinare quali fra esse <pb pagenum="XXIX"></pb>siano meritevoli di stampa; e di presiedere alla pubblica<lb></lb>zione completa di tutte le opere di lui già edite e di quelle <lb></lb>inedite, giudicatene degne, senza escludere il suo carteg<lb></lb>gio scientifico, completando così il lavoro intrapreso con <lb></lb>la edizione nazionale delle opere del Galilei ”. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Nell'intento di rendere possibile l'esaudimento di tal <lb></lb>voto senza alcun momentaneo aggravio per il bilancio <lb></lb>dello Stato, il nostro Ministero della pubblica istruzione, <lb></lb>in principio dell'anno scolastico 1904-05, trasferì da Como <lb></lb>a Firenze GIOVANNI VAILATI, onde egli dedicasse tutte <lb></lb>le ore lasciategli libere dall'insegnamento della matema<lb></lb>tica in quell'Istituto tecnico all'esame preliminare dei <lb></lb>manoscritti torricelliani esistenti in quella Biblioteca Na<lb></lb>zionale. </foreign></s><s><foreign lang="it">Ci è ignoto sino a quale punto il sempre rim<lb></lb>pianto studioso spingesse la sua opera investigatrice; ma <lb></lb>questa venne ben presto bruscamente interrotta quando, <lb></lb>instituita con R. Decreto 19 novembre 1905 la ben nota <lb></lb><emph type="italics"></emph>Commissione per l'ordinamento degli studi secondari in <lb></lb>Italia,<emph.end type="italics"></emph.end> il VAILATI fu chiamato a farne parte; onore da lui <lb></lb>ben meritato, ma che a ragione pareva racchiudere la mi<lb></lb>naccia di un rinvio “ sine die ” dell'esecuzione della de<lb></lb>siderata edizione. </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Si approssimava intanto il III Centenario della nascita <lb></lb>del grande scienziato; e GIUSEPPE VASSURA, nel mentre <lb></lb>a nome del Municipio di Faenza invitava la Società Ita<lb></lb>liana di fisica a tenere nel 1908 il suo Congresso a Fa<lb></lb>enza, chiedeva venisse emesso un nuovo voto a favore <lb></lb>della pubblicazione delle <emph type="italics"></emph>Opere<emph.end type="italics"></emph.end> del TORRICELLI; tale lo<lb></lb>devole iniziativa trovò favorevole accoglienza e, nella se<lb></lb>duta del 27 aprile 1906, dopo elevata discussione, venne <lb></lb>ad unanimità presa la seguente deliberazione: </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">“ Il Congresso della Società Italiana di fisica tenutosi <lb></lb>in Roma nel 1906 sollecita il governo a dare appoggi ma<lb></lb>teriali e morali affinchè le opere di Evangelista Torricelli <lb></lb>vengano sollecitamente pubblicate ”. </foreign></s></p> <pb pagenum="XXX"></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ma neppure questa nuova autorevole esortazione fu <lb></lb>sufficiente a convincere il nostro governo che l'invocata <lb></lb>pubblicazione costituiva un debito di gratitudine verso chi <lb></lb>aveva onorata la patria conservandole, per qualche tempo <lb></lb>dopo la morte di GALILEO, un primato che gli stranieri <lb></lb>avevano dovuto riconoscere all'Italia. </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>X. — <emph type="italics"></emph>La presente edizione.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">A far ciò volse il pensiero il Comune di Faenza in <lb></lb>occasione del III Centenario della nascita dell'inventor <lb></lb>del barometro, affidando l'incarico di condurre a termine <lb></lb>la nobile e meritoria impresa a GIUSEPPE VASSURA . <lb></lb>Con quali criteri egli abbia deciso di adempiere il mandato <lb></lb>ricevuto venne da lui stesso esposto in due pubblicazioni <lb></lb>che da tempo si trovano a disposizione degli studiosi . <lb></lb>A noi basta rilevare quì che a lui appartiene la riparti<lb></lb>zione di tutto il materiale da pubblicarsi in tre volumi, <lb></lb>il I destinato ad accogliere tutte le <emph type="italics"></emph>Opere geometriche<emph.end type="italics"></emph.end> già <lb></lb>edite od in istato da potere venire utilmente pubblicate; <lb></lb>il II alle <emph type="italics"></emph>Lezioni accademiche,<emph.end type="italics"></emph.end> la <emph type="italics"></emph>Meccanica<emph.end type="italics"></emph.end> e <emph type="italics"></emph>Scritti vari;<emph.end type="italics"></emph.end><lb></lb>il III riserbato al <emph type="italics"></emph>Carteggio scientifico.<emph.end type="italics"></emph.end> E poichè in circa <lb></lb>quattro anni di assiduo lavoro egli portò a compimento i <lb></lb>volumi II e III così era generale la fiducia che si fosse <lb></lb>finalmente scoperta la via capace di porgere la sospirata <lb></lb>soluzione della secolare questione. </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Se non che, allontanatosi il VASSURA dalla sua città <lb></lb>natale sullo scorcio dell'anno 1912, sorse inatteso e spa<lb></lb>ventoso ostacolo contro il compimento dell'iniziata edi<lb></lb>zione. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Nell'intento di sormontarlo il Comune di Faenza — <lb></lb>dietro suggerimento dello stesso VASSURA — rivolse a <pb pagenum="XXXI"></pb>me l'invito terribilmente onorevole di curare la pubblica<lb></lb>zione del Volume delle <emph type="italics"></emph>Opere<emph.end type="italics"></emph.end> del TORRICELLI dedicato <lb></lb>alla Geometria, cioè, in complesso, di tutti i suoi lavori <lb></lb>inediti. </foreign></s> <s>La gravità di tale missione e l'assoluta impossi<lb></lb>bilità da parte mia di allontanarmi per lungo tempo dalla <lb></lb>mia consueta residenza, ove mi trattengono sempre im<lb></lb>prescindibili doveri d'ufficio, mi lasciarono lungamente in <lb></lb>dubbio intorno alla deliberazione da prendere. </s> <s><foreign lang="it">Finalmente, <lb></lb>da un lato il desiderio di contribuire all'esaudimento di <lb></lb>un desiderio che era espressione di un grande interesse <lb></lb>scientifico e nazionale; e dall'altro l'avere il VASSURA <lb></lb>poste a mia disposizione le copie eseguite sotto la sua <lb></lb>direzione dei lavori torricelliani conservati a Firenze e <lb></lb>di altri importanti documenti relativi ed il fatto che io <lb></lb>trovai nel dott. </foreign></s> <s>C. MOCARINI, dell'Archivio di Stato di <lb></lb>Firenze, persona capace e disposta a collazionare ed even<lb></lb>tualmente completare le copie anzidette, finirono col vin<lb></lb>cere la mia troppo giustificata esitazione. </s> <s><foreign lang="it">Ed ora, superate <lb></lb>le difficoltà di ogni genere che intralciarono più e più <lb></lb>volte la regolarità del mio procedere (difficoltà che l'im<lb></lb>mane guerra delle nazioni in parte creò ed in parte acuì) <lb></lb>mi è dato chiudere la mia fatica presentando al pubblico, <lb></lb>in unione al VASSURA, le <emph type="italics"></emph>Opere<emph.end type="italics"></emph.end> di E. TORRICELLI, non <lb></lb>prima però di avere brevemente esposti i criteri da me <lb></lb>prescelti nella mia azione di editore . </foreign></s> </p> <pb pagenum="XXXII"></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>XI. — <emph type="italics"></emph>La presente edizione.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Le esigenze imposte ad una riproduzione per mezzo <lb></lb>della stampa di opere scientifiche sono di natura ben di<lb></lb>verse da quelle a cui deve soddisfare un lavoro analogo <lb></lb>di carattere letterario. </foreign></s> <s>Mentre in questo si richiede una <lb></lb>riproduzione diplomatica degli originali, che ne rispetti <lb></lb>persino la punteggiatura e l'ortografia, ad un'edizione di <lb></lb>scritti scientifici si domanda soltanto che vengano religio<lb></lb>samente conservati e fedelmente riprodotti le idee ed i <lb></lb>metodi. </s> <s><foreign lang="it">In conseguenza di ciò noi ci siamo astenuti dal <lb></lb>consegnare al tipografo quei frammenti torricelliani che <lb></lb>sono manifestazioni tangibili di pensieri che balenarono <lb></lb>dinnanzi alla mente dell'autore ed a cui egli non diede più <lb></lb>seguito, sia per averli poi ravvisati per “ fatica buttata <lb></lb>via ” , sia per mancanza di tempo. È il sistema che già <lb></lb>adottarono, ad esempio, gli editori di LAGRANGE, che di<lb></lb>chiararono di seguire coloro a cui fu affidato il gran<lb></lb>dioso compito di preparare la pubblicazione definitiva degli <lb></lb>scritti di LEIBNIZ e che, per ragioni ben note a tutti <lb></lb>i competenti, verrà abbandonato soltanto riguardo agli <lb></lb>scritti di LEONARDO DA VINCI. Perciò la presente edizione <lb></lb>è, nelle nostre intenzioni, <emph type="italics"></emph>completa<emph.end type="italics"></emph.end> ma non <emph type="italics"></emph>totale,<emph.end type="italics"></emph.end> confor<lb></lb>memente, d'altronde, ai voti formulati dal TORRICELLI nel <lb></lb>momento in cui preparavasi al viaggio senza ritorno, ed <lb></lb>alle intenzioni di tutti coloro che, prima di noi, si accin- <pb pagenum="XXXIII"></pb>sero a soddisfarli. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ciò, naturalmente, non esclude in alcun <lb></lb>modo che altri più oculato, possa trovare nei manoscritti <lb></lb>che si salvarono dalla minacciata dispersione, materiali <lb></lb>per aggiunte ai volumi che noi oggi sottoponiamo al giu<lb></lb>dizio del pubblico; onde questi non hanno alcuna pretesa <lb></lb>di far cessare il commovente pellegrinaggio di cui da circa <lb></lb>un secolo è oggetto l'inesauribile raccolta dei “ <emph type="italics"></emph>Discepoli <lb></lb>di Galileo<emph.end type="italics"></emph.end> ”. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">I fogli relitti dal TORRICELLI furono investigati con <lb></lb>amorosa profondità — già lo abbiamo detto e più d'una <lb></lb>volta — dal SERENAI e dal VIVIANI, i quali li ordinarono, <lb></lb>onde fare di quelli che trattano argomenti affini un tutto <lb></lb>omogeneo e degli altri un artistico mosaico . Ora delle <lb></lb>loro fatiche altamente meritorie noi abbiamo tratto il <lb></lb>massimo profitto, non soltanto nell'egoistico intento di al<lb></lb>leviare il còmpito nostro, ma perchè quei due valentuo<lb></lb>mini vanno considerati come i più coscienziosi depositari <lb></lb>ed i più fedeli interpreti del pensiero torricelliano. </foreign></s> <s>Però, <lb></lb>anche dopo tale indiscutibile perfezionamento subìto da <lb></lb>tutti quei lavori, essi raggiunsero soltanto in piccolissima <lb></lb>parte l'esattezza di forma che si esige da qualsia scritto <lb></lb>scientifico ; doveva l'editore permettersi di correggere <lb></lb>di suo arbitrio le inesattezze riscontrate e di colmare le la- <pb pagenum="XXXIV"></pb>cune da lui notate? </s> <s><foreign lang="it">A nostro avviso <emph type="italics"></emph>no;<emph.end type="italics"></emph.end> giacchè un siffatto <lb></lb>poco rispettoso ed arbitrario sistema avrebbe reso difficile, <lb></lb>e fors'anche impossibile, al lettore di avere dinnanzi una <lb></lb>fedele immagine del pensiero torricelliano; è nostra con<lb></lb>vinzione che il VIVIANI aveva vagheggiato di eseguire que<lb></lb>st'opera complementare, ma che poi l'abbandonò forse per <lb></lb>scrupoli ben giustificati; e probabilmente la vana ricerca <lb></lb>di un'altra procedura che consentisse di offrire al pubblico <lb></lb>le produzioni del suo venerato amico sotto aspetto del tutto <lb></lb>soddisfacente fu la cagione che spinse lui — che tanto <lb></lb>spesso e volontieri sacrificava alla Dea Procrastinazione — <lb></lb>a rinviare di giorno in giorno l'adempimento dell'impegno <lb></lb>assunto col SERENAI. Il procedimento indarno cercato dal<lb></lb>l'ultimo discepolo di GALILEO è forse quello a cui ai dì <lb></lb>nostri si appigliarono gli editori delle <emph type="italics"></emph>Opere<emph.end type="italics"></emph.end> dell'HUYGENS, <lb></lb>i quali, riguardo agli scritti inediti del sommo Olandese, <lb></lb>adottarono il sistema della riproduzione diplomatica, ac<lb></lb>compagnata da esaurienti commenti, sotto forma di note <lb></lb>a piè di pagina; è il sistema che noi pure avremmo pre<lb></lb>ferito ove l'edizione delle <emph type="italics"></emph>Opere<emph.end type="italics"></emph.end> di TORRICELLI, al pari di <lb></lb>quella di quel celebre scienziato, fosse stata assunta da un <lb></lb>sodalizio scientifico avente esistenza illimitata nel tempo; <lb></lb>ma, data invece l'enormità del lavoro consistente nel com<lb></lb>pletare e commentare tutti gli scritti inediti del TORRI<lb></lb>CELLI e data la brevità della vita umana, scegliendolo non <lb></lb>si sarebbe probabilmente ottenuto altro risultato che di <lb></lb>aggiungere un nuovo nome alla lunga teoria di persone <lb></lb>che tentarono indarno di porre in circolazione i frutti delle <lb></lb>elucubrazioni geometriche del celebre faentino. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Per tali ragioni noi limitammo l'opera nostra ad insi<lb></lb>gnificanti ritocchi superficiali, a qualche sobria dilucida<lb></lb>zione a piè di pagina ed al sostituire gli schizzi nervosa<lb></lb>mente tracciati dall'autore con figure effettivamente capaci <lb></lb>di chiarire i ragionamenti esposti . </foreign></s></p> <pb pagenum="XXXV"></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Coloro che prima di noi si accinsero a pubblicare gli <lb></lb>scritti di cui ci occupiamo si proposero di presentarli al <lb></lb>pubblico in modo da formare un tutto ben ordinato: pro<lb></lb>blema certo importante e bellissimo, ma che, secondo noi, <lb></lb>lo stesso autore non sarebbe stato in grado di risolvere. </foreign></s><s><foreign lang="it"><lb></lb>Infatti si tratta, non di materiali destinati a costituire <lb></lb>un'opera unica, ma sibbene di svariatissime ricerche, rag<lb></lb>gruppantisi intorno ad alcuni centri; ond'è nostro con<lb></lb>vincimento che il TORRICELLI se ne sarebbe servito per <lb></lb>scrivere parecchie memorie staccate. “ Rebus sic stanti<lb></lb>bus ” per porre un po' d'ordine a quei materiali non si <lb></lb>poteva pensare che ad un ordinamento o cronologico, o <lb></lb>in base agli argomenti trattati, o tenendo conto dei me<lb></lb>todi di ricerca usati. </foreign></s><s><foreign lang="it">Ora: </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">1. Alla cronologia è impossibile ricorrere, chè i fogli <lb></lb>lasciati dal Nostro matematico non portano date e d'al<lb></lb>tronde le sue lettere provano che, nel sessennio della sua <lb></lb>più intensa produttività (1641-1647), egli si occupava di <lb></lb>studi differenti, alternando le indagini di pura geometria <lb></lb>con esperienze di fisica e trovando riposo nelle operazioni <lb></lb>manuali che lo resero celebre nella pulitura dei vetri con <lb></lb>le ricerche baricentriche. </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">2. Alla materia si fa appello con scarso profitto, chè <lb></lb>parecchi soggetti furono da lui trattati da punti di vista <lb></lb>differenti. </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">3. Quanto al metodo d'indagine, pure essendo sempre <lb></lb>geometrico, talora è prettamente archimedeo, talora in<lb></lb>vece è ispirato alle idee del CAVALIERI; ora il comporre <lb></lb>una Sezione con i lavori scritti in istile antico ed una con <lb></lb>gli altri, avrebbe avuto come conseguenza un'evidente e <lb></lb>deplorevole violazione dell'ordine in cui si svolse il pen<lb></lb>siero dell'eminente scienziato. </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Per tutte queste ragioni noi abbiamo rinunciato ad un <lb></lb>rigoroso ordinamento di tutta la materia. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Dopo la ripro<lb></lb>duzione della parte non meccanica dell'<emph type="italics"></emph>Opera geometrica<emph.end type="italics"></emph.end> — <lb></lb>l'unica che egli potè presentare al pubblico — ponemmo un <lb></lb>brevissimo squarcio che ne costituisce un complemento, poi <lb></lb>gli scritti che, trattando nuovi problemi di contatti circo<lb></lb>lari, della teoria delle proporzioni e di svariate questioni di <pb pagenum="XXXVI"></pb>planimetria e stereometria, porgono aggiunte alla geome<lb></lb>tria elementare degli antichi. </foreign></s> <s>Altrettanto può dirsi di una <lb></lb>ricca miscellanea di teoremi semplicemente enunciati ed in <lb></lb>gran parte desunti dalla precedente raccolta. </s> <s><foreign lang="it">Seguono ad <lb></lb>essa alcune pagine che rivelano i dubbi che, nel TORRICELLI <lb></lb>od in altri, sorsero contro la geometria dell'infinito, la <lb></lb>quale rigogliosamente fioriva intorno al 1650, e che si ritro<lb></lb>vano in altro suo scritto sugli indivisibili. </foreign></s> <s>S'incontrano poi <lb></lb>le ricerche baricentriche o stereometriche relative a por<lb></lb>zioni di quàdriche rotonde. </s><s>Riunimmo finalmente le impor<lb></lb>tanti scritture relative a curve speciali le quali — secondo <lb></lb>gl'intendimenti manifestati dall'autore nell'esordio alla me<lb></lb>moria <emph type="italics"></emph>De proportionibus<emph.end type="italics"></emph.end> — dovevano essere ingredienti di <lb></lb>un'opera di lunga lena da intitolarsi <emph type="italics"></emph>De lineis novis.<emph.end type="italics"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Con l'eleggere ed adottare siffatta distribuzione delle <lb></lb>materie noi non pretendiamo di avere divinate le inten<lb></lb>zioni del TORRICELLI (dato e non concesso che egli ne <lb></lb>avesse di definitive); ci lusinghiamo, però, di non avere <lb></lb>resa impossibile la ricostruzione della genesi del suo pen<lb></lb>siero scientifico. </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>XII. — <emph type="italics"></emph>A che cosa miri la presente pubblicazione.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Nel licenziare il frutto delle nostre lunghe fatiche ci <lb></lb>si affaccia spontaneamente la tormentosa domanda quale <lb></lb>sarà l'accoglienza che esso sarà per ricevere da parte del <lb></lb>pubblico matematico. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ora ci sembra fuor di questione che <lb></lb>la presente pubblicazione costituiva da parte dell'Italia un <lb></lb>preciso dovere verso uno dei più illustri suoi figli “ onde <lb></lb>assicurare contro i danni inevitabili del tempo quelle pa<lb></lb>gine venerande, cui troppo spesso invidiano gli inchiostri <lb></lb>seicenteschi, veramente edaci della loro carta ” . Ad <lb></lb>essa però non può certamente venir fatta l'accoglienza <lb></lb>festosa che il TORRICELLI giustamente sperava quando, <lb></lb>nella tregua del delirio, raccomandava agli amici i suoi <lb></lb>lavori tuttora inediti. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Gli è che nei tre secoli ormai de<lb></lb>corsi dal giorno in cui egli scese nella tomba l'ambiente <pb pagenum="XXXVII"></pb>matematico si è totalmente e radicalmente mutato. </foreign></s> <s><foreign lang="it">I pro<lb></lb>cedimenti di cui egli si serviva sono quelli foggiati da un <lb></lb>contemporaneo di PLATONE, EUDOSSO DA CNIDO, svolti ed <lb></lb>applicati da ARCHIMEDE e trasfigurati dal CAVALIERI; anzi <lb></lb>il TORRICELLI seppe servirsene con tanta abilità e disinvol<lb></lb>tura che ben a ragione questi valentuomini avrebbero po<lb></lb>tuto additarlo alla universale estimazione dicendo: “ Ecco <lb></lb>colui che </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Mostrò ciò che potea la lingua nostra<emph.end type="italics"></emph.end> ”.<emph.end type="center"></emph.end></foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">A quei vetusti procedimenti egli si attenne con fedeltà <lb></lb>ancora più rigorosa di quanto abbia fatto il suo contem<lb></lb>poraneo HUYGENS (matematico che giova citare pei nume<lb></lb>rosi punti di contatto che presenta col Nostro ); giacchè <lb></lb>mentre questi prestò di quando in quando facile orecchio <lb></lb>alla giovane algebra che allora presentavasi circonfusa di <lb></lb>promettenti lusinghe, il TORRICELLI austeramente respinse <lb></lb>ogni sorta d'inviti per quanto seducenti, onde nella storia <lb></lb>della matematica egli ci si presenta siccome l'ultimo dei <lb></lb>puristi . Per effetto di tali spiccate caratteristiche men<lb></lb>tali Egli era destinato ad annoverare in vita molti ammi<lb></lb>ratori e alcuni seguaci, ma fatalmente doveva essere ben <lb></lb>presto lasciato in completo abbandono. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Perciò, se è indu<lb></lb>bitato che questo fenomeno si sarebbe manifestato pochi <lb></lb>decennii dopo la scomparsa del TORRICELLI — cioè dopo il <lb></lb>trionfo delle idee di DESCARTES e FERMAT, di LEIBNIZ e <pb pagenum="XXXVIII"></pb>NEWTON — non è forse matematicamente certo che esso <lb></lb>apparirà sotto forma ancora più generale in un'epoca, come <lb></lb>l'attuale, che segue il secolo di LAGRANGE ed EULERO, non<lb></lb>chè quello in cui, per opera della pleiade di matematici <lb></lb>iniziatasi con ABEL e CAUCHY e chiusa con WEIERSTRASS e <lb></lb>POINCARÉ, l'analisi matematica raggiunse un'altezza, un'e<lb></lb>stensione, un'energia che sarebbe stato follia sperare?... </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Perciò — sarebbe vano negarlo — la presente pub<lb></lb>blicazione, al pari delle analoghe che la precedettero in <lb></lb>Italia ed all'Estero, possiede un carattere, non pratico, <lb></lb>ma eminentemente storico; ad essa è affidata la nobile <lb></lb>missione di porgere al futuro storico della matematica gli <lb></lb>elementi, di cui sino ad oggi si lamentava l'assenza, per <lb></lb>lumeggiare in tutti i suoi più reposti meati il grande pe<lb></lb>riodo che prelude l'apparizione del calcolo infinitesimale e <lb></lb>per determinare il posto che spetta ai discepoli di GALILEO <lb></lb>fra i precursori dei sommi di cui vanno giustamente su<lb></lb>perbe l'Inghilterra e la Germania. </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Tuttavia, come i più recenti mezzi di locomozione non <lb></lb>fecero scomparire del tutto i dilettanti di podismo, i quali <lb></lb>a ragione sostengono come la rapidità vieti la contempla<lb></lb>zione dei particolari, così è certo che, anche in avvenire, <lb></lb>s'incontrerà sempre qualche studioso che, abbandonando <lb></lb>le formole e le funzioni generalissime della cui contem<lb></lb>plazione si compiace l'analisi moderna, ritornerà allo studio <lb></lb>diretto, cinematico e geometrico, delle figure; ebbene tale <lb></lb>presunto e desiderato investigatore, dopo di avere suc<lb></lb>chiato il più vital nutrimento dalle opere lasciateci dalla <lb></lb>classica Antichità o fiorite al caldo sole della Rinàscita, <lb></lb>trarrà inestimabili vantaggi dalle <emph type="italics"></emph>Opere<emph.end type="italics"></emph.end> di EVANGELISTA <lb></lb>TORRICELLI che la Patria riconoscente, assolvendo un de<lb></lb>bito che su di essa gravava da secoli, pone oggi a dispo<lb></lb>sizione degli studiosi di tutto il mondo. </foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="italics"></emph>Genova, aprile 1919.<emph.end type="italics"></emph.end></foreign></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">GINO LORIA. </foreign></s></p> <pb></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>DE SPHAERA <lb></lb>ET SOLIDIS SPHAERALIBUS<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>LIBRI DUO.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>IN QUIBUS ARCHIMEDIS DOCTRINA <lb></lb>DE SPHAERA ET CYLINDRO DENUO COMPONITUR, <lb></lb>LATIÙS PROMOVETUR, <lb></lb>ET IN OMNI SPECIE SOLIDORUM, QUAE VEL CIRCA, <lb></lb>VEL INTRA SPHAERAM, <lb></lb>EX CONVERSIONE POLIGONORUM REGULARIUM <lb></lb>GIGNI POSSINT, UNIVERSALIUS PROPAGATUR.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <pb></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Serenissimo Magno Duci Etruriae<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>FERDINANDO II<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="italics"></emph>Erubescerem profectò, Serenissime Magne Dux, oblaturus <lb></lb>libellum hunc Serenissimae Celsitudini Tuae, nisi haberem <lb></lb>maxima Archimedis, et Galilei nomina, quae praetendere <lb></lb>possim audaciae meae: Exigua enim sunt opuscula haec, et <lb></lb>de rebus aetate nostra neglectis, nempe Geometricis. </s><s>Attamen, <lb></lb>nisi fallor, duo maxima Geometriae opera promovebunt, cum <lb></lb>veterem De Sphaera, et Cylindro, novamque De Motu scien<lb></lb>tiam exequantur. </s><s>Sed ego frustra Geometriam excuso apud <lb></lb>eum Principem, cui non solum haereditaria, sed etiam in<lb></lb>genita est Mathematicarum disciplinarum protectio. </s><s>Serenis<lb></lb>simus enim Cosmus II Pater Tuus stipendijs celeberrimo <lb></lb>Galileo oblatis; deinde Ser. C. Tua, beneficijs maximis in <lb></lb>huiusmodi scientiae cultores collocatis, optime demonstravit <lb></lb>intelligere, quanti momenti sint Mathematicae scientiae, vel <lb></lb>in disponendis exercituum aciebus, vel in muniendis, exor<lb></lb>nandisque urbibus, utroque tempore belli, pacisque. </s><s>Cum <lb></lb>enim (ut de Mechanica facultate sileam) totum penè civile <lb></lb>commercium pondere, numero, et mensura administretur, <lb></lb>quis non videat omne hominum negotium in Mathematicis <lb></lb>esse? </s><s>quae tria quantitatis genera cum in Scholis nostris<emph.end type="italics"></emph.end> <pb></pb><emph type="italics"></emph>quotidie agitentur, illi profectò maximè utiles Reip. </s><s>habe<lb></lb>buntur, qui in huiusmodi studijs versati, exercitatique erunt. </s><s><lb></lb>Libellorum itaque non inutilium causa penitus mala non <lb></lb>erit quatenùs Geometrici sunt. </s><s>Utinam mala non sit eo no<lb></lb>mine quòd sunt mei: Propterea humilitèr oro, ut illos <expan abbr="qua-lescumq;">qua<lb></lb>lescumque</expan> sint, Tibi tamen debitos, Tuaque munificentia editos, <lb></lb>S. C. Tua suscipere dignetur eo vultu, quo me quoque sup<lb></lb>plicem suscepit, atque ea humanitate, quae cum tanti Prin<lb></lb>cipis maiestate coniuncta, amorem elicit etiam ab ignotis. </s><s><lb></lb>Faveat Deus omnibus votis Tuis, et S. C. Tuam, <expan abbr="imperiumq;">imperiumque</expan> <lb></lb>diu tueatur, et augeat.<emph.end type="italics"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="italics"></emph>Sereniss. </s><s>C. Tuae<emph.end type="italics"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="italics"></emph>Humillimus servus<emph.end type="italics"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="italics"></emph>Evangelista Torricellius.<emph.end type="italics"></emph.end></s></p> <pb></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROEMIUM<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Inter omnia opera ad Mathematicas disciplinas perti<lb></lb>nentia, iure optimo Principem sibi locum vindicare vi<lb></lb>dentur Archimedis inventa; quae quidem ipso subtilitatis <lb></lb>miraculo terrent animos. </s><s>Verùm inter omnes libros egregij <lb></lb>Authoris longè eminet ille, qui De Sphaera, et Cylindro <lb></lb>inscribitur: neque enim posteritatis tantùm consensu, sed <lb></lb>etiam ipsius Scriptoris iudicio primas tenet. </s><s>Certè hunc <lb></lb>ipse in titulum sepulcri elegit, <expan abbr="dignumq;">dignumque</expan> prae caeteris iu<lb></lb>dicavit, qui tanti viri tumulum exornaret, ostenderetque. </s><s><lb></lb>Hunc tamen si quis attentiùs considerare, et perpendere <lb></lb>velit, magnum quidem inventum fateatur necesse est, sed <lb></lb>fortasse non absolutum. </s><s>Loquor equidem de primo tantùm <lb></lb>libro, in quo partem operis Theorematicam, et omnem <lb></lb>doctrinae inventionem exequitur: quo veluti iacto funda<lb></lb>mento, in secunda parte postea, quasi coronidis loco, pro<lb></lb>blemata quaedam tamquam corollaria ad eam rem spe<lb></lb>ctantia ipse subnectit. </s><s>Titulus libri est De Sphaera, et <lb></lb>Cylindro; quae quidem verba apud nos idem sonant, ac <lb></lb>si dixisset De Sphaera, atque unico solido sphaerali; sed <lb></lb>sphaeralia solida, quorum unum est cylindrus, multitudine <lb></lb>sunt infinita, ut mox patebit. </s><s>Ergo absolutior fortasse con<lb></lb>templatio videri potuisset, si eximius Author proportionem, <lb></lb>non tantùm eam, quae est inter sphaeram, unicumque <lb></lb>ex sphaeralibus solidis perquisisset, verumetiam omnem <lb></lb>aliam rationem, quae inter sphaeram ipsam, et <expan abbr="unumquodq;">unumquodque</expan> <lb></lb>ex infinitis sphaeralibus solidis inter cedit, ostendendam <pb pagenum="6"></pb>sibi assumpsisset. </s><s>Hoc itaque propositum erit, et institu<lb></lb>tum meum in praesenti libello. </s><s>Doctrinam non solum de <lb></lb>Sphaera, et Cylindro, sed de sphaera, et sphaeralibus so<lb></lb>lidis omnibus prosequemur: <expan abbr="Mutatisq;">Mutatisque</expan> plerumque Archi<lb></lb>medaeis fundamentis, universaliori demonstratione illam <lb></lb>complecti conabimur, atque in omni specie solidorum, vel <lb></lb>intrà, vel circà sphaeram descriptorum, propagabimus. </s></p> <p type="main"> <s>Ex libro Archimedis De Sphaera et Cylindro duo haec <lb></lb>colliguntur spectantia ad illa solida, quae nos sphaeralia <lb></lb>appellamus: Primum, quòd sphaera dupla est inscripti sibi <lb></lb>rombi solidi aequilateri; quod quidem unum est ex solidis <lb></lb>sphaeralibus, genitum ex revolutione quadrati inscripti, et <lb></lb>circa diagonalem conversi. </s><s>Alterum; quòd cylindrus ad <lb></lb>inscriptam sibi sphaeram est sesquialter. </s><s>quod quidem et <lb></lb>unum ex solidis sphaeralibus est, genitum ex conversione <lb></lb>quadrati circumscripti, et circa ipsius catetum revoluti. </s><s><lb></lb>Stantibus his, contemplatione dignum mihi videbatur uni<lb></lb>versalius aliquod problema huiusmodi. <lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Dato poligono quocunque regulari sivè intrà, sivè circà circulum <lb></lb>descripto, et sive circa diagonalem, sive circa catetum revoluto; pro<lb></lb>portionem dicere, quam factum ex polygono solidum habeat, ad factam <lb></lb>ex circulo sphaeram.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Penitus autem ex voto successit instituta contemplatio. </s><s><lb></lb>Nam inventa proportione, sex ista inferiùs adnotata Theo<lb></lb>remata ita se habere comperi, quemadmodum hìc subij<lb></lb>ciuntur. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Prima solidorum sphaeralium species.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si intrà circulum descriptum fuerit poligonum regulare <lb></lb>habens latera numero parià, et conver<lb></lb> <arrow.to.target n="fig1"></arrow.to.target><lb></lb>tatur figura circa catetum B. Quaeri<lb></lb>tur ratio sphaerae ad factum soli<lb></lb>dum. </s></p> <figure id="fig1"></figure> <p type="main"> <s>Continuetur ratio radij poligoni ad <lb></lb>catetum eiusdem, nempe A ad B in <lb></lb>quatuor terminis A, B, C, D. Erit que <lb></lb>sphaera ad solidum inscriptum, ut diameter sphaerae, hoc <lb></lb>est ut dupla ipsius A, ad <expan abbr="utramq;">utramque</expan> simul B, et D. </s></p> <pb pagenum="7"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Secunda species.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si intra circulum descriptum fuerit po<lb></lb> <arrow.to.target n="fig2"></arrow.to.target><lb></lb>ligonum regulare habens latera numero <lb></lb>paria, et cunvertatur figura circà diagona<lb></lb>lem AB. Quaeritur ratio sphaerae ad fa<lb></lb>ctum sphaerale solidum. </s></p> <figure id="fig2"></figure> <p type="main"> <s>Ostenditur. </s><s>Sphaeram esse ad solidum, </s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg1"></arrow.to.target><lb></lb>ut quadratum AB ad quadratum cateti AC. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg1"></margin.target>Theor. 7 <lb></lb>Lib. 2.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Tertia species.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si intrà circulum describatur poligonum regulare ha<lb></lb>bens latera numero imparia, et con<lb></lb> <arrow.to.target n="fig3"></arrow.to.target><lb></lb>vertatur figura circa catetum B. <lb></lb>Quaeritur ratio sphaerae ad factum <lb></lb>sphaerale solidum. </s></p> <figure id="fig3"></figure> <p type="main"> <s>Continuetur ratio radij A ad ca<lb></lb>tetum B in quatuor terminis A, B, <lb></lb>C, D. <expan abbr="Eritq;">Eritque</expan> sphaera ad solidum, ut quadrupla ipsius A <lb></lb> <arrow.to.target n="marg2"></arrow.to.target><lb></lb>ad B semel, C bis, et D semel <expan abbr="simulq;">simulque</expan> sumptas. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg2"></margin.target>Theor. 19. <lb></lb>Lib. 2.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Quarta species.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si circà circulum describatur poligo<lb></lb> <arrow.to.target n="fig4"></arrow.to.target><lb></lb>num regulare, habens latera numero paria, <lb></lb>et convertatur figura circa catetum C. <lb></lb>Quaeritur ratio solidi ad sphaeram. </s></p> <figure id="fig4"></figure> <p type="main"> <s>Ostenditur solidum esse ad inscriptam <lb></lb>sibi sphaeram, ut duo simul quadrata, <lb></lb> <arrow.to.target n="marg3"></arrow.to.target><lb></lb>quorum unum fit ex radio D alterum ex cateto C, ad <lb></lb>duplum quadrati C. </s></p> <pb pagenum="8"></pb> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg3"></margin.target>Theor. 18. <lb></lb>Lib. 2.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Quinta species.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si circà circulum describatur poligonum <lb></lb> <arrow.to.target n="fig5"></arrow.to.target><lb></lb>regulare habens latera numero paria; et <lb></lb>convertatur figura circa diagonalem A. <lb></lb>Quaeritur ratio solidi ad sphaeram. <lb></lb> <arrow.to.target n="marg4"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg4"></margin.target>Theor. 6. <lb></lb>Lib. 2.</s></p> <figure id="fig5"></figure> <p type="main"> <s>Ostenditur solidum ad inscriptam sibi <lb></lb>sphaeram esse ut radius A ad catetum B <lb></lb>hoc est ut axis solidi ad axem sphaerae. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Sexta, et ultima species.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si circa circulum describatur poligonum regulare ha<lb></lb>bens latera numero imparia, et con<lb></lb> <arrow.to.target n="fig6"></arrow.to.target><lb></lb>vertatur figura circa B catetum. </s><s><lb></lb>Quaeritur ratio solidi ad sphaeram. </s></p> <figure id="fig6"></figure> <p type="main"> <s>Continuetur ratio radij A ad ca</s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg5"></arrow.to.target><lb></lb>tetum poligoni B, in tribus terminis <lb></lb>A, B, C. Eritque solidum ad sphae<lb></lb>ram, ut A semel, B bis, et C semel <lb></lb>simulque sumptae, ad quadruplam ipsius C. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg5"></margin.target>Theor. 18. <lb></lb>Lib. 2.</s></p> <p type="main"> <s>Solidorum itaq: sphaeralium species omninò sex emer<lb></lb>gunt, et <expan abbr="uniuscuiusq;">uniuscuiusque</expan> speciei ratio ad suam sphaeram in<lb></lb>notescit. </s><s>Possent fortasse videri tres tantum solidorum <lb></lb>species, si solida absolutè, ac sine suis sphaeris conside<lb></lb>rentur. </s><s>Verum si illa ad sphaeram referantur, statim re<lb></lb>latio variatur, et proportio alia consurgit, prout cognata <lb></lb>solidis ipsis sphaera inscripta fuerit, vel circumscripta. </s></p> <p type="main"> <s>Quibus demonstratis, varia pro Corollarijs Theoremata <lb></lb>statim emergebant; cuiusmodi sunt. </s><s>Datis ex praedicta<lb></lb>rum sex specierum solidis duobus quibuscunque, alterius <lb></lb>ad alterum rationem notam facere. </s></p> <p type="main"> <s>Conum aequilaterum circa sphaeram descriptum, esse <lb></lb>ad ipsam sphaeram ut 9 ad 4. Nempe duplum sesqui quar<lb></lb>tum. </s><s>Propterea si circa eandem sphaeram conus, <expan abbr="cylin-drusq;">cylin<lb></lb>drusque</expan> aequilateri descripti sint, tria solida, nempe conum, <lb></lb>cylindrum, et sphaeram fore inter se in continua propor<lb></lb>tione sesquialtera. </s></p> <pb pagenum="9"></pb> <p type="main"> <s>Sphaeram ad conum aequilaterum sibi inscriptum esse <lb></lb>ut 32 ad 9. </s></p> <p type="main"> <s>Sphaeram ad inscriptum cylindrum aequilaterum ine<lb></lb>fabilem rationem habere, nempe ut diameter quadrati ali<lb></lb>cuius ad 3/4 lateris eiusdem. </s></p> <p type="main"> <s>Rombum solidum aequilaterum sphaerae circumscri<lb></lb>ptum ad eandem sphaeram incomensuràbilem esse, nempe <lb></lb>ut diameter quadrati alicuius ad latus eiusdem. </s></p> <p type="main"> <s>Sphaerale solidum exagonale circa catetum revolutum <lb></lb>esse ad inscriptam sibi sphaeram sesquisextum. </s></p> <p type="main"> <s>Sphaeram autem ad exagonale solidum sibi inscriptum, <lb></lb>et circà diagonalem revolutum, esse sesquitertiam. </s></p> <p type="main"> <s>Et alia huiusmodi, quae quidem altiùs perscrutanti in<lb></lb>numera patebunt. </s><s>Interim satis superque mihi erit aliqua <lb></lb>apposuisse, quae propria claritate ultrò se se offerunt etiam <lb></lb>aspernanti. </s><s>Horum maxima pars Corollaria esse poterant <lb></lb>praecedentium sex Theorematum; attamen illa demonstra<lb></lb>bimus ex sola etiam Euclidis doctrina, sine ope illorum <lb></lb>quae de sphaeralibus praemiseramus; Ut videre est ad <lb></lb>Propositiones 30 et 9 <expan abbr="seqq.">seqque</expan> in secundo libro. </s><s>Caeterum <lb></lb>huiùs contemplationis occasionem, mox etiam et scriptionis <lb></lb>incitamentum praebuit mihi acutissimus librorum Archi<lb></lb>medis scrutator Antonius Nardus Aretinus: huic enim re<lb></lb>fero, atque ipsius eruditis colloquijs, si quid verè Geome<lb></lb>tricum in hac scriptura exciderit mihi. </s></p> <p type="main"> <s>Si verò pleraque mala erunt, et fortasse omnia, hoc <lb></lb>unum culpàndus erit ornatissimus vir, et genere, doctrinà, <lb></lb><expan abbr="moribusq;">moribusque</expan> conspicuus Andreas Arrighettus Florentinus, <lb></lb>qui post magna in me collata beneficia, editionem mali <lb></lb>libri non suasit, sed iussit. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>DEFINITIONES.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>1. Cuiuscunque poligoni regularis latera habentis nu<lb></lb>mero paria, <emph type="italics"></emph>Diagonalem<emph.end type="italics"></emph.end> voco lineam, quae per oppositos <lb></lb>flgurae angulos ducitur. <emph type="italics"></emph>Catetum<emph.end type="italics"></emph.end> verò voco lineam, quae <lb></lb>puncta media laterum oppositorum connectit: sive earum<lb></lb>dem semisses. </s><s>Cuiuscunque verò poligoni regularis latera <pb pagenum="10"></pb>habentis numero imparia, <emph type="italics"></emph>catetum<emph.end type="italics"></emph.end> voco lineam, quae ab <lb></lb>uno angulo per centrum figurae extenditur. </s></p> <p type="main"> <s>2. Si poligonum quodcunque regulare convertatur, <lb></lb>sivè circa diagonalem, sive circa catetum, donec ad eum <lb></lb>locum redeat unde caepit moveri, solidum illud quod ex <lb></lb>revolutione circumscribitur, <emph type="italics"></emph>sphaerale solidum<emph.end type="italics"></emph.end> appellare <lb></lb>visum est. </s><s>Parilaterum quidem si poligonum habuerit la<lb></lb>tera numero paria, Imparilaterum verò, quando poligonum <lb></lb>latera numero imparia habebit. </s></p> <p type="main"> <s>Si cylindrus, sive conus, vel etiam coni frustum plano <lb></lb>per axem ducto sectum sit: communem secantis plani, et <lb></lb>curvae superficiei sectionem vocabimus latus cylindri, sive <lb></lb>coni, sive frusti conici. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Suppositiones.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Supponimus. </s><s>cuiuscunque prismatis circà cylindrum ae<lb></lb>quealtum descripti, superficiem maiorem esse cylindri <lb></lb>ipsius superficie. </s><s>Cylindricam verò superficiem maiorem <lb></lb>esse superficie prismatis inscripti, basim habentis regula<lb></lb>rem. </s><s>exceptis semper basibus. </s><s>Item pyramidis circa conum <lb></lb>descriptae superficiem maiorem esse ipsius coni superficie; <lb></lb>Inscriptae verò pyramidis et regularem basim habentis, <lb></lb>supponimus superficiem minorem esse conica superficie. </s></p> <p type="main"> <s>Demonstrantur haec apud Archimedem propos. 9, 10, <lb></lb>11, 12 lib. I de Sph. et Cyl. </s><s>Si quis verò ea tamquam <lb></lb>nota admittere velit, totum libellum nostrum percurrere <lb></lb>poterit. </s></p> <pb></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>DE SOLIDIS SPHAERALIBUS<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>LIBER PRIMUS<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO I.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si Cylindri recti superficies secetur plano oppositis ba<lb></lb>sibus parallelo; erunt segmenta superficiei cylindricae in<lb></lb>ter se, ut segmenta axis, sive lateris cylindri, homologe <lb></lb>sumpta. </s></p> <p type="main"> <s>Esto cylindrus rectus ABCD, <expan abbr="seceturq;">seceturque</expan> plano <lb></lb> <arrow.to.target n="fig7"></arrow.to.target><lb></lb>EF oppositis basibus parallelo; Dico cylindricam <lb></lb>superficiem AEFD, ad cylindricam EBCF, esse <lb></lb>ut axis ad axem, sive ut latus AE, ad latus EB. </s></p> <figure id="fig7"></figure> <p type="main"> <s>Producatur utrimque in infinitum cylindrus, <lb></lb>et accipiatur recta EG multiplex ipsius EA, iuxtà <lb></lb>quamlibet multiplicitatem, sectaque EG in partes <lb></lb>ipsi EA aequales, agantur per puncta divisio<lb></lb>num H, I, G; plana oppositis basibus parallela. </s><s><lb></lb>Eritque tam multiplex recta GE ipsius EA: quàm <lb></lb>multiplex est cylindrica superficies EL, super<lb></lb>ficiei ED. </s></p> <p type="main"> <s>Sumatur etiam recta EM multiplex ipsius EB, iuxta <lb></lb>quamlibet multiplicationem; <expan abbr="similiq.">similique</expan> peracta constructione <lb></lb>ut supra; erit tam multiplex recta EM rectae EB, quàm <lb></lb>multiplex est cylindrica superficies EN, superficiei EC. </s></p> <pb pagenum="12"></pb> <p type="main"> <s>Manifestum ergo est, quod si recta EG maior fuerit, <lb></lb>sive minor, vel aequalis, rectae EM: tunc etiam cylindrica <lb></lb>superficies EL, maior erit, sive minor, vel aequalis super<lb></lb>ficiei EN: et hoc semper: Propterea erit, ut AE ad EB, <lb></lb>ita superficies AEFD, ad superficiem EBCF. Quod erat <lb></lb>demonstrandum. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO II.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si fuerit quodcunque prisma rectum, habens basim <lb></lb>poligonam regularem, habensque altitudinem aequalem <lb></lb>quartae parti cateti suae basis; erit perimeter prismatis <lb></lb>aequalis poligono suae basis. </s></p> <p type="main"> <s>Esto poligonum regulare <lb></lb> <arrow.to.target n="fig8"></arrow.to.target><lb></lb>ABCDEF, super quo conci<lb></lb>piatur prisma rectum, habens <lb></lb>pro altitudine AL quartam <lb></lb>partem cateti IH. Dico peri<lb></lb>metrum prismatis, constan<lb></lb>tem ex figuris rectangulis aequalibus quarum una sit LB, <lb></lb>aequalem esse poligono suae basis. </s></p> <figure id="fig8"></figure> <p type="main"> <s>Ducantur enim diagonales AOD, BOE, et erectà per<lb></lb>pendiculari IM, iungantur AM, BM; </s></p> <p type="main"> <s>Cum ergo IH ponatur quadrupla ipsius IM, erit IO <lb></lb>dupla ipsius IM; et ideo triangulum AOB duplum trian<lb></lb>guli AMB eandem basim habentis; sed etiam rectangulum <lb></lb>LB duplum est trianguli AMB; propterea rectangulum LB <lb></lb>aequale erit triangulo AOB; et sic de reliquis rectangulis, <lb></lb>reliquisque triangulis: Quare totus prismatis perimeter, <lb></lb>constans ex figuris rectangulis, aequalis est poligono suae <lb></lb>basis. </s><s>Quod erat demonstrandum. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollarium.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Constat ergo, quod si altitudo prismatis maior, minorvè fuerit, quàm <lb></lb>quarta pars cateti suae basis, erit perimeter prismatis maior, minorvè <lb></lb>quàm poligonum suae basis.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <pb pagenum="13"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO III.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si fuerit cylindrus rectus, cuius altitudo aequalis sit <lb></lb>quartae parti diametri suae basis; erit cylindrica super<lb></lb>ficies aequalis circulo suae basis. </s></p> <p type="main"> <s>Esto cylindrus rectus, cu<lb></lb> <arrow.to.target n="fig9"></arrow.to.target><lb></lb>ius basis circulus circa dia<lb></lb>metrum AB descriptus; alti<lb></lb>tudo verò AC, aequalis sit <lb></lb>quartae parti diametri AB. </s></p> <figure id="fig9"></figure> <p type="main"> <s>Dico cylindricam superfi<lb></lb>ciem aequalem esse circulo <lb></lb>suae basis AB. </s></p> <p type="main"> <s>Si enim aequalis non est; erit circulus vel maior, vel <lb></lb>minor cylindricà superficie. </s></p> <p type="main"> <s>Sit primùm circulus maior quàm cylindri superficies; <lb></lb>et supposità differentia G, describatur intrà circulum ali<lb></lb>quod poligonum ADEB, quod quidem deficiat à circulo <lb></lb>minori defectu, quàm sit spatium G; et ideo erit poligo<lb></lb>num inscriptum adhuc maius quàm cylindrica superficies <lb></lb>(quomodo fiat hoc constat ex Commentarijs in Archime<lb></lb>dem, et ex XII Euclidis:) Tum supra poligonum ADEB <lb></lb>concipiatur prisma rectum eiusdem cum cylindro alti<lb></lb>tudinis. </s></p> <p type="main"> <s>Cùm ergò altitudo prismatis eadem sit ac cylindri, <lb></lb> <arrow.to.target n="marg6"></arrow.to.target><lb></lb>nempe quarta pars rectae AB, erit altitudo prismatis maior <lb></lb>quàm quarta pars cateti suae basis poligonae, et ideo pe<lb></lb>rimeter prismatis maior erit quàm poligonum suae basis, <lb></lb>et multo maior, quàm cylindrica superficies (factum enim <lb></lb>est poligonum maius cylin<lb></lb> <arrow.to.target n="fig10"></arrow.to.target><lb></lb>drica superficie). Quod est <lb></lb>absurdum: est enim contra <lb></lb>praemissas suppositiones. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg6"></margin.target>ex. </s><s>Corollar. </s><s><lb></lb>praeced.</s></p> <figure id="fig10"></figure> <p type="main"> <s>Ponatur deinde circulus <lb></lb>minor quàm cylindrica su<lb></lb>perficies: et supposità diffe<lb></lb>rentia G, describatur circa <lb></lb>circulum aliquod poligonum regulare DEFG, quod excedat <pb pagenum="14"></pb>circulum spatio minori quàm sit C (quomodo hoc fiat con<lb></lb>stat apud Commentarios in Archim. </s><s>et in XII Euclidis.) <lb></lb><expan abbr="eritq;">eritque</expan> etiam poligonum minus quàm cylindrica superficies. </s></p> <p type="main"> <s>Concipiatur suprà poligonum erigi prisma eiusdem al<lb></lb>titudinis cum cylindro; eritque altitudo prismatis quarta <lb></lb>pars cateti suae basis poligonae. (cum prismatis altitudo <lb></lb>eadem sit atq: cylindri; cylindri autem altitudo est quarta <lb></lb>pars rectae AB, quae aequalis est cateto poligoni, quod <lb></lb>est basis prismatis). <lb></lb> <arrow.to.target n="marg7"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg7"></margin.target>per 2. huius.</s></p> <p type="main"> <s>Ideo perimeter prismatis aequalis erit poligono suae <lb></lb>basis; et propterea minor quàm cylindrica superficies. </s><s><lb></lb>Quod est contra praemissas suppositiones. </s></p> <p type="main"> <s>Erit ergò superficies cylindrica aequalis circulo suae <lb></lb>basis. </s><s>Quod erat demonstrandum. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO IV.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Cylindri recti superficies ad circulum suae basis est ut <lb></lb>latus cylindri ad quartam partem diametri eiusdem basis. </s></p> <p type="main"> <s>Esto cylindrus rectus, cuius rectangulum <lb></lb> <arrow.to.target n="fig11"></arrow.to.target><lb></lb>per axem sit ABCD; <expan abbr="sumptaq;">sumptaque</expan> BE, quae <lb></lb>quarta pars sit ipsius BC; Dico cylindricam <lb></lb>superficiem ABCD ad circulum suae basis <lb></lb>esse, ut AB ad BE. </s></p> <figure id="fig11"></figure> <p type="main"> <s>Producatur cylindrus versus F, sectàque <lb></lb>BF aequali ipsi BE, erit per praecedentem, <lb></lb>cylindrica superficies FC aequalis circulo suae basis BC. </s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg8"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg8"></margin.target>per 1. huius.</s></p> <p type="main"> <s>Iam: cylindrica superficies BD, ad cylindricam super<lb></lb>ficiem FC est ut AB ad BF; superficies verò FC ad cir<lb></lb>culum BC (ob aequalitatem) est ut FB ad BE; Ergo ex <lb></lb>aequo erit cylindrica superficies BD ad circulum BC, ut <lb></lb>AB ad BE, nempe ut latus cylindri ad 1/4 diametri basis <lb></lb>eiusdem. </s><s>Quod erat ostendendum. </s></p> <pb pagenum="15"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO V.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Cylindri recti superficies ad circulum quemlibet, est ut <lb></lb>rectangulum per axem cylindri ad quadratum semidia<lb></lb>metri ipsius circuli. </s></p> <p type="main"> <s>Esto cylindrus rectus cuius re<lb></lb> <arrow.to.target n="fig12"></arrow.to.target><lb></lb>ctangulum per axem sit AB, et <lb></lb>centrum basis H. Ponatur autem <lb></lb>circulus quilibet cuius semidia<lb></lb>meter CD. Dico cylindricam su<lb></lb>perficiem ad circulum ex CD, esse <lb></lb>ut rectangulum AB ad quadra<lb></lb>tum CD. </s></p> <figure id="fig12"></figure> <p type="main"> <s>Fiat ex AE (quae quidem 4 pars sit rectae AL) qua<lb></lb>dratum FE, producaturque EG. </s></p> <p type="main"> <s>Erit ergò cylindrica superficies AB ad circulum suae </s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg9"></arrow.to.target><lb></lb>basis, ut IA ad AE, hoc est ut IA ad AF, hoc est ut re<lb></lb>ctangulum IE ad quadratum FE; sive, sumptis quadruplis, <lb></lb> <arrow.to.target n="marg10"></arrow.to.target><lb></lb>ut rectangulum AB ad quadratum ex AH. Circulus verò <lb></lb>basis AL ad circulum ex CD, est ut quadratum ex AH <lb></lb>ad quadratum ex CD; ergò ex aequo erit cylindrica su<lb></lb> <arrow.to.target n="marg11"></arrow.to.target><lb></lb>perficies ad circulum ex CD, ut rectangulum per axem <lb></lb>ad quadratum CD. Quod erat demonstrandum. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg9"></margin.target>per praeced.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg10"></margin.target>Prim. 6.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg11"></margin.target>2. duodecimi.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollarium.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Pro Corollario erit Propositio XIII lib. I Archim. </s><s>de Sphaera et <lb></lb>Cylindro. </s><s>Constat enim quòd si CD media fuerit proportionalis inter <lb></lb>IA, AL; quadratum ex CD aequale erit rectangulo AB et propterea, <lb></lb>ex demonstratis, cylindricam superficiem AIBL aequalem esse circulo ex <lb></lb>CD necesse est.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO VI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Cylindrorum superficies inter se sunt ut eorumdem re<lb></lb>ctangula per axem homologè sumpta. </s></p> <p type="main"> <s>Sint cylindri recti quorum rectangula per axem sint <pb pagenum="16"></pb>AB, CD. Dico cylindricam superficiem AB, ad cylindricam <lb></lb>CD esse, ut rectangulum AB ad rectangulum CD. </s></p> <p type="main"> <s>Accipiatur pro circulo quolibet, <lb></lb> <arrow.to.target n="fig13"></arrow.to.target><lb></lb>circulus circa diametrum AE. <lb></lb> <arrow.to.target n="marg12"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg12"></margin.target>per praeced.</s></p> <figure id="fig13"></figure> <p type="main"> <s>Erit ergò cylindrica superficies <lb></lb>AB ad circulum quemlibet AE, ut <lb></lb>rectang. </s><s>AB ad quadratum AF. Cir</s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg13"></arrow.to.target><lb></lb>culus verò ex AF ad cylindricam <lb></lb>superficiem CD est ut quadratum ex <lb></lb>AF ad rectangulum CD; ergo ex <lb></lb>aequo cylindrica superficies AB ad cylindricam CD, est <lb></lb>ut rectangulum AB ad rectang. </s><s>CD. Quod erat osten<lb></lb>dendum. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg13"></margin.target>per praeced.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO VII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si recta pyramis basim habuerit poligonam regularem<lb></lb>que erit basis pyramidis ad reliquam ipsius superficiem, ut <lb></lb>semicatetus basis ad catetum superficiei. </s></p> <p type="main"> <s>Esto pyramis recta, cuius ba<lb></lb> <arrow.to.target n="fig14"></arrow.to.target><lb></lb>sis poligonum regulare AFED. <lb></lb>vertex verò G, et centrum basis <lb></lb>sit I. Secto deinde uno latere bi<lb></lb>fariam in H, <expan abbr="iunctisq;">iunctisque</expan> GH, IH, <lb></lb>erit GH catetus superficiei pyra<lb></lb>midis; IH vero semicatetus basis; <lb></lb>quandoquidem omnia triangula in superficie sunt aequi<lb></lb>cruria, et aequalia inter se; quod etiam verum est et <lb></lb>in basi. </s></p> <figure id="fig14"></figure> <p type="main"> <s>Dico basim ad superficiem esse ut IH ad HG. </s></p> <p type="main"> <s>Triangulum enim AIF, ad triangulum AGF (cum sint <lb></lb>in eadem basi) est ut IH, ad HG, ergo etiam ipsorum <lb></lb> <arrow.to.target n="marg14"></arrow.to.target><lb></lb>aequemultiplicia, nempe basis, et superficies pyramidis, in <lb></lb>eadem ratione erunt, nempe ut IH ad HG. Quod erat <lb></lb>ostendendum. </s></p> <pb pagenum="17"></pb> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg14"></margin.target>15. quinti.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO VIII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Coni recti basis ad reliquam conicam superficiem, est <lb></lb>ut semidiameter basis ad latus coni. </s></p> <p type="main"> <s>Esto conus rectus, cuius <lb></lb> <arrow.to.target n="fig15"></arrow.to.target><lb></lb>basis AB, vertex verò C, axis <lb></lb>CD. </s></p> <figure id="fig15"></figure> <p type="main"> <s>Dico circulum basis, ad re<lb></lb>liquam conicam superficiem, <lb></lb>esse ut DA, ad AC. </s></p> <p type="main"> <s>Si enim ita non est; erit <lb></lb>circulus AB vel maior, vel <lb></lb>min. </s><s>quam oportet esse, ut ad conicam superficiem sit <lb></lb>quemadmodum DA ad AC. </s></p> <p type="main"> <s>Sit primùm maior; et ponatur tantò maior quantum <lb></lb>est spatium E. Inscribatur in circulo poligonum deficiens <lb></lb>à circulo, minori defectu quàm spatium E; <expan abbr="habebitq;">habebitque</expan> hu<lb></lb>iusmodi poligonum ad conicam superficiem adhuc maiorem <lb></lb>rationem, quàm DA ad AC. Secto deinde uno poligoni <lb></lb>latere AF bifariam in H, iungantur DH, CH; et super <lb></lb>poligono concipiatur pyramis quae verticem habeat in C; <lb></lb>seceturque DI aequalis ipsi DH, et ducatur IL paralella <lb></lb>ad BC, <expan abbr="iungaturq.">iungaturque</expan> IC. </s></p> <p type="main"> <s>Cum <expan abbr="itaq.">itaque</expan> poligonum ad conicam superficiem maiorem <lb></lb>habeat rationem quàm DA ad AC; multò maiorem ratio<lb></lb>nem habebit ad superficiem suae pyramidis, quàm DA ad <lb></lb>AC, vel DB ad BC. Sed poligonum ad superficiem pyra<lb></lb>midis, per praècedentem, est ut DH ad HC; habebit ergo <lb></lb>DH ad HC, sive DI ad IC, multò maiorem rationem quàm <lb></lb>DB ad BC, vel quàm DI ad IL. Et propterea IC minor <lb></lb>esset quam IL absurdum. </s></p> <p type="main"> <s>Nam quadratum IC aequale est duobus quadratis ID, <lb></lb>DC; cum quadratum IL aequale sit tantùm duobus ID, DL. <lb></lb>Ponatur deinde circulus basis AB minor quàm oportet esse <lb></lb>ut ad conicam superficiem sit quemadmodum recta DA <lb></lb>ad AC, sitque tantò minor quantum est spatium E. Cir<lb></lb>cumscribatur circulo AB poligonum aliquod excedens <lb></lb>circulum minori excessu quàm sit spatium E. <expan abbr="Habebitq.">Habebitque</expan> <pb pagenum="18"></pb>poligonum ad conicam superficiem, adhuc minorem ratio<lb></lb> <arrow.to.target n="marg15"></arrow.to.target><lb></lb>nem quàm DA ad AC; ergò poligonum ad perimetrum <lb></lb>suae pyramidis multò mino<lb></lb> <arrow.to.target n="fig16"></arrow.to.target><lb></lb>rem rationem habebit quàm <lb></lb>DA ad AC. Sed poligonum <lb></lb>ad perimetrum suae pyra<lb></lb>midis est ut DF ad FC; <lb></lb>propterea DF ad FC, multò <lb></lb>minorem rationem habebit <lb></lb>quàm DA ad AC; quod est <lb></lb>impossibile. </s><s>Aequales etenim sunt tam DF, DA, inter se, <lb></lb>quàm FC, AC, inter se. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg15"></margin.target>per 7. huius.</s></p> <figure id="fig16"></figure> <p type="main"> <s>Erit itaque basis coni recti àd reliquam superficiem, ut <lb></lb>DA ad AC. Quod erat demonstrandum. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollarium.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Hinc patet quòd curva superficies coni, aequalis est circulo cuidam, <lb></lb>cuius semidiameter med. </s><s>prop. </s><s>sit inter CA, AD nempe, inter latus, et <lb></lb>semidiametrum basis coni. </s><s>Nam sumpta media inter CA, AD erit cir<lb></lb>culus qui fit ex media, ad circulum qui fit ex AD ut CA ad AD. Sed <lb></lb> <arrow.to.target n="marg16"></arrow.to.target><lb></lb>etiam curva coni superficies, ad circulum ex AD est ut CA ad AD. <lb></lb>Ergo aequalis est curva coni superficies, circulo, cuius semidiameter <lb></lb>media proportionalis sit inter CA, AD.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg16"></margin.target>per praeced.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO IX.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Cuiuslibet coni recti superficies, ad superficiem <expan abbr="cuius-cunq;">cuius<lb></lb>cunque</expan> cylindri recti demptis basibus, est ut rectangulum <lb></lb>sub latere, et semidiametro basis coni, ad rectangulum <lb></lb>per axem cylindri. </s></p> <p type="main"> <s>Esto conus ABC, cuius basis AC, axis <lb></lb> <arrow.to.target n="fig17"></arrow.to.target><lb></lb>vero BH; et cylindrus cuius rectangulum <lb></lb>per axem sit DE. Dico conicam super<lb></lb>ficiem ad cylindricam esse, ut rectan<lb></lb>gulum BAH, ad rectangulum DE. <lb></lb> <arrow.to.target n="marg17"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg17"></margin.target>per 8. huius.</s></p> <figure id="fig17"></figure> <p type="main"> <s>Nàm conica superficies ad circulum suae basis est ut <lb></lb>AB, àd AH, sive ut rectangulum BAH ad quadratum AH </s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg18"></arrow.to.target><lb></lb>circulus autem ex AH, ad cylindricam superficiem DE, <lb></lb>est ut quadratum AH, ad rectangulum DE. Propterea, ex <pb pagenum="19"></pb>aequo, erit conica superficies ABC ad cylindricam DE, <lb></lb>ut rectangulum BAH ad rectangulum DE. Quod erat <lb></lb>ostendendum. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg18"></margin.target>per 5. huius.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO X.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Conicae superficies, demptis basibus, inter se sunt ut <lb></lb>rectangula sub lateribus conorum, et sub semidiametris <lb></lb>basium compraehensa. </s></p> <p type="main"> <s>Sint duo coni recti ABC, DEF <lb></lb> <arrow.to.target n="fig18"></arrow.to.target><lb></lb>quorum axes BG, EH. Dico curvam <lb></lb>coni ABC superficiem, ad curvam su<lb></lb>perficiem coni DEF esse ut rectan<lb></lb>gulum BAG, ad rectangulum EDH <lb></lb>quae nimirum sub lateribus conorum, <lb></lb>et semidiametris basium compraehen<lb></lb>duntur. </s></p> <figure id="fig18"></figure> <p type="main"> <s>Conica enim superficies ABC, ad circulum AC, est ut <lb></lb>recta BA ad AG, sive ut rectangulum BAG; ad quadra<lb></lb> <arrow.to.target n="marg19"></arrow.to.target><lb></lb>tum AG. Circulus verò AC ad DF circulum, est ut qua<lb></lb>dratum AG, ad DH; denique circulus DF ad conicam <lb></lb>superficiem DEF, est ut quadratum DH, ad rectangulum <lb></lb> <arrow.to.target n="marg20"></arrow.to.target><lb></lb>EDH ergò ex aequo curva coni superficies ABC ad cur<lb></lb>vam DEF, erit ut rectangulum BAG, ad rectangulum <lb></lb>EDH. Quod erat ostendendum. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg19"></margin.target>per 8. huius.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg20"></margin.target>per 8. huius.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Si fuerit ABCD frustum coni recti, abscissum planis ad axem erectis <lb></lb>(hoc enim modo semper intelligemus frusta <lb></lb> <arrow.to.target n="fig19"></arrow.to.target><lb></lb>conica) secenturque latera AB, DC bifariam in <lb></lb>punctis E, et H <expan abbr="iungaturq;">iungaturque</expan> EH. Dico rectam <lb></lb>EH componi ex utràque BL, AI, nempe ex <lb></lb>semidiametris basium oppositarum frusti <lb></lb>conici. </s></p> <figure id="fig19"></figure> <p type="main"> <s>Iungantur BD, EI, LH; Et quoniam AI, ID aequales sunt; item AE, <lb></lb>EB, aequales: erunt parallelae EI, BD et ideo in parallelogrammo <lb></lb> <arrow.to.target n="marg21"></arrow.to.target><lb></lb>aequalia erunt latera ID, EM. Ob eandem causam aequalia sunt BL, <lb></lb>MH. Ergo tota EH aequalis erit ipsis ID, BL simul sumptis. </s><s>Quod <lb></lb>erat etc.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <pb pagenum="20"></pb> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg21"></margin.target>per 2. sexti.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Definitiones.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Vocabimus imposterum brevitatis causa lineam EH medians Aritme<lb></lb>ticam frusti conici. </s></p> <p type="main"> <s>Rectangulum verò sub EH et AB latere frusti conici, dicemus <emph type="italics"></emph>rectan<lb></lb>gulum proprium frusti conici.<emph.end type="italics"></emph.end><gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Curva superficies frusti conici, planis ad axem erectis <lb></lb>abscissi, ad conicam quamlibet superficiem, est ut rectan<lb></lb>gulum proprium frusti, ad rectangulum sub latere, et se<lb></lb>midiametro basis ipsius coni. </s></p> <figure></figure> <p type="main"> <s>Esto frustum conicum <lb></lb>ABCD abscissum planis ad <lb></lb>axem erectis, sitque conus <lb></lb>quilibet EFG, cuius axis FH. <lb></lb>Dico curvam frusti AC su<lb></lb>perficiem, ad curvam coni <lb></lb>EFG superficiem, esse, ut <lb></lb>rectangulum sub AB, et sub utraque AL, BI contentum, <lb></lb>ad rectangulum FEH. </s></p> <p type="main"> <s>Compleatur conus AMD cuius datum erat frustum, fa<lb></lb>ctoque angulo MAN recto, et secta AN aequali ipsi AL <lb></lb>compleatur rectangulum AP. Ducto deinde diametro MN, <lb></lb>et facta BO parallela ad AN erit BO aequalis ipsi BI <lb></lb>compleatur etiam figura <expan abbr="Bq.">Bque</expan> <lb></lb> <arrow.to.target n="marg22"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg22"></margin.target>per 10. <lb></lb>huius.</s></p> <p type="main"> <s>Iam superficies curva coni AMD ad superficiem cur<lb></lb>vam coni BMC est ut rectangulum LAM ad rectangulum <lb></lb>IBM; nempe ut rectangulum AP ad <expan abbr="Bq;">Bque</expan> et dividendo, <lb></lb>erit curva frusti conici ABCD superficies, ad superficiem <lb></lb>coni BMC, ut gnomon AOP, ad rectangulum BQ hoc est <lb></lb>ut rectangulum sub AB; et utraque AN, BO, sive AL, BI, <lb></lb>ad rectangulum IBM. Curva verò superficies coni BMC <lb></lb>ad curvam coni EFG, est ut rectangul. </s><s>IBM ad rect. </s><s>FEH <lb></lb>ergò ex aequo curva frusti conici ABCD superficies ad <lb></lb>curvam coni EFG superficiem est ut rectan. </s><s>contentum <lb></lb>sub AB, et utraque AL, BI ad rectangulum FEH. </s></p> <pb pagenum="21"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollarium.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Patet ergò quod frusti conici ABCD superficies sine basibus ad su<lb></lb>perficiem coni EFG est ut rectangulum proprium frusti ad rectangulum <lb></lb>FEH. Rectangulum autem proprium frusti comprehenditur sub recta AB, <lb></lb>et sub <expan abbr="utraq;">utraque</expan> AL, BI, sive potiùs sub AB, et media Aritmetica, quam <lb></lb>demonstravimus aequalem utrisque AL, BI.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Cuiuscunque frusti conici superficies ad superficiem cy<lb></lb>lindri recti, est ut rectangulum proprium frusti ad rectan<lb></lb>gulum per axem cylindri. </s></p> <p type="main"> <s>Esto frustum conicum ABCD, et cylindrus cuius rectan<lb></lb>gulum per axem sit EF. Secetur AB bifariam in H, et <lb></lb> <arrow.to.target n="fig20"></arrow.to.target><lb></lb>agatur media Aritmetica HI aequidistanter ad BC. Dico <lb></lb>conicam frusti superficiem, ad cylindricam EF, esse ut <lb></lb>rectangulum sub HI, et AB, ad rectangulum EF. </s></p> <figure id="fig20"></figure> <p type="main"> <s>Accipiatur conus quilibet LMN, cuius axis MO. <expan abbr="Eritq;">Eritque</expan> <lb></lb>curva frusti superficies ad conicam curvam LMN, ut re</s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg23"></arrow.to.target><lb></lb>ctangulum sub AB, HI, ad rectangulum MLO; sed curva <lb></lb>coni LMN ad curvam cylindri EF superficiem, est ut re<lb></lb>ctangulum MLO, ad rectangulum EF; ergo ex aequo curva <lb></lb>frusti conici superficies, ad curvam superficiem cylindri, <lb></lb>est ut rectangulum sub AB, et HI, nempe ut rectangulum <lb></lb>proprium frusti, ad rectangulum EF per axem cylindri. </s><s><lb></lb>Quod erat ostendendum. </s></p> <pb pagenum="22"></pb> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg23"></margin.target>per praeced.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollarium.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Curva superficies <expan abbr="cuiuscunq;">cuiuscunque</expan> frusti conici ABCD ae<lb></lb>qualis demonstratur circulo cuidam, cuius quidem circuli <lb></lb>semidiameter E media proportio<lb></lb> <arrow.to.target n="fig21"></arrow.to.target><lb></lb>nalis sit inter latus AB frusti co<lb></lb>nici, et inter FH mediam Aritme<lb></lb>ticam eiusdem frusti. </s></p> <figure id="fig21"></figure> <p type="main"> <s>Esto quadratum E aequale <lb></lb>rectangulo sub BA, FH sumatur<lb></lb>que cylindrus quilibet IL; et erit <lb></lb> <arrow.to.target n="marg24"></arrow.to.target><lb></lb>curva frusti conici superficies ad <lb></lb>curvam cylindricam IL, ut rectan<lb></lb> <arrow.to.target n="marg25"></arrow.to.target><lb></lb>gulum sub BA, FH ad rectangulum IL; sive ut quadratum <lb></lb>E ad rectangulum IL; hoc est ut circulus ex radio E, ad <lb></lb>curvam cylindricam IL. Aequales ergò sunt inter se curva <lb></lb>superficies frusti conici AC, et circulus ex radio E factus. </s><s><lb></lb>Quae quidem Archimedis Propositio est 16 libri primi de <lb></lb>Sph. et cyl. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg24"></margin.target>per praeced.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg25"></margin.target>5. huius.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XIII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si circulum tetigerit recta quaepiam linea aequalitèr <lb></lb><expan abbr="utrimq;">utrimque</expan> producta, et convertatur circulus circa quemlibet <lb></lb>sui axem (dummodo axis tangentem non secet) erit conici <lb></lb>frusti superficies, quae à tangente linea describitur, ae<lb></lb>qualis superficiei cylindri eandem altitudinem cum frusto <lb></lb>conico habentis, et circa eandem sphaeram descriptibilis. </s></p> <p type="main"> <s>Esto circulus ADBC, quem duae <lb></lb> <arrow.to.target n="fig22"></arrow.to.target><lb></lb>diametri AB, CD secent ad angulos <lb></lb>rectos. </s><s>Duas insuper tangentes ha<lb></lb>beat alteram DG in extremitate dia<lb></lb>metri CD, alteram verò ubicunque <lb></lb>in I, et aequalitèr producantur hinc <lb></lb>inde ILIM; dumodo axem AB pro<lb></lb>ductum non secent. </s><s>Agantur deinde <lb></lb>per L, et per M parallelae ad CD, <lb></lb>rectae LE, MF tum figura convertatur circa axem AB. <pb pagenum="23"></pb>Tangens GH describet cylindricam quandam superficiem <lb></lb>cuius rectangulum per axem erit EFHG: Tangens verò <lb></lb>LM designabit frustum conicae superficiei; <expan abbr="deniq;">denique</expan> circulus <lb></lb>ipse sphaeram circumscribet. </s><s>Dico cylindricam superficiem <lb></lb>à linea GH descriptam, et conicam superficiem à linea LM <lb></lb>factam aequales esse inter se. </s></p> <figure id="fig22"></figure> <p type="main"> <s>Ducatur IP media Aritmetica conici frusti; et agatur <lb></lb>IR per centrum <expan abbr="q;">que</expan> <expan abbr="eritq;">eritque</expan> IR perpendicularis ad LM: Du<lb></lb>catur etiam MT perpendicularis ad EG. </s></p> <p type="main"> <s>Quoniam duo anguli TMI, TLM uni recto sunt ae<lb></lb>quales, nempe ipsi LIQ, demptis alternis TLM, LIS, erunt <lb></lb>aequales reliqui TML, SIQ ideoque triangula TML, SIQ, <lb></lb>cum rectangul. </s><s>sint, similia erunt; Ergò ut TM ad ML <lb></lb>ita SI ad IQ hoc est (sumptis duplis) PI ad IR: et ideo <lb></lb>rectangulum sub TM, IR (quod quidem est rectangulum <lb></lb>EFHG) aequale erit rectangulo sub ML, IP, quod proprium <lb></lb>vocamus frusti conici. </s><s>Proptereà per praecedentem ae<lb></lb>qualis erit superficies conici frusti, quae à linea ML descri<lb></lb>bitur, superficiei cylindri EFHG, eandem altitudinem cum <lb></lb>ipso frusto habentis, et circà eandem sphaeram ADBC <lb></lb>descriptibilis. </s><s>Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XIV.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si circulum tetigerit recta linea aequalitèr <expan abbr="utrinq;">utrinque</expan> pro<lb></lb>ducta, et convertatur circulus circa axem, qui cum tangente <lb></lb>conveniat in extremitate ipsius tangentis, erit superficies <lb></lb>coni, quae à tangente describitur, aequalis superficiei cy<lb></lb>lindri, eandem cum cono altitudinem <lb></lb> <arrow.to.target n="fig23"></arrow.to.target><lb></lb>habentis, et circà eandem sphaeram <lb></lb>descriptibilis. </s></p> <figure id="fig23"></figure> <p type="main"> <s>Positis ijsdem ut in praecedentis <lb></lb>propositionis constructione; si linea <lb></lb>ML incidat in axem BL productum, <lb></lb><expan abbr="sintq;">sintque</expan> aequales utrinque IL, IM, tunc <lb></lb>describet ipsa ML conicam superfi<lb></lb>ciem, Dico conicam huiusmodi su<lb></lb>perflciem aequalem esse superficiei cylindri EFHG eandem <pb pagenum="24"></pb>altitudinem habentis cum ipso cono, et circa eandem <lb></lb>sphaeram descriptibilis. </s></p> <p type="main"> <s>Fiat enim angulus LMT rectus, et cum LM dupla po<lb></lb>natur ipsius LI, erit MT dupla ipsius IR, hoc est aequalis <lb></lb>diametro sphaerae, sive ipsi FH cum autem, per quartam <lb></lb>sexti, sit ut ML ad LN, ita TM ad MN erit rectangulum <lb></lb>LMN aequale rectangulo sub TM, LN, hoc est rectangulo <lb></lb>sub FH, LN, quod quidem per axem est cylindri EFHG. <lb></lb> <arrow.to.target n="marg26"></arrow.to.target><lb></lb>Aequalis ergo est superficies coni OLM, superficiei cy<lb></lb>lindri EFHG. Quod etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg26"></margin.target>9. huius.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XV.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si circa circulum describatur poligonum habens latera <lb></lb>numero paria, sive à quaternario mensurentur, sive tantum <lb></lb>à binario, et convertatur figura circa diagonalem, erit uni<lb></lb>versa superficies facti sphaeralis solidi, aequalis superficiei <lb></lb>cylindri circa eandem sphaeram descriptibilis. </s></p> <p type="main"> <s>Esto poligonum ABCDEF parilaterum, sive à quater<lb></lb>nario numerus laterum mensuretur, ut in prima figura, <lb></lb> <arrow.to.target n="fig24"></arrow.to.target><lb></lb>sive tantum à binario, ut in secunda; et convertatur figura <lb></lb>circa axem AD, nempe circa diagonalem poligoni. </s><s>Dico <lb></lb>universam superficiem facti solidi sphaeralis aequalem esse <lb></lb>superficiei cylindri GHIL eandem altitudinem habentis <lb></lb>cum ipso solido, et circa eandem sphaeram descriptibilis. <lb></lb> <arrow.to.target n="marg27"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg27"></margin.target>per praeced.</s></p> <figure id="fig24"></figure> <p type="main"> <s>Superficies enim coni BAF aequalis est superficiei cy<lb></lb>lindri ML; Superficies autem frusti conici, quae inter plana <lb></lb>BF, CE intercipitur, aequalis est superficiei cylindri inter </s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg28"></arrow.to.target><lb></lb>eadem plana intercepti: et sic de singulis partibus super<lb></lb>ficierum, quae solidum sphaerale circumsepiunt; Ergò <pb pagenum="25"></pb>omnes simul superficies ambientes sphaerale solidum ae<lb></lb>quales erunt superficiei cylindri GHIL. Quod erat osten<lb></lb>dendum. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg28"></margin.target>3. huius.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Si circulum duae diametri AB, CD, ad angulos rectos secuerint, <lb></lb><expan abbr="eundemq;">eundemque</expan> circulum duae aequales rectae lineae <lb></lb> <arrow.to.target n="fig25"></arrow.to.target><lb></lb>AF, BG tetigerint in extremitatibus axis AB. Tum <lb></lb>figura circà axem AB convertatur, describent AF, <lb></lb>BG duos circulos aequales, cum ipsae aequales <lb></lb>sint. </s><s>Oportet segmentum cylindri circà eandem <lb></lb>sphaeram descriptibilis reperire, cuius superficies <lb></lb>aequalis sit duobus simul circulis ex AF, BG dc<lb></lb>scriptis. </s></p> <figure id="fig25"></figure> <p type="main"> <s>Fiat angulus HGI rectus, <expan abbr="eritq;">eritque</expan> BI altitudo <lb></lb>quaesiti cylindri. </s><s>Nam propter angulum rectum <lb></lb>HGI, erit rectangulum HBI aequale quadrato BG; <lb></lb>et rectangulnm ABI hoc est rectangulum LM duplum erit quadrati BG. <lb></lb>Propterea superficies cylindri LM dupla erit circuli ex BG descripti, et <lb></lb> <arrow.to.target n="marg29"></arrow.to.target><lb></lb>ideo aequalis ambobus circulis ex BG, AF simul sumptis. </s><s>Quod etc.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg29"></margin.target>5. huius.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XVI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si circa circulum describatur poligonum habens latera <lb></lb>numero paria, sive â quaternario mensurentur, sive tantum <lb></lb>à binario, et convertatur figura circa catetum, erit uni<lb></lb>versa superficies facti sphaeralis solidi, aequalis superficiei <lb></lb>cylindri circa eandem sphaeram descriptibilis, altitudinem <lb></lb>verò habentis aequalem lineae compositae ex diametro <lb></lb>sphaerae, et ex tertia proportionalium, si fiat ut sphaerae <lb></lb>semidiameter ad semilatus poligoni, ita semilatus ad aliam. </s></p> <p type="main"> <s>Esto circulus ABCD, quem secent duae diametri AC, <lb></lb> <arrow.to.target n="fig26"></arrow.to.target><lb></lb>BD ad angul. </s><s>rectos, et circa ipsum sit poligona figura <pb pagenum="26"></pb>habens latera numero paria, sivè à quaternario mensu<lb></lb>rentur, ut in prima figura; sive tantùm à binario, ut in <lb></lb>secunda: Tum convertatur figura circa catetum AC, hoc <lb></lb>est circa lineam connectentem bisectiones laterum oppo<lb></lb>sitorum; Ex revolutione poligoni solidum sphaerale descri<lb></lb>betur contentum sub circularibus, conicisque superficiebus, <lb></lb>et una cylindrica, ut in prima figura, sive circularibus, et <lb></lb>conicis tantùm, ut in secunda. </s><s>Fiat deinde ut IC ad CL, <lb></lb>ita CL ad CM, quod facile erit si fiat angulus ILM rectus; <lb></lb>et per M agatur planum NO erectum ad axem. </s><s>Dico uni<lb></lb>versam superficiem solidi sphaeralis aequalem esse super<lb></lb>ficiei cylindri ENOH. </s></p> <figure id="fig26"></figure> <p type="main"> <s>Hoc autem patet ex praemissis; Nam tota sphaeralis <lb></lb>solidi superficies, demptis circulis oppositis, aequalis est <lb></lb> <arrow.to.target n="marg30"></arrow.to.target><lb></lb>superficiei cylindricae inter plana EH, FG compraehensae. </s><s><lb></lb>Duo verò circuli oppositi quorum centra A, et C aequales <lb></lb>sunt (per praecedens lemma) superficiei cylindricae inter <lb></lb>duo plana FG, NO contentae. </s><s>Propterea universa simul <lb></lb>sphaeralis solidi superficies aequalis erit superficiei cylindri <lb></lb>ENOH circa eandem sphaeram descripti, et altitudinem <lb></lb>habentis AM, quae componitur ex diametro sphaerae AC, <lb></lb>et ex recta CM, quae quidem tertia proportionalis est ad <lb></lb>semidiametrum IC, et semilatus, CL. Quod etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg30"></margin.target>deducitur ex <lb></lb>13. huius.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Si circulum ABCD duae diametri AC, BD secent ad angulos rectos; <lb></lb>recta autem linea CE eundem contingat in extre<lb></lb> <arrow.to.target n="fig27"></arrow.to.target><lb></lb>mitate axis AC et convertatur figura circa AC; <lb></lb>ipsa CE circulum describet. </s><s>Oportet segmentum <lb></lb>cylindri circa eandem sphaeram descripti reperire, <lb></lb>cuius superficies aequalis sit circulo ex CE de<lb></lb>scripto. </s></p> <figure id="fig27"></figure> <p type="main"> <s>Fiat angulus AEH rectus, ductoque plano per H <lb></lb>ad axem erecto. </s><s>Dico cylindricam superficiem MILN <lb></lb>aequari circulo ex CE. Est enim ob angulum <lb></lb>rectum AEH, rectangulum ACH, hoc est rectan<lb></lb> <arrow.to.target n="marg31"></arrow.to.target><lb></lb>gulum ML, aequale quadrato CE. Proptereà superficies cylindri MILN <lb></lb>aequalis erit circulo ex CE. Quod etc.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <pb pagenum="27"></pb> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg31"></margin.target>per 5. huius.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XVII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si circa circulum describatur poligonum habens latera <lb></lb>numero imparia, et convertatur figura circà catetum poli<lb></lb>goni: erit universa superficies facti sphaeralis solidi aequalis <lb></lb>superficiei cylindri circà eandem sphaeram descriptibilis, <lb></lb>altitudinem verò habentis aequalem lineae compositae ex <lb></lb>cateto poligoni, et ex tertia proportionalium, si fiat ut dia<lb></lb>meter circuli ad semilatus poligoni, ità semilatus ad aliam. </s></p> <p type="main"> <s>Esto circulus ABCD, circa quem <lb></lb> <arrow.to.target n="fig28"></arrow.to.target><lb></lb>sit poligonum EFGHI habens latera <lb></lb>numero imparia; et convertatur figura <lb></lb>circa catetum EC, nempe circa lineam, <lb></lb>quae ab uno angulo E perducitur ad <lb></lb>bisectionem lateris oppositi; <expan abbr="orieturq;">orieturque</expan> <lb></lb>solidum sphaerale contentum sub co<lb></lb>nicis superficiebus, unicoque circulo. </s></p> <figure id="fig28"></figure> <p type="main"> <s>Facto deinde angulo recto AHL, <lb></lb><expan abbr="ductoq;">ductoque</expan> per L plano MN ad axem erecto. </s><s>Dico universam <lb></lb>solidi superficiem aequalem esse superficiei cylindri OMNP. <lb></lb> <arrow.to.target n="marg32"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg32"></margin.target>13. huius.</s></p> <p type="main"> <s>Nam superficies solidi sphaeralis, dempto circulo ex CH <lb></lb>descripto, aequatur superficiei cylindri inter plana OP, QR <lb></lb>contenti: circulus autem ex CH factus aequalis est (prae<lb></lb>cedens lemma) superficiei cylindri inter plana QR, MN <lb></lb>contenti: Propterea universa solidi superficies aequalis erit <lb></lb>superficiei cylindri OMNP qui quidem circa eandem sphae<lb></lb>ram cum ipso solido describitur, altitudinem verò habet <lb></lb>lineam EL, quae componitur ex cateto EC, et ex linea <lb></lb>CL, quae tertia proportionalis est, si fiat ut AC diameter <lb></lb>sphaerae, ad CH semilatus poligoni, ita CH ad aliam. </s><s><lb></lb>Quod erat etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XVIII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Hemisphaerij superficies aequalis est superficiei curvae <lb></lb>cylindri eandem ipsi basim, et eandem altitudinem habentis. </s></p> <p type="main"> <s>Esto hemisphaerium ABC, et circa ipsum cylindrus <lb></lb>eiusdem altitudinis, ADEC. </s></p> <pb pagenum="28"></pb> <p type="main"> <s>Dico superficiem hemisphaerij aequalem esse super<lb></lb>ficiei cylindri ADEC. </s></p> <p type="main"> <s>Si enim non est aequalis, vel maior erit, vel minor. </s><s><lb></lb>Ponatur primùm sphaerica super<lb></lb> <arrow.to.target n="fig29"></arrow.to.target><lb></lb>ficies maior: fiatque ut cylindri <lb></lb>superficies ad superficiem hemi<lb></lb>spherij, quae maior ponitur, ita <lb></lb>recta AD ad AG: <expan abbr="intelligaturq;">intelligaturque</expan> <lb></lb>cylindrus productus usque ad GF. <lb></lb>Secetur deinde arcus AB bifa<lb></lb>riam, <expan abbr="iterumq;">iterumque</expan> portiones eius bifariam, et hoc semper, <lb></lb>donec poligoni circà semicirculum ABC descripti semilatus <lb></lb>VL minus sit quam recta DG (quod fieri posse constat ex <lb></lb>prima Decimi; semilatera enim poligonorum circulo cir<lb></lb>cumscriptorum ex continua arcuum bisectione semper mi<lb></lb>nuuntur plusquam pro medietate, ut ab alijs ostensum <lb></lb>est). Factum ergò sit; et esto poligonum HILMN, conver<lb></lb>sàque figura circa axem LO, fiat ex poligono, semisolidum <lb></lb>sphaerale sub conicis superficiebus compraehensum. </s><s>Cum <lb></lb>itaque recta DG maior sit quam semilatus LV, multo <lb></lb>maior eadem erit quàm LB, et propterea planum PQ pro<lb></lb>ductum per L intra puncta D et G cadet. </s></p> <figure id="fig29"></figure> <p type="main"> <s>Iam quia superficies cylindri AE ad superficiem hemis<lb></lb>phaerij est ut AD ad AG, hoc est ut cylindrica super</s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg33"></arrow.to.target><lb></lb>ficies AE ad cylindricam AF, erit cylindrica superficies AF <lb></lb>aequalis sphaericae. </s><s>Propterea, si sphaerica superficies ae<lb></lb> <arrow.to.target n="marg34"></arrow.to.target><lb></lb>qualis sit cylindricae AF maior erit quam cylindrica AQ, <lb></lb>hoc est quam conicae omnes HILMN, <expan abbr="multoq;">multoque</expan> maior quam <lb></lb>omnes ASILMRC. quod est absurdum. </s><s>Est enim contrà <lb></lb>principium ab Archimede praemissum. <lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg33"></margin.target>6. huius.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg34"></margin.target>ex 15. huius.</s></p> <p type="main"> <s>Assumpsimus conicam quae describitur à linea HS maiorem esse <lb></lb>quàm illa superficies, quae describitur à linea AS quod patet ex 12 <lb></lb>huius. </s><s>Rectangulum enim proprium conicae superficiei multò maius est <lb></lb>quam rectangulum per axem cylindricae, quando quidem sub maioribus <lb></lb>lateribus continetur.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Ponatur iam sphaerica ABC minor quam cylindrica <lb></lb>ADEC. Fiat ut superficies cylindrica ADEC ad sphaeri<lb></lb>cam, quae ponitur minor; ita recta AF ad FL. Fiatque <pb pagenum="29"></pb>ex FL semidiametro aliud hemisphaerium LNI, priori <lb></lb>concentricum, et circà ipsum intelligatur cylindrus LHMI: <lb></lb>Inscribatur etiam intrà se micirculum ABC figura laterum <lb></lb> <arrow.to.target n="fig30"></arrow.to.target><lb></lb>aequalium, ita ut latera ipsius non tangant semicirculum <lb></lb>LNI (quod fieri posse constat ex Euclide). <expan abbr="Describaturq;">Describaturque</expan> <lb></lb>alius semicirculus semidiametro FO, qui contingat singula <lb></lb>latera factae figurae, et convertatur universa figura circa <lb></lb>FB ita ut fiat semisolidum sphaerale AVBTC conicis <lb></lb>superficiebus circumseptum; ex semicirculo autem FO <lb></lb>fiat aliud hemisphaerium, circà quod concipiatur cylin<lb></lb>drus RQSP. </s></p> <figure id="fig30"></figure> <p type="main"> <s>Iam sic; superficies cylindri ADEC ad superficiem he<lb></lb>misphaerij est, per constructionem, ut AF ad FL, hoc est <lb></lb>ut AC ad LI, hoc est ut rectangulum AE ad rectangulum <lb></lb> <arrow.to.target n="marg35"></arrow.to.target><lb></lb>LM, hoc est ut cylindrica AE ad cylindricam LM. Quare <lb></lb>sphaerica superficies aequalis erit cylindricae LM, et pro<lb></lb>pterea minor quàm cylindrica RS, hoc est quàm omnes <lb></lb> <arrow.to.target n="marg36"></arrow.to.target><lb></lb>conicae AVBTC, absurdum sphaerica enim superficies <lb></lb>ABC maior est quàm omnes conicae AVBTC. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg35"></margin.target>6. huius.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg36"></margin.target>ab 15. huius.</s></p> <p type="main"> <s>Hemisphaerij ergò superficies aequalis erit superficiei <lb></lb>cylindri eandem ipsi basim, <expan abbr="eandemq;">eandemque</expan> altitudinem habentis. </s><s><lb></lb>Cum demonstratum sit neque maiorem esse, neque mi<lb></lb>norem. </s><s>Quod erat etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XIX.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Cuiuscunque minoris portionis Sphaerae superficies ae<lb></lb>qualis est curvae superficiei cylindri circà integram sphae<lb></lb>ram descripti, et eandem altitudinem cum ipsa portione <lb></lb>habentis. <pb pagenum="30"></pb> <arrow.to.target n="marg37"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg37"></margin.target>15. quinti.</s></p> <p type="main"> <s>Esto minor sphaerae <lb></lb> <arrow.to.target n="fig31"></arrow.to.target><lb></lb>portio ABC, et portio cy<lb></lb>lindri FDEG; circa inte<lb></lb>gram sphaeram descripti, <lb></lb>eandem tamen altitudi<lb></lb>nem HB cum ipsa por<lb></lb>tione sphaerica habentis. </s><s><lb></lb>Dico sphaericam superfi<lb></lb>ciem ABC aequalem esse superficiei cylindri FDEG. </s></p> <figure id="fig31"></figure> <p type="main"> <s>Si enim non est aequalis, vel maior erit vel minor. </s></p> <p type="main"> <s>Ponatur primum maior; et ipsi sphaericae superficiei <lb></lb>ABC construatur aequalis (ut in praecedenti) cylindrica <lb></lb>FLMG: secto deinde arcu AB bifariam, et portïones eius <lb></lb>iterum bifariam, et sic semper, circumscribatur arcui ABC <lb></lb>figura multorum laterum INOPQ, terminata ad diametros, <lb></lb>quae ducuntur per puncta A et C. Sitque per praedictam <lb></lb>bisectionem arcuum, semilatus RO minus quàm recta DL, <lb></lb>ut propterea planum ST, ductum per O, cadat intra puncta <lb></lb>D, et L. Quemadmodum in praecedenti etc. </s><s>Convertatur <lb></lb>deinde figura universa circà OH, et ex conversione figurae <lb></lb>INOPQ nascetur portio solidi sphaeralis sub conicis super<lb></lb>ficiebus contenta. </s></p> <p type="main"> <s>Iam sic. </s><s>Quia sphaerica superficies ABC aequalis est <lb></lb>per constructionem cylindricae FLMG, maior eadem erit <lb></lb>quàm cylindrica FSTG, et multò maior quàm omnes co<lb></lb>nicae INOPQ, <expan abbr="multoq;">multoque</expan> etiam maior quàm omnes conicae <lb></lb>AVNOPXC. Quod est absurdum, et contrà principia Ar<lb></lb>chimedis. <lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Assumpsimus cylindricam superficiem FSTG maiorem esse omnibus <lb></lb>conicis <expan abbr="INOPq.">INOPque</expan> Hoc enim patet. </s><s>Nam ex 13, 14 et 15 huius colligi <lb></lb>potest, conicas INOPQ aequales esse superficiei cylindricae contentae <lb></lb>inter planum ST, et planum quod duceretur per puncta <expan abbr="Iq.">Ique</expan> </s></p> <p type="main"> <s>Assumpsimus etiam, ductà tangente AV conicam superficiem, quae <lb></lb>fit à linea IV, maiorem esse quàm illa quae fit linea AV. Quod quidem <lb></lb>demonstratur apud Archimedem ad Propositionem 37 de Sphaera et <lb></lb>Cylindro. </s><s>Sed et ex nostris deduci potest. </s><s>Nam rectangulum proprium <lb></lb>superficiei, quae fit à linea IV, maius est quàm rectangulum proprium <lb></lb>illius quae fit à linea AV. Continetur enim sub lineis maioribus.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <pb pagenum="31"></pb> <p type="main"> <s>Ponatur deinde sphaerica superficies portionis ABC <lb></lb>min. </s><s>quam cylindrica FDEG. </s></p> <figure></figure> <p type="main"> <s>Fiat ut cylindrica FDEG ad sphaericam superficiem <lb></lb>ABC, quae minor ponitur, ita FH ad HM et centro T <lb></lb>semidiametro autem HM fiat hemisphaerium OQP, circa <lb></lb>quod intelligatur cylindrus OLNP. Intra arcum autem <lb></lb>ABC figura inscribatur multorum laterum AVBXC per <lb></lb>continuam bisectionem arcuum ita ut latera ipsius non <lb></lb>tangant semicirculum OQP, et convertatur universa figura <lb></lb>circa axem BT. Intelligatur autem radio TZ (quae recta <lb></lb>perpendicularis sit ad unum latus figurae inscriptae) de<lb></lb>scribi sphaeram, quae tangat singula figurae AVBXC la<lb></lb>tera, et circa huiusmodi sphaeram descriptus concipiatur <lb></lb>suus cylindrus <foreign lang="grc">γβεδ. </foreign></s></p> <p type="main"> <s>Iam sic. </s><s>cylindrica superficies FDEG per constructio</s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg38"></arrow.to.target><lb></lb>nem est ad sphaericam ABC, ut FH ad HM, hoc est ut <lb></lb>FG ad MI hoc est ut rectangulum FE ad rectangulum MN, <lb></lb> <arrow.to.target n="marg39"></arrow.to.target><lb></lb>hoc est ut eadem cylindrica FE, ad cylindricam MN. Erit <lb></lb>ideò sphaerica superficies ABC aequalis cylindricae MN <lb></lb> <arrow.to.target n="marg40"></arrow.to.target><lb></lb>nempè minor cylindrica <foreign lang="grc">θε</foreign> hoc est minor omnib. conicis <lb></lb>AVBXC; quod est absurdum. <lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg38"></margin.target>6. huius.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg39"></margin.target>ex 6. huius.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg40"></margin.target>explicatur <lb></lb>infra.</s></p> <p type="main"> <s>Assumpsimus cylindricam superficiem <foreign lang="grc">θε</foreign> aequalem esse omnib. co<lb></lb> <arrow.to.target n="marg41"></arrow.to.target><lb></lb>nicis AVBXC. Quod patet ex demonstratis. </s><s>Sunt enim tam cylindrus <foreign lang="grc">θε</foreign>, <lb></lb>quàm omnes illae conicae eiusdem altitudinis HB; et circà eandem <lb></lb>sphaeram <foreign lang="grc">γδ</foreign> describuntur.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg41"></margin.target>15. huius.</s></p> <p type="main"> <s>Constat ergò superficiem ABC aequalem esse cylin<lb></lb>dricae DFGE cum demonstratum sit neque maiorem esse, <lb></lb>neque minorem. </s><s>Quod etc. </s></p> <pb pagenum="32"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollarium I.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Ex prima duarum praemissarum Propositionum pa<lb></lb> <arrow.to.target n="fig32"></arrow.to.target><lb></lb>tet superficiem integram sphaerae, aequalem esse su<lb></lb>perficiei cylindri sibi circumscripti, et eiusdem cum <lb></lb>ipsa sphaera altitudinis. </s></p> <figure id="fig32"></figure> <p type="main"> <s>Cum enim haemisphaerium ABC superficiem habeat <lb></lb>aequalem superficiei cylindri AEHC, et item hemispae<lb></lb>rium alterum ADC, superficiem habeat aequalem super<lb></lb>ficiei cylindri AFGC, erit coniunctim tota sphaerae superficies aequalis <lb></lb>superficiei cylindri FEHG; exceptis semper basibus.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollarium II.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Manifestum etiam est ex ultima propositione, super<lb></lb> <arrow.to.target n="fig33"></arrow.to.target><lb></lb>ficiem maioris sphaerae portionis, aequalem esse su<lb></lb>perficiei cylindri eandem cum portione altitudinem <lb></lb>habentis, et circà eandem sphaeram descriptibilis. <lb></lb> <arrow.to.target n="marg42"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg42"></margin.target>Corollar. </s><s><lb></lb>praeced.</s></p> <figure id="fig33"></figure> <p type="main"> <s>Cum enim integra sphaerae superficies aequalis sit <lb></lb>superficiei cylindri IDGL, et demonstratum sit super<lb></lb>ficiem segmenti minoris ABC aequalem esse superficiei <lb></lb>cylindri EDGF, erit reliqua superficies sphaerae AHC, aequalis reliquae <lb></lb>superficiei EILF. Quod oportebat etc.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XX.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Superficies sphaerae quadrupla est maximi circuli in <lb></lb>eadem sphaera descriptibilis. </s></p> <p type="main"> <s>Sit sphaera ABCD cuius diameter AC; et <lb></lb> <arrow.to.target n="fig34"></arrow.to.target><lb></lb>circà ipsam intelligatur cylindrus eiusdem <lb></lb>altitudinis FEHG. </s></p> <figure id="fig34"></figure> <p type="main"> <s>Dico superficiem sphaerae quadruplam <lb></lb>esse maximi circuli in ea descriptibilis. </s></p> <p type="main"> <s>Superficies enim cylindri FEHG sine ba<lb></lb>sibus, est ad circulum suae basis circa FG, sive circa AC </s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg43"></arrow.to.target><lb></lb>descriptum, ut EF ad quar. </s><s>partem ipsius FG, hoc est ut <lb></lb>FG ad quar. </s><s>partem ipsius FG; hoc est quadrupla. </s><s>Pro<lb></lb> <arrow.to.target n="marg44"></arrow.to.target><lb></lb>pterea etiam superficies sphaerae, quae cylindricae est <lb></lb>aequalis, quadrupla erit circuli circa AC descripti, qui in <lb></lb>sphaera maximus est. </s><s>Quod etc. </s></p> <pb pagenum="33"></pb> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg43"></margin.target>4. huius.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg44"></margin.target>ex prim. <lb></lb>Corollar. </s><s><lb></lb>praeced.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Aliter.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Sphaerica superficies ABCD aequalis est cylindricae FEHG; cylin<lb></lb>drica verò FEHG ad circulum, cuius semidiameter sit AC, est ut re<lb></lb>ctangulum per axem EG, ad quadratum ex semidiametro AC, nempe <lb></lb> <arrow.to.target n="marg45"></arrow.to.target><lb></lb>ad quadratum EG; et ideò aequalis: propterea etiam sphaerica super<lb></lb>ficies aequalis erit circulo cuius semidiameter sit AC; ergò quadrupla <lb></lb>erit circuli cuius diameter sit AC. Quod etc.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg45"></margin.target>5. huius.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XXI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><expan abbr="Cuiuscunq;">Cuiuscunque</expan> portionis sphaerae superficies aequalis est <lb></lb>circulo, cuius semidiameter aequalis sit lineae quae ex <lb></lb>polo portionis perducitur ad circulum, qui in eiusdem por<lb></lb>tionis basi est. </s></p> <p type="main"> <s>Esto sphaerae portio sive minor sive maior ABC. cuius <lb></lb>ex polo ducta sit recta AB. Dico superficiem portionis <lb></lb> <arrow.to.target n="fig35"></arrow.to.target><lb></lb>aequalem esse circulo qui fit ex AB tamquam semidia<lb></lb>metro. </s></p> <figure id="fig35"></figure> <p type="main"> <s>Cum enim quadratum AB aequale sit rectangulo DBE <lb></lb>ob circulum, aequale erit et rectangulo GFIH, quod idem <lb></lb>est ac rectangulum DBE. Propterea circulus ex AB ae<lb></lb>qualis erit superficiei cylindri, cui per axem sit rectang. <lb></lb> <arrow.to.target n="marg46"></arrow.to.target><lb></lb>GFIH, et ideo aequalis etiam superficiei sphaericae por<lb></lb>tionis ABC. Quod etc. <lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg46"></margin.target>5. huius.</s></p> <p type="main"> <s>Tria haec Theoremata, quae sequuntur, ex Archimede desumpta <lb></lb>sunt; quod quidem fecimus ne lector Archimedem adire cogeretur, sed <lb></lb>universam hanc doctrinam in hoc libello haberet.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <pb pagenum="34"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XXII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Sint duo coni recti ABC, DEF. <expan abbr="Sitq;">Sitque</expan> curvae coni ABC <lb></lb>superficiei aequalis circulus DF; nempe basis alterius <lb></lb>coni DEF; rectae verò IH, quae <lb></lb> <arrow.to.target n="fig36"></arrow.to.target><lb></lb>ex centro I ducitur perpendicu<lb></lb>lariter ad latus AB, aequalis sit <lb></lb>altitudo EL: Dico conos ABC, <lb></lb>DEF esse aequales. </s></p> <figure id="fig36"></figure> <p type="main"> <s>Nam altitudo BI ad altitudi<lb></lb> <arrow.to.target n="marg47"></arrow.to.target><lb></lb>nem EL est ut BI ad IH (ob aequalitem) sive ut BA, <lb></lb>ad AI, nempe ut curva superficies ABC ad basim AC; <lb></lb>sive ut basis DF ad basim AC reciprocè. </s><s>Quare aequales <lb></lb>erunt coni ABC, DEF. Quod erat etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg47"></margin.target>per 4. sexti. <lb></lb>8. huius.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollarium.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Hinc patet quòd si conus aliquis, puta DOF basim quidem habeat <lb></lb>DF aequalem curvae superficiei ABC, altitudinem verò OL non aequa<lb></lb>lem perpendiculari IH; Ita fore conum ABC ad conum DOF, ut est IH <lb></lb>ad OL. Nam conus DEF ad conum DOF est ut EL ad LO. Ergo (sum<lb></lb>ptis antecedentium aequalibus) conus ABC ad conum DOF, erit ut IH <lb></lb>àd OL.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XXIII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si fuerit rombus solidus ABCD, ex duobus conis rectis <lb></lb>compositus; <expan abbr="Sitq;">Sitque</expan> conus EFG habens basim EG aequalem <lb></lb>superficiei curvae alterius conorum rombi, puta, BAD; al<lb></lb>titudinem verò FH aequalem <lb></lb> <arrow.to.target n="fig37"></arrow.to.target><lb></lb>rectae CL, quae quidem ex ver<lb></lb>tice reliqui coni BCD ducitur <lb></lb>perpendiculariter in latus AB <lb></lb>productum alterius coni BAD. <lb></lb>Dico rombum solidum ABCD <lb></lb>aequalem esse cono EFG. </s></p> <figure id="fig37"></figure> <p type="main"> <s>Ducatur IN perpendicularis ad AB. Iam, conus BCD, <lb></lb>ad conum BAD, est ut CI ad IA; et componendo, rombus <pb pagenum="35"></pb>ABCD ad conum BAD est ut CA ad AI; sive ut CL, <lb></lb>ad IN. Conus verò BAD ad conum EFG est ut IN ad FH: <lb></lb>ergo ex aequo rombus ABCD ad conum EFG est ut CL <lb></lb> <arrow.to.target n="marg48"></arrow.to.target><lb></lb>ad FH. Ergo aequalis. </s><s>Quod erat, etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg48"></margin.target>per Cor. </s><s><lb></lb>praeced.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XXIV.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si fuerit conus sive rombus solidus ABCD sectus plano <lb></lb>EF ad basim parallelo. </s><s>Intelligaturque ex integro solido <lb></lb>ABCD ablatus rombus solidus EBFD. Dico reliquum so<lb></lb> <arrow.to.target n="fig38"></arrow.to.target><lb></lb>lidum ex cavatum AEDFC quod superest, equale esse <lb></lb>cono cuidam M, cuius basis M sit aequalis frusto curvae <lb></lb>superficiei conicae AEFC inter plana EF, AC, interceptae, <lb></lb>altitudo verò M sit aequalis perpendiculari DI, quae à <lb></lb>vertice ablati rombi D ducitur in latus BA. </s></p> <figure id="fig38"></figure> <p type="main"> <s>Intelligantur tres coni aequealti L, M, N quorum uni<lb></lb>cuique altitudo sit aequalis rectae DI; basis verò coni L <lb></lb>sit aequalis curvae superficiei coni EBF at basis M ae<lb></lb>qualis sit segmento conicae superficiei inter plana EF, AC <lb></lb>intercepto: coni tandem N basis aequalis sit utrisque simul <lb></lb>praedictis basibus; sive (quod idem est) integrae superficiei <lb></lb>curvae coni ABC. </s></p> <p type="main"> <s>Manifestum est quod integrum solidum ABCD aequale <lb></lb>erit cono N (per alterutram praecedentium duarum Pro<lb></lb>pos.) sed etiam duo coni L et M simul sumpti aequales <lb></lb> <arrow.to.target n="marg49"></arrow.to.target><lb></lb>sunt eidem cono N ergo integrum solidum ABCD aequale <lb></lb>erit duobus conis L et M simul sumptis. </s><s>Demptis itaque, <pb pagenum="36"></pb>rombo EBFD, et cono L, qui per praecedentem sunt ae<lb></lb>quales, reliquum solidum excavatum AEDFC aequale erit <lb></lb>reliquo cono M. Quod erat etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg49"></margin.target>ex 24. <lb></lb>Quinti.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XXV.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si ex cylindro auferatur conus eandem ipsi basim, et <lb></lb>eandem altitudinem habens, erit reliquum excavatum so<lb></lb>lidum, quod ex cylindro superest, aequale cono cuidam, <lb></lb>cuius basis aequalis sit superficiei curvae cylindri, altitudo <lb></lb>verò aequalis semidiametro basis ipsius cylindri. </s></p> <p type="main"> <s>Esto cylindrus, cuius rectangu<lb></lb> <arrow.to.target n="fig39"></arrow.to.target><lb></lb>lum per axem sit ABCD et ex ipso <lb></lb>auferatur conus BEC, ut dictum est. </s><s><lb></lb>Sumatur autem alius conus FIL, <lb></lb>cuius basis FL aequalis sit superficiei curvae cylindri, al<lb></lb>titudo aequalis rectae NB hoc est semidiametro basis cy<lb></lb>lindri. </s><s>Dico reliquum ex cylindro solidum, dempto cono <lb></lb>BEC, aequale esse cono FIL. </s></p> <figure id="fig39"></figure> <p type="main"> <s>Secetur BN bifariam in O. Conus ergo FIL ad conum <lb></lb>BEC, rationem habet compositam ex ratione altitudinum <lb></lb>HI ad BA, hoc est NB ad BA, et ex ratione basium, hoc <lb></lb> <arrow.to.target n="marg50"></arrow.to.target><lb></lb>est basis quae circa FL ad basim quae circa BC, sive quod <lb></lb>idem est, superficiei cylindricae ad basim propriam quae <lb></lb>circa BC, hoc est, lineae AB ad BO. Erit ergò conus FIL <lb></lb>ad conum BEC, ut NB ad BO, nempe duplus: solidum <lb></lb>etiam cylindricum excavatum, dempto cono BEC, duplum <lb></lb>est eiusdem coni BEC. Propterea solidum cylindricum <lb></lb>excavatum aequale erit cono FIL, cuius basis aequatur <lb></lb>superficiei cylindri, altitudo verò aequalis est semidiametro <lb></lb>basis cylindri. </s><s>Quod etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg50"></margin.target>4. huius.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XXVI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si ex cono conus auferatur eandem habens basim alti<lb></lb>tudinem verò minorem, erit excavatum solidum conicum, <lb></lb>quod relinquitur, aequale cono cuidam, cuius quidem basis <lb></lb>aequalis sit curvae superficiei totius prioris coni, alti- <pb pagenum="37"></pb>tudo verò aequalis perpendiculari, quae ex vertice ablati <lb></lb>coni demittitur in latus maioris coni. </s></p> <p type="main"> <s>Esto conus rectus ABC ex quo auferatur conus ADC, <lb></lb>uti dictum est. </s><s>Ponatur autem <lb></lb> <arrow.to.target n="fig40"></arrow.to.target><lb></lb>conus EFG, habens basim EG, <lb></lb>aequalem curvae superficiei coni <lb></lb>ABC; altitudinem verò HF ae<lb></lb>qualem rectae DI, quae per<lb></lb>pendicularitèr à vertice ablati <lb></lb>coni cadit in latus AB. Dico solidum conicum excavatum <lb></lb>ADCB, dempto cono ADC, aequale esse cono EFG. </s></p> <figure id="fig40"></figure> <p type="main"> <s>Nam cum triangula BLA, BID, rectangula sint, ha<lb></lb>beantque angulum communem ABL, similia erunt. </s><s>Sed <lb></lb>conus EFG ad conum ADC rationem habet compositam <lb></lb>ex ratione basium, nempe circuli circa EG, sive superficiei <lb></lb>curvae coni ABC, ad circulum circa AC, hoc est rectae <lb></lb> <arrow.to.target n="marg51"></arrow.to.target><lb></lb>BA ad AL; sive BD ad DI, et ex ratione altitudinum, <lb></lb> <arrow.to.target n="marg52"></arrow.to.target><lb></lb>nempe HF ad DL, sive DI ad DL. Conus ergo EFG, ad <lb></lb>conum ADC erit ut linea BD ad LD. Sed conus ABC <lb></lb>ad conum ADC est ut BL ad LD, et dividendo, etiam <lb></lb>solidum excavatum ADCB ad conum ADC est ut linea <lb></lb>BD ad DL. Propterea constat solidum excavatum ADCB <lb></lb>aequale esse cono EFG. Quod etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg51"></margin.target>8. huius.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg52"></margin.target>4. sexti.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Si ab eadem magnitudine AB duae magnitudines inae<lb></lb> <arrow.to.target n="fig41"></arrow.to.target><lb></lb>quales auferantur AC, maior, et AD minor, <expan abbr="fueritq;">fueritque</expan> DC, nempe <lb></lb>differentia inter ablatas, aequalis differentiae sive excessui, <lb></lb>quo maius residuum BD superat quandam magnitudinem E. <lb></lb>Dico ipsam E minori residuo CB aequalem esse. </s></p> <figure id="fig41"></figure> <p type="main"> <s>Patet hoc. </s><s>Cum enim maius residuum DB superet magni<lb></lb>tudinem E excessu DC; si excessu abijciatur, erit reliqua CB <lb></lb>aequalis magnitudini E. Propterea magnitudo E aequalis est <lb></lb>minori residuo. </s><s>Quod etc.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XXVII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si ex conico frusto conus auferatur, qui pro basi ha<lb></lb>beat maiorem frusti basim, altitudinem verò eandem cum <lb></lb>frusto; Erit reliquum excavatum solidum aequale cono <pb pagenum="38"></pb>cuidam, qui basim habeat aequalem superficiei curvae <lb></lb>frusti, altitudinem verò aequalem perpendiculari quae du<lb></lb>citur ex vertice ablati coni in latus alterum conici frusti. </s></p> <p type="main"> <s>Esto conicum frustum ABCD, <lb></lb> <arrow.to.target n="fig42"></arrow.to.target><lb></lb>cuius maior basis sit circulus <lb></lb>circa BC. Et ex ipso auferatur <lb></lb>conus BEC, cuius basis sit idem <lb></lb>circulus circa BC; altitudo verò <lb></lb>FE eadem cum frusto. </s><s>Dico re<lb></lb>liquum solidum excavatum dem<lb></lb>pto cono BEC, aequale esse cono <lb></lb>cuidam, cuius basis aequalis sit <lb></lb>curvae superficiei conici frusti ABCD altitudo vero sit <lb></lb>linea EH quae nimirùm ex E vertice ablati coni cadit <lb></lb>perpendicularitèr in AB latus conici frusti. </s></p> <figure id="fig42"></figure> <p type="main"> <s>Inscribatur alius conus AFD habens basim circà AD, <lb></lb>et verticem in F. Ducaturque AI parallela ad EF, eritque <lb></lb>tota IC aequalis utrique simul semidiametro basium, nempe <lb></lb>ipsi EA, <expan abbr="ipsiq;">ipsique</expan> FB. Fiat deinde circa FB semicirculus FOB, <lb></lb>in quo applicetur BO aequalis ipsi FI, sive ipsi EA; <expan abbr="eritq;">eritque</expan> <lb></lb>circulus ex semidiametro FO differentia inter duos circu<lb></lb>los, quorum semidiametri sint, FB, BQ, sive FB, et EA; <lb></lb>nempe differentia inter bases oppositas conici frusti, hoc <lb></lb>est inter bases conorum BEC, AFD, et propterea conus <lb></lb>cuius basis sit circulus ex FO semidiametro, altitudo verò <lb></lb>FE, differentia erit, sive excessus, quo maior conus BEC <lb></lb>superat minorem AFD. </s></p> <p type="main"> <s>Ponatur recta quaedam L, cuius quadratum aequale <lb></lb>sit rectangulo ex AB in IC, eritque circulus, qui fit ex L <lb></lb> <arrow.to.target n="marg53"></arrow.to.target><lb></lb>semidiametro, aequalis conicae superficiei frusti ABCD. <lb></lb>Demittatur denique ax F recta FM perpendicularis ad AB, <lb></lb>et ex E recta EN parall. </s><s>ipsi HM, eritque facta figura <lb></lb>EHMN parallelogrammum rectangulum. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg53"></margin.target>per Cor. </s><s><lb></lb>prop. 15. hu<lb></lb>ius.</s></p> <p type="main"> <s>Iam cum propter parallelas HM, RN, sint aequales an<lb></lb>guli BAD, NED, demptis rectis IAD, FED, erunt reliqui <lb></lb>BAI, NEF aequales; et ideò triangula BAI, NEF, cum <lb></lb>rectos habeant angulos ad I et N aequiangula erunt. <lb></lb> <arrow.to.target n="marg54"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg54"></margin.target>5. secundi.</s></p> <p type="main"> <s>Cum autem rectangulum BIC simul cum quadrato FI <lb></lb>aequale sit quadrato FB, vel quadratis FO, OB, demptis <pb pagenum="39"></pb>aequalibus BO, FI erit reliquum rectangulum BIC qua<lb></lb>drato FO aequale. </s></p> <p type="main"> <s>Concipiatur iam conus AFD detrahi ex conico frusto <lb></lb>ABCD, <expan abbr="eritq;">eritque</expan> reliquum excavatum solidum dempto prae</s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg55"></arrow.to.target><lb></lb>dicto cono, aequale cono cuidam cuius basis semidiameter <lb></lb>sit L, altitudo verò FM. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg55"></margin.target>24. huius.</s></p> <p type="main"> <s>Iam: quoniam ob similitudinem triangulorum, est NF <lb></lb>ad FE, ut BI ad BA, hoc est (sumpta communi altitudine) <lb></lb>ut rectangulum BIC ad rectangulum BA in IC, hoc est, <lb></lb>sumptis aequalibus, ut quadratum FO ad quadratum ex L <lb></lb>reciprocè, aequales erunt coni reciproci quorum alter alti<lb></lb>tudinem habeat FE, et semidiametrum basis FO; alter <lb></lb>verò altitudinem habeat FN, et semidiametrum basis L. <lb></lb>Sed conus ille qui altitudinem habeat FE, et radium basis <lb></lb>FO, est excessus inter ablatas magnitudines, nempe inter <lb></lb>conos BEC, AFD; Conus verò ille qui altitudinem habet <lb></lb>FN, et radium basis L, est excessus quo maius residuum <lb></lb>totius magnitudinis (nempe conus cuius altitudo FM, et <lb></lb> <arrow.to.target n="marg56"></arrow.to.target><lb></lb>radius basis L) superat quandam aliam magnitudinem, <lb></lb>nempe conum, cuius altitudo NM, sive EH, radius autem <lb></lb>basis L; erit itaque haec magnitudo, per Lemma praemis<lb></lb>sum, aequalis minori residuo; ergò conus praedictus, cuius <lb></lb>altitudo EH, et basis circulus ex L aequalis superficiei <lb></lb>conici frusti, aequalis erit minori residuo, hoc est reliquo <lb></lb>conici frusti ABCD dempto cono BEC. Quod erat etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg56"></margin.target>24. huius.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Aliter.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Sed conemur idem ostendere minus laboriosa demonstratione; si <lb></lb>possibile erit ex difficultate materiae, et veriùs ex tenuitate ingenij. </s></p> <p type="main"> <s>Sit conicum frustum ABCD cuius <lb></lb> <arrow.to.target n="fig43"></arrow.to.target><lb></lb>maior basis BC, et ex ipso auferatur <lb></lb>conus BEC, altitudinem habens eandem <lb></lb>cum frusto, et pro basi, maiorem ipsius <lb></lb>frusti basim. </s><s>Compleatur conus BGC, <lb></lb>cuius datum erat frustum, ductaque EH <lb></lb> <arrow.to.target n="marg57"></arrow.to.target><lb></lb>ad angulos rectos ipsi BG, ponatur IL <lb></lb>media proportionalis inter GB, BF, <expan abbr="eritq;">eritque</expan> <lb></lb>circulus ex IL semidiametro descriptus, <lb></lb>aequalis superficiei coni BGC fiat circa IL semicirculus IML, in quo <lb></lb>aptetur IM media proportionalis inter GA, AE, <expan abbr="eritq;">eritque</expan> circulus ex semi- <pb pagenum="40"></pb> <arrow.to.target n="marg58"></arrow.to.target><lb></lb>diametro IM factus aequalis superficiei coni AGD; Reliquus circulus <lb></lb>ex semidiametro ML factus, aequalis erit superficiei conicae frusti <lb></lb>ABCD. (si enim ab aequalibus aequalia demas reliqua sunt aequalia). </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg57"></margin.target>per Cor. 8. <lb></lb>huius.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg58"></margin.target>per Cor. 8. <lb></lb>huius.</s></p> <figure id="fig43"></figure> <p type="main"> <s>Dico reliquum solidum frusti conici ABCD, ablato cono BEC, aequale <lb></lb>esse cono cuidam, cuius altitudo sit EH; basis verò aequalis super<lb></lb>ficiei conicae ispsius frusti; hoc est circulus ex semidiametro ML de<lb></lb>scriptus. </s></p> <p type="main"> <s>Cum .n. </s><s>duo circuli ex radijs IM, LM facti aequales sint circulo ex IL <lb></lb>descripto si altitudo unicuique eadem assumatur EH, erunt duo coni <lb></lb>simul (quorum altitudo communis EH, bases vero circuli ex radijs <lb></lb> <arrow.to.target n="marg59"></arrow.to.target><lb></lb>IM, LM) aequales cono, cuius altitudo eadem EH, basis verò circulus <lb></lb>ex IL; iste vero conus aequalis est solido conico BECG, dempto cono <lb></lb>BEC, ergo duo illi coni aequales erunt solido BECG. Proptereà ablatis <lb></lb>utrinque aequalibus conis, nempè cono, cuius basis ex IM est, altitudo <lb></lb>EH, et cono AGD (sunt enim aequales per 22 huius) remanebunt ae<lb></lb>qualia, solidum nempe excavatum frusti ABCD, detracto cono BEC, et <lb></lb>conus cuius altitudo EH, basis circulus ex LM radio factus, qui quidem <lb></lb>aequalis est superficiei conicae frusti ABCD. Quod etc.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg59"></margin.target>26. huius.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Definitio.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Si ex cylindro cylindrus auferatur aequealtus, et circa eundum axem <lb></lb>descriptus, solidum excavatum quod relinquitur, Tubum cylindricum <lb></lb>appellabimus.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XXVIII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Cylindrus ad tubum cylindricum aequealtum, est ut <lb></lb>quadratum semidiametri basis cylindri ad rectangulum <lb></lb>basis ipsius tubi cylindrici. </s></p> <p type="main"> <s>Esto cylindrus AB cuius axis <lb></lb> <arrow.to.target n="fig44"></arrow.to.target><lb></lb>CD. Tubus verò cylindricus EF <lb></lb>(dempto nimirum cylindro GH) <lb></lb>aequealtus sit cum cylindro AB. <lb></lb>Dico cylindrum AB a tubum EF esse ut quadratum AC <lb></lb>semidiametri basis cylindri, ad rectangulnm EGI, nempe <lb></lb>ad rectangulum basis tubi, hoc est quod fit à differentia <lb></lb>EG et ab aggregato GI semidiametrorum basis ipsius tubi. </s></p> <figure id="fig44"></figure> <p type="main"> <s>Nam cylindrus integer EF ad cylindrum GH, est ut <lb></lb>quadratum EL ad LG quadratum. </s><s>Et dividendo, Tubus <lb></lb>cylindricus EF ad cylindrum GH est ut rectangulum EGI <lb></lb>ad quadratum GL. Sed cylindrus GH ad AB cylindrum <lb></lb>est ut quadratum GL ad quadratum BC. Ergo ex aequo <pb pagenum="41"></pb>erit tubus cylindricus EF ad cylindrum AB ut rectan<lb></lb>gulum EGI ad quadratum AC. Convertendo igitur patet <lb></lb>quod propositum erat. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XXIX.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Datae figurae solidae rotundae figuram inscribere, al<lb></lb>teramque circumscribere ex cylindris aequealtis, ita ut de<lb></lb>scriptarum differentia minor sit quolibet dato solido. </s></p> <p type="main"> <s>Esto cylindrus ABCD, cuius <lb></lb> <arrow.to.target n="fig45"></arrow.to.target><lb></lb>axis EF: <expan abbr="datoq;">datoque</expan> intra cylindrum <lb></lb>solido AED circa eundem axem <lb></lb>EF revoluto, sive hemisphaerium, <lb></lb>sive conus, vel conoides sit, oportet <lb></lb>ipsi solido AED duas figuras ex <lb></lb>cylindris aequealtis compositas, al<lb></lb>teram quidem inscribere, alteram verò circumscribere ita <lb></lb>ut circumscripta superet inscriptam minori excessu quam <lb></lb>sit quodlibet datum solidum K. </s></p> <figure id="fig45"></figure> <p type="main"> <s>Secetur bifariam cylindrus AC plano HG ad axem EF <lb></lb>erecto; <expan abbr="iterumq;">iterumque</expan> cylindrus HD bifariam secetur plano IL; <lb></lb>et hoc fiat semper donec cylindrus aliquis puta AL minor <lb></lb>remaneat quàm solidum K. Tunc diviso toto cylindro AC <lb></lb>in cylindros aequealtos ac ipse AL, oriantur in solido AED <lb></lb>sectiones MN, OP, QR. Concipiamus super <expan abbr="unoquoq;">unoquoque</expan> cir<lb></lb>culorum MN, OP, QR, duos cylindros, alterum quidem <lb></lb>versus E, alterum autem versus partes F conversum. <lb></lb><expan abbr="Eruntq;">Eruntque</expan> omnes simul cylindri qui verticem habent versus <lb></lb>F, aequales omnibus simul cylindris verticem versus E <lb></lb>habentibus (cum singuli singulis aequales sint). Ergo si <lb></lb>omnibus cylindris qui verticem habent versus E, addas <lb></lb>cylindrum AL, superabit iam figura circa solidum AED <lb></lb>descripta, figuram eidem inscriptam, differentia AL; Nempe <lb></lb>minori excessu quàm sit solidum K. Quod erat etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollarium.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Hinc patet quòd data figura solida, sive hemispherium sit, sive <lb></lb>conus, sive conoides etc. </s><s>ipsi duae figurae solidae ex cylindris aeque<lb></lb>altis compositae altera inscribi potest, altera vero circumscribi; ità ut <pb pagenum="42"></pb>differentia inter datam solidam figuram, et descriptarum alterutram, <lb></lb>minor sit quolibet dato solido K. </s></p> <p type="main"> <s>Differentia enim inter figuram datam et alteram descriptarum minor <lb></lb><expan abbr="utiq;">utique</expan> erit quam differentia inter descriptas (est enim pars eiusdem) ergo <lb></lb>multò minor quàm solidum K.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XXX.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Sphaera quadrupla est coni cuiusdam, qui quidem conus <lb></lb>basim habeat aequalem maximo sphaerae circulo, altitu<lb></lb>dinem vero eiusdem sphaerae semidiametro aequalem. </s></p> <p type="main"> <s>Esto circulus cuius centrum A; quadratum ipsi cir<lb></lb>cumscriptum sit BCDE; iunctisque EA, AD. convertatur <lb></lb> <arrow.to.target n="fig46"></arrow.to.target><lb></lb>figura circa axem FG ita ut à quadrato fiat cylindrus, à <lb></lb>sphaera circulus; à triangulo EAD, conus EAD. </s></p> <figure id="fig46"></figure> <p type="main"> <s>Dico sphaeram quadruplam esse coni EAD. Nisi enim <lb></lb>quadrupla sit, non erit haemisphaerium aequale solido, <lb></lb>quod describitur à triangulo EHA circa axem FG converso <lb></lb>(cum hoc solidum duplum sit coni EAD). Erit <expan abbr="itaq;">itaque</expan> he<lb></lb>misphaerium vel maius, vel minus solido trianguli EHA. <lb></lb> <arrow.to.target n="marg60"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg60"></margin.target>per 29. <lb></lb>huius.</s></p> <p type="main"> <s>Esto primùm maius, si potest esse; sitque excessus <lb></lb>aequalis solido K. Inscribatur in hemisphaerio figura ex <lb></lb>cylindris aequealtis constans ita ut ab hemisphaerio de<lb></lb>ficiat minori defectu quam sit solidum K. Et erit flgura <lb></lb>inscripta adhuc maior quàm solidum trianguli EHA. Se<lb></lb>cetur etiam axis AG in tot partes aequales in quot sectus <lb></lb>erit AF. <expan abbr="Ductisq;">Ductisque</expan> per puncta sectionum planis ad axem <lb></lb>erectis, intelligatur in solido trianguli EHA inscripta figura <lb></lb>ex tubis cylindricis aequealtis constans, quorum unus sit, <lb></lb>cuius sectio est rectangulum HO. </s></p> <pb pagenum="43"></pb> <p type="main"> <s>Iam cylindrus IL ad tubum cylindricum HO, est ut <lb></lb>quadratum IP ad rectangulum MON. Sed quadratum IP </s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg61"></arrow.to.target><lb></lb>aequale est rectangulo FPG, nempe ipsi MON (nam FP <lb></lb>aequalis est rectae BR, sivè ME, sive MO, et reliqua PG <lb></lb>reliquae ON) ergo cylindrus IL aequalis est tubo cylin<lb></lb>drico HO. Hoc modo procedendo ostenduntur omnes cy<lb></lb>lindri in haemispherio aequales omnibus tubis in solido <lb></lb>trianguli EHA. Quare figura in hemisphaerio inscripta ex <lb></lb>cylindris constans, aequalis erit figurae in solido trianguli <lb></lb>EHA descriptae ex tubis cylindricis compositae. </s><s>Sed figura <lb></lb>in hemisphaerio descripta maior erat integro solido trian<lb></lb>guli EHA. Ergò necesse est quod figura inscripta in so<lb></lb>lido EHA eodem solido maior sit pars suo toto. </s><s>Quod <lb></lb>esse non potest. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg61"></margin.target>per 28. <lb></lb>huius</s></p> <p type="main"> <s>Esto deinde, si fieri potest, hemisphaerium minus solido <lb></lb>trianguli EHA; <expan abbr="sitq;">sitque</expan> defectus aequalis solido K. </s></p> <figure></figure> <p type="main"> <s>Circumscribatur ipsi hemisphaerio figura solida ex cy<lb></lb> <arrow.to.target n="marg62"></arrow.to.target><lb></lb>lindris aequealtis constans, ita ut excessus figurae super <lb></lb>hemisphaerium minus sit solido K. Tunc enim circum<lb></lb>scripta figura adhuc minor erit solido trianguli EHA. Con<lb></lb>cipiamus deinde solido trianguli EHA aliquam figuram <lb></lb>esse circumscriptam constantem ex tubis cylindricis aeque<lb></lb>altis ac cylindri ex quibus constat figura haemisphaerio <lb></lb>circumscripta. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg62"></margin.target>per 29 <lb></lb>huius.</s></p> <p type="main"> <s>Iam primus cylindrus HV figurae circa hemisphaerium <lb></lb>descriptae, aequalis est primo tubo cylindrico figurae cir<lb></lb>cumscriptae solido trianguli EHA; nam et iste tubus, cy<lb></lb>lindrus est HF. </s></p> <p type="main"> <s>Secundus cylindrus GI ad secundum tubum LM, est <lb></lb> <arrow.to.target n="marg63"></arrow.to.target><lb></lb>ut quadratum GN ad rectangulum LTF, nempe aequalis <pb pagenum="44"></pb>(quadratum enim GN, aequale est rectangulo ONP, sive <lb></lb>LTF, nam recta ON rectae BQ, sive LE, sive LT, aequalis <lb></lb>est, et reliqua NP reliquae TF). </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg63"></margin.target>per 28. <lb></lb>huius.</s></p> <p type="main"> <s>Ergo omnes simul cylindri figurae circa hemisphaerium <lb></lb>descriptae, hoc est eadem figura, aequalis erit omnibus <lb></lb>simul tubis cylindricis circa solidum trianguli EHA de<lb></lb>scriptis, cum singuli singulis aequales sint. </s><s>Sed figura circa <lb></lb>hemisphaerium descripta minor erat solido trianguli EHA. <lb></lb>Necesse igitur est quòd solidum trianguli EHA maius sit, <lb></lb>quam figura sibi circumscripta pars suo toto. </s><s>Quod esse <lb></lb>non potest. </s></p> <p type="main"> <s>Hemisphaerim igitur neque maius, neque minus erit <lb></lb>solido trianguli EHA, sed ipsi aequale, solidum verò trian<lb></lb>guli EHA duplum est coni EAD, ergò hemisphaerium <lb></lb>duplum erit coni EAD. Sphaera verò eiusdem quadrupla <lb></lb>erit, Quod erat propositum. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollarium.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Hinc patet sphaeram subsesquialteram esse cylindri, cuius basis <lb></lb>aequalis sit maximo sphaera circulo, altitudo verò diametro sphaerae <lb></lb>aequalis. </s></p> <p type="main"> <s>Nam sph. ostenditur esse ad conum EAD ut 4, ad unum, conus <lb></lb>vero EAD ad cylindrum EBCD est ut unum ad 6 ergo ex aequo sphaera <lb></lb>ad cylindrum EBCD erit ut 4 ad 6. Nempe subsesquialtera.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <pb></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>DE SOLIDIS SPHAERALIBUS<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>LIBER SECUNDUS<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO I.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Conus quilibet circa sphaeram descriptus, aequalis est <lb></lb>cono cuidam, qui basim habeat aequalem universae super<lb></lb>ficiei circumscripti coni accepta etiam basi, altitudinem <lb></lb>verò aequalem radio sphaerae; </s></p> <p type="main"> <s>Esto circa sphaeram, cuius cen<lb></lb> <arrow.to.target n="fig47"></arrow.to.target><lb></lb>trum A, descriptus conus BCD, <lb></lb>(qui videlicet sphaeram tangat et <lb></lb>lateribus, et basi) <expan abbr="Ponaturq;">Ponaturque</expan> alius <lb></lb>conus EFG, qui basim habeat EG <lb></lb>aequalem tum curvae superficiei, <lb></lb>tum etiam basi coni BCD, altitudinem verò HF habeat <lb></lb>aequalem radio sphaerae AL. </s></p> <figure id="fig47"></figure> <p type="main"> <s>Dico conos BCD, EFG aequales esse. </s></p> <p type="main"> <s>Solidum enim conicum excavatum quod fit ex revolu<lb></lb>tione trianguli CBA circa axem IC, aequale est cono <lb></lb> <arrow.to.target n="marg64"></arrow.to.target><lb></lb>cuidam, qui basim habeat aequalem curvae superficiei <lb></lb>conicae BCD, altitudinem verò aequalem perpendiculari <lb></lb>AL, nempe radio sphaerae: Talis ergò conus unà cum <lb></lb>cono BAD (cum habeant eandem altitudinem) aequales <lb></lb>erunt cono EFG; Quandoquidem conus EFG basim habet <pb pagenum="46"></pb><expan abbr="utriq;">utrique</expan> simul basi aequalem, altitudinem verò alterutrae <lb></lb>aequalem. Proptereà et conus BCD, qui duobus praedictis <lb></lb>conis aequatur, aequalis erit cono EFG. Quod etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg64"></margin.target>26. p. </s><s>partis</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Aliter.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> <arrow.to.target n="marg65"></arrow.to.target><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg65"></margin.target>per 3. sexti.</s></p> <p type="main"> <s>Ducatur IM aequidistans ipsi AL et quoniam angulus CBI divi<lb></lb>ditur bifariam à linea BA, erit ut CB ad BI, ita CA ad AI. <lb></lb> <arrow.to.target n="marg66"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg66"></margin.target>8. prim. <lb></lb>partis.</s></p> <p type="main"> <s>Superficies ergò coni BCD sine basi, ad circulum suae basis est <lb></lb>ut CB ad BI, nempe ut CA ad AI, et componendo, et <lb></lb> <arrow.to.target n="fig48"></arrow.to.target><lb></lb>per conversionem rationis, erit universa superficies coni <lb></lb>BCD cum basi, ad superficiem eiusdem coni sine basi, <lb></lb>ut IC ad CA, hoc est ut IM ad AL. </s></p> <figure id="fig48"></figure> <p type="main"> <s>Propterea si reciprocè adhibeantur bases, et altitu<lb></lb>dines, erit conus cuius altitudo AL, basis verò aequalis <lb></lb>universae superficiei coni BCD cum basi, aequalis cono <lb></lb>cuius altitudo sit IM, basis verò curva tantum superficies <lb></lb>conica BCD, hoc est cono BCD (aequales enim sunt, conus cuius altitudo <lb></lb>IM, basis verò conica superficies BCD; et conus BCD per 22 huius).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO II.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Conus quilibet circa sphaeram descriptus, est ad sphae<lb></lb>ram, ut coni ipsius universa superficies accepta etiam basi, <lb></lb>ad superficiem sphaerae. </s></p> <p type="main"> <s>Esto circa sphaeram ABC de<lb></lb> <arrow.to.target n="fig49"></arrow.to.target><lb></lb>scriptus conus DEF; Dico huius<lb></lb>modi conum esse ad sphaeram, <lb></lb>ut coni superficies una cum basi, <lb></lb>ad superficiem sphaerae. </s></p> <figure id="fig49"></figure> <p type="main"> <s>Ponatur conus HIL ut in prae<lb></lb>cedenti, cuius basis aequalis sit integro perimetro coni <lb></lb>DEF una cum basi, altitudo verò PI aequalis radio <lb></lb>sphaerae OC, <expan abbr="eritq;">eritque</expan> conus HIL aequalis cono DEF. </s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg67"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg67"></margin.target>per praeced.</s></p> <p type="main"> <s>Agatur per centrum O planum MN ad axem erectum, <lb></lb>et in hemisphaerio MCN concipiatur conus MCN. </s></p> <p type="main"> <s>Iam conus DEF ad conum HIL (ob aequalitatem) est <lb></lb>ut totus perimeter coni DEFD ad basim HL, conus autem <lb></lb>HIL ad conum MCN, (cum eandem habeant altitudinem) </s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg68"></arrow.to.target><lb></lb>est ut basis HL ad basim MN, conus denique MCN ad <lb></lb>sphaeram, est ut basis MN ad superficiem sphaerae (nempe <pb pagenum="47"></pb>in ratione sub quadrupla) quare ex aequo erit conus DEF <lb></lb>ad sphaeram, ut universus perimeter coni DEF ad super<lb></lb>ficiem sphaerae. </s><s>Quod etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg68"></margin.target>20. et 30. p. </s><s><lb></lb>partis.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO III.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Conus quilibet circa sphaeram descriptus, est ad sphae<lb></lb>ram, ut rectangulum contentum sub latere et semibasi <lb></lb>coni tamquàm una linea, et sub semibasi, ad quadratum <lb></lb>diametri sphaerae. </s></p> <p type="main"> <s>Esto circa sphaeram, cuius diameter <lb></lb> <arrow.to.target n="fig50"></arrow.to.target><lb></lb>DE, descriptus conus quilibet ABC. Dico <lb></lb>conum ad sphaeram esse ut rectangulum <lb></lb>sub BAD tamquàm unà linea, et sub AD <lb></lb>compraehensum, ad quadratum DE. </s></p> <figure id="fig50"></figure> <p type="main"> <s>Curva enim superficies coni ABC ad <lb></lb> <arrow.to.target n="marg69"></arrow.to.target><lb></lb>circulum suae basis est ut BA ad AD, <lb></lb>et componendo erit totus coni perimeter ad eundem cir<lb></lb>culum basis ut BA, AD simul ad AD; hoc est ut rectan<lb></lb>gulum sub linea BAD, et sub AD ad quadratum AD; <lb></lb>circulus verò basis coni, ad circulum circa DE, est ut qua<lb></lb>dratum AD ad quadratum DF, circulus denique circa DE <lb></lb>ad sphaerae superficiem, est ut quadratum DF ad quadra<lb></lb>tum DE, ergò ex aequo universus coni ABCA perimeter <lb></lb>ad superficiem sphaerae (hoc est conus ipse ad sphaeram <lb></lb>per praecedentem) erit ut rectangulum sub recta linea <lb></lb>BAD, et sub AD, ad quadratum DE. Quod etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg69"></margin.target>8. p. </s><s>pars.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollarium.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Pro Corollario potest ostendi conum aequilaterum ad inscriptam <lb></lb>sphaeram, esse ut 9 ad 4. Posito enim latere AC 6 erit rectangulum <lb></lb>sub latere cum semibasi, et semibasi 27 quadratum verò BD 27 et qua<lb></lb>dratum DE 12 ergo conus ad sphaeram erit ut 27 ad 12 sive ut 9 ad 4.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Scholium.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Possent hic Theoremata non pauca proponi circa solidorum circum<lb></lb>scriptionem, et inscriptionem: qualia sunt. </s></p> <p type="main"> <s>Si circa sphaeram prisma concipiatur, quod singulis suis parallelo<lb></lb>grammis sphaeram contingat; sitque eiusdem altitudinis; Erit prisma <pb pagenum="48"></pb>ad sphaeram, ut perimeter basis prismatis ad duas tertias periphaeriae <lb></lb>maximi circuli sphaerae. </s></p> <p type="main"> <s>Si verò non eiusdem sit altitudinis; ratio prismatis ad sphaeram <lb></lb>componetur ex praedicta, et ex ratione altitudinum; altitudo autem <lb></lb>sphaerae diameter est. </s></p> <p type="main"> <s>Si cylindro circumscribatur prisma, quod singulis suis parallelo<lb></lb>grammis superficiem cylindri contingat; <expan abbr="sintq;">sintque</expan> eiusdem altitudinis. </s><s><lb></lb>Erit prisma ad cylindrum, ut basis ad basim: nempe, ut perimeter <lb></lb>basis prismatis, ad periphaeriam basis cylindri: idem verum est de <lb></lb>cono, et pyramidibus circumscriptis. </s></p> <p type="main"> <s>Si verò prisma, et cylindrus non eiusdem altitudinis fuerint; ratio <lb></lb>componetur ex ratione perimetri ad periphaeriam, et altitudinis ad <lb></lb>altitudinem. </s></p> <p type="main"> <s>Si intra cylindrum inscribatur prisma eiusdem altitudinis, habens <lb></lb>basim poligonam, regularem, et parilateram; Erit cylindrus ad prisma, <lb></lb>ut periphaeria basis cylindri ad perimetrum poligoni regularis in eo<lb></lb>dem circulo descripti, quod habeat latera multitudine sub dupla po<lb></lb>ligoni basis prismatis. </s><s>Quae vera sunt etiam de cono, et pyramidibus <lb></lb>inscriptis. </s></p> <p type="main"> <s>Quando verò basis prismatis imparilatera fuerit, sive regularis, sive <lb></lb>irregularis: Erit cylindrus ad inscriptum prisma, ut periphaeria basis <lb></lb>cylindri ad omnes sinus arcuum à lateribus basis prismatis subten<lb></lb>sorum. </s><s>Dummodo nullus arcus semicirculo maior sit. </s><s>Quando verò arcus <lb></lb>aliquis semicirculo maior sit; et quando figurarum altitudo non sit <lb></lb>eadem, et alia huiusmodi, onnia demonstrari possunt facili quidem <lb></lb>negotio; sed institutum nostrum est non omnem solidorum inscriptio<lb></lb>nem, et circumscriptionem prosequi; sed illam, tantum, quae circa <lb></lb>sphaeram est, vel intra ipsam; Propterea ad inceptum revertamur.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO IV.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si circà circulum describatur poligonum habens latera <lb></lb>numero paria, sive à quaternario, sive à binario mensurata, <lb></lb>et revolvatur figura circa diagonalem, erit factum sphae<lb></lb>rale solidum aequale cono cuidam qui basim habeat ae<lb></lb>qualem superficiei solidi, altitudinem verò semidiametro <lb></lb>sphaerae aequalem. <lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Hoc autem quandò numerus laterum mensuratur à quaternario <lb></lb>demonstratum fuit ab Archimede Prop. 29 sive mavis 25 lib. p. de <lb></lb>Sph. et Cylin. </s><s>Quando verò laterum numerus etiam à binario tantnm <lb></lb>mensuratur, ostendemus sic, eritque demonstratio (exceptis quae de <lb></lb>ultimo solido cylindrico dicentur) eadem cum ea quam affert Archi<lb></lb>medes.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <pb pagenum="49"></pb> <p type="main"> <s>Esto poligonum ABCDEFG habens latera à binario <lb></lb>tantum mensurata, ut in prima figura. </s><s>Ergò semipoligo<lb></lb> <arrow.to.target n="fig51"></arrow.to.target><lb></lb>num ABCDEF habebit latera numero imparia, latusque <lb></lb>unum tanget circulum in puncto T, <expan abbr="atq;">atque</expan> ideo cylindricam <lb></lb>superficiem in conversione describet. </s><s>Intelligatur conus <lb></lb>MNO, cuius basis sit circulus MO aequalis universae su<lb></lb>perficiei solidi sphaeralis, altitudo verò PN, aequalis sit <lb></lb>radio sphaerae. </s><s>Dico sphaerale solidum aequale esse cono <lb></lb>MNO. </s></p> <figure id="fig51"></figure> <p type="main"> <s>Rombus enim solidus factus in conversione figurae à <lb></lb>triangulo ABQ, aequalis est cono cuidam cuius basis ae<lb></lb> <arrow.to.target n="marg70"></arrow.to.target><lb></lb>qualis sit conicae superficiei descriptae à linea AB, alti<lb></lb>tudo verò sit radius QR. Solidum autem excavatum factum <lb></lb>in conversione à triangulo BCQ, aequatur cono cuidam <lb></lb> <arrow.to.target n="marg71"></arrow.to.target><lb></lb>cuius basis aequalis sit conicae superficiei descriptae à <lb></lb>linea BC altitudo verò aequalis radio sphaerae QS et sic <lb></lb>semper procedatur. </s><s>Ultimum denique solidum cylindricum <lb></lb> <arrow.to.target n="marg72"></arrow.to.target><lb></lb>excavatum descriptum à triangulo CTQ, aequale est cono <lb></lb>cuidam, cuius basis aequalis sit superflciei cylindricae à <lb></lb>linea CT factae, altitudo verò aequalis sit semidiametro <lb></lb>cylindri, QT; Et sic de solidis circa alterum hemisphae<lb></lb>rium TFV descriptis. </s><s>Ergo universum sphaerale solidum, <lb></lb>aequale erit omnibus praedictis conis simul sumptic: ijsdem <lb></lb>autem omnibus praedictis conis aequalis est conus MNO <lb></lb>(cum basim habeat omnibus simul illorum basibus aequa<lb></lb>lem, nempe superficiei solidi sphaeralis, altitudinem verò <lb></lb>unicuique illorum aequalem, nempe radio sphaerae). Pro<lb></lb>pterea praedictum solidum sphaerale aequale erit cono <lb></lb>MNO. Quod etc. </s></p> <pb pagenum="50"></pb> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg70"></margin.target>23. p. </s><s>partis.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg71"></margin.target>24. p. </s><s>partis.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg72"></margin.target>25. p. </s><s>partis.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO V.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si circa circulum describatur poligonum habens latera <lb></lb>numero paria, et convertatur figura circa diagonalem: ha<lb></lb>bebit factum sphaerale solidum ad sphaeram suam eam <lb></lb>rationem, quam universa solidi sphaeralis superficies habet <lb></lb>ad superficiem sphaerae. </s></p> <p type="main"> <s>Manente praecedentis Propositionis constructione; Esto <lb></lb>sphaerale solidum cuius diagonalis, atque axis sit AB, cen<lb></lb>trum autem sphaerae sit C. Dico sphaerale solidum ad <lb></lb> <arrow.to.target n="fig52"></arrow.to.target><lb></lb>inscriptam sibi sphaeram esse, ut superficies solidi ad su<lb></lb>perficiem sphaerae. </s></p> <figure id="fig52"></figure> <p type="main"> <s>Inscribatur n. </s><s>in hemisphaerio conus DEF, et ponatur <lb></lb>conus GIH cuius basis GH aequalis sit universae super<lb></lb>ficiei solidi sphaeralis ut in praecedenti altitudo verò LI <lb></lb>aequalis radio sphaerae, et erit per praecedentem sphaerale <lb></lb>solidum aequale cono GIH. </s></p> <p type="main"> <s>Propter aequalitatem ergò, erit sphaerale solidum ad <lb></lb>conum GIH ut superficies universa sphaeralis solidi ad ba<lb></lb>sim coni GIH; conus autem GIH ad conum DEF (ob <lb></lb>aequalem altitudinem) est ut basis circa GH ad basim <lb></lb>circa DF; conus denique DEF ad sphaeram, est ut ba<lb></lb>sis circa DF ad superficiem sphaerae (nempe in ratione <lb></lb>subquadrupla). Propterea erit ex aequo sphaerale solidum <lb></lb>ad inscriptam sibi sphaeram ut universa sphaeralis solidi <lb></lb>superficies ad superficiem sphaerae. </s><s>Quod etc. </s></p> <pb pagenum="51"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO VI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si circa circulum describatur poligonum habens latera <lb></lb>numero paria, et convertatur figura circa diagonalem, erit <lb></lb>factum sphaerale solidum ad inscriptam sibi sphaeram ut <lb></lb>axis solidi ad axem sphaerae. </s></p> <p type="main"> <s>Manente praecedentium constructione; esto sphaerale <lb></lb>solidum, cuius diagonalis, atque axis sit AB centrum verò <lb></lb>sphaerae sit C, et diameter HI. </s></p> <figure></figure> <p type="main"> <s>Dico sphaerale solidum ad inscriptam sibi sphaeram <lb></lb>esse ut AB ad HI. </s></p> <p type="main"> <s>Circumscribatur n: circa sphaeram cylindrus NLMO <lb></lb>agantur que per extremitates axis A, B, plana ad axem <lb></lb>erecta DG, EF per extremitates verò diametri HI plana <lb></lb>LM, NO. </s></p> <p type="main"> <s>Erit, per praecedentem, sphaerale solidum ad sphaeram <lb></lb> <arrow.to.target n="marg73"></arrow.to.target><lb></lb>ut superficies sphaeralis solidi ad superficiem sphaerae; <lb></lb>hoc est, (sumptis aequalibus) ut superficies cylindri DEFG, <lb></lb> <arrow.to.target n="marg74"></arrow.to.target><lb></lb>ad superficiem cylindri LNOM, hoc est ut AB ad HI. <lb></lb>Quare sphaerale solidum ad sphaeram est ut axis solidi <lb></lb> <arrow.to.target n="marg75"></arrow.to.target><lb></lb>ad diametrum sphaerae. </s><s>Quod etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg73"></margin.target>per 15. <lb></lb>p. </s><s>partis.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg74"></margin.target>18. p. </s><s>partis.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg75"></margin.target>prima <lb></lb>p. </s><s>partis.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO VII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si intra circulum describatur poligonum habens latera <lb></lb>numero paria, et convertatur figura circa diagonalem, erit <lb></lb>sphaera ad inscriptum sibi sphaerale solidum, ut quadra<lb></lb>tum diametri sphaerae, ad quadratum cateti poligoni. </s></p> <p type="main"> <s>Sit n. </s><s>circ. </s><s>cuius cent. </s><s>A, et diamet. </s><s>BC poligonum <lb></lb>regulare, cuius diagonalis sit linea BC, et convertatur <pb pagenum="52"></pb>figura circa BC. Dico sphaeram circumscriptam ad in<lb></lb>clusum sphaerale solidum, esse ut qua<lb></lb> <arrow.to.target n="fig53"></arrow.to.target><lb></lb>dratum AC, ad quadratum cateti po<lb></lb>ligoni AD. Ducatur enim DE ex D <lb></lb>perpendicularis ad BC, et EF perpen<lb></lb> <arrow.to.target n="marg76"></arrow.to.target><lb></lb>dicularis ad AD, <expan abbr="eruntq;">eruntque</expan> in continua <lb></lb>proportione quatuor rectae AC, AD, <lb></lb>AE, AF. Concipiatur etiam radio AD <lb></lb>aliam sphaeram describi, quae singulas <lb></lb>conicas superficies solidi sphaeralis <lb></lb>continget; necnon cylindricam, si quam huiusmodi sphae<lb></lb>rale solidum habebit. <lb></lb> <arrow.to.target n="marg77"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg76"></margin.target>4. sexti.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg77"></margin.target>ultima duo<lb></lb>decimi.</s></p> <figure id="fig53"></figure> <p type="main"> <s>Erit itaque sphaera maior ad sphaeram minorem, ut <lb></lb>CA ad AF; minor verò sphaera ad sphaerale solidum, <lb></lb>quod sibi circumscribitur (per praecedentem) est ut DA <lb></lb>ad AC, hoc est, ut AF ad AE; Proptereà ex aequo erit <lb></lb>circumscripta sphaera maior, ad inscriptum solidum sphae<lb></lb>rale, ut CA ad AE; nempe ut quadratum CA ad quadra<lb></lb>tum AD. Quod erat etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO VIII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si circa sphaerale solidum, natum ex revolutione poli<lb></lb>goni circà diagonalem revoluti, sphaera circumscribatur, <lb></lb>et altera inscribatur. </s><s>Habebit circumscripta sphaera ad <lb></lb>solidum, duplicatam rationem illius, quam habet solidum <lb></lb>ad inscriptam sphaeram. </s></p> <p type="main"> <s>Repetita figura Propositionis praecedentis; cum sit cir<lb></lb>cumscripta sphaera ad solidum ut quadratum CA ad qua</s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg78"></arrow.to.target><lb></lb>dratum AD; solidum verò ad inscriptam sibi minorem <lb></lb>sphaeram, ut CA ad AD; patet rationem circumscriptae <lb></lb>sphaerae ad solidum sphaerale duplicatam esse illius quam <lb></lb>solidum hahet ac insctiptam sphaeram. </s><s>Quod etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg78"></margin.target>6. huius.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO IX.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si circa sphaerale solidum, natum ex revolutione <lb></lb>poligoni circà diagonalem revoluti, sphaera circumscri<lb></lb>batur, et altera inscribatur: Erit superficies solidi sphae- <pb pagenum="53"></pb>ralis media proportionalis inter superficies duarum sphae<lb></lb>rarum. </s></p> <p type="main"> <s>Manente figura, et constructione <lb></lb> <arrow.to.target n="fig54"></arrow.to.target><lb></lb>praecedentium propositionum. </s><s>Dico tres <lb></lb>superficies, nempe maioris sphaerae, so<lb></lb>lidi sphaeralis, <expan abbr="minorisq;">minorisque</expan> inscriptae <lb></lb>sphaerae, esse inter se in continua pro<lb></lb>portione. </s></p> <figure id="fig54"></figure> <p type="main"> <s>Superficies enim circumscriptae <lb></lb>sphaerae est ad superficiem inscriptae, <lb></lb>ut quadratum CA ad quadratum AD; <lb></lb>superficies autem solidi ad superficiem eiusdem inscriptae <lb></lb>sphaerae, est ut recta CA ad rectam AD: Ergò tres su<lb></lb> <arrow.to.target n="marg79"></arrow.to.target><lb></lb>perficies praedictae sunt in continua proportione; et qui<lb></lb>dem perimeter sphaeralis solidi medius proportionalis est. </s><s><lb></lb>inter superficies duarum sphaerarum. </s><s>Quod etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg79"></margin.target>Ostenditur <lb></lb>in 6. huius</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO X.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si circa circulum describatur poligonum habens latera <lb></lb>numero paria, sive à quaternario, sive tantum à binario <lb></lb>mensurata; et convertatur figura circa catetum; Erit fa<lb></lb>ctum sphaerale solidum aequale cono cuidam, cuius quidem <lb></lb>basis aequalis sit universae superficiei solidi sphaeralis, al<lb></lb>titudo verò aequalis radio sphaerae. </s></p> <p type="main"> <s>Esto circa circulum figura poligona aequilatera ABC<lb></lb>DEH habens latera numero paria, et convertatur figura <lb></lb> <arrow.to.target n="fig55"></arrow.to.target><lb></lb>circa catetum IL, <expan abbr="orieturq;">orieturque</expan> solidum contentum sub co<lb></lb>nicis, circularibus, et una cylindrica superficie, quando <pb pagenum="54"></pb>numerus laterum à quaternario mensuratur; quandò verò <lb></lb>à binario tantum, tunc erit solidum sphaerale sub co<lb></lb>nicis, et circularibus tantum superficiebus compraehensum. </s><s><lb></lb>Dico <expan abbr="utrumq;">utrumque</expan> sphaerale solidum aequale esse cono cuidam <lb></lb>MNO, qui basim habeat aequalem universae solidi sphae<lb></lb>ralis superficiei, altitudinem verò PN aequalem radio <lb></lb>sphaerae. </s></p> <figure id="fig55"></figure> <p type="main"> <s>Hoc ostendetur similiter ut propositione 4 factum est. </s><s><lb></lb>Nam conus qui fit à triangulo IAQ in conversione circa <lb></lb>axem IL, aequatur cono qui basim habeat aequalem cir<lb></lb>culo qui fit ex radio IA, altitudinem verò aequalem radio <lb></lb>sphaerae QI, quia idem prorsus est. </s><s>Solidum autem exca<lb></lb> <arrow.to.target n="marg80"></arrow.to.target><lb></lb>vatum, quod fit à triangulo ABQ, aequale probatur cono <lb></lb>cuidam, cuius basis aequalis sit conicae superficiei factae <lb></lb>à linea AB, altitudo verò sit QR radius sphaerae. </s><s>Ultimum <lb></lb>denique cylindricum solidum excavatum, factum à trian<lb></lb>gulo BQS (quando poligoni latera à quaternario mensu<lb></lb> <arrow.to.target n="marg81"></arrow.to.target><lb></lb>rantur, aliàs cylindricum solidum nullum est) aequatur <lb></lb>cono cuius basis aequalis sit cylindricae superficiei factae <lb></lb>à linea BS altitudo verò sit QS; et sic de altero hemi<lb></lb>sphaerio. </s><s>Proptereà universum sphaerale solidum aequale <lb></lb>erit omnibus praedictis conis simul sumptis; et ideo ae<lb></lb>quale erit etiam cono MNO, qui omnibus illis simul <lb></lb>sumptis aequivalet; (quandoquidem basim habet omnibus <lb></lb>simul illorum basibus aequalem ex suppositione; altitudi<lb></lb>nem verò unicuique illorum aequalem, nempe radium <lb></lb>sphaerae). Quod etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg80"></margin.target>24. p. </s><s>partis.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg81"></margin.target>25. p. </s><s>partis.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si circa circulum describatur poligonum habens latera <lb></lb>numero pario, et convertatur figura circa catetum, habebit <lb></lb>factum sphaerale solidum ad inscriptam sibi sphaeram <lb></lb>eam rationem, quam universa solidi sphaeralis superficies <lb></lb>habet ad superficiem sphaerae. </s></p> <p type="main"> <s>Manente praecedentis propositionis constructione, esto <lb></lb>sphaerale solidum cuius catetus, et axis sit AB; centrum <lb></lb>autem sphaerae sit C. Dico sphaerale solidum ad inscri- <pb pagenum="55"></pb>ptam sibi sphaeram esse ut universa ipsius solidi super<lb></lb>ficies ad superficiem sphaerae. </s></p> <p type="main"> <s>Concipiatur enim in hemisphaerio conus DAE, et in<lb></lb>telligatur alius conus FGH, cuius basis FH aequalis sit <lb></lb> <arrow.to.target n="fig56"></arrow.to.target><lb></lb>universae superficiei solidi sphaeralis, altitudo verò IG <lb></lb>aequalis radio sphaerae; et erit per praecedentem sphae<lb></lb>rale solidum aequale cono FGH. </s></p> <figure id="fig56"></figure> <p type="main"> <s>Propter aequalitatem ergo, erit sphaerale solidum ad <lb></lb>conum FGH, ut superficies universa sphaeralis solidi, <lb></lb>ad basim coni FGH, conus autem FGH, ad conum DAE <lb></lb>(ob aequalem altitudinem) est ut basis circa FH, ad basim <lb></lb>circa DE; denique conus DAE, ad sphaeram, est ut <lb></lb>basis circa DE ad superficiem sphaerae (nempe in ratione <lb></lb>subquadrupla): Propterea erit ex aequo sphaerale solidum <lb></lb>ad inscriptam sibi sphaeram, ut universa sphaeralis solidi <lb></lb>superficies ad superficiem sphaerae. </s><s>Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si circa circulum describatur poligonum habens latera <lb></lb>numero paria, et convertatur figura circa catetum; Ha<lb></lb>bebit factum sphaerale solidum ad inscriptam sibi sphae<lb></lb>ram, eam rationem, quam habet composita recta linea ex <lb></lb>diametro sphaerae, et ex tertia proportionali (si fiat ut <lb></lb>semidiameter sphaerae ad semilatus poligoni, ita semilatus <lb></lb>ad aliam), ad diametrum sphaerae. </s></p> <p type="main"> <s>Manente praecedentium propositionum constructione, <lb></lb>esto sphaerale solidum cuius catetus, et axis sit AB; cen<lb></lb>trum autem sphaerae sit C. Fiat angulus CDE rectus, <expan abbr="eritq;">eritque</expan> <pb pagenum="56"></pb>BE tertia proportionalis ad semidiametrum CB, et semi<lb></lb>latus poligoni BD. Dico sphaerale solidum ad inscriptam <lb></lb> <arrow.to.target n="fig57"></arrow.to.target><lb></lb>sibi sphaeram esse ut EA ad AB; nempe ut composita <lb></lb>ex diametro sphaerae AB, et tertia proportionali BE, ad <lb></lb>diametrum sphaerae AB. Concipiatur circa sphaeram de<lb></lb>scriptus cylindrus FLMI, et per puncta A; B; E produ<lb></lb>cantur plana FI, LM, GH, ad axem erecta. </s></p> <figure id="fig57"></figure> <p type="main"> <s>Erit ergo, per praecedentem, sphaerale solidum ad in<lb></lb>scriptam sibi sphaeram, ut superficies solidi ad superficiem <lb></lb> <arrow.to.target n="marg82"></arrow.to.target><lb></lb>sphaerae; hoc est, sumptis aequalibus, ut superficies cy<lb></lb>lindri FGHI ad superficiem cylindri FLMI; hoc est ut <lb></lb> <arrow.to.target n="marg83"></arrow.to.target><lb></lb>linea AE ad AB. Quod etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg82"></margin.target>16. pri. </s><s><lb></lb>partis.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg83"></margin.target>18. p. </s><s>partis.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XIII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si circà circulum describatur poligonum habens latera <lb></lb>numero paria, et convertatur figura circa catetum; erit <lb></lb>factum sphaerale solidum ad suam sphaeram, ut duo qua<lb></lb>drata, nempe ut quadratum diagonalis, et quadratum cateti <lb></lb>simul, ad duplum quadrati eiusdem cateti. </s></p> <p type="main"> <s>Esto circa circulum, cuius centrum A, descriptum po<lb></lb> <arrow.to.target n="fig58"></arrow.to.target><lb></lb>ligonum habens latera numero paria, et convertatur figura <lb></lb>circa catetum BC: <expan abbr="factoq;">factoque</expan> angulo recto ADE, erit (per <pb pagenum="57"></pb>praecedentem) solidum sphaerale ad suam sphaeram ut <lb></lb>EB ad BC. Dico insuper solidum sphaerale ad suam sphae<lb></lb>ram esse, ut quadratum ex AD, simul cum quadrato ex <lb></lb>AC, ad duplum quadrati ex AC. </s></p> <figure id="fig58"></figure> <p type="main"> <s>Nam EA ad AC est ut quadratum DA ad quadratum <lb></lb>AC; et componendo, erunt EA, et AC simul, hoc est <lb></lb>tota EB, ad AC, ut duo quadrata DA, AC simul ad qua<lb></lb>dratum AC; sumptisque consequentium duplis, erit EB <lb></lb> <arrow.to.target n="marg84"></arrow.to.target><lb></lb>ad BC (hoc est solidum sphaerale ad sphaeram) ut duo <lb></lb>quadrata DA, AC simul, ad duplum quadrati ex AC. <lb></lb>Quod etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg84"></margin.target>per praeced.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XIV.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si intrà circulum describatur poligonum habens latera <lb></lb>numero paria, et convertatur figura circà catetum; erit <lb></lb>sphaera ad inscriptum sibi solidum, ut integra diameter <lb></lb>sphaerae, ad secundam simul, et quartam proportionalium, <lb></lb>in ratione semidiametri sphaerae ad semicatetum poligoni. </s></p> <p type="main"> <s>Sit in circulo cuius diameter AB <lb></lb> <arrow.to.target n="fig59"></arrow.to.target><lb></lb>poligonum habens latera numero pa<lb></lb>ria, et convertatur figura circa cate<lb></lb>tum CD: Ducanturque perpendicu<lb></lb>lares DF ad rectam HE, et FI ad <lb></lb>HD; et erunt quatuor lineae EH, HD, <lb></lb>HF, HI, in continua ratione semidia<lb></lb>metri HE ad semicatetum HD. Dico <lb></lb>sphaeram ad inscriptum solidum esse, <lb></lb>ut dupla HE ad <expan abbr="utramq;">utramque</expan> simul DH, HI. Vel ut integra <lb></lb>diameter sphaerae ad CI. </s></p> <figure id="fig59"></figure> <p type="main"> <s>Intelligatur alia sphaera intra solidum inscripta. </s><s>Erit <lb></lb>ergo exterior sphaera ad interiorem, ut EH ad HI, sive <lb></lb> <arrow.to.target n="marg85"></arrow.to.target><lb></lb>ut dupla EH ad duplam HI; interior verò sphaera ad <lb></lb>solidum sphaerale est, ut duo quadrata ex HD, ad duo <lb></lb>quadrata HD, HE, hoc est ut duo quadrata ex HI, ad <lb></lb> <arrow.to.target n="marg86"></arrow.to.target><lb></lb>duo quadrata ex HI, HF, hoc est (ut infrà ostendemus) <lb></lb>ut dupla HI ad HI, HD; Propterea erit ex aequo sphaera <lb></lb>exterior ad inscriptum sibi sphaerale solidum, ut dupla <lb></lb>HE, hoc est integra diameter sphaerae, ad HI, et HD <pb pagenum="58"></pb>simul; quae quidem sunt secunda, et quarta in ratione <lb></lb>semidiam. </s><s>sphaerae ad semicatetum poligoni. </s><s>Quod etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg85"></margin.target>Ultima duo<lb></lb>decimi.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg86"></margin.target>per praec.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="italics"></emph>Quod autem assumptum est ostendemus.<emph.end type="italics"></emph.end> Dico ut duo <lb></lb>quadrata ex HI ad duo quadrata simul HI, HF ita esse <lb></lb>duplam HI ad HI, HD. </s></p> <p type="main"> <s>Nam ob angulum rectum HFD, erit ut quadratum FH <lb></lb>ad quadratum HI, ita recta DH ad HI, et componendo, <lb></lb>sumptisque consequentium duplis, erit ut quadrata FH, <lb></lb>HI, ad duo quadrata ex HI, ita duae rectae DH, HI, ad <lb></lb>duplam HI. Convertendo ergò, erunt duo quadrata ex HI, <lb></lb>ad duo quadrata HI, HF ut dupla HI, ad HI, HD simul. </s><s><lb></lb>Quod erat etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XV.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si circà circulum describatur poligonum habens latera <lb></lb>numero imparia, et convertatur figura circa catetum poli<lb></lb>goni, erit factum sphaerale solidum aequale cono cuidam, <lb></lb>cuius basis aequalis sit universae superficiei solidi, altitudo <lb></lb>verò radio sphaerae sit aequalis. </s></p> <p type="main"> <s>Esto circuli centrum A, polig. <lb></lb> <arrow.to.target n="fig60"></arrow.to.target><lb></lb>verò perimeter BCDEFGH. Et sint <lb></lb>latera eius numero imparia; conver<lb></lb>taturque figura circa catetum BI, ut <lb></lb>oriatur solidum sphaerale contentum <lb></lb>sub conicis superficiebus unicoque <lb></lb>circulo circa diametrum EF descri<lb></lb>pto. </s><s>Ponatur iam conus LMN, qui <lb></lb>basim habeat aequalem universae su<lb></lb>perficiei sphaeralis solidi, altitudinem <lb></lb>verò OM aequalem radio sphaerae <lb></lb>AI. Dico solidum sphaerale aequale esse cono LMN. </s></p> <figure id="fig60"></figure> <p type="main"> <s>Agatur per centrum sphaerae planum PQ ad axem <lb></lb>erectum, quod transuersè, secabit aliquod latus poligoni, <lb></lb>puta CD. </s></p> <p type="main"> <s>Erit iam rombus solidus, factus à conversione triang. <lb></lb> <arrow.to.target n="marg87"></arrow.to.target><lb></lb>BCA, aequalis cono, qui basim habeat aequalem conicae <lb></lb>superficiei factae à linea BC; altitudinem autem aequalem <lb></lb>radio sphaerae AR. Solidum verò conicum excavatum <pb pagenum="59"></pb>quod fit ex giro trianguli CPA, aequale erit cono, qui <lb></lb> <arrow.to.target n="marg88"></arrow.to.target><lb></lb>basim habeat aequalem superficiei, quae fit à linea CP <lb></lb>altitudinem verò aequalem radio sphaerae AS. Solidum <lb></lb>quoque excavatum, factum ex revolutione trianguli PDA, <lb></lb> <arrow.to.target n="marg89"></arrow.to.target><lb></lb>aequatur cono, qui basim habeat aequalem superficiei co<lb></lb>nicae quae fit à motu lineae PD, altitudinem autem ae<lb></lb>qualem radio shpaerae AS. Eadem prorsum eodem modo <lb></lb>dicuntur de solido conico excavato, facto à triangulo DAE; <lb></lb>et de ultimo cono facto à revolutione trianguli EIA. Pro<lb></lb>pterea totum sphaerale solidum aequale erit omnibus prae<lb></lb>dictis conis simul sumptis, vel cono LMN, qui omnibus <lb></lb>illis praedictis aequivalet: (habet enim basim omnibus si<lb></lb>mul illorum basibus aequalem, altitudinem verò aequalem <lb></lb><expan abbr="unicuiq;">unicuique</expan> illorum). Quod etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg87"></margin.target>23. p. </s><s>partis.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg88"></margin.target>24. p. </s><s>partis.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg89"></margin.target>27. p. </s><s>partis.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Scholium.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Attulimus in hac Propositione Theor. 23, 24 et 27 p. </s><s>partis; Nam <lb></lb>ex gyro trianguli BCA oritur rombus solidus ut in 23 p. </s><s>partis. </s><s>Ex <lb></lb>gyro trianguli CPA oritur solidum quoddam excavatum, quale relin<lb></lb>quitur si ex cono auferatur rombus solidus: ut in 24 p. </s><s>partis. </s><s>Denique <lb></lb>ex conversione trianguli DPA oritur solidum quoddam excavatum ha<lb></lb>bens basim circularem PQ: quale relinquitur si ex frusto conico conus <lb></lb>auferatur habens basim eandem cum maiore basi frusti conici, altitu<lb></lb>dinem quoque eandem ut in Prop. 27 p. </s><s>partis.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XVI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si circa circulum describatur poligonum habens latera <lb></lb>numero imparia, et convertatur <lb></lb> <arrow.to.target n="fig61"></arrow.to.target><lb></lb>figura circa catetum; habebit fa<lb></lb>ctum sphaerale solidum ad inscri<lb></lb>ptam sibi sphaeram, eam rationem <lb></lb>quam universa sphaeralis solidi su<lb></lb>perficies habet, ad superficiem <lb></lb>sphaerae. </s></p> <figure id="fig61"></figure> <p type="main"> <s>Manente praecedentis proposi<lb></lb>tionis constructione, sit sphaerale <lb></lb>solidum cuius catetus, sive axis sit <lb></lb>AB, centrum verò sphaerae sit C. Dico sphaerale solidum <pb pagenum="60"></pb>ad inscriptam sibi sphaeram esse, ut ipsius solidi integra <lb></lb>superficies ad superficiem sphaerae. </s></p> <p type="main"> <s>Concipiatur in hemisphaerio conus DEF; et intelligatur <lb></lb>conus GHI cuius basis GI aequalis sit universae superfi<lb></lb>ciei solidi sphaeralis, altitudo verò LH aequalis sit radio <lb></lb>sphaerae, et erit per praecedentem, sphaerale solidum <lb></lb>aequale cono GHI. </s></p> <p type="main"> <s>Propter aequalitatem ergò, erit sphaerale solidum ad <lb></lb>conum GHI, ut superficies universa sphaeralis solidi, ad <lb></lb>basim coni GHI; conus autem GHI ad conum DEF (ob <lb></lb>aequalem altitudinem) est ut basis circa GI, ad basim <lb></lb>circa DF conus denique DEF, ad sphaeram est, ut ba<lb></lb>sis circa DF ad superficiem sphaerae (nempe in ratione <lb></lb>subquadrupla). Proptereà erit ex aequo, sphaerale solidum <lb></lb>ad inscriptam sibi sphaeram, ut universa sphaeralis solidi <lb></lb>superficies ad superficiem sphaerae. </s><s>Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XVII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si circa circulum describatur poligonum habens latera <lb></lb>numero imparia, et convertatur figura circa catetum poli<lb></lb>goni, habebit factum sphaerale solidum ad inscriptam sibi <lb></lb>sphaeram eam rationem, quam habet linea composita ex <lb></lb>cateto poligoni et tertia proportionalium (si fiat, ut dia<lb></lb>meter sphaerae ad semilatus poligoni, ita semilatus ad <lb></lb>aliam), ad diametrum sphaerae. </s></p> <p type="main"> <s>Manente praecedentium constructione, <lb></lb> <arrow.to.target n="fig62"></arrow.to.target><lb></lb>sit sphaerale solidum cuius catetus, at<lb></lb>que axis sit AB, centrum verò sphaerae <lb></lb>C, et diameter DB. Fiat angulus rectus <lb></lb>DEF, <expan abbr="eritq;">eritque</expan> BF tertia proportionalium, <lb></lb>posita diametro DB pro prima, et semi<lb></lb>latere poligoni BE pro secunda. </s><s>Dico <lb></lb>sphaerale solidum ad inscriptam sibi <lb></lb>sphaeram esse ut tota AF ad DB. </s></p> <figure id="fig62"></figure> <p type="main"> <s>Concipiatur circa sphaeram cylindrus MNOP, et per <lb></lb>puncta A, D, B, F, plana agantur ad axem erecta. </s></p> <p type="main"> <s>Erit ergo, per praecedentem, sphaerale solidum ad in<lb></lb>scriptam sibi sphaeram, ut superficies sphaeralis solidi <pb pagenum="61"></pb>ad superficiem sphaerae; hoc est, sumptis aequalibus, <lb></lb> <arrow.to.target n="marg90"></arrow.to.target><lb></lb>ut superficies cylindri GHIL ad superficiem cylindri <lb></lb>MNOP; hoc est ut recta AF ad BD per primam p. </s><s>par<lb></lb>tis. </s><s>Quod etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg90"></margin.target>per 17. et 18. <lb></lb>p. </s><s>partis.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XVIII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si circa circulum describatur poligonum habens latera <lb></lb>numero imparia, et convertatur figura circa catetum poli<lb></lb>goni; habebit factum sphaerale solidum ad sphaeram eam <lb></lb>rationem quam habent quatuor simul termini nempe, ma<lb></lb>ximus, <expan abbr="minimusq;">minimusque</expan> cum duobus medijs; ad quatuor minimos; <lb></lb>(quandò ratio rectae GB ad GD continuata fuerit in tri<lb></lb>bus terminis. </s></p> <p type="main"> <s>Esto circulus cuius diameter AB, cen<lb></lb> <arrow.to.target n="fig63"></arrow.to.target><lb></lb>trum verò G, <expan abbr="ipsiq;">ipsique</expan> circumscribatur poli<lb></lb>gonum habens latera numero imparia, <lb></lb>cuius catetus sit GB, et convertatur fi<lb></lb>gura circa CB; Factoque angulo GDF <lb></lb>recto, erit ratio rectae GB ad GD con<lb></lb>tinuata in tribus terminis GB, GD, GF; <lb></lb>uti propositum est. </s><s>Dico solidum ad <lb></lb>sphaeram esse, ut GF, GB, simul cum GD bis sumpta, ad <lb></lb>ipsam GB quater sumptam. </s></p> <figure id="fig63"></figure> <p type="main"> <s>Fiat alius angulus ADE rectus; <expan abbr="eritq;">eritque</expan> solidum ad <lb></lb>sphaeram per praecedentem, ut CE ad diametrum sphaerae <lb></lb>AB, hoc est ut EG, GD simul, ad diametrum sphaerae (sunt <lb></lb>enim aequales GC, GD) hoc est ut dupla EG, et dupla GD <lb></lb> <arrow.to.target n="marg91"></arrow.to.target><lb></lb>ad duas diametros, hoc est ut FG, GB cum dupla GD, ad <lb></lb>quatuor semidiametros GB. Quod erat demon. </s><s>etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg91"></margin.target>ostenditur <lb></lb>infra.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="italics"></emph>Quod autem assumptum fuit, ostendemus sic.<emph.end type="italics"></emph.end> Dico ipsam <lb></lb>EG bis sumptam, aequalem esse duabus FG, GB. </s></p> <p type="main"> <s>Quoniam ob angulum rectum, rectangula ABE, GBF, <lb></lb>aequalia sunt eidem quadrato BD, aequalia erunt et inter <lb></lb>se; ideoque latera eorum reciproca, nempe ut AB ad BG <lb></lb>subduplam, ita erit FB ad BE subduplam; aequales ergo <lb></lb>sunt FE, EB et tres rectae GF, GE, GB sunt in propor<lb></lb>tione Aritmetica; ideo EG bis sumpta aequalis erit duabus <lb></lb>FG, GB. Quod etc. </s></p> <pb pagenum="62"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XIX.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si intra circulum describatur poligonum habens latera <lb></lb>numero imparia, et convertatur figura circa catetum poli<lb></lb>goni, erit sphaera inscriptum sibi sphaerale solidum, ut <lb></lb>sunt quatuor simul maximi termini, ad maiorem reliquo<lb></lb>rum semel, et medium bis, et minorem semel sumptum <lb></lb>(quando proportio CD ad CE continuata erit in quatuor <lb></lb>terminis). </s></p> <p type="main"> <s>Sit circulus cuius diameter AI, cen<lb></lb> <arrow.to.target n="fig64"></arrow.to.target><lb></lb>trum verò C, et inscribatur poligonum <lb></lb>habens latera numero imparia; tum con<lb></lb>vertatur figura circa catetum AD. Fiant<lb></lb>que anguli CEB et CBF recti, eritque <lb></lb>ratio CD ad CE continuata in quatuor <lb></lb>terminis CD, CE, CB, CF. Dico sphaeram <lb></lb>ad inscriptum sibi solidum sphaerale <lb></lb>esse, ut CF quater sumpta, ad CB semel, CE bis, et CD <lb></lb>semel, simulque sumptas. </s></p> <figure id="fig64"></figure> <p type="main"> <s>Intelligatur alia sphaera cuius semidiameter CD: in<lb></lb> <arrow.to.target n="marg92"></arrow.to.target><lb></lb>scripta in solido. </s><s>Erit ergo maior sphaera ad minorem ut <lb></lb>cubus EC ad cubum CD vel recta FC ad CD, vel ut FC <lb></lb>quater, ad CD quater; sphaera verò minor inscripta, est <lb></lb>ad solidum sphaerale, (per praecedentem) ut CD quater <lb></lb>sumpta, ad CB semel, CE bis, et CD semel: Propterea <lb></lb>erit ex aequo, maior, sive circumscripta sphaera, ad suum <lb></lb>sphaerale solidum, ut CF quater sumpta, ad CB semel, CE <lb></lb>bis, et CD semel sumptas. </s><s>Quod etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg92"></margin.target>Ultima duo<lb></lb>decimi.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Scholium.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Hactenus sex praecipua Theoremata de solidis sphaeralibus demon<lb></lb>strata sunt. </s><s>Sequuntur nunc quaedam scitu non iniucunda, et ad do<lb></lb>ctrinam spectantia.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <pb pagenum="63"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XX.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si intra sphaeram descriptum sit sphaerale solidum pa<lb></lb>rilaterum, <expan abbr="circaq;">circaque</expan> diagonalem revolutum: erit sphaera ad <lb></lb>excessum, quo ipsa solidum superat, in duplicata ratione <lb></lb>diametri sphaerae ad latus poligoni. </s></p> <p type="main"> <s>Sit in circulo cuius centrum A de<lb></lb> <arrow.to.target n="fig65"></arrow.to.target><lb></lb>scriptum poligonum habens latera numero <lb></lb>paria, et convertatur circa diagonalem BC. <lb></lb>Dico sphaeram ad excessum, quo ipsa so<lb></lb>lidum superat, esse ut quadratum BC ap <lb></lb>quadratum CD. </s></p> <figure id="fig65"></figure> <p type="main"> <s>Ducatur AE ex centro perpendicularis <lb></lb>ad latus CD, et producatur. </s></p> <p type="main"> <s>Quoniam per demonstrata, est ut sphaera ad solidum <lb></lb> <arrow.to.target n="marg93"></arrow.to.target><lb></lb>sphaerale ita quadratum FA ad quadratum AE, erit per <lb></lb>conversionem rationis sphaera ad excessum, ut quadratum <lb></lb>FA ad differentiam quadratorum FA, AE, hoc est ad re<lb></lb>ctangulum FEG, sive ad quadratum EC. Constat ergò <lb></lb>sphaeram ad excessum quo ipsa superat inscriptum sphae<lb></lb>rale solidum esse ut quadratum FA ad quadratum EC, <lb></lb>sive ut quadratum BC ad quadratum CD. Quod etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg93"></margin.target>7 huius.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XXI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si in eadem sphaera duo solida parilatera, et circa dia<lb></lb>gonalem revoluta, concipiantur, erit differentia unius à <lb></lb>sphaera, ad differentiam alterius a sphaera, homologè in <lb></lb>duplicata ratione laterum. </s></p> <p type="main"> <s>Sint in circulo cuius diameter AB duo <lb></lb> <arrow.to.target n="fig66"></arrow.to.target><lb></lb>semipoligona ACB, ADB; et convertatur <lb></lb>figura circà diagonalem AB. Dico diffe<lb></lb>rentiam inter sphaeram, et sphaerale soli<lb></lb>dum ACB, ad differentiam inter sphaeram <lb></lb>et sphaerale solidum ADB, esse ut qua<lb></lb>dratum CB ad quadratum BD. </s></p> <figure id="fig66"></figure> <p type="main"> <s>Demonstratum enim est differentiam ACB, esse ad <lb></lb> <arrow.to.target n="marg94"></arrow.to.target><lb></lb>sphaeram, ut quadratum BC, ad quadratum AB, sed sphaera <pb pagenum="64"></pb> <arrow.to.target n="marg95"></arrow.to.target><lb></lb>ad differentiam ADB, est ut quadratum AB ad quadratum <lb></lb>BD, ergo ex aequo erit differentia ACB ad differentiam <lb></lb>ADB ut quadratum BC ad quadratum BD. Quod etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg94"></margin.target>per praeced.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg95"></margin.target>per eandem.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XXII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si eidem sphaerae duo solida parilatera, et similia, <lb></lb>circaque diagonalem revoluta, alterum circumscribatur, <lb></lb>alterum verò inscribatur; superficies sphaerae media pro<lb></lb>portionalis erit inter superficies <lb></lb> <arrow.to.target n="fig67"></arrow.to.target><lb></lb>duorum solidorum. </s></p> <figure id="fig67"></figure> <p type="main"> <s>Sit circulus, cuius diameter AB <lb></lb>atque ipsi duo poligona, alterum <lb></lb>circumscribatur, alterum verò in<lb></lb>scribatur, <expan abbr="habeatq;">habeatque</expan> <expan abbr="utrumq;">utrumque</expan> latera <lb></lb>numero paria, et sit numerus late<lb></lb>rum unius aequalis numero laterum <lb></lb>alterius, ut sphaeralia solida similia <lb></lb>evadant. </s><s>Tum convertatur figura <lb></lb>circa diagonalem CD. </s></p> <p type="main"> <s>Dico superficiem factae sphaerae mediam proportio<lb></lb>nalem esse inter superficies factorum solidorum. </s></p> <p type="main"> <s>Ducatur ex centro G recta GL ad contactus M et L, <lb></lb>et radio GM fiat sphaera IMH. </s></p> <p type="main"> <s>Iam superficies solidi AF ad superficiem sphaerae IM <lb></lb>intra ipsum inscriptae est ut solidum AF ad sphaeram <lb></lb>IM, per 5. huius, nempe ut axis AG ad GM, per 6. huius, <lb></lb>hoc est ut rectangulum AGM ad quadratum GM; Super<lb></lb>ficies verò sphaerae IM ad superficiem sphaerae ALF est <lb></lb>ut quadratum GM ad quadratum GA. Ergò ex aequo su<lb></lb>perficies solidi AF ad superficiem sphaerae AL erit ut <lb></lb>rectangulum AGM ad quadratum GA, nempe ut recta MG <lb></lb>ad GA vel ut recta LG ad GC. Sed superficies sphaerae <lb></lb>ALF ad superficiem solidi CE est ut LG ad GC (quod <lb></lb>probatur eodem modo ut factum fuit supra) ergo in con<lb></lb>tinua proportione sunt superficies universa solidi AMF, <lb></lb>superficies sphaerae ALF et superficies solidi CE. Quod <lb></lb>erat etc. </s></p> <pb pagenum="65"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollarium.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Hinc patet etiam quod si eidem solido sphaerali parilatero circa <lb></lb>diagonalem revoluto duae sphaerae, altera circumscribatur, altera verò <lb></lb>inscribatur, tres superficies in continua proportione erunt inter se.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XXIII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Sphaeralia solida parilatera circa diagonalem revoluta, <lb></lb>et eidem sphaerae, vel aequalibus sphaeris circumscripta, <lb></lb>inter se sunt ut axes. </s></p> <p type="main"> <s>Sint circa circulum cuius centrum A <lb></lb> <arrow.to.target n="fig68"></arrow.to.target><lb></lb>duo poligona dissimilia, quorum latera nu<lb></lb>mero paria sint, et convertantur circa dia<lb></lb>gonalem. <expan abbr="Sitq;">Sitque</expan> alterius factorum solidorum <lb></lb>BFC, axis BC; alterius verò nempe DGE, <lb></lb>esto axis DE. Dico solidum BFC, ad so<lb></lb>lidum DGE esse ut BC ad DE. </s></p> <figure id="fig68"></figure> <p type="main"> <s>Hoc autem patet. </s><s>Quoniam solidum <lb></lb>BFC ad sphaeram est ut BC ad diametrum HI; sphaera <lb></lb> <arrow.to.target n="marg96"></arrow.to.target><lb></lb>vero ad alterum solidum DGE est ut diameter HI ad <lb></lb> <arrow.to.target n="marg97"></arrow.to.target><lb></lb>axem DE, erit ex aequo, solidum BFC ad solidum DGE, <lb></lb>ut BC ad DE. Quod erat etc. <lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg96"></margin.target>5. huius.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg97"></margin.target>ex eod.</s></p> <p type="main"> <s>Hinc facile ostendi potest excessum, quo solidum BFC superat <lb></lb>sphaeram, ad excessum quo solidum DGE superat eandem sphaeram, <lb></lb>esse ut BH, ad HD. </s></p> <p type="main"> <s>Cum enim solidum BFC ad sphaeram sit ut BA ad AH, erit divi<lb></lb> <arrow.to.target n="marg98"></arrow.to.target><lb></lb>dendo excessus BFC ad sphaeram, ut BH ad HA. Eadem ratione <lb></lb>sphaera ad excessum DGE erit, ut HA ad HD; ergo ex aequo, excessus <lb></lb>BFC ad excessum DCE, supra sphaeram erit ut BH, ad HD. Quod etc.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg98"></margin.target>6. huius.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XXIV.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Solida sphaeralia parilatera, eidem, vel aequalibus <lb></lb>sphaeris inscripta, et circa diagonalem revoluta, sunt inter <lb></lb>se in duplicata ratione catetorum. </s></p> <p type="main"> <s>Inscribantur in circulo cuius diameter AC duo semi<lb></lb>poligona ABC, ADC, et convertatur figura circa diago- <pb pagenum="66"></pb>nalem AC, ut describantur duo solida sphaeralia ut im<lb></lb>peratum est. </s></p> <p type="main"> <s>Dico solidum sphaerale factum ex <lb></lb> <arrow.to.target n="fig69"></arrow.to.target><lb></lb>poligono ABC, ad solidum sphaerale <lb></lb>factum ex poligono ADC, esse ut qua<lb></lb>dratum cateti IE, ad quadratum ca<lb></lb>teti IH. <lb></lb> <arrow.to.target n="marg99"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg99"></margin.target>7. huius.</s></p> <figure id="fig69"></figure> <p type="main"> <s>Solidum enim ex ABC ad sphae<lb></lb>ram, est ut quadratum IE ad quadra<lb></lb>tum IC; sphaera autem ad solidum ADC, est ut qua</s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg100"></arrow.to.target><lb></lb>dratum IC ad quadratum IH; ergo ex aequo solidum <lb></lb>ABC ad solidum ADC erit, ut quadratum IE ad quadra<lb></lb>tum IH. Quod erat etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg100"></margin.target>per eandem.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XXV.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si intra aequales, vel eandem sphaeram, cuius dia<lb></lb>meter AB, descripta fuerint duo solida sphaeralia parila<lb></lb>tera, quorum duo latera sint BC, BD; demittanturque ex <lb></lb>punctis C, D, perpendiculares CE, DF ad diametrum; erit <lb></lb>solidum cuius latus BC, ad solidum cuius latus BD, ut <lb></lb>AE ad AF. </s></p> <p type="main"> <s>Ducantur enim ex centro I ad latera <lb></lb> <arrow.to.target n="fig70"></arrow.to.target><lb></lb>BC, BD perpendiculares IG, IH. </s></p> <figure id="fig70"></figure> <p type="main"> <s>Recta EA ad rectam AB, est ut qua<lb></lb>dratum AC ad quadratum AB (ob angu<lb></lb>lum in semicirculo rectum ACB) recta <lb></lb>autem BA ad AF, est ut quadratum AB, <lb></lb>ad quadratum AD, ergo ex aequo recta <lb></lb>EA ad rectam AF, est ut quadratum AC <lb></lb>ad quadratum AD, hoc est ut quadratum IG ad quadra<lb></lb> <arrow.to.target n="marg101"></arrow.to.target><lb></lb>tum IH, hoc est ut solidum cuius latus est BC ad solidum <lb></lb>cuius latus est BD. Quod erat etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg101"></margin.target>per praeced.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XXVI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si intra sphaeram cuius diameter AB descriptum sit <lb></lb>solidum sphaerale parilaterum, et circa diagonalem revo<lb></lb>lutum; demittaturque ab extremitate lateris BC quod dia- <pb pagenum="67"></pb>metrum contingit, recta CD perpendicularis ad diametrum <lb></lb>circuli AB, erit conus cuius basis circulus AFCBE al<lb></lb> <arrow.to.target n="fig71"></arrow.to.target><lb></lb>titudo verò sit AD, subduplus solidi <lb></lb>sphaeralis; conus verò, cuius eadem sit <lb></lb>basis, et altitudo DB, erit subduplus <lb></lb>differentiae, quae inter sphaeram, et so<lb></lb>lidum sphaerale est. </s></p> <figure id="fig71"></figure> <p type="main"> <s>Sphaera enim ad inscriptum solidum <lb></lb>est ut quadratum diametri ad quadra<lb></lb> <arrow.to.target n="marg102"></arrow.to.target><lb></lb>tum cateti AC (est enim AC ob angu<lb></lb>lum rectum ACB, aequalis cateto poligoni), hoc est ut BA <lb></lb>recta ad rectam AD. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg102"></margin.target>7. huius.</s></p> <p type="main"> <s>Iam quia conus, cuius basis AFCBE altitudo verò sit <lb></lb>AB; aequalis est haemisphaerio in eadem basi constituto; <lb></lb> <arrow.to.target n="marg103"></arrow.to.target><lb></lb>erit dictus conus, hoc est hemisphaerium, ad conum cuius <lb></lb>basis eadem AFCBE, altitudo verò AD, ut AB ad AD. <lb></lb>Sed hemisphaerium etiam ad semisolidum est ut AB ad <lb></lb>AD; ut ostendimus supra. </s><s>Propterea conus cuius basis <lb></lb>circulus AFCBE, altitudo autem AD, erit aequalis semi<lb></lb>solido sphaerali, sive subduplus solidi sphaeralis. </s><s>Quod etc. <lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg103"></margin.target>ex 30. <lb></lb>p. </s><s>partis.</s></p> <p type="main"> <s>Similiter inferetur, conum cuius basis eadem AFCBE, altitudo verò <lb></lb>DB, subduplum esse excessus illius, quo sphaera solidum superat.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Scholium.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Demonstramus etiam singula illa solida rotunda annularia, quae <lb></lb>describuntur in revolutione figurae à bilineis mixtis, quale unum est <lb></lb>FC, et solidum sphaerale circundant; aequalia esse singulis sphaeroidi<lb></lb>bus, quarum <expan abbr="uniuscuiusq;">uniuscuiusque</expan> maximus circulus sit circa diametrum FC. <lb></lb>Axis verò aequalis sit portioni rectae ex AB quae intercipitur inter <lb></lb>duas perpendiculares ad ipsam AB ductas ex punctis F et C et sic de <lb></lb>reliquis. </s><s>Sed hoc alibi.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XXVII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si eidem circulo duo poligona parilatera alterum cir<lb></lb>cumscribatur, alterum verò inscribatur; et convertatur <lb></lb>circumscriptum quidem circa catetum, inscriptum verò <lb></lb>circa diagonalem: erit differentia inter circumscriptum et <lb></lb>sphaeram, ad differentiam inter sphaeram et inscriptum, <pb pagenum="68"></pb>ut quadratum lateris circumscripti ad duplum quadrati <lb></lb>lateris inscripti. </s></p> <p type="main"> <s>Esto circuli diameter AB, latus verò <lb></lb> <arrow.to.target n="fig72"></arrow.to.target><lb></lb>poligoni circumscripti CD et inscripti AE. <lb></lb>Dico excessum, quo maius solidum sphae<lb></lb>ram superat, ad excessum, quo sphaera <lb></lb>superat minus esse ut quadratum CD ad <lb></lb>duo quadrata ex AE. <lb></lb> <arrow.to.target n="marg104"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg104"></margin.target>13. huius.</s></p> <figure id="fig72"></figure> <p type="main"> <s>Solidum enim circumscriptum est ad <lb></lb>sphaeram ut duo quadrata CI, IA ad duplum quadrati ex <lb></lb>IA; ergo dividendo, erit excessus solidi supra sphaeram, <lb></lb>ad ipsam sphaeram, ut quadratum CA ad duplum quadrati <lb></lb>ex IA, sive ut quadr. </s><s>CD, ad duplum quadr. </s><s>ex AB. <lb></lb>Sphaera autem ad excessum, quo ipsa superat minus so<lb></lb>lidum, est ut quadratum AB ad quadratum AE, vel ut duo </s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg105"></arrow.to.target><lb></lb>quadrata ex AB ad duo quadrata ex AE. Propterea ex <lb></lb>aequo excessus solidi maioris supra sphaeram, ad excessum <lb></lb>sphaerae supra minus solidum, erit ut quadratum ex CD <lb></lb>ad duo quadrata ex AE. Quod etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg105"></margin.target>20. huius.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XXVIII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Quodlibet sphaerale solidum circa diagonalem revolu<lb></lb>tum (cuius latera numero quidem paria sint, sed nullo <lb></lb>modo à quaternario mensurentur, ut sunt 6, 10, 14, 18, <lb></lb>22 etc.) inscripti sibi rombi solidi duplum est. </s></p> <p type="main"> <s>Sit solidum quale dictum est ABC <lb></lb> <arrow.to.target n="fig73"></arrow.to.target><lb></lb>DEFG circa axem sive diagonalem DI <lb></lb>revolutum. </s><s>Manifestum est quod duo <lb></lb>latera opposita BL, FM contingent <lb></lb>sphaeram in extremitatibus A, G, dia<lb></lb>metri AG, quae quidem perpendicu<lb></lb>laris sit ad DI; quandoquidem laterum <lb></lb>numerus à binario tantum mensuratur, <lb></lb>non autem à quaternario. </s></p> <figure id="fig73"></figure> <p type="main"> <s>Inscribantur iam duo coni; nempe ADG in semisolido, <lb></lb>habens altitudinem HD; conus verò AIG in hemisphaerio. <lb></lb> <arrow.to.target n="marg106"></arrow.to.target><lb></lb>Erit igitur semisolidum ABCDEFG ad hemisphaerium ut <lb></lb>axis ad axem, nempe ut DH ad HI, hoc est ut conus ADG <pb pagenum="69"></pb>ad conum AIG (cum sint in eadem basi); et permutando <lb></lb>semisolidum ad suum conum ADG, erit ut hemisphaerium <lb></lb>ad suum conum AIG; quare duplum erit. </s><s>Propterea omne <lb></lb>solidum, quale dictum est duplum erit inscripti sibi rombi <lb></lb>solidi. </s><s>Quod etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg106"></margin.target>6. huius.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Si hemisphaerium ABC, et conus quicumque rectus DBE eandem <lb></lb>altitudinem habuerint FB; erit hemisphaerium ad praedictum conum <lb></lb> <arrow.to.target n="fig74"></arrow.to.target><lb></lb>ut duplum basis hemisphaerij ad basim eius<lb></lb>dem coni. </s></p> <figure id="fig74"></figure> <p type="main"> <s>Sit ut ponitur: Et inscribatur in hemi<lb></lb>sphaerio conus ABC. Erit ergo conus ABC ad <lb></lb>conum DBE ut basis AC ad basim DE; <expan abbr="sum-ptisq;">sum<lb></lb>ptisque</expan> antecedentium duplis, erit hemisphaerium ABC ad conum DBE <lb></lb>ut duplum basis AC ipsius hemisphaerij, ad DE basim coni. </s><s>Quod <lb></lb>erat etc.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XXIX.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Quodlibet sphaerale solidum circa diagonalem revolu<lb></lb>tum, cuius latera à quaternario mensurentur, ad inscri<lb></lb>ptum sibi rombum solidum, est ut superficies inscriptae <lb></lb>sibi sphaerae, ad semisuperficiem circumscriptae. </s></p> <p type="main"> <s>Sit solidum quale dictum est AB <lb></lb> <arrow.to.target n="fig75"></arrow.to.target><lb></lb>CDE cui inscribatur semirombus, <lb></lb>hoc est conus ACE; ad altitudinem <lb></lb>verò hemisphaerij sit conus AFE, in <lb></lb>basi AE. <lb></lb> <arrow.to.target n="marg107"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg107"></margin.target>6. huius.</s></p> <figure id="fig75"></figure> <p type="main"> <s>Erit ergo semisolidum ad hemis<lb></lb>phaerium ut axis ad axem, hoc est <lb></lb>ut CG ad GF, sive ut conus ACE, <lb></lb>ad conum AFE (sunt enim in eadem <lb></lb>basi) et permutando erit semisolidum ad suum conum <lb></lb>AGE, ut hemisphaerium ad alterum conum AFE, hoc est <lb></lb>per lemma praemissum, ut duo circuli ex HI, ad circulum <lb></lb>ex AE, vel sumptis duplis, ut quatuor circuli ex HI, ad <lb></lb>duos circulos ex AE; hoc est ut superficies inscriptae intra <lb></lb>solidum sphaerae, ad semisuperficiem circumscriptae. </s><s>Pro- <pb pagenum="70"></pb>pterea etiam dupla eandem rationem habebunt, hoc est <lb></lb>totum sphaerale solidum ad inscriptum sibi rombum soli<lb></lb>dum erit ut dictum est. </s><s>Quod etc. <lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Poterat etiam concludi; solidum sphaerale praedictum esse ad in<lb></lb>scriptum sibi rombum, ut inscriptus in poligono circulus ad semicir<lb></lb>culum circumscriptum; vel ut quadratum cateti GH ad semiquadratum <lb></lb>diagonalis GA eiusdem poligoni.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Si in triangulo aequilatero inscriptus fuerit circulus. </s><s>Erit circulus <lb></lb> <arrow.to.target n="fig76"></arrow.to.target><lb></lb>alter cuius diameter sit latus trianguli, triplus in<lb></lb>scripti circuli. </s></p> <figure id="fig76"></figure> <p type="main"> <s>Inscribatur circulus ABC in triang. </s><s>aequilatero <lb></lb>DEF. Sitque G punctum, centrum et circuli, et trian<lb></lb>guli; propterea DG dupla ipsius GC, hoc est ipsius <lb></lb>GA. Ergo quadr. </s><s>DG quadruplum est quadrati ex GA <lb></lb>et quadratum DA triplum erit eiusdem GA; Quare <lb></lb>etiam circulus cuius semidiameter sit DA triplus erit circuli cuius semi<lb></lb>diameter sit CA. Quod erat etc.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XXX.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si circa circulum descriptum fuerit triangulum aequi<lb></lb>laterum et revolvatur figura, erit factus conus acquilaterus <lb></lb>ad inscriptam sibi sphaeram ut 9 ad 4. </s></p> <p type="main"> <s>Esto circa circulum ABC triangulum <lb></lb> <arrow.to.target n="fig77"></arrow.to.target><lb></lb>aequilaterum DEF, et convertatur figura. </s><s><lb></lb>Dico factum conum aequilaterum esse <lb></lb>ad inscriptam sphaeram in proportione <lb></lb>dupla sesquiquarta, nempe ut 9 ad 4. </s></p> <figure id="fig77"></figure> <p type="main"> <s>Concipiatur in hemisphaerio GAI co<lb></lb>nus GAI. Erit iam per lemma praecedens <lb></lb>circulus cuius diameter DF triplus circuli cuius diameter <lb></lb>GI; sed conus DEF ad conum GAI rationem habet com<lb></lb>positam ex ratione altitudinum EA ad AL; quae tripla <lb></lb>est: Et ex ratione basium, nempe circuli DF ad circulum <lb></lb>GI quae similiter tripla est: quare conus DEF ad conum <lb></lb>GAI erit ut 9 ad unum, <expan abbr="sumptisq;">sumptisque</expan> consequentium qua<lb></lb>druplis, erit conus DEF ad sphaeram sibi inscriptam, ut <lb></lb>9 ad 4. Quod erat etc. </s></p> <pb pagenum="71"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XXXI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si circa eandem sphaeram descripti sint conus, et cy<lb></lb>lindrus, ambo aequilateri; erunt tria solida, nempe conus, <lb></lb>cylindrus, et sphaera in continua proportione sesquialtera. </s></p> <p type="main"> <s>Hoc autem patet. </s><s>Posita enim sphaera ut 4 erit (per <lb></lb>Corollarium Prop. 30 p. </s><s>partis) cylindrus ut 6; conus <lb></lb>autem ostensus est in praecedenti esse ut 9. Quare tria <lb></lb>solida erunt inter se in continua proportione sesquialtera. </s><s><lb></lb>Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XXXII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Sphaera ad inscriptum sibi conum aequilaterum est in <lb></lb>ratione numeri 32 at 9. </s></p> <p type="main"> <s>Sit in circulo cuius centrum A in<lb></lb> <arrow.to.target n="fig78"></arrow.to.target><lb></lb>scriptum triangulum aequilaterum CBD <lb></lb>et convertatur figura circa CH. Dico <lb></lb>sphaeram esse ad factum conum aequi<lb></lb>laterum sibi inscriptum ut 32 ad 9. </s></p> <figure id="fig78"></figure> <p type="main"> <s>Ducatur diameter EF ad angulos <lb></lb>rectos ipsi CH, et concipiatur in he<lb></lb>misphaerio conus ECF: Punctam A erit centrum tum cir<lb></lb>culi, tum etiam trianguli aequilateri BCD, propterea CH <lb></lb>sesquialtera erit ipsius CA. </s></p> <p type="main"> <s>Sed cum etiam ICL sit triangulum aequilaterum, erit <lb></lb>CA potentià tripla ipsius AI, ergò et circulus ex CA, sive <lb></lb>ex AE triplus erit circuli ex AI; <expan abbr="ideoq;">ideoque</expan> conus ECF, triplus <lb></lb>coni ICL videlicet ut 24 ad 8. Conus autem ICL ad conum <lb></lb>BCD ob similitudinem, est ut cubus AC ad cubum CH, <lb></lb>nimirum ut 8 ad 27. Quare ex aequo erit conus ECF ad <lb></lb>conum BCD ut 24 ad 27. Reductaque ratione ad minimos <lb></lb>terminos, erit conus ECF ad conum BCD ut 8 ad 9. Sumptis <lb></lb>igitur antecedentium quadruplis sphaera ad inscriptum sibi <lb></lb>conum aequilaterum erit ut 32 ad 9. Quod erat etc. </s></p> <pb pagenum="72"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XXXIII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Rombus solidus aequilaterus circa sphaeram descriptus <lb></lb>est ad ipsam sphaeram ut diameter quadrati ad latus <lb></lb>eiusdem. </s></p> <p type="main"> <s>Esto quadratum ABCD circa cir<lb></lb> <arrow.to.target n="fig79"></arrow.to.target><lb></lb>culum cuius centrum E; et volvatur <lb></lb>figura circa diagonalem BD; Dico rom<lb></lb>bum solidum aequilaterum factum ex <lb></lb>revolutione, esse ad sphaeram ut dia<lb></lb>meter quadrati ad latus eiusdem. </s></p> <figure id="fig79"></figure> <p type="main"> <s>Intelligatur in hemisphaerio conus <lb></lb>FGH, cuius basis FH, altitudo EG, et <lb></lb>ducatur IM. </s></p> <p type="main"> <s>Erit iam conus ABC cuius basis AC, similis cono FGH, <lb></lb>uterque enim rectus et rectangulus est. </s><s>Ergo conus ABC <lb></lb>ad conum FGH erit ut cubus BE ad cubum EG, nempe <lb></lb>ut recta BE ad EL (sunt enim EB, EG, EI, EL in continua <lb></lb>ratione) sumptis autem consequentium duplis, erit conus <lb></lb>ABC ad hemisphaerium, ut BE ad EG, et propterea totus <lb></lb>rombus solidus ad totam sphaeram sibi inscriptam erit ut <lb></lb>BE ad EG, hoc est ut diameter alicuius quadrati ad latus <lb></lb>eiusdem. </s><s>Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XXXIV.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Sphaera ad inscriptum sibi cylindrum aequilaterum est <lb></lb>ut diameter quadrati ad 3 quart. </s><s>lateris eiusdem. </s></p> <p type="main"> <s>Describatur intra circulum cuius <lb></lb> <arrow.to.target n="fig80"></arrow.to.target><lb></lb>centrum A quadratum BCDE, et vol<lb></lb>vatur figura circa catetum AG. Dico <lb></lb>sphaeram ad cylindrum BCDE, esse ut <lb></lb>diameter alicuius quadrati ad 3 quart. </s><s><lb></lb>lateris eiusdem. </s></p> <figure id="fig80"></figure> <p type="main"> <s>Intelligatur circa sphaeram alter <lb></lb>cylindrus aequilaterus FILM et pro<lb></lb>ducta AM iungantur AD, GO. Erunt ob similitudinem <lb></lb>triangulorum, in continua ratione FA, AD, AG, AP; Et <pb pagenum="73"></pb>quia cylindri sunt similes, nempe aequilateri, erit cylindrus <lb></lb>IFML ad cylindrum BCDE ut cubus FM ad cubum CD, <lb></lb>hoc est ut cubus FD ad cubum DG, sive ut cubus FA ad <lb></lb>AD, hoc est ut recta FA ad quartam AP. Sumptisque <lb></lb>antecedentium subsequialteris, erit sphaera ad cylindrum <lb></lb>BCDE ut duae tert. </s><s>ipsius FA ad AP; hoc est ut tota FA <lb></lb>ad sesqaialteram ipsius AP; sive (quod idem est) ut FA ad <lb></lb>3 quart. </s><s>rectae AD. Constat ergo sphaeram ad inscriptum <lb></lb>sibi cylindrum aequilaterum esse ut FA ad 3 quar. </s><s>ipsius <lb></lb>AD; hoc est ut diameter alicuius quadrati ad 3 quar. </s><s>la<lb></lb>teris eiusdem. </s><s>Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XXXV.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Solidum exagonale, hoc est sphaerale solidum genitum <lb></lb>ab exagono circa catetum revoluto, septuplum est coni <lb></lb>eandem sibi basim, et altitudinem habentis. </s></p> <p type="main"> <s>Esto exagonum aequilaterum, et <lb></lb> <arrow.to.target n="fig81"></arrow.to.target><lb></lb>aequiangulum ACDEFB et converta<lb></lb>tur circa catetum HI; <expan abbr="inscribaturq;">inscribaturque</expan> <lb></lb>conus AIB. Dico exagonale solidum <lb></lb>factum ex revolutione, septuplum esse <lb></lb>coni AIB. </s></p> <figure id="fig81"></figure> <p type="main"> <s>Producantur CA, FB donec concur<lb></lb>rant in aliquo puncto L, eruntque ob <lb></lb>exagonum, quatuor triangula aequila<lb></lb>tera OCA, OAB, OBF, ABL, aequalia <lb></lb>inter se. </s><s>Concipiatur ergo conus CLF perfectus; eritque <lb></lb>conus AIB duplus coni ALB, quandoquidem eandem habet <lb></lb>basim AB, sed altitudinem habet HI duplam ipsius HL. </s></p> <p type="main"> <s>Iam conus CLF ad conum ALB, erit ob similitudinem, <lb></lb>ut cubus CL ad cubum LA, nempe ut 8 ad 1; et dividendo <lb></lb>semisolidum CABF erit ad conum ALB, ut septem ad <lb></lb>unum. </s><s>Propterea etiam dupla eandem rationem habebunt, <lb></lb>hoc est solidum exagonale integrum septuplum erit coni <lb></lb>AIB. Quod erat etc. </s></p> <pb pagenum="74"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XXXVI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si circa circulum describatur exagonum, et revolvatur <lb></lb>figura circa catetum; erit sphaera sextupla coni, qui ean<lb></lb>dem basim, et eandem altitudinem cum solido habeat. </s></p> <p type="main"> <s>Esto circa circulum cuius centrum I <lb></lb> <arrow.to.target n="fig82"></arrow.to.target><lb></lb>exagonum ABCDEF, et convertatur <lb></lb>circa catetum GH; inscribaturque in <lb></lb>facto solido exagonali conus AHF, qui <lb></lb>basim habeat circulum circa AF, alti<lb></lb>tudinem verò GH eandem cum solido. </s><s><lb></lb>Dico sphaeram sextuplam esse coni <lb></lb>AHF. </s></p> <figure id="fig82"></figure> <p type="main"> <s>Concipiantur duo alij coni; nempe LHM in hemi<lb></lb>sphaerio, et AIF super basi AF constitutus ad cen<lb></lb>trum I. </s></p> <p type="main"> <s>Erit ergò propter exagonum, triangulum AIF aequila<lb></lb>terum, et ideo ipsa IG tripla erit potentià ipsius GA. <lb></lb>Constat igitur quod circulus cuius diameter LM (dupla <lb></lb>scilicet ipsius IG) triplus erit circuli cuius diameter AF, <lb></lb>et propterea conus LHM triplus erit coni AIF. Sphaera <lb></lb>autem duo decupla erit coni AIF, et ideo sextupla coni <lb></lb>AHF. Quod erat etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XXXVII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si circa circulum describatur exagonum, et volvatur <lb></lb>figura circa catetum; erit factum solidum ad factam sphae<lb></lb>ram sesquisextum. </s></p> <p type="main"> <s>Esto circa circulum cuius centrum I <lb></lb> <arrow.to.target n="fig83"></arrow.to.target><lb></lb>exagonum ABCDEF et convertatur fi<lb></lb>gura circa catetum GH. Dico solidum <lb></lb>sphaerale factum, esse ad sphaeram <lb></lb>ut 7 ad 6. </s></p> <figure id="fig83"></figure> <p type="main"> <s>Concipiatur enim in solido conus <lb></lb>AHF, ut in duabus praecedentibus pro<lb></lb>positionibus. </s></p> <p type="main"> <s>Erit ergo (per 35 huius) solidum exagonale ad conum <pb pagenum="75"></pb>AHF ut 7 ad unum, conus autem AHF ad sphaeram est </s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg108"></arrow.to.target><lb></lb>ut 1 ad 6; quare ex aequo erit solidum ad sphaeram ut 7 <lb></lb>ad 6. Quod etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg108"></margin.target>per praeced.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Linea diagonalis exagoni potentià sesquitertia est cateti eiusdem. </s></p> <p type="main"> <s>Sit exagonum ABC cuius centrum D. Dico <lb></lb> <arrow.to.target n="fig84"></arrow.to.target><lb></lb>diagonalem AC potentià esse sesquitertiam ca<lb></lb>teti EF. </s></p> <figure id="fig84"></figure> <p type="main"> <s>Hoc autem patet. </s><s>Nam ducta DB erit ABD <lb></lb>triangulam aequilaterum, ob exagonum; et AD la<lb></lb>tus erit potentià sesquitertium perpendicularis <lb></lb>DE; ergò sumptis lineis duplis, etiam AC sesqui<lb></lb>tertia erit potentià ipsius EF. Quod etc.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XXXVIII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Sphaera inscripti sibi solidi exagonalis circa diagonalem <lb></lb>revoluti, sesquitertia est. </s></p> <p type="main"> <s>Sit in circulo cuius centrum A de<lb></lb> <arrow.to.target n="fig85"></arrow.to.target><lb></lb>scriptum exagonum BCDEFG; <expan abbr="iunctisq;">iunctisque</expan> <lb></lb>DH, DL, DM, DI, convertatur figura <lb></lb>circa diagonalem DG. Dico sphaeram <lb></lb>inscripti solidi exagonalis sesquitertiam <lb></lb>esse. </s><s>Circulus enim, cuius diameter HI, <lb></lb>sesquitertius est circuli cuius diameter <lb></lb>LM (per lemma praecedens) ergo conus <lb></lb>HDI sesquitertius est coni LDM, sumptisque quadruplis, <lb></lb>erit sphaera sesquitertia solidi exagonalis. </s><s>Quod erat etc. <lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <figure id="fig85"></figure> <p type="main"> <s>Assumptum fuit solidum exagonale quadruplum esse coni LDM hoc <lb></lb>enim patet ex propositione 28 huius.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XXXIX.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si idem exagonum dupliciter revolvatur, nempe circa <lb></lb>catetum, et circa diagonalem; Erit solidum circa catetum <lb></lb>revolutum, ad solidum circa diagonalem, in subduplicata <lb></lb>ratione numerorum 49 ad 48. Nempe ut radix <expan abbr="q.">que</expan> num. 49 <lb></lb>ad radicem <expan abbr="q.">que</expan> num. 48. </s></p> <pb pagenum="76"></pb> <p type="main"> <s>Esto exagonum aequiangulum, et aequilaterum ABC <lb></lb>DEF, quod <expan abbr="utroq;">utroque</expan> modo concipiatur revolutum, nempe <lb></lb>circa catetum HI et circa diagonalem <lb></lb>DA; ut inde fiant duo solida sphaeralia <lb></lb> <arrow.to.target n="fig86"></arrow.to.target><lb></lb>inter se diversa specie; et intra <expan abbr="utrunq;">utrunque</expan> <lb></lb>intelligatur sphaera inscripta. </s><s>Manife<lb></lb>stum iam est (per lemma Propositionis <lb></lb>praecedentis) diagonalem AD potentià <lb></lb>sesquitertiam esse cateti HI. Si ergo <lb></lb>ponatur HI rationalis 6 erit AD radix <lb></lb>quadrata nu meri 48. </s></p> <figure id="fig86"></figure> <p type="main"> <s>Manentibus his. </s><s>Solidum circa catetum revolutum, ad <lb></lb> <arrow.to.target n="marg109"></arrow.to.target><lb></lb>inscriptam sphaer. est ut 7 ad 6; Sphaera autem ad soli<lb></lb>dum revolutum circa diagonalem est ut HI, ad AD, nempe <lb></lb> <arrow.to.target n="marg110"></arrow.to.target><lb></lb>ut 6 ad rad. <expan abbr="q.">que</expan> num. 48. Quare ex aequo erit, solidum circa <lb></lb>catetum, ad solidum circa diagonalem ut 7 ad radicem <lb></lb>quadratam numeri 48. Nempe in subduplicata ratione nu<lb></lb>merorum 49, 48. Quod erat etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg109"></margin.target>37. huius.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg110"></margin.target>6. huius.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Si hemisphaerium altitudinem habuerit subduplam alicuius coni: <lb></lb>erit hemisphaerium ad conum praedictum, ut basis <lb></lb>ad basim. </s></p> <figure></figure> <p type="main"> <s>Habeat haemisphaerium ABC altitudinem HB <lb></lb>subduplam altitudinis HE coni DEF. Dico hemis<lb></lb>phaerium ad conum DEF, esse ut circulus AC ad <lb></lb>circulum DF. </s></p> <p type="main"> <s>Concipiantur enim duo alij coni ABC in he<lb></lb>misphaerio, et DBF super basi DF. Erit ergò co<lb></lb>nus ABC ad conum DBF, ut basis AC ad basim <lb></lb>DF; <expan abbr="sumptisq;">sumptisque</expan> duplis, erit hemisphaerium ad conum DEF ut basis AC <lb></lb>ad basim DF. Quod erat etc.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XL.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Solidum parilaterum circa catetum revolutun ad in<lb></lb>scriptum sibi conum, rationem habet quam AB ad BC; <lb></lb>facto scilicet angulo DEB recto. </s></p> <p type="main"> <s>Esto poligonum FGHILE habens latera numero paria, <lb></lb>descriptum circa circulum cuius centrum D et conver- <pb pagenum="77"></pb>tatur figura circa catetum CA, <expan abbr="fiatq;">fiatque</expan> angulus DEB rectus. </s><s><lb></lb>Dico solidum ad inscriptum sibi conum <lb></lb> <arrow.to.target n="fig87"></arrow.to.target><lb></lb>FAE, esse ut AB ad BC. </s></p> <figure id="fig87"></figure> <p type="main"> <s>Erit enim solidum ad sphaeram ut <lb></lb> <arrow.to.target n="marg111"></arrow.to.target><lb></lb>BA ad AC, <expan abbr="sumptisq;">sumptisque</expan> consequentium <lb></lb>dimidijs, erit solidum ad hemisphae<lb></lb>rium ut BA ad DC, sed (per lemma <lb></lb>praece dens) hemisphaerium est ad <lb></lb>conum FAE, ut circulus ex DC ad <lb></lb>circulum ex CE; sive ut recta DC ad CB; ergò ex aequo <lb></lb>erit sphaerale solidum ad inscriptum sibi conum FAE, ut <lb></lb>AB ad BC. Quod erat etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg111"></margin.target>12. huius.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XLI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Conus inscriptus in solido circa catetum revoluto, ae<lb></lb>qualis est excessui quo solidum inscriptam sibi sphaeram <lb></lb>superat. </s></p> <p type="main"> <s>Manente figura et constructione praecedentis. </s><s>Dico si <lb></lb>sphaera auferatur à solido FGHILE, quòd residuum, quod <lb></lb>superest, ablata sphaera, aequale erit cono FAE. </s></p> <p type="main"> <s>Est enim sphaerale solidum ad sphaeram ut BA ad AC; <lb></lb> <arrow.to.target n="marg112"></arrow.to.target><lb></lb>et per conversionem rationis, solidum ad illud residuun <lb></lb>erit ut AB ad BC. Sed (per praecedentem) solidum ad in<lb></lb>scriptum sibi conum est ut AB ad BC. Aequalis est ergò <lb></lb>conus FAE, in solido sphaerali inscriptus, omnibus simul <lb></lb>solidulis annularibus quae circa sphaeram sunt; sive diffe<lb></lb>rentiae, quae est inter solidum inscriptamque in solido <lb></lb>sphaeram. </s><s>Quod erat etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg112"></margin.target>12. huius.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XLII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Hemisphaerium ad excessum quo sua sphaera supe<lb></lb>ratur à solido sphaerali circa catetum revoluto, duplicatam <lb></lb>rationem habet diametri sphaerae ad latus poligoni, ex <lb></lb>cuius revolutione solidum genitum fuerat. </s></p> <p type="main"> <s>Manente praecedentium figura, et constructione. </s><s>Dico <lb></lb>hemisphaerium, ad differentiam inter solidum, et inclusam <lb></lb>sphaeram, esse ut quadratum AC, ad quadratum FE. <pb pagenum="78"></pb> <arrow.to.target n="marg113"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg113"></margin.target>12. huius.</s></p> <p type="main"> <s>Est enim sphaera ad solidum circumscriptum ut CA <lb></lb>ad AB; et dividendo, sphaera ad differentiam inter sphae<lb></lb>ram et solidum, erit ut AC ad CB; sumptisque antece<lb></lb>dentium dimidijs, erit hemisphaerium ad praedictam dif<lb></lb>ferentiam, ut DC ad CB, hoc est ut quadratum DC ad <lb></lb>quadratum CE; vel ut quadratum AC ad quadratum FE. <lb></lb>Quod erat etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Aliter.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Sphaera ad solidum est ut duo quadrata ex CD ad duo simul qua</s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg114"></arrow.to.target><lb></lb>drata CD, DE. Ergo dividendo erit sphaera ad differentiam inter ipsam <lb></lb>et solidum ut duo quadrata ex CD ad quadratum CE <expan abbr="sumptisq;">sumptisque</expan> ante<lb></lb>cedentium dimidijs, erit hemisphaerium ad differentiam inter sphaeram <lb></lb>et solidum, ut quadratum DC ad quadr. </s><s>CE, sive ut quadratum AC ad <lb></lb>quadratum FE. Quod etc.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg114"></margin.target>13. huius.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollarium.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Constat etiam hemisphaerium ad conum FAE inscriptum in sphaerali <lb></lb>solido, esse in duplicata ratione AC ad FE, nempe axis coni ad dia<lb></lb>metrum basis eiusdem. </s><s>Quandoquidem conus FAE demonstratus est ae<lb></lb>qualis differentiae inter solidum sphaerale <expan abbr="inscriptamq;">inscriptamque</expan> sibi sphaeram.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XLIII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si exagono regulari simile exagonum inscribatur, ita <lb></lb>ut inscripti anguli puncta media circumscriptorum laterum <lb></lb>contingant, et convertatur figura circà catetum maioris <lb></lb>exagoni, erit solidum exagonale circumscriptum ad inscri<lb></lb>ptum ut 14 ad 9. </s></p> <p type="main"> <s>Sit ut ponitur: Convertaturque figura <lb></lb> <arrow.to.target n="fig88"></arrow.to.target><lb></lb>circà AB; <expan abbr="circaq;">circaque</expan> AB diametrum conci<lb></lb>piatur sphaera, quae quidem maiori po<lb></lb>ligono inscripta erit, minori verò circum<lb></lb>scripta. <lb></lb> <arrow.to.target n="marg115"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg115"></margin.target>per 37. <lb></lb>huius.</s></p> <figure id="fig88"></figure> <p type="main"> <s>Erit <expan abbr="itaq;">itaque</expan> solidum maius ad sphaeram <lb></lb>ut 7 ad 6 nempe ut 14 ad 12; sphaera </s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg116"></arrow.to.target><lb></lb>verò ad minus solidum erit ut 12 ad 9. Ergò ex aequo <lb></lb>solidum maius ad minus erit ut 14 ad 9. Quod erat etc. </s></p> <pb pagenum="79"></pb> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg116"></margin.target>38. huius.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XLIV.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Solidum sphaerale factum ex revolutione alicuius poli<lb></lb>goni circa diagonalem, ad solidum ex revolutione eiusdem <lb></lb>poligoni circà catetum; est ut rectangulum sub diagonali, <lb></lb>et cateto, bis sumptum, ad duo simul quadrata, quorum <lb></lb>alterum ex diagonali fit, alterum autem ex cateto. </s></p> <p type="main"> <s>Esto poligonum regulare quodcumque, <lb></lb> <arrow.to.target n="fig89"></arrow.to.target><lb></lb>habens latera numero paria, cuius diago<lb></lb>nalis sit AB, catetus verò CD. Et conci<lb></lb>piatur poligonum converti duplici axe; <lb></lb>nempe primùm circà diagonalem AB; et <lb></lb>iterum circa catetum CD. Dico solidum <lb></lb>ex diagonali ad solidum ex cateto esse, <lb></lb>ut rectangulum BED bis sumptum, ad <lb></lb>quadrata ex BE, et ex ED: sive ut eorum quadrupla. </s></p> <figure id="fig89"></figure> <p type="main"> <s>Fiat angulus EBH rectus, seceturq: bifariam DH in I; <lb></lb><expan abbr="eritq.">eritque</expan> EI media Aritmetica inter ED, EH: Iam solidum ex <lb></lb> <arrow.to.target n="marg117"></arrow.to.target><lb></lb>diagonali ad inscriptam sibi sphaeram est, ut AB, ad CD; <lb></lb>sphaera verò ad solidum ex cateto, est ut CD, ad CH; ergò <lb></lb> <arrow.to.target n="marg118"></arrow.to.target><lb></lb>ex aequo solidum ex diagon. </s><s>ad solidum ex cateto, erit ut <lb></lb>AB ad CH, sive ut EB ad EI, (sunt enim semisses rectarum <lb></lb>AB, CH). Cum autem BE media Geometrica sit inter HE, <lb></lb>ED; ipsa verò EI media Aritmetica sit inter easd. </s><s>erit so<lb></lb>lidum ex diagonali ad solidum ex cateto ut media Geomet. </s><s><lb></lb>ad mediam Aritmet. </s><s>inter rectas HE, ED. Sed ratio rectae <lb></lb>HE ad ED, ead. </s><s>est ac quadr. </s><s>BE ad quadr. </s><s>ED: propterea <lb></lb>erit solidum ex diagonali ad solidum ex cateto, ut spatium <lb></lb>medium proportionale Geometricum ad spatium medium <lb></lb>Aritmeticum inter quadrata BE, ED. Spatium autem me<lb></lb>dium Geometricum inter quadrata BE, ED est rectangu<lb></lb>lum BED; medium verò Aritmeticum est quadratum ED, <lb></lb>cum semisse quadrati DB. Ergo solidnm ex diagonali ad <lb></lb>solidum ex cateto erit ut rectangulum BED; ad quadra<lb></lb>tum ED cum semisse quadrati DB; Vel (sumptis duplis) ut <lb></lb>rectangulum BED, bis sumptum, ad quadratum ED bis, <lb></lb>cum integro quadrato DB. Sive ut rectangulum BED bis <lb></lb>sumptum, ad quadrata BE, ED. Quod erat etc. <pb pagenum="80"></pb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg117"></margin.target>6. huius.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg118"></margin.target>12. huius.</s></p> <p type="main"> <s>Assumpsimus rectangulum BED, medium proportionale esse inter <lb></lb>quadrata BE, ED. Hoc enim patet in propositis quibuscunque rectis <lb></lb>duabus lineis. </s></p> <p type="main"> <s>Assumpsimus etiam quadratum ED cum semisse quadrati DB, esse <lb></lb>medium Aritmeticum inter qnadrata BE, ED. Quod patet quadratum <lb></lb>enim BE superat quadratum ED quadrato BD.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollarium.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Hic pro Corollario demonstrari potest, solidum ex diagonali factum <lb></lb>semper minus esse solido, quod fit ex cateto; quando idem poligonum <lb></lb>convertatur circa diagonalem, et circa catetum. </s><s>Demonstratur hoc <lb></lb>modo. </s></p> <p type="main"> <s>Quoniam rectangulum BED bis sumptum, minus est duobus qua<lb></lb>dratis BE, ED (sunt enim in continua ratione quadratum EB, rectan<lb></lb>gulum DEB, et quadratum ED, <expan abbr="ideoq;">ideoque</expan> dupla mediae, minor est duabus <lb></lb>extremis magnitudinibus). Et est ut rectangulum BED bis sumptum <lb></lb>ad quadr. </s><s>BE, ED simul, ità solidum ex diagonali ad solidum ex ca<lb></lb>teto; Erit solidum ex diagonali minus quam solidum ex cateto. </s><s>Quod <lb></lb>erat etc. </s></p> <p type="main"> <s>Si quis autem quaerat, quo excessu solidum ex cateto superet soli<lb></lb>dum ex diagonali. </s><s>Hoc modo illum proportione notum habebit. </s></p> <p type="main"> <s>Faciat ut duo quadrata BE, ED simul, ad quadratum quod fit ex <lb></lb>differentia rectarum BE, ED, ità maius solidum ad aliud: Et habebit <lb></lb>excessum quo maius solidum superat minus.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XLV.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si intra poligonum regulare parilaterum inscribatur <lb></lb>simile poligonum, ità ut anguli inscripti bisectiones late<lb></lb>rum circumscripti contingant; <expan abbr="convertaturq;">convertaturque</expan> figura circa <lb></lb>catetum maioris poligoni: Erit maius <lb></lb>solidum sphaerale ad minus, ut sunt <lb></lb> <arrow.to.target n="fig90"></arrow.to.target><lb></lb>duo simul quadrata duarum diagona<lb></lb>lium, ad duo quadrata minoris cateti. </s></p> <figure id="fig90"></figure> <p type="main"> <s>Esto poligonum parilaterum ABC etc. </s><s><lb></lb>intra quod inscribatur simile poligonum <lb></lb>AIC etc. </s><s>uti dictum est. <expan abbr="Convertaturq;">Convertaturque</expan> <lb></lb>figura circa AC catetum maioris poligoni. </s><s><lb></lb>Dico solidum sphaerale ABC, ad solidum AIC esse ut duo <lb></lb>quadrata simul duarum diagonalium, nempe BD, DC ad <pb pagenum="81"></pb>duo quadrata minoris cateti DI. Circumscribatur solido <lb></lb>AIC sua sphaera, quae alteri solido inscripta erit. </s></p> <p type="main"> <s>Iam solidum ABC ad inscriptam sphaeram, est ut duo <lb></lb>quadrata simul BD, DC ad duplum quadrati DC (per 13 <lb></lb>huius). Sphaera verò ad inscriptum solidum est, ut duplum <lb></lb>quadrati DC ad duplum quadrati DI (per 7 huius). Ergo <lb></lb>ex aequo maius solidum sphaerale ad minus erit ut duo <lb></lb>simul quadrata BD, DC ad duplum quadrati DI. Quod <lb></lb>erat etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XLVI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Iisdem positis: si convertatur figura circa diagonalem <lb></lb>maioris poligoni GC. Erit maius solidum ad minus, ut in<lb></lb>teger axis AC maioris solidi, ad utramque simul, nempe <lb></lb>semicatetum DG minoris, et quartam proportionalium GF; <lb></lb>si fiat ut semidiagonalis minoris ad semicatetum; ita se<lb></lb>micatetus ad tertiam, et tertia ad quartam. </s></p> <p type="main"> <s>Esto solidum quale positum est <lb></lb> <arrow.to.target n="fig91"></arrow.to.target><lb></lb>ABCH cui inscriptum sit solidum <lb></lb>IBD uti dictum est. </s><s>Ducatur, DE <lb></lb>perpendicularis ad GB, et EF ad GC; <lb></lb><expan abbr="eruntq;">eruntque</expan> in continua proportione CG, <lb></lb>GB, GD, GE, GF ob angulos rectos. </s></p> <figure id="fig91"></figure> <p type="main"> <s>Iam solidum maius ad sphaeram <lb></lb>est ut AC ad HB (per 6 huius) sphaera <lb></lb>autem ad solidum minus est ut HB <lb></lb>ad utramque simul DG, GF (per 14 <lb></lb>huius). Quare ex aequo solidum maius <lb></lb>ad minus erit ut AC ad utramque simul DG, GF nempe <lb></lb>quod propositum fuerat. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollarium.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Quando solida praedicta ab exagono genita fuerint: demonstratur <lb></lb>quod posita recta AC 32, DG et GF notae sunt. </s><s>nempe DG 12 et GF 9. <lb></lb>Ergo in hoc casu solidum maius ad minus esset ut 32 ad 21. </s></p> <p type="main"> <s>Superest nunc ut solida sphaeralia absolutè considerata inter se <lb></lb>conferamus, et hoc quot modis fieri poterit: quemadmodum in proémio <lb></lb>operis nos esse facturos promiseramus.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <pb pagenum="82"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XLVII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Solida sphaeralia parilatera circa diagonalem revoluta, <lb></lb>inter se sunt ut parallelepipeda basi quadr. </s><s>cateti, altitu<lb></lb>dine vero diagonali eorumdem. </s></p> <p type="main"> <s>Sint duo solida sphaeralia pari<lb></lb> <arrow.to.target n="fig92"></arrow.to.target><lb></lb>latera circa diagonales AC, DF re<lb></lb>voluta. <expan abbr="Sintq;">Sintque</expan> HI, LV perpendicu<lb></lb>lares ad latera CB, FE. Dico solidum <lb></lb>sphaerale ABC ad solidum DEF esse <lb></lb>ut parallelepipedum basi quadrato <lb></lb>HI altitudine verò HC, ad parallelep. </s><s>basi quadrato LV, <lb></lb>altitudine LF. </s></p> <figure id="fig92"></figure> <p type="main"> <s>Intelligatur utrique circumscripta sphaera sua. </s><s>Tunc <lb></lb> <arrow.to.target n="marg119"></arrow.to.target><lb></lb>enim solidum ABC ad sphaeram suam erit ut quadratum <lb></lb>IH ad quadratum HC, sive (sumpta communi altitudine <lb></lb>CH) ut parallelepipedum basi quadrato IH, altitudine HC, <lb></lb>ad cubum HC. Sphaera autem ABC ad sphaeram DEF, <lb></lb>est ut cubus HC ad cubum LF. At sphaera DEF, (ut nuper <lb></lb>in altera ostendebamus) ad solidum suum DEF est ut <lb></lb>cubus LF, ad parallelepipedum basi quadato LV, altitu<lb></lb>dine LF: ergo ex aequo erit solidum ABC, ad solidum <lb></lb>sphaerale DEF, ut parallelepipedum basi quadrato HI, al<lb></lb>titudine HC; ad parallelepipedum basi quadrato LV, alti<lb></lb>tudine LF. Quod erat etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg119"></margin.target>7. huius.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Scholium.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Idem concludetur etiam si concipiantur sphaera iuxta 6 huius intra <lb></lb>data solida inscriptae; sive altera tantum inscripta, altera verò cir<lb></lb>cumscripta iuxsta 6 et 7 huius sicut experienti patebit.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XLVIII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Solida sphaeralia parilatera circa catetum revoluta inter <lb></lb>se sunt, ut parallelepipeda basi quadrato diagonalis, alti<lb></lb>tudine verò quae sit aequalis cateto, et quartae proportio<lb></lb>nalium, si fiat ut diagonalis ad catetum, ita catetus ad <lb></lb>tertiam, et ita tertia ad quartam. </s></p> <pb pagenum="83"></pb> <p type="main"> <s>Sint duo solida sphaeralia circa catetos B, et D revo<lb></lb>luta. </s><s>Continue turque ratio A ad B in quatuor terminis <lb></lb>A, B, E, F. Item ratio diagonalis C <lb></lb> <arrow.to.target n="fig93"></arrow.to.target><lb></lb>ad catetum D continuetur in quatuor <lb></lb>terminis C, D, H, I. Dico, primum <lb></lb>solidum ad secundum esse ut paral<lb></lb>lelepipedum basi quadrato A, altitu<lb></lb>dine verò B et F; ad parallepipedum <lb></lb>basi quadrato C altitudine verò D <lb></lb>et I. </s></p> <figure id="fig93"></figure> <p type="main"> <s>Nam primum solidum ad sphae<lb></lb>ram suam est ut B et F simul ad A bis sumptam: <expan abbr="acce-ptaq;">acce<lb></lb>ptaque</expan> communi basi quadrato A; erit solidum primum ad <lb></lb>sphaeram suam, ut parallelepipedum basi quadrato A, alti<lb></lb>tudine verò B et F simul, ad duos cubos A. Sphaera <lb></lb>autem prima ad secundam sphaeram est ut duo cubi A <lb></lb>ad duos cubos C. Sphaera tandem secunda ad solidum <lb></lb>suum, est ut duo cubi C, ad parallelepipedum basi qua<lb></lb>drato C altitudine verò D, et I simul (quod ostenditur ut <lb></lb>nuper factum est in prima sphaera) ergo ex aequo primum <lb></lb>solidum sphaerale ad secundum, erit ut parallelepipedum <lb></lb>basi quadrato A, altitudine B et F simul, ad parallele<lb></lb>pipedum basi quadrato C altitudine verò D et I simul. </s><s><lb></lb>Quod erat etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Scholium.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Idem concludi potest si sphaerae concipiantur intra ipsa solida <lb></lb>inscriptae iuxta Propositionem 13 huius; sive altera inscripta, altera <lb></lb>verò circumscripta iuxta 13 et 14 huius. </s><s>Quando verò termini propor<lb></lb>tionis alij evadant à propositis, ut in hac, et in sequentibus, scias <lb></lb>proportionem semper eandem esse, in quibuscunque tandem terminis <lb></lb>eveniat.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO IL.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Solida sphaeralia imparilatera sunt inter se ut paralle<lb></lb>lepipeda, basi quadrato perpendicularis, quae ex centro <lb></lb>poligoni ducitur in latus eiusdem, altitudine verò aequali <lb></lb>praedictae perpendiculari, una cum dupla eius, quae ex <pb pagenum="84"></pb>centro ad angulum poligoni ducitur, et cum tertia propor<lb></lb>tionalium ad duas praedictas. </s></p> <p type="main"> <s>Sint solida sphaeralia imparilatera, circa catetos B, et <lb></lb>D revoluta. </s><s>Continuetur ratio per<lb></lb> <arrow.to.target n="fig94"></arrow.to.target><lb></lb>pendicularis B ad radium poligoni <lb></lb>A in tribus terminis B, A, E. Item <lb></lb>ratio D ad C in tribus terminis <lb></lb>D, C, I, continuata sit. </s><s>Dico soli<lb></lb>dum primum ad secundum esse ut <lb></lb>parallelepipedum basi quadrato B, <lb></lb>altitudine verò aequali B semel, <lb></lb>A bis, et E semel, <expan abbr="simulq;">simulque</expan> sum<lb></lb>ptis, ad parallelepipedum basi <lb></lb>quadr. </s><s>D altitudine verò aequali D semel, C bis, et I <lb></lb>semel <expan abbr="simulq;">simulque</expan> sumptis. </s></p> <figure id="fig94"></figure> <p type="main"> <s>Concipiatur in <expan abbr="utroq;">utroque</expan> solido sphaerali sua sphaera in<lb></lb>scripta, <expan abbr="eritq;">eritque</expan> solidum primum ad sphaeram suam ut B <lb></lb> <arrow.to.target n="marg120"></arrow.to.target><lb></lb>et E simul cum dupla ipsius A ad quadruplam B sumpta<lb></lb>que communi basi quadrato B erit solidum primum ad <lb></lb>sphaeram suam ut parallelepipedum basi quadrato B alti<lb></lb>tudine verò B et E cum dupla A ad quatuor cubos B. <lb></lb>Sphaera autem prima ad secundam est, ut quatuor cubi <lb></lb>B ad quatuor cubos D; Sphaera tandem secunda ad so<lb></lb>lidum suum est, ut quatuor cubi D ad parallelepipedum <lb></lb>basi quadrato D altitudine D et I cum dupla ipsius C <lb></lb>(quod ostenditur ut nuper factum est) ergo ex aequo patet <lb></lb>quod propositum fuerat etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg120"></margin.target>38 huius.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO L.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Solidum sphaerale parilaterum diagonalem revolutum, <lb></lb>ac solidum sphaerale parilaterum circa catetum revolu<lb></lb>tum, est ut parallelepipedum basi quadrato cateti, alti<lb></lb>tudine diagonalis bis sumptum, ad parallelepipedum basi <lb></lb>quadrato cateti simul diagonalisque, altitudine verò ca<lb></lb>teti. </s></p> <p type="main"> <s>Sint duo solida sphaeralia, quorum alterum circa dia<lb></lb>gonalem A sit revolutum, alterum verò circa catetum C. <pb pagenum="85"></pb>Dico solidum primum circa diagonalem, ad solidum se<lb></lb>cundum circa catetum, esse ut parallelepipedum basi <lb></lb> <arrow.to.target n="fig95"></arrow.to.target><lb></lb>quadr. </s><s>B altitudine A bis sumptum, ad parallelepipedum <lb></lb>basi aequali quadratis C, D, altitudine verò C. </s></p> <figure id="fig95"></figure> <p type="main"> <s>Intelligatur in utroque solido inscripta sua sphaera. </s><s>Et <lb></lb> <arrow.to.target n="marg121"></arrow.to.target><lb></lb>erit solidum primum ad sphaeram suam, ut recta A, ad B; <lb></lb><expan abbr="sumptaq;">sumptaque</expan> eadem basi quadrato B; erit solidum primum ad <lb></lb>sphaeram suam, ut parallelepipedum basi quadrato B alti<lb></lb>tudine verò A, ad cubum B sive ut duplum dicti parallele<lb></lb>pipedi ad duos cubos B. Sphaera verò prima ad secundam <lb></lb>est, ut duo cubi B, ad duos cubos C. Sphaera tandem se<lb></lb> <arrow.to.target n="marg122"></arrow.to.target><lb></lb>cunda ad solidum suum est, ut duo quadrata ex C, ad duo <lb></lb>quadrata C, et D; sumptaque communi altitudine C, est, <lb></lb>ut duo cubi C, ad parallelepipedum basi aequali quadratis <lb></lb>C et D altitudine verò C. Propterea ex aequo patet quod <lb></lb>propositum erat. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg121"></margin.target>6. huius.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg122"></margin.target>13. huius</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO LI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Solidum sphaerale parilaterum circa diagonalem revo<lb></lb>lutum, ad solidum sphaerale imparilaterum est, ut paralle<lb></lb>lepipedum basi quadrato cateti, altitudine diagonali quater <lb></lb>sumptum; ad parallelepipedum basi quadrato rectae illius <lb></lb>quae ex centro poligoni imparila<lb></lb> <arrow.to.target n="fig96"></arrow.to.target><lb></lb>teri perpendiculariter ducitur in <lb></lb>latus eiusdem; altitudine verò ae<lb></lb>quali praedictae perpendiculari, <lb></lb>una cum dupla illius quae ex cen<lb></lb>tro ad angulum ducitur, et cum <lb></lb>tertia proportionalium ad duas <lb></lb>praedictas. </s></p> <figure id="fig96"></figure> <p type="main"> <s>Sint duo solida sphaeralia, nempe primum parilaterum <lb></lb>circa diagonalem A conversum, alterum verò imparilate- <pb pagenum="86"></pb>rum circa catetum C revolutum. </s><s>Continuetur ratio C ad <lb></lb>D in trib. terminis C, D, E. Dico primum solidum ad se<lb></lb>cundum esse, ut parallelepipedum basi quadrato B, altitu<lb></lb>dine A quater sumptum, ad parallelepipedum basi qua<lb></lb>drato C, altitudine verò aequali rectis C, et E cum dupla <lb></lb>D simul sumptis. </s></p> <p type="main"> <s>Nam solidum primum ad sphaeram suam est, ut recta <lb></lb>A ad B; sive sumpta communi basi quadrato B; ut pa<lb></lb>rallelepipedum basi quadrato B altitudine A, ad cubum B; <lb></lb>Vel ut parallelepipedum praedictum quater sumptum, ad <lb></lb>cubum B quater sumptum sphaera verò prima ad secun<lb></lb>dam est ut quatuor cubi B ad quatuor cubos C. Sphaera <lb></lb>denique secunda ad solidum suum (ut ostensum est in 49 <lb></lb>huius) est ut quatuor cubi C, ad parallelepipedum basi <lb></lb>quadrato C, altitudine verò aequali rectis C et E cum <lb></lb>dupla D simul sumptis. </s><s>Propterea ex aequo patet quod <lb></lb>propositum erat. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO LII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Solidum sphaerale parilaterum circa catetum revolu<lb></lb>tum, ad solidum sph. imparilaterum, est ut parallelepipe<lb></lb>dum basi aequali quadratis diagonalis et cateti altitudine <lb></lb>cateti bis sumptum, ad parallelepipedum basi quadrato <lb></lb>lineae quae ex centro ducitur perpendiculariter in latus <lb></lb>poligoni imparilateri, altitudine verò aequali praedictae <lb></lb>lineae, una cum illa quae ex centro ad unum angulum per<lb></lb>ducitur, et cum tertia proportionalium ad duas praedictas. </s></p> <p type="main"> <s>Sint duo solida sphaeralia; al<lb></lb> <arrow.to.target n="fig97"></arrow.to.target><lb></lb>terum parilaterum circa catetum <lb></lb>A revolutum; alterum imparilate<lb></lb>rum circa C conversum. </s><s>Et ratio <lb></lb>C ad D, continuetur in tribus ter<lb></lb>minis C, D, E. Dico primum soli<lb></lb>dum ad secundum esse, ut paral<lb></lb>lelepipedum basi aequali quadratis <lb></lb>B et A, altitudine verò A, bis <lb></lb>sumptum; ad parallelepipedum basi quadrato C, altitudine <lb></lb>verò aequali C, et E, cum dupla ipsius D. </s></p> <pb pagenum="87"></pb> <figure id="fig97"></figure> <p type="main"> <s>Nam solidum primum ad sphaeram suam est, ut duo <lb></lb>quadrata B et A, ad duplum quadrati A sive sumpta com<lb></lb>muni altitudine A ut parallelepipedum basi aequali qua<lb></lb>dratis B et A, altitudine A ad duos cubos A. Vel ut di<lb></lb>ctum parallelepipedum bis sumptum, ad quatuor cubos A. <lb></lb>Sphaera autem prima ad secundam, est ut quatuor cubi A <lb></lb>ad quatuor cubos C. Sphaera denique secunda ad solidum <lb></lb>suum est ut quatuor cubi C, ad parallelepipedum basi <lb></lb>quadrato C altitudine aequali C et E, cum dupla D (ut <lb></lb>ostensum fuit in Propos. 49 huius). Ergo ex aequo patet <lb></lb>quod propositum fuerat. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>FINE DE'LIBRI <lb></lb>“ DE SPHAERA ET SOLIDIS SPHAERALIBUS ” <emph.end type="center"></emph.end></s></p> <pb></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>DE DIMENSIONE PARABOLAE<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>SOLIDIQUE HYPERBOLICI <lb></lb>PROBLEMATA DUO: <lb></lb>ANTIQUUM ALTERUM<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>IN QUO QUADRATURA PARABOLAE XX MODIS ABSOLVITUR, <lb></lb>PARTIM GEOMETRICIS, MECANICISQUE; PARTIM EX <lb></lb>INDIVISIBILIUM GEOMETRIA DEDUCTIS <lb></lb>RATIONIBUS: <lb></lb>NOVUM ALTERUM <lb></lb>IN QUO MIRABILIS CUIUSDAM SOLIDI AB HYPERBOLA GENITI, <lb></lb>ACCIDENTIA NONNULLA DEMONSTRANTUR.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>CUM APPENDICE <lb></lb>DE DIMENSIONE SPATIJ CYCLOIDALIS, ET COCHLEAE.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <pb></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Ad Serenissimum Principem<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>LEOPOLDUM<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>ab Etruria<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="italics"></emph>Difficile reor, Serenissime Princeps Leopolde, ferrea hac <lb></lb>aetate libros conscribere; difficiliùs dedicare: quandoquidem <lb></lb>bonarum Artium studia ubique in bella degenerant, et Re<lb></lb>gnantes viri non exigunt ingeniorum vires, sed corporum.<emph.end type="italics"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="italics"></emph>Etrusca tamen Regia, non minus foecunda virtutum, <lb></lb>quàm Principum, mundum edocet, eandem esse Minervam <lb></lb>et Bellonam, unumque Apollinem qui arcum simul amat, et <lb></lb>citharam. </s><s>Serenissima enim Celsitudo Tua (ut reliquos omit<lb></lb>tam) litterarum, et scientiarum omne genus perinde foret, <lb></lb>colitque, ac si mundus alta pace frueretur, pulsisque Furijs <lb></lb>solae Musae dominarentur. </s><s>Verùm alia me maior difficultas <lb></lb>terret, dum ego tenuitatis meae conscius mecum ipse cogito, <lb></lb>libellum hunc ad eum Principem ire, qui illum non solum <lb></lb>protegere potest, sed etiam iudicare. </s><s>Quicquid est, non acre <lb></lb>iudicium Sereniss. </s><s>Celsitudinis Tuae, sed incomparabilem <lb></lb>humanitatem invoco, illam inquam humanitatem, quae nuper <lb></lb>amplissima in me beneficia contulit, e humi iacentem erexit <lb></lb>fortunam meam. </s><s>Audiat preces meas Dominus Regnantium,<emph.end type="italics"></emph.end> <pb></pb><emph type="italics"></emph>talemque Principem diu custodiat: siquidem divinitatis in<lb></lb>terest huiusmodi viros prosperari, ut aeterna Providentia <lb></lb>magis elucescat, et coniunctam aliquando cum potestate sa<lb></lb>pientiam in terris demonstrare valeamus.<emph.end type="italics"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="italics"></emph>Sereniss. </s><s>Celsitud. </s><s>Tuae<emph.end type="italics"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="italics"></emph>Humillimus, et obsequentiss. </s><s>servus<emph.end type="italics"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="italics"></emph>Evangelista Torricellius.<emph.end type="italics"></emph.end></s></p> <pb></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>AD LECTOREM <lb></lb>PROEMIUM<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Nullus in un universo Mathematicarum disciplinarum <lb></lb>Theatro fortasse tritior pulvis reperitur, quàm parabolae <lb></lb>quadratura. </s></p> <p type="main"> <s>Quarè ergò (inquis amice lector) circà tritum argu<lb></lb>mentum tàm diù desudasti? </s><s>libenter equidem excipio obie<lb></lb>ctiones tuas; sed utinam ultimus desudaverim. </s><s>Quam ta<lb></lb>men veniam mihi negas, scias eandem plurimis, et egregiè <lb></lb>laudatis Scriptoribus te denegare. </s><s>Obiectum enim de pa<lb></lb>rabolae quadratura, quod nostra hac aetate confiteor mihi <lb></lb>nimis iam inveterasse, crediderim neque novum fuisse Ca<lb></lb>valerio, Galileo, Lucae Valerio, et alijs. </s><s>Quin immò ipsum <lb></lb>Archimedem accusat, quicumque improbat lucubrationes <lb></lb>circà subiectum vetus institutas. </s><s>Audiamus ipsum in proë<lb></lb>mio quadraturae parabolae, ubi scribens Dositheo inquit. <lb></lb><gap desc="SM"></gap>Eorum enim, qui antehac Geometriae operam dederunt, nonnulli id <lb></lb>investigare, et memoriae mandare studuerunt, circulo dato, vel circuli <lb></lb>portione quacunque, spactium rectilineum aequale illi posse inveniri. </s><s><lb></lb>Item spatium à coni totius rectanguli sectione compraehensum et <lb></lb>lineâ rectà, ad quadrati formam et mensuram reducere conati sunt; <lb></lb>sumentes non facilè concessibilia fundamenta.<gap desc="/SM"></gap> Quibus verbis diser<lb></lb>tissime fatetur Geometrarum Princeps argumentum libro<lb></lb>rum De dimensione circuli, e de quadratura parabolae, <lb></lb>neque suum fuisse, neque novum. </s><s>Sed si quis attentè con<lb></lb>sideret Proëmialem epistolam, libro de lineis spiralibus <lb></lb>praefixam, intelliget praecipua Archimedis Theoremata, <pb pagenum="94"></pb>aliorum inventa fuisse, et magna ex parte Cononis. </s><s>Maxi<lb></lb>mae enim Propositiones librorum <gap desc="SM"></gap>De Sphaera et Cylindro; De <lb></lb>conoidibus et sphaeroidibus, et De lineis spiralibus<gap desc="/SM"></gap> (qui libri inter <lb></lb>opera Archimedis principem locum tenent (Cononis sunt: <lb></lb><gap desc="SM"></gap>Qui<gap desc="/SM"></gap> (ut inquit auctor) <gap desc="SM"></gap>non satis temporis ad haec excogitanda <lb></lb>sortitus, vitam permutavit, et ipsa reliquit inexplicata; cum illa inve<lb></lb>nisset, et alia quamplurima perquisisset, ac multum adeò Geometricas <lb></lb>facultates ampliasset.<gap desc="/SM"></gap> Si ergò licuit admirabili, ac propè di<lb></lb>vino Auctori, circa aliorum inventa laborare; quis negabit <lb></lb>ignoscendum ingeniolo meo mutuata theoremata contem<lb></lb>planti? </s><s>Sed esto quod conclusio antiqua sit; argumenta <lb></lb>certè, quibus illa confirmabitur, ut plurimum nova erunt, <lb></lb>et inaudita: immo cum ad alteram partem libelli accede<lb></lb>mus, in quà de solido acuto hyperbolico dicendum est, non <lb></lb>solum ipsum Theorema inexcogitatum, et ut ita dicam pa<lb></lb>radoxicum erit, sed etiam demonstrandi ratio inusitata, et <lb></lb>penitus nova. </s><s>Verùm (inquis) reliqui scriptores, qui huius<lb></lb>modi quadraturam aggressi sunt, vel singulas, vel ad sum<lb></lb>mum binas prodiderunt; neque tamen mediocrem laudem <lb></lb>consequuti sunt. </s><s>Fateor; sed nec ego libellum hunc ex <lb></lb>professo institui, composuique: immo quod et alijs, mihi <lb></lb>quoque accidit; singulas hasce quadraturas diversis tem<lb></lb>poribus inveni, quas in unum collectas nunc demum vo<lb></lb>lentibus simul exhibeo. </s><s>Tu tamen exclamas; heu nimis <lb></lb>est: quotus enim quisque reperietur tam famelicus Geo<lb></lb>metra, qui legat penè vicies repetitam propositionem, cum <lb></lb>numero lemmatum ferè duplo? </s><s>Huic sanè obiectioni libet <lb></lb>contradicere. </s><s>Cum enim libellus in Propositiones, ut plu<lb></lb>rimum non coherentes digestus sit; sed ita dispositas ut <lb></lb>ubicunque libuerit initium facere possis, et finem, dicam <lb></lb>cum Martiale </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>. . . tibi carta plicetur <lb></lb>Altera; divisum sic breve fiet opus.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si vero mavis probare consilium eorum qui unam, aut <lb></lb>alteram tantum quadraturam edidere; quis prohibet? </s><s>Et <lb></lb>in hoc legere potes unam, aut alteram; si tamen hoc quo<lb></lb>que; nimis videbitur, nullam. </s><s>Utilitatem exigis? </s><s>concedo; <lb></lb>et in hanc partem libellum excusare non ausim. </s><s>attamen <pb pagenum="95"></pb>non deerit fortasse aliquis qui penitus inutilem non existi<lb></lb>met, cum Geometricus sit. </s><s>Sola enim Geometria inter li<lb></lb>berales dixiplinas acritèr exacuit ingenium, idoneumque <lb></lb>reddit ad civitates exornandas in pace, et in bello defen<lb></lb>dendas; coeteris enim paribus, ingenium quod exercitatum <lb></lb>sit in Geometrica palestra, peculiare quoddam, et virile <lb></lb>robur habere solet: praestabitque semper, et antecellet, <lb></lb>circà studia Architecturae, rei bellicae, nauticaeque sive <lb></lb>mavis circà Aritmeticam, artemque metiendi, unde totum <lb></lb>civile commercium dependet, regiturque. </s><s>Quinetiam circà <lb></lb>ministeria fluviorum, et aquarum stagnantium, unde non <lb></lb>nisi magna percipiuntur sive damna, sive beneficia; pro <lb></lb>ut bene, vel male intellecta fuerit huiusmodi rerum na<lb></lb>tura. </s><s>Sed esto quòd inutilis penitus habeatur libellus; sive <lb></lb>quia Reipubl. </s><s>nihil interest parabolae quadraturae; sive <lb></lb>quia multis ab hinc saeculis excogitata fuerat, et demon<lb></lb>strata. </s><s>Huic verò obiectioni respondeat Reverendiss. </s><s>D. Be<lb></lb>nedictus Castellius Magister meus. </s><s>Ipse enim dicet, quòd <lb></lb>si Principes terrae, solam illam vulgarem, et apparentem <lb></lb>utilitatem in Artibus magni facerent, exigerentque, da<lb></lb>mnandi penitus essent sculptores, Celatoresque egregij <lb></lb>eijcendi civitatibus Pictores, Musici, Citharaedi, Poëtae, <lb></lb>atque id genus alij. </s><s>Contrà verò ditandi essent, atque opi<lb></lb>bus, officijsque omnibus demerendi pistores, quorum utili<lb></lb>tati nulla alia par est; caupones, sutores et quicunque <lb></lb>artem colunt vitae hominum summoperè utilem. Quinetiam <lb></lb>si utilitas sola attendatur, damnandus erit vini usus, et <lb></lb>detestanda cultura vinearum. </s><s>At in summo praetio ha<lb></lb>benda aqua, cuius utilitates tàm facilè est numerare, quàm <lb></lb>difficile sit ijs non indigere. </s></p> <p type="main"> <s>Utcumque ea res se se habeat, veniamus ad obiectiones <lb></lb>quae circà artis fundamenta versantur. </s><s>Indignor equidem <lb></lb>Lucam Valerium, verè nostri saeculi Archimedem, cum <lb></lb>optimam causam suscepisset, pessimà defensione usum <lb></lb>fuisse. </s><s>Solent ab eruditis culpari figurarum Geometricarum <lb></lb>dimensiones, quae Mecanicis fundamentis innixae stabiliun<lb></lb>tur, tam quàm duplex falsum supponant: alterum, <gap desc="SM"></gap>quòd <lb></lb>superficies gravitatem non habentes, habere tamen concipiuntur:<gap desc="/SM"></gap> alte<lb></lb>rùm verò, <gap desc="SM"></gap>quòd fila quae magnitudines ad libram suspendunt aequi- <pb pagenum="96"></pb>distantis supponuntur, cum tamen in centro terrae concurrere debeant.<gap desc="/SM"></gap><lb></lb>Ego verò in ea sum sententia, vel nullam ex his supposi<lb></lb>tionibus esse falsam, vel reliqua omnia principia Geome<lb></lb>triae falsa existere eodem modo. </s><s>Falsum enim est, quòd <lb></lb>circulus habeat centrum, sphaera superficiem, conus soli<lb></lb>ditatem. </s><s>Loquor de figuris abstractis quales Geometria <lb></lb>considerare solet; non autem de fisicis et concretis. </s><s>Ne<lb></lb>cesse igitur erit fateri quòd circuli centrum, superficies <lb></lb>spherae, soliditas coni, et reliqua huiusmodi non contro<lb></lb>versa, nullam aliam habeant existentiam, praeter illam <lb></lb>quam accipiunt per definitionem, et per intellectum. </s><s>Eodem <lb></lb>prorsus modus gravitatis est in figuris Geometricis, quo<lb></lb>modo in ijsdem est centrum, perimeter, superficics, soli<lb></lb>ditas, etc. </s><s>Laudarem igitur in Mecanicis contemplationibus <lb></lb>nova definitione figuras generare; hoc, aut alio non ab <lb></lb>simili modo. <lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Quadratum est quadrilaterum, quod, cum aequilaterum, et aequian<lb></lb>gulum sit, singula ipsius punta momentum habent procedendi versus <lb></lb>aliquam mundi plagam per lineas inter se parallelas.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Huiusmodi enim definitio omnem demeret occasionem <lb></lb>dubitandi, illis, qui Mecanica Archimedis opera, secundum <lb></lb>ipsius mentem non accipiunt. </s><s>Sed hucusque dictum sit <lb></lb>pro obliteranda primae falsitatis nota, quòd figurae Geo<lb></lb>metricae graves sint. </s></p> <p type="main"> <s>Venio nunc ad secundum (ut aliqui existimant) falsum. </s><s><lb></lb>Principiò, vulgatissima est etiam apud gravissimos viros <lb></lb>obiectio illa, videlicet. <gap desc="SM"></gap>Archimedem supposuisse aliquod falsum, <lb></lb>dum fila magnitudinum ex librà pendentium consideravit tanquam <lb></lb>inter se parallela, cum tamen re vera in ipso terrae centro concurrere <lb></lb>debeant.<gap desc="/SM"></gap> Ego verò, (quod pace clarissimorum virorum di<lb></lb>ctum sit) crediderim fundamentum Mecanicum longè alia <lb></lb>ratione esse considerandum. </s><s>Concedo si Fisicae magnitu<lb></lb>dines ad libram liberè suspendantur, quòd fila materialia <lb></lb>suspensionum convergentia erunt; quandoquidem singula <lb></lb>ad centrum terrae respiciunt. </s><s>Verum tamen si eadem libra, <lb></lb>licet corporea, consideretur non in superficie terrae, sed <lb></lb>in altissimis regionibus ultrâ orbem solis; tum fila (dum<lb></lb>modo adhuc ad terrae centrum respiciant) multò minùs <lb></lb>convergentia inter se erunt; sed quasi aequidistantia. </s><s>Con- <pb pagenum="97"></pb>cipiamus iam ipsam libram Mecanicam ultra stellatam li<lb></lb>bram firmamenti in infinitam distantiam esse provectam; <lb></lb>quis non intelligit fila suspensionum iam non ampliùs con<lb></lb>vergentia, sed exacte parallela fore? </s><s>Quando ego considero <lb></lb>libram, figuras Geometricas ponderantem, non concipio <lb></lb>illam esse inter cartas librorum, in quibus depicta conspi<lb></lb>citur; neque suppons punctum, ad quod magnitudines <lb></lb>ipsius tendunt, esse centrum terrae; sed libram fingo in <lb></lb>infinitum remotam esse ab eo puncto, ad quod ipsius gravia <lb></lb>contendunt. </s><s>Si posteà ibi conclusero triangulum aliquod <lb></lb>triplum esse cuiusdam spatij; retrahatur imaginatione ipsa <lb></lb>libra ad nostras regiones; concedo quòd retractâ librâ de<lb></lb>struetur aequidistantia filorum suspensionis, sed non ideò <lb></lb>destruetur proportio iam demonstrata figuraram. </s><s>Peculiare <lb></lb>quoddam beneficium habet Geometra, cum ipse abstra<lb></lb>ctionis ope, omnes operationes suas mediante intellectu <lb></lb>exequatur. </s><s>Quis igitur mihi hoc negaverit, si libeat con<lb></lb>siderare figuras appensas ad libram, quae quidem libra <lb></lb>ultra mundi confinium in infinitam distantiam remota <lb></lb>supponatur? </s><s>Vel quis proibebit considerare libram in su<lb></lb>perficie terrae constitutam, cuius tamen abstracta ma<lb></lb>gnitudines tendant, non ad medium terrae punctum, sed <lb></lb>ad centrum caniculae, sive stellae polaris? </s><s>Triangula et <lb></lb>parabolae, immò etiam spherae, cilindrique Geometrici, <lb></lb>cum nullam per se habeant motus differentiam, non magis <lb></lb>ad ipsius terrae, quam ad Saturni centrum contendunt. </s><s><lb></lb>Destruit ergò beneficium suum quisquis flguras illas, tam<lb></lb>quam ad unicum terrae centrum tendentes, contempla<lb></lb>tur. </s><s>Cur denique non licebit mihi considerare puncta cu<lb></lb>iuscunque figurae eiusmodi virtute praedita, ut singula <lb></lb>versus eandem mundi plagam per lineas inter se parallelas <lb></lb>aequali momento contendant? </s><s>His ita suppositis, quae vera <lb></lb>sunt, quemadmodum sunt verae passiones figurarum, quae <lb></lb>in definitionibus adhibentur, vera etiam erunt quaecunque <lb></lb>Theoremata per Mecanicas rationes ab ipsis astrahentibus <lb></lb>fuerint considerata, neque per falsas positiones demonstra<lb></lb>buntur. </s><s>Tunc itaque falsum dici poterit fundamentum <lb></lb>Mecanicum, nempe fila librae parallela esse, quando ma<lb></lb>gnitudines ad libram appensae fisicae sint, realesque, et <pb pagenum="98"></pb>ad terrae centrum conspirantes. </s><s>Non autem falsum erit, <lb></lb>quando magnitudines (sive abstractae, sive concretae sint) <lb></lb>non ad centrum terrae, neque ad aliud punctum propin<lb></lb>quum librae respiciant; sed ad aliquod punctum infinitè <lb></lb>distans connitantur. </s></p> <p type="main"> <s>Coeterum, brevitatis, et facilitatis gratià à vocabulis <lb></lb>consuetis non discedemus; punctumque illud ad quod ma<lb></lb>gnitudines librae contendere supponuntur, Centrum terrae <lb></lb>nominabimus, Planum verò illud, quod erectum est ad <lb></lb>lineam connectentem praedictum punctum cum centro li<lb></lb>brae, Horizontem de more appellabimus. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>SUPPOSITIONES, ET DEFINITIONES.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>I.<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Ponatur eam esse centri gravitatis naturam, ut magnitudo liberè <lb></lb>suspensa ex quolibet sui puncto nunquam quiescat nisi cum centrum <lb></lb>gravitatis ad infimum suae sphaerae punctum pervenerit.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Concipiamus figuram ABC, <lb></lb> <arrow.to.target n="fig98"></arrow.to.target><lb></lb>suspensam ex sui puncto D, <lb></lb>mediante filo ED; liberè; hoc <lb></lb>est, ita ut in quamcumque <lb></lb>partem converti possit. </s><s>Sit <lb></lb>centrum gravitatis F. pona<lb></lb>musque rectam EDG. perpen<lb></lb>dicularem esse ad horizontem. </s></p> <figure id="fig98"></figure> <p type="main"> <s>Certum est, donec cen<lb></lb>trum F fuerit extrà perpen<lb></lb>diculum EG, figuram ipsam <lb></lb>nnnquam mansuram esse. </s><s>Quando verò punctum F. fuerit <lb></lb>in perpendiculo suspensionis EG, tunc figura omninò quie<lb></lb>scet. </s><s>Centrum enim gravitatis ipsius nusquàm poterit am<lb></lb>pliùs inferius descendere: Quin immò si figura moveretur, <lb></lb>centrum ipsum ascenderet, quod esse non potest. </s><s>Si quis <lb></lb>enim centro E, intervallo EDF. tamquam unà recta linea, <lb></lb>sphaeram concipiat esse descriptam; ipsa erit sphaera, in <pb pagenum="99"></pb>cuius superficie feretur punctum F, quando EDF. extensa <lb></lb>fuerit, et ad rectitudinem redacta. </s><s>Certumque est infimum <lb></lb>punctum huiusmodi sphaerae esse in perpendiculo EG. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>II.<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Aequiponderare sibi ipsi figura dicetur, quae ab aliquo sui puncto <lb></lb>liberè suspensa maneat, et ad nullam sui partem inclinetur.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>III.<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Aequiponderat sibi ipsi figura, quando (cum liberè suspensa sit) in <lb></lb>ipso suspensionis perpendiculo centrum gravitatis reperitur. </s><s>Si enim <lb></lb>adhuc moveretur, centrum gravitatis ascenderet. </s><s>Quod est impossibile.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>IV.<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Centrum gravitatis tunc reperitur in ipso suspensionis perpendiculo, <lb></lb>quando figura liberè suspensa sibi ipsi aequiponderat. </s><s>Alias enim figura <lb></lb>quiesceret, et centrum gravitatis ipsius posset adhuc inferiús descen<lb></lb>dere. </s><s>Quod est absurdum.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>V.<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Centralitér ad illum librae punctum appendi figura dicetur, in quod <lb></lb>cadit perpendiculum, ex centro gravitatis figurae productum.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Esto enim libra AB, cuius ful<lb></lb> <arrow.to.target n="fig99"></arrow.to.target><lb></lb>crum sit C, et ad ipsam appensa <lb></lb>sit figura CEB, ita ut totum la<lb></lb>tus CB cohereat, et sit veluti ad <lb></lb>ipsam libram conglutinatum. </s><s>Esto <lb></lb>centrum gravitatis figurae pun<lb></lb>ctum D, et ex D agatur perpendiculum DF ad horizontem <lb></lb>erectum. </s></p> <figure id="fig99"></figure> <p type="main"> <s>Iam figura CEB dicetur, et considerabitur, tamquam <lb></lb>appensa centralitêr ad punctum F. Constat enim ex prae<lb></lb>dictis, quòd si figurae latus CB solvatur undique à brachio <lb></lb>librae, solumque remaneat filum connexionis DF, nihilo <lb></lb>tamen minus figura adhuc manebit ut prius manebat, ean<lb></lb>demque servabit versus libram positionem, quam antea <lb></lb>habebat. </s><s>Vide Arch. </s><s>Prop. 6. De Quadratura parabolae. </s></p> <pb pagenum="100"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>VI.<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Aequalia gravia ex aequalibus distantijs aequiponderant, sive libra <lb></lb>ad horizontem parallela fuerit, sive inclinata. </s><s>Et gravia eandem reci<lb></lb>procè rationem habentia, quam distantiae, aequiponderant, sive libra <lb></lb>sit ad horizontem parallela, sive inclinata.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Haec sine alia explicatione praemitti poterant; quan<lb></lb>doquidem in doctrina aequiponderantium nunquam suppo<lb></lb>nitur libra horizonti aequidistans: Attamen quia ostendi <lb></lb>possunt, non omittendam censeo demonstrationem; prae<lb></lb>sertim cum nonnulli ex libra materiali male fabricata, <lb></lb>errorem susceperint, et intellectum admiserint. </s></p> <p type="main"> <s>Esto inclinata libra <lb></lb> <arrow.to.target n="fig100"></arrow.to.target><lb></lb>AC, suspensa ex puncto <lb></lb>B ad filum BD. Sintque <lb></lb>magnitudines BFC, et G. <lb></lb>centraliter appensae ex <lb></lb>punctis E, et A. Et po<lb></lb>natur esse, ut magnitudo <lb></lb>BFG, ad magnitudinem <lb></lb>G, ita reciprocè distantia <lb></lb>AB ad BE. Dico libram <lb></lb>AC, quamvis inclinata, <lb></lb>magnitudinesque ab ipsa pendentes, penitùs conquiexere, <lb></lb>et aequiponderare. </s></p> <figure id="fig100"></figure> <p type="main"> <s>Producantur enim perpendicula GAH, LEI, per centra <lb></lb>gravitatis figurarum G, et L, transeuntia, ducaturque ho<lb></lb>rizontalis libra CH, quae item appensa sit ad filum MD. <lb></lb>Quoniam igitur est per suppositionem, ut magnitudo BFC, <lb></lb>ad magnitudinem G, ita reciprocè AB ad BE; sive (ob <lb></lb>parallelas) HM ad MI; aequiponderabunt maguitudines <lb></lb>BFC, et G, ad libram horizontalem HC appensae. </s><s>Ergo <lb></lb>commune centrum gravitatis erit omninò in perpendiculo <lb></lb>DF. Propterea magnitudines aequiponderabunt etiam dum <lb></lb>ad libram AC suspenduntur: aliàs, si moverentur, com<lb></lb>mune centrum gravitatis ipsarum, quod demonstratum est <lb></lb>esse in perpendiculo DF, ascenderet. </s><s>Quod est impossibile. </s></p> <p type="main"> <s>Haec autem breviùs concludentur hoc modo. </s><s>Conne<lb></lb>ctantur (in eadem figura) centra gravitatis ductâ rectâ GL. </s></p> <pb pagenum="101"></pb> <p type="main"> <s>Quoniam magnitudo <lb></lb> <arrow.to.target n="fig101"></arrow.to.target><lb></lb>BFC ad magnitudinem <lb></lb>G, est ut AB ad BE, <lb></lb>sive (ob parallelas) ut <lb></lb>GN ad NL, erit N cen<lb></lb>trum commune gravitatis <lb></lb>magnitudinum appensa<lb></lb>rum. </s><s>Si ergo libra AC <lb></lb>non quiesceret, centrum <lb></lb>gravitatis N, ascenderet. </s><s><lb></lb>Cum enim sit in perpendiculo DF, moveri non potest quin <lb></lb>ascendat. </s></p> <figure id="fig101"></figure> <p type="main"> <s>Non me latet auctorum controversiam, circà libram <lb></lb>inclinatam, an redeat, maneatvè supponere centra magni<lb></lb>tudinum in ipsa libra esse collocata. </s><s>Nos tamen, quia in <lb></lb>hoc libello, semper considerabimus magnitudines infrà <lb></lb>ipsam libram appensas, maluimus rei nostrae servire, quàm <lb></lb>aliorum controversiae demonstrationem accomodare. </s></p> <p type="main"> <s>Coeterum passiones parabolae quas in operis progressu <lb></lb>supponemus tamquam notas, vel ipsius Apollonij erunt, vel <lb></lb>Archimedis, vel saltem ex Apollonio ipso facili negotio <lb></lb>deducentur, cuiusmodi sunt hae, quae sequuntur. </s></p> <p type="main"> <s>Si Parabola rectam lineam tangentem habuerit, à qui<lb></lb>buslibet autem punctis ipsius tangentis rectae lineae usque <lb></lb>ad parabolam demittantur aequidistantes diametro, erunt <lb></lb>demissae inter se longitudine ut sunt portiones tangentis <lb></lb>potentià inter se. </s><s>Deducitur enim hoc ex 20. prim. Conic. </s><s><lb></lb>Nam rectae illae demissae portionibus diametri respon<lb></lb>dent; at partes ipsius tangentis, ordinatim applicatis ae<lb></lb>quales sunt. </s></p> <p type="main"> <s>Item, si intrà parabolam à punctis quibuslibet rectae <lb></lb>illius ordinatim ductae, quae basis parabolae dicitur, rectae <lb></lb>lineae erigantur diametro parallelae. </s><s>Erunt erectae inter <lb></lb>se ut sunt rectangula facta à portionibus basis, quae ab <lb></lb>ipsis erectis abscinduntur. </s><s>Hoc enim et a Cavalerio, et a <lb></lb>nobis in secundo libro de motu ostenditur. </s></p> <pb pagenum="102"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>QUADRATURA PARABOLAE.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PLURIBUS MODIS PER DUPLICEM POSITIONEM, <lb></lb>MORE ANTIQUORUM ABSOLUTA.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma Primum.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Si parabola duas tangentes habuerit, altera ex termino basis, alte<lb></lb>ram verò ex vertice: tangens, quae ad basim est, bifariam secabitur <lb></lb>ab illa, quae per verticem ducitur.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Esto parabola ABC, cuius dia<lb></lb> <arrow.to.target n="fig102"></arrow.to.target><lb></lb>meter BI, ordinatim verò appli<lb></lb>cata (sive basis) sit AC; tangens <lb></lb>ex termino basis sit CD; per ver<lb></lb>ticem verò tangens BE. Dico <lb></lb>ipsam CD bifariàm secari in pun<lb></lb>cto E. <lb></lb> <arrow.to.target n="marg123"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg123"></margin.target>35 primi <lb></lb>Conic.</s></p> <figure id="fig102"></figure> <p type="main"> <s>Cum. </s><s>N. CD sit tangens, DI diameter, erunt aequales <lb></lb>inter se DB. BI. Et quia AC ordinatim applicata est ad </s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg124"></arrow.to.target><lb></lb>diametrum BI, ipsa verò BE tangit in puncto B, erunt pa<lb></lb>rallelae AC, BE. Et ideo erit ut DB ad BI, ita DE ad EC. <lb></lb> <arrow.to.target n="marg125"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg124"></margin.target>per 32. eiusd.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg125"></margin.target>per 2 sexti.</s></p> <p type="main"> <s>Quare aequales erunt etiam DE, EC, Quod erat osten<lb></lb>dendum etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma II.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Si parabola duas tangentes habuerit ex basis terminis; recta linea <lb></lb>quae ab occursu duarum tangentium ducitur diametro parallela, pro<lb></lb>positae parabolae liameter erit.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <figure></figure> <p type="main"> <s>Esto parabola ABC, cuius ex <lb></lb>punctis A et C, duae tangentes <lb></lb>sint AD, CD, concurrentes in D. <lb></lb>Ex puncto autem D recta duca<lb></lb>tur DE diametro parallela. </s><s>Dico <lb></lb>ipsam DE propositae parabolae <lb></lb>diametrum esse. </s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg126"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg126"></margin.target>per 35 2. Co<lb></lb>nicorum.</s></p> <p type="main"> <s>Sit enim, si possibile est. </s><s>dia<lb></lb>meter FG. Erunt ergò ob tangentem AF aequales inter <pb pagenum="103"></pb>se diametri portiones FB, BG. Iterum ob tangentem CI, <lb></lb>aequales erunt IB, BG. Et ideò aequales erunt inter se <lb></lb>ipsae FB, BI: totum et pars. </s><s>quod fieri non potest. </s></p> <p type="main"> <s>Non est ergò alia diameter praeter ipsam DE. Quod <lb></lb>erat ostendendum etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma III.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Si parabola tres tangentes habuerit; duas ad basim, et tertiam per <lb></lb>verticem; erit triangulum sub tangentibus compraehensum octuplum <lb></lb>trianguli, quod oritur ex ductu quartae tangentis per verticem alte<lb></lb>rutrae semiparabolae.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Esto parabola ABC, cuius basis AC, diameter BD; duae <lb></lb>tangentes ad basim AE, CE. Tangens per verticem sit FBG. <lb></lb>Demittatur ex F,concursu tangentium AF, GF, recta FI, </s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg127"></arrow.to.target><lb></lb>diametro parallela; eritque <lb></lb> <arrow.to.target n="fig103"></arrow.to.target><lb></lb>FI, diameter parabolae AIB. <lb></lb>Ducatur denique LM, tan<lb></lb>gens semiparabolam AIB <lb></lb>per verticem I. Dico trian<lb></lb>gulum FEG, sub tangenti<lb></lb>bus compraehensum, octu<lb></lb>plum esse trianguli LFM, <lb></lb>quod nascitur ex ductu <lb></lb>quartae tangentis LM per <lb></lb>verticem I portionis AIB. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg127"></margin.target>per lem. <lb></lb>praeced.</s></p> <figure id="fig103"></figure> <p type="main"> <s>Iungatur AB basis parabolae AIB, eruntque parallelae <lb></lb>AB, LM; et cum sint aequales FL, LA, ob tangentem AF, <lb></lb>erit AF dupla ipsius FL; ideoque triangulum AFB quadru<lb></lb> <arrow.to.target n="marg128"></arrow.to.target><lb></lb>plum trianguli sibi slmilis LFM. Ergò etiàm FBE quadru<lb></lb> <arrow.to.target n="marg129"></arrow.to.target><lb></lb>plum trianguli LFM (sunt enim per lem. primum aequales <lb></lb>bases AF, FE) Propterea totum triangulum FEG octuplum <lb></lb>erit trianguli LFM. Quod erat ostendendum etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg128"></margin.target>per 32, <lb></lb>1. Cor.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg129"></margin.target>per lem. <lb></lb>primum.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollarium Primum.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Ergò triangulum FEG, factum à primis tribus tangen<lb></lb>tibus, octuplum ostendetur eodem modo etiam trianguli <lb></lb>NGP. et propterea semper quadruplum erit duorum simul <pb pagenum="104"></pb>triangulorum LFM, NGP; quae post ipsum (ductà utrinque <lb></lb>alia tangente) oriuntur. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollarium secundum.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Manifestum etiam est triangulum FEG sub tangentibus <lb></lb>contentum, auferre plusquàm dimidium ex trilineo mixto <lb></lb>ABCE: siquidem triangulum FEG, dimidium est duorum <lb></lb>simul triangulorum EBA, EBC. Ergo erit plusquàm dimi<lb></lb>dium trilinei mixti ABCE. </s></p> <p type="main"> <s>Hinc sequitur quòd possibile sit intrà figuram mixtam <lb></lb> <arrow.to.target n="marg130"></arrow.to.target><lb></lb>ABCGF. figuram rectilineam inscribere per continuum du<lb></lb>ctum tangentium; quae quidem figura inscripta deficiat à <lb></lb>figura mixta, defectu minori quàm sit quaelibet data ma<lb></lb>gnitudo. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg130"></margin.target>per primam <lb></lb>decimi.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma IV.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Si parabola duas tangentes habuerit ad basim: deinde per vertices <lb></lb>factarum portionum aliae tangentes ex ordine ducantur; et hoc fiat <lb></lb>quotiescunque libuerit; figura a tangentibus circumsepta, si ex vertice <lb></lb>parabolae suspendatur (posità diametro ad horizontem perpendiculari) <lb></lb>aequiponderabit.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <figure></figure> <p type="main"> <s>Esto parabola A <lb></lb>BC, cuius diameter <lb></lb>BD, et duae tangen<lb></lb>tes ad basim sint AE, <lb></lb>CE; per verticem <lb></lb>verò B tangens sit <lb></lb>FBG. Deinde, demis<lb></lb>sis (ut in praecedenti <lb></lb>lemmate) diametris <lb></lb>FH, GI, per vertices <lb></lb>portionum AHB, BI <lb></lb>C, tangentes ducan<lb></lb>tur LM, NO. </s></p> <p type="main"> <s>Iterumque per vertices reliquarum quatuor portionum <lb></lb>tangentes ducantur PQ, RS, TU, XZ; et sic semper donec <lb></lb>lituerit; Dico figuram; sive potiùs duas figuras rectilineas <pb pagenum="105"></pb>a tangentibus PQRSFP, TUXZGT; circumseptas, ex pun<lb></lb>cto B aequiponderare: statuta priùs diametro BD ad ho<lb></lb>rizontem perpendiculari. </s></p> <p type="main"> <s>Ponatur itaque BD diameter parabolae ad horizontem <lb></lb>perpendicularis; et rectam FG, (quamcunque inclinationem <lb></lb>sortiatur) concipiamus esse libram, cuius fulcrum sit in B. </s></p> <p type="main"> <s>Quoniam igitur applicata AB bifariam secatur à dia<lb></lb>metro FH in puncto Y; suntque AB, LM, parallelae, erit <lb></lb>etiam LM secta bifariam in H; et ideò duorum triangu<lb></lb>lorum LFM, NGO, centra gravitatis sunt in FH, GI; sunt<lb></lb>que FH, GI ad horizontem perpendiculares, ideò appensa <lb></lb>centralitèr erunt dicta triangula ad libram FG. ex punctis <lb></lb>F et G. Aequiponderabuntque ex distantijs aequalibus <lb></lb>BF, BG. Cum ipsa quoque triangula sint aequalia; nempe <lb></lb> <arrow.to.target n="marg131"></arrow.to.target><lb></lb>sub octupla eiusdem trianguli F e G. Eadem prorsus ra<lb></lb>tione posità librà LM, duo triangula PLQ, RMS appensa <lb></lb>erunt ex punctis et M; aequiponderabuntque ex puncto H, <lb></lb>et ideo appensa erunt ex puncto F. (quandoquidem filum <lb></lb>suspensionis FH perpendiculare est ad horizontem). Duo <lb></lb>verò triangula TNU, XOZ, praedictis aequalia (cum sint <lb></lb>singula suboctupla aequalium LFM, NGO.) ponderabunt <lb></lb> <arrow.to.target n="marg132"></arrow.to.target><lb></lb>simul ambo ex puncto G. Ergo quatuor simul praedicta <lb></lb>triangula aequiponderabunt ex puncto B, nempe medio <lb></lb>totius librae FG: Eodem modo concludemus reliqua trian<lb></lb>gula, quotcunque sint, ex puncto B aequiponderare. </s><s>Uni<lb></lb>versa ergo figura à tangentibus circumsepta ex puncto B <lb></lb>aequiponderabit. </s><s>Quod etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg131"></margin.target>Lem. 3.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg132"></margin.target>Lem. 3.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollarium I.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Hinc pro corollario animadvertemus centrum gravitatis <lb></lb>praedictae figurae, à tangentibus compraehensae, esse in <lb></lb>diametro parabolae. </s></p> <p type="main"> <s>Cum enim figura praedicta aequiponderet ex puncto B, <lb></lb>erit centrum gravitatis illius in linea quae ex puncto B du<lb></lb>citur perpendicularis ad horizontem; quapropter erit in <lb></lb>BD diametro parabolae. </s></p> <pb pagenum="106"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollarium II.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Colligemus etiam centrum gravitatis omnium trilineo<lb></lb>rum mixtorum, quae sub linea parabolica ABC, et sub <lb></lb>omnibus tangentibus APQRSTUXZC, compraehenduntur, <lb></lb>semper in diametro parabolae existere. </s><s>Patebit autem hoc <lb></lb> <arrow.to.target n="marg133"></arrow.to.target><lb></lb>modo. </s><s>Centrum trapetij AFGC, est in diametro; centrum <lb></lb>etiam parabolae est in diametro; ergò centrum reliquae <lb></lb> <arrow.to.target n="marg134"></arrow.to.target><lb></lb>figurae mixtae erit in diametro. </s><s>Si ergo centrum huiu<lb></lb>smodi figurae est in diametro, centrum etiam figurae à <lb></lb> <arrow.to.target n="marg135"></arrow.to.target><lb></lb>tangentibus circumseptae demonstratum est esse in dia<lb></lb>metro; propterea centrum omnium simul trilineorum, quae <lb></lb>continentur sub tangentibus et linea parabolica, erit in <lb></lb>diametro per 8. prim. Aequipond. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg133"></margin.target>15 primi ae<lb></lb>quiponder.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg134"></margin.target>4 secundi <lb></lb>eiusd.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg135"></margin.target>8 primi <lb></lb>eiusd.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma V.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Si parabola duas tangentes habuerit alteram per verticem, alteram <lb></lb>verò ad basim, et ex altera parte basis habeat parallelam diametro; <lb></lb>figura snb tribus praedictis rectis lineis, et curvà parabolicà comprae<lb></lb>hensa, aequiponderabit ex puncto tangentis verticalis, in quo ea sic <lb></lb>dividitur, ut per ad reliquam tangentem terminata, dupla sit illius <lb></lb>quae ad parallelam diametro terminatur.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <figure></figure> <p type="main"> <s>Esto parabola A <lb></lb>BC, cuius tangens ad <lb></lb>basim sit CD; per <lb></lb>verticem verò FBG; <lb></lb>et AG sit parallela <lb></lb>diametro. </s><s>Secetur de<lb></lb>inde FG in E, ita ut <lb></lb>FE dupla sit reliquae <lb></lb>EG. Dico figuram <lb></lb>ABCFG (statutà dia<lb></lb>metro ad horiz. </s><s>per<lb></lb>pendiculari) aequin<lb></lb>derare ex puncto C. <lb></lb>Concipiamus enim <lb></lb>diametr. </s><s>parabolae esse horizonti perpendicularem (hoc <pb pagenum="107"></pb>autem modo semper intelligendum est) quamcunque tan<lb></lb>dem inclinationem sortiatur libra GF. Et ducta tangente <lb></lb>AD (quae omnino transibit per E, ut infrà ostendemus) in<lb></lb>telligatur GF. libram esse, cuius fulcrum est E; ex qua <lb></lb>pendent ab una parte triangulum AGE; ab alterà verò, <lb></lb>figura mixta ABCFE. Quae quidem figurae si inter se non <lb></lb>aequiponderant, ponamus alteram ipsarum praeponderare. </s><s><lb></lb>Esto igitur; et praeponderet ABCFE, tanto excessu quan<lb></lb>tum est spatium K. </s></p> <p type="main"> <s>Inscribatur intrà ipsam alia figura à tangentibus <lb></lb>HILMNOPQFEH, terminata, ita ut reliquae portiunculae <lb></lb>sub dictis tangentibus et curva parabolica contentae, si<lb></lb>mul minores sint spatio K (quod fieri posse constat ex <lb></lb>Corollario secundo Lemmatis Tertij). Praeponderabit igitur <lb></lb>adhuc figura sub tangentibus compraehensa; quandoqui<lb></lb>dem pars ablata minor est excessu K, et in eodem pun<lb></lb>cto B ponderat simul cum tota magnitudine; tam enim <lb></lb>ablatae, quàm totius, centrum gravitatis est in diametro, <lb></lb>ut ostendimus ad Corollarium Secundum Lemmatis Quarti. </s></p> <p type="main"> <s>Accipiatur iàm GR quarta pars totius GA; ducaturque <lb></lb>ER. Sumatur etiam CL dupla reliquae LG; et ex pun<lb></lb>cto L centralitèr suspensum erit quodlibet triangulum ha<lb></lb> <arrow.to.target n="marg136"></arrow.to.target><lb></lb>bens verticem in E puncto, et basim in recta GA, quae <lb></lb>ad horizontem recta ponitur. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg136"></margin.target>Vide <lb></lb>Archim. </s><s>De <lb></lb>Quadratura <lb></lb>Parab. </s><s>Pro<lb></lb>pos. 6. 8. 10 <lb></lb>et 12.</s></p> <p type="main"> <s>Iam sic: duo triangula ZEX, UFT, ad triangulum EDF <lb></lb>sunt ut duo ad 8, et ad triangul. </s><s>EBD ut 2. ad 4. et ad <lb></lb>aequale AGE. ut 2. ad 4. ergò ad triangulum ARE. erunt <lb></lb> <arrow.to.target n="marg137"></arrow.to.target><lb></lb>ut 2 ad 3, nempe ut LE ad EG, hoc est ut LE ad EB <lb></lb>reciprocè. </s><s>Quare in libra LB duo praedicta triangula ZEX, <lb></lb> <arrow.to.target n="marg138"></arrow.to.target><lb></lb>UFT aequiponderant triangulo ARE ex puncto E. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg137"></margin.target>per Corol. <lb></lb>prim.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg138"></margin.target>Lem. 3.</s></p> <p type="main"> <s>Sumatur iterum GS quarta pars totius GR, et iunga<lb></lb>tur ES. Cum ergo GRE sit quarta pars ipsius GAE, vel <lb></lb>ipsius EDB, erit GRE octava pars totius EDF. Quapro<lb></lb>pter aequale erit GRE, alterutro ipsorum ZEX, UFT. Sed <lb></lb>quoniam HZI est octava pars ipsius ZEX, erunt quatuor <lb></lb>simul triangula HZI, LXM, NUO, <expan abbr="PTq.">PTque</expan> (quoniam aequalia <lb></lb>sunt inter se) ad triangulum ZEX ut 4. ad 8; sive ut 2. <lb></lb> <arrow.to.target n="marg139"></arrow.to.target><lb></lb>ad 4: et propterea etiam ad triangulum GRE, erunt ut <lb></lb>2. ad 4; ad ipsum verò SRE erunt ut 2. ad 3, nempe LE <pb pagenum="108"></pb>ad EB. Aequiponderant igitur ex puncto E hinc triangu<lb></lb>lum SRE, et inde quatuor praedicta triangula HZI, LXM, <lb></lb>NUO, <expan abbr="PTq.">PTque</expan> Eodem prorsus modo, si sub quatuor his <lb></lb>triang. </s><s>alia fuerint in residuis portiunculis triang. </s><s>ex or<lb></lb>dine descripta, ostendentur aequiponderare ex eodem pun<lb></lb>cto E, cum quodam triang. </s><s>cuius vertex sit E, basis vero <lb></lb>contineat 3. quar. </s><s>ipsius GS etc. </s><s>Sed in nostro casu, cum <lb></lb>demonstratum sit prima duo triangula ZEX, UFT, aequi<lb></lb>ponderare triangulo ARE. Reliqua item quatuor triangula, <lb></lb>quorum unum est HZI. aequiponderare triangulo SRE; <lb></lb>Aequiponderabit tota simul figura ex praedictis triangulis <lb></lb>composita, triangulo AES, ex puncto E. Sed demonstra<lb></lb>tum fuit, eandem figuram praeponderare triangulo AEG; <lb></lb>necesse igitur est ut triangulum AEG minus sit trian<lb></lb>gulo AES; totum sua parte; Quod est impossibile. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg139"></margin.target>Ex <lb></lb>lemmate 3.</s></p> <p type="main"> <s>Si vero ponamus praeponderare triangulum AEG figu<lb></lb>rae ABCFE. Esto; et sit excessus, quo praeponderat, spa<lb></lb>tium K. Accipiatnr GRE quarta pars trianguli AGE: et <lb></lb>iterum accipiatur GSE, quarta pars trianguli GRE; et hoc <lb></lb> <arrow.to.target n="marg140"></arrow.to.target><lb></lb>semper fiat, donec veniatur ad aliquod triangulum GSE, <lb></lb>quod minus sit spatio K. Tunc enim triangulum ASE <lb></lb>adhuc praeponderabit figurae ABCFE. Sed eodem modo, <lb></lb>ut super demonstrabimus triangulum ipsum ASE aequi<lb></lb>ponderare alicui figurae rectilineae inscriptae intra figu<lb></lb>ram mixtam ABCFE. Necesse ergo iterum erit ut inscripta <lb></lb>figura rectilinea maior sit quàm figura mixta ABCFE, cui <lb></lb>ipsa inscribitur; pars suo toto. </s><s>Quod est absurdum etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg140"></margin.target>possibile est <lb></lb>per 1, De<lb></lb>cimi.</s></p> <p type="main"> <s>Aequiponderat ergo ex puncto E universa figura AB <lb></lb>CFG, quae sub curva parabolica, duabusqne tangentibus, <lb></lb>et linea ipsi diametro parallela continetur. </s><s>Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s>Quod assumptum est ita ostendemus: Nempe tangentem <lb></lb>AD transire per punctum E: hoc est, ita secare rectam <lb></lb>FG, ut pars FE, dupla sit reliquae EG. Secet enim AD <lb></lb>tangens rectam FG utcunque in E. Iam; cum parallelae <lb></lb>sint AG, BD, et aequales AE, ED; erunt aequales etiam <lb></lb>GE, EB, Sed aequales sunt FB, BE, ergo FE dupla est <lb></lb>ipsius EG. Ideo AD transit per illud E punctum, quod <lb></lb>ab initio dixeramus. </s></p> <pb pagenum="109"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO PRIMA<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Quaelibet parabola sesquitertia est trianguli eandem ipsi basim, et <lb></lb>eandem altitudinem habentis. </s></p> <p type="main"> <s>Esto parabola ABC, cuius dia<lb></lb> <arrow.to.target n="fig104"></arrow.to.target><lb></lb>meter BD, iungaturque AB, BC, Dico <lb></lb>parabolam sesquitertiam esse trian<lb></lb>guli ABC, eandem cum ipsa basim, <lb></lb>et eandem altitudinem habentis, Du<lb></lb>cantur tangentes AE, CF, ad ba<lb></lb>sim: FH verò per verticem B; et AH sit ipsi diametro parallela. </s><s><lb></lb>concipiamusque parabolae diametrum erectam esse ad horizontem. </s><s><lb></lb>Iam secta HE in I, ita ut EI dupla sit ipsius IH, erit triangulum <lb></lb>HAE centralitèr appensum ad punctum I (habet enim centrum gra<lb></lb>vitatis in recta quae ex I ducitur parallela ad HA, et propterea ad <lb></lb>horizontem perpendiculari). Erit insuper figura mixta ABCFE centra<lb></lb> <arrow.to.target n="marg141"></arrow.to.target><lb></lb>liter appensa ad punctum B. (quandoquidem habet centrum gravitatis <lb></lb>in diametro BD ad horizontem perpendiculari). Sed universa magni<lb></lb> <arrow.to.target n="marg142"></arrow.to.target><lb></lb>tudo, composita ex dicto triangulo HAE, dictaque figura mixta, aequi<lb></lb> <arrow.to.target n="marg143"></arrow.to.target><lb></lb>ponderat ex puncto E; erit ergo triangulum HAE ad figuram mixtam <lb></lb>ABCFE, ut reciprocè BE ad EI, nempe ut 3. ad 2. Propterca trapezium <lb></lb>AEFC sextuplum dicti trianguli, erit ad figuram mixtam ABCFE, ut <lb></lb> <arrow.to.target n="marg144"></arrow.to.target><lb></lb>18. ad 2. et per conversionem rationis, ad parabolam erit ut 18, ad 16. <lb></lb>Qualium ergo partium parabula est 16, earum trapezium AEFC est 18. <lb></lb>et triangulum ABC 12. Quare parabola ad triangulum ABC erit ut 16, <lb></lb> <arrow.to.target n="marg145"></arrow.to.target><lb></lb>ad 12 nempe sesquitertia. </s><s>Quod erat ostendendum.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg141"></margin.target>Vide <lb></lb>Coroll, 1.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg142"></margin.target>Lemmat. 4.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg143"></margin.target>Lemm. </s><s><lb></lb>praeced.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg144"></margin.target>ostendetur <lb></lb>inf.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg145"></margin.target>ostenditur <lb></lb>inf.</s></p> <figure id="fig104"></figure> <p type="main"> <s>Quod trapezium AEFC sextuplum sit trianguli HAE, <lb></lb>patet. </s><s>Nam parallelogrammum HD, duplum est trianguli <lb></lb>HAB et propterea quadruplum trianguli HAE. ergò tra<lb></lb>pezium AEBD triplum erit trianguli HAE. totum verò <lb></lb>trapezium AEFC. sextuplum dicti trianguli HAE. Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s>Cum autem trapezium AEFC sextuplum sit trianguli <lb></lb>HAE, erit sextuplum etiam trianguli EAB; et ideo tri<lb></lb>plum duorum EAB, BCF, Nempe ut 18. nd 6. Per con<lb></lb>versionem verò rationis, erit ad triangulum ABC ut 18. <lb></lb>ad 12. Quod etc. </s></p> <pb pagenum="110"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma VI.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Si duae parabolae utraqne duas tangentes ad basim habuerit; erunt <lb></lb>inter se trilinea mixta sub tangentibus, et curvis parabolicis contenta, <lb></lb>ut sunt ipsa triangula sub tangentibus compraehensa.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Sint duae parabolae ABC, DEF. quarum utraqne duas <lb></lb>tangentes ad basim habeat AG, GC prioris, et DH, FH, <lb></lb>posterioris parabolae. </s><s>Dico trilineum mixtum ABCG, ad <lb></lb> <arrow.to.target n="fig105"></arrow.to.target><lb></lb>trilineum mixtum DEFH, esse ut triangulum AGC, ad <lb></lb>triangulum DHF. </s></p> <figure id="fig105"></figure> <p type="main"> <s>Si enim non est ita: habebit alterum ex trilineis, puta <lb></lb>ABCG, ad reliquum, maiorem rationem quàm triangulum <lb></lb>AGC, ad DHF. Esto spatium K excessus, quo trilineum <lb></lb>ABCG, maius est quàm ut sit in ratione triangulorum. </s></p> <p type="main"> <s>Ducatur per verticem B tangens IL; demissisque ex <lb></lb> <arrow.to.target n="marg146"></arrow.to.target><lb></lb>punctis I, et L lineis diametro parallelis (quae diametri <lb></lb>semiparabolarum erunt) ducantur tangentes OM, NP: et <lb></lb>ex punctis O; M; N, P, demittantur aliae diametri ut <lb></lb>supra; ducanturque aliae tangentes: et hoc semper fiat, <lb></lb>quousque reliquae simul omnes portiunculae, quae sub <lb></lb>tangentibus, et curva parabolica continentur; minores sint <lb></lb> <arrow.to.target n="marg147"></arrow.to.target><lb></lb>spatio K. Tunc. </s><s>N. universa figura tangentibus circum<lb></lb> <arrow.to.target n="marg148"></arrow.to.target><lb></lb>septa, et in trilineo mixto ABCG inscripta, habebit adhuc <lb></lb>ad trilineum DEFH, rationem maiorem, quam triang. </s><s>AGC, <lb></lb>ad triang. </s><s>DHF. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg146"></margin.target>Lem. 2.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg147"></margin.target>Coroll I.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg148"></margin.target>Lem. 3.</s></p> <p type="main"> <s>Inscribatur iam etiam in altero trilineo mixto DEFH. <pb pagenum="111"></pb>figurae totidem laterum; ductis nimirùm tangentibus to<lb></lb>ties, quoties ductae fuerint in priori trilineo. </s></p> <p type="main"> <s>Quoniam verò est, ut triangulum IGL ad triangulum <lb></lb>QRH, ita duo simul triangula OIM, NLP, ad duo simul <lb></lb>UQS, TRZ. (sunt enim partes cum pariter multiplicibus in <lb></lb> <arrow.to.target n="marg149"></arrow.to.target><lb></lb>eadem ratione). Et ut duo simul triangula OIM, NLP, ad <lb></lb>duo UQS, TRZ, ita quatuor triangula quae sunt infra <lb></lb>puncta O, M, N, P, ad quatuor illa quae sunt sob pun<lb></lb>ctis U, S, T, Z; ob eandem causam etc. </s><s>Erunt etiam omnia <lb></lb> <arrow.to.target n="marg150"></arrow.to.target><lb></lb>antecedentia simul (nempe figura inscripta in priori trilineo <lb></lb>mixto), ad omnia consequentia simul (nempe ad figuram <lb></lb>inscriptam in posteriori trilineo mixto) ut unum ad unum; <lb></lb>nempe ut IGL, ad QHR. Sive sumptis eorum quadruplis, <lb></lb>ut AGC ad DHF. Sedeadem inscripta figura habebat ad <lb></lb>trilineum DEFH maiorem rationem quam sit trianguli <lb></lb>AGC ad DHF. Minus ergo erit trilineum mixtum DEFH, <lb></lb> <arrow.to.target n="marg151"></arrow.to.target><lb></lb>quam figura sibi in scripta; totum sua parte. </s><s>Quod est <lb></lb>impossibile. </s><s>Trilinea ergo sub tangentibus, et curvà para<lb></lb>bolica compraehensa, sunt inter se ut triangula sub ijsdem <lb></lb>tangentibus et basibus contenta. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg149"></margin.target>25 quinti.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg150"></margin.target>12 quinti.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg151"></margin.target>X quinti</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO II.<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Parabola sesquitertia est trianguli eandem ipsi basim, et eandem <lb></lb>altitudinem habentis. </s></p> <p type="main"> <s>Sit parabola ABC, cuius <lb></lb> <arrow.to.target n="fig106"></arrow.to.target><lb></lb>diameter BD; et sit inscriptum <lb></lb>triangulum ABC. Dico parabo<lb></lb>lam sesquitertiam esse trian<lb></lb>guli ABC. </s></p> <figure id="fig106"></figure> <p type="main"> <s>Ducantur duae tangentes <lb></lb>ad basim, quae sint AE, CE. <lb></lb>et FG tangat per verticem B. <lb></lb>Demissis deinde FI, GH dia<lb></lb>metro parallelis, ut sint dia<lb></lb> <arrow.to.target n="marg152"></arrow.to.target><lb></lb>metri portionum AIB, BHC; <lb></lb>ducantur per I et H tangentes <lb></lb>LM, NO. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg152"></margin.target>2 Lem.</s></p> <p type="main"> <s>Erit ergo per Lemma praecedens, trilineum ABCE, ad trilineum <lb></lb>AIBF, ut est triangulum AEC, ad ABF. sive ad FBE. Idem verò trili<lb></lb>neum ABCE ad aliud trilineum BHCG, erit ut idem triangulum AEC, <pb pagenum="112"></pb>ad triangulnm BGC; hoc est ad BGE, Coniunctim ergo, erit trilineum <lb></lb> <arrow.to.target n="marg153"></arrow.to.target><lb></lb>ABCE ad duo trilinea AIBF, BHCG, ut triangulam AEC ad triangulum <lb></lb>FEG, nempe ut 4, ad unum, et dividendo, erit triangulum FEG ad duo <lb></lb>trilinea AIBF, BHCG, ut 3, ad unum. </s><s>Trapezium autem AFCG, ad eadem <lb></lb>trilinea erit ut 9. ad unum; et per conversionem rationis, ad parabolam <lb></lb>erit ut 9. ad 8. et ad triangulum ABC ut 9. ad 6, Qualium ergò factium <lb></lb>parabola est 8, talium triangulum ABC est 6. Constat ergo parabolam <lb></lb>inscripti sibi trianguli sesquitertiam esse. </s><s>Quod erat etc.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg153"></margin.target>24 quinti</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma VII.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Si in parabola inscribatur triangulum: eandem habens cum parabola <lb></lb>basim, eandemque altitudinem. </s><s>Inscribantur etiam pariter et in reliquis <lb></lb>portionibus duo alia triangula: Erit triangulum primò inscriptum, octu<lb></lb>plum alterutri posteriùs inscripti trianguli.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Demonstratur hoc lemma ab Archimede prop. 21. De <lb></lb>Quadratura parabolae. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma VIII.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Si in parabola evidenter inscribatur figura ex triangulis constans. </s><s><lb></lb>Tam bina ipsius triangula (si prout sibi mutuò respondent ita sumantur) <lb></lb>quàm etiam tota inscripta figura aequiponderabit ex puncto medio <lb></lb>basis ipsius parabolae.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Esto parabola ABC, cuios diameter sit BD; et inscripta <lb></lb>statuatur figura, ita ut diameter ad horizontem sit perpen<lb></lb> <arrow.to.target n="fig107"></arrow.to.target><lb></lb>dicularis. </s><s>Sectà deinde utraque AD, DC bifariam in EF; <lb></lb>iterunque sectis partibus bifariam in G, H, I, L. etc. </s></p> <figure id="fig107"></figure> <p type="main"> <s>Ducantur GM, EN, HO, IP, FQ, LR, etc. </s><s>Parallelae ad <lb></lb>diametrum. </s></p> <p type="main"> <s>Inscribaturque in parabola figura AMNOBPQRC. (quae <lb></lb>dicitur evidentèr inscribi). Dico triangula quae figuram <pb pagenum="113"></pb>inscriptam componunt, si bina, et prout sibi mutuò respon<lb></lb>dent ita sumantur, aequiponderare ex puncto D. Praeterea <lb></lb>universam figuram inscriptam, ex ipsis triangulis compo<lb></lb>sitam, ab eodem puncto D, aequiponderare. </s></p> <p type="main"> <s>Sumantur enim duo triangula sibi mutuo respondentia, <lb></lb>puta NOB, BPQ, quae inter se aequalia erunt; cum trian<lb></lb> <arrow.to.target n="marg154"></arrow.to.target><lb></lb>gula ANB, BQC suboctupla. </s><s>sint eiusdem trianguli ABC; <lb></lb>ipsa vero NOB, BPQ, suboctupla sint aequalium triangu<lb></lb>lorum ANB, BQC. Habebunt insuper centra gravitatis in <lb></lb>rectis OS, PT, quae quidem ab angulis O, P, ducuntur ad <lb></lb> <arrow.to.target n="marg155"></arrow.to.target><lb></lb>puncta media basium, NB, BQ, Cum verò OSH, PTI, rcctae <lb></lb>ad horizontem positae sint perpendiculares, erunt praedicta <lb></lb>triangula NOB, BPQ, centralitèr appensa ex punctis H, <lb></lb> <arrow.to.target n="marg156"></arrow.to.target><lb></lb>et I. Quamòbrem ab aequalibus distantijs HD, DI, aequi<lb></lb> <arrow.to.target n="marg157"></arrow.to.target><lb></lb>ponderabunt. </s><s>Et sic de reliquis figurae triangulis. </s><s>Quod <lb></lb>erat primò propositum. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg154"></margin.target>Lem. 7.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg155"></margin.target>13 primi ae<lb></lb>quiponder.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg156"></margin.target>4. secundi <lb></lb>eiusd.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg157"></margin.target>8. primi <lb></lb>eiusd.</s></p> <p type="main"> <s>Figura autem universa evidentèr inscripta componitur <lb></lb>ex partibus aequiponderantibus à puncto D; quarè etiam <lb></lb>ipsa ex D puncto aequiponderabit. </s><s>Quod erat ostenden<lb></lb>dum, etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma IX.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Positis ijsdem. </s><s>Si à parabola dematur universa figura evidentêr in<lb></lb>scripta, etiàm omnia segmenta parabolica, quae circumrelinquuntur, <lb></lb>ex puncto D. aequiponderabunt.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Repetita enim eadem figura demonstratum est figuram <lb></lb>inscriptam aequiponderare ex puncto D. Ergo figura in<lb></lb>scripta centrum gravitatis habet in perpendiculo horizon<lb></lb>tali DB. (per 4. suppositionem) sed etiam parabola cen<lb></lb>trum gravitatis habet in diametro DB, (per 4. secundi <lb></lb>aequiponderantium) ergo centrum omnium reliquorum se<lb></lb>gmentorum erit in diametro DB. Quare ex puncto D. <lb></lb>aequiponderabunt. </s><s>per 3. suppositionem. </s><s>Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollarium;<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Constat etiam eodem prorsus argumento, reliquum figu<lb></lb>rae evidentèr inscriptae, detracto priùs triangulo ABC, <pb pagenum="114"></pb>aequiponderare ex puncto D. Item reliquum parabolae, <lb></lb>dempto triangulo ABC, aequiponderare ex D. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma X.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Si ex parabola auferatur dimidium trianguli inscripti, tota reliqua <lb></lb>figura mixta aequiponderabit ex puncto basis reliqui trianguli, in quo <lb></lb>sic ea dividitur, ut pars ad curvam terminata quadrupla sit illius, quae <lb></lb>terminatur ad diametrum;<gap desc="/SM"></gap></s></p> <figure></figure> <p type="main"> <s>Esto parabola <lb></lb>ABC inversa; eius<lb></lb>que diameter BD <lb></lb>ita statuatur ut <lb></lb>ad horizontem sit <lb></lb>perpendicularis; <lb></lb>Detractoque semi<lb></lb>triangulo inscripto <lb></lb>DBC; secetur AD <lb></lb>basis reliqui semitrianguli, in quinque partes aequales; <lb></lb>quarum una sit DE. Dico huiusmodi figuram ex puncto E <lb></lb>suspensam, aequiponderare. </s></p> <p type="main"> <s>Nisi enim aequiponderet; cum recta AD sit libra, cuius <lb></lb>fulcrum est in E, et magnitudo AFBGC, constans ex dua<lb></lb> <arrow.to.target n="marg158"></arrow.to.target><lb></lb>bus portionibus parabolicis, appensa sit ad punctum D, <lb></lb>secundum centrum gravitatis ipsius: Reliquum autem <lb></lb>triangulum ABD altera magnitudo appensa sit ad pun<lb></lb>ctum H (sumpta DH tertia parte totius DA); Altera ex <lb></lb>his duabus magnitudinibus praeponderare necesse erit. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg158"></margin.target>Coroll. <lb></lb>Lem. 9.</s></p> <p type="main"> <s>Ponamus primò praeponderare duas portiones AFB, <lb></lb>BGC; et sit excessus quo praeponderant aequalis spatio K. </s></p> <p type="main"> <s>Inscribatur evidentèr intrà duas portiones parabolicas <lb></lb>figura multilatera, ita ut omnia simul segmenta parabolica <lb></lb>circumrelicta minora sint spatio K. Tunc enim praeponde<lb></lb>rabit adhuc figura inscripta multilatera AIFLBMGNCBA. </s></p> <p type="main"> <s>Accipiatur DO quarta pars totius DB; et ductà AO, <lb></lb>non solum triangulum ABO, aequiponderabit sibi ipsi ex <lb></lb>puncto H; sed etiam quodcumque aliud triangulum ha<lb></lb>bens verticem in A et basim in recta DB, sibi ipsi aequi<lb></lb>ponderabit ex puncto eodem H. </s></p> <pb pagenum="115"></pb> <p type="main"> <s>Iam sic: Qualium partium AD est 15, DH est 5 et DE <lb></lb>est 3. Ergo DE ad EH erit ut 3. ad 2. Cum autem demon<lb></lb> <arrow.to.target n="marg159"></arrow.to.target><lb></lb>stratum sit duo triangula AFB, BGC, aequiponderare ex <lb></lb>puncto D; triangulum verò BOA, ex puncto H; et cum <lb></lb>duo praedicta triangula sint ad totum triangulum ABD <lb></lb>ut duo ad 4.; erunt eadem ad triangulum ABO, ut 2. ad 3.; <lb></lb> <arrow.to.target n="marg160"></arrow.to.target><lb></lb>nempe ut HE ad ED reciprocè. </s><s>Quamobrem duo illa trian<lb></lb>gula AFB, HGC, cum triangulo ABO, aequiponderabunt <lb></lb> <arrow.to.target n="marg161"></arrow.to.target><lb></lb>suspensa ex puncto E. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg159"></margin.target>Lem. 2</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg160"></margin.target>ex Lem. 7.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg161"></margin.target>6. Aequi<lb></lb>pond.</s></p> <p type="main"> <s>Sumatur deinde DP quarta pars ipsius DO; ducaturque <lb></lb>AP. Iam; quia duo triangula FLB, BMG aequiponderant <lb></lb>ex D itemque duo AIF, GNC, aequiponderant ab eodem <lb></lb> <arrow.to.target n="marg162"></arrow.to.target><lb></lb>puncto D; omnia simul praedicta quatuor triangula aequi<lb></lb>ponderabunt ex puncto D; Quatuor autem praedicta trian<lb></lb>gula ad triangulum AFB sunt ut duo ad 4. Sunt autem <lb></lb>AFB, AOD, subquadrupla eiusdem trianguli ABD, et pro<lb></lb> <arrow.to.target n="marg163"></arrow.to.target><lb></lb>pterea ad triangulum AOP, erunt ut 2. ad 3. nempe ut <lb></lb>HE ad ED, reciprocè. </s><s>Aequiponderant ergo quatuor illa <lb></lb> <arrow.to.target n="marg164"></arrow.to.target><lb></lb>triangula cum triangulo AOP, ex puncto E. Ergo universa <lb></lb>simul figura evidenter inscripta AIFIB MGNCBA aequi<lb></lb>ponderat triangulo ABP. Sed eadem praeponderabat trian<lb></lb>gulo ABD, Minus ergò est triangulum ABD quam triangu<lb></lb>lum ABP. totum sua parte: quod est impossibile. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg162"></margin.target>Lem. 8.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg163"></margin.target>ex Lem. 7.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg164"></margin.target>6. Aequi<lb></lb>pond.</s></p> <p type="main"> <s>Ponamus deinde praeponderare triangulum ABD; et <lb></lb>sit excessus quo praeponderat aequalis spatio K. </s></p> <p type="main"> <s>Accipiatur AOD quarta pars totius trianguli ABD; <lb></lb>iterumque sumatur APD quarta pars trianguli AOD; et <lb></lb>hoc semper fiat donec veniatur ad aliquod triangulum, <lb></lb>puta APD, quod minus sit spatio K. Tunc enim reliquum <lb></lb>ABP adhuc praeponderabit duabus portionibus parabolicis <lb></lb>AFB, BGC. Sed idem triangulum ostendetur (eodem pror<lb></lb>sus modo ut supra) aequiponderare alicui figurae intrà <lb></lb>parabolicas portiones inscriptae; necesse igitur erit quòd <lb></lb>portiones parabolicae minores sint quàm figura illa sibi <lb></lb>inscripta; totum sua parte. </s><s>Quod est impossibile. </s><s>Aequi<lb></lb>ponderant ergo parabola inversa (dempto semitriangulo <lb></lb>inscripto) ex puncto quod dictum est, Quod erat osten<lb></lb>dend. </s><s>etc. </s></p> <pb pagenum="116"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollarium.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Hinc inferre possumus, quòd si ex puncto E, recta <lb></lb>ducetur diametro aequidistans, centrum praedictae figurae <lb></lb>erit in producta. </s><s>Siquidem figura ex puncto E aequipon<lb></lb>derat, et linea ex E ducta aequidistans diametro, est ad <lb></lb>horizontem perpendicularis. </s><s>Posset etiam demonstrari, nisi <lb></lb>extrà rem esset, centrum praedictae figurae dictam paral<lb></lb>lelam ita secare, ut pars quae terminatur ad curvam sit <lb></lb>ad reliquam ut 11 ad 12. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO III.<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Parabola sesquitertia est trianguli eandem sibi basim, et eandem <lb></lb>altitudinem habentis. </s></p> <p type="main"> <s>Esto parabola ABC, ex qua demptum <lb></lb> <arrow.to.target n="fig108"></arrow.to.target><lb></lb>sit dimidium trianguli inscripti: Sum<lb></lb>ptaque DH, quae sit tertia pars totius <lb></lb>DA et DE quinta pars eiusdem; si pa <lb></lb>rabola huiusmodi statuatur inversa, ita <lb></lb>ut diameter sit horizonti perpendicu<lb></lb> <arrow.to.target n="marg165"></arrow.to.target><lb></lb>laris, aequiponderabit figura ex puncto <lb></lb>E, Sed triangulum ABD appensum est <lb></lb>secundum centrum gravitatis ad punctum H librae HD. Duae autem <lb></lb>parabolicae portiones residuae appensae sunt secundum centrum gra<lb></lb>vitatis ad punctum D; Ergo triangulum ABD, ad duas reliquas por<lb></lb>tiones erit ut DE ad EH, reciprocè, nempe ut 3. ad 2: Sumptis <lb></lb>autem antecedentium duplis erit totum inscriptum triangulum ad reli<lb></lb>quas portiones ut 6. ad 2. Convertendo igitur, et componendo, erit <lb></lb>ipsa parabola ad inscriptum sibi triangulum ut 8, ad 6 Nempe sexqui<lb></lb>tertia. </s><s>Quod etc.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg165"></margin.target>praeced. </s><s><lb></lb>Lem.</s></p> <figure id="fig108"></figure> <p type="main"> <s>Libet hic demonstrare Lemma Lucae Valerij, nostro <lb></lb>tamen modo, diversisque penitùs Mechanicae principijs. </s><s><lb></lb>Ipse enim utitur propositione illa, quà ante demonstra<lb></lb>verat centrum gravitatis hemispherij. </s><s>Nos autem simili <lb></lb>ratione, ac in praecedentibus, demonstrabimus et Lemma, <lb></lb>et ipsam Valerij conclusionem. </s></p> <pb pagenum="117"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma XI.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Omnis semiparabola aequiponderat ex puncto basis, in quo sic ea divi<lb></lb>ditur ut pars ad curvam terminata sit ad reliquam ut quinque ad tria:<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Esto semiparabola ABC, cuius <lb></lb> <arrow.to.target n="fig109"></arrow.to.target><lb></lb>diameter AB statuatur ad horizon<lb></lb>tem perpendicularis: Sectà deinde <lb></lb>AC in F, ita ut CF ad FA, sit <lb></lb>ut 5. ad 3. velut 15. ad 9. Dico <lb></lb>figuram ex puncto F suspensam <lb></lb>aequiponderare. </s></p> <figure id="fig109"></figure> <p type="main"> <s>Secetur iterùm AC bifariàm <lb></lb>in D, et demissà DE parallela <lb></lb>diametro, erit ipsa DE diameter <lb></lb>parabolae BEC. Sumatur iam AI tertia pars totius AC. <lb></lb>Qualium igitur partium AC est 24. talium AD est 12. <lb></lb>AF 9. et AI 8, Ergo DF tres, et FI una. </s><s>Iam si figura <lb></lb>non aequiponderat ex puncto F; Cum ID sit libra quae<lb></lb>dam cuius fulcrum est F, et ad punctum I appensum sit <lb></lb> <arrow.to.target n="marg166"></arrow.to.target><lb></lb>triangulum ABC; ex puncto verò D appensa sit parabola <lb></lb>BEC; altera ex his figuris praeponderabit. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg166"></margin.target>ex supp. </s><s><lb></lb>quinta.</s></p> <p type="main"> <s>Ponamus primò praeponderare parabolam BEC, sit ex<lb></lb>cessus quo praeponderat aequalis spatio K. </s></p> <p type="main"> <s>Inscribatur evidentèr intra parabolam BEC figura re<lb></lb>ctilinea, ita ut omnes simul residuae portiunculae quibus <lb></lb>parabola excedit inscriptam sibi figuram, minores sint <lb></lb>spatio K. Manifestum est, quod inscriptà evidentèr figura <lb></lb>adhuc praeponderabit triangulo ABC. </s></p> <p type="main"> <s>Accipiatur AHC quarta pars totius trianguli ABC. </s></p> <p type="main"> <s>Cum autem DE sit ad horizontem perpendicularis, et <lb></lb> <arrow.to.target n="marg167"></arrow.to.target><lb></lb>triangulum BEC habeat centrum gravitatis in recta GE; <lb></lb>erit dlctum triangulum appensum ad D. Triangulum verò <lb></lb>BHC appensum ad punctum I; quandoquidem AI tertia <lb></lb>pars est totius AC, ipsa vero AB perpendicularis ad hori<lb></lb>zontem constituta est, Quoniàm autem BEC ad ABC est <lb></lb>ut unum ad 4., erit idem BEC ad HBC ut unum ad 3. <lb></lb> <arrow.to.target n="marg168"></arrow.to.target><lb></lb>nempe reciprocè ut IF ad FD, Aequiponderant ergo ex <lb></lb>puncto F, triangula BEC et HBC. </s></p> <pb pagenum="118"></pb> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg167"></margin.target>13 primi ae<lb></lb>quipond.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg168"></margin.target>Lem. 7.</s></p> <p type="main"> <s>Sumatur iterum ALC quarta pars trianguli AHC; Et <lb></lb>quoniam duo triangula BME, ENC aequiponderant ex G <lb></lb> <arrow.to.target n="marg169"></arrow.to.target><lb></lb>(uti demonstratum est) aequiponderabunt etiam suspensa <lb></lb>ex D. Cum autèm duo dicta triangula BMC, ENC, sint ad <lb></lb> <arrow.to.target n="marg170"></arrow.to.target><lb></lb>triangulum BEC, sive ad ipsi aequale AHC, ut unum ad 4.; <lb></lb>erunt ad LHC, ut unum ad 3; nempe reciprocè ut IF <lb></lb>ad FD. Aequiponderant ergo ex puncto F. duo triangula <lb></lb>BME, ENC, cum triangulo LHC. Figura ergò universa <lb></lb>evidentèr inscripta intrà parabolam BEC. aequiponderat <lb></lb>ex puncto F. cum triangulo LBC. Sed eadem praeponde<lb></lb>rabat triangulo ABC. Necesse igitur est quòd triangulum <lb></lb>ABC minus sit triangulo LBC. totum sua parte. </s><s>Quod est <lb></lb>absurdum. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg169"></margin.target>Lem. 8.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg170"></margin.target>Lem. 7.</s></p> <p type="main"> <s>Ponamus deinde praeponderare triangulum ABC, et <lb></lb>sit excessus quo praeponderat aequalis spatio K. Sumatur <lb></lb>AHC quarta pars totius trianguli ABC. Iterùm sumatur <lb></lb>ALC quarta pars trianguli AHC, Et hoc semper fiat donec <lb></lb>ventum fuerit ad aliquod triangulum, puta ALC, minus <lb></lb>spatio K. Tunc enim triangulum LBC adhuc praeponde<lb></lb>rabit parabolae BEC. Sed eodem modo, quo supra, demon<lb></lb>strabimus dictum triangulum LBC aequiponderare cuidam <lb></lb>figurae evidentèr inscriptae intrà parabolam BEC. Unde <lb></lb>sequeretur ipsam parabolam BEC minorem esse aliqua <lb></lb>figurà sibi inscriptà; totum videlicet sua parte. </s><s>Quod est <lb></lb>absurdum. </s><s>Aequiponderat ergo semiparabola, uti dictum <lb></lb>est constituta, et ex puncto F suspensa. </s><s>Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollarium.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Hinc patet, quòd (cum semiparabola aequiponderet ex <lb></lb>puncto F.) si ab F demittatur recta ad horizontem per<lb></lb> <arrow.to.target n="marg171"></arrow.to.target><lb></lb>pendicularis, in hac demissà erit centrum gravitatis semi<lb></lb>parabolae; aliàs enim non aequiponderaret ex F. Verùm <lb></lb>quoniam etiam diameter parabolae ad horizontem perpen<lb></lb>dicularis constituta est, concludemus; quòd recta quae ex <lb></lb>puncto F ducitur diametro aequidistans, transit per cen<lb></lb>trum semiparabolae. </s></p> <pb pagenum="119"></pb> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg171"></margin.target>Suppositio 4.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO IV.<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Parabola sesquitertia est trianguli eandem ipsi basim, et eandem <lb></lb>altitudinem habentis. </s></p> <p type="main"> <s>Esto parabola ABC, cuius diameter <lb></lb> <arrow.to.target n="fig110"></arrow.to.target><lb></lb>BD, triangulum verò inscriptum sit ABC, <lb></lb>Dico parabolam dicti trianguli esse ses<lb></lb>quitertiam. </s></p> <figure id="fig110"></figure> <p type="main"> <s>Sumatur, qualium partium tota DC <lb></lb>est 24. talium DE 8.; DF 9; et DG, 12. <lb></lb>Eritque earundem EF una, et FG tres, Ductis verò EH, FI, GL, dia<lb></lb> <arrow.to.target n="marg172"></arrow.to.target><lb></lb>metro parallelis, erit in EH centrum trianguli BDC; in FI centrum <lb></lb>semiparabolae DBMC, et in GL centrum portionis BMC, <lb></lb> <arrow.to.target n="marg173"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg172"></margin.target>13 primi ae<lb></lb>quip.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg173"></margin.target>Lem. <lb></lb>praeced.</s></p> <p type="main"> <s>Ponatur centrum trianguli esse punctum quodcumque H. Item cen<lb></lb>trum semiparabolae esse punctum quodcumque I (quamquàm huius</s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg174"></arrow.to.target><lb></lb>modi puncta extrà ipsas figuras ubicunque libuerit sumantur, tamen <lb></lb>vero semper eodem modo inferemus.) iunctà deinde HI, et productà, in <lb></lb> <arrow.to.target n="marg175"></arrow.to.target><lb></lb>ipsa HI erit centrum portionis parabolicae BMC; quod cum sit etiam <lb></lb>in recta GM producta, necessariò erit in communi concursu L. Para<lb></lb>bola ergò BMC ad triangulum DBC erit reciprocè ut HI ad IL, hoc <lb></lb>est, ut EF ad FG, nempe ut unum ad 3. Componendo ergo, sumptisque <lb></lb>duplis, erit tota parabola ad totum triangulum ut 4. ad 3. Nempe <lb></lb>sesquitertia. </s><s>Quod erat propositum etc.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg174"></margin.target>4. sec. </s><s><lb></lb>aequip.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg175"></margin.target>8. primi ae<lb></lb>quip.</s></p> <p type="main"> <s>Poterat haec demonstratio produci etiam hoc modo, <lb></lb>praemisso hoc Lemmate. </s></p> <p type="main"> <s>Si parabola ad extremum basis lineam habuerit dia<lb></lb>metro parallelam, ed diametri quadruplam, ductoque tertio <lb></lb>latere, compleatur triangulum. </s></p> <p type="main"> <s>Universa haec figura aequiponderabit ex puncto tertij <lb></lb>lateris, in quo sic dividitur ut pars ad <lb></lb> <arrow.to.target n="fig111"></arrow.to.target><lb></lb>curvam terminata sit ad reliquam ut <lb></lb>5. ad 3. </s></p> <figure id="fig111"></figure> <p type="main"> <s>Esto parabola ABC, cuius diameter <lb></lb>DB statuatur ad horizontem perpen<lb></lb>dicularis; considereturque ipsa para<lb></lb>bola inversa: Tum ad alterutrum basis <lb></lb>AC estremum, puta ad punctum A, <lb></lb>adiungatur recta AE, diametro aequi<lb></lb>distans, et ipsius diametri quadrupla. </s><s><lb></lb>Ducto deinde tertio latere EC trian<lb></lb>guli EAC, secetur in F, ita ut CF. ad FE sit ut 5. ad 3. <pb pagenum="120"></pb> <arrow.to.target n="marg176"></arrow.to.target><lb></lb>Dico huiusmodi figuram ex puncto F aequiponderare. </s><s>Quo<lb></lb>niam enim CE ordinatim applicatur ad diametrum AE; <lb></lb>erit tota figura EABC semiparabola. </s><s>Ergo ijsdem ra<lb></lb>tionibus, eodemque progressu quo usi sumus in Lem<lb></lb>mate II ostendemus totam figuram aequiponderare ex F. <lb></lb>Sumatur iam EI octo earum partium, qualium tota EC <lb></lb>est 24. et EL 12. et EF 9, Eritque IF earundem una, et <lb></lb>FL 3. Ergo cum parabola ABC pendeat ex puncto L, ap<lb></lb>pensa ad ipsum secundum centrum gravitatis; triangulum <lb></lb>verò AEC ex puncto I; erit parabola ABC ad triangu<lb></lb> <arrow.to.target n="marg177"></arrow.to.target><lb></lb>lum AEC ut reciprocè IF ad FL, nempe ut unum ad 3.; <lb></lb>sive ut 4. ad 12. et propterea ad triangulum ABC ut 4. <lb></lb>ad 3. etc. </s><s>Est enim ABC quarta pars ipsius ACE etc. </s><s><lb></lb>Constat ergo parabolam sesquitertiam esse inscripti sibi <lb></lb>trianguli. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg176"></margin.target>Ostendetur <lb></lb>infra.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg177"></margin.target>ob commu<lb></lb>nem basim <lb></lb>AC altitu<lb></lb>dinem verò <lb></lb>in ratione <lb></lb>quadrupla.</s></p> <p type="main"> <s>Quod assumptum est, nempe rectam CE ordinatim ap<lb></lb>plicari ad diametrum AE, ostendemus hoc modo. </s></p> <p type="main"> <s>Si enim non est ordinatim applicata CE, applicetur or<lb></lb>dinatim CM; eritque MABC semiparabola; et quia sunt <lb></lb> <arrow.to.target n="marg178"></arrow.to.target><lb></lb>aequales AD, DC, erit MC secta bifariam in N. Ergo MA <lb></lb>sesquitertia est ipsius NB; sed etiam EA ob constructio<lb></lb> <arrow.to.target n="marg179"></arrow.to.target><lb></lb>nem sesquitertia est ipsius LB; ergo et reliqua EM sesqui<lb></lb>tertia est reliquae LN; et EC sesquitertia ipsius CL, quod <lb></lb>est impossibile. </s><s>Est enim dupla, non autem sesquitertia. </s><s><lb></lb>Quare nulla alia praeter CE ex puncto C ordinatim ap<lb></lb>plicari potest ad diametrum AE. Quod etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg178"></margin.target>ob semipara<lb></lb>bolam.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg179"></margin.target>19 quinti.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO V.<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Parabola sesquitertia est trianguli eandem ipsi basim, eandemque <lb></lb>altitudinem habentis. </s></p> <p type="main"> <s>Esto parabola ABC, <lb></lb> <arrow.to.target n="fig112"></arrow.to.target><lb></lb>cuius diameter BD, trian<lb></lb>gulum inscriptum ABC; <lb></lb>Dico parabolam esse ses<lb></lb>quitertiam trianguli AB <lb></lb>C. tibi inscripti. </s></p> <figure id="fig112"></figure> <p type="main"> <s>Si enim ita non est, <lb></lb>neque triangulum ABC <lb></lb>erit triplum duarum si- <pb pagenum="121"></pb>mul reliquarum portionum AEB, BFC. Sed erit vel magis quàm triplum, <lb></lb>sive minus quàm triplum. </s></p> <p type="main"> <s>Sit primò minus quam triplum, eruntque duae reliquae portiones <lb></lb>magis quàm tertià pars trianguli ABC. Estò excessus aequalis spatio K, <lb></lb>et inscribantur intrà portiones primùm trian gula AEB, BFC; iterumque <lb></lb>in reliquis portiuncolis quatuor triangula AGE, EHB, BIF, FLC; deinde <lb></lb>octo etc. </s><s>et hoc semper donec excessus portionum supra inscriptas <lb></lb>evidentèr figuras sit minor spatio K. Tunc. <emph type="italics"></emph>n<emph.end type="italics"></emph.end> erunt inscriptae figurae <lb></lb>adhuc maiores quàm tertia pars trianguli ABC. </s></p> <p type="main"> <s>Sumatur iam triangulum ABM quarta pars totius trianguli ABC. <lb></lb> <arrow.to.target n="marg180"></arrow.to.target><lb></lb>Et quoniam ABC quadruplum est tam trianguli ABM, quam triangu<lb></lb>lorum AEB, BFC simul sumptorum, aequale erit triangulum ABM, duo<lb></lb>bus simul triangulis AEB, BFC; et propterea triangulum MBC triplum <lb></lb>erit duorum simul triangulorum AEB, BFC. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg180"></margin.target>ex Lem. 7.</s></p> <p type="main"> <s>Accipiatur iterùm triangulum ABN quarta pars totius trianguli ABM. <lb></lb>Cum ergò ABM quadruplum sit ipsius ABN; et duo AEB, BFC, qua<lb></lb> <arrow.to.target n="marg181"></arrow.to.target><lb></lb>drupla sint quatuor simul subsequentium triangulorum AGE, EHB, BIF, <lb></lb>FLC; cumque antecedentia sint aequalia, aequalia erunt etiam conse<lb></lb>quentia; et propterea cum triangulum NBM triplum sit trianguli ABN, <lb></lb>triplum etiam erit idem triangulum NBM. quatuor simul triaugulorum, <lb></lb>AGE, EHB, BIF, FLC. Et ut unum ad unum ita omnia simul ad omnia. <lb></lb> <arrow.to.target n="marg182"></arrow.to.target><lb></lb>Quare totum simul triangulum NBC, triplum erit figurarum evidentèr <lb></lb>intra portiones inscriptarum. </s><s>Sed triangulum ABC minus erat quam <lb></lb>triplum earundem; Ergo ABC minus est quàm NBC totum sua parte. </s><s><lb></lb>Quod est absurdum etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg181"></margin.target>Lem. 7.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg182"></margin.target>12 Quinti.</s></p> <p type="main"> <s>Ponamus deinde triangulum ABC esse plus quam triplum duarum <lb></lb>simul reliquarum portionum. </s><s>Esto; et excessui, quo est magis quàm <lb></lb>triplum, aequale sit spatium K. </s></p> <p type="main"> <s>Accipiatur ABM quarta pars totius trianguli ABC. Iterum sumatur <lb></lb>ABN quarta pars ipsius ABM. Et hoc semper fiat donec veniatur ad <lb></lb>aliquod triangulum, puta ABN, quod minus sit spatio K. Eritque adhuc <lb></lb>triangulum NBC magis quam triplum duarum portionum. </s><s>Sed eàdem <lb></lb>prorsus ratione, et ordine quo supra, ostendemus triangulum NBC <lb></lb>triplum esse cuiusdam figurae intrà portiones evidentèr inscriptae; <lb></lb>necesse igitur erit quòd portiones ipsae minores sint quàm figurae <lb></lb>intrà ipsas descriptae: Totum sua parte. </s><s>quod est impossibile. </s></p> <p type="main"> <s>Triangulum ergo ABC duarum reliquarum portionum triplum est; <lb></lb>et componendo; et per conversionem rationis parabola ad suum <lb></lb>triangulum erit ut 4. ad 3. Nempe sesquitertia. </s><s>Quod erat proposi<lb></lb>tum etc.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <pb pagenum="122"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma XII.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Si parabola tres tangentes habuerit, duas ad basim, tertiam verò <lb></lb>per verticem: Erit triangulum sub tangentibus compraehensum, reli<lb></lb>quae figurae (demptà parabolà) triplum.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Esto parabola ABC, cuius diameter BD; tangentes ad <lb></lb>basim AE, CE; per verticem verò FBG. </s></p> <figure></figure> <p type="main"> <s>Dico triangulum FEG, sub tangentibus compraehensum <lb></lb>reliquae figurae mixtae ABCGF (dempta scilicet parabola) <lb></lb>triplum esse. </s></p> <p type="main"> <s>Si enim non est triplum, erit certè vel magis, vel <lb></lb>minùs quàm triplum. </s></p> <p type="main"> <s>Sit primò minùs quàm triplum; eritque reliqua figura <lb></lb>mixta ABCGF, magis quàm tertia pars trianguli FEG. <lb></lb>Sit excessus K. Ducanturque per vertices abscissarum <lb></lb>portionum tangentes HI, LM; Iterumque per vertices sub<lb></lb>sequentium portionum, tangentes agantur NO, PQ, RS, TU. <lb></lb>et hoc semper; donec excessus figurae mixtae ABCGF, <lb></lb>supra figuram ex triangulis constantem NOPQRSTUGF, <lb></lb>minus aliquando relinquatur quàm spatium K. Tunc enim <lb></lb>erit adhuc figura ex triangulis inscripta maior quàm tertia <lb></lb>pars trianguli FEG. </s></p> <pb pagenum="123"></pb> <p type="main"> <s>Accipiatur triangulum FEI quarta pars trianguli FEG; <lb></lb>eritque triangulum FEI aequale duobus simul triangulis <lb></lb>HFI, LGM: (cum tam ista duo, quàm illud solum, sub<lb></lb> <arrow.to.target n="marg183"></arrow.to.target><lb></lb>quadrupla sint eiusdem trianguli FEG) Ergò triangul. </s><s>IEG <lb></lb>triplum erit duorum simul triangulorum HFI, LGM. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg183"></margin.target>Lem. 3.</s></p> <p type="main"> <s>Sumatur iterùm triangulum FEX quarta pars ipsius <lb></lb>FEI. Cumque sit FEI quadruplum trianguli FEX, duo <lb></lb>verò triangula HFI, LGM quadrupla sint quatuor simul <lb></lb>triangulorum NHO, PIQ, RLS, TMU, et antecedentia ae<lb></lb> <arrow.to.target n="marg184"></arrow.to.target><lb></lb>qualia; etiam consequentia aequalia erunt; eritque trian<lb></lb>gulum FEX aequale quatuor praedictis triangulis NHO, <lb></lb>PIQ, RLS, TMU; et propterea XEI triplum erit eorumdem <lb></lb>quatuor triangulorum. </s><s>Cumque sit ut unum ad unum, ita <lb></lb> <arrow.to.target n="marg185"></arrow.to.target><lb></lb>omnia ad omnia: erit totum simul triangulum XEG tri<lb></lb>plum universae figurae rectilineae intrà figuram mixtam <lb></lb>inscriptae. </s><s>Sed eiusdem figurae inscriptae triangulum FEG <lb></lb>minus erat quam triplum; necesse igitur est ut triangu<lb></lb>lum FEG minus sit quàm ipsum XEG totum videlicet sua <lb></lb>parte. </s><s>Quod est impossibile. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg184"></margin.target>Lem. 3.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg185"></margin.target>12 Quinti.</s></p> <p type="main"> <s>Ponamus deinde triangulum FEG esse plus quàm tri<lb></lb>plum reliquae figurae mixtae demptà parabolà. </s></p> <p type="main"> <s>Esto et sit excessus aequalis spatio K. accinietur trian<lb></lb>gulum FEI quarta pars totius FEG: et iterum sumatur <lb></lb>triangulum FEX quarta pars trianguli FEI: et hoc fiat <lb></lb>semper donec veniatur ad aliquod triangulum, puta FEX, <lb></lb>quod minus sit spatio K. Eritque triangulum XEG adhuc <lb></lb>maius quàm triplum reliquae figurae mixtae ABCGF. Sed <lb></lb>eadem penitùs ratione, atque ordine ut supra, ostendemus <lb></lb>triangulum XEG esse triplum cuiusdam figurae intrà figu<lb></lb>ram mixtam ABCGF. descriptae. </s><s>Necesse ergò erit, ut <lb></lb>figura mixta ABCGF minor sit quam aliqua figura sibi <lb></lb>inscripta; totum sua parte. </s><s>Quod est absurdum. </s></p> <p type="main"> <s>Si ergò parabola tres tangentes habuerit, ut positum <lb></lb>est, erit triangulum sub tangentibus contentum, reliquae <lb></lb>figurae, dempta parabola, triplum. </s><s>Quod erat proposi<lb></lb>tum etc. </s></p> <pb pagenum="124"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO VI.<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Parabola sesquitertiâ est trianguli eandem ipsi basim, et eandem <lb></lb>altitudinem habentis. </s></p> <p type="main"> <s>Esto parabola ABC, cuius diameter <lb></lb> <arrow.to.target n="fig113"></arrow.to.target><lb></lb>BD; duae tangentes AE, CE ad basim, <lb></lb>et tertia FBG per verticem. </s><s>Dico para<lb></lb>bolam sesquitertiam esse inscripti sibi <lb></lb>trianguli ABC. </s></p> <figure id="fig113"></figure> <p type="main"> <s>Triangulum enim FEG ad duo tri<lb></lb>linea mixta AFB, BGC per praecedens <lb></lb>Lemma, est ut 3. ad nnum. </s><s>Ergò trape<lb></lb>zium. </s><s>AFGC (cum triplum sit trianguli <lb></lb>FEG) ad duo eadem trilinea mixta erit ut 9. ad unum. </s><s>Et ad para<lb></lb>bolam erit (per conversionem rationis) ut 9. ad 8. et ad triangulum <lb></lb>ABC, erit ut 9. ad 6. Qualium ergo partium parabola est octo, talium <lb></lb>triangulum ABC est 6; Quare parabola ad inscriptum sibi triangulum <lb></lb>est ut 8. ad 6. nempe sesquitertia. </s><s>Quod erat etc.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma XIII.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Si parabola tres tangentes habuerit; duas ad basim, tertiam verò <lb></lb>per verticem, et ex universa figura dempta sit parabola, dimidiumque <lb></lb>trianguli sub tangentibus contenti. </s><s>Reliqua figura aequiponderabit ex <lb></lb>quodam puncto, quod ita integram tangentem lateralem dividit ut pars <lb></lb>quae ad contactum curvae terminatur sit ad reliquam ut 9. ad unum.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Esto parabola A <lb></lb> <arrow.to.target n="fig114"></arrow.to.target><lb></lb>BC cuius diameter <lb></lb>BD concipiatur ad <lb></lb>horizontem perpendi<lb></lb>cularis; sintque duae <lb></lb>tangentes ad basim <lb></lb>AE, CD verticalis <lb></lb>verò tangens EBF. <lb></lb>Sectà deinde laterali <lb></lb>CD in H, ita ut CH <lb></lb>ad HD sit ut 9. ad <lb></lb>unum; Dico figuram <lb></lb>huiusmodi (demptà <lb></lb>parabolà, et semi<lb></lb>triangulo verticali EBD) aequiponderare ex puncto H. </s></p> <pb pagenum="125"></pb> <figure id="fig114"></figure> <p type="main"> <s>Sumatur DI quinque partium earum, quarum DF est <lb></lb>15. sive quarum DH est 3. Eritque DH ad HI ut 3. ad 2. </s></p> <p type="main"> <s>Cum autem BD sit ad horizontem perpendicularis, por<lb></lb>tiones mixtae ABE, BCF, appensae erunt secundum cen<lb></lb>trum gravitatis ad punctum B, sive ad punctum D. Trian<lb></lb>gulum verò BDF ob eandem causam, et eodem modo <lb></lb>pendebit centraliter ex puncto I (quandoquidem FI dupla <lb></lb>est ipsius ID; et ipsa DB ad horizontem perpendicularis). <lb></lb>Iam si istae magnitudines non aequiponderant ex H pun<lb></lb>cto librae DI, altera ipsarum praeponderabit. </s><s>Esto; et <lb></lb>praeponderent primò duae portiones mixtae ABE, BCF. <lb></lb>Sitque excessus quo praeponderant aequalis spatio K. </s></p> <p type="main"> <s>Inscribatur intrà mixtas portiones figura ex tangenti<lb></lb>bus, ut iam saepè factnm est. </s><s>Donec excessus portionum <lb></lb>suprà figuram rectilineam inscriptam minur sit spatio K. <lb></lb>Tunc enim figura inscripta adhuc praeponderabit trian<lb></lb>gulo BDF. </s></p> <p type="main"> <s>Accipiatur triangulum DFG quarta pars totius trian<lb></lb>guli DFB; eritque triangulum DFG aequale triangulo <lb></lb>NFO (cum ambo sint subquadrupla eiusdem trianguli DFB) <lb></lb> <arrow.to.target n="marg186"></arrow.to.target><lb></lb>et propterea triangulum DFG ad duo triangula TEM, <lb></lb>NFO, erit ut unum ad 2. ergò BFG ad duo triangula <lb></lb>LEM, NFO, erit ut 3. ad 2. nempe reciprocè ut DH ad HI. <lb></lb>Triangulum igitur BGF, et duo triangula LEM, NFO, ex <lb></lb>puncto H aequiponderant iuvicem. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg186"></margin.target>ex Lem. 3.</s></p> <p type="main"> <s>Sumatur iterùm DFP quarta pars totius DFG, eritque <lb></lb>DFP aequale duobus simul triangulis quae sunt infrà pun<lb></lb>cta N et O. (Sunt enim quartae partes aequalium trian<lb></lb> <arrow.to.target n="marg187"></arrow.to.target><lb></lb>gulorum DFG, NFO). Propterea triangulum DFP ad qua<lb></lb>tuor simul triangula L, M, N, O, erit ut unum ad 2. Sed <lb></lb>triangulum PFG, ad eadem quatuor triangula erit ut 3. <lb></lb>ad 2. nempe reciprocè ut DH ad HI. Aequiponderat igitur <lb></lb>triangulum PFG, cum quatuor dictis triangulis L, M, N, O, <lb></lb>ex puncto H. Quamobrem universa figura inter portiones <lb></lb>inscripta aequiponderabit cum triangulo BPF ex puncto H. <lb></lb>Sed eadem praeponderabat triangulo BDF. Necesse igitur <lb></lb>est ut triangulum BDF minus sit quam triangulum BPF, <lb></lb>totum sua parte. </s><s>Quod esse non potest. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg187"></margin.target>ex Lem. 3.</s></p> <p type="main"> <s>Ponamus deinde praeponderare triangulum BDF dua- <pb pagenum="126"></pb>bus simul portionibus mixtis ABE, BCF; et ponatur ex<lb></lb>cessus quo praeponderat aequalis spatio K. </s></p> <p type="main"> <s>Accipiatur triangulum DFG quarta pars ipsius DFB. <lb></lb>et iterum sumatur DFP quarta pars ipsius DFG, et sic <lb></lb>semper donec veniatur ad aliquod triangulum, puta DFP <lb></lb>minus spatio K. Tunc enim reliquum triangulum adhuc <lb></lb>praeponderabit portionibus mixtis ABE, BCF. Sed osten<lb></lb>demus eodem penitus argumento, atque ordine ut supra <lb></lb>idem triangulum PFB praeponderare alicui figurae intrà <lb></lb>portiones ABE, BCF, descriptae. </s><s>Necesse ergo erit quòd <lb></lb>ipsae duae portiones mixtae minores sint quàm aliqua sibi <lb></lb>inscripta figura; totum sua parte; quod est absurdum. </s></p> <p type="main"> <s>Constat ergo quod propositum fuerat. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO VII.<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Parabola sesquitertia et trianguli eandem ipsi basim, et eandem <lb></lb>altitudinem habentis. </s></p> <p type="main"> <s>Esto, ut in praecedenti Lemmate para<lb></lb> <arrow.to.target n="fig115"></arrow.to.target><lb></lb>bola ABC. cum duabus tangentibus late<lb></lb>ralibus, sive ad basis AE, CD; atque EBF <lb></lb>per verticem. </s><s>Concipiaturque diameter ad <lb></lb>horizontem perpendicularis; et ablatà pa<lb></lb>rabola dectractoque dimidio verticalis <lb></lb>trianguli; accipiatur DI tertia pars to<lb></lb>tius DF, et sit DH sesquialtera ipsius HI. <lb></lb>Aequiponderant ergo (per lemma praece<lb></lb>dens) ex puncto H librae DI, duae ma<lb></lb>gnitudines. </s><s>Nempe hinc duae portiones ABCFE appensae ad pun<lb></lb>ctum D; inde verò triangulum BDF appensum ad punctum I. </s></p> <figure id="fig115"></figure> <p type="main"> <s>Quamobrem DBF ad ABCFE, erit ut reciprocè DH ad HI, nempe <lb></lb>ut 3. ad 2. Sumptisque antecedentium duplis, erit totum verticale trian<lb></lb>gulum EDF ad reliquam figuram mixtam triplum, Propterea (ut in <lb></lb>Propositione sexta demonstratum est) parabola inscripti sibi trianguli <lb></lb>sesquitertia erit. </s><s>Quod erat propositum demonstrare.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma XIV.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Si duorum conorum latera trianguli per axem secta fuerint in partes <lb></lb>aequales numero, et magnitudine, ductisque per puncta sectionum <lb></lb>planis basi parallelis, super sectionum circulis intelligantur cylindri <pb pagenum="127"></pb>aeque alti intrà conos descripti: Erit ut primus conus ad secundum, <lb></lb>ita omnes cylindri primi coni, ad omnes cylindros secundi coni.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Sint duorum conorum trian<lb></lb> <arrow.to.target n="fig116"></arrow.to.target><lb></lb>gula per axem ABC, DEF, et <lb></lb>duo eorum latera, puta AB, <lb></lb>DE, secentur in partes numero <lb></lb>aequales; nempe in totidem <lb></lb>partes dividatur tàm AB, quàm <lb></lb>DE; sintque partes lateris AB <lb></lb>aequales inter se, et partes <lb></lb>DE item aequales inter se. </s><s>Ductis deinde per singula <lb></lb>sectionum puncta planis GH, IL, etc. </s><s>basi AC paral<lb></lb>lelis: item planis MN, OP, etc. </s><s>basi DF parallelis; <lb></lb>Concipiantur cylindri AH, GL, etc. </s><s>eiusdem altitudinis <lb></lb>intrà conum ABC descripti; itemque in altero cono <lb></lb>alij cylindri aequealti intelligantur; Dico esse ut conus <lb></lb>ABC ad conum DEF, ita omnes cylindros coni ABC <lb></lb>ad omnes cylindros coni ABC ad omnes cylindros coni <lb></lb>DEF. </s></p> <figure id="fig116"></figure> <p type="main"> <s>Concipiantur duo coni GAH, MDN; quorum vertices <lb></lb>sint A et D, bases verò circuli GH, MN. </s></p> <p type="main"> <s>Iàm; Cylindrus AH ad conum GAH est ut cylindrus <lb></lb>DN ad conum MDN. (nempe in ratione tripla) conus verò <lb></lb>GAH ad conum GBH in eadem basi est ut AG ad GB; <lb></lb>sive (propter divisionem in constructione adhibitam) ut DM <lb></lb>ad ME, hoc est ut conus MDN ad conum MEN. Conus <lb></lb>denique GBH ad conum similem ABC est ut cubus GB <lb></lb>ad cubum BA; sivè (propter constructionem) ut cubus ME <lb></lb>ad cubum ED, nempe ut conus MEN ad conum similem <lb></lb>DEF. Quarè ex aequo cylindrus AH ad conum ABC, erit <lb></lb>ut cylindrus DN ad conum DEF. Et permutando cylin<lb></lb>drus AH ad cylindrum DN erit ut conus ABC ad co<lb></lb>num DEF. </s></p> <p type="main"> <s>Ulterius. </s><s>Cylindrus etiam GL ad cylindrum MP. eodem <lb></lb>penitus modo demonstratur esse ut conus GBH ad conum <lb></lb>MEN, sive ut conus ABC ad conum DEF; et hoc modo <lb></lb>semper. </s><s>Proptereà ut unus cylindrus AH ad unum DN, <lb></lb> <arrow.to.target n="marg188"></arrow.to.target><lb></lb>ità quilibet antecedentium ad quemlibet consequentium, <lb></lb> <arrow.to.target n="marg189"></arrow.to.target><lb></lb>ergò ut unus ad unum, nempe ut conus ABC ad conum <pb pagenum="128"></pb>DEF, ità omnes simul cylindri coni ABC, ad omnes simul <lb></lb>cylindros coni ABC, ad omnes simul cylindros coni DEF. <lb></lb>Quod etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg188"></margin.target>11 Quinti.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg189"></margin.target>12 Quinti.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma XV.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Dato trilineo mixto, sub lineà parabolica, eiusque tangente, et alià <lb></lb>rectà diametro parallela compraehenso; possibile est in dato trilineo <lb></lb>figuram inscribere constantem ex parallelogrammis aequealtis, quae <lb></lb>figura deficiat à trilineo mixto minori differentià quàm sit quaecnmque <lb></lb>data magnitudo.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Esto linea parabolica <lb></lb> <arrow.to.target n="fig117"></arrow.to.target><lb></lb>ABC, cuius tangens CD, <lb></lb>et diametro aequidistans <lb></lb>sit AD. Dico intrà trili<lb></lb>neum mixtum ABCD. <lb></lb>describi posse figuram <lb></lb>constantem ex paralle<lb></lb>logrammis aequealtis, <lb></lb>quae figura deficiat à <lb></lb>trilineo mixto, minori <lb></lb>defectu quàm sit spa<lb></lb>tium quodcumque da<lb></lb>tum K. </s></p> <figure id="fig117"></figure> <p type="main"> <s>Secetur enim DC bi<lb></lb>fariam in X; iterumque <lb></lb>partes bifariàm dividan<lb></lb>tur in H et in P; sem<lb></lb>perque hoc fiat donec <lb></lb>veniatur ad sectionem <lb></lb>aliquam, puta DE, eius<lb></lb>modi ut parallelogram. </s><s>ADE, minus sit spatio K. (Quod <lb></lb>autem hoc fieri possit, patet. </s><s>Si enim compleatur paralle<lb></lb>logrammum ADC, ex ipso per continuam bisectionem <lb></lb>semper detrahitur dimidium; ergò tandem remanebit AE <lb></lb>minus quolibet dato spatio). Ducantur deinde ex punctis <lb></lb>sectionum rectae EF, HG, etc. </s><s>aequidistantes ipsi DA; <lb></lb>per puncta autem I, B, etc. </s><s>ubi parallelae secant para<lb></lb>bolam, ducantur LG, MN, etc. </s><s>aequidistantes tangenti CD. <lb></lb>Et factum erit quod oportebat. </s></p> <pb pagenum="129"></pb> <p type="main"> <s>Parallelogrammum enim CO, aequale est ipsi OP, et <lb></lb> <arrow.to.target n="marg190"></arrow.to.target><lb></lb>addito communi OI, erunt duo CO, OR, aequalia ipsi RQ, <lb></lb>sive ipsi RS: additoque communi RT, erunt tria CO, OR, <lb></lb>RT, aequalia ipsi TP, hoc est ipsi TX, additoque com<lb></lb>muni TZ et sic semper procedendo erunt denique omnia <lb></lb>simul parallelogramma CORTZYBIA aequalia ipsi paral<lb></lb>lelogrammo AE. nempe minora spatio K. Multò igitur <lb></lb>minor erit defectus figurae inscriptae ex parallelogrammis <lb></lb>aequealtis compositae, à trilineo mixto ABCD, quàm sit <lb></lb>propositum spatium K. Quod erat etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg190"></margin.target>36 Primi.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollarium.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Hinc notabimus quod eodem prorsus modo, eàdemque <lb></lb>operatione, figura etiam circumscribitur dato trilineo mixto, <lb></lb>constans ex parallelogrammis aequealtis, ita ut excessus <lb></lb>figurae circumscriptae suprà ipsum trilineum, minor sit <lb></lb>quocumque spatio dato K. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma XVI.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Si parabola tangentem habuerit: et insuper duas rectas diametro <lb></lb>parallelas, quae duo trilinea abscindant sub tangente, et lineà para<lb></lb>bolica compraehensa; Erit figura ex parallelogrammis aequealtis con<lb></lb>stans in maiori trilineo descripta, ad figuram eiusdem speciei in minori <lb></lb>trilineo descriptam, ut cubus maioris tangentis ad cubum minoris.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <figure></figure> <p type="main"> <s>Esto parabola ABC, cuius tangens CD; et diametro <lb></lb>parallela sit utraque DA, EF; ut fiant duo trilinea mixta <pb pagenum="130"></pb>ABCD maius, et FBCE minus. </s><s>Dico, si in utroque tri<lb></lb>lineo inscribatur figura constans ex parallelogrammis ae<lb></lb>qualibus utrimque numero, (ut in praecedenti lemmate <lb></lb>expositum est) figuram trilinei ABCD, ad figuram trilinei <lb></lb>FBCE, esse ut cubus DC ad cubum CE. </s></p> <p type="main"> <s>Concipiamus, (ad evitandam linearum multitudinem, et <lb></lb>confusionem) triangulum GEC cum sua portione parabolae <lb></lb>intercepta FBC, transferri, et esse idem quod positum est <lb></lb>sub signis HIL. trilineumque FBCE esse idem cum tri<lb></lb>lineo MNLI. </s></p> <p type="main"> <s>Inscribatur iam in utroque trilineo ABCD, et MNLI, <lb></lb>(quod quidem repraesentat ipsum FBCE translatum) figura <lb></lb>constans ex parallelogrammis aequealtis; et sit idem nu<lb></lb>merus parallelogrammorum in utroque trilineorum. </s><s>Intel<lb></lb>ligatur etiam conus, cuius vertex C, sive L; et diameter <lb></lb>basis sit, hinc quidem AD, inde verò HI. Sintque in sin<lb></lb>gulis coni segmentis cylindri aequealti OP, QR etc. <lb></lb> <arrow.to.target n="marg191"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg191"></margin.target>1. Sexti.</s></p> <p type="main"> <s>Iam parallelogrammum BP ad SD, est ut recta BR <lb></lb>ad SP, hoc est ut quadratum RC ad CP; hoc est ut qua</s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg192"></arrow.to.target><lb></lb>dratum RT ad quadratum PU: hoc est ut cylindrus QR ad <lb></lb>cylindrum OP. Eodem modo erit parallelogrammum XR <lb></lb>ad SD, ut cylindrus YR ad UD. Ergo erunt duo simul <lb></lb> <arrow.to.target n="marg193"></arrow.to.target><lb></lb>parallelogramma BP, XR, ad SD; ut duo simul cylindri <lb></lb>TP, YR, ad cylindrum UD. Procedendo itaque semper hoc <lb></lb>modo, et denique componendo, erit tota inscripta figura <lb></lb>ex parallelogrammis constans in trilineo ABCD, ad paral<lb></lb>lelogrammum SD, ut omnes simul cylindri qui in cono <lb></lb>ACD, ad cylindrum UD. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg192"></margin.target>ob parabo<lb></lb>lam.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg193"></margin.target>24. Quinti.</s></p> <p type="main"> <s>Amplius; parallelogrammum SD ad NI compositam <lb></lb>habet rationem, ex ratione rectae SP ad NZ, sive qua<lb></lb>drati PC ad ZI (sunt enim duae figurae, sed circa ean<lb></lb>dem parabolam translatam) sive quadrati PU ad ZK; et <lb></lb>ex ratione rectae DP ad IZ. Est ergò parallelogrammum <lb></lb>SD ad NI ut cylindrus UD ad KI, Denique parallelo<lb></lb> <arrow.to.target n="marg194"></arrow.to.target><lb></lb>grammum NI ad totam figuram inscriptam intrà trilineum <lb></lb>MNLI, est ut cylindrus KI ad omnes cylindros inscriptos <lb></lb>intrà conum HLI, Propterea ex aequo erit figura ex pa<lb></lb>rallelogrammis constans inscripta in maiori trilineo ABCD, <lb></lb>ad figuram ex parallelogrammis inscriptam in minori tri- <pb pagenum="131"></pb>lineo MNLI, ut omnes cylindri in cono ACD ad omnes <lb></lb>cylindros in cono HLI. Nempe ut conus ACD ad conum <lb></lb> <arrow.to.target n="marg195"></arrow.to.target><lb></lb>HLI, hoc est ad conum GCE (qui idem est). Nempe ut <lb></lb>cubus DC ad cubum CE. Quod erat etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg194"></margin.target>ostendetur <lb></lb>eodem mo<lb></lb>do ut in al<lb></lb>tera figura.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg195"></margin.target>Lemma. 14.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma XVII.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Si parabola tangentem habuerit, et insuper duas diametro paral<lb></lb>lelas rectas lineas, quae duo trilinea mixta abscindant; erunt inter se <lb></lb>abscissa reilinea ut cubi suarum tangentium.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Esto parabola ABC, cuius <lb></lb> <arrow.to.target n="fig118"></arrow.to.target><lb></lb>tangens CD: et diametro paral<lb></lb>lela sit utraque DA, EB. Dico <lb></lb>trilineum mixtum ABCD ad tri<lb></lb>lineum mixtum BCE, esse ut <lb></lb>cubus tangentis DC, ad cubum <lb></lb>tangentis CE. </s></p> <figure id="fig118"></figure> <p type="main"> <s>Si enim ita non est, sit alte<lb></lb>rum illorum, si possibile est, <lb></lb>maius quam ut habeat dictam <lb></lb>proportionem ad reliquum; et <lb></lb>ponamus illud esse ABCD, maius <lb></lb>quàm quod esse deberet ex<lb></lb>cessu K. </s></p> <p type="main"> <s>Inscribatur intrà trilineum ABCD figura ex parallelo<lb></lb>grammis aequealtis constans; ita ut à trilineo deficiat mi<lb></lb>nori defectu quàm sit spatium K (haec autem fieri posse <lb></lb> <arrow.to.target n="marg196"></arrow.to.target><lb></lb>ostendimus). Habebitque adhuc figura inscripta ad reli<lb></lb>quum trilineum BCE maiorem rationem quàm cubus DC <lb></lb>ad cubum CE. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg196"></margin.target>Lem. 15.</s></p> <p type="main"> <s>Inscribatur intrà alterum trilineum BCE figura eiusdem <lb></lb>speciei, et eiusdem numeri parallelogrammorum cùm de<lb></lb>scripta intra trilineum ABCD. Erit ergò figura inscripta <lb></lb>trilineo ABCD ad figuram inscriptam trilineo BCE ut cu<lb></lb> <arrow.to.target n="marg197"></arrow.to.target><lb></lb>bus DC ad cubum CE. Sed eadem figura inscripta trilineo <lb></lb>ABCD ad trilineum BCE habet maiorem rationem quàm <lb></lb>cubus DC ad CE. Minus ergo est trilineum BCE quàm <lb></lb>inscripta sibi figura. </s><s>totum sua parte. </s><s>Quod est impossi<lb></lb>bile. </s><s>Constat ergo propositum. </s></p> <pb pagenum="132"></pb> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg197"></margin.target>Lemma <lb></lb>praecedens.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO VIII.<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Parabola sesquitertia est trianguli eandem ipsi basim, et eandem <lb></lb>altitudinem habentis. </s></p> <p type="main"> <s>Esto parabola ABC, cuius diameter <lb></lb> <arrow.to.target n="fig119"></arrow.to.target><lb></lb>BE, tangentes verò AF, CF, productae <lb></lb>eousque donec occurrant ipsis AD, CH, <lb></lb>diametro parallelis. </s><s>Iungaturque rectae <lb></lb>lineae AB, BC. (licet in figura omissae <lb></lb> <arrow.to.target n="marg198"></arrow.to.target><lb></lb>sint). Dico parabolam trianguli ABC esse <lb></lb>sesquitertiam. <lb></lb> <arrow.to.target n="marg199"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg198"></margin.target>Lem. praece<lb></lb>dens</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg199"></margin.target>2. Sexti</s></p> <figure id="fig119"></figure> <p type="main"> <s>Erit enim ABCD ad trilineum BCF, <lb></lb>ut cubus DC ad cubum CF, nempe ut <lb></lb>octo ad unum. (cum enim sit ut AE ad <lb></lb>EC, ita DF ad FC, erit DF aequalis ipsi <lb></lb>FC, cubusque DC octuplus cubi CF). Item trilineum CBAH ad trilineum <lb></lb>BAF est ut octo ad unum. </s><s>Coniuctim ergò erunt duo trilinea ABCD, <lb></lb>CBAH, ad spatium ABCF. ut octo ad unum. </s><s>Et dividendo bis, erunt <lb></lb>duo triangula AFD, CFH, ad spatium ABCF, ut 6. ad unum. </s><s>Quamobrem <lb></lb>triangulum AFD, sive AFC ad spatium ABCF, erit ut 3, ad unum; et <lb></lb>ad parabolam erit ut 3. ad 2. vel ut 6. ad 4. Propterea parabola erit ad <lb></lb>triangulum ABC ut 4. ad 3. Nempe sesquitertia. </s><s>Quod erat propositum <lb></lb>demonstrare etc.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma XVIII.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Si fuerit ut prima magnitudo ad secundam, ita tertia ad quartam; <lb></lb>Et hoc quotiescumque libuerit. </s><s>Fuerintque omnes primae inter se, item <lb></lb>omnes tertiae magnitudines inter se aequales. </s><s>Erunt omnes primae <lb></lb>simul ad omnes secundas, ut sunt omnes tertiae simul ad omnes quar<lb></lb>tas magnitudines.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Esto ut A prima ad B secundam, <lb></lb> <arrow.to.target n="fig120"></arrow.to.target><lb></lb>ita C tertia ad D quartam. </s><s>Et iterum <lb></lb>ut E prima ad F secundam, ita G <lb></lb>tertia ad H quartam; et sic quotie<lb></lb>scunque libuerit. </s><s>Sintque omnes pri<lb></lb>mae A, E, I, etc. </s><s>item omnes tertiae <lb></lb>C, G, M, etc. </s><s>inter se aequales. </s></p> <figure id="fig120"></figure> <p type="main"> <s>Dico omnes primas simul ad omnes <lb></lb>secundas simul, ita esse ut sunt omnes <lb></lb>simul tertiae, ad omnes quartas ma<lb></lb>gnitudines. </s></p> <p type="main"> <s>Quoniam enim convertendo est ut B <pb pagenum="133"></pb>ad A ita D ad C. Item ut F ad E; sive ad aequalem A, <lb></lb>ita H ad G, sive ad C; erunt simul BF ad A, ut sunt DH <lb></lb>slmul ad C. Hoc modo procedendo, ostendemus omnes </s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg200"></arrow.to.target><lb></lb>secundas simul esse ad A, ut sunt omnes quartae simul <lb></lb>ad ipsam C. Ipsa verò A ad omnes est ut C ad omnes <lb></lb>tertias (sunt enim aeque submultiplices). Ergo ex aequo <lb></lb> <arrow.to.target n="marg201"></arrow.to.target><lb></lb>omnes secundae ad omnes primas, sunt ut omnes quartae <lb></lb>simul ad omnes tertias. </s><s>Convertendo igitur constat quod <lb></lb>erat propositum demonstrare. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg200"></margin.target>24. Quinti.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg201"></margin.target>15. Quinti.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma XIX.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Si parabola tangentem habuerit ad basim; ex alia verò parte rectam <lb></lb>diametro parallelam. </s><s>Erit triangulum sub tangente, et parallela dia<lb></lb>metro, ipsaque basi compraehensum, ipsius parabolae triplum.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Esto parabola ABC, <lb></lb> <arrow.to.target n="fig121"></arrow.to.target><lb></lb>cuius tangens CD, paral<lb></lb>lela diametro sit AD; <lb></lb>Dico triangulum ADC <lb></lb>esse parabolae ipsius AB <lb></lb>C, triplum. </s></p> <figure id="fig121"></figure> <p type="main"> <s>Si enim non est tri<lb></lb>plum parabolae, per con<lb></lb>versionem rationis, non <lb></lb>erit sesquialterum trilinei <lb></lb>ABCD; et propterea (du<lb></lb>plicato antecedente) to<lb></lb>tum parallelogrammum AE non erit triplum trilinei ABCD. </s></p> <p type="main"> <s>Trilineum ergo ABCD erit vel plus, vel minus quam <lb></lb>tertia pars parallelogrammi AE. Ponatur primùm <emph type="italics"></emph>s<emph.end type="italics"></emph.end>sse plus <lb></lb>quàm tertia pars, et sit excessui aequale spatium K. </s></p> <p type="main"> <s>Inscribatur intrà trilineum ABCD, figura constans ex <lb></lb>parallelogrammis aequealtis, deficiensque ab ipso trilineo <lb></lb>minori defectu quàm sit ipsum spatium K. Et inscripta <lb></lb>iam sit eiusmodi figura. </s><s>Erit ergò adhuc figura inscripta <lb></lb>plus quàm tertia pars parallelogrammi AE. </s></p> <p type="main"> <s>Concipiatur circa rectam AD, circulus, qui sit basis <lb></lb>cuiusdam coni verticem habentis in puncto C. et super <lb></lb>eàdem basi intelligatur cylindrus AE eiusdem altitudinis <pb pagenum="134"></pb>cum ipso cono; sectusque sit tam conus quàm cylindrus <lb></lb>planis basi parallelis per singulas rectas FG, HI, LM, etc. </s><s><lb></lb>ductis. </s><s>Concipiantur etiam intrà conum ACD cylindri ae<lb></lb>quealti PO, OI, etc. <lb></lb> <arrow.to.target n="marg202"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg202"></margin.target>1. Sexti. </s><s><lb></lb>ob parabo<lb></lb>lam.</s></p> <p type="main"> <s>Iam sic; parallelogrammum AF ad ND, est ut recta <lb></lb>DA ad ON: nempe ut quadratum DC ad quadratum CO; <lb></lb>sive, ut quadratum DA ad quadratum OG, nempe, ut cy</s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg203"></arrow.to.target><lb></lb>lindrus AF ad cylindrum PO, Et sic, semper. </s><s>Suntque <lb></lb>omnes primae magnitudines aequales parallelogrammo AF, <lb></lb>et ideo aequales inter se; omnes autem tertiae magnitu<lb></lb>dines aequales cylindro AF, atque ideo inter se. </s><s>Erunt ergo <lb></lb>omnes primae simul, hoc est parallelogrammum AQ, ad <lb></lb>omnes secundas simul, nempe ad figuram inscriptam in <lb></lb>trilineo ABCD, ut sunt omnes tertiae simul, nempe cylin<lb></lb>drus AQ, ad omnes quartas simul, hoc est ad omnes cy<lb></lb>lindros intrà conum ACD descriptos. </s><s>Convertendo igitur; <lb></lb>erit figura trilineo inscripta ad parallelogrammum AQ <lb></lb>ut omnes cylindri intra conum ACD ad cylindrum <expan abbr="Aq.">Aque</expan> <lb></lb>Parallelogrammum verò AQ ad parallelogrammum AE <lb></lb>est ut DQ ad DE, hoc est ut cylindrus AQ ad cylindrum <lb></lb>AE. Propterea ex aequo, figura inscripta in trilineo ad <lb></lb>totum parallelogrammum AE, erit ut omnes cylindri in <lb></lb>cono inscripti ad cylindrum AE. Sed figura inscripta <lb></lb>in trilineo (ex iam dictis) plus quàm tertia pars paral<lb></lb>lelogrammi AE, ergò omnes cylindri in cono descripti <lb></lb>erunt plusquam tertia pars cylindri AE, nempe maiores <lb></lb>quàm conus ACD. pars videlicet suo toto. </s><s>Quod est im<lb></lb>possibile. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg203"></margin.target>ob similitud. </s><s><lb></lb>triang.</s></p> <p type="main"> <s>Sed ponamus nunc trilineum ABCD esse minus quam <lb></lb>tertia pars parallelogrammi AE; sitque defectus aequalis <lb></lb> <arrow.to.target n="marg204"></arrow.to.target><lb></lb>spatio K. Circumscribatur trilineo ABCD figura constans <lb></lb>ex parallelogrammis aequealtis excedensque minori ex<lb></lb>cessu quàm sit spatium K; et erit figura circumscripta <lb></lb>adhuc minor quàm tertia pars parallelogrammi AE. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg204"></margin.target>Coroll. <lb></lb>Lem. 15.</s></p> <p type="main"> <s>Concipiatur iterum circa rectam AD circulus pro basi <lb></lb>coni, qui verticem habeat C; itemque pro basi cylindri <lb></lb>ACED eiusdem altitudinis cum ipso cono ACD. </s></p> <p type="main"> <s>Intelligatur insuper circa conum descripta figura solida <lb></lb>constans ex cylindris aequealtis AQ, GI, etc. </s></p> <pb pagenum="135"></pb> <p type="main"> <s>Iam parallelogram<lb></lb> <arrow.to.target n="fig122"></arrow.to.target><lb></lb>mum AF ad paralle<lb></lb>logrammum AQ (ob <lb></lb>aequalitatem) est ut <lb></lb>cylindrus ADFG ad <lb></lb>cylindrum ADQR. Am<lb></lb>plius. </s><s>Parallelogram<lb></lb>mum GH ad paralle<lb></lb>logrammum LI est ut <lb></lb> <arrow.to.target n="marg205"></arrow.to.target><lb></lb>GF, sive AD ad <expan abbr="Lq;">Lque</expan> <lb></lb>nempe ut quadratum <lb></lb>DC ad quadratum CQ, <lb></lb>sive ut quadratum DA, <lb></lb>vel FG, ad quadratum <expan abbr="Gq;">Gque</expan> nempe ut cylindrus GH ad <lb></lb>cylindrum GI. etc. </s><s>et hoc modo semper. </s><s>Suntque omnes <lb></lb>singillatim primae magnitudines aequales parallelogrammo <lb></lb>AF, et ideò inter se: item omnes tertiae aequales cylindro <lb></lb>AF, et ob id inter se; ergo erunt omnes primae simul, hoc <lb></lb>est parallelogrammum AE, ad omnes secundas simul, <lb></lb>hoc est ad figuram trilineo circumscriptam, ut omnes ter<lb></lb>tiae simul, nempe cylindrus AE, ad omnes quartas simul, <lb></lb>nempe ad cylindros conum ACD circumscribentes. </s><s>Con<lb></lb>vertendo igitur, erit figura circumscripta trilineo, ad pa<lb></lb>rallelogrammum AE, ut omnes cylindri circumscribentes <lb></lb>conum ad cylindrum AE. Sed figura trilineo circumscripta <lb></lb>minor est quàm tertia pars parallelogrammi AE; ergo <lb></lb>etiam omnes cylindri circumscribentes conum, minores <lb></lb>erunt quàm tertia pars cylindri AE; nempe minores cono <lb></lb>ACD. Totum sua parte: quod esse non potest. </s><s>Triangulum <lb></lb>ergo ADC ipsius parabolae omninò triplum erit. </s><s>Quod pro<lb></lb>positum fuerat. </s></p> <pb pagenum="136"></pb> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg205"></margin.target>1. sexti. </s><s><lb></lb>ob parabo<lb></lb>lam. </s><s><lb></lb>ob similitud. </s><s><lb></lb>triangul.</s></p> <figure id="fig122"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO IX.<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Parabola sesquitertia est trianguli eandem ipsi basim, et eandem <lb></lb>altitudinem habentis. </s></p> <p type="main"> <s>Esto parabola ABC, cuius diameter EB, <lb></lb> <arrow.to.target n="fig123"></arrow.to.target><lb></lb>triangulum inscriptum sit ABC. Dico para<lb></lb>bolam trianguli ABC esse sesquitertiam; </s></p> <figure id="fig123"></figure> <p type="main"> <s>Ducatur enim tangens CD, et sit recta <lb></lb>AD diametro aequidistans: </s></p> <p type="main"> <s>Erit ergò per praecedens lemma, triangu<lb></lb>lum ACD parabolae triplum; et propterea <lb></lb>erit parabola partes quatuor earum, quarum <lb></lb>triangulum ADC est duodecim, nempe qualium <lb></lb>triangulum ABC est tres. (triangulum enim <lb></lb>ABC aequale est triangulo EFC, cum utrum<lb></lb>que duplum sit trianguli EBC, ergo triangu<lb></lb>lum ABC quarta pars erit totius ADC). Constat ergo parabolam ad <lb></lb>inscriptum sibi triangulum esse ut 4. ad 3. Nempe sesquitertiam. </s><s><lb></lb>Quod etc.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO X.<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Parabola sesquitertia est trianguli eandem sibi basim, et eandem <lb></lb>alritudinem habentis. </s></p> <p type="main"> <s>Esto parabola ABC, cuius dia<lb></lb> <arrow.to.target n="fig124"></arrow.to.target><lb></lb>meter BD. Dico parabolam ABC <lb></lb>inscripti sibi trianguli esse sesqui<lb></lb>tertiam. </s></p> <figure id="fig124"></figure> <p type="main"> <s>Compleatur parallelogrammum <lb></lb>ADBE, et nisi parabola sesquitertia <lb></lb>sit trianguli sibi inscripti, neque <lb></lb>(sumptis dimidijs) semiparabola A <lb></lb>BD, sesquitertia erit trianguli ABD; <lb></lb>neque eadem semiparabola ABD <lb></lb>erit 2. tertii parallelogrammi ED, <lb></lb>sed vel plus vel minus quam 2. tertii <lb></lb>eiusdem. </s></p> <p type="main"> <s>Esto primùm si fieri potest semiparabola ABD magìs quàm 2. tert. </s><s><lb></lb>parallelogrammi ED; et ponatur excessus aequalis spatio K. Ipsique <lb></lb>semiparabolae figura inscribatur constans ex parallelogrammis ae<lb></lb>qualtis (more apud Geometras usitato, prout factum est Lemmate XV.) <lb></lb>ita ut differentia inter figuram inscriptam; et ipsam semiparabolam <lb></lb>minor sit spatio K. Tunc enim inscripta figura adhuc maior erit quàm <lb></lb>2. tert. </s><s>parallelogrammi ADBE. </s></p> <pb pagenum="137"></pb> <p type="main"> <s>Ducatur circa diametrum AC semicirculus AXC, completoque re<lb></lb>ctangulo, sive quadrato AFXD. ducantur GL, HM, IO, perpendiculares <lb></lb>ad AC, et compleantur rectangula DL, GM, HO; Tum intelligatur figura <lb></lb>AFXD circumverti circa axem AD; ita ut quadrans ADX, hemisphae<lb></lb>rium describat, quadratum verò AFXD, cylindrum; et rectangula in <lb></lb>quadrante inscripta totidem cylindros faciant in ipso hemisphaerio <lb></lb>compraehensos. </s></p> <p type="main"> <s>Iam parallelogrammum BG ad PD, est ut BD ad GP, sive ut re<lb></lb>ctangulum CDA ad rectangulum CGA; sive ut quadratum XD ad qua<lb></lb>dratum LG; sive ut cylindrus XG ad LD. Et hoc modo semper. </s><s>Suntque <lb></lb>omnes primae magnitudines aequales parallelogrammo BG, et omnes <lb></lb>tertiae aequales cylindro XG. Ergo erunt omnes primae simul, hoc est <lb></lb> <arrow.to.target n="marg206"></arrow.to.target><lb></lb>parallelogrammum TD, ad omnes secundas simul, nempe ad figuram <lb></lb>inscriptam in semiparabola, ut sunt omnes tertiae simul, nempe cylin<lb></lb>drus VD, ad omnes quartas simul, hoc est ad omnes cylindros in he<lb></lb>misphaerio inscriptos. </s><s>Parallelogrammum verò TD ad ED est ut cy<lb></lb>lindrus VD ad FD, ergo ex aequo, erit parallelogrammum ED ad <lb></lb>figuram in semiparabola inscriptam ut cylindrus FD ad omnes cylindros <lb></lb>in ipso hemisphaerio compraehensos. </s><s>Sed parallelogrammum ED minus <lb></lb>est quam sesqnialterum figurae intra semiparabolam inscriptae; Ergò <lb></lb>cylindrus FD minor erit quàm sesquialter omnium cylindrorum in he<lb></lb>misphaerio descriptorum. </s><s>Quod est absurdum. </s><s>Scimus enim dictum <lb></lb>cylindrum hemisphaerij esse sesquialterum. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg206"></margin.target>Lem. 18.</s></p> <p type="main"> <s>Esto deinde (si fieri potest) semiparabola minus quàm 2. tert. </s><s>ipsius <lb></lb>parallelogrammi ED. Ponaturque defectus aequalis spatio K. </s></p> <p type="main"> <s>Tum ipsi semiparabolae figura quaedam circumscribatur, constans <lb></lb>ex parallelogrammis aequealtis (more solit, ut factum est in Lem<lb></lb>mate XV. eiusque Corollario) ita ut differentia inter circumscriptam <lb></lb>figuram ipsamque semiparabolam minor sit spatio K. Tunc enim ma<lb></lb>nifestum est, quòd figura circumscripta adhuc minor erit quàm 2. tert. </s><s><lb></lb>parallelogrammi ED. </s></p> <p type="main"> <s>Fiat circa diametrum AC se<lb></lb> <arrow.to.target n="fig125"></arrow.to.target><lb></lb>micirculus, ut in escriptione prae<lb></lb>cedentis constructionis, completo<lb></lb>que quadrato AOFD, perficiantur <lb></lb>reliqua rectangula FL, GM, HN, <lb></lb>IA. circa quadrantem descripta. </s><s><lb></lb>Tum revolvatur figura AF circa <lb></lb>axem AD, ita ut solida generen<lb></lb>tur iam dicta; nempe hemisphae<lb></lb>rium ex quadrante, cylindrus ex <lb></lb>quadrato AF; totidemque cylin<lb></lb>dri quot rectangula erunt ipsi <lb></lb>quadranti circumscripta. </s><s>Iàm pa<lb></lb>rallelogrammum BL ad se ipsum <lb></lb>est ut cylindrus factus ex FL ad se ipsum. </s><s>Amplius. </s><s>Parallelogram- <pb pagenum="138"></pb>mum QM ad PM; est ut QL ad LP; sive BD ad LP, sive ut rectang. </s><s><lb></lb>CDA ad CLA, sive ut quadratum FD ad LG, sive ut quadratum RL <lb></lb>ad LG; nempe ut cylindrus factus ex RM ad cylindrum ex GM: et hoc <lb></lb>modo semper. </s></p> <figure id="fig125"></figure> <p type="main"> <s>Suntque omnes primae magnitudines aequales parallelogrammo BL, <lb></lb> <arrow.to.target n="marg207"></arrow.to.target><lb></lb>omnesque tertiae aequales cylindro facto ex FL. Ergo erunt omnes <lb></lb>primae simul nempe parallelogrammum AB ad omnes simul secundas, <lb></lb>nempe ad figuram semiparabolae circumscriptam, ut sunt omnes ter<lb></lb>tiae simul; nempe cylindrus ex OD factus, ad omnes quartas, nempe <lb></lb>ad cylindros hemisphaerio ciscumscriptos. </s><s>Sed parallelogrammum ED <lb></lb>magis est quàm sesquialterum figurae circumscriptae ad semipara<lb></lb>bolam, ergo cylindrus ex OD magis quàm sesquialter erit ad omnes <lb></lb>cylindros hemisphaerio circumscriptos. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg207"></margin.target>Lem. 18.</s></p> <p type="main"> <s>Quod est absurdum: Scimus enim cylindrum hemisphaerio circum<lb></lb>scriptum ipsius hemispherii esse sesquialterum. </s><s>Patet itaque paralle<lb></lb>logr. </s><s>ED sesquialternm esse ad semiparabolam ABD; et ideo semiparab. </s><s><lb></lb>sesquitertia trianguli ABD.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <pb></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>QUADRATURA PARABOLAE<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PER NOVAM INDIVISIBILIUM GEOMETRIAM<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PLURIBUS MODIS ABSOLUTA<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Hactenus de dimensione parabolae more antiquorum <lb></lb>dictum sit; Reliquum est ut eandem parabolae mensuram <lb></lb>nova quedam, sed mirabili ratione aggrediamur; ope sci<lb></lb>licet Geometriae Indivisibilium, et hoc diversis modis: <lb></lb>Suppositis enim praecipui Theorematib. antiquorum tàm <lb></lb>Euclidis, quàm Archimedis, licet de rebus inter se diver<lb></lb>sissimis sint, mirum est ex unoquoque eorum quadraturam <lb></lb>parabolae facili negotio elici posse; et vice versa. </s><s>quasi <lb></lb>ea sit commune quoddam vinculum veritatis. </s><s>Posito enim <lb></lb>quòd cylindrus inscripti sibi coni triplus sit, hinc sequitur <lb></lb>parabolam inscripti sibi triangoli esse sesquitertiam: Si <lb></lb>verò mavis praemittere cylindrum inscriptae sibi sphaerae <lb></lb>esse sesquialterum, continuò parabolae quadratura infertur. </s><s><lb></lb>Eadem concluditur supposita demonstratione, quae probat <lb></lb>centrum gravitatis coni positum esse in axe, ita ut pars <lb></lb>quae ad verticem est, reliquae sit tripla. </s><s>Parabola non <lb></lb>minus quadratur etiam supponendo spatium à linea spirali <lb></lb>in prima revolutione descripta, et à recta quae initium <lb></lb>est revolutionis, compraehensum, subtriplum esse primi <lb></lb>circuli. </s><s>Contrà verò: supposità parabolae quadratura, prae<lb></lb>dicta omnia Theoremata facilè demonstrari possunt. </s><s>Quod <lb></lb>autem haec indivisibilium Geometria novum penitus in- <pb pagenum="140"></pb>ventum sit, equidem non ausim affirmare. </s><s>Crediderim po<lb></lb>tius veteres Geometras hoc metodo usos in inventione <lb></lb>Theorematum difficillimorum, quamquam in demonstratio<lb></lb>nibus aliam viam magis probaverint, sive ad occultandum <lb></lb>artis arcanum, sive ne ulla invidis detractoribus profer<lb></lb>retur occasio contradicendi. </s><s>Quicquid est, certum est hanc <lb></lb>Geometriam mirum esse pro inventione compendium, et <lb></lb>innumera quasi imperscrutabilia Theoremata, brevibus, di<lb></lb>rectis, affirmativisque demonstrationibus confirmare; quod <lb></lb>per doctrinam antiquorum fieri minimè potest. </s><s>Haec enim <lb></lb>est in Mathematicis spinetis via verè Regia, quàm primus <lb></lb>omnium aperuit, et ad pubblicum bonum complanavit mi<lb></lb>rabilium inventorum machinator Cavalerius. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XI.<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Parabola sesquitertia est trianguli eandem ipsi basim, et eandem <lb></lb>altitudinem habentis. </s></p> <p type="main"> <s>Esto parabola ABC, cuius tangens CD, <lb></lb> <arrow.to.target n="fig126"></arrow.to.target><lb></lb>et diametro aequidistans sit AD. Perficiatur <lb></lb>parallelogrammum AE; et circa diametrum <lb></lb>AD intelligatur circulus, qui sit basis coni <lb></lb>cuiusdam verticem habentis in puncto C, et <lb></lb>item sit basis cylindri alicuius ACED eiusdem <lb></lb>altitudinis cum dicto cono. </s></p> <figure id="fig126"></figure> <p type="main"> <s>Ducantur iam quaelibet recta FG paral<lb></lb>lela ad AD, et per ipsum intelligatur tran<lb></lb> <arrow.to.target n="marg208"></arrow.to.target><lb></lb>sire planum parallelum circulo AD. Erit ergò <lb></lb>FG ad IB ut recta DA ad IB hoc est ut <lb></lb>quadratum DC ad quadratum CI, sive ut <lb></lb>quadratum DA ad IG, sive ut circulus DA ad circulum IG, nempe ut <lb></lb>circulus FG ad eundem IG. Et hoc semper; suntque omnes primae ma<lb></lb>gnitudines aequales rectae DA. Et ideò inter se; omnes etiam tertiae <lb></lb>aequales circulo DA et ob id inter se; ergo per Lemma 18 erunt <lb></lb>omnes primae simul, nempe parallelogrammum AE, ad omnes secundas <lb></lb>simul, nempe ad trilineum ABCD, ut sunt omnes tertiae simul, nempe <lb></lb>cylindrus AE, ad omnes quartas simul hoc est ad conum ACD. Est <lb></lb>igitur parallelogrammum AE triplum trilinei ABCD. Sumptoque di<lb></lb>midio, erit triangulum ACD sesquialterum trilinei ABCD; et per con- <pb pagenum="141"></pb>versionem rationis, erit triangulum ACD triplum ipsius parabolae. </s><s><lb></lb>Propterea, ex demonstratione propositionis 9. erit parabola inscripti <lb></lb>sibi trianguli sesquitertia. </s><s>Quod erat etc.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg208"></margin.target>ob parabo<lb></lb>lam. </s><s><lb></lb>ob similitud. </s><s><lb></lb>triang.</s></p> <p type="main"> <s>Alia quoque ratione parabolam quadrabimus, demon<lb></lb>stratis priùs, quà fieri poterit brevitate, indivisibilium prin<lb></lb>cipijs. </s><s>Declinabimus autem ab immenso Cavalerianae Geo<lb></lb>metriae oceano, minori audacia radentes terram. </s><s>Qui volet, <lb></lb>haec omnia videre poterit (in fonte dicam, an in pelago?) <lb></lb>circa medium secundi libri Geometriae indivisibilium Ca<lb></lb>valerij. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma XX.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Quadrata omnium partium cuiuscunque rectae lineae subtripla sunt <lb></lb>totidem quadratorum totius.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Esto quaelibet recta linea AB. Dico omnia simul qua<lb></lb>drata omnium partium rectae AB esse subtripla totidem <lb></lb>quadratorum eiusdem rectae lineae AB. </s></p> <p type="main"> <s>Fiat enim quadratum ACDB, ductàque <lb></lb> <arrow.to.target n="fig127"></arrow.to.target><lb></lb>diametro AD, convertatur figura circa axem <lb></lb>AB donec in eum locum redeat unde cepit <lb></lb>moveri. </s><s>Manifestum est, quod à quadrato <lb></lb>cylindrus CH describetur, à triangulo verò <lb></lb>ABD conus DAH, qui verticem habebit in A. <lb></lb>Ducatur iam quaelibet EF parallela ipsi CA, <lb></lb>eritque AF, sive FG, (sunt enim aequales) <lb></lb>una ex infinitis partibus totius AB. </s></p> <figure id="fig127"></figure> <p type="main"> <s>Iam; quadratum totius AB, ad quadratum partis AF, <lb></lb>est, ob aequalitatem, ut quadratum EF ad FG, nempe ut <lb></lb>circulus diametro EL factus, ad circulum diametro GI. <lb></lb> <arrow.to.target n="marg209"></arrow.to.target><lb></lb>Et sic erit semper. </s><s>Suntque primae magnitudines sin<lb></lb>gulae aequales quadrato AB, et tertiae semper aequales <lb></lb>circulo DH. Ergo omnes primae simul, hoc est tot qua<lb></lb> <arrow.to.target n="marg210"></arrow.to.target><lb></lb>drata lineae AB, quot ipsa habet partes, ad omnia quadrata <lb></lb>partium, erunt ut omnes tertiae simul, hoc est ut cyliudrus <lb></lb>CH, ad omnes quartas simul, nempe ad conum DAH. Sunt <lb></lb>ergò tot quadrata alicuius lineae quot ipsa habet partes, <lb></lb>ad omnia quadrata partium ipsius ut cylindrus CH ad <lb></lb>conum DAH, nempe tripla. </s><s>Et convertendo constat pro<lb></lb>positum quod demonstrandum fuerat etc. </s></p> <pb pagenum="142"></pb> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg209"></margin.target>2. duodecimi.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg210"></margin.target>Lem. 18.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma XXI.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Omnia rectangula, quae continentur sub aliqua recta linea cum <lb></lb>singulis suis partibus, et reliquis partibus sub sesquialtera sunt totidem <lb></lb>quadratorum eiusdem rectae lineae.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Assumpta praecedentis Lemmatis figura, acceptum sit <lb></lb>in recta AB quodlibet punctum F. Rectangulum sub BAF <lb></lb>tanquàm una recta linea, et sub FB. contentum, erit unum <lb></lb>ex omnibus praedictis rectangulis, (unum enim latus com<lb></lb>ponitur ex tota AB, cum parte AF; alterum verò est FB, <lb></lb>nimirum reliqua pars). Rectangulum autem praedictum, <lb></lb>sub BAF tamquam una recta et sub FB contentum, idem <lb></lb>est, ob aequalitatem laterum, ac rectangulum EIL. Et hoc <lb></lb>semper verum erit hoc modo, ubicunque sit punctum F. <lb></lb>Sed omnia rectangula sub rectis interceptis in trapezio <lb></lb>CAHD (qualium una est EI) et sub reliquis, qualium una <lb></lb>est IL; una cum omnibus quadratis intermediarum sectio<lb></lb>num (qualium una est FI) aequantur (propter V secundi <lb></lb>elementorum) omnibus quadratis dimidiarum, qualium una <lb></lb>est FL. Omnia verò quadrata intermediarum sectionum, <lb></lb> <arrow.to.target n="marg211"></arrow.to.target><lb></lb>(qualium una est FI) ad omnia quadrata dimidiarum (qua<lb></lb>lium una est FL) sunt ut unum ad 3. Si ergo demantur <lb></lb>omnia quadrata intermediarum, remanebunt omnia rectan<lb></lb>gula, quorum unum est EIL, sive omnia rectangula con<lb></lb>tenta sub AB cum singulis suis partibus, et reliquis par<lb></lb>tibus, subsesquialtera omnium quadratorum, quae fiunt à <lb></lb>dimidiis, sive totidem quadratorum totius AB. Quod fuerut <lb></lb>ostendendum etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg211"></margin.target>Lem. <lb></lb>praeced.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XII.<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Parabola sesquitertiam est trianguli eandem ipsi basim, et eandem <lb></lb>altitudinem habentis. </s></p> <p type="main"> <s>Esto parabola ABC, cuius diameter <lb></lb> <arrow.to.target n="fig128"></arrow.to.target><lb></lb>BE, et circa parabolam sit parallelo<lb></lb>grammum DC. Ducatur quaelibet FG <lb></lb>diametro parallela; eritque FG. ad GI, <lb></lb>ut BE ad GI, sive ut rectangulum CEA, <lb></lb>ad CGA, hoc est ut quadratum CE ad rectangulum CGA. Et hoc modo <pb pagenum="143"></pb>semper; suntque primae magnitudines aequales semper rectae BE; ter<lb></lb>tiae autem semper aequales quadrato CE. Ergo omnes primae simul, <lb></lb>hoc est parallelogrammum AB, ad omnes secundas simul, nempe ad <lb></lb> <arrow.to.target n="marg212"></arrow.to.target><lb></lb>semiparabolam AIBE; erunt ut omnes simul tertiae, videlicet tot <lb></lb>quadrata lineae CE quot ipsa habet partes, ad omnes quartas simul, <lb></lb>nempe ad omnia rectangula sub CE cum singulis suis partibus, et <lb></lb>sub reliquis partibus. </s><s>Ergo (ex praecedenti Lemmate) parallelogram<lb></lb>mum AB er<emph type="italics"></emph>i<emph.end type="italics"></emph.end>t ipsius semiparabolae sesquialterum; Totumque paralle<lb></lb>logrammum DC erit totius parabolae sesquialterum, nempe ut 6. ad <lb></lb>4. Propterea parabola ad inscriptum sibi triangulum (quod quidem <lb></lb>parallelogrammi DC sub duplum est) erit ut 4. ad 3. Nempe sesqui<lb></lb>tertia. </s><s>Quod erat etc.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg212"></margin.target>Lem. 18.</s></p> <figure id="fig128"></figure> <p type="main"> <s>Possumus sine molestia illorum lemmatum, parabo<lb></lb>lam quadrare eadem argumento, diversis tamen principijs, <lb></lb>nempe per suppositionem proportionis, quam cylindrus ha<lb></lb>bet ad sphaeram sibi inscriptam; quae quidem proportio <lb></lb>sesquialtera est, ut ostenditur ex Archimede; libro primo <lb></lb>de Sphaera et Cylindro. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XIII.<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Parabola sesquitertia est trianguli eandem ipsi basim, et eandem <lb></lb>altitudinem habentis. </s></p> <p type="main"> <s>Esto parabola ABC, circa quam sit pa<lb></lb> <arrow.to.target n="fig129"></arrow.to.target><lb></lb>rallelogrammum AD; et circa diametrum <lb></lb>AC fiat semicirculus, circa quem sit rectan<lb></lb>gulum AE. Tum manente axe AC, intelli<lb></lb>gatur circumverti ipsum semicirculum, ita <lb></lb>ut ex ipsius revolutione Sphaera circum<lb></lb>scribatur: ex conversione verò rèctang. </s><s>AE <lb></lb>cylindrus nascatur. </s></p> <figure id="fig129"></figure> <p type="main"> <s>Sumpto iam quolibet puncto G. ducatur <lb></lb>recta GF parallea diametro HB; et per idem punctum G agatur pla<lb></lb>num GL erectum ad axem AC. </s></p> <p type="main"> <s>Erit recta FG ad GI, ut BH ad GI (ob aequalitatem) hoc est rectan<lb></lb>gulum GHA, ad rectangulum CGA, sive ut quadratum HN ad quadra<lb></lb>tum GM (ob circulum) sive ut quadratum GL ad quadratum GM; nempe <lb></lb>ut circulus ex semidiametro GL in cylindro, ad circulum ex semidia<lb></lb>metro GM in sphaera. </s><s>Et hoc semper, ubicunque sumatur punctum G. <lb></lb>Sunt autem aequales inter se tàm omnes primae, quàm omnes tertiae <lb></lb>magnitudines. </s><s>Ergò omnes primae, nempe parallelogrammum AD ad <lb></lb> <arrow.to.target n="marg213"></arrow.to.target><lb></lb>omnes secundas, nempe ad parabolam ABC, erunt ut omnes tertiae, <lb></lb>hoc est cylindrus, ad omnes simul quartas, videlicet ad sphaeram. </s><s>Sed <pb pagenum="144"></pb>cylindrus ad sphaeram est sesquialter; ergò parallelogrammum etiam <lb></lb>AD parabolae sesquialterum erit: et ipsa parabola inscripti sibi trian<lb></lb>guli sesquitertia; ut in praecedenti conclusum est. </s><s>Quod etc.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg213"></margin.target>Lem. 18.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma XXII.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Si magnitudines quotcunque ad libram appensae fuerint ex quibus<lb></lb>cunque punctis: totidemque magnitudines alterius ordinìs ex iisdem <lb></lb>punctis pendeant, pariter cum praedictis magnitudinibus proportionales. </s><s><lb></lb>Erit unum idemque librae punctum centrum aequilibrij utriusque or<lb></lb>dinum magnitudinum.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Sint ad libram AB magni<lb></lb> <arrow.to.target n="fig130"></arrow.to.target><lb></lb>tudines primi ordinis quotcun<lb></lb>que C,D,E,F, ex quibuscunque <lb></lb>punctis appensae. </s><s>Totidemque <lb></lb>magnitudines G, H, I, L, se<lb></lb>cundi ordinis pendeant ex ijsdem punctis; et sint pro<lb></lb>portionales: nempe: Ut C ad D, ita sit G ad H. Iterum <lb></lb>ut C ad E, ita sit G ad I. etc. </s><s>Dico idem punctum librae <lb></lb>esse centrum commune aequilibrij utriusque ordinis ma<lb></lb>gnitudinum suspensarum. </s></p> <figure id="fig130"></figure> <p type="main"> <s>Cum enim sit ut C ad D, ita G ad H, ex eodem puncto <lb></lb>aequiponderabunt, tam duae magnitudines C et D, quam <lb></lb>duae G et H. </s></p> <p type="main"> <s>Ampliùs. </s><s>Cum sit ut C ad D, ita G ad H, erit conver<lb></lb>tendo et componendo DC ad C, ut HG ad G. C autem <lb></lb>ad E est ut G ad I; ergò ex aequo CD simul ad E erit <lb></lb>ut GH simul ad I. Quare magnitudines CD, et E, ex eodem <lb></lb>puncto aequiponderabunt, ex quo aequiponderant duae <lb></lb>GH et I. </s></p> <p type="main"> <s>Ulterius. </s><s>Cum autem per iam dicta, sit ut CD ad E, <lb></lb>ita GH ad I, erit componendo CDE ad E, ut GHI ad I. <lb></lb>Sed E ad C est ut I ad G; et C ad F, ut G ad L. </s></p> <p type="main"> <s>Quare ex aequo CDE simul ad F, erit ut GHI simul <lb></lb>ad L. Ergo duae magnitudines CDE et F. habebunt idem <lb></lb>punctum aequilibrij, quod habent duae magnitudines GHI <lb></lb>et L. Et sic etiam si sint plures magnitudines, usque in <lb></lb>infinitum, quod erat propositum etc. </s></p> <pb pagenum="145"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma XXIII.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Si parabola tangentem habuerit ad basim, ex altera verò parte <lb></lb>lineam diametro parallelam. </s><s>Trilineum compraehensum sub curvà pa<lb></lb>rabolicà, sub tangente, et sub parallela praedictà, aequiponderabit ex <lb></lb>puncto tangentis ubi ea sic dividitur, ut pars ad contactum terminata <lb></lb>reliquae sit tripla.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Esto parabola ABC, cuius tangens <lb></lb> <arrow.to.target n="fig131"></arrow.to.target><lb></lb>ad basim sit CD; aequidistans diametro <lb></lb>sit AD. Dico trilineum mixtum ABCD <lb></lb>aequiponderare ex puncto tangentis CD, <lb></lb>ubi ea dividitur ut pars versus conta<lb></lb>ctum C, reliquae sit tripla. </s></p> <figure id="fig131"></figure> <p type="main"> <s>Concipiatur figura ita ut DA ad ho<lb></lb>rizontem sit perpendicularis; et circa <lb></lb>diametrum DA intelligatur circulus, <lb></lb>qui sit basis coni verticem habentis in puncto C. Sumpto <lb></lb>iam quolibet puncto E, ducatur EF aequidistans ipsi DA; <lb></lb>et per ipsam transeat planum parallelum basi coni. </s></p> <p type="main"> <s>Erit ergò recta DA ad EB, ut quadratum DC ad CE; <lb></lb> <arrow.to.target n="marg214"></arrow.to.target><lb></lb>sive ut quadratum DA ad EF, hoc est ut circulus DA <lb></lb>ad EF. Et hoc semper, tubicunque sit punctum E. Ergò <lb></lb>cum ad libram DC pendeant ab ijsdem punctis magnitu<lb></lb>dines duorum ordinum proportionales ut in praecedenti <lb></lb>lemmate imperatum est, habebunt omnes magnitudines <lb></lb>simul primi ordinis (hoc est omnes lineae trilinei ABCD, <lb></lb>sive ipsum trilineum) idem punctum aequilibrij, quod ha<lb></lb>bent omnes magnitudines simul secundi ordinis (hoc est <lb></lb>omnes circuli coni ACD, sive idem conus). Conus autem <lb></lb>aequiponderat ex puncto quod secat CD ita ut pars ad C <lb></lb>reliquae sit tripla, quandoquidem recta DA est ad ho<lb></lb>rizontem perpendicularis; ergo etiam trilineum ABCD <lb></lb>aequiponderabit ex eodem puncto. </s><s>Quod erat proposi<lb></lb>tum etc. </s></p> <pb pagenum="146"></pb> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg214"></margin.target>ob parabo<lb></lb>lam.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XIV.<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Parabola sesquitertia est trianguli eandem ipsi basim, et eandem <lb></lb>altitudinem habentis. </s></p> <p type="main"> <s>Esto parabola ABC, cuius diameter DE <lb></lb> <arrow.to.target n="fig132"></arrow.to.target><lb></lb>intelligatur ad horizontem perpendicularis; <lb></lb>sintque CF et AD tangentes; ipsa vero AF <lb></lb>diametro aequidistans. </s><s>Sumatur deinde FH <lb></lb>quarta pars totius FC; et ex puncto H (per <lb></lb>lemma praecedens) aequiponderabit trilineum <lb></lb>mixtum ABCF. Accipiatur etiam FI tertia pars <lb></lb>totius FC, et ex I aequiponderabit totum trian<lb></lb>gulum AFC. Parabola vero, cum babeat cen<lb></lb>trum in diametro, aequiponderat ex D. Ergo <lb></lb>trilineum ABCF ad ipsam parabolam erit re<lb></lb>ciprocè ut DI ad IH, nempe duplum (qualium <lb></lb>enim partium FC est 12. talium ipsa FD est 6. <lb></lb>FI verò 4. et FH 3. et ideó DI 2. et IH una). Propterea componendo <lb></lb>erit totum triangulum AFC, parabolae triplum. </s><s>Reliquum quadraturae <lb></lb>absolvitur ut in Propositione IX. factum est. </s><s>Quod erat etc.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <figure id="fig132"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Aliter.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Positis ijsdem, ut suprà, sumatur FH, quarta pars to<lb></lb>tius FC, aequiponderabitque ex puncto H trilineum mi<lb></lb>xtum ABCF. Sumatur etiam FI, ter<lb></lb> <arrow.to.target n="fig133"></arrow.to.target><lb></lb>tia pars ipsius FD; tunc enim aequi<lb></lb>ponderabit ex puncto I triangulum <lb></lb>FDA. </s></p> <figure id="fig133"></figure> <p type="main"> <s>Trilineum verò mixtum ABCD ae<lb></lb>quiponderat ex puncto D. (nam trian<lb></lb>gulum totum ADC aequiponderat ex <lb></lb>puncto D; parabola etiam ablata ex <lb></lb>eodem puncto D aequiponderat, ergò <lb></lb>etiam reliquum trilineum ABCD ex <lb></lb>puncto D aequiponderare necesse est). <lb></lb>Erit itaque triangulum FDA ad trilineum ABCD ut reci<lb></lb>procè DH ad HI, nempe ut 3. ad unum; et per conver<lb></lb>sionem rationis triangulum ADC ad parabolam erit ut 3. <lb></lb>ad 2. sive ut 6. ad 4. Quarè parabola ad triangulum ABC <pb pagenum="147"></pb>est ut 4. ad 3. Nempe sesquitertia. </s><s>Quod erat propositum <lb></lb>demonstrare etc. </s></p> <p type="main"> <s>Alijs etiam principijs parabolae quadraturam aggredia<lb></lb>mur, praemissa sequenti progressionum Geometricarum <lb></lb>speculatione. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma XXIV.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Si duae rectae lineae invicem concurrant, et inter ipsas descriptum <lb></lb>sit quoddam flexilineum constans ex lineis alternatim parallelis; erunt <lb></lb>omnes lineae quae inter se parallelae sunt, in continua proportione.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Concurrant invicem due <lb></lb> <arrow.to.target n="fig134"></arrow.to.target><lb></lb>rectae lineae AB, CB in pun<lb></lb>cto B; et inter ipsas descri<lb></lb>ptum sit flexilineum CADE <lb></lb>FG. etc. </s><s>ita ut CA, DE, FG, <lb></lb>etc. </s><s>sint inter se parallelae; item AD, EF, et reliquae <lb></lb>vicisim sumptae inter se parallelae sint. </s><s>Dico AC, ED, GF, <lb></lb>esse in continua proportione. </s></p> <figure id="fig134"></figure> <p type="main"> <s>Est enim, ob parallelas, ut AC ad ED, ita AB ad BE, <lb></lb>sive DB ad BF, hoc est ED ad GF. Constat ergò quod <lb></lb> <arrow.to.target n="marg215"></arrow.to.target><lb></lb>propositum fuerat. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg215"></margin.target>2. et 4. sexti.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma XXV.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Positis duabus rectis lineis invicem concurrentibus, ut suprà; si <lb></lb>inter ipsas fuerint duae parallelae AC, DE, et iunctà CD, continuatum <lb></lb>intelligatur flexilineum ACDE in infinitum usque ad pnnctum concur<lb></lb>sus B. Dico in huiusmodi flexilineo esse omnes, et singulos ad unguem <lb></lb>terminos qui sunt in progressione proportionis AC ad DE, in infinitum <lb></lb>continuatae.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Ponatur F aequalis ipsi <lb></lb> <arrow.to.target n="fig135"></arrow.to.target><lb></lb>AC, et G aequalis ipsi DE: <lb></lb>Et concipiatur propositio F <lb></lb>ad G continuata in infinitis <lb></lb>suis terminis FH. </s></p> <figure id="fig135"></figure> <p type="main"> <s>Iam si possibile est, ali<lb></lb>quem, sive aliquos terminos <lb></lb>esse in progressione FH, qui non reperiantur in flexilineo. <pb pagenum="148"></pb>Esto: et sit maximus terminus I, illorum, qui cum sint <lb></lb>in progressione FH, non sunt in flexilineo. </s><s>Erit ergò ter<lb></lb>minus I ipsi praecedens, in flexilineo. </s><s>Sit ille MN. Et quo<lb></lb>niam L ad I est ut F ad G, sive ut AC ad DE, sive ut <lb></lb>NM ad PO proximè sequentem, suntque aequales L, et NM; <lb></lb>erunt aequales etiam I et PO. Terminus ergo I qui pone<lb></lb>batur non esse in flexilineo, in eodem repertus est. </s></p> <p type="main"> <s>Eodem penitus modo demonstrabimus nullum terminum <lb></lb>esse in flexilineo, qui non sit etiam in progressione FH. <lb></lb>etc. </s><s>Concludemus igitur esse in flexilineo omnes precisè <lb></lb>terminos proportionis AC ad DE in infinitum continuatae, <lb></lb>cum demonstratum sit nullum in flexilineo terminum de<lb></lb>siderari qui sit in progressione FH; neque ullum supera<lb></lb>bundare, qui non reperiatur etiam ia progressione FH. etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma XXVI.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Suppositis infinitis rectis lineis continua proportione maioris inae<lb></lb>qualitatis, rectam lineam, quae praedictis omnibus sit aequalis reperire.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Ponantur primae duae lineae datae progressionis esse <lb></lb>A, B: quib. ponantur aequales; CD maiori A, et EF mi<lb></lb>nori B. Sintque CD, EF parallelae; et iungantur DF, CE, <lb></lb>quae necessariò concurrent. </s><s>Concurrant. </s><s>itaque in puncto <lb></lb>G, et ductà CF, ipsi aequidistans sit GL. </s></p> <p type="main"> <s>Dico rectam DL aequalem <lb></lb> <arrow.to.target n="fig136"></arrow.to.target><lb></lb>esse omnibus infinitis termi<lb></lb>nis progressionis ABM simul <lb></lb>sumptis. </s></p> <figure id="fig136"></figure> <p type="main"> <s>Concipiatur enim conti<lb></lb>nuatum flexilineum DCFE <lb></lb>etc. </s><s>in infinitum, usque ad <lb></lb>punctum G, eruntque in ipso <lb></lb>omnes lineae, sive termini <lb></lb>datae progressionis ABM. </s></p> <p type="main"> <s>Producantur iam HE, NI, <lb></lb>et reliquae ipsis parallelae <lb></lb> <arrow.to.target n="marg216"></arrow.to.target><lb></lb>usque ad DL. Eritque EF. <lb></lb>aequalis ipsi CP, et HI ae<lb></lb>qualis ipsi <expan abbr="Pq;">Pque</expan> et NO ipsi QR; <pb pagenum="149"></pb>et sic de singulis. </s><s>Qualibet enim linea quae sit in flexilineo, <lb></lb>habebit suam portiunculam respondentem in rectà DL, sibi <lb></lb>aequalem; donec flexilineum pervenerit ad ultimum pun<lb></lb>ctum G: Tunc autem neque de flexilineo, neque de linea <lb></lb>DL quidquam supererit; sed tam ipsum flexilineum, quàm <lb></lb>etiam recta DL penitus absumpta erit: Est enim ipsa GL, <lb></lb>quae ab ultimo flexilinei puncto G ducitur, ultima omnium <lb></lb>parallelarum, quae producuntur usque ad DL. Ergò omnes <lb></lb>simul lineae flexilinei, quarum prima est CD, alternatim <lb></lb>sumptae (hoc est omnes lineae poogressionis ABM) ae<lb></lb>quales sunt omnib. portiunculis rectae DL simul sumptis; <lb></lb>hoc est ipsi DL. Quod erat ostendendum etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg216"></margin.target>34. primi.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma XXVII.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Suppositis infinitis magnitudinibus in continua proportione Geome<lb></lb>trica maioris inaequalitatis, erit prima magnitudo media proportionalis <lb></lb>inter primam differentiam et inter aggregatum omnium.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Assumptà enim praecedenti <lb></lb> <arrow.to.target n="fig137"></arrow.to.target><lb></lb> <arrow.to.target n="marg217"></arrow.to.target><lb></lb>constructione, ducatur FU aequi<lb></lb>distans ipsi GC: et erit DU prima <lb></lb>differentia. </s><s>Sed DU ad primam <lb></lb>magnitudinem DC est ut FD ad <lb></lb>DG, hoc est ut DC ad DL aggre<lb></lb>gatum omnium. </s><s>Quod erat demo<lb></lb>strandum etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg217"></margin.target>4. Sexti.</s></p> <figure id="fig137"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Scholium.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Hoc esse verum etiam in numeris, et cuiuscunque ge<lb></lb>neris magnitudinibus non dubitabimus affirmare. </s><s>Afferre<lb></lb>mus etiam universaliorem demonstrationem, praecipuè cum <lb></lb>admodum brevis sit. </s><s>Huius veritatis conclusis cum à nobis <lb></lb>obiter celeberrimo Cavalerio collata fuisset, ipse etiam <lb></lb>idem Theorema sequenti demonstratione, quae à nobis <lb></lb>iam in prima inventione adhibita fuerat, confirmavit. </s></p> <p type="main"> <s>Praemittitur hoc. </s><s>Quod si fuerint quotcunque magni<lb></lb>tudines sive finitae numero, sive infinitae, quarum ante- <pb pagenum="150"></pb>cedens semper sequente maior sit, erit prima omnium <lb></lb>magnitudo aequalis omnibus differentijs simul cum ipsa <lb></lb>minima magnitudine sumptis. </s></p> <p type="main"> <s>Notum est hoc apud Geometras, demonstraturque ut à <lb></lb>nobis factum est in Lemmate 15. Ubi ostendimus parallelo<lb></lb>grammum AE aequale esse omnibus differentis inter se<lb></lb>quentia parallelogramma, et minimo parallelogrammo OC. </s></p> <p type="main"> <s>Supponantur iam infinitae numero magnitudines in con<lb></lb>tinua proportione Geometrica maioris inaequalitatis; ma<lb></lb>nifestnm est quod minima omnium magnitudo vel non <lb></lb>erit, vel punctum erit. </s><s>Ergo in hoccasu erit prima magni<lb></lb>tudo aequalis omnibus tantum differentijs. </s></p> <p type="main"> <s>Cum autem ponantur magnitudines in continua pro<lb></lb>portione Geometrica, erunt etiam differentiae in eadem <lb></lb>ratione proportionales; et ideo (factà conversione) erit ut <lb></lb>prima differentia ad primam magnitudinem, ita secunda <lb></lb>differentia ad secundam magnitudinem, et sic semper. </s><s><lb></lb>Propterea ut una ad unam, ita collectim erunt omnes ad <lb></lb>omnes. </s><s>Nempe ut prima differentia ad primam magnitu<lb></lb>dinem, ita erunt omnes simul differentiae (hoc est ipsa <lb></lb>prima magnitudo) ad omnes magnitudines simul. </s></p> <p type="main"> <s>Constat ergò primam magnitudinem mediam propor<lb></lb>tionalem esse inter primam differentiam, et aggregatum <lb></lb>omnium </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XV.<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Parabola sesquitertia est trianguli eandem ipsi basim, et eandem <lb></lb>altitudinem habentis. </s></p> <p type="main"> <s>Esto parabola ABC in quà inscriptum <lb></lb> <arrow.to.target n="fig138"></arrow.to.target><lb></lb>sit triangulum ABC. Dico parabolam <lb></lb>trianguli ABC esse sesquitertiam. </s></p> <figure id="fig138"></figure> <p type="main"> <s>Inscribantur enim etiam in reliquis <lb></lb>portioniaus ADB, BEC, duo triangula <lb></lb> <arrow.to.target n="marg218"></arrow.to.target><lb></lb>ADB, BEC. Eritque triangulum ABC, quadruplum duorum simul trian<lb></lb> <arrow.to.target n="marg219"></arrow.to.target><lb></lb>gulorum ADB, BEC. Concipiantur etiam in reliquis quatuor portiun<lb></lb>culis AD, DB, BE, EC, inscripta quatuor triangula; eruntque duo simul <lb></lb>triangula ADB, BEC, quadrupla praedictorum simul quatuor subsequen<lb></lb>tium triangulorum; et hoc modo semper. </s><s>Parabola igitur nihil aliud <lb></lb>est quàm aggregatum quoddam infinitarum numero magnitudinum in <lb></lb>proportione quadrupla, quarum prima est triangulum ABC, secunda <pb pagenum="151"></pb>verò constat ex duobus triangulis ADB, BEC. Propterea prima magni<lb></lb>tudo ABC media proportionalis erit inter primam differentiam, et ag<lb></lb>gregatum omnium, nempe parabolam. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg218"></margin.target>Lem. 7.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg219"></margin.target>Lem. 7.</s></p> <p type="main"> <s>Ponatur itaque triangulum ABC esse ut 4. et ideo duo simul trian<lb></lb>gula ADB, BEC erunt ut unum: eritque prima differentia (nimirum <lb></lb>inter 4. et unum) ut 3. Ergo aggregatum omnium infinitarum magni<lb></lb>tudinum, nempe ipsa parabola, erit (per lemma 27) ad primam ma<lb></lb>gnitudinem, hoc est ad inscriptum triangulum ABC, ut prima ipsa <lb></lb>magnitudo ad primam differentiam; videlicet ut 4. ad 3. nempe sesqui<lb></lb>tertia. </s><s>Quod erat propositum demonstrare etc.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Aliter.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Esto parabola ABC, cuius diameter DB, tangentes ad <lb></lb>basim AD, CD, per verticem verò EF. Inscribantur autem <lb></lb>in reliquis trilineis ABE, BCF, <lb></lb> <arrow.to.target n="fig139"></arrow.to.target><lb></lb>duo triangula GEH, IFL, (ut im<lb></lb>peratum fuit pro constructione <lb></lb>Lemmatis tertij et Quarti). Item <lb></lb>in reliquis quatuor trilineis mixtis, <lb></lb>quatuor triangula concipiantur; <lb></lb>et hoc modo semper. </s><s>Eritque uni<lb></lb>versum trilineum ABCD, nihil aliud quàm aggregatum <lb></lb>quoddam infinitarum multitudine magnitudinum in propor<lb></lb>tione quadrupla, quarum prima est triangulum EDF, se<lb></lb> <arrow.to.target n="marg220"></arrow.to.target><lb></lb>cunda verò constat ex duobus triangulis GEH, IFL; tertia <lb></lb> <arrow.to.target n="marg221"></arrow.to.target><lb></lb>verò ex quatuor sequentibus etc. </s><s>Propterea aggregatum <lb></lb>omnium, nempe trilineum mixtum ABCD, ad primam ma<lb></lb>gnitudinem, nempe ad triangulum EDF, erit ut ipsa prima <lb></lb>magnitudo ad primam differentiam, videlicet ut 4. ad 3. <lb></lb> <arrow.to.target n="marg222"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg220"></margin.target>Corol. I.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg221"></margin.target>Lem. 3.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg222"></margin.target>Lem. 27.</s></p> <figure id="fig139"></figure> <p type="main"> <s>Cum itaque trilineum ABCD ad triangulum EDF, sit <lb></lb>ut 4. ad tria erit idem trilineum ad triangulum ADC, ut 4. <lb></lb>ad 12. et ideo parabola ad triangulum ADC erit ut 8. ad <lb></lb>12. et ad inscriptum sibi triangulum ut 8. ad 6. Nempe <lb></lb>sesquitertia. </s><s>Quod erat demonstrandum etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma XXVIII.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Si fuerint infinitae numero rectae lineae AB, CD, EF, etc. </s><s>in con<lb></lb>tinua proportione Geometrica maioris inaequalitatis: altera autem po<lb></lb>natur progressio BG, DH, FI, etc. </s><s>ita ut sit quaemadmodum AB prima <lb></lb>ad BG primam, ità CD secunda ad DH secundam: et ita tertia EF ad <pb pagenum="152"></pb>tertiam FI, et sic semper. </s><s>Dico universum aggregatum progressionis <lb></lb>AB, CD, EF, etc. </s><s>ad aggregatum progressionis BG, DH, FI, esse ut <lb></lb>AB ad BG.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg223"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg223"></margin.target>iuxta <lb></lb>Lem. 25.</s></p> <p type="main"> <s>Intelligantur omnes termini <lb></lb> <arrow.to.target n="fig140"></arrow.to.target><lb></lb>duarum progressionum esse in fle<lb></lb>xilineis etc. </s><s>iunctisque AD, GD, <lb></lb>ducatur OL parallela ipsi AD, et <lb></lb>OM parallela ipsi DG, Eritque BL <lb></lb>aequalis omnibus infinitis terminis </s></p> <figure id="fig140"></figure> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg224"></arrow.to.target><lb></lb>AB, CD, EF, etc. </s><s>ipsa vero OM, <lb></lb>aequalis omnibus infinitis terminis <lb></lb>reliquae progressionis BG, DH, FI. <lb></lb> <arrow.to.target n="marg225"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg224"></margin.target>Lemma. 26.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg225"></margin.target>4. Sexti.</s></p> <p type="main"> <s>Iam: ut LB ad BA, ita est OB <lb></lb>ad BD, hoc est MB ad BG. Per<lb></lb>mutando igitur, aggregatum LB <lb></lb>ad aggregatum BM, est ut AB ad <lb></lb>BG; nempe ut una magnitudo ad <lb></lb>unam. </s><s>Quod erat etc. </s></p> <p type="main"> <s>Hoc Theorema poterat supponi tamquam demonstra<lb></lb>tum in propositione 12. Libri V. Euclidis: unum enim <lb></lb>atque idem est cum Theoremate dictae propositionis: Ve<lb></lb>rùm, quoniam ferè omnes opinantur Euclidem ibi suppo<lb></lb>nere multitudinem magnitudinum finitam, voluimus auxilio <lb></lb>flexilineorum uti. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XVI.<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Parabola sesquitertia est trianguli eandem ipsi basim et eandem <lb></lb>altitudinem habentis. </s></p> <p type="main"> <s>Sit parabola ABC, cuius diameter <lb></lb> <arrow.to.target n="fig141"></arrow.to.target><lb></lb>DE, tangentes ad basim AD, CD; per <lb></lb>verticem verò FBG. triangulum in<lb></lb>scriptum ABC. Dico parabolam trian<lb></lb>guli ABC esse sesquitertiam. </s></p> <figure id="fig141"></figure> <p type="main"> <s>Cum enim ipsa EB aequalis sit </s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg226"></arrow.to.target><lb></lb>ipsi BD, recta verò AC dupla rectae <lb></lb>FG; erit inscriptum triangulum ABC <lb></lb>duplum trianguli FDG sub tangen<lb></lb>tibus compraehensi. </s><s>Et hoc semper <lb></lb>verum est etiam circa reliquas portiones parabolicas AIB, BOC; (est <lb></lb>enim AIB parabola, cuius tangentes ad basim sunt AF. BF, ideoque <pb pagenum="153"></pb>triangulum iscriptum AIB duplum erit trianguli tangentium LFM. <lb></lb>Idemque verum etiam est ex alterà parte: Ergo duo simul triangula <lb></lb>AIB, BOC, dupla sunt duorum simul LFM, NGP.) ergò cum sint duae <lb></lb>progressiones utraque in proportione continuata magnitudinum infini<lb></lb>tarum multitudine, (altera nempe iurà parabolam, cuius primus ter<lb></lb>minus est triangulum ABC, secundus verò, duo triangula simul AIB, <lb></lb>BOC etc. </s><s>altera verò progressio extra parabolam, cuius nempe primus <lb></lb>terminus est triangulum FDG; secundus autem duo simul triangula <lb></lb>LFM, NGP, etc.) suntque singuli termini progressionis, quae intrà pa<lb></lb>rabolam est, dupli singulorum terminorum progressionis quae extrà <lb></lb>est: erit ergo aggregatum universum primae progressionis duplum <lb></lb> <arrow.to.target n="marg227"></arrow.to.target><lb></lb>totius aggregati secundae progressionis; Nempe ipsa parabola dupla <lb></lb>erit trilinei mixti ABCD. Componendo igitur, et per conversionem <lb></lb>rationis, erit triangulum ADC ipsius parabolae sesquialterum, nempe <lb></lb>ut 6. ad 4. ideoque parabola ad triangulum ABC erit ut 4. ad 8. vide<lb></lb>licet sesquitertia. </s><s>Quod erat ostendendum etc.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg226"></margin.target>ob <lb></lb>parabolam.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg227"></margin.target>Lem. 23.</s></p> <p type="main"> <s>Parabolae quadratura haberi potest sumptis alijs prin<lb></lb>cipijs, ope tamen indivisibilium. </s><s>Supponimus quae Archi<lb></lb>medes demonstravit in libro de lineis Spiralibus ad Pro<lb></lb>positiones 14. et 25. Praemisso Lemmate huiusmodi. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma XXIX.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Si fuerit ut prima magnitudo ad secundam, ita <lb></lb> <arrow.to.target n="fig142"></arrow.to.target><lb></lb>tertia ad quartam, et hoc quotiescunque libuerit: <lb></lb>fuerintque omnes primae, item et omnes tertiae <lb></lb>eodem modo proportionales; Erunt omnes primae <lb></lb>simul ad omnes secundas, ut sunt omnes tertiae <lb></lb>simul ad omnes quartas.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <figure id="fig142"></figure> <p type="main"> <s>Sit A prima ad B secundam, ut C tertia <lb></lb>ad D quartam; et E ad F ut G ad H; et <lb></lb>hoc quotiescunque libuerit. </s><s>Sintque omnes <lb></lb>primae, A, E, I, etc. </s><s>et omnes tertiae C, <lb></lb>G, M, etc. </s><s>proportionales ex ordine; Nempe <lb></lb>ut A ad E, ita sit C ad G. Amplius: ut <lb></lb>A ad I, ita sit C ad M, etc. </s><s>et sic semper. </s><s><lb></lb>Dico omnes primas simul A, E, I, etc. </s><s>ad <lb></lb>omnes secundas simul B, F, L, etc. </s><s>esse <lb></lb>ut sunt omnes tertiae simul C, G, M, etc. </s><s><lb></lb>ad omnes quartas simul D, H, N, etc. </s></p> <p type="main"> <s>Accipiantur O, P, <expan abbr="q;">que</expan> singulae aequales <lb></lb>primae primarum, hoc est ipsi A; et sint <pb pagenum="154"></pb>totidem quot sunt, omnes primae A, E, I, etc. </s><s>Item su<lb></lb>mantur R, S, T; totidem quot sunt, omes tertiae; et sint <lb></lb>singulae R, S, T, aequales primae tertiarum nempe ipsi C. </s></p> <p type="main"> <s>Iam ob aequalitatem erit ut O ad A, ita R ad C. <lb></lb>Amplius: Cum P sit aequalis ipsi A, et S ipsi C, erit <lb></lb>(propter suppositionem) ut P ad E, ita S ad G. et hoc sem<lb></lb> <arrow.to.target n="marg228"></arrow.to.target><lb></lb>per. </s><s>suntque omnes O, P, Q aequales, itemque omnes R, S, <lb></lb>T, aequales, ergo erunt omnes simul O, P, Q, etc. </s><s>ad omnes <lb></lb>A, E, I, etc. </s><s>ut omnes R, S, T, simul, ad omnes C, G, M. <lb></lb>Denique convertendo, omnes A, E, I, ad omnes O, P, Q, <lb></lb>erunt ut omnes C, G, M, ad omnes R, S, T. Quod memento. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg228"></margin.target>Lem. 18.</s></p> <p type="main"> <s>Quoniam verò ut O ad A, ita R ad C: et ut A ad B, <lb></lb>ita C ad D: erit ex aequo O ad B, ut R ad D: Eadem <lb></lb>penitus ratione concludemus ex aequo esse ut P ad F, <lb></lb> <arrow.to.target n="marg229"></arrow.to.target><lb></lb>ita ES ad H: et sic de coeteris. </s><s>Erunt ergò omnes simul <lb></lb>O, P, Q, etc. </s><s>ad omnes B, F, L, etc. </s><s>ut sunt omnes simul R, <lb></lb>S, T, etc. </s><s>ad omnes D, H, N, etc. </s><s>Quare ex aequo erunt <lb></lb>omnes A, E, I, etc. </s><s>ad omnes B, F, L, etc. </s><s>ut omnes C, G, <lb></lb>M, etc. </s><s>ad omnes D, H, N, etc. </s><s>Quod erat ostendendum. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg229"></margin.target>Lem. 18.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XVII.<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Parabola sesquitertia est trianguli eandem <lb></lb>ipsi basim, et eandem altitudinem habentis. </s></p> <p type="main"> <s>Sit parabola ABC, cuius tangens sit AE; dia<lb></lb>metro vero aequidistans sit CE; et ducatur quae<lb></lb>libet FD, pa<lb></lb> <arrow.to.target n="fig143"></arrow.to.target><lb></lb>rallela ipsi CE, <lb></lb>Eritque EC ad <lb></lb> <arrow.to.target n="marg230"></arrow.to.target><lb></lb>FB. Longitudi<lb></lb>ne, ut EA ad <lb></lb>AF, sive EC <lb></lb>ad FD poten<lb></lb>tia. </s><s>Propterea <lb></lb>erunt in conti<lb></lb>nua proportio<lb></lb>ne. </s><s>EC, FD, FB. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg230"></margin.target>ob <lb></lb>parabolam.</s></p> <figure id="fig143"></figure> <p type="main"> <s>Fiant dein<lb></lb>de centro A. <lb></lb>intervallis AC, <lb></lb>AD, duo circuli; <lb></lb>et ponatur elicis initium ex semidiametro AC. Sitque ipsa elix AGC. </s></p> <pb pagenum="155"></pb> <p type="main"> <s>Erit itaque DF ad FB, ut CE ad DF; sive ut CA ad AD, hoc est <lb></lb> <arrow.to.target n="marg231"></arrow.to.target><lb></lb>ut CA ad AG, sive ut peripheria tota CLHC, ad arcum CLH; hoc est <lb></lb>ut periphaeria tota DPGD, ad arcum DPG. Atque hoc erit semper, <lb></lb>ubicunque sumatur punctum D. Suntque omnes primae, item omnes <lb></lb>tertiae magnitudines, eo modo quo debent proportionales, (ut infrà <lb></lb>ostendemus). </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg231"></margin.target>14. spira<lb></lb>liùm.</s></p> <p type="main"> <s>Quare omnes primae simul, nempe triangulum AEC, ad omnes se<lb></lb>cundas simul nempe ad trilineum mixtum ABCE, erit ut omnes tertiae <lb></lb> <arrow.to.target n="marg232"></arrow.to.target><lb></lb>simul, nempe ut circulus CLH, ad omnes quartas simul, hoc est ad <lb></lb>reliquum ipsius circuli, dempto helicis spatio CAGC. Circulus autem <lb></lb>CLH, dicti spatij dempto helicis spatio, sesquialter est; ergò etiam <lb></lb> <arrow.to.target n="marg233"></arrow.to.target><lb></lb>triangulnm ACE sesquialterum erit trilinei mixti ABCE: et per con<lb></lb>versionem rationis, triangulum ACE, triplum erit parabolae ABC. Re<lb></lb>liquum quadraturae absolvetur ut in 9. Propositione factum est.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg232"></margin.target>Lemma <lb></lb>praeced.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg233"></margin.target>25. de lineis <lb></lb>spiralibus.</s></p> <p type="main"> <s>Quod autem assumptum fuit, nunc ostendemus; scilicet <lb></lb>quod omnes primae, omnesque tertiae magnitudines sint <lb></lb>proportionales eo modo, ut requiritur in lemmate prae<lb></lb>cedenti. </s></p> <p type="main"> <s>Ducatur in praemissa figura, quaelibet MO, aequidi<lb></lb>stans ipsi FD; et ponamus ipsam FD esse primam pri<lb></lb>marum; ipsam verò periphaeriam DPG, primam tertiarum. </s></p> <p type="main"> <s>Erit ergò DF ad OM, ut DA ad AO, sive ut periphaeria <lb></lb>DPG ad periphaeriam cuius semidiameter est AO, etc. </s></p> <p type="main"> <s>Et sic semper. </s><s>Quod oportebat etc. </s></p> <p type="main"> <s>Parabolam etiam quadrabimus intentata adhuc via; <lb></lb>nimirum quaesito eius centro gravitatis à priori ope in<lb></lb>divisibilium. </s><s>Supponimus autem lemma, quod Archimedes <lb></lb>ostendit in secundo Aequiponderantium. </s><s>Hoc est parabo<lb></lb>larum centra gravitatis, in eadem proportione suos dia<lb></lb>metros secare. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma XXX.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Centrum gravitatis parabolae diametrum ita dividit, ut pars ad <lb></lb>verticem terminata, reliquae sit sesquialtera.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Esto conus quilibet ABC, cuius basis AMC, axis BD, <lb></lb>triangulum verò per axem sit ABC; et sectus sit conus <lb></lb>plano EFG, ut iubetur in XI Propositione libri primi Co<lb></lb>nicorum. </s><s>Eritque sectio quae vocatur parabola, illiusque <pb pagenum="156"></pb>diameter erit FH, Esto iam <lb></lb> <arrow.to.target n="fig144"></arrow.to.target><lb></lb>centrum gravitatis parabolae <lb></lb>EFG, quodvis punctum, puta I. <lb></lb>Ostendendum est rectam FI <lb></lb>sesquialteram esse ipsius IH. </s></p> <figure id="fig144"></figure> <p type="main"> <s>Agatur per punctum I recta <lb></lb>AIL; seceturque conus alio <lb></lb>plano MNO, ipsi EFG parall. </s><s><lb></lb>eritque sectio MNO parabola, <lb></lb>et eius centrum gravitatis erit <lb></lb>P (est enim ob parallelas ut <lb></lb>FI ad IH, ita NP ad PR; sed I <lb></lb>ponitur centrum gravitatis pa<lb></lb>rabolae EFG; ergo per proposit. 7. lib. secundi aequipon<lb></lb>derantium P centrum gravitatis erit parabolae MNO). Et <lb></lb>sic semper, ubicunque sit planum MNO. Omnium ergò <lb></lb>singillatim parabolarum quae sunt in cono ABC, centra <lb></lb>gravitatis reperiuntur in recta AL: Quare etiam commune <lb></lb>centrum gravitatis omnium earumdem simul praedictarum <lb></lb>parabolarum erit in recta AL. Omnes autem parabolae, <lb></lb>atque ipse conus idem sunt; ergò centrum coni est in recta <lb></lb>AL; quod cum sit etiam in axe BD: erit centrum coni in <lb></lb>communi concursu S, ideòque BS erit ipsius SD tripla. </s></p> <p type="main"> <s>Ducatur ex centro basis recta DQ, aequidistans ipsi <lb></lb> <arrow.to.target n="marg234"></arrow.to.target><lb></lb>AL; eruntque aequales CQ, QL. Cum autem ob centrum <lb></lb>coni ipsa BS tripla sit ipsius SD, erit etiam BL, tripla <lb></lb> <arrow.to.target n="marg235"></arrow.to.target><lb></lb>ipsius LQ: et ideo BL sesquialtera ipsius LC: Quare etiam <lb></lb>FI sesquialtera erit ipsius IH. Quod erat propositum etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg234"></margin.target>ob 2. sexti.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg235"></margin.target>2. sexti.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XVIII.<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Parabola sexquitertia est trianguli eamdem ipsi basim, et eandem <lb></lb>altitudinem habentis. </s></p> <p type="main"> <s>Esto parabola ABC, cuius dia<lb></lb> <arrow.to.target n="fig145"></arrow.to.target><lb></lb>meter BD: inscriptum verò trian<lb></lb>gulum ABC. Dico parabolam sesqui<lb></lb>tertiam esse trianguli ABC. </s></p> <figure id="fig145"></figure> <p type="main"> <s>Secentur bifariam AD, DC in <lb></lb>punctis E, et F: ductaeque EG, FH, <lb></lb>diametro aequidistantes, ipsae dia<lb></lb>metri erunt portionum AGB, BHC. <pb pagenum="157"></pb>Sint centra gravitatis dictarum portionum O, et N; eruntque utraque <lb></lb> <arrow.to.target n="marg236"></arrow.to.target><lb></lb>GO, HN, sesquialtera reliquae OI, NL. Iungatur ON, et in ipsa ON erit <lb></lb>centrum commune gravitatis duarum portionum: sed est etiam in BD <lb></lb> <arrow.to.target n="marg237"></arrow.to.target><lb></lb>(nàm in BD est tam centrum totius parabolae, quam etiam trianguli <lb></lb>ABC). Quare punctum P. centrum erit portionum AGB, BHC. Ponatur <lb></lb>BD partium 60. eritque GE (cum sit subsesquitertia ipsius BD) par<lb></lb>tium 45. ipsa IE 30. et ipsa EO, hoc est DP. 36. Sit <expan abbr="q.">que</expan> centrum gravi<lb></lb> <arrow.to.target n="marg238"></arrow.to.target><lb></lb>tatis trianguli ABC. Eritque <expan abbr="Dq.">Dque</expan> 20. Sit R centrum parabolae eritque <lb></lb>RD 24. Erit ergo PR, 12. et RQ, 4. Sed ut PR ad RQ ita reciprocè <lb></lb>triangulum ABC ad duas portiones AGB, BHC. Quarè triangulum ABC <lb></lb>ad duas portiones AGB, BHC erit ut 12. ad 4. nempe ut 3. ad unum; <lb></lb>Componendòque et per conversionem rationis, erit parabola ABC ad <lb></lb>inscriptum sibi triangulum ut 4. ad 3. Nempe sesquitertia. </s><s>Quod erat <lb></lb>propositum etc.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg236"></margin.target>Lem <lb></lb>praeced.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg237"></margin.target>8. primi <lb></lb>aequip.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg238"></margin.target>Lem. <lb></lb>praeced.</s></p> <p type="main"> <s>Nova adhuc ratione quadraturam parabolae invademus <lb></lb>sumpto sequenti lemmate, quod quidem è Schola Cavale<lb></lb>riana prodijsse relatum est. </s><s>Inserviebat enim mensurae <lb></lb>cuiusdam solidi ab ipsa parabola circà ordinatim appli<lb></lb>catam revolutae, geniti. </s><s>Est autem Lemma huiusmodi, <lb></lb><emph type="italics"></emph>Authore Io. </s><s>Antonio Roccha praestanti Geometra.<emph.end type="italics"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma XXXI.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Si figura plana super alìquà sui rectà lineà figuram ipsam secante <lb></lb>libretur, erunt momenta segmentorum figurae, ut sunt solida rotunda <lb></lb>ab ipsis segmentis, circa secantem lineam revolutis, descripta.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Esto figura plana quaelibet ACDBFE, quam secet recta <lb></lb>linea AB: et concipiatur figura librari super rectà AB. <lb></lb>Dico momentum segmenti ACDB, ad momentum segmenti <lb></lb>AEFB. esse ut solidum rotundum genitum ex revolutione <lb></lb>segmenti ACDB circa axem AB, ad solidum rotundum ge<lb></lb>nitum ex conversione reliqui segmenti <lb></lb> <arrow.to.target n="fig146"></arrow.to.target><lb></lb>circa eundem axem revoluti. </s></p> <figure id="fig146"></figure> <p type="main"> <s>Sumptis enim duobus quibuscun<lb></lb>que pnnctis H, et I. in recta AB: <lb></lb>ducantur per H et per I, rectae CE, <lb></lb>DF. perpendiculares ad ipsam AB: <lb></lb>secenturque, bifariam segmenta DH, <lb></lb>HF, in punctis L et M. </s></p> <p type="main"> <s>Habebit ergo momentum rectae <lb></lb>DH ad momentum rectae HF, rationem compositam ex <pb pagenum="158"></pb>ratione magnitudinum DH ad HF, et ex ratione distan<lb></lb>tiarum LH ad HM; sive DH ad HF. Propterea momen<lb></lb>tum rectae DH ad momentum HF erit ut quadratum DH <lb></lb>ad quadratum HF. </s></p> <p type="main"> <s>Eodem modo ostendetur momentum rectae CI, ad mo<lb></lb>mentum rectae IE, esse ut quadratum CI ad quadratum <lb></lb>IE, et sic semper. </s></p> <p type="main"> <s>Amplius momentum DH ad momentum CI, est (ob <lb></lb>eandem rationem ut supra) ut quadratum DH ad quadra<lb></lb> <arrow.to.target n="marg239"></arrow.to.target><lb></lb>tum CI: et hoc semper, Erunt ergo omnes primae simul <lb></lb>magnitudines, nempe omnia momenta figurae ACDB, ad <lb></lb>omnes secundas simul, nempe ad omnia momenta reliquae <lb></lb>figurae AEFB: ut sunt omnes tertiae simul, nempe omnia <lb></lb>quadrata figurae ACDB, ad omnia quadrata reliquae figu<lb></lb>rae. </s><s>Sive ut sunt omnes circuli figurae ACDB (nempe so<lb></lb>lidum rotundum ex ipsius conversione circa axem AB <lb></lb>descriptum) ad omnes circulos reliquae figurae AEFB <lb></lb>(nempe ad solidum rotundum ex ipsius revolutione circa <lb></lb>eundem axem AB, genitum). Quod erat ostendendum etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg239"></margin.target>Lem. 29</s></p> <p type="main"> <s>Hoc praemisso (quod quidem uti suprà ediximus pe<lb></lb>nitus ab alijs desumptum est, et hic insertum tamquam <lb></lb>alienum, neque quod ego sciam adhuc vulgatum) parabo<lb></lb>lam quadrabimus, supposita demonstratione, quà multis <lb></lb>modis probatur Cylindrum inscripti sibi conoidis parabolici <lb></lb>esse duplum. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XIX.<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Parabola sesquitertia est trianguli eandem ipsi basim, et eandem <lb></lb>altitudinem habentis. </s></p> <p type="main"> <s>Esto semiparabola ABCD, circa <lb></lb> <arrow.to.target n="fig147"></arrow.to.target><lb></lb>quam sit rectan gulum DE. Sumatur <lb></lb>punctum F, ita ut AF. ad FD, sit <lb></lb>ut 5. ad 3. ductaque FG diametro <lb></lb> <arrow.to.target n="marg240"></arrow.to.target><lb></lb>aequidistans, erit in ipsa FG cen<lb></lb>trum gravitatis semiparabolae. </s><s>Esto <lb></lb>illud punctum quodlibet, puta I, et <lb></lb>per I ducatur LIM parallela ad AD, <lb></lb>accipiaturque IN. aequalis ipsi IM. <lb></lb>Intelligatur etiam producta PQ pa- <pb pagenum="159"></pb>rallela diametro CD, (ubicunque cadat) ita ut parallelogrammum rectan<lb></lb>gulum DP, aequale sit ipsi semiparabolae. </s><s>Tum concipiatur applicatum <lb></lb>ad rectam CD, rectangulum DR, ita ut aequiponderet semiparabolae <lb></lb>factà libratione super recta CD. Sitque centrum dicti rectanguli pun<lb></lb>ctum S; et ductà TSX parallela ipsi AD, iungatur recta IS. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg240"></margin.target>Lem. 11.</s></p> <figure id="fig147"></figure> <p type="main"> <s>Iam; manifestum est ex lemmate praemisso quod cylindrus factus <lb></lb>à rectangulo DR circa axem DC revoluto, aequalis erit conoidali para<lb></lb>bolico facto à conversione semiparabolae ACD, circa eundem axem <lb></lb>CD revolutae; cum aequalia supponantur figurarum planarum mo<lb></lb>menta. </s><s>Erit ergo cylindrus à rectangulo DR factus, subduplus cylindri <lb></lb>à rectangulo DE facti, et ideo quadratum TX subduplum erit quadrati <lb></lb>ML (cylindri enim aequealti sunt inter se ut basium quadrata) quod <lb></lb>memento. </s></p> <p type="main"> <s>Verùm MN ad TX, est ut IM ad TS, (sunt enim subduplae earun<lb></lb> <arrow.to.target n="marg241"></arrow.to.target><lb></lb>dem) sive ut IV ad VS; nempe (quia aequiponderant figurae planae <lb></lb>super linea CD, sive ex puncto V) ut rectangulum DR ad semipara<lb></lb>bolam reciprocè, sive ad rectangulum DP. ipsi semiparabolae aequale: <lb></lb>sive ut eorum bases TX ad MO. Ergo TX media proportionalis est <lb></lb>inter MN, MO: Quare rectangulum NMO, cum aequale sit quadrato TX, <lb></lb>subduplum erit quadrati LM. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg241"></margin.target>4. Sexti.</s></p> <p type="main"> <s>Ratio verò quadrati LM ad rectangulum NMO, componitur ex ra<lb></lb>tione LM ad MN (quae sesquitertia est per constructionem; sumpsi<lb></lb>mus enim punctum F; ita ut AF ad FD, esset ut 5. ad 3.) et ex ra<lb></lb>tione LM ad MO; quae quidem ignota erat, sed necessario sesquialtera <lb></lb>nunc apparet. </s><s>Ratio enim dupla componitur ex sesquitertia, et sesquial<lb></lb>tera, ut ipsis etiam Cantoribus vulgatum est; ut videre est in his tribus <lb></lb>nnmeris 4. 3. 2. </s></p> <p type="main"> <s>Rectangulum ergo DE ad ipsum DP, sive ad semiparabolam, ses<lb></lb>quialterum erit; et ipsa semiparabola ad triangulum ACD. sesquitertia <lb></lb>erit. </s><s>Quod erat ostendendum etc.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma XXXII.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Sit parabola ABC, cuius basis AC, tangens <lb></lb> <arrow.to.target n="fig148"></arrow.to.target><lb></lb>CD; diametro aequidistans sit AD. Sumpto quo<lb></lb>libet puncto E. ducatur EF diametro aequidi<lb></lb>stans. </s><s>Dico esse ut FE ad EB, ita CA ad AE. </s></p> <figure id="fig148"></figure> <p type="main"> <s>Est enim DA ad FB longitudine, ut DC ad <lb></lb> <arrow.to.target n="marg242"></arrow.to.target><lb></lb>CF potentià, sive ut DA ad FE potentià. </s><s>Sunt <lb></lb>ergo in continuà ratione DA, FE, FB. Quod me<lb></lb>mento. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg242"></margin.target>ob <lb></lb>parabolam.</s></p> <p type="main"> <s>Iam ut AC ad CE, ita est AD ad EF, sive EF <lb></lb>ad FB; et per conversionem rationis, ut CA <lb></lb>ad AE, ita est FE ad EB. Quod erat ostenden<lb></lb>dum etc.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <pb pagenum="160"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma XXXIII.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Quaelibet parabola aequalis est duabus parabolis simul sumptis, <lb></lb>quae quidem aequalem ipsi basim habeant, diametrum verò subduplam, <lb></lb>et aequaliter inclinatam.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Esto parabola ABC, cuius <lb></lb> <arrow.to.target n="fig149"></arrow.to.target><lb></lb>diameter BH; sintque duae <lb></lb>aliae parabolae AEC, AGC. <lb></lb>in eadem basi. </s><s>Diametri vero <lb></lb>HE, HG, utraque subdupla <lb></lb>sit diametri HB: sed aequa <lb></lb>litèr ad basim inclinata, Dico parabolam ABC aequalem <lb></lb>esse figurae AECG. </s></p> <figure id="fig149"></figure> <p type="main"> <s>Sumatur enim quodlibet punctum in basi AC; et sit <lb></lb>M; ductaque PMN aequidistante ad diametrum BH. Erit <lb></lb>BH ad NM, ut rectangulum AHC, ad rectangulum AMC; <lb></lb>sive ut recta HE ad MO. Et permutando ut BH ad HE, <lb></lb>ita erit NM ad MO. Quare NM dupla erit ipsius MO. <lb></lb>Eodem penitus modo ostendetur NM dupla etiam ipsius <lb></lb>MP, Ergò, tota NM aequalis est ipsi OP. Et hoc semper. </s><s><lb></lb>Propterea omnes simul lineae figurae ABC, (nempe ipsa <lb></lb>parabola ABC) aequales erunt omnibus simul lineis fi<lb></lb>gurae AECG, (nempe duabus parabolis AEC, AGC). Quod <lb></lb>erat etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XX.<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Parabola sesquitertia est trianguli eandem ipsi basim, et eandem <lb></lb>altitudinem haben<lb></lb> <arrow.to.target n="fig150"></arrow.to.target><lb></lb>tis. </s><s>Esto parabola <lb></lb>ABC, cuius diameter <lb></lb>BE concipiatur ad <lb></lb>horizontem perpen<lb></lb>dicularis, et ipsa pa<lb></lb>rabola inversa sta<lb></lb>tuatur. </s><s>Producatur <lb></lb>CA in D, ita ut ae<lb></lb>quales sint CA, AD; <lb></lb>et sit DC libra, cu<lb></lb>ius fulcrum est A. <lb></lb>Ducatur CF tangens <lb></lb>parabolam; et AF diametro EB aequidistans. </s><s>Ponatur etiam GH <pb pagenum="161"></pb>aequalis ipsi AC, et divisam bifariam GH in I, sit utraque IL, IM, <lb></lb>subdupla rectae EB. et aequalitèr ad basim inclinata ut est ipsa EB <lb></lb>ad AC. Fiantque duae parabolae GLH, GMH, quae (per lemma praeced.) <lb></lb>simul aequales erunt parabolae ABC; Et suspendatur figura GLHM ex <lb></lb>puncto D. </s></p> <figure id="fig150"></figure> <p type="main"> <s>Accipiantur iam puncta O, et N aequaliter distantia à punctis I et E <lb></lb>respectivè. </s><s>Ductisque NQ aequidistantèr ad EB, et ROS ad LM; Erit <lb></lb>ut in praecedenti Lemmate NP aequalis ipsi RS. </s></p> <p type="main"> <s>Iam QN ad RS est (ob aequalitatem) ut QN ad NP, sive ut DA ad <lb></lb> <arrow.to.target n="marg243"></arrow.to.target><lb></lb>AN reciprocè. </s><s>Aequiponderant ergo rectae QN et RS, et sic semper. </s><s><lb></lb>Ergo omnes simul lineae trianguli AFC (nempe ipsum triangulum) <lb></lb>aequiponderant omnibus simul lineis figurae GLHM (nempe ipsi figu<lb></lb>rae GLHM). </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg243"></margin.target>Lem. 32</s></p> <p type="main"> <s>Accipiatur AV, tertià pars totius AC. Manifestum est quod si ex V <lb></lb>demittatur recta aequidistans ipsi AF. in ipsa erit centrum gravitatis <lb></lb>trianguli AFC; eritque ipsa ad horizontem perpendicularis. </s><s>Propterea <lb></lb>erit triangulum AFC. appensum centralitèr ex puncto V. Eritque trian<lb></lb>gulum AFC ad spatium GLHM. reciprocè ut DA ad AV, nempe triplum. </s></p> <p type="main"> <s>Cum autem spatium GLHM aequale sit parabolae ABC; erit triangu<lb></lb>lum AFC triplum etiam parabolae ABC.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Reliquum quadraturae absolvitur ut Propositione IX. <lb></lb>Factum est. </s><s>Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XXI.<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Parabola sesquitertia est trianguli eandem ipsi basim et eandem <lb></lb>altitudinem habentis. </s></p> <p type="main"> <s>Esto semiparabola ABC, cuius diameter CE, <lb></lb> <arrow.to.target n="fig151"></arrow.to.target><lb></lb>ordinata AE, tangens verò CD, et compleatur <lb></lb>parallelogrammum AECD. Manifestum est quod <lb></lb>omnes lineae trilinei mixti DABC, quae quidem <lb></lb>diametro parallelae sint, inter se sunt in eadem <lb></lb>ratione in qua sunt omnes circuli coni alicuius, <lb></lb>qui axem habeat DC, et verticem C. Ergo cen<lb></lb> <arrow.to.target n="marg244"></arrow.to.target><lb></lb>trum gravitatis omnium linearum trilinei DABC, <lb></lb>erit in illa, quae dividit libram DC; quemadmo<lb></lb>dum dividit eandem centrum gravitatis coni; <lb></lb>nempe ut pars ad C terminata, reliquae sit tripla. </s><s><lb></lb>Fiat ergo CF tripla ipsius FD. et ducta FM pa<lb></lb>rallela ad CE, erit centrum gravitatis trilinei DABC in recta FM, ubi<lb></lb>cunque sit. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg244"></margin.target>Lem. 22.</s></p> <figure id="fig151"></figure> <p type="main"> <s>Item, omnes lineae quae in semiparabola ABCE ducuntur, ad dia<lb></lb>metrum parallelae, inter se sunt in eadem ratione, in qua sunt omnes <lb></lb>circuli alicuius hemisphaerij, cuius axis sit AE, vertex verò A. Ergò <lb></lb> <arrow.to.target n="marg245"></arrow.to.target><lb></lb>centrum gravitatis omnium linearum ad libram AE appensarum, sive <pb pagenum="162"></pb>ipsius semiparabolae, erit in illa, quae libram AE sic dividit ut dividit <lb></lb>eandem centrum gravitatis hemisphaerij; Nempe ut pars ad A termi<lb></lb>nata sit ad reliquam ut 5. ad 3. Fiat ergo AI ad IE ut 5. ad 3.; et <lb></lb>ducta IH parallela ad CE, erit centrum semiparabolae in recta IH, <lb></lb>ubicunque sit. </s><s>Ducatur tandem GL, quae bifariam secet latera AE, DC, <lb></lb>et in GL erit centrum gravitatis parallelogrammi DE. quod sit O. <lb></lb>Ponatur centrum gravitatis semiparabolae esse punctum quodvis P. <lb></lb>ductaque PO, producatur in N; et erit N centrum gravitatis trilinei <lb></lb>DABC. Iam, semiparabola ad trilineum est ut NO ad OP, sive ut ML <lb></lb>ad LI; nempe ut 2. ad unum; (qualium enim partium tota AE est 8, <lb></lb>talium AM est 2, ML est 2, LI est una, et reliqua IE 3. per constru<lb></lb>ctionem). Ergo semiparabola ad parallelogrammum erit ut 2. ad 3. sive <lb></lb>ut 4. ad 6; et semiparabola ad triangulum inscriptum ut 4. ad 3. <lb></lb>Nempe sesquitertia. </s><s>Quod etc.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <pb></pb> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg245"></margin.target>Lem. 22</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>APPENDIX <lb></lb>DE DIMENSIONE CYCLOIDIS<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Libet hic appendicis loco addere solutionem proble<lb></lb>matis non iniucundi, et si materiam propositionemque <lb></lb>spectes, primo intuito difficillimi. <lb></lb> <arrow.to.target n="fig152"></arrow.to.target><lb></lb>Torsit hoc, fefellitque pluribus <lb></lb>ab hinc annis Mathematicos no<lb></lb>stri saeculi primarios; frustrà <lb></lb>enim tentata demonstratio evasit <lb></lb>ab illorum manibus ob fallaciam <lb></lb>experientiae. </s><s>Appensis namque ad libram manufactam spa<lb></lb>tijs figurarum materialibus, nescio quo fato, ea proportio <lb></lb>quae verè tripla est, semper minor quam tripla apparuit. </s><s><lb></lb>Unde factum est, quòd potius ob suspicionem incommen<lb></lb>surabilitatis (ut ego credo) quàm ob desperationem demon<lb></lb>strationis, instituta contemplatio ab illis dimissa sit. </s></p> <figure id="fig152"></figure> <p type="main"> <s>Suppositum est huiusmodi. </s><s>Concipiatur super manente <lb></lb>aliqua recta linea AB, circulus AC, contingens rectam AB. <lb></lb>in puncto A. Noteturque punctum A, tamquam fixum in <lb></lb>periphaeria circuli AC. Tum intelligatur super manente <lb></lb>recta AB. converti circulum AC. motu circulari simul et <lb></lb>progressivo versus partes B: ita ut subinde aliquo sui <lb></lb>puncto rectam lineam AB semper contingat, quousque <lb></lb>fixum punctum iterum ad contactum revertatur, puta in B. <lb></lb>Certum est, quod punctum A fixum in periphaeria circuli <lb></lb>rotantis AC, aliquam lineam describet, surgentem primò <pb pagenum="164"></pb>à subiecta linea AB, deinde culminantem versus D; po<lb></lb>stremo pronam, descendentemque versus punctum B. </s></p> <p type="main"> <s>Vocata est à praedecessoribus nostris. </s><s>Praecipue à Ga<lb></lb>lileo iam supra 45. annum, huiusmodi linea ADB. Cyclois, <lb></lb>recta verò AB. basis cycloidis; At circulus AC, genitor <lb></lb>cycloidis. </s></p> <p type="main"> <s>Proprietas, et natura cycloidis ea est, ut basis ipsius <lb></lb>AB. aequalis sit periphaeriae circuli genitoris AC. Quod <lb></lb>quidem non adeò obscurum est: Nam tota periphaeria AC <lb></lb>se ipsam in conversionem commensuravit super manente <lb></lb>recta AB. </s></p> <p type="main"> <s>Queritur nunc quam proportionem habeat spatium cy<lb></lb>cloidale ADB ad circulum suum genitorem AC? Osten<lb></lb>demusque, Deo dante, triplum esse. </s><s>Demonstrationes tres <lb></lb>erunt, inter se penitus diversae. </s><s>Prima, et tertia per no<lb></lb>vam Indivisibilium Geometriam nobis amicissimam proce<lb></lb>dent: Secunda verò per duplicem positionem, more vete<lb></lb>rum recepto; ut utrisque fautoribus satisfiat. </s><s>Coeterum, <lb></lb>hoc moneo; principia ferè omnia, quibus aliquid per indi<lb></lb>visibilium Geometriam demonstratur, ad solitam antiquo<lb></lb>rum demonstrationem indirectam reduci posse: quod à <lb></lb>nobis factum est, ut in multis alijs, ita etiam in primo, et <lb></lb>in tertio sequentium Theorematum; Sed ne lectoris pa<lb></lb>tientia nimium adhuc abuseremur plura omittenda cen<lb></lb>suimus, tresque tantum demonstrationes exibemus. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>THEOREMA I.<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Omne spatium quod sub linea Cycloide, et recta eius basi contine<lb></lb>tur, triplum est circuli sui genitoris; sive sesquialterum trianguli ean<lb></lb>dem basim, et eandem altitudinem habentis.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Esto Cyclois linea ABC <lb></lb> <arrow.to.target n="fig153"></arrow.to.target><lb></lb>descripta à punto C circuli <lb></lb>CDEF dum ipse circumver<lb></lb>titur super manente basi <lb></lb>AF. (consideramus autem <lb></lb>semicycloidem, et semicir<lb></lb>culum, tantum ad evitandam <lb></lb>figurae confusionem). Dico <pb pagenum="165"></pb>spatium ABCF triplum esse semicirculi CDEF; sive ses<lb></lb>quialterum trianguli ACF. </s></p> <figure id="fig153"></figure> <p type="main"> <s>Accipiantur duo puncta H et I in diametro CF. aeque <lb></lb>remota à centro G. Ductisque HB, IL, CM aequidistanter <lb></lb>ipsi FA, transeant per puncta B, et L semicirculi OBP, <lb></lb>MLN, aequales ipsi CDF, et contingentes basim in pun<lb></lb>ctis PN. </s></p> <p type="main"> <s>Manifestum est rectas HD, IE, XB, QL, aequales esse, <lb></lb>per 14. Tertij, aequalesque erunt arcus OB, LN. Item cum <lb></lb>aequales sint CH, IF, aequales erunt CR, UA ob parallelas. </s></p> <p type="main"> <s>Tota periphaeria MLN, ob cycloidem, aequalis est re<lb></lb>ctae AF. itemque arcus LN rectae AN ob eandem causam, <lb></lb>cum arcus LN. se ipsum super recta AN commensuraverit; <lb></lb>ergo reliquus arcus LM, reliquae rectae NF aequalis erit. </s><s><lb></lb>Eadem ratione arcus BP. rectae AP, et arcus BO rectae <lb></lb>PF, aequalis erit. </s></p> <p type="main"> <s>Iam recta AN aequalis est arcui LN, sive arcui BO, <lb></lb>sive rectae PF. Ergo ob parallelas, aequales erunt AT, SC. <lb></lb>Verum quia aequales erant etiam CR, AU. reliquae UT, <lb></lb>SR aequales erunt. </s><s>Propterea in triangulis aequiangulis <lb></lb>UTQ, RSX, aequalia erunt latera homologa UQ, XR. Patet <lb></lb>itaque quod duae rectae LU, BR simul sumptae aequales <lb></lb>erunt duabus rectis LQ, BX, nempe ipsis CI, DH, et hoc <lb></lb>semper verum erit ubicunque sumantur duo puncta H et I, <lb></lb>dumodo aequaliter à centro sint remota. </s><s>Ergo omnes li<lb></lb>neae figurae ALBCA, aequales sunt omnibus lineis semi<lb></lb>circuli CDEF; et ideò figura bilinearis ALBCA aequalis <lb></lb>erit semicirculo CDEF. </s></p> <p type="main"> <s>Sed triangulum ACF duplum est semicirculi CDEF. <lb></lb>(nam triangulum ACF, reciprocum est triangulo Propos. </s><s><lb></lb>pr. </s><s>Arch. </s><s>de dimens. </s><s>circ. </s><s>cum latus AF semiperiphaeriae, <lb></lb>latus verò FC diametro sit aequale, unde sequitur trian<lb></lb>gulum ACF aequale esse integro circulo cuius diameter <lb></lb>sit CF). Ergo componendo, totum cycloidale spatium ses<lb></lb>quialterum erit trianguli inseripti ACB; Triplum verò se<lb></lb>micirculi CDEF. Quod erat. </s></p> <pb pagenum="166"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma I.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Si super lateribus oppositis alicuius rectanguli AF, duo semicirculi <lb></lb>descripti sint, EIF, AGD erit figura sub periphaerijs, et sub reliquis <lb></lb>lateribus compraehensa aequalis praedicto rectangulo.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Vocetur autem talis figura Arcuatum; tam si fuerit <lb></lb>integra, quàm etiam ipsius partes, quando secta fuerit à <lb></lb>linea ipsi FD parallela. </s></p> <p type="main"> <s>Demonstratur; quoniam cum sint aequa<lb></lb> <arrow.to.target n="fig154"></arrow.to.target><lb></lb>les semicirc. </s><s>dempto communi segmento <lb></lb>BGC, additisque communibus trilineis EBA, <lb></lb>CFD. clarum erit propositum. </s></p> <figure id="fig154"></figure> <p type="main"> <s>Quando verò detur casus quod segmen<lb></lb>tum nullum sit, tunc brevior faciliorque <lb></lb>demonstratis erit. </s><s>Facilè etiam per ean<lb></lb>dem prostapheresim ostenditur arcuatum sectum à linea <lb></lb>ipsi FD parallela aequale esse rectangulo aequealto, et <lb></lb>super eadem basi constituto. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma II.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Esto linea cycloidalis ABC descripta à puncto C semi<lb></lb>circuli CDE dum convertitur super manente AE. Com<lb></lb>pleatur rectangulum AFCE, fiatque circa diametrum AF <lb></lb> <arrow.to.target n="fig155"></arrow.to.target><lb></lb>semicirculus AGF. Dico cycloidem ABC secare bifariam <lb></lb>arcuatum AGFCDE. </s></p> <figure id="fig155"></figure> <p type="main"> <s>Si enim ita non est, erit utique alterum ex duobus <lb></lb>trilineis FGABC, ABCDE, magis quam dimidium eiusdem <pb pagenum="167"></pb>arcuati. </s><s>Esto et ponatur alterum ex ipsis (quodcunque sit) <lb></lb>puta ABCDE maius quam dimidium arcuati. </s><s>Sitque exces<lb></lb>sus, quo trilineum superat semissem arcuati, aequalis <lb></lb>spatio cuidam K. </s></p> <p type="main"> <s>Secetur bifariam AE in H; et iterùm HE in I: et sic <lb></lb>fiat semper donec rectangulum aliquod IEC minus repe<lb></lb>riatur spatio K. Tunc dividatur integra AE in particulas <lb></lb>aequales ipsi IE, et per puncta divisionum L, H, I, tran<lb></lb>seant semicirculi aequales ipsi CDE semicirculo, tangentes <lb></lb>basim in punctis L, H, I. secantesque cycloidem in O, B, M, <lb></lb>per quae puncta agantur rectae GO, PB, QMD, aequidi<lb></lb>stantes basi AE. </s></p> <p type="main"> <s>Erit itaque arcuatum OH aequale ipsi GL: arcuatum <lb></lb>verò BI aequale arcuato PH: et arcuatum ME aequale <lb></lb>arcuato QI. Propterea universa figura inscripta in trilineo <lb></lb>ABCDE constans ex arcuatis, aequalis erit figurae eidem <lb></lb>trilineo circumscriptae, excepto tamen arcuato IMRCDE. <lb></lb>Quod si figurae circumscriptae addas suum arcuatum <lb></lb>IMRCDE, superabit circumscripta figura ipsam inscriptam <lb></lb>excessu praedicti arcuati, sive rectangulo RE, nempe mi<lb></lb>nori excessu quam sit spatium K. Propterea inscripta in <lb></lb>trilineo figura adhuc erit plusquàm dimidium arcuati AG <lb></lb>FCDE. et ideo maior quam trilineum FGABC. Sed eadem <lb></lb>aequalis est alteri figurae ex arcuatis compositae et in <lb></lb> <arrow.to.target n="marg246"></arrow.to.target><lb></lb>trilineo FGABC descriptae: ergò haec inscripta figura <lb></lb>maior esset suo trilineo FGABC. pars suo toto, quod esse <lb></lb>non potest. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg246"></margin.target>ostenditur <lb></lb>infra.</s></p> <p type="main"> <s>Quod inscriptae figurae sint aequales patet. </s><s>Nam arcus <lb></lb>OL aequalis est rectae LA, hoc est rectae IE, hoc est <lb></lb>arcui RM (ob cycloidem). Ergo arcuatum OH aequale <lb></lb>erit arcuato MS. et sic de singulis. </s></p> <p type="main"> <s>Si verò supponeremus trilineum FGABC maius quam <lb></lb>dimidium arcuati AGFCDE, constructio figurae, et de<lb></lb>monstratio penitus eadem erit. </s><s>Ergò concludemus cycloi<lb></lb>dem lineam ABC bifariam secare arcuatum AGFCDE. <lb></lb>Quod erat propositum. </s></p> <pb pagenum="168"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>THEOREMA II.<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Spatium cycloidale triplum est circuli sui genitoris.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Esto cyclois ABC descripta à puncto C circuli CFD. <lb></lb>dico spatium ABCD triplum esse semicirculi CFD. </s></p> <p type="main"> <s>Compleatur rectangulum A <lb></lb> <arrow.to.target n="fig156"></arrow.to.target><lb></lb>DCE; factoque super AE se<lb></lb>micirculo AGE, ducatur AC. </s></p> <figure id="fig156"></figure> <p type="main"> <s>Triangulum ADC duplum <lb></lb>est semicirculi CFD (nam basis <lb></lb>AD aequalis est periphaeriae <lb></lb>CFD ob cycloidem, altitudo <lb></lb>verò DC aequalis diametro) ideò rectangulum ED qua<lb></lb>druplum erit eiusdem semicirculi CFD. Ergo arcuatum <lb></lb>AGECFD quadruplum erit eiusdem semicirculi: propterea <lb></lb>trilineum ABCFD (per lemma praecedens) duplum erit <lb></lb>semicirculi, et componendo spatium ABCE triplum erit <lb></lb>eiusdem semicirculi CFD. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>THEOREMA III.<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Omne spatium cyloidale triplum est circuli sui genitoris.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Esto cycloidalis linea ABC descripta à puncto C se<lb></lb>micirculi CED. Dico spatium ABCD triplum esse semi<lb></lb>circ. </s><s>CED. </s></p> <p type="main"> <s>Compleatur rectan<lb></lb> <arrow.to.target n="fig157"></arrow.to.target><lb></lb>gulum AFCD; facto<lb></lb>que semicirculo AGF, <lb></lb>accipiantur duo puncta <lb></lb>H et I in diametro CD <lb></lb>aeque remota à centro, <lb></lb>et ducantur HL, IG <lb></lb>aequidistantes ad AD. <lb></lb>quae cycloidem secent in quibusvis punctis B et O. Agan<lb></lb>tur denique per B, et O duo semicirculi PBQ, MON, ut <lb></lb>in praecedentibus factum est. </s></p> <figure id="fig157"></figure> <p type="main"> <s>Iam recta GO aequalis est recte RU (cum aequales <pb pagenum="169"></pb>sint GR, OU et communis RO) sive aequalis est rectae <lb></lb>AN, nempe arcui ON (ob cycloidem) vel arcui PB, sive <lb></lb>rectae PC, vel TH, vel BS. </s></p> <p type="main"> <s>Eodem prorsus modo, quo demonstravimus rectam GO <lb></lb>aequalem esse rectae BS, demonstrantur omnes et sin<lb></lb>gulae lineae trilinei FGABC aequales omnibus lineis tri<lb></lb>linei ABCED. Propterea dicta trilinea inter se aequalia <lb></lb>erunt. </s><s>Ergo ut in praecedenti Theoremate demonstrabitur <lb></lb>cycloidale spatium triplum esse semicirculi CED. Quod <lb></lb>erat etc. </s></p> <pb pagenum="170"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>SCHOLIUM<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>DE CYCLOIDIBUS ALIARUM <lb></lb>SPECIERUM<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Hactenus de Cycloide dictum sit: ulterius enim contem<lb></lb>plationem hanc demonstrando protrahere odiosum esset, <lb></lb>et ex appendice liber fieret. </s><s>Proponi tamen poterant adhuc <lb></lb>non pauca circa hanc figuram planam, quam Cycloidem <lb></lb>primariam appellare non esset inconveniens; quandoqui<lb></lb>dem infinitae aliae species huiusmodi figurarum ab ipsa <lb></lb>iam considerata primaria Cycloide oriuntur. </s><s>Concipiamus <lb></lb>enim (in figura paginae 165.) non solum periphaeriam cir<lb></lb>culi AC aequabili conversione rotari, sed etiam universum <lb></lb>planum tam internum, quam externum ipsius circuli AC <lb></lb>in infinitum extensi. </s><s>Manifestum est quòd circuli centrum <lb></lb>rectam lineam describet ipsi AB aequidistantem. </s><s>Puncta <lb></lb>verò, quae intra periphaeriam AC sunt constituta, Cy<lb></lb>cloides describent humiliores quàm ipsa primaria ADB. <lb></lb>quasdam etiam (quod incredibile quasi videtur) flexuosas: <lb></lb>et non ad easdem partes concavum habentes: tales autem <lb></lb>fient à punctis prope centrum circuli rotantis AC exi<lb></lb>stentibus. </s></p> <p type="main"> <s>Puncta verò, quae extra periphaeriam AC erunt, Cy<lb></lb>cloides describent, ipsa primaria altiores, et usque in infi<lb></lb>nitum crescentes. </s></p> <pb pagenum="171"></pb> <p type="main"> <s>Circulum cuiuscunque cycloidis proprium genitorem <lb></lb>dicere possumus eum, cuius periphaeria concentrica sit pe<lb></lb>riphaeriae AC, transeatque per punctum cycloidem ipsam <lb></lb>describens. </s></p> <p type="main"> <s>In hoc conveniunt omnes, quod aequalibus basibus in<lb></lb>sistunt; humiliores tamen cycloides basim habent genitrici <lb></lb>periphaeria maiorem: altiores verò minorem genitrici pe<lb></lb>riphaeria basim habent. </s></p> <p type="main"> <s>Ratio, quam unaquaeque cycloidalis figura habet ad <lb></lb>suum triangulum, vel ad circulum suum proprium geni<lb></lb>torem, semper est maioris inaequalitatis, et variatur in <lb></lb>infinitum. </s></p> <p type="main"> <s>Si tamen utrumque simul consideres et triangulum, et <lb></lb>circulum, aequalitatis ratio erit. <lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Omne spatium sub qualibet cycloide linea, et rectà eius basis con<lb></lb>tentum, ad triangulum super eadem basi; et sub eàdem altitudine con<lb></lb>stitutum, est ut periphaeria circuli proprij genitoris una cum duplo <lb></lb>basis cycloidis, ad duplum basis cycloidis. </s><s>Ad circulum verò proprium <lb></lb>genitorem unumquodque cycloidale spatium est ut duplum basis cy<lb></lb>cloidis una cum periphaeria genitoris circuli ad eiusdem circuli peri<lb></lb>phaeriam.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Hinc problemati locus pararetur, datà quacumque ra<lb></lb>tione maioris inaequalitatis, cycloidale spatium invenire, <lb></lb>quod ad triangulum, sive circulum suum sit in data ra<lb></lb>tione et in data basi. </s></p> <p type="main"> <s><gap desc="SM"></gap>Cuiuscunque cycloidalis spatij ad quodlibet spatium cycloidale<gap desc="/SM"></gap><lb></lb>(etiam si non ab eadem primaria cycloide ortum ducant) <lb></lb><gap desc="SM"></gap>ratio componitur ex ratione altitudinis ad altitudinem, et ex ratione <lb></lb>dupli basis cum periphaerià genitrice, ad duplum basis cum peri<lb></lb>phaeria genitrice.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Tangentem ad quodlibet imperatum punctum dari posse <lb></lb>certum est; peculiari primùm ratione pro Cycloide pri<lb></lb>maria; deinde universali etiam pro omnibus alijs. <gap desc="SM"></gap>Tangens <lb></lb>ad datum quodlibet punctum primariae cycloidis ducitur ex puncto <lb></lb>sublimiori genitoris circuli per ipsum datum punctum transeuntis. </s></p> <p type="main"> <s>Tangens ad datum punctum cuiuscunque cycloidis ducitur hoc modo. </s><s><lb></lb>Transeat per datum punctum cycloidis circulus ipsius genitor, quem <lb></lb>in dato eodem puncto contingat recta conveniens vel cum basi cy<lb></lb>cloidis, vel cum alia ipsi aequidistante. </s><s>Fiatque ut radius circuli proprij <pb pagenum="172"></pb>ad radium circuli primarij, ita tangens praedicta inter datum punctnm, <lb></lb>et basim, vel aequidistantem intercepta, ad aliam quandam lineam <lb></lb>aptè sumendam à termino tangentis in ipsa vel basi, vel aequidistante. </s><s><lb></lb>Tum ab extremitate huius assumptae tangens ad imperatum punctum <lb></lb>cycloidis emittatur.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Nonnulla etiam Theoremata pro Mecanicis contempla<lb></lb>toribus ex hac figura derivari possent, nisi consulendum <lb></lb>iam tandem esset ne simul cum molestia tedium fiat. </s></p> <pb></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>DE SOLIDO ACUTO HYPERBOLICO <lb></lb>PROBLEMA ALTERUM<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROEMIUM AD LECTOREM.<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Aggredior iam opus quod ipsis Geometriae candidatis non solum <lb></lb>difficile videatur verùm etiam impossibile. </s><s>Hactenus enim in Mathe<lb></lb>maticis Scholis repertae sunt dimensiones figurarum ab omni parte <lb></lb>finem habentium: quandoquidem inter omnia solida, quae ab antiquis, <lb></lb>et modernis Auctoribus multiplici conatu ad mensuram redacta sunt, <lb></lb>nullum adhuc, quod ego sciam, ullam dimensionem habuit extensione <lb></lb>infinitam. </s><s>Imo statim atque proponatur sive solidum aliquod, sive figura <lb></lb>plana, cuius aliqua extensio in infinitam distantiam procedat, unus<lb></lb>quisque cogitabit huiusmodi figuram infinitae magnitudinis esse debere. </s><s><lb></lb>Attamen solidum habet Geometria, longitudine quidem infinitum, sed <lb></lb>tanta praeditum subtilitate, ut licet in infinitum producatur, exigui <lb></lb>tamen cylindri molem non excedat. </s><s>Tale erit solidum illud ab hyper<lb></lb>bola genitum, quod huius libelli contemplatione prosequemur; inta<lb></lb>ctum hucusque ab alijs, et multiplici, curiosaque Theorematum varie<lb></lb>tate faecundissimum; eò usque ut, nisi me fallat affectus, universa <lb></lb>Geometria inter hactenus consideratas figuras nullam habeat curiosi<lb></lb>tatis abundantiorem. </s></p> <p type="main"> <s>Quo ad methodum demonstrandi, unicum quidem, et praecipuum <lb></lb>Theorema duplici conatu ostendemus, et per indivisibilia, et more Ve<lb></lb>terum. </s><s>Quamquam (ut vera fateamur) primò inventum sit per Indivisi<lb></lb>bilium Geometriam; qui sanè verus est demonstrandi modus scientificus, <lb></lb>semper directus, et ipsi naturae germanus. </s><s>Miseret me veteris Geome<lb></lb>triae, quae cum Indivisibilium doctrinam, sive non noverit, sive non <lb></lb>admiserit, circà dimensionem solidorum adeò paucas veritates invenit, <lb></lb>ut ipsà penurià infelix ad aetatem nostram pervenerit. </s><s>Antiquorum <lb></lb>enim Theoremata circa doctrinam solidorum, quota pars sunt con<lb></lb>templationum, quas mirabilis nostro aevo Cavalerius (omissis aliis) <pb pagenum="174"></pb>instituit, circà tot classes solidorum, specie differentium, multitudine <lb></lb>abundantium? </s><s>Methodus nostra, quam usurpaturi sumus in praefato <lb></lb>Theoremate, procedet per Indivisibilia curva, sine aliorum exemplo, <lb></lb>non tamen sine praemissa Geometriae approbatione, Considerabimus <lb></lb>enim omnes cylindricas superficies circà communem axem in nostro <lb></lb>solido descriptibiles. </s><s>Cuius rei cum nullum Cavalerius ipse tradiderit <lb></lb>in sua Geometria elementum, existimavimus nostram arguendi ratio<lb></lb>nem exemplis aliquot esse corroborandam. </s><s>Quamquam hoc apud me <lb></lb>superfluum sit; cum iam totum huius libelli progressum ratum habeam, <lb></lb>eò quòd ipsum admiserit, probaveritque doctissimus, et eruditissimus <lb></lb>vir <emph type="italics"></emph>Raphael Magiottus;<emph.end type="italics"></emph.end> cui, ut in plurimis alijs scientijs, artibusque <lb></lb>ita et in Mathematicis disciplinis neminem quis iure anteposuerit. </s><s>Prae<lb></lb>mittemus itaque ante ipsum opus, sub. </s><s>Exemplorum nomine, quasdam <lb></lb>Geometriae propositiones, iam pridie notas, sed à nobis per Indivisibilia <lb></lb>curva demonstratas: Sic enim magis manifestum fiet hunc modum de<lb></lb>monstrandi non esse negligendum, praesertim cum in rebus difficillimis <lb></lb>maximum ipsius momentum reperiatur. </s><s>Indivisibilia verò curva, quae <lb></lb>ad huiusmodi demonstrationes idonea sunt, in planis quidem figuris <lb></lb>solae circulorum periphaeriae se se offerunt; iu solidis autem, super<lb></lb>ficies sphaericae, cylindricae, conicaeque. </s><s>Quandoquidem istae tantum <lb></lb>considerabiles sunt, tamquam ispas figuras perfectè adaequantes, et <lb></lb>undique aequalis, uniformisque (ut ita dicam) spissitudinis. </s><s>Praemit<lb></lb>timus igitur ante operis aggressionem, promissa aliquot Theorematum <lb></lb>Geometricorum Exempla.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>EXEMPLUM PRIMUM.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Esto circulus, cuius centrum A, semidiameter AB, tan<lb></lb>gens verò sit BC quae supponatur aequalis periphaeriae <lb></lb>BD. Tum coniungatur <lb></lb> <arrow.to.target n="fig158"></arrow.to.target><lb></lb>AC. Dico circulum BD. <lb></lb>triangulo ABC esse ae<lb></lb>qualem. </s></p> <figure id="fig158"></figure> <p type="main"> <s>Sumatur in semidia<lb></lb>metro AB, quodlibet <lb></lb>punctum I, et per I <lb></lb>agantur, periphaeria IO circa idem centrum A, et recta <lb></lb>IL parallela ad BC. Erit itaque periphaeria BD, ad peri<lb></lb>phaeriam IO, ut semidiameter BA, ad AI. (demonstratur <lb></lb>enim hoc à priori, non supposità circuli dimensione) sive <lb></lb>ut BC ad IL; et permutando; erit periphaeria BD, ad <lb></lb>rectam BC, ut periphaeria IO, ad rectam IL. Ergò peri<lb></lb>phaeria IO, rectae IL erit aequalis: et hoc semper, ubi- <pb pagenum="175"></pb>cunque sit punctum I. Quarè et omnes periphaeriae simul <lb></lb>sumptae, omnibus rectis simul sumptis aequales erunt: <lb></lb>nempe circulus ipse BD, aequalis erit triangulo ABC. Quod <lb></lb>erat etc. <lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Concordat cum hoc Theoremate Propositio Prima Archim. </s><s>De dimensione circuli.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>EXEMPLUM II.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Esto circulus, cuius radius AB, tangensque BC sit ae<lb></lb>qualis diametro; et coniunctà AC convertatur figura circà <lb></lb>AB, ita ut fiat sphaera BF, et co<lb></lb> <arrow.to.target n="fig159"></arrow.to.target><lb></lb>nus rectus CAD. Dico sphaeram <lb></lb>BF, cono CAD esse aequalem. Su<lb></lb>matur enim in AB quodvis pun<lb></lb>ctum I, et per ipsum I transeat <lb></lb>superficies sphaerica IH, circà cen<lb></lb>trum A; circulusque LIM in cono <lb></lb>CAD. Iam: superficies sphaerica BF aequalis erit circulo <lb></lb>CD. sphaerica verò BF, ad sphaericam IH, est ut quadra<lb></lb>tum BA, ad quadratum AI; sive ut quadratum BC ad <lb></lb>quad. </s><s>IL; nempe ut circulus CD, ad circulum LM. Sed <lb></lb>antecedentes aequales sunt; ergò etiam consequentes: <lb></lb>nempe sphaerica superficies IH, aequalis erit circulo LM. <lb></lb>Et hoc semper, ubicumque sit punctum I. Propterea omnes <lb></lb>sphaericae superficies simul (sive ipsa sphaera BF) aequa<lb></lb>les erunt omnibus circulis simul sumptis, sive cono CAD. <lb></lb>Quod erat etc. </s></p> <figure id="fig159"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Aliter.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Esto sphaera, cuius diameter AB, tangensque BD sit <lb></lb>aequalis semidiametro sphaerae: Et coniunctà AD, con<lb></lb>vertatur triangul, ADB circà axem <lb></lb> <arrow.to.target n="fig160"></arrow.to.target><lb></lb>BD, ita ut fiat conus rectus ADC. </s></p> <figure id="fig160"></figure> <p type="main"> <s>Dico sphaeram AB aequalem <lb></lb>esse cono ADC. Sumatur enim in <lb></lb>diametro AB quodvis punctum I, <lb></lb>per quod transeat circulus FH, ad <lb></lb>axem erectus in sphaera; et superficies cylindrica LIMN, <lb></lb>circà axem DB in cono. <pb pagenum="176"></pb> <arrow.to.target n="marg247"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg247"></margin.target>4. Sexti.</s></p> <p type="main"> <s>Iam: cum AB dupla sit ipsius BD, erit AI, dupla IL, <lb></lb>ergò quadratum FI, quod aequale est rectangulo AIB, </s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg248"></arrow.to.target><lb></lb>duplum erit rectanguli LIB, et aequale rectangulo LIM. <lb></lb>Proptereà erit circulus FH aequalis superfici cylindricae <lb></lb>LIMN. Et hoc semper, ubicunque sit punctum I. Ergo <lb></lb>omnes circuli simul, sive ipsa sphaera, aequales erunt <lb></lb>omnibus superficiebus cylindricis simul sumptis, nempe <lb></lb>ipsi cono ADC, Quod concordat cum 32. lib. I. De Sphaera <lb></lb>et Cylindro Archimedis. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg248"></margin.target>5. p. </s><s>de soli<lb></lb>dis Sphaer.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>EXEMPLUM III.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Esto quadratum ABCD, (nisi enim quadratum suppo<lb></lb>natur, ratiocinatio falsa evaderet, ob inaequalem superfi<lb></lb>cierum spissitudinem; sive ob diversi<lb></lb> <arrow.to.target n="fig161"></arrow.to.target><lb></lb>tatem transitus) cuius quadrati esto <lb></lb>diameter AC; et convertatur figura <lb></lb>circà axem CD, ita ut fiat cylindrus <lb></lb>BF, et conus ACF. Sumatur deinde in <lb></lb>rectà AC, quodvis punctum H; per quod intelligatur actus <lb></lb>circulus HL, intrà conum compraehensus; et insuper su<lb></lb>perficies cylindrica, cuius sectio sit HI, axis verò CD. Erit <lb></lb> <arrow.to.target n="marg249"></arrow.to.target><lb></lb>ergò superficies cylindrica HI ad circulum HL suam basim, <lb></lb>ut recta HI, ad quartam partem diametri HL. Et hoc <lb></lb>verum erit semper, ubicunquen sit punctum H. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg249"></margin.target>4. primi de <lb></lb>Solid. </s><s><lb></lb>Sphaer.</s></p> <figure id="fig161"></figure> <p type="main"> <s>Ergò omnes simul superficies cylindricae (nempe soli<lb></lb>dum, quod ex cylindro relinquitur, dempto cono ACF) ad <lb></lb>omnes simul circulos (hoc est, ad conum ACF) erunt, ut <lb></lb>sunt omnes simul rectae trianguli ABC, ad quartam partem <lb></lb>omnium rectarum trianguli ACF: nempe in ratione dupla. </s><s><lb></lb>Quod concordat cum Theoremate X. lib. XII. Euclidis. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>EXEMPLUM IV.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Esto conus rectus ABC, cuius axis BD; et productà <lb></lb>BC in E, ita ut circulus, cuius diameter CE, sit aequalis <lb></lb>curvae superficiei coni ABC, concipiatur circà diametrum <lb></lb>CE circulus erectus ad planum ABC; et super circulo CE, <pb pagenum="177"></pb>intelligatur alter conus CDE, ha<lb></lb> <arrow.to.target n="fig162"></arrow.to.target><lb></lb>bens verticem in D. Dico conum <lb></lb>ABC, cono CDE, esse aequalem. </s></p> <figure id="fig162"></figure> <p type="main"> <s>Sumatur in rectà DC quodvis <lb></lb>punctum H, per quod ductà GHN <lb></lb>parallela ad BE, intelligatur per <lb></lb>HG superficies conica MGH; cir<lb></lb>càque ipsam HN circulus paral<lb></lb>lelus circulo CE. Iam: conica superficies ABC, ad circulum <lb></lb>suae basis AC, est ut recta BC ad CD, sive ut GH ad <lb></lb>HD; nempe ut conica superficies MGH, ad circulum HM. <lb></lb>Circulus autem AC, ad circulum CE, est ut quadruplum <lb></lb>quadrati DC, ad quadr. </s><s>CE; sive ut quadruplum qua<lb></lb>drati DH, ad quadratum HN; hoc est ut circulus MH, <lb></lb>ad circulum HN. Ergò ex aequo, erit conica superficies <lb></lb>ABC, ad circulum CE, ut conica MGH, ad circulum <lb></lb>HN. Et hoc semper verum erit, ubicumque fuerit pun<lb></lb>ctum H. Ergò omnes simul conicae superficies (nempe <lb></lb>conus ABC) aequales erunt omnibus simul circulis, nempe <lb></lb>cono CDE. Quod erat etc. <lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Concordat cum hoc Theoremate Propos. </s><s>XVII lib. primi De Sphaera, et Cy<lb></lb>lindro Archim.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>EXEMPLUM V.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Esto circulus, cuius diameter AB, ponaturque tangens <lb></lb>BC diamet. </s><s>aequalis, et iunctà AC, convertatur figura circà <lb></lb>axem AB, ita ut fiat sphaera AE <lb></lb> <arrow.to.target n="fig163"></arrow.to.target><lb></lb>BF, et conus rectus CAN. </s></p> <figure id="fig163"></figure> <p type="main"> <s>Dico conum CAN, ipsius sphae<lb></lb>rae duplum esse. </s></p> <p type="main"> <s>Accipiatur in diametro AB <lb></lb>quodlibet punctum D, per quod <lb></lb>agatur planum EF ad axem AB erectum; quod quidem pla<lb></lb>num duos circulos efficiet, alterum EF in sphaera, alterum <lb></lb>verò HI in cono; Concipiatur super basi HI cylindrus <lb></lb>rectus HLMI. Iam: superficies cylindri HLMI, ad circu<lb></lb> <arrow.to.target n="marg250"></arrow.to.target><lb></lb>lum EF, est ut rectangulum LI, ad quadratum ED; nempe <lb></lb>dupla. </s><s>Et hoc semper; ubicunque sit punctum D: pro- <pb pagenum="178"></pb>pterea, ut una ad unam, ita omnes ad omnes. </s><s>Erunt ergò <lb></lb>omnes superficies cylindricae, nempe conus CAN, ad omnes <lb></lb>circulos, nempe ad sphaeram AEBF, in ratione dupla. </s><s><lb></lb>Quod etc. <lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg250"></margin.target>5. p: de soli: <lb></lb>sph:</s></p> <p type="main"> <s>Concordat cum hoc Theoremate propos. </s><s>XXXII. De Sphaera et Cylindro.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>EXEMPLUM VI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Esto circulus cuius diameter AB, tangensque AC po<lb></lb>natur diametro aequalis coniunctaque EC, convertatur <lb></lb>figura circa axem EF aequidistantem <lb></lb> <arrow.to.target n="fig164"></arrow.to.target><lb></lb>tangenti AC, ita ut à circulo describatur <lb></lb>sphaera, à triangulo verò ACE solidum <lb></lb>quoddam cylindricum excavatum dempto <lb></lb>cono CED. Dico sphaeram praedicto so<lb></lb>lido excavato esse aequalem. </s></p> <figure id="fig164"></figure> <p type="main"> <s>Sumatur in diametro AB quodvis <lb></lb>punctum H, per quod intelligatur su<lb></lb>perficies sphaerica HI, priori superficiei <lb></lb>sphaericae concentrica; et insuper su<lb></lb>perficies cylindrica, quae describitur à recta HL tangenti <lb></lb>AC parallela, circa axem EF revoluta, Iam: CA ad AE est <lb></lb>ut LH ad HE, et sumptis consequentium duplis, CA ad <lb></lb>AB, est ut LH ad HI. Proptereà, LH ad HI aequalis erit; <lb></lb>et ideò superficies curva cylindri LHIO aequalis erit su<lb></lb>perficiei sphaericae HI. Et hoc semper, ubicunque fuerit <lb></lb>punctum H. Proptereà omnes omnibus, nempe omnes su<lb></lb>perficies sphaericae simul, sive sphaera AB, aequales erunt <lb></lb>omnibus superficiebus cylindricis simul, hoc est solido ex<lb></lb>cavato CABD. dempto cono CED. Quod etc. <lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Concordat cum hoc Theor. </s><s>Propositio 32. De Sphaera et Cylindro.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Superficies cuiuscunque cylindri recti AB (intelligo <lb></lb>semper sine basibus) ad superficiem curvam cuiuscunque <lb></lb>segmenti sphaerici CDE, est ut rectangulum per axem <pb pagenum="179"></pb>cylindri, ad rectangulum FDI, sub ca<lb></lb> <arrow.to.target n="fig165"></arrow.to.target><lb></lb>teto segmenti, et diametro sphaerae. </s></p> <figure id="fig165"></figure> <p type="main"> <s>Nam, superficies cylindrica AB, ad <lb></lb>circulum cuius semidiameter sit linea <lb></lb> <arrow.to.target n="marg251"></arrow.to.target><lb></lb>ex polo DC, est ut rectangulum AB, <lb></lb>ad quadratum DC: Ergò, sumptis consequentium aequa<lb></lb>libus, erit cylindrica superficies, ad curvam sphaerici <lb></lb>segmenti CDE superficiem, ut rectangulum AB ad rectan<lb></lb>gulum FDI. Quod erat etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg251"></margin.target>5. p: de soli: <lb></lb>sphaer:</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>EXEMPLUM VII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Esto sphaera, unà cum cylindro sibi circumscripto, <lb></lb>quorum axis sit recta CD. Secenturque plano AB ad axem <lb></lb>erecto. </s><s>Dico cylindrum AH, sesquialterum esse solidi se<lb></lb>ctoris sphaerici ECFG. </s></p> <p type="main"> <s>Accipiatur CL aequalis <lb></lb> <arrow.to.target n="fig166"></arrow.to.target><lb></lb>ipsi CN. et intelligatur cy<lb></lb>lindrus LCDM, cuius altitudo <lb></lb>LC. eritque aequalis cylin<lb></lb>dro AH. Concipiatur etiam <lb></lb>demptus conus LGM; et <lb></lb>sumpto in axe CG quovis <lb></lb>puncto O fiant aequales GO, <lb></lb>GR, et transeat per ipsum <lb></lb>punctum O sphaerica super<lb></lb>ficies QOU in sectore; et <lb></lb>cylindrica IORS, in solido <lb></lb>cylindrico LCDM excavato ablatione coni LGM; sitque <lb></lb>tam sphaericae superficiei quam cylindricae transeuntis <lb></lb>per O, diameter ipsa OR. </s></p> <figure id="fig166"></figure> <p type="main"> <s>Iam: tota CG, ad totam rectam GO, est ut EG ad <lb></lb>GQ, nempe, ut ablata NG, ad GP; ideò reliqua CN, ad OP, <lb></lb>erit ut tota CG, ad GO; sive ut CL, ad OI. Sed antece<lb></lb>dentes sunt aequales, ergò rectae OP, OI aequales erunt. </s><s><lb></lb>Proptereà rectangula ROP, ROI aequalia erunt; et super<lb></lb>ficies sphaerica. </s><s>QOU aequalis erit superficiei cylindricae <lb></lb> <arrow.to.target n="marg252"></arrow.to.target><lb></lb>IORS. Et hoc semper, ubicunque sit punctum O. Ergò <lb></lb>omnes superficies omnium segmentorum sphaericorum <pb pagenum="180"></pb>(nempe solidus sector ECFG) aequales erunt omnibus su<lb></lb>perficiebus cylindricis simul sumptis, hoc est solido exca<lb></lb>vato LCDM. Cui si addatur conus iam ablatus LGM, <lb></lb>patebit propositum: nempe cylindrum LCDM, sive AH, <lb></lb>sesquialterum esse sectoris sphaerici ECFG. Quod etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg252"></margin.target>Lem. <lb></lb>praeced.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Arcus circulorum AB, CD. inter se rationem habent <lb></lb>compositam ex ratione semidiametrorum AG ad CF, et <lb></lb>ex ratione angulorum AGB ad CFD. <lb></lb> <arrow.to.target n="fig167"></arrow.to.target><lb></lb>Nam, fiat angulus CFH aequalis an<lb></lb>gulo AGB. Erit igitur arcus AB ad <lb></lb>CH, ut semidiameter AG ad CF; sed <lb></lb>arcus CH ad CD. est ut angulus CFH, <lb></lb>vel AGB, ad angulum CFD. Ergò <lb></lb>patet arcum AB, ad CD, rationem habere compositam ex <lb></lb>rationibus semidiametrorum AG ad CF, et angulorum <lb></lb>AGB ad CFD. </s></p> <figure id="fig167"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>EXEMPLUM VIII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Esto circulus, cuius semidiameter AB sit initium lineae <lb></lb>spiralis AEIB. Secetur bifariam AB in C; et erectà per<lb></lb>pendiculari CD, quantacunque, fiat per puncta ADB para<lb></lb>bola, cuius diameter CD. et centro A, intervallo AC fiat <lb></lb>arcus CE. Dico spatium sub ipsà spirali, et rectà AB com<lb></lb>praehensum, ad factam parabolam ADB, esse ut arcus <lb></lb>CE, ad rectam CD. </s></p> <p type="main"> <s>Sumatur in AB quodvis punctum <lb></lb> <arrow.to.target n="fig168"></arrow.to.target><lb></lb>aliud à puncto C, puta H; et per H <lb></lb>fiat arcus HI in spatio spiralis, et <lb></lb>recta HL in parabola, ipsius diametro <lb></lb>aequidistans. </s></p> <figure id="fig168"></figure> <p type="main"> <s>Iam: arcus CE ad HI rationem <lb></lb>habet compositam ex ratione semidia<lb></lb>metrorum CA ad AH; et ex ratione <lb></lb>angulorum, sive (quod idem est ob <lb></lb>lineam spiralem) ex ratione temporum, nempe rectae CB <pb pagenum="181"></pb>ad BH. Ergo arcus CE, ad HI, est ut rectangulum ACB, <lb></lb>ad rectangulum AHB, sive ut recta CD, ad HL, ob para<lb></lb>bolam. </s><s>Permutando igitur, arcus CE, ad rectam CD, est <lb></lb>ut arcus HI ad rectam HL; et hoc modo semper; ubi<lb></lb>cunque sit punctum H. Ergò omnes simul arcus, sivè spa<lb></lb>tium spiralis, ad omnes simul rectas, nempe ad parabolam, <lb></lb>erunt ut unus arcus CE, ad unam rectam CD. Quod <lb></lb>erat etc. <lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Si quis ergò ponat rectam CD aequalem arcui semicirculi CE, erit <lb></lb>parabola ADB aequalis spatio spirali. </s><s>Quinque adhuc alijs modis spa<lb></lb>tium spiralis lineae, in parabolam transformatur, quamquam non omnes <lb></lb>per curva Indivisibilia procedant. </s><s>Et Theorema concordat cum 25. de <lb></lb>lineis spiralibus Archimedis.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>EXEMPLUM IX.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Esto hemisphaerium ABC, cuius axis BD, conus verò <lb></lb>inscriptus ABC. Dico hemisphaerium ipsius coni esse du<lb></lb>plum. </s></p> <p type="main"> <s>Sumatur in rectà AB punctum quod<lb></lb> <arrow.to.target n="fig169"></arrow.to.target><lb></lb>vis I; per quod transeat circulus NO <lb></lb>in hemisphaerio erectus ad axem; et <lb></lb>superficies cylindrica FIHL, in cono <lb></lb>circa axem PD. </s></p> <figure id="fig169"></figure> <p type="main"> <s>Iam: circulus NO, ad IH, est ut quadratum NP ad PI: <lb></lb> <arrow.to.target n="marg253"></arrow.to.target><lb></lb>et dividendo, armilla circularis, cuius latitudo NI, ad cir<lb></lb>culum IH, erit ut rectangulum NIO, ad quadratum IP: <lb></lb> <arrow.to.target n="marg254"></arrow.to.target><lb></lb>sed rectangulum NIO, ad quadratum IP: sed rectangulum <lb></lb>NIO, sive AIB, aequale est rectangulo FH (nam, per 4. <lb></lb>sexti, AI ad IF, est ut HI ad IB). Ergò, armilla NI, ad <lb></lb>circulum IH, erit, ut rectangulum FH ad quadratum IP; <lb></lb> <arrow.to.target n="marg255"></arrow.to.target><lb></lb>sive ut cylindrica superficies FIHL, ad eundem circulum <lb></lb>IH. Aequales ergò sunt armilla circularis, cuius latitudo NI, <lb></lb>et superficies cylindrica FIHL: et hoc semper, ubicunque <lb></lb>sit punctum I. Ergò omnes simul armillae, nempe solidum <lb></lb>hemisphaericum excavatum dempto cono ABC, aequales <lb></lb>erunt omnibus simul superficiebus cylindricis, nempe ipsi <lb></lb>cono ABC. Proptereà coniungendo, patet hemisphaerium <lb></lb>inscripti coni duplum esse. </s><s>Quod etc. </s></p> <pb pagenum="182"></pb> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg253"></margin.target>2. duodecimi.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg254"></margin.target>16. sexti.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg255"></margin.target>5: 1: primi: <lb></lb>de soli, sph.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>EXEMPLUM X.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Quod libet minus segmentum sphaericum ABC, ae<lb></lb>quale est conoidi cuidam hyperbolico EDF: eandem alti<lb></lb>tudinem BD habenti, super basim verò EF, aequalem <lb></lb>curvae superficiei segmenti, constituto: cuius latus versum <lb></lb>sit DG, scilicet differentia inter catetum segmenti, et ra<lb></lb>dium sphaerae. </s></p> <p type="main"> <s>Nam, sumatur in sagitta BD <lb></lb> <arrow.to.target n="fig170"></arrow.to.target><lb></lb>quodvis punctum N, per quod tran<lb></lb>seat sphaerica superficies ONR, <lb></lb>priori concentrica in segmento, et <lb></lb>circulus cuius radius NM, basi pa<lb></lb>rallelus in conoide. </s></p> <figure id="fig170"></figure> <p type="main"> <s>Eritque curva superficies ABC, <lb></lb>ad curvam ONR, ut circulus ex <lb></lb>radio AB, ad circulum ex radio ON, <lb></lb>ob aequalitatem: sive ut quadra<lb></lb>tum AB ad ON, vel ut rectangulum IBD, ad rectangulum <lb></lb>HND. sive, in subduplis, ut rectangulum GBD ad GND; <lb></lb>sive (ob hyperbolam) ut quadratum BF, ad quadratum <lb></lb>NM; sive ut circulus radio BF, ad circulum ex radio NM. <lb></lb>Sed antecedentia sunt aequalia per suppositionem, ergo <lb></lb>aequalis erit superficies curva ONR, circulo cuius radius <lb></lb>NM. Et hoc semper; ergo omnes omnibus; nempe sphaerae <lb></lb>segmentum minus aequale erit conoidi hyperbolico. </s><s>Quod <lb></lb>erat etc. <lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Quandò verò segmentum sphaerae fuerit hemisphaerium, demon<lb></lb>stratur aequale cono, qui basim habeat, acqualem curvae superficiei <lb></lb>hemisphaerij, et altitudinem eandem. </s></p> <p type="main"> <s>Quando verò fuerit segmentum sphaerae maius, tunc ostendetur <lb></lb>aequale duobus solidis nempe frusto cuidam recto conoidis hyperbolici, <lb></lb>cuius maior basis, sit aequalis curvae superficiei segmenti sphaerici, <lb></lb>latus versum sit excessus sagittae segmenti suprà radium sphaerae, <lb></lb>altitudo verò excessus diametri suprà sagittam. </s><s>Et cono cuidam, super <lb></lb>minori basi praedicti frusti constituto, cum altitudine, quae sit aequalis <lb></lb>lateri verso ipsius frusti. </s><s>Facilis demonstratio est, quamquam propo<lb></lb>sitio difficilis videatur.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <pb pagenum="183"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Concordantia praecedentis demonstrationis <lb></lb>cum doctrina Archimedis.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Sumpta praecedenti constructione et figura; Esto Cono<lb></lb>ides hyperbolicum EDF quod ostensum est aequale minori <lb></lb>segmento sphaerae ABC. Dico illud, etiam ex doctrina Ar<lb></lb>chimedis, aequale esse praedicto segmento sphaerico ABC. </s></p> <p type="main"> <s>Producatur IU aequalis radio <lb></lb> <arrow.to.target n="marg256"></arrow.to.target><lb></lb> <arrow.to.target n="fig171"></arrow.to.target><lb></lb>sphaerae; eritque segmentum minus <lb></lb>ABC ad conum ABC ut UD ad DI. <lb></lb>Ponatur etiam TD. sesquialtera ipsius <lb></lb>GD. Eritque conoides EDF, ad co<lb></lb>num EDF, ut TB ad BG. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg256"></margin.target>31: De <lb></lb>Conoid: et <lb></lb>sphaeroid: <lb></lb>27. eiusdem</s></p> <figure id="fig171"></figure> <p type="main"> <s>Iam: segmentum sphaericum ad <lb></lb>conum suum ABC, est ut UD ad DI: <lb></lb>conus autem ABC, ad conum aeque<lb></lb>altum EDF, est ut quadratum AD, <lb></lb>ad quadratum EB; sive ad quadratum <lb></lb>AB; nempe ut rectangulum IDB, ad <lb></lb>rectangulum IBD, sive ut eorumdem altitudines, DI ad <lb></lb>IB; Ergò ex aequo, segmentum sphaerae ABC, ad conum <lb></lb>EDF, est ut UD, ad IB: sive (sumptis earumdem rectarum <lb></lb>subduplis) ut TB ad BG. Nempe ut conoides, ad eundem <lb></lb>conum. </s><s>EDF. Aequantur ergo segmentum sphaerae, et <lb></lb>ipsum Conoid: etiam ex doctrinà Archimedis. <lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Assumpsimus rectas TB, BG, esse semisses rectarum UD, IB, respe<lb></lb>ctivè. </s><s>et hoc patet. </s><s>Nàm, UD constat ex duabus semidiametris, et ex <lb></lb>ipsa GD; sed TB constat ex unica semidiametro, et semisse DG, OB <lb></lb>constructionem. </s><s>Reliquum manifestum est. </s></p> <p type="main"> <s>Latus rectum praedicti Conoidis non est necessarium, quandoquidem <lb></lb>datur latus versum, et semidiameter basis, sed si quis illud requirat, <lb></lb>inveniet duplum esse lateris versi.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>EXEMPLUM XI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Esto cylindrus rectus ABCD, cuius basis AD, axis verò <lb></lb>PE, intelligaturque ablatus ab ipso conus BEC, ita ut re<lb></lb>linquatur cylindrus excavatus. </s><s>Producatur deinde CD in F, <lb></lb>ita ut DF possit duplum rectanguli CDE, et iunctà EF <pb pagenum="184"></pb>convertatur triang. </s><s>EDF (saltem ima<lb></lb> <arrow.to.target n="fig172"></arrow.to.target><lb></lb>ginatione, nam figura non et per<lb></lb>fecta) ita ut oriatur conus, cuius <lb></lb>basis semidiameter sit DF, axis verò <lb></lb>ED. Dico talem conum aequalem <lb></lb>esse praedicto cylindro excavato. </s><s>Su<lb></lb>matur enim in axe ED, quodvis <lb></lb>punctum I, et per ipsum transeat superficies cylindrica <lb></lb>ILMN, circà axem EP in solido excavato cylindrico; et <lb></lb>circulus cuius radius IO in EO cono, qui axem habet ED. </s></p> <figure id="fig172"></figure> <p type="main"> <s>Iam circulus ex radio DF, ad circulum ex radio IO est <lb></lb> <arrow.to.target n="marg257"></arrow.to.target><lb></lb>ut quadratum DF ad IO, sive ut quadratum DE ad EI, <lb></lb>sive ut rectangulum CDE, ad rectang. </s><s>LIE; sed quadra<lb></lb>tum DF ponitur duplum rectanguli CDE; ergò quadratum <lb></lb>IO duplum erit rectanguli LIE; et ideo aequale rectan<lb></lb> <arrow.to.target n="marg258"></arrow.to.target><lb></lb>gulo LINM. Proptereà circulus ex radio IO, aequalis erit <lb></lb>superficiei cylindricae LINM; et hoc semper, ubicunque <lb></lb>sit punctum I. Ergo omnes circuli simul, sive conus cuius <lb></lb>axis est ED, aequales erunt omnibus superficiebus cylin<lb></lb>dricis simul, sive solido cylindrico excavato ABECD. Quod <lb></lb>erat etc. <lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg257"></margin.target>2. duodecimi.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg258"></margin.target>5. p. </s><s>de soli <lb></lb>sph.</s></p> <p type="main"> <s>Quod autem concordet cum Euclide 1. 12. ostenditur. </s><s>Nam conus <lb></lb>BEC, ad conum cum qui habet axem ED, rationem habet compositam <lb></lb>ex ratione altitudinum, nempe rectae PE ad ED, sive rectanguli PED, <lb></lb>ad quadratum ED, et ex ratione basium, nempe quadrati ED, ad qua<lb></lb>dratum DF. Ergo conus BEC, ad conum cuius axis est ED, est ut re<lb></lb>ctangulum PED, ad quadratum DF, nempe subduplus, ob constructio<lb></lb>nem; sed idem conus BEC subduplus est solidi excavati ABECD, ergo <lb></lb>etiam ex doctrina Euclidis patet solidum cylindricum excavatum ABE <lb></lb>CD, aequale esse cono, cuius axis est ED, radius verò basis DF. etc.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>EXEMPLUM XII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Quilibet cylindrus rectus AB, cuius axis sit CF, ae<lb></lb>qualis est conoidi parabolico, cuius altitudo sit CD; semi<lb></lb>diameter verò basis sit DE, quae quidem potentia sit <lb></lb>aequalis rectangulo AB; et erit circulus ex radio DE ae<lb></lb> <arrow.to.target n="marg259"></arrow.to.target><lb></lb>qualis superficiei cylindricae AB. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg259"></margin.target>5. p. </s><s>de so<lb></lb>lid. </s><s>sph.</s></p> <p type="main"> <s>Intelligatur converti semiparabola ECD circà axem CD, <lb></lb>ita ut praedictum conoides oriatur. </s><s>Sumpto deinde in axe <pb pagenum="185"></pb>CD quolibet puncto I, per ipsum tran<lb></lb> <arrow.to.target n="fig173"></arrow.to.target><lb></lb>seat in cylindro superficies cylindrica <lb></lb>IL, circà axem CF; at in conoide, cir<lb></lb>culus, cuius semidiameter sit IH, basi <lb></lb>parallelus. </s></p> <figure id="fig173"></figure> <p type="main"> <s>Iam: superficies cylindrica AB: ad <lb></lb>cylindricam IL, est ut rectangulum AB, <lb></lb>ad rectangulum IL, sive ut eorun<lb></lb> <arrow.to.target n="marg260"></arrow.to.target><lb></lb>dem semibases, DC sd CI, sive ut quadratum DE ad IH; <lb></lb>nempe ut circulus, ex radio DE ad circulum ex radio IH. <lb></lb> <arrow.to.target n="marg261"></arrow.to.target><lb></lb>Sed antecedentes ponuntur aequales, ergo etiam conse<lb></lb>quentes; nempe superficies cylindrica IL, aequalis erit <lb></lb>circulo ex radio IH: et hoc semper, ubicunque sit pun<lb></lb>ctum I. Proptereà omnes cylindricae simul superficies, <lb></lb>omnibus circulis aequales erunt. </s><s>videlicet cylindrus co<lb></lb>noidi. </s><s>Quod etc. <lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg260"></margin.target>6. p. </s><s>de so<lb></lb>lid. </s><s>sph.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg261"></margin.target>ob parabo<lb></lb>lam.</s></p> <p type="main"> <s>Demonstratur concordare cum Archimede hoc modo. </s><s>cylindrus AB <lb></lb>ad conum in conoide inscriptum, rationem habet compositam ex ra<lb></lb>tione altitudinum, nempe ex ratione FC ad tertiam partem CD, (pro <lb></lb>cono inscripto, accipio cylindrum in eàdem quidem basi, sed cum alti<lb></lb>tudine subtripla) et ex ratione basium, nempe quadrati CD ad DE, <lb></lb>sive quadrati CD, ad rectangulum AB, sive rectae CD ad duplam CF, <lb></lb>sive in subtriplis ut tertia pars CD, ad duas tertias ipsius CF. </s></p> <p type="main"> <s>Proptereà cylindrus AB, ad conum in conoide inscriptum, erit ut <lb></lb>FC, ad duas tertias ipsius FC, nempe sesquialter. </s><s>Concordat itaque <lb></lb>cum 23. de Conoid. </s><s>et sphaeroid.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>EXEMPLUM XIII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Quilibet conus rectus ABC, cuius axis sit BD, aequalis <lb></lb>est sphaeroidi, quae axem habeat <lb></lb> <arrow.to.target n="fig174"></arrow.to.target><lb></lb>DC, nempe semidiametrum basis <lb></lb>coni; et sectà DC bifariam in F, <lb></lb>semidiameter sphaeroidis FE po<lb></lb>tentià sit subdupla trianguli A <lb></lb>BC. </s></p> <figure id="fig174"></figure> <p type="main"> <s>Compleatur rectangulum FH <lb></lb>LU; eritque, ob suppositionem, <lb></lb>recta FE aequalis potentià re<lb></lb>ctangulo FL: ideoque circulus <lb></lb>cuius radius FE, aequalis erit <pb pagenum="186"></pb>superficiei cylindricae quae transit per FH circà axem <lb></lb>BD. <lb></lb> <arrow.to.target n="marg262"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg262"></margin.target>5. p. </s><s>de so<lb></lb>lid: sph:</s></p> <p type="main"> <s>Sumatur iam quodlibet punctum I in axe DC. et per I <lb></lb>transeat superficies cylindrica IMNO: et circulus in sphae<lb></lb>roide, cuius radius sit IP. Superficies itaque cylindrica FL, </s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg263"></arrow.to.target><lb></lb>ad cylindricam IN, est ut rectangulum FL ad IN. Nempe <lb></lb>rationem habet compositam ex ratione FH ad IM, sive <lb></lb>FC ad CI; et ex ratione FU ad IO, vel FD ad DI. <lb></lb> <arrow.to.target n="marg264"></arrow.to.target><lb></lb>erit itaque cylindrica FL ad cylindricam IN, ut rectang. </s><s><lb></lb>DFC ad rectang. </s><s>DIC; sive ut quadratum FE ad IP, <lb></lb>nempe ut circulus ex radio FE, ad circulum ex radio IP. <lb></lb>Sed antecedentes aequales sunt, ergo etiam consequentes: <lb></lb>nimirum, superficies cylindrica IMNO, aequalis erit circulo <lb></lb>ex radio IP. et hoc semper ubicunque punctum I. Ergò <lb></lb>omnes omnibus, hoc est conus ABC, aequalis erit sphae<lb></lb>roidi praedictae. </s><s>Quod erat etc. <lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg263"></margin.target>6 p. </s><s>de so<lb></lb>lid sph.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg264"></margin.target>ob ellipsim.</s></p> <p type="main"> <s>Concordare cum Archimede ostendemus. </s><s>Nam; conus ABC, ad co<lb></lb>num in hemisphaeroide inscriptum, rationem habet compositam ex <lb></lb>ratione basium, nempe quadrati DC, ad quadratum FE; vel quadrati <lb></lb>DC ad rectangulum FL; sive (cum rectangula habeant aequalem ba<lb></lb>sim) rectae DC ad FH; sive AC ad DB. Et ex ratione altitudinum, <lb></lb>nempe BD ad DF. Erit ergò conus ABC, ad conum in hemisphaeroide <lb></lb>inscriptum, ut recta AC ad rectam DF, nempe quadruplus. </s><s>Concordat <lb></lb>ergò cum prop. 29 de Conoid. </s><s>et sphaeroid.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>EXEMPLUM XIV.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Esto parabola, vel hyperbola, vel ellipsis, vel circuli <lb></lb>circumferentia, cuius axis AB; semilatus rectum AC sit <lb></lb> <arrow.to.target n="fig175"></arrow.to.target><lb></lb>ad angulos rectos cum axe AB: et coniuncta BC ab extre- <pb pagenum="187"></pb>mitate axis procedat. </s><s>Sumatur iam quaelibet ordinatim <lb></lb>applicata DE, producta in F; et convertatur ipsa sectio <lb></lb>conica circà axem AE; sed quadrilaterum AEFC conver<lb></lb>tatur circà AC. Dico solidum factum à conversione trilinei <lb></lb>DAE, aequale esse solido EFCIH, facto à conversione <lb></lb>quadrilateri AEFC, circà axem AC revoluti. </s></p> <figure id="fig175"></figure> <p type="main"> <s>Nam; cum AC sit semilatus rectum, erit quadratum <lb></lb>applicatae DE, duplum rectanguli AEF, et ideò aequale <lb></lb>rectangulo HEF. Proptereà, circulus, cuius radius sit DE, <lb></lb>aequalis erit superflciei cylindricae, quae describitur à re<lb></lb> <arrow.to.target n="marg265"></arrow.to.target><lb></lb>ctà EF, circà axem AC conversà. </s><s>Et hoc semper, ubi<lb></lb>cunque sit punctum E. Ergo omnes omnibus. </s><s>Nempe omnes <lb></lb>circuli simul, sive solidum conoidale, aequale erit omnibus <lb></lb>superficiebus cylindricis simul sumptis, nempe solido de<lb></lb>scripto à quadrilatero AEFC, circà axem AC converso. </s><s><lb></lb>Quod etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg265"></margin.target>5. p. </s><s>de so<lb></lb>lid: sph:</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Scholium.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Si quis verò dubitet, an praecedens Theorema concordet cum pro<lb></lb>positionibus Archimedis, omnem dubitandi occasionem delebunt tres <lb></lb>sequentes demonstrationes.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Concordantia pro Conoide parabolico.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Esto conoide parabolicum ABC. Ostendit Archim. </s><s>Prop. 23 de Co<lb></lb>noid. </s><s>et Sphaeroid. </s><s>Conoides ABC, esse sesquialterum coni ABC. </s></p> <p type="main"> <s>Esto solidum, quale discriptum est à qua<lb></lb> <arrow.to.target n="fig176"></arrow.to.target><lb></lb>drilatero DBHG, in praecedenti constructione; <lb></lb>quod quidem solidum in parabola, erit cylin<lb></lb>drus. </s><s>Secetur in tres partes aequales tàm BH, <lb></lb>quàm etiam BD. Eritque conus ABC aequalis <lb></lb>cylindro super eàdem basi AC constituto, sub <lb></lb>altitudine verò DL; considerabimusque cylin<lb></lb>drum hunc, pro dicto cono ABC. </s></p> <figure id="fig176"></figure> <p type="main"> <s>Iam: cylindrus GE, ad conum ABC, sive ad <lb></lb>cylindrum eius vicarium, rationem habet com<lb></lb>positam, ex ratione altitudinum HB ad LD, et ex ratione basium, <lb></lb>nempe circuli ED, ad circulum AC, sive quadrati BD ad DA; sive <lb></lb>rectae BD, ad duplam BH. cum enim BH sit semilatus rectum, erit <lb></lb>quadratum AD aequale rectangulo sub BD, et dupla BH, sive in sub<lb></lb>triplis, rectae LD ad BI duas tert. </s><s>ipsius BH. Est ergo cylindrus GE, <lb></lb>ad conum ABC, ut HB ad BI; nempe sesquialter. </s><s>Quod concludit etiam <lb></lb>Archimedes de Conoide parabolico.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <pb pagenum="188"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Pro Conoide hyperbolico.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Esto deinde conoides hyperbolicum ABC, cuius latus versum BE; <lb></lb>sitque FB sesquialtera ipsius BE. Ostendit Archimedes prop. 27. de <lb></lb>Conoid. </s><s>et sphaeroid. </s><s>quod co<lb></lb> <arrow.to.target n="fig177"></arrow.to.target><lb></lb>noides ABC, est ut FG ad GE. <lb></lb>Dico etiam solidum HMNOG ge<lb></lb>nitum in Exemplo 14. ad co<lb></lb>num ABC esse, ut FG, ad GE. </s></p> <figure id="fig177"></figure> <p type="main"> <s>Secentur in tres partes ae<lb></lb>quales rectae BG, BN, NL, erit<lb></lb>que conus ABC aequalis cy<lb></lb>lindro cuidam, cuius basis sit <lb></lb>eadem AC, altitudo verò sub<lb></lb>tripla, nempe GX. At solidum <lb></lb>HMNOG (cum nil aliud sit, nisi <lb></lb>cylindrus quidam cui deest co<lb></lb>nus MNO) aequale erit cylindro <lb></lb>super eadem basi HG constituto, <lb></lb>cum altitudine verò BT. Consi<lb></lb>derabimus igitur tàm solidum <lb></lb>HMNOG, quàm etiam conum ABC, tanquam si essent cylindri iam <lb></lb>dicti, eorumdem solidorum vicarij. </s></p> <p type="main"> <s>Iam: solidum HMNOG, ad conum ABC, rationem habet compositam <lb></lb>ex ratione altitudinum BT ad GX, et ex ratione basium, nempe cir<lb></lb>culi HG, ad circulum AC; sive quadrati BG, ad quadratum AG; sive <lb></lb>rectae BG ad duplam ipsius GO (cum enim BN. sit semilatus rectus, <lb></lb>erit quadratum AG aequale rectangulo sub BG, et dupla ipsius GO.) <lb></lb>sive, sumptis subtriplis, ut GX, ad duas tertias ipsius GO, vel ad duas <lb></lb>tertias BL. Erit ergò solidum HMNOG ad conum ABC, ut BT ad TU. <lb></lb>Quod memento. </s></p> <p type="main"> <s>Recta BE ad EG, est ut BN ad GO, sive ut BN ad BL, sive (in <lb></lb>subsesquialteris) ut NU ad UT. Sumptis ergo antecedentium dimidijs, <lb></lb>erit FE ad EG, ut BU ad UT. et componendo, FG, ad GE, ut BT, ad <lb></lb>TU. Proptereà solidum HMNOG, ad conum ABC, (quod iàm ostendi<lb></lb>mus esse ut BT ad TU) erit etiam ut FG ad GE. Quod prorsus de co<lb></lb>noide concludit etiam Archimedes prop. 27. de Conoid. </s><s>et sphaeroid.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <pb pagenum="189"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Pro Segmento sphaeroidali, vel sphaerico.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Esto portio sphaeroidis sive sphaerae ABC, vel maior, vel minor; <lb></lb>ponaturque EF aequalis ipsi ED, nempe dimidio axis. </s><s>Ostendit Archi<lb></lb>medes prop. 31. et 33. De Conoid. </s><s>et <lb></lb> <arrow.to.target n="fig178"></arrow.to.target><lb></lb>sphaer. portionem ABC, ad conum in<lb></lb>scriptum ABC, esse ut FG ad GE. Dico <lb></lb>etiam solidum HMNOG, genitum in exem<lb></lb>plo 14. ad eundem conum inscriptum ABC, <lb></lb>esse ut FG ad GE. Secentur in tres partes <lb></lb>aequales, rectae BG, BL, LN. eritque co<lb></lb>nus ABC aequalis cylindro, cuius basis <lb></lb>eadem sit cum cono, nempe AC; altitudo <lb></lb>autem subtrip!a, nempe GX. Solidum verò <lb></lb>HMNOG, quia componitur ex cylindro <lb></lb>HMOG, et ex cono MNO, aequale erit cy<lb></lb>lindro super eadem basi HG constituto, <lb></lb>cum altitudine BI. Considerabimus igitur <lb></lb>tam solidum HMNOG, quàm etiam conum <lb></lb>ABC, tanquam si essent cylindri iam dicti <lb></lb>eorundem solidorum vicarij. </s></p> <figure id="fig178"></figure> <p type="main"> <s>Iam: solidum HMNOG, ad conum ABC, rationem habet compositam <lb></lb>ex ratione altitudinum BI ad GX; et ex ratione basium, nempe cir<lb></lb>culi HG ad AC, sive quadrati BG ad quadratum GA, sive rectae BG <lb></lb>ad duplam ipsius GO. (cum enim BN, sit semilatus rectum, erit qua<lb></lb>dratum AG aequale rectangulo sub BG, et dupla GO) sive sumptis <lb></lb>subtriplis, ut GX ad duas tertias ipsius GO, vel ad duas tertias BL. <lb></lb>Ergo solidum HMNOG, ad conum ABC, erit ut IB ad BP. quod me<lb></lb>mento. </s></p> <p type="main"> <s>Recta BG ad GE, est ut NO ad OE, sive ut NL ad LB. sive (in <lb></lb>subsesquialteris) ut TL ad LU; componendo autem BE ad EG, erit ut <lb></lb>TU ad UL; sumptisque ante<emph type="italics"></emph>c<emph.end type="italics"></emph.end>edentium dimidijs, erit FE ad EG, ut IP <lb></lb>ad UL, sive ad PB: Et componendo, FG ad GE, erit ut IB ad BP. Pro<lb></lb>ptereà, solidum HMNOG, ad conum ABC, (quod iam ostendimus esse: <lb></lb>ut IB ad BP) erit etiam ut FG ad GE. Quod prorsus de portione sphae<lb></lb>roidis concludit etiam Archimedes Prop. 31. et 33. de Conoid. </s><s>et <lb></lb>Sphaeroid. </s></p> <p type="main"> <s>Plura adhuc exibere poteram exempla demonstrationum per Indivisi<lb></lb>bilia curva procedentium, nisi superflua, immò etiam et molesta existi<lb></lb>massem. </s><s>Hoc unum admoneo lectorem, in magna parte praecedentium <lb></lb>Theorematum me facilitatis gratia fecisse casum Propositionis parti<lb></lb>cularem, cum tamen facere potuissem universalissimum. </s><s>Exempli causa. </s><s><lb></lb>Poteram (in figura primi exempli) supponere tangentem BC cuiuscun<lb></lb>que longitudinis, et deinde ostendere ita esse circulum ad triangulum, <lb></lb>ut periphaeria ad tangentem: sed faciliorem conclusionem indicavi <pb pagenum="190"></pb>aequalitatem inferre, quàm proportionalitatem; presertim cum in so<lb></lb>lido hyperbolico de aequalitate tantùm ratio habeatur. </s><s>Si itaque co<lb></lb>rollaria limitata plerumque demonstravi, vice Theorematum universa<lb></lb>lium, scias datà operà factum esse.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Definitio.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si hyperbola circà asymptoton, tamquàm circà axem, <lb></lb>convertatur, solidum fiet (si secundum axem consideretur) <lb></lb>longitudine infinitum, quod quidem Acutum solidum hy<lb></lb>perbolicum nominabimus. </s></p> <pb></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>DE SOLIDO HYPERBOLICO ACUTO<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma Primum.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Esto hyperbola cuius asymptoti sint AB, AC, angulum <lb></lb>rectum continentes; et revolutà figurà circà axem AB, <lb></lb>factum supponatur solidum acutum <lb></lb> <arrow.to.target n="fig179"></arrow.to.target><lb></lb>hyperbolicum infinitè longum versus <lb></lb>B; quemadmodum definitum est. </s><s>In<lb></lb>telligatur iàm intrà ipsum acutum <lb></lb>solidum, rectangulum aliquod per <lb></lb>axem AB ductum, puta DEFG. Dico <lb></lb>hoc rectangulum acquale esse qua<lb></lb>drato semiaxis ipsius hyperbolae. </s></p> <figure id="fig179"></figure> <p type="main"> <s>Ducatur ex A centro hyperbolae, <lb></lb>semiaxis AH, qui angulum BAC bi<lb></lb>fariam secabit; fiatque rectangulum AIHC; quod omninò <lb></lb>quadratum erit (nam cum rectangula figura sit, angulus A <lb></lb>bifariam ab axe AG dividitur). Ergò quadratum rectae AH, <lb></lb>duplum erit quadrati AIHC, sive duplum rectanguli AF. <lb></lb>et ideò aequale rectangulo DEFG, Quod erat proposi<lb></lb> <arrow.to.target n="marg266"></arrow.to.target><lb></lb>tum etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg266"></margin.target>ob 12 se<lb></lb>cundi Conic.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma II.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Omnes cylindri circà communem axem intrà solidum <lb></lb>acutum hyperbolicum descripti, isoperimetri sunt. </s><s>intellige <pb pagenum="192"></pb>semper sine basibus. </s><s>Esto acu<lb></lb> <arrow.to.target n="fig180"></arrow.to.target><lb></lb>tum solidum, cuius axis AB, <lb></lb>et intra ipsum intelligantur de<lb></lb>scripti circà communem axem <lb></lb>AB, quotlibet cylindri CDEF, <lb></lb>GHLI. Eruntque aequalia re<lb></lb> <arrow.to.target n="marg267"></arrow.to.target><lb></lb>ctangula per axem CE, GL, <lb></lb>ergò aequales erunt etiam cur<lb></lb>vae cylindrorum superficies. </s><s><lb></lb>Quod erat. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg267"></margin.target>12. secundi <lb></lb>Conic. 6. p. </s><s><lb></lb>de solid. </s><s><lb></lb>sphaer.</s></p> <figure id="fig180"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma III.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Omnes isoperimetri cylindri (cuiusmodi sunt illi, qui in <lb></lb>acuto solido hyperbolico describuntur) inter se sunt ut <lb></lb>diametri suarum basium. </s><s>Quoniam enim, in praecedenti <lb></lb>figurà, aequalia sunt rectangula AE, AL; erit ut FE ad <lb></lb>IL, ita IA ad AF. Iam cylindrus CE ad cylindrum GL, <lb></lb>rationem habet compositam ex ratione quadrati FA ad <lb></lb>quadratum AI; et ex ratione rectae FE ad IL; sive ex <lb></lb>ratione rectae IA ad AF, vel quadrati IA ad rectangulum <lb></lb>IAF. Propterea cylindrus CE ad cylindrum GL, erit ut <lb></lb>quadratum FA ad rectangulum IAF; nempe ut rectà FA <lb></lb>ad AI. Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma IV.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Esto solidum acutum ABC, cu<lb></lb> <arrow.to.target n="fig181"></arrow.to.target><lb></lb>ius axis DB, et centrum hyperbolae <lb></lb>sit punctum D. in quo scilicet <lb></lb>asymptoti conveniunt, axis autem <lb></lb>hyperbolae sit DF. Intelligatur ex <lb></lb>centro D, ad intervallum DF de<lb></lb>scripta sphaera AEFC, quae ma<lb></lb>xima erit omnium intra acutum so<lb></lb>lidum descriptibilium ex centro D. <lb></lb>Sumptoque cylindro quocunque in<lb></lb>trà acutum solidum descripto, puta GIHL. Dico cylindri GH <lb></lb>superficiem subquadruplam esse superficiei sphaerae AEFC. </s></p> <pb pagenum="193"></pb> <figure id="fig181"></figure> <p type="main"> <s>Cum enim rectangulum GH per axem cylindri, aequale <lb></lb>sit quadrato DF, erit cylindrica superficies aequalis circulo <lb></lb> <arrow.to.target n="marg268"></arrow.to.target><lb></lb>qui fit ex radio DF nempe circulo AEFC: Propterea ea<lb></lb>dem superficies cylindrica GIHL subquadrupla erit super<lb></lb>ficiei sphaerae AEFC, cuius etiam circulus AEFC subqua<lb></lb>druplus est. </s><s>Quod etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg268"></margin.target>4: de sol <lb></lb>sphaer.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma V.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Cuiuscunque cylindri GHIL intra solidum acutum de<lb></lb>scripti (ut in praecedenti figura) superficies sine basibus <lb></lb>aequalis est circulo cuius semidiameter sit linea DF. nempe <lb></lb>semiaxis. </s><s>sive semilatus versum ipsius hyperbolae. </s><s>Hoc <lb></lb>enim in ipso progressu praecedentis lemmatis demonstra<lb></lb>tum est. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>THEOREMA.<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Solidum acutum hyperbolicum infinitè longum, sectum plano ad <lb></lb>axem erecto, unà cum cylindro suae basis, aequale est cylindro cuidam <lb></lb>recto, cuius basis sit latus versum, sive axis hyperbolae, altitudo verò <lb></lb>sit aequalis semidiametro basis ipsius acuti solidi. </s></p> <p type="main"> <s>Esto hyperbola, cuius asymptoti AB, <lb></lb> <arrow.to.target n="fig182"></arrow.to.target><lb></lb>AC, angulum rectum contineant; sum<lb></lb>ptoque in hyperbola quolibet puncto D, <lb></lb>ducatur DC aequidistans ipsi AB, et DP <lb></lb>aequidistans AC. Tum convertatur uni<lb></lb>versa figura circa axem AB. ità ut fiat <lb></lb>solidum acutum hyperbolicum EBD, una <lb></lb>cum cylindro suae basis FEDC. Produ<lb></lb>catur BA in H, ita ut AH. aequalis sit <lb></lb>integro axi, sive lateri verso hyperbolae. </s><s><lb></lb>Et circa diametrum AH intelligatur cir<lb></lb>culus erectus ad asymptoton AC: et <lb></lb>super basi AH concipiatur cylindrus <lb></lb>rectus ACGH, cuius altitudo sit AC, <lb></lb>nempe semidiameter basis acuti solidi. </s><s><lb></lb>Dico solidum universum FEBDC, quan<lb></lb>quam sine fine longum, aequale tamen esse cylindro ACGH. </s></p> <figure id="fig182"></figure> <p type="main"> <s>Accipiatur in recta AC quodlibet punctum I, et per I intelligatur <lb></lb>ducta superficies cylindrica ONLI in solido acuto compraehensa circa <lb></lb>axem AB: item circulus IM in cylindro ACGH aequidistans basi AH. </s></p> <p type="main"> <s>Erit ergo praedicta superficies cylindrica ONLI ad circulum IM, ut <pb pagenum="194"></pb>rectangulnm per axem OL, ad quadratum radij circuli IM; nempe ut <lb></lb>rectangulum OL, ad quadratum semiaxis hyperbolae; et ideo aequalis <lb></lb>ex lemmate. </s><s>Et hoc semper verum erit, ubicunque sumatur punctum I. <lb></lb>Propterea omnes simul superficies cylindricae, hoc est ipsum solidum <lb></lb>acutum EBD, una cum cylindro basis FEDC, aequale erit omnibus cir<lb></lb>culis simul, hoc est cylindro ACGH. Quod erat etc.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Scholium.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Incredibile videri potest, cum solidum hoc infinitam longitudinem <lb></lb>habeat, nullam tamen ex illis superficiebus cylindricis quas nos consi<lb></lb>deramus, infinitam longitudinem habere; sed unamquamque esse ter<lb></lb>minatam; ut unicuique patebit, cui vel modicè familiaris sit doctrina <lb></lb>Conicorum. </s></p> <p type="main"> <s>Veritatem praecedentis Theorematis satis per se claram, et per <lb></lb>exempla ad initium libelli proposita confirmatam satis superque puto. </s><s><lb></lb>Tamen ut in hac parte satisfaciam lectori etiam Indivisibilium parùm <lb></lb>amico, iterabo hanc ipsam demostrationis in calce operis, per solitam <lb></lb>veterum Geometrarum viam demonstrandi, longiorem quidem, sed non <lb></lb>ideo mihi certiorem. </s></p> <p type="main"> <s>Interim, quia demonstrationes exhibebimus de illo tantùm acuto <lb></lb>solido, cuius hyperbolae genitricis asymptoti angulum rectum conti<lb></lb>neant, dicamus hic obiter, omissà demonstratione, quibus figuris ae<lb></lb>qualia sint acuta solida; quando asymptoton angulus obtusus fuerit, <lb></lb>vel acutus.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Demonstrationes, quas ad evitandam molem praeteri<lb></lb>mus, sibi lector industrius facili negotio comparabit. <lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Esto hyperbola cuius asymptoti AB, AC angulum obtusum conti<lb></lb>neant; et revoluta figura circa axem AB fiat solidum acutum infinitè <lb></lb> <arrow.to.target n="fig183"></arrow.to.target><lb></lb>longum versus B. seceturque (ut in prima fig.) plano DE ad axem <lb></lb>erecto. </s><s>Erit solidum acutum DBE aequale cylindro DILE, et cono IAL. <lb></lb>In secunda verò figura sit planum secans DE. erit solidum acutum <pb pagenum="195"></pb>universum quod imponitur super circulo DE sumpto etiam cono OAU, <lb></lb>aequale cylindro IE, et cono IAC simul sumptis. </s></p> <figure id="fig183"></figure> <p type="main"> <s>Quando verò angulus asymptoton acutus ponatur, et sit planum <lb></lb>secans CD in prima figura. </s><s>Erit solidum acutum CHD una cum cono <lb></lb> <arrow.to.target n="fig184"></arrow.to.target><lb></lb>EAI aequale cylindro CEID. At in secunda figura erit universum soli<lb></lb>dum acutum factum ex conversione quadrilinei mixti ABCDA sine fine <lb></lb>longi, duplum cylindri IEDC. </s></p> <figure id="fig184"></figure> <p type="main"> <s>Sequuntur iàm sub nomine Corollariorum Propositiones quadam ex <lb></lb>praecedenti Theoremate promanantes; quae quidem aliquot praeroga<lb></lb>tivas huius acuti solidì hyperbolici fortasse non contemnendas demon<lb></lb>strabunt.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollarium Primum.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Acuta solida hyperbolica EBD, NBL, quae in figura <lb></lb>pag. 193. extensionibus ED, NL ad axem erectis fiunt, una <lb></lb>cum cylindris suarum basium, inter se sunt ut diametri <lb></lb>earundem basium, nempe ut recta ED ad NL. </s></p> <p type="main"> <s>Nam resumpta praecedentis Theorematis figura, et con<lb></lb>structione, erit solidum FEBDC, aequale cylindro ACGH. <lb></lb>et solidum ONBLI aequale cylindro AIMH, Ergo solidum <lb></lb>ad solidum erit ut cylindrus ad cylindrum, nempe ut CA ad <lb></lb>AI, sive sumptis duplis ut recta FC ad OI; sive ut ED <lb></lb>ad NL. Quod erat etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollarium II.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Acuta solida hyperbolica DBE, HBL, etiam sine cylin<lb></lb>dris suarum basium sumpta, inter se sunt ut diametri <lb></lb>earumdem basium, nempe ut DE ad HL. Descriptis enim <pb pagenum="196"></pb>basium cylindris CDEF, GH <lb></lb> <arrow.to.target n="fig185"></arrow.to.target><lb></lb>LI, erit totum solidum CDB <lb></lb>EF, ad totum solidum GH <lb></lb>BLI ut CF ad GI. Sed abla<lb></lb>tus cylindrus CE ad ablatum <lb></lb>cylindrum GL est ut CF ad <lb></lb>GI. Ergo reliquum etiam so<lb></lb>lidum DBE, ad reliquum H <lb></lb>BL erit ut totum ad totum; <lb></lb>nempe ut CF ad GI. Hoc est ut DE ad HL. Quod etc. </s></p> <figure id="fig185"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollarium III.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Esto solidum acutum sectum planis AB, CD, EF, GP, <lb></lb>ità ut sectionum semidiametri sint ut numeri naturalitèr <lb></lb>ab unitate progredientes <lb></lb> <arrow.to.target n="fig186"></arrow.to.target><lb></lb>(quod facile fiet, si ac<lb></lb>cepta ad libitum IL, ae<lb></lb>quales ipsi IL secentur <lb></lb>LM, MN, NO, etc. </s><s>ducti<lb></lb>sque LG, ME, NC, etc. </s><s><lb></lb>ad axem parallelis, per <lb></lb>puncta G, et E, et C, etc. </s><s><lb></lb>agantur secantia plana). <lb></lb>Dico omnia frusta inter<lb></lb>cepta aequalia esse tum inter se, tum etiam acuto so<lb></lb>lido GUP. Patet hoc. </s><s>Nam cum acuta solida sint ut <lb></lb>diametri basium; et in hoc casu diametri basium ponantur <lb></lb>ut numeri naturalitèr ab unitate progredientes, etiam acuta <lb></lb>solida GUP, EUF, CUD, etc, in eadem ratione Aritmetica <lb></lb>erunt. </s><s>Ergo omnes excessus, nempe omnia frusta aequalia <lb></lb>erunt tam inter se, quàm etiam acuto solido GUP. ut erat <lb></lb>propositum etc. </s></p> <figure id="fig186"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Scholium.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Poterat etiam proponi hoc modo. </s><s>Si fuerit solidum acutum sectum <lb></lb>plano GP ubicunque. </s><s>Sumaturque HQ semissis axis HI. Deinde sumatur <lb></lb>QR tertia pars axis QI; iterumque accipiatur RT quarta pars axis RI: <lb></lb>Postea accipiatur quinta pars reliqui axis, et hoc semper; et per puncta <lb></lb>sectionum plana agantur; erunt eadem ut supra etc.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <pb pagenum="197"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollarium IV.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Acutum solidum hyperbolicum abscissum plano ad <lb></lb>axem erecto aequale est cylindro suae basis. </s></p> <p type="main"> <s>Esto solidum acutum ABC abscis<lb></lb> <arrow.to.target n="fig187"></arrow.to.target><lb></lb>sum plano AC ad axem erecto (hoc <lb></lb>enim modo intelligemus semper plana <lb></lb>secantia, quod oportet meminisse) <lb></lb>et supponatur solidum infinitè pro<lb></lb>ductum ad partes B. Dico solidum <lb></lb>ABC, aequale esse cylindro suae <lb></lb>basis nempe DACE </s></p> <figure id="fig187"></figure> <p type="main"> <s>Fiat enim cylindrus FEIG ut in <lb></lb>Theoremate pag. 193. Eritque totum <lb></lb>solidum DABCE, ex demonstratis <lb></lb>aequale cylindro FI. Iam cylindrus <lb></lb>FI, ad cylindrum DC, rationem habet <lb></lb>compositam ex ratione quadrati HF ad FE et ex ratione <lb></lb>rectae FE ad EC; sive quadrati FE ad rectangulum FEC. <lb></lb>Cylindrus itaque FI ad cylindrum DC, est ut quadra<lb></lb>tum FH ad rectangulum FC, nempe duplus. </s><s>Propterea <lb></lb>solidum universum DABCE (cum aequale sit cylindro FI) <lb></lb>duplum erit cylindri DC. Et divisum, erit solidum acutum <lb></lb>ABC aequale suae basis cylindro DACE. Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollarium V.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Maximum hemisphaerium FBE, <lb></lb> <arrow.to.target n="fig188"></arrow.to.target><lb></lb>intra solidum acutum inscriptibile <lb></lb>ex D centro hyperbolae, subsesquial<lb></lb>terum est universi solidi FHACE <lb></lb>ipsum hemisphaerium ambientis. </s><s>So<lb></lb>lidum autem FHACE constat ex <lb></lb>acuto solido infinitè longo HAC, et <lb></lb>ex cylindro basis hemisphaerium tan<lb></lb>gente FHCE. </s></p> <figure id="fig188"></figure> <p type="main"> <s>Facto enim cylindro IE ut in <lb></lb>theoremate pag. 193. erit hemisphae- <pb pagenum="198"></pb>rium FBE subsesquialterum cylindri IE; Cum eandem alti<lb></lb>tudinem habeat, et basim eandem, nempe circulus cuius <lb></lb>radius est semiaxis DB. Subsesquialterum ergo erit ipsum <lb></lb>hemisphaerium etiam solidi FHACE, quod aequale demon<lb></lb>stratum est cylindro IE. etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollarium VI.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Esto solidum acutum cuius axis AB (in figura pag. 196.) <lb></lb>sectum ubicunque plano DE. Secetur verò et altero plano <lb></lb>HL, quod capiat portionem axis duplam. </s><s>Dico frustum so<lb></lb>lidum DHLE, à secantibus planis interceptum aequale esse <lb></lb>solido acuto HBL sibi superimposito. </s></p> <p type="main"> <s>Cum enim rectangula CE, GL sint aequalia, et latera <lb></lb>eorum reciproca, erit recta DE dupla ipsius HL, et ideo <lb></lb>solidum acutum DBE duplum erit acuti solidi HBL, et <lb></lb>dividendo, frustum DHLE aequale erit acuto solido HBL. <lb></lb>Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Scholium.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Hinc manifestum est, quod si acutum solidum secetur uti dictum est, <lb></lb>frustum interceptum DHLE (quod duas bases habebit) aequale semper <lb></lb>erit cylindro minoris basis GHLI. Subduplum verò cylindri maioris <lb></lb>basis CDEF.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollarium VII.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Esto solidum acutum sectum à tribus planis AB, CD, <lb></lb>EF; secantibus axem so<lb></lb> <arrow.to.target n="fig189"></arrow.to.target><lb></lb>lidi proportionaliter; hoc <lb></lb>est, sit ut GH ad GI, ita <lb></lb>GI ad GL. Dico frustum <lb></lb>ACDB ad frustum CEFD, <lb></lb>esse ut LI ad IH. nempe <lb></lb>in reciproca ratione alti<lb></lb>tudinum. </s></p> <figure id="fig189"></figure> <p type="main"> <s>Cum enim rectangula <lb></lb>GF, GD, GB. sint aequa<lb></lb>lia, et latera eorum reciproca, erunt tres rectae HB, ID, LF, <pb pagenum="199"></pb>in eadem continua proportione in qua sunt GL, GI, GH. <lb></lb>Sed solida acuta AOB, COD, EOF, sunt ut basium semi<lb></lb>diametri HB, ID, LF, sive ut QL, GI, GH, ergo excessus <lb></lb>solidorum inter se erunt ut excessus linearum. </s><s>Nempe <lb></lb>frustum solidum ACDB, ad frustum CEFD erit ut LI ad <lb></lb>IH. Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Scholium.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Ex demonstratis patet primò, quomodo datum frustum AEFB, se<lb></lb> <arrow.to.target n="marg269"></arrow.to.target><lb></lb>cari possit plano CD, ita ut factae portiones inter se sint ut altitudi<lb></lb>nes, reciprocè tamen sumptae. <lb></lb> <arrow.to.target n="fig190"></arrow.to.target><lb></lb>Quod quidem sit sumendo GI <lb></lb>mediam proportionalem inter <lb></lb>GL, GH. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg269"></margin.target>in fig. prae<lb></lb>ced.</s></p> <figure id="fig190"></figure> <p type="main"> <s>Manifestum est quod si su<lb></lb>matur quodlibet segmentum <lb></lb>axis, puta AB, et secetur bi<lb></lb>fariam in C, deinde AC sece<lb></lb>tur bifariam in D; reliquum <lb></lb>autem AD bisecetur in E; et <lb></lb>sic semper. </s><s>Erunt frusta so<lb></lb>lida intercepta à planis per <lb></lb>B, C, D, E, ductis, in continua <lb></lb>proportione in qua axes, sive axium differentiae. </s><s>Eritque primum <lb></lb>et subtilissimum frustum FI aequale acuto solido sibi superimposito. </s><s><lb></lb>At secundum frustum duplum erit primi, tertium quadruplum primi, 4. <lb></lb>verò octuplum, quintum sedecuplum: et sic semper; quo magis ad cen<lb></lb>trum A accedemus, maiora praecedentibus erunt frusta, et multiplicia <lb></lb>secundum numeros in proportione dupla progredientes ab unitate. </s></p> <p type="main"> <s>Si verò sumatur quodlibet segmentum axis AE, cuius duplum po<lb></lb>natur AD; et ipsius AD duplum secetur AC, et sic deinceps; eadem <lb></lb>evenient, ut supra dictum est. </s></p> <p type="main"> <s>Quaecunque autem diximus exemplo allato de ratione dupla, verum <lb></lb>etiam est de tripla, quadrupla, sesquialtera; et de quacunque alia <lb></lb>ratione.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollarium VIII.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si solidum acutum sectum fuerit planis AB, CD, EF, <lb></lb>GH, etc. </s><s>ita ut axis portiones à centro I incipientes, nempe <lb></lb>IL, LM, MN, NO, etc. </s><s>aequales sint; erit primum frustum <lb></lb>AD, ad secundum CF ut 3. ad unum; secundum verò <pb pagenum="200"></pb>frustum ad tertium erit <lb></lb> <arrow.to.target n="fig191"></arrow.to.target><lb></lb>ut 4, ad 2; Tertium ad <lb></lb>quartum erit ut 5. ad 3. <lb></lb>quartum ad quintum ut <lb></lb>6. ad 4.; et sic semper <lb></lb>ut numeri binario diffe<lb></lb>rentes; addita scilicet <lb></lb>semper unitate utrique <lb></lb>termino rationis. </s></p> <figure id="fig191"></figure> <p type="main"> <s>Nam solidum acutum <lb></lb>AUB ad solidum acutum CUD, est ut AL ad CM, nempe <lb></lb>ut MI ad IL, hoc est duplum. </s><s>Et dividendo, erit frustum <lb></lb>AD aequale solido acuto CUD, sive ut 3. ad 3. Solidum <lb></lb>vero CUD ad solidum EUF est ut CM ad EN, sive ut NI <lb></lb>ad IM, nempe ut 3. ad 2. Et per conversionem rationis <lb></lb>erit solidum CUD ad frustum CF ut 3. ad unum. </s><s>Ergo <lb></lb>ex aequo erit frustum AD ad frustum CF ut 3. ad unum. </s><s><lb></lb>Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s>Eodem modo penitus ratio reliquorum frustorum con<lb></lb>sequentium ostenditur esse talis qualis proposita est. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Scholium.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Patet in progressu demonstrationis primum frustum AD aequale <lb></lb>esse solido acuto sibi imposito CUD. At secundum frustum CF duplum <lb></lb>est solidi EUF sibi impositi; Tertium verò triplum; quartum quadru<lb></lb>plum, et sic in infinitum.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollarium IX.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si solidum acutum à cylindricis superficiebus divisum <lb></lb>fuerit, erunt solida annularia inter cylindricas superficies <lb></lb>interceptas, inter se, ut sunt portiones asymptoti ab ipsis <lb></lb>cylindricis superficiebus abscissae. </s></p> <p type="main"> <s>Sit hyperbola ABC et linea quotcunque AD, BE, CF. <lb></lb>parallelae asymptoto HI; et convertatur figura circà asym<lb></lb>ptoton HI. Dico solidum descriptum à quadrilineo EBCF, <lb></lb>ad solidum descriptum à quadrilineo DABE, esse ut recta <lb></lb>FE ad ED. </s></p> <pb pagenum="201"></pb> <p type="main"> <s>Fiat enim cylindrus <lb></lb> <arrow.to.target n="fig192"></arrow.to.target><lb></lb>LF, ut in Theoremate <lb></lb>pag. 193. eritque solidum <lb></lb>NMICF aequale cylindro <lb></lb>LF. Et solidum POIBE, <lb></lb>aequale cylindro LE, abla<lb></lb>tis ergo aequalibus, re<lb></lb>manebit cylindrus SF <lb></lb>aequalis solido sibi re<lb></lb>spondenti facto à quadri<lb></lb>lineo EBCF. Pari ratione <lb></lb>cylindrus TE aequalis <lb></lb>ostendetur solido sibi re<lb></lb>spondenti facto à qua<lb></lb>drilineo DABE; erit igitur, ob aequalitatem, solidum qua<lb></lb>drilinei EBCF, ad solidum quadrilinei DABE ut cylindrus <lb></lb>SF ad cylindrum TE, nempe ut recta FE ad ED. Quod etc. </s></p> <figure id="fig192"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollarium X.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Acuta solida ABC, DEF. super basibus aequalibus AC, <lb></lb>DF constituta, et à conversione inaequalium hyperbola<lb></lb>rum descripta, sunt inter se in duplicata ratione axium <lb></lb>suarum hyperbolarum. </s></p> <p type="main"> <s>Intelligantur enim sub basibus solidorum cylindri HC, <lb></lb>LF, eritque solidum ABC aequale cylindro HC; et soli<lb></lb> <arrow.to.target n="fig193"></arrow.to.target><lb></lb>dum DEF. aequale cylindro LF. Proptereà solidum ABC <lb></lb>ad solidum DEF, erit ut cylindrus HC ad cylindrum LF. <pb pagenum="202"></pb>sive (cum aequales bases habeant) ut altitudo HA ad al<lb></lb>titudinem LD. sive ut rectangulum HC ad rectangulum <lb></lb>LF, hoc est, sumptis aequalibus, ut quadratum axis IN <lb></lb>ad quadratum axis MO. Quod etc. </s></p> <figure id="fig193"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollarium XI.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Acuta solida ABC, DEF, facta ab inaequalibus hyper<lb></lb>bolis, et secta planis AC, DF ita ut portiones axis LH, OI <lb></lb>aequales sint; erunt inter se ut bases, nempe ut circulus <lb></lb>AC ad circulum DF. </s></p> <p type="main"> <s>Hoc autem patet. </s><s>Nam solidum ABC aequale est cy<lb></lb>lindro cuius basis sit AC altitudo verò LH. et solidum <lb></lb> <arrow.to.target n="fig194"></arrow.to.target><lb></lb>DEF aequale est cylindro cuius basis sit DF, altitudo <lb></lb>vero OI. Ergo solidum ABC ad solidum DEF erit ut <lb></lb>praedictus cylindrus ad dictum cylindrum, nempe (cum <lb></lb>aequales altitudines habeant) ut basis AC ad basim DF. <lb></lb>Quod erat etc. </s></p> <figure id="fig194"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollarium XII.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Acuta solida quaecunque sint ABC, DEF; in p. </s><s>fig. <lb></lb>huius pag. </s><s>inter se sunt ut solida rectang. </s><s>basi quadrato <lb></lb>axium hyperbolarum; altitudine verò diametro basium eo<lb></lb>rundem solidorum. </s><s>Hoc est, solidum ABC ad solidum DEF <lb></lb>erit ut solidum parallelepipedum basi quadrato axis MO, <lb></lb>altitudiue DF. </s></p> <pb pagenum="203"></pb> <p type="main"> <s>Factis enim DE more cylindris HC, LF; ratio cylindri <lb></lb>HC ad cylindrum LF componetur ex his tribus rationibus. </s><s><lb></lb>nempe ex ratione altitudinis HA ad LD. et ex ratione <lb></lb>basium, sive ex ratione rectae AC ad DF, iterumqne ex <lb></lb>ratione rectae AC ad DF. Ergo ratio cylindri HC ad LF, <lb></lb>componitur ex ratione rectanguli HAC ad rectangulum <lb></lb>LDF, sive quadrati IN. ad quadratum MO, et ex ratione <lb></lb>rectae AC ad rectam DF. Propterea etiam ratio solidi <lb></lb>acuti ABC ad solidum acutum DEF composita erit ex <lb></lb>ratione quadrati IN ad MO, et ex ratione rectae AC ad <lb></lb>rectam DF. Ergo patet propositum. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollarium XIII.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Dato acuti solidi frusto quocumque ADCB, aequalem <lb></lb>ipsi cylindrum exibere super altera sui base quaecunque <lb></lb>sit. </s><s>puta AB. Fiat ut recta AB ad DC ita EF ad FG. <lb></lb>Dico cylindrum HB cuius altitudo sit FG, basis verò AB <lb></lb>aequalem esse frusto AC. </s></p> <p type="main"> <s>Ducatur DK parallela ad EF. Eritque FO ad OE, ut <lb></lb>DE, sive KF ad FA. Propterea OF ad FE erit ut FK ad <lb></lb> <arrow.to.target n="fig195"></arrow.to.target><lb></lb>KA. Sed EF ad FG est ut AF ad FK, ergo per pertur<lb></lb>batam erit OF ad FG ut FA ad AK. Quod memento. </s></p> <figure id="fig195"></figure> <p type="main"> <s>Iam acutum solidum AMB ad acutum solidum DMC <lb></lb>est ut AB recta ad DC, vel ut AF ad DE, hoc est ut AF <lb></lb>ad FK, Ergo erit solidum acutum AMB, sive cylindrus <lb></lb>LB ipsi aequalis, ad frustum ADCB ut FA ad AK, hoc <lb></lb>est OF ad FG, hoc est ut cylindrus LB ad cylindrum BH. <lb></lb>Constat igitur cylindrum LB eandem habere rationem et <pb pagenum="204"></pb>ad frustum ADCB, et ad cylindrum BH. Quare cylindrus <lb></lb>BH aequalis erit dato frusto acuti solidi, et super altera <lb></lb>eiusdem basi. </s><s>Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollarium XIV.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Circumscriptus cylindrus AEFB ad frustum acuti so<lb></lb>lidi ADCB. est ut diameter AB ma<lb></lb> <arrow.to.target n="fig196"></arrow.to.target><lb></lb>ioris basis ad diametrum DC minoris <lb></lb>basis. </s><s>Fiat enim ut AB ad DC ita <lb></lb>GH ad HI, et erit cylindrus AMLB <lb></lb>aequalis frusto solido per Cor. </s><s>prae<lb></lb>cedens. </s><s>Cylindrus autem AF ad cy<lb></lb>lindrum AL, est ut GH ad HI; hoc <lb></lb>est ut AB ad DC. Quare cylindrus <lb></lb>circumscriptus AEFB etiam ad frustum AC erit ut recta <lb></lb>AB ad DC. Quod etc. </s></p> <figure id="fig196"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollarium XV.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Frustum quodlibet acuti solidi ADCB ad inscriptum <lb></lb>sibi cylindrum EDCF est ut diameter basis maioris AB, <lb></lb>ad diametrum minoris basis DC. Fiat enim <lb></lb> <arrow.to.target n="fig197"></arrow.to.target><lb></lb> <arrow.to.target n="marg270"></arrow.to.target><lb></lb>ut AB ad DC, ita GH ad HI, eritque cy<lb></lb>lindro AL aequalis frusto AC. Erit insuper <lb></lb>cylindrus AL isoperimeter cylindro EC, <lb></lb>quandoquidem latera eorum facta sunt re<lb></lb> <arrow.to.target n="marg271"></arrow.to.target><lb></lb>ciproca, et ideo rectangula per axem ae<lb></lb>qualia. </s><s>Erit ergo (per lemma 3. huius) <lb></lb>cylindrus AL sive frustum ADCB, ad <lb></lb>cylindrum inscriptum EC ut diametri basium, sive ut <lb></lb>recta AB ad EF, hoc est ut AB ad DC. Quod etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg270"></margin.target>Corol. 23.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg271"></margin.target>6. p. </s><s>de solid. </s><s><lb></lb>sphaeral.</s></p> <figure id="fig197"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollarium XVI.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Frustum quodlibet acuti solidi ADCB. medium propor<lb></lb>tionale est inter inscriptum, et circumscriptum sibi cy<lb></lb>lindrum. </s></p> <pb pagenum="205"></pb> <p type="main"> <s>Demonstratum enim est in duobus prae<lb></lb> <arrow.to.target n="fig198"></arrow.to.target><lb></lb>cedentibus Coroll. quod circumscriptus cy<lb></lb>lindrus AE ad frustum ADCB est ut recta <lb></lb>AB ad DC. Frustum verò ADCB ad in<lb></lb>scriptum cylindrum est ut AB ad DC. Ergo <lb></lb>constat quòd frustum est medium propor<lb></lb>tionale inter duos cylindros. </s><s>Quod erat etc. </s></p> <figure id="fig198"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollarium XVII.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Datum acutum solidum AEB in data ratione secare ut <lb></lb>F ad G. Fiat ut G ad F ita data HI ad IL. et per L <lb></lb>agatur planum CD. Eritque convertendo et componendo <lb></lb>F et G, simul ad G, ut LH ad HI, sive ut AB ad CD, <lb></lb>vel ut solidum AEB ad solidum CED; et dividendo patet <lb></lb>propositum. </s></p> <p type="main"> <s>Si verò basis acuti solidi sit <lb></lb> <arrow.to.target n="fig199"></arrow.to.target><lb></lb>CD, et oporteat illud secare iterum <lb></lb>inferius versus hyperbolae centrum <lb></lb>plano AB, ita ut frustum ACDB <lb></lb>ad reliquum solidum CED quamli<lb></lb>bet datam rationem habeat ut F <lb></lb>ad G. Ita imperata exequemur. </s><s><lb></lb>Fiat ut F et G simul ad G, ita <lb></lb>data LH ad HI; et per I ducatur <lb></lb>planum AB. eritque ut F et G simul ad G, ita AB ad <lb></lb>CD; sive solidum AEB ad CED; et dividendo patet pro<lb></lb>positum. </s><s>Quod erat etc. </s></p> <figure id="fig199"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollarium XVIII.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Dato solido acuto secto plano AB. frustum accipere <lb></lb>CABD versus N centrum hyperbolae, quod sit aequale <lb></lb>cuicunque dato cylindro GH molis etiam immensae. </s></p> <p type="main"> <s>Fiat ut cylindrus AL ad cylindrum GH, ita recta NL <lb></lb>data ad rectam LF. et erecta FD ductoque plano DC. <lb></lb>Dico frustum CB aequale esse cylindro GH. </s></p> <p type="main"> <s>Nam cylindrus AL ad GH, est ut recta NL ad LF, et <lb></lb>convertendo, componendo, iterumque convertendo, erit cy- <pb pagenum="206"></pb>lindrus AL ad cylindros GH, <lb></lb> <arrow.to.target n="fig200"></arrow.to.target><lb></lb>ut LN ad NF, sive ut OB <lb></lb>ad MD; sive ut solidum <lb></lb>acutum AUB ad solidum acu<lb></lb>tum CUD; sive ut cylindrus <lb></lb>AL ad solidum acutum CUD. <lb></lb>Aequales ergo sunt duo si<lb></lb>mul cylindri AL et GH, acuto <lb></lb>solido CUD. Demptisque ae<lb></lb>qualibus, nempe cylindro AL et solido acuto AUB, re<lb></lb>manet cylindrus GH aequalis frusto CABD. Quod etc. </s></p> <figure id="fig200"></figure> <p type="main"> <s>Versus verticem verò limitatione opus est. </s><s>Esto datum <lb></lb>solidum acutum sectum plano CD, debeatque sumi frustum <lb></lb>CABD versus verticem, aequale cylindro dato GH (dum<lb></lb>modo cylindrus GH minor sit cylindro ECDF). </s></p> <p type="main"> <s>Fiat ut cylindrus ED ad GH, ita recta NF data, ad <lb></lb>FL et erecta LB, dico frustum CABD aequale esse cy<lb></lb>lindri dato GH. </s></p> <p type="main"> <s>Nam recta FN ad NL, est ut DM ad BO, sive ut acu<lb></lb>tum solidum CUD ad acutum AUB; et per conversionem <lb></lb>rationis NF ad FL, erit ut acutum solidum CUD sive ut <lb></lb>cylindrus ED ad frustum CABD. Sed ut NF ad FL, ita <lb></lb>est etiam cylindrus idem ED ad GH, aequantur ergo fru<lb></lb>stum CABD et cylindrus GH. Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Scholium.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Ex priori parte huius demonstrationis patet solidum hyperbolicum <lb></lb>versus infinitam planitiem EF magnitudine infinitum esse. </s><s>potest enim <lb></lb>ex ipso sumi pars ipsius quae aequalis sit cuicunque magnitudini datae:<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollarium XIX.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Esto solidum acutum sectum plano AB. Oportet illud <lb></lb>secare iterum alio plano PI, ita ut frustum APIB ad cy<lb></lb>lindrum sibi circumscriptum, sit ut C ad D; dummodo <lb></lb>ratio C ad D, sit minoris inaequalitatis. </s></p> <p type="main"> <s>Fiat, ut C ad D, ita data EF ad FG; et per G ducatur <lb></lb>planum HL. Eritque C ad D, ut EF ad FG, nempe (ob ae- <pb pagenum="207"></pb>qualia rectangula) ut IG ad <lb></lb> <arrow.to.target n="fig201"></arrow.to.target><lb></lb>BE hoc est ut frustum AI ad <lb></lb>cylindrum AL. Quod etc. </s></p> <figure id="fig201"></figure> <p type="main"> <s>Si verò datum planum se<lb></lb>cans sit PI, et solidum secan<lb></lb>dum sit inferius versus F ite<lb></lb>rum eadem lege, ita procede<lb></lb>mus. </s><s>Fiat ut C ad D, ita <lb></lb>EF ad datam FG. et per E <lb></lb>ducatur planum AB. Eritque <lb></lb>frustum AI ad cylindrum AL, <lb></lb>ut GI ad EB, sive ut EF ad FG, hoc est ut C ad D. <lb></lb>Quod erat etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollarium XX.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Esto solidum acutum sectum plano AB. oportet illud <lb></lb>iterum secare versus F. ita ut frustum inter sectiones <lb></lb>compraehensum, ad inscri<lb></lb> <arrow.to.target n="fig202"></arrow.to.target><lb></lb>ptum sibi cylindrum quamli<lb></lb>bet datam rationem maioris <lb></lb>inaequalitatis habeat, ut C <lb></lb>ad D. </s></p> <figure id="fig202"></figure> <p type="main"> <s>Fiat, ut C ad D, ita data <lb></lb>EF ad FG; ductoque per G <lb></lb>plano IH. Erit frustum IB ad <lb></lb>cylindrum inscriptum OB, ut <lb></lb>GH ad EB, sive ut EF ad FG, sive ut C ad D. Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s>Si vero planum secans datum sit IH, et secundum sit <lb></lb>solidum iterum eadem lege versus infinitam longitudinem. </s><s><lb></lb>fiat ut C ad D ita EF ad datam FG. Eritque frustum <lb></lb>IB ad cylindrum OB ut EF ad FG, nempe ut C ad D. <lb></lb>Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollarium XXI.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Esto frustum acuti solidi ABCD ponaturque circulus <lb></lb>EF medius proportionalis inter bases AD, BC, et erigatur <lb></lb>cylindrus EG cuiuscunque altitudinis. </s><s>Dico frustum AC <pb pagenum="208"></pb>ad cylindrum EG esse ut <lb></lb> <arrow.to.target n="fig203"></arrow.to.target><lb></lb>recta IL ad GF. </s></p> <figure id="fig203"></figure> <p type="main"> <s>Fiat enim ut recta AB ad <lb></lb>BC ita IL ad LO, et ad alti<lb></lb>tudinem LO erigatur cylin<lb></lb>drus AN, qui aequalis erit <lb></lb>frusto AC (per coroll. 13). <lb></lb>Iam cylindrus AN ad cylindrum EG, rationem habet com<lb></lb>positam ex ratione basium, nempe quadrati AD ad EF; <lb></lb>hoc est ex ratione rectae AD ad BC; sive potius rectae IL <lb></lb>ad LO et ex ratione altitudinum, nempe LO ad FG. Ergo <lb></lb>cylindrus AN ad EG, erit ut recta IL ad FG; Propterea <lb></lb>etiam frustum AC ad cylindrum EG erit ut IL ad FG. <lb></lb>Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Scholium.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Ergo si altitudo FG fiat aequalis ipsi IL, erit cylindrus EG aequalis <lb></lb>frusto AC.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollarium XXII.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Esto frustum acuti solidi ABCD, quod habeat alteram <lb></lb>ex suis basibus (quaecunque illa sit) puta AD, aequalem <lb></lb>basi EM cylindri EG. Dico fru<lb></lb> <arrow.to.target n="fig204"></arrow.to.target><lb></lb>stum AC ad cylindrum EG esse <lb></lb>ut rectangulum sub diametro <lb></lb>inaequalis basis, et sub altitudine <lb></lb>frusti, ad rectangulum per axem <lb></lb>cylindri. </s><s>Nempe ut rectangulum <lb></lb>BC. HI ad rectangulum EG. </s></p> <figure id="fig204"></figure> <p type="main"> <s>Fiat ut AD ad BC ita HI ad IO; erectoque cylindro <lb></lb>AL cum altitudine IO, erit frustum AC aequale cylin<lb></lb>dro AL. Iam cylindrus AL ad EG, ob aequales bases, est <lb></lb>ut OI ad GM, Sed ratio rectae OI ad GM, componitur ex <lb></lb>ratione rectae OI ad IH, sive BC ad AD, hoc est BC ad <lb></lb>EM; et ex ratione HI ad GM. Ergo ratio OI ad GM erit <lb></lb>eadem quae est rectang. </s><s>BC, HI, ad rectangulum sub EM, <lb></lb>MG. Propterea etiam cylindrus AL, sive frustum AC ad <lb></lb>cylindrum EG, erit ut rectangulum BC, HI ad rectangu<lb></lb>lum EMG. Quod etc. </s></p> <pb pagenum="209"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollarium XXIII.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si frustum acuti solidi ABCD et cylindrus EF aequa<lb></lb>les altitudines habuerint. </s><s>Erit frustum AC ad cylindrum <lb></lb>EF ut rectangulum sub BC, AD, ad quadratum EG. </s></p> <p type="main"> <s>Fiat ut AD ad BC, ita LU <lb></lb> <arrow.to.target n="fig205"></arrow.to.target><lb></lb>ad UO. eritque frustum AC ae<lb></lb>quale cylindro AI cuius altitudo <lb></lb>sit UO. Iam cylindrus AI ad cy<lb></lb>lindrum EF, rationem habet com<lb></lb>positam ex ratione altitudinum <lb></lb>UO ad GF; sive UO ad UL sive <lb></lb>BC ad AD; nempe ex ratione <lb></lb>rectang. </s><s>BC, AD, ad quadratum AD. Et ex ratione ba<lb></lb>sium; nempe quadrati AD ad EG. Ergo cylindrus AI, sive <lb></lb>frustum AC, ad cylindrum EF, erit ut rectang. </s><s>sub BC, <lb></lb>AD, ad quadratum EG. Quod etc. </s></p> <figure id="fig205"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollarium XXIV.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Frustum acuti solidi ABCD, ad cylindrum quemlibet <lb></lb>EF. rationem habet compositam ex ratione rectanguli BC, <lb></lb>LI, ad rectangulum AD, GF; et ex ratione quadrati AD <lb></lb>ad quadratum EG. </s></p> <p type="main"> <s>Fiat ut AD ad BC, ita <lb></lb> <arrow.to.target n="fig206"></arrow.to.target><lb></lb>LI ad IO; eritque cylindrus <lb></lb>AU, aequale frusto AC. Iam <lb></lb>recta IO ad rectam GF, est <lb></lb>ut rectangulum sub BC, LI <lb></lb>ad rectangulum sub AD, GF, <lb></lb>(nam ratio rectae IO ad GF, <lb></lb>componitur ex ratione IO <lb></lb>ad IL, sive BC ad AD; et ex ratione IL ad GF. Ergo <lb></lb>recta IO ad GF, est ut rectangulum BC, IL, ad rectan<lb></lb>gulum AD, GF). Sed cylindrus AU ad cylindrum EF, ra<lb></lb>tionem habet compositam ex ratione IO ad GF, nempe <lb></lb>ex ratione rectanguli BC, LI, ad rectangulum AD, GF, <lb></lb>et ex ratione quadrati AD ad EG. Propterea etiam fru- <pb pagenum="210"></pb>stum AC ad cylindrum EF rationem habebit compositam <lb></lb>ex ratione rectanguli BC, LI, ad rectangulum AD, GF; <lb></lb>et ex ratione quadrati AD ad EG. Quod etc. </s></p> <figure id="fig206"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Scholium.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Poterat etiam proponi sic. </s><s>Frustum AC ad cylindrum EF, rationem <lb></lb>habet compositam ex ratione rectanguli AD, IL, ad rectangulum BC, <lb></lb>FG; et ex ratione quadrati BC ad EG.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollarium XXV.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Sint duo frusta acutorum solidorum qualiacunque. </s><s>Dico <lb></lb>frustum HBCE ad frustum DFGA, habere rationem com<lb></lb>positam ex ratione rectangu<lb></lb> <arrow.to.target n="fig207"></arrow.to.target><lb></lb>lorum basium, et ex ratione <lb></lb>altitudinum; nempe ex ra<lb></lb>tione rectanguli BC, HE ad <lb></lb>rectangulum FGDA; et ex <lb></lb>ratione rectae IN ad ML. </s></p> <figure id="fig207"></figure> <p type="main"> <s>Fiat enim super basi DA <lb></lb>cylindrus DO cum altitudine <lb></lb>AO, quae sit aequalis ipsi NI. <lb></lb>Eritque (per Coroll. 23.) frustum HC ad cylindrum DO, <lb></lb>ut rectangulum BC, HE ad quadratum DA. Cylindrus <lb></lb>autem DO ad frustum DG est (per Coroll. 22.) ut rectan<lb></lb>gulum DAO ad rectangulum FG, ML. Nempe ad illud, <lb></lb>rationem habet compositam ex ratione rectae DA ad FG, <lb></lb>sive ex ratione quadrati DA ad rectangulum DA, FG. Et <lb></lb>ex ratione rectae OA ad ML, sive IN ad ML. Ratio ita<lb></lb>que frusti HE ad frustum DG componitur ex rationibus <lb></lb>rectanguli BC, HE, ad quadratum DA; et ex ratione qua<lb></lb>drati DA ad rectangulum DA, FG; et ex ratione rectae <lb></lb>IN ad ML. Demptoque medio illo termino superffuo nempe <lb></lb>quadrato DA, Erit ratio frusti HC ad frustum DG com<lb></lb>posita ex ratione rectanguli BC, HE, ad rectangulum DA, <lb></lb>FG; et ex ratione rectae IN ad ML. Quod erat etc. </s></p> <pb pagenum="211"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollarium XXVI.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Esto frustum solidi acuti ABCD sectum plano HL; <lb></lb>ducaturque BN parallela ad axem. </s><s>Dico, totum frustum <lb></lb>ABCD ad partem HBCL, esse ut AN <lb></lb> <arrow.to.target n="fig208"></arrow.to.target><lb></lb>ad HI. </s></p> <figure id="fig208"></figure> <p type="main"> <s>Nam solidum acutum AGD ad so<lb></lb>lidum BGC, est ut AF ad BE, sive <lb></lb>ut AF ad FN; et dividendo frustum <lb></lb>ABCD ad solidum acutum BGC erit <lb></lb>ut AN ad NF, sive ut AN ad IO. So<lb></lb>lidum verò BGC ad frustum HC (si<lb></lb>mili argumento) est ut OI ad IH. <lb></lb>Ergo ex aequo frustum AC, ad HC erit ut AN ad HI. <lb></lb>Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Scholium.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Hinc patet quomodo datum frustum acuti solidi in data ratione <lb></lb>secari possit, quod tamen ad finem Corollariorum elegantiori proble<lb></lb>mate exequemur.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollarium XXVII.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Esto frustum solidi acuti ABCD, cuius axis MI. sitque <lb></lb>centrum hyperbolae punctum H. Secetur deinde frustum <lb></lb>AC plano quocunque EF ad axem erecto. </s><s>Dico frustum AF, <lb></lb>ad frustum EC. esse ut rectangulum sub IL, HM, ad re<lb></lb>ctangulum sub HI, LM. </s></p> <p type="main"> <s>Nam frustum AF ad frustum EC, <lb></lb> <arrow.to.target n="fig209"></arrow.to.target><lb></lb>rationem habet compositam ex ratione <lb></lb>frusti AF ad acutum solidum EGF; <lb></lb>et ex ratione solidi longi EGF ad fru<lb></lb>stum EC. Sed quia solidum acutum <lb></lb>AGD ad acutum solidum EGF est ut <lb></lb>recta AI ad EL; sive ut recta LH ad <lb></lb>HI, erit dividendo frustum AF ad so<lb></lb>lidum EGF ut LI ad IH. Amplius: <lb></lb>Solidum EGF ad solidum BGC. est <lb></lb>ut EL ad BM, sive ut MH ad HL; et per conversionem <pb pagenum="212"></pb>rationis, erit solidum EGF ad frustum EC, ut HM ad ML. <lb></lb>Patet ergò quòd ratio frusti AF ad frustum EC, compo<lb></lb>nitur ex ratione LI ad IH, et ex ratione HM ad ML. <lb></lb>Proptereà frustum AF ad EC erit ut rectangulum sub LI, <lb></lb>HM, ad rectangulum sub IH, LM. Quod etc. </s></p> <figure id="fig209"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Scholium.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Ideò si fiat, ut MH ad HI, ita ML ad LI. Bifariam secabitur fru<lb></lb>stum AC à plano per punctum L ducto. </s><s>Aequalia enim erunt ipsa <lb></lb>rectangula.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollarium XXVIII.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si axis frusti ABCD bifariam se<lb></lb> <arrow.to.target n="fig210"></arrow.to.target><lb></lb>cetur à plano EF. Erunt portiones <lb></lb>inter se, nempe AF. ad EC ut recta <lb></lb>AD ad BC. scilicet ut diametri ba<lb></lb>sium remotarum. </s></p> <figure id="fig210"></figure> <p type="main"> <s>Frustum enim AF ad EC, est ut <lb></lb>rectangulum sub HG, OI ad rectan<lb></lb>gulum sub HO, IG. per praeced: Sed <lb></lb>OI, et IG altitudines rectangulorum <lb></lb>sunt aequales, Ergò frustum AF ad EC, erit ut GH ad <lb></lb>HO, sive ut AD ad BC. Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Scholium.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> <arrow.to.target n="fig211"></arrow.to.target><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <figure id="fig211"></figure> <p type="main"> <s>Hinc patet; quod si in solido longo hyper<lb></lb>bolico quotcunque sumantur axis portiones <lb></lb>deinceps aequales A, B, C, D, E. ubicunque fiat <lb></lb>initium. </s><s>Erit frustum FG ad GH ut recta FA <lb></lb>ad HC. Frustum verò GH ad HI erit ut MB ad <lb></lb>ND. Et frustum HI ad IL ut HC, ad LE, et <lb></lb>sic in infinitum.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollarium XXIX.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Datum acuti solidi frustum ABCD in data ratione se<lb></lb>care; puta ut E ad F. </s></p> <pb pagenum="213"></pb> <p type="main"> <s>Fiat, ut recta AD ad <lb></lb> <arrow.to.target n="fig212"></arrow.to.target><lb></lb>BC, ita E ad aliam quae <lb></lb>sit G. Deinde fiat, ut G <lb></lb>ad F, ità HI ad IL, et <lb></lb>per I ducatur planum MN. </s></p> <figure id="fig212"></figure> <p type="main"> <s>Iam frustum AN ad <lb></lb>MC est ut rectangulum <lb></lb>LO, IH, ad rectangulum <lb></lb>LI, OH. Ergo ratio frusti <lb></lb>AN ad MC componitur ex ratione laterum LO ad OH, <lb></lb>sive AD ad BC, sive E ad G. Et ex ratione laterum HI <lb></lb>ad IL. sive G ad F. Ergò ratio frusti AN ad MC. com<lb></lb>ponitur ex ratione E ad G, et G ad F. Proptereà erit AN <lb></lb>frustum ad MC ut E ad F. Quod etc. <lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Iam ista sufficiat demonstravisse, ex plurimis Theorematibus, quae <lb></lb>ex faecundissimo hoc solido derivari poterant. </s><s>Interim ad promissam <lb></lb>demonstrationem accedamus, quam tamen praeterire poterit quicunque <lb></lb>iam allatà contentus fuerit.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <pb pagenum="214"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>DE DIMENSIONE <lb></lb>ACUTI SOLIDI HYPERBOLICI<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>IUXTÀ METHODUM ANTIQUORUM.<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Superest nunc ut Theorema illud, quod post Lemma quintum osten<lb></lb>dimus per methodum, et doctrinam Indivisibilium, demonstremus ite<lb></lb>rùm more Antiquorum, et praecipuè Archimedis. </s><s>Impossibile enim quo<lb></lb>dammodo videtur, infinitam longitudine figuram sub solita figurarum <lb></lb>inscriptione, et circumscriptione posse compraehendi. </s><s>Tamen id non <lb></lb>solum à nobis factum est, verum etiam à Clarissimo viro, et Geometra <lb></lb>praestantissimo Robervallio, qui nostrum solidum hyperbolicum in<lb></lb>ventis arduis, sublimibus, acutissimis, et ut brevitèr dicam suis, men<lb></lb>suravit, eiusque frustum in data ratione dissecuit. </s><s>Abstineo ab illius <lb></lb>demonstrationis editione invitus. </s><s>Comparvit enim eius epistola eius <lb></lb>prorsus tempore, quo iam haec praelis subijcerentur, neque de volun<lb></lb>tate Authoris satis constabat, neque iam per tempus licebat expectare, <lb></lb>donec illius beneplacitum ex Gallia Parisijsque significaretnr. </s></p> <p type="main"> <s>Veniamus itaque ad lemmata opportuna, quorum primum sit.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma Primum.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Differentia, quae est inter duos circulos, ad circulum <lb></lb>quemlibet tertium; est ut rectangulum compraehensum <lb></lb>sub differentia, et aggregato semidiametrorum eorundem <lb></lb>circulorum, ad quadratum semidiametri tertij illius circuli. </s></p> <p type="main"> <s>Vocetur autem talis differentia <lb></lb> <arrow.to.target n="fig213"></arrow.to.target><lb></lb>duorum circulorum, quando con<lb></lb>centrici fuerint Armilla. </s></p> <figure id="fig213"></figure> <p type="main"> <s>Esto Armilla, sive differentia <lb></lb>duorum circulorum concentrico<lb></lb>rum, ille cuius latitudo AB, cen<lb></lb>trum verò C. Dico armillam AB, ad circulum quemlibet <lb></lb>DF; esse ut rectangulum ABE ad quadratum semidia<lb></lb>metri DF. <lb></lb> <arrow.to.target n="marg272"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg272"></margin.target>per. 2. duo<lb></lb>decimi. </s><s>ex 5. <lb></lb>secundi.</s></p> <p type="main"> <s>Nam circulus ex radio AC, ad circulum ex radio CB, <lb></lb>est ut quadratum AC, ad quadratum CB; et dividendo <lb></lb>Armilla AB, ad circulum ex radio CB; erit ut rectangulum <lb></lb>ABE, ad quadratum CB. Circulus verò ex radio CB, ad <pb pagenum="215"></pb>circulum ex radio DF, est ut quadratum CB, ad quadra<lb></lb>tum DF. Ergò, ex aequò, erit Armilla AB, ad circulum DF, <lb></lb>ut rectangulum ABE, ad quadratum DF. Quod erat etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma II.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si ex cylindro recto AB, ablatus fuerit cylindrus CD, <lb></lb>circa communem axem IE constitutus; reliquum solidum <lb></lb>excavatum quod remanet, aequale <lb></lb> <arrow.to.target n="fig214"></arrow.to.target><lb></lb>erit cylindro cuidam recto FG, <lb></lb>cuius quidem basis FH aequalis <lb></lb>sit Armillae, quae circa centrum <lb></lb>E latitudinem habet AC; altitudò <lb></lb>verò LM aequalis sit altitudini EI. </s></p> <figure id="fig214"></figure> <p type="main"> <s>Vocetur autem talem solidum <lb></lb>excavatum, tubus cylindricus. </s></p> <p type="main"> <s>Quoniam tres cylindri AB, CD, FG, aequealti sunt; erit <lb></lb>cylindrus AB ad CD, ut circulus AO ad circulum CU. et <lb></lb>dividendo erit tubus cylindricus ad cylindrum CD, ut ar<lb></lb>milla AC ad circulum CU; sed cylindrus CD ad cylindrum <lb></lb>FG, est ut circulus CU ad circulum FH. </s></p> <p type="main"> <s>Ergo ex aequo erit tubus cylindricus AB ad cylindrum <lb></lb>FG, ut armilla AC ad circulum FH. Sed armilla AC cir<lb></lb>culo FH supponitur aequalis; ergò et tubus cylindricus AB, <lb></lb>aequalis erit cylindro FG. Quod erat etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma III.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Quilibet cylindrus rectus AB, ad quemlibet tubum cy<lb></lb>lindricum rectum CD, rationem habet compositam ex ra<lb></lb> <arrow.to.target n="fig215"></arrow.to.target><lb></lb>tione altitudinum, nempe EB ad FD, et ex ratione basium, <lb></lb>nempe ex ratione quadrati AH, ad rectangulum CIF. (de</s></p> <figure id="fig215"></figure> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg273"></arrow.to.target> <pb pagenum="216"></pb>monstratum enim est ita esse circulum AE ad armillam <lb></lb>CI, ut quadratum AH ad rectangulum CIF). </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg273"></margin.target>Lem. I.</s></p> <p type="main"> <s>Ponatur cylindrus LM, cuius altitudo NM sit aequalis <lb></lb>altitudini FD; basis verò LN, aequalis sit armillae CI; Et <lb></lb>erit, per praecedens lemma, tubus cylindricus CD aequalis <lb></lb>cylindro LM. </s></p> <p type="main"> <s>Iam cylindrus AB, ad tubum CD eandem habebit ra<lb></lb>tionem quam habet ad cylindrum LM; nempe compositam <lb></lb>ex ratione altitudinis EB ad NM, sive ad FD; et ex ra<lb></lb>tione basium, hoc est circuli AE ad circulum LN; sive <lb></lb>quadrati AH ad quadratum LO, vel quadrati AH ad rectan<lb></lb>gulum CIF. Quod erat etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma IV.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Esto hyperbola cuius asymptoti sint AB, BC, angulum <lb></lb>rectum compraehendentes; sitque hyperbolae semiaxis BD. <lb></lb>(semiaxem appello, quia B punctum in <lb></lb> <arrow.to.target n="fig216"></arrow.to.target><lb></lb>quo asymptoti concurrunt, centrum <lb></lb>hyperbolae est). Dico quadratum <lb></lb>rectae BD, duplum esse cuiuscunque <lb></lb>rectanguli AE, inter asymptotos, et <lb></lb>hyperbolam ipsam compraehensi. </s></p> <figure id="fig216"></figure> <p type="main"> <s>Ducantur DC, DI asymptoti ae<lb></lb>quidistantes; eritque figura BIDC, <lb></lb>quadratum; cum anguli ad B semirecti sint; sed ad C et <lb></lb>ad I recti. </s><s>Ideo quadratum lineae BD, duplum erit qua<lb></lb> <arrow.to.target n="marg274"></arrow.to.target><lb></lb>drati BIDC; sive rectanguli AE inter asymptotos, et hy<lb></lb>perbolam ipsam compraehensi. </s><s>Quod erat etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg274"></margin.target>ex. 12. sex. </s><s><lb></lb>Con.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma V.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Esto hyperbola AB, cuius asymptoti angulum rectum <lb></lb>continentes sint CD, DE; sumptisque duobus punctis A, B, <lb></lb>utcumque in hyperbola, ducantur duae rectae BE, AI, <lb></lb>asymptoto CD. aequidistantes. </s><s>et AN, BM, alteri asym<lb></lb>ptoto DE parallelae, quae concurrant in L. Tum conver<lb></lb>tatur universa figura circa axem CD. </s></p> <pb pagenum="217"></pb> <p type="main"> <s>Dico cylindrum quendam IEPO (cuius quidem basis IO <lb></lb>habeat semidiametrum IL aequalem semiaxi hyperbolae; <lb></lb> <arrow.to.target n="fig217"></arrow.to.target><lb></lb>altitudo verò sit intercepta IE). Maiorem esse tubo illo <lb></lb>cylindrico, qui fit ex conversione rectanguli IB circa axem <lb></lb>CD; Minorem verò tubo illo qui fit ex conversione rectan<lb></lb>guli IL, circa eundem axem revoluti. </s></p> <figure id="fig217"></figure> <p type="main"> <s>In primis; quia IT est aequalis semiaxi hyperbolae, <lb></lb> <arrow.to.target n="marg275"></arrow.to.target><lb></lb>erit quadratum IT duplum rectanguli DB, sive aequale <lb></lb>rectangulo UB. Iam: cylindrus OE, ad tubum qui fit ex <lb></lb>rectangulo IB (intellige semper circa axem CD) rationem <lb></lb> <arrow.to.target n="marg276"></arrow.to.target><lb></lb>habet compositam ex ratione basium; nempe ex ratione <lb></lb>quadrati IT, sive rectanguli UB ad rectangulum UIE. Hoc <lb></lb>est (abiectis rectangulis) ex ratione lateris UE ad EI: et <lb></lb>ex ratione lateris EB ad IU. Et insuper ex ratione altitu<lb></lb>dinum; nempe rectae EI ad EB. Ergo ratio cylindri OE <lb></lb>ad tubum IB, componitur ex praedictis tribus rationibus; <lb></lb>scilicet ex ratione rectae UE ad EI: et ex ratione EI ad <lb></lb>EB; et ex ratione EB ad IU. propterea cylindrus OE, <lb></lb>ad tubum IB, erit ut primus terminus ad ultimum; nempe <lb></lb>ut recta UE ad IU; hoc est minor. </s><s>Quod erat ostenden<lb></lb>dum primò. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg275"></margin.target>Lem. <lb></lb>praecedens.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg276"></margin.target>Lem. 3.</s></p> <p type="main"> <s>Ratio verò cylindri OE, ad tubum, qui fit ex rectan<lb></lb>gulo IL, componitur ex ratione basium, scilicet ex ratione <lb></lb>quadrati IT, vel rectanguli IN, ad rectangulum UIE; hoc <lb></lb>est (abiectis rectangulis) ex ratione lateris FI, ad IE; et <pb pagenum="218"></pb>ex ratione reliqui lateris AI, ad IU. Et insuper ex ratione <lb></lb>altitudinum, nempe IE ad AI. Ergò ratio cylindri OE, ad <lb></lb>tubum IL, componitur ex his tribus praedictis rationibus; <lb></lb>nempe ex ratione FI ad IE; et IE ad AI; et AI ad IU. <lb></lb>Propterea cylindrus OE ad tubum IL, erit ut primus ter<lb></lb>minus FI ad ultimum IU. et ideo minor. </s><s>Quod erat osten<lb></lb>dendum etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma VI.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Esto hyperbola cuius asymptoti CD, DE angulum re<lb></lb>ctum compraehendant, sumptisque in hyperbola utcumque <lb></lb>duobus punctis A et B; ducantur AI, BE asymptoto CD <lb></lb>parallelae. </s></p> <p type="main"> <s>Dico solidum illud an<lb></lb> <arrow.to.target n="fig218"></arrow.to.target><lb></lb>nulare quod describitur ex <lb></lb>conversione quadrilinei mixti <lb></lb>IABE, circa axem CD revo<lb></lb>luti, aequale esse cuidam <lb></lb>cylindro recto IEPO. Debet <lb></lb>autem huius cylindri alti<lb></lb>tudo esse IE; diameter verò <lb></lb>basis IO, debet esse aequalis <lb></lb>integro axi ipsius hyper<lb></lb>bolae. </s></p> <figure id="fig218"></figure> <p type="main"> <s>Sit enim (si possibile est) <lb></lb>solidum illum annulare fa<lb></lb>ctum ex quadrilineo IABE, <lb></lb>circa axem CD revoluto, minus cylindro OE: et ponatur <lb></lb>defectus aequalis cuidam solido K. </s></p> <p type="main"> <s>Secetur BL bifariam in F. deinde reliqua FL secetur <lb></lb>bifariam in G; Et hoc fiat semper donec tubus aliquis <lb></lb>cylindricus, qui describitur ex revolutione rectanguli ALG, <lb></lb>minor sit solido K. Tum enim sectà totà BL, in partes <lb></lb>aequales ultimae GL, ducantur à singulis punctis divisio<lb></lb>num, rectae GH, FN, YR, aequidistantes ipsi DE. Ex <lb></lb>punctis verò M, N, R, in quibus praedictae parallelae hy<lb></lb>perbolam secant, demittantur rectae, sive potius plana <lb></lb>MS, NT, RU. ad asymptoton DE erecta. </s><s>Denique ex con- <pb pagenum="219"></pb>versione singulorum rectangulorum aequalium, quorum <lb></lb>unum est AG, totidem tubi cylindrici describantur circa <lb></lb>axem CD. </s></p> <p type="main"> <s>Iam: tubus qui fit à rectangulo RB (intellige semper <lb></lb>circa axem CD) ob aequalem altitudinem, eandemque ha<lb></lb>sim, aequalis erit tubo RF. additoque communi tubo RN, <lb></lb>erunt duo tubi BR, RN simul sumpti aequales tubo NY, <lb></lb>sive tubo NG. Additoque communi NM, erunt tres tubi <lb></lb>BRNM. aequales tubo MF, sive ML; et addito communi <lb></lb>ultimo MA, erunt omnes tubi simul BRNMA, aequales <lb></lb>tubo AG, nempe minores solido K. ob constructionem. </s></p> <p type="main"> <s>Propterea universa figura constans ex tubis ER, &N, <lb></lb>ZM, XA, circumscripta solido annulari facto à quadrilineo <lb></lb>IABE, minus addit. </s><s>supra ipsum solidum annulare, quàm <lb></lb>sit solidum K. Ergo ipsa figura circumscripta adhuc minor <lb></lb>erit cylindro OE. Quod est absurdum. </s><s>Nam tubus AX. <lb></lb>superat cylindrum XO: Tubus item MZ superat cylindrum <lb></lb> <arrow.to.target n="marg277"></arrow.to.target><lb></lb>ZS. et sic de reliquis per lemma 5. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg277"></margin.target>Lem. 5.</s></p> <p type="main"> <s>Ponatur deinde (si possibile est) solidum annulare ge<lb></lb>nitum ex quadrilineo IABE, maius esse cylindro OE. po<lb></lb>naturque excessus aequalis solido cuidam K. </s></p> <p type="main"> <s>Peragatur similis constructio, ut supra; ita ut omnes <lb></lb>tubi cylindrici BRNMA, minores iterum ostendantur so<lb></lb>lido K. Tunc enim figura inscripta in solido annulari prae<lb></lb>dicto constans ex tubis &B, ZR, XN, IM, minus deficiet <lb></lb>ab ipso solido annulari, quà sit solidum K. Propterea <lb></lb>eadem inscripta figura adhuc maior erit cylind. </s><s>OE. Quod <lb></lb>est absurdum. </s><s>Nam tubus XH minor est cylindro XO; et <lb></lb> <arrow.to.target n="marg278"></arrow.to.target><lb></lb>tubus XN, minor est cylindro XT. Et sic de reliquis. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg278"></margin.target>Lem. 5.</s></p> <p type="main"> <s>Patet ergo, quòd solidum annulare genitum ex conver<lb></lb>sione quadrilinei IABE, circa axem CD, aequales est cy<lb></lb>lindro OE. Siquidem ostensum est, neque minus neqne <lb></lb>maius esse posse. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma VII.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Esto hyperbola, cuius asymptoti angulum rectum con<lb></lb>tinentes, sint AB, BC; et convertatur figura circa axem <lb></lb>AB, ita ut fiat solidum hyperbolicum, cuius infinita sit <pb pagenum="220"></pb>longitudo versus partes A. Secto <lb></lb> <arrow.to.target n="fig219"></arrow.to.target><lb></lb>deinde huiusmodi solido, plano DE <lb></lb>ad axem erecto, super basi DE <lb></lb>concipiatur cylindrus DFGE, ha<lb></lb>bens altitudinem DF. Intelligatur<lb></lb>que alius cylindrus BGLI, cuius <lb></lb>altitudo sit BG, basis verò semi<lb></lb>diameter BO ponatur aequalis se<lb></lb>miaxi hyperbolae. </s><s>Dico cylindrum <lb></lb>BL duplum esse cylindri FE. </s></p> <figure id="fig219"></figure> <p type="main"> <s>Nam cylindrus BL ad cylin<lb></lb>drum FE, rationem habet com<lb></lb>positam ex ratione basium, nempe <lb></lb>ex ratione quadrati OB ad BG; et ex ratione altitudinum, <lb></lb>nempe ex ratione rectae BG ad GE, sive quadrati BG ad <lb></lb>rectangulum BGE. Ergò cylindrus BL, ad cylindrum FE, <lb></lb>est ut quadratum OB, ad rectangulum BE. Nempe duplum. </s><s><lb></lb>Quod erat etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>THEOREMA.<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Esto hyperbola, cuius asymptoti angulum rectum continentes sunt <lb></lb>AB, AC. Et sumpto in hyperbola quolibet puncto D, ducatur DC pa<lb></lb>rallela ad BA. Tum conver<lb></lb> <arrow.to.target n="fig220"></arrow.to.target><lb></lb>tatur figura circa axem AB; <lb></lb>ita ut fiat solidum acutum <lb></lb>hyperbolicum infinitae lon<lb></lb>gitudinis versus partes B, <lb></lb>(intellige semper punctum B <lb></lb>in infinitam distantiam esse <lb></lb>remotum). Constabitque prae<lb></lb>dictum solidum hyperboli<lb></lb>cum ex duobus solidis, nem<lb></lb>pe ex cylindro recto FEDC, <lb></lb>et ex solido acuto EBD, cu<lb></lb>ius quidem basis erit circulus <lb></lb>ED, altitudo verò sine fine. </s></p> <figure id="fig220"></figure> <p type="main"> <s>Dico universum huiusmodi <lb></lb>solidum FEBD aequale esse cylindro cuidam recto ACIH. cuius altitudo <lb></lb>sit AC (nempe semidiameter basis acuti solidi) diameter verò basis <lb></lb>AH. aequalis sit integro axi hyperbolae. </s></p> <p type="main"> <s>Sit enim (si possibile est) solidum hyperbolicum FEBDC minus cy<lb></lb>li ndro AI. Ponaturque ex cylindro AI cylindrus aliquis NCIL, qui ae- <pb pagenum="221"></pb>qualis sit solido hyperbolico; et producatur LNM donec hyperbolae <lb></lb>occurrat in M. (occurret enim cum asymptoto AB supponatur parallela). </s></p> <p type="main"> <s>Iam cylindrus NI, aequalis erit solido annulari, quod describitur à <lb></lb> <arrow.to.target n="marg279"></arrow.to.target><lb></lb>revolutione quadrilinei mixti NMDC; et propterea minus omninò erit <lb></lb>solido integro hyperbolico FEBDC. Non ergo eidem est aequalis. </s><s>Quod <lb></lb>est contra suppositum. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg279"></margin.target>Lem. 6.</s></p> <p type="main"> <s>Ponatur deinde (si possibile est) solidum hyperbolicum FEBDC <lb></lb>maius cylindro AI. Quoniam igitur solidum hyperbolicum FEBDC. (sive <lb></lb>finitae magnitudinis sit, sive infinitae) maius supponitur quàm cylin<lb></lb>drus AI. Erit aliquod ipsius segmentum, puta FEOMDC, aequale cy<lb></lb> <arrow.to.target n="marg280"></arrow.to.target><lb></lb>lindro AI. Quod est absurdum. </s><s>Nam solidum annulare factum à revo<lb></lb>lutione quadrilinei NMDC, aequale est cylindro NI; Cylindrus autem <lb></lb>ON subduplus est cylindri NH. Ergò tota portio solidi hyperbolici <lb></lb> <arrow.to.target n="marg281"></arrow.to.target><lb></lb>FEOMDC, minor erit cylindro AI. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg280"></margin.target>Lem. 6.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg281"></margin.target>Lem. 7.</s></p> <p type="main"> <s>Patet ergo, quod universum solidum acutum hyperbolicum FEBDC, <lb></lb>quanquam infinitae longitudinis sit, aequale tamen est praedicto cy<lb></lb>lindro AI. Quandoquidem neqne minus neque maius esse potest. </s><s>Quod <lb></lb>erat ostendendum etc.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <pb></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>APPENDIX <lb></lb>DE DIMENSIONE COCHLEAE<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Cum adhuc à nomine, quod ego sciam, Geometrica consideratione <lb></lb>examinatum sit solidum vulgatum, et antiquissimum, meoque judicio <lb></lb>aliqua animadversione non indignum (Cochleam intelligo), non abs re <lb></lb>fore iudicavi illud brevi contemplatione prosequi. </s></p> <p type="main"> <s>Non enim aliena erit à praecedenti libello praesens speculatio, quae <lb></lb>per Indivisibilia curva, superficiesque cylindricas procedit, Neque ingra<lb></lb>tum Geometris opus futurum existimo, si demonstravero cui figurae <lb></lb>notae iam dimensionis, aequale sit solidum quiddam neque rectum, <lb></lb>neque rotundum, sed spirali revolutione contortum, quale nullum adhuc <lb></lb>inter mensuratas figuras possidet Geometria. </s><s>Praemissa itaque defini<lb></lb>tione veniamus ad lemmata, qua fieri poterit brevitate, expedienda.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Definitio.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Si eodem tempore moveantur duae planae figu<lb></lb> <arrow.to.target n="fig221"></arrow.to.target><lb></lb>rae, quae semper in eodem plano consistant, nempe <lb></lb>rectangulum ABCD. circa axem AB motu circulari <lb></lb>aequabili, et figura quaecunque DE motu progres<lb></lb>sivo super latere DC. Solidum quod à figura geni<lb></lb>trice DE describitur, Cochleam appello.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <figure id="fig221"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma Primum.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Esto solidum quodlibet rotundum ACBG; cuius axis <lb></lb>sit AB, figura genitrix ABC; sectusque sit plano DFE <lb></lb>aequidistantèr axi, et ad figuram genitricem erecto, quod <pb pagenum="224"></pb>quidem faciat in superficie solidi rotundi <lb></lb> <arrow.to.target n="fig222"></arrow.to.target><lb></lb>semisectionem lineam DFE. Dico solidum <lb></lb>illud rotundum quod oritur ex revolutione <lb></lb>figurae DFE, circa axem DE, aequari so<lb></lb>lido quod describitur à figura DCE circa <lb></lb>axem AB revoluta. </s></p> <figure id="fig222"></figure> <p type="main"> <s>Intelligatur enim solidum rotundum <lb></lb>secari alio plano per CEG ducto, et ad <lb></lb>axem AB erecto, eruntque puncta CFG in semicirculi pe<lb></lb>riphaeria cuius diameter est CG; et ideò quadratum IF <lb></lb>aequale erit rectangulo CIG, et propterea (per lemma pri<lb></lb>mum praecedentis demonstrationis) circulus cuius radius <lb></lb>IF, aequalis armillae quam recta CI describit circa axem <lb></lb>AB. Et hoc semper verum erit ubicunque sit planum se<lb></lb>cans CFG. Ergo omnes simul circuli, nempe solidum rotun<lb></lb>dum factum à revolutione figurae DFE circa axem DE, <lb></lb>aequales erunt omnibus armillis simul sumptis, hoc est <lb></lb>solido facto à figura DCE, revoluta circa axem AB. Quod <lb></lb>erat etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma II.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Esto cylindrus rectus ABCD, et ex recta ED tamquam <lb></lb>termino duae rectae lineae in superficie cylindrica aequales <lb></lb>ipsi ED moveantur: quarum altera <lb></lb> <arrow.to.target n="fig223"></arrow.to.target><lb></lb>puro circulari motu Zonam EFAD <lb></lb>describat, altera vero quocunque motu <lb></lb>Zonam EH GOD designans, moveatur <lb></lb>donec ambae ad unum, idemque latus <lb></lb>cylindri puta AB pervenerint, Dico <lb></lb>huiusmodi zonas, sive zonarum portio<lb></lb>nes inter se esse aequales. </s></p> <figure id="fig223"></figure> <p type="main"> <s>Concipiatur enim trigonus cylin<lb></lb>dricus superior HFE transferri, et supra inferiorem GAD <lb></lb>collocari, ita ut periphaeria FE ipsi AD superponatur, <lb></lb>quae necessariò congruent, cum sint arcus aequalium cir<lb></lb>culorum et rectae sive chordae FE, AD (si ducantur) ae<lb></lb>quales sint per Propositionem 33. Primi Elementorum <lb></lb>Euclidis. </s></p> <pb pagenum="225"></pb> <p type="main"> <s>Ipsa etiam recta FH congruet cum recta sibi aequali <lb></lb>AG, aliàs duae rectae se intersecarent in superficie cylin<lb></lb>drica, quod esse non potest. </s><s>Ipsa tandem curva HNE, qua<lb></lb>liscunque sit, congruet cum curva GOD. Nisi enim con<lb></lb>gruat; esto; et sit GMD translata curva HNE, quae non <lb></lb>congruit cum GOD. Ductàque IN in superficie cylindri, <lb></lb>erit MI inaequalis ipsi IO; ergo etiam NL, cum aequalis <lb></lb>sit MI, erit inaequalis ipsi IO; ergo etiam NL, cum ae<lb></lb>qualis sit MI, erit inaequalis ipsi IO, quod esse non po<lb></lb>test; Cum enim per suppositionem aequales sint IL, ON, <lb></lb>additàque sive ablatà communi LO, erit tota IO, aequalis <lb></lb>tota NL. Propterea totum triangulum cylindricum HFE, <lb></lb>aequale est triangulo cylindrico GAD. et ideò, per pro<lb></lb>straphaeresim, Zona EFAD, zonae EHGD est aequalis. </s><s><lb></lb>Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma III.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si rectangulum AB, et figura genitrix quacunque BCD <lb></lb>moveantur, ut in definitione positum est donec peracta <lb></lb>integra revolutione ad idem pla<lb></lb> <arrow.to.target n="fig224"></arrow.to.target><lb></lb>num redeant unde ceperant mo<lb></lb>veri. </s><s>Dico factam cochleam pri<lb></lb>mae revolutionis DGH, aequalem <lb></lb>esse annulo circulari, qui ab ea<lb></lb>dem figura genitrice describetur <lb></lb>circa axem AE. </s></p> <figure id="fig224"></figure> <p type="main"> <s>Concipiatur enim figura BCD <lb></lb>describere primum cochleam pri<lb></lb>mae revolutionis DGH, quae ini<lb></lb>tium habeat à figura BCD, et <lb></lb>finem in figura LFH. Deinde in<lb></lb>telligatur describere annulum circularem in se redeuntem, <lb></lb>qui habeat initium et finem in figura eadem BCD. </s></p> <p type="main"> <s>Accipiatur in figura BCD quaelibet recta IO parallela <lb></lb>axi AE, quae quidem recta IO in revolutione duas zonas <lb></lb>cylindricas, et aequales (per lemma praecedens) describet, <lb></lb>in una eademque cylindrica superficie, alteram quidem in <lb></lb>cochlea, alteram verò in annulo. </s><s>Et aequales semper erunt, <pb pagenum="226"></pb>ubicunque sumatur recta IO. ergo omnes simul zonae cy<lb></lb>lindricae quae sunt in cochlea, aequales erunt omnibus <lb></lb>simul zonis cylindricis quae sunt in annulo, propterea et <lb></lb>ipsa cochlea aequalis erit ipsi annulo. </s><s>Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollarium.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Hinc manifestum est omnes cochleas primae revolutionis esse inter <lb></lb>se aequales, quandoquidem singulae eidem annulo circulari aequales <lb></lb>sunt.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma IV.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Manentibus ijs quae Apollonius supponit in XI, XII, <lb></lb>et XIII, primi Conicorum. </s><s>Esto conus ABC, sectus plano <lb></lb>non verticali per FNR, faciente <lb></lb> <arrow.to.target n="fig225"></arrow.to.target><lb></lb>in superficie coni sectionem FNR <lb></lb>quaequnque illa sit; cuius dia<lb></lb>meter esto FE. Ducaturque FI <lb></lb>aequidistans ipsi AC. Tum fiat, <lb></lb>ut FE ad EA (partem basis trian<lb></lb>guli per axem à vertice coni av<lb></lb>versam) ita IF ad FL. Dico FL <lb></lb>esse latus rectum sectionis. </s></p> <figure id="fig225"></figure> <p type="main"> <s>Ponatur FL ad punctum F <lb></lb>utcumque, et ducatur DL ab <lb></lb>extremitate axis; Accepto deinde <lb></lb>quolibet puncto N in sectione applicetur NO, et per O <lb></lb>agatur QP aequidistans ipsi AC; at OM ducatur parallela <lb></lb>ad FL. Erit iam FO ad OQ, ut FE ad EA, sive ut IF ad <lb></lb>FL, nempe ut PO ad OM, ob parallelas; Ergo rectangula <lb></lb>FOM, POQ sunt aequalia; quamobrem rectangulum FOM <lb></lb>aequale erit quadrato ON, et propterea FL rectum figurae <lb></lb>latus. </s><s>Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s>Licet hoc verum sit in omni sectione coni, solam hy<lb></lb>perbolam depiximus, quoniam sola hyperbola facit ad rem <lb></lb>nostram. </s></p> <pb pagenum="227"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma V.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Sit rectangulum AC, in eodem existens plano cum <lb></lb>triangulo orthogonio EBF. convertatur circa manens latus <lb></lb>AD donec ad locum redeat unde <lb></lb> <arrow.to.target n="fig226"></arrow.to.target><lb></lb>coepit moveri. </s><s>Dico annulum circula<lb></lb>rem descriptum à triangulo EBF ae<lb></lb>qualem esse conoidi cuidam hyperbo<lb></lb>lico, cuius altitudinis sit BE; cuius <lb></lb>latus rectum sit quarta proportiona<lb></lb>lium si fiat ut EB ad BF ita dupla <lb></lb>BA ad aliam. </s><s>Versum verò latur <lb></lb>quarta sit proportionalium, si fiat ut FB ad BE, ita dupla <lb></lb>BA ad aliam. </s></p> <figure id="fig226"></figure> <p type="main"> <s>Convertatur figura uti dictum est, et rectangulum AC <lb></lb>describat cylindrus cuius sectio per axem CM; intelliga<lb></lb>turque productam esse rectam FE, donec cum axe conve<lb></lb>niat in H, et cum MI in I. Manifestum est triangulum <lb></lb>HAF describere conum GHF, cuius axis est AH: Conci<lb></lb>piatur iam secari conum GHF aequidistantèr axi plano <lb></lb>per EB, sive per INM ducto quod quidem planum erectum <lb></lb>sit ad figuram genitricem coni, nempe ad planum GHF. <lb></lb>Eritque sectio in cono GHF hyperbola; Et propterea so<lb></lb>lidum quod describitur à triangulo MNG, sive EBF. circa <lb></lb>axem AD, aequale erit (per lemma primum) conoidi hy<lb></lb>perbolico à praedicta hyperbola descripto. </s><s>Huius autem <lb></lb>conoidis, sive huius hyperbolae latus rectum habetur (per <lb></lb>lemm. </s><s>praeced.) si fiat ut NM, ad MG, ita EN, sive dupla <lb></lb>BA ad aliam. </s><s>Versum verò, quod est NI, habebitur si fiat <lb></lb> <arrow.to.target n="marg282"></arrow.to.target><lb></lb>ut GM ad MN, ita EN, sive dupla BA ad aliam quae erit <lb></lb>NI. Quod erat etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg282"></margin.target>per 4. sexti.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>THEOREMA.<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Cochlea primae revolutionis, quae describitur à triangulo EBF in <lb></lb>praecedenti figura, aequalis est conoidi cuidam hyperbolico, cuius al<lb></lb>titudo sit EB; latus rectum sit quarta proportionalium, si fiat ut EB <pb pagenum="228"></pb>ad BF, ita dupla BA ad aliam. </s><s>Versum verò latus sit quarta propor<lb></lb>tionalium, si fiat ut FB ad BE, ità dupla BA ad aliam. </s></p> <p type="main"> <s>Hoc enim patet ex iam demonstratis. </s><s>Praedicta enim cochlea ae<lb></lb>qualis est (per lem. primum.) annulo facto à triangulo EBF. Sed an<lb></lb>nullus circularis trianguli EBF praedicto conoidi est aequalis (per <lb></lb>lemma praecedens). Ergo patet quod propositum erat.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>DE COCHLEA.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Scholium.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Cochlea verò cuius figura genitrix parallelogrammum <lb></lb>rectangulum sit, aequalis est cylindro cuius altitudo sit <lb></lb>EB, eadem cum altitudine figurae genitricis, semidiameter <lb></lb>verò basis media proportionalis sit inter FB, et rectam <lb></lb>compositam ex FA, AB. </s></p> <p type="main"> <s>Si verò figura genitrix circulus fuerit, erit facta co<lb></lb>chlea primae revolutionis ad sphaeram circuli genitoris, <lb></lb>ut periphaeria quae describitur à radio, qui sit aequalis <lb></lb>utrique, nempe rectae AB in praecedenti figura, semidia<lb></lb>metroque circuli genitoris, ad duas tertias diametri eiu<lb></lb>sdem circuli genitoris. </s></p> <p type="main"> <s>Reliquum esset ut Mechanica etiam Theoremata horum <lb></lb>solidorum exequeremur, praesertim quando cochlea gigni<lb></lb>tur à triangulo; Centrum enim gravitatis in axe est, divi<lb></lb>ditque portiunculam quandam ipsius axis (aequalem ab<lb></lb>scindendam lateri EB, et circa punctum medium ipsius <lb></lb>axis collocandam) veluti conoidis cuiusdam hyperbolici cen<lb></lb>trum secat proprium diametrum; sive praedictae portiun<lb></lb>culae semissem ita dividit, uti eandem secaret centrum <lb></lb>gravitatis cuiusdam segmenti sphaerici duplam habentis <lb></lb>altitudinem, basimque dato cuidam circulo aequalem. Sed <lb></lb>tanti non est singulas istas nugas longiùs protrahere, ut <lb></lb>te benevolum lecturem ulteriùs adhuc torqueamus. </s><s>For<lb></lb>tasse etiam fiet, nisi universa haec, quae in istis libellis <pb pagenum="229"></pb>continentur, tibi displicuisse comperiam, ut ea quae hic <lb></lb>desiderantur, et multò plura circa gravitatem, ipsiusque <lb></lb>centrum, peculiari libello geometricè compraehendam. </s><s>In<lb></lb>terim scio me patrocinium debere longissimae tot mensum <lb></lb>desidiae: cum iam supra annum, ex quo opuscula haec <lb></lb>maximis Geometris promissa sunt, producatur lentissima <lb></lb>eorum impressio. </s><s>quod quidem pluribus de causis factum <lb></lb>est; neque hoc tam negligentiae meae imputandum est, <lb></lb>quàm fortuitis quibusdam casibus, imperatisque. </s><s>Accidit <lb></lb>enim intermedio hoc tempore, ut plurium mensium studio <lb></lb>atque labore inciderim in solutionem optici illius proble<lb></lb>matis tamdiù perquisiti, cuius videlicet figurae esse de<lb></lb>beant superficies vitrorum, quae ad usum Telescopij elabo<lb></lb>rantur. </s><s>Exitus demonstrationem confirmavit. </s><s>quamquam <lb></lb>enim neque optatam figuram (ut credibile est) perfectè ha<lb></lb>berent, neque undequaque absoluta, et perpolita à Tirone <lb></lb>adhuc inexperto, et inexercitato viderentur, ope tamen, et <lb></lb>vi figurae illius ad quam proximè tantùm accedebant, ad <lb></lb>eum usque perfectionis gradum pervenerunt, ut Telescopia <lb></lb>optimi cuiusque artificis, cuius ad hunc diem fama in hac <lb></lb>úrbe innotuerit, superaverint. </s><s>Neque iudicium hoc perpe<lb></lb>ràm prolatum est; sed repetitis saepius, summaque cum <lb></lb>diligentia varijs experimentis, nocte, dieque, et adhibitis <lb></lb>eruditissimis testibus, quorum iudicium nemo iure damna<lb></lb>verit. </s><s>Certè, qualecunque fuerit inventum, nescio plusne <lb></lb>gaudij, laudisque mihi attulerit, an premij: quandoquidem <lb></lb>Serenissimi Magni Ducis effusa, et vere Regia liberalitas <lb></lb>magno auri pondere donatum me non semel voluit. </s><s>Mirum <lb></lb>itaque videri non debet quòd omissà per integrum seme<lb></lb>stre libellorum curà, totam operam novo invento, mihique <lb></lb>in primis exoptatissimo, ne dicam utilissimo, impenderim. </s><s><lb></lb>Factum etiam est ut hac de causa libelli minus ca<lb></lb>stigati evaserint; authore nimirum distracto, et ad alia, <lb></lb>eaque diversissima, converso. </s><s>Quapropter orandus etiam <lb></lb>atque etiam es benevole lector, ut haec qualiacunque ae<lb></lb>qui, bonique facias, et errata vel toleres, vel corrigas. </s><s><lb></lb>praesertim cum tam manifesta plerunque sint, ut nemi<lb></lb>nem fugere valeant, sed ultrò se se ipsa offerant; ut vi<lb></lb>dere est in prima statim epistola nuncupatoria, et su- <pb pagenum="230"></pb>binde satis frequenter in ijs quae sequuntur. </s><s>Correctiones <lb></lb>non addemus in fine operis, ut plerique solent; quia ne<lb></lb>que satis vacavit temporis ad mendosa omnia adnotanda, <lb></lb>neque voluimus mutilà brevique recensione aliquot erra<lb></lb>torum, omnem deinde excusationi meae locum erripere; <lb></lb>dum tacita praetermissio eorum, quae censum effugissent, <lb></lb>tamquam approbationis quoddam genus mihi potuisset im<lb></lb>putari. </s></p> <pb></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>APPENDICE AL LEMMA XX <lb></lb>DELLA MEMORIA <lb></lb>“ DE DIMENSIONE PARABOLAE ”.<emph.end type="center"></emph.end></foreign></s> </p> <pb></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>AVVERTIMENTO.<emph.end type="center"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Sul <emph type="italics"></emph>recto<emph.end type="italics"></emph.end> della carta 1 del codice della Collezione Galileiana intitolato “ <emph type="italics"></emph>Disce<lb></lb>poli di Galileo<emph.end type="italics"></emph.end> T. XXXII — <emph type="italics"></emph>Torricelli Evangelista<emph.end type="italics"></emph.end> T. XII ” si legge, scritto di mano <lb></lb>di Lodovico Serenai, quanto segue: </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="italics"></emph>La inclusa è una risposta del Torricelli all'opposizione fatta da Tomm.o Bianchi <lb></lb>Inglese contro il lemma 20, del trattato de Dimensione Parabolae stampato da esso Tor<lb></lb>ricelli.<emph.end type="italics"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="italics"></emph>Si potrà stampare col racconto, cioè appresso al racconto di varie proposizioni se <lb></lb>non converrà luogo più a proposito.<emph.end type="italics"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="italics"></emph>Ma non penso a proposito stamparla col nome del Bianchi, perchè si vede che anco <lb></lb>l'istesso Torricelli lo taceva nella sua risposta, fingendo non saperlo.<emph.end type="italics"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="italics"></emph>Forse Tommaso Bianchi non era l'oppositore ma quello che fece pervenire al Torri<lb></lb>celli l'opposizione altrui.<emph.end type="italics"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">E segue a carte 2-7 il manoscritto autografo, portante sul <emph type="italics"></emph>recto<emph.end type="italics"></emph.end> delle carte 2, 4, <lb></lb>6, 7 i numeri rossi 57, 58, 59, 60 corrispondenti all'inventario dei mss. </foreign></s> <s>compilato da <lb></lb>L. Serenai. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">A c. 8-14 trovasi la copia conforme della stessa scrittura di mano di L. Serenai <lb></lb>con la intestazione seguente: </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Risposta a Tomm.o Bianchi <lb></lb>e <lb></lb>Racconto di alcune Proposizioni ecc.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="italics"></emph>Queste due fare di congiungerle insieme, et ambedue stamparle l'ultime di tutte le <lb></lb>cose geometriche.<emph.end type="italics"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Facendosi ora la ristampa delle Opere del Torricelli che furono già edite nel 1644, <lb></lb>si è creduto opportuno riprodurre dall'autografo questa scrittura come appendice <lb></lb>alla memoria, <emph type="italics"></emph>De Dimensione Parabolae,<emph.end type="italics"></emph.end> che trovasi in questo Vol. </foreign></s> <s><foreign lang="it">I, dopo di avervi <lb></lb>tolte alcune figure che parvero non indispensabili all'intelligenza del testo. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Giova avvertire che il personaggio qui indicato col nome di <emph type="italics"></emph>Tommaso Bianchi<emph.end type="italics"></emph.end> è <lb></lb><emph type="italics"></emph>Thomas Withe,<emph.end type="italics"></emph.end> nato a Hutton (Essex) nel 1593 e morto a Londra il 6 luglio 1676, il <lb></lb>quale scrisse di teologia e di matematiche firmandosi <emph type="italics"></emph>Albius de Albiis, Anglus, <lb></lb>Blackloe<emph.end type="italics"></emph.end> (o <emph type="italics"></emph>Blacklow), Bianchi, Candidus<emph.end type="italics"></emph.end> o <emph type="italics"></emph>Richworth.<emph.end type="italics"></emph.end> Di lui si trova menzione tanto <lb></lb>in una lettera di R. F. de Sluse a Chr. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Huygegs in data 5 agosto 1659 (<emph type="italics"></emph>Oeuvres com<lb></lb>plètes de Huggens,<emph.end type="italics"></emph.end> T. II. La Haye 1889, p. 450), quanto in una di M. A. Ricci al Torri<lb></lb>celli del 16 dicembre 1645 (v. </foreign></s> <s><foreign lang="it">la presente edizione, T. III, p. 348). Cfr. </foreign></s> <s><foreign lang="it">A. FAVARO. <lb></lb><emph type="italics"></emph>Amici e corrispondenti di G. Galilei,<emph.end type="italics"></emph.end> XXVII. <emph type="italics"></emph>Riccardo White<emph.end type="italics"></emph.end> (Atti del R. Istituto Ve<lb></lb>neto, T. LXXI, 1911-12. Parte II, p. 10-24). </foreign></s> </p> <pb></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>APPENDICE AL LEMMA XX <lb></lb>DELLA MEMORIA <lb></lb>“ DE DIMENSIONE PARABOLAE ”<emph.end type="center"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma XX<emph.end type="italics"></emph.end> .<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Quadrata omnium partium cuiuscumque rectae lineae <lb></lb>subtripla sunt totidem quadratorum totius. </s></p> <p type="main"> <s>Dico propositionem hanc esse universalem, et proba<lb></lb>tionem ipsius esse particularem; et si Prop.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> accipiatur <lb></lb>universaliter esse falsam. </s></p> <p type="main"> <s>Esto enim linea AB seu CD ei <lb></lb> <arrow.to.target n="fig227"></arrow.to.target><lb></lb>aequalis et completo quadrato <lb></lb>ducatur diameter BC et linea <lb></lb>quaedam curva CB et ducantur <lb></lb>in quadrato lineae EF, GH paral<lb></lb>lelae dictis AB, CD. Et manife<lb></lb>stum est lineas quae a BC duci <lb></lb>possunt ad BD, quales sunt LF, <lb></lb>et MH, constituere omnes partes <lb></lb>linearum AB, seu CD. Rursus <lb></lb>omnes lineas quae duci possunt parallelae lineis AB et CD <lb></lb>a linea curva BC ad lineam BD, quales sunt IF, KH <lb></lb>constituunt etiam ipse omnes partes lineae AB, sive CD, <lb></lb>et tertio omnes lineae quae possunt duci a linea AC ad <lb></lb>lineam curvam BC quales sunt EI, GK etiam ipse consti<lb></lb>tuunt omnes partes lineae AB, sive CD. </s></p> <pb pagenum="234"></pb> <figure id="fig227"></figure> <p type="main"> <s>Evidens autem est superficiem mixtilineam BKCD esse <lb></lb>maiorem triangulo BCD, et triangulum BCD esse maius <lb></lb>superficie mixtilinea BKCA, id est omnes partes linea 2<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>modo sumptos esse maiores omnibus partibus eiusdem li<lb></lb>neae AB p<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> modo sumptis. </s><s>Et omnes partes dictae lineae <lb></lb>AB p<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> modo sumptas esse maiores omnibus partibus eiu<lb></lb>sdem lineae AB tertio modo sumptas. </s></p> <p type="main"> <s>Similiter si circumvoluta superficie BKCD circa axem <lb></lb>BD fiat corpus convexum, et circumvoluto triangulo BCD <lb></lb>circa eumdem axem BD fiat conus; et circumvoluta su<lb></lb>perficie BKCA circa axem AC fiat corpus extraconcavum, <lb></lb>erit corpus primum maius 2<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> et secundum maius tertio; <lb></lb>idest omnia quadrata partium lineae AB, sive CD se<lb></lb>cundo modo sumptarum erunt maiora quadratis partium <lb></lb>eiusdem lineae sumptarum p<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> modo. </s><s>Et quadrata par<lb></lb>tium eiusdem lineae sumptarum 3<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> modo. </s></p> <p type="main"> <s>Quare cum probatio Auctoris procedat tantummodo de <lb></lb>omnibus partibus et earum quadratis sumptis p<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> modo <lb></lb>est particularis; et conclusio in reliquis; sive de partibus <lb></lb>2<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> et 3<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> modo sumptis, et earum quadratis absolute falsa. </s></p> <p type="main"> <s>Rursus cum probatio lemmatis 21. pendeat a priore <lb></lb>lemmate, ut patet per illa verbo pag. 142. vers. 19 <emph type="italics"></emph>Omnia <lb></lb>vero quadrata intermediarum sectionem etc. </s><s>sunt ut unum ad <lb></lb>tria.<emph.end type="italics"></emph.end> Evidens est etiam hoc lemma eodem defectu laborare. </s></p> <p type="main"> <s>Tandem Propos.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> 12 quatenus in probatione accipitur <lb></lb><emph type="italics"></emph>Ergo ex praecedenti lemmate parallelogrammum AB erit <lb></lb> <arrow.to.target n="fig228"></arrow.to.target><lb></lb>ipsius semiparabolae sesquialterum<emph.end type="italics"></emph.end> subiecta est eidem fal<lb></lb>laciae. </s><s>quia quadrata partium subtripla non sunt quadrata <lb></lb>partium terminatarum ad diametrum, qualium una est ML, <pb pagenum="235"></pb>sed partium terminatarum ad lineam curvam idest semi<lb></lb>parabolam, qualium una est IK. Probatio enim conclu<lb></lb>sionis eversa est talis. </s><s>Quia omnia quadrata intermediarum <lb></lb>quarum una est IK sunt subtripla totidem quadratorum <lb></lb>lineae integrae AB sive CD; idcirco omnia rectangula ex <lb></lb>linea AB sive CD cum suis partibus in reliquos partes, <lb></lb>(quorum unum est IO in NI) sunt subsesquialtera dictorum <lb></lb>quadratorum lineae AB, sive CD. Sed omnes lineae paral<lb></lb>lelogrammi (quarum una est BD) se habent ad omnes <lb></lb>lineas parabolae (quarum una est IG) sicut omnia qua<lb></lb>drata CD ad omnia rectangula (quorum unum est OIN) <lb></lb>ergo parabola est ad parallelogrammum ut 4 ad 6. Cum <lb></lb>itaque. </s><s>Propos.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> illa fundamentalis quod omnia quadrata <lb></lb>intermediarum quarum una est IK sunt subtripla totidem <lb></lb>quadratorum sit falsa, tota substructio est caduca. </s></p> <figure id="fig228"></figure> <p type="main"> <s>Sed fiat argumentum analytice et dicatur. </s><s>Quadrata <lb></lb>intermediarum sunt corpus parabolicum Conoides <expan abbr="itaq.">itaque</expan> ad <lb></lb>cylindrum eiusdem altitudinis et basis, idest ad totidem <lb></lb>quadrata totius CD ut unum ad duo: ergo parallelo<lb></lb>grammo omnia ex linea et omnibus partibus suis in reli<lb></lb>quas partes, aequalia erunt eisdem quadratis omnium par<lb></lb>tium: Ergo si parallelogrammum AD sit ad dimidiam <lb></lb>parabolam sicut totidem quadrata CD ad omnia parallelo<lb></lb>gramma ex CD et omnibus suis partibus in reliquas partes <lb></lb>erit parallelogrammum ad semiparabolam sicut duplum ad <lb></lb>dimidium. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>BUE, BUE, BUE.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Concedendum est tandem est <lb></lb> <arrow.to.target n="fig229"></arrow.to.target><lb></lb>(Cl. </s><s>V<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end>.) omnes partes accipi quo<lb></lb>modo ipse volue rit: et in figura <lb></lb>CEBD esse omnes partes lineae <lb></lb>AB. Ergo inquit ipse omnia qua<lb></lb>drata figurae CEBD subtripla <lb></lb>erunt totidem quadratorum totius <lb></lb>AB. Concedo quatenus omnes li<lb></lb>neae figurae COBD sunt omnes <lb></lb>partes rectae AB. Sed postea nego figuram solidam ex <lb></lb>COBD esse subtriplam ad figuram ex AD. Nam ad hoc <pb pagenum="236"></pb>ut figurae solidae eandem servent rationem quam habent <lb></lb>inter se omnia earundem indivisibilia, hoc mihi videtur <lb></lb>omnino semper necessarium, videlicet quod indivisibilia <lb></lb>utrimque sint aequaliter spissa, sive aequali quodam et <lb></lb>continua spissatione constipata. </s><s>Hoc autem in casu de <lb></lb>quo agimus non ita se habet. </s><s>Nam sumpto aliquo antece<lb></lb>dente, puta quadrato HI, certum est quando eius conse<lb></lb>quens sit IL, tunc etiam ex concessione Cl. </s><s>Vi. </s><s>inferri <lb></lb>omnia ad omnia esse tripla. </s><s>Sed quando consideramus <lb></lb>figuram COBD consequens illud quod esse deberet LI est <lb></lb>OH; manifestum ergo est in figura CEBD indivisibilia <lb></lb>versus apicem spissiora esse quam in figura AD. atque <lb></lb>hinc est quod figurae solidae servent aliam rationem ab <lb></lb>ea quam habent omnia earum indivisibilia. </s></p> <figure id="fig229"></figure> <p type="main"> <s>Siquis habeat in Arithmetica ratione decem virgas <lb></lb>supra rectam AB disponendas semper aliam atque aliam <lb></lb>spatij quantitatem poterit intercipere; si illas ineaequa<lb></lb>libus intervallis digestas disponat. </s><s>Nam quo magis minores <lb></lb>versus apicem addensabit eo maiorem superficiem inter<lb></lb>cipiet. </s><s>Contra vero si raras collocet minores, <expan abbr="densasq.">densasque</expan> ma<lb></lb>iores. </s><s>Illa denique erit semper certa et immutabilis ratio <lb></lb>eiusdem spatij occupandi si date virgule super eadem recta <lb></lb>linea aequalibus inter se divisae intervallibus statuantur. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>THEOREMA.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Omnes simul partes alicuius numeri subduplae sunt <lb></lb>eiusdem numeri toties sumpti quot ipse habet partes. </s></p> <p type="main"> <s>Exempli gratia proponatur numerus 5. omnes eius par<lb></lb>tes sunt 1. 2. 3. 4. quarum summa est 10. quae quidem <lb></lb>summa subdupla est numeri 20. nempe eiusdem numeri 5. <lb></lb>quater sumpti, cum ipsi quater partes habeat. </s><s>Idem etiam <lb></lb>verum est in quantitate continua si supponamus quamlibet <lb></lb>minimam mensuram, exempligratia esto quantitas AB, <expan abbr="sup-positaq.">sup<lb></lb>positaque</expan> qualibet eius mensura AC tanquam indivisibili, si <lb></lb>accipiantur omnes partes ipsius AB subduplae erunt ma<lb></lb>gnitudinis AB toties sumptae quot ipsa habebit partes. </s><s><lb></lb>Cave tamen ne intelligas partes aequales inter se nam <lb></lb>hoc non facit ad rem nostram. </s></p> <pb pagenum="237"></pb> <p type="main"> <s>Certe ego nulla alia ratione possum concipere omnes <lb></lb>partes alicuius rectae lineae. </s><s>Satis etiam manifeste mihi <lb></lb>videbar ostendisse in demonstratione lemmatis 20. de <lb></lb>Quadr.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> Parabolae me hoc modo tantum accipere omnes <lb></lb>partes alicuius rectae lineae. </s><s>Pro una enim ex illis infi<lb></lb>nitis partibus semper accepi... et non... quamquam postea <lb></lb>hanc illi substituerim cum illi aequali sit. </s><s>Hoc enim modo <lb></lb>tot erunt omnes partes alicuius rectae lineae quot sunt <lb></lb>eiusdem omnia puncta recti transitus: et propterea eiu<lb></lb>sdem rectae lineae sive aequalium rectarum linearum par<lb></lb>tes erunt non sotum multitudine aequales, sed etiam ma<lb></lb>gnitudine singulae singulis, et si hoc magis placet omnes <lb></lb>simul omnibus simul. </s></p> <p type="main"> <s><expan abbr="Excessuq.">Excessuque</expan> partium idem semper erit tam in primis <lb></lb>quam in medijs, <expan abbr="ultimisq.">ultimisque</expan> partibus datae lineae et aequa<lb></lb>libus semper differentijs procedet continuato quodam ar<lb></lb>gumento, ut omnino fieri debet ad hoc ut alicuius quan<lb></lb>titatis omnes partes recte accipiantur. </s><s>Si enim proponatur <lb></lb>exempli gratia numerus aliquis puta 20. cuius iubeamur <lb></lb>omnes partes accipere (partes dicuntur in tota hac con<lb></lb>troversia quae suo toto minores sunt) si quatuor ex mi<lb></lb>noribus partibus creverit quatuor unitatibus, totidem vero <lb></lb>partes ex medijs sive ex maioribus crescant cum eodem <lb></lb>augmento, sive plus sive minus quam quatuor unitatibus <lb></lb>manifestum est omnes partes dati numeri non recte sum<lb></lb>ptas esse. </s></p> <p type="main"> <s>Nam in quantitate discreta nempe in numeris unitates <lb></lb>pro indivisibilibus habentur. </s><s>ergo singulae partes numeri <lb></lb>20. debent se se excedere eadem semper differentia, hoc est <lb></lb>semper indivisibili, sive una unitate. </s><s>Hinc est quod si acci<lb></lb>piamus <expan abbr="quotcunq.">quotcunque</expan> partes dati numeri dumodo se se dein<lb></lb>ceps consequantur, <expan abbr="totidemq.">totidemque</expan> etiam ex maioribus eodem <lb></lb>modo deinceps contiguas consideremus idem erit incremen<lb></lb>tum utrinque tam in parvis quam in magnis partibus. </s></p> <p type="main"> <s>Quod demum tunc verum erit quando quodlibet ante<lb></lb>cedens rationis suo consequenti vel supraponetur, vel ad <lb></lb>idem punctum eadem recta linea terminabunt. </s></p> <p type="main"> <s>Sed ego iubeo hunc laborem gratis ostendendi scilicet <pb pagenum="238"></pb>quod nullo alio modo praeterquam a me usurpato accipi <lb></lb>possint omnes partes alicuius rectae lineae. </s><s>Incumbebat <lb></lb>enim ipsi Cl. </s><s>Viro tamquam proponenti et pronuntianti <lb></lb>hoc, suam propositionem probare. </s><s>Sed quia iam provin<lb></lb>ciam suscepi, prosequamur. </s></p> <p type="main"> <s>Pronuncio contrarium nempe solum eas quae ducuntur <lb></lb>ex BC ad BD esse vere omnes partes & nam rectae que <lb></lb>ab AC ducuntur ad CKIB nullo modo possunt esse par<lb></lb>tes et hoc probo quia sumpto in CA quolibet puncto G. <lb></lb>erit CG una ex omnibus partibus & sed GH est minor. </s><s><lb></lb>Item una ex omnibus partibus erit CE, sed EI est mi<lb></lb>nor. </s><s>ergo omnes lineae figurae ACKB sunt minores omni<lb></lb>bus partibus rectae & singulae singulis. </s></p> <p type="main"> <s>Quia vero hic omnes partes sumuntur secundum defi<lb></lb>ninitionem meam, quod fortasse non arridebit Cl. </s><s>Viro, <lb></lb>sumamus omnes partes eo modo quo ipse etiam concessit, <lb></lb>dum dixit... </s></p> <p type="main"> <s>Prima controversia versari videtur circa illud meum <lb></lb>dictum in lemmate 20. de Quad.<emph type="sup"></emph>ra<emph.end type="sup"></emph.end> Parabolae, ubi omnes <lb></lb>partes alicuius rectae lineae nominavi. </s><s>Disputatur enim <lb></lb>de hoc. </s><s>Utrum omnes partes alicuius rectae lineae unico <lb></lb>tantum modo sumi possunt ut mihi videbatur, an pluribus <lb></lb>modis, ut videtur, Cl.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> Viro <expan abbr="quicunq.">quicunque</expan> ille sit. </s></p> <p type="main"> <s>Principio ponam rationes quae mihi persuadent omnes <lb></lb>partes alicuius rectae lineae unico tantum modo accipi <lb></lb>posse, deinde fallacias detegere conabor, quae Cl. </s><s>Viro <lb></lb>persuaserunt pluribus modis praedictas partes accipi posse. </s></p> <p type="main"> <s>Si quis etiam sine magna attentione considerabit de<lb></lb>monstrationes meorum lemmatum 20. et 21. de Quad.<emph type="sup"></emph>ra<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>Parabolae manifeste videbit me accepisses dictum illud <lb></lb>omnes partes alicuius rectae lineae iuxta sensum sequentis <lb></lb>definitionis. </s></p> <p type="main"> <s>Omnes partes alicuius datae rectae lineae nihil aliud <lb></lb>sunt nisi omnes lineae, quae inter alterum datae rectae <lb></lb>lineae extremum et singula ipsius puncta intercipiuntur. </s></p> <pb></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>DE TACTIONIBUS.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <pb></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>AVVERTIMENTO.<emph.end type="center"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Lo scritto seguente è inedito. </s> <s><foreign lang="it">L'originale si trova a Firenze nel Vol. </foreign></s> <s><foreign lang="it">XXVI <lb></lb>della Collezione: “ <emph type="italics"></emph>Discepoli di Galileo<emph.end type="italics"></emph.end> ”, accompagnato da una copia fattane dal <lb></lb>Serenai, da una compilazione dovuta al Viviani, da alcune note di questo e final<lb></lb>mente da un Indice scritto dallo stesso Viviani; nel prepararlo per la stampa ci <lb></lb>siamo serviti tanto dell'originale, quanto della copia, ricorrendo alla compilazione <lb></lb>soltanto quando ciò fu indispensabile. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Benchè l'esordio dello scritto in questione indurrebbe a pensare di trovarsi in <lb></lb>presenza di un lavoro già pronto per la stampa, in realtà si tratta di un semplice <lb></lb>abbozzo, ben lontano dalla perfezione di forma che hanno gli scritti pubblicati dal <lb></lb>Torricelli; a provarlo basti dire che, mentre la lingua adottata è la latina, si tro<lb></lb>vano qua e là delle frasi italiane e che buon numero di problemi sono risolti due o <lb></lb>più volte con procedimenti sostanzialmente identici. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ora nel prepararlo per la <lb></lb>stampa noi abbiamo reputato opportuno il sopprimere tutte le ripetizioni, che <lb></lb>avrebbero rappresentato un inutile ingombro e sarebbero state cagione di tedio per <lb></lb>il lettore. </foreign></s> <s>Ci siamo anche permessi di omettere alcuni passi non aventi legame col <lb></lb>resto e che si direbbero semplici appunti relativi a idee abbandonate poi come poco <lb></lb>importanti; però le soppressioni di entrambe le specie vennero sempre dichiarate. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Per rendere più agevole la lettura del presente lavoro, oltre a dare migliore <lb></lb>aspetto alle figure, si è diviso tutto il lavoro in paragrafi, che indicammo col mezzo <lb></lb>di numeri scritti <emph type="italics"></emph>entro parentesi quadre,<emph.end type="italics"></emph.end> seguendo il sistema generale adottato per <lb></lb>distinguere le aggiunte ed osservazioni dell'editore da quanto scrisse l'autore. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Volendo assegnare approssimativamente l'epoca a cui risalgono queste ricerche <lb></lb>“ sui contatti ”, giova osservare che a tergo della pagina dell'originale ove sta scritto <lb></lb>il proemio, si trova una bozza della lettera pubblicata a pag. 69 del Vol. </foreign></s> <s><foreign lang="it">III della <lb></lb>presente edizione, lettera alla quale venne assegnata la data “ Febbrajo 1642 ”; è <lb></lb>pertanto da ritenere quelle ricerche non posteriori a tale anno. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Rimandiamo alcune osservazioni sul presente opuscolo ad una <emph type="italics"></emph>Nota<emph.end type="italics"></emph.end> finale; ma <lb></lb>riferiamo qui le seguenti parole con cui il Torricelli (immediatamente prima del <lb></lb>paragrafo [26] del suo lavoro) ha pronunciato una specie di giudizio sulla propria <lb></lb>opera: SI PRETENDE DI FAR TUTTE QUESTE COSE CON L'INTELLETTO, IC NON CON LA PRA<lb></lb>TICA; PERÒ MI PROTESTO D'HAVER SEGU TATO ALLE VOLTE LE SOLUTIONI PIÙ TOSTO INGE<lb></lb>GNOSE CHE LE FACILI. </foreign></s> </p> <pb></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>DE TACTIONIBUS<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Nimium profecto praestiturus eras amice lector etiam <lb></lb>sine praefatione libellum lecturus: fuisset supra notum <lb></lb>fateor, si tu vel solum librum eruditis oculis inspexisses. </s><s><lb></lb>Ego tamen qui legitime ob hoc opus accusari possem, ne <lb></lb>me ipsum in causa propria deseruisse viderer, pro re pauca <lb></lb>loqui, et prologi opem invocare, necesse indicavi, et ve<lb></lb>nerat mihi in mentem tamquam lusus geometricus solutio <lb></lb>problematis illius, quod de tactionibus ex Apol.[lonius] <lb></lb>P.[ergaeus] refere P.[appus] A.[lexandrinus] l. 7 Math. </s><s>Coll. </s><s><lb></lb>Volvebam animo nihil ex libro praestantissimi auctoris <lb></lb>praeter superstitem memoriam ad nos pervenisse; attamen <lb></lb>omnia suppleri posse existimabam primum, deinde addita <lb></lb>etiam demonstratione confirmabam. </s><s>Quia vero problematis <lb></lb>casus valde multiplex erat, et modus solutionis nostrae <lb></lb>satis simplex videbatur, utrumque consideratione dignum, <lb></lb>et scriptione existimavi. </s><s>Facto itaque iam libello, forte <lb></lb>mihi refertur idem argumentum tractatum fuisse ab exi<lb></lb>mijs scriptoribus, quorum opera exposita iam in theatro <lb></lb>famae, et immortalitatis legebantur. </s><s>Erubui primum, et <lb></lb>peracti laboris (quicunque fuerit) acriter paenituit. </s><s>Cogi<lb></lb>tabam me tironem, et in castris geometriae prima vix <lb></lb>iam stipendia commerentem in eandem arenam descen<lb></lb>disse cum maximis geometris. </s><s>Latuit ob hanc causam <lb></lb>integro iam septennio opusculum meum, donec aeversus <lb></lb>Romam audiverum ab amicis eruditis, quod scriptores qui <lb></lb>hoc argumentum tractaverunt, nihil de sectionibus conicis <lb></lb>edidissent etc. </s></p> <pb pagenum="242"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Propos. 4. lib. 2. descriptio hyperbolae. </s><s><lb></lb>Pappus Eutoci ad lib. 5. Apollonij idem.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb>magnum illud geometriae opus nisi daretur sectionum <lb></lb>conicarum non dicam descriptio, sed saltem pura et vere <lb></lb>geometrica contemplatio. </s><s>Quando igitur determinabimus <lb></lb>et omnino ostendemus centrum quesiti circuli esse con<lb></lb>cursu duarum sectionum, quarum axes, et foci, et vertices <lb></lb>dati sint, satis <expan abbr="superq.">superque</expan> erit ad erudiendum intellectum, <lb></lb>cuius tantum gratia contemplationem aggredimur. </s></p> <p type="main"> <s>A. Volvebam animo, nihil ex libro praestantissimi au<lb></lb>ctoris praeter superstitem memoriam ad nos pervenire <lb></lb>attamen omnino suppleri posse existimabam primum de<lb></lb>inde addita demonstratione comprobabam. </s></p> <p type="main"> <s>B. Fateor supra notum fuisset si tu vel solum librum <lb></lb>eruditis oculis inspexisses. </s></p> <p type="main"> <s>Has in theoricas contemplatione conscribo non ut ali<lb></lb>quis circulos se se mutuo contingentes circino <expan abbr="regulaq.">regulaque</expan> <lb></lb>describat, sed ut <expan abbr="unusquisq.">unusquisque</expan> intellectu percipiat, et ipsa <lb></lb>mentis acie aperte videat ubi sit centrum circuli quaesiti. </s><s><lb></lb>Sic ipse geometrarum princeps docuit nos non triangu<lb></lb>lum exhibere dato circulo aequale, sed cui triangulo ae<lb></lb>qualis sit, sola speculatione contentus, sine pratica de<lb></lb>monstravit, asserens tale triangulum omnino aequale esse <lb></lb>proposito circulo. </s><s>Sic etiam antiquos, et magni nominis <lb></lb>geometras constat ad solutionem problematum lineis co<lb></lb>nicis usos fuisse magna quidem felicitate, majore ingenij <lb></lb>laude. </s><s>Apollonius ipse meo quidem inditio frustra con<lb></lb>scripsisset magnum illud geometriae opus nisi daretur <lb></lb>sectionum conicarum non dicam descriptio, sed saltem <lb></lb>sunt et vero geometrica contemplatio. </s></p> <p type="main"> <s>Visum tandem est haec tibi dare non arcea sed potius <lb></lb>ut ita dicam tamquam aliena et ipsi Apollonio referenda. </s><s><lb></lb>Quis enim neget maximum conicorum opificem hoc opus <lb></lb>de tactionibus perficere voluisse propria artis instrumentis <lb></lb>et machinis officine sue. </s><s>Quis dicat illum nescivisse? </s></p> <p type="main"> <s>Sed aliquis nimis delicatus huiusmodi solutione per <lb></lb>loca ut appellant solida non probat. </s></p> <pb pagenum="243"></pb> <p type="main"> <s>Vix enim in animum inducere possum Ap.<emph type="sup"></emph>ni<emph.end type="sup"></emph.end> P. ad so<lb></lb>lutionem problematis de Tactionibus invenienda alijs me<lb></lb>dijs usum fuisse quam suis, hoc est parabola, hyperbola, <lb></lb>ellipsi, etc. </s></p> <p type="main"> <s>[1] PROPOS.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> A datis tribus centris tres circulos descri<lb></lb>bere qui se se mutuo contingant. </s></p> <p type="main"> <s>Sint [Fig. 1] data centra </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 1].<lb></lb>A, B, C, et nectatur triangu<lb></lb>lum ABC, fiat iam BD ae<lb></lb>qualis BC minimo lateri, et <lb></lb>AD reliquae fiat aequalis ipsa <lb></lb>AE et reliqua EC secetur in I <lb></lb>bifariam; erit IC una semi<lb></lb>diameter, ac propterea datae <lb></lb>erunt tam FB quam AH. Dico <lb></lb>iam descriptis ad contactum <lb></lb>duobus circulis ex C et B, <lb></lb>reliquos AH, AI aequales re<lb></lb>manere. </s><s>Tota enim BD ae<lb></lb>qualis est BC, et ablatae aequales, ergo DH remanet <lb></lb>aequalis ipsi FC, hoc est IC, hoc est EI, additis vero <lb></lb>aequalibus AD, AE </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 2].<lb></lb>tota AH aequalis erit <lb></lb>toti AI. Quare ter<lb></lb>tius circulus tanget <lb></lb>priores etc. </s></p> <p type="main"> <s>Aliter etiam idem <lb></lb>exequetur hoc modo. </s><s><lb></lb>Super [Fig. 2] maiori <lb></lb>latere AC sumatur <lb></lb>AE aequalis ipsi AB, <lb></lb>et CD aequalis ipsi <lb></lb>CB, <expan abbr="dividaturq.">dividaturque</expan> ED <lb></lb>bifariam in I. Erit <lb></lb>CI una semidiame<lb></lb>trorum, ac propterea <lb></lb>datae omnes relique BF, FA. Cum enim tota CD toti CB <lb></lb>sit aequalis et ablatae sint aequales, erit DI, BH hoc est BF <pb pagenum="244"></pb>aequalis: est ergo BF aequalis IE. Sed erant AB, AE <lb></lb>aequales ergo ablatis aequalibus remanent semidiametri <lb></lb>AF, AI aequales. </s><s>Ut supra. </s><s>Idem CD, CB sunt aequales <lb></lb>ergo HB, ID vel FB, IE, ergo reliquae AF, AI. </s></p> <p type="main"> <s>His premonstratis, et ut dictum est rectis lineis in <lb></lb>punctis D, E, I patet. </s></p> <p type="main"> <s>Hyperbolam quae vertice D focis vero A, B describitur <lb></lb>transire per C et illam quae vertice E et focis B, C de<lb></lb>scribi transire per A etc. </s></p> <p type="main"> <s>Parim inter AD, DB quaedam est differentia, et eadem <lb></lb>inter AI, BE, additis vero aequalibus eadem erit etiam <lb></lb>inter AC et BC, punctum ergo C erit in hyperbola cuius <lb></lb>vertix D foci autem A, B. </s></p> <p type="main"> <s>Hinc patet tertia solutio problematis non datis focis <lb></lb>A, B et puncte C describi potest hyperbola CD datum <lb></lb>ergo et punctum D. </s></p> <p type="main"> <s>PROPOS.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> Intra datum triangulum circulum describere <lb></lb>ita ut si ab angulis tres circuli describantur illum omnes <lb></lb>et sese mutuo contingant. </s></p> <p type="main"> <s>Fiat [Fig. 3] hyperbola DJC ex puncto contactus. </s><s>Item </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 3].<lb></lb>alia EJ quae priori occurrat in J. Erit J centrum quaesiti <lb></lb>circuli. </s></p> <pb pagenum="245"></pb> <p type="main"> <s>I. Dato circulo lineam tangentem ducere et a dato <lb></lb>puncto eam ducere. </s></p> <p type="main"> <s>II. Data linea circulum tangentem ducere, </s></p> <p type="main"> <s>et dato centro. </s></p> <p type="main"> <s>= et per datum punctum. </s></p> <p type="main"> <s>= et datae magnitudinis. </s></p> <p type="main"> <s>III. Dato circulo circulum tangentem ducere </s></p> <p type="main"> <s>= et ad datum punctum </s></p> <p type="main"> <s>= et datae magnitudinis </s></p> <p type="main"> <s>= et per datum punctum datae magnitudinis. </s></p> <p type="main"> <s>IV. Datis duobus circulos lineam <expan abbr="utriq.">utrique</expan> tangentem com<lb></lb>munem dare ad easdem partes </s></p> <p type="main"> <s>= item transverse non ad eosdem partes </s></p> <p type="main"> <s>= datae rectae lineae duos circulos tangentes ad data <lb></lb>duo puncta aplicare = </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 4].</s></p> <p type="main"> <s>[2] Sit [Fig. 4] hyperbola CG cuius foci A, B et cen- <pb pagenum="246"></pb>tris A, B ad intervallum lateris transversi DC duo circuli <lb></lb>descripti sint. </s><s>Dico duas <expan abbr="quascunq.">quascunque</expan> lineas OG, GB, vel <lb></lb>NF, FB, vel ME, EB, vel QC , CB, esse aequalis, etc. </s></p> <p type="main"> <s>Nam AC, DB, sunt aequales, et ablatis aequalibus AQ, <lb></lb>DC remanent aequales QC, CB, etc. </s><s>unica vero ratione <lb></lb>cum quaelibet ex A superet quamlibet ex B, differentia <lb></lb>eadem AO, AN, AM. Ablatis differentijs remanebunt reli<lb></lb>quae aequalis. </s></p> <p type="main"> <s>Rursus omnes CR, EL, FI, GH, aequales esse singulis <lb></lb>AC, AE, AF, AG. </s></p> <p type="main"> <s>Sunt enim AD, CB aequalis et additis aequalibus erunt <lb></lb>totae AC, CR aequales etc. </s><s>et quia singulae ex B deffi<lb></lb>ciunt a singulis EA. eadem differentia erunt omnes ex B <lb></lb>cum d.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> differentia aequalis omnibus et singulis ex A pro<lb></lb>ductis. </s></p> <p type="main"> <s>[3] Dato [Fig. 5] circulo qui et AI et dato puncto B <lb></lb>circulum describere oportet qui cum transeat per B con</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 5].<lb></lb>tingat circulum qui ex A et ipsi sint datae magnitudinis <lb></lb>(non tamen minoris diametri quam BH). </s></p> <pb pagenum="247"></pb> <p type="main"> <s>Sit datum semidiam. </s><s>BC <expan abbr="describaturq.">describaturque</expan> ex B circulus CE <lb></lb>in quo erit centrum quaesiti cum debeat transire per B. <lb></lb>Sit deinde AD aequalis <expan abbr="utriq.">utrique</expan> semidiametro AH et BC <lb></lb><expan abbr="factoq.">factoque</expan> circulo ex A secet priorem in E (secabit enim <lb></lb>semper). Dico E esse centrum quaesitum et circulum ex E <lb></lb>per B ductum tangere eum qui ex A. Tota enim AD <lb></lb>sive AE facta est aequalis duobus semidiametris nempe <lb></lb>suppositae et datae; ablata igitur supposita AI, remanet <lb></lb>IE aequalis reliquae BC; ergo si per B describatur circulus <lb></lb>transibit per I. </s></p> <p type="main"> <s>Dico non alium esse circulum huiusmodi, dempto eo <lb></lb>qui ex G. Si enim esset ut ex O, essent due AO, AE ae<lb></lb>quales inter se quod est absurdum, essent aequales quia <lb></lb>utraque constaret ex duabus semidiametris aequalibus <lb></lb>BC, AH. </s></p> <p type="main"> <s>[4] Dato [Fig. 6] puncto C extra circulum dico centra <lb></lb>omnium circulorum qui per datum punctum transeunt, </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 6].<lb></lb>tanguntqu. </s><s>datum circulum, centrum habere in ea hyper<lb></lb>bola cuius foci punctum datum, et circuli dati centrum, <lb></lb>vertex vero medium lineae inter punctum datum et con<lb></lb>vexum circuli dati. </s></p> <p type="main"> <s>Tangat ut ponitur circulum ex B circulus qui ex A et <lb></lb>transeat per C, superat ergo BA ipsam CA differentia BD <lb></lb>quas BF superat FC est; ergo punctum A in hyper<lb></lb>bola etc. </s></p> <pb pagenum="248"></pb> <p type="main"> <s>Si vero etiam punctum E datum sit fiat hyperbola, et <lb></lb>deinde producatur BE ad A dico circulum ex A per C <lb></lb>ductum tangere in E etc. </s></p> <p type="main"> <s>[5] PROPOS.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> Datae magnitudinis circulum describere <lb></lb>qui per datum transeat punctum et datum circulum con<lb></lb>tingat. </s></p> <p type="main"> <s>Sit datus circulus ex AI [Fig. 7], datum punctum sit B <lb></lb>et data sit magnitudo IF que minor non sit dimidia IB. </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 7].<lb></lb>Fiat hyperbola CD cuius vertex C foci vero AB, et inter<lb></lb>vallo AF centro A. Fiat circulus FD (cum enim maior <lb></lb>sit AF quam AC) occurret circulus hyperbolae, occurrat <lb></lb>in D. Dico circulum ex D centro per B ductum tangere <lb></lb>circulum qui ex A, et esse datae magnitudinis. </s><s>Ducatur <lb></lb>AD, jam sic, quia D punctum est in hyperbola, circulus <lb></lb>ex D per B ductus tanget circulum datum per ea quae <lb></lb>ostendimus in precedenti et quia AF, AD sunt aequales, <lb></lb>ablatis AI, AE, remanent IF, ED aequales; est ergo cir<lb></lb>culus datae magnitudinis. </s></p> <pb pagenum="249"></pb> <p type="main"> <s>[6] PROPOS.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> Dato [Fig. 8] circulo ex A, datoque puncto <lb></lb>B, per quod ducere oporteat circulum qui contingat in <lb></lb>dato puncto C. </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 8].</s></p> <p type="main"> <s>Ducatur AC infinite, iungatur CB et secetur bifariam <lb></lb>ad <expan abbr="angulosq.">angulosque</expan> rectos ab ipsa ED, et occurret in D. Dico <lb></lb>circulum ex D per B descriptum tangere datum circulum <lb></lb>in dato puncto C. Ducatur BD. Duo igitur triangula CED, <lb></lb>BED per 4 p.<emph type="sup"></emph>i<emph.end type="sup"></emph.end> habent latus BD </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 9].<lb></lb>aequale lateri CD. Patet ergo <lb></lb>propositum. </s></p> <p type="main"> <s>[7] Per [Fig. 9] datum A cir<lb></lb>culum describere, qui datam rec<lb></lb>tam tangat, et sit datae magni<lb></lb>tudinis (non tamen minoris dia<lb></lb>metri quam recta AI). </s></p> <p type="main"> <s>Sumatur data magnitudo se<lb></lb>midiameter AD, et describatur <lb></lb>circulus DE, in quo erit centrum <lb></lb>quaesiti. </s><s>Ducatur deinde ED <lb></lb>recta parallela ipsi BC per F et <lb></lb>sit IF aequalis ipsi AD semidiametro datae. </s><s>Occurret <lb></lb>recta ED circulo ED (nam quaelibet AL et IF maiores <pb pagenum="250"></pb>sunt dimidio totius AI) ut in D; dico circulum ex D <lb></lb>per A tangere rectam et esse datae magnitudinis. </s><s>Cum <lb></lb>enim AD, FI sint aequales, erunt AD, DC aequales et <lb></lb>est DC perpendicularis. </s><s>Ergo circulus ex D per A con<lb></lb>tinget in C et erit datae magnitudinis. </s></p> <p type="main"> <s>[8] <emph type="italics"></emph>Indiget lemmate.<emph.end type="italics"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Datis duobus circulis lineam <expan abbr="utriq.">utrique</expan> communem tangen<lb></lb>tem dare. </s></p> <p type="main"> <s>Factum iam sit [Fig. 10] et CE tangat utrumque; <lb></lb>eruut anguli ad D et ad E recti, quare DB et EA paral</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 10].<lb></lb>lelae erunt. </s><s>Ergo ut EA ad DB ita AC ad CB; sed EA, <lb></lb>DB datae sunt et data est differentia reliquarum BA, <lb></lb>ergo datur punctum C. </s></p> <p type="main"> <s>Componetur autem hoc modo: Sint dati circuli qui ex A <lb></lb>et B, fiat ut EA ad DB ita AC ad CB; dico lineam quae <lb></lb>ducitur ex C et reliqua sunt in priori libello. </s></p> <p type="main"> <s>Datis ut supra oporteat invenire lineam transverse con<lb></lb>tingentem. </s></p> <p type="main"> <s>Factum jam sit [Fig. 11] et DE tangat utrunque erunt </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 11].<lb></lb>anguli ad D et E recti et ad C sunt ad verticem, ergo <pb pagenum="251"></pb>per 4. 6<emph type="sup"></emph>i<emph.end type="sup"></emph.end>. ut AE ad DB ita AC ad CB. Datae sunt AE, <lb></lb>BD, et data tota BA, ergo reliquae BC, CA datae sunt. </s><s><lb></lb>AE, BD et data tota BA ergo relique BC, CA date sunt <lb></lb>etc. </s><s>Componetur autem ut in priori libello. </s></p> <p type="main"> <s>[9] <emph type="italics"></emph>Ecce duo lemmata quae desunt.<emph.end type="italics"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Datis duabus lineis [Fig. 12] A et B oportet duas <lb></lb>alias invenire, quarum differentia sit data CD . </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 12].</s></p> <p type="main"> <s>Producatur utrinque in infinitum, et ad puncta C, D <lb></lb>duae rectae ponantur utcumque parallelae et aequales <lb></lb>datis A, B; iunganturque puncta E, F et EF occurret <lb></lb>in I. Factum est quod ponitur. </s><s>Erit enim ut FD ad EC, <lb></lb>hoc est ut B ad A, ita ID ad IC, quarum differentia est <lb></lb>recta CD. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="italics"></emph>Aliud.<emph.end type="italics"></emph.end> Datis A, B duas reperire quae simul datam <lb></lb>rectam CF constituant. </s></p> <p type="main"> <s>Pone [Fig. 13] ad extrema puncta CD, FG parallelas <lb></lb>ad quemlibet angulum, et aequales duabus B, A; iunga<lb></lb>turque DG, quae secet in E. Erit per 4. 6.<emph type="sup"></emph>i<emph.end type="sup"></emph.end> ut CD ad FG <pb pagenum="252"></pb>ita CE ad EF, hoc est ut B ad A, ita CE ad EF quae <lb></lb>simul datam rectam componunt. </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 13].</s></p> <p type="main"> <s>[10] Sit [Fig. 14] data recta AB et data in ea duo <lb></lb>puncta B, C; oportet duos circulos describere tangentes <lb></lb>rectam in C et B, quarum centra sint in directum ipsi <lb></lb>puncto A. </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 14].</s></p> <p type="main"> <s>Ponantur CD, BE ad angulos rectos, sumptoq, alte<lb></lb>rutro centro ad libitum ut G ducatur AG; erit punctum <lb></lb>sectionis F centrum alterius. </s><s>Patet utrunq contingere nam <lb></lb>semidiametri FC, GB angulos rectos faciunt ad C et B. </s></p> <p type="main"> <s>Quando data sit magnitudo unius verbigratia maioris, <lb></lb>sumatur magnitudo quelibet BG, reliqua fiant ut supra et <lb></lb>si data sit magnitudo minoris sumatur data magnitudo <lb></lb>FC et fiat ut supra. </s></p> <pb pagenum="253"></pb> <p type="main"> <s>Patet etiam datam esse proportionem diametrorum ut <lb></lb>est enim AB ad AC ita BG ad CF. </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 15].</s></p> <p type="main"> <s>Data iam sit [Fig. 15] <lb></lb>recta BC et oporteat de<lb></lb>scribere duos circulos <lb></lb>tangentes in B et C, quo<lb></lb>rum centra sint in di<lb></lb>rectum dato puncto A. <lb></lb>Ponantur ad rectos angu<lb></lb>los CF, BG, sumptoque <lb></lb>unius quolibet centro F, <lb></lb>(nisi data sit magnitudo certa FC) fiat circa semidiame<lb></lb>trum FC circulus et ducta FG per A, dabit reliquum <lb></lb>centrum. </s><s>Nota quod punctum A potest iam dari extra <lb></lb>lineam et magnitudo circulorum non est... </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>CONTACTUS CIRCULORUM, ET LINEARUM <lb></lb>RECTARUM.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>OLIM LIBER APOLLONIJ PERGEI, <lb></lb>NUNC LUSUS GEOMETRICUS.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>[11] A dato puncto ad datum circulum rectam lineam <lb></lb>contingentem applicare. </s></p> <p type="main"> <s>Hoc problema soluit Euclides Lib. 3<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end>. Item Apollonius <lb></lb>lib. 2<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end>. hoc modo. </s></p> <p type="main"> <s>Datum punctum sit [Fig. 16] </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 16].<lb></lb>A, ergo AB data est, fiat ut BA <lb></lb>ad AC ita BD ad DC et DE <lb></lb>recta sit ad diametrum demon<lb></lb>strat rectam lineam AE circulum <lb></lb>tangere in E. </s></p> <p type="main"> <s>Dico nullam aliam lineam da<lb></lb>tum circulum tangere posse ab <lb></lb>eodem puncto A. Tangat enim si <lb></lb>potest AF et iungantur IF, IE. <lb></lb>Erunt ergo anguli AFI, AEI ae<lb></lb>quales inter se quod est absurdum. </s></p> <pb pagenum="254"></pb> <p type="main"> <s><emph type="italics"></emph>Aliter.<emph.end type="italics"></emph.end> A dato puncto [Fig. </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 17].<lb></lb>17] A, opportet dato circulo <lb></lb>lineam contingentem appli<lb></lb>care. </s></p> <p type="main"> <s>Fiat AD media proportio<lb></lb>nalis inter AE, AF; <expan abbr="centroq.">centroque</expan> <lb></lb>A intervallo AD describatur <lb></lb>circulus qui secet in C. Dico <lb></lb>AC circulum tangere iunga<lb></lb>tur BC. Et quia quod AC <lb></lb>factum est aequale rectan<lb></lb>gulo EAF recta AC contin<lb></lb>gens erit. </s><s>per ult. 3.<emph type="sup"></emph>i<emph.end type="sup"></emph.end> elem. </s></p> <p type="main"> <s>[12] Data recta linea cir<lb></lb>culum describere qui illam <lb></lb>tangat <expan abbr="transeatq.">transeatque</expan> pur datum punctum. </s></p> <p type="main"> <s>Sit data recta linea [Fig. 18] AB; oportet per punctum <lb></lb>C circulum ducere qui datam lineam tan</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 18].<lb></lb>gat. </s><s>Ducatur CD <expan abbr="utcunq.">utcunque</expan> et sit ED per<lb></lb>pend. </s><s>ad AB. Fiat deinde angulus DCE <lb></lb>aequalis angulo EDC. Dico circulum cen<lb></lb>tro E intervallo ED descriptum per C <lb></lb>transire. </s><s>Hoc patet ex aequalitatem angu<lb></lb>lorum tangit autem lineam BA propter <lb></lb>angulum rectum. </s></p> <p type="main"> <s>Hinc etiam manifestum est per datum <lb></lb>punctum circulum duci posse, qui datam lineam rectam <lb></lb>tangat in dato puncto. </s><s>Sumptum fuit enim punctum D <lb></lb>ad libitum et decet dat. </s><s>magnitud. </s></p> <p type="main"> <s>[13] Datis duobus circulis, rectam lineam ducere quae <lb></lb><expan abbr="utrumq.">utrumque</expan> tangat circuvlum . </s></p> <p type="main"> <s>Sint p.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> aequalis dati circuli, in quo casu patet quod <lb></lb>quaeritur. </s></p> <pb pagenum="255"></pb> <p type="main"> <s>Sit iam [Fig. 19] AE maior quam BD, fiat ut AE ad BD <lb></lb>ita EC ad CD et ex puncto C duca</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 19].<lb></lb>tur recta linea quae tangat alterum <lb></lb>in B, dico alterum <expan abbr="quoq.">quoque</expan> contingere <lb></lb>in A. </s></p> <p type="main"> <s>Ducatur enim ad contactum B <lb></lb>recta BD quae erit ad ang. </s><s>rectos <lb></lb>ipsi AC, et ducatur item ad ang. </s><s><lb></lb>rectos eidem EA donec conveniat. </s><s><lb></lb>Manifestum est EA aequalem esse <lb></lb>semidiametro, ergo CA convenit cum <lb></lb>circulo, sed angulus A rectus est, <lb></lb>ergo tangit in A. </s></p> <p type="main"> <s>Dico praeterea eosdem circulos ad <lb></lb>eosdem partes aliam tangentem non <lb></lb>habere. </s></p> <p type="main"> <s>Quod enim ex puncto C aliam non <lb></lb>habeant manifestum est, nam transi<lb></lb>ret vel supra vel infra B, quia cir<lb></lb>culus B aliam tangentem non habet <lb></lb>ab eodem puncto. </s></p> <p type="main"> <s>Tangat si possibile est <expan abbr="utrunq.">utrunque</expan> li<lb></lb>nea ex F ducta. </s><s>Erit ob angulos G <lb></lb>et I, ut EI ad DG ita EF ad FE. <lb></lb>Sed ita erat EC ad CD; ergo divi<lb></lb>dendo erit ut ED ad DF ita ED ad <lb></lb>DC, quod est absurdum. </s></p> <p type="main"> <s>Iisdem datis rectam lineam du<lb></lb>cere inter periferias, quae utrunque contingat. </s></p> <p type="main"> <s>Fiat [Fig. 20] ut </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 20].<lb></lb>AD ad BE ita AC ad <lb></lb>CB et per C ducatur <lb></lb>ipsa CD contingens <lb></lb>in D. Dico eandem <lb></lb>productam tangere in <lb></lb>E. Sit enim BE pa<lb></lb>rallela ipsi AD, et con<lb></lb>veniat cum DE, erit ut AC ad CB ita AD ad BE quare BE <pb pagenum="256"></pb>semidiameter erit. </s><s>Sed angulus ad E rectus ergo, CE tan<lb></lb>git in E. </s></p> <p type="main"> <s>Dico iam non esse aliam communem tangentem si qui<lb></lb>dem per C neuter admittit secundam tangentem; sit ergo <lb></lb>si possibile est DFE communis tangens; erunt triangula <lb></lb>ADF, BEF similia, propter rectos DE et aequales ad F <lb></lb>angulos. </s><s>Erit ergo AF ad FB ita ut erat AC ad CB, quod <lb></lb>est absurdum. </s></p> <p type="main"> <s>[14] <emph type="italics"></emph>Lemma.<emph.end type="italics"></emph.end> Datis duabus lineis quae non sint paral<lb></lb>lelae, rectam lineam ducere quae comprehensum ab illis <lb></lb>angulum bifariam secet, etiam si angulus per distantiam <lb></lb>non habeatur. </s></p> <p type="main"> <s>Sint [Fig. 21] datae li</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 21].<lb></lb>neae AB, CD. Sumatur <lb></lb>quodlibet punctum E, sit<lb></lb>que EF parallela ipsi CD, <lb></lb>fiat triangulum AFE, ae<lb></lb>quicrure cuius vertex E, <lb></lb>et AF producatur a cuius <lb></lb>medio H excitetur ad an<lb></lb>gulos rectos HI. Patet HI <lb></lb>secare bifariam angulum occultum. </s><s>Nam propter paral<lb></lb>lelam FE, triangula cuius bases AF et AC sunt similia, <lb></lb>ergo illus cuius basis AC est equicrure. </s><s>Sed basis secatur <lb></lb>bifariam a perpendiculari, ergo etiam angulus. </s></p> <p type="main"> <s>[15] Datis duabus rectis lineis per punctum in altera <lb></lb>earum datum circulum describere </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 22].<lb></lb>qui utramqu. </s><s>contingat. </s></p> <p type="main"> <s>Si sint [Fig. 22] datae rectae <lb></lb>lineae AB, CD in ter se parallelae <lb></lb>et datum punctum sit E. Ducatur <lb></lb>perpendicolaris EF, et circa dia<lb></lb>metrum EF habebis circulum quae<lb></lb>situm. </s></p> <p type="main"> <s>Sint [Fig. 23] iam AB, CD non <lb></lb>parallelae. </s><s>Ducatur FG quae an<lb></lb>gulum illarum secet bifariam, sitqu. </s><s>datum punctum E, <pb pagenum="257"></pb>ducatur EH perpendicularis </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 23].<lb></lb>ad AB; dico circulum ex H <lb></lb>descriptum intervallo HE, <lb></lb>lineam <expan abbr="quoq.">quoque</expan> CD contingere. </s><s><lb></lb>Ducatur enim HI ad angulos <lb></lb>rectos ipsi CD, erit propter <lb></lb>angulos aequales ad G, et <lb></lb>rectos ad E, I et latus com<lb></lb>mune HG erit inquam latus <lb></lb>HE aequalis HI. Hoc est HI <lb></lb>semidiameter est; sed anguli <lb></lb>ad I sunt recti, ergo tangens est. </s></p> <p type="main"> <s>[16] <emph type="italics"></emph>Lemma.<emph.end type="italics"></emph.end> Clarum est ex doctrina conica quod si <lb></lb>linea AB hyperbole erit cuius foci sint C, D, omnes lineae <lb></lb>a punctis C, D ad aliquod punctum hyperbolae conve<lb></lb>nientes eandem habebunt differen<lb></lb>tiam quam habent DA, AC. </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 24].</s></p> <p type="main"> <s>His ita suppositis [Fig. 24], sit <lb></lb>hyperbole ABC cuius foci D et E. <lb></lb>Dico duas lineas eandem quam EA <lb></lb>ad differentiam habentes ad ali<lb></lb>quod punctum extra hyperbole con<lb></lb>venire non posse. </s><s>Conveniant si <lb></lb>possunt ad I, et ipsa DI secet hy<lb></lb>perbolam in B iungatur BE. Ergo <lb></lb>ex ipsa suppositione inter DB, BE eadem erit differentia <lb></lb>quae inter DI, IE, quod esse absurdum ita ostendo. </s><s>Sit <lb></lb>idem communi excessus DF, et iungatur FF, erunt FI, IE <lb></lb>aequales item FB, BE aequales ergo angulus ad F aequalis <lb></lb>erit duobus ad E, quod est absurdum. </s></p> <p type="main"> <s>[17] <emph type="italics"></emph>Lemma aliud.<emph.end type="italics"></emph.end> Si tota </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 25].<lb></lb>[Fig. 25] recta AB secta sit <lb></lb>bifariam in C, deinde <expan abbr="utraq.">utraque</expan> <lb></lb>partium secta sit <expan abbr="utcunq.">utcunque</expan> in <lb></lb>D et E. Dico eandem esse differentiam inter duas sectiones <lb></lb>medias DC, CE, quae est inter extremas. </s></p> <p type="main"> <s>Sit BE minor quam AD, et ponatur AF ipsi EB aequalis, <pb pagenum="258"></pb>erit FD differentia extremarum. </s><s>Sed ab aequalibus CB, CA <lb></lb>deme aequales FA, EB remanebit CF ipsi CE aequalis <lb></lb>ergo patet eandem FD esse <expan abbr="quoq.">quoque</expan> mediarum differentiam. </s><s><lb></lb>Quod opportebat idem sequit de duabus lineis et quae <lb></lb>sint aequales etc. </s></p> <p type="main"> <s>[18] Datis focis hyperboles, <expan abbr="datoq.">datoque</expan> eiusdem latere tran<lb></lb>sverso, sive ipsius transitu hyperbole potest describi. </s></p> <p type="main"> <s>Patet ex elementaris Conicis Apoll.<emph type="sup"></emph>i<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>[19] Datis duobus cir</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 26].<lb></lb>culis, circulum descri<lb></lb>bere, qui tangat et in<lb></lb>cludat <expan abbr="utrunq.">utrunque</expan> datorum <lb></lb>circulorum. </s></p> <p type="main"> <s>Sint [Fig. 26] duo cir<lb></lb>culi ex A, B centris dex<lb></lb>cripti et opporteat descri<lb></lb>bere circulum qui tangat <lb></lb>et includat <expan abbr="utrunq.">utrunque</expan> </s></p> <p type="main"> <s>Factum iam sit, et circulus ex E centro tangat <expan abbr="utrunq.">utrunque</expan> <lb></lb>in C, D. Dico centrum E esse in hyperbola cuius foci A, B, <lb></lb>transitus vero F, punctum </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 27].<lb></lb>medium totius IH. Cum enim <lb></lb>ED, EC sint aequales erit <lb></lb>eadem differentia inter BE, <lb></lb>EA, quae est inter semidia<lb></lb>metrum CA, BD contrario <lb></lb>modo; quare tota CE, toti <lb></lb>DE aequalis erit. </s><s>Ergo cir<lb></lb>culus ex E tanget <expan abbr="utrunq.">utrunque</expan> <lb></lb>in C et D; compositio ergo <lb></lb>patet. </s></p> <p type="main"> <s>Circulum describere qui <lb></lb>duos datos circulos tangat <lb></lb>convexa sui parti. </s></p> <p type="main"> <s>Factum iam sit [Fig. 27], <lb></lb>et circulus ex centro G tan<lb></lb>gat <expan abbr="utrumq.">utrumque</expan> datorum in E, F. Secta sit bifariam DC in I, <pb pagenum="259"></pb>et focis AB descripta sit hyperbole IG, centrum circuli <lb></lb>tangentis erit in hac hyperbola. </s><s>Nam inter AI, IB, est <lb></lb>differentia adiectarum, et inter AG, GB est differentia ea<lb></lb>rundem per antecedens lemma; per lemma erit G punctum <lb></lb>hyperbolae. </s></p> <p type="main"> <s>[20] <emph type="italics"></emph>Lemma.<emph.end type="italics"></emph.end> Si [Fig. 28] recta </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 28].<lb></lb>linea AB, secta sit bifariam in C, <lb></lb>et addita sit BD, dempta vero AE, <lb></lb>erit differentia inter DC, CE, ae<lb></lb>qualis aggregato ex AE, BD. Nam sit FA aequalis BD <lb></lb>erit tota FC aequalis toti CD ergo differentia inter CD, <lb></lb>CE erit FE. </s></p> <p type="main"> <s>Convertitur hoc modo. </s><s>Si </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 29].<lb></lb>[Fig. 29] DC superabit CE <lb></lb>aliquo excessu ut EF, cuius <lb></lb>excessus altera pars auferatur <lb></lb>ut BD, altera vero AE, addatur; dico AC, CB aequales <lb></lb>esse. </s><s>Sunt enim DC, CF aequalis, sed BD, AF fiunt ae<lb></lb>quales, ergo reliquae AC, CB sunt aequalis. </s></p> <p type="main"> <s>[21] Datis duobus circulis, circulum describere qui <lb></lb><expan abbr="utrunq.">utrunque</expan> datorum tangat, sed alterum includat, alterum <lb></lb>excludat. </s></p> <p type="main"> <s>Factum iam sit [Fig. </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 30].<lb></lb>30] et circulus ex G <lb></lb>tangat <expan abbr="utrumq.">utrumque</expan> dato<lb></lb>rum in F, I, ut ponitur. </s></p> <p type="main"> <s>Secetur bifariam <lb></lb>AE in D et focis C, B <lb></lb>describatur hyperbole <lb></lb>quae sit DG. Per ante<lb></lb>cedens lemma BD su<lb></lb>perabit DC toto aggre<lb></lb>gato BE, CA. Pariter <lb></lb>BG superabit GC eodem aggregato nempe BI, GF, quare <lb></lb>punctum G in hyperbola erit. </s><s>Eodem modo demonstra<lb></lb>bitur centrum <expan abbr="cuiuscumq.">cuiuscumque</expan> circuli contingentis esse in ea<lb></lb>dem hyperbola. </s></p> <pb pagenum="260"></pb> <p type="main"> <s>Compositio erit hacc. </s><s>Dividatur AE bifariam in D et <lb></lb>fiat hyperbole ut dictum est. </s><s>Sumpto deinde quolibet <lb></lb>puncto in hyperbole ut G. Ducatur GF per centrum C. <lb></lb>Dico circulum centro quidem G intervallo vero GF de<lb></lb>scriptum tangere alterum circulum. </s><s>Ducatur enim GB, et <lb></lb>quia punctum G est in hyperbola erit differentia inter BG, <lb></lb>GC eodem quae inter BD, DC (nempe aggregatum semi<lb></lb>diametrum BE, CA, per lemma antecedens). Si, ergo, pars <lb></lb>differentiae dematur ut BI, altera pars addatur ut FC, <lb></lb>fient IG, FG aequales; ut est demonstratum, etc. </s></p> <p type="main"> <s>Si vero duo dati circuli exterius se contingant idem <lb></lb>ostendetur, nempe centra omnium contingentium parte sui <lb></lb>concava, esse in quadam hyperbola, omnium vero contin<lb></lb>gentium parte sui convexo centra esse in alia hyperbola. </s></p> <p type="main"> <s>Sint dati circuli circa C, D centra descripti [Fig. 31] <lb></lb>centrum circuli tangentis convexo <expan abbr="quicunq.">quicunque</expan> ille sit, ut G, </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 31].<lb></lb>erit in hyperbola cuius foci C, D, transitus vero per I, <lb></lb>punctum contactus supositi. </s><s>Hoc facili apparet ex demon<lb></lb>stratis. </s></p> <p type="main"> <s>Centrum vero circuli tangentis concavo erit iu illa hy<lb></lb>perbola cuius foci C, D, transitus vero per E, punctum <lb></lb>scilicet medium totius rectae AB. Hoc etiam patet ex is <lb></lb>quae ante demonstrata sunt. </s></p> <p type="main"> <s>Circulus autem transversus <expan abbr="quicunq.">quicunque</expan> ille sit habebit <lb></lb>centrum in recta AB infinite producta, extra tamen ipsa <lb></lb>CD. Manifestum est. </s></p> <pb pagenum="261"></pb> <p type="main"> <s>[22] Hoc supponendum est. </s><s>Ellipsis linea geometrica ha<lb></lb>bet hoc peculiare. </s><s>Sit [Fig. 32] </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 32].<lb></lb>elipsis circa focos A, B. De<lb></lb>monstratum est in doctrina <lb></lb>conica duas AD, DB, item <lb></lb>duas AE, EB, etc. </s><s>aequales <lb></lb>esse duabus BC, CA. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="italics"></emph>Lemma.<emph.end type="italics"></emph.end> Quibus suppositis <lb></lb>dico: si [Fig. 33] duae rectae <lb></lb>AE, BE sint aequales dua<lb></lb>bus BC, CA, punctum E esse in ellipsi cuius foci sunt B, A, <lb></lb>vertex vero C. Si enim non </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 33].<lb></lb>est in ellipsi, ducatur [AE] <lb></lb>ellipsis <expan abbr="secetq.">secetque</expan> in D, iunga<lb></lb>tur DB, erunt ergo etiam <lb></lb>duae. </s><s>Quare duae AE, EB <lb></lb>duabus AD, DB, aequales <lb></lb>erunt. </s><s>Et ablata comuni AD, <lb></lb>erunt duo latera DE, EB <lb></lb>aequalia uni DB quod est <lb></lb>absurdum. </s></p> <p type="main"> <s>[23] Datis duobus circulis se interius tangentibus, dico <lb></lb>centra omnium circulorum duos datos tangentium esse in <lb></lb>ellipsi, cuius foci sunt centra circulorum datorum, vertex <lb></lb>vero punctum contactus dati. </s></p> <p type="main"> <s>Sint enim [Fig. 34] duo circuli dati circa centra A, B, </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 34].<lb></lb>se se contingentes in C, dico circulum qui tangit <expan abbr="utrumq.">utrumque</expan> <pb pagenum="262"></pb>quicumque ille sit habere centrum in ellipsi quae transit <lb></lb>per D punctum medium ipsius IE, et cuius foci sunt cen<lb></lb>tra A, B etc. </s></p> <p type="main"> <s>Sit circulus cuius centrum G qui tangat <expan abbr="utrumq.">utrumque</expan> in <lb></lb>H, F, dico G esse in ellipsi etc. </s></p> <p type="main"> <s>Est IE differentia diametrorum, ergo media ID diffe<lb></lb>rentia erit semidiametro quare AD maior semidiameter <lb></lb>erit; ablata vero communi BD, erit AB aequalis DE, nempe <lb></lb>differentia eadem semidiam. </s><s>quae ablata a maiori AD, <lb></lb>remanebit minor BD. Cum ergo AD, DB duae semidia<lb></lb>metri sint, est etiam BD, hoc est BG una et FA altera <lb></lb>ergo duae AG, GB duobus AD, DE, sunt aequales. </s><s>Est <lb></lb>ergo punctum G in ellipsi. </s></p> <p type="main"> <s>Compositio patet. </s><s>Nam dati sint duo circuli ex A, B, <lb></lb>descripti opporteas facere quod propositum erat. </s><s>Descri<lb></lb>batur ellipsis ut dictum est <expan abbr="sumptoq.">sumptoque</expan> quolibet puncto G <lb></lb>ducatur GA, dico circulum centrum G per F descriptum <lb></lb>tangere alium circulum in H. Nam duae AG, GB, duabus <lb></lb>BH, FA ergo ablatis communibus BG, FA, reliquae erunt <lb></lb>aequales nempe GH, GF, ergo in H fiet contactus. </s><s>Quod <lb></lb>erat ostendendum. </s></p> <p type="main"> <s>[24] Datis duobus circulis se secantibus, circulum de<lb></lb>scribere in spatio intercepto qui tangat <expan abbr="utrunq.">utrunque</expan> </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 35].</s></p> <p type="main"> <s>Sint [Fig. 35] duo circuli inaequales ex A, B centris <pb pagenum="263"></pb>descripti se mutuo secantes; dico centrum <expan abbr="cuiuscumq.">cuiuscumque</expan> cir<lb></lb>culi contingentis utrunque datarum in spatio intercepto, <lb></lb>esse in illa hyperbola cuius foci sunt A, B vertex vero C, <lb></lb>punctum medium totius DE. Tangat enim ut dictum est <lb></lb>circulus ex G utrumque. </s><s>Cum sint semidiametri AE, BD <lb></lb>inaequales habebant aliquam differentiam et ablatis ae<lb></lb>qualibus BC, CE, remanebunt AC, CB cum illa eadem <lb></lb>differentia semidiametrorum; idem ratione AG, GB eam<lb></lb>dem differentiam habebunt, quare G erit in hyperbola. </s></p> <p type="main"> <s>Compositio facile patet; nam sumatur punctum G et <lb></lb>ducatur AF, dico circulum centro G intervallo GF de<lb></lb>scriptum tangere reliquum circulum. </s><s>Nam tota AF, su<lb></lb>perat totam BH eadem differentia qua ablata AG ab la<lb></lb>tam GB ergo reliquae sunt aequales. </s><s>Desideratur lemma <lb></lb>ad haec ult. </s><s>verba. </s><s>Vide lemma. </s></p> <p type="main"> <s>In eadem hyperbola quae [Fig. 36] per medium pun<lb></lb>ctum B lineae FG transit erunt centra circulorum omnium </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 36].<lb></lb>qui tangunt exterius. </s><s>Tangat enim qui ex D. Differentia <lb></lb>quae est inter AD, DC eadem est ac inter semidiametros <lb></lb>quia adiect sunt aequales DE, DI, illa vero differentia est <lb></lb>quae inter AB, BC (ut ostensum est) ergo punctum D, <lb></lb>est in hyperbola. </s></p> <p type="main"> <s>Centra vero omnium circulorum concavo tangentium <lb></lb>(quando dati circuli se inter secant) sunt in illa hyperbola <lb></lb>quae focos habet BA verticem vero I medium totius CD <lb></lb>punctum [Fig. 37]. </s></p> <p type="main"> <s>Tangat ut ponitur circulus <expan abbr="quicunq.">quicunque</expan> ex E centro descri<lb></lb>ptus. </s><s>dico centrum E esse in dicta hyperbola. </s></p> <pb pagenum="264"></pb> <p type="main"> <s>Cum enim sint ae</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 37].<lb></lb>quales CI, ID, habebunt <lb></lb>reliquae AI, IB diffe<lb></lb>rentiam eandem quam <lb></lb>dempt. </s><s>semidiametri ea<lb></lb>dem ratione cum sint <lb></lb>aequales EF, EG, habe<lb></lb>bunt reliquae EA, EB <lb></lb>eandem differentiam, er<lb></lb>go punctum E est in <lb></lb>hyperbola. </s></p> <p type="main"> <s>Componetur ut in an<lb></lb>tecedentibus. </s></p> <p type="main"> <s>[25] Ostendetur etiam hoc quod sequitur: </s></p> <p type="main"> <s>Duobus datis circulis utcumque centra omnium circu<lb></lb>lorum convexo tangentium sunt in quadam hyperbola; <lb></lb>centra autem omnium concavo tangentium sunt in alia <lb></lb>hyperbola quae illi opponitur. </s><s>Vocat enim Apollonius <lb></lb>huiusmodi lineas sectiones oppositas, quarum foci et la<lb></lb>tus transversum ijdem sunt. </s><s>Ut in exemplo. </s></p> <p type="main"> <s>Duae sectiones hy</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 38].<lb></lb>perbolicae [Fig. 38 e <lb></lb>39] DH, EG habeant <lb></lb>cosdem focos A, B, et <lb></lb>idem latus transver<lb></lb>sum DE et distantias <lb></lb>DA, EB aequales. </s><s>Vo<lb></lb>cant Geometrae hu<lb></lb>iusmodi sectione op<lb></lb>positas. </s></p> <p type="main"> <s>Pro habendis cen<lb></lb>tris circulorum qui <lb></lb>tangant convexo de<lb></lb>scripsimus hyperbolam EG per punctum medium E ipsius <lb></lb>IC, ad habenda vero centro tangentium concavo descri<lb></lb>psimus hyperbolam DH ex D, punctum medium totius CF. <lb></lb>Erunt huiusmodi sectiones opposite. </s></p> <p type="main"> <s>Dimidia totius CD, et dimidia segmenta intercepti IE <pb pagenum="265"></pb>sunt aequales duabus semidiametris; ergo, ablato maiori <lb></lb>AC, remanent AD, IE, semidiametro minori IB aequales, <lb></lb>dempta communi IE remanet AD aequalis ipsi EB. </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 39].</s></p> <p type="main"> <s>In secunda figura clarius est CD, DF sunt aequales <lb></lb>inter se et esquivalent duabus diametris; ergo CD duabus <lb></lb>semidiametris equivalet dempta maiori C et remanet AD <lb></lb>semidiametro minori EB equalis. </s></p> <p type="main"> <s>Ut FA ad CA ita ablatum IA ad BA ergo reliquum FI <lb></lb>ad CB ut erat totum ad totum nempe duplum: sed FI <lb></lb>duplum est etiam DE ergo DE, CB, sunt aequales. </s></p> <p type="main"> <s>Quando circuli di</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 40].<lb></lb>stant idem ostende<lb></lb>mus hoc modo [Fig. <lb></lb>40]. </s><s>Punctum D sit <lb></lb>medium ipsius IH et <lb></lb>C medium totius. </s><s>D <lb></lb>erit vertex hyperbole <lb></lb>tangentium convexo, <lb></lb>C vero vertex hyperbole tangentium concavo. </s></p> <p type="main"> <s>Tota AF continet duas diametros et duas ID, DH; <lb></lb>ergo dimidia AC continebit duas semidiametros et semel <lb></lb>DH. Dempta maiori semidiametro AB reliqua BC conti<lb></lb>nebit EH, HD, ergo patet propositum. <pb pagenum="266"></pb> <arrow.to.target n="marg283"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg283"></margin.target>Ad hanc de<lb></lb>monstratio<lb></lb>nem redu<lb></lb>cere oportet <lb></lb>omnes ante<lb></lb>cedentes.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="italics"></emph>Alius casus<emph.end type="italics"></emph.end> [Fig. 41]. </s><s>Secentur bifariam FI in C, EI <lb></lb>in L et EH in D; erunt CD vertices hyperbolarum in <lb></lb>quibus sunt centra cir</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 41].<lb></lb>culorum transverse tan<lb></lb>gentium. </s><s>Dico item CA, <lb></lb>DB aequales esse, EH <lb></lb>dupla est DH et IH <lb></lb>dupla BH, ergo reliqua <lb></lb>EI dupla reliquae DB; <lb></lb>eadem rationem EI du<lb></lb>pla est ipsius CA quare CA, DB sunt aequales. </s><s>Ergo hy<lb></lb>perbole per C, D sunt opposite. </s></p> <p type="main"> <s>[26] Dato puncto A [Fig. 42] et recta AB, circulum <lb></lb>describere qui cum tran</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 42].<lb></lb>seat per datum punctum <lb></lb>D contingat datam rec<lb></lb>tam in puncto A. </s></p> <p type="main"> <s>Sumatur quodlibet <lb></lb>punctum B et ducatur <lb></lb>BD; fiatque ut BD ad <lb></lb>BA ita BA ad BC, et <lb></lb>circa triangulum ADC circulus describatur. </s><s>Manifestum <lb></lb>est rectum AB circulum contingere, quia AB quadratum <lb></lb>aequalem est rectangulo DBC. </s></p> <p type="main"> <s>[27] Datis [Fig. 43] duabus lineis AB, BC, et puncto D, </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 43].<lb></lb>circulum describere qui cum <expan abbr="utramq.">utramque</expan> contingat per datum <lb></lb>transeat punctum. </s></p> <pb pagenum="267"></pb> <p type="main"> <s>Ducatur HB quae secet angulum ABC bifariam, deinde <lb></lb>iungatur BD et sumatur punctum <expan abbr="quodcumq.">quodcumque</expan> E, <expan abbr="sitq.">sitque</expan> EF <lb></lb>ad angulos rectos ipsi AB; facto deinde circulo E, ipsa <lb></lb>FG erit aequalis ipsi FE; producatur autem DH parallela <lb></lb>ipsi GF. Dico H esse centrum quesiti circuli. </s><s>Sit enim HA <lb></lb>ad angulos rectos ipsi AB, et erit ut HA, ad FE, ita HB <lb></lb>ad FB. Pariterque ut DH, ad GF, ita rursus HB ad FB, <lb></lb>erit AH ad EF ut DH ad GF. Sed EF, GF, sunt aequales, <lb></lb>ergo AH, DH aequales erunt. </s><s>Patet ergo circulum cen<lb></lb>tro H descriptum transire per D contingere in A, et <lb></lb>quia HB secat angulum bifariam continget etiam lineam <lb></lb>CB. Quod opportebat. </s></p> <p type="main"> <s>Si vero ducatur FI aequalis ipsi FE, </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 44].<lb></lb>et sint FI, LD parallelae, erit L centrum <lb></lb>alterius circuli maioris, qui quesitum pre<lb></lb>stabit effectum. </s><s>Demonstratio eadem est. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">[28] <emph type="italics"></emph>Hyperbolae descriptio.<emph.end type="italics"></emph.end> Dati gl'as<lb></lb>simptoti AB, BC [Fig. 44] e dato il punto <lb></lb>D nell'iperbola, bisogni fa... l'iper<lb></lb>bola. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Tira DA, DC parallele alli assimptoti <lb></lb>e, preso qualunque punto E, tira EH <lb></lb>parallela alla BC, e per dove segherà <lb></lb>DC tira BHI, e dove questa sega AD, <lb></lb>tira IL parallela ad AB, e L sarà il punto della iperbola. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="italics"></emph>Alia.<emph.end type="italics"></emph.end> Sint asym</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 45].<lb></lb>ptoti [Fig. 45] AB, <lb></lb>BC <expan abbr="datumq.">datumque</expan> punctum <lb></lb>D, fiat parallelogr. </s><s><lb></lb>BD; sumptoque quo<lb></lb>libet puncto E, sit <lb></lb>EF parallela ipsi BC, <lb></lb>ductoque EC, sit H <lb></lb>DF parallela ipsi EC, <lb></lb>dico F esse in hy<lb></lb>perbola etc. </s><s>Vel ob similitud. </s><s>triang. </s><s>erit EI ad IC ut FI <pb pagenum="268"></pb>ad ID, ergo parall. </s><s>EID aequale erit parall. </s><s>CIF in eodem <lb></lb>angulo. </s><s>Add. </s><s>aequale IB erunt etc. </s><s>Hoc in ult. </s><s>fig. . </s></p> <p type="main"> <s>[29] <emph type="italics"></emph>Lemma.<emph.end type="italics"></emph.end> Data recta [Fig. 46] AC <expan abbr="datisq.">datisque</expan> duabus <lb></lb>perpendicularibus BH, CI, opportet lineam EF ducere quae </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 46].<lb></lb>secet BE, CF in data ratione et <expan abbr="utrisq.">utrisque</expan> simul sumptis sit <lb></lb>aequalis. </s></p> <p type="main"> <s>Sit data ratio CA ad AB, et ducatur AI <expan abbr="utcumq.">utcumque</expan> quae <lb></lb>secet in H, et ducatur NHL parallela ipsi AC, sumatur <lb></lb>iam CD aequalis ipsi BH et centro I fiat circulus DL. Ma<lb></lb>nifestum est rectam lineam IL duabus CI, ML aequales <lb></lb>esse. </s><s>Ducatur AF parallela ipsi LI, dico factum esse quod <lb></lb>opportebat. </s></p> <p type="main"> <s>Sit enim EG parallela ipsi AC. Quia est ut BE ad CF <lb></lb>ita BH ad CI vel ML ad CI, erit CG ad CF ut CN ad CL, <lb></lb>et dividendo <expan abbr="sumptisq.">sumptisque</expan> antecedentium duplis, et compo<lb></lb>nendo erit ut FB, et CF ad GF, ita ML et CI ad NI; sed <lb></lb>GF ad FE, est ut NI ad IL; ergo ex aequo ut EB et CF <lb></lb>ad FE ita ML et CI ad IL sed MI et C sunt aequales <lb></lb>ipsi IL, ergo etiam BE et CF erunt aequales ipsi FE. <lb></lb>Ducta est igitur FE, quae duas BE, CF abscindit in data <lb></lb>ratione, et <expan abbr="utriq.">utrique</expan> est aequalis. </s></p> <pb pagenum="269"></pb> <p type="main"> <s>[30] Dato circulo [Fig. 47] cuius centrum A et linea BC <lb></lb>secante, oporteat ducere circulum qui contingat datam <lb></lb>lineam, <expan abbr="datamq.">datamque</expan> circuli pe</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 47].<lb></lb>riferiam in puncto I. </s></p> <p type="main"> <s>Ducatur AF perpendicu<lb></lb>laris ad ipsam BC et per I <lb></lb>transeat EB; <expan abbr="sitq.">sitque</expan> BL paral<lb></lb>lela ipsi FE, et trasmittantur <lb></lb>AM, FL per punctum I; de<lb></lb>monstratum iam est BL dia<lb></lb>metrum esse circuli illius, <lb></lb>qui ex M centro descriptus <lb></lb>tangit in punctis B et I ex<lb></lb>terne. </s></p> <p type="main"> <s>Sed ducatur parallela <lb></lb>DG; dico DG diametrum <lb></lb>esse, et H centrum illius circuli qui tangit in D, et I in<lb></lb>terne. </s><s>Sunt enim ob parallelas, et angulum communem <lb></lb>similia triangula FAI, DHI, illud aequicrure ergo etiam <lb></lb>hoc, quare sunt aequales DH, HI. Eadem ratione osten<lb></lb>dentur aequales GH, HI. Patet ergo factum esse qd. </s><s>op<lb></lb>portebat. </s></p> <p type="main"> <s>[31] Datis ijsdem [Fig. 48], et dato puncto B, eadem fa<lb></lb>cere, eadem manent </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 48].<lb></lb>constructione etc. </s></p> <p type="main"> <s>Ducatur GB que <lb></lb>dabit punctum F, de<lb></lb>inde erigatur FI et <lb></lb>ducatur HB; erit ite<lb></lb>rum IF diameter et <lb></lb>E centrum circuli <lb></lb>quaesiti. </s><s>Ratio ea<lb></lb>dem est ac in su<lb></lb>perio. </s></p> <p type="main"> <s>Quando punctum <lb></lb>B datum sit in linea <lb></lb>puta F cum duca<lb></lb>tur GF et habebitur punctum B. Reliqua ut supra etc. </s></p> <pb pagenum="270"></pb> <p type="main"> <s>Data eadem recta linea, et dato puncto B, eadem sint <lb></lb>facienda. </s></p> <p type="main"> <s>Factum iam sit, et iungantur centra recta BEFA, du<lb></lb>cantur autem perpendiculares ED, BC, erit ut AB, ad BC, <lb></lb>ita AE ad ED, vel ad EB, dantur autem AB, BC, ergo <lb></lb>dabuntur etiam AE, EB. <expan abbr="Itaq.">Itaque</expan> centrum quaesiti circuli <lb></lb>datum est. </s><s>Compositio facilis est. </s><s>nam </s></p> <p type="main"> <s>Iungatur et producatur FB, et sit BC perpendicularis <lb></lb>ad AC: fiat iam ut AB ad BC ita AE ad EB, et demit<lb></lb>tatur perpendicularis ED. Dico ED, EB aequales esse; <lb></lb>eadem enim est ratio AE ad EB, quae AE, ad ED, ergo. </s><s><lb></lb>Patet factum fuisse quod opportebat. </s></p> <p type="main"> <s>Item [Fig. 49] dato circulo cuius centrum A <expan abbr="datoq.">datoque</expan> <lb></lb>puncto C, circulum describemus contingentem hoc modo. </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 49].<lb></lb>Ducatur ACD donec conveniat <expan abbr="fiatq.">fiatque</expan> ut DC, ad CF, ita AB, <lb></lb>ad BC <expan abbr="sitq.">sitque</expan> BE parallela ipsi CF, manifestum est ita esse <lb></lb>DB ad BC ut ad BE, ergo BE, BC sunt aequales etc. </s></p> <p type="main"> <s>Si vero datum sit punctum I ducatur IAH <expan abbr="fiatq.">fiatque</expan> ut HI <lb></lb>ad IG ita HL ad LI. <expan abbr="Eademq.">Eademque</expan> ratione demonstrabitur IL <lb></lb>aequalis ei que ex L eadit in DH, ad angulos rectos. </s><s>etc. </s></p> <p type="main"> <s>Utrunque datorum contingat quolibet modo; et ad <lb></lb>quodlibet datum punctum; et <expan abbr="cuiuscumq.">cuiuscumque</expan> datae possibilis <lb></lb>magnitudinis. </s></p> <p type="main"> <s>[32] Dato circulo et linea recta quae non sit secans, <lb></lb>opporteat aliam circulum describere, qui et circulum, et <lb></lb>lineam datam contingat. </s><s>in puncto dato. </s></p> <pb pagenum="271"></pb> <p type="main"> <s>Hinc descriptio para</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 50].<lb></lb>bolae. </s></p> <p type="main"> <s>Sit [Fig. 50] linea data <lb></lb>CB, et circulus qui ex A cen<lb></lb>tro. </s><s>Ducatur AB ad angulos <lb></lb>rectos et sit datum punctum <lb></lb>C, sit CE parallela ipsi AB, <lb></lb>nectatur deinde FC quae se<lb></lb>cet in I, et ducantur HI et <lb></lb>AI; dico CE diametrum, et <lb></lb>D centrum esse quaesiti cir<lb></lb>culi. </s><s>Quia enim ob parallelas <lb></lb>et angulos verticales ad I similia sunt duo triangula FAI <lb></lb>et IDC; illud autem aequicrure est, ergo etiam IDC, et <lb></lb>DC, DI sunt aequales; cum autem DC sit perpendicularis, <lb></lb>et DI centra coniungat, circulus centro D, per C, I ductus <lb></lb>continget ut opportebat. </s></p> <p type="main"> <s>Eodem modo ostendetur DE aequalis ipsi DI, ob simi<lb></lb>litudinem triangulorum AHI, IED; ergo CE diameter erit, <lb></lb>cum CD, DE, eidem sint aequales etc. </s></p> <p type="main"> <s>Si vero datum sit punctum I, ducatur FI quae dabit C, <lb></lb><expan abbr="ductaq.">ductaque</expan> CE parallela ipsi AB, nectantur AI, HI, et de<lb></lb>monstrabitur supra CE, diametrum, ipsum vero punctum D <lb></lb>centrum esse quaesiti circuli. </s></p> <p type="main"> <s>Possent huiusmodi problemata exponi metodo resolu<lb></lb>tiva, quae etiam si utillima sit ad inventionem, omittitur <lb></lb>quic longior est ipsa </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 51].<lb></lb>compositiva, magis e<lb></lb>tiam illam laudaverim <lb></lb>speculantibus, quam <lb></lb>scribentibus iam spe<lb></lb>culata et inventa. </s></p> <p type="main"> <s>Datis ijsdem alio <lb></lb>modo idem exeque<lb></lb>mur. </s></p> <p type="main"> <s>Sit [Fig. 51] datum <lb></lb>punctum D et ducatur <lb></lb>AD, <expan abbr="sumaturq.">sumaturque</expan> quod<lb></lb>vis punctum C et fiat circulus Ed; <expan abbr="ductaq.">ductaque</expan> CE ad angulos <pb pagenum="272"></pb>rectos ipsi GH ducatur DE quae dabit punctum G, dico <lb></lb>perpendicularem GF, ipsi FD aequalem esse. </s><s>Sunt enim <lb></lb>similia propter parallelas duo triangula GFD, et ECD hoc <lb></lb>autem est aequicrure ergo et illud. </s><s>F igitur est centrum <lb></lb>circuli quaesiti qui tangit in G et in D. Ut erat faciendum. </s></p> <p type="main"> <s>Si vero datum pun</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 52].<lb></lb>ctum D, sit in linea recta <lb></lb>ita propositum absolve<lb></lb>mus. </s></p> <p type="main"> <s>Ducatur [Fig. 52] <lb></lb>perpendicularis DF ae<lb></lb>qualis semidiametro AE, <lb></lb>et iungatur ipsa AF. <lb></lb>Angulo deinde AFC, fiat <lb></lb>aequalis angulos FAC; <lb></lb>manifestum est, C esse <lb></lb>rursus centrum quaesiti <lb></lb>circuli. </s><s>Est enim ob ae<lb></lb>quales angulos tota CF <lb></lb>toti CA aequalis, et ablata ablatae ergo reliqua CD reli<lb></lb>quae CE aequalis erit. </s><s>Ut ante etc. </s></p> <p type="main"> <s>Eadem eodem modo ostendentur etiam si data linea <lb></lb>datum contingat circulum. </s><s>Quando vero secat pene eodem <lb></lb>eveniet hoc modo. </s></p> <p type="main"> <s>[33] Datis ijsdem opporteat describere circulum datae <lb></lb>magnitudinis qui tam li</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 53].<lb></lb>neam quam circulum da<lb></lb>tum contingat. </s></p> <p type="main"> <s>Ducatur [Fig. 53] CE <lb></lb>parallela ipsi BD, ad in<lb></lb>tervallum dati semidia<lb></lb>metri, et secetur in C ab <lb></lb>arcu cuius centrum A, <lb></lb>semidiameter vero ag<lb></lb>gregatum duorum da<lb></lb>tarum semidiametrorum. </s><s><lb></lb>Manifestum est <expan abbr="utramq.">utramque</expan> CF, CB, aequales fieri tum inter <lb></lb>se, cum etiam datae <expan abbr="cuiumq.">cuiumque</expan> lineae. </s></p> <pb pagenum="273"></pb> <p type="main"> <s>[34] Si duo circuli se se vel interius vel exterius con<lb></lb>tingant, et ductae sint duae diametri parallelae linea <lb></lb>quae diametrorum parallelarum extrema opposita con<lb></lb>nectit, per contactum transibit. </s></p> <p type="main"> <s>Contingant se </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 54].<lb></lb>duo circuli quorum <lb></lb>centra AB [Fig 54] <lb></lb> et nectantur cen<lb></lb>tra, <expan abbr="sintq.">sintque</expan> parallelae <lb></lb>semidiametri AD, <lb></lb>BC, quarum extre<lb></lb>ma iungantur recta <lb></lb>CD; dico rectam CD, <lb></lb>transire per pun<lb></lb>ctum contactum. </s><s><lb></lb>Secentur rectae AB, <lb></lb>DC in puncto quolibet E; ostendetur E esse circulorum <lb></lb>contactus hoc modo etc. </s><s>Est enim ut DE ad EC ita DA <lb></lb>ad BC, rursus ut DE ad EC ita AE ad EB. Sunt ergo <lb></lb>AE, EB semidiametri quare E punctum contactus est. </s></p> <p type="main"> <s>Poterat etiam addi, coniungendo, ut DA et BC, ita <lb></lb>AE, EB ad EB; sed DA, BC sunt aequales duabus AE, <lb></lb>EB, ergo etiam BC, BE sunt aequales etc. </s></p> <p type="main"> <s>[35] Si duo cir</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 55].<lb></lb>culi se contingant <lb></lb>sive interius sive <lb></lb>exterius, linea quae <lb></lb>per contactum du<lb></lb>citur, proportiona<lb></lb>liter secat diame<lb></lb>tros parallelos. </s></p> <p type="main"> <s>Contingant se <lb></lb>circuli quorum cen<lb></lb>tra A, B [Fig. 55] <lb></lb>in puncto C, et per contactum C ducatur EI quae occurrat <pb pagenum="274"></pb>duobus diametris parallelis; dico ita esse FE ad ED ut <lb></lb>GI ad IH. Est enim ob similitudinem triangulorum ut CA <lb></lb>ad AE, vel ut FA ad AE, ita CB vel GB ad BI; ergo <lb></lb>per conversionem rationis ut FA ad FE, ita GB ad GI, <lb></lb>et sic etiam antecedentium duplae DF ad FE, ut HG ad <lb></lb>GI, quare dividendo erit DE ad EF ut HI ad IG. </s></p> <p type="main"> <s>Si duo circuli se contingant linea quae per contactum <lb></lb>ducitur secat diametros parallelas (etiam extra circulos) <lb></lb>proportionaliter. </s></p> <p type="main"> <s>Sit ut ponitur [Fig. 56] EF per contactum quae secet <lb></lb>diametros productos in E et F. Dico ita esse DF ad FG, </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 56].<lb></lb>ut HE ad EI; est enim CA vel AG ad AF ut CB, vel BI <lb></lb>ad BE; dividendo prius ergo antecedentium duplae, erunt <lb></lb>DG ad GF, ut HI ad IE, et componendo, ut DF ad FG <lb></lb>ita HE ad EI. Quod erat ostendendum. </s></p> <p type="main"> <s>His ita demonstratis facile ostendi potest etiam con<lb></lb>versa, nempe: Si diametri parallelae secentur proportio<lb></lb>naliter vel intra, vel extra circulos, lineam que sectionum <lb></lb>puncta connectit per contactum transire. </s></p> <p type="main"> <s>[36] <emph type="italics"></emph>Lemma.<emph.end type="italics"></emph.end> Circulorum periferiae inter se sunt ut <lb></lb>diametri. </s></p> <p type="main"> <s>Exponantur [Fig. 57] duo circuli quorum semidiametri <lb></lb>AD, BC, ipsi AD, ponatur aequalis LM, ipsi autem BC <lb></lb>sit aequalis GI; <expan abbr="factisq.">factisque</expan> LMN, GIH angulis rectis, suppo- <pb pagenum="275"></pb>natur MI aequalis peripheriae circuli DE; at ipsa IH ae<lb></lb>qualis peripheriae CF. Erit triangulum LMI aequale cir<lb></lb>culo ED, et triangulum GIH aequale circulo FC. </s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg284"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg284"></margin.target>per p.<emph type="sup"></emph>m<emph.end type="sup"></emph.end> Ar<lb></lb>chim. </s><s>de di<lb></lb>mens. </s><s>Circ.</s></p> <p type="main"> <s>Iam dico ita esse semidiameter LM ad periferiam MI <lb></lb>ut est semidiameter GI ad peripheriam IH. Quod si non <lb></lb>est fiat ut LM ad MI, ita GI ad IO, facta ergo sunt <lb></lb>similia triangula LMI, GIO, et propterea triangulum LMI </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 57].<lb></lb>ad triangulum GIO, rationem habebit dupplicatam lateris <lb></lb>LM ad latus GI, hoc est AD ad BC. Sed circulus ED, <lb></lb>ad circulum FC eandem habet rationem; ergo ut circulus <lb></lb>ED, ad FC circulum, ita triangulum LMI, ad triangulum <lb></lb>GIO; sunt autem aequales p.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> et tertia, ergo circulus FC <lb></lb>aequalis erit triangulo GIO, quod est absurdum, est enim <lb></lb>aequalis triangulo GIH. Quare circulorum peripheriae, etc. </s></p> <p type="main"> <s>Hinc facile ostendetur hoc theorema. </s></p> <p type="main"> <s>[37] Supra [Fig. 58] recta AB posito semicirculo ACB, et <lb></lb>descriptis <expan abbr="quotcunq.">quotcunque</expan> </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 58].<lb></lb>semicirculis AF, DG, <lb></lb>EH, se se contingen<lb></lb>tibus, qui totam AB <lb></lb>expleant. </s><s>Dico peri<lb></lb>feriam ACB, omni<lb></lb>bus periferijs AFD, <lb></lb>DGF, EHB aequa<lb></lb>lem esse. </s></p> <p type="main"> <s>Cum enim sit ut <lb></lb>unum antecedens ad unum consequens, ita quodlibet an<lb></lb>tecedentium etc. </s><s>erunt omnes peripheriae F, G, H, ante- <pb pagenum="276"></pb>cedentes ad omnes diametros consequentes ADEB, ut una <lb></lb>F, ad unam diametrum AD, hoc est ut una C ad unam <lb></lb>diametrum AB, ergo si ACB periferia ad diametrum AB, <lb></lb>eandem habet rationem quam omnes peripheriae AF, DG, <lb></lb>FH, ad omnes diametros ADEB, erit permutando ut pe<lb></lb>riferia ACB ad reliquas periferias AF, DG, EH, ita dia<lb></lb>meter AB, ad diametros ADEB, 3.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> et 4.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> sunt aequalis, <lb></lb>ergo et p.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> cum secunda aequales erunt. </s><s>Quod erat etc. </s></p> <p type="main"> <s>[38] Data recta linea AC <expan abbr="datisq.">datisque</expan> punctis B, C, duos </s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg285"></arrow.to.target><lb></lb>circulos describere qui se se contingant, et datam rectam <lb></lb>lineam in datis punctis § <expan abbr="eorumq.">eorumque</expan> diametri datam habeant <lb></lb>rationem. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg285"></margin.target>Partila <lb></lb>al segno §. e <lb></lb>fanne due.</s></p> <p type="main"> <s>Sit data ratio [Fig. 59] CA ad AB, et ducantur per<lb></lb>pendiculares BD, CE sitque linea DE per lemma ante</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 59].<lb></lb>cedens [28] aequalis duabus BD, CE, et illae datam ha<lb></lb>beant rationem. </s><s>Dico puncta D, E centra esse circulorum <lb></lb>quaesitorum. </s><s>Descripto enim circulo CI, manifestum est <lb></lb>DB, DI, aequales remanere: ergo circulus BI continget <lb></lb>rectam lineam ob angulos rectos ad B et continget cir<lb></lb>culum quia de centra coniungit. </s><s>Quod erat fac. . </s></p> <p type="main"> <s><emph type="italics"></emph>Lemma.<emph.end type="italics"></emph.end> Datis duabus rectis lineis AB, CD, non paral<lb></lb>lelis angulum ab ipsis comprehensum bifariam secare . </s></p> <pb pagenum="277"></pb> <p type="main"> <s>Ducatur [Fig. 60] a quolibet puncto D recta DE pa<lb></lb>rallela ipsi AB, fiatque. </s><s>triangulum EDC isosceles, cuius <lb></lb>basis CE producta in </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 60].<lb></lb>A secetur bifariam CA <lb></lb>in F, et eis HF ad <lb></lb>angulos rectos ipsi <lb></lb>AC; dico rectam FH <lb></lb>secare angulum bifa<lb></lb>riam. </s><s>Sunt enim ob <lb></lb>parallelas duo trian<lb></lb>gula similia cuius ba<lb></lb>ses CE, CA, sed cuius <lb></lb>basis CE est aequi<lb></lb>crure, ergo quod habet basim CA erit aequicrure; sed <lb></lb>cum basi secta sit bifariam in F, et perpendicularl FH, <lb></lb>erit angulus ad verticem bifariam sectus. </s><s>Quod facere <lb></lb>oppor. </s><s>etc. </s></p> <p type="main"> <s>[39] Datis duabus rectis lineis circulum describere qui <lb></lb><expan abbr="utranq.">utranque</expan> contingat et circulus debeat esse datae magnitu<lb></lb>dinis. </s></p> <p type="main"> <s>Sint datae rectae lineae AB, CD, quae si fuerint paral<lb></lb>lelae facili negocio exequemur quod propositum est . </s></p> <p type="main"> <s>Sed non sint parallelae [Fig. 61] ducatur EI que secet </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 61].<lb></lb>angulum AIC bifariam. </s><s>Manifestum est centrum circuli <lb></lb>quesiti esse in recta EI; ponatur DF data semidiameter <pb pagenum="278"></pb>et ducatur FE, parallela ipsi CD; patet circulum centro E <lb></lb>descriptum qui tangat in C tangere etiam in A. Ducantur <lb></lb>enim perpendicularis EA, EC, quoniam anguli ad A et C <lb></lb>sunt recti et ad verticem I sunt aequales, latus autem EI <lb></lb>commune est erunt EA, EC aequales etc. . </s></p> <p type="main"> <s>[40] Dato circulus cujus centrum A, circulum descri<lb></lb>bere qui debeat transire per B et contingere datum cir<lb></lb>culum in dato quolibet puncto I . </s></p> <p type="main"> <s>Ducatur [Fig. 62 e 63] per centrum IA et nectatur <lb></lb>recta BI <expan abbr="anguloq.">anguloque</expan> CIB fiat aequalis angulus CBI, et con</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 62].</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 63].<lb></lb>veniat recta BC, cum recta AI in puncto C; dico C cen<lb></lb>trum esse circuli qui per B ductus tangit datum circulum <lb></lb>in dato puncto I. Cum enim recta CI coniungat centra <lb></lb>et duo latera CI, CB, ob aequalitatem angulorum sint ae<lb></lb>qualia: patet factum esse quod opportebat etc. </s></p> <p type="main"> <s>[41] Datis duobus circulis, circulum <expan abbr="utriq.">utrique</expan> tangentem <lb></lb>dare ad datum punctum. </s></p> <pb pagenum="279"></pb> <p type="main"> <s>Sint dati [Fig. 64] circuli quorum centra A, B, et da<lb></lb>tum sit punctum C. </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 64].<lb></lb>Ducatur per centrum <lb></lb>BC, et sumatur CD <lb></lb>aequalis ipsi AI; <lb></lb><expan abbr="iunctaq.">iunctaque</expan> AD, fiat an<lb></lb>gulus EAD, aequales <lb></lb>angulo EDA, et con<lb></lb>veniant lineae in E. <lb></lb>Dico circulum qui <lb></lb>centro E, intervallo <lb></lb>EC ducitur, circulum <lb></lb>cuius centrum est A <lb></lb>contingere. </s><s>Sunt e<lb></lb>nim ob aequales angulos latera EA, ED aequalia et ablatis <lb></lb>aequalibus IA, CD reliquae EC, EI aequales erunt. </s></p> <p type="main"> <s>Si vero datum [Fig. 65] sit punctum I sumatur ID </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 65].<lb></lb>aequalis ipsi CB, et fiat iterum angulus EBD, aequalis an<lb></lb>gulo EDB etc. </s><s>ut supra. </s></p> <p type="main"> <s>Eadem dicentur etiam si dati circuli se se contingant, <lb></lb>sive secent. </s></p> <p type="main"> <s>Datis item duobus circulis [Fig. 66] quorum centra A, B, <lb></lb><expan abbr="datoq.">datoque</expan> puncto C, circulum per C describere qui <expan abbr="utrumq.">utrumque</expan> <lb></lb>contingat. </s></p> <p type="main"> <s>Ducatur CB per centrum et sumatur CD aequalis ipsi <lb></lb>IA <expan abbr="iunctaq.">iunctaque</expan> AD, fiat ADF triangulum isosceles cuius <pb pagenum="280"></pb>basis AD. Dico circulum centro F per C ductus reliquum <lb></lb>circulum contingere. </s><s>Si enim aequalibus FA, FD adijcian</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 66].<lb></lb>tur aequalis eum FC, FI aequalis; quae coniungunt centra <lb></lb>ergo puncto I, C sunt contactus. </s></p> <p type="main"> <s>Si vero datum sit punctum I, sumetur I aequalis ipsi <lb></lb>CB <expan abbr="fietq.">fietque</expan> trianguium EBF isosceles. </s><s>Reliqua ut supra etc. </s></p> <p type="main"> <s>Datis item duobus circulis se se secantibus idem exe<lb></lb>quemur. </s></p> <p type="main"> <s>Sit datum punctum [Fig. 67] D; iungatur BD et su</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 67].<lb></lb>matur DC extra aequalis ipsi AI, <expan abbr="fiatq.">fiatque</expan> triangolum iso<lb></lb>sceles AEC, cuius basis AC. Dico circulum centrum E <pb pagenum="281"></pb>per D descriptum contingere reliquum circulum etc. </s><s>Tota <lb></lb>enim EA, toti EC, est aequalis, et ablata ablatae, ergo <lb></lb>reliqua EI reliquae ED aequalis erit, etc. </s></p> <p type="main"> <s>Si vero datum sit punctum I, producatur IA et sit IL <lb></lb>aequalis ipsi BD, <expan abbr="iungaturq.">iungaturque</expan> BL; fiat deinde triangulum <lb></lb>isosceles BLE, cuius basis BL. Dico circulum centro E <lb></lb>intervallo EI descriptum tangere reliquum etc. </s><s>Tota enim <lb></lb>IL est aequalis toti BD et ablata ablatae ergo reliqua IE, <lb></lb>reliquae ED, etc. </s><s>Quare etc. </s></p> <p type="main"> <s>Datis duobus circulis se secantibus circulum <expan abbr="utriq.">utrique</expan> <lb></lb>communem tangentem dare in dato puncto. </s></p> <p type="main"> <s>Sint dati circuli [Fig. 68] quorum centra A, B, <expan abbr="datumq.">datumque</expan> <lb></lb>Punctum sit C. Jungatur CB, et sit CD aequalis ipsi AE, </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 68].<lb></lb>et super basi AD fiat triangulum ADI isosceles. </s><s>Dico cir<lb></lb>culum qui centro I per C ducitur reliquum etiam circulum <lb></lb>tangere. </s><s>Tota enim CD toti AE est aequalis, et ablata <lb></lb>ablatae, ergo reliqua CI reliquae IE, aequalis erit, etc. </s></p> <p type="main"> <s>Quod si datum punctum sit E sumetur recta EL ae<lb></lb>qualis ipsi CB reliqua vero, ut supra etc. </s></p> <p type="main"> <s>Datis duobus circulis idem exequemur hoc modo. </s></p> <p type="main"> <s>Sint dati duo circuli quorum centra A, B, et datum sit <lb></lb>punctum C, opportet per C circulum describere qui <expan abbr="utrinq.">utrinque</expan> <lb></lb>datorum contingat etc. </s></p> <p type="main"> <s>Factum iam sit [Fig. 69] et recta CE quae iungit con<lb></lb>tactus proferatur in F et iungatur FA. Quoniam ad ver- <pb pagenum="282"></pb>ticem E sunt aequales inter se, et duobus C, F, erunt <lb></lb>duo DCE et F aequales, sed sunt alterni, ergo DB, FA, </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 69].<lb></lb>sunt parallelae. </s><s>Sed data est DB, ergo datur AE, et pro<lb></lb>pterea datur FC; <expan abbr="datoq.">datoque</expan> puncto E datur etiam AED, ergo <lb></lb>datur centrum D etc. </s><s>Compositio manifesta est. </s></p> <p type="main"> <s>Ex eadem constructione liquet si producatur EF in H, <lb></lb>ita esse BH ad HA ut CB ad FA, sed istae duae datae <lb></lb>sunt et data differentia AB, ergo datur punctum H. Com<lb></lb>positio erit haec. </s><s>Invento puncto H ducatur HC, et da<lb></lb>bitur punctum E, ergo datur centrum D, ut supra. </s><s>Omnia <lb></lb>sunt manifesta. </s></p> <p type="main"> <s>Idem exequemur in alio casu quasi eodem modo. </s></p> <p type="main"> <s>Sint dati circuli quorum centra [Fig. 70] A, B, et datum <lb></lb>punctum sit C. </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 70].</s></p> <p type="main"> <s>Factum iam sit et iuncta per contactus rectae CEG <lb></lb>nectatur AD. Angulus ECF aequalis est angulo FEC sunt <lb></lb>enim aequalia latera opposita; item angulus EDA angulo <lb></lb>AED est aequalis ob eandem rationem; ergo angulus FDA <lb></lb>angulo ECF est aequalis, quare lineae DA, CF sunt pa<lb></lb>rallelae; et CF datur, ergo etiam DA ergo et CD, cum <lb></lb>punctis E et G. </s></p> <pb pagenum="283"></pb> <p type="main"> <s>Componetur hoc modo. </s><s>Ducatur CB, <expan abbr="eiq.">eique</expan> parallela AD <lb></lb>et iungatur CDE, invento autem E puncto ducatur EA <lb></lb>quae occurrat ipsi CB, productae in F. Dico duas EF, CF <lb></lb>aequales esse. </s><s>Quod manifestum videtur etc. </s></p> <p type="main"> <s>Poterat etiam fieri ut semidiameter CB ad semidiame<lb></lb>trum AD ita BG ad GA. Deinde ad datum punctum C <lb></lb>duci GC quae dedisset idem punctum E etc. </s><s>Clarum est. </s></p> <p type="main"> <s>Si vero dati cir</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 71].<lb></lb>culi se se intersecant <lb></lb>idem faciemus hoc <lb></lb>modo. </s></p> <p type="main"> <s>Dati circuli sint <lb></lb>[Fig. 71] quorum cen<lb></lb>tra A, B, <expan abbr="datumq.">datumque</expan> sit <lb></lb>punctum C . Fa<lb></lb>ctum iam et iungatur <lb></lb>contactus DI <expan abbr="ductaq.">ductaque</expan> <lb></lb>CIF; patet ipsam EF <lb></lb>parallelam esse ipsi CD, quae cum datae sint ergo datur <lb></lb>etiam punctum I a recta FB, quo dato datur ipsa AG <lb></lb>datur ergo centrum G. Quod erat inveniendum. </s></p> <p type="main"> <s>Punctum autem I datur etiam a recta ED, quae iungit <lb></lb>extrema diametrorum parallelarum. </s></p> <p type="main"> <s>Datis item duobus circulis se intersecantibus quorum <lb></lb>centra sint [Fig. 72] A, B, idem opporteat exequi per da<lb></lb>tum punctum C. </s></p> <p type="main"> <s>Factum iam sit et iungatur per contactus FCD. Iam <lb></lb>patet DB esse parallelam ipsi AC. Angulus enim ACL <lb></lb>aequalis est suo verticali; ergo et ipsi CFE, ergo etiam <lb></lb>ipsi BDF, suo alterno etc. </s><s>Cum autem data sit AC, datur <lb></lb>et parallela BD, ergo datur DC, <expan abbr="punctumq.">punctumque</expan> F et linea BF; <lb></lb>datur ergo E, centrum quaesitum. </s><s>Compositio patet etc. </s></p> <p type="main"> <s>Hinc manifestum est ob similitudinem triangulorum <lb></lb>DBL et ACL, ita esse AL ad LB, ut AC ad BD, quae <lb></lb>cum sint semidiametri datae sunt, ergo datum est pun- <pb pagenum="284"></pb>ctum L, et propterea data est LC quae dat iterum punctum <lb></lb>F, ad quod si ducatur recta BF datum erit centrum E. <lb></lb>Comp. </s><s>patet. </s></p> <p type="main"> <s>Dato eodem puncto C <expan abbr="ductaq.">ductaque</expan> AC, sit ei parallela BM, <lb></lb>et ducatae MCH, <expan abbr="iungaturq.">iungaturque</expan> BH. Dico circulum centro G </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 72].<lb></lb>per C ductum contingere in H. Cum enim propter paral<lb></lb>lelas similia sint triangula HBM, HGC, illud vero sit equi<lb></lb>crure, hoc etiam aequicrure erit, ergo cum HG, GC sint <lb></lb>aequales, et centra coniungant circulus centro G per C et <lb></lb>H descriptus <expan abbr="utrinq.">utrinque</expan> continget. </s><s>Quod facere opportebat. </s></p> <p type="main"> <s>Cum autem AC, BM sint parallelae, nisi sint aequales <lb></lb>conveniet ipsa MH, cum </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 73].<lb></lb>recta BA; ut in puncto <lb></lb>N. <expan abbr="Eritq.">Eritque</expan> ut MB ad AC, <lb></lb>ita BN ad NA; datum <lb></lb>est ergo punctum N et <lb></lb>dabatur aliud punctum <lb></lb>C, ergo duci potest NC <lb></lb>quae dabit punctum H <lb></lb>et si iungatur BH dabit <lb></lb>centrum G. </s></p> <p type="main"> <s>Dati circuli sint [Fig. <lb></lb>73] quorum centra A, B, <lb></lb>et datum punctum sit D. <lb></lb>Ducatur BD, cui sit parallela AF et nectatur FD quae <pb pagenum="285"></pb>dabit punctum C, <expan abbr="ductaq.">ductaque</expan> AC dabitur E. Dico E centrum <lb></lb>esse quaesiti circuli. </s><s>Sunt enim ob parallelas duo triangula <lb></lb>similia FAC, CED, sed FAC est aequicrure ergo etiam <lb></lb>CED, etc. </s><s>Quare centro E duci potest circulus per DC <lb></lb>puncta qui <expan abbr="utrumq.">utrumque</expan> datorum continget. </s></p> <p type="main"> <s>Quod si datum sit punctum C in interiore. </s><s>Ducatur AC, <lb></lb>et ei sit parallela BF, <expan abbr="nectaturq.">nectaturque</expan> FC quae dabit punctum <lb></lb>D, ergo datur BD linea, et in ea centrum E ut supra. </s><s><lb></lb>Ostendetur idem quia ob parallelas AE, FB, similia sunt <lb></lb>triangula FDB, CDE, ut supra. </s></p> <p type="main"> <s>Datis ijsdem eodem perficiemus alio modo. </s></p> <p type="main"> <s>Sint dati circuli [Fig. 74] </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 74].<lb></lb>quorum centra A, B, <expan abbr="datumq.">datumque</expan> <lb></lb>sit punctum D, ducatur BD, <lb></lb><expan abbr="ponaturq.">ponaturque</expan> DF aequalis ipsi <lb></lb>AE, et iuncta AF fiat an<lb></lb>gulus FAI aequalis angulo <lb></lb>AFI. Erit ergo tota AI toti <lb></lb>IF aequalis, et ablata abla<lb></lb>tae reliqua igitur HI reli<lb></lb>quae ID aequalis erit. </s><s>Ut <lb></lb>supra etc. </s></p> <p type="main"> <s>Si autem duo circuli sint, unus intra alium, et descri<lb></lb>bendux sit circulus utrumq datorum contingens qui sit <lb></lb>datae magnitudinis, ita faciemus. </s></p> <p type="main"> <s>Debet autem data diameter minor esse tota IF. </s></p> <p type="main"> <s>Sint dati circuli [Fig. </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 75].<lb></lb>75] quorum centra A, B, <lb></lb>minori semidiametro AE <lb></lb>addatur data magnitudo <lb></lb>CE, <expan abbr="fiatq.">fiatque</expan> centro A ar<lb></lb>cus cuius semidiameter <lb></lb>A, a maiori autem semi<lb></lb>diametro auferatur ea<lb></lb>dem data magnitudo et <lb></lb>fiat arcus centro B cuius <lb></lb>semidiameter BC. Con<lb></lb>veniant autem arcus in C. Patet C esse centrum quesiti <pb pagenum="286"></pb>circuli. </s><s>Cum enim CE sit ea quae fuit adiecta ipsi AE, <lb></lb>et CD sit ea quae dempta fuit ab ipsa BD, erunt ipsae <lb></lb>CD, CE aequales. </s><s>Quare factum est quod etc. </s></p> <p type="main"> <s>Datis item duobus cir</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 76].<lb></lb>culis [Fig. 76] quorum <lb></lb>centra A, B, opportet cir<lb></lb>culum describere datae <lb></lb>magnitudinis qui <expan abbr="utrumq.">utrumque</expan> <lb></lb>datorum contingat alte<lb></lb>rum cava, alterum vero <lb></lb>convexa, sui parte. </s></p> <p type="main"> <s>Data magnitudo non <lb></lb>sit maior quam LI, neque <lb></lb>minor quam HM. </s></p> <p type="main"> <s>A data magnitudine auferatur semidiameter AF, reliqua <lb></lb>fiat arcus cuius semidiameter sit AE, rursus data magni<lb></lb>tudo auferatur a semidiametro DB et reliqua EB fiat ar<lb></lb>cus. <expan abbr="sitq.">sitque</expan> punctum E, concursus arcum. </s><s>Patet ED, FE <lb></lb>aequales esse etc. </s><s>Ut supra etc. </s><s>ergo factum est quod <lb></lb>opportebat etc. </s></p> <p type="main"> <s>Ex his quae dicta sunt quamquam aliquis casus om<lb></lb>mittatur facile patet qua ratione. </s><s>Datis duobus circulis <lb></lb><expan abbr="utcumq.">utcumque</expan> tertius describi possit qui <expan abbr="utrumq.">utrumque</expan> </s></p> <p type="main"> <s>Si vero datum punctum sit H in circulo interiore. </s><s><lb></lb>ducta AH sumatur HC aequalis semidiamet. </s><s>BD et iun<lb></lb>gatur BC, <expan abbr="fiatq.">fiatque</expan> angulus IBC, angulo ICB aequalis erunt <lb></lb>iterum totae BD, HC aequales, et ablatae IC, IB sunt <lb></lb>aequales, ergo reliquae ID, IH, erunt aequales. </s><s>Ut su<lb></lb>pra repertum est igitur punctum I centrum circuli quae<lb></lb>siti etc. </s></p> <p type="main"> <s>Datis item duobus circulis, quorum unus non sit totus <lb></lb>intra alium, opporteat describere circulum datae magnitu<lb></lb>dinis qui amborum convexa contingat. </s></p> <p type="main"> <s>Data magnitudo [Fig. 77] sit FH, et centro A fiat <lb></lb>circulus FC. Eadem magnitudo sit GI, et centro B fiat <lb></lb>circulus IC, iungaturqu. </s><s>AC, CB etc. </s><s>Cum duae FH, GI <lb></lb>positae sint aequales erunt duae CD, CE aequales ergo C <pb pagenum="287"></pb>centrum est circuli contingentis in D et E, ut querebatur <lb></lb>datae magnitudinis etc. </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 77].</s></p> <p type="main"> <s>Datis duobus circulis disiunctis, circulum designare <lb></lb>qui alterum cava alterum vero convexa sui parte con<lb></lb>tingat et sit datae magnitudinis, maioris tamen diametri <lb></lb>quam EG. </s></p> <p type="main"> <s>Sit contingendus </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 78].<lb></lb>concavo circulus <lb></lb>[Fig. 78] cuius cen<lb></lb>trum A, et a data <lb></lb>magnitudine aufera<lb></lb>tur AC <expan abbr="fiatq.">fiatque</expan> ad in<lb></lb>tervallum residui ar<lb></lb>cus cuius semidia<lb></lb>metrum AE iterum <lb></lb>datae magnitudini <lb></lb>addatur BD, et fiat <lb></lb>arcus cuius semid. </s><s>sit EB <expan abbr="secenturq.">secenturque</expan> arcus in E. Mani<lb></lb>festum est ipsas EC, ED aequales fieri ergo E, centrum <lb></lb>est quesiti circuli. </s></p> <p type="main"> <s>[42] Sit AG divisa bifariam in E, erit C transitus <lb></lb>hyperbole B, F vero foci hyperbole secundi hyperbole foci <pb pagenum="288"></pb>erunt F, I transitus vero H, debent habere convexum am<lb></lb>bae ad partes minoris circuli. </s></p> <p type="main"> <s>Praxis aliam super maiore latere AB, intervallis BC, <lb></lb>AC, centris B, A describantur duo arcus qui spatium ali<lb></lb>quod intercipient cum AC, CB, maiores sint qnam recta <lb></lb>AB, <expan abbr="illoq.">illoque</expan> spatio diviso bifariam erit punctum medium <lb></lb>transire hyperbolae et erit eadem differentia segmentum <lb></lb>maioris, quae inter minora latera erat . </s></p> <p type="main"> <s>[43] Si dati duo circuli sint concentrici [Fig. 79] ex A <lb></lb>centro descripti, dico omnes circulos qui tangunt in spatio <lb></lb>intercepto habere centrum in eo circulo qui transit per H </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 79].<lb></lb>punctum medium ipsius FG. Tangat enim qui ex I, clarum <lb></lb>est lineam quae iungit centra per <expan abbr="utrumq.">utrumque</expan> contactum tran<lb></lb>sire. </s><s>Tota vero RQ est aequalis toti FG: ergo dimidia RI, <lb></lb>dimidiae FH, quare tota AI toti AH etc. </s><s>est ergo pun<lb></lb>ctum I in circulo. </s></p> <p type="main"> <s>Dico secundo: Omnes circulos qui tangunt oblique al- <pb pagenum="289"></pb>terum convexa alterum vero concava sui parte habere <lb></lb>centrum in circulo qui [Fig. 80] ex A ducitur per E, <lb></lb>punctum medium totius CG. Tangat <expan abbr="utrumq.">utrumque</expan> circulus ex <lb></lb>centro M patet unicam lineam quae centra iungit per <lb></lb><expan abbr="utrumq.">utrumque</expan> contactum transire. </s><s>Jam sic tota CG toti LO est <lb></lb>aequalis, ergo dimidia ac dimidie M, O, est aequalis et <lb></lb>ablatis aequalibus CA, AO, remanet MA ipsi AE aequalis <lb></lb>punctum ergo M, est in circulo. </s></p> <p type="main"> <s>[44] Dati sint duo circuli [Fig. 80] circa centra A, B, <lb></lb>descripti, quorum unus sit totus intra alium. </s><s>Dico cir<lb></lb>culum quemlibet contingentem habere centra in ea ellipsi </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 80].<lb></lb>cuius foci A, B, vertices vero D, G, puncta media segmen<lb></lb>torum CE, FH. </s></p> <p type="main"> <s>Sit enim circulus contingens qui ex I. Dico I punctum <lb></lb>esse in dicta ellipsi etc. </s><s>Cum totae CE, FH sint differentia <lb></lb>diametrorum erunt dimidiae DE, FG differentia semidia<lb></lb>metrorum quare duae DB, FG aequales erunt semidiametro <lb></lb>maiori H; sed ablatis aequalibus FG, GH, remanebit DB, <lb></lb>aequalis ipsi AG, et dempta communi AB erit DA aequales <lb></lb>ipsi BG. Dicebamus duas DB, FG aequales esse semid. <pb pagenum="290"></pb>maiori AL, hoc est duabus AI, IM, et additis aequalibus <lb></lb>BM, BF, erunt duae AI, IB aequales toti DBFG, vel <lb></lb>duabus BD, DA. Quare punctum I erit in ea ellipsi quam <lb></lb>diximus. <lb></lb>.................................. . </s></p> <pb></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>NOTA.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Attesta Pappo Alessandrino avere Apollonio Pergeo composta un'opera in due <lb></lb>libri dal titolo </foreign><foreign lang="grc">ἐπαφω̄ν</foreign><foreign lang="it"> (<emph type="italics"></emph>De tactionibus<emph.end type="italics"></emph.end> nelle versioni latine) avente per iscopo di <lb></lb>costruire una circonferenza passante per <emph type="italics"></emph>p<emph.end type="italics"></emph.end> punti dati e tangente a <emph type="italics"></emph>r<emph.end type="italics"></emph.end> rette o <emph type="italics"></emph>c<emph.end type="italics"></emph.end> cir<lb></lb>conferenze pure date, <emph type="italics"></emph>p, r, c,<emph.end type="italics"></emph.end> essendo tre numeri interi non negativi aventi per <lb></lb>somma 3; i problemi ivi considerati sono, dunque, DIECI, dal momento che tutte <lb></lb>e sole le ipotesi possibili relativi ai dati sono le seguenti: <lb></lb> </foreign></s> </p> <table> <row><cell>I.</cell><cell>Tre punti.</cell></row> <row><cell>II.</cell><cell>Tre rette.</cell></row> <row><cell>III.</cell><cell>Tre circonferenze.</cell></row> <row><cell>IV.</cell><cell>Due punti ed una retta.</cell></row> <row><cell>V.</cell><cell>Due rette ed un punto.</cell></row> <row><cell>VI.</cell><cell>Due punti ed una circonferenza.</cell></row> <row><cell>VII.</cell><cell>Due circonferenze ed un punto.</cell></row> <row><cell>VIII.</cell><cell>Due rette ed una circonferenza.</cell></row> <row><cell>IX.</cell><cell>Due circonferenze ed una retta.</cell></row> <row><cell>X.</cell><cell>Un punto, una retta ed una circonferenza.</cell></row></table> <p type="main"> <s><foreign lang="it">L'opera di Apollonio essendo andata perduta, tentarono di divinarla (e ci limi<lb></lb>tiamo a citare coloro che vissero non dopo il Torricelli) Snellio (1597), Vieta (1606) e <lb></lb>Ghetaldi (1607). Altret anto NON volle fare il nostro autore, il quale, invece, si pro<lb></lb>pose di trattare alcune questioni ANALOGHE, ma NON IDENTICHE a quelle studiate dal <lb></lb>sommo geometra di Perga; giacchè il fine che egli si propose è ancora la costru<lb></lb>zione d'una circonferenza, ma i dati sono differenti, perocchè egli suppose noto il <lb></lb>punto di contatto della linea richiesta con una delle date, oppure conosciuto il rag<lb></lb>gio della circonferenza da descriversi. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Nella prima ipotesi si tratta di determinare il centro di una circonferenza la <lb></lb>quale: <lb></lb> </foreign></s> </p> <table> <row><cell>I.</cell><cell>Passi per un punto e tocchi una retta data in un punto assegnato [12];</cell></row> <row><cell>II.</cell><cell>Tocchi due rette date, una in un suo punto dato [15];</cell></row> <row><cell>III.</cell><cell>Tocchi una circonferenza ed una retta in un suo punto [31];</cell></row> <row><cell>IV.</cell><cell>Tocchi una retta ed uua circonferenza in un suo punto dato [30];</cell></row> <row><cell>V.</cell><cell>Tocchi due circonferenze, una in un suo dato punto [41);</cell></row> <row><cell>VI.</cell><cell>Passi per un punto e tocchi una data circonferenza in un punto asse-</cell></row> <row><cell></cell><cell> gnato di essa [6,40].</cell></row></table> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Tutti questi problemi sono risoluti nella precedente memoria ed i numeri scritti <lb></lb>in parentesi indicano in quali paragrafi si trovino le soluzioni. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Si può però osservare <lb></lb>che, a rigore, essi potevano ridursi a tre soltanto; infatti, se un cerchio incognito <lb></lb>deve toccare un dato cerchio in un assegnato punto P, esso avrà per tangente in P la <lb></lb>retta <emph type="italics"></emph>r<emph.end type="italics"></emph.end> che tocca ivi quel cerchio, onde, nell'enunciato del corrispondente problema, al <lb></lb>posto della circonferenza si può porre la retta <emph type="italics"></emph>r;<emph.end type="italics"></emph.end> mediante tale considerazione il <lb></lb>problema IV si riduce al II, il V al III ed il VI al I. Ora, benchè le soluzioni proposte <lb></lb>da Torricelli per questi due problemi ultimi siano nel fondo identiche, non risulta <lb></lb>che egli abbia avvertita in generale la possibilità dell'indicata riduzione. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Quando poi della circonferenza da descrivere si conosca il raggio, i dati possono <lb></lb>essere soltanto: <lb></lb> <arrow.to.target n="table4"></arrow.to.target> <pb pagenum="292"></pb>i corrispondenti problemi sono risoluti dal Torricelli nei paragrafi indicati, eccezion <lb></lb>fatta per il I e III, che vennero ommessi probabilmente per la loro facilità. </foreign></s> </p> <table> <table.target id="table4"></table.target> <row><cell>I.</cell><cell>Due punti</cell></row> <row><cell>II.</cell><cell>Due rette [39].</cell></row> <row><cell>III.</cell><cell>Due circonferenze.</cell></row> <row><cell>IV.</cell><cell>Un punto ed una retfa [7].</cell></row> <row><cell>V.</cell><cell>Un punto ed una circonferenza [3, 5].</cell></row> <row><cell>VI.</cell><cell>Una retta ed una circonferenza [33];.</cell></row></table> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Oltre agli indicati problemi Torricelli ne risolve altri già studiati da Euclide e <lb></lb>da Apollonio e finalmente uno sul quale giova spendere qualche parola; si tratta <lb></lb>di costruire tre circonferenze che risultino a due a due tangenti e delle quali si <lb></lb>conoscano i centri A, B, C; tale problema ammette QUATTRO soluzioni; una si ottiene <lb></lb>scegliendo come punti di mutuo contatto delle circonferenze richieste i punti nei <lb></lb>quali i lati del triangolo ABC sono toccati dalla circonferenza in esso inscritta, ed <lb></lb>è quella appunto a cui si arresta il discepolo di Galileo; le altre provengono <lb></lb>similmente dalle tre circonferenze ex-inscritte. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">I mezzi di cui Torricelli si serve in generale per conseguire l'intento propostosi <lb></lb>sono quelli concessi da Euclide ai geometri; però egli ha ritenuto lecito di servirsi <lb></lb>di sezioni coniche anche in casi in cui non era indispensabile ricorrervi. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Da ultimo va osservato che le questioni trattate ammettono in generale parecchie <lb></lb>soluzioni; il Torricelli si limita ad indicarne una soltanto; ma le procedure da lui <lb></lb>esposte sono capaci di porgerle tutte, quando vengano eseguite a dovere (cioè quando <lb></lb>il trasporto di un segmento si faccia indifferentemente in un senso o nell'altro, <lb></lb>quando si considerino entrambe le bisettrici degli angoli formati da due rette o <lb></lb>entrambe le intersezioni d'una retta con una circonferenza o di due circonferenze <lb></lb>fra loro). </foreign></s> </p> <pb></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>DE PROPORTIONIBUS LIBER.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <pb></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>AVVERTIMENTO.<emph.end type="center"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Della presente memoria esistono a Firenze tre esemplari nel Vol. </foreign></s> <s><foreign lang="it">XXVI della <lb></lb>nota Collezione dei “ <emph type="italics"></emph>Discepoli di Galileo<emph.end type="italics"></emph.end> ”. </foreign></s> <s><foreign lang="it">due autografi, il terzo copia. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Di essa <lb></lb>(che sembra essere uno degli ultimi lavori di cui si occupò il sommo Faentino) è <lb></lb>fatto cenno nella chiusa di una lettera diretta a M. A. Ricci il 24 agosto 1647 (queste <lb></lb><emph type="italics"></emph>Opere,<emph.end type="italics"></emph.end> T. III, p. 474-5); un largo riassunto ne venne pubblicato da R. Caverni (<emph type="italics"></emph>Storia <lb></lb>del metodo sperimentale in Italia,<emph.end type="italics"></emph.end> T. V, Firenze 1898, p. 101-104), il quale afferma che <lb></lb>lo scritto del Torricelli corse lungo tempo per le mani degli amici e servl come <lb></lb>testo nelle scuole in luogo dei Libri V e VI di Euclide. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Lo stesso scritto venne ana<lb></lb>lizzato da F. PODETTI (v. </foreign></s> <s><foreign lang="it">l'articolo <emph type="italics"></emph>La teoria delle proporzioni in un manoscritto ine<lb></lb>dito di Evangelista Torricelli<emph.end type="italics"></emph.end> inserito nel Fascicolo di luglio-settembre 1914 del <emph type="italics"></emph>Bol<lb></lb>lettino di bibliografla e storia delle scienze matematiche<emph.end type="italics"></emph.end>) grazie all'importanza che <lb></lb>possiede per chi intenda formarsi un concetto completo degli studi che furono fatti <lb></lb>nella Scuola del Galileo sul V Libro degli <emph type="italics"></emph>Elementi di Euclide.<emph.end type="italics"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Nella scguente riproduzione vennero soltanto omesse alcune figure non necessarie <lb></lb>all'intelligenza del testo </foreign></s> </p> <pb></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="bold"></emph>DE PROPORTIONIBUS LIBER<emph.end type="bold"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>AD AMICUM LECTOREM PROEMIUM <lb></lb>IN QUO DE DEFINITIONIBUS GEOMETRICIS<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Quanam temporum injuria factum esse dicam, ut apud <lb></lb>Euclidem, cujus in omni fere theoremate veritas tam clare <lb></lb>elucet, aliquando tanta obscuritas reperiatur, ut nihil in<lb></lb>certius, ne dicam fallacius judicandum sit? </s><s>Hujusmodi <lb></lb>videtur quintus Liber, qui in ipsis praesertim definitioni<lb></lb>bus corruptus, et contaminatus est eousque ut, me judice, <lb></lb>non mereatur excusari. </s><s>Hinc factum est, quod me co<lb></lb>hibere non potuerim, quin exiguo hoc opere pertractan<lb></lb>dam assumerem Proportionum doctrinam, cui, veluti fun<lb></lb>damento, universa Geometriae moles innititur. </s><s>Non ignoro <lb></lb>quam magnum, et quam difficile sit apud hominum Na<lb></lb>tiones impetrare, ne Libellus in dicta causa condamne<lb></lb>tur; praecipue tanti nominis, et tantae vetustatis Auctore <lb></lb>in contrarium decertante. </s><s>Sed quicquid tandem futurum <lb></lb>sit, si non aliis, mihi certe satisfaciam, atque illis, si qui <lb></lb>erunt, qui, monitore me, Geometriam addiscere velint. </s><s><lb></lb>Nec me terret lapsus cujusdam scriptoris, qui nostro hoc <lb></lb>saeculo eandem provinciam in feliciter agressus est: quippe <lb></lb>qui existimavit eodem modo se habere quantitates, atque <lb></lb>proportiones, quae ab illis erga aliquam tertiam quanti<lb></lb>tatem proficiscuntur. </s><s>Nam sedulo gratulandum esset Lo<lb></lb>garithmorum computatoribus, si nihil discriminis inter <lb></lb>quantitates, et proportiones intercederet. </s><s>Excusant non <pb pagenum="296"></pb>nulli antiquos, quicumque fuerint, qui in Definitiones Eu<lb></lb>clidis manus iniicere non dubitaverunt, dicentes neminem <lb></lb>teneri ad reddendam rationem Definitionum geometrica<lb></lb>rum: ideo Euclidem (hunc enim brevitatis causa nomina<lb></lb>bimus) potuisse definire proportionalitatem quocumque <lb></lb>modo voluerit: putantque satis esse ad demonstrandum <lb></lb>quatuor magnitudines proportionales, si ostendatur aeque <lb></lb>multiplicia ipsarum eadem habere symptomata, quae in <lb></lb>definitione posita fuerant: et tum demum abunde nobis <lb></lb>consultum esse opinantur, quando docent cavendum, ne <lb></lb>unquam auctori concedamus quatuor magnitudines pro<lb></lb>portionales existere, nisi prius ostenderit magnitudinibus <lb></lb>ipsis, earumque aeque multiplicibus praemissam ab eo <lb></lb>definitionem convenire. </s><s>At, nisi ego fallor, non leviter <lb></lb>falluntur, qui talia jactant. </s><s>Geometra enim in definiendis <lb></lb>illis rebus, quarum conceptus jam aliquo modo apud mul<lb></lb>titudinem praeexistit Liber, et sui juris omnino non est: <lb></lb>sed debet accomodare definitionem suam tali conceptui, <lb></lb>quemadmodum fecit Euclides ipse in definitione circuli, <lb></lb>et in definitione proportionis numerorum, et in aliis quam <lb></lb>plurimis. </s><s>Declarabo dictum exemplo. </s><s>Potuisset Euclides <lb></lb>definire circulum centum modis, ponendo scilicet in defi<lb></lb>nitione quamlibet ex innumeris ipsius circuli passionibus <lb></lb>exempli gratia hoc modo. </s><s>Circulus est figura plana, in qua <lb></lb><emph type="italics"></emph>si duae linae reclas se secuerint quocumque modo, rectan<lb></lb>gula partium semper inter se sint aequalia.<emph.end type="italics"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Inculpabilis tamen talis definitio non fuisset. </s><s>Nam pro <lb></lb>definitione alicujus subjecti in Mathematicis non debemus <lb></lb>perperam usurpare quamcunque affectionem ejusdem su<lb></lb>bjecti; praesertim vero quando ea difficilis intellectu; et <lb></lb>de cujus possibilitate prompta sit, et non injusta dubi<lb></lb>tatio. </s><s>Sed accipienda erit aliqua ex facilioribus, et no<lb></lb>tioribus, atque illa prorsus, quae magis se accomodat <lb></lb>conceptui de ejusmodi subjecto praeexistente, ex qua de<lb></lb>finitione postea, tamquam ex fonte, omnes alias cognatas <lb></lb>passiones ejusdem subjecti, possimus derivare. </s><s>Quis enim <lb></lb>tantae credulitatis sit, adeoque obtusam habeat mentis <lb></lb>aciem, ut non dubitet, an ejusmodi accidens in aliqua <lb></lb>figura possit unquam reperiri? </s><s>Neminem existimo tam <pb pagenum="297"></pb>perspicaci pollere intellectu, ut ipsi statim liqueat, nulla <lb></lb>exhibita demonstratione, an inter infinitas figuras possi<lb></lb>biles ulla possit existere, quae habeat imperatam condi<lb></lb>tionem illam, <emph type="italics"></emph>ut si intra ipsam duae rectae se secuerint <lb></lb>quocumque modo, rectangulum partium unius semper ae<lb></lb>quale sit, sive duplum, sive quadruplum rectanguli partium <lb></lb>alterius.<emph.end type="italics"></emph.end> Sed quid nam obscurius, et justissima dubita<lb></lb>tione dignius concipi unquam potest quam definitio sexta <lb></lb>Libri V Euclidis, ubi supponitur dari posse quatuor ma<lb></lb>gnitudines, quarum aequemultiplicia juxta quamlibet ex <lb></lb>infinitis possibilibus multiplicationibus sumpta, ut ibi ju<lb></lb>betur, semper in excessu, sive defectu, vel aequalitate <lb></lb>conveniant? </s><s>Video ad hanc dubitationem meam in promptu <lb></lb>esse responsionem illam, geometrae definitori incumbere <lb></lb>onus probandi, atque demonstrandi, quod in aliquo su<lb></lb>bijecto reperiatur ea conditio, quam ipse posuit in defini<lb></lb>tione: et hoc quotiescumque ea conditio obscurior fuerit, <lb></lb>neque ex se ipsa statim appareat: quod cum ostenderit <lb></lb>concedendum erit ei subjectum illud esse idem prorsus, <lb></lb>quod antea definiverat. </s><s>Quae quidem responsio nulla est; <lb></lb>accepto enim iterum circuli exemplo, si demonstraverit <lb></lb>geometra aliquam esse figuram, in qua rectae se se<lb></lb>cantes rectangula semper aequalia efficiant, concedemus <lb></lb>figuram illam esse circulum, quoniam ei hoc nomen ipse <lb></lb>imposuerat in definitione; sed hunc circulum semper intel<lb></lb>ligemus secundum suam definitionem, non autem secun<lb></lb>dum conceptum universalem multitudinis: remanebit pro<lb></lb>pterea semper in intellectu justissima quaedam dubitatio, <lb></lb>an hujusmodi circulus hoc modo definitus, ac demonstra<lb></lb>tus idem circulus sit cum illo qui jampridem aliquo sal<lb></lb>tem modo notus erat. </s><s>Itaque nisi et hoc demonstre<lb></lb>tur, nunquam ego concedam figuram eo modo definitam, <lb></lb>quamquam liquido demonstretur in rerum natura reperiri, <lb></lb>lineasque intra ipsam se secantes rectangula aequalia <lb></lb>semper continere, esse illam eamdemque figuram planam, <lb></lb>et rotundam, quam antea sub conceptu et nomine circuli <lb></lb>aliquo modo praenoscebam. </s><s>Dubitabo potius, nisi aliud <lb></lb>praeterea demonstretur illam posse esse aliquam figuram <lb></lb>ovalem oblongam, sinuosam et fortasse angularem. </s><s>Ad <pb pagenum="298"></pb>de quod Euclides, id quod ipse posuerat in sexta defini<lb></lb>tione Libri V, licet obscurissimum, et de quo unusquisque <lb></lb>merito dubitare debet, an possibile sit, numquam tamen <lb></lb>demonstrat, sed statim in quarta propositione usurpat tan<lb></lb>quam certum, et possibile. </s><s>Supponit enim quatuor ma<lb></lb>gnitudines esse proportionales, atque ideo ex definitione <lb></lb>sexta, illarum aeque multiplicia debito modo sumpta juxta <lb></lb>quamlibet ex infinitis multiplicationibus aeternum conve<lb></lb>nire, sive in excessu, sive in defectu, sive in aequalitate. </s><s><lb></lb>In reliquis deinde propositionibus semper supponit aeter<lb></lb>nam illam aequemultiplicium concordiam, de cujus pos<lb></lb>sibilitate dubitamus, non solum possibilem, sed de facto <lb></lb>veram esse in aliquo subjecto nempe suppositis aliquibus <lb></lb>magnitudinibus proportionalibus, deinde veram esse con<lb></lb>cordiam, hanc etiam in aliquo alio subjecto ipse demon<lb></lb>strat, et quidem evidentissime ideoque concludit ex vi <lb></lb>suae definitionis quasdam alias magnitudines, praeter Illas <lb></lb>primas proportionales existere. </s><s>Fingamus Euclidem im<lb></lb>perare statim in prima propositione primi Libri circulum <lb></lb>describi, hoc est figuram illam tali pacto definitam, ut in <lb></lb>ea rectae lineae se secantes rectangula aequalia semper <lb></lb>constituant, de qua veritate, et possibilitate ante demon<lb></lb>strationem maxime dubitandum esset, quisnam adeo se<lb></lb>dati compositique animi fuerit, ut librum ipsum iratus <lb></lb>non proijciat, et ab omni geometria confestim se abdicet? </s><s><lb></lb>In quinto autem Libro statim concedemus tamquam pos<lb></lb>sibilem, veramque aeternam illam aequemultiplicium con<lb></lb>cordiam, de cujus veritate, et possibilitate nemo unquam <lb></lb>acute mentis erit, qui dum in eum locum primo incidit, <lb></lb>summopere non ambigat. </s><s>Praemonet Euclides tunc qua<lb></lb>tuor magnitudines proportionales fore, quando inter ea<lb></lb>rum aequemultiplicia aeternam illam concordiam contin<lb></lb>get reperiri. </s><s>Demus illi concordiam hanc existere posse, <lb></lb>et quidem juxta omnigenam aequemultiplicium multi<lb></lb>plicationem. </s><s>At quis me certum reddit in qua tandem <lb></lb>proportione proportionales futurae sint illae quatuor ma<lb></lb>gnitudines, quas Auctor proportionales vocat? </s><s>Cur nam <lb></lb>in Geometrica, quam in Arithmetica, sive Armonica, sive <lb></lb>in alia quacumque proportionalitate irregulari? </s><s>Rispon- <pb pagenum="299"></pb>debit aliquis in Geometrica proportione erunt, nam hoc <lb></lb>Auctor ipse manifeste praedicit. </s><s>Adeo ne vilis effecta <lb></lb>est Mathematicarum disciplinarum dignitas, ut in scho<lb></lb>lam, vel ipsius geometrarum principis recipiatur pudendum <lb></lb>ignominiosum illud ipse dixit? </s><s>Non me latet quam pluri<lb></lb>mos laborare, ut veritatem sextae illius definitionis per<lb></lb>suadeant experimentis aliquot ab arithmetica desumptis. </s><s><lb></lb>Ostendunt enim, positis quatuor numeris proportionalibus, <lb></lb>aequemultiplices ipsorum juxta praeceptum sumptos sem<lb></lb>per concordes esse in excesso, defectu, aequalitate. </s><s>Quae <lb></lb>quidem experiundi ratio si bona creditur, et demonstra<lb></lb>tionis vim habere censeatur cur non latius promovetur, <lb></lb>et reliqua theoremata quinti Libri pari facilitate, et sim<lb></lb>plicitate per numeros demonstrantur sublata poenitus di<lb></lb>ficillima illa aequemultiplicium doctrina? </s><s>Nesciunt for<lb></lb>tasse isti, sive potius nescire simulant talia numerorum <lb></lb>exempla ad reprobandas quidem propositiones esse idonea, <lb></lb>quando in uno tantum casu non succedunt ex voto. </s><s>At <lb></lb>nunquam posse confirmare licet decies, sive centies, mil<lb></lb>liesque repetito experimento semper feciliter, atque ex <lb></lb>animi penitus sententia evadant. </s><s>Quam severe nobiscum <lb></lb>a natura actum est. </s><s>Ad destruendam enim aliquam as<lb></lb>sertionem nostram, unus tantum casus in contrarium <lb></lb>sufficit, ad confirmandam vero, omnes, hoc est infinitos <lb></lb>consentire necesse est: sed quamquam plurima numero<lb></lb>rum experimenta feliciter tandem succedant, non ne plura <lb></lb>erunt illa quae intentata remanebunt in infinita numero<lb></lb>rum multitudine? </s><s>Removenda igitur esset dubitatio, ne <lb></lb>inter tot omissa experimenta aliquis numerus delitescat, <lb></lb>qui nostram aeque multiplicium concordiam tandem de<lb></lb>struat. </s><s>Porro concedamus disputationis gratia, non plu<lb></lb>rima, sed omnia numerorum experimenta arridere, quidnam <lb></lb>denique censendum erit de magnitudinibus incommensu<lb></lb>rabilibus, quae quidem inter se non possunt habere ratio<lb></lb>nem iliam, quam habet numerus ad numerum? </s><s>Quodnam <lb></lb>inventum machinabimur, ut de illarum etiam aequemul<lb></lb>tiplicibus, aliquod periculum faciamus, quemadmodum fe<lb></lb>cimus de numeris? </s><s>Non desunt qui opinentur quamlibet <lb></lb>in geometria definitionem bonam esse: scilicet existimant <pb pagenum="300"></pb>nihil aliud geometricam definitionem esse praeter no<lb></lb>menclaturam quamdam, et proprie nominis impositionem. </s><s><lb></lb>Non negaverim quasdam vere esse nominis impositiones, <lb></lb>quas geometra fingere potest arbitrio suo. </s><s>Quando au<lb></lb>ctor definitionem hanc dedisset fenestra est cujus pars <lb></lb>nulla est, optimam definitionem, hoc est nominis imposi<lb></lb>tionem dedisse faterer: deinde vero extremitates linearum <lb></lb>fenestras esse libentissime concessissem et quotiescumque <lb></lb>fenestram idem geometra in eodem opere nominavisset. </s><s><lb></lb>numquam intellexissem, illas, quae ad excipiendam lucem <lb></lb>in parietibus domorum, templocumque relinquuntur, sed <lb></lb>rem quandam quae juxta praescriptum in definitione nullas <lb></lb>partes habeat utpote linearum communis aliqua intersectio, <lb></lb>sive extremitas, sive aliquid simile. </s><s>Pari ratione si dica<lb></lb>mus sextam illam definitionem nihil aliud esse praeter <lb></lb>nominis quamdam impositionem, quis non videat omnem <lb></lb>operam perdi, omnemque hujus doctrinae fructus interire? </s><s><lb></lb>Quotiescumque enim imposterum magnitudines proportio<lb></lb>nales, sive proponi, sive demonstrari, sive quocumque alio <lb></lb>modo nominare audiam, numquam alium conceptum de <lb></lb>illis in intellectu constituam praeter illum in definitione <lb></lb>imperatum. </s><s>Nempe proportionalitatem semper interpre<lb></lb>tabor tamquam si diceret magnitudines illas tales esse, <lb></lb>ut earum aeque multiplicia semper habeant prescriptam il<lb></lb>lam concordiae conditionem. </s><s>Coeterum ignorabo poenitus, <lb></lb>quod magis ad rem nostram attinet, nimirum an prima ad <lb></lb>secundam sit ut est tertia ad quartam, hoc est an ratio, <lb></lb>quae inter primam et secundam est, vere, et sine ulla du<lb></lb>bitatione similis sit rationi, quae inter tertiam et quartam <lb></lb>intercedit. </s><s>Credamque proportionales esse ex vi demon<lb></lb>strationis definitionisque quamquam supersit, et merito <lb></lb>quidem suspicio illa, quod prima magnitudo possit esse <lb></lb>dupla secundae, tertia vero tripla quartae, neque enim de<lb></lb>monstratio neque definitio removet hanc suspicionem oc<lb></lb>casionemque dubitandi . Praeterea si tamquam bonam <lb></lb>illam demonstratione definitionem sine admittere debea- <pb pagenum="301"></pb>mus illam definitionem, quae re ipsa theorema est, non <lb></lb>video cur pari rationi admittendae non sint tamquam <lb></lb>definitiones sive axiomata reliquae omnes quinti Libri <lb></lb>propositiones. </s><s>Nullum certe est inter illa theoremata ae<lb></lb>que difficile arduumque intellectu atque illa definitio. </s><s>Ac<lb></lb>cedit insuper alia difficultas non levior priore. </s><s>Non debet <lb></lb>geometra ejusdem subjecti duas simul exhibere defini<lb></lb>tiones, quarum unitas, et concordantia statim apparere <lb></lb>non possit nisi adducta demonstratione. </s><s>Data enim prima <lb></lb>definitione, quaecumque ea sit, si deinde aliam afferat, <lb></lb>quae manifestam non habeat connexionem, atque unita<lb></lb>tem cum priore definitione, secunda haec non erit amplius <lb></lb>definitio, sed statim degenerabit in theorema, quod omnino <lb></lb>sua peculiari demonstratione indigebit. </s><s>Vera definitio pro<lb></lb>portionalitatis habetur apud Euclidem dum inquit proportio <lb></lb>vero est rationum similitudo. </s><s>Quaecumque alia deinceps <lb></lb>de proportionalitate adiiciatur, quae idem aperte non sonet <lb></lb>cum adducta jam definitione, omnino reiicenda erit inter <lb></lb>theoremata, et evidenti demonstratione comprobanda. </s><s>Hoc <lb></lb>equidem factum fuisse jam tum vel ab Euclide, vel ante <lb></lb>ipsum ab aliquo alio geometra crediderim, licet ipsa de<lb></lb>monstratio, quae tum fonte apud Graecos celeberrima erat <lb></lb>ad aetatem nostram non pervenerit. </s><s>Alias enim qua ra<lb></lb>tione excusari posset noster auctor poenitus ignorarem. </s><s><lb></lb>Redolet nescio quid non vulgaris difficultatis etiam defi<lb></lb>nitio majoris proportionis. </s><s>Nam quis me certiorem faciet <lb></lb>magnitudines tunc nequaquam esse proportionales, quando <lb></lb>illarum aeque multiplicia praescriptam illius concordiae <lb></lb>legem non servabunt in omnibus casibus? </s><s>Etenim si videre <lb></lb>aequemultiplicia concordare in mille casibus, facile addu<lb></lb>car ut credam magnitudines illorum esse proportionales, <lb></lb>neglecto, si qui erit, aliquo casu, in quo aequemultiplicia <lb></lb>ab imperata concordia aberrare cognoscantur. </s><s>Discant ex <lb></lb>hac definitione, qui paucis tantum experimentis feliciter <lb></lb>examinatis tentatis facile sibi persuadebant proportionali<lb></lb>tatem inter quatuor magnitudines reperiri, discant, inquam, <lb></lb>non esse fidendum illis quoscumque fuerint examinibus <lb></lb>quandoquidem Euclides ipse nos terret in hac definitione. </s><s><lb></lb>Exclamat enim majorem tunc esse proportionem, hoc est <pb pagenum="302"></pb>magnitudines minime proportionales esse, quotiescumque <lb></lb>earum multiplicia in unico tantum casu a praescripta con<lb></lb>cordia discrepare reperiantur; licet per innumeras casuum <lb></lb>miriades concordare antea reperta fuissent. </s><s>Tandem ut <lb></lb>ad conclusionem accedam, pari facilitate dubitabo magni<lb></lb>tudines non esse proportionales, licet earum aequemulti<lb></lb>plicia imparatam concordiam constantissime servent, et <lb></lb>esse proportionales, licet ab eadem concordia aliquando <lb></lb>recedant. </s><s>Hactenus enarratae sunt difficultates, quae me <lb></lb>ad hoc opus, qualecumque sit, impulerunt. </s></p> <p type="main"> <s>Respondeo nunc ad aliquo objectiones, quibus obnoxium <lb></lb>me non nemo judicare potuisset, si tacite praeterijssem. </s><s><lb></lb>Primum mea methodus neque ipsa caret difficultatibus suis, <lb></lb>nam praeter definitiones habet etiam suppositiones non <lb></lb>paucas, quibus veluti fundamentis molem suam superaeci<lb></lb>ficat. </s><s>Adde etiam quod inter suppositiones accenseo non <lb></lb>nulla, quae Euclides demonstratione indigere judicavit. </s><s>Ab <lb></lb>his breviter me expedio. </s><s>Euclides suppositis difficillimis <lb></lb>principiis faciliosa quaeque demonstravit. </s><s>Ego contra prae<lb></lb>missis facilioribus, notioribusque principiis difficillima quae<lb></lb>que demonstrare conatus sum. </s><s>Nemo certe negabit apud <lb></lb>Euclidem difficiliora esse principia, quam theoremata cui <lb></lb>methodo contrariam poenitus me secutum esse non despero. </s><s><lb></lb>In secunda, et tertia suppositionum mearum, quatuor re <lb></lb>ipsa continentur axiomata. </s><s>Sed nemo non videbit illa ex <lb></lb>aliorum suppositione potuisse demonstrari, nisi tam mani<lb></lb>festa essent, ut simpliciter supponi posse visa fuerint. </s><s>Ar<lb></lb>guet me fortasse aliquis, quod libellum hunc ex magna <lb></lb>parte Proportionibus, et demonstrationibus ex Euclide de<lb></lb>sumptis infarcivi. </s><s>Ad haec non me excuso. </s><s>Utinam opus <lb></lb>ipsum, et quidem integrum conflare potuissem theoremati<lb></lb>bus hinc inde ex Euclide collectis. </s><s>Dolet quod non nihil ex <lb></lb>meo interserere aliquando coactus sum. </s><s>Non enim opus <lb></lb>hoc ab ingenio, sed a necessitate provisum est. </s><s>Quod ad <lb></lb>molem libelli attinet, nemo certe pre nimia magnitudine <lb></lb>illum legere abnuet. </s><s>Numerus propositionum quae scitu <lb></lb>necessariae ad 24 non ascendit: quin etiam ex illis quar<lb></lb>tam fere partem demere potes, non quia praetermittendae <lb></lb>sint, sed quia ex sexto, decimo, undecimo, dodecimoque <pb pagenum="303"></pb>libro exceptae sunt, ideoque cum ad illarum loca perve<lb></lb>neris apud Euclidem; tamquam diu perceptas praeterire <lb></lb>poteris. </s><s>Proemium fortasse, et Appendicem in Libro qui <lb></lb>de Propositionibus agit, si quis cum opere conferat, nullam <lb></lb>servare proportionem videbuntur: delictum hoc excusabi<lb></lb>mus exemplo. </s><s>Non desunt qui hanc ipsam materiam ag<lb></lb>gressuri integrum pene volumen in prolegomenis, nec ae<lb></lb>quali necessitate adacti conscripsere. </s></p> <p type="main"> <s>Indecorum ne videbitur maxima geometriae opera <lb></lb>praemanibus habentem cum elementaribus hisce tyroci<lb></lb>niis in medium prodire. </s><s>Sed jam testatus sum breve hoc <lb></lb>opus egestati me dedisse, et meae, et auditorum meorum, <lb></lb>et volentium. </s><s>Post hac liber de lineis novis non neces<lb></lb>sitati dabitur, sed genio. </s><s>Lineae autem novae vocantur <lb></lb>parabolarum infinitae species hyperbolarumque in infini<lb></lb>tam distantiam abeuntium, spiralium plura genera, cycloi<lb></lb>dales, logarithmicae, atque aliae lineae antiquis poenitus <lb></lb>ignotae. </s></p> <p type="main"> <s>Non deerunt infinitae spatiorum quadraturae; solido<lb></lb>rum rotundorum dimentiones; linearum curvarum tangen<lb></lb>tes, et mensurae planorum, solidorumque centra-gravitatis, <lb></lb>et alia id generis. </s></p> <p type="main"> <s>In Parabolis dabuntur quadraturae omnium quinque <lb></lb>modis. </s><s>Tangentes modis totidem. </s><s>Solida tam circa axem, <lb></lb>quam circa basim, et circa alias lineas, tamquam axes <lb></lb>revoluta, omniumque etiam tam planorum, quam solidorum <lb></lb>parabolicorum centra gravitatis. </s></p> <p type="main"> <s>In Hyperbolis dabuntur planorum quadraturae, solido<lb></lb>rumque dimensiones circa utramque asymptoton revolu<lb></lb>torum, quamquam secundum longitudinem fine omnino <lb></lb>careant planae, solidaeque ab hyperbolis genitae figu<lb></lb>rae. — Quin etiam tangentes ad unum quodque punctum <lb></lb>hyperbolarum ducentur, et quod mirum est demonstra<lb></lb>buntur solida quaedam hyperbolica exiguo cylindro ae<lb></lb>qualia quamquam infinitae latitudinis sint, hoc est super <lb></lb>basi, tum secundum extensionem, cum etiam secundum <lb></lb>quantitatem infinita constituantur. </s></p> <p type="main"> <s>In Spiralibus quando quaecumque radiorum dignitates <lb></lb>fuerint, ut quaecumque dignitates temporum, dabuntur <pb pagenum="304"></pb>quadraturae omnium ad circuli sectorem relatarum. </s><s>Prae<lb></lb>terea tangentes, hoc est quam rationem habeat ad arcum <lb></lb>circuli recta quaedam linea, quae a tangente secatur ar<lb></lb>chimedeo more insuper ostendetur unamquamque lineam <lb></lb>spiralem cuidam lineae parabolicae aequalem. </s></p> <p type="main"> <s>In Spiralibus vero quarum radii temporibus aequalibus <lb></lb>in geometrica ratione procedunt, ostendetur ipsam spira<lb></lb>lem lineam, licet ex infinitis numero revolutionibus con<lb></lb>stet, antequam ad suum centrum perveniat, suae tangenti <lb></lb>aequales esse spatium vero etsi ex infinitis numero revo<lb></lb>lutionibus componatur cuidam triangulo isosceli aequale <lb></lb>demonstrabitur, cujus trianguli lateribus ipsa etiam spi<lb></lb>ralis linea aequalis apparebit. </s></p> <p type="main"> <s>In Logarithmicis vero lineis, quas, et ob unicam asym<lb></lb>ptoton hemi-hyperbolas vocamus, demonstrabimus spatium, <lb></lb>licet in infinitam longitudinem abeat, trianguli tamen a <lb></lb>tangente facti duplum esse. </s><s>At solidum ab eadem figura <lb></lb>genitum, licet sine fine longum, coni tamen ab eodem <lb></lb>tangentis triangulo facti sesquialterum esse. </s><s>Haec, et si<lb></lb>milia ostendemus habita plerumque ratione non solum <lb></lb>de lineis quadratis, cubisque, quemadmodum ab antiquis <lb></lb>factum est, sed etiam de omnibus reliquis algebrae di<lb></lb>gnitatibus. </s></p> <p type="main"> <s>De Cycloidibus lineis nihil addam, cum jam evulga<lb></lb>verim in libellis anno 1644 editii praecipuas earum af<lb></lb>fectiones. </s><s>Praedicta omnia ut plurimum duplici ratione <lb></lb>demonstrantur, hoc est per novam Indivisibilium Geo<lb></lb>metriam, et more veterum. </s><s>De omnibus novis lineis de<lb></lb>finitiones, enunciationesque theorematum fere omnium, <lb></lb>imo etiam demonstrationum aliquam partem tradidi per <lb></lb>manus amicorum in Italia et ultra montes. </s><s>Excipio ta<lb></lb>men parabolarum definitionem quam ego non dedi, sed <lb></lb>ab amicis accepi. </s><s>Prodibit aliquando opus, volente Deo, <lb></lb>jamdiu maturum. </s><s>Interea praestat circa vitra ad usum <lb></lb>telescopij potius laborare, quae ab omnibus Europae par<lb></lb>tibus expetuntur, quam circa theorematum dispositionem, <lb></lb>figurarumque accuratam descriptionem excruciari: peracta <lb></lb>scilicet inventione, quae sola voluptati esse potest. </s><s>Tan<lb></lb>dem supra votum meum erit, si abste Amice Lector, <pb pagenum="305"></pb>tenuissimo huic operi in praesens veniam impetravero. </s><s><lb></lb>Operi de lineis, ut spero, pro humanitate tua non negabis <lb></lb>applausum et fortasse ex parte saltem materiae admira<lb></lb>tionem. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>DEFINITIONES.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>1. Pars est magnitudo magnitudinis, minor majoris, <lb></lb>cum minor metitur majorem. </s></p> <p type="main"> <s>2. Multiplex autem est major minoris, cum minor <lb></lb>metitur majorem. </s></p> <p type="main"> <s>3. Ratio est quaedam duarum magnitudinum ejusdem <lb></lb>generis unius ad alteram secundum quantitatem habitudo. </s></p> <p type="main"> <s>4. Ejusdem generis sunt magnitudines, quae possunt <lb></lb>multiplicatae se se mutuo superare. </s></p> <p type="main"> <s>5. Proportio est rationum similitudo, hoc est: In <lb></lb>eadem ratione magnitudines dicuntur esse prima ad se<lb></lb>cundam et tertia ad quartam, quando ratio primae ad <lb></lb>secundam similis fuerit rationi, quam habet tertia ad <lb></lb>quartam. </s></p> <p type="main"> <s>6. Eamdem autem habentes rationem magnitudines <lb></lb>proportionales vocentur. </s></p> <p type="main"> <s>7. Proportio in tribus paucissimis terminis consistit. </s></p> <p type="main"> <s>8. Cum autem tres magnitudines proportionales fue<lb></lb>rint, prima ad tertiam duplicatam habere rationem dicitur <lb></lb>ejus, quam habet ad secundam. </s><s>At cum quatuor magni<lb></lb>tudines proportionales fuerint in proportione continua, <lb></lb>prima ad quartam triplicatam habere rationem dicitur ejus <lb></lb>quam habet ad secundam. </s></p> <p type="main"> <s>9. Homologae, seu similes ratione magnitudines di<lb></lb>cuntur antecedentes quidem antecedentibus, conseguentes <lb></lb>vero conseguentibus. </s></p> <pb pagenum="306"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>SUPPOSITIONES ET AXIOMATA.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>1. Quae eidem sunt eaedem rationes inter se sunt <lb></lb>eaedem. </s></p> <p type="main"> <s>2. Aequales magnitudines ad eamdem eamdem ha<lb></lb>bent rationem. </s><s>Et magnitudines, quae ad eamdem ma<lb></lb>gnitudinem eamdem habent rationem, sunt aequales. </s></p> <p type="main"> <s>3. Eadem magnitudo ad aequales eamdem habet ra<lb></lb>tionem; et si eadem magnitudo ad duas magnitudines <lb></lb>eamdem habeat rationem, illae sunt aequales inter se. </s></p> <p type="main"> <s>4. Inaequales magnitudines ad aliquam tertiam ma<lb></lb>gnitudinem, supponimus non habere eamdem rationem, <lb></lb>sed diversam. </s><s>Ratio vero majoris magnitudinis ad illam <lb></lb>tertiam magnitudinem, vocatur major quam sit ratio mi<lb></lb>noris ad eamdem: non quia sit major, namque hoc nimis <lb></lb>obscurum esset in proportionihus, sed quia a majore ma<lb></lb>gnitudine procedit . </s></p> <p type="main"> <s>5. Si vero fuerint quatuor magnitudines, et prima <lb></lb>ad secundam supponatur, sive dicatur habere majorem <lb></lb>rationem quam tertia ad quartam, hoc nihil aliud signi<lb></lb>ficat, neque aliud unquam intelligendum est apud aucto<lb></lb>res, nisi primam illam magnitudinem non esse proportio<lb></lb>nalem sed majorem existere, quam esse deberet ad hoc, <lb></lb>ut ipsa sit ad secundam quemadmodum est tertia ad <lb></lb>quartam. </s><s>Diciturque major, non quia major sit, nam hoc <lb></lb>nimis obscurum esset, sed quia procedit a magnitudine <lb></lb>quae major est quam esse deberet. </s></p> <p type="main"> <s>6. Aequales magnitudines quotcumque sint eamdem <lb></lb>habent rationem, quam habent numeri a quibus nume<lb></lb>rantur. </s><s>Exempli gratia: Septem lineae palmares ad qua<lb></lb>tuor lineas palmares eamdem habent rationem quam habet <lb></lb>numerus 7 ad numerum 4. Vel quinque quadrata palmaria <lb></lb>ad novem quadrata palmaria eamdem habent rationem, <lb></lb>quam habet numerus quinque ad numerum novem. </s></p> <pb pagenum="307"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO I.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Propositis duabus magnitudinibus inaequalibus et eju<lb></lb>sdem generis, quarum [Fig. 1] AB sit major, CD vero </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 1].<lb></lb>minor, si ex majore AB aufe<lb></lb>ratur dimidium et rursus ab <lb></lb>ea, quae remanet, dimidium <lb></lb>detrahatur, atque iterum ex <lb></lb>reliqua dimidium, et hoc fiat <lb></lb>semper, relinquetur tandem ex <lb></lb>AB quaedam magnitudo, quae minor erit proposita mi<lb></lb>nori magnitudine CD. </s></p> <p type="main"> <s>Multiplicetur enim minor CD toties, donec aggregatum <lb></lb>CH, hoc est magnitudo composita ex multiplicatione, <lb></lb>major sit quam ipsa AB (hoc fieri potest ex definitione <lb></lb>quarta, cum supponatur magnitudines ejusdem generis). <lb></lb>Tunc ipsa AB secetur bifariam in E, et iterum reliqua <lb></lb>EA secetur bifariam in F, et hoc fiat toties, donec par<lb></lb>tes ipsius AB numero aequales sint partibus ipsius CH. <lb></lb>Jam si ex minore BA auferamus dimidium BE, at ex <lb></lb>majore HC auferamus primam ipsius partem HI, quae vel <lb></lb>dimidium erit totius vel minor quam dimidium, erit reli<lb></lb>qua EA minor quam reliqua IC. Iterum si ex minore EA <lb></lb>auferamus dimidium EF, at ex majore IC auferamus se<lb></lb>cundam ipsius partem IL, quae vel dimidium erit, vel <lb></lb>minus quam dimidium, erit reliqua FA minor quam reli<lb></lb>qua LC. Peracto itaque simili argumento toties quot erunt <lb></lb>partes magnitudinum, deveniemus tandem ad hanc con<lb></lb>clusionem nempe ultimam GA minorem esse quam sit <lb></lb>ultima DC, quod erat propositum. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO II.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si fuerit quodcumque triangulum ABC [Fig. 2], cujus <lb></lb>basis AC secta sit in quotcumque partes inter se aequales, <lb></lb>et ex vertice trianguli ad puncta singula divisionum basis <lb></lb>ducantur rectae lineae, erit totum triangulum divisum <lb></lb>in triangula inter se aequalia. </s><s>Quod constat ex proposi- <pb pagenum="308"></pb>tione 38<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> Primi Libri. </s><s>Dico quamlibet </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 2].<lb></lb>summam horum triangulorum exempli <lb></lb>gratia ABD ad reliquam DBC ita esse <lb></lb>ut basis AD ad basim DC, hoc est <lb></lb>triangula ABD ad triangula DBC eam<lb></lb>dem habere rationem, quam habet recta <lb></lb>AD ad rectam DC. </s></p> <p type="main"> <s>Omnia enim triangula ABD ad <lb></lb>omnia triangula DBC eamdem habent <lb></lb>rationem, quam habet numerus trian<lb></lb>gulorum ABD ad numerum triangulorum DBC. Sed etiam <lb></lb>omnes partes rectae AD ad omnes partes rectae DC eam<lb></lb>dem habent rationem quam numerus partium AD ad nu<lb></lb>merum partium DC, sive quam habet numerus triangulo<lb></lb>rum ABD ad numerum triangulorum DBC (est enim idem <lb></lb>numerus tam partium rectae AC, quam triangulorum ipsis <lb></lb>insistentium). Propterea per primam suppositionem eadem <lb></lb>erit ratio triangulorum ABD ad triangula DBC, atque <lb></lb>ratio rectae AD ad rectam CD. Quod erat propositum. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO III.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Triangula ejusdem altitudinis eamdem habent rationem <lb></lb>quam bases. </s></p> <p type="main"> <s>Sint duo triangula ejusdem </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 3].<lb></lb>altitudinis ABC, CBD [Fig. 3]. </s><s><lb></lb>Dico ita esse triangulum ABC <lb></lb>ad triangulum CBD ut est basis <lb></lb>AC ad CD, hoc est rationem <lb></lb>trianguli ABC ad CBD similem <lb></lb>esse atque prorsus eamdem cum <lb></lb>ratione basis AC ad CD. </s></p> <p type="main"> <s>Nam si possibile est non sit <lb></lb>ita, sed quam rationem habet <lb></lb>triangulum ABC ad triangulum CBD, eamdem concipiamus <lb></lb>habere aliquam aliam rectam lineam EC ad CD sive EC <lb></lb>minor sit sive major quam AC. Secetur CD bifariam, at<lb></lb>que iterum bifariam, et hoc fiat semper, donec remaneat <lb></lb>per primam huius quaedam recta CI minor quam sit AE. <pb pagenum="309"></pb>Tunc dividatur tota CD in partes aequeles ipsi CI, quae <lb></lb>quidem tota absumetur praecise, et recta CA dividatur in <lb></lb>partes aequales eidem CI facto initio ex puncto C, donec <lb></lb>divisio fieri poterit, sive aliqua divisio cadat in A, sive <lb></lb>non. </s><s>Certum est quod aliquod ex punctis divisionum cadet <lb></lb>omnino intra puncta E, A, et cum ipsa CI mensura divi<lb></lb>sionum ex constructione minor sit quam ipsa EA. Cadat <lb></lb>ergo intra puncta E, A aliqua divisio, quae sit L, tum ad <lb></lb>singula divisionum aequalium puncta ducantur rectae ex <lb></lb>puncto. </s></p> <p type="main"> <s>Jam in casu primae figurae quia recta LC major est, <lb></lb>et EC minor non habebunt LC, et EC ex 4. suppos. </s><s>eam<lb></lb>dem utraque rationem ad CD, sed recta LC major erit, <lb></lb>quam esse deberet ad hoc, ut ad CD eamdem habeat ra<lb></lb>tionem, quam habet EC minor ad eamdem CD. Trian<lb></lb>gulum vero LBC ad CBD eamdem habet rationem per <lb></lb>preced. </s><s>quam habet recta LC ad CD, propterea etiam <lb></lb>triangulum CBD majus erit quam esse deberet, ut ad <lb></lb>ipsum habeat eamdem rationem, quam habet recta EC <lb></lb>ad CD, ergo multo magis triangulum ABC majus erit, <lb></lb>quam esse opporteret ad hoc, ut sit ad ipsum CBD que<lb></lb>madmodum est recta EC ad CD, quod est contra suppo<lb></lb>situm. </s></p> <p type="main"> <s>In secunda vero figura </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 4].<lb></lb>[Fig. 4] triangulum LBC ad <lb></lb>CBD non habebit eamdem <lb></lb>rationem ex 4 suppos., quam <lb></lb>habet triangulum ABC minus <lb></lb>ad idem CBD, sed ipsum LBC <lb></lb>majus erit quam esse deberet, <lb></lb>basis vero LC ad CD eam<lb></lb>dem habet rationem per 2<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>huius, quam triangulum LBC <lb></lb>ad CBD; propterea ipsa etiam basis LC erga CD major erit <lb></lb>quam esse deberet ad hoc ut sit quemadmodum est trian<lb></lb>gulum ABC ad CBD. Ergo et recta EC multo major <lb></lb>erit quam esse opporteret ad hoc ut ipsa EC ad CD eam<lb></lb>dem habeat rationem quam triangulum ABC habet ad <lb></lb>CBD, quod est contra suppositum. </s></p> <pb pagenum="310"></pb> <p type="main"> <s>Patet ergo quod triangulum ABC ad CBD est ut basis <lb></lb>AC ad CD, quando quidem demonstravimus, quam ratio<lb></lb>nem habet triangulum ABC ad CBD eamdem nullam aliam <lb></lb>lineam praeter AC posse habere ad CD. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Scholium.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Triangula vero ejusdem altitudinis sunt, sive vertices <lb></lb>habeant ad idem punctum conjunctos et bases in directum, <lb></lb>ut videre est in appositis figuris, sive inter easdem tantum <lb></lb>parallelas sint, sive (quod solum considerandum est) per<lb></lb>pendiculares habeant, quae ex vertice ad bases demittun<lb></lb>tur inter se aequales. </s><s>Omnibus enim his casibus accomo<lb></lb>dari potest nostra demonstratio. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO IV.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si in quocumque triangulo ABC [Fig. 5] fuerit quae<lb></lb>dam recta DE parallela ad unum latus BC, haec parallela <lb></lb>proportionaliter secabit ipsius trianguli latera. </s></p> <p type="main"> <s>Et si latera AB, AC proportionaliter </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 5].<lb></lb>secta sint quae ad sectiones adiuncta <lb></lb>fuerit recta linea DE, erit ad reliquum <lb></lb>latus parallela. </s></p> <p type="main"> <s>Esto primum DE parallela ad BC. <lb></lb>Dico ut AD ad DB ita esse AE ad EC. <lb></lb>Ductis enim rectis DC, BE, erunt trian<lb></lb>gula DBE, DCE aequalia inter se per 37<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>primi cum sint super eadem basi DE, et <lb></lb>inter easdem parallelas. </s><s>Jam basis AD <lb></lb>ad basim DB est ut triangulum AED ad triangulum DEB <lb></lb>(sunt enim ejusdem altitudinis) sive ex 3 suppos. </s><s>ut trian<lb></lb>gulum idem AED ad EDC, sive ut basis AE ad basim EC. <lb></lb>Quod primo propositum fuit. </s></p> <p type="main"> <s>Supponamus nunc latera AB, AC secta esse proportio<lb></lb>naliter, nempe ita esse AD ad DB, ut AE ad EC. Dico <lb></lb>rectam DE parallelam esse lateri BC. Nam triangulum <lb></lb>AED ad triangulum DEB per preced. </s><s>est ut basis AD ad <lb></lb>basim DB sive (per suppositionem) ut AE ad EC, sive <pb pagenum="311"></pb>per preced. </s><s>ut triangulum idem ADE ad triangulum EDC. <lb></lb>Cum itaque idem triangulum DAE eamdem habeat ratio<lb></lb>nem ad duo triangula DEB, EDC aequalia erunt ex 3<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>suppos. </s><s>inter se DEB, EDC, et cum sint super eadem <lb></lb>basi DE et ad easdem partes, erunt etiam per 39<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> primi <lb></lb>inter easdem parallelas. </s><s>Ergo DE et BC sunt parallelae. </s><s><lb></lb>Quod erat propositum. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO V.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si in quocumque triangulo ABC [Fig. 6] angulus qui<lb></lb>libet ABC bifariam secetur a recta BD, dico basim AC <lb></lb>in ratione laterum sectam esse, hoc est </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 6].<lb></lb>segmentum AD ad segmentum DC <lb></lb>eamdem habere rationem, quam habet <lb></lb>latus AB ad BC. </s></p> <p type="main"> <s>Ducatur AI parallela ad BD, quae <lb></lb>conveniet cum CB producta: facit enim <lb></lb>angulor ICA et IAC, sive BDC simul <lb></lb>sumptos minores duobus rectis. </s><s>Con<lb></lb>veniat ergo in I. Erit jam angulus AIB <lb></lb>aequalis angulo DBC externo et op<lb></lb>posito parallelarum: at angulus IAB <lb></lb>aequalis est angulo alterno ADB, ae<lb></lb>quales vero sunt per suppositionem <lb></lb>anguli ABD, DBC, propterea aequales <lb></lb>erunt inter se AIB, IAB, et ideo la<lb></lb>tera IB, AB aequalia. </s><s>Erit ergo AB ad BC ut IB ad BC <lb></lb>propter aequalitatem, sive ut AD ad DC. Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO VI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si quatuor magnitudines proportionales fuerint, et con<lb></lb>vertendo proportionales erunt. </s></p> <p type="main"> <s>Demonstrabimus in hoc, et in quatuor seguentibus theo<lb></lb>rematibus propositionem in lineis tantum, donec in Appen<lb></lb>dice ad finem libelli ostendamus veram esse etiam in aliis <lb></lb>quantitatis generibus. </s></p> <p type="main"> <s>Sint quatuor lineae rectae proportionales AB, BC, AD, <pb pagenum="312"></pb>DE [Fig. 7] nempe quam rationem habet prima AB ad <lb></lb>secundam BC, eamdem habeat tertia AD ad quartam <lb></lb>DE; dico conver</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 7].<lb></lb>tendo eamdem ha<lb></lb>bere rationem CB <lb></lb>ad BA, quam ha<lb></lb>bet ED ad DA. Po<lb></lb>nantur prima cum <lb></lb>secunda in direc<lb></lb>tum, ita ut unam <lb></lb>eamdemque rectam <lb></lb>lineam constituant <lb></lb>ABC. Item tertia cum quarta rectam lineam conficiant <lb></lb>ADE. Tum inclinentur AC et AE, ita ut se tangant in <lb></lb>puncto A, et angulum efficiant quemcumque. </s><s>Ducantur <lb></lb>etiam BD, BE, CD, CE. </s></p> <p type="main"> <s>Jam triangula BCD, DEB cum sint super eadem basi <lb></lb>BD, et inter lineas BD, CE (quae parallelae sunt per se<lb></lb>cundam partem quartae propositionis hujus libri) aequalia <lb></lb>erunt inter se. </s><s>At recta CB ad BA est ut triangulum <lb></lb>CDB ad triangulum BDA, sive ob aequalitatem, ut trian<lb></lb>gulum EBD ad idem DBA sive ut recta ED ad DA. <lb></lb>Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO VII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si divisae magnitudines proportionales fuerint, et com<lb></lb>ponendo proportionales erunt. </s></p> <p type="main"> <s>Sit ut recta [Fig. 7] CB ad BA divisim ita ED ad DA <lb></lb>divisim, dico et component proportionalis esse sive est CA <lb></lb>ad AB, ita esse ut est EA ad AD. </s></p> <p type="main"> <s>Ponantur enim in directum CB, BA item ED, DA, in<lb></lb>clinenturque invicem ad punctum A, et reliquae rectae <lb></lb>lineae ducantur, ut in praecedentis propositionis con<lb></lb>structione imperatum est. </s><s>Erunt ex jam demonstratis duo <lb></lb>triangula BCD, BED aequalia inter se, sumptoque com<lb></lb>muni BDA, aequalia CDA, EBA. Jam recta CA ad AB <lb></lb>erit ut triangulum CDA ad ADB, sive triangulum EBA <lb></lb>ad idem ABD, sive ut recta EA ad AD quod etc. </s></p> <pb pagenum="313"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO VIII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si compositae magnitudines proportionales fuerint, et <lb></lb>dividendo proportionales erunt. </s></p> <p type="main"> <s>Sint compositae magnitudines proportionales quatuor <lb></lb>rectae lineae [Fig. 7] CA, AB, EA, AD, et sit ut CA ad <lb></lb>AB, ita EA ad AD. Dico dividendo ita esse CB ad BA <lb></lb>ut ED ad DA. </s></p> <p type="main"> <s>Inclinatis enim lineis ad angulum A quicumque sit, et <lb></lb>ductis BD, CE, BE, CD erit triangulum CDA ad triangu<lb></lb>lum BDA ut basis CA ad basim AB, sive ut EA ad AD <lb></lb>per suppositionem: sive ut triangulum EBA ad idem <lb></lb>DBA. Aequalia ergo sunt per secundam suppositionem <lb></lb>triangula CDA, EBA, et dempto communi BAD, aequalia <lb></lb>erunt CDB, EBD. His demonstratis, recta CB ad BA est <lb></lb>ut triangulum CDB ad DBA, sive ut aequale EBD ad <lb></lb>idem DBA, sive ut basis ED ad DA. Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO IX.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si quatuor magnitudines proportionales fuerint, et per<lb></lb>mutando proportionales erunt. </s></p> <p type="main"> <s>Sint quatuor rectae lineae proportionales AB, BC, AD, <lb></lb>DE. Nempe ut AB prima ad BC secundam, ita sit AD <lb></lb>tertia ad DE quartam. </s><s>Dico primam AB ad tertiam AD <lb></lb>ita esse ut secunda BC ad quartam DE. Qui modus ar<lb></lb>guendi dicitur permutando. </s></p> <p type="main"> <s>Componantur in directum, deinde inclinentur indicem <lb></lb>ad angulum quem</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 8].<lb></lb>libet, ut videre est <lb></lb>in figura [Fig, 8]. </s><s><lb></lb>Ductis deinde CE, <lb></lb>BD, manifestum est, <lb></lb>ex jam demonstra<lb></lb>tis in quarta hujus, <lb></lb>quod BD, CE paral<lb></lb>lelae erunt. </s><s>Secetur <lb></lb>angulus CAE bitariam a recta AF, et ex F demittantur <pb pagenum="314"></pb>FH, FI perpendiculares ad AC, AE, ducanturque FC, FE. <lb></lb>Patet primo perpendiculares FH, FI aequales esse per 26<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>primi. </s><s>Nam in triangulis FAH, FAI anguli ad A sunt <lb></lb>aequales per constructionem, et ad H, et ad I recti, la<lb></lb>tusque AF commune. </s></p> <p type="main"> <s>Jam recta BA ad AD erit ut BF ad FD, sive ut trian<lb></lb>gulum BCF ad FED, sive ut BC ad DE. Quod erat <lb></lb>propositum. </s></p> <p type="main"> <s>Triangula enim FCB, FED cum habeant aequales alti<lb></lb>tudines FH, FI inter se sunt ut bases BC, DE. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO X.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si fuerint quotcumque magnitudines, et aliae ipsis ae<lb></lb>quales numero, quae binae in eadem ratione sumantur, et <lb></lb>ex aequo in eadem ratione erunt. </s></p> <p type="main"> <s>Sint quotcumque magnitudines A, B, C, H, et aliae <lb></lb>ipsis aequales numero D, E, F, I, quae in eadem ratione <lb></lb>sint, si binae sumantur, nempe ut A ad B ita sit D ad E, <lb></lb>et iterum ut B ad C, ita sit E ad F, et hoc modo proce<lb></lb>datur semper. </s><s>Dico ex equo ita esse primam A ad ulti<lb></lb>mam H, uti est prima D ad ultimam I. Qui modus ar<lb></lb>guendi dicitur ex aequo. </s></p> <p type="main"> <s>Cum enim sit ut A ad B, ita D ad E, erit permutando <lb></lb>A ad D, ut B ad E. Amplius quia est ut B ad C, ita <lb></lb>E ad F, et permutando erit ut B ad E, ita C ad F. Et <lb></lb>quia tam ratio A ad D, quam etiam ratio C ad F con<lb></lb>venit, atque eadem est cum ratione B ad E, erit ratio A <lb></lb>ad D eadem cum ratione C ad F. Ergo permutando erit <lb></lb>ut A ad C, ita D ad F. Quod primo erat ostendendum. </s></p> <p type="main"> <s>Si vero fuerint plures quam tres magnitudines ulterius <lb></lb>procedemus usque in infinitim summa facilitate hoc modo. </s><s><lb></lb>Quia A ad C est ut D ad F per jam demonstrata, et C <lb></lb>ad H est ut F ad I per suppositionem. </s><s>Erit ex aequo <lb></lb>(uti supra demonstratum est in tribus magnitudinibus) ut <lb></lb>A ad H, ita D ad I. Quod etc. </s></p> <pb pagenum="315"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Admonitio.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Praecedentes quinque propositiones demonstravimus <lb></lb>huc usque in solis lineis. </s><s>Superest nunc ut eas demon<lb></lb>stremus universaliter veras esse etiam in omni alio ge<lb></lb>nere quantitatis. </s><s>Exequemur hoc ad finem libelli in Ap<lb></lb>pendice, quam addituri sumus. </s><s>Quae quidem Appendix <lb></lb>multo justius hoc prorsus loco apponenda erat, quando <lb></lb>quidem sequentes propositiones et proponuntur, et demon<lb></lb>strantur in quocumque genere quantitatis, sed quia longior <lb></lb>evasit, quam quae inter propositiones mereatur interponi; <lb></lb>non immerito in eum locum rejecta est. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si fuerint tres magnitudines, aliaeque ipsis aequales <lb></lb>numero, quae binae in eadem ratione sumantur, fuerit <lb></lb>autem perturbata earum proportio, ex aequalitate in ea<lb></lb>dem ratione erunt. </s></p> <p type="main"> <s>Sint tres magnitudines A, B, C, atque aliae tres D, E, <lb></lb>F, quae binae in eadem ratione sumantur, sed perturbata <lb></lb>sit eorum proportio, nempe ut A ad B, ita sit E ad F et <lb></lb>ut B ad C ita sit D ad E. Dico ex aequalitate pertur<lb></lb>bata esse A ad C, ut est D ad F. </s></p> <p type="main"> <s>Concipiamus esse ut B ad C, sive ut D ad E (est enim <lb></lb>per suppositionem eadem ratio B ad C, atque D ad E) <lb></lb>ita F ad aliam magnitudines I. Eruntque D, E, F, I, qua<lb></lb>tuor magnitudines proportionales. </s></p> <p type="main"> <s>Jam quia est ut A ad B, ita E ad F per suppositio<lb></lb>nem, et ut B ad C, ita F ad I (hoc enim a nobis impe<lb></lb>ratum est), erit ex aequo A ad C ut E ad I. Sed cum D, <lb></lb>E, et F, I sint quatuor magnitudines proportionales, erit <lb></lb>permutando D ad F ut E ad I. Sed etiam A ad C erat <lb></lb>ut E ad I. Ergo eadem est ratio A ad C, atque D ad F, <lb></lb>cum utraque conveniat cum ratione E ad I. Quod etc. </s></p> <pb pagenum="316"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si compositae magnitudines proportionales fuerint et <lb></lb>per conversionem rationis proportionales erunt. </s></p> <p type="main"> <s>Sint compositae magnitudines </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 9].<lb></lb>proportionales, nempe [Fig. 9] ut <lb></lb>AB ad BE, ita sit CD ad DF. <lb></lb>Dico per conversionem rationis <lb></lb>ita esse DA ad AE, ut est DC <lb></lb>ad CF. </s></p> <p type="main"> <s>Nam quia est ut AB ad BE ita CD ad DF per suppo<lb></lb>sitionem erit dividendo AE ad EB, ut CF ad FD, et con<lb></lb>vertendo erit BE ad EA ut DF ad FC, et componendo <lb></lb>erit BA ad AE ut DC ad CF. Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XIII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si fuerit ut totum ad totum, ita ablatum ad ablatum, <lb></lb>et reliquum ad reliquum, erit ut erat totum ad totum. </s></p> <p type="main"> <s>Sit ut totum [Fig. 10] AB ad </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 10].<lb></lb>totum CD, ita ablatum BE ad <lb></lb>ablatum DF. Dico reliquum AE <lb></lb>ad reliquum CF, ita esse ut erat <lb></lb>totum ad totum, sive (quod idem <lb></lb>est ex suppositione) ut erat abla<lb></lb>tum ad ablatum. </s><s>Nam cum AB ad CD sit ut BE ad DF <lb></lb>per suppositionem, erit permutando AB ad BE ut CD ad <lb></lb>DF, et dividendo AE ad EB ut CF ad FD, iterumque <lb></lb>permutando AE ad CF, ut EB ad FD. Patet ergo, quod <lb></lb>reliqua AE ad reliquam CF ita est ut erat ablata EB ad <lb></lb>ablatam FD, sive ut totum AE ad totum CD. Quod. </s><s>etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XIV.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Partes cum pariter multiplicibus in eadem sunt ratione, <lb></lb>si, prout sibi mutuo respondent, ita sumantur. </s></p> <p type="main"> <s>Sint partes A, B, et earum aeque multiplices sint C, D, <lb></lb>dico partem A ad partem B ita esse ut est multiplex C <pb pagenum="317"></pb>ad aequemultiplicem D. Nam cum per suppositionem tam <lb></lb>multiplex sit C ipsius A, quam D pisius B, erit ut C ad A, <lb></lb>ita D ad B, et permutando ut C ad D, ita erit pars A ad <lb></lb>partem B. Quod etc. . </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XV.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si sint magnitudines quotcumque proportionales, que<lb></lb>madmodum se habuerit una antecedentium ad unam con<lb></lb>seguentium, ita se habebunt omnes simul antecedentes ad <lb></lb>omnes consequentes simul. </s></p> <p type="main"> <s>Sint magnitudines quotcumque A, C, E proportionales <lb></lb>totidem magnitudinibus B, D, F. Nempe ut A ad B ita <lb></lb>sit C ad D, et ita E ad F etc. </s><s>Dico omnes simul antece<lb></lb>dentes A, C, E ad omnes consequentes simul B, D, F ita <lb></lb>esse ut una antecedentium magnitudinum ad unam con<lb></lb>sequentium exempli gratia ut E ad F. Quoniam per sup<lb></lb>positionem ut A ad B, ita C ad D, erit permutando ut <lb></lb>A ad C, ita B ad D, et componendo ut A, C simul ad <lb></lb>C, ita B, D simul ad D, et permutando ut A, C simul <lb></lb>ad B, D simul ita C ad D, sive ita E ad F. Ulterius <lb></lb>quia A, C simul ad B, D simul sunt ut E ad F erit per- <pb pagenum="318"></pb>mutando ut A, C simul ad E, ita B, D simul ad F, et com<lb></lb>ponendo A, C, E simul ad E ut B, D, F simul ad F, et <lb></lb>permutando A, C, E ad B, D, F ut E ad F. Quod etc. </s><s><lb></lb>Hoc modo procedere possumus usque in infinitum. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XVI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Eadem, ad minorem, majorem habet rationem, quam ad <lb></lb>majorem. </s></p> <p type="main"> <s>Esto magnitudo quaelibet A, quae rationem habeat ad <lb></lb>magnitudines B, C, sit autem B minor, et C major. </s><s>Dico A <lb></lb>ad minorem B habere majorem rationem quam ad C. </s></p> <p type="main"> <s>Supponamus enim aliquam aliam magnitudinem D, quae <lb></lb>habeat ad A eamdem rationem, quam habet B ad C, et <lb></lb>quia B ponitur minor quam C erit etiam D minor quam <lb></lb>sit A. Jam permutando D ad B eamdem habebit ratio<lb></lb>nem, quam habet A ad C. Ergo ratio A ad B, quae major <lb></lb>vocatur ratione D ad B major vocabitur etiam ratione A <lb></lb>ad C. Ostendimus ergo magnitudinem A ad ipsam B non <lb></lb>habere eamdem rationem quam habet ad C, sed diversam, <lb></lb>atque illam prorsus, quam in suppositione quarta posuimus <lb></lb>esse, sive potius dici majorem. </s><s>Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XVII ET XVIII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Pro 17 et 18 propositione vide propositiones 24 et 25 <lb></lb>lihri quinti Euclidis, ibique finem facito libelli Proportio<lb></lb>num. </s><s>Quamquam enim apud aliquot numerus Propositio<lb></lb>num usque ad 34 asendat Euclidis tamen illae non sunt <lb></lb>sed ab alijs additae: propterea omitti poterunt a tironibus <lb></lb>ad elementa tantum necessariae propesantibus. </s></p> <p type="main"> <s>Ceterum quis ultimae Propositio 6<emph type="sup"></emph>ti<emph.end type="sup"></emph.end> libri non parum <lb></lb>retardare posset incipientes siquidem equemultiplicia de<lb></lb>monstratur eam hic addere placet libello nostro eamque <lb></lb>reducere ad methodum quae uti sumus in 3<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> propositionis <lb></lb>demonstratione. </s></p> <pb pagenum="319"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="bold"></emph>APPENDIX.<emph.end type="bold"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Demonstravimus uc usque ex propositionibus Libri <lb></lb>quinti eas omnes, quas scitu necessarias judicavimus. </s><s>Re<lb></lb>liquas ad aeque multiplicia spectantes, licet Euclidis sint <lb></lb>praetermissimus, lemmata enim sunt ipsi quidem neces<lb></lb>saria, at apud nos supervacua. </s><s>Sed jam tempus exigit ut <lb></lb>ostendamus in aliquibus tantum exemplis quomodo ea, <lb></lb>quae de solis lineis demonstravimus ad superficies etiam <lb></lb>et ad solida propagari possint: et hoc in gratiam eorum, <lb></lb>qui cum proportionum accidentia circa lineas demonstrata <lb></lb>viderint dubitare adhuc poterunt, an ea vera sint etiam <lb></lb>in superficiebus, in solidis, in temporibns, et in omni alio <lb></lb>genere quantitatis. </s><s>Mihi autem, ut vera fateatur, abunde <lb></lb>satisfactum est cum accidentio duplicitatis, sive quadru<lb></lb>plicitatis, sive cujuscumque alterius rationis etiam ineffa<lb></lb>bilis in uno tantum quantitatis genere demonstrata sint. </s><s><lb></lb>Proportio enim exempli gratia dupla, sive sesquialtera, <lb></lb>idem ens est tam in lineis, quam in superficiebus, quam <lb></lb>in corporibus, propterea quicquid de dupla, sive sesquial<lb></lb>tera proportione demonstratum fuerit in lineis, conver<lb></lb>tendo, sive permutando, sive componendo verum semper <lb></lb>erit de eadem proportione etiam in quocumque alio genere <lb></lb>quantitatis. </s><s>Sed omissa persuasione apud geometras illicita <lb></lb>veniamus ad demonstrationes, quas conscribere profiteor <lb></lb>potius ad aliquem in geometria provectum, quam pro ty<lb></lb>ronibus inexpertis, praecipue si quis praeceptore careat. </s><s><lb></lb>Melius enim sibi consulet quisquis in hac disciplina inci<lb></lb>piens est, si ad ulteriora pergat, percepta tantum particu<lb></lb>lari demonstratione, quam retenta universali ignorantia: <lb></lb>particularem autem demonstrationem fortasse habebit per<lb></lb>lectis, quae hactenus tradidimus in hoc libello, universalem <lb></lb>vero ignorantiam retinebit, nec eam nisi post longum tem<lb></lb>poris spatium excutiet, teste Galilaeo, atque allia doctis<lb></lb>simis, viris, quicumque per solitam aequemultiplicium de<lb></lb>finitionem transire maluerit. </s></p> <pb pagenum="320"></pb> <p type="main"> <s>Demonstremus in primis modum illum arguendi, qui <lb></lb>dicitur convertendo, verum esse etiam in magnitudinibus <lb></lb>diversi generis. </s></p> <p type="main"> <s>Esto recta A ad B ut superficies C ad D. Dico con<lb></lb>vertendo rectam B ad A ita esse ut spperficies D ad C. <lb></lb>Concipiamus [Fig. 11] duo trian</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 11].<lb></lb>gula EIG, GIL ejusdem altitudi<lb></lb>nis inter se, quorum primum EIG <lb></lb>aequale sit spatio C. Secundum <lb></lb>vero GIL aequale sit spatio D. <lb></lb>Jam recta A ad B per supposi<lb></lb>tionem est ut spatium C ad D, <lb></lb>sive ob aequalitatem ut triangu<lb></lb>lum EIG ad GIL, hoc est ut basis <lb></lb>EG ad GL; ergo convertendo in <lb></lb>lineis recta B ad A erit procul dubio ut recta LG ad GE, <lb></lb>sive ut triangulum LIG ad GIE, nempe ut spatium D <lb></lb>ad C ob aequalitatem. </s><s>Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s>Neque vero quis me arguat quod in superiori, vel in <lb></lb>aliqua ex sequentibus constructionibus conceperim, et ve<lb></lb>lut facta supposuerum duo triangula aeque alta, et qui<lb></lb>buscumque datis figuris aequalis. </s><s>Nam is parum se geo<lb></lb>metram ostenderet. </s><s>Certum enim est in demonstratione <lb></lb>theorematum nos supponere posse tamquam factum quic<lb></lb>quid manifesto constat fieri posse, licet a nemine unquam <lb></lb>factum fuerit. </s></p> <p type="main"> <s>In problematibus vero aliter se res habet. </s></p> <p type="main"> <s>Ostendatur nunc modus ille qui dicitur componendo. </s><s><lb></lb>Sit in praecedentis domonstrationis figura ut recta A ad <lb></lb>B divisim, ita spatium C ad D. Dico componendo A et B <lb></lb>simul ad B ita esse ut C et D simul ad D. Peracta enim <lb></lb>eadem constructione, quae in praecedenti imperata est, <lb></lb>erit componendo in lineis ut A et B simul ad B, ita bases <lb></lb>EG, GL simul ad LG, sive ut triangulum EIL ad GIL. <lb></lb>Nempe ut duo simul spatia C ad D. Quod erat propositum. </s></p> <p type="main"> <s>Si vero quatuor datae magnitudines superficies fuerint, <lb></lb>hoc modo demonstrationem instituemus, quod non solum <lb></lb>pro sequentibus, sed etiam pro duabus praecedentibus de<lb></lb>monstrationibus monitum et exempli causa productum ve- <pb pagenum="321"></pb>lim proponatur demonstrandus modus ille, qui dicitur di<lb></lb>videndo. </s><s>Sit utrumque simul spatium A et B ad B, ita <lb></lb>utrunque simul spatium C et D ad D. Dico ita esse divi<lb></lb>dendo A ad B ut C ad D. Concipiantur quatuor triangula <lb></lb>ejusdem altitudinis EFH, HFI, LMN, NMO [Fig. 12]; quo<lb></lb>rum primum aequale </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 12].<lb></lb>sit spatio A, secun<lb></lb>dum vero spatio B, <lb></lb>tertium spatio C <lb></lb>quartum spatio D. <lb></lb>Jam basis EI ad IH <lb></lb>est ut triangulum <lb></lb>EFI ad triangulum <lb></lb>HFI, nempe ut spa<lb></lb>tia A et B simul ad B, sive ut C et D simul ad D, vel <lb></lb>ut triangulum LMO ad triangulum NMO, nempe ut basis <lb></lb>LO ad ON. Propterea dividendo in lineis erit ut EH ad <lb></lb>HI, ita LN ad NO, et ideo triangulum EFH ad triangu<lb></lb>lum HFI erit ut triangulum LMN ad triangulum NMO, <lb></lb>nempe spatium A ad B, ut spatium C ad D. Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s>Permutata ratio non cadit nisi inter magnitudines ejus<lb></lb>dem generis. </s><s>In lineis jam demonstrata est. </s><s>Demonstre<lb></lb>mus eam et in superficiebus. </s><s>Ponemus repetita praecedenti <lb></lb>figura esse, ut spatium A ad B, ita C ad D. Dico permu<lb></lb>tando ita esse A ad C, ut est B ad D. Peracta enim si<lb></lb>mili constructione recta EH ad HI est ut triangulum EFH <lb></lb>ad HFI; nempe ut spatium A ad B, sive ut spatium C <lb></lb>ad D, nempe ut triangulum LMN ad NMO, hoc est ut <lb></lb>recta LN ad NO. Ergo permutando in lineis recta EH <lb></lb>ad LN erit ut HI ad NO. Propterea triangulum EFH ad <lb></lb>LMN erit ut triangulum HFI ad NMO, et ideo spatium A <lb></lb>ad C erit ut spatium B ad D. Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s>Pauca haec exempla satis esse deberent ad confirman<lb></lb>dam nostram doctrinam etiam in superficiebus, nam sem<lb></lb>per eadem regula est, nempe ut pro spatiis datis conside<lb></lb>remus totidem triangula ejusdem inter se altitudinis, et <lb></lb>datis spatiis aequalia, quemadmodum in praecedentibus a <lb></lb>nobis factum est. </s><s>Attamen afferamus adhuc unicum hoc <lb></lb>exemplum ilius modi, qui dicitur ex aequo. </s></p> <pb pagenum="322"></pb> <p type="main"> <s>Sint lineae A, B, C, in eadem proportione, si binae <lb></lb>sumantur cum spatiis D, E, F. Dico ex aequo ita esse <lb></lb>lineam A ad C ut est spatium D ad F. </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 13].<lb></lb>Concipiantur triangula ejusdem altitudi<lb></lb>nis quorum primum [Fig. 13] HIL aequale <lb></lb>sit primo spatio D, secundum vero LIM <lb></lb>secundo spatio E, et tertium tertio. </s><s>Jam <lb></lb>recta A ad B per suppositionem est ut <lb></lb>spatium D ad E nempe ut triangulum <lb></lb>HIL ad LIM, sive ut basis HI ad IM; <lb></lb>ulterius recta vero B ad C per supposi<lb></lb>tionem, est ut spatium E ad F, sive ut <lb></lb>triangulum LIM ad MIO, nempe ut recta LM ad MO; <lb></lb>ergo ex aequo in lineis erit A ad C ut HL ad MO, hoc <lb></lb>est A ad C ut triangulum HIL ad MIO, sive ut spatium D <lb></lb>ad F. Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s>Si vero utrimque data fuerint spatia in quocumque ex <lb></lb>productis exemplis, utrimque pro datis spatiis concipienda <lb></lb>erunt totidem triangula ejusdem inter se altitudinis, eo<lb></lb>demque modo procedendum juxta jam allata demonstra<lb></lb>tionum exempla. </s></p> <p type="main"> <s>At si quis nondum acquiescat, jubeatque sibi demon<lb></lb>strari praemissa theoremata etiam quando in rationum <lb></lb>terminis inveniant corpora, tunc eadem prorsus servata <lb></lb>methodo in demonstrationibus alium medium usurpabi<lb></lb>mus. </s><s>Repetenda erit propositio tertia hujus libelli, atque <lb></lb>ea universaliori quadam ratione proponenda et demon<lb></lb>stranda, ita ut corpora ipsa comprehendat. </s><s>Nos eam hic <lb></lb>subjiciebimus hoc modo. </s></p> <p type="main"> <s>Cylindri sive parallelepipeda ejusdem basis inter se sunt <lb></lb>ut altitudines. </s><s>Esto cylindrus AB sectus plano CD oppositis <lb></lb>basibus parallelo, et erunt cylindri AC, CE ejusdem basis. </s><s><lb></lb>Dico cylindrum AC ad CE esse ut altitudo AD ad DE. <lb></lb>Quicquid autem de solo cylindro brevitatis causa dicetur, <lb></lb>intelligatur etiam de parallelepipedo. </s><s>Nisi enim sit ita con<lb></lb>cipiamus, si possibile est, ut cylindrus AC ad CE ita esse <lb></lb>aliquam aliam rectam lineam ID ad DE, sive ID sit major, <lb></lb>sive minor quam ipsa AD. Tunc secetur bifariam DE, <lb></lb>iterumque bifariam atque hoc fiat semper donec remaneat <pb pagenum="323"></pb>quaedam recta DL minor quam AE. Deinde tota DE se<lb></lb>cetur in partes ipsi DL aequales, quod fieri poterit sine <lb></lb>dubio, et tota DE praecise absumetur. </s><s>Item recta DA di<lb></lb>stribuatur, donec fieri poterit, in partes ipsi DL aequales <lb></lb>initio facto ex puncto D, sive aliqua divisio cadat in I, <lb></lb>vel in A, sive non. </s><s>Certum tamen est aliquam divisionem <lb></lb>omnino casuram esse inter punta A et I, quandoquidem <lb></lb>recta metiens DL minor est quam AI. Cadat igitur inter <lb></lb>A et I punctum divisionis O, tum per singula divisionum <lb></lb>aequalium puncta intelligantur producta plana cylindrum <lb></lb>secantia et oppositis basibus parallela, quae quidem cylin<lb></lb>drum OB in particulas inter se aequales divident. </s></p> <p type="main"> <s>Jam in prima figura [Fig. 14] recta </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 14].<lb></lb>OD ad DE non habet eamdem ratio<lb></lb>nem, quam habet ID minor ad eamdem <lb></lb>DE, sed OD major est quam esse de<lb></lb>beret. </s><s>Omnes autem cylindri OC ad <lb></lb>omnes CE sunt ut recta OD ad DE <lb></lb>(quod probatur ex prima et sexta sup<lb></lb>positione ut in secunda propositione <lb></lb>hujus libelli de triangulis factum est) <lb></lb>ergo et omnes cylindri OC ad omnes <lb></lb>CE non habent rationem, quam habet <lb></lb>ID ad DE, sed majores sunt quam esse deberent. </s><s>Ergo <lb></lb>multo magis cylindrus AC major erit, quam esse deberet, <lb></lb>ut ad CE eamdem habeat rationem quam habet recta ID <lb></lb>ad DE. Quod est contra suppositum. </s></p> <p type="main"> <s>In secunda vero figura cylindrus OC ad CE non est ut <lb></lb>cylindrus minor AC ad eumdem CE, sed major est quam <lb></lb>esse debeet. </s><s>Recta vero OD ad DE est ut cylindrus OC <lb></lb>ad CE (quod colligitur ex prima et sexta suppositione, uti <lb></lb>mox monebamus), ergo etiam recta OD versus DE major <lb></lb>erit quam esse deberet, et multo magis recta ID ergo <lb></lb>eamdem DI major erit quam esse opporteret, ut ad illam <lb></lb>eamdem habeat rationem quam habet cylindrus AC ad <lb></lb>CE. Quod est contra suppositum. </s></p> <p type="main"> <s>Patet ergo quod cylindrus AC ad CE est ut recta AD <lb></lb>ad DE quamdoquidem demonstravimus quam rationem <lb></lb>habet cylindrus AC ad CE, eamdem nullam aliam lineam <pb pagenum="324"></pb>praeter AD posse habere ad DE. Atque haec conclusa sint <lb></lb>etiam de parallelepipedo quamquam brevitatis causa so<lb></lb>lum cylindrum nominavimus. </s><s>Demonstravimus ergo absque <lb></lb>multiplicium ope duas Euclidis propositiones nempe 25<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> un<lb></lb>decimi et 13<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> duodecimi. </s></p> <p type="main"> <s>His praemonstratis proponatur confirmandus aliquis ar<lb></lb>guendi modus exempli gratia qui dicitur dividendo, etiam <lb></lb>in eo casu quando inter terminos datae proportionis nu<lb></lb>merabuntur corpora. </s></p> <p type="main"> <s>Esto ut recta AB ad BC, ita duo solida D et E simul <lb></lb>ad E. Dico dividendo ita esse rectam AC ad CB ut soli<lb></lb>dum D ad E. Concipiatur aliquis cylindrus FH aequalis <lb></lb>utrique solido D et E, simul sumptis, sectusque intelli<lb></lb>gatur plano OL oppositis basibus parallelo, ita ut cylin<lb></lb>drus FL aequalis sit solido D. Manifestum est, quod reli<lb></lb>quus cylindrus OH omnino aequalis erit reliquo solido E. <lb></lb>Jam recta AB ad BC est per suppositionem, ut solida D <lb></lb>et E simul ad E, sive ut cylindrus FH ad HO ob aequali<lb></lb>tatem nempe ut altitudo FI ad IO. Ergo dividendo in <lb></lb>lineis erit AC ad CB, ut FO ad OI, sive ut cylindrus FL <lb></lb>ad OH, nempe ut solidum D ad solidum E. Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s>Satis jam constare arbitror nostram methodum, qua <lb></lb>demonstravimus doctrinam proportionum, non solum in <lb></lb>lineis, quemadmodum illam determinare videbantur quin<lb></lb>que ex nostris propositionibus, verum etiam in superficie<lb></lb>bus corporibusque solidam, et inconcussam permanere. </s><s>At <lb></lb>ne quis forte suspicetur, an praedicta methodus praeter <lb></lb>lineas, superficies et corpora ulterius adhuc extendi possit, <lb></lb>libet unicum exemplum afferre pro omnibus, ut appareat <lb></lb>quomodo deletis funditus aeque multiplicibus alia quoque <lb></lb>quantitatis genera ad nostram demonstrandi rationem re<lb></lb>vocare possimus. </s></p> <p type="main"> <s>Proponamus demonstrandum nobis primum theorema <lb></lb>Libri de Lineis spiralibus apud Archimedem quod idem <lb></lb>est , eamdem que demonstrationem habet cum primo <pb pagenum="325"></pb>theoremate de motu locali aequabili apud Galilaeum : <lb></lb>utrumque enim per solitam aequemultiplicium definitio<lb></lb>nem ostenditur. </s></p> <p type="main"> <s>Si punctum aliquod aequali semper velocitate super <lb></lb>aliqua recta linea AB feratur, duasque ipsius portiones <lb></lb>[Fig. 15] AC, CB permeaverit. </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 15].<lb></lb>Dico portionem AC ad CB eam<lb></lb>dem habere rationem, quam ha<lb></lb>bent tempora ipsa, quibus pun<lb></lb>ctum portiones permeavit. </s></p> <p type="main"> <s>Ponantur DE, EF tempora, <lb></lb>quibus punctum permeavit rectas AC, CB. Nempe DE sup<lb></lb>ponatur tempus recta AC, ipsum vero EF tempus rectae <lb></lb>CB. Ostendendum est rectam AC ad rectam CB esse ut <lb></lb>tempus DE ad tempus EF. </s></p> <p type="main"> <s>Nisi enim sit ita, concipiamus, si possibile est, ut tempus <lb></lb>DE ad EF, ita esse aliquam aliam lineam IC ad eamdem <lb></lb>CB, et erit omnino ipsa IC vel minor, vel major quam AC. </s></p> <p type="main"> <s>Secetur CB bifariam, iterumque bifariam, et hoc fiat <lb></lb>semper donec remaneat quaedam CG minor quam AI, di<lb></lb>vidaturque tota CB in partes aequales ipsi CG; quae qui<lb></lb>dem tota absumetur praecise. </s><s>Item distribuatur et ipsa <lb></lb>CA in partes aequales eidem CG initio facto ex C, et <lb></lb>continuata divisione quousque fieri poterit. </s><s>Certum est <lb></lb>aliquam divisionem casuram esse inter puncta A et I, <lb></lb>quandoquidem recta CG metiens minor facta est quam <lb></lb>AI. Cadat itaque inter A et I divisio L, et quoniam rectae <lb></lb>AC tempus est ipsum DE erit rectae LC, quae minor est <lb></lb>tempus minus quam DE. Esto igitur rectae LC tempus <lb></lb>OE, tunc secetur tempus OE in totidem partes aequales, <lb></lb>in quot aequales partes divisa est recta LC et tempus EF <lb></lb>in totidem partes aequales in quot divisa est recta CB, <lb></lb>eruntque singulae partes temporis OE tempora singularum <lb></lb>partium aequalium rectae LC, CB. Idemque dictum sit de <lb></lb>partibus temporis EF, et rectae CB. Cum autem omnes <lb></lb>partes rectarum LC, CB omnifarium sumptae inter se ae- <pb pagenum="326"></pb>quales sint per costrutionem, erunt etiam omnes partes <lb></lb>temporum OE, EF inter se aequales, ob suppositionem, <lb></lb>aequalis semper velocitatis, sive motus aequabilis. </s></p> <p type="main"> <s>Jam recta LC ad CB non est, ut recta minor IC ad <lb></lb>eamdem CB, sed ipsa LC major erat quam esse opporte<lb></lb>ret. </s><s>Ut autem recta LC ad CB, ita tempus OE ad EF <lb></lb>(quod infertur ex prima et sexta suppositione hujus). Ergo <lb></lb>etiam tempus OE major est quam esse opporteret quam<lb></lb>obrem tempus DE multo majus est quam esse deberet, ut <lb></lb>ad EF eamdem habeat rationem quam habet recta IC <lb></lb>ad CB. Quod est contra suppositum. </s></p> <p type="main"> <s>Quando vero [Fig. 16] IC major fuerit quam AC pe<lb></lb>racta eadem constructione aliqua divisio cadet intra I, <lb></lb>et A, quae sit L. Eritque tempus </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 16].<lb></lb>rectae LC majus quam sit tem<lb></lb>pus rectae AC, nempe majus <lb></lb>quam sit tempus DE. Esto igitur <lb></lb>OE tempus rectae LC. Dividantur tempora OE, EF in to<lb></lb>tidem partes aequales in quot aequales partes sectae erunt <lb></lb>rectae LC, CB, quae quidem temporum particulae omnes <lb></lb>aequales erunt inter se, ut in praecedenti dictum est. </s></p> <p type="main"> <s>Jam tempus OE ad tempus EF non habet eamdem <lb></lb>rationem, quam habet tempus minus DE ad idem EF, sed <lb></lb>ipsum OE majus est quam esse oporteret. </s><s>Ut autem tem<lb></lb>pus OE ad EF ita recta LC ad CB (ex prima et sexta <lb></lb>suppositione hujus) ergo etiam LC versus CB major est, <lb></lb>quam esse deberet, et multo magis IC erga eamdem CB <lb></lb>major erit, quam esse deberet, ut eamdem habeat ratio<lb></lb>nem, quam habet tempus DE ad EF. Quod est contra <lb></lb>suppositum. </s></p> <p type="main"> <s>Patet ergo quod recta AC ad CB est ut tempus DE <lb></lb>ad EF, quandoquidem demonstravimus quam rationem ha<lb></lb>bet tempus DE ad EF eamdem nullam aliam lineam prae<lb></lb>ter AC posse habere ad CB; quod erat propositum. </s></p> <p type="main"> <s>Non me fugit demonstrationem hanc omnesque illi si<lb></lb>miles ad unicum casum reduci potuisse, facta scilicet <lb></lb>constructione semel tantum sive super lineis, sive super <lb></lb>temporibus, prout haec, vel illae majorem habere rationem <lb></lb>dicerentur, sed malui aliquam potius obscuritatem vitare, <pb pagenum="327"></pb>quam prolixitatem. </s><s>Poterant etiam omnes praedictae pro<lb></lb>positiones sub unico tantum theoremate universalissimo <lb></lb>comprehendi, atque demonstrari. </s><s>Quotiescumque enim duae <lb></lb>magnitudines eam inter se mutuam connexionem habue<lb></lb>rint, ut semper in partes aequales simul secari possint, si <lb></lb>utcumque secentur, partes ipsarum proportionales erunt. </s><s><lb></lb>Sed alterius loci, operisque duxi hujusmodi demonstratio<lb></lb>nes exhibere. </s><s>Imo repetitam toties eamdem demonstra<lb></lb>tionem, non ex casu, aut necessitate sed consilio, et data <lb></lb>opera sequtus sum. </s></p> <p type="main"> <s>Haec habui, quae de propositionibus geometricis abno<lb></lb>tanda censerem, si non aliis, saltem mihi, atque omnibus <lb></lb>illis, qui monitore me, geometriam addiscere volent. </s><s>Nisi <lb></lb>enim fallor, positis notioribus, et facilioribus principiis <lb></lb>tum in definitionibus, cum etiam in suppositionibus diffi<lb></lb>ciliora inde proportionum theoremata deduxi: primum in <lb></lb>lineis, mox propagata universalius doctrina, et in superfi<lb></lb>ciebus, corporibusque, atque in omni genere quantitatis, <lb></lb>quod sub geometrica proportione cadere soleat et per ae<lb></lb>quemultiplicia demonstrari. </s><s>Addidi propositionibus quinti <lb></lb>Libri, praeter primam, secundam, tertiam atque ultimam <lb></lb>sexti etiam vigesimam-quintam undecimi, et decimam-ter<lb></lb>tiam duodecimi Librorum Euclidis, partim quia meae in<lb></lb>tentioni inservire videbantur, partim ut appareret, quo<lb></lb>modo omnia illa theoremata in quibus proportionalitas <lb></lb>per aequemultiplicia demonstratur ad tertiam hujus libelli <lb></lb>propositionem reducantur. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>FINE DEL <lb></lb>DE PROPORTIONIBUS LIBER.<emph.end type="center"></emph.end></foreign></s> </p> <pb></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>DE PLANIS VARIA.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <pb></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>AVVERTIMENTO.<emph.end type="center"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Della seguente collezione di problemi e teoremi (tratti fcrse dalle Lezioni del <lb></lb>Torricelli) si trovano tre copie nel T. XXVII dei “ <emph type="italics"></emph>Discepoli di Galileo<emph.end type="italics"></emph.end> ”, parzialmente <lb></lb>dovute al Viviani ed al Serenai; di certi brani fu possibile rintracciarne l'autografo <lb></lb>e se ne fece apposita menzione. </foreign></s> <s><foreign lang="it">L'ordiuamento della materia appartiene ai due suc<lb></lb>citati amici del sommo Faentino. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Fra questo lavoro (e altrettanto dicasi degli altri <lb></lb>che seguono in questa I Parte del Vol. 1) ed il <emph type="italics"></emph>Campo di tartufi<emph.end type="italics"></emph.end> che trovasi in prin<lb></lb>cipio della II Parte si trovano numerose coincidenze che il lettore avvertirà senza <lb></lb>il nostro aiuto. </foreign></s> </p> <pb></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>DE PLANIS VARIA<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROP. I.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Propositiones 28 et 29 Libri VI simul demonstratur. </s><s><lb></lb>Ad rectam BC [Fig. 1] applicare parallelogrammum ae<lb></lb>quale rectilineo A, deficiens vel excedens figura simili <lb></lb>parallelogrammo E. </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 1].</s></p> <p type="main"> <s>Debet autem in prima esse conditio etc. </s><s>ut it 28 VI. </s></p> <p type="main"> <s>Sexta bifariam BC in F. Super FC fiat rectilineum FG <lb></lb>simile, similitaque positum ipsi E, compleaturque CH. </s></p> <pb pagenum="332"></pb> <p type="main"> <s>Tum ad rectam BH in angulo BHG applicetur paral<lb></lb>lelogrammum BI per 45 primi aequale ipsi A sumaturque <lb></lb>inter GL, LI mediae LM. Dico BO (habens defectum vel <lb></lb>excessum CO similem E) aequalem esse A. Nam figura CL <lb></lb>ad LO est ut GL ad LI, sive ut figura CL ad LN, ergo <lb></lb>aequales sunt OL, LN et </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 2].<lb></lb>per prostapheresin aequa<lb></lb>les erunt BI et gnomon, <lb></lb>sive BI et BO, sive A et <lb></lb>BO. Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROP. II.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Pono equales [Fig. 2] <lb></lb>AB, CD, et parallelas EF, <lb></lb>GM. Dico rectangula <lb></lb>GBH, EDF esse aequalia. </s></p> <p type="main"> <s>Est enim HB ad DE, <lb></lb>ut 4 sexti, BC ad CD, <lb></lb>sive ut DA ad AB, nempe ut DF ad BG, ergo rectangula <lb></lb>sunt aequalia. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROP. III.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Pro tyronibus. </s><s>Sit ut in figura. </s></p> <p type="main"> <s>Dico omnia rectangula [Fig. 3] BCD, ECI esse ae<lb></lb>qualia. </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 3].</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Demonstratur per secundum.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Nam angulus E rectus est ob semicir<lb></lb>culum et D ob suppositionem. </s><s>Duo rect<lb></lb>angula BCD cum duobus quadratis BC, <lb></lb>CD aequantur quadrato BD, sumptoque <lb></lb>communi DI, erunt duo rectangula BCD <lb></lb>cum tribus quadratis BC, CD, DI, sive cum <lb></lb>duobus BC, CI, aequalia quadrato BI, hoc <lb></lb>est quadratis BE, EI hoc est duobus rect<lb></lb>angulis ECI, tribusque quadratis BE, EC, CI, sive potius <pb pagenum="333"></pb>BC, CI tantum. </s><s>Demptis ergo quadratis communibus erunt <lb></lb>duo rectangula aequalia duobus etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Demonstratur per tertium.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Fiat circulus circa diametrum BI qui transibit per <lb></lb>puncta E, D, et propterea due recte BD, EI secabunt se <lb></lb>in circulo. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Demonstratur per sextum.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Triangula rectangula BEC, CDI sunt similia, ergo la<lb></lb>tera circa aequales angulos ad C proportionalia etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROP. IV.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si ex terminis diametri [Fig. 4] BD, cir</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 4].<lb></lb>culi tangens DA et BA secans occurrant <lb></lb>in A, erit rectangulum ABC aequale qua<lb></lb>drato diametri. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Demonstratur per secundum.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Nam rectangulum ABC bis cum qua<lb></lb>drato AC equatur quadratis AB, BC, sive <lb></lb>quadratis AD, DB, BC, sive quadratis AD, DB, BC; dempto <lb></lb>communi AC erit rectangulum ABC bis aequale quadratis <lb></lb>CD, DB, BC, sumptis dimidiis patet rectangulum ABC <lb></lb>aequale esse quadrato BD. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROP. V.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 5].</s></p> <p type="main"> <s>Posito angulo [Fig. 5] A recto, si <lb></lb>due recte ex A in circulum incidant <lb></lb>ut vides etc. </s><s>erunt duo quadrata DA, <lb></lb>CA, et duo rectangula DAC simul <lb></lb>equalia quadrato BE etc. </s><s>Hoc enim <lb></lb>patet quia ductis parallelis CF, DG <lb></lb>erunt aequales AC, BF, GE. Sed per <lb></lb>quartam secundi quadratum BE aequale est quadratis EF, <lb></lb>FB, et bis rectangulo EFB etc. </s></p> <pb pagenum="334"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROP. VI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Positis ijsdem [stessa Fig.]. </s><s>Cum duo quadrata DA, AC <lb></lb>cum duobus rectangulis DAC vel cum duobus rectan<lb></lb>gulis HBA per 36 tertij sint aequalia quadrato BE, addito <lb></lb>communi quadrato BH, erunt duo quadrata DA, AC cum <lb></lb>duobus rectangulis HAB et quadrato HB per septima se<lb></lb>cundi equantur duobus quadratis HA, AB. Concludamus <lb></lb>igitur quatuor quadrata DA, AC, HA, AB, aequalis esse <lb></lb>quadrato diametri etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROP. VII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Stantibus ijsdem [Fig. 6] si ex cen</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 6].<lb></lb>tro ducantur ad AD, et AH perpendi<lb></lb>culares ML, MF erit angulus LMF <lb></lb>rectus, et ideo GI chorda quadrantis. </s><s><lb></lb>Dico quadrata LA, LB, FA, FC equari <lb></lb>quadranti GI. Sunt enim quadrata LA, <lb></lb>LB subdupla quadratorum HA, HB et <lb></lb>quadrata FA, FC subdupla quadrato<lb></lb>rum DA, AC per decimam secundi, <lb></lb>quare simul quatuor illa quadrata sub<lb></lb>dupla sunt horum quatuor quadratorum per preced. </s><s>nempe <lb></lb>quadrati ex diametro, quare aequalis sunt quadrato GI. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROP. VIII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Recta [Fig. 7] AB tangat maiorem </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 7].<lb></lb>circulum in B, tunc quadratum CD cum <lb></lb>quatuor rectangulis IEH erunt equalia <lb></lb>quadrato maiores diametri, que in hoc <lb></lb>casu erit necessario GB. Ratio est quia <lb></lb>cum AB tangat angulusque ABE in <lb></lb>semicirculo sit rectus, erit BEG dia<lb></lb>meter etc. </s></p> <p type="main"> <s>Iam ducatur DM parallela ad CE; <lb></lb>eritque tam DE, quam CE, BA rectangulum, huius enim <lb></lb>omnes anguli sunt in semicirculo. </s></p> <pb pagenum="335"></pb> <p type="main"> <s>Iam duo quadrata BE, EG equalia sunt quadratis EG, <lb></lb>GM, sive (per septimam secundi) duobus rectangulis EGM, <lb></lb>quadratoque EM, hoc est duobus rectangulis EGM, qua<lb></lb>dratoque EM, hoc est duobus rectangulis GEB, quadrato<lb></lb>que CD. Duo item quadrata CE, EF; aequalia erunt rect<lb></lb>angulis GEB (quia et ipsa GB diameter), sive duobus IEH. <lb></lb>Simul ergo diametri equalia erunt quadrato CD, quatuor<lb></lb>que rectangulis IEH. Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROP. IX.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Ex Sereno<emph.end type="italics"></emph.end> .<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 8].</s></p> <p type="main"> <s>In quocumque trian<lb></lb>gulo secta bifariam basi <lb></lb>[Fig. 8] AC in D, erunt <lb></lb>duo quadrata AB, BC ae<lb></lb>qualia quatuor quadratis <lb></lb>AD, DC et BD bis. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROP. X.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Ideo quatuor quadrata laterum parallelogrammi equalia <lb></lb>sunt duobus quadratis diametrorum. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROP. XI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Sint aequales arcus [Fig. 9] </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 9].<lb></lb>AB, BC, et equales linee EC, <lb></lb>CD, perpendiculum BH bise<lb></lb>cabit DA. </s></p> <p type="main"> <s>Item quadratum AB ae<lb></lb> <arrow.to.target n="marg286"></arrow.to.target><lb></lb>quale erit rectangulo IAD. </s></p> <pb pagenum="336"></pb> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg286"></margin.target>Per Ptol. </s><s><lb></lb>lib. I, c. 6.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROP. XII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Sint aequales arcus [stessa Fig.] AB, BC, item linee <lb></lb>AI, EC, erit rectangulum FEI aequale quadrato EB. Quia <lb></lb>similia sunt triangula isoscelia EBF et EIB etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROP. XIII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Sit ut supra, erit ut AB ad BE, ita AC ad EF, vel CEA. <lb></lb>Est enim BH subdupla AC, et ut AB ad BE ita BH ad <lb></lb>HE, vel CA ad EF duplas etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROP. XIV.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Eadem est differentia inter segmenta atque inter sec<lb></lb>tores semicirculum complentes [Fig. 10] </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 10].<lb></lb>ECB, BCA sunt equales quia equalibus <lb></lb>peripherijs insistunt; ergo ECA duplus <lb></lb>est anguli BCA etiam BAD duplus est <lb></lb>eiusdem, ergo aequales sunt ECA, <lb></lb>BDA. Quare parallele sunt BD, EC. <lb></lb>Ideo aequalia sunt triangula EBC, <lb></lb>EDC additoque segmento EC, erit differentia sectorum <lb></lb>complentium semicirculum. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROP. XV.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Alterum ex propositis Problematibus erat.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Datam rectam lineam ita in duas partes secare ut dif<lb></lb>ferentia quadratorum partium datam rationem habeat ad <lb></lb>rectangulum sub ijsdem partibus comprehensum. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Quod absolvemus hoc modo.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Sit data recta linea [Fig. 11] AB rationis autem ter<lb></lb>mini C et D. Coaptentur EF, FG ad angulos rectos inter <lb></lb>se. </s><s>Sitque EF aequalis ipsi C, et FG ipsi D. Eum divisa <pb pagenum="337"></pb>EF bifariam in H describatur centro H, radio HG semi<lb></lb>circulus secans lineam EF productam in I et L. Fiat <lb></lb>deinde ut IF ad FG ita AM quadratum ex AB et sumpta <lb></lb>MN equali ipsi MB, compleatur figura. </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 11].</s></p> <p type="main"> <s>Quia est ut IF ad FG, vel FG ad FL, ita AM ad MB <lb></lb>vel BR ad RF, erunt tres linee IF, FG, FL, et tria spacia <lb></lb>AO, OB, OF, vel OP in continua et eadem ratione. </s><s>Ergo <lb></lb>ex equo et dividendo erit ut EF ad FL, ita gnomon QNS <lb></lb>ad OP. Sed ut FL ad FG hoc est ut C ad D, ita gnomon <lb></lb>QNS ad rectangulum OB, nempe differentia quadratorum <lb></lb>partium, ad rectangulum ex partium. </s><s>Quod erat faciendum. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROP. XVI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Alterum erat.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Datam rectam lineam ita in duas partes dividere, ut <lb></lb>rectangulum sub tota et minori segmento comprehensum <lb></lb>habeat datam rationem ad differentiam quadratorum par<lb></lb>tium. </s></p> <p type="main"> <s>Quod ita peragemus. </s><s>Sit data recta linea AB et ter<lb></lb>mini date rationis C, D. Fiat ut dupla ipsius C ad D, ita <lb></lb>AE ad EB. </s></p> <p type="main"> <s>Seceturque AE bifariam in F. Dico F esse punctum <lb></lb>quesitum. </s></p> <p type="main"> <s>Cum enim sit ut dupla ipsius C ad D ita AE ad EB, <lb></lb>erit (sumptis antecedentium dimidijs) ut C ad D, ita AF <lb></lb>ad EB hoc est rectangulum FAB ad rectangulum RBA <pb pagenum="338"></pb>sub eadem altitudine. </s><s>Sed rectangulum FAB est id quod <lb></lb>continetur sub tota, et minori segmento, rectangulum vero <lb></lb>EBA est differentia quadratorum partium. </s><s>Quare factum <lb></lb>est quod oportebat . </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROP. XVII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Dato triangulo secto per lineam [Fig. 12] AB dicere <lb></lb>proportionem trapezij ad triangulum. </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 12].</s></p> <p type="main"> <s>Ducatur CA ipsique parallela BD. <lb></lb>Dico trapezium ad reliquum trianguli <lb></lb>esse ut ED ad DF. Ducta enim CD <lb></lb>erit triangulum ECD ad triangulum <lb></lb>DCF ut ED ad DF; sed triangulum <lb></lb>ECD aequatur trapezio ECBA, cum <lb></lb>sit triangulum triangulum DCA ae<lb></lb>quale triangulo CBA, triangulum vero <lb></lb>CDF equatur reliquo triangulo ABF, cum sit triangulum <lb></lb>ABD aequale triangulo DCB; ergo patet etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>In quocumque triangulo cum fuerint AP, ON parallele, <lb></lb>erunt rectangula ABN, OBP inter se equalia . </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROP. XVIII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Ideo transvertim ducta [Fig. 13] </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 13].<lb></lb>AB in triangulo DCI, ductisque pa<lb></lb>rallelis CA, BE, prout etiam DB, AF, <lb></lb>erunt CD, EF inter se parallele. </s><s>Rect<lb></lb>angulum enim DIF equale est rectan<lb></lb>gulo AIB, sive rectangulo EIC, ergo <lb></lb>ut DI ad IC, ita EI ad IF. Quod etc. </s></p> <pb pagenum="339"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Suppono in sequenti figura triangu</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 14].<lb></lb>lum [Fig. 14] ABC ad triangulum OBC <lb></lb>esse ut rectangulum ABC ad rectan<lb></lb>gulum OBN. Hoc elicitur ex vigesima<lb></lb>tertia sexti. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROP. XIX.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Triangulum [Fig. 15] ABC secare <lb></lb>per lineam ex puncto D peractam ita <lb></lb>ut pars ad A terminata sit ad reliquam <lb></lb>ut EF ad FG. </s></p> <p type="main"> <s>Producantur omnia triangula latera quorum unum puta <lb></lb>CA, transeat primo per fatum punctum D. Ducatur DH <lb></lb>parallela ipsi AB, fiatque ut EG ad GF </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 15].<lb></lb>coniunctim, ita CB ad HI. </s></p> <p type="main"> <s>Ductaque IC sumatur BM aequalis <lb></lb>ipsi BL et ad BM applicetur rectangu<lb></lb>lum aequale rectangulo HBM excedens <lb></lb>figura quadrata, quod quidem faciat <lb></lb>latitudinem BN. Dico rectam DN se<lb></lb>care triangulum ut imperatum est. </s></p> <p type="main"> <s>Quoniam enim rectangulum BNM <lb></lb>applicatum est aequale rectangulo <lb></lb>HBM erit ut NM ad MB ita HB ad BN et componendo <lb></lb>ut NB ad BM, sive NB ad BL, ita HN ad NB, nempe DH <lb></lb>ad OB et ideo rectangulum OBN equale erit rectangulo <lb></lb>DH, BL, sive rectangulo AB, HI (sunt enim parallele DH, <lb></lb>AB, et IL pertinet ad verticem C); ergo rectangulum ABC <lb></lb>ad rectangulum OBN erit ut rectangulum ABC ad rect<lb></lb>angulum AB, HI, nempe ut CB ad HI, vel ut EG ad GF, <lb></lb>et dividendo trapezium AONC ad reliquum triangulum <lb></lb>OBN erit ut EF ad FG. Quod erat etc. </s></p> <pb pagenum="340"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROP. XX.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Sit deinde datum triangulum [Fig. 16] ABC ex dato <lb></lb>puncto D ita secandum, ut pars ad A terminata sit ad <lb></lb>reliquum ut EF ad FG. </s></p> <p type="main"> <s>Producantur omnia latera, cadatque punctum D intra <lb></lb>ipsa latera producta. </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 16].<lb></lb>Ducatur per D recta <lb></lb>HDI parallela ad AB, <lb></lb>fiatque ut EF ad FG, <lb></lb>ita HL ad LI; si punc<lb></lb>tum L congruet cum <lb></lb>D solutum erit proble<lb></lb>ma per rectam LC; <lb></lb>sed non congruat. </s></p> <p type="main"> <s>Ducta LC, duca<lb></lb>tur MN parallela ad ipsam AC, perfectoque parallelo<lb></lb>grammo IO, iungatur ON, et ducatur AP parallela ipsi <lb></lb>ON, et tandem ad rectam BP applicetur rectangulum <lb></lb>equale rectangulo IBP excedens figura quadrata faciens <lb></lb>latitudinem <expan abbr="Bq.">Bque</expan> Dico rectam DQ solvere problema. </s></p> <p type="main"> <s>Quoniam enim rectangulum BQP applicatum est ae<lb></lb>quale rectangulo IBP erit QP ad PB ut IB ad BQ et <lb></lb>componendo ut QB ad BP ita IQ ad QB, sive ID ad BR; <lb></lb>ergo rectangulum RBQ equale est, rectangulo DI, BP <lb></lb>hoc est rectangulo OB, BP sive AB, BN; ergo rectangu<lb></lb>lum ABC ad rectangulum RBQ (sive triangulum ABC ad <lb></lb>triangulum RBQ) erit ut idem rectangulum ABC ad rec<lb></lb>tangulum et BN, nempe ut CB ad BN, sive AB ad BM, <lb></lb>hoc est HI ad IL, et dividendo erit trapezium ARQC ad <lb></lb>reliquum triangulum RBQ ut HL ad LI, sive ut EF ad FG. <lb></lb>Quod erat faciendum. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROP. XXI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Dato parallelogrammo [Fig. 17] AB punctoque C, du<lb></lb>cere rectam CD, quae faciat triangulum EAD, aequale <lb></lb>parallelogrammo dato. </s></p> <pb pagenum="341"></pb> <p type="main"> <s>Ducatur CF secans AG productam in L, sumptaque AH <lb></lb>dupla ipsius AG, ducatur CM equidistans ipsi LA, et pro<lb></lb>ducatur FA ad M. Fiat ut LA ad AH ita FA ad MO. </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 17].<lb></lb>Denique ducta OF ipsi. </s><s>PA sumatur equalis AQ, recteque <lb></lb>AQ applicetur rectangulum aequale rectangulo MAQ ex<lb></lb>cedensque quadrato, et faciat latitudinem AD. </s></p> <p type="main"> <s>Dico rectam CD solvere problema. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROP. XXII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Datis tribus semidiametris [Fig. 18] AH, CD, CE una <lb></lb>cum distantia AC, et ducta HDF que utrumque tangat <lb></lb>circulum, queritur arcus VF qui secatur a recta que ex <lb></lb>centro C ducitur tangens in P; sumpta enim HO equalis </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 18].<lb></lb>DC, ducta OC erit ipsi HF parallela et angula ad O recti <lb></lb>existent. </s></p> <p type="main"> <s>Fiat igitur ut AC data ad AO datam (est enim diffe<lb></lb>rentia datarum AH, CD) ita sinus totus ad alium et habe- <pb pagenum="342"></pb>bimus sinum anguli ACO sive CFD cuius complementum <lb></lb>erit angulus DCF. </s></p> <p type="main"> <s>Iterum fiat ut CE data ad DC datam ita sinus totus <lb></lb>ad alium, qui erit sinus anguli DEC, cuius complementum <lb></lb>dabit angulum DCE. His peractis notus erit angulus ECF, <lb></lb>nempe differentia inter angulos repertos. </s></p> <p type="main"> <s>Fiat tandem ut data AC ad datam AP ita sinus totus <lb></lb>ad sinum anguli ACP. Note sunt ergo peripherie SV et <lb></lb>EX, que si demantur ex semicirculo, nota erit peripheria <lb></lb>VE. Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROP. XXIII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Due medie proportionales. </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 19].</s></p> <p type="main"> <s>Date sint extreme AB, BC. Si fa<lb></lb>cias bene figuram medie erant [Fig. 19] <lb></lb>BD, BE. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROP. XXIV.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Esto semicirculus cuius centrum <lb></lb>[Fig. preced.] A, diameter BC, et si <lb></lb>possibile est supponamus ab aliquo <lb></lb>Geometra sectum esse per viam puram geometricam hu<lb></lb>iusmodi circulum in qualibet ratione, (que tamen sit nota) <lb></lb>per lineam diametro parallelam DE et sit ratio semicirculi <lb></lb>BFC ad segmentum DEF exempli gratia dupla. </s><s>Fiat an<lb></lb>gulus BAF rectus, iunctaque AD, esto HI perpendicularis <lb></lb>ad ipsum AD. Iam sic. </s><s>Sector BAF ad sectorem DAF est <lb></lb>ut arcus BF ad arcum DF. Sector autem DAF ad por<lb></lb>tionem DHF est ut arcus DF ad differentiam quae est <lb></lb>inter ipsum arcum DF et rectam HI. Sed ratio sectoris <lb></lb>BAF ad portionem DHI supponitur ex invento alicuius <lb></lb>Geometre dupla; ergo et arcus BF rationem habebit du<lb></lb>plam ad differentiam que est inter arcum DF et rectam <lb></lb>HI. Propterea si totus arcus BF secetur bifariam in L, <lb></lb>erit reliquus arcus LD equalis recte HI. </s></p> <p type="main"> <s>Quod quidem problema a quopiam constructum fuisse <lb></lb>per viam puram geometricam non credo. </s></p> <pb pagenum="343"></pb> <p type="main"> <s>Quod promisimus ostendimus sic. </s><s>Sector DAF equatur <lb></lb>triangulo, cuius basis sit radius DA, altitudo vero equalis <lb></lb>arcui DF. Ergo sector DAF ad triangulum DAH in ea<lb></lb>dem basi, erit ut altitudo sive ut arcus DF ad altitudinem <lb></lb>HI, et per conversionem rationis patet quod promisimus . </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROP. XXV.<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Reflexio fit per brevissimas. </s><s>Ita in spherica et in qualibet conoidali <lb></lb>superficie convexa.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROP. XXVI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>De Convexorum refractione.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Sit lens ABC cuius centrum D. Sphere vero diameter BE perpendi<lb></lb>culare radium GB, obliquum FA. Nota mensuram anguli inclinationis <lb></lb>IAF semper esse arcum AB. </s></p> <p type="main"> <s>Praxis ostendit concursum fieri circa punctum E proxime, ergo re<lb></lb>fractionis angulus HAE esset dimidium anguli incidentie. </s><s>Scimus au<lb></lb>tem esse debere multo minorem videlicet tertiam partem. </s><s>Quod igitur <lb></lb>superest, dicemus fieri a superficie vitri plana, et erit differentia inter <lb></lb>dimidium et tertiam partem nempe pars sexta. </s><s>Dicemus ergo plani <lb></lb>refractionem esse sextam partem inclinationis incidentie. </s></p> <p type="main"> <s>Nota angulum inclinationis super planum aequalem esse angulo <lb></lb>refractionis convexi. </s><s>At id non videbis nisi in magna figura. </s></p> <p type="main"> <s>Nota Keplerum aliosque opticos ponere concursum radiorum ultra <lb></lb>sesquidiametrum sphere circiter. </s><s>Ideo experiaris ut certior evadas.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROP. XXVII .<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Contra Secundam Sanctinis<emph.end type="italics"></emph.end> .<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Ponatur linea externa maior quam tripla semidiametri <lb></lb>et reliqua peragantur iuxta mentem Sanctinij cuius figu<lb></lb>ram et constructionem suppono. </s></p> <pb pagenum="344"></pb> <p type="main"> <s>Iungatur [Fig. 20] DC et demittatur DM perpendicu<lb></lb>laris ad diametrum, erit differentia inter quadrata AH, AD <lb></lb>aequalis rectangulo CM in AB, ergo ob constructionem <lb></lb>Sanctinij quadratum DI rectangulo CM in AB equale erit. </s></p> <p type="main"> <s>Iam quadratum FD equatur quadratis FC, CD gemino<lb></lb>que rectangulo FCM, et demptis equalibus rectangulum </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 20].<lb></lb>FDE sive quadratum AI equale remanet quadratis AC, CD <lb></lb>geminoque rectangulo FCM, ergo etiam duo quadrata AD, <lb></lb>DI, sive potius AH cum gemino quadrato DI equale erit <lb></lb>duobus AC, CD, geminoque rectangulo FCM, demptisque <lb></lb>equalibus, geminum quadratum DI aequale gemino rect<lb></lb>angulo FCM, sive simplex simplici. </s><s>At quadratum DI <lb></lb>equale erat rectangulo CM in AB, ergo rectangulum FCM <lb></lb>equale est ei quod fit ex CM in AB, propterea recta FC <lb></lb>recte AB aequalis quod est impossibile, cum enim suppo<lb></lb>natur extera EF maior quam tripla semidiametri non po<lb></lb>test FA aequalis esse semidiametro. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROP. XXVIII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Contra tertiam Sanctinij.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Ponatur arcus [Fig. 21] AD qui subtenditur a semidia<lb></lb>metro, ducanturque DI, HC </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 21].<lb></lb>perpendiculares ad diame<lb></lb>trum. </s></p> <p type="main"> <s>Jam quia quadratum AD <lb></lb>equale est rectangulo BAI et <lb></lb>quadratum AH rectangulo <lb></lb>BAC erit rectangulum sub IC <lb></lb>et AB differentia quadratorum AD, AH, sed eorundem est <pb pagenum="345"></pb>differentia quadratum DH, vel rectangulum FDE (utrum<lb></lb>que per suam constructionem) ergo rectangulum FDE <lb></lb>equale erit rectangulo sub IC et AB. </s></p> <p type="main"> <s>Quadratum F cum gemino rectangulo FCI equale est <lb></lb>quadratis FC, CD, demptis equalibus remanet rectangulum <lb></lb>FDE, sive mavis IC cum gemino rectangulo FCI, equale <lb></lb>quadratis AC, CH sive quadrato IC octies sumpto. </s></p> <p type="main"> <s>Quod falsum est. </s><s>Nam rectangulum IC in AB cum ge<lb></lb>mino rectangulo FCI superat octuplum quadrati IC tanto <lb></lb>excessu quantum FA in IC bis sumptum. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>FINE DEL <lb></lb>DE PLANIS VARIA.<emph.end type="center"></emph.end></foreign></s> </p> <pb></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>DE SOLIDIS VARIA.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <pb></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>AVVERTIMENTO.<emph.end type="center"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Lo scritto seguente fu tratto dal Vol. </foreign></s> <s><foreign lang="it">XXVII dei “ <emph type="italics"></emph>Discepoli di Galileo<emph.end type="italics"></emph.end> ”, ove <lb></lb>oltre l'originale, se ne trovano due copie, una di mano del Viviani l'altra, destinata <lb></lb>alla stampa; è una raccolta composta dal Viviani stesso con materiali torricelliani. </foreign></s> </p> <pb></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="bold"></emph>DE SOLIDIS VARIA<emph.end type="bold"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>THEOR. I. PROP. I.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si prisma triangolare [Fig. 1] AE ac pyramis BAD <lb></lb>fuerint supra basim eiusdem parallelogrammi BCDE, et <lb></lb>in eadem simul altitudine, erit pri</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 1].<lb></lb>sma pyramidis sesquialterum. </s><s>Si <lb></lb>enim consideratur pyramis EAHD <lb></lb>super basim trianguli EHD, et in <lb></lb>eadem prismatis altitudine, ipsa <lb></lb>pyramis tertia pars est solius pri<lb></lb>smatis triangularis AE. </s></p> <p type="main"> <s>Quod erat etc. </s></p> <p type="main"> <s>Animadvertendum tamen est <lb></lb>idem prisma triangulare sesquialterum esse cuiuslibet pyra<lb></lb>midis eamdem cum ipsa altitudinem, basimque ipsi BCDE <lb></lb>aequalem. Haec enim pyramis quaecumque sit, semper <lb></lb>ipsi BCDEA aequalis erit. </s></p> <p type="main"> <s>Idem dicimus de cono, dum eius basis basi BCDE py<lb></lb>ramidis illius fuerit aequalis. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>THEOR. II. PROP. II.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si fuerit circa semicirculum [Fig. 2] AHIB descriptum <lb></lb>semipolygonum ACFB, etiam irregulare, et semicirculus <lb></lb>circa axem AB volvatur, erit factum solidum ad suam <lb></lb>spheram, ut est totus solidi perimeter ad superficiem <lb></lb>spherae. </s></p> <pb pagenum="350"></pb> <p type="main"> <s>Prolixa huius theorematis demonstratio non esset opus, <lb></lb>neque libelli editi, nimirum ut opinor <emph type="italics"></emph>De solidis sphaera<lb></lb>libus,<emph.end type="italics"></emph.end> neque instituti nostri ut puta </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 2].<lb></lb>de solidis descriptis ex instituto <lb></lb>tractantis hoc loco afferre. </s></p> <p type="main"> <s>Sufficiat nobis ex mente Ioan<lb></lb>nis Keppleri, et aliorum nostri sae<lb></lb>culi considerare, tum ipsam spe<lb></lb>ram, tum etiam totum solidum <lb></lb>illam ambiens in minimos et infi<lb></lb>nitos circulos imno conulos sive <lb></lb>pyramidulas resolutum, ita et om<lb></lb>nium vertices in centro sint, bases <lb></lb>vero in perimetris figurarum. </s></p> <p type="main"> <s>Omnes enim huiusmodi sive circuli imno conuli, sive <lb></lb>mavis pyramidulae eamdem altitudinem habebunt, sive se<lb></lb>midiametrum spherae non solum illae, quae intra spheram <lb></lb>sunt, sed etiam illae in quas circumductum solidum di<lb></lb>stribuitur. </s><s>Omnes igitur simul minime pyramidis ambientis <lb></lb>solidi, hoc est ipsum solidum ad omnes minimas pyramidis <lb></lb>spherae, hoc est ad ipsam spheram erunt ut omnes simul <lb></lb>illarum bases ad omnes bases istarum simul nempe ut <lb></lb>totus perimeter solidi ambientis ad ipsum spherae peri<lb></lb>metrum. </s></p> <p type="main"> <s>Quod oportebat aliquo brevi modo demonstrare. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>THEOR. III. PROP. III.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si centrum spherae [Fig. 3] D </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 3].<lb></lb>et axis BD si sumatur tangens BC <lb></lb>aequalis chordae BA et fiat revo<lb></lb>lutio circa DB, erit factus conus <lb></lb>DEF aequalis descripto sectori so<lb></lb>lido DABE. </s></p> <p type="main"> <s>Ratio est quia CF basis coni <lb></lb>aequalis erit curvae superficiei por<lb></lb>tionis sphericae ABE per Archi<lb></lb>medem <emph type="italics"></emph>De sphera et cylindro<emph.end type="italics"></emph.end> et altitudo DB eadem ac <lb></lb>sectoris. </s></p> <pb pagenum="351"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROBL. I. PROP. IV.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Dato igitur quolibet solido sectore spherae possumus <lb></lb>ex modo dictis conum aequalem et aequalem facere. </s></p> <p type="main"> <s>Hin pro Corollario sequitur illa Archimedis Propos., vi<lb></lb>delicet sphaeram aequalem esse cono basim circuli maximi <lb></lb>quadruplam habenti et altitudinem radio aequalem. </s></p> <p type="main"> <s>Nam circulus ex radio diametri BG quae est maxima <lb></lb>chordarum, ex B ducibilium, quadruplus est maximi in <lb></lb>sphaera circuli ABCG. </s></p> <p type="main"> <s>Id omne sive precedentem tertiam et quartam proposi<lb></lb>tionem ostendas ope infinitorum conorum vel pyradum ae<lb></lb>qualem altitudinem habentium, uti factum fuit in Prop. 2 <lb></lb>huius Tractatuti, atque hinc postmodum elicias cylindrum <lb></lb>sphaere sesquialterum esse cum et predicti coni sesquial<lb></lb>ter sit. </s></p> <p type="main"> <s>Is enim cylinder sextuplus est coni super propriam ba<lb></lb>sim quae equalis est circulo maximo GABE et in altitudine <lb></lb>radij DB quae proprie altitudinis est dimidium, ille vero <lb></lb>conus spherae aequalis quadruplus est coni eiusdem (cum <lb></lb>ille sit in eadem cum hoc altitudine et super quadrupla <lb></lb>basi) quapropter ipse cylindrus spherae circumscriptus ne<lb></lb>cessario sesquialter est illius coni sphaerae equales nempe <lb></lb>sphere eiusdem sibi inscriptae. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>THEOR. IV. PROP. V.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Aequilaterum dicemus conum cu</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 4].<lb></lb>ius sectio per axem triangulum ae<lb></lb>quilaterum est. </s></p> <p type="main"> <s>In triangulo equilatero [Fig. 4] <lb></lb>ACE circulus ex diametro lateris AC <lb></lb>sesquitertius est circuli ex diametro <lb></lb>lateris AB quoniam circulus diametri <lb></lb>AC aequalis est duobus simul circulis <lb></lb>ex CB, BA et quadruplus circuli ex <lb></lb>CB dimidio ipsius AC. </s></p> <p type="main"> <s>Huc usque demonstratur idem quod tamquam lemma <pb pagenum="352"></pb>proponitur a Cl. </s><s>Auth. </s><s>pro 56. Campi quod idcirco omittere <lb></lb>voluimus. </s></p> <p type="main"> <s>Hinc circulus lateris AC triplus est inscripti circuli DB. <lb></lb>Nam si ponatur AB partium 3 eadem AB erit potentia ut <lb></lb>novem, et potentia et potentia AC quae ostensa est ses<lb></lb>quitertia potentie AB erit ut duodecim sed contingens AF <lb></lb>est ipsius AC dimidium, ergo ipsius potentia erit quarta, <lb></lb>pars potentie AC nempe ut 3. Sed potentia BA ad AF est <lb></lb>ut ipsa AB ad AD. Nam rectangulum BAD aequat. </s><s>qua<lb></lb>drato tangentis AF et potentia AB est ut 9 et AF ut 3, <lb></lb>ergo et linea BA tripla est AD, sive sesquialtera relique <lb></lb>DB, sed potentia BA posita fuit ut 9 qualium partium po<lb></lb>tentia AC ostensa est ut 12, ergo potentia relique BD <lb></lb>ipsius AB subsesquialterae erit ut quatuor, et potentia AC <lb></lb>erit ut 12: ergo circulus ex diametro lateris AC vel CE <lb></lb>triplus est circuli inscripti ex DB. Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s>Convertatur modo triangulum equilaterum ACE circa <lb></lb>axem. </s><s>Cum circulus ex DB ut dictum est sit ut quatuor <lb></lb>superficies spherae erit ut 16, quarum circulus ex diametro <lb></lb>AC vel ex CE est ut 12, ut superius conclusimus. </s><s>Sed <lb></lb>quoniam conica superficies a latere AC descripta ad suam <lb></lb>basim ex diametro CE in cono recto ACE est ut AC ad <lb></lb>CB et AC dupla est CB, conica etiam ex AC hic dupla erit <lb></lb>circuli ex diametro CE, unde ipsa conica erit ut 24; sed <lb></lb>spherica ut diximus, est ut 16, quare conica spherice, hoc <lb></lb>est curva superficies coni recti superficiei sibi inscripte <lb></lb>sphere est sesquialtera. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>THEOR. V. PROP. VI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Amplius totus coni perimeter, nempe conica superficies <lb></lb>curva huius coni recti [Fig. preced.] ACE quae est ut 24 <lb></lb>una cum basi circuli circa CE, quae est ut 12 erit ut 36, <lb></lb>sphaerica autem superficies sen inscripte spherae DB est <lb></lb>ut 16, ergo perimeter solidi (sive universa coni recti ACE <lb></lb>superficies) erit duplus sesquiquartus superficiei sibi in<lb></lb>scripte spherae DB. </s></p> <p type="main"> <s>Cum sit ergo universa superficies huius aequilateri coni <lb></lb>ACE ut 36, universa vero superficies cylindri recti GH <pb pagenum="353"></pb>eidem spherae circa DE circumscripti sit ut 24 (nam cur<lb></lb>vae cylindri recti GH aequatur superficiei inscripte sphae<lb></lb>rae circa DB nempe quatuor circuli circa DB, nempe, <lb></lb>quorum alter ut diximus est ut 4, ita ut tota superficies <lb></lb>curva cylindri basis aequatur eidem circulo circa DB ita <lb></lb>ut ambo simul bases sint ut 8) cumque spherae eiusdem <lb></lb>circa DE superficies ostensa sit ut 16, erunt trium huius<lb></lb>modi solidorum universe superficies, nempe coni recti equi<lb></lb>lateri, cylindri recti equilateri cylindri recti et sphaerae <lb></lb>tam cono quam cylindri inscriptae in ratione horum nu<lb></lb>merorum 36, 24, 16 seu in ratione 9, 6, 4 hoc est in eadem <lb></lb>continua ratione sesquialtera ita ut universa cylindri recti <lb></lb>superficies spherae circumscripti: sit medio loco propor<lb></lb>tionalis inter universam superficiem aequilateri coni cir<lb></lb>cumscripti eidem spherae et superficiem spherae eiusdem. </s></p> <p type="main"> <s>Sed ut in secunda Propos. </s><s>huius Tractatus ostensum <lb></lb>fuit ut sunt universae superficies solidorum eidem spherae <lb></lb>a quibuscumque polygonis circumscriptorum ad superfi<lb></lb>ciem spherae inscriptae, ita sunt ipsa solida circumscripta <lb></lb>ad spheram inscriptam, ergo tria quoque predicta solida, <lb></lb>nimirum coni aequilateri, cylindri recti et spherae ipsis so<lb></lb>lidis inscripte sunt in eadem continua ratione sesquialtera <lb></lb>adeo ut cylinder sphaerae circumscriptus sit medius pro<lb></lb>portionalis inter ipsam sphaeram et conum aequilaterum <lb></lb>eidem circumscriptum quod pariter Prop. 31 Lib. 2 <emph type="italics"></emph>De so<lb></lb>lidi sphaeral.<emph.end type="italics"></emph.end> fuerat demonstratum. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>THEOR. VI. PROP. VII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Sed ut in precedenti secunda Prop. </s><s>conclusum fuit so<lb></lb>lida spherae circumscripta ad ipsam spheram sunt ut illo<lb></lb>rum perimetri ad spherae superficiem erit et conus hic <lb></lb>aequilaterus sibi inscripte spherae duplus sesquiquartus <lb></lb>hoc est ut 9 ad 4. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>THEOR. VII. PROP. VIII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Cum sit ergo totus conus [stessa Fig.] ACE ad inscrip<lb></lb>tam spheram DB ut 36 ad 16, si ex eo auferatur conus <lb></lb>CIE (cum sit in eadem cum illo basi et in subtripla alti- <pb pagenum="354"></pb>tudine EI, subtriplus est totius coni CAE), nempe est ut <lb></lb>12 supererit residuus conus excavatus DCABE ad ipsam <lb></lb>sphaeram, ut 24 ad 16, hoc est sphaerae sesquialter, sive <lb></lb>aequalis cylindro GH sphaerae eidem circumscripto. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>THEOR. VIII. PROP. IX.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Superficies autem sphaerae [stessa Fig.] ACE circum<lb></lb>scripte huiusmodi cono aequilatero ACE erit ad superfi<lb></lb>ciem sphaerae inscripte DB ut quatuor ad unum (sunt <lb></lb>enim earum semidiametri in ratione dupla, quoniam AB <lb></lb>ostensa a nobis fuit superius sesquialtera DB seu tripla sui <lb></lb>dimidij BI, ac ideo divisim AI radius sphaerae circum<lb></lb>scripte duplus IB radij spherae inscripte sunt spherice su<lb></lb>perficies ut quadrata radiorum); sed inscripta spherica circa <lb></lb>DB inventa est nnper ut 10, ergo circumscripta ACE erit <lb></lb>ut 64, universa autem conica superficies ACE reperta est ut <lb></lb>36, quare circumscripta sphaerica ACE ad conicam super<lb></lb>ficiem universam sibi inscripti coni recti ACE erit ut 64, <lb></lb>ad 36, vel ut minimi numeri 16 ad 9, vel ut 32 ad 18. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>THEOR. IX. PROP. X.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Soliditas autem circumscriptae </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 5].<lb></lb>sphaerae [Fig. 5] ACE est ad sphe<lb></lb>ram inscriptam DB ut 32 ad 4 (cum <lb></lb>harum semidiametri IA, IB sint <lb></lb>in ratione octupla inscripta vero <lb></lb>sphera DB ad sibi circumscriptum <lb></lb>conum rectum ACE est ut 4 ad 9, <lb></lb>ut paulo ante animadvertimus). <lb></lb>Quare circumscripta sphera ad sibi <lb></lb>inscriptum conum aequilaterum <lb></lb>erit ut 32 ad 9. Horum itaque so<lb></lb>lidorum superficies nempe sphaerae, et coni aequilateri <lb></lb>inscripti sunt ut 32 ad 18 soliditates vero ut 32 ad 9. </s></p> <pb pagenum="355"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>THEOR. X. PROP. XI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Conus preterea equilaterus [v. </s><s>Fig. preced.] ACE ad <lb></lb>suam inscriptam sphaeram DB est in duplicata ratione <lb></lb>axis coni AB ad axem spherae DB. </s></p> <p type="main"> <s>Nam ostensa enim AB partium 3 aequalem DB est 2, <lb></lb>ac propterea quadratum AB est ut 9 et DB ut 4 et ut <lb></lb>est 9 ad 4, ita ostensum est esse conus ACE ad spheram <lb></lb>sibi inscriptam DE. </s></p> <p type="main"> <s>Conus tandem equilaterus sine basi isoperimeter est <lb></lb>cylindro eamdem sibi altitudinem basim vero circulum in <lb></lb>triangulo inscriptum habenti. </s></p> <p type="main"> <s>Nam qualium partium maximus circulus inscriptae <lb></lb>sphaerae DB positus fuit 4 talium inventa est curva su<lb></lb>perficies sibi circumscripti coni aequilateri ACE partium <lb></lb>24 et talium curva circumscripti cylindri in altitudine ses<lb></lb>quialtera AB et super eadem cum illo basi, quae ipsi ma<lb></lb>ximo circulo est aequalis est ut altitudo DB ad altitudi<lb></lb>nem AB, nempe ut 16 ad 24, ergo curva superficies coni <lb></lb>aequilateri ACE sphaerae DB circumscripti aequalis est <lb></lb>curvae superficiei cylindri in eadem cum cono altitudine <lb></lb>AB et super basim circuli ex diametro DB aequilatero <lb></lb>triangulo ACE per axem coni ducto est aequalis. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>THEOR. XI LEMMATICUM.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROP. XII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Triangulum aequilaterum </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 6].<lb></lb>exagoni aequilateri sesquial<lb></lb>terum est si utrinque eidem <lb></lb>circulo sit circumscriptum, <lb></lb>quia latus trianguli aequila<lb></lb>teri [Fig. 6] ABC circulo DEF <lb></lb>circumscripti triplum est la<lb></lb>teris exagoni DEFG eidem <lb></lb>circulo circumscripti. </s><s>Perime<lb></lb>ter vero trianguli eiusdem <lb></lb>sesquialter est perimetri eiusdem exagoni. </s></p> <pb pagenum="356"></pb> <p type="main"> <s>Horum examen per numeros facilis est. </s></p> <p type="main"> <s>Nam AHI est triangulum aequilaterum, quoniam intra <lb></lb>exagonum uterque angulorum ad HI aequatur uni recto <lb></lb>cum duabus tertijs; ergo uterque reliquorum angulorum <lb></lb>qui iis deinceps sunt in triangulo AHI ad H et I erit 2/3 <lb></lb>unius recti et tantumdem erit reliquus ad A, quapropter <lb></lb>AHI est aequilaterus, unde AH aequatur lateri exagoni <lb></lb>HI vel HL, pariterque BL est eidem LH aequalis; ergo <lb></lb>latus AB trianguli aequilateri circulo DF circumscripti <lb></lb>triplum est lateris HL circumscripti exagoni ac propterea <lb></lb>illius triplum seu perimeter trianguli aequilateri sesquialter <lb></lb>est huius sextupli, nempe perimetri exagoni equilateri. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>THEOR. XII. PROP. XIII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si praemissa figura convertatur circa axem [Fig. 7] DC, <lb></lb>perimeter, sive universa superficies coni aequilateri ad pe<lb></lb>rimetrum, sive ad universam superficiem solidi exagonalis <lb></lb>erit ut 18 ad 11 immo ut 27 </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 7].<lb></lb>ad 14 ut infra ostendam, qua<lb></lb>propter etiam solidum ad so<lb></lb>lidum, nempe conus aequila<lb></lb>terus ad solidum exagono erit <lb></lb>ut 18 ad 11 ut 27 ad 14. </s></p> <p type="main"> <s>Sed conus ipse ad spheram <lb></lb>sibi inscriptam est ut 18 ad 8 <lb></lb>ut Teor. </s><s>ostendit ad Prop. </s><s><lb></lb>XXX Lib. II <emph type="italics"></emph>De solid. </s><s>sphae<lb></lb>ralib.<emph.end type="italics"></emph.end> velut 27 ad 12; ergo so<lb></lb>lidum ab exagono ad sibi in<lb></lb>scriptam spheram erit ut 11 ad 8 imno ut 14 ad 12 vel <lb></lb>ut 7 ad 6 et ad eidem spherae circumscriptum cylindrum <lb></lb>erit ut 11 ad 12 imno ut 14 ad 18 vel ut 7 ad 9. </s></p> <p type="main"> <s>Quod vero universa superficies coni aequilateri ABC <lb></lb>ad universam alterius solidi ab exagono utrumque eidem <lb></lb>spherae DF circumscriptum sit ut a me asseritur in ra<lb></lb>tione 27 ad 14 non autem in ratione 18 ad 11 (ex qua nu<lb></lb>merorum aequivocationes ortum habent et reliquae) sic <lb></lb>demonstrabimus. </s></p> <pb pagenum="357"></pb> <p type="main"> <s>Ex centro M et ex vertice C trianguli aequilateri ABC <lb></lb>agantur MN, CO tangenti AB parallele, hoc est rectos effi<lb></lb>cientes angulos ad MC cum CD et ad punctum N termi<lb></lb>num radij MN in quadrantes DMN sit talia contingens <lb></lb>circuli PO, occurrat perductum contingens latus FQ exa<lb></lb>goni FNG. Iam cum sit C axis CD sesquialter diametri DF <lb></lb>(uti a me conclusum fuit ad fincm Prop. </s><s>V huius ad num. 1) <lb></lb>erit et latus OP sesquialterum lateris QP et ob id cylin<lb></lb>drica superficies ab OP sesquialtera cylindrice ab QP. Si <lb></lb>ergo illa ab OP ponatur partium 18, tantumdem erit co<lb></lb>nica CA per Prop. 14 Lib. I <emph type="italics"></emph>De solidis sphaeralihus<emph.end type="italics"></emph.end> et <lb></lb>cylindrica a QP erit quae est 2/3 ipsius OP erit spatium <lb></lb>12 et tantumdem erit sphaerae superficiis; sed haec qua<lb></lb>drupla est sui circuli maximi FD erit earumdem partium 3 <lb></lb>circulis vero ex diametro lateris AB triplus est circuli <lb></lb>ex diametro FD ut ibidem conclusimus; ergo 15 circulus ex <lb></lb>diametro AB, sive basis coni equilateri ACB erit earum<lb></lb>dem partium 9. Sed conica ex CA diversa est partium 18, <lb></lb>ergo universa coni aequilateri superficies erit ut 27. </s></p> <p type="main"> <s>Et quoniam latus AB trianguli aequilateri triplum <lb></lb>ostendimus in preced. </s><s>Prop. </s><s>XII lateris HL exagoni erit <lb></lb>circulus ex diametro AB nonuplus circuli ex diametro HL <lb></lb>nempe erit ut 9 ad 1; sed circulus ex diametro AB ad cir<lb></lb>culum ex diametro FD (ut nuper ostendimus est ut 9 ad 3) <lb></lb>ergo circulus ex diametro AB ad circulum ex diametro <lb></lb>FD ad circulum ex diametro HL atque ex RS est ut 3 <lb></lb>ad 1 erat autem circulus ex DF partium 3 ergo duo simul <lb></lb>circuli circa diametros HL, RS erunt earumdem 2; sed <lb></lb>conicae superficies a lateribus RL, LH exagoni descripte <lb></lb>aequales sunt cylindricis altera alteri a lateribus QN, NP <lb></lb>demptis per eamdem Prop. 14 <emph type="italics"></emph>De solid. </s><s>sphaeralibus;<emph.end type="italics"></emph.end> duae <lb></lb>simul haec sunt illarum partium 12 ergo et duae simul <lb></lb>conicae ab RL, LH erunt ut 12 et una cum circulis circa <lb></lb>RS, HL qui sunt ut 2 efficient 14, quare universa super<lb></lb>ficies solidi a semiexagono RFLHD descripti circa spheram <lb></lb>FN, DG erit partium illarum 14 sed universam superficiem <lb></lb>coni equilateri CAB circa eamdem sphaeram descripti iu<lb></lb>venimus superius ipsarum partium 27; ergo universa su<lb></lb>perficies coni equilateri ad universum solidi semiexagono <pb pagenum="358"></pb>(utrumque circa eamdem sphaeram et circa catetum de<lb></lb>scriptum) est ut 27 ad 14, uti ostendere proposueramus. </s></p> <p type="main"> <s>Hin et solida ab ipsis superficiebus comprahensa Prop. 2 <lb></lb>huius hoc est conus aequilaterus et solidum a semiexa<lb></lb>gono eidem sphaerae circumscripta circa catetos sunt in <lb></lb>ratione 27 ad 14 quod ad captum reliquorum ex superius <lb></lb>propositis ostendisse sufficiat. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>THEOR. XIII. PROP. XIV.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Sphaeroides figurae rationem habent compositam ex <lb></lb>ratione axium, et ex ratione maximorum circulorum. </s></p> <p type="main"> <s>Patet sint enim semiaxes ABCD maximi vero circuli, <lb></lb>quorum diametri EFGH. Concipiantur EAFGCH. Hemi<lb></lb>sphaeroidibus inscripti. </s></p> <p type="main"> <s>Iam sphaerois B ad sphaeroidem D erit (sumptis ea<lb></lb>rum subquadruplis per Archimedem) ut conus EAF ad <lb></lb>conum CGH, propterea compositam inter se rationem ha<lb></lb>bebunt ex rationibus semiaxium ABCD, vel integrorum <lb></lb>axium sphaeroidum et earum maximorum circulorum quo<lb></lb>rum diametri sunt EFGH. Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>THEOR. XIV. PROP. XV.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Sphaeroides ab eadem ellipsi genite tum circa minorum <lb></lb>axem tum circa majorem inter se sunt in reciproca ra<lb></lb>tione axium. </s></p> <p type="main"> <s>Esto ut ponitur in precedenti figura jam sphaerois B <lb></lb>ad sphaeroidem D rationem habet eamdem quam earum <lb></lb>subquadrupli, nempe quam conus EAF ad conum GCH, <lb></lb>nempe compositam rationibus ipsarum basium, vel quadra<lb></lb>torum EBGD hoc est duplicata ratione laterum EBGD <lb></lb>sed cum eadem utrinque ponatur acquales sunt tam EBCD <lb></lb>quam ABGD; ergo sphaerois B ad sphaeroidem D ratio<lb></lb>nem habet compositam ex ratione AB ad CD et ex du<lb></lb>plicata ratione CD ad AB hoc est ex ratione CD ad AB <lb></lb>demptis ergo duabus propositionibus primis, quae ob reci<lb></lb>procam aequalitatem se invicem tollunt (ut alibi ostendam <pb pagenum="359"></pb>erit sphaerois B ad D ut axis CD ad axem AB). Nempe <lb></lb>in reciproca ratione axium. </s></p> <p type="main"> <s>Quod erat etc. </s></p> <p type="main"> <s>Quod vero duae rationes primae AB ad CD et CD ad <lb></lb>AB se invicem tollant patet; quoniam ratio, quae ex his <lb></lb>componitur est quae ipsius AB ad AB nempe aequalitatis, <lb></lb>quae est eadem ac ipsius CD ad CD; sed erat sphaerois B <lb></lb>ad D in ratione composita trium predictarum rationum <lb></lb>AB ad CD, CD ad AB et CD ad AB, quarum duae primae <lb></lb>conficiunt rationem aequalitatis CD ad CD ergo sphaerois <lb></lb>B ad D est in ratióne composita duarum tantum nempe <lb></lb>CD ad CD et CD ad AB quae duae rationes, conficiunt <lb></lb>rationem tantum primae ad ultimam magnitudinem, nempe <lb></lb>axis CD ad axem AB. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROBL. II. PROP. XVI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Sphaeram in data ratione secare<emph.end type="italics"></emph.end> .<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Suppositio: Esto sphaera [Fig. 8] ABCD </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 8].<lb></lb>cuius axis AC secta plano BD ad axem <lb></lb>erecto, ponaturque AE ipsi CA in directum <lb></lb>et aequalis semidiametro. </s></p> <p type="main"> <s>Ostendit Cavalerius Lib. 3 suae <emph type="italics"></emph>Geo<lb></lb>metrie<emph.end type="italics"></emph.end> Prop. 6 sphaeram ABCD ad seg<lb></lb>mentum BCD esse ut parallelepipedum <lb></lb>sub altitudine radij EA, basi quadrato FC, <lb></lb>quae ratio (addam ergo) in hanc elegan<lb></lb>tiorem reducitur duplando tantum termi<lb></lb>nos, nempe ut cubus axis AC ad paralle<lb></lb>lepipedum sub altitudine dupla EF et basi <lb></lb>quadrato FC hoc est altitudine axis sphae<lb></lb>rae cum duplo axis reliquae portionis, et basi quadrato <lb></lb>axis assumptae portionis. </s></p> <pb pagenum="360"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Esto parabola, cuius diameter [Fi</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 9].<lb></lb>gura 9] AB tangens AC parallela <lb></lb>diametro CD et in trilineo mixto ACD <lb></lb>sint duo parallelogramma CE, CF. <lb></lb>Dico parallelogrammum CE ad CF <lb></lb>esse ut parallelepipedum sub altitu<lb></lb>dine CI basi quadrato IA. Hoc autem <lb></lb>patet, quoniam parallelogramma ac<lb></lb>quiangula CE, CF habent rationem ex <lb></lb>rationibus laterum compositam, nempe <lb></lb>ex ratione CH ad CI et ex ratione HE <lb></lb>ad IF hoc est quadrato HA ad AI (ob <lb></lb>parabolam) nempe ex rationibus qui<lb></lb>bus componitur ratio parallelepidero<lb></lb>rum superius dictorum. </s></p> <p type="main"> <s>Esto nunc sphaera secunda cuius diameter [Fig. 10] AB, <lb></lb>circa quam circulus maximus AOBP et diametri sesquial<lb></lb>tera sit AC sintque datae rationes termini BE, BD qui in <lb></lb>tangente circuli ad B indirep</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 10].<lb></lb>tum sumitur. </s><s>Fiat praeterea <lb></lb>parabola AD per punctum D <lb></lb>tangens AB in A ita ut AF <lb></lb>circulum tangens ad A. Sit <lb></lb>illius axis per E vero fiat hi<lb></lb>perbola intra asimptotos AC, <lb></lb>AH, quae necessario secabit <lb></lb>parabolam in duobus punctis, <lb></lb>eo quod utraque asymptotos <lb></lb>CH, CA occurrat parabolae, <lb></lb>et punctum E per quod haec <lb></lb>ducitur sit intra trilineum mixtum parabolicum DA, CH. </s></p> <p type="main"> <s>Secet igitur ad partes BF parabolam in I et per I sol<lb></lb>vetur problema nimirum si per I agatur planum OP ad <lb></lb>axem AB datae sphaerae erectum ipsumque axem secans <lb></lb>in <expan abbr="q.">que</expan> Dico portionem sphaericam OBP ad portionem reli<lb></lb>quam OAP esse in ratione data DE ad EB. </s></p> <pb pagenum="361"></pb> <p type="main"> <s>Per puncta DEI agantur DH, EL, IG diametro AB pa<lb></lb>rallele; erit per praecedens lemma ut parallelogrammum <lb></lb>DC ad IC, ita parallelepipedum sub altitudine CB et basi <lb></lb>quadrata BA ad parallelepipedum sub altitudine CQ et <lb></lb>basi quadrata QA; sed huiusmodi parallelepipeda sunt per <lb></lb>praemissam suppositionem, ut est tota sphaera BOAP ad <lb></lb>hanc portionem OAP, ergo ut parallelogrammum DC ad <lb></lb>IC, vel ad sibi aequalem EC (ob hyperbolam), ita est tota <lb></lb>sphaera BOAP, ad sui portionem OAP et dividendo ut pa<lb></lb>rallelogrammum DL ad LB vel (ut basis DE ad EB ter<lb></lb>mini datae rationis) ita portio sphaerica OBP ad reliquam <lb></lb>portionem sphaericam OAP. Quod erat faciendum etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>THEOR. XV. PROP. XVII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Cylindri aequealti et ut </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 11].<lb></lb>in hac figura simul compositi <lb></lb>[Fig. 11] AB, AC, AD inter <lb></lb>se sunt tangentes in para<lb></lb>bola ad diametros basium <lb></lb>vel ut vitium in ipso auto<lb></lb>grapho extantem corrigatur <lb></lb>sunt inter se ut lineae BE, <lb></lb>CF, DG ex diametrorum ba<lb></lb>sium terminis quae ad para<lb></lb>bolam HG cuius vertex H <lb></lb>tangens HD aequidistanter <lb></lb>ductae ipsi parabolae diametri HM. </s></p> <p type="main"> <s>Ipsi enim cylindri AB, AC, AD sunt inter se ut bases <lb></lb>vel ut quadrati diametrorum HB, HC, HD vel ut ipse ap<lb></lb>plicate BE, CF, DG in trilineo DHG ob parabolam. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>THEOR. XVI. PROP. XVIII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si in parabola cuius axis [Fig. 12] AB et ordinatim <lb></lb>ductae BE, CD fuerit AB altitudo cylindri et CD diame<lb></lb>ter basis, erit hic aequalis cylindro cuius altitudo sit AC <lb></lb>et basis diameter BE. Idem de conis sub praedictis altitu<lb></lb>dinibus ac basibus. </s></p> <pb pagenum="362"></pb> <p type="main"> <s>Facillime patet hoc, quoniam ob para</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 12].<lb></lb>bolam, ut sunt altitudines BA, AD, ita sunt <lb></lb>circuli ex ordinatis ductis BC, DE et cum <lb></lb>huiusmodi cylindrorum altitudines sint in <lb></lb>reciproca ratione basium ipsi dubio procul <lb></lb>sunt aequales. </s><s>Pariterque coni qui sunt <lb></lb>eorundem cylindrorum subtripli. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>THEOR. XVII. PROP. XIX.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si in parabola cuius axis [Fig. 13] MH <lb></lb>et ordinatae quotcumque BA, ED, HG et aequalia fuerint <lb></lb>rectangula per axes sint MBC, MEF, MHI, altitudines <lb></lb>tamen sint MB, ME, MH. Concessa etiam vera est. </s></p> <p type="main"> <s>Quo ad primum cum sit rectangulum <lb></lb>ABC aequale ex hypothesi rectangulo DEF </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 13].<lb></lb>erit DE ad AB, ut BC ad EF. Quoniam <lb></lb>vero altitudo EM ad altitudinem MB est <lb></lb>(ob parabolam) ut quadratum ED ad qua<lb></lb>dratum BA vel ut quadratum BC ad qua<lb></lb>dratum EF, erunt reciproce altitudines et <lb></lb>bases adeoque cylindri, quorum sint altitu<lb></lb>dines MB, ME, bases vero circuli circa <lb></lb>BC, EF aequales erunt et sic de angulis. </s><s><lb></lb>Ergo etc. </s></p> <p type="main"> <s>Quo ad conversam. </s><s>Cum supradicti cy<lb></lb>lindri sint aequales erit circulus circa BC ad circulum <lb></lb>circa EF, vel quadratum BC ad EF ut altitudo EM ad <lb></lb>MB, vel ut quadratum ED ad BA (ob parabolam) qua<lb></lb>propter et latus BC ad EF erit ut latus ED ad BA adeo<lb></lb>que rectangula ABC, DEF sunt aequalia. </s><s>Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>THEOR. XVIII. PROP. XX.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si fuerit vas [Fig. 14] AC semper aqua plenum perfo<lb></lb>ratum ut fundo ad B sitque solidum a cadente aqua con<lb></lb>formatum BLM juxta nempe curvitatem hyperbolae bi<lb></lb>quadraticae prout investigatam in aedito libello <emph type="italics"></emph>De motu<emph.end type="italics"></emph.end> <pb pagenum="363"></pb><emph type="italics"></emph>aquarum<emph.end type="italics"></emph.end> si a suprema aqua </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 14].<lb></lb>libella C fiat parabola CF, du<lb></lb>canturque plures in ea applicatae <lb></lb>GD, HL, IF quae intra aqueum <lb></lb>solidum producantur ad B, L, M <lb></lb>ut in figura cylindri omnes super <lb></lb>bases B, L, M, in altitudinibus <lb></lb>GD, HE, IF inter se aequales <lb></lb>erunt. </s></p> <p type="main"> <s>Nam per doctrinam ab Ab. </s><s><lb></lb>Benedicto Castelli traditam in tractatu <emph type="italics"></emph>De aquis decur<lb></lb>rentibus,<emph.end type="italics"></emph.end> sectio B ad sectionem L, est ut velocitas per L <lb></lb>ad velocitatem per B acquisita per L ad velocitatem per B <lb></lb>acquisita per aquae descensum in utraque sectione a su<lb></lb>prema libella AC, vel ut velocitas gravis cadentis a C <lb></lb>ad H ad velocitatem eiusdem a C ad I vel, per Coroll. <lb></lb>Prop. </s><s>X Lib. primi <emph type="italics"></emph>De motu gravium naturaliter descen<lb></lb>dentium<emph.end type="italics"></emph.end> , ut ordinata HE ad ordinatam GD. Sunt igitur <lb></lb>bases B, L reciprocae altitudinibus HE, GD, quare cylin<lb></lb>drus super basim B in altitudine GD, aequalis est cylindro <lb></lb>super basim L in altitudine HE et sic de reliquis etc. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>FINE DEL <lb></lb>DE SOLIDIS VARIA.<emph.end type="center"></emph.end></foreign></s> </p> <pb></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>DE CIRCULO ET ADSCRIPTIS.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <pb></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>AVVERTIMENTO.<emph.end type="center"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Il seguente lavoro è una collezione di materiali sparsi dovuta alle fatiche del <lb></lb>Viviani e del Serenai; è ora per la prima volta tratto dall'inedito servendosi delle <lb></lb>due copie che se ne trovano nel Vol. </foreign></s> <s><foreign lang="it">XXVII del “ <emph type="italics"></emph>Discepoli di Galileo<emph.end type="italics"></emph.end> ”. </foreign></s> </p> <pb></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>DE CIRCULO ET ADSCRIPTIS<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROP. I.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si tangens [Fig. 1] AB sit aequalis arcui AC, triangu<lb></lb>lum ADB aequale erit sectori ADC. </s></p> <p type="main"> <s>Posita AE aequali peripheriae, erit DAE triangulum <lb></lb>Archimedis <emph type="italics"></emph>De dimensione circuli,<emph.end type="italics"></emph.end> eritque triangulum DAE </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 1].<lb></lb>ad triangulum DAB ut est EA ad AB, idest ut peripheria <lb></lb>ad arcum AC, nempe ut circulus ad sectorem ADC. Verum <lb></lb>antecedentia sunt aequalia, ergo et consequentia, triangu<lb></lb>lum videlicet ADB sectori ADC. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROP. II.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Sit tangens [Fig. 2] BC ex centro sit AC; dico trian<lb></lb>gulum ABC ad suum sectorem BAE esse ut tangens BC <lb></lb>ad arcum BE. </s></p> <pb pagenum="368"></pb> <p type="main"> <s>Posito arcu BD aequali recte BC, </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 2].<lb></lb>erit triangulum ABC sectori BAD ae<lb></lb>quale per precedentem. </s><s>Modo tangens <lb></lb>BC ad arcum BE, est ut arcus BD <lb></lb>ad arcum BE, nempe sector BAD ad <lb></lb>sectorem BAE, vel ut triangulum <lb></lb>BAC ad sectorem BAE ad aequalita<lb></lb>tem; ergo etc. </s><s>Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROP. III.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Quodlibet trapetium etiam irregulare [Fig. 3] ABCD <lb></lb>circulo circumscriptum ad circulum est ut trapetij peri<lb></lb>meter ad ipsam circuli peripheriam. </s></p> <p type="main"> <s>Ducantur ex centro linee ad omnes angulos, et erit <lb></lb>resolutum poligonum in triangula </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 3].<lb></lb>eandem altitudinem habentia cir<lb></lb>culus autem in sectores. </s><s>Sumatur <lb></lb>quodlibet ex triangulis AFE; <lb></lb>erunt omnia triangula ob com<lb></lb>munem altitudinem (nempe poli<lb></lb>gonum) ad assumptum triangu<lb></lb>lum AFE ut poligoni perimeter <lb></lb>ad AF. </s></p> <p type="main"> <s>Triangulum vero AFE ad sec<lb></lb>torem est ut AF ad arcum FG; denique sector ad circu<lb></lb>lum est arcus FG ad peripheriam, quare ex aequo erit <lb></lb>poligonum ad circulum, ut poligoni perimeter ad circuli <lb></lb>circumferentiam. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROP. IV.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Poligona circulo circumscripta inter se sunt ut ambi<lb></lb>tus. </s><s>Ad circulum vero sunt ut ambitus ad peripheriam. </s><s>Ad <lb></lb>inscripta autem sunt exacte ut circulus etc. </s></p> <pb pagenum="369"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROP. V.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Sector [Fig. 4] ABCD ad suum </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 4].<lb></lb>triangulum et CD est ut semiarcus <lb></lb>BC ad perpendicularem EH. Utraque <lb></lb>enim figura triangulum est super ea<lb></lb>dem basi CD cum altitudinis BC et <lb></lb>EH duplicatis; ergo etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROP. VI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Ideo (in eadem figura) assumpto arcu CI aequali linee <lb></lb>EH esset sector ad triangulum ut BC ad CI. Quare divi<lb></lb>dendo segmentum ABCE ad suum triangulum ADC erit <lb></lb>ut BI ad IC. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROP. VII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si ergo AC secet circulum, ductaque IH perpendi<lb></lb>culari ad EC, sumatur CL aequalis IH, erit semper ad <lb></lb>segmentum homologe ut BL ad LD. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROP. VIII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si fiat ut [Fig. 5] IC perpendicularis ad arcum CA ita <lb></lb>radius CB erit etc. </s></p> <p type="main"> <s>Dato sectore. </s><s>Si fiat ut triangu</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 5].<lb></lb>lum ABC ad segmentum ACH, ita <lb></lb>radius BC ad CD, erit triangulum <lb></lb>CAD equale segmento et perpen<lb></lb>dicularis DE aequalis arcui AHC etc. </s><s><lb></lb>Nam componendo erit ut triangulum <lb></lb>ACB ad sectorem ita linea CB ad <lb></lb>BD, vel triangulum idem ACB ad <lb></lb>triangulum ADB etc. </s><s>Est ergo sector <lb></lb>aequalis triangulo ADB etc. </s><s>Hinc est quod altitudo DE <lb></lb>aequalis est arcui CHA etc. </s></p> <pb pagenum="370"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROP. IX.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Sector ad trapezium ex tangenti</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 6].<lb></lb>bus est ut arcus [Fig. 6] AE ad li<lb></lb>neam AD. Ad trapetium vero inscrip<lb></lb>tum est arcus ad chordam. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROP. X.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Sector [Fig. 6] AECB ad suum <lb></lb>trapetium eum rationem habet, quam <lb></lb>arcus ad subtensam etc. </s><s>Nam sector <lb></lb>triangulum est cuius basis AB alti<lb></lb>tudo vero arcus trapetium autem triangulum est cuius <lb></lb>cadem AB basis et altitudo AC. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROP. XI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Proportio trium figurarum </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 7].<lb></lb>trapezij [Fig. 7] BADC tra<lb></lb>petij BAEC trianguli BAC, est <lb></lb>in lineis BD, BE, BF. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROP. XII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Circulus ad suum quadratum est ut peripheria qua<lb></lb>drantis ad radium, vel semiperipheria ad diametrum. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROP. XIII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Ergo etiam circulus ad quodcumque inscriptum regu<lb></lb>lare poligonum laterum numero parium est ut peripheria <lb></lb>ad ambitum poligonum laterum numero subduplorum. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROP. XIV.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Ergo circulus ad suum triangulum est ut peripheria ad <lb></lb>dimidium ambitus trianguli. </s></p> <pb pagenum="371"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROP. XV.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Ergo circulus ad pentagonum est ut peripheria ad <lb></lb>duas subtensas, cum dimidia subtensas intelligo angulis <lb></lb>poligoni. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROP. XVI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Ergo circulus ad suum poligonum est ut duo arcus ad <lb></lb>unicam subtensam, vel parium sit vel imparium numero <lb></lb>laterum. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROP. XVII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Hexagonum ad circulum est ut ambitus trianguli ad <lb></lb>peripheriam. </s><s>Circulum ad dodecagonum est ut peripheria <lb></lb>ad ambitum exagoni; ergo ex equo hexagonum ad dode<lb></lb>cagonum est ut ambitus trianguli ad ambitum exagoni, et <lb></lb>hoc verum est in omnibus poligonis habentibus latera nu<lb></lb>mero duplicia, sintque tria poligona, ergo exagonum ad <lb></lb>dodecagonum est ut CB ad BA, et sic in omnibus etc. </s><s><lb></lb>Demonstratio aliter fieri potest. </s><s>Dodecagonum est trian<lb></lb>gulum super basi AD eiusque altitudo est ambitus hexa<lb></lb>goni; at hexagonum est triangulum super eadem basi, et <lb></lb>illius altitudo est ambitus trianguli etc. </s><s>Ergo etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROP. XVIII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Hexagonum ad poligonum triginta laterum eam ratio<lb></lb>nem habet quam ambitus trianguli ad ambitum quinde<lb></lb>cagoni etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROP. XVIIII (<emph type="italics"></emph>sic<emph.end type="italics"></emph.end>).<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Dodecagonum inscriptum ad inscriptum exagonum ra<lb></lb>tionem habet diametri ad latus trianguli, ergo idem ad <lb></lb>triangulum est ut diameter ad dimidium lateris trianguli. </s></p> <pb pagenum="372"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROP. XX.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Sit [Fig. 8] CD latus poligoni quot</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 8].<lb></lb>vis laterum et CB latus poligoni la<lb></lb>terum numero duplorum etc. </s><s>Erit <lb></lb>rectangulum sub AB, CE duplum <lb></lb>trianguli ACB, hoc est aequale duo<lb></lb>bus triangulis ACB, ADB. </s></p> <p type="main"> <s>Quare rectangulum sub radio et <lb></lb>semiambitu poligoni aequatur poli<lb></lb>gono laterum numero duplorum etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROP. XXI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Dodecangulum aequatur quadrato ex latere trianguli <lb></lb>aequilateri inscripti. </s><s>Nam dodecagonum aequatur rectan<lb></lb>gulo (per praecedentem) sub radio et semiambitu exagoni; <lb></lb>hoc est tribus quadratis semidiametri, hoc est quadrato <lb></lb>lateris trianguli etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROP. XXII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Quadratum circumscriptum ad inscriptum hexagonum <lb></lb>est ut diameter ad tres quartas lateris trianguli inscripti. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROP. XXIII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Idem quadratum ad triangulum equilaterum inscriptum <lb></lb>est ut diameter ad tres octavas lateris ipsius trianguli. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROP. XXIV.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Ergo inscriptum quadratum (quod est dimidium qua<lb></lb>drati diametri) est ad hexagonum ut diameter ad dimi<lb></lb>dium perimetri trianguli. </s><s>At idem quadratum inscriptum <lb></lb>erit ad triangulum ut diameter ad quartam partem peri<lb></lb>metri eiusdem trianguli. </s></p> <pb pagenum="373"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROP. XXV.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Ex Villebrordo Snellio, sed aliter a nobis demonstrata<emph.end type="italics"></emph.end> .<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Erit ergo circumscriptum quadratum ad inscriptum do<lb></lb>decangolum, ut perimeter ipsius quadrati ad perimetrum <lb></lb>exagoni, hoc est ut quatuor diametri ad tres diametros, <lb></lb>videlicet sesquitertium. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROP. XXVI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Erit etiam quadratum inscriptum ad dodecangulum in<lb></lb>scriptum ut duo ad tres, hoc est subsesquialterum. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROP. XXVII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Triangulum circumscriptum quadruplum est inscripti. </s><s><lb></lb>Quadratum circumscriptum duplum est inscripti. </s><s>Patet <lb></lb>omnibus. </s></p> <p type="main"> <s>Ideo nota circumscriptum poligonum ad inscriptum sibi <lb></lb>simile habere semper proportionem duplicatam propor<lb></lb>tionis quam habet AB ad perpendicularem BC supra la<lb></lb>tus etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROP. XXIIX (<emph type="italics"></emph>sic<emph.end type="italics"></emph.end>).<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Circulum dicere aequalem cuicumque poligono inscri<lb></lb>pto. </s><s>Fiat ut peripheria ad mediam proportionalem inter <lb></lb>ipsam peripheriam et perimetrum poligoni laterum numero <lb></lb>subduplorum ita radius ad alium et habebis radium circuli <lb></lb>quaesiti. </s><s>Melius, vel quod idem est fiat ut duo arcus poli<lb></lb>goni ad mediam proportionalem inter dictos duos arcus et <lb></lb>eorum subtensam ita radius ad alium etc. </s><s>et habebis ra<lb></lb>dium circuli quaesiti. </s><s>Et nota quod hoc convenit etiam <lb></lb>poligonis disparibus. </s></p> <pb pagenum="374"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROP. XXIX.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Circulum dicere aequalem cuicumque poligono circum<lb></lb>scripto. </s></p> <p type="main"> <s>Fiat ut unus arcus ad mediam inter ipsum arcum et <lb></lb>unum latus, ita radius ad alium, et habebis radium circuli <lb></lb>quesiti. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROP. XXX.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>In primo casu sit diameter inventa </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 9].<lb></lb>[Fig. 9] AC, et data AB, ergo diameter <lb></lb>CB dabit circulum aequalem omnibus <lb></lb>segmenticulis etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROP. XXXI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>In secundo caso [stessa Fig.] data sit <lb></lb>AC et inventa AB et erit circulus CB <lb></lb>aequalis omnibus segmenticulis. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROP. XXXII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Forsan meluis sic ut fiat circulus aequalis poligono <lb></lb>cuius latus sit AC. Fac ut DC ad arcum, ita BC ad BE. <lb></lb>Vel et meluis, fac ut arcus ad CD ita CB ad BH, et <lb></lb>sumpta media proportionali BO erit semidiameter quesiti <lb></lb>circuli. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROP. XXXIII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Segmenticula omnia residua ablato poligono sunt trian<lb></lb>gulum super basi radij cum altitudine excessus peripherie <lb></lb>super latera poligoni laterum numero subduplorum. </s></p> <p type="main"> <s>Ideo segmenta omnia dodecagoni ad omnia simul seg<lb></lb>menta exagoni rationem habent excessus peripherie super <lb></lb>perimetrum hexagoni ad excessum eiusdem super perime- <pb pagenum="375"></pb>trum trianguli vel, et idem est, sunt ut differentia inter <lb></lb>arcum AID et subtensam DA ad differentiam inter ipsum <lb></lb>arcum et semichordam DE. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROP. XXXIV.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Dato circulo, cuius radius AB, aequale poligonum re<lb></lb>gulare dicere, quotcumque laterum. </s></p> <p type="main"> <s>Sit latus similis poligoni in dato circulo AC. Fiat ut <lb></lb>DC ad arcum CA, ita BC ad BE; sumptaque inter BC, BE <lb></lb>media proportionali BF, fiat radio BF circulus et erit GF <lb></lb>latus poligoni quesiti. </s><s>Est enim poligonum FG ad poligo<lb></lb>num CA ut EB ad CB, hoc est ut arcus AC ad CD, hoc <lb></lb>est ut circulus AC ad poligonum idem AC. Quare poligo<lb></lb>num GF aequale erit circulo dato. </s><s>Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>FINE DELLO SCRITTO <lb></lb>DE CIRCULO ET ADSCRIPTIS.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <pb></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>DE COMPARATIONE PERIMETRORUM <lb></lb>CYLINDRI, CONI AC SPHAERAE.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <pb></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>AVVERTIMENTO.<emph.end type="center"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Nel Vol. </s> <s><foreign lang="it">XXVII della raccolta “ <emph type="italics"></emph>Discepoli di Galileo<emph.end type="italics"></emph.end> ” si trovano due copie del <lb></lb>seguente lavoro, una di mano del Serenai, del Viviani l'altra; per la presente pub<lb></lb>blicazione si assunse come fondamento la prima perchè è una fedele trascrizione di <lb></lb>alcune pagine originali tuttora esistenti (e che abbiamo segnalate in margine della <lb></lb>nostra riproduzione). È necessario avvertire, a scanso di equivoci, che i richiami <lb></lb>al presente lavoro fatti nel corpo dell'altro <emph type="italics"></emph>De aequalitate perimetrorum cylindri, coni <lb></lb>ac sphaerae<emph.end type="italics"></emph.end> (v. </foreign></s> <s><foreign lang="it">più innanzi p. 387 e segg.) si riferiscono alla copia vivianea, che <emph type="italics"></emph>non<emph.end type="italics"></emph.end><lb></lb>scegliemmo perchè l'altra, come più schietta emanazione del pensiero torricelliano, <lb></lb>aveva indiscutibili diritti ad essere preferita. </foreign></s> </p> <pb></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>DE COMPARATIONE PERIMETRORUM <lb></lb>CYLINDRI, CONI AC SPHAERAE<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>CYLINDRORUM SUPERFICIES SUNT INTER SE <lb></lb> <arrow.to.target n="marg287"></arrow.to.target><lb></lb>UT RECTANGULA PER AXEM.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg287"></margin.target>Discepoli <lb></lb>di Galileo, <lb></lb>T. XXIII, <lb></lb>c. 72-75.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollario.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Coni superficies [Fig. 1] BAH ad conicam EDF (sine <lb></lb>basibus) est ut rectangulum ABC ad rectangulum DEI. </s></p> <p type="main"> <s>Conica s. </s><s>BAH ad suam basim est ut rectangulum <lb></lb>ABC ad quadratum BC. Sed circulus ex BC ad conicam <lb></lb>DEF est ut quadratum BC </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 1].<lb></lb>ad rectangulum DEF, erit <lb></lb>ergo ex equo conica ABC, <lb></lb>ad conicam DEI ut rect<lb></lb>angulum ABC ad rectan<lb></lb>gulum DEF. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollario.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Manifestum est omnes <lb></lb>conos habentes latera et <lb></lb>bases et modo ut rectan<lb></lb>gula que conorum propria vocamus, nempe sub latere et <lb></lb>semibasi respective omnia inter se sint equalia isoperi<lb></lb>metros esse; hoc est demptis basibus equales habere co<lb></lb>nicas superficies. </s></p> <pb pagenum="380"></pb> <p type="main"> <s>Conorum aequales bases habentium superficies sunt ut <lb></lb>latera triangulorum per axem. </s></p> <p type="main"> <s>Sit ut ponitur ergo conica superficies coni [Fig. preced.] <lb></lb>ABC ad conicam superficiem coni DEF, erit ut rectangu<lb></lb>lum ABC ad rectangulum DEF. Sed cum latera BC, EF <lb></lb>ponantur equalia erit ut AB ad DE. Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s>Similium conorum superficies sunt ut bases, sive in du<lb></lb>plicata ratione diametrorum basium vel axium etc. </s></p> <p type="main"> <s>Sit ut ponitur. </s><s>Similia ergo triangula [Fig. preced.] ABC, <lb></lb>DEF, et rectangula ABC, DEF similia erunt, et ideo in <lb></lb>duplicata ratione laterum homologorum BC, EF; sive ma<lb></lb>vis AB, DE, vel etiam AC, DF. Rectangula autem ABC, <lb></lb>DEF sunt ut superficies quare similium conorum super<lb></lb>ficies sunt in duplicata ratione semidiametrorum basium <lb></lb>sive ut bases, sive in duplicata ratione axium etc. </s></p> <p type="main"> <s>Si conus et cilindrus eamdem basim habuerint erit cy<lb></lb>lindrica superficies ad conicam ut axis cilindri ad semi<lb></lb>latus trianguli per axem <lb></lb>coni. </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 2].</s></p> <p type="main"> <s>Sit ut ponitur, erit ergo <lb></lb>cilindrica superficies ad <lb></lb>conicam vel axis cylindri <lb></lb>ad semilatus trianguli per <lb></lb>axem coni. </s></p> <p type="main"> <s>Sit ut ponitur, erit ergo <lb></lb>cylindrica superficiet ad <lb></lb>circulum basis ut [Fig. 2] <lb></lb>AB ad BF, quartam par<lb></lb>tem diametri BC; sed cir<lb></lb>culum basis ad conicam <lb></lb>est ut EB ad BD, hoc est (sumptis dimidijs) ut FB ad BH, <lb></lb>ergo ex equo erit cilindrica superficies ad conicam ut AB <lb></lb>ad BH etc. </s></p> <p type="main"> <s>Coni equilateri superficies est sue basis dupla. </s><s>Hoc <lb></lb>autem patet. </s><s>Cum enim sit conus equilaterus erunt equa- <pb pagenum="381"></pb>les [Fig. 3] AB, BD et ideo AB dupla BD. Sed superficies <lb></lb>coni ad basim est ut AB ad BD, ergo dupla; quod etc. </s></p> <p type="main"> <s>Coni equilateri superficies ad superficiem cylindri eam<lb></lb>dem basim et altitudinem habentis est ut semidiameter <lb></lb>basis [Fig. 4] AB ad axem BC. </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 3].</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 4].</s></p> <p type="main"> <s>Sit ut ponitur erit conica ad cilindricam ut rectan<lb></lb>gulum.... </s></p> <p type="main"> <s>Si conus et cylindrus equilateri in eadem basi erunt, <lb></lb>perimetri et basis in continua ratione dupla erunt etc. <lb></lb><emph type="italics"></emph>Patet. </s><s>Patet.<emph.end type="italics"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Dato cono cilindrum aequealtum et isoperimetrum fa<lb></lb>cere. </s><s>Producatur axis [Fig. 5] AB in C. Fiat </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 5].<lb></lb>deinde angulus ADC rectus et erit DC dia<lb></lb>meter basis cylindri, qui si coni altitudinem <lb></lb>AB habuerit, isoperimeter cono erit etc. </s></p> <p type="main"> <s>Cum enim sit ob similitudinem triangu<lb></lb>lorum ut DA ad AB ita CB ad DB erit <lb></lb>rectangulum ADB aequale rectangulo sub <lb></lb>AB, DC comprehenso. </s></p> <p type="main"> <s>Sed ut rectangulum ADB ad rectangu<lb></lb>lum sub AB axe et DC diametro basis ita <lb></lb>conica ad cylindricam superficiem quare isoperimetri erunt <lb></lb>conus et cylindrus etc. </s></p> <pb pagenum="382"></pb> <p type="main"> <s>Dato cono cylindrum isoperimetrum facere in eadem <lb></lb>basi. </s></p> <p type="main"> <s>Dividatur latus [Fig. 6] BC bifariam </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 6].<lb></lb>in E et sumatur axis AD aequalis ipsi BE. <lb></lb>Dico AD esse altitudinem cylindri, qui <lb></lb>cum super eadem basi sit cum dato cono <lb></lb>ipsi etiam isoperimeter sit etc. </s></p> <p type="main"> <s>Hoc autem patet; nam superficies ci<lb></lb>lindri ad superficiem coni super eadem <lb></lb>basi est ut axis AD ad semilatus BE. <lb></lb>Sed haec aequalia sunt ex constructione, <lb></lb>quare etiam superficies aequales erunt. </s></p> <p type="main"> <s>Dato cilindro cono aequealtum et iso</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 7].<lb></lb>perimetrum facere. </s></p> <p type="main"> <s>Sit cilindrus [Fig. 7] ABCD cuius basis <lb></lb>BC axis EF ducatur inclinata FG ita ut <lb></lb>facto angulo FGH recto ipsa GH aequalis <lb></lb>evadat ipsi BC, (hoc autem cum adeo <lb></lb>expeditum non sit praetermittemus). </s></p> <p type="main"> <s>Dico conum cuius latus FG axis FE <lb></lb>isoperimetrum esse cilindro, erit enim ob <lb></lb>similitudinem triangulorum ut FG ad FE, <lb></lb>sta HG ad GE, et ideo rectangulum FGE </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 8].<lb></lb>aequale rectangulo sub FE, GH, hoc est <lb></lb>sub FE, BC. Quare conica superficies ci<lb></lb>lindricae aequalis erit. </s></p> <p type="main"> <s>Dato cilindro, super eadem basi co<lb></lb>num isoperimetrum constituere. </s><s>Sit datus <lb></lb>cylindrus [Fig. 8] ABCD et inclinetur BF <lb></lb>dupla ipsius BA ex puncto B ad axem <lb></lb>EF, erit conus cuius latus sit BF, axis <lb></lb>vero EF, isoperimeter dato cilindro etc.; <lb></lb>erit enim per constructionem FB ad BA <lb></lb>ut CB ad BE, nempe in ratione dupla. </s><s><lb></lb>Quare rectangulum FBE aequale erit rectangulo ABC, <lb></lb>et ideo aequalis erit coni superficies superficiei cilindri etc. </s><s><lb></lb>quod etc. </s></p> <pb pagenum="383"></pb> <p type="main"> <s>Conum et cilindrum isoperimetros erigere super eadem <lb></lb>basi, et sub eadem altitudine. </s></p> <p type="main"> <s>Sit data quaelibet altitudo [Fig. 9] </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 9].<lb></lb>AB cuius dupla BC inclinetur ex <lb></lb>puncto B. Dico super basi DC et <lb></lb>sub altitudine AB conum atque ci<lb></lb>lindrum esse isoperimetros. </s></p> <p type="main"> <s>Erit enim ut BC ad BA ita DC <lb></lb>ad CA, nempe in ratione dupla et ideo rectangulum BCA <lb></lb>equale rectangulo sub DC, BA, quare conica superficies <lb></lb>erit superficiei cilindrice, quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si trianguli rectanguli basis ita secta fuerit, ut eadem <lb></lb> <arrow.to.target n="marg288"></arrow.to.target><lb></lb>sit differentia inter segmenta ac inter latera, erit rectan<lb></lb>gulum sub segmentis equale triangulo etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg288"></margin.target>Id. </s><s><lb></lb>T. XXXIV, <lb></lb>c. 265-2671.</s></p> <p type="main"> <s>Sit triangulum rectangulum </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 10].<lb></lb>[Fig. 10] ABC habens angulum <lb></lb>rectum B et ponatur BE aequalis <lb></lb>ipsi BA, eritque CE differentia <lb></lb>inter latera. </s><s>Secetur deinde CF <lb></lb>aequalis ipsi CE, et reliqua FA <lb></lb>bifariam dividatur in D. </s></p> <p type="main"> <s>Manifestum est quod inter segmenta basis AD, DC, <lb></lb>eadem erit differentia ac inter latera. </s><s>Dico jam rectan<lb></lb>gulum ADC equale esse triangulum ABC. </s></p> <p type="main"> <s>Cum enim BC secta sit utcumque in E erunt (septima <lb></lb>secundi) duo rectangula CBE una cum quadrato CE aequali <lb></lb>quadratis CB, et BE hoc est CB et BA, hoc est quadrato <lb></lb>CA hoc est quatuor rectangulis CDA cum quadrato CF. <lb></lb>Demptis ergo aequalibus quadratis CE, CF, erunt duo rect<lb></lb>angula CBE aequalia quatuor rectangulis CDA (et sub <lb></lb>quadrupla etiam); propterea semirectangulum ipsius CBE, <lb></lb>vel ipsius CBA hoc est ipsum triangulum CBA, equale <lb></lb>erit rectangulo CDA. </s></p> <p type="main"> <s>Quod etc. </s></p> <pb pagenum="384"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollarium.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Hinc, si per B, D, transeat hyperbole BDG cuius loci <lb></lb>sint A, C, erit rectangulum CBD ex lineis a facis angu<lb></lb>lum rectum B constituentibus dimidium figure, vel trian<lb></lb>gulum CBA, quarta pars prime figure cum sit equale ret<lb></lb>tangulo CDA quod per 51 tertij <emph type="italics"></emph>Conicorum<emph.end type="italics"></emph.end> equatur quarte <lb></lb>parti figure. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Proposito conico segmento [Fig. 11] ABCD et duobus <lb></lb>circulis ex EF, GH. Si fuerit </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 11].<lb></lb>rectangulum IL, CD, proprium <lb></lb>coni aequale duobus quadratis <lb></lb>EF, GH, erit perimeter seg<lb></lb>menti aequalis duobus simul <lb></lb>circulus ex FE et GH. </s></p> <p type="main"> <s>Est enim ut quadratum EF <lb></lb>ad rectangulum IL, CD, ita <lb></lb>circulus ex EF ad perimetrum <lb></lb>conici segmenti ergo per 24 <lb></lb>quinti, erit ut duo quadrata <lb></lb>EF, GH ad perimetrum conici <lb></lb>segmenti. </s></p> <p type="main"> <s>Quare cum aequalia ponan<lb></lb>tur dicta quadrata rectangulo IL, CD, equales erunt et duo <lb></lb>circuli perimetro conici segmenti. </s></p> <p type="main"> <s>Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si circa circulum descriptum fuerit quadratum, circuli <lb></lb>autem peripheriam tetigerit recta linea [Fig. 12] AB in <lb></lb>quolibet puncto C, et convertatur figura circa axem DE. <lb></lb>Tunc linea AB tangens segmenta describet conice super<lb></lb>ficiei ABRS. Dico conicam huiusmodi superficiem aequa<lb></lb>lem esse duobus simul circulis, qui ex semidiametris DF, <lb></lb>DA flunt. </s></p> <pb pagenum="385"></pb> <p type="main"> <s>Ducantur enim diametri FE, GE et agantur ex punctis <lb></lb>A et B, recte AL, BH parallele lateribus oppositis et ite<lb></lb>rum per L agatur LM, et per </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 12].<lb></lb>M agatur MH parallele late<lb></lb>ribus oppositis quadrati. </s></p> <p type="main"> <s>Erit jam AC equalis ipsi <lb></lb>AD, hoc est LQ, hoc est QE, <lb></lb>hoc est PN sed etiam BC ae<lb></lb>qualis est BC tota ergo AB <lb></lb>toti BN aequalis erit. </s></p> <p type="main"> <s>Insuper NM media aritme<lb></lb>tica est segmenti AB, RS, (con<lb></lb>stat enim ex NQ, dimidia ma<lb></lb>xima BR, et ex QM, dimidia <lb></lb>minime AS); ergo rectangulum <lb></lb>BNMH erit rectangulum proprium segmenti conici ABRS. </s></p> <p type="main"> <s>Quod rectangulum si aequale fuerit quadratis FD, DA, <lb></lb>erit segmenti superficies aequalis duobus circulis ex FD, <lb></lb>DA per lemma precedens. </s></p> <p type="main"> <s>Quod ita esse hoc modo demonstrabimus. </s></p> <p type="main"> <s>Cum enim aequales sint FD, FR, erit eadem differentia <lb></lb>inter FA, FB, ac inter reliqua segmenta AD, BP hoc est <lb></lb>inter AC, CB, erit igitur per lemma primum triangulum <lb></lb>AFB aequale rectangulo ACB, hoc est rectangulo EI (est <lb></lb>enim sub ijsdem lineis) quare etiam dupla, nempe rectan<lb></lb>gulum IF aequale erit duobus rectangulis HE, EI addito<lb></lb>que communi IP, erit totum HP aequale toti AP, hoc est <lb></lb>GQ, additoque communi toto rectangulo MP, erit rectan<lb></lb>gulum BNMH, nempe proprium segmenti conici, equale <lb></lb>duobus quadratis PO, EN, nempe quadratis linearum FD, <lb></lb>DA. Quare perimeter segmenti conici AB, RS equalis erit <lb></lb>duobus circulis ex DF, DA. </s></p> <p type="main"> <s>Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollarium.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Positis ijsdem, manifestum ergo est conicam superfi<lb></lb>ciem segmenti [Fig. 13] ABRS una cum armilla circulari <lb></lb>cuius altitudo AF centrum autem D aequalem esse cylin<lb></lb>drice FPVX. </s></p> <pb pagenum="386"></pb> <p type="main"> <s>Cum enim conica AB aequalis sit circulis DF, DA, ad<lb></lb>dita communi armilla AF erit conica AB et armilla AF <lb></lb>simul aequalis duobus simul </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 13].<lb></lb>circulis DA, DF, cum armilla <lb></lb>AF, hoc est duobus circulis <lb></lb>DF vel tantum cilindrice FP <lb></lb>tota enim cilindrici FG, qua<lb></lb>drupla est circuli maximi DF, <lb></lb>ergo etc. </s><s>Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Scholium.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si ergo ducatur altera quae<lb></lb>libet tangens YZ erit conica <lb></lb>YZ cum armillari ZF aequalis conice BA cum armil<lb></lb>lari AF, utraque enim ipsarum simul aequatur cilindrice <lb></lb>FP per corollarium; praecedens dempta ergo communi ar<lb></lb>milla AF erit conica tantum BA aequalis conicae YZ cum <lb></lb>armilla ZA. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>FINE DEL <lb></lb>COMPARATIONE PERIMETRORUM <lb></lb>CYLINDRI, CONI AC SPHAERAE.<emph.end type="center"></emph.end></foreign></s> </p> <pb></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>DE AEQUALITATE PERIMETRORUM <lb></lb>CYLINDRI, CONI AC SPHAERAE VARIA.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <pb></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>AVVERTIMENTO.<emph.end type="center"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Anche questa è una compilazione fatta dal Viviani col mezzo di materiali i cui <lb></lb>autografi non esistono più. </foreign></s> <s>Il Vol. </s> <s><foreign lang="it">XXVII dei “ <emph type="italics"></emph>Discepoli di Galileo<emph.end type="italics"></emph.end> ” ne contiene <lb></lb>due esemplari concordanti fra loro, uno di mano del Viviani, l'altro destinato al <lb></lb>tipografo. </foreign></s> </p> <pb></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>DE AEQUALITATE PERIMETRORUM <lb></lb>CYLINDRI, CONI AC SPHAERAE VARIA<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROBL. I. PROP. I.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Dato cono, cuius triangulum per axem sit [Fig. 1] ABC, <lb></lb>axis BD, cylindrum aequealtum, et isoperimetrum facere. </s></p> <p type="main"> <s>Producatur axis BD ad E, fiat de</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 1].<lb></lb>inde angulus BAE rectus, et erit AE <lb></lb>diameter basis cylindri qui si coni al<lb></lb>titudinem habuerit isoperimeter cono <lb></lb>erit. </s></p> <p type="main"> <s>Cum enim sit, ob similitudinem <lb></lb>triangulorum, ut AB ad BD ita EA <lb></lb>ad AD erit rectangulum BAD aequale <lb></lb>rectangulo sub BD, AE comprehenso. </s><s><lb></lb>Sed ut rectangulum BAD ad rectan<lb></lb>gulum sub axe BD et AE diametro <lb></lb>basis ita conica ad cylindricam superficiem. </s><s>Ergo isoperi<lb></lb>metri (Prop. 6. <emph type="italics"></emph>De compar. </s><s>perimetrorum<emph.end type="italics"></emph.end> ecc. ) erunt <lb></lb>datus conus et inventus cylinder. </s><s>Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROBL. II. PROP. II.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Dato cono, cuius triangulum per axem sit [Fig. 2] <lb></lb>ABC, axis BD cylindrum isoperimetrum facere in eadem <lb></lb>basi AC. </s></p> <pb pagenum="390"></pb> <p type="main"> <s>Dividatur latus AB bifariam in E </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 2].<lb></lb>et sumatur axis LF aequalis ipsi AE. <lb></lb>Dico DF esse altitudinem cylindri GC <lb></lb>qui cum sit super eadem basi cum dato <lb></lb>cono, ipsi etiam isoperimeter sit. </s><s>Hoc <lb></lb>autem patet. </s><s>Nam superficies cylindri <lb></lb>GC ad superficiem coni ABC super <lb></lb>eadem basi et ut axis DF ad semi<lb></lb>latus AE sed haec aequalia sunt per <lb></lb>15 <emph type="italics"></emph>De compar. </s><s>perimetrorum<emph.end type="italics"></emph.end> ex constructione; quare etiam <lb></lb>superficies aequales erunt. </s><s>Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROBL. III. PROP. III.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Dato cylindro, conum aequealtum et isoperimetrum <lb></lb>facere. </s></p> <p type="main"> <s>Sit cylinder [Fig. 3] ABCD cuius </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 3].<lb></lb>diameter basis BC, axis EF, oportet etc. </s></p> <p type="main"> <s>Ducatur inclinata FG (a vertice ni<lb></lb>mirum axis cylindri usque ad CB etiam <lb></lb>producta, si opus fuerit) ita ut, facto <lb></lb>angulo FGH recto ipsa GH, quae vi<lb></lb>delicet inter CB, et productum axem <lb></lb>FE intercipitur (aequalis evadat ipsi <lb></lb>diametro basis BD). Hoc autem cum <lb></lb>adeo expeditum non sit pretermittemus. </s><s><lb></lb>Dico conum, cuius latus FG, axis FE idem ac cylindri <lb></lb>isoperimetrum esse cylindro AC. </s></p> <p type="main"> <s>Est enim, ob similitudinem triangulorum ut GF ad FE <lb></lb>ita HG ad GE; et ideo rectangulum FGE aequale rectan<lb></lb>gulo sub FE, GH, hoc est sub FE, BC, sive rectangulo <lb></lb>ABC, per axem cylindri, quare, per 6 <emph type="italics"></emph>De compar. </s><s>peri<lb></lb>metrorum<emph.end type="italics"></emph.end> conica superficies a latere FG cylindricae a la<lb></lb>tere AB circa communem axem FE revolutis aequalis <lb></lb>erit. </s><s>Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s>Praetermissum superius tamquam non adeo expedi<lb></lb>tum, absolvemus sic constructionem pergendo super eadem <lb></lb>figura, in qua opus erat ex applicare FG, ita ut ipsi per<lb></lb>pendicularis GH sit aequalis diametro BC, quod fiet si. </s></p> <pb pagenum="391"></pb> <p type="main"> <s>Dato axi FE applicetur parallelogrammum aequale qua<lb></lb>drato diametri basis BC dati cylindri AC, et excedens <lb></lb>figura quadrata, nam id erit rectangulum, quod dat FHE, <lb></lb>et super totam FH describatur semicirculus FGH rectam <lb></lb>CB secant in G, nam junctis FG, GH, ipsa GH diametro <lb></lb>BC aequalis erit. </s></p> <p type="main"> <s>Est enim, ob semicirculum, quadratum GH aequale <lb></lb>rectangulo FHE vel quadrato BC, per constructionem, <lb></lb>ergo et latus GH lateri BC aequale est. </s><s>Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROBL. IV. PROP. IV.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Dato cylindro, super eadem basi conum isoperimetrum <lb></lb>constituere. </s></p> <p type="main"> <s>Sit datus cylindrus [Fig. 4] ABCL, </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 4].<lb></lb>cui super basi BC constituendus sit co<lb></lb>nus isoperimeter. </s></p> <p type="main"> <s>Inclinetur BF dupla ipsius BA la<lb></lb>teris cylindri dati a puncto B ad cy<lb></lb>lindri axem EF, erit conus cuius latus <lb></lb>sit BF, axis vero FE isoperimeter dato <lb></lb>cylindro AC. </s></p> <p type="main"> <s>Est enim, per constructionem FB <lb></lb>ad BA, ut CB ad BE, nempe in ra<lb></lb>tione dupla, quare rectangulum FBE <lb></lb>aequale erit rectangulo ABC et ideo aequalis erit (per 6 <lb></lb><emph type="italics"></emph>De compar. </s><s>perimetrorum<emph.end type="italics"></emph.end>) coni superficies AFC superficiei <lb></lb>cylindri dati AC. Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROBL. V. PROP. V.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Conum et cylindrum isoperimetros erigere super eadem <lb></lb>basi et super eadem altitudine. </s></p> <p type="main"> <s>Sit data primum quaelibet altitudo [Fig. 5] AB, et fa<lb></lb>cere oporteat quod propositum est. </s></p> <p type="main"> <s>Ipsius AB dupla BC, inclinetur ex B in angulo recto <lb></lb>BAC. Dico super basim, cuius radius sit AC, et sub altitu<lb></lb>dine AB conum CBD, et cylindrum CE esse isoperimetros. </s></p> <pb pagenum="392"></pb> <p type="main"> <s>Erit enim ex constructione ut BC ad CA ita DC ad BA, <lb></lb>nempe in ratione dupla et ideo rectangulum BCA sub <lb></lb>coni latere et radio basis ae</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 5].<lb></lb>quale rectangulo sub CD, BA <lb></lb>per axem cylindri, quare co<lb></lb>nica superficies aequalis erit su<lb></lb>perficiei cylindricae. </s><s>Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s>At si non altitudo, sed ba<lb></lb>sis tantum cuius radius AC <lb></lb>data fuerit altitudo postmo<lb></lb>dum proposito satisfaciens sic assegnetur. </s></p> <p type="main"> <s>Sumatur in perpendiculari AB super CA hinc inde a <lb></lb>puncto A duae aequales recte AF, AH, et centro F ad <lb></lb>intervallum AH fiat arcus HG secans AC in G et iun<lb></lb>gatur FG, cui ex C agatur CB parallela, nam abscissus <lb></lb>axis AB erit quaesitus. </s></p> <p type="main"> <s>Est enim, ob triangulorum similitutidem, BC ad BA <lb></lb>ut FG ad FA, vel ut FH ad FA, seu in ratione dupla, <lb></lb>quare ex superius ostensis conus CBD et cylindrus FE <lb></lb>erunt isoperimetri. </s><s>Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROBL. VI. PROP. VI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Dato cylindro, sphaeram isoperimetram facere. </s></p> <p type="main"> <s>Esto cylindrus, cuius rectangulum per axem [Fig. 6] <lb></lb>AC. Oportet etc. </s></p> <p type="main"> <s>Invenias mediam proportiona</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 6].<lb></lb>lem inter latera FC, CB rectan<lb></lb>guli AC quod assequetur si a <lb></lb>producto latere FG sumatur CD, <lb></lb>alteri CB aequale et circa diame<lb></lb>trum FD. Fiat semicirculus FED, <lb></lb>nam pars producte BC in semi<lb></lb>circulo comprehensa, nempe CE <lb></lb>erit, ut constat, media proportio<lb></lb>nalis inter latera FC, CD, vel FC, CB eritque ipsa media <lb></lb>diameter sphaerae dato cylindro isoperimetra. </s></p> <p type="main"> <s>Naturae lusus. </s><s>Nam ad hoc ut sphaera, non quo ad <lb></lb>perimetrum, sed quo ad soliditatem fiat aequalis cylindro, <pb pagenum="393"></pb>non una tantum, sed duae requirantur medie proportio<lb></lb>nales. </s><s>Quod vero sphaera ex diametro medie CE sit iso<lb></lb>perimetra cylindro AC patet. </s><s>Quoniam curva superficies <lb></lb>cylindri AC ad superficiem spherae, cuius diameter CE, <lb></lb>est ut (<emph type="italics"></emph>De compar. </s><s>perimetrorum<emph.end type="italics"></emph.end>) rectangulum per axem <lb></lb>AC ad quadratum diametri CE, sed rectangulum FLB et <lb></lb>quadratum CE sunt spatia equalia (cum et sit media pro<lb></lb>portionalis inter latera FC, CB); ergo cylindrus datus et <lb></lb>sphaerae ex CE sunt solida isoperimetra inter se. </s><s>Quod <lb></lb>erat faciendum. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROBL. VII. PROP. VII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Dato cono, cuius semitriangulum per axem [Fig. 7] <lb></lb>AC sit ABC, sphaeram isoperimetram facere. </s></p> <p type="main"> <s>Inveniat mediam proportio</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 7].<lb></lb>nalem inter latus AB et radium <lb></lb>basis BC quae sit D, et haec fiat <lb></lb>diameter, nam ipsius sphaera dato <lb></lb>cono ABC erit isoperimetra. </s><s>Su<lb></lb>perficiem enim curvati coni ABC <lb></lb>ad superficiem sphaerae D est ut <lb></lb>(22 <emph type="italics"></emph>De compar. </s><s>perimetrorum<emph.end type="italics"></emph.end> etc.) <lb></lb>rectangulum ABC aequale est <lb></lb>quadrato D cum haec sit media <lb></lb>inter latera AB, BC, ergo conus at sphaera perimeter ha<lb></lb>bent aequales. </s><s>Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROBL. VIII. PROP. VIII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Dato segmento conicae superficiei sphaeram isoperime<lb></lb>tram facere. </s></p> <p type="main"> <s>Esto ABCD [Fig. 8] mensalis per axem EF segmenti <lb></lb>conici, cui oportet sphaeram isoperimetram facere. </s></p> <p type="main"> <s>Secetur AB bifariam in G agaturque GF ipsis AD, BC, <lb></lb>aequidistans et inter AB, GF, sume mediam proportiona<lb></lb>lem L, quae diameter erit sphaerae isoperimetrae dato <lb></lb>segmento comico AC. Producantur BA, FE, donec conve<lb></lb>niant in M. </s></p> <pb pagenum="394"></pb> <p type="main"> <s>Iam superficies sphaerae, cuius diameter L ad peri<lb></lb>metrum coni cuius latus MB axis MF, </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 8].<lb></lb>est ut (per 22 <emph type="italics"></emph>De compar. </s><s>perimetro<lb></lb>rum<emph.end type="italics"></emph.end>) quadratum L ad rectangulum <lb></lb>sub MB, BF, vel ut rectangulum sub <lb></lb>AB, GF, quadrato medie L aequale <lb></lb>ad idem rectangulum MBF, vel ut <lb></lb>(per 5 eiusdem) perimeter segmenti <lb></lb>conici AC ad eumdem perimetrum <lb></lb>coni, M, B, F: quare superficies sphae<lb></lb>rae ex diametro L aequatur perimetri <lb></lb>dati segmenti AC. Quod erat etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROBL. IX. PROP. IX.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Dato eodem segmento conico, cylindrum isoperimetrum <lb></lb>aequealtum facere. </s></p> <p type="main"> <s>Fac angulum [Fig. preced.] AGH rectum. </s><s>Nam GH <lb></lb>inter latus AB, et axem erit radius basis cylindri, dato <lb></lb>segmento AC isoperimetri et aequealti. </s></p> <p type="main"> <s>Est enim EF ad AB ut ME ad MA (ob parallelas BF, <lb></lb>AE), vel ut NM ad MG, vel ut NG ad GH (in similibus <lb></lb>rectangulis triangulis NMG, NGH), ergo rectangulum sub <lb></lb>extremis EF, GH, aequale rectangulo sub mediis AB, GN, <lb></lb>et sumptis spatiorum duplis, rectangulum sub axe in du<lb></lb>plam HG, seu in diametrorum basis cylindri hoc est rec<lb></lb>tangulum per axem coni aequale rectangulo sub dupla <lb></lb>GN, hoc est sub FG in AB, quod est rectangulum pro<lb></lb>prium segmenti conici AC: quapropter cum rectangulum <lb></lb>per axem huius cylindri aequealti, ac segmentum aequale <lb></lb>sit rectangulo proprio eiusdem segmenti ipsa solida erunt <lb></lb>(per 5 eiusdem) isoperimetra. </s><s>Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROBL. X. PROP. X.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Dato segmento sphaerae, segmentum conicum isoperi<lb></lb>metrum circumscribere. </s></p> <p type="main"> <s>Sit [Fig. 9] ABC segmentum sphaerae, cuius axis BD, <lb></lb>diameter basis A, C, oportet etc. </s></p> <pb pagenum="395"></pb> <p type="main"> <s>Bifariam secetur axis BD in E, ducaturque ad E tan<lb></lb>gens HC a CA et a tangente BL, terminata in HG. Nam <lb></lb>perimeter segmenti conici a recta </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 9].<lb></lb>GH descripti aequalis erit superficiei <lb></lb>segmenti sphaerici ABC. </s></p> <p type="main"> <s>Circumscribatur toti sphaerae, cu <lb></lb>ius et BC et segmentum, cylindrus <lb></lb>circa fundem axem BD, et cuius <lb></lb>frusti inter plans AC, GB, comprehensi sit rectangulum per <lb></lb>axem IM. Erit ergo perimeter segmenti conici a GH ae<lb></lb>qualis (per 13 Lib. primi <emph type="italics"></emph>De sphaera et solid. </s><s>sphaeralib.<emph.end type="italics"></emph.end> ) <lb></lb>perimetro frusti cylindrici ab IL descripto, sed perimeter <lb></lb>hic aequatur superficiei segmenti sphacrici ABC (ut con<lb></lb>stat ex Archimede) ergo et perimeter segmenti conici a GH <lb></lb>eidem sphaericae superficiei aequalis est. </s><s>Quod erat etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROBL. XI. PROP. XI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Date spherae, cuius diameter sit AB conos isoperime<lb></lb>tros facere. </s></p> <p type="main"> <s>Erigatur [Fig. 10] AC ipsi AB </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 10].<lb></lb>aequalis, et perpendicularis, facto<lb></lb>que circulo DCE seu factis quot<lb></lb>cumque semicirculis DCE, FCH, <lb></lb>ICG etc. </s><s>centra habentia in recta <lb></lb>AB vel in producta et per C tran<lb></lb>seuntia, ita tamen ut punctum A <lb></lb>nullorum sit centrum, et ob id <lb></lb>partes diametrorum DA, AE, vel FA, AH, vel IA, AG in<lb></lb>ter se sint aequales, et erit minor pars recta DA, cuius <lb></lb>diametri radius basis, et maior pars reliqua AE. </s></p> <p type="main"> <s>Latus quesiti coni similiter si sit FA minor pars, et <lb></lb>reliqua AH maior, erit AE radius basis et AH latus <lb></lb>coni etc, et si IA minor AG erit IA radius basis et AG <lb></lb>latus coni datae sphaerae AB isoperimetri. </s></p> <p type="main"> <s>Erit enim harum conica quaecumque ad sphaericam <lb></lb>ut (22 <emph type="italics"></emph>De compar. </s><s>perimetrorum<emph.end type="italics"></emph.end>) rectangulum sub proprio <pb pagenum="396"></pb>latere et proprio radio basis, ad quadratum diametri AB, <lb></lb>nempe aequalis. </s><s>Sunt enim, (ob semicirculos) omnia rec<lb></lb>tangula DAE, FAH, IAG aequalia quadrato perpendiculari <lb></lb>AC, vel quadrato AB diametri datae sphaerae. </s><s>Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROBL. XII. PROP. XII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Datis quotcumque cylindris aequealtis, cylindrum omni<lb></lb>bus isoperimetrum facere. </s></p> <p type="main"> <s>Componantur simul dati ae</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 11].<lb></lb>quealtis cylindri [Fig. 11] A, B, C, <lb></lb>ita ut diametri eorum basium <lb></lb>unam rectam lineam constituant <lb></lb>DE, nam et eorum rectangula per <lb></lb>axes A, B, C, unum tantum rec<lb></lb>ctangulum constituent DF, quod <lb></lb>dico esse per axem quaesiti cy<lb></lb>lindri omnibus datis simul A, B, C <lb></lb>isoperimetri. </s><s>Manifeste patet hoc, <lb></lb>cum cylindrorum perimetri sint <lb></lb>(4 <emph type="italics"></emph>De compar. </s><s>perimetrorum<emph.end type="italics"></emph.end>) ut rectangula per axes, et <lb></lb>omnia, simul datorum cylindrorum A, B, C, constituant <lb></lb>rectangulum per axem cylindri inventi DF. Quod erat etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollarium.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si igitur DE summa diametrorum basium cylindrorum <lb></lb>omnium A, B, C, aequalis fuerit altitudini EF, cylinder DE <lb></lb>erit circumscriptibilis hemisphaerio super basim circuli ex <lb></lb>DE, eruntque inter se solida isoperimetra quapropter et <lb></lb>hemispherium erit isoperimetrum omnibus simul cylindris <lb></lb>A, B, C, aequealtis. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROBL. XIII. PROP. XIII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Datis quotcumque sphaeris, sphaeram isoperimetram <lb></lb>facere. </s></p> <p type="main"> <s>Sunt [Fig. 12] sphaerae, quarum axes AB, BC, CD etc. </s><s><lb></lb>Sphaeram invenire his omnibus simul isoperimetram. </s></p> <pb pagenum="397"></pb> <p type="main"> <s>Componantur axes AB, BC, ad rectum angulum B et <lb></lb>iungatur AC, cui ad rectum angulum ACD constituatur <lb></lb>alter axis CD et hoc fiat quousque aderint </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 12].<lb></lb>sphaerarum axes, et tandem jungatur AD, <lb></lb>nam haec erit axis, sphaerae, datis omnibus <lb></lb>simul AB, BC, CD, isoperimetrae. </s></p> <p type="main"> <s>Nam ob rectum angulum ACD est qua<lb></lb>dratum AD aequale duobus simul CB, BA, <lb></lb>ob rectum angulum B ergo unicum quadra<lb></lb>tum AB aequatur omnibus simul DC, CB, <lb></lb>BA, sed ut sunt quadrata laterum DC, GB, BA, ita sunt <lb></lb>(per 19 <emph type="italics"></emph>De compar. </s><s>perimetrorum<emph.end type="italics"></emph.end> etc.) et superficies sphae<lb></lb>rarum, quarum illa sint axes, ergo et superficies sphaerae, <lb></lb>cuius axis AD aequatur omnibus simul superficiebus sphae<lb></lb>rarum, quarum sunt axes AB, BC, CD. Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROBL. XIV. PROP. XIV.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Date spherae, ad datum in ea punctum, circumscribere <lb></lb>segmentum conicum aequealtum et isoperimetrum. </s></p> <p type="main"> <s>Esto quaelibet sphaera, cuius axis </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 13].<lb></lb>[Fig. 13] AB, centrum C et circulus <lb></lb>per axem ADBE, circa quam ad da<lb></lb>tum punctum D describendum sit <lb></lb>segmentum conicum aequealtum et <lb></lb>isoperimetrum. </s></p> <p type="main"> <s>Duc ex D perpendicularis DE su<lb></lb>per axem AB, quam ipsa DE secet <lb></lb>in F, ex quo deinde sumas FG, FH, <lb></lb>utraque aequalis radio CA, atque ex <lb></lb>G, H aequidistantes ducas ipsi DE, ductisque tangentibus <lb></lb>ex D, E, conveniant hac cum illis in I, L, M, N. Nam sic <lb></lb>frustum conicum cuius mensalis per axem est ILNM erit <lb></lb>equealtum, et isoperimetrum datae sphaerae ADBE. </s></p> <p type="main"> <s>Huius demonstratio apparet ex Prop. 39 <emph type="italics"></emph>De compar. </s><s><lb></lb>perimetrorum cylindri, coni et sphaerae<emph.end type="italics"></emph.end> etc. </s><s>in qua primo <lb></lb>loco a nobis ostensum fuit perimetrum segmenti conici <lb></lb>sphaerae circumscripti ad superficiem eiusdem sphaerae <lb></lb>esse ut axis segmenti ad axem sphaerae, sed, in hac hu- <pb pagenum="398"></pb>iusmodi axes sunt aequales (ex constructione) ergo et so<lb></lb>lidorum perimetri aequales erunt. </s><s>Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s>Hoc autem loco necessario animadvertendum est punc<lb></lb>tum D in peripheria maximi circuli ADBE non posse dari <lb></lb>ubique ad libitum, sed a polis B, D, ex utraque axis parte <lb></lb>remotum saltem per arcum quemdam, quem ita determi<lb></lb>nabimus. </s></p> <p type="main"> <s>Secetur semiaxis [Fig. 14] CA in O se</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 14].<lb></lb>cundum extremam ac mediam rationem <lb></lb>ita ut segmentum maius CO sit centrum <lb></lb>versus, atque ex O erigatur ad CA per<lb></lb>pendicularis POR, idemque penitus fiat ad <lb></lb>alteram partem semiaxis CB per ordinatam <lb></lb>ductam ST. Dico propositum punctum <lb></lb>exhiberi minime posse in aliquo arcuum <lb></lb>AP, AR, et BS, BT. Nam quaecumque <lb></lb>recta contingens ad puncta in ipsis arcubus, sumpta de <lb></lb>eodem axe segmentum abscindit inter se et proprium or<lb></lb>dinatim ductum, et contactus comprehensum, minus uti<lb></lb>que ipso semiaxe eo quod abscissum a contingente per <lb></lb>aliquod punctum O, R, S, T, eidem semiaxi et praecise <lb></lb>aequale, quod sic demonstrare licebit. </s></p> <p type="main"> <s>Facta superiori constructione sit ad P circulum con<lb></lb>tingens <expan abbr="Pq.">Pque</expan> Dico axis segmentum QO inter tangentem et <lb></lb>ordinatim ex P, radio CA aequale esse. </s><s>Iam ob tangentem <lb></lb>PQ est rectangulum QCO aequale quadrato radij CA, <lb></lb>quare (... Lib. primi <emph type="italics"></emph>Conicorum<emph.end type="italics"></emph.end>) ut QC ad CA, ita CA ad <lb></lb>CO, et ita prima differentia QA ad secundam differen<lb></lb>tiam AO. Sed ut CA ad CO, ita est quoque CO ad OA <lb></lb>(cum sit CA secta in O secundum etremam, ac mediam <lb></lb>rationem) ergo ut QA ad AO ita CO ad eandem OA, quare <lb></lb>QA, CO sunt aequales, et communi addita AO patet pro<lb></lb>positum. </s><s>Quod vero tangens ad quodcunque punctum in <lb></lb>arcu AP datum segmentum axis abscindat inter se, et <lb></lb>suam ordinatam, minus radio CA, satis perspicuum est <lb></lb>quod cum hoc casu segmentum axis extra circulum minus <lb></lb>sit ipso AQ, reliquum vero prope centrum sit maius, et <lb></lb>segmentum intermedium utrisque est, commune. </s><s>Secus <lb></lb>accidit per tangentem ductam a quolibet puncto inter- <pb pagenum="399"></pb>medij arcus PS, nam vel haec ipsi axi AB aequidistat <lb></lb>(dum scilicet punctum datum D fuerit, in vertice semicir<lb></lb>culi ADB), vel cum axe convenit et tunc abcissum axis <lb></lb>segmentum extra circulum maius utique evadit ipsi ex<lb></lb>tremo QA, illud vero inter centrum et suam ordinatam <lb></lb>minus fit interno CO, quapropter addito utrisque inter<lb></lb>medio segmento radij, totum inter tangentem, et ordina<lb></lb>tam semper maius est eodem radio CA, adeo ut ex eo <lb></lb>possibile sit partem sumere equalem ipsi radio, vel se<lb></lb>miaxi sphaerae datae, et mensalem quaesiti segmenti co<lb></lb>nici sphaerae circumscripti describere, uti factum superius <lb></lb>fuit in ipsius Propositionis 14 constructione, ex quibus, <lb></lb>omnibus constat problema praesens determinatum. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROBL. XV. PROP. XV.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Super basim dati segmenti sphaerae cylindrum isoperi<lb></lb>metrorum exigere. </s></p> <p type="main"> <s>Data sit sphaera [Fig. 15] AIBH; cuius </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 15].<lb></lb>centrum C axis IH ad quem sit perpendicu<lb></lb>laris AB diamcter basis cuiuscumque portio<lb></lb>nis AHB, et super hanc oporteat cylindrum <lb></lb>erigere datae spherae isoperimetrum. </s></p> <p type="main"> <s>Ex producto axe ECD sumatur DE ae<lb></lb>qualis diametro HI, et ex EA ducatur tan<lb></lb>gens AF, quae cum EF ipsi AB parallela <lb></lb>conveniat in F. Et erit cylinder, cuius axis <lb></lb>AF, basis vero circulus AB isoperimeter <lb></lb>sphaerae AIBH. </s></p> <p type="main"> <s>Iungatur AC, et agatur AL ipsi DE aequidistans. </s></p> <p type="main"> <s>Erit enim (ob similitudinem triangulorum) ut CA ad <lb></lb>AD, ita FA ad AL; quare rectangulum FAD aequale rec<lb></lb>tangulo LAC, et eorum dupla, nempe rectangulum FAB <lb></lb>aequale rectangulo sub LA, vel sub ED in duplam AC <lb></lb>hoc est in HI. Sed ED, HI sunt aequales ex constructione, <lb></lb>ergo rectangulum FAB, et quadratum diametri HI datae <lb></lb>spherae quare si rectangulum FAB revolutum faciat ali<lb></lb>quem cylindrum nempe sit rectangulum per axem alicuius <lb></lb>cylindri, cuius FA sit latus, et AB diameter suae basis, <pb pagenum="400"></pb>is erit isoperimeter spherae et super basim AB datae por<lb></lb>tionis AHB. Perimeter namque. </s><s>cylindri ad superficiem <lb></lb>sphaere est ut (per 21 <emph type="italics"></emph>De Compar. </s><s>Perimetrorum<emph.end type="italics"></emph.end>) rectan<lb></lb>gulum per axem cylindri ad quadratum axis sphaerae. </s><s><lb></lb>Quod erat etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>THEOR. I. PROP. XVI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Duos cylindros equales et isoperimetros simul nemo <lb></lb>constituet dissimiles. </s></p> <p type="main"> <s>Sint A, B duo cylindri inter se aequales et isoperimetri, <lb></lb>dico et similes esse inter se. </s></p> <p type="main"> <s>Nam ob isoperimetriam, erit rectangulum A aequale <lb></lb>rectangulo et ideo per 4 <emph type="italics"></emph>De compar. </s><s>perimetrorum,<emph.end type="italics"></emph.end> ratio <lb></lb>composita ex latere C ad D et ex latere E ad F erit equa<lb></lb>litatis. </s><s>Item ob solidatem cylindrornm aequalem ratio com<lb></lb>posita ex altitudine C ad altitudinem D, et ex circulo <lb></lb>basis E ad circulum basis F, sive ex diametro E ad H <lb></lb>(tertiam proportionalem post diametros E, F) cui ratio <lb></lb>equalitatis, hoc est eadem que componebatur ex C ad D <lb></lb>et ex E ad F, sed quae ex C ad D, inest in utraque ratio<lb></lb>neum compositione, ergo relique rationes ex E ad F et <lb></lb>ex E ad H, sunt aequales, quare aequales erunt secunda <lb></lb>et tertia linea, F et H ergo et etiam prima et trium pro<lb></lb>portionalium. </s></p> <p type="main"> <s>Quod si E et F sunt equales, necessario C et D aequa<lb></lb>les erunt cum rectangula A, B (ob cylindrum per isoperi<lb></lb>metrum) sunt equalia. </s><s>Adeoque ipsa rectangula per axem <lb></lb>similia erunt, et ob id dico cylindrum A, B, preter equali<lb></lb>tatem et isoperimetriam datam similitudinem quoque ha<lb></lb>bere inter se. </s><s>Quod erat demonstrandum. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>THEOR. II. PROP. XVII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>In triangulo rectangulo [Fig. 16] </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 16].<lb></lb>ABC, sphaera ex catheto isoperime<lb></lb>tra est cylindri cuius altitudo sit ba<lb></lb>sis segmentum AD, diameter vero <lb></lb>basis sit reliquum segmentum DC, <lb></lb>vel e contra. </s></p> <pb pagenum="401"></pb> <p type="main"> <s>Nam rectangulum ADC, quod evadit per axem cylindri, <lb></lb>aequale est quadrato BD axis sphaerae et ideo eorum pe<lb></lb>rimetri. </s><s>Sunt (p. 21 <emph type="italics"></emph>De compar. </s><s>perimetrornm<emph.end type="italics"></emph.end>) equales. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>THEOR. III. PROP. XVIII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si in circulo fuerint duae dia</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 17].<lb></lb>metri [Fig. 17] AB, CD inter se <lb></lb>ad rectos angulos et AD chorda <lb></lb>quadrantis, ducta qualibet ED <lb></lb>diametro AB perpendiculari in <lb></lb>altero quadrante, qui illi deinceps <lb></lb>est, et usque ad AD producta in <lb></lb>G, completoque rectangulo GDBF. <lb></lb>Erit sphaera circa axem ED iso<lb></lb>perimetra cylindro, cuius rectan<lb></lb>gulum per axem sit ipsum DGFB. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>THEOR. IV. PROP. XIX.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Esto sphaera, sive circulus [Fig. 18] AEBC, cuius dia<lb></lb>meter AB, aeque ad rectos angulos EDC et sint chordae <lb></lb>AC, CB his positis plura ex prae</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 18].<lb></lb>demonstratis eliciuntur. </s></p> <p type="main"> <s>Superficies sphaerae cuius dia<lb></lb>meter AC aequabitur cylindricae <lb></lb>superficiei, cuius rectangulum per <lb></lb>axem sit ex lineis BA, AD, quod <lb></lb>hoc sit quadrato AC aequale. </s><s>Et <lb></lb>ideo eadem cylindricae aequabitur <lb></lb>superficiei segmenti sphaerici EAC <lb></lb>cum tam haec, quam superficies <lb></lb>sphaerae AC, cui aequabitur cy<lb></lb>lindrica aequalis sit circulo ex <lb></lb>radio AC per Archimedem. </s><s>Et ob easdem rationes altera <lb></lb>cylindrica, cuius per axem rectangulum sit ABD, ae<lb></lb>quabitur superficiei retiqui segmenti EBC, et superficiei <lb></lb>sphaerae ex diametro BC. Item duae simul sphaericae <lb></lb>superficies ex AD, DC aequales superficiei proprij seg- <pb pagenum="402"></pb>menti EAC, cum sint duo quadrata AD, DC aequalia qua<lb></lb>drato AC. </s></p> <p type="main"> <s>Praeterea et quatuor sphaerae ex AD, DC, DB, toti <lb></lb>sphaericae ex AB, cum et illorum quatuor quadrata unico <lb></lb>ex AB sint aequalia. </s></p> <p type="main"> <s>Insuper duae simul cylindricas ex rectangulis per axem <lb></lb>BAD, ABD, quae duorum segmentorum superficiebus EAC, <lb></lb>EBC sunt aequales toti sphaericae circa AB aequales esse. </s></p> <p type="main"> <s>Amplius recta utcumque sphaerae diametro in D, cum <lb></lb>sit quadratum AC medium proportionale inter quadrata <lb></lb>BA, AD, et quadratum idem AC aequale rectangulo BAD, <lb></lb>erit cylindrica cuius rectangulum per axem sit BAD media <lb></lb>proportionalis inter sphaericas circa BA, AD. Et ob eas<lb></lb>dem rationes cylindrica, cuius rectangulum per axem est <lb></lb>ABD media proportionalis inter sphaericas circa AB, BD. </s></p> <p type="main"> <s>Loco autem cylindricarum huiusmodi medio loco pro<lb></lb>porlionalium sume sphaericas circa AC, CB ipsis cylindricis <lb></lb>aequales ostentas ipsae idem praestabunt. </s></p> <p type="main"> <s>Ulterius. </s><s>Erunt due sphaerae simul ex diametris AD, <lb></lb>DB una duobus cylindris, quorum rectangula per axes sint <lb></lb>ex lateribus AD, DB isoperimetrae toti sphaerae circa AB; <lb></lb>quoniam duo quadrata AD, DB, cum duobus rectangulis <lb></lb>ADB aequantur quadrato AB. </s></p> <p type="main"> <s>Et quatuor sphaerae simui AD, DB, ED, DC, isoperi<lb></lb>metrae toti sphaerae, cum quatuor quadrata AD, DB, ED, <lb></lb>DC aequalia sint unico AB. </s></p> <p type="main"> <s>Et duae sphaerac AD, DB, cum duobus cylindris, quo<lb></lb>rum rectangulum per axem sit EDC isoperimetrae toti <lb></lb>spherae, cum duae sphaerae ED, DC, ipsis cylindris equi<lb></lb>lateris sint isoperimetrae ex Archimede. </s></p> <p type="main"> <s>Invento praeterea centro F, erit superficies sphaerae, <lb></lb>cuius diameter FD, una cum superficie cylindri, cuius BD, <lb></lb>DA sint axis, et diameter basis aequales simul circulo <lb></lb>AEBC. Nam quadratum FD una cum rectangulo BDA <lb></lb>aequatur etiam quadrato FA. Dicas iterum. </s><s>Erit sphaera <lb></lb>circa diametrum FA quae circulo AEBC in superficie est <lb></lb>aequalis isoperimetra sphaerae circa diametrum FD, una <lb></lb>cum cylindro, cuius rectangulum per axem sit BDA vel <lb></lb>EDC. Tandem sumptis horum perimetrorum quadruplis <pb pagenum="403"></pb>erit tota sphaera circa diametrum AB isoperimetra sphae<lb></lb>rae, cuius radius sit FD, et duobus cylindris, quorum BD, <lb></lb>DA sint axis et radius basis. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>THEOR. V. PROP. XX.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Conus aequilaterum [Fig. 19] ABC sine basi, isoperi<lb></lb>meter est cilindro, eandem sibi altitudi</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 19].<lb></lb>nem BD basim, vero circulum DE trian<lb></lb>gulo inscriptum habenti. </s></p> <p type="main"> <s>Constat hoc ex Prop. 14 Lib. primi <lb></lb><emph type="italics"></emph>De solidis sphaeralibus<emph.end type="italics"></emph.end> , in qua curva <lb></lb>superficies coni ABC, cuius latera AB, BC <lb></lb>tangunt maximum inscriptae sphaerae <lb></lb>circulum ED ad puncta media F, G, <lb></lb>ostenditur aequalis superficiei curvae cy<lb></lb>lindri, cuius altitudo sit eadem BD, latera vero eundem <lb></lb>circulum contingant, quod idem est ac si dicas, cuius basis <lb></lb>sit ope circulus inscriptus ED. Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>THEOR. VI. PROP. XXI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Dato cono, cuius triangulum per axem [Fig. 20] AC <lb></lb>sit ABC, et inventa BD me</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 20].<lb></lb>dia proportionali inter latus <lb></lb>AB, et radium basis BC, quae <lb></lb>sit BD. Erit sphaera DB <lb></lb>isoperimetra suo cono ABC. <lb></lb>Quoniam rectangulum ABC <lb></lb>aequatur quadrato BD, et ut <lb></lb>(per 22 <emph type="italics"></emph>De compar. </s><s>perimetro<lb></lb>rum<emph.end type="italics"></emph.end>) rectangulum per axem <lb></lb>ad quadratum diametri, ita <lb></lb>superficies ad superficiem. </s></p> <p type="main"> <s>Ductaque ipsi BD paral<lb></lb>lela EF in triangulo ABD <lb></lb>erit sphaera circa EF isoperimetra suo cono AEH etc. <pb pagenum="404"></pb>Nam cum sit BD media inter AB, BC, etiam EF, media <lb></lb>est inter AE, EI. Quod si in semicirculo DLB circa DB <lb></lb>applicetur DL aequalis praecedenti diametro EF, et jun<lb></lb>gatur BL erit sphaera circa diametrum BL isoperimetra <lb></lb>segmento primo intermedio BE, HG, atque ita de reli<lb></lb>quis etc. </s><s>Conica enim superficies ABG ad conicam AEH <lb></lb>est ut sphaerica ex BD ad sphaericam ex EF, vel ex DL <lb></lb>ob ae qualitatem, ergo per conversionem rationis, conica <lb></lb>ABG ad conicum sui segmenti reliquum BH est ut sphae<lb></lb>rica BD ad sphaericam sui reliquum ex BL (nam sphaerica <lb></lb>tantum ex DB, aequatur duobus simul ex DL, LB, comodo, <lb></lb>quo conica ABG duobus simul conicis ex AE ut EB ae<lb></lb>qualis est) sed antecedentes sunt aequales, ergo et conse<lb></lb>quentes. </s><s>Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>THEOR. VII. PROP. XXII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si fuerit ellipsis, cuius axis, vel etiam quaevis diameter <lb></lb>sit [Fig. 21] AB, latus vero rectum BC ad B contingenter <lb></lb>applicatum, et regulatrix AC, </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 21].<lb></lb>sphaera cuiuslibet odinatim <lb></lb>applicatae DE erit isoperi<lb></lb>metra cylindro sibi respon<lb></lb>denti FB, cuius rectanguli <lb></lb>per axem latera sint EB seg<lb></lb>mentum diametri abscissum <lb></lb>ab applicata et EF segmen<lb></lb>tum applicatae inter diame<lb></lb>trum et regulatricem. </s></p> <p type="main"> <s>Est enim ob ellipsis pro<lb></lb>prietatem quadratum DE ae<lb></lb>quale rectangulo BEF et sphaerae superficies ad cylin<lb></lb>dricam ut (per 21 <emph type="italics"></emph>De compar. </s><s>perimetrorum<emph.end type="italics"></emph.end>) quadratum <lb></lb>diametri ad rectangulum per axem cylindri. </s><s>Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>THEOR. VIII. PROP. XXIII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si parabola [Fig. 22] ABC, vel circa axim, vel circa <lb></lb>diametrum, et semicirculus ADC habuerint eamdem ba<lb></lb>sim AC, et in parabola fuerit quaecumque diametro paral- <pb pagenum="405"></pb>lela BE erit cylinder, cuius rectangulum per axem sit AEC <lb></lb>ex segmentis basis, isoperime</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 22]<lb></lb>ter cylindro, cuius altitudo sit <lb></lb>EB diameter vero basis sit BG <lb></lb>aequalis semper recto lateri da<lb></lb>tae parabolae ABC. Est enim <lb></lb>per lemma 36. Lib. <emph type="italics"></emph>De motu <lb></lb>proiectorum<emph.end type="italics"></emph.end> rectangulum <lb></lb>AEC aequale rectangulo EBG, <lb></lb>ergo et cylindrica cylindricae <lb></lb>aequalis. </s></p> <p type="main"> <s>Erit ob id cylinder, cuius <lb></lb>rectangulum per axem EBG semper isoperimeter sphaerae <lb></lb>ex ED applicatae in semicirculo. </s></p> <p type="main"> <s>Quadratum enim ED aequatur etiam rectangulo AEC <lb></lb>ob semicirculum; ergo etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>THEOR. IX. PROP. XXIV.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si rectum latus parabolae [Fig. 23] AE circa axem AB <lb></lb>fuerit recta linea AB circa quam fiat semicirculus ACB <lb></lb>semper conica descripta ab AC revo</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 23].<lb></lb>luta circa axem AB aequabitur cylin<lb></lb>dricae, cuius rectangulum per axem <lb></lb>sit CDE dum CE perpendicularis fue<lb></lb>rit super AB. </s></p> <p type="main"> <s>Cum sit enim chorda AC in semi<lb></lb>circulo aequalis applicata DE in pa<lb></lb>rabola (uti elicitur ex Prop. 26 Lib. 5 <lb></lb>Barth. </s><s>Soveri etc. ), vel ut brevius <lb></lb>constat ex eo, quod sum quadratum <lb></lb>AC, ob semicirculum quam quadratum DE, ob parabo<lb></lb>lam aequale sit rectangulo sub BA verso eius latere <lb></lb>in AD abscissum diametri segmentum erit rectangulum <lb></lb>ACD sub coni latere, et radio basis aequale rectangulo <pb pagenum="406"></pb>EDC per axem cylindri: quare et coni perimeter aequalis <lb></lb>(per 6 <emph type="italics"></emph>De compar. </s><s>perimetrorum<emph.end type="italics"></emph.end>) perimetro cylindri. </s><s>Quod <lb></lb>erat etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>THEOR. X. PROP. XXV.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si fuerit parabola, cuius rectum latus sit [Fig. 24] AB <lb></lb>diameter AC et quaecumque ordinatim ducta CE vel <lb></lb>DF etc. </s></p> <p type="main"> <s>Sphaera circa diametrum CE, vel DF </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 24].<lb></lb>isoperimetra erit cylindro, cuius diameter <lb></lb>basis sit CA, vel DA, AB, vero semper <lb></lb>sit cylindrorum altitudo. </s></p> <p type="main"> <s>Manifeste patet hoc quoniam ob pa<lb></lb>rabolam, quadratum CE aequatur rectan<lb></lb>gulo CAB per axem cylindri et quadratum <lb></lb>DF rectangulo DAB adeoque et sphaerae <lb></lb>circa CE, DF, isoperimetrae suis cylindris CAB, DAB. </s></p> <p type="main"> <s>Si vero AB rectum parabolae latus, et cuius sit axis <lb></lb>AC, fiat diameter basis eiusdem cylindri recti, cuius latus <lb></lb>adhaerat axi ACD, erunt pariter ob sphaerae applicaturum <lb></lb>CE, DF et isoperimetrae suis cylindris iuxta altitudines <lb></lb>AC, AD etc. </s></p> <p type="main"> <s>In quoque constat ex rationibus superius allatis etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>THEOR. XI. PROP. XXVI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si cylindri quotcumque iso</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 25].<lb></lb>perimetri habuerint rectangula <lb></lb>[Fig. 25] BH, BD, BI per axem in <lb></lb>eodem plano posita, et ad com<lb></lb>munem rectum angulum B con<lb></lb>stituta, horum appositi anguli H, <lb></lb>D, I hyperbolam quamdam con<lb></lb>tingent. </s></p> <p type="main"> <s>Huius ratio est, quoniam, cum <lb></lb>cylindrorum superficies sint equa<lb></lb>les et eorum rectangula per axes <lb></lb>aequalia erunt (per 4 additarum <pb pagenum="407"></pb><emph type="italics"></emph>De compar. </s><s>perimetrorum<emph.end type="italics"></emph.end> etc.) et ob id anguli H, D, I, <lb></lb>erunt ad hyperbolam ex secundo conicorum. </s></p> <p type="main"> <s>His positis; dico omnes huiusmodi cylindros isoperi<lb></lb>metros BH, BD, BI, qui sunt ad hyperbolam, isoperimetros <lb></lb>quoque esse sphaerae interceptae, vel inscriptae quadrato <lb></lb>BHDF, cuius diameter sit semiaxis transversus hyper<lb></lb>bolae HDI. </s></p> <p type="main"> <s>Superficies enim sphaerae inscriptae cylindro, cuius rec<lb></lb>tangulum per axem sit quadratum BHDF isoperimetra est <lb></lb>eidem cylindro per Archimedem, ergo et reliquis cylindris <lb></lb>huic isoperimetris erunt isoperimetri. </s><s>Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>FINE DEL <lb></lb>DE AEQUALITATE PERIMETRORUM <lb></lb>CYLINDRI, CONI AC SPHAERAE <lb></lb>E DEL VOL. I. P. I.<emph.end type="center"></emph.end></foreign></s> </p> <pb></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>OPERE <lb></lb>DI <lb></lb>EVANGELISTA TORRICELLI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <pb></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Riservati tutti i diritti accordati dalla Legge <lb></lb>in Italia e all'Estero.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <pb></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>OPERE <lb></lb>DI <lb></lb>EVANGELISTA TORRICELLI<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>EDITE IN OCCASIONE DEL III CENTENARIO DELLA NASCITA <lb></lb>COL CONCORSO DEL COMUNE DI FAENZA<emph.end type="center"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>DA<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>GINO LORIA E GIUSEPPE VASSURA<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>VOLUME I: GEOMETRIA<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PUBBLICATO PER CURA DI GINO LORIA<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PARTE II.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>CON 567 FIGURE E 2 TAVOLE LITOGRAFATE<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <figure></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>FAENZA<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>STABILIMENTO TIPO-LITOGRAFICO G. MONTANARI <lb></lb>AMMINISTRATO DALL'ORFANOTROFIO MASCHI<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>1919.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <pb></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>INDICE<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> </s></p> <pb></pb> <table> <row><cell>CAMPO DI TARTUFI . . . . . . . . . . . . . .</cell><cell>Pag.</cell><cell>1— 43</cell></row> <row><cell>CONTRO GL'INFINITI . . . . . . . . . . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>45— 48</cell></row> <row><cell>SUGLI ISOPERIMETRI . . . . . . . . . . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>49— 55</cell></row> <row><cell>DE CENTRO GRAVITATIS SECTORIS CIRCULI.</cell><cell></cell><cell></cell></row> <row><cell> More veterum . . . . . . . . . . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>59— 69</cell></row> <row><cell> Per geometriam indivisibilium . . . . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>71— 77</cell></row> <row><cell>DE MAXIMIS ET MINIMIS . . . . . . . . . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>79— 97</cell></row> <row><cell>NOVA PER ARMILLAS STEREOMETRIA.</cell><cell></cell><cell></cell></row> <row><cell> Pars prima — De solidis vasiformis . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>101—123</cell></row> <row><cell> ” secunda — De resolutione solidorum in solida</cell><cell>”</cell><cell>125—147</cell></row> <row><cell> ” tertia — De conoidalium mensura . . .</cell><cell>”</cell><cell>149—161</cell></row> <row><cell> Appendix — De anularibus ac de obliquis co-</cell><cell></cell><cell></cell></row> <row><cell> noidalibus . . . . . . . . . . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>163—173</cell></row> <row><cell>DE CENTRO GRAVITATIS PLANORUM AC SOLIDORUM . . . .</cell><cell>”</cell><cell>175—226</cell></row> <row><cell>DE INFINITIS HYPERBOLIS . . . . . . . . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>227—274</cell></row> <row><cell>DE INFINITIS PARABOLIS . . . . . . . . . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>275—328</cell></row> <row><cell>DE CYCLOIDE . . . . . . . . . . . . . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>329—334</cell></row> <row><cell>DE HEMHYPERBOLA LOGARITMICA . . . . . . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>335—347</cell></row> <row><cell>DE INFINITIS SPIRALIBUS . . . . . . . . . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>349—399</cell></row> <row><cell>SEZIONI CONICHE.</cell><cell></cell><cell></cell></row> <row><cell> De geometrica in plano per puncta linearum coni-</cell><cell></cell><cell></cell></row> <row><cell> carum descriptione . . . . . . . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>403—410</cell></row> <row><cell> De conicis varia . . . . . . . . . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>411—414</cell></row> <row><cell>DE INDIVISIBILIBUS .</cell><cell></cell><cell></cell></row> <row><cell> De indivisibilium doctrina perperam usurpata . .</cell><cell>”</cell><cell>417—432</cell></row> <row><cell>MISCELLANEA . . . . . . . . . . . . . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>433—440</cell></row> <row><cell>APPENDICE — Lettera a Filaleti di Timauro Antiate.</cell><cell></cell><cell></cell></row> <row><cell> Della vera storia della cicloide e della famosissima</cell><cell></cell><cell></cell></row> <row><cell> esperienza dell'argento vivo . . . . . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>441—482</cell></row></table> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>CAMPO DI TARTUFI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <pb></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>AVVERTIMENTO.<emph.end type="center"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Della variopinta raccolta di teoremi e problemi intitolata <emph type="italics"></emph>Campo di tartufi<emph.end type="italics"></emph.end> esistono <lb></lb>a Firenze (Vol. </foreign></s> <s><foreign lang="it">XXXIII della collezione “ <emph type="italics"></emph>Discepoli di Galileo<emph.end type="italics"></emph.end> ”) non meno di tre esem<lb></lb>plari, il I autografo, il II del Serenai con note del Viviani, il III tutto, di nuovo, del <lb></lb>Viviani. </foreign></s> <s><foreign lang="it">La seguente stampa venne eseguita in base al I, il quale venne riprodotto <lb></lb>integralmente, soltanto ommettendo le figure che non erano indispensabili all'intel<lb></lb>ligenza del testo Le lacune che il lettore avvertirà qua e là vennero in parte la<lb></lb>sciate dallo stesso Torricelli, ma in parte furono consigliate dall'osservare che le <lb></lb>frasi ommesse sono cenni poco chiari intorno a certi punti su cui l'autore propone<lb></lb>vasi di ritornare, e certamente lo avrebbe fatto se la morte non glielo avesse vietato. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Il <emph type="italics"></emph>Campo di tartufi<emph.end type="italics"></emph.end> è costituito di proposizioni in buon numero semplicemente <lb></lb>enunciate e che vennero in parte verificate; i ragionamenti all'uopo congegnati <lb></lb>non vennero inseriti, chè avrebbero costituito un lungo commento estraneo ai fini <lb></lb>della presente pubblicazione; soltanto, seguendo un sistema già adottato nella pre<lb></lb>sente edizione, furono aggiunte alcune brevi dilucidazioni, sotto forma di note a <lb></lb>pie'di pagina. </foreign></s> </p> <pb></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="bold"></emph>CAMPO DI TARTUFI<emph.end type="bold"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>1. Il circolo al quadrato inscritto è come la periferia <lb></lb>a due diametri [Fig. 1]. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Perchè il circolo è un triangolo </foreign></s> </p> <figure></figure> <p type="caption"> <s><foreign lang="it">[Fig. 1].<lb></lb>su la base AB con altezza di tutto il <lb></lb>giro. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma il quadrato è un triangolo <lb></lb>su la medesima base AB, con l'al<lb></lb>tezza quadrupla di BC; dunque etc. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">2. Nota che l'esagono al 30-agono <lb></lb>ha la medesima proporzione che l'am<lb></lb>bito del triangolo all'ambito del quin<lb></lb>decagono. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>3. Dato sectore [Fig. 2], si fiat ut triangulum ABC <lb></lb> <arrow.to.target n="marg289"></arrow.to.target><lb></lb>ad segmentum ACH ita radius BC ad </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg289"></margin.target>Guarda <lb></lb> <arrow.to.target n="fig230"></arrow.to.target></s></p> <figure id="fig230"></figure> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 2].<lb></lb>CD, erit triangulum CAD aequale <lb></lb>segmento et perpendicularis DE ae<lb></lb>qualis arcui ACH. </s></p> <p type="main"> <s>Nam componendo erit ut triangu<lb></lb>lum ACB ad sectorem ita linea CB <lb></lb>ad BD, vel triangulum idem ACB ad <lb></lb>triangulum ABC. Et est ergo sector <lb></lb>aequalis triangulo ADB et hinc est quod altitudo DE <lb></lb>aequalis est arcui CHA, etc. </s></p> <p type="main"> <s>4. Il circolo al suo poligono sta come due archi ad <lb></lb>una sottesa: o sia di lati numero pari, o impari. </s></p> <p type="main"> <s>5. Posito [Fig. 3] angulo A recto, si due rectae ex A <lb></lb>incirculum incidant ut vides. </s><s>Erunt duo quadrata DA, AC, <pb pagenum="4"></pb>et duo rectangula DAC, simul ae</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 3].<lb></lb>qualia quadrat BE. </s></p> <p type="main"> <s>6. Hoc enim patet [Fig. 3] quia <lb></lb>ductis parallelis CF, DG, erunt ae<lb></lb>quales AC, BF, GE. Sed per quartam <lb></lb>secundi quadratum BE aequale est <lb></lb>quadratis EF, FB, et bis rectangulo <lb></lb>EFB; etc. </s></p> <p type="main"> <s>7. Positis ijsdem [Fig. 3]. </s><s>Cum duo quadrata DA, <lb></lb>AC, cum duobus rectangulis DAC, vel cum duobus rectan<lb></lb>gulis HAB (36.3<emph type="sup"></emph>tii<emph.end type="sup"></emph.end>) sint aequalia quadrato BE, addito com<lb></lb>muni quadrato BH, erunt duo quadrata DA, AC, cum <lb></lb>duobus rectangulis HAB, et quadrat HB, aequalia qua<lb></lb>dratis EB, BH, nempe quadrat diametri. (Sed duo rectan<lb></lb>gula HAB cum quadrato HB, aequantur duobus quadratis <lb></lb>HA, AB). Concludamus igitur quatuor quadrata DA, AC, <lb></lb>HB, AB, aequalia esse quadrato diametri. <lb></lb> <arrow.to.target n="marg290"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg290"></margin.target>Guarda <lb></lb> <arrow.to.target n="fig231"></arrow.to.target></s></p> <figure id="fig231"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PER LA FACCIATA PRECEDENTE [n. 3]:<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>8. Si fiat ut IC perpendicularis ad arcum CA ita <lb></lb>radius CB ad BD, erit etc. </s></p> <p type="main"> <s>9. Stantibus ijsdem si ex centro </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 4].<lb></lb>ducantur [Fig. 4] ad AD et AH per<lb></lb>pendiculares ML, MF: erit angulus <lb></lb>LMF: rectus et ideo GI, corda qua<lb></lb>drantis. </s><s>Dico quadrata LA, LB, FA, <lb></lb>FC aequari quadrato GI. </s></p> <p type="main"> <s>Sunt enim quadrata LA, LB sub<lb></lb>dupla quadratorum HA, AB, et qua<lb></lb>drata FA, FC, subdupla quadratorum <lb></lb>DA, AC, (per... 2<emph type="sup"></emph>di<emph.end type="sup"></emph.end>) quare simul quatuor illa quadrata <lb></lb>subdupla sunt horum quatuor quadratorum, nempe qua<lb></lb>drati ex diametro, quare aequalia sunt quadrato GI. </s></p> <pb pagenum="5"></pb> <p type="main"> <s>10. GD tangat in B [Fig. 5]. </s><s>Dico triangula ACE, <lb></lb>DGF esse similia; sunt enim simil. </s><s>triangulo BED, <lb></lb>ergo etc. </s><s>Sed si producatur BH sinus erit <lb></lb>ut AB ad BH, ita DG, ad GF, quare in <lb></lb>sequenti figura [Fig. 6] rectang. </s><s>IFG, <lb></lb>equale erit rectangulo sub tangent. </s><s>et <lb></lb>sinu FD, BH etc. </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 5].</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 6].</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 7].</s></p> <p type="main"> <s>Sic etiam esset [Fig. 7] (demissa GL) rectangulum FL, <lb></lb>aequale ei quod sub HB, GD: et etiam in semicirculo <lb></lb>idem versum est: quia rectangula sunt dupla praedicto<lb></lb>rum etc. </s></p> <p type="main"> <s>11. Quando [Fig. 8] duae lineae AB, </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 8].<lb></lb>BC, aequales erunt duabus DB, BE, per <lb></lb>G et F: puncta non media sed transibit <lb></lb>parabola, ex 41, 3. Conicorum . </s></p> <p type="main"> <s>12. Quando vero rectangula illa <lb></lb>erunt aequalia, per puncta media erit <lb></lb>hyperbole, ex 43. 3<emph type="sup"></emph>tis<emph.end type="sup"></emph.end> Conicorum. <lb></lb>.................................... </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PER IL LIBRETTO DEI MOMENTI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>14. Momentum totale ad momentum in hoc situ , <lb></lb>est ut tota spherae superficies ad armillam quam sub<lb></lb>tendit AB si sphaera voluatur circa EF [Fig. 9]. </s></p> <pb pagenum="6"></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it">15. Se [Fig. 10] nel cilindro BD sarà la CE utcum<lb></lb>que, e giri circa l'asse AB, sarà la superficie conica di CE </foreign></s> </p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 9].</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 10].<lb></lb>all'armillare di CD, come CE a CD. Perchè sono due capi<lb></lb>mozzi rectangoli che hanno le basi uguali l'una all'una, <lb></lb>e l'altra all'altra, e la loro altezza sono CD, CE. </s></p> <p type="main"> <s>16. Ma che i capimozzi, quali </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 11].<lb></lb>dissi, siano come le altezze etc. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Siano [Fig. 11] e tirisi la BH. <lb></lb>Sarà il triangolo ABH al trian<lb></lb>golo AEH, come BH ad HE, et <lb></lb>anco il rettangolo BD al ED sta <lb></lb>nell'istesso mo'; dunque coniun<lb></lb>ctim ABD ad AED ita come CD <lb></lb>alla DF etc. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>17. Che la superficie dell'hemi</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s><foreign lang="it">[Fig. 12].<lb></lb>sfero, la superficie del cono inscritto, <lb></lb>e la base sono in continua propor<lb></lb>zione. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Poichè la superficie dell'hemisfero <lb></lb>alla base sta [Fig. 12] come il qua<lb></lb>drato BC al quadrato DC (essendo <lb></lb>dupla); ma quella del cono alla base sta come la BC alla <lb></lb>CD, sono dunque in continua proportione etc. </foreign></s> </p> <pb pagenum="7"></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it">18. Nel libro del moto prova [Fig. 13] la similitu<lb></lb>dine delli triangoli ABF, EDC così: FBE è retto, C et E <lb></lb>fanno un recto, demptis alternis DEB et BA remanent <lb></lb>aequales C et ABF, ergo etc. </foreign></s> </p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 13].</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 14].</s></p> <p type="main"> <s>19. Segmentum conicae superficiei [Fig. 14] AB, ad <lb></lb>armillam basis CB est ut linea AB ad BC. Hoc autem <lb></lb>ex figura [Fig. 10]... </s></p> <p type="main"> <s>20. In sphaera erunt aequales, AB, BD [Fig. 15]. </s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Sarà però la superficie cilindrica di AB, alla armillare di <lb></lb>BD come EB ad EC (essendo C il </foreign></s> </p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 15].<lb></lb>punto medio di BD). Sono due capi<lb></lb>mozzi con la medesima altezza; la <lb></lb>cilindrica è un parallelogrammo [Fig. <lb></lb>16] FG, tale che la base FH sia <lb></lb>eguale alla periferia AO, e la armil<lb></lb>lare è un capomozzo IG, la cui base <lb></lb>IH sia uguale alla periferia ND, e l'altra alla BM, cioè AO, </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 16].<lb></lb>cioè LG. Ma la figura FG alla IG sta come PH ad HF, <lb></lb>cioè come la media aritmetica tra le periferie alla minor <pb pagenum="8"></pb>periferia, ovvero come la media aritmetica tra li diametri <lb></lb>al minor diametro, adunque l'armillare BD alla cilindrica <lb></lb>AB, sta come CE ad EB. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">21. <emph type="italics"></emph>Lemma per il suddetto.<emph.end type="italics"></emph.end> Essendo come la peri<lb></lb>feria AB alla BC [Fig. 17], così </foreign></s> </p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 17].<lb></lb>il diametro DE ad EH. Dico che <lb></lb>sarà come la media aritmetica FB <lb></lb>alla BC, così la media aritmetica <lb></lb>IE ad EH. </s></p> <p type="main"> <s>Nam dividendo, sumptisque antecedentium dimidijs et <lb></lb>componendo erit ut oportet etc. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">22. Se il rettangolo AB e il triangolo CEB [Fig. 18] <lb></lb>habbiano l'istessa base, ma diversa altezza, sarà il rettan<lb></lb>golo al triangolo come l'altezza AE, alla mezza altezza ED. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Patet... </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 18].</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 19].</s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">23. Ma [se] haveranno [Fig. 19] solo una base eguale <lb></lb>haveranno la proportione composta dell'altezza del ret<lb></lb>tangolo all'altezza dell'obliquo, e della media aritmetica <lb></lb>tra le basi dell'obliquo alla base del retto. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Perchè (per la 16) la proporzione di AB a DE ovvero EI <lb></lb>è composta della proporzione di AD a DI e di ED a DB. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>24. Però la superficie cilin</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 20].<lb></lb>drica [Fig. 20] all'armillare ha la <lb></lb>prop. </s> <s><foreign lang="it">composta di AC alla CE, <lb></lb>altezze; et della DB alla BC, che <lb></lb>sono la media aritmetica tra dia<lb></lb>metri, et il minor diametro, che <lb></lb>è quanto dire la media aritmetica <lb></lb>tra le periferie; o basi de'capi<lb></lb>mozzi etc. </foreign></s> </p> <pb pagenum="9"></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>POSTA A FACCIA 14 NEL LIB. DE'SOLIDI SFERALI .<emph.end type="center"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Per il lemma [22]. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Posta la superficie del cilindro alla <lb></lb>sua base sta come l'asse ad un quarto del diametro. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Se <lb></lb>non lo credi vedi il lemma [22]. <lb></lb>.................................... </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">La superficie conica alla sua base, è come il lato del <lb></lb>cono al semidiametro della base. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Di qui si ponno sciogliere vari problemi. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">25. Posto il triangolo rettangolo, che l'angolo retto <lb></lb>sia A [Fig. 21] se noi divideremo la base BC aritmetica<lb></lb>mente come BA ad AC , sarà il </foreign></s> </p> <figure></figure> <p type="caption"> <s><foreign lang="it">[Fig. 21].<lb></lb>rettangolo BDC eguale al triangolo <lb></lb>BAC, Però anco il rettangolo BAC <lb></lb>sarà doppio del rettangolo BDC. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Se nell'hyperbola AE tiraremo <lb></lb>dai foci CA, BA che l'angolo A sia <lb></lb>retto, sarà il rettangolo CAB la metà <lb></lb>della figura, ovvero il triangolo CAB <lb></lb>(per essere eguale al rettangolo BDC) sarà 1/4 della figura. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>26. Se [Fig. 22] per A sarà una tangente et una se<lb></lb>gante. </s> <s><foreign lang="it">Sarà il rettangolo AEB </foreign></s> </p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 22].<lb></lb>eguale al rettangolo DEF, <lb></lb>et i due quadrati DFB, eguali <lb></lb>alli due DAB e la linea CD <lb></lb>eguale alle due HC, DI. </s></p> <p type="main"> <s>Il rettangolo CFB eguale <lb></lb>al rettangolo FDE. Il rettan<lb></lb>golo BCF eguale al DCA etc. </s><s><lb></lb>La conica CD è eguale alli <lb></lb>due circoli FH, HC. </s></p> <p type="main"> <s>La ragione perchè, addita communi l'armilla CF, ugua<lb></lb>gliano la cilindrica IF. </s></p> <pb pagenum="10"></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it">27. Nota che quando il contatto A sarà nel mezzo <lb></lb>del quadrante, allora la armillare CF sarà uguale alla ci<lb></lb>lindrica DI. Questo pende da quella verità fuori di qui; <lb></lb>et è che le due CD, DI siano uguali alla cilindrica FI. <lb></lb>Ma io lo provo meglio così all'usanza. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Guarda più giù che troverai ogni cosa demostrato, per <lb></lb>non esserci loco più qui. </s></p> <p type="main"> <s>28. Ampliatione d'una passata. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Preso qualunque segmento di sfera; la superficie co<lb></lb>nica è media proporzionale tra la superficie nel segmento, <lb></lb>e la base etc. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>29. Preso qualunque segmento </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s><foreign lang="it">[Fig. 23].<lb></lb>la cilindrica alla spherica ha la pro<lb></lb>porzione composta della proporzione <lb></lb>di [Fig. 23] BA ad AC dimidia di <lb></lb>AD, e del quadrato DB al quadrato <lb></lb>DA. Poichè la cilindrica alla conica <lb></lb>è come BA ad AC, la conica alla <lb></lb>sferica è come il quadrato DB al quadrato DA. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">30. Se sarà il semicircolo col triangolo rettangolo <lb></lb>dentro. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Si giri [Fig. 24] circa l'asse AC. Sarà la super<lb></lb>ficie sferica AB alla BC, come il </foreign></s> </p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 24].<lb></lb>quadrato AB al BC, cioè come la <lb></lb>linea AD alla DC. Ma la conica AB <lb></lb>alla BC (per esser due triangoli con <lb></lb>la medesima base) sta come l'altezza <lb></lb> <arrow.to.target n="marg291"></arrow.to.target><lb></lb>AB alla BC; dunque la sferica AB <lb></lb>alla sferica BC ha doppia proporzione <lb></lb>di quella che habbia la conica AB <lb></lb>alla BC etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg291"></margin.target>★</s></p> <p type="main"> <s>31. In eadem figura. </s><s>Se girasse <lb></lb>circa l'asse BC ancora, la AC farebbe <lb></lb>un circolo; e sarebbero la sferica tutta, la conica e la <lb></lb>circolare in continua proportione etc. </s></p> <p type="main"> <s>Poichè imaginiamoci prolungato l'asse CB oltre H, e <pb pagenum="11"></pb>tiriamo la AI ad angoli retti con AC, e dove concorrono <lb></lb>facciamo che l'asse CH sia d'un altra sfera. </s><s>Sarà dunque la <lb></lb>portione di superficie AEC eguale a tutta la sferica ABCL, <lb></lb>(da Archimede si cava facilmente); ma la sferica AEC, la <lb></lb>conica AD e la base di AB sono continue (come ho di<lb></lb>mostrato); ergo etc. </s></p> <p type="main"> <s>Che la sferica alla sua base sia </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s><foreign lang="it">[Fig. 25].<lb></lb>come il quadrato di AB al quadrato <lb></lb>di AD, è chiaro ex Archimede. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">32. Se la AB [Fig. 25] sarà tan<lb></lb>gente e da gli estremi si tirino le AD, <lb></lb>BC, sarà il rettangolo CD eguale al <lb></lb>triangolo ABE. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>33. Parabolae descriptio; sed talis, ut sunt pars mea<lb></lb>rum descriptionum quae magis inservire debeat inventioni <lb></lb>et solutioni problematum, quam descriptioni parabolarum. </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 26].</s></p> <p type="main"> <s>Dato semilatere [Fig. 26] AB. Per B agatur orthogonia <lb></lb>et per A fiat circulus quolibet intervallo, focus erit C . </s></p> <pb pagenum="12"></pb> <p type="main"> <s>34. Alia parabola descriptio. </s><s>Potest [Fig. 27] angu<lb></lb>lus ABC, poni ad libitum. </s><s>Quando tr. </s><s>sit rectus tunc etc. </s> <s><lb></lb>Nota che l'ultimo punto verso A svanisce. </s><s>I punti sono <lb></lb>nel mezzo delle traverse. </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 27].</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 28].</s></p> <p type="main"> <s>35. Se la curva [Fig. 28] ADH haverà 3 tangenti e <lb></lb>siano HE, ED, et DB, BA eguali è circolo, se proportio<lb></lb>nali, parabola. <lb></lb>.................................... </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PRO LIBELLO DE MOTU .<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>38. Ad primam primi Corollarii </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 29].<lb></lb>[Fig. 29]: Ergo gravia tunc habebunt <lb></lb>aequalia momento quando ipsi fue<lb></lb>rint ut tangentes complementorum <lb></lb>anguli elevationis. </s></p> <p type="main"> <s>Posito enim sinu toto AB erunt AC, AD dictae tan<lb></lb>gentes. </s></p> <p type="main"> <s>39. Quando vero gravia </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 30].<lb></lb>aequalia fuerint, erunt mo<lb></lb>menta ut sinus angulorum <lb></lb>elevationis. (Nota che vi è, <lb></lb>ma la prova è più bella <lb></lb>così). </s></p> <p type="main"> <s>Nam [Fig. 30) cum sint <lb></lb>momenta ut ED, FD, he sunt sinus angulorum DAC, <lb></lb>DBC etc. </s></p> <pb pagenum="13"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>LEMMA DE MOTU.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>40. Parallelae [Fig. 31] BC, </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 31].<lb></lb>FD aequales sunt, nam iunctis CD, <lb></lb>ED una eademque recta erunt, alias <lb></lb>continuata ED faceret angulum re<lb></lb>ctum extra C. Absurdum etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>DE MOTU.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>41. Si duo circuli [Fig. 32] se in infimo puncto tan<lb></lb>gant, erunt tempora per AB, DC, etc. </s><s>aequalia. </s><s>Item cum </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 32].</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 33].<lb></lb>tota tempora aequalia sint, et ablata ablatis erunt re<lb></lb>liqua BE, CE (etiam non sint ex quiete) aequalia. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>DE MOTU.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>42. Si duo circuli se exterius tangant in punctis su<lb></lb>blimiori et infimo, erunt tempora [Fig. 33] AB, CD ae<lb></lb>qualia etc. </s></p> <p type="main"> <s>Ducta enim BE, erunt FE, ID aequales et EI, BF <lb></lb>aequales, ergo etc. </s><s>et de residuis idem etc. </s></p> <p type="main"> <s>43. Sector ad trepezium ex tangentibus est ut arcus <lb></lb>AE ad lineam AB [Fig. 34]. </s></p> <pb pagenum="14"></pb> <p type="main"> <s>44. Ma poi al trapezio interno à come l'arco alla <lb></lb>corda. </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 34].</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 35].</s></p> <p type="main"> <s>45. Sector [Fig. 35] ADBC ad suum trapezium eam <lb></lb>rationem habet quam arcus ad substensam, etc. </s></p> <p type="main"> <s>Nam sector triangulum est cuius basis AC altitudo <lb></lb>vero arcus, trapezium autem triangulum est cuius eodem <lb></lb>AC basis et altitudo AB. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">46. Però il circolo al suo quadrato ha la proportione <lb></lb>che ha la periferia del quadrante al </foreign></s> </p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 36].<lb></lb>radio, ovvero la semiperiferia al dia<lb></lb>metro. </s></p> <p type="main"> <s>47. Però ancora: Il circolo [Fig. <lb></lb>36] a qualunque poligono regolare in<lb></lb>scritto di lati pari ha la proportione <lb></lb>che ha la periferia all'ambito di un <lb></lb>poligono di lati la metà meno. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">48. Però il circolo al suo trian</foreign></s> </p> <figure></figure> <p type="caption"> <s><foreign lang="it">[Fig. 37].<lb></lb>golo ha la proporzione che ha la pe<lb></lb>riferia alla metà dell'ambito del trian<lb></lb>golo etc. [Fig. 37]. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">49. Però il circolo al pentagono, <lb></lb>o altro poligono ha la proporzione <lb></lb>che ha la periferia a due sottese e <lb></lb>mezza; nel settagono a 3 1/2. Per sottese intendo quelle <pb pagenum="15"></pb>delli angoli del poligono. </foreign></s> <s>Vedi al se</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 38].<lb></lb>gno ★ [n. 30]. </s></p> <p type="main"> <s>50. Questa era da per sè [Fig. <lb></lb>38]: Duae mediae preportionale. </s><s>Da<lb></lb>tae sint extremae AB, BC. Si facias <lb></lb>bene figuram, mediae erunt BD, <lb></lb>BE ecc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>SEGUE DE'POLIGONI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">51. L'essagono al circolo [Fig. 38] ha la proportione <lb></lb>che l'ambito del triangolo alla periferia. </foreign></s> <s>Il circolo al do<lb></lb>decagono sta come la periferia al</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s><foreign lang="it">[Fig. 39].<lb></lb>l'ambito dell'essagono, adunque ex <lb></lb>aequo l'essagono al dodecagono sta <lb></lb>come l'ambito del triangolo all'ambito <lb></lb>dell'essagono e questo è vero in tutti <lb></lb>i poligoni che habbiano i lati di nu<lb></lb>mero doppi, e siano tre i poligoni etc. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Dunque l'essagono al dodecagono <lb></lb>sta come la CB alla BA, e così di <lb></lb>tutti gl'altri e la dimostrazione può <lb></lb>farsi alio modo. </s> <s><foreign lang="it">Il dodecagono è un triangolo sopra la <lb></lb>base AD e l'altezza sua è il giro dell'essagono. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma l'es<lb></lb>sagono è un triangolo sopra la medesima base che ha per <lb></lb>altezza il giro del triangolo; ergo etc. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">52. I poligoni circonscritti al circolo sono come gli <lb></lb>ambiti fra di loro; col circolo poi sono come l'ambito <lb></lb>alla periferia; con gli inscritti sono giusto come il cir<lb></lb>colo etc. <lb></lb>.................................... </foreign></s> </p> <pb pagenum="16"></pb> <p type="main"> <s>53. In qualunque triangolo divisa per mezzo la base <lb></lb>[Fig. 40] AC in D, saranno i due qua</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 40].<lb></lb>drati AB, BC eguali a quattro quadrati <lb></lb>AD, DC, et BD bis. </s></p> <p type="main"> <s>54. Però i quattro quadrati de' lati <lb></lb>del parallelogrammo sono eguali alli due <lb></lb>quadrati de diametri etc. <lb></lb>.................................... </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">56. Dire un circolo il quale sia eguale a qualunque <lb></lb>poligono inscritto. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Rispondi così: Fiat ut periferia ad mediam proportio<lb></lb>nalem inter ipsam peripheriam et perimetrum poligoni <lb></lb>laterum duplo pauciorum, ita radius ad alium, et habebis <lb></lb>radium circuli quaesiti, etc. </s></p> <p type="main"> <s>Melius, vel quod idem est. </s><s>Fiat ut duo arcus poligoni <lb></lb>ad mediam proportionalem inter dictos duos arcus et eo<lb></lb>rum subtensam, ita radius ad aliam etc. </s><s>et habebis radium <lb></lb>circuli quaesiti. </s></p> <p type="main"> <s>È noto che così è comune anco alli poligoni dispari. </s></p> <p type="main"> <s>57. Dire un circolo eguale a qualunque poligono cir<lb></lb>conscritto. </s></p> <p type="main"> <s>Fiat ut unus arcus ad mediam </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 41].<lb></lb>inter ipsum arcum et unum latus, <lb></lb>ita radius ad alium, et habebis ra<lb></lb>dium circuli quaesiti. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">58. Nel primo caso sia il dia<lb></lb>metro trovato [Fig. 41] AC et il pro<lb></lb>posto AB, il diametro CB darà un <lb></lb>circolo uguale a tutti i segmentini. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">59. Nel secondo caso sia il proposto AC, et il trovato <lb></lb>AB e sarà il circolo CB eguale a tutti i segmentini. <lb></lb>.................................... </foreign></s> </p> <pb pagenum="17"></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it">61. Tutti i segmentini che restano dopo un poligono; <lb></lb>sono un triangolo sopra la base del radio, con l'altezza <lb></lb>dell'eccesso della periferia sopra i </foreign></s> </p> <figure></figure> <p type="caption"> <s><foreign lang="it">[Fig. 42].<lb></lb>lati del poligono la metà meno di <lb></lb>lati [Fig. 42]. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">62. Però tutti i segmenti del <lb></lb>dodecagono, a tutti i segmenti dell'e<lb></lb>sagono hanno la proporzione che ha <lb></lb>l'eccesso della periferia sopra il peri<lb></lb>metro dell'essagono, all'eccesso dell'i<lb></lb>stessa sopra il perimetro del triangolo. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Overo (et è l'istesso) sono come la differenza tra l'arco <lb></lb>AID e la sottesa DA, alla differenza tra l'istesso arco e <lb></lb>la semicorda DE. </s></p> <p type="main"> <s>63. Dato circulo [Fig. 43], cuius </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 43].<lb></lb>radius AB, aequale poligonum regu<lb></lb>lare dicere, quotcunque laterum etc. </s></p> <p type="main"> <s>Sit latus similis poligoni in dato <lb></lb>circulo AC. Fiat ut DC ad arcum <lb></lb>CA ita BC ad BE, sumptaque inter <lb></lb>BC, BE, media proportionalis BF fiat <lb></lb>radio BF circulus et erit GF latus <lb></lb>poligoni quaesiti. </s><s>Est enim poligo<lb></lb>num FG ad poligonum CA ut EB <lb></lb>ad CB, hoc est ut arcus AC ad CD <lb></lb>hoc est ut circulus AC ad poligonum <lb></lb>idem AC, quare poligonum, GF aequale erit circulo dato. </s><s><lb></lb>Quod etc. <lb></lb>.................................... </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>DELL'OTTAGONO.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>66. Sia l'ottagono regolare [Fig. 44]. </s><s>Dico prima che <lb></lb>il rettangolo BHA è uguale al rettangolo AFH. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Poichè per la dimostrazione comune il quadrato C è <lb></lb>doppio dell'I, però eguale alli I et L. Ma anco M è eguale <lb></lb>ad N, però CM è eguale ad LIN. Quod erat etc. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>(Cava di qui un problema. </s><s>Data FB bifariam secta <pb pagenum="18"></pb>in A, ipsi rectam adiungere BH ut </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 44].<lb></lb>rectangulum AFH aequale sit rectan<lb></lb>gulo BHA). </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Dico anco che la conica BD, è <lb></lb>eguale alla cilindrica DH. Poichè la <lb></lb>conica è l'istesso che il capomozzo <lb></lb>che vedi, la cilindrica è il rettangolo <lb></lb>PH, però prese le metà LE, AD, sono <lb></lb>quei rettangoli mostrati eguali; sono <lb></lb>dunque eguali anco i tutti, et i loro <lb></lb>tripli. </foreign></s> <s>Quare etc. </s> <s><foreign lang="it">Ma addita communi la cilindrica DE, <lb></lb>sarà il giro dell'ottagono (senza i circoli FB) eguale alla <lb></lb>cilindrica. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Nota per corollario che in questo caso la cilindrica <lb></lb>ED è eguale alla armillare BH, poichè ciascuna con la <lb></lb>BD è uguale alla cilindrica tutta. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Questo anco si prova a priori in questo modo: Perchè <lb></lb>l'armillare di BH è il capomozzo PFBD; e la cilindrica <lb></lb>è il rettangolo PE. L'uguaglianza si prova così etc. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Il triangolo BND è eguale al quadrato I, et il rettan<lb></lb>golo M, eguale all'N, ergo tutto a tutto. </foreign></s> <s>Però l'armillare <lb></lb>BH uguale alla cilindrica DE. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Provo che il rettangolo PH sia eguale al capomozzo <lb></lb>OL alio modo: il quadrato BAD, eguale alli due IQ, il <lb></lb>rettangolo M eguale al rettangolo N, cioè al triangolo R, <lb></lb>ergo simul, et eorum dupla e mi piace più così. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>DELL'ESSAGONO.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">67. <emph type="italics"></emph>Lemma.<emph.end type="italics"></emph.end> Nel triangolo equilatero </foreign></s> </p> <figure></figure> <p type="caption"> <s><foreign lang="it">[Fig. 45].<lb></lb>[Fig. 45] il quadrato AC è sesquitertio del <lb></lb>AB, perchè di quelle parti delle quali AC <lb></lb>è quattro, di quelle CB è una, e però BA, <lb></lb>sarà tre. </foreign></s> <s>Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s>68. Sia [Fig. 46] l'essagono ACDE <lb></lb>e sia l'asse BF. Dico che le due coniche sono uguali alla <lb></lb>cilindrica SV. </s></p> <p type="main"> <s>Sia fatta la figura et essendo DE lato dell'essagono, <lb></lb>sarà DGE mezzo triangolo equilatero, però FG, GE eguali, <pb pagenum="19"></pb>e però H, I, L saranno tre qua</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 46].<lb></lb>drati. </s> <s><foreign lang="it">Hora la conica DE è il ca<lb></lb>pomozzo MNOP, overo il rettan<lb></lb>golo QR etc. </foreign></s> <s><foreign lang="it">overo la sua metà <lb></lb>NE, la cilindrica poi è il rettan<lb></lb>golo ST, overo la sua metà SF, <lb></lb>che si mostra uguale al NE così. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Per il lemma il quadrato di <lb></lb>DE è il sesquiterzo di DG, cioè <lb></lb>il quadrato fatto QP è sesquiterzo <lb></lb>del quadrato fatto FS, adunque li tre terzi, che sono li tre <lb></lb>quadrati, eguali H, I, L, sono uguali al quadrato FS. Però <lb></lb>la conica DE eguale alla cilindrica SV. Quod etc. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="italics"></emph>Corollario.<emph.end type="italics"></emph.end> Ma per la comune si mostra che la conica <lb></lb>LD e l'armillare SD simul sono sempre eguali alla cilin<lb></lb>drica; di più in questo caso mostro che la conica DL, <lb></lb>con la conica LE sono uguali all'istessa cilindrica, però <lb></lb>sono uguali fra di loro; et dempta communi LD, resta <lb></lb>l'armillare DS, eguale alla conica esclusa LE. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>DEL DODECAGONO.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">69. Sia il dodecagono [Fig. 47] ACLNP. Dico che la co<lb></lb>nica CL è uguale alla sua </foreign></s> </p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 47].<lb></lb>cilindrica <expan abbr="Eq;">Eque</expan> e la conica <lb></lb>LN uguale alla QN. </s></p> <p type="main"> <s>Sarà GH sino di gradi <lb></lb>30, però come HG à GI <lb></lb>dupla così FG a GC, ove<lb></lb>ro DL ad LC dupla, sarà <lb></lb>dunque DL uguale a GC, <lb></lb>et a CB, però uguali i <lb></lb>quattro quadrati R, S, I, <lb></lb>T, etc. </s> <s><foreign lang="it">Nota che la co<lb></lb>nica CL è un tal capo<lb></lb>mozzo, o rettangolo ZY, <lb></lb>e la cilindrica è il rettan<lb></lb>golo RO, i quali sono <lb></lb>uguali, perchè il rettangolo SIY è la metà dell'uno e <pb pagenum="20"></pb>dell'altro, essendo i due quadratini SI eguali alli due RT, <lb></lb>et il rettangolo Y al rettangolo X. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Ma più avanti. </s> <s><foreign lang="it">Dico che la conica LN è eguale alla <lb></lb>cilindrica QN etc., essendo il quadrato CL come quattro <lb></lb>et DL come uno, sarà il quadrato CD come tre, però il <lb></lb>quadrato segnato 3, sarà uguale a tre quarti del quadrato <lb></lb>CL, cioè al gnomone ZSI, cioè alli tre quadratini S, I, T; <lb></lb>ma li due rettangoli 2 et 4 sono uguali alli due X, Y. <lb></lb>Però tutti 2, 3, 4, è eguale ad X, S, I, Y, T, cioè la conica <lb></lb>alla cilindrica etc. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="italics"></emph>Corollario.<emph.end type="italics"></emph.end> Hora sumpta comuni NO, sarà tutto il giro <lb></lb>del dodecagono eguale alla cilindrica. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">E la conica NL alla LC, havrà la proporzione della <lb></lb>linea NQ alla QE. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Nota, che essendo (per la comune) la NO e la OE <lb></lb>uguale alla VC, CE, dempta communi la OE, sarà (in ogni <lb></lb>figura regolata) la sola NO uguale alle due VC, CO. <lb></lb>.................................... </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>CONTRO GL'INFINITI PERCHÈ È FALSO.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>73. Di qui si cava [Fig. 48] che </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s><foreign lang="it">[Fig. 48].<lb></lb>la figura DABCFE, composta del ci<lb></lb>lindro ADFC, e delli due segmenti <lb></lb>ABC, DEF, è la metà della sfera. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Poichè questa contiene tante cilin<lb></lb>driche quanti sono i punti del semi<lb></lb>quadrante AB e l'altra figura re<lb></lb>sidua ne contiene tanti quanti sono <lb></lb>i punti del semiquadrante GA e cia<lb></lb>scuna eguale a ciascuna etc. </foreign></s> <s>essendo però falsa quella <lb></lb>egualità. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>CONTRO GL'INFINITI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">74. Se sarà la sfera col suo cilindro [Fig. 49] et <lb></lb>segata con tutti i piani possibili paralleli alle basi, sempre <lb></lb>il circolo del cilindro (eccettuata la sezione per centrum) <pb pagenum="21"></pb>sarà maggiore, adunque tutte le sezioni </foreign></s> </p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 49].<lb></lb>simul saranno maggiori di tutti simul, <lb></lb>non è vero. </s><s>Poichè la cilindrica è <lb></lb>uguale alla sferica . </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>CONTRO GL'INFINITI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">75. Essendo sopra la medesima <lb></lb>base il semicircolo, la parabola e ret<lb></lb>tangolo con l'istessa altezza. </foreign></s> <s>Tirandosi <lb></lb>[Fig. 50] la AD perpendicolare alla base sempre quella <lb></lb>del semicircolo sarà media proporzio</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s><foreign lang="it">[Fig. 50].<lb></lb>nale tra quelle del rettangolo e della <lb></lb>parabola, adunque anco di tutti; però <lb></lb>il semicircolo sarà medio tra la para<lb></lb>bola, et il suo... [?] </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>76. <emph type="italics"></emph>Lemma.<emph.end type="italics"></emph.end> Si in figura [Fig. 51] AB ducta erit utcun<lb></lb>que LI ducanturque omnes CE, FH ad regulam AL, erunt <lb></lb>omnia segmenta, hoc est omnes lineae figurae ALIM, ad <lb></lb>omnes lineas LIB, ut figura ad figuram. </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 51].</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 52].</s></p> <p type="main"> <s>77. His positis: Fiat in emisferio [Fig. 52] ABC <lb></lb>conus ABC, compleaturque rectangulum BF, tum secto <lb></lb>hemisferi etc. </s><s>erit circulus ex GL ad circulum ex GI, <pb pagenum="22"></pb>hoc est ad circulum ex LB ut EL ad LB, hoc est ut <lb></lb>OM ad MN, et sic semper. </s><s>Quare omnes circuli, hoc est <lb></lb>hemisferium, erit ad conum ut figura EFCB ad CBD, <lb></lb>nempe 3/1, quod est falsum, est enim 2/1. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="italics"></emph>Aliter.<emph.end type="italics"></emph.end> Siano nel quadrato AB </foreign></s> </p> <figure></figure> <p type="caption"> <s><foreign lang="it">[Fig. 53].<lb></lb>[Fig. 53] le due parabole contrarie <lb></lb>et uguali, e girisi la figura circa <lb></lb>l'asse AC, è manifesto che una <lb></lb>farà il fuso, e l'altra il conoide. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">78. Proverò che il fuso e co<lb></lb>noide sono uguali. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Tutte le superficie cilindriche <lb></lb>fatte dalle linee come [Fig. 53] DE, a tutte le sue basi EF <lb></lb>sono come tutte le linee DE alla metà di tutte le EF, <lb></lb>quae est ratio aequalitatis. </s> <s><foreign lang="it">Dunque il conoide è la metà <lb></lb>del suo cilindro. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Iterum, tutte le superficie cilindriche fatte dalle linee <lb></lb>simili alla DG, sono a tutte le loro basi come tutte dette <lb></lb>linee alla metà di tutte le GH, cioè alla metà delle semi<lb></lb>parabole. </s> <s><foreign lang="it">Dunque ratio est aequalitatis e però il fuso è <lb></lb>la metà del suo cilindro. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Cerco perchè il sillogismo se<lb></lb>condo inganna e non il primo etc. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>79. Voluatur quadratum [Fig. 54] AB, </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 54].<lb></lb>cum diametro CD, eritque conus et cy<lb></lb>lindrus. </s></p> <p type="main"> <s>Cilindricae omnes ut EF, erunt ad cir<lb></lb>culos omnes FG, ut omnes lineae EF, hoc <lb></lb>est ut triangulum ACD ad 1/4 linearum omnium FG, <lb></lb>hoc est ad 1/4 trianguli DCG, hoc est ut 2 ad 1, sed hoc <lb></lb>verum est... </s></p> <pb pagenum="23"></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it">80. Sia il fuso [Fig. 55] parabolico </foreign></s> </p> <figure></figure> <p type="caption"> <s><foreign lang="it">[Fig. 55].<lb></lb>con la sferoide; se sarà segato col piano <lb></lb>ABCD, sarà il circolo BD al CD, come <lb></lb>AD alla DC, et sic semper. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Però tutti <lb></lb>i circoli, cioè la sferoide, al fuso sarà <lb></lb>come tutte le linee cioè come il rettan<lb></lb>golo alla parabola, però sesquialtero. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Dun<lb></lb>que essendo il fuso 8, la sferoide sarà 12 et il cilindro 18, <lb></lb>ma è solo 15, ergo è falso il modo. <lb></lb>.................................... </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>83. Se i cilindri haveranno le superficie eguali, toc<lb></lb>cheranno una hiperbola: la ragione è perchè essendo uguali <lb></lb>le superficie saranno uguali i rettangoli per axem, però <lb></lb>toccheranno l'hiperbola. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">84. Se i cilindri saranno uguali di mole, le super<lb></lb>ficie saranno come le applicate nella parabola alle loro <lb></lb>axi, overo altezze etc. </foreign></s> <s>Anco i rettangoli per axem hanno <lb></lb>la medesima proportione. </s><s>Ho mostrato che la superficie <lb></lb>alla superficie è in proporzione subdupla delle altezze, <lb></lb>adunque sono come le applicate. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">85. I cilindri della medesima altezza hanno la pro<lb></lb>portione fra loro come le tangenti nella parabola ai dia<lb></lb>metri delle basi etc. </foreign></s> <s>Poichè essi sono come le basi, cioè <lb></lb>come i quadrati dei diametri, cioè come le dette applicate. </s></p> <p type="main"> <s>86. Sphaerarum super</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 56].<lb></lb>ficies sunt ut quadrata dia<lb></lb>metrorum. </s></p> <p type="main"> <s>Quadratum enim [Fig. 56] <lb></lb>ABC ad quadratum EFG est <lb></lb>ut circulus D ad circulum H, <lb></lb>sed circulus D ad circulum H <lb></lb>est ut sferica superficies ad <lb></lb>sfericam, ergo ex aequo etc. </s><s><lb></lb>Quod erat. </s></p> <p type="main"> <s>Hic addere potest. </s><s>Superficies solidorum similium esse <lb></lb>ut sunt quadrata laterum homologorum etc. <lb></lb>.................................... </s></p> <pb pagenum="24"></pb> <p type="main"> <s>91. Quaelibet cilindrica superficies ad sfericam est <lb></lb>ut rectangulum per axem </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 57].<lb></lb>ad quadratum diametri. </s></p> <p type="main"> <s>Utraque enim superfi<lb></lb>cies tripla sesquiseptima <lb></lb>est dicti figurae etc. . </s></p> <p type="main"> <s>92. Conicam quaeli<lb></lb>bet ad sfericam est [Fig. <lb></lb>57] ut rectangulum ABC, <lb></lb>ad quadratum diametri. </s></p> <p type="main"> <s>Utroque enim superficies tripla sesquiseptima est dicte <lb></lb>figurae. </s></p> <p type="main"> <s>93. Tutti i cilindri dell'hiperbola [Fig. 58] sono iso<lb></lb>perimetri alla sfera intercetta, se l'angolo delle asimptoti <lb></lb>sia retto. </s><s>Quando non sia retto sono isoperimetri alla sfera <lb></lb>del diametro BC etc. </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 58].</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 59].</s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">94. Se nella parabola [Fig. 59] sarà la AB altezza, <lb></lb>e la CD base, questo cilindro sarà uguale al cilindro del<lb></lb>l'altezza AC, et base BE. Idem de conis. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>95. Data quaelibet hiperbola circa suos asimptotos, <lb></lb>cilindris omnes sunt inaequales, quo altiores minores, quo <lb></lb>depressiores capaciores sunt. </s></p> <p type="main"> <s>96. Tutti i cilindri dell'hiperbola sono isoperimetri; ma <lb></lb>se due haveranno l'altezze e diametri delle basi reciproca- <pb pagenum="25"></pb>mente uguali, saranno in proporzione </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s><foreign lang="it">[Fig. 60].<lb></lb>continua con il medio DH [Fig. 60]. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Nam tres lineae sunt in ratione <lb></lb>continua GI, HF, AD, item tres (ipsis <lb></lb>enim aequales sunt) GD, FD, ED. <lb></lb>Jam cilindrus GB ad cilindrum FB <lb></lb>compositam habet ex longitudine IG <lb></lb>ad HF, vel HF ad AD, et ex po<lb></lb>tentia GD ad DF, vel FD ad DE, <lb></lb>cilindrus autem HD ad EA, hanc <lb></lb>eandem habet. </s><s>Quare continui sunt. </s><s>Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s>97. Però se volgerai un quadrato, et un rettangolo <lb></lb>eguale ad esso, duplici axe, farai tre cilindri continui. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Metti la proposizione del Galileo con la quale mostra <lb></lb>che il circolo è massimo delle figure isoperimetre etc. . </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">98. Di più nota che delli poligoni regolari isoperi<lb></lb>metri, quello che ha più lati è maggiore. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Sia il pentagono B e quadrato A isoperimetri [Fig. 61]. </foreign></s> </p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 61].<lb></lb>Facciasi intorno al pentagono un circolo et inscrivasi un <lb></lb>decagono e circoscrivasi un quadrato. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">99. Dico primieramente che il decagono al qua<lb></lb>drato A, ha la proportione che il perimetro del quadrato <pb pagenum="26"></pb>circoscritto al perimetro del quadrato A; et anco che il <lb></lb>decagono è medio proporzionale tra i due quadrati. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Il quadrato circoscritto al decagono sta come il peri<lb></lb>metro del detto quadrato al perimetro del pentagono, cioè <lb></lb>al perimetro di A. Ma il quadrato circoscritto al qua<lb></lb>drato A, ha la duplicata proporzione del perimetro al pe<lb></lb>rimetro, però sono in proportione continua. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">100. Di più come il decagono al quadrato A così è il <lb></lb>perimetro del quadrato circoscritto al perimetro del qua<lb></lb>drato A. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">101. Hora essendo in proportione continua il quadrato <lb></lb>grande il decagono et il quadrato A, il decagono al pen<lb></lb>tagono è come .......................... <lb></lb>.................................... </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>102. Così l'esagono inscritto è medio proporzionale tra <lb></lb>due poligoni, uno dei quali sia circoscritto e l'altro isoperi<lb></lb>metro al triangolo inscritto; l'ottagono inscritto è medio <lb></lb>proporzionale tra due poligoni simili, uno </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 62].<lb></lb>dei quali sia circoscritto e l'altro sia iso<lb></lb>perimetro al quadrato inscritto. </s><s>Etc. </s></p> <p type="main"> <s>103. Proportio trium figurarum [Fig. <lb></lb>62] BADC, trapetii BAEC, trianguli BAC, <lb></lb>est in lineis BD, BE, BF. </s></p> <p type="main"> <s>Però servitene a'bisogni. </s></p> <p type="main"> <s>104. Il quadrato circoscritto al trian</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s><foreign lang="it">[Fig. 63].<lb></lb>golo [Fig. 63] equilatero iscritto ha la <lb></lb>proporzione che ha il diametro a 3/8 del <lb></lb>lato d'esso triangolo. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">105. Adunque l'istesso quadrato al<lb></lb>l'essagono iscritto sarà come il diametro <lb></lb>alli 3/4 del lato del triangolo. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Ma prova prima questa, e poi la precedente. </s></p> <pb pagenum="27"></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it">106. Però il quadrato iscritto (che è la metà del qua<lb></lb>drato del diametro) all'essagono sarà come il diametro <lb></lb>alla metà del perimetro del triangolo. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>107. Da Villebrordo Snellio . Ma demostrato a no<lb></lb>stro modo. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Sarà dunque il quadrato circoscritto al dodecangolo <lb></lb>inscritto come il perimetro d'esso quadrato al perimetro <lb></lb>dell'esagono, cioè come 4 diametri a 3 diametri, cioè ses<lb></lb>quiterzo. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">108. Sarà ancora il quadrato inscritto all'istesso do<lb></lb>decangolo inscritto come 2 a 3, cioè subsesquialtero, etc. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">109. Il dodecangolo inscritto all'essagono inscritto <lb></lb>ha la proporzione che il diametro al lato del triangolo, <lb></lb>adunque l'istesso al triangolo è come il diametro a mezzo <lb></lb>lato del triangolo. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>110. Il triangolo circoscritto è quadruplo dell'in<lb></lb>scritto. </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 64].</s></p> <p type="main"> <s>111. Il quadrato circoscritto è <lb></lb>duplo dell'iscritto, ognuno lo sa. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">112. Però nota che sempre la <lb></lb>circoscritta all'inscritta simile ha <lb></lb>proporzione duplicata della propor<lb></lb>zione [Fig. 64] di AB alla perpendi<lb></lb>colare sopra il lato. </foreign></s> </p> <pb pagenum="28"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>ROBBA PER LA FACCIATA 40 .<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">113. Dei poligoni regolari iscritti quello che haverà <lb></lb>più lati haverà maggior perimetro. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Siano etc. [Fig. 65]. </s><s>Mostrano </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s><foreign lang="it">[Fig. 65].<lb></lb>gl' (<emph type="italics"></emph>sic<emph.end type="italics"></emph.end>) autori che l'arco BA più gran<lb></lb>de all'arco CA più piccolo ha maggior <lb></lb>proporzione che la corda BA alla <lb></lb>corda CA.... Prendansi dal poligono <lb></lb>di più lati i lati ACFDE eguali di <lb></lb>numero alli lati del poligono ABH. <lb></lb>Haveranno tutti i lati del poligono <lb></lb>ABH a tutti i lati presi ACFDE la <lb></lb>proporzione che ha uno ad uno (per <lb></lb>15 quinti), cioè che ha BA ad AC, la qual proporzione <lb></lb>è minore che la proporzione dell'arco BA all'arco AC, cioè <lb></lb>minore che la proporzione della periferia tutta a tutti gli <lb></lb>archi presi ACFDE (essendo equemoltiplici), cioè minore <lb></lb>che quella di tutti i lati del poligono ACF et alli mede<lb></lb>simi lati presi ACFDE. Sarà dunque il perimetro del po<lb></lb>ligono di più pochi lati minore. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">114. Dei poligoni inscritti, quello che ha più pochi <lb></lb>lati è minore. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Poichè sono due triangoli, e quello di più lati ha mag<lb></lb>gior base e maggior altezza; adunque è maggiore. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">115. I poligoni circoscritti hanno fra loro la mede<lb></lb>sima proporzione che hanno i loro perimetri. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Poichè sono triangoli con la medesima altezza; et i <lb></lb>perimetri con le loro basi. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">116. Va prima il lemma: Dei poligoni circoscritti <lb></lb>quello che ha meno lati è maggiore.... </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">117. De i poligoni isoperimetri quello che ha più <lb></lb>lati è maggiore.... </foreign></s> </p> <pb pagenum="29"></pb> <p type="main"> <s>Forma due proposizioni con una sola demostrazione. </s></p> <p type="main"> <s>118. Qualsivoglia poligono è medio proporzionale tra <lb></lb>due circoli uno dei quali [D] sia inscritto ad esso, e l'al<lb></lb>tro [E] sia isoperimetro. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">119. Il poligono al suo circolo ha la proporzione del <lb></lb>perimetro alla periferia, cioè della periferia di E alla pe<lb></lb>riferia di D, cioè del diametro E al diametro D. Ma il <lb></lb>circolo di E al circolo di D ha dupplicata questa propor<lb></lb>zione, sono dunque continui. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">120. Vedi però manifestissimamente quello che mo<lb></lb>strò il Galileo ancora, cioè che il circolo è maggiore <lb></lb>del poligono suo isoperimetro. <lb></lb>.................................... </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>124. Si in parabola aequalia fuerint </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 66].<lb></lb>[Fig. 66] rectangula ABC, DEF, GHI, <lb></lb>erunt aequales cilindri MBC, MEF, MHI. </s></p> <p type="main"> <s>Conversa etiam vera est. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">125. Quo ad primum: essendo il ret<lb></lb>tangolo ABC uguale al rettangolo DEF <lb></lb>sarà come DE ad AB così BC ad EF. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Perchè poi l'altezza EM alla altezza MB <lb></lb>stà come il quadrato ED al quadrato BA, <lb></lb>cioè come il quadrato BC al quadrato EF, <lb></lb>cioè come il circolo BC al circolo EF, saranno reciproche <lb></lb>l'altezze e le basi, però uguali i cilindri; et sic de sin<lb></lb>gulis et ergo etc. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">126. Quo ad conversam: Essendo uguali i cilindri sud<lb></lb>detti sarà il circolo BC ad EF, cioè il quadrato BC ad EF, <lb></lb>come l'altezza EM ad MB, cioè come il quadrato ED al <lb></lb>BA, ob parabolam, adunque sarà come BC ad EF così ED <lb></lb>a BA, però sono uguali ABC, DEF etc. </foreign></s> <s>Quod etc. </s></p> <pb pagenum="30"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PER IL LIBRO DE MOTU.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">127. Di qui si cava che se sarà un vaso sempre pieno <lb></lb>d'acqua forato nel fondo B [Fig. </foreign></s> </p> <figure></figure> <p type="caption"> <s><foreign lang="it">[Fig. 67].<lb></lb>67] e sia il solido d'acqua ca<lb></lb>dente BLM, se dalla cima del <lb></lb>livello faremo una parabola e <lb></lb>tiraremo diverse applicate HE, <lb></lb>IF, etc., saranno tutti i cilindri <lb></lb>su le basi B, L, M, con l'altezze <lb></lb>GD, HE, IF eguali. </foreign></s> <s>Poichè per <lb></lb>la dottrina di Don Benedetto <lb></lb>Castelli la sezzione B alla sez<lb></lb>zione L stà come la velocità di L alla velocità di B, cioè <lb></lb>come la HE alla GD; sono </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 68].<lb></lb>dunque reciproche le basi e <lb></lb>l'altezze, però i cilindri uguali. <lb></lb>................... </s></p> <p type="main"> <s>131. Se sarà l'ellissi di <lb></lb>cui sia lato recto BC, sarà la <lb></lb>sfera [Fig. 68] di qualunque <lb></lb>applicata isoperimetra al ci<lb></lb>lindro corrispondente BD . </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PER LA SFERA E SUOI SOLIDI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">132. <emph type="italics"></emph>Lemma.<emph.end type="italics"></emph.end> Se il prisma triangolare e la piramide <lb></lb>[Fig. 69] haveranno per base il me</foreign></s> </p> <figure></figure> <p type="caption"> <s><foreign lang="it">[Fig. 69].<lb></lb>desimo parallelogrammo BCDE e <lb></lb>la medesima altezza: sarà il pri<lb></lb>sma sesquialtero della piramide etc. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Poichè considerandosi sopra la <lb></lb>base DHE la piramide AHDE <lb></lb>è 1/3 di tutto, e però l'altra pira- <pb pagenum="31"></pb>mide sopra la base parallelogramma sarà 2/3 di tutto. </s><s><lb></lb>Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">133. Nota però che il prisma triangolare è sesquial<lb></lb>tero di qualunque piramide che abbia la medesima altezza, <lb></lb>e base uguale alla BCDE, poichè questa piramide, qua<lb></lb>lunque sia, sarà sempre uguale alla piramide BCDEA e <lb></lb>l'istesso dico di un cono quando la base del cono fosse <lb></lb>uguale a quella della piramide. <lb></lb>.................................... </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>135. Si fuerit circa semicirculum [Fig. 70] AHIB <lb></lb>descriptum semipoligonum AGFB etiam irregolare; si se<lb></lb>micirculus circa axem AB volua</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 70].<lb></lb>tur, erit factum solidum ad suam <lb></lb>spheram, ut est totus solidi peri<lb></lb>meter ad superficiem sphaerae. </s></p> <p type="main"> <s>Prolixa huius theo. </s><s>demonstra<lb></lb>tio non esset opus neque libelli ne<lb></lb>que instituti nostri. </s><s>Sufficiat nobis <lb></lb>ex mente Jo. </s><s>Kepleri, et aliorum <lb></lb>nostri seculi, considerare tum <lb></lb>ipsam sphaeram tum etiam totum <lb></lb>solidum illam ambiens in minimos <lb></lb>et infinitos conulos sive piramidales resolutum, ita ut <lb></lb>omnium vertices in centro sint, bases vero in perimetris <lb></lb>figurae. </s><s>Omnes enim huiusmodi (sive conulos sive mavis <lb></lb>piramidulas) eandem altitudinem habebunt nempe semi<lb></lb>diametrum sphaerae, non solum illae quae inter sferam <lb></lb>sunt, sed etiam illae in quas circumductum solidum di<lb></lb>stribuitur. </s><s>Omnes igitur simul minimae piramides am<lb></lb>bientis solidi, hoc est ipsum solidum, ad omnes minimas <lb></lb>piramides, sferae hoc est ad ipsam sferam erunt ut omnes <lb></lb>simul illarum bases, ad omnes bases istarum simul, <lb></lb>nempe ut totus perimeter solidi ambientis ad ipsum sferae <lb></lb>perimetrum. </s><s>Quod opportebat aliquo brevi modo demon<lb></lb>strare. </s></p> <pb pagenum="32"></pb> <p type="main"> <s>136. I poligoni circoscritti alla sfera si chiamano da <lb></lb>noi quei poligoni solidi composti di superficie coniche, ci<lb></lb>lindriche e circolari nati dalla revolutione d'un poligono <lb></lb>circa un circolo.... </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">137. Se la parabola et il se</foreign></s> </p> <figure></figure> <p type="caption"> <s><foreign lang="it">[Fig. 71].<lb></lb>micircolo haveranno la medesima <lb></lb>base [Fig. 71], sarà il cilindro ABC <lb></lb>isoperimetro al cilindro BF, DE. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Nota che la BF si porti sem<lb></lb>pre in capo il circolo del lato <lb></lb>retto DFE. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">138. Però sarà sempre il ci<lb></lb>lindro BFDE isoperimetro alla <lb></lb>sfera BH. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Prova che il rettangolo BF, DE sia sempre uguale al <lb></lb>quadrato BH. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>139. <emph type="italics"></emph>Lemma.<emph.end type="italics"></emph.end> Buono lem</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 72].<lb></lb>ma per entrare nelle cose <lb></lb>delle sfere. </s><s>Provato che hai <lb></lb>le superficie esser come i qua<lb></lb>drati delli diametri, aggiungi: <lb></lb>dunque sono come i rettan<lb></lb>goli ABC, ADC [Fig. 72]. </s></p> <p type="main"> <s>140. Accompagna con foglio se</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 73].<lb></lb>parato. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Se si volgerà l'essagono circa l'asse <lb></lb>[Fig. 73] AB, il solido alla sfera sarà <lb></lb>come 11 ad 8. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Se volgerà circa l'asse DC, sarà alla <lb></lb>sfera come l'asse suo all'asse della sfera. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>141. Datae sfere conum circum<lb></lb>scribere cuius perimeter ad periferiam <lb></lb>sfere sit in data ratione .................... <lb></lb>.................................... </s></p> <pb pagenum="33"></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it">143. Facendo axe la AD [Fig. 74], allora la conica <lb></lb>AB alla conica BD sarà come la linea AB alla BD (et <lb></lb>è subdupla della AC alla CD), </foreign></s> </p> <figure></figure> <p type="caption"> <s><foreign lang="it">[Fig. 74].<lb></lb>overo del segmento AB al seg<lb></lb>mento BD. Questo è vero in tutti <lb></lb>i coni congiunti di basi; overo <lb></lb>che hanno base eguale. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">144. Ma, facendo axe la BC, <lb></lb>nasceranno pure due coniche su<lb></lb>perficie e la AB alla BD, sarà come il cubo AB al <lb></lb>cubo BD. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Poichè la superficie AB alla BD, mentre è asse BC, <lb></lb>stà come il rettangolo BAC al rettangolo BDC, cioè ha <lb></lb>proporzione composta di AB a BD, che è la semplice, e <lb></lb>di AC a CD, che è duplicata, dunque ha triplicata pro<lb></lb>porzione. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Nota che per fare questo ci vuole quello che sai tu. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>145. Se sarà lato retto d'una </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s><foreign lang="it">[Fig. 75].<lb></lb>parabola la linea AB [Fig. 75] e sia <lb></lb>fatto il semicircolo, sempre la conica <lb></lb>AE circa l'asse AB sarà uguale alla <lb></lb>cilindrica CDE. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Per essere AE uguale a CD, sarà <lb></lb>il rettangolo AED uguale al rettan<lb></lb>golo CDE, ergo etc. </s></p> <p type="main"> <s>146. Se sarà centro A [Fig. 76] </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s><foreign lang="it">[Fig. 76].<lb></lb>et axe della sfera l'AB, la conica <lb></lb>CAD alla sferica CBD, sarà come il <lb></lb>rettangolo ACE al quadrato CB. L'i<lb></lb>stessa conica CAD all'altro segmento <lb></lb>sarà come il rettangolo ACE al qua<lb></lb>drato CG. Ma la conica CBD alla <lb></lb>sferica CBD, sarà come la linea CE <lb></lb>alla linea CB. </foreign></s> </p> <pb pagenum="34"></pb> <p type="main"> <s>147. Ex data sfera segmen</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 77].<lb></lb>tum abscindere cuius superficies <lb></lb>ad superficiem sui coni sit ut A <lb></lb>ad B maioris ad minorem. </s></p> <p type="main"> <s>Fiat [Fig. 77] ut A ad B ita <lb></lb>CD ad DE, ita erit etiam CE ad <lb></lb>EH, hoc est superficies segmenti <lb></lb>ECF ad superficiem coni sui <lb></lb>ECF. </s></p> <p type="main"> <s>148. Superficies cuiuslibet segmenti [Fig. 78] ABD <lb></lb>ad superficiem suae sphaerulae BC est ut quadratum AB <lb></lb>ad quadratum BC. Duplicatam rationem etc. </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 78].</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 79].</s></p> <p type="main"> <s>149. Secto diametro sferae utcunque erunt duae sfere <lb></lb>simul [Fig. 79] AC, CB, cum duobus cilindris simul ACB, <lb></lb>isoperimetrae toti sferae. </s></p> <p type="main"> <s>Vel quatuor sferae AC, CB, CD erunt isoperimetrae <lb></lb>toti sfere. </s><s>Vel duo sferae AC, CB cum duobus cilindris D, <lb></lb>C isoperimetrae toti, etc. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">150. Fra i corollarij della </foreign></s> </p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 80].<lb></lb>solida: </s></p> <p type="main"> <s>Sit [Fig. 80] centrum sferae D <lb></lb>et axis DB, si sumatur BC aequalis <lb></lb>BA erit conus DCF aequalis sec<lb></lb>tori solido DABE. Ratio quia basis <lb></lb>coni aequalis erit segmento super<lb></lb>ficiei ABE et altitudo eadem DB. </s></p> <pb pagenum="35"></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it">151. Dato igitur quolibet sectore possumus conum <lb></lb>aequalem facere; e quì viene per corollario quella d'Ar<lb></lb>chimede che la sfera sia uguale al cono che habbia la <lb></lb>base quadrupla e l'altezza del radio. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">152. Dimostra tutto questo per via delli infiniti coni <lb></lb>aequealti e di qui cava poi che il cilindro sia sesquialtero <lb></lb>della sfera; perchè è di quel cono. <lb></lb>.................................... </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>155. Si circuli diameter secetur utcunque [Fig. 80], <lb></lb>erit superficies sferae cuius diameter AC una cum super<lb></lb>ficie cilindri cuius DC, CB sunt axis et </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 81].<lb></lb>diameter, aequales simul circulo. </s><s>Dicas <lb></lb>iterum erit sfera AB isoperimetra. </s></p> <p type="main"> <s>156. Si sferae diameter secetur <lb></lb>utcunque [Fig. 81], erit tota sfera iso<lb></lb>perimetra sferae cuius radius AC, et <lb></lb>duobus cilindris quorum DC, CB sint <lb></lb>axis et radius. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">157. Nel triangolo equilatero il circolo del lato è <lb></lb>sesquiterzo del circolo del cateto. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Però il circolo del lato <lb></lb>è triplo dell'iscritto. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Pongasi AB [Fig. 82] esser 3; però sarà potenza <lb></lb>come 9; sarà AC potenza come 12 e BD potenza sarà <lb></lb>come 4. Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s>158. Girisi hora [Fig. 82] circa </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s><foreign lang="it">[Fig. 82].<lb></lb>l'asse AB; sarà la superficie della <lb></lb>sfera BD 16. Il circolo CE si è detto <lb></lb>sarà 12. Ma perchè la superficie co<lb></lb>nica alla sua base in qualunque cono <lb></lb>retto è come AC alla CB, qui sarà <lb></lb>dupla, però la conica sarà come 24, <lb></lb>ma la sferica si è detto come 16, <lb></lb>però la conica è sesquiterza della sfe<lb></lb>rica. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Di più tutto il perimetro del cono, cioè la conica <pb pagenum="36"></pb>con la base, sarà come 36 e la sferica è come 16; adun<lb></lb>que sarà il perimetro del solido duplo sesquiquarta. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">159. Ma avendo concluso che i solidi circoscritti alla <lb></lb>sfera sono alla sfera come il perimetro loro alla superficie <lb></lb>sferica, sarà questo cono alla sfera duplo sesquiquarto. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Essendo dunque tutto il cono alla sfera come 36 a 16, se <lb></lb>leveremo il cono CDE [Fig. 82] (che per haver un terzo <lb></lb>d'altezza è 1/3 del tutto), resterà il residuo come 24 a 16, <lb></lb>cioè sesquialtero della sfera, overo eguale al cilindro circa <lb></lb>sferam. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>160. Superficies autem sferae circumscriptae huius<lb></lb>modi cono erit ad superficiem inscriptae ut 4 ad 1 (sunt <lb></lb>enim earum diametri in ratione du</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 83].<lb></lb>pla) quare circumscripta sferica ad <lb></lb>conicam superficiem erit ut 9 ad 16 <lb></lb>[Fig. 83]. </s></p> <p type="main"> <s>161. Soliditas autem circum<lb></lb>scripte sferae erit quandoquidem sfe<lb></lb>ram inscriptam (diximus esse ut 4 et <lb></lb>diametri sunt in ratione dupla) ut 32. <lb></lb>Quare circumscripta sfera ad inscri<lb></lb>ptum conum erit ut 32 ad 9. </s></p> <p type="main"> <s>162. Conus aequilaterus ad suam inscriptam sferam <lb></lb>est in duplicata ratione axis coni ad axem sferae. </s></p> <p type="main"> <s>163. Conus aequilaterus sine basi isoperimeter est <lb></lb>cilindro eandem sibi altitudinem basim vero circulum in <lb></lb>triangulo circumscriptum habenti. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">164. Se [Fig. 84] la tangente AB sarà uguale all'arco <lb></lb>AC, sarà il triangolo ADB, uguale al sectore. ★ </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Pongasi AE uguale alla periferia e sarà DAE il trian<lb></lb>golo d'Archimede <emph type="italics"></emph>de dim. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Circ.<emph.end type="italics"></emph.end> Sarà il triangolo DAE al <lb></lb>triangolo DAB come EA ad AB, cioè come la periferia <pb pagenum="37"></pb>all'arco AC, cioè come il circolo al settore ADC. Ma gli </foreign></s> </p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 84].<lb></lb>antecedenti sono uguali, dunque anco i conseguenti; cioè <lb></lb>il triangolo ADB al settore ADC. </s></p> <p type="main"> <s>165. Sia [Fig. 85] la tangente </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s><foreign lang="it">[Fig. 85].<lb></lb>BC, et AC ex centro; dico che il trian<lb></lb> <arrow.to.target n="marg292"></arrow.to.target><lb></lb>golo ABC al suo settore BAE, è come <lb></lb>la tangente BC all'arco BE. </foreign></s> </p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg292"></margin.target>★</s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Pongasi l'arco BD uguale alla BC; <lb></lb>sarà dunque il triangolo ABC uguale <lb></lb>al settore BAD per la passata. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Hora <lb></lb>la tangente BC all'arco BE è come <lb></lb>l'arco BD all'arco BE, cioè come il settore BAD al set<lb></lb>tore BAE, cioè come il triangolo BAC al settore BAE <lb></lb>ob aequalitatem, ergo etc. </foreign></s> <s>Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s>166. Quodlibet trapezium etiam irregolare [Fig. 86] <lb></lb>ABCD etc. </s><s>circulo circumscriptum ad circulum est ut tra<lb></lb> <arrow.to.target n="marg293"></arrow.to.target><lb></lb>pezium perimeter ad ipsam <lb></lb>circuli periferiam. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg293"></margin.target>★</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 86].</s></p> <p type="main"> <s>Ducantur ex centro li<lb></lb>neae ad omnes angulos re<lb></lb>solutum poligonum in trian<lb></lb>gula eandem altitudinem <lb></lb>habentia circulus autem in <lb></lb>sectores. </s><s>Sumatur quodlibet <lb></lb>ex triangulis AFE erunt <lb></lb>omnia triangula ob commu<lb></lb>nem altitudinem (nempe po<lb></lb>ligonum) ad assumptum triangulum AFE ut poligoni pe<lb></lb>rimeter ad AF. Triangulum vero AFE ad sectorem est <pb pagenum="38"></pb>ut AF ad arcum FG, denique sector ad circulum est ut <lb></lb>arcus FG ad periferiam, quare ex aequo erit poligonum <lb></lb>ad circulum ut poligoni perimeter ad circuli circumfe<lb></lb>rentiam. </s></p> <p type="main"> <s>167. Sector [Fig. 87] BAD maior </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 87].<lb></lb>semicirculo ad suum trapetium CBAD <lb></lb>est ut totus arcus ad cordam BD, <lb></lb>sive semiarcus AB ad semicordam BE. </s></p> <p type="main"> <s>Utraque enim figura tam trape<lb></lb>tium quam sector triangulum est su<lb></lb>per basi eadem AC diversa tamen <lb></lb>altitudine. </s><s>Sector enim altitudinem <lb></lb>habet periferiam; sed trapetium alti<lb></lb>tudinem habet BD et quare sector ad trapetium erit ut <lb></lb>arcus ad cordam. </s></p> <p type="main"> <s>168. Sector [Fig. 88] ABCD ad </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 88].<lb></lb>suum triangulum ACD est ut semi<lb></lb>arcus BC ad perpendicularem EH. <lb></lb>Utraque enim figura triangulum est <lb></lb>super eodem basi CD, cum altitudi<lb></lb>nibus BC et EH, duplicatis ergo etc. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">169. Però (in eadem figura), se si prendesse l'arco <lb></lb>CI eguale alla EH, sarebbe come il settore al triangolo <lb></lb>così BC a CI, e però dividendo il segmento ABCE al suo <lb></lb>triangolo ADC sarà come BI ad IC. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>170. Stante questo, se sarà segato </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s><foreign lang="it">[Fig. 89].<lb></lb>il circolo dalla AC [Fig. 89] e tirata la <lb></lb>IH perpendicolare alla EC, e si prenda <lb></lb>la CL eguale alla IH, sarà il segmento <lb></lb>al segmento homologamente come BL <lb></lb>ad LD etc. <lb></lb>........................ </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>172. Dato cilindro sphaeram iso<lb></lb>perimetram facere. </s></p> <pb pagenum="39"></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Trova la media perpendicolare tra li due lati del ret<lb></lb>tangolo per axem e quella sarà diametro della sfera. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Coglionatura della natura facta a noi, che per farla <lb></lb>eguale di solido, ci vogliono le due medie proporzionali. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>173. Se [Fig. 90] saranno uguali </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 90].<lb></lb>AB, BC, la conica AC sarà uguale <lb></lb>alla cilindrica HI, però alla sferica <lb></lb>corrispondente. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Poichè il rettangolo sotto EB, <lb></lb>AC (che è la conica) è uguale al ret<lb></lb>tangolo FH (che è la cilindrica), per <lb></lb>esser reciproche. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>174. Dato segmento sferae, conicam isoperimetram <lb></lb>circumscribere. </s></p> <p type="main"> <s>Sega l'asse bifariam in E e poi tira la tangente etc. </s><s><lb></lb>che sarà fatto. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">175. Se [Fig. 91] sarà la parabola il cui lato retto <lb></lb>sia AB, sempre la sphera CD sarà isoperimetra al cilin<lb></lb>dro CAB fatto di modo che la CA sia base e l'altra <lb></lb>altezza. </foreign></s> </p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 91].</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 92].</s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">176. Se [Fig. 92] sarà un cilindro, lungo il cui dia<lb></lb>metro della base AB si faccia lato retto della parabola <pb pagenum="40"></pb>BC. Saranno le sfere delle applicate isope</foreign></s> </p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 93].<lb></lb>rimetre sempre al suo cilindro. </s></p> <p type="main"> <s>177. Dato cono sferam isoperimetram <lb></lb>facere. </s></p> <p type="main"> <s>Trova [Fig. 93] la media tra AB, BC, e <lb></lb>falla diametro che la sfera sarà isoperime<lb></lb>tra al cono. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">178. Nel triangolo rettangolo </foreign></s> </p> <figure></figure> <p type="caption"> <s><foreign lang="it">[Fig. 94].<lb></lb>[Fig. 94] è certo che la sfera del <lb></lb>cateto è isoperimetra al cilindro che <lb></lb>habbia per altezza AB e per base <lb></lb>AC, vel e contra. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>179. Dato segmento conicae su</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 95].<lb></lb>perficiei, sferam isoperimetram fa<lb></lb>cere. </s></p> <p type="main"> <s>Seca [Fig. 95] bifariam AB in C, et <lb></lb>inter AB, CD sume mediam propor<lb></lb>tionalem, quae diameter erit sphaerae <lb></lb>isoperimetrae dato segmento. </s></p> <p type="main"> <s>Dato eodem cilindrum, isoperime<lb></lb>trum equealtum facere. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Fà l'angolo ACE retto e sarà fatto; <lb></lb>e semidiametro della base sarà CE. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>180. Dato [Fig. 96] un </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 96].<lb></lb>cono lungo ABC, trova la <lb></lb>media proporzionale tra AB, <lb></lb>BC, e sia DB. Poni in di<lb></lb>retto che è meglio, sarà la <lb></lb>sfera DB isoperimetra al suo <lb></lb>cono, e tirata la parallela <lb></lb>EF sarà la sfera EF isope<lb></lb>rimetra al suo cono. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">181. Ma le sfere isope<lb></lb>rimetre alli segmenti inter- <pb pagenum="41"></pb>medij sono le DI, EO, levati gli diametri precedenti <lb></lb>BI, FO. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>182. E di più secta utcumque sferae diametro in C, <lb></lb>erit cilindrica DAC media inter sfericas CA, AD; at ci<lb></lb>lindrica ADC media inter sfericas AD, DC; in cambio de <lb></lb>i cilindri medij proporzionali piglia le sfere AB, BD. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">183. Se nel circolo saranno due diametri ad angoli <lb></lb>retti, e la corda del quadrato AB [Fig. 97]. </foreign></s> <s>Tirata qua<lb></lb>lunque CD sarà la sfera CD isoperimetra al cilindro DE, <lb></lb>nell'una e nell'altra figura. </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 97].</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 98].</s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">184. Cava il problema facendo passare i circoli per A <lb></lb>[Fig. 98]. </foreign></s> <s>Data basi, vel data altitudine futuri cilindri ad <lb></lb>datam sferam isoperimetra. <lb></lb>.................................... </s></p> <p type="main"> <s>186. Sia la sfera ABD [Fig. 99]; </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s><foreign lang="it">[Fig. 99].<lb></lb>la sferica AB sarà uguale alla cilin<lb></lb>drica di DA e di AC, e però anco il <lb></lb>cilindro DAC sarà uguale alla super<lb></lb>ficie del segmento della sfera e l'altro <lb></lb>cilindro ADC all'altro segmento e le <lb></lb>due sfere AC, CB al segmento suo; <lb></lb>e le quattro sfere AC, AB, CB, CD <lb></lb>alla sfera tutta etc. </foreign></s> <s>et i due cilindri <lb></lb>DAC, ACD a tutta la sfera. <lb></lb>.................................... </s></p> <pb pagenum="42"></pb> <p type="main"> <s>200. Duos cilindros aequales et isoperimetros nemo <lb></lb>constituet dissimiles. </s></p> <p type="main"> <s>Nam ob isoperimetriam erit </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 100].<lb></lb>rectangulum A [Fig. 100] ae<lb></lb>quale rectangulo B; et ideo <lb></lb>erit ratio composita ex <emph type="italics"></emph>c<emph.end type="italics"></emph.end> ad <emph type="italics"></emph>d<emph.end type="italics"></emph.end><lb></lb>et ex <emph type="italics"></emph>e<emph.end type="italics"></emph.end> ad <emph type="italics"></emph>f<emph.end type="italics"></emph.end> aequalitatis: item <lb></lb>ob soliditatem cilindrorum ae<lb></lb>qualem erit ratio ex <emph type="italics"></emph>c<emph.end type="italics"></emph.end> ad <emph type="italics"></emph>d<emph.end type="italics"></emph.end><lb></lb>et ex <emph type="italics"></emph>e<emph.end type="italics"></emph.end> ad <emph type="italics"></emph>h<emph.end type="italics"></emph.end> aequalitatis; <lb></lb>quare aequales erunt <emph type="italics"></emph>f<emph.end type="italics"></emph.end> et <emph type="italics"></emph>h,<emph.end type="italics"></emph.end> ergo et etiam prima <emph type="italics"></emph>e.<emph.end type="italics"></emph.end> Quare <lb></lb>duo cilindri penitus et aequales et similes erunt. </s></p> <p type="main"> <s>201. Datae sferae AB [Fig. </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 101].<lb></lb>101] conos isoperimetros facere. </s></p> <p type="main"> <s>Sit AC aequales AB, factoque <lb></lb>circulo DCE per punctum C, erit <lb></lb>DA radius basis, et AE latus <lb></lb>coni; erit enim conica ad sferi<lb></lb>cam ut rectangulum sub latere <lb></lb>et radio ad quadratum diametri; <lb></lb>nempe aequale. </s></p> <p type="main"> <s>202. Per cavare l'hiperbola dalla parabola. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Fà due parabole [Fig. 102] eguali circa l'istesso asse; <lb></lb>e dati [Fig. 103] gli asimptoti LM, LP, taglia LN, LM </foreign></s> </p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 102].</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 103].<lb></lb>eguali al AB, taglia le LO, LR, eguali alle CD, DE, taglia <lb></lb>le LP, LQ eguali alle FG, GH. Poi tira le parallele <lb></lb>alli asimptoti e dove concorrono passerà l'hiperbola. <pb pagenum="43"></pb> </s></p> <table> <row><cell>203.</cell><cell>Il cono equilatero circa sferam è ...</cell><cell>18,</cell></row> <row><cell></cell><cell>il cilindro è .................</cell><cell>12,</cell></row> <row><cell></cell><cell>il solido dell'essagono è .........</cell><cell>11,</cell></row> <row><cell></cell><cell>la sfera è ..................</cell><cell>8 </cell></row></table> <p type="main"> <s>204. Se la corda fa una parabola, una tela o altro <lb></lb>panno grave e cederà farà uno conoide parabolico, tanto <lb></lb>più essendo caricato d'acqua per di sopra, o d'arena. </s> <s><foreign lang="it">Forse <lb></lb>questo milita ancora nella goccia d'acqua pendente. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>205. La curvatura dell'aste quando sono intere e che <lb></lb>uno prema in mezzo ha due forze et quando rotte, ha <lb></lb>una forza. <lb></lb>.................................... </s></p> <p type="main"> <s>206. Ex horologio portabili, polum cognoscere. </s><s>Dabit <lb></lb>enim quantitatem noctis, sine diei. </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 104].</s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">207. Per fare [Fig. 104] che il <lb></lb>rettangolo ABC al rettangolo ADC <lb></lb>sia in data ratione ci vogliono le due <lb></lb>medie proporzionali. <lb></lb>.................................... </foreign></s> </p> <pb></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>CONTRO GL'INFINITI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <pb></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>AVVERTIMENTO.<emph.end type="center"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Il brano seguente si connette ai nn. [73-80] del <emph type="italics"></emph>Campo di tartufi,<emph.end type="italics"></emph.end> onde si pensò <lb></lb>fosse opportuno stamparlo in questo punto delle <emph type="italics"></emph>Opere;<emph.end type="italics"></emph.end> è inedito e venne tratto <lb></lb>dal T. XXXIII (carte 45-66) della raccolta “ <emph type="italics"></emph>Discepoli di Galileo<emph.end type="italics"></emph.end> ”. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Esso consta di alcune argomentazioni fallaci, provenienti da un'errata applica<lb></lb>zione dei concetti che stanno a fondamento della <emph type="italics"></emph>Geometria degli indivisibili;<emph.end type="italics"></emph.end> le rac<lb></lb>colse il Torricelli nell'intento di formare una collezione di paradossi curiosi, oppure <lb></lb>per mettere sull'avvisato i propri discepoli sui pericoli che minacciano colui che <lb></lb>applica il concetto di infinito senza sufficienti prudenza ed oculatezza? </foreign></s> <s>Altri <lb></lb>decida. </s></p> <pb></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="bold"></emph>CONTRO GL'INFINITI<emph.end type="bold"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Contro l'argomento mio solito degli indivisibili si po<lb></lb>trebbe addurre questo (oltre gl'(<emph type="italics"></emph>sic<emph.end type="italics"></emph.end>) al<lb></lb>tri che hò nell'altro libretto) cioè che </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s><foreign lang="it">[Fig. 1].<lb></lb>essendo asse di una sfera la retta <lb></lb>[Fig. 1] AB, e sia tagliata con un <lb></lb>piano perpendicolare all'asse, sarà <lb></lb>sempre l'armilla CD eguale al cer<lb></lb>chio suo corrispondente CE, essendo <lb></lb>il rettangolo uguale al quadrato; <lb></lb>però il cilindro scavato eguale alla <lb></lb>sfera: falso. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Ma a ciò si risponde etc. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Qui farà à proposito l'esempio del parallelogrammo <lb></lb>(oltre gl'(<emph type="italics"></emph>sic<emph.end type="italics"></emph.end>) altri del libretto), poichè, <lb></lb>essendo sempre [Fig. 2] AB maggiore </foreign></s> </p> <figure></figure> <p type="caption"> <s><foreign lang="it">[Fig. 2].<lb></lb>di BC, saranno dunque tutti insieme <lb></lb>maggiori di tutti insieme; falso. </foreign></s> <s>Poi<lb></lb>chè illa bifariam secat diameter. </s></p> <p type="main"> <s>Overo questo: posta [Fig. 3] AB ma</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s><foreign lang="it">[Fig. 3].<lb></lb>iore di BC et CD eguale alla CB, saranno <lb></lb>sempre eguali EF, FG; dunque il trian<lb></lb>golo DCA eguale al triangolo CAB; falso. </foreign></s> <s><lb></lb>Ma si risponde etc. </s></p> <p type="main"> <s>Nota che la linea sopra la quale con<lb></lb>vengono le parallele (overo ne i solidi i <lb></lb>piani paralleli) si chiama la linea delli <pb pagenum="48"></pb>transiti. </s> <s><foreign lang="it">Et i transiti devono sempre essere della mede<lb></lb>sima inclinatione, acciò i termini di quà et di là siano <lb></lb>eguali di numero. </foreign></s> <s>Quando questo non sarà vero, allora <lb></lb>l'argomento fallirà. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Se nel cilindro [Fig. 4] ABCD sarà il suo hemisfero AED <lb></lb>e si tirerà FHI parallela all'asse EL e si giri la FI circa <lb></lb>l'asse EL, farà una superficie cilindrica. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Hora sarà la cilin<lb></lb>drica superficie delle FI à quella della IH come FI ad IH, <lb></lb>e così sempre, adunque <lb></lb>tutte le superficie come </foreign></s> </p> <figure></figure> <p type="caption"> <s><foreign lang="it">[Fig. 4].<lb></lb>della FI (che sarà il so<lb></lb>lido del triangolo ABE) <lb></lb>a tutte quelle come la IH <lb></lb>(che sarà il solido del bi<lb></lb>lineo AHEIA) saranno <lb></lb>come tutte le linee del <lb></lb>triangolo alle linee del bi<lb></lb>lineo, cioè come il trian<lb></lb>golo al bilineo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma è <lb></lb>certo che il solido del <lb></lb>triangolo è duplo del solido del bilineo, adunque il trian<lb></lb>golo ABE sarebbe duplo del segmento circolare AHE. <lb></lb>Quod falsum est. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Sit conus [Fig. 5] ABC et sit AC </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 5].<lb></lb>aequales diametro sferae. </s><s>Ducatur <lb></lb>iam planum de' basi parallelum erit<lb></lb>que linea FG aequalis IB. Sed ob <lb></lb>circulum erit quadratum DI aequale <lb></lb>rectangulo LIB, hoc est rectangulo <lb></lb>MF; et circulus ex DI aequale erit <lb></lb>superficiei cilindricae FM, et sic sem<lb></lb>per. </s><s>Ergo omnes circuli (hoc est sfe<lb></lb>ra) aequales erunt omnibus cilindricis <lb></lb>superficiebus (hoc est cono), quod est falsum. </s><s>Cum enim <lb></lb>sfera, dupla coni etc. </s></p> <pb></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>SUGLI ISOPERIMETRI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <pb></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>AVVERTIMENTO.<emph.end type="center"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Anche il seguente frammento (di cui l'originale occupa le carte 49-52 del <lb></lb>T. XXXIII della solita raccolta) può considerarsi come un proseguimento del <emph type="italics"></emph>Campo <lb></lb>di tartufi<emph.end type="italics"></emph.end> (cfr. </foreign></s> <s>nn. [97], [113-117], [120], ecc.); donde la ragione di inserirlo, malgrado <lb></lb>la sua forma imperfetta, a questo punto delle <emph type="italics"></emph>Opere.<emph.end type="italics"></emph.end></s></p> <pb></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>SUGLI ISOPERIMETRI<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si circulum cuius centrum [Fig. 1] A tetigerint duae <lb></lb>rectae lineae BC maior, BD minor. </s><s>Dico <lb></lb>maiorem esse rationem tangenti CB ad </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 1].<lb></lb>tangentem BD quam arcus HB ad ar<lb></lb>cum BE. </s></p> <p type="main"> <s>Ducatur enim per E linea LI paral<lb></lb>lela tangenti BC. Tum sic recta CD ad <lb></lb>DB est ut LE ad EI, hoc est ut trian<lb></lb>gulum LEA ad triangulum EIA. Maio<lb></lb>rem ergo rationem habet quam sector <lb></lb>HEA ad triangulum EIA, et multo maio<lb></lb>rem quam sector idem HEA ad sectorem <lb></lb>EBA, hoc est quam arcus HE, ad EB. Quare componendo <lb></lb>erit maior ratio CB ad BD, quam arcus HB ad BE etc. </s></p> <p type="main"> <s>Poligonorum circulo circumscriptorum, quod pauciora <lb></lb>habet latera, maiorem habet perime<lb></lb>trum [Fig. 2]. </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 2].</s></p> <p type="main"> <s>Hoc autem manifestum est in po<lb></lb>ligonis quando numerus laterum unius <lb></lb>poligoni multiplex est numeri laterum <lb></lb>alterius: ut in triangulo et ex angulo <lb></lb>videre licet item in quadrato et trian<lb></lb>gulo (fagli tutti due) et alijs etc. </s><s>Sed <lb></lb>quando numerus laterum similis non <lb></lb>erit multiplex numeri alterius, ita procedemus etc. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="italics"></emph>Corollario.<emph.end type="italics"></emph.end> Dunque quello che ha meno lati è maggiore. </foreign></s> </p> <pb pagenum="52"></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Mostrato questo si prova che posti due poligoni dissi<lb></lb>mili, ma isoperimetri quello che ha più lati è maggiore. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Sia quello di più lati <lb></lb>[Fig. 3] ABC etc. </foreign></s> <s><foreign lang="it">e quello </foreign></s> </p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 3].<lb></lb>di meno DEF etc. </s> <s><foreign lang="it">Inscri<lb></lb>vasi all' ABC un circolo, <lb></lb>et ad esso circolo circon<lb></lb>scrivasi il poligono simile <lb></lb>a DEF. Havere questo po<lb></lb>ligono LH maggior peri<lb></lb>metro del poligono ABC, <lb></lb>per la precedente. </foreign></s> <s>Sed idem ad figuram sibi similes dupli<lb></lb>catam habet huiusmodi rationem, quare figura DEF minor <lb></lb>est. </s><s>Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="italics"></emph>Corollar.<emph.end type="italics"></emph.end> Patet hinc quod si dato poligono DEF, ad <lb></lb>aliquem circulum F duo poligoni circumscribantur alterum <lb></lb>quidem dato poligono simile, alterum vero isoperimetrum, <lb></lb>tria poligoni esse in continua ratione. </s></p> <p type="main"> <s>Conclusio deduci posset etiam hoc modo: </s></p> <p type="main"> <s>Inscribatur circulus I. </s></p> <p type="main"> <s>Perimeter LH maior est perimetro AB, ergo etiam <lb></lb>perimetro DE; sed figurae similes sunt, ergo circulus ex <lb></lb>F maior est quam circulus ex I, ergo semidiameter FH <lb></lb>maior quam ID et ideo poligonum ABC maior quam DEF <lb></lb>cum isoperimetri sint. </s><s>Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s>Nota che i poligoni isoperimetri hanno la proporzione <lb></lb>homologa dei semidiametri dei circoli inscritti. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="italics"></emph>Demonstratione.<emph.end type="italics"></emph.end> Sint latera duorum poligonorum [Fig. 4] <lb></lb>AB, AC. Dico perimetrum poligoni </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 4].<lb></lb>AC quod habet pauciora latera, <lb></lb>maiorem esse perimetro poligoni <lb></lb>AC quod plana habet latera. </s></p> <p type="main"> <s>Quia BA ad AC maiorem ra<lb></lb>tionem habet quam EA ad AD, et <lb></lb>permutando, BA ad EA maiorem <lb></lb>habebit quam CA ad DA. Quare ex 15 quinti totus <pb pagenum="53"></pb>perimeter BA ad totam periferiam maiorem rationem ha<lb></lb>bebit quam totus perimeter CA ad totam periferiam, patet <lb></lb>ergo etc. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Li poligoni isoperimetri hanno la proporzione fra di <lb></lb>loro che hanno i semidiametri dei circoli iscritti. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Perchè sono triangoli su la medesima base et hanno <lb></lb>i suddetti semidiametri per altezza. </s></p> <p type="main"> <s>Triangulum exanguli sesquialter est. </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 5].</s></p> <p type="main"> <s>Quia latus triangulum circumscripti <lb></lb>duplum [Fig. 5] est lateris exagoni cir<lb></lb>cumscripti. </s></p> <p type="main"> <s>Perimeter vero sesquialter est peri<lb></lb>metri eiusdem exagoni. </s></p> <p type="main"> <s>Il conto è facile: perchè ABC è <lb></lb>triangolo equilatero. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Se la premessa figura sarà girata; il perimetro del cono <lb></lb>equilatero al perimetro del solido esagonale sarà come <lb></lb>18 ad 11. Però anco il suo solido al solido sarà come 18 <lb></lb>ad 11. Ma il cono alla sfera è come 18 a 8, dunque l'es<lb></lb>sagonale alla sfera sarà come 11 ad 8, et al cilindro sarà <lb></lb>come 11 a 12 etc. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Il calcolo della superficie, o perimetro si fa parago<lb></lb>nando alli rossi, o morelli del cilindro, quali si suppongono <lb></lb>come 4. </foreign></s> </p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 6].</s></p> <p type="main"> <s><emph type="italics"></emph>Definitio.<emph.end type="italics"></emph.end> Sferam [Fig. 6] in cono in<lb></lb>scriptum dicimus quando sfera tanget co<lb></lb>num in bisectione laterum per axem. </s></p> <p type="main"> <s>Conus ad sferam inscriptam erit per <lb></lb>iam dicta ut superficies coni ad perime<lb></lb>trum sfere; nempe ut cilindri perimeter <lb></lb>(cui aequatur conica superficies) ad su<lb></lb>perficiem sferae, hoc est ut axis coni ad <lb></lb>axem sferae. </s></p> <pb pagenum="54"></pb> <p type="main"> <s>Ergo perimeter coni ad perimetrum inscripti sfere est <lb></lb>ut axis ad axem, soliditas etiam eodem <lb></lb>modo, est etc. </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 7].</s></p> <p type="main"> <s><emph type="italics"></emph>Alia Definitio.<emph.end type="italics"></emph.end> Sfera [Fig. 7] in se<lb></lb>gmento coni inscribi dicitur quando <lb></lb>tanget bisectionem. </s></p> <p type="main"> <s>Hec se habent eodem modo, nempe <lb></lb>segmentum conicorum ad spheram (tam <lb></lb>quo ad corpus tam quo ad superficiem <lb></lb>est ut axis segmenti ad axem sfere). </s></p> <p type="main"> <s>Si fuerit quaelibet sfera [Fig. 8] circa quam ad datum <lb></lb>punctum D describendum sit <lb></lb>segmentum conicum isoperi</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 8].<lb></lb>metrum et equialterum. </s> <s><foreign lang="it">Fa <lb></lb>così tira DE; poi piglia AC, <lb></lb>AB uguali al semidiametro e <lb></lb>tirate le tangenti; sarà il fru<lb></lb>sto conico CGH equialtero <lb></lb>uguale et isoperimetro alla <lb></lb>sfera etc. </foreign></s> <s>per le passate. </s></p> <p type="main"> <s>Datis quotcunque cilindris <lb></lb>aequealtis cilindrum omnibus <lb></lb>isoperimetrum facere etc. </s></p> <p type="main"> <s>Datis quotcunque circulis circulum omnibus isoperime<lb></lb>trum facere. </s></p> <p type="main"> <s>Datis quotcunque sferis, sferam </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 9].<lb></lb>isoperimetram facere etc. </s></p> <p type="main"> <s>Si [Fig. 9] tangens axem secaret <lb></lb>esset accipiendum solidum factum ex <lb></lb>revolutionem linearum AE, EF, es<lb></lb>setque huiusmodi solidum conus <lb></lb>ACB, cum cono DFE, dempto tamen <lb></lb>cono DCE. </s></p> <pb pagenum="55"></pb> <p type="main"> <s>Data sfera; et circulo in ea [Fig. 10] AB, ponatur DC <lb></lb>aequalis diametro et ducatur tangens </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 10].<lb></lb>AE, erit cilindrus cuius axis AE, basis <lb></lb>AB, isoperimeter sferae etc. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Est enim ob similitudinem rectan<lb></lb>guli ut HA ad AD ita EA ad AF, <lb></lb>quare rectangulum EAD aequatur re<lb></lb>ctangulo FAH, et eorum dupla EAB, <lb></lb>et quadratum diametri quare si rectan<lb></lb>gulo EAB revolutum faciat, <expan abbr="aliq.">alique</expan><emph type="sup"></emph>m<emph.end type="sup"></emph.end> ci<lb></lb>lindrum erit isoperimeter sfere, erigatur <lb></lb>(col compasso) AE, e quando segherà <lb></lb>AF prolungata, haverà l'altezza del <lb></lb>cilindro etc. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Li due cilindri che vedi, sono isoperimetri all'hemi<lb></lb>sferio etc. </s></p> <pb></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>DE CENTRO GRAVITATIS <lb></lb>SECTORIS CIRCULI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <pb></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>AVVERTIMENTO.<emph.end type="center"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Della memoria seguente esistono, nel Vol. </foreign></s> <s><foreign lang="it">XXXVII della raccolta “ <emph type="italics"></emph>Discepoli di <lb></lb>Galileo<emph.end type="italics"></emph.end> ” quattro esemplari, due autografi ed il terzo di mano del Serenai; l'ultimo <lb></lb>è una copia preparata ad uso della stampa progettata. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Di tutti fu tenuto il debito <lb></lb>conto nella presente pubblicazione del lavoro in questione; il quale fu dato alle <lb></lb>stampe per la prima volta (a quanto ci consta) nel T. V (Firenze, 1898) della <lb></lb><emph type="italics"></emph>Storia del metodo sperimentale in Italia<emph.end type="italics"></emph.end> di R. Caverni (p. 274-281 e 286-291). </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Dal carteggio del Torricelli emerge che del centro di gravità di un settore cir<lb></lb>colare egli cominciò ad occuparsi nei primi mesi del 1643 (lettere a R. Magiotti e <lb></lb>B. Cavalieri del 14, 21 e 28 febbraio di detto anno; queste <emph type="italics"></emph>Opere<emph.end type="italics"></emph.end> T. III, p. 103, 105 <lb></lb>e 110), e che lo ebbe presente sin verso il termine della sua esistenza (lettera a Ca<lb></lb>valieri del 7 aprile 1646; <emph type="italics"></emph>Opere.<emph.end type="italics"></emph.end> T. III, p. 365). </foreign></s> </p> <pb></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>DE CENTRO GRAVITATIS <lb></lb>SECTORIS CIRCULI<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>MORE VETERUM<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma I.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si quadrata duorum laterum trianguli, simul sumpta, <lb></lb>minora sint reliqui lateris quadratu; angulus, ab illis <lb></lb>duobus lateribus compraehensus, obtusus erit. </s></p> <p type="main"> <s>Esto triangulum [Fig. 1] ABC, </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 1].<lb></lb>sintque quadrata AB, BC simul <lb></lb>sumpta reliquo quadrato AC mi<lb></lb>nora. </s><s>Dico angulum B esse obtu<lb></lb>sum. </s></p> <p type="main"> <s>Nisi enim B sit obtusus, erit <lb></lb>certe vel rectus, vel acutus. </s><s>Re<lb></lb>ctus esse non potest; nam qua<lb></lb>drata AB, BC essent aequalia quadrato AC. Acutus esse <lb></lb>non potest: quoniam quadrata AB, BC simul majora essent <lb></lb>quadrato AC. Superest igitur quod angulus B sit obtusus. </s><s><lb></lb>Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s>Omitte si lubet hoc primum lemma tamquam satis <lb></lb>notum ex 13<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> secundi Elementorum. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma II.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si fuerit circuli sector quadrante, minor perpendicularis <lb></lb>in triangulo, ad reliquam sagittam, magis quam dupla erit. </s></p> <pb pagenum="60"></pb> <p type="main"> <s>Esto circuli sector [Fig. 2] ABCD, </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 2].<lb></lb>quadrante minor, cujus chorda sit AC, <lb></lb>et ex centro D demissa perpendicularis <lb></lb>DE ad AC. Dico DE ad reliquam sa<lb></lb>gittam EB magis quam duplam esse. </s></p> <p type="main"> <s>Dupla enim esse non potest. </s><s>Quo<lb></lb>niam si ponatur DE dupla reliquae EB; <lb></lb>erit BD, sive CD, ad DE ut 3 ad 2, ergo quadratum CD <lb></lb>ad DE erit ut 9 ad 4. Quadratum vero idem per conver<lb></lb>sionem rationis CD ad CE erit ut 9 ad 5, et duo simul <lb></lb>quadrata CD, DA ad quadratum AC erunt ut 18 ad 20. <lb></lb>Propterea per Lemma precedens, angulus ADC obtusus. </s><s><lb></lb>Quod est contra suppositum. </s></p> <p type="main"> <s>Minus quam dupla non potest esse: quoniam, si ponatur <lb></lb>DE minus quam dupla reliquae EB, erit composita BD, <lb></lb>sive CD, magis quam sesquialtera ipsius DE. Qualium igi <lb></lb>tur partium CD est 3, ipsa DE est minus quam 2. Qualium <lb></lb>vero partium quadratum CD est 9, talium quadratum DE <lb></lb>minus erit quam 4, et talium CE quadratum erit magis <lb></lb>quam 5. Qualium itaque partium quadrata simul CD, DA <lb></lb>sunt 18, talium quadratum AC est magis quam 20. Ergo <lb></lb>angulus ADC est obtusus, quod est contra suppositum. </s></p> <p type="main"> <s>Superest igitur quod recta DE ad reliquam EB sit <lb></lb>magis quam dupla. </s><s>Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma III.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Quilibet circuli sector, sive quaelibet figura rectilinea, <lb></lb>vel intra, vel circa ipsum, per continuam arcus bisectio<lb></lb>nem descripta, centrum gravitatis habet in axe, hoc est <lb></lb>in recta, quae bifariam secat angulum, qui ad centrum est. </s></p> <p type="main"> <s>Supponimus cum Archimede <emph type="italics"></emph>congruentium figurarum <lb></lb>centra gravitatis congruere.<emph.end type="italics"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Esto circuli sector, vel figura plana qualis dicta fuit <lb></lb>[Fig. 3] ABCD, linea vero bisecans angulum ADC sit DB; <lb></lb>dico in recta BD esse centrum totius figurae. </s></p> <p type="main"> <s>Supponamus enim centra partium esse quaelibet pun<lb></lb>cta E et F: ducaturque recta EF. Superpositis itaque <pb pagenum="61"></pb>invicem figurae partibus BAD, BCD </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 3].<lb></lb>ipsae partes congruent ob aequalita<lb></lb>tem omnium angulorum, omniumque <lb></lb>laterum. </s><s>Centra igitur E et F con<lb></lb>gruent quare recta EI congruet cum <lb></lb>IF, aequalesque erunt EI, IF. Sunt <lb></lb>autem ut magnitudines (quarum cen<lb></lb>tra E et F) aequalis inter se; ergo magnitudinis ex utri<lb></lb>sque magnitudinibus compositae centrum gravitatis erit <lb></lb>punctum I, punctum videlicet medium librae EF. Ergo <lb></lb>centrum gravitatis est in axe BD. Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma IV.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Centrum gravitatis sectoris circuli quadrante minoris <lb></lb>est inter centra triangulorum, quorum alterum inscriptum <lb></lb>sit, alterum vero ipsi sectori circumscriptum. </s></p> <p type="main"> <s>Esto sector [Fig. 4] ABCD, </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 4].<lb></lb>quadrante minor, triangulum vero <lb></lb>inscriptum sit ACD, circunscri<lb></lb>ptum EFD. Patet quod perpen<lb></lb>dicularis DG magis quam dupla <lb></lb>erit ad reliquam GB. Sit ergo DI <lb></lb>dupla ad IB et DO dupla ad OG, <lb></lb>eruntque puncta I et O centra <lb></lb>gravitatis triangulorum EFD, <lb></lb>ACD. Dico inter puncta O et I esse centrum gravitatis <lb></lb>sectoris ABCD. </s></p> <p type="main"> <s>Sit enim (si esse potest) centrum gravitatis sectoris <lb></lb>punctum I. Cum ergo I sit centrum totius, hoc est trian<lb></lb>guli EFD, et partis unius, nempe sectoris ABCD; erit <lb></lb>necessario centrum gravitatis etiam partis alterius, nempe <lb></lb>trilineorum EAB, BCF. Quod est absurdum. </s></p> <p type="main"> <s>Sit (si esse potest) O. Cum ergo O sit centrum gravi<lb></lb>tatis totius magnitudinis, nempe sectoris, partisque unius, <lb></lb>nempe trianguli ACD: erit omnino centrum etiam partis <lb></lb>alterius nempe segmenti ABC. Quod est absurdum. </s></p> <p type="main"> <s>Sit (si esse potest) V. Cum ergo I sit centrum totius <pb pagenum="62"></pb>magnitudinis, hoc est trianguli EFD; V vero centrum <lb></lb>partis unius, nempe sectoris: erit centrum alterius partis, <lb></lb>nempe trilineorum EAB, BCF, omnino versus D. Quod <lb></lb>est impossibile. </s></p> <p type="main"> <s>Sit denique (si esse potest) R. Cum ergo R sit centrum <lb></lb>totius nempe sectoris ABCD; punctum autem O partis <lb></lb>unius, hoc est trianguli ADC; erit centrum alterius partis, <lb></lb>nempe segmenti ABC, omnino ulterius versus D. Quod est <lb></lb>absurdum. </s></p> <p type="main"> <s>Superest ergo quod centrum gravitatis sectoris sit inter <lb></lb>puncta I et O. Quod erat propositum demonstrare. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma V.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si figura quaelibet [Fig. 5] ABCD in duas figuras con<lb></lb>gruentes secta fuerit a linea BD (dummodo congruentium <lb></lb>figurarum aequales anguli sint ad ea</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 5].<lb></lb>dem partes) et supposito centro gra<lb></lb>vitatis semifigurae BAD, quod sit E, <lb></lb>si ex E ducatur EI perpendicularis ad <lb></lb>BD. Dico I esse centrum gravitatis <lb></lb>totius figurae ABCD. </s></p> <p type="main"> <s>Producatur enim EI ita ut IO sit <lb></lb>aequalis ipsi IE, eritque centrum re<lb></lb>liquae semifigurae punctum O; nam <lb></lb>superpositis figuris, puncta E et O <lb></lb>congruent, cum rectae IE et IO per<lb></lb>pendiculares sint ad BD (et aequales inter se). Propterea <lb></lb>centrum magnitudinis ex utrisque magnitudinibus com<lb></lb>positae erit punctum I. Quod erat propositum demon<lb></lb>strare. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma VI.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si in sectore semicirculo minore figura rectilinea in<lb></lb>scribatur per continuam arcuum bisectionem et circa eum<lb></lb>dem altera similis figura circumscribatur; erit centrum <lb></lb>gravitatis sectoris inter centra praedictarum figurarum. </s></p> <pb pagenum="63"></pb> <p type="main"> <s>Esto sector circuli </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 6].<lb></lb>[Fig. 6] semicirculo minor <lb></lb>ABCD, in quo per conti<lb></lb>nuam arcus bisectionem <lb></lb>figura rectilinea inscriba<lb></lb>tur AEBFCD; et circa <lb></lb>eumdem altera similis <lb></lb>figura circumscribatur <lb></lb>GHILMD. Reperiantur <lb></lb>centra triangulorum AED, <lb></lb>GHD quae sint N et O; <lb></lb>inter puncta N et O erit <lb></lb>omnino (<emph type="italics"></emph>a<emph.end type="italics"></emph.end>) centrum gravitatis sectoris AED. Esto illud P. <lb></lb>Ductisque ex punctis N, P, O ad rectam DE perpendicu<lb></lb>laribus NQ, PS, OR, erunt puncta Q, S, R (<emph type="italics"></emph>b<emph.end type="italics"></emph.end>) centra gra<lb></lb>vitatis, nempe Q trapetii AEBD; R vero trapetii GHID <lb></lb>et S sectoris AEBD. Est autem S inter Q et R (alias duae <lb></lb>parallelae coinciderent, quod esse non potest). Ductis ite<lb></lb>rum ex Q, S, R ad BD perpendicularibus QT, SX, RV, <lb></lb>erunt puncta T, X, V centra gravitatis, nempe T figurae <lb></lb>AEBFCD: V vero figurae alterius GHILMD, X denique <lb></lb>sectoris ABCD. Estque X inter T et V (alias duae paral<lb></lb>lelae convenirent, quod esse non potest). Propterea cen<lb></lb>trum gravitatis sectoris est inter centra figurarum inscri<lb></lb>ptae scilicet et circumscriptae. </s><s>Quod erat etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma VII.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si fuerit sector [Fig. 7] ABCD minor semicirculo, ipsi<lb></lb>que altera figura inscribatur et altera circumscribatur per <lb></lb>continuam arcus bisectionem; dico ita esse perimetrum <lb></lb>unius AEBFC ad chordam suam AC, ut est perimeter al<lb></lb>terius GHILM ad chordam suam GM. </s></p> <p type="main"> <s>Facto enim centro D intervallo DG describi potest <lb></lb>circulus, qui transibit per omnia puncta G, H, I, L, M. <lb></lb>Ideo anguli ACE, GMH ad peripheriam constituti, aequa<lb></lb>les erunt inter se; cum sint subdupli ejusdem anguli ad <pb pagenum="64"></pb>centrum ADE. Eadem ratione anguli EAC, HGM aequales <lb></lb>erunt inter se, et triangula FAC, HGM aequiangula. </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 7].</s></p> <p type="main"> <s>Iam perimeter AEBFC ad AE est ut perimeter GHILM <lb></lb>ad GH (cum sint earumdem aequemultiplices); AE vero <lb></lb>ad AC est ut GH ad GM; ergo ex aequo perimeter AE <lb></lb>BFC ad chordam suam AC, est ut perimeter GHILM ad <lb></lb>chordam suam. </s><s>Quod erat ostendendum. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma VIII.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si fuerit trapetium [Fig. 8] ABCD constans ex duobus <lb></lb>triangulis isoscelibus ADB, BDC, quorum et latera et bases <lb></lb>AB, BC sint aequales, ductaque AC, <lb></lb>fiat ut AB ad 2/3 ipsius AE ita per</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 8].<lb></lb>pendicularis DF ad DI. Dico I esse <lb></lb>centrum gravitatis trapetii ABCD. </s></p> <p type="main"> <s>Ducatur ex I recta IO perpendi<lb></lb>cularis BD, eruntque duo triangula <lb></lb>ortogonia ODI et BDF aequiangula, <lb></lb>cum habeant communem angulum <lb></lb>BDF, sed eadem ratione triangula ortogonia ABE, BDF <lb></lb>sunt aequiangula, ergo ODI et ABE aequiangula erunt. </s></p> <p type="main"> <s>Iam sic BA ad 2/3 ipsius AE est ut FD ad DI. Sed 2/3 <lb></lb>ipsius AE ad 2/3 ipsius AB est ut ID ad DO. Ergo ex aequo <lb></lb>AB ad 2/3 AB et ut FD ad DO. Propterea FD sesquial- <pb pagenum="65"></pb>tera est ipsius DO. Ergo O est centrum trianguli ADB. <lb></lb>Sed recta OI perpendicularis est ad BD. Ergo I est cen<lb></lb>trum ipsius trapetii. </s><s>Quod erat propositum. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma IX.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si fuerint quotcunque triangula deinceps isoscelia, quo<lb></lb>rum et latera et bases aequales sint [Fig. 9] ABF, BCF, </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 9].<lb></lb>CDF et reliqua quae sequuntur, dummodo eorum numerus <lb></lb>sit in progressione numerorum duplorum ab unitate 1, 2, <lb></lb>4, 8, 16...; fiat autem ut aggregatum omnium basium AEG <lb></lb>ad 2/3 chordae AG ita FS catetus unius trianguli ad aliam <lb></lb>sumendam ex F versus E. Dico terminum hujus quartae <lb></lb>proportionalis esse centrum gravitatis figurae universae ex <lb></lb>praedictis triangulis compositae. </s></p> <p type="main"> <s>Esto punctum L centrum trapetii ABCF et ducta LM <lb></lb>perpendiculari ad CF, erit punctum M centrum figurae <lb></lb>ABCDEF. Ducta vero MH perpendiculari ad EF erit H <lb></lb>centrum totius figurae AGEF. </s></p> <p type="main"> <s>In primis: angulus CAO subduplus est anguli CFE, <lb></lb>et ideo aequalis angulo LFM et propterea triangula orto<lb></lb>gonia AOC, FML sunt aequiangula. </s><s>Eadem ratione trian<lb></lb>gula ARE, FHM sunt aequiangula. </s></p> <p type="main"> <s>Iam catetus FS ad FL est ut BA ad 2/3 ipsius AI; sive <lb></lb>ut AB, BC simul ad 2/3 AC. Verum LF ad FM est ut 2/3 <lb></lb>ipsius CA ad 2/3 AO. Ergo ex aequo catetus FS ad FM <pb pagenum="66"></pb>est ut AB, BC simul ad 2/3 ipsius AO, nempe ut ABCDE <lb></lb>simul ad 2/3 ipsius AE. </s></p> <p type="main"> <s>Amplius FM ad FH est ut 2/3 AE ad 2/3 AR. Ergo <lb></lb>iterum ex aequo catetus FS ad FH est ut ABCDE ad 2/3 <lb></lb>ipsius AR. Sive ut omnes simul bases AEG ad 2/3 chor<lb></lb>dae AG. Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma X.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si fuerint tres magnitudines [Fig. 10] A, B, C, aliaeque <lb></lb>ipsis aequales numero D, E, F, quae binae in majore ra<lb></lb>tione sumantur; sitque perturbata ea</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 10].<lb></lb>rum proportio: nempe, sit ratio A ad <lb></lb>B major ratione E ad F; et ratio B <lb></lb>ad C major sit ratione D ad E. Dico A <lb></lb>ad C majorem habere rationem, quam <lb></lb>D ad F. </s></p> <p type="main"> <s>Ponatur ut A ad B ita E ad G. <lb></lb>Eritque magnitudo G minor quam F. <lb></lb>Ponatur etiam ut B ad C ita H ad E, <lb></lb>eritque H major quam D. </s></p> <p type="main"> <s>Iam A ad C erit ut H ad G. Ergo <lb></lb>necessario A ad C majorem rationem <lb></lb>habebit quam D ad G. Multoque etiam majorem quam D <lb></lb>ad F. Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>THEOREMA.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si fuerit circuli sector minor semicirculo; fiatque ut <lb></lb>arcus sectoris ad 2/3 chordae ejusdem, ita semidiameter, <lb></lb>ad aliam sumendam ex centro. </s><s>Terminus assumptae in <lb></lb>axe erit centrum gravitatis sectoris. </s></p> <p type="main"> <s>Esto circuli sector [Fig. 11] ABCD minor semicirculo; <lb></lb>fitque ut arcus ABC ad 2/3 suae chordae AC, ita radius <lb></lb>BD ad DE; dico E punctum esse centrum gravitatis se<lb></lb>ctoris. </s></p> <p type="main"> <s>Si enim possibile est non sit E. Erit ergo centrum gra- <pb pagenum="67"></pb>vitatis sectoris vel supra, </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 11].<lb></lb>vel infra punctum E. Esto <lb></lb>primo F, et sectori ABCD <lb></lb>duae figurae rectilineae, <lb></lb>altera inscribatur, altera <lb></lb>vero circumscribatur, per <lb></lb>continuam arcus bisectio<lb></lb>nem, ita ut latus circunscri<lb></lb>ptae LM ad latus inscri<lb></lb>ptae OC minorem habeat <lb></lb>rationem quam ED ad DF. <lb></lb>Fiatque ut perimeter rectilineus ANBOC ad 2/3 chordae AC, <lb></lb>ita catetus VD ad rectam <expan abbr="q;">que</expan> dico primum Q majorem <lb></lb>esse quam DF. </s></p> <p type="main"> <s>Nam BD ad DE est ut arcus ABC ad 2/3 chordae AC; <lb></lb>ergo ratio BD ad BE major est ratione perimetri recti<lb></lb>linei ANBOC ad 2/3 chordae AC, sive major est ratione <lb></lb>VD ad <expan abbr="q.">que</expan> Amplius, ratio vero ED ad DF major est ra<lb></lb>tione LM ad OC, sive LD ad DO, sive ratione PD ad DV. <lb></lb>Propterea BD ad DF majorem rationem habebit quam <lb></lb>PD ad Q minor; ergo est DF quam ipsa <expan abbr="q.">que</expan> </s></p> <p type="main"> <s>Secetur DR aequalis ipsi Q, et erit R centrum figurae <lb></lb>inscriptae ANBOCD. Centrum vero circumscriptae adhuc <lb></lb>ulterius erit versus B, et inter utrumque debet esse cen<lb></lb>trum gravitatis sectoris. </s><s>Ergo centrum gravitatis sectoris <lb></lb>non est E. </s></p> <p type="main"> <s>Esto deinde centrum </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 12].<lb></lb>gravitatis sectoris (si fieri <lb></lb>potest) supra punctum <lb></lb>[Fig. 12] E: sitque illud F. </s></p> <p type="main"> <s>Inscribatur in sectore <lb></lb>figura multilatera, atque <lb></lb>altera circumscribatur, per <lb></lb>continuam arcus bisectio<lb></lb>nem, ita ut GH latus ad <lb></lb>latus AN minorem habeat <lb></lb>rationem, quam FD ad <lb></lb>DE. Eritque ratio arcus AN ad chordam AN multo minor <lb></lb>ratione FD ad DE. </s></p> <pb pagenum="68"></pb> <p type="main"> <s>Fiat ut perimeter rectilineus GHILM ad 2/3 chordae <lb></lb>GM ita BD ad P. </s></p> <p type="main"> <s>Dico primum P minorem esse quam DF. </s></p> <p type="main"> <s>Nam arcus ABC ad 2/3 chordae AC est ut BD ad DE, <lb></lb>per suppositam constructionem ab initio; sed 2/3 chordae <lb></lb>AC ad perimetrum ANBOC est ut 2/3 chordae GM ad peri<lb></lb>metrum GHILM, sive ut P ad BD. Ergo, per perturbatam, <lb></lb>erit ut arcus ABC ad perimetrum ANBOC ita P ad DE. <lb></lb>Sed FD ad DE majorem habet rationem quam arcus ABC <lb></lb>ad perimetrum ANBOC. Necesse igitur est quod P minor <lb></lb>sit quam DF. Secetur ergo DT aequalis ipsi P: eritque T <lb></lb>centrum figurae circumscriptae GHILMD. Centrum autem <lb></lb>inscriptae adhuc inferius est versus D. Et inter utrumque <lb></lb>debet esse centrum gravitatis sectoris ABCD. Propterea <lb></lb>punctum F non erit centrum gravitatis sectoris, sed ipsum <lb></lb>erit E. Cum demonstratum sit sectoris centrum esse non <lb></lb>posse neque supra E, neque infra. </s><s>Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollarium.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>In quolibet circuli sectore etiamsi semicirculo major <lb></lb>sit, si fiat ut arcus ad 2/3 chordae, ita semidiameter ad <lb></lb>aliam sumendam in axe ex centro circuli; terminus hujus <lb></lb>assumptae erit centrum gravitatis ipsius sectoris. </s></p> <p type="main"> <s>Esto sector circuli [Fig. 13] ABCE </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 13].<lb></lb>semicirculo major; cujus chorda AC. <lb></lb>Sectusque sit in duas partes aequales <lb></lb>ab axe BEM. Erunt ergo sectores <lb></lb>ADBE e BCE uterque semicirculo <lb></lb>minores. </s><s>Esto sectoris ADBE axis <lb></lb>ED. Fiaque ut arcus ADB ad 2/3 chor<lb></lb>dae AB, ita DE ad EI; eritque cen<lb></lb>trum gravitatis sectoris ADBE. Du<lb></lb>ctaque IO perpendiculari ad BE, erit O centrum totius <lb></lb>sectoris semicirculo majoris ABCE. </s></p> <p type="main"> <s>Iam triangula ortogonia IOE, ABM sunt aequiangula; <lb></lb>nam angulus IEO ad centrum constitutus insistit arcui <pb pagenum="69"></pb>DB; angulus vero BAM ad peripheriam insistit arcui duplo, <lb></lb>nempe ipsi BC. Ergo anguli aequales sunt. </s></p> <p type="main"> <s>Propterea ut arcus ADB ad 2/3 chordae AB ita DE <lb></lb>ad EI per constructionem. </s><s>Ut autem 2/3 AB ad 2/3 AM, <lb></lb>ita IE ad EO. Ergo ex aequo ut arcus ADB ad 2/3 AM, <lb></lb>sive ut arcus ABC ad 2/3 chordae AC, ita DE, sive BE <lb></lb>ad EO; quae quidem est inter centrum gravitatis sectoris <lb></lb>et centrum circuli. </s><s>Quod etc. </s></p> <pb></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="bold"></emph>DE CENTRO GRAVITATIS <lb></lb>SECTORIS CIRCULI <lb></lb>PER GEOMETRIAM INDIVISIBILIUM<emph.end type="bold"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph> <emph type="italics"></emph>Supponimus:<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="italics"></emph>Primo.<emph.end type="italics"></emph.end> Cujuscumque rectae lineae terminatae gravitatis centrum <lb></lb>esse punctum, quod ipsam bifariam dividit. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="italics"></emph>Secundo.<emph.end type="italics"></emph.end> Congruentium perimetrorum centra gravitatis congruere.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma I.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si aliqua figura plana [Fig. 14] ABCD in duas con<lb></lb>gruentes figuras BAD, BCD secta fuerit ab axe BD, dum<lb></lb>modo aequales et sibi respon<lb></lb>dentes anguli ad easdem partes </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 14].<lb></lb>sint, sumanturque BA, BC ae<lb></lb>qualer utrinque perimetri partes; <lb></lb>et supposito E centro gravitatis <lb></lb>perimetri AB; si ex E ducatur EO <lb></lb>perpendicularis ad BD. Dico pun<lb></lb>ctum O esse centrum gravitatis <lb></lb>perimetri ABC. </s></p> <p type="main"> <s>Producatur EO in F, ita ut OF <lb></lb>aequalis sit ipsis EO. Superposita <lb></lb>deinde semifigura BAD super BCD congruent figurae, et <pb pagenum="72"></pb>perimeter BA congruet cum aequali BC; punctumque E <lb></lb>congruet cum puncto F (sunt enim aequales EO, OF et <lb></lb>angulos rectos faciunt cum BD); sed E ponitur centrum <lb></lb>gravitatis perimetri BA; ergo F centrum gravitatis erit <lb></lb>perimetri BC. Cum autem BA, BC sint aequales, erit cen<lb></lb>trum gravitatis commune punctum O, medium scilicet <lb></lb>punctum librae EF. Patet ergo quod erat propositum. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollarium.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Hinc manifestum est cujuscumque perimetri ABC, sive <lb></lb>ex curvis, sive ex rectis lineis componatur, centrum gra<lb></lb>vitatis esse in axe ejus BD, nempe in recta quae secat <lb></lb>ipsum perimetrum in duas partes congruentes et ad an<lb></lb>gulos aequales. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma II.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Cujuscumque arcus circuli centrum gravitatis est inter <lb></lb>centra rectarum, quarum una sit ipsius chorda, altera tan<lb></lb>gens chordae parallela. </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 15].</s></p> <p type="main"> <s>Manifestum est hoc. </s><s>Esto <lb></lb>enim arcus [Fig. 15] ABC, cujus <lb></lb>circuli centrum D; linea vero <lb></lb>bisecans angulum, arcumque sit <lb></lb>BD et in ipsa BD erit centrum <lb></lb>gravitatis arcus ABC. Esto <lb></lb>chorda AC, tangens vero EF <lb></lb>parallela chordae AC; eritque G <lb></lb>centrum gravitatis rectae AC et B erit centrum gravi<lb></lb>tatis EF. </s></p> <p type="main"> <s>Jam centrum gravitatis arcus non potest esse neque B, <lb></lb>neque G; suspenso enim arcu ex B, sive ex G, aequiponde<lb></lb>raret; quod est absurdum, cum totus sit ad easdem partes. </s><s><lb></lb>Tanto minus potest esse extra puncta B, G ob eamdem <lb></lb>causam. </s><s>Quare patet quod etc. </s><s>fuerat propositum. </s></p> <pb pagenum="73"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma III.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si intra arcum circuli coaptatae fuerint quotcumque <lb></lb>rectae lineae aequales per continuam arcus bisectionem, <lb></lb>totidem fuerint tangentes ipsis coaptatis aequidistantes; <lb></lb>erit centrum gravitatis arcus inter centra omnium coapta<lb></lb>tarum et omnium tangentium. </s></p> <p type="main"> <s>Esto arcus [Fig. 16] ABC </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 16].<lb></lb>cujus circuli centrum D. <lb></lb>Coaptatae, per continuam <lb></lb>arcus bisectionem, sint re<lb></lb>ctae aequales AE, EB, BF, <lb></lb>FC: his vero aequidistent <lb></lb>totidem tangentes GH, HI, <lb></lb>IL, LM et producta DN ad <lb></lb>contactum N, erunt N et P <lb></lb>centra gravitatis rectarum <lb></lb>GH, AE. Centrum vero ar<lb></lb>cus ANE est inter puncta N et P. Ponatur illud esse O. <lb></lb>Ductisque PQ, OR, NS, perpendicularibus ad HD; erunt <lb></lb>puncta Q, R, S centra gravitatis: nempe Q, rectarum AE, <lb></lb>EB; S tangentium GH, HI; R vero arcus AEB. Iterum pro<lb></lb>ductis QT, RV, SX perpendicularibus ad ID. Erit V cen<lb></lb>trum gravitatis totius arcus ABC inter puncta T et X (alias <lb></lb>enim duae parallelae convenirent). Videlicet inter centra <lb></lb>omnium coaptatarum et omnium tangentium. </s><s>Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma IV.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si in arcus circuli [Fig. 17] ABC, per continuam ejus<lb></lb>dem arcus bisectionem, quotcumquae rectae lineae aequa<lb></lb>les coaptatae fuerint AE, EF, FG, GB, BH, HI, IL, LC, <lb></lb>fiatque ut omnes coaptatae lineae ad chordam AC, ita MD <lb></lb>catetus unius coaptatae ad aliam sumendam ex centro D <lb></lb>in axe BD. Dico terminum hujus assumptae esse centrum <lb></lb>gravitatis omnium praedictarum linearum. </s></p> <pb pagenum="74"></pb> <p type="main"> <s>Ducatur ex M, puncto medio rectae AE, perpendicularis <lb></lb>MP ad ipsam ED; eritque P centrum gravitatis duarum <lb></lb>rectarum AE, EF. Ducta vero ex P recta PR perpendicu</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 17].<lb></lb>lariter ad FD, erit R centrum gravitatis quatuor rectarum <lb></lb>AE, EF, FG, GB. Ducta iterum ex R recta RN perpendi<lb></lb>culariter ad BD, erit N centrum gravitatis rectarum AE, <lb></lb>EF, FG, GB, BH, HI, IL, LC. </s></p> <p type="main"> <s>Iam: aequiangula triangula sunt EMP, PMD. Item ae<lb></lb>quiangula FAT, PDR; nec non BAX, RDN, demonstra<lb></lb>turque hoc ut in Lemma IX factum est. </s></p> <p type="main"> <s>Quoniam MD ad DP est ut EM ad MP, sive ut EA <lb></lb>ad AQ, sive ut FEA ad AF: sed PD ad DR est ut FA <lb></lb>ad AT. Erit ex aequo MD ad DR, ut FEA ad AT, sive <lb></lb>ut BGFEA ad AB. DR denique ad DN est ut BA ad AX. <lb></lb>Ergo ex aequo omnes rectae BGFEA ad AX, sive omnes <lb></lb>AE, EF, FG, GB, BH, HI, IL, LC ad AC sunt ut MD ad <lb></lb>DN. Unde patet quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>THEOREMA I.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Centrum gravitatis cujuscumque arcus circuli est in <lb></lb>axe ejusdem ita secto, ut integer axis ad partem, quae <lb></lb>versus centrum circuli est, ita sit ut arcus ad chordam. </s></p> <p type="main"> <s>Esto arcus [Fig. 18] ABC cujus chorda AC, axis BD, <lb></lb>fiatque ut arcus ABC ad chordam AC, ita axis BD ad <lb></lb>DE. Dico E esse centrum gravitatis arcus ABC. </s></p> <p type="main"> <s>Nisi enim centrum gravitatis arcus sit punctum E, erit <lb></lb>utique aliud punctum vel supra, vel infra punctum E. </s></p> <pb pagenum="75"></pb> <p type="main"> <s>Esto primum si possi</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 18].<lb></lb>bile est, F. Ipsique sectori <lb></lb>duae figurae per conti<lb></lb>nuam arcuum bisectionem, <lb></lb>altera quidem circumscri<lb></lb>batur, altera vero inscri<lb></lb>batur; ea lege ut latus <lb></lb>OR circumscriptae ad la<lb></lb>tus CG inscriptae, mino<lb></lb>rem rationem habeat, <lb></lb>quam ED ad DF. Deinde fiat ut omnes rectae AN, NB, <lb></lb>BG, GC ad chordam AC, ita catetus DI ad M. Ostendo <lb></lb>primum M esse majorem quam DF. </s></p> <p type="main"> <s>Nam BD ad DE est ut arcus ABC ad chordam AC. <lb></lb>Ergo BD ad DE majorem habet rationem quam perimeter <lb></lb>ANBGC ad AC, hoc est quam DI ad M. </s></p> <p type="main"> <s>Ipsa vero DE ad DF majorem habet rationem quam <lb></lb>OR ad GC, sive quam PD ad DI; ergo BD ad DF ma<lb></lb>jorem rationem habet quam PD ad M. Erit itaque M <lb></lb>major quam DF. </s></p> <p type="main"> <s>Ponatur DQ aequalis ipsi M: erit Q centrum gravita<lb></lb>tis perimetri ANBGC. Centrum vero gravitatis perimetri <lb></lb>HKLOR adhuc ulterius est versus L, et inter utrunque <lb></lb>debet esse centrum gravitatis arcus. </s><s>Ergo centrum gravi<lb></lb>tatis arcus non est F. </s></p> <p type="main"> <s>Esto deinde, si fieri po</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 19].<lb></lb>test, centrum gravitatis <lb></lb>arcus punctum [Fig. 19] S, <lb></lb>ipsique arcui duae figurae <lb></lb>per continuam arcus bi<lb></lb>sectionem, altera quidem <lb></lb>circumscribatur, altera <lb></lb>vero inscribatur, ea con<lb></lb>ditione ut latus circumscri<lb></lb>ptae OR ad latus inscri<lb></lb>ptae CG minorem rationem habeat quam esse DS ad DE. </s></p> <p type="main"> <s>Tunc enim sine dubio ratio arcus GPC ad rectam GC, <lb></lb>sive arcus ABC ad perimetrum ANBGC, multo minor erit <lb></lb>quam sit ratio SD ad DE. </s></p> <pb pagenum="76"></pb> <p type="main"> <s>Fiat jam ut perimeter HKLOR ad HR ita catetus PD <lb></lb>ad M. Dico primum M minorem esse quam DS. </s></p> <p type="main"> <s>Nam arcus ABC ad AC est ut BD ad DE, ipsa vero <lb></lb>AC ad perimetrum ANBGC est ut HR ad HKLOR, sive <lb></lb>ut M ad DP, ergo arcus ABC ad perimetrum ANBGC, <lb></lb>est ut M ad DE. Sed ratio SD ad DE major est ratione <lb></lb>perimetri ANBGC ad AC. Ergo ratio SD ad DE major <lb></lb>est ratione M ad DE. Major itaque est SD, quam recta M. </s></p> <p type="main"> <s>Ponatur DQ aequalis ipsi M; eritque Q centrum gravi<lb></lb>tatis perimetri HKLOR. Centrum vero perimetri ANBGC <lb></lb>adhuc inferius est versus D, et inter utrunque est omnino <lb></lb>centrum gravitatis arcus. </s><s>Quamobrem centrum gravitatis <lb></lb>arcus non est S. </s></p> <p type="main"> <s>Cum itaque ostensum sit non esse neque supra, neque <lb></lb>infra E, superest quod centrum gravitatis arcus ABC sit <lb></lb>punctum E. Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>THEOREMA II.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Centrum gravitatis sectoris circuli est in axe ejusdem, <lb></lb>ita secto ut totus axis ad partem, quae est versus circuli <lb></lb>centrum, sit ut arcus sectoris ad 2/3 chordae ejusdem. </s></p> <p type="main"> <s>Esto sector [Fig. 20] ABCD, cujus </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 20].<lb></lb>chorda AC, axis vero BD. Fiatque ut <lb></lb>arcus ABC ad AC ita BD ad DE. Et <lb></lb>erit E centrum gravitatis arcus ABC. </s></p> <p type="main"> <s>Sumpto iam in recta BD quolibet <lb></lb>puncto F; agatur centro D intervallo DF <lb></lb>arcus GFH. Et fiat ut arcus GFH ad GH <lb></lb>ita FD ad DI. Eritque punctum I cen<lb></lb>trum gravitatis arcus GFH. </s></p> <p type="main"> <s>Quoniam ut arcus ABC ad arcum <lb></lb>GFH ita semidiameter AD ad DG, sive <lb></lb>AC ad GH; erit permutando ut ABC ad AC, ita GFH <lb></lb>ad GH. </s></p> <p type="main"> <s>Iam: BD ad DE est ut ABC ad AC, sive ut GFH ad <lb></lb>GH, vel ut FD ad DI. Permutando igitur erit BD ad DF, <lb></lb>ut ED ad DI; et etiam ABC ad GFH erit ut ED ad DI. </s></p> <pb pagenum="77"></pb> <p type="main"> <s>Est itaque DE libra ex cujus punctis singulis magni<lb></lb>tudines quaedam appensae sunt (quarum duae sunt arcus <lb></lb>ABC, GFH, reliquae vero sunt arcus praedictis concen<lb></lb>trici) habentque magnitudines, ut demonstratum est, illam <lb></lb>inter se rationem, quam illarum distantiae ED, DI, ab <lb></lb>extremo puncto librae D (quemadmodum etiam habent <lb></lb>lineae alicujus trianguli). Ergo libra DE, ad quam appli<lb></lb>catae sunt praedictae magnitudines, ita secabitur a centro <lb></lb>gravitatis omnium magnitudinum, ut secatur axis alicujus <lb></lb>trianguli a centro gravitatis ejusdem. </s><s>Nempe ea condi<lb></lb>tione; ut pars, ad extremum D terminata versus magni<lb></lb>tudines decrescentes, sit ad reliquam, quae terminatur in E, <lb></lb>centro gravitatis maxime magnitudinis ABC, in propor<lb></lb>tione dupla. </s></p> <p type="main"> <s>Secetur ergo libra DE in O, ita ut DO ad OE sit du<lb></lb>pla, et erit O centrum gravitatis omnium simul arcuum <lb></lb>concentricorum, nempe ipsius sectoris. </s></p> <p type="main"> <s>Erit ergo arcus ABC ad AC ut BD ad DE. Ipsa vero <lb></lb>AC ad 2/3 ipsius AC est ut ED ad DO. Quare, ex aequo, <lb></lb>arcus ABC ad 2/3 ipsius AC erit ut BD ad DO. Nempe ut <lb></lb>axis sectoris ad illam quae interriicitur inter centrum cir<lb></lb>culi et centrum gravitatis ejusdem sectoris. </s><s>Quod etc. </s></p> <pb></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>DE MAXIMIS ET MINIMIS.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <pb></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>AVVERTIMENTO.<emph.end type="center"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">La memoria seguente è inedita e venne tratta dall'autografo esistente nel <lb></lb>T. XXVI della raccolta “ <emph type="italics"></emph>Discepoli di Galileo<emph.end type="italics"></emph.end> ”, nel quale se ne trova anche una <lb></lb>copia di mano del Serenai, postillata dal Viviani. </foreign></s> <s>Essa non è in ogni parte perfetta <lb></lb>e per renderne più agevole la lettura, venne divisa in paragrafi, contrassegnati con <lb></lb>numeri in parentesi quadra. </s> <s><foreign lang="it">Alcune note vennero aggiunte onde dar notizia della <lb></lb>origine e delle vicende dei principali problemi in essa trattati. </foreign></s> </p> <pb></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="bold"></emph>DE MAXIMIS ET MINIMIS<emph.end type="bold"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>[1] Esto [Fig. 1] AB secta bifariam in C; dico ACB <lb></lb>maximum esse. </s></p> <p type="main"> <s>Si non est, sit ADB; erigatur CF ae</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 1].<lb></lb>qualis AC et iunctis AF, BF, fiat DE pa<lb></lb>rallela ad CF et EO parallela ad AB, <expan abbr="du-caturq.">du<lb></lb>caturque</expan> BOI. </s></p> <p type="main"> <s>Iam ADB ad ACB rationem habet <lb></lb>compositam ex ratione DB ad BC sive ID <lb></lb>ad CO, vel ID ad ED; et ex ratione DA <lb></lb>ad AC sive ED ad CF; ergo ADB ad ACB erit ut ID ad <lb></lb>CF; propterea ID maior quam CF et IE maior quam OF, <lb></lb>sive quam EO, ergo etiam ID maior quam DB, et ideo ID <lb></lb>maior quam PD, pars suo toto. </s></p> <p type="main"> <s>Directe fortasse melius hoc modo. </s></p> <p type="main"> <s>PD maior quam DI, ergo BD maior quam DI, et OE <lb></lb>maior quam EI, ergo etiam OF maior quam EI, <expan abbr="additisq.">additisque</expan> <lb></lb>aequalibus tota CF maior quam DI, ergo patet ACB maius <lb></lb>esse quam ADB. </s></p> <p type="main"> <s>[2] <emph type="italics"></emph>Lemma.<emph.end type="italics"></emph.end> Si fuerint quotcumque rectae in continua <lb></lb>ratione, erunt et earum differentiae in continua et in ea- <pb pagenum="82"></pb>dem cum ipsis rectis ratione. </s><s>Ergo maximarum differentia <lb></lb>omnium differentiarum maxima erit. </s></p> <p type="main"> <s>[3] Esto [Fig. 2] AB secta in C ita ut CB dupla sit ad <lb></lb>AC. Dico quod fit ex AC et qua</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 2].<lb></lb>drato CB maximum esse. </s></p> <p type="main"> <s>Nam sumatur punctum quod<lb></lb>libet D et erectis perpendiculari<lb></lb>bus CE, DF; sit CE aequalis <lb></lb>ipsi CA. Tum ducta FI basi pa<lb></lb>rallela, agatur BIH, <expan abbr="ductoq.">ductoque</expan> ite<lb></lb>rum HO basi parallela, agatur <lb></lb>BOL (et haec parallela agatur toties quota erit in ordine <lb></lb>dignitas supposita rectae CB). </s></p> <p type="main"> <s>Iam solidum ACB ad solidum ADB rationem habet <lb></lb>compositum ex ratione altitudinum CA ad AD, sive EC <lb></lb>ad DF, vel EC ad CI, et ex ratione basium, nempe ex <lb></lb>ratione rectae CB ad BD bis sumpta, sive ex ratione CI <lb></lb>ad DH, et ex ratione CO ad DI, ergo solidum ACB ad <lb></lb>ADC erit ut recta EC ad MD. Dico iam EC maiorem <lb></lb>esse quam LD. Nam BD ad DP dupla est, ergo BD ad <lb></lb>DL maior quam dupla est, et OH ad HL maior quam <lb></lb>dupla erit, multo maior quam dupla erit ad HF (per Lemma <lb></lb>superius), ergo OH maior quam FL; sed OH et IF et IE <lb></lb>sunt aequales, ergo additis aequalibus, patet EC maiorem <lb></lb>esse quam DL. </s></p> <p type="main"> <s>Quod autem PD sit maior quam DL probatur ducta <lb></lb>EV, parallela ad AC; erit iam (in tertia dignitate) EV <lb></lb>tripla ad LP, ergo FV tripla ad LP. Iam LD ad DF <expan abbr="ubi-cumq.">ubi<lb></lb>cumque</expan> sit L triplicatum ratio</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 3].<lb></lb>nem habet rectae PD ad EC, <lb></lb>sive PD ad VD; sed, si tripli<lb></lb>cemus, eandem rationem ita <lb></lb>ut PD sit prima erit ultima <lb></lb>maior quam FD, nam p.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> dif<lb></lb>ferentia PV maior esse debet <lb></lb>omnibus [?] reliquis diffferen<lb></lb>tijs. </s><s>Ergo etc. </s></p> <p type="main"> <s>Quando vero punctum D sumatur ex alia parte [Fig. 3]. <pb pagenum="83"></pb>Demonstratio eadem est ac praecedens, mutando tantium <lb></lb>est vox maior quater, et dicendum minor, in fine vero <lb></lb>dicendum demptis inaequalib. etc. </s></p> <p type="main"> <s>Nota quod tres DF, DH, DL sunt continuae in <expan abbr="utraq.">utraque</expan> fig.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>[4] BA ad AC tripla </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 4].<lb></lb>est [Fig. 4], ergo BA ad <lb></lb>AD maior quam tripla, <lb></lb><expan abbr="ideoq.">ideoque</expan> FE ad ED maior <lb></lb>quam tripla, multo magis <lb></lb>ad EI, sive IO maior erit <lb></lb>quam tripla. </s><s>Quare FE <lb></lb>sive OH vel LH maior erit quam DO. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Seguita del max.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> rectang.<emph type="sup"></emph>lo<emph.end type="sup"></emph.end> nelle parabole, et ellissi. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>[5] Esto [Fig. 5] AB secta in C ita ut sit AC ad CB <lb></lb>ut 2 ad 3. Dico id quod fit ex quadrato AC in cubum CB <lb></lb>maximum esse. </s></p> <p type="main"> <s>Nam, si non est, sit quod fit ex </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 5].<lb></lb>AD quadrato in DB cubum; ponan<lb></lb>tur aequales AEBH <expan abbr="fiatq.">fiatque</expan> ut CA ad <lb></lb>AD ita EA ad AF, et ita PA ad AG, <lb></lb>item ut CB ad BD ita HB ad BI et <lb></lb>ita IB ad BL, et ita LB ad BM, erit <lb></lb>ergo quadratum CA ad AD ut recta <lb></lb>EA ad AG, et cubus DB ad BC ut <lb></lb>recta HB ad BM. Iam EF ad EA, <lb></lb>sive ad BH, erit ut DC ad CA, sed BH ad HI est ut BD <lb></lb>ad DC, ergo ratio EF ad HI componitur ex <expan abbr="utraq.">utraque</expan> ratione <lb></lb>nempe BD ad DC et DC ad CA, propterea ratio EF ad <lb></lb>HI erit ut BD ad CA, nempe maior quam 3 ad 2, et deest <lb></lb>probandum venio quid etc. </s></p> <p type="main"> <s>[6] Esto semicirculus, vel semiellipsis cuius axis <lb></lb>AB [Fig. 6], centrum vero C. Quaeritur maximus rectan- <pb pagenum="84"></pb>gulum sub segmento diametri AD et sub erecta perpendi<lb></lb>culari DE. </s></p> <p type="main"> <s>Secetur bifariam CB in D, et erecta </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 6].<lb></lb>perpendiculari DE, dico rectangulum <lb></lb>ADE maximum esse et omnium quae ad <lb></lb>semicirculum sunt; ipsium vero ADF <lb></lb>maximum eorum quae ad ellipsim spe<lb></lb>ctant. </s></p> <p type="main"> <s>Ponatur BG aequalis semidiametro CB, et producta <lb></lb>GEH, iungant. </s><s>EC, EB; erit CEB triangulum aequilate<lb></lb>rum ob constructionem <expan abbr="anguliq.">angulique</expan> BEG, BGE aequales, ergo <lb></lb>additis aequalibus erunt duo anguli CEB, BEG aequales <lb></lb>duobus ECG, EGC, suntque omnes in uno eodemque trian<lb></lb>gulo, ergo CEG rectus est et GH tangens. </s><s>Iam, si rectan<lb></lb>gulum ADE non est maximum eorum quae ad semicir<lb></lb>culum spectant, esto maximum AHI, productaque HI in L, <lb></lb>erit rectangulum ADE maius rectangulo AL (per 27 sexti <lb></lb>Elem. secundum Clavium), quandoquidem AD aequalis est <lb></lb>ipsi DG ob constructionem; sed rectangulum AI maius <lb></lb>ponitur rectangulo ADE, ergo multo magis rectangulum <lb></lb>AI maius erit rectangulo AL pars suo toto etc. </s></p> <p type="main"> <s>Dico iam rectangulum ADF maximum esse eorum <lb></lb>quae ad ellipsim, nam si non est, esto maximum aliud <lb></lb>puta AHO. Iam rectanguli ADE ad rectangulum AHI <lb></lb>ratio componitur ex ratione DA ad AH et ex ratione DE <lb></lb>ad HI, sive DF ad HO, ergo rectangulum ADE ad AHI <lb></lb>est ut rectangulum ADF ad AHO, quapropter ADF maius <lb></lb>est quam AHO etc. </s></p> <p type="main"> <s>[7] Simile quoddam ad me scripserat Clar.<emph type="sup"></emph>mus<emph.end type="sup"></emph.end> dominus <lb></lb>du Verdus , nempe maximam superficierum cylindrica<lb></lb>rum in sphaera descriptibilem repertam fuisse. </s><s>Cui ego ad<lb></lb>dideram et in sphaeroide, et in conoide, <expan abbr="fusoq.">fusoque</expan> parabolico. </s></p> <pb pagenum="85"></pb> <p type="main"> <s>Nam si in circulo descriptum sit </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 7].<lb></lb>quadratum ABCD [Fig. 7], et con<lb></lb>vertatur figura ita ut a circulo fiat <lb></lb>sphaera a quadrato cylindrus, erit <lb></lb>huius cylindri superficies maxima <lb></lb>omnium etc. </s></p> <p type="main"> <s>Sumpto enim quadrante IEL, et <lb></lb>ducta tangente GBH, ostendetur EH <lb></lb>secari bifariam in F, ergo per 27 sexti ostendetur ut in <lb></lb>praecedentibus rectangulum DEFB maximum esse omnium <lb></lb>quae ad quadratum spectant. </s><s>Idem de quadruplis et super<lb></lb>ficies cylindrorum inter se sunt ut eorundem rectangula <lb></lb>per axem, ut ostendimus in Propos. 6. lib. primi <emph type="italics"></emph>De solidis <lb></lb>sphaeralibus<emph.end type="italics"></emph.end> . Ergo etc. </s></p> <p type="main"> <s>[8] Quaeramus iam maximam superficiem cylindricam <lb></lb>in sphaeroide descriptibilem, sive, quod apud nos idem est, <lb></lb>maximum rectangulum in ellipsi descri</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 8].<lb></lb>ptibile, esto [Fig. 8] semiellipsis ABC <lb></lb>cuius axis AC centrum D, fiat semicirculus <lb></lb>AEC; <expan abbr="sectoq.">sectoque</expan> angulo recto EDC bifariam <lb></lb>per rectam DI erigatur perpendicularis <lb></lb>MIL. Dico rectangulum DL esse maxi<lb></lb>mum omnium quae ad quadrantem elli<lb></lb>pseos spectant. </s></p> <p type="main"> <s>Si enim non est maximum, esto illud DN. </s></p> <p type="main"> <s>Iam rectangulum DL ad DN rationem habet compo<lb></lb>sitam ex ratione LM ad NP, sive IM ad OP, et ex ratione <lb></lb>MD ad DP; ergo rectangulum DL ad DN erit ut rectan<lb></lb>gulum DI ad DO nempe maius. </s><s>Idem de quadruplis hoc <lb></lb>est de rectangulis in integra ellipsi. </s><s>Propterea patet ma<lb></lb>ximam superficiem cylindricam in sphaeroide descriptibi<lb></lb>lem eam esse quae ab inuento rectangulo describitur, <lb></lb>neque refert circa maiorem minoremve axem ellipsis con<lb></lb>vertatur, nam quodcunque rectangulum circa quodvis la<lb></lb>tus convertatur aequales superficies cylindricas describit <lb></lb>et intellige haec omnia semper sine basibus. </s></p> <pb pagenum="86"></pb> <p type="main"> <s>[9] Esto parabola ABG [Fig. 9] cuius tan</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 9].<lb></lb>gens BD diameter vero BF et ducta <expan abbr="utcunq.">utcunque</expan> <lb></lb>DG quae diametrum et tangentem secet. </s><s>Pa<lb></lb>tet quod bis cum sectione occurret cum dia<lb></lb>metrum secet. </s><s>Dico GD, ED, DA esse in con<lb></lb>tinua ratione. </s></p> <p type="main"> <s>Applicentur GF, AH, et recta GD ad DA; <lb></lb>erit ut recta FB ad BH, sive ut quadratum <lb></lb>GF ad HA, vel ut quadratum GE ad EA, ergo recta GD <lb></lb>ad DA longitudine est ut recta GE ad EA potentia; patet <lb></lb>ergo propositum. </s></p> <p type="main"> <s>[10] Esto parabola [Fig. 10] ABC, cuius applicata sit <lb></lb>AC, et parallela diametro BE; quaeritur maximum rectan<lb></lb>gulum sub BE et portione applicatae AE. </s></p> <p type="main"> <s>Esto factum quod quaeritur. </s><s>Ducta </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 10].<lb></lb>igitur tangente FD per punctum B seca<lb></lb>bitur bifariam FD in B et AD in E (sup<lb></lb>pono AF parallela diametro); erit ergo ut <lb></lb>AD ad DE, ita ED ad DC, hoc est dupla, <lb></lb>ideoque AD ad DC quadrupla erit et di<lb></lb>videndo AC ad CD, sive ad CE, tripla, ergo AE erit 2/3 ap<lb></lb>plicatae AC. Quod et compositio patet. </s><s>AE ad EC est <lb></lb>ut 2 ad 1. </s></p> <p type="main"> <s>[11] Esto [Fig. 11] parabola ABC, cuius axis BE; que<lb></lb>ritur maxima superficies cilindrica descriptibilis intra co<lb></lb>noides sive intra fusum huius para</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 11].<lb></lb>bolae. </s><s>Hoc est quaeritur maximum <lb></lb>rectangulum, quod apud nos idem est. </s></p> <p type="main"> <s>Secetur axis BE ita ut ED ad DB <lb></lb>sit dupla et applicata DF. Dico re<lb></lb>ctangulum EF maximum esse omnium <lb></lb>quae ad semiparabolam sunt, idem <lb></lb>verum erit de duplis. </s></p> <p type="main"> <s>Ducatur per F tangens GFI, <expan abbr="eritq.">eritque</expan> <lb></lb>GB aequalis ipsi BD et propterea tota GD aequalis ipsi <lb></lb>DE, et, per 2 sexti, GF aequalis ipsi FI et EH aequalis <lb></lb>ipsi FI, ergo, per 27 sexti, rectangulum EF maximum <pb pagenum="87"></pb>ostendetur (ut in praecedentibus) omnium quae ad semi<lb></lb>parabolam sunt. </s><s>Iam si parabola convertatur sive circa <lb></lb>axem, sive circa basim, rectangulum à nobis repertum <lb></lb>maximam cilindricam superficiem describet, superficies <lb></lb>enim cilindricae sunt ut rectangula per axem, et utlibet <lb></lb>axe convertatur rectangulum, aequales ex <expan abbr="utraq.">utraque</expan> revolu<lb></lb>tione superflcies fiunt etc. . </s></p> <p type="main"> <s>[12] Maxima superficies cilindrica quae intra sphae<lb></lb>ram describi possit ea est cuius rectangulum per axem <lb></lb>quadratum est. </s></p> <p type="main"> <s>Quae vero in sphaeroide oblonga ea est cuius basis <lb></lb>diameter ad diametrum sphaeroidis sit ut latus quadrati <lb></lb>alicuius ad propriam diametrum. </s></p> <p type="main"> <s>In sphaeroide vero prolata ea est cuius axis ad axem <lb></lb>sphaeroidis sit in ratione praedicta. </s></p> <p type="main"> <s>Quae vero in conoide parabolico ea est cuius altitudo <lb></lb>ad altitudinem conoidis sit subsesquialtera. </s><s>At quae in <lb></lb>fuso parabolico ea est cuius basis ad maximum fusi cir<lb></lb>culum sit ut 4 ad 9. </s></p> <p type="main"> <s>[13] <emph type="italics"></emph>Vas quod aequabiliter exhauritur.<emph.end type="italics"></emph.end> Ingeniosissimus <lb></lb>M. A. Riccius certiorem fecit me de desiderio tuo circa <lb></lb>illud vas quod equabili modo exhauriter. </s><s>Dico igitur 2<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> per <lb></lb>memoriam licebit . </s></p> <p type="main"> <s>Esto conoides parabolae quadratoquadratice [Fig. 12] <lb></lb>ABC perforatum in fundo foramine B. Dico illud et lege <lb></lb>exhauriri ut motus supreme superficiei humoris contenti AC <pb pagenum="88"></pb>aequalibis sit; sumatur </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 12].<lb></lb>enim quaelibet alia vasis <lb></lb>sectio DI, et super basi <lb></lb>AC concipiatur cylindrus <lb></lb>AE. Esto BO medio pro<lb></lb>portionalis inter GB, BH, <lb></lb>et quoniam est quadrato<lb></lb>quadratum AG ad quad. </s><s><lb></lb>quad. </s><s>DH ut GB ad BH <lb></lb>erit quad. </s><s>AD ad quadra<lb></lb>tum DH ut GB ad BO. Iam velocitas superficiei descen<lb></lb>dentis, quod est AG, ad velocitatem superficiei, quod erit <lb></lb>FH in cilindro, est ut GB ad BO, sive ut quadratum AG <lb></lb>ad quadratum DH, velocitas vero sectionis FH ad HD <lb></lb>est ut quad. </s><s>HD ad HF, sive ut quad. </s><s>HD ad quadratum <lb></lb>AG, ergo ex aequo velocitas sectionis AG ad velocitatem <lb></lb>sectionis DH erit ut quadratum AG ad quadratum AG, <lb></lb>nempe aequalis etc. </s></p> <p type="main"> <s>Si quis desideret descriptionem eiusmodi lineae nempe <lb></lb>parabolae quadratoquadraticae, talem excogitabamus. </s></p> <p type="main"> <s>Ponatur parabola quadratica vulgata </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 13].<lb></lb>[Fig. 13] ABC cuius axis AD, tunc ap<lb></lb>plicata BD secetur AE aequalis BD, et <lb></lb>iterum DF aequalis CE; <expan abbr="eritq.">eritque</expan> punctum F <lb></lb>in parabola quesita et sic de reliquis pun<lb></lb>ctis. </s><s>Quod verum sit hoc sumatur AH <lb></lb>latus rectum parabolae quadraticae, et <lb></lb>erunt aequales GH, AH. Tum quad. </s><s>GH <lb></lb>ad quadratum BD sive quadratum AH <lb></lb>ad AE erit ut recta HA ad AD; ergo continuae sunt AH, <lb></lb>AE, AD. Propterea si quadratum GH ad CE, vel FD, est <lb></lb>ut recta HA ad AE, erit quadratum GH ad quadratum FD <lb></lb>ut HA ad AD, et deinde ex aequo probatur quadratum FD <lb></lb>ad IM esse ut recta DA ad AM. </s></p> <p type="main"> <s>[14] Esto recta AB [Fig. 14 e 15] secta in C ita ut <lb></lb>BC ad CA sit multiplex. </s><s>Dico productam ex recta AC et <lb></lb>dignitate CB, cuius exponens sit aequalis denominatori <lb></lb>multiplicitatis maximum esse. </s></p> <pb pagenum="89"></pb> <p type="main"> <s>Secetur enim alio loco puta in D, </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 14].</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 15].<lb></lb>et ponatur CB exempli gratia tripla ad <lb></lb>CA. Ponantur aequales AE, BF, et ut <lb></lb>CA ad AD, ita sit EA ad AG. At ut <lb></lb>DB ad BC ita sit FB ad BH, et BH <lb></lb>ad BI, et IB ad BO, erit iam ratio EG <lb></lb>ad FH composita ex ratione BF ad <lb></lb>FH, et EG ad BF sive ad EA. Nempe <lb></lb>ex ratione BD ad DC, et DC ad CA, <lb></lb>ergo EG ad FH erit ut BD ad CA, <lb></lb>hoc est ★ magis quam tripla, ergo <lb></lb>tota EG ad totam FO multo maior <lb></lb>erit. </s><s>Propterea reliqua GA minor quam <lb></lb>OB, ergo ratio EA ad AG maior quam ratio FB ad BO, <lb></lb>nempe ratio rectae CA ad AD maior quam ratio cubi DB <lb></lb>ad BC, ergo productum ex AC et cubo CB maior erit <lb></lb>quam quod fit ex recta AD et cubo DB. </s></p> <p type="main"> <s>Esto iam punctum D ad alias partes, lege praeceden<lb></lb>tem usque ad signum ★ minor quam tripla. </s><s>Ergo tota <lb></lb>EG ad totam FO minor; ergo GA ad AE minorem habet <lb></lb>rationem quam recta OB ad BF, sive recta DA ad AC <lb></lb>minorem habet rationem quam cubus CB ad BD, unde <lb></lb>est quod proctum (?). </s></p> <p type="main"> <s>[15] <emph type="italics"></emph>Lemma.<emph.end type="italics"></emph.end> Si primo ad secundum majorem habeat <lb></lb>rationem quam tertia ad quartam, erit factum ab extremis <lb></lb>maius quam factum a mediis. </s></p> <p type="main"> <s>[16] Esto ellipsis sive circulus cuius axis AC [Fig. 16]. </s><s><lb></lb>Quaeritur maximum quod fiat ex recta AB in dignitatem <lb></lb>BE, puta in cubum BE, esto ma</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 16].<lb></lb>ximum ABE <expan abbr="ductaq.">ductaque</expan> tangente <lb></lb>FED erit DB ad BA tripla ex <lb></lb>ostensis. </s><s>Iam ut AD ad DC ita <lb></lb>AB ad BC, et permutando DA ad <lb></lb>AB ut DC ad CB. Qualium ergo <lb></lb>partium tota AD est 20, talium <lb></lb>AB erit 5, et BD, 15; sed DC ad CB est ut DA ad AB qua <lb></lb>druplam, ergo CD est 12 et CB 3, ergo AB ad BC ut 5 ad 3. </s></p> <pb pagenum="90"></pb> <p type="main"> <s>Semper <expan abbr="itaq.">itaque</expan> rationes partium diametri erunt he, in <lb></lb>primo casu, hoc est dum ducitur recta in rectam ut 3/1 dum <lb></lb>ducitur recta in quadratum ut 4/2 dum ducitur recta in <lb></lb>cubum ut 5 ad 3. </s></p> <p type="main"> <s>[17] <emph type="italics"></emph>Lemma.<emph.end type="italics"></emph.end> Quando [Fig. 17] productum ex recta AD in <lb></lb>cubum DB fuerit max. </s><s>Dico AD ad DC esse subtriplam . </s></p> <p type="main"> <s>Nam, nisi sit, ponatur subtripla </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 17].<lb></lb>AE ad EC, ergo quod fit ex AE in cu<lb></lb>bum FC maximum erit. </s><s>Sed quod fit <lb></lb>ex AE in cubum EF ad quod fit ex <lb></lb>AD in cubum DB est ut quod fit ex <lb></lb>AE in cubum EC ad factum ex AD in cubum DC; ergo, <lb></lb>factum ex AE in cubum EF, erit maxim. </s><s>non autem <lb></lb>factum ex AD in cubum BD. Quod suppositum est patet; <lb></lb>nam factum ex AEC ad factum AED rationem habet com<lb></lb>positam ex ratione EA ad AD et ex ratione cubi EC ad <lb></lb>CD; eamdem habet factum AEF, ADB. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>DE MAX. ET MIN.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>[18] Sint data tria puncta ABC et tres rectae DA, <lb></lb>DB, DC sint et sit minimus quanti</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 18].<lb></lb>tatis trium. </s><s>Dico [Fig. 18] tres angu<lb></lb>los ad punctum D constitutos inter <lb></lb>se aequales esse. </s></p> <p type="main"> <s>Si enim possibile est duo ex ipsis <lb></lb><expan abbr="quicumq.">quicumque</expan> sint ineaequales, ponantur<lb></lb>que BDA, BDC, et ducta tangente <lb></lb>ED , erunt certe aequales anguli <lb></lb>EDA, FDC per 48. tertij Conic., ergo <lb></lb>inaequales remanebunt reliqui BDE, BDF, et facto circulo <pb pagenum="91"></pb>centro B, intervallo BD, secabit huiusmodi peripheria <lb></lb>ipsum ellipsim. </s><s>Sumatur in arcu ellipseos intra circulum <lb></lb>intercepto quodvis punctum I, et quia IB minor est se<lb></lb>midiametro DB, et reliquae IA, IC reliquis DA, DC ae<lb></lb>quales per.... Conicorum, erunt tres IA, IB, IC minores <lb></lb>tribus minimis DA, DB, DC. Quod est contra suppositum. </s></p> <p type="main"> <s>Compositio manifesta est, <expan abbr="fietq.">fietque</expan> hoc modo. </s><s>Sint data <lb></lb>tria puncta A, B, C. Reperiatur (quando possibile erit) <lb></lb>punctum D ad quod tres angulos ae</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 19].<lb></lb>quales constituant rectae [Fig. 19] DA, <lb></lb>DB, DC. Dico has rectas esse mini<lb></lb>mam quantitatem. </s><s>Nam nisi sit mi<lb></lb>nima quantitas, esto minima quantitas <lb></lb>si possibile est EA, EB, EC. Ergo per <lb></lb>praecedentem erunt ad punctum E <lb></lb>tres anguli aequales, et in quadrila<lb></lb>tero EADB quatuor anguli maiores 4 <lb></lb>rectis etc. </s></p> <p type="main"> <s>Quod peripheria circuli secet ellipsim potest ostendi. </s></p> <p type="main"> <s>Nam circulus omnino secabit rectam EF. Sed nisi se<lb></lb>cet ellipsim, quaelibet recta in segmento circuli DE ex <lb></lb>puncto D aptata caderet in locum qui est inter curvam <lb></lb>ellipticam suamque tangentem, quod est impossibile, p. .... <lb></lb>Conicor. </s></p> <p type="main"> <s>[19] Sint data tria puncta A, B, C, dumodo nullum ex <lb></lb>ipsis sit ad ang. </s><s>etc. </s><s>ut infra etc. </s></p> <p type="main"> <s>Inveniatur punctum D ex quo tres </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 20].<lb></lb>eductae AD, BD, CD faciant tres an<lb></lb>gulos inter se aequales. </s><s>Dico tres <lb></lb>eductos esse minimam quantitatem. </s></p> <p type="main"> <s>Nam si tres minimae non sunt ad <lb></lb>D, erunt ad aliud punctum quod sit E, <lb></lb>et ponatur [Fig. 20] E primum in una <lb></lb>ex ipsis eductis. </s><s>Producatur CD, et <lb></lb>ex E emittatur perpendicularis EI, <lb></lb>quae faciet triangulum rectangulum <lb></lb>EID semissi trianguli aequilateri, cum angulus EDI sit <lb></lb>60 gr.; <expan abbr="eritq.">eritque</expan> DI semissis ipsius DE, ergo, cum EC sit <pb pagenum="92"></pb>maior quam CI, erit EC maior quam CD una cum semisse <lb></lb>DE; eodem modo erit BE maior quam BD una cum se<lb></lb>missi DE, ergo, addita communi AE, erunt tres CE, BE, <lb></lb>AE maiores quam CD, BD, AD. Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s>Esto deinde [Fig. 21] E in producta </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 21].<lb></lb>AD, et ductis EB, EC, emissaque perp.li <lb></lb>EI, erit EDI semitriangulum aequilate<lb></lb>rum, cum angulus EDI sit gr. 60, pro<lb></lb>pterea DI erit semissis ipsius DE. Iam <lb></lb>si inaequalibus EC, CI aequales addantur, <lb></lb>erit CE cum semisse ED, maior quam <lb></lb>CID, eadem ratione erit BE cum semisse <lb></lb>ED maior quam BD, <expan abbr="additaq.">additaque</expan> communi DA erunt CE, BE, <lb></lb>AE maiores quam CD, BD, AD. </s></p> <p type="main"> <s>Sint iam tria data puncta A, B, C ita constituta ut <lb></lb>triangulum aequilaterum efficiant [Fig. 22]. <expan abbr="Sitq.">Sitque</expan> punctum <lb></lb>D, ex quo tres eductae angulos aequa</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 22].<lb></lb>les faciunt: quae si brevissimae non <lb></lb>sint, sint quaelibet aliae tres ex quo<lb></lb>cunque puncto, puta E ubicumque sit. </s><s><lb></lb>Fiat circa focos B, C, ellipsis quae <lb></lb>transeat per E. (Quod fiet ponamus <lb></lb>maiorem axem aequalem utrique BE, <lb></lb>EC). <expan abbr="Eruntq.">Eruntque</expan> BE, EC aequales duabus <lb></lb>BI, IC; sed additis inaequalibus, erunt <lb></lb>tres ad E, maiores quam tres ad I; sed ostendimus tres <lb></lb>ad I maiores tribus ad D, ergo multo magis tres ad E <lb></lb>maiores erunt quam tres ad D. </s></p> <p type="main"> <s>Iam sint puncta data A, B, C, </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 23].<lb></lb>utcumque; et punctum aequalium <lb></lb>angulorum sit D. Sumatur quodli<lb></lb>bet aliud punctum E [Fig. 23] extra <lb></lb>ipsos eductos (nam quod esse non <lb></lb>possit in eductis ostendimus iam). <lb></lb>Producantur DF, DG aequales ma<lb></lb>iori quae sit BD, et connectantur <lb></lb>lineae et erunt EAF, ECG et EB, <lb></lb>maiores quam EF, EG, EB. Sed <lb></lb>int. </s><s>sunt maiores quam DF, DB, DG per praecedentem, <pb pagenum="93"></pb>ergo multo magis EAF, ECG, EB maiores erunt quam <lb></lb>DF, DB, DG, demptisque communibus AF, CG, patet pro<lb></lb>positum. </s></p> <p type="main"> <s>[20] <emph type="italics"></emph>Alio modo sine ellipsi.<emph.end type="italics"></emph.end> Esto tria </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 24].<lb></lb>data puncta A, B, C, et punctum ad <lb></lb>quod fiunt aequales anguli sit D. Dico <lb></lb>tres brevissimas esse AD, BD, CD. </s></p> <p type="main"> <s>Nam si non sunt, erunt ad aliud <lb></lb>punctum quod sit E et ponetur E pri<lb></lb>mum [Fig. 24] in una ex ipsis AD; <lb></lb><expan abbr="factoq.">factoque</expan> circulo et ductis perpendicula<lb></lb>ribus EG, EF, secabuntur bifariam HD, <lb></lb>DI. Iam cum EC, EB sint maiorem quam CF, BG, addita <lb></lb>communi erunt EC, EB, EA maiores </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 25].<lb></lb>quam CE, BG, EA, sive quam CD, <lb></lb>BD, DA. </s></p> <p type="main"> <s>Si vero [Fig. 25] ponatur E in pro<lb></lb>ducta, erunt EC, EB, EA maiores quam <lb></lb>CF, BG, EA, hoc est quam CD, BD, <lb></lb>DA. </s></p> <p type="main"> <s>Denique ponatur punctum E ubi<lb></lb>cumque intra spatia angulorum aequa<lb></lb>lium ad punctum [Fig. 26] D factorum, et facto circulo , <lb></lb><expan abbr="productisq.">productisque</expan> tribus diametris quae </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 26].<lb></lb>sex angulos aequales constituent <lb></lb>ad punctum D, demittantur ad <lb></lb>eos diametros tres perpendicula<lb></lb>res EF, EH, EI; et ipsa EI mi<lb></lb>nima omnium perpendicularum <lb></lb>producatur in N <expan abbr="factocq.">factocque</expan> angulo <lb></lb>QDO recto, demittantur tres per<lb></lb>pendiculares EL, IM, NO quae in <lb></lb>aritmetica ratione erunt, cum <lb></lb>EN secta bifariam in I et ideo <lb></lb>extremae EL, NO simul sumptae duplae erunt mediae IM. <lb></lb>Sed etiam DI dupla est eiusdem IM cum IDN sit semi- <pb pagenum="94"></pb>triangulum aequilaterum (est enim angulus IDM grad. 60 <lb></lb>et IMD rectus); ergo DI aequalis est duabus EL, NO, <lb></lb>sive FD, NO. Verum NO et DH sunt aequales (est NO sinus <lb></lb>complementi arcus QN, cui aequalis est arcus EP, cuius <lb></lb>sinus complementi est DH); ergo DI aequalis erit <expan abbr="utriq.">utrique</expan> <lb></lb>FD, DH. </s></p> <p type="main"> <s>Iam EC, EB, EA maiores sunt quam CH, BF, AI; oppo<lb></lb>nuntur enim singulae angulis rectis quaelibet in suo A<emph type="sup"></emph>lo<emph.end type="sup"></emph.end> (?); <lb></lb>sed cum ostensum sit FD, DH aequales esse ipsi DI, erunt <lb></lb>CH, BF, AI; aequales tribus CD, BD, AD. Propterea EC, <lb></lb>EB, EA maiores erunt quam CD, BD, AD. Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s>Vel: Iam recta DI aequalis est <expan abbr="utriq.">utrique</expan> simul FD, DH; <lb></lb><expan abbr="sumtisq.">sumtisque</expan> communibus DH, DC, IA, erunt DB, DC, DA ae<lb></lb>quales ipsis FB, HC, IA. Si ergo sumamus EB, EC, EA, <lb></lb>quarum singulae sunt maiores </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 27].<lb></lb>singulis FB, HC, IA, cum una<lb></lb>quaeque in suo triangulo oppo<lb></lb>natur angulo recto, habebimus <lb></lb>DB, DC, DA minores quam EB, <lb></lb>EC, EA. Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s>In secunda vero figura [Fig. <lb></lb>27] erunt DF, DH simul aequa<lb></lb>les rectae DI; sumptisque com<lb></lb>munibus DB, HC, FA, erunt DA, <lb></lb>DB, DC aequales tribus IB, HC, <lb></lb>FA; si ergo sumamus EB, EC, EA quarum singulae sunt <lb></lb>maiores singulis IB, HC, FA, cum opponantur angulis <lb></lb>rectis, erunt DA, DB, DC minores ipsis EA, EB, EC . </s></p> <p type="main"> <s>[21] <emph type="italics"></emph>Propositum fuit Problema:<emph.end type="italics"></emph.end> Datis tribus punctis, <lb></lb>aliud punctum reperire, ex quo si ad data tria puncta tres <lb></lb>rectae educantur, ipsae eductae sint minima quantitas. </s></p> <p type="main"> <s>Sint data tria puncta A, B, C et inveniatur punctum D <lb></lb>ex quo tres eductae DA, DB, DC tres angulos inter se <pb pagenum="95"></pb>aequales efficiant ad punctum D (qua ratione hoc fiat di<lb></lb>cemus infra). Dico tres eductas DA, DB, DC, esse mini<lb></lb>mam quatitatem. </s></p> <p type="main"> <s>Nam sumatur <expan abbr="quodcunq.">quodcunque</expan> aliud punctum praeter D, quod <lb></lb>sit E. <expan abbr="eritq.">eritque</expan> E vel in una ex nostris eductis, ut in prima <lb></lb>figura [cfr. </s><s>Fig. 23], vel in una ex ijsdem producta ultra D. <lb></lb>ut in 2<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> [cfr. </s><s>Fig. 24], vel extra ipsas in spatium angulo<lb></lb>rum aequalium, ut in figura quae sequetur [cfr. </s><s>Fig. 25]. </s><s><lb></lb>Esto primum punctum E in ipsa AD ut in p.<emph type="sup"></emph>ma<emph.end type="sup"></emph.end> figura; <lb></lb><expan abbr="factoq.">factoque</expan> centro D describatur circula peripheria per E; et <lb></lb>ex E demittantur perpendiculares EF, EG, in ipsas CDH, <lb></lb>BDI. Patet radij DH, DI, secabuntur bifariam in F et <lb></lb>in G, quia cum ex suppositione tres anguli ADB, BDC, <lb></lb>EDA sint equales inter se, erunt anguli ADH, ADI anguli <lb></lb>trianguli equilateri, sive gr. 60. Propterea erit radius DE <lb></lb>aequales <expan abbr="utrisq.">utrisque</expan> simul DF, DG; <expan abbr="sumtisq.">sumtisque</expan> communibus EA, <lb></lb>DB, DC, erunt DA, DB, DC, aequales ipsis EA, GB, FC. <lb></lb>Sed EB maior est quam GB et EC maior quam FC, <lb></lb><expan abbr="utraq.">utraque</expan> enim in suo triangulo opponitur angulo recto; ergo <lb></lb>erunt DA, DB, DC, minores quam EA, EB, EC. Quod erat <lb></lb>primo ostend.<emph type="sup"></emph>m<emph.end type="sup"></emph.end> etc. </s></p> <p type="main"> <s>In secundo vero casu et fig.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> erunt GB, FC minores <lb></lb>quam EB, EC; <expan abbr="utraq.">utraque</expan> enim, tam EB, quam EC in suo <lb></lb>triangulo opponitur angulo recto; <expan abbr="sumptisq.">sumptisque</expan> aequalibus <lb></lb>hinc GD et DF, inde vero ED, erunt DB, DC minores <lb></lb>quam EB, EC, ED, <expan abbr="sumptaq.">sumptaque</expan> communi DA, erunt DB, DC, <lb></lb>DA minores quam EB, EC, EA. </s></p> <p type="main"> <s>Ponatur tandem punctum E <expan abbr="ubicumq.">ubicumque</expan> intra spatia an<lb></lb>gulorum aequalium ad punctum D factorum: et facto cen<lb></lb>tro D describatur peripheria per E, <expan abbr="productisq.">productisque</expan> tribus AD, <lb></lb>BD, CD, habebimus ad centrum D sex angulos aequales, <lb></lb>demittantur ex E ad singulos praedictorum diametrorum <lb></lb>tres perpendiculares EI, EF, EH quarum minima EI pro<lb></lb>ducatur in N, <expan abbr="factoq.">factoque</expan> angulo QDO recto demittantur ad <lb></lb>DO tres perpendiculares EL, IM, NO, quae in arithmetica <lb></lb>ratione erunt quandoquidem recta EN bifariam secatur <lb></lb>in I, propterea extremae EL, NO simul sumptae duplae <lb></lb>erunt mediae IM. Sed etiam DI dupla est eiusdem IM <lb></lb>quia cum angulus IDM sit grad. 00, et IMD rectus, erit <pb pagenum="96"></pb>IDM semitriangulum aequilaterum; ergo DI aequalis est <lb></lb>duabus EL, NO, sive FD, NO; verum NO et DH sunt <lb></lb>aequales (est enim NO sinus complementi arcus QN, cui <lb></lb>aequalis est arcus EP, cuius sinus complementi est DH); <lb></lb>ergo DI aequalis erit <expan abbr="utrisq.">utrisque</expan> FD, DH simul sumptis. </s></p> <p type="main"> <s>Iam in p.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> fig.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> (quando nempe minima perpendicularis <lb></lb>EI cadit in una ex eductis non producta ultra centrum D <lb></lb>qualis est AD). Recta DI aequalis est <expan abbr="utrisq.">utrisque</expan> simul FD, <lb></lb>DH; sumptisque communibus DB, DC, IA; erunt DB, DC, <lb></lb>DA aequales ipsis DB, HC, IA. Si ergo sumamus EB, EC, <lb></lb>EA, quarum singulae sunt maiores singulis FB, HC, IA, <lb></lb>cum unaquaeque in suo triangulo opponatur angulo recto, <lb></lb>habebimus DB, DC, DA minores quam EB, EC, EA. </s></p> <p type="main"> <s>In secunda vero figura, quando minima perpendicularis <lb></lb>EI cadit in una ex eductis protracta ultra centrum D, <lb></lb>qualis est BDI, erunt DF, DH, simul sumptae aequales <lb></lb>rectae DI, <expan abbr="sumptisq.">sumptisque</expan> communibus DB, HC, FA, erunt DA, <lb></lb>DB, DC, aequales tribus IB, HC, FA; si ergo sumamus <lb></lb>EB, EC, EA, quarum singulae sunt maiores singulis IB, <lb></lb>HC, FA; cum opponantur angulis rectis, erunt DA, DB, <lb></lb>DE minores ipsis EA, EB, EC. Quod est etc. </s></p> <p type="main"> <s>[22] Quod promisimus </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 28].<lb></lb>ad initium, peragemus <lb></lb>sic. </s><s>Sint data [Fig. 28] <lb></lb>tria puncta A, B, C, co<lb></lb>niungantur ipsa puncta <lb></lb>vel tribus, vel saltem <lb></lb>duobus rectis lineis AB, <lb></lb>BC, et factis triangulis <lb></lb>aequilateris ADB, BEC, <lb></lb>fiant circa ipsa duo cir<lb></lb>culi quorum peripheriae se mutuo secent in F. Dico iun<lb></lb>ctas AF, BF, CF tres angulos aequales inter se efficere. </s><s><lb></lb>Anguli enim oppositi D et F quadrilateri ADBF in cir<lb></lb>culo descripti sunt aequales duobus rectis; sed angulus D <lb></lb>est gr. 60, ergo AFB erit gr. 120. Eodem modo erit an<lb></lb>gulus BFC gr. 120, ergo et reliquus AFC erit gr. 120. </s></p> <p type="main"> <s>Poterant etiam super rectis AP, BC describi segmenta <pb pagenum="97"></pb>circulorum capientia angulos grad.<emph type="sup"></emph>m<emph.end type="sup"></emph.end> 120, et eadem eve<lb></lb>nissent. </s></p> <p type="main"> <s>[23] <emph type="italics"></emph>Determinatio Problematis.<emph.end type="italics"></emph.end> Quamquam Problema hoc <lb></lb>universaliter proponatur ab autore, patet tamen determi<lb></lb>natum esse. </s><s>Nam, si data tria puncta connectamus lineis <lb></lb>rectis <expan abbr="triangulumq.">triangulumque</expan> efficiamus cuius nullus angulus conti<lb></lb>neat gr. 120, problema solubile erit. </s><s>Sed quando aliquis <lb></lb>angulus erit non minor gr. 120 punctum F praecedenti <lb></lb>figurae non poterit haberi, alias enim sex anguli interni <lb></lb>duorum triangulorum maiores essent quatuor rectis. </s><s>In <lb></lb>eo casu punctum maioris anguli improprie tamen quaesito <lb></lb>satisfacit. </s></p> <p type="main"> <s>[24] Ma con molto maggior brevità </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s><foreign lang="it">[Fig. 29].<lb></lb>mostreremo che la linea [Fig. 29] DI, è <lb></lb>eguale alle due FD, DH insieme prese. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Secetur bifariam angulus IDF et ABU <lb></lb>ducatur ut perpendicularis ad DI; <expan abbr="eritq.">eritque</expan>, <lb></lb>per 26 primi, FD aequalis ipsi TD. Supe<lb></lb>rest ut ostendamus reliquam DH aequa<lb></lb>lem esse reliquae TI. Angulus FDU est <lb></lb>grad. 30, ergo FUD erit gr. 60. Eadem <lb></lb>ratione angulus DUS erit gr. 60, ergo reliquus SUE omnino <lb></lb>gr. 60, erit, et cum rectae RD, EH sint parallelae, erit <lb></lb>angulus UES aequalis angulo FUD, nempe gr. 60, quare <lb></lb>triangulum ESU aequilaterum erit, cum habeat duos an<lb></lb>gulos grad. 60. Propterea ipsius altitudines, sive perpen<lb></lb>diculares, sive catheti, aequales erunt, nempe TI, HD. <lb></lb>Quod erat etc. </s></p> <pb></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>NOVA PER ARMILLAS <lb></lb>STEREOMETRIA.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <pb></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>AVVERTIMENTO.<emph.end type="center"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">L'opera <emph type="italics"></emph>De sphaera et solidis sphaeralibus<emph.end type="italics"></emph.end> e gli scritti che lo seguono nell'edizione <lb></lb>del 1644 non rappresentano tutti i risultati che diedero i perseveranti studi di <lb></lb>E. Torricelli fatti nell'intento di completare la Stereometria degli antichi, serven<lb></lb>dosi dei procedimenti inventati da Archimede prima, da B. Cavalieri poi; sia prima, <lb></lb>sia dopo la pubblicazione di quei magistrali lavori il grande Faentino continuò ad <lb></lb>occuparsi dei medesimi argomenti; e non mancò di prendere nota (sia pure con stile <lb></lb>rapido, epperò non sempre esatto) delle conclusioni a cui giunse. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Raccogliere e <lb></lb>possibilmente coordinare i materiali sparsi di lui lasciati era un'impresa tanto im<lb></lb>portante quanto irta di difficoltà; vi si accinse Lodovico Serenai, sorretto dall'ap<lb></lb>provazione e dal consiglio di Vincenzo Viviani; ciò è documentato da alcune let<lb></lb>tere, tuttora esistenti, che si scambiarono questi benemeriti studiosi; di essi basta <lb></lb>(e giova) riferire quì la seguente, il cui originale, come quelli delle altre, si trova a <lb></lb>Firenze, nella raccolta dei <emph type="italics"></emph>“ Discepoli di Galileo ” :<emph.end type="italics"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="italics"></emph>Signor Vincenzo Viviani mio Signore<emph.end type="italics"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="italics"></emph>In una sessione che facemmo, mi parve comprendere che V. S. lodasse lo stampare <lb></lb>fra l'altre la seguente operetta del Signor Torricelli tralasciata quella parte che egli stesso <lb></lb>ne pubblicò nel 1644 e che di questo si facesse avvertito il lettore. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Io l'ho però trascritta <lb></lb>nella forma che vede e aggiuntovi quattro parole al lettore per metterle nella faccia III <lb></lb>come vedrà. </foreign></s> <s>E la prego a scorrerla di nuovo e dove ella trovi errori, o le paia poterla <lb></lb>migliorare ne lo accenni nelle di contro facce frammesse per tutto a questo effetto. </s> <s><foreign lang="it">E dove <lb></lb>io non vedrò notato da lei cosa alcuna, supporrò che V. S. approvi: ma riceverò per <lb></lb>favore che in ogni luogo ella noti esplicitamente così la correzione come l'approvazione <lb></lb>mentre non le rincresca e la reverisco restando.<emph.end type="italics"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="italics"></emph>Di V. S. mio Signore<emph.end type="italics"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="italics"></emph>Obbl: e Devot: Servit:<emph.end type="italics"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="italics"></emph>Lodovico Serenai.<emph.end type="italics"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Frutto di tale collaborazione fu una compilazione, scritta di mano del Serenai, <lb></lb>la quale abbraccia la miglior parte di quanto il Torricelli lasciò scritto intorno ai <lb></lb>volumi dei solidi generati dalla rotazione di una conica attorno ad uno dei suoi <lb></lb>assi e ad argomenti collegati a siffatte questioni. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Tale compilazione, esistente in ma<lb></lb>noscritto nel X dei volumi consacrato a Torricelli della raccolta “ <emph type="italics"></emph>Discepoli di Ga<lb></lb>lileo<emph.end type="italics"></emph.end> ”, viene ora data per la prima volta alle stampe. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Di nostro abbiamo aggiunto, <lb></lb>accanto ad ogni brano, il passo degli autografi del Nostro da cui fu tolto; in tal <lb></lb>modo il lettore potrà da un lato accertarsi che tutto proviene da Lui, ed eventual<lb></lb>mente potrà suggerire un'altra distribuzione della materia, ove non riuscisse di suo <lb></lb>gradimento l'ordinamento proposto dal Serenai. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Aggiungiamo che le due figure che <lb></lb>ornano il frontispizio della I Parte vennero riprodotte dall'autografo torricelliano. </foreign></s> </p> <pb></pb> <figure></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PARS PRIMA<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>DE SOLIDIS VASIFORMIS.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <figure></figure> <pb></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>Perillustri, ed admodum Reverendo Domino <lb></lb>D. Raphaeli Magiotti.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Erras, amice Magiotte, si speras in Tusculanum Collem <lb></lb> <arrow.to.target n="marg294"></arrow.to.target><lb></lb>seductus mearum effugere potuisse obsidionem ineptiarum. </s><s><lb></lb>Eccen. </s><s>persequor te quocumque fugis solito molestiarum <lb></lb>genere, nugis meis. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg294"></margin.target>Discepoli <lb></lb>di Galileo, <lb></lb>T. XXX, <lb></lb>c. 72.</s></p> <p type="main"> <s>Libet, exemplo tuo, qui fusum Parabolicum aliquando <lb></lb>contemplari dignatus es, de Acu hyperbolica quaedam di<lb></lb>cere: utinam tibi libeat audire. </s><s>Contemplationem leges, <lb></lb>in qua fortasse acumen desiderabis, non autem in solido, <lb></lb>cujus tanta subtilitas est, ut quamvis in infinitam longi<lb></lb>tudinem producatur, exigui tamen cylindri molem non <lb></lb>excedat. </s></p> <p type="main"> <s>I nunc, et procul recede: Aculeum habet Geometria <lb></lb>Longiorem, quam ut ab ipso evadere possis, hujus ego <lb></lb>mucrone, non minus substili, quam, longo, eruditas, et <lb></lb>vere geometricas aures tuas expungere non haesitabo. </s><s>Ce<lb></lb>terum lege libenter hoc quicquid; mox enim videbis hujus <lb></lb>contemplationis materiam, quae nunc cuspis est, meliore <lb></lb>figura refusam in calicem tantae capacitatis, ut sitim vel <lb></lb>giganteam extinguere possit. </s><s>Sed ad definitiones accedam <lb></lb>daboque operam brevitate, ne simul cum molestia taedium <lb></lb>feram. </s></p> <p type="main"> <s>Vale. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>ADMONITIO AD LECTOREM .<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Praesens opusculum in duas partes olim diviserat ipse Auctor, in <lb></lb>quarum prima Poculi basem contemplatus Acuti solidi naturam pas<lb></lb>sionis, mensuram venatus est sex et viginti propositionibus quas <lb></lb>omnes postea de anno 1644: in Libello de eodem solido Acuto Hyper- <pb pagenum="104"></pb>bolico inter alia opera sua Geometrica typis commissa publici juris <lb></lb>fecit. </s><s>Hac igitur omissa, secundam partem tibi communicare risum <lb></lb>est Amice Lector; quam quidem de solidis vasiformibus quasi Cyatis <lb></lb>agentem sic ipse exorditur. </s></p> <p type="main"> <s>Peracta jam base poculi ad ipsam Cyati mensuram accedamus, et <lb></lb>quanta fieri poterit brevitate expediamur.<gap desc="/SM"></gap><lb></lb> <arrow.to.target n="marg295"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg295"></margin.target>Discepoli <lb></lb>di Galileo, <lb></lb>T. XXXIV. <lb></lb>carte 268-271.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Definizione.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Armilla piana chiamo la differenza di due circoli con<lb></lb>centrici. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Armilla conica è quella superficie di cono retto, che <lb></lb>è compresa fra due piani paralleli alla base del cono. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma Primo.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Qualsivoglia armilla piana a qualunque circolo sta come <lb></lb>il rettangolo delle linee dell'armilla al quadrato del semi<lb></lb>diametro di quel cerchio. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Siano [Fig. 1] due circoli con</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s><foreign lang="it">[Fig 1].<lb></lb>centrici, dei quali siano semidia<lb></lb>metri AC, AB. Dico che l'armilla <lb></lb>CB al circolo ID sta come il ret<lb></lb>tangolo BCE al quadrato DI. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Questo fu da me dimostrato <lb></lb>nel primo Lemma <emph type="italics"></emph>De dimensione acuti solidi hyperbolici <lb></lb>juxtà methodum antiquorum<emph.end type="italics"></emph.end> . </s></p> <p type="main"> <s>Ma abbiamo nominato semplicemente </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s><foreign lang="it">[Fig 2].<lb></lb>il rettangolo di due linee dell'armilla, e <lb></lb>non ci siamo obbligati a dire il rettan<lb></lb>golo, che si fa dalla differenza BC, e dal<lb></lb>l'aggregato CE delli semidiametri. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Poichè <lb></lb>[Fig. 2] tirata qualunque altra linea tran<lb></lb>sversale FG, purchè seghi l'uno e l'altro <lb></lb>cerchio, sempre il rettangolo FHG sarà eguale al rettan<lb></lb>golo BCE. </foreign></s> </p> <pb pagenum="105"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma Secondo.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">L'armille piane fra di loro hanno la proporzione dei <lb></lb>loro rettangoli. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Sieno le armille di AB e </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig 3].<lb></lb>di CE [Fig. 3]; dico, che l'ar<lb></lb>milla AB alla CE sta come <lb></lb>il rettangolo ABF al rettan<lb></lb>golo CEG. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Poichè l'armilla AB al <lb></lb>cerchio CD sta come il ret<lb></lb>tangolo ABF al quadrato CD. Il cerchio poi CD all'armilla <lb></lb>CE sta come il quadrato CD al rettangolo CEG, però ex <lb></lb>aequo l'armilla AB alla CE sta come il rettangolo ABF <lb></lb>al rettangolo CEG. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Nota che questo è vero anco nelle armille elliptiche. </s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Ma bisogna che i quattro ellipsi siano simili fra di loro, <lb></lb>e le linee dei rettangoli siano gli assi, o diametri simili. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma Terzo.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">L'armilla conica alla superficie conica (purchè siano <lb></lb>dell'istesso cono retto) sta come il rettangolo dell'armilla <lb></lb>al quadrato del lato della superficie. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Sia cono retto ABC [Fig. 4], et una </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s><foreign lang="it">[Fig 4].<lb></lb>armilla descritta nel girare dalla linea CD, <lb></lb>e qualunque superficie conica dell'istesso <lb></lb>cono sia HBE. Dico che l'armilla CD alla <lb></lb>superficie HBE sta come il rettangolo CDF <lb></lb>(presa BF eguale a BC) al quadrato BE. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Poichè la conica ABC al circolo AC sta <lb></lb>come la retta BC alla CI, cioè BD alla DO, <lb></lb>cioè come la conica MBD al circolo MD. <lb></lb>Permutando dunque sarà la conica ABC <lb></lb>alla MBD, come il cerchio AC, al cerchio MD, cioè come <lb></lb>il quadrato AC al quadrato MD, cioè come il quadrato <pb pagenum="106"></pb>CB al quadrato BD; però dividendo sarà l'armilla CD alla <lb></lb>conica MBD come il rettangolo CDF al quadrato BD. <lb></lb>Di più la conica MBD alla conica HBE sta come il qua<lb></lb>drato DB al quadrato BE. Però ex aequo l'armilla conica <lb></lb>di CD alla superficie conica HBE del medesimo cono sta <lb></lb>come il rettangolo CDF al quadrato BE del lato di essa <lb></lb>superficie conica. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Supponiamo ora che quando avrò due </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s><foreign lang="it">[Fig 5].<lb></lb>solidi (per esempio nella divulgata sco<lb></lb>della hemisferica [Fig. 5] su la base della <lb></lb>quale sia alzato un cono della medesima <lb></lb>altezza), supponiamo dico che se trove<lb></lb>remo, che tirati piani sempre perpendico<lb></lb>lari all'asse e però paralleli fra di loro, sia eternamente <lb></lb>l'armilla AB nata nel taglio della scodella, eguale al cir<lb></lb>colo CD nato nel taglio del cono, la scodella sarà eguale <lb></lb>al cono. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Questo sia solo per esempio, sapendo che questo è già <lb></lb>stato provato, e si può provare in più modi senza l'aiuto <lb></lb>degli indivisibili. </s> <s><foreign lang="it">Servirà questo avviso a noi per persua<lb></lb>derci, che l'argomento cammina bene nel dir così. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Essendo <lb></lb>ciascuna armilla eguale a ciascun circolo suo corrispon<lb></lb>dente, et essendo i transiti tutti paralleli fra di loro sa<lb></lb>ranno tutte le armille insieme, cioè la scodella, eguali a <lb></lb>tutti i cerchi insieme, cioè al cono. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Questo si potrebbe esemplificare nelle figure piane, <lb></lb>come verbi gratia ne'triangoli, o parallellogrammi nelle <lb></lb>istesse parallele [Fig. 6 e 7], e su la medesima base, dove </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig 6].</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s><foreign lang="it">[Fig 7].<lb></lb>trovandosi, che tirata la parallela AD alla base, se sarà <lb></lb>sempre vero, che la AB sia eguale alla CD, sarà anco <lb></lb>vero, che tutte le antecedenti insieme, cioè la prima figura <lb></lb>sia eguale a tutte le conseguenti insieme, cioè alla se<lb></lb>conda figura. </foreign></s> </p> <pb pagenum="107"></pb> <p type="main"> <s>Questo è anco manifesto ne'solidi. </s><s>Posti due paralle<lb></lb>lepipedi, o due piramidi, o coni, o cilindri [Fig. 8 e 9], o </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig 8].</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s><foreign lang="it">[Fig 9].<lb></lb>altro sopra l'istessa base, ovvero sopra basi uguali, se si <lb></lb>taglierà la figura con piani sempre paralleli, e si trovi <lb></lb>eternamente la figura piana AB eguale alla figura piana <lb></lb>CD, si potrà sicuramente pronunciare, che questi tali so<lb></lb>lidi sono fra di loro eguali. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>L'istesso supponiamo nelle armille coni</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig 10].<lb></lb>che. </s><s>Per esempio pongasi che sia [Fig. 10] <lb></lb>la AC asse di una revoluzione e siano AB, <lb></lb>CH parallele e l'angolo CAB non retto, se <lb></lb>tireremo un'altra parallela DG, è chiaro che <lb></lb>DE segna una superficie conica e qualunque <lb></lb>suo pezzo per esempio FG descrive un'ar<lb></lb>milla conica. </s> <s><foreign lang="it">Ora, se avremo qualunque altra figura piana <lb></lb>IHL tra l'istesse parallele, la quale girando descriva un <lb></lb>solido, e vi trovi, che sempre la conica DE è eguale alla <lb></lb>sua corrispondente armilla conica FG. Essendo dette su<lb></lb>perficie tutte tutte dell'istesso transito, potremo dire, che <lb></lb>tutte le antecedenti simul, cioè il solido di ABC, sieno <lb></lb>eguali a tutte le conseguenti simul, e cioè al solido di LHI. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma IV.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> <arrow.to.target n="marg296"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg296"></margin.target>Prop. </s><s><lb></lb>XXVII.</s></p> <p type="main"> <s>Si fuerint tres lineae in continua proportione, erit ar<lb></lb>milla sive differentia circulorum, quorum alter sit ex se<lb></lb>misse aggregati, alter vero ex semisse differentiae extre- <pb pagenum="108"></pb>marum, aequalis circulo, qui fit ex media proportionalium <lb></lb>linearum. </s></p> <p type="main"> <s>Sint tres lineae in continua ratione </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig 11].<lb></lb>[Fig. 11] AB, BC, BD, et ponantur extre<lb></lb>mae in directum ABD, ipsa vero media <lb></lb>BC, erigatur in B ad angulos rectos, secta <lb></lb>deinde AD bifariam in E fiat ex ED se<lb></lb>misse aggregati extremarum circulus <lb></lb>ACD. Ex ipsa vero EB semisse differen<lb></lb>tiae extremarum fiat circulus FB. Dico armillam AFCD <lb></lb>aequalem esse circulo ex BC tanquam semidiametro de<lb></lb>scripto. </s></p> <p type="main"> <s>Juncta enim EC erit ex 47 primi, et secunda duode<lb></lb>cimi circulus ex EC aequalis duobus simul circulis ex EB, <lb></lb>et ex BC ob angulu rectum EBC. Dempto, ergo, communi <lb></lb>circulo ex EB remanebit armilla AFCD aequalis circulo <lb></lb>ex BC. Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg297"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg297"></margin.target>Lemma <lb></lb>per la Prop. </s><s><lb></lb>XXXIV.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma V.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si fuerint circa idem centrum A duo circuli et BC <lb></lb>tangat inclusam peripheriam, DE vero utcumque secet. </s><s><lb></lb>Dico esse ut DI ad BC, ita BC ad IE. </s></p> <p type="main"> <s>Ducatur enim [Fig. 12] altera tangens </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig 12].<lb></lb>ML per punctum I, eruntque aequales <lb></lb>inter se MI, IL, BC, cum circuli sint con<lb></lb>centrici. </s><s>Erit igitur rectangulum DIE ae<lb></lb>quale rectangulo MIL (secant enim se <lb></lb>intra circulum), hoc est quadrato MI, sive <lb></lb>BC. Quare constat propositum. <lb></lb> <arrow.to.target n="marg298"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg298"></margin.target>Prop. </s><s><lb></lb>XXXIV.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO I.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si fuerit [Fig. 13] circa idem centrum A duo circuli et <lb></lb>ductis BC, DE parallelis, ipsa BC tangat interiorem peri<lb></lb>pheriam, ipsa vero DE secet utramque, et circa CE axem <lb></lb>convertatur figura. </s><s>Dico solidum vasiforme, quod a qua- <pb pagenum="109"></pb>drilineo DBCF, describitur aequale esse </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig 13].<lb></lb>cylindro eamdem ipsi basim, eamdemque <lb></lb>altitudine habenti. </s></p> <p type="main"> <s>Concipiatur enim cylindrus, uti dic<lb></lb>tum est IBHL, et quia per lemma prae<lb></lb>cedens sunt in continua ratione DF, BC, <lb></lb>FM, erit, per quartum Lemma hujus, armilla descripta <lb></lb>a linea DF aequalis circulo ex BC, sive ex EI, et hoc <lb></lb>semper. </s><s>Propterea erunt simul armillae aequales omnibus <lb></lb>simul circulis; hoc est solidum vasiforme sphaericum ae<lb></lb>quale cylindro praedicto. </s><s>Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> <arrow.to.target n="marg299"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg299"></margin.target>Questo ed <lb></lb>il seguente <lb></lb>costituiscono <lb></lb>un Lemma <lb></lb>unico pre<lb></lb>messo da <lb></lb>Torricelli <lb></lb>alla Prop. </s><s><lb></lb>XXXI.</s></p> <p type="main"> <s>Si [Fig. 14] recta linea AB secetur inaequaliter bis <lb></lb>in C et D, ponaturque BE aequalis </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig 14].<lb></lb>ipsi CA. Erit rectangulum ADB, par<lb></lb>tium scilibet minus inaequalium, ae<lb></lb>quale duobus simul rectangulis, nempe <lb></lb>ACB partium magis inaequalium, et rectangulo CDE sub <lb></lb>intermedijs sectionibus. </s></p> <p type="main"> <s>Secetur AB bifariam in I, et erunt aequales ipsae etiam <lb></lb>IC, IE, sed cum rectangulum ADB simul cum quadrato <lb></lb>DI aequale sit quadrato AI. Item rectangulum ACB cum <lb></lb>quadrato CI eidem quadrato AI aequale sit, erunt rectan<lb></lb>gulum ADB cum quadrato DI aequalia rectangulo ACB <lb></lb>cum quadrato CI. Commune auferatur quadratum DI, erit <lb></lb>reliquum rectangulum ADB aequale reliquis duobus rect<lb></lb>angulis ACB, et CDE (si enim demas ex quadrato CI <lb></lb>quadratum DI, spatium quod relinquitur est rectangulum <lb></lb>CDE). Ergo constat. </s><s>etc. </s></p> <pb pagenum="110"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si fuerint circa communem axem [Fig. 15] AB, et circa <lb></lb>idem centrum C, duo ellipses similes </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig 15].<lb></lb>(nempe ut DC ad CE, ita BC ad CF) <lb></lb>ordinatimque ducantur FH tangens, <lb></lb>et IL secans inclusam ellipsim. </s></p> <p type="main"> <s>Dico ita esse IM ad HF, ut HF <lb></lb>ad ML. </s></p> <p type="main"> <s>Est enim quadratum IN ad qua<lb></lb>dratum DC ut rectangulum BNA ad <lb></lb>rectangulum BCA, hoc est ad quadratum DC; sed DC <lb></lb>quadratum ad quadratum CE est ut quadratum BC ad <lb></lb>CF; et quadratum CE ad quadratum MN est ut quadra<lb></lb>tum CF ad rectangulum ONF, quare ex aequo erit qua<lb></lb>dratum IN ad quadratum MN ut rectangulum BNA ad <lb></lb>rectangulum FNO. Iterum quadratum idem IN ad qua<lb></lb>dratum HF est ut rectangulum idem BNA ad rectangu<lb></lb>lum BNA ad rectangulum BFA. Quare erit quadratum IN <lb></lb>ad duo simul quadrata MN, HF, ut rectangulum BNA ad <lb></lb>duo simul rectangula FNO, BFA; sed rectangulum BNA <lb></lb>per Lemma praecedens duobus dictis rectangulis aequale <lb></lb>est, ergo et quadratum IN duobus simul quadratis MN, <lb></lb>HF aequale erit. </s></p> <p type="main"> <s>Si ergo ab aequalibus commune auferas quadratum <lb></lb>MN, reliquum rectangulum IML aequale erit reliquo qua<lb></lb>drato HF. Propterea constat propositum. </s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg300"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg300"></margin.target>Prop. </s><s><lb></lb>XXX.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO II.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig 16].</s></p> <p type="main"> <s>Si fuerint circa communem <lb></lb>axem [Fig. 16] AB, et circa idem <lb></lb>centrum C, duo ellipses similes et <lb></lb>convertatur figura circa axem. </s><s>Erit <lb></lb>solidum vasiforme factum a revo<lb></lb>lutione quadrilinei HDOL, aequale <lb></lb>cylindro eadem ipsi basim, eamdemque altitudinem habenti. </s></p> <pb pagenum="111"></pb> <p type="main"> <s>Intelligatur enim super basi DE cylindrus FDEG, et <lb></lb>planum HI ad axem erectum. </s><s>Erunt itaque per Lemma <lb></lb>praecedens HL, DO, LI in continua ratione. </s><s>Quare per <lb></lb>quartum Lemma hujus erit armilla ex HL descripta ae<lb></lb>qualis circulo ex OD, vel ex AF et hoc semper. </s><s>Quare <lb></lb>erunt omnes simul armillae aequales omnibus simul cir<lb></lb>culis, nempe solidum vasiforme ellipticum aequale cylin<lb></lb>dro. </s><s>Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> <arrow.to.target n="marg301"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg301"></margin.target>Lemma <lb></lb>alla Prop. </s><s><lb></lb>XXX.</s></p> <p type="main"> <s>Si fuerint duae parabolae [Fig. 17] aequales circa com<lb></lb>munem axem AB, quae erunt asymptoti per Lemma 31<emph type="sup"></emph>ae<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>propositionis <emph type="italics"></emph>De motu projectorum<emph.end type="italics"></emph.end> , du</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig 17].<lb></lb>canturque ordinatim CD, EF, quarum CD <lb></lb>sit per verticem inclusae parabolae, sed <lb></lb>EF ubicumque, dummodo utramque pa<lb></lb>rabolam secet. </s><s>Dico esse ut EG ad CD, <lb></lb>ita CD ad GF. </s></p> <p type="main"> <s>Ponatur enim AH latus rectam com<lb></lb>mune, et erit ob parabolam rectangulum <lb></lb>HAB aequale quadrato BE; si ergo ab aequalibus aequalia <lb></lb>demas, nempe rectangulum sub AH, CB ex rectangulo <lb></lb>HAB; et quadratum BG ex quadrato BE, quae remanent <lb></lb>aequalia erunt, nempe rectangulum HAC, sive quadratum <lb></lb>CD, et rectangulum EGF. Quare erit ut EG ad CD, ita <lb></lb>CD ad GF. Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO III.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg302"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg302"></margin.target>Prop. </s><s><lb></lb>XXX.</s></p> <p type="main"> <s>Si fuerint duae parabolae aequale circa communem <lb></lb>axem, et convertatur figura, erit solidem vasiforme de<lb></lb>scriptum, aequale cylindro eamdem basim cum solido eam<lb></lb>demque altitudinem habenti. </s></p> <p type="main"> <s>Sint circa communem axem [Fig. 18] AB duae para<lb></lb>bolae aequales CE, GH (hoc est quarum latera recta sint <pb pagenum="112"></pb>aequalia). Et ductis ordinatim GC, AE, </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig 18].<lb></lb>quarum GC tangat inclusam parabolam, <lb></lb>AE vero secet, convertatur figura circa <lb></lb>axem AB. Dico solidum vasiforme de<lb></lb>scriptum a quadrilineo ECGH aequale <lb></lb>esse cylindro, cujus basis sit circulus <lb></lb>circa CO, altitudo vero GA. </s></p> <p type="main"> <s>Cum enim per Lemma praecedens in <lb></lb>continua ratione sint EH, GC, HF, erit <lb></lb>per quartum Lemma hujus armilla ex linea EH descripta <lb></lb>aequalis circulo ex GC, hoc est ex AI; et hoc semper. </s><s><lb></lb>Ergo omnes simul armillae (hoc est solidum vasiforme <lb></lb>parabolicum) aequalis erunt omnibus simul circulis (hoc <lb></lb>est cylindro ICOL). Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg303"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg303"></margin.target>Prop. </s><s><lb></lb>XXVIII.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO IV.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si hyperbola una cum asymptotis circa axem proprium <lb></lb>convertatur, erit solidum vasiforme abscissum plano ad <lb></lb>axem erecto aequale cylindro, qui eamdem cum solido <lb></lb>basim habeat, et eamdem altitudinem. </s></p> <p type="main"> <s>Sit hyperbola [Fig. 19] cujus </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig 19].<lb></lb>axis AB asymptoti vero AC, AD, <lb></lb>ipsa vero EF contingat sectio<lb></lb>nem in E et convertatur figura <lb></lb>circa AB supra circulo FG intel<lb></lb>ligatur cylindrus OFGI, et se<lb></lb>cetur solidum plano quocunque CD ad axem erecto. </s></p> <p type="main"> <s>Dico solidum (quod Vasiforme hyperbolicum appello) <lb></lb>descriptum a revolutione quadrilinei CFEH aequale esse <lb></lb>cylindro FI super eadem basi FG, et sub eadem altitu<lb></lb>dine EB. </s></p> <p type="main"> <s>Quia enim ex decima secundi <emph type="italics"></emph>Conicorum<emph.end type="italics"></emph.end> in continua <lb></lb>ratione sunt CH, FE, HD, erit, per quartum Lemma, hujus <lb></lb>armilla, quae fit ex revolutione lineae CH aequalis circulo <lb></lb>ex FE, hoc est ex OB, et hoc semper. </s><s>Quare erunt omnes <lb></lb>simul armillae (hoc est solidum Vasiforme hyperbolicum) <pb pagenum="113"></pb>aequalis simul omnibus circulis, hoc est cylindro super <lb></lb>eadem basi, et sub eadem altitudine. </s><s>Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s>Ex hac propositione colligeretur mensura conoidis hy<lb></lb>perbolici. </s><s>Notus enim est conus integer circumscriptus <lb></lb>conus, et notum solidum vasiforme ablatum aequale cy<lb></lb>lindro, quare reliquum etiam conoides notum esset. </s></p> <p type="main"> <s>Iam centrum gravitatis ejusdem conoidis hyperbolici <lb></lb>ex hac propositione educeretur. </s><s>Centrum enim coni integri <lb></lb>circumscripti notum est centrum etiam solidi vasiformis <lb></lb>in medio suo axe notum est; item centrum parvi coni <lb></lb>FAC. Quare notum esset centrum reliqui conoidis; sed <lb></lb>institutum nostrum, est solum poculum motivi, et reliqua <lb></lb>magnis geometris renuntiare. </s></p> <p type="main"> <s>Nihil enim nostra interest, adveniente jam canicula, <lb></lb>quantum ponderet ipsum poculum, sed quantum capiat. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO V.<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> <arrow.to.target n="marg304"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg304"></margin.target>Prop. </s><s><lb></lb>XXIX</s></p> <p type="main"> <s>Si hyperbola cum asymptoto convertatur circa axem <lb></lb>conjugatum, erit solido vasiforme abscissum plano ad axem <lb></lb>erecto aequale cylindro, qui eamdem cum solido basim <lb></lb>habeat, eamdemque altitudinem. </s></p> <p type="main"> <s>Sit [Fig. 20] hyperbola </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig 20].<lb></lb>AB, cujus axis conjuga<lb></lb>tus CD; asymptotus vero <lb></lb>CE, et convertarur figura <lb></lb>circa CD. </s></p> <p type="main"> <s>Intelligatur super cir <lb></lb>culo AH cylindurs FAHG et secetur solidum plano BI <lb></lb>ad axem erecto. </s></p> <p type="main"> <s>Dico solidum vasiforme descriptum a quadrilineo BACE <lb></lb>aequale esse cylindro AG habenti basim AH, altitudinem <lb></lb>vero CD. </s></p> <p type="main"> <s>Erunt enim per undecimam secundi <emph type="italics"></emph>Conicorum<emph.end type="italics"></emph.end> in con<lb></lb>tinua ratione BE, CA, EI quam, per Lemma quartum hu<lb></lb>jus, erit armilla descripta a linea BE aequalis circulo ex <lb></lb>CA, sive ex DF, et hoc semper; quam erunt omnes simul <pb pagenum="114"></pb>armillae (hoc est solidum vasiforme) aequalis omnibus <lb></lb>simul circulis (hoc est cylindro AG). Quod erat etc. </s></p> <p type="main"> <s>Ex hac propositione totius solidi BAHI mensura, et <lb></lb>centrum gravitatis daretur solidum enim vasiforme quan<lb></lb>titate notum est, item inclusus conus ECG ergo et totum <lb></lb>solidum. </s></p> <p type="main"> <s>Solidi vero vasiformis centrum gravitatis est in medio <lb></lb>suo axe, centrum autem intercepti coni ECG notum est, <lb></lb>quare et totium compositi solidi centrum gravitatis da<lb></lb>retur, sed nihil hoc ad nos, qui sitiente Julio calicis men<lb></lb>suram aestimamus. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Exposita recta [Fig. 21] OF bifariam secta in C, sum<lb></lb>ptisque aequalibus CA, CB, et </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig 21].<lb></lb>addita EN utcumque. </s><s>Dico rect<lb></lb>angulum ANB duobus rectan<lb></lb>gulis ONF, AFB aequale esse. </s></p> <p type="main"> <s>Quadratum enim CN aequale est rectangulo ONF cum <lb></lb>quadrato CF, sive (mutato quadrato CF) idem quadratum <lb></lb>CN aequale est rectangulo ANB cum quadrato CB, ne<lb></lb>cesse igitur est quod rectangula ONF, AFB cum quadrato <lb></lb>CB aequalia sint rectangulo ANB cum quadrato CB, dem<lb></lb>ptoque commune quadrato CB, patet propositum etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Definitio.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Hyperbolas similes voco quanto latera earumdem ho<lb></lb>mologe proportionalia sunt, nempe ut rectum unius latus <lb></lb>ad rectum alterius, ita versum ad versum. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Sint [Fig. 22] hyperbola similis IBL, MFR, quarum <lb></lb>commune centrum sit C. Ductisque ordinatim tangente <lb></lb>FH et secante INL; dico quadratum FH aequale esse <lb></lb>rectangulo IML. Hyperbolae enim IBL, latus versum sit <pb pagenum="115"></pb>AR, et secunda demidiameter DC. </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig 22].<lb></lb>At hyperbolae MFR latus versum <lb></lb>sit OF, secunda vero semidiameter <lb></lb>sit EC. </s></p> <p type="main"> <s>Manifestum est ex hypothesi, <lb></lb>cum sint hyperbolae similes, ita <lb></lb>esse latus rectum hyperbolae IBL <lb></lb>ad versum AB, ut latus rectum <lb></lb>hyperbolae MFH ad versum ejusdem FO. Ergo ita erit <lb></lb>DC ad CB, ut EC ad CF (est enim secunda semidiameter <lb></lb>ad semilatus versum in subduplicata ratione lateris recti <lb></lb>ad latus versum). </s></p> <p type="main"> <s>Iam quadratum IN ad rectangulum ANB est ut rectum <lb></lb>ad versum (per 21 primi <emph type="italics"></emph>Conic.<emph.end type="italics"></emph.end>), nempe ut quadratum DC <lb></lb>ad CB, sive ut EC ad CF. Ergo permutando quadratum <lb></lb>IN ad EC est ut rectangulum ANB ad quadratum CF; sed <lb></lb>quadratum EC ad quadratum MN est ut quadratum CF <lb></lb>ad rectangulum ONF (quod ostenditur ut supra factum <lb></lb>est in altera hyperbola). Ergo ex aequo quadratum IN ad <lb></lb>NM erit ut rectangulum ANB ad rectangulum ONF. </s></p> <p type="main"> <s>Amplius quadratum idem IN ad quadratum HF est ut <lb></lb>rectangulum AFB; ergo (ex 24 quinti) quadratum IN ad <lb></lb>duo quadrata MN, HF, erit ut rectangulum ANB ad duo <lb></lb>rectangula ONF, AFB; sed cum per Lemma praecedens <lb></lb>rectangulum ANB duobus rectangulis ONF et AFB sit <lb></lb>aequale, erit quadratum MN, HF aequale, et dempto com<lb></lb>muni MN, erit rectangulum IML aequale quadrato HF. <lb></lb>Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO VI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg305"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg305"></margin.target>Prop. </s><s><lb></lb>XXXIII.</s></p> <p type="main"> <s>Si fuerint in quadrato [Fig. 23] ABCD quadrans circuli <lb></lb>DB, et convertatur figura circa AB. Erit </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig 23].<lb></lb>solidum vasiforme descriptum a trilineo <lb></lb>BDC aequale cono CAE, eamdem ipsi <lb></lb>basim, eamdemque altitudinem habenti. </s></p> <p type="main"> <s>Agatur enim planum FH ad axem <lb></lb>erectum, et ducatur IL parallela ad AB. Erit igitur rectan- <pb pagenum="116"></pb>gulum FIH, hoc est DLM, aequale quadrato LI propter cir<lb></lb>culum, sive quadrato AO, sive OP et per quartum Lemma <lb></lb>hujus erit armilla a linea FI descripta aequalis circulo ex <lb></lb>OP, et hoc semper. </s><s>Propterea erunt omnes armillae simul <lb></lb>aequales omnibus simil circulis; nempe solidum vasiforme <lb></lb>aequale cono praedicto. </s><s>Quod. </s><s>etc. </s></p> <p type="main"> <s>Lucas Valerius et alii demonstrant habe eamdem, <lb></lb>propositionem; nos quia facit ad rem nostram, illam de<lb></lb>sumpsimus, nostraque modo demonstravimus. </s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg306"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg306"></margin.target>Prop. </s><s><lb></lb>XXXII.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO VII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si intra parallelogrammum rectangulum [Fig. 24 e 25] <lb></lb>ABCD sit quadrans ellipsis DB et convertatur figura circa </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 24].</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 25].<lb></lb>alterutram vel AB vel AD; erit solidum vasiforme factum <lb></lb>a trilineo BDC aequale cono CAH eamdem basim, eam<lb></lb>demque altitudinem habenti. </s></p> <p type="main"> <s>Agatur enim planum EF ad axem erectum, ponatur<lb></lb>que BO axis intergrae ellipsis. </s></p> <p type="main"> <s>Quadratum EI, vel DA, ad quadratum LI est ut qua<lb></lb>dratum BA ad rectangulum BIO, quadratum iterum EI, <lb></lb>vel CB ad quadratum MI est ut quadratum BA ad qua<lb></lb>dratum IA. Quare erit idem quadratum EI ad duo simul <lb></lb>quadrata LI, MI, ut quadratum BA, ad duo simul spatia, <lb></lb>rectangulum scilicet BIO et quadratum IA; sed quadra<lb></lb>tum BA aequale est dictis duobus spatiis, ergo et qua- <pb pagenum="117"></pb>dratum EI aequale erit duobus quadratis LI, MI. Dempto <lb></lb>autem communi quadrato LI, erit reliquum rectangulum <lb></lb>ELF aequale quadrato MI. </s></p> <p type="main"> <s>Constat igitur per quartum Lemma hujus armillam a <lb></lb>linea EL descriptam aequalem esse circulo ex MI; et hoc <lb></lb>semper. </s><s>Propterea erunt omnes simul armillae aequales <lb></lb>omnibus simul circulis, nempe solidum vasiforme aequale <lb></lb>cono. </s><s>Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s>Hinc deduci posset sphaeroidem, et sphaeram circum<lb></lb>scripti sibi cylindri subsesquialteram esse. </s></p> <p type="main"> <s>Centrum etiam gravitatis, quod in hemisphaerio, et <lb></lb>portionibus sphaerae reperit Lucas Valerius eodem pro<lb></lb>gressu erueretur in hemisphaeroide, ejusque portionibus; <lb></lb>sed tanti non est minuta haec omnia persequi ut inceptum <lb></lb>poculum deseramus. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> <arrow.to.target n="marg307"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg307"></margin.target>Discepoli <lb></lb>di Galileo, <lb></lb>T. XXXIV, <lb></lb>carte 228-230.</s></p> <p type="main"> <s>Esto hyperbola vel ellipsis, vel circuli circumferentia, <lb></lb>cujus diameter [Fig. 26] AH, or</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 26].<lb></lb>dinatim applicatae CBD, EAF, <lb></lb>IHM sitque tangens verticalis <lb></lb>EF, tangentes ad basim sint CE, <lb></lb>DF. Fiat ut HB ad BA, ita HL <lb></lb>ad LA. Erit punctum L concur<lb></lb>sus tangentiam, quae producan<lb></lb>tur usque ad I, et M eritque IH <lb></lb>ad HM, ut DB ad BC, et ideo <lb></lb>aequales. </s><s>Dico nunc BEI esse <lb></lb>rectam lineam. </s><s>Si enim recta non <lb></lb>est, sit recta BEN, erit ergo NH ad EA ut HB ad BA, hoc <lb></lb>est ut HL ad LA, sive ut HM ad EA ideo aequales NH, <lb></lb>HM, vel NH, HL totum, et pars, absurdum. </s><s>Ergo etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO VIII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Manente praecedentium constructione in his hyperbolae, <lb></lb>ellipsis, vel circuli figuris. </s><s>Dico [Fig. 27] solidum conicum <lb></lb>excavatum a triangulo FHG circa axem GL revoluto, ae- <pb pagenum="118"></pb>qualc esse conoidi hyperbolico, seu </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 27].<lb></lb>sphaerae, aut sphaeroidis portioni <lb></lb>FLM. </s></p> <p type="main"> <s>Rectangulum enim ABE ad qua<lb></lb>dratum FG compositam habet ex AB <lb></lb>ad FG, sive ex BH ad HG hoc est <lb></lb>DL ad LG et ex BE ad FG, sive BE <lb></lb>ad aequalem GM, sive BI ad IG, hoc <lb></lb>est DN ad NG, ergo rectangulum <lb></lb>ABE ad quadratum FG est ut rectangulum LDN ad rect<lb></lb>angulum LGN, sive ut quadratum CD ad quadratum FG. <lb></lb>Ergo armilla lineae AB aequatur circulo rectae CD, et <lb></lb>hoc semper. </s><s>Ergo etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO IX.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Patet etiam solidum genitum a trilineo [Fig. 28] FGSLH <lb></lb>aequale esse cono HGO duplici argumento. </s></p> <p type="main"> <s>Primo quia si ab eodem seg</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 28].<lb></lb>mento conico FHOM aequalia <lb></lb>demas, nempe conoidis, et soli<lb></lb>dum trianguli FHG reliqua so<lb></lb>lida aequalia erunt, nempe soli<lb></lb>dum vasiforme trilinei FCSLH <lb></lb>et conus HGO. </s></p> <p type="main"> <s>Secundo quia cum aequalis <lb></lb>sit armilla AB circulo CD, dempto communi armilla CB, <lb></lb>aequales erunt armilla AC, et circulus BD. Supra vero <lb></lb>intersectionem cum aequalis sit armilla QR circulo RS <lb></lb>aequales erunt armilla QS, et circulus BT etc. </s></p> <p type="main"> <s>Ergo aequali solida. </s></p> <p type="main"> <s>Patet etiam non solum totum toti aequale esse, sed <lb></lb>etiam partes abscissas eodem plano aequales semper esse <lb></lb>inter se. </s></p> <pb pagenum="119"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO X.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg308"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg308"></margin.target>Id. </s><s><lb></lb>T. XXXIV, <lb></lb>carta 244 r.</s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Se la parabola [Fig. 29] ABC, il cui diametro BF averà <lb></lb>la tangente DBE per la cima e le due tangenti AD, CE <lb></lb>alla base, e prodotta FB si giri la </foreign></s> </p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 29].<lb></lb>figura. </s> <s><foreign lang="it">Sarà la scodella del triangolo <lb></lb>ADF eguale al conoide; e lo sco<lb></lb>dellino del trilineo DAB eguale al <lb></lb>cono DFE. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Tirisi l'applicata GL; averà il ret<lb></lb>tangolo GIL al quadrato AF com<lb></lb>posta di GI ad AF, ovvero di ID <lb></lb>ad DF, ovvero di OB ad BF, e di IL ad FC, e perchè <lb></lb>sono eguali, diremo di BF alla BF. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Sta dunque il rettangolo GIL al quadrato AF, come <lb></lb>la OB alla BF, ovvero, come il quadrato OR al quadrato <lb></lb>FA, e però sono uguali il rettangolo GIL e il qua<lb></lb>drato RO. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Aliter idem.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Quadratum AF ad rectangulum GIL est ut AF ad IL <lb></lb>(nam sunt aequales AF, IL), sive ut FD ad DI, velut <lb></lb>FB ad BO, nempe ut quadratum AF ad quadratum RO, <lb></lb>quare aequalis est armilla GI circulo RO et hoc semper. </s><s><lb></lb>Ergo etc. </s></p> <p type="main"> <s>Essendosi adunque provato uguale l'armilla GI al qua<lb></lb>drato RO, adde communem l'armilla IR, e sarà l'armilla <lb></lb>GR eguale al quadrato IO. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Essendo anco provata eguale l'armilla NQ al quadrato <lb></lb>PT deme comunem, l'armilla PQ, e resteranno uguali l'ar<lb></lb>milla NP et il cerchio QT. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Dunque sarà la scodellina parabolica cava uguale al <lb></lb>cono DFE. Quod etc. </s></p> <pb pagenum="120"></pb> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg309"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg309"></margin.target>Id. </s><s><lb></lb>T. XXXIV, <lb></lb>carta 243.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>In sphaera aliter ostenditur quod verum est in omnibus. </s></p> <p type="main"> <s>Esto portio circuli ABC sive minor [Fig. 30], sive major <lb></lb>[Fig. 31] semicirculo duae tangentes AD, BD, axes BM, <lb></lb>et convertatur. </s><s>Dico solidum vasiforme genitum a trilineo <lb></lb>ADB aequale esse cono DMO. </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 30].</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 31].</s></p> <p type="main"> <s>Ducta enim EI. Erit rectangulum EFI, sive FEL, ae<lb></lb>quale quadrato EA per penultimam tertii, vel quadrato <lb></lb>GH (quadratum enim EA ad quadratum AD est ut qua<lb></lb>dratum HM ad MB, sive GH ad DB, et consequentia sunt <lb></lb>aequalia). Ergo etc. </s><s>Quare armilla EF aequalis erit cir<lb></lb>culo GH, propterea solidum vasiforme aequale erit cono <lb></lb>DMO. Quod etc. <lb></lb> <arrow.to.target n="marg310"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg310"></margin.target>Id. </s><s><lb></lb>T. XXXIV. <lb></lb>carte 230-235</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Sia circolo di cui diametro [Fig. 32] AB, et ordinata <lb></lb>applicata CD, e siano tangenti le CE, DF. Sia poi un'altra <lb></lb>applicata EF, e congiunte le </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s><foreign lang="it">[Fig. 32].<lb></lb>BE, BF, BG, BH gira la figura <lb></lb>intorno AB. Dico, che la sco<lb></lb>della conica del triangolo <lb></lb>CEB è eguale alla scodella <lb></lb>sferica descritta dal trilineo <lb></lb>GBC. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Perchè le tangenti EC, FD concorrono nel medesimo <lb></lb>punto del diametro, e CB, BD sono eguali, saranno anco <lb></lb>eguali EO, OF, e l'altre GO, HO, EG, HF. </foreign></s> </p> <pb pagenum="121"></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Il rettangolo EGF al rettangolo LMN per esser simili <lb></lb>sta come il quadrato EG al quadrato LM, ovvero, come <lb></lb>il quadrato EB ad BL, ovvero come il quadrato EC al CI. <lb></lb>Ma gli antecedenti sono eguali (poichè tanto è il rettan<lb></lb>golo EGF quanto GEH), però anco il rettangolo LMN sarà <lb></lb>eguale al quadrato IC, ovvero al rettangolo RIS, ovvero <lb></lb>al rettangolo <expan abbr="IRq.">IRque</expan> Dunque l'armilla LM è eguale all'ar<lb></lb>milla IR, e così sempre, però sarà il solido del cono ECG <lb></lb>eguale al solido del triangolo EBG. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Leva ora l'armilla comune LR (e quando bisognerà ag<lb></lb>giungila) e resterà l'armilla IL eguale all'armilla RM. Però <lb></lb>il segmento conico scavato fatto dal triangolo CEB sarà <lb></lb>eguale al solido fatto dal trilineo CGB. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XIII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Haec autem vero esse, et in sphaeroide sic demonstro. </s></p> <p type="main"> <s>Esto ellipsis [Fig. 33], cujus diameter AB, applicata CD, <lb></lb>tangens EC, alia applicata FG. Ducta qualibet alia appli<lb></lb>cata LH, probabo armillam NO </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 33].<lb></lb>aequalem esse armillae IM. </s></p> <p type="main"> <s>Fiat circa AB circulus, et <lb></lb>producta DQ patet quod tan<lb></lb>gens in Q veniet ex E. </s></p> <p type="main"> <s>Circulus HL ad circulum <lb></lb>NL est ut quadratum QD ad <lb></lb>quadratum CD, ablatus etiam <lb></lb>PL ad ablatum OL est ut GF <lb></lb>ad FS, nempe ut QD ad CD. <lb></lb>Ergo reliqua armilla HP ad <lb></lb>armillam NO erit ut quadra<lb></lb>tum QD ad CD. Memento: <lb></lb>Circulus XL ad circulum IL <lb></lb>est ut quadratum QC ad CD, <lb></lb>ablatus etiam RL ad LM est <lb></lb>ut quadratum TF ad FV, sive <lb></lb>QC ad DC. Ergo reliqua armilla XR ad armillam IM <lb></lb>erit ut quadratum QD ad DC, sive ut armilla HP ad NO. <pb pagenum="122"></pb>Antecedentes vero HP, XR sunt aequales, quare etiam <lb></lb>consequantes NO, IM. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Però il solido del triangolo CSD sarà eguale ai solido <lb></lb>del trilineo CVD. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ma se noi aggiugneremo, o leveremo l'armilla inter<lb></lb>media sarà l'armilla NI, nel corno eguale alla OM. Però <lb></lb>il solido del corno sarà eguale al solido del triangolo <lb></lb>SDV, etc. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>In figura quam vides esto parabola [Fig. 34]. </s><s>Dico esse <lb></lb>rectangulum GRL ad rectangulum NPS ut quadratum FO <lb></lb>ad FT. </s></p> <p type="main"> <s>Quadratum enim GO ad qua</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 34].<lb></lb>dratum AF est ut quadratum <lb></lb>MO ad IM, quadratum vero AF <lb></lb>ad quadratum RO est ut recta <lb></lb>FB ad BO, sive ut quadratum <lb></lb>FB ad rectangulum FBO vel <lb></lb>MBO, sumptisque quadruplis <lb></lb>quadratum MF ad quatuor rect<lb></lb>angula MBO. Ergo ex aequo erit <lb></lb>quadratum GO ad quadratum <lb></lb>RO ut quadratum MO ad quatuor rectangula MBO, et <lb></lb>dividendo rectangulum GRI ad quadratum RO erit ut <lb></lb>quadratum reliquum FO ad quatuor rectangula OFB. Ul<lb></lb>terius. </s><s>Sed quadratum RO ad quadratum PT est ut qua<lb></lb>tuor rectangula MBO ad quatuor rectangula MBT ad <lb></lb>quadratum TF. Ergo ex aequo rectangulum GRL ad rect<lb></lb>angulum NPS erit ut quadratum FO ad quadratum FT. <lb></lb>Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Aliter brevius.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Nam per X propos. </s><s>hujus cum sic rectangulum GRL aequale qua<lb></lb>drato IO, et rectangulum NPS quadrato QT, erit rectangulum GRL <lb></lb>ad NPS, ut quadratum IO ad QT, velut quaratum OF ad quadratum TF. <lb></lb>Quod etc.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <pb pagenum="123"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOS. XIV.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>In figura quam vides [Fig. 35] esto parabola etc. </s><s>Dico <lb></lb>armillas AB, CD esse aequales rect</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 35].<lb></lb>angulum enim EFG simile est rectan<lb></lb>gulo CDI. Et propterea rectangulum <lb></lb>EFG ad rectangulum CDI est ut <lb></lb>quadratum EF ad CD, sive ut qua<lb></lb>dratum FM ad MD, vel LM ad MO, <lb></lb>hoc est per Lemma praecedens, ut <lb></lb>rectangulum EFG ad ABN, sunt ergo aequalia rectaugula <lb></lb>ABN, CDI, et propterea armillae aequales. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOS. XV.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Per tutte le Sezioni Coniche.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Sia ora hiperbola, o parabola, o cerchio, o ellipsi la linea <lb></lb>curva di cui sia asse la retta AB [Fig. 36], ordinatamente <lb></lb>applicate CD, EAF, tangenti ad </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 36].<lb></lb>basim siano CE, DF. E tirisi <lb></lb>qualunque altra applicata GH, <lb></lb>e congiungi BG, BI, BL, BH. <lb></lb>Poi tira un'altra applicata MM. <lb></lb>Io dico, che l'armilla MP è <lb></lb>eguale all'armilla OR etc. </s> <s><foreign lang="it">e di <lb></lb>più, che la MO nel corno è <lb></lb>sempre uguale alla PR. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">I rettangoli GIH, PRZ, per esser simili sono come il <lb></lb>quadrato GI al PR, cioè IB a BR, cioè come il quadrato <lb></lb>VB al BX, ovvero come il quadrato TV all'SX. Gli ante<lb></lb>cedenti, cioè il rettangolo GIH et il quadrato TVsono mo<lb></lb>strati eguali; però il rettangolo PRZ sarà eguale al qua<lb></lb>drato SX, al quale SX si è dimostrato eguale il rettangolo <lb></lb>MON. Adunque l'armilla MO sarà eguale all'armilla PR, <lb></lb>et per prostaferesim la MP sarà sempre eguale alla OR. </foreign></s> </p> <pb></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PARS SECUNDA<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>DE RESOLUTIONE SOLIDORUM <lb></lb>IN SOLIDA.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <pb></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>DE RESOLUTIONE SOLIDORUM <lb></lb>IN SOLIDA<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOS.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> I.<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> <arrow.to.target n="marg311"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg311"></margin.target>Discepoli <lb></lb>di Galileo, <lb></lb>T. XXXIV <lb></lb>carta 209.</s></p> <p type="main"> <s>Ogni cilindro consta di due conoidi </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 1].<lb></lb>parabolici voltati alla rovescia. </s></p> <p type="main"> <s>Quadratum [Fig. 1] AB ad BC est <lb></lb>ut quadratum HI ad BC, vel ut recta <lb></lb>IG ad GB. </s></p> <p type="main"> <s>Quadratum vero AB, sive FG, ad <lb></lb>BD est ut recta GI ad IB et per con<lb></lb>versionem rationis, quadratum AB ad <lb></lb>rectangulum ADE est ut IG ad IB. <lb></lb>Sunt ergo aequalia quadratum CB, et <lb></lb>rectangulum ADE. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOS.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> II.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg312"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg312"></margin.target>Ivi, <lb></lb>carta 236 r.</s></p> <p type="main"> <s>Cylindrus rectus constat ex cono inscripto et sphae<lb></lb>roide. </s></p> <p type="main"> <s>Esto cylindrus rectus [Fig. 2] ABCD excavatus, cui <lb></lb>nimirum demptus sit conus BEC. Ponatur DF aequalis <lb></lb>ipsi DE. Dico cylindrum excavatum ABECD aequalem <lb></lb>esse hemisphaeroidi quae fit a semiellipsi DCF circa axem <lb></lb>DC revoluto. </s></p> <pb pagenum="128"></pb> <p type="main"> <s>Agatur planum GH ad axem </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 2].<lb></lb>erectum, producanturque CA, CE <lb></lb>donec conveniant in N, et produ<lb></lb>catur CDO axis integer. </s><s>Habebis <lb></lb>circulus AD ad armillam LI ra<lb></lb>tionem compositam ex ratione <lb></lb>rectae ED ad LI, sive DC ad CI, <lb></lb>et ex ratione AE ad GL, sive ex <lb></lb>ratione AN, NG, sive DO ad OI. <lb></lb>Ergo circulus AD ad armillam LI <lb></lb>erit ut rectangulum CDO ad CIO, <lb></lb>sive ut quadratum DF ad IH, velut <lb></lb>circulus radio DF ad circulum ex radio IH. Sed antece<lb></lb>dentia sunt aequalia, ergo, et hoc semper. </s><s>Ergo etc. </s></p> <p type="main"> <s>Ho passato per noto, che la retta AN sia eguale alla <lb></lb>DO et è chiaro, perchè la DO è eguale alla DC per co<lb></lb>structionem; ma la AN è eguale alla AB ob parall. </s> <s><foreign lang="it">et es<lb></lb>sendo BC doppia della AE. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOS.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> III.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg313"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg313"></margin.target>Ivi, <lb></lb>carta 214 r.</s></p> <p type="main"> <s>Frustum coni [Fig. 3] ABCD constat ex cylindro EBCF, <lb></lb>et conoide hyperbolico, quod fit ex hyperbola, quae per <lb></lb>rectum EB secat frustum. </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 3].</s></p> <p type="main"> <s>Ducta enim HLI, rectangulum AED <lb></lb>ad HLI compositam habet ex ratione <lb></lb>AE ad HL, sive EB ad BL, et ex ra<lb></lb>tione ED ad LI, sive EG ad GL; quare <lb></lb>rectangulum AED ad HLI est ut rect<lb></lb>angulum GEB ad GLB, sive ut qua<lb></lb>dratum ME ad quadratum OL. Pro<lb></lb>pterea aequale erit rectangulum HLI, <lb></lb>sive armilla quadrato OL, sive circulo <lb></lb>OL, et hoc semper. </s><s>Ergo reliquum <lb></lb>frusti dempto cylindro aequatur conoide praedicto. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Si può provare senza proportioni così: Tira il piano <lb></lb>HOI parallelo alla AMD, et sarà (ut patet) il rettangolo <lb></lb>HLI eguale al quadrato LO et però etc. </foreign></s> </p> <pb pagenum="129"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOS.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> IV.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg314"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg314"></margin.target>Ivi, <lb></lb>carta 210 r.</s></p> <p type="main"> <s>Il frusto sferico [Fig. 4] ABCD è cguale al cilindro <lb></lb>EBCG, et ad una porzione di sfera di cui sia asse BH <lb></lb>(ma poi solo BE, ovvero LI). </s></p> <p type="main"> <s>Fa due sfere concentriche [Fig. 5], una delle quali passi </s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg315"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg315"></margin.target>Ivi, <lb></lb>carta 210 v.</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 4].</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 5].<lb></lb>per I. Il rettangolo AED è uguale al quadrato BI, cioè <lb></lb>HF; adde communem armillam, erit armilla AH aequalis <lb></lb>circulo EF, et sic semper. </s><s>Vel fortasse melius rectangu<lb></lb>lum AHD aequatur rectangulo BHM, hoc est FIO, sive <lb></lb>quadrato FE. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOS.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> V.<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> <arrow.to.target n="marg316"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg316"></margin.target>Ivi, <lb></lb>carta 210 r.</s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">L'istesso si dirà nelle sferoidi, cioè il frusto è eguale <lb></lb>ad un cilindro, et ad un segmento di sferoide simile, e <lb></lb>concentrica. (Questo si è quasi dimostrato ne' <emph type="italics"></emph>Solidi vasi<lb></lb>formi,<emph.end type="italics"></emph.end> poca aggiunta si accomoda). </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma I.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg317"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg317"></margin.target>Ivi, <lb></lb>carta 214 v.</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 6].</s></p> <p type="main"> <s>Esto parabola [Fig. 6] ABC, et pa<lb></lb>rallela diametro DE parallela vero basi <lb></lb>FG, erit rectangulum AEC ad FIG, <lb></lb>ut ED ad DI. </s></p> <p type="main"> <s>Posito enim DH latere recto para<lb></lb>bolae ABC erit rectangulum AEC ae<lb></lb>quale rectangulo EDH, et rectangulum FIG aequale rect<lb></lb>angulo IDH. Ergo patet. </s></p> <pb pagenum="130"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma II.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 7].</s></p> <p type="main"> <s>Si conoides parabolicum secetur <lb></lb>[Fig. 7] plano EBL ad axem asym<lb></lb>ptoto erit sectio parabola. </s></p> <p type="main"> <s>Quadratum enim ED ad MN est <lb></lb>(ob aequalitatem) ut rectangulum <lb></lb>EDG ad ONP, nempe ut DB ad BN. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma III.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 8].</s></p> <p type="main"> <s>Si conoides parabolicum secetur <lb></lb>ut supra, erit sectio parabola eadem, <lb></lb>quae conoidale genuit. <lb></lb> <arrow.to.target n="marg318"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg318"></margin.target>Ivi, <lb></lb>carta 215 r.</s></p> <p type="main"> <s>Si ut ponitur, et accipiatur [Fig. 8] <lb></lb>AC aequalis BD, erit jam quadratum <lb></lb>HF, ad quadratum DE ut quadratum <lb></lb>HF ad rectangulum GDF, sive ut <lb></lb>recta AH ad BD, nempe ad AC, hoc <lb></lb>est ut quadratum HG ad CI. Ante<lb></lb>cedentia sunt aequalia. </s><s>Ergo quadratum ED aequale est <lb></lb>quadrato C. Constat ergo quod volebam. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOS. VI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 9].</s></p> <p type="main"> <s>Frustum parabolicum [Fig. 9] <lb></lb>FBRG constat ex cylindro DR, et <lb></lb>conoide quod nascitur ex parabola <lb></lb>EBL. </s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg319"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg319"></margin.target>Ivi, <lb></lb>carta 209 v.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Aliter.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Relictis vero superioribus lemmatibus, idem aliter osten<lb></lb>demus sic. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Il frusto del conoide parabolico [Fig. 10] AILC consta <pb pagenum="131"></pb>del cilindro BL, et del conoide POG, </foreign></s> </p> <figure></figure> <p type="caption"> <s><foreign lang="it">[Fig. 10].<lb></lb>che è una porzione del medesimo co<lb></lb>noide AVC. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Prendi VR eguale alla MO, che <lb></lb>RS sarà il semidiametro MP. Poichè <lb></lb>trovata la IH, lato retto della para<lb></lb>bola AVC, il rettangolo ABC (che è <lb></lb>eguale al rettangolo BIH) al rettan<lb></lb>golo DEF (che è eguale al rettangolo <lb></lb>EIH) sta come BI ad IE, cioè come <lb></lb>MO ad ON, cioè come il cerchio MP al cerchio NQ e <lb></lb>così va bene. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Scholium ovvero Appendix.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> <arrow.to.target n="marg320"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg320"></margin.target>Ivi, <lb></lb>carta 215 r.</s></p> <p type="main"> <s>Conoides [v. </s><s>fig. prec.] POG ad cylindrum BL est ut <lb></lb>rectangulum ABC ad duo quadrata BM. </s></p> <p type="main"> <s>Nam conoides ad unum cylindrum est ut ad duo qua<lb></lb>drata PM, suus vero cilindrus ad cylindrum BL est ut duo <lb></lb>quadrata PM ad duo quadrata BM, ergo ex aequo co<lb></lb>noides POG ad cilindrum BL est ut quadratum, sive re<lb></lb>ctangulum ABC ad duo quadrata BM. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Questo sia detto se forse servisse per il centro di <lb></lb>gravità. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOS. VII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 11],</s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg321"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg321"></margin.target>Ivi, <lb></lb>carta 211 r.</s></p> <p type="main"> <s>Il frusto [Fig. 11] AB di conoidale <lb></lb>hiperbolico consta di un cilindro <lb></lb>BCDQ (su la minor sua base) e di <lb></lb>un conoidale concentrico al primo, <lb></lb>ma che abbia la cima in E. </s></p> <p type="main"> <s>Tira FG ad angolo semiretto. </s> <s><foreign lang="it">Il <lb></lb>quadrato AN al BE, cioè al CN, sta <lb></lb>come il rettangolo PG al PQ, e divi<lb></lb>dendo il rettangolo ACD al quadrato <lb></lb>CN, ovvero MO, sta come la differenza gnomonale, cioè <pb pagenum="132"></pb>il rettangolo sotto EN e sotto NG, et QS tanquam una <lb></lb>(cioè il rettangolo ENR, presa PR eguale alla FE) al <lb></lb>rettangolo <expan abbr="Pq.">Pque</expan> Il quadrato poi OM al rettangolo HMV <lb></lb>sta come il rettangolo PQ alla differenza gnomonale, cioè <lb></lb>per finirla al rettangolo EOR. Ergo, </foreign></s> </p> <figure></figure> <p type="caption"> <s><foreign lang="it">[Fig. 12].<lb></lb>ex aequo, l'armilla AC alla HM sta <lb></lb>come il rettangolo RNE, al rettangolo <lb></lb>ROE, quod etc. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg322"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg322"></margin.target>Ivi, <lb></lb>carta 211 v.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Appendix I.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Nota dunque dal detto, che se tu <lb></lb>segherai il conoide hyperbolico, di cui <lb></lb>sia centro [Fig. 12] A con piani asym<lb></lb>ptoti ad axem, le sezioni saranno hy<lb></lb>perbole, tutte simili fra loro e tutte <lb></lb>haveranno il centro nel piano AB, il <lb></lb>quale essendo eretto all'asse passi per <lb></lb>il centro A. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Appendix II.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 13].</s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Quando gli angoli degli asymptoti sono <lb></lb>eguali, le hyperbole sono simili. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Sit ut ponitur [Fig. 13]. </s> <s><foreign lang="it">Ma gli angoli B <lb></lb>et D sono retti, ergo il quadrato AB ad <lb></lb>BC sta come il quadrato ED ad DF; <lb></lb>però sumptis quadruplis il quadrato GB <lb></lb>alla figura sta come il quadrato HD <lb></lb>alla sua figura, cioè le basi. </foreign></s> <s>Dunque GB <lb></lb>verso BI retto sta come HD verso ad <lb></lb>DL retto etc. <lb></lb> <arrow.to.target n="marg323"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg323"></margin.target>Ivi, <lb></lb>carta 212 r.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Appendix III.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ora osserva, che facendo il conoide, e <lb></lb>cono asymptotale, se taglierai la figura col piano [Fig. 14] <lb></lb>ABC, immagina la capanna di due piani eretti al piano <lb></lb>ABC, nella quale saranno asymptoti della hyperbolina <pb pagenum="133"></pb>le BA, BC, e sempre </foreign></s> </p> <figure></figure> <p type="caption"> <s><foreign lang="it">[Fig. 14].<lb></lb>faranno il medesimo <lb></lb>angolo, che fanno i <lb></lb>piani. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Per provar poi, che <lb></lb>le BA, BC siano asym<lb></lb>ptoti, è chiaro; perchè <lb></lb>essendo nelli piani, <lb></lb>che fanno capanna, <lb></lb>quelli non concorrono <lb></lb>col cono se non nelle <lb></lb>rette DE, DF. Dun<lb></lb>que le rette BA, BC <lb></lb>non toccano mai il cono, e multo minus il conoide, ergo <lb></lb>neque hyperbolas sectionum. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Appendix IV.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> <arrow.to.target n="marg324"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg324"></margin.target>Ivi, <lb></lb>carta 212 v.</s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Che poi non vi siano asymptoti più stretti, si prova <lb></lb>con questa figura [14]: Tocchi il piano DE il cono ABC <lb></lb>nella retta BC. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Dico che la FG parallela alla BC non tocca il cono, <lb></lb>ma la elevata FI, che sia perpendicolare alla DB lo sega. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Vada la FL parallela all'asse del cono, e la FH tagli le <lb></lb>HL, LI dovunque si siano eguali, poi fà, che al quadrato <lb></lb>BF, cioè MG sia eguale il rettangolo IGH etc. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOS. VIII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Frusto Diabolico.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg325"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg325"></margin.target>Ivi, <lb></lb>carta 223 v.</s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Dopo provato, che il frusto conico consta di un cilin<lb></lb>dro e d'un conoide parabolico, e che il frusto sferico <lb></lb>consta di un cilindro e d'una porzione di sfera: </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Lo sferoidale di un cilindro e d'una porzione sferoidale, </s></p> <p type="main"> <s>Il frusto parabolico d'un cilindro e d'un conoide para<lb></lb>bolico, </s></p> <p type="main"> <s>L'hyperbolico d'un cilindro e d'un conoide hyperbolico, <lb></lb>(non so però dimostrare che quella linea sia hyperbola). </s></p> <pb pagenum="134"></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Mostra finalmente, sia che vuole, che il frusto purchè <lb></lb>sia tondo è eguale al cilindro incluso et ad un solido, che <lb></lb>nasce dal rivoltar la figura ABC, la quale nasce dalla se<lb></lb>zione del frusto fatta laterale al cilindro. </foreign></s> <s><foreign lang="it">E la prova è <lb></lb>facile; perchè il quadrato, o vuoi cerchio EI, è eguale al<lb></lb>l'armilla DIF etc. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg326"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg326"></margin.target>Ivi, <lb></lb>carta 224 r.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Appendix I.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Questo serve per la misura della vite triangolare or<lb></lb>togonia. </foreign></s> </p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 15].</s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">La prima spira del triangolo ret<lb></lb>tangolo [Fig. 15] CAD è eguale ad <lb></lb>un conoide ottusiangolo, di cui AB <lb></lb>radius basis, fatto centro E, inter<lb></lb>vallo ED e descritto l'arco DB. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Altitudo AC latus trianguli descri<lb></lb>bentis latus versum fa così: Ut DA <lb></lb>ad AC, ita FA ad AI, eritque AI latus versum. <lb></lb> <arrow.to.target n="marg327"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg327"></margin.target>Ivi, <lb></lb>carta 224 v.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Appendix II.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Quando poi la vite sia fatta dal </foreign></s> </p> <figure></figure> <p type="caption"> <s><foreign lang="it">[Fig. 16].<lb></lb>rettangolo [Fig. 16] AG, sarà la prima <lb></lb>spira eguale ad un cilindro, di cui <lb></lb>sia l'altezza AC, diametro della base <lb></lb>AB (havendo con il centro D, inter<lb></lb>vallo ED fatto il pezzo d'arco EC). <lb></lb> <arrow.to.target n="marg328"></arrow.to.target></foreign></s> </p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg328"></margin.target>Ivi, <lb></lb>carta 225 v.</s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">La misura poi di qualunque vite <lb></lb>si haverà conforme alla dottrina del <lb></lb>solido, ò vogliam dire frusto capitellare etc. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg329"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg329"></margin.target>Ivi, <lb></lb>carta 224 v.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Appendix III.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Nota ancora dalle due predette, che girando il rettan<lb></lb>golo [Fig. 17] DR intorno all'asse GQ sarà il solido fatto <lb></lb>dal rettangolo DR al solido fatto dal triangolo SDL, come <lb></lb>un tal cilindro ad un tale suo conoide hyperbolico in<lb></lb>scritto. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma, per Archimede, “ Il cilindro al conoide hyper- <pb pagenum="135"></pb>bolico inscritto stà come il lato verso et asse del conoide, <lb></lb>simul alla metà del lato verso con un terzo dell'asse, ò <lb></lb>altezza del conoide etc. ”. </foreign></s> </p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 17].</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 18].</s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Però il solido di [Fig. 18] AB al solido di A stà come <lb></lb> <arrow.to.target n="marg330"></arrow.to.target><lb></lb>CD ad EI, ovvero come FL alla GH. Dividendo poi il <lb></lb>solido B al solido A, stà come OG alla GH. </foreign></s> </p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg330"></margin.target>Ivi, <lb></lb>carta 225 r.</s></p> <p type="main"> <s>La DL si pone in tre parti uguali etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Appendix IV.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Quì finalmente nota per Fr. </s><s>Bonaventura, che non so <lb></lb>se vi sia. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Che prese eguali [Fig. 19] MF, DL, tutt'i rettangoli <lb></lb>del trapezio NMLS, e del triangolo SLR a tutt'i rettan<lb></lb>goli del trapezio PMDS e del trian</foreign></s> </p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 19].<lb></lb>golo SDL stanno come ML alla EH. </s></p> <p type="main"> <s>E nota, che uno potrebbe di qui <lb></lb>cavare una fallacia contro gl'indivi<lb></lb>sibili. </s> <s><foreign lang="it">Perchè quei rettangoli, e questi <lb></lb>hanno le stesse altezze per appunto, <lb></lb>cioè tutte le linee del triangolo LSR, <lb></lb>ovvero del triangolo SDL. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Dunque sono come le basi, cioè come tutte le linee <lb></lb> <arrow.to.target n="marg331"></arrow.to.target><lb></lb>del trapezio SNML a tutte le linee del trapezio SPMD, <lb></lb>cioè come il trapezio al trapezio, ovvero come LF con <lb></lb>mezza MF, alla DF con mezza FM. Il che è falso etc. <pb pagenum="136"></pb> <arrow.to.target n="marg332"></arrow.to.target></foreign></s> </p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg331"></margin.target>Ivi, <lb></lb>carta 225 v.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg332"></margin.target>Ivi, <lb></lb>carta 254 r.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOS. IX.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Frustum coni constat ex cono minoris basis, et ex <lb></lb>conoide parabolica, vel hyperbolica, vel ex portione sphae<lb></lb>roidis. </s><s>Quum enim diameter majoris </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 20].<lb></lb>basis dupla est diametri minoris, reli<lb></lb>quum est conoides parabolicum. </s><s>Si dia<lb></lb>meter majoris basis major quam dupla <lb></lb>sit diametri minoris, hyperbolicum est, <lb></lb>si neutrum portio sphaeroidis erit. </s></p> <p type="main"> <s>Esto primum [Fig. 20] dupla AD <lb></lb>ipsius BC, erit ergo FE aequalis EN, <lb></lb>poteritque parabola tangere BA in A, </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 21].<lb></lb>et BC in E; fiat igitur per AED pa<lb></lb>rabola genitrix conoidis, applicataque <lb></lb>quacumque GL, erit quadratum AF ad <lb></lb>rectangulum GML, ut AF ad GM <lb></lb>(nam sunt aequales AF, ML) sive ut <lb></lb>FB ad BM, velut FE ad EI; nempe <lb></lb>ut quadratum AF ad quadratum HI. <lb></lb>Quare aequalis est armilla GM circulo <lb></lb>HI. Et hoc semper etc. </s></p> <p type="main"> <s>Esto deinde [Fig. 21] AD major <lb></lb>quam dupla ipsius BC, eritque FD <lb></lb>major quam BC, ergo DC, FB conve<lb></lb>nient ad partes B, C. </s></p> <p type="main"> <s>Concurrant in N; applicataque NO <lb></lb>fiat per AED hyperbola cujus latus versum EO, ipsa tan<lb></lb>get BA in A, et BC in E, applicetur utcunque GIL. </s></p> <p type="main"> <s>Quadratum AF ad rectangulum GML compositam ra<lb></lb>tionem habet ex ratione AF ad GM, sive FB ad BM, sive <lb></lb>FE ad EI, et ex ratione FD ad ML, sive FN ad NM, vel <lb></lb>FO ad OI, ergo est ut rectangulum OFE ad rectangulum <lb></lb>OIE. Sed ita etiam est quadratum AF ad quadratum HI. <lb></lb>Ergo armilla GM aequatur circulo HI etc. </s><s>quod etc. <lb></lb> <arrow.to.target n="marg333"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg333"></margin.target>Ivi, <lb></lb>carta 254 v.</s></p> <p type="main"> <s>Sit denique major basis minor quam dupla, eritque <lb></lb>[Fig. 22] AF minor quam BC, et ideo BA, CF concurrent <pb pagenum="137"></pb>ad partes A, F: sit concursus N; ap</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 22].<lb></lb>plicataque NO fiat per puncta OAED <lb></lb>ellipsis circa axem OE, quae tanget <lb></lb>BA in A et BC in E, et applicetur <lb></lb>utcumque GL. Habebit quadratum <lb></lb>AF ad rectangulum GML rationem <lb></lb>compositam ex rationibus AF ad <lb></lb>GM, sive BF ad EM, vel FE, ad EI <lb></lb>et ex ratione AF ad ML, sive AF <lb></lb>ad GP, vel AN ad AG, vel FO ad <lb></lb>OI; est ergo ut rectangulum OFE <lb></lb>ad rectangulum OIE; sed ita etiam <lb></lb>est quadratum AF ad HI. Ergo ar<lb></lb>milla GM aequalis erit circulo HI. <lb></lb>Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Per l'altra parte il frusto conico consta sempre d'una <lb></lb>porzione di sferoide e del cono su la maggior base. </foreign></s> <s>Per <lb></lb>questo si proporrà un lemma generico. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg334"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg334"></margin.target>Ivi, <lb></lb>carta 226 v.</s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Data [Fig. 23] la retta AB segata in C utcunque, se<lb></lb>gar di nuovo una parte CB, ita ut il </foreign></s> </p> <figure></figure> <p type="caption"> <s><foreign lang="it">[Fig. 23].<lb></lb>rettangolo di tutta, e della media al <lb></lb>rettangolo delle estreme sia in qua<lb></lb>lunque proporzione, come di D ad E. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Fate come BA ad AC, così D ad F, <lb></lb>e poi come F ad E, così CG alla GB. Haverà dunque il </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"> <arrow.to.target n="marg335"></arrow.to.target><lb></lb>rettangolo di tutta BA e della inter</foreign></s> </p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg335"></margin.target>Ivi, <lb></lb>carta 227 v.</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 24].<lb></lb>media CG al rettangolo delle estreme <lb></lb>la proporzione composta di BA ad AC, <lb></lb>cioè di D ad F, e di CG alla GB, cioè <lb></lb>di F ad E. Ovvero per dirla, sarà <lb></lb>come D ad E. Quod erat. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">E questo sarà buono per tagliare <lb></lb>il frusto del solido acuto. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ma per descrivere l'ellipsi nelle <lb></lb>figure della proposizione basterà far che sia [Fig. 24] <pb pagenum="138"></pb>come IB alla BC, così ID alla DC, et allora passerà una <lb></lb>ellissi, che toccherà in E et in I. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Facciasi come DI ad IB, così sia DC alla CB. Dunque <lb></lb>permutando sarà DI alla DC, come IB alla BC. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Dunque facendo intorno all'asse IC una ellissi per il <lb></lb>punto E quella toccherà in I et in E etc. <lb></lb> <arrow.to.target n="marg336"></arrow.to.target></foreign></s> </p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg336"></margin.target>Ivi, <lb></lb>carta 118.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOS. X.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 25].</s></p> <p type="main"> <s>Reliquum segmenti conici [Fig. 25] <lb></lb>EGHF dempto cono GBH majoris <lb></lb>basis, est segmentum majus EIF sfe<lb></lb>roidis, cuius axis integer habetur vel <lb></lb>etiam si fiat ut GH ad BF, ita IC <lb></lb>ad CB, si fiat ut in praecedenti lem<lb></lb>mate, fiat etc. </s><s>et per CEI transeat <lb></lb>ellipsis, ex quo fiat sphaerois. </s><s>Ducta<lb></lb>que MQ parallela ad GH. Habebit <lb></lb>quadratum BE ad rectangulum MNQ <lb></lb>compositam rationem ex rationibus <lb></lb>BE ad MN, sive BG ad GN, sive BI <lb></lb>ad IP et ex ratione BE ad NQ, vel <lb></lb>BF ad NQ vel FL ad LQ, vel BC <lb></lb>ad CP. Quare quadratum BE ad <lb></lb>rectangulum MNQ est ut rectangu<lb></lb>lum IBC ad rectangulum IPC, sive <lb></lb>ut quadratum idem BE ad quadra<lb></lb>tum PO. Sunt ergo aequalia rect<lb></lb>angulum MNQ quadratumque PO. <lb></lb>Quare armilla MN aequatur circulo <lb></lb>PO. Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma I.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si a circulo duo circuli demantur (ita ut duo diametri <lb></lb>simul demptorum circulorum totam alterius circuli diame<lb></lb>trum ex aequent) erit reliqua perforata lunula ad assum<lb></lb>ptum quemlibet circulum ut semissis rectanguli sub dia- <pb pagenum="139"></pb>metris demptorum circulorum contempti ad quadratum <lb></lb>radij assumpti circuli. </s></p> <p type="main"> <s>Esto [Fig. 26] et </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 26].<lb></lb>sit centra totius cir<lb></lb>culi C demptorum <lb></lb>vero B et E, et in<lb></lb>telligatur primum <lb></lb>desumptus solum <lb></lb>circulus AD, eritque <lb></lb>reliqua integra luna <lb></lb>aequalis armilllae, <lb></lb>cujus rectangulum <lb></lb>FEA. Erit ergo in<lb></lb>tegra lunula ad circulum FD ut rectangulum FEA, sive <lb></lb>DEA ad quadratum DE, et dividendo lunula perforata ad <lb></lb>eumdem circulum DF erit ut rectangulum EDA ad qua<lb></lb>dratum DE. Circulus vero DF ad circulum GH est ut <lb></lb>quadratum DE ad quadratum GH. Ergo ex aequo patet <lb></lb>propositum. </s></p> <p type="main"> <s>Nam lunula perforata erit ad circulum GH ut rectangu<lb></lb>lum EDA (nempe ut semissis rectanguli FDA sub diametris <lb></lb>demptorum circulorum contenti) ad quadratum GH etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma II.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Perforatae lunu</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 27].<lb></lb>lae (quales antedi<lb></lb>cebamus) sunt inter <lb></lb>se, ut rectangula sub <lb></lb>diametris dempto<lb></lb>rum circulorum con<lb></lb>tenta. </s></p> <p type="main"> <s>Sint etc. [Fig. 27] <lb></lb>Erit ergo lunula per<lb></lb>forata AMP ad cir<lb></lb>culum FH ut rectangulum ABC ad quadratum FI; sed <lb></lb>circulus FH ad lunulam perforatam EOR est ut quadra- <pb pagenum="140"></pb>tum FI ad rectangulum EFI; ergo ex aequo lunula per<lb></lb>forata AMP ad lunulam perforatam EOR est ut rectan<lb></lb>gulum ABC ad rectangulum EFI, sive (sumptis duplis) ut <lb></lb>rectangulum ABD ad rectangulum EFH etc. </s><s>Quod etc. <lb></lb> <arrow.to.target n="marg337"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg337"></margin.target>Id. </s><s><lb></lb>Vol. </s><s>XXX, <lb></lb>carta 126.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOS. XI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si à segmento conico demantur duo coni aequalti, cum <lb></lb>segmento, et super utraque ipsius basi constituto, reliquum <lb></lb>solidum erit aequale sphaeroidi cuidam eadem cum seg<lb></lb>mento conico altitudinem habenti. </s></p> <p type="main"> <s>Esto segmentum coni [Fig. 28] </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 28].<lb></lb>ABCD, cujus axis EF, et ab ipso <lb></lb>demantur duo coni ABD, BDC. <lb></lb>Dico: Ponatur quadratum PH du<lb></lb>plum quadrati GH, et per PO <lb></lb>intelligatur planum oppositis ba<lb></lb>sibus parallelum. </s><s>Eritque lunula <lb></lb>perforata PO demptis circulis PH, <lb></lb>HO, aequalis circulo, cujus ra<lb></lb>dius GH ob constructionem, et ex demonstratis. </s></p> <p type="main"> <s>Fiat per puncta EGF ellipsis circa axem EF et con<lb></lb>vertatur et sectoque segmento per planum LN basibus pa<lb></lb>rallelum, erit lunula perforata LN ad lunulam perforatam <lb></lb>PO ut rectangulum LMN ad rectangulum PHO, nempe <lb></lb>rationem compositam habebit ex rationibus LM ad PH, <lb></lb>et MN ad HO, sive ex rationibus IE ad EH, et IF ad FH, <lb></lb>quae sunt eadem cum praedictis. </s><s>Ergo perforata lunula <lb></lb>LN ad perforatam lunulam PO erit ut rectangulum FIE <lb></lb>ad rectangulum FHE, sive ut circulus ex IQ ad circulum <lb></lb>ex HG. Consequentia vero ex constructione sunt aequalia, <lb></lb>quare et lunula perforata LN aequalis erit circulo ex IQ, <lb></lb>et hoc semper, quare patet propositum. </s></p> <p type="main"> <s>Amplius dico hujusmodi sphaeroidem medio loco pro<lb></lb>portionalem esse inter ablatos conos. </s><s>Secetur axis [Fig. 29] <lb></lb>MN bifariam ab applicata EH, eritque lunula perforata <lb></lb>EH aequalis maximo circulo praedictae sphaeroidis. </s><s>Sit <lb></lb>quadratum I aequale rectangulo EGH, eritque circulus <pb pagenum="141"></pb>cujus radius I ad lunulam perfo</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 29].<lb></lb>raram HE ut quadratum I ad se<lb></lb>missem rectanguli EGH, nempe <lb></lb>duplus, propterea conus, cujus <lb></lb>radius basis sit I, altitudo vero <lb></lb>MN aequalis erit sphaeroidi, sive <lb></lb>reliquo segmenti conici demptis <lb></lb>duobus conis etc. </s></p> <p type="main"> <s>Conum autem praedictum I <lb></lb>medium proportionalem esse inter ABD, BDC patet. </s><s>Nam <lb></lb>cum rectangulum EGH medium sit inter quadratum AN, <lb></lb>BM, etiam quadratum I medium erit inter eadem, et <lb></lb>propterea conus I, sive sphaeroidis illa media proportio<lb></lb>nalis erit inter demptos conos etc. </s></p> <p type="main"> <s>Probatur quod assumptum est. </s><s>Erit enim ob parallelas <lb></lb>ut NF ad FM, ita AE ad EB, et componendo etc. </s><s>Sed <lb></lb>NM dupla est MF, ergo AB dupla est BE, et propterea AD <lb></lb>dupla EG, quare AN et EG, sunt aequales; quadratum <lb></lb>vero EG ad rectangulum EGH est ut FG ad GH, et rect<lb></lb>angulum EGH ad quadratum GH est ut EG ad GH. <lb></lb>Quare patet propositum. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOS. XII.<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> <arrow.to.target n="marg338"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg338"></margin.target>Id. </s><s><lb></lb>T. XXXIV, <lb></lb>carta 220 v.</s></p> <p type="main"> <s>Il conoide hyperbolico consta di un cono e di una sfe<lb></lb>roide etc. </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 30].</s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Sia il conoide [Fig. 30] <lb></lb>ABC, di cui [sia] asse BD, e <lb></lb>fatto il cono ABC. Dico, che <lb></lb>il residuo è una sferoide. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Siano tangenti AE, BE, e <lb></lb>giri la figura sì che si faccia <lb></lb>un segmento conico. </s> <s><foreign lang="it">Poi presa <lb></lb>la media proporzionale fra AD, <lb></lb>e la metà di EB, vel e contra, <lb></lb>sia detta media la FG appli<lb></lb>cata al mezzo di BD, e per i <lb></lb>punti BGD fà la sferoide. </foreign></s> <s>Tira ora la MN a caso. </s> <s><foreign lang="it">E perchè <pb pagenum="142"></pb>per la passata il cerchio PQ, il cerchio PR e il cerchio PS <lb></lb>sono eguali al cerchio PM, dempto communi PS reste<lb></lb>ranno i due cerchi PQ, PR eguali all'armilla SM. Ma <lb></lb>nella Scudellaria il cerchio PQ si mostrò eguale all'ar<lb></lb>milla OM, dunque il cerchio PR sarà eguale alla rima<lb></lb>nente armilla SO. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg339"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg339"></margin.target>Ivi, <lb></lb>carta 221 r.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollarium.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Nota ora, che nell'hyperbola il rettangolo OSN alla <lb></lb>ITL stà come il rettangolo ASB al rettangolo ATB, poi<lb></lb>chè ob aequalitatem il rettangolo OSN all'ITL stà come <lb></lb>il quadrato PR ad FG, sive come il rettangolo DPB al <lb></lb>DFB, vel come ASB ad ATB etc. <lb></lb> <arrow.to.target n="marg340"></arrow.to.target></foreign></s> </p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg340"></margin.target>Ivi, <lb></lb>carta 213 v</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROP. XIII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Il frusto conico consta di due coni ad verticem [Fig. 31] <lb></lb>AED, BEC, e d'una sferoide, la </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 31].<lb></lb>quale passi per F. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Il quadrato FE al rettangolo <lb></lb>HLN ha proporzione composta di <lb></lb>FE ad HL, sive di EO ad OM, <lb></lb>e di EG ad LN, sive di EP ad <lb></lb>PM, così anco egli stà verso il <lb></lb>quadrato IM. Ergo etc. </foreign></s> <s>Per pro<lb></lb>stapheresim poi mostrare, che le due scodelle sono eguali <lb></lb>alli due coni etc. . </s></p> <pb pagenum="143"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollarium.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> <arrow.to.target n="marg341"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg341"></margin.target>Ivi, <lb></lb>carta 253 r.</s></p> <p type="main"> <s>Demptis ex coni segmento [Fig. 32] ABCD duobus <lb></lb>conis AED, BEC, reliquum aequatur sphaeroidi, cujus al<lb></lb>titudo PO, maximi vero circuli </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 32].<lb></lb>radius possit rectangulum HLN <lb></lb>(secta PO bifariam in M), ut <lb></lb>ostensum est in praecedenti. </s><s>Sed <lb></lb>sphaerois hujusmodi aequatur co<lb></lb>no, cujus eadem sit basis, altitudo <lb></lb>vero dupla rectae PO. Ergo co<lb></lb>nus AED ad sphaeroidem ratio<lb></lb>nem habet compositam ex ratione <lb></lb>altitudinum, nempe rectae EO ad <lb></lb>duplam OP, et ex ratione basium, nempe quadrati AO, <lb></lb>sive NL ad rectangulum LNH, hoc est rectae NL ad LH, <lb></lb>sive AO ad BP. Ergo conus ad sphaeroidem est ut rect<lb></lb>angulum sub EO, OA ad rectangulum sub dupla OP, et <lb></lb>PB, sive sub OP, CB. Ergo conus AED ad sphaeroidem <lb></lb>est ut triangulum EOA ad triangulum ABC. Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOS. XIV.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg342"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg342"></margin.target>Ivi, <lb></lb>carta 215 v.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>De Frusto Sphaerico.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Esto frustum sphaericum datum [Fig. 33] ABCD, du<lb></lb>ctisque AC, DB, et per E ipsa </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 33].<lb></lb>FG, fiat ellipsis IFHG. </s></p> <p type="main"> <s>Ductaque utcumque LM erit <lb></lb>quadratum FE ad rectangulum <lb></lb>LNM ob circulum ut rectangu<lb></lb>lum BED ad BND, sive ut rect<lb></lb>angulum HEI ad HOI, sive ut <lb></lb>quadratum FE ad FO. Est ergo <lb></lb>aequalis armilla LN circulo PO. </s></p> <p type="main"> <s>Si vis demere communem PN erit armilla LP aequalis <lb></lb>circulo NO. <pb pagenum="144"></pb> <arrow.to.target n="marg343"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg343"></margin.target>Ivi, <lb></lb>carte 216 v <lb></lb>e 217 r.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOS. XV.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>De Frusto Sphaeroidis.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Esto frustum sphaeroidis [Fig. 34] ABCD. Ducantur <lb></lb>AC, BD, et per I ipsa IM. Fiatque circa axem sphaera <lb></lb>(sive axis sit major, sive </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 34].<lb></lb>minor diameter ellipsis). <lb></lb>Productisque FG, EH <lb></lb>erunt EIG, FIH rectae <lb></lb>(est enim ut FN ad NB, <lb></lb>ita HO ad OD ob circu<lb></lb>lum, et ellipsim etc.) <lb></lb>deinde fiant ellipses OLN, <lb></lb>OMN etc. </s></p> <p type="main"> <s>Erit totum PQ ad QR <lb></lb>ut MI ad IL, sive ut <lb></lb>ablatum SQ ad QT. Ergo <lb></lb>armilla PS ad armillam <lb></lb>RT erit ut totum ad to<lb></lb>tum, nempe quadratum <lb></lb>MI ad IL, sive FN ad NB, sive VQ ad QZ etc.; sunt <lb></lb>autem aequalia antecedentia, armilla nempe PS, et quadra<lb></lb>tum VQ per ostensa. </s><s>Ergo armilla BT aequatur quadrato <lb></lb>QZ etc. </s></p> <p type="main"> <s>Quod sphaeroides se contingant, ostendo. </s><s>Ducta qua<lb></lb>libet PQ, quadratum QP superat QS quadrato QV et hoc <lb></lb>semper. </s><s>Ergo tota ellipsis NMA intra ipsam EFGH in<lb></lb>clusa est. <lb></lb> <arrow.to.target n="marg344"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg344"></margin.target>Ivi, <lb></lb>carta 205.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma genericum <lb></lb>pro omnibus Coni sectionibus.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Se in una sezione conica qualunque linea retta [Fig. 35] <lb></lb>AB terminante nella sezione segherà due linee rette pa<lb></lb>rallele CD, EF terminanti parimenti nella sezione; il ret<lb></lb>tangolo CGD al rettangolo EHF sarà come il rettangolo <lb></lb>AGB al rettangolo AHB. </foreign></s> </p> <pb pagenum="145"></pb> <p type="main"> <s>Sia la tangente IL paral</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 35].<lb></lb>lela alla AB e la tangente <lb></lb>ML parallela alla CD. (Vide <lb></lb>Commentar. </s><s>in 13, 14, 15 Ar<lb></lb>chimedis <emph type="italics"></emph>De Sphaeroid. </s> <s><foreign lang="it">et <lb></lb>Conoid.<emph.end type="italics"></emph.end>). Sarà il rettangolo <lb></lb>CGD al rettangolo AGB co<lb></lb>me il quadrato ML al qua<lb></lb>drato LI. Di più anche il <lb></lb>rettangolo EHF al rettan<lb></lb>golo AHB sta come il qua<lb></lb>drato ML al quadrato LI. <lb></lb>Ergo et permutando patet <lb></lb>propositum. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOS. XVI.<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> <arrow.to.target n="marg345"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg345"></margin.target>Ivi. </s><s><lb></lb>carta 217 v.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Frustum Parabolicum Conoidale.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 36].</s></p> <p type="main"> <s>ABCD [Fig. 36] constat ex <lb></lb>AED, DED duobus conis et sphae<lb></lb>roide, quae transeat per F. </s></p> <p type="main"> <s>Quadratum enim FE ad rect<lb></lb>angulum HIL (per praecedens <lb></lb>Lemma magnum meum) est ut <lb></lb>rectangulum CEA ad CIA, sive MEO ad MNO. Puta re<lb></lb>liquum etc. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">E questo è vero anche nel frusto di conoide iperbolico. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOS. XVII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Prop. </s><s>de Conoidalium universalissima.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Qualunque porzione di sfera, o sferoide, o di conoide <lb></lb> <arrow.to.target n="marg346"></arrow.to.target><lb></lb>parabolico, o iperbolico consta del cono inscritto, e d'una <lb></lb>sferoide. </foreign></s> </p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg346"></margin.target>Ivi, <lb></lb>carta 206.</s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Sia qualunque sezione di cono, il cui asse [Fig. 37] AB, <lb></lb>triangolo inscritto CAD e girisi la figura. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Dico che il re- <pb pagenum="146"></pb>siduo del solido (levatone il cono CAD) sarà eguale ad <lb></lb>una sferoide. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Pongasi il quadrato BF dop</foreign></s> </p> <figure></figure> <p type="caption"> <s><foreign lang="it">[Fig. 37].<lb></lb>pio del quadrato BC, e congiunta <lb></lb>AF seghi la sezione in E, et ap<lb></lb>plicata EG, facciasi per li punti <lb></lb>AIB una ellissi intorno all'asse <lb></lb>AB, e girisi. </foreign></s> <s>Intendesi poi la fi<lb></lb>gura segata col piano LP paral<lb></lb>lelo alla base. </s> <s><foreign lang="it">Essendo il quadrato <lb></lb>BF doppio del quadrato GI, però <lb></lb>l'armilla EI sarà eguale al cerchio IG. Ma l'armilla LM <lb></lb>all'armilla EI sta come il rettangolo LMP al rettangolo <lb></lb>EIH, cioè come il rettangolo CMA al rettangolo CIA, <lb></lb>cioè come il rettangolo BOA al rettangolo BGA, ovvero <lb></lb>come il quadrato ON al quadrato GI, et i conseguenti <lb></lb>sono eguali. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Però anco l'armilla LM sarà eguale al cerchio ON. Et <lb></lb>sic semper. </s><s>Ergo etc. <lb></lb> <arrow.to.target n="marg347"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg347"></margin.target>Ivi, <lb></lb>carta 258 r.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Quilibet tubus cylindricus ad cylindrum aequaltum est <lb></lb>ut rectangulum sub aggregato, et differentia semidiame<lb></lb>trorum annuli ad quadratum semidiametri basis cylindri. </s><s><lb></lb>Hoc vero demonstravimus in 28<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> primi <emph type="italics"></emph>De Solidis Sphae<lb></lb>ralibus<emph.end type="italics"></emph.end> . <lb></lb> <arrow.to.target n="marg348"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg348"></margin.target>Ivi, <lb></lb>carta 258 v.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOS. XVIII .<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Invenzione per dimostrare all'antica <lb></lb>la precedente proposizione universalissima.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> <arrow.to.target n="marg349"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg349"></margin.target>Ivi, <lb></lb>carta 259 r.</s></p> <p type="main"> <s>Esto solidum [Fig. 38] ILM majus sphaeroide (si fieri <lb></lb>potest) sit excessus aequalis solido K. </s></p> <p type="main"> <s>Secetur MO bifariam semper donec cylindrus IT minor <lb></lb>sit quam semissis solidi K. </s></p> <pb pagenum="147"></pb> <p type="main"> <s>Tunc omnia solida, nempe //////// minora sunt ci</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 38].<lb></lb>lindro IT, nempe semisse <lb></lb>ipsius R, sed etiam H minus <lb></lb>est quam IT, nempe quam R, <lb></lb>ergo reliquum solidi ILM <lb></lb>(demptis //////// et H) ad<lb></lb>huc majus erit quam sphae<lb></lb>rois. </s><s>Sed ostenditur facil<lb></lb>lime minus quam figura <lb></lb>quaedam intra sphaeroidem <lb></lb>inscripta. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOS. XIX.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg350"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg350"></margin.target>Ivi, <lb></lb>carta 258 v.</s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Sia adesso il solido [Fig. 39] MHI (se è possibile) mi<lb></lb>nore della sferoide. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Il discorso principale sia </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 39].<lb></lb>così. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Facciasi, che il cilindro <lb></lb>MN venga meno della metà <lb></lb>della differenza K. Poi tutti <lb></lb>li solidi //////// sono mi<lb></lb>nori della metà del solido K, <lb></lb>et il frusto sferoidale R è <lb></lb>minore anch'esso della metà <lb></lb>di K. Dunque aggiugnendo <lb></lb>li solidi di //////// al solido nostro, e levando il frusto R <lb></lb>dalla sferoide, in ogni modo resterà la figura circoscritta <lb></lb>minore del resto della sferoide. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Nota per un corollario, che nel conoide parabolico, la <lb></lb>cui altezza sia eguale al lato retto, la sferoide diventa <lb></lb>sfera. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>FINE DEL <lb></lb>DE RESOLUTIONE SOLIDORUM IN SOLIDA.<emph.end type="center"></emph.end></foreign></s> </p> <pb></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PARS TERTIA<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>DE CONOIDALIUM MENSURA.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <pb></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>DE CONOIDALIUM MENSURA<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg351"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg351"></margin.target>Discepoli <lb></lb>di Galileo, <lb></lb>T. XXXIV, <lb></lb>carta 249 r.</s></p> <p type="main"> <s>Omnis ellipsis ad circulum, qui habeat diametrum ae<lb></lb>qualem alteri axium ellipseos eam habet proportionem, <lb></lb>quam alter, nempe inaequales axis ad circuli diametrum. </s></p> <p type="main"> <s>Esto ellipsis [Fig. 1] ABC, circu</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 1].<lb></lb>lusque ADC, et sit axis ellipsis AC <lb></lb>aequalis diametro circuli AC sitque <lb></lb>alter axis BH. Dico ellipsim ad cir<lb></lb>culum esse ut BH ad HD. </s></p> <p type="main"> <s>Ducatur enim ordinatim EF ubi<lb></lb>cumque, et erit quadratum EF ad <lb></lb>quadratum BH ut rectangulum AFC <lb></lb>ad rectangulum AHC. Sed etiam quadratum IF ad quadra<lb></lb>tum DH est ut rectangulum AFC ad rectangulum AHC; <lb></lb>ergo quadratum EF ad quadratum BH, est ut quadratum <lb></lb>IF ad quadratum DH, ergo et lineae sunt proportionales, <lb></lb>et permutando EF ad FI est ut BH ad HD, et hoc semper. </s><s><lb></lb>Propterea erunt omnes antecedentes simul ad omnes simul <lb></lb>consequentes, et una antecedentium ad unam consequen<lb></lb>tium nempe ellipsis ABC ad circulum ADC, ut BH ad <lb></lb>HD. Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s>(Questa è la quinta d'Archimede <emph type="italics"></emph>de Sphaer. et Co<lb></lb>noidib.<emph.end type="italics"></emph.end>) </s></p> <pb pagenum="152"></pb> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg352"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg352"></margin.target>Ivi, <lb></lb>carta 250 r.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Omnis sphaerois ad sphaeram, quae habeat maximum <lb></lb>circulum aequalem maximo circulo sphaeroidis est ut axis <lb></lb>ad axem. </s></p> <p type="main"> <s>Esto sphaerois [Fig. 2] ABC </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 2].<lb></lb>sphaera vero ADC, quales dictae <lb></lb>sunt, maximus utriusque circulus <lb></lb>sit AHCL. Dico sphaeroidem ad <lb></lb>sphaeram esse ut axis BE ad axem <lb></lb>ED. </s></p> <p type="main"> <s>Secetur enim utraque per cen<lb></lb>trum E plano HBL ad diametrum <lb></lb>AC erecto, et iterum altero plano <lb></lb>MFN ipsi HBL parallelo, ubicum<lb></lb>que. </s><s>Eritque, per praecedens lem<lb></lb>ma, ellipsis HBL ad circulum HDL ut BE ad ED, sed <lb></lb>etiam ellipsis MFN est ad circulum MIN ut FG ad GI, <lb></lb>sive ut BE ad ED, et sic semper. </s><s>Propterea erunt omnes <lb></lb>simul antecedentes ad omnes consequentes simul, ut una <lb></lb>ad unam, nempe ut ellipsis HBL ad circulum HDL, sive <lb></lb>ut axis BE ad axem ED. Quod etc. </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 3].<lb></lb> <arrow.to.target n="marg353"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg353"></margin.target>Ivi, <lb></lb>carta 251 r.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Sphaeroidis inter se sunt ut so<lb></lb>lida parallelepipeda, quorum bases <lb></lb>sunt quadrata diametrorum, alti<lb></lb>tudines vero longitudines axium. </s></p> <p type="main"> <s>Sint sphaeroides [Fig. 3] ABC, <lb></lb>DEF, quarum axes BG, EH. Dia<lb></lb>metri vero AC, DF. Dico sphae<lb></lb>roidem ABC ad sphaeroidem DEF <lb></lb>esse ut solidum parallelepipedum <lb></lb>basi quadrato AC, altitudine vero BG ad solidum paral<lb></lb>lelepipedum basi quadrato DF, altitudine vero EH. </s></p> <pb pagenum="153"></pb> <p type="main"> <s>Concipiatur enim in utraque sphaeroide sphaera ae<lb></lb>qualis diametri AIC, DOF. Eritque sphaerois ABC ad <lb></lb>sphaeram AIC, ut recta BG ad GI (per praecedens) sive <lb></lb>ut solidum basi quadrato GI, altitudine GB ad cubum GI: <lb></lb>sphaera vero AIC ad sphaeram DOF est ut cubus GI ad <lb></lb>cubum HO, et denique sphaera DOF ad sphaeroidem <lb></lb>DEF est ut cubus HO ad solidum parallelepipedum basi <lb></lb>quadrato HO, altitudine vero HE. Ergo ex aequo patet <lb></lb>propositum. </s><s>Sumptis vero quadruplis, erit sphaerois ABC <lb></lb>ad DEF, ut solidum basi quadrato DF, altitudine EH. <lb></lb>Quod etc. . </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOS. I.<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> <arrow.to.target n="marg354"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg354"></margin.target>Ivi, <lb></lb>carta 232 r.</s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Misura della Sfera, e Sferoide.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Hemisphaerium, sive hemisphaeroides dupla est coni <lb></lb>inscripti. </s></p> <p type="main"> <s>Esto hemisphaerium, sive hemisphaeroides [Fig. 4] ABC, <lb></lb>cujus axis BD, et applicata ex </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 4].<lb></lb>puncto E medio axis sit GEH, co<lb></lb>nus inscriptus ABC. </s></p> <p type="main"> <s>Iam ostendimus solidum reli<lb></lb>quum, dempto conu ABC, aequale <lb></lb>esse sphaeroidi cuidam, cujus axis <lb></lb>sit BD, maximus vero circulus sit <lb></lb>aequalis armillae FG (nempe cujus <lb></lb>radius I medius sit inter FG, GH). </s></p> <p type="main"> <s>Iam ratio sphaeroidis ABCO ad <lb></lb>sphaeroidem, cujus radius est I, axis vero BD, est per <lb></lb>praecedems Lemma ut solidum basi quadrato AD, altitu<lb></lb>dine BD ad solidum basi quadrato I, altitudine BE. Ergo <pb pagenum="154"></pb>rationem habet compositam ex ratione quadrati AD ad <lb></lb>quadratum I, sive ad rectangulum FGH (nempe ut 4 ad 2) <lb></lb>et ex ratione altitudinis DB ad BE, nempe 2 ad 1. Ergo <lb></lb>sphaerois ABCO ad sphaeroidem praedictam sive ad reli<lb></lb>quum solidum, dempto cono ABC est ut 4 ad 1; ergo he<lb></lb>misphaerium, vel hemisphaeroides ad dictum solidum est <lb></lb>ut 2 ad 1 et per conversionem rationis ad conum inscri<lb></lb>ptum erit ut 2 ad 1. Quod erat etc. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Che il quadrato AD sia sempre doppio del rettangolo <lb></lb>FGH patet, perchè il quadrato FE al quadrato AD, sta <lb></lb>come il rettangolo BEO al rettangolo BDO, cioè come 3 <lb></lb>a 4, et il quadrato AD al quadrato GE sta come 4 ad 1, <lb></lb>ergo ex aequo il quadrato FE all'EG stà come 3 ad 1, <lb></lb>et dividendo il rettangolo FGH al quadrato GE sta come <lb></lb>2 ad 1, et al quadrato AD, come 2 a 4. Quod etc. <lb></lb> <arrow.to.target n="marg355"></arrow.to.target></foreign></s> </p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg355"></margin.target>Ivi, <lb></lb>carta 267 v.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Tutti i quadrati d'una linea sono tripli di tutti i qua<lb></lb>drati di tutte le sue parti. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Per provar ciò si suppone, che il prisma sia triplo della <lb></lb>piramide, ovvero che il cilindro sia triplo del cono. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Altrimenti con la figura che segue: </s></p> <p type="main"> <s>Sia la data retta [Fig. 5] AB, sopra la quale </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s><foreign lang="it">[Fig. 5].<lb></lb>si faccia un quadrato AD, e tirato il diametro <lb></lb>AD, volgasi la figura circa l'asse AB, acciò <lb></lb>nasca un cilindro et un cono. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Tirisi ora qualunque piano parallelo alla <lb></lb>base, e sia GF; è chiaro che EF sarà una <lb></lb>delle infinite parti di AB, cioè la eguale al<lb></lb>l'AF; ma il quadrato GF al quadrato EF sta <lb></lb>come il cerchio di GF al cerchio di FE e sono <lb></lb>tutti gli antecedenti eguali, però tutt'i quadrati delle linee <lb></lb>intere, come GF, a tutti i quadrati delle linee non intere, <lb></lb>come FE (che sono tutte le parti di AB) sono come il <lb></lb>cilindro al cono, cioè tripli etc. </foreign></s> </p> <pb pagenum="155"></pb> <p type="main"> <s>In eadem figura ostendi potest, quod omnia quadrata <lb></lb> <arrow.to.target n="marg356"></arrow.to.target><lb></lb>lineae cujuscumque AB, sive BD ad omnia rectangula, <lb></lb>quae fiunt sub tota cum qualibet parte, et sub reliquis <lb></lb>partibus sunt sesquialtera. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg356"></margin.target>Ivi <lb></lb>carta 262 r.</s></p> <p type="main"> <s>Quadratum enim FG, quod est sub tota ad rectangu<lb></lb>lum GEH, quod est sub HE (nempe tota cum una parte) <lb></lb>et sub EG (nempe reliqua parte) est, ut facile probatur, <lb></lb>ut circulus FG ad armillam GE, et semper antecedentia <lb></lb>sunt aequalia. </s><s>Quare omnia quadrata lineae AB ad omnia <lb></lb>rectangula sub tota cum singulis partibus, et reliquis par<lb></lb>tibus sunt ut cylindrus ad cylindrum excavatum, nempe <lb></lb>sesquialtera. </s></p> <p type="main"> <s>Poterat hoc ostendi brevius cum Cavalerio. </s></p> <p type="main"> <s>Omnia quadrata rectanguli AD sunt tripla omnium <lb></lb>quadratorum, trianguli ABD, ergo per conversionem ra<lb></lb>tionis sesquialtera erunt omnium rectangulorum, quod <lb></lb>fiunt a rectis trapetii DAIL, et reliqui trianguli. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOS. II.<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> <arrow.to.target n="marg357"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg357"></margin.target>Ivi, <lb></lb>carta 263 v.</s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Altra misura della Sfera, o Sferoide.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Sia sfera, o sferoide la [Fig. 6] ABC, di cui asse sia AC, <lb></lb>et intorno ad essa sia un cilindro DE, </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 6].<lb></lb>e taglisi col piano eretto all'asse e <lb></lb>sia FG. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Il quadrato FM all'MI sta come <lb></lb>il quadrato BN ad MI, cioè come il <lb></lb>rettangolo CNA al rettangolo CMA, et <lb></lb>per conversionem rationis il quadrato <lb></lb>FM al rettangolo FIG (cioè il cerchio <lb></lb>all'armilla) sta come il quadrato NA <lb></lb>al quadrato NM; e però tutti i cerchi <lb></lb>dell'hemicilindro a tutte le armille del<lb></lb>l'hemicilindro scavato, sono come tutti <lb></lb>i quadrati della NA a tutti i quadrati di tutte le sue parti, <lb></lb>cioè tripli, e però il cilindro è triplo di quel solido sca<lb></lb>vato, dunque sesquialtero della sfera, o sferoide etc. <pb pagenum="156"></pb> <arrow.to.target n="marg358"></arrow.to.target></foreign></s> </p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg358"></margin.target>Ivi, <lb></lb>carta 257 r.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOS. III.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Conoidis parabolici mensura.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Esto parabola [Fig. 7] ABC in parallelogrammo. </s><s>Du<lb></lb>catur ordinatim EF, et diameter DL. Iam circulus ex EH <lb></lb>ad circulum ex HG est ut qua</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 7].<lb></lb>dratum EH ad HG, sive ut LB <lb></lb>ad BH, et per conversionem ra<lb></lb>tionis circulus ex EH ad armillam <lb></lb>ex EG erit ut BL ad LH, hoc <lb></lb>est ut EH ad HO, et hoc semper. </s><s><lb></lb>Suntque omnes primae tertiaeque <lb></lb>aequales. </s><s>Ergo omnes circuli, quo<lb></lb>rum unus EH, nempe cylindrus ad omnes armillas, hoc <lb></lb>est ad solidum excavatum, erunt ut omnes rectae, quarum <lb></lb>una EH, nempe parallelogrammum ad omnes, quarum una <lb></lb>HO, seu ad triangulum, nempe in ratione dupla. </s><s>Propterea <lb></lb>per conversionem rationis cylindrus duplus erit conoidis <lb></lb>parabolici. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Alio modo.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 8].</s></p> <p type="main"> <s>Sumantur aequales [Fig. 8] <lb></lb>BM, DH, et cum ostendatur su<lb></lb>pra circulum EH ad armillam ex <lb></lb>EG esse ut recta BD ad DH, sive <lb></lb>ut DB ad BM, sive ut circulus <lb></lb>IM ad ML, aequalis erit armilla <lb></lb>ex EG circulo ex LM, et hoc semper, et propterea co<lb></lb>noides reliquo solido aequale. </s></p> <pb pagenum="157"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOS. IV.<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> <arrow.to.target n="marg359"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg359"></margin.target>Ivi, <lb></lb>carta 264</s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Misura del Conoide iperbolico.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></foreign></s> </p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 9].</s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Sia il cono, dove nasce l'iperbola <lb></lb>[Fig. 9] ABC, et il diametro DE parallelo <lb></lb>all'asse del cono retto. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Sarà dunque il quadrato della GE <lb></lb>eguale al rettangolo CEA, però il cer<lb></lb>chio GE eguale all'armilla AE, però il <lb></lb>conoide eguale all'amfiteatro conico fatto <lb></lb>dal triangolo AED. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOS. V.<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> <arrow.to.target n="marg360"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg360"></margin.target>Ivi. </s><s><lb></lb>carta 257 r.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Universalissima pro omnibus Sphaeroidibus, <lb></lb>et Conoidibus.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Esto solidum [Fig. 10] ABC natum ex revolutione cu<lb></lb>juscumque sectionis coni circa axem BD. Vel esto portio <lb></lb>sive major, sive minor sphaerae, vel </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 10].<lb></lb>sphaeroidis sive conoidis parabolicum, <lb></lb>aut hyperbolicum ABC, intra quod de<lb></lb>scriptus sit conus ABC, sectoque axe <lb></lb>bifariam in E, et applicata EF. </s></p> <p type="main"> <s>Dico solidum ad conum inscriptum <lb></lb>esse ut duo quadrata ex FE, EG ad duo <lb></lb>quadrata ex EG. </s></p> <p type="main"> <s>Demonstratum enim est solidum, <lb></lb>quod describitur a portione AFB circa <lb></lb>axem BD revoluta, aequale esse sphaeroidi, cujus axis sit <lb></lb>idem, nempe BD, maximi vero circuli semidiameter media <lb></lb>proportionalis inter FG, GH. </s></p> <p type="main"> <s>Huic autem sphaeroidi aequalis est conus, cujus basis <lb></lb>eidem circulo sit aequalis, altitudo vero dupla axis BD. <lb></lb>Sive potius, cujus basis ejusdem circuli sit dupla, altitudo <lb></lb>autem aequalis axi BD. Ergo solidum ex AFB ad conum <lb></lb>inscriptum erit ut rectangulum FGH bis sumptum ad qua- <pb pagenum="158"></pb>dratum AD, sive (sumptis dimidiis) ut rectangulum FGH <lb></lb>ad duo quadrata GE, et componendo erit solidum inte<lb></lb>grum ABC ad conum inscriptum, ut rectangulum FGH <lb></lb>cum duobus quadratis GE. Vel quadratum FE cum qua<lb></lb>drato GE ad duo quadrata GE. Quod etc. <lb></lb> <arrow.to.target n="marg361"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg361"></margin.target>Ivi, <lb></lb>carta 238 r.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOS. VI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Che la proposizione de' conoidali universalissima con<lb></lb>cordi con la 23 di Archimede <emph type="italics"></emph>de Conoid. </s><s>et Sphaeroid.<emph.end type="italics"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Esto conoides parabolicum </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 11].<lb></lb>[Fig. 11] ABC, conus inscriptus <lb></lb>ABC, axis BD, sectus bifariam in <lb></lb>E, et applicata EF. Dixi conoides <lb></lb>ad conum esse ut duo quadrata ex <lb></lb>EF et EG, ad duplum quadrati EG <lb></lb>(ut ostensum est); dico convenire <lb></lb>cum Archimede 23 <emph type="italics"></emph>de Con. </s><s>et Sph.<emph.end type="italics"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Ponatur enim quadratum EF esse ut duo, erit AD ut <lb></lb>quatuor, et ideo EG ut unum. </s><s>Quare componendo, sum<lb></lb>ptisque consequentium duplis, erit quadratum FE cum <lb></lb>quadrato EG ad duo quadrata ex EG ut tres ad duo. </s><s>Quod <lb></lb>erat etc. <lb></lb> <arrow.to.target n="marg362"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg362"></margin.target>Ivi, <lb></lb>carta 239 v.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si magnitudo A ad B rationem habeat compositam ex <lb></lb>rationibus C ad D, ut D ad C. Deinde ex quibuscumque <lb></lb>aliis rationibus, puta M ad N, O ad P. Dico A ad B ra<lb></lb>tionem habere tantum ex illis aliis rationibus, nam ratione <lb></lb>C ad D, et D ad C aequales reciproce tolluntur ad invi<lb></lb>cem, sive aequalitatis rationem componunt. </s></p> <p type="main"> <s>Fiat enim ut C ad D, ita magnitudo E ad F, et ut D <lb></lb>ad C, ita F ad G (erunque aequales E et G) deinde ut <lb></lb>M ad N, ita G ad H, et ut O ad P ita H ad I. Patet <lb></lb>rationem E ad I compositam esse ex omnibus proposi<lb></lb>tionis rationibus. </s><s>Ergo A ad B erit ut E ad I, nempe ut <pb pagenum="159"></pb>G ad I. Sed G ad I rationem habet compositam ex illis <lb></lb>aliis rationibus, nempe M ad N, et O ad P (relictis C ad <lb></lb>D, et D ad C). Quare A ad B rationem habebit compo<lb></lb>sitam ex illis tantum rationibus M ad N, et O ad P re<lb></lb>lictis aequalibus, et reciprocis, quae tolluntur ad invicem, <lb></lb>sive potius aequalitatis rationem componunt etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOS. VII.<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> <arrow.to.target n="marg363"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg363"></margin.target>Ivi, <lb></lb>carta 239 r.</s></p> <p type="main"> <s>Che la proposizione dei conoidali universalissima con<lb></lb>cordi con la 27 <emph type="italics"></emph>de Conoid. </s><s>et Sphaer.<emph.end type="italics"></emph.end> di Archimede. </s></p> <p type="main"> <s>Sit conoides hyperbolicum [Fig. 12] </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 12].<lb></lb>ABC cujus axis BD, conus inscriptus <lb></lb>ABC, sectoque axe bifariam in E, et <lb></lb>applicataEF, dixi conoides ad conum esse <lb></lb>ut duo quadrata ex EF et EG ad duo <lb></lb>quadrata ex EG (ostensum est). </s></p> <p type="main"> <s>Convenit autem cum Archimedea. </s><s><lb></lb>Nam si latus versum BH centrum I, po<lb></lb>naturque HL aequalis alterutrae IH, IB. <lb></lb>Quadratum FE ad quadratum AD est ut <lb></lb>rectangulum HEB ad rectangulum HDB, <lb></lb>habet ergo rationem compositam ex ra<lb></lb>tionibus EB ad BD, et EH ad HD. Qua<lb></lb>dratum vero AD ad quadratum EG compositam habet <lb></lb>rationem ex rationibus DB ad BE, et DB ad BE (relictis <lb></lb>ergo rationibus EB ad BD, et DB ad BE, quae se se ad <lb></lb>invicem tollum, ut supra demonstravimus) habebit qua<lb></lb>dratum FE ad EG rationem compositam ex rationibus <lb></lb>EH ad HD, et DB ad BE, nempe ut rectangulum sub HE, <lb></lb>et DB ad rectangulum sub HD et BE, sive sumptis dimi<lb></lb>diis ut rectangulum HEB ad rectangulum IEB, nempe ut <lb></lb>recta HE ad EI et componendo sumptisque consequen<lb></lb>tium duplis patet propositum etc. </s></p> <pb pagenum="160"></pb> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg364"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg364"></margin.target>Ivi, <lb></lb>carta 240 r.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOS. VIII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Che la proposizione universalissima concordi con quelle <lb></lb><emph type="italics"></emph>Della sfera e cilindro<emph.end type="italics"></emph.end> e con la 29 <emph type="italics"></emph>de Sphaeroidibus et Co<lb></lb>noidibus.<emph.end type="italics"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Hemisphaerium, vel hemisphae</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 13].<lb></lb>roides [Fig. 13] ABC, conus in<lb></lb>scriptus ABC, axis BD sectus sit <lb></lb>bifariam in E, et applicata EF. <lb></lb>Dixi hemisphaerium ad conum in<lb></lb>scriptum esse ut duo quadrata ex <lb></lb>FE, et ex EG ad duplum qua<lb></lb>drati EG. Probo convenire cum <lb></lb>Archimedea. </s></p> <p type="main"> <s>Esto axis integer BH, ponatur<lb></lb>que quadratum FE esse 3. Quadratum FE ad quadratum <lb></lb>AD est ut rectangulum BEH ad rectangulum BDH, nempe <lb></lb>ut 3 ad 4. Quadratum vero AD ad EG est ut 4 ad unum. </s><s><lb></lb>Ergo ex aequo quadratum FE ad EG est ut 3 ad 1. Ergo <lb></lb>componendo, sumptisque consequentium duplis, patet duo <lb></lb>quadrata FE, EG ad duo quadrata EG esse ut 4 ad 2. <lb></lb>Quod etc. <lb></lb> <arrow.to.target n="marg365"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg365"></margin.target>Ivi, <lb></lb>carta 241 r.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOS. IX.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Che la dimostrazione uni</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s><foreign lang="it">[Fig. 14].<lb></lb>versalissima nel conoide iper<lb></lb>bolico e porzione di sferoide <lb></lb>concordi con le vulgate di <lb></lb>Archimede 27 e 31 <emph type="italics"></emph>de Conoid. </foreign></s> <s><lb></lb>et Sphaer.<emph.end type="italics"></emph.end> etc. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Abbiamo provato, che il <lb></lb>solido tutto al cono inscritto <lb></lb>sta come i due quadrati in<lb></lb>sieme [Fig. 14] IG, GH al dop<lb></lb>pio del quadrato GH. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Mostrerò ora, che li due quadrati IG, GH al doppio <pb pagenum="161"></pb>del quadrato GH sono come la OD alla DE (presa OB <lb></lb>sesquialtera di BE). </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Il quadrato IG al quadrato AD sta come il rettangolo <lb></lb>EGB al rettangolo EDB (et sumptis consequentium sub<lb></lb>quadruplis) il quadrato IG al quadrato GH, sta come il <lb></lb>rettangolo EGB al rettangolo LGB, ovvero come la retta <lb></lb>EG alla GL, e componendo il quadrato IG con il qua<lb></lb>drato GH al quadrato GH sta come EG con GL alla GL, <lb></lb>cioè come OD alla GL et sumptis consequentium duplis, <lb></lb>il quadrato IG col quadrato GH al doppio del quadrato <lb></lb>GH sta come la retta OD alla DE. Quod etc. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>FINE DEL CONOIDALIUM MENSURA.<emph.end type="center"></emph.end></foreign></s> </p> <pb></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>APPENDIX<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>DE ANULARIBUS AC DE OBLIQUIS <lb></lb>CONOIDALIBUS.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <pb></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>APPENDIX<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>DE ANULARIBUS AC DE OBLIQUIS <lb></lb>CONOIDALIBUS.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> <arrow.to.target n="marg366"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg366"></margin.target>Discepoli <lb></lb>di Galileo, <lb></lb>T. XXIX, <lb></lb>carta 56.</s></p> <p type="main"> <s>Rectangulum [Fig. 1] ABC ad rectangulum GBH est ut <lb></lb>DEF ad GEH ob aequalitatem in </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 1].<lb></lb>circulo et permutando rectangulum <lb></lb>ABC ad DEF erit ut GBH ad GEH <lb></lb>sive ut ILN ad IMN. </s></p> <p type="main"> <s>Iam quadratum AL ad LS est <lb></lb>ut GI ad IO quadratum, sive ut <lb></lb>quadratum DL ad LP, quod serviet. </s><s><lb></lb>Totum quadratum AL ad DM est ut <lb></lb>totum SL ad TM: ablatum etiam BL <lb></lb>ad EM est ut PL ad QM, et est pri<lb></lb>mum totum AL ad primum ablatum <lb></lb>LB ut tertium SL ad tertium ablatum LP. Quare SPV <lb></lb>ad TQX erit ut rectangulum ILN ad IMN. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOS. I.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg367"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg367"></margin.target>Id., <lb></lb>T. XXXIV, <lb></lb>carta 260 r.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Degli Anelli sferali e sferoidali.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Proposto un solido sferale circoscritto alla sfera, o alla <lb></lb>sferoide. </s><s>Bisogna misurare separatamente ciascuno di quei <lb></lb>solidini anellari, i quali abbracciano la sfera, o sferoide. </s></p> <pb pagenum="166"></pb> <p type="main"> <s>Sia circolo, ovvero ellissi, </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 2].<lb></lb>di cui è asse la retta [Fig. 2] <lb></lb>AB, e due tangenti CD, DE <lb></lb>in qualunque luogo, purchè <lb></lb>siano dalla medesima parte <lb></lb>dell'asse. </s> <s><foreign lang="it">Io dico, che il solido <lb></lb>descritto dal trilineo misto <lb></lb>CDE è eguale ad un cono, <lb></lb>del quale sia altezza la CF (ti<lb></lb>rata la CF parallela all'asse, <lb></lb>e la EG perpendicolare), ma <lb></lb>base dell'istesso cono sia il <lb></lb>circolo, di cui è semidiametro CD nella prima figura; ma <lb></lb>nella seconda dovrà essere semidiametro della base del <lb></lb>cono la media proporzionale tra LD, DI, essendo tirata <lb></lb>la DL perpendicolare all'asse etc. <lb></lb> <arrow.to.target n="marg368"></arrow.to.target></foreign></s> </p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg368"></margin.target>Ivi, <lb></lb>carta 260 v.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOS. II.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Dato un solido sferale inscritto nella sfera, o nella <lb></lb>sferoide. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Misurare ciascuno di quei segmenti solidi anellari, <lb></lb>i quali circondano il solido sferale, o sferoidale. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Sia circolo, ovvero ellissi, </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 3].<lb></lb>di cui asse [Fig. 3] AB una <lb></lb>corda CD utcunque (purchè <lb></lb>non seghi l'asse) e tirate la <lb></lb>DE perpendicolare et CF pa<lb></lb>rallela all'asse, seghisi anco <lb></lb>nell'ellissi la CD per mezzo <lb></lb>in I, e tirisi la GIH perpen<lb></lb>dicolare all'asse. </s> <s><foreign lang="it">Se si gire<lb></lb>ranno le figure sarà il solido <lb></lb>anellare fatto dal segmento <lb></lb>CGD eguale ad una sferoide, <lb></lb>la quale nella prima figura ha per asse la CF, e per dia<lb></lb>metro la CD; ma nella seconda il doppio della media <lb></lb>proporzionale fra GI, IH etc. </foreign></s> </p> <pb pagenum="167"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollarium.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> <arrow.to.target n="marg369"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg369"></margin.target>Ivi, <lb></lb>carta 261 r.</s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Di quì seguita, che nella sfera quando la CD sarà pa<lb></lb>rallela all'asse, allora il solido anellare descritto dal se<lb></lb>gmento CGD sarà eguale ad una sfera, della quale sia <lb></lb>diametro la CD. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOS. III.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg370"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg370"></margin.target>Ivi, <lb></lb>carta 248 r.</s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Dato [Fig. 4] il cerchio GAH col poligono inscritto <lb></lb>parilatero, e girisi la figura intorno alla diagonale GH. <lb></lb>Già sappiamo che ogni bilineo </foreign></s> </p> <figure></figure> <p type="caption"> <s><foreign lang="it">[Fig. 4].<lb></lb>descriverà una sferoide e che <lb></lb>tutte quelle sferoidi haveranno <lb></lb>bensì diversa altezza, ma tutte <lb></lb>haveranno l'istesso massimo cer<lb></lb>chio eguale all'armilla IC, cioè il <lb></lb>cerchio, di cui sia semidiametro <lb></lb>AC. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Pongasi dunque ED eguale ad <lb></lb>AC, e facciasi l'ellipsi GDH in<lb></lb>torno all'asse GH, e girisi, sarà <lb></lb>la sferoide eguale a tutti quelli <lb></lb>anelli descritti dalli bilinei. </s> <s><foreign lang="it">E ciò è chiaro perchè essendo <lb></lb>le sferoidi (che hanno i massimi cerchi eguali) fra di loro <lb></lb>come gli assi, havrà la sferoide GDHF a tutte quelle <lb></lb>altre sferoidi non descritte la proporzione, che l'asse GH <lb></lb>a tutti gli assi di quelle, cioè rationem aequalitatis. </foreign></s> <s><foreign lang="it">E ciò <lb></lb>concorda con la dottrina de' solidi sferali, poichè là mo<lb></lb>strai, che la sfera agli avanzi anellari stà come il quadrato <lb></lb>EA al quadrato AC, cioè come il quadrato EA, al qua<lb></lb>drato ED, cioè come la sfere tutta alla sferoide GDHF. </foreign></s> </p> <pb pagenum="168"></pb> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg371"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg371"></margin.target>Ivi, <lb></lb>carta 181 r.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOS. IV.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>De' solidi anellari.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Quando la figura [Fig. 5] ABC produttrice del solido <lb></lb>sia o portione di cerchio o hiperbola o altra linea irre<lb></lb>golare (purchè l'asse della </foreign></s> </p> <figure></figure> <p type="caption"> <s><foreign lang="it">[Fig. 5].<lb></lb>figura BD sia eretto al <lb></lb>diametro AE) allora sa<lb></lb>premo la proportione delli <lb></lb>due solidi fatti dalle se<lb></lb>mifigure BHAD e BICD, <lb></lb>se considereremo così: <lb></lb>Tirato il piano HN erecto <lb></lb>all'asse, sarà l'armilla <lb></lb>HLN all'armilla LIO, cioè come la retta LN alla IO e <lb></lb>così sempre. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Dunque tutte l'armille del primo solido, cioè <lb></lb>esso solido, a tutte le armille del secondo, cioè al secondo <lb></lb>solido, saranno come tutte le linee della figura CIBSF, <lb></lb>cioè come esse figure. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Dunque il maggior solido al minore sta come il ret<lb></lb>tangolo per axem DG assieme con la semifigura ovvero, <lb></lb>sumptis duplis, come i due rettangoli per axem assieme <lb></lb>con la figura produttrice a due rettangoli per axem meno <lb></lb>la figura produttrice. <lb></lb> <arrow.to.target n="marg372"></arrow.to.target></foreign></s> </p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg372"></margin.target>Ivi, <lb></lb>carta 181 v.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollarium I.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Però quando la fi</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s><foreign lang="it">[Fig. 6].<lb></lb>gura produttrice sia pa<lb></lb>rabola, allora il solido <lb></lb>della [Fig. 6] ABC al <lb></lb>solido della CBD sarà <lb></lb>come la figura CBEF <lb></lb>alla figura DBEG. Ma, <lb></lb>se noi prenderemo GI <lb></lb>che sia 2/3 della GF e <lb></lb>CI che sia 2/3 della CD, haveremo il rettangolo BL eguale <pb pagenum="169"></pb>alla figura CBEF et il rettangolo LE </foreign></s> </p> <figure></figure> <p type="caption"> <s><foreign lang="it">[Fig. 7].<lb></lb>eguale alla figura DBEG. Dunque il <lb></lb>maggior solido al minore sarà come <lb></lb>CI a LG. Però fatto l'abaco e preso <lb></lb>lo sesquialtero delli termini suddetti, <lb></lb>il solido [Fig. 7] di A al solido di B <lb></lb>starà come CF con due FE alla me<lb></lb>desima CF con due FG. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollarium II.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Di quì può nascere un problema: Data [Fig. 8] la se<lb></lb>miparabola ABC volta col curvo in fuora, </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s><foreign lang="it">[Fig. 8].<lb></lb>et il cui asse CB sia eretto al semidia<lb></lb>metro anellare CD; girata farà un tal <lb></lb> <arrow.to.target n="marg373"></arrow.to.target><lb></lb>solido. </foreign></s> <s>Cerco ora in che sito io la devo <lb></lb>porre, acciò voltata col curvo in dentro <lb></lb>faccia un solido eguale al suddetto. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg373"></margin.target>Ivi, <lb></lb>carta 182 r.</s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Per far tutto questo brevissimamente <lb></lb>basta pigliare nella figura la AE che <lb></lb>sia 1/3 della AC, e porre l'asse della pa<lb></lb>rabola EI eretto come prima, ma però <lb></lb>col curvo indentro, che farà il solido eguale a quel di <lb></lb>prima. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollarium III.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 9].<lb></lb> <arrow.to.target n="marg374"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg374"></margin.target>Ivi, <lb></lb>carta 182 r.</s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ma quando [Fig. 9] la medesima se<lb></lb>miparabola sia sopra la medesima base <lb></lb>CD, allora il solido A al solido B sarà <lb></lb>come HF alla HE (essendo divisa CD in <lb></lb>tre parti eguali) etc. </foreign></s> </p> <pb pagenum="170"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma I.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Recta [Fig. 10] AB, quae bis hyperbolam secat omnino <lb></lb>occurrit asymptoto DG. </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 10].</s></p> <p type="main"> <s>Applicentur per A et per B <lb></lb>rectae, eritque AC major quam <lb></lb>DB, ergo AB, CD concurrunt. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma II.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si in hyperbola recta [Fig. 10] <lb></lb>AB sectionem bis secat, quaelibet <lb></lb>EF ipsi parallela sectionem bis <lb></lb>secabit. </s></p> <p type="main"> <s>Asymptotus enim CD occurrit uni parallelarum AB, <lb></lb>quare etiam alteri EF occurret etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma III.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Ellipses similes sunt ut diametrum quadrati. </s></p> <p type="main"> <s>E delli antichi. </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 11].</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma 4.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Armilla ellipsium [Fig. 11] si<lb></lb>milium ad quamlibet similem el<lb></lb>lipsem est ut quadratum aliquod <lb></lb>armillae ad quadratum semidiame<lb></lb>tri similis. </s></p> <p type="main"> <s>Ponantur axes AB, DE, eritque <lb></lb>ellipsis AH ad HC ut quadratum <lb></lb>AH ad HC, et dico deinde armilla <lb></lb>ad ellipsim CH erit ut quadra<lb></lb>tum ACB ad quadratum CH, progrediendo autem et ex <pb pagenum="171"></pb>aequo erit armilla AC ad ellipsem similem DE ut qua<lb></lb>dratum ACB ad quadratum CE. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma 5.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Se un conoide iperbolico insieme col suo cono asinto<lb></lb>tale sarà segato obliquamente con un piano, bisogna pro<lb></lb>vare, che l'ellisse del cono sia simile a quella del conoide. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOS. V.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Se il conoide iperbolico nel suo cono asintotale sarà <lb></lb>segato obliquamente con piani paralleli, saranno le armille <lb></lb>ellittiche tutte eguali all'ellipse AB (parallelo, e tangente <lb></lb>il conoide) e però fra di loro eguali etc. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Si sa, che il quadrato CDE è eguale al quadrato AI; <lb></lb>ma l'armilla ellittica CD alla simile ellipsi AB, stà come <lb></lb>il quadrato CDE al quadrato AI (per lemma), ergo etc. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg375"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg375"></margin.target>Ivi, <lb></lb>carta 52 r.</s></p> <p type="main"> <s>Esto conoides hyperbolicum in </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 12].<lb></lb>cono ab asymptotis facto. </s><s>Dico <lb></lb>omnes ellipses, quae fiunt a plano <lb></lb>tangente conoides inter se esse ut <lb></lb>axer majores. </s></p> <p type="main"> <s>Esto una ellipsis, cujus axis <lb></lb>major [Fig. 12] CED, sitque AB <lb></lb>circulus. </s><s>Iam semiaxis minoris <lb></lb>quadratum, in ellipsi cujus axis <lb></lb>major est CD aequale est quadrato <lb></lb>GEH, sive quadrato FB, ergo se<lb></lb>miaxis aequalis est rectae FB; <lb></lb>propterea ellipsis ad circulum erit ut CD ad AB, et sic <lb></lb>de reliquis. </s></p> <pb pagenum="172"></pb> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg376"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg376"></margin.target>Ivi, <lb></lb>carta 52 r.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOS. VI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>In eadem figura dico omnes conos, quorum duo sint <lb></lb>ALB, CLD esse aequales. </s></p> <p type="main"> <s>Nam ob hyperbolam aequalia sunt rectangula ALB, <lb></lb>CLD, ideo aequalia triangula ALB, CLD (nihil refert <lb></lb>utrum angulus ad L sit rectus); ergo bases et altitudines <lb></lb>erunt reciprocae, nempe ut CD ad AB, ita FL ad LI. <lb></lb>Ergo etiam coni sunt aequales, nam ut recta CD ad <lb></lb>AB, ita ellipsis CD ad circulum AB. Duo itaque coni <lb></lb>habent altitudines basibus reciprocas, ergo sunt aequales. </s><s><lb></lb>Ergo etc. <lb></lb> <arrow.to.target n="marg377"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg377"></margin.target>Ivi, <lb></lb>carta 52 r.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOS. VII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>In qualibet ex conoidalibus figuris si secetur exterior <lb></lb>asymptota plano interiorem figuram contingente portiones <lb></lb>abscissae aequales erunt. <lb></lb> <arrow.to.target n="marg378"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg378"></margin.target>Ivi, <lb></lb>carta 247 r.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOS. VIII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Conoide parabolico secto plano utcumque ad axem in<lb></lb>clinato reliquum conoidis dempto cono inscripto aequale <lb></lb>est sphaeroidi etc. </s></p> <p type="main"> <s>Esto conoides parabolicum </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 13].<lb></lb>[Fig. 13] secto plano EF ad <lb></lb>planum per axem erecto utcum<lb></lb>que, sitque diameter conoidis AB <lb></lb>qua bifariam secta in G agatur <lb></lb>HGI, et per puncta ABCD elli<lb></lb>psis describatur cujus axe re<lb></lb>perto convertatur circa ipsum <lb></lb>ut fiat sphaerois. </s></p> <p type="main"> <s>Iam armillam ellipticam HC <lb></lb>aequalem esse ellipsi CG patet quia quadratum HCD ae<lb></lb>quale est quadrato CG. </s></p> <pb pagenum="173"></pb> <p type="main"> <s>Quadratum enim EA duplum est quadrati HG, quia <lb></lb>linea BA dupla est lineae BG, et quadratum EA est qua<lb></lb>druplum CG, ergo HG duplum est CG, et dividendo ar<lb></lb>milla HC aequalis ellipsi CG. </s></p> <p type="main"> <s>Rectangulum vero HCI ad LMD est ut quadratum <lb></lb>BCE ad BME (per ostensa) sive ut BGA ad BNA, nempe <lb></lb>ut ellipsis CG ad ellipsem PN; ergo armilla elliptica LM <lb></lb>aequatur ellipsi PN, et hoc semper. </s><s>Ergo etc. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>FINE DELL'APPENDIX E DELLA <lb></lb>NOVA PER ARMILLAS STEREOMETRIA.<emph.end type="center"></emph.end></foreign></s> </p> <pb></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>DE CENTRO GRAVITATIS <lb></lb>PLANORUM AC SOLIDORUM.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <pb></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>AVVERTIMENTO.<emph.end type="center"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">La seguente memoria si connetta a quella che tratta <emph type="italics"></emph>De centro gravitatis sectoris <lb></lb>circuli<emph.end type="italics"></emph.end> (p. 57-77 del presente volume) e non venne inserita in seguito a questa consi<lb></lb>derando che sono ivi considerate alcune figure il cui studio si trova iniziato nel <lb></lb>precedente lavoro <emph type="italics"></emph>De vasiſormis stereometria.<emph.end type="italics"></emph.end> Di essa nel Vol. </foreign></s> <s><foreign lang="it">XXXVI della raccolta <lb></lb>“ <emph type="italics"></emph>Discepoli di Galileo<emph.end type="italics"></emph.end> ”, si trovano quattro esemplari, uno autografo, un altro in <lb></lb>copia del Serenai, uno terzo di mano del Viviani, un ultimo preparato per la stampa: <lb></lb>ciò prova quanta importanza sia stata in essa ravvisata dai più fedeli interpreti del <lb></lb>pensiero torricelliano. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Però essi stessi vi ravvisarono molte imperfezioni e manche<lb></lb>volezze sia nell'ordinamento che nel dettato, le quali certamente sarebbero state <lb></lb>tolte dall'autore se egli — che invece “ aveva la testa piena di vetri ” (queste <emph type="italics"></emph>Opere,<emph.end type="italics"></emph.end><lb></lb>T. III, p. 107) — avesse potuto dare l'ultima mano al testo ed alle figure; essi ten<lb></lb>tarono di sostituirsi all'autore preparando la copia da servire alla stampa; ma <lb></lb>sembra che, nel momento di consegnarla al tipografo, il Viviani si sia avveduto <lb></lb>che la scrittura frutto delle sue fatiche non rispecchiava più fedelmente le idee <lb></lb>dell'autore, onde lasciolla inedita. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>La memoria in questione vien quì pubblicata generalmente secondo l'autografo, <lb></lb>il che non era stato finora fatto. </s> <s><foreign lang="it">Però larghi estratti ne furono inseriti dal Caverni <lb></lb>nel T. V (Firenze, 1898) della sua <emph type="italics"></emph>Storia del metodo sperimentale in Italia.<emph.end type="italics"></emph.end> Inoltre i <lb></lb>più cospicui teoremi che la formano erano stati prima fatti conoscere agli amici <lb></lb>dall'autore stesso in lettere private (v. </foreign></s> <s><foreign lang="it">queste <emph type="italics"></emph>Opere.<emph.end type="italics"></emph.end> T. III, p. 67, 70, 102, 104, 107, <lb></lb>112, 117, 342, 365, 368, 370, 402); le date di queste lettere, che vanno dal 3 febbraio 1642 <lb></lb>al 7 luglio 1646, stanno a provare l'assiduità e l'impegno con cui il Torricelli coltivò <lb></lb>un campo di cui egli aveva ravvisata la grande ubertosità ed in cui egli, forse meglio <lb></lb>che in qualunque altra occasione, seppe affermarsi pensatore originale. </foreign></s> </p> <pb></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>DE CENTRO GRAVITATIS <lb></lb>PLANORUM AC SOLIDORUM<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Centrum gravitatis parallelogrammum.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Supponitur: Congruentium figurarum centra gravitatis <lb></lb>congruere. </s></p> <p type="main"> <s>Item unius figure unum esse gravitatis centrum. </s></p> <p type="main"> <s>Quodlibet parallelogrammum habet centrum gravitatis <lb></lb>in recta quae bifariam secat opposita latera. </s></p> <p type="main"> <s>Esto parallelogrammum </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 1].<lb></lb>[Fig. 1] ABCD recta bise<lb></lb>cans opposita latera sit EF, <lb></lb>dico in EF esse centrum <lb></lb>gravitatis parallelogrammi. </s></p> <p type="main"> <s>Nisi enim sit in EF esto <lb></lb>illud G, et productis AB in <lb></lb>H, DC in I, FE in L. Esto <lb></lb>parallelogrammum BI ae<lb></lb>quale ipsi AC. Superposita <lb></lb>ergo recta BC super AD, anguloque HBC super angulo <lb></lb>BAD congruet parallelogrammum BI cum parallelogram<lb></lb>mo AC, et recta EL cum FE, punctumque aliquod M in <lb></lb>parallelogrammo EI congruet cum puncto G, cumque G <lb></lb>sit centrum parallelogrammi AC, erit M centrum paralle<lb></lb>logrammi congruentis BI. </s></p> <pb pagenum="178"></pb> <p type="main"> <s>Invertatur jam parallelogrammum BI super eadem basi <lb></lb>BC, ita ut angulus HBC (mutato loco) sit NCB angulus, <lb></lb>vero ICB mutato loco sit ipse OBC, recta vero EI mutata <lb></lb>positione sit eadem ac ipsa EP. Punctum vero M idem <lb></lb>sit ac ipsum <expan abbr="q.">que</expan> </s></p> <p type="main"> <s>Inclinato jam parallelogrammo BONC super parallelo<lb></lb>grammo BADC ita ut latus BC commune maneat, con<lb></lb>gruent. </s><s>Congruentque parallelogrammum BP ipsi BF, et <lb></lb>punctum Q congruet cum aliquo puncto R in parellelo<lb></lb>grammo BF. Cum autem punctum Q centrum sit paralle<lb></lb>logrammi BONC, erit R centrum gravitatis parallelogrammi <lb></lb>congruentis BADC; sed ejusdem centrum gravitatis erat <lb></lb>G. Ergo: Centrum gravitatis parallelogrammi est in dia<lb></lb>metro. </s></p> <p type="main"> <s>Ostenditur pari ratione ac praecedens suppositis iisdem. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph> PROPOSITIO.<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Centrum gravitatis trianguli est in recta linea, quae ab angulo <lb></lb>ducta latus oppositum bifariam secat.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Esto triangulum [Fig. 2] ABC cujus gravitatis cen<lb></lb>trum sit D et ducta CDE; dico CE secare bifariam AB. </s></p> <p type="main"> <s>Ducantur per D, FDG parallela </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 2].<lb></lb>ad AC, et IDH parallela a BC. </s></p> <p type="main"> <s>Quoniam AB est libra, ad sin<lb></lb>gula ipsius puncta magnitudines <lb></lb>pendent (nempe lineae parallelae <lb></lb>ad latus BC) habentque ipsae ma<lb></lb>gnitudines inter se (ob 4<emph type="sup"></emph>am<emph.end type="sup"></emph.end> sexti) <lb></lb>eamdem rationem quam distantiae <lb></lb>ab extremo librae puncto A et <lb></lb>omnium centrum per suppositio<lb></lb>nem est in IH una ipsarum. </s></p> <p type="main"> <s>Item, quoniam AB est libra, et ex singulis ipsius <lb></lb>punctis magnitudines pendent (nempe lineae parallelae ad <pb pagenum="179"></pb>latus AC) habentque magnitudines eamdem rationem quam <lb></lb>distantiae ab extremo librae puucto B, et omnium cen<lb></lb>trum est in FG per suppositionem. </s></p> <p type="main"> <s>Erit libra AB secta in eadem ratione, nempe ut AI <lb></lb>ad IB, ita BF ad FA, et componendo AB ad BI ut BA ad <lb></lb>AF, quare aequales erunt AF, IB. Quoniam vero AF <lb></lb>ad FE est ut CD ad DE, sive ut BI ad IE, erunt aequales <lb></lb>etiam FE, EI. Ergo aequales AE, EB. Quod etc. . </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Cujuscumque figurae ex duobus semiparabolis compo<lb></lb>sitae, ita ut diametros aequales et in directum habeant, <lb></lb>basem vero communem, centrum gravitatis est in basi. </s></p> <p type="main"> <s>Sint duae semipara</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 3].<lb></lb>bolae [Fig. 3] ABC, CBD, <lb></lb>quarum diametri aequa<lb></lb>les, et indirectum sint <lb></lb>AC, CD, basis vero com<lb></lb>munis CB. Dico hujus<lb></lb>modi figurae centrum <lb></lb>gravitatis esse in basi <lb></lb>communi CB. </s></p> <p type="main"> <s>Producatur basis BC <lb></lb>in E ut sint aequales BC, <lb></lb>CE, tum utraque para<lb></lb>bola perficiatur. </s><s>Eritque <lb></lb>altera alteri eadem pa<lb></lb>rabola, et congruent mutuo, secta deinde BC bifariam in F <lb></lb>ducatur GH parallela ipsi AD, junctisque AB, BD erunt <lb></lb>GM, NH diametri parabolarum AGB, BHD, et erunt ae<lb></lb>quales inter se. </s><s>Sint I et L centra gravitatis parabolarum <lb></lb>AGB, BHD, eruntque aequales IM, NL, sed etiam MF, FN <lb></lb>sunt aequales, ergo totae IF, FL aequales erunt; sunt <lb></lb>autem aequales semiparabolae ABC, CBD, cum utraque <pb pagenum="180"></pb>aequalis sit semiparabolae EDC (ipsa enim ABC cum <lb></lb>EDC eadem est et congruit, ipsa vero CBD cum EDC <lb></lb>a diametro bifariam dividitur); demptis itaque aequalibus <lb></lb>triangulis erunt aequales parabolae AGB, DBH, et pun<lb></lb>ctum F erit earum centrum gravitatis, etiam trianguli <lb></lb>ABD cent. </s><s>gr. </s><s>est in BC, ergo et totius figurae. </s><s>Quod <lb></lb>erat etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Cujuscumque semiparabolae centrum gravitatis est in <lb></lb>linea basi aequidistante, et per centrum totius producta. </s></p> <p type="main"> <s>Esto parabola [Fig. 4] ABC, </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 4].<lb></lb>cujus diameter BD, centrum gra<lb></lb>vitatis totius sit E, ductaque EG <lb></lb>parallela ipsi basi DC. Dico cen<lb></lb>trum gravitatis semiparabolae <lb></lb>DBC esse in recta EG. Sit enim <lb></lb>si possibile est extra puncta I, <lb></lb>junctaque, et producta IE tran<lb></lb>sibit ipsa IE per centrum gravi<lb></lb>tatis alterius semiparabolae (per <lb></lb>8 p.<emph type="sup"></emph>mi<emph.end type="sup"></emph.end> <emph type="italics"></emph>Equip.<emph.end type="italics"></emph.end>) esto illud F, duc<lb></lb>tisque IL, FH diametro paralle<lb></lb>lis, erunt aequales DH, DL ; sunt enim utraeque 3/8 ae<lb></lb>qualium DA, DC ideo aequales erunt etiam FE, EI; et <lb></lb>propterea semiparabolae aequales erunt. </s></p> <p type="main"> <s>Producatur BD in N, ita ut sint aequales BD, DN, et <lb></lb>per puncta ANC transeat parabola circa diametrum ND, <lb></lb>eritque penitus eadem cum parabola ABC, nam superpo<lb></lb>sitae invicem congruunt. </s><s>Iam, producta IL ut LM sit ae<lb></lb>qualis ipsi LI, erit M centrum semiparabolae CND, ed ideo <lb></lb>congruent cum centro F, eruntque aequales FH, LM, et <lb></lb>ideo etiam FH, LI eruntque parallelae HL, FI. Quod est <lb></lb>impossibile etc. </s></p> <pb pagenum="181"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Sit frustum parabolae [Fig. 5] ABCD; ostendendum <lb></lb>ita esse DG ad GI ut IH ad HL. Item trapezium inscri<lb></lb>ptum ad reliquas parabolas </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 5].<lb></lb>frusti ita esse ut quadratum <lb></lb>DG ad tertiam partem qua<lb></lb>drati GA. </s></p> <p type="main"> <s>Recta IH ad GB est ut <lb></lb>IA ad AG, sive (sumpta <lb></lb>communi altitudine GD) ut <lb></lb>rectangulum sub IA, GD ad <lb></lb>rectangulum AGD. Recta <lb></lb>vero GB ad IL est ut rectan<lb></lb>gulum AGD ad AID; ergo <lb></lb>ex aequo IH ad IL erit ut <lb></lb>rectangulum sub IA, GD ad <lb></lb>rectangulum AID, nempe ut recta GD ad DI, ergo di<lb></lb>visim DG ad GI erit ut IH ad HL. </s></p> <p type="main"> <s>Producatur jam diameter HL parabolae ALB, usque <lb></lb>in M, ita ut MH sesquitertia sit diametro HL; erit trian<lb></lb>gulum altitudine MH, basi vero dupla HN aequale para<lb></lb>bolae ALB. </s></p> <p type="main"> <s>Triangulum BAC ad parabolam ALB, sive ad triangu<lb></lb>lum praedictum, rationem habebit compositam ex ratione <lb></lb>altitudinum BG ad HM, sive IH ad duas tertias HL, sive <lb></lb>DG ad duas tertias GI, et ex ratione basium BE ad HN, <lb></lb>sive FG ad GI; ergo triangulum BAC ad parabolam ALB <lb></lb>erit ut rectangulum DGF ad rectangulum DGF ad rectan<lb></lb>gulum sub IG et sub duabus tertiis IG, nempe ad duas <lb></lb>tertias quadrati GI [praedicta enim rectangula ex iisdem <lb></lb>rationibus componantur ]. </s></p> <p type="main"> <s>Triangulum vero ACD ad BAC est ut DA ad BC, velut <lb></lb>DF ad FG, sive ut rectangulum FDG ad FGD, ergo ex <lb></lb>aequo triangulum ACD ad parabolam ALB erit ut rectan<lb></lb>gulum FDG ad 2/3 quadrati GL, et per 24 quinti, tra- <pb pagenum="182"></pb>pezium ad parabolam ut quadratum DG ad 2/3 quadrati GI, <lb></lb>duplicando consequentia erit idem trapezium ad duas pa<lb></lb>rabolas residuos (?) ut quadratum DG ad 4/3 quadrati GI, <lb></lb>sive ad 1/3 quadrati GA, quod volebam ostendere. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Sit [v. </s><s>Fig. prec.] centrum duarum parabolarum O, ergo <lb></lb>PO erit duae quintae ipsius HL, et ideo FP ad PO, sive EP <lb></lb>ad PO, erit DG ad 2/5 GI, sive ut DG ad 1/3 GA, sum<lb></lb>ptisque quintuplis erit EP ad PO ut DG quinquies ad <lb></lb>GA; semel (factisque argumentis) erit EO ad OF ut DG <lb></lb>quater cum GQ semel ad DG quinquies una cum GA se<lb></lb>mel. </s><s>Nempe ut duae bases majores cum tribus minoribus <lb></lb>ad tres majores cum duabus minoribus. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si tres rectae lineae [Fig. 6] BA, CA, DA, in aritme<lb></lb>tica ratione fuerint, et earum </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 6].<lb></lb>partes proportionales EA, FA, <lb></lb>GA in aritmetica proportione <lb></lb>erunt. </s></p> <p type="main"> <s>Esto ut ponitur nempe BA ad AE, ut CA ad AF, et <lb></lb>ut DA ad AG. </s></p> <p type="main"> <s>Cum enim BA ad AE sit ut CA ad AF. Erit permu<lb></lb>tando, dividendo et permutando BC ad EF ut CA ad AF, <lb></lb>sive ob suppositionem ut DA ad AG, sed eodem modo <lb></lb>ostenditur CD ad FG esse ut DA ad AG. Ergo, per 11 <lb></lb>quinti, erit BC ad EF ut CD ad FG; sed antecedentia sunt <lb></lb>aequalia, ergo etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Aliter.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Quoniam per suppositionem BA ad AE est ut CA ad <lb></lb>AF. Erit permutando, dividendo et convertendo AC ad CB <lb></lb>sive ad aequalem CD ut AF ad FE. Amplius quia CA <lb></lb>ad AF est ob suppositionem ut DA ad AG, erit permu<lb></lb>tando, et per conversionem rationis AC ad CD ut AF ad <lb></lb>FG: ergo, per 11 quinti, aequales sunt GF, FE. Quod etc. </s></p> <pb pagenum="183"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOS.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Centrum gravitatis coni secat axem ut pars ad verti<lb></lb>cem sit ad reliquam in ratione 3 ad 1. </s></p> <p type="main"> <s>Supponitur cylindricas superficies esse inter se ut ea<lb></lb>rumdem rectangula per axem. </s></p> <p type="main"> <s>Esto conus [Fig. 7] ABC cujus axis BD et ab omnibus <lb></lb>punctis rectae DC intelligan</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 7].<lb></lb>tur parallelae ad axem BD. <lb></lb>Quae quidem parallelae to<lb></lb>tidem cylindricas superficies <lb></lb>in revolutione describunt, <lb></lb>quae simul omnes cylindri<lb></lb>cae superficies idem sunt ac <lb></lb>ipse conus. </s></p> <p type="main"> <s>Harum superficierum (si <lb></lb>dici hoc potest) extremae <lb></lb>sunt, recta DB, et peripheria, <lb></lb>cujus diameter AC. Illiusque <lb></lb>centrum est punctum E medium axis BD, istius vero <lb></lb>punctum D (quae quamvis scripsevim, tamen non sunt <lb></lb>necessaria ad demonstrationem). </s></p> <p type="main"> <s>Secetur libra ED bifariam in O. Dico omnes praedictas <lb></lb>cylindricas superficies centrum habere gravitatis in O. </s></p> <p type="main"> <s>Sumantur PG, FH aequaliter remotae a punctis D et C, <lb></lb>sintque ipsarum rectangula per axem PI, FL, quae sunt <lb></lb>aequalia; nam FD ad DP est ut PC ad CF, vel ut PG <lb></lb>ad FH. Ergo per praemissam suppositionem aequales erunt <lb></lb>cilindricae superficies. </s></p> <p type="main"> <s>Sint V, S puncta media rectarum MD, DN. </s></p> <p type="main"> <s>Quoniam CF aequalis est ipsi FD, sive MG, erunt per <lb></lb>4 sexti, aequales FH, sive DN, et MB. Ergo DN, DE, DM <lb></lb>in aritmetica sunt proportione, quare etiam earum semis<lb></lb>ses DS, DO, DV. Si ergo sunt aequales SO, OV erit O <lb></lb>centrum duarum cylindricarum superficierum FH, PG, et <lb></lb>sic semper, ergo O est centrum omnium nempe coni. </s><s>Quod <lb></lb>erat etc. </s></p> <pb pagenum="184"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOS.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Se nel prisma triangolare [Fig. 8] sarà tirato un piano <lb></lb>parallelo ad un paralle</foreign></s> </p> <figure></figure> <p type="caption"> <s><foreign lang="it">[Fig. 8].<lb></lb>logrammo di esso, il quale <lb></lb>seghi un lato CA in ra<lb></lb>tione dupla, passerà que<lb></lb>sto piano per il centro <lb></lb>del prisma. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Sia fatto, e divisa DE <lb></lb>bifariam in I, tirisi la <lb></lb>CIF, e poi la IL paral<lb></lb>lela alla DH. Sarà dunque la IL quella, che congiunge <lb></lb>i centri delle basi opposte, però in essa è il centro di <lb></lb>tutto. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Definizione.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Prismale solidum voco </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 9].<lb></lb>solidum illud, quod fit ex <lb></lb>sectione obliqua prismatis <lb></lb>triangularis, servata una ex <lb></lb>faciebus parallelogrammis. </s></p> <p type="main"> <s>Esempio: sit prisma cujus <lb></lb>bases oppositae [Fig. 9] BAC, <lb></lb>DEF, seceturque plano ACH, <lb></lb>servata una ex faciebus paral<lb></lb>lelogrammis puta CE. Hujus<lb></lb>modi solidum prismale voco. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Se il prismale [v. </foreign></s> <s>Fig. prec.] AD sarà segato con un <lb></lb>piano LM parallelo al parallelogrammo CE opposto al <lb></lb>lato DB prolungato, sarà la sezione un parallelogrammo. </s></p> <pb pagenum="185"></pb> <p type="main"> <s>Poichè essendo paralleli i piani LM, AF sarà la IL <lb></lb>parallela alla CA, cioè alla FE, cioè alla MN. Così anco <lb></lb>sarà IM parallela alla CF, cioè alla AE, cioè alla LN. <lb></lb>Quare etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Suppositio.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Si suppone, che se alquante, o infinite magnitudini <lb></lb>habbiano il centro della gravità nella medesima linea <lb></lb>retta, il centro di tutte sia nella stessa retta. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOS.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ogni prismale ha il centro in quella linea, la quale <lb></lb>parte dal centro della base parallelogramma e va alla <lb></lb>metà della linea opposta. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Sia il prismale </foreign></s> </p> <figure></figure> <p type="caption"> <s><foreign lang="it">[Fig. 10].<lb></lb>la cui base [Fig. 10] <lb></lb>AB, e centro della <lb></lb>base C, e la DCE <lb></lb>parallela alla FA, <lb></lb>e si tirino dal punto <lb></lb>medio M della op<lb></lb>posta linea PQ, le <lb></lb>ME, MD. Poi calato <lb></lb>qualunque piano GN <lb></lb>parallelo alla base, <lb></lb>perchè sono eguali <lb></lb>AE, EP, saranno <lb></lb>anco GH, HL, e perchè sono eguali EC, CD, saranno anco <lb></lb>HI, IO; però I sarà centro del parallelogrammo GN. E così <lb></lb>di tutti; dunque il centro del prismale sta nella retta MC, <lb></lb>la quale etc. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>La linea MC la diremo asse. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Se le parti d'una grandezza avranno il centro in due <lb></lb>piani paralleli, il centro di tutta sarà fra essi piani. </foreign></s> </p> <pb pagenum="186"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOS.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Se sarà un prismale, come nella passata, ma però, che <lb></lb>la prolungata [Fig. 11] AB sia eguale alla AC, il centro <lb></lb>di questo solido sarà nella linea, la quale parte da A, e <lb></lb>va al centro della figura DE (per la precedente dimostra</foreign></s> </p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 11].<lb></lb>zione) ma la divide in maniera che la parte verso A alla <lb></lb>rimanente sta come 5 a 3. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Seghisi MA, sì che la AH sia doppia di HM, e tirato <lb></lb>il piano GHF parallelo alla faccia DE, sarà in esso il <lb></lb>centro del prisma. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Segando poi MA bifariam in I, tirato <lb></lb>il piano IL parallelo al DE, saranno segate per mezzo <lb></lb>quattro linee della piramide (per la 17<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> dell' 11<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end>) et in esso <lb></lb>sarà il centro della piramide. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ora, pongasi che il centro del prisma sia R, e della <lb></lb>piramide sia S, e tirisi la RS, quale segherà per forza la <lb></lb>AN (la quale va da A al centro della faccia DE). </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Poichè se in SR è il centro di tutto, et è anco in AN, <lb></lb>però devono concorrere, e sarà il concorso il centro di <lb></lb>tutto, sia dunque Q, sarà SQ alla QR come il prisma alla <lb></lb>piramide, cioè tripla. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Immaginiamoci prolungato in infinito <lb></lb>il piano LI, sì che seghi AN verbigratia in P; sarà dunque <lb></lb>anco PQ tripla di QO. Ma essendo AP, PN, siccome sono <lb></lb>AI, IM eguali et essendo AO dupla di ON, siccome AH <pb pagenum="187"></pb>è dupla di HM, fatto il conto sarà tutta la AQ alla QN <lb></lb>come 15 a 9, ovvero come 5 a 3. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Il centro dell'hemisfero sta nell'asse (e questo si è <lb></lb>provato) in tal luogo, che sia come 5 a 3. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Sia il quadrante [Fig. 12] BAC, il cui asse AC. Im<lb></lb>maginisi AD eguale alla semiperiferia del circolo, e sia <lb></lb>l'angolo BAD retto, e finiscasi il rettangolo BD, che sarà </foreign></s> </p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 12].<lb></lb>eguale al suo cerchio. </s> <s><foreign lang="it">Poi tirisi la BC, e sopra il trian<lb></lb>golo BAC facciasi il prisma BGA con l'altezza AD, e pro<lb></lb>dotta AH eguale ad AC tirisi la HD sì che seghi la CG <lb></lb>prodotta in E, e facciasi la piramide FDGE. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Tirisi ora l'applicata MN, e per essa un piano LO pa<lb></lb>rallelo al piano BD; sarà il rettangolo LO eguale al cir<lb></lb>colo MN. Forma un lemma così, che il rettangolo HNC <pb pagenum="188"></pb>sia come il rettangolo BD ad LO; ratio est, perchè il ret<lb></lb>tangolo HAC al rettangolo HNC ha ratione composta di <lb></lb>AH ad HN, cioè AD ad NO, e di AC a CN, ovvero AB <lb></lb>ad NL, però etc. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Hora il cerchio AB al cerchio MN sta come il qua<lb></lb>drato AB al quadrato MN, cioè come il rettangolo HAC <lb></lb>al rettangolo HNC, ovvero come il rettangolo BD ad LO. <lb></lb>Gli antecedenti sono eguali, ergo et i conseguenti. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Fatta ora libra AC abbiamo alla libra attaccate gran<lb></lb>dezze rettangole, ed altrettante circolari, ciascuna eguale <lb></lb>a ciascuna, però li centri saranno nel medesimo perpen<lb></lb>dicolo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ovvero il perpendicolo, che passa per i centri di<lb></lb>viderà la libra nell'istesso punto. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Piuttosto così; ma i rettangoli equiponderano dal punto, <lb></lb>che divide la libra come 5 a 3, ergo anco i circoli etc. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">In qualunque figura girata circa axem l'istesso è il <lb></lb>centro di tutti i quadrati, che è di tutti i cerchi; facciasi <lb></lb>[Fig. 13] come il quadrato AF </foreign></s> </p> <figure></figure> <p type="caption"> <s><foreign lang="it">[Fig. 13].<lb></lb>al BG, così la BC alla CA, e <lb></lb>sarà C centro delli due quadrati, <lb></lb>e perchè BC alla CA sta come <lb></lb>il quadrato AF al BG, cioè <lb></lb>come il circolo AF al BG, sarà <lb></lb>anco C centro delli due cerchi; <lb></lb>facciasi poi, come li due quadrati <lb></lb>AF, DH al quadrato DH, così DE <lb></lb>ad EC, e sarà E centro delli tre quadrati. </foreign></s> <s>Ma perchè <lb></lb>DE ad EC sta come li due quadrati AB al DH, cioè come <lb></lb>li due cerchi AF, BG al cerchio DH, sarà anco E centro <lb></lb>de cerchi e così sempre. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Aliter praecedens Proposit.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end><emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Poteva construirsi la precedente proposizione anco così, <lb></lb>e servirsi del lemma antecedente. </foreign></s> <s>Pongasi [Fig. 14] AD <pb pagenum="189"></pb>eguale alla AB, acciò BD </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 14].<lb></lb>venga quadrato. </s> <s><foreign lang="it">E fatta la fi<lb></lb>gura, sarà il rettangolo LO <lb></lb>eguale al quadrato MN. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Hora dunque essendo libra <lb></lb>AC, et ad essa attaccati ret<lb></lb>tangoli et altrettanti quadrati, <lb></lb>l'istesso punto sarà quello dal <lb></lb>quale sospesa la libra, le gran<lb></lb>dezze equipondereranno. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma <lb></lb>per il lemma l'istesso è il <lb></lb>centro di tutti i quadrati, che <lb></lb>di tutti i cerchi, però anco <lb></lb>tutti i cerchi, cioè l'hemisfe<lb></lb>rio, ovvero hemisferoide, ha il <lb></lb>centro sì che sia come 5 a 3. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma 1.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Prismale solidum dividitur in prisma et piramidem, quae <lb></lb>piramis eamdem cum </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 15].<lb></lb>prismate basim habet. </s></p> <p type="main"> <s>Sit prismale, cujus <lb></lb>facies parallelogramma <lb></lb>sit [Fig. 15] AD, et du<lb></lb>catur AI parallela ad <lb></lb>BF, jungaturque CI. <lb></lb>Erunt ergo duae IA, AC <lb></lb>parallelae duabus FB, <lb></lb>BD, et ideo planum IAC <lb></lb>parallelum plano FBD. <lb></lb>Quare prisma erit ADI, <lb></lb>sit ACEI piramis est, <lb></lb>quae basim ACI eamdem cum prismate habet, ergo etc. . </s></p> <pb pagenum="190"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma 2.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 16].</s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Il prismale alla pira<lb></lb>mide sta come la tripla <lb></lb>[Fig. 16] di AB alla BC; <lb></lb>poichè il prisma DA <lb></lb>alla piramide BDIA sta <lb></lb>come la tripla di AB <lb></lb>alla AB, e la piramide <lb></lb>BDIA alla BDIC sta <lb></lb>come AB alla BC. Ergo <lb></lb>ex aequo etc. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOS.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Il centro del prismale sta nell'asse segato, sì che <lb></lb>[Fig. 17] AB sia la metà di esso e la AC sia un terzo. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>E poi si faccia come la tripla di DE alla EF, così la BI <lb></lb>alla IC; sarà il punto I centro del prismale. </foreign></s> </p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 17].</s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Si divida col piano EGH, che fa la piramide G poi <lb></lb>segata HN un terzo di HE et HE per mezzo in L, passino <lb></lb>per N e per L, i piani NO, LM; quello passerà per il <lb></lb>centro del prisma, questo della piramide. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Sia dunque nel <lb></lb>piano NO il punto R centro del prisma e nel piano LM <pb pagenum="191"></pb>il punto Q centro della piramide congiunta QR, in essa <lb></lb>sarà il centro totale, però bisogna, che QR seghi PA; <lb></lb>seghila in I et I sarà il centro totale. </foreign></s> <s>E supponiamo che <lb></lb>il piano NO passi per C et LM passi per B, sarà dunque <lb></lb>(per la 17 dell'XI) come EN ad NH, così PC alla CA, e <lb></lb>come EL ad LH, così PB alla BA. Dunque è data la <lb></lb>sezione BC un sesto dell'asse. </s> <s><foreign lang="it">E segandosi QR, BC fra <lb></lb>piani paralleli, sarà BI alla IC come QI alla IR, cioè <lb></lb>come il prisma alla piramide, cioè come tre DE alla EF. <lb></lb>Quod etc. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Se alla libra saranno attaccate in distanze eguali ma<lb></lb>gnitudini utrinque, che abbiano i centri nella libra, le <lb></lb>quali, prese a due a due, sieno uguali, il centro sarà nel <lb></lb>mezzo della libra. </foreign></s> <s>Patet. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOS.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Se dall'hemisferio sarà levato il </foreign></s> </p> <figure></figure> <p type="caption"> <s><foreign lang="it">[Fig. 18].<lb></lb>cono, dico, che il centro del bicchiere, <lb></lb>che resta sta nel mezzo dell'asse AB. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Mettasi [Fig. 18] AB per libra, e <lb></lb>prendansi eguali AC, DB, saranno anco <lb></lb>uguali OE, IB; ma l'armilla di EF alla <lb></lb>armilla di IG (le quali sono grandezze <lb></lb>che hanno il centro nella libra AB) sta <lb></lb>come il rettangolo FEM cioè OEB (ob <lb></lb>circulum), cioè OIB (ob aequalitatem), <lb></lb>cioè il rettangolo GIN al rettangolo <lb></lb>GIN, però sono eguali, et sic semper <lb></lb>etc.; ergo solidum vasiforme a bilineo OGB genitum habet <lb></lb>centrum gravitatis in medio axis AB. Quod etc. </foreign></s> </p> <pb pagenum="192"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Per mostrar questo anco nel bicchiere della hemisfe<lb></lb>roide procederemo così. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Sia la hemisferoide [Fig. 19] ABC, dalla quale leva il <lb></lb>cono, e fatta la figura EB, </foreign></s> </p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 19].<lb></lb>prendi eguali EM, IB, et <lb></lb>anco EF eguale ad EM. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">E prova genericamente <lb></lb>per via di Lemma, che il <lb></lb>cerchio MH alla sua ar<lb></lb>milla GH sta come il qua<lb></lb>drato BM al rettangolo <lb></lb>MBE preso due volte. </foreign></s> <s>E <lb></lb>poi seguita così. </s> <s><foreign lang="it">L'armilla <lb></lb>GH al cerchio MH sta <lb></lb>come il rettangolo BME preso due volte al quadrato MB. <lb></lb>Il cerchio poi HM al cerchio RI sta come il quadrato MB <lb></lb>al quadrato BI, et il cerchio RI alla sua armilla sta come <lb></lb>il quadrato BI al rettangolo BIE preso due volte, adunque <lb></lb>ex aequo, et sumptis consequentium dimidiis, l'armilla <lb></lb>GH alla LR sta come il rettangolo BME al rettangolo <lb></lb>BIE, cioè eguali [e così sempre et adunque il centro <lb></lb>del bicchiere dell'hemisferoide è nel mezzo dell'asse EB. <lb></lb>Quod etc. ]. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOS.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Centrum gravitatis superficiei conicae est in axe ita ut <lb></lb>pars ad verticem reliquae sit dupla. </s></p> <p type="main"> <s>Esto conica superficies [Fig. 20] ABC cujus axis BD, <lb></lb>sitque BE dupla ad ED. Dico E esse centrum gravitatis. </s></p> <p type="main"> <s>Secetur enim superficies planis FG, et HI ad axem <lb></lb>erectis unicumque, sitque peripheria, quae per F, ad pe- <pb pagenum="193"></pb>ripheriam, quae per H, et FN ad HM, </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 20].<lb></lb>et hoc semper. </s><s>Ergo ad libram BD <lb></lb>pendent quaedam magnitudines nempe <lb></lb>peripheriae, et totidem magnitudines <lb></lb>ipsis ex ordine proportionales, nempe <lb></lb>lineae rectae, ergo commune centro <lb></lb>habebunt. </s></p> <p type="main"> <s>Notum quod non valet argumentum <lb></lb>quod contra fieri posset ab his, qui <lb></lb>methodum indivisibilium non admodum <lb></lb>intelligunt. </s><s>Possent enim adducere ar<lb></lb>gumentum de superficie spherae et semicirculo, quae non <lb></lb>habent commune centrum, sive de superficie conoidis pa<lb></lb>rabolici et parabolae. </s><s>Causa disparitatis est, quod super<lb></lb>ficies conica eamdem transitum semper servat, suntque <lb></lb>omnes peripheriae (ut ita dicam) ejusdem spissitudinis ut <lb></lb>rectae ad BD applicatae, quod non est verum in dictis <lb></lb>superficiebus, quarum peripheriae majorem semper habent <lb></lb>densitatem, sive spissitudinem versus verticem respectu <lb></lb>linearum applicatarum ad axem. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Supposizione o Lemma.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Suppongo che se molte grandezze avranno il centro <lb></lb>di gravità nella retta AB, tutti fra li punti A, B, che il <lb></lb>centro comune di tutte sia fra li punti A, B. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma 1.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Se una linea retta [Fig. 21] AI sarà divisa in parti <lb></lb>eguali, e di numero pari, </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s><foreign lang="it">[Fig. 21].<lb></lb>et in ciascuna parte di <lb></lb>essa, sia il centro di gra<lb></lb>vità di altrettante gran<lb></lb>dezze eguali. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Dico che il <lb></lb>centro di tutte starà in una delle due linee di mezzo <lb></lb>DE, EF. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Siano le linee eguali AB, BC, CD, DE, EF, FG, GH, HI, <lb></lb>centri di gravità di grandezze eguali siano L, M, N, O, <pb pagenum="194"></pb>P, Q, R, S. Dico che il centro di tutte sarà fra li due <lb></lb>punti D, F. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Perchè il centro, o mezzo di LS sta nella retta DF, <lb></lb>così di tutte l'altre coppie. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ergo per la premessa supposi<lb></lb>zione il centro di tutte sta in DF. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Supposizione.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Suppongo, che il berrettino abbia il centro suo di <lb></lb>g[ravità] nella saetta e le zone sferiche abbiano il centro <lb></lb>loro di gravità nella saetta. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma 2.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Nella sfera [Fig. 22] ABCD </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s><foreign lang="it">[Fig. 22].<lb></lb>applicate utcumque EF, AG, <lb></lb>sarà il berrettino EBH al<lb></lb>l' ABC come BF alla BG. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Tirinsi ED, AD, EB, AB. <lb></lb>Il quadrato EB al BD sta <lb></lb>come la retta BF alla BD; <lb></lb>ma il quadrato BD al BA sta <lb></lb>come la retta DB alla BG. <lb></lb>Ergo ex aequo il quadrato EB <lb></lb>al BA sta come la retta BF <lb></lb>alla BG. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ma come il quadrato BE al BA così il berrettino al<lb></lb>l'altro. </foreign></s> <s>Ergo etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOS.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Il centro del berrettino sferico sempre sta nel mezzo <lb></lb>della saetta. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Sia il berrettino sferico [Fig. 23] ABC e mezzo della <lb></lb>saetta D. Dico, se non è D, sia, per esempio, se può, E e <pb pagenum="195"></pb>divisa BD bifariam in F, e </foreign></s> </p> <figure></figure> <p type="caption"> <s><foreign lang="it">[Fig. 23].<lb></lb>poi DF bifariam in G, finchè <lb></lb>resti DG minore di DE, se<lb></lb>ghisi tutta BH in parti uguali <lb></lb>alla DG, e tirinsi perpendi<lb></lb>colari alla saetta, saranno <lb></lb>dunque i berrettini come le <lb></lb>saette, cioè in proporzione <lb></lb>aritmetica ab unitate, e però <lb></lb>tutte le zone saranno eguali <lb></lb>al minor berrettino, e fra di <lb></lb>loro. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Et avendo ciascuna il <lb></lb>centro nel suo asse, et essendo tutte eguali, il centro di <lb></lb>tutte dovrà essere fra il centro delle due medie, cioè dovrà <lb></lb>essere nella retta IG, ma è fuori di essa, essendo suppo<lb></lb>sto E. Ergo etc. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOS.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Centrum gravitatis zonae sphaericae, sive superficiei <lb></lb>curvae segmenti sphaerici, est in medio axi ipsius zonae. </s></p> <p type="main"> <s>Si superficies sphaerica </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 24].<lb></lb>planis parallelis [Fig. 24] AB, <lb></lb>CD secta fuerit, erit centrum <lb></lb>gravit. </s><s>zonae abscissae in me<lb></lb>dio axis intercepti EF, sive <lb></lb>medium lineae EF centra <lb></lb>planorum secantium connec<lb></lb>tentis. </s></p> <p type="main"> <s>Secetur bifariam EF in I et si non est centrum I, esto <lb></lb>aliud puta O, secetur IE bifariam donec ad sectionem ve<lb></lb>niatur IM minorem quam IO. Ductisque planis per puncta <lb></lb>sectionum ad axem erectis erunt zonulae abscissae omnes <lb></lb>inter se aequales (demonstravimus hoc). Qua propter cen<lb></lb>trum omnium erit inter puncta M, N (?). Non est ergo O. <lb></lb>Propterea est I etc. </s></p> <pb pagenum="196"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Centrum gravitatis hemisphaerii secat axem ita ut pars <lb></lb>ad verticem sit ad reliquam sesquipartien tertias. </s></p> <p type="main"> <s>Esto hemisphaerium [Fig. </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 25].<lb></lb>25] ABC cuius axis BD se<lb></lb>cetur bifariam in E, eritque E <lb></lb>centrum superficiei ABC. Su<lb></lb>matur punctum quodvis F et <lb></lb>dividatur bifariam FD in I <lb></lb>eritque centrum superficiei <lb></lb>GFH. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Superficies autem ABC ad <lb></lb>superficiem GFH est ut quadratum BD ad DF, sive sumptis <lb></lb>subquadruplis ut quadratum FD in qua sunt centra gra<lb></lb>vitatis infinitarum magnitudinum quarum maxima habet <lb></lb>centrum in E, minima in D, suntque magnitudines inter <lb></lb>se in duplicata ratione distantiarum ab extremo librae D <lb></lb>(questo bisogna premettere et cavarlo dal cono). </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Ergo centrum omnium erit O. Sumpta scilicet EO 1/4 <lb></lb>totius ED. Quare BO ad OD erit sit 5 ad 3. Quod erat etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOS.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>De centro solidi sectori sphaerae. </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 26].</s></p> <p type="main"> <s>Esto solidus sphaerae sector <lb></lb>[Fig. 26] ABCD constans ex cono <lb></lb>ADC et ex segmento ABC, secta<lb></lb>que BF bifariam in E, et ED in <lb></lb>quatuor partes aequales quarum una <lb></lb>sit EO. Dico centrum gravitatis <lb></lb>sectoris solidi esse O. </s></p> <p type="main"> <s>Sumatur quodvis punctum in <lb></lb>recta BD, puta I, et per illud agatur <lb></lb>superficies sphaerica HIL, bisecta<lb></lb>que IM in N, erit N centrum superficiei HIL, sicut et E <lb></lb>est centrum superficiei ABC. </s></p> <pb pagenum="197"></pb> <p type="main"> <s>Iam tota BD ad totam ID est ob aequalitatem ut AD <lb></lb>ad DH, sive per quartam sexti ut FD ablata ad ablatam <lb></lb>DM, quare tota BD ad totam DI, enim ut reliqua BF ad <lb></lb>IM, sive sumptis subduplis ut BE ad IN, et permutando, <lb></lb>et per conversionem rationis, erit BD ad DE ut ID ad <lb></lb>DN, et permutando BD ad DI, ut ED ad DN. </s></p> <p type="main"> <s>Superficies vero ABC ad superficiem HIL est ut qua<lb></lb>dratum BD ad quadratum DI, sive ut quadratum ED ad <lb></lb>DN, et hoc modo semper. </s></p> <p type="main"> <s>Pendent ergo ex libra magnitudines quarum maxima <lb></lb>centrum habet E minima vero D, suntque magnitudines <lb></lb>inter se in duplicata ratione distantiarum ab extremo li<lb></lb>brae puncto, nempe sunt inter se ut circuli alicujus coni. </s></p> <p type="main"> <s>Propterea centrum omnium dividet libram DE in ea<lb></lb>dem ratione cum centro coni. </s><s>Nempe ita, ut pars ad D <lb></lb>reliquae sit tripla. </s><s>Est itaque centrum O. Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollarium.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Centrum gravitatis solidi sectoris sphaerici est in axe <lb></lb>distans a centro sphaerae per 3/4 axis coni, et 3/8 sagittae <lb></lb>segmenti. </s></p> <p type="main"> <s>Esto solidus sector sphaerae </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 27].<lb></lb>[Fig. 27] ABCF, cujus axis BF, <lb></lb>sectaque sagitta BE bifariam in D, <lb></lb>et reliqua DF quadrifariam in <lb></lb>punctis I, H, L, erit per praeceden<lb></lb>tem centrum sectoris I. Dico FI <lb></lb>constare ex 3/4 rectae FE et ex 3/8 <lb></lb>rectae EB. </s></p> <p type="main"> <s>Quod patet, tota enim DF con<lb></lb>stat ex tota FE et ex dimidia BE, <lb></lb>nempe constat ex 4/4 rectae FE, et <lb></lb>ex 4/8 rectae EB. Ergo subquadru<lb></lb>pla recta FL constabit ex 1/4 rectae <lb></lb>FE et 1/8 rectae EB. Ipsa vero FI composita erit ex 3/4 FE <lb></lb>et 3/8 rectae EB. Quod erat etc. </s></p> <pb pagenum="198"></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph> <emph type="italics"></emph>Concordanza del Nardi e Torricelli <lb></lb>nel centro del settore sferico.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Sia il settore [Fig. 28] ABCD e divisa BE bifariam in F, sarà il <lb></lb>centro di gravità nelli 3/4 di DF (ait Torricellius). </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Facciasi come la superficie ABC </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s><foreign lang="it">[Fig. 28].<lb></lb>alli 3/4 del cerchio AC, così BD ad <lb></lb>un'altra da pigliarsi dal centro, il <lb></lb>termine di questa sarà centro (ait <lb></lb>Nardus). </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Congiungasi AB, AC, e perchè <lb></lb>tutta GB a tutta BD sta come la <lb></lb>levata EB alla levata BF, sarà la <lb></lb>rimanente GE alla rimanente DF, <lb></lb>come tutta a tutta, cioè doppia. </s></p> <p type="main"> <s>Iam BD ad DF est ut (sumptis <lb></lb>duplis) BG ad GE, sive ut quadra<lb></lb>tum BG ad GA, sive ut quadratum <lb></lb>BA ad AE, sive ut superficies ABC <lb></lb>ad circulum AC. Sumptis vero con<lb></lb>sequentium subsesquitertiis, erit ut <lb></lb>BD ad rectam Torricellij, ita superficies ABC ad 3/4 circuli AC, eadem <lb></lb>ergo est recta Torricellij cum recta Nardi. </s><s>Quod etc.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Centrum coni secat axem in ratione </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 29].<lb></lb>3 ad 1. </s></p> <p type="main"> <s>Esto conus [Fig. 29] ABC, cujus axis <lb></lb>BD, cylindrus vero circumscriptus AE, <lb></lb>centrum cylindri F, coni sit quodvis <lb></lb>punctum G, et reliqui solidi sit H. </s></p> <p type="main"> <s>Iam BD libra est adquam pendent <lb></lb>infiniti numero circuli ipsi AC paralleli, <lb></lb>quarum maximus centrum habet in D, <lb></lb>minimus in B, suntque magnitudines in<lb></lb>ter se ut quadrata distantiarum, sive portionum librae <lb></lb>initio facto ex B. Item FB est libra ad quam pendent <pb pagenum="199"></pb>infinite numero magnitudines, hoc est superficies cylin<lb></lb>dricae circa axem BD, quarum maxima centrum habet F, <lb></lb>minima vero B, suntque magnitudines inter se ut jam <lb></lb>dictae (nam cylindrica ex AI ad cylindricam ex ML est <lb></lb>ut rectangulum AIB ad rectangulum MLB per axem, sive <lb></lb>ut quadratum AB ad BM vel DB ad BO, sive ut quadrata <lb></lb>semissium ipsarum DB, BO, quae sunt distantiae centro<lb></lb>rum ab extremo librae B); ergo erit ut BG ad GD, ita <lb></lb>BH ad HF, et componendo permutandoque ut BD ad DF, <lb></lb>ita DG ad FH. Propterea DG dupla erit ipsius FH, est <lb></lb>autem GF dupla ipsius FH, nam F est centrum ex quo <lb></lb>aequiponderant magnitudines duplae, propterea DG, GF <lb></lb>aequales erunt, patet totium BG ad GD triplum esse. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollarium pro Centro haemisphaerij <lb></lb>et haemisphaeroidis.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Patet centrum haemisphaerij, sive haemisphaeroidis <lb></lb>axem, ita secate ut partes sint quaemadmodum 5 ad 3. </s></p> <p type="main"> <s>Nam consideretur solidum cylindricum [v. </s><s>Fig. prec.] <lb></lb>AIEC dempto cono ABC non resolutum in superficies cy<lb></lb>lindricas ut ante, sed in armillas circulorum parallelorum <lb></lb>circulo IE, solidi erit idem centrum H, ut ante, sed hujus<lb></lb>modi armillae inter se sunt ut circuli sphaeroidis cujus <lb></lb>axis sit BD, centrum B et apex D, ergo sphaeroidis cen<lb></lb>trum in eadem libra BD idem erit ac praedicti solidi, nempe <lb></lb>erit punctum H, patet jam BH ad HD esse ut 3 ad 5. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Se sarà un cilindro [Fig. </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 30].<lb></lb>30] CG et un cono BHF in<lb></lb>torno al medesimo asse AH, <lb></lb>il cilindro al cono sarà come tre <lb></lb>quadrati AC al quadrato AB. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Poichè il cilindro CG al <lb></lb>cilindro BL sta come il qua- <pb pagenum="200"></pb>drato AC al quadrato AB sumptisque consequentium tri<lb></lb>plis, il cilindro CG al cono BHF sta come il quadrato AC <lb></lb>ad 1/3 di AB, ovvero come 3 quadrati AC al quadrato AB. <lb></lb>Quod etc. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOS.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Se sarà come sopra, fa come tre quadrati [v. </s> <s><foreign lang="it">Fig. prec.] <lb></lb>AC al quadrato AB, così EI alla ID (il punto D è mezzo <lb></lb>di AH et il punto E è mezzo di AD); sarà il punto I <lb></lb>centro del cilindro scavato. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Poichè D è centro di tutto il <lb></lb>cilindro come E del cono. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma tutto il cilindro al cono sta <lb></lb>come tre quadrati AC al quadrato AB, cioè come EI ad <lb></lb>ID, e dividendo il solido forato al cono, come ED alla DI. <lb></lb>Però il punto I è centro del cilindro forato. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Coroll.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 31].</s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Però se nella sfera farai <lb></lb>come li quadrati [Fig. 31] AC, <lb></lb>CG il quadrato GD, così OI <lb></lb>ad IE, E sarà centro del ci<lb></lb>lindro sbusato, quando però <lb></lb>il punto I sia mezzo di BG, <lb></lb>et il punto O mezzo di IG. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOS.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Il centro del conoide parabolico </foreign></s> </p> <figure></figure> <p type="caption"> <s><foreign lang="it">[Fig. 32].<lb></lb>provasi per via del triangolo, che sega <lb></lb>l'asse nella proporzione di 2 a 1. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Poichè sia la libra horizontale [Fig. <lb></lb>32]. </s><s>Il circolo di AE al circolo di BF <lb></lb>sta come la retta AC alla BD. Però i <lb></lb>centri divideranno la libra nell'istesso <lb></lb>luogo. </s></p> <pb pagenum="201"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOS.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Il centro del conoide parabolico sega l'asse nella pro<lb></lb>porzione di 2 ad 1. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Sia la parabola del co</foreign></s> </p> <figure></figure> <p type="caption"> <s><foreign lang="it">[Fig. 33].<lb></lb>noide la [Fig. 33] AB, asse <lb></lb>AC, lato retto AD mezzo <lb></lb>utrinque, e fatto il rettangolo <lb></lb>DF pongasi eguale ad esso <lb></lb>FG, et ad angolo retto. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Sarà <lb></lb>dunque il quadrato BC eguale <lb></lb>al rettangolo DF, ovvero al <lb></lb>rettangolo FG, et il quadrato <lb></lb>LM sarà eguale al rettangolo <lb></lb>DH ovvero HI, e così di tutti. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Però essendo libra AC, il <lb></lb>centro dell'une e dell'altre <lb></lb>magnitudini sarà nel mede<lb></lb>simo perpendicolo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma il cen<lb></lb>tro del prisma sta nel per<lb></lb>pendicolo, che passa per O, quando la AO, è doppia di OC, <lb></lb>adunque anco il centro del conoide; ma sappiamo, che <lb></lb>anco sta nell'asse. </foreign></s> <s>Ergo sarà O etc. </s></p> <p type="main"> <s>Prova poi l'altre cose appartenenti, cioè, che la sfera, <lb></lb>o sferoide sia eguale al bicchiere, che abbiano l'istesso <lb></lb>centro. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Poichè sapendo il centro del cono, del bicchiere, e <lb></lb>del conoide saprai la proporzione del conoide al cono <lb></lb>inscritto. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">La sfera, o sferoide è quadrupla del suo cono; e si <lb></lb>è provato la sferoide eguale al bicchiere, cioè la terza <lb></lb>parte del conoide, cioè quattro delle dodici parti di esso, <lb></lb>cioè quattro delle otto del cono [Fig. 34] ABC, cioè <lb></lb>quattro di quelle, che è una il cono DBE. Quod etc. </foreign></s> </p> <pb pagenum="202"></pb> <p type="main"> <s><emph type="italics"></emph>Corollario.<emph.end type="italics"></emph.end> Però è subsesquialtero </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 34].<lb></lb>del suo cilindro. </s></p> <p type="main"> <s>Quì metteremo la scodella elliptica <lb></lb>e misureremo la sferoide alio modo. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Poi troveremo il centro della gra<lb></lb>vità all'hemisferoide. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Poi lo troveremo alla semiparabola. </s></p> <p type="main"> <s>Poi la quadreremo tirando solo le <lb></lb>tre parallele. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Frustum Parabolae.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Ostendendum ita esse [Fig. 35] DG ad GI ut IH ad <lb></lb>HL. Item trapezium inscriptum ad reliquas parabolas </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 35].<lb></lb>frusti, ita esse ut quadratum DG ad tertiam partem qua<lb></lb>drati GA. </s></p> <p type="main"> <s>Recta IH ad GB est ut IA ad AG sive (sumpta com<lb></lb>muni altitudine GD) ut rectangulum sub IA, GD ad rect<lb></lb>angulum AGD. Recta vero GB ad IL est ut rectangulum <lb></lb>AGD ad AID; ergo, ex equo, IH ad IL erit ut rectangu<lb></lb>lum sub IA, GD ad rectangulum AID, nempe ut recta GD <lb></lb>ad DI, ergo divisim DG ad GI erit ut IH ad HL. </s></p> <p type="main"> <s>Producatur jam diameter HL parabole ALB usque <lb></lb>in M ita ut MH sesquitertia sit parabole ALB, eritque <lb></lb>triangulum altitudine MH basi vero dupla HN aequale pa<lb></lb>rabole ALB. </s></p> <p type="main"> <s>Triangulum BAC ad parabolam ALB, sive ad triangu<lb></lb>lum predictum, rationem habebit compesitam ex ratione <pb pagenum="203"></pb>altitudinum BG ad HM, sive IH ad duas tertias HL, sive <lb></lb>DG ad duas tertias GI et ex ratione basium BC ad HN, <lb></lb>sive FG ad GI; ergo triangulum BAC ad parabolam erit <lb></lb>ut rectangulum DGF ad rectangulum sub IG et sub sua<lb></lb>bus tertiis IG, nempe ad duas tertias quadrati GI. </s></p> <p type="main"> <s>Triangulum vero ACD ad BAC est ut DF ad FG, sive <lb></lb>ut rectangulum FDG ad FGD; ergo ex aequo triangulum <lb></lb>ACD ad parall.<emph type="sup"></emph>m<emph.end type="sup"></emph.end> ALB erit ut rectangulum FDG ad 2/3 qua<lb></lb>drati GI et per 24 quinti trapezium ad parabolam ut <lb></lb>quadratum DG ad 2/3 quadrati GI: duplicando consequen<lb></lb>tia (?) erit idem trapezium ad duas parabolas residuas ut <lb></lb>quadratum DG ad 4/3 quadrati GI, sive... (?) quadrati GA. <lb></lb>Quod volebam ostendere. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Scholium.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Hic digressionis loco, universalissima praeced. </s><s>ope <lb></lb>ostendamus centrum gravitatis portionis parabolae qua sit <lb></lb>in linea et in quo ipsius puncto. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Esto portio quae</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 36].<lb></lb>libet [Fig. 36] ABC <lb></lb>parabolae abscissa <lb></lb>per rectam BC dia<lb></lb>metro parallelam <lb></lb>ductaque AB et di<lb></lb>visa CA bifariam in <lb></lb>L, ductaque paral<lb></lb>lela LH, fiat ut HL <lb></lb>ad dimidiam LI ita <lb></lb>CO ad OL; erit in <lb></lb>OQ centrum por<lb></lb>tionis. </s></p> <p type="main"> <s>Fiat circa axem <lb></lb>AG sphaerois, sive <lb></lb>sphaera AFG, et productis lineis BC, HL in F et M, du- <pb pagenum="204"></pb>caturque AF, CO ad OL est ut HL ad semissem LI, sive <lb></lb>ut HL ad 1/4 BC, sive ut quadratum ML ad 1/4 quadrati <lb></lb>FC, nempe ut ML quadratum ad quadratum LN; ergo O <lb></lb>est centrum portionis sphaeroidis, vel sphaericae FAC etc. </s><s><lb></lb>Sed ad libram AC quaedam magnitudines pendent quae <lb></lb>erunt circuli sphaeroidis, et aliae quaedam magnitudines, <lb></lb>quae sunt lineae portionis parabolicae praedictis circulis <lb></lb>ex ordine proportionales, ergo centra illarum similiter di<lb></lb>vident libram. </s><s>Propterea parabolicae portionis centrum <lb></lb>erit in recta <expan abbr="Oq.">Oque</expan> </s></p> <p type="main"> <s>Jungantur jam centra parabolae AHB et trianguli <lb></lb>ABC, et ubi recta jungens concurret cum OQ ibi erit <lb></lb>centrum portionis. </s></p> <p type="main"> <s>Dico tandem AO ad OC ita esse ut HL cum LI ad HL. <lb></lb>Nam per praecedentem constructionem, cum centrum sit <lb></lb>in recta per O, erit CO ad OL ut HL ad semissem LI, <lb></lb>et componendo CL ad LO ut HL cum semisse LI ad se<lb></lb>missem LI, et per conversionem rationis CL ad CO ut <lb></lb>HL cum semisse LI ad HL. Et duplatis antecedentibus <lb></lb>AC ad CO ut bis HL cum LI ad HL. Et dividendo AO <lb></lb>ad OC ut HL cum LI ad HL. Quod erat etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Centrum gravitatis portionis Parabolae alio modo <lb></lb>universalior priore.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Esto portio parabolae [Fig. 37] ABCD secta per lineam <lb></lb>ACD utcumque, sive sit ad diametrum parallela, sive <lb></lb>non. </s><s>Secetur bifariam AC </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 37].<lb></lb>in E, et ducta diametro <lb></lb>EB sit F centrum para<lb></lb>bolae ABC, at H centrum <lb></lb>trianguli ACD, junctaque <lb></lb>FH, in FH erit centrum <lb></lb>portionis. </s></p> <p type="main"> <s>Jungatur BD. Eritque <lb></lb>triangulum ABC ad trian<lb></lb>gulum ADC in eadem basi <lb></lb>ut altitudines, sive (est enim altitudo ad altitudinem, se <lb></lb>ben non è tirata) ut BI ad ID per quartam sexti. </s></p> <pb pagenum="205"></pb> <p type="main"> <s>Iam parabola ABC ad triangulum ABC est ut 4/3 <lb></lb>rectae BI ad BI, triangulum vero ABC ad ADC est ut <lb></lb>BI ad ID, ergo ex aequo parabola ABC ad triangulum <lb></lb>ADC est ut 4/3 rectae BI ad ID, sive sumptis subsesqui<lb></lb>tertiis ut recta BI ad 3/4 ID. Fiat igitur ut BI ad 3/4 ID, <lb></lb>ita reciproci HO ad OF, et erit O centrum gravitatis por<lb></lb>tionis. </s><s>Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s>Esto quaelibet portio parabolae [Fig. 38] ABC secta per <lb></lb>lineam BC diametro non pa</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 38].<lb></lb>rallelam. </s><s>Queritur ratio quam <lb></lb>habet portio ad inscriptum <lb></lb>triangulum. </s><s>Secta AB bifariam <lb></lb>ducatur diameter ED. Sitque <lb></lb>(ducta DC, FD = 1/3 DG) erit <lb></lb>portio ad triangulum ut FC <lb></lb>ad CG. </s></p> <p type="main"> <s>Nam parabola ADB ad triangulum ADB est ut FG ad <lb></lb>GD. Triangulum vero ADB ad triangulum ACB est ut DG <lb></lb>ad GC. Ergo ex equo et componendo patet propositum. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO .<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Reliquum segmenti conici ABCD dempto cono majoris <lb></lb>basis AED centrum habet in axe EF, si fiat ut quatuor <lb></lb>diametri majores cum quatuor minoribus ad duos majores <lb></lb>cum uno minori, ita axis FE ad EO. </s></p> <p type="main"> <s>Nam sit centrum praedictum O erit ergo EO ad OG, <lb></lb>ut quadratum MG ad GN, sive (ob aequalitatem) ut rect<lb></lb>angulum LIH ad quadratum IH, nempe ut recta LI ad <lb></lb>IH, sumptisque quadruplis, ut duo diametri majores AD <lb></lb>cum uno minori BC ad BC, et convertendo componendo<lb></lb>que, sumptisque antecedentium, duplis erit FE ad EO ut <lb></lb>quatuor BC cum quatuor AD ad AD bis, cum BC se<lb></lb>mel etc. </s><s>Quod etc. </s></p> <pb pagenum="206"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Segmentum coni [Fig. 39] ABCD (dempto majoris basis <lb></lb>AD) ad conum AED ma</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 39].<lb></lb>joris basis est ut rectan<lb></lb>gulum ex minori basi recta <lb></lb>in minorem majoremque <lb></lb>simul ad duplum quadrati <lb></lb>majoris, sive ut quadra<lb></lb>tum minoris cum rectan<lb></lb>gulo sub utraque ad du<lb></lb>plum quadrati majoris. </s></p> <p type="main"> <s>Secetur axis bifariam in G, appliceturque GH. </s></p> <p type="main"> <s>Erit segmentum sphaeroidis BFC ad conum BFC, ut <lb></lb>quadrata MG, GN simul ad duo quadrata GN, sumptisque <lb></lb>duplis, ut duo quadrata MG cum duobus NG ad quatuor <lb></lb>NG, sive ad quadratum BE conus vero BFC ad conum <lb></lb>AED est ut quadratum BE ad quadratum AF, ergo ex <lb></lb>aequo segmentum sphaeroidis ad conum AED erit ut duo <lb></lb>quadrata MG cum duobus quadratis NG, sive ut duo rect<lb></lb>angula HIL (quae aequantur duobus quadratis NG), sive <lb></lb>collectim ut duo tantum rectangula IHL ad quadratum <lb></lb>AF et sumptisque octuplis erit ut rectangulum ex minori <lb></lb>basi in minorem majoremque simul ad duplum quadrati <lb></lb>majoris basis. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Centrum gravitatis segmenti coni </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 40].<lb></lb>[Fig. 40] BC habetur in axe EF, si <lb></lb>fiat p.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> ut CD quater cum AB quater <lb></lb>ad CD bis et AB semel sumptas, ita <lb></lb>FE ad EG. </s></p> <p type="main"> <s>Iterumque sumpta FH 1/4 axis fiat <lb></lb>ut quadratum AB cum rectangulo AB in CD ad duo qua<lb></lb>drata CD, ita HI ad IG, eritque centrum I. </s></p> <pb pagenum="207"></pb> <p type="main"> <s>Nam, ex demonstratis, erit G centrum reliqui (dempto <lb></lb>cono majoris basis) H vero centrum est praedicti coni, <lb></lb>demonstratumque est reliquum illud ad dictum conum esse <lb></lb>ut quadratum AB cum rectangulo AB in CD ad duo qua<lb></lb>drata CD, nempe ex suppositione ut HL ad IG. Quare <lb></lb>centrum totius erit I. Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Segmentum coni habet centrum gravitatis, ut ait Ga<lb></lb>lilaeus Prop.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> ult.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end>, <emph type="italics"></emph>Appendicis de C. Gr. </s><s>solid.<emph.end type="italics"></emph.end> . </s></p> <p type="main"> <s>Esto frustum coni [Fig. 41] ABCD, cujus axis FE, <lb></lb>appensumque sit ad libram AL, ita ut circuli, qui per AD, <lb></lb>BC ducantur perpen</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 41].<lb></lb>diculares sint ad ho<lb></lb>rizontem. </s><s>Tum secta <lb></lb>FE in quatuor parter <lb></lb>aequales per puncta <lb></lb>HGI. Ducantur per<lb></lb>pendicula HO, GM, <lb></lb>IN, EL. </s></p> <p type="main"> <s>Trium ergo magni<lb></lb>tudinum ad libram ap<lb></lb>pensarum centra gra<lb></lb>vitatis erunt in rectis OH, MG, NI, nempe coni ACD in <lb></lb>OH, coni vero BAC in NI, reliqui vero solidi in GM (quan<lb></lb>doquidem ostensum est singulas ipsius perforatas lunulas <lb></lb>aequales esse singulis circulis alicujus sphaeroidis, cujus <lb></lb>axis erat FE), centrum vero praedictarum trium magni<lb></lb>tudinum sic habebitur. </s></p> <p type="main"> <s>Intelligatur una quaeque dictarum magnitudinum divisa <lb></lb>in 4 partes aequales, et concipiantur appendi ad libram, <pb pagenum="208"></pb>ita ut coni ACD 3/4 pendeat ex A, reliqua vero 1/4 ex L, <lb></lb>coni vero BAC 3/4 pendeant ex L, reliqua vero 1/4 ex A; <lb></lb>reliqui tandem solidi 2/4 pendeant ex A, et 2/4 ex L. Ma<lb></lb>nifestum est punctum aequilibrii harum trium magnitudi<lb></lb>num sectarum idem prorsus futurum esse, quod erat ante <lb></lb>illarum sectionem (quandoquidem ipsarum centra gravi<lb></lb>tatis propter sectionem a nobis factam non mutaverunt <lb></lb>dispositionem, neque inter se, neque ad libram comparata) <lb></lb>esto illud Q ergo centrum gravitatis Q secabit libram AL, <lb></lb>ita ut sit AQ ad QL quaemadmodum est magnitudo ap<lb></lb>pensa ex L ad magnitudinem appensam ex A, nempe ut 3/4 <lb></lb>coni BAC, 2/4 reliqui solidi, et 1/4 coni ACD ad 2/4 coni <lb></lb>ACD cum 2/4 reliqui solidi, et 1/4 coni BAC, sive sumptis <lb></lb>quadruplis ut tres coni BAC cum duobus ex reliquis so<lb></lb>lidis, et uno cono ACD ad tres conos ACD, duos ex reli<lb></lb>quis solidis, et unum conum BAC, sive ut eorum bases, <lb></lb>quae sunt in continua proportione. </s><s>Quod proposuerat Ga<lb></lb>lilaeus. </s></p> <p type="main"> <s>Ostendemus enim dictum reliquum solidum cuidam <lb></lb>sphaeriodi aequale esse, quae quidem sphaerois medio loco <lb></lb>proportionalis est inter illos duos conos. </s><s>Ergo, si ipsa re<lb></lb>ducatur ad conum equealtum, erit ipsius basis medio loco <lb></lb>proportionalis inter bases conorum, sive inter bases seg<lb></lb>menti nostri conici. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si ex frusto sphaerico planis parallelis abscisso, dem<lb></lb>ptum sit segmentum sphaericum concentricum et aequeal<lb></lb>tum, erit reliquum solidum excavatum aequale cylindro <lb></lb>super basi segmentum sphaericum tangente constituto et <lb></lb>aequealto. </s></p> <p type="main"> <s>Demonstravimus hoc in nostra <emph type="italics"></emph>Vasiformium stereome<lb></lb>tria,<emph.end type="italics"></emph.end> Corollarium. </s><s>Patet centrum dicti solidi excavati esse <lb></lb>idem cum centro cylindri. </s></p> <pb pagenum="209"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma 2.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si ex segmento sphaerico [Fig. 42] ABC dematur co<lb></lb>nus inscriptus, erit reliquum solidum sphaericum excava<lb></lb>tum aequale sphaeroidi, cujus axis sit BD, semidiameter <lb></lb>vero EF sit aequalis semissi rectae AB. </s></p> <p type="main"> <s>Nam, ducto plano quolibet LM ad axem erecto, erit <lb></lb>rectangulum LNM ad GIH ut ANB ad AIB ob aequali</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 42].<lb></lb>tatem, sive ut DPB ad DEB, nam omnes ex iisdem ra<lb></lb>tionibus componuntur, sive ut quadratum PO ad EF <lb></lb>ob ellipsim; sed consequentia ponebantur aequalia ob sup<lb></lb>positionem, ergo etiam antecedentia, nempe rectangulum <lb></lb>LNM quadrato PO aequale est, ideoque armilla LN cir<lb></lb>culo OP et hoc semper, ergo omnes simul armillae, sive <lb></lb>solidum sphaericum excavatum omnibus simul circulis, <lb></lb>nempe sphaeroidi aequales erunt. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Coroll. 1.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Solidum ergo excavatum ad conum ABC erit ut sphae<lb></lb>rois praedicta ad eumdem conum, nempe ut duo quadrata <lb></lb>FE ad quadratum AD, sive ut duo rectangula AIB ad <lb></lb>quadratum AD. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Coroll. 2.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Patet centrum etiam praedicti solidi sphaerici esse <lb></lb>idem ac centrum sphaeroidis. </s></p> <pb pagenum="210"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Esto frustum sphaericum planis parallelis [Fig. 43] <lb></lb>ACD, BC abscissum, axis EF. Dico centrum gravitatis ita <lb></lb>secare EF ut pars ad E terminata sit ad reliquam, ut <lb></lb>quadratum BC cum duobus quadratis EF duobusque AD <lb></lb>ad quadratum AD cum duo</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 43].<lb></lb>bus FE, duobusque BC. </s></p> <p type="main"> <s>Fiat segmentum sphaeri<lb></lb>cum GHEIL concentricum, <lb></lb>et aequealtum cum frusto, <lb></lb>inscribaturque conus GEL, et <lb></lb>secto axe bifariam in M ap<lb></lb>plicetur HMI. </s></p> <p type="main"> <s>Demonstratum est soli<lb></lb>dum sphaericum excavatum GHEBA aequari cylindro, <lb></lb>cujus basis sit circulus BC, altitudo vero EF, sive cono, <lb></lb>cujus basis sit tripla circuli BC altitudo vero EF. Ergo <lb></lb>solidum GHEBA ad conum GEL est ut triplum quadrati <lb></lb>EB ad quadratum FG. </s></p> <p type="main"> <s>Solidum vero excavatum factum a bilineo GHE ad co<lb></lb>num eumdem GEL est ut duo rectangula GNE ad qua<lb></lb>dratum FG. Ergo, per 24 quinti, totum simul solidum <lb></lb>ABENG ad conum GEL erit ut tria quadrata BE cum <lb></lb>duobus rectangulis GNE ad quadratum GF, sive sumptis <lb></lb>duplis ut sex quadrata BE cum quadrato GE ad duo qua<lb></lb>drata GF. </s></p> <p type="main"> <s>Secetur FM bifariam in P, eritque P centrum coni <lb></lb>GEL; sed est centrum tam solidi GHEBA quam etiam so<lb></lb>lidi GHE, propterea M erit centrum totius solidi ABENG. </s></p> <p type="main"> <s>Fiat ergo ut sex quadrata BE cum quadrato GE ad duo <lb></lb>quadrata FG, ita reciproce recta PO ad OM, et erit O <lb></lb>centrum gravitatis totius frusti sphaerici. </s></p> <p type="main"> <s>Iam argumenta sunt (componendo) duplicando antece<lb></lb>dentia (et dividendo) et postea facta redutione. </s></p> <p type="main"> <s>Per constructionem est recta PO ad OM ut sex qua<lb></lb>drata BE cum quadrato EG ad duplum quadrati FG. </s></p> <pb pagenum="211"></pb> <p type="main"> <s>Componendo PM ad OM erit ut sex quadrata BE <lb></lb>cum quadrato EG, et duplo quadrati FG ad duplum qua<lb></lb>drati FG. </s></p> <p type="main"> <s>Duplicando antecedentia FM ad MO erit ut duodecim <lb></lb>quadrata BE cum 2EG + 4FG ad 2FG. </s></p> <p type="main"> <s>Per conversionem rationis MF ad FO ut 12BE + 2EG <lb></lb>+ 4FG ad 12BE + 2EG + 2FG. </s></p> <p type="main"> <s>Duplicando antecedentia EF ad FO ut 24BE + 4EG <lb></lb>+ 8FG ad 12BE + 2EG + 2FG. </s></p> <p type="main"> <s>Dividendo EO ad OF ut 12BE + 2EG + 6FG ad 12BE <lb></lb>+ 2EG + 2FG. </s></p> <p type="main"> <s>Sed quoniam rectangulum AGD quadrato BE est ae<lb></lb>quale erit GF differentia quadratorum AF, BE. Ergo po<lb></lb>test fieri reductio talis. </s><s>Mutato prius quadrato EG cum <lb></lb>quadratis EF, FG sic EO ad OF est ut 12BE + 2EF <lb></lb>+ 8FG ad 12BE + 2EF + 4FG. </s></p> <p type="main"> <s>Vel facta reductione EO ad OF est ut 4BE + 2EF <lb></lb>+ 8AF ad 8BE + 2EF + 4AF. </s></p> <p type="main"> <s>Vel facta ultima reductione EO ad OF est ut quadra<lb></lb>tum B cum duobus EF duobusque AD ad 2BC + 2EF <lb></lb>+ uno AD. Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollarium <lb></lb>pro Frusto sphaeroidis.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si vero frustum [Fig. 44] ABCD fuerit sphaeroidis, <lb></lb>abscissum planis AB, dici utcumque pa</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 44].<lb></lb>rallelis. </s><s>Erit centrum in diametro EF <lb></lb>transeunte per centra ellipsium opposi<lb></lb>tarum AB, DC. </s></p> <p type="main"> <s>Esto illud O. Dico esse GO ad OH <lb></lb>ut duo rectangula EGF cum uno qua<lb></lb>drato GH, et quatuor rectangulis EFH <lb></lb>cum quadrato una GH et quatuor rectan<lb></lb>gulis EGF. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ciò che si dice del cerchio si può tra<lb></lb>sportare all'ellisse, perchè le linee tutte del cerchio hanno <lb></lb>la medesima proporzione che quelle dell'ellisse, però il <lb></lb>punto dell'equilibrio sega la libra in eadem ratione. </foreign></s> </p> <pb pagenum="212"></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Quello, che si dice della sfera si può trasportare alla <lb></lb>sferoide, perchè tutti i circoli della sfera sono tra di loro <lb></lb>come tutte le ellissi della sferoide. </foreign></s> <s>Ergo etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSIZIONE.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Esto frustum conoidis parabolici [Fig. 45] ABCD cujus <lb></lb>axis EF, centrum O. Dico EO ad OF esse ut quadratum <lb></lb>BC cum duobus quadratis AD ad quadratum AD cum <lb></lb>duobus BC. </s></p> <p type="main"> <s>Compleatur parabola AID et fiat parabola GEH idem <lb></lb>habens latum rectum cum </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 45].<lb></lb>AID. Concipiatur ex frusto <lb></lb>ABCD demptum conoides <lb></lb>parabolicum GEH, in quo <lb></lb>inscriptus sit conus GEH, <lb></lb>et secta EF bifariam in L <lb></lb>applicetur <expan abbr="NLq.">NLque</expan> </s></p> <p type="main"> <s>Iam solidum factum a <lb></lb>quadrilineo GNEBA aequa<lb></lb>lis est cylindro, cujus basis <lb></lb>circulus BC, altitudo vero <lb></lb>EF, sine cono, cujus basis sit tripla circuli BC, altitudo <lb></lb>vero sit ipsa EF. </s></p> <p type="main"> <s>Solidum vero factum a bilineo GNE ad conum GEH <lb></lb>est ut duo rectangula NPQ ad quadratum GF. Ergo simul, <lb></lb>per 24 quinti, totum solidum ABEG ad conum GEH est <lb></lb>ut tres quadrata BE cum duobus rectangulis NPQ ad qua<lb></lb>dratum GF. Sed in parabola rectangulum NPQ aequale <lb></lb>est quadrato PL, ergo solidum ABEG ad conum GEH <lb></lb>est ut tria quadrata BE cum duobus quadratis PL ad <lb></lb>quadratum FG, sive ut sex quadrata BE cum quadrato FG <lb></lb>ad duo quadrata FG. </s></p> <p type="main"> <s>Centrum gravitatis solidi GNEBA est L (nam ostensae <lb></lb>sunt singulae ipsius armillae aequales singulis unius cy<lb></lb>lindri circulis) solidi vero GNE centrum est L (nam sin<lb></lb>gulae ipsius armillae ostensae sunt aequales singulis unius <lb></lb>sphaeroidis circulis). Ergo totius solidi GEBA centrum <pb pagenum="213"></pb>est L; sed coni GEH [centrum] est M, sumpta FM di<lb></lb>midia ipsius FL; ergo si fiat ut sex quadrata FG, ita reci<lb></lb>proce MO ad OL, erit O centrum totius. </s><s>Iam quinque <lb></lb>erunt argumenta praeter reductionem etc. </s></p> <p type="main"> <s>Per constructionem MO ad OL est ut sex quadrata BE, <lb></lb>cum quadrato FG ad duo quadrata FG. Componendo ML <lb></lb>ad LO est ut sex quadrata BE cum tres quadratis ad duo <lb></lb>quadrata FG. Duplicando antecedentia FL ad IO ut 12 <lb></lb>quadrata BE + 6 quadratis FG ad 2FG. Per conversio<lb></lb>nem rationis LF ad FO ut 12 quadrata BE + 6 quadratis <lb></lb>FG ad 12 uguale BE + 4FG. Duplicando antec. </s><s>EF ad <lb></lb>FO ut 24 quadrata BE + 12FG ad 12BE + 4FG. Divi<lb></lb>dendo EO ad OF ut 12BE + 8FG ad 12BE + 4FG. Sed <lb></lb>quia rectangulum AGD aequale est quadrato BE, erit <lb></lb>quadratum FG differentia inter quadratum AF, BE. Ergo <lb></lb>fieri poterit talis reductio. </s><s>EO ad OF est ut 4BE cum <lb></lb>8FA ad 8BE cum 4FA. Vel ut quadratum BC cum 2AD <lb></lb>ad quadratum AD cum 2BC. Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Se sarà un solido, o conoidale, o porzion di sfera o <lb></lb>sferoide [Fig. 46] ABC, cui asse sia BD cono inscritto <lb></lb>ABC, tangenti AE et EB; </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s><foreign lang="it">[Fig. 46].<lb></lb>o segmento conico AEFC. <lb></lb>Dico che il cono inscritto, <lb></lb>il solido intermedio e la <lb></lb>scodella esterna sono in <lb></lb>continua proporzione. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Concepiscasi il cono <lb></lb>EDF, il quale già è stato <lb></lb>provato eguale alla sco<lb></lb>della esterna fatta dalla <lb></lb>tangente. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Si è anco dimostrato che se dal segmento conico <lb></lb>leveremo li due coni ABC, EDF il rimanente è medio <lb></lb>proporzionale fra essi coni. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Dunque levando il cono ABC <lb></lb>e scodella esterna, il rimanente sarà medio proporzionale <lb></lb>fra esso cono e la scodella. </foreign></s> </p> <pb pagenum="214"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOS.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Pro Centrum Conoidalium universalissima.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Poste le medesime cose nella precedente figura, dico se <lb></lb>si farà come tre delle AD con due delle EB, a due delle EB <lb></lb>con una delle AD, così BO ad OD, che il punto O è il <lb></lb>centro del solido conoidale o della proporzione di sfera o <lb></lb>sferoide. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Perchè il cono ABC al cono EDF sta come il <lb></lb>quadrato AB al quadrato EB, però il cono inscritto ABC <lb></lb>al solido intermedio sarà come la retta AD alla retta EB. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Se dunque segheremo BD in quattro parti eguali BI, <lb></lb>IM, MN, ND, sarà M centro del solido AGB et N centro <lb></lb>del cono, e se faremo come AD alla BE così MO ad ON, <lb></lb>reciproce sarà O centro di tutto. </foreign></s> <s>Però sarà come tre delle <lb></lb>AD con due delle EB a due delle EB con una delle AD, <lb></lb>così BO ad OD. Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollarium.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Pro centro gravitatis conoidis hyperbolici et segmentis <lb></lb>sphaerae, aut sphaeroidis </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 47].<lb></lb>tantum. </s></p> <p type="main"> <s>Esto conoides hyper<lb></lb>bolicum sive sphaerae, aut <lb></lb>sphaeroidis portio [Fig. 47] <lb></lb>ABC, cujus diameter BG, <lb></lb>axis BD, centrum H, tan<lb></lb>gentes AF, BF. Suppono <lb></lb>quod si fiat ut tripla AD <lb></lb>cum dupla BF ad duplam <lb></lb>BF cum AD, ita BO ad <lb></lb>OD. O esse centrum gra<lb></lb>vitatis ut ostendimus in <lb></lb>praecedenti. </s></p> <p type="main"> <s>His positis fiat ut tripla <lb></lb>axis BD cum quadrupla <lb></lb>diametri BG ad duplam diametri BG cum axe BD, ita BO <pb pagenum="215"></pb>ad OE; dico iterum O esse centrum gravitatis conoidis, <lb></lb>sive portionis etc. </s></p> <p type="main"> <s>Ducatur enim FI parallela ad BD. Erit ergo AI ad ID <lb></lb>ut DB ad BE, nempe (ob tangentem sectionis coni AE) ut <lb></lb>DH ad HB, et componendo, erit AD ad FB ut DG ad GH, <lb></lb>quare ut tripla AD cum dupla FB ad duplam FB cum AD, <lb></lb>ita tripla DG cum dupla GH ad duplam GH cum DG: <lb></lb>nempe ita tripla BD cum quadrupla BG ad duplam BG <lb></lb>cum BD. Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO .<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Clarissimus Geometra Cavalerius retulit mihi se pro<lb></lb>posuisse Geometris Parisiensibus mediante P. Marino Mer<lb></lb>senno hujusmodi problema: </s></p> <p type="main"> <s>Si fuerit solidum [Fig. 48] AD cylindricum super basi <lb></lb>CBA, sive parabola vulgata, sive </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 48].<lb></lb>quaelibet alia figura diametrum <lb></lb>habente, seceturque plano CDA, <lb></lb>quaeritur ratio partium. </s><s>Esto fi<lb></lb>gurae ABC diameter BE centrum <lb></lb>vero gravitatis sit F. Dico fru<lb></lb>stum quod sub tribus planis, cur<lb></lb>vaque superficie continebitur ad <lb></lb>reliquum sub duobus planis et <lb></lb>curva quadam superficie conten<lb></lb>tum esse ut recta BF ad FE. </s></p> <p type="main"> <s>Nam producatur FH axis to<lb></lb>tius solidi, ductaque IOL, quae <lb></lb>bifariam secet latera EG, BD, con<lb></lb>nectantur EL, DI. </s></p> <p type="main"> <s>Patet primo quod centrum to<lb></lb>tius solidi erit punctum O medium <lb></lb>scilicet totius axis FH. Centrum <lb></lb>vero frusti superioris ABCD erit in recta EL, et reliqui <pb pagenum="216"></pb>frusti in recta DI (facile probatur hoc, nam si totum soli<lb></lb>dum secetur plano quolibet ad planum CP, parallelo, pa<lb></lb>rallelogrammum, quod nascetur in superiori frusto centrum <lb></lb>habebit in recta EL, ut reliquum parallelogrammum, quod <lb></lb>fiet in frusto inferiori centrum habebit in recta DI, prop<lb></lb>terea omnia simul parallelogramma superioris frusti, sive <lb></lb>ipsius superius frustum, centrum habebunt in recta EL, <lb></lb>et sic de reliquo inferiori). Esto jam centrum gravitatis <lb></lb>frusti ABCD punctum quodlibet M in recta EL, pro<lb></lb>ductaque MON erit omnino N centrum reliqui frusti, erit<lb></lb>que frustum inferius ad frustum superius reciproce ut MO <lb></lb>ad ON, sive ut LO ad OI, hoc est ut BF ad FE. Quod erat <lb></lb>propositum. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Scholium.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Quando vero hujusmodi solidum ab aliqua parabola <lb></lb>ortum ducat oporteat centrum partium reperire. </s><s>Centrum <lb></lb>gravitatis frusti ABCD habebitur producta recta DF in <lb></lb>communi concursu cum recta EL. Nam, si secetur planis <lb></lb>ad oppositas bases parallelis sectiones, omnes in praedicto <lb></lb>frusto parabolae erunt, omniumque, et singularum centra <lb></lb>gravitatis erunt in recta DF. Ergo frusti centrum erit in <lb></lb>DF; sed erat etiam in EL, ergo in communi concursu R. </s></p> <p type="main"> <s>Amplius dico ER ad RL esse ut 4 ad 3. Nam trian<lb></lb>gulum BDF est ut 3 ad 2. Item ablatum BRF ad ablatum <lb></lb>ERF, ergo reliquum ERD ad reliquum EDR et ut 3 ad <lb></lb>2 etc.; si denique ab hoc communi concursu R producatur, <lb></lb>recta quaedam linea per O usque ad rectam DI, habebi<lb></lb>mus centrum reliqui frusti. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROP.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Pro figurarum centris, tum planarum, <lb></lb>tum solidarum universalissimae.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>In qualibet figura plana diametrum habente, centrum <lb></lb>gravitatis ita diametrum secat, ut pars ad verticem sit ad <lb></lb>reliquam ut omnia rectangula sub applicatis, et portionibus <pb pagenum="217"></pb>diametri versus verticem abscissis, ad omnia rectangula <lb></lb>sub eisdem applicatis, et reliquis diametri portionibus. </s></p> <p type="main"> <s>In figura vero solida axim habente centrum gravitatio <lb></lb>ita axim secat, ut pars ad verticem sit ad reliquam, ut <lb></lb>omnia solida basibus quadratis applicatarum, altitudinis <lb></lb>portionibus axis versus verticem abscissis ad omnia solida <lb></lb>sub iisdem basibus, altitudinibus vero reliquis portionibus <lb></lb>axis. </s></p> <p type="main"> <s>Eodem modo procedi potest demonstrando in reliquis <lb></lb>omnibus Algebrae Dignitatibus. </s></p> <p type="main"> <s>Esto semifigura qualis definita est [Fig. 49] ABC, cujus <lb></lb>diameter AB, vertex B, fiatque suum solidum cylindricum <lb></lb>Cavalerianum BD ita ut alti</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 49].<lb></lb>tudo AE sit aequalis diametro <lb></lb>AB, seceturque plano ACG. <lb></lb>Ostensum est a nobis, quod <lb></lb>si F sit centrum gravitatis to<lb></lb>tius figurae, ita esse solidum <lb></lb>ADEG ad reliquum ut BF <lb></lb>ad FA. </s></p> <p type="main"> <s>His positis: Omnia rect<lb></lb>angula, quorum unum HL, <lb></lb>nempe sub applicata HI et <lb></lb>sub IL (sive sub portione IG <lb></lb>diametri abscissae versus ver<lb></lb>ticem) ad omnia rectangula, <lb></lb>quorum unum LP (nempe sub applicata OP et OL, sive <lb></lb>reliqua portione diametri OA) sunt ut solidum AD, FG ad <lb></lb>solidum ABCG, ergo patet ita esse BF ad FA, ut omnia <lb></lb>praedicta rectangula. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Aliter.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Esto figura plana qualis ABC cujus diameter DB, cen<lb></lb>trum vero E, dico ponatur in directum alia figura similis, <lb></lb>et aequalis: suspendaturque libra ex B, sive aequiponde<lb></lb>ret, sive non. </s><s>Momentum applicatae HI ad momentum <lb></lb>applicatae PL suae homologae, est ut rectangulum HIB <lb></lb>ad LPB, et hoc semper. </s><s>Ergo momentum figurae ABC ad <pb pagenum="218"></pb>reliquae momentum est ut omnia praedicta rectangula <lb></lb>quare EB ad BO (haec enim sunt momenta), sive EB ad <lb></lb>FD, erit un omnia praedicta rectangula. </s><s>Argumentum bo<lb></lb>num est, nam primae et tertiae sunt proportionales, ut <lb></lb>ostendimus in lemmate 29 <emph type="italics"></emph>De dimensione parabolae<emph.end type="italics"></emph.end> . <lb></lb>Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Scholium.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Centrum gravitatis in omni figura diametrum habente, <lb></lb>sive plana, sive solida, ita secat ipsam diametrum, ut pars <lb></lb>versus alterum extremum applicatum, sit ad reliquam ut <lb></lb>sunt omnes ductus applicatorum in omnes portiones dia<lb></lb>metri versus idem extremum applicatum abscissas, ad <lb></lb>omnes ductus eorundem applicatorum in reliquas diametri <lb></lb>portiones. </s><s>Applicatum dicitur in planis figuris linea, in <lb></lb>solidis vero planum, quorum applicatorum ea tantum pars <lb></lb>sumenda est, quae intra propositam figuram cadit, licet ad <lb></lb>diametrum non pertineat. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>DE CENTRO GRAVITATIS CYCLOIDIS AC EJUSDEM <lb></lb>SOLIDI MENSURA.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Principia<emph.end type="italics"></emph.end> .<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si super lateribus oppositi alicujus </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 50].<lb></lb>parallelogrammi rectanguli [Fig. 50] <lb></lb>ABCD duo semicirculi descripti sint <lb></lb>figuram mixtam AEBCFD Arcuatum <lb></lb>appello, lineasque rectas AD, BC ipsius <lb></lb>bases. </s></p> <p type="main"> <s>Quando vero arcuatam jam dictum <lb></lb>sectum fuerit ab aliqua recta EF ba<lb></lb>sibus parallela, utramque figuram a <lb></lb>sectione factam Arcuatum item appello etc. </s></p> <pb pagenum="219"></pb> <p type="main"> <s>Unumquodque arcuatum aequale est rectangulo, super <lb></lb>eadem basi, et sub eadem altitudine constituto, facile <lb></lb>probatur hoc per subtractionem additionemque. </s><s>Ergo pa<lb></lb>tet, quod arcuata, super aequalibus basibus constituta <lb></lb>erunt inter se ut altitudines. </s></p> <p type="main"> <s>Denique si alicujus arcuati AEFD altitudo HD bifa<lb></lb>riam secetur in I, suppono centrum gravitatis arcuati esse <lb></lb>in ea linea, quae per I ducitur aequidistanter basibus ar<lb></lb>cuati. </s><s>Quod quidem utraque ratione, nova, veterique facile <lb></lb>probari potest facilius tamen concedi, et omitti. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOS.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Centrum gravitatis Figurarum quarumdam <lb></lb>intra Cycloidem descriptarum.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Esto dimidium lineae cycloidis [Fig. 51] ABC, cujus <lb></lb>axis CD, basis vero sit AD, et ordinata per punctum axis </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 51].<lb></lb>medium sit EB, transeat autem per B circulus genitor <lb></lb>FBG contingens basim in F, lineamque verticalem CG <lb></lb>in G. Patet quod aequales sunt AF, FD. Nam arcus FB, <pb pagenum="220"></pb>BG quadrantes sint, recta AF aequalis est arcui BF, recta <lb></lb>vero GC aequalis est arcui GB, utraque ob naturam cy<lb></lb>cloidis primariae. </s><s>Cum vero latera opposita arcuati FB, <lb></lb>HD aequalis sint, nempe BH, FD, erunt aequales et rectae <lb></lb>AF, BH. Secetur itaque utraque illarum in partes quot<lb></lb>cumque aequales, et erunt in recta BH partes totidem, <lb></lb>quot sunt in AF. Transeat jam per unumquodque sectio<lb></lb>num punctum peripheria circuli genitoris, et super singulis <lb></lb>basibus HI, IL etc. </s><s>item super singulis basibus FM, MN etc. </s><s><lb></lb>concipiantur constituta arcuata usque ad cycloidem li<lb></lb>neam, ita ut arcuata tangant, sed non excedant lineam cy<lb></lb>cloidem. </s><s>Manifestum est quod numerus arcuatorum, quae <lb></lb>sunt in trilineo ABF, aequalis erit numero arcuatorum, <lb></lb>quae sunt in trilineo BCH. Nam super singulis partibus <lb></lb>rectae AF (excepta extrema quae terminatur ad A) item <lb></lb>super singulis partibus rectae BH (excepta extrema quae <lb></lb>terminatur ad B) singula arcuata erecta sunt. </s><s>Dico uni<lb></lb>versa hujusmodi arcuata centrum commune gravitatis ha<lb></lb>bere in recta BE, quae per medium axis punctum in cy<lb></lb>cloide applicatur. </s></p> <p type="main"> <s>Sumantur enim duo quaelibet ex praedictis arcuatis <lb></lb>MP, IO, quorum bases NM, LI aequaliter remotae sint a <lb></lb>punctis A et B, tum producantur ordinatim PQ, OR, du<lb></lb>caturque ST parallela ad axem; et secetur bifariam QD <lb></lb>in V, RE in X, ST in Y et HT in Z. </s></p> <p type="main"> <s>Iam ob naturam cycloidis arcus OK aequalis est rectae <lb></lb>KC, sed et quadrans LK rectae GC; ergo reliquus arcus <lb></lb>LO, rectae GK aequalis erit, sive rectae BL, sive rectae <lb></lb>AN ob suppositionem (bases enim sumptorum arcuatorum <lb></lb>aequaliter distant ab A et B punctis), sive arcui PN ob <lb></lb>cycloidem. </s><s>Ergo cum aequales sint arcus OL, PN aequales <lb></lb>erunt, et eorum sagittae, sive sinus versi HT, QD. Quod <lb></lb>memento. </s></p> <p type="main"> <s>Quoniam tota H& ad totam HE est ut ablata HT ad <lb></lb>TZ, erit reliqua T& dupla reliquae ZE. Arcuatum vero <lb></lb>MP ad arcuatum IO est ut altitudo QD ad ST, sive ut <lb></lb>HT ad TS, sive ob circulum ut TS ad T&, sive sumptis <lb></lb>subduplis ut TY ad ZE, sive sumptis aequalibus ut XE <lb></lb>ad EV, est autem centrum gravitatis arcuati MP in linea <pb pagenum="221"></pb>applicata ex V; et centrum arcuati OI est in linea appli<lb></lb>cata ex puncto X; ostendimusque arcuatum MP ad IO <lb></lb>esse ut recta XE ad EV reciproce, propterea commune <lb></lb>illorum centrum erit in recta BE ubicumque tandem sit M <lb></lb>sic ostendetur centrum omnium reliquorum, si bina su<lb></lb>mantur ea lege, ut sumptorum bases aequaliter distent a <lb></lb>punctis A et B, ostendetur in quam centrum gravitatis <lb></lb>omnium esse in eadem recta BE, propterea et commune <lb></lb>centrum gravitatis universorum simul sumptorum erit <lb></lb>in BE. </s></p> <p type="main"> <s>Amplius: Dico commune centrum gravitatis duorum <lb></lb>trilineorum ABF, BCH, esse in eadem recta BE. Si enim <lb></lb>possibile est, ponatur extra rectam BE ubicumque, puta 2. <lb></lb>Ducatur ordinatim recta 27. Tum inscribantur intra ipsa <lb></lb>trilinea duae figurae constantes ex arcuatis super aequa<lb></lb>libus basibus, et numero aequalibus utrinque, ita tamen <lb></lb>ut trilinea ipsa ad differentiam, quae inter ipsam, et in<lb></lb>scriptas figures est, majorem habeant rationem quam CE <lb></lb>ad E7 (quod hoc fieri possit constat, nam supponamus ita <lb></lb>esse duo trilinea ad aliquod spatium <foreign lang="grc">Σ</foreign>, uti est CE ad E7, <lb></lb>tum inscribantur intra ipsa trilinea duae figurae constan<lb></lb>tes ex arcuatis aequalium basium, ita ut defectus figura<lb></lb>rum inscriptarum a trilineis minor sit spatio <foreign lang="grc">Σ</foreign>. Tunc enim <lb></lb>erit ratio trilineorum ad differentiam major ratione CE <lb></lb>ad E7. </s></p> <p type="main"> <s>Factum ergo sit, supponamusque inscriptas in trilineis <lb></lb>esse duas, figuras ex arcuatis compositas, uti jussum est. </s><s><lb></lb>Ex demonstratis erit centrum gravitatis inscriptarum in <lb></lb>recta BE. Sit illud, punctum quodcumque 3, ducaturque <lb></lb>recta 32, et extendatur, fiat deinde ut ipsa duo trilinea <lb></lb>ABF, BCH ad praedictam differentiam, ita recta quae<lb></lb>dam 53 ad 32; patet quod recta 53 major erit quam 43. <lb></lb>Nam ratio 53 ad 32 eadem est ac ratio trilineorum ad <lb></lb>differentiam, quaequidem ratio per constructionem major <lb></lb>est ratione CE ad E7, hoc est ratione 43 ad 32. Ergo <lb></lb>recta 53 major est quam recta 43. Dividendo itaque erunt <lb></lb>figurae inscriptae ex arcuatis constantes ad illam diffe<lb></lb>rentiam ut recta 52 ad 23; sed 2 centrum gravitatis est <lb></lb>totius et 3 figurarum inscriptarum, ergo 5 erit centrum <pb pagenum="222"></pb>gravitatis diffierentiarum. </s><s>Absurdum. </s><s>Non est ergo cen<lb></lb>trum gravitatis trilineorum extra rectam BE, sed in ipsa. </s><s><lb></lb>Quod erat etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOS.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Centrum gravitatis cycloidis dividit axem ita ut pars <lb></lb>ad verticem terminata sit ad reliquam ut 7 ad 5. </s></p> <p type="main"> <s>Esto ut in figura. </s><s>Cum enim arcuatum FBHD aequale <lb></lb>sit rectangulo FLED, et semicirculus CHD eidem rectan<lb></lb>gulo aequalis sit, aequales erunt inter se tres figurae nempe <lb></lb>semicirculis CHD, arcuatum FBHD, et reliqua duo trilinea <lb></lb>ABF, BCH simul sumpta; secetur ED bifariam in I et EI <lb></lb>in tres partes aequales EO, OP, PI. Manifestum est quod <lb></lb>centrum gravitatis arcuati FBHD est in applicata ex <lb></lb>puncto I; et reliquarum duarum magnitudinum, nempe <lb></lb>semicirculi, trilineorumque centrum gravitatis est in ap<lb></lb>plicata BE. Estque arcuatum FBHD ad reliquas figuras <lb></lb>subduplum, hoc est ut EO ad OI reciproce, ergo centrum <lb></lb>gravitatis totius compositae semicyclodis erit in applicata, <lb></lb>quae per O ducitur. </s><s>Propterea centrum gravitatis integrae <lb></lb>cycloidis erit ipsummet punctum O. Quod autem CO ad <lb></lb>OD sit un numerus 7 ad 5 manifestum est ex imperata <lb></lb>divisione. </s><s>Quod erat etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma 1.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si rectangulum aliquod [Fig. 52] AB </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 52].<lb></lb>libratum sive suspensum sit super aliqua <lb></lb>recta ED lateribus parallela, erunt mo<lb></lb>menta partium rectanguli ut quadrata la<lb></lb>terum homologe, hoc est momentum figu<lb></lb>rae AD ad momentum figurae EB, erit ut <lb></lb>quadratum CD ad quadratum DB. </s></p> <p type="main"> <s>Ponantur enim centra gravitatis par<lb></lb>tium esse I et O, habebitque momentum <lb></lb>AD ad momentum EB rationem compositam ex ratione <pb pagenum="223"></pb>magnitudinum et ex ratione distantiarum, nempe ex ra<lb></lb>tione figurae AD ad EB, sive rectae CD ad DB, et ex <lb></lb>ratione rectae IH ad HO, vel CD ad DB, ergo momentum <lb></lb>AD ad momentum EB erit ut quadratum CD ad quadra<lb></lb>tum DB. Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma 2.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si fuerint quatuor ordines magnitudinum aequalium nu<lb></lb>mero A, E, I; B, F, L; C, G, M; D, H, N: sitque ut A ad B <lb></lb>ita C ad D, et ut E ad F, ita G ad H; et hoc modo semper; <lb></lb>sintque omnes primi ordinis magnitudines A, E, I, inter se <lb></lb>aequales; item omnes tertii ordinis C, G, M aequales inter <lb></lb>se; erit primus ordo universus ad totum secundum ordinem <lb></lb>collectum, ut tertius ordo ad quartum. </s><s>Demonstravimus <lb></lb>hoc in libro <emph type="italics"></emph>De dimensione parabolae<emph.end type="italics"></emph.end> jam edito . </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma 3.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si quaelibet figura [Fig. 53] ABCD habens perimetrum <lb></lb>in easdem partes earum super aliqua recta AD aequili<lb></lb>bretur cum rectangulo AE; hoc est ae</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 53].<lb></lb>quale momentum habeant tam figura <lb></lb>ACD, quam rectangulum AE. Dico so<lb></lb>lida rotunda, quae circa axem AD fiunt <lb></lb>tam a figura ABCD quam a rectangulo <lb></lb>AE aequalis esse inter se. </s><s>Nisi enim ae<lb></lb>qualia sint erit solidum figurae ABCD <lb></lb>vel majus, vel minus cylindro rectanguli <lb></lb>AE. Esto si potest primum majus, et <lb></lb>intra ipsum describatur figura solida con<lb></lb>stans ex cilindris aequealtis, ita ut in<lb></lb>scripta etiam figura solida major sit cy<lb></lb>lindro facto ex rectangulo AE (quod hoc <lb></lb>possit fieri, et quomodo notissimum jam <lb></lb>est apud geometras), tunc enim erit cylindrus ex DL ad cy<lb></lb>lindrum ex DI ut quadratum LF ad FI, sive ut momentum <pb pagenum="224"></pb>rectanguli DL ad momentum DI, et hoc verum erit de <lb></lb>reliquis omnibus cylindrulis et rectangulorum momentis <lb></lb>(excepto ultimo AMX suntque omnes primi ordinis magni<lb></lb>tudines, omnesque tertii aequales, propterea erunt omnes <lb></lb>primae, hoc est omnes cylindri ex MD simul sumpti ad <lb></lb>figuram solidam inscriptam ex cylindris constantem, ut <lb></lb>omnes simul tertiae, hoc est ut momentum collectum <lb></lb>omnium rectangulorum MD ad momentum figurae planae <lb></lb>inscriptae. </s><s>Sed omnes cylindri ex AE ad omnes ex MD <lb></lb>sunt ut momentum omnium rectangulorum AE ad mo<lb></lb>mentum omnium MD, ergo ex aequo omnes cylindri ex AE <lb></lb>ad figuram solidam inscriptam sunt ut momentum figurae <lb></lb>planae AE ad momentum figurae planae intra ABCD de<lb></lb>scriptae hoc est majores; quod est contra suppositum. </s></p> <p type="main"> <s>Quando vero solidum rotundum ex ABCD ponatur mi<lb></lb>nus cylindro ex AE facto, tunc circumscribenda erit ipsi <lb></lb>solido figura quaedam ex cylindris aequealtis constans, ita <lb></lb>ut circumscripta figura minor sit eodem cylindro ex AE <lb></lb>facto, quod fieri potest more solito. </s><s>Eademque demonstra<lb></lb>tio praecedens adhiberi poterit, brevior, tamen, et facilior, <lb></lb>si quidem numerus cylindrorum, et rectangulorum utrinque <lb></lb>idem erit et argumentum illud ex aequo evanescet. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma 4.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Solidum rotundum ex qualibet figura plana [Fig. 54] <lb></lb>ABC (cujus tamen perimetar sit ad ea</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 54].<lb></lb>sdem partes cavus) circa axem AC fac<lb></lb>tum, ad cylindrum ex rectangulo quo<lb></lb>libet DC circa eumdem axem factum, <lb></lb>rationem habebit compositam ex ratione <lb></lb>figurae planae ABC ad rectangulum DC, <lb></lb>et ex ratione distantiae GE ad distantiam <lb></lb>GF, nempe centrorum gravitatis E et F <lb></lb>ab axe communi AC. </s></p> <p type="main"> <s>Ponatur rectangulum AH cujus cen<lb></lb>trum I, quod aequale momentum habeat <lb></lb>cum figura plana ABC. Eritque figura ABC ad AH reci- <pb pagenum="225"></pb>proce ut IG ad GE cum aequiponderent. </s><s>Fiat etiam ut IG <lb></lb>ad GF, ita EG ad GO. Iam ex demonstratis patet quod <lb></lb>cylindrus factus ex AH aequalis erit solido rotundo ex <lb></lb>figura ABC. Propterea solidum ex ABC ad cylindrum DC <lb></lb>erit ut cylindrus ex AH ad cylindrum ex DC, nempe ut <lb></lb>quadratum IG ad quadratum GF. Ratio itaque solidi ro<lb></lb>tundi ex ABC ad cylindrum ex DC componitur ex ratione <lb></lb>rectae IG ad GF bis sumpta; sive ex ratione rectae IG <lb></lb>ad GF semel et ex ratione rectae EG ad GO (ob con<lb></lb>structionem). </s></p> <p type="main"> <s>Ergo solidum ex ABC ad cylindrum ex DC erit ut <lb></lb>rectangulum IGE ad rectangulum FGO; nempe rationem <lb></lb>habebit compositam ex ratione laterum IG ad GO, vel <lb></lb>(ut infra ostendam) figurae planae ABC ad DC, et ex ra<lb></lb>tione distantiae EG ad GF. Quod erat etc. </s></p> <p type="main"> <s>Quod promisimus ostendemus sic: Figura plana ABC <lb></lb>ad AH est ut IG ad GE; sed figura AH ad DC est ut IG <lb></lb>ad GF, vel ut EG ad GO; ergo ex aequo erit figura plana <lb></lb>ABC ad DC ut recta IG ad GO, etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOS.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Solidum cycloidale circa basim revolutum ad cylindrum <lb></lb>circumscriptum est ut 5 ad 8. </s></p> <p type="main"> <s>Esto cycloidale spatium [Fig. 55] ABC, cujus axis BE, <lb></lb>centrum gravitatis G, rectangulum vero circumscriptum sit <lb></lb>AD, ipsiusque centrum gravi</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 55].<lb></lb>tatis sit F. Demonstratum jam <lb></lb>est FE ad EG esse ut 6 ad 5 <lb></lb>et spatium AD ad spatium <lb></lb>ABC esse ut 4 ad 3 (hoc in <lb></lb>Appendice ad libellum <emph type="italics"></emph>De di<lb></lb>mensione parab.<emph.end type="italics"></emph.end> ). </s></p> <p type="main"> <s>Convertatur jam utraque figura circa basim AC, habe<lb></lb>bitque solidum ABC ad cylindrum ex AD rationem com- <pb pagenum="226"></pb>positam ex ratione figurae planae ABC ad rectangulum <lb></lb>AD, nempe ex ratione numeri 15 ad 20, et ex ratione <lb></lb>distantiarum GE ad EF, nempe ex ratione 20 ad 24. Ergo <lb></lb>solidum cycloidale circa basim ad cylindrum sibi circum<lb></lb>scriptum erit ut 15 ad 24, sive in minimis ut 5 ad 8. </s></p> <p type="main"> <s>Quod ostendere volebam. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>FINE DEL <lb></lb>DE CENTRO GRAVITATIS <lb></lb>PLANORUM AC SOLIDORUM.<emph.end type="center"></emph.end></foreign></s> </p> <pb></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>DE INFINITIS HYPERBOLIS.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <pb></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>AVVERTIMENTO.<emph.end type="center"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">La memoria seguente, a nostro credere sin qui inedita, venne tratta dal Vo<lb></lb>lume XXXI della raccolta “ <emph type="italics"></emph>Discepoli di Galileo<emph.end type="italics"></emph.end> ”, nel quale, oltre l'autografo, se ne <lb></lb>trovano una copia scritta dal Serenai ed una destinata alla stampa. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Di tutto venne <lb></lb>tenuto conto nel preparare questa parte della presente edizione. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Giova notare che <lb></lb>l'autografo contiene qualche pagina che si riferisce, non ad iperboli, ma alla curva <lb></lb>logaritmica (chiamata dal Torricelli “ hemhyperbola logaritmica ”) ed a cui egli <lb></lb>consacrò una memoria, che il lettore troverà più innanzi nel presente volume. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ora <lb></lb>sembra che il Serenai non siasi avveduto che questo brano riferivasi ad una linea <lb></lb>che con le iperboli ordinarie non ha se non qualche somiglianza di nome e di <lb></lb>aspetto; giacchè egli cominciò la sua redazione della memoria torricelliana con le <lb></lb>frasi seguenti: </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Propagatio tangentium.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>“ Si fuerit tangens [Fig. A] AB quaeritur tan</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. A].<lb></lb>gens ad E; applicetur EF et fiat aequalis CB; <lb></lb>eritque EG tangens ”: </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Orbene in tali frasi è evidentemente contenuta <lb></lb>la costruzione della tangente alla logaritmica che <lb></lb>è corollario della costanza della sottotangente. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Il Serenai collocò poi il seguente brano, che <lb></lb>noi abbiamo soppresso perchè ci sembra atto ben <lb></lb>più ad oscurare che a chiarire il rimanente testo: se il lettore non condivide questo <lb></lb>nostro parere, non ha che trasferire ciò che segue in principio del </foreign></s> </p> <figure></figure> <p type="caption"> <s><foreign lang="it">[Fig. B].<lb></lb>lavoro seguente del Faentino: </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>“ Ut [Fig. B] FE ad EG, ita AE ad EC; ergo FC aequale est <lb></lb>ipsi AG . Ergo aequali AL, LF; addite communi, erunt ae<lb></lb>qualia AI, HG; et juncto AI, cum ID minus quam sibi subduplo, <lb></lb>erit HD minus quam sesquialterum ad HG ”. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ma nell'autografo torricelliano si trovano anche alcune pa<lb></lb>gine relative alle iperboli di second'ordine le quali, per il dettato <lb></lb>oscuro ed imperfetto, non sembra opportuno (d'accordo in ciò <lb></lb>col Serenai) di dare alle stampe; una sola eccezione faremo per <lb></lb>il seguente squarcio e ciò perchè trovasi in esso una costruzione <lb></lb>dell'iperbola che sembra meritevole di essere tratta dall'inedito: </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>“ Dato axe [Fig. C] AB, vortice A, hyperbolam facere. </s><s>Secta AB bifariam in C, <lb></lb>ductaque CD ad ipsam perpendicularem; sumatur punctum quodlibet D, et juncta <pb pagenum="230"></pb>AD ipsa sit aequalis DE et ad axem parallelam. </s><s>Dico puntum E </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. C].<lb></lb>esse in hyperbolam. </s><s>Applicetur EF; eritque quadratum FC equale <lb></lb>ED hoc est AD. Decuptoque communi AC erit reliquum rectan<lb></lb>gulum BFA equale relique CD, sive FD et hoc semper ”. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Di curve iperboliche è parola tanto nel <emph type="italics"></emph>Racconto di alcuni pro<lb></lb>blemi proposti e passati<emph.end type="italics"></emph.end> ecc. quanto nel carteggio torricelliano. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Così <lb></lb>la definizione generale delle curve in questione, che si cerca indarno <lb></lb>in principio della memoria seguente, si trova invece nel § XL del <lb></lb><emph type="italics"></emph>Racconto<emph.end type="italics"></emph.end> (questa edizione T. III, p. 24) mentre nei §§ XLI-XLV <lb></lb>dello stesso sono contenute le soluzioni di problemi di quadratura <lb></lb>e cubatura e la costruzione delle tangenti. </foreign></s> <s><foreign lang="it">D'altronde la lettera scritta dal sommo <lb></lb>Faentino al Cavalieri nei giorni 21 e 28 aprile 1646 (questa edizione T. III, p. 372) <lb></lb>tratta dell'iperbola <emph type="italics"></emph>xy<emph.end type="italics"></emph.end><emph type="sup"></emph>2<emph.end type="sup"></emph.end>=cost. </foreign></s> <s><foreign lang="it">ed in quella del seguente 5 maggio (id. </foreign></s> <s>p. 373) si <lb></lb>trovano in sostanza riassunte tutto le scoperte da lui fatte sull'argomento: donde <lb></lb>emerge una determinazione abbastanza precisa dell'epoca in cui furono fatte tali <lb></lb>scoperte. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Per l'esatta interpretazione delle figure che illustrano la seguente memoria os<lb></lb>serviamo che le curve di equazione cartesiana <emph type="italics"></emph>x<emph type="sup"></emph>m<emph.end type="sup"></emph.end>y<emph type="sup"></emph>n<emph.end type="sup"></emph.end><emph.end type="italics"></emph.end>=cost. (ove i numeri <emph type="italics"></emph>m, n<emph.end type="italics"></emph.end> sono <lb></lb>interi e positivi e gli assi non sono di necessità ortogonali) sono sempre costituite <lb></lb>ciascuna di due rami infiniti fra loro simmetrici; se uno degli esponenti è pari, la <lb></lb>simmetria ha luogo rispetto ad uno degli assi coordinati; se invece entrambi sono <lb></lb>dispari la simmetria ha luogo rispetto all'origine delle coordinate. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ora quasi sempre <lb></lb>il Torricelli segna uno soltanto di tali rami; perciò alcune sue figure potranno per <lb></lb>avventura giudicarsi incomplete, ma per errate non possono qualificarsi. </foreign></s> </p> <pb></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>DE INFINITIS HYPERBOLIS<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>[1] Cubus [Fig. 1] AB ad BC ut quadratum DB ad BE. </s></p> <p type="main"> <s>Sumantur continuae DB, </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 1].<lb></lb>EB, FB. Deinde inter DB, FB <lb></lb>sint duae mediae HB, GB. </s></p> <p type="main"> <s>Cubus AB ad BC est ut <lb></lb>quadratum DB ad BE, sive <lb></lb>ut recta DB ad BF, sive ut <lb></lb>cubus DB ad BH. Ergo recta <lb></lb>AB ad BC est ut recta DB <lb></lb>ad BH, sive OB ad BE. Ergo <lb></lb>aequalia OC, EA, et aequalia <lb></lb>OV, VA, ergo DV ad VA majus quam sesquialterum. </s></p> <p type="main"> <s>[2] AC [Fig. 2] semper magis <lb></lb>quam duplum et ipsius FE. </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 2].</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 3].</s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">[3] Ecco il modello dell'inscrivere e circonscrivere <lb></lb>[Fig. 3]. </foreign></s> </p> <pb pagenum="232"></pb> <p type="main"> <s>[4] Si universa sit minus quam dupla sectae infinitae <lb></lb>longae, erit etiam minus quam dupla alicujus inscriptae. </s><s><lb></lb>Quod subito patet impossibile. </s></p> <p type="main"> <s>[5] AF <expan abbr="aeq.">aeque</expan> est DC addito BD, erit BI <expan abbr="aeq.">aeque</expan> BF; <lb></lb>junctaque minori LG, erit BG minus quam dupla ad BI. <lb></lb> <arrow.to.target n="marg379"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg379"></margin.target>Ambos expo<lb></lb>nentes im<lb></lb>pares.</s></p> <p type="main"> <s>[6] Quinum AB ad quinum BO sit ut trinum BD ad BE. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="italics"></emph>Demonstratio.<emph.end type="italics"></emph.end> Fiat ut digni</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 4].<lb></lb>tas [Fig. 4] DB ad BE, ita recta <lb></lb>DB ad BH. Concipianturque in<lb></lb>ter DB, BE tot mediae, quotus <lb></lb>est exponens dignitatis AB et <lb></lb>idem fiat in reliquis EL, HL. <lb></lb>Erit quinum AB ad BC ut tri<lb></lb>num DB ad BE, sive ut recta <lb></lb>DB ad BH, sive ut quinum DB ad BF (sunt enim sex <lb></lb>rectae in continua ratione DB, BF, BI, BO, BR, BH); ergo <lb></lb>ut recta AB ad BC, ita DB ad BF, sive (sumpta aequali <lb></lb>ratione) GB ad BE. Ergo aequalia sunt GC, EA, et ae<lb></lb>qualia GM, MA, nempe ut 3 ad 3; ergo DM ad MA majus <lb></lb>quam 5 ad 3, quod etc. </s></p> <p type="main"> <s>[7] AI [Fig, 5] ad IM majorem </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 5].<lb></lb>habet quam exponens ad exponentem, <lb></lb>nempe quam BH ad HM, et multo <lb></lb>majorem quam BI basis ad HM ba<lb></lb>sim. </s><s>Ergo EI major quam IH, BL ad <lb></lb>LO majorem habet quam exponens <lb></lb>ad exponentem; nempe quam BH ad <lb></lb>HM, et convertendo LO ad minorem <lb></lb>habebit quam MH ad HB, multoque <lb></lb>majorem quam ML ad HB bases. </s><s>Ergo NL major quam <lb></lb>LH altitudines. </s></p> <pb pagenum="233"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Quadraturam hyperbolae spuriae<emph.end type="italics"></emph.end> .<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>[8] Esto hyperbola [Fig. 6] ABC, cujus asymptoti DEF <lb></lb>(ad rectos angulos, sed possunt esse ad quoslibet). Su<lb></lb>matur EG media inter DE, EH </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 6].<lb></lb>extremas altitudines, et quia ut <lb></lb>GE ad EH potentia, ita DE ad EH <lb></lb>longitudine, sive ita CH ad AD <lb></lb>potentia erunt proportionales quat<lb></lb>tuor lineae GE, EH, CH, AD et <lb></lb>rectangula GI, HF aequalia. </s></p> <p type="main"> <s>Iam DI aequale est universae <lb></lb>figurae suae sine fine longae, item <lb></lb>HF sive GI aequale est suae sine <lb></lb>fine longae, ergo demptis aequalibus utrinque, erit reli<lb></lb>quum AG aequale reliquo quadrilineo ABCFI. </s></p> <p type="main"> <s>His ita ostensis fiat ut ED ad DG, ita EI ad IL, erit<lb></lb>que rectangulum AL aequale rectangulo AG, sive quadri<lb></lb>lineo ABCFI, ergo reliquum OL aequale erit triangulo <lb></lb>AOC, et hyperbolae ABC. </s></p> <p type="main"> <s>Quadrata iam est. </s><s>Sed ulterius recta DE ad EG est <lb></lb>ut FE ad EI, et per conversionem rationis ED ad DG, ut <lb></lb>EF ad FI; sed ita etiam factum est EI ad IL; ergo con<lb></lb>tinuae erunt tres EF, FI, FL. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollarium.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Hyperbola spuria una cum triangulo circumscripto (cu<lb></lb>jus tamen latera asymptotis sint parallela) aequalis est <lb></lb>parallelogrammo sub maxima altitudine OF et sub tertia <lb></lb>proportionalium FL contento. </s><s>Quae tertia proportionalium <lb></lb>habebitur si fiat ut EF maxima diameter ad differentiam <lb></lb>FI, ita haec ad aliam. </s><s>Erit ergo parallelogrammum DEF <lb></lb>ad hyperbolam simul sumptam cum triangulo suo, ut recta <lb></lb>EF ad FL, sive ut quadratum EF ad FI; et permutando, <pb pagenum="234"></pb>rectangulum DEF ad quadratum EF, sive recta DE ad <lb></lb>EF erit ut quadratum IF ad hyperbolam cum triangulo <lb></lb>simul inverte figuram, ut cylindri erecti veniant hoc modo. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Conclusio.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Erit ut recta FE ad ED (hoc est ut maxima diameter <lb></lb>ad maximam altitudinem) ita quadratum FI (nempe qua<lb></lb>dratum differentiae inter extremas diametros) ad triangu<lb></lb>lum AHC, una cum hyperbola ABC simul sumpta. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Definitio.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>[9] Esto angulus [Fig. 7] DEF, omnes</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 7].<lb></lb>que cylindri ad communem angulum E <lb></lb>compositi sint inter se aequales, axesque <lb></lb>eorum aequidistantes rectae DE. Erunt <lb></lb>hujusmodi cylindri (quorum extremi sint <lb></lb>AE, CE) inter lineam quamdam curvam <lb></lb>ABC, quam cum sit una ex infinitis <lb></lb>nostris hyperbolis, hyperbolam spuriam <lb></lb>appellabimus, ejusque quadraturam (vul<lb></lb>gatis jam mediis opportunis) unusquisque <lb></lb>videbit esse talem. </s></p> <p type="main"> <s>Ut recta FE ad ED (hoc est ut maxima cylindrorum <lb></lb>diameter ad maximam altitudinem) ita erit quadratum FI <lb></lb>(nempe quadratum differentiae inter extremas diametros) <lb></lb>ad triangulum AHC una cum hyperbola spuria ABC simul <lb></lb>sumpta. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Dell'impeto de' punti.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg380"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg380"></margin.target>Porta la con<lb></lb>versa, per<lb></lb>chè così non <lb></lb>prova.</s></p> <p type="main"> <s>[10] Si recta [Fig. 8] AB super DC perpendicularis <lb></lb>semper existat in eodemque plano et moveatur motu pro<lb></lb>gressivo aequabili; simulque aliquod ipsius punctum A <lb></lb>moveatur in recta AB, ita ut velocitas puncti A ad velo<lb></lb>citatem lineae AB sit semper ut recta DB ad BA. Punc<lb></lb>tum A circulum describet. </s></p> <p type="main"> <s>Esto enim tangens lineae curvae in A ipsa AC et quia <pb pagenum="235"></pb>impetus puncti A versus B ad im</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 8].<lb></lb>petum lineae AB versus C est ut DB <lb></lb>ad BA, erit etiam (ob leges motuum) <lb></lb>AB ad BC ut BD ad BA. Ergo an<lb></lb>gulus DAC rectus est; sed AC tan<lb></lb>gens; ergo figura circulus est. </s></p> <p type="main"> <s>Impetus descendens purus in A <lb></lb>ad impetum descendentem purum in C est ut tangens <lb></lb>CF ad AG. Nam impetus in A ad impetum lineae AD est <lb></lb>ut BD ad DA; impetus autem lineae, qui semper idem <lb></lb>est ad impetum puncti C est ut CE ad EB. Ergo impetus <lb></lb>descendens purus in A ad impetum in C rationem habet <lb></lb>compositam ex ratione BD ad DA, et ex ratione CE ad <lb></lb>EB. Sive ex ratione BA ad AG, sed medij termini CB, BA <lb></lb>sunt aequales. </s><s>Ergo patet. </s></p> <p type="main"> <s>[11] Si recta [Fig. 9] AB cum eadem semper inclina</s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg381"></arrow.to.target><lb></lb>tione insistat super CD, moveaturque motu aequabili in <lb></lb>eodem plano, et punctum ali</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg381"></margin.target>Porta la con<lb></lb>versa.</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 9].<lb></lb>quod ipsius moveatur sursum, <lb></lb>vel eo, ita ut velocitates <lb></lb>punctis A sint inter se ut <lb></lb>quadrata distantiarum ipsius <lb></lb>a recta CD. Hyperbola fiet. </s></p> <p type="main"> <s>Esto hyperbola AE, cujus <lb></lb>axis CA, asymptoti CF, CH <lb></lb>et sit punctum A, quod supponamus pervenisse ad E, du<lb></lb>cantur tangentes FG, IH. Erit impetus compositus puncti <lb></lb>E secundum lineam EH. Ergo impetus progressivus lineae <lb></lb>ad impetum descendentem puncti, erit ut DH ad DE, sive <lb></lb>ut CD ad DE (sunt enim aequales ob hyperbolam IE, FH, <lb></lb>et CD, DH) jam impetus descendens in A ad progressivum <lb></lb>in A aequalis est, nempe ut AB, ad BC, progressivus vero <lb></lb>ad descendentem in E est ut CD ad DE; ergo ex aequo <lb></lb>impetus descendens A ad descendentem in E rationem <lb></lb>habet compositam ex ratione AB ad BC et CD ad DE. <lb></lb>Ergo est ut CD ad DE, nam termini AB, BC sunt aequa<lb></lb>les, sive ut rectangulum CDE ad quadratum DE, sive ut <lb></lb>rectangulum CBA, vel quadratum BA ad quadratum DE, <pb pagenum="236"></pb>quod volebam. </s><s>Quando est hyperbola cum praedictis velo<lb></lb>citatum legibus punctum movetur. </s><s>Propterea etiam quando <lb></lb>movetur ex se hyperbolam describet alias idem punctum <lb></lb>motum iisdem semper velocitatibus per diversas inter se <lb></lb>lineas curreret (?), quod ponimus esse absurdum. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Per le spirali d'Archimede.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>[12] Esto hyperbola [Fig. 10] ID, cujus asymptoti ABC, <lb></lb>factumque sit solidum hyperbolicum. </s></p> <p type="main"> <s>Sumatur quaecumque DC, ductaque </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 10].<lb></lb>ipsi aequidistante IG, sit ut DC ad IG, <lb></lb>ita IG ad aliam, quae sit FG. Inven<lb></lb>tisque hoc modo infinitis punctis habebis <lb></lb>aliam hyperbolam spuriam FDF, cujus <lb></lb>peculiare erit hoc. </s></p> <p type="main"> <s>Esto circa solidum hyperbolicum cy<lb></lb>lindrus IQ, et circa figuram planam spu<lb></lb>riam parallelogrammum <expan abbr="Fq.">Fque</expan> </s></p> <p type="main"> <s>Quia recta FG ad rectam DC est ut <lb></lb>circulus IG ad circulum DC ob definitionem; et recta DC <lb></lb>ad rectam PQ est ut circulus DC ad circulum OQ, erit ex <lb></lb>aequo recta FG, sive LQ ad rectam PQ, ut circulus IG, <lb></lb>sive MQ ad circulum OQ et hoc semper ubicunque fuerit <lb></lb>ducta <expan abbr="Lq.">Lque</expan> Suntque primae omnes et tertiae omnes ae<lb></lb>quales. </s><s>Ergo ut cylindrus ad solidum, ita rectangulum ad <lb></lb>figuram spuriam, et hoc usque in infinitum. </s><s>Iam ut cy<lb></lb>lindrus IB ad IQ, ita rectangulum FB ad FQ, et ut <lb></lb>cylindrus IQ ad solidum hyperbolicum, ita rectangulum <lb></lb>FQ ad figuram spuriam, ergo ex aequo etc.; sed cylindrus <lb></lb>IB aequalis est solido infinito <expan abbr="Iq.">Ique</expan> Ergo et rectangulum <lb></lb>figurae etc. </s></p> <p type="main"> <s>Esto ABCDEF figura qualis definita est, abeatque si <lb></lb>libet in infinitum. </s><s>Sumatur primo quaelibet ejus pars BCE. </s></p> <p type="main"> <s>Dico BCE aequalem esse spatio BGC. Alias etenim <lb></lb>major esset vel minor. </s></p> <p type="main"> <s>Sit primo major seceturque BK semper bifariam donec <lb></lb>HE minor sit excessu. </s><s>Tum inscribatur in figura constans <lb></lb>ex parallelogrammis aequealtis HD, LM et quorum ultimum <pb pagenum="237"></pb>sit IO, eritque inscripta figura ob constructionem adhuc <lb></lb>major spatio BGC. Quod est absurdum ob primum lemma. </s></p> <p type="main"> <s>Esto deinde minor, sectaque BK semper bifariam re<lb></lb>pertum sit HE minus defectu. </s><s>Tum circumscribatur figu<lb></lb>rae BCE alia figura constans ex parallelogrammis aeque<lb></lb>altis etc. </s><s>et erit circumscripta figura adhuc minor flgura <lb></lb>BGC, quod est absurdum. </s><s>Nam eadem figura circumscripta <lb></lb>trilineo BCE etiam si ab ipsa auferatur ultimum sive mi<lb></lb>nimum circumscriptum parallelogrammum major est quam <lb></lb>alia quaedam figura circumscripta ipsi BGC ob secundum <lb></lb>lemma. </s></p> <p type="main"> <s>Patet ergo propositum. </s></p> <p type="main"> <s>Abeat jam in infinitum; dico aequales esse. </s><s>Alias ete<lb></lb>nim altera ipsarum major erit in</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 11].<lb></lb>telligatur ex majori APC sumpta <lb></lb>pars BGC aequalis alteri figurae, <lb></lb>absurdum jam patet, nam sumpta <lb></lb>pars BGC parti cuidam alterius <lb></lb>figurae aequalis est, si vero ACEF <lb></lb>ponatur major, concipiatur quae<lb></lb>dam ipsius pars BCE aequalis al<lb></lb>teri figura. </s><s>Patet eodem modo ab<lb></lb>surdum. </s></p> <p type="main"> <s>[13] In figura qualis definita <lb></lb>est parallelogrammum inscriptum <lb></lb>[Fig. 11] AB minus erit quam FA. <lb></lb>Nam ducta tangente per A, fini<lb></lb>taque figura aequale erit AB ipsi <lb></lb>AI; ergo patet quod erat etc. </s></p> <p type="main"> <s>Circumscriptum vero CD majus <lb></lb>erit quam FE. Nam, ducta tan<lb></lb>gente per O et completa figura, <lb></lb>erit CD aequale FM; ergo CD majus erit quam FE, quod <lb></lb>erat etc. </s></p> <pb pagenum="238"></pb> <p type="main"> <s>[14] More veterum ostendi potest ut prima differentia <lb></lb>ad primam magnitudinem, ita p.<emph type="sup"></emph>ti<emph.end type="sup"></emph.end> ad omnes etc. </s></p> <p type="main"> <s>Esto hyperbola spuria [Fig. 12] AB, </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 12].<lb></lb>cujus proprietas est ut transeat per <lb></lb>summa puncta basium cylindrorum <lb></lb>aequalium AC, BC. Dico spatium <lb></lb>ABIDL, quamquam sine fine longum, <lb></lb>aequale esse parallelogrammo AC. </s></p> <p type="main"> <s>Nam applicata quacumque BD, <lb></lb>factoque cylindro BC, et facta hyper<lb></lb>bola bona per punctum A, quae sit <lb></lb>AH. Erit ob hyperbolam bonam AL <lb></lb>ad HD potentia, ut BC ad CL po<lb></lb>tentia, sive ut BF ad AE potentia, sive ut AL ad BD <lb></lb>longitudine ob hyperbolam spuriam. </s><s>Ergo tres AL, HD, <lb></lb>BD sunt continuae, propterea per demontrationem jam <lb></lb>factam alibi, erit rectangulum AC aequale spatio sibi su<lb></lb>perimposito. </s><s>Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s>Haec hyperbola utrinque in infinitum abit, ut facile <lb></lb>patebit contemplanti. </s><s>Magis tamen ad asimptoton accedit <lb></lb>ad partes D, quam ad partes AE, immo ad partes AE <lb></lb>spatium infinite longum non est mensurabile, cum omnem <lb></lb>finitam spatii magnitudinem excedat. </s></p> <p type="main"> <s>[15] Datae rectae lineae [Fig. 13] AB sectae utcumque <lb></lb>in C, aliam in directum adjungere BD, </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 13].<lb></lb>ita ut rectangula CDB, CAD sint ae<lb></lb>qualia. </s></p> <p type="main"> <s>Fiat quadratum AE, producatur<lb></lb>que EF aequalis ipsi AE, et per F <lb></lb>transeat hyperbola inter asymptotos <lb></lb>HEI, ductaque BG parallela ad AC <lb></lb>agatur GD aequidistans ipsi EC. Dico <lb></lb>factum esse quod etc. </s></p> <p type="main"> <s>Rectangulum enim GE aequale <lb></lb>erit quadrato MN ob hyperbolam, sive <lb></lb>quadrato ACE per constructionem; additoque communi, <lb></lb>erit rectangulum OD aequale rectangulo CG. Nempe rec<lb></lb>tangulum DAC aequale rectangulo CDB. Quod erat etc. </s></p> <pb pagenum="239"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Pro maximis.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>[16] Ostenditur in opere, quod si fuerit ut dignitas <lb></lb>major [Fig. 14] AB ad BC, ita dignitas minor DB ad BE, <lb></lb>erit DI ad IA in majori ratione quam major exponens ad <lb></lb>minorem. </s><s>Ostenditur pure sine ope hyperbolarum. </s><s>Osten<lb></lb>sum etiam est EG ad NA minorem </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 14].<lb></lb>semper habere rationem quam expo<lb></lb>nens major ad minorem exponentem. </s></p> <p type="main"> <s>Sit jam EF ad FA ut exponens <lb></lb>ad exponentem. </s><s>Dico MI majorem <lb></lb>esse quam IF, sive GO majorem <lb></lb>quam OF. </s></p> <p type="main"> <s>Nam DI ad IA majorem habet <lb></lb>rationem, quam exponent ad expo<lb></lb>nentem, sive quam EF ad FA, ergo <lb></lb>et multo majorem quam EI ad IC bases, quare altitudo <lb></lb>MI major erit quam altitudo IF. </s></p> <p type="main"> <s>In alio casu EG ad NA minorem habet rationem quam <lb></lb>exponens major ad minorem, sive quam EF ad FA, ergo <lb></lb>multo minorem, quam EN ad NH bases, ideo altitudo FO <lb></lb>minor quam OG. </s></p> <p type="main"> <s>Ita erunt EF + FA minima quantitas. </s></p> <p type="main"> <s>Sit itaque EFA ita secanda ut ductus dignitatum seg<lb></lb>mentorum sit maximus. </s><s>Esto EF ad FA ut exponentes <lb></lb>dati, dico talem ductum esse maximum. </s><s>Nam nisi maxi<lb></lb>mus sit; ponatur maximum esse eum, cujus primum seg<lb></lb>mentum sit DM, vel LG; fiatque ut dignitas DM ad EF, <lb></lb>ita dignitas FA ad MC, eruntque ductus DM, MC et EF, <lb></lb>FA aequales; sed rectae DMC majores sunt rectis EFA <lb></lb>ut supra diximus, ergo si secetur MC ita ut DMV sint <lb></lb>aequales EFA, erit ductus DM, MV minor ductu EFA. <lb></lb>Sed ponebatur major etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma per serv.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> de' solidi.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>[17] Si fuerit ut rectangulum [Fig. 15] AB ad BC ita <lb></lb>reciproce recta DE ad FF; nempe distantia centri gravi- <pb pagenum="240"></pb>tatis rectanguli BC ad distantiam centri gravitatis rect<lb></lb>anguli AB ab axe AE, convertaturque utraque figura circa <lb></lb>axem AE. Dico solido aequalia circum</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 15].<lb></lb>scribi, nempe cylindrum ex AB factum <lb></lb>aequalem esse solido anulari, sive cylin<lb></lb>drico excavato ex BC facto. </s></p> <p type="main"> <s>Ponatur HL aequalis ipsi CE, et fiat <lb></lb>ut LB ad BH ita BH ad BI et comple<lb></lb>tantur figurae ut in schemate. </s></p> <p type="main"> <s>Iam spatium AB ad BC est ut recta <lb></lb>DE ad EF per suppositionem, sive in <lb></lb>duplis ut CE, EG simul ad EG, nempe <lb></lb>ut LB ad BH, sive ut HB ad BI per <lb></lb>constructionem, hoc est ut spatium idem <lb></lb>AB ad NI; propterea aequalia sunt NI, <lb></lb>BC, et eorum latera reciproca nempe NB <lb></lb>ad BG erit ut recta OB ad BI, sive (sumpta IBL com. </s><s>alt.) <lb></lb>ut rectangulum OBL ad rectangulum IBL, hoc est ut <lb></lb>rectangulum OBL ad quadratum BH, et componendo erit <lb></lb>NG ad GB ut quadratum OH ad HB, sive ut circulus ex <lb></lb>OH ad circulum ex HB cylindrorum itaque factorum ex <lb></lb>AG, et HC circa axem AE reciprocantur bases, et altitu<lb></lb>dines, quare aequales sunt et dempto communi cylindro <lb></lb>facto ex HG, reliqua solida aequalia ex HG, reliqua so<lb></lb>lida aequalia erunt, nempe etc. </s><s>quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Definitio.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>[18] Si fuerint duae rectae lineae </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 16].<lb></lb>[Fig. 16] AB, BC ad quemlibet an<lb></lb>gulum compositae, fueritque quae<lb></lb>dam linea curva GFEFH, ejusmodi <lb></lb>ut dignitates applicatarum dignitati<lb></lb>bus asymptotalium reciproce propor<lb></lb>tionales sint, hujusmodi curvam hy<lb></lb>perbolam voco; debent dignitates <lb></lb>appl. </s><s>esse ejusdem gradus inter se, <lb></lb>et dignitates asymptotalium ejusdem <lb></lb>gr. </s><s>inter se. </s><s>Ratio autem reciproca hoc modo intelli- <pb pagenum="241"></pb>genda est. </s><s>Sumpta qualibet asymptotali AB, et applicata <lb></lb>AE debet esse exempli gr. </s><s>ut cuboquad.<emph type="sup"></emph>m<emph.end type="sup"></emph.end> AB ad cuboquad.<emph type="sup"></emph>m<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>BD, ita reciproce cubus DF ad cubum AE et dignitates <lb></lb>majoris gradus facilitatis causa semper a nobis conside<lb></lb>rantur in erecta asymptoto quod monuisse necesse erat. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>THEOREMA PRIMUM.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>[19] Esto asymptotos erecta sive majorum dignitatum <lb></lb>[Fig. 17] AB, et sit applicata AD ubicumque. </s><s>Tum factum <lb></lb>parallelogrammum ABCD ad reliquam </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 17].<lb></lb>universam, figuram sine fine longam <lb></lb>AED rationem habebit notam effabi<lb></lb>lem, et quae ab exponentibus dignita<lb></lb>tum datur. </s></p> <p type="main"> <s>Si vero convertatur figura circa <lb></lb>axem EB habebit solidum factum ex <lb></lb>figura infra DEA ad cylindrum factum <lb></lb>ex DABC rationem effabilem, et quae <lb></lb>ab exponentibus dignitatum datur. </s></p> <p type="main"> <s>Quando vero ad quodlibet punctum D quaeratur tan<lb></lb>gens ipsi exponentes statim, et facillime ipsam exhibent. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Conclusiones.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>[20] Si fuerit recta [Fig. preced.] AB asymptotus ma<lb></lb>jorum dignitatum, erit universa figura plana CDEAB ad <lb></lb>figuram planam DEA, ut major exponens ad minorem, <lb></lb>sive ut exponens dignitatis asymptotalium ad exponen<lb></lb>tem dignitatis applicatarum. </s></p> <p type="main"> <s>Solidum vero factum circa axem BAE ex revolutione <lb></lb>figurae CDEB ad solidum factum ex revolutione DEA <lb></lb>erit ut numerus duplus exponentis dignitatis asymptota<lb></lb>lium ad exponentem applicatarum. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Solido infinitamente largo.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>[21] Si vero figura predicta convertatur circa asymto<lb></lb>ton minorum dignitatum BC, fiet ex figura CDEAB soli- <pb pagenum="242"></pb>dum quoddam sine fine latum. </s><s>Eritque universum solidum <lb></lb>ad partem sui longissimam ut exponens asymptotalis (quae <lb></lb>asymptotos axis non sit) ad duplum exponentis applica<lb></lb>tarum. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Definitio.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>[22] Sint [Fig. 18] AD, AF ad angulos rectos, vel si <lb></lb>mavis ad alium quemlibet an</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 18].<lb></lb>gulum, sumptoque aliquo puncto <lb></lb>B, ponatur quaevis recta BC or<lb></lb>dinatim applicata, hoc est aequi<lb></lb>distans ipsi AF. </s></p> <p type="main"> <s>Tum sumpto quolibet alio <lb></lb>puncto D esto ut dignitas a<lb></lb>symptotalis BA ad dignitatem <lb></lb>asymptotalem AD sibi parigra<lb></lb>dam, ita reciproce alia quae<lb></lb>cumque dignitas applicatae DE <lb></lb>ad dignitatem sibi parigradam <lb></lb>applicatae BC, et per omnia puncta E, C, E, et transeat <lb></lb>linea quaedam quam hyperbolam appellamus. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>THEOREMA I.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Planum.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>[23] Si fuerit quaelibet ex infinitis hyperbolis, cujus <lb></lb>asymptoti [Fig. 19] AH, AD, et quae</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 19].<lb></lb>dam ordinatim applicata BC. Erit figura <lb></lb>plana sine fine longa DCHA ad figu<lb></lb>ram planam sine fine longam CHB ut <lb></lb>exponens dignitatis asymptotalium BA <lb></lb>ad exponentem dignitatis applicata<lb></lb>rum BC. </s></p> <p type="main"> <s>Necesse est exponentem asympto<lb></lb>talium majorem esse exponente appli<lb></lb>catarum, alias figura, non solum longitudine, sed etiam <lb></lb>magnitudine infinita esset, ut a nobis demonstratur. </s></p> <pb pagenum="243"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>THEOREMA II.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Tangens.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 20].</s></p> <p type="main"> <s>[24] Esto hyperbola, cujus asym<lb></lb>ptoti [Fig. 20] AD, DB quaeraturque <lb></lb>tangens ad punctum C. Applicetur <lb></lb>ordinatim CE, fiatque ut exponens <lb></lb>asymptotalium DA ad exponentem <lb></lb>applicatarum CE ita recta DE ad <lb></lb>EA, et ducta AC tangens erit. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>THEOREMA III.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Solidum acutum sine fine longum.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>[25] Sint asymptoti [Fig. preced.] AB, BC, et quaevis <lb></lb>ordinatim applicata AD, convertaturque figura circa axem <lb></lb>AB, erit solidum sine fine longum factum ex figura CDEAB <lb></lb>ad solidum factum ex figura DEA, ut numerus duplus <lb></lb>exponentis dignitatum axis AB ad ipsum numerum expo<lb></lb>nentem dignitatis applicatarum ad axem. </s></p> <p type="main"> <s>Necesse est duplum exponentis dignitatum axis majo<lb></lb>rem esse exponente applicatarum: alias enim figura non <lb></lb>solum longitudine, sed etiam mole esset infinita, ut a <lb></lb>nobis demonstratur. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>THEOREMA IV.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Solidum sine fine oblatum cujus expansio per binam <lb></lb>dimensionem in infinitum abit.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>[26] Sint asymptoti [Fig. 21] BA, BC et quaelibet appli<lb></lb>cata AD. Completoque rectangulo BD, convertatur figura <lb></lb>circa axem AB. Erit solidum sine fine latum, genitum ex <lb></lb>figura ADFCB ad solidum sine fine latum, genitum ex fi<lb></lb>gura DFC ut exponens applicatarum ad duplum expo<lb></lb>nentis dignitatum ipsius axis. </s></p> <pb pagenum="244"></pb> <p type="main"> <s>Necesse est ut numerus exponens </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 21].<lb></lb>dignitatum applicatarum major sit du<lb></lb>plo exponentis dignitatum axis, alias <lb></lb>figura non solum expansione, sed etiam <lb></lb>mole infinita esset, ut a nobis demon<lb></lb>stratur. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Dalla enunciazione del Teorema 3 <lb></lb>et 4 nel modo in che sta ora, si può <lb></lb>cavare, che girando la med.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> iperbola <lb></lb>intorno ad un solo asimptoto, o il lungo, ovvero il largo <lb></lb>solido deve essere infinito. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemmi per i solidi soli, <lb></lb>cioè larghiss.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> hyperbol.<emph type="sup"></emph>co<emph.end type="sup"></emph.end> e conoidi parabolici.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>[27] Sit quadratocubocubus [Fig. 22] AB ad BC ut cu<lb></lb>bus DB ad BE. Peragatur solita constructio, nempe ut <lb></lb>dignitas DB ad BE, hoc est ut cubus DB ad BE, ita fiat <lb></lb>recta DB ad BF, sint</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 22].<lb></lb>que omnes in continua <lb></lb>ratione DB, EB, GB, <lb></lb>FB. Tum ratio DB ad <lb></lb>BE dividatur in tot <lb></lb>partes aequales quot <lb></lb>unitates continebit ex<lb></lb>ponens dignitatis AB, <lb></lb>nempe in 7 partes in <lb></lb>casu nostro. </s><s>Idemque <lb></lb>fiat de ratione EB ad <lb></lb>BG, et GB ad BF, ita <lb></lb>ut sint 22 rectae in continua proportione incipientes ex <lb></lb>puncto B. Certum est quod etiam illarum excessus erunt <lb></lb>in continua, et in eadem proportione, in qua sunt integrae <lb></lb>lineae. </s><s>Secentur bifariam de more AC in V, CB in T, <lb></lb>PD in Z. </s></p> <p type="main"> <s>Iam quadratocubocubus AB ad quadratocubocubum <lb></lb>BC est per suppositionem ut cubus DB ad BE, sive ut <lb></lb>recta DB ad BF, nempe ut quadratocubocubus DB ad <lb></lb>quadratocubocubum BH (sunt enim octo rectae in con- <pb pagenum="245"></pb>tinua proportione, quarum prima DB, secunda IB cum <lb></lb>reliquis, quarum ultima est BF); ergo etiam rectae pro<lb></lb>portionales erunt, nempe AB ad BC erit ut DB ad BH, <lb></lb>propterea aequalia erunt rectangula, et per prostapheresim <lb></lb>aequalia erunt spatia PH, PC. Quod memento. </s><s>Sed ut DB <lb></lb>ad BH ita etiam (sumptis aequalibus proportionibus) LB <lb></lb>ad BE. Ergo ut AB ad BC, ita LB ad BE, et rectangula <lb></lb>earum aequalia erunt, demptoque NB, reliqua LN, NA ae<lb></lb>qualia erunt, quod memento. </s></p> <p type="main"> <s>Spatium MN ad NA est ut MN ad NL, sive ut recta <lb></lb>ME ad EL, nempe in majori ratione, quam sit HR ad <lb></lb>LR, sive quam sit DB, et BM ad BM, sive quam sit AB <lb></lb>et BC ad BC, sive sumptis subduplis quam sit VB ad BT. <lb></lb>Spatium ergo MN ad NA majorem habet rationem quam <lb></lb>distantia VB ad BD, reciproce, quare solidum ex MN <lb></lb>majus erit solido ex NA circa eumdem axem BD, hoc est <lb></lb>majus erit MN ad NA quam est 6 ad 6, et ideo solidum <lb></lb>ex DN ad idem ex NA majus erit quam ut 7 ad 6. Quod <lb></lb>volebam. </s></p> <p type="main"> <s>Iterum spatium PI ad PC est ut PI ad PH, hoc est <lb></lb>ut ID ad DH, nempe in minore ratione quam sit RH ad <lb></lb>HL, sive quam sit MB, et BD simul ad BD, sive quam <lb></lb>sit CB, BA simul ad BA, sive in subduplis quam sit VB <lb></lb>ad DZ. Spatium igitur PI ad PC minorem habet ratio<lb></lb>nem, quam reciproce distantia VB ad DZ, quare solidum <lb></lb>ex PI minus erit solido ex PC circa axem DB, hoc est <lb></lb>solidum ex PI ad solidum ex PC minus erit quam ut 6 <lb></lb>ad 6. Et propterea solidum ex PE ad idem ex PC minus <lb></lb>erit quam ut 7 ad 6. Quod volebam. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Per serv.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> solo de' solidi, <lb></lb>cioè degli infinitamente larghi hyperbolici e dei conoidi parab.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>[28] Esto ut cubus [Fig. 23] AB ad BC, ita recta DB <lb></lb> <arrow.to.target n="marg382"></arrow.to.target><lb></lb>ad BE; sumptisque duabus mediis ita sunt quatuor rectae <lb></lb>in continua ratione DB, GB, HB, EB, ostendentur de more <lb></lb>(ut in sequentibus demonstrationibus) aequalia HN, NA, <lb></lb>item PG, PC. Secentur bifariam AC in V, CB in T, et <lb></lb>PD in Z. </s></p> <pb pagenum="246"></pb> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg382"></margin.target>Quanto alli <lb></lb>piani delle <lb></lb>hyperbole la <lb></lb>dottrina co<lb></lb>mincia a <lb></lb>carte XI.</s></p> <p type="main"> <s>Iam erunt DG, GH, HE in ea</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 23].<lb></lb>dem ratione cum DB, GB, HB, EB, <lb></lb>ideoque cum ipsis AB, BC. Quibus <lb></lb>sic stantibus spatium GN ad NA <lb></lb>erit ut GN ad NH, nempe ut GE <lb></lb>ad EH, sive ut AB, BC simul ad <lb></lb>BC, sive sumptis dimidiis ut VB <lb></lb>ad BT, reciproce, quare solida ae<lb></lb>qualia describent circa axem DB; <lb></lb>hoc est erit solidum ex GN ad <lb></lb>solidum ex NA ut 2 ad 2, propte<lb></lb>rea solidum ex DN ad idem ex NA <lb></lb>erit plusquam ut 3 ad 2. Quod volebam. </s></p> <p type="main"> <s>Spatium vero PH ad PC erit ut PH ad PG, sive ut <lb></lb>HD ad DG, sive ut CB, et BA simul ad BA, sive sumptis <lb></lb>subduplis ut BV ad DZ. Spatium itaque PH ad spatium <lb></lb>PC est ut distantia centri gravitatis VB ad DZ reciproce, <lb></lb>quare solida aequalia describent circa axem BD, nempe <lb></lb>solidum ex PH ad solidum ex PC erit ut 2 ad 2; propte<lb></lb>rea solidum ex PE ad idem ex PC erit minus quam ut 3 <lb></lb>ad 2. Quod volebam. <lb></lb> <arrow.to.target n="marg383"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg383"></margin.target>Vide <expan abbr="seqq.">seqque</expan> <lb></lb>pag. </s><s>et fig.<emph type="sup"></emph>m<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Sed quia est ut recta AB ad BC, ita recta DB ad BF, <lb></lb>sive recta HB ad BE, erunt aequalia HC, EA, demptoque <lb></lb>communi EC, aequalia erunt HN, NA, nempe ut 1 ad 1, <lb></lb>et ideo DN ad NA majus erit quam 4 ad 1. Quod vole<lb></lb>bam etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Per serv.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> de' solidi nell'hyperbole e parabole.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Dell'hyperbole il solido senza fine longo.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Delle parabole il solido del trilineo esterno circa tangentem; <lb></lb>per cercare il fuso.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s>[29] Solidum ex PF ad solidum ex PC circa axem AB, <lb></lb>cum ipsa spatia PF, PC sint aequalia erit ut distantia ad <lb></lb>distantiam centri gravitatis ab axe revolutionis. </s><s>Ergo mi<lb></lb>nus erit quam duplum. </s><s>Ergo totum solidum factum ex <lb></lb>PE multo minus erit quam octuplum. </s></p> <p type="main"> <s>Solidum vero ex HN ad solidum ex NA circa axem <lb></lb>eumdem AB, cum spatia ipsa, sint aequalia erit ut di- <pb pagenum="247"></pb>stantia centri gravitatis ab axe ad distantiam etc., nempe <lb></lb>plus quam duplum. </s><s>Propterea totum solidum factum ex <lb></lb>DN ad idem solidum ex NA erit multo plus quam octu<lb></lb>plum. </s><s>Quod volebam. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Pro solidis alia ratione circa axem DB. Quod deservit in hy<lb></lb>perbolis pro solido latissimo, in parabolis pro conoidibus.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>[30] Ostensum jam est HN aequale ipsi NA. Iam GN <lb></lb>ad NA est ut GN ad HN, sive ut GE ad EH, nempe ut <lb></lb>ABC ad BC (est enim ut GH ad HE, ita HB ad BE, et <lb></lb>ita AB ad BC, et componendo patet quod assumo), sive <lb></lb>sumptis subduplis ut VB ad BT, distantiae ergo centro<lb></lb>rum VB et BT reciprocae sunt ipsis figuris GN, NA, <lb></lb>propterea solida circa axem DB erunt aequalia, et ideo <lb></lb>solidum ex DN ad solidum ex NA magis quam duplum, <lb></lb>sive quam 4 ad 2, quod volebam. </s><s>Secetur deinde bifariam <lb></lb>PD in Z. Ostensa sunt aequalia spatia PF, PC. Iam spa<lb></lb>tium PG ad PC est ut PG ad PF, nempe ut GD ad DF, <lb></lb>hoc est ut CBA ad rectam BA, sive sumptis subduplis ut <lb></lb>VB ad ZD. Sunt ergo spatia PG et PC in ratione reci<lb></lb>proca distantiarum centri gravitatis ab axe BD, atque <lb></lb>ideo solida aequalia describunt. </s><s>Propterea solidum ex PE <lb></lb>ad solidum ex PC minus erit quam duplum etc. </s></p> <p type="main"> <s>[31] Sint primo exponentes in ratione multiplici puta </s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg384"></arrow.to.target><lb></lb>ut 4 ad 1 nempe. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg384"></margin.target>Nota quod <lb></lb>Secundam, <lb></lb>Tertiam, <lb></lb>Quartam etc. </s><s><lb></lb>intelligo pro <lb></lb>Quadrato, <lb></lb>Cubo, <lb></lb>Quad.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> etc. </s><s><lb></lb>respective.</s></p> <p type="main"> <s>Quarta [Fig. 24] AB ad </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 24].<lb></lb>quartam BC sit ut prima DB <lb></lb>ad primam BE. </s></p> <p type="main"> <s>Sumantur inter DB, BE <lb></lb>tot media proportionales, <lb></lb>quot unitates continet expo<lb></lb>nens AB una minus, eritque <lb></lb>quarta AB ad BC ut recta <lb></lb>DB ad BE, per suppositio<lb></lb>nem, sive ut quarta DB ad <lb></lb>BF (sunt enim quinque rec<lb></lb>tae in continua ratione DB, FB, GB, HB, EB), ergo recta <pb pagenum="248"></pb>AB ad BF. Propterea aequalia erunt DC, FA, dempto<lb></lb>que OB, et addito PO, erunt aequalia PE, PC, nempe <lb></lb>ut 1 ad 1, ergo PE ad PC minus erit quam 4 ad 1. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>In sequenti figura.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>[32] Quia ad signum <arrow.to.target n="fig232"></arrow.to.target> ostensum est in pag.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> se<lb></lb>quenti ita esse AB ad BC rectam, ut recta DB ad BO <lb></lb>erunt parallelogramma OA, DC aequalia, demptoque OC <lb></lb>et addito PN, erunt aequalia PO, PC, nempe ut 3 ad 3, ergo <lb></lb>PE ad PC minus erit quam 5 ad 3. Quod volebam etc. </s></p> <figure id="fig232"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Per serv.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> de' solidi in hyperb.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> e parabola, <lb></lb>in hyperbola acuto longiss.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end>, <lb></lb>in parabola pro solido trilinei externi ad venandum fusum.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>[33] Cum aequalia ostensa sint spatia LF, FA, sitque <lb></lb>axis AB, erit solidum ex LF ad solidum ex FA plusquam <lb></lb>duplum (cum distantia centro gravitatis ab axe sit plus <lb></lb>quam dupla), nempe plus quam 6 ad 3. Propterea solidum <lb></lb>ex DF ad solidum ex FA multo plus erit quam ut 10 ad 3. </s></p> <p type="main"> <s>Et quia etiam PO, PC spatia aequalia ostensa sunt, <lb></lb>distantia vero centri gravitatis ab axe AB non est dupla, <lb></lb>solidum ex PO ad solidum ex PC erit minus quam du<lb></lb>plum, hoc est minus quam ut 6 ad 3 et propterea solidum <lb></lb>ex PE ad idem solidum ex PC </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 25].<lb></lb>multo minus quam ut 10 ad 3. <lb></lb>Quod volebam etc. </s></p> <p type="main"> <s>Esto ut dignitas [Fig. 25] <lb></lb>AB ad BC, ita dignitas DB <lb></lb>ad BE, dummodo AB, BC sint <lb></lb>similes inter se, itemque DB, <lb></lb>BE similes inter se. </s><s>Dico pa<lb></lb>rallelogrammum DF ad FA <lb></lb>majorem habere rationem <lb></lb> <arrow.to.target n="marg385"></arrow.to.target><lb></lb>quam exponentes dignitatum. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg385"></margin.target>Quella divi<lb></lb>sione di espo<lb></lb>nenti non è <lb></lb>buona. </s><s>Vedi <lb></lb>a carte 17, in <lb></lb>questo mede<lb></lb>simo sito.</s></p> <p type="main"> <s>Exponentes enim, vel erunt ambo impares, vel major <lb></lb>AB (sumemus enim semper majorem in erecta asymptoto) <lb></lb>impar, et minor BD, par, vel e contra. </s></p> <pb pagenum="249"></pb> <p type="main"> <s>[34] Sint primo ambo impares, nempe ut quinta AB <lb></lb>ad quintam BC, ita tertia DB ad tertiam BE. Dico DF ad <lb></lb>FA majorem habere rationem quam 5 ad 3. </s></p> <p type="main"> <s>Fiat ut dignitas DB ad BE ita recta DB ad BG. Con<lb></lb>cipiaturque ratio DB ad BE secta in tot partes aequales <lb></lb>quot sunt unitates exponentis AB, quod fiet si sumantur <lb></lb>tot mediae, quot sunt unitates exponentis una minus; <lb></lb>idemque fiat inter EB, BH, et inter HB, BG, et inter cae<lb></lb>teras si plures fuerint in continua ratione sumptae. </s></p> <p type="main"> <s>Erit jam quinta AB ad quintam BC ut tertia DB ad <lb></lb>tertiam BE per suppositionem, sive ut recta DB ad BG <lb></lb>per constructionem, sive ut quinta DB ad BO (sunt enim <lb></lb>sex rectae in continua ratione DB, OB, IB, VB, IB, GB); <lb></lb>ergo ut recta AB ad BC ita recta DB ad BO, sive (sumptis <lb></lb>aequalibus rationibus) ita recta LB ad BE. Ergo aequalia <lb></lb>sunt parallelogramma LC, EA, demptoque communi, ae<lb></lb>qualia erunt LF, FA, nempe ut 3 ad 3; ergo DF ad FA <lb></lb>erit majus quam ut sit quemadmodum 5 ad 3. Quod vo<lb></lb>lebam. </s></p> <p type="main"> <s>Ad signum <arrow.to.target n="fig233"></arrow.to.target> est ut recta AB ad BC, ita DB ad <lb></lb> <arrow.to.target n="marg386"></arrow.to.target><lb></lb>BL, ergo aequalia sunt DC, LA, demptoque LC, et addito <lb></lb>PO, erunt aequalia PL, PC, nempe ut minor exponens ad <lb></lb>eumdem minorem hoc est ut 3 ad 3. Quare PE ad PC <lb></lb>majus est quam ut 6 ad 3. Quod volebam etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg386"></margin.target>Vide <expan abbr="seqq.">seqque</expan> <lb></lb>paginam <lb></lb><expan abbr="figuramq.">figuramque</expan></s></p> <figure id="fig233"></figure> <p type="main"> <s>Sint jam dignitates [Fig. 26] </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 26].<lb></lb> <arrow.to.target n="marg387"></arrow.to.target><lb></lb>AB major par puta 6, DB impar <lb></lb>puta 3. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg387"></margin.target>Sarà meglio <lb></lb>come 4 a 3, <lb></lb>n.<emph type="sup"></emph>i<emph.end type="sup"></emph.end> primi.</s></p> <p type="main"> <s>Peragatur similis constructio, <lb></lb>nempe ut dignitas DB ad BE, <lb></lb>ita sit recta DB ad BG, et ratio <lb></lb>rectae DB ad BE secetur in tot <lb></lb>partes aequales, quot sunt expo<lb></lb>nentis AB unitates, quod fiet, si <lb></lb>inter DB, BE sumantur tot me<lb></lb>diae quot sunt unitates expo<lb></lb>nentis AB una minus. </s></p> <p type="main"> <s>Iam sexta AB ad sextam BC est ut tertia DB ad ter<lb></lb>tiam BE per suppositionem, sive ut recta DB ad BG per <lb></lb>constructionem, sive ut sexta DB ad sextam BL (sunt <pb pagenum="250"></pb> <arrow.to.target n="marg388"></arrow.to.target><lb></lb>enim septem rectae continuae DB, LB, EB, VB, HB, IB, <lb></lb>GB) ergo recta AB ad BC erit ut recta DB ad BL, sive <lb></lb>ut LB ad BE, ergo aequalia sunt LC, EA, demptoque <lb></lb>communi, aequalia erunt LF, FA, nempe ut 3 ad 3, ideo<lb></lb>que DF ad FA erit plus quam ut 6 ad 3. <lb></lb> <arrow.to.target n="marg389"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg388"></margin.target>Nota. </s> <s><foreign lang="it">che <lb></lb>questa sareb<lb></lb>be la prima <lb></lb>spuria, per<lb></lb>chè gli espo<lb></lb>nenti hanno <lb></lb>la medesima <lb></lb>proporzione.</foreign></s> </p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg389"></margin.target>Vide <expan abbr="seqq.">seqque</expan> <lb></lb>pagin. </s><s>et <lb></lb>fig.<emph type="sup"></emph>m<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>A quia ut AB ad BC, ita DB ad BF aequalia erunt <lb></lb>FA, DC, factaque prostapheresi, de more concludemus EN <lb></lb>ad NC minus esse quam ut 6 ad 4. </s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg390"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg390"></margin.target>Questa di<lb></lb>stinzione di <lb></lb>pari non è <lb></lb>buona, per<lb></lb>chè ambo <lb></lb>pari non pos<lb></lb>sono essere. </s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Si ridurreb<lb></lb>bero ad una <lb></lb>di quell'altre <lb></lb>spezie con la <lb></lb>divisione del<lb></lb>l'uno e del<lb></lb>l'altro nu<lb></lb>mero per <lb></lb>communem <lb></lb>mensuram. <lb></lb>È necessario <lb></lb>che gli espo<lb></lb>nenti siano <lb></lb>primi.</foreign></s> </p> <p type="main"> <s>[35] Sint dignitates ambo pares, </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 27].<lb></lb>nempe sexta [Fig. 27] AB ad sex<lb></lb>tam BC sit ut quarta DB ad BE. </s></p> <p type="main"> <s>Peracta simili constructione erit <lb></lb>ut sexta AB ad sextam BC, ita <lb></lb>quarta DB ad quartam BE per sup<lb></lb>positionem, sive ita recta DB ad <lb></lb>BV per constructionem, sive sexta <lb></lb>DB ad BF (sunt enim septem con<lb></lb>tinuae DB, FB, GB, HB, IB, LB, <lb></lb>VB). Ergo ut recta AB ad BC, ita <lb></lb>recta DB ad BF, sive sumptis aequalibus rationibus ita <lb></lb>MB ad BE, quare aequalia sunt EA, MC, et de more ae<lb></lb>qualia MO, OA, nempe ut 4 ad 4, quare DO ad OA erit <lb></lb>plusquam 6 ad 4. </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 28].</s></p> <p type="main"> <s>[36] Sit quinta [Fig. 28] AB ad <lb></lb>BC ut quarta DB ad BE. </s></p> <p type="main"> <s>Peracta eadem semper con<lb></lb>structione habebimns ut quinta AB <lb></lb>ad quintam BC, ita quarta DB ad <lb></lb>BE, sive recta DB ad BV, sive <lb></lb>quinta DB ad BF, sive potius GB <lb></lb>ad BE; ergo rectangula aequalia, <lb></lb>et tandem DH ad HA majus erit <lb></lb>quam 5 ad 4. </s></p> <p type="main"> <s>Sed ipsum IE ad IC majus erit quam 5 ad 4. </s></p> <pb pagenum="251"></pb> <p type="main"> <s>[37] Solidum acutum hyperbolicum aequale esse co<lb></lb>noidi parabolico quando dignitas fuerit major dignitate <lb></lb>applicatarum. </s></p> <p type="main"> <s>Esto hyperbola, cujus asymptoti </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 29].<lb></lb>[Fig. 29] AB, AC, sintque quadrati <lb></lb>asymptotalium AB inter se reciproce <lb></lb>ut rectae applicatae ad ipsam AB. Tum <lb></lb>sumpta qualibet applicata ED et com<lb></lb>pleto rectangulo ACDE convertatur <lb></lb>figura circa AB. </s></p> <p type="main"> <s>Ponatur quadratum CF duplum <lb></lb>rectanguli DA, et circa diametrum AC <lb></lb>transeat per punctum F parabola qua<lb></lb>droquadratica AGF, cujus vertex in A. <lb></lb>Dico solidum factum ex figura CDOA <lb></lb>aequale esse conoidi facto a parabola <lb></lb>AGF circa axem AC revoluta. </s></p> <p type="main"> <s>Sumatur quodlibet punctum H per quod agatur GHL <lb></lb>parallela ad AB. Accipiaturque AI media proportionalis <lb></lb>inter CA, AH; eritque quadratum CA ad AI, ut recta CA <lb></lb>ad AH, sive ut quadratum BA ad AE. Ergo quadrata <lb></lb>CA, AI, et BA, AE sunt proportionalia, quare et latera, <lb></lb>nempe CA recta ad AI rectam erit ut recta BA ad AE. <lb></lb>Iam superficies cylindrica facta a recta DC ad cylindri<lb></lb>cam factam ab LH est ut rectangulum ad rectangulum <lb></lb>per axem, sive ut eorum subdupla, nempe ut DC ad LA <lb></lb>nempe rationem habet compositam ex ratione CA ad AH, <lb></lb>et EA ad AB, sive ut HA ad AI. Ergo superficies ex DC <lb></lb>ad superficiem ex LH erit ut recta CA ad AI. Quadro<lb></lb>quadratum vero CF ad quadroquadratum HG est ut recta <lb></lb>CA ad AH, quare subduplicata utrinque ratione erit quad.<emph type="sup"></emph>m<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>FC ad quadratum HG ut recta CA ad AI, sive ut super<lb></lb>ficies cylindrica ex DC ad superficiem cylindricam ex HL; <lb></lb>sed antecedentia sunt aequalia, ergo consequentia et hoc <lb></lb>verum et semper ubicumque sumatur punctum H in dia<lb></lb>metro AC. Ergo omnes superficies cylindricae, sive soli<lb></lb>dum acutum aequales sunt omnibus circulis simul sumptis, <lb></lb>sive conoidi etc. </s></p> <pb pagenum="252"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>REGULA PRIMA.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Pro invenienda parabola.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>[38] Quando dignitates asymptotales AB majores sunt <lb></lb>dignitatibus applicatarum. </s><s>Tunc dignitas applicatarum in <lb></lb>parabola AFC habetur ab exponente asymptotali, nempe <lb></lb>majori duplicato. </s><s>Diametralium vero habetur a differentia <lb></lb>exponentium ipsius hyperbolae. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>REGULA SECUNDA.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Pro dividenda linea CA in suis proportionibus.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>[39] Dividatur ratio EC ad CI in tot partes aequales, <lb></lb>quot unitates continet exponens axis solidi. </s><s>Eademque <lb></lb>ratio multiplicetur toties quot unitates continet dignitatis <lb></lb>applicatarum ad praedictum axem. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Idem cum praecedenti in alio casu.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>[40] Esto hyperbola [Fig. 30] AB, cujus asymptoti CD, <lb></lb>CE, sitque ut quadrato cubus DC ad CF, ita cubus AF <lb></lb>ad BD, sive EC ad CE reciproce. </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 30].<lb></lb>Et facto circulo ex EM aequali <lb></lb>superficiei cylindricae ex AE. Aga<lb></lb>tur per punctum M parabola CNM, <lb></lb>cujus vertex C, diameter EC, et sit <lb></lb>decima dignitas EM ad decimam <lb></lb>dignitatem IN, hoc est qqcubus ad <lb></lb>q.q.c. </s><s>cubum, ita quadratum EC <lb></lb>ad CI. Dico solidum acutum, cujus <lb></lb>axis CD, aequale esse conoidi pa<lb></lb>rabolico, cujus axis EC. Secetur <lb></lb>ratio EC ad CI in quinque partes <lb></lb>aequales, nempe quot unitates continet exponens CD, ea<lb></lb>demque ratio triplicetur quot scilicet unitates continet <lb></lb>alter exponens applicatarum AF, BD. </s></p> <p type="main"> <s>Quadratocubus DC ad CF est ut cubus EC ad CI, <pb pagenum="253"></pb>nempe ut recta EC ad CP, sive ut quadratocubus EC ad <lb></lb>CL, ergo et latera proportionalia erunt; nempe ut recta <lb></lb>CD ad CF, ita recta EC ad CL, sive recta OC ad CI. <lb></lb>Iam cylindrica ex AE ad cylindricam ex BI est ut rect<lb></lb>angulum AC ad BC, nempe rationem habet compositam <lb></lb>ex ratione EC ad CI, et ex ratione FC ad CD, sive IC <lb></lb>ad CO; ergo cylindrica AE ad BI est ut recta EC ad <lb></lb>CO. Decima vero dignitas EM ad decimam IN est ut <lb></lb>quadratum EC ad CI, nempe ut recta EC ad CV, sive <lb></lb>ut decima dignitas EC ad decimam CT, quamobrem et <lb></lb>latera proportionalia erunt, hoc est recta EM ad IN erit <lb></lb>ut recta EC ad CT, et quadratum, sive circulus ex EM <lb></lb>ad circulum ex IN erit ut quadratum EC ad CT, sive <lb></lb>ut recta EC ad CO, sive ut cylindrica EA ad IB. Sed <lb></lb>antecedentes sunt aequales. </s><s>Ergo etc. </s><s>et hoc semper etc. </s><s><lb></lb>Quare etc. </s></p> <p type="main"> <s>[41] Solidum acutum hyperbolicum aequale est solido <lb></lb>latissimo hyperbolico quotiescumque dignitas asymptota<lb></lb>lium minor fuerit dignitate applicatarum. </s></p> <p type="main"> <s>Sit hyperbola [Fig. 31] AB, cu</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 31].<lb></lb>jus asymptoti CD, CE, et dignitates <lb></lb>asymptotales sint quadrata appli<lb></lb>catarum vero cubi, sumptaque qua<lb></lb>libet applicata FA, et completo <lb></lb>rectangulo CA convertatur figura <lb></lb>circa CD. </s></p> <p type="main"> <s>Tunc cylindricae factae a linea <lb></lb>EA circa axem CD, fiat aequalis <lb></lb>circulus, cujus radius EI, et per I <lb></lb>intra asymptotos CE, DCL tran<lb></lb>seat hyperbola IM, ejusmodi ut <lb></lb>quadrato quadrata EI ad GM sint <lb></lb>ut rectae GC ad CE reciproce. </s></p> <p type="main"> <s>Convertaturque hujusmodi hy<lb></lb>perbola circa axem CE. Dico soli<lb></lb>dum acutum longissimum factum <lb></lb>a figura EAVC circa axem VC <lb></lb>aequale esse solido latissimo facto a figura EIZC circa <pb pagenum="254"></pb>axem CE revoluta. </s><s>Sumatur quodlibet aliud punctum G <lb></lb>et applicata DB, agaturque BGM parallela asymptoto CD. <lb></lb>Tunc ponatur EC, GC, RC, NC, in continua ratione, ite<lb></lb>rumque fiat in continua ratione CN, CT, CR, CO, CG, CP, <lb></lb>CE, <expan abbr="Cq.">Cque</expan> Iam quadratum FC ad quadratum CD ponitur ut <lb></lb>cubus GC ad CE, hoc est ut recta NC ad CE (est enim <lb></lb>NC quarta, proportionalium), sive ut quadratum OC ad CE <lb></lb>(quia OC media evadit inter NC, CE) ergo cum quadrata <lb></lb>proportionalia sint erunt et latera proportionalia, nempe <lb></lb>recta FC ad CD erit ut recta OC ad CE, sive ut recta GC <lb></lb>ad <expan abbr="Gq.">Gque</expan> Superficies vero cylindrica facta ex EA ad factam <lb></lb>ex G est ut rectangulum ad rectangulum per axem, sive <lb></lb>ut eorum dimidia, nempe ut AB ad BC, ergo rationem <lb></lb>habet compositam ex ratione rectae EC ad CG et ex ra<lb></lb>tione rectae FC ad CD, sive quod idem est rectae GC <lb></lb>ad <expan abbr="Cq.">Cque</expan> Propterea cylindrica ex EA ad cylindricam ex GB <lb></lb>erit ut recta EC ad CQ, sive ut recta PC ad CE, nempe <lb></lb>in subduplicata ratione quadratoquadrati EI ad GM. Ergo <lb></lb>cylindrica ex AE ad cylindricam ex GB erit ut quadratum <lb></lb>EI ad GM, sive ut circulus ex EI ad circulum ex GM. <lb></lb>Antecedentia facta sunt aequalia, ergo, et consequentia. </s><s><lb></lb>Et hoc verum est semper ubicumque fuerit punctum G. <lb></lb>Ergo etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>REGULA PRIMA.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>[42] Dignitas applicatarum in sociali hyperbola sit du<lb></lb>pla dignitatis axis in prima hyperbola. </s><s>Dignitas vero axis <lb></lb>in sociali hyperbola sit differentia dignitatum in prima <lb></lb>hyperbola. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>REGULA.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Pro dividenda EC in suas proportiones.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>[43] Dividatur ratio EC ad CG in tot partes aequales <lb></lb>quot unitates continebit exponens asymptotalis CD, mul<lb></lb>tipliceturque eadem ratio EC ad CG toties quot unitates <lb></lb>continebit alter exponens dignitatum EC. Vel dividatur <pb pagenum="255"></pb>ratio EC ad CG ut supra, nempe in tot partes aequales <lb></lb>quot unitates continebit exponens CD. Deinde sumantur <lb></lb>tot rationes deinceps inter se aequales ex puncto E quot <lb></lb>unitates continebit ductus exponentium inter se multipli<lb></lb>catorum. </s></p> <p type="main"> <s>Tunc enim inventa hyperbola sociali, et divisa recta <lb></lb>EC in suas rationes facile erit cuique reliquum demon<lb></lb>strationis absolvere, ut a nobis factum est. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Idem cum praecedenti in alio casu.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>[44] Esto parabola [Fig. 32] AB, cujus asymptoti CD, <lb></lb>CE, et sit cubus DC ad CF ut quadratocubus EC ad CL <lb></lb>reciproce, fiatque de more circulus </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 32].<lb></lb>ex radio EG aequalis cylindrice <lb></lb>superficiei factae ex recta EA circa <lb></lb>axem CD revoluta. </s><s>Tum per G <lb></lb>intra asymptotos EC, CM transeat <lb></lb>hyperbola ejusmodi, ut dignitas <lb></lb>applicatarum ad axem EC dupla <lb></lb>sit dignitatis asymptotalium CD, <lb></lb>reliqua vero dignitas aequalis sit <lb></lb>differentiae priorum dignitatum, <lb></lb>nempe cubocubus HL ad GE sit <lb></lb>ut quadratum EC ad CL (hyperbola <lb></lb>hujusmodi reduci potest ad mino<lb></lb>res exponentes, cum non sint pri<lb></lb>mi, sed nos exponentes non muta<lb></lb>bimus juxta regulam sumptos, ut <lb></lb>pateat quomodo procedendum sit <lb></lb>quotiescumque mutari non pote<lb></lb>runt). Sumantur tot proportiones deinceps aequales ipsi <lb></lb>EC ad CL, quot unitates continet exponens EC; quod fiet <lb></lb>sumptis totidem rectis in continua proportione EC ad CL <lb></lb>una tamen plus. </s><s>Deinde unaquaeque proportio dividatur <lb></lb>in tot partes aequales per lineas medias proportionales <lb></lb>quot unitates continebit exponens CD. </s></p> <p type="main"> <s>Iam cubus DC ad CF est ut quadratocubus EC ad CL, <lb></lb>sive ut linea EC ad CQ, sive ut cubus EC ad CI, ergo <pb pagenum="256"></pb>etiam recta DC ad CF erit ut recta EC ad CI. Cylindrica <lb></lb>ex EA ad cylindricam ex LB est ut rectangulum AC ad <lb></lb>BC, nempe rationem habet compositam ex ratione rectae <lb></lb>EC ad CL, sive NC ad CI; et ex ratione FC ad CD sive <lb></lb>rectae IC ad CE. Ergo cylindrica ex EA ad cylindricam <lb></lb>ex LB erit ut recta NC ad CE. Cubocubus EG ad LH est <lb></lb>ut quadratum LC ad CE, sive ut recta OC ad CE, nempe <lb></lb>ut cubocubus KC ad CE, quamobrem et latera, nempe <lb></lb>recta EG ad LH erit ut recta KC ad CE, et quadratum, <lb></lb>sive circulus ex EG ad circulum ex LH erit ut quadra<lb></lb>tum KC ad CE, sive ut recta NC ad CE, nempe ex de<lb></lb>monstratis, ut cylindrica ex EA ad cylindricam ex LB. <lb></lb>Sed antecedentes sunt aequales. </s><s>Ergo etc. </s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg391"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg391"></margin.target>Vide <expan abbr="seqq.">seqque</expan> <lb></lb>pag. </s><s>et fig.</s></p> <p type="main"> <s>Notabis primo quod et in omnibus Lemmatis, et in prae<lb></lb>senti demonstratione debet semper dignitas major sumi in <lb></lb>erecta asymptoto AB. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>NOTA.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Nota, che la dimostrazione della seguente pagina è <lb></lb>comune anco alle parabole, e alle spirali, e con pochissima <lb></lb>mutazione può adattarsi a ciascuna delle tre predette sorti <lb></lb>di figure e forse anco potrebbe comprenderle tutte in una <lb></lb>sola proposizione, ma noi doviamo aborrire più l'oscurità, <lb></lb>che la lunghezza. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>[45] Esto hyperbola quaeli</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 33].<lb></lb>bet, cujus asymptoti [Fig. 33] <lb></lb>EA, AB, sumaturque quodvis <lb></lb>ejus frustum DCBG, ductis GB, <lb></lb>DG et DE, CF ad asymptotos <lb></lb>parallelis. </s><s>Dico quadrilineum <lb></lb>EDCF ad frustum DCBG esse <lb></lb>ut dignitas BA ad AE digni<lb></lb>tatem. </s></p> <p type="main"> <s>Nam si ita non est, erit <lb></lb>frustum DCBG vel majus, vel <lb></lb>minus quam in dicta ratione. </s><s><lb></lb>Esto si fieri potest majus, et dividatur DLBG semper <pb pagenum="257"></pb>bifariam donec veniatur ad aliquod DH minus eo excessu <lb></lb>quo frustum DCBG majus est quam in dicta ratione. </s><s>Tunc <lb></lb>figura quaedam inscribatur in dicto frusto constans ex <lb></lb>parallelogrammis aequealtis, ac ipsum DH et erit inscripta <lb></lb>adhuc major quam in dicta ratione, quod est absurdum. </s><s><lb></lb>Nam DO ad IG majus est quam sit ut exponens ad expo<lb></lb>nentem, ergo et quadrilineum EDIO multo majus est, <lb></lb>quam ut sit ad IG ut exponens ad exponentem, et sic de <lb></lb>singulis. </s><s>Ergo universum quadrilineum EDCF ad univer<lb></lb>sam figuram inscriptam majorem habet rationem quam <lb></lb>exponens BA ad exponentem EA. Quare figura inscripta <lb></lb>non est major, sed minor, quam in dicta ratione. </s></p> <p type="main"> <s>Sit deinde si fieri potest frustum minus quam in dicta <lb></lb>ratione et eadem constructione circumscribatur eidem fi<lb></lb>gura constans ex parallelogrammis aequealtis ita ut figura <lb></lb>circumscripta adhuc sit minor quam in dicta ratione, quod <lb></lb>fieri semper poterit; sed hoc erit absurdum. </s><s>Nam ON ad <lb></lb>NG minorem habet rationem quam exponens ad exponen<lb></lb>tem, ergo quadrilineum EDIO ad NG multo minorem ha<lb></lb>bebit rationem quam exponens ad exponentem, et hoc de <lb></lb>omnibus. </s><s>Ergo figura circumscripta non est minor, sed <lb></lb>major quam in dicta ratione. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Tangentes omnium.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>[46] Esto hyperbola, cujus asymptoti [Fig. 34] EC, CF, <lb></lb>et dignitas major de more in CF, quaeritur tangens ad A. </s></p> <p type="main"> <s>Ducatur vel AD, vel AB </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 34].<lb></lb>ad alteram asymptoton pa<lb></lb>rallela; fiatque ut major <lb></lb>exponens ad minorem, ita <lb></lb>ED ad DC, sive CB ad BF, <lb></lb>et ducta EA, sive FA erit <lb></lb>tangens. </s></p> <p type="main"> <s>Nisi enim tangens sit, se<lb></lb>cet, et sit recta ducta EIAF. <lb></lb>Sumatur in dicta recta punc<lb></lb>tum aliquod I, quod sit vel <lb></lb>intra hyperbolam, vel in ipsa hyperbola, et facto HIL erit <pb pagenum="258"></pb>ductus dignitatis majoris AD in DC, cum punctum I sit <lb></lb>vel ad hyperbolam, vel ultra. </s><s>Sed illud fieri non potest: <lb></lb>quia EIAFC triangulum est, cujus latus EC sectum est <lb></lb>in ratione dignitatum ad punctum D, propterea DB erit <lb></lb>maximus ductus. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Hyperbolas et parabolas ejusdem nominis <lb></lb>esse easdem.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>[47] Sit hyperbola, cujus asymptoti [Fig. 35] AC, CE, <lb></lb>sitque de more ejus dignitas major juxta asymptoton erec<lb></lb>tam AC. Sitque parabola </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 35].<lb></lb>ejusdem nominis FGC, cujus <lb></lb>diameter EC. Tangens vero <lb></lb>verticalis CA. </s></p> <p type="main"> <s>Quoniam ob parabolam est <lb></lb>ut major dignitas AC ad CB, <lb></lb>AD ad minor EC ad CD, erit <lb></lb>(ut in demonstratione abso<lb></lb>luta ostensum est, abstra<lb></lb>hendo ab hyperbolis parabo<lb></lb>lisque) EG ad GA in majori <lb></lb>ratione quam exponens ad <lb></lb>exponentem. </s><s>At FD ad FB in minori; et ideo concludetur <lb></lb>frustum EFGD ad frustum AFGB esse ut exponens ad <lb></lb>exponentem; et propterea etiam parabola ad trilineum <lb></lb>suum erit semper ut exponens ad exponentem. </s></p> <p type="main"> <s>Ostendamus jam quomodo oriantur invicem altera ex <lb></lb>alterius descriptione. </s><s>Facta sit parabola tantum quaera<lb></lb>turque hyperbola ejusdem nominis, quae transeat per P; <lb></lb>facta sit. </s><s>Eritque dignitas minor FA ad PO ut dignitas <lb></lb>major AC ad CO ob parabolam, sive ut minor HC ad CL <lb></lb>ob hyperbolam nempe ut dignitas minor PO ad IA. Sunt <lb></lb>itaque tres dignitates minores FA, PO, IA in continua ra<lb></lb>tione, sed dantur FA, PO, ergo datur minor IA, etc. </s></p> <p type="main"> <s>Oriuntur etiam diversi nominis. </s></p> <pb pagenum="259"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Pro sequentibus.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>[48] Quod puncta, et reliqua indivisibilia habeant ra<lb></lb>tiones inter se infinitas, sicuti habent magnitudines ter<lb></lb>minatae, atque divisibiles, mihi jam satis superque patet, <lb></lb>quamquam semper sint indivisibilia. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Pro confirmanda prima Galilei <lb></lb>et sequentem nostram.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>[49] Esto tempus [Fig. 36] AB, moveaturque mobile, <lb></lb>et tempore AB percurrat rectas GF, OH, sed rectam GF <lb></lb>currat motu aequabili cum gradu velo</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 36].<lb></lb>citatis semper eodem AV, rectam vero <lb></lb>OH currat motu non aequabili cum <lb></lb>gradibus velocitatis homologis ad li<lb></lb>neas AC, sive ME. Dico spatium GF <lb></lb>ad OH esse ut figura ACDB ad figu<lb></lb>ram AVDB. </s></p> <p type="main"> <s>Nam totidem sunt puncta in spatio <lb></lb>GF quot sunt in spatio OH, nempe totidem quot fuerunt <lb></lb>instantes ejusdem temporis, sed illa puncta sunt inaequalia. </s><s><lb></lb>Iam sumpto quolibet instanti temporis puta M, sint puncta <lb></lb>peracta hoc instanti ipsa L et N, eritque ut recta MI ad <lb></lb>ME, hoc est ut impetus, ita spatium L ad spatium N, et <lb></lb>hoc semper; suntque antecedentes aequales et ergo ut <lb></lb>AVDB ad ACDB, ita quantitas omnium punctorum GF <lb></lb>ad quantitatem omnium nempe totidem punctorum OH, <lb></lb>sive ita GF ad OH. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Degl'impeti per le spirali.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>[50] Moveatur punctum [Fig. 37] F per rectam FL ea <lb></lb>lege ut spatia peracta ab initio semper ubicumque sit <lb></lb>punctum sint inter se in subduplicata ratione temporum, <lb></lb>nempe ita ut quadrata spatiorum sint ut ipsa tempora. </s><s><lb></lb>Exempli gratia. </s><s>Sit spatium primi cujusque temporis FG, <lb></lb>sitque FH spatium dupli temporis, et FI spatium tripli <pb pagenum="260"></pb>temporis, debent quadrata spatio</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 37].<lb></lb>rum FG, FH, FI etc. </s><s>esse ut tem<lb></lb>pora 1, 2, 3, etc. </s><s>et hoc intelligatur <lb></lb>de omni alia ratione. </s></p> <p type="main"> <s>Intelligatur hyperbola quadra<lb></lb>tica QRT inter suas asymptotos <lb></lb>FA, AT, concipiaturque AE esse <lb></lb>extensionem temporis aequaliter <lb></lb>procedentis. </s><s>Sumaturque tempus <lb></lb>AB quod sit tempus spatii FG, <lb></lb>habeatque punctum F mobile quo<lb></lb>libet momento temporis gradum <lb></lb>velocitatis homologum lineae, quae ducitur aequidistanter <lb></lb>ipsi AT. Dico omnia ea eventura esse, quae diximus su<lb></lb>perius. </s></p> <p type="main"> <s>Nam erit spatium primi, sive unius temporis ab initio <lb></lb>motus ut quadrilineum BRTA, nempe ut omnes gradus <lb></lb>velocitatis primi temporis, spatium vero duorum temporum <lb></lb>ab initio erit ut quadrilineum CVTA, nempe ut omnes <lb></lb>gradus velocitatis etc., vel erunt spatia ut parallelogramma <lb></lb>BM, CN, eadem enim est ratio. </s></p> <p type="main"> <s>Primum spatium FG ad secundum FH erit ut BM ad <lb></lb>CN; sumantur mediae AS inter CA, BA, et AX inter DA, <lb></lb>CA etc. </s><s>Habebitque BM ad CN compositam rationem ex <lb></lb>ratione rectae MA ad AN, sive SA ad AB, et rectae AB ad <lb></lb>AC. Ergo BM ad CN erit ut SA ad AC, sive ut GF ad FH. </s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg392"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg392"></margin.target>Vide <lb></lb>precedentes <lb></lb>paginas et <lb></lb>figuras.</s></p> <p type="main"> <s>Amplius CN ad DO compositam habet rationem ex <lb></lb>ratione rectae NA ad AO, sive rectae XA ad AC, et ex ra<lb></lb>tione rectae AC ad DA. Ergo est ut XA ad AD, nempe <lb></lb>ut HF ad FI. </s></p> <p type="main"> <s>Si igitur mobile aliquod moveatur ex F per rectam <lb></lb>FL secundum legem praedictam, patet quod si in ultimo <lb></lb>quovis puncto convertatur retrorsum cum gradu impetus <lb></lb>acquisiti duplum tempus volet ad recurrendam eandem <lb></lb>lineam motu semper aequabili. </s></p> <p type="main"> <s>Nam semper aequabili posito quod tempus primi de<lb></lb>cursus fuerit AE fuerunt omnes gradus velocitatis ut qua<lb></lb>drilineum EQTA. Eodem vero tempore si recurrat motu <lb></lb>aequabili cum gradu ultimo impetus EQ erunt omnes gra- <pb pagenum="261"></pb>dus impetus, sive spatium peractum eodem tempore, uti <lb></lb>parallelogrammum EQPA subduplum ad illud quadrili<lb></lb>neum. </s><s>Patet ergo quod proposueram. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>[51] Sit hyperbola cubica, vel alia. </s><s>Dico ut quadrili<lb></lb>neum infinitum [Fig. 38] DOA ad quadratum infinitum <lb></lb>EOA ita esse DB ad EL. </s></p> <p type="main"> <s>Nam DOA ad GOB est ut EOA </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 38].<lb></lb>ad HOL, nempe ut exponens ad <lb></lb>exponentem; ergo, per conversio<lb></lb>nem rationis, et convertendo patet <lb></lb>propositum. </s></p> <p type="main"> <s>Sint cubi AB ut quadrata AC, <lb></lb>et posito tempore AC, habebis spa<lb></lb>tia cuborum aequalium. </s><s>Nam fiat <lb></lb>ut EA ad AD, ita AD ad AN, et <lb></lb>inter utrasque sumantur duae me<lb></lb>diae. </s><s>Iam DB ad EL compositam <lb></lb>habet rationem ex ratione rectae <lb></lb>BA ad AL, sive rectae BA ad AL, sive rectae EA ad AR, <lb></lb>sive QA ad AD, et ex ratione AD ad AE. Ergo DB ad <lb></lb>AL erit ut QA ad AE, nempe cum tempora sint dupla, <lb></lb>erunt cubi spatiorum dupli. </s><s>Quod volebam, et sic deinceps. </s></p> <p type="main"> <s>Quod tempus recursus sit triplum temporis primi de<lb></lb>cursus patebit hoc modo. </s><s>Sit tempus decursus AF, erit <lb></lb>FOA ad IOM ut exponens ad exponentem, nempe ut 3 <lb></lb>ad 2, et per conversionem rationis FOA ad FM ut 3 ad 1. <lb></lb>Quare spatium decursum motu deficiente tempore AF ad <lb></lb>spatium decursum motu aequabili eodem tempore cum <lb></lb>gradu impetus FI erit triplum. </s><s>Unde patet propositum. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Che il solido larghissimo <lb></lb>alle volte sia di mole infinita, e quando.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s>[52] Sit exponens dignitatis asymptotalis [Fig. 39], ED <lb></lb>vel duplus, vel plus quam duplus ad exponentem applica<lb></lb>tarum CB, ML. Dico solidum latissimum circa axem AD <lb></lb>factum mole infinitum esse. </s></p> <pb pagenum="262"></pb> <p type="main"> <s>Sit enim primum ut quadrata </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 39].<lb></lb>asymptotalium ita reciproce rec<lb></lb>tae ordinatim applicatae. </s><s>Suma<lb></lb>tur quodlibet punctum A, et <lb></lb>recta AD secetur bifariam in N, <lb></lb>et reliqua ND bifariam in R, et <lb></lb>reliqua RD bifariam in H, et hoc <lb></lb>semper. </s><s>Peractaque figura ut ap<lb></lb>paret in schemate erit quadra<lb></lb>tum NL ad AB per suppositio<lb></lb>nem ut recta AD ad DN, sive <lb></lb>ut recta AN ad NR reciproce. </s><s><lb></lb>Propterea erit cylindrus factus <lb></lb>ex BN aequalis cylindro facto ex LR circa axem AD et <lb></lb>hoc modo procedemus usque in infinitum, ostendendo sci<lb></lb>licet omnes cylindros ex BN, LR, OH etc. </s><s>aequales tum <lb></lb>inter se, tum cuilibet dato cylindro facto ex BN. Propte<lb></lb>rea solidum infinitum mole erit. </s></p> <p type="main"> <s>Si vero ponamus cubos asymptotalium inter se esse ut <lb></lb>ipsas applicatas. </s><s>Dicemus sic. </s><s>Quadratum NL ad AB mi<lb></lb>norem habet rationem quam cubus NL ad AB, sive quam <lb></lb>recta AD ad DN per suppositionem, sive quam altitudo <lb></lb>AN ad NR. Ergo cylindrus ex NV major est quam cylin<lb></lb>drus ex BN et hoc modo procedemus semper usque in <lb></lb>infinitum ostendendo quod in nostro solido compraehen<lb></lb>ditur series quaedam infinitorum multitudine cylindrorum, <lb></lb>quorum sequens semper praecedente major est. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>In sequenti figura, eademque constructione.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>[53] Dico omnia parallelogramma LC, OM, GP etc. </s><s><lb></lb>usque in infinitum esse proportionalia in proportione con<lb></lb>tinua. </s></p> <p type="main"> <s>Nam major dignitas MD ad DC est ut minor dignitas <lb></lb>AD ad DN, sive ND ad DR, sive ut major dignitas PD </s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg393"></arrow.to.target><lb></lb>ad DM. Quia ergo tres dignitates majores CD, MD, PD <lb></lb>sunt proportionales, erunt lineae CD, MD, PD, ID et in <lb></lb>proportione continua, ideo etiam excessus earum erunt <lb></lb>in ratione continua. </s><s>Iam ratio LC ad OM componitur ex <pb pagenum="263"></pb>ratione LM ad MV nempe dupla, et ex ratione CM ad <lb></lb>MP. Ratio vero OM ad GP componitur ex ratione OP <lb></lb>ad PS, nempe dupla; et ex ratione MP ad PI. Ergo utrin<lb></lb>que rationes componentes sunt eadem. </s><s>Quare etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg393"></margin.target>☽</s></p> <p type="main"> <s>Dico etiam parallelogramma SR, VN, NB esse in ra<lb></lb>tione continua. </s><s>Nam SR ad VN rationem habet compo<lb></lb>sitam ex ratione subdupla HR ad RN et ex ratione SH <lb></lb>ad VR, sive PD ad DM. Ipsum vero VN ad NB rationem <lb></lb>habet compositam ex ratione subdupla RN ad NA et ex <lb></lb> <arrow.to.target n="marg394"></arrow.to.target><lb></lb>ratione VR ad AB, sive MD ad DC. Rationes igitur com<lb></lb>ponentes utrinque sunt eaedem, quare etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg394"></margin.target> <arrow.to.target n="fig234"></arrow.to.target></s></p> <figure id="fig234"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Quando planum abeat in infinitam quantitatem.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> <arrow.to.target n="marg395"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg395"></margin.target>Objectio.</s></p> <p type="main"> <s>[54] Eodem modo quo concludimus [v. </s><s>Fig. prec.] <lb></lb>ABGED ad figuram BGEC esse ut major exponens ad <lb></lb>minorem (quia ABLN ad CBLM eam praedictam habet <lb></lb>rationem, et hoc verum est semper) eodem inquam modo <lb></lb>posset aliquis concludere IGBFD ad ipsam GBFH esse <lb></lb>ut minor exponens ad majorem (quia ita est IGOP ad <lb></lb>HGOR et hoc semper), quod est absurdum, illa enim est <lb></lb>totum et ista est pars. </s></p> <p type="main"> <s>Negabimus primo IGBFD esse ad GBFD tanquam to<lb></lb>tum ad partem, cum utraque sit infinita magnitudine, ut <lb></lb>infra demonstrabo. </s><s>Deinde dicemus cum uterque discursus, <lb></lb>et ratiocinatio bona sit, illam quae rem possibilem con<lb></lb>cludit, nempe illam, quae infert ABED ad BEC esse ut <lb></lb>major exponens ad minorem, rem possibilem tentavisse, <lb></lb>et conclusionem veram esse: illam vero, quae ad impos<lb></lb>sibile non ducit, nempe IGFD ad GFH esse ut minor <lb></lb>exponens ad majorem, pronunciabimus rem impossibilem <lb></lb>tentavisse, nempe explorationem rationis inter duas ma<lb></lb>gnitudines, quarum utraque infinita est, et inter easdem <lb></lb>finita differentia est, nempe IGHD. Possunt enim infinita <lb></lb>rationem inter se habere, sed differentia inter eadem de<lb></lb>bet esse infinita. </s></p> <p type="main"> <s>Quod spatium figurae GFBD versus F sit infinitum <lb></lb>probatur sic sumatur HR aequalis ipsi DH et NR ipsi RD, <lb></lb>et NA ipsi ND et hoc fiat semper, quod semper potest <pb pagenum="264"></pb>fieri cum recta DF infinita sit et finiantur figurae. </s><s>Erit <lb></lb>jam OH quaedam magnitudo quanta cujus major est LR <lb></lb>ipsa vero BN major est quam LR, et hoc semper, ergo <lb></lb>infinitum est spatium. </s><s>Quod quaelibet sequens major sit <lb></lb>praecedente probatur sic NV ad VP majorem habet ratio<lb></lb>nem quam major exponens ad minorem ergo major est, <lb></lb>ergo etiam DV ad VP est major, et dimidiae DX ad XO <lb></lb>est major, sumptaque RX erit DV ad HO major; ergo <lb></lb>etiam NV ad HO major erit. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Che il piano vada in infinita quantità.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg396"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg396"></margin.target>In sequenti <lb></lb>figura.</s></p> <p type="main"> <s>[55] Alio modo ostendam spatium versus D esse infi<lb></lb>nitum. </s></p> <p type="main"> <s>Data sit figura DBF, secetur bifariam AG in H, et <lb></lb>HG in L, et iterum haec LG bifariam, et hoc fiat semper <lb></lb>versus punctum G, quae divisio potest fieri semper usque <lb></lb>in infinitum, et peragantur figurae lineis parallelis. </s></p> <p type="main"> <s>Erit jam ratio EI ad IA major quam ratio maioris <lb></lb>exponentis ad minorem, ergo EI ad IA est major, et com<lb></lb>munis IG, ergo EH ad FA est major, et dimidia CL ad <lb></lb>BH erit major. </s><s>Eodem modo ostendemus sequens paralle<lb></lb>logrammum majus esse quam CL. Est itaque BH quae<lb></lb>dam magnitudo quanta, et in ipsa figura ABDG contingit <lb></lb>sumi posse spatia quotcumque libuerit usque in infinitum <lb></lb>semper majora spatio BH. Ergo etc. </s><s>Eodem prorsus argu<lb></lb>mento, atque in praecedenti figura pag.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> prima ad signa ☽ <lb></lb>et <arrow.to.target n="fig235"></arrow.to.target>; ostendemus rectam GO in continua proportione se<lb></lb>cari, et parallelogramma DL, CL, BH, inter se, quemad<lb></lb>modum, et parallelogramma EI, ME et inter se in continua <lb></lb>proportione esse. </s></p> <figure id="fig235"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Solidum longissimum acutum aliquando mole <lb></lb>infinitum esse.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>[56] Esto hyperbola cujus aymptoti [Fig. 40] AG, GO, <lb></lb>et quaelibet applicata LM. Sitque exponens asymptota<lb></lb>lium subduplus exponentis applicatarum, nempe quadrata <pb pagenum="265"></pb>applicatarum sint ut ipsaemet </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 40].<lb></lb>asymptotales. </s><s>Dico molem solidi <lb></lb>esse infinitam. </s></p> <p type="main"> <s>Applicetur enim alia HC supra <lb></lb>LM, et fiat ut LG ad GH, ita GH <lb></lb>ad GA, sive si mavis hoc, sumatur <lb></lb>HL aequalis LG, et AH aequalis <lb></lb>HG, et hoc modo semper. </s></p> <p type="main"> <s>Iam quadratum CH ad BA per <lb></lb>suppositionem est ut recta AG ad <lb></lb>GH, sive in subduplis ut AH ad <lb></lb>HL reciproce. </s><s>Sunt itaque aequa<lb></lb>les cylindri facti ex CL, BH circa axem AG et hoc modo <lb></lb>ostendemus in solido sine fine longo infinitos cylindros <lb></lb>sumi posse tum inter se, tum cuilibet dato factoque ex <lb></lb>CL aequales. </s></p> <p type="main"> <s>Multoque magis solidum infinitum erit quando duplus <lb></lb>exponentis asymptotalium non erit major ipso exponente <lb></lb>applicatarum; exempli gratia sint cubi applicatarum, ut <lb></lb>lineae ipsae asymptotalium. </s><s>Ergo quadratum CH ad BA <lb></lb>minorem habet rationem quam cubus CH ad BA, sive <lb></lb>quam recta AG ad GH, vel quam recta AH ad HL, quare <lb></lb>cylindrus ex BH major est quam cylindrus ex CL, et hoc </s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg397"></arrow.to.target><lb></lb>semper. </s><s>Ergo etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg397"></margin.target>La costruzio<lb></lb>ne non si <lb></lb>muta.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Parabolas et hyperbolas communem ortum habere.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 41].</s></p> <p type="main"> <s>[57] Esto parallelogrammum <lb></lb>[Fig. 41] AB, in quo sit quaelibet <lb></lb>et infinitis parabolis PEIC, sive si <lb></lb>mavis circa quod sit quelibet ex <lb></lb>infinitis hyperbolis PGM, alteram <lb></lb>enim ex altera reciproce derivari <lb></lb>potest, sed nos supponamus para<lb></lb>bolam. </s><s>Sitque semper ut ED ad DF <lb></lb>ita DF ad DG, et iterum ut IH ad <lb></lb>HL, ita HL ad HM, et per puncta <lb></lb>P, G, M et transeat linea quaedam, <lb></lb>quam dico esse hyperbolam definitam a me alia ratione. </s></p> <pb pagenum="266"></pb> <p type="main"> <s>Esto exempli gratia parabola cubi et quadrati. </s></p> <p type="main"> <s>Nam rectangula MHI, GDE sunt aequalia inter se, <lb></lb>cum aequentur quadratis DF, HL; ergo ut MH ad DG, <lb></lb>ita ED ad HI. Et cubus MH ad cubum DG ut cubus DE <lb></lb>ad cubum HI, sive ut quadratum DC ad CH. Constat ergo <lb></lb>cubum NC ad CO esse ut quadratum DC ad CH; et hoc <lb></lb>semper. </s><s>Quod fuerat definitum. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Idem in alio modo.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 42].<lb></lb> <arrow.to.target n="marg398"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg398"></margin.target>Suppono pa<lb></lb>rabolam ex <lb></lb>cubo qua<lb></lb>dratoque.</s></p> <p type="main"> <s>[58] Quando vero parabola in <lb></lb>suo parallelogrammo inversa sta<lb></lb>tuatur ut in praesenti figura, <lb></lb>tunc hyperbola eadem eveniet, <lb></lb>sed inversa. </s></p> <p type="main"> <s>Nam cubus [Fig. 42] DC ad <lb></lb>cubum CH erit ut quadratum <lb></lb>ED ad IH ob parabolam, sive <lb></lb>ut quadratum MH ad DG ob <lb></lb>constructionem, ut in praece<lb></lb>denti, sive ut quadratum NC <lb></lb>ad CO. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Alio modo hyperbolae et parabolae communem <lb></lb>ortum habent.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>[59] Esto parallelogrammum [Fig. 43] AB, in eo para<lb></lb>bola exempli gratia cubiquadratica </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 43].<lb></lb>PEIC, et sint proportionales DE, <lb></lb>EF, DG, item HI, HL, HM, et per <lb></lb>puncta P, G, M, ducatur linea, <lb></lb>quam dico esse hyperbolam ex <lb></lb>meis. </s></p> <p type="main"> <s>Nam rectangula MHI, GDE <lb></lb>sunt aequalia, cum aequalibus qua<lb></lb>dratis aequentur. </s><s>Cubus vero DC <lb></lb>ad CH est ut quadratum ED ad <lb></lb>IH, ob parabolam, sive ut quadratum MH ad DG. Quod <lb></lb>oportebat ut esset hyperbola eorumdem nominum etc. </s></p> <pb pagenum="267"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Idem in alio modo.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>[60] Si vero inversa parabola statuatur eadem evenient, </s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg399"></arrow.to.target><lb></lb>sed hyperbola inversa erit. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg399"></margin.target>Suppono <lb></lb>eamdem pa<lb></lb>rabolam <lb></lb>cubi et qua<lb></lb>drati.</s></p> <p type="main"> <s>Nam cubus [Fig. 44] NC ad CO </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 44].<lb></lb>erit ut cubus MH ad GD, sive ut <lb></lb>cubus ED ad IH (ob constructio<lb></lb>nem, sunt enim quatuor rectae <lb></lb>proportionales), sive ut quadratum <lb></lb>DC ad CH, ob parabolam. </s><s>Quod <lb></lb>erat etc. </s></p> <p type="main"> <s>His quatuor modis positis (qui <lb></lb>revera tantum duo sunt) alicui for<lb></lb>tasse videbitur totidem modos <lb></lb>adhuc super esse; sed attentius <lb></lb>rem ipsam examinanti manifeste patebit omnia eadem <lb></lb>evenire cum his a nobis explicatis. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Ortus hyperbolarum ex parabolis hoc etiam modo.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>[61] Sint asymptoti [Fig. 45] AB, AC et quaelibet pa<lb></lb>rabola AID circa diametrum CA (puta primam sive lenam <lb></lb>rectam) tum applicata qua</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 45].<lb></lb>cumque DE, et sumpto, sive <lb></lb>dato puncto F, fiant omnia <lb></lb>rectangula, qualia sunt LMO, <lb></lb>GHI aequalia rectangulo DFE, <lb></lb>et hyperbolam habebis. </s></p> <p type="main"> <s>Pro habendis diversis hy<lb></lb>perbolis duplici modo possu<lb></lb>mus procedere. </s><s>Nam si reti<lb></lb>neamus parabolam AILD, et <lb></lb>mutemus ductum DEF; nempe <lb></lb>faciamus non omnia rectan<lb></lb>gula, sed omnes ductus digni<lb></lb>tatum DE, LM, IH in dignitates EF, MO, HG inter se <lb></lb>aequales esse habebimus aliam hyperbolam. </s></p> <pb pagenum="268"></pb> <p type="main"> <s>Vel possumus variare parabolam AILD, ponendo qua<lb></lb>draticam, sive cubicam, sive binomiam, etc. </s></p> <p type="main"> <s>Potest etiam parabola duplici modo considerari, nempe <lb></lb>circa diametrum AC, sive circa AB. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Infinitamente largo.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> <arrow.to.target n="marg400"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg400"></margin.target>In cubica.</s></p> <p type="main"> <s>[62] Esto ex nostris hyperbolis quaelibet (exceptis co<lb></lb>nica veterum, et prima ex nostris, sive quadratica, cujus <lb></lb>major dignitas sit quadratum, minor vero linea, nam utra<lb></lb>que solidum faceret infinitum, quod demonstrari potest, et <lb></lb>debet, faciamque dum tempus erit). Supponamus cubicam, <lb></lb>cujus asymptoti [Fig. 46] AB majo</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 46].<lb></lb>rum, AC vero minorum, et ipsa hy<lb></lb>perbola sit DE. Sumatur quaelibet <lb></lb>DC parallela ad AB, et convertatur <lb></lb>figura circa AC. Dico solidum sine <lb></lb>fine latum ad cylindrum HF cujus <lb></lb>eadem sit basis cum solido, nempe <lb></lb>circulus DF, et eadem altitudo CA, <lb></lb>esse ut major exponens ad minorem. </s></p> <p type="main"> <s>Sumatur LH, quae possit rectan<lb></lb>gulum HF, et per L transeat hyper<lb></lb>bola conica. </s><s>Sintque BA, HA, IA, <lb></lb>NA in continua proportione, cylin<lb></lb>drica DH ad EB est ut rectangulum per axem DA ad <lb></lb>EA, nempe rationem compositam ex ratione DH ad EB, <lb></lb>sive cubi BA ad AH per suppositionem, sive rectae BA <lb></lb>ad AN, et ex ratione HA ad AB, sive NA ad AI; ergo <lb></lb>cylindrica superficies facta ex DH ad factam ex EB erit <lb></lb>ut recta BA ad AI, nempe ut quadratum BA ad AH, sive <lb></lb>HL ad BM. Suntque antecedentia aequalia, nempe cylin<lb></lb>drica DH et circulus HL per constructionem ergo et con<lb></lb>sequentia, nempe cylindrica EB, et circulus BM et hoc <lb></lb>semper, ergo solidum sine fine latum, cujus semisectio est <lb></lb>DPH, axisque CA aequale erit solido sine fine longo, cujus <lb></lb>semisectio HQL axisque <expan abbr="Hq.">Hque</expan> Propterea aequale erit cy<lb></lb>lindro, cujus semidiameter HL, axis vero AH. </s></p> <p type="main"> <s>At dictus cylindrus ad cylindrum HF rationem habet <pb pagenum="269"></pb>compositam ex ratione basium, nempe quadrati HL ad <lb></lb>HA; et ex ratione altitudinum, nempe rectae AH ad HD, <lb></lb>sive quadrati AH ad rectangulum AHD, quare cylindrus <lb></lb>praedictus ad cylindrum HF erit ut quadratum HL ad <lb></lb>rectangulum AHD, nempe duplus; et propterea, etiam so<lb></lb>lidum praedictum sine fine latum ad cylindrum HF erit <lb></lb>duplum, et componendo patet propositum. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Infinitamente largo.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>[63] Sit ut cuboquadratica [v. </s><s>Fig. prec.] BA ad AH ita </s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg401"></arrow.to.target><lb></lb>recta DH ad EB. Sumantur aliae quatuor rectae in con<lb></lb>tinua ratione cum BA, AH, sintque omnes simul sex, qua<lb></lb>rum quinta AI et sexta AN. Deinde ut in praecedenti sit <lb></lb>quadratum HL duplum rectanguli HC, sive aequale rect<lb></lb>angulo HF. Tum per L transeat hyperbola talis ut qua<lb></lb>drata applicatarum sint inter se quemadmodum. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg401"></margin.target>In cuboqua<lb></lb>dratica.</s></p> <p type="main"> <s>Iam cylindrica ex DH ad cylindricam ex EB rationem <lb></lb>habet compositam ex ratione rectae DH ad EB, sive cu<lb></lb>boquadrati BA ad AH, sive rectae BA ad AN ob con<lb></lb>structionem; et ex ratione rectae HA ad AB, sive NA <lb></lb>ad AI. Ergo cylindrum DH ad EB erit ut recta BA ad <lb></lb>AI, nempe ut quadratoquadratum BA ad AH (ob con<lb></lb>structionem est enim AI quinta proportionalium), sive ut <lb></lb>circulus HL ad BM; sed aequales fecimus antecedentes <lb></lb>nempe circulum HL ad cylindricam DH, ergo et conse<lb></lb>quentes aequales erunt et hoc semper; ergo etc. </s></p> <p type="main"> <s>Cylindrus cujus semidiameter HL, axis vero HA ad <lb></lb>cylindrum cujus semidiameter HA, axis vero AC semper <lb></lb>erit duplus, et ostenditur ut in praecedenti. </s></p> <p type="main"> <s>Imaginemur aliquam hyperbolam cujus applicatae li<lb></lb>neae juxta easdem rationes procedant, atque circuli HL, <lb></lb>BM etc., nempe reciproce ut quadratoquadratum BA ad <lb></lb>quadratoquadratum AH et erit ea hyperbola universa ad <lb></lb>partem superiorem, ut major exponens ad minorem: quare <lb></lb>et universum solidum, cujus semisectio AQLV ad partem <lb></lb>superiorem HQL erit ut major ille exponens ad minorem, <lb></lb>hoc est ut 4 ad 1 in casu nostro (dico 4 e non dico cin<lb></lb>que) et dividendo, cylindrus cujus semisectio AL ad reli- <pb pagenum="270"></pb>quum solidum, cujus semisectio HQL erit ut 3 ad 1, sive <lb></lb>ut 6 ad 2. Ergo etiam ad aequale solidum factum ex re<lb></lb>volutione figurae DPH circa axem AC erit ut 6 ad 2. At <lb></lb>cylindrus FH ad idem erit ut 3 ad 2, si vis compone, et <lb></lb>converte rationem. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollarium.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Quotiescumque proportio exponentium fuerit multiplex <lb></lb>ut in casu praecedenti praesentique reperies has rationes. </s></p> <p type="main"> <s>Universum solidum sine fine latum ad cylindrum ejus<lb></lb>dem basis, et altitudinis. <lb></lb> </s></p> <table> <row><cell>cubica</cell><cell>q.quadratica</cell><cell>cuboq.ca</cell><cell>c.bocubica</cell></row> <row><cell>3</cell><cell>4</cell><cell>5</cell><cell>6</cell></row> <row><cell>1</cell><cell>2</cell><cell>3</cell><cell>4</cell></row></table> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Per il solido infinitamente largo.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>REGOLA PRIMA.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">[64] La parabola sociale, che si aggiunge per la di<lb></lb>mostrazione, deve esser di tal sorte, che la dignità delle <lb></lb>applicate sue sia di doppio esponente alla dignità delle ap<lb></lb>plicate nella parabola principale. </foreign></s> <s><foreign lang="it">La dignità poi delle <lb></lb>aymptotali deve essere di tale esponente, che la somma <lb></lb>degli esponenti nella parabola sociale venga eguale alla <lb></lb>somma nella parabola principale. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>REGOLA SECONDA.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Per conoscere se il solido infinitamente largo sia di <lb></lb>mole infinito. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">È necessario, che gli esponenti delle applicate siano <lb></lb>meno che doppio all'esponente delle asymptotali, et allora <lb></lb>il solido latissimo sarà di mole finita. </foreign></s> </p> <pb pagenum="271"></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Esempio quando il solido è di mole infinito.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s>[65] Sit quadratum [v. </s><s>Fig. prec.] DH ad EB ut cubus <lb></lb>BA ad AH. Sumantur quatuor rectae in continua propor<lb></lb>tione BA, HA, IA, NA; sintque RA media inter HA, IA, <lb></lb>vel inter BA, AN. </s></p> <p type="main"> <s>Iam sit circulus HL de more aequalis rectangulo HF, <lb></lb>et LM talis parabola, ut quadratoquadratum HL ad qua<lb></lb>dratoquadratum BM sit quaemadmodum recta BA ad HA, <lb></lb>et sumatur AT media inter BA, AH. </s></p> <p type="main"> <s>Cylindrica DH ad EB rationem habet compositam ex <lb></lb>ratione rectae DH ad EB, hoc est ex ratione subdupla <lb></lb>quadrati DH ad EB, sive cubi BA ad AH, sive rectae <lb></lb>BA ad AN; sed ratio subdupla rectae BA ad AN est ratio <lb></lb>BA ad AR. Et ex ratione rectae HA ad AB. sive RA <lb></lb>ad AT. Ergo cylindrica DH ad EB erit ut recta BA ad <lb></lb>AT, nempe in subduplicata ratione BA ad AH, sive qua<lb></lb>dratoquadrati HL ad BM. Ergo cylindrica DH ad EB erit <lb></lb>ut quadratum HL ad BM, sive ut circulus HL ad BM. <lb></lb>Sed antecedentes sunt aequales, ergo etc. </s><s>Sic solidum sine <lb></lb>fine latum demonstratur aequale solido sine fine longo; at <lb></lb>solidum infinite longum est in hoc casu infinitae molis; <lb></lb>nam dignitas applicatarum major est dupla asymptotalium, <lb></lb>propterea figura solida est magnitudine infinita. </s><s>Ostendi<lb></lb>mus enim quod universum solidum longum ad sui partem <lb></lb>longissimam est ut duplus exponentis asympt. </s><s>ad expo<lb></lb>nentem applicatarum qui numerus in nostro casu esset 2; <lb></lb>nam exponens asympt. </s><s>est 1, numerus autem 2 ad expo<lb></lb>nentem applieatarum, qui est 4 minor est. </s><s>Propterea in <lb></lb>solido totum minus esset sui parte, quod signum est illud <lb></lb>esse infinitum mole. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>NOTA.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Avverti nella figura seguente che si potrebbero dimo<lb></lb>strare eguali more veterum i due solidi, cioè l'annellare <lb></lb>fatto dal quadrilineo DEBH intorno all'asse AC et il so<lb></lb>lido tondo fatto dal quadrilineo BMLH intorno all'asse <pb pagenum="272"></pb>BH; e questo sarà sempre vero. </foreign></s> <s>Il modo di mostrarlo sarà <lb></lb>simile al mio stampato: e poi da questo come lemma si <lb></lb>dedurrà la dimostrazione dei solidi interi, come ho fatto <lb></lb>nello stampato. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Alia demonstratio solidi latissimi, <lb></lb>hoc est in alio casu.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>[66] Sit parabola principalis [Fig. 47] DE ita ut qua<lb></lb>drata applicatarum inter se reciproce sint ut quadratocubi <lb></lb>asymptotalium; factoque de more </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 47].<lb></lb>quadrato HL aequali rectangulo <lb></lb>HF transeat per L hyperbola so<lb></lb>cialis LM, ita ut (juxta regulam <lb></lb>p:<emph type="sup"></emph>m<emph.end type="sup"></emph.end> pag.) applicata applicatarum <lb></lb>sint inter se reciproce ut cubi <lb></lb>asymptotalium. </s><s>Sumantur sex <lb></lb>rectae in continua ratione BA ad <lb></lb>AH, nempe BA, HA, IA, ZA, PA, <lb></lb>NA; tum sumatur recta TA me<lb></lb>dia inter BA, AN, et recta RA <lb></lb>media inter BA, AZ. </s></p> <p type="main"> <s>Iam cylindrica ex DH ad cy<lb></lb>lindricam ex EB rationem habet <lb></lb>compositam ex ratione rectae DH <lb></lb>ad EB, nempe ex ratione subdu<lb></lb>plicata quadrati DH ad EB, sive <lb></lb>quadratocubi RA ad AH, sive <lb></lb>rectae BA ad AN, sed talis est <lb></lb>ratio rectae BA ad AT. Et ex <lb></lb>ratione rectae HA ad AB, sive TA ad AR: ergo cylin<lb></lb>drica DH ad EB erit ut recta BA ad AR, nempe in sub<lb></lb>duplicata ratione rectae BA ad AZ, sive quod idem est, <lb></lb>in subduplicata ratione cubi BA ad AH, sive per suppo<lb></lb>sitionem <expan abbr="qq.">qque</expan><emph type="sup"></emph>ti<emph.end type="sup"></emph.end> HL ad <expan abbr="qq.">qque</expan><emph type="sup"></emph>um<emph.end type="sup"></emph.end> BM, sed talis est ratio quadrati <lb></lb>HL ad quadratum BM. Ergo cylindrica DH ad EB erit ut <lb></lb>circulus ex HL ad circulum ex BM. Antecedentes aequa<lb></lb>les sunt etc. </s><s>ergo etc.; et hoc verum est semper. </s><s>Ergo <lb></lb>solidum latissimum aequale erit solido longissimo. </s></p> <pb pagenum="273"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>More veterum ostenditur: <lb></lb>Quodlibet frustum solidi latissimi aequale <lb></lb>frusto solidi longissimi.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>[67] Esto quaelibet hyperbola [Fig. 48] AB, cujus asym<lb></lb>ptoti CD, DE. Sumantur quaelibet applicatae AH, BL, et <lb></lb>facto de more quadrato HF </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 48].<lb></lb>duplo rectanguli HC transeat <lb></lb>per F hyperbola socialis FG <lb></lb>intra easdem asymptotos. </s></p> <p type="main"> <s>Dico si quadrilineum AHLB <lb></lb>convertatur circa axem CD, at <lb></lb>quadrilineum FHLG circa a<lb></lb>xem HL aequalia solida cir<lb></lb>cumscribi. </s></p> <p type="main"> <s>Nisi enim ita sit, erit soli<lb></lb>dum ex AHLB vel majus, vel <lb></lb>minus solido ex FHLG. </s></p> <p type="main"> <s>Esto primum majus et sit <lb></lb>excessus aequalis solido K. <lb></lb>Compleatur rectangulum AHLM. Deinde recta BM sece<lb></lb>tur bifariam in N, et reliqua iterum bifariam in O, et hoc <lb></lb>semper fiat, donec solidum descriptum ex rectangulo AO <lb></lb>circa axem CD converso minus sit solido K. Tunc demit<lb></lb>tantur OI, NP, et reliquae aequidistantes ipsi LH, et ex <lb></lb>punctis intersectionum I, P, etc. </s><s>ducantur IR, PT etc. </s><s>ae<lb></lb>quidistantes ipsi AH, et compleatur figura ut videre est <lb></lb>etiam ex parte hyperbolae socialis. </s><s>Demum universa con<lb></lb>structio rectanguli AHLM convertatur circa axem CD at <lb></lb>reliqua constructio hyperbolae socialis intelligatur rotari <lb></lb>circa axem suum LH. </s></p> <p type="main"> <s>Erit jam solidum anulare factum ex BV aequale so<lb></lb>lido ex NV, sumptoque communi VP erunt solida BV, VP <lb></lb>aequalia solido SP, sive OP, et addito communi PI erunt <lb></lb>solida BV, VP, PI aequalia solido NI, sive MI, et addito <lb></lb>communi IA erunt omnia simul solida ex BV, VP, PI, IA <lb></lb>aequalia solido OA, et ideo minora solido K. Propterea si <lb></lb>detrahamus particulas horum solidorum contentas in so- <pb pagenum="274"></pb>lido facto ex revolutione quadrilinei AHLB, reliqua figura <lb></lb>inscripta adhuc major erit quam solidum ex FHLG, quod <lb></lb>impossibile est. </s><s>Nam ostensum jam est in praecedentibus <lb></lb>demonstrationibus quadratum ER duplum rectanguli IED. <lb></lb>At spatium IH ad HR est ut IE ad ER, sive ut RE ad <lb></lb>duplum ED (quod nuper monebam), sive ut semissis RE <lb></lb>ad ED; ergo quando centrum gravitatis spatii IH esset <lb></lb>in distantia ED ab axe CD solidum aequale describeretur <lb></lb>solido ex HR, sed in minori distantia est, ergo solidum ex <lb></lb>IH minus est solido ex HR et sic de singulis; propterea <lb></lb>figura universa inscripta in solido ex AHLB minor est <lb></lb>quam figura inscripta in solido ex HFGL, sed et eadem <lb></lb>major erat ipso solido, quod est absurdum. </s></p> <p type="main"> <s>Sit deinde minus, et peracta eadem constructione adhi<lb></lb>bitis que iisdem argumentis jam nimis apud Geometras <lb></lb>decantatis habebimus figuram circumscriptam solido ex <lb></lb>AHLB, quae et ipsa minor erit quam sit solidum ex FHLG <lb></lb>quod est impossibile. </s><s>Nam spatium AE ad EF est ut AH <lb></lb>ad HF, sive ut FH ad duplam HD, sive ut semissis FH ad <lb></lb>ipsam HD. Ergo si spatij AE centrum gravitatis pone<lb></lb>retur in distantia HD ab axe CD, tunc solidum factum <lb></lb>ex AE aequale esset solido facto ex EF; sed centrum po<lb></lb>nitur in distantia majori, ergo solidum ex AE majus est <lb></lb>solido ex EF, et sic de singulis, quare universa figura cir<lb></lb>cumscripta solido ex AHLB major erit quam figura quae<lb></lb>dam circumscripta solido ex FHLG, et propterea multo <lb></lb>major quam solidum ipsum, sed eadem figura minor erat <lb></lb>solido. </s><s>Quod est absurdum. </s></p> <p type="main"> <s>Solidum ergo factum ex AHLB circa axem CD aequale <lb></lb>est solido facto ex FHLG circa axem LH, ubicumque sit <lb></lb>punctum L etiam si infinitam distantiam abeamus. </s><s>Nam <lb></lb>solida crescunt per jam demonstrata aequalibus semper in<lb></lb>crementis, quare quantumlibet recedat punctum L a pun<lb></lb>cto D nunquam inaequalitas subrepere poterit; et demon<lb></lb>strata aequalitas usque in infinitam distantiam abibit. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>FINE DELLA MEMORIA <lb></lb>DE INFINITIS HYPERBOLIS.<emph.end type="center"></emph.end></foreign></s> </p> <pb></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>DE INFINITIS PARABOLIS.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <pb></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>AVVERTIMENTO.<emph.end type="center"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Nel XXXI Vol. </s> <s><foreign lang="it">della Raccolta “ <emph type="italics"></emph>Discepoli di Galileo<emph.end type="italics"></emph.end> ” esistono due esemplari del <lb></lb>seguente lavoro, uno autografo, l'altro in copia del Serenai. </foreign></s> <s><foreign lang="it">L'argomento ivi svolto <lb></lb>è uno di quelli che stettero più a lungo a cuore del Torricelli, come quello che era <lb></lb>allora all'ordine del giorno e che gli porgeva occasione di misurarsi con i mate<lb></lb>matici d'oltr'Alpe. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ne è parola negli articoli XXVIII-XXX, XXXIII, XXXIV e LIV <lb></lb>del <emph type="italics"></emph>Racconto di alcune proposizioni<emph.end type="italics"></emph.end> ecc. (v. </foreign></s> <s><foreign lang="it">la presente edizione, T. III, p. 19, 20 e 32) <lb></lb>e nelle lettere dirette dal Nostro a M. A. Ricci il 27 agosto 1644, il 6 febbraio 1645 ed <lb></lb>il 28 maggio 1646 (Vol. </foreign></s> <s>cit. </s> <s><foreign lang="it">p. 222, 271 e 375-7), nonchè in altra destinata al Carcavy <lb></lb>e scritta nel febbraio 1645 (id. </foreign></s> <s><foreign lang="it">p. 279). Probabilmente la morte gli vietò di dire sulla <lb></lb>questione l'ultima parola. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Il Caverni estrasse dal citato lavoro tre teoremi e li pubblicò nel T. V (Fi<lb></lb>renze, 1898) della sua <emph type="italics"></emph>Storia del metodo sperimentale in Italia<emph.end type="italics"></emph.end> (p. 409-411). </foreign></s> </p> <pb></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>DE INFINITIS PARABOLIS<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PARABOLAE INFINITAE QUADRATICA.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Esto parabola quadratica ABC [Fig. 1]; patet quod <lb></lb>omnes lineae applicatae ad diametrum in parallelogrammo <lb></lb>ad omnes applicatas in parabola <lb></lb>sunt ut 3 ad 2. </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 1].</s></p> <p type="main"> <s>Omnia quadrata ad omnia <lb></lb>quadrata ut 4 ad 2. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Quaeritur de Cubis.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Fiat alia parabola ADC [Fig. <lb></lb>prec.] circa diametrum AO, <expan abbr="ba-simq.">ba<lb></lb>simque</expan> OC, et sint eius dignitates <lb></lb>applicatarum cubi, diametralium <lb></lb>vero quadrata; vocabimus eam <lb></lb>Cubo-quadraticam et ducatur or<lb></lb>dinatim GE. </s></p> <p type="main"> <s>Iam quadratum GE ad ED, <lb></lb>sive quadratum OA ad AH est per constructionem ut <lb></lb>cubus OC ad HD, sive ut cubus OC ad IB, sive ut cubi<lb></lb>cubus OA ad AI (nam recta OC ad IB est ut quadratum <lb></lb>OA ad AI, et triplicata utrinque ratione erit cubus OC <lb></lb>ad IB ut cubocubus OA ad AI), nempe ut cubocubus GE <lb></lb>ad EB. Subduplicata ergo <expan abbr="utraq.">utraque</expan> ratione erit recta GE ad <lb></lb>ED ut cubus GE ad EB; et hoc semper: eruntque p.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> <pb pagenum="278"></pb>et 3.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> semper aequales, ergo omnes cubi ad omnes cubos <lb></lb>erunt ut rectangulum ON ad trilineum CDAN, nempe ut <lb></lb>5 ad 2 (ut constat ex quadraturis). </s></p> <p type="main"> <s>GE, BE, FE, DE sunt in continua ratione; si nota caso <lb></lb>che bisognasse. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Quaeritur de quadratoquadratis.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Esto tam [Fig. prec.] ABC quam ADC quadratica <lb></lb><expan abbr="utraq.">utraque</expan> ad verticem communem A, sed ipsius ADC esto <lb></lb>diameter AO, et basis OC. </s></p> <p type="main"> <s>Iam erit recta GE ad ED ut quadratum NA ad AE <lb></lb>sive ut quadratum CO ad IB, sive ut quadratoquadratum <lb></lb>OA ad quadratoquadratum AI (nam recta CO ad IB est <lb></lb>ut quadratum OA ad AI et duplicata utrinque ratione <lb></lb>patet quod assumitur), sive ut quadratoquadratum GE ad <lb></lb>EB et hoc semper, <expan abbr="suntq.">suntque</expan> primae et tertiae semper ae<lb></lb>quales, ergo ut omnes rectae nempe ut rectangulum ON <lb></lb>ad trilineum CDAN, nempe ut 6 ad 2, ita omnia quadrato<lb></lb>quadrata applicatarum in rectangulum ad omnia qua<lb></lb>dratoquadrata applicatarum in parabola, intellige semper <lb></lb>ad diametrum. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">La retta HM pare superflua, come anco la CA nella <lb></lb>passata figura. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">La parabola socia, o aggiunta per fare universale il <lb></lb>metodo deve esser quadraticaquadratica. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Quaeritur de Cuboquadratis.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Fiat circa diametrum [Fig. prec.] AO parabola cubo<lb></lb>quadraticaquadratica ADC, cuius basis sit AN. </s></p> <p type="main"> <s>Iam quadratum GE ad ED est ut cuboquadratum NA <lb></lb>ad AE, sive ut cuboquadratum CO ad IB, sive ut decima <lb></lb>dignitas OA ad decimam dignitatem AI (est enim ut recta <lb></lb>CO ad IB nempe ut prima dignitas CO ad primam digni<lb></lb>tatem IB, ita secunda dignitas OA ad secundam dignita<lb></lb>tem AI; quare quintuplicata utrinque ratione, erit quinta <lb></lb>dignitas CO ad quintam IB, ut decima OA ad decimam <lb></lb>AI) hoc est ut decima GE ad decimam EB. Cum itaque <pb pagenum="279"></pb>sit secunda dignitas GE ad ED, ut decima GE ad EB, si <lb></lb>utriusque subduplicatam accipiamus, erit ut recta GE ad <lb></lb>ED, ita quinta dignitas, sive cuboquadratum GE ad cubo<lb></lb>quadratum EB et hoc semper. </s><s>Suntque primae et tertiae <lb></lb>semper aequales, ergo omnia cuboquadrata ad omnia cu<lb></lb>boquadrata erunt ut rectaugulum ON ad trilineum ADCN, <lb></lb>nempe ut 7 ad 2. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>CUBICA SIMPLEX.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Esto [Fig. 2] ABC cubica. </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 2].<lb></lb>Omnes rectae ad diametrum ap<lb></lb>plicatae in rectangulum ad om<lb></lb>nes applicatas in parabola cubica <lb></lb>sunt ut 4 ad 3, quemadmodum <lb></lb>constat ex quadraturis. </s></p> <p type="main"> <s>Omnes cubi ad omnes cubos <lb></lb>esse ut 6 ad 3 ostenditur facil<lb></lb>lime. </s><s>Nam cubus GE ad EB est <lb></lb>ut recta NA ad AE, ob supposi<lb></lb>tionem, sive ut recta GE ad EF <lb></lb>et hoc semper; <expan abbr="suntq.">suntque</expan> omnes pri<lb></lb>mae et tertiae aequales ergo etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Quaeritur de quadratis.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Fiat parabola cuboquadratica [Fig. prec.] CDA circa <lb></lb>communem diametrum AN, <expan abbr="basimq.">basimque</expan> CN. Iam cubus GE <lb></lb>ad EB est ut recta NA ad AE, quare cubus GE habet ad <lb></lb>cubum ED duplicatam rationem illius quam habet ad cu<lb></lb>bum BE; sunt ergo tres cubi GE, BE, DE in continua ra<lb></lb>tione; ergo et tres lineae. </s><s>Propterea quadratum GE ad <lb></lb>EB erit ut recta GE ad ED et hoc semper <expan abbr="suntq.">suntque</expan> p.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> et <lb></lb>tertiae aequales ergo omnia quadrata ON ad omnia qua<lb></lb>drata parabolae erunt ut ON ad parabolam CDAN, nempe <lb></lb>ut 5 ad 3, quod constat ex quadraturis pgram<emph type="sup"></emph>mi<emph.end type="sup"></emph.end>. </s></p> <p type="main"> <s>Nota quod quoties quaeritur de dignitate minori quam <lb></lb>sit dignitas parabolae, tunc parabola adiuncta fit circa <lb></lb>communem diametrum. </s></p> <pb pagenum="280"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>In eadem quaeritur de quadratis.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Fiat parabola [Fig. 3] ADC cuius diameter AIB basis <lb></lb>vero OC, et sit haec parabola quadratoquadrata-cubica. </s></p> <p type="main"> <s>Iam cubus GE ad ED est ut </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 3].<lb></lb>qquadratum NA ad qquadratum <lb></lb>AE sive CO ad IB, sive c.c.c.cu<lb></lb>bus OBA ad c.c.c.cubum AI <lb></lb>(nam recta CO ad IB est ut cu<lb></lb>bus OA ad AI, ergo quadrupli<lb></lb>cata utrinque ratione erit qqua<lb></lb>dratum CO ad qquadratum IB <lb></lb>ut c.c.c.cubus OA ad AI) nempe <lb></lb>ut c.c.c.cubus GE ad EB. Cum <lb></lb>itaque sit ut cubus GE ad cubum <lb></lb>ED, ita c.c.c.cubus GE ad EB, si <lb></lb>rationem utrinque subtriplicatam <lb></lb>sumamus habebimus ut rectam <lb></lb>GE ad ED ita qquadratum GE <lb></lb>ad EB et hoc semper. </s><s>Suntque p.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> et 3.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> semper aequales, <lb></lb>ergo omnia qquadrata pgram<emph type="sup"></emph>mi<emph.end type="sup"></emph.end> ad omnia quadrata parabolae <lb></lb>sunt ut pgram<emph type="sup"></emph>m<emph.end type="sup"></emph.end>ON ad trilineum ADCN, nempe ut 7 ad 3. </s></p> <p type="main"> <s>Quod ex quadraturis constat. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>IN PARABOLA CUBO-QUADRATICA.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Esto parabola cuboquadratica [Fig. prec.] ABC in qua <lb></lb>videlicet cubi applicatarum sint ut quadrata diametralium. </s></p> <p type="main"> <s>Constat omnes lineas applicatas in parallelogrammo ad <lb></lb>omnes applicatas in parabola esse ut 5 ad 3. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Quaeritur de quadratis.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Fiat circa diametrum [Fig. prec.] AO parabola quadro<lb></lb>quadratica-cubica ADC, in qua videlicet quadrata applica<lb></lb>tarum sint ut cubi diametralium, et sit eius basis OC. </s></p> <p type="main"> <s>Iam cubus GE ad cubum ED est ut qquadratum NA <lb></lb>ad AE: sive ut qquadratum CO ad IB, sive ut cubus OA <pb pagenum="281"></pb>ad AI (est enim quadratum CO ad quadratum IB ut cu<lb></lb>bus OA ad AI, ergo duplicata utrinque ratione ut qqua<lb></lb>dratum CO ad IB ita c.cubus OA ad c.cubum AI), nempe <lb></lb>ut c.cubus GE ad EB. Propterea cum sit ut cubus GE ad <lb></lb>ED, ita c.cubus GE ad EB, erit, sumpta <expan abbr="utrinq.">utrinque</expan> subtripli<lb></lb>cata ratione ut recta GE ad ED, ita quadratum GE ad <lb></lb>EB et hoc semper. </s><s>Suntque p.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> et tertiae et ergo omnia <lb></lb>quadrata ad omnia quadrata erunt ut pgram<emph type="sup"></emph>m<emph.end type="sup"></emph.end>ON ad trilineum <lb></lb>CDAN, nempe ut 7 ad 3, quod constat ex quadraturis. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>In eadem quaeritur de Cubis facillima demonstratio.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Fiat circa diametrum [Fig. prec.] AO parabola cubocu<lb></lb>bica-cubica, quae quidem eadem est ac quadratica, <expan abbr="eiusq.">eiusque</expan> <lb></lb>basis sit OC. </s></p> <p type="main"> <s>Iam erit recta GE ad ED ut quadratum NA ad AE, <lb></lb>sive CO ad IB, sive ut cubus OA ad AI, sive ut cubus GE <lb></lb>ad EB, et hoc semper <expan abbr="suntq.">suntque</expan> omnes primae atque tertiae <lb></lb>aequales. </s><s>Ergo omnes cubi ad omnes cubos erunt ut pgram<emph type="sup"></emph>m<emph.end type="sup"></emph.end>ON <lb></lb>ad trilineum CDAN, nempe ut 3 ad 1, sive ut 9 ad 3. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>In eadem quaeritur de Quadratoquad.<emph type="sup"></emph>tis<emph.end type="sup"></emph.end><emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Fiat circa diametrum [Fig. prec.] AO parabola ADC 8-3, <lb></lb>nempe talis ut applicatarum octav. </s><s>dignitates proportio<lb></lb>nales sint tertijs dignitatibus diametralium, et sit eius <lb></lb>basis OC. </s></p> <p type="main"> <s>Iam cubus sive tertia dignitas GE ad ED est ut octava <lb></lb>NA ad AE, vel ut octava CO ad IB, nempe ut duodecima <lb></lb>OA ad duodecimam AI (nam erat ut secunda CO ad IB, <lb></lb>ita tertia OA ad AI; ergo quadruplicata utrinque ratione <lb></lb>erit ut octava CO ad octavam IB, ita duodecima OA ad <lb></lb>duodecimam AI), sive ut duodecima GE ad EB. </s></p> <p type="main"> <s>Cum <expan abbr="itaq.">itaque</expan> sit tertia GE ad ED ut duodecima GE ad <lb></lb>EB, erit sumpta utrinque subtriplicata ratione, ut recta <lb></lb>GE ad ED, ita quadratoquadratum GE ad EB, et hoc sem<lb></lb>per suntque omnes primae atque tertiae etc. </s><s>Ergo omnia <lb></lb>qquadrata ad omnia qquadrata erunt ut pgram<emph type="sup"></emph>m<emph.end type="sup"></emph.end>ON ad triline<lb></lb>um CDAN, nempe ut 11 ad 3 ut constat ex quadraturis. </s></p> <pb pagenum="282"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>IN PARABOLA QUADRATOQUADRATICA-CUBICA.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Esto parabola [Fig. prec.] ABC, cuius diameter AN, <lb></lb>basis NC, dignitates applicatarum quadratoquadrata, dia<lb></lb>metralium vero cubi. </s><s>Omnes lineae ad omnes lineas erunt <lb></lb>ut 7 ad 4, quod constat ex quadraturis. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Queritur de Quadratis.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Fiat parabola [Fig. prec.] ADC cubica-quadratica circa <lb></lb>diametrum AO, <expan abbr="sitq.">sitque</expan> eius basis OC, erit quadratum GE <lb></lb>ad ED ut cubus NA ad AE, sive ut cubus CO ad IB, hoc <lb></lb>est (ex suppositione) ut qquadratum OA ad qquadratum <lb></lb>AI, nempe ut qqdm. </s><s>GE ad qquadratum EB, ergo sumpta <lb></lb>utrinque subduplicata ratione erit ut recta GE ad ED ita <lb></lb>quadratum GE ad quadratum EB, et hoc semper. <expan abbr="suntq.">suntque</expan> <lb></lb>p.<emph type="sup"></emph>ae<emph.end type="sup"></emph.end> et 3.<emph type="sup"></emph>ae<emph.end type="sup"></emph.end> semper aequales. </s><s>Ergo omnia quadrata ad <lb></lb>omnia quadrata sunt ut pgram<emph type="sup"></emph>m<emph.end type="sup"></emph.end>ON ad trilineum CDAN, nempe <lb></lb>ut 5 ad 2 sive ut 10 ad 4. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>In eadem quaeritur de Cubis.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Fiat circa diametrum [Fig. prec.] AO, basim vero OC <lb></lb>parabola ADC dignitatum 9-4. Hoc est in qua dignitates <lb></lb>applicatarum sint noneae, diametralium vero quartae. </s></p> <p type="main"> <s>Iam quarta dignitas GE ad ED erit ut nona NA ad <lb></lb>AE, sive ut nona CO ad IB, nempe ut duodecima OA <lb></lb>ad AI (erat namque ut cubus CO ad IB, ita quad.quadra<lb></lb>tum OA ad AI, quare triplicata utrinque ratione erit ut <lb></lb>nona dignitas CO ad nonam IB, ita duodecima OA ad AI), <lb></lb>sive ut duodecima GE ad EB. Propterea sumpta utrinque <lb></lb>subquadrupla ratione erit ut recta GE ad ED ita cubus <lb></lb>GE ad EB et hoc semper. </s><s>Suntque primae atque tertiae <lb></lb>ergo omnes cubi ad omnes cubos sunt ut pgram<emph type="sup"></emph>m<emph.end type="sup"></emph.end>ON ad trili<lb></lb>neum CDAN, nempe ut 13 ad 4 quod patet ex quadraturis. <lb></lb> </s></p> <pb pagenum="283"></pb> <table> <row><cell>1.</cell><cell>2.</cell><cell>3.</cell><cell>4.</cell><cell>5.</cell><cell>6.</cell><cell>7.</cell><cell>8.</cell><cell>9.</cell><cell> 10</cell></row> <row><cell>l.</cell><cell><expan abbr="q.">que</expan></cell><cell>c.</cell><cell><expan abbr="qq.">qque</expan></cell><cell><expan abbr="cq.">cque</expan></cell><cell>cc.</cell><cell></cell><cell></cell><cell></cell><cell><expan abbr="q.q.q.q.q.">q.q.q.q.que</expan></cell></row></table> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>REGULA UNIVERSALIS.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si in parallelogrammo inscripta sit aliqua ex infinitis <lb></lb>parabolis omnes dignitates applicatarum in parallelogram<lb></lb>mo, ad omnes eiusdem gradus dignitates applicatarum in <lb></lb>parabola, erunt ut exponens applicatarum parabolae una <lb></lb>cum numero qui fit ex ductu dignitatis propositae in expo<lb></lb>nentem diametralium ad exponentem diametralium. </s></p> <p type="main"> <s>Exempli gratia sit parabola cuius dignitates applica<lb></lb>tarum sint quadratoquadrata diametralium vero cubi et <lb></lb>proponatur invenienda ratio omnium quadratorum paralle<lb></lb>logrammi circumscripti ad omnia quadrata parabolae iuxta <lb></lb>regulam basis sumpta. </s></p> <p type="main"> <s>Erunt omnia pred.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> quadrata pgram<emph type="sup"></emph>mi<emph.end type="sup"></emph.end> ad omnia <lb></lb>quadrata parabolae ut 10 ad 4. Nempe ut numerus qui fit si ad <lb></lb>exponentem applicatarum parabolae, qui est 4, addamus 6, <lb></lb>nempe numerum qui fit ex ductu dignitatis propositae, sive <lb></lb>de qua quaeritur, nempe 2, in exponentem dignitatis dia<lb></lb>metralium, nempe 3, ad exponentem dignitatis applicata<lb></lb>rum, nempe 4. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PRO CENTRO GRAVITATIS PARABOLAE <lb></lb>DUOBUS MODIS.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Esto parabola quaelibet [Fig. 4] ABC (modo applica<lb></lb>tarum exponens ad exponentem diametralium sit multi<lb></lb>plex). Concipiatur solida parabola ACF, ita ut DC, CF <lb></lb>sint aequales. <expan abbr="Sectumq.">Sectumque</expan> sit solidum per extremos appli<lb></lb>catos plano AGFD, et in planoDH sit parabola eiusdem <lb></lb>speciei AIL et secetur solidum plano OM. Iam habebit <lb></lb>parabola OGMP ad parabolam GMN rationem compositam <lb></lb>ex ratione rectae PM ad MN, sive dignitatis PO ad digni<lb></lb>tatem NG, et ex ratione rectae PO ad NG, ergo parabola <lb></lb>OM ad parabolam GM erit ut dignitas proxime maior ap<lb></lb>plicatae PO ad dignitatem proxime maiorem applicatae <lb></lb>NG. Sive, quod idem est, ut dignitas OP ad PI et hoc ve<lb></lb>rum est semper. <expan abbr="Suntq.">Suntque</expan> omnes primae nempe parabolae <lb></lb>qualis OM, et omnes tertiae nempe dignitates qualis OP <pb pagenum="284"></pb>aequales, ergo omnes </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 4].<lb></lb>primae, hoc est soli<lb></lb>dum integrum HC, <lb></lb>ad omnes secundas, <lb></lb>hoc est ad partem <lb></lb>AGFDC, erit ut om<lb></lb>nes tertiae, nempe <lb></lb>omnes dignitates <lb></lb>pgram<emph type="sup"></emph>mi<emph.end type="sup"></emph.end>DH ad omnes <lb></lb>quartas, hoc est ad <lb></lb>omnes dignitates pa<lb></lb>rabolae AILD. Sed <lb></lb>ista ratio nota est ex <lb></lb>praecedentibus, ergo <lb></lb>nota est ratio solidi <lb></lb>HC ad partem su<lb></lb>periorem; nempe po<lb></lb>sito E centro parabolae nota erit ratio CD ad DE. Osten<lb></lb>dimus enim iam pridem ut pars inferior ad superiorem <lb></lb>ita CE ad ED et componendo. </s><s>Propterea ut omnes digni<lb></lb>tates DH ad omnes dignitates AILD ita CD ad DE. <lb></lb>Quod volebam. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ma con dimostrazione molto più facile e universalis<lb></lb>sima si prova che CE ad ED sta come il parallelogrammo <lb></lb>alla parabola. </foreign></s> <s>Nam pgram<emph type="sup"></emph>m<emph.end type="sup"></emph.end>NV idem est quod circumscribitur <lb></lb>parabolae GM, et hoc semper verum est ubicunque sit <lb></lb>punctum N in diametro DF; ergo semper eandem habet <lb></lb>rationem et ut una ad unam, ita omnes ad omnes. </s><s>Quare <lb></lb>totum solidum inferius ad superius erit ut rectangulum <lb></lb>circumscriptum ad parabolam, ergo etiam CE ad ED erit <lb></lb>ut pgram<emph type="sup"></emph>m<emph.end type="sup"></emph.end> circumscriptum ad parabolam. <lb></lb> <arrow.to.target n="marg402"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg402"></margin.target>De parallelis <lb></lb>diametro.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>In Quadratica.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Esto quadratica simplex [Fig. 5] ABC, diameter eius <lb></lb>AD, basis DC. Constat quod omnes applicatae ad basim <pb pagenum="285"></pb>in pgram<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> ad omnes applicatas in </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 5].<lb></lb>trilineo exteriori ABCF sunt ut <lb></lb>3 ad 1; hoc habetur ex quadra<lb></lb>turis. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Quaeritur de Quadratis.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Fiat ad communem diame<lb></lb>trum <expan abbr="basimq.">basimque</expan> parabola qquadra<lb></lb>tica [Fig. prec.] AIC, <expan abbr="eritq.">eritque</expan> recta <lb></lb>GE ad EI ut qquadratum FA <lb></lb>ad AE, sive ut quadratum CF <lb></lb>ad EB (erat enim quadratum <lb></lb>FA ad AE ut recta CF ad EB, <lb></lb>quare duplicata utrinque ratione erit qquadratum FA ad <lb></lb>AE, ut quadratum CF ad EB). Propterea recta GE ad EI <lb></lb>erit ut quadratum GE ad EB et hoc semper. <expan abbr="Suntq.">Suntque</expan> primae <lb></lb>et tertiae aequales, ergo omnia quadrata pgram<emph type="sup"></emph>mi<emph.end type="sup"></emph.end>FD sive soli<lb></lb>dum circa axem FA ad omnia quadrata trilinei exterioris <lb></lb>FABC, sive ad solidum eius circa tangentem FA, erit ut <lb></lb>pgram<emph type="sup"></emph>m<emph.end type="sup"></emph.end>FD ad trilineum FAIC, nempe ut 5 ad 1, quod con<lb></lb>stat ex quadraturis etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>In Cubica.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> <arrow.to.target n="marg403"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg403"></margin.target>De parallelis <lb></lb>diametro.</s></p> <p type="main"> <s>Esto cubica [Fig. prec.] ABC. Constat omnes rectas in <lb></lb>parallelogrammo ad omnes rectas in trilineo exteriori esse <lb></lb>ut 4 ad 1. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Quaeritur de Quadratis.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Fiat cubocubica [Fig. prec.] AIC et quia ex supposi<lb></lb>tione recta GE ad EB est ut cubus FA ad AE, erit (dupli<lb></lb>cata utrinque ratione) quadratum GE ad EB ut cubocubus <lb></lb>FA ad cubocubum AE, sive ut recta GE, ad EI, et hoc <lb></lb>semper. </s><s>Propterea omnia quadrata pgram<emph type="sup"></emph>mi<emph.end type="sup"></emph.end>, sive solidum cy<lb></lb>lindricum circa axem AF, ad solidum trilineare parabolae <lb></lb>cubicae circa eundem axem erit ut parallelogrammum FD <lb></lb>ad trilineum AICF. Sed ratio haec datur ex quadraturis. </s><s><lb></lb>Ergo etc. </s></p> <pb pagenum="286"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>In Cubica.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Esto cubica [Fig. prec.] ABC, quaeritur ratio quam <lb></lb>habent omnes cubi GE ad omnes EB. </s></p> <p type="main"> <s>Fiat parabola AIC cubocubocubica et quia supponimus <lb></lb>rectam GE ad EB esse ut cubus FA ad AE. Erit (tripli<lb></lb>cata utrinque ratione) cubus GE ad EB ut cubocubocubus <lb></lb>FA ad cubocubocubum AE, nempe ut recta GE ad EI. <lb></lb>Conclude ut in precedenti folio. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>APPENDICES NOTANDE.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>P.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> Hinc ergo videmus deduci posse methodum pro <lb></lb>invenienda ratione quam habeant in qualibet parabola <lb></lb>omnes dignitates pgram<emph type="sup"></emph>mi<emph.end type="sup"></emph.end> ad omnes dignitates parigradas tri<lb></lb>linei (quaecunque sint dignitates) regula diametro. </s></p> <p type="main"> <s>2.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> Hinc etiam deducere possumus rationes cylindro<lb></lb>rum ad fusum cuiuslibet parabole. </s><s>Data enim praecedenti<lb></lb>bus ratione omnium quadratorum, sive cylindri ad solidum <lb></lb>trilineare circa tangentem, datur etiam ratio eiusdem cy<lb></lb>lindri ad fusum. </s><s>Quoniam centra parabolarum nota sunt. </s><s><lb></lb>Item ratio parabolarum ad trilinea; ergo et centra trilineo<lb></lb>rum nota sunt saltem quo <lb></lb>ad distantiam ab axe. </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 6].<lb></lb>Propterea cum nota sit <lb></lb>ratio figurarum planarum, <lb></lb>et distantiae centrorum ab <lb></lb>axe, nota erit ratio soli<lb></lb>dorum. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Tangentes.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Sint in rectangulo <lb></lb>[Fig. 6] AB infinitae el<lb></lb>lipses, hoc est ut rectan<lb></lb>gulum AFH ad rectangu<lb></lb>lum ACH, ita sit recta FG <lb></lb>ad CD in p.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> ellipsi (quae parabola erit) et ita sit quad.<emph type="sup"></emph>m<emph.end type="sup"></emph.end> FG <pb pagenum="287"></pb>ad CE in secunda ellipsi (quae ellipsis erit) et ita cubus <lb></lb>FG ad cubum in 3.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> etc. </s></p> <p type="main"> <s>Quaeruntur tangentes in p.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> et in 2.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> (nam reliquas <lb></lb>adhuc nescio); esto factum et in p.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> sit DI, ergo erunt <lb></lb>continuae tres rectae AI, CI, HI, ideoque ut quad.<emph type="sup"></emph>m<emph.end type="sup"></emph.end> AC <lb></lb>ad CH, ita recta AI ad IH. </s></p> <p type="main"> <s>In 2.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> vero sit EL, ergo erit ut AC ad CH ita AL ad <lb></lb>LH et ut quadratum AC ad CH ita quad.<emph type="sup"></emph>m<emph.end type="sup"></emph.end> AL ad LH. </s></p> <p type="main"> <s>Quid ni ergo natura semper hunc ordinem prosequatur <lb></lb>et in reliquis nempe ut quadratum AC ad CH, ita sit po<lb></lb>tentia (iuxta dignitatem parabolae) <lb></lb>axis et adiunctae simul ad ipsam </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 7].<lb></lb>adiunctam. </s></p> <p type="main"> <s>In parabola vero esto maximum <lb></lb>factum ex recta [Fig. 7] AD in cu<lb></lb>bum DB. </s></p> <p type="main"> <s>Ducatur tangens <expan abbr="eritq.">eritque</expan> ED ad DA <lb></lb>tripla, ergo AE ad ED ut 4 ad 3 <lb></lb>et DE ad EC ut 4 ad 3; ergo etiam differentie AD ad DC <lb></lb>erit ut 4 ad 3. </s></p> <p type="main"> <s>Hoc modo semper reperies rationes in parabola esse <lb></lb>ut 2/1 et 3/2 et 4/3 et 5/4 etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Definitio.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si quaelibet linea diametrum habens eiusmodi fuerit <lb></lb>ut quemadmodum portiones diametri ita fuerint applicatae <lb></lb>ipsae figuram illam parabolam linearem sive primam ap<lb></lb>pello; si vero ut partes diametri ita fuerint applicatarum <lb></lb>quadrata, parabolam quadraticam, sive secundam, appello; <lb></lb>quando vero cubi applicatarum fuerint ut partes diametri, <lb></lb>cubicam, sive tertiam; et sic in infinitum secundum reli<lb></lb>quas deinceps algebrae dignitates. </s></p> <p type="main"> <s>Praedictos veru numeros parabolarum primae, secun<lb></lb>dae, tertiae etc. </s><s>dignitates ipsarum voco. </s></p> <pb pagenum="288"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Praemissa definitione.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>1. Rectangulum circumscriptum ad quamlibet parabo<lb></lb>lam proportionem habet superparticularem denominatam <lb></lb>a dignitate parabolae. </s></p> <p type="main"> <s>2. Quodlibet conoides circa axem revolutum ad cy<lb></lb>lindrum sibi circumscriptum est ut numerus dignitatis pa<lb></lb>rabolae genitricis ad numerum binario maiorem. </s></p> <p type="main"> <s>3. Si quaelibet parabola circa tangentem verticalem <lb></lb>convertatur cylindrus circumscriptus ad solidum ex para<lb></lb>bola factum proportionem habebit superparticularem de<lb></lb>nominatam a numero dignitatis duplo. </s></p> <p type="main"> <s>4. Centrum gravitatis <expan abbr="cuiuscunq.">cuiuscunque</expan> parabolae axem ita <lb></lb>dividit ut pars ad verticem sit ad reliquam in proportione <lb></lb>superparticulari denominata a dignitate parabolae. </s></p> <p type="main"> <s>5. Centrum gravitatis <expan abbr="cuiuscumq.">cuiuscumque</expan> conoidis axem ita <lb></lb>dividit ut pars ad verticem sit ad reliquam ut numerus <lb></lb>dignitatis parabolae genitricis ad numerum unitate mino<lb></lb>rem (excepto tamen p.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> quod rationem facit triplam). </s></p> <p type="main"> <s>6. Si quaelibet parabola circa ordinatim applicatam <lb></lb>convertatur, cylindrus circumscriptus ad factum solidum, <lb></lb>sive fusum erit ut numerus quidam (qui fit ex ductu di<lb></lb>gnitatis unitate aucte in duplum dignitatis unitate auctum) <lb></lb>ad duplum quadrati dignitatis. </s></p> <p type="main"> <s>Hinc est quod proportio cylindri ad fusum primae pa<lb></lb>rabolae est tripla, in secunda parabola ut 15 ad 8, in tertia <lb></lb>ut 14 ad 9, in quarta ut 45 ad 32, in quinta ut 33 ad 25 <lb></lb>et sic semper secundum regulam praemissam. </s></p> <p type="main"> <s>7. Si quaelibet parabola convertatur circa lineam <lb></lb>diametro parallelam, erit cylindrus circumscriptus ad so<lb></lb>lidum ex parabola factum, in proportione superparticulari; <lb></lb>cuius numeratur fiet si ducas dignitatem unitate auctum <lb></lb>in se ipsam binario auctam, <expan abbr="productiq.">productique</expan> semissem tantum <lb></lb>accipias. </s></p> <p type="main"> <s>8. Si quelibet semiparabola auferatur a circumscripto <lb></lb>sibi rectangulo remanebit quoddam trilineum mixtum quod <lb></lb>supponamus converti dupliciter, scilicet circa tangentem, <lb></lb>et circa parallelam diametro. </s><s>Solidum factum ex revolu- <pb pagenum="289"></pb>tione circa tangentem ad solidum factum ab eodem tri<lb></lb>lineo circa parallelam diametro, erit ut diameter integre <lb></lb>parabolae ad fractionem quamdam tangentis, cuius quidem <lb></lb>fractionis numerator duplus sit dignitatis et unitate auctus. </s><s><lb></lb>Denominator vero fiet si ducas numerum dignitatis unitate <lb></lb>auctum in se ipsum binario auctum, <expan abbr="productiq.">productique</expan> semissem <lb></lb>tantum accipias. </s></p> <p type="main"> <s>9. Centrum semifusi axem secat ut pars ad verticem <lb></lb>sit ad reliquam ut numerus dignitatis duplus septenario <lb></lb>auctus ad numerum dignitatis duplum unitate auctum. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>DE INFINITIS PARABOLIS SPECIE DIFFERENTIBUS.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg404"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg404"></margin.target>P.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> foglio <lb></lb>delle <lb></lb>Parabole.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Definitio.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si fuerit parallelogrammum rectangulum [Fig. 8] ABCD, <lb></lb>in quo applicata sit EF, ubicumque, <expan abbr="sitq.">sitque</expan> ut CD ad DF <lb></lb>longitudine, ita EF ad FG, </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 8].<lb></lb>sive BC ad FG longitudine, <lb></lb>et hoc verum sit semper ubi<lb></lb>cumque fuerit applicata EF, <lb></lb>figuram BDC parabolam li<lb></lb>nearem appello (quae quidem <lb></lb>figura triangulam erit). Si vero <lb></lb>ut CD ad DF longitudine, ita <lb></lb>fuerit quadratum BC ad FH, <lb></lb>tum figura BHDC parabolam <lb></lb>quadraticam voco (quae qui<lb></lb>dem parabola conica vulgata erit). Si vero ut CD ad DF <lb></lb>longitudine ita fuerit cubus BC ad cubum IF, tunc figuram <lb></lb>BIDC parabolam cubicam voco. </s><s>Et si fuerit ut CD ad DF <lb></lb>longitudine, ita biquadratum BC ad FO, ipsam BOD pa<lb></lb>rabolam biquadraticam voco et sic in infinitum. </s></p> <p type="main"> <s>Dignitates vero praedictarum parabolarum voco nume<lb></lb>ros, quos in progressione, sive ordine naturali numerorum <lb></lb>unaquaeque parabola obtinebit, nempe primae parabolae <lb></lb>unitatem, secundae vero numerum 2, tertiae numerum 3 <lb></lb>et sic de reliquis dignitatem appellabo. </s></p> <pb pagenum="290"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Habemus iam satis superque. </s><s>Suppositio.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Supponimus quod ab aljis quidem contemplatum est, <lb></lb>hos autem eius demonstrationem non habemus hactenus. </s><s><lb></lb>Nempe: si fuerit rectangulum </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 9].<lb></lb>[Fig. 9] ABCD omnes lineas <lb></lb>applicatas in parallelogrammo <lb></lb>quorum una est EF ad omnes <lb></lb>lineas applicatas in triangulo <lb></lb>ABC, quarum una est IF, lon<lb></lb>gitudine duplas esse, p.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> po<lb></lb>tentia triplas, secunda potentia <lb></lb>quadruplas, tertia potentia <lb></lb>quintuplas et sic in infinitum. </s><s><lb></lb>Quod idem est ac si diceremus <lb></lb>omnes lineas parallelogrammi omnium linearum trianguli <lb></lb>esse duplas, omnia vero quadrata esse tripla, omnes cubos <lb></lb>sive cubicas potentias quadruplas, omnes quadratoqua<lb></lb>dratas potentias esse quintuplas, etc. </s></p> <p type="main"> <s>Quod expositum est de lineis patet, de quadratis osten<lb></lb>ditur a Cavallerio, de cubis </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 10].<lb></lb>demonstrationem afferamus, <lb></lb>praemisso hoc lemmate. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>La superficie eguale alla base <lb></lb>e il semidiametro all'altezza.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Si fuerit cylindrus rectus <lb></lb>[Fig. 10] AB, <expan abbr="ponaturq.">ponaturque</expan> alius <lb></lb>cylindrus rectus CD, cuius <lb></lb>radius CE possit rectangulum <lb></lb>AB, altitudo vero CH ae<lb></lb>qualis sit radio prioris cylin<lb></lb>dri. </s><s>Dico ipsam CD duplam <lb></lb>esse cylindri AB. Nam ratio <lb></lb>cylindri CD ad cylindrum AB componitur ex ratione ba<lb></lb>sium, nempe ex ratione quadrati CE ad CB, sive rectan<lb></lb>guli AB ad quadratum CH, sive recta AC ad 1/2 CH, sive <pb pagenum="291"></pb>duplae AC ad CH, et insuper ex ratione altitudinum, <lb></lb>nempe CH ad AC. Ergo cylindrus CD ad cylindrum AB <lb></lb>erit ut dupla AE ad AC, nempe duplus. </s></p> <p type="main"> <s>Esto rectangulum [Fig. 11] ABCD; dico omnes cubos <lb></lb>rectanguli ad omnes cubos </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 11].<lb></lb>trianguli ABC esse quadru<lb></lb>plos. </s></p> <p type="main"> <s>Producatur BG aequalis <lb></lb>AB, completoque rectangulo <lb></lb>CBG fiat in ipso semiparabola <lb></lb>CHG, cuius apex G, <expan abbr="ponaturq.">ponaturque</expan> <lb></lb>cylindrus GO, ut in lemmate <lb></lb>praemisso <expan abbr="eritq.">eritque</expan> circulus cuius <lb></lb>radius GM aequalis superficiei <lb></lb>cylindricae quae fit a recta BG <lb></lb>circa axem CP revoluta. </s></p> <p type="main"> <s>Iam cubus EF ad FI est <lb></lb>ut cubus BC ad CF, nempe <lb></lb>rationem habet <emph type="italics"></emph>compositam ex <lb></lb>ratione basium<emph.end type="italics"></emph.end> , sive qua<lb></lb>drato BC ad CF, vel rectae BG <lb></lb>ad FH, et ex ratione altitudinum BC ad CF; ergo <lb></lb>cubus EF ad FI est ut rectangulum CG ad CH, sive ut <lb></lb>superficie cylindrica quae circa axem CP fit a recta BG <lb></lb>ad superficiem quae fit ab FH, sive ut circulus TN ad <lb></lb>superficiem eandem quae fit ab FH. Sunt autem omnes <lb></lb>primae, <expan abbr="tertiaeq.">tertiaeque</expan> semper aequales; ergo omnes cubi rect<lb></lb>anguli BD ad omnes cubos trianguli erunt ut omnes cir<lb></lb>culi cylindri GO ad omnes superficies cylindricas trilinei <lb></lb>BCHG, nempe ut cylindrus GO ad solidum trilinei BCHG <lb></lb>circa axem CP revoluti. </s><s>Cylindrus autem GO duplus est <lb></lb>cylindri CQ, per constructionem et per lemma praemis<lb></lb>sum; sed cylindrus GQ duplus est solidi ex trilineo BCHG <lb></lb>facti; ergo patet cylindrum GO quadruplum esse praedicti <lb></lb>solidi, ideoque omnes cubos rectanguli BD quadruplos esse <lb></lb>omnium cuborum trianguli ABC, quod etc. </s></p> <pb pagenum="292"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Ratio rectanguli ad trilineum.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Theorema.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si in rectangulo [Fig. 12] ABCD inscribantur ex prae<lb></lb>dictis semiparabolis quotlibet incipiendo a prima, sive li<lb></lb>neari, erit rectangulum multiplex tri</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 12].<lb></lb>linei mixti quod super est dempte <lb></lb>semiparabole secundum illum nume<lb></lb>rum quem obtinet in ordine sua pa<lb></lb>rabola, addita tamen semper unitate, <lb></lb>nimirum si tertia parabola erit, rect<lb></lb>angulum quadruplum erit, si parabola <lb></lb>quinta sextuplum. </s><s>Esto parabola ter<lb></lb>tia, sive cubica, BID ducaturque quae<lb></lb>libet EF ordinata ad basim et erit FE <lb></lb>ad EI ut CD ad DG, sive ut cubus <lb></lb>BC ad IG (cum parabola tertia sit) <lb></lb>sive ut cubus AD ad DE, sive facto <lb></lb>quadrato super AD, ut cubus HE ad <lb></lb>EL et hoc semper. <expan abbr="Suntq.">Suntque</expan> omnes pri<lb></lb>mae et tertiae magnitudines aequa<lb></lb>les; ergo omnes ordinatae quarum <lb></lb>una FE ad omnes quarum una EI, erunt ut omnes cubi <lb></lb>quorum unus HE ad omnes quorum unus EL, nempe in <lb></lb>ratione quadrupla; ergo patet propositum. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Ratio rectanguli ad parabolam.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollar.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Per conversionem ergo rationis patet parallelogram<lb></lb>mum circumscriptum semper ad inscriptam quamlibet pa<lb></lb>rabolam rationem habere superparticularem denominatum <lb></lb>a dignitate parabolae, nempe ad secundam parabolam ses<lb></lb>quialterum esse, ad quartam sesquiquartum, ad sextam <lb></lb>sesquisextum et sic in infinitum. </s></p> <pb pagenum="293"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Ratio parabolae ad trilineum.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Vel melius. </s><s>Quaelibet parabola ad suum trilineum erit <lb></lb>ut numerus dignitatis ipsius parabolae ad unitatem. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma.<emph.end type="italics"></emph.end> ☽<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> <arrow.to.target n="marg405"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg405"></margin.target>2.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> foglio <lb></lb>delle <lb></lb>Parabole</s></p> <p type="main"> <s>Ratio duarum dignitatum similium componitur ex ra<lb></lb>tione dignitatum similium praecedentium, et ex ratione <lb></lb>simplici duarum dignitatum in ordine primarum. </s></p> <p type="main"> <s>Considerentur enim quadratoquadrata linearum A, B. <lb></lb>Certum est quadroquadratum A ad B habere rationem <lb></lb>quadruplicatam rectae A ad B, cubum vero triplicatam <lb></lb>ergo ratio quadratoquadratorum A ad B componitur ex <lb></lb>ratione cubi A ad B et rectae A ad B. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Ratio cylindri conoidisque ad reliquum <lb></lb>de cylindro.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Cylindrus circumscriptus ad solidum reliquum, dempto <lb></lb>conoide, est ut numerus bina</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 13].<lb></lb>rio maior quam numeris digni<lb></lb>tatis parabolae, ad binarium <lb></lb>ipsum. </s><s>Vel melius, erit conoi<lb></lb>des ad reliquum solidum ut <lb></lb>numerus parabolae ad bina<lb></lb>rium. </s></p> <p type="main"> <s>Esto rectangulum [Fig. 13] <lb></lb>ABCD in quo semiparabola <lb></lb>quaelibet BID, puta cubica sive <lb></lb>3.<emph type="sup"></emph>m<emph.end type="sup"></emph.end>, cuius vertex D, et conver<lb></lb>tatur figura circa axem DC. <lb></lb>Ponatur cylindrus BL ut in <lb></lb>lemmate, <expan abbr="ducaturq.">ducaturque</expan> EH aequi<lb></lb>distanter axi et IM applicetur <lb></lb>ordinatim. </s><s>Iam circulus FH <lb></lb>ad cylindricam superficiem <lb></lb>factam ex EI circa axem DC erit ut cylindrica AB ad <pb pagenum="294"></pb>eandem EI (ob aequalitatem), sive ut rectangulum BD ad <lb></lb>ID, sive rationem habebit compositam ex ratione rectae <lb></lb>AB ad EI, sive cubi AD ad DE, et ex ratione rectae <lb></lb>AD ad DE. Ergo circulus FH ad cylindricam ex EI erit <lb></lb>ut quadratoquadratum AD ad DE, sive (facto quadrato) <lb></lb>ut quadratoquadratum OE ad EO et hoc semper, <expan abbr="suntq.">suntque</expan> <lb></lb>omnes p.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> <expan abbr="tertiaeq.">tertiaeque</expan> magnitudines aequales ergo omnes cir<lb></lb>culi BL ad omnes cylindricas, quarum una est EI, sive <lb></lb>cylindrus BL ad solidum ex trilineo ADIB erit ut omnia <lb></lb>quadratoquadrata rectanguli AR ad omnia quadratoqua<lb></lb>drata trianguli TAD, nempe quintuplus; sed ex demon<lb></lb>stratis cylindrus BL duplus est cylindri ex AC facti. </s><s>Ergo <lb></lb>cylindrus ex AC ad solidum ex trilineo ADIB erit ut <lb></lb>5 ad 2. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollar.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Ergo cylindrus circumscriptus ad conoides parabolae <lb></lb>cubicae erit per conversionem rationis ut 5 ad 3. </s></p> <p type="main"> <s>Ordo rationum </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>3/1, 4/2, 5/3, 6/4, 7/5, 8/6, 9/7.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Correggilo e cavane la verità. </s> <s><foreign lang="it">Troverai che il centro <lb></lb>del conoide sta come quello della parabola non precedente, <lb></lb>ma la cui dignità sia in sudduplicata proporzione. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si potestates trium rectarum continuatae fuerint, erunt <lb></lb>etiam tres rectae in continua proportione. </s></p> <p type="main"> <s>Sit enim quadratum A ad quadratum B ut recta A <lb></lb>ad C (quod appello continuationem potestatum), erunt <lb></lb>rectae continuae proportionales. </s><s>Sive ut biquadratum A <lb></lb>ad biquadratum B ut cubus A ad cubum C, continuae <lb></lb>erunt etc. </s></p> <p type="main"> <s>Aggiugni un po' di prova. </s></p> <pb pagenum="295"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Centrum gr. </s><s>Conoideorum.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Conoides parabolicum quodlibet centrum gr. </s><s>habet in <lb></lb>axe commune cum parabola plana sibi praecedenti. </s></p> <p type="main"> <s>Sit in rectangulo [Fig. 14] </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 14].<lb></lb>ABCD parabolae AOC, AIC con<lb></lb>sequentes, <expan abbr="convertaturq.">convertaturque</expan> parabola <lb></lb>AOC (quod suppono verbig.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> biqua<lb></lb>draticam) circa axem CD. Dico et <lb></lb>applicetur OE, <expan abbr="eritq.">eritque</expan> biquadratum <lb></lb>AD ad biquadratum OE ut cubus <lb></lb>AD ad cubum IE (nempe ut recta <lb></lb>DC ad CE); ergo cum potestates <lb></lb>continuae sint, erunt continuae <lb></lb>rectae AD, OE, IE. Propterea quadratum AD ad quadra<lb></lb>tum OE erit ut recta AD ad IE. </s></p> <p type="main"> <s>Iam CD libra est ad quam pendent magnitudines sive <lb></lb>rectae parallelae ad AD ex eodem libra pendent totidem <lb></lb>circuli paralleli ad circulum ex AD, <expan abbr="suntq.">suntque</expan> tam illae quam <lb></lb>ist magnitudines ex ordine semper proportionales. </s><s>Ergo <lb></lb>centrum aequilibrij omnium circulorum sive conoidis idem <lb></lb>erit ac centrum aequilibrij omnium rectarum, sive para<lb></lb>bolae praecedentis. </s></p> <p type="main"> <s>Doppo specola come possa trovarsi la parabola in sud<lb></lb>duplicata proporzione non solo alla quadratica, quadrato<lb></lb>quadratica, cubocubica etc., ma anco all'altre intermedie. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Centrum solidi ex trilineo circa tangentem.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si ex rectangulo auferatur cuiuslibet dignitatis para<lb></lb>bola, solidum reliqui circa tangentem revoluti centrum gr. </s><s><lb></lb>habet in eadem recta (ad parabolae axem parallela) in <lb></lb>qua est centrum gravitatis trilinei quod remanet ablata <lb></lb>parabola cuius dignitatis numerus duplus sit numeri digni<lb></lb>tatis prioris parabolae. </s></p> <p type="main"> <s>Esto in rectangulo [Fig. 15] ABCD parabola cubica <lb></lb>AIC et cubicubica AFC. Dico solidum ex trilineo BCIA <lb></lb>circa tangentem BC revoluto, centrum gravitatis habere <pb pagenum="296"></pb>in eadem recta (quae quidem pa</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 15].<lb></lb>rallela sit ipsi CD) in qua centrum <lb></lb>gravitatis est trilinei AFCB. Nam <lb></lb>circulus ex BA ad circulum ex EI <lb></lb>rationem habet compositam ex ra<lb></lb>tione rectae BA ad EI, et rectae <lb></lb>BA ad EI, sive cubi BC ad CE et <lb></lb>cubi BC ad CE; ergo circulus ex <lb></lb>BA ad circulum ex EI erit ut cu<lb></lb>bicubus BC ad cubicubum CE, sive ut recta BA ad rectam <lb></lb>EF. Iam BC libra est ex qua pendent magnitudines nempe <lb></lb>circuli, lineaeque, suntque semper proportionales; ergo <lb></lb>centrum aequilibrjis <expan abbr="utriusq.">utriusque</expan> ordinis magnitudinum idem <lb></lb>erit in libra BC. Patet ergo propositum. </s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg406"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg406"></margin.target>3.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> foglio <lb></lb>delle <lb></lb>Parabole.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Centrum gr. </s><s>trilinei.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Esto in rectangulo [Fig. 16] ABCD parabola quaelibet <lb></lb>BED, quam supponamus exempli gratia cubicam. </s><s>Quaero <lb></lb>centrum gravitatis trilinei ABED, </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 16].<lb></lb>in qua linea sit ad axem DC pa<lb></lb>rallela. </s></p> <p type="main"> <s>Cum parabolae dignitas 3.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> sit, <lb></lb>erit ex demonstratis cylindrus ex <lb></lb>AC, ad solidum ex trilineo ADEB <lb></lb>ut 5 ad 2. Ponatur autem FI esse <lb></lb>per centrum trilinei, rectam vero <lb></lb>GH per centrum rectanguli, et <lb></lb><expan abbr="utraq.">utraque</expan> aequidistans axi DC. </s></p> <p type="main"> <s>Iam ostendimus in demostratione solidi cycloidalis circa <lb></lb>basim rationem solidorum rotundorum componi ex ratione <lb></lb>figurarum et ex ratione distantiarum centrorum gravitatis <lb></lb>ab axe. </s></p> <p type="main"> <s>Ratio <expan abbr="itaq.">itaque</expan> solidi ex AC ad solidum ex trilineo ADEB, <lb></lb>quae quidem ratio est ut 5 ad 2, sive ut 20 ad 8, composita <lb></lb>erit ex ratione figurarum planarum nempe 4 ad 1, sive 20 <lb></lb>ad 5, et ex ratione GD ad DF. Ratio autem 20 ad 8 com<lb></lb>ponitur sine dubio ex ratione 20 ad 5 et ex ratione 5 ad 8; <lb></lb>ergo necesse est quod ratio GD ad DF sit ut 5 ad 8 etc. </s></p> <pb pagenum="297"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollarium.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Sic ostendemus rectam FI quae per centrum trilinei <lb></lb>ducitur tangentem AD ita secare ut pars ad verticem D <lb></lb>reliquae sit multiplex secundum numerum quem in ordine <lb></lb>obtinet dignitas parabolae unitate tamen auctum, nempe <lb></lb>in secunda parabola lineae erunt triplae; in quarta quin<lb></lb>tuplae; in quinta sextuplae etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Eiusdem trilinei centrum alia ratione.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Esto rectangulum [Fig. 17] ABCD in quo parabola <lb></lb>cuiuslibet dignitatis, puta cubicae, BID; convertatur figura <lb></lb>circa tangentem AD et ducatur EF </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 17].<lb></lb>parallela ipsi DC. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Ratio cylindri ad solidum trilinei <lb></lb>circa tangentem.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Iam circulus [Fig. prec.] ex FE <lb></lb>ad circulum ex EI est ut quadratum <lb></lb>BA ad EI, sive rationem habet com<lb></lb>positam ex ratione rectae AB ad EI <lb></lb>et rectae AB ad EI, sive potius ex ratione cubi AD ad <lb></lb>DE, sive ex ratione rectae AD ad DE septies sumpta vel <lb></lb>sextuplicata, ergo circulus FE ad EI erit ut cubiquadra<lb></lb>tum AD ad cubiquadratum DE. <expan abbr="Suntq.">Suntque</expan> omnes primae <lb></lb><expan abbr="tertiaeq.">tertiaeque</expan> semper aequales, ergo omnes primae, sive cylin<lb></lb>drus, ex AC ad solidum ex trilineo erit ut omnes cubi<lb></lb>quadrati rectae AD, integrae ad omnes cubiquadratos par<lb></lb>tium, nempe in ratione sextupla, nam omnes cubiquadrati <lb></lb>alicuius rectanguli decupli sunt omnium cubiquadratorum <lb></lb>trianguli sui. </s></p> <p type="main"> <s>Hoc modo ostendetur cylindrus ad solidum trilinei pri<lb></lb>mae parabolae triplus; secundae vero parabolae quintuplus; <lb></lb>tertiae parabolae sestuplus, quartae vero nonuplus. </s><s>Sive <pb pagenum="298"></pb>et melius erit solidum illud quod a parabola describitur <lb></lb>ad reliquum illud quod fit a trilineo multiplex, denomina<lb></lb>torque multiplicitatis erit numerus duplus dignitatis, sive <lb></lb>numeri quem in ordine obtinet parabola genitrix. </s></p> <p type="main"> <s>Componendo vero et per conversionem rationis erit cy<lb></lb>lindrus ad solidum ex parabola prima ut 3 ad 2, ex se<lb></lb>cunda ut 5 ad 4, ex tertia ut 7 ad 6 et sic semper in <lb></lb>ratione superparticulari cuius tamen maiores termini sint <lb></lb>numeri impares, minor autem terminus duplus sit digni<lb></lb>tatis parabolae genitricis. </s></p> <p type="main"> <s>Ordo rationum: <lb></lb> </s></p> <table> <row><cell>3,</cell><cell>5,</cell><cell>7,</cell><cell>9,</cell><cell>11,</cell><cell>13,</cell><cell>15,</cell></row> <row><cell>1,</cell><cell>1,</cell><cell>1,</cell><cell>1,</cell><cell>1,</cell><cell>1,</cell><cell>1,</cell></row></table> <p type="main"> <s>Regula pro numeratore. </s><s>Duplica numerum dignitatis <lb></lb><expan abbr="ipsiq.">ipsique</expan> unitatem adde et habebis numeratorem, pro deno<lb></lb>minatore sume unitatem. <lb></lb> </s></p> <table> <row><cell>3,</cell><cell>5,</cell><cell>7,</cell><cell>9,</cell><cell>11</cell></row> <row><cell>2,</cell><cell>4,</cell><cell>6,</cell><cell>8,</cell><cell>10</cell></row></table> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Centrum gr. </s><s>d.<emph type="sup"></emph>i<emph.end type="sup"></emph.end> trilinei.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Esto in rectangulo [Fig. 18] ABCD parabola quaelibet <lb></lb>BID, exempli gratia biquadratica, sive quadrata in ordine; <lb></lb><expan abbr="supponamusq.">supponamusque</expan> rectam EF ordina</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 18].<lb></lb>tam per centrum trilinei ADIB et <lb></lb>GH per centrum gr. </s><s>rectanguli. </s><s><lb></lb>Demonstratum est cylindrum ex <lb></lb>AC ad solidum trilineum ADIB <lb></lb>circa tangentem AD esse ut 9 ad 1. <lb></lb>Rectangulum vero AC ad trilineum <lb></lb>ipsum esse ut 5 ad 1. Praeterea <lb></lb>scimus rationem solidorum 9 ad 1, <lb></lb>sive 45 ad 5. Componi ex ratione figurarum genitricium <lb></lb>et ex ratione distantiarum, nempe ex ratione 5 ad 1, sive <lb></lb>potius 45 ad 9 et ex ratione HD ad DF. Ergo necesse <lb></lb>est quod HD ad DF sit ut 9 ad 5, ratio enim praedicta <lb></lb>45 ad 5 composita ex duabus rationibus, si earum altera <lb></lb>sit 45 ad 9, ut certe est reliqua omnino erit 9 ad 5. </s></p> <pb pagenum="299"></pb> <p type="main"> <s>Hoc modo <expan abbr="factoq.">factoque</expan> facili calculo ostendemus applicatam <lb></lb>quae transit per centrum trilinei, axem DC ita secare in <lb></lb>prima parabola ut CF ad FD sit ut 4 ad 2, in secunda <lb></lb>vero ut 7 ad 3, in tertia ut 10 ad 4, in quarta ut 13 ad 5 <lb></lb>et sic semper. </s></p> <p type="main"> <s>Regula erit ad numerum dignitatis parabolae adde 1 <lb></lb>et sic auctus erit minor terminus, auctum deinde triplica et <lb></lb>a producto deme binarium <expan abbr="eritq.">eritque</expan> productus ille diminutus <lb></lb>maior terminus. <lb></lb> </s></p> <table> <row><cell>1,</cell><cell>2,</cell><cell>3,</cell><cell>4,</cell><cell>5,</cell><cell>6,</cell><cell>7,</cell><cell>8,</cell><cell>9,</cell><cell>10,</cell><cell>11,</cell></row> <row><cell>4,</cell><cell>7,</cell><cell>10,</cell><cell>13,</cell><cell>16,</cell><cell>19,</cell><cell>22,</cell><cell>25,</cell><cell>28,</cell><cell>31,</cell><cell>34,</cell></row> <row><cell>2,</cell><cell>3,</cell><cell>4,</cell><cell>5,</cell><cell>6,</cell><cell>7,</cell><cell>8,</cell><cell>9,</cell><cell>10,</cell><cell>11,</cell><cell>12,</cell></row></table> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Centrum gr. </s><s>parabolarum.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> <arrow.to.target n="marg407"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg407"></margin.target>4.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> foglio <lb></lb>delle <lb></lb>Parabole.</s></p> <p type="main"> <s>Esto in rectangulo [Fig. 19] ABCD quaelibet parabola <lb></lb>DIB cuius vertex D <expan abbr="sitq.">sitque</expan> exempli gratia biquadratica, <expan abbr="po-naturq.">po<lb></lb>naturque</expan> H centrum rectanguli et F </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 19].<lb></lb>trilineorum; erit ergo CF ad FD ut <lb></lb>13 ad 5 et FH erit ut 4, HC vero, <lb></lb>ut 9. Demonstratum insuper est pa<lb></lb>rabolam ad trilineum esse ut nume<lb></lb>rus dignitatis ad unitatem, hoc est <lb></lb>in casu nostro ut 4 ad 1 fiat; ergo <lb></lb>ut magnitudo ad magnitudinem, ita <lb></lb>distantia FH ad HO; <expan abbr="eritq.">eritque</expan> O centrum parabolae et cum <lb></lb>sit FH ad HO quadrupla, erit HO pars una illarum qua<lb></lb>rum tota DC est 18; ergo DO ad OC erit ut 10 ad 8, sive <lb></lb>potius ut 5 ad 4. </s></p> <p type="main"> <s>Eadem ratione ostendemus in qualibet alia parabola <lb></lb>rectam DO ad OC esse ut numerus dignitatis parabolae <lb></lb>unitate auctus ad ipsum numerum dignitatis parabolae: <lb></lb> </s></p> <table> <row><cell>2,</cell><cell>3,</cell><cell>4,</cell><cell>5,</cell><cell>6,</cell><cell>7,</cell><cell>8,</cell><cell>9,</cell><cell>etc.</cell></row> <row><cell>1,</cell><cell>2,</cell><cell>3,</cell><cell>4,</cell><cell>5,</cell><cell>6,</cell><cell>7,</cell><cell>8,</cell><cell>etc.</cell></row></table> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Centrum conoideorum.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Iam ex precedentibus patet centrum gravitatis cuiusli<lb></lb>bet conoides. </s><s>Nam cum demonstratum sit quodlibet co- <pb pagenum="300"></pb>noides idem habere centrum gravitatis cum parabola prae<lb></lb>cedenti, <expan abbr="demonstratumq.">demonstratumque</expan> sit centrum parabolarum notum <lb></lb>erit et centrum conoideorum. </s></p> <p type="main"> <s>Regula erit in quolibet conoide centrum gravitate axem <lb></lb>ita dividit, ut pars ad verticem sit ad reliquam ut integer <lb></lb>numerus dignitatis ad numerum dignitatis unitate dimi<lb></lb>nutum: <lb></lb> </s></p> <table> <row><cell>2,</cell><cell>3,</cell><cell>4,</cell><cell>5,</cell><cell>6,</cell><cell>7,</cell></row> <row><cell>1,</cell><cell>2,</cell><cell>3,</cell><cell>4,</cell><cell>5,</cell><cell>6,</cell></row></table> <p type="main"> <s>Hinc oritur causa alterius speculationis. </s><s>Cum enim de<lb></lb>monstratum sit quodlibet conoides habere centrum gravi<lb></lb>tatis commune cum parabola praecedenti, <expan abbr="sciamusq.">sciamusque</expan> conum <lb></lb>hoc est primum conoides, habere centrum in axe notum <lb></lb>credendum est aliquam aliam parabolam nobis adhuc igno<lb></lb>tam ipsi triangulo praecedere, cuius centrum axem secet <lb></lb>in ratione tripla. </s><s>Natura enim ordines inceptos non termi<lb></lb>nat. </s><s>Cum enim a dignitatibus maiorum numerorum descen<lb></lb>damus <expan abbr="usq.">usque</expan> ad triangulum, <expan abbr="conumq.">conumque</expan> quas figuras primas in <lb></lb>ordine putabamus, <expan abbr="appareatq.">appareatque</expan> ipsum conum centrum ha<lb></lb>bere, ergo et ante ipsum aliqua parabola esse debebit, quae <lb></lb>idem centrum habeat, ut continuetur ordo inceptus a na<lb></lb>tura. </s><s>Peracta igitur contemplatione, unusquisque videbit <lb></lb>easdem parabolas esse sed inversas, <expan abbr="eritq.">eritque</expan> illarum diameter <lb></lb>quae fuerat tangens verticalis, et vice versa verticalis tan<lb></lb>gens fiet quae diameter fuerat. </s><s>Sed de his hactenus. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Solida circa applicatas demonstrare.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Esto in rectangulo [Fig. 20] ABCD quaelibet parabola <lb></lb>AEC, exempli gratia cubica, et con</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 20].<lb></lb>vertatur figura circa AD. Iam si <lb></lb>centrum rectanguli integri sit F et <lb></lb>parabolae G, erit ex demonstratis <lb></lb>CG ad GD ut 4 ad 3, sive ut 8 ad 6, <lb></lb>ergo FD ad DG erit ut 7 ad 6; fi<lb></lb>gura vero genitrix BD ad parabo<lb></lb>lam est ut 4 ad 3; ergo solidum ad <lb></lb>solidum rationem habet compositam ex ratione 7 ad 6 et <pb pagenum="301"></pb>ex ratione 4 ad 3 (iuxta ea quae demonstramus in specu<lb></lb>latione solidi cycloidalis circa basim) nempe ut 28 ad 18, <lb></lb>sive ut 14 ad 9. </s></p> <p type="main"> <s>Ecce ordo <lb></lb> </s></p> <table> <row><cell></cell><cell>5,</cell><cell></cell><cell>9,</cell><cell></cell><cell>13,</cell><cell></cell><cell>17,</cell><cell></cell><cell>21,</cell><cell></cell><cell>25</cell><cell></cell></row> <row><cell>ad</cell><cell>{</cell><cell>6,</cell><cell></cell><cell>15,</cell><cell></cell><cell>28,</cell><cell></cell><cell>45,</cell><cell></cell><cell>66,</cell><cell></cell><cell>91</cell></row> <row><cell>2,</cell><cell></cell><cell>8,</cell><cell></cell><cell>18,</cell><cell></cell><cell>32,</cell><cell></cell><cell>50,</cell><cell></cell><cell>72</cell></row> <row><cell></cell><cell>2,</cell><cell></cell><cell>6,</cell><cell></cell><cell>10,</cell><cell></cell><cell>14,</cell><cell></cell><cell>18,</cell><cell></cell><cell>22.</cell><cell></cell></row></table> <p type="main"> <s>Pro numeratore: Duplica numerum dignitatis <expan abbr="factoq.">factoque</expan> <lb></lb>addes 1 et summam duces in numerum dignitatis unitate <lb></lb>auctum; si denique productum sumas babebis numera<lb></lb>torem. </s></p> <p type="main"> <s>Pro denominatore: accipe duplum quadrati numeri di<lb></lb>gnitas. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Ratio cylindri ad solidum ex trilineo<emph.end type="italics"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg408"></arrow.to.target><lb></lb><emph type="italics"></emph>circa paralle.<emph type="sup"></emph>m<emph.end type="sup"></emph.end> diametro.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg408"></margin.target>5.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> foglio <lb></lb>delle <lb></lb>Parabole.</s></p> <p type="main"> <s>Esto in rectangulo [Fig. 21] ABCD parabola quelibet, <lb></lb><expan abbr="ponaturq.">ponaturque</expan> biquadratica BID, et con</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 21].<lb></lb>vertatur figura circa AB. Transeat <lb></lb>CF aequidistans diametro per cen<lb></lb>trum trilinei ADIB, et CH per <lb></lb>centrum rectanguli, <expan abbr="eritq.">eritque</expan> per de<lb></lb>monstrata, DE ad EA ut 5 ad 1; <lb></lb>ergo GA ad AE ut 3 ad 1. Et rect<lb></lb>angulum AC ad trilineum est ut 5 <lb></lb>ad 1. Ergo ratio cylindri ad solidum <lb></lb>ex trilineo circa AB revoluto componitur ex ratione 3 <lb></lb>ad 1 et 5 ad 1, nempe ut 15 ad 1. </s></p> <p type="main"> <s>Hac ratione ostendemus progressionem rationem se<lb></lb>quentium. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>3/1, 6/1, 10/1, 15/1, 21/1, 28/1.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Regula pro numeratore: Ducas numerum dignitatis uni<lb></lb>tate auctum in se ipsum binario auctum et producti se<lb></lb>missem accipe pro numeratore. </s></p> <pb pagenum="302"></pb> <p type="main"> <s>Denominator semper unitas erit. </s></p> <p type="main"> <s>Propterea si parabola quaelibet convertatur circa pa<lb></lb>rallelam diametro, erit cylindrus ad solidum ut </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>3/2, 6/5, 10/9, 15/14, 21/20,<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb>nempe in ratione superparticulari, cuius numerator fiet si <lb></lb>ducas dignitatem unitate auctam in se ipsam binario auc<lb></lb>tam, <expan abbr="productiq.">productique</expan> semissem accipias. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Ratio solidorum <lb></lb>ab eodem trilineo fectorum si circa parallelam diametro <lb></lb><expan abbr="circaq.">circaque</expan> tangentem convertatur.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Esto in rectangulo [Fig. 22] ABCD parabola quaelibet <lb></lb>DEB, <expan abbr="ponaturq.">ponaturque</expan> quadratica, et convertatur trilineum ADEB <lb></lb>circa AB <expan abbr="circaq.">circaque</expan> AD. Ostensum iam </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 92].<lb></lb>est solidum trilinei ad cylindrum <lb></lb>suum circa AB esse ut 1 ad 6. Cy<lb></lb>lindrum vero circa AD ad solidum <lb></lb>suum circa eundem axem AD ut 5 <lb></lb>ad 1. Cylindri vero inter se sunt ut <lb></lb>diametri basium homologe. </s><s>Propte<lb></lb>rea solidum trilinei circa AB ad <lb></lb>suum cylindrum erit ut sexta pars <lb></lb>rectae AD ad AD; cylindrus vero praedictus ad cylin<lb></lb>drum circa tangentem AD est ut AD ad AB; denique <lb></lb>cylindrus circa tangentem ad solidum ex trilineo circa <lb></lb>eandem est ut AB ad quintam partem ipsius AB; ergo, <lb></lb>ex aequo, solidum trilinei circa AB ad solidum eiusdem <lb></lb>circa AD, erit reciproce ut sexta pars rectae AD ad <lb></lb>quintam partem rectae AB, sive (sumptis pariter multi<lb></lb>plicibus) ut quinque sextae partes tangentis AD ad dia<lb></lb>metrum parabolae. </s></p> <p type="main"> <s>Hac ratione ostendemus solida ex eodem trilineo aljis <lb></lb>dignitatibus habere rationes infrascriptas. </s><s>Consideramus <pb pagenum="303"></pb>autem pro antecedente semper solidum circa tangentem <lb></lb>revolutum. <lb></lb> <lb></lb> </s></p> <table> <row><cell>in p.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> parab.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end></cell><cell>in 2.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> parab.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end></cell><cell>in 3.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> parab.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end></cell></row> <row><cell>ut diameter</cell><cell>ut diameter</cell><cell>ut diameter</cell></row> <row><cell>ad tangentem</cell><cell>5/6 tangentis</cell><cell>ad 7/10 tangentis</cell></row></table> <table> <row><cell>in 4.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> parab.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end></cell><cell>in 5.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> parab.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end></cell></row> <row><cell>ut diameter</cell><cell>ut diameter</cell></row> <row><cell>ad 9/15 tangentis</cell><cell>ad 11/21 tangentis.</cell></row></table> <p type="main"> <s>Regula generalis erit haec: solidum trilinei circa tan<lb></lb>gentem ad solidum eiusdem circa diametro parallelum erit <lb></lb>ut diameter integer ad fractionem quandam tangentis, <lb></lb>cuius fractionis expressores habebis sic. </s></p> <p type="main"> <s>Pro numeratore fractionis duplica numerum dignitatis <lb></lb>ipsi que adde unitatem, et factus erit numerator. </s></p> <p type="main"> <s>Pro denominatore duces numerum dignitatis unitate <lb></lb>auctum in se ipsum binario auctum et producti semissem <lb></lb>accipies pro denominatore fractionis quesitae. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>DEL FUSO DELLE PARABOLE INFINITE.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Sia la parabola qualunque [Fig. 23] AB, diametro BD <lb></lb>cima B, centro E e volgasi intorno alla base AC. Conce<lb></lb>piscasi il solido cilindrico della parabola, e quello del pa<lb></lb>rallelogrammo circoscritto egualmente alti, e sia l'altezza <lb></lb>loro BF quanto la periferia del radio DB. È noto che la <lb></lb>superficie cilindrica di LM circa axem AC sarà eguale al <lb></lb>rettangolo LN. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Applicata qualunque HG e tirato il suo piano havrà <lb></lb>la periferia di B alla periferia di P la proporzione del <lb></lb>radio DB al radio DP, cioè come BF a PO. Ma gli ante<lb></lb>cedenti sono eguali, ergo i conseguenti, e però la cilindrica <lb></lb>di HG sarà eguale al rettangolo GI, et hoc semper, dun<lb></lb>que il fuso sarà eguale al solido superiore ABCF. Il ci<lb></lb>lindro del parallelogrammo CL circa axem AC est ad <lb></lb>parallelepipedum AN in ratione subdupla. </foreign></s> <s>Parallelepipe- <pb pagenum="304"></pb>dum vero AN ad cylindrum para</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 23].<lb></lb>bolicum est ut parallelogrammum <lb></lb>inscriptum ad ipsam parabolam. </s><s><lb></lb>Denique cylindrum parabolicum ad <lb></lb>portionem superiorem sive ad fu<lb></lb>sum parabolicum est ut BD ad <lb></lb>DE, ergo patet conclusio sequens, <lb></lb>cioè che: </s></p> <p type="main"> <s>Cylindrus ad fusum rationem <lb></lb>habet compositam ex ratione sub<lb></lb>dupla et ex ratione parallelo<lb></lb>grammi circumscripti ad ipsam pa<lb></lb>rabolam, et ex ratione axis totius <lb></lb>secti a centro gr. </s><s>ad partem versus <lb></lb>basim. </s></p> <p type="main"> <s>Si può ridurre a tre termini <lb></lb>soli: 15, 30, 20. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Così del triangolo alla para<lb></lb>bola e dell'asse tutto alla parte versus basim, cioè 15, 20, 8. <lb></lb> <arrow.to.target n="marg409"></arrow.to.target></foreign></s> </p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg409"></margin.target>P.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> faccia</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Tangentes parabolarum omnium infiniturum <lb></lb>secundum methodum ex Apollonio erutam, <lb></lb>modo tamen nostro senza quadratura.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Compraehendit tantum parabolam unius nominis, hoc <lb></lb>est quarum exponentes sint multiplices. </s><s>Sit exempli gratia <lb></lb>cubica [Fig. 24] GAB, <expan abbr="fiatq.">fiatque</expan> CD ad DB </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 24].<lb></lb>tripla; dico AC tangentem esse. </s></p> <p type="main"> <s>Nam sumpto quolibet puncto F in recta <lb></lb>quam tangentem dicimus, ostendemus esse <lb></lb>extra parabolam hoc modo. </s><s>Esto applicata <lb></lb>EG et F sit in illa recta ostendo maiorem <lb></lb>esse EF quam EG. </s></p> <p type="main"> <s>Sumantur inter EB, BD duae mediae <lb></lb>BI, BO <expan abbr="eritq.">eritque</expan> DI minor quam IO et IO <lb></lb>minor quam OE; ergo CE maior erit quam <lb></lb>tripla ad BI, sed CD tripla est ad DB; <lb></lb>ergo EC ad BI maiorem habet rationem quam CD ad DB <lb></lb>et permutando EC ad CD maiorem habet rationem quam <pb pagenum="305"></pb>IB ad BD. Etiam cubi, nempe cubus EC ad CD maiorem <lb></lb>habet rationem quam cubus IB ad BD, sive quam recta <lb></lb>EB ad BD, sive quam cubus applicatae GE ad cubum AD. <lb></lb>Sed ut cubus EC ad CD ita cubus basis FE ad cubum <lb></lb>basim AD; ergo cubus FE ad AD maiorem habet ratio<lb></lb>nem quam cubus GE ad AD. Patet ergo propositum. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Unius nominis.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Quando vero punctum [Fig. 25] F sumatur versus ver<lb></lb>ticem, peracta eodem constructione sic agemus. </s></p> <p type="main"> <s>Dico primum CE plusquam triplam </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 25].<lb></lb>esse ipsius BO. Nam CD ad DB tripla <lb></lb>est; ablata vero DE ad ablatam DO ma<lb></lb>ior quam tripla, ergo reliqua CE ad reli<lb></lb>quam BO maior quam tripla; et permu<lb></lb>tando CE ad CD maiorem rationem habet <lb></lb>quam OB ad BD et etiam cubi. </s></p> <p type="main"> <s>Iam cubus FE ad AD est ut cubus EC <lb></lb>ad CD; sed cubus GE ad cubum AD est <lb></lb>ut recta EB ad BD sive ut cubus OB ad <lb></lb>BD. Maiorem <expan abbr="itaq.">itaque</expan> rationem habet cubus FE ad AD, quam <lb></lb>cubus GE ad eundem, quare etc. </s></p> <p type="main"> <s>Si fuerint aliae dignitates tot mediae sumendae erunt <lb></lb>quot sunt unitates exponentis una minus etc. </s></p> <p type="main"> <s>Vedi se si possono ridurre ad una dimostration sola <lb></lb>con due figure. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Segue delle tangenti delle infinite parabole<emph.end type="italics"></emph.end><lb></lb> <arrow.to.target n="marg410"></arrow.to.target><lb></lb><emph type="italics"></emph>ex Apollonio.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg410"></margin.target>Segue delle <lb></lb>Binomie pa<lb></lb>rabole.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Parabolae Binomiae.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> <arrow.to.target n="marg411"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg411"></margin.target>P.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> faccia.</s></p> <p type="main"> <s>Esto parabola binomia [Fig. 26] CAB, nempe exempli <lb></lb>gratia cubi, applicatarum sint sint ut quadrata diametra<lb></lb>lium; fiat ut exponens 3 ad exponentem 2 ita DE ad EB. <lb></lb>Dico AD tangentem esse. </s></p> <p type="main"> <s>Applicetur CF sitqu. </s><s>punctum G ad rectam, sed C ad <lb></lb>curvam; ostendo GF maiorem quam CF esse. </s></p> <pb pagenum="306"></pb> <p type="main"> <s>Sumatur BH tertia proportionalis ad </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 26].<lb></lb>FB, EB. Deinde intelligantur inter FB, BH <lb></lb>due mediae LB, IB. Sitqu. </s><s>MB media in<lb></lb>ter FB, BL. </s></p> <p type="main"> <s>Cubus CF ad AE est ut cubus FD ad <lb></lb>DE. Cubus vero CF ad AE est ut quadra<lb></lb>tum FB ad BE, sive ut recta FB ad BH, <lb></lb>sive ut cubus FB ad BL, sive ut cubus <lb></lb>MB ad BE (sunt enim continuae omnes <lb></lb>FB, MB, LB, EB, IB). At ratio FD ad DE <lb></lb>maior est (ut mox patebit) quam ratio <lb></lb>MB ad BE; ergo ratio cubi GF ad AE maior est ratione <lb></lb>cubi CF ad AE. Propterea patet propositum. </s></p> <p type="main"> <s>Quod promisi ostendo sic. </s><s>Ratio FD ad BM maior est <lb></lb>quam ratio 3 ad 2, nam pars DE ad BE est ut 3 ad 2; <lb></lb>addita vero FE ad EM maior est quam 3 ad 2; ergo com<lb></lb>posita FD ad BM maior est quam ut 3 ad 2, nempe quam <lb></lb>DE ad EB, et permutando patet propositum. </s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg412"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg412"></margin.target>Segue la di<lb></lb>mostrazione.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Parabolae binomiae.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Cubus [Fig. 27] AE ad GF est ut cubus ED ad DF. <lb></lb>At cubus AE ad CF est ut quadratum EB ad BF, sive <lb></lb>ut recta EB ad BH, sive ut cubus EB </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 27]<lb></lb>ad BL. Ostendo iam maiorem esse ratio<lb></lb>nem cubi EB ad BL (nempe AE ad CF) <lb></lb>quam sit ratio cubi ED ad DF, hoc est <lb></lb>AE ad GF. Unde notum erit propositum. </s></p> <p type="main"> <s>Tota DE ad EB est ut 3 ad 2; sed <lb></lb>ablata EF ad ablatam EL minor est quam <lb></lb>3 ad 2; ergo reliqua DF ad reliquam BL <lb></lb>maior erit quam 3 ad 2, nempe ratio DF <lb></lb>ad BL maior est ratione 3 ad 2, vel ra<lb></lb>tione DE ad EB, et permutando ratio DF <lb></lb>ad DE maior est ratione BL ad EB, et convertendo ratio <lb></lb>DE ad DF minor est ratione EB ad BL. Quod sufficit. </s></p> <p type="main"> <s>Bisogna ripulirla. </s></p> <pb pagenum="307"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Tangenti dell'infinite hyperbole <lb></lb>senza quadratura ex sola definitione.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Unius primum nominis.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Esto hiperbola unius nominis, puta quadraticam. </s><s>Fiatqu. </s><s><lb></lb>ut exponentes nempe ut 2 ad 1 ita [Fig. 28] AB ad BC. <lb></lb>Dico AH tangentem esse. </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 28].</s></p> <p type="main"> <s>Sumatur IC media inter <lb></lb>EC, CB, <expan abbr="eritq.">eritque</expan> EI maior <lb></lb>quam IB, ergo EB ad BI <lb></lb>maiorem habet rationem <lb></lb>quam AB ad BC, et permu<lb></lb>tando EB ad AB maiorem <lb></lb>habet rationem quam BI ad <lb></lb>BC. Multoqu. </s><s>maiorem ra<lb></lb>tionem habebit EB ad EA <lb></lb>quam IB ad BC et compo<lb></lb>nendo BA ad AE maiorem <lb></lb>habet rationem quam IC ad CB, nempe quadratum BA <lb></lb>ad AE, sive potius BH ad EG, maiorem habet rationem <lb></lb>quam quadratum IC ad CB, sive quam recta EC ad CB, <lb></lb>sive quam quadratum HB ad EF ob definitionem. </s></p> <p type="main"> <s>Pater ergo F punctum hyperbolae esse ultra rectam <lb></lb>lineae. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Segue la dimostrazione nell'altro caso.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 29].</s></p> <p type="main"> <s>Peracta constructione et [Fig. <lb></lb>29] IB ad BE maiorem habet ra<lb></lb>tionem quam subdupla CB ad BA, <lb></lb>et permutando IB ad CB maiorem <lb></lb>habebit quam EB ad BA, multoqu. </s><s><lb></lb>maiorem rationem habebit IB ad <lb></lb>IC quam eodem EB ad BA; et <lb></lb>componendo BC ad CI maiorem <lb></lb>rationem habebit quam EA ad AB. <lb></lb>Sive quadratum BC ad CI, hoc est <lb></lb>recta BC ad CE, sive potius ob hyperbolam quadratum FE <pb pagenum="308"></pb>ad HB, maiorem habebit rationem quam quadratum EA ad <lb></lb>AB, sive quam quadratum GE ad idem HB. Propterea <lb></lb>punctum F est extra rectam lineam etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Segue le tangenti delle infinite hyperbole binomie <lb></lb>ex sola definitione.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Esto binomia hyperbola exempli gratia cuius nomina <lb></lb>sint cubus et quadratum; fiat ut exponens 3 ad 2 ita <lb></lb>[Fig. 30] AC ad CD. Dico AE tan</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 30].<lb></lb>gentem esse. </s></p> <p type="main"> <s>Sumatur ad BD, CD tertia pro<lb></lb>portionalis HD, et inter BD, HD <lb></lb>intelligantur duae mediae LD, ID. <lb></lb>Secenturqu. </s><s>rationes extremae bi<lb></lb>fariam in M et N; <expan abbr="eruntq.">eruntque</expan> sex <lb></lb>rectae continuae etc. </s></p> <p type="main"> <s>Iam BC ad CM (maior quam <lb></lb>3 ad 2) maiorem habet rationem <lb></lb>AC ad CD; et permutando BC ad <lb></lb>CA, <expan abbr="multoq.">multoque</expan> magis ad BA maiorem <lb></lb>habebit rationem quam CM ad CD; et componendo CA ad <lb></lb>AB maiorem habebit quam MD ad DC; ergo cubus CA ad <lb></lb>AB, sive cubus CE ad BG maiorem habet rationem quam <lb></lb>cubus MD ad DC, sive quam cubus BD ad DL, sive quam <lb></lb>recta BD ad DH, sive quam quadratum BD ad DC, sive <lb></lb>quam cubus CE ad BF. Maior itaque est recta BF quam <lb></lb>BG, ergo etc., ergo F, sive </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 31].<lb></lb>hyperbola, est extra rectam. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Alius casus in binomia, <lb></lb>et est ultimus.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Peracta simili construc<lb></lb>tione dico F esse super rectam <lb></lb>[Fig. 31]. </s></p> <p type="main"> <s>Nam ratio IB ad BH ma<lb></lb>ior est quam 2 ad 3, nempe <lb></lb>maior quam BD ad BA; et permutando ratio IB ad BD <pb pagenum="309"></pb>maior est quam ratio BH ad BA; et componendo ratio <lb></lb>BD ad DI maior est quam ratio HA ad AB, nempe cu<lb></lb>bus BD ad DI, hoc est recta BD ad DE, sive quadratum <lb></lb>BD ad DH, sive cubus FH ad CB maiorem habebit ra<lb></lb>tionem quam cubus HA ad AB, sive quam cubus GH ad <lb></lb>CB. Ergo recta FH maior est et punctum F ultra rectam <lb></lb>lineam. </s><s>Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s>Le tangenti delle parabole sono scritte <emph type="italics"></emph>per Motum,<emph.end type="italics"></emph.end> et <lb></lb><emph type="italics"></emph>per Medios.<emph.end type="italics"></emph.end> Manca da scrivere <emph type="italics"></emph>per inventionem Maximi<emph.end type="italics"></emph.end><lb></lb>et <emph type="italics"></emph>per supplementa<emph.end type="italics"></emph.end> — et sivis per <emph type="italics"></emph>lineas supplementares.<emph.end type="italics"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Gravia descendunt ita ut temporibus aequalibus aequa<lb></lb> <arrow.to.target n="marg413"></arrow.to.target><lb></lb>liter crescant velocitates, ut optime docet Galileus. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg413"></margin.target>P.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> faccia <lb></lb>delle <lb></lb>Tangenti.</s></p> <p type="main"> <s>Supponamus iam mobile aliquod descendene ita ut ve<lb></lb>locitates crescant ut quadrata temporum, exempli gratia; <lb></lb>est [Fig. 32] AB tempus descensionis, et </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 32].<lb></lb>sit quadratum EB velocitas quam habet <lb></lb>mobile in fine descensionis. </s><s>Peracto tem<lb></lb>pore AC debebit eius velocitas esse ut <lb></lb>quadratum CD, nam quadratum BE, et CD <lb></lb>sunt ut quadrata temporum BA, AC. </s></p> <p type="main"> <s>Est FH spatium peractum tempore AB, <lb></lb>quaeritur si grave in fine descensionis con<lb></lb>vertatur horizontaliter cum impetu BE <lb></lb>quodnam spatium conficiet tempore aequali tempori de<lb></lb>scensus? </s><s>Dico triplum. </s></p> <p type="main"> <s>Nam quando mobile tempore AB adhibet tot <expan abbr="tantasq.">tantasque</expan> <lb></lb>velocitates quot quantaqu. </s><s>sunt omnia quadrata trianguli <lb></lb>ABE peragit spatium FH; sed quando eodem tempore <lb></lb>adhibebit tot tantasqu. </s><s>velocitates quot quantaqu. </s><s>Sunt <lb></lb>omnia quadrata parallelogrammi IB, triplum spatium con<lb></lb>ficere debebit nam quadrata quadratorum sunt tripla. </s><s>Idem <lb></lb>dicas de reliquis algebrae dignitatibus. </s></p> <p type="main"> <s>Si vero mobile moveatur deorsum tempore AG, et tem<lb></lb>pore AB quaeritur ratio spatiorum. </s><s>Dico sic spatia peracta <lb></lb>habent rationem compositam ex ratione velocitatum et ex <lb></lb>ratione temporum. </s></p> <pb pagenum="310"></pb> <p type="main"> <s>Sint spatia peracta [Fig. 33] AB, AC, tempora vero DE, <lb></lb>DF et augeatur velocitas quadratice. </s><s>Supponamus mobile <lb></lb>in B et in C converti horizonta</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 33].<lb></lb>liter. </s><s>Iam impetus in B ad impe<lb></lb>tum in C erit ut quadratum tem<lb></lb>poris DE ad quadratum DF; ergo <lb></lb>spatium BH factum tempore ca<lb></lb>sus AB ad spatium CI factum <lb></lb>tempore casus AC rationem ha<lb></lb>bebit compositam ex ratione qua<lb></lb>drati DE ad DF velocitatum, et ex ratione temporum, <lb></lb>nempe rectae DE ad DF; ergo spatium BH ad CL erit <lb></lb>ut cubus DC ad DF; sed ut spatia BH, CI ita sunt spatia <lb></lb>AB, AC ipsorum submultiplicia aequaliter, ergo patet <lb></lb>spatia peracta esse. </s><s>Etc. </s></p> <p type="main"> <s>Definitio lineariter, quadratice, cubicae etc. </s><s>accelerat. </s></p> <p type="main"> <s>Cadat mobile aliquod horizontaliter concitatum ex plano <lb></lb>[Fig. 34] DA ita ut duos impetus </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 34].<lb></lb>habeat alterum aequabilem hori<lb></lb>zontalem versus partes EC, alte<lb></lb>rum descendentem acceleratum <lb></lb>quadratice. </s><s>Dico parabolam cubi<lb></lb>cam fieri. </s><s>Hoc ex dictis patet. </s><s><lb></lb>Nam consideretur mobile in qui<lb></lb>buslibet punctis B et C. Cum im<lb></lb>petus horizontalis externus sit et <lb></lb>aequabilis erunt CI, BH ut tempora casuum, sed spatia <lb></lb>peracta EC, FB sunt ut cubi temporum, </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 35].<lb></lb>ergo cubi rectarum CI, BH erunt ut EC, <lb></lb>FB, sive ut IA ad AH. </s></p> <p type="main"> <s>Esto parabola quaelibet exempli gratia <lb></lb>cubica [Fig. 35] ABC cuius ad punctum B <lb></lb>quaero tangentem. </s><s>Sumatur ED multiplex <lb></lb>ipsius DA iuxta dignitatem parabolae, hoc <lb></lb>est in casu nostro tripla, et iuncta EB tan<lb></lb>gens erit. </s><s>Nam punctum mobile B quod <lb></lb>parabolam describit in loco B duos impetus <lb></lb>habet alterum horizontalem secundum AF <lb></lb>tangentem, alterum perpendicularem secundum diametrum <pb pagenum="311"></pb>AD, quorum rationem inquiro hoc modo. </s><s>Impetus horizon<lb></lb>talis tempore casus peragit spatium DB, impetus vero per<lb></lb>pendicularis per iam dicta si aequabilis conserveretur tem<lb></lb>pore casus curreret triplum ipsius casus AD spatium, ergo <lb></lb>motus sive directio puncti B, quae componitur ex duabus <lb></lb>velocitatibus quae sunt ut BD ad DE erit iuxta lineam BE. <lb></lb>Propterea BE non secat curvam, sed tangit. </s></p> <p type="main"> <s>Quae vero braevitatis causa exemplificavimus in cubica <lb></lb>dici possent de quacunque parabola. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Pro tangentibus infinitarum parabolarum.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> <arrow.to.target n="marg414"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg414"></margin.target>2.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> foglio.</s></p> <p type="main"> <s>Esto in parabola quaelibet [Fig. 36] AB cuius diameter <lb></lb>BC applicata AC; fiat ut exponens ad unitatem ita DC <lb></lb>ad CB; dico ductam AD esse tangentem. </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 36].</s></p> <p type="main"> <s>Nam quaecumque sit parabola velocitas <lb></lb>puncti mobilis crescit secundum rationem <lb></lb>dignitatis parabolae (hoc est in quadratica <lb></lb>velocitas crescit in ratione duplicata tem<lb></lb>porum, in cubica vero crescit in triplicata <lb></lb>etc.); ergo per iam dicta in praecedenti <lb></lb>folio si mobile A dum est in A per tan<lb></lb>gentem procedat, et recurrat motu aequa<lb></lb>bili debet quo tempore recurrit AC, hoc <lb></lb>est tempore casus, triplam ipsius CB recurrere, ergo tan<lb></lb>gens pertinet ad D. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Habbiamo in ultimo passato dalla generalità alla par<lb></lb>ticolarità della cubica, ma non importa. </foreign></s> <s>Anzi è meglio <lb></lb>portar tutte queste così a modo di esempli. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Pro tangentibus infinitarum parabolarum.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg415"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg415"></margin.target>P.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> foglio.</s></p> <p type="main"> <s>Corollarium parabolarum est. </s><s>Parabolas eiusdem digni<lb></lb>tatis esse inter se ut parallelogramma circumscripta, sive <lb></lb>ut triangula inscripta. </s><s>Nam semper pgram<emph type="sup"></emph>mum<emph.end type="sup"></emph.end> ad cubicam <lb></lb>est ut 4 ad 3, hoc est in eadem ratione, ergo permutando <lb></lb>ut pgram<emph type="sup"></emph>m<emph.end type="sup"></emph.end> ad pgram<emph type="sup"></emph>m<emph.end type="sup"></emph.end> ita parabola ad parabolam. </s></p> <p type="main"> <s>Esto iam quaelibet parabola [Fig. 37] ABC cuius tan<lb></lb>gens AG diameter AD. Dico trilineum AFB ad trilineum <pb pagenum="312"></pb>AGC esse ut dignitas rectae AF ad </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 37].<lb></lb>dignitatem AG, cuius quidem digni<lb></lb>tatis gradus sit proxime sequens post <lb></lb>gradum dignitatis parabolae, sive <lb></lb>unitate maior. </s></p> <p type="main"> <s>Nam parabola ablata AEB ad pa<lb></lb>rabolam ADC est ut totum rectan<lb></lb>gulum EF ad totum DG, ergo reli<lb></lb>quum trilineum ad reliquum trilineum erit ut totum ad <lb></lb>totum, sive ut ablatam ad ablatum, nempe ratio trilinei <lb></lb>AFB ad trilineum AGC componitur ex ratione rectae FB <lb></lb>ad GC, hoc est ex ratione dignitatis parabolae, nempe ex <lb></lb>dignitate AF ad AG, et ex ratione rectae AF ad AG; <lb></lb>ergo trilineum ad trilineum erit ut ductus dignitatis FA <lb></lb>in rectam AF, ad ductum dignitatis GA in rectam AG, <lb></lb>nempe ut dignitas proxime maior. </s><s>Quod volebam etc. </s></p> <p type="main"> <s>Hinc est quod si AH sit extensio temporis, FB vero et <lb></lb>GC sint gradus velocitatis crescentis in aliquo mobili, spatia <lb></lb>peracta erunt ut sunt predicta trilinea, nempe ut sunt om<lb></lb>nes simul gradus velocitatis ad omnes gradus velocitatis. </s></p> <p type="main"> <s>Corollaria sunt haec. </s><s>Si fuerit prima parabola, hoc est <lb></lb>triangulum, erunt trilinea ut sunt quadrata temporum et <lb></lb>velocitas crescet in eadem ratione cum tempore. </s></p> <p type="main"> <s>Si fuerit 2.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> parabola, hoc est quadratica, tunc velocitas <lb></lb>crescet in duplicata ratione temporum, hoc est gradus ve<lb></lb>locitatis crescent ut quadrata temporum; sed trilinea, sive <lb></lb>spatia peracta, erunt ut cubi temporum. </s></p> <p type="main"> <s>Si fuerit 3.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> parabola, hoc est cubica, tunc velocitas <lb></lb>crescet in triplicata ratione temporum, hoc est velocitates <lb></lb>in fine quorumlibet temporum erunt ut cubi temporum; <lb></lb>at trilinea, sive spatia peracta, erunt ut sunt quadrato<lb></lb>quadrata temporum. </s></p> <p type="main"> <s>Si cadat mobile ex quiete et velocitas crescat secun<lb></lb>dum unam ex praedictis rationibus, sitqu. </s><s>tempus casus <lb></lb>[Fig. 38] AB, gradus velocitatis rectae in trilineo ABC, et <lb></lb>post casum temporis AB convertatur mobile per horizon<lb></lb>tem cum ultimo gradu velocitatis BC. Dico decursurum <lb></lb>esse eodem tempore AB spatium quoddam, quod ad de<lb></lb>cursum spatium sit ut dignitas parabolae ad unitatem. </s></p> <pb pagenum="313"></pb> <p type="main"> <s>Nam supponimus aequalia tem</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 38].<lb></lb>pora, nempe casus motus accele<lb></lb>rati, et decursus horizontalis ae<lb></lb>quabilis. </s><s>Gradus vero velocitatis <lb></lb>quos adhibebit in motu aequabili <lb></lb>erunt omnes rectae parallelogram<lb></lb>mi BD, et gradus omnes quos <lb></lb>adhibebit in casu sunt omnes rec<lb></lb>tae trilinei ABC; spatia vero tem<lb></lb>porum aequalium erunt ut omnes gradus velocitatis ad <lb></lb>omnes gradus velocitatis, nempe ut pgram<emph type="sup"></emph>m<emph.end type="sup"></emph.end> BD ad trilineum <lb></lb>AB, hoc est in ratione praedicta. </s><s>Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s> Post quadraturam certe concludit et dicit ratio<lb></lb>nem rectarum ante vero concludit, sed non dicit rationem <lb></lb>[Fig. 39] EGOIM ad GOIC ut HE </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 39].<lb></lb>ad ED, vel ut OG ad OC, et per<lb></lb>mutando ut parabola ad suum tri<lb></lb>lineum, ita ostenditur esse quadri<lb></lb>lineum parabolae ad quadrilineum <lb></lb>trilinei. </s><s>Hinc tangens fiat ut para<lb></lb>bola ad trilineum ita HE ad ED. </s></p> <p type="main"> <s>Dico tangentem esse. </s><s>Nam se<lb></lb>cet (?) si pot, etc. </s></p> <p type="main"> <s>Si secundum Galileum mobile <lb></lb>convertatur per horizontalem et <lb></lb>duplum spatium percurret eodem <lb></lb>tempore. </s><s>Nam si AB sit tempus, <lb></lb>erunt omnes velocitates aequales max.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> duplae omnium <lb></lb>aliarum. </s></p> <p type="main"> <s>Moveatur jam mobile ita ut aditamenta sive incrementa <lb></lb>velocitatum non sint aequalia, et ut ipsa tempora. </s><s>Sed <lb></lb>velocitatum incremento sint ut quadrata temporum. </s><s>Tunc <lb></lb>spatium horizontale peractum erit triplum, et sic semper <lb></lb>ut vides in figura. </s><s>Tunc autem erunt descensus temporum <lb></lb>aequalium deinceps ut cubi ab unitate. </s></p> <pb pagenum="314"></pb> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg416"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg416"></margin.target>P.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> faccia.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma per le tangenti e quadrature <lb></lb>dell'infinite parabole.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Parabolae eiusdem nominis inter se sunt ut parallelo<lb></lb>gramma circumscripta. </s></p> <p type="main"> <s>1. Corollaria erunt, permutando unumquodqu. </s><s>paral<lb></lb>lelogrammum ad suam parabolam semper eandem habere <lb></lb>rationem intellige eiusdem nominis. </s></p> <p type="main"> <s>2. Et parabolas quae fiunt ex segmentis unius para<lb></lb>bolae esse inter se ut sunt ........ </s></p> <p type="main"> <s>Sint parabolae eiusdem nominis </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 40].<lb></lb>[Fig. 40] AB, AC. Ponatur tertia <lb></lb>parabola AD eiusdem nominis, <lb></lb>sitqu. </s><s>AD eiusdem basis cum AC <lb></lb>et eiusdem altitudinis cum AB. </s></p> <p type="main"> <s>Iam dignitas FE ad EG est ut <lb></lb>dignitas PA ad AE, sive ut digni<lb></lb>tas HE ad EI; ergo recta FE ad <lb></lb>EG erit ut recta HE ad EI et hoc <lb></lb>semper. </s><s>Suntqu. </s><s>termini primi or<lb></lb>dinis inter se et tertij inter se aequales; ergo parallelo<lb></lb>grammum AB ad suam parabolam est ut AD ad suam. </s><s><lb></lb>Amplius ML ad LU dignitas est ut dignitas CQ ad UR, <lb></lb>sive DP ad OS sive NL ad LO; ergo etiam lineae ML <lb></lb>ad LU erit ut NL ad LO, et per conversionem rationis <lb></lb>LM ad MU ut LN ad NO et ut supra erit parallelogram<lb></lb>mum AC ad suam parabolam ut AD ad suam. </s><s>Quae vero <lb></lb>sunt eodem eidem inter se sunt ea</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 41].<lb></lb>dem; ergo ut AB ad suam ita AC <lb></lb>ad suam. </s><s>Quod volebam ostendere. </s></p> <p type="main"> <s>Dico quadrilineum [Fig. 41] CBDF <lb></lb>ad quadrilineum GBDE esse ut est <lb></lb>parabola ad suum trilineum. </s></p> <p type="main"> <s>Nam totum GC ad totum EF (per <lb></lb>retroscriptum lemma) est ut ablata <lb></lb>parabola ad ablatum, ergo trilineum GBDA ad EDA erit <pb pagenum="315"></pb>ut parabola BDAC ad DAF, et dividendo, permutandoque, <lb></lb>et demum convertendo constat propositum. </s></p> <p type="main"> <s>Parabolae eiusdem nominis sunt ut parallelogramma <lb></lb>circumscripta. </s></p> <p type="main"> <s>Demonstrabitur vel veteri vel nova ratione. </s><s>Credo de<lb></lb>monstrationem Archimedis posse esse </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 42].<lb></lb>universalem. </s></p> <p type="main"> <s>Hoc posito [Fig. 42] ADCB ad <lb></lb>DICE erit ut ipsum GB ad FE. <lb></lb>Nempe rationem habebit compositam <lb></lb>ex rectae BC ad CE, sive ex digni<lb></lb>tate AB ad DE, et ex rectae AB ad <lb></lb>DE. Ergo parabolae erunt ut digni<lb></lb>tates basium unitate aucte, hoc est in quadratica parabola <lb></lb>erunt parabolae ut cubi basium etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Tangenti all'infinite parabole per via dei massimi.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> <arrow.to.target n="marg417"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><foreign lang="it"><margin.target id="marg417"></margin.target>Ma sta me<lb></lb>glio nella <lb></lb>lettera man<lb></lb>data a <lb></lb>Robervallio.</foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Esto parabola quaelibet, exempli gratia binomia cubi<lb></lb>quadratiqu. [Fig. 43] ABC cui queritur tangens ad A. Fiat <lb></lb>ut exponens applica</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 43].<lb></lb>tarum 3 ad exponen<lb></lb>tem diametralium 2 <lb></lb>ita ED ad DC. Dico <lb></lb>ductam AE non con<lb></lb>currere cum parabola <lb></lb>ad alium punctum <lb></lb>praeter A. Nam si po<lb></lb>test ducatur EA quae <lb></lb>concurrat etiam in B, <lb></lb>appliceturqu. </s><s>BF. </s></p> <p type="main"> <s>Sumatur recta CG <lb></lb>ita ut dignitas BF <lb></lb>aequalis sit ei quod <lb></lb>fit ex dignitatibus FC, CG. In nostro casu erit CG linea, <lb></lb>ita ut cubus AD aequalis sit ei quod fit ex quadrato DC <lb></lb>in rectam CG, eritqu. </s><s>semper CG latus rectum figurae. </s><s><lb></lb>Nam cubus AD ad quemlibet BF est ut quadratum DC <pb pagenum="316"></pb>ad CF; sed solidum quadrati DC in rectam CG ad soli<lb></lb>dum quadrati FC in eamdem CG est ut quadratum DC <lb></lb>ad CF, ergo quae sunt eaedem eidem rationes et antece<lb></lb>dentia facta sunt aequalia, quare et consequentia. </s></p> <p type="main"> <s>Fiat ut ED ad DC, ita EF ad FI. </s></p> <p type="main"> <s>Iam cubus BF ob parabola aequalis est ei quod fit ex <lb></lb>quadrato FC in rectam CG; sed ob rectas lineas aequalis <lb></lb>est etiam (ostendetur postea) ei quod fit ex quadrato FI <lb></lb>ad IH; ergo quod fit ex quadrato FC in rectam CG ae<lb></lb>quale est ei quod fit ex quadrato FI in IH, absurdum nam <lb></lb>EF ad FI ob constructionem est ut 3 ad 2, ergo FI ad <lb></lb>IE ut 2 ad 1 et quod fit ex quadrato FI in rectam IH <lb></lb>maximum omnium. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Nota per sempre che l'egualità de prodotti non s'in<lb></lb>tende se non della medesima specie, cioè che gli esponenti <lb></lb>delle dignità dell'uno e dell'altro facciano la medesima <lb></lb>somma e per brevità gli nomineremo come rettangoli, et <lb></lb>intendi sempre la dignità maggiore messa e nominata in <lb></lb>p.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> luogo. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Quod cubus BF sequetur solido FIH ostendetur hoc <lb></lb>modo. </s><s>Quia factum est ut ED ad DC ita EF ad FI, erit <lb></lb>permutando ut DE ad EF ita DC ad FI. </s></p> <p type="main"> <s>Et quia factum est ut ED ad DC ita EF ad FI, erit <lb></lb>per conversionem rationis DE ad EC ut FE ad EI. </s></p> <p type="main"> <s>Sed EC àd CG est ut EI ad IH, ergo ex aequo ut AE <lb></lb>ad EF ita CG ad IH. </s></p> <p type="main"> <s>Iam cubus AD ad BF rationem habet compositam ex <lb></lb>ratione quadrati AD ad BF sive quadrati DE ad EF, sive <lb></lb>DC ad FI; et ex ratione rectae AD ad BF, vel rectae DE <lb></lb>ad EF, vel rectae CG ad IH; ergo cubus AD ad BF erit <lb></lb>ut productum DCG ad productum FIH. Sed antecedentia <lb></lb>sunt aequalia ergo et consequentia. </s></p> <p type="main"> <s>Crederei meglio porre p.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> questo discorso poi seguitare <lb></lb>la prova. </s></p> <p type="main"> <s>Parabola secat omnes rectas, spiralis vero omnes peri<lb></lb>pherias, ergo totidem sunt utrinqu. </s><s>sectiones; sed unaque<lb></lb>que unicuique sibi respondenti est aequalis ergo omnes <lb></lb>simul omnib. </s></p> <pb pagenum="317"></pb> <p type="main"> <s>Sint radij ut quadrata temporum [Fig. 44] et BC tan<lb></lb>gens erit AC, AC semissis arcus DEB (così credo per hora). </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 44].</s></p> <p type="main"> <s>Pongasi la parabola, che la <lb></lb>dignità diametrale risponda a i <lb></lb>tempi, ma l'applicata ad am<lb></lb>bidue. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="italics"></emph>Demonstratio centri gravitatis cu<lb></lb>iusdam solidi à parabola ge<lb></lb>niti cuius dimidium tantum <lb></lb>depiximus ABCDF.<emph.end type="italics"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Esto parabola quaelibet [Fig. <lb></lb>45] ABC (nos hic facilitatis et <lb></lb>brevitatis causa quadraticam <lb></lb>supponemus), cuius vertex A, <lb></lb>diameter AD, basis vero DC, et <lb></lb>super hac parabola concipiatur cylindricum parabolicum, <lb></lb>cuius oppositae bases sint ABCD, EFG. </s></p> <p type="main"> <s>Intelligaturqu. </s><s>sectum huiusmodi solidum plano ADFH <lb></lb>per diametrum AD, et extre</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 45].<lb></lb>mam ipsius parallelam FH in <lb></lb>opposita base, ducto. </s><s>Quaeri<lb></lb>tur centrum gravitatis alterius <lb></lb>partis puta superioris ABCDF. </s></p> <p type="main"> <s>Circumscribatur ipsi cylin<lb></lb>drico parabolico solidum pa<lb></lb>rallelepipedum AICDGEHF. <lb></lb>Secetur solidum alio plano <lb></lb>HO ubicumque sit, dumodo <lb></lb>plano DE aequidistet, nasce<lb></lb>turque parallelogrammum <lb></lb>BHLM in frusto solidi para<lb></lb>bolici, et parallelogrammum <lb></lb>BMON in quodam solido cuius basis est CIHF, apex <pb pagenum="318"></pb>vero A; huiusmodi solidum vocabimus pyramidale, licet <lb></lb>quatuor tantum ipsius superficies planae sint reliqua vero <lb></lb>curva. </s></p> <p type="main"> <s>His suppositis. </s><s>Esto totum parallelepipedum 12 eritque <lb></lb>cylindricum parabolicum integrum ad reliquam partem ut <lb></lb>basis ad basem ob eandem altitudinem, nempe ut parabola <lb></lb>ABCD ad trilineum externum ABCI, hoc est in nostro <lb></lb>casu ut 8 ad 4. Pars inferior cylindri parabolici ad supe<lb></lb>riorem ABCDF est ut 5 ad 3, ut ostendimus iam pridem. </s><s><lb></lb>Si enim intelligantur duae semiparabolae ad eandem ba<lb></lb>sim CD coniunctae, cum suo solido, atque sectione uti <lb></lb>supra dictum est; erit centrum basis, hoc est duarum se<lb></lb>miparabolarum in recta CD ita secta, ut pars ad C ter<lb></lb>minata sit ad reliquam ut 5 ad 3; ergo etiam solidum <lb></lb>inferius ad superius erit in eo casu ut 5 ad 3. </s></p> <p type="main"> <s>Remanet cylindricum trilineare cuius oppositae bases <lb></lb>sunt ABCI, EPFH, sectum plano AMFH; pars eius infe<lb></lb>rior ad superiorem, quam pyramidale vocamus, est ut <lb></lb>unum ad 3. Si enim intelligantur duo trilinea ad eamdem <lb></lb>rectam AI composita cum suo solido atque sectione, uti <lb></lb>supra explicatum est, erit centrum basis, hoc est duorum <lb></lb>trilineorum, in recta AI ita secta ut pars ad 1 sit ad re<lb></lb>liquam ut unum ad tria (ratio est quia omnes lineae in <lb></lb>trilineo quales sunt IC, NB, etc. </s><s>inter se erunt ut circuli <lb></lb>alicuius coni qui axem habeat AI, et verticem A). Quare <lb></lb>etiam pars inferior ad superiorem erit in eo casu ut 1 <lb></lb>ad 3, ergo sumptis etiam tantum dimidijs in nostro casu <lb></lb>pars inferior ad superiorem, sive ad nostrum pyramidale <lb></lb>CIHFA ut 1 ad 3. </s></p> <p type="main"> <s>Ostensum itaqu. </s><s>est quod si ponatur parallelepipedum <lb></lb>12, pars superior solidi cylindrici parabolici erit 3; itemqu. </s><s><lb></lb>ipsum sibi adiacens pyramidale erit 3; propterea huius<lb></lb>modi solida (quando parabola quadratica fuerit) sunt ae<lb></lb>qualia. </s><s>Caeterum progressio est haec: <lb></lb> </s></p> <table> <row><cell>Pars superior parabolici ..</cell><cell>1, 2, 3, 4, 5, 6</cell></row> <row><cell>Pyramidale ..........</cell><cell>2, 2, 2, 2, 2, 2 etc.</cell></row></table> <p type="main"> <s>Pyramidale CIHFA centrum gravitatis habet in plano <lb></lb>basi parallelo quod quidem planum secet AI rectum in <pb pagenum="319"></pb>ratione quadrupla, nempe ita ut pars quae ad A sit ad <lb></lb>reliquam ut 4 ad 1. Ratio est quia parallelogrammum CH <lb></lb>ad BO rationem habet compositam ex ratione rectae CI <lb></lb>ad rectam BN, sive ex ratione quadrati IA ad AN, ob <lb></lb>parabolam quadraticam, et ex ratione rectae IH ad NO, <lb></lb>sive ex ratione rectae IA ad AN. Quare parallelogram<lb></lb>mum CH ad parallelogrammum BO erit ut cubus IA ad <lb></lb>cubum AN et hoc semper. </s><s>Propterea omnia simul paral<lb></lb>lelogramma, sive ipsum pyramidale, centrum gravitatis ha<lb></lb>bebit in eodem plano, in quo est centrum gravitatis trili<lb></lb>nee externae parabolae cubicae, cum plana pyramidalis <lb></lb>inter se sint ut OINEZE (?) trilinei cubici. </s><s>Trilineum au<lb></lb>tem cubicum centrum gravitatis habet in quadam aequi<lb></lb>distante ipsi IC, quae quidem secet rectam AI in ratione <lb></lb>quadrupla, ut ostenditur in doctrina parabolarum. </s><s>Pro<lb></lb>gressio enim est haec: <lb></lb> <arrow.to.target n="table18"></arrow.to.target><lb></lb>quare centrum gravitatis pyramidalis erit in plano quod <lb></lb>secet tangentem AI in ratione ut 4 ad 1. </s></p> <table> <table.target id="table18"></table.target> <row><cell>in Lineari</cell><cell>Quadratica</cell><cell>Cubica</cell><cell>Quadratica</cell><cell>etc.,</cell></row> <row><cell>2</cell><cell>3</cell><cell>4</cell><cell>5</cell><cell></cell></row> <row><cell>1</cell><cell>1</cell><cell>1</cell><cell>1</cell><cell></cell></row></table> <p type="main"> <s>Ponamus iam omnia corpora à nobis delineata duplicari <lb></lb>etiam ex altera parte ad rectam DC. Ponaturqu. </s><s>rectam <lb></lb>DC esse libram quamdam divisam in quindecim partes ae<lb></lb>quales. </s><s>Centrum aequilibrij prismatis cuius dimidium est <lb></lb>AHFDIC, erit punctum Q in quo libra dividitur in ratione <lb></lb>dupla. </s><s>Magnitudines enim appensae sunt infinita paralle<lb></lb>logramma, quorum unum est HO, inter se eandem ratio<lb></lb>nem servantia quam servant lineae trianguli DCF, quarum <lb></lb>una HL. </s></p> <p type="main"> <s>At centrum aequilibrij duorum pyramidalium quorum <lb></lb>unum est CIHFA erit punctum R, in quo libra dividitur <lb></lb>in ratione quadrupla, uti ante explicatum est; ergo cen<lb></lb>trum aequilibrij reliqui solidi cuius dimidium est ABCDF, <lb></lb>erit S; nempe sumpta QS quae sit aequalis ipsi QR. Cum <lb></lb>demonstraverimus ipsum pyramidale aequale esse solido <lb></lb>ABCDF in parabola quadratica. </s><s>Propterea centrum gravi<lb></lb>tatis solidi propositi erit in recta quae ex puncto S demit- <pb pagenum="320"></pb>titur aequidistanter ipsi CF. Est autem etiam in recta quae <lb></lb>ex D producitur ad punctum medium ipsius CF, ergo in <lb></lb>communi concursu. </s></p> <p type="main"> <s>In nostro caso punctum S secat rectam DC in ratione <lb></lb>8 ad 7. Progressio vero in omnibus parabolis est haec: <lb></lb> </s></p> <table> <row><cell>Lineari</cell><cell>Quad.<emph type="sup"></emph>ca<emph.end type="sup"></emph.end></cell><cell>Cubica</cell><cell>Quadr.<emph type="sup"></emph>ca<emph.end type="sup"></emph.end></cell><cell>etc.</cell></row> <row><cell>6/6</cell><cell>8/7</cell><cell>10/8</cell><cell>12/9</cell><cell>14/10</cell></row></table> <p type="main"> <s>Si quis vero desideret centrum gravitatis etiam partis <lb></lb>inferioris, ipsum habebit per [prop.] 8, lib. pr. <emph type="italics"></emph>Aequipon<lb></lb>derantium;<emph.end type="italics"></emph.end> cum datum sit centrum totius in medio axis <lb></lb>integri solidi, <expan abbr="centrumq.">centrumque</expan> unius partis una cum ratione <lb></lb>partium. </s></p> <p type="main"> <s>Iuxta hunc modum demonstrandi, similemque figuram, <lb></lb>eliciemus rationem omnium conoideorum, omniunqu. </s><s>fuso<lb></lb>rum infinitarum parabolarum ad circumscriptos cylindros; <lb></lb>et hoc per methodum superficierum cylindricarum, conside<lb></lb>rantes quam rationem habet solidum integrum AEHFCD, <lb></lb>vel eius semisissis, ad solidum superius ABCDF. Sunt <lb></lb>enim huius rectangula uti superficies cylindricae conoidus <lb></lb>vel fusi. </s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg418"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg418"></margin.target>Foglio p.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Delle tangenti delle parabole infinite <lb></lb>per lineas supplementares.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Che gli indivisibili tutti sieno eguali fra di loro, cioè i <lb></lb>punti alli punti, le linee in larghezza alle linee e le su<lb></lb> <arrow.to.target n="marg419"></arrow.to.target><lb></lb>perficie in profondità alle superficie, è opinione a giudizio <lb></lb>mio non solo difficile da provarsi, ma anco falsa. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Se siano <lb></lb>due circoli concentrici, e dal centro s'intendano tirate <lb></lb>tutte le linee a tutti i punti della periferia maggiore, non <lb></lb>è dubbio che altrettanti punti faranno i transiti delle li<lb></lb>nee su la periferia minore, e ciascuno di questi sarà tanto <lb></lb>minore di ciascuno di quelli, quanto il diametro è minore <lb></lb>del diametro. </foreign></s> </p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg419"></margin.target>Perchè le li<lb></lb>nee sono ac<lb></lb>cuminate, <lb></lb>ma tirando <lb></lb>una sola li<lb></lb>nea i punti <lb></lb>saranno <lb></lb>eguali.</s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Se nel triangolo [Fig. 46] ABC che abbia il lato AB <lb></lb>maggiore del BC ci immagineremo tirate tutte le infinite <lb></lb>linee parallele alla base AC, tanti saranno i punti stam- <pb pagenum="321"></pb>pati dal segmento su la retta AB, quanti </foreign></s> </p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 46].<lb></lb>su la BC; dunque un punto di quella ad <lb></lb>un punto di questa sta come tutta la li<lb></lb>nea a tutta la linea. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Se saranno due parallelogrammi su la <lb></lb>medesima base [Fig. 47] AB, e da tutti i <lb></lb>punti della AB siano tirate le infinite <lb></lb>linee parallele ai lati, tanto nel parallelogrammo AC <lb></lb>quanto nell' AD, saranno tutte le AC insieme prese eguali <lb></lb>a tutte le AD insieme prese; ma </foreign></s> </p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 47].<lb></lb>sono anco eguali di num.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> (perchè <lb></lb>di qua e di là tante sono le linee <lb></lb>quanti sono i punti in AB); dunque <lb></lb>una è eguale ad una, ma sono disu<lb></lb>gualmente lunghe, adunque benchè <lb></lb>indivisibili sono di larghezza ine<lb></lb>guale, e reciproca alle lunghezze. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Se la retta [Fig. 48] BC segherà due rette AB, AC, che <lb></lb> <arrow.to.target n="marg420"></arrow.to.target><lb></lb>concorrano in A, saranno i punti fra di loro come le rette; <lb></lb>poichè se supporremo ti</foreign></s> </p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg420"></margin.target>Pare la me<lb></lb>desima col <lb></lb>triangolo di <lb></lb>sopra.</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s><foreign lang="it">[Fig. 48].<lb></lb>rate le infinite parallele <lb></lb>alla BC saranno tanti i <lb></lb>punti in BA quanti in CA; <lb></lb>dunque un punto solo della <lb></lb>BA ad un solo dalla CA, <lb></lb>sarà come l'aggregato di <lb></lb>tutti all'aggregato di tutti, cioè come BA alla CA. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>E se i punti e le linee son disuguali così saranno le <lb></lb>linee e le superficie le quali passeranno per detti punti, e <lb></lb>per dette linee. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Quello che dice il Galileo di un punto eguale ad una <lb></lb>linea è vero e nel nostro solido hyperbolico è vero che <lb></lb>l'asse infinitamente lungo è eguale ad una superficie cilin<lb></lb>drica, overo ad un circolo quanto. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Nel parallelogrammo precedente [Fig. 49] ABCD; se <lb></lb> <arrow.to.target n="marg421"></arrow.to.target><lb></lb>prenderemo nel diametro BD qualunque punto E, sarà il <lb></lb>semignomone EBC eguale al semignomone EBA. Ma se <lb></lb>divideremo per mezzo BE nel punto I, sarà il semigno<lb></lb>mone diviso, overo assottigliato IBC eguale al semigno- <pb pagenum="322"></pb>mone assottigliato IBA; e se questa di</foreign></s> </p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg421"></margin.target>Foglio 2.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s><foreign lang="it">[Fig. 49].<lb></lb>visione si farà, o si supporrà fatta infinite <lb></lb>volte, ci ridurremo ad havere in cambio <lb></lb>di semignomoni una linea BC eguale alla <lb></lb>BA; dico eguale di quantità non di lun<lb></lb>ghezza; poichè sebbene indivisibili am<lb></lb>bedue sarà la BC tanto più larga della <lb></lb>BA, quanto questa è più lunga di quella; <lb></lb>et invero se ambedue devono occupare <lb></lb>adeguatamente il punto diametrale B, è <lb></lb>necessario che la CB più prossima ad esser perpendicolare <lb></lb>sia anco più larga della AB, la quale è più inclinata. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Questo <lb></lb>si vede manifesto nella presente figura [Fig. 50], </foreign></s> </p> <figure></figure> <p type="caption"> <s><foreign lang="it">[Fig. 50].<lb></lb>nella quale sia diametro AB, et in esso sia il <lb></lb>punto AC per il quale passino adeguatamente le <lb></lb>due linee AD, AE, è chiaro che acciò la AE lo oc<lb></lb>cupi tutto adeguatamente basta che sia poco larga <lb></lb>per essere inclinatissima, ma la AD per esser vi<lb></lb>cina alla perpendicolare dovrà essere molto più <lb></lb>larga, e questo in proporzione reciproca delle lun<lb></lb>ghezze. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>L'istesso si dice nelle parabole. </s><s>Sia la parabola [Fig. 51] <lb></lb>ABC, e preso qualunque punto B in essa (per le cose pro<lb></lb>vate altrove) sarà la figura BCE alla </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 51]<lb></lb>BCF come l'esponente delle app. </s><s>a <lb></lb>quello delle diametrali. </s> <s><foreign lang="it">Ma se, divisa <lb></lb>per mezzo la FE in I, applicheremo <lb></lb>la ID, sarà la figura DCE alla DCF <lb></lb>nel medesimo modo come l'esponente <lb></lb>all'esponente; et se faremo, o sup<lb></lb>porremo fatta questa div.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> infinite <lb></lb>volte, resteranno in cambio di figure due linee CE, et <lb></lb>CF, le quali, non secondo la longitudine, ma secondo la <lb></lb>quantità, saranno nel medesimo modo come l'esponente <lb></lb>all'esponente. <lb></lb> <arrow.to.target n="marg422"></arrow.to.target></foreign></s> </p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg422"></margin.target>Resolutio.</s></p> <p type="main"> <s>Hora stante queste cose, sia una delle inf. parabole <lb></lb>[Fig. 52] ABC et al punto B devasi dare la tangente. </s> <s><foreign lang="it">Sia <lb></lb>tangente BE, applicata BD et finiscasi la figura DF; et <lb></lb>intendasi che per quel medesimo punto B per il quale <pb pagenum="323"></pb>passa la tangente passino anco adeguata</foreign></s> </p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 52].<lb></lb>mente la BD et la BF. Saranno dunque <lb></lb>BD et BF linee supplementari; e la lun<lb></lb>ghezza ED alla DA sarà come la lunghezza <lb></lb>EB alla BG, overo come la quantità FB <lb></lb>alla BG, overo come la quantità DB alla <lb></lb>BG (per esser FB, et BD supplementari) <lb></lb>cioè come l'esponente all'esponente. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Parabola.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Prima figura [Fig. 53]. </s></p> <p type="main"> <s>Si in parabola duae rectae lineae AB, <lb></lb>CD, se mutuo secent in E, erit ▭<emph type="sup"></emph>lum<emph.end type="sup"></emph.end> AEB, <lb></lb>ad rectangulum CED, ut latus rectum AFB, ad latus (?) <lb></lb>parabolae CFD. Agatur EF parall. </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 53].<lb></lb>diametro. <expan abbr="Eritq.">Eritque</expan> (ut ostendimus <lb></lb>alibi) rectangulum AEB aequale <lb></lb>rectangulo sub EF et latere recto <lb></lb>proprio. </s><s>Item rectangulum CED <lb></lb>aequale rectangulo sub EF et la<lb></lb>tere recto proprio. </s><s>Ergo rectangu<lb></lb>lum AEB, ad rectangulum CED <lb></lb>est, ut propositum est. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Parabola.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si in parabola duae rectae parallelae [Fig. 54] DC, BE, <lb></lb>ab alia recta secentur, erit rect</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 54].<lb></lb>angulum DHC ad rectangulum <lb></lb>BGE, ut rectangulum AHF ad <lb></lb>AGF. </s></p> <p type="main"> <s>Nam ostensum est DHC ad <lb></lb>AHF esse ut latus rectum pa<lb></lb>rabolae DFC ad latus rectum <lb></lb>parabolae ABF. Item rectangu<lb></lb>lum BGE ad rectangulum AGF esse ut latus rectum pa<lb></lb>rabolae BFE, sive DFC, ad latus rectum parabolae ABF; <lb></lb>erit ergo permutando ut propositum est. </s></p> <pb pagenum="324"></pb> <p type="main"> <s>Esto parabola [Fig. 55] ABC cuius sit AD et quarta <lb></lb>pars lateris recti ponatur AD. Deinde sit quaelibet inci<lb></lb>dens EB parallela axi; dico refle</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 55].<lb></lb>xam <expan abbr="quaecumq.">quaecumque</expan> sit, omnino ad <lb></lb>punctum D pertinere. </s><s>Ducatur <lb></lb>enim BD, et nisi reflexa ipsius EB <lb></lb>sit BD, si possibile est, sit alia <lb></lb>quaepiam, puta BF; ducatur tan<lb></lb>gens HBG. Erunt ergo aequales <lb></lb>anguli mixti CBE, ABF ob legem <lb></lb>reflexionis. </s><s>Sed et HBE aequales <lb></lb>est angulo GBD ut ostensum est <lb></lb>a pluribus geometri sine contro<lb></lb>versia, ergo angulus GBD maior <lb></lb>erit angulo ABF; <expan abbr="demptoq.">demptoque</expan> communi ABD, erit reliquus <lb></lb>GBA maior angulo DBF, quod est absurdum, ut infra di<lb></lb>cemus. </s></p> <p type="main"> <s>At si ponamus reflexam non cadere in [Fig. 56] F, sed <lb></lb>in I, ad idem fiat angulus HBL aequalis angulo G impos<lb></lb>sibile deveniemus hoc modo. </s><s>An</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 56].<lb></lb>gulus mixtum ABI aequalis BI. <lb></lb>Iam erit angulo CBE ob legem re<lb></lb>flexionis; at angulus GBI aequalis <lb></lb>est angulo HBL per constructio<lb></lb>nem, ergo GBL maior erit angulo <lb></lb>CBE et dempto communi CBL <lb></lb>erit reliquus HBC maior quam <lb></lb>LBE. Ergo angulus contactus sec<lb></lb>tionis conicae maior esse in <expan abbr="utroq.">utroque</expan> <lb></lb>casu aliquo angulo rectilineo. </s><s>Quod <lb></lb>est impossibile. </s><s>Ostendit enim <lb></lb>Apollonius prop. 35, et 36 libri p.<emph type="sup"></emph>i<emph.end type="sup"></emph.end> <emph type="italics"></emph>Conicarum<emph.end type="italics"></emph.end> quod si recta <lb></lb>linea coni sectionem contingat, in locum qui est intra <lb></lb>sectionem et tangentem altera linea recta non cadet; quod <lb></lb>idem est ac si ostendisset angulum contactum minorem <lb></lb>esse quolibet angulo rectilineo. </s><s>Demonstratio prorsus ea<lb></lb>dem est <expan abbr="atq.">atque</expan> illa quam adhibent expositores in 3.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> <emph type="italics"></emph>Elem.<emph.end type="italics"></emph.end><lb></lb>Euclidis. </s></p> <pb pagenum="325"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>AGGIUNTA D'ALTRI FOGLI TROVATI <lb></lb>DAL N. 236 SINO AL N. 253.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Cicloide.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg423"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg423"></margin.target>Questa è <lb></lb>stampata .</s></p> <p type="main"> <s>Suppositis descriptione. </s></p> <p type="main"> <s>Esto semissis lineae cycloidis [Fig. 57], ABC cuius ba<lb></lb>sis AD, diameter CD, circulus genitor lineae cycloidis sit <lb></lb>CED, eiusq centrum F. Dico spatium ABCD, triplum esse <lb></lb>semicirculi CED et sesquialterum trianguli ACD. </s></p> <p type="main"> <s>Sumantur puncta quaelibet G et H, in diametro CD, <lb></lb>aequaliter distantia à centro F, <expan abbr="ductisq.">ductisque</expan> HI, GL aequi</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 57].<lb></lb>distanter ad AD, concipiamus circulos MIN, OLP aequa<lb></lb>les ipsi DEC, et per punctu I, L transeuntes. <expan abbr="Sintq.">Sintque</expan> dia<lb></lb>metri horum circulorum MN, OP ad basim AD erectae. </s><s><lb></lb>Erunt iam rectae GY, HZ, TL, QI aequales (per 14 Tertij). </s></p> <p type="main"> <s>Iam recta MA aequalis est arcui MI (per naturam cy<lb></lb>cloidis lineae), sive arcui LP, sive rectae PC (ob naturam <lb></lb>cycloidis), sive rectae OD, aequales ergo erunt etiam AS, <lb></lb>CV. Sed aequales sunt etiam AR, CX, ergo aequales sunt <lb></lb>SR, VX, et sit SR ad RQ ita VX ad XT, ergo aequales <lb></lb>sunt RQ et XT. Quamobrem erunt per prostaph. </s><s>duae <lb></lb>rectae RI, XL simul sumptae duobus QI, TL, sive duobus <pb pagenum="326"></pb>HZ, GY simul sumptis aequales. </s><s>Et hoc semper, ubicum<lb></lb>que sumpta fuerint puncto G et H (dummodo aequaliter <lb></lb>à centro distantia), ergo omnes lineae mixtae ACBO ae<lb></lb>quales sunt omnibus lineis semicirculi CED regula AD <lb></lb>sumptis, et figura, fig.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end>; sed triangulum ACD duplum est <lb></lb>semicirculi CED, cum basis AD aequalis sit perife.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> CED <lb></lb>(ob naturam cycloidis); ergo coniuntiu erit totum spatium <lb></lb>cycloidale triplum semicirculi CED. </s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg424"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg424"></margin.target>Questa non <lb></lb>è stampata.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Cycloidis quadratura more antiquorum.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Sed prosequamur eandem quadraturam etiam more an<lb></lb>tiquorum. </s><s>Esto semissis cycloidis lineae [Fig. 58] ABC </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 58].<lb></lb>cuius basis CD, diameter AD, semissis circuli genitoris <lb></lb>AFD, cuius centrum E. </s></p> <p type="main"> <s>Dico spatium ABC sub curva ABC et recta AC com<lb></lb>praehensum aequale esse semicirculo AFD, vel sesquial<lb></lb>terum trianguli ACD. Nisi non sit aequale, erit vel maius, <lb></lb>vel minus. </s><s>Esto primum si fieri potest maius, <expan abbr="ipsiq.">ipsique</expan> spatio <lb></lb>figura <expan abbr="sintq.">sintque</expan> distantia aequalis spatio K. Tum recta ED <lb></lb>bifaria secetur in G et reliqua GD bifariam in H, et hoc <lb></lb>semper fiat donec veniatur ad rectangulum aliquod, puta <lb></lb>HDC quod minus sit semisse spatij K (hoc si fieri potest). <lb></lb>Tum secta DA in partes aequalis ipsi DH ducantur per <lb></lb>puncta sectionum parallelae ad DC; per puncta vero ubi <lb></lb>dictae paralle.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> cycloidem secant aliae parallelae ducantur <pb pagenum="327"></pb>ad ipsum AD. Sic enim fiet ut spatio ABC due figure al<lb></lb>tera inscribatur, altera vero circumscribatur constantes ex <lb></lb>trapetijs aequealtis <expan abbr="unicoq.">unicoque</expan> triangulo. </s></p> <p type="main"> <s>Inscripta nempe constabit ex trapetijs YR, XB, VQ, <lb></lb>TB, SO, MN et triangulo IML; at circumscptr compo<lb></lb>netur ex trapetijs AR, ZB, YQ, XP, VO, TN, SL, <expan abbr="triangu-loq.">triangu<lb></lb>loque</expan> M2C, differentia inter huiusmodi figuras, sunt trape<lb></lb>tium 12, et rectangula LN, OP, QB, cum trapetio RA. <lb></lb>Quae quidem distantia minor est rectangulo CH, <expan abbr="multoq.">multoque</expan> <lb></lb>minor erit spatio K, propterea differentia inter spatium <lb></lb>mixtum ABC et <expan abbr="utramq.">utramque</expan> figuram sive inscriptam, sive <lb></lb>mavis circuscriptam multo minor erit spatio K. Ergo in<lb></lb>scripta figura adhuc maior erit semicirculo AFD. </s></p> <p type="main"> <s>Iam quia duae rectae simul QX, OT, ostens. </s><s>sunt ae<lb></lb>quales duabus 2, 3, 4, 5, erunt QX, 6T, minores quam 2, 3, <lb></lb>4, 5, et ideo rectangulum quod componitur ex trapezijs <lb></lb>aequiangulis ex aequealtis VQ, VY, minus erit quam duo <lb></lb>rectangl. </s><s>E2, ER. Hoc modo procedendo ostenditur figu<lb></lb>ram inscriptam in spatio mixto ABC (excepto triangulo <lb></lb>ILM) minorem esse figura ex rectangulis constante intra <lb></lb>semicirculum descripta. </s><s>Sed cum duae rectae ZR, ML duo<lb></lb>bus 9, 8, H, 7, aequentur, erit sola ML minor duobus 9, 8, <lb></lb>H, 7, et ideo triangulum LIM minus duobus triangulis A98, <lb></lb>DH7 (habet enim et minorem altitudinem). Viceversa igi<lb></lb>tur figura inter spatium mixtilineum ABC descripta minor <lb></lb>est quam figura inter semicirculum descript. </s><s>eadem maior <lb></lb>erat quam semicirculus, ergo semicirculus esset minor <lb></lb>quam inscripta sibi fig.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> totum sua parte. </s><s>Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s>Esto deinde (si fieri potest) spatium mixtum ABC mi<lb></lb>nus semicirculo AFD; <expan abbr="ponaturq.">ponaturque</expan> differentiam aequalem <lb></lb>esse spatio K. <expan abbr="Factaq.">Factaque</expan> simili constructione ut in praece<lb></lb>denti descriptione imperatum est, circumscripto erit ipsi <lb></lb>spatio mixto figura quaedam constans et trapetijs <expan abbr="unicoq.">unicoque</expan> <lb></lb>triangulo ad C terminante, quae figura adhuc maior erit <lb></lb>semicirculo. </s></p> <p type="main"> <s>Iam quia recta PV aequalis est rectae 8E, erunt rectae <lb></lb>PV, EV maiores quam dupla 8E, et ideo rectangulum <lb></lb>ex duobus trapetijs ET, PX aequiangulis, et aequealtis <lb></lb>compositum maius erit rectangulo ex rectangulis 83, 85 <pb pagenum="328"></pb>composit, et hoc modo procedendo semper usque ad tra<lb></lb>petia LS, BZ ostenditur partem figurae circumscriptae <lb></lb>spatio ABC maiorem esse parte figurae circumscriptae se<lb></lb>micirculo. </s><s>Tandem quia RZ, LM aequales sunt duobus <lb></lb>rectis 8, 9, 7H, erunt duae RZ, 2M maiores quam 89 et <lb></lb>7H simul, ideo rectangulum quod. </s><s>componitur ex trapetio <lb></lb>RA <expan abbr="trianguloq.">trianguloque</expan> C2M aequealto et aequiangulo maius erit <lb></lb>duobus rectangulis A8, D7; et sic universa figura spatio <lb></lb>ABC circumscrip. </s><s>maior erit figura quadam semicirculo <lb></lb>circumscrip. </s><s>Sed eadem minor erat semicirculo. </s><s>Necesse <lb></lb>igitur est quod semicirculus maior sit quam circumscripta, <lb></lb>sibi figura pars suo toto. </s><s>Patet ergo quod. </s><s>spatium ABC <lb></lb>aequale est semicirculo etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Quadratura parabolarum suppositis tantum tangentibus et <lb></lb>demonstratione mea quam ad Robervallium misi.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Esto quaelibet parabola [Fig. 59] ABCD in parallelo<lb></lb>grammo ED, cuius tangens CG. Factoqu. </s><s>parallelogrammo <lb></lb>EFGO describatur in eo eiusdem nominis pa</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 59].<lb></lb>rabola AHF. </s></p> <p type="main"> <s>Iam omne parallelogrammo ad suam para<lb></lb>bolam eandem habet rationem, modo parabolae <lb></lb>eiusdem sint nominis. </s><s>Trilineum CBAHF ae<lb></lb>quale est parabolae ABCD per demonstrata. </s></p> <p type="main"> <s>Ergo parabola AHFG ad parabolam ABCD <lb></lb>est ut parallelogrammum ad parallelogram<lb></lb>mum, nempe ut GA ad AD; duplicatis conse<lb></lb>quentibus erit parabola AHFG ad quadrili<lb></lb>neum FCDAHF ut GA ad da bis. </s><s>Componendo <lb></lb>erit parallelogrammum FD ad quadrilineum <lb></lb>ut GD, DA, ad DA bis; et sumptis consequentium subdu<lb></lb>plis, erit parallelogrammum FD ad parabolam ABCD ut <lb></lb>GD, DA ad DA. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>FINE DELL'OPUSCOLO <lb></lb>DE PARABOLIS.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <pb></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>DE CYCLOIDE.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <pb></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>AVVERTIMENTO.<emph.end type="center"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Delle pagine seguenti esistono, nel T. XXXI della raccolta “ <emph type="italics"></emph>Discepoli di Galileo<emph.end type="italics"></emph.end> ”, <lb></lb>oltre l'autografo, una copia eseguita dal Serenai ed un'altra ordinata per la stampa; <lb></lb>sgraziatamente mancano le principali figure illustrative, il che è tanto più da de<lb></lb>plorare in quanto una almeno si riferisce alla cicloide secondaria (od allungata) di <lb></lb>cui negli scritti del Torricelli non esiste altro cenno che quello da lui fattone nella <lb></lb>lettera a Roberval del 1<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> maggio 1644 (queste <emph type="italics"></emph>Opere,<emph.end type="italics"></emph.end> T. III, p. 174). Nella seguente <lb></lb>riproduzione fu ommesso un brano relativo alla cicloide ordinaria che nulla di so<lb></lb>stanziale sembra aggiungere a quanto si legge in altri passi delle <emph type="italics"></emph>Opere.<emph.end type="italics"></emph.end></foreign></s> </p> <pb></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>DE CYCLOIDE <emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Esto cyclois quaelibet secundaria ABCD , ducatur<lb></lb>que recta AD (quae in cycloidibus valde oblongis secabit <lb></lb>cycloidem, sed nihilo minus demonstratio universalis est) <lb></lb>tum circa centrum P duobus punctis EF aequaliter a cen<lb></lb>tro remotis applicentur EC, FB, et per puncta C, B tran<lb></lb>seant periphaeriae circuli genitoris, cujus diametri por<lb></lb>tiones sint QN, LG. Iam patet quod arcus QC, BL sunt <lb></lb>aequales, cum rectae DE, FR ponantur aequales. </s><s>Sed recta <lb></lb>AL ad totam AR est ut arcus BL ad totam semiperiphe<lb></lb>riam ob naturam cycloidis, sive ut arcus QC ad totam <lb></lb>semiperipheriam ob aequalitatem, sive ut recta QD ad to<lb></lb>tam AR ob naturam cycloidis. </s><s>Ergo aequales sunt AL, QD, <lb></lb>et ideo aequales AG, DN. Sed aequales sunt AI, DO, cum <lb></lb>aequales sint DE, FR; ergo reliquae IG, NO aequales sunt. </s><s><lb></lb>Et ideo in triangulis similibus aequales erunt et IH, MO, <lb></lb>additisque BI, CM utrinque, erunt BH, CM, nempe duo <lb></lb>sinus semicirculi aequales duobus rectis BI, CO in figura <lb></lb>bilineari, ac proinde omnes omnibus quando recta AD non <lb></lb>secat. </s><s>Quando vero secat cycloidem semper demonstratur, <lb></lb>uti factum est supra, recta ST aequalis rectae MO (ani<lb></lb>madverte quod sumemus rectas MO, MC vice aliarum li<lb></lb>nearum descriptarum ad figurae confusionem); ergo ad- <pb pagenum="332"></pb>ditis aequalibus erit CO aequalis ipsis TS, SV, et insuper <lb></lb>lineam TV, nempe bilineum XD, continet semicirculum <lb></lb>genitorem, et insuper bilineum AX. Ergo semicirculus <lb></lb>genitor cum bilineo AX aequalis est bilineo XD, addito<lb></lb>que communi spatio AVXGNDR erit triangulum ADR <lb></lb>una cum semicirculo aequale ipsi semicycloidi. </s><s>Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s>Quando linea AD non secat facilior demonstratio est, <lb></lb>nam unicum tantum bilineum oritur ut in primaria, sta<lb></lb>timque concluditur bilineum aequale semicirculo, ideoque <lb></lb>addito communi triangulo erit triangulum inscriptum una <lb></lb>cum semicirculo aequale semicycloidi. </s></p> <p type="main"> <s>Conclusio debet esse haec. </s><s>Quaelibet cyclois aequalis <lb></lb>est circulo genitori una cum triangulo super eadem basi, <lb></lb>et sub eadem altitudine cum ipsa constituto. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Cycloidis Quadratura more Antiquorum.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Sed prosequamur eamdem quadraturam etiam more an<lb></lb>tiquorum. </s><s>Esto semissis cycloidis lineae ABC, cujus basis <lb></lb>CD, diameter AD, semissis circuli genitoris AFD cujus <lb></lb>centrum E. </s></p> <p type="main"> <s>Dico spatium ABC sub curva ABC et recta AC com<lb></lb>prahensum aequale esse semicirculo AFD . <lb></lb>.................................... </s></p> <p type="main"> <s>Quoad tangentes vero haec erit demonstratio universa<lb></lb>lis pro primaria, et pro aliis omnibus . </s></p> <p type="main"> <s>Quaeratur tangens ad punctum C per quod agatur pe<lb></lb>ripheria circuli genitoris, et ad peripheriam sit tangens CY. <lb></lb>Iam punctum C in cycloide duos habet impetus, alterum <lb></lb>secundum rectam CE, alterum secundum peripheriam CQ, <lb></lb>sive ipsius tangentem CY estque impetus secundum CE <lb></lb>ad impetum secundum CY ut recta AR ad peripheriam <lb></lb>semicirculi genitoris. </s><s>Fiat ergo ut peripheria semicirculi <lb></lb>genitoris ad rectam AR basim semicycloidis, ita CY ad <pb pagenum="333"></pb>YZ, et ducta ZC erit tangens. </s><s>Nempe impetus compositus <lb></lb>puncti C, hoc est ductus ipsius cycloidis in C erit secun<lb></lb>dum rectam CZ, non ergo se secabunt. </s></p> <p type="main"> <s>Semiellipsis ad semicirculum, </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 1].<lb></lb>cujus semidiameter [Fig. 1] CB est <lb></lb>ut AB ad BC. Ergo quadrans el<lb></lb>lipsis factus ad semicirculum, cujus <lb></lb>diameter BC, erit ut semissis AB <lb></lb>ad 1/4BC, sive ut AB ad 1/2BC, <lb></lb>sumptisque consequentium triplis <lb></lb>erit quadrans ellipsis ad quadra<lb></lb>tum cycloidis ut AB ad sesquialteram BC, sive ut 2/3 <lb></lb>rectae AB ad BC, sive ut 1/3 peripheriae circuli ad dia<lb></lb>metrum. </s></p> <p type="main"> <s>Spatium cycloidale primarium ad semiellipsim eamdem <lb></lb> <arrow.to.target n="marg425"></arrow.to.target><lb></lb>basim, eamdemque altitudinem habentem, est ut diameter <lb></lb>alicujus circuli ad tertiam partem peripheriae ejusdem, <lb></lb>sive ut altitudo cycloidis ad 1/3 basis ejusdem etc. </s></p> <p type="margin"> <s><foreign lang="it"><margin.target id="marg425"></margin.target>Da porre fra <lb></lb>le cicloidali.</foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Passione della cycloide.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Data cycloide [Fig. 2] ABC cujuscumque circuli, da<lb></lb>toque alterius circuli arcu DE, ipsi DE rectam aequalem <lb></lb>invenire. </s></p> <p type="main"> <s>Esto centrum circuli genitoris F, ductaque FB paral</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 2].<lb></lb>lela ad CL, fiat angulus AFG angulo EHD aequalis, et <lb></lb>ducta GK aequidistanter ad FB compleatur parallelogram<lb></lb>mum FK, et producatur AI, sectaque AO aequali radio <pb pagenum="334"></pb>EH ducatur OP parallela ad FI. Dico OP aequalem esse <lb></lb>arcui DE. </s></p> <p type="main"> <s>Ducatur per I recta MIN aequidistans ipsi FL, et quia <lb></lb>tam KI aequalis est GF, quam IM aequalis FL erunt ae<lb></lb>quales inter se KI, IM. Describatur itaque centro I cir<lb></lb>culus genitor per puncta K et M, eritque (ob naturam <lb></lb>cycloidis lineae) peripheria MKN aequalis rectae CL at <lb></lb>peripheria MK aequalis est ob eamdem causam rectae MC. <lb></lb>Ergo reliqua KN reliquae rectae ML aequalis erit, et <lb></lb>sumptis aequalibus, arcus AG rectae FI aequalis erit. </s></p> <p type="main"> <s>Iam arcus AG ad ED (ob angulos ad centrum aequales) <lb></lb>est ut radius AF ad EH, sive ut AF ad AO, sive ut FI ad <lb></lb>OP, sed antecedentia sunt aequalia, ergo et consequentia. </s><s><lb></lb>Nempe arcus ED rectae OP aequalis est. </s><s>Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>FINE DEL BRANO <lb></lb>DE CYCLOIDE.<emph.end type="center"></emph.end></foreign></s> </p> <pb></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>DE HEMHYPERBOLA LOGARITMICA.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <pb></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>AVVERTIMENTO.<emph.end type="center"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Anche della seguente scrittura si trovano, nel T. XXXI dei “ <emph type="italics"></emph>Discepoli di Galileo<emph.end type="italics"></emph.end> ”, <lb></lb>oltre l'autografo due copie, una delle quali di mano del Serenai. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Della curva ivi <lb></lb>studiata (che è quella chiamata oggi <emph type="italics"></emph>Curva logaritmica<emph.end type="italics"></emph.end>) parla il Torricelli nella let<lb></lb>tera scritta a B. Cavalieri addì 15 agosto 1647 ed in quella diretta nove giorni ap<lb></lb>presso a M. A. Ricci (v. </foreign></s> <s><foreign lang="it">la presente edizione T. III, p. 466 e 473). </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Il lavoro in discorso fu per la prima volta dato alle stampe nella memoria: <lb></lb>G. LORIA, <emph type="italics"></emph>Le ricerche inedite di Evangelista Torricelli sopra la curva logaritmica<emph.end type="italics"></emph.end> (Biblio<lb></lb>theca mathematica, III Folge, I Bd., Leipzig 1900, p. 74-89). </foreign></s> </p> <pb></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>DE HEMHYPERBOLA LOGARITMICA<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Hemhyperbola.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Est quaedam linea curva [Fig. 1] ABC, celeberrimam <lb></lb>habens, et in Geometria frequentissimam passionem pro <lb></lb>definitione quae quidem curva ex </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 1].<lb></lb>utraque parte caret fine, unicam<lb></lb>que habet asymptoton HD (hinc <lb></lb>est quod eam semhyperbolam no<lb></lb>minavimus) ad quam semper ac<lb></lb>cedit et numquam cum ea conve<lb></lb>nit; habetque convexum universum <lb></lb>ad easdem semper partes, nempe <lb></lb>versus asymptoton. </s><s>Dabimus ali<lb></lb>quando ipsam definitionem, si theoremata placuerint. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>THEOR.<emph type="sup"></emph>A<emph.end type="sup"></emph.end> P<emph type="sup"></emph>US<emph.end type="sup"></emph.end>.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si huiusmodi linea sumatur punctum quodlibet [stessa <lb></lb>Fig.] A, ex equo AE sit tangens, AH vero ad asymptoton <lb></lb>perpendicularis. </s><s>Erit universa figura plana ABFH, quae <lb></lb>sub linea curva, eiusque asymptoto, et recta AH com<lb></lb>prehenditur, dupla trianguli AEH. — Si vero sumatur <lb></lb>quodlibet aliud punctum C, ex quo CD ad asymptoton <lb></lb>sit erecta, CI vero parallela, erit quadrilineum mixtum <lb></lb>ACDH duplum trianguli AIH. </s></p> <pb pagenum="338"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>THEOR.<emph type="sup"></emph>A<emph.end type="sup"></emph.end> 2<emph type="sup"></emph>M<emph.end type="sup"></emph.end>.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>At si universa figura convertatur circa asymptoton HD, <lb></lb>erit solidum acutum sine fine longum, factum ex revolu<lb></lb>tione semhyperbolae sesquialterum coni qui a triangulo <lb></lb>AEH describitur circa axem HE. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Hemihyperbolae definitio:<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si fuerit quaedam linea [Fig. 2] ABC quae omnes <lb></lb>rectas perpendiculares ad lineam DE equalibus intervallis <lb></lb>inter se distantes secet in continua </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 2].<lb></lb>proportione geometrica, lineam illam <lb></lb>ABC hemihyperbolam voco, rectam <lb></lb>vero de eius asymptoton quae qui<lb></lb>dem unica erit. </s><s>Descriptio figurae <lb></lb>facilis erit: ponatur recta linea DE <lb></lb>sine fine longa ex utraque parte; in <lb></lb>ea sumantur duo puncti quolibet D, <lb></lb>E; eriganturque duae perpendiculares <lb></lb>inequales DA et EC. Tum secta DE <lb></lb>bifariam in F erigatur perpendicularis FB media inter <lb></lb>DA, EC; sectisque iterum partibus bifariam in G et M <lb></lb>erigantur GH, MN utraque media inter proximas. </s><s>Atque <lb></lb>haec divisio fiat quotiescumque libuerit; denique per ex<lb></lb>trema puncta reperta ALHBNC ducatur linea quam hem<lb></lb>hyperbolam appellamus, ob similitudinem unicamque quam <lb></lb>tantum habet asymptoton. </s></p> <p type="main"> <s>Poterat appellari etiam linea logarithmica, sive Nepe<lb></lb>riana. </s><s>Utramque enim speciem logarithmorum eorumque <lb></lb>affectiones statim videndas offert. </s></p> <p type="main"> <s>Posita enim [Fig. 3] hemihyperbola ABCDEFGH cuius <lb></lb>asymptotos IL. Certum est neque minimam, neque maxi<lb></lb>mam applicatarum dari posse; ergo proposita quacumque <lb></lb>sive exigua sive immensa linea recta, erit quaedam ex <lb></lb>applicatis propositae lineae aequalis. </s></p> <p type="main"> <s>Ponatur ergo quaedam applicata LH pro unitate; et <lb></lb>LM ipsius multiplex quantumcumque libuerit pro maximo <pb pagenum="339"></pb>numero absoluto Tabulae, </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 3].<lb></lb>completoque rectangulo <lb></lb>ILMA, ducantur ex singulis <lb></lb>punctis HNOP etc. </s><s>rectae ad <lb></lb>asymptoton parallelae. </s></p> <p type="main"> <s>His peractis erit unitatis <lb></lb>LH logarithmus nullus. </s><s>Bina<lb></lb>rij vero LN logaritmus erit <lb></lb>NG, ternarij autem LO erit <lb></lb>logaritmus OF, quaternarij <lb></lb>erit PE et sic semper usque ad maximum tabulae numerum <lb></lb>LM cuius logaritmus est MA. Altera vero species logarit<lb></lb>morum erunt complementa illorum qui iam explicati sunt. </s></p> <p type="main"> <s>Nempe maximi numeri absoluti IA erit logaritmus <lb></lb>nullus, numeri vero IQ logaritmus erit QB, at numeri IR <lb></lb>logaritmus erit RC, et numeri IS erit logaritmus SD, etc. </s><s><lb></lb>unitas tandem IT logarithmum habebit omnium maximum <lb></lb>TH. Hinc manifestum est data una tantum ex eodem sem<lb></lb>per numero specie logarithmorum quaecumque sit alium <lb></lb>construi posse per solam subtractionem, subtrahendo sci<lb></lb>licet singulos logarithmos. </s><s>Neque quicquam refert ex quo<lb></lb>nam numero subtractionem instituas. </s><s>Potest si subductio <lb></lb>fieri, sive ex numero qui aequalis sit maximo datorum lo<lb></lb>garitmorum; sive ex maiori quantum libuerit. </s><s>Virtus enim et <lb></lb>efficacia logaritmorum in solis eorum differentiis consistit. </s></p> <p type="main"> <s>Ponantur quotcumque </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 4].<lb></lb>rectangula [Fig. 4] AB, CD, <lb></lb>etc. </s><s>quorum ultimum sit EF, <lb></lb>super basibus deinceps ae<lb></lb>qualibus constituta quarum <lb></lb>primae sint GB, BD. Sint <lb></lb>praedicta rectangula in geo<lb></lb>metrica continuata propor<lb></lb>tione inter se, auferanturque <lb></lb>semper sequens a praece<lb></lb>denti, nempe ad ultimum <lb></lb>EF, ex quo auferatur IF <lb></lb>aequale ei quod sequeretur in progressione rectangulorum <lb></lb>AB, CD si continuaretur ulterius. </s><s>His peractis producatur <pb pagenum="340"></pb>MI in O, iunctaque AC et producta, conveniat cum MO <lb></lb>in P et ducta per P perpendiculari QPR compleatur rect<lb></lb>angulum AGQR. Dico rectangulum AGQR omnibus positis <lb></lb>rectangulis AB, CD, VS, TY, EF aequale esse. </s><s>Omnes <lb></lb>enim differentiae AC, CV, VT, TE, EM simul sumptae ae<lb></lb>quales sunt rectangulo AK, quod quidem ostenditur more <lb></lb>solito apud Geometras usitato hoc modo. </s><s>Rectangulum <lb></lb>ME aequale est ipsi EZ, sumptoque communi ET erunt <lb></lb>ME, ET aequalia ipsi IT, sive ipsi TX, sumptoque com<lb></lb>muni TV, erunt ME, ET, TV aequalia ipsi VZ, sive ipsi <lb></lb>VK sumptoque communi VC, erunt ME, ET, TV, VC ae<lb></lb>qualia ipsi CX sive ipsi CO, et sumpto tandem communi <lb></lb>CA erunt omnia ME, ET, TV, VC, CA aequalia ipsi AK. </s></p> <p type="main"> <s>Iam rectangula AB, CD, VS etc. </s><s>sunt in continua pro<lb></lb>portione, ergo AB ad BH est ut CD ad DI, et per con<lb></lb>versionem rationis BA ad AC erit ut DC ad CV. et hoc <lb></lb>verum erit semper usque ad ultimum. </s><s>Ergo per 12 quinti <lb></lb>Euclidis omnia rectangula AB, CD, VS, TY, EF ad omnes <lb></lb>differentias AC, CV, VT, TE, EM, sive ad unicum rectan<lb></lb>gulum AK, erunt ut unum ad unum, hoc est ut BA ad <lb></lb>AC, et permutando omnia praedicta rectangula ad BA <lb></lb>erunt ut AK ad AC, sive ut recta OA ad AH, nempe ut <lb></lb>PO ad CH sive ut rectangulum AGQR ad rectangulum <lb></lb>BA. Propterea aequale est rectangulum AGQR omnibus <lb></lb>praedictis rectangulis. </s><s>Quod erat demonstrandum. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollarium.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Ostendimus iam rectangulum AGQR aequale esse omni<lb></lb>bus rectangulis AB, CD, VS, TY, EF. Si ergo aequalia <lb></lb>demantur nempe rectangulum AK, omnesque differentiae <lb></lb>ACVTEM, reliquus gnomon OBR aequalis erit reliquis <lb></lb>omnibus rectangulis CG, VB, TD, ES, MY. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Propagatio tangentium in hemihyperbola<emph.end type="italics"></emph.end> .<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Data unica tangente dantur omnes. </s></p> <p type="main"> <s>Esto hemihyperbola cuius data sit tangens unica [Fig. 5] <lb></lb>AD et per A sit applicata AB, asymptotos vero BC. <pb pagenum="341"></pb>Sumpto deinde quolibet puncto E </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 5].<lb></lb>applicetur EF, et ipsi BD ponatur <lb></lb>aequalis FC. Dico EC tangens esse. </s></p> <p type="main"> <s>Nam, nisi sit tangens, erit tan<lb></lb>gens aliqua alia linea, puto EI. <lb></lb>Ducatur ex E recta EO parallela <lb></lb>asymptoto, et iungatur LB. </s></p> <p type="main"> <s>Iam tota universa figura plana <lb></lb>AVB dupla est totius trianguli <lb></lb>ADB. Ablatum etiam quadrilineum AEFB duplum est (ex <lb></lb>demonstratione iam scripta) trianguli ALB, ergo reliqua <lb></lb>figura sine fine longa EVF dupla erit reliqui trianguli BLD, <lb></lb>sive trianguli FEC, sunt enim in basibus aequalibus et in<lb></lb>ter easdem parallelas. </s><s>Sed, cum EI ponatur tangens et EF <lb></lb>applicata sit, erit eadem universa figura plana EVF ex de<lb></lb>monstratis dupla trianguli FEI, propterea triangula FEC, <lb></lb>FEI aequalia erunt. </s><s>Quod est absurdum. </s><s>Erit ergo ipsa EC <lb></lb>tangens. </s><s>Quod erat etc. </s></p> <p type="main"> <s>Ex hoc elici potest cuinam solido aequale sit frustum <lb></lb>solidi acuti. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO.<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> <arrow.to.target n="marg426"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg426"></margin.target>In figura re<lb></lb>troscripta.</s></p> <p type="main"> <s>Convertatur retroscripta figura circa asymptoton. </s><s>Et <lb></lb>erit solidum universum factum a figura AVB sesquialte<lb></lb>rum coni ADB; ablatum vero solidum ex EVF sesquial<lb></lb>terum est coni ex ECF ob tangentem EC, sive coni ex <lb></lb>ODB qui idem est; ergo reli</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 6].<lb></lb>quum frustum quod fit ex ABFE <lb></lb>aequale erit [sesquialtero] reli<lb></lb>quo coni ADB dempto cono <lb></lb>ODB. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Per misurare il solido circa <lb></lb>asymptoton alio modo. </foreign></s> <s>Siano <lb></lb>equali intervalli [Fig. 6] ABCDE <lb></lb>etc. </s><s>et siano 3 continue FD, GD, <lb></lb>ID, item HE, LE, ME etc. </s><s>dico <lb></lb>che OIM è una linea logaritmica <lb></lb>overo semiperbola. </s><s>Poichè recta ID ad ME est ut ▭ FDI <pb pagenum="342"></pb>ad HEM ob aequalem altitutidem nempe est quadratum <lb></lb>GD ad LE. Et hoc semper. </s><s>Ergo rectae ID, ME sunt ut <lb></lb>quadratum GD, LE, ergo erunt continuae; et linea erit <lb></lb>logaritmica. </s><s>Eruntque circuli ut linee, nempe solidum ut <lb></lb>planum. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PRIMA PARS.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Misura del quadrilineo misto.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Esto hyperbola monoasymptota cuius asymptotos [Fig. 7] <lb></lb>AD , maxima applicata AC, tangens vero CL, et suma<lb></lb>tur quaelibet alia appli</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 7].<lb></lb>cata, puta DE, ducaturque <lb></lb>EF parallela asymptoto, et <lb></lb>occurrent tangenti in L. </s></p> <p type="main"> <s>His peractis applicetur <lb></lb>per L recta HLM. Dico qua<lb></lb>drilineum mixtum CADE <lb></lb>contentum sub hyperbola, <lb></lb>asymptoto, duabusque appli<lb></lb>catis, aequale esse rectan<lb></lb>gulo CAHM. Nisi enim ita <lb></lb>sit erit rectangulum CAHM <lb></lb>vel minus vel majus praedicto quadrilineo mixto. </s><s>Sit pri<lb></lb>mum, si possibile est, minus, et ponatur rectangulum <lb></lb>MHPN minus defectu quo rectangulum deficit a quadri<lb></lb>lineo mixto, et erit totum rectangulum CAPN adhuc mi<lb></lb>nus praedicto quadrilineo mixto CADE. Iungatur recta <lb></lb>CO, quae omnino secans erit, cum CL sit ultima inclina<lb></lb>tarum ex puncto C, et non secantium secet ergo in Z, et <lb></lb>agatur ZY parallela asymptoto. </s><s>Tum secetur AD bifariam, <lb></lb>eiusque partes iterum bifariam, atque hoc fiat semper <lb></lb>donec veniamus ad aliquam sectionem puta AQ minorem <lb></lb>quam sit ZY; quo facto secetur tota AD in partes ae<lb></lb>quales ipsi AQ, statuanturque singulae partes pro lateribus <lb></lb>totidem rectangulorum circa quadrilineum mixtum CADE <pb pagenum="343"></pb>descriptorum; et sit ex huiusmodi rectangulis primum <lb></lb>CAQB cuius latus QB secet hyperbolam in I. Ducatur CI <lb></lb>quae omnino cadet intra rectas CL, CZ, occurratque ipsi <lb></lb>LO in puncto V et applicetur RVT. Iam figura rectilinea <lb></lb>circumscripta circa quadrilineum mixtum CADE, quae con<lb></lb>stat ex rectangulis aequealtis quorum primum est CAGB, <lb></lb>aequalis est rectangulo CART; ergo minor est rectangulo <lb></lb>CAPN rectangulorum vero CAPN minus erat quadrilineo <lb></lb>mixto CADE, ergo multo magis figura circumscripta mi<lb></lb>nor erit suo quadrilineo cui circumscribitur; nempe totum <lb></lb>sua parte minus erit. </s><s>Quod est absurdum. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>2<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> PARS.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Sit idem quadrilineum mixtum [Fig. 8] CADE tangens <lb></lb>CL, et per punctum L applicata HM quae faciat rectan<lb></lb>gulum CAHM. Ostendimus </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 8].<lb></lb>iam in prima parte rectangu<lb></lb>lum CAHM non esse minus <lb></lb>quadrilineo mixto CADE. <lb></lb>Sit ergo, si possibile est, <lb></lb>rectangulum CAHM maius <lb></lb>quadrilineo mixto CADE, <lb></lb>auferatur a toto rectangulo <lb></lb>CAHM rectangulum aliquod <lb></lb>CAPN minus excessu quo <lb></lb>totum rectangulum superat <lb></lb>quadrilineum mixtum; et <lb></lb>erit reliquum rectangulum NPHM adhuc maius quadrilineo <lb></lb>mixto CADE. Secetur recta AD bifariam, atque iterum <lb></lb>bifariam, et hoc fiat semper, donec veniamus ad segmen<lb></lb>tum aliquod AQ minus quam sit AP. Tunc enim intelli<lb></lb>gatur tota recta AD secta in partes aequales ipsi AQ, quae <lb></lb>singulae statuantur latera totidem rectangulorum intra <lb></lb>quadrilineum mixtum inscriptorum, et aequales altitudines <lb></lb>habentium, et sit ex huiusmodi rectangulis primum YAQI; <lb></lb>ducaturque CI et producatur usque in V, et per V appli<lb></lb>cetur RVT. Iam rectangulnm NPHM maius est per con<lb></lb>structionem quadrilineo mixto CADE, ergo idem rectan- <pb pagenum="344"></pb>gulum NPHM multo maius erit quam figura intra quadri<lb></lb>lineum inscripta ex rectangulis aeque altis constans, quo<lb></lb>rum primum est YAQI; sed huiusmodi figura inscripta <lb></lb>aequalis est gnomoni FRB; propterea rectangulum NPHM <lb></lb>maius erit gnomone FRB, nempe pars maior erit suo toto. </s><s><lb></lb>Quod est absurdum. </s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg427"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg427"></margin.target>Il quale <lb></lb>credo che <lb></lb>non vi <lb></lb>occorra.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Esto parabola [Fig. 9] ABC cuius diameter AD, secans <lb></lb>vero aliqua CB, quae cum diametro conveniat in E, ordi<lb></lb>natimque ducantur CD, BI. Dico </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 9].<lb></lb>rectas DA, AE, AI esse in continua <lb></lb>proportione. </s></p> <p type="main"> <s>Sumatur AL media proportionalis <lb></lb>inter AI, ID, eruntque differentiae <lb></lb>IL, LD in eadem ratione cum ipsis <lb></lb>lineis, nempe IL ad LD, erit ut LA <lb></lb>ad AD, et componendo ID ad DL <lb></lb>erit ut LA, AD simul ad AD. Quod <lb></lb>memento. </s><s>Iam quadratum DE ad <lb></lb>quadratum EI erit ut quadratum DC ad quadratum IB, <lb></lb>sive ut recta DA ad AI ob parabolam, sive ut quadratum <lb></lb>DA ad AL quadratum ob tres proportionales. </s><s>Ergo et <lb></lb>latera quadratorum proportionalia erunt, nempe recta DE <lb></lb>ad EI erit ut DA recta ad recta AL, et permutando tota <lb></lb>DE ad totam DA erit ut ablata EI ad ablatam AL; quam<lb></lb>obrem reliqua ID ad reliquam DL erit ut tota DE ad <lb></lb>DA. Sed etiam LA, AD simul ad eandem DA erat ut ID <lb></lb>ad DL, propterea aequalis est recta DE rectis LA, AD, <lb></lb>simul sumptis; sed DA communis est, ergo AE aequalis <lb></lb>est ipsi AL, nempe media inter DA, AI. Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Che il solido acuto sia uguale al cilindro.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Esto hyperbola monasymptota, cuius asymptotos [Fi<lb></lb>gura 10] AB, maxima vero applicata AC, tangens CD, et <lb></lb>secetur recta AD bifariam in E, compleaturque rectangulum <pb pagenum="345"></pb>CAE. Dico solidum hyperbo</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 10].<lb></lb>licum sine fine longum fac<lb></lb>tum circa axem AB aequale <lb></lb>esse cylindro circa eundem <lb></lb>axem facto ex revolutione <lb></lb>rectanguli ACFE. </s></p> <p type="main"> <s>Nam si ita non est, erit <lb></lb>solidum hyperbolicum vel <lb></lb>maius, vel minus cylindro <lb></lb>praedicto ab AF facto. </s></p> <p type="main"> <s>Sit primo solidum hyper<lb></lb>bolicum maius cylindro ex <lb></lb>AF facto, si possibile est. </s><s>Ergo cylindrus ab AF factus <lb></lb>minor erit quam dictum solidum: ponatur cylindribus ex <lb></lb>EH minor defectu, eritque totus cylindrus ex AH adhuc <lb></lb>minor solido hyperbolico. </s><s>Fiat circa diametrum AG para<lb></lb>bola quae transeat per punctum C. Manifestum est parabo<lb></lb>lam hanc hyperbolamque se mutuo intersecare in aliquo <lb></lb>puncto praeter ipsum C. Si enim sumamus quamcunque <lb></lb>rectam GB minorem quam GA, et iungamus CB, cadet <lb></lb>omnino aliqua pars parabolae extra rectam CB versus IV, <lb></lb>quia GB minor est quam GA, et ideo CB secans. </s><s>Sed cum <lb></lb>CD sit tangens hyperbolae, hoc est ultima inclinatorum, <lb></lb>secabit omnino recta CB ipsam hyperbolam, atque aliquod <lb></lb>ipsius segmentum cadet versus punctum A, unde certum <lb></lb>est parabolam atque hyperbolam non solum in puncto C <lb></lb>convenire, sed in alio etiam puncto, quod sit I. Agantur <lb></lb>ergo per I recta LIN ordinatim applicata, et secans CIB <lb></lb>atque IM parallela asymptoto AB. Concipiatur iam circa <lb></lb>universam hyperbolam descriptam esse figuram ex paral<lb></lb>lelogrammis aeque altis constantem, quorum primum sit <lb></lb>CALN; secundum vero aequale erit ipsi MALI; tum in<lb></lb>telligatur universa huiusmodi figura converti circa axem <lb></lb>AB ita ut ex rectangulis fiant totidem cylindri aequealti <lb></lb>nostro hyperbolico solido circumscripti, quorum primus erit <lb></lb>factus ex CALN, secundus vero aequalis erit cylindro facto <lb></lb>ex MALI, eruntque omnes infiniti numero cylindri inter <lb></lb>se in continua proportione geometrica; et erit prima dif<lb></lb>ferentia solidum armillare factum ex revolutione rectan- <pb pagenum="346"></pb>guli CMIN circa axem AB. Iam cylindrus ex CAGH ad <lb></lb>cylindrum ex NLGH in eadem basi est ut altitudo AG <lb></lb>ad altitudinem GH, sive ut quadratum CA ad quadratum <lb></lb>IL ob parabolam, nempe ut circulus ex CA ad circulum <lb></lb>ex IL, sive ut cylindrus ex CALN ad cylindrum ex MALI; <lb></lb>ergo per conversionem rationis cylindrus ex CAGH ad cy<lb></lb>lindrum ex CALN, qui est primus terminus geometricae <lb></lb>progressionis, ita cylindrus ex CALN primus terminus, ad <lb></lb>differentiam, quae est inter cylindros factos ex CALN, et <lb></lb>ex MALI, quae quidem prima differentia progressionis est. </s><s><lb></lb>Ergo cylindrus ex CAGH aequalis est aggregato omnium <lb></lb>simul terminorum, nempe universae figurae ex cylindris <lb></lb>aequealtis compositae et circa solidum descriptae; sed <lb></lb>idem cylindrus ex AH minor erat ipso solido hyperbolico, <lb></lb>necesse ergo est ut solidum hyperbolicum maius sit quam <lb></lb>figura sibi circumscripta, hoc est pars maior suo toto. </s><s><lb></lb>Quod est absurdum. </s></p> <p type="main"> <s>Ponatur deinde solidum hyperbolicum minus cylindro <lb></lb>ex CAEF facto si possibile est. </s><s>Secetur cylindrulus aliquis, <lb></lb>puta ex CALN minor defectu quo solidum hyperbolicum <lb></lb>deficit a cylindro ex CAEF; deinde concipiamus duas figu<lb></lb>ras ex infinitis numero cylindris aequealtis compositas, al<lb></lb>tera nempe circumscriptam solido hyperbolico, et primus <lb></lb>ipsius cylindrus sit qui ex CALN: altera vero inscriptam <lb></lb>intra idem solidum, et sit primus ipsius cylindrus qui ex <lb></lb>MALI. Manifestum est universam differentiam quae est <lb></lb>inter praedictas duas figuras aequalem esse cylindro ex <lb></lb>CALN facto, hoc est minorem esse defectu quo solidum <lb></lb>hyperbolicum deficit a cylindro ex CAEF facto. </s><s>Ergo dif<lb></lb>ferentia quae est inter circumscriptam figuram et solidum <lb></lb>ipsum hyperbolicum multo minor erit defectu ipsius solidi <lb></lb>a cylindro ex CAEF facto: quamobrem si addamus eam <lb></lb>ipsi solido hyperbolico, conflabimus ipsam figuram circum<lb></lb>scriptam adhuc minorem cylindro ex CAEF facto. </s><s>Conci<lb></lb>piamus iam per puncta C et I transire parabolam cuius <lb></lb>ordinatim applicatae datae sunt CA, IL, et ipsa sibi ver<lb></lb>ticem faciat in G. Certum est ex praecedente demonstra<lb></lb>tione cylindrum ex CAGH aequalem esse universae figu<lb></lb>rae circumscriptae. </s><s>Ergo et cylindrus ex CAGH minor erit <pb pagenum="347"></pb>cylindro ex CAEF, nempe totum minus erit sua parte. </s><s><lb></lb>Quod est absurdum. </s></p> <p type="main"> <s>Equalitas ergo patet. </s></p> <p type="main"> <s>Remanent ostendendum quod diameter parabolae, nem<lb></lb>pe recta AG, omnino maior esse debeat quam AE est cy<lb></lb>lindrus ex CAGH, semper sit veluti quoddam totum, et <lb></lb>cylindrus ex CAEF veluti pars. — Recta CIB ferat pa<lb></lb>rabolam, ergo AG maior est etiam quam GB. Ergo AG <lb></lb>plus est quam dimidium rectae AB, et multo magis plus <lb></lb>quam dimidium rectae AD, nempe maior quam AE. Quod <lb></lb>erat etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>FINE DELL'OPUSCOLO <lb></lb>DE HEMHYPERBOLA LOGARITMICA.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <pb></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>DE INFINITIS SPIRALIBUS.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <pb></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>AVVERTIMENTO.<emph.end type="center"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">La seguente memoria fu tratta dal T. XXVIII della raccolta “ <emph type="italics"></emph>Discepoli di Ga<lb></lb>lileo<emph.end type="italics"></emph.end> ”, ove esistono, oltre l'autografo, due copie, una delle quali di mano del Serenai. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Delle curve ivi studiate è parola in generale nei §§ XXXIV-XXXVII del <emph type="italics"></emph>Racconto<emph.end type="italics"></emph.end><lb></lb>(v. </foreign></s> <s><foreign lang="it">la presente edizione, T. III, p. 21-22) e nelle lettere scritte dal Torricelli a M. A. <lb></lb>Ricci il 17 gennaio 1645, al Caroavy nel febbraio dello stesso anno ed a B. Cavalieri il <lb></lb>31 agosto 1647 (id. </foreign></s> <s><foreign lang="it">p. 255, 280 e 247). In particolare della spirale geometrica (spirale <lb></lb>logaritmica, secondo la nomenclatura odierna) si parla nei §§ XXXVII-XL del <emph type="italics"></emph>Rac<lb></lb>conto<emph.end type="italics"></emph.end> ed inoltre se ne trovano parecchie menzioni nel carteggio torricelliano relativo <lb></lb>agli anni 1645 e 1647 (v. </foreign></s> <s><foreign lang="it">la presente edizione, T. III, p. 280, 360, 363, 391, 470, 476); l'im<lb></lb>portanza delle relative ricerche fu segnalata nella nota G. LORIA, <emph type="italics"></emph>E Torricelli e la <lb></lb>prima rettificazione di una curva<emph.end type="italics"></emph.end> (Rendiconti della R. Accademia dei Lincei, Seduta <lb></lb>del 5 dicembre 1897). </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Mentre alcune pagine del seguente scritto sono redatte in forma pressochè defi<lb></lb>nitiva, altre hanno tutto l'aspetto di appunti affrettati od al più di una prima ste<lb></lb>sura. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Donde l'utilità del Commento, scritto dal Perelli e tuttora inedite, e che può <lb></lb>leggersi nel succitato volume dei “ <emph type="italics"></emph>Discepoli di Galileo<emph.end type="italics"></emph.end> ”. </foreign></s> </p> <pb></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>DE INFINITIS SPIRALIBUS<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>MENSURA UNIVERS. FIGURAE INSCRIPTAE.<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> <arrow.to.target n="marg428"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg428"></margin.target>P.<emph type="sup"></emph>ma<emph.end type="sup"></emph.end> faccia.</s></p> <p type="main"> <s>Esto spiralis Geom.<emph type="sup"></emph>ca<emph.end type="sup"></emph.end> cuius centrum [Fig. 1] A, maxi<lb></lb>mus vero radius AB et sumpto <expan abbr="quocunq.">quocunque</expan> angulo BAC, <lb></lb>intelligatur infinita series </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 1].<lb></lb>angulorum deinceps ipsi <lb></lb>BAC aequalium, puta <lb></lb>CAD, DAE etc. <expan abbr="usq.">usque</expan> in <lb></lb>infinitum: et coniuncte <lb></lb>supponantur omnes rectae <lb></lb>BC, CD, DE etc. <expan abbr="usq.">usque</expan> in <lb></lb>infinitum; tum secetur AF <lb></lb>aequalis ipsi AD et co<lb></lb>niuncte CF parallela sit <lb></lb>AG; ipsa vero BC pro<lb></lb>ducatur. </s></p> <p type="main"> <s>Dico universam figu<lb></lb>ram rectilineam intra spiralem inscriptam, et ex in infi<lb></lb>nitis numero triangulis BAC, DAE etc. </s><s>constantem ae<lb></lb>qualem esse triangulo BAG. </s></p> <p type="main"> <s>Sunt, enim, omnia triangula BAC, CAD, DAE etc. </s><s>inter <lb></lb>se similia; ergo triangulum BAC ad triangulum CAD erit <lb></lb>ut quad. </s><s>BA ad quam.<emph type="sup"></emph>m<emph.end type="sup"></emph.end> AC, item CAD af DAE erit ut <lb></lb>quad.<emph type="sup"></emph>m<emph.end type="sup"></emph.end> CA ad quad.<emph type="sup"></emph>m<emph.end type="sup"></emph.end> AD; ergo triangula inter se sunt <lb></lb>ut quadrata AB, AC, AD etc. </s><s>nempe in continua propor<lb></lb>tione. </s><s>Habemus ergo ordinem triangulorum numero infi- <pb pagenum="352"></pb>nitorum in continua proportione maioris inaequalitatis, et <lb></lb>primus terminus est BAC, prima vero diff.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> FCB (siquidem <lb></lb>CAF, CAD aequalia sunt per 4 primi Euclidis); propterea <lb></lb>universum aggregatum, hoc est universa figura inscripta <lb></lb>ad primum terminum BAC, erit ut primus ipse terminus <lb></lb>BAC ad primam differentiam nempe BFC, sive ut recta <lb></lb>AB ad BF, nempe ut GB ad BC, hoc est ut triangulum <lb></lb>BAG ad idem triangulum BAC. Patet ergo universam <lb></lb>illam figuram aequalem esse triangulo BAC, quandoqui<lb></lb>dem tam illa quam etiam ipsum triangulum eamdem ra<lb></lb>tionem habet ad idem triangulum BAC. Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg429"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg429"></margin.target>2<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> faccia</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Propos.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> sive Corollarium p.<emph type="sup"></emph>m<emph.end type="sup"></emph.end><emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Sumpta eadem praecedentis propositionis figura [Fig. 1], <lb></lb>et constructione, secetur aequalis AI ipsi AC, et ducta CI, <lb></lb>agatur AH aequidistans ipsi CI. </s></p> <p type="main"> <s>Dico triangulum BAH ad universam figuram rectili<lb></lb>neam ex infinitis numero triangulis constantem etiam in<lb></lb>tra spiralem inscriptum, minus quam duplum existere. </s><s><lb></lb>Recta AG ad GB est ut FC ad CB, sive ut DC ad CB, <lb></lb>nempe ut AC ad AB, ergo minor est recta AG quam <lb></lb>sit GB. </s></p> <p type="main"> <s>In continua proportione sunt AB, AC, AD, ergo etiam <lb></lb>AB, AI, AF, propterea BI ad IF erit ut BA ad AI, nempe <lb></lb>ut BA ad AC, hoc est ut BC ad BD, sive ut BC ad CF; <lb></lb>ergo angulus BCF, sectus est bifariam a recta CI. Sed an<lb></lb>gulus H aequatur angulo ICF (totus enim HAC, toti ACI <lb></lb>est aequalis quia sunt alterni, item ablatus GAC, ablato <lb></lb>ACF, ergo et reliqui aequales sunt); propterea angulus H <lb></lb>aequalis est angulo HAG et recta HG rectae GA; quare <lb></lb>HG minor est quam GB, et ideo HB ad BG minus quam <lb></lb>dupla; quamobrem et triang.<emph type="sup"></emph>m<emph.end type="sup"></emph.end> BAH ad triang.<emph type="sup"></emph>m<emph.end type="sup"></emph.end> BAG mi<lb></lb>nus erit quam duplum; ergo idem triangulum BAH etiam <lb></lb>ad inscriptam illam rectilineam figuram praedictam minus <lb></lb>quam duplum erit. </s><s>Quod etc. </s></p> <pb pagenum="353"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollarium 2.<emph type="sup"></emph>m<emph.end type="sup"></emph.end><emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si vero auferatur utrinque primum triangulum BAC. <lb></lb>Dico reliquum, nempe triangulum AHC ad reliquam uni<lb></lb>versam figuram ex triangulis numero infinitis quorum pri<lb></lb>mum est CAD, constantem, magis quam duplum esse. </s></p> <p type="main"> <s> Angulus BAG aequalis factus est angulo BFC, ergo <lb></lb>aequalis est duobus angulis FAC, FCA, sive duobus, sive <lb></lb>FAC, FBC, nempe angulo ACG: angulus autem G com<lb></lb>munis est; ergo triangula BAG, CAG sunt aequiangula, <lb></lb>et BG ad GA etc. </s></p> <p type="main"> <s>Angulus CAG aequalis est alterno ACF, sive CBA, <lb></lb>angulus autem BGA communis; ergo triangula BAG, CAG <lb></lb>sunt aequiangula, et BG ad GA ut GA ad GC; propterea <lb></lb>BG ad GH, est ut GH ad GC. Sed maior est BG quam <lb></lb>GH, ergo HG maior est quam GC, et ideo HC ad CG <lb></lb>maior quam dupla, et triangulum HAC ad GAC maius <lb></lb>quam duplum erit. </s><s>Triangulum vero GAC universae figu<lb></lb>rae inscriptae cuius p.<emph type="sup"></emph>m<emph.end type="sup"></emph.end> triangulum sit CAD est aequale <lb></lb>(nam totum BAG toti figurae inscriptae erat aequale, et <lb></lb>commune ablatum triangulum BAC, ergo reliquum aequale <lb></lb>reliquo omnino erit) quamobrem HAC ad praedictam figu<lb></lb>ram maius quam duplum erit. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Inscriptio figurae planae.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>In data spirali, cuius centrum [Fig. 2] A maximus ra<lb></lb>dius AB, inscribere figuram ex triangulis constantem <expan abbr="atq.">atque</expan> <lb></lb>in infinitum abeuntem </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 2].<lb></lb>ita ut spatium ipsius <lb></lb>spiralis ad figuram in<lb></lb>scriptam rationem ha<lb></lb>bent minorem qualibet <lb></lb>data ratione. </s><s>Quae ta<lb></lb>men sit maioris inae<lb></lb>qualitatis, et angulus inscriptorum triangulorum minor sit <pb pagenum="354"></pb>quocumque dato angulo rectilineo. </s><s>Esto data ratio CA ad <lb></lb>AB, <expan abbr="sumaturq.">sumaturque</expan> recta AD media proportionalis inter CA, <lb></lb>AB. Tum ex D concipiatur DE tangere spiralem in E, <lb></lb><expan abbr="factoq.">factoque</expan> triangulo BAE, concipiatur continuata series an<lb></lb>gulorum aequalium ipsi BAE usque in infinitum et intel<lb></lb>ligatur circumscripta quaedam figura constans ex tangen<lb></lb>tibus IF, FH, HO et usque in infinitum. </s><s>Quae quidem <lb></lb>tangentes parallelae sint ipsis inscriptis BE, EL, LV etc. </s><s><lb></lb>usque in infinitum. </s><s>Quod fieri posse ostendimus. </s></p> <p type="main"> <s>Patet p.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> tangentem FI cadere inter puncta BD, quia <lb></lb>DE tangit in E et FI tangit in aliquo puncto arcus EB, <lb></lb>quamobrem. </s></p> <p type="main"> <s>Iam universa figura circumscripta ex triangulis con<lb></lb>stans quorum p.<emph type="sup"></emph>m<emph.end type="sup"></emph.end> est IAF, ad universam figuram inscrip<lb></lb>tam ex triangulis constantem, quorum p.<emph type="sup"></emph>m<emph.end type="sup"></emph.end> est BAE erit <lb></lb>ex 12. quinti Euclidis, ut triangulum IAF ad BAE, nempe <lb></lb>ut quadratum IA ad AB, ergo minorem rationem habebit <lb></lb>quam quad.<emph type="sup"></emph>m<emph.end type="sup"></emph.end> DA ad AB, sive quam recta CA ad AB; <lb></lb>ergo si pro ipsa figura circumscripta sumamus universum <lb></lb>spiralis spatium, quod ipsa minus est, habebit univer<lb></lb>sum spiralis spatium ad figuram universam sibi inscriptam <lb></lb>rationem adhuc multo minorem quam sit data ratio rectae <lb></lb>CA ad AB. Quod erat faciendum. </s></p> <p type="main"> <s>Peracta iam huiusmodi descriptione si angulus inscrip<lb></lb>torum triangulorum BAE non erit minor dato quocunque <lb></lb>angulo rectilineo, secetur bifariam ipse angulus BAE, <expan abbr="atq.">atque</expan>, <lb></lb>si opus fuerit, ipsius partes iterum bifariam secentur, et <lb></lb>hoc fiat toties donec deveniamus ad angulum dato angulo <lb></lb>minorem; ad hunc enim devenire tandem necesse est. </s><s><lb></lb>Tunc si universos angulos inscriptorum triangulorum sec<lb></lb>tos intelligamus in partes ultimae illi sectioni aequales, <lb></lb>ducamus per radiorum extremitates perimetrum nove cu<lb></lb>iusdam figurae rectilineae inscriptae, procul dubio nova <lb></lb>haec figura maior erit illa priore, quam in praecedenti <lb></lb>constructione descripsimus; haec enim erit tanquam totum <lb></lb>illa vero ipsius pars. </s><s>Propterea universum spiralis spatium <lb></lb>ad novam hanc figuram minorem habebit rationem quam <lb></lb>ad priorem illam; ergo et multo minorem quam sit data <lb></lb>ratio rectae CA ad AB. Quod etc. </s></p> <pb pagenum="355"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollarium.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Manifestum est non solum spatium spirale cuius sit <lb></lb>maximus radius AB ad inscriptam sibi figuram rectilineam <lb></lb>ita esse ut imperatum est; sed etiam quodlibet aliud spa<lb></lb>tium, exempli gratia spatium eius maximus radius est AE <lb></lb>ad inscriptam sibi figuram minorem habet rationem quam <lb></lb>sibi circumscripta ad eamdem inscriptam, nempe minorem <lb></lb>quam quadratum FA ad AE, sive IA ad AH, ergo multo <lb></lb>minorem quam quadratum DA ad AB, sive quam sit data <lb></lb>ratio rectae CA ad AB. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>MENSURA QUOTCUMQUE TRIANGULORUM <lb></lb> <arrow.to.target n="marg430"></arrow.to.target><lb></lb>DEINCEPS SIMILIUM.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg430"></margin.target>P.<emph type="sup"></emph>ma<emph.end type="sup"></emph.end> faccia.</s></p> <p type="main"> <s>Hinc elici potest mensura iterum universae figurae in<lb></lb>scriptae usque in infinitum abeuntis. </s></p> <p type="main"> <s>Esto spiralis cuius centrum [Fig. 3] A maximus radius <lb></lb>AB, et sumantur quotlibet anguli deinceps aequales BAC, <lb></lb>CAD, DAE, EAI, IAO, </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 3].<lb></lb><expan abbr="ducanturq.">ducanturque</expan> rectae BC, CD, <lb></lb>DE, EI, IO; secetur ae<lb></lb>qualis AL ipsi AD, et <lb></lb>ducte CL sit aequidistans <lb></lb>ipsa AH, ipsi vero BC ae<lb></lb>quidistet MN, et produca<lb></lb>tur BC in H. Dico omnia <lb></lb>praedicta triangula trape<lb></lb>zio BMNH aequalia esse. </s><s><lb></lb>Secentur AP, AL, AQ, AV, <lb></lb>AM, aequales ipsi AC, AD, <lb></lb>AE, AI, AO et ex punctis <lb></lb>P,L,Q,V,M ducantur rec<lb></lb>tae aequidistantes ipsi BH. </s></p> <p type="main"> <s>Triangulum BAH ad PAR est ut quadratum BA ad <lb></lb>AP, nempe ut recta BA ad AL, sive ut recta BH ad HC, <lb></lb>et, per conversionem rationis, triangulum BAH ad trape<lb></lb>zium HP erit ut recta HB ad BC, sive ut triangulum <pb pagenum="356"></pb>idem BAH ad triangulum BAC. Sunt ergo aequalia trian<lb></lb>gulum BAC et trapezium HP. </s></p> <p type="main"> <s>Ulterius. </s><s>Trapezia HP, TP sunt similia, nam aequian<lb></lb>gula sunt, et latus RP ad TL est ut PA ad AL, sive AL <lb></lb>ad AQ, sive ut TL ad <expan abbr="Zq.">Zque</expan> Sic etiam est PL ad LQ, quia <lb></lb>sunt differentiae proportionalium, et RT ad TZ ob paral<lb></lb>lelas. </s><s>Ergo trapezium RL ad TQ est ut quadratum RP <lb></lb>ad TL, sive ut quadratum PA ad AL, nempe ut quadra<lb></lb>tum CA ad AD, hoc est ut triangulum CAD ad DAE. <lb></lb>Sed antecedentia sunt aequalia ergo et consequentia. </s><s>Hoc <lb></lb>modo procedemus semper, et eodem prorsus argumento <lb></lb>ostendemus singulo trapezio singulis triangulis aequalia. </s><s><lb></lb>Ergo totum trapezium BMNH toti flgurae rectilineae <lb></lb>BAOIQDC aequale erit. </s><s>Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s>Hinc facile elici potest iterum quod iam ante ostendi<lb></lb>mus, nempe integrum triangulum BAH aequale esse uni<lb></lb>versae figurae rectilineae ex triangulis compositae et intra <lb></lb>nostram spiralem descriptae <expan abbr="atq.">atque</expan> in infinitum continuatae <lb></lb>usque ad centrum A. </s></p> <p type="main"> <s>Manifestum est hoc quia si accipiamus quodlibet nu<lb></lb>merum inscriptorum triangulorum, ita ut ultimum ipsorum <lb></lb>latus sit exempli gratia DA, hoc est LA; demonstravimus <lb></lb>omnia praedicta triangula aequari trapezio BLTH. Si vero <lb></lb>minimum triangulorum latus fuerit OA, nempe MA, tunc <lb></lb>omnia triangula aequalia erunt trapezio BMNH; et hoc <lb></lb>modo procedere possumus aequalia semper aequalibus ad<lb></lb>dendo quousque ad centrum A perveniamus. </s><s>Nunquam <lb></lb>enim ad inaequalitatem pervenire poterimus cum aequalia <lb></lb>aequalibus semper addantur. </s><s>Ergo quando numerus trian<lb></lb>gulorum infinitus erit, tunc minimum latus nihil aliud erit <lb></lb>quam punctum A, et linea trapezium efficiens nihil erit <lb></lb>praeter punctum A; <expan abbr="totaq.">totaque</expan> ex aequalibus semper additis <lb></lb>composita, hinc erit infinita illa series triangulorum, inde <lb></lb>vero triangulum BAH, quae ex axiomate nostro aequalia <lb></lb>erunt. </s></p> <pb pagenum="357"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Dico in precedenti figura [Fig. 4] si connectatur CP, <lb></lb>cui parallela sit AY et producatur MS, dico inquam tra<lb></lb>pezium BMSY ad omnia </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 4].<lb></lb>praedicta triangula esse <lb></lb>minus quam duplum. </s></p> <p type="main"> <s>Nam ex demonstratis <lb></lb>AH minor est quam HB, <lb></lb>et aequalis ipsi HY; ergo <lb></lb>HY minor est quam HB. <lb></lb>Unde YB ad BH minus <lb></lb>quam dupla est, atque ideo <lb></lb>totum triangulum YAB ad <lb></lb>totum HAB minus quam <lb></lb>duplum est; sed ablatum <lb></lb>SAM ad ablatum NAM <lb></lb>est ut totum ad totum; ergo reliquum trapezium RMSY <lb></lb>ad reliquum BMNH erit ut erat totum ad totum, nempe <lb></lb>minus quam duplum; propterea idem trapezium BMSY <lb></lb>ad omnia triangula predicta BAOIEDCB minus quam <lb></lb>duplum. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>QUADRATURA SPATIJ.<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> <arrow.to.target n="marg431"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg431"></margin.target>Quando <lb></lb>triang.<emph type="sup"></emph>m<emph.end type="sup"></emph.end> po<lb></lb>nitur <emph type="italics"></emph>magis<emph.end type="italics"></emph.end><lb></lb>quam du<lb></lb>plum.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Demonstrationis p.<emph type="sup"></emph>ma<emph.end type="sup"></emph.end> pars.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Esto spiralis cuius centrum [Fig. 5] A maximus radius <lb></lb>AB. Tangens BC angulus rectus BAC. Dico universum <lb></lb>spatium ex infinitis revolutionibus constans subduplum <lb></lb>esse trianguli ABC. </s></p> <p type="main"> <s>Nam nisi ita sit erit triangulum ABC vel magis quam <lb></lb>duplum vel minus. </s></p> <p type="main"> <s>Sit primum maius. </s><s>Ergo aliquod triangulum puta ABD <lb></lb>duplum erit spatij praedicti. </s><s>Secetur angulus CAB bifa<lb></lb>riam, atque iterum bifariam, et hoc fiat semper donec <lb></lb>aliquis angulus BAE intercipiat arcum BE minorem arcu <lb></lb>BI secto a linea BD (hoc fieri posse manifestum est ducta <pb pagenum="358"></pb>AI, nam necesse est ut ad angulum deveniamus minorem <lb></lb>angulo BAI). Tum fiant aequales rectae AE, AL, et iuncte <lb></lb>LE aequidistans ducatur AH, </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 5].<lb></lb>quae secet BE producatam in <lb></lb>H. Manifestum est quod trian<lb></lb>gulum AHB maius erit trian<lb></lb>gulo ADB sua parte; nam <lb></lb>recta BH per constructionem <lb></lb>cadit extra triangulum ADB, <lb></lb>recta etiam AH cadit extra <lb></lb>idem, quia angulus DAB rectus <lb></lb>est; at HAD aequalis angulo <lb></lb>ELB sub basis isoscelis, obtu<lb></lb>sus. </s><s>Sed triangulum AHB ad <lb></lb>universam figuram rectilineam <lb></lb>inscriptum infinitis revolutio<lb></lb>nibus constantem, cuius pri<lb></lb>mum triangulum est BAE, est ut EA, AB simul ad AB, <lb></lb>hoc est minus quam duplum, propterea mult. </s><s>minus quam <lb></lb>duplum erit idem triangulum AHB, ad spatium univerr.<emph type="sup"></emph>m<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>spiralis: cuius quidem spatij triangulum ADB ponitur du<lb></lb>plum. </s><s>Maius ergo erit triangulum ADB quam sit trian<lb></lb>gulum AHB pars suo toto. </s><s>Quod esse non potest. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma per la 2.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> parte della dimostrazione principale.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Data spirali cuius centrum A [Fig. 6], maximus vero <lb></lb>radius AB, alium radium ducere ita ut portionem ex ipso <lb></lb>spiralis spatio abscindat minorem </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 6].<lb></lb><expan abbr="quocunq.">quocunque</expan> dato spatio, quod sit K. </s></p> <p type="main"> <s>Sumatur enim quilibet alius <lb></lb>radius AC qui secetur bifariam <lb></lb>in D, et agatur DE parallela ad <lb></lb>AB. Erit sector CAE plusquam <lb></lb>dimidium totius CAB, ut osten<lb></lb>dam infra. </s><s>Ergo peracta sepius <lb></lb>simili constructione tandem ve<lb></lb>niemus ad aliquem sectorem minorem spatio K per p.<emph type="sup"></emph>mi<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>X.<emph type="sup"></emph>mi<emph.end type="sup"></emph.end> Euclidis. </s></p> <pb pagenum="359"></pb> <p type="main"> <s>Quod CAE sit plusquam dimidium totius patet ducta <lb></lb>CEF; nam ut CD, AD, ita erit CE ad EF; ergo aequales <lb></lb>sunt bases CE, EF, et triangula CAE, EAF aequalia, <lb></lb>propterea trilineum mixtum </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 7].<lb></lb>CAE maius erit trilineo mixto <lb></lb>EAB. </s></p> <p type="main"> <s>Lemma fiat hoc modo <lb></lb>ablatio illa potest fieri sim<lb></lb>plicius secando sectorem cir<lb></lb>culi ut vides hic [Fig. 7]. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Demonstrationis principali <lb></lb><expan abbr="quadraturq.">quadraturque</expan>, pars altera, simplex casus.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Esto spiralis cuius centrum [Fig. 8] A, maximus vero <lb></lb>radius AB, tangens BC, <expan abbr="fiatq.">fiatque</expan> angulus BAC aequalis an<lb></lb>gulo ABC. Dico triangulum ABC </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 8].<lb></lb>aequale esse universo spatio spi<lb></lb>ralis, licet ex infinitis numero re<lb></lb>volutionibus constet. </s><s>Ostensum <lb></lb>iam est in prima parte demon<lb></lb>strationis triangulum ABC non <lb></lb>esse maius spatio spiralis: <emph type="italics"></emph>sit ergo <lb></lb>si fieri potest minus.<emph.end type="italics"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Fiat angulus BAD rectus <expan abbr="pro-ductaq.">pro<lb></lb>ductaque</expan> tangente BC in D, erit <lb></lb>recta BD aequalis universae li<lb></lb>neae spirali, et triangulum BAD <lb></lb>duplum trianguli BAC, aequales <lb></lb>enim sunt BC, AC, quamobrem et <lb></lb>DC. Et quia ponimus spatium spi<lb></lb>ralis maius esse triangulo ABC, auferatur ab ipso spiralis <lb></lb>spatio aliquis sector puta BAO minus excessu quo spa<lb></lb>tium spirale superat triangulum ABC; (hoc enim fieri posse <lb></lb>demonstratum est). Tunc reliquum spiralis spatium cuius <lb></lb>maximus radius AO, adhuc maius erit triangulo ABC. <lb></lb>Inscribatur intra spatium universum spiralis cuius max.<emph type="sup"></emph>s<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>radius est AB figura rectilinea ex infinitis numero trian- <pb pagenum="360"></pb>gulis constans, ita ut spatium spirale radij AB ad inscrip<lb></lb>tam sibi figuram minorem habeat rationem quam spatium <lb></lb>spirale radij AO ad triangulum ABC; et fiat angulus in<lb></lb>scriptorum puta BAI, minor angulo BAO (quod enim <lb></lb>utrunque hoc fieri possit praeostensum est). Tunc spatium <lb></lb>spirale cuius maximus radius est AI, multo maius erit <lb></lb>triangulo ABC. Sed spatium idem spirale, cuius maximus <lb></lb>radius AI ad inscriptam sibi figuram minorem habet ra<lb></lb>tionem, quam spirale spatium radij AO habeat ad trian<lb></lb>gulum ABC (ex Corollario Propositionis); propterea idem <lb></lb>spatium spirale radij AI ad inscriptam sibi figuram multo <lb></lb>minorem rationem habebit quam habeat ipsum spatium <lb></lb>spirale radij AI ad triangulum ABC; quamobrem et figura <lb></lb>inscripta in spatio spirali cuius maximus radius AI, maior <lb></lb>erit triangulo ABC. Quod est impossibile. </s><s>Producatur enim <lb></lb>BI; et sectis aequalibus AG, AI, <expan abbr="itemq.">itemque</expan> aequalibus AF, <lb></lb>AE, ducantur AH aequidistans ipsi GI, et AL aequidis<lb></lb>tans ipsi FI; <expan abbr="eritq.">eritque</expan> recta BH aequalis universo perimetro <lb></lb>inscripto cuius primum latus BI, et ideo BH minor erit <lb></lb>quam BD, quae quidem BD universae spirali est aequalis: <lb></lb>angulus vero ABD est acutus, ergo triangulum AHB mi<lb></lb>nus erit triangulo ADB, <expan abbr="multoq.">multoque</expan> minus erit triangulum <lb></lb>AHI eodem triangulo ADB. Sed AHI ad ALI est plus <lb></lb>quam duplum et ADB ad ACB est duplum, ergo ALI <lb></lb>multo minus erit quam ACB. Sed </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 9].<lb></lb>triangulo ALI aequalis est uni<lb></lb>versa figura rectilinea inscripta, <lb></lb>cuius maius triangulum est AIE. <lb></lb>Ergo et ipsa figura multo minor <lb></lb>est triangulo ACB. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Esto spiralis cuius centrum <lb></lb>[Fig. 9] A, maximus radius AC, <lb></lb>tangens CB aequicrure ABC, erit <lb></lb>spatium simplex sub arcum CDE <lb></lb>et recta EC contentum aequale trapezio CBIE ducta EI <lb></lb>parallela ad (?) CB, sive quae tangat in E. </s></p> <pb pagenum="361"></pb> <p type="main"> <s>Hoc enim manifeste ostenditur in propositione... </s></p> <p type="main"> <s>Dico iam primam revolutionem; patet hoc quasi corol<lb></lb>larium aequale esse differentiae, quae est inter duo tra<lb></lb>pezia CBIE et EIOL. Si enim ad aequalibus aequalia <lb></lb>demas (?) etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Prima Definitio, et vera.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Supponamus quandam lineam [Fig. 10] ABCDEFG eius <lb></lb>natur. </s><s>ut si ab aliquo puncto H sumantur <expan abbr="quocunq.">quocunque</expan> anguli <lb></lb>deinceps, aequales in</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 10].<lb></lb>ter se, puta BHG, <lb></lb>CHD, DHE etc. </s><s>hu<lb></lb>iusmodi anguli a lineis <lb></lb>continue proportiona<lb></lb>libus contineantur, <lb></lb>nempe sit ut HB ad <lb></lb>HC ita HC ad HD ad HE etc. </s><s>usque in infinitum. </s><s>Talis <lb></lb>linea ABCD etc. </s><s>Spiralis geometrica a nobis appellabitur; <lb></lb>punctum vero H ipsius centrum et rectas HB, HC, HD, <lb></lb>radios ipsius Spiralis vocabimis. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Scholium.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Geometricam appellamus hujusmodi lineam spiralem, <lb></lb>ut in ipso nomine exprimatur quae nam sit differentia <lb></lb>inter Helices Archimedis quae vere Arithmeticae dici pos<lb></lb>sunt, et nostras. </s><s>Archimedeae enim hoc habent peculiare, <lb></lb>ut punctum illud quod movetur super linea in piano cir<lb></lb>cumducta, aequalibus temporibus aequalis spatia pertran<lb></lb>seat. </s><s>In nostris vero punctum quod movetur super linea <lb></lb>in plano aequali velocitate circumducta hoc habet sibi <lb></lb>proprium ut aequalibus temporibus spatia percurrat Geo<lb></lb>metrice proportionalia. </s><s>Hoc autem facili negotio deducitur <lb></lb>ex posita a nobis definitione; nam quia velocitas lineae <lb></lb>in plano circumducte aequalis semper est sibi ipsi, et an<lb></lb>guli BHC, CHD, DHE etc. </s><s>sunt aequales, manifestum est <lb></lb>nostram lineam circumductam puta HB aequalibus tempo<lb></lb>ribus per transire unumquemque ex praedictis aequalibus <pb pagenum="362"></pb>angulis. </s><s>Verum quia lineae ipsae, quae continent aequales <lb></lb>illos angulos continue proportionales sunt, erunt etiam ea<lb></lb>rum differentiae in continua proportione, ut iam satis no<lb></lb>tum est; ipse vero differentiae nihil aliud sunt nisi spatia <lb></lb>peracta a puncto mobili quod movetur super sua linea in <lb></lb>plano circumducta. </s><s>Manifestum ergo est punctum mobile <lb></lb>quod apud Archimedem aequalibus temporibus aequalia <lb></lb>spatia percurrit, in nostris spiralis non aequalia, sed Geo<lb></lb>metrice proportionalia spatia aequalibus temporibus per<lb></lb>transire; et propterea Geometricas libuit appellare. </s></p> <p type="main"> <s>Differunt etiam helices nostrae ab Archimedeis secun<lb></lb>dum numerum revolutionum. </s><s>Spirales enim Archimedis <lb></lb>ex ortu quodam manifesto procedunt et quamquam fine <lb></lb>careant <expan abbr="infinitasq.">infinitasque</expan> numero (?) revolutiones habeant ex una <lb></lb>parte principium tamen habent satis conspicuum ex altera, <lb></lb>unde initium ducunt. </s><s>Ac spiralium nostrarum nilus prin<lb></lb>cipium ipsum, sive fontem ex quo fluit adeo occultat, ut <lb></lb>non nisi post infinitas numero revolutiones ad ipsum per<lb></lb>veniri possit. </s><s>Patebit hoc evidentius ex sequenti descrip<lb></lb>tione. </s><s>Ceterum ex alia parte, hoc est versus giros amplio<lb></lb>res conveniunt penitus cum Archimedeis, nam abeunt in <lb></lb>revolutiones semper excrescentes, et numero, et magnitu<lb></lb>dine infinitas. </s></p> <p type="main"> <s>Atque hoc causae fuit cur nos non ab initio ipso ut <lb></lb>fecit Archimedes sed potius ex medio nostrae spiralis <lb></lb>fluxum, sive lineam incohaverimus. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Spiralium Geometricarum Descriptio <lb></lb>per puncta continuata, <lb></lb><expan abbr="atq.">atque</expan> earumdem propagatio usque in infinitum.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Quamquam alienum semper duxi a more Geometrarum <lb></lb>huiusmodi. </s><s>Descriptiones tradere; tamen quia ipsam non <lb></lb>nihil luminis allaturam arbitror, ut clarius spiralis nostrae <lb></lb>natura appareat, eam omittere, nolui saltem. </s><s>Ponatur <lb></lb><expan abbr="itaq.">itaque</expan>: aliqua recta linea [Fig. 11] AB, secta in C <expan abbr="utcunq.">utcunque</expan>, <lb></lb><expan abbr="erigaturq.">erigaturque</expan> perpendicularis CD, quae media proportionalis <lb></lb>sit inter AC, CB; deinde angulus ACD secetur bifariam <lb></lb>a recta CE quae sit media proportionalis inter anguli <pb pagenum="363"></pb>latera AC, CD. <expan abbr="Atq.">Atque</expan> hoc fiat iterum, </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 11].<lb></lb>nempe angulus ACE secetur bifa<lb></lb>riam a recta CF quae sit media pro<lb></lb>portionalis inter anguli latera AC, <lb></lb>CE. Et hoc modo semper procedatur <lb></lb>per bisectionem continuam tam an<lb></lb>guli ECA, quam etiam anguli ECE, <lb></lb><expan abbr="atq.">atque</expan> illorum partium, per lineas me<lb></lb>dias proportionales inter latera bi<lb></lb>sectorum (?) angulorum; <expan abbr="idemq.">idemque</expan> fiat de angulo BCD, immo <lb></lb>et de angulo BCI, producta silicet DC in I ita ut quae<lb></lb>madmodum DC ad CB, ita sit CB ad CI, tandem linea <lb></lb>quae per omnia puncta AFEDBI per reliqua omnia inter<lb></lb>media hac ratione reperta, transibit, spiralem Geometri<lb></lb>cam in praecedenti definitione descriptam exhibebit. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Scholium.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Manifestum est si recta AB secta fuerit in puncto C <lb></lb>bifariam, spiralem nostram in circulum degenerare; si vero <lb></lb>partes AC, CB inaequales fuerint, ex AC maior, mani<lb></lb>festum est hanc lineam in infinitos numero revolutiones <lb></lb>circa suum centrum C abire, antequam ad illud perveniat. </s><s><lb></lb>Nam quemadmodum post primum arcum spiralis angulo <lb></lb>recti ACD descripsimus 2.<emph type="sup"></emph>m<emph.end type="sup"></emph.end> arcum anguli recti DCB; et <lb></lb>sicuti post 2.<emph type="sup"></emph>m<emph.end type="sup"></emph.end> arcum anguli DCB delineavimus etiam 3.<emph type="sup"></emph>m<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>arcum, anguli BCI, eamdem prorsus methodo describemus <lb></lb>4.<emph type="sup"></emph>m<emph.end type="sup"></emph.end> arcum anguli ICH, immo et quintum anguli HBL, et <lb></lb>hoc modo usque in infinitum. </s><s>Infiniti enim numero sunt <lb></lb>anguli recti deinceps se se consequentes circa punctum C <lb></lb>constituti, quorum continuata series ita circa centrum C <lb></lb>circumfertur, ut ipsorum circumvolutiones sibi ipsis su<lb></lb>praponantur. </s><s>Infiniti etiam numero sunt termini propor<lb></lb>tionis geometricae continuae, quorum aliquot sunt AC, <lb></lb>CD, CB, CI, CH, CL et qui debent esse latera continentia <lb></lb>praedictos angulos rectos, propterea nulla dubitandi occasio <lb></lb>relinqui videtur quin circumvolutiones spirales Geometricae <lb></lb>infinitae numero sint, prius quam ipsa spiralis ad centrum <lb></lb>suum C perveniat. </s><s>Perveniet enim. </s><s>Nam ad intervallum <pb pagenum="364"></pb>perveniet quolibet dato intervallo minus; ergo et ad ipsum <lb></lb>centrum perveniet. </s></p> <p type="main"> <s>Pervenire enim debet ad intervalla, omnibus infinitis <lb></lb>terminis qui sunt in progressione rectarum CA, CD, CB <lb></lb>respondentia. </s><s>Sed in progressione rectarum CA, CD etc. </s><s><lb></lb>termini sunt qualibet data recta minores, ergo spirales per<lb></lb>venit ad intervallum quolibet dato intervallo minus nempe <lb></lb>ad intervallum puncti. </s></p> <p type="main"> <s>In hyperbola conica, sectio ad asymptoton semper acce<lb></lb>dit, et ad intervallum pervenit in distantia finita, quolibet <lb></lb>dato intervallo minus. </s><s>Hoc est signum evidens ipsam hy<lb></lb>perbolam cum asymptoto tandem convenire, neque unquam <lb></lb>demonstratnm fuit contrarium. </s><s>Apollonius enim ostendit <lb></lb>non convenire in distantia finita; nos aut. </s><s>dicimus conve<lb></lb>nire post distantiam maiorem omni finita, sive infinita spi<lb></lb>ralis nostra quotiescumque numerus revolutionum finitus <lb></lb>concipiatur certe ad centrum suum non perveniet. </s><s>Sed si <lb></lb>revolutionum numerus infinitus tandem supponatur, erit <lb></lb>distantia ipsius a suo centro minor quolibet finito inter<lb></lb>vallo, hoc est punctum. </s><s>Nihil enim est rerum natura quod <lb></lb>demonstrari possit minus qualibet data linea recta praeter <lb></lb>punctum ipsum. </s></p> <p type="main"> <s>Continuatio autem spiralis versus partes, sive giros, am<lb></lb>pliores patet ex iam dictis. </s></p> <p type="main"> <s>Si in spirali nostra sumantur duo quaelibet puncta <lb></lb>[Fig. 12] A, B. Dico rectam connectentem haec puncta to<lb></lb>tam cadere intra. </s><s>Nam </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 12].<lb></lb>divitatur angulus ACB <lb></lb>bifariam per rectam <lb></lb>CD, iungantur AD, <lb></lb>DB, erunt duo trian<lb></lb>gula BCD, DCA simi<lb></lb>lia, <expan abbr="augulusq.">augulusque</expan> DAC <lb></lb>aequalis angulo BDC, et sumpto communi ADC, erunt <lb></lb>BDC et ADC aequales duobus DAC, ADC, hoc est mi<lb></lb>nores duobus rectis. </s><s>Ergo ducta AB cadet ad partes cen<lb></lb>tri C, <expan abbr="punctunq.">punctunque</expan> D erit extra rectam AB, iunctaque AD, <lb></lb>et ipsa erit extra AB. Similiter secto angulo ACD bifariam <pb pagenum="365"></pb>per rectam CI quae producta sit usque ad spiralem in I, <lb></lb>ostendemus punctum I esse extra rectam AD; sed AD <lb></lb>erat extra ipsum AB, ergo multo magis punctum I erit <lb></lb>extra ipsam AB, et hoc modo procedere possumus per <lb></lb>continuam bisectionem angulorum <expan abbr="usq.">usque</expan> in infinitum, <expan abbr="pate-bitq.">pate<lb></lb>bitque</expan> omnia puncta spiralis ADB esse extra rectam AB. <lb></lb>Quod. </s><s>etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollarium.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Ergo Spiralis Geometrica habet perimetrum ad easdem <lb></lb>partes cavum. </s></p> <p type="main"> <s>Figura vero quae habeat perimetrum ad easdem partes <lb></lb>cavum ad quodlibet punctum capax est tangentis. </s><s>Et hinc <lb></lb>deduces si spiralis habeat tangentem ad unum tantum <lb></lb>punctum contingere. </s><s>Demonstratur enim eodem modo. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemmate.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Sit Spiralis Geom.<emph type="sup"></emph>ca<emph.end type="sup"></emph.end> cuius centrum [Fig. 13] A, et ad <lb></lb>punctum B sit tangens CBD, </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 13].<lb></lb>et coniuncta AB; dico angulos <lb></lb>quot facit tangens cum radio <lb></lb>BA esse ineaequales, <expan abbr="acutumq.">acutumque</expan> <lb></lb>esse eum qui versus prece<lb></lb>dentia, sive versus centrum, <lb></lb>sive versus revolutiones an<lb></lb>gustiores. </s></p> <p type="main"> <s>Nam si fieri potest sint aequales, <expan abbr="sumptisq.">sumptisque</expan> aequalibus <lb></lb>angulis BAD, BAC erunt per 26 p.<emph type="sup"></emph>mi<emph.end type="sup"></emph.end> Euclidis aequales <lb></lb>DA, AC, etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOS.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Latera angulorum aequalium ad centrum spiralis con<lb></lb>stitutorum sunt proportionalia. </s><s>Esto Spiralis Geom.<emph type="sup"></emph>ca<emph.end type="sup"></emph.end> cuius <lb></lb>centrum [Fig. 14] A, et sint duo anguli aequales BAC, <lb></lb>BAD. Dico a tribus lineis proportionalibus contineri. </s></p> <pb pagenum="366"></pb> <p type="main"> <s>Hoc autem ex ipsa </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 14].<lb></lb>definitione manifes<lb></lb>tum est. </s></p> <p type="main"> <s>Esto Spiralis Geo<lb></lb>metrica cuius centrum <lb></lb>A, et ex centro A <lb></lb>constituantur duo an<lb></lb>guli aequales inter se CAE, DAF, qui non sint deinceps, <lb></lb>sed dico eos a quatuor rectis, lineis proportionalibus con<lb></lb>tineri. </s></p> <p type="main"> <s>Nam secetur bifariam angulus CAD a recta AB, patet <lb></lb>quod etiam ang.<emph type="sup"></emph>s<emph.end type="sup"></emph.end> FAE sectus erit bifariam ab eadem recta <lb></lb>AB. Ergo ex definitione spiralis erunt in continua propor<lb></lb>tione tres rectae AC, AB, AD item continuae erunt EA, <lb></lb>AB, AF, propterea tam rectangulum CAD, quam etiam <lb></lb>rectangulum EAF eidem quad.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> AB aequale erit, ergo la<lb></lb>tera eorum reciproca, hoc est ut AE ad AC, ita AD ad <lb></lb>AF. Quod etc. <lb></lb> <arrow.to.target n="marg432"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg432"></margin.target>Castor I.</s></p> <p type="main"> <s>Esto spiralis cuius centrum [Fig. 15] A, maximus vero <lb></lb>radius AB, et sumantur duo anguli BAC, CAD aequales <lb></lb>inter se, et deinceps ad centrum </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 15].<lb></lb>A constituti; tum inscribantur <lb></lb>eorum rectae BC, CD, <expan abbr="suppona-musq.">suppona<lb></lb>musque</expan> rectam EF tangentem et <lb></lb>parallelam ipsi BC. Dico si ex <lb></lb>puncto F, in quo tangens secat <lb></lb>radium AC productum ducatur <lb></lb>recta quaedam parallela inscrip<lb></lb>tae CD, ductam illam tangere <lb></lb>spiralem. </s></p> <p type="main"> <s>Esto contactus H, et ducta AH fiat angulus CAO ae<lb></lb>qualis angulo BAH et iungatur FO. Iam quia anguli BAC, <lb></lb>CAD sunt aequales, erit ut BA ad AC, ita CA ad AD; <lb></lb>ergo triangula BAC, CAD sunt aequiangula. </s></p> <p type="main"> <s>Recta vero CA ad AR est ut FA ad AC ob parallelas; <lb></lb>sed ipsa BA ad AH est ut CA ad AO, qui sunt latera an<lb></lb>gulorum aequalium in spirali, ergo ex aequo EA ad AH <lb></lb>erit ut FA ad AO. Triangula ergo EAH, FAO sunt ae- <pb pagenum="367"></pb>quiangula, et angulus AFO aequalis AEH, sive angulo <lb></lb>ABC, nempe angulo ACD, sunt ergo parallelae rectae <lb></lb>FO, CD. </s></p> <p type="main"> <s>Dico FO tangentem esse; hoc est non amplius concur<lb></lb>rere cum spirali. </s><s>Nam si possibile est concurrat recta FO <lb></lb>cum spirali etiam in puncto I, sive ante sit, sive post <lb></lb>ipsum O, jungatur AI, et fiat angulus EAP aequalis an<lb></lb>gulo FAI, tunc enim erit ut EA ad AB ita FA ad AC ob <lb></lb>parallelas; sed BA ad AU est ut CA ad AI quia sunt <lb></lb>latera angulorum aequalium in spirali, ergo ex aequo EA <lb></lb>ad AU erit ut FA ad AI, quod est impossibile. </s><s>Nam etiam <lb></lb>EA ad AP est ut FA ad AI, ob triangula aequiangula <lb></lb>EAP, FAI, et ideo aequales essent inter se PA, AU to<lb></lb>tum, et pars. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollarium.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Hinc manifestum est data spirali si ad centrum ipsius <lb></lb><expan abbr="quotcunq.">quotcunque</expan> angulos deinceps aequales sumpserimus, possi<lb></lb>bile esse duas figuras describere ex triangulis similibus <lb></lb>constantes ita ut singulae circumscriptorum triangulorum <lb></lb>bases et tangentes sint ad spiralem, et parallelae ad sin<lb></lb>gulas inscriptorum triangulor. </s><s>bases. </s></p> <p type="main"> <s>Omnes tangentes cum radijs ad puncta contactuum </s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg433"></arrow.to.target><lb></lb>ductis eosdem angulos efficiunt. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg433"></margin.target>Pollux 2</s></p> <p type="main"> <s>Sit spiralis cuius centrum [Fig. 16] A, et max. </s><s>radius <lb></lb>AB, duaeque tangentes CD, CE quae concurrant in puncto <lb></lb>E, et radij ad contactus </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 16].<lb></lb>ducti sint AD, AE. Dico <lb></lb>angulos ADF, AEC esse <lb></lb>aequales. </s></p> <p type="main"> <s>Ducantur AC, et ex I <lb></lb>ducantur IM parallela ad <lb></lb>CF, et IL parallela ad CE, <lb></lb><expan abbr="iunctisq.">iunctisque</expan> AM, AL, erunt <lb></lb>anguli MAI, IAL aequa<lb></lb>les. </s><s>Nisi enim aequales <lb></lb>sint fiat si possibile est angulus IAO aequalis angulo MAI, <pb pagenum="368"></pb>et inscripta IO, si ex C ducatur recta quaedam aequidi<lb></lb>stans ipsi IO, omnino spiralem tanget per praecedentem; <lb></lb>ergo spiralis ab eodem puncto C duas tangentes habebit <lb></lb>ad easdem partes, quod absurdum est in omni figura: si <lb></lb>ergo anguli MAI, IAL, <expan abbr="atq.">atque</expan> ideo aequales anguli AFD, <lb></lb>ACE ob parallelas. </s><s>Similiter anguli FAD, CAE sunt ae<lb></lb>quales. </s><s>Nam si inaequales sunt, fiat angulus CAO aequalis <lb></lb>angulo FAD et quia iam aequales sunt MAI, IAL si ex C <lb></lb>ducamus CO, recta CO per praecedentem et tangens erit, <lb></lb>et parallela ad IL, quod <expan abbr="utrumq.">utrumque</expan> absurdum est. </s><s>Cum <expan abbr="itaq.">itaque</expan> <lb></lb>angulus FAD angulo CAE aequalis sit, et angulus AFD <lb></lb>angulo AOE uti demonstravimus nuper, reliquus ADF re<lb></lb>liquo AEC omnino equalis erit. </s></p> <p type="main"> <s>Esto spiralis cuius centrum [Fig. 17] A, max. </s><s>vero ra<lb></lb>dius AB, et sumatur ad centrum A, quilibet angulus CAI, <lb></lb>et sit tangens CI parallela in</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 17].<lb></lb>scriptae DO. Dico tangentem <lb></lb>CI maiorem esse arcu spiralis <lb></lb>OHD. </s></p> <p type="main"> <s>Ducantur enim tangentes <lb></lb>DE, OL et OL producatur. </s><s><lb></lb>Iam CD ad OI erit ob paral<lb></lb>lelas ut DA ad AO, nempe <lb></lb>maior. </s><s>Secetur ergo OT ae<lb></lb>qualis DC, <expan abbr="fiatq.">fiatque</expan> angulus OTN <lb></lb>aequalis angulo DCE. Et quia etiam angulus NOT aequalis <lb></lb>est angulo EDC (fiunt enim a tangentibus <expan abbr="radijsq.">radijsque</expan> per <lb></lb>contactus ductis) erit, per 26 Primi Euclidis, NO aequalis <lb></lb>ipsi DE, et TN aequalis CE. Iungatur NI <expan abbr="fiatq.">fiatque</expan> centro A <lb></lb>intervallo AO arcus circuli OF ad partes maiorum radio<lb></lb>rum. </s><s>Manifestum est totam spiralem ODB cadere extra <lb></lb>circulum; singuli enim radij spiralis maiores sunt quam <lb></lb>AO, hoc est quam radius circuli: ergo multo magis recta <lb></lb>OL cadet extra circulum et ideo angulus AOL qui maior <lb></lb>est angulo semicirculi non erit acutus, et propterea neque <lb></lb>TON acutus erit; recta igitur TN maior est quam IN, et <lb></lb>sumpta communi IL, erunt TN, IL simul, sive CE, IL <lb></lb>simul maiores quam NI, IL, ergo multo maiores quam <pb pagenum="369"></pb>NO, OL, sive quam DF, OL; sumpta communi LE, erit <lb></lb>tota tangens CI maior quam DE, EL, LO. Sed DE, EL, <lb></lb>LO maiores sunt, per suppositionem quam arcus OHD; <lb></lb>ergo ipsa tangens IC multo maior erit quam arcus OHD. <lb></lb>Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Recta BR aequalis perimetro rectilineo BCL.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> <arrow.to.target n="marg434"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg434"></margin.target>Ut p.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> diff.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>ad omnes dif<lb></lb>ferentia <arrow.to.target n="fig236"></arrow.to.target><lb></lb>ita pri<lb></lb>mus termi<lb></lb>nus ad om<lb></lb>nes simul <lb></lb>terminos.</s></p> <figure id="fig236"></figure> <p type="main"> <s>Esto spiralis cuius centrum [Fig. 18] A, maximus vero <lb></lb>radius AB, et sumantur ad centrum A quotlibet an<lb></lb>guli deinceps aequales BAC, CAD, DAF etc., complean</s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg435"></arrow.to.target><lb></lb><expan abbr="turq.">turque</expan> triangula BAC, CAD, </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg435"></margin.target> <arrow.to.target n="fig237"></arrow.to.target> Si vede in <lb></lb>questa fi<lb></lb>gura, excepto <lb></lb>ultimo, sive <lb></lb>minimo; ma <lb></lb>i radij sono 9 <lb></lb>e le applicate <lb></lb>sono 8. Facile <lb></lb>ostenditur <lb></lb>ex 12 Quinti.</s></p> <figure id="fig237"></figure> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 18].<lb></lb>DAF etc. </s><s>Secentur AV et <lb></lb>AK aequales AL minimo <lb></lb>silicet lateri triangulorum, <lb></lb>et iungatur KV quae pro<lb></lb>ducta concurrat cum BC <lb></lb>producta in R. Dico rectam <lb></lb>BR aequalem esse omnibus <lb></lb>inscriptis BC, CD, DF, etc. <lb></lb><expan abbr="usq.">usque</expan> ad punctum L simul <lb></lb>sumptis. </s></p> <p type="main"> <s>Cum enim propter aequales angulos ad centrum sum<lb></lb>ptos sit ut BA ad AC, ita AC ad AD, erunt triangula <lb></lb>BAC, CAD, et reliqua etiam omnia <expan abbr="usq.">usque</expan> ad ultimum inter <lb></lb>se similia. </s><s>Si vero secentur aequales AE ipsi AD, AH ipsi <lb></lb>AF, AI ipsi AH, et hoc modo semper <expan abbr="usq.">usque</expan> ad ultimam AK <lb></lb>quae iam facta fuit aequalis ipsi AL, erunt, per quartam <lb></lb>Primi Euclidis, aequales inter se CE, CD; aequalesque inter <lb></lb>se EG, DF, et inter se GI, FH, et reliquae omnes usque ad <lb></lb>ultimam AL quae aequalis erit ultimae OK. Erunt etiam <lb></lb>parallelae omnes si alternatim sumantur, nempe BC, EG <lb></lb>et reliquae alternatim sumptae, itam CE, GI et reliquae <lb></lb>alternatim sumptae inter se parallelae erunt. </s><s>Nam BA ad <lb></lb>AC est ut AC ad AE, sive ut AE ad AG, quamobrem <lb></lb>parallelae sunt BC, EG, et sic de reliquis. </s><s>Producatur iam <lb></lb>ultima KO in P, et erit ipsa KP aequalis universo ordini <lb></lb>parallelarum CE, GI etc. </s><s>Patebit hoc si producantur EG <lb></lb>cum omnibus reliquis sibi parallelis usque ad KP, divident <pb pagenum="370"></pb>enim ipsam KP in portiones totidem quot sunt rectae CE, <lb></lb>GI etc. <expan abbr="eruntq.">eruntque</expan> singulae singulis aequales. </s><s>Ipsa etiam BP <lb></lb>aequalis erit universo ordini parallelarum BC, EG etc. </s><s><lb></lb>Quod patebit si vicissim producantur rectae alterius ordi<lb></lb>nis puta GI cum omnibus suis parallelis. </s><s>Sed KP, PR sunt <lb></lb>aequales, ut mox patebit. </s><s>Ergo ipsa BR aequalis erit <expan abbr="utriq.">utrique</expan> <lb></lb>ordini rectatum nempe ipsis BC, CE, EG, GI etc., sive quod <lb></lb>idem est omnibus inscriptis BCDEH etc. <expan abbr="usq.">usque</expan> ad ultimum <lb></lb>ZL. Quod promissimus ostendemus hoc modo. </s><s>Nam trian<lb></lb>gulum KRR aequiangulum est triangulo KVO, est enim <lb></lb>angulus ABC aequalis angulo ACD, sive angulo ACE, vel <lb></lb>angulo AOK; sed BKV et OVK sunt sub basi aequicruris, <lb></lb>ergo reliquus R aequalis est reliquo VKO, ergo aequales <lb></lb>sunt KP, PR. </s></p> <p type="main"> <s>Dato arcu spiralis [Fig. 19] ABC cuius centrum E, <lb></lb>maximus vero radius AE. Oportet in sectore dati arcus <lb></lb>inscribere figuram ex triangulis similibus compositam ita <lb></lb>ut ipse arcus ABC ad </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 19].<lb></lb>omnes sibi inscriptas li<lb></lb>neas, hoc est ad omnes <lb></lb>triangulorum bases ratio<lb></lb>nem habeat qualibet data <lb></lb>ratione minorem. </s><s>Sit data <lb></lb>ratio quam habet recta <lb></lb>DE ad EA, sitque ex <lb></lb>puncto D tangens DB jun<lb></lb>gatur EB, <expan abbr="seceturq.">seceturque</expan> angulus AEC bifariam a recta EF, <lb></lb>atque eius partes bifariam, et hoc fiat semper donec ve<lb></lb>niamus ad angulum AEL minorem angulo AEB, quod <lb></lb>fieri posse manifestum est. </s><s>Tum inscribantur rectae AL, <lb></lb>LH, HN etc. <expan abbr="sitq.">sitque</expan> MO tangens et parallela ipsi AL, et ex <lb></lb>puncto O recta ducatur parallela inscriptae LH, quae et <lb></lb>ipsa tangens erit ex praemonstratis; et hoc modo proce<lb></lb>demus semper. </s><s>Iam recta BD tangit in B recta vero OM <lb></lb>tangit in aliquo puncto arcus LA, ergo OM cadet omnino <lb></lb>inter puncta D et A. Recta MO ad AL est ob parallelas ut <lb></lb>OE ad EL, item recta OF ad LH est ut OE ad EL, ob pa<lb></lb>rallelas, et FI ad HN est ut FE ad EH, sive ut OE ad EL, <pb pagenum="371"></pb>ergo per 12 Quinti omnes tangentes simul ad omnes simul <lb></lb>inscriptas erunt ut una MO ad unam AL, sive ut ME <lb></lb>ad EA, nempe minorem rationem habebunt quam DE ad <lb></lb>EA. Sed omnes tangentes omnibus arcubus ALHNC sunt <lb></lb>maiores, ergo omnes arcus ALHNC ad omnes inscriptas <lb></lb>multo minorem rationem habebunt quam recta DE ad EA. <lb></lb>Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s>Tangens Spiralis Geometricae cum radio per contac<lb></lb> <arrow.to.target n="marg436"></arrow.to.target><lb></lb>tum ducto angulum acutum facit ad partes minorum ra<lb></lb>diorum. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg436"></margin.target>Prima <lb></lb>faccia.</s></p> <p type="main"> <s>Esto Spiralis Geometrica cuius centrum [Fig. 20] A, <lb></lb>maximus radius AB, et sit recta BE tangens in puncto B, <lb></lb>sive (quod idem est apud </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 20].<lb></lb>nos) ultima inclinatarum, ex <lb></lb>puncto B versus minores ra<lb></lb>dios, et non secantium. </s><s>Dico <lb></lb>angulum ABE esse acutum. </s></p> <p type="main"> <s>Accipiatur arcus quilibet <lb></lb>BIC cuius longitudo non sit <lb></lb>infinita; <expan abbr="sitq.">sitque</expan> accepti arcus <lb></lb>minimus radius AC, cui ae<lb></lb>qualis secetur AD, et fiat an<lb></lb>gulus BDG rectus: quo facto <lb></lb>vel tangens BE convenit cum perpendiculari DG, vel non <lb></lb>convenit. </s><s>Si conveniet manifestum est angulum ABE esse <lb></lb>acutum. </s><s>Sed si ponatur non convenire ad absurdum ve<lb></lb>niemus hoc modo. </s><s>Cum arcus spiralis BIC non sit longi<lb></lb>tudinis infinitae, erit aliqua recta linea maior ipso arcu, <lb></lb>inclinetur ergo ex puncto B ad rectam DG, linea BF quae <lb></lb>quidem sit maior arcu BIC. Certum est lineam BIF spi<lb></lb>ralem secare, quandoquidem ipsa BE ultima est inclina<lb></lb>torum non secantium. </s><s>Secet in O, et iuncta AO, dividatur <lb></lb>bifariam angulus BAC, <expan abbr="atq.">atque</expan> eius partes iterum bifariam, <lb></lb>et hoc fiat semper donec veniamus ad angulum aliquem, <lb></lb>puta BAI, minorem angulo BAO. Tum dividatur totus <lb></lb>angulus BAC in partes aequales ipsi BAI, et ducantur <lb></lb>omnes inscriptae quarum prima est BI, producaturq BI <lb></lb>versus H. Secetur AN aequalis ipsi AI, <expan abbr="iunctaq.">iunctaque</expan> NI, ipsi <pb pagenum="372"></pb>agatur aequidistans DH, quae omnino conveniet cum BI <lb></lb>producta, ut manifestum est: conveniat in H; patet pri<lb></lb>mum ex constructione rectas BH, DH cadere extra trian<lb></lb>gulum BFD; nam fecimus angulum BAI minorem angulo <lb></lb>BAO, ergo inscripta BI cadit ad partes exteriores in<lb></lb>scriptae BO. Angulus vero BDG rectus est, sed BDH ob<lb></lb>tusus cum aequalis sit angulo BNI sub basi aequicruris; <lb></lb>propterea tam BH, quam etiam DH cadit extra triangulum <lb></lb>BFD. His constitutis: arcus BIC minor est ex suppositione <lb></lb>quam recta BF; ergo multo minor quam BG, et multo <lb></lb>etiam minor erit quam recta BH. Sed ipsa BH aequalis de<lb></lb>monstrata est omnib. intra arcum inscriptis quarum prima <lb></lb>est BI, ergo arcus spiralis multo minor erit quam omnes <lb></lb>suae inscriptae simul sumptae, quod est contra omnium <lb></lb>geometrarum suppositionem. </s><s>Convenit ergo BE tangens <lb></lb>spiralis, sive ultima inclinatarum non secantium, cum per<lb></lb>pendiculari DG, <expan abbr="atq.">atque</expan> ideo angulum efficit acutum ABE. <lb></lb> <arrow.to.target n="marg437"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg437"></margin.target>2.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> faccia.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Mensura arcus. </s><s><lb></lb>Demonstrationis prima pars. </s><s>Simplex casus.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="italics"></emph>Definitio.<emph.end type="italics"></emph.end> Vocamus angulum etiam eum qui vel duos <lb></lb>rectos, vel plus quam duos rectos </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 21].<lb></lb>contineat; et hoc propter vocabu<lb></lb>lorum egestatem spatium enim <lb></lb>magis impropria diceretur quam <lb></lb>angulus. </s></p> <p type="main"> <s>Esto spiralis cuius centrum <lb></lb>[Fig. 21] A maximus vero radius <lb></lb>AB, et sumatur quilibet eius ar<lb></lb>cus BIC, cuius minimus radius sit <lb></lb>AC, etiam si inter BA et AC vel <lb></lb>duo, vel plusquam duo anguli recti <lb></lb>contineantur (nos simplicitati figu<lb></lb>rae consulentes, minorem duobus <lb></lb>rectis depiximus). Tunc aequalis <lb></lb>secetur AD ipsi AC, <expan abbr="fiatq.">fiatque</expan> angulus BDE rectus, et sit BE <lb></lb>tangens, quae ex lemmate, concurret cum perpendiculari <lb></lb>DE, concurrat in E. Dico arcum BIC aequalem esse tan- <pb pagenum="373"></pb>genti BE. Nam si ita non est, erit arcus vel minor, vel <lb></lb>maior ipsa tangente. </s></p> <p type="main"> <s>Ponatur primum, si possibile est, arcus BIC minor, et <lb></lb>tangens BE maior. </s><s>Auferatur a tangente BE recta BI ae<lb></lb>qualis rectae BD. Tum reliqua LE secetur bifariam <expan abbr="eiusq.">eiusque</expan> <lb></lb>semissis iterum bifariam, <expan abbr="atq.">atque</expan> hoc fiat semper, donec ve<lb></lb>niamus tandem ad rectam quamdam TE minorem excessu <lb></lb>quo tangens BE arcum BIC superat. </s><s>His peractis erit recta <lb></lb>BT adhuc maior arcu BIC. Inclinetur ex puncto B a rec<lb></lb>tam DE recta BF aequalis ipsi BT, <expan abbr="eritq.">eritque</expan> BF minor tan<lb></lb>gente, at maior arcu ob constructionem. </s><s>Cum <expan abbr="itaq.">itaque</expan> BF <lb></lb>minor sit quam BE, et angulus BED acutus cadet utique <lb></lb>inclinata BF ad partes anguli acuti, nempe angulum DBE <lb></lb>secabit; sed BE tangens est, sive (quod apud nos idem <lb></lb>sonat) ultima inclinatar.<emph type="sup"></emph>m<emph.end type="sup"></emph.end> ex puncto B, ergo BF, spiralem <lb></lb>secat: secet in O, et iuncta AO, dividatur angulus BAC <lb></lb>bifariam, sive minor sit duobus rectis sive non, eiusque <lb></lb>partes iterum secentur bifariam, et hoc fiat semper donec <lb></lb>veniamus tandem ad angulum quaedam BAI minorem an<lb></lb>gulo BAO; quo facto ducantur omnes inscriptae intra ar<lb></lb>cum spiralis, quarum prima erit BI, et producatur BI quae <lb></lb>secabit omnino angulum EBF; fiat deinde AN aequalis ipsi <lb></lb>AI, <expan abbr="iunctaq.">iunctaque</expan> IN, ducatur DH parallela ad IN. Certum est <lb></lb>rectam DH cadere extra angulum EDB, quia EDB rectus <lb></lb>est; at ipse HDB obtusus, cum sit aequalis angulo INB <lb></lb>qui est sub basi trianguli isoscelis. </s><s>Conveniant ergo DH, <lb></lb>BI in H. Iam quia BF maior erat arcu BIC, erit recta <lb></lb>BG multo maior eodem arcu; et recta BH adhuc multo <lb></lb>etiam maior quam sit arcus BIC. Sed BH aequalis de<lb></lb>monstrata est omnibus inscriptis intra arcum BIC simul <lb></lb>sumptis, quarum prima est BI, ergo omnes inscriptae in<lb></lb>tra arcum BIC maiores erunt arcu ipso. </s><s>Quod est contra <lb></lb>omnium geometrarum suppositiones. </s></p> <p type="main"> <s>Ostenduntur haec duplici ratione, et per indivisibilia <lb></lb>more nostro et duplici positione secundum methodum an<lb></lb>tiquorum tanquam magis receptam. </s></p> <p type="main"> <s>Spatium quoque mensurabile est, quamquam ex infinitis <lb></lb>revolutionibus constet, <expan abbr="habetq.">habetque</expan> notam rationem ad spatium <lb></lb>planum finitum, et certum. </s></p> <pb pagenum="374"></pb> <p type="main"> <s>Extendimus deinde eandem contemplationem in alias <lb></lb>spirales super curvis superficiebus descriptas, quibus omni<lb></lb>bus rectas lineas demonstramus aequales. </s></p> <p type="main"> <s>Deinde etiam spiralem Archimedeam in infinitas spe<lb></lb>cies propagamus definientes quod non solum spatia pe<lb></lb>racta a puncto mobili, sed etiam dignitates spatiorum sint <lb></lb>ut anguli peracti: ex quo definitione totidem oriuntur spi<lb></lb>rales quot sunt parabolae. </s><s>Rationes omnium spatiorum ad <lb></lb>circulum demonstravit acutissimus iuvenis M. Angelus <lb></lb>Ricci. ★ Nos vero habemus et reliqua Theoremata de ra<lb></lb>tionibus abscissorum a tangentibus cum ipsis peripherijs, <lb></lb>praecipue vero <expan abbr="unamquamq.">unamquamque</expan> lineam spiralem, <expan abbr="unicuiq.">unicuique</expan> li<lb></lb>neae parabolicae aequalem esse demonstramus. </s></p> <p type="main"> <s>★ (Qui infinitasque (?) quoq hyperbolas <expan abbr="ellipsesq.">ellipsesque</expan> con<lb></lb>templatus est, et non contemnenda Theoremata inde de<lb></lb>rivavit). </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Definitio.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Esto quaelibet <arrow.to.target n="fig238"></arrow.to.target> ☽ recta linea [cfr. </s><s>la preced. </s><s>Fig. 11] <lb></lb>AB secta utcumq in C, deinde erigatur perpend. </s><s>CD quae <lb></lb>in media inter BC, CA et habebimus punctum D. Iterum <lb></lb>recta CE media ut inter DC, OA <expan abbr="secetq.">secetque</expan> bifariam angu<lb></lb>lum DCA, et sic fiat semper; habebimus puncta AEFDB <lb></lb>et quotcunque alia voluerimus per quae transibit quaedam <lb></lb>linea curva quam Spiralem Geometricam appellamus. </s></p> <figure id="fig238"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Aliter.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si recta linea AB manente eius extremi A circumaga<lb></lb>tur in plano aequali semper velocitate, et eodem tempore <lb></lb>aliquod punctum C eiusdem linea super eadem moveatur <lb></lb>ea lege ut spatio aequalibus temporib. preacta inter se <lb></lb>proportionalia sint, eademque proportionem servent quam <lb></lb>habebunt distantiae eiusdem puncti a centro A, iterum <lb></lb>eamdem Spiralem Geometricam habebimus. </s></p> <p type="main"> <s>Peculiare hoc habet haec linea quod antequam perve<lb></lb>niat ad centrum A infinitas revolutiones circa ipsum ab<lb></lb>solvere debebit; attamen longitudo eius mensurabilis et <pb pagenum="375"></pb>nota est. </s><s>Nam si fuerit centrum A <expan abbr="unumq.">unumque</expan> ex radijs AB, <lb></lb>ipsa vero BC tangens et angulus BAC rectus erit tangens <lb></lb>BC aequalis universae spirali DDA. Dato vero arcu quo<lb></lb>cumque BI si fuerint aequalis AI, AE, et angulus BEF <lb></lb>rectus, erit tangens BF aequalis arcui B . </s></p> <p type="main"> <s>Esto quelibet recta linea AB secta utcunque in C, de<lb></lb>inde erigatur perpendicularis CD, quae sit media inter <lb></lb>BC, CA. Iterum recta CE media sit inter DC, CA, <expan abbr="secetq.">secetque</expan> <lb></lb>bifariam angulum DCA. Amplius recta CF media inter <lb></lb>DC, CE secet bifariam angulum DCE et sic fiat semper, <lb></lb><expan abbr="habebimusq.">habebimusque</expan> puncta A, E, F, D, B, et quotcumque alia vo<lb></lb>lorimus, per quae transibit quaedam linea curva quam <lb></lb>Spiralem Geometricam appellamus. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Spiralium Definitio.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si recta linea [Fig. 22] AB manente eius extremo A <lb></lb>circumducatur in aliquo plani </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s><foreign lang="it">[Fig. 22].<lb></lb>aequali semper velocitate, et <lb></lb>eodem tempore aliquod punc<lb></lb>ctum C eiusdem lineae (dum<lb></lb>modo non sit extremum A) super <lb></lb>eadem linea moveatur ea lege, <lb></lb>ut temporibus aequalibus pro<lb></lb>portionalia spatia percurrat, hoc <lb></lb>est ea lege ut spatio aequalibus <lb></lb>temporibus peracta inter se eam<lb></lb>dem habeant rationem ae distantiae eiusdem puncti ab <lb></lb>extremo A. Exempli gratia. (Poni p.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> il moto del punto <lb></lb>in la recta ferma). </foreign></s> </p> <pb pagenum="376"></pb> <p type="main"> <s>Esto linea [Fig. 23] AD revolubilis in plano circa cen<lb></lb>trum A quod moveatur super recta AD esto D <expan abbr="sitq.">sitque</expan> p.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>positio ipsius lineae ipsa AS, de</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 23].<lb></lb>inde peractis aequalibus tempori<lb></lb>bus reperiatur linea in AH, AI, <lb></lb>AL, quod fiet si omnes deinceps <lb></lb>anguli ad centrum A ponantur <lb></lb>aequales. </s><s>Esto deinde spatium pe<lb></lb>ractum a puncto D p.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> tempore <lb></lb>ipsum DE quodcunque sit; debet <lb></lb>deinde spatium secundi temporis <lb></lb>essi EF, nempe tale ut sit DE ad <lb></lb>EF ut DA ad AE. <expan abbr="Eritq.">Eritque</expan> uti dixeram supra, spatium <lb></lb>primi temporis ad spatium secundi ut sunt ipsae distantiae <lb></lb>puncti mobilis a centro in initio <expan abbr="utriusq.">utriusque</expan> spatij. </s><s>Ergo li<lb></lb>nea AH debet esse aequalis ipsi AE, et linea AI ipsi AF, <lb></lb>et sic semper. </s></p> <p type="main"> <s>Potest alio modo exhiberi descriptio eiusdem lineae <lb></lb>spiralis nempe. </s></p> <p type="main"> <s>Esto quaelibet linea recta [v. </s><s>Fig. 11, p. 363] AB secta <lb></lb>utcumque in C (variata enim ratione BC ad CA mutabi<lb></lb>tur species ipsius spiralis) deinde erigatur perpendicularis <lb></lb>CD, quae sit media inter BC, CA, et habebimus punctum <lb></lb>D. Item secetur bifariam angulus DCA a recta CE, quae <lb></lb>media sit inter DC, CA et habebis punctum E. Iterum <lb></lb>secetur bifariam DCE a recta CF, quae media sit inter <lb></lb>DC, CE, et habebis punctum F et sic semper <expan abbr="habebimusq.">habebimusque</expan> <lb></lb>quotcumque puncta voluerimus, perquae transire debet <lb></lb>Spiralis Geometrica. </s></p> <p type="main"> <s>Ducta deinde linea per eiusmodi puncta Spiralis Geo<lb></lb>metrica appellabitur. </s><s>Archimedis enim Spirales Arithme<lb></lb>ticae sunt quando quidem punctum mobile Archimedis <lb></lb>temporibus aequalibus aequalia percurrit spatia, nostrum <lb></lb>vero proportionalia. </s></p> <pb pagenum="377"></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>DIMOSTRATIONE DELLA 18.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> PROPOS.<emph type="sup"></emph>NE<emph.end type="sup"></emph.end> D'ARCHIMEDE <lb></lb>DELLE LINEE SPIRALI CON LE DOTTRINE DEL MOTO <lb></lb>DEL SIG. GALILEO GALILEI.<emph.end type="center"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Domandiamo, che se un mobile sarà trasportato con <lb></lb>impeto per alcuna linea curva, liberato che egli sia dal <lb></lb>legame che lo necessitava a caminare per la curva, se<lb></lb>guiti il suo moto per linea retta, non havendo egli nuova <lb></lb>occasione di piegare il viaggio da alcuna parte. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Domandiamo ancora che tal retta sia tangente della <lb></lb>linea curva in quel punto, nel quale sarà stato liberato il <lb></lb>mobile dalla curvità precedente. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Fu la verità di queste domande provata già con acuti <lb></lb>discorsi dal Sig. Galileo in altre sue opere. </foreign></s> <s>Noi solamente <lb></lb>l'esemplificheremo così. </s></p> <p type="main"> <s>Imaginiamoci in un piano horizontale incavato un ca<lb></lb>nalino, o sia di pianta circolare, o parabolica, o spirale etc. </s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Se una palla di metallo perfettamente liscia sarà da qual<lb></lb>che impulso spinta nel canaletto, ella trascorrerà in esso, <lb></lb>et obbedirà puntualmente alla piegatura degl'argini suoi, <lb></lb>sin tanto che durerà l'incassamento di essi. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma subito <lb></lb>finito il canale, mentre la palla resti libera sopra il piano <lb></lb>horizontale, scordata della via precedente, seguiterà con <lb></lb>il suo impeto a correre non più per circolo, o per elice, <lb></lb>ma per linea retta. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Sarà poi per apunto tal linea retta <lb></lb>tangente alla curva del canaletto in quel punto dove il <lb></lb>mobile si liberò dalla sua piegatura. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Definitione.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si recta linea in plano sit ducta, et quiescente altero <lb></lb>eius termino aequale velocitate circumferatur donec resti<lb></lb>tuatur in eum loco unde moveri caeperat: et simul cum <lb></lb>linea circumlata punctum feratur aequali velocitate ipsum <lb></lb>sibi ipsi, et per se secundum dictam lineam latum, inci<lb></lb>piens a termino quiescenti. </s><s>Punctum hoc describet in plano <lb></lb>lineam quam Spiralem vocamus. </s></p> <pb pagenum="378"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Archimed. </s><s>ante propos.<emph type="sup"></emph>m<emph.end type="sup"></emph.end> XII De lineis spiralibus.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Stante questo, io dico che il punto mobile, il quale de<lb></lb>scrive l'elice, haverà nel fine della prima revolutione un <lb></lb>momento tale di impeto, che se egli seguitasse di moto <lb></lb>equabile a caminar con quello, trascorrerebbe in altret<lb></lb>tanto tempo, quanto ha speso nella prima conversione, due <lb></lb>spatij, uno però progressivo, e l'altro laterale; et il pro<lb></lb>gressivo sarebbe eguale al semidiametro del circolo della <lb></lb>p.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> revolutione: l'altro, cioè il laterale, sarebbe eguale alla <lb></lb>periferia dell'istesso circolo. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">La prova di questo sarà facile, se noi separeremo con <lb></lb>l'astrattione i due momenti d'impeto, l'uno dall'altro. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Imaginiamoci dunque, che nell'estremo della prima cir<lb></lb>colatione il punto mobile seguiti a caminare progressiva<lb></lb>mente per il semidiametro slongato fuori del circolo, ma <lb></lb>che il semid.<emph type="sup"></emph>ro<emph.end type="sup"></emph.end> medesimo stia fermo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Non è dubbio che in <lb></lb>altrettanto tempo, quanto il punto mobile haverà speso <lb></lb>nella prima conversione, camminerà fuori del circolo al<lb></lb>trettanto spatio progressivo quanto ne haverà camminato <lb></lb>nella med.<emph type="sup"></emph>ma<emph.end type="sup"></emph.end> prima conversione, cioè precisamente un se<lb></lb>midiametro del primo circolo. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Astraemo hora al contrario et imaginiamoci che nella <lb></lb>medesima estremità della prima conversione il punto mo<lb></lb>bile si fermi nel semidiametro, e resti senza moto progres<lb></lb>sivo, ma però che il semidiametro seguiti il suo moto con<lb></lb>versivo. È chiaro che il punto mobile camminerà hora per <lb></lb>la periferia del p.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> circolo, e la scorrerà tutta precisa<lb></lb>mente in altrettanto tempo quanto egli ne haverà speso <lb></lb>nella p.<emph type="sup"></emph>ma<emph.end type="sup"></emph.end> conversione della spirale. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Parmi a bastanza provato che il punto mobile di Ar<lb></lb>chim.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> nell'estremità della prima revolutione habbia un <lb></lb>momento composto di due momenti, overo impeti, cioè uno <lb></lb>progressivo, e dilungativo dal centro; e l'altro laterale, o <lb></lb>vogliam dire circumferentiale circa centrum. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Et che questi <lb></lb>due impeti habbiano una particolar proport.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> fra di loro, <lb></lb>come il semidiam.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> alla periferia; cioè tale, che eodem <lb></lb>tempore porteranno il punto mobile, progressivamente per <pb pagenum="379"></pb>lo spazio d'un semidiametro, e lateralmente per la lun<lb></lb>ghezza d'una periferia. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Si proponga hora la 18.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> delle <emph type="italics"></emph>Spirali<emph.end type="italics"></emph.end> . Imaginiamoci <lb></lb>che il semidiametro [Fig. 24] AB nel quale è il fine del<lb></lb>l'elice della p.<emph type="sup"></emph>ma<emph.end type="sup"></emph.end> circolatione sia pro</foreign></s> </p> <figure></figure> <p type="caption"> <s><foreign lang="it">[Fig. 24].<lb></lb>dotto, e slongato fuori del circolo al<lb></lb>trettanto quanto è esso semidiam.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> si <lb></lb>che la BC sia eguale all'AB e per l'e<lb></lb>stremo punto C della prolungata tirisi <lb></lb>una linea CD ad angoli retti, con essa <lb></lb>da quella parte verso la quale cammi<lb></lb>nano l'ultime parti della spirale. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Sup<lb></lb>poniamo ora che il punto mobile d'Ar<lb></lb>chimede subito giunto all'estremità <lb></lb>della p.<emph type="sup"></emph>ma<emph.end type="sup"></emph.end> revolutione in B resti libero <lb></lb>dal semidiametro che lo portava, e <lb></lb>dalla spirale fin là descritta, e seguiti <lb></lb>a camminare con tutto il composto <lb></lb>momento de i suoi impeti. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Hora conforme alle petitioni pre<lb></lb>messe, questo punto continuerà la sua <lb></lb>circolatione per una linea retta, e questa linea retta sarà <lb></lb>tangente della spirale. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Dico che questa retta tangente concorrerà con la per<lb></lb>pendicolare da noi tirata CD, et che la portione CD di <lb></lb>detta perpendicolare tagliata tra il concorso della retta <lb></lb>tangente et il semidiametro prolungato fuori del cerchio, <lb></lb>sarà uguale alla periferia. </foreign></s> <s>Quanto al p.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> che la retta tan<lb></lb>gente prolungata concorra con la CD, è manifesto. </s> <s><foreign lang="it">Poi <lb></lb>che se non concorresse, haverebbe <expan abbr="dunq.">dunque</expan> il punto mobile <lb></lb>perso l'impeto progressivo, che egli in B haveva verso la <lb></lb>linea CD. Ma ciò è contro la supposizione nostra. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Concorra dunque p. </s> <s><foreign lang="it">esempio in D, proverò che la por<lb></lb>tione tagliata CD sia eguale alla periferia del p.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> circolo. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Poi che se fusse disuguale, haverebbe il punto mobile <pb pagenum="380"></pb>compito eodem tempore (per la diagonale BD) tanto di <lb></lb>spatio progressivo quanto il semidiametro BC, ma non già <lb></lb>di laterale quanto la periferia; e però per conseguenza <lb></lb>quando il punto mobile resta libero in B, non haverebbe <lb></lb>havuto in quel principio della sua liberatione, cioè in quella <lb></lb>estremità dell'elice, il momento che noi dimostrassimo ha<lb></lb>vere: cioè di correre eodem tempore due spatij uno pro<lb></lb>gressivo quanto il semidiametro, l'altro laterale quanto la <lb></lb>periferia. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Nell'istesso modo per appunto si dimostra la verità <lb></lb>delle due seguenti Propos.<emph type="sup"></emph>ni<emph.end type="sup"></emph.end> nel meraviglioso libro delle <lb></lb><emph type="italics"></emph>Spirali.<emph.end type="italics"></emph.end> A noi basterà d'haver accennato per qual via Ar<lb></lb>chimede possa esser venuto in cognitione d'una verità <lb></lb>tanto astrusa, e per così dire inopinabile come la suddetta. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Credo certo che l'Autore a bello studio volesse occultare, <lb></lb>et invilupare la dimostratione del Teorema; tanto, che <lb></lb>non si potesse conoscere da che origine egli ne haveva <lb></lb>derivata la cognitione. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Però nel corso di tanti secoli non <lb></lb>è stata mai questa passione della spirale capita evidente<lb></lb>mente, non per altro, se non per la mancanza della dot<lb></lb>trina <emph type="italics"></emph>de motu,<emph.end type="italics"></emph.end> nota benissimo fino ne suoi tempi ad Ar<lb></lb>chimede, ma pubblicata solo ne i nostri dal Galileo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Che i <lb></lb>mezzi de i quali l'Autore si serve nella dimostratione siano <lb></lb>per così dire improprij, e che altrettanto appropriati siano <lb></lb>gli addoprati da noi, si può scorgere dalla definitione <lb></lb>istessa, la quale altro non contiene che l'imaginatione di <lb></lb>due movimenti dalla mistione dei quali risulta poi un certo <lb></lb>viaggio spiralmente incurvato. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Per ciò chi con le cose po<lb></lb>ste nella definitione, cioè con la dottrina del moto, cercasse <lb></lb>di provare anche i Teoremi dipendenti da quella, mi pare <lb></lb>che egli si servirebbe dei mezzi proprij per arrivare alle <lb></lb>conclusioni, e che però produrebbe scienza evidente, e <lb></lb>(come dicono) <emph type="italics"></emph>a priori.<emph.end type="italics"></emph.end> Al contrario dimostrandosi indiret<lb></lb>tamente tali proprietà, con mezzi alieni dalla definitione, <lb></lb>oltre l'oscurità e lunghezza nella quale s'incorrerà, si pro<lb></lb>durrà nel lettore una scienza in certo modo accidentale; <lb></lb>di tal sorte, che egli conoscerà bene di non poter contra<lb></lb>dire a quella proposta, ma non intenderà già come e per <lb></lb>qual causa quella conclusione sia vera. </foreign></s> </p> <pb pagenum="381"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSIZIONE UNIVERSALE.<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> <arrow.to.target n="marg438"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><foreign lang="it"><margin.target id="marg438"></margin.target>Fogli n.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> 9 <lb></lb>finiti per <lb></lb>tutto il di 20 <lb></lb>Ag.<emph type="sup"></emph>to<emph.end type="sup"></emph.end> 1647.</foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Quadratura.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>I.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si fuerit quaelibet ex infinitis spiralibus [Fig. 25] ADC, <lb></lb>cuius centrum A, initium AB et in ea </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 25].<lb></lb>sumatur quodvis punctum C, ductoque <lb></lb>radio AC, fiat centro A, intervallo AC, <lb></lb>arcus circuli CEB, erit spatium F ad <lb></lb>spatium I ut numerus duplus exponen<lb></lb>tis dignitatis temporum, ad ipsum ex<lb></lb>ponentem dignitatis radiorum. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>II.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Tangens, sive sectio rectae a tan</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 26].<lb></lb>gente facta, quae rectam habet ratio<lb></lb>nem certam ad arcum etc. </s></p> <p type="main"> <s>Si ex quolibet spiralis puncto [Fig. <lb></lb>26] A, ducatur radius AB, et tangens <lb></lb>AC <expan abbr="fiatq.">fiatque</expan> angulus centralis ABC rectus, <lb></lb>erit arcus AED <expan abbr="usq.">usque</expan> ad initialem li<lb></lb>neam, ad rectam BD ut exponens tem<lb></lb>porum ad exponentem radiorum. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>III.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Linea spiralis quaecumque [Fig. preced.] AOB aequalis <lb></lb>est lineae curveae cuiusdam semiparabolae cuius basis sit <lb></lb>AB, max. </s><s>spir. </s><s>radius. </s><s>altitudo vero semiparabolae ad ar<lb></lb>cum AED sit ut exponens radiorum ad aggregatum am<lb></lb>borum spiralis exponentium. </s><s>Ipsa denique semiparabola sit <lb></lb>talis, ut exponens applicatarum sit aequalis aggregato <lb></lb>exponentium spiralis. </s><s>Diametralium vero exponens expo<lb></lb>nenti temporum sit aequalis etc. <pb pagenum="382"></pb> <arrow.to.target n="marg439"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg439"></margin.target>Il cerchio <lb></lb>magg.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> non <lb></lb>serve a nulla <lb></lb>in nessuno.</s></p> <p type="main"> <s>Esto spiralis cuius centrum [Fig. 27] A, et <emph type="italics"></emph>radij sint <lb></lb>ut quadrata temporum.<emph.end type="italics"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Dico . . . . . </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 27].</s></p> <p type="main"> <s>Continuetur ratio CF ad <lb></lb>FD sumptis utrinque tribus <lb></lb>terminis tam radius CA ad <lb></lb>AE per suppositionem est ut <lb></lb>quadratum lineae CF ad FD, <lb></lb>nempe ut linea CF ad FB, <lb></lb>ergo quadratum CA ad AE, <lb></lb>sive sector GAD ad HAE est <lb></lb>ut quadratum CF ad FB, sive <lb></lb>ut arcus CF ad FL, nempe ut <lb></lb>arcus GF ad DF, vel ut ar<lb></lb>cuatum GM ad DM. Dividendo ergo videbis sectorem <lb></lb>HAE aequale arcuato EF, nempe ut 4 ad 4; ergo sector <lb></lb>NAE ad EF minus est quam ut 1 ad 4. </s></p> <p type="main"> <s>Sector vero CAL ad NAO eodem modo est ut arcus <lb></lb>CF ad EL, sive ut arcuatum CM ad ML et per conver<lb></lb>sionem rationis videbis sectorem CAL aequalem arcuato <lb></lb>CM, nempe ut 4 ad 4, ergo sector CAD ad arcuatum CM <lb></lb>magis est quam ut 1 ad 4. </s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg440"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg440"></margin.target>Linea et <lb></lb>sectio arcus <lb></lb>a tangente.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Questa sia regola dello stendere tutte l'altre.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Esto spiralis [Fig. 28] ABC, </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 28].<lb></lb>cuius centrum A initialis vero <lb></lb>linea AP, et <emph type="italics"></emph>sint ubi radiorum <lb></lb>ut quadratocubi temporum.<emph.end type="italics"></emph.end><lb></lb> <arrow.to.target n="marg441"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg441"></margin.target>1. regula.</s></p> <p type="main"> <s>Sumatur punctum quod<lb></lb>cumque in spirali C, ductoque <lb></lb>radio CA, fiat ex centro A <lb></lb>arcus circuli CVP, factoqu. </s><s><lb></lb>angulo PAF recto, ponatur <lb></lb>AF diameter parabolae, ita ut <lb></lb>arcus CVP ad rectam AF sit, <lb></lb>ut aggregatum amborum spi<lb></lb>ralis exponentium ad expo<lb></lb>nentem radiorum, nempe in hoc casu ut 8 ad 3. </s></p> <pb pagenum="383"></pb> <p type="main"> <s>Completo deinde rectangulo PAF fiat circa diametrum </s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg442"></arrow.to.target><lb></lb>AF parabola AOG talis ut exponens applicatarum sit ae<lb></lb>qualis <expan abbr="utriq.">utrique</expan> exponenti, diametralium vero exponenti tem<lb></lb>porum aequetur, et erunt in casu nostro ille 8 iste vero 5. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg442"></margin.target>2. regula.</s></p> <p type="main"> <s>Tempora radiorum CA, BA sunt arcus CVP, LVP; <lb></lb> <arrow.to.target n="marg443"></arrow.to.target><lb></lb>ergo quadratocubus CVP ad quadratocubum LVP est ex <lb></lb>suppositione ut cubus PA ad AD. Quadratocubus vero <lb></lb>LVP ad quadratocubum BED est ut quadratocubo PA <lb></lb>ad AD. Ergo quadratocubus CVP ad quadratocubum BED <lb></lb>est ut quadratocubus PA ad quadratocubum AD, nempe <lb></lb>ut quadratocubus PG ad DO ergo arcus CVP ad BED <lb></lb>erit ut recta PG ad DO; et permutando videbis etiam <lb></lb>arcum BED ad rectam DO esse ut 8 ad 3. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg443"></margin.target>Quadratura <lb></lb>si tamen PG <lb></lb>posita esset <lb></lb>aequalis <lb></lb>arcui CVP.</s></p> <p type="main"> <s>In puncto B duo impetus sunt, progressivus super recta <lb></lb>AB, et circularis circa centrum A. Cum impetu progres<lb></lb>sivo puro, <expan abbr="motuq.">motuque</expan> aequabili, tempore eodem quo venit ex <lb></lb>A in B, si moveretur cum eo gradu velocitatis quam ha<lb></lb>bet in B, nostrum mobile B curreret rectam superbi par<lb></lb>tientem tertias ad BA (ut infra ostendam). Cum impeto <lb></lb>vero circulari puro, eodem tempore quo venit ex A in B <lb></lb>sit figeretur in semidiametro AL omnique impetu progres<lb></lb>sivo spoliaretur, percurreret arcum BD, sive potius ipsi <lb></lb>BD aequalem ergo superbipartiens tertios ipsius BA ad <lb></lb>arcum BED est ut impetus progressivus puncti B ad im<lb></lb>petum circularem eiusdem. </s></p> <p type="main"> <s>Sed cum BH ponatur tangens, etiam BA ad AH ean<lb></lb> <arrow.to.target n="marg444"></arrow.to.target><lb></lb>dem habet rationem quam impetus rectus, sive progressi<lb></lb>vus, puncti B habet ad impetus circularem eiusdem. </s><s>Ergo <lb></lb>(quia quae sunt eadem eidem rationes inter se sunt ea<lb></lb>dem) superbipartiens tertias rectae BA ad arcum BED <lb></lb>erit ut ipsa BA ad AH: et permutando videbis arcum <lb></lb>BED ad rectam AH esse ut 5 ad 3. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg444"></margin.target>Tangens sive <lb></lb>sectio rectae <lb></lb>a tangente <lb></lb>respondentis <lb></lb>in certa <lb></lb>ratione ad <lb></lb>arcum <lb></lb>proprium.</s></p> <p type="main"> <s>Recta igitur AH ad arcum BED est ut 3 ad 5. Arcus <lb></lb>vero BED ad rectam DO erat ut 8 ad 3; ergo, per per<lb></lb>turbatam, recta AH ad DO erit ut 8 ad 5. Sed etiam AD <lb></lb>ad DI ob tangentem OI et ob talem parabolam est ut 8 <lb></lb>ad 5, nempe BA ad DI, erit ut 8 ad 5, ergo triangula <lb></lb>BAH, IDO, sunt aequiangula, et angulus DOI, aequalis <lb></lb>est angulo AHB, sive alterno TBH. Reliquum ut in alijs. <pb pagenum="384"></pb> <arrow.to.target n="marg445"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg445"></margin.target>★</s></p> <p type="main"> <s>Esto AB linea pro extensione temporis [Fig. 29], et <lb></lb>fiat ad diametrum AB semiparabola ACD talis ut dignitas <lb></lb>applicatarum habeat pro exponente expo</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 29].<lb></lb>nentem radiorum spiralis; pro diametrali<lb></lb>bus vero habeat exponentem quia aequa</s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg446"></arrow.to.target><lb></lb>lis sit differentiae exponentium spiralis. </s><s><lb></lb>In nostro ergo casu erunt cubi applicata<lb></lb>rum ut quadrata diametralium. </s><s>Sumatur L <lb></lb>utcumque et compleatur parallelogram<lb></lb>mum LF. Dividatur ratio BA ad AL in <lb></lb> <arrow.to.target n="marg447"></arrow.to.target><lb></lb>totidem partes quot unitates habebit <lb></lb>exponens applicatarum: multiplicetur <lb></lb>vero eodem toties quot unitates erunt in <lb></lb>exponente diametralium. </s><s>In nostro casu <lb></lb>ratio BA ad AL secta est in tres partes; eadem vero <lb></lb>duplicata est in terminis BA, AL, AH. Tum etiam ratio <lb></lb>LA ad AH secetur, sive si plures fuerint secentur simi<lb></lb>liter ut secta erit ratio BA ad AL. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg446"></margin.target>Regula.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg447"></margin.target>Regula.</s></p> <p type="main"> <s>Parabola quaelibet DAB ad parabolam sui partem CAL <lb></lb>rationem habet compositam ex ratione rectae DB ad CL, <lb></lb>et rectae BA ad AL. </s></p> <p type="main"> <s>Cubus DB ad CL est ut quadratum BA ad AL, per <lb></lb>suppositionem, sive ut recta BA ad AH per constructio<lb></lb>nem, sive ut cubus BA ad AT; ergo recta DB ad CL est <lb></lb>ut recta BA ad AT; ergo ratio parabolae DAB ad pa<lb></lb>rabolam CAL componitur primo ex ratione rectae BA <lb></lb>ad AT. Deinde ex ratione rectae BA ad AL, sive TA ad <lb></lb><expan abbr="Aq.">Aque</expan> Quare parabola DAB ad CAL erit ut recta BA ad AO, <lb></lb>nempe ut quadratocubus BA ad quadratocubum AV. Ratio <lb></lb>vero triplicata parabolae DAB ad parabolam CAL erit ut <lb></lb>quadratocubus BA ad AL. </s></p> <p type="main"> <s>Supponamus iam moveri aliquod mobile super recta <lb></lb>linea, motu accelerato ita ut eius velocitates singulis mo<lb></lb>mentis temporis AB sint ut applicatae in parabola DAB. <lb></lb>Si sumatur quodlibet punctum in tempore L, erit spatium <lb></lb>peractum tempore AB ad spatium peractum tempore AL <lb></lb>ut omnes gradus velocitates ad omnes gradus velocitatis, <lb></lb>nempe ut parabola DAB ad CAL. Cubi vero spatiorum <lb></lb>sive ratio triplicata spatiorum eadem erit atque ratio tri- <pb pagenum="385"></pb>plicata parabolarum, nempe cubi spatiorum decursorum <lb></lb>erunt ut quadratocubus BA ad AL, nempe ut quadrato<lb></lb>cubi temporum. </s><s>Tale igitur mobile super sua recta movetur <lb></lb>secundum eandem legem penitus atque punctum illud mo<lb></lb>bile quod decurrit per semidiametrum AL in figura spiralis. </s></p> <p type="main"> <s>Sumatur in figura parabolae quodlibet tempus AL, et <lb></lb>supponamus mobile nostrum tempore AL motu accelerato, <lb></lb>nempe cum omnibus gradibus velocitatis in parabola CAL <lb></lb>contentis decurrisse spatium ZY. Quaerimus si idem mo<lb></lb>bile eodem tempore moveatur motu aequabili, nempe sem<lb></lb>per cum ultimo gradu velocitatis, quem representat ap<lb></lb>plicata LC, quaerimus inquam quantum spatij percurret. </s><s><lb></lb>Spatium peractum motu aequabili ad spatium peractum <lb></lb>motu accelerato erit ut omnes gradus velocitatis illius ad <lb></lb>omnes gradus velocitatis istius, hoc est ut parallelogram<lb></lb>mum FL ad parabolam CAL, nempe in nostro casu ut 5 <lb></lb>ad 3. Quod promiseramus ad signum. ★ Etc. </s><s>etc. </s></p> <p type="main"> <s>Esto spiralis [v. </s><s>Fig. 28 p. 382] ABC cuius centrum A <lb></lb> <arrow.to.target n="marg448"></arrow.to.target><lb></lb>initialis vero linea AP <emph type="italics"></emph>et sint cubi radiorum, ut quadrato<lb></lb>quadrata temporum.<emph.end type="italics"></emph.end></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg448"></margin.target>Linea et <lb></lb>sectio arcus.</s></p> <p type="main"> <s>Sumatur punctum aliquod C, ductoque radio AC et <lb></lb> <arrow.to.target n="marg449"></arrow.to.target><lb></lb>facto arcu CVP, <expan abbr="anguloq.">anguloque</expan> PAF recto ponatur AF dia<lb></lb>meter parabolae ita ut arcus PVC ad rectam AF sit ut <lb></lb>aggregatum amborum spiralis exponentium ad exponen<lb></lb>tem radiorum; nempe ut 7 ad 3. Completo vero rectangulo <lb></lb> <arrow.to.target n="marg450"></arrow.to.target><lb></lb>PAF fiat circa diametrum AF talis semiparabola, ut expo<lb></lb>nens applicatarum, sit aequalis utrique exponenti spiralis, <lb></lb>diametralium vero exponens sit aequalis exponenti tem<lb></lb>porum spiralis: et erunt in casu nostro ille 7, iste vero 4. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg449"></margin.target>Regula.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg450"></margin.target>Regula.</s></p> <p type="main"> <s>Quadratoquadratum CVP ad LVP est per suppositio<lb></lb>nem ut cubus PA ad AD; at quadratoquadratum LVP <lb></lb>ad BED est ut quadratoquadratum PA ad quadratoqua<lb></lb>dratum AD; ergo quadratoquadratum CVP ad BED erit <lb></lb>ut cuboquadratoquadratum PA ad cuboquadratoquadra<lb></lb>tum AD, nempe ut quadratoquadratum PG ad DO ob <lb></lb>positionem talis parabolae; ergo etiam arcus CVP ad ar<lb></lb>cum BED erit ut recta PG ad DO; et permutando videbis <lb></lb>arcum BED ad rectum DO esse ut 7 ad 3. <pb pagenum="386"></pb> <arrow.to.target n="marg451"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg451"></margin.target>Tangens sive <lb></lb>sectio rectae <lb></lb>ad arcum re<lb></lb>spondentis.</s></p> <p type="main"> <s>In puncto B duo impetus sunt. </s><s>Cum impetu progres<lb></lb>sivo, motu aequabili, et tempore eodem quo venit ex A <lb></lb>in B curreret sesquitertiam rectae BA (ut infra ostendam) <lb></lb>cum impetu vero circulari eodem tempore quo venit ex A <lb></lb>in B, si figeretur in semidiametro AL, <expan abbr="spoliareturq.">spoliareturque</expan> omni <lb></lb>impetu progressivo percurreret arcum BED; ergo sesqui<lb></lb>tertia rectae BA ad arcum BED est ut impetus directus <lb></lb>puncti B ad impetum circularem eiusdem. </s><s>Sed cum BH <lb></lb>ponatur tangens etiam BA ad AH eandem habet rationem <lb></lb>quam impetus rectus sive progressivus habet ad impetum <lb></lb>circularem; ergo sesquitertia rectae BA ad arcum BED <lb></lb>est ut ipsa BA ad AH; et permutando videbis arcum <lb></lb>BED ad rectam AH esse ut 4 ad 3. </s></p> <p type="main"> <s>Recta igitur AH ad arcum BED est ut 3 ad 4. Arcus <lb></lb>vero BED ad rectam DO erat ut 7 ad 3; ergo, per per<lb></lb>turbatam, recta AH ad DO erit ut 7 ad 4. </s></p> <p type="main"> <s>Sed etiam AD ad DI ob tangentem OI et ob talem <lb></lb>parabolam est ut 7 ad 4, sive BA ad DI est ut 7 ad 4; <lb></lb>ergo triangula BAH, IDO sunt aequiangula, et angulus <lb></lb>DOI aequalis est angulo AHB, sive alterno TBH. Reli<lb></lb>quum ut in alijs. </s></p> <p type="main"> <s>Esto [Fig. 30] AB extensio temporis et ACD parabola </s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg452"></arrow.to.target><lb></lb>cubica, <expan abbr="moveaturq.">moveaturque</expan> mobile aliquod ita ut velocitates eius <lb></lb>singulis temporis momentis sint ut lineae </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg452"></margin.target>☽ <lb></lb>☽</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 30].<lb></lb>applicatae in semiparabola BACD. Acci<lb></lb>piatur quodlibet punctum E et complea<lb></lb>tur parallelogrammum EF. Ponantur <lb></lb>etiam AI, AH duae mediae inter AB, AE <lb></lb>et erit in parabola cubica ut recta DB <lb></lb>ad CE, ita recta BA ad AI. </s></p> <p type="main"> <s>Mobile ergo quod movetur ea lege ut <lb></lb>singulis temporis momentis eius veloci<lb></lb>tates sint quaemadmodum, sunt applica<lb></lb>tae ad singula puncta diametri AB con<lb></lb>ficiet spatia, quae inter se erunt ut omnes <lb></lb>velocitatum gradus quibus peracta fuerint praedicta spatia, <lb></lb>nempe spatium peractum tempore AB ad spatium perac<lb></lb>tum tempore AE erit ut omnes lineae parabole DCAB ad <pb pagenum="387"></pb>omnes lineas parabolae CAE, hoc est ut ipsa parabola <lb></lb>ad parabolam, nempe (in casu nostro) ut quadratoquadra<lb></lb>tum DB ad CE, sive ut quadratoquadratum BA ad AI. <lb></lb>Ergo ratio triplicata spatiorum, nempe cubi spatiorum <lb></lb>erunt ut quadratoquadratum BA ad AE. Mobile igitur <lb></lb>quod movetur secundum praescriptam legem, peragit quae<lb></lb>dam spatia, et cubi spatiorum inter se sunt ut quadrato<lb></lb>quadrata (?) temporum. </s><s>Tale prorsus est mobile quod spi<lb></lb>ralem describit, et eadem lege movetur super recta, quae <lb></lb>circumferetur circa centrum spiralis. </s></p> <p type="main"> <s>Sumatur iam quodlibet tempus AE, et moveatur pri<lb></lb>mum mobile tempore AE sed cum omnibus velocitatibus <lb></lb>COAE. Deinde moveatur eodem tempore, sed cum omni<lb></lb>bus velocitatibus EF motu aequabili, sumpto scilicet ul<lb></lb>timo velocitatis gradu pro immutabili; erit spatium hoc <lb></lb>ad spatium illud ut parallelogrammum EF ad parabolam, <lb></lb>nempe in casu nostro ut 4 ad 3; ergo in spirali punctum <lb></lb>B eodem tempore, quo venerat ex A in B dum movebatur <lb></lb>motu accelerato, eodem in quam tempore si moveatur motu <lb></lb>aequabili cum gradu illo velocitatis immutabilis quam ha<lb></lb>bet in loco B, percurret spatium sesquitertium ad spatium <lb></lb>AB. Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lineam spiralem <lb></lb>aequalem esse Lineae cuidam parabolicae.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Esto spiralis [v. </s><s>Fig. 28] ABC cuius centrum A initium <lb></lb>vero AP, et <emph type="italics"></emph>sint radij ipsi ut quadrata temporum<emph.end type="italics"></emph.end> et su<lb></lb>matur in ea punctum quodvis C fiat angulus PAF rectus, <lb></lb>et ponatur AF in casu nostro quae sit 1/3 arcus PVC, <lb></lb>ab aggregato exponentium. </s></p> <p type="main"> <s>Completo rectangulo PAFG, fiat circa diametrum AF <lb></lb>parabola AOG talis ut exponens applicatarum aequalis sit <lb></lb><expan abbr="utriq.">utrique</expan> exponenti spiralis, diametralium vero exponens ae<lb></lb>qualis sit exponenti temporum spiralis. </s><s>Dico lineam spi<lb></lb>ralem huic parabolicae esse aequalem. </s></p> <p type="main"> <s>Accipiatur sive in parabola, sive in spirali, sive potius <lb></lb>in recta AP quodvis punctum D et demissa DO, ducto- <pb pagenum="388"></pb>que arcu DEB et radio BA fiat angulus BAH rectus et <lb></lb>BH sit spiralis tangens. </s></p> <p type="main"> <s>Diameter AF parabolae AOG ad arcum CVP debet <lb></lb>esse ut exponens radiorum ad exponentium amborum sum<lb></lb>mam etc. </s></p> <p type="main"> <s>Certum est impetum puncti B spiralem describentis in <lb></lb>loco B ex duplici impetu, recto scilicet per radium AB, et <lb></lb>circulari; et quia BH est tangens lineae motus et angulus <lb></lb>BAH rectus, erit impetus progressivus, sive rectus ad im<lb></lb>petum circularem ut linea BA ad AH. </s></p> <p type="main"> <s>Sed eodem tempore quo punctum B motu accelerato <lb></lb>meavit AB, si eadem velocitate quam habet in B motu <lb></lb>aequabili perseveraret, duplam ipsius BA percurreret (ut <lb></lb> <arrow.to.target n="marg453"></arrow.to.target><lb></lb>ostendemus infra) eodem etiam tempore percurreret ar<lb></lb>cum BED, nam illo prorsus tempore radius AB permeavit <lb></lb>arcum DEB; ergo impetus rectus ad circularem est ut <lb></lb>dupla ipsius BA ad arcum BED. Necesse est igitur rectam <lb></lb>AH semissem esse arcus BED. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg453"></margin.target>☽</s></p> <p type="main"> <s>Quadratum arcus CLP ad quadratum LP est ut radius <lb></lb>PA ad radium AD per suppositionem. </s><s>Quadratum vero <lb></lb>arcus LVP ad quadratum arcus BED est ut quadratum <lb></lb>PA ad quadratum AD, ergo quadratum arcus CVP ad <lb></lb>quadratum BED erit ut cubus PA ad AD, sive ut qua<lb></lb>dratum PG ad DO ob suppositionem; et permutando, con<lb></lb>vertendoque erit DO ad DEB ut PG ad PVL, nempe ut 2 <lb></lb>ad 6 et ideo eadem DO ad AN erit ut 2 ad 3. Esto OI <lb></lb>tangens parabolae, et erit, in nostro casu, ID ad DA sive <lb></lb>ad AB ut 2 ad 3. Et anguli ad A et a D sunt recti, ergo <lb></lb>triangula IDO, BAH sunt aequiangula, et angulus DOI <lb></lb>aequalis angulo AHB, sive angulo TBH (ducta scilicet <lb></lb>BT quae circulum tangat in B) ergo recta DO cum eadem <lb></lb>inclinatione secat parabolam in O, cum qua inclinatione <lb></lb>arcus DEB secat spiralem in B; et hoc verum erit semper, <lb></lb>ubicumque sit punctum D; ergo omnia et singula puncta <lb></lb>parabolae AOG aequalia sunt et numero et magnitudine, <lb></lb>sive specie omnibus punctis spiralis DEB, propterea para<lb></lb>bolica linea AOG equalis erit lineae spirali DEB. </s></p> <p type="main"> <s>Quod promisimus patet in hoc casu. </s><s>Nam motus puncti <lb></lb>super AB est motus quidem acceleratus, atque idem pror- <pb pagenum="389"></pb>sus cum motu gravium naturaliter descendentium; siqui<lb></lb>dem spatia ab ipso puncto peracta, hoc est radij ipsi inter <lb></lb>se per suppositionem sunt ut temporum quadrata. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lineam spiralem parabolicae aequalem.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Esto spiralis [v. </s><s>Fig. 28] ABC cuius centrum A, ini<lb></lb>tialis vero linea AP <emph type="italics"></emph>et sint quadrata radiorum ut cubi <lb></lb>temporum.<emph.end type="italics"></emph.end> Sumatur in ea punctum quodlibet C, factoque <lb></lb>arcu circuli PVC fiat angulus PAF rectus, <emph type="italics"></emph>et ponatur AF <lb></lb>ita ut arcus CVP ad rectam AF sit ut 5 ad 2.<emph.end type="italics"></emph.end> Tum com<lb></lb>pleto rectangulo PF fiat parabola AOG circa diametrum <lb></lb>AF iuxta regulam, nempe ut exponens applicatarum ad <lb></lb>AF aequalis sit <expan abbr="utriq.">utrique</expan> exponenti spiralis, exponens vero <lb></lb>diametralium aequalis sit exponenti temporem spiralis; et <lb></lb>sumpto puncto D utcunque compleatur figura de more. </s></p> <p type="main"> <s>Tempora radiorum AC, AB sunt arcus CVE, LVP; <lb></lb> <arrow.to.target n="marg454"></arrow.to.target><lb></lb>ergo cubus CVP ad cubum LVP erit per suppositionem <lb></lb>ut quadratum PA ad AD; cubus vero LVP ad cubum <lb></lb>BED est ut cubus PA ad AD; ergo cubus CVP ad cu<lb></lb>bum BED est ut quadratocubus PA ad quadratocubum <lb></lb>AD, sive ut cubus PG ad cubum DO per suppositionem <lb></lb>talis parabolae; ergo etiam arcus CVP ad arcum BED <lb></lb>erit ut recta PG ad rectam DO, et permutando habebi<lb></lb>mus arcum BED ad rectam DO esse ut 5 at 2, vel ut <lb></lb>15 ad 6. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg454"></margin.target>Quadratura.</s></p> <p type="main"> <s>Velocitas progressiva puncti B ad velocitatem latera<lb></lb> <arrow.to.target n="marg455"></arrow.to.target><lb></lb>lem sive circularem eiusdem est ut sesquialtera ipsius BA <lb></lb>ad arcum BED (ostendemus infra); sed quia BH tangens <lb></lb>est lineae spiralis, eodem velocitas directa ad velocitatem <lb></lb>circularem est ut recta BA ad AH; ergo ut sesquialtera <lb></lb>ipsius BA ad arcum BED ita BA ad AH propterea arcus <lb></lb>BED erit sesquialter rectae AH. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg455"></margin.target>Lemmate <lb></lb>indiget.</s></p> <p type="main"> <s>Recta ergo AH ad arcum BED est ut 10 ad 15; arcus <lb></lb>vero BED ad rectam DO est ut 15 ad 6, ex demonstratis; <lb></lb>ergo ex aequo recta AH ad DO erit ut 10 ad 6, sive ut <lb></lb>5 ad 3. Sed etiam <emph type="italics"></emph>AD ad DI ob tangentem OI, et ob talem <lb></lb>suppositam parabolam<emph.end type="italics"></emph.end> est ut 5 ad 3, ergo et BA ad ID <lb></lb> <arrow.to.target n="marg456"></arrow.to.target><lb></lb>erit ut 5 ad 3. Anguli vero ad D et ad A sunt recti; <pb pagenum="390"></pb>propterea triangula IDO, BAH sunt aequiangula, et an<lb></lb>gulus DOI aequalis angulo AHB, sive alterno TBH; reli<lb></lb>quum concluditur ut in reliquis factum est. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg456"></margin.target>Lemmate <lb></lb>indiget.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>★ Sit [Fig. 31] AB extensio temporis, et moveatur <lb></lb>mobile aliquod ex lege ut singulis temporis AB mo<lb></lb>mentis velocitates ipsius sint ut appli</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 31].<lb></lb>catae ad lineam AB. Notum autem, sive <lb></lb>datum sit (ut in nostro casu) quadrata <lb></lb>spatiorum peractorum inter se esse ut <lb></lb>cubi temporum. </s><s>Sumatur quodlibet punc<lb></lb>tum C et compleantus parallelogrammo <lb></lb>BG, CF. Certum est spatium peractum a <lb></lb>mobile velocitate BE et tempore AB, ad <lb></lb>spatium peractum cum velocitate CD <lb></lb>tempore AC rationem habere compositam <lb></lb>ex ratione velocitatum et ex ratione tem<lb></lb>porum homologe, nempe esse ut paralle<lb></lb>logrammum BG ad parallelogrammum <lb></lb>CF. In nostro casu igitur datur hoc quod quadratum <lb></lb>spatij BG ad quadratum spatij CF, sive rationem dupli<lb></lb>cata spatij BG ad CF esse eandem atque cubi BA ad AC. <lb></lb>Ergo spatium ipsum BG ad CF erit ut cubus BA ad cu<lb></lb>bum mediae proportionalis AI. Sed haec proprietas est <lb></lb>parabolae quadraticae, in qua BG ad CF est ut cubus BE <lb></lb>ad CD sive quod in ea idem est ut cubus BA ad AI; ergo <lb></lb>omnes illae applicatae sunt in figura parabolica quadra<lb></lb>tica cuius diameter AB. Si, ergo, mobile moveatur motu <lb></lb>aequabili cum gradu velocitatis puta CD tempore AC per<lb></lb>curret spatium aliquod. </s><s>Quando vero moveatur cum omni<lb></lb>bus gradibus velocitatum AODC eodem tempori AC per<lb></lb>currebat aliquod spatium; habebit ergo spatium illud ad <lb></lb>hoc spatium, quia eodem tempore AC peraguntur, ean<lb></lb>dem rationem, quam omnes velocitatum gradus ad omnes <lb></lb>velocitatum gradus, hoc est quam habet parallelogram<lb></lb>mum FC ad semiparabolam DOAC, nempe in nostro casu <lb></lb>sesquialteram. </s></p> <pb pagenum="391"></pb> <p type="main"> <s>Repete figuram principalem propositionis. </s><s>Punctum B <lb></lb>movetur ea lege ut suppositum est in praecedenti lem<lb></lb>mate. </s><s>Ergo eodem tempore quo peragit spatium AB motu <lb></lb>accelerato, si moveatur motu aequabili cum ultimo illo <lb></lb>gradu velocitatis quam habet in B percurret spatium ses<lb></lb>quialterum rectae BA; eodem vero tempore si penitus <lb></lb>spoliaretur velocitate hac progressiva, et figatur in semi<lb></lb>diametro AL, movebitur puro motu circulari, et eodem <lb></lb>tempore quo venerat ex A in B, sive eodem tempore quo <lb></lb>radius AP venera in AL, punctum A percurret arcum <lb></lb>BED. Cum itaque uno eodemque tempore peragat ses<lb></lb>quialteram rectae BA et arcum BED, patet quod promi<lb></lb>simus ad signum. ★ </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lineam spiralem aequalem esse Parabolae.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> <arrow.to.target n="marg457"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg457"></margin.target>Linea <lb></lb>prima A.</s></p> <p type="main"> <s>Esto spiralis Archimedea [v. </s><s>Fig. 28 p. 382] ABC, cuius </s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg458"></arrow.to.target><lb></lb>centrum A, initium vero AP, et in ea sumatur quodlibet <lb></lb>punctum C, <expan abbr="factoq.">factoque</expan> arcu circuli PAC, fiat angulus PAF <lb></lb>rectus, et AF ponatur aequalis semissi arcus DEB, et com<lb></lb>pleto rectangulo PF fiat circa diametrum AF parabola <lb></lb>quadratica conica AOG. Dico spiralem lineam ABC ae<lb></lb>qualem esse parabolicae AOG. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg458"></margin.target>La narrativa <lb></lb>quì è meglio <lb></lb>che la se<lb></lb>gnata 2.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> B.</s></p> <p type="main"> <s>Sumatur vel in spirali vel in parabolica quodvis punc<lb></lb>tum; seu potius in recta AP, et sit punctum D ex quo <lb></lb>demittatur DO parallela ad AF et OI tangat parabolam <lb></lb>in O; agatur etiam ex D arcus circuli DEB, et ducatur <lb></lb>radius BA, factoque angulo BAH recto sit AH tangens <lb></lb>ad spiralem, ipsa vero AT tangat arcum BED. </s></p> <p type="main"> <s>Arcus CVP ad LVP est ut tempus ad tempus, nempe <lb></lb> <arrow.to.target n="marg459"></arrow.to.target><lb></lb>ut radius CA ad BA, sive PA ad AD, arcus vero LVP ad <lb></lb>BED est ut PA ad AD; ergo ratio arcus CVP ad BED <lb></lb>componitur ex rationibus FA ad AD, et PA ad AD, <lb></lb>nempe est ut quadratum PA ad quadratum AD, sive ut <lb></lb>recta PG ad DO ob suppositionem parabolae quadraticae; <lb></lb>et permutando ut arcus CVP ad rectam PG (quae ratio <lb></lb>dupla est) ita arcus BED ad rectam DO; ergo recta DO <lb></lb>semissis est arcus BED; arcus vero BED; aequalis est <lb></lb> <arrow.to.target n="fig239"></arrow.to.target><lb></lb>rectae AH ex Archimede (lo potiamo dimostrare ancor <pb pagenum="392"></pb>noi); ergo recta DO semissis erit rectae AH. Ipsa vero ID <lb></lb>in parabola quadratica subdupla est ipsius AD, sive ipsius <lb></lb>BA et anguli ad D et ad A sunt recti, ergo triangula <lb></lb>IDO, BAH sunt aequiangula, et angulus O aequalis est <lb></lb>angulo H, sive potius angulo TBH. Ergo cum eadem in<lb></lb>clinatione etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg459"></margin.target>Quadratura.</s></p> <figure id="fig239"></figure> <figure></figure> <p type="main"> <s>In puncto B spiralem lineam describente duo impetus <lb></lb>insunt alter immutabilis progressivus secundum quem per<lb></lb>currit radium AB, alter vero circularis arithmetice acce<lb></lb>leratus, secundum quem movetur circa centrum A. Ratio <lb></lb>quam habet alter ad alterum haec arte manifesta fiet. </s><s>Si <lb></lb>punctum B in loco B omni circulari impetu spoliaretur <lb></lb>eodem tempore quo pervenit ex A in B recurret ex B <lb></lb>in A super manente recta BA, si cum suo impetu pro<lb></lb>gressivo immutabili moveretur. </s><s>At si idem punctum omni <lb></lb>progressivo impetu spoliaretur figereturque in extremo <lb></lb>rectae AB puncto, tunc circulari motu puro moveretur, <lb></lb>et quo tempore venerat ex A in B, eodem prorsus tem<lb></lb>pore ad circumvolutionem radij AB moveretur per arcum <lb></lb>BED motu aequabili, et eodem prorsus tempore quo per<lb></lb>currebat motu puro progressivo aequabili rectam BA, <lb></lb>percurreret motu puro circulari aequabili arcum BED; <lb></lb>ergo impetus progressivus puncti B in loco B ad impetum <lb></lb>circularem, sive lateralem, eiusdem in loco B est ut recta <lb></lb>BA ad arcum BED. </s></p> <p type="main"> <s>At quoniam AH ponitur tangere spiralem omnino im<lb></lb>petus progressivus, et directus puncti B ad impetum la<lb></lb>teralem, sive circularem eiusdem erit ut recta BA ad AH. <lb></lb>Ergo recta BA ad AH est ut recta eodem BA ad arcum <lb></lb>BED, quare aequalis est recta AH arcui BED. Quod <lb></lb>volebam. </s></p> <pb pagenum="393"></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Per quadrar le spirali d'Archimede in particolare, <lb></lb>e per investigare il metodo universale per tutte.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="italics"></emph>Esto spiralis Archimedea<emph.end type="italics"></emph.end> [Fig. 32] AIBC cuius initium <lb></lb>A, et facta figura etc. </s></p> <p type="main"> <s>Dico arcuatam DL ad sectorem </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 32].<lb></lb>BAM magis quam duplam esse. </s><s>Ar<lb></lb>cuatum vero CL ad eundem secto<lb></lb>rem minus quam duplum esse. </s></p> <p type="main"> <s>Accipiatur punctum E, ita ut ar<lb></lb>cus CE, EO, ED sint in continua <lb></lb>ratione et quia primus CE maior est <lb></lb>tertio ED, erit et secundus OE maior <lb></lb>quam ED sed minor quam CE pa<lb></lb>tet etiam quod p.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> et 2.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> simul CEO <lb></lb>ad 2.<emph type="sup"></emph>am<emph.end type="sup"></emph.end> et 3.<emph type="sup"></emph>am<emph.end type="sup"></emph.end> simul OED erit ut p.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> CE ad 2.<emph type="sup"></emph>am<emph.end type="sup"></emph.end> EO. </s></p> <p type="main"> <s>Iam sector DAC ad BAM est ut quadratum DA ad <lb></lb>AB, sive ut quadratum OA ad AL, sive ut quadratum <lb></lb>arcus CO ad OD, vel quadratum arcus CE ad EO, nempe <lb></lb>ut ipsi arcus CE ad CD, sive ut arcuatum CI ad DI; et <lb></lb>dividendo ut arcuatum CB ad sectorem BAM, ita idem <lb></lb>CB ad BE. Ergo aequalis est sector BAM arcuato DI; <lb></lb>sed EL maius est quam DI; ergo patet primum propo<lb></lb>situm. </s><s>Adde commune arcuatum DM, et erit sector DAC <lb></lb>aequalis arcuato CI; sed EL minus est quam CI: ergo <lb></lb>patet secundum. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Segue in un'altra.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 33].</s></p> <p type="main"> <s>Esto spiralis eius speciei, <emph type="italics"></emph>ut qua<lb></lb>drata radiorum sint quaemadmodum <lb></lb>ipsa tempora sive anguli,<emph.end type="italics"></emph.end> et ponatur <lb></lb>facta figura. </s><s>Dico arcuatum [Fig. 33] <lb></lb>IE aequale esse sectori BAL, addito <lb></lb>vero communi IL arcuatum CE ae<lb></lb>quale esse sectori IAC. </s></p> <p type="main"> <s>Nam sector IAC ad BAL est ut <lb></lb>quadratum CA ad AB, sive ut arcus CD ad DI, nempe <pb pagenum="394"></pb>ut arcuatum CE ad EI, et dividendo arcuatum CB ad <lb></lb>sectorem BAL erit ut idem CB ad BD; ergo patet pri<lb></lb>mum propositum. </s></p> <p type="main"> <s>Secundum vero manifestum est addito communi CB. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Segue in un'altra.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Esto spiralis ABC cuius centrum [Fig. 34] A, eius spe<lb></lb>ciet ut <emph type="italics"></emph>cubi radiorum sint quaemadmodum tempora ipsa.<emph.end type="italics"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Dico sectorem BAP ad arcuatum </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 34].<lb></lb>OE maiorem habere rationem quam <lb></lb>3 ad 2. Sectorem vero OAC ad ar<lb></lb>cuatum CE minorem quam 3 ad 2. </s></p> <p type="main"> <s>Divisa supponatur. </s></p> <p type="main"> <s>Dividatur ratio arcus CD ad ar<lb></lb>cum DO in tria aequalia, sumptis <lb></lb>duobus medijs FOD, HOD. </s></p> <p type="main"> <s>Iam cubus CA ad AB est ut ar<lb></lb>cus COD ad OD, per suppositionem, <lb></lb>sive ut cubus CD ad FD ergo et quadratum CA ad AB est <lb></lb>ut quadratum CD ad FD, sive ut ipse arcus CD ad HD, vel <lb></lb>ut arcus FD ad OD, sive ut arcuatum FE ad OE. Sector <lb></lb>ergo OAF ad BAL est ut arcuatum FE ad OE, et divi<lb></lb>dendo erit arcuatum FB ad sectorem BAL ut ad arcuatum <lb></lb>OE. Ergo aequalis est sector BAL arcuato OE nempe ut 2 <lb></lb>au 3; et sector BAP ad OE erit maius quam ut 3 ad 2. </s></p> <p type="main"> <s>Sector CAH ad PAI est ut quadratum CA ad AP, sive <lb></lb>ut quadratum CD ad FD, sive ut linea CD ad HD, sive ut <lb></lb>arcuatum CE ad HE; et per conversionem rationis videbis <lb></lb>aequalem esse sectorem CAH arcuato CE, nempe ut 2 <lb></lb>ad 2; ergo sector CAO ad arcuatum CE erit minus quam <lb></lb>2 ad 3 etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Segue in altra.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> <arrow.to.target n="marg460"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg460"></margin.target>Il radio <lb></lb>sempre si <lb></lb>muove <lb></lb>aequabile <lb></lb>in tutte.</s></p> <p type="main"> <s>Esto spiralis cuius centrum [Fig. 35] A eiusmodi ut <lb></lb>sint <emph type="italics"></emph>cubi radiorum quaemadmodum quadrata temporum.<emph.end type="italics"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Dico sectorem BAO ad arcuatum BM minorem esse <lb></lb>quam ut 3 ad 4. Sectorem vero CAD ad arcuatum CL <lb></lb>maiorem esse quam ut 3 ad 4. </s></p> <pb pagenum="395"></pb> <p type="main"> <s>Divisa sit ratio CM ad DM in </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 35].<lb></lb>tres aequales sumptis duobus medijs <lb></lb>et ut CM ad DM ita sit DM ad MO. <lb></lb>Et sumantur item duo media GM, <lb></lb>PM et continuetur ratio FM, CM, HM. </s></p> <p type="main"> <s>Cubus CA ad AB ex suppos. </s><s>est <lb></lb>ut quadratum CM ad DM; sive ut li<lb></lb>nea CM ad OM, sive ut cubus CM <lb></lb>ad EM, vel ut cubus HM ad FM. <lb></lb>Ergo quadratum CA ad AB, sive sector HAD ad NAB, erit <lb></lb>ut quadratum HM ad FM, nempe ut linea HM ad DM, sive <lb></lb>ut arcuatum HL ad DL; et dividendo videbis sectorem <lb></lb>NAB aequalem arcuato BM, nempe ut 4 ad 4, ergo sector <lb></lb>OAB ad idem BM minus erit quam 3 ad 4. Sector vero <lb></lb>CAG ad OAI est in eadem ratione ut supra, nempe ut </s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg461"></arrow.to.target><lb></lb>linea HM, ad DM, sive ut linea CM ad GM, vel ut arcua<lb></lb>tum CL ad GL et per conversionem rationis videbis aequa<lb></lb>lem sectorem CAG arcuato CL, nempe ut 4 ad 4. Propte<lb></lb>rea sector CAD ad idem CL magis erit quam 3 ad 4. </s></p> <p type="margin"> <s><foreign lang="it"><margin.target id="marg461"></margin.target>Quel che <lb></lb>manca nel <lb></lb>corpo della <lb></lb>dimostra<lb></lb>zione <lb></lb>sarà dopo. </foreign></s> <s><lb></lb>Non occorre.</s></p> <p type="main"> <s>Spiralis possunt quadrari etiam more Archimedis, sive <lb></lb>potius Pappi Alexandrini. </s><s>Supposita prius parabolarum at<lb></lb>que earundem conoideorum mensura. </s></p> <p type="main"> <s>Esto spiralis [Fig. 36] ABC, ex qua accipiatur ex cen<lb></lb>tro A quaelibet pars sive sit una revolutio sive non. <expan abbr="Sintq.">Sintque</expan> </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 36].</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 37].<lb></lb>cubi radiorum ut quadrata temporum. </s><s>Ponatur parabola <lb></lb>[Fig. 37] DKE ita ut habeat diametralium dignitates <pb pagenum="396"></pb>easdem cum dignitatibus temporum; dignitates vero ap<lb></lb>plicatarum easdem cum dignitatibus radiorum. </s></p> <p type="main"> <s>Dico circulum, sive sectorem circuli, ad portionem <lb></lb>spatij spiralis sibi respondentem (questo però quando non <lb></lb>passi una revoluzione, allora vi si penserà meglio) esse ut <lb></lb>cylindrus ad conoidem. </s></p> <p type="main"> <s>Nisi enim sit ita erit spirale spatium vel minus vel <lb></lb>maius quam in dicta ratione. </s></p> <p type="main"> <s>Esto primum minus, atque ipsi circumscribatur figura <lb></lb>ex sectoribus aequiangulis, ita ut etiam figura circum<lb></lb>scripta sit minor quam in dicta ratione (hoc fieri posse <lb></lb>constat et ex Archimede et more solito apud Geometras <lb></lb>notissimo). Dividatur deinde axis DF in totidem partes <lb></lb>aequales quot erunt sectores circumscripti. <lb></lb> <arrow.to.target n="marg462"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg462"></margin.target> <arrow.to.target n="fig240"></arrow.to.target></s></p> <figure id="fig240"></figure> <p type="main"> <s>Iam primus sector circuli CAL ad primum sectorem <lb></lb>circumscriptum CAL est ut primus cylindrus ex FS ad <lb></lb>primum cylindrum conoidi circumscriptum factum ex FS <lb></lb>ob aequalitatem. </s><s>Secundus vero circuli sector LAM ad <lb></lb>secundum sectorem circumscriptum GAN est ut quadra<lb></lb>tum LA ad AG, sive ut quadratum RS ad RI, vel ut se<lb></lb>cundus cylindrus ex PS ad secundum cylindrum conoidi <lb></lb>circumscriptum ex PI factum. </s><s>Sic procedemus in omnibus <lb></lb>reliquis tum sectoribus, tum cylindris. </s><s>Tandem ultimus <lb></lb>circuli sector CAV ad ultimum ZAY circumscriptum est <lb></lb>ut cylindrus ex DQ ad DK. <expan abbr="Suntq.">Suntque</expan> omnes magnitudines <lb></lb>primi ordinis, nempe sectores circuli aequales inter se, <lb></lb>item omnes tertij ordinis, nempe omnes cylindri quorum <lb></lb>unus est ex FS aequales, ergo omnes primae hoc est in<lb></lb>teger circuli sector, sive circulus ad universam figuram <lb></lb>circumscriptam ex sectoribus compositam erit ut omnes <lb></lb>cylindri, sive ut integer cylindrus ex DE, ad figuram co<lb></lb>noidi circumscriptam ex cylindris compositam; et conver<lb></lb>tendo erat autem figura ex sectoribus circumscripta ad <lb></lb>circulum minor quam in ratione conoidis ad cylindrum, <lb></lb>ergo etiam figura conoidi circumscripta minor erit quam <lb></lb>in ratione conoidis ad cylindrum. </s><s>Quod est absurdum. </s></p> <p type="main"> <s>Esto deinde spirale spatium maius quam in dicta ra<lb></lb>tione si possibile est, atque ei inscribatur more solito <lb></lb>figura ex sectoribus aequiangulis constans, ita ut etiam <pb pagenum="397"></pb>figura inscripta ad circulum sive sectorem integralem ma<lb></lb>ior sit quam in dicta ratione. </s></p> <p type="main"> <s>Tum axis parabolae secetur ut supra in totidem partes <lb></lb>aequales inter se, in quot partes divisus erit sector inte<lb></lb>gralis vel circulus. </s></p> <p type="main"> <s>Iam sector integralis vel circulus ad sectorem cuius <lb></lb>arcus est ut cylindrus ex DE ad cylindrum ex <expan abbr="Fq.">Fque</expan> Sector <lb></lb>vero cuius arcus CMV ad universam figura inscriptam in <lb></lb>spatio spirali est ut cylindrus ex FQ ad universam figu<lb></lb>ram in conoide inscriptam ex cylindris constantem (quod <lb></lb>ostenditur penitus eodem modo ut supra factum est); ergo <lb></lb>ex aequo circulus, vel sector integralis ad universam figu<lb></lb>ram planam intra spirale spatium descriptam erit ut cy<lb></lb>lindrus ex DE ad universam figuram solidam in conoide <lb></lb>descriptam. </s><s>Et convertendo etc. </s><s>Sed figura plana in spirali <lb></lb>descripta ad circulum vel sectorem integralem maior erat <lb></lb>quam in ratione conoidis ad suum cylindrum, ergo etiam <lb></lb>figura solida intra conoides descripta maior erit quam in <lb></lb>ratione conoidis ad cylindrum. </s><s>Quod est impossibile. </s><s>Patet <lb></lb>ergo propositum. </s></p> <p type="main"> <s>Patet primo quamlibet semidiametrum LA ad suum <lb></lb>radium AG esse ut SR ad RI, si illae sumantur quae sibi <lb></lb>mutuo respondent. </s><s>Nam cubus LA ad AG, est ut cubus <lb></lb>CA ad AG, sive ut quadratum CMC </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 38].<lb></lb>ad quadratum CML, per suppositionem, <lb></lb>sive ut quadratum FD ad DR, ob con<lb></lb>structionem, nempe ut cubus EF ad RI <lb></lb>per suppositionem, sive ut cubus SR <lb></lb>ad RI. Ergo etiam recta LA ad AG <lb></lb>erit ut recta SR ad RI. Quod primo <lb></lb>oportebat ostendere. </s></p> <p type="main"> <s>Quando dignitates radiorum fuerint <lb></lb>minores dignitatibus temporum, tunc <lb></lb>parabola inversa quidem veniet [Fig. 38]; <lb></lb>sed nihil penitus ex ordine demonstra<lb></lb>tionis, sive figurarum immutabitur, ut videre est in appo<lb></lb>sito exemplo. </s></p> <pb pagenum="398"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Alius modus pro quadratura Spiralium, <lb></lb>supposita quadratura plana Parabolarum.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Esto spiralis [Fig. 39] ABC ita ut cubi radiorum sint <lb></lb>ut quadrata temporum. </s><s>Dico sectorem ADEC ad spatium <lb></lb>spiralem ABC esse duplum exponentis </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 39].<lb></lb>temporum cum exponente radiorum ad <lb></lb>exponentem radiorum, nempe ut 7 ad 3. </s></p> <p type="main"> <s>Ponatur DG aequalis peripheriae <lb></lb>DEC et completo parallelogrammo <lb></lb>ADGH esto parabola AFG cuius dia<lb></lb>meter AH, ita ut dignitas applicata<lb></lb>rum, sive exponens dignitatis applica<lb></lb>tarum aequalis sit utrique exponenti <lb></lb>spiralis. </s><s>Diametralium vero exponens <lb></lb>idem sit atque exponens temporum <lb></lb>spiralis. </s><s>Eritque in casu nostro ille 5, <lb></lb>iste vero 2. </s></p> <p type="main"> <s>Sumatur deinde quodlibet punctum L in recta AD, ex <lb></lb>quo agatur peripheria LBO, et demittatur LF parallela <lb></lb>ad DG et iungatur AG. Patet sectorem ADEC aequalem <lb></lb>esse triangulo ADG, quia DG basis trianguli ponitur ae<lb></lb>qualis peripheriae DEC, altitudo vero DA est eiusdem <lb></lb>sectoris semidiameter. </s></p> <p type="main"> <s>Iam quadratum CED ad quadratum ED (sunt enim <lb></lb>tempora) est per suppositionem ut cubus DA ad AL. Qua<lb></lb>dratum vero ED ad quadratum BL est ut quadratum DA <lb></lb>ad AL; ergo ratio quadrati CED ad quadratum BL com<lb></lb>ponitur ex ratione cubi DA ad AL, et ex ratione quadrati <lb></lb>DA ad AL. Quare quadratum CED ad quadratum AL erit <lb></lb>ut cuboquadratum DA ad AL, sive ut quadratum DG ad <lb></lb>LF per suppositionem. </s><s>Propterea arcus CED ad arcum <lb></lb>BL erit ut recta DG ad LF. Sed antecedentia sunt ae<lb></lb>qualia, ergo et consequentia, nempe arcus BL aequalis est <lb></lb>rectae LF; et hoc semper verum ubicumque sit punctum <lb></lb>L, quare figura CBADEC aequalis erit trilineo AFGD <lb></lb>et reliquum spatium spirale ABCA aequale erit reliquo <lb></lb>spatio contento sub parabola AFG et recta AG. Demon- <pb pagenum="399"></pb>stratum vero est in Libro <emph type="italics"></emph>Parabolarum,<emph.end type="italics"></emph.end> quod parallelo<lb></lb>grammum DH ad inscriptam semiparabolam est ut 7 ad 2, <lb></lb>sive ut 14 ad 4 et per conversionem rationis, sumptisque <lb></lb>antecedentium dimidijs, et rursum per conversionem ra<lb></lb>tionis erit triangulum ADG ad spatium bilineare sub para<lb></lb>bola AFG et recta AG contentum ut 7 ad 3; ergo etiam <lb></lb>sector ADEC ad spatium spirale ABCA erit ut 7 ad 3. </s></p> <p type="main"> <s>Quod erat propositum. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>FINE DELLA MEMORIA <lb></lb>DE INFINITIS SPIRALIBUS.<emph.end type="center"></emph.end></foreign></s> </p> <pb></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>SEZIONI CONICHE.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <pb></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>AVVERTIMENTO.<emph.end type="center"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Alle sezioni coniche il Torricelli dedicò svariate ricerche, spinto, in parte, dal<lb></lb>l'importanza intrinseca che aveva riconosciuta da tali curve, in parte in vista delle <lb></lb>applicazioni alle questioni stereometriche, di cui fu data notizia nel presente Vo<lb></lb>lume (p. 99-173) . I fogli in cui egli registrava i risultati conseguiti vennero con <lb></lb>ogni cura adunati, posti in ordine, trascritti ed in parte compilati nuovamente dal <lb></lb>Viviani, dal Serenai e dal Nelli, i quali li distribuirono in due serie (come può <lb></lb>vedersi nel T. XXIX della raccolta fiorentina dei “ <emph type="italics"></emph>Discepoli di Galileo<emph.end type="italics"></emph.end> ”), a cui po<lb></lb>sero titoli speciali. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Si è creduto opportuno far posto nella presente edizione a quanto <lb></lb>vi si trova di maggiore importanza, adottando la ripartizione in due gruppi ed i <lb></lb>titoli scelti da quei valentuomini e tralasciando le aggiunte di essi fatte a quanto <lb></lb>scrisse il loro venerato amico. </foreign></s> </p> <pb></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>DE GEOMETRICA <lb></lb>IN PLANO PER PUNCTA LINEARUM <lb></lb>CONICARUM DESCRIPTIONE<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>HYPERBOLAE DESCRIPTIO.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Dati gli asimptoti [Fig. 1] AB, BC e dato il punto D </foreign></s> </p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg463"></arrow.to.target><lb></lb>nella hyperbola. </s><s>Tira DA, DC parallele alli assimptoti e <lb></lb>preso qualunque punto E tira EH parallela alla BC, e per </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg463"></margin.target>Vol. 29, <lb></lb>carta 5 <lb></lb>(copia <lb></lb>Serenai).</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 1].</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s><foreign lang="it">[Fig. 2].<lb></lb>dove segherà DC tira BHI, e dove questa sega AD tira IL <lb></lb>parallela ad AB, et L sarà il punto della hyperbola. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Sint asimptoti [Fig. 2] AB, BC, datumque punctum D, <lb></lb>fiat parallelogrammum BD: sumptoque quolibet puncto E <pb pagenum="404"></pb>sit EF parallela ipsi BC, ductaque EC, sit HDF parallela <lb></lb>ipsi EC. Dico F esse in hyperbola. </s><s>Ob similitudinem trian<lb></lb>gulorum erit EI ad IC, ut FI ad ID, ergo parallelogram<lb></lb>mum EID aequale erit parallelogrammo CIF; in eodem <lb></lb>angulo addito aequali IB erit etc. <lb></lb> <arrow.to.target n="marg464"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg464"></margin.target>Vol. 29, <lb></lb>carta 7 <lb></lb>(copia <lb></lb>Serenai).</s></p> <p type="main"> <s>Sint A [Fig. 3] AB, BC aequales et AE, CD parallelae <lb></lb><expan abbr="ipsiq.">ipsique</expan> CB ad rectos angulos. </s><s>Tum sumpto quolibet puncto <lb></lb>G, infra rectam CA, educatur GD et </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 3].<lb></lb>aequales sint DE, EF ipsa vero EF <lb></lb>aequidistans ad AB. Dico punctum F <lb></lb>esse in quadam hyperbola cuius cen<lb></lb>trum A, vertex B eius <expan abbr="latusq.">latusque</expan> rectum <lb></lb>esse duplam tertia prop.<emph type="sup"></emph>lis<emph.end type="sup"></emph.end> post AB, <lb></lb>AG, seu AG esse secundam semidia<lb></lb>metrum. </s></p> <p type="main"> <s>Quadratum AG ad AC, vel ad AB, <lb></lb>est ut quadratum GE ad ED, sive GE, <lb></lb>ad EF, sive am ducta FH parallela <lb></lb>AE ut duo quadrata simul GA, AE, <lb></lb>vel GA, HF ad EF, hoc est ad AH, sive ad rectangulum <lb></lb>CHB cum quadrato AB. Ergo quadratum ablatum GA ad <lb></lb>ablatum AB ita est ut totum GA, HF simul ad totum <lb></lb>rectangulum CHB cum quadrato BA. Propterea reliquum <lb></lb>quadratum HF ad reliquum rectangulum CHB erit ut qua<lb></lb>dratum GA ad AC. </s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg465"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg465"></margin.target>Vol. 29, <lb></lb>carta 10 <lb></lb>(copia <lb></lb>Serenai).</s></p> <p type="main"> <s>Secent se ad angulos quoscumque rectae [Fig. 4] AB, <lb></lb>CD; et sumpto quolibet puncto E, ex E educta sit quae<lb></lb>libet EB, et intercepta GB divisa </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 4].<lb></lb>sit bifariam in F. Dico per punc<lb></lb>tum F transire hyperbolam cuius <lb></lb>latus versum sit ED, centrum G, <lb></lb>in medio scilicet rectae ED ver<lb></lb>tex AD et asymptoti GH, GA <lb></lb>aequidistantes rectis AB, CD. </s></p> <p type="main"> <s>Nam ducatur per F, recta HFL <lb></lb>parallela ad CD, et ex L recta LG coniungatur, eritqu. </s><s>LG <lb></lb>parallela ad CB nam <expan abbr="utraq.">utraque</expan> tam DB, quam ED secatur <pb pagenum="405"></pb>bifariam; ergo et DC secabitur bifariam in I a recta LG. <lb></lb>Ducatur tandem per I recta FIO, quae parallela erit ad <lb></lb>BD, cum <expan abbr="utraq.">utraque</expan> tam DC quam BC secetur bifariam; ergo <lb></lb>GALH erit parallelogrammum cuius diameter GL et sup<lb></lb>plementa AI, IH aequalia erunt </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 5].<lb></lb>commune autem OB, ergo ae<lb></lb>qualia sunt AC, OH et propo<lb></lb>situm patet etc. </s><s>Descriptio hy<lb></lb>perbolae manifesta est si quis <lb></lb>eam volet. </s></p> <p type="main"> <s>Esto datus angulus [Fig. 5] <lb></lb>ABC. Fiat centro B quilibet cir<lb></lb>culus, et secta bifariam AB in E, <lb></lb>ducantur EF, EG altera perpen<lb></lb>dicularis altera parallela ad BC <lb></lb>et inter asymptotos EF, EL transeat hyperbola per B quae <lb></lb>secet peripheriam in I et erit HBI tertia pars anguli dati. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PER L'HIPERBOLA.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg466"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg466"></margin.target>Vol. 29, <lb></lb>carta 58 v. <lb></lb>(originale).</s></p> <p type="main"> <s>Siano i dati foci </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s><foreign lang="it">[Fig. 6].<lb></lb>[Fig. 6] AB et il lato <lb></lb>transverso AG; fac<lb></lb>ciansi due circoli il <lb></lb>semidiametro de quali <lb></lb>sia il lato trasverso <lb></lb>della futura hyper<lb></lb>bola. </foreign></s> <s>Prendansi eguali </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 7].<lb></lb>gli archi GC, FD, e <lb></lb>si prolunghino AG, <lb></lb>AD, e tirando per E <lb></lb>et B la EBH sarà H <lb></lb>nella hyperbola . </s></p> <p type="main"> <s>Si [Fig. 7] ducatur <lb></lb>BAE per centrum B, <lb></lb>erit ED parallela asymptotis et FG asymptotus. </s></p> <pb pagenum="406"></pb> <p type="main"> <s>Siano dati gl'asimptoti [Fig. 8] </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s><foreign lang="it">[Fig. 8].<lb></lb>AB, AC, et il punto D facciasi <lb></lb>il parallelogrammo ABDE e poi <lb></lb>AB si seghi bifariam in F, et <lb></lb>AF bifariam in G. Ma la AE <lb></lb>si raddoppi in AH et l' AH si <lb></lb>raddoppi in HK e tirando la pa<lb></lb>rallela agli asimptoti che l'hy<lb></lb>perbola passerà per gl'angoli <lb></lb>opposti dei parallelogrammi D, <lb></lb>I, L, etc. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg467"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg467"></margin.target>Vol. 29, <lb></lb>carta 58 <lb></lb>(originale).</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>[PER LA PARABOLA].<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Inbeatur parabola cuius apex [Fig. 9] A et focus B. <lb></lb>Ponantur aequales ad libitum AC, AD et per D; fiat cir<lb></lb>culus centro B, per C vero ducatur il rectq ad CB. Tum <lb></lb>demissa quavis EH parallela ad CB iungatur EF, et per G <lb></lb>agat. </foreign></s> <s>BGH, <expan abbr="eritq.">eritque</expan> punctum H in parabola. </s></p> <p type="main"> <s>Vel [Fig. 10] iubeatur parabola dato lat. </s><s>recto AB et <lb></lb>debeat punctum C esse vertex parabolae. </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 9].</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 10].</s></p> <p type="main"> <s>Fiat circa CB circulus, et per A ducatur AD, ad an<lb></lb>gulos rectos issi BA, deinde demissa DF parallela ad AB <lb></lb>iungatur DB quae secet circulum in E et per E emittatur <lb></lb>CEF; <expan abbr="eritq.">eritque</expan> punctum F in parabola. </s></p> <pb pagenum="407"></pb> <p type="main"> <s>Iubeatur parabola cuius ba</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 11].<lb></lb>sis [Fig. 11] AB tangens AC <lb></lb>et diametri directio iuxta BC. <lb></lb>Ducatur ex A puncto AD <lb></lb><expan abbr="utcumq.">utcumque</expan> et ex D ipsa de pa<lb></lb>rallela tangenti ex E vero EI <lb></lb>parallela diametro, sive ipsi <lb></lb>BC; <expan abbr="eritq.">eritque</expan> punctum I in pa<lb></lb>rabola. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>DESCRIPTIONES <lb></lb>SECTIONUM CONICARUM.<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> <arrow.to.target n="marg468"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg468"></margin.target>Vol. 29, <lb></lb>carta 59 r <lb></lb>(originale).</s></p> <p type="main"> <s>Positis quotcumque circu<lb></lb>lus concentricis, <expan abbr="ductisq.">ductisque</expan> pa<lb></lb>rallelis totidem, quarum prima minimum tangat. </s><s>Si fuerint <lb></lb>differentiae radiorum distantijs parallelarum aequales pa<lb></lb>rabola orietur; si vero proportionales <expan abbr="maioresq.">maioresque</expan> hyperbola <lb></lb>orietur; si minores ellipsis. </s></p> <p type="main"> <s>Sit centrum [Fig. 12] <expan abbr="sitq.">sitque</expan> </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 12].<lb></lb>differentia radiorum BC aequalis <lb></lb>distantiae parallelarum BE et <lb></lb>differentia CD aequalis distan<lb></lb>tiae EA et etc. </s><s>Dico BIL para<lb></lb>bolam esse, cuius latus est dupla <lb></lb>diametri minoris circuli. </s></p> <p type="main"> <s>Nam quadratum IE aequale <lb></lb>esse rectangulo CEP, sive du<lb></lb>plum rectanguli BEP, sive aequale rectangulo sub BE et <lb></lb>dupla EP; at ipsa EP diameter est minoris circuli cum <lb></lb>BE, PO aequales et communis OE. Idem de reliquis. </s><s>Nam <lb></lb>quadratum LA aequatur rectangulo DAQ, sive duplum <lb></lb>est rectanguli <expan abbr="BAq.">BAque</expan> Atqui AQ diameter est minoris cir<lb></lb>culi, cum BAOQ, sint aequales, et AO communis etc. </s></p> <pb pagenum="408"></pb> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg469"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg469"></margin.target>Descritione <lb></lb>delle sezioni <lb></lb>Coniche.</s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>SOLUTIONE DELLA PROPOSTA <lb></lb>FATTAMI DAL P. F. BONAVENTURA .<emph.end type="center"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Sit [Fig. 13-17] coni sectio cuius vertex A, et in ea <lb></lb>sumatur punctum quodlibet B, ex quo duae lineae ducan<lb></lb>tur BD, BA ad extremita</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 13].</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 14].<lb></lb>tes diametri. </s><s>Dico quamli<lb></lb>bet ordinatim ductam EC <lb></lb>proportionaliter secari. </s></p> <p type="main"> <s>Nempe ut FE ad EC, <lb></lb>ita EC ad EH. Iungatur <lb></lb>enim ordinatim IB et om<lb></lb>mittatur parabola. </s><s>Habe<lb></lb>bit ergo quadratum IB ad <lb></lb>quadratum EC rationem </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 15].</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 16].</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 17].<lb></lb>quam habet rectangulum DIA ad rectangulum DEA, <lb></lb> <arrow.to.target n="marg470"></arrow.to.target><lb></lb>nempe compositam ex rationibus laterum ID ad DE et <lb></lb>IA ad AE, vel (ob similitudinem triang.) ex rationibus IB <lb></lb>ad EF et IB ad EH. Sed hanc ex ijsdem rationibus com<lb></lb>positam rationem habet idem quadratum IB ad rectan- <pb pagenum="409"></pb>gulum FEH. Propterea quadratum IB eandem rationem <lb></lb>habebit et ad quadratum EC at ad rectangulum FEH. <lb></lb>Constat ergo propositum. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg470"></margin.target>Ex conicis.</s></p> <p type="main"> <s>★ Manente constructione Cavalerij [Fig. 18-19-20] <lb></lb> <arrow.to.target n="marg471"></arrow.to.target><lb></lb>iungantur AE, OE, et per puncta D, F ducantur DH, FL <lb></lb>parall.<emph type="sup"></emph> <arrow.to.target n="fig241"></arrow.to.target><emph.end type="sup"></emph.end> ad CE. Dico punctum D in suis figuris esse in <lb></lb>sectione conica. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg471"></margin.target>Vol. 29, <lb></lb>carta 53 v.</s></p> <figure id="fig241"></figure> <p type="main"> <s>Erit enim PH ad HD ut EC ad CM, hoc est ut EG <lb></lb>ad GF per constructionem hoc est ut EA ad AI, hoc est <lb></lb>ut EC ad LI, hoc est FL ad LI, hoc est DH ad HN, erunt </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 18].</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 19].</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 20].<lb></lb><expan abbr="itaq.">itaque</expan> in continua proportione PH, HD, HN et ex lemmate <lb></lb>praecedenti punctum D erit in sectione. </s></p> <p type="main"> <s>Sed omnino lemmate continuabimus demonstrationem <lb></lb>absolutum hoc modo. </s></p> <p type="main"> <s>Quadratum autem CE ad quadratum HD eam habet <lb></lb>rationem quam habet ad rectangulum PHN ob aequalita- <pb pagenum="410"></pb> <arrow.to.target n="marg472"></arrow.to.target><lb></lb>tem; nempe rationem compositam ex rationibus CE ad <lb></lb>HP, et CE ad HN, vel ex rationibus (sunt enim eadem) <lb></lb>CO ad OH, et CA ad AH eadem est quam habet rectan<lb></lb>gulum OCA ad rectangulum OHA. Propterea ut quadra<lb></lb>tum CE ad quadratum HD ita rectangulum OCA ad rect<lb></lb>angulum OHA etc. </s><s>Constat igitur punctum D esse in sec<lb></lb>tione etc. <lb></lb> <arrow.to.target n="marg473"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg472"></margin.target>Vol. 29, <lb></lb>carta 54 r.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg473"></margin.target>Vol. 29, <lb></lb>carta 55.</s></p> <p type="main"> <s>Nelle figure mandatemi [v. </s> <s><foreign lang="it">le preced.] si tiri il diametro <lb></lb>AE, e per i punti D, et F si tirino le DH, FL parallele E <lb></lb>alla CE e finiscasi il parallelogrammo FEM, il quale sarà <lb></lb>intorno al medesimo diametro AE del parallelogrammo <lb></lb>CG, (poichè per l'egualità delle divisioni, come GE ad EC <lb></lb>così FE ad EM). Sarà dunque per etc. </foreign></s> <s><foreign lang="it">come PH ad HD <lb></lb>così EC alla EM, overo FL, ad LI, cioè DH ad HN; per <lb></lb>lo che saranno in continua proporzione HP, DH, HN. Ma <lb></lb>il quadrato CE al quadrato HD ha l'istessa proportione <lb></lb>che ha al rettangolo PHN per l'egualità, cioè la propor<lb></lb>tione composta delle proportioni di CE ad HP, overo di <lb></lb>CO ad OH, e delle proportioni di CE ad HN, cioè di CA <lb></lb>ad AH. Ma la proportione composta delle proportioni di <lb></lb>CO ad OH, et di CA ad AH è l'istessa che ha il ret<lb></lb>tangolo COH al rettangolo CAH, sarà dunque come il <lb></lb>quadrato CE al quadrato HD così il rettangolo COH al <lb></lb>rettangolo CAH, e però il punto D sectionem contingat etc. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Sarà dunque PH ad HD come EC a CM, cioè come <lb></lb>EG a GF per constructionem, cioè come EA ad AI, cioè <lb></lb>come EC ad LI, cioè FL ad LI, cioè DH ad HN. </s></p> <pb pagenum="411"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>DE CONICIS VARIA.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg474"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg474"></margin.target>Vol. 29, <lb></lb>carta 50 <lb></lb>(originale).</s></p> <p type="main"> <s>Positis ijsdem quae Apollonius in XI, XII, XIII p.<emph type="sup"></emph>mi<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>conicorum ostendendum sit idem brevius et universalium <lb></lb>[Fig. 21-23]. </s></p> <p type="main"> <s>Fiat ut AB diameter sectionis ad BC, partem basis <lb></lb>abscissam ita AD, parallela base trianguli per axem, ad </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 21].</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 22].</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 23].<lb></lb>aliam. </s><s>Quae sit AE et ponatur AE ad quemlibet angulum <lb></lb>cum AB. Ducatur deinde in 2<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> et 3<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> linea FE. Sumatur <lb></lb>in sectionibus quodlibet punctum H et ordinatim ducatur <lb></lb>HI, IK autem in 2<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> et 3<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> sit parallela ipsi AE et LM pa<lb></lb>rallela ipsi CB. Dico quadratum HI aequale esse rectan<lb></lb>gulo EAI p.<emph type="sup"></emph>ma<emph.end type="sup"></emph.end>, et AIK in reliquis figuris. </s></p> <p type="main"> <s>Est enim ut AB ad BC. Hoc est ut AI ad IL, ita AD, <lb></lb>ad AE (hoc est in p.<emph type="sup"></emph>ma<emph.end type="sup"></emph.end> IM ad AE, ergo rectangulum LIM, <lb></lb>hoc est quadratum IH, aequatur rectangulo IAE) in reli<lb></lb>quis, hoc est MI ad IK; ergo patet propositum etc. </s><s>Vo<lb></lb>cetur autem AE latus rectum, AF transversum, vel dia<lb></lb>meter sectionis. </s></p> <pb pagenum="412"></pb> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg475"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg475"></margin.target>Vol. 29, <lb></lb>carta 62 r <lb></lb>(originale).</s></p> <p type="main"> <s>Ellipsium similium tangentes ad ean</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 24].<lb></lb>dem diametrum sunt parall. </s></p> <p type="main"> <s>Sint ellipses similes [Fig. 24] AB, CD <lb></lb>diameter EF, tangentes FH, GI, quas dico <lb></lb>esse parallelas. </s></p> <p type="main"> <s>Applicatis FL, GM, si GI non est pa<lb></lb>rallela, esto GO. </s></p> <p type="main"> <s>Iam HE ad EO est ut FE ad EG, <lb></lb>sive (sequens lemma) ut BE ad ED et <lb></lb>permutando HE ad BE est ut OE ad DE. <lb></lb>Amplius BE ad ED est ut FE ad EG <lb></lb>sive LE ad EM et permutando BE ad EL <lb></lb>est ut DE ad EM. Quoniam autem tres <lb></lb>HE, BE, LE ob tangentem HF sunt <lb></lb>continua, erunt et OE, DE, ME, conti<lb></lb>nuae et ideo OG tangens impossibile, cum tangens po<lb></lb>natur IG. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma praecedentis.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si sint duae ellipses similes. </s><s>Dico esse ut [Fig. 25] AB <lb></lb>ad BC, ita DB ad BE. </s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg476"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg476"></margin.target>Vol. 29, <lb></lb>carta 62 v <lb></lb>(originale).</s></p> <p type="main"> <s>Applicentur DF, EH. Iam rectangu</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 25].<lb></lb>lum LFA ad quadratum FD est ut latus <lb></lb>versum ad latus rectum. </s><s>Rectangulum <lb></lb>vero IHC ad quadratum HE, est ut ver<lb></lb>sum latus ad rectum, et ellipses sunt <lb></lb>similes et ergo rectangulum LFA ad qua<lb></lb>dratum FD, est ut rectangulum IHC, ad <lb></lb>quadratum HE. Quadratum vero DF ad <lb></lb>FB, est ut quadratum EH ad HB; ergo <lb></lb>ex aequo, et componendo erit quadra<lb></lb>tum AB ad BC ut quadratum FB ad <lb></lb>BH; FB autem ad BD, et ut HB ad BE. Quare ex aequo <lb></lb>quadratum AB ad BD, est ut quadratum CB ad BE ex <lb></lb>quo constat propositum. </s></p> <pb pagenum="413"></pb> <p type="main"> <s>La pratica sarà tale. </s><s>Sia </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 26].</s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"> <arrow.to.target n="marg477"></arrow.to.target><lb></lb>[Fig. 26] centro dell'elisse A <lb></lb>facciasi l'angolo BAC che à 4 <lb></lb>retti sia come la data propor<lb></lb>tione, dopo taglisi AB eguale <lb></lb>alla AC, et calata la perpendi<lb></lb>colare BE. Dico che il settore <lb></lb>DAC, e tutto l'elisse sta in data <lb></lb>ratione. </foreign></s> </p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg477"></margin.target>Vol. 29, <lb></lb>carta 63 r <lb></lb>(originale).</s></p> <p type="main"> <s>L'elisse si regola et misura </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s><foreign lang="it">[Fig. 27].<lb></lb>dal cerchio, poichè il segmento <lb></lb>[Fig. 27] DEB al segmento CEB <lb></lb>sta come la retta DE ad EC. <lb></lb>Anco il triangolo DEA al trian<lb></lb>golo CEA sta come DE ad EC; <lb></lb>ergo (per 12 Quinti) sector ADB <lb></lb>ad sectorem ACB erit ut DE <lb></lb>ad EC; hoc est ut totus circu<lb></lb>lus ad totum ellipsim, et per<lb></lb>mutando sector DAB ad totum circulum, sive peripheria <lb></lb>DB ad totam, erit ut sector CAB ad totum ellipsem; ecce <lb></lb>ergo quo modo ex ellipsi sectorem auferamus, qui ad to<lb></lb>tum datam rationem habeat. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>SPHAERAM IN DATA RATIONE SECARE.<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> <arrow.to.target n="marg478"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg478"></margin.target>Vol. 29, <lb></lb>carta 64 r <lb></lb>(originale).</s></p> <p type="main"> <s>Suppositio esto sfera [Fig. 28] </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 28].<lb></lb>ABCD cuius axis AC secta plano BD <lb></lb>ad axem erecto. <expan abbr="Ponaturq.">Ponaturque</expan> AE ae<lb></lb>qualis semidiametro. </s><s>Ostendit Cavale<lb></lb>rius sphaeram ad segmentum BCD esse <lb></lb>ut parallelepipedum sub altitudine <lb></lb>EA, basi vero quadrato AC, ad paral<lb></lb>lelepipedum sub altitudine FF basi <lb></lb>quadrato FC. </s></p> <pb pagenum="414"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Esto parabola cuius diameter </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 29].<lb></lb>[Fig. 29] AB, tangens AC parallela <lb></lb>diametro CD et in trilineo mixto <lb></lb>sint duo parallelogramma CE, CF. <lb></lb>Dico parallelogrammum CE ad CF <lb></lb>esse ut parallelepipedum sub altitu<lb></lb>dine CH, basi quadrato HA, ad pa<lb></lb>rallelepipedum sub altitudine CI, <lb></lb>basi quadrato IA. Hoc autem patet <lb></lb>quoniam parallelogramma aequian</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 30].<lb></lb>guli habent rationem et rationem ex <lb></lb>rationibus laterum compositam. </s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg479"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg479"></margin.target>Vol. 29, <lb></lb>carta 64 v <lb></lb>(originale).</s></p> <p type="main"> <s>Nempe ex ratione CH ad CI et <lb></lb>ratione HE, ad IF, hoc est quadrati <lb></lb>HA ad AI, nempe parallelepipedum. </s></p> <p type="main"> <s>Esto sfera secunda cuius diameter <lb></lb>[Fig. 30] AB diametri sesquialtera <lb></lb>AC. <expan abbr="Sintq.">Sintque</expan> rationibus termini DE, EB. </s></p> <p type="main"> <s>Fiat parabola per punctum D <lb></lb>tangens AB in A. Per E vero hi<lb></lb>perbola intra asymptotos AC, CH <lb></lb>(necessario secabit parabolam in duobus puncti). Secet <lb></lb>in I, et per I solvetur problema. </s></p> <pb></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>DE INDIVISILIBUS.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <pb></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>AVVERTIMENTO.<emph.end type="center"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Il lavoro seguente è una compilazione dovuta al Viviani e che ora viene per la <lb></lb>prima volta tratta dall'inedito in base alla copia che ne esiste nel T. XXVIII dei <lb></lb>“ <emph type="italics"></emph>Discepoli di Galileo<emph.end type="italics"></emph.end> ”; al lettore non isfuggiranno i numerosi punti di contatto che <lb></lb>esso presenta con altri scritti torricelliani (v. </foreign></s> <s>Vol. </s> <s><foreign lang="it">I, Parte I, p. 187 e segg.; Parte II, <lb></lb>p. 20, 21 e 47). Se ne decidemmo la pubblicazione integrale è che, del punto di vista <lb></lb>storico, offre un'indiscutibile interesse giacchè — al pari delle pagine testè citate — <lb></lb>fa fede dei dubbi e delle incertezze che tormentarono i matematici nel periodo in <lb></lb>cui l'<emph type="italics"></emph>inflnito<emph.end type="italics"></emph.end> cominciò ad essere esplicitamente adoperato come strumento di ri<lb></lb>cerca geometrica. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Considerato poi in sè il lavoro in questione offre, grazie allo scopo <lb></lb>educativo che si propone, qualche analogia con l'opera, sgraziatamente perduta, <lb></lb></foreign><foreign lang="grc">Ψευδάρια</foreign><foreign lang="it"> di Euclide; giacchè — come è noto — in questa il sommo Alessandrino <lb></lb>si propose di addestrarre al sano geometrizzare con l'esporre alcuni ragionamenti, <lb></lb>apparentemente soddisfacenti, ma che conducono a conseguenze assurde: ora è <lb></lb>quanto fa anche il Nostro nella memoria seguente. </foreign></s> </p> <pb></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>DE INDIVISIBILIUM <lb></lb>DOCTRINA PERPERAM USURPATA<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>EXEMPLA VARIA.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>EXEMPLUM I.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>In parallelogrammo [Fig. 1] ABC si latus AB maius <lb></lb>est latere BC, juncta diametra BD </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 1].<lb></lb>et a quocumque eius puncto E ductis <lb></lb>EF, EG, ipsis ABBC parallelis, est <lb></lb>etiam EF maior EG et sic de singulis <lb></lb>huiusmodi equidistantibus, ergo om<lb></lb>nes simul EF in triangulo ABD, <lb></lb>omnibus simul EG in triangulo EDB <lb></lb>maiores sunt, et triangulum trian<lb></lb>gulo maius, quod est falsum; nam illud bifariam secat <lb></lb>diametrum et ergo sic male ratiocinatur. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>EXEMPLUM II.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Vel sit [Fig. 2] AB minor BC </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 2].<lb></lb>ipsique ad rectos angulos consti<lb></lb>tuta, iunctaque AC, sit CD paral<lb></lb>lela ad BA et equalis ipsi CB <lb></lb>iungatur AD et per quodcumque <lb></lb>punctum F sint FG, FE ipsis CB, CD <lb></lb>equidistantes. </s><s>Patet FE quocum<lb></lb>que ipsi FG equalem esse et hoc <lb></lb>semper ergo triangulum DAC triangulo CAB equale, quod <pb pagenum="418"></pb>est falsum, cum ipso maius sit nam AHC per AH equi<lb></lb>distantem BC descriptum ipsi ABC equale est etc. </s></p> <p type="main"> <s>Quare sic male ratiocinatur. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>EXEMPLUM III.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Tota parallelogramma [Fig. 3] AB, AC super eadem <lb></lb>basi AE ac inter easdem parallelas inter se sunt equalia et <lb></lb>sumpto puncto G ductaque DG </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 3].<lb></lb>ipsi EC parallela dempta paralle<lb></lb>logramma AF, AG super eadem <lb></lb>basi AB, hoc pariter sunt equalia <lb></lb>et hoc semper quantacumque sint, <lb></lb>huiusmodi ablatae parallelogram<lb></lb>ma, ergo ultimae residua ex datis <lb></lb>inter se quoque equalia erunt. </s><s><lb></lb>Quod est falsum. </s><s>Nam ipsorum alterum in brevem EB, <lb></lb>alterum vero in longam desinit lineam EC. Ergo etc. </s><s><lb></lb>Quare hic quoque male ratiocinatur. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>EXEMPLUM IV.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Super eadem basi [Fig. 4] AC esto semicirculus rect<lb></lb>angulum circumscriptum et parabola inscripta per verti<lb></lb>cem C et circa eumdem axem </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 4].<lb></lb>CD ducatur quecumque EF per<lb></lb>pendicularis ad AB circulum in <lb></lb>G, et parabolam secans in H. </s></p> <p type="main"> <s>Iam GF media proportionalis <lb></lb>est inter EF in rectangulo posita <lb></lb>et FH in parabola et hoc semper <lb></lb>ergo omnes simul in semicirculo <lb></lb>hoc est ipse semicirculus est <lb></lb>medio loco proportionalis inter omnes simul in rectangulo <lb></lb>ac omnes simul in parabola, hoc est inter rectangulum et <lb></lb>parabolam. </s><s>Quod est falsum. </s><s>Ergo etc. </s></p> <p type="main"> <s>Quapropter et in hac male ratiocinatur. </s></p> <p type="main"> <s>Quod GF media sit proportionalis inter EF et FH, <lb></lb>etiamsi ACGB non sit semicirculus sed semiellipsis circa <lb></lb>axem CD constat sic. </s></p> <pb pagenum="419"></pb> <p type="main"> <s>Agatur per H basi AB parallela HI. Iam ob parabo<lb></lb>lam quadratum DB ad IH, vel ad DF est ut linea DC ad <lb></lb>CI, vel ut IE ad EH, quare per conversionem rationis, <lb></lb>quadratum DB hoc est rectangulum ADB ad rectangulum <lb></lb>AFB, sive quadratum CD ad GF (ob semicirculum, vel <lb></lb>semiellipsium), hoc est quadratum EF ad GF erit ut linea <lb></lb>EF ad FH, ergo tres linee FE, FG, FH sunt in eadem <lb></lb>continua ratione. </s></p> <p type="main"> <s>Quod autem semicirculus ACB non sit medius propor<lb></lb>tionalis inter rectangulum et parabolam sic ostenditur. </s></p> <p type="main"> <s>Rectangulum enim ad semicirculum minorem habet <lb></lb>rationem quam numerus 14 ad 11, per Archimedem, vel <lb></lb>sumptis horum triplis, minorum quam numerus 42 ad 33, <lb></lb>qualium ergo partium rectangulum est 42, talium semicir<lb></lb>culus erit minus quam 33; parabola vero cum sit rectan<lb></lb>guli subsesquialtera erit earundum 42 partium 28 praecise, <lb></lb>sed numerus 33 qui maior est semicirculi area, minor est <lb></lb>quam medius proportionalis inter 42 et 28, nam produc<lb></lb>tum ex 33 in se ipsum, hoc est 1089 minus est producto <lb></lb>extremorum 42 et 28, hoc est minus numero 1176, ergo nu<lb></lb>merus ille minor quam 33 representans semicirculi aream, <lb></lb>hoc est ipse circulus adhuc minor erit medio proportionali <lb></lb>inter predictos 42 et 28, seu inter rectangulum sibi circum<lb></lb>scriptum, et inscriptam parabolam. </s><s>Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>EXEMPLUM V.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si sphera una cum suo circumscripto cylindro secta <lb></lb>fuerit omnibus possibilibus planis quae cylindri basibus <lb></lb>equidistant, semper peripheria unius plani in cylindro (ex<lb></lb>cepta ea plani illius quod spherae centrum ducitur) maior <lb></lb>est peripheria eiusdem plani in sphera, et hoc semper. </s><s><lb></lb>Quare omnes simul circumferentiae in cylindro maiores <lb></lb>sunt omnibus simul circumferentiis in sphera, hoc est cy<lb></lb>lindrica superficies maior spherica; sed hoc est falsum <lb></lb>cum ipse sint equales. </s><s>Ergo etc. </s><s>Quare falla est huiusmodi <lb></lb>ratiocinatio. </s></p> <pb pagenum="420"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>EXEMPLUM VI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si in figura parallelogramma </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 5].<lb></lb>[Fig. 5] AB ducta sit utcumque <lb></lb>LI per angulum L, ducanturque <lb></lb>omnes CEFH etc. </s><s>ad regulam <lb></lb>AL. Erunt omnia segmenta, hoc <lb></lb>est omnes linee figure AL, IM <lb></lb>ad omnes lineas figure LIB ut <lb></lb>figura ad figuram. </s></p> <p type="main"> <s>His positis fiat in hemisphe<lb></lb>rio [Fig. 6] ABC conus ABC, <lb></lb>compleaturque rectangulum BF: </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 6].<lb></lb>tum secto emispherio plano GM <lb></lb>ad axem BE erecto, erit circulus <lb></lb>ex LG ad circulum ex LI, vel <lb></lb>ad circulum ex LB ut EL ad LB <lb></lb>(nam tres EL, LB, LG sunt con<lb></lb>tinuae proportionales in semicir<lb></lb>culo), hoc est ut OM ad MN et <lb></lb>sic semper. </s><s>Quare omnes, circuli <lb></lb>hoc est hemispherium erit ad <lb></lb>conum, ut figura FCB ad figu<lb></lb>ram CDB, nempe tripla, quod est <lb></lb>falsum, est enim dupla. </s><s>Ergo etc. </s><s>Ideoque male sic ratio<lb></lb>cinatur. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>EXEMPLUM VII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Volvatur rectangulum [Fig. 7] AB </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 7].<lb></lb>circa CB cum diametro CB describe<lb></lb>turque conus et cylindrus, et a recta <lb></lb>EF superficies cylindrica, atque FI <lb></lb>circulus et cylindricae omnes, qualis <lb></lb>est EF ad circulos omnes, qualis est <lb></lb>ex IF ut omnes linae EF, hoc est <lb></lb>triangulum ACD ad quartam partem <lb></lb>linearum omnium FG, hoc est ad <pb pagenum="421"></pb>quartam partem trianguli DCH, hoc est ut duo ad unum. </s><s><lb></lb>Hoc quidem verum est, quamvis demonstrandi methodus <lb></lb>fallax sit. </s><s>Ergo etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>EXEMPLUM VIII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>In quadrato [Fig. 8] AB sint duo semiparabolae con<lb></lb>trariae posite AEB, AGB, quarum prime sit vertex A axis <lb></lb>AC, secunde vero vertex sit B, </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 8].<lb></lb>axis BC et inter se aequales et <lb></lb>convertatur figura circa axem AC. <lb></lb>Patet primam conoidem parabo<lb></lb>licum, alteram vero fusum descri<lb></lb>bere. </s><s>Ostendam nunc fusum et <lb></lb>conoidem inter se solida aequa<lb></lb>lia esse. </s></p> <p type="main"> <s>Omnes enim superficies cylindrica descripte ad lineis, <lb></lb>quarum una est DE ad omnes earum bases, quarum una <lb></lb>est circulus ex FE sunt ut omnes linee DE ad dimidium <lb></lb>omnium EF, quae ratio est equalitatis: quoniam paralle<lb></lb>logrammum AB cum sit ad semiparabolam ABC ut 3 ad 2, <lb></lb>dividendo trilineum IEB ad semiparabolam ABC erit ut 3 <lb></lb>ad 2 quare trilineum aequatur dimidio semiparabolae, ergo <lb></lb>et omnium simul superficies ex DE in trilineo ad omnes, <lb></lb>simul circulos ex FE in semiparabola ABC ratio erit equa<lb></lb>litatis, hoc est solidum excavatum a predicto trilineo IAEB <lb></lb>descriptum circa AC aequatur conoidi parabolico, ergo cy<lb></lb>lindrus duplus ex suo conoide. </s><s>Quod equidem verum est, <lb></lb>sed fallaci arte demonstratum. </s></p> <p type="main"> <s>Iterum omnes simul cylindrice superficies a lineis qua<lb></lb>lium una est DG ad omnes simul ipsarum bases sunt <lb></lb>omnes simul linee DG in trilineo IAGD ad omnes simul <lb></lb>dimidias linearum GH, hoc est ad dimidium semiparabolae <lb></lb>BGA, ergo, ob rationem superius allatam, proportio est ae<lb></lb>qualitatis, fusus ergo dimidium est sui cylindri, sive est <lb></lb>ut 16 ad 8, quod est falsum cum sit ut 15 ad 8, prout pri<lb></lb>mus omnium demonstratione confirmavit acutissimus geo<lb></lb>metra P. F. Bonaventura Cavalerius. </s><s>Quare fallaci, in usu <lb></lb>ipsius methodi riponitur. </s></p> <pb pagenum="422"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>EXEMPLUM IX.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>In rectangulo [Fig. 9] AB sit ellipsis quadrans ACB et <lb></lb>semiparabola ADB cuius vertex A, axis AE et conver<lb></lb>tatur figura circa axem BE. Nam sic de</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 9].<lb></lb>scribitur hemispherois et fusus parabolicus <lb></lb>in quibus planum ad axem BE erectum <lb></lb>designant circulos ex GC et ex GD radiis <lb></lb>et FG ad GD, ut circulus ex GC ad cir<lb></lb>culum ex DG (cum, per addita post quar<lb></lb>tum exemplum, huius tres GF, GC, GD sint <lb></lb>in eadem ratione) et sic semper etc. </s></p> <p type="main"> <s>Quare omnes circuli quales CG, sive <lb></lb>spherois ad omnes circulos quales GD <lb></lb>sive ad fusum, erit ut omnes linee quales FG, hoc est <lb></lb>rectangulum AB ad omnes lineas GD, sive ad parabolam, <lb></lb>sed rectangulum sesquialterum est parabola, ergo et sphe<lb></lb>rois fuso hoc est si fusus ponatur 8, spherois esset 12, <lb></lb>cylinder vero cum sit sesquialter spheroide erit 18, sed <lb></lb>fusi respectu est tantum 15, ergo falsa ratiocinatio. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>EXEMPLUM X.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si in sphera cuius axis [Fig. 10] BE descriptus sit cy<lb></lb>lindrus, cuius rectangulum per axem sit quadratum ADFC <lb></lb>circulo maximo inscriptum, fi</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 10].<lb></lb>gura solida ADEFCB ex predicto <lb></lb>cylindro et ex duobus segmentis <lb></lb>sphericis ABCDEF composita, <lb></lb>aequalis videtur spherae dimidio <lb></lb>hoc est annulo spherico a por<lb></lb>tione circulari AGD descripto. </s></p> <p type="main"> <s>Prima enim figura tot cylin<lb></lb>dricas continet superficies, vel <lb></lb>continere videtur, quod sunt pun<lb></lb>cta semiquadrantis AB residua <lb></lb>vero figura tot cylindricas quot <lb></lb>sunt puncta in semiquadrante AG, semiquadrantes vero <pb pagenum="423"></pb>sunt equales ac utraque utrique superficierum equalis est, <lb></lb>ille nempe quae a puncto A quadrantis medio per aequa<lb></lb>les arcus, utpote AL, AI removentur. </s></p> <p type="main"> <s>Sed falsa est huiusmodi duarum figurarum aequalitas. </s><s><lb></lb>Ergo et in hac falso rationatur. </s></p> <p type="main"> <s>Quod autem cylindrice omnes hinc inde a cylindrica <lb></lb>AD per aequales arcus distantes quales sunt LN, IM sint <lb></lb>equales patet quoniam cum ipse sint inter se ut cylin<lb></lb>drorum rectangula per axem harum rectangula LP, IO <lb></lb>aequalia sunt, eo quod ipsorum dimidia LS, IS ab aequa<lb></lb>libus lineis, seu sinibus aequalium contineantur. </s></p> <p type="main"> <s>Quod vero earumdem figurarum solidarum aequalitas <lb></lb>falsa sit constat sic ostendendo, solidum a quadrilineo <lb></lb>mixto BADE plus quam dimidium esse spherae a semi<lb></lb>circulo BGE. </s></p> <p type="main"> <s>Quadranti enim GAB in apposita figura [Fig. 11] cir<lb></lb>cumscribatur quadratum QS, quod erit circa eamdem dia<lb></lb>metrum cum quadrato AS, atque hu</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 11].<lb></lb>ius duplum. </s><s>Cum ergo quadratum <lb></lb>recte SB duplum sit quadrato recte <lb></lb>ST posita SR ut 2, cuius quadratum <lb></lb>erit 4 et quadratum SB erit 8, ideo<lb></lb>que recta BS minor quam 3, hoc est <lb></lb>SR plus quam dupla relique TB. Sed <lb></lb>quadratum BO duplum est quadrati <lb></lb>TO hoc est circulus ex radio BO du<lb></lb>plus circuli ex radio TA, ergo in re<lb></lb>volutione figurae circa axem SB. Cy<lb></lb>linder a rectangulo QT minor est cylindro a rectangulo <lb></lb>AS descripto. </s><s>Cumque circulus ex radio BQ vel TR du<lb></lb>plus sit circuli ex radio TA, erit cylinder a rectangulo RS <lb></lb>duplus cylindri a rectangulo AS, sive annulus a rectangulo <lb></lb>AG aequalis cylindro ab AS quare et cylinder a QT mi<lb></lb>nor erit cylindro ab AS ideoque cylinder ab AS maior est <lb></lb>tertia parte cylindri a QS, hoc est maior dimidio hemis<lb></lb>phaerij a quadrante BAG descripti, qui duae tertiae totius <lb></lb>cylindri a QS. </s></p> <p type="main"> <s>Si igitur huic cylindro ab AS addatur sphaerica portio <lb></lb>a semisegmento circulari ABT descripto eo magis solida <pb pagenum="424"></pb>figura a quadrilineo BAVS maior erit dimidio hemispherij, <lb></lb>et sumptis duplis in precedenti figura solidum a BADE <lb></lb>plus quam dimidium erit sphaerae a semicirculo BGE. <lb></lb>Quod ultimo ostendere proposuimus. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>EXEMPLUM XI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Esto sphera cuius axis [Fig. 12] </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 12].<lb></lb>AB secta plano FCD ipsi erecto <lb></lb>et CE sit perpendicularis ad dia<lb></lb>metrum GH ipsi FD parallelum. </s><s><lb></lb>Rectangulum GEH vel FCD equa<lb></lb>tur quadrati CE ob semicirculum, <lb></lb>hoc est armilla ex CD circa AB <lb></lb>equatur circulo ex EC circa GH, <lb></lb>et hoc semper, ergo solidum exca<lb></lb>vatum a trilineo AIH aequatur he<lb></lb>mispherio a quadrante ALH. Sed <lb></lb>hoc falsum cum sit dimidium ipsius hemisphaerij. </s><s>Ergo <lb></lb>fallax ratiocinium. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>EXEMPLUM XII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si in cylindro cuius rectangulum per axem [Fig. 13] <lb></lb>EL sit ABCD fuerit hemisphaerium, vel etiam hemisphae<lb></lb>roides AHED et conus AED </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 13].<lb></lb>super eadem basi AD, et ducta <lb></lb>quacumque FHI axi EL paral<lb></lb>lela, et revoluta figura circa <lb></lb>EL, erit cylindrica ab FI ad <lb></lb>cylindricam ab HI ut linea FI <lb></lb>ad cylindricam ab HI ut linea <lb></lb>FI ad lineam HI et hoc sem<lb></lb>per, ergo cylindrice omnes <lb></lb>qualis FI, hoc est solidum ex triangulo ABE ad cylin<lb></lb>dricas omnes qualis HI, hoc est ad solidum ex bilineo <lb></lb>EHAIE erit ut omnes lineae trianguli ABE ad omnes <lb></lb>lineas bilinei AHE, vel ut ipsum triangulum ad bilineum <lb></lb>et solidum excavatum ex triangulo ABE duplum est solidi <pb pagenum="425"></pb>ex solidi ex bilineo. (Conus enim ex triangulo ALE per Ar<lb></lb>chimedem subduplus est hemisphaerij vel hemispheroidis <lb></lb>AED, ergo aequalis solido facto a bilineo AHE, sed idem <lb></lb>conus subduplus est solidi excavati ex triangulo ABE; ergo <lb></lb>et solidum a bilineo eiusdem excavati solidi subduplum <lb></lb>erit). Ergo et triangulum ABE sive triangulum ALE du<lb></lb>plum est bilinei AHE. Quod est falsum. </s><s>Ergo male ratio<lb></lb>cinatur. </s><s>Triangulum autem ALE non esse duplum bilinei <lb></lb>AHE ita demonstrabitur. </s><s>Nam, si duplum esset totum rect<lb></lb>angulum BL eiusdem bilinei quadruplum quadrantis vero <lb></lb>circuli vel ellipsis AHEL sesquitertium esset, vel in ra<lb></lb>tione numeri 28 ad 21, quod est falsum cum sit in ratione <lb></lb>numeri 28 ad numerum maiorem 21, prout facile elicitus <lb></lb>ex Archimedes doctrina in tractatu <emph type="italics"></emph>De Dimensione Circuli<emph.end type="italics"></emph.end><lb></lb>ac <emph type="italics"></emph>de Conoid. </s><s>et Sphaeroid.<emph.end type="italics"></emph.end> Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>EXEMPLUM XIII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Esto conus aequicruris [Fig. 14] </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 14].<lb></lb>ABC et sint ACBL aequales diame<lb></lb>tro sphaerae. </s><s>Ducatur jam planum <lb></lb>DE basi parallelum, eritque linea FG <lb></lb>aequalis IB. Sed ob circulum est <lb></lb>quadratum DI aequale superficiei cy<lb></lb>lindricae ab GM et sic semper, ergo <lb></lb>omnes circuli (hoc est sphaera), quod <lb></lb>est falsum, est enim sphaera dupla <lb></lb>coni ABC ex Archimede. </s><s>Ergo fal<lb></lb>lax ratiocinandi modus. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>EXEMPLUM XIV.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Esto hemispherium vel hemispheroides [Fig. 15] LDI <lb></lb>circa axem DE et cum inscripto cono LDI et rectangu<lb></lb>lum DM circumscribatur ut in figura, jungatur ON appli<lb></lb>cetur quecumque ABCG et per G sit HF ipsi DE aequi<lb></lb>distans. </s></p> <p type="main"> <s>Iam in revolutione circa DE circulus ex AC ad circulum <lb></lb>ex CB est ut recta EC ad CD, velut FG ad GH, ergo <pb pagenum="426"></pb>omnes circuli ad omnes circulos, hoc est </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 15].<lb></lb>hemisphe rium, vel hemispheroides ad co<lb></lb>num inscriptum LDI, ut omnes linee ad <lb></lb>omnes lineas, hoc est ut quadrilaterum <lb></lb>EONM ad triangulum ODN, vel ut 3 ad <lb></lb>1. Quod est falsum, cum hemispherium <lb></lb>vel hemispheroides conum sit ut 2 ad 1. <lb></lb>Quare patet fallacia in usu methodi. </s></p> <p type="main"> <s>Circulum vero AC ad CB esse ut linea <lb></lb>EC ad CD sic patet. </s><s>Nam circulus ex CA <lb></lb>ad circulum ex OL est ut rectangulum <lb></lb>ECD ad EOD, et circulus ex OL ad cir<lb></lb>culum CD est ut quadratum OD ad DC, ergo ex aequali <lb></lb>circulus CA ad circulum CB est ut rectangulum ECD ad <lb></lb>quadratum CD, velut linea EC ad CD, ob altitudinem com<lb></lb>munem CD. Quare constat. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>EXEMPLA <lb></lb>PRO USO CURVORUM INDIVISIBILIUM.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>1. Circulum aequale esse triangulo rectangulo cuius <lb></lb>unum latus circa rectum sit radius alterum vero sit ae<lb></lb>qualis peripheriae. </s></p> <p type="main"> <s>Ostendendo quamcumqne peripheriam per puncta radij <lb></lb>aequalem esse recte linee per eadem puncta basi [Fig. 16] <lb></lb>BC parallele nempe cir</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 16].<lb></lb>cumferentia per B esse <lb></lb>recte BC et ostendendo <lb></lb>quamcumque superfi<lb></lb>ciem sphericam equalem <lb></lb>esse circulo per idem ra<lb></lb>dij punctum transeunte. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ogni antecedente <lb></lb>curva superficie sferica è uguale alla sua conseguente <lb></lb>piana superficie circolare e quelle e queste hanno eguale <pb pagenum="427"></pb>et uniforme e spessezza de medesimi punti d'una stessa <lb></lb>retta linea, e con retto transito. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>2. Altrimenti la medesima. </s></p> <p type="main"> <s>Ostendendo quamlibet circulum cuius diameter [Fig. 17] <lb></lb>FH aequalem esse superficiei cylindrice per idem I punc<lb></lb>tum diametri AB transeunti, nempe </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 17].<lb></lb>cylindrice a retta LI per revolu<lb></lb>tionem trianguli ADB circa axem <lb></lb>DB descripte. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ogni antecedente piana su<lb></lb>perficie circolare uguale alla sua <lb></lb>conseguente curva superficie ci<lb></lb>lindrica e quelle e queste d'uguale <lb></lb>spessezza per i medesimi punti d'una stessa retta e di <lb></lb>retto transito. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>3. Scutellam a triangulo [Fig. 18] ABC circa axim <lb></lb>BD genitam duplam esse coni, a trian</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 18].<lb></lb>gulo ACD quando tamen ABCD sit <lb></lb>quadratum. </s></p> <p type="main"> <s>Ostendendo quamlibet cylindricam <lb></lb>ex HI ad circulum ex IL esse ut HI <lb></lb>ad dimidium rette IL. Ogni antece<lb></lb>dente curva cilindrica ad ogni conse<lb></lb>guente piana circolare ha la medesima prop.: eamquae <lb></lb>per I rette IL et hoc semper ergo omnes circumferentie <lb></lb>omnibus rectis seu circulus triangulo. </s><s>Ogni antecedente <lb></lb>curva linea è uguale alla sua conseguenta retta e quella <lb></lb>e queste hanno eguale et uniforme spessezza dalli istessi <lb></lb>punti d'una medesima linea retta e di retto transito. </s></p> <p type="main"> <s>2. (<emph type="italics"></emph>sic<emph.end type="italics"></emph.end>) Spheram equalem esse </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 19].<lb></lb>cono [Fig. 19] cuius altitudo sit <lb></lb>radius et diameter basis sit dia<lb></lb>metri sphere duplum dupla e quelle <lb></lb>e queste hanno eguale uniforme <lb></lb>spessezza e sono d'uguale transito <lb></lb>retto per punti di uguali linee <lb></lb>rette. </s></p> <p type="main"> <s>4. Conum rectum [Fig. 20] ABC equalem cono obli<lb></lb>quo DCE si producto latere BC (ita ut circulus ex CE <pb pagenum="428"></pb>diametro equalis sit curve conice </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s><foreign lang="it">[Fig. 20].<lb></lb>ex AB circa BD revolute) super <lb></lb>basim circuli CE sit conus et ver<lb></lb>tex sit D. Ostendendo quamlibet <lb></lb>aliam curvam conicam ex GI ipsi <lb></lb>BC parallelam aequalem esse cir<lb></lb>culo circa diametrum IL, BGHL <lb></lb>antecedente curva (?) superficie co<lb></lb>nica è uguale alla sua conseguente <lb></lb>piana circolare, e quelle e queste sono di eguale et uni<lb></lb>forme spessezza con retto transito per i punti medesimi <lb></lb>della retta DF perpendicolare alla BCE. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>5. Conum rectum [Fig. 21] ABC cuius axis BD sit <lb></lb>axis spherae DEBF diameter vero </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 21].<lb></lb>basis AC sit dupla BD esse ipsius <lb></lb>sphere duplum. </s></p> <p type="main"> <s>Ostendendo quamlibet curvam cy<lb></lb>lindricam a recta GI descripta circa <lb></lb>axim BD cono duplam esse circulo <lb></lb>ex HG descripto. </s></p> <p type="main"> <s>Ogni antecedente curva cilindrica <lb></lb>alla sua conseguente piana circolare <lb></lb>ha sempre la medesima proportione <lb></lb>dupla e quelle e queste hanno conforme spessezza con <lb></lb>retto transito per i punti di uguali linee rette che sono <lb></lb>le AD, DB. </s></p> <p type="main"> <s>6. Spheram ex diametro [Fig. 22] </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 22].<lb></lb>AB equalem esse solido excavato ACE <lb></lb>triangulo descripto circa eandem axim <lb></lb>EF revoluto. </s></p> <p type="main"> <s>Ostendendo sphericam superficiem <lb></lb>per A equalem esse cylindrice ex AC <lb></lb>et sphericam per G equalem cylindrice <lb></lb>ex GH. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ogni antecedente curva sferica è <lb></lb>uguale alla sua conseguente curva ci<lb></lb>lindrica e quelle e queste sono di uguale <lb></lb>e uniforme spessezza et con retto tran<lb></lb>sito per i punti medesimi della retta AE. </foreign></s> </p> <pb pagenum="429"></pb> <p type="main"> <s>7. Cylindrum [Fig. 23] ABH cuius axis CN sesquial<lb></lb>terum sectori spherico ECFG. </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 23].<lb></lb>Ostendendo (dum sit LT <lb></lb>equalis TN concipiaturque <lb></lb>cylindrus LD equalis cylindro <lb></lb>AN atque ex eo dempto cono <lb></lb>LGM) quamcumque superfi<lb></lb>ciem sphericam QOVIA so<lb></lb>lido sectore spherico equa<lb></lb>lem esse cylindrice ex OI. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ogni antecedente super<lb></lb>ficie sferica è eguale alla sua <lb></lb>conseguente curvae cilindrica <lb></lb>quelle e queste sono d'ugual <lb></lb>ed uniforme spessezza con retto transito pei medesimi <lb></lb>punti della retta CG. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>8. Spatium sub spirali et recta [Fig. 24] AB com<lb></lb>prehensum, ad parabolam quamcumque ADB, cuius axis <lb></lb>sit quelibet CD equealto medio C recte </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 24].<lb></lb>AB esse in ratione eadem quam habet <lb></lb>arcus ex radio AC intra spiralem con<lb></lb>tentum ad suam rectam CH in parabola <lb></lb>contentam, velut arcus HI ad rectam. </s></p> <p type="main"> <s>Ostendendo arcus ad arcum esse ut <lb></lb>rectam ad rectam et permutando ar<lb></lb>cum ad suam rectam esse ut arcus ad <lb></lb>suam rectam et omnes arcus nempe <lb></lb>spirales ad omnes rectas nempe ad pa<lb></lb>rabolam ut unus arcus ad unam rectam. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ogni antecedente arco alla sua conseguente retta linea <lb></lb>sta sempre nella medesima propor</foreign></s> </p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 25].<lb></lb>zione e quelle e queste hanno uni<lb></lb>forme spessezza con retto transito <lb></lb>per i medesimi punti di una mede<lb></lb>sima retta linea. </s></p> <p type="main"> <s>9. Hemispherium [Fig. 25] ABC <lb></lb>duplum esse sibi contensiti coni <lb></lb>ABC. Ostendendo quamlibet planam armillam EFG equa<lb></lb>lem esse curve cylindrice ex FH circa axim BC dempte. </s></p> <pb pagenum="430"></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ogni armilla piana è eguale alla sua curva cilindrica, <lb></lb>e quelle e queste sono di eguale spessezza e con retto <lb></lb>transito, quelle cioè per i punti dell'asse BD e quelle per <lb></lb>i punti dell'ugual linea del semidiametro AD. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>10. Quodlibet minus segmentum sphericum [Fig. 26] <lb></lb>ABC equalem esse conoidi </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 26].<lb></lb>hyperbolico CDF, cuius cir<lb></lb>culus basis EF sit equalis <lb></lb>curve spherice ABC et alti<lb></lb>tudo sit eadem cum BD tran<lb></lb>seuntem (?) vero latus sit OD <lb></lb>differentiam inter radium <lb></lb>sphere et axem conoidis. </s></p> <p type="main"> <s>Ostendendo quamcumque <lb></lb>aliam sphericam superficiem <lb></lb>segmenti transeuntem per I punctum axis equalem esse <lb></lb>circulo in conoide LN per idem punctum I transeunte. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ogni antecedente curva spherica è eguale ad ogni sua <lb></lb>conseguente piana circolare, e quelle e queste sono di <lb></lb>eguale spessezza con retto transito per i medesimi punti <lb></lb>della stessa retta linea. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>11. Cylindrum rectum [Fig. 27] ABCD cuius axis EF <lb></lb>dempto cono BEC, equalem esse </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 27].<lb></lb>cono cuius axis <emph type="italics"></emph>ED<emph.end type="italics"></emph.end> et radius <lb></lb>basis sit DG media proportio<lb></lb>nalis inter AD, DC. Ostendendo <lb></lb>curva cylindrica ex CD equalem <lb></lb>esse plano circulo ex radio DG <lb></lb>et cylindricam ex HM equalem <lb></lb>circulo ex MN et hoc semper. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ogni antecedente cilindrica <lb></lb>è uguale alla sua conseguente <lb></lb>piana circolare e quelle e queste sono della medesima <lb></lb>spessezza con retto transito per i medesimi punti d'una <lb></lb>stessa linea retta. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>12. Cylindrum rectum [Fig. 28] ABCD cuius axis EF <lb></lb>equalem esse conoidi parabolico dempto a semiparabola <lb></lb>FIO, cuius axis sit FD et radius basis DO possit rectan<lb></lb>gulum AC. </s></p> <pb pagenum="431"></pb> <p type="main"> <s>Ostendendo cylindricum cur</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 28].<lb></lb>vum ex CD equalem esse circulo <lb></lb>ex DO et quemlibet cylindricum <lb></lb>ex GH equalem suo circulo ex <lb></lb>HI et hoc semper. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ogni antecedente curva su<lb></lb>perficie cilindrica è uguale alla <lb></lb>sua conseguente piana circolare <lb></lb>e quelle e queste sono di uni<lb></lb>forme spessezza con retto tran<lb></lb>sito per i punti medesimi della <lb></lb>retta linea FD. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>13. Conum [Fig. 29 ] ABC rectum cuius axis BD <lb></lb>equalem esse spheroidi cuius axis re</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 29].<lb></lb>volutionis sit DC et alter semiaxis EF <lb></lb>possit rectangulum EGH. </s></p> <p type="main"> <s>Ostendendo cylindricum ex EG <lb></lb>equalem esse circulo ex radio EF et <lb></lb>quamlibet cylindricam esse HI equalem <lb></lb>circulo ex radio IL et hoc semper. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ogni cilindrica curva è uguale alla <lb></lb>sua piana circolare e quelle e queste <lb></lb>sono di eguale spessezza con retto <lb></lb>transito per i medesimi punti della <lb></lb>medesima linea DC. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>14. In qualibet coni sectione vel circulo [Fig. 30] </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 30].<lb></lb>ABC si sit ex vertice B recta BD tangens et equalis <lb></lb>dimidio axis recte sectionis, sitque EB latus rectum et <pb pagenum="432"></pb>cuncta (?) EDF, conoidem vel spheroidem aut sphericam <lb></lb>sectionem factam a trilineo ABC circa axim BC revoluto, <lb></lb>equalem esse solido facto a quadrilatero BDIC circa axim <lb></lb>BD convesso. </s></p> <p type="main"> <s>Ostendendo quodlibet planum circuli ex AC equalem <lb></lb>esse ex CF et hoc semper. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ogni antecedente piano di cerchio è uguale ad ogni <lb></lb>sua conseguente superficie curva cilindrica, e quelli e que<lb></lb>ste sono d'uguale spessezza con retto transito per i punti <lb></lb>della stessa retta linea BC. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>FINE DELLA COMPILAZIONE <lb></lb>DE INDIVISILIBUS.<emph.end type="center"></emph.end></foreign></s> </p> <pb></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>MISCELLANEA.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <pb></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>AVVERTIMENTO.<emph.end type="center"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">A complemento della collezione dei lavori geometrici del Torricelli pubblichiamo <lb></lb>qui appresso alcune investigazioni sparse, che ci sembrano degne d'interessare, sia <lb></lb>come complementi od aggiunte a precedenti lavori, sia come attestazioni sicure delle <lb></lb>varie fasi attraversate dal pensiero dell'eminente scienziato. </foreign></s> </p> <pb></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>MISCELLANEA<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Cylindri obliqui superficies.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg480"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg480"></margin.target>Id. </s><s><lb></lb>T. XXXIV <lb></lb>c. 179-180.</s></p> <p type="main"> <s>Aequalis est rectangulo cuius unum latus sit axis cy<lb></lb>lindri, alterum vero sit perifaeria ellipsis cuiusdam, quae <lb></lb>oritur ex sectione d.<emph type="sup"></emph>i<emph.end type="sup"></emph.end> cylindri secti plano ad axem erecto. </s></p> <p type="main"> <s>Rivoltato sul piano fa </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s><foreign lang="it">[Fig. 1].<lb></lb>una figura come la [Fig. 1] <lb></lb>ABCDEFG, ma quell'el<lb></lb>lisse d.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> fa una linea come <lb></lb>la IL. Poichè essendo <lb></lb>eretta all'asse sarà eretta <lb></lb>a tutte le AB et parallela <lb></lb>all'asse, o voglia dire a <lb></lb>tutti i lati del cilindro <lb></lb>che sono paralleli all'asse; che poi quella figura torta sia <lb></lb>eguale al rettangolo non ne dubito. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Poi per via di piani, o prismi inscritti, et circonscritti <lb></lb>si può provare, more veterum Geometrarum, per duplicem <lb></lb>positionem etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Superficies cylindri obliqui.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si cylindrus obliquus secetur ad axem erecto sectio <lb></lb>erit ellipsis. </s><s>Secetur enim alio plano per axem, et ad ba<lb></lb>sem erecto quod faciat rectangulum per axem. </s><s>Erit iam <lb></lb>rectangulum per axem erectum ad planum secans [Fig. 2] <pb pagenum="436"></pb>AB (non axis erectus est ad planum AB, et rectangulum <lb></lb>per axem est per </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 2].<lb></lb>axem, ergo). Sitque <lb></lb>sectio plani secan<lb></lb>tis et plani per a<lb></lb>xem AB. Sint duae <lb></lb>rectae <expan abbr="utcumq.">utcumque</expan> CD, <lb></lb>EF, erectae ad AB <lb></lb>(immo potius EF <lb></lb>ut ad punctum F) <lb></lb>actis denique per <lb></lb>EF, CD, planis basi <lb></lb>parallelis (quod <lb></lb>fieri posse certum <lb></lb>est). Sunt enim EF, CD erectae ad planum per axem, et <lb></lb>basis item erecta ad planum per axem; erit CD erecta <lb></lb>ad LI diametrum circuli et EF ad GH, <expan abbr="eritq.">eritque</expan> quadratum <lb></lb>EF ad CD, ob aequalitatem ut rectangulum GFH ad rect<lb></lb>angulum LDI, nempe compositum rationem habebit ex <lb></lb>ratione GF ad LD, sive FA ad AD, et ex ratione FH ad <lb></lb>DI, sive FB ad BD; est itaque quadratum LF ad CD ut <lb></lb>rectangulum AFB ad ABD; ergo sectio ellipsis est. </s></p> <p type="main"> <s>Superficies cylindri </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 3].<lb></lb>obliqui aequalis est rect<lb></lb>angulo contento sub axe <lb></lb>cylindri et sub alia recta <lb></lb>quae sit aequalis perife<lb></lb>riae cuiusdam ellipsis cu<lb></lb>ius axem sunt ut infra. </s></p> <p type="main"> <s>Maior axis [Fig. 3] CD <lb></lb>minor AB nam CD, LM, <lb></lb>sive FE sunt aequales, et <lb></lb>FE maior quam FG, sive <lb></lb>quam AB. Axes ergo el<lb></lb>lipsis nostrae (?) sunt. </s><s>Dia<lb></lb>meter basis et 4.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> propor<lb></lb>tionalium si fiat ut latus ad perpendiculum ita diameter ba<lb></lb>sis ad aliam et in tertia et 4.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> proportionalium erunt axes. </s></p> <pb pagenum="437"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Superficie dell'anello circolare<emph.end type="italics"></emph.end> .<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Cylindrica CAB aequatur circulo cuius radius possit <lb></lb>rectangulum CAB; at cylindrica VXT aequatur circulo <lb></lb>cuius radius possit rectangulum VXT. Ergo ambae cylin<lb></lb>dricae simul aequantur circulo cuius radius possit rectan<lb></lb>gulum sub CA, et sub diametris annuli AB, XT tanquam <lb></lb>una recta. </s></p> <p type="main"> <s>Conica [Fig. 4] CF aequatur circulo cuius radius possit <lb></lb>rectangulum CF, DG. At conica VY aequatur circulo cu<lb></lb>ius radius possit rectangulum VY, PZ; ergo ambae co<lb></lb>nicae simul aequantur circulo cuius radius possit rectan<lb></lb>gulum sub CF et sub <expan abbr="utraq.">utraque</expan> simul DG, PZ vel NM, Z etc., </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 4].<lb></lb>sive AB, XT et sic de singulis, etiam de ultima armilla si <lb></lb>ulla armilla aderit. </s><s>Ergo totius semiannuli conicae super<lb></lb>ficies cylindricae et armillares si erunt, aequales sunt cir<lb></lb>culo cuius radius possit rectangulum sub omnibus rectis <lb></lb>ADFE2 et sub duabus diametris AB, XT tanquam una <lb></lb>recta contentum. </s></p> <p type="main"> <s>Idem dicitur de poligono inscripto. </s><s>Ergo facile infertur <lb></lb>(facta demonstratione more Archimedis) annuli curvam <lb></lb>superficiem aequales esse circulo cuius radius possit rect<lb></lb>angulum sub semiperiphaeria genitrice, et sub duabus dia<lb></lb>metris AB, XT, contentum, sive sub periphaeria genitrice <lb></lb>tota et duabus semidiametris AT contentum. </s></p> <pb pagenum="438"></pb> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg481"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg481"></margin.target>Id. </s><s><lb></lb>T. XXXIV, <lb></lb>c. 246</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Conoid.<emph type="sup"></emph>s<emph.end type="sup"></emph.end> hyperbolicum et segmentum sferoidis.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Esto conoides hyperbolicum sive sferoidis portio [Fig. 5] <lb></lb>ABC, cuius diameter BG; axis BD, </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 5].<lb></lb>centrum H tangentes AE, BF. Sup<lb></lb>pono quod si fiat ut tripla AD cum <lb></lb>dupla BF ad duplam BF cum AD, <lb></lb>ita BO ad OD, O esse centrum gra<lb></lb>vitatis. </s><s>Ut alibi. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>TEOREMA.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si fiat ut tripla axis DB cum qua<lb></lb>drupla diametri BG ad BD cum du<lb></lb>pla BG: ita BO ad OD. Dico O esse <lb></lb>centrum conoidis, sive portionis etc. <lb></lb> <arrow.to.target n="marg482"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg482"></margin.target>Facci una <lb></lb>appendice.</s></p> <p type="main"> <s>Ducatur enim FI parall. </s><s>ad BD. <lb></lb>Erit ergo AI ad ID ut DB ad BE, nempe (ob tangentem <lb></lb>sectionis coni AE) ut DH ad HB, et componendo, erit AD <lb></lb>ad FB ut DG ad GH. Quare ut tripla AD cum dupla FB <lb></lb>ad duplam FB cum AD, ita tripla DG cum dupla GH ad <lb></lb>duplam GH cum DG. Nempe ita tripla BD cum quadrupla <lb></lb>BG ad duplam BG cum BD. </s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg483"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg483"></margin.target>Id <lb></lb>T. XXXIV, <lb></lb>c. 255-6, <lb></lb>(originale).</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Centrum gr. </s><s>trianguli, coni, et hemisferij, <lb></lb>hemisferoidis <expan abbr="q.">que</expan> a priori.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Esto triangulum quodlibet [Fig. 6] ABC, <expan abbr="sectaq.">sectaque</expan> bifa<lb></lb>riam AC in E, ducatur BE, et com</s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 6].<lb></lb>pleatur figura AIDC. Tum secetur <lb></lb>bifariam BE in F; <expan abbr="eritq.">eritque</expan> F centrum <lb></lb>parallelogrammi AD. Centrum vero <lb></lb>trianguli ABC sit <expan abbr="quodcunq.">quodcunque</expan> H, et <lb></lb>reliquae figurae sit G. </s></p> <p type="main"> <s>Iam EB est libra ad quam pendent <lb></lb>infinitae numero magnitudines, nempe <lb></lb>rectae ipsi AC parallelae, quarum <lb></lb>max. </s><s>centrum habet in E, et minimo in B <expan abbr="suntq.">suntque</expan> magni- <pb pagenum="439"></pb>tudines inter se ut longitudines ad quas pendent. </s><s>facto <lb></lb>initio in B. Iam FB est libra ad quam pendant magnitu<lb></lb>dines numero infinitae nempe lineae parallelae ipsi AI in <lb></lb>geminis triangulis AIB, BDE, et maxima magnitudo cen<lb></lb>trum habet in F, ID vero in B et sunt magnitudines inter <lb></lb>se, ut iam dictae <expan abbr="praecedensq.">praecedensque</expan> (Nam duae simul AI, CD <lb></lb>ad duas OL, PM, sunt ut AI ad OL, sive ut AB ad BO, <lb></lb>sive ut EB ad BN, sive ut semisses earum, nempe FB ad <lb></lb>distantiam centri duarum OL, PN a puncto B). Propterea <lb></lb>centrum trianguli ABC quod ponitur H, in eodem ratione <lb></lb>secabit libram BE, in qua secat libra BF centrum reliquae <lb></lb>figurae quod est G; erit ergo ut BH ad HI ita BG ad GF; <lb></lb>et componendo, <expan abbr="permutandoq.">permutandoque</expan> EB ad BF ut EH ad FG, <lb></lb>nempe EH erit dupla ad FG, sed HF, FG sunt aequales <lb></lb>(cum F sit centrum totius, et tum G, quam H centro par<lb></lb>tium aequal.) erit EH dupla rectae HF, ergo patet BH <lb></lb>duplum esse ipsius HE. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Coni et haemisph.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Esto conus [Fig. 7] ABC cuius axis BD, cylindrus vero <lb></lb>circumscriptus AE, centrum cylindri F, coni sit quodvis <lb></lb>punctum G, et reliqui solidi sit H. </s></p> <p type="main"> <s>Iam BD libra est ad quam pendent infiniti num.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> cir<lb></lb>culi ipsi AC parall. </s><s>quarum maximus </s></p> <figure></figure> <p type="caption"> <s>[Fig. 7].<lb></lb>centrum habet in D, minimus in B, <lb></lb><expan abbr="suntq.">suntque</expan> magnitudinus inter se ut qua<lb></lb>drata distantium, sive portionum librae <lb></lb>initio facto ex B. Item FB est libra <lb></lb>ad quam pendent infinitae numero ma<lb></lb>gnitudines hoc est superficies cylindri<lb></lb>cae circa axem BD, quarum max. </s><s>cen<lb></lb>trum habet F minimum vero B, <expan abbr="suntq.">suntque</expan> <lb></lb>magnitudines inter se ut iam dictae <lb></lb>(nam, cylindrica ex AI ad cylindricam ex ML est ut rect<lb></lb>angulum AIB ad rectangulum MLB per axem, sive ut <lb></lb>quadratum AB ad BM, vel DB ad BO, sive ut quadrata <lb></lb>semissium ipsarum DB, BO, quae sunt distantiae centro<lb></lb>rum AB extremi librae B); ergo erit ut BG ad GD ita BH <pb pagenum="440"></pb>ad HF, et componendo, <expan abbr="permutandoq.">permutandoque</expan> ut BD ad BF ita <lb></lb>DG ad FH; propterea DG dupla erit ipsius FH, est autem <lb></lb>GF dupla ipsius FH (nam F est centrum ex quo aequi<lb></lb>ponderant magnitudines duplae), propterea DG, GF aequa<lb></lb>les erunt; patet ergo totum BG ad GD triplum esse. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollarium p. </s><s>hemisf.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Patet centrum hemisferij, sive hemispheroidis axem ita <lb></lb>secet ut partes sint quaemadmodum 5 ad 3. </s></p> <p type="main"> <s>Nam consideretur solidum cylindricum AIC, dempto <lb></lb>cono ABC, nam resolutum in superficies cylindricas ut <lb></lb>ante, sed in armillas circulorum parallelas circulo IE, so<lb></lb>lidi erit idem centrum H ut aute. </s><s>Sed huiusmodi armillae <lb></lb>inter se sunt ut circuli sphaeroidis cuius in eodem lib. BD <lb></lb>idem erit ac praedicti solidi nempe erit punctum H; patet <lb></lb>iam BH ad HD esse ut 3 ad 5. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>FINE DEI MISCELLANEA.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <pb></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>APPENDICE.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>LETTERA A FILALETI <lb></lb>DI TIMAURO ANTIATE.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <pb></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>AVVERTIMENTO.<emph.end type="center"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Lo scritto che qui si ristampa, come chiusa alla raccolta degli scritti geometrici <lb></lb>del Torricelli e ad illustrazione delle più cospicue delle sue invenzioni fisiche, è <lb></lb>quello di Carlo Dati ricordato al termine del § IV dell'<emph type="italics"></emph>Introduzione<emph.end type="italics"></emph.end> alla presente <lb></lb>edizione. </foreign></s> </p> <pb></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>DELLA VERA STORIA DELLA CICLOIDE <lb></lb>E DELLA FAMOSISSIMA ESPERIENZA <lb></lb>DELL'ARGENTO VIVO<emph.end type="center"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>CARISSIMI FILALETI<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Scrivo il vero a chi l'ama, e perciò senz'ornamenti, e senza lisci, <lb></lb>sendo la verità tanto più bella, quanto più schietta, e più nuda. </foreign></s> <s>So<lb></lb>crate, che amava questa nobil Donzella rifiutò la Difesa di Lisia, non <lb></lb>come bugiarda, ma come troppo ornata. </s> <s><foreign lang="it">E Voi, o Filaleti, vi sdegne<lb></lb>reste di sentir difendere il vero con artifici simigliantissimi alla bugia. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Difendo il Vero, ma senza maledicenze, perchè la Verità si contenta <lb></lb>d'essere impenetrabile, e rinunzia alla Menzogna le saette avvelenate <lb></lb>del rancore, e della malignità. </foreign></s> <s>Imita ella generosamente la gravità <lb></lb>imperturbabile degli Efori, quando fu loro, per racconto d'Eliano, e di <lb></lb>Plutarco, bruttata di lordure la magistral residenza dalla insolente <lb></lb>sfacciatezza de' Clazomeni, o de Chij, ch'e' si fossero. </s><s>Non s'adirarono <lb></lb>essi, ma fecero per bando pubblico promulgar questo editto. </s><s>Sia lecito <lb></lb>a' Clazomeni operar bruttamente. </s><s>O che bella vendetta! Così parmi <lb></lb>adesso d'ascoltare la Verità oltraggiata sì, ma non irritata, che tran<lb></lb>quilla, e ridente esclami ad alta voce. </s><s>Tratti meco, e co' miei seguaci <lb></lb>incivilmente, e bugiardamente chi vuole, sopra di lui tornerà la ver<lb></lb>gogna, e l'offesa, come ricadono sopra la testa degli empi le saette, <lb></lb>che s'avventano contro al Cielo. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Dico adunque che agli anni à dietro uscì alla luce un libretto scritto <lb></lb>in Franzese, e intitolato, <emph type="italics"></emph>Histoire De la Roulette,<emph.end type="italics"></emph.end> e poi tradotto in la<lb></lb>tino, <emph type="italics"></emph>Historia Trochoidis, sive Cycloidis, Gallicè la Roulette;<emph.end type="italics"></emph.end> nel quale, <lb></lb>a dire il vero, con maniere poco civili, e mal fondati argomenti, sento <lb></lb>intaccata l'ingenuità, la dottrina, e la riputazione, d'Evangelista Tor<lb></lb>ricelli, Matematico, e Filosofo insigne del nostro secolo, e mio caro <lb></lb>amico, e maestro, non potetti senza amarezza tollerare lo sfrontato <pb pagenum="444"></pb>ardire dello Storico, e poco mancò, che di subito io non prendessi la <lb></lb>penna per redarguire fallacie così patenti. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma poscia considerando, <lb></lb>che tanti amici, e scolari del Torricelli, eguali d'affetto, e superiori di <lb></lb>scienza potevano ciò fare meglio di me, mi ritirai per allora dall'im<lb></lb>presa, alla quale ritorno adesso dubitando, che il silenzio rechi pregiu<lb></lb>dicio alla Verità, la quale è così chiara, e ben fondata, che non ha <lb></lb>bisogno d'altra difesa, se non che chi la sa la disveli, acciò non resti <lb></lb>adombrata dalle menzogne. </foreign></s> <s>Perciò fare non porterò sofismi, e chimere, <lb></lb>ma testimonianze fedeli, scritture pubbliche per le stampe, e private <lb></lb>originali, e autentiche, le quali saranno sempre esposte alla curiosità <lb></lb>di chi volesse vederle; lasciandole considerare al retto, e spassionato <lb></lb>giudicio degl'intelligenti, e de buoni, perchè ne dieno diffinitiva sen<lb></lb>tenza. </s> <s><foreign lang="it">E mi protesto, che quando lo Storico, o altri replicassero a que<lb></lb>sta mia scrittura, per sostenere ostinatamente le loro proposizioni, io <lb></lb>non farò giammai altra risposta, che questa, se però non mi capitasse <lb></lb>qualche scrittura, o notizia di nuovo a favor della Verità. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Comincia per tanto l'Autore della Storia Cicloidale. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>“ Inter infinitas linearum curvarum species, si unam circularem <lb></lb>excipias nulla est, quae nobis frequentius occurrat, quam Trochoides, <lb></lb>Gallicè, la Roulette. </s><s>Ut mirum sit, quod illa priscorum seculorum Geo<lb></lb>metras latuerit, apud quos de tali linea nihil prorsus reperiri certum <lb></lb>est. </s><s>Describitur a clavo Rotae in sublimi delato, dum Rota ipsu motu <lb></lb>Rotis peculiaeri secundum orbitam suam recta fertur simul, et circum<lb></lb>volvitur, initio motus sumpto, dum clavus orbitam tangit, usque dum <lb></lb>absoluta una conversione, clavus idem iterum eandem tangat orbitam. </s><s><lb></lb>Supponimus autem hic, ad Geometriae speculationem, Rotam esse per<lb></lb>fecte circularem; clavum punctum in circumferentia illius assumptum; <lb></lb>iter Rotae perfecte planum; orbitam denique perfecte rectam, quam cir<lb></lb>cumferentia Rotae continuò tangat; ambabus orbita in quam, et circum<lb></lb>ferentia, in uno eodemque plano inter movendum ubique existentihus. </s><s><lb></lb>Hanc lineam primus omnium animadvertit Mersennus ex Minimorum <lb></lb>ordine circa annum 1615 dum rotarum motus attentius consideraret; <lb></lb>atque inde Rotulae ei nomen indidit; post illae naturam eius, et pro<lb></lb>prietates inspicere voluit, sed irrito conatu. </s><s>Erat huit viro ad excogi<lb></lb>tandas arduas eiusmodi quaestiones singulare quoddam acumen et quo <lb></lb>omnes in eo genere facile superaret: quanquam autem in iisdem dis<lb></lb>solvendis, quae praecipuae huiusce negotij laus est, non eadem felici<lb></lb>tate utebatur; tamen hoc nomine, de literis uptime meritus, quod per<lb></lb>multis ijsque pulcherrimis inuentis occasionem praebuerit, dum ad <lb></lb>eorum inquisitionem eruditos de illis, neque cogitantes excitaret. </s><s>Ergo <lb></lb>naturam Trochoidis omnibus quos huic operi credidit pares, indagan<lb></lb>dam proposuit, imprimisque Galileo: at nemini res ex sententia cessit, <lb></lb>omnesque de nodi illius dissolutione desperarunt ”. </s></p> <p type="main"> <s>Io domanderei volentieri allo Storico, in qual maniera si provi la <lb></lb>verità di questi racconti; perchè in Italia corre universalmente opi<lb></lb>nione molto diversa. </s> <s><foreign lang="it">Cioè, che il Galileo fosse assolutamente il primo, <lb></lb>che applicasse a questa speculazione della Cicloide intorno al 1600. <pb pagenum="445"></pb>Io non parlo dell'abilità del P. Mersenno, dirò solo, che avendosi in <lb></lb>pari grado, senza prova, e riscontro veruno, a disputare di chi sia <lb></lb>cotale invenzione, pochi, a mio vedere, di coloro, che averanno ben <lb></lb>conosciuto l'uno, e l'altro, saranno quelli, che non preferiscano il Ga<lb></lb>lileo, e che non credano, che più tosto il P. Mersenno avesse da lui <lb></lb>questa notizia, e d'Italia in Francia la trasportasse. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Chi non sa, che <lb></lb>il pregio maggiore di quel buon P. fu più tosto il raccogliere, e pro<lb></lb>muovere l'altrui invenzioni, che il mettere in luce le proprie? </foreign></s> <s><foreign lang="it">facendo <lb></lb>come quei mercatanti, che per iscarsezza di loro avere malamente <lb></lb>potendo far gran negozi sfogano il genio loro, guadagnando pure <lb></lb>assai nel contrattare, e mettere in vendita le merci altrui. </foreign></s> <s><foreign lang="it">E certo <lb></lb>gran trafficante fu il Mersenno tenendo commercio con tutti i letterati <lb></lb>d'Europa, e quelli esortando a diverse imprese, e loro varie notizie <lb></lb>somministrando, appresso i Filosofi, e Matematici dell'età trascorsa <lb></lb>meritò molto. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma tornando al proposito nostro fu costantemente cre<lb></lb>duto, che inventore della Cicloide fosse il Galileo, il quale avendo per <lb></lb>molt'anni speculato indarno per misurarne lo spazio, la propose a <lb></lb>molti suoi amici, e scolari, e particolarmente all'ingegnosissimo P. Fra <lb></lb>Buonaventura Cavalieri. </foreign></s> <s><foreign lang="it">E questo si cava da una lettera originale del <lb></lb>medesimo P. al Torricelli, scritta sotto dì 23 d'Aprile 1643. “ I. Final<lb></lb>mente ho sentita nell'ultima sua la misura dello spazio Cicloidale con <lb></lb>molta mia maraviglia, essendo stato sempre stimato problema di molta <lb></lb>difficoltà, che straccò già il Galileo; ed io pure parendomi assai diffi<lb></lb>cile lo lasciai andare; ond'ella avrà non poca lode di questo, oltre le <lb></lb>tante sue maravigliose invenzioni, che le daranno eterna fama. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Non <lb></lb>resterò poi di dirle intorno a questo, che il Galileo mi scrisse una <lb></lb>volta d'averci applicato 40 anni fa, e che non haveva potuto trovar <lb></lb>niente; e che s'era persuaso, che il detto spazio fosse triplo del cir<lb></lb>colo suo genitore, ma che poi li pareva, che non fosse precisamente, <lb></lb>se mal non mi ricordo, poiche per quanto abbi cercato nelle mie scrit<lb></lb>ture, non ho mai potuto tal lettera ritrovare ”. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Fu poi ritrovata detta <lb></lb>lettera del Galileo, e veduta dal P. Stefano Angeli degnissimo scolare <lb></lb>del P. Cavalieri, e notissimo per l'Opere Geometriche da lui stampate, <lb></lb>e ne fa menzione nel libro <emph type="italics"></emph>De superficie Ungulae<emph.end type="italics"></emph.end> stampato in Venez. </foreign></s> <s><lb></lb>nell'An. 1661 alla pag. 110. “ Sed antequam ulterius procedamus, ac <lb></lb>explicemus ea, quae ex analogia cum Ungulae superficie emanant; de<lb></lb>bemus prius naturam cuiusdam figurae, quae communiter Cyclois nuncu<lb></lb>pari solet ante oculos lectorum ponere. </s><s>Hanc primus omnium excogi<lb></lb>tavit celeberrimus Galileus occasione formandi arcum pontis cuiusdam, <lb></lb>ut ipsemet ait, in quadam familiari epistola, quam praeceptori nostro <lb></lb>Cavalerio olim scribebat, quaque apud nos manet. </s><s>Ut Cycloidis men<lb></lb>suram reperiret per plurimos annos laboravit. </s><s>Cumque hanc frustra <lb></lb>tentasset, tandem rem Cavalerio communicavit: sed prius spatium 35 <lb></lb>annorum (ni fallor) ut ipsam assequeretur consumpsit, ut pluribus vici<lb></lb>bus ab ore proprio Cavalerij pronunciari audivimus. </s><s>Sed nec Cycloidis <lb></lb>mensura pro Cavalerio reservabatur. </s><s>Hanc etenim primus omnium mundo <lb></lb>patesecit admirabilis Torricellius. </s><s>Post ipsum quadravit etiam Taquet <pb pagenum="446"></pb>in Dissert. </s><s>de motu etc. </s><s>Theor. 20 et quidem acutissima demonstra<lb></lb>tione. </s><s>Tandem Farbius in dicto Opusculo de Cycloide, et figura sinuum <lb></lb>de ipsa peregit cuius doctrinam, et nos aliqualiter repetemus. </s><s>Non ete<lb></lb>nim intelligimus ea omnia quae Farbius meditatus est, iterum ponere: <lb></lb>sed tantum aliqua quae vobis visa sunt naturam superficie ungulae, <lb></lb>illustriorem reddere. </s><s>Sed prius explicationem Cycloidis indolis a Torri<lb></lb>cellio mutuabimur, sicut ipse eam recepit a Cycloidis parente Galileo ”. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Mentre appunto io stava per metter sotto il torcolo questa scrit<lb></lb>tura, quando meno lo sperava m'arriva l'originale medesimo della let<lb></lb>tera del Galileo al P. Cavalieri trasmessomi cortesemente di Venezia <lb></lb>dal P. Stefano Angeli, eletto pur ora professore delle Matematiche nel <lb></lb>nobilissimo studio di Padova, e recuperato da lui con qualche difficoltà <lb></lb>insieme con altre scritture lasciate più anni sono in Roma. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Detta let<lb></lb>tera è responsiva a una del P. Cavalieri scritta sotto dì 14 di Feb<lb></lb>braio 1640 come apparisce ne' registri delle lettere di diversi al Ga<lb></lb>lileo, nella quale si legge “ II. Mi sono stati mandati di Parigi due <lb></lb>quesiti da quei Matematici circa de' quali temo di farmi poco onore, <lb></lb>perchè mi paiono cure disperate. </foreign></s> <s><foreign lang="it">L'uno è la misura della superficie <lb></lb>del Cono scaleno, L'altro la misura di quella linea curva simile alla <lb></lb>curvatura d'un ponte, descritta dalla revoluziono d'un cerchio, fino <lb></lb>che scorra con tutta la sua circonferenza una linea retta etc. </foreign></s> <s><foreign lang="it">e dello <lb></lb>spazio piano compreso da quella; e del corpo generato per la revolu<lb></lb>zione intorno all'asse, e alla base, il che mi ricordo che una volta mi <lb></lb>domandò lei, ma che infruttuosamente vi affaticai. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Di grazia mi dica <lb></lb>se sa, che queste due cose siano state dimostrate da niuno, perche <lb></lb>per quello ch'io vedo mi paiono difficilissime. </foreign></s> <s><foreign lang="it">L'occasione è nata, che <lb></lb>passando un Padre di S. Francesco di Paola qua da Bologna, che è <lb></lb>di Parigi, e molto intendente delle Matematiche, nel discorrer seco di <lb></lb>diverse cose li venni a dire, che avevo trovato la misura del corpo <lb></lb>parabolico, nato dalla revolutione della parabola intorno alla base, e <lb></lb>che avevo trovato che il cilindro generato dal parallelogrammo circo<lb></lb>scritto alla parabola, al detto corpo era come 15 a 8 se bene uno <lb></lb>de' principali Gesuiti Matematici mi aveva già un pezzo fa scritto, <lb></lb>che era doppio. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ora il detto P. disse, lasci di grazia ch'io lo voglio <lb></lb>scrivere a quei Matematici di Parigi per vedere se incontreranno que<lb></lb>sta verità, e così l'anno, dice, trovata come 15 a 8. E questa è stata <lb></lb>l'occasione di propormi quest'altri problemi da me reputati di diffici<lb></lb>lissima soluzione per quel poco che io vedo etc. ”. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Il P. Minimo che propose i quesiti al P. Cavalieri fu il P. Nicerone, <lb></lb>per quanto si cava da un'altra lettera del Cavalieri al Torricelli, e dal <lb></lb>riscontro del tempo in cui detto Nicerone venne in Italia. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Rispose il Galileo quando di già era cieco scrivendo per mano del <lb></lb>P. Clemente Settimi da Camerino della Religione de'Poveri della M. <lb></lb>di Dio. </foreign></s> <s><foreign lang="it">sotto dì 24 di Febb. 1639 dall'Incarnazione al costume Fioren<lb></lb>tino, che sono appunto dieci giorni dopo a quella del P. Cavalieri. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">“ III. Rispondendo alla gratissima della P. V. Mol. </foreign></s> <s><foreign lang="it">R. con quella <lb></lb>confidenza, che tra amici veri si conviene, e che veggo ch'ella usa <pb pagenum="447"></pb>meco, gli dico, che non posso a bastanza maravigliarmi della maniera <lb></lb>del discorrere, e Filosofare del Sig. Liceti: la qual maniera mi pare, <lb></lb>che in languidezza ecceda quella di qualsivoglia meno anco che me<lb></lb>diocremente uso a discorrere, e sillogizare; e mi dispiace, che questo <lb></lb>concetto si sia risvegliato tra'letterati di Pisa, e di Genova. </foreign></s> <s>Poiche <lb></lb>mi trovo in necessità di purgarmi da' mancamenti impostimi; non so <lb></lb>se io saprò trovar maniera tanto placida, modesta, e civile, che io non <lb></lb>mi conciti almeno in parte la indignazione di questo Filosofo. </s> <s><foreign lang="it">Io benche <lb></lb>averei larghissimo campo di notare moltissime leggerezze nella gran <lb></lb>moltitudine de' suoi scritti lascerò scorrere tutto il resto, e solo mi <lb></lb>fermerò sopra le impugnazioni, che egli fa contro di me, e per ora <lb></lb>anderò esaminando le leggerezze, ch'egli adduce in riprovare la mia <lb></lb>oppinione del tenue candore della Luna del quale deferisco la causa <lb></lb>nel lume ripercosso dalla Terra illustrata dal Sole. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Vedrà a suo tempo <lb></lb>quello che io produrrò, benche per conoscere la nullità de'discorsi di <lb></lb>questo Filosofo ella non habbia bisogno d'altro, che d'una semplicis<lb></lb>sima, e momentanea scorsa, sopra quello ch'egli scrive. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>“ De' quesiti mandatigli di Francia non so, che ne sia stato dimo<lb></lb>strato alcuno. </s><s>Gli ho con lei per difficili molto a essere sciolti. </s> <s><foreign lang="it">Quella <lb></lb>linea arcuata sono più di cinquant'anni, che mi venne in mente il de<lb></lb>scriverla, e l'ammirai per una curvità graziosissima per adattarla agli <lb></lb>archi d'un ponte. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Feci sopra di essa, e sopra lo spazio di lei, e dalla <lb></lb>sua corda compreso, diversi tentativi per dimostrarne qualche pas<lb></lb>sione, e parvemi da principio, che tale spazio potesse esser triplo del <lb></lb>cerchio, che lo descrive, ma non fu così, benche la differenza non sia <lb></lb>molta. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Tocca all'ingegno del P. Cavalieri, e non ad altro il ritrovarne <lb></lb>il tutto, o mettere tutti li specolativi in disperazione di poter venire <lb></lb>a capo di questa contemplazione. </foreign></s> <s>Ebbi circa un'anno fa una scrittura <lb></lb>di un P. Mersenno de'Minimi di S. Francesco di Paola mandatami da <lb></lb>Parigi, ma scrittami in caratteri tali, che tutta l'accademia di Firenze <lb></lb>non ne potette intender tanto, che se ne potesse trar costrutto alcuno. </s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Vedevasi che conteneva alcuni dubbi sopra alcune mie proposizioni, e <lb></lb>pareva che ne domandasse la soluzione. </foreign></s> <s>Io risposi all'amico, che me <lb></lb>la mandò, che facesse intendere al detto P. che mi scrivesse in carat<lb></lb>tere più intelligibile, perche qua non aviamo, ne la sfinge, ne altri <lb></lb>interpreti di misteri reconditi, ma non ho poi inteso altro. </s><s>Sento grande <lb></lb>afflizione de' suoi travagli, i quali accrescono i miei, che sono tali, che <lb></lb>posso con verità dire di ritrovarmi in uno Inferno terrestre superfi<lb></lb>ciale, poiche non mi avanza momento di tempo, che io possa passare <lb></lb>senza lamentare. </s> <s><foreign lang="it">Piace al Sig. Iddio così, e in cio doviamo quietarci, <lb></lb>mi continui il suo amore mentre con ogni affetto la riverisco. </foreign></s> <s>D'Ar<lb></lb>cetri li 24 Febbraio 1639 ”. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Averebbero corroborata questa verità con la testimonianza loro <lb></lb>molti, e molti altri amici, e scolari del Galileo s'ella non s'avesse a <lb></lb>ricercare dopo tant'anni, che in questo mentre quasi tutti son morti. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Ma per tutti sopravvive Andrea Arrighetti Senatore Fiorentino delle <lb></lb>Scienze Matematiche, e d'ogn'altra disciplina intelligentissimo, e perciò <pb pagenum="448"></pb>impiegato dal Sereniss. </foreign></s> <s>Granduca di Toscana in affari importantissimi <lb></lb>del suo felicissimo Stato. </s> <s><foreign lang="it">Questi appena domandato s'egli si ricordava <lb></lb>di questa linea, tosto puntualmente la descrisse figurandola simile a <lb></lb>forte, e vaga curvatura di ponte, ed affermò, ed afferma d'averne sen<lb></lb>tito discorrere, o al Galileo, come di cosa propria, o al P. Don Bene<lb></lb>detto Castelli come di cosa del Galileo poco dopo all'Anno 1618. In <lb></lb>confermazione di questo Vincenzo Viviani Gentiluomo Fiorentino, il <lb></lb>cui valore nelle Matematiche è palese per l'opera ingegnosissima, De <lb></lb>Maximis, et Minimis pubblicata agli anni addietro in Firenze, il quale <lb></lb>dimorò per lo spatio di tre anni continui appresso al Galileo, mi ha <lb></lb>detto averlo più volte udito discorrere della Cicloide, e particolarmente <lb></lb>trattandosi del disegno del nuovo ponte di Pisa, quando fu proposto <lb></lb>il farlo d'un'arco solo, dicendo egli, che questa linea somministrava <lb></lb>una centinatura per un ponte di bellissimo garbo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">E che passando più <lb></lb>oltre aveva speculato assai per misurarne lo spazio, sospettando che <lb></lb>fosse triplo del Circolo suo genitore; Ma che avendo fatto esperienza <lb></lb>di pesare la figura di cartone molto uniforme, e avendola sempre tro<lb></lb>vata meno che tripla, e dubitando che la proporzione fosse irrazionale <lb></lb>l'abbandonò, ma però non lasciò d'esortare altri a cercarne, come pure <lb></lb>esortò il medesimo Viviani. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Parmi a sufficienza anzi abbondantemente provato, che il Galileo <lb></lb>fosse il primo, e vero inventore della Cicloide; già che del P. Mer<lb></lb>senno non sento asserirlo ad altri che all'Autore della Storia senza <lb></lb>prova veruna; imperciocche il Roberval, che pure di questo fatto esser <lb></lb>doveva informatissimo in una sua lettera al Torricelli non ne sapea <lb></lb>l'inventore. “ Monerem (dic'egli) talem propositionem multis iam ab <lb></lb>annis per Galliam tentata fuisse: a quo autem primum propositam <lb></lb>incertum: donec tandem anno duodecimo iam elapso, ego a Rev. no<lb></lb>stro Mersenno non levi expostulatione invitatus in illius demonstra<lb></lb>tionem incidi ”. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Notisi, che qui si nomina il P. Mersenno come promo<lb></lb>tore, ma non come inventore della Cicloide. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Non è verisimile, che a <lb></lb>chi egli la propose non dicesse ch'ella era sua, se però stata fosse. </foreign></s> <s><lb></lb>Nelle sue Opere, le quali m'è sortito vedere parlando di questa mede<lb></lb>sima linea, e spezialmente nell'Opera Franzese dell'Armonia Univer<lb></lb>sale, dove descrivendola la reputa erroneamente una mezza Elissi, non <lb></lb>dice mai ch'ella sia da lui inventata. </s> <s><foreign lang="it">Nelle lettere al Torricelli, che <lb></lb>arrivano al numero di 18 nelle quali per lo più s'agita questa contro<lb></lb>versia della Cicloide, non si legge ne pure una parola, che mostri, <lb></lb>ch'egli la tenga per sua: il qual silenzio è molto contrario al di lui <lb></lb>costume di propalare, e replicare a ogni verso le sue invenzioni. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Torniamo adunque a sentire l'Autor della Storia. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>“ Sic viginti proximè abierunt anni ad usque 1634 quo Mersennus, <lb></lb>quam multas, ac praeclaras propositiones à Robervallio Regio Mathe<lb></lb>seos professore solui quotidie videret ab eodem suae quoque Trochoidis <lb></lb>solutionem speravit. </s><s>Nec verò eum sua spes frustrata est. </s><s>Felici enim <lb></lb>inquisitionis suae successu usus Robervallius, Trochoidis spatium spatij <lb></lb>rotae à qua describitur triplum esse demonstravit: ac tum primum <pb pagenum="449"></pb>huic figurae Trochoidis nomen a Graeco deductum imposuit, quod Gal<lb></lb>lico <emph type="italics"></emph>la Roulette<emph.end type="italics"></emph.end> aptissimè respondet. </s><s>Mox ille Mersenno sulutum a se <lb></lb>problema, ac triplam illam notionem ostendit, accepta ab eo fide, id <lb></lb>per totum adhuc annum iri compressum, dum eandem rursus quaestio<lb></lb>nem omnibus Geometris proponeret. </s><s>Laetus hoc eventu Mersennus <lb></lb>mittit rursus ad omnes Geometras: rogat, ut de integro in eam inqui<lb></lb>sitionem incumbant: addit etiam solutum à Robervallio problema: sed <lb></lb>de modo nihil adhuc indicat. </s><s>Anno, et amplius elapso, cum nullus pro<lb></lb>positae quaestioni satisfaceret; tertium ad Geometras scribit Mersen<lb></lb>nus, ac tunc Anno scilicet 1635 rationem Trochoidis ad rotam ut 3, <lb></lb>ad, 1, esse patefecit. </s><s>Hoc novo adiuti subsidio, problematis demonstra<lb></lb>tionem invenerunt duo iuventamque eodem fermè tempore ad Mersen<lb></lb>num transmiserunt; alteram Fermatius supremae Tholosanae, Curiae <lb></lb>Senator; alteram Cartesius nunc vita sunctus: utramque et alteram <lb></lb>ab altera, et a Robervallij item demonstratione diversam: ita tamen, <lb></lb>ut qui eas omnes videat, illicò illius demonstrationem internoscat, qui <lb></lb>primus problema dissolvit. </s><s>Ea enim singulari quodam caracterè insi<lb></lb>gnitur; ac tam pulchra, et simplici via ad veritatem ducit, ut hanc <lb></lb>unam naturalem, et rectam esse facile scias. </s><s>Et certè eadem illa via <lb></lb>Robervallius ad operosiores multò circa idem argumentum dimensiones <lb></lb>pervenit; ad quas per alias methodus nemo forsan alius perveniat. </s><s>Ita <lb></lb>res brevi percreavit; neminique in tota Gallia Geometriae studiosiori <lb></lb>ignotum fuit demonstrationem Trochoidis acceptam Robervallio refe<lb></lb>rendam. </s><s>Huic autem ille duas sub idem fermè tempus adiunxit; una <lb></lb>est solidorum circa basim eius mensio; altera tangentium inventio, <lb></lb>cuius ipse methodum, et invenit, et statim evulgavit, tam generalem <lb></lb>illam, ac latè patentem, ut ad omnium curvarum tangentes pertineat. </s><s><lb></lb>Motuum compositione methodus illa innititur ”. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Tutto questo ammetterò per vero senza contrasto, non dubitando <lb></lb>punto, che i nobilissimi, e vivacissimi ingegni di Francia abbian po<lb></lb>tuto fare, ed abbian fatto queste, ed altre cose di gran lunga mag<lb></lb>giori; e massimamente il Roberval, la fama del cui acutissimo intel<lb></lb>letto riempie il Mondo, e che il Torricelli, giustissimo stimator d'un <lb></lb>tant'uomo chiamò ne'suoi scritti non publicati ammirabile, incompa<lb></lb>rabile, e tal volta divino. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Nego bene assolutamente, che ciò fosse noto <lb></lb>in Italia, e particolarmente al Galileo, al P. Cavalieri, e al Torricelli, <lb></lb>e non è da maravigliarsi, che i Matematici d'Italia non lo sapessero, <lb></lb>se nella Francia medesima, dove l'Autore della Storia Cicloidale af<lb></lb>ferma che niuno studioso di Geometria si trova, che nol sapesse, egli <lb></lb>stesso, egli stesso dico, poco dopo nella medesima Storia, (tanta è la <lb></lb>forza del vero) affermò d'aver già tenuto, e scritto, che il Torricelli <lb></lb>fosse il primo Inventore della misura Cicloidale; onde scrive. “ Verum <lb></lb>quia passim in manibus est Torricellij liber; contra eius, ut ita loquar <lb></lb>recantatio paucis innotuit, Robervallio tam parum de fama sua exten<lb></lb>denda sollicito, ut nihil de ea recantatione emiserit in vulgus; multi <lb></lb>inde in errorem, et ipsemet etiam inductus sum. </foreign></s> <s>Hinc factum est, ut <lb></lb>et in prioribus scriptis ita sim de Trochoide locutus, quasi eam prin- <pb pagenum="450"></pb>ceps Torricellius invenerit. </s><s>Quo errore cognito faciendum duxi, ut quod <lb></lb>iure Robervallio debetur, hoc ipsi scripto restituerem ”. </s> <s><foreign lang="it">Se ogn'uno in <lb></lb>Francia sapeva, che la soluzione del problema, era di M. Roberval, <lb></lb>come molti, e fra questi Voi, o Signore Storico Geometra sì famoso, <lb></lb>veggendo il libro del Torricelli rimaneste ingannati? </foreign></s> <s>E se veramente <lb></lb>in Francia furono tanti, perche non potettero esser molti, come vera<lb></lb>mente furono in Italia, a cui questo fatto fu ignoto? </s> <s><foreign lang="it">Il Dottissimo <lb></lb>P. Lalovera Franzese avendo occasione di mentovare l'Opere del Tor<lb></lb>ricelli, e spezialmente quella della Cicloide nella Seconda Appendice <lb></lb>de'suoi Elementi Tentragonismici stampati in Tolosa l'A. 1651, parla <lb></lb>di lui con istima, e rispetto, ne mostra d'aver minimo dubbio, che le <lb></lb>dimostrazioni della dimensione Cicloidale fossero di chi l'avea pubbli<lb></lb>cate, e molto meno nella sua sottilissima Opera della Cicloide stam<lb></lb>pata pure in Tolosa nel 1660, alla p. 3, p. 19 e p. 20, e altrove. </foreign></s> <s><foreign lang="it">In <lb></lb>Olanda Francesco Schooten ne'suoi Comentari al lib. 2, della Geometria <lb></lb>del Des Cartes alla p. 223, riconosce il Torricelli per legittimo Autore <lb></lb>delle dimostrazioni stampate della Cicloide: E benche faccia menzione <lb></lb>del Des Cartes e del Roberval, non sospetta di furto. </foreign></s> <s><foreign lang="it">In Fiandra il <lb></lb>P. Andrea Tarquet nella sua ingegnosissima Dissertazione Fisico-Ma<lb></lb>tematica de i rivolgimenti de'Cerchi stampata in Anversa l'Anno 1651, <lb></lb>alla p. 261, senza veruna difficoltà attribuisce al Torricelli la Dimen<lb></lb>sione dello spatio Cicloidale. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Veggiamo come ciò fosse noto nell'Inghilterra dove fioriscono <lb></lb>quanto in alcun luogo gli studi della Geometria. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Sentiamo quelche ne <lb></lb>dice Gio: Wallisio Professore Insigne dell'Accademìa d'Osford nel suo <lb></lb>sottilissimo Trattato della Cicloide pubblicato nel 1659 nella Prefa<lb></lb>zione. “ Innuit quidem haec Historiolae Considerationem Cycloidis Mer<lb></lb>senno proponente, iam ab anno 1615 (dum ego nondum natus eram) <lb></lb>Gallos exercuisse; Robervallium verò A. 1634 demonstrasse primum, Fi<lb></lb>guram Cycloidalem Circuli genitoris triplam esse: quod, et post illum <lb></lb>demonstrasse dicuntur, Fermatius, et Cartesius, sed quorum demon<lb></lb>strationes prae illa Robervallij, extenuatum itur (eorum verò nemo, <lb></lb>quod sciam, demonstrationem suam typis vulgari hactenus curavit) <lb></lb>Torricellius deinde, qui A. 1644, harum rerum nescius, vulgavit suas <lb></lb>(omnium, credo, primus) insimulatur plagij (quam instè, ne dum can<lb></lb>didè, non inquiro; postquam per plures annos sit demortuus); non <lb></lb>quod Robervalli demonstrationem pro sua venditaxit; sed quod (sic <lb></lb>utique suspicantur) inter Galilei schediasmata vidisse forte potuerit <lb></lb>propositionis huius demonstrationem a D. Beugrand ad Galileum olim <lb></lb>transmissam. </foreign></s> <s>Cui simile quid de Lalovera Iesuita videntur suspicari, <lb></lb>qui eorum nonnulla potulerat, quae sibi peculiaria putaverit Rober<lb></lb>vallius. </s><s>Fortassis etiam, et nos eiusdem insimulandi, ubi viderit eadem, <lb></lb>et a nobis inveniri. </s><s>Inveniri, inquam; non enim si se prius haec scivisse <lb></lb>contendat, ut ut id verum esse possit, nos ideo minus invenisse di<lb></lb>cendi sumus, dummodo clam nobis sit quod ipse fecerit; qui nec vel <lb></lb>scrinia sua vel scripta compilavimus, nec ab illo quidquam fuimus <lb></lb>edocti. </s><s>Didiceram quidam a Torricellio, (à Torricellio, inquam, nam <pb pagenum="451"></pb>Robervallium, de rebus hisce quidpiam meditatum esse, quae mea erat <lb></lb>infelicitas, ne per somnia cogitabam); didiceram in quam, ab illo tum <lb></lb>Cycloidis aream circuli triplam esse; tum tangentes describendi me<lb></lb>thodum: Plura vero de Cycloide, quempiam excogitasse, nesciebam <lb></lb>planè; ut et (quantum hastenus intelligo) nostri iuxta mecum ignora<lb></lb>bant omnes: nec quidem ullo iure censendi fumus cognovisse; cum <lb></lb>illud omne quod se invenisse contendit, vel intra privata sua scrinia <lb></lb>recondidit, vel familiaribus saltem aliquot communicavit; in publicum <lb></lb>certè (quantum mihi hactenus licuit) nondum edidit ”. </s> <s><foreign lang="it">Molto in questo <lb></lb>luogo al nostro proposito, ma più largamente nella lettera a Cristiano <lb></lb>Hugenio p. 77. “ Et quidem maluissem, vel hoc nomine, ut abstinuisset <lb></lb>Author Historiolae <emph type="italics"></emph>De la Roulette,<emph.end type="italics"></emph.end> saltem eis quae in Torricellium dicta <lb></lb>sunt; (in Torricellium, inquam, nam de Lalovera minus sum sollicitus, <lb></lb>ut qui superstes adhuc est in sui Apologiam) quam ut meritissimum <lb></lb>virum, iam per multos annos demortuum suggillaret. </foreign></s> <s>Torricellium uti<lb></lb>que ex scriptis novimus tum virum doctum esse, et Mathematicum, <lb></lb>tum de Mathematicis optimè meritum; credo et ingenuum. </s><s>Nec video, <lb></lb>quid apud illum admissum sit, quod Clarissimo Viro, vel Robervallio <lb></lb>etiam cuius partes agit, bilem moveret. </s><s>Edidit Torricellius, A. 1644, <lb></lb>inter alia, demonstrationes suas de Cycloidis area circuli genitoris <lb></lb>tripla: quod quidem cur ipsi non liceret, non video. </s><s>Demonstrationes <lb></lb>illas, suas esse non negant; nec causantur illum Robervalli quicquam <lb></lb>pro suo venditasse. </s><s>Non dixit, quidem, (nesciebat enim; vel ipsis fa<lb></lb>tentibus) sed nec negavit, Robervallium hoc etiam demonstrasse. </s><s>Quod <lb></lb>iam vel publicè notum erat, vel non; Si sic Robervallio id iniurium <lb></lb>esse non potest, si post illum alius idem solvat problema, magis quam <lb></lb>Archimedi quod post illum idem Torricellius demonstraverit quadratu<lb></lb>ram parabolae; Sin minus, saltem Torricellio succensendum non erit <lb></lb>quod ipse nesciverit, quid vel in scriniis suis apud se premeret Rober<lb></lb>vallius, vel etiam amicis suis communicaret. </s><s>Nos saltem Torricellio <lb></lb>plus debemus, qui demonstrationes suas iam palam factas vulgavit, <lb></lb>quam, qui suas adhuc sopprimit, Robervallio. </s><s>Et quidem iniquum planè <lb></lb>iudicamus, ut, si suas nolit Robervallius typis mandare non igitur <lb></lb>liceat Torricellio suas. </s><s>At Galileo, inquiunt, id adscribit Torricellius, <lb></lb>quod Mersenno debetur, et quod Robervallio, sibi. </s><s>At bona verba, <lb></lb>quaeso: Si quidem ego neutrum horum video. </s><s>Erat utique suarum so<lb></lb>lutionum Author Robervallius, et Torricellius suarum non minus. </s><s>Sin <lb></lb>sua interesse putaverit Robervallius, ut sciat orbis priores suas esse, <lb></lb>ut ut id nesciverit Torricellius liberum id illi fuit, hoc indicasse, nec <lb></lb>erat ad hoc necesse ut Torricellium, huius nescium, suggillet, aut ini<lb></lb>quis suspicionibus oneret. </s><s>Et quidem tantum abest, ut in derogatio<lb></lb>nem Robervallij se problematis huius solutionem invenisse primum <lb></lb>affirmaverit, ut nequidem se invenisse dicat: sed solummodo proposi<lb></lb>tionis veritatem professus, suis eam demonstrationibus confirmat. </s><s>Quod <lb></lb>quid ni impune possit, non video. </s><s>At fieri possit, ut inter Galilei sche<lb></lb>diasmata, Beugrandi scriptum viderit, quo demonstrationem Rober<lb></lb>vallij, caelato nomine ad Galileum miserat; unde ansam suis arripuisse <pb pagenum="452"></pb>possit. </s><s>Nempe hoc suspicantur: nam autem pro comperto habeant <lb></lb>ignoro; nec nisi hoc fassus fuerit ipse, quod non affirmant, unde id <lb></lb>sibi constare possit non docent. </s><s>Sed, ut ut sit non surreptas inde de<lb></lb>monstrationes causantur ipsum pro suis venditasse, nec negant suas <lb></lb>esse, quas exhibet. </s><s>Quodnam igitur sit, cuius insimulent criminis, planè <lb></lb>non intelligo: nec praeter sinistras suspiciones, quidquam, quo id <lb></lb>constet afferunt. </s><s>Imo vero, inquiunt (quod palmarium est apud eos <lb></lb>argumentum) literas ipsius manu scriptas habent, quas ut cimelium <lb></lb>quod dam in hunc diem conservant, (quasi quidem res ipsa tanti esset) <lb></lb>quibus Robervallio primas concedit in huius Problematis solutione. </s><s><lb></lb>Nempe Vir ingenuus, cum tandem intellexerit, quod dum librum ederet <lb></lb>nesciebat, Robervallium etiam (clam ipso) hoc idem demonstrasse, ut <lb></lb>ut typis illud non vulgaverit, (quod necdum, credo, fecit) non aegrè <lb></lb>fassus illud erat. </s><s>Verum hoc sibi tum innotuisse cum librum ederet, nec <lb></lb>illum confessum dicunt, nec affirmant ipsi; imo contrarium docent. </s><s><lb></lb>Quid itaque culpent nescio, nisi nefas esse velint, ut quisquam vel in<lb></lb>veniat alius, vel in publicum emittat, quod sibi forte clam cognitum, <lb></lb>apud se premit Robervallius, vel suis solis notum malit. </s><s>Mersennum <lb></lb>verò quod spectet, cui derogatum insinuant quod Galilaeo tribuitur: <lb></lb>vel nullo quidem, vel per exiguo, mihi visum fundamento niti. </s><s>Esto <lb></lb>enim, quod volunt ipsi, Mersennum saltem anno 1615, hanc conside<lb></lb>rasse curvam, <emph type="italics"></emph>la Roulette,<emph.end type="italics"></emph.end> sibi dictam; atque de hac tum temporis <lb></lb>Geometras interrogasse: si tamen, et verum sit, quod prodit Torricel<lb></lb>lius (quod quid ni sit, non video, nec dicunt) illi hanc lineam a Galileo <lb></lb>iam supra 45 annum (adeoque anno salutem 1599, prodijt enim liber <lb></lb>ille anno 1644). Cycloidem vocatam: Et quid, quaeso, Mersenno dero<lb></lb>gatum itur, dum hoc dicitur? </s><s>Nec quidem aliud de Galileo dictum, <lb></lb>quod huc spectet, apud illum quicquam reperio: de Mersenno, nihil. </s><s>Et <lb></lb>quamquam nolim sibi suum reponere, <emph type="italics"></emph>ce fut un suiet de rire en France;<emph.end type="italics"></emph.end><lb></lb>At nos certè, qui minus forte sumus, quam Galli sui ad risum procli<lb></lb>ves, miramur saltem (dum Torricellij verba cum hac Historiola com<lb></lb>paramus) quid illud tanti sit, quod tantis hisce quaestibus subsit fun<lb></lb>damentum ”. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Basterebbe questa sincera difesa che fa il Wallisio per liberar da <lb></lb>ogni macchia, e imputazione il candore del Torricelli. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma egli è ne<lb></lb>cessario avanzarsi esaminando quelche dice lo Storico per produrre <lb></lb>alcune scritture, che recano evidenza alle ragioni fortissime del <lb></lb>Wallisio. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>“ HIST. TROCH. Anno autem 1638, I. de Beugrand, cum illas de plano <lb></lb>Trochoidis demonstrationes collegisset, quarum ad ipsum multa exem<lb></lb>plaria pervenerant: itemque egregiam methodum Fermatij de Max. </s><s>et <lb></lb>Minimis, utrumque ad Galileum misit, tacitis authorum nominibus, ac <lb></lb>sibi quidem illa nominatim non adscripsit: ijs tamen usus est verbis, <lb></lb>ut minus attente legentibus, quo minus se istorum profiteretur autho<lb></lb>rem, sola demum impeditus modestia videretur. </s><s>Itaque ad rem paulu<lb></lb>lum interpolandam, mutatis nominibus Trochoidem in Cycloidem com<lb></lb>mutavit ”. </s></p> <pb pagenum="453"></pb> <p type="main"> <s>Di questo puntual racconto averei caro sapere da quale archivio, <lb></lb>o segreteria trasse lo Storico così belle notizie. </s> <s><foreign lang="it">Ha egli vedute le let<lb></lb>tere del Beugrand al Galileo? </foreign></s> <s>s'egli l'ha vedute perche non le cita? </s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>s'egli non l'ha credute come sa l'artificio delle parole poste in maniera, <lb></lb>che senza dirlo dovesse il Beugrand esser veduto autore di quelle <lb></lb>proposizioni Geometriche? </foreign></s> <s><foreign lang="it">Se il Beugrand fece questo, certo che egli <lb></lb>non le mostrò loro, e se il Galileo non le pubblicò come si potean <lb></lb>vedere? </foreign></s> <s><foreign lang="it">Se poi dopo la morte del Beugrand anno trovate le minute, <lb></lb>perche non lo dice lo Stori<emph type="italics"></emph>c<emph.end type="italics"></emph.end>o? </foreign></s> <s>perche non le produce. </s> <s><foreign lang="it">Furon prevedute <lb></lb>sagacemente queste fortissime opposizioni, e, come sentiremo altrove, <lb></lb>detto d'aver veduti i duplicati, benche nella prima lettera si dica tutto <lb></lb>per <emph type="italics"></emph>forsan,<emph.end type="italics"></emph.end> e per semplicissima coniettura. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Di più se il Galileo aveva <lb></lb>la dimostrazione dello spazio Cicloidale, perche s'arrogò solamente <lb></lb>l'invenzione della linea, e professò di non sapere la dimostrazione, <lb></lb>proponendola a questo, e a quello, e non s'arrogò la dimostrazione an<lb></lb>cora? </foreign></s> <s><foreign lang="it">E se l'invenzione della linea fu sua, come certamente ella fu, e <lb></lb>tanto faticò per trovar la misura dello spazio, e le propose altrui, <lb></lb>acciò si ritrovasse pur'una volta, perche quando a lui capitò nelle <lb></lb>mani non la mostrò, per gloria sua, e di chi l'aveva trovata? </foreign></s> <s><foreign lang="it">Perche <lb></lb>veramente non l'ebbe mai, e si morì senza saperla; e il Beugrand <lb></lb>viene a torto imputato come apertamente scrive Fra Buonaventura <lb></lb>Cavalieri in una sua lettera al Torricelli scritta sotto di 22 di Set<lb></lb>tembre 1643. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">“ IV. Mi rallegro poi seco, che la fama delle sue proposizioni sia <lb></lb>arrivata in Francia, se ben mi dispiace, che il detto Robervallio s'ar<lb></lb>roghi il primato circa la Cicloide, o almeno, che da esso sia venuta a <lb></lb>notitia di V. S. e immeritatamente incolpa in questo il Beugrand quale <lb></lb>non parlò di tal cosa ne a me, ne credo ne anche al Galileo, o P. Don <lb></lb>Benedetto, quando venne in Italia, o scrisse mai ch'io sappia di tal <lb></lb>cosa, poiche ne averei pure avuto qualche sentore ”. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">V. Di più, essendosi fatto diligenza di vedere i registri delle let<lb></lb>tere scritte da diversi al Galileo distinti per ordine Alfabetico in dieci <lb></lb>grossi volumi, non si è trovato altro che una sola lettera del Beugrand <lb></lb>scritta in Firenze sotto dì 3 di Novembre 1635 al Galileo che facilmente <lb></lb>allora dimorava in Arcetri; Nella quale chiede il parere sopra l'opera <lb></lb>del Morino del trovare la longitudine per via della Luna, e lo prega <lb></lb>a mettere in carta per maggiore autenticazione del giudizio dato in <lb></lb>Francia di detto libro; e con tale occasione gl'invia il compendio d'una <lb></lb>sua dimostrazione intorno alla proporzione delle varie gravità d'un <lb></lb>corpo, secondo le varie distanze dal centro della terra. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Molto più giudizioso, e più modesto fu il Roberval dubitando sola<lb></lb>mente di quanto lo Storico arditamente asserisce con tante circostanze <lb></lb>ignotissime. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Aveva il Torricelli a petizione del P. Mersenno mandate <lb></lb>in Francia alcune sue curiose proposizioni, e fra esse la dimensione <lb></lb>della Cicloide. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Le trasmesse il Mersenno a M. Roberval, il quale ri<lb></lb>spose al Mersenno con una lettera, o parere pienissimo più tosto d'am<lb></lb>mirazione, che di lode del Torricelli l'Originale medesimo fu trasmesso <pb pagenum="454"></pb>dal Mersenno al Torricelli, fra le scritture del quale si conserva. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Dice <lb></lb>adunque arrivando a trattare della Cicloide. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>“ VI. In Cycloide Torricellij agnosco nostram Trochoidem, nec rectè <lb></lb>percipio, quomodo ipsa ad Italos pervenerit, nobis nescientibus, nisi <lb></lb>forsan (notate, o Filaleti quel <emph type="italics"></emph>forsan,<emph.end type="italics"></emph.end> e non ve lo scordate) a Io. </s><s>de <lb></lb>Beugrand missa fuerit cui hoc solenne erat, aliorum inventa mutatis <lb></lb>vocabulis, et suppressis authorum nominibus propalare. </s><s>Quod si illa <lb></lb>tanto viro (Torricellium intelligo) placuerit, laetor. </s><s>Spero autem brevi <lb></lb>fore, ut eadem in luce emittatur, cum suis tangentibus, cumque solido <lb></lb>ex conversione illius circa basim genito, forsan, et circa axem, neque <lb></lb>id tantum in prima Trochoide, cuius basis aequalis esse ponitur cir<lb></lb>cumferentiae rotae genitricis; sed etiam in quavis alia Trochoide sive <lb></lb>prolata, sive contracta, atque in socijs earumdem ”. </s> <s><foreign lang="it">In margine alle <lb></lb>quali parole il Torricelli scrisse questa postilla. “ At non ego miror <lb></lb>quomodo in Galliam ex Italia pervenerit, cum sciam huiusmodi Theo<lb></lb>rema 40 ab hinc annis a Cl. </foreign></s> <s>Galileo fuisse promotum, et evulgatum <lb></lb>inter amicos, licet ab ipso non demonstratum. </s><s>Vivunt adhuc testes, et <lb></lb>supersunt nonnullae eius scripturae ”. </s><s>E qual'altro motivo, se non la <lb></lb>mera verità potea dettare al Torricelli queste parole le quali non so<lb></lb>lamente non doveano veder la luce, ma ne meno, senza questa inopi<lb></lb>nabil congentura, esser lette, e vedute se non da lui? </s><s>Passa più oltre <lb></lb>lo Storico avendo con le precedenti conietture fondate in aria aperta <lb></lb>la strada a fallacie maggiori. </s></p> <p type="main"> <s>“ HIST. TROCH. Non multo post Galilaeus, et ipse Beugrand vita <lb></lb>cesserunt. </s><s>Successit Galilaeo Torricellius, nactusque est inter illius ma<lb></lb>nuscripta, quae omnia ad ipsum delata erant, ista de Trochoide sub <lb></lb>Cycloidis nomine Problemata ipsius de Beugrand manu sic exarata, <lb></lb>quasi eorum author esset. </s><s>Cognita ergo illius morte Torricellius, abo<lb></lb>litam iam temporis spatio rei memoriam ratus, ea omnia secure iam <lb></lb>ad se transferri posse arbitratus est ”. </s></p> <p type="main"> <s>O che belle favole, o che graziose chimere; suggerite per avventura <lb></lb>dal genio, o dalla pratica in tentare, o condurre simiglianti imprese. </s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Adunque sopra sì deboli conietture, e sospetti si debbono fondare ca<lb></lb>lunnie, e querele di furto contro un'uomo tanto ingenuo, come fu il <lb></lb>Torricelli, ricchissimo de'beni dell'ingegno quant'altri dell'età nostra, <lb></lb>che del proprio tanto avea da donare, non chè rubar volesse l'altrui, <lb></lb>come faranno un giorno testimonianza certissima l'opere postume, che <lb></lb>si daranno alla luce? </foreign></s> <s><foreign lang="it">Conosco ben io l'artificio descritto nel Torricelli <lb></lb>in questo nostro Storico, il quale indugiò 14 anni dopo la stampa del<lb></lb>l'Opere, e 11 dopo la morte del Torricelli, ad accusarlo di furto, acciò <lb></lb>non solo non lo potesse redarguire il medesimo mentre egli visse; ma <lb></lb>ne altri ancora dopo la morte, figurandosi, che in capo a tant'anni <lb></lb>fosse abolita la memoria di questo fatto. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma egli s'è fortemente in<lb></lb>gannato, perchè vivissima è la memoria della verità, vivissimo l'affetto <lb></lb>verso il Torricelli defunto, e le lettere, che forse si stimaron perdute si <lb></lb>conservano con somma cura appresso a Lodovico Serenai Iureconsulto <lb></lb>Fiorentino amico fedelissimo, ed esecutore testamentario del Torri- <pb pagenum="455"></pb>celli: e sì come ora in parte si producono, tutte quando che sia in<lb></lb>sieme con l'Opere si stamperanno per difesa del vero. </foreign></s> <s>Suppone la <lb></lb>Storia senza provarne pur una molte cose, e tutte false. </s> <s><foreign lang="it">Non è vero, <lb></lb>che il Beugrand desse notizia alcuna al Galileo della Cicloide come <lb></lb>abbiamo sentito. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Non si sa parimente, che tra le scritture del Galileo <lb></lb>si trovasse la scrittura supposta del Beugrand; come attesta chi in <lb></lb>vita le vide, e dopo morte l'ha maneggiate. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Non è vero altresì che le <lb></lb>scritture del Galileo venissero dopo la morte di esso nelle mani del <lb></lb>Torricelli, perche furono sempre, e sono ancora presso agli eredi. </foreign></s> <s>Veg<lb></lb>gasi se da tali premesse può dedursi conseguenza, che vero sia. </s></p> <p type="main"> <s>“ HIST. TROCH. Itaque A. 1644 librum edidit, in quo excitatam de <lb></lb>Trochoide quaestionem Galileo tribuit, quae Mersenno debebatur: sibi <lb></lb>primam eius dissolutionem arrogat, quam Robervallij esse certum erat, <lb></lb>in quo sanè ut candoris aliquid Torricellio defuit, sic et aeliquid feli<lb></lb>citatis. </s><s>Neque enim sine quorundam risu exceptus est in Gallia, qui <lb></lb>anno 1644 hoc sibi ascivisset inventum, cuius parens in vivis constan<lb></lb>ter iam per octo annos Robervallius agnoscebatur, qui quod suum erat <lb></lb>non modo compluribus testibus adhuc viventibus posset revincere, sed <lb></lb>etiam excusis typo testimonijs, in quibus est quoddam scriptum G. Des<lb></lb>argues A. 1640. Aug. </s><s>Mense Paris editum, in quo nominatim habetur <lb></lb>Trochoidis problemata Robervallij esse, methodum de Max. </s><s>et Min. </s><s><lb></lb>Fermatij ”. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Se il Torricelli stampò, lo potette fare perche stampò il suo, ne <lb></lb>tolse ad altrui cosa veruna. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Se il Roberval avea trovato il medesimo <lb></lb>non se gli controverta. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma non si vieti agli altri ingegni il cercare, e <lb></lb>trovare le stesse verità che in natura sono uniche, e trovandosi non <lb></lb>possono esser diverse, come mostrano molti esempli di casi simili. </foreign></s> <s><foreign lang="it">E non <lb></lb>si sforzi il Mondo a sapere quel che veramente non sa. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Imperciocche <lb></lb>tutte le prove, e testimoni, se ben fossero infiniti, che dall'Autore della <lb></lb>Storia si portassero non concluderanno giammai, se non al più, al più, <lb></lb>che anche il Roberval avesse sciolto il quesito della Cicloide. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma non <lb></lb>ci sforzeranno a credere, ne che il Torricelli ciò sapesse, mentre tan<lb></lb>t'altri non lo sapevano ne che egli al Roberval rubasse la dimostra<lb></lb>zione dello spazio Cicloidale, se da per se stesso potea trovarla. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ne <lb></lb>occorreva, che lo Storico s'affaticasse in ricercare il testimonio di <lb></lb>Des-Argues stampato nel 1640, per provare che il Roberval l'avesse <lb></lb>trovata molto avanti, perche ne lo stesso Torricelli, ne altri lo nega; <lb></lb>anzi io voglio portarne un'altra testimonianza stampata in Parigi quat<lb></lb>tro anni prima, ed è nella grand'opera Franzese della Musica Univer<lb></lb>sale del P. Mersenno, per la quale si prova infallibilmente, che fino <lb></lb>nel 1636 il Roberval aveva trovata la dimensione della Cicloide, ma <lb></lb>si mostra con altrettanta evidenza, che la enunciazione di quel teo<lb></lb>rema benche stampata dal Mersenno poteva essere ignota al Torricelli, <lb></lb>gia che ne il Roberval del quale si parla, ne lo Storico, che ha ricer<lb></lb>cato tutte le notizie in questo proposito veduta l'anno, o pur se la <lb></lb>sono scordata, non ci essendo altra ragione per la quale tacer doves<lb></lb>sero una cosa, che faceva tanto per loro. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Che poi il libro del Torricelli <pb pagenum="456"></pb>fosse ricevuto con riso, io non lo credo, e non lo sento dire, se non <lb></lb>a questo appassionatissimo Storico. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Leggo bene, lettere piene d'En<lb></lb>comi straordinari, eziamdio del Rob. </foreign></s> <s>e pochi libri Matematici di qual<lb></lb>che stima veggo uscire alla luce, in cui non sieno testimonianze illustri <lb></lb>del Torricelli. </s> <s><foreign lang="it">Osservo di più che quelli, che fanno spezial menzione, <lb></lb>o trattano ex professo della Cicloide, non solamente non gli rimpro<lb></lb>verano questo furto sognato; Ma tutti, o quasi tutti dopo lui non Tro<lb></lb>choide, ma Cicloide la chiamano, come il Galileo primo Inventore, e poi <lb></lb>il Torrlcelli Dimostratore, e Pubblicatore la nominarono. </foreign></s> <s><foreign lang="it">E in questo <lb></lb>noto darsi certe giuste fatalità a dispetto dell'invidia, la quale sente <lb></lb>malvolentieri, che il Mondo nuovo si denomini dal nostro Amerigo, il <lb></lb>famoso Occhiale dal nostro gran Matematico, i Compagni di Giove <lb></lb>dalla nostra Casa Sereniss. </foreign></s> <s><foreign lang="it">di Toscana: E benche ella vada inventando, <lb></lb>e proponendo Origini, e nomi diversi pur si chiamano America, Oc<lb></lb>chiale del Galileo, e Pianeti Medicei. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Sì che, dica quel che vuole, e <lb></lb>quanto sa l'Autor della Storia che si come in questo fatto al Torricelli <lb></lb>non mancò il candore, così anche non mancò la felicità. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Io non voglio, <lb></lb>e non posso già dire, che la sua Storia sia stata in Italia ricevuta con <lb></lb>riso, perch'io so ch'ella è stata veduta, e letta non solamente in Italia, <lb></lb>ma in Inghilterra, e nella stessa Francia con qualche indignazione. </foreign></s> <s>Ma <lb></lb>passiamo più avanti. </s></p> <p type="main"> <s>“ HIST. TROCH. Ergo hanc iniuriam cum ipso Torricellio literis expos<lb></lb>tulavit Robervallius: ac severius etiam Mersennus, qui tot ipsum ar<lb></lb>gumentis, omni genisque testimonijs, etiam excusis: coarguit.... victus <lb></lb>Torricellius, hoc invento cedere, illudque ad Robervallium transcribere <lb></lb>coactus sit, quod literis propria manu scriptis praestitit, quae etiam<lb></lb>num asservantur ”. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ricordiamoci, o Filaleti, di farci mostrar queste lettere, e non ci <lb></lb>fidiamo, e per ora sentiamo tutto il restante della Storia, sin dove se<lb></lb>guita a parlare del nostro Torricelli, lasciando la cura a chi vuol pi<lb></lb>gliarsela d'esaminar quel che segue. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>“ HIST. TROCH. Verum quia passim in manibus est Torricellij liber; <lb></lb>contra eius, ut ita loquar, recantatio paucis innotuit; Robervallio tam <lb></lb>parum de fama sua extendenda sollicito, ut nihil de ea recautatione <lb></lb>emiserit in vulgus; multi inde in errorem, et ipsemet etiam inductus <lb></lb>sum: Hinct factum est; ut in prioribus scriptis ita sim de Trochoide <lb></lb>locutus, quasi eam princeps Torricellius invenerit. </s><s>Quo errore cognito, <lb></lb>faciendum duxi, ut quod iure Robervallio debetur, hoc ipsi scripto re<lb></lb>stituerem. </s><s>Usus hoc infortunio Torricellius, cum iam nec dimensionem <lb></lb>spatij Cycloidis, nec solidi circa basim primus invenisse existimari <lb></lb>posset ab ijs quibus perspecta rei veritas esset; solidi circa axem Cy<lb></lb>cloidis mensionem aggressus est: ibi vero non mediocrem difficultatem <lb></lb>offendit, est enim illud altissimae cuiusdam, et operosissimae inquisi<lb></lb>tionis problema, in quo cum veram assequi non posset, verae proxi<lb></lb>mam solutionem misit; ac solidum illud ad suum cylindrum esse dixit, <lb></lb>sicut 11 ad 18 ratus errorem illum a nemivere elli posse; verùm nihilo <lb></lb>fuit hoc etiam in loco felicior: Nam Robervallius, qui veram, ac Geo- <pb pagenum="457"></pb>metricam dimensionem invenerat, non modo suum illi errorem, sed <lb></lb>etiam veram problematis resolutionem indicavit. </s><s>Torricellius non multo <lb></lb>post fato concessit etc. ”. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">O questo fu il male; che se egli non moriva non sarebbero uscite <lb></lb>simili Storie, ed egli avrebbe difeso se stesso dimostrata precisamente <lb></lb>la misura del solido intorno all'asse di già pronunziata per approssi<lb></lb>mazione; ridotte a perfezione l'opere incominciate, e arricchita la Geo<lb></lb>metria sempre più di nuovi tesori. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma già che la morte lo ci tolse, ed <lb></lb>egli non può dire le sue ragioni, a me farà di mestieri in questo punto <lb></lb>sbracciarmi, gia che qui consiste la vittoria, e la perdita della causa. </foreign></s> <s><lb></lb>Venghiamo per tanto, come si dice, a'ferri, e sbrighiamoci in poche <lb></lb>parole. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Perche non mette fuora lo Storico i risentimenti del Roberval, e <lb></lb>del P. Mersenno, e le gagliarde ragioni portate da loro contro al Tor<lb></lb>ricelli? </foreign></s> <s><foreign lang="it">Perche non produce le lettere originali del Torricelli dov'egli <lb></lb>cede, e confessa il suo furto? </foreign></s> <s><foreign lang="it">Mostrile pure, perche io non mi fido, non <lb></lb>lo conoscendo tanto rispettoso, e guardingo della fama del Torricelli, <lb></lb>che se dentro vi fosse quanto egli vorrebbe, ch'altri stimasse senza <lb></lb>vederle, egli non l'avesse prodotte. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Amo la riputazione dell'amico, ma <lb></lb>mi contento d'arrisicarla, purche il Vero resti palese: Ne pagherei al<lb></lb>l'Amicizia questo debito di difesa, se da me non lo risquotesse la Ve<lb></lb>rità. </foreign></s> <s>Non si nascondano più queste lettere. </s> <s><foreign lang="it">Se il Torricelli è convinto <lb></lb>di furto, e se egli di propria mano (come dice lo Storico) si confessa <lb></lb>per ladro, e restituisce il mal tolto, io sarò bugiardo in questa Difesa, <lb></lb>ma però zelante del Vero: e al Torricelli anche senza la Cicloide ri<lb></lb>marrà tanto di gloria, che la sua fama non sarà vergognosa nel Mondo. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Se l'Autore della Storia non vuol produrle, io farò quegli, che lo pro<lb></lb>durrà, anche quando facessero contro di me. </foreign></s> <s>Il che prima di esequire <lb></lb>bisogna, o Filaleti, ch'io v'informi d'alcune cose precedenti notando <lb></lb>l'ordine de'tempi, che importa molto. </s> <s><foreign lang="it">Fatto questo, e vedute attenta<lb></lb>mente le lettere da prodursi non mi resta altro da dirvi in questo pro<lb></lb>posito, già che il Torricelli si difende a bastanza da se medesimo. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Egli è da sapere, che il Torricelli nel principio di questo commercio <lb></lb>letterario non iscriveva a dirittura al Roberval, ma passavano reci<lb></lb>procamente le notizie, e i Problemi per mano del P. Mersenno, al quale <lb></lb>il Torricelli mandò molte delle enunciazioni Geometriche di quelle pro<lb></lb>posizioni, che indi a poco si stamparono. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Poi finalmente scrisse il Tor<lb></lb>ricelli al Roberval la seguente lettera la quale cavandosi da una mi<lb></lb>nuta non ha giorno. </foreign></s> <s><foreign lang="it">E qui piglio occasione di protestarmi, che se le <lb></lb>lettere del Torricelli, le quali in questa scrittura da me si portano <lb></lb>tratte dalle bozze non confrontassero a parola per parola con gli ori<lb></lb>ginali, non s'attribuisca qualche piccola varietà, a fraude, o ad artificio <lb></lb>mentre nelle cose di sustanza saranno le stesse. </foreign></s> <s>Dice adunque. </s></p> <p type="main"> <s>“ Cl. </s><s>V. Robervallio Evangelista Torricellius S. P. </s></p> <p type="main"> <s>“ VII. Eloquar apertè tecum sine alio interprete V. Cl. (quis enim <lb></lb>dissimulare possit) et quamquam literae tuae ad Cl. </s><s>Mersennum missae <lb></lb>sint, non autem ad me, cohibere tamen non possum animi mei impe- <pb pagenum="458"></pb>tum quin ad te currat, tibique totum se dedicet, tanquam Apollini <lb></lb>Geometrarum. </s><s>Fortunatas certè iam existimare debeo nugas meas, at<lb></lb>que illas iam non amplius nihili facere, quandoquidem dignae habitae <lb></lb>sunt, quae iudicium tuum subirent, et animadversionibus tuis nobilita<lb></lb>rentur. </s><s>Principio ex me quaeris ancentrum gravitatis parabolae a priori, <lb></lb>ut inventum a me proponatur, aut quaeratur ut ignotum. </s><s>Erubescerem <lb></lb>certè ignotum theorema inter alias propositiunculas meas a me demon<lb></lb>stratas collocare: ostendimus illud unica brevique propositione. </s><s>Sed ea <lb></lb>occasione admiratus sum foecunditatem eximiam ingenij tui circa tot <lb></lb>parabolas, earumque solida non solum Geometricè, sed etiam mecha<lb></lb>nicè considerata, et ad mensuram scientiamque redacta. </s><s>De his nihil <lb></lb>ego habeo quod proferam, et fortasse non habebo, si quidem difficil<lb></lb>limae contemplationis censeo huiusmodi theorema; praeterea immorari <lb></lb>non soleo circa figuras non vulgatas, et praesertim circa solida, quae <lb></lb>si nova sint, saltem ab antiquis, et receptis figuris planis ortum non <lb></lb>habeant; atque ea praecipuè ratione, ut laborum fructus, quando res <lb></lb>ex animi voto succedat communem literatorum applausum sortiatur, <lb></lb>neque sint qui invideant figuris a me ipso fabricatis. </s><s>Mensura Cycloidis <lb></lb>(hoc enim nomine Cl. </s><s>Galilaeus nominavit 45 iam ab hinc annis figu<lb></lb>ram illam, quae fortasse tibi Trochois est) mihi se se ultro obtulit non <lb></lb>speranti, penè dixi aspernanti; illam deinde quinquies diversis semper <lb></lb>principijs demonstravi. </s><s>Quod ad auctorem, credo ego ingenium tuum <lb></lb>feracissimum, utque acutissimum illam ex se observare potuisse nemine <lb></lb>indicante. </s><s>Huiusmodi enim linea in natura est, resultaque ex composi<lb></lb>tione duorum motuum recti, et circularis. </s><s>Attamen vivunt in Italia <lb></lb>restes quibus olim Galilaeus irritas lucubrationes suas communicavit <lb></lb>circa hanc figuram; immo supersunt paginae quaedam Cl. </s><s>Mathema<lb></lb>tici, in quibus, et picturas, et aggressiones nonnullas suas circa hoc <lb></lb>subiectum iam adolescens delineaverat. </s><s>Pluribus ab hinc annis theo<lb></lb>rema hoc proposuit ille mirabili Geometrae Cavalerio nostro, ibsique <lb></lb>dixit idem, quod et mihi, et pluribus alijs confirmavit, nempè se olim <lb></lb>experimentum fecisse appensis ad libellam spatijs figurarum materia<lb></lb>libus quotuplum esset Cycloidale spatium ad circulum suum genitorem <lb></lb>et semper illum invenisse, nescio quo fato, minus quam triplum, ideo<lb></lb>que inceptam contemplationem deservisse ob incommensurabilitatis <lb></lb>suspicionem; quod si aliquando inconstanti fallacia, reperisset minus <lb></lb>quam triplum, aliquando vero magis quam triplum, tunc assurebat lyn<lb></lb>ceus Mathemathicus, ulteriorem contemplationem prosecuturum fuisse <lb></lb>reiectu scilicet variationis causa in materiei inaequalitate. </s><s>atque ra<lb></lb>sura, etc. ”. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">A questa lettera il Roberval indugiò due anni a rispondere; ma in <lb></lb>questo mentre scrisse il P. Mersenno al Torricelli sotto dì 13 di Gen<lb></lb>naio 1644 avvisandone l'arrivo. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>“ VIII. Porro Noster Geometra tuis literis vehementer delectatus est; <lb></lb>forteque sit ad te scripturus: displicet verò quod liber ille tuus hocce <lb></lb>novo anno, quo illum expectabamus nondum prodierit, et ad alterum <lb></lb>seculum remittas. </s><s>Trochoidis verò naturam, vel ut vis Cycloidis, ita <pb pagenum="459"></pb>penetravit Robervallius noster, nihil ut elegantius, vel profundius vi<lb></lb>deris: eiusque solidum, cum super base convertitur, ad Cylindrum eius<lb></lb>dem altitudinis demonstravit esse ut 5 ad 8 etc. ”. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Riscrisse il Torricelli sotto dì primo di Maggio 1644 al P. Mersenno, <lb></lb>e nelle minute di detta lettera si leggono fra l'altre cose, le seguenti. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>“ IX. De Cycloide, vel Trochoide: habemus etiam solida ante paucos <lb></lb>menses inventa, et Geometris Italis communicata. </s><s>Attamen si acutissi<lb></lb>mus Robervallius adeo altè naturam huius figurae penetravit, quemad<lb></lb>modum ipse refers V. Cl. </s><s>concedo sponte omnium harum inventionum <lb></lb>gloriam Geometrae praestantissimo, et verè mirabili. </s><s>Principio quoad <lb></lb>figuras planas itae definimus etc. ”. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">E qui ne seguono molte enunciazioni intorno alla Cicloide, e parti<lb></lb>colarmente del centro di gravità del piano Cicloidale il quale divide <lb></lb>l'asse in tal guisa, che la parte che è dal vertice, sta al restante come <lb></lb>7 a 5. Ne le registro qui tutte sì perche la bozza è molto difettosa, sì <lb></lb>perche quasi tutte son registrate più esattamente nell'opere stampate <lb></lb>del Torricelli. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ricevute che hebbe queste notizie il P. Mersenno replicò con let<lb></lb>tera scritta di Parigi sotto dì 24 di Giugno 1644. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>“ X. Vix credere possis V. Cl. </s> <s><foreign lang="it">Charissimeque quantis tuae novis<lb></lb>simae litterae accessionibus tuam apud me famam, et ae<emph type="italics"></emph>s<emph.end type="italics"></emph.end>timationem <lb></lb>promoverint quid enim illi putem </foreign><foreign lang="grc">ἄδύατον</foreign><foreign lang="it">. qui vel nostrum Geometram <lb></lb>Robervallium inventione centri gravitatis Cycloidis, et illius circa axem <lb></lb>solidi.... (manca il verbo nell'originale) reliqua enim invenit, et demon<lb></lb>stravit; sed qui (licet ille parata dicat habere, quae Trochnidis suae <lb></lb>plana spectant, ad edendum parata) tamen non debeas infodere tuas <lb></lb>circa idem negotium demonstrationes, iuvat enim idem pluribus modis <lb></lb>demonstratum inspicere. </foreign></s> <s>Ille vero non solum per lndivisibilia, sed more <lb></lb>alterius demonstrationis, quam ad te misi omnia praedicta demonstra<lb></lb>vit: qui cum tuas postremas legisset praedictum solidum, et centrum <lb></lb>gravitatis tibi debere fatetur qui primus invenisti. </s><s>Rogamus tamen an <lb></lb>centrum gravitatis solidorum Cycloidorum habeas, quae numerasti, ut <lb></lb>habes centrum gr. </s><s>plani Cycloidalis, et cur nam dicas te habere de<lb></lb>monstrationem solidi circa basim, ut 5 ad 8 nunquid et aliorum habes? ” </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">In fine della stessa lettera la quale è assai lunga si legge questa <lb></lb>poscritta. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>“ Dubitat noster Robervallius an Mechanicè tantum centra gravi<lb></lb>tatis Cycloidis, aut si vis Trochoidis inveneris quae Geometricè falsa <lb></lb>suspicatur. </s><s>Docebis num istius rei demonstrationem habeas ”. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Sentita il Torricelli questa confessione sincerissima, che il Roberval <lb></lb>gli concedeva il primato nelle predette invenzioni, Rispose tosto al <lb></lb>P. Mersenno per quanto sì può conietturare nel mese di Luglio 1644. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>“ XI. Heri ad me delatae fuerunt literae tuae Vir Ornatissime, ideo<lb></lb>que inter paucas horas propositiunculas quas nunc mitto composui <lb></lb>conscripsique. </s><s>Constitueram propositiones de centro gr. </s><s>Cycloidis, se<lb></lb>micycloidisque quas in mente tantum tenebam nulli per aliquet menses <lb></lb>communes facere; attamen victus alteram earum mitto, nempè Cy- <pb pagenum="460"></pb>cloidis, sileo alteram, cum ex ea pendeat demonstratio solidi circa <lb></lb>axem; victus autem tunc fui, quando in illa verba incidi. </s><s>Dubitat Ro<lb></lb>bervallius noster Geometrice ne, an aliqua mechanica ratione demon<lb></lb>strationem habeas de centris gr. </s><s>Quoad centrum gr. </s><s>Solidorum Cycloi<lb></lb>dalium nihil scio, nihilque spero unquam, adeo puncta illa, meo iudicio, <lb></lb>in abdito latent ”. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Con questa lettera mandò adunque il Torricelli la dimostrazione del <lb></lb>centro di gr. </foreign></s> <s><foreign lang="it">della Cicloide, e altro. </foreign></s> <s>Che qui distesamente non si regi<lb></lb>stra, per evitare la lunghezza, e per publicarlo ben presto nell'Opere <lb></lb>postume. </s> <s><foreign lang="it">Andate che furono in Francia queste notizie richieste dal <lb></lb>P. Mersenno ad istanza del Roberval, egli tuttavia indugiò a rispon<lb></lb>dere almeno 16 mesi, scrivendo la seguente il primo di Gennaio 1646. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Nel legger la quale desidero la vostra attenzione, o Filaleti, non <lb></lb>tanto perche secondo lo Storico ella contiene i rimproveri, e le ragioni, <lb></lb>che convincono il Torricelli quanto perche Voi consideriate che ella è <lb></lb>scritta dopo due anni, in un tempo solo, e non distintamente in tempi <lb></lb>diversi, come se tre lettere fossero che a tre cose separatissime rispon<lb></lb>dessero, in maniera che quando si riscriveva alla prima, non si avesse <lb></lb>notizia dell'altre il che veramente non è. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>“ CLARISSIMO VIRO TORRICELLIO <lb></lb>Æ. </s><s>P. DE ROBERVAL S. P. D.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>“ Vir Clarissime. </s></p> <p type="main"> <s>“ XII. Iam biennium elapsum est ex quo literas tuas accepi, quibus <lb></lb>ut statim responderem multae me causae invitare videbantur: tum ut <lb></lb>tibi significarem me tenuitatis meae conscium, humanitati tuae tri<lb></lb>buisse eximias illas laudes, quarum erga me nihil tale meritum planè <lb></lb>prodigus fuisti: tum etiam ut, quia de Trochoide nostra, quam ipse Cy<lb></lb>cloidem vocas, multa verba tanquam de antiqua propositione feceras, <lb></lb>quae cum a celeberrimo Galileo tentata, solui non potuisset, tibi non <lb></lb>speranti, vix etiam quaerenti se ultro obtulisset; monerem talem pro<lb></lb>positionem multis iam ab annis per Galliam tractatam fuisse: a quo <lb></lb>autem primum propositam incertum: donec tandem anno duodecimo <lb></lb>iam elapso, ego a Reverendo Nostro Mersenno non levi expostulatione <lb></lb>invitatus, in illius demonstrationem incidi, quam tamen per annum in<lb></lb>tegrum cum nemine ex nostris Geometris communicavi, sed tantum <lb></lb>curavi, ut ipsi me invenisse rescirent nondum patefacta illius ratione <lb></lb>subsesquitertia; quam illa obtinet ad suum parallelogrammum. </s><s>Anno <lb></lb>autem illo elapso, quia publicum certamen pro cathedra Regia quod <lb></lb>expectabam, et cui talem novam propositionem cum suis tangentibus, <lb></lb>et solidis servabam, non obtigerat, aperui subsesquitertiam illam ra<lb></lb>tionem sine demonstratione: ac tum duo ex nostris Geometris, nempe <lb></lb>D. Fermat, et D. Des-Chartes demonstrationes invenerunt inter se pe<lb></lb>nitus diversas; atque exinde propositio illa vulgata est, ita ut nunc <pb pagenum="461"></pb>pro nova haberi apud nostros nullo modo possit, quae per tot annos <lb></lb>iam inveteravit: earum autem demonstrationum illam, quae a D. Des <lb></lb>Cartes missa fuerat, Ioannes de Beugrand excepit, et propria manu <lb></lb>scriptam, cuius duplum ipse Mersennus, et ego, et multi alij perlegi<lb></lb>mus, ad ipsum Galilaeum misit, estque penitus eadem cum una ex tri<lb></lb>bus quas a nobili viro D. Du Verdus iam Romae degentis, tanquam <lb></lb>in Italia inventas nuper accepi. </s><s>Et quoniam circa ea tempora quibus <lb></lb>ad celeberrimum Galileam scribebat ipse de Beugrand, compertum est <lb></lb>eundem non solum illam propositionem, sed et multas alias aliorum <lb></lb>Auctorum tanquam suas, suppressis Auctorum nominibus, quocumque <lb></lb>missitare consuevisse, factum est ut Vir Doctissimus D. De Desargues, <lb></lb>cum talem plagiarium ferre non posset, de ea re in quodam ex suis <lb></lb>operibus iam ante sex annos in lucem emissis, disertis verbis scripserit, <lb></lb>ut quid cuique proprium esset omnes certiores faceret; Ibi autem ipse <lb></lb>D. De Desargues D. De Fermat suam de Tangentibus curvarum, deque <lb></lb>Minimis, et Maximis inveniendis methodum, mihi autem meam Tro<lb></lb>choidem a plagiario illo usurpatas nostris utriusque nominibus additis <lb></lb>restituit. </s><s>Haec, inquam, erant de quibus statim monendus mihi vide<lb></lb>bare. </s><s>Adde, quod cum in eadem epistola scripsisses de solido ipsius <lb></lb>Trochoìdis te nihil habere, consentaneum erat, ut quod de illa re per<lb></lb>ceperam, ac simul de tangentibus tecum communicarem: nam quod ad <lb></lb>centrum gravitatis attinet, iam diu est quo methodum universalem <lb></lb>invenimus, qua illud in unaquaque figura plana reperiatur ex notis ra<lb></lb>tionibus, tam figurae illius ad alteram quandam figuram planam cuius <lb></lb>centrum notum sit, quam solidi eiusdem propositae figurae, ad solidum <lb></lb>illius alterius. </s><s>Imò etiam absque tali praenotione in multis figuris: <lb></lb>unde haec nostra methodus tibi forsan universalior videbitur, quam ea <lb></lb>de qua, scripsisti, quae in omnibus figuris haec nota supponit: ut sic <lb></lb>notis illis rationibus plani, et solidi alicuius figurae, supervacaneum <lb></lb>sit apud nostros Geometras de centro talis figurae quicquam superad<lb></lb>dere, quibus praeter hanc nostram methodum, suppetit, et alia D. de <lb></lb>Fermat a nostra prorsus diversa, eademque subtilissima, atque elegan<lb></lb>tissima, qualia sunt omnia tanti Viri inventa, quod iam tibi saltem <lb></lb>aliqua ex parte, patuisse arbitror. </s></p> <p type="main"> <s>“ Cum autem haec scribere parerem, ecce supervenere a te ad <lb></lb>R. P. Mersennum literae quibus significatas utrumque Trochoidis soli<lb></lb>dum, nempe circa basim, et circa axem a te nuper detectum fuisse; <lb></lb>et illius quidem, quod circa basim, rationem ad suum Cylindrum esse; <lb></lb>ut 5, ad 8, illius verò quod circa axem, ut undecim ad octodecim; ac <lb></lb>utramque rationem via Mechanica ex voto prius plani centro, tibi in<lb></lb>notuisse. </s><s>Harum rationum prior a nobis via Geometrica inventa iam<lb></lb>dudum vulgata fuerat: posteriorem autem vera minorem comperimus: <lb></lb>quod sane statim demonstrare, et tibi scribere poteram; supersedere <lb></lb>tamen decrevi, donec veram rationem invenissem: eo enim a nobis res <lb></lb>deducta erat, ut invento iam medio, nihil aliud superesset, quam die<lb></lb>rum aliquot continuorum labor; de fine autem omnino considere pos<lb></lb>semus. </s><s>Ne vero mireris quod tantum temporis in unico Problemate <pb pagenum="462"></pb>solvendo consumpserimus, illud enim ex ijs est, quae et longa inquisi<lb></lb>tione indigent, et acrem pertinacis Geometrae requirunt operam; nec <lb></lb>memini me aliud unquam demonstrasse, quod cum eo conferri posset, <lb></lb>sive multitudinis mediorum necessariorum, sive difficultatis ipsorum <lb></lb>investigandorum habeatur ratio. </s><s>Ecce ergo illius enuntiationem in Tro<lb></lb>choide simplici, sive primaria, cuius basis aequalis ponitur circumfe<lb></lb>rentiae, altitudo autem, sine axis aequalis diametro Rotae Genitricis. </s><s><lb></lb>Si ex tribus quadrantibus quadrati dimidiae basis, dematur tertia pars <lb></lb>quadrati altitudinis; erit ut reliquum ad ipsum dimidiae basis quadra<lb></lb>tum, ita solidum Trochoidis circa axem conversae, ad Cylindrum eius<lb></lb>dem basis, eiusdemque cum ipso solido altitudinis. </s><s>Quamvis autem <lb></lb>talis esset demonstratio, et tam plana, ut ipsi reluctari non possem; <lb></lb>tamen quia tua enuntiatio, Vir Clariss. </s><s>a nostra diversa erat, operae <lb></lb>praetium visum est, inventum nostrum Clarissimis Viris Academiae <lb></lb>Mathematicae Parisiensis Proceribus communicare, quo tantorum Vi<lb></lb>rorum indicio confirmatus, illum liberius in lucem emittere auderem. </s><s><lb></lb>Sed et media demonstrutionis eiusmodi sunt, ut quarumlibet aliarum <lb></lb>Trochoidum tam prolatarum, quam contractarum solidis facile possint <lb></lb>accomodari. </s><s>Quod tamen enuntiare nimis longum esset. </s><s>Hinc ergo si <lb></lb>vera fuisset illa ratio 11 ad 18 inventa erat ratio peripheriae circuli <lb></lb>ad eiusdem diametrum, ut numeri duodecim ad radicem quadratam <lb></lb>numeri quindecim, quae quam a vero abesset, iudicare tibi promptum <lb></lb>est. </s><s>De centro gravitatis tam plani totius Trochoidis, quam eiusdem <lb></lb>dimidij, nihil est quod addam, praeter ea quae superius dicta sunt. </s><s>So<lb></lb>lidorum autem centra axes dividunt secundum rationes, quae si notae <lb></lb>sint innotescet circuli quadratura. </s><s>Solida circa tangenter ex praedictis <lb></lb>duobus praecipuis circa basim, et circa axem, atque ex ipso Trochoidis <lb></lb>plano omnino pendent: praecaeteris autem illud quod fit circa tangen<lb></lb>tem axi parallelam, nullo negotio detegitur; patitur enim ipsum regu<lb></lb>lam universalem hanc omnibus notam. </s><s>Si quaevis figura plana suo axe <lb></lb>in partes aequales, et similes dividatur, convertatur autem figura illa <lb></lb>circa tangentem axi parallelam; erit solidum inde genitum ad suum <lb></lb>cylindrum, ut figura plana ad suum parallelogrammum. </s><s>Imo modo <lb></lb>recta axi parallela ducatur per punctum figurae planae ab axe remo<lb></lb>tissimum, sive tangens illa sit, sine non, perinde est: neque rursus <lb></lb>semper requiritur, ut partes aequales etiam similes existant, possunt <lb></lb>enim aliae quaedam conditiones similitudinem hanc compensare. </s><s>At <lb></lb>iam nimis moror in re prorsus trita. </s><s>Sed et rectarum Trochoidem <lb></lb>quancunque in assignato puncto tangentium inventio simplicissima est, <lb></lb>ex universali methodo inveniendarum tangentium iam pridem a nobis <lb></lb>excogitata, quae per motuum cumpositionem procedit, quamque publicè, <lb></lb>privatimque docendo ante decem annos vulgavimus, additis exemplis <lb></lb>ex nobilissimis Curvarum quadratricis scilicet, Cissoidis, Conchoidum, <lb></lb>Helicum, et multarum aliarum, quarum tangentes apud antiquos Geo<lb></lb>metras, aut nullae, aut vijs intricatissimis inventae reperiuntur: Cum <lb></lb>tamen hac methodo statim, et ultro se se offerant. </s><s>Praecipuè verò Tro<lb></lb>choidum, et Helicum tangentes ideo inventu faciles evadunt; quia li- <pb pagenum="463"></pb>neae ipsae oriuntur ex compositione motus recti, et circularis, utrius<lb></lb>que uniformis, quorum directio, ac inter velocitates ratio, in omnibus <lb></lb>curvae punctis, ex ipsa descriptionis hypothesi, constat: Unde constat <lb></lb>quoque tertij motus ex illis duobus compositi directio, qua curvae tan<lb></lb>gentem in assignato puncto exhibet. </s><s>At in alijs curvis describendis, <lb></lb>quia motuum aliquis, ut plurimum difformis est sive inaequalis, ideo <lb></lb>nec directio illius in quovis puncto statim apparet, nec velocitatis ad <lb></lb>velocitatem alterius ratio citò detegitur: quae sanè difficultas sicuti <lb></lb>Tyrones tenere, atque morari solet, ita è contrario a veteranis ridetur, <lb></lb>et facilè superatur. </s><s>Huic epistola nihil ultra adderemus, nisi nuper <lb></lb>admodum in manus nostras incidisset opus tuum de solidis sphaerali<lb></lb>bus, de motu, de Dimensione Parabolae, De solido Hyperbolico, de <lb></lb>Trochoide, sive ut vis Cycloide, et de Coclea: quod, quia altiter per <lb></lb>otium non licuit, raptim tantum, attamen integrum percurrimus. </s><s>De <lb></lb>his omnibus Vir Cl. </s><s>vis ingenuè dicam quid sentiam? </s><s>Ubicumque Geo<lb></lb>metram agis, ibi te Geometram praestantissimum ostendis, cui nullum <lb></lb>priscorum, aut neotericorum facilè praetulerim; idemque proculdubio <lb></lb>mecum fatebitur quicunque rectè perpenderit; quam ardua, quamque <lb></lb>abstrusa sint tua inventa: quam verò brevi, et expedita methodo ea<lb></lb>dem proposueris; quam denique acuta, sed clara demonstratione con<lb></lb>firmaris. </s><s>Itaque in libris de Sphaeralibus, de Parabola, de Solido Hy<lb></lb>perbolico, ac de Coclea nihil animadvertimus, quod non laudemus <lb></lb>maximè; Vide tamen ut enuntiationes 2, et 7, prop. </s><s>de Sphaeralibus, <lb></lb>ad polygona parium numero laterum restringas, quod ad sequentia <lb></lb>sufficiat, vel paulisper immutes, si stante tuae Catheti definitione, ipsas <lb></lb>universales esse velis. </s><s>Trochoidem libasti tantum, et sanè laetor quod <lb></lb>idem te quod nos argumentum delectaverit. </s><s>At ubi doctrinam de motu <lb></lb>demonstrare suscipis pace tua dixerim V. Cl. </s><s>vix adduci possum, ut <lb></lb>aliud credam, quam quod Celeberribi Vir. </s><s>Galilaei manibus, forsan po<lb></lb>tentis alicuius viri iussu parentare volueris etc. ”. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">A questa lettera di M. Roberval rispose il Torricelli con la seguente <lb></lb>sotto di 7 Luglio 1646. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>“ CLARISSIMO VIRO ROBERVALLIO <lb></lb>TORRICELLIUS S. P. D.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>“ XIII. De Trochoide (esto enim quantumlibet Trochoides) sive Ita<lb></lb>licum, sive Gallicum Problema sit, nihil mea interest: Meum certè non <lb></lb>est, quod ad inventionem attinet. </s><s>De Autore ipsius quod ego accepe<lb></lb>ram ab amicis illud credideram, scripseramque. </s><s>Vos aliter vultis? </s><s>per <lb></lb>me iam licet, Hoc certissimum est (quid quid tandem feratur ab alijs) <lb></lb>celeberrimum Gallileum usque ad supremum vitae diem mensuram il<lb></lb>lius figurae ignoravisse, quam ex Gallia non accepit, ubi fortasse in<lb></lb>venta non fuerat. </s><s>Illud certè profitebatur, neque video cur demonstra<lb></lb>tionem illius si a quopiam accepisset in commune non protulisset ad <pb pagenum="464"></pb>gloriam suam quamquam aliena esset. </s><s>Ego fateor non adèo multis ab <lb></lb>hinc annis demonstrationes illas me reperisse, sed proprio marte non <lb></lb>minus quam a quopiam alio sive ante me, sive post factum sit. </s><s>Si vero <lb></lb>aliqua ex meis demonstrationibus convenit cum Gallicis, primum quod <lb></lb>ad meam internam quietem attinet, quodque plurimi facio; ego mihi <lb></lb>ipsi conscius sum illas omnes ex meo reperisse, et quicumque me no<lb></lb>verit idem credet: deinde quidquid alij credant, nihil me movet. </s><s>Exi<lb></lb>mium illum voluptatis fructum quem percipimus unusquisque in inven<lb></lb>tione veritatis, et pro quo tantum speculor, nemo a me auferet. </s><s>De <lb></lb>gloria, quam per contentiores, et controversias acquirere debeam mi<lb></lb>nime sollicitus sum: propterea quod non tantum unam, sed et omnes <lb></lb>demonstrationes illas, si quis volet, concedere paratus ero, dummodo <lb></lb>per iniuriam non eripiat. </s><s>Sed de centro gravitatit Cycloidis, scis pro<lb></lb>fectò V. Cl. </s><s>me demonstrationem illius misisse in Galliam (atque uti<lb></lb>nam non misissem) precibus Cl. </s><s>Mersenni integro biennio antequam <lb></lb>illud habere diceres, ut in ultimis tandem pistolis habuisse tamdiu <lb></lb>confiteris. </s><s>In illa demonstratione mea ostendebatur a me, dato Centro <lb></lb>gravitatis, et mensura alicuius plani (quod satis erat ad intentum <lb></lb>meum) ipsius solidum demonstrare. </s><s>Ipse verò dicis V. Cl. </s><s>tandem ha<lb></lb>bere methodum pro reperiendo centro gr. </s><s>plani ex data solidi planique <lb></lb>mensura. </s><s>Propositiones conversae sunt. </s><s>Inversio autem huiusmodi fa<lb></lb>cillima est; et si in alterum ex nobis suspicio aliqua ferri debeat, certè <lb></lb>in me non cadet; nam multò ante, quam de hoc verbum faceres cum <lb></lb>nostris ltalis, sed et cum Gallis, non solum enunciatanem, sed etiam <lb></lb>demonstrationem ipsam orantibus vobis, ego misi in Gallium. </s><s>Illud <lb></lb>etiam pro me stare videtur argumentum. </s><s>quod nunquam ne verbum <lb></lb>quidem fecisti de centro gr. </s><s>Cycloidis, cum interea tantopere et quidem <lb></lb>meritò gloriareris de omnibus alijs, Quadratura, Tangentibus, Solidis; <lb></lb>etiam de eo circa axem, quod tantum sperare dicebas. </s><s>Verisimile non <lb></lb>est cum reliqua omnia proponeres, et in lucem edere velle promitteres <lb></lb>Quadraturas, Tangentes, et Solida, de unico centro gravitatis siluisse, <lb></lb>si illud tantum speravisses, quod quidem problema meo iudicio nulli <lb></lb>reliquorum posthabendum videtur. </s><s>Sed de his si opus fuerit, multo <lb></lb>plura dicemus suo tempore. </s><s>Nemo tam facile suam laudem unicuique <lb></lb>tribuat quam ego, dummodo tamen ignorantia, vel credulitate non de<lb></lb>cipiar. </s><s>Methodum pro tangentibus ex doctrina motus ego reperi plu<lb></lb>ribus ab hinc annis, nulla ab alijs habitu luce, vel auxilio: Cum amicis <lb></lb>contuli; et in multis figuris propagavi. </s><s>Postea incidi in demonstrationes <lb></lb>Trochoidis, et utrumque vulgavi inter amicos, antequam in meis libellis <lb></lb>ederem. </s><s>Ex improviso quando nil tale sperabam nuncius horribilis ex <lb></lb>vobis affertur haec omnia ante ante me vos etiam invenisse. </s><s>Si verùm <lb></lb>hoc est, certè pro meis illa amplius non essent habenda (quamquam <lb></lb>fortasse nullus mortalium ad haec unquam descenderet). Vide Vir cla<lb></lb>rissime quam ingenuè ego agam cedendo etiam ea, quae iure aequè <lb></lb>mea sunt, ac vestra cum uterque proprio Marte ad invenerit, abstracta <lb></lb>(si qua intercesserit) modici temporis differentia. </s><s>Sed incredibile est <lb></lb>quanta iniuria afficiar, dum video mihi praeripi ea, quae mea esse de- <pb pagenum="465"></pb>berent sine controversia. </s><s>Invoco hominum fidem. </s><s>Ecce verba ipsissima <lb></lb>vestri Cl. </s><s>Mersenni in epistola ad me data postquam enunciationem <lb></lb>tantum Centri gr. </s><s>Cycloidis sine demonstratione ad vos miseram. </s><s>Di<lb></lb>cebam enim secare axem in ratione 7, ad 5 ”. </s></p> <p type="main"> <s>Dubitat noster Robervallius an Mechanicè tantum centra gr. </s><s>Cy<lb></lb>cloidis, et Semicycloidis inveneris, quae Geometricè falsa suspicatur, <lb></lb>decebis num istius demonstrationem habeas. </s></p> <p type="main"> <s>“ Quare ergo Vir Cl. </s><s>dubitabas, et Geometricè falsum suspicabaris, <lb></lb>quod ipse sciebas? </s><s>Non dubito ego an vestra plana in infinitum abe<lb></lb>untia figurae genitrici aequalia sint, nam demonstrationem habeat. </s><s>At <lb></lb>ego non docui num demonstrationem illam haberem, sed protinus (quod <lb></lb>quispiam praeter me non fecisset) arreptam demonstrationem in Gal<lb></lb>liam misi simulque methodum vere meam, cum demonstratione pro <lb></lb>inveniendo alterutro, sive centro, sive Solido in omnibus figuris, ex <lb></lb>altero dato cum quadratura: quam methodum si apud vos ante habe<lb></lb>batis, certè de veritate illa Geometrica non erat quod dubitaretis; Nam <lb></lb>solidum circa basim tunc temporis vos habuisse dicitis. </s><s>Sed missa fa<lb></lb>ciamus haec; Ha eo enim et aliam methodum: quae unica enunciatione <lb></lb>determinat, reperitque centrum gravitatis linearum, superficierum ex <lb></lb>revolutione natarum, planorum corporumque omnium, dummodo axem, <lb></lb>sive diametrum habeant. </s><s>Vulgata est haec apud amicos Italos; Oro <lb></lb>vos ne inter vestra hanc etiam habeatis, nam hoc esset tollere penitus <lb></lb>omne literarum, scientiarumque commerciam. </s><s>De libellis meis etc. ”. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Se questo si domanda cedere, io non so più quelche sia risentirsi <lb></lb>ed opporsi; E se il generosamente donare, e rilasciare altrui s'inter<lb></lb>preta restituire cose rubate, ha ragione l'Autore della Storia. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma sen<lb></lb>tiamo la lettera del Torricelli al P. Mersenno. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Scritta nel medesimo <lb></lb>giorno 7 Luglio 1646. Comincia detta lettera. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>“ XIV. Seris Epistolis damus serum responsum etc. ”. </s> <s><foreign lang="it">E in essa si <lb></lb>discorre lungamente della fabbrica degli Occhiali. </foreign></s> <s><foreign lang="it">A questa lettera <lb></lb>segue in foglio a parte scritto di mano del Torricelli una poscritta <lb></lb>del seguente tenore. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>“ Doctissime, et Celeberrime Pater Mersenne. </s><s>Oro P. Vestram, ut <lb></lb>secum ipsa recordari velit quando ego scripsi centrum gr. </s><s>Cycloidis <lb></lb>secare axem in ratione 7 ad 5 et solidum circa axem esse ad Cylindrum <lb></lb>ut 11 ad 18 ipsam mihi in epistola maximè longa responsum hoc de<lb></lb>disse sub die 24 Iunij 1644 ”. </s></p> <p type="main"> <s>Imcomparabili Geometrae D. Torricellio S. P. D. </s></p> <p type="main"> <s>Vix credere possis V. Cl. </s><s>Charissimeque quantis tuae novissimae <lb></lb>literae accessionibus tuam apud me famam, et aestimationem promo<lb></lb>verit. </s><s>Quid enim illi putem <foreign lang="grc">ἄδύατον</foreign> qui vel nostrum Geometram Ro<lb></lb>bervallium inventione centri gr. </s><s>Cycloidis, et illius circa axem solidi.... <lb></lb>Reliqua enim invenit, et demonstravit. </s><s>Sed qui (licet ille parata dicat <lb></lb>habere quae Trochoidis suae plana spectant ad edendum parata) ta<lb></lb>men non debeas infodere tuas circa idem negotium demonstrationes: <lb></lb>iuvat enim idem pluribus modis demonstratum inspicere. </s><s>Ille verò non <lb></lb>solum per indivisibilia, sed more alterius demonstrationis quam ad te <pb pagenum="466"></pb>misi omnia praedicta demonstravit. </s><s>Qui cum tuas postremas legisset <lb></lb>praedictum solidum, et centrum gr. </s><s>tibi debere fatetur, qui primus in<lb></lb>venisti. </s><s>Rogamus tamen an centrum gr. </s><s>solidorum Trochoidorum ha<lb></lb>beas quae numerasti, ut habes centrum gr. </s><s>plani Cycloidalis; et curvam <lb></lb>dicas te habere demonstrationem solidi circa basim, ut 5, ad 8, nun<lb></lb>quid, et aliorum habes? </s></p> <p type="main"> <s>“ Omittimus maximam, et longissimam epistolae partem in qua <lb></lb>plures, et etiam clariores huiusmodi confessiones leguntur. </s><s>Deinde ver<lb></lb>sus finem iterum haec habet P. Vestra ”. </s></p> <p type="main"> <s>Dubitat noster Robervallius an Mechanicè tantum centra gr. </s><s>Cy<lb></lb>cloidis, et Semicycloidis inveneris, quae Geometricè falsa suspicatur. </s><s><lb></lb>Docebis num istius rei demonstrationem habeas. </s></p> <p type="main"> <s>“ Potest ne aliquid clarius desiderari? </s><s>Postquam ego vidi Cl. </s><s>Ro<lb></lb>bervallium suspicari, et P. V. a me demonstrationem petere, vix lecta <lb></lb>epistola statim nisi demonstrationem Centri gr. </s><s>Cycloidis, solidique; <lb></lb>circa basim, et quod summopere dolet in ipsa demonstratione quae <lb></lb>satis longa erat, misi etiam demonstrationem meam, et verè meam, <lb></lb>pro methodo quae inservit ad inveniendum centrum gr. </s><s>ex dato solido, <lb></lb>sive solidum ex dato centro etc. </s><s>Clariss. </s><s>tandem Robervallus in ultima <lb></lb>epistola inquit non solum centrum gr. </s><s>Cycloidis iam diu habuisse, sed <lb></lb>etiam methodum meam inversa tantum propositione, inter sua nume<lb></lb>rat, quod egerrimè fero. </s><s>Si enim centrum gr. </s><s>antequam demonstratio<lb></lb>nem meam videret non habebat, quemadmodum certè immo certissimê <lb></lb>scio non habuisse (ut P. V. vel ipsemet, vel tandem universa Europa <lb></lb>testis esse poteris) sine dubio, neque methodum habebat. </s><s>Nolui pri<lb></lb>mum epistolae caput ad Cl. </s><s>Robervallum mittere; Satis enim duxi, si <lb></lb>illud consideraret P. V.; nam spero ipsam huic meae iniuriae obviam <lb></lb>ituram, adeo ut mihi mea tribuantur: in ipsa enim maximè confido: et <lb></lb>ipsa me protegere debet, quae a me demonstrationem illam petivit, et <lb></lb>accepit, et quae semper fuit interpres huius commercij ex parte tan<lb></lb>tum vestra tam docti, atque eruditi. </s><s>Scio etiam eam esse Cl. </s><s>Roberv. </s><s><lb></lb>humanitatem, atque fidem, eamque habere ipsum inventorum suorum <lb></lb>copiam, ut statim atque monitus erit a P. V. de ratione temporum, de <lb></lb>Epistolis datis, et de hoc quod fortassè exciderat ei tot occupationibus <lb></lb>distracto, ipsum credam in meam sententiam venturum. </s><s>Ne vero duo <lb></lb>praedicta epistolae capita a me conficta existimentur, neve quidquam, <lb></lb>sive additum, sive detractum commutatumque credatur, primum remi<lb></lb>niscentia vestra fidem facere poterit, deinde auctoritas Cl. </s><s>Virorum <lb></lb>characteres P. V. optimè cognoscentium. </s><s>Si Illustrissimus Donius ade<lb></lb>rat, ab ipso petijssem testimonium de fide mea in describendis capi<lb></lb>tibus epistolae praedictae. </s><s>Invoco hominum fidem, atque benevolentiam <lb></lb>P. V. quam maximam censeo, namque vim patior. </s><s>Si centrum illud gr. </s><s><lb></lb>sciebat una cum methodo universali Cl. </s><s>Rob. </s><s>quando ipsi P. V. meam <lb></lb>solam enunciationem ostendit, certè non dixisset hoc ipsum mihi de<lb></lb>bere, neque me primum Inventorem P. V. nominavisset, neque illud <lb></lb>falsum Geometricè potuisset suspicari Rob. </s><s>neque P. V. publicè etiam <lb></lb>typis edidisset illa problemata esse mea. </s><s>Quaeso P. V. ignoscat mihi, <pb pagenum="467"></pb>si fortasse in his multò longius quam oportebat provectus sum. </s><s>Fateor <lb></lb>enim omnia inventa mea pro nihilo me habere, et meras nugas cogno<lb></lb>scere, at nimio dolore afficerer, et graviorem contumeliam paterer, si <lb></lb>quidquam mihi tanquam penitus fatuo, et semimortuo, tam manifestè <lb></lb>praeripi viderem sineremque. </s><s>Incredibile est quanto desiderio expectem <lb></lb>responsum P. Vi circa hoc negotium ”. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Son da notare in questa lettera del Torricelli quelle parole. “ Neque <lb></lb>P. V. publicè etiam typis odidisset illa problemata esse mea ”. </foreign></s> <s>Perche <lb></lb>pochissimi forse sapranno dove sia questo luogo. </s> <s><foreign lang="it">Stampò il P. Mer<lb></lb>senno due Volumi in quarto in Parigi l'A. 1644. Intitolati <emph type="italics"></emph>Cogitata <lb></lb>Phisico Mathematica<emph.end type="italics"></emph.end> al n. </foreign></s> <s><foreign lang="it">V. E nella Prefazione della Sinossi Mate<lb></lb>matica la quale è nel secondo volume aveva scritto. “ Omitto varia, <lb></lb>quae nostri Geometrae circa gr. </foreign></s> <s>centra nuper invenere, quae praefa<lb></lb>tione in nostra mechanica phoenomena protuli, et alia quae ad Tro<lb></lb>choidem attinent, cuius spatium triplum est circuli lineam rectam motu <lb></lb>suo circumferentiae suae aequalem super plano recto describentis: so<lb></lb>lidum autem ex Trochoidis circa suam diametram, vel suam axem con<lb></lb>versionibus genitum Geometra noster reperit esse ad suum cylindrum <lb></lb>ut 5 ad 8 quem urgere, et praecibus flectere debeas ad opus admirabile <lb></lb>quod paratum habet de Trochoide tam aequali, quam producta, vel <lb></lb>contracta edendum ”. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Veggasi poi ne i Moniti al lettore in fine tra gli errori da emen<lb></lb>darsi nella Sinossi. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>“ Praeter errores ad Praefationis calcem, et monito ad libri finem <lb></lb>notatos Praef. </s><s>p. 2, 1. .... a fine; dele vel suum axem: in quo articulo, <lb></lb>cum Cl. </s><s>Viri Tauricelli meminerim, placet addere quae nuper ad me <lb></lb>scripsit de solidis Cycloidalibus nempe quod fit a spatio Cycloidali, <lb></lb>circa tangentem axi aequidistantem revoluto, ad Cylindrum eiusdem <lb></lb>altitudinis, et diametri, esse subsesquitertium, cuius inventionem tri<lb></lb>buit Antonio Nardio Patritio Aretino, quem exinde subtilem esse Geo<lb></lb>metram facile conijcias. </s><s>Quod fit a spatio Cycloidali circa tangentem <lb></lb>basi parallelum revoluto esse ad Cylindrum eiusdem axis, et diametri <lb></lb>subsequi septimum; circa verò axem revoluto, esse ad Cylindrum, ut <lb></lb>11, ad 18 atque adeò rationem ineffabilem habere ad solidum circa <lb></lb>basim, quippe quae componatur ex ratione 44 ad 45 et rationem cir<lb></lb>culi alicuius ad quadratum circumscriptum. </s><s>Quibus addit centrum gr. </s><s><lb></lb>Cycloidis axem ita dividere, ut pars ad vertice terminata sit ad reli<lb></lb>quam ut 7 ad 5 ”. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Alla lettera del Torricelli rispose il P. Mersenno con una de 15 di <lb></lb>Settembre in questa forma. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>“ XV Statim atque tuas literas pertegi V. Cl. </s><s>atque incomparabilis <lb></lb>(cuius epiteti mei tibi, quarto modo, ut logicè loquar convenientis, tibi <lb></lb>vel alteri cuique rationem apodicticam aperiam si fuerit opus) admi<lb></lb>ratus sum, quod ullus tuas inventiones, sive Problematicas, sive Theo<lb></lb>rematicas tibi fuerit ausus eripere, quas semper tibi sartas tectas co<lb></lb>ram omnibus alacriter, et fortiter, me asserturum confidas. </s><s>Quamquam <lb></lb>satis probas, ex meis literis omnia ita se habuisse, cum scripsi; neque <pb pagenum="468"></pb>enim ab eo tempore negare velim nostrum Robervallium eadem alia <lb></lb>methodo reperisse, se ubi prior ivisti; neque crediderim, ut est vir in<lb></lb>genuus, sibi quidpiam in ea re velle vindicare à quod vel umbram <lb></lb>iniuriae tibi inserat. </s><s>Porro cum hocce meum responsum diligenter expe<lb></lb>tieris no lui expectare nostrorum CII. VV. Carcavi, Roberv. </s><s>et forsitan <lb></lb>Fermatij responsiones, quas serias venturas praevideo, et quibus cum <lb></lb>spero me scripturum iterum. </s><s>Accipe igitur interim hanc fidei meae ac <lb></lb>benevolentiae erga te schedulam ”. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Notate, o Filaleti che il P. Mersenno costretto dalla verità non può <lb></lb>negarla, ma si schermisce meglio che sa, benche in vano, perche il <lb></lb>Roberval non dice avere trovate poco avanti, ma molto, quello che <lb></lb>avea già confessato di non avere dandone il primato al Torricelli. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Egli <lb></lb>è ben vero che il medesimo Mersenno nel Terzo Volume stampato in <lb></lb>Parigi l'A. 1647 alla faccia 71 delle sue Reflessioni Fisicomatematiche <lb></lb>incostantemente delle medesime cose appunto (non so se per compia<lb></lb>cenza, o per forza) scriva contro a se stesso, e contro alla verità bugie <lb></lb>solennissime, e per le sue proprie scritture convinte. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma passando più <lb></lb>oltre, trovo una minuta di lettera del Torricelli al Carcaus scritta nei <lb></lb>medesimi giorni, cioè a di 8 di Giugno 1646 in cui son queste parole. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>“ Quod ad tangentes attinet quinque methodos habeo penitus inter <lb></lb>se diversas, quadraturas etiam totidem, ex quibus iam duas, quas prae <lb></lb>caeteris minimi facio, vulgavi inter amicos, et ad Cl. </s><s>Roberv. </s><s>mitto, <lb></lb>fortasse ad subeundam eandem fortunam cum meo centro gr. </s><s>Cycloidis. </s><s><lb></lb>Circa centrum gr. </s><s>vestri Geometrae praedicant mira se bahere, et uni<lb></lb>versalissima; ego vero quid habeam praeter solitas nugas meas? </s><s>Misi <lb></lb>iam ante biennium ad Cl. </s><s>Rob. </s><s>demonstrationem methodi mea pro re<lb></lb>periendo sive centro, sive solido alicuius plani ex altero tantum dato <lb></lb>una cum quadratura. </s><s>Exponam hic enunciatione alterius cuiusdam pro<lb></lb>positionis ”. </s> <s><foreign lang="it">In fine della medesima lettera soggiugne. “ Oro D. V. ut <lb></lb>inventum meum de Infinitis Hyperbolis, et siplacet etiam de Spiralibus <lb></lb>statim innotescat non solum Illustris. </foreign></s> <s>De Fermat, sed etiam alijs Geo<lb></lb>metris. </s><s>Quando enim ego misi iam ante biennium demonstrationem de <lb></lb>centro gr. </s><s>Cycloidis cum demonstratione methodi pro reperiendo sive <lb></lb>centro, sive solido alicuius plani, memini me oravisse Cl. </s><s>Mersennum <lb></lb>ut utramque demonstrationem cum multis statim conferret; quod si <lb></lb>ille fecisset certè nunc mihi mea non eriperentur, quae alij mihi de<lb></lb>bent, nam primus inveni, immo solus inveni ”. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">In una lettera del medesimo Torricelli a Michelagnolo Ricci di Roma <lb></lb>Gentiluomo suo amicissimo dotato, ed ornato di tutte quelle egregie <lb></lb>virtù, e qualità singolari, che ogn'uno sa scritta sotto dì 29 di Giu<lb></lb>gno 1647, si legge. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>“ XVII. M'è anco parso opportuno di copiar la presente scrittura <lb></lb>per mandarla in mano di V. S. a questo effetto; cioè per supplicarla, <lb></lb>che voglia farmi grazia di tenerla appresso di sè, per potere in ogni <lb></lb>caso far testimonianza, che io glie la mandai fino di questo tempo. </s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Accennai ancora prima non so che cosa intorno a queste medesime <lb></lb>Iperbole, ma senza le determinazioni, e senza il quarto Teorema del <pb pagenum="469"></pb>Solido di base, o di lunghezza infinita. </foreign></s> <s>Non ho mai veduto risposta da <lb></lb>quelli Oltramontani. </s><s>Anno già avuto da me la definizione, e un cenno <lb></lb>de'Teoremi. </s> <s><foreign lang="it">Un'altra volta m'è intervenuto, che avendogli io, avvisata <lb></lb>l'enunciazione del centro di gr. </foreign></s> <s><foreign lang="it">della Cicloide, dopo aver confessata <lb></lb>l'invenzione per mia, dopo aver anco dubitato se la proposta fusse <lb></lb>vera, dopo avermi pregato a mandar la dimostrazione, e averla io man<lb></lb>data, tacquero due anni, e poi dissero, che avevano ogni cosa avanti <lb></lb>a me. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Sarebbero più scusati nella materia presente, nella quale io non <lb></lb>ho ancor divulgata la dimostrazione, quando la trovassero, usurparla <lb></lb>per loro. </foreign></s> <s><foreign lang="it">L'altra grazia della quale io supplico V. S. è questa; cioè che <lb></lb>voglia favorirmi scrivendo al P. Mersenno, o ad altri Matematici dargli <lb></lb>avviso del quarto Teorema, senza però manifestare l'enunciazione. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Basta solo che sappiano che abbiamo dimostrato in due modi, cioè <lb></lb>more veterum, et per indivisibilia, che il Solido nato dalla revoluzione <lb></lb>d'alcune delle nostre Iperbole intorno ad un'asintoto, ancorche di base, <lb></lb>e di larghezza infinita, ad ogni modo è uguale ad un tal solido di mole <lb></lb>finita, et anco di poca quantità ”. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Parmi necessario darvi notizia, che il Torricelli stante queste con<lb></lb>troversie, poco avanti alla sua morte formò un sincero Racconto d'al<lb></lb>cune proposizioni Geometriche passate, e proposte tra i Matematici <lb></lb>di Francia, e lui dall'anno 1640 sino al fine di sua vita, con pensiero di <lb></lb>pubblicarlo insieme con le lettere corse tra loro; e non avendo potuto <lb></lb>esequire questa sua volontà, ne raccomandò l'adempimento con gli ul<lb></lb>timi suoi respiri agli amici più cari, allora quando è da credere, che <lb></lb>se mai sempre odiò le menzogne, in quel estremo punto molto più <lb></lb>l'aborrisse. </foreign></s> <s>Diversi accidenti anno trattenuto la pubblicazione e di que<lb></lb>sta scritta, e dell'opere postume. </s><s>Per ora adunque sentite quella parte <lb></lb>che attiene al nostro proposito. </s><s>Leggesi al numero L. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">“ XIIX. Il centro di gravità della Cicloide sta nell'asse, e lo sega <lb></lb>in proporzione di 7 a 5. Avendo io avvisato la sola enunciazione di <lb></lb>questo ultimo Teoremo in Francia, mi fu risposto dal P. Mersenne, che <lb></lb>allora era l'interprete tra quei Matematici, e me, che io in questo <lb></lb>aveva prevenuto un lor Geometra, il quale circa alla Cicloide aveva <lb></lb>dimostrato ogn'altra cosa, fuor che il centro di gr., e il Solido intorno <lb></lb>all'asse. </foreign></s> <s><foreign lang="it">E che riconoscevano da me come da primo inventore questa <lb></lb>invenzione del centro di gr. </foreign></s> <s><foreign lang="it">della Cicloide, e che non credevano, che <lb></lb>Geometricamente potesse esser vera la mia proposta: come appare in <lb></lb>lettere appresso di me di propria mano del P. Mersenne, il quale mi <lb></lb>pregò più d'una volta, acciò io volessi mandargli la dimostrazione con <lb></lb>promettermi, che si sarebbe messa fra le loro. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Io gli mandai in una <lb></lb>lunga scrittura non solo la dimostrazione del centro di gravità, ma <lb></lb>anco la dimostrazione del precedente Teorema di numero 49, poiche <lb></lb>serviva per lemma all'invenzione mia, e questo fu l'estate del 1644. <lb></lb>Essi anno tardato due anni a rispondere, et ora dimenticati delle let<lb></lb>tere passate, o confidando, che io avendole sprezzate non le abbia più, <lb></lb>scrivono che le predette dimostrazioni mandategli da me a loro in<lb></lb>stanza le avevano un pezzo fa. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ora si sta controvertendo questo punto, <pb pagenum="470"></pb>e se essi persisteranno in dire, che avanti me avevano le predette due <lb></lb>dimostrazioni, io son risoluto di far riconoscer le lettere, le quali sono <lb></lb>notissime a molti in Italia, e stamparle insieme con le ragioni mie, <lb></lb>acciò il mondo veda, che furto vergognoso anno tentato di farmi ”. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Questi sono, o Filaleti Carissimi i risentimenti, i rimproveri, e le <lb></lb>ragioni fortissime per le quali convinto il Torricelli, cedette vilmente, <lb></lb>e confessò l'error suo, accennate, ma non espresse, dell'Autor della <lb></lb>Storia Cicloidale, e da me messe in luce per chiarezza del vero. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Leg<lb></lb>gale attentamente il Mondo, e poi senza alcun rispetto, o passione <lb></lb>giudichi il giusto. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">XIX. E per non tralasciare cosa veruna, ch'io sappia in questo <lb></lb>proposito, egli è da avvertire, che ricevuta la lettera del Torricelli il <lb></lb>Roberval fece, o cominciò, o sparse voce di fare una, piena, dotta, ri<lb></lb>sentita, e pungente risposta, e il P. Mersenno facendo il furiere n'empiè <lb></lb>il mondo d'espettazione, e particolarmente scrivendo al Torricelli sotto <lb></lb>dì primo di Marzo 1647 d'avere a mandarne copie per tutta Italia. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Se <lb></lb>tal Risposta comparisse giammai non saprei dirlo del sicuro, so bene <lb></lb>che a 24 di Agosto 1647 il Torricelli non l'avea ricevuta scrivendo in <lb></lb>detto giorno a Roma a Michelagnolo Ricci in questo tenore. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">“ XX. Non ho mai saputo nuova alcuna di quei nostri Signori Fran<lb></lb>zesi, ne di quella Risposta, Apologia, o Invettiva che fusse del Ro<lb></lb>berval, della quale mi aveva dato avviso il P. Mersenne. </foreign></s> <s>Quando V. S. <lb></lb>ne sapesse niente mi farebbe molta grazia con darmene parte ”. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">E credo assolutamente, che si morisse poco dopo senza riceverla, e <lb></lb>che non fosse altrimente mandata, già che fra le scritture del Torri<lb></lb>celli non si ritrova; e per diligenze fatte in diversi luoghi non m'è <lb></lb>sortito incontrare chi n'abbia contezza. </foreign></s> <s>Onde io stimo che tanta tem<lb></lb>pesta, e tanto strepito s'andasse a risolvere dopo dodici anni in questa <lb></lb>bella Storietta. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Resterebbe quì terminata la mia lettera, pur troppo lunga, ma <lb></lb>avendo, come si dice, messo le mani in pasta per difesa del Torricelli, <lb></lb>e del Vero, soggiugnerò alcune notizie intorno a quella famosissima <lb></lb>esperienza dell'argento vivo, nobile, e prezioso parto di quel fecondis<lb></lb>simo ingegno, la quale ha dato da molt'anni in qua sì grande occa<lb></lb>sione di speculare a tutta l'Europa. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Sappiate adunque, o Filaleti, che il Torricelli fino dell'An. 1643, <lb></lb>mentre dimorava in Firenze al servizio del Serenissimo Granduca di <lb></lb>Toscana fu il vero, ed unico inventore di questa esperienza, e della <lb></lb>ragione dependente dalla pressione dell'aria, che che pretendano, di<lb></lb>cano, o scrivano altri. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ne il Torricelli incontrò a caso l'esperienza, ma <lb></lb>guidato da un retto discorso, e nel tempo che vedde, e sperimentò l'ef<lb></lb>fetto, avea di già speculato la cagione, si come subito dopo sopì le <lb></lb>difficoltà, e l'opposizioni. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Non ha dubbio, che ad alcuno circa il pri<lb></lb>mato della esperienza ogni mia giustificazione parrà soverchia. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Con<lb></lb>ciosiache quantunque molti di essa parlando non faccian memoria del <lb></lb>Torricelli, e che il P. Valeriano Magno mostrasse già in Varsavia l'e<lb></lb>sperienza per sua figurandosi totalmente ignorante di quanto avea <pb pagenum="471"></pb>molto prima mostrato in Firenze il Torricelli, tutto questo poco potette <lb></lb>nuocere alla Verità difesa a bastanza dalla dottissima lettera del Ro<lb></lb>berval scritta a Monsignore di Noyers sotto dì 20 di Settembre 1647 <lb></lb>e stampata in Venezia l'A. 1649. E dalle Autorevoli, e fedeli testimo<lb></lb>nianze del P. Marino Mersenno nel 3. t. </foreign></s> <s><foreign lang="it">de suoi Pensieri Fisico-Mate<lb></lb>matici nella Prefaz. </foreign></s> <s><foreign lang="it">a f. 216. del Gassendo f. 425. della Filos. </foreign></s> <s>d'Epicuro, <lb></lb>dell'Autore dell'Epist. </s> <s><foreign lang="it">di Timeo Loerense f. 17. di M. Petit nella let<lb></lb>tera Franzese a Mons. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Chanut a f. 3. del P. Atan. </foreign></s> <s>Kircher. </s><s>lib. 1. c. 6. <lb></lb>Musurg. </s> <s><foreign lang="it">del P. Gasparo Scotto nella Mecanica Hydraulico-Neumatica <lb></lb>Par. 2. Class. 1. Cap. 6. Mach. 6. a f. 306 e appresso nella Prefaz. </foreign></s> <s>al<lb></lb>l'esper. </s><s>Magdeburg. </s><s>a. 444. Di Ruberto Boile nelle sue Esperienze Fi<lb></lb>sico-Mecaniche. </s> <s><foreign lang="it">Di Pietro Lino nel suo Trattato dell'Inseparabilità <lb></lb>de'corpi, e d'altri ancora i quali concordemente l'attribuiscono come <lb></lb>veramente si dee al Torricelli, confessando buona parte di loro d'a<lb></lb>verne ricevuto l'avviso per lettere di Michelagnolo Ricci di Roma. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ma chi considererà, che pochi, o niuno di coloro, che trattano della <lb></lb>pressione dell'aria introdotta per salvare l'esperienza dell'argento vivo, <lb></lb>fanno menzione del Torricelli, che primiero la speculò, non riputerà <lb></lb>infruttuoso il dimostrare, che l'esperienza, e la ragione nacquero ad un <lb></lb>parto, e d'un medesimo Padre, e che chi ha contezza dell'una non può <lb></lb>pretendere ignoranza dell'altra, imperciocche nelle stesse lettere, per <lb></lb>le quali si divulgò l'esperienza, distesamente si discorre della ragione. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Considerando il Torricelli quanto scrive il Galileo nel primo Dia<lb></lb>logo della Resistenza de' corpi solidi, che l'acqua nelle trombe, che <lb></lb>operano per attrazione non s'alza oltre a 18 braccia in circa, e tra<lb></lb>passando quel termine si strappa lasciando voto il rimanente dello <lb></lb>spazio superiore, ebbe concetto, che l'argento vivo tanto più grave <lb></lb>dell'acqua ristretto in un Cilindro di vetro potesse somministrare una <lb></lb>commoda operazione per fare il vacuo dentro a spazio minore assai, <lb></lb>che non bisognerebbe a farlo con l'acqua. </foreign></s> <s>Pensò adunque di fabbricare <lb></lb>una canna di vetro lunga due braccia in circa la quale continuasse <lb></lb>da una parte con una palla vota pur di vetro, e dall'altra restasse <lb></lb>aperta. </s> <s><foreign lang="it">Questa voleva egli empiere esattamente di argento vivo, e <lb></lb>poscia, o col dito, o con altro turarla, e voltandola sottosopra som<lb></lb>mergere l'orificio della canna sotto il livello d'altro argento vivo posto <lb></lb>in un vaso, e ciò fatto levare il dito, ed aprirla. </foreign></s> <s><foreign lang="it">E credette che l'ar<lb></lb>gento vivo si sarebbe staccato dalla palla calando a basso, e che re<lb></lb>stando sospeso secondo i suoi calcoli all'altezza di un braccio, e un <lb></lb>quarto averebbe lasciato di sopra nella palla, e in parte della canna <lb></lb>uno spazio verisimilmente da credersi vacuo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Conferì questo suo pen<lb></lb>siero a Vincenzo Viviani suo amicissimo, il quale ansioso di vedere <lb></lb>questa operazione, fece di presente fabbricar lo strumento, e procu<lb></lb>rando l'argento vivo fu il primo a fare così nobile esperienza, e a ve<lb></lb>dere l'effetto presagito dal Torricelli. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Tosto il Viviani lo ragguagliò <lb></lb>del seguito recandogli straordinario contento; atteso che si confermò <lb></lb>nell'opinione conceputa, che la ponderosità dell'aria equilibrandosi con <lb></lb>l'acqua, e con l'argento vivo per le diversità del peso sostenesse quelli <pb pagenum="472"></pb>ad altezze diverse. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ben'è vero che ricercandolo il Viviani di quello, <lb></lb>che seguirebbe se tale esperienza si facesse in luogo sì fattamente <lb></lb>chiuso per ogni parte, che l'aria quivi contenuta non avesse commu<lb></lb>nicazione con l'aria esterna, onde la pretesa pressione restasse esclusa, <lb></lb>rimase per allora perplesso. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma il seguente giorno rispose, che appunto <lb></lb>seguirebbe lo stesso mediante che l'aria rinchiusa di già compressa sa<lb></lb>rebbe sopra l'argento vivo del vaso la medesima forza. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Proseguì dun<lb></lb>que replicando più e più volte l'esperienza pensando a buona parte <lb></lb>di quelle osservazioni, che poi si son fatte tanto esattamente da gli <lb></lb>altri, i quali anno promossa così bella esperienza: E particolarmente <lb></lb>tentò di metter nel vacuo, pesci, mosconi, e farfalle per osservarne la <lb></lb>vita, il suono, e il volo; ma ciò non gli potea felicemente riuscire, <lb></lb>perche non si fidando di lasciare apertura nella parte superiore della <lb></lb>palla, che poi ben serrar si potesse, nel rivoltare lo strumento gli ani<lb></lb>maletti restavano talmente offesi dall'argento vivo, che malamente po<lb></lb>teano sodisfare all'altrui curiosità. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Assicurato per tanto il Torricelli <lb></lb>della verità di questa esperienza cominciò scrivendo agli amici a darne <lb></lb>notitia, e spezialmente a Michelagnolo Ricci di Roma con la seguente <lb></lb>lettera. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">“ XXI. Mandai queste settimane passate alcune mie dimostrazioni <lb></lb>sopra lo spazio della Cicloide al S. Antonio Nardi con pregarlo che <lb></lb>dopo averle vedute le inviasse a dirittura a V. S. o al S. Magiotti. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Le accennai già che si stava facendo non so che esperienza filosofica <lb></lb>intorno al vacuo, non per fare semplicemente il vacuo, ma per fare <lb></lb>uno strumento, che mostrasse le mutazioni dell'aria ora più grave, e <lb></lb>grossa, et ora più leggiera, e sottile. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Molti anno detto non si dia, <lb></lb>altri che si dia, ma con repugnanza della Natura, e con fatica; non <lb></lb>so già che alcuno abbia detto, che si dia senza fatica, e senza resi<lb></lb>stenza della Natura. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Io discorreva così; se trovassi una causa manife<lb></lb>stissima, dalla quale derivi quella resistenza, che si sente nel voler <lb></lb>fare il vacuo, indarno mi pare si cercherebbe di attribuire al vacuo <lb></lb>quella operazione, che deriva apertamente da altra cagione, anzi che <lb></lb>facendo certi calcoli facilissimi io trovo, che la causa da me adattata <lb></lb>(cioè il peso dell'aria) doverebbe per se sola far maggior contrasto, che <lb></lb>ella non fa nel tentarsi il Vacuo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Dico ciò, perche qualche Filosofo ve<lb></lb>dendo di non poter fuggire questa confessione, che la gravità dell'aria <lb></lb>cagioni la repugnanza, che si sente nel fare il Vacuo, non dicesse di <lb></lb>conceder l'operazione del peso aereo, ma persistesse nell'asseverare, <lb></lb>che anche la natura concorrea repugnare al Vacuo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Noi viviamo som<lb></lb>mersi nel fondo d'un pelago d'aria elementare, la quale per esperienze <lb></lb>indubitate si sa che pesa, e tanto, che questa grossissima vicino alla <lb></lb>superficie terrena pesa circa una 400. parte del peso dell'acqua. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Gli <lb></lb>Autori poi de'Crepuscoli anno osservato che l'aria vaporosa, e visibile <lb></lb>si alza sopra di noi intorno a 50 overo 54 miglia; ma io non credo <lb></lb>tanto, perche mostrerei, che il Vacuo doverebbe far molto maggior <lb></lb>resistenza, che non fa, se bene vi è per loro il ripiego, che quel peso <lb></lb>scritto dal Galileo, s'intenda dell'aria bassissima dove praticano gli <pb pagenum="473"></pb>uomini, e gli animali, ma che sopra le cime degli alti monti l'aria co<lb></lb>minci ad esser purissima, e di molto minor peso, che la quattrocente<lb></lb>sima parte del peso dell'acqua. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Noi abbiamo fatti <lb></lb> <arrow.to.target n="fig242"></arrow.to.target><lb></lb>molti vasi di vetro come i seguenti segnati A, <lb></lb>e B grossi, e di collo lungo due braccia; questi <lb></lb>pieni d'argento vivo, poi serrata loro con un dito <lb></lb>la bocca, e rivoltasi in un vaso dove era l'ar<lb></lb>gento vivo C, si vedevano votarsi, e non succe<lb></lb>dere niente nel vaso che si votava, il collo però <lb></lb>AD restava sempre pieno all'altezza d'un braccio <lb></lb>e 1 <expan abbr="q.">que</expan> e un dito di più. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Per mostrar poi che il <lb></lb>vaso fosse perfettamente voto, si riempieva la <lb></lb>catinella sottoposta d'acqua fino in D, et alzando <lb></lb>il vaso a poco, a poco, si vedeva quando la bocca <lb></lb>del Vaso arrivava all'acqua descender quell'ar<lb></lb>gento vivo del collo, e riempirsi con impeto or<lb></lb>ribile d'acqua fino al segno. </foreign></s> <s>E affatto. </s><s>Il discorso <lb></lb>si faceva. </s> <s><foreign lang="it">Mentre il vaso AE stava voto, e l'ar<lb></lb>gento vivo si sosteneva benche gravissimo nel <lb></lb>collo AC, questa forza, che regge quell'argento <lb></lb>vivo contro la sua naturalezza di ricader giù si <lb></lb>è creduto fino adesso che sia stata interna nel <lb></lb>vaso AE, o di Vacuo, o di quella roba somma<lb></lb>mente rarefatta; ma io pretendo, che la sia <lb></lb>esterna, e che la forza venga di fuori. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Su la su<lb></lb>perficie del liquore, che è nella catinella gravita <lb></lb>l'altezza di 50 miglia d'aria; però qual maraviglia <lb></lb>è, se nel vetro CE, dove l'argento vivo non ha <lb></lb>inclinazione, ne anco repugnanza per non esservi <lb></lb>nulla, entri, e vi s'innalzi fin tanto, che si equi<lb></lb>libri con la gravità dell'aria esterna, che lo spi<lb></lb>gne? </foreign></s> <s>l'acqua poi in un vaso simile, ma molto <lb></lb>più lungo salirà quasi sino a 18 braccia, cioè tanto più dell'argento <lb></lb>vivo quanto l'argento vivo è più grave dell'acqua per equilibrarsi con <lb></lb>la medesima cagione, che spigne l'uno, e l'altro. </s> <s><foreign lang="it">Confermava il di<lb></lb>scorso l'esperienza fatta nel medesimo tempo col vaso A, e con la <lb></lb>canna B, ne' quali l'argento vivo si fermava sempre nel medesimo Ori<lb></lb>zonte AB segno quasi certo che la virtù non ero dentro; perchè più <lb></lb>forza averebbe avuto il vaso AE, dove era più roba rarefatta, et at<lb></lb>traente, e molto più gagliarda per la rarefazione maggiore, che quella <lb></lb>del pochissimo spazio B. Ho poi cercato di salvar con questo principio <lb></lb>tutte le sorte di repugnanze, che si sentono nelli varij effetti attri<lb></lb>buiti al Vacuo, ne vi ho fin'hora incontrato cosa che non cammini <lb></lb>bene; so che a V. S. sovverranno molte obbiezzioni, ma spero anche, <lb></lb>che pensando le sopirà. </foreign></s> <s><foreign lang="it">La mia intenzione principale poi non è <lb></lb>potuta riuscire, cioè di conoscere quando l'aria fosse più grossa, e <lb></lb>grave, e quando più sottile, e leggiera con lo strumento EC, perche <pb pagenum="474"></pb>il livello AB si muta per un'altra causa, che io non credeva mai, cioè <lb></lb>per il caldo, e freddo, e molto sensibilmente, appunto come se il <lb></lb>vaso AE fussi pieno d'aria. </foreign></s> <s>Et umilmente la riverisco. </s><s>Di Firenze 11 <lb></lb>Giugno 1644 ”. </s></p> <figure id="fig242"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Rispose il Ricci di Roma immediatamente sotto dì 18 di Giu<lb></lb>gno 1644. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">“ XXII. Il modo con che V. S. salva le esperienze fatte in riprova <lb></lb>del vacuo, cioè del salire le cose gravi contro sua naturale inclina<lb></lb>zione, io lo giudico tanto più buono dell'altro, quanto che con questa <lb></lb>ci conformiamo alla simplicità della natura nelle opere sue; la quale <lb></lb>potendo salvare l'unione de' corpi col solo moto all'ingiù, invano ave<lb></lb>rebbe innestato loro una nuova naturale inclinazione d'obbedire alla <lb></lb>causa universale moderatrice del mondo, come essi dicono. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Et ammiro <lb></lb>il nobile ardimento di V. S. nell'avere in considerazione cosa non tocca <lb></lb>da veruno fin'ora, la quale ha parimente tanto di probabilità, che tol<lb></lb>tone due, o tre obbiezzioni, che sono per dire a V. S. le quali prego <lb></lb>V. S. a volermele risolvere, sì come so, ch'ella potrà fare agevolmente; <lb></lb>stimo essere il più vero, et il più ragionevole, che possa dirsi in si<lb></lb>mile questione. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Primieramente pare a me; che si potesse escludere <lb></lb>l'azione dell'aria nel gravitare su la superficie estrinseca dell'argento, <lb></lb>che sta nel vaso, ponendovi un coperchio con un pertugio solo per il <lb></lb>quale passi la canna di vetro, e turando onninamente ogni parte ac<lb></lb>ciocche non vi abbia più communicazione l'aria superiore al vaso, la <lb></lb>quale verrebbe in tal caso a gravitare non più su la superficie dell'ar<lb></lb>gento, ma sul coperchio, e mantenendosi allora l'argento vivo sospeso <lb></lb>in aria come prima, non si potrebbe più attribuire l'effetto al peso del<lb></lb>l'aria, che ve lo sostenga quasi in equilibrio. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Secondariamente preso <lb></lb>uno schizzatoio, che suole essere usato assai in questo soggetto, et <lb></lb>abbia la sua animella dentro onninamente, acciò escluda con la sua <lb></lb>corpulenza ogn'altro corpo, poi turando in cima il foro, e ritirando per <lb></lb>forza l'animella in dietro, sentiamo grandissima resistenza, e ciò non <lb></lb>segue solamente tenendo in giù lo schizzatoio, e voltando in su l'ani<lb></lb>mella, sopra il cui manico grava l'aria, ma segue per ogni verso che <lb></lb>si faccia; e pure non pare che si possa in questi casi facilmente in<lb></lb>tendere, come il peso dell'aria v'abbia che fare. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Finalmente un corpo <lb></lb>immerso nell'acqua non contrasta con tutta l'acqua, che vi stia sopra, <lb></lb>ma con quella sola, che al moto del corpo immerso si muove, la quale <lb></lb>non è maggiore di esso corpo, e perche stimerei, che l'istessa dottrina <lb></lb>fosse da applicarsi alla librazione dell'argento, doverebbe esso contra<lb></lb>stare con tanto d'aria quanto è la sua mole, e come potrebbe prepon<lb></lb>derar mai? </foreign></s> <s><foreign lang="it">Questo è quello che m'ha somministrato la mia sciocchezza <lb></lb>in opposizione del senso di V. S. nel che dovrà scusare il desiderio, <lb></lb>che tengo di perfettamente sapere la soluzione delle obbiezioni in <lb></lb>contrario per esserne poi assoluto difensore, si come io sono sincero <lb></lb>ammiratore, e di questa, e d'ogn'altra invenzione di lei a me tutte <lb></lb>gratissime etc. ”. </foreign></s> </p> <pb pagenum="475"></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Replicò il Torricelli sotto dì 28 di Giugno 1644. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">“ XXIII. Tengo per superfluo il rispondere alle sue tre obbiezzioni <lb></lb>intorno alla mia fantasia della resistenza apparente nel fare il Vacuo, <lb></lb>perche spero, che a lei medesima saranno sovve<lb></lb> <arrow.to.target n="fig243"></arrow.to.target><lb></lb>nute le soluzioni dopo scritto la lettera. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Quanto <lb></lb>alla prima io rispondo, se V. S. quando induce <lb></lb>la lamina saldata, che copra la superficie della <lb></lb>catinella, la induce di maniera, ch'ella tocchi l'ar<lb></lb>gento vivo della catinella, che quello inalzato <lb></lb>nel collo del vaso resterà come prima sollevato, <lb></lb>non per il peso della sfera aerea, ma perche <lb></lb>quello della catinella non potrà dar luogo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Se <lb></lb>poi V. S. indurrà quella lamina, sì che ella pigli <lb></lb>dentro anco dell'aria, io domando, se quell'aria <lb></lb>serrata dentro V. S. vuole che sia nel medesimo <lb></lb>grado di condensazione, che l'esterna, et in que<lb></lb>sto caso l'argento vivo si sosterrà come prima, <lb></lb>per l'esempio che darò adesso della lana. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma se <lb></lb>l'aria, che V. S. include sarà più rarefatta del<lb></lb>l'esterna, allora il metallo sollevato descenderà <lb></lb>alquanto. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Se poi fusse infinitamente rarefatta, cioè <lb></lb>Vacuo, allora il metallo discenderebbe tutto, pur<lb></lb>che lo spazio serrato lo potesse capire. </foreign></s> </p> <figure id="fig243"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">“ Il Vaso ABCD è un cilindro pieno di lana, overo d'altra materia <lb></lb>compressibile (diciamo d'aria) il qual vaso ha due fondi BC stabile, <lb></lb>et AD mobile, e che si adatta, e sia AD caricato sopra dal piombo E, <lb></lb>che pesi m. 10000000 di libr. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Credo, che V. S. intenda quanta violenza <lb></lb>sia per sentire il fondo BC. Ora, se noi spingeremo a forza il piano, <lb></lb>o ferro tagliente FG, sì che entri, e tagli la lana compressa, io dico, <lb></lb>che se la lana FBCG sarà compressa come prima ancorche il fondo BC <lb></lb>non senta più nulla del peso sopraposto del piombo E, in ogni modo <lb></lb>patirà il medesimo, che pativa prima. </foreign></s> <s>Applichi V. S. che io non starò <lb></lb>a tediarla più. </s><s>Quanto alla seconda. </s> <s><foreign lang="it">Fu una volta un Filosofo, che ve<lb></lb>dendo la cannella, messa alla botte da un suo servitore, lo bravò con <lb></lb>dire che il vino non sarebbe mai venuto perche natura de' gravi è di <lb></lb>premere in giù, e non Orizzontalmente, e dalle bande. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma il servitore <lb></lb>fece toccarli con mano, che se bene i liquidi gravitano per natura in <lb></lb>giù in ogni modo spingono, e schizzano per tutti i versi, anco all'insù, <lb></lb>purche trovino luoghi dove andare, cioè luoghi tali, che resistano con <lb></lb>forza minor e della forza di essi liquidi. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Infonda V. S. un boccale tutto <lb></lb>nell'acqua con la bocca all'ingiù, poi li buchi il fondo, sì che l'aria <lb></lb>possa uscire, vedrà con che impeto l'acqua si muove di sotto all'insu, <lb></lb>per riempierlo. </foreign></s> <s>V. S. applichi da se, che non la tedierò più. </s></p> <p type="main"> <s>“ La terza obiezzione non mi par troppo a proposito, certo è che <lb></lb>è meno valida dell'altre ancorche essendo presa dalla Geometria, paia <lb></lb>più gagliarda di tutte. </s> <s><foreign lang="it">Che un corpo immerso nell'acqua contrasti solo <lb></lb>con tanta mole d'acqua quanta è la mole sua è vero; ma il metallo <pb pagenum="476"></pb>sostenuto in quel collo di vaso, non mi pare che si possa dire, ne im<lb></lb>merso in acqua, ne in aria, ne in vetro, ne in vacuo: solamente si può <lb></lb>dire ch'egli è un corpo fluido, e libratile una superficie del quale con<lb></lb>fina col Vacuo, o quasi Vacuo, che non gravita punto, l'altra superficie <lb></lb>confina con aria premuta da tante miglia <lb></lb>d'aria ammassata, e però quella superficie <lb></lb> <arrow.to.target n="fig244"></arrow.to.target><lb></lb>non premuta punto ascende scacciata da <lb></lb>quell'altra, et ascende tanto, sin che il <lb></lb>peso del metallo sollevato arrivi ad ag<lb></lb>guagliare il peso dell'aria premente dal<lb></lb>l'altra parte. </foreign></s> <s><foreign lang="it">V. S. s'immagini il vaso A <lb></lb>col tubo BCD congiunto, et aperto in D <lb></lb>come sta dipinto, e sia il vaso A pieno <lb></lb>d'argento vivo; certo è, che il metallo <lb></lb>salirà nel tubo fino al suo livello E; ma <lb></lb>se immergerò detto strumento nell'acqua <lb></lb>fino al segno F, l'argento vivo non salirà <lb></lb>fino ad F, ma solo tanto fino che l'altezza <lb></lb>del livello nel tubo avanzi il livello del <lb></lb>vaso A, della 14. parte in circa dell'al<lb></lb>tezza, che averà l'acqua F, sopra il livello <lb></lb>del vaso A. E questo V. S. l'abbia per <lb></lb>certo come s'ella avesse fatto l'esperienza. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Ora quì si vede che si può dar caso che <lb></lb>l'acqua F sia alta 14 braccia, et il metallo <lb></lb>nel tubo ED sia alto un braccio solo; dun<lb></lb>que quel braccio solo; di metallo non con<lb></lb>trasta con altrettanta acqua, ma con tutta <lb></lb>l'altezza d'acqua, che è tra A, et F et in <lb></lb>questi casi ella sa, che non si guarda alle <lb></lb>larghezze, e grossezze de' solidi, ma solo <lb></lb>alle perpendicolari, et alle gravità in specie, e non a' pesi assoluti. </foreign></s> <s><lb></lb>Ma ho forse detto troppo, etc. ”. </s></p> <figure id="fig244"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Chi non vede apertamente, o Filaleti, in queste lettere, che il Tor<lb></lb>ricelli aveva pensato nel bel principio non solo alla cagione dell'aria <lb></lb>premente, ma allo scioglimento delle più forti opposizioni, che contro <lb></lb>a lei possan farsi? </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Io vi ho voluto assicurare di queste verità accioche all'occorrenze <lb></lb>possiate render vive grazie a quei pochi (s'alcun ven'ha) che l'espe<lb></lb>rienza, e la ragione ancora giustamente attribuiscono al Torricelli; <lb></lb>ricordare il loro errore ad alcuni, che l'esperienza a lui concedono, ma <lb></lb>a se stessi destramente arrogano la ragione, o almeno tacendo, al vero <lb></lb>autore la levano; e redarguire quegl'ingrati che mentovando questa <lb></lb>ingegnosissima esperienza, e la ragione portandone, la quale è fonda<lb></lb>mento, e principio d'una gran parte della Filosofia naturale, non si de<lb></lb>gnano ne anche di nominare il Torricelli, il quale come udito avete fu <lb></lb>il primo a trovare questa acutissima invenzione, e a pensare a quella <pb pagenum="477"></pb>gran cagione dell'aria premente, la quale si tira dietro conseguenze <lb></lb>infinite, come quella che ha luogo essenziale in tutte le operazioni, che <lb></lb>si fanno in questa regione degli elementi. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Laonde non solamente al <lb></lb>Torricelli molto si dee per quello, che egli proprio ci somministrò per <lb></lb>l'investigazione del vero, ma per tutte quell'altre invenzioni, ed augu<lb></lb>menti, che lui seguendo ci diedero, e ci daranno in cotale argomento <lb></lb>molti acutissimi ingegni. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Conciosiache questa non è come moltr'altre <lb></lb>una esperienza, che in se stessa finisca; ma ell'è una perenne scatu<lb></lb>rigine d'innumerabili, e profondi misteri della Natura. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Valetevi adun<lb></lb>que, o Filaleti di queste certissime cognizioni per non soggiacere a <lb></lb>gl'inganni, palesatele, e sostenetele francamente, e vivete felici nell'a<lb></lb>more, e nella conoscenza del vero. </foreign></s> <s>Di Firenze li 24 di Gennaio 1662. </s></p> <p type="main"> <s>“ Vostro Sinceriss. </s><s>e Fedel. </s><s>Servid. </s></p> <p type="main"> <s>“ Timauro Antiate ”. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="italics"></emph>Inventario di scritture private manoscritte che si adducono in questa <lb></lb>lettera in prova della Verità, notando dove si trovino per facilità <lb></lb>di chi volesse riscontrarle.<emph.end type="italics"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">I. Lettera Originale del P. Frà Buonaventura Cavalieri al Torricelli <lb></lb>scritta di Bologna sotto dì 23 di Aprile 1643. Appresso al D. Lodovico <lb></lb>Serenai in Firenze. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">II. Lettera Originale del medesimo Cavalieri al Galileo scritta di <lb></lb>Bologna sotto dì 14 di Febbraio 1640 ne' Registri delle lettere di Di<lb></lb>versi al Galileo. </foreign></s> <s>Presso agli Eredi in Firenze. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">III. Lettera Originale del Galileo al P. Cavalieri scritta sotto dì 24 <lb></lb>Febbraio 1639 al costume Fiorentino. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Auta dal P. Stefano Angeli presso <lb></lb>all'Autore di questa scrittura in Firenze. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">IV. Lettera Originale del P. Cavalieri al Torricelli sotto dì 22 Set<lb></lb>tembre 1643. Presso al D. Serenai. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">V. Lettera Originale del Beugrand al Galileo sotto dì 3 di Novem<lb></lb>bre 1635. Ne' Registri presso agli Eredi. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">VI. Parere sopra le proposizioni del Torricelli scritto dal Roberval <lb></lb>al Mersenno, e dal Mersenno trasmesso al Torricelli. </foreign></s> <s>Presso al Serenai. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">VII. Minuta, e bozza di lettera del Torricelli al Roberval di mano <lb></lb>propria del Torricelli. </foreign></s> <s>Presso al Detto. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">VIII. Lettera Originale del Mersenno al Torricelli sotto dì 13 di <lb></lb>Gennaio 1644. Presso al Detto. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">IX. Minuta di lettera del Torricelli al Mersenno sotto dì primo di <lb></lb>Maggio di mano del Torricelli. </foreign></s> <s>Presso al Detto. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">X. Lettera Originale del Mersenno scritta di Parigi sotto dì 24 <lb></lb>Giugno 1644. Presso al Detto. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">XI. Minuta di lettera del Torricelli al Mersenno di mano del me<lb></lb>desimo Torricelli. </foreign></s> <s>Presso al Detto. </s></p> <pb pagenum="478"></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it">XII. Copia di lettera del Roberval al Torricelli sotto dì primo di Gen<lb></lb>naio 1646. Presso al Detto. </foreign></s> <s>E presso a molti in diversi luoghi d'Italia. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">XIII. Minuta di lettera del Torricelli al Roberval di mano del Tor<lb></lb>ricelli sotto dì 7 di Luglio 1646. Presso al Detto. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">XIV. Minuta di lettera del Torricelli al Mersenno di mano del Tor<lb></lb>ricelli. </foreign></s> <s>Presso al Detto. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">XV. Lettera Originale del Mersenno al Torricelli sotto dì 15 Set<lb></lb>tembre 1646. Presso al Detto. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">XVI. Minuta di lettera del Torricelli a Carcans scritta di mano del <lb></lb>Torricelli a dì 8 Giugno 1646. Presso al Detto. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">XVII. Lettera Originale del Torricelli a Michelagnolo Ricci sotto <lb></lb>dì 29 Giugno 1647 in Roma. </foreign></s> <s>Presso al Ricci. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">XIIX. Racconto di proposizioni Geometriche passate, e proposte tra <lb></lb>i Matematici di Francia, e il Torricelli di mano del medesimo Torri<lb></lb>celli. </foreign></s> <s>Presso al D. Serenai. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">XIX. Lettera Originale del P. Mersenno al Torricelli sotto dì primo <lb></lb>di Marzo 1647. Presso al Detto. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">XX. Lettera Originale del Torricelli a Michelagnolo Ricci sotto di <lb></lb>24 d'Agosto 1647. In Roma presso al Ricci. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">XXI. Lettera Originale del Torricelli a Michelagnolo Ricci sotto <lb></lb>dì 11 Giugno 1644. Presso al Detto. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>XXII. Lettera Originale di Michelagnolo Ricci al Torricelli sotto <lb></lb>dì 18 Giugno 1644. Presso al Serenai. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">XXIII. Lettera Originale del Torricelli a Michelagnolo Ricci sotto <lb></lb>dì 28 di Giugno 1644. Presso al Ricci in Roma. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="italics"></emph>Strumento di recognizione, di scritture di mano propria d'Evangelista <lb></lb>Torricelli addotte nella precedente lettera, celebrato nell'Accademia <lb></lb>Fiorentina a dì 25 di Gennaio dell'Anno 1662 dall'Incarnazione, <lb></lb>secondo il costume di Firenze, ed esistente nell'Archivio pubblico di <lb></lb>detta Città.<emph.end type="italics"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Al Nome di Dio Amen. </s> <s><foreign lang="it">L'Anno dell'Incarnazione di Nostro Signore <lb></lb>Giesù Christo mille seicentosessantadue, nell'Inditione prima, il dì ven<lb></lb>ticinque di Gennaio. </foreign></s> <s>Sedente Alessandro Settimo Sommo Pontefice, e <lb></lb>il Serenissimo Ferdinando Secondo Gran Duca Quinto di Toscana feli<lb></lb>cemente Dominante. </s> <s><foreign lang="it">Fatto fu questo presente pubblico Instrumento in <lb></lb>Firenze nel Popolo di San Benedetto, nella Via dello Studio, e in una <lb></lb>delle schuole dell'Antichissima, e Nobilissima Accademia Fiorentina, <lb></lb>quivi presenti gl'infrascritti Nobili SS. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Sig. Conte Filippo del Sig. Marchese Rinieri d'Elci Gentiluomo Senese </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Sig. Conte Carlo del Sig. Conte Piero de' Bardi de' SS. Conti di <lb></lb>Vernio, et </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Sig. Francesco del qu. </foreign></s> <s>Sig. Lorenzo Ridolfi, Gentiluomini Fiorentini, <lb></lb>e tutti tre Accademici di detta Accademia, Testimoni, etc. </s></p> <pb pagenum="479"></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Apparisca per l'Instrumento presente pubblicamente a tutti, e per <lb></lb>tutto, qualmente Constituto personalmente davanti all'Illustrissimo <lb></lb>Sig. Benedetto del qu. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Sig. Niccolò Gori Gentiluomo Fiorentino I. C. <lb></lb>e uno degli Avvocati del Collegio de' Nobili di detta Città di Firenze, <lb></lb>al presente Consolo Dignissimo di detta Accademia, e davanti a detti <lb></lb>SS. Testimonij, et a me in questa parte Notaro Pubblico Fiorentino, e <lb></lb>Cancelliere infrascritto, etc. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Il Sig. Lodovico del qu. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Sig. Francesco Serenai I. C. Fiorentino, e <lb></lb>Accademico della detta Accademia espose, che l'Eruditissimo quon. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Sig. Evangelista del qu. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Sig. Gasparo Torricelli da Faenza Celeberrimo <lb></lb>Matematico, e Filosofo del Serenissimo Gran Duca di Toscana, e Pro<lb></lb>fessor Pubblico delle Matematiche nella detta Accademia Fiorentina, <lb></lb>ritrovandosi gravemente infermo, sotto dì quattordici del Mese di Ot<lb></lb>tobre dell'anno milleseicenquaranzette fece suo Testamento, nel quale, <lb></lb>e del quale elesse, e deputò Esecutore esso Sig. Lodovico, chiamandolo <lb></lb>suo fedelissimo, e cordialissimo amico: e gli ordinò fra l'altre cose, <lb></lb>che seguita sua morte, per mezzo dei Padre Frà Buonaventura Cava<lb></lb>lieri Professor Pubblico di Matematiche nello Studio di Bologna, fa<lb></lb>cesse stampare suoi scritti, studi, e fatiche di Geometria, quali aveva <lb></lb>già in ordine con le Dimostrazioni, e fra le dette scritture di Geometria <lb></lb>comprendesse lettere, e risposte passate fra lui, e i Matematici di <lb></lb>Francia etc. </foreign></s> <s><foreign lang="it">come meglio detto Sig. Lodovico disse apparire nell'Ar<lb></lb>chivio Pubblico di questa Città per l'istesso testamento del quale fu <lb></lb>rogato Ser Marchionne di Iacopo Bimbacci Notaio Pubblico Fiorentino, <lb></lb>e col qual testamento detto Sig. Evangelista morì la notte seguente <lb></lb>al dì ventiquattro del medesimo sopradetto mese di Ottobre di detto <lb></lb>anno mille seicenquaranzette. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">E soggiunse non haver per ancora potuto come Esecutore Testa<lb></lb>mentario predetto far pubblicare, e stampare le dette opere, et Lettere <lb></lb>Geometriche di detto Sig. Evangelista prima per la grave malattia nel<lb></lb>l'istesso tempo, e per la morte prossimamente succeduta anco di detto <lb></lb>Padre Frà Buonaventura Cavalieri sotto dì trenta di Novembre del<lb></lb>l'istesso anno; e poi per diversi accidenti che anno impedita tal pub<lb></lb>blicazione, come è noto a gli amici Fiorentini di detto Sig. Torricelli, <lb></lb>e massime alla maggior parte degli infrascritti SS. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ma ora per servir come deve, e desidera aìl'instanza del Sig. Carlo <lb></lb>del qu. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Sig. Cammillo Dati Gentiluomo Fiorentino uno anch'egli di <lb></lb>detti Accademici, e Professor pubblico di Lettere Umane Greche, e La<lb></lb>tine nel sopradetto Studio Fiorentino [il qual Sig. Carlo come parzia<lb></lb>lissimo amico della verità, e del Sig. Torricelli sotto nome di Timauro <lb></lb>Antiate vuol pubblicare un'Apologia in difesa della fama di lui] tro<lb></lb>varsi detto Sig. Lodovico necessitato a far pubblicamente sapere, e <lb></lb>legittimamente constare che fra le scritture appresso di se esistenti, <lb></lb>e come sopra lasciategli dal Torricelli per dare alle stampe, vi sono <lb></lb>le infrascritte di propria mano di esso Sig. Torricelli, cioè. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Un libretto in foglio intitolato. “ Racconto di alcune Proposizioni <lb></lb>proposte, e passate scambievolmente tra i Matematici di Francia e <pb pagenum="480"></pb>me, dall'anno mille seicenquaranta in qua ”. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Nel quale a numero cin<lb></lb>quanta questa. “ Il centro di gravità della Cicloide sta nell'asse, e lo <lb></lb>sega in proporzione di sette a cinque ”. </foreign></s> <s>E seguita. “ Avendo io avvi<lb></lb>sato la sola enunciazione di quest'ultimo Teorema in Francia etc. ” <lb></lb>e finisce con queste parole “ hanno tentato di farmi ”. </s></p> <p type="main"> <s>I. Una Bozza di lettera che comincia “ Clarissimo Viro Rober<lb></lb>vallio etc. </s><s>Evangelista Torricellius S. P. Eloquar apertè tecum etc. ”, <lb></lb>e finisce “ et intellectum meum ditare ”. </s></p> <p type="main"> <s>II. Altra Bozza di lettera che comincia “ M. Mersenno Clarissimo, <lb></lb>et Celeberrimo Viro S. P. Iam non in legendis Epistolis tuis etc. ” e <lb></lb>finisce. “ Kal. </s><s>Maij Anno 1644. Evangelista Torricellius ”. </s></p> <p type="main"> <s>III. Altra Bozza di lettera che comincia. “ Doctissimo et Celeber<lb></lb>rimo Viro M. M. Torricellius f. </s><s>p. Heri ad me delatae fuerunt literae <lb></lb>tuae etc. ” e finisce. “ Nihil universalius habet Geometriae ”. </s></p> <p type="main"> <s>IV. Altra Bozza di lettera che comincia. “ Clarissimo Viro Rober<lb></lb>vallio Torricellius S. P. D. De Trochoide (esto enim quantumlibet Tro<lb></lb>choides) etc. ” e finisce. “ Interea toto affectu me tibi commendo Vir <lb></lb>Clarissime Valè. </s><s>Dat. </s><s>Flor. 7 Iulij Anni 1646 ”. </s></p> <p type="main"> <s>V. Altra Bozza di lettera che comincia. “ Doctissimo, et celeberrimo <lb></lb>Viro P. M. Mersenno Evangelista Torricellius S. Seris Epistolis damus <lb></lb>serum responsum etc. ” e finisce. “ Iamque vale neque obsequentissi<lb></lb>mum servum tuum ama. </s><s>D. Florentiae die 7 Iulij 1646 ”. </s></p> <p type="main"> <s>VI. Altra Bozza di lettera che comincia. “ Doctissime et celeber<lb></lb>rime P. Mersenno. </s><s>Oro Paternitatem Vestram, ut secum ipsa recordari <lb></lb>velit etc. ” e finisce “ nam aliquod commercium cum tanto Viro valde <lb></lb>desidero ”. </s></p> <p type="main"> <s>VII. Altra Bozza di lettera che comincia. “ Illustrissimo et Doctis<lb></lb>simo Viro P. de Carcaus, E. Torricellius Sal. </s><s>Circa Problema numeri<lb></lb>cum Illustrissimi Domini Senatoris de Fermat. </s><s>etc. ”, e finisce “ et me <lb></lb>inutilem quidem sed obsequentissimum famulum, ut cepisti ama D. Flo<lb></lb>rentiae die 8 Iulij 1646 ”. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Onde presentato davanti all'Illustrissimo Sig. Consolo, e SS. Testi<lb></lb>moni sopraddetti il detto Racconto, e le dette sette Bozze di Lettere <lb></lb>[numerate come sopra si vede da me Notaio, e Cancelliere infrascritto] <lb></lb>il medesimo Signor Lodovico Serenai primieramente per mezzo di suo <lb></lb>giuramento prestato in forma etc. </foreign></s> <s>toccate etc. </s> <s><foreign lang="it">disse, et affermò essere <lb></lb>state tutte dette scritture, e ciascuna di esse da se trovate con mol<lb></lb>t'altre nell'eredità del detto S. Evangelista Torricelli alla di lui morte <lb></lb>nella stessa Camera dov'egli morì nel Palazzo de' Medici da lui abitato <lb></lb>in Firenze sul canto di Via Larga. </foreign></s> <s><foreign lang="it">E di poi la detta Proposizione cin<lb></lb>quantesima del Racconto, e quelle sette Bozze di lettere detto Sig. Lo<lb></lb>dovico con reiterato giuramento prestato in forma etc. </foreign></s> <s>toccate etc. </s><s><lb></lb>disse e confermò esser tutte, e ciascuna di esse scritta di propria mano <lb></lb>dell'istesso Sig. Torricelli, e per tali, e come tali attualmente le rico<lb></lb>nobbe, e riconosce etc. </s></p> <p type="main"> <s>In causa di suo sapere etc. </s> <s><foreign lang="it">oltre alle cose predette disse perche <lb></lb>come amico intrinseco, e confidente di detto Sig. Evangelista Torricelli, <pb pagenum="481"></pb>avendo seco conversato, e praticato lungo tempo, e vedutolo più volte <lb></lb>scrivere, aveva et ha piena e particolar notizia del di lui carattere, <lb></lb>scritto, e scritturato, e vedere, e riconoscere accertatamente la detta <lb></lb>Proposizione del Racconto, e le dette sette Bozze di lettere, e ciascuna <lb></lb>di esse essere state, et essere scritte di propria mano del medesimo <lb></lb>S. Torricelli, e così asserì, depose, et affermò per la mera verità etc. </foreign></s> <s><lb></lb>e in ogni miglior modo etc. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">E incontinenti, e per più evidente, e legittima giustificazione della <lb></lb>verità sopraddetta. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Il Sig. Andrea del qu. </foreign></s> <s>Sig. Lorenzo Cavalcanti </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Il Sig. Agostino del qu. </foreign></s> <s>Sig. Gio: Batista Nelli </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Il Sig. Ridolfo del qu. </foreign></s> <s>Sig. Alessandro Paganelli </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Il Sig. Ferdinando del qu. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Sig. Orazio della Rena </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Il Sig. Vincenzio del qu. </foreign></s> <s>Sig. Iacopo Viviani </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">e il Sig. Alessandro del qu. </foreign></s> <s>Sig. Tommaso Segni. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Tutti Gentiluomini Fiorentini, e Accademici della medesima soprad<lb></lb>detta Accademia pregati per la mera verità dall'istesso S. Lodovico <lb></lb>Serenai, e Constituiti come sopra davanti a detto Illustrissimo Sig. Con<lb></lb>solo, e SS. Testimoni, et a me Notaio, e Cancelliere infrascritto per <lb></lb>causa, et occasione di riconoscere anch'essi la scrittura e carattere di <lb></lb>detta Proposizione cinquantesima del Racconto, e le sette Bozze di Let<lb></lb>tere sopraddette, e deporre per la verità di mano di chi siano scritte, <lb></lb>quelle, e ciascuna di esse a detti SS. et a ciascuno di loro mostrare, <lb></lb>et esibite, essi SS. e ciascun di loro le medesime ben vedute, lette, os<lb></lb>servate, et ad una ad una diligentemente considerate etc. </foreign></s> <s>per mezzo <lb></lb>di loro, e di ciascuno di lor giuramento prestato in forma, etc. </s><s>toc<lb></lb>cate etc. </s> <s><foreign lang="it">dissero, asserirono, et affermarono, e ciascun di lor SS. disse, <lb></lb>asserì, et affermò la detta proposizione cinquantesima del Racconto, <lb></lb>e le sette Bozze di lettere comincianti, e terminanti come sopra, es<lb></lb>sere state, et essere fatte, e scritte di propria mano del sopraddetto <lb></lb>Sig. Evangelista Torricelli, e per tali, e come tali unitamente, e indif<lb></lb>ferentemente le confermarono, e riconobbero, e ciascun di loro le con<lb></lb>ferma, e le riconosce, etc. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>In causa di lor sapere etc. </s> <s><foreign lang="it">dissero, e ciascun di loro disse, et af<lb></lb>fermò per essere stati scolari, amici intrinseci, e familiari del detto <lb></lb>Sig. Evangelista Torricelli, e aver vedute molt'altre scritture Mate<lb></lb>matiche, e Filosofiche, e d'altre materie di propria mano dell'istesso <lb></lb>Sig. Torricelli, e averlo veduto molte volte scrivere. </foreign></s> <s><foreign lang="it">E però aver auto, <lb></lb>e aver piena notizia, e cognizione esattissima del di lui scritto, e ca<lb></lb>rattere, e conoscere ingenuamente tutte le scritture sopraddette come <lb></lb>sopra esibite dal detto Sig. Lodovico Serenai essere state, et essere <lb></lb>scritte di proprio pugno del medesimo Sig. Evangelista Torricelli. </foreign></s> <s>Et <lb></lb>così deposero, et affermarono, e ciascun di detti SS. asseverantemente <lb></lb>depose, et affermò per la pura, e sincera verità, etc. </s><s>et in ogni miglior <lb></lb>modo, etc, </s></p> <p type="main"> <s>Et io Notaio, e Cancelliere infrascritto fui pregato a formare di <lb></lb>tutte le recognizioni, e cose sopraddette, e di ciascuna di esse pub- <pb pagenum="482"></pb>blico Instrumento, come ho formato questo presente. </s> <s><foreign lang="it">E per maggior ri<lb></lb>scontro e autenticazione delle sopraddette recognizioni ho sottoscritto <lb></lb>di propria mano la detta proposizione cinquantesima del Racconto e <lb></lb>ciascuna delle sopraddette Bozze di lettere (dal detto Sig. Lodovico <lb></lb>riprese) in questa forma cioè. <emph type="italics"></emph>Domenico Capponcini 25 Gennaio 1662.<emph.end type="italics"></emph.end><lb></lb>E tutto in ogni miglior modo etc. </foreign></s> <s>Rogantes, etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="italics"></emph>Die.<emph.end type="italics"></emph.end> Approbo Ego Dominicus infrascriptus Verbum hic in fine sub <lb></lb>eius signo remissum, prout lineaturam Verbi <emph type="italics"></emph>tuum<emph.end type="italics"></emph.end> etc. </s><s>quia per er<lb></lb>rorem etc. </s></p> <p type="main"> <s>Ego Dominicus Capponcinius D. Io: Baptistae ol. </s><s>filij I. V. D. Civis <lb></lb>Florentinus et in hac parte Notarius publicus, nec non dictae Acade<lb></lb>miae Florentinae Cancellarius de praed. </s><s>licet aliena manu, mihi tamen <lb></lb>fida, rogat. </s><s>fui, et in fidem propria manu me subscripsi ad laudem <lb></lb>Dei, et B. V. M. </s></p> <p type="main"> <s>Collatum per me Franciscum de Francisconis ex Ministris subst. </s><s>in <lb></lb>generali Archivio Florentino hac die 31 Martij 1663. </s></p> <p type="main"> <s>Ioannes Oricellarius I. V. D. et Conservator vidit. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>FINE <lb></lb>DELLA LETTERA A FILALETI <lb></lb>E DEL VOL. I. P. II.<emph.end type="center"></emph.end></foreign></s> </p> <pb></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>OPERE <lb></lb>DI <lb></lb>EVANGELISTA TORRICELLI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <pb></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Risercati tutti i diritti accordati dalla Legge <lb></lb>in Italia e all' Estero.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <pb></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>OPERE <lb></lb>DI <lb></lb>EVANGELISTA TORRICELLI <lb></lb>EDITE IN OCCASIONE DEL III CENTENARIO DELLA NASCITA <lb></lb>COL CONCORSO DEL COMUNE DI FAENZA <lb></lb>DA <lb></lb>GINO LORIA E GIUSEPPE VASSURA<emph.end type="center"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>VOLUME II: LEZIONI ACCADEMICHE <lb></lb>MECCANICA -SCRITTI VARI <lb></lb>CON 250 FIGURE E 4 TAVOLE LITOGRAFATE <lb></lb>PUBBLICATO PER CURA DI GIUSEPPE VASSURA<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <figure></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>FAENZA<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>STABILIMENTO TIPO-LITOGRAFICO G. MONTANARI <lb></lb>AMMINISTRATO DALL'ORFANOTROFIO MASCHI<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>1919.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <pb></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>INDICE<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> </s></p> <pb></pb> <table> <row><cell>LEZIONI ACCADEMICHE . . . . . . . . . . . . . . . .</cell><cell>Pag.</cell><cell>1</cell></row> <row><cell>Lezione</cell><cell>prima</cell><cell>—</cell><cell>Ringraziamento agli Accademici della Crusca quando da essi fu am-messo nella loro Accademia . .</cell><cell>”</cell><cell>3</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>seconda</cell><cell>—</cell><cell>Della percossa . . . . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>5</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>terza</cell><cell>—</cell><cell> ” ” . . . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>15</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>quarta</cell><cell>—</cell><cell> ” ” . . . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>24</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>quinta</cell><cell>—</cell><cell>Della leggerezza . . . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>33</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>sesta</cell><cell>—</cell><cell> ” ” . . . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>40</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>settima</cell><cell>—</cell><cell>Del vento . . . . . . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>48</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>ottava</cell><cell>—</cell><cell>Della fama . . . . . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>57</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>nona</cell><cell>—</cell><cell>Prefazione in lode delle matema-tiche . . . . . . . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>65</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>decima</cell><cell>—</cell><cell>Dell'architettura militare . . . .</cell><cell>”</cell><cell>75</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>undecima</cell><cell>—</cell><cell> ” ” . . . .</cell><cell>”</cell><cell>85</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>duodecima</cell><cell>—</cell><cell>Encomio del secol d'oro . . . .</cell><cell>”</cell><cell>92</cell></row> <row><cell>DE MOTU GRAVIUM NATURALITER DESCENDENTIUM ET PROIECTO-RUM, etc. . . . . . . . . . . . . . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>101</cell></row> <row><cell>Liber</cell><cell>primus</cell><cell>—</cell><cell>De motu gravium naturaliter descen-dentium . . . . . . . . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>103</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>secundus</cell><cell>—</cell><cell>De motu proiectorum . . . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>153</cell></row> <row><cell>DE MOTU AC MOMENTIS VARIA . . . . . . . . . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>233</cell></row> <row><cell>SOLUZIONE DI UN PROBLEMA INTORNO ALLE COSE CHE STANNO NEL-L'UMIDO . . . . . . . . . . . . . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>251</cell></row> <row><cell>SCRITTURE SULLA BONIFICAZIONE DELLA VAL DI CHIANA . . . .</cell><cell>”</cell><cell>263</cell></row> <row><cell> Proposizione . . . . . . . . . . . . . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>265</cell></row> <row><cell> Scrittura del Sig. Torricelli presentata al Sereniss. Prin-</cell></row> <row><cell> cipe Leopoldo a' 12 Aprile 1645 . . . . . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>269</cell></row> <row><cell> Risposta di D. Famiano Michelini alla Scrittura del </cell></row> <row><cell> Sig. Torricelli . . . . . . . . . . . . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>273</cell></row> <row><cell> Replica del Sig. Torricelli . . . . . . . . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>276</cell></row> <row><cell> Appendice che segue alla Scrittura del Sig. Torricelli .</cell><cell>”</cell><cell>299</cell></row> <row><cell> Ristretta informazione del Sig. Torricelli, ecc. . . . .</cell><cell>”</cell><cell>301</cell></row> <row><cell> Difficoltà sovvenute al Sig. Torricelli, ecc. . . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>305</cell></row> <row><cell>PROSPETTIVA PRATICA . . . . . . . . . . . . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>311</cell></row></table> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>LEZIONI ACCADEMICHE.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <pb></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="italics"></emph>La presente edizione delle Lezioni Accademiche è conforme ai ma<lb></lb>noscritti autografi di Evangelista Torricelli.<emph.end type="italics"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="italics"></emph>L'edizione fatta in Firenze nel 1715 dalla Stamperia di S. A. R. <lb></lb>per Jacopo Guiducci e Santi Franchi porta la seguente licenza del<lb></lb>l'Accademia della Crusca:<emph.end type="italics"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>Addi 10, di Febbraio 1715.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Noi appiè sottoscritti Censori, e Deputati, riveduta a forma della <lb></lb>Legge prescritta dalla Generale Adunanza dell'Anno 1705 la seguente <lb></lb>Opera dell'Innominato Evangelista Torricelli, intitolata <emph type="italics"></emph>Lezioni Acca<lb></lb>demiche ec.<emph.end type="italics"></emph.end> non abbiamo in essa osservati errori di Lingua. <lb></lb> <lb></lb> </foreign></s> </p> <table> <row><cell><emph type="italics"></emph>L'Innominato Dottore Giuseppe Averani<emph.end type="italics"></emph.end></cell><cell>}</cell><cell><emph type="italics"></emph>Censori della Accade-<emph.end type="italics"></emph.end></cell></row> <row><cell><emph type="italics"></emph>L'Innominato Padre Don Guido Grandi<emph.end type="italics"></emph.end></cell><cell><emph type="italics"></emph>mia della Crusca.<emph.end type="italics"></emph.end></cell></row></table> <table> <row><cell><emph type="italics"></emph>L'Aspro.<emph.end type="italics"></emph.end></cell><cell>}</cell><cell><emph type="italics"></emph>Deputati.<emph.end type="italics"></emph.end></cell></row> <row><cell><emph type="italics"></emph>L'Innominato Benedetto Bresciani<emph.end type="italics"></emph.end></cell></row></table> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Attesa la sopradetta relazione, si dà facoltà, che I'Innominato <lb></lb>Evangelista Torricelli si possa denominare nella pubblicazione di detta <lb></lb>sua Opera, <emph type="italics"></emph>Accademico della Crusca.<emph.end type="italics"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>L'Innominato Antonio del Rosso Arciconsolo.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></foreign></s> </p> <pb></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>LEZIONI ACCADEMICHE<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>LEZIONE PRIMA<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>RINGRAZIAMENTO AGLI ACCADEMICI DELLA CRUSCA <lb></lb>QUANDO DA ESSI <lb></lb>FU AMMESSO NELLA LORO ACCADEMIA.<emph.end type="center"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">L'impotenza, che per nativo privilegio suole andar <lb></lb>sciolta dalle leggi, merita bene di esser compassionata nella <lb></lb>ricompensa dei benefici, ma non già assoluta dal rendi<lb></lb>mento delle grazie. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Prendo però animo hoggi di comparire <lb></lb>nel cospetto di questa famosissima Adunanza, e quanto <lb></lb>più per l'inhabilità dell'ingegno, mi stimo sciolto dalla <lb></lb>speranza d'opere gloriose, altrettanto per la grandezza <lb></lb>del beneficio ricevuto, mi giudico sottoposto all'obbligo del <lb></lb>ringraziamento. </foreign></s> <s><foreign lang="it">So che la gentilezza d'animi virtuosi, dif<lb></lb>fonde le grazie per inclinazione di genio, e per sodisfa<lb></lb>zione della propria magnanimità: però mi persuado che <lb></lb>resterete appagati, se io in questo giorno m'impossesso <lb></lb>di un'honore desiderato da i sapienti, et invidiabile dalla po<lb></lb>sterità, solo col tributo di poche, e sconcertate parole: <lb></lb>tale per apunto suole essere la ricompensa colla quale si <lb></lb>accettano i benefici del Cielo, e de i Monarchi. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>L'immensità degli obblighi miei verso l'Altezza Vostra, <lb></lb>Serenissimo Principe, e verso di voi Degnissimo Arcicon- <pb pagenum="4"></pb>solo, e Virtuosi Accademici, è difficile da comprendersi, <lb></lb>ma però è facile da argomentarsi. </s> <s><foreign lang="it">Considero solamente <lb></lb>che io non ostante la scarsezza dei meriti, e l'abbondanza <lb></lb>delle imperfezioni, sia stato ammesso nel consorzio di que<lb></lb>sto gloriosissimo Collegio, et ascritto per familiare di questa <lb></lb>Corte, dentro la quale si racchiude l'Imperio delle Lettere, <lb></lb>e delle Scienze. <emph type="italics"></emph>Crusca<emph.end type="italics"></emph.end> (nome benemerito dell'Universo, e <lb></lb>consecrato all'eternità) tu ti compiacesti di scrivere il <lb></lb>mio nome nel ruolo della fama et ammettermi al novi<lb></lb>ziato della gloria: che posso io fare per corrispondere con <lb></lb>atti di gratitudine proporzionata a beneficenza tanto ecces<lb></lb>siva? </foreign></s> <s>Mi protesto che in me mancherà prima la vita, che <lb></lb>l'ossequio verso questo honoratissimo Congresso; e fin che <lb></lb>havrò spirito, nutrirò sempre la debita osservanza verso i <lb></lb>miei benignissimi, e spontanei benefattori. </s><s>Il massimo, <lb></lb>anzi pur l'unico holocausto, che dalla mia debolezza possa <lb></lb>offerirsi a i benemeriti vostri, è la volontà. </s> <s><foreign lang="it">Accettatela, e <lb></lb>compiacetevi che questo sia il ringraziamento, permetten<lb></lb>domi che ne i difetti dell'opere, possa supplire la pienezza del <lb></lb>desiderio, e l'abbondanza della divozione. </foreign></s> <s>Vivo in una Pa<lb></lb>tria, dove l'esquisitezze sono consuetudini, l'industrie sono <lb></lb>usanze, la perspicacia è naturalezza. </s><s>Entro in un Teatro, <lb></lb>dove hereditaria è l'erudizione, domestica la virtù, familiare <lb></lb>la sapienza. </s> <s><foreign lang="it">Spaventato da tante perfezioni, e qual frutto <lb></lb>potrò io giammai sperare dalla mia sterilità, che sia degno <lb></lb>d'esser esposto a gli occhi più che lincei di questo <lb></lb>gran Tribunale? </foreign></s> <s><foreign lang="it">Tribunale, nel cui foro si giudicano i pre<lb></lb>tendenti dell'immortalità; la cui potenza letteraria ab<lb></lb>braccia colla giurisdizione delle leggi, e colla diffusione de' <lb></lb>giudizi, tutte quelle Nazioni sopra le quali si estende <lb></lb>l'uso del discorso, et il benefizio della favella. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Io godo per <lb></lb>munificenza della Regia Toscana i sussidii della vita, e per <lb></lb>cortesia della <emph type="italics"></emph>Crusca<emph.end type="italics"></emph.end> gli alimenti della gloria. </foreign></s> <s>Rendo però <lb></lb>humilissime grazie all'Altezza Vostra Serenissimo Principe, <lb></lb>et a voi Virtuosissimi Accademici dell'honoranza che mi ha<lb></lb>vete conferito, per dare a divedere che in voi regna non <lb></lb>meno l'amorevolezza, che la Virtù. </s> <s><foreign lang="it">Finisco, supplicando <lb></lb>l'Onnipotenza Divina a prosperar sempre più questa Vir<lb></lb>tuosissima Adunanza, dall'autorità della quale escono nel <pb pagenum="5"></pb>Mondo gli editti inviolabili della litteratura; et a molti<lb></lb>plicare i progressi di questa Città, il cui nome vola per <lb></lb>l'Universo, per terrore de' Barbari, e per ornamento della <lb></lb>Cristianità. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>LEZIONE SECONDA<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>DELLA PERCOSSA.<emph.end type="center"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Se egli è vero il detto del filosofo, che quelle opera<lb></lb>razioni della natura, delle quali non sappiamo le cause, <lb></lb>si stimino miracoli, miracoli più maravigliosi d'ogni altro <lb></lb>doveranno stimarsi gli effetti di quella facoltà, che univer<lb></lb>salmente si chiama Mecanica. </foreign></s> <s>Maravigliosi dico, Serenis<lb></lb>simo Principe, Magnissimo Arciconsolo, Virtuosissimi Acca<lb></lb>demici, non solo per l'operazioni stupende che fanno, ma <lb></lb>anco per l'occultazione delle cause onde derivano. </s> <s><foreign lang="it">La libra, <lb></lb>la leva, e l'argano sono macchine già note al mondo, e <lb></lb>divulgate nel teatro della fama colle dimostrazioni del <lb></lb>sapiente di Siracusa. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma la vite, il cuneo, i piani inclinati, e <lb></lb>forse anco le taglie, si vedono sopra i libri de i Filosofi, e <lb></lb>de i Matematici piuttosto dichiarate con discorsi, che di<lb></lb>mostrate con ragioni. </foreign></s> <s><foreign lang="it">La forza poi della percossa (sopra <lb></lb>la quale faremo questo discorso) porta a mio giudizio <lb></lb>nella scena delle maraviglie la corona del principato. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Que<lb></lb>sta per essere la più efficace fra tutte le invenzioni della <lb></lb>Mecanica, è forse il più recondito, e il più astruso fra <lb></lb>tutti gli arcani della Natura. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Se la fortuna non avesse <lb></lb>invidiato la gloria di questo scoprimento al nostro secolo, <lb></lb>già era certo, che il famosissimo Galileo lavorava questa <lb></lb>gioia per arricchirne il monile della Toscana Filosofia. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Ma però dalle scritture de i suoi libbri, e da i suoi ragio<lb></lb>namenti familiari due sole cose si raccoglievano intorno <lb></lb>alla forza della percossa; una era l'esperienza di certi archi <lb></lb>con cui s'ingegnava di dimostrare l'immensità di detta <lb></lb>forza; l'altra erano gli epiteti iperbolici con i quali dava <lb></lb>manifestamente a divedere, che egli havesse fermo concetto <pb pagenum="6"></pb>nell'animo, che la forza della percossa fusse infinita. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Io <lb></lb>mosso più tosto dalla curiosità della materia, che dalla <lb></lb>speranza dell'acquisto, anderò colla tardità del mio ingegno <lb></lb>rintracciando qualche vestigio di questa cognizione, preso <lb></lb>per iscorta e per tema l'indizio dato da quel sagacissimo <lb></lb>Vecchio, cioè <emph type="italics"></emph>Che l'energia della Percossa debba essere <lb></lb>Infinita.<emph.end type="italics"></emph.end> Hoggi per segno d'obbedienza, e di divozione <lb></lb>espongo i miei pensieri al purgatissimo giudizio di così <lb></lb>dotta Accademia. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Sottopongasi alla nostra contemplazione una tavola di <lb></lb>marmo, la quale per essere spezzata senza forza di per<lb></lb>cossa alcuna, ricerca di havere sopra di se un grave quie<lb></lb>scente che pesi non meno di mille libre. </s><s>Se un'altro grave, <lb></lb>che pesi solamente libre cento, sarà posto quiescente so<lb></lb>pra la medesima tavola, non haverà per certo forza tale che <lb></lb>sia bastante per romperla; poiche a questo effetto vi vo<lb></lb>gliono non cento, ma mille libre di peso, come suppo<lb></lb>nemmo. </s> <s><foreign lang="it">E dunque manifesto, che il momento, o vogliam <lb></lb>dire attività di cotal grave, per rompere il piano sottoposto, <lb></lb>per se solo sarebbe come nulla. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Non si niega, che il mo<lb></lb>mento di tal grave non sia cento libre come realmente egli <lb></lb>è, et che multiplicato non possa rompere la tavola; anzi si <lb></lb>afferma che gli è cento libre, et che con questo momento di <lb></lb>libre cento gravita egli non solamente adesso, ma graviterà <lb></lb>sempre uniformemente sopra il piano a lui sottoposto; <lb></lb>in tal maniera però, che in ciascuno istante del tempo che <lb></lb>continuamente scorre, egli và facendo la sua violenza <lb></lb>solamente di cento libre per volta alla tavola di marmo. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Che sia vero, si può considerare l'istesso grave posto so<lb></lb>pra la bilancia; credo che ognuno concederà, che in qua<lb></lb>lunque occhiata io riguarderò detto grave, in quella istessa <lb></lb>occhiata egli gravita colla sua forza totale di cento libbre, <lb></lb>ne più ne meno. </foreign></s> <s><foreign lang="it">E se alcuno se lo ponesse sopra di una <lb></lb>mano, proverà che non passa giammai alcuno istante di <lb></lb>tempo, che in esso il grave non generi, per così dire, una <lb></lb>premuta verso il centro della terra con forza di libre <lb></lb>cento. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Dall'altra parte poi il marmo sottoposto in ciascuno <lb></lb>istante del tempo che corre, va continuamente corrispon<lb></lb>dendo al grave premente con momento di resistenza non <pb pagenum="7"></pb>come cento, ma come mille. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Quindi è che se noi coll'ima<lb></lb>ginazione segneremo nel tempo corrente qualsivoglia <lb></lb>istante, sempre troveremo che in quell'istante segnato <lb></lb>si fa un contrasto disuguale tra una forza di cento, e una <lb></lb>repugnanza di mille, adunque ancorche il grave posasse, e <lb></lb>premesse eternamente sopra il marmo, non farà mai <lb></lb>nulla quanto a romperlo, più di quel tanto che egli fece <lb></lb>nel primo punto del tempo che vi fu posato sopra. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Im<lb></lb>maginiamoci, e serva per esempio, che in questa stanza <lb></lb>sieno trenta huomini, i quali con tutta la loro forza, tengano <lb></lb>unitamente il capo d'una hasta, et che per quella strada là <lb></lb>fuori passino in ordinanza tutti gli huomini dell'Europa <lb></lb>uno dopo l'altro, ma però in tal modo, che un solo per <lb></lb>volta nel passare dia una tratta all'altro capo della hasta. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Certa cosa è, che non solo tutti i popoli dell'Europa, ma <lb></lb>ne anco tutte le generazioni de i secoli, sarebbero giamai <lb></lb>bastanti a forzare noi trenta, si che ci muovessimo ne <lb></lb>pure un passo dalla nostra primiera positura. </foreign></s> <s><foreign lang="it">E di ciò la <lb></lb>cagione è manifestissima, mentre quelli vanno applicando <lb></lb>le loro forze una per volta, noi siamo sempre trenta contro <lb></lb>uno, tutti uniti a fargli resistenza. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Notisi solamente que<lb></lb>sto a proposito per i momenti della gravità; che quando <lb></lb>passa il secondo traente per la strada, e collo sforzo suo <lb></lb>dà il tratto alla hasta, la forza che prima di lui haveva fatta <lb></lb>il suo antecessore, non è più di alcun giovamento a lui; e <lb></lb>nell'istesso modo lo sforzo che fa egli non aiuterà punto <lb></lb>il suo successore. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma ritorniamo al grave quiescente, che <lb></lb>sia per esempio una palla, la quale con forza di cento <lb></lb>libre preme continuamente sopra la tavola del marmo <lb></lb>sottoposto: benchè il momento per se stesso della palla <lb></lb>pesante che è cento libre, operando sempre solitariamente <lb></lb>senza moltiplicarsi, non basti a superar l'impedimento <lb></lb>della tavola che è come mille, ne anco in tempo infinito; <lb></lb>se noi pigliassimo dieci palle eguali ad essa tutte insieme; <lb></lb>ovvero se noi potessimo racchiudere in una sola tutta la <lb></lb>virtù et tutta l'attività delle dette dieci palle, haveressimo <lb></lb>una forza di mille libre unite insieme; e sarebbe apunto <lb></lb>tale, che posandola sopra quel marmo (la cui resistenza sup<lb></lb>ponemmo, che fusse superabile da mille libre) esso marmo <pb pagenum="8"></pb>resterebbe rotto. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Hora senza multiplicare la materia, io <lb></lb>credo che moltiplicandosi il tempo produttore de i momenti, <lb></lb>et insieme trovando qualche modo di conservare i mo<lb></lb>menti prodotti dal tempo, noi haveressimo l'istesso effetto, <lb></lb>et l'istesso accrescimento di forza. </foreign></s> <s>Mi dichiaro con l'e<lb></lb>sempio. </s><s>Io ho bisogno di cento botti d'acqua da una <lb></lb>tale fontana, ma trovo, che quella fonte non da più che <lb></lb>una sola botte d'acqua per hora; adunque dovrò io disperare <lb></lb>in tutto, e per tutto, di poter mai conseguire le cento botti <lb></lb>di acqua da quella fontana? </s><s>anzi no. </s><s>Aspettisi cento hore, <lb></lb>e si vada conservando l'acqua, che continuamente sca<lb></lb>turisce, che così si potranno havere le cento botti dell'acqua <lb></lb>desiderata. </s><s>La gravità ne i corpi naturali è una fontana, <lb></lb>dalla quale continuamente scaturiscono momenti. </s><s>Il nostro <lb></lb>grave produce in ogni istante di tempo una forza di cento <lb></lb>libre, adunque in dieci istanti, o per dir meglio in dieci <lb></lb>tempi brevissimi produrrà dieci di quelle forze di cento <lb></lb>libre l'una, se però si potessero conservare. </s> <s><foreign lang="it">Ma sin tanto <lb></lb>che egli poserà sopra un corpo, che lo sostenga, non sarà <lb></lb>mai possibile di haver l'aggregato delle forze, che deside<lb></lb>riamo, tutte insieme; poichè subito quando la seconda <lb></lb>forza, o momento nasce, la precedente è già svanita, o per <lb></lb>così dire è stata estinta dalla contrarietà repugnante del <lb></lb>piano sottoposto, il quale nel medesimo tempo, in che na<lb></lb>scono detti momenti, gli uccide tutti sucessivamente un <lb></lb>dopo l'altro. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma senza più tediosa prolissità, la definizione <lb></lb>medesima che il Galileo adduce del moto naturalmente <lb></lb>accelerato, basta per isvelare questo arcano della Natura, <lb></lb>intorno alla forza della percossa. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Aprasi la scaturigine <lb></lb>della gravità. </foreign></s> <s>Sollevisi la palla grave in alto, in maniera <lb></lb>tale che possa poi quando ella ricaderà all'ingiù dimorare <lb></lb>per l'aria dieci istanti di tempo, e per conseguenza gene<lb></lb>rare dieci di quei suoi momenti. </s> <s><foreign lang="it">Io dico che detti mo<lb></lb>menti si conserveranno, e si aggregheranno insieme. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ciò è <lb></lb>manifesto per l'esperienza continua de i gravi cadenti, e del <lb></lb>moto accelerato; vedendosi che i gravi dopo le cadute <lb></lb>hanno maggior forza, che non havevano quiescenti. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma anco <lb></lb>la ragione lo persuade; poichè se quell'ostacolo sottoposto <lb></lb>colla continua repugnanza del suo odioso toccamento, estin- <pb pagenum="9"></pb>gueva tutti i predetti momenti, hora che è levato l'ostacolo, <lb></lb>dovrà colla remozione della causa esser rimosso anco l'ef<lb></lb>fetto. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Quando poi il grave dopo la caduta arriverà alla <lb></lb>percossa, non applicherà più, come faceva prima, la sem<lb></lb>plice forza di cento libre, figlia di uno istante solo, ma <lb></lb>le forze moltiplicate figlie di dieci istanti, che saranno <lb></lb>equivalenti a libre mille: tante per appunto, quante ne <lb></lb>voleva il marmo unite, et insieme applicate per restar <lb></lb>rotto, e superato. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Quì l'obbiezioni sono manifeste. </s> <s><foreign lang="it">Prima non è posssibil <lb></lb>mai, che un grave cadente possa trattenersi per l'aria, nè <lb></lb>dieci, nè trenta, nè cento istanti di tempo; imperocchè il <lb></lb>tempo di qualunque brevissima caduta, bisogna (se ciò si <lb></lb>può dire) che contenga infiniti istanti. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Adunque secondo <lb></lb>questa supposizione non sarà mai vero che un grave ca<lb></lb>dente possa moltiplicare il momento suo proprio, che egli <lb></lb>aveva quiescente, nè dieci, nè trenta, nè cento volte; segui<lb></lb>terà bene che (se egli lo multiplica) lo dovrà per forza mol<lb></lb>tiplicare infinite volte; poichè, come dicemmo, nel tempo <lb></lb>di qualunque brevissima caduta sono infiniti gl'istanti; <lb></lb>però per necessaria conseguenza la forza d'ogni poca ca<lb></lb>duta, e d'ogni poco peso doverebbe esser infinita, il che <lb></lb>è contro tutte l'esperienze. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>A questo io rispondo, e concedo ogni cosa, cioè che <lb></lb>la forza di qualunque percossa debba esser infinita. </s><s>Pro<lb></lb>verò prima questo demostrativamente senza far menzione <lb></lb>di <emph type="italics"></emph>quegli istanti, i quali potrebbero essere controversi da <lb></lb>chi non ammette la dottrina degli Indivisibili;<emph.end type="italics"></emph.end> e poi dirò <lb></lb>perchè causa penso che nell'esperienza le percosse non <lb></lb>facciano effetto infinito, ma piutosto alle volte picco<lb></lb>lissimo. </s></p> <p type="main"> <s>Caschi una palla di ferro la quale di peso sia una <lb></lb>libra sola dall'altezza d'un braccio; io dico la sua forza, o <lb></lb>momento dopo la caduta esser maggiore di qualunque mo<lb></lb>mento o forza finita. </s> <s><foreign lang="it">Che il momento dopo la caduta sia <lb></lb>accresciuto è cosa manifesta per l'esperienza, vedendosi <lb></lb>che la palla cadente fa sopra qualche resistente effetto <lb></lb>molto maggiore di quello che haverebbe fatto se la vi <lb></lb>fusse posata quiescente. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Hora se la moltiplicazione del suo <pb pagenum="10"></pb>momento non altrimenti è infinita, bisognerà che sia ter<lb></lb>minata. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Sia dunque per esempio solamente come di cento <lb></lb>libre, cioè cento volte maggiore di quel che era nello <lb></lb>stato della quiete. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Dividasi con l'imaginazione il tempo <lb></lb>della sua caduta in più di cento particelle eguali, e sia <lb></lb>per esempio diviso in centodieci parti, queste non saranno <lb></lb>più istanti ma tempi quanti, e divisibili. È poi chiaro per <lb></lb>la definizione del moto accelerato del Galileo, e per il di<lb></lb>scorso fatto fin quì da noi, che il grave cadente anderà <lb></lb>producendo in ciascuna delle centodieci particelle di tempo <lb></lb>un momento almeno di una libra l'uno, e gli anderà con<lb></lb>servando in se stesso, ed accumolando l'un sopra l'altro. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Il grave dunque, che mentre stava fermo haveva mo<lb></lb>mento d'una libra, dopo la caduta corrispondente alla <lb></lb>seconda particella del tempo diviso, haverà momento <lb></lb>almeno di due libre, e nel fine del terzo tempo haverà <lb></lb>momento almeno triplicato di quel che haveva quiescente: <lb></lb>nel fine poi del centesimo tempo haverà forza almeno <lb></lb>centuplicata di quella che haveva nello stato della quiete, <lb></lb>cioè forza almeno di cento libre. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma nel fine della cen<lb></lb>todecima, et ultima particella di tutto il tempo diviso, cioè <lb></lb>nel punto della percossa, bisognerà che habbia forza mag<lb></lb>giore che di cento libre. </foreign></s> <s>Col medesimo progresso s'inferirà <lb></lb>haver forza maggiore di mille, et di un milione. </s> <s><foreign lang="it">Provandosi <lb></lb>dunque che un grave cadente ha forza maggiore di qua<lb></lb>lunque forza finita, par che si possa dire haver egli forza <lb></lb>infinita. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ma le obiezzioni son più gagliarde che prima; poichè <lb></lb>se la forza delle percosse fusse infinita, doverebbe ogni <lb></lb>percossa benchè piccola fare effetto infinito; ma noi ve<lb></lb>diamo che qualunque percossa benchè grande fa effetto <lb></lb>terminato, et anco spesse volte insensibile; come chi bat<lb></lb>tesse sopra l'incudine col martello, che fa egli più di <lb></lb>quello che farebbe se ve lo tenesse fermo? </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>A questo si risponde così. </s> <s><foreign lang="it">Allora seguirebbe l'effetto <lb></lb>infinito ad ogni benchè piccola percossa, quando la <lb></lb>percossa fusse momentanea; cioè quando il percoziente <lb></lb>applicasse tutto quel cumulo di momenti che egli ha <lb></lb>dentro di se aggregati insieme, che sono veramente infi- <pb pagenum="11"></pb>niti, e gli conferisse tutti al suo resistente in un solo <lb></lb>istante di tempo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma se nell'applicargli, gli applica con <lb></lb>qualche spazio di tempo, non è più necessario, che l'effetto <lb></lb>segua infinito, anzi può esser minimo, però nullo mai. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Ricordiamoci che il Galileo dimostra che qualunque grave <lb></lb>dopo qualsivoglia caduta ha tanto impeto, o momento <lb></lb>in se stesso, che basta pacificamente per ricondurre il <lb></lb>grave caduto a quel medesimo segno d'altezza dalla quale <lb></lb>era partito; et questo ritorno si farebbe in altrettanto <lb></lb>tempo quanto fu quello della caduta. </foreign></s> <s>Questo pare a me <lb></lb>che voglia dire: se un grave dopo la caduta da qualsi<lb></lb>voglia altezza si rivolgerà all' insù; altrettanta salita per <lb></lb>appunto, quanta era stata la scesa basterà per torgli, et <lb></lb>estinguergli tutto quell'impeto che esso aveva concepito. </s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Cade sopra un'incudine dall'altezza d'una picca un martello <lb></lb>che pesa quattro libre: quando arriva a dar la percossa, <lb></lb>egli ha già moltiplicato infinite volte il momento del <lb></lb>proprio peso, ma non per questo deve far effetto infinito. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Immaginiamoci che egli non percota altrimenti, ma si <lb></lb>rifletta all'in sù con l'impeto acquistato senza toccar <lb></lb>l'obietto. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Non vedete per la dottrina del Galileo, che la <lb></lb>poca repugnanza di quattro libre del suo proprio peso in <lb></lb>tanto tempo con quanto egli ascende lo spazio d'una <lb></lb>picca all'insù, basta per estinguere tutta quella infinità <lb></lb>di forze, che egli haveva moltiplicate nello scendere? </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Così anco quando egli darà la percossa temporanea, può <lb></lb>essere che l'immensa repugnanza della impermeabilità <lb></lb>del ferro sia bastante a torgli nel brevissimo tempo, nel <lb></lb>quale si fa l'ammaccatura, tutto quell'impeto, che la poca <lb></lb>resistenza di quattro libbre di peso, gli toglieva nel lungo <lb></lb>tempo della corsa d'una picca all'insù. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Mi pare che potrebbe formarsi una Proposizione così: <lb></lb><emph type="italics"></emph>I tempi proporzionali reciprocamente alle resistenze, sono <lb></lb>equivalenti per estinguere l'istesso impeto.<emph.end type="italics"></emph.end> Mi dichiaro: se <lb></lb>il lungo tempo del ritorno del martello all'in sù con la poca <lb></lb>repugnanza di quattro libre di peso contrario può estin<lb></lb>guere quell'impeto infinito che era nell'istesso martello <lb></lb>cadente, (come in effetto fa per la dottrina del Galileo) il <lb></lb>tempo mille volte minore, nel quale si fa l'ammaccatura <pb pagenum="12"></pb>del ferro, insieme colla resistenza dell'ammaccatura, che <lb></lb>è mille volte maggiore, basterà per estinguere il medesimo <lb></lb>impeto per infinito che egli sia. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Cade un grave da alto, e moltiplica per così dire <lb></lb>cento volte il suo momento. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Se egli nell'atto della per<lb></lb>cossa applicherà tutto il moltiplico delle forze sue in un <lb></lb>istante solo, il resistente sentirà una tale violenza come di <lb></lb>cento; tale appunto quale era la forza. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma se lo appli<lb></lb>cherà, e distribuerà per esempio in dieci istanti, il resi<lb></lb>stente non sentirà mai cento momenti di forza tutti in<lb></lb>sieme, ma si bene dieci per volta. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Per voler dunque che <lb></lb>la percossa facesse tutto l'effetto suo, bisognerebbe che <lb></lb>nell'atto del percuotere nessuno dei corpi concorrenti ce<lb></lb>desse, ma il colpo fusse momentaneo, e le forze tutte si <lb></lb>ricevessero in un solo punto di tempo. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Viene un sasso dalla cima di una torre; se io gli sot<lb></lb>topongo una mano, e sotto la mia mano sia un sostegno <lb></lb>immobile contiguo ad essa, il cadente imprime nella mano <lb></lb>mia perchè non può cedere, in brevissimo tempo tutti i <lb></lb>suoi momenti moltiplicati; però sento grandissima, e dolo<lb></lb>rosa la percossa. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma se cadendo il medesimo grave dal<lb></lb>l'istessa altezza io lo riceverò colla mano libera per aria, <lb></lb>in modo che ella possa cedere, e ritirarsi nel pigliare il <lb></lb>grave, io sentirò pochissimo colpo; e tanto minore proverò <lb></lb>la forza della percossa, quanto maggiore sarà il tempo <lb></lb>della ceduta. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Chi per ispezzar la noce la ponesse sul guanciale, o <lb></lb>per rompere il diamante lo mettesse su una tavola di <lb></lb>legno, grandissima parte della sua forza perderebbe la per<lb></lb>cossa: poichè col cedere, e col sottrarsi della cosa fran<lb></lb>gibile si dà tempo al percoziente, e si fa che egli in quel <lb></lb>tempo vada applicando non uniti, ma distribuiti, e per <lb></lb>così dire, a poco a poco, i momenti della sua forza. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma chi <lb></lb>percotesse il diamante con il martello d'acciaio temperato <lb></lb>(come dicono) a tutta tempera, sopra l'incudine di simile <lb></lb>durezza, si chè il diamante non potendo cedere, nè dar <lb></lb>tempo alla percossa, fusse astretto a ricevere i momenti <lb></lb>del colpo quasi tutti assieme, credo certo che non ostante <lb></lb>qualsivoglia durezza anderebbe in polvere. </foreign></s> </p> <pb pagenum="13"></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Chi poi col medesimo martello d'acciaio durissimo che <lb></lb>rompeva il diamante, e col medesimo impeto percotesse <lb></lb>una noce sopra una balla di lana, forse non la romperebbe; <lb></lb>poichè se bene il diamante non potè resistere a quella <lb></lb>moltitudine d'impeti accumulati, che gli piombarono ad<lb></lb>dosso tutti in un tratto, la noce nondimeno, benchè tanto <lb></lb>più frale, potrà resistere a tutti i medesimi impeti, quando <lb></lb>ella col cedere possa dividergli, et incontrarne pochi per <lb></lb>volta per potergli vincere. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>L'antico Horazio non poteva mica in un sol tempo re<lb></lb>sistere a tutte le squadre armate di Porsena assediatore; <lb></lb>poteva bene su l'angustie d'un ponte andar contrastando <lb></lb>con quattro o sei di quei soldati; e morti questi poteva <lb></lb>forse resistere ad altrettanti, e dopo quelli ad altrettanti <lb></lb>ancora. </s><s>Narrano alcuni scrittori, che quando le mura delle <lb></lb>Città venivano percosse con la disusata macchina dell'Ariete, <lb></lb>i difensori calavano giù gran sacchi di lana, o materie <lb></lb>simili cedenti, le quali interponendosi, e ritirandosi sotto <lb></lb>il colpo, a poco a poco fussero atte a smorzare qualsi<lb></lb>voglia grandissimo impeto, et a salvar la muraglia dalle <lb></lb>offese. </s> <s><foreign lang="it">Se il colpo havesse colto sul muro ignudo, o sopra <lb></lb>altra materia interposta egualmente dura quanto la fab<lb></lb>brica, poco o nessun giovamento avrebbe sentito la cor<lb></lb>tina; ma tanto essa quanto anco il suo riparo, sarebbe stata <lb></lb>infranta dallo strumento percotitore. </foreign></s> <s>All'Ariete antico <lb></lb>(essendo una trave di legno) facevano, come si sa, la testa <lb></lb>di bronzo. </s> <s><foreign lang="it">I fabri moderni spianano, come si vede, il ferro <lb></lb>con un martello di dieci libre, ma d'acciaio: non già gli riu<lb></lb>scirebbe spianarlo con un mazzo di legno, benchè cento volte <lb></lb>più grave, et altrettanto più impetuoso. </foreign></s> <s><foreign lang="it">La ragione è chiara: <lb></lb>perchè mentre il percoziente arriva a ferire con una estre<lb></lb>mità non di legno, ma di metallo, non cede se non po<lb></lb>chissimo, e per conseguenza conferisce, et applica, tutti <lb></lb>i suoi momenti uniti, et in tempo insensibile. </foreign></s> <s><foreign lang="it">La fortifi<lb></lb>cazione moderna proibisce il far le mura delle fortezze <lb></lb>con pietra dura, non per altro, se non perchè l'esperienza <lb></lb>ha fatto vedere, che l'artiglieria offende assai più le ma<lb></lb>terie forti, che le facili e cedenti come tufo, e mattone <lb></lb>cotto, e simili, le quali lasciandosi traforare, e pigliando <pb pagenum="14"></pb>l'impeto della palla con maggior lunghezza di tempo, <lb></lb>possono a poco a poco estinguerlo con minore loro danno, <lb></lb>che se lo ricevessero con materia più dura, e volessero <lb></lb>smorzarlo in un tratto quasi momentaneo. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Allora dunque si può credere che la forza della per<lb></lb>cossa fusse per fare effetto infinito, quando si potessero <lb></lb>trovar due materie che niente cedessero; cioè tali che <lb></lb>l'atto della percossa fusse un contatto istantaneo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Noi <lb></lb>però nella Natura presente, e nel Mondo assegnatoci da <lb></lb>Dio per abitacolo non habbiamo (che io sappia) materie <lb></lb>infinitamente dure; però tralasceremo di filosofare sopra <lb></lb>uno impossibile; ma intanto non ci maravigliaremo se le <lb></lb>percosse, avendo forza infinita, non fanno effetti se non <lb></lb>terminati, et anco piccoli. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Tutte le materie nostre cedono <lb></lb>o poco, o molto; in quel poco, o molto tempo della ce<lb></lb>duta si dà campo all'infinità della forza di potere estinguere <lb></lb>quelli infiniti momenti, i quali siccome ad uno ad uno si <lb></lb>erano generati, così anco ad uno si possono annichillare, <lb></lb>quando habbiano qualche tempo. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Può dunque la forza della percossa essere infinita, come <lb></lb>pare che persuada la ragione, e non è necessario che se<lb></lb>gua infinito l'effetto. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Lascierò per un'altra tornata l'altre obiezzioni, e l'e<lb></lb>sperienze favorevoli per l'infinità della forza della per<lb></lb>cossa; conoscendo d'haver io percosso homai tanto pazienza <lb></lb>vostra che forse l'havrò rotta. </foreign></s> </p> <pb pagenum="15"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>LEZIONE TERZA<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>DELLA PERCOSSA.<emph.end type="center"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Si diceva nel passato ragionamento, Sereniss. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Principe, <lb></lb>Dignissimo Arciconsolo, Sapientissimi Accademici, che la <lb></lb>gravità ne i corpi naturali è una fontana continuamente <lb></lb>aperta, la quale ad ogni istante di tempo, o (se non piac<lb></lb>ciono gli istanti) ad ogni brevissimo tempo, produce un <lb></lb>momento eguale al peso assoluto di detti corpi. È ben <lb></lb>vero, che quando i gravi stanno quiescenti, tutti gl'impeti <lb></lb>prodotti se ne trascorrono via, venendo o ricevuti, o an<lb></lb>nichillati dal corpo sottoposto, il quale col contrasto del<lb></lb>l'indiscreta repugnanza va continuamente estinguendo <lb></lb>tutti quei generati momenti. </foreign></s> <s>Ma quando i medesimi gravi <lb></lb>cadono per l'aria, quegl'impeti non s'estinguono più, ma <lb></lb>si conservano là dentro, e vi si moltiplicano: e però quando <lb></lb>i gravi velocitati arrivano a percuotere, la forza, o virtù <lb></lb>loro deve essere infinitamente accresciuta. </s> <s><foreign lang="it">Discorremmo <lb></lb>anco intorno a quella principale obiezzione, per qual causa <lb></lb>dunque se la forza della percossa era infinita, nell'atto <lb></lb>poi del percuotere non faceva l'effetto infinito. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Sorge hora <lb></lb>una nuova difficoltà, et è; che se un grave, cadente havesse <lb></lb>dentro di se momento infinito, dovrebbe havere anco <lb></lb>velocità infinita; il che repugna all'osservazione dell'e<lb></lb>sperienza. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>A questo si risponde, concedendo ogni cosa; ma prima <lb></lb>con produrre l'argomento come pare che vada portato <lb></lb>nel caso nostro. </s> <s><foreign lang="it">Chi dicesse così: in qualunque grave ca<lb></lb>dente, quando il momento interno sarà accresciuto infinite <lb></lb>volte, la velocità ancora doverà esser infinitamente accre<lb></lb>sciuta, io crederò che discorra benissimo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Poichè se quel <lb></lb>grave haveva per momento una libra di peso mentre era <lb></lb>quiescente, e dopo qualche caduta l'ha moltiplicato infinite <lb></lb>volte; il medesimo per appunto egli ha fatto anco della <lb></lb>velocità. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Quando egli nella quiete aveva il momento d'una <lb></lb>libra, allora di velocità non haveva nulla, havendo poi <pb pagenum="16"></pb>dopo la caduta acquistato qualche velocità, questo mi <lb></lb>pare che si possa chiamare accrescimento infinito. </foreign></s> <s>Il pas<lb></lb>saggio dall'esser nulla all'esser qualche cosa suole giudi<lb></lb>carsi mutazione infinita. </s></p> <p type="main"> <s>Osservisi che quando si fa questo argomento contro, e <lb></lb>si dice, dunque doverebbe havere velocità infinita, l'avver<lb></lb>sario intende velocità infinite volte maggiore di qual<lb></lb>ch'altra minor velocità. </s> <s><foreign lang="it">Ma io non ho mai detto, che il mo<lb></lb>mento dopo una caduta grande sia infinite volte maggiore, <lb></lb>che il momento dopo una caduta più piccola, anzi so che <lb></lb>questo non è assolutamente vero. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Rappresentasi con forza d'obiezzione la difficoltà che <lb></lb>s'incontra nell'immaginarsi, come quei momenti infinite <lb></lb>volte moltiplicati, possino poi estinguersi in un tempo <lb></lb>quasi istantaneo, come è quello nel quale si fa il concorso <lb></lb>di due ferri che si percotono insieme. </foreign></s> <s>A questo rispon<lb></lb>derò, che par difficile a me ancora, ma non già impossi<lb></lb>bile. </s> <s><foreign lang="it">Impossibile mi parrebbe, se ciascuno di quei momenti <lb></lb>per estinguersi volesse tempi quanti, e divisibili; ma l'e<lb></lb>stinzione si va facendo in tempi istantanei; e siccome tutto <lb></lb>quell'aggregato di forze era nato in quattro battute di mu<lb></lb>sica, io non so perch'e' non possa in una sola, ovvero in una <lb></lb>mezza, o nella millesima parte di una mezza esser'anni<lb></lb>chillato. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Mentre cade un grave et arriva a percotere in qual<lb></lb>che solido, già si è detto, che non è possibile averlo di <lb></lb>tal materia, che possa senza ceder punto ricevere il colpo <lb></lb>momentaneo. </foreign></s> <s>Se ambedue i corpi concorrenti fossero ma<lb></lb>terie cedenti, come piombo, ambedue si acciaccherebbero <lb></lb>assai. </s> <s><foreign lang="it">Se uno fusse piombo, e l'altro marmo, il piombo ri<lb></lb>ceverebbe grandissima ammaccatura, et il marmo poca; se <lb></lb>ambedue fussero acciaio ambedue patirebbero, ma po<lb></lb>chissimo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Hora nell'ammaccarsi i due corpi concorrenti, <lb></lb>il centro del grave percoziente con moto grandemente <lb></lb>impedito discenderà per qualche spazio. </foreign></s> <s><foreign lang="it">E il tempo, o lo <lb></lb>spazio di questa discesa impeditissima, è quello che si dà <lb></lb>per effettuare l'estinzione dell'impeto. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Sul principio del contatto il moto, o impeto del per<lb></lb>coziente è tutto vivo; dopo haver superato un qnarto della <pb pagenum="17"></pb>detta scesa impeditissima, se ne sarà estinta parte; quando <lb></lb>sarà à mezzo dell'ammaccatura, ne sarà estinto più, havendo <lb></lb>avuto più contrasto; in fine si riduce a non camminar più <lb></lb>oltre, cioè ad haver perduto tutto l'impeto, e si riduce al <lb></lb>punto della quiete senza moto alcuno, privo di tutta la <lb></lb>velocità che haveva acquistata nella caduta precedente. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Così niuna materia del mondo risalterà, ma resterà dopo <lb></lb>la percossa, e cedenza, immobile, e morta: se però qual<lb></lb>che nuova causa non produce nuovo impeto, e nuovo mo<lb></lb>mento di velocità nel mobile. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Abbiamo l'esempio nei proietti all'insù, nei quali l'im<lb></lb>peto và mancando, e finalmente s'annichila tutto, perchè <lb></lb>egli opera in contrario, e gli si oppone la repugnanza della <lb></lb>propria gravezza. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Quando il proietto è giunto al punto <lb></lb>sublime, l'impeto impresso è estinto tutto. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Se nuova causa <lb></lb>operante non producesse impeto nuovo, saria sciocchezza <lb></lb>aspettare, che il mobile ritornasse in giù in virtù dell'im<lb></lb>peto della proiezione. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Si potrebbe opporre l'esperienza del pallone, et altre <lb></lb>cose, le quali mentre risaltano danno segno che l'impeto <lb></lb>non si è estinto. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma in favor nostro sarà l'esperienza <lb></lb>non solo del pallone, ma anco di tutte l'altre materie <lb></lb>corporee. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Ogni sorta di materia conviene, e s'accorda in questo, <lb></lb>che tutte, o poco, o assai cedono alle percosse. </s> <s><foreign lang="it">Ma dal<lb></lb>l'altra parte poi son differenti in questo, che dopo la ces<lb></lb>sione et ammaccatura, alcune restano ammaccate, al<lb></lb>cune ritornano alla lor primiera costituzione. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Quelle che restano ammaccate come piombo, oro, creta <lb></lb>molle, e cose simili, sieno pure scagliate con quanto impeto <lb></lb>è mai possibile, per un piano, contro una parete a quello <lb></lb>eretta, che mai torneranno indietro se non in quanto, o <lb></lb>comprimessero qualche poco d'aria fra i pori del contatto, <lb></lb>la quale compressa nel dilatarsi poi respingesse il perco<lb></lb>ziente, o pure, che anco il piombo, e l'oro havessero <lb></lb>qualche poco, se bene insensibile, di quella virtù, che dopo <lb></lb>l'ammaccatura respinge la materia compressa al luogo suo <lb></lb>di prima. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Questo effetto però, quando sia, sarà pochissimo, <lb></lb>e tanto più insensibile, quanto più il percoziente sarà ma- <pb pagenum="18"></pb>teria cedente. </foreign></s> <s>Questo sia detto per le proiezioni, che si fa<lb></lb>ranno sul piano ad angoli retti verso la detta parete oppo<lb></lb>sta. </s> <s><foreign lang="it">Ma quando si scagliasse ad angoli obliqui per una <lb></lb>linea inclinata, vederemmo far la reflessione, non per la <lb></lb>linea, che fa l'angolo eguale a quello dell'incidenza, ma <lb></lb>per una che, o tocca, o pochissimo si discosta dal piano <lb></lb>eretto, come più volte ho esperimentato con palle di piombo <lb></lb>e di terra. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Non è però vero che la percossa estingua <lb></lb>quell'impeto che è nel mobile, di direzione equidistante <lb></lb>alla parete, ma solo smorza quello, che vi è di perpendi<lb></lb>colare alla parete; perchè questo nell'urtare trova la con<lb></lb>trarietà sua, cioè che gli impedisce il suo viaggio ma <lb></lb>quell'altro no. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">L'altre materie risaltanti, come palle di legno, palle <lb></lb>piene di lana compressa, e più d'ogni altra il pallone, <lb></lb>hanno questa proprietà (e la causa è nota abbastanza) <lb></lb>che la loro superficie compressa per qualunque violenza, <lb></lb>ha forza di ritornare al suo stato di prima, et anco con <lb></lb>maggiore, e minore impeto, secondo sarà stata mag<lb></lb>giore, o minore la forza, che l'haverà calcata là dentro quel<lb></lb>l'aria inprigionata. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Cade il pallone da alto, e nel perco<lb></lb>tere riceve una tale ammaccatura, che gli spiana una parte <lb></lb>della sua superficie; quando stà così l'impeto che haveva <lb></lb>della caduta è estinto tutto, havendo contrastato con tutta <lb></lb>la repugnanza, che haveva la superficie all'essere spianata <lb></lb>in questa guisa. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma perchè l'aria inclusa, compressa di <lb></lb>prima, et hora maggiormente ricompressa, vuol ritornare <lb></lb>allo stato suo, spinge con gran forza nel pavimento, e fa <lb></lb>come quel barcaruolo che stando in barca spinge lo scoglio, <lb></lb>e pur non cammina lo scoglio, ma la barca. </foreign></s> <s><foreign lang="it">A quel<lb></lb>l'urto furioso dell'aria inclusa, il pallone si solleva per <lb></lb>tanto spazio quanto fu la caduta e torna al suo primo <lb></lb>stato in tempo insensibile, cioè con gran prestezza, e però <lb></lb>con impeto, il quale, quando è concepito, lo conserva per <lb></lb>qualche tempo, e fa il balzo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Che l'impeto impresso nella <lb></lb>caduta non sia quello, che fa risaltare il pallone, ci è l'e<lb></lb>sperienza manifesta. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Caschi il pallone dal tetto sgonfio, <lb></lb>cioè con quant'aria può naturalmente capire, ovvero pieno <lb></lb>di crusca, o di fieno, che al sicuro non ribalzerà, ma re- <pb pagenum="19"></pb>sterà tutto l'impeto estinto ancorchè sia maggiore così che <lb></lb>quando era pieno d'aria. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Quel che fa l'aria nel pallone, l'opera la lana nelle palle, <lb></lb>l'aria nei pori del legno, o cose simili, che io non sò. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>L'istesso seguirà quando sia scagliato il piombo, o la creta <lb></lb>sulla superficie dell'istesso pallone, o sulla pelle del tam<lb></lb>buro. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Risalterà il proietto, non già perchè gli resti più <lb></lb>parte alcuna dell'impeto della proiezione; ma solo perchè <lb></lb>in lui si genera impeto nuovo dalla forza della pelle, che <lb></lb>volendo tornar con prestezza alla costituzione, lo respinge <lb></lb>da se, come fa la corda dell'arco nello scagliar la saetta. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Si può anco opporre che fin' hora habbiamo scusato <lb></lb>(per così dire) la codardia della percossa, la quale <lb></lb>havendo in se forza infinita, non fà poi effetti se non <lb></lb>piccoli. </foreign></s> <s>Mà chi la difenderà quando ella non faccia <lb></lb>operazione di sorte alcuna? </s><s>O quasi che si niega asso<lb></lb>lutamente; anzi asserisco che niuna sorta di percossa <lb></lb>tanto debole si può mai ritrovare, che non faccia ef<lb></lb>fetto in qualunque gagliardissimo resistente. </s> <s><foreign lang="it">E chi dimi<lb></lb>nuisse anco mille volte più la forza di quella debolissima <lb></lb>percossa, et invigorisse mille volte più la durezza del soli<lb></lb>dissimo repugnante, in ogni modo un colpo solo di quella <lb></lb>percossa farebbe effetto in questo fortissimo resistente. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Segno manifesto (quando ciò sia vero) che la forza della <lb></lb>percossa sia infinita. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Confesso che nelle percosse debolis<lb></lb>sime, non si conoscerà l'effetto d'un colpo, ne di dieci, ne <lb></lb>anche di cento; ma però col progresso del tempo si vedrà <lb></lb>bene l'operazione di molti; indizio, et argomento eviden<lb></lb>tissimo, che il primo colpo operò. </foreign></s> <s>La dimostrazione è <lb></lb>chiara. </s> <s><foreign lang="it">Imperciocchè se il primo non avesse operato nulla <lb></lb>adunque il secondo colpo si potrebbe chiamare, e con<lb></lb>siderar per primo: essendo poi il secondo eguale di forza <lb></lb>al primo, e ritrovando il resistente nella medesima dispo<lb></lb>sizione per appunto, ne anche esso opererà nulla. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Così <lb></lb>proverò che nè il millesimo, nè il milionesimo, potrebbe <lb></lb>giàmai operare, se non havesse operato anco il primo. </foreign></s> <s><lb></lb>Che poi li molti operino, parli questa volta per me l'inge<lb></lb>gnosissimo Ovidio. </s><s>Qual cosa (dice egli) è più dura dei <lb></lb>sassi, o men dura dell'acqua? </s></p> <pb pagenum="20"></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Dura tamen molli saxa cavantur aqua.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb>Il ferro non è egli materia durissima? </foreign></s> <s>Nulla dimeno. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Ferreus assiduo consumitur annulus usu.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Rammentatevi fra l'anticaglie di Roma, o le porte di <lb></lb>Agrippa, o le statue del Vaticano. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Si vedono pure, benchè <lb></lb>di bronzo durissimo consumate dal solo accostamento delle <lb></lb>mani del popolo curioso, e devoto. </foreign></s> <s>Io quanto a me credo <lb></lb>poi, che molto maggiore effetto haverebbero fatto in quei <lb></lb>metalli, se non fussero stati toccamenti di mano, ma per<lb></lb>cosse di qualche grave. </s></p> <p type="main"> <s>Gli oppugnatori degl'infiniti indivisibili hanno abbon<lb></lb>danti materia di contradire. </s><s>Imperoche havendo un grave <lb></lb>velocitato, maggior forza dopo la caduta da dieci braccia <lb></lb>d'altezza, che dopo quella di due, seguirebbe che gl'infi<lb></lb>niti momenti di quella, fossero o più di numero, o mag<lb></lb>giori di forza, che quelli di questa. </s><s>Di forza no, perchè <lb></lb>essendo dell'istesso grave, son tutti eguali; dunque saran<lb></lb>no più di numero; e così un numero infinito sarebbe <lb></lb>maggiore d'un altro. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Qui bisogna che io rimetta questa causa al foro del <lb></lb>meraviglioso Fra Buonaventura, appresso il quale non solo <lb></lb>non è absurdo che un infinito sia maggiore d'un'altro, <lb></lb>ma è necessario. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Che tutte le linee d'un parallelogrammo <lb></lb>maggiore a tutte le linee d'un parallelogrammo minore, <lb></lb>habbiano la medesima proporzione che il parallelogrammo <lb></lb>al parallelogrammo, sen ben sono infinite; et che tutti i <lb></lb>cerchi d'un cilindro maggiore à tutti i cerchi d'un cilin<lb></lb>dro minore, siano come il cilindro al cilindro, se bene sono <lb></lb>infiniti, appresso di lui sono verità che vanno fra gl'in<lb></lb>gressi della sua dottrina. </foreign></s> <s><foreign lang="it">La Nuova Geometria de gl'indi<lb></lb>visibili va per le mani de i dotti come miracolo di scienza; <lb></lb>e per essa hà imparato il mondo, che i secoli d'Archimede, <lb></lb>e d'Euclide furono gli anni dell'infanzia per la scienza <lb></lb>della nostra adulta Geometria. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Che poi il medesimo grave dovesse esser sempre diverso <lb></lb>da se stesso, potendo venir costituito con diversi, e diversi <lb></lb>momenti di forza, secondo le maggiori, o minori cadute, <pb pagenum="21"></pb>io credo che sia una delle più evidenti verità che si pos<lb></lb>sino praticare nella Mecanica Filosofia. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Mi maravigliavo <lb></lb>una volta, come fusse possibile che nella stadera il mede<lb></lb>simo romano solo coll'esser avvicinato, o allontanato dal <lb></lb>sostegno, equiponderasse ora con quattro, et hora con venti, <lb></lb>et hora con cento libre di peso. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Finalmente l'assiduità dell'e<lb></lb>sperienza mi ha addomesticato quella maraviglia, che l'acu<lb></lb>tezza della Matematica non potè mai diminuirmi con la <lb></lb>dimostrazione. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Basta che il peso assoluto de i corpi naturali <lb></lb>sia invariabile, e che nel commercio civile quando si pesa<lb></lb>no le mercanzie, non posino velocitate, mà quiescenti; che <lb></lb>quanto al resto io credo che nel medesimo corpo sia <lb></lb>necessario concedere la varietà de i momenti conforme <lb></lb>varie saranno, o le distanze del centro della libra, <lb></lb>o l'inclinazioni de i piani ne' i quali si troverà, o i tempi <lb></lb>delle cadute perpendicolari, che haverà fatto. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Sicome non <lb></lb>si può dire diversificato da se stesso il medesimo corpo, <lb></lb>per havere in se una volta più caldo che l'altra, o maggior <lb></lb>lume, o più colorita tintura; così anco mi pare non possa <lb></lb>inferirsi, che havendo hora maggiore, hora minor virtù di <lb></lb>momento, sia variato e mutato da quello che era prima, <lb></lb>quanto alla quantità. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Mà che il momento interno de' gravi cadenti vada <lb></lb>continuamente crescendo, e moltiplicandosi, è manifesto <lb></lb>dall'effetto istesso. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Io domanderò, quale è la causa del moto <lb></lb>de i gravi all'ingiù? </foreign></s> <s><foreign lang="it">Certo non può esser altro che l'interna <lb></lb>gravità; la quale se fusse sempre la medesima, et invaria<lb></lb>bile, anco la velocità del moto doverebbe sempre esser <lb></lb>eguale à se stessa; ma noi vediamo l'accrescimento troppo <lb></lb>cospicuo nella velocità, adunque bisognerà concedere, che <lb></lb>si accresca anco la causa. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Se da questa soffitta pendesse <lb></lb>uno spago lungo fin quì, et all'estremità d' esso fusse <lb></lb>attaccata una palla di piombo, la quale formasse un pen<lb></lb>dolo; Immaginiamoci che detta palla venisse rimossa dal <lb></lb>perpendicolo per trenta, o quaranta gradi del suo cerchio. </foreign></s> <s><lb></lb>Certo è che ella lasciata in libertà tornerà all'in giù reci<lb></lb>procando più volte l'andate, e le tornate. </s> <s><foreign lang="it">l'anco certo <lb></lb>che con maggior velocità trascorrerà le infime parti del <lb></lb>suo cerchio, che le più alte. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Mà non doverebbe egli seguire <pb pagenum="22"></pb>il contrario? </foreign></s> <s><foreign lang="it">Chi non sa che le infime parti del giro son <lb></lb>le meno declivi di tutte l'altre? </foreign></s> <s><foreign lang="it">però la palla doverebbe <lb></lb>correr per esse con minor velocità che per le più alte, <lb></lb>e più declivi (parlo della palla quando viene all'ingiù). Qui <lb></lb>mi pare che bisogni necessariamente concedere, che men<lb></lb>tre la palla passa per le bassissime parti del giro, sù le <lb></lb>quali per esser quasi horizontali ella ha pochissima incli<lb></lb>nazione al moto, molto maggior momento habbia dentro di <lb></lb>se, che non haveva su 'l principio del moto, quando discen<lb></lb>deva per le più precipitose. </foreign></s> <s><foreign lang="it">E questo è certo, poi che men<lb></lb>tre la palla arriva al bassissimo punto del suo viaggio, <lb></lb>ha dentro di sè conservati tutti quei momenti che l'inter<lb></lb>na gravità hà prodotti in tutto il tempo del precedente <lb></lb>movimento. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Qui non vorrei che si facesse ricorso all'aiuto della <lb></lb>velocità, per levare di possesso la moltiplicazione interna <lb></lb>e conservazione de i momenti. </foreign></s> <s><foreign lang="it">La velocità ne i gravi cadenti, <lb></lb>altro non è, che un non sò che posteriore, e propriamente <lb></lb>un effetto causato da i momenti intrinseci del corpo che <lb></lb>discende: mà i momenti intrinseci sono un certo che <lb></lb>precedente, e sono la vera, e l'unica causa della maggiore, <lb></lb>e minore velocità, e possono stare, e sussistere da se stessi, <lb></lb>senza l'aiuto, o compagnia di velocità alcuna. </foreign></s> <s>Ciò si vede <lb></lb>ne i gravi applicati alla libra con diverse lontananze, ov<lb></lb>vero posti sopra piani diversament'inclinati, dove hanno <lb></lb>i diversi momenti in atto, ma le diverse velocità solo in <lb></lb>potenza. </s> <s><foreign lang="it">Ma la velocità per se stessa non può già sussi<lb></lb>stere senza i momenti interni. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Siano fin qui dette l'opposizioni contro l'infinità della <lb></lb>forza della percossa. </foreign></s> <s>L'esperienze che la favoriscono, e le <lb></lb>invenzioni di quel famosissimo Vecchio eran queste. </s><s>Egli <lb></lb>mentre viveva in Padova fece far di molti archi, tutti però <lb></lb>di diversa gagliardezza. </s> <s><foreign lang="it">Prendeva poi il più debole di tutti, <lb></lb>et al mezzo della corda di esso sospendeva una palla di <lb></lb>piombo di due oncie in circa, attaccata con un filo lungo <lb></lb>per esempio, un braccio, fermato l'arco in una morsa, <lb></lb>alzava quella palla, e lasciandola ricadere, osservava, per <lb></lb>via di un vaso sonoro sottoposto per quanto spazio l'impeto <lb></lb>della palla incurvasse, e si tirasse dietro la corda dell'arco; <pb pagenum="23"></pb>noi supporremo che fusse intorno a quattro dita. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Attac<lb></lb>cava poi alla corda del medesimo arco, un peso quiescente <lb></lb>tanto grande che incurvasse e tirasse giù la corda del<lb></lb>l'arco per lo medesimo spazio di quattro dita, et osservava <lb></lb>che il peso voleva essere circa dieci libre. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Fatto questo, <lb></lb>prendeva un'altr'arco più gagliardo del primo; alla corda <lb></lb>di esso sospendeva la medesima palla di piombo, col me<lb></lb>desimo filo, e facendola cadere dalla medesima altezza, <lb></lb>notava per quanto spazio ella attraesse la corda. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Attac<lb></lb>cava poi del piombo quiescente tanto che facesse il mede<lb></lb>simo effetto; e trovava che non bastavano più quelle dieci <lb></lb>libbre, che bastavano prima, mà volevano esser più di <lb></lb>venti. </foreign></s> <s>Pigliando poi di mano in mano archi sempre più <lb></lb>robusti, trovava che per agguagliar la forza di quella me<lb></lb>desima palla di piombo, e di quella medesima caduta, <lb></lb>sempre vi voleva maggiore, e maggior peso, conforme che <lb></lb>l'esperienza si fusse fatta con archi più, e più gagliardi. </s><s><lb></lb>Adunque diceva egli; se io pigliarò un arco gagliardissimo, <lb></lb>quella palla di piombo, che non passa due oncie, farà effet<lb></lb>to equivalente a mille libre di piombo. </s><s>Pigliandosi poi <lb></lb>un arco mille volte più gagliardo di quel gagliardissimo, <lb></lb>quella medesima pallina farà effetto equivalente ad un mi<lb></lb>lione di libre di piombo; segno evidentissimo, che la <lb></lb>forza di quel poco peso, e di quel braccio di caduta, è <lb></lb>infinita. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Abbelliva egli le specolazioni della filosofia con gl'orna<lb></lb>menti dell'erudizione. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Assomigliava la forza della percossa <lb></lb>a quei cani generosi, i quali non degnavano di mostrar'il <lb></lb>lor valore nello steccato contro bestie poco feroci; ma <lb></lb>si facevano ben conoscere nello strangolar leoni, e sbranar <lb></lb>elefanti. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Diversa dall'esperienza de gli archi, mà però simile di <lb></lb>conseguenza, è quest'altra operazione, con la quale egli infe<lb></lb>riva, che la forza d'ogni percossa sia infinita. </foreign></s> <s>Prendansi <lb></lb>due palle di piombo eguali: pongasi l'una, e l'altra sopra <lb></lb>l'incudine; e si faccia cadere sopra una di esse un martello <lb></lb>dell'altezza di un braccio; è certo che quel piombo si <lb></lb>ammaccherà. </s> <s><foreign lang="it">Pongasi sopra quell'altra palla un peso quie<lb></lb>scente tanto grande, che faccia la medesima ammaccatura, <pb pagenum="24"></pb>che nell'altra haveva fatta il martello, et osservisi il peso <lb></lb>sovraposto, che sarà per esempio dieci libre. </foreign></s> <s>Hora alcuno <lb></lb>crederebbe che la forza di quella percossa fusse equiva<lb></lb>lent'al momento di quelle dieci libre di peso quiescente. </s><s><lb></lb>Mà pensatelo voi. </s> <s><foreign lang="it">Prendansi i due medesimi pezzi di piombo <lb></lb>egualment'ammaccati come stanno; se sopra uno di essi <lb></lb>io poserò dieci libre di peso quiescente, certa cosa è <lb></lb>che non si spianerà più di quello che sia; havendo egli <lb></lb>già un'altra volta sostenuto il medesimo peso di dieci <lb></lb>libre. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma se vi farò cadere il martello dalla medesima <lb></lb>altezza come prima, farà ben nuova ammaccatura; e per <lb></lb>agguagliar questa bisognerà posare sopra l'altro pezzo di <lb></lb>piombo, molto maggior peso che quel di prima. </foreign></s> <s>E questo <lb></lb>succederà sempre con progresso sino in infinito. </s><s>Dunque <lb></lb>si potrà dar caso che la forza di quella medesima percos<lb></lb>sa farà maggior' effetto che mille, anzi che un milione, e <lb></lb>mille milioni di libre di peso quiescente. </s> <s><foreign lang="it">Segno manifesto <lb></lb>che la forza della percossa sia infinita. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ad un altra tor<lb></lb>nata rinuoveremo il tedio, per finire il discorso. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>LEZIONE QUARTA<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>DELLA PERCOSSA.<emph.end type="center"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Rare volte, S.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Pr.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> et N. N., ne i problemi naturali, en<lb></lb>tra la dimostrazione di pura Geometria. </s> <s><foreign lang="it">Però mi pare che <lb></lb>quella opinione possa ammettersi per comportabile, la quale <lb></lb>non avendo necessaria dimostrazione in contrario, salva la <lb></lb>maggior parte dell'esperienze praticate, e s' accomoda più <lb></lb>d'ogn'altra, con gl'effetti della materia proposta. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Che poi <lb></lb>il filosofo, dopo detto il suo sentimento, sia obbligato a <lb></lb>render la ragione di tutte le diversità d' accidenti che <lb></lb>possono accadere, e non facendolo seguiti per conseguen<lb></lb>za che la sua hipotesi fusse falsa, ciò non mi par neces<lb></lb>sario. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Se alcuno attribuisse la causa delli ecclissi lunari <lb></lb>all'interposizione della terra fra essa Luna et il Sole, <pb pagenum="25"></pb>credo che direbbe assai bene. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Egli addurrebbe per con<lb></lb>trasegni di verità, e per prova del suo detto, che la Luna <lb></lb>non si ecclissa mai, se non nelle opposizioni: Che l'ombra <lb></lb>quando entra sù la faccia lunare si mostra rotonda, segno <lb></lb>che può venire dalla sfericità del globo terreno: Che l'ec<lb></lb>clisse non si fa mai se non quando la Luna ha pochis<lb></lb>sima lontananza dall' ecclittica, dalla qual via non si <lb></lb>dipartì mai l'ombra della terra: e potrebbe allegare altre <lb></lb>conietture simili, le quali hanno forza di dimostrazione <lb></lb>astronomica, e concorrono per provare che l'ecclisse della <lb></lb>Luna nasca, non da altra cagione, che dall'interposizione <lb></lb>della terra. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma se quel filosofo non sapesse poi render la <lb></lb>ragione de i colori che si scorgono nella luna ecclissata, <lb></lb>o di quella debol tintura di luce con che ella risplende, o <lb></lb>di qualch'altro simile accidenté, non per questo quella <lb></lb>sua opinione, che ha molti altri riscontri favorevoli e buo<lb></lb>ni, doverebbe distruggersi affatto, e ributtarsi per vana, <lb></lb>almeno fin tanto che da altri se ne adducesse una migliore. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Passerò senza perder più tempo nell'applicazione della <lb></lb>similitudine, alla seconda spezie di percossa, la quale sotto <lb></lb>nome di urto sarà da noi considerata. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">L'Urto pare propriamente fratello della percossa, e <lb></lb>potrebbe esser padre di molte specolazioni. </foreign></s> <s>Supposi sin qui <lb></lb>ch'ello sia, lo scambievol concorso di due corpi, quando <lb></lb>uno di essi sia accellerato dall'intrinseca gravità. </s><s>Per <lb></lb>Urto s'intenderà hora quel concorso di due'corpi, quando <lb></lb>almeno uno di essi sia velocitato da causa esteriore; come <lb></lb>da vento, da forza d'animali, di fuoco, d'archi, o cose simili. </s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Così sotto questo génere di percossa artifiziale, si com<lb></lb>prenderanno i colpi dell'artiglierie, di tutti quanti gl'altri <lb></lb>proietti, de i martelli, particolarmente quando percuotono <lb></lb>con moto orizontale, overo all'insù, nel quale caso niuna <lb></lb>operazione può fare l'interna gravità. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Nell'efficacia dell'urto, pare primieramente, che habbia <lb></lb>gran parti la quantità della materia, la specie della gra<lb></lb>vità et anco la figura: Almeno le esperienze pare che lo <lb></lb>dimostrano, se bene la ragione persuade il contrario. </foreign></s> <s>Se <lb></lb>un soldato robusto dovesse tirare un colpo con una picca, <lb></lb>per esempio, in questa famosa bugnola, al sicuro che io <pb pagenum="26"></pb>non mi rincuorerei di starci dentro. </s> <s><foreign lang="it">Mà se quel mede<lb></lb>simo huomo col solo ferro della picca in mano, levatane <lb></lb>l'asta, si provasse per fare il medesimo colpo, s'accorgé<lb></lb>rebbe che l'aggiunta di quel tanto legno che pareva super<lb></lb>fluo, e doveva essere impedimento, era stato un aiuto <lb></lb>troppo grande alla sua forza. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Sarebbe forse curioso pro<lb></lb>blema l'investigare se quel legno della picca, essendo <lb></lb>egualmente velocitato facesse il medesimo effetto mentre <lb></lb>si adopra disteso in hasta, e mentre si adoprasse raccolto <lb></lb>in una palla. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Così anco se una trave egualmente velocitata, <lb></lb>fusse per dare il medesimo urto percuotendo una volta <lb></lb>per lungo, et un'altra per traverso. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Mà ritornando al <lb></lb>colpo del soldato; non doverebbe egli far maggior passata <lb></lb>mentre pércuote col solo ferro, che mentre deve muovere <lb></lb>anche tutta l'aggiunta di quel lunghissimo legno? </foreign></s> <s>Chi è <lb></lb>quello che non sappia che più facilmente, e più velocemente <lb></lb>si muove dalla medesima forza un peso piccolo, che un <lb></lb>grande? </s><s>Pare adunque, che la maggior quantità di mate<lb></lb>ria, come più tarda à muoversi, dovesse più tosto impedire <lb></lb>la forza motrice che aiutarla. </s> <s><foreign lang="it">Che la maggior mole faccia <lb></lb>per accidenti maggiore operazione, che la minore, è cosa <lb></lb>troppo manifesta; ma che la materia per se stessa vi hab<lb></lb>bia chè far nulla, non pare assolutamente. </foreign></s> <s>Habbiamo un' <lb></lb>altro riscontro dove si vede chiaramente che la materia <lb></lb>accresciuta, o diminuita, non opera cosa alcuna. </s><s>Osservisi <lb></lb>nel cadere de i gravi. </s><s>Una palla di piombo pesante una <lb></lb>libra caderà con una tale velocità; accrescasi la palla fino <lb></lb>a cento libre. </s> <s><foreign lang="it">Essendosi dunque centuplicata la materia, <lb></lb>et il peso, si accrescerà cento volte più anco la velocità? </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>questo sappiamo che fu l'errore de' filosofi antichi, i quali <lb></lb>stimarono che l'effetto della velocità dovesse seguire à pro<lb></lb>porzione della materia. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Mà il celebrat<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Galileo ci hà fatto <lb></lb>vedere, che l'accrescimento della materia nelle cadute na<lb></lb>turali, non fa nulla quanto all'accrescer la velocità; e <lb></lb>ciascun di noi sà che l'accrescimento della materia ne <lb></lb>i moti artifiziali, e violenti, impedisce sempre più la forza <lb></lb>della potenza motrice. È dunque ragionevole la causa del <lb></lb>dubitare, se negl'urti habbia che far nulla la quantità <lb></lb>della materia. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Esperimentiamo hora, se con principio <pb pagenum="27"></pb>simile a quello che pigliammo già nella considerazione <lb></lb>della percossa naturale, riesca intendere qualche cosa an<lb></lb>cora intorno alla generazione della forza dell'Urto. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Figuriamoci in uno stagno, overo porto sommamente <lb></lb>tranquillo un vastissimo galèone lontano dalla sponda <lb></lb>per esempio dieci passi, et che un huomo lo tiri per <lb></lb>via d'una fune con tutta la sua forza. </s> <s><foreign lang="it">Io per me credo, <lb></lb>che quel vascello ancor che pigro, quando arriverà à per<lb></lb>quotere darà tal' urto nella sponda, che potrebbe far <lb></lb>tremare una torre. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Se l'istess'huomo dalla medesima di<lb></lb>stanza, con la medesima forza, per l'istess'acqua tranquilla, <lb></lb>tirerà una piccola filuca, o più tosto una leggierissima <lb></lb>tavola d'abete; questa nell'arrivare alla sponda urterà <lb></lb>essa ancora, e con molta maggior velocità, che il galeone; <lb></lb>ma però io crederei, che non facesse la millesima parte <lb></lb>dell'operazione, che haverà fatta lo smisurato vascello. </foreign></s> <s>Cer<lb></lb>casi la causa di questa diversità d'operazione. </s> <s><foreign lang="it">Quì la forza <lb></lb>dell'urto non procede dalla volocità, poi che la tavola di a<lb></lb>bete urta con maggior velocità, che il naviglio; la potenza <lb></lb>che ha tirato tanto l'uno quanto l'altro, è stata la mede<lb></lb>sima, e pure la maggiore mole fa maggiore effetto. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Resta <lb></lb>dunque, dirà qualcuno, che la causa attribuisca alla quan<lb></lb>tità della materia; con tutto ciò io sarei di parere, che ne <lb></lb>anco la materia vi havesse che far nulla. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Questo è ben <lb></lb>di certo, che la materia per se stessa è morta, e non <lb></lb>serve se non per impedire, e resistere alla virtù operante. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>La materia altro non è che un vaso di Circe incantato, <lb></lb>il quale serve per ricettacolo della forza, e de i momenti <lb></lb>dell'impeto. </foreign></s> <s>La forza poi, e gl'impeti, sono astratti tanto <lb></lb>sottili, son quint'essenze tanto spiritose, che in altre am<lb></lb>polle non si possono racchiudere, fuor che nell'intima cor<lb></lb>polenza de i solidi naturali. </s><s>Questa dunque è l'opinione mia. </s><s><lb></lb>la forza dunque di quell'huomo traente è quella che opera, <lb></lb>et è quella che urta. </s> <s><foreign lang="it">Non dico la forza ch' egli fà in quell'i<lb></lb>stante di tempo quando il legno arriva à dare il colpo, ma <lb></lb>tutta quella che egli precedentemente haverà fatto dal prin<lb></lb>cipio sino alla fine del moto. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Se noi chiedèremo quando egli <lb></lb>tirava il galeone per quanto tempo durò à faticare; rispon<lb></lb>derà che per muovere quella gran machina per lo spazio di <pb pagenum="28"></pb>venti passi, vi volle forse una mezz'hora di tempo, e di <lb></lb>fatica continua. </foreign></s> <s>Mà per tirar quel legnetto piccolissimo, <lb></lb>non vi messe ne anco quattro battute di musica. </s><s>Però la <lb></lb>forza che per lo spazio di mezz' hora continuamente, quasi <lb></lb>da vivace fontana, scaturì dalle braccia, e da nervi di <lb></lb>quel fachino, non è miga svanita in fumo, o volata per <lb></lb>l'aria. </s> <s><foreign lang="it">Svanita sarebbe quando il galeone non havèsse po<lb></lb>tuto muoversi punto, e sarebbe tutta stata estinta da quello <lb></lb>scoglio, o da quel ritegno e che gl'havesse impedito il mo<lb></lb>vimento. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Si è bene impressa tutta nelle viscere di quei <lb></lb>legnami, e di quei serramenti di che è composto, e cari<lb></lb>cato il naviglio; e là dentro si è andata conservando, et <lb></lb>accrescendo; astrattone però quel poco, che l'impedimento <lb></lb>dell'acqua puole haver portato via. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Qual maraviglia sarà <lb></lb>dunque se quell'urto il quale porta seco i momenti accu<lb></lb>mulati per lo spazio di mezz'hora farà molto maggior effetto <lb></lb>che quello il quale non porta seco altro che le forze et <lb></lb>i momenti accumulati in quattro battute di musica? </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Io inclinèrei forse à credere, che se fusse possibile di <lb></lb>racchiudere, e ristringere dentro a un vilissimo hemisfero <lb></lb>di noce, mà infrangibile, tutta quella forza e fatica, che <lb></lb>nello spazio di mezz'hora, è stata prodotta dal traente del <lb></lb>nostro immaginato vascello, crederei dico, che forse quel <lb></lb>leggierissimo guscio facesse nell'atto dell'urtare la mede<lb></lb>sima operazione che faceva l'immensa mole del naviglio. </foreign></s> <s><lb></lb>Ma un guscio di noce lasciandosi muovere troppo presto, <lb></lb>non permette che altri imprima in esso tanta virtù, e tanta <lb></lb>forza, quanta se ne imprime in una macchina immensa di <lb></lb>un gran corpo mobile. </s> <s><foreign lang="it">Se una persona mediocremente <lb></lb>gagliarda, appoggiate le spalle ad un muro di quest'edi<lb></lb>fizio, durasse a spinger in esso una mezza giornata con<lb></lb>tinua, con intenzione, e con vanto di rovinarlo; io non <lb></lb>so qual di noi sarebbe si continente del riso, che non <lb></lb>beffeggiasse il novello Sansone. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Nondimeno le forze prodotte da colui potrebbero forse <lb></lb>esser sufficienti non dico per rovinare un edifizio, ma per <lb></lb>ispiantare una montagna; quando però si potessero unire, <lb></lb>ed applicar poi tutte insieme in un urto solo. </foreign></s> <s>Se fusse <lb></lb>possibile (come in effetto è) che tutta quella forza generata <pb pagenum="29"></pb>nel tempo di un mezzo giorno, non fusse stata applicata <lb></lb>a poco, a poco alla muraglia resistente, mà si fusse andata <lb></lb>conservando in qualche ricettacolo, e poi in ultimo si fusse <lb></lb>applicata tutta in un tratto al muro resistente, io forte<lb></lb>mente dubiterei, chè in cambio di dar materia di riso, si <lb></lb>fosse rinnovata l'antica Tragedia de' Filistei. </s></p> <p type="main"> <s>Vedesi talvolta un villano affaticato, mettersi sotto <lb></lb>qualche portico à giacere sù le pietre, e per dir poco farà <lb></lb>anche una dormita d'una grossa hora. </s> <s><foreign lang="it">Credibil cosa è che <lb></lb>nello svègliarsi senta qualche poco di dolore nella parte <lb></lb>del corpo, la quale sarà stata per di sotto sù i duri marmi, <lb></lb>ma però poco sarà il travaglio: poscia che quello stretto, <lb></lb>é premuto toccamento che egli in virtù del proprio peso <lb></lb>hà fatto sopra quei sassi, si è distribuito per lo lungo <lb></lb>spazio d'un'hora, e però si è reso assai comportabile. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Se quell' istesso contadino fusse venuto dormendo con <lb></lb>caduta precipitosa fin dal cielo della Luna; quanto al <lb></lb>sonno, io non credo, che il Prete Janni possa dormire sù <lb></lb>piume più delicate, ne con riposo più soave in tutte le <lb></lb>parti del corpo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Mà quando poi egli arriverà in terra a dar <lb></lb>la percossa, allora si vedrà quanto meglio per lui era <lb></lb>giacere sù i nudi sassi, e patire poco travaglio per un'hora <lb></lb>continua, che dormire nel grembo dell'aria, e sù le piume <lb></lb>dè i venti per dover poi in un tempo quasi istantaneo sup<lb></lb>plire à tutta quella operazione del calcato toccamento, <lb></lb>che per lo spazio d'un'hora si sarà risparmiato. </foreign></s> <s>Sono molti <lb></lb>che stridono per dolori di podagra, di renella, e d'altre <lb></lb>calamità. </s> <s><foreign lang="it">Se un Medico incantatore promettesse di voler <lb></lb>con Tessalica Chirurgia sospendere quel travaglio ad uno <lb></lb>tribolato per un terzo d'hora, parerebbe benefizio singolare, <lb></lb>et anco il farebbe. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Mà se dopo il tempo della sospensione, <lb></lb>o tregua del dolore, non solo ricominciasse il tormento <lb></lb>come prima, ma anco dovesse piombare adosso al pazi<lb></lb>ente tutto quel travaglio accumulato, dal quale per quel <lb></lb>terzo d'hora era stato libero, io credo che minore ope<lb></lb>razione farebbe su lui una cannonata che lo colpisse <lb></lb>nel mezzo del petto. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma ritorniamo dalle passioni alla <lb></lb>Meccanica, appressiamoci alla fine del discorso, e conclu<lb></lb>derò horamai che la forza di quel martello, o di quel <pb pagenum="30"></pb>proietto per linea horizontale, che urta con tanta efficacia <lb></lb>in quello obietto, non può esser altro che virtù impressagli <lb></lb>dalla machina che l'haverà velocitato, et apunto è la <lb></lb>medesima virtù in numero che dalla machina medesima <lb></lb>scaturì: et dico, che tanto maggiore sarà il colpo, non <lb></lb>già quanto sarà maggiore la mole, o la gravità, o la velo<lb></lb>cità del mobile urtante, ma si bene quanto maggiore sarà <lb></lb>stata la renitenza del mobile all'esser cacciato. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Imperòche quella che a noi par maggior renitenza <lb></lb>d'un mobile all'esser velocitato, non è che realmente ella <lb></lb>sia renitenza di sorte alcuna, che per linea horizontale non <lb></lb>vi è, ma si bene per che à muovere quel tal corpo, con <lb></lb>quella tale velocità, si ricerca che in esso s'imprima molto <lb></lb>impeto. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Non vi è ignota la quistione famosa che cerca <lb></lb>se i proietti siano portati dal mezzo ambiente, o dalla <lb></lb>virtù impressa. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma però questa è stata assai ventilata, et <lb></lb>anco vinta dal Galileo, nella sua maggior Opera........ <lb></lb>Questi....... che il mezzo non sia potente a portar i <lb></lb>corpi separati dalle macchine proicienti, ma si bene l' im<lb></lb>peto impresso dentro alla crassizie, et alla corpulenza <lb></lb>della materia. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Se altri mi chiedesse che cosa sia quest' im<lb></lb>peto impresso colà dentro gl'arcani invisibili delle ma<lb></lb>terie naturali io direi che non lo so, non già per questo <lb></lb>verrei a concedergli, che egli non vi sia. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Non mi maravi<lb></lb>glio che quel proietto fin che egli viene accompagnato <lb></lb>dal braccio del proiciente, si muova, come sospinto; ma <lb></lb>dopo che egli è libero, e fuori del pugno, che l'ha velo<lb></lb>citato, quel continuare a muoversi per lungo spazio, mi <lb></lb>farebbe restar attonito, se io non m'imaginassi qualche <lb></lb>virtù assistente, et impressa in quel mobile, atta a portarlo <lb></lb>per l'aria. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Sarebbe un effetto senza causa, cioè un assurdo <lb></lb>in natura, se una palla d'artiglieria volasse atraverso per <lb></lb>l'aria, impedita dal mezzo ambiente, e non aiutata da po<lb></lb>tenza alcuna che l'accompagnasse. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Adunque par neces<lb></lb>sario che nel corpo mobile s'imprima qualche virtù (qua<lb></lb>lunque ella sia), atta a cagionare il moto, e la velocità <lb></lb>o maggiore, o minore, conforme maggiore o minore <lb></lb>sarà essa virtù impressa; la qual virtù nell'estinguersi poi, <lb></lb>cioè nell'urtare in un corpo fermo, e resistente, fa quel- <pb pagenum="31"></pb>l'effetto, che chiamiamo urto. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Che le forze de gl'huo<lb></lb>mini, de i venti, de gl'archi, e del fuoco, non solo s'im<lb></lb>primino, ma anco si conservino, e si moltiplichino l'una <lb></lb>sopra l'altra ne i corpi naturali, l'esperienze sono infinite; <lb></lb>ma fra l'altre questa è chiarissima. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Immaginiamoci una <lb></lb>galera, che comincia a muoversi; se quando la ciurma <lb></lb>dà la seconda vogata l'impeto della prima non fusse <lb></lb>conservato dentro la corpolenza di quel naviglio, e del <lb></lb>suo carico, egli non camminerebbe mai con velocità mag<lb></lb>giore di quella che gli conferì la prima vogata istessa. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Così anco se il momento della seconda remigata non si <lb></lb>moltiplicasse, e non si aggiugnesse sopra quel della prima, <lb></lb>non occorrerebbe mandar il nome di Ferdinando, et il <lb></lb>valor della Toscana per l'oriente a danneggiar la Bar<lb></lb>barie. È ben vero che la moltiplicazione de gl'impeti non <lb></lb>si va facendo se non in quel primo centinaio di vogate, <lb></lb>fin tanto che l'impedimento dell'acqua arriva ad aggua<lb></lb>gliarsi alla virtù d'una vogata; et allora la velocità non <lb></lb>cresce più, restando in equilibrio la resistenza continua <lb></lb>dell'acqua, e lo sforzo pur continuo della Ciurma. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Tronchinsi horamai le superfluità delle inezie essendomi <lb></lb>con lunghezza pur troppo noiosa affacendato nell'esporvi <lb></lb>alti concetti lasciati da quel sapientissimo vecchio sopra <lb></lb>la forza della percossa. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Dicemmo che la gravità nei corpi naturali non dorme <lb></lb>mai, ma continuamente lavora; che però ad ogni brevis<lb></lb>simo tempo procede un' impeto eguale al peso assoluto <lb></lb>del corpo pesante. </s><s>Dicemmo anco che i medesimi gravi <lb></lb>mentre cadono per aria conservano detti momenti, non <lb></lb>havendo solido alcuno sottoposto, che coll'opporsi gl' estin<lb></lb>gua. </s><s>E che però la moltiplicazione delle forze d'ogni grave <lb></lb>cadente, quando arriva a percuotere, deve essere infinita. </s> <s><foreign lang="it">Si <lb></lb>produssero alcune ragioni; per che causa dunque non se<lb></lb>guisse l'operazione infinita, se infinita era la virtù. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ultima<lb></lb>mente si è detto che ne i corpi noti non solamente si im<lb></lb>primono gl'impeti generati dall'intrinseca gravità, mà <lb></lb>anco quelli che si producono da potenza esteriore; e che <lb></lb>però la forza dell'urto dipendeva non semplicemente dalla <lb></lb>velocità, ne anco dalla quantità della materia, mà sola- <pb pagenum="32"></pb>mente dalla moltitudine della forza che si imprime nel cor<lb></lb>po urtante. </foreign></s> <s><foreign lang="it">In quest'ultima parte della percossa artifiziale <lb></lb>habbiamo detto che la forza dell'urto non dipende altrimenti <lb></lb>dalla quantità della materia; poiche se ciò fusse, conver<lb></lb>rebbe, che la medesima palla di 60 libre di ferro facesse <lb></lb>sempre la medesima operazione lanciata una volta da un <lb></lb>huomo, et una volta avventata da un cannone. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Non dipende <lb></lb>ne anche assolutamente dalla velocità; perchè con maggiore <lb></lb>velocità urterà una tavola d'abete tirata per l'acqua quie<lb></lb>scente, che un vastissimo galeone, e pur il meno veloce <lb></lb>farà maggiore violenza nell'urtare. </foreign></s> <s>Si può dunque con ra<lb></lb>gione affermare che di qualsivoglia corpo velocitato da <lb></lb>potenza esteriore l'efficacia nell'atto dell'urtare non sia <lb></lb>altro che virtù impressagli dalla potenza che l' haverà <lb></lb>mosso. </s> <s><foreign lang="it">E però si vede che la forza dell'urto non riesce <lb></lb>maggiore conforme sarà maggior la materia, o la gravità <lb></lb>o la velocità, ma solamente secondo che maggiore sarà <lb></lb>stata la sua renitenza all'esser mosso; cioè secondo ch' egli <lb></lb>haverà dato maggior campo alla potenza motrice di poter <lb></lb>imprimere in esso maggior cumolo di virtù. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Che poi la forza dell'urto debba essere anch'essa infinita, <lb></lb>vi militano l'istesse ragioni dette intorno alla percossa <lb></lb>naturale, </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Benefizio per certo ha ricevuto questa dottissima Ac<lb></lb>cademia del mio discorso; havendo io con proposte ottuse, <lb></lb>cagionato obiezzioni ingegnose; e con pensieri rozzi, risve<lb></lb>gliato ne i vostri sottilissimi ingegni concetti peregrini. </foreign></s> </p> <pb pagenum="33"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>LEZIONE QUINTA<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>DELLA LEGGEREZZA.<emph.end type="center"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Se alcuno già mai si ritrovò che giustamente meri<lb></lb>tasse il titolo di leggierezza, nessuno per mio credere può <lb></lb>mostrarsi più degno di quest'attributo, che colui il quale <lb></lb>ardisca di pronunziare che tutte le cose create siano <lb></lb>leggiere. </foreign></s> <s>Che l'incudini, le colonne, le montagne siano <lb></lb>corpi non solo privi di gravità, ma anco tali che habbiano <lb></lb>dentro di se principio di leggerezza positiva, et assoluta, <lb></lb>sembra proposizione più tosto di temerità, che di filosofia. </s><s><lb></lb>Nondimeno Sereniss. </s><s>Principe, Degnissimo Arciconsolo, <lb></lb>Virtuosissimi Accademici, nondimeno havrò io ardimento <lb></lb>in questo giorno costituirmi reo di tanta temerità; suppli<lb></lb>cando però l'esquisitezza de'vostri giudizi a non fulminare <lb></lb>contro di me la sentenza prima che siano state esposte <lb></lb>le mie ragioni. </s><s>Esamineremo con questo discorso le opi<lb></lb>nioni antiche circa la gravità, e la leggerezza. </s> <s><foreign lang="it">Con un <lb></lb>altro fra pochi giorni continuando il paradosso, ci sfor<lb></lb>zeremo provare la leggerezza assoluta di tutte le cose. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Le Nereidi stabilirono un giorno di voler comporre una <lb></lb>somma di Filosofia. </s> <s><foreign lang="it">Aprirono la loro Accademia colà ne i <lb></lb>profondissimi fondi dell' Oceano del Sur. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Cominciarono <lb></lb>poi a scrivere i dogmi della fisica, conforme facciamo <lb></lb>ancor noi habitatori dell'aria nelle scuole nostre. </foreign></s> <s>Vedevano <lb></lb>queste Ninfe curiose che parte delle materie praticate <lb></lb>descendevano nell'acqua habitata da loro, e parte ascende<lb></lb>vano. </s> <s><foreign lang="it">Però subito senza star a pensare ciò che potesse <lb></lb>seguire negli altri elementi conclusero, che delle cose, al<lb></lb>cune son gravi, cioè terra, pietre, metalli, et simili, poi che <lb></lb>nel mare discendono; ma alcune son leggiere, come aria, <lb></lb>suveri, cera, olio, et una gran parte dei legnami, perche <lb></lb>salgono dentro l'acqua. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Se elle procedessero temerariamen<lb></lb>te, o nò, seguitando la semplice scorta del senso, senza cor<lb></lb>reggerla con l'uso della ragione, io non lo so: so bene, che <lb></lb>potrebbero difender la causa loro, con l'esempio reverito <pb pagenum="34"></pb>di Filosofi venerabili. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Io fabbricando poi chimere tra me <lb></lb>stesso mi accorsi, che era comportabile l'errore d'incon<lb></lb>siderazione commesso da quelle fanciulle marine, le quali <lb></lb>pronunziarono per leggiere molte cose da noi tenute per <lb></lb>gravi. </foreign></s> <s>Fantasticavo con l'immaginazione, et mi dipingevo <lb></lb>sopra la testa un altissimo pelago di argento vivo. </s> <s><foreign lang="it">Ecco <lb></lb>che io son nato et allevato nel fondo di questo fluido <lb></lb>metallo. </foreign></s> <s>Conviemmi hora scrivere un Trattato sopra la <lb></lb>leggerezza, e la gravità. </s><s>Subito fatta un tantino di refles<lb></lb>sione, discorro così. </s><s>Sono tanti anni che io pratico in <lb></lb>questo gorgo dove per esperienza continua ho veduto <lb></lb>sempre, che bisogna tener legato tutte le sorti di robba, <lb></lb>fuor che l'oro, acciò elle non sormontino, e se ne fug<lb></lb>ghino verso l'alto. </s> <s><foreign lang="it">Dunque senza dubbio tutte le cose <lb></lb>son leggiere, et hanno inclinazione per natura di andare <lb></lb>all'in sù, tanto l'acqua, quanto la terra, come anco le <lb></lb>pietre, i metalli, et in somma ogni altra cosa corporea <lb></lb>fuor che l'oro, il quale solo si ritrova descendente nell'ar<lb></lb>gento vivo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Al contrario poi penserei che la filosofia delle <lb></lb>Salamandre (supposto che elle habitino nel fuoco) fusse per <lb></lb>stabilir' ogni cosa per grave, compresavi ancor l'aria. </foreign></s> <s>Ma <lb></lb>passiamo homai dalle immaginazioni astratte, alle verità <lb></lb>praticate. </s> <s><foreign lang="it">Nel primo del Cielo al testo diciassettesimo si <lb></lb>definisce così. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Grave è quello la cui naturalezza è di <lb></lb>andare al mezzo, leggieri è quello la cui naturalezza è <lb></lb>fuggire dal mezzo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Però fra gl'elementi la terra, e l'acqua <lb></lb>che vanno verso il centro son gravi: il fuoco che da quello <lb></lb>si parte è leggiero. </foreign></s> <s><foreign lang="it">All'aria poi è stato dato il privilegio <lb></lb>della neutralità indifferente, o per dir meglio della parti<lb></lb>cipazione. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Poscia che essendo ella stata considerata dal <lb></lb>Filosofo nella sua propria sfera, e non in luogo alieno, si <lb></lb>è veduto che ella vi sta ferma. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Però si è concluso haver <lb></lb>lei per principio intrinseco tanto l'andar verso il mezzo, <lb></lb>quanto anco il dipartirsi da esso. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Queste definizioni potreb<lb></lb>bero sembrare ad alcuno poco diverse da quelle che rac<lb></lb>contavo dianzi delle Nereidi, approvate dal senso, ma non <lb></lb>corrette dalla ragione. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Però per purgarle dal sospetto se <lb></lb>si potrà, stimo bene il chiamarle all'esame. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Le definizioni della Fisica differiscono in questo da <pb pagenum="35"></pb>quelle della Matematica, per che quelle sono obbligate di <lb></lb>addattarsi, et aggiustarsi col loro definito; ma queste cioè <lb></lb>le Matematiche sono libere, e possono formarsi a bene<lb></lb>placito del Geometra definitore. </foreign></s> <s><foreign lang="it">La ragione è assai chiara, <lb></lb>per che le cose definite nella Fisica non nascono insieme <lb></lb>con la definizione, ma hanno di già la sussistenza da se <lb></lb>stesse, e si ritrovano anteriormente nella natura. </foreign></s> <s>Però se <lb></lb>la definizione non si accomodasse precisamente al suo defi<lb></lb>nito, non sarebbe buona. </s> <s><foreign lang="it">Ma le cose definite dalla Geome<lb></lb>tria, cioè dalla scienza dell'astrazione, non hanno altra <lb></lb>esistenza nell'universo del mondo, fuor che quella, che gli <lb></lb>conferisce la definizione nell'universo dell'intelletto. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Così <lb></lb>quali saranno definite le cose della Matematica, tali pun<lb></lb>tualmente nasceranno insieme con la definizione istessa. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Se <lb></lb>io dicessi il cerchio è una figura piana di quattro lati <lb></lb>eguali, e quattro angoli retti, non sarebbe mica cattiva <lb></lb>definizione; ma converrebbe poi in tutto il rimanente del <lb></lb>mio libro, quando io nominassi cerchio, intendere una certa <lb></lb>figura che da altri, è stata detta quadrato. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Chi dicesse <lb></lb>nella Fisica il cavallo è animal ragionevole, non merite<lb></lb>rebbe titolo di cavallo? </foreign></s> <s><foreign lang="it">Vedasi dunque prima diligen<lb></lb>tissimamente, se il cavallo sia animal ragionevole si, o <lb></lb>no, e poi definiscasi conforme egli sarà, acciò la defini<lb></lb>zione fisica si addatti col suo definito, e non habbia da <lb></lb>numerarsi fra le difettose. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ma ritorniamo alla considerazione del nostro Testo. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Grave è quello che va all'in giù verso il mezzo. </foreign></s> <s>Io l'ho <lb></lb>caro. </s> <s><foreign lang="it">Qui cosa certa è che quella parola grave significa <lb></lb>un corpo, il quale non vada in giù per accidente, ma <lb></lb>habbia principio interno di gravità. </foreign></s> <s>Bisogna dunque che <lb></lb>tutte le cose le quali discendano habbiano principio intrin<lb></lb>seco di gravità, altrimenti la definizione discorderebbe <lb></lb>dalle cose definite. </s><s>Ma chi mi assicura che la terra <lb></lb>ancor che si veda manifestamente andare all'ingiù, habbia <lb></lb>questo principio intrinseco di gravità? </s><s>forse perchè ella <lb></lb>si vede discendere? </s> <s><foreign lang="it">Dunque la proposizione sarebbe fon<lb></lb>data sopra il solo giudizio del senso. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Troverò ben io un <lb></lb>mezzo nel quale ella ascenderà con impeto più veloce che <lb></lb>altri non crede. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Si chiamerà forse moto naturale la discesa <pb pagenum="36"></pb>che fa la terra nell'aria, e moto violento la salita che <lb></lb>fa la medesima terra nell'argentovivo, perchè molto più <lb></lb>spesso, et in maggior quantità si vede discender della <lb></lb>terra per l'aria, che salire nel metallo liquefatto? </foreign></s> <s>Certo <lb></lb>no. </s> <s><foreign lang="it">Il più ed il meno, la maggiore, o minor frequenza <lb></lb>delle esperienze non hanno forza di poter decidere nel <lb></lb>litigio di così gran controversia. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Mentre dunque non venga <lb></lb>dimostrato che nella terra sia quel principio intrinseco <lb></lb>dell'andare all'in giù, io con buona grazia de' Testi, rice<lb></lb>verò quella definizione, per una semplicissima imposizione <lb></lb>di nome. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Così mutando il verbo dell'essere nel verbo del <lb></lb>chiamarsi accomoderò la definizione per me medesimo, in <lb></lb>questo modo. </foreign></s> <s>Grave si chiama quello, che discende verso <lb></lb>il centro. </s> <s><foreign lang="it">Ogni volta poi che si dirà la terra è grave, io <lb></lb>lo confesserò ancor io, ma però interpretando sempre, che <lb></lb>quella parola grave non voglia significare altro, se non <lb></lb>che discendente nel mezzo più leggiero. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Che poi nell'aria sieno unitamente la gravità e la leg<lb></lb>gerezza (sicome il Filosofo in tanti luoghi afferma) a <lb></lb>me pare inintelligibile dal mio poco cervello, et inespli<lb></lb>cabile da qualunque facondia. </foreign></s> <s>Interrogherò qualcuno più <lb></lb>perspicace di me, se quelle due virtù che son nell'aria, <lb></lb>sieno eguali tra di loro, o pure disuguali. </s><s>Se risponderà <lb></lb>sono eguali; et io soggiungo, adunque sono nulle, impe<lb></lb>rochè due possanze eguali traenti per la medesima linea <lb></lb>retta, al contrario però l'una dall'altra, non possono fare <lb></lb>effetto alcuno. </s> <s><foreign lang="it">Come dunque ha saputo indovinare la per<lb></lb>spicacia filosofica, che queste due potenze nell'aria si ritro<lb></lb>vino, mentre non possono produrre effetto alcuno per il <lb></lb>quale si manifestino? </foreign></s> <s>Mi si risponderà forse che son dise<lb></lb>guali. </s><s>Sia: E pongasi per esempio, che predomini quella <lb></lb>virtù la quale tende in alto. </s><s>Chi ha poi saputo investigare, <lb></lb>che vi sia quell'altra contraria minore, la quale tira <lb></lb>all'ingiù, mentre non facendo effetto alcuno, vi sta na<lb></lb>scosa, e superflua apunto come se non vi fusse? </s> <s><foreign lang="it">Se mi <lb></lb>saltasse capriccio di dire, che anco nella terra è molto di <lb></lb>gravità, ma però qualche poco di leggerezza, con quale <lb></lb>argomento si sforzerebbero i Filosofi di convincermi? </foreign></s> <s><foreign lang="it">Se <lb></lb>nel foco, io dirò che sia molta leggerezza, ma però con <pb pagenum="37"></pb>qualche poco di gravità, chi potrà già mai persuadermi, <lb></lb>che egli sia assolutamente leggero, senza niuna sorte di <lb></lb>gravità mescolata? </foreign></s> <s>Forse l'antica Filosofia ha determinato, <lb></lb>che l'aria sia naturalmente e grave, e leggiera, perchè <lb></lb>alle volte ella sale, et alle volte discende? </s> <s><foreign lang="it">Ma questo <lb></lb>medesimo effetto si vede anco nell'acqua, e nella terra, <lb></lb>secondo la diversità de'mezzi; adunque anco nell'acqua, <lb></lb>e nella terra dovrà essere la medesima mistione di gravità <lb></lb>e di leggerezza, variata solamente nella dose. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Concludiamo <lb></lb>pure questo punto, che non solo nell'aria, ma ne anco in <lb></lb>nessuno de gl'altri elementi possono ritrovarsi principii <lb></lb>diversi di gravità, e di leggerezza uniti insieme. </foreign></s> <s>E stabi<lb></lb>liamo, che volendosi porre queste due cose gravità e leg<lb></lb>gerezza ne gl'elementi, sempre si urterà in qualche scoglio <lb></lb>d'inesplicabile difficoltà. </s></p> <p type="main"> <s>Tentiamo hora di provare che gl'elementi (considerati <lb></lb>tutti insieme) non possono haver in se principii intrinseci <lb></lb>di movimento diverso, ciò è alcuni di essi di andare in su, <lb></lb>et altri di muoversi in giù. </s> <s><foreign lang="it">Ma o conviene che tutti siano <lb></lb>assolutamente gravi, o tutti siano semplicemente leggieri, <lb></lb>con la sola diversità del più, e del meno. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Primieramente ciascuno de gl'elementi si è preso nel <lb></lb>mondo quel loco, che gli conveniva, non confusamente, <lb></lb>ma secondo la proporzione del suo momento interno, o <lb></lb>sia di gravità, o di leggerezza. </foreign></s> <s>Alla terra come gravissima <lb></lb>è toccata la sede vicinissima al centro, all'acqua non tanto <lb></lb>grave si è assegnata la sfera seguente, e contigua alla <lb></lb>terrena. </s> <s><foreign lang="it">Dalla gravità positiva dell'acqua alla non gravità <lb></lb>dell'aria, e molto più dalla gravità dell'acqua, alla leg<lb></lb>gerezza del fuoco, è un passaggio infinito; dall'esser qual<lb></lb>cosa al non esser niente, overo dall'esser qualche cosa <lb></lb>all'esser meno di niente, è passaggio infinito; adunque il <lb></lb>luogo dell'aria, e molto più quello del fuoco doveva essere <lb></lb>infinitamente lontano da quello dell'acqua, per continuare <lb></lb>la proposizione nell'ordine dell'Universo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">So che altri ricor<lb></lb>rerebbe all'aiuto del sognato concavo Lunare, il quale se <lb></lb>si ritrovasse in natura potrebbe fare qualche effetto. </foreign></s> <s>Ma <lb></lb>passiamo ad altri argomenti. </s></p> <p type="main"> <s>Che di tutti i contrarii uno solo sia positivamente vero, <pb pagenum="38"></pb>e l'altro una semplice negazione, è opinione non nuova, et <lb></lb>anco non falsa. </s><s>Certo è che ella si prova, quando si <lb></lb>concedino questi due principii. </s><s>Il primo è, che non devono <lb></lb>moltiplicarsi gl' enti senza necessità. </s><s>Il secondo, che in<lb></lb>darno si fa con più cose, ciò che può farsi con meno <lb></lb>egualmente bene. </s> <s><foreign lang="it">Perchè dunque porre una nuova qualità, <lb></lb>cioè il freddo, se la sola privazione del calore adempisce <lb></lb>tutti gl'offizi che possino già mai assegnarsi alla posizione <lb></lb>della freddezza? </foreign></s> <s><foreign lang="it">A che serve il raddoppiare, per dir così, <lb></lb>le qualità dell'humido e del secco, della luce e delle tene<lb></lb>bre, della gravità e della leggerezza, se la natura con la <lb></lb>sola posizione d'una di queste contrarietà conseguisce <lb></lb>immediatamente la sua contraria? </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Comunque ciò sia, spero di haver anco tanto da poter <lb></lb>in qualche modo provare che di queste due cose gravità, <lb></lb>e leggerezza, una sola sia assolutamente, e positivamente <lb></lb>vera, e l'altra una semplice privazione di quella, et un <lb></lb>vocabolo imaginario. </s> <s><foreign lang="it">Se la natura havesse impresso nella <lb></lb>terra l'istinto dell'andare in giù, et di aderire al centro, ma <lb></lb>nel fuoco il desiderio di sollevarsi in su verso la circon<lb></lb>ferenza, verrebbero senza dubbio gl'elementi, ad haver <lb></lb>dentro di se principio intrinseco di separazione, e disunione. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Se con isforzo continuo si affaticano per separarsi la terra <lb></lb>e l'acqua dall'aria, et il fuoco dalla medesima aria, biso<lb></lb>gnerà pur ricorrere, per isfuggire il pericolo della discon<lb></lb>tinuazione del mondo (assurdo horribile) converrà dico <lb></lb>ricorrere alla forza del vacuo, o d'altro tale, acciò si <lb></lb>mantenga la connessione della natura, e l'unione de gl' <lb></lb>elementi. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Ma perchè ricorrere al vacuo (il quale per mio cre<lb></lb>dere non ha forza alcuna, e si dà senza nissuna ripu<lb></lb>gnanza e piccolo, e grande) se la natura con un solo, e <lb></lb>semplicissimo decreto poteva rimediare al pericolo di tanto <lb></lb>inconveniente. </s><s>Facciansi tutte le cose gravi, ovvero tutte <lb></lb>leggiere, che così necessariamente ne seguirà la perpetua <lb></lb>continuazione de gl'elementi, senza introdurre la necessità <lb></lb>di altra forza di legame. </s></p> <p type="main"> <s>Fin quì si è veduto che la filosofia antica a similitu<lb></lb>dine delle Nereidi dichiarò per gravi quelle cose che tali <pb pagenum="39"></pb>forse non sono, ma tali però appariscono al senso. </s> <s><foreign lang="it">Che <lb></lb>poi la terra, e l'acqua siano assolutamente gravi, si è <lb></lb>veduto ciò non seguitare in virtù della definizione. </foreign></s> <s>Nella <lb></lb>Matematica quale sarà la definizione, tali bisognerà che <lb></lb>siano le cose definite. </s><s>Nella fisica ancorchè si definisca <lb></lb>per grave ciò, che descende, non però ciò che descende <lb></lb>necessariamente sarà grave. </s><s>La Natura non muta le leggi <lb></lb>mentre gl'huomini formano i decreti. </s><s>Che nell'aria siano <lb></lb>le due virtù di gravità, e di leggerezza, ciò si è veduto <lb></lb>impossibile, non potendo quelle esser ne eguali, ne dise<lb></lb>guali. </s> <s><foreign lang="it">Che de gl'elementi alcuni siano gravi, et alcuni <lb></lb>leggieri, si è veduto esser opinione la quale ha in se <lb></lb>altrettanto di ambiguità, quanto ha sempre havuto di se<lb></lb>guito e di applauso: però da noi si è posta da parte, come <lb></lb>perniciosa alla continuazione delli elementi, e prodottrice <lb></lb>di assurdi nella natura. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Restano gl' altri due concetti, che ogni cosa sia grave, <lb></lb>overo ogni cosa sia leggiera. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Io in una delle prossime tornate, seguitando il discorso <lb></lb>delle mie leggerezze, mostrerò che le dette due opinioni <lb></lb>stanno bilanciate, et equilibrate con ogni egualità, senza <lb></lb>un minimo vantaggio tra di loro, a segno tale, che io <lb></lb>stimo totalmente impossibile potersi alcuna delle due opi<lb></lb>nioni con assoluta, e necessaria dimostrazione provar per <lb></lb>vera, o convincere per falsa. </foreign></s> <s>Certo è ch io non ho saputo <lb></lb>fin hora trovar argomento, o sperienza alcuna, la quale <lb></lb>necessariamente convinca la gravità, o la leggerezza delle <lb></lb>cose. </s> <s><foreign lang="it">Esporrò la mia opinione paradossica, che tutte le <lb></lb>cose create siano leggere, con isperanza che confesserete <lb></lb>esser almeno nel mio cervello quella qualità che negherete <lb></lb>ritrovarsi negli elementi. </foreign></s> </p> <pb pagenum="40"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>LEZIONE SESTA<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>DELLA LEGGEREZZA.<emph.end type="center"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Nel <emph type="italics"></emph>passato discorso<emph.end type="italics"></emph.end> fu detto che la sola gravità, o <lb></lb>la sola leggerezza pareva negl'elementi si ritrovasse. </s><s>Consi<lb></lb>deriamo hora a quale di questi due partiti è più verisimile <lb></lb>che si sia appigliata la natura; cioè se ella habbia fatto <lb></lb>tutte le cose leggere, overo tutte gravi. </s><s>Io so (Sereniss. </s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Principe, Degnissimo Arciconsolo, Virtuosissimi Accade<lb></lb>mici,) io so, che alcuni filosofi non solo antichi ma anche <lb></lb>moderni hanno creduto che tutti gl' elementi siano gravi, <lb></lb>et habbiano interiormente principio di moto verso il centro <lb></lb>del globo terrestre. </foreign></s> <s>Opinione veramente giudiziosa, con la <lb></lb>quale si salvano tutte l'esperienze praticate, e si escludono <lb></lb>molte inconvenienze che seguirebbero, supposto ritrovarsi <lb></lb>attualmente quelle due qualità contrarie, et incompatibili, <lb></lb>gravità, e leggerezza. </s> <s><foreign lang="it">Questi tali fautori della gravità si <lb></lb>fondano egualmente sull'esperienza, e su 'l discorso. </foreign></s> <s>Ma <lb></lb>però non può negarsi che commettono perpetuamente una <lb></lb>petizione di principio troppo manifesta. </s><s>Dicono essi. </s><s>Tutte <lb></lb>le cose le quali si muovono all'ingiù, vi vanno per <lb></lb>principio di momento interno. </s> <s><foreign lang="it">Non disputiamo noi per <lb></lb>apunto di quella cosa medesima, che voi supponete? </foreign></s> <s>Il <lb></lb>rimanente poi de i movimenti all'in su (bisogna che io <lb></lb>lo confessi) lo salvano benissimo in questo modo. </s> <s><foreign lang="it">Dicono: <lb></lb>se alcuni corpi si muovono in su, come l'aria per esempio <lb></lb>nell'acqua, il fuoco nell'aria, e nell'argento vivo i marmi, <lb></lb>ciò non avviene già per interna virtù la quale spinga in <lb></lb>alto le nominate materie; ma si bene per espulsione fatta <lb></lb>dal corpo ambiente. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Questo come più grave discaccia le <lb></lb>materie meno pesanti da lui circondate, e le ributta più <lb></lb>lontano dal centro che egli possa. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Quel moto poi di repul<lb></lb>sione vien da noi nominato movimento all'in su. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Hora venendo io alla proposizione del paradosso, ab<lb></lb>braccio la parte contraria, e pronunzio così. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Tutte le cose <lb></lb>per instinto, e principio innato fuggono dal centro, e <pb pagenum="41"></pb>vanno in su. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Conosco da me stesso che questa è petizione <lb></lb>di principio ancor lei, lo confesso: Ma non sarebbe iniquità <lb></lb>manifesta, se altri negasse a me quello che con la mede<lb></lb>sima franchezza da lui si usurpa? </foreign></s> <s>Primieramente ancora <lb></lb>da ogni Adversario alla mia posizione si concederà che <lb></lb>uno elemento intero vada in su per natura sua. </s><s>L'aria, i <lb></lb>suveri, alcuni legni, e molte cose simili poste nell'acqua <lb></lb>vanno in su. </s><s>La terra, i sassi, i metalli posti dentro mezzi <lb></lb>meno leggieri ascenderanno essi ancora, et io dirò per <lb></lb>virtù interna. </s><s>Il rimanente poi de'moti che vanno in giù, <lb></lb>da me si salva nell'istessa maniera, come habbiam detto <lb></lb>farsi dalla setta contraria. È vero che la terra nell'aria <lb></lb>discende; i sassi, et i metalli nell'aria, e nell'acqua; l'oro <lb></lb>in tutte le materie fluide, e cedenti. </s> <s><foreign lang="it">Non già perche queste <lb></lb>cose non habbiano ancor esse quell'interno motivo di salire; <lb></lb>ma perchè ritrovandosi dentro mezzi che l'hanno maggior <lb></lb>di loro, son rispinte, e discacciate verso il centro dall'am<lb></lb>biente più vigoroso. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ogni cosa si sforza per andare in alto, <lb></lb>e dilungarsi dal centro, ma però con disuguale virtù: Quindi <lb></lb>è che alcune quasi perdenti descendono abbasso, non per <lb></lb>naturalezza, ma piu tosto per perdita di contrasto, e per <lb></lb>inferiorità di momento; mentre intanto ascendono sopra <lb></lb>il capo di esse come vittoriose le più leggiere. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Ad alcuni dà grandissimo fastidio la chiarezza dell'espe<lb></lb>rienze in contrario. </s><s>Vedesi un gran pezzo di marmo giacere <lb></lb>là disteso sopra la terra. </s><s>Non vi è forza d'uomo per ro<lb></lb>busto che sia, la quale basti per sollevarlo. </s><s>E queste non <lb></lb>sono apparenze chimeriche, ma verità palpabili, e reali. </s><s><lb></lb>Adunque senza tanti sofismi la gravità è cosa manifesta. </s><s><lb></lb>Se quel marmo fusse leggiero non vi occorrerebbero Turni, <lb></lb>o Polifemi per alzarlo da terra, ma potrebbe esser sollevato <lb></lb>da ogni debole donnicciuola. </s> <s><foreign lang="it">Aggiungasi di più per rin<lb></lb>forzar l'obiezione, che in ogni gran mole, o sia di marmo, <lb></lb>o di ferro, o di piombo, io confesso sentirsi quel glutine <lb></lb>tenacissimo, e quei funicoli invisibili ma gagliardi, che <lb></lb>pare a viva forza la tirino verso il centro. </foreign></s> <s>E questo <lb></lb>col popolare vocabolo si chiama peso. </s><s>Chi lo negasse meri<lb></lb>terebbe nota non meno di sfacciataggine che di stupidità. </s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Io non nègo, che molti schiavi nella Darsina del trionfal <pb pagenum="42"></pb>Livorno si affatichino; ma solamente controverso se essi <lb></lb>faccino quelle operazioni per elezione della loro interna <lb></lb>volontà; o pure come agenti forzati, e non volontari lavo<lb></lb>rino ad arbitrio d'altri. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Parmi che le due opinioni fautrici una della gravità, <lb></lb>e l'altra della leggerezza, camminino fin quì del pari, e <lb></lb>restino fra di loro con ogni egualità bilanciate. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Venghino <lb></lb>hora dove mancano i sillogismi della Logica, le parzialità <lb></lb>della natura a favorire la posizione della leggerezza, e suc<lb></lb>cedino gl'argomenti per abbattere la gravità. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Ma che? </s><s>non è bisogno di prove sillogistiche per via <lb></lb>di discorso dove la natura istessa parla con voci di chia<lb></lb>rezza non meno all'intelletto che al sentimento. </s><s>Ogni <lb></lb>fiore che si apra in su i prati, ogni pianta che verdeggi <lb></lb>nelle selve; sono tante bocche, e tante lingue con le quali <lb></lb>parlando la materia creata manifesta la sua interna incli<lb></lb>nazione. </s> <s><foreign lang="it">Questa si è, non di andare al centro della terra, <lb></lb>ma più tosto di partirsi da esso, come manifestamente <lb></lb>si vede. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Appariscono i giorni di Primavera. </s> <s><foreign lang="it">Comincia la virtù <lb></lb>motrice del caldo ad agitare sotto la superficie del terreno, <lb></lb>et a muovere da un luoco ad un altro quei minimi cor<lb></lb>picciuoli atti a trasformarsi in piante. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Questi dopo l'ozio <lb></lb>del freddo hiemale cominciando a trascorrere per gl'occulti <lb></lb>meati del terreno inciampano casualmente nel seme di <lb></lb>quell'herba, e nelle radici di quella pianta. </foreign></s> <s>Sormontando <lb></lb>poi per le vene occulte alle parti più alte di esso seme, <lb></lb>scappano fuori, e producono primieramente quel tenero ger<lb></lb>moglio. </s><s>Sopragiungono intanto per le fibre invisibili nuove <lb></lb>materie ascendenti, e vanno successivamente a trapassare, <lb></lb>et a collocarsi sopra le cime delle già inalzate. </s> <s><foreign lang="it">Doppo <lb></lb>queste, vengono l'altre, e col progresso del tempo s'innalza <lb></lb>nell'aria non sò per qual forza d'incanto una mole pesan<lb></lb>tissima cioè a dire, una quercia, un abeto, un pino. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Veggiamo hora se questa ascensione si faccia, o passi<lb></lb>vamente per l'attrazione del calore, o pure attivamente, <lb></lb>perchè la materia istessa habbia in se principio intrinseco <lb></lb>di fuggire dal centro, e poggiare in su. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Io non vidi mai se nell'agghiacciato Settentrione na- <pb pagenum="43"></pb>schino le piante perpendicolari al piano della campagna, <lb></lb>overo inclinate su l'horizonte del paese nativo; so ben <lb></lb>di certo, che quando elle fussero attratte dal calore, overo <lb></lb>si sollevassero per incontrarlo, doverebbero non già innal<lb></lb>zarsi a piombo su le pianure della campagna, ma sorger <lb></lb>da terra inclinate con angolo meno di mezzo retto. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Segua <lb></lb>pur ciò che vuole ne i campi d'Irlanda, e di Norvegia, <lb></lb>che a me basta il vedere ne i giardini della Toscana i <lb></lb>cipressi dirizzati con le cime non già verso le parti calori<lb></lb>fiche del mezzogiorno, dalle quali ricevendo il benefizio <lb></lb>doverebbero anche havere l'attrazione, ma si bene verso il <lb></lb>punto verticale della nostra sfera, e pur da esso ricevono <lb></lb>forse minor influenza di consolazione, che da qualunque <lb></lb>punto della zona infiammata. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Potrebbe alcuno rispondere, che le piante hanno bensì <lb></lb>la propensione d'andar verso la parte del Cielo Meridio<lb></lb>nale d'onde gli viene l'influenza amica; ma però gli con<lb></lb>viene spuntar con indifferente pendenza dalla superficie <lb></lb>horizontale della campagna spianata: e che però sorgono <lb></lb>erette al piano sottoposto. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ammetterei questa ragione quando non havessi veduto <lb></lb>sorgere gl' alberi anco su le coste pendenti delle monta<lb></lb>gne, dove si conosce che essi non hanno riguardo alcuno, <lb></lb>ne all'andar verso la zona passeggiata dal Sole, ne al <lb></lb>partir con angoli eguali dalla superficie terrena, ma solo <lb></lb>osservano indifferentemente il partir a dirittura dal centro <lb></lb>della terra. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Segno assai evidente che l'interno principio <lb></lb>delle cose create sia il fuggir dal centro. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Forse amano <lb></lb>l'andare a dilatarsi, e per dir così, a respirare nell'ampi<lb></lb>ezza del mondo più spazioso. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Che ignobile appetenza sa<lb></lb>rebbe quella delle cose mondane, se elle desiderassero <lb></lb>di andare a confinarsi nelle più intime angustie della terra? </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>dove o non potrebbero già mai pervenire, o pervenute <lb></lb>che fussero, resterebbero sepolte lungi dalla natura vege<lb></lb>tante, nel gelo d'una perpetua morte, nell'ozio d'una sem<lb></lb>piterna infecondità. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Sogliono nelle quistioni controverse della natura osser<lb></lb>var come la medesima natura si governi in cose non molto <lb></lb>differenti. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Così poi s'argomenta come si dice a simili, <pb pagenum="44"></pb>s'inferisce che nel caso che si ha per le mani l'istesso <lb></lb>possa intervenire. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Osservo che nella diffusione della luce, nell'emana<lb></lb>zione delle spezie visibili, nello spargimento del suono, la <lb></lb>natura sempre si serve di quelle linee, che chiamano diver<lb></lb>genti, le quali partendo da un punto, si difondono in una <lb></lb>sfera. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Non ho già saputo ritrovar caso alcuno che sia <lb></lb>famigliare alla natura, et usitato nel mondo, nel quale <lb></lb>la diffusione, et il moto si faccia per linee convergenti, <lb></lb>e concorrenti in un punto. </foreign></s> <s><foreign lang="it">I raggi che partono dal corpo <lb></lb>luminoso del Sole, si diffondono per l'universo con linee, <lb></lb>le quali allargandosi sempre più, mostrano di fuggir l'an<lb></lb>gustie, e di appetir la dilatazione. </foreign></s> <s>L'istesso fanno i raggi <lb></lb>de'Pianeti, dell'altre stelle fisse, de i nostri fuochi; Anzi <lb></lb>l'istesso osservano anco tutti quei simolacri che partono <lb></lb>da gl'oggetti visibili. </s><s>L'istesso fanno le linee o per dir <lb></lb>meglio l'ondate de gl' increspamenti sonori per l'aria. </s><s><lb></lb>L'istesso fa la diffusione di quei piccolissimi corpicciuoli, <lb></lb>che partono dalle materie odorose. </s></p> <p type="main"> <s>Quanto all'Arte. </s> <s><foreign lang="it">Non m'è nuovo ch'ella fabbrichi <lb></lb>specchi che unischino i raggi della luce, e ch'ella faccia <lb></lb>vasi, e stanze, le quali riconcentrino ad un punto le linee <lb></lb>del suono. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma che la natura habbia messo nelle cose create <lb></lb>sublunari un principio intrinseco di movimento verso il <lb></lb>centro, cioè verso l'angustie di un punto con appetenza di e<lb></lb>terna infelicità, ciò mi è nuovo, inopinabile, e senza esem<lb></lb>pio alcuno. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Orsù. </s> <s><foreign lang="it">Voglio concedere che le cose habbiano principio <lb></lb>intrinseco, e naturale di andare al centro; Ma non però <lb></lb>mi si nieghino gl'assiomi della Fisica, che si concedono <lb></lb>a tutti. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ogni agente opera per il suo fine. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Così la rondine <lb></lb>(dice Aristotile) fa il nido; il ragnatelo ordisce la rete, <lb></lb>l'albero fa le foglie; tutti per conseguire il loro fine. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Do<lb></lb>mando hora io; potrà già mai l'elemento della terra; potrà <lb></lb>già mai l'elemento dell'acqua conseguire il suo fine che <lb></lb>è di pervenire a quel centro, al quale con tanta ansietà <lb></lb>sono stati incamminati dalla natura? </foreign></s> <s><foreign lang="it">Sarebbe certo altra <lb></lb>maraviglia il veder due elementi così grandi in un punto <lb></lb>solo, che l'Iliade d'Homero in un guscio di noce. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Se dun- <pb pagenum="45"></pb>que non è possibile che gl'elementi della terra, e del<lb></lb>l'acqua possino già mai ottenere il prescritto fine di <lb></lb>pervenire all'amatissimo loro centro; et se è vero quell'altro <lb></lb>assioma Aristotelico, che Dio e la Natura non fanno niente <lb></lb>indarno, bisogna pare a me confessare, che gl' elementi <lb></lb>non habbiano quel principio intrinseco di andare al centro. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Dicalo il Filosofo colle sue parole istesse, acciò nella ver<lb></lb>sione del testo non si sospetti l'alterazione del senso, le <lb></lb>parole non posson esser ne più chiare, ne più a proposito. </foreign></s> <s><lb></lb>Impossibile est enim ferri illuc, quò nullum quod fertur <lb></lb>pervenire potest. </s><s>Non è mai possibile che le cose vadino <lb></lb>naturalmente colà dove non possono arrivare. </s> <s><foreign lang="it">Come dun<lb></lb>que vogliono che due elementi così grandi siano natural<lb></lb>mente incaminati verso il centro, se è impossibile, che <lb></lb>vi pervengano già mai? </foreign></s> <s><foreign lang="it">La natura mostrerebbe bene <lb></lb>d'haver usato superflua prodigalità nella distribuzion degl'i<lb></lb>stinti, quando ella havesse collocato nelli elementi una <lb></lb>potenza, la quale non è possibile che già mai si riduca <lb></lb>all'atto. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Nel primo del Cielo, parlandosi di gravità e leggerezza <lb></lb>habbiamo questo Testo. </foreign></s> <s>Impossibile est id fieri, quod non <lb></lb>contingit esse factum. </s> <s><foreign lang="it">Non è possibile che si faccia, quello <lb></lb>che non può star fatto. </foreign></s> <s>Per ispiegarsi poi meglio porge <lb></lb>alcuni esempi, dicendo. </s></p> <p type="main"> <s>Se non è possibile che la tal cosa sia fatta bianca, <lb></lb>non è anco possibile che la si faccia bianca. </s><s>Se non è <lb></lb>possibile, che la tal cosa sia in Egitto, non è anco pos<lb></lb>sibile ch' ella si faccia in Egitto. </s><s>Aggiungo io. </s> <s><foreign lang="it">Non è <lb></lb>possibile che la terra, e l'acqua possino mai ritrovarsi, <lb></lb>et essere insieme nel centro, adunque non è ne anco pos<lb></lb>sibile che vadino al centro. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Ma concedasi anco questo; acciò da tutte le supposi<lb></lb>zioni maggiormente campeggi la verità. </s> <s><foreign lang="it">Sia vero, che gl' <lb></lb>elementi della terra, e dell'acqua possino ottenere il fine <lb></lb>del loro natural movimento, cioè possino pervenire al desi<lb></lb>derato centro del globo. </foreign></s> <s>Chi non vede che bramano l'ester<lb></lb>minio, e tendono alla lor propria destruzione, mentre <lb></lb>appetiscono di concentrarsi, e ridursi in un punto, cioè <lb></lb>d'annichilarsi? </s> <s><foreign lang="it">Ma per il contrario havendo eglino il prin- <pb pagenum="46"></pb>cipio interno di partire dal centro, verrebbero a bra<lb></lb>mare la loro propria ampliazione, et accrescimento; <lb></lb>instinto comune a tutte le creature, e verrebbero ad have<lb></lb>re un fine assegnatoli dall'onnipotenza creatrice, al quale <lb></lb>o sarebbero di già pervenuti, o almeno potrebbero per<lb></lb>venire. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Asseriscono alcuni Filosofi, che la terra, e l'acqua hanno <lb></lb>dentro di se il motivo intrinseco dell'andare verso il centro. </foreign></s> <s><lb></lb>Mi par anco d'haver sentito che assegnino la cagione di <lb></lb>ciò; perchè le cose con l'andar al centro, pretendono con<lb></lb>seguire non so che lor perfezzione, e riposo. </s></p> <p type="main"> <s>Quanto al riposo, et alla quiete, se pure hanno questo <lb></lb>desiderio, mi pare che la maggior parte delle materie do<lb></lb>vrebbe star contenta, senza cercar altro centro. </s> <s><foreign lang="it">Questo <lb></lb>gran globo di terra, se noi lo consideriamo tutto, certis<lb></lb>sima cosa è ch'egli sta fermo. </foreign></s> <s>Tante montagne, tanti <lb></lb>scogli, tante e si vaste moli di robba, quante ne sono <lb></lb>dentro a una palla che di diametro è fino settemila mi<lb></lb>glia, tutte stanno ferme. </s> <s><foreign lang="it">Eccettuate però pochissime zolle <lb></lb>turbate dagl' aratri, e poca polvere agitata dal vento. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Del <lb></lb>resto tutto ciò, che rimane di questo smisurato elemento <lb></lb>terrestre tutto sta fermo, et immobile, con certezza anco <lb></lb>di non havere a muoversi mai nel corso di tutti i secoli <lb></lb>della futura posterità. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Perchè dunque vorranno le parti <lb></lb>della terra andar a cercare il centro, se dato che vi giu<lb></lb>gnessero, in ogni modo ivi non riposerebbero niente più <lb></lb>di quello che facessero nella loro nativa regione? </foreign></s> <s>Dunque <lb></lb>l'andare al centro sarebbe indarno, et indarno la natura <lb></lb>haverebbe dato alle cose questo momento. </s> <s><foreign lang="it">Anzi se io do<lb></lb>vessi dire un mio pensiero, io stimo che niun altro luogo <lb></lb>del mondo sia meno atto per la quiete, che il centro della <lb></lb>terra. </foreign></s> <s>Non dite voi che l'acqua tutta, e tutta la terra <lb></lb>s'affaticano per giungere al centro? </s> <s><foreign lang="it">dunque collocato, per <lb></lb>esempio un sasso nel centro havrà guerra continua da <lb></lb>tutte le parti, e da tutte l'altre cose che vorrebbero per<lb></lb>venir al centro ancor loro. </foreign></s> <s>Il centro è uno, le cose sono <lb></lb>molte, e la penetrazione de'corpi non si dà. </s> <s><foreign lang="it">Ma posto quel <lb></lb>medesimo sasso qua sù nella superficie, egli vi sta fermo <lb></lb>non meno che se fusse nel centro, e non ha perpetuamente <pb pagenum="47"></pb>quel contrasto con immense moli; che da tutti i lati lo <lb></lb>spinghino per torgli il luogo. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Diciamo hora della perfezzione, e ponghiamo fine al di<lb></lb>scorso. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Può egli immaginarsi il più infelice, il più imper<lb></lb>fetto stato del mondo, che quell'antico, e favoloso chaos? </foreign></s> <s><lb></lb>certo no! Chi non vede che se la potenza degl' elementi <lb></lb>potesse ridursi all'atto, et andare al centro, sarebbe un resu<lb></lb>scitare quell'altissima confusione di tutte le cose? </s> <s><foreign lang="it">L'humido <lb></lb>col secco; il caldo col freddo; il duro col molle; simile <lb></lb>mescolanza di contrarietà, non intelligibile dagl'huomini, <lb></lb>et abominevole nella natura. </foreign></s> <s>Non veggiamo che l'acqua <lb></lb>fugge dall'aria, e l'aria dentro l'acqua se ne vola via; la <lb></lb>terra non può star ne in acqua, ne in aria, e molto meno <lb></lb>il fuoco? </s> <s><foreign lang="it">Se dunque gl' elementi mostrano di non voler <lb></lb>commercio, come haveranno per istinto comune l'andar ad <lb></lb>epilogarsi in un luogo angustissimo tutti insiemi? </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Concludiamo pure, che ponendosi (come dicemmo da <lb></lb>principio) la leggerezza, cioè l'istinto di andare in su nelle <lb></lb>cose create, non perciò seguirebbero assurdi nella natura. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Si salverebbero con facilità tutti i movimenti che si fanno, <lb></lb>e verso la circonferenza, e verso il centro. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ponendosi la <lb></lb>leggerezza, non perciò seguita che il piombo, e l'altre <lb></lb>cose pesanti debbano rimanere senza quella manifestissima <lb></lb>virtù, che si chiama peso. </foreign></s> <s>Pare, che favorischino questa <lb></lb>opinione ogni pianta che si innalzi nelle selve, ogni fonte <lb></lb>che scaturisca su le montagne, et ogn' altra cosa la sol<lb></lb>levazione di cui proceda da potenza non conosciuta. </s></p> <p type="main"> <s>Fra tutti i movimenti locali non controversi che fa <lb></lb>la natura, mai si trova, ch'ella si serva di linee con<lb></lb>vergenti. </s> <s><foreign lang="it">Testimonio, la luce, le specie visibili, la diffu<lb></lb>sione del caldo, del suono, e degli odori. </foreign></s> <s>Sarebbe unico <lb></lb>il moto de i corpi se si facesse per linee concorrenti. </s> <s><foreign lang="it">Con<lb></lb>tro la gravità par che congiurino i detti de' Filosofi, e <lb></lb>le leggi della natura. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Non par possibile che gl' elementi <lb></lb>vadino al centro; primieramente; perchè non possono arri<lb></lb>varvi; e la natura non intraprende l'imprese impossibili: <lb></lb>secondariamente, perchè arrivandovi sarebbe un distrugger <lb></lb>se medesimi, et un rinovare la favolosa confusione del <lb></lb>Caos. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Per la quiete, è superfluo che le parti della terra <pb pagenum="48"></pb>cerchino il centro, potendo forse meglio in ogn'altro sito <lb></lb>del globo riposarsi. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Per la perfezzione par vanità, perchè <lb></lb>gl' elementi non sarebbero più perfetti nel centro che <lb></lb>altrove. </foreign></s> <s>Anzi se vi giugnessero mai tutti, affine di perfe<lb></lb>zionarsi, conseguirebbero più tosto con l'unione delle con<lb></lb>trarietà la massima di tutte quante le imperfezzioni. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>LEZIONE SETTIMA<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>DEL VENTO.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>La Natura, Sereniss. </s> <s><foreign lang="it">Principe, Degnissimo Arciconsolo, <lb></lb>Virtuosissimi Accademici, fra le cose sue più nascoste, e <lb></lb>più impenetrabili, non mi pare che alcuna ve n'habbia <lb></lb>occultata con maggior segretezza che quell'accidente del<lb></lb>l'aria, il quale con nome di Vento comunemente si appella. </foreign></s> <s><lb></lb>Le pioggie, e le grandini, l'iridi, e le comete, le nevi, i <lb></lb>fulmini, gl'haloni, i pareli, et altre impressioni, che nei <lb></lb>campi dell'aria o si generano, o compariscono, hanno per <lb></lb>mio credere, poco nota l'origine, e molto malagevole la con<lb></lb>templazione. </s><s>Nulladimeno benchè nate in regioni sublimi, <lb></lb>et inaccessibili, non si sottraggono però affatto da tutti <lb></lb>gl'humani sentimenti. </s> <s><foreign lang="it">Non mostrò la natura di tener questi <lb></lb>parti fra i più segreti ripostigli de'suoi arcani, mentre <lb></lb>lasciandone altri esposti alla vista, et altri ancora soggetti <lb></lb>al toccamento, volle concederci qualche principio, e fonda<lb></lb>mento per la specolazione. </foreign></s> <s><foreign lang="it">E chi negherà che non sia <lb></lb>qualche sorte d'aiuto al contemplatore l'haver certezza <lb></lb>almeno della figura, del colore, della grandezza, e d'altri <lb></lb>simili accidenti, che dal sentimento della vista possono <lb></lb>esser compresi? </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma del vento invisibile per se stesso, qual <lb></lb>cognizzione haveremmo noi se per la moltitudine de gl'effetti <lb></lb>non si palesava? </foreign></s> <s><foreign lang="it">Il gonfiarsi delle vele, l'incresparsi del <lb></lb>mare, l'ondeggiar delle biade, lo scuotersi delle piante, il <lb></lb>sollevarsi della polvere, e tanti altri accidenti, sono indizii <lb></lb>manifesti di un parto della natura invisibile, prodotto, non <pb pagenum="49"></pb>meno per accecar gl' occhi dell'intelletto, che quei del <lb></lb>corpo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Hora se la natura quasi con ogni studio procurò <lb></lb>di occultare il vento egualmente al senso, et all'intelletto, <lb></lb>non sarà maraviglia, se io pieno di confusione comparisco <lb></lb>hoggi in questo luogo a pubblicar quella ignoranza che in <lb></lb>cambio di erudizione dalle studiate carte de gl'antichi ho <lb></lb>riportato. </foreign></s> <s><foreign lang="it">So che io parlo in un luogo dove la vivacità <lb></lb>degl' ingegni, esercitata nella coltura delle scienze cono<lb></lb>scerà per inezzie puerili quelle difficoltà che mi confondono, <lb></lb>intorno all'opinion comune della generazione del vento. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Ma avvenga pur ciò che vuole, mi basterà che gl'A. A. <lb></lb>godano, e si rallegrino nel conoscere, che quel vento istesso <lb></lb>il quale all'intelletto mio ha cagionato il naufragio, agl' in<lb></lb>gegni loro non ha contrastato il porto della sapienza. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Pronunziano i Filosofi, che il vento tragga l'origine <lb></lb>sua da quelle esalazioni fumose, che dalla terra inumidita <lb></lb>svaporano. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Havevano questi osservato che dopo le pioggie <lb></lb>spirano per l'ordinario i venti più impetuosi, e più diuturni <lb></lb>che mai, però dissero che ritrovandosi in quel tempo la <lb></lb>terra inzuppata d'humidità, la forza de'raggi solari e del <lb></lb>calore sotterraneo ne sollevava due sorti d'esalazione, una <lb></lb>humida che è la genetrice della pioggia futura, e l'altra <lb></lb>secca produttrice del vento. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Qui potrebbe farsi un'obie<lb></lb>zione, ma per essere alquanto fuori del mio intento princi<lb></lb>pale solamente l'accennerò. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Se da ogni pioggia due sorti <lb></lb>d'esalazione si devono cavare, una che serva per generare <lb></lb>il vento, e l'altra per la pioggia futura, chi non vede <lb></lb>che la materia delle pioggie anderà sempre scemando, e <lb></lb>crescendo sempre quella del vento? </foreign></s> <s>Ma passiamo avanti, <lb></lb>perchè la scola Filosofica che ha domestica la tramutaz<lb></lb>zione de gl'elementi, havrà anco pronta la risposta dell'o<lb></lb>biezzione. </s> <s><foreign lang="it">Hora da me primieramente si dubita dell'osserva<lb></lb>zioni; imperochè è vero, che dopo le pioggie molte volte <lb></lb>si svegliano i venti del Settentrione. </foreign></s> <s>Ma ne i venti Meri<lb></lb>dionali la regola non solamente fallisce, ma cammina più <lb></lb>tosto al contrario. </s><s>I sirocchi, et i Mezzi giorni spirano <lb></lb>quasi sempre avanti alle pioggie, e poi al cominciar di <lb></lb>quelle, o al più sul finire delle medesime si quietano. </s><s>E <lb></lb>pure secondo l'opinione Peripatetica, doverebbero dopo le <pb pagenum="50"></pb>piogge seguitar piu che mai, mentre la terra inaffiata <lb></lb>ha maggior comodità di somministrare gl'elementi all'esa<lb></lb>lazione. </s> <s><foreign lang="it">Aggiungo di più che dalla terra allora dovrebbe <lb></lb>esalare maggior copia di vapori, e di fumosità, quando <lb></lb>queste due cose concorrono insieme, cioè la stagione riscal<lb></lb>data, e la terra inumidita. </foreign></s> <s><foreign lang="it">E quando mai si troveranno <lb></lb>più opportune le congiunture per generare il vento che <lb></lb>dopo le pioggie da i venti meridionali cagionate? </foreign></s> <s>Allora <lb></lb>vedonsi i solchi delle campagne allagati, i prati sommersi, <lb></lb>i torrenti orgogliosi; che più? </s> <s><foreign lang="it">anco nelle più chiuse <lb></lb>habitazioni penetra di tal sorte l'humidità che fino i marmi <lb></lb>in sudore si distillano; forse manca il calore in quella <lb></lb>stagione mentre gl' aliti pestilenti di Mezzo giorno, e di <lb></lb>Scirocco lasciano l'aria quasi una stufa noiosa, et i viventi <lb></lb>nell'intempestivo calore languidi, et inquieti a pena si <lb></lb>sostentano? </foreign></s> <s><foreign lang="it">Al contrario poi dopo alcun' altre pioggie <lb></lb>sorgono impetuosissimi gl' Aquiloni; e pure il mondo ina<lb></lb>ridito, et addiacciato dal rigore di quei freddi Boreali, non <lb></lb>dovrebbe haver forza di solevar molta quantità d'esala<lb></lb>zioni, se pur è vera l'opinione del Filosofo che per la gene<lb></lb>razione del vento, siano egualmente necessarii il calore, e <lb></lb>l'humidità. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma che diremo de i venti i quali spontanea<lb></lb>mente nascono, senza che pioggia alcuna gli sia preceduta? </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Sono note non solo a i Filosofi specolativi, ma anco a i <lb></lb>viandanti ineruditi alcune sorti di vento, le quali nella <lb></lb>state particolarmente in tempi determinati, e certi signo<lb></lb>reggiano. </foreign></s> <s><foreign lang="it">L'aura matutina che dopo la mezza notte fino <lb></lb>al levar del Sole, o poco più si raggira, l'Etesie, et i Zef<lb></lb>firi vespertini che dopo il mezzo dì fino al tramontar del <lb></lb>sole o poco più con placidissimi fiati ristorano il mondo <lb></lb>infiammato. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Forse crederemo che ogni notte piova nella <lb></lb>Dalmazia, o nella Tracia per isvegliarci l'aura della mat<lb></lb>tina? </foreign></s> <s><foreign lang="it">O diremo che ogni giorno piova nella Spagna, o <lb></lb>nell'Oceano occidentale per sollevarci i Zeffiri della sera? </foreign></s> <s><lb></lb>Io non credo che ciò succeda; poi chè col progresso de<lb></lb>gl'anni in un mondo che non è infinito si sarebbe scoperto, <lb></lb>che quei venticelli regolati e certi da pioggie certe e <lb></lb>regolate si cagionano. </s> <s><foreign lang="it">Ma concedasi tutto quello che vo<lb></lb>gliono. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Per qual causa poi queste cagioni che risvegliano <pb pagenum="51"></pb>l'aura, e gli zeffiri sempre dalla medesima parte, e su me<lb></lb>desima hora compariscono? </foreign></s> <s><foreign lang="it">e non ci fa sentir qualche <lb></lb>volta i venti matutini che vengano da Ponente, o l'aure <lb></lb>della sera da Levante. </foreign></s> <s>Ma questi sono venti leggieri, e <lb></lb>deboli; passiamo ad altro. </s> <s><foreign lang="it">Quante volte dal gelato setten<lb></lb>trione spireranno venti Boreali, che dureranno non solo <lb></lb>i giorni, ma anco le settimane intiere, in tempo di una <lb></lb>continuata, et universale serenità, che per quanto è lecito <lb></lb>conietturare sembrano d'abbracciar tutto l'Emisferio Set<lb></lb>tentrionale? </foreign></s> <s>Diranno che le pioggie precedenti o le nevi <lb></lb>polari somministrano materia sufficiente per la continua<lb></lb>zione di tanto fiato che a pena l'intelletto ne comprende la <lb></lb>misura, e la quantità. </s><s>Concedasi. </s> <s><foreign lang="it">Ma quante volte poi acca<lb></lb>derà lo spirare di scirocchi impetuosi che per lo spazio di <lb></lb>più, e più giorni inquieteranno la terra, et il mare? </foreign></s> <s><foreign lang="it">Crede<lb></lb>remo forse che tanta furia di venti Meridionali nasca dalle <lb></lb>rugiade notturne della zona infiammata? </foreign></s> <s>io concederei che <lb></lb>procedesse dalle piogge dell'Emisferio Antartico, se le rela<lb></lb>zioni Cosmografiche mi assicurassero che quel profluvio <lb></lb>continuato di venti impetuosi si sentisse gia mai passare per <lb></lb>le provincie aduste dell'Affrica polverosa. </s> <s><foreign lang="it">Ma condonisi <lb></lb>pure tutto il detto fin quì. </foreign></s> <s>Consideriamo hora quello, che <lb></lb>appresso di me ha piu tosto forza di dimostrazione, che <lb></lb>di difficoltà. </s> <s><foreign lang="it">I Filosofi antichi si pensarono che una mole <lb></lb>d'acqua se per sorte si convertiva in aria si distendesse <lb></lb>dieci volte più, e dieci volte maggior luogo occupasse. </foreign></s> <s>I <lb></lb>moderni più curiosi, et anco più diligenti hanno con <lb></lb>industriose esperienze ritrovato che una mole d'acqua se <lb></lb>si converte in aria, non altrimente dieci ma 400 volte di <lb></lb>maggior mole diventa. </s> <s><foreign lang="it">Hora stante questo principio prove<lb></lb>remo che non solo una pioggia, ma ne anco un Oceano <lb></lb>intiero di piogge sarebbe atto a somministrar materia <lb></lb>sufficiente per un vento gagliardo, il quale per otto overo <lb></lb>dieci giorni si faccia continuamente sentire. </foreign></s> <s>Ogni pioggia <lb></lb>pare a me che si distribuisca in molte porzioni. </s> <s><foreign lang="it">Una e <lb></lb>la maggiore se ne cala giù per i fiumi gonfii, e per i tor<lb></lb>renti spumosi verso la marina; l'altra internandosi per i <lb></lb>pori occulti del terreno inzuppato si distribuisce per man<lb></lb>tenere gli alimenti all'herbe, alle piante, et alle vene sotter- <pb pagenum="52"></pb>ranee, tanto dell'acqua occulta, quanto delle scaturigini <lb></lb>apparenti. </foreign></s> <s><foreign lang="it">la terza in vapore humido, e genitore della <lb></lb>pioggia futura secondo il detto del Filosofo, si solleva. </foreign></s> <s><lb></lb>la quarta, et ultima porzione, che forse è la minore di <lb></lb>tutte, in esalazione secca e ventosa si rarefà. </s> <s><foreign lang="it">Hora il pro<lb></lb>fluvio di questa secca e ventosa esalazione alle volte è <lb></lb>così grande che con la sua dilatazione occupa la maggior <lb></lb>parte dell'Europa. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Spirerà un vento il quale non solo <lb></lb>spazzerà la piccola Italia; ma la Spagna, la Francia, la <lb></lb>Germania, et altri Regni, che unitamente considerati sa<lb></lb>ranno una porzione non piccola del Mondo habitabile. </foreign></s> <s>L'al<lb></lb>tezza poi di questo corso, o profluvio d'aria per lo meno <lb></lb>si solleverà pure tre o quattro miglia in alto; come dalle <lb></lb>nuvole, et altre fumosità discacciate, si può facilmente <lb></lb>argomentare. </s><s>La durazione anco sarà alle volte per lo <lb></lb>spazio di dieci, o dodeci giorni continui. </s> <s><foreign lang="it">Se io non temessi <lb></lb>hora di affaticar troppo la benignità di chi mi ascolta ag<lb></lb>giugnerei un calcolo per mostrare che a generar tanto <lb></lb>profluvio d'aria sarebbe necessario il tramutar tutto in <lb></lb>esalazione secca un Oceano intero. </foreign></s> <s>Io tratto anco supposto <lb></lb>quel principio che una mole d'acqua convertita in aria, <lb></lb>divenga 400 volte maggiore. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Alcuni hanno creduto che l'esalazione del vento venga <lb></lb>a dirittura di sotterra, e scaturisca per i pori invisibili del <lb></lb>terreno. </foreign></s> <s>Opinione pare a me poco sussistente. </s> <s><foreign lang="it">Io credo, <lb></lb>che quantunque un Regno vasto del Settentrione spirasse <lb></lb>tutto non dico per i pori minuti ma a guisa d'una voragine <lb></lb>aperta, e continua che dagl'abissi nascosti esalasse vento <lb></lb>io credo dico, che non sarebbe bastante a farci sentir <lb></lb>quella violenza grande, che pur troppo si prova talora ne <lb></lb>i giorni boreali. </foreign></s> <s>In oltre io non mi ricordo haver veduto <lb></lb>gia mai un foglio, overo una foglia sollevarsi da terra <lb></lb>per forza di vento, che da i pori sottoposti scaturisca. </s><s>Si <lb></lb>solleva bene, ma per forza di vento che lateralmente la <lb></lb>percote. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Hora non sarebbe egli manifesto segno d'haver incon<lb></lb>trato la vera cagione dell'origine de'venti, se col medesimo <lb></lb>principio la causa, e la necessità di tutti egualmente si <lb></lb>dimostrasse? </foreign></s> <s><foreign lang="it">Questo principio altro non è che quel no- <pb pagenum="53"></pb>tissimo, e vulgatissimo della condensazione, e rarefazzione <lb></lb>dell'aria. </foreign></s> <s>Con questo preso opportunamente e non a ro<lb></lb>vescio, come da alcuno è stato fatto, procureremo di <lb></lb>soddisfare alla produzzione di qualsivoglia sorte di vento. </s><s><lb></lb>Se un grandissimo Tempio fusse pieno tutto d'acqua fino <lb></lb>alla sua più alta sommità che farebbe? </s><s>la risposta è <lb></lb>pronta. </s> <s><foreign lang="it">Se le porte fussero aperte l'acqua per esse se <lb></lb>ne ne uscirebbe con grandissimo impeto, e per le finestre <lb></lb>più sublimi succederebbe nel Tempio altrettant'aria per <lb></lb>l'apunto quant'acqua per le porte se ne partisse; e se il <lb></lb>Tempio avesse una occulta virtù di convertire subito in <lb></lb>acqua quell'aria succeduta, il profluvio delle porte sarebbe <lb></lb>continuo, e non finirebbe mai fin tanto che durasse la <lb></lb>supposta metamorfosi dell'aria in acqua. </foreign></s> <s>Quello che hab<lb></lb>biamo esemplificato in due elementi diversi considerisi hora <lb></lb>in un elemento solo non tramutato di spezie, ma alterato <lb></lb>nella qualità. </s> <s><foreign lang="it">L'Augustissimo Tempio di Santa Maria del <lb></lb>Fiore qualche volta, ma molto più spesso la maggior Ba<lb></lb>silica di Roma hanno questa proprietà di esalar ne i giorni <lb></lb>più caldi della state un vento assai fresco fuor delle <lb></lb>proprie porte, in tempo per l'apunto quando l'aria si <lb></lb>trova tranquillissima, e senza vento alcuno. </foreign></s> <s><foreign lang="it">la ragione <lb></lb>è questa: perche l'aria dentro la vasta fabbrica racchiusa, <lb></lb>(qualunque sia la cagione) si trova più fresca dell'esterna <lb></lb>infiammata da tanti raggi, e reflessi del Sole. </foreign></s> <s>però se più <lb></lb>fresca, è anco più densa; adunque sarà anco più grave. </s><s><lb></lb>E se questo è vero dovrà dalle porte uscir quel profluvio <lb></lb>d'aria che nell'acqua habbiamo esemplificato. </s> <s><foreign lang="it">Nel Tempio <lb></lb>di Roma il fresco sù l'hore meridiane di questi tempi non <lb></lb>solo diletta ma anco offende. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Però il vento sù le porte <lb></lb>d'esso è tanto impetuoso che apporta maraviglia. </foreign></s> <s>Appli<lb></lb>chiamo hora la contemplazione, e passiamo dalle cavità <lb></lb>riserrate all'ampiezza aperta de i campi spaziosissimi del<lb></lb>l'aria. </s><s>Io dimando. </s><s>Se la Toscana tutta havesse sopra di <lb></lb>se in cambio d'aria una mole egualmente alta d'acqua, <lb></lb>che seguirebbe? </s> <s><foreign lang="it">Si risponde che questa mole non potrebbe <lb></lb>reggersi, ma con profluvio rapidissimo si spargerebbe <lb></lb>dilatandosi in giro per tutte le campagne de gli Stati <lb></lb>circonvicini, spianando col corso impetuoso non solo le <pb pagenum="54"></pb>piante, e gl'edifici, ma forse gli scogli, e le montagne <lb></lb>istesse, e per disopra per riempir la cavità che lasciasse <lb></lb>l'acqua, succederebbe altrettant'aria. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ecco dunque la ge<lb></lb>nerazione del vento per via di condensazione. </foreign></s> <s>Suppongasi <lb></lb>tutto l'Emisfero Boreale quieto, et in istato di calma <lb></lb>tranquilla, senza un soffio di vento, senza un'alito d'aura. </s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Venga poi una pioggia repentina, o qualsivoglia altro ac<lb></lb>cidente, il quale senza alterar punto il rimanente dell'E<lb></lb>misfero, accresca più del dovere il freddo solamente alla <lb></lb>Germania. </foreign></s> <s>Certo è che subito l'aria rafreddata di quel <lb></lb>vasto Regno si condenserà: condensandosi è necessario, <lb></lb>che nell'alta regione dell'aria si faccia sopra la Germania <lb></lb>una cavità cagionata dalla predetta condensazione. </s><s>l'aria <lb></lb>di sopra i Regni circonvicini come fluvida, e lubrica, scor<lb></lb>rera a riempir quella cavità improvvisamente nata. </s> <s><foreign lang="it">onde <lb></lb>nelle parti sublimi dell'aria il corso del vento sarà verso <lb></lb>la parte raffreddata; ma nell'infima regione, cioè nell'aria <lb></lb>conterminante colla terra il corso anderà al contrario: <lb></lb>avvengache la Germania ritrovandosi coperta d'aria con<lb></lb>densata, et anco accresciuta, e però più grave della cir<lb></lb>convicina, manderà per tutti i versi un profluvio di vento, <lb></lb>nel medesimo modo per apunto, come habbiamo esempli<lb></lb>ficato nella Toscana quando fusse tutta in cambio d'aria <lb></lb>ricoperta d'acqua. </foreign></s> <s><foreign lang="it">In questo modo il vento sarebbe una <lb></lb>circolazione, la quale non iscorrerebbe sopra più che ad una <lb></lb>parte terminata della terra: e tanto durerebbe l'effetto <lb></lb>della circolazione predetta quanto durasse la causa, cioè <lb></lb>quel freddo d'una provincia, maggior che non dovrebbe <lb></lb>essere in paragone di quello dei luoghi circonvicini. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Cir<lb></lb>colazione la chiamo poi che nella parte superiore tutto il <lb></lb>moto dell'aria concorre verso il centro della Provincia più <lb></lb>del dovere raffreddata. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Quivi poi sentendo quel medesimo <lb></lb>freddo accidentale si condensa, s'aggrava, e discende a <lb></lb>terra: ove non reggendosi scorre da tutte le parti, e ca<lb></lb>giona sù la superficie del terreno un vento contrario a <lb></lb>quello delle regioni sublimi. </foreign></s> <s>Che questa circolazione non <lb></lb>sia sogno chimerico ma effetto reale può quasi dimostrarsi <lb></lb>con una breve considerazione. </s> <s><foreign lang="it">Noi vedremo alle volte <lb></lb>spirar venti Boreali con impeto tale, che faranno più di <pb pagenum="55"></pb>trenta miglia per hora, e dureranno tanti giorni che como<lb></lb>damente potrebbero haver circondata la metà della terra. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Crederemo noi, che tanto vento passi sotto il circolo del<lb></lb>l' Equinoziale? </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma quando anco vi passi, non è egli neces<lb></lb>sario che il moto si continui per tutto il circolo massimo, <lb></lb>che circonda la terra, acciò l'immensa quantità d'aria <lb></lb>che parte da un Clima vi si possa restituire? </foreign></s> <s>Altrimenti <lb></lb>qualche Clima resterebbe esausto d'aria, et un altro soprab<lb></lb>bondantemente aggravato. </s> <s><foreign lang="it">E quando questo circolo mas<lb></lb>simo di vento circonda la terra per tanti giorni non sarà <lb></lb>egli necessario che tutti gli altri paesi sieno senza vento? </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Altrimenti sarebbe forza il dire che i due circoli del vento <lb></lb>s'intersegassero due volte scambievolmente fra di loro, <lb></lb>colla nascita di molti inconvenienti, et assurdi. </foreign></s> <s><foreign lang="it">In un'altro <lb></lb>modo può cagionarsi il vento (e qui giungo alla fine del di<lb></lb>scorso). Questo si è per rarefazzione, cioè quando l'aria <lb></lb>d'una Provincia per caldo intempestivo si rarefaccia più della <lb></lb>circonvicina. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Quest'aria rarefatta non spingerà altrimenti, o <lb></lb>scorrerà dalle bande, come alcuno ha creduto, essendo ciò <lb></lb>contrario alla dottrina d'Archimede sopra le cose che gal<lb></lb>leggiano; ma crescendo di mole si alzerà perpendicolar<lb></lb>mente più della sua conterminante, e non reggendosi poi <lb></lb>colassù, si spanderà in giro nell'alta regione dell'aria: intanto <lb></lb>quaggiù vicino a terra dalle parti conterminanti più aggra<lb></lb>vate l'aria concorrerà verso il centro della Provincia riscal<lb></lb>data, formandosi una circolazione contraria alla precedente, <lb></lb>ma nel medesimo modo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">L'esperienza in pratica di questo <lb></lb>accidente si vede il verno nelle stanze da qualche gran fuoco <lb></lb>riscaldate. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Osservisi ne i più crudi rigori del freddo, et in <lb></lb>tempo che non spiri vento di sorte alcuna, che per la porta <lb></lb>della stanza riscaldata entrerà vento. </foreign></s> <s><foreign lang="it">la ragione è, perchè <lb></lb>l'aria inclusa essendo più leggiera dell'esterna se ne fugge <lb></lb>per l'aperture più alte, e per il cammino istesso; in quella <lb></lb>guisa apunto, che farebbe, se nel fondo di un gran lago fusse <lb></lb>una stanza simile piena d'olio. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma io temo d'essermi allo spi<lb></lb>rar di questo vento dilungato hormai troppo dal porto. </foreign></s> <s><lb></lb>Certo è che l'hora è fuggita, e non mi resta tempo di mo<lb></lb>strare come alludono a questo pensiero tutte le sorti di vento <lb></lb>delle quali io habbia notizia. </s><s>Favoriscono l'aure matutine, <pb pagenum="56"></pb>e notturne, le quali secondo Seneca spirano sempre o da <lb></lb>laghi, o da Alpi, o da Valli, o da altri luoghi simili che per <lb></lb>ordinario siano più freschi de' circonvicini. </s> <s><foreign lang="it">Favorisco no i <lb></lb>venti repentini della state, i quali sempre dalla parte raf<lb></lb>freddata si sentono, e vengono sempre come precursori al <lb></lb>nembo delle tempeste. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Osservisi che quando da una parte <lb></lb>compariscono i lampi, e s'odono i tuoni, sempre da quella <lb></lb>parte anco prima della pioggia, viene il vento, o sia da <lb></lb>Levante, o da Ponente, o da qualunque altro cardine del <lb></lb>mondo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Imperocchè dove comparisce l'apparato della tem<lb></lb>pesta, certo è che l'aria si trova più che gelata, e però <lb></lb>densa, e grave. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma nel medesimo tempo quella de' paesi <lb></lb>circostanti è caldissima, e però rara, e leggiera, onde ne <lb></lb>segue necessariamente quella circolazione da noi con<lb></lb>siderata. </foreign></s> <s>Favoriscono questo pensiero anco l'aure che <lb></lb>quasi sempre sù la spiaggia marittima in tempo di state <lb></lb>si sentono venir dalla marina. </s> <s><foreign lang="it">la ragione è perchè ritro<lb></lb>vandosi in quel tempo l'aria sopra il mare assai più fresca, <lb></lb>e però anco più grave che quella della terra si cagiona <lb></lb>la predetta circolazione. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Favoriscono il medesimo pensiero <lb></lb>i Zefiri, l'Etesie, et altri venti spontanei, et estivi, i quali <lb></lb>certamente da pioggie non si cagionano, e sono maggiori <lb></lb>assai di quel che dovrebbero essere acciò potessero dirsi, <lb></lb>o da rugiade, o da altre mediocri humidità generati. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Favo<lb></lb>riscono finalmente il medesimo pensiero quei venti pre<lb></lb>cipitosi et insoliti che in questi giorni per l'apunto <lb></lb>turbano il Cielo, e la terra. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Non mi par credibile che <lb></lb>tanta affluenza d'aria velocitata ci si cagioni da piogge <lb></lb>Affricane. È ben credibile che essendosi o per pioggie, <lb></lb>o per altro accidente rinfrescata l'aria verso i paesi di <lb></lb>Ponente, e di mezzo giorno la medesima si sia anco <lb></lb>condensata, et aggravata più del dovere, onde poi ne segua <lb></lb>la già detta circolazione, della quale ne sentiamo l'effetto. </foreign></s> <s><lb></lb>Ma la considerazione de' venti in questa stagione infiam<lb></lb>mata, è materia da godersi piu tosto in pratica, che da <lb></lb>ventilarsi colla specolazione. </s></p> <pb pagenum="57"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>LEZIONE OTTAVA<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>DELLA FAMA.<emph.end type="center"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Bacco l'inventor delle Corone, e come vogliono Plinio, <lb></lb>e Diodoro, ritrovator della Medicina, e dell'arte mercantile, <lb></lb>Capitano prudentissimo, et insaziabile di gloria; Bacco il <lb></lb>primo trionfatore del Mondo vinto, che trascorsa con pas<lb></lb>saggio trionfale l'Europa in parte, e l'Asia tutta, non <lb></lb>finiva le Vittorie se non mancava la terra, l'uccisore <lb></lb>de i Tiranni, il donatore dell'Oriente, il severissimo legi<lb></lb>slatore, e punitore dell'ebrietà, vien tradito hoggi, et assas<lb></lb>sinato dalla Fama? </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>E per qual causa un Eroe così valoroso non sa dipin<lb></lb>gersi in altra maniera che con modello carnovalesco in <lb></lb>forma di un grassaccio rubicondo con ampia tazza in mano, <lb></lb>con occhi gonfi, e colla pancia arcata? </s><s>Apunto come se <lb></lb>il fulmine delle guerre fusse stato un professore di brin<lb></lb>disi, e d'imbriachezza. </s><s>E quel che è peggio, allora stimano <lb></lb>d'aver fatta la più bella di tutte l'invenzioni i carri delle <lb></lb>mascherate, e l'insegne dell'hosterie, quando con testa <lb></lb>grossa e vacillante habbiano finto sostenuto da satiri a <lb></lb>cavallo di una gran botte, un Bacco imbriaco. </s> <s><foreign lang="it">Questo tra<lb></lb>dimento di fama ingiusta, mi ha fatto in questi giorni <lb></lb>applicar la mente con qualche curiosità alla conside<lb></lb>razione rigorosa della Fama; et essendomi sovvenuto <lb></lb>qualche pensiero frivolo, ma stravagante, ho stimato <lb></lb>mio debito proporlo con humiltà, al purgatissimo giudizio <lb></lb>di questa dotta Accademia, come a pietosa madre, et nu<lb></lb>trice del mio ingegno, senza la di cui approvazione, non <lb></lb>porgerò mai l'assenso ad alcuna benchè probabilissima <lb></lb>mia opinione. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">E qual più degna opportunità poteva gia mai rappre<lb></lb>sentarsi per discorrer dell'applauso, e della fama, mentre <lb></lb>siamo in una Adunanza dove per l'eternità si lavora, <lb></lb>sotto il patrocinio, e gli auspici dell'A. V. Serenissimo <lb></lb>Principe, il cui nome già s'impossessa de gl'applausi <pb pagenum="58"></pb>di tutta la futura posterità? </foreign></s> <s><foreign lang="it">Se altri o per la sola po<lb></lb>tenza, o col semplice patrocinio delle lettere, è stato <lb></lb>fatto degno dell'immortalità del nome, che trionfi di gloria <lb></lb>doveranno sperarsi per un Grande di nascita Reale, nutrito <lb></lb>nel grembo della potenza, benemerito della fama, che <lb></lb>honora le virtù, e le scienze non solo col patrocinio, ma <lb></lb>anco con il possesso? </foreign></s> <s><foreign lang="it">Qual altro ragionamento poteva in <lb></lb>questi giorni venir più a proposito che il trattato della <lb></lb>fama? </foreign></s> <s><foreign lang="it">mentre la commozione de i popoli d'Italia nel re<lb></lb>verir l'eroe della Toscana venuto dal Settentrione, ha <lb></lb>dimostrato quanto possa negli animi humani quel sublime <lb></lb>concetto che si forma dell'altrui valore. </foreign></s> <s>E che havete o <lb></lb>Popoli curiosi, che con sì frettolosa avidità trincerando le <lb></lb>strade, e preoccupando le piazze, accorrete per conoscer <lb></lb>presenzialmente un viso non più veduto? </s><s>Qual'attrattiva <lb></lb>tanto efficace vi muove a porger ossequii cordiali, et a <lb></lb>sparger benedizzioni tanto affettuose sopra una testa, che <lb></lb>forse appresso di voi non ha sorte alcuna di benemerito? </s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Certo null'altra fuor che la fama di un nome trionfale, et <lb></lb>il concetto di un valor grande, quale per tanti anni habbiamo <lb></lb>sentito dalla marzial Germania, e dall'Europa tutta nella <lb></lb>persona dell'invitto Piccolomini celebrarsi. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ma io temo, Degnissimo Arciconsolo, Virtuosissimi <lb></lb>Accademici, che nel progresso poi del discorso questo mio <lb></lb>ragionamento sia piu tosto per dimostrarvisi con apparenza <lb></lb>d'invettiva satirica, che sotto specie di encomio hono<lb></lb>rato, e favorevole per fama. </foreign></s> <s>Certo è, ch'io mi sforzerò di <lb></lb>provare la fama dopo morte esser nulla, e per tutti i ri<lb></lb>spetti umani inappetibile. </s> <s><foreign lang="it">Insieme pretenderò che dopo <lb></lb>l'ultime esequie, tutti gli huomini sieno per divenir egual<lb></lb>mente famosi. </foreign></s> <s>Sospendete di grazia le vostre giustissime <lb></lb>riprensioni. </s> <s><foreign lang="it">Non è già vero che simile proposizione debba <lb></lb>atterire quelli, i quali lodevolmente operando sono inca<lb></lb>minati per la strada della virtù verso la gloria: Anzi con<lb></lb>fido piu tosto sia per maggiormente inanimargli, e per af<lb></lb>frettargli, acciò con isforzo anco maggiore, procurino di <lb></lb>conseguire i frutti della fama mentre vivono, se però sarà <lb></lb>vero, che la fama sia viva a i vivi, e morta a i morti. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Primieramente porterò l'argomento comune del volgo. <pb pagenum="59"></pb>Non è dubbio, che le cose le quali non si sentono, e non <lb></lb>si sanno, non possono immediatamente apportare, ne danno, <lb></lb>ne giovamento alcuno. </foreign></s> <s><foreign lang="it">E che giovano adesso a me negli <lb></lb>ardori della state i freschi dell'aeree montagne di Norcia <lb></lb>mentre per tante miglia rimoto da esse mi ritrovo? </foreign></s> <s>Quanto <lb></lb>mi furono giovevoli già, in tempo ch'io dimorai su quel<lb></lb>l'Alpi col vostro dottissimo, e famosissimo Ciampoli, altret<lb></lb>tanto mi sono disutili adesso quando io non ne partecipo <lb></lb>più effetto, o porzione alcuna. </s></p> <p type="main"> <s>Credo pure che questo punto sia per esser ammesso <lb></lb>senza controversia, cioè, che molto meno altri debba cu<lb></lb>rarsi in vita delle cose che seguiranno dopo la sua morte <lb></lb>in tempi remoti, che di quelle, le quali vivente lui si fanno <lb></lb>in paesi lontani. </s> <s><foreign lang="it">Mi par dunque che colui, il quale si affa<lb></lb>tica per la fama futura, faccia l'istesso che farei io se <lb></lb>con faccende, e vigilie indiscrete stando in Firenze, pro<lb></lb>curassi, o l'inondazione del Nilo in Egitto, o la serenità <lb></lb>del Cielo nella China; cose che per esser sommamente <lb></lb>remote da me, quando anco io le conseguissi non mi <lb></lb>possono apportar danno, ne giovamento. </foreign></s> <s>Così la fama an<lb></lb>corchè egregia, la quale fusse per restare di me dopo la <lb></lb>mia sepoltura, io non sò intendere per qual cagione debba <lb></lb>haver efficacia adesso di muover l'animo mio mentre son <lb></lb>vivo, ad allegrezza, o travaglio, a speranza, o a fatiche, <lb></lb>o ad altre simili afflizioni di corpo e di mente. </s><s>Questo è <lb></lb>l'argomento imparato veramente dalla plebe, et appresso <lb></lb>di me non ha molto d'efficacia. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Io mi dichiaro prima di passar più avanti che non trat<lb></lb>terò di quel compiacimento che nel secolo dell'eternità <lb></lb>sentiremo per aver lasciata nel mondo de'posteri lodevol <lb></lb>memoria di vita santamente spesa; imperochè io suppongo <lb></lb>di parlar solamente di quella fama, la quale acquistandosi <lb></lb>con azzioni indifferenti, merito, o demerito non apporta; e <lb></lb>per la quale par che la maggior parte degl'huomini pecchi in <lb></lb>eccesso di cupidità: tale farebbe per esempio la fama di uno <lb></lb>immortalato per sublimità di potenza, per lode di virtù, o <lb></lb>militare, o morale, per possesso di scienze, o per gloria <lb></lb>d'invenzioni. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Passiamo hora ad altri argomenti. </s><s>Se io provassi che <pb pagenum="60"></pb>la fama fusse nulla anco ad un vivente ma ignoto, tanto <lb></lb>più poi sarebbe nulla per uno già sepolto, e (per usar <lb></lb>questa voce) anco incognosibile. </s> <s><foreign lang="it">Io non vedo che l'effetto <lb></lb>et il frutto derivante dalla fama sia altro che quell'ap<lb></lb>plauso de i popoli nel reverir la persona famosa, mentre <lb></lb>la vedono presente, o come presente se la concepiscono <lb></lb>nel pensiero, quel mostrarla a dito con ammirazione, <lb></lb>nominarla con lode, vederla con una certa specie di <lb></lb>benevolenza non procurata, ma quasi per ispontanea <lb></lb>necessità dovuta a persone di gran merito, e di gran va<lb></lb>lore. </foreign></s> <s>Questa io per me credo sia la vera gloria, alla <lb></lb>quale ciascuno doverebbe infaticabilmente procurar di <lb></lb>pervenire in vita, senza punto curarsi di quella che sia <lb></lb>per rimanere dopo la morte. </s> <s><foreign lang="it">Ma quando poi si tratta di <lb></lb>persone lontane, et non conosciute, si può piu tosto dire <lb></lb>esser famoso il nome, che la persona. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Chi è stato quello, <lb></lb>il quale in questo secolo avventuroso fin quì, per merito <lb></lb>di saper molto, e per iscoprimento d'invenzioni grandi, <lb></lb>habbia acquistato nell'Europa industriosa maggior fama, <lb></lb>che il famosissimo Galileo? </foreign></s> <s>Nessuno. </s> <s><foreign lang="it">Habbiamo poi rela<lb></lb>zioni, che con maggior applauso di gloria si sentiva il <lb></lb>celebrato nome di Galileo Galilei nelle città oltramontane, <lb></lb>et in particolare d'Ollanda, che in quelle della sua nutrice <lb></lb>Toscana, e delle provincie circonvicine. </foreign></s> <s>Hora se vogliamo <lb></lb>conoscere quanto sia giovevole la fama de i viventi ma <lb></lb>incogniti, non vi dispiaccia investigarlo con una curiosa <lb></lb>astrazzione. </s> <s><foreign lang="it">Partasi il sapientissimo Vecchio dalle Ville <lb></lb>d'Arcetri, e comparisca improviso nel popoloso Amsterdam. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Non occorre già aspettare che alle porte della Città, o per <lb></lb>le vie pubbliche, gli sia fatto un minimo segno di honore, <lb></lb>ne con invito cortese, ne con uno sguardo ammirativo, <lb></lb>ne con un saluto, o altr'atto di civiltà, in testimonio di <lb></lb>honoranza. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Fin quì, non è meraviglia: si tratta d'una Città, che è <lb></lb>la Babbilonia delle nazioni confuse e de i negozianti occu<lb></lb>pati. </s> <s><foreign lang="it">Conduchiamolo alle porte dell'Accademia dove si stà <lb></lb>trattando dell'Arte importantissima del navigare. </foreign></s> <s>Si sa <lb></lb>con quanti offici, e con quante promesse quei dotti Set<lb></lb>tentrionali, habbiano procurato dall'acutissimo Mattema- <pb pagenum="61"></pb>tico le sue invenzioni circa la Marinaresca, et in par<lb></lb>ticolare sopra le Longitudini. </s> <s><foreign lang="it">Entra il Galileo alla presenza <lb></lb>di quelli adunati, ciascun de quali nell'intimo del cuore <lb></lb>ammira, et adora il suo gloriosissimo nome. </foreign></s> <s>Pare che <lb></lb>dovessero tutti innalzarsi, e con offici di prontissime acco<lb></lb>glienze essergli intorno ad accarezzarlo, et abbracciarlo <lb></lb>come un Iride di allegrezza, et un'Aurora di consolazione. </s><s><lb></lb>Ma io m'immagino tutt'il contrario. </s> <s><foreign lang="it">Mi pare di vedergli <lb></lb>turbati, et innalzati alcuni de' più vicini farsegli avanti <lb></lb>con viso acerbo, e con linguaggio barbaro a dimandargli <lb></lb>che cosa voglia, e chi l'habbia fatto ardito ad entrar là <lb></lb>dentro, appunto come se egli non fusse quel famoso <lb></lb>che egl'è, ma un vecchierello ordinario incolto di corpo, e <lb></lb>d'animo com'egli appariva nel sembiante esteriore. </foreign></s> <s>Eccovi <lb></lb>dunque provato che la fama non serve a nulla. </s><s>Odo su<lb></lb>bito una prontissima risposta la qual dice; perche non <lb></lb>lo conoscono. </s><s>Et io soggiungo. </s><s>Se quelli i quali lo vedono <lb></lb>presenzialmente non lo conoscono, come faranno poi <lb></lb>a conoscerlo quelli che sono per nascere di quì a mil<lb></lb>l'anni? </s><s>Sento replicarmi; l'honoreranno senza conoscerlo. </s><s><lb></lb>O questo sì che io affermo esser veramente impossibile. </s> <s><foreign lang="it">di<lb></lb>mostriamolo manifestamente nel caso immaginario dell'Ac<lb></lb>cademia Ollandese. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Mi dite voi che ciascuno di quelli <lb></lb>adunati honora il Galileo, e non lo conosce. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Et io vi provo, <lb></lb>che nessuno di quelli honora il Galileo; perche quando com<lb></lb>parisce egli stesso alla presenza di tutti nessuno lo rive<lb></lb>risce. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Adunque è necessario, che ciascuno havesse in testa <lb></lb>sua qualche fantasma figurato per il Galileo (siccome l'hab<lb></lb>biamo tutti delle persone famose antiche); al quale conce<lb></lb>deva quelle lodi, e quelle honoranze, che al vero, e reale <lb></lb>Galileo si convenivano. </foreign></s> <s>Così in cambio d'esser honorato <lb></lb>il famosissimo Vecchio, veniva ingiustamente ad honorarsi <lb></lb>un simulacro che di lui non haveva ne anco la simi<lb></lb>glianza. </s></p> <p type="main"> <s>Non vorrei che si prendesse un equivoco, anzi un errore <lb></lb>pur troppo manifesto, e nondimeno molto usitato. </s> <s><foreign lang="it">La fama, <lb></lb>(si come io diceva) per mio vedere, non deve essere del <lb></lb>nome chimerico, ma della persona reale, o almeno d'un <lb></lb>concetto nella nostra apprensione, il quale alla vera e <pb pagenum="62"></pb>reale persona si conformi, e s'assomigli. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Chi non sà che il <lb></lb>nome degli huomini è accidentale, posto ad arbitrio, che <lb></lb>può levarsi, mutarsi, alterarsi in molti modi, senza mutar <lb></lb>punto l'identità della persona che da esso vien significata. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Io goderei sommamente quando fussi tra una comitiva di <lb></lb>cento huomini honorati, et che il popolo mostrando me solo <lb></lb>a dito dicesse ecco là quel valentuomo che ha fatto tante <lb></lb>belle statue, o che ha riportato sì gloriose vittorie. </foreign></s> <s>Queste <lb></lb>sono le vere, e preggiabili honoranze che appartengono alla <lb></lb>persona. </s> <s><foreign lang="it">Ma dopo morte io non mi curo punto che sieno <lb></lb>celebrati, e volino per le bocche degl'huomini con l'ap<lb></lb>plauso delle Nazioni quei caratteri che compongono il <lb></lb>nome piu tosto del Torricelli, che d'Atabalippa. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Havrei <lb></lb>ben caro (per dir uno impossibile) che i secoli avvenire <lb></lb>formassero concetto aggiustato del mio corpo, del mio <lb></lb>genio, e di tutto me stesso, e concedessero piu tosto la <lb></lb>venerazione nel loro pensiero a un Mattematico di Firenze, <lb></lb>che ad uno Re dell'America. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Che diremo adesso dell'infamia? </s> <s><foreign lang="it">Guai a noi o Acca<lb></lb>demici degnissimi di lode sempiterna, guai a noi, se negli <lb></lb>annali della memoria si registrassero altrettanti nomi mac<lb></lb>chiati d'ignominia, quanti sono quelli coronati di gloria. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Volle, credo io, la provvidenza della natura suggerire al <lb></lb>costume degli huomini che nel catalogo della fama non si <lb></lb>arruolassero i nomi de i scelerati se non rarissimi, non <lb></lb>già perchè con le colpe non habbiano dal canto loro meri<lb></lb>tata l'eternità dell'infamia, ma sì bene per provvedere <lb></lb>all'innocenza de i buoni. </foreign></s> <s>Venghiamo all'esplicazione. </s> <s><foreign lang="it">Certo <lb></lb>è che nel corso di pochissimi anni paghiamo tutti il de<lb></lb>bito naturale della mortalità; dopo l'esequie nostre, e di <lb></lb>coloro che vivi ci haveranno conosciuti, se ne va quel <lb></lb>concetto, o vogliam dire quella specie ideale di ciascuno <lb></lb>nella gran massa e confusa di tutte le creature che sono <lb></lb>state, che non sono state, e che anche non saranno mai. </foreign></s> <s><lb></lb>Col progresso poi degli anni si appresenta in un popolo <lb></lb>una opportunità di flagellare con implacabil filippica uno <lb></lb>scelerato antico, per esempio Catilina. </s> <s><foreign lang="it">All'udir quel nome, <lb></lb>il concetto degli ascoltanti, non vorrà già fermarsi in quei <lb></lb>pochi caratteri che lo descrivono; ma subito vola con l'im- <pb pagenum="63"></pb>maginazione, et estrae dall'immensa massa de i modelli <lb></lb>humani un fantasma, che paia a proposito per figurare quel <lb></lb>traditore della patria; e si forma un Catilina ne i ripostigli <lb></lb>della testa, quale si pensa che già fusse quello nella Città <lb></lb>di Roma. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Crediamo noi Accademici che mai nessuno se <lb></lb>lo immaginerà per apunto tale quale egli veramente fu? </foreign></s> <s><lb></lb>Io per me difficilmente lo credo. </s> <s><foreign lang="it">Può ben essere (e siamo <lb></lb>sottoposti tutti a quest'opprobrio) che nel formarsi tanti <lb></lb>e sì diversi concetti intervenga molte volte che altri in <lb></lb>cambio di un Catilina concepisca un Curzio, in cambio di un <lb></lb>Nerone s'immagini un Augusto; per un empio, vizioso, <lb></lb>e traditore, un buono, un virtuoso, un fedele. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Non sia di grazia alcuno, che si prenda maraviglia di <lb></lb>così stravagante argomento in questo giorno, poiche io <lb></lb>confesso liberamente che parlo in causa propria, et ecco <lb></lb>l'altro punto proposto. </s> <s><foreign lang="it">Che tutti gli huomini dopo morte <lb></lb>siano per divenire egualmente famosi. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Io fo conto d'an<lb></lb>darmene da questa vita senza lasciarci (per colpa del poco <lb></lb>talento della mia inabilità) vestigio alcuno durabile di es<lb></lb>serci mai passato. </foreign></s> <s>Non già per questo diffido punto di dover <lb></lb>esser anch'io famoso al par d'ogn'altro per celebre <lb></lb>ch'egli si sia. </s><s>Si loderà dalla fama decrepita degl'anni <lb></lb>futuri Achille, Alessandro, Annibale, Cesare, si dirà d'O<lb></lb>mero, di Virgilio, di Platone, d'Aristotile, e di tanti altri <lb></lb>huomini celebrati, et illustri. </s> <s><foreign lang="it">Gran disgrazia per certo sa<lb></lb>rebbe la mia se nella formazione del concetto fortuito <lb></lb>fusse più fortunato circa il venir nelle fantasie humane, <lb></lb>il simolacro di Achille che il mio. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Non vale il dire, tu non <lb></lb>hai quel nome, tu non hai fatto quelle prodezze mirabili, <lb></lb>quelle azzioni virtuose, quell'opere degne d'eternità. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Per<lb></lb>chè io vi confesso di non haver quel nome, ne quei meriti, <lb></lb>e di non aver fatto quell'opere, ma pretendo che la mia <lb></lb>persona dopo la morte sia per correre nelle teste degli <lb></lb>huomini la medesima fortuna con gl'Heroi, e con i Se<lb></lb>midei; e dico che dalla posterità vivente saranno sempre <lb></lb>attribuite a caso, per non dire a rovescio, la lode, et <lb></lb>il biasimo a persone, che forse ogni altra cosa haveranno <lb></lb>meritato fuor che quella che gli sarà conceduta. </foreign></s> <s>In somma <lb></lb>parmi di vedere nelle teste degli huomini apprensioni, <pb pagenum="64"></pb>che con errore non volontario, ma inevitabile, esaltano <lb></lb>marrani, scherniscono Grifoni, honorano le Taidi, vili<lb></lb>pendono le Lucrezie. </s><s>Povero Alessandro. </s><s>Parvi forse, <lb></lb>Accademici, ch'egli habbia consegnito quel fine, per <lb></lb>il quale si mosse ad intraprender così perigliose, e mala<lb></lb>gevoli imprese? </s> <s><foreign lang="it">Vediamo qual fusse il suo fine. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Io mi pen<lb></lb>sava una volta, che l'intenzione del fiero giovine fusse <lb></lb>d'accrescer l'imperio con dilatar i confini del Regno al <lb></lb>pari di quei del mondo: o pure d'accumular tesori sac<lb></lb>cheggiando gli erarij della Persia, e di tutto l'oriente; <lb></lb>o vero di sfogar il genio della gioventù instabile con i pel<lb></lb>legrinaggi lontani, o gli incentivi dell'età focosa con le Re<lb></lb>gine captive Ma i tesori erano da lui sparsi con prodiga<lb></lb>lità; de i Regni erano alle volte maggiori i donati da lui, <lb></lb>che i tolti. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>e le Regine schiave, a si bel cuore, <lb></lb>fur materia di gloria, e non d'Amore.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Ritrovai finalmente detta da lui medesimo la cagione <lb></lb>del suo gran movimento. </s> <s><foreign lang="it">Alza una volta la voce in <expan abbr="q.">que</expan> Cur<lb></lb>zio contro quel suo prigione di Licia, il quale esage<lb></lb>rava la difficoltà delle strade alpestri che passar doveva <lb></lb>per eseguir un'impresa. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Pensi tu forse, che per quei sassi <lb></lb>dirupati, dove hai potuto gir tu per causa d'armenti, Ales<lb></lb>sandro per la gloria, e per l'eternità della lode non possa <lb></lb>andare? </foreign></s> <s><foreign lang="it">Questa lode, e questa gloria immortale per cui <lb></lb>tanto s'affaticò il celebrato Re della Macedonia, a chi <lb></lb>viene hora per vostra fè attribuita da i posteri del secolo <lb></lb>lontano? </foreign></s> <s>al nome d'Alessandro? </s> <s><foreign lang="it">No, perchè il nome es<lb></lb>sendo un semplice accozzamento di caratteri, o al più una <lb></lb>tal formazione di voce, si rende totalmente indegno di <lb></lb>lode, et incapace di biasimo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Al concetto della persona <lb></lb>immaginata? </foreign></s> <s>O questo sì. </s> <s><foreign lang="it">Et io quanto a me mi figuro <lb></lb>un giovane di genio reale ma feroce, di statura piuttosto <lb></lb>piccola, d'aspetto mediocramente maestoso; e quello dentro <lb></lb>me stesso ammiro per il Grande Alessandro ogni volta che <lb></lb>leggo le storie. </foreign></s> <s>Se poi così fusse Alessandro, o piuttosto <lb></lb>Efestione, overo un altro giovane di cent'anni fa, overo <lb></lb>che anche habbia da essere, io non lo so. </s></p> <pb pagenum="65"></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Il sapientissimo della Grecia Platone, nella seconda <lb></lb>lettera al Tiranno Dionisio pare contrario a queste mie <lb></lb>specolazioni, et in effetto è favorevole. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Dice il gran Fi<lb></lb>losofo che non dobbiamo in alcun modo trascurar la <lb></lb>fama che di noi è per restar nel mondo dopo la vita, ma <lb></lb>con ogni studio, e diligenza dobbiamo procurare di la<lb></lb>sciarla grande, e buona. </foreign></s> <s><foreign lang="it">L'istesso hanno detto tutti gli <lb></lb>altri antichi, e moderni, che hanno havuto chiarezza nel<lb></lb>l'intelletto, et honore nel cuore. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Io non dissi che la fama <lb></lb>non debba lasciarsi dopo morte; ma asserisco che essendo <lb></lb>disutile, et incerta quella che dopo morte nel mondo ri<lb></lb>mane, si doverebbe con ogni fervore proccurar di goder <lb></lb>la gloria anticipatamente in vita; che così conseguirà i <lb></lb>frutti dell'honorate fatiche non un simulacro suppositizio, <lb></lb>et indegno, ma la vera, e reale persona che l'ha meritato: <lb></lb>et poi anco resterà dopo la morte quella fama postuma nel <lb></lb>mondo per chi la desidera. </foreign></s> <s><foreign lang="it">S'io ragionassi hora in altro <lb></lb>luogo che in questo, venendo all'applicazione del discorso, <lb></lb>esorterei gli ascoltatori, ad affrettar con ogni studio pos<lb></lb>sibile l'acquisto della gloria. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma ritrovandomi in una udienza <lb></lb>dove con assiduità di azzioni virtuose la gloria non si acqui<lb></lb>sta, ma si assecura, e si accresce, posso con legittima scusa <lb></lb>risparmiarmi la fatica della perorazione. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>LEZIONE NONA<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PREFAZIONE IN LODE DELLE MATEMATICHE.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Io non credo, che le discipline Matematiche havessero <lb></lb>già mai minor bisogno di lode, che in questo giorno, et <lb></lb>in questo luogo per apunto alla presenza di voi virtuo<lb></lb>sissimi Uditori. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Imperocche sono a mio giudizio total<lb></lb>mente superflue le lodi, o inopportuni gli encomi della <lb></lb>Matematica in questo felicissimo Stato, dove la nobiltà <lb></lb>la professa, et i Principi la proteggono. </foreign></s> <s>Mal consiglio <lb></lb>sarebbe per certo leggere la Geometria dove ella avesse <pb pagenum="66"></pb>bisogno di laudatore. </s> <s><foreign lang="it">So che sono già persuasi gli animi <lb></lb>de Signori Fiorentini; et io non debbo far altro, che <lb></lb>render grazie a Dio, et al Serenissimo Padrone, per <lb></lb>havermi dedicato al servizio d'una gioventù, la quale in <lb></lb>questi studi ingegnosi ha più tosto bisogno di freno, che <lb></lb>di sprone. </foreign></s> <s>So che io posso con l'antico Aristippo ralle<lb></lb>grarmi, per esser giunto in un porto dove Vestigia homi<lb></lb>num cerno, vedendo in più d'un muro delineate figure <lb></lb>matematiche, et ascoltando in più d'un ragionamento <lb></lb>discorsi di Geometria. </s><s>Nulladimeno insegnandomi l'inge<lb></lb>gnoso Poeta, che spesse volte </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Acer, et ad palmam per se cursurus honoris, <lb></lb>Si tamen horteris fortius ibit equus.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb>anderò toccando con rozzo discorso, qualche particolarità <lb></lb>delle Matematiche acciò voi sentiate rammentarvi una <lb></lb>particella delle utilità che si cavano da quei peregrini <lb></lb>studi, alli quali siete tanto, e per inclinazione di genio, e <lb></lb>per elezione di giudizio applicati. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Par propriamente un delirio di malinconia, in tutte <lb></lb>le Università dell'Europa, se qualcuno lasciata l'affluenza del <lb></lb>commune concorso, si applica alla contemplazione delle ab<lb></lb>bandonate Matematiche. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Io confesso di non haver incontrato <lb></lb>briga maggiore, ne difficoltà più frequente, che nel dover <lb></lb>ogni giorno rispondere all'interrogazione fattami. </foreign></s> <s>A che <lb></lb>servissero queste Matematiche? </s></p> <p type="main"> <s>Ecco dunque, che rispondendosi alla curiosità, spero <lb></lb>che gl'interrogatori saranno astretti a confessare che con <lb></lb>ragione la sapientissima Antichità costumava di farle im<lb></lb>parare alli giovanetti prima che si applicassero a niun'altra <lb></lb>disciplina. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Parvi forse poco benefizio questo Uditori, che mentre <lb></lb>voi habbiate un ingegno lucido, fatto da Dio per intendere, <lb></lb>et inclinato per natura alle specolazioni, parvi, dico, poco <lb></lb>benefizio, che si trovi una scienza sì nobile, la quale da <lb></lb>se sola sia bastante per appagare il vostro intelletto, e <lb></lb>per dar pasto d'ingegnoso trattenimento alla cupidigia di <lb></lb>qualunque curioso specolatore? </foreign></s> <s><foreign lang="it">Che frutto d'interna <lb></lb>consolazione stimate voi che raccolga un animo vera- <pb pagenum="67"></pb>mente filosofo, dedito alla coltura d'una scienza, gl'in<lb></lb>segnamenti della quale non sono opinioni di dottori, o <lb></lb>fantasie di huomini, ma beneplaciti divini, e verità indu<lb></lb>bitabili, et eterne? </foreign></s> <s><foreign lang="it">Non troverete una sola proposta nella <lb></lb>Geometria, la quale non lasci esquisitamente appagato l'a<lb></lb>nimo di chi l'ha intesa. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Non si trova che ne i libri classici <lb></lb>della Matematica da due secoli in quà si sia già mai <lb></lb>scoperta un'ombra di fallacia; non per altro, se non perchè <lb></lb>le verità Geometriche ritrovate una volta sola, subito che <lb></lb>sono scoperte, escludono le contradizioni, e s'impossessano <lb></lb>dell'eternità. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Doverebbe bastar questo per appagar l'animo <lb></lb>d'un vero filosofo, il quale habbia dedicato l'ingegno <lb></lb>non al guadagno, ma alla sapienza. </foreign></s> <s>Platone aditato contro <lb></lb>Eudosso, et Archita, perchè non contenti delle astratte con<lb></lb>templazioni Geometriche, tentavano di propagarle ancora <lb></lb>per l'utilità nelle macchine materiali, alza una voce in <lb></lb>Plutarco, et esclama, sciocchi, et inetti che siete, e perchè <lb></lb>depravate la bellissima Geometria, quasi che ella, ad sui <lb></lb>usum corporea mole, et mercenaria indigeret inertia? </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ma che le Matematiche sieno profitevoli ancora per <lb></lb>l'altre professioni e primieramente per la Religione, e per <lb></lb>la Santa Scrittura; odasi S. Agostino il quale dà la sen<lb></lb>tenza favorevole per la parte nostra. </foreign></s> <s>Egli al cap. 16. de <lb></lb>Doctrina Christiana asserisce che per l'ignoranza de'nu<lb></lb>meri, e dell'Aritmetica, non erano intese molte cose, le <lb></lb>quali con traslati, et in sensi mistici venivan poste nelle <lb></lb>Sacre Carte. </s> <s><foreign lang="it">Di tutto ciò egli apporta vari esempi; ma <lb></lb>non contento ancora trascorre di nuovo nella medesima <lb></lb>materia, et esaggera più diffusamente nel cap. 37. questo <lb></lb>medesimo argomento. </foreign></s> <s><foreign lang="it">S. Girolamo nell'Epistola 5. del <lb></lb>primo Tomo, mostra quanta forza, et efficacia sia nella <lb></lb>scienza de' numeri per intender bene molti misterij delle <lb></lb>sacre Scritture, per altro assai reconditi, et astrusi: nel <lb></lb>qual luogo ancora soggiunge che la Geometria apporta <lb></lb>molta utilità alli Teologi che la possiedono. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">S. Agostino nel luogo già laudato afferma, che la Teo<lb></lb>rica musicale (che pure è parte delle Matematiche) è ne<lb></lb>cessaria a un Dottore Cristiano. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Poco dopo nel cap. 19. <lb></lb>aggiunge, che i Teologi doverebbero esser con ogni dili- <pb pagenum="68"></pb>genza istrutti nella Geografia. </foreign></s> <s><foreign lang="it">San Gregorio Nazianzeno si <lb></lb>diffonde nell'innalzare con applauso di lodi magnifiche il <lb></lb>suo gran Maestro S. Basilio, perchè egli era non ordina<lb></lb>riamente perito nella cognizione dell'Astronomia, della <lb></lb>Geometria, e della Aritmetica. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma senza andar ricercando <lb></lb>le testimonianze della remota antichità, chieggasi a Gre<lb></lb>gorio XIII. Pontefice Romano quanto benefizio habbia ri<lb></lb>cevuto la Chiesa di Dio dalla scienza dell'Astronomia, e <lb></lb>in particolare da i Matematici allora viventi. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Egli rispon<lb></lb>derà, come famoso autore della correzzione del Calendario, <lb></lb>che se le solennità di Cristo Signor Nostro, e le feste de <lb></lb>i Santi Martiri sono hoggidì celebrate da Santa Chiesa ne i <lb></lb>loro tempi debiti et in quei giorni per apunto dell'anno, <lb></lb>ne i quali essi Santi Martiri, o morirono, o nacquero, tutto <lb></lb>fu solo benefizio dell'Astronomia. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ella insegnandoci la vera <lb></lb>quantità dell'anno, ricondusse con la detrazzione di quei <lb></lb>dieci giorni, le feste alli lor tempi dovuti; et insieme ri<lb></lb>mediò che non potessero mai più trascorrere per l'avvenire. </foreign></s> <s><lb></lb>Questo benefizio si poteva ben chiedere, ma non già impe<lb></lb>trare da altra professione che dalla Matematica. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Di quanta utilità sia poi l'Astronomia nella Medicina, <lb></lb>nell'Arte Nautica, e nell'Agricoltura non credo, che ad al<lb></lb>cuno di voi sia ignoto Uditori. </foreign></s> <s>Attendete se i benefizi dell'A<lb></lb>stronomia sieno importanti per i vostri interessi. </s> <s><foreign lang="it">Nella <lb></lb>Medicina si tratta della vostra sanità, e della vostra vita: <lb></lb>dall'Agricoltura dipendono i nostri alimenti e le nostre <lb></lb>delizie: dall'Arte Nautica le ricchezze, e le comodità di <lb></lb>quasi tutti i popoli della terra. </foreign></s> <s>La Medicina è piena di <lb></lb>precetti, e di osservazioni Astronomiche. </s> <s><foreign lang="it">Dell'Agricoltura, <lb></lb>e dell'Arte Nautica, si legge nella divina Georgica </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Propterea tàm sunt Arcturi sydera nobis <lb></lb>Haedorumque dies servandi, et lucidus anguis, <lb></lb>Quam quibus in patriam ventosa per aequora vectis, <lb></lb>Pontus, et ostriferi fauces tentantur Abydi.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Che diletto apportano le predizioni tanto aggiustate <lb></lb>degli eclissi celesti? </s> <s><foreign lang="it">Vedete pure che per venti, e cento <lb></lb>anni prima s'indovinano i mancamenti del Sole, e della <lb></lb>Luna. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Vedete che si predice puntualissimamente in qual <pb pagenum="69"></pb>giorno dell'anno, in che hora del giorno, in qual parte del <lb></lb>Cielo, a quai Popoli della terra, e per quanta porzione del <lb></lb>suo diametro si oscurerà o l'uno, o l'altro che sia de i lumi<lb></lb>nari. </foreign></s> <s>Non vi pare che sia una gentile soddisfazzione quella <lb></lb>che ci apporta la Gnomonica? </s> <s><foreign lang="it">Questa con alcune sue <lb></lb>regolette vi dipinge nel piano de i muri, o in altre superficie <lb></lb>un horiolo, al quale siete certi che renderà obbedienza <lb></lb>perpetua in tutti i suoi viaggi, quasi per obbligo l'istesso <lb></lb>Sole. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Voi intanto con una figura di poche lineette, pre<lb></lb>scrivete per così dire, le leggi al gran Monarca de' Pianeti, <lb></lb>il quale si trova poi costretto a mandar l'ombre sue non per <lb></lb>altre strade se non per quelle che dallo Scioterico Archi<lb></lb>tetto gli saranno state dipinte, et assegnate. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">In quanto a me non istimo huomo di gusto umano <lb></lb>colui, il quale non sente straordinario diletto nel vedere <lb></lb>dentro i confini angusti d'una stanzuola epilogata la faccia <lb></lb>dell'universa terra nelle tavole Geografiche dell'industrioso <lb></lb>Settentrione. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Rispondi tu diligentssimo Ortelio, e dacci ad <lb></lb>intendere, se i famosi Piloti d'Ollanda, e d'Inghilterra po<lb></lb>tevano già mai situar l'Isole, e delineare nelle carte <lb></lb>loro le spiagge de i continenti, intorno alle quali navi<lb></lb>gavano, se non erano aiutati dal benefizio dell'Astro<lb></lb>nomia. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Sapete benissimo Uditori che senza l'uso delle <lb></lb>longitudini, et dell'altezze polari, sapremmo difficilissima<lb></lb>mente, non dico la configurazione di tutta la terra, ma la <lb></lb>delineazione della piccolissima Italia. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Mi sovviene d'haver sentito dire da un grande ingegno, <lb></lb>che l'onnipotenza di Dio compose una volta due volumi. </s><s><lb></lb>In uno <emph type="italics"></emph>dixit, et facta sunt,<emph.end type="italics"></emph.end> e questo fu l'Universo. </s><s>Nel<lb></lb>l'altro <emph type="italics"></emph>dixit, et scripta sunt,<emph.end type="italics"></emph.end> e questa fu la Scrittura. </s><s>Che <lb></lb>per leggere la Bibbia sieno giovevoli le Matematiche, già <lb></lb>sentiste l'opinione di Sant'Agostino, e d'altri Padri. </s> <s><foreign lang="it">Che <lb></lb>per leggere il gran Volume dell'Universo (cioè quel libro, <lb></lb>ne i fogli del quale doverebbe studiarsi la vera filosofia <lb></lb>scritta da Dio) sieno necessarie le Matematiche, quelli <lb></lb>se ne accorgerà, il quale con pensieri magnanimi aspi<lb></lb>rerà alla gran scienza delle parti integranti, e de i membri <lb></lb>massimi di questo gran corpo, che si chiama mondo. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Quando alcuno desiderasse di saper le distanze de pia- <pb pagenum="70"></pb>neti, e delle stelle, sì fra di loro come anco in para<lb></lb>gone della terra; quando altri ricercasse le proporzioni <lb></lb>delle loro grandezze, overo i tempi precisi de i loro periodici <lb></lb>movimenti; se alcuno desiderasse conoscer da se stesso <lb></lb>l'ampiezza di questa palla terrena, che giornalmente calpe<lb></lb>stiamo; se chiedesse onde proceda la varietà delle sta<lb></lb>gioni; qual sia la causa dell'inuguaglianza de' giorni, la <lb></lb>quale in tanti modi si diversifica secondo le varie obbli<lb></lb>quità della sfera; </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Quid tantum oceano properent se tingere soles <lb></lb>Hiberni; vel quae tardis mora noctibus obstet.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb>Quando investigasse le precessioni delli equinozi, i ter<lb></lb>mini delli eclissi, la trepidazione del firmamento, e cose <lb></lb>simili; certo s'accorgerebbe, che l'unico alfabeto, et i soli <lb></lb>caratteri con i quali si legge il gran Manuscritto della <lb></lb>filosofia divina nel libro dell'universo, non sono altro <lb></lb>che quelle misere figurette che vedete ne i Geometrici <lb></lb>elementi. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Qual concetto formereste voi Signori Uditori, della <lb></lb>ricchezza di un Mercante, se vedeste, che i gran Principi, <lb></lb>e i Potentati della terra applicassero tutto l'ingegno <lb></lb>proprio, e tutte le forze de i sudditi, non per impadronirsi <lb></lb>della preziosa drapperia di esso, ma solo per conquistarsi <lb></lb>qualche minuto framento di quel braccio, con il quale egli <lb></lb>misura la ricca suppellettile delle sue mercanzie? </foreign></s> <s>Qual <lb></lb>concetto, dico, formereste voi Uditori, di un Mercante di <lb></lb>questa sorta? </s><s>Felici voi anime grandi d'Hipparco, e di Tolo<lb></lb>meo. </s> <s><foreign lang="it">I fondachi dove voi esercitavate i traffichi dell'indu<lb></lb>stria ingegnosa erano i Cieli, e fra le vostre tappezzerie si <lb></lb>numeravano le Stelle, et i luminari. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Questa palla di terra, <lb></lb>che pure è la base de i Regni, et il fondamento delle Mo<lb></lb>narchie, non serviva per altro nelle vostre botteghe, fuor<lb></lb>che per misurare a semidiametri gli intervalli delle sfere, <lb></lb>e l'adopravate per pertica delle vostre dimensioni. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Po<lb></lb>vero Alessandro! Con che lacrime haverebbe egli pianto, se <lb></lb>dopo haver trascorso con volo trionfale dalla Macedonia <lb></lb>fino al Gange, havesse pensato che la somma del suo <lb></lb>faticoso acquisto non era altro, che una particella di quel <pb pagenum="71"></pb>braccio, e di quella misura, la quale nella ricca officina <lb></lb>dell'Astronomia, o si disprezza, o non si stima per altro, <lb></lb>che per misurare i broccati, e i fondi d'oro, che eterna<lb></lb>mente lampeggiano nelle sfere, e nel firmamento. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Che diremo dell'Aritmetica? </s><s>si richiederebbe propria<lb></lb>mente un Aritmetico per numerare i benefizii che ella <lb></lb>apporta, non meno alli contemplativi astratti, che agli eco<lb></lb>nomi, et a i Mercanti applicati. </s> <s><foreign lang="it">Voi potete far fede, inge<lb></lb>gnosi Maestri d'Algebra qui presenti, quanti problemi che <lb></lb>quasi eccedono la capacità dell'ingegno humano, poi con <lb></lb>l'aiuto della scienza si svelano, non so se con maggior <lb></lb>diletto, o con maggiore maraviglia. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Come sarebbe mai pos<lb></lb>sibile ne i commerci della vita civile, non ingannare, o vero <lb></lb>essere ingannato, senza la dottrina del numerare? </foreign></s> <s><foreign lang="it">Qual <lb></lb>sapiente si rincuorerebbe già mai di svilupparsi dalle lunghe <lb></lb>somme de i libri mercantili, da i calcoli de i banchieri, dalle <lb></lb>Compagnie, da i Bilanci, dal pareggiamento di cambii di<lb></lb>versissimi? </foreign></s> <s>cose le quali si rendono poi non solo possi<lb></lb>bili, ma anco agevoli ad un fanciullo, che habbia l'istruz<lb></lb>zione dell'Aritmetica. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Chi non ammira la Mecanica, si può ben dire che <lb></lb>non goda della scena delle maraviglie. </foreign></s> <s>Mi par ben deplo<lb></lb>rabile la miseria de i nostri tempi, ne i quali questa facoltà <lb></lb>tanto benefica, e tanta maravigliosa, è molto adoprata, <lb></lb>ma poco intesa. </s> <s><foreign lang="it">Non si trova fra le immonde ciurme delle <lb></lb>galere, schiavo tanto inesperto, che non sappia benissimo <lb></lb>l'uso dell'argano, e la pratica delle taglie. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ogni muratore, <lb></lb>o pizzicagnolo, per ignorante che sia, sa l'utilità della <lb></lb>lieva, e le operazioni della bilancia. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Altri per mera pratica <lb></lb>sanno l'uso del misurar le campagne; Altri s'esercitano <lb></lb>nell'Architettura mercenaria di palazzi, e di fortezze; Et <lb></lb>un filosofo, et un huomo libero nato per sapere, non si ver<lb></lb>gogna quando pensa che egli non intende quelle cose, e <lb></lb>quelle macchine, che anco fino gl'istessi facchini sanno <lb></lb>adoperare? </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Sovvengavi Uditori la memorabil strage che fece nell'e<lb></lb>sercito Romano il fulmine di Siracusa Archimede. </foreign></s> <s>Narrano <lb></lb>Plutarco, e Livio prove si eccelse, di quel famoso Me<lb></lb>canico, che appresso i secoli delle posterità troveranno <pb pagenum="72"></pb>mai sempre più di maraviglia, che di credenza. </s><s>Lascio <lb></lb>le storie perchè sono note. </s><s>Esagera Plutarco lo spavento, <lb></lb>e le sconfitte de gl'oppugnatori Romani in molte forme: <lb></lb>finalmente prorompe, che <emph type="italics"></emph>Adversum Deos pugnare vide<lb></lb>bantur.<emph.end type="italics"></emph.end> Scrive quell'altro, <emph type="italics"></emph>Habuisset profectò tanto impetu <lb></lb>caepta res fortunam, nisi unus homo Syracusis ea tempestate <lb></lb>fuisset Archimedes.<emph.end type="italics"></emph.end> Dunque un huomo solo, vecchiarello, <lb></lb>et inerme, si giudicava equivalente ad una squadra di Dei? </s><s><lb></lb>Dunque un sol huomo era bastante per resistere (quasi <lb></lb>dissi per vincere) un esercito Romano? </s><s>Un esercito alle<lb></lb>vato nelle guerre, assuefatto alle vittorie, trionfatore delle <lb></lb>nazioni, corteggiato dalla fortuna; poi spaventato da un <lb></lb>huomo solo? </s> <s><foreign lang="it">Glorioso Archimede, che nelle rovine della <lb></lb>patria anco trionfasti nelle lacrime dell'inimico. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Venga la Geometria, la quale dovrebbe stimarsi, sicome <lb></lb>veramente è, la madre, e la Regina di tutte l'altre scienzie <lb></lb>Matematiche. </s><s>Doveressimo riconoscere da lei tutti i gio<lb></lb>vamenti, e tutti i diletti, che derivano dall'Aritmetica, e <lb></lb>dalla Musica, dall'Astronomia, e dalla Mecanica, dalla <lb></lb>Geografia, dall'Architettura, dall'Optica, e da tutte l'altre <lb></lb>figliuole subalternate alla Matematica famiglia. </s> <s><foreign lang="it">Ma per <lb></lb>toccar qualche suo proprio particolare, quante volte ci <lb></lb>occorre il misurar la superficie de i campi, e la tenuta de i <lb></lb>poderi? </foreign></s> <s>Come spesso si ricerca quante braccia cube di <lb></lb>fabbrica siano in un muro? </s> <s><foreign lang="it">quanto sia il vano, e la ca<lb></lb>pacità d'una casa, o di qualunque vaso, di che figura <lb></lb>si sia? </foreign></s> <s>quante braccia di terra siano in un monte da tra<lb></lb>sportarsi; quante ne fussero in un pozzo, o in un fosso <lb></lb>prima che fusse lavorato. </s><s>Quant'acqua passi per un fiume <lb></lb>in un hora overo in altro assegnato spazio di tempo. </s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Queste e moltr'altre simili sono quistioni, che dal solo <lb></lb>Geometra, e non da alcun altro professore possono essere <lb></lb>sciolte, e determinate. </foreign></s> <s>Quante volte accade dover levar <lb></lb>piante di Città, di fortezze, et anco di Provincie? </s> <s><foreign lang="it">la <lb></lb>Geometria con semplici strumenti vi descriverà la pianta <lb></lb>desiderata, anco quando non possa avvicinarsi al luogo <lb></lb>da descriversi. </foreign></s> <s>Misurerà con l'occhiate, et escluderà con la <lb></lb>lunghezza dello sguardo l'attività dell'artiglierie. </s> <s><foreign lang="it">Ella dirà <lb></lb>l'altezza di quella rocca, o di quel castello senza appres- <pb pagenum="73"></pb>sarvisi; ella saprà quanto sia il perpendicolo di quel <lb></lb>monte, o il diametro di questo globo, ancorche l'uno e <lb></lb>l'altro stia immerso nell'altissime viscere del terreno. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ella <lb></lb>finalmente porterà le misure dovunque arriverà con la vista; <lb></lb>e non sarà possibile ne anco all'altissimo Saturno l'esen<lb></lb>tarsi dalle dimensioni della sagacissima Geometria. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Lascio <lb></lb>star da parte, che se ad alcuno de viventi, cadesse già <lb></lb>mai nell'animo il pensiero di voler vagheggiare la Verità <lb></lb>(la quale per mio credere è la più bella fra tutte le <lb></lb>figlie dell'Onnipotenza) non conviene che la ricerchi, <lb></lb>o speri di vederla già mai tanto presente, e tanto mani<lb></lb>festa in altri libri, quanto in quelli della Geometria. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Parlo <lb></lb>solamente Uditori, de i libri della sapienza humana, fra <lb></lb>le carte de i quali concedo che molte volte s'incontrerà <lb></lb>qualche vero, ma però come peregrino, e tanto avviluppato <lb></lb>nella mistione delle falsità che lo accompagnano, che <lb></lb>l'intelletto specolativo durerà gran fatica a discernere <lb></lb>le larve di nebbia da i simolacri di verità. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Pel contrario <lb></lb>ne i libri della Geometria vedete in ogni foglio, anzi in <lb></lb>ogni linea la Verità ignuda, la quale vi discuopre nelle <lb></lb>figure Geometriche le ricchezze della Natura, e i teatri <lb></lb>della maraviglia. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Platone, che al contrario de i moderni filosofi meritò il <lb></lb>cognome non dalla eccellenza, ma dalla divinità, lasciò <lb></lb>scritto nel Filebo, o vero dialogo del Summo Bono, che <lb></lb>quella scienza è più degna, e più eccellente d'ogn'altra, <lb></lb>la quale è più amante della sincerità, e della Verità. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Proclo <lb></lb>nobilissimo scrittore testifica, la Geometria essere utilissima <lb></lb>per l'acquisto della filosofia naturale, dell'Etica, e della <lb></lb>Dialettica; sapete che i libri di Platone, e d'Aristotile, <lb></lb>cioè de i Principi delle cattedre, e delle scuole, son tutti <lb></lb>pieni di esempi matematici, e però non possono essere intesi <lb></lb>perfettamente, se non da chi haverà prima havuto la con<lb></lb>tracifra, e l'instruzzione della Geometria. </foreign></s> <s><foreign lang="it">L'editto Plato<lb></lb>nico, col quale proibiva l'ingresso della sua famosa Ac<lb></lb>cademia a chi non era Geometra, hoggidì è assai più noto <lb></lb>che osservato. </foreign></s> <s><foreign lang="it">L'istesso Platone nel Filebo pronunzia, <lb></lb>che tutte le discipline sono vili senza le matematiche. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Il medesimo nel settimo delle leggi comanda che le <pb pagenum="74"></pb>discipline matematiche debbano impararsi avanti tutte <lb></lb>l'altre; et assegna le ragioni; per le molte, e rilevanti <lb></lb>utilità che esse apportano, non solo per l'apprensione <lb></lb>delle altre arti, ma anco per l'amministrazione della Re<lb></lb>pubblica, e per governo delle Città. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Nell'istesso luogo <lb></lb>egli afferma, che gli Aritmetici naturalmente sono atti, et <lb></lb>idonei a tutte l'altre dottrine: e diffondendosi nelle lodi <lb></lb>delle Matematiche, arriva fino a dire, che quando anco <lb></lb>non apportassero utilità alla Repubblica (siccome ne ap<lb></lb>portano innumerabili) in ogni modo dovrebbero impararsi <lb></lb>per questo punto solo, posciache elle corroborano la mente, <lb></lb>et inacutiscono l'ingegno, facendolo idoneo all'apprensione <lb></lb>dell'altre Arti liberali. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Nel settimo della Repubblica, e nel <lb></lb>Timeo, esalta le Matematiche con encomio superbo chia<lb></lb>mandole, <emph type="italics"></emph>Viam omnis erudilionis ingenuae.<emph.end type="italics"></emph.end> Nell'istesso <lb></lb>soggiunge, che l'occhio dell'anima, il quale da gl'altri studi <lb></lb>s'accieca, solo dalle scienze matematiche viene recreato, <lb></lb>et eccitato alla contemplazione. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Ma che occorre ch'io vada numerando le testimonianze <lb></lb>dell'Antichità, che per esser vecchie sono deboli? </s> <s><foreign lang="it">Habbiamo <lb></lb>Uditori, freschissimi, e presenti i motivi, che doverebbero <lb></lb>essere efficaci per isvegliare qualsivoglia più neghittoso, et <lb></lb>addormentato ingegno! Nominerò solo l'esempio de vostri <lb></lb>Serenissimi Principi, amatori, e protettori delle Matema<lb></lb>tiche; accennerò solo la fresca memoria del nostro famo<lb></lb>sissimo Galileo, nome benemerito dell'Universo, e conse<lb></lb>crato all'eternità. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Se l'industria dell'arte, e la fertilità de <lb></lb>i campi rendono abbondante questa patria se la provvi<lb></lb>denza, e l'equità del governo pacifico la fanno felice; <lb></lb>se la preminenza d'una favella e la Monarchia d'una lit<lb></lb>teratura si degna la pongono nel solio della gloria, il <lb></lb>solo nome del Galileo era bastante per coronarla di laude, <lb></lb>e per renderla immortalmente famosa: Famosa, dico, <lb></lb>anco appresso quelle nazioni barbare, sopra le quali per <lb></lb>l' incapacità dell'idioma non si estende la plenipotenza lit<lb></lb>teraria de i tribunali delle vostre Accademie. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Dissi poco, Uditori, ma se io volessi accennare tutto <lb></lb>quello che mi si appresenta intorno alle Matematiche, <lb></lb>mancherebbe prima l'ordine che la materia, e perverremmo <pb pagenum="75"></pb>più tosto alla nausea, che al compimento. </s> <s><foreign lang="it">Resta ch'io <lb></lb>tronchi la molestia, et il tedio del mio sconcio ragiona<lb></lb>mento, con offerire l'ossequio di prontissima servitù a tutti <lb></lb>quelli che si compiaceranno d'essermi condiscepoli nello <lb></lb>studiare la Geometria. </foreign></s> <s>Sarò la cote d'Horazio </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Acutum <lb></lb>Reddere quae valeat ferrum expers ipsa secandi.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Io intanto havrò per gloria il poter imparare da tutti; <lb></lb>et in particolare da quelli, che essendo addisciplinati nelle <lb></lb>scuole de i miei famosi Maestri, e precessori, cooperano <lb></lb>hora con la maturità dell'ingegno all'ornamento della Pa<lb></lb>tria, e godono i frutti della sapienza. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>LEZIONE DECIMA<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>DELL'ARCHITETTURA MILITARE.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Fra tutte l'arti, che dall'industria humana o per eser<lb></lb>cizio dell'ingegno, o per ornamento delle Città, siano già <lb></lb>mai state ritrovate, io per me credo, che le più degne, e le <lb></lb>più nobili, senza contraddizione alcuna debbano giudicarsi <lb></lb>la Pittura, e la Scoltura. </s> <s><foreign lang="it">Arti, che quasi emule dell'onni<lb></lb>potenza creatrice, o cavano da rozzi sassi figure poco men <lb></lb>che spiranti, o producono sulle tele immagini colorate, che <lb></lb>ingannando la vista, e la ragione, vincono sì di pregio, <lb></lb>come anco di bellezza l'opere della istessa natura. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Qual <lb></lb>gioconda maraviglia vi rapisce talvolta, Uditori, nel con<lb></lb>templare un marmo, o da gli Artefici Greci, o dal vostro <lb></lb>Toscano Fidia figurato? </foreign></s> <s>Vedete in quelle parti dove i <lb></lb>corpi viventi mostrano bellezza, e perfezzione, imitata con <lb></lb>con ogni puntualità la natura; ma dove gl'esemplari <lb></lb>animati mancano, e restano se non imperfetti. </s> <s><foreign lang="it">almeno poco <lb></lb>maestosi, l'opulenza dell'arte supplisce di maniera tale, <lb></lb>che il perito contemplatore confesserà sempre, che le fat<lb></lb>ture d'uno Scultore industre, o imitano in tutte le parti <pb pagenum="76"></pb>la natura operatrice, o in alcune la passano. </foreign></s> <s><foreign lang="it">L'istesso <lb></lb>potrebbe dirsi della Pittura, la quale in questi giorni, e <lb></lb>particolarmente in questa Città di Firenze, con tanta fe<lb></lb>licità rappresenta i parti della natura stessa, che il secol <lb></lb>nostro ha cagione di compatir piutosto, che d'invidiare i <lb></lb>tempi della passata antichità. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Mirabile invero si dimostra <lb></lb>la Scoltura, mentre da un marmo intrattabile per la du<lb></lb>rezza, incomodo per la gravezza, et inemendabile per una <lb></lb>sola volta, che venga errato, esprime nulla dimeno con <lb></lb>tanta vivezza non solo tutti i corpi della natura, e tutte le <lb></lb>vedute de i corpi, ma l'azzioni medesime, i gesti, gli affetti, <lb></lb>e poco meno, che gli stessi movimenti. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Maravigliosa ancora <lb></lb>si rappresenta la Pittura, poiche se l'ingegnoso scultore <lb></lb>immita l'opere create con corpi scolpiti, e rilevati, la Pit<lb></lb>tura non gli rappresenta con altro che con ombra, e con <lb></lb>apparenze, le quali non essendo se non pure qualità, <lb></lb>nulla con ogni ragione si possono appellare. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma fuggasi <lb></lb>da noi la controversia dell'eccellenza, e nobiltà fra due <lb></lb>Arti così degne, che non essendo per ancora decisa, resterà <lb></lb>forse perpetuamente indeterminata. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Pronunzio questo solo, <lb></lb>che fra tutte l'invenzioni dell'ingegno umano, o una di <lb></lb>queste due porta la corona, o ad ambedue si conviene <lb></lb>egualmente partita la palma del principato. È vero che <lb></lb>noi dovremmo per interesse proprio, e reputazion nostra, <lb></lb>ceder la palma alla Pittura, come figlia de i nostri se<lb></lb>coli, imparata dalla nostra industria, e non altrimente in<lb></lb>segnataci (come in tutte l'altre arti avviene) dalla maestra <lb></lb>antichità. </foreign></s> <s>Pare anco che qualche titolo di maggior pre<lb></lb>minenza si acquisti la Pittura per la maggior universalità <lb></lb>dell'operare. </s> <s><foreign lang="it">Se quella non rappresenta altro che corpi, <lb></lb>questa non solo immita la corpulenza degli oggetti solidi, <lb></lb>ma anco le qualità impalpabili come sono i colori, la luce, <lb></lb>e l'ombre: quella con gli artifizi suoi non può altrimenti <lb></lb>esprimere le cose dipinte, ma la Pittura può egualmente <lb></lb>figurare, e le cose create, e le scolpite. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ma come potrei io liberarmi hoggi dall'accusa di mani<lb></lb>festa adulazione, e sfacciataggine, se fussi comparso in <lb></lb>questo luogo, non con altr'animo che di tessere un Pane<lb></lb>girico in lode della Pittura, e della Scultura? </foreign></s> <s>In questo <pb pagenum="77"></pb>luogo à punto dove le Regine dell'Arti quasi in propria <lb></lb>habitazione dimorano, e regnano come in trono dominante. </s><s><lb></lb>Non sono così peregrine in questa Città, che habbiano bi<lb></lb>sogno di esser lodate per accender gl'animi al fervore <lb></lb>dello studio loro; e non sono così ignote in questa famo<lb></lb>sissima Accademia, che tengano necessità d'encomi men<lb></lb>dicati per accreditarsi appresso di voi Uditori, che con tanta <lb></lb>vostra gloria ve ne dimostrate o professori, o seguaci. </s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>In vero le lodi della Pittura, e Scoltura sono infinite, <lb></lb>ma siami lecito l'additarvi fra tante loro eccellenze un <lb></lb>biasimo solo, che se ben tutto può convertirsi in lode, nulla <lb></lb>dimeno per esser di molta conseguenza può giudicarsi <lb></lb>degno di qualche accurata considerazione. </foreign></s> <s>Il fine di queste <lb></lb>due professioni tanto illustri altro per mio credere non è <lb></lb>che l'ornamento de i templi, e de i palazzi, l'abbellimento <lb></lb>e lo splendore delle Città. </s><s>Ma qual pregiudizio più dan<lb></lb>noso può farsi a una Città, et a un Regno, che renderlo <lb></lb>eccessivamente adornato, et arrichito di preziosissimi, e fa<lb></lb>mossissimi adornamenti? </s><s>L'abbondanza delle statue famose <lb></lb>e la moltitudine delle pitture inestimabili, non solo rapi<lb></lb>scono i passeggieri che le contemplano all'ammirazione, <lb></lb>ma anco allettano le Nazioni straniere che le invidiano <lb></lb>alla rapina. </s> <s><foreign lang="it">La Grecia che più d'ogni altra provincia in<lb></lb>clinava alle splendidezze, et al lusso, abbondò in quei <lb></lb>tempi ch'ella fioriva, di simili ricchezze assai più essa sola, <lb></lb>che tutto il rimanente insieme dell'universo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Non fu perciò <lb></lb>maraviglia se il Popolo Romano passato il mare soggiogò <lb></lb>quelle nazioni, e col sacco di tante industriose Città ab<lb></lb>bellì Roma, alla quale già cresciuta di grandezza, e <lb></lb>di potenza altra dote non pareva che mancasse, fuor <lb></lb>che gli adornamenti. </foreign></s> <s>Da una sola Città dell'Epiro espu<lb></lb>gnata da Marco Fulvio, furono portate in Roma poco meno <lb></lb>di trecento statue di bronzo, e quasi altrettante di marmo, <lb></lb>tutte singolari per la bellezza, et inestimabili di valore. </s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>La Sicilia per la vicinanza della Grecia, si era provve<lb></lb>duta di una merce innumerabile di pitture, e di statue famo<lb></lb>sissime. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Non è dunque maraviglia se invitò l'invasione <lb></lb>de Cartaginesi più d'una volta a saccheggiare un regno <lb></lb>fioritissimo per depredare in lui le preziose delizie di <pb pagenum="78"></pb>quella supellettile che gli cagionò l'invidia, e la rovina. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Gran parte invero gli fu fatta restituire da i Romani vin<lb></lb>citori dopo la seconda guerra Cartaginese. </foreign></s> <s>Ma non minor <lb></lb>quantità ne haveva trasportata Marcello da Siracusa espu<lb></lb>gnata a Roma trionfante. </s> <s><foreign lang="it">Incredibil moltitudine ancora <lb></lb>ne trassero gli altri Pretori, e Proconsoli Romani, finche <lb></lb>l'insaziabil cupidigia di C. Verre finì di spogliare quel<lb></lb>l'infelice regno di quanto v'era restato di prezioso, e di <lb></lb>pellegrino. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Roma tra le cui mura si congregarono alla fine tutte <lb></lb>le maraviglie dell'universo, quante volte Uditori, dalle na<lb></lb>zioni lontane è stata presa, e saccheggiata? </s> <s><foreign lang="it">Creda pure <lb></lb>alcuno che ciò seguisse per altri fini, io per me credo, <lb></lb>che l'unica intenzione de i popoli espugnatori fusse l'im<lb></lb>padronirsi di quegli adornamenti, che rendevano una tale <lb></lb>Città la più bella, e la più invidiabile, che già mai fusse <lb></lb>stata nella memoria de i secoli decorsi. </foreign></s> <s>Io so certo che <lb></lb>gli eserciti espugnatori di Roma non la presero per rite<lb></lb>nerla, imperoche alcuni la trovarono in istato di forze <lb></lb>tanto afflitte, che potevan anco sperare se havessero voluto <lb></lb>di dominarla. </s> <s><foreign lang="it">Nondimeno si legge che dopo presa, e de<lb></lb>predata l'abbandonavano, dando manifestamente ad inten<lb></lb>dere che niun altro fine gli haveva mossi a soggiogare una <lb></lb>tanta Città fuor che il desiderio d'impadronirsi delle pre<lb></lb>ziose spoglie ond'ella era adornata. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Pare incredibile la <lb></lb>quantità quasi innumerabile di statue superbissime, che <lb></lb>gli Autori scrivono essersi ritrovate in Roma nel tempo <lb></lb>che ella a guisa di trionfante Regina a tutta la terra de<lb></lb>bellata comandava. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ogni Tempio, ogni piazza, ogni strada <lb></lb>n'era piena: piene n'eran le case, i portici, le ville, i teatri, <lb></lb>le terme; a segno tale che non sapevano qual fusse mag<lb></lb>giore o il numero degli uomini viventi, o la moltitudine <lb></lb>de i simulacri effigiati. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ora per lo contrario dopo essersi <lb></lb>dissipate le più preziose per la terra tutta quella Città, <lb></lb>che fu già una galleria universale del mondo, si è ridotta <lb></lb>a mendicare fino i frammenti che di sotterra si cavano <lb></lb>o dall'alveolo del Tevere, o dal fondo de' pozzi, o dalle <lb></lb>cave de' fondamenti. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Dunque Ascoltatori, se dalla copia soprabbondante delle <pb pagenum="79"></pb>ricchezze, e degli adornamenti tesaurizzati per mezzo <lb></lb>della Pittura, e della Scoltura possono accendersi gli <lb></lb>animi alla rapina, et nascere la sovversione de i Regni che <lb></lb>pronunzieremo noi dover farsi per ovviare a questo pe<lb></lb>riglio? </foreign></s> <s>La cupidigia di simili splendidezze si è più tosto <lb></lb>accresciuta, che diminuita. </s> <s><foreign lang="it">L'abbondanza delle opere pre<lb></lb>ziose si multiplica; et il valore degli Artefici illustri ogni <lb></lb>giorno s'avanza particolarmente in questa Città, dove i <lb></lb>Pittori, e Scultori più gloriosi o sono nati, o sono venuti. </foreign></s> <s><lb></lb>Sbandiremo quelle arti nell'esercizio delle quali par che <lb></lb>l'ingegno creato in un certo modo gareggi colla Divinità? </s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Estirperemo quelle vaghezze, che distinguevano le abita<lb></lb>zioni degli uomini dalle spelonche delle fiere, e leveremo <lb></lb>affatto dalle nostre Città quegli adornamenti reali che dif<lb></lb>ferenziavano i palazzi dell'Italia industriosa dalle selve <lb></lb>della Barbarie inumana? </foreign></s> <s><foreign lang="it">Non sia vero già mai: anzi con <lb></lb>istudio, e applicazione maggiore del solito attendasi hoggi <lb></lb>all'esercizio di professioni così gloriose per acquistar fama, <lb></lb>et immortalità a se stesso, e per accrescer vaghezze alla <lb></lb>Patria. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Fiorisce in compagnia della Pittura, e Scultura <lb></lb>una terza sorella che quasi terza Grazia perfeziona il <lb></lb>numero, et accresce il pregio alla bellissima coppia di <lb></lb>quelle Imperatrici delle Professioni. </foreign></s> <s>L'Architettura con <lb></lb>opere magnifiche, et ingegnose concorre con la Pittura, e <lb></lb>con la Scoltura anch'essa non solamente nell'abbellire, ma <lb></lb>anco nell'assicurare le città. </s> <s><foreign lang="it">Eccovi gli adornamenti di <lb></lb>fabbriche non tanto pompose per l'apparenza, quanto co<lb></lb>mode per l'alloggiamento; di templi maravigliosi, di teatri <lb></lb>immensi, di ponti, d'acquedotti, di fontane, di logge, e <lb></lb>d'altre opere simili che non solamente hanno per fine la <lb></lb>comodità degli habitatori, ma anco la maraviglia de i ri<lb></lb>guardanti. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Tutto questo però non sarebbe un produrre la <lb></lb>sicurezza delle città, ma più tosto un accrescere loro <lb></lb>insieme con la bellezza anco il pericolo. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Però l'Architettura sola, e specialmente quella parte <lb></lb>che militare s'appella, s'affatica nella custodia delle città, <lb></lb>e dei Regni, con la fabbrica di fortezze, castelli, rocche, <lb></lb>e tante altre sorte di difese che hoggidì contro l'impeto <lb></lb>degli eserciti armati si consumano. </foreign></s> <s>Se le ricchezze, e le <pb pagenum="80"></pb>bellezze de i Regni adornati hoggidì con pacifico possesso <lb></lb>da i cittadini quieti si godono; se le arti dell'ingegno in <lb></lb>una pace tranquilla con ogni sicurezza si esercitano; ad <lb></lb>altri un così notabile benefizio non si ascriva, che alla mi<lb></lb>litare Architettura. </s> <s><foreign lang="it">Questa con assicurar le Città dall'oppu<lb></lb>gnazioni straniere fa che le patrie si adornano per gli <lb></lb>habitatori, e non per i nemici, et opera che nelle provincie <lb></lb>fortificate si possano multiplicare gli adornamenti senz'ac<lb></lb>crescer il sospetto delle rapine. </foreign></s> <s>Ma potrà forse giudicare <lb></lb>alcuno che io con poca ragione habbia havuto ardire di <lb></lb>paragonare a due professioni tanto gloriose, come sono la <lb></lb>Pittura, e la Scultura, un arte che forse parrà vile, et <lb></lb>abbietta. </s><s>Vile potrà parere l'Architettura militare a chi <lb></lb>considera, ch'ella nelle sue fortificazioni la maggior parte <lb></lb>de i suoi lavori non innalza se non di terra. </s> <s><foreign lang="it">Non potrà <lb></lb>già parer vile a chi considera che quei lavori di terra da <lb></lb>vilissimi mercenari, e non dal militare architetto vengono <lb></lb>maneggiati. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Non potrà parer vile a chi non si ricorda, che <lb></lb>nell'ultimo giorno della sua fatica si impiegarono in lavori <lb></lb>di terra gli altissimi ministeri dell'onnipotenza. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Sogliono alcuni che contemplano intorno alla nobiltà, <lb></lb>et eccellenza delle cose, considerar il fine, le conseguenze, <lb></lb>l'autore, e i professori coll'antichità, o vogliam dire l'ori<lb></lb>gine di esse per poter poi con equità, e con fondamento <lb></lb>profferire il giudizio della dignità loro. </foreign></s> <s>Il fine dell'Architet<lb></lb>tura militare altro non è che la sicurezza, e la conservazione <lb></lb>de i Regni. </s> <s><foreign lang="it">La fortuna, e la virtù possono ben dispensare <lb></lb>gli Imperi a chi, o per nascita Reale si sarà incontrato <lb></lb>nel Trono, o per azioni eroiche havrà conquistata la corona <lb></lb>della potenza. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma la fortuna, e la virtù non possono già <lb></lb>per lungo spazio di tempo mantenere il possesso di quei <lb></lb>Regni ch'elle distribuiscono, se dall'Architettura militare <lb></lb>non vengono custoditi, et assicurati. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Studino pure l'altre <lb></lb>professioni di dar gusto alle orecchie con intrecciamenti di <lb></lb>voci armoniose, o con accenti di corde regolatamente <lb></lb>battute; s'affatichino pure per allettar le viste de i riguar<lb></lb>danti con la vivace disposizione de i ben intesi, e ben accor<lb></lb>dati colori; sudino intorno a' numeri poetici, a' colori ret<lb></lb>torici, alle proporzioni delle figure, alle proprietà de i <pb pagenum="81"></pb>numeri, et al corso delle sfere; che solo l'Architettura <lb></lb>militare à fine di partorir il riposo, e la quiete, o per dir <lb></lb>meglio la sicurezza, e la libertà all'altre professioni, spe<lb></lb>cula propugnacoli formidabili contro l'ostilità. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Se l'altre <lb></lb>discipline non hanno per fine se non l'acquisto della fama, <lb></lb>o delle ricchezze, l'esercizio dell'intelletto, o del corpo, <lb></lb>l'allettamento dell'animo, o de i sentimenti, la militare <lb></lb>Architettura altro non si propone per fine che assicurarvi <lb></lb>l'esercizio dell'altre professioni, conservarvi la libertà, e <lb></lb>le ricchezze, e custodirvi la Religione, la Patria, le mogli, <lb></lb>i figliuoli, la vita. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Vegezio il gran Maestro della Milizia <lb></lb>Romana proruppe una volta in queste parole: <emph type="italics"></emph>Quis enim <lb></lb>dubitet Artem bellicam rebus omnibus esse potiorem? </foreign></s> <s>per <lb></lb>quam et libertas retinetur, et dignitas provinciae probatur, <lb></lb>et conservatur imperium.<emph.end type="italics"></emph.end> Il medesimo in altra occasione <lb></lb>alzando la voce esclama: <emph type="italics"></emph>O Viros omni admiratione lau<lb></lb>dandos, qui eam praecipuè artem edificare voluerunt sine <lb></lb>qua alias artes esse non possunt.<emph.end type="italics"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Le conseguenze che dipendono dall'Architettura mili<lb></lb>tare per quei popoli che prudentemente se ne sapranno <lb></lb>prevalere, altro non sono che la sicurezza, la salute, l'o<lb></lb>nore, e la libertà; dove per lo contrario se da qualche <lb></lb>mal consigliata nazione sarà disprezzata, altro le sue con<lb></lb>seguenze non apportano che timore, servitù, ignominia, e <lb></lb>morte. </s> <s><foreign lang="it">Potrebbe alcuno allegarmi contro l'autorità d'una <lb></lb>famosa Repubblica, che ne i secoli antichi disprezzò le for<lb></lb>tificazioni delle mura con dire, che non voleva per guardia <lb></lb>della città altre guardie, che i petti de i suoi cittadini. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Io per l'altra parte risponderò, che questa fu una sola <lb></lb>città, et in un secolo solo, e che fra i popoli della poste<lb></lb>riorità ha trovato pochi lodatori, e niun seguace; produrrò <lb></lb>poi in contrario per corroborazione del mio detto la testi<lb></lb>monianza di tutti i secoli passati, e di tutti i regni del<lb></lb>l'Universo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma la medesima Sparta che per lo spazio <lb></lb>d'ottocent'anni inebriata dalle frenesie di Licurgo si con<lb></lb>servò senza mura, potrà fare indubitata testimonianza <lb></lb>a i posteri, qual fusse verso di lei più benefico, o il legi<lb></lb>slatore affezionato, o il tiranno crudele. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Licurgo legisla<lb></lb>tore, e padre della città la volle ignuda, e priva d'ogni <pb pagenum="82"></pb>difesa di recinto, o di mura; il tiranno in vece di dan<lb></lb>neggiarla la beneficò con armarla di muraglie, e di difesa. </foreign></s> <s><lb></lb>Chiedasi ora agli Spartani qual de' due stati sia paruto <lb></lb>loro più conveniente per la quiete de i cittadini, e per la <lb></lb>felicità, o la città ignuda, o la città circondata. </s><s>Ve lo <lb></lb>dirò io. </s> <s><foreign lang="it">Piansero gli Ambasciadori di Sparta nel Senato <lb></lb>Romano quando per ordine del medesimo Senato le furon <lb></lb>rovinate quelle mura che vi avevano innalzate i Tiranni. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Così colle lacrime loro vennero a confessare, quanto meglio <lb></lb>giudicassero per la patria il conservarla circondata da <lb></lb>fortificate muraglie, che rimetterla in quello stato primiero <lb></lb>nel quale era stata dal suo famoso legislatore instituita. </foreign></s> <s><lb></lb>Le città principali tutte o delle repubbliche, o delle mo<lb></lb>narchie di cui abbiamo memoria, sempre sono state <lb></lb>fortificate a proporzione dell'offese, e delle macchine che <lb></lb>ne i tempi loro si consumavano, ma hoggidì più che mai <lb></lb>mentre si combatte con lo spaventoso strumento dell'arti<lb></lb>glierie. </s><s>Non aspettate già ch'io per provarlo con una lunga <lb></lb>citazione di scrittori v'infastidisca; se per prova di qualche <lb></lb>altra proposizione converrebbe allegarvi molte istorie, per <lb></lb>confermazione di questa verità si potrebbero produr tutte. </s></p> <p type="main"> <s>Le conseguenze poi che appartengono a i Professori <lb></lb>dell'Architettura, et arte militare sono così note per se <lb></lb>stesse, che non hanno bisogno d'esservi per mezzo delle <lb></lb>mie parole dimostrate. </s> <s><foreign lang="it">Serva per tutti i secoli del tempo, <lb></lb>e per tutti gl'imperii della terra un'esempio solo che to<lb></lb>gliendosi dall'età presente, e da i paesi vicini non potrà <lb></lb>reputarsi speculazione chimerica, ma usanza praticata. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Chi <lb></lb>non vede nella marzial Germania, o ne i Regni Oltramon<lb></lb>tani, a quale altezza di fortuna si sublimi un Mini<lb></lb>stro di guerra che con prudenza, e con ingegno si di<lb></lb>mostri esperto professore della militar disciplina? </foreign></s> <s><foreign lang="it">Si <lb></lb>sublima a segno tale Uditori, che se il supremo Dominante <lb></lb>si trattiene come giudice di controversie, o distributor di <lb></lb>cariche fra i quieti cittadini l'altro collo scettro della <lb></lb>potenza in mano comanda agli eserciti armati, e come <lb></lb>vero Re si rende arbitro hora degli acquisti, et hora delle <lb></lb>perdite memorabili, facendosi autore o della conservazione, <lb></lb>o della rovina allo stato del Regno. </foreign></s> </p> <pb pagenum="83"></pb> <p type="main"> <s>I professori poi d'un arte così grande spesse volte o <lb></lb>son nati Re per fortuna, o si sono fatti con la virtù. </s> <s><foreign lang="it">Con <lb></lb>quale applauso di gloria si sentono hoggi i nomi trionfanti <lb></lb>d'Alessandro, di Cesare, di Scipione, d'Annibale, d'Otta<lb></lb>viano, e di tanti altri che volentieri tralascio per non <lb></lb>recitarvi tutto il vocabolario della fama, e infastidirvi con <lb></lb>gli annali dell'immortalità? </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Quanto all'autore, et all'origine l'Arte della milizia è <lb></lb>differenziata molto più di quel che possiate immaginarvi <lb></lb>da tutte l'altre professioni de i mortali. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Se alcune dell'arti <lb></lb>per la soverchia antichità hanno poco noto i principii, e <lb></lb>nella moltitudine degli anni hanno smarrito il nome <lb></lb>de i loro inventori, sappiamo nondimeno per cosa certa, <lb></lb>che non ebbero i loro natali se non dopo la nascita, <lb></lb>e la creazione del mondo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">La sola disciplina militare, <lb></lb>nata prima della produzione del tempo, trae l'origine <lb></lb>sua di là dal principio degli anni, e supera d'antichità <lb></lb>l'istesso Universo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Io non parlo di quella sognata guerra <lb></lb>che facevano gli elementi confusi nello sconcertato <lb></lb>Caos della favolosa gentilità. È noto pur troppo il <lb></lb>combattimento grande, che fu colà tra le celesti ge<lb></lb>rarchie, quando sotto l'insegne de i generalissimi Mi<lb></lb>chele da una parte, e Lucifero dall'altra militarono squa<lb></lb>dronate le innumerabili Legioni del Paradiso. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Così la di<lb></lb>sciplina del combattere esercitata prima che tutte l'altre <lb></lb>nascessero ebbe per coetaneo il Mondo, per patria il Cielo, <lb></lb>e gli Angioli per professori. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Dunque, se discesa da così <lb></lb>alta origine ebbe sempre per fine o l'acquisto, o la con<lb></lb>servazione de i Principati, e venne per lo più maneg<lb></lb>giata da' Re, e posseduta da' Potentati, non mi pare <lb></lb>che senza qualche ragione venisse da me agguagliata <lb></lb>alle due nobilissime professioni della Pittura, e della <lb></lb>Scoltura. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Prudentissimo mi pare anco il consiglio di quei Pa<lb></lb>droni i quali hanno ordinato, che l'Architettura militare <lb></lb>sia ricevuta in questo luogo dove la Pittura, e la Scol<lb></lb>tura hanno la regia loro, e la residenza. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Così verranno <lb></lb>esercitate nel medesimo luogo quell'arti che abbelliscono <lb></lb>le città, e quella che le conserva. </foreign></s> </p> <pb pagenum="84"></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Doverebbe ora difendersi da me il giudizio di quei miei <lb></lb>Protettori i quali hanno proposto questa carica a un sog<lb></lb>getto inesperto, e debolissimo quale per appunto sono io. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>In questo non trovo scusa che meriti d'esser proposta, <lb></lb>conoscendosi pur troppo manifesta la mia inabilità: par<lb></lb>ticolarmente dovendo questa cimentarsi in un luogo dove <lb></lb>non praticano se non Maestri, e dove è ancor sì fresca <lb></lb>la memoria de i miei antecessori. </foreign></s> <s>Quanto all'inesperienza, <lb></lb>io la confesso; ma dico bene che in queste materie di <lb></lb>militar disciplina, o vogliamo dir teorica di fortificazione, <lb></lb>il medesimo può valer l'industria d'un novizio inesperto <lb></lb>che la lunga esperienza d'un pratico consumato nelle <lb></lb>guerre. </s> <s><foreign lang="it">Altra conferenza non vi conosco, se non che dove <lb></lb>quello potrebbe testificar le cose con l'addurre gli esempi <lb></lb>da lui veduti, noi le proveremo coll'autorità d'autori che <lb></lb>l'anno vedute, e l'hanno scritte. </foreign></s> <s><foreign lang="it">In qualunque altra scienza, <lb></lb>o disciplina si ricercherebbe veramente un soggetto d'in<lb></lb>gegno elevato; ma in questa sono affatto superflue l'in<lb></lb>venzioni, che si fanno nelle scuole, dovendosi totalmente <lb></lb>sottometter l'ingegno a quello che si usa nelle campagne. </foreign></s> <s><lb></lb>Questo sarà cagione anco che io professerò sempre di <lb></lb>portar cose, et opinioni altrui, ma però d'uomini, e maestri <lb></lb>accreditati i quali avendo appresa l'arte nelle guerre <lb></lb>l'hanno poi lasciata scritta ne i libri. </s><s>Resta solo che io <lb></lb>m'offerisca per compagno, e condiscepolo a quegli che <lb></lb>haveranno qualche curiosità d'intendere alcuna cosa in<lb></lb>torno a questa professione. </s> <s><foreign lang="it">Procurerò di rendermi tanto <lb></lb>più affettuoso quanto meno erudito, e rappresenterò in <lb></lb>quest'offizio quella cote la quale benche ottusa, et inca<lb></lb>pace di tagliare per se stessa, si adopera nondimeno per <lb></lb>accrescere l'acutezza, e per assotigliare il taglio de i fer<lb></lb>ramenti. </foreign></s> </p> <pb pagenum="85"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>LEZIONE UNDECIMA<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>DELL'ARCHITETTURA MILITARE.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Giudicano alcuni, che quell'antico valore delle cui ma<lb></lb>raviglie son piene l'istorie nel Mondo odierno sia dimi<lb></lb>nuito, o per così dire, quasi estinto: o ciò nasca dall'effemi<lb></lb>natezza del secolo, o dalla mutazione delle macchine da <lb></lb>guerreggiare, pensano che la fortezza nostra in compa<lb></lb>razione di quella degli antichi sia come di fanciulli, ri<lb></lb>spetto a' Giganti. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Allegano costoro, che ne' tempi nostri <lb></lb>non nasce più un Alessandro Magno il quale con un me<lb></lb>diocre esercito, partendosi dalla Patria, riempia l'Asia delle <lb></lb>sue vittorie, e dilati i confini del suo Regno al pari del<lb></lb>l'ambito della terra. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Adducono ancora questi lodatori dell'antichità i ma<lb></lb>ravigliosi accrescimenti della Repubblica Romana. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Stupi<lb></lb>scono, che una potenza novella di pochi pastori, congre<lb></lb>grati da Romulo, nata colà fra l'angustie de i Popoli Latini, <lb></lb>Albani, e Sabini, potesse in quei tempi antichi avanzarsi <lb></lb>a poco a poco tanto, che della terra debellata tutto quello <lb></lb>possedeva che era conosciuto. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ecco che appena nata la <lb></lb>nuova Città, comincia a guerreggiare co' Sabini, co' Fi<lb></lb>denati, e co' Veienti; soggiogati questi, si vincono gli <lb></lb>Albani, e si spianta loro da i fondamenti in un'hora quella <lb></lb>Città che aveva regnato quattrocento anni; debellano <lb></lb>dopo questi i Latini, i Volsci, i Gabii, e le altre Nazioni <lb></lb>confinanti. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ecco poi, che da i Popoli, vengono alle Provincie, <lb></lb>l'Umbria, il Piceno, l'Etruria, la Calabria, la Puglia. </foreign></s> <s>Se<lb></lb>guitano le vittorie, et aggiungono alle Provincie i Regni. </s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Ecco debellata la Sicilia, e la Sardigna; estirpano la po<lb></lb>tenza, e la Città di Cartagine; si vince l'Imperio della <lb></lb>Macedonia, e tutti i Regni della Grecia; si conquistano <lb></lb>il Piemonte, la Francia, e la Spagna, cadono in poter <lb></lb>de i Romani, la Siria, l'Egitto, e gli altri Regni dell'Asia, <lb></lb>e dell'Africa; in ultimo la remota Inghilterra, e la mar<lb></lb>zial Germania dopo guerre innumerabili restan vinte ancor <pb pagenum="86"></pb>esse, e finiscono d'agguagliare l'Imperio di Roma all'esten<lb></lb>sione dell'Universo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Uno che legga sulle storie dell'anti<lb></lb>chità questi progressi maravigliosi, e poi consideri, quanto <lb></lb>ne i nostri tempi si pena per pigliare una città, è scusa<lb></lb>bile, ma però in errore se gli cade nel pensiero che la <lb></lb>fortezza, et il valore ne i giorni nostri sieno diminuiti, <lb></lb>overo estinti. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Chi di voi Uditori, non vede che se hoggidì <lb></lb>si è fatto difficile il far progressi nelle guerre, e conqui<lb></lb>starsi degli stati nuovi, ciò non nasce da mancanza di <lb></lb>valore, ma piuttosto da accrescimento di fortezza, d'in<lb></lb>dustria, e di scienza nell'arte del guerreggiare? </foreign></s> <s>Nella <lb></lb>guerra si considerano due parti, una che assale, l'altra <lb></lb>che si diffende. </s> <s><foreign lang="it">Quanto agli assalitori; io so certo che ne i <lb></lb>nostri tempi si assaltano le città con accorrezza maggiore, <lb></lb>e con invenzioni più terribili, e con armi più spaventose <lb></lb>che non si faceva, o dal Magno Alessandro, o da i vitto<lb></lb>riosi Romani. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Dunque, se i progressi nelle guerre vanno <lb></lb>lenti, ciò non procede da altro che dal valore accresciuto <lb></lb>di quelli che si difendono, e dalla scienza del fortificarsi, <lb></lb>se non di nuovo inventata, almeno ne' nostri tempi ecces<lb></lb>sivamente perfezionata. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Però la tardanza degli acquisti si <lb></lb>ascriva non a viltà d'animo, o a mancamento di valore, <lb></lb>ma piu tosto a gloria di fortezza, et a lode del nostro se<lb></lb>colo industrioso. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Noi viviamo in età la quale con invenzioni <lb></lb>mirabili, e non conosciute dagli antichi, ha saputo trovare <lb></lb>il modo del difendersi, e fortificarsi, contro quelle offese <lb></lb>le quali col solo rimbombo potrebbero essere atte a spa<lb></lb>ventare gli Alessandri intrepidi, et i magnanimi Romani. </foreign></s> <s><lb></lb>Ora se hoggidì tanti Regni, che sono sparsi per la terra, <lb></lb>godono la libertà; se popoli innumerabili vivono con si<lb></lb>curezza; che nessuna potenza nuova potrà mai più sor<lb></lb>gere al mondo, e dilatarsi tanto che soggioghi ogni cosa, <lb></lb>e sottometta tutte le nazioni alla sua servitù; da chi si <lb></lb>dovrà riconoscere un benefizio tanto singolare? </s> <s><foreign lang="it">Certo non <lb></lb>da altri, che dall'Arte veramente regia della fortificazione. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Questa difendendo le Provincie dalle incursioni straniere, <lb></lb>e assicurando la libertà a i popoli nazionali, tronca tutte <lb></lb>le speranze ad ogni potenza novella, la quale ad imita<lb></lb>zione d'Alessandro, o di Roma confidasse d'impadronirsi <pb pagenum="87"></pb>un altra volta del mondo, e di ridurre tutti gl'imperi <lb></lb>sotto la servitù d'una sola monarchia. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ecco non solamente proposta, ma provata ancora in <lb></lb>gran parte la proposizione di questo discorso, col quale <lb></lb>null'altro io pretendo fuorchè dimostrarvi l'utilità della <lb></lb>fortificazione. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Consideriamo hora con quali arti la Repub<lb></lb>blica Romana si avanzasse tanto, che arrivasse a impadro<lb></lb>nirsi del mondo tutto. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Certo l'unico artifizio con cui quel <lb></lb>Popolo operava tanti stupori di continuate vittorie, altro <lb></lb>non era che una pratica grande dell'esercizio della guerra <lb></lb>et una grandissima esperienza nell'arte del fortificarsi. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Però ogni volta, che i Romani si trovarono a combattere <lb></lb>con popoli che sapessero fortificarsi, quasi al par di loro, <lb></lb>incontrarono delle difficoltà immense nel superarli. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma <lb></lb>quando gl'Imperatori dell'esercito Romano o non seppero, <lb></lb>o disprezzarono l'arte del fortificarsi, mostrarono che <lb></lb>Roma sapeva anco, perdere, con istragi tanto deplorabili, <lb></lb>che fino al giorno d'hoggi l'Italia e l'Europa tutta ne <lb></lb>partecipa l'ignominia. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Annibale Capitano Cartaginese <lb></lb>(nome sempre funesto, e sempre memorabile alla nostra <lb></lb>Italia) passato il mare si trasferì dall'Africa nella Spagna. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Parte dalla Spagna, scorre per la Francia, passa l'Alpi, e <lb></lb>discende nella Lombardia con un esercito di dieci mila <lb></lb>fanti Affricani otto mila Spagnuoli, e sei mila cavalli. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Così per l'appunto lasciò intagliato egli medesimo in quella <lb></lb>colonna, da lui innalzata dopo passate le Alpi. </foreign></s> <s>Viene in <lb></lb>Toscana, e scorrendo per tutto ruba, saccheggia, e <lb></lb>abbrucia quanto trova. </s> <s><foreign lang="it">I Romani vedendosi questo flagello <lb></lb>così vicino, per discacciarlo, gli mandano incontro Flam<lb></lb>minio loro Consolo di quell'anno. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Questi si trasferisce ad <lb></lb>Arezzo con esercito di trenta mila combattenti, il fiore <lb></lb>della soldatesca, e della gioventù Romana, siccome è cre<lb></lb>dibile in un caso di così grande importanza. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Annibale de<lb></lb>sideroso di combattere, sentito l'arrivo del nemico, per <lb></lb>istimolarlo alla battaglia fa più strage che mai de i paesi <lb></lb>della Toscana, che allora era provincia amica, e collegata <lb></lb>con Roma. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Se ne passa costui da Fiesole verso le Chiane, <lb></lb>e quivi mal pratico delle strade, trovandosi per le piogge <lb></lb>lunghe allagato tutto quel paese, ebbe a disperdere affatto <pb pagenum="88"></pb>l'esercito fra quelle paludi fangose. </foreign></s> <s>Si trovano quattro <lb></lb>giorni, e tre notti continuamente nell'acqua senza mai <lb></lb>vedere un palmo di terra asciutta dove poter riposarsi. </s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Esso montato sopra un elefante che solo gli era rimasto <lb></lb>faticò tanto, che finalmente cavò l'esercito fuori delle <lb></lb>lagune. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Quindi passato più oltre, acquartierò le sue genti <lb></lb>indebolite sopra alcuni colli in riva del lago di Perugia, <lb></lb>e con ottime fortificazioni si trincierò, aspettando l'arrivo <lb></lb>de i Romani. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Flamminio il Consolo di Roma con un eser<lb></lb>cito maggiore di numero, et anco meno affaticato dal <lb></lb>travaglio comparisce sul lago al tramontar del Sole. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Non <lb></lb>si cura di trincierarsi, o di fortificare gli alloggiamenti, <lb></lb>ma desideroso di perseguitare, e combattere il Cartaginese, <lb></lb>si riposa la notte, senza affaticare i soldati. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Appena spun<lb></lb>tava l'alba, quando il Consolo spinge avanti l'esercito in <lb></lb>campo aperto senz'alcun ajuto di fortificazione, o van<lb></lb>taggio di sito. </foreign></s> <s><foreign lang="it">I Cartaginesi veduta questa temeraria con<lb></lb>fidenza de' Romani nelle proprie forze con disprezzo degli <lb></lb>ajuti della fortificazione si precipitan con furia giù da i <lb></lb>colli circonvicini, e circondano l'esercito Romano da tutte <lb></lb>le parti. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Raccontano le storie che in tre ore di combatti<lb></lb>mento vi si perderono venticinque mila Romani, cioè <lb></lb>quindici tagliati a pezzi, e altri dieci mila fra prigioni, e <lb></lb>affogati nel lago, e feriti che morirono poco dopo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Il Con<lb></lb>solo Flamminio, che anch'esso vi morì con gran numero <lb></lb>di nobiltà Romana, conobbe che le vittorie di Roma non <lb></lb>nascevano semplicemente dalla forza, o dal valore che <lb></lb>fusse nel petto della loro soldatesca, ma anco e princi<lb></lb>palmente dalla perizia, e diligenza nel fortificarsi, come <lb></lb>per appunto avevano fatto sempre per avanti, e costuma<lb></lb>rono ancora dopo i Capitani più gloriosi di quel Popolo. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Serva dunque la raccontata istoria per dimostrarvi, che <lb></lb>anco gli eserciti Romani senza l'ajuto della fortificazione <lb></lb>eran soggetti alla strage. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Che gli giovò l'esser copiosi <lb></lb>di gente, overo il ritrovarsi più freschi, e più riposati <lb></lb>del Cartigenese? </foreign></s> <s>Ad ogni modo non solamente furono <lb></lb>rotti, ma anco affatto esterminati, e sconfitti. </s> <s><foreign lang="it">Apparirà <lb></lb>molto più manifestamente l'utilità della fortificazione, se <lb></lb>noi consideriamo lo stile tenuto poi da <expan abbr="q.">que</expan> Fabio Dittatore <pb pagenum="89"></pb>contro l'istesso Annibale. </foreign></s> <s>Se ne passa l'esercito de i Car<lb></lb>taginesi vittorioso dopo la rotta narrata, e s'accampa <lb></lb>sotto Spoleto. </s><s>Quella città era ben fortificata, e provve<lb></lb>duta, ond'egli con perdita di molti de' suoi, e con vergo<lb></lb>gna propria fu ributtato, e si partì. </s> <s><foreign lang="it">S'incammina per la <lb></lb>Marca, e va finalmente a discendere nel territorio d'Arpino. <lb></lb><expan abbr="q.">que</expan> Fabio Dittatore con quel poco avanzo di soldatesca <lb></lb>spaventata, che s'era potuta adunare in Roma, allora <lb></lb>estenuatissima di forze, va ad opporsi al Cartaginese vit<lb></lb>torioso, e potentissimo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ciascuno di voi Uditori, s'imma<lb></lb>ginerà, che se Flamminio Consolo fu disfatto, benchè <lb></lb>avesse un esercito numeroso, e fiorito di soldatesca scelta <lb></lb><expan abbr="q.">que</expan> Fabio ancora con un rifiuto di pochi soldatucci avvi<lb></lb>liti dallo spavento della fresca sciagura andasse propria<lb></lb>mente al macello, et al supplizio, piu tosto, che alla guerra. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Così penso ancor'io che fusse succeduto, quand'egli avesse <lb></lb>tenuto il medesimo stile del Consolo Flamminio col met<lb></lb>tersi avanti senza l'ajuto pur troppo necessario della for<lb></lb>tificazione, e del sito. </foreign></s> <s>Ecco <expan abbr="q.">que</expan> Fabio comparisce alla vista <lb></lb>de i Cartaginesi sotto la Città d'Arpino. </s><s>Egli non corre con <lb></lb>temerità ad affrontar l'inimico, ma piantata l'insegna, et <lb></lb>ordinati i guastatori comincia a disegnar sul terreno, e <lb></lb>poi comanda. </s> <s><foreign lang="it">Su presto non si perda tempo; qui voglio <lb></lb>che si cavin le trinciere; qui staranno ben piantati i quar<lb></lb>tieri; queste siano le circonvallazioni degli alloggiamenti; <lb></lb>colà staranno i cavalli; qui voglio i pedoni; in quell'ul<lb></lb>timo si custodisca il bagaglio; voi sarete di guardia in quel <lb></lb>posto, e voi in quell'altro: in questo modo dispone per <lb></lb>tutto le sentinelle, et i corpi di guardia, et in somma si <lb></lb>fortifica come se fusse stato in una sicurissima Città. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Annibale conoscendo di non poter vincere costoro, ne meno <lb></lb>poter accostarsi a Roma, va raggirandosi pel paese, e <lb></lb>mutando più d'un posto. <expan abbr="q.">que</expan> Fabio in giusta distanza lo <lb></lb>va seguitando, et ogni volta se gli trinciera avanti agli <lb></lb>occhi togliendogli totalmente la speranza, e del combat<lb></lb>tere, e dell'approssimarsi alla Città. </foreign></s> <s>Si parte Annibale <lb></lb>qualche volta maliziosamente dagli alloggiamenti propri, <lb></lb>e raggirando intorno intorno a qualche colle, o a qualche <lb></lb>selva, torna poi correndo colà donde si era partito, spe- <pb pagenum="90"></pb>rando di cavar fuori <expan abbr="q.">que</expan> Fabio dalle fortificazioni, ma <lb></lb>tutto indarno. </s> <s><foreign lang="it">Se ne passa Annibale a Samnio, e poi a <lb></lb>Benevento, quindi a Telesia. <expan abbr="q.">que</expan> Fabio sulla cima de' colli <lb></lb>gli cammina al pari, e subito che porta l'occasione il <lb></lb>fermarsi, benche per pochissimo tempo si fortifica al so<lb></lb>lito negli alloggiamenti. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Annibale discende sul Volturno, <lb></lb>ecco a fronte di lui <expan abbr="q.">que</expan> Fabio si trincìera sul monte Mas<lb></lb>sico: il medesimo avviene sul monte Callicola, e poi nel <lb></lb>Castel Casilino. </foreign></s> <s>Annibale si volta verso la via Appia che <lb></lb>conduce a Roma; <expan abbr="q.">que</expan> Fabio sulla medesima strada si forti<lb></lb>fica pigliando un posto sovra un colle assai erto, e sco<lb></lb>sceso. </s> <s><foreign lang="it">Annibale per farlo diloggiare trova quel suo famoso <lb></lb>strattagemma, che oramai da ciascuno si sa; lega sulle <lb></lb>corna a due mila tori gran fasci di sermenti, e fascine; <lb></lb>e poi dandogli fuoco sul mezzo della notte, indirizza verso <lb></lb>il posto de i Romani quelle bestie infuriate con un in<lb></lb>cendio per ciascuna sul capo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Conobbe <expan abbr="q.">que</expan> Fabio che <lb></lb>quelli non erano soldati che avessero occupato il monte, <lb></lb>ma una invenzione militare per farlo uscire da i quartieri, <lb></lb>e poi disfarlo però stette saldo ne posti fortificati, e sicuri. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Annibale s'incammina verso il campo Alisano, ecco <expan abbr="q.">que</expan> Fa<lb></lb>bio sopra il monte Alisano si fortifica. </foreign></s> <s>Annibale disperato <lb></lb>si parte alla volta di Sulmona, e <expan abbr="q.">que</expan> Fabio sempre nel<lb></lb>l'istesso modo lo perseguita. </s> <s><foreign lang="it">Accade che in questo tempo <lb></lb><expan abbr="q.">que</expan> Fabio fu richiamato a Roma, et in suo luogo furono <lb></lb>mandati a comandar l'esercito ambidue i Consoli Romani <lb></lb>di quell'anno. </foreign></s> <s>Annibale intesa la nuova di questa muta<lb></lb>zione giubbilava d'allegrezza, pensando che i Consoli non <lb></lb>fussero per seguitar lo stile di <expan abbr="q.">que</expan> Fabio; ma s'ingannò. </s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Per tutto dovunque egli andava, i Consoli ammaestrati <lb></lb>gli si fortificavano a fronte, con l'arte tanto salutare impa<lb></lb>rata da <expan abbr="q.">que</expan> Fabio. </foreign></s> <s><foreign lang="it">In ultimo Annibale vinto dalla dispe<lb></lb>razione, vedendo di non poter combattere, ne accostarsi <lb></lb>verso Roma, pensa un altro strattagemma; si parte di <lb></lb>mezza notte con tutto l'esercito da' suoi quartieri, e si <lb></lb>nasconde dietro a un monte che gli era vicinissimo, acciò <lb></lb>i Romani credessero che egli fusse fuggito, e lo segui<lb></lb>tassero. </foreign></s> <s><foreign lang="it">I Consoli vedendo gli alloggiamenti abbandonati <lb></lb>da Cartaginesi mandano una compagnia di cavalli a <pb pagenum="91"></pb>certificarsi. </foreign></s> <s>Questi vanno, e poi tornano, e riferiscono che <lb></lb>i padiglioni sono aperti, che le cose preziose sono sparse, <lb></lb>et abbandonate, e che i gran vasi d'argento son lasciati <lb></lb>alla peggio per terra, e che ognuno è partito. </s><s>Mentre <lb></lb>questi consultavano, se si dovesse perseguitare, o no, giun<lb></lb>gono due Romani fuggitivi, già prigioni d'Annibale. </s><s>Que<lb></lb>sti danno avviso che l'esercito Cartaginese se ne sta im<lb></lb>boscato tutto dietro al monte vicino, che però non par<lb></lb>tano, poichè Annibale fingendo quella fuga, e lasciando <lb></lb>quegli argenti, e quelle ricchezze per terra, null'altro pre<lb></lb>tendeva se non allettare i Romani, e cavargli fuori delle <lb></lb>fortificazioni per tagliarli a pezzi. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Parmi Uditori d'haver detto non solamente abbastanza, <lb></lb>ma anco a superfluità per mostrarvi di quanta utilità sia <lb></lb>stato mai sempre il sapersi giudiziosamente fortificare. </foreign></s> <s><lb></lb>Avete veduto Annibale, quando può venir a battaglia in<lb></lb>trepido, insuperabile, et hora non potendo espugnare un <lb></lb>piccol avanzo di soldatesca afflitta; ridotto quasi all'ultima <lb></lb>disperazione. </s> <s><foreign lang="it">Trovavasi angustiato da una grandissima ca<lb></lb>restia di viveri, finalmente fu astretto a partirsi, et a riti<lb></lb>rarsi nella Puglia sotto al Castello di Canne. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Felici i Ro<lb></lb>mani se lo lasciavano andare, o se col medesimo stile <lb></lb>lo seguitavano sempre mantenendosi chiusi nel recinto <lb></lb>delle loro fortificazioni. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Havevano intanto raccolto dalla <lb></lb>Città di Roma, e dagli stati uniti col Popolo Romano un <lb></lb>esercito numerosissimo, e di gran lunga superiore a quello <lb></lb>d'Annibale. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Vanno a ritrovarlo ambedue i Consoli di Roma, <lb></lb>e conoscendosi tanto vantaggiosi di forze si vergognano <lb></lb>di fuggir la battaglia, e sprezzano lo star sempre rac<lb></lb>chiusi fra le trinciere della forticazione. </foreign></s> <s>Non vi tedierò <lb></lb>più colle noiose narrazioni di cose divulgate. </s> <s><foreign lang="it">Fu combat<lb></lb>tuto, e la battaglia fu di tal sorta, che furon tagliati a <lb></lb>pezzi quarantacinque mila Romani, mori uno de' Consoli, <lb></lb>trenta Consolari, ottanta Senatori, e un numero tanto <lb></lb>grande di Cavalieri Romani, che gli anelli solamente le<lb></lb>vati dal dito a i nobili morti, e mandati a Cartagine em<lb></lb>pivano un grandissimo sacco. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Soggiungono poi le storie <lb></lb>(e quì finisco il discorso) che dopo questa strage tanto <lb></lb>memorabile alcuni pochi Romani feriti s'erano ritirati <pb pagenum="92"></pb>ne i loro quartieri già fortificati, e muniti; l'esercito vitto<lb></lb>rioso Cartaginese s'accampò per finir la vittoria, et espu<lb></lb>gnare i quartieri; i difensori erano pochissimi, e spaven<lb></lb>tati, e malamente feriti; l'assalitore era un esercito glorioso <lb></lb>per le molte vittorie, ardito per la continuata fortuna, et <lb></lb>omai divenuto, per così dire, insuperabile, et onnipotente. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>In ogni modo, se Annibale volle impadronirsi de' quar<lb></lb>tieri Romani gli convenne accordarsi a giusti patti di <lb></lb>guerra, i quali furono stabiliti tra di loro, et anco poi <lb></lb>dal Capitan vincitore osservati. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Parmi dunque Uditori, <lb></lb>d'haver dimostrato quanto grande sia stata l'utilità della <lb></lb>fortiflcazione, anco ne' tempi de i nostri antenati. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Nel pas<lb></lb>sato ragionamento fu discorso della nobiltà, et eccellenza <lb></lb>dell'arte del fortificare; hora abbiamo trattato dell'utilità, <lb></lb>e del benefizio che da essa si cava; così andremo obbe<lb></lb>dendo al comandamento de' Padroni, i quali hanno voluto, <lb></lb>che dalla mia inabilità in questo luogo di quest'arte si <lb></lb>ragioni. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Intanto resta solo, che io di nuovo m'esibisca <lb></lb>prontissimo a servir ciascuno, che vorrà imparare i prin<lb></lb>cipj della fortificazione; parendomi molto più giovevole <lb></lb>l'insegnare i precetti dell'arte con documenti, e lezioni <lb></lb>familiari le quali ammaestrano, et erudiscono, che passare <lb></lb>il tempo con leggende noiose, pronunziate di quassù le <lb></lb>quali infastidiscono, e tormentano. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>LEZIONE DUODECIMA<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>ENCOMIO DEL SECOL D'ORO.<emph.end type="center"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Se la lode, e gli applausi degnamente si convengono <lb></lb>alla virtù, non è dubbio alcuno Amici, che al vizio con <lb></lb>ogni ragione i biasimi, e le maledicenze si converranno. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Pare che non possano nominarsi senza i meritati encomi <lb></lb>la Giustizia, e la Temperanza, la Mansuetudine, e la Li<lb></lb>beralità, la Prudenza, la Tolleranza, e l'altre virtù, alle <lb></lb>quali per debito si convengono le benedizioni della fama, <pb pagenum="93"></pb>e le corone della gloria. </foreign></s> <s>Rallegratevi però fortunati com<lb></lb>pagni; quel secol d'oro, di cui celebriamo le lodi, e rin<lb></lb>noviamo l'usanza in questo rozzo, ma delizioso apparato, <lb></lb>non può biasimarsi, se non da quelli, che non approvano <lb></lb>l'innocenza, e non conoscono la virtù. </s> <s><foreign lang="it">Al contrario poi <lb></lb>quell'età sfortunata, che sotto nome di ferro rappresenta <lb></lb>il secolo de tradimenti, e delle crudeltà, non si lodi se <lb></lb>non da quelli, che si pregiano nel vizio, e trovano nelle <lb></lb>miserie i trionfi. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Declamano con elegante facondia contro <lb></lb>se stesse, l'Ira, e l'Avarizia, la Fraudolenza, e la Lascivia, <lb></lb>l'Ingiustizia, e l'altra schiera innumerabile delle humane <lb></lb>calamità; se ciò non fusse, troppo gran patrocinio si <lb></lb>converrebbe hora implorare alla mia inabilità, presso la <lb></lb>vostra gentilezza, mentre con obbrobrio dell'età corrotta, <lb></lb>scorrerò brevemente le lodi del secolo già sì felice, e sì <lb></lb>caro a gli Dei. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">L'oro, che ancor non conosciuto se ne stava nelle ca<lb></lb>verne della terra sepolto, diede al secolo della felicità il <lb></lb>cognome dell'oro: forse crederà alcuno per contaminar <lb></lb>l'innocenza denominandola dall'autor delle colpe; ma chi <lb></lb>non vede che con usanza da tutti ricevuta dal più caro <lb></lb>metallo si derivano i nomi, e si assegnano le materie alle <lb></lb>cose più riverite? </foreign></s> <s><foreign lang="it">Sentiste già, che la regia del Sole fu <lb></lb>detta </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Clara micante auro.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb>ma del Carro. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Aureus axis erat, temo aureus, aurea summae <lb></lb>Curvatura rotae, radiorum argenteus ordo.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb>Così per l'appunto disse il maestro de' costumi. <emph type="italics"></emph>Quod opti<lb></lb>mum videri volunt, saeculum aureum appellant.<emph.end type="italics"></emph.end> Ma qua<lb></lb>lunque sia la cagione, o l'origine del nome, passiamo dalle <lb></lb>voci alle sustanze, e contempliamo noi che nella partenza <lb></lb>di quel secolo perfetto fu innondata la terra da tutte le <lb></lb>colpe, tiranneggiata da tutti i vizi, oppressa da tutte le <lb></lb>calamità. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Figuratevi, Uditori, nella mente quello stato <lb></lb>primiero del mondo ancor pargoletto. </foreign></s> <s>Che felicità? </s><s>mentre <pb pagenum="94"></pb>nelle Provincie indistinte giacevano le campagne senza <lb></lb>termine o divisione. </s> <s><foreign lang="it">Che ricchezza! mentre ciascuno pos<lb></lb>sedeva il tutto, e numerava fra le possessioni quiete quei <lb></lb>che hoggi sono Regni combattuti. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>nulli subigebant arva coloni, <lb></lb>Nec signare quidem, aut partiri limite campum <lb></lb>Fas erat: in medium quaerebant, ipsaque tellus <lb></lb>Omnia liberius, nullo poscente ferebat.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb>La fecondità non procurata de i campi, e la clemenza delle <lb></lb>stagioni mansuete provedevano con benefizi spontanei a' bi<lb></lb>sogni, et a i disagi della mortalità. </foreign></s> <s>Lode nondimeno dovuta <lb></lb>più tosto a beneficenza di natura, che a possesso di virtù. </s> <s><foreign lang="it">Non <lb></lb>non è così scarso di prerogative proprio il secol d'oro, che <lb></lb>si convenga mendicargli le lodi dalla fertilità della terra, <lb></lb>o dalla misericordia del Cielo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Il timore, e la speranza <lb></lb>son due mostri così forti, che ributtati gl'assalti de più <lb></lb>fieri Filosofi, e schernite le penne della più dotta, e più <lb></lb>eloquente antichità, tormentano ma con furie veraci gli <lb></lb>animi de viventi. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Felice quel secolo, nel quale i carnefici <lb></lb>della mente humana, i due tiranni supremi, che turbano la <lb></lb>quiete della vita, non erano ne anche concetti. </foreign></s> <s><foreign lang="it">L'impu<lb></lb>dicizia, cioè l'avvoltoio degli animi, l'inferno de cuori, <lb></lb>indarno colla face abborrita fra le capanne de pudichi <lb></lb>pastori si raggirava: semplicità di vita esercitata; durezza <lb></lb>d'educazione selvaggia; austerità di costumi incorrotti, <lb></lb>sprezzavano l'ardore di quelle libidini, che nel mondo <lb></lb>hodierno tiranneggiano ogni nazione, corrompono ogni <lb></lb>sesso, et ogni età. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Sono così frequenti nel mondo perverso gl'esempi della <lb></lb>viltà esaltata; s'incontrano così spesso l'innocenza, e la <lb></lb>virtù abbattute, che per mio credere non ha sensi d'huma<lb></lb>nità colui, il quale ad ogni passo non sente sbranarsi il cuore <lb></lb>da due mastini arrabbiati, invidia, e compassione. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Felicis<lb></lb>simo però quel secolo, dove ogni vivente non rimirando <lb></lb>se non eguali a se di merito, e di fortune, non haveva ca<lb></lb>gione di compatir l'innocenza della mendicità oppressa, <lb></lb>overo di perturbarsi per l'esaltazione de gl'indegni feli<lb></lb>citati; godeva nel comune possesso l'egual distribuzione <pb pagenum="95"></pb>de' frutti selvaggi, e d'altri alimenti per la conservazion <lb></lb>della vita necessarii, lieto nell'universal concordia. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>. . . . . . neque ille <lb></lb>Aut doluit miserans inopem, aut invidit habenti.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Se vedete che i Pastori del secol d'oro non alzino le <lb></lb>moli di peregrino marmo fino alle stelle, habitano però <lb></lb>difesi dall'inclemenza dell'aria sotto capanne intessute di <lb></lb>fronda, e di canne palustri: non calcano i pavimenti di <lb></lb>gemme, ma di foglie, e di fiori: habitano, ma non sotto i <lb></lb>pericoli, et escludono non solo il timore delle stagioni <lb></lb>noiose, ma anco de fulmini, e de terremoti repentini. </foreign></s> <s>La <lb></lb>bassa fabbrica dell'edificio leggiero </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Securos dormire jubet pendente ruina.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb>Non habitano i Pastori nelle Regie dorate, ma non però <lb></lb>temono i tradimenti de servi infedeli, l'impeto de' vas<lb></lb>salli ribellanti, l'assalto delle nazioni straniere; habitano ma <lb></lb>lungi dalla perfidia, e dalla menzogna; dove per lo contrario </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Fugit potentum limina veritas.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb>Non si veggono nel secol d'oro le mense aggravate dal<lb></lb>l'argento, le gemme incavate per le bevande, il metallo <lb></lb>intessuto ne i vestimenti, i letti innalzati d'oro, e di porpora, </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>At secura quies, et nescia fallere vita, <lb></lb>Dives opum variarum; at latis otia fundis, <lb></lb>Speluncae, vivique lacus; at frigida Tempe <lb></lb>Mugitusque Bovum, mollesque sub arbore somni <lb></lb>Non absunt.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb>Vegliano appresso i Monarchi le cure, e gli spaventi; <lb></lb>dormono con i Pastori la sicurezza, e la tranquillità; vi<lb></lb>vono alla presenza del Cielo, e non pendono sopra essi <lb></lb>le soffitte di metallo indorato, ma <emph type="italics"></emph>In aperto jacentes sidera <lb></lb>superlabuntur, et insigne spectaculum noctium, mundus in <lb></lb>praeceps agitur, silentio tantum opus ducens.<emph.end type="italics"></emph.end> Sorgono del <lb></lb>pari col Sole; indi pascolato l'armento </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Prostrati in gramine molli <lb></lb>Propter acquae rivum sub ramis arboris altae, <lb></lb>Non magnis opibus jucundè corpora curant.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <pb pagenum="96"></pb> <p type="main"> <s>Abbreviano le giornate più lunghe con giuochi, e con <lb></lb>scherzi innocenti. </s><s>Ecco balli ma senza lascivie; canti, e <lb></lb>musiche ma di boschereccie sampogne; contese ma senza <lb></lb>perfidia; spettacoli ma senza passioni: Vedete là </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>ubera vaccae <lb></lb>Lactea demittunt, pinguesque in gramine leto <lb></lb>Inter se adversis luctantur cornibus haedi.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Mirate fra passatempi hora di robustezza, et hora di <lb></lb>genio </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Ipse dies agitat festos, fususque per herbam <lb></lb>Ignis ubi in medio, et socii cratera coronant <lb></lb>Te libans Lenee vocat; pecorisqne magistris <lb></lb>Velocis jaculi certamina ponit in ulmo, <lb></lb>Corporaque agresti nudat praedura palestra.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb>Che più? </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Aureus hanc vitam in terris Suturnus agebat.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Poco tempo dopo, ma però avanti che le trombe <lb></lb>marziali si udissero infiammare altrui all'uccisioni, et alle <lb></lb>rapine </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Hanc olim veteres vitam coluere Sabini, <lb></lb>Hanc Remus, et Frater:<emph.end type="italics"></emph.end> Sic fortis Etruria crevit.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Non parve già al secolo successore che i folti rami <lb></lb>d'un albero verdeggiante, o l'ombra dell'intrecciate ca<lb></lb>panne, fussero bastanti per sottrar dalla vista del Cielo <lb></lb>le vergogne della vita, e le oscenità della libidine; però <lb></lb>non è maraviglia se s'innalzarono nelle Città sublimi i <lb></lb>Palazzi tanto superbi. </foreign></s> <s>Ma qual follia fu l'inventrice, Udi<lb></lb>tori, di trasportar per mari così lunghi le montagne di <lb></lb>Paro, o le rupi dell'Egitto? </s> <s><foreign lang="it">quasi che il sassoso Appen<lb></lb>nino somministrasse materia troppo scarsa, e troppo vile, <lb></lb>mentre non costava tesori, e non veniva fra perigli. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">La Giustizia dovendo pure allontanarsi dal secolo cor<lb></lb>rotto, abbandonate le Regie de Potenti fece l'ultime sue <lb></lb>dimore fra i tuguri humilissimi de i Pastori </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>extrema per illos <lb></lb>Iustitia excedens terris vestigia fecit.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end> <pb pagenum="97"></pb>Così la descrive la più sublime di tutte le penne; tale la di<lb></lb>pinse il più vivace di tutti i pennelli mentre ROSA il mira<lb></lb>bile, la colorì. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Della temperanza, e della parsimonia che al<lb></lb>tro resta da perdersi fuori che il nome, e la memoria? </foreign></s> <s>Non <lb></lb>vedete voi accumulata in una mensa sola la fecondità, non <lb></lb>dirò di una pianta, o di un horto, ma d'una provincia intiera? </s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Gli animali non di più pascoli, o di più selve, ma di tutte le <lb></lb>stagioni, e di tutti gli elementi? </foreign></s> <s><foreign lang="it">E pur vero che a molti <lb></lb>tori è comune un prato solo; molti, e smisurati elefanti <lb></lb>in una sola selva si nutriscono; et il ventre ancor che an<lb></lb>gusto di un huomo non potrà riempirsi se non con i tributi <lb></lb>adunati di tutto l'Universo? </foreign></s> <s><foreign lang="it">Chi mai crederà che un ventre <lb></lb>solo e sì piccolo sia quello, a cui si dedicano tante vite di <lb></lb>animali innocenti, per cui si semina in tante provincie, i <lb></lb>cui poderi sono capaci di peregrinazione, gli armenti inca<lb></lb>paci di numero? </foreign></s> <s><foreign lang="it">Che un ventre solo sia quello per cui <lb></lb>vendemmia nell'Italia il Vesuvio, Siracusa nella Sicilia, <lb></lb>Smirna e Creta nell'Arcipelago, il Libano nell'Oriente, la <lb></lb>Spagna nell'Occidente? </foreign></s> <s><foreign lang="it">Una voragine, o più tosto un abisso <lb></lb>senza fondo, sarà sempre stimato quello, per cui s'impo<lb></lb>verisce l'aria d'uccelli, a cui si votano tante selve, per cui <lb></lb>si pescano tanti laghi, tanti fiumi, e tanti mari, non solo <lb></lb>del Mediterraneo a noi vicino, ma anche del remotissimo <lb></lb>Settentrione. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Non già mi maraviglio per questo Ascolta<lb></lb>tori: perdonisi all'industria golosa, se trasportò le ven<lb></lb>demmie di Creta, o le caccie del Fasi, e di Numidia, per <lb></lb>accrescer delizie a una mensa dell'Italia. </foreign></s> <s>Erano merci <lb></lb>lontane, e difficili sì, ma però conosciute, et esposte: la <lb></lb>perspicacia delle gole ingegnose è passata più oltre, e <lb></lb>per investigar cibi più occulti, è discesa sin sotterra. </s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Non sono stati sicuri su gli scogli più dirupati dell'Appen<lb></lb>nino scosceso di Norcia i frutti sotterranei della terra <lb></lb>più infelice. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Che giovò alla natura perspicace il privar <lb></lb>della luce quegli aborti, e seppellirgli fra l'alpi rovinose? </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>frutti egualmente degni degli animali che gli trovano, e <lb></lb>delle bocche che gli appetiscono; frutti che non nascono, <lb></lb>se il Cielo adirato non tuona: ma sentite. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>et facient optata tonitrua caenas <lb></lb>Majores.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <pb pagenum="98"></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Adunque la corruttela del secolo si estenderà fino a <lb></lb>bramare un fulmine per accrescere una vivanda, et in<lb></lb>vocherà una tempesta per fomentare una lussuria? </foreign></s> <s>Lungi <lb></lb>pur sieno da noi, e dalle nostre mense innocenti, frutti <lb></lb>così contaminati, et indegni, che non nascono se non se<lb></lb>polti, e non habitano, che in precipizii, figli di terra <lb></lb>infeconda, aborti di sterilità, gemelli di fulmini, padri di <lb></lb>libidine. </s> <s><foreign lang="it">Ma chi crederebbe già mai Uditori, le mostruose <lb></lb>invenzioni dell'arte nel condimento de cibi, e nella sozza <lb></lb>mistura delle vivande? </foreign></s> <s><foreign lang="it">Non piacciono più al lusso delle <lb></lb>gole erudite i parti della Natura, ma i mostri. </foreign></s> <s>Quindi è <lb></lb>che non si apprezzano più nelle cose i sapori nativi, se <lb></lb>non mutati, o confusi. </s><s>Non dilettano le carni de i più de<lb></lb>licati animali se non vengono alterate da sughi spiace<lb></lb>voli de frutti più aspri, et inappetibili. </s><s>Era forse poco <lb></lb>aggravio che le Orientali Molucche infettassero con tanta <lb></lb>merce di fuocosi aromati ogni cibo dell'Europa svogliata? </s><s><lb></lb>nuova industria, anzi nuova stolidità, confondendo l'or<lb></lb>dine de sentimenti, ministrò al gusto i tributi dell'odo<lb></lb>rato, et unite le vivande con i profumi, tramutò in cibo <lb></lb>i più preziosi di tutti quanti gl'odori. </s> <s><foreign lang="it">La brevità del <lb></lb>tempo non mi permette il seguitar quelli, che discesi nelle <lb></lb>viscere della madre comune, cercano le ricchezze super<lb></lb>flue nella regione de' morti, dove trovano spesso prima <lb></lb>la sepoltura, che i tesori. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma parve poco all'insaziabilità <lb></lb>del lusso l'invenzione dell'oro, e dell'argento: si repu<lb></lb>tava povero <emph type="italics"></emph>Nisi haberet etiam quod posset totum statim <lb></lb>perire.<emph.end type="italics"></emph.end> Però nuova industria sagace, con mistura di marmo <lb></lb>polverizzato, e di herba incenerita, formò vasi trasparenti. <lb></lb><emph type="italics"></emph>Quibus pretium faceret ipsa fragilitas.<emph.end type="italics"></emph.end> Altri nel profondo <lb></lb>del mare cercano al lusso le superfluità o tra i calcoli <lb></lb>dell'arena, o nel seno delle conchiglie. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Altri mossi dall'ava<lb></lb>rizia, e scorti dalla temerità, per comprar merci straniere <lb></lb>spendono fra le tempeste la vita, e cambiano, la sicu<lb></lb>rezza con i naufragi. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Exilioque domos, et dulcia limina mutant, <lb></lb>Atque alio quaerunt Patriam sub sole jacentem.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Le fraudi della plebe interessata, l'ignominie dell'effem- <pb pagenum="99"></pb>minata gioventù, i furori de Popoli armati, gli odi inte<lb></lb>stini, il contagio de costumi, le persecuzioni, l'invidie, i <lb></lb>tradimenti, gli spergiuri, e le crudeltà, le rapine, et i veleni, <lb></lb>tanti nomi di sceleraggine, tante forme di libidini, di lusso, <lb></lb>e di sensualità, mi spaventano di maniera, che arresto <lb></lb>l'impeto nel principio del corso. </foreign></s> <s><foreign lang="it">M'accorgo nondimeno di <lb></lb>esser giunto a quel segno dove sarà difficile a i vostri <lb></lb>purgatissimi giudizi il discernere, e sentenziare, qual fusse <lb></lb>il secolo dell'innocenza, e della felicità, e qual sia quello del <lb></lb>vizio e delle miserie. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Godete pur dunque voi, Uditori felici, <lb></lb>che racchiudete nel petto non solo quelle virtù, che nel se<lb></lb>col d'oro si donavano dalla natura, ma anco quelle che <lb></lb>nell'età del ferro s'insegnano dalla sapienza. </foreign></s> <s>Voi che <lb></lb>anco nelle recreazioni di allegrezza non ammettete pas<lb></lb>satempi, se non virtuosi, cavando frutti di gloria, dove <lb></lb>altri trarrebbe messe di sensualità: voi che con esercizi <lb></lb>lodati vi dimostrate figli ben degni di quella forte <lb></lb>Etruria la qual crebbe in questo modo istesso. </s><s>Sono i <lb></lb>vostri lussi conferenze di poesie singolari, gare ma di elo<lb></lb>quenza, controversie ma di erudizione e d'ingegno. </s> <s><foreign lang="it">Trionfa <lb></lb>nelle vostre mense la sobrietà, ma col contento, e col <lb></lb>diletto; vi scherzano i risi, e le facezie, ma congiunte <lb></lb>con la sapienza, e con la modestia a segno tale che io <lb></lb>supplicherò sempre la clemenza del Cielo, acciò voglia <lb></lb>o renderci interamente il possesso del secol d'oro, overo <lb></lb>continuarci lungamente la felicità di questa conversa<lb></lb>zione, e di questa vita. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>FINE DELLE LEZIONI ACCADEMICHE.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <pb></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>DE MOTU GRAVIUM <lb></lb>NATURALITER DESCENDENTIUM, <lb></lb>ET PROIECTORUM<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>LIBRI DUO.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>IN QUIBUS INGENIUM NATURAE <lb></lb>CIRCA PARABOLICAM LINEAM LUDENTIS PER MOTUM <lb></lb>OSTENDITUR, <lb></lb>ET UNIVERSA PROIECTORUM DOCTRINA UNIUS <lb></lb>DESCRIPTIONE SEMICIRCULI, <lb></lb>ABSOLVITUR.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <pb></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>LIBER PRIMUS<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>DE MOTU GRAVIUM <lb></lb>NATURALITER DESCENDENTIUM<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Scientiam de motu G. et Pr. à pluribus quidem tra<lb></lb>ctatam, ab unico (quod ego sciam) Galileo Geometricè <lb></lb>demonstratam, aggredi libet. </s><s>Fateor, quòd ille totam hanc <lb></lb>segetem tamquam falce demessuit, nec aliud superest no<lb></lb>bis, nisi ut tam seduli messoris vestigia subsequentes, <lb></lb>spicas colligamus, si quae ab ipso vel relictae fuerint, vel <lb></lb>abiectae: sin minus, ligustra saltem, et humi nascentes <lb></lb>violas decerpamus; sed fortasse et ex floribus coronam <lb></lb>contexemus non contemnendam. </s></p> <p type="main"> <s>Principio quaedam de momentis gravium proponemus, <lb></lb>ut aliqua suppleamus, quae quodammodo opportuna vide<lb></lb>bantur ad scientiam. </s><s>Deinde quaedam de parabola, quae <lb></lb>nobis ad propagationem huius doctrinae utilia videbuntur. </s><s><lb></lb>Reliquum libri primi propositiones erunt de motu accele<lb></lb>rato; illarumque ordo quo ad fieri poterit in tam diversis <lb></lb>rerum materijs, neglectus penitus non erit. </s><s>Libellus alter <lb></lb>de Motu proiectorum tractabit, ampliata Galilei doctrina, et <lb></lb>demonstrationibus plerumque mutatis. </s><s>Tabulas certè, quas <lb></lb>ipse studio, ac labore composuit, omnes ex tabula sinuum <pb pagenum="104"></pb>à nobis solius transcriptionis molestia, decerptas expone<lb></lb>mus nam hypothesis nostra, iuxtà quam proiectiones sur<lb></lb>sum factas contemplamur, apertè indicavit nobis tabulas à <lb></lb>Galileo elaboratas in ipsis sinuum, ac tangentium tabulis <lb></lb>expressè inclusas, et insertas esse debere. </s><s>Postremo nor<lb></lb>mae cuiusdam militaris constructionem subijcemus, quae <lb></lb>cum diversa sit à vulgari norma, cuius ope universa res <lb></lb>tormentaria administratur, certè, et scientificè phylosophos <lb></lb>docebit quantum axis cuiusque machinae proicientis elevari <lb></lb>debeat, ut illius iactus propositae, ac determinatae men<lb></lb>surae evadat. </s><s>Quin etiam omnia problemata iucunda scitu, <lb></lb>usu non inutilia, quae circa hanc materiam proponi pos<lb></lb>sunt, soluta unico intuitu in aspectum dabit: ut ibi fusius <lb></lb>explicabimus. </s><s>Definitiones omisimus, et genere scriptionis <lb></lb>contracto, laconicoque usi sumus, quia dum universam Ga<lb></lb>lilei doctrinam pro suppositione praemittimus lectori eru<lb></lb>dito scribere profitemur. <lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Acturus de Motu naturalitèr accelerato Galileus principium supponit, <lb></lb>quod et ipse non admodum evidens putat, dum illud parum exacto pen<lb></lb> <arrow.to.target n="marg484"></arrow.to.target><lb></lb>duli experimento nititur comprobare, hoc est: <emph type="italics"></emph>Gradus velocitatis eiu<lb></lb>sdem mobilis super diversas planorum inclinationes acquisitos, tunc esse <lb></lb>aequales, cum eorumdem planorum elevationes aequàles sint.<emph.end type="italics"></emph.end> Ex hac <lb></lb>petitione dependet quasi universa illius doctrina de motu tùm acce<lb></lb>lerato, tum proiectorum. </s><s>Si quis de principio dubitet de ijs quae inde <lb></lb>consequuntur certam omninò scientiam non habebit. </s><s>Scio Galileum <lb></lb>ultimis vitae suae annis suppositionem illam demonstrare conatum, <lb></lb>sed quia ipsius argomentatio cum lib. de Motu edita non est pauca <lb></lb>haec de momentis gravium libello nostro praefigenda duximus; ut <lb></lb>appareat quòd Galilei suppositio demonstrari potest, et quidem imme<lb></lb>diatè ex illo Theoremate quod pro demonstrato ex Mechanicis ipse <lb></lb>desumit in secunda parte sextae Propositionis de motu accelerato, <lb></lb>videlicet. <emph type="italics"></emph>Momenta gravium aequalium super planis inequaliter incli<lb></lb>natis, esse inter se ut sunt perpendicula partium aequalium eorumdem <lb></lb>planorum.<emph.end type="italics"></emph.end> Verbigratia: </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg484"></margin.target>Supposit. </s><s><lb></lb>Galilei.</s></p> <p type="main"> <s>Sint plana AB, CB inaequaliter inclinata, <lb></lb> <arrow.to.target n="fig245"></arrow.to.target><lb></lb>et sumptis aequalibus AB, CB ducantur per<lb></lb>pendicula AE, CF: ad horizontem BF. Suppo<lb></lb>nit Galileus pro demonstrato, momentum in <lb></lb>plano AB ad momentum in plano CB ita esse <lb></lb>ut est AE ad CF. Nos quia in huiusmodi <lb></lb>Theorema non incidimus, hoc primum aliqua <lb></lb>demonstratione confirmabimus: protinus ad ostedendum id quod Ga<lb></lb>lileo principium sive petitio est, accedemus.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <pb pagenum="105"></pb> <figure id="fig245"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Praemittimus.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Duo gravia simul coniuncta ex se moveri non posse, <lb></lb>nisi centrum commune gravitatis ipsorum descendat. <lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Quando enim duo gravia ita inter se coniunctà fuerint, ut ad motum <lb></lb>unius motus etiam alterius consequatur, erunt duo illa gravia tam<lb></lb>quam grave unum ex duobus compositum, sive id libra fiat, sive tro<lb></lb>chlea, sive qualibet alia Mechanica ratione, grave autem huiusmodi non <lb></lb>movebitur unquam, nisi centrum gravitatis ipsius descendat. </s><s>Quando <lb></lb>vero ita constitutum fuerit ut nullo modo commune ipsius centrum <lb></lb>gravitatis descendere possit, grave penitus in sua positione quiescet: <lb></lb>alias enim frustra moveretur; horizontali, scilicet latione, quae nequa<lb></lb>quam deorsum tendit.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO I.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si in planis inaequaliter inclinatis, eandem tamen ele<lb></lb>vationem habentibus, duo gravia constituantur, quae inter <lb></lb>se eandem homologè rationem habeant quam habent lon<lb></lb>gitudines planorum, gravia aequale momentum habebunt. </s></p> <p type="main"> <s>Sit AB horizon, et plana inaequa<lb></lb> <arrow.to.target n="fig246"></arrow.to.target><lb></lb>liter inclinata CA, CB. Fiat ut AC ad <lb></lb>CB, ita grave aliquod A ad grave B. <lb></lb>Et gravia haec in homologis planis <lb></lb>collocentur in punctis A, et B eius<lb></lb>dem horizontalis lineae. </s><s>Connectantur etiam aliquo ima<lb></lb>ginario funiculo per ACB ducto, adeo ut ad motum unius <lb></lb>motus alterius consequatur. </s></p> <figure id="fig246"></figure> <p type="main"> <s>Dico gravia sic disposita aequale momentum habere: <lb></lb>hoc est in ea in qua sunt positione aequilibrata conquie<lb></lb>scere, neque sursum aut deorsum moveri. </s><s>Ostendemus enim <lb></lb>centrum commune gravitatis eorum descendere non posse, <lb></lb>sed in eadem semper horizontali linea (quantumlibet gravia <lb></lb>moveantur) reperiri. </s></p> <p type="main"> <s>Non habeant si possibile est aequale momentum, sed <lb></lb>altero praeponderante moveantur, et ascendat grave A <lb></lb>versus C, descendatque grave B. Assumpto iam quolibet <lb></lb>puncto E, cum grave A fuerit in E, et B in D, erunt <lb></lb>lineae AE, BD aequales, quia idem funiculus est, tam ACB, <pb pagenum="106"></pb>quam ECD. Demptoque communi ECB remanent aequales <lb></lb>AE, BD. Ducatur EF parallela ipsi CB, et connectantur <lb></lb> <arrow.to.target n="marg485"></arrow.to.target><lb></lb>puncta ED. Est igitur grave A ad grave B ut AC ad CB, <lb></lb>hoc est ut AE ad EF, hoc est BD ad EF, hoc est DG <lb></lb>ad GE reciprocè. </s><s>Est ergo punctum G centrum gravitatis <lb></lb>commune gravium connexorum, et est in eadem linea ho<lb></lb>rizontali in qua fuerat antequàm gravia moverentur. </s><s>Duo <lb></lb>ergo gravia simul colligata mota sunt, et eorum commune <lb></lb>centrum gravitatis non descendit. </s><s>Quod est contra prae<lb></lb>missam aequilibrij legem. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg485"></margin.target>4. sexti exem<lb></lb>plum Archi<lb></lb>med. </s><s>aequi<lb></lb>pondum.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO II.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Momenta gravium aequalium super planis inaequaliter <lb></lb>inclinatis, eandem tamen elevationem habentibus, sunt in <lb></lb>reciproca ratione cum longitudinibus planorum. </s></p> <p type="main"> <s>Sint plana AB, BC inaequaliter <lb></lb> <arrow.to.target n="fig247"></arrow.to.target><lb></lb>inclinata, et ad idem punctum B ele<lb></lb>vata. </s><s>Sintque in iisdem planis aequalia <lb></lb>gravia A et C. Dico momentum gra<lb></lb>vis C ad momentum gravis A, esse <lb></lb>reciprocè, ut AB, ad BC. Fiat ut AB, ad BC, ita grave A <lb></lb>ad grave aliud D, et ponatur D in plano BC. Ergò per <lb></lb>praecedentem erunt ipsorum A, et D momenta aequalia. </s></p> <figure id="fig247"></figure> <p type="main"> <s>Momentum autem C ad momentum D est ut moles ad <lb></lb>molem (quia sunt in eodem plano) hoc est ut moles A, <lb></lb>ad molem D: hoc est ut AB, ad BC. Est ergo momentum <lb></lb>C ad D, vel ad momentum A ipsi momento D aequale, <lb></lb>ut AB, ad BC. Quod erat etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Aliter.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Idem quod hic demonstravimus ex Prima Propositione, quae sumpto <lb></lb>principio deducebat ad impossibile, ostendetur etiam absolutè, et affir<lb></lb>mativè ex ipsis Mechanicae principijs.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Momentum totale gravis ad momentum quod habet in <lb></lb>plano inclinato, est ut longitudo ipsius plani inclinati ad <lb></lb>perpendiculum. <pb pagenum="107"></pb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Sit circa centrum A sphaera gravis in plano elevato BC et sit <lb></lb>plani perpendiculum CE dico momentum totale gravis A ad momen<lb></lb>tum peculiare quod habet in plano BC, esse ut <lb></lb>BC ad CE. </s></p> <figure></figure> <p type="main"> <s>Producatur recta DA per contactum D, et <lb></lb>per centrum A quae ideo perpendicularis erit ad <lb></lb>planunm BC et quolibet centro F fiant quadran<lb></lb>tis portiones DG, AH et ducantur FG horizontalis, <lb></lb>et DI, AL utraque ad horinzontem perpendi<lb></lb>cularis. </s></p> <p type="main"> <s>Iam angulus FDC rectus est, et anguli B, C <lb></lb>simul aequales sunt recto, ergò ablatis IDC, DCE <lb></lb>alternis parallelarum, remanent aequales FDI, et B. Sunt ideo similia <lb></lb>duo triangula rectangula FDI, BCE. Iam sic. </s></p> <p type="main"> <s>Sed quando grave circumfertur à semidiametro FH, sive FA, ma<lb></lb>nente puncto F tunc momentum totale eius, hoc est, momentum quod <lb></lb>habet in situ H, ad momentum quod habet in situ A, est ut HF ad FL, <lb></lb>sive AF ad FL, hoc est DF ad FI, vel BC ad CE ob similitudinem <lb></lb>triangulorum. </s><s>Quod erat etc. </s></p> <p type="main"> <s>Quod autem idem momentum sit gravis constituti, sive in puncto <lb></lb>A quadrantis AH, sive in puncto D quadrantis DG, sive in puncto D <lb></lb>plani tangentis, dubitandum non videtur; quamdoquidem angulus con<lb></lb>tingentiae inclinationem non minuit, neque auget.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Hinc Propositio secunda iterum. </s></p> <p type="main"> <s>Momenta gravium aequalium super planis inaequaliter <lb></lb>inclinatis sunt in reciproca ratione cum longitudinibus <lb></lb>planorum. <lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Momentum in A ad totale momentum, per praecedens lemma, est <lb></lb>ut CD ad CB; totale autem momentum ad <lb></lb> <arrow.to.target n="fig248"></arrow.to.target><lb></lb>momentum in E est ut FC ad CD; ergo per <lb></lb>perturbatam rationem, momentum A ad mo<lb></lb>mentum E est reciprocè, ut CF ad CB. Quod <lb></lb>erat etc.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <figure id="fig248"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollarium.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Hinc colligitur momentum sphaerae gravis super di<lb></lb>versas planorum elevationes semper esse ut linea illa ho<lb></lb>rizontalis quae à contactu in ipsa sphaera ducitur. <lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Sit sphaera gravis circa centrum A in plano <lb></lb> <arrow.to.target n="fig249"></arrow.to.target><lb></lb>BC utcunque inclinato; et ducantur BD horizontalis <lb></lb>à contactu: ostendemus momentum sphaerae in <lb></lb>situ in quo est, esse lineam BD, (posita semper <lb></lb>diametro pro momento maximo, sive totali). </s></p> <pb pagenum="108"></pb> <figure id="fig249"></figure> <p type="main"> <s>Producatur horizon DBF, demittaturque perpendiculum CF à quo<lb></lb>libet puncto; et iungatur ED. </s></p> <p type="main"> <s>Angulus E aequalis est angulo DBH per 32 tertij; eidem DBH est <lb></lb>aequalis CBF ad verticem, ergo aequales sunt inter se anguli E, et <lb></lb>CBF, sunt insuper triangula EDB, BCF rectangula, ergo similia sunt <lb></lb>inter se. </s><s>Sed iam ostendimus momentum totale sphaerae ad momentum <lb></lb>quod habet in elevato plano esse ut BC ad CF, nempe ut ipsa dia<lb></lb>meter EB ad horizontalem BD, quae intra sphaeram à contactu ducitur. </s></p> <p type="main"> <s>Si vero grave non sit sphaera, sed quodcunque <lb></lb> <arrow.to.target n="fig250"></arrow.to.target><lb></lb>solidum A habebimus nihilominus singula eius mo<lb></lb>menta in singulis planorum elavationibus facillime. </s><s><lb></lb>Solvemus etiam Problema Pappii lib. 8 Propos. 9 <lb></lb>famosum apud Guidobaldum, et Cabeum etc. </s></p> <figure id="fig250"></figure> <p type="main"> <s>Sit grave A in plano AB, et quaeratur in hoc <lb></lb>situ momentum eius; sive potentia, à qua in <lb></lb>hoc plano AB sustinetur. </s></p> <p type="main"> <s>Ponatur momentum totale gravis; vel potentiam quae sustinet <lb></lb>pondus A in plano perpendiculari esse BC, et circa BC erectam ad <lb></lb>horizontem fiat semicirculus CDB qui secet AB in D. </s></p> <p type="main"> <s>Dico momentum gravis A, sive potentiam quae illud sustinet in <lb></lb>plano AB esse CD. Ducatur perpendicularis EF à quolibet puncto E <lb></lb>et erunt triangula CBD, BEF similia; quia cum sint utraque rectangula, <lb></lb>anguli etiam CBD et E sunt alterni. </s><s>Iam quia momentum totale gra<lb></lb>vis ad momentum quod habet in plano EB est ut EB ad EF, erit etiam <lb></lb>ut CB, ad BD ob similitudinem triangulorum. </s><s>Est igitur momentum <lb></lb>gravis in plano AB ut linea intercepta BD (posita semper diametro <lb></lb>pro totali momento). </s></p> <p type="main"> <s>Quo ad propositionem Pappi manifestum est, si potentia BC aequatur <lb></lb>totali momento BC potentiam BD aequari momento in plano BD. <lb></lb>Quare potentia BD sustinebit pondus A in proposito plano BE etc.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Scholium.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Iam demonstrari primum potest Propositio sexta Galilei de motu <lb></lb>accelerato. </s><s>Sit enim angulus ABC rectus, et AC perpendicularis ad <lb></lb>horizontem CD et producatur ABD. Erunt DA, <lb></lb> <arrow.to.target n="fig251"></arrow.to.target><lb></lb>AC, AB, continue proportionales: at per 2 huius, <lb></lb>momentum in AC ad momentum in AD est reci<lb></lb>procè ut AD ad AC hoc est ut AC ad AB. Ergo <lb></lb>est homologe, momentum in AC, ad momentum <lb></lb>in AB, ut spatium AC, ad spatium AB; quare <lb></lb>eodem tempore peragentur ipsa spatia AC et AB. Supponimus hic <lb></lb>cum ipso Galileo, velocitates in diversis planorum inclinationibus, ita <lb></lb>esse ut sunt momenta quando eadem fuerit moles. </s><s>Sed cum angulus <lb></lb>ABC ponatur rectus, erunt BC, AB in circulo cuius sublime punctum <lb></lb>est A, et diameter AC. Quod etc.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <pb pagenum="109"></pb> <figure id="fig251"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO III.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Momenta gravium aequalium super planis inaequaliter <lb></lb> <arrow.to.target n="marg486"></arrow.to.target><lb></lb>inclinatis, sunt in homologa ratione cum perpendiculis <lb></lb>partium aequalium eorumdem planorum. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg486"></margin.target>Assumitur à <lb></lb>Galil. </s><s>in 6. <lb></lb>de motu ac<lb></lb>cel.</s></p> <p type="main"> <s>Sint partes aequales AB, AC planorum inaequaliter in<lb></lb>clinatorum, et eorumdem perpendicula sint BD, CE. Dico <lb></lb>momentum gravis in plano BA, ad momentum eiusdem in <lb></lb>plano CA, esse ut BD, ad CE. </s></p> <p type="main"> <s>Ducatur BF ipsi CA aequidistans. <lb></lb> <arrow.to.target n="fig252"></arrow.to.target><lb></lb>Eritque per secundam huius momen<lb></lb>tum in BA ad momentum in BF, hoc <lb></lb>est in AC (sunt enim plana BF, AC <lb></lb>parallela) ut FB, ad BA hoc est ut FB, <lb></lb>ad CA (cum sint aequales partes BA, <lb></lb>CA) vel ut BD, ad CE (sunt enim aequiangula triangula <lb></lb>FBD, ACE ob lineas parallelas). Ergo momentum in BA, <lb></lb>ad momentum in CA, est ut BD, ad CE. Quod erat etc. </s></p> <figure id="fig252"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollarium.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Hinc manifestum est momenta gravium super planis inaequalitèr <lb></lb>inclinatis esse ut sunt sinus recti angulorum elevationis. </s></p> <p type="main"> <s>Quando verò sphaera non moveatar in aliquo <lb></lb> <arrow.to.target n="fig253"></arrow.to.target><lb></lb>plano libera, sed alligata ad extremum semidia<lb></lb>metri, manente alio extremo, ipsa per quadrantem <lb></lb>circunferatur, erunt momenta eius ut sunt sinus <lb></lb>complementi angulorum elevationis. </s><s>Nam momen<lb></lb>tum A, ad momentum B est ut CD ad DE, hoc <lb></lb>est AF ad BG, nempe ut sinus complementi an<lb></lb>gulorum elevationis. </s></p> <figure id="fig253"></figure> <p type="main"> <s>Aliter habebimus mensuram momentorum sphaerae à semidiametro <lb></lb>circumductae, in unoquoque quadrantis puncto. <lb></lb> <arrow.to.target n="fig254"></arrow.to.target><lb></lb>Ostendemus enim. </s></p> <figure id="fig254"></figure> <p type="main"> <s>Momenta sphaerae per quadrantem circumdu<lb></lb>ctae esse ut sunt lineae horizontales, quae a puncto <lb></lb>connexionis sphaerae cum diametro, intra sphae<lb></lb>ram ducuntur. </s></p> <p type="main"> <s>Sit quadrantis centrum A, sphaera gravis circa <lb></lb>B, et à puncto connexionis C ducatur horizontalis <lb></lb>CD. Dico momentum sphaerae esse CD (posita semper diametro sphae- <pb pagenum="110"></pb>rae pro maximo sive totali momento). Demittatur perpendiculum BE. <lb></lb>Momentum totum sphaerae ad momentum quod habet in B est ut AF, <lb></lb>ad AE, vel ut BA ad AE, hoc est BC ad CI, et sumptis duplis, ut HC <lb></lb>diameter ad CD horizontalem in sphaera, quae ducitur à puncto con<lb></lb>nexionis. </s><s>Quod erat etc. </s></p> <p type="main"> <s>Si verò grave circumductum non sit sphaera dabuntur nihilominns <lb></lb>singula eius momenta hoc modo. </s><s>Sumpto in <lb></lb> <arrow.to.target n="fig255"></arrow.to.target><lb></lb>horizontali linea quolibet intervallo AB fiat <lb></lb>circulus ADG. Dico circulum hunc singula sin<lb></lb>gularum eievationum momenta metiri: et mo<lb></lb>mentum gravis in C esse lineam interceptam <lb></lb>AD (posita semper diametro AG pro totali <lb></lb>momento). Est enim momentum totale ad mo<lb></lb>mentum in C ut EA ad AF, hoc est ut CA ad <lb></lb>AF, vel ut GA ad AD nempe diameter ad lineam interceptam. </s></p> <figure id="fig255"></figure> <p type="main"> <s>Eadem AD erit potentia quae sustinet grave in situ C, si suppo<lb></lb>namus potentiam quae illud sustinet in E esse AG. </s></p> <p type="main"> <s>Assumpsimus triangula ACF, ADG esse similia, quia cum rectangula <lb></lb>sint, habent angulum communem ad A.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Scholium.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Demonstrari secundum potest Propositio sexta Galilei de Motu acce<lb></lb>lerato per tertiam huius, praemisso hoc Lemmate.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Si circa eandem rectam lineam AB fuerit semicirculus, et quadrans, <lb></lb>et in quadrante ducatur quaelibet semidiameter BC. <lb></lb> <arrow.to.target n="fig256"></arrow.to.target><lb></lb>Erit BD, intercepta in semicirculo aequalis ipsi CE <lb></lb>perpendiculari in quadrante. </s><s>Ducatur enim AD, tunc <lb></lb>triangula ADB, BCE erunt utraque rectangula, et <lb></lb>anguli ABD, BCE, sunt alterni, ergo sunt aequiangula; <lb></lb>bases autem AB, BC sunt aequales, quare etiam BD, <lb></lb>CE, latera aequalia sunt. </s><s>Quod erat probandum.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <figure id="fig256"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Propositio Galilei sexta <lb></lb>cum ipso Galileo Mechanicè demonstrata.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Sit circulus ad horizontem erectus ACDB. Dico tempora lationum <lb></lb>per CB DB esse aequalia. </s></p> <p type="main"> <s>Sunt enim super planis CB, DB per tertiam hu<lb></lb> <arrow.to.target n="fig257"></arrow.to.target><lb></lb>ius, momenta ut EG, FH, hoc est ut CB, ad DB <lb></lb>per lemma precedens. </s><s>Ergo cum sint momenta ut <lb></lb>longitudines planorum, eodem tempore percurrentur <lb></lb>ipsa plana CB, DB quod erat propositum demon<lb></lb>strare etc.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <pb pagenum="111"></pb> <figure id="fig257"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO IV.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Tempora lationum ex quiete per plana eandem eleva<lb></lb> <arrow.to.target n="marg487"></arrow.to.target><lb></lb>tionem habentia, sunt homologè ut longitudines planorum. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg487"></margin.target>Galilei 3. et <lb></lb>eius Corol.</s></p> <p type="main"> <s>Sint plana AB, AC eandem eleva<lb></lb> <arrow.to.target n="fig258"></arrow.to.target><lb></lb>tionem AD habentia. </s><s>Dico tempus la<lb></lb>tionis per AC ad tempus per AB esse <lb></lb>ut AC ad AB. </s></p> <figure id="fig258"></figure> <p type="main"> <s>Sit ipsarum AB, AC tertia propor<lb></lb>tionalis AE. Momentum ergò in plano AC ad momentum <lb></lb>in plano AB, est ut AB, ad AC (per secundam huius), <lb></lb>hoc est ut AC ad AE. Quare lationes per AC, AE tempo<lb></lb>ribus aequalibus absolventur: quandoquidem ita sunt mo<lb></lb>menta ut longitudines spatiorum. </s><s>Ponamus iam tempus <lb></lb>per AE, esse mediam proportionalem AC. Erit tempus per <lb></lb>AB ipsa AB; tempus ergo per AE, sive per AC (nam <lb></lb>aequalia tempora sunt) est AC, et per AB est ipsa AB etc. </s><s><lb></lb>Quod erat etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Aliter.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Praecedens Theorema poterat demonstrari sine ulla suppositione. </s><s><lb></lb>Demonstrat enim Galileus in Prop. 6 de motu accelerato, tempora <lb></lb>lationum per chordas omnes in circulo aequalia esse. </s><s>Idque tribus modis <lb></lb>probat in primo, et tertio subest principium suum non satis evidens; <lb></lb>in secundo verò nihil supponitur, praeter iàm dictum Theorema Mecha<lb></lb>nicum; quod si, ipso teste, demonstratum antea fuerat, ex ipso imme<lb></lb>diatè, tamquam Corollarium, necessaria illatio suae tertiae Proposi<lb></lb>tionis, immo et suae petitionis, derivari poterat. </s><s>Sed quia ipse tertiam <lb></lb>suam Propositionem, quae nobis quarta est, mediante sua petitione <lb></lb>probat, nos illam absolutè ostendamus ex propositionibus ipsius Galilei, <lb></lb>quae nullum postulatum includunt. </s></p> <p type="main"> <s>Sint duo plana AB, AC quorum eadem elevatio sit <lb></lb> <arrow.to.target n="fig259"></arrow.to.target><lb></lb>AD. Dico tempus lationis per AC ad tempus per AB, <lb></lb>esse ut AC ad AB. Facto enim angulo ABE recto, agatur <lb></lb>circulus circa diametrum AE, qui transibit per B, et <lb></lb>producatur ACF. Erit AB media proportionalis inter FA, <lb></lb>AC, et erunt tempora per AB, AF aequalia, ut ostendit <lb></lb>Galileus simpliciter ex illo Theoremate Mechanico sine <lb></lb>sua suppositione. </s></p> <figure id="fig259"></figure> <p type="main"> <s>Si ergo ponamus tempus lationis per AC, esse ipsam <lb></lb>AC, erit media proportionalis AB tempus per AF hoc est per se <pb pagenum="112"></pb>ipsam AB etc. </s><s>Quare tempora lationum ex quiete per plana eandem <lb></lb>elevationem habentia sunt homologè ut longitudines planorum, et hoc <lb></lb>demonstravimus sine illa petitione, cuius veritatem sequenti Theore<lb></lb>mate ostendemus.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO V.<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> <arrow.to.target n="marg488"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg488"></margin.target>Galilei <lb></lb>suppositio.</s></p> <p type="main"> <s>Gradus velocitatis eiusdem mobilis super diversas pla<lb></lb>norum inclinationes acquisiti, tunc aequales sunt cum eo<lb></lb>rumdem planorum elevationes aequales sint. </s></p> <p type="main"> <s>Sint duo plana AB, AC inaequaliter inclinata, quorum <lb></lb>elevationes sint aequales, vel sit eadem AD. Dico gradus <lb></lb>velocitatis acquisitos in B per descensum AB, et in C per <lb></lb>descensum AC aequales inter se esse. </s></p> <p type="main"> <s>Quicunque enim sit gradus velocitatis <lb></lb> <arrow.to.target n="fig260"></arrow.to.target><lb></lb>acquisitus in B, accepto eius subduplo, <lb></lb>grave motu aequabili, et tempore casus <lb></lb>currit idem spatium casus BA. Iterum; <lb></lb>quicunque sit gradus velocitatis acquisitus <lb></lb>in C, accepto eius subduplo, grave motu aequabili, et tem<lb></lb>pore casus currit idem spatium casus CA. </s></p> <figure id="fig260"></figure> <p type="main"> <s>Tempora igitur, et spatia sunt proportionalia nempe. </s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg489"></arrow.to.target><lb></lb>Tempore BA curritur spatium BA motu aequabili: tem<lb></lb>pore autem CA curritur spatium CA motu aequabili, ergo <lb></lb>gradus velocitatis sunt aequales. </s><s>Quare etiam illorum dupli <lb></lb>aequales erunt; et ideo gradus velocitatis in B, et in C <lb></lb>sunt aequales. </s><s>Quod erat etc. <lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg489"></margin.target>Per 6. de mo<lb></lb>tu aequabili <lb></lb>Gal.</s></p> <p type="main"> <s>Aliter per circulum sextae Propositionis Galilei facile demonstra<lb></lb>bitur eadem conclusio hoc modo. </s></p> <p type="main"> <s>Ex Theoremate Mechanico deduxerar Galileus tempora per AB, AF <lb></lb>aequalia esse. </s><s>Dico ergo, impetus in punctis B, et C gravium ab eadem <lb></lb>altitudine, et ex quiete in A descendentium, aequales esse. </s></p> <p type="main"> <s>Quia enim AB, et AF aequali tempore peraguntur, <lb></lb> <arrow.to.target n="fig261"></arrow.to.target><lb></lb>erunt impetus in B, et F punctis, ut sunt spatia peracta <lb></lb>AB, AF. (Acceptis enim eorum subduplis aequali tem<lb></lb> <arrow.to.target n="marg490"></arrow.to.target><lb></lb>pore, et motu aequabili curruntur spatia BA, FA, quare <lb></lb>subdupli illi impetus sunt ut spatia, et propterea etiam <lb></lb>illorum dupli ut eadem spatia, erunt). Impetus ergò B <lb></lb>ad impetum F est ut AB, ad AF, impetus verò in F ad <lb></lb>impetum in C est ut FA ad AB (nempe ut tempora, quia <lb></lb>AB, media proportionalis est inter FA, AC). Ergo ex ae<lb></lb>quali, impetus in B ad impetum in C est ut AB, ad ipsamet AB. Quare <lb></lb>impetus in B, et C sunt aequales etc. </s><s>Vel sic. </s></p> <pb pagenum="113"></pb> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg490"></margin.target>Per prim. <lb></lb>Gal. de motu <lb></lb>accel.</s></p> <figure id="fig261"></figure> <p type="main"> <s>Gradus impetus in C ad gradum in F, est ut CA ad AB vel BA, ad <lb></lb>AF, cum tres CA, AB, AF sint in continua proportione. </s><s>Sed gradus <lb></lb>etiam impetus in B ad gradum in F, est ut BA ad AF (ut supra de<lb></lb>monstravimus). Quare uterque gradus C, et B ad eundem F eandem <lb></lb>rationem habet: et ideo aequales sunt. </s><s>Quod etc.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollarium.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> <arrow.to.target n="fig262"></arrow.to.target><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <figure id="fig262"></figure> <p type="main"> <s>Hinc pro Corollario extrahemus id quod in ipso pro<lb></lb>gressu demonstrationis ostensum est, nempe. </s><s>Impetus <lb></lb>gravium in fine chordarum circuli, quae ex puncto su<lb></lb>blimi descendat, ita esse ut sunt ipsaemet chordae: hoc <lb></lb>est impetus in punctis B, C, D, ita esse ut sunt AB, <lb></lb>AC, AD etc.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Scholium.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Cum deinceps futurus sit sermo de lineis quas parabolas vocant, <lb></lb>non erit inconveniens, antequam illarum passiones in ordine ad motum <lb></lb>consideremus, pauca quaedam necessaria nobis praemonstrare. </s><s>Sic enim <lb></lb>fiet ut paratiores accedere possimus ad contemplandam lineam pro <lb></lb>motibus non solum proiectorum, sed etiam (quod non scripsit Galileus) <lb></lb>naturaliter cadentium, à natura unicè factam. </s><s>Praemittimus semper <lb></lb>tamquam suppositum universam Galilei doctrinam de motu: illius enim <lb></lb>vestigia sequimur, et pancula quaedam Theoremata ab ipso neglecta <lb></lb>colligimus. </s><s>Hic praecipuè supponuntur duae Propositiones de Parabola, <lb></lb>quas ipse operi suo de Motu Proiectorum prefigit, alteram Apollonii <lb></lb>quidem sed Marte proprio demonstratam à Galileo; alteram verò pe<lb></lb>nitus ex Appollonij lib. I, prop. 33 desumptam, et demonstratam.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Prima est huiusmodi.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Lineae, quae intra parabolam basi parallelae ducuntur, <lb></lb>sunt in subdupla ratione portionum diametri ad verticem <lb></lb>parabolae interceptarum. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Secunda verò est haec.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si in parabola aliquod punctum A sumatur ex quo <lb></lb>linea ducatur basi parallela AB, et por<lb></lb> <arrow.to.target n="fig263"></arrow.to.target><lb></lb>tioni diametri BC ad verticem interceptae, <lb></lb>aequalis recta linea CD ponatur in dire<lb></lb>ctum. </s><s>Recta linea DA, quae ab estremo <lb></lb>positae lineae termino D ad punctum A in parabola <pb pagenum="114"></pb>sumptum, ducitur, parabolam contiget <emph type="italics"></emph>quod et à nobis <lb></lb>aliquo modo ostendetur post Prop. 10.<emph.end type="italics"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <figure id="fig263"></figure> <p type="main"> <s>Haec ipse. </s><s>His praemissis reliqua nobis oportuna demonstrabimus: <lb></lb>Et primò animadvertendum est, quod unaquaeque parabola quandam <lb></lb>rectam lineam peculiarem habet, cuius proprietas praecipua haec est. </s><s><lb></lb>Ductà intra parabolam quacunque linea basi parallela, quadratum duc<lb></lb>tae aequale est rectangulo, quod sub illa peculiari linea, et portione <lb></lb>diametri ad verticem parabolae abscissa, continetur. </s><s>Exempl. </s><s>g. Qua<lb></lb>dratum rectae AB aequale est rectangulo sub BC et illa peculiari linea <lb></lb>contento; et hoc semper ubicumque fuerit ducta AB. </s></p> <p type="main"> <s>Vocatur autem peculiaris illa linea Latus Rectum. </s></p> <p type="main"> <s>Quae verò ducuntur aequidistantes basi, ordinatim applicatae di<lb></lb>cuntur.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO VI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Parabolae latus reclum demonstrare.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Manente figura, et constructione eadem quam ponit <lb></lb>Galileus in prima iam dictarum propositionum de Parabola. </s></p> <p type="main"> <s>Fiat ut AB, ad BC ita BH ad AE. <lb></lb> <arrow.to.target n="fig264"></arrow.to.target><lb></lb>Dico AE esse latus rectum. </s></p> <figure id="fig264"></figure> <p type="main"> <s>Sumatur enim quodlibet punctum in <lb></lb>parabola quod sit F, et ducatur FG pa<lb></lb>rallela ipsi DB, item per G agatur IGL <lb></lb>parallela ad CH eritque BGLH parallelo<lb></lb>gramum. </s><s>Et quia factum est ut AB, ad <lb></lb>BC ita BH ad AE erit AG ad GI, ut <lb></lb>AB ad BC hoc est ut BH ad AE sive ut GL, ad AE. <lb></lb>Rectangulum ergo GAE aequale erit rectangulo IGL, hoc <lb></lb>est quadrato FG, est ergo EA latus rectum. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollarium.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Hinc manifestum est, si linea FG ordinatim applicata producatur <lb></lb>usque ad ulteriorem semiparabolam in M; ipsam GM aequalem fore <lb></lb>ipsi FG, eodem enim modo ostenditur quadratum GM, atque quadratum <lb></lb>GF aequari rectangulo IGL etc.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <pb pagenum="115"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO VII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Sublimitas parabolae apud Galileum, quarta pars est <lb></lb>lateris recti eiusdem parabolae. </s></p> <p type="main"> <s>Maneat constructio Propositionis V de Motu proiecto<lb></lb>rum Galilei, qua ipse reperit sublimitatem parabolae. </s></p> <p type="main"> <s>Factum ibi fuit ut AB altitudo, ad BC (aequalem nempe <lb></lb>dimidio basis AE), ita BC ad aliam, quae sit BD, et haec <lb></lb>erat sublimitas apud Galileum, probabimusque ipsam esse <lb></lb>quartam lateris recti partem. </s></p> <p type="main"> <s>Quadratum EA quadruplum est quadrati <lb></lb> <arrow.to.target n="fig265"></arrow.to.target><lb></lb>BC hoc est rectanguli ABD, (per constructio<lb></lb>nem) ergo etiam rectangulum sub AB, et <lb></lb>latere recto quadruplum erit eiusdem ABD; <lb></lb>sed communis est AB altitudo rectangulorum, <lb></lb>ergo bases, hoc est latus rectum, quadruplum erit subli<lb></lb>mitatis BD. Quod etc. </s></p> <figure id="fig265"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Definitio.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Quando, ut in praecedenti figura, sumitur in axe parabolae ex ver<lb></lb>tice linea BI quae aequalis sit quartae parti lateris recti, tunc punctum I <lb></lb>vocatur focus parabolae. </s><s>Manifestum ergo est; punctum sublime D, <lb></lb>et focum I, aequaliter distare à vertice parabolae; nempe tantum <lb></lb>utrinque quanta est quarta pars lateris recti.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO VIII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Recta linea quae ex foco parabolae ordinatim applica<lb></lb>tur, dupla est portionis axis ad verticem interceptae, vel <lb></lb>aequalis est semissi lateris recti. </s></p> <p type="main"> <s>Sit latus rectum AB et focus D. Rectan<lb></lb> <arrow.to.target n="fig266"></arrow.to.target><lb></lb>gulum BAD quadruplum est quadrati AD (quia <lb></lb>cum habeant communem altitudinem AD, basis <lb></lb>BA quadrupla est basis AD) ergo etiam qua<lb></lb>dratum CD quadruplum est eiusdem quadrati <lb></lb>AD. Est igitur CD dupla ipsius DA; sive ae<lb></lb>qualis semissi lateris recti. </s><s>Quod erat etc. </s></p> <pb pagenum="116"></pb> <figure id="fig266"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO IX.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si Parabolae quotcunque circa eandem diametrum sint, <lb></lb>lineae quae in illis ordinatim ducuntur, proportionales <lb></lb>erunt. </s></p> <p type="main"> <s>Sit diameter communis AB, ordinatim autem ductae <lb></lb>sint CD, CE et BF, BG. Dico esse ut EC ad GB, ita DC <lb></lb>ad FB. </s></p> <p type="main"> <s>Sunt enim quadrata EC ad GB, ut <lb></lb> <arrow.to.target n="fig267"></arrow.to.target><lb></lb>recta AC ad AB. Quadrata etiam DC ad <lb></lb>FB sunt ut AC, ad AB. Ergo in eadem <lb></lb>ratione sunt quadrata inter se; quare ut <lb></lb>recta EC ad GB, ita est DC ad FB. Quod <lb></lb>erat etc. </s></p> <figure id="fig267"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO X.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Tempora lationum, quae ex quiete fiunt per plana quae<lb></lb>cunque sunt inter se ut lineae in parabola applicatae ad <lb></lb>spatia per quae gravia descenderunt. </s></p> <p type="main"> <s>Sint spatia quaelibet AB, AC, <lb></lb> <arrow.to.target n="fig268"></arrow.to.target><lb></lb>sive perpendicularia sive incli<lb></lb>nata, et circa diametrum AC fiat <lb></lb>parabola quaelibet ADE atque <lb></lb>ordinatim ducantur BD,CE. Dico <lb></lb>tempus per AB ad tempus per <lb></lb>AC esse ut BD ad CE. Sunt <lb></lb>enim tempora in subdupla ratione spatiorum ex Galileo, <lb></lb>sed lineae DB, EC sunt in subdupla ratione spatiorum <lb></lb>(quia quadrata earum sunt ut AB, ad AC) ergo eadem <lb></lb>ratio est et temporum, et linearum ordinatim ad spatia <lb></lb>applicatarum. </s><s>Quod erat etc. </s></p> <figure id="fig268"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Aliter.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Si ponamus tempus lationis per latus rectum AF esse ipsummet <lb></lb>latus rectum, erit tempus per AB media proportionalis inter FA, AB, <lb></lb>nempe ipsa BD, et tempus per AC media proportionalis CE etc. </s><s>et sic <lb></lb>de singulis. </s><s>Quare etc.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <pb pagenum="117"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollarium.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Hinc manifestum est impetus gravium in fine portionum diametri pa<lb></lb>rabolae, esse inter se ut lineae, quae ordinatim applicantur ad extrema <lb></lb>ipsarum portionum puncta. </s><s>Sunt enim ex Galileo impetus ut ipsa tem<lb></lb>pora, sed ordinatim ductae sunt ut ipsa tempora, ergo impetus sunt ut <lb></lb>ordinatim ductae etc.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si Lineae à vertice parabolae usque ad sectionem du<lb></lb>cantur, erunt impetus in fine linearum, ut sunt ordinatim <lb></lb>ex ipsarum terminis applicatae. </s></p> <p type="main"> <s>Sit parabola cuiux vertex A et ducantur <lb></lb> <arrow.to.target n="fig269"></arrow.to.target><lb></lb>ex vertice AB, AC. Dico impetus in B et C <lb></lb>esse ut BD ad CE. Manifestum est; quia im<lb></lb>petus in B, et C sunt ijdem ac in D et E. <lb></lb>In D autem et in E sunt ut BD ad CE (per <lb></lb>corollarium praecedens) ergo etiam in B, et C <lb></lb>sunt ut BD ad CE. Quod etc. </s></p> <figure id="fig269"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Tempora lationum, quae in circulo fiunt per portiones <lb></lb>diametri ex puncto sublimi, sunt inter se ut chordae quae <lb></lb>ex eodem puncto sublimi ducuntur, ad puncta peripheriae <lb></lb>in quae incidunt ordinatim ductae ex terminis dictarum <lb></lb>portionum. </s></p> <p type="main"> <s>Sumantur utcunque AB, AC et ducantur <lb></lb> <arrow.to.target n="fig270"></arrow.to.target><lb></lb>ordinatim BD, CE, iunganturque AD, AE. Dico <lb></lb>tempora lationum per AB, AC portiones dia<lb></lb>metri ita esse inter se ut sunt AD, AE. </s></p> <figure id="fig270"></figure> <p type="main"> <s>Si enim ponatur tempus per AF esse AF <lb></lb>erit tempus per AB ipsa AD, cum sit media <lb></lb>proportionalis. </s><s>Et cum tempus per AF sit <lb></lb>AF, erit tempus per AC ipsa AE, media proportionalis. </s><s><lb></lb>Quare etc. </s></p> <pb pagenum="118"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Tempora lationum ex quiete per unumquodque latus <lb></lb>trianguli rectanguli, cuius basis ad horizontem erecta sit, <lb></lb>aequalia sunt inter se. <lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Hoc est tamquam Corollarium sextae propositionis Ga<lb></lb> <arrow.to.target n="fig271"></arrow.to.target><lb></lb>lilei de motu accelerato. </s><s>Sit enim semicirculus ABC, cuius <lb></lb>punctum sublime sit A et chordae AB, BC in semicirculo <lb></lb>ad idem punctum B coaptatae. </s><s>Dico tempora per AB ex <lb></lb>quiete in A, et per BC ex quiete in B esse aequalia. </s><s><lb></lb>Utrumque enim tempus per AB, et per BC aequale est <lb></lb>tempori per diametrum AC ex Galileo ergo sunt aequalia <lb></lb>inter se tempora per tres lineas AC, AB, BC. Quod etc.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <figure id="fig271"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XIII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Tempora lationum per semidiametros quadrantis erecti <lb></lb>aequalia sunt temporibus tum secantium, tum etiam tan<lb></lb>gentium angulorum complementi elevationis, qua fuerint <lb></lb>elevatae dictae semidiametri. </s></p> <p type="main"> <s>Sit quadrans erectus ABC, semidiameter <lb></lb> <arrow.to.target n="fig272"></arrow.to.target><lb></lb>quaecunque BD, et tangens DE quae angulum <lb></lb>BDE rectum efficiet. </s><s>Dico tempus per DB, ae<lb></lb>quale esse tempori per secantem EB, sive per <lb></lb>tangentem ED quarum utraque, nempe EB <lb></lb>est secans, ED tangens anguli ABD, nempe <lb></lb>complementi elevationis semidiametri DB. </s></p> <figure id="fig272"></figure> <p type="main"> <s>Propositum autem manifestum est per lem<lb></lb>ma praecedens, cum triangulum BDE sit rectangulum, et <lb></lb>ideo tempora per unumquodque latus aequalia sint. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XIV.<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Si ab aliquo puncto plana diversimodè inclinata digrediantur, et ab <lb></lb>illo eodem puncto dimittantur gravia eodem tempore simul; ostendit <lb></lb>Galileus ex Corollario Propos. 6 de motu accelerato gravia huiusmodi <lb></lb>semper in peripheria alicuius circuli in immensum crescentis reperiri. </s><s><lb></lb>Stante hoc dicimus.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Si grave, quod perpendicularitèr descendit, centrum <lb></lb>terrae contingere posset, reliqua gravia eodem simul tem<lb></lb>pore singula in suis planis conquiescerent. </s></p> <pb pagenum="119"></pb> <p type="main"> <s>Sit planum perpendiculare AB in quo om<lb></lb> <arrow.to.target n="fig273"></arrow.to.target><lb></lb>ninò erit centrum terrae. </s><s>Sit ergo terrae cen<lb></lb>trum B, et fiat circulus ACB qui transeat per <lb></lb>centrum terrae B, et per punctum A à quo <lb></lb>gravia digrediuntur. </s><s>Posito deinde quolibet <lb></lb>plano AC, ducatur BC. Ostendit Galileus gra<lb></lb>via eodem tempore ad B, et C pervenire. </s><s><lb></lb>Igitur eodem tempore conquiescunt omnia; quia cum sit <lb></lb>terrae centrum B, et linea BC perpendicularis ad planum <lb></lb>AC, erit C punctum infimum plani AC; ergo si aliquod <lb></lb>grave ulterius procederet, ascenderet. </s><s>Quod est impossibile. </s><s><lb></lb>Ergo etc. </s><s>Supponimus quod grave illud pertinens ad cen<lb></lb>trum terrae statim quiescat, quod ambiguum est etc. </s></p> <figure id="fig273"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si circulum in eodem puncto duo circuli interius, et <lb></lb>exterius contingant, et per contactum duae rectae lineae <lb></lb>agantur, erunt interceptae inter duas peripherias in eadem <lb></lb>ratione cum interceptis in reliquo circulo. </s></p> <p type="main"> <s>Sit ut ponitur; et contactus sit A. Dico <lb></lb> <arrow.to.target n="fig274"></arrow.to.target><lb></lb>esse ut BC ad DE, ita AF ad AG. Ducatur <lb></lb>HI tangens, quae tres circulos contingat in <lb></lb>A et iungantur EC, DB, GF. </s></p> <figure id="fig274"></figure> <p type="main"> <s>Erit angulus qui ad F (in alterno seg<lb></lb>mento) aequalis angulo IAG hoc est ipsi <lb></lb>HAD hoc es utrique ipsorum ad B, et C. <lb></lb>Sunt ergo EC, DB, GF parallelae. </s><s>Quare ut CB ad ED <lb></lb>interceptae inter duas peripherias, ita BA ad DA, hoc est <lb></lb>AF ad AG interceptae in reliquo circulo. </s><s>Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XV.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si plana diversimodè inclinata ad unum punctum con<lb></lb>currant, et gravia dimittantur eodem simul tempore ex <lb></lb>aliqua circuli peripheria, cuius infimum punctum sit con<lb></lb>cursus planorum, ipsa gravia semper in aliquo circulo <lb></lb>simul disposita commeabunt. </s></p> <pb pagenum="120"></pb> <p type="main"> <s>Sint plana AB perpendiculum, et CB ut<lb></lb> <arrow.to.target n="fig275"></arrow.to.target><lb></lb>cunque inclinatum, quae concurrant in B, et <lb></lb>per concursum B transeat quaelibet peripheria <lb></lb>BCA ita ut B sit infimum punctum ipsius. </s><s><lb></lb>Dico gravia ex A, et C eodem tempore de<lb></lb>missa semper in aliqua circuli peripheria com<lb></lb>meare, quae transeat per B. </s></p> <figure id="fig275"></figure> <p type="main"> <s>Si enim ponamus grave A descendisse usque in E pro<lb></lb>ducatur BD aequalis ipsi AE, et per E et per D agantur <lb></lb>duo circuli qui priorem circulum contingant in puncto B. <lb></lb>Erit per Lem. praecedens ut AE, ad CF ita BD ad BG <lb></lb>ergo CF, et BG sunt aequales. </s><s>Sed BD, BG ex quiete <lb></lb>in B eodem tempore peraguntur, ergo etiam AE, CF eo<lb></lb>dem tempore peragentur (sunt enim aequales longitudine, <lb></lb>et inclinatione ipsis BD, BG). Quare gravia A, C, et infinita <lb></lb>alia demissa simul ex peripheria BCA, semper in aliqua <lb></lb>peripheria simul disposita reperientur. </s><s>Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XVI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Datis quotcunque spatijs deinceps in directum conti<lb></lb>nuatis, unicuique suae lationis tempus adscribere. </s></p> <p type="main"> <s>Sint spatia quotcunque dein<lb></lb> <arrow.to.target n="fig276"></arrow.to.target><lb></lb>ceps, sive aequalia sive inaequalia <lb></lb>AB, BC, CD ut apparet in prima <lb></lb>figura et circa diametrum AD fiat <lb></lb>parabola AG, ducanturque ordina<lb></lb>tim BE, CF, DG et sint parallelae <lb></lb>diametro EH, FI. Dico DH, HI, <lb></lb>IG, tempora esse spatiorum respe<lb></lb>ctivè AB, BC, CD. Hoc enim pa<lb></lb>tet. </s><s>Nam BE, sive DH tempus est ipsius AB et CF vel <lb></lb>DI tempus est ipsius AC quare HI tempus est spatij BC <lb></lb>etc. </s><s>et sic de reliquis. <lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <figure id="fig276"></figure> <p type="main"> <s>Potest etiam sine parabola idem perfici hoc modo ut in secunda <lb></lb>figura. </s><s>Ponatur AE aequalis AB primo spatiorum; et ducatur AO per<lb></lb>pendicularis ad AD, fiant deinde semicirculi circa diametros EB, EC, <lb></lb>ED etc. </s><s>qui secent rectam AO in punctis F, I, O. Dico AF, FI, IO esse re<lb></lb>spectivè tempora quaesita spatiorum AB, BC, CD etc. </s><s>Nam si ponamus <pb pagenum="121"></pb>tempus per AB, esse AB, hoc est AF, erit tempus per AC media pro<lb></lb>portionalis, quae est AI, ergo tempus differentiae BC erit FI; eodem <lb></lb>modo ostendetur tempus per CD, esse IO. Quare patet etc. </s></p> <p type="main"> <s>Propositum sit nobis; punctum sublime parabolarum (quod optimè, <lb></lb>et ingeniosè reperit Galileus) diverso modo considerare. </s><s>Fiet enim ut <lb></lb>nobis plus lucis afferat, ad impetus in singulis parabolae punctis de<lb></lb>terminandos, et clarius mente concipiendos. </s><s>Placuit has propositiones <lb></lb>sub titulo De motu accelerato ponere, licet sapiant aliquid de pro<lb></lb>iectione, quia sunt circa parabola de genere earum, quae initium ha<lb></lb>bent ex vertice, ab ipso motu naturaliter accelerato derivare conci<lb></lb>piuntur, sine ulla instrumentorum impellentium ope.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Si mobile aliquod ex A puncto demissum, eodem tempore <lb></lb> <arrow.to.target n="fig277"></arrow.to.target><lb></lb>peragat duo spatia AB, BC. Dico ipsum omnino transire <lb></lb>per punctum C; quamcunque lineam descripserit praecedenti <lb></lb>latione. </s><s>Transeat enim si possibile est per D, ergo quia <lb></lb>discessit ab A eodem tempore confecit spatia AB, et BD, <lb></lb>quod est contra suppositum. </s><s>Quo enim tempore conficit AB, non absolvit <lb></lb>BD, sed ipsam BC. Quare constat etc.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <figure id="fig277"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XVII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Proposita qualibet parabola cuius vertex sit B oportet <lb></lb>punctum aliquod sublime reperire, ex quo si grave cadat <lb></lb>usque in B, et ex puncto B cum impetu iam concepto, ho<lb></lb>rizontaliter convertatur, ipsam propositam parabolam de<lb></lb>scribat. </s></p> <p type="main"> <s>Sit quaelibet parabola BHE. Ponantur AB, et <lb></lb> <arrow.to.target n="fig278"></arrow.to.target><lb></lb>BC utraque aequalis quartae parti lateris recti <lb></lb>propositae parabolae. </s><s>Sumatur iam in parabola <lb></lb>quantumvis producta aliquod punctum E. Dico <lb></lb>grave post casum per AB, horizontaliter con<lb></lb>versum in B cum impetu iam concepto, per ipsum E <lb></lb>punctum transire. </s><s>Debet autem post horizontalem con<lb></lb>versionem in puncto B factam, gravitas suam descensus <lb></lb>operationem inchoare. </s><s>Ducantur ordinatim CH, EF. Po<lb></lb>namusque tempus casus per BC esse CH. Ergo grave <lb></lb>horizontaliter conversum in C decurret motu aequabili <lb></lb>tempore casus duplum ipsius casus spatium. </s><s>hoc est tem<lb></lb> <arrow.to.target n="marg491"></arrow.to.target><lb></lb>pore CH ipsam CH, vel tempore FE (eadem velocitate) <pb pagenum="122"></pb>ipsam FE. Grave igitur impetu per BC, sive per AB acqui<lb></lb> <arrow.to.target n="marg492"></arrow.to.target><lb></lb>sito conficit horizontalem FE tempore FE. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg491"></margin.target>8 huius.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg492"></margin.target>10 huius.</s></p> <figure id="fig278"></figure> <p type="main"> <s>Sed eodem tempore FE decurrit etiam perpendicula<lb></lb>rem BF (quando gravitas incipit operari in B ut in casu <lb></lb> <arrow.to.target n="marg493"></arrow.to.target><lb></lb>nostro) ergo eodem tempore conficit BF, et FE. Quare <lb></lb>grave omnino transibit per E. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg493"></margin.target>Per lem. <lb></lb>praeced.</s></p> <p type="main"> <s>Transit ergo grave post casum AB per singula propo<lb></lb>sitae parabolae puncta. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XVIII.<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>In quolibet puncto parabolae duo simul impetus insunt. </s><s>Alter hori<lb></lb>zontalis, qui semper idem est, et aequalis sibi ipsi; alter perpendicu<lb></lb>laris, qui nunquam idem est, sed semper augetur.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Dico horizontalem semper esse tamquam linea quae ex <lb></lb>foco ordinatim ducitur, perpendicularem vero esse ut linea <lb></lb>quae ordinatim ducitur ex eo puncto, quod examinatur. </s></p> <p type="main"> <s>In figura praecedentis Propositionis. <lb></lb> <arrow.to.target n="marg494"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg494"></margin.target>Ex definit. </s><s><lb></lb>Galilei.</s></p> <p type="main"> <s>Sit parabola cuius vertex B et ponantur BA, BC ae<lb></lb>quales utraque quartae parti lateris recti. </s><s>Quia impetus <lb></lb>sunt ut tempora, erit impetus cadentis ex A in B, sive ex <lb></lb>B in C, ut ipsa CH per Propositionem X huius, et eius <lb></lb>Corollarium. </s><s>Ubicunque ergo sumatur punctum in para<lb></lb>bola, impetus horizontalis in eo erit ut CH. Quandoquidem <lb></lb>impetus horizontalis est indelebiliter aequabilis. </s></p> <p type="main"> <s>Examinetur iam punctum quodlibet E. Impetus perpen<lb></lb>dicularis qui est in E, est idem ac impetus naturaliter <lb></lb>cadentis per BF: ex quiete in B. Uterque enim descensus <lb></lb>venit ab altitudine B, ubi habent initium accelerationes. </s><s><lb></lb>Impetus autem cadentis ex B in F est FE ergo impetus <lb></lb>perpendicularis in puncto E parabolae erit FE. Quare in <lb></lb>eodem puncto parabolae sunt duo impetus, alter ut CH <lb></lb>quae est ex foco, alter ut FE quae ex puncto examinato <lb></lb>applicatur. </s><s>Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Scholium.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Hinc posset ostendi demonstratione directa proprietas <lb></lb>tangentis parabolae, sive Theorema mavis, sive Problema <lb></lb>posito prius hoc principio. </s></p> <pb pagenum="123"></pb> <p type="main"> <s>Si mobile aliquod A in prima figura <lb></lb> <arrow.to.target n="fig279"></arrow.to.target><lb></lb>ex angulo parallelogrammi alicuius, <lb></lb>vel ex quolibet puncto diametri fera<lb></lb>tur aequabilitèr duplici simul latione, <lb></lb>nempe progressiva secundum lineam <lb></lb>AC, et laterali secundum AB utcunque inclinatam, sitque <lb></lb>proportio duarum velocitatum eadem ac proportio laterum <lb></lb>AC ad AB homologè. </s><s>Dico mobile iterum esse secundum <lb></lb>diametrum AD hoc est per ipsam diametrum. </s></p> <figure id="fig279"></figure> <p type="main"> <s>Si enim possibile est feratur mobile extra diametrum <lb></lb>per aliquod punctum E, ducaturque EG parallela ad AB. <lb></lb>Ergo quam proportionem habent spatia peracta à mobili, <lb></lb>eam habebunt et impetus: nempe ut spatium progressivum <lb></lb>peractum AG ad laterale peractum GE, ita impetus pro<lb></lb>gressivus ad impetum lateralem, ideoque ut AG ad GE ita <lb></lb>AC ad AB ob suppositionem, sive AC ad CD, sive AG <lb></lb>ad GI, essent ergo aequales GE et GI totum et pars. </s></p> <p type="main"> <s>Esto iam in secunda figura quodlibet punctum A in <lb></lb>curva parabolica ABC, et applicata AD, factisque aequali<lb></lb>bus DC, CE, ducatur AE, quam dico tangentem esse. </s><s>Esto <lb></lb>focus F, et applicata ex foco recta FB. Erunt iam in A <lb></lb>duo impetus alter progressivus deorsum secundum dire<lb></lb>ctionem lineae CD, alter lateralis secundum DA, estque <lb></lb>progressivi impetus ad lateralem ratio ut AD ad BF, per <lb></lb>praecedentem Proposit. </s><s>sive ut ED ad DA (cum aequale <lb></lb>sit rectangulum sub ED et semisse lateris recti FB, qua<lb></lb>drato DA). Ergo mobile dum est in puncto A feretur <lb></lb>secundum diametralem AE; sed fertur etiam iuxtà para<lb></lb>bolicam lineam quam percurrens describit, ergo recta AE, <lb></lb>et parabolica non se intersecant in puncto A, sed tan<lb></lb>gunt: etc. </s><s>Haec demonstratio peculiaris est pro parabola; <lb></lb>sed et universalem habemus pro qualibet sectione conica, <lb></lb>consideratis aequalibus velocitatibus unius puncti, quod <lb></lb>aequaliter movetur in utraque linea quae ex focis procedit. </s></p> <p type="main"> <s>Eadem ratione demonstratur Propositio 18 de lineis <lb></lb>spiralibus Archimedis unica brevique demonstratione, non <lb></lb>solum quando tangens consideratur ad extremum primae <lb></lb>revolutionis punctum; sed ubicunque punctum sit in curva <lb></lb>spirali semper ostenditur periphaeria, quae per punctum <pb pagenum="124"></pb>contactus ducitur aequalis cuidam rectae lineae etc. </s><s>Quae <lb></lb>Propositiuncula cum olim inter amicos à me vulgata fuis<lb></lb>set, Clar. </s><s>Virum Galileum meruit habere laudatorem, ut <lb></lb>extant ipsius epistolae apud me. </s></p> <p type="main"> <s>Immò et hac ratione ostenduntur etiam unico Theore<lb></lb>mate tangentes quarumdam curvarum, inter quas, omnium <lb></lb>linearum Cycloidalium, ut breviter attingemus ad finem <lb></lb>libri de Quadratura Parabolae, omittentes demonstratio<lb></lb>nem tam tangentium, quàm etiam solidorum, et centrorum <lb></lb>gravitatis ipsius Cycloidis ad evitandam molem. Satis sit <lb></lb>interea lectorem hic admonuisse quòd si Cycloidis spatium <lb></lb>circa basim convertatur, erit solidum ad cylindrum cir<lb></lb>cumscriptum ut 5 ad 8 si verò circa tangentem basi pa<lb></lb>rallelam ut 7 ad 8. Centrum Cycloidis axem fecat ita ut <lb></lb>partes sint ut 7 ad 5. Demonstratur etiam ratio solidi circa <lb></lb>axem ad cylindrum circumscriptum; item in qua linea axi <lb></lb>parallela sit centrum semicycloidis. </s><s>Clar. </s><s>Vir Antonius <lb></lb>Nardius ostendit quòd si Cyclois circa tangentem axi <lb></lb>parallelam convertatur solidum ad suum cylindrum erit <lb></lb>subsesquitertium; quae omnia fortasse aliquando edentur, <lb></lb>interea ad opus revertamur. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si in diametro parabolae aequales sint AC ex vertice, <lb></lb>et DB non ex vertice, erit quadratum BE aequale qua<lb></lb>dratis DF, CG. <lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Sit AH latus rectum, et compleantur rectangula <lb></lb> <arrow.to.target n="fig280"></arrow.to.target><lb></lb>CH, DH. </s></p> <figure id="fig280"></figure> <p type="main"> <s>Quia AC, DB ponuntur aequales, erit rectangulum <lb></lb>BH aequale duobus rectangulis DH, CH, seu (quod <lb></lb>idem est) quadratum EB duobus quadratis DF, CG <lb></lb>aequale erit. </s><s>Quod etc.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XIX.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Impetus in punctis parabolae sunt inter se ut lineae <lb></lb>ordinatim applicatae non ad ipsamet puncta, sed tanto <lb></lb>longius à vertice quanta est quarta pars lateris recti. </s></p> <pb pagenum="125"></pb> <p type="main"> <s>Sit parabola cuius vertex A, focus F. Sum<lb></lb> <arrow.to.target n="fig281"></arrow.to.target><lb></lb>ptoque in ea quolibet puncto C, dico impetum <lb></lb>in C esse ut DE, quae applicata sit tanto lon<lb></lb>gius à vertice, quàm ipsa CB, quanta est AF <lb></lb>nempe quarta pars lateris recti. </s></p> <figure id="fig281"></figure> <p type="main"> <s>Impetus enim qui simul sunt in C sunt CB, HF, ergo </s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg495"></arrow.to.target><lb></lb>momentum impetus ex ipsis compositum debet esse po<lb></lb>tentia ipsis aequale. </s><s>Sed et recta DE aequatur potentia <lb></lb>ipsis CB, HF per lemma praecedens, ergo momentum DE <lb></lb>est momentum sive impetus compositus ex duobus illis <lb></lb>qui sunt in puncto C. Quod etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg495"></margin.target>Per 2. Galil. </s><s><lb></lb>de motu ac<lb></lb>cel.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XX.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Impetus in quolibet parabolae puncto idem est ac im<lb></lb> <arrow.to.target n="marg496"></arrow.to.target><lb></lb>petus gravis naturalitèr cadentis ex sublimitate simul, et <lb></lb>altitudine eiusdem parabolae. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg496"></margin.target>Gal. de motu <lb></lb>accel.</s></p> <p type="main"> <s>Sit parabola cuius altitudo CB, sublimitas AB. <lb></lb> <arrow.to.target n="fig282"></arrow.to.target><lb></lb>Dico impetum in puncto H eundem esse ac na<lb></lb>turalitèr cadentis ex A in C. </s></p> <figure id="fig282"></figure> <p type="main"> <s>Sumatur CF aequalis quartae parti lateris <lb></lb>recti, hoc est ipsi AB. Erit impetus in puncto <lb></lb>H, ut linea EF per praecedentem. </s><s>At impetus etiam ca<lb></lb>dentis naturalitèr per BF, sive per AC, est eadem linea <lb></lb>EF, ergo idem impetus est in puncto H parabolae, ac in <lb></lb>puncto C gravis delapsi ex sublimitate simul et altitudine <lb></lb>AB, BC. Quod erat etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XXI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Tempora lationum per datas lineas horizontales post <lb></lb>casus è perpendiculo, aequalia erunt, quando altitudines <lb></lb>perpendiculorum duplicatam rationem habuerint illius, <lb></lb>quam horizontales lineae habent. </s></p> <p type="main"> <s>Sint horizontales lineae datae AB, CD et <lb></lb> <arrow.to.target n="fig283"></arrow.to.target><lb></lb>altitudines perpendiculares sint EA, FC. Sit<lb></lb>que EA ad FC in duplicata ratione illius <lb></lb>quam AB habet ad CD. Dico post casus EA, <lb></lb>FC, eodem tempore peragi AB, et CD. </s></p> <figure id="fig283"></figure> <p type="main"> <s>Hoc autem patet, quia cum sint AB, CD in subdupla <pb pagenum="126"></pb>ratione ipsarum EA, FC, erunt etiam ut tempora casuum, <lb></lb>et ideo ut velocitates, sive ut impetus qui sunt in A, et C. <lb></lb>Propterea cum sint velocitates in C, et A, ut ipsa spatia <lb></lb>CD, AB homologè, eodem tempore ipsa spatia peragentur. </s><s><lb></lb>Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XXII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Lineae ordinatim ductae in parabola eodem tempore <lb></lb>omnes percurruntur à mobili, quod per eas convertatur <lb></lb>impetu priùs aquisito per casum diametri ex quiete in <lb></lb>vertice. </s></p> <p type="main"> <s>Sit AB diameter parabolae, et BD, CE ordi<lb></lb> <arrow.to.target n="fig284"></arrow.to.target><lb></lb>natim ductae. </s><s>Dico mobile post casum AB ipsam <lb></lb>BD, et post casum AC ipsam CE aequalibus <lb></lb>temporibus pertransire. </s></p> <figure id="fig284"></figure> <p type="main"> <s>Sunt enim altitudines perpendiculares AB, AC in dupli<lb></lb>cata ratione spatiorum horizontalium BD, CE ob parabo<lb></lb>lam. </s><s>Quare per praecedentem eodem tempore peragentur <lb></lb>ipsa spatia horizontalia, hoc est ipsae ordinatim applicatae, <lb></lb>post casus AB, AC. Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XXIII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Tempora lationum quae fiunt ex vertice per diametri <lb></lb>portiones simul, et suas ordinatim ductas, sunt ut ipsae <lb></lb>ordinatim ductae; addita tamen singulis medietate late<lb></lb>ris recti. </s></p> <p type="main"> <s>Sit parabola cuius vertex A, focus H, or<lb></lb> <arrow.to.target n="fig285"></arrow.to.target><lb></lb>dinatim ex foco ducta sit CHD, quae aequalis <lb></lb>erit lateri recto. </s><s>Demonstrata enim fuit ipsa <lb></lb>CH, sive HD dupla ipsius HA, et ideo sub<lb></lb>dupla lateris recti. </s><s>Ducatur per D parallela <lb></lb>diametro DL. Dico tempus lationis per ABF esse GF, et <lb></lb>per AEI, esse LI, et sic de singulis. </s></p> <figure id="fig285"></figure> <p type="main"> <s>Tempus casus per AH est HC, sed cum dupla sit HC <lb></lb>ipsius AH, tempus per HC idem erit, ac per AH, nempe <lb></lb>HC. Ideo HC tempus est omnium BF, EI etc. (cum eodem <lb></lb>tempore omnes peragantur per praecedentem) Tempora <pb pagenum="127"></pb>autem casuum per AB, AE, sunt ipsae BF, EI. Propterea <lb></lb>tempus per ABF erit FB, et CH, simul, vel FG. Tempus <lb></lb>item per AEI erit IE simul cum CH, sive IL. Quod <lb></lb>erat etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Aliter idem ostendemus.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Sumatur in parabola quodlibet punctum C et ducatur ordinatim BC, <lb></lb>ponaturque BE dupla altitudinis BA. Dico iterum, tempus lationis per <lb></lb>ABC esse BC cum semisse lateris recti et sic de <lb></lb> <arrow.to.target n="fig286"></arrow.to.target><lb></lb>singulis. </s><s>Tempus enim per AB est BC et per BE <lb></lb>duplam altitudinis post casum AB tempus erit <lb></lb>eadem BC. Cum itaque tempus per EB sit CB, <lb></lb>tempus per CB tantò minus erit quanto spatium <lb></lb>minus est, cum idem impetus retineatur. </s><s>Sumatur ergo ipsarum EB, CB <lb></lb>tertia proportionalis FB, et erit FB tempus ipsius CB post casum AB. </s></p> <figure id="fig286"></figure> <p type="main"> <s>Caeterum lineam FB esse semissem lateris recti sic notnm facimus. </s><s><lb></lb>Rectangulum sub latere recto et AB aequale est rectangulo ECF <lb></lb>(utrumque enim aequatur quadrato BC) quarè reciproca habebunt la<lb></lb>tera; nempe erit ut EB ad BA subduplam; ita latus rectum ad BF, <lb></lb>quae illius subdupla erit. </s><s>Est itaque tempus per ABC ipsa BC cum BF <lb></lb>semisse lateris recti. </s><s>Quod erat etc.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Sit parabola ABC, ex vertice inclinetur AC et or<lb></lb> <arrow.to.target n="fig287"></arrow.to.target><lb></lb>dinatim ducantur CD ex puncto C, et BE utcunque <lb></lb>secans AC in F. </s></p> <figure id="fig287"></figure> <p type="main"> <s>Dico BE mediam proportionalem esse inter CD, <lb></lb>et FE. Est enim DA ad AE, vel CD ad FE in dupli<lb></lb>cata ratione ipsius CD ad BE ob parabolam. </s><s>Quare <lb></lb>media proportionalis est BE inter ipsas CD, FE. Quod erat etc.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XXIV.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Tempora lationum perpendicularium ex punctis lineae <lb></lb>ad horizontem inclinatae, sunt ut lineae quae per eadem <lb></lb>puncta ordinatim ducuntur iu parabola, cu<lb></lb> <arrow.to.target n="fig288"></arrow.to.target><lb></lb>ius diameter sit horizon, vertex autem pun<lb></lb>ctum inclinationis. </s></p> <figure id="fig288"></figure> <p type="main"> <s>Sit linea ad horizontem inclinata AB, et <lb></lb>sit horizon AC, et circa diametrum AC <lb></lb>describatur parabola quae fecet AB in quolibet puncto B, <pb pagenum="128"></pb>et ducatur BC ad horizontem perpendicularis; sumantur<lb></lb>que puncta quaelibet E et G; ac ducantur ordinatim IGH, <lb></lb>DEF. Dico tempora casuum per GH, et per EF esse IH, <lb></lb>et DF. Si enim ponamus tempus per BC esse BC, erit <lb></lb>tempus per GH media proportionalis IH; et per EF media <lb></lb>proportionalis DF. Uti demonstratum est in lemmate prae<lb></lb>cedenti. </s><s>Quare etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XXV.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si in parabola linea AB ex vertice inclinetur, et ordi<lb></lb>natim ducatur DE, quae inclinatam secet in F. Erit ipsa <lb></lb>EF tempus per AF et reliqua FD tempus per reliquam <lb></lb>FB. Quando motus veniant ex quiete semper in A. </s></p> <p type="main"> <s>Tempora enim per AF, AB sunt in subdu<lb></lb> <arrow.to.target n="fig289"></arrow.to.target><lb></lb>pla ratione spatiorum AF, AB, sive linearum <lb></lb>AE, AC. Sunt ideo tempora ut CB, ED, (quia <lb></lb>istae sunt in illa subdupla ratione) vel ut ED, <lb></lb>EF, (sunt enim continuae CB, ED, EF). Quare <lb></lb>cum tempus per AF sit EF et per AB sit ED, <lb></lb>erit FD nempe reliquum tempus, tempus per FB reliquum <lb></lb>spatium post quietem in A. Quod erat etc. </s></p> <figure id="fig289"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Inclinetur ex vertice parabolae recta AB, et parabolam tangat <lb></lb>in vertice recta AC. Ducatur quaevis alia DI quae occurrat para<lb></lb>bolae in I, et inclinatae in E. Dico DE mediam propor<lb></lb> <arrow.to.target n="fig290"></arrow.to.target><lb></lb>tionalem esse inter CB, DI. </s></p> <figure id="fig290"></figure> <p type="main"> <s>Est enim BC ad DI longitudine ut CA ad AD, vel <lb></lb>BC ad DE potentia. </s><s>Quare in continua proportione sunt <lb></lb>BC, DE, DI etc. </s><s>et DE media est. </s><s>Quod oportebat <lb></lb>ostendere.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XXVI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si horizontalis linea parabolam contingat, tempora ca<lb></lb>suum ex punctis parabolae usque ad horizontem; sive ex <lb></lb>punctis horizontis, ut in secunda figura, usque ad parabo<lb></lb>lam; erunt ut lineae parallelae inter horizontem, et quam<lb></lb>libet aliam ex contactu inclinatam interceptae. </s></p> <pb pagenum="129"></pb> <p type="main"> <s>Sit parabola BAC cuius vertex C <lb></lb> <arrow.to.target n="fig291"></arrow.to.target><lb></lb>et eam in C tangat horizon CD et ex <lb></lb>contactu C inclinetur utcunque CA <lb></lb>ducaturque ex puncto A, AD horizonti <lb></lb>perpendicularis. </s><s>Ducta iam qualibet <lb></lb>perpendiculari EF. Dico tempus casus <lb></lb>per EB esse FE etc. </s><s>et sic de singulis. </s><s>Ponamus tempus per <lb></lb>AD esse AD, erit tempus per BE ipsa FE media propor<lb></lb>tionalis uti demonstratum est. </s><s>Quare etc. </s></p> <figure id="fig291"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XXVII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Tempora lationum per chordas ex vertice parabolae <lb></lb>inclinatas, compositam rationem habent, ex ratione longi<lb></lb>tudinum chordarum, et ex ratione ordinatim applicatarum, <lb></lb>contrariè tamen sumptarum. </s></p> <p type="main"> <s>Sint chordae ex vertice AB, AC et ordinatim <lb></lb> <arrow.to.target n="fig292"></arrow.to.target><lb></lb>ducantur BD, CE. Dico tempus per AB ad tem<lb></lb>pus per AC habere rationem compositam ex <lb></lb>ratione AB ad AC, et ex ratione CE ad BD. <lb></lb>Si enim concipiamus lationes illas acceleratas <lb></lb>aequabiles fieri, et gravia per spatia BA, CA <lb></lb>recurrere cum gradu subduplo impetus quem habebant <lb></lb>in B, et C, erunt tempora recursuum eadem ac tempora <lb></lb>casuum. </s><s>Tempora autem lationum aequabilium compositam <lb></lb> <arrow.to.target n="marg497"></arrow.to.target><lb></lb>rationem habent ex ratione longitudinum spatiorum AB, <lb></lb>ad AC; et ex ratione velocitatum contrariè sumptarum <lb></lb>CE, ad BD (sunt enim velocitates in B, et C eaedem ac <lb></lb>in D, et E, et velocitates in D, et E sunt ut tempora BD, <lb></lb>CE). Ergo etiam tempora casuum naturaliter accelerato<lb></lb>rum per AB, AC compositam rationem habebunt ex ijsdem <lb></lb>rationibus AB ad AC et CE ad BD. Quod erat etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg497"></margin.target>1. Galil. </s><s>de <lb></lb>motu acc. </s><s><lb></lb>per Galil. </s><s><lb></lb>de motu ae<lb></lb>qua.</s></p> <figure id="fig292"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XXVIII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Tempora lationum per chordas ex vertice parabolae, <lb></lb>sunt ut lineae quae ordinatim applicantur non ex terminis <lb></lb>chordarum, sed ex punctis diametri in quae cadunt lineae <lb></lb>rectos angulos continentes cum ipsis chordis. </s></p> <pb pagenum="130"></pb> <p type="main"> <s>Sit parabolae diameter AG et chordae ex <lb></lb> <arrow.to.target n="fig293"></arrow.to.target><lb></lb>vertice sint AB,AD fiantque anguli ABF,ADG <lb></lb>recti, et ordinatim ad puncta F, G applicentur <lb></lb>FH, GI. Dico tempora lationum per AB, AD <lb></lb>esse ipsas ordinatim applicatas FH, GI. </s></p> <figure id="fig293"></figure> <p type="main"> <s>Tempus enim per AB aequale est tempori <lb></lb>per AF existente angulo ABF recto. </s><s>Item <lb></lb>tempus per AD ob eandem causam aequatur tempori per <lb></lb>AG. Tempora autem per AF, AG sunt ipsae HF, IG. Ergo <lb></lb>tempora lationum per chordas AB, AD sunt HF, et GI. <lb></lb>Quod erat etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Proponetur etiam hoc modo.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Tempora lationum per chordas ex vertice parabolae <lb></lb>sunt ut lineae quae applicantur non ex terminis chorda<lb></lb>rum, sed tanto longius à vertice quanta est lateris recti <lb></lb>longitudo. <lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Ostensum enim est in praecedenti, tempus per AB, <lb></lb> <arrow.to.target n="fig294"></arrow.to.target><lb></lb>(facto angulo ABC recto) esse lineam CD. Dico nunc lineam <lb></lb>DC tanto longius à vertice applicatam esse, quam ipsa BE, <lb></lb>quanta est lateris recti longitudo, hoc est ipsam EC latus <lb></lb>rectum esse. </s></p> <figure id="fig294"></figure> <p type="main"> <s>Hoc patet. </s><s>Est enim rectangulum CEA aequale qua<lb></lb>drato EB ob angulum rectum ad B, propterea CE latus rectum est. </s><s><lb></lb>Quod erat etc.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollarium.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Hinc manifestum est eodem tempore peragi quamlibet <lb></lb> <arrow.to.target n="fig295"></arrow.to.target><lb></lb>inclinatam ex vertice; puta AB, ac portionem axis sibi <lb></lb>respondentem AC cui tamen additum fuerit in directum <lb></lb>latus rectum AE, ita ut lationes flant per AB ex quiete in <lb></lb>A, et per EC ex quiete in E.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <figure id="fig295"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XXIX.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Tempora lationum per lineas quae ex foco parabolae <lb></lb>inclinantur, sunt ut lineae ordinatim applicatae non ad <lb></lb>puncta in quae cadunt inclinatarum perpendiculares, sed <pb pagenum="131"></pb>tantò superius versus verticem, quanta est quarta pars <lb></lb>lateris recti. </s></p> <p type="main"> <s>Sit parabola cuius vertex A focus B et ex <lb></lb> <arrow.to.target n="fig296"></arrow.to.target><lb></lb>foco inclinetur BC, fiatque angulus BCD rectus, <lb></lb>et à puncto D sumatur versus verticem para<lb></lb>bolae linea DE aequalis quartae parti lateris <lb></lb>recti. </s><s>Dico tempus per BC esse lineam EF. <lb></lb>Tempus enim per BC aequatur tempori per BD od angu<lb></lb>lum BCD rectum, hoc est per AE (sunt enim aequales <lb></lb>BD, AE) sed tempus per AE, est ipsa EF ergo tempus <lb></lb>per BD, vel BC erit eadem EF. Quod erat etc. </s></p> <figure id="fig296"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XXX.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Dato plano inclinato perpendiculum erigere, quod eo<lb></lb>dem tempore ac ipsum planum conficiatur. </s></p> <p type="main"> <s>Sit inclinatum planum AB cuius elevatio AC, <lb></lb> <arrow.to.target n="fig297"></arrow.to.target><lb></lb>fiat ut AC ad AB ita AB, ad aliam, quae sit <lb></lb>CD. Dico planum AB ex quiete in A, et per<lb></lb>pendiculum DC ex quiete in D eodem tempore <lb></lb>confici. </s></p> <figure id="fig297"></figure> <p type="main"> <s>Tempus enim par AB ad tempus per AC est ut AB <lb></lb>ad AC: tempus etiam per DC ad tempus per AC est ut <lb></lb>AB media proportionalis ad AC; quare tempora per AB, <lb></lb>et DC aequalia erunt. </s><s>Quod erat etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XXXI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Ad datum perpendiculum planum inflectere datae lon<lb></lb>gitudinis, ita ut perpendiculum ipsum, et inflexum planum <lb></lb>eodem tempore absolvantur. <lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Debet autem longitudo dati plani minor esse ipso perpendiculo.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Sit datum perpendiculum AB, et data plani <lb></lb> <arrow.to.target n="fig298"></arrow.to.target><lb></lb>longitudo sit C minor perpendiculo. </s><s>Fiat ut AB <lb></lb>ad C ita C ad aliam quae sit DB, et ex puncto D <lb></lb>aptetur DE aequalis ipsi C. Dico tempora la<lb></lb>tionum per DE, et per AB esse aequalia. </s><s>Huius <lb></lb>demonstratio congruit cum praecedenti, quandoquidem in <lb></lb>continua proportione sunt AB, DE, DB. Quod etc. </s></p> <pb pagenum="132"></pb> <figure id="fig298"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XXXII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Ad datum perpendiculum AB, planum inflectere ita ut <lb></lb>cum perpendiculo quemlibet datum angulum acutum con<lb></lb>tineat, puta aequalem ipsi BAC, et eodem tempore ac <lb></lb>ipsum perpendiculum absolvatur. </s></p> <p type="main"> <s>Fiat circa diametrum AB circulus qui se<lb></lb> <arrow.to.target n="fig299"></arrow.to.target><lb></lb>cet CA in D. Demissàque perpendiculari DE <lb></lb>compleatur parallelogrammum ADEF. </s></p> <figure id="fig299"></figure> <p type="main"> <s>Manifestum est planum FE quaesito nostro <lb></lb>satisfacere. </s><s>Cum enim EF aequalis sit ipsi AD <lb></lb>et aequaliter inclinata ob parallelogrammum, <lb></lb>eodem tempore absolventur FE, AD vel AB. Quod erat etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XXXIII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Ad datum perpendiculum DC, in figura propositionis <lb></lb>XXX et ex dato in eo puncto A planum inflectere, quod eo<lb></lb>dem tempore ac ipsum perpendiculum conficiatur ex quiete. </s></p> <p type="main"> <s>Reperiatur inter DC, CA media proportionalis AB, et <lb></lb>habebimus longitudinem plani alicuius. </s><s>Applicetur haec <lb></lb>longitudo ex A, sitque illa iam applicata AB: manifestum <lb></lb>est ex praecedentibus propositionibus ipsam AB et per<lb></lb>pendiculum DC eodem tempore absolvi, cum sint in con<lb></lb>tinua proportione DC, AB, AC. Quod erat etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XXXIV.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si ad perpendiculum aliquod AB, planum CD inflexum <lb></lb>sit ad angulum semirectum. </s><s>Erit tempus per CD aequale <lb></lb>tempori perpendiculi, quod ipsius CB duplum sit. </s><s>Propo<lb></lb>netur etiam hoc modo. </s><s>Tempus per diametrum quadrati <lb></lb>erecti, aequale est tempori per duplum lateris erecti. <lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Sit CD planum ut supponitur vel sit diameter quadrati <lb></lb> <arrow.to.target n="fig300"></arrow.to.target><lb></lb>cuius latus CB erectum sit, ponaturque AB dupla ipsius CB. <lb></lb>Dico tempora per CD, AB, esse aequalia. </s><s>Quia DC ad CB <lb></lb>potentia est ut AB ad eandem CB longitudine, nempe in <lb></lb>ratione dupla, erunt continuae proportionales AB, CD, CB. <lb></lb>Quare per praecedentes propositiones eodem tempore absol<lb></lb>ventur perpendîculum AB, et planum inclinatum CD. Quod erat etc.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <pb pagenum="133"></pb> <figure id="fig300"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XXXV.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Ad datum perpendiculum AB, planum, vel plana incli<lb></lb>nare ad datum in horizonte punctum C, ita ut inclinata <lb></lb>plana et perpendiculum ipsum eodem tempore absolvantur. </s></p> <p type="main"> <s>Debet autem punctum C, distare à puncto B non am<lb></lb>plius quam sit semissis ipsius AB. </s></p> <p type="main"> <s>Fiat circa AB circulus AEDB, et erigatur <lb></lb> <arrow.to.target n="fig301"></arrow.to.target><lb></lb>CE quae omninò incidet in circulum (aliàs <lb></lb>problema insolubile esset) incidat in D et C, <lb></lb>ductisque EF, DG parallelis horizonti BC. Dico <lb></lb>plana FC, GC ad un punctum C inclinata, <lb></lb>eodem tempore absolui. </s></p> <figure id="fig301"></figure> <p type="main"> <s>Cum enim EB, FC sint diametri figurae <lb></lb>rectangulae erectae, et ideo aequales, et ae<lb></lb>qualiter inclinatae, eodem tempore peragen<lb></lb>tur. </s><s>Ergo tempus per AB, per EB, vel per FC unum <lb></lb>atque idem est. </s></p> <p type="main"> <s>Eodem modo infertur tempus per GC aequale esse tem<lb></lb>pori per AB. Quod erat etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XXXVI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>In dato circulo cuius centrum est A, diametrum aptare <lb></lb>ita ut tempus per aptatam diametrum aequale sit cuilibet <lb></lb>dato tempori. </s></p> <p type="main"> <s>Debet autem datum tempus maius esse tempore casus <lb></lb>per diametrum perpendicularem. </s></p> <p type="main"> <s>Ponamus tempus per diametrum per<lb></lb> <arrow.to.target n="fig302"></arrow.to.target><lb></lb>pendicularem CD esse CD, et tempus da<lb></lb>tum sit ED. Reperiatur ipsarum CD, ED <lb></lb>tertia proportionalis quae sit FD, et circa <lb></lb>FD fiat circulus FHD in quo ex puncto <lb></lb>D aptetur DH aequalis ipsi CD. Postremo <lb></lb>ipsi HD agatur per A parallela IL. Dico <lb></lb>diametrum IL dato tempore ED absolvi. </s></p> <figure id="fig302"></figure> <p type="main"> <s>Cum enim tempus per CD, sit CD, erit <lb></lb>ED, (quia media proportionalis est) tempus per FD, hoc <pb pagenum="134"></pb>est per HD (per sextam Galilei de motu accelerato) hoc <lb></lb>est per IL quae aequalis et parallela est ipsi HD. Tempus <lb></lb>igitur per diametrum IL est ED. Quod erat etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XXXVII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si fuerint AB, DC ad horizontem perpendiculares, et <lb></lb>sumatur ubicunque punctum E, sive intra, sive <lb></lb> <arrow.to.target n="fig303"></arrow.to.target><lb></lb>extra parallelas, fiatque ad E angulus DEC <lb></lb>rectus. </s><s>Dico per interceptas AD, BC semper <lb></lb>esse tempora lationum ex quiete aequalia. </s><s><lb></lb>Ducatur enim per A AF parallela ipsi, BC erit <lb></lb>angulus FAD aequalis angulo E, et ideo re<lb></lb> <arrow.to.target n="marg498"></arrow.to.target><lb></lb>ctus. </s><s>Quare tempora per FA, AD latera trian<lb></lb>guli, cuius basis erecta est, aequalia erunt <lb></lb>inter se et ideo etiam per BC, AD (sunt enim <lb></lb>AF, BC latera opposita parallelogrammi, quae semper <lb></lb>eodem tempore peraguntur). Quod erat etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg498"></margin.target>Per lem. 13 <lb></lb>huius.</s></p> <figure id="fig303"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XXXVIII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si ab eodem horizontis puncto A ad idem planum per<lb></lb>pendiculare BC duo plana inclinentur AB, AD aequaliter <lb></lb>ab inclinatione semirecta distantia, tempora lationum per <lb></lb>ipsa plana inclinata, aequalia erunt inter se. </s></p> <p type="main"> <s>Erigatur ex A perpendiculum AE, fiatque circulus circa <lb></lb>triangulum ABD. </s></p> <p type="main"> <s>Quia lineae AB, AD per hypotesim aequaliter <lb></lb> <arrow.to.target n="fig304"></arrow.to.target><lb></lb>distant ab illa quae angulum rectum EAC bifa<lb></lb>riam secat, aequaliter distabunt etiam ab ipsis <lb></lb>EA, AC et anguli DAC, BAE aequales erunt, sed <lb></lb>BAE, et ABD sunt alterni, ergo aequales erunt <lb></lb>DAC, et ABD; quare triangula rectangula ACB, ADC <lb></lb>equiangula erunt, et ut BC ad CA, ita erit CA ad CD; <lb></lb>et ideo per ultimam tertii Eucl. </s><s>recta CA circulum contin<lb></lb>get. </s><s>Sed CA est horizontalis, ergo punctum A est punctum <lb></lb>infimum circuli, et ideo tempora lationum per BA, DA <lb></lb>aequalia erunt. </s><s>Quod erat etc. </s></p> <pb pagenum="135"></pb> <figure id="fig304"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Alitèr.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Hoc idem ostendemus sine circulo, curiosa quadam inversione. </s><s>Sint <lb></lb>eadem plana AB, AD quamvis BC non sit perpendiculum, dummodo <lb></lb>inclinata plana faciant angulos cum horizonte AC, et cum plano BC per<lb></lb>mutatim aequales, hoc est CAB aequalem ipsi ADC, et CAD ipsi ABC. </s></p> <p type="main"> <s>Iam positum est triangula ABC, ADC esse similia. <lb></lb> <arrow.to.target n="fig305"></arrow.to.target><lb></lb>Imaginemur iam converti figuram ita ut BC sit horizon, <lb></lb>et AC facta sit perpendiculum. </s><s>Habebunt in illo situ <lb></lb>plana AB, AD easdem inclinationes quas ante inversio<lb></lb>nem habebant, permutatim tamen nam AB minus de<lb></lb>clive erit, et AD magis; habebuntque plana in eo situ <lb></lb>eandem communem elevationem. </s><s>Ergo per 2<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> huius, <lb></lb>erit in eo situ inverso momentum inclinationis maioris <lb></lb>AD, ad momentum inclinationis minoris AB, ut AB ad <lb></lb>AD. Restituamus nunc figuram in pristinum, et habe<lb></lb>bimus (permutatis planis) easdem inclinationes. </s><s>Dicamus igitur iterum. </s><s><lb></lb>Momentum inclinationis maioris AB ad momentum inclinationis minoris <lb></lb>AD est ut AB ad AD. Quare cum sint momenta ut spatia, eodem tem<lb></lb>pore absolventur AB, AD. Quod erat etc.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <figure id="fig305"></figure> <p type="main"> <s>Poterat etiam proponi sic. </s><s>Si ab eodem horizontis <lb></lb>puncto A duo plana ad aliquod planum BC inflectantur, <lb></lb>ita ut AB ad AD sit ut BC ad CA, erunt tempora lationum <lb></lb>per utrumque inclinatum planum aequalia. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XXXIX.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si fuerit quodcunque planum elevatum AB, et quodcun<lb></lb>que horizontale spatium AC sectum bifariam in D. Dico si <lb></lb>ponatur tempus per AB esse AB, tempus per AC post <lb></lb>casum BA esse semissem ipsius AC, nempe AD. </s></p> <p type="main"> <s>Ponatur enim AE dupla ipsius <lb></lb> <arrow.to.target n="fig306"></arrow.to.target><lb></lb> <arrow.to.target n="marg499"></arrow.to.target><lb></lb>AB. Iam si supponamus tempus per <lb></lb>AB esse AB, erit tempus per AE <lb></lb>eadem AB. Sed si spatij AE est tem<lb></lb>pus AB, erit spatij AC tempus AD (est enim ut spatium <lb></lb>AE, ad spatium AC, ita tempus AB, ad AD). Quare cum <lb></lb>tempus per planum elevatum AB sit ipsa AB erit post <lb></lb>casum BA, tempus per AC dimidia AC. Quod oporte<lb></lb>bat etc. <pb pagenum="136"></pb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg499"></margin.target>Ex Gal.</s></p> <figure id="fig306"></figure> <p type="main"> <s>Haec Propositio re ipsa congruit cum propos. 25 Galilei de Motu <lb></lb>accelerato. </s><s>Nos illam diverso modo proposuimus consulentes oppor<lb></lb>tunitati eorum quae hinc sequuntur, ut infra apparebit.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XL.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si ex terminis A et B alicuius lineae horizontalis duo <lb></lb>plana inaequalia ad idem punctum C composita fuerint, <lb></lb>CA maius, CB minus, et differentia longitudinis planorum <lb></lb>aequalis sit semissi horizontalis AB. Erit tempus lationis <lb></lb>directae ex C usque in A aequale tempori lationis inflexae <lb></lb>ex C per B usque in eundem terminum A horizontalis <lb></lb>spatij. </s></p> <p type="main"> <s>Dividatur AB bifariam in D, erunt <lb></lb> <arrow.to.target n="fig307"></arrow.to.target><lb></lb>ergo CB, BD aequales ipsi CA. Ponamus <lb></lb>tempus per CB esse CB, hoc supposito <lb></lb>erit tempus CA ipsa CA; et per duas <lb></lb>CB, BA, tempus, per praecedentem, erit CBD; nempe <lb></lb>aequale ipsi tempori CA. Quod erat etc. </s></p> <figure id="fig307"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Problema.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Hinc manifesta est solutio problematis: dato plano inclinato AC, <lb></lb>et horizonte AB, oportet minus aliquod planum invenire CD ita ut si <lb></lb>ex terminis A, et B ad unum punctum duo illa plana componantur, tem<lb></lb>pus lationis per maius aequale sit tempori lationis per minus, et hori<lb></lb>zontem simul. </s></p> <p type="main"> <s>Dematur ex plano AC pars CD aequalis ipsi AE <lb></lb> <arrow.to.target n="fig308"></arrow.to.target><lb></lb>semissi horizontalis spatij, reliquum AD erit planum <lb></lb>quaesitum. </s></p> <figure id="fig308"></figure> <p type="main"> <s>Si verò facta detractione ex CA nihil reliquum sit, <lb></lb>vel fieri nullo modo possit, problema insolubile erit. </s><s><lb></lb>Demonstratio patet ex praecedenti. </s></p> <p type="main"> <s>Dato vero minori plano AD, et spatio horizontali AB in eadem figura, <lb></lb>si ipsi AD addatur DC quae aequalis sit AE, semissi horizontis, maius <lb></lb>planum quaesitum erit AC. Debent autem utraque plana AD, AC simul, <lb></lb>maiora esse spatio AB, alias insolubile esset problema; nam duo latera <lb></lb>trianguli reliquo debent esse maiora. </s></p> <p type="main"> <s>Quando data fuerint ipsa duo plana inaequalia AD, AC, et quae<lb></lb>ratur quantum sit spatium horizontale, ex cuius extremis punctis erigi <lb></lb>data plana possint, et ad unum punctum componi, ita ut tempus lationis <lb></lb>per maius planum, aequale sit tempori lationis per minus et per hori<lb></lb>zontem simul; accipietur differentia planorum DC, quae duplicata spa- <pb pagenum="137"></pb>tium horizontale quaesitum AB exibebit. </s><s>Debent autem tres lineae AB, <lb></lb>AC, AD tales esse ut triangulum possint componere; alias problema esset <lb></lb>insolubile. </s><s>Horum omnium demonstratio cum illa praecedentis proposi<lb></lb>tionis congruit: ideo rem indicasse satis duximus. </s><s>Libet hic obiter recen<lb></lb>sere quasdam propositiunculas, quamquam ex 3. Conicorum dependeat <lb></lb>ipsarum demonstratio: apparebit enim ex ijs naturam etiam circa <lb></lb>hyperbolen quasdam nugas meditatam fuisse ad motum spectantes. </s><s><lb></lb>Si cui conica non placent, digressione hac praetermissa, pauca haec <lb></lb>evitare poterit, et ad propositionem 44 se conferre. </s><s>Materia praece<lb></lb>dentium hanc continuationem nimi<emph type="italics"></emph>s<emph.end type="italics"></emph.end> expostulabat.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XLI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si recta linea AB in quatuor aequales partes AC, CD, <lb></lb>DE, EB divisa fuerit, et ex punctis C, E, excitentur duae <lb></lb>hyperbolae, quae sectiones oppositae dicuntur, quarum foci <lb></lb>sint A, et B. Sumpto in altera earum quo<lb></lb> <arrow.to.target n="fig309"></arrow.to.target><lb></lb>libet puncto F, erit tempus per FA, aequale <lb></lb>tempori per FB, BA. </s></p> <figure id="fig309"></figure> <p type="main"> <s>Hoc enim patet ex praecedentibus. </s><s>Nam <lb></lb>propter hyperbolam linea FA, aequalis est <lb></lb>ipsis FB, CE per 51 tertij Conicorum. </s><s>Sed <lb></lb>CE semissis est spatij horizontalis AB per <lb></lb>hypotesim, ergo aequalia sunt tempora lationum tam per <lb></lb>FA, quam per FB, BA. Quod erat etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XLII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si datum sit horizontale spatium AB terminatum, et <lb></lb>longitudo alicuius plani F data sit maior quam AB. Secare <lb></lb>oportet planum F in duas partes inaequales ea lege, ut <lb></lb>si ex terminis A, B, facta plana ad idem punctum compo<lb></lb>nantur, tempus lationis per majus planum aequale sit tem<lb></lb>pori lationis per minus planum et per horizontalem simul. </s></p> <p type="main"> <s>Hoc duplici modo absolvemus. <lb></lb> <arrow.to.target n="fig310"></arrow.to.target><lb></lb>Primum contemplativè, sive per re<lb></lb>solutionem, deinde practicè. </s></p> <figure id="fig310"></figure> <p type="main"> <s>Resolutivè hoc modo: factum iam <lb></lb>sit quod faciendum est, et sint duo <lb></lb>plana EA, EB, ut imperatum est, <lb></lb>nempe aequalia simul ipsi F, et eiusmodi ut tempus per <pb pagenum="138"></pb>EA, aequale sit tempori per EB, BA. Producatur AB, <lb></lb>utrimque in C, et D ita ut tota CD aequalis sit ipsi F, et <lb></lb> <arrow.to.target n="marg500"></arrow.to.target><lb></lb>CA, BD aequales sint inter se. </s><s>Certum est quia AE, EB, <lb></lb>simul aequales sunt ipsi CD, punctum E esse in ellipsi, <lb></lb>cuius axis maior est CD, et foci sunt A, B, puncta. </s><s>Cer<lb></lb>tum etiam est, quia tempus per EA aequale est tempori per <lb></lb>EB, BA, idem punctum E esse in hyperbola cuius foci sint <lb></lb>A, B, et vertex H, (divisa nempe AB, in quatuor partes <lb></lb>aequales, quarum una sit HB) hoc autem demonstratum <lb></lb>est in praecedenti. </s><s>Erit ergo punctum E in communi con<lb></lb>cursu duarum sectionum, sed duae sectiones datae sunt; <lb></lb>quandoquidem dantur foci communes utriusque A, et B, <lb></lb>et CD data est axis maior ellipsis; daturque IH diameter <lb></lb>hyperbolae, nempe semissis ipsius AB; quare etiam pun<lb></lb>ctum E datum erit. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg500"></margin.target>Ex 3. l. </s><s>Co<lb></lb>nicor.</s></p> <p type="main"> <s>Componetur hoc modo. </s><s>Factis igitur duabus sectionibus <lb></lb>hyperbola, et ellipsi, quae concurrant in E, si à puncto E <lb></lb>ducantur EA, EB, erunt EA, EB, simul aequales ipsi F, et <lb></lb>erit tempus per EA, aequale tempori per EB, BA, simul, <lb></lb>ob hyperbolam. </s><s>Quod oportebat etc. </s></p> <p type="main"> <s>Facilius tamen hoc modo practicè in figura sequenti. </s></p> <p type="main"> <s>Secetur ab ipsa linea F pars LM, <lb></lb> <arrow.to.target n="fig311"></arrow.to.target><lb></lb>quae aequalis sit semissi spatij hori<lb></lb>zontalis AB, et reliqua LN dividatur <lb></lb>bifariam in O. Dico NO, OM esse plana <lb></lb>quaesita, quae si à punctis A, B inclinentur ad unum pun<lb></lb>ctum, aequalia facient tempora lationum, tam per maius <lb></lb>planum OM, quam per minus NO simul cum horizonte <lb></lb>BA. Hoc autem perspicuum est ex propositione 41, cum <lb></lb>differentia longitudinis planorum LM sit per construtio<lb></lb>nem aequalis semissi spatij horizontalis AB. Quod erat etc. </s></p> <figure id="fig311"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XLIII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Dato horizontali spatio AB, datoque angulo BAC, qui <lb></lb>minor sit angulo trianguli aequilateri, (alias enim problema <lb></lb>insolubile esset) oportet triangulum constituere quod ha<lb></lb>beat basim AB, et angulum BAC, et tempus per latus CA <lb></lb>aequale sit tempori per CB, BA. </s></p> <pb pagenum="139"></pb> <p type="main"> <s>Dividatur AB in quatuor aequales par<lb></lb> <arrow.to.target n="fig312"></arrow.to.target><lb></lb>tes quarum una sit DB et ex vertice D, <lb></lb>focis A, B, fiat DC hyperbola quae fecet <lb></lb>rectam AC, in C (secabit enim omnino, ut <lb></lb>infra demonstrabimus). Dico C esse tertium <lb></lb>quaesiti trianguli punctum. </s><s>Ducta enim CB <lb></lb>patet differentiam inter AC, CB esse semissem ipsius AB, <lb></lb>propter hyperbolam, et propter divisionem lineae AB in <lb></lb>quatuor aequales partes. </s><s>Quare tempus per CA, aequale <lb></lb>erit tempori per CB, BA. Quod erat etc. <lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <figure id="fig312"></figure> <p type="main"> <s>Quod autem in praecedenti figura (supposito angulo BAC minore <lb></lb>quam sit angulus trianguli aequilateri) linea AC cum hyperbola con<lb></lb>veniat, sic demonstrabimus in sequenti figura. </s></p> <p type="main"> <s>Sit asymptotos BC. Ergo rectangulum EAF ae<lb></lb> <arrow.to.target n="fig313"></arrow.to.target><lb></lb>quale est quartae parti figurae per 45 tertij Coni<lb></lb>corum. </s><s>Quadratum etiam FC aequale est eidem <lb></lb>quartae parti figurae, per primam secundi Conico<lb></lb>rum: erunt ergo aequalia inter se rectangulum EAF, <lb></lb>et qnadratum FC. Quare ut AF ad FC ita FC ad AE <lb></lb>hoc est ad FD. Sunt igitur puncta DCA in semicirculo cuius diameter <lb></lb>est DA, et centrum B. Sed cum sint aequales BF, AF per constructionem <lb></lb>in propositione praecedenti, et anguli ad F recti sint, est BA axis, et <lb></lb>FC ad axem applicata erunt aequales CB, CA, et triangulum ABC <lb></lb>aequilaterum erit. </s><s>Quaelibet ergo linea quae ad punctum D angulum <lb></lb>contineat cum DA minorem angulo ABC trianguli aequilateri, conveniet <lb></lb>omnino cum BC. Quare in figura praecedentis propositioni linea AC con<lb></lb>veniet cum asymptoto, et ideo etiam cum hyperbola.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <figure id="fig313"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XLIV.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Ex infinitis speciebus triangulorum rectangulorum, una <lb></lb>tantum est quae habeat hanc prerogativam, quod scilicet <lb></lb>tempus per hypotenusam aequale sit tempori per reliqua <lb></lb>duo latera. </s></p> <p type="main"> <s>Et haec species illa est quae prima omnium, hoc est, <lb></lb>quae in minimis numeris habet tria latera <lb></lb> <arrow.to.target n="fig314"></arrow.to.target><lb></lb>comensurabilia: nempe in aritmetica pro<lb></lb>portione numerorum 3, 4 et 5. </s></p> <figure id="fig314"></figure> <p type="main"> <s>Exponatur triangulum ABC, cuius la<lb></lb>tus AB horizontale sit 4 et BC erectum <lb></lb>sit 3, hypotenusa autem AC sit 5. Perspi<lb></lb>cuum est angulum CBA rectum esse; cum <pb pagenum="140"></pb>quadratum AC, 25 aequale sit duobus quadratis CB, BA, <lb></lb>9 et 16. Manifestum etiam est tempus per CA aequari <lb></lb>tempori per CB, BA cum differentia inter AC, CB sit 2 <lb></lb>semissis spatij horizontalis AB quod est 4. </s></p> <p type="main"> <s>Dico praeterea nullam aliam speciem triangulorum re<lb></lb>ctangulorum habere illam proprietatem. </s><s>Nam si possibile <lb></lb>est, habeat, et sit triangulum illius speciei ipsum ADB. </s></p> <p type="main"> <s>Quia tempus per DA aequale est tempori per DBA <lb></lb>erit differentia inter AD, DB aequalis semissi horizontalis <lb></lb>AB. Ponatur in directum ipsi DB linea BE, quae aequalis <lb></lb>sit semissi horizontalis; erunt iam AD, DE aequales inter <lb></lb>se; et AC, CE, ob eandem causam aequales inter se; quod <lb></lb>impossibile est. </s><s>Iunctà enim AE esset uterque angulus <lb></lb>DAE, CAE, aequalis angulo E, quod est absurdum. </s><s>Nulla <lb></lb>ergo species triangulorum rectangulorum reperitur, praeter <lb></lb>iam dictam quae habeat superiùs enarratam proprietatem. <lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Possumus etiam demonstrare ex infinitis speciebus triangulorum <lb></lb>obliquangulorum, quae unum angulum datum habeant, puta 40 gra<lb></lb>duum, unam tantum speciem esse quae praedictam proprietatem habeat. </s><s><lb></lb>Quin etiam ostenderetur ex infinitis hyperbolarum speciebus, unam tan<lb></lb>tum speciem esse quae illam habeat praerogativam. </s><s>Sed non est tanti <lb></lb>omnia haec minuta enucleatim percensere, ut lectoris patientia, bene<lb></lb>volentiaque ulterius abutamur.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XLV.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si fuerit quodcunque triangulum ABC, habens latera <lb></lb>AB, BC inaequalia, puta AB maius, BC minus et basim <lb></lb>horizontalem. Dico eodem tempore fieri la<lb></lb> <arrow.to.target n="fig315"></arrow.to.target><lb></lb>tionem per BA solam, et per BC, simul cum <lb></lb>tanto horizontali spatio quanta est bis dif<lb></lb>ferentia inter ipsa latera. </s><s>Sit enim differentia <lb></lb>inter latera CD, cuius dupla ponatur CE. <lb></lb>Perspicuum est BC, CD, simul aequari ipsi BA. Iam si <lb></lb>supponamus tempus per BA esse BA, erit tempus per BC <lb></lb>ipsa BC, et post casum BC, tempus per CE erit dimidia <lb></lb>ipsius CE, hoc est CD. Aequale est igitur tempus per BA <lb></lb>tempori per BC, CE simul. </s><s>Quod erat etc. </s></p> <figure id="fig315"></figure> <p type="main"> <s>Iisdem positis; quando CE (in eadem figura) minor <pb pagenum="141"></pb>fuerit quam basis trianguli. </s><s>Dico duo gravia eodem tem<lb></lb>poris momento demissa ex B per latera BA, BC post con<lb></lb>versionem horizontalem factam in A, et C convenire in <lb></lb>puncto basis F quod quidem bifariam secet ipsam AE. <lb></lb>Ostensum enim est eodem tempore pervenire duo gravia <lb></lb>ad puncta A et E ergo etiam reliqua spatia AF, EF, ae<lb></lb>quali tempore peragentur, cum sint aequalia per hypothe<lb></lb>sim, et gradus velocitatis aequales sint, per V huius. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XLVI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Posito quolibet triangulo ABC, cuius basis CB hori<lb></lb>zonti parallela sit. </s><s>Si grave ex quiete in vertice A per <lb></lb>alterum latus AC cadat, et inde per ba<lb></lb> <arrow.to.target n="fig316"></arrow.to.target><lb></lb>sim CB cum impetu concepto convertatur, <lb></lb>basique peracta cum eodem impetu per <lb></lb>alterum latus BA ascendat, impetus ille <lb></lb>perducet grave per ascensum BA usque ad idem punctum <lb></lb>A ex quo discesserat. </s></p> <figure id="fig316"></figure> <p type="main"> <s>Compleatur parallelogrammum ABCD eritque AD hori<lb></lb>zontalis, et quia impetus aquisitus per descensum AC per<lb></lb>ducit grave per planum CD usque ad D per scholium <lb></lb>prop. 23. Galilei de Motu Accelerato, idem impetus (post <lb></lb>transmissam basim motu aequabili) perducet mobile ex B <lb></lb>usque in A, sunt enim BA, CD aequales, et aequaliter in<lb></lb>clinatae. </s><s>Quare etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Si inter parallelas horizontales AB, CD duae linae fuerint BD, DA erit <lb></lb>tempus casus per unam BD, ad tempus ascensus <lb></lb> <arrow.to.target n="fig317"></arrow.to.target><lb></lb>per alteram DA, ut est ipsa BD ad DA. Est enim <lb></lb>tempus casus per quancumque lineam ex Galileo <lb></lb>aequale tempori ascensus per eandem, quando fiat <lb></lb>ascensus cum impetu per descensum aquisito. </s><s>Sed <lb></lb>tempora casuum per BD, et AD sunt ut BD ad AD, ergo etiam tem<lb></lb>pus casus per BD ad tempus ascensus per DA, erit ut BD, ad DA. <lb></lb>Quod etc.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <pb pagenum="142"></pb> <figure id="fig317"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XLVII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Posito quolibet triangulo ABC cuius basis BC horizon<lb></lb>talis sit, si fiant lationes ex quiete in vertice A utrinque <lb></lb>per tria latera, erit tempus lationum per AC, CB, BA, ae<lb></lb>quale tempori lationum per AB, BC, CA. </s></p> <p type="main"> <s>Ponamus enim tempus casus per AB esse <lb></lb> <arrow.to.target n="fig318"></arrow.to.target><lb></lb>ipsam AB, erit tempus per BC semissis ipsius <lb></lb>BC per Proposit. 40 huius, cum BC sit hori<lb></lb>zontalis: transmissa vero basi motu aequabili, <lb></lb>tempus ascensus per CA erit ipsa CA per lem. praeced. </s><s><lb></lb>Eodem modo: cum sit tempus casus per AB ipsa AB, erit <lb></lb>tempus casus per AC ipsa AC, et per horizontalem CB <lb></lb>erit semissis ipsius CB, inde per ascensum BA erit BA <lb></lb>per lemma praecedens. </s><s>Est ergò tempus per utramque <lb></lb>viam tamquam duo latera trianguli simul cum dimidia <lb></lb>basi. </s><s>Quare tempora per utramque viam, sive ABCA, sive <lb></lb>ACBA aequalia inter se erunt. </s><s>Quod etc. <lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <figure id="fig318"></figure> <p type="main"> <s>Possent similia demonstrari de figuris poligonis, et irregularibus: <lb></lb>Sed cum haec omnia solita brevitate exequi non possint, existimavi <lb></lb>eorum demonstrationem apud eruditos plus molestiae allaturam, quam <lb></lb>doctrinae.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XLVIII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Ad aliquod perpendiculum data duo plana diversae lon<lb></lb>gitudinis ab eodem horizontis puncto inflectere, ita ut tem<lb></lb>pora per inflexa plana aequalia sint. </s><s>Vel: </s></p> <p type="main"> <s>Proponit aliquis geminos afferes A, <lb></lb> <arrow.to.target n="fig319"></arrow.to.target><lb></lb>et B diversae longitudinis, ea lege ut <lb></lb>ab uno eodemque puncto in pavimento <lb></lb>inflecti debeant ad parietem, ut gravia <lb></lb>ex fastigijs eorum eodem tempore de<lb></lb>missa, simul eodemque tempore ferantur <lb></lb>in terram. </s></p> <figure id="fig319"></figure> <p type="main"> <s>Componantur A, et B ad angulum rectum; sintque CD, <lb></lb>DE, et producta CE, ipsi perpendicularis sit DF. Acci<lb></lb>piatur iam in pavimento distantia GH à pariete GI, quae <pb pagenum="143"></pb>aequalis sit ipsi FD; tum à puncto H inflectantur ad pa<lb></lb>rietem HI, HL aequales ipsis A, B, vel ipsis CD, DE. Dico <lb></lb>tempora per IH, et per LH aequalia esse. </s></p> <p type="main"> <s>Concipiamus basim CE trianguli CDE, esse ad hori<lb></lb>zontem erectam. </s><s>Manifestum est tempora lationum per <lb></lb>CD, DE aequalia esse, per lemma Propos. 13. Sed cum <lb></lb>duo latera CD, DF duobus lateribus IH, HG aequalia sint <lb></lb>utrumque utrique, et anguli CFD, IGH recti, si ex quadratis <lb></lb>aequalibus DC, HI demantur quadrata aequalia DF, HG, <lb></lb>remanebunt aequalia quadrata FC, GI, et ideo FC, GI <lb></lb>lineae aequales erunt; et propterea integra triangula CDF, <lb></lb>IHG aequalia, et similia erunt, et tempus per IH aequale <lb></lb>tempori per CD. </s></p> <p type="main"> <s>Eodem modo ostendetur tempus per LH aequale tem<lb></lb>pori per DE. Quare cum aequalia sint tempora per CD, <lb></lb>DE, aequalia erunt etiam per IH, HL. Quod erat etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO IL.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si ex A puncto sublimiori circuli ad horizontem erecti <lb></lb>grave cadat usque in centrum B, et inde per quodcumque <lb></lb>planum sive elevatum, sive de<lb></lb> <arrow.to.target n="fig320"></arrow.to.target><lb></lb>clive, convertatur cum impetu <lb></lb>iam concepto; grave huiusmodi <lb></lb>tempore casus AB absolvet spa<lb></lb>tium BD; quod nempe aequale <lb></lb>sit utrisque tum semidiametro BC, tum etiam ipsius per<lb></lb>pendiculo CE. </s></p> <figure id="fig320"></figure> <p type="main"> <s>Secta sit CD aequalis ipsi CE. Dico tempus per AB <lb></lb>ex quiete in A, aequale esse tempori per BD post casum <lb></lb>AB. Est enim ob aequalitatem ut DC ad CB, ita CE ad BA, <lb></lb>hoc est CF ad FB, et permutando ut CD ad CF ita CB <lb></lb>ad BF in utraque figura. </s></p> <p type="main"> <s>Sed in prima tantum erit componendo ut DF ad CF, <lb></lb>ita CF ad BF. In secunda verò erit, convertendo, per con<lb></lb>versionem rationis, et iterum convertendo, ut DF ad CF, <lb></lb>ita CF ad BF. Quare in utroque casu tres lineae DF, CF, <lb></lb>BF sunt in continuà proportione. </s></p> <p type="main"> <s>Iam si tempus per AB ponatur esse AB, erit tempus <pb pagenum="144"></pb>per FB ipsa FB, et per DF tempus erit media proportio<lb></lb>nalis FC. Quare tempus per reliquum lineae, nempe per <lb></lb>BD, erit reliquum temporis, nempe BC. Idem ergo tempus <lb></lb>est lationis per AB ex quiete in A, et per BD post ca<lb></lb>sum AB. <lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>In hac propositione re ipsa demonstrantur duo Theoremata Galilei, <lb></lb>De Motu accelerato: sed quia valde ad rem nostram faciunt, eadem <lb></lb>diversa iterum ratione contemplabimur, ut lucem sequenti corollario <lb></lb>praeferant. </s></p> <p type="main"> <s>Si grave naturaliter cadat ex A in B et ex <lb></lb> <arrow.to.target n="fig321"></arrow.to.target><lb></lb>B cum impetu concepto per quodlibet planum <lb></lb>BC convertatur. </s><s>Quaeritur quantum spatij per <lb></lb>planum BC absolvat mobile tempore casus AB. </s></p> <figure id="fig321"></figure> <p type="main"> <s>Fiat circa diametrum AB circulus ADB, <lb></lb>centroque B, et intervallo BA circulus AC. Dico <lb></lb>grave delapsum per AB, si ex puncto B cum <lb></lb>impetu concepto convertatur per planum inclinatum BC, tempore ae<lb></lb>quali tempori casus, percurrere spatium aequale utrisque simul BC, CD. </s></p> <p type="main"> <s>Si enim post casum AB grave converteretur per planum quodcunque <lb></lb> <arrow.to.target n="marg501"></arrow.to.target><lb></lb>BC, motuque aequabili procederet, grave huiusmodi per planum BC tem<lb></lb>pore aequali tempori casus spatium perageret duplum ipsius BA, ergo <lb></lb>percurreret spatium duplum ipsius BC tempore casus, si post casum <lb></lb>aequabili motu procederet. </s><s>Sed superveniente operatione gravitatis, mo<lb></lb>bile non procedet motu aequali super plano BC; quin immò tempore <lb></lb>casus AB, gravitas promovebit mobile super plano BC tantum spa<lb></lb>tium quanta est inclusa in circulo linea DB (quo enim tempore gravitas <lb></lb>trahit mobile ex A in B, eodem tempore trahit etiam ex B per 6 Galilei <lb></lb>de Motu Accelerato). Ergo duplae BC, in prima figura addenda erit DB, <lb></lb>conspirant enim deorsum tam motus aequabilis, quam motus gravitatis; <lb></lb>in secunda vero figura à dupla BC detrahenda erit DB (quia motus <lb></lb>gravitatis est contrarius motui aequabili) et sic concludemus mobile <lb></lb>post conversionem, tempore aequali tempori casus AB, percurrere <lb></lb>spatia BC, CD in utraque figura.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg501"></margin.target>Ex Gal.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollarium.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Pro Corollario animadvertimus quod si grave aliquod ex puncto A <lb></lb>impellatur motu velocissimo per horizontalem AB, <lb></lb> <arrow.to.target n="fig322"></arrow.to.target><lb></lb>peragatque certo aliquo tempore spatium AB; at<lb></lb>que eodem tempore quo fit latio AB gravitas motu <lb></lb>naturali deorsum trahat per tantum spatij quanta <lb></lb>est AC, si centro A intervallo AB fiat circulus <lb></lb>BDEF et circa diametrum AC alius circulus AHIC, <lb></lb>mobile impulsum ab eodem semper impetu per <lb></lb>plana AD, AE, AF, eodem tempore peraget sin<lb></lb>gulas interceptas CF, IE, HD, AB etc. </s><s>etiam infra horizontem.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <pb pagenum="145"></pb> <figure id="fig322"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO L.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si duo gravia demittantur eodem temporis momento ex <lb></lb>diversis plani elevati punctis, et post casum per eandem <lb></lb>horizontalem lineam convertantur; gravia in quodam pun<lb></lb>cto simul convenient, quod in horizontali tantum distat à <lb></lb>plano elevato quanta est dupla mediae proportionalis inter <lb></lb>altitudines casuum. </s></p> <p type="main"> <s>Sit planum elevatum AB in quo su<lb></lb> <arrow.to.target n="fig323"></arrow.to.target><lb></lb>mantur duo quaelibet puncta A, C, ex <lb></lb>quibus duo gravia demittantur eodem <lb></lb>simul tempore. </s><s>Sit autem BE media inter <lb></lb>AB, BC, et ipsius BE dupla sit horizontalis BD. Dico <lb></lb>gravia eodem temporis puncto demissa ex A et C in <lb></lb>puncto D convenire. </s></p> <figure id="fig323"></figure> <p type="main"> <s>Iungatur enim ED et compleatur parallelogrammum <lb></lb>BCFG. Cumque sit BD dupla ipsius BE, erit FC hoc est <lb></lb>GB dupla CE. Iam sic. </s><s>Mobile post casum CB suo im<lb></lb>petu currit horizontaliter tempore casus duplam CB, ergo <lb></lb>tempore EC curret eodem impetu duplam EC, hoc est <lb></lb>ipsam BG. Tempore igitur integro EB fiunt lationes per <lb></lb>CB, et BG, et eodem tempore fit casus per AB, quare <lb></lb>eodem temporis momento erunt gravia alterum quidem in <lb></lb>G, alterum autem in B. Sed reliqua etiam spatia BD, GD <lb></lb>aequalibus temporibus peraguntur. (Velocitates enim sunt <lb></lb>ut tempora casuum, hoc est ut EB ad FG, sed spatia BD, <lb></lb>GD ob similitudinem triangulorum sunt ut velocitates, <lb></lb>quare, uti dictum est, aequalibus temporibus peragentur). </s></p> <p type="main"> <s>Sunt ergo coniunctim tempora per AB, BD aequalia <lb></lb>temporibus coniunctim per CB, BD. Quare duo gravia etc. </s><s><lb></lb>convenient in puncto D. Quod erat etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Idem aliter demonstrabimus.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Sumptis utcumque altitudinibus AC, BC, demittantur duo gravia <lb></lb>eodem tempore ex A, et B. Sitque DC media inter casus, cuius du<lb></lb>pla ponatur horizontalis CE. Dico tempora lationum ACE, BCE ae<lb></lb>qualia esse. </s></p> <pb pagenum="146"></pb> <p type="main"> <s>Fiat circa diametrum CA parabola quae<lb></lb> <arrow.to.target n="fig324"></arrow.to.target><lb></lb>cunque, quae verticem habeat in C, ducantur<lb></lb>que ordinatim AF, BH. Notum est in parabola <lb></lb>ita esse AF ad BH ut est AC ad CD, vel ut <lb></lb>CD ad CB. </s></p> <figure id="fig324"></figure> <p type="main"> <s>Iam. </s><s>Tempus per AC est AF, et per CE post casum AC est BH, <lb></lb>(si enim tempore FA grave currit duplam AC, tempore BH, curret <lb></lb>duplam DC hoc est ipsam CE, cum sint proportionales FA ad AC, ut <lb></lb>HB ad DC). Eodem modo. </s><s>Tempus per BC est BH et per CE post <lb></lb>casum BC est AF (si enim tempore BH currit duplam BC, tempore <lb></lb>AF curret duplam DC hoc est ipsam CE, quia sunt proportionales ut BH <lb></lb>ad BC ita AF ad DC). Ergo tempora lationum ACE sunt lineae AF, BH, <lb></lb>tempora autem lationum BCE sunt lineae BH, AF. Quare coniunctim tem<lb></lb>pora per AC, CE aequalia sunt temporibus per BC, CE coniunctim. </s><s><lb></lb>Quod erat etc.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollarium I.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Hinc manifestum est dato quolibet spa<lb></lb> <arrow.to.target n="fig325"></arrow.to.target><lb></lb>tio horizontali AC cuius subdupla ponatur <lb></lb>CD, si circa mediam CD, duae in continua <lb></lb>proportione sumantur CE, CB, tempora <lb></lb>per ipsas EC, CA aequalia esse temporibus <lb></lb>per BC, CA. </s></p> <figure id="fig325"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollarium II.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Manifestum etiam est tempora perpendicularium, et <lb></lb>tempora horizontalium lationum reciprocè aequalia esse. </s></p> <p type="main"> <s>Nam in figura ultimae demonstrationis tempus perpen<lb></lb>diculi AC est AF, eademque AF est tempus horizontalis CE <lb></lb>post alium casum BC. </s></p> <p type="main"> <s>Tempus autem BH est tempus casus BC, idem vero <lb></lb>tempus est horizontalis lationis post alium casum AC. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO LI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si fuerint duo plana aequaliter inclinata, AB maius, CD <lb></lb>minus, et BD sit horizon, sumaturque BE media proportio<lb></lb>nalis inter longitudines planorum; et ducta ECF ponatur <lb></lb>FG dupla ipsius BE. Dico gravia eodem tempore demissa <lb></lb>ex A, et C post casus AB, CD in puncto G convenire. </s></p> <pb pagenum="147"></pb> <p type="main"> <s>Sunt enim per praecedentem tem<lb></lb> <arrow.to.target n="fig326"></arrow.to.target><lb></lb>pora lationum per AB, FG simul ae<lb></lb>qualia temporibus per CD et FG <lb></lb>simul. </s><s>Sed etiam tempus per BF <lb></lb>post casum AB aequatur tempori per DF post casum <lb></lb>CD (cum sint spatia BF, DF ut velocitates EB, CD), ergo <lb></lb>conjungendo tempus per omnes AB, BF, FG aequale <lb></lb>erit tempori per omnes CD, DF, FG, et ideo gravia con<lb></lb>venient in G. Quod erat etc. </s></p> <figure id="fig326"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO LII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si fuerint duo plana AB maius, CD minus, aequaliter <lb></lb>inclinata, ita ut lationes horizontales, post casus in prima <lb></lb>figura contrariae invicem sint; in secunda verò ad easdem <lb></lb>partes. </s><s>Sumaturque media proportionalis inter longitudines <lb></lb>planorum BE, et sit DF dupla GE, hoc est differentiae <lb></lb>inter mediam BE, et minus planum; ducta deinde FH, <lb></lb>aequali ipsi CD, et parallela ad AB, iungatur EH quae <lb></lb>secet horizontem in I. </s></p> <p type="main"> <s>Dico gravia <lb></lb> <arrow.to.target n="fig327"></arrow.to.target><lb></lb>ex A et C eodem <lb></lb>tempore demissa, <lb></lb>si versus I con<lb></lb>vertantur, in pun<lb></lb>cto I convenire. </s></p> <figure id="fig327"></figure> <p type="main"> <s>Ponamus tem<lb></lb>pus per CD esse <lb></lb>CD, vel BG sibi <lb></lb>aequalem. Ergo in horizonte grave C tempore BG curret <lb></lb>duplam GE, nempe DF. Est itaque tota EB tempus per <lb></lb>CDF. Eadem quoque EB tempus est per AB, quare eodem <lb></lb>tempore peragentur CDF et AB. Reliquae autem FI, BI <lb></lb>eodem tempore peraguntur (cum propter similitudinem <lb></lb>triangulorum spatia FI, BI, sint ut velocitates HF, EB) <lb></lb>ergo coniunctim idem tempus erit tam per CDI, quam <lb></lb>per ABI, quare gravia convenient in I. Quod erat etc. <lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>In secunda figura non debent lationes horizontales esse contrariae, <lb></lb>nam gravia nunquam convenirent: sed ambae versus partes I.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <pb pagenum="148"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO LIII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Datis duobus perpendiculis AB, CB, invenire spatium <lb></lb>horizontale quod cum alterutro datorum perpendiculorum <lb></lb>eodem tempore conficiatur. </s></p> <p type="main"> <s>Ponatur BD aequalis ipsi BC, et circa AD fiat semi<lb></lb>circulus: ponaturque horizontalis BE dupla <lb></lb> <arrow.to.target n="fig328"></arrow.to.target><lb></lb>ipsius BF. Dico lationes ABE, CBE eodem <lb></lb>tempore absolvi. </s></p> <figure id="fig328"></figure> <p type="main"> <s>Hoc enim patet per Corollarium primum <lb></lb>Propositionis 51. Nam altitudines perpendi<lb></lb>culares AB, BC sunt continuae proportio<lb></lb>nales circa BF semissem spatij horizontalis. </s><s>Quare factum <lb></lb>est quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO LIV.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Dato quolibet perpendiculo, et quolibet spatio horizon<lb></lb>tali; aliud perpendiculum reperire, quod cum dato spatio <lb></lb>horizontali eodem tempore conficiatur ac primum perpen<lb></lb>diculum cum dato horizonte. </s></p> <p type="main"> <s>Sit perpendiculum datum AB, et hori<lb></lb> <arrow.to.target n="fig329"></arrow.to.target><lb></lb>zon BC cuius semissis sit BD. Iungatur <lb></lb>AD, fiatque angulus BDF ad horizontem <lb></lb>aequalis angulo BAD, qui est ad perpen<lb></lb>diculum. </s><s>Dico tempora lationum per FB, <lb></lb>BC simul, et per AB, BC simul, aequalia <lb></lb>esse. </s><s>Triangula enim rectangula FBD, DAB facta sunt <lb></lb>aequiangula, quare ut FB ad BD ita BD ad BA. Et cum <lb></lb>BD semissis horizontalis spatij media sit proportionalis <lb></lb>inter perpendicula FB, AB erunt tempora per FBC, et per <lb></lb>ABC aequalia. </s><s>Quod erat etc. </s></p> <figure id="fig329"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO LV.<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> <arrow.to.target n="marg502"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg502"></margin.target>Galil. 29. de <lb></lb>motu accel.</s></p> <p type="main"> <s>Si fuerit horizontalis AB dupla perpendiculi AE. Dico <lb></lb>ipsas EAB post casum EA breviori tempore percurri, quam <lb></lb>aliud quodcunque perpendiculum cum eodem spatio hori<lb></lb>zontali AB. </s></p> <pb pagenum="149"></pb> <p type="main"> <s>Erigatur BD perpendicularis ad AB, <lb></lb> <arrow.to.target n="fig330"></arrow.to.target><lb></lb>et per E, B puncta, circa diametrum <lb></lb>EA agatur parabola ECB cuius focus <lb></lb>erit A (posita enim est AB dupla <lb></lb>ipsius AE). Sumatur iam quodlibet aliud perpendiculum <lb></lb>EI, et ducatur horizontalis ID. </s></p> <figure id="fig330"></figure> <p type="main"> <s>Tempus per EA est AB, tempus autem per AB est <lb></lb>idem ac tempus casus, ergo tempus per EAB est ipsa AB <lb></lb>bis sumpta. </s><s>Sed tempus per EI est IC, tempus autem per <lb></lb>ID quantum sit, sic venabimur. </s><s>Velocitate AB, tempore <lb></lb>AB curritur AB. Sed velocitate CI tempore AB non cur<lb></lb>retur eadem AB. Fiat igitur ut velocitas CI ad velocita<lb></lb>tem AB, ita tempus AB ad aliud ML. Et erit ML tempus <lb></lb>ipsius DI post casum EI. Patet ergo ML, CI primam et <lb></lb>tertiam proportionalium, maiores esse quam dupla mediae, <lb></lb>hoc est quam AB bis sumpta. </s><s>Quare etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO LVI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si AB horizontalis dupla fuerit elevatae AE. Dico, quò <lb></lb>longius à puncto E demittatur grave, eo tardius lationem <lb></lb>suam usque in B absolvere. </s></p> <figure></figure> <p type="main"> <s>Demittantur ex punctis <lb></lb>C, et D duo gravia; osten<lb></lb>dendum est maiori tempore <lb></lb>fieri lationem per DAB, quam <lb></lb>per CAB. Fiat circa diame<lb></lb>trum AE parabola AMF, et <lb></lb>ipsis CA, AE sit tertia proportionalis AG. Ipsis autem DA, <lb></lb>AE tertia sit AH, et ducantur ordinatim lineae ex punctis <lb></lb>D, C, G, H. </s></p> <p type="main"> <s>Quia quadrato eidem AE, aequale est utrumque rectan<lb></lb>gulum DAH, CAG, erunt haec eadem rectangula aequalia <lb></lb>inter se; propterea latera reciprocè proportionalia habe<lb></lb>bunt, nempe ut HA ad AG, ita CA ad AD. Sed in hac <lb></lb>eadem proportione ob parabolam sunt quadrata HF ad <lb></lb>GM, et CL ad DI, ergo proportionalia sunt etiam latera, <lb></lb>nempe ut HF ad GM, ita CL ad DI, extremae autem HF, <lb></lb>DI maiores sunt quam mediae GM, CL; et extremae simul </s></p> <pb pagenum="150"></pb> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg503"></arrow.to.target><lb></lb>sunt tempus lationis DAB, at mediae sunt tempus latio<lb></lb>nis CAB. Quare tardius absolvetur latio per DAB, quam <lb></lb>per CAB. Quod erat etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg503"></margin.target>Vide 2 de<lb></lb>monstratio<lb></lb>nem Prop. <lb></lb>50.</s></p> <p type="main"> <s>Idem infertur etiam de punctis G, et H supra ipsum E <lb></lb>sumptis. </s><s>Sunt enim tempora eorum aequalia temporibus <lb></lb> <arrow.to.target n="marg504"></arrow.to.target><lb></lb>punctorum C et D utrumque utrique etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg504"></margin.target>Vide <lb></lb>eandem.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO LVII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si ab aliquo puncto lineae circulum tangentis in puncto <lb></lb>sublimi, gravia cadant in periphaeriam et inde per chor<lb></lb>das horizontales convertantur, erunt tempora lationum per <lb></lb>utramque chordam et eius perpendiculum, aequalia. </s></p> <p type="main"> <s>Tangat linea AB circulum erectum in puncto sublimi B, <lb></lb>et sic tangens horizontalis omnino erit. </s><s>Sumpto deinde <lb></lb>quolibet puncto A gravia demittantur perpendiculariter in <lb></lb>periphaeriam, et convertantur sive in C, sive in D. Dico <lb></lb>tempus per ACE, et per ADF idem esse. </s></p> <p type="main"> <s>Sunt enim horizontales CE, DF aequa<lb></lb> <arrow.to.target n="fig331"></arrow.to.target><lb></lb>les, cum CH sit parallelogrammum re<lb></lb>ctangulum, et CE, DF sectae sint bifariam <lb></lb>in G et H punctis. </s></p> <figure id="fig331"></figure> <p type="main"> <s>Quia ergo AB semissis spatij horizon<lb></lb>talis media proportionalis est inter alti<lb></lb>tudines perpendiculares AC, AD (linea enim AB tangit, et <lb></lb>AD circulum secat), erunt per Corollarium primum Pro<lb></lb>positionis 50 huius, tempora lationum ACE, ADF aequalia. </s><s><lb></lb>Quod erat etc. </s></p> <p type="main"> <s>Et per secundum eiusdem Propositionis Corollarium <lb></lb>eadem tempora reciprocè aequalia sunt etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO LVIII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Tempus per axem parabolae, et eius ordinatim appli<lb></lb>catam simul, acquale est tempori per quartam lateris recti <lb></lb>partem, et eandem ordinatim applicatam. </s></p> <p type="main"> <s>Sit axis parabolae AB, eius ordinatim applicata BC, <lb></lb>et secetur BD aequalis quartae parti lateris recti. </s><s>Dico <pb pagenum="151"></pb>tempora per ABC et per DBC aequalia esse <lb></lb> <arrow.to.target n="fig332"></arrow.to.target><lb></lb>inter se. </s><s>Dividatur BC bifariam in E. </s></p> <figure id="fig332"></figure> <p type="main"> <s>Erunt tum quadratum EB, tum rectan<lb></lb>gulum ABD, subquadrupla quadrati CB; <lb></lb>sunt ideo aequalia inter se, et ipsa EB <lb></lb>media proporzionalis est inter AB, BD. <lb></lb>Quare per Corollarium primum Propositionis 50 huius, <lb></lb>tempora per ABC et per DBC aequalia sunt etc. </s></p> <p type="main"> <s>Sunt etiam per secundum eiusdem Propositionis Corol<lb></lb>larium, reciprocè aequalia. </s><s>Quod satis sit ostendisse circa <lb></lb>motum gravium naturaliter descendentium. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>FINIS PRIMI LIBRI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <pb></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>LIBER SECUNDUS<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>DE MOTU PROIECTORUM<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Proiecta nunc, bellorumque minas, atque arcium tor<lb></lb>menta dicemus: supremus hic laborum Galilei fructus, <lb></lb>suprema etiam gloria. </s></p> <p type="main"> <s>Ostendit Galileus in libro de Motu <lb></lb> <arrow.to.target n="fig333"></arrow.to.target><lb></lb>Proiectorum, quod si mobile aliquod à <lb></lb>plano horizontali AB decidat, impetu <lb></lb>priùs horizontalitèr concepto, parabolam aliquam, ut BC, <lb></lb>casu suo designabit. </s><s>Verum est; dummodo linea AB quae <lb></lb>est directio proiectionis ad horizontem fuerit parallela, et <lb></lb>quando parabolae initium B, factum fuerit ex vertice su<lb></lb>premo ipsius parabolae, sive (quod idem est) ab extremo <lb></lb>axis parabolici puncto B. Quando vero linea proiectionis AB <lb></lb>non horizontalis, sed sursum fuerit, vel deorsum inclinata, <lb></lb>erit quidem linea proiecti quaedam curva, et se se contin<lb></lb>gent invicem cum linea recta directionis iuxtà quam facta <lb></lb>fuerit proiectio, tum curva quae erit semita proiecti; <lb></lb>et punctum contactus erit idem ac punctum separa<lb></lb>tionis ipsius proiecti ab instrumento impellente. </s><s>Sed hanc <lb></lb>lineam curvam et esse parabolam, et eandem prorsus <lb></lb>parabolam esse, quae ab eodem mobili horizontaliter prius <lb></lb>concitato ex ipsius parabolae vertice describeretur, hacte- <pb pagenum="154"></pb>nus desideratur magis, quam probatur. </s><s>Est profectò eadem <lb></lb>parabola, velut ipse Galileus affirmat in Corollario Pro<lb></lb>pos. 7 de motu Proiectorum, neque verisimile erat adeo <lb></lb>oculatum ingenium non bene priùs circumspecta posuisse. </s><s><lb></lb>Attamen, veritas illius Corollarij manifesta penitus non erit <lb></lb>illis, quibus obliquitates parabolarum ignotae sint, et ultra <lb></lb>duas à Galileo praemissas propositiones Apollonius fami<lb></lb>liaris non fuerit. </s><s>Cum itaque proiectiones ut plurimum <lb></lb>fiant per lineas ad horizontem inclinatas, ex quibus oriun<lb></lb>tur parabolae obliquae, non habentes initium ex vertice, <lb></lb>quales frequentissime occurrunt in omnibus fere iactibus <lb></lb>machinarum, immò etiam neque verticem, neque axem <lb></lb>habentes, quales sunt proiectiones inclinatae deorsum, lu<lb></lb>cem Corollario Galilei afferre conabimur, et cuiusmodi sit <lb></lb>linea curva proiectorum universalius determinabimus. </s></p> <figure id="fig333"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Definitio.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Directio proiectionis dicitur linea recta quae tangit <lb></lb>lineam curvam proiecti in primo puncto eiusdem lineae <lb></lb>curvae, quae quidem directio in tormentis bellicis est ea<lb></lb>dem ac ipsius machinae axis. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO I.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si grave sursum proiectum ex A ascendat motu natu<lb></lb>ralitèr deficiente usque ad sublimius punctum suae lationis <lb></lb>B, idem verò mobile aequali tempore, et eadem velocitate <lb></lb>quam in puncto A habebat, sed motu aequabili ascendat <lb></lb>usque in C. Dico AC duplam esse ipsius AB. </s></p> <p type="main"> <s>Si enim non est dupla, ponamus aliquam AD <lb></lb> <arrow.to.target n="fig334"></arrow.to.target><lb></lb>duplam esse ipsius AB. <lb></lb> <arrow.to.target n="marg505"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg505"></margin.target>Galil. </s><s>in scho<lb></lb>lio prop. 23.</s></p> <figure id="fig334"></figure> <p type="main"> <s>Concipiamus iam cadere naturalitèr mobile ex <lb></lb>B in A. Gradus ille impetus acquisiti post casum ex <lb></lb>B in A est ille prorsus qui vehit mobile ad eandem <lb></lb>altitudinem B eodem tempore, et motu naturaliter de</s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg506"></arrow.to.target><lb></lb>ficiente. </s><s>Idem verò gradus impetus eodem tempore, sed <lb></lb>motu aequabili perducit mobile ad altitudinem AD duplam <lb></lb>casus BA. Sed ille idem impetus qui per suppositionem <pb pagenum="155"></pb>perducit mobile ex A in B motu naturaliter deficiente, illud <lb></lb>perducebat etiam motu aequabili eodemque tempore ex A <lb></lb>in C. Unus ergò idemque gradus impetus eodem tempore, <lb></lb>motuque aequabili perducit mobile per duo spatia inae<lb></lb>qualia AC, AD. Quod est absurdum. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg506"></margin.target>Galil. </s><s>ib.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO II.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Semita proiectorum, quaecunque illa sit, sublimiori sui <lb></lb>puncto bifariam secat perpendiculum quod inter horizon<lb></lb>tem, et lineam directionis intercipitur. </s></p> <p type="main"> <s>Proiciatur mobile ex A iuxtà directionem <lb></lb> <arrow.to.target n="fig335"></arrow.to.target><lb></lb>utcumque elevatam AB. Patet quod sine <lb></lb>tractione gravitatis procederet mobile motu <lb></lb>recto, et aequabili per lineam directionis <lb></lb>AB. Sed gravitate intus operante ab ipsa directione statim <lb></lb>declinare incipiet, crescente semper deviationis mensura; <lb></lb>et describet aliquam lineam curvam ACD quaecunque sit. </s><s><lb></lb>Haec linea punctum aliquod sublimius caeteris habet; <lb></lb>illud nempe quod est ascensionis extremum, et pri<lb></lb>mum descensionis. </s><s>Sit huiusmodi punctum C, et per <lb></lb>C ducatur perpendiculum BCH. Dico HB duplam esse <lb></lb>ipsius HC. </s></p> <figure id="fig335"></figure> <p type="main"> <s>Abstrahamus motum horizontalem; hic enim motus, <lb></lb>quo ad lationem perpendicularem de qua agemus est tam<lb></lb>quam non esset; cum illam neque iuvet, neque impediat. </s><s><lb></lb>Concipiamus etiam mobile habere semper secum suum <lb></lb>perpendiculum HB horizontali quadam latione una cum <lb></lb>ipso translatum ex A versus H; in quo perpendiculo ascen<lb></lb>dit grave, motu quodam continuo, sed semper magis ac <lb></lb>magis deficiente à puncto H usque ad punctum C. Conficit <lb></lb>ergo mobile in suo perpendiculo tempore, exempli gratia E, <lb></lb>spatium HC, sed si motu aequabili ascendisset cum impetu <lb></lb>et tempore eodem, reperiretur in B (deberet enim ob mo<lb></lb>tum aequabilem esse semper in communi sectione linea<lb></lb>rum AB, HB). Quare per praecedentem, spatium HB ipsius <lb></lb>HC duplum est. </s><s>Quod erat etc. </s></p> <pb pagenum="156"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO III.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Linea curva, quae describitur à mobili secundum quam<lb></lb>libet elevationem proiecto, parabola est, et prorsus eadem, <lb></lb>quam describeret mobile si cum horizontali impetu proice<lb></lb>retur à vertice eiusdem lineae curvae. </s></p> <p type="main"> <s>Sit linea proiectionis directiva AB ut<lb></lb> <arrow.to.target n="fig336"></arrow.to.target><lb></lb>cumque elevata, et linea curva ACDE, <lb></lb>cuius sublimius punctum sit F. Ducatur <lb></lb>perpendiculum BFG, et erunt per praece<lb></lb>dentia aequales BF, FG. Ducatur horizon<lb></lb>talis FH, et perpendicularis AH, erunt ite<lb></lb>rum aequales FI, IH, et AI, IB. Dividatur <lb></lb>AB in quotcunque partes aequales AL, <lb></lb>LI, IM, MB, et agantur perpendiculares per <lb></lb>puncta L, I, M. Manifestum est quod spatia aequalia <lb></lb>AL, LI, IM, MB, percurrerentur à mobili temporibus ae<lb></lb>qualibus, si motu aequabili, et sine accessu novi motus <lb></lb>deorsum ab interna gravitate procedentis, moveretur. </s><s><lb></lb>Sed quia ei statim atque à proiciente dimittitur in A, <lb></lb>superadvenit attractio gravitatis, incipiet continuo à <lb></lb>linea directionis deorsum deviare, et deviationes tales <lb></lb>erunt ut linea LC descensus unius temporis sit ut <lb></lb>unum; linea verò ID descensus duorum temporum sit <lb></lb>ut quatuor, et ME trium temporum ut novem, BF qua<lb></lb> <arrow.to.target n="marg507"></arrow.to.target><lb></lb>tuor temporum ut 16, et sic deinceps ea lege ut semper <lb></lb>descensuum spatia sint ut temporum quadrata. </s><s>Quia verò <lb></lb>AL, LI, IM, MB sunt aequales, erunt HO, OI, IN, NF (quòd <lb></lb>inter easdem parallelas sint) aequales: et cum sit BF 16, <lb></lb>erit MN 8, ergo reliqua NE est unum (quandoquidem tota <lb></lb>ME erat 9). Ipsa verò ID posita fuerat ut 4 nec immu<lb></lb>tatur, OL autem aequalis ipsi MN est 8, et addita LC, <lb></lb>quae posita fuerat unum, erit tota OC ut 9. At HA ae<lb></lb>qualis ipsi BF erit 16. Ergò cum spatia FN, NI, IO, OH <lb></lb>sint aequalia; et NE, ID, OC, HA sint ut 1, 4, 9, 16 et sic <lb></lb>deinceps ut reliqui semper numeri quadrati, erit linea pro<lb></lb>cedens ex F per puncta E, D, C, A parabola recta cuius <lb></lb>vertex F, et de qua agit Galileus. </s><s>Sed haec eadem linea <pb pagenum="157"></pb>est tractus proiectionis obliquae ex A factae per suppo<lb></lb>sitionem nostram. </s><s>Ergò linea curva, quae describitur à <lb></lb>mobili secundum quamlibet elevationem proiecto, eadem <lb></lb>parabola est quam designaret si cum impetu horizontali <lb></lb>opportuno ex vertice ipsius proiectum fuisset. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg507"></margin.target>Ex Gal.</s></p> <figure id="fig336"></figure> <p type="main"> <s>Manente eadem constructione, et figura, dico etiam <lb></lb>post culmen, sive verticem F mobile ex A proiectum, in <lb></lb>eadem parabola continuare motum suum. </s></p> <p type="main"> <s>Sumantur BP, PQ ipsi BM aequa<lb></lb> <arrow.to.target n="fig337"></arrow.to.target><lb></lb>les; erit descensus PR quinque tem<lb></lb>porum ut 25, et QT sex temporum <lb></lb>ut 36. Sed cum BF sit 16, ipsa PS <lb></lb>est 24 et QV 32. Reliquae ergo FS, <lb></lb>VT, sunt ut unum et 4 etc. </s><s>Quare <lb></lb>puncta F, R, T per quae incedit mo<lb></lb>bile sunt in eadem continuata para<lb></lb>bola in qua sunt E, et F. </s></p> <figure id="fig337"></figure> <p type="main"> <s>Linea etiam curva, quae descri<lb></lb>bitur à mobili secundum quamlibet <lb></lb>directionem deorsum proiecto, para<lb></lb>bola est, et eadem prorsus quam describeret mobile si <lb></lb>horizontaliter concitatum à vertice ipsius proiceretur. </s></p> <p type="main"> <s>Manente eadem figura propositio<lb></lb> <arrow.to.target n="fig338"></arrow.to.target><lb></lb>nis tertiae. </s><s>Sit linea proiectionis deor<lb></lb>sum factae AF, et sit impetus idem <lb></lb>qui fuerat in proiectione AL sursum. </s><s><lb></lb>Manifestum est quod mobile si motu <lb></lb>aequabili moveretur percurreret li<lb></lb>neam rectam AF. Sumantur iam AB, <lb></lb>BF aequales tum inter se, tum etiam <lb></lb>ipsi AL, patet etiam quod ipsae AB, <lb></lb>BF motu aequabili temporibus aequa<lb></lb>libus absolverentur cum aequales sint. </s><s><lb></lb>Sed quia gravitas statim incipit deor<lb></lb>sum trahere, mobile à linea recta AF <lb></lb>deviabit, et erit descensus BG unius temporis ut unum, <lb></lb>eritque aequalis ipsi LC qui fuerat descensus unius eorum<lb></lb>dem temporum. </s><s>Descensus autem FD duorum temporum <lb></lb>erit ut 4, et sic semper deinceps. </s><s>Quia vero HA est 16, erit <pb pagenum="158"></pb>EB 24, et addita BG, tota EG erit 25. Eodem modo: IF <lb></lb>est 32, et FD 4 ergo tota ID est 36. </s></p> <figure id="fig338"></figure> <p type="main"> <s>Cum itaque sint aequales OH, HE, EI, et OC, HA, EG, ID <lb></lb>sint (continuato ordine numerorum quadratorum), ut 9, 16, <lb></lb>25, 36, erit linea CAGD portio eiusdem continuatae para<lb></lb>bolae; ergò linea curva quae describitur à mobili deorsum <lb></lb>proiecto parabola est, et prorsus eadem quam descripsisset <lb></lb>si à vertice ipsius cum horizontali impetu opportuno pro<lb></lb>iectum fuisset. <lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Diximus cum horizontali impetu opportuno, quia si mobile cum eo<lb></lb>dem impetu proiceretur ex P horizontaliter deorsum, et ex A secun<lb></lb>dum AL sursum, nequaquam eandem parabolam describeret utraque <lb></lb>latione. </s><s>Requiritur enim maior impetus in proiectione ex A sursum <lb></lb>facta ad hoc ut eandem parabolam describat quam designavisset si <lb></lb>ex P horizontaliter proiectum fuisset. </s><s>Ratio verò unius impetus ad <lb></lb>alium ut eandem parabolam evadat, erit haec. </s></p> <p type="main"> <s>Si mobile horizontaliter proiectum ex P quolibet impetu descripsit <lb></lb>parabolam PCA, ad hoc ut ex A proiectum describat eandem, debet <lb></lb>impetus ex A ad impetum ex P esse ut AN ad AM. </s></p> <p type="main"> <s>Tunc enim si mobile iuxtà tangentem AN proiciatur cum impetu <lb></lb>dicto eandem parabolam ACP percurret. </s></p> <p type="main"> <s>Si quis autem, propter numerorum applicationem, ea quae attuli<lb></lb>mus non demonstrationem putet, sed computum, vel exemplum, habeat <lb></lb>hic demonstrationem puram, praemisso hoc lemmate.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> <arrow.to.target n="fig339"></arrow.to.target><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <figure id="fig339"></figure> <p type="main"> <s>Si fuerit ut AC ad AB potentia, ita CE ad BD longitu<lb></lb>dine, et sint parallelae CE, BD. Dico (coniuncta AE) ipsam <lb></lb>BF mediam proportionalem esse inter duas CE, DB. </s></p> <p type="main"> <s>Est enim CE ad BD longitudine ut CA ad AB, hoc est CE ad <lb></lb>BF potentià. </s><s>Quare BF media est inter CE, BD, etc. </s></p> <p type="main"> <s>Si verò, ut sunt AB, AC, AD potentià, ità <lb></lb> <arrow.to.target n="fig340"></arrow.to.target><lb></lb>fuerint parallelae BE, CF, DG longitudine, sint<lb></lb>que AH, IG aequales, dico etiam HE, IF, aequa<lb></lb>les esse. </s><s>Est enim GA ad AI ut GD ad IC, vel <lb></lb>per praecedens ut IC ad CF, ergo dividendo erit <lb></lb>ut GI ad IA, ita IF ad FC; eodem modo osten<lb></lb>demus esse ut GH ad HA, ita HE ad EB. His demonstratis. </s><s>Est <lb></lb>FC ad BE longitudine ut CA ad AB, vel IA ad AH, vel GH ad HA, <lb></lb>vel HE ad EB potentià. </s><s>Ergò HE media est inter FC, BE. Iterum. </s><s>Est <lb></lb>FC ad BE longitudine ut CA ad AB, vel IA ad AH, vel AI ad IG, vel CF <lb></lb>ad FI potentià, ergo FI media est inter CF, BE. Inter easdem verò media <lb></lb>erat etiam EH, ergo FI, EH aequales sunt. </s><s>Quod erat praemittendum. </s></p> <pb pagenum="159"></pb> <figure id="fig340"></figure> <p type="main"> <s>Resumpta iam figura propositionis 3 huius, fiat, ut antea exposi<lb></lb>tum est, proiectio per lineam ACDEF, ducaturque recta AF et accipian<lb></lb>tur aequales AP, <expan abbr="Fq.">Fque</expan> Erunt ob descensionem naturaliter acceleratam <lb></lb>spatia OC, ME, BF in duplicata ratione temporum AL, AM, AB, et ideo <lb></lb>per praecedens lemma aequales erunt CP, EQ, et propterea remanent <lb></lb>aequales LC, NE (nam tota LP, toti NQ aequalis est, producta enim <lb></lb>IDR erunt aequales AR, RF; et ipsa IR eandem rationem habebit <lb></lb>ad LP, et ad NQ, nempe quam habet RA ad AP vel <lb></lb> <arrow.to.target n="fig341"></arrow.to.target><lb></lb>RF ad FQ). Ergo omnes lineae, quae ex F versus ID <lb></lb>successivè descendunt à linea FH, sunt aequales omni<lb></lb>bus et singulis illis respectivè quae ex A versus li<lb></lb>neam ID successivè descendunt à linea AB, singu<lb></lb>lae singulis (quod enim ostensum est de sola NE <lb></lb>ostendi potest de omnibus). Sed omnes istae, quarum <lb></lb>series ex A incipit per suppositionem sunt inter se <lb></lb>longitudine ut sunt AL, AM, AB potentià, ergo etiam <lb></lb>omnes illae quarum ordo incipit ex F, erunt lon<lb></lb>gitudine ut omnes FN, FO, FH potentià. </s><s>Quare linea curva ACEF <lb></lb>etc. </s><s>quae describitur à mobili secundum quamlibet elevationem pro<lb></lb>iecto, eadem parabola est, quem designaret si ex vertice F cum impetu <lb></lb>horizontali opportuno proiectum fuisset.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <figure id="fig341"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Si mobile proiectum parabolam ABC percurrit, in <lb></lb> <arrow.to.target n="fig342"></arrow.to.target><lb></lb>aliquo ipsius puncto B omni gravitate spoliaretur, tunc <lb></lb>procul dubio per lineam rectam BD tangentem para<lb></lb>bolae lationem suam continuaret motu semper aequa<lb></lb>bili. </s><s>Quandoquidem dempta ei esset omnis causa quae <lb></lb>motum aut inflectere posset, aut accelerare, vel retardare. </s><s>Manifestum <lb></lb>etiam est, impetum ipsius mobilis in qualibet portione tangentis BD, <lb></lb>eundem semper futurum fore qui fuerat in puncto B.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <figure id="fig342"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO IV.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Impetus in punctis parabolae sunt ut portiones tan<lb></lb>gentium, inter duas parallelas diametro interceptae, </s></p> <p type="main"> <s>Proposita parabola ABC ducantur <lb></lb> <arrow.to.target n="fig343"></arrow.to.target><lb></lb>tangentes AE, BG, CH à quibuscunque <lb></lb>punctis A, B, C tum duae lineae paralle<lb></lb>lae diametro ubicunque sint DI, EH. <lb></lb>Dico lineas interceptas DE, FG, IH <lb></lb>ipsos impetus qui sunt in punctis A, B, C <lb></lb>proportione representare. </s></p> <pb pagenum="160"></pb> <figure id="fig343"></figure> <p type="main"> <s>Unaquaeque enim ipsarum DE, FG, IH eodem tempore <lb></lb>absolveretur à mobili; quandoquidem progressio horinzon<lb></lb>talis quae inter duas parallelas DI, EH est, eodem semper <lb></lb>tempore debeat absolvi, ubicunque reperiatur mobile, et <lb></lb>per quamcunque inclinationem procedat. </s><s>Sed motus in ipsis <lb></lb> <arrow.to.target n="marg508"></arrow.to.target><lb></lb>lineis interceptis sunt aequabiles, ergo impetus erunt ut <lb></lb>spatia. </s><s>Quare impetus ipsius DE, vel puncti A erit ut <lb></lb>linea DE. Ipsius autem FG, vel puncti B erit ut FG, et <lb></lb>sic deinceps. </s><s>Quod erat etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg508"></margin.target>Lemma <lb></lb>praeced.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO V.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Impetus in punctis parabolae aequalitèr utrimque à ver<lb></lb>tice distantibus, aequales sunt inter se, licet alter ascen<lb></lb>dat, alter vero descendat. </s></p> <p type="main"> <s>Sumantur in parabola proiectionis factae <lb></lb> <arrow.to.target n="fig344"></arrow.to.target><lb></lb>versus B, puncta quaevis A, C, quae aequa<lb></lb>litèr distent à vertice B, hoc est, quae sint <lb></lb>in eadem horizontali linea AC. Dico impetus <lb></lb>in A et C aequales esse. </s><s>Accipiatur BE ae<lb></lb>qualis ipsi BD, et ducantur AE, CE, quarum <lb></lb>utraque tangens erit. </s><s>Ducantur etiam lineae <lb></lb>CF, GH diametro parallelae ubicunque visum <lb></lb>fuerit; et producantur tangentes AH, EG. Erit <lb></lb>ergò per praecedentem impetus in A ut FH, et in C ut <lb></lb>CG, quae si aequales fuerint, aequales erunt impetus in <lb></lb>punctis A et C. </s></p> <figure id="fig344"></figure> <p type="main"> <s>Latera AD, DC sunt aequalia, et DE commune; an<lb></lb>guli autem ad D recti, ergo anguli AED, DEC sunt ae<lb></lb>quales. </s><s>Angulo autem AED aequalis est EHG ob paral<lb></lb>lelas, et ipsi DEG aequalis est CGH, item ob parallelas; <lb></lb>est ergo triangulum EHG aequicrure, et linea FC basi <lb></lb>parallela, quare FH, CG aequales sunt. </s><s>Quod erat etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollarium.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Hinc colligere possumus facta proiectione ab A, quod si mobile ex <lb></lb>puncto C reflectatur retrorsum per eandem suam viam cum impetu eo<lb></lb>dem, eademque directione quam habet in puncto C, per eandem para<lb></lb>bolam recurrere debere; habet enim in C, ut ostendimus eundem im- <pb pagenum="161"></pb>petum, et eandem directionem quam habebat in A, quare eandem <lb></lb>parabolam designare debet quam designaverat ex A.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO VI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Sit parabola AB cuius altitudo AC, et sublimitas AD; <lb></lb>ostendendum est alitèr ac in primo libro, eundem esse <lb></lb>impetum parabolae in B, ac gravis cadentis naturaliter ex <lb></lb>puncto sublimitatis D, usque in C. </s></p> <p type="main"> <s>Ducantur tangentes AE, BF, et sit <lb></lb> <arrow.to.target n="fig345"></arrow.to.target><lb></lb>BE parallela ipsi AC. Notum ergo est <lb></lb>per 4 huius impetum parabolae in <lb></lb>B ad impetum parabolae in A esse ut <lb></lb>BF ad AE, cum sint BF et AE, inter <lb></lb>easdem ad diametrum parallelas interce<lb></lb>ptae. </s><s>Agatur per D et E alia parabola <lb></lb>DEH, et impetus casus per DA ad impetum casus per DC <lb></lb>erit ut applicata AE ad applicatam CH. Si ergo fuerint <lb></lb>aequales tangens BF et applicata CH, erit ex aequo im<lb></lb>petus in B ad impetum in C ut BF ad CH, nempe aequalis. </s><s><lb></lb>Ostendo BF, CH aequales esse, sic. </s><s>Secetur CB bifariam <lb></lb>in I, et erit per demonstrata in praecedenti libro, CI <lb></lb>media proportionalis inter CA, et AD. Iam sic. </s><s>Quadratum <lb></lb>CA ad rectangulum CAD sub eadem altitudine, est ut CA <lb></lb>ad AD, ergo quadratum CA ad quadratum CI est ut CA <lb></lb>ad AD. Sumptis autem quadratorum quadruplis erit qua<lb></lb>dratum FC ad quadratum CB ut CA ad AD, et compo<lb></lb>nendo quadrata FC, CB, vel quadratum FB ad quadratum <lb></lb>CB erit ut CD ad DA, hoc est ut quadratum CH ad <lb></lb>quadratum AE: sed quadrata CB et AE equalia sunt, ergo <lb></lb>etiam quadrata FB, CH. Quare aequales sunt lineae FB, <lb></lb>CH. Quod erat etc. </s></p> <figure id="fig345"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO VII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si ab eodem puncto, cum eodem impetu, et eadem di<lb></lb>rectione fiant proiectiones utrinque, sursum nempe, et <lb></lb>deorsum: mobile utrinque per portiones unius eiusdem<lb></lb>que continuatae parabolae percurret. </s></p> <pb pagenum="162"></pb> <p type="main"> <s>Fiat ex puncto A cum directione AB proiectio sursum <lb></lb>AC, et ab eodem puncto directione BA fiat proiectio de<lb></lb>orsum AD. Dico CAD unam, et eandem con<lb></lb> <arrow.to.target n="fig346"></arrow.to.target><lb></lb>tinuatam parabolam esse. </s><s>Si enim continua <lb></lb>non est, demittatur mobile ex vertice C ver<lb></lb>sus A per parabolam CA. Tunc mobile cum <lb></lb>CAD non sit continua parabola, non per <lb></lb>ipsam AD, sed per aliam lineam meabit, quae sit AE. <lb></lb>Verùm mobile in puncto A eundem habet impetum sive <lb></lb>ante ascensum AC, sive post descensum CA. Mobile ergo <lb></lb>ex punctò A quando venit ex C meat per CAE, quando <lb></lb>verò proicitur ex A cum eodem impetu, et directione currit <lb></lb>per AD. Quod est absurdum. </s><s>Cum enim in utroque casu <lb></lb>discendat ab A cum eodem impetu, eademque directione, <lb></lb>debet etiam in utroque casu per eandem lineam AD am<lb></lb>bulare. </s><s>Quod etc. </s></p> <figure id="fig346"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO VIII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Data qualibet parabola à mobili sursum proiecto de<lb></lb>scripta, proiectio perpendicularis sursum eiusdem mobilis <lb></lb>facta cum eodem impetu, tantum ascendet, quantum est ag<lb></lb>gregatum altitudinis, et sublimitatis simul datae parabolae. </s></p> <p type="main"> <s>Sit parabola AB, cuius altitudo CB, et su<lb></lb> <arrow.to.target n="fig347"></arrow.to.target><lb></lb>blimitas BD, ponaturque AE aequalis et <lb></lb>parallela ipsi CD. Facta autem sit parabola à <lb></lb>proiectione ex A versus B. Dico si fiat pro<lb></lb>iectio cum eodem impetu per lineam AE sur<lb></lb>sum, mobile usque ad punctum E perventurum esse. </s><s><lb></lb>Impetus enim parabolae in A, sive fiat proiectio ex A in <lb></lb> <arrow.to.target n="marg509"></arrow.to.target><lb></lb>B, sive ex B in A, idem est (ut ostendimus), at ex Galileo <lb></lb>idem est ac naturalitèr cadentis ex D in C, sed impetus <lb></lb>naturaliter cadentis ex D in C ille est qui revehit mobile <lb></lb>ex C in D, ergò etiam ex A in E. Quod etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg509"></margin.target>X. Proiect.</s></p> <figure id="fig347"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Definitio.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>In posterum quando datum impetum nominabimus, illum in spatijs <lb></lb>determinabimus, ut Galileo visum est; alia enim ratione sub certam <pb pagenum="163"></pb>et universalem mensurae regulam cadere non potest. </s><s>Exempli <lb></lb> <arrow.to.target n="fig348"></arrow.to.target><lb></lb>gratia. </s><s>Quando dicimus: sit impetus datus AB. Tunc sensus noster <lb></lb>est. </s><s>Sit impetus datus tàntus quantus requiritur ad proiciendum <lb></lb>mobile ex A usque ad summum punctum perpendiculi B. Sive, <lb></lb>quod idem est, quantus est impetus naturaliter cadentis ex B <lb></lb>usque in A.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <figure id="fig348"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Circa diametrum AB per verticem A, et quodvis <lb></lb> <arrow.to.target n="fig349"></arrow.to.target><lb></lb>punctum C alia, atque alia parabola non constituetur. </s><s><lb></lb>Si enim possibile est, sint circa diametrum AB per <lb></lb>puncta A et C duae parabolae, et ex C ducàtur ordi<lb></lb>natim CB, tum alia qualibet ordinetur DF. Quadratum <lb></lb>ergò CB ad duo illa quadrata inaequalia FD, FE eandem <lb></lb>rationem habet, nempe quam habet BA ad AF. Quod est absurdum. </s><s><lb></lb>Ergo circa diametrum etc.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <figure id="fig349"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO IX.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Dato impetu BA (hoc est quantus est naturalitèr ca<lb></lb>dentis ex B in A iuxtà definitionem), dataque directione AI, <lb></lb>iuxtà quam facienda proiectio cum impetu dato. </s><s>Oportet <lb></lb>amplitudinem, altitudinem, totamque futuram parabolam <lb></lb>huius proiectionis reperire. </s></p> <p type="main"> <s>Ducantur per A et B horizontales li<lb></lb> <arrow.to.target n="fig350"></arrow.to.target><lb></lb>neae AD, BL et fiat semicirculus AFB <lb></lb>circa diametrum AB, qui lineam AI <lb></lb>omninò secabit, cum ipsa AD tangens <lb></lb>sit. </s><s>Secet in F, et ducatur FE horizon<lb></lb>talis, et producatur FG aequalis ipsi FE, <lb></lb>demum agatur per G perpendiculum LGD. Fiat iam circa <lb></lb>diametrum GD per puncta G et A parabola AG, quae <lb></lb>unica erit per lemma praecedens, neque alia parabola circa <lb></lb>diametrum GD per puncta G, et A fieri poterit. </s><s>Dico <lb></lb>hanc esse parabolam quaesitam. </s><s>Huius enim parabolae <lb></lb>linea directiva est AI cum ipsa tangat parabolam in A. <lb></lb>Est enim EG vel AD ipsius FG dupla per constructionem, <lb></lb>et ideo aequales sunt DG, GI, quare AI tangens est. </s></p> <figure id="fig350"></figure> <p type="main"> <s>Insuper. </s><s>Dico hanc parabolam ab impetu dato describi. </s><s><lb></lb>Sunt enim AE, EF, EB, sive tres ipsis aequales DG alti- <pb pagenum="164"></pb>tudo, GF semibasis, et GL, in continua proportione: quare <lb></lb>GL sublimitas est (per 5 propos. </s><s>et eius Corollarium Galilei). </s></p> <p type="main"> <s>Iam sic. </s><s>Impetus parabolae AG in puncto A tantus est <lb></lb>quantus naturaliter cadentis ex L in D per 10. Galilei, hoc <lb></lb>est ex B in A sive proiecti ascendentis ex A in B. Habet <lb></lb>ergo parabola in puncto A etiam impetum datum. </s><s>Quare <lb></lb>factum est quod etc. <lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Sed quia haec propositio magni erit momenti pro sequentibus, <lb></lb>illam ostendamus etiam alio modo.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Sit impetus datus idem AB et eadem directio AFC. <lb></lb>Quaeritur parabola quae fiet ab hac proiectione. </s><s>Fiat ut <lb></lb>ante circa diametrum AB semicirculus, <lb></lb> <arrow.to.target n="fig351"></arrow.to.target><lb></lb>qui secabit lineam AC, cum AD sit tan<lb></lb>gens. </s><s>Secet in F, ductàque horizontali <lb></lb>EFG ita ut aequales sint EF, FG, de<lb></lb>scribatur, sive tamquam descripta con<lb></lb>cipiatur parabola per puncta A, G circa <lb></lb>diametrum GD. Dico hanc esse parabolam proiecti, si à <lb></lb>puncto A iaciatur iuxta directionem AC cum impetu AB. <lb></lb>Nisi enim currat mobile per hanc iam dictam parabolam, <lb></lb>curret omnino per aliam, quae sit AP. Reperiatur vertex, <lb></lb>sive punctum altius caeteris huius parabolae AD, et illud <lb></lb>sit P. </s></p> <figure id="fig351"></figure> <p type="main"> <s>Patet primò quod punctum P esse non potest in linea <lb></lb>LD, quia cum linea AC tangat utramque parabolam, seca<lb></lb>retur ID axis communis bifariam in duobus punctis à <lb></lb>verticibus parabolarum, absurdum. </s><s>Neque potest esse in <lb></lb>linea EG. Quia ducta per verticem diametro, putà MN, <lb></lb>bifariam secaretur MN à linea EG, absurdum: sola enim <lb></lb>ID secatur bifariam ex omnibus sibi parallelis in an<lb></lb>gulo CAD. </s></p> <p type="main"> <s>Sit iam punctum P ubicunque, ducaturque PRS horizon<lb></lb>talis. </s><s>Quia PN, PM sunt aequales per secundam huius, <lb></lb>erunt NR, RA et PR, RS aequales; et quia parabola AP <lb></lb>impetum habet BA hoc est OM, erit O punctum suae <lb></lb>sublimitatis, et ideo lineae OP, PR, PM in continua pro<lb></lb>portione erunt; et rectangulum OPM quadrato PR ae<lb></lb>quale, commutatisque lineis cum sibi aequalibus, rectan- <pb pagenum="165"></pb>gulum BSA aequale erit quadrato SR. Punctum ergo R <lb></lb>est in semicirculi peripheria. </s><s>Quod est absurdum, recta <lb></lb>enim linea AF in duobus tantum punctis periphaeriae <lb></lb>occurrit. </s><s>Quare etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollaria.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Hinc manifestum est, dato impetu alicuius machinae qui sit verbi <lb></lb>gratia EA, si describatur circa CA semicirculus ADE, dari altitudines, <lb></lb>et amplitudines omnium proiectionum, quae ab eadem <lb></lb> <arrow.to.target n="fig352"></arrow.to.target><lb></lb>machina fieri possunt. </s><s>Exempli gratia. </s><s>Manente semper <lb></lb>eodem impetu EA fiant proiectiones per lineas diver<lb></lb>simodè elevatas AC, AD, AB. Proiectio facta secundum di<lb></lb>rectionem AC ascendet usque ad horizontalem FC pro<lb></lb>ductam; iactus autem factus iuxta directionem AD <lb></lb>apicem habebit in linea HD producta. </s><s>Proiectionis au<lb></lb>tem secundum lineam AB factae, maxima altitudo erit <lb></lb>in horizontali GB producta. </s></p> <figure id="fig352"></figure> <p type="main"> <s>In libro Galilei de motu naturaliter accelerato ostenditur, proiecta <lb></lb>ab eodem impetu ex A si à planis diversimodè inclinatis fulciantur, <lb></lb>semper ad unum idemque planum horizontale pervenire. </s><s>Hic verò appa<lb></lb>ret singulas proiectorum ascensiones variari, quando per aerem purum <lb></lb>sine ullo subiecto fulcro proiciuntur iuxtà diversas elevationes: minus <lb></lb>enim ascendit mobile quod per lineam AB minus elevatam emittitur, <lb></lb>quàm illud quod per lineam AD magis elevatam proiectum fuerit. </s></p> <p type="main"> <s>Patet etiam nullam altitudinem ab èo ascendere posse, ut ad ipsam <lb></lb>parallelam horizontalem, quae ducitur per summum proiectionis per<lb></lb>pendicularis punctum E pervenire possit. </s></p> <p type="main"> <s>Manifestum etiam est amplitudines omnes semper augeri ab illa <lb></lb>proiectione quae dicitur <emph type="italics"></emph>tiro di punto in bianco<emph.end type="italics"></emph.end> usque ad proiectionem <lb></lb>factam ad angulum semirectum. </s></p> <p type="main"> <s>A semirecta vero usque ad perpendicularem, semper minui, donec <lb></lb>penitus evanescant, quod accidit in proiectione perpendiculari, quae <lb></lb>nullam habet amplitudinem. </s></p> <p type="main"> <s>Denique observare licet amplitudines parabolarum ab eodem impetu <lb></lb>factarum, quarum elevationes aequaliter ab angulo semirecto distent, <lb></lb>inter se aequales esse. </s></p> <p type="main"> <s>Cum enim lineae AB, AC aequaliter distent ab elevatione semirecta, <lb></lb>erunt arcus DB, DC aequales quibus insistunt aequales anguli; et ideo <lb></lb>arcus BA, CE reliqui ex quadrantibus aequales erunt, ergo etiam sinus <lb></lb>eorum BG, CF aequales erunt, et propterea amplitudines integrae para<lb></lb>bolarum, quae quidem quadruplae sunt sinuum BG, CF erunt aequales. </s></p> <p type="main"> <s>Patet etiam proiectionum aequaliter à semirecta distantium altitu<lb></lb>dines, et sublimitates reciprocè inter se aequales esse, hoc èst altitu<lb></lb>dinem unius, sublimitati alterius aequari. </s></p> <pb pagenum="166"></pb> <p type="main"> <s>Corollarium ergò erit quod Galileo Theorema satis ar<lb></lb> <arrow.to.target n="fig353"></arrow.to.target><lb></lb>duum fuerat, nempe proiectionem semirectam omium maxi<lb></lb>mam esse ab eodem impetu factarum. </s><s>Si enim ponatur <lb></lb>angulus CAD semirectus, erit CD semidiameter, hoc est <lb></lb>maximus omnium sinuum qui in semicirculo dari possint. </s></p> <figure id="fig353"></figure> <p type="main"> <s>Patet etiam integram amplitudinem parabolae semirectae <lb></lb>duplam esse lineae sublimitatis, sive impetus AB, quia de<lb></lb>monstrata est quadrupla rectae CD, hoc est dupla ipsius AB.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO X.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Dato impetu et altitudine iuvenienda sit directio iuxta <lb></lb>quam facta fuit proiectio: invenienda etiam sit amplitudo <lb></lb>proiectionis. </s></p> <p type="main"> <s>Sit in praecedenti figura, impetus datus AB, et data <lb></lb>altitudo sit AC, fiat circa AB semicirculus ADB, et du<lb></lb>cantur CD horizontalis, AD autem ad punctum D. Ma<lb></lb>nifestum est ex praecedentibus, directionem quaesitam esse <lb></lb>AD, amplitudinem verò integram esse CD, quater sum<lb></lb>ptam. </s><s>Nulla enim parabola praeter illam quae fit iuxtà <lb></lb>directionem AD, cum habeat impetum AB, habebit altitu<lb></lb>dinem AC. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Dato impetu et amplitudine invenienda sit directio iuxta <lb></lb>quam facta fuit parabola; invenienda etiam sit altitudo. </s></p> <p type="main"> <s>Sit datus impetus AB, et sit AD quarta <lb></lb> <arrow.to.target n="fig354"></arrow.to.target><lb></lb>pars datae amplitudinis. </s><s>Fiat circa AB se<lb></lb>micirculus ACB, et erigatur DCE (quae si <lb></lb>in semicirculum non incidit problema im<lb></lb>possibile est), secetque semicirculum in <lb></lb>punctis C et E. Dico utramque directionem <lb></lb>sive AC, sive AE, si datus impetus AB adhibeatur, para<lb></lb>bolam designare, cuius amplitudo quadrupla erit lineae <lb></lb>AD. Hoc enim ex praecedentibus liquet. </s><s>Nam proiectiones <lb></lb>factae cum impetu AB iuxta directiones AC vel AE am<lb></lb>plitudinem habent quadruplam ipsius GE vel FC vel AD, <lb></lb>quae inter se aequales sunt. </s><s>Altitudo verò esse potest tum <lb></lb>linea AF, tum etiam AG. Ut apparet etc. </s></p> <pb pagenum="167"></pb> <figure id="fig354"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Data amplitudine AB, et directione AC inveniendus <lb></lb>sit impetus, et altitudo parabolae. </s></p> <p type="main"> <s>Datis ijsdem, invenienda sit mensura lineae perpendi<lb></lb>cularis ad cuius apicem ascenderet mobile si cum eodem <lb></lb>impetu sursum perpendicularitèr proiceretur. </s></p> <p type="main"> <s>Sumatur AD, quarta pars ipsius <lb></lb> <arrow.to.target n="fig355"></arrow.to.target><lb></lb>AB, et erigantur perpendiculares DC, <lb></lb>AE, fiatque angulus ACE rectus. </s><s>Dico <lb></lb>AE esse impetum proiectionis, et DC <lb></lb>altitudinem. </s><s>Semicirculus enim circa <lb></lb>diametrum AE transit per angulum rectum ACE. Ergo <lb></lb>parabolae, cuius amplitudo sit AB, et directio AC, impetus <lb></lb>est EA. </s></p> <figure id="fig355"></figure> <p type="main"> <s>Patet etiam altitudinem parabolae esse lineam DC, <lb></lb>vel AI. </s></p> <p type="main"> <s>Cum autem impetus sit AE manifestum est proiectio<lb></lb>nem perpendicularem sursum ex A factam ascensuram <lb></lb>esse usque ad E punctum, si proiciatur mobile cum eodem <lb></lb>impetu à quo facta fuit parabola AB. <lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Ex hac propositione colligere possumus quantum spatij ascendat <lb></lb>ferreus globus, si quando ab aeneo quolibet tormento sursum perpen<lb></lb>dìculariter iaciatur: cuius quidem spatij mensura tanta erit, ut ex nulla <lb></lb>perpendiculari altitudine sive arte, sive natura facta, deprehendi pos<lb></lb>sit; aut aliter experimento subiacere.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XIII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Data altitudine AB, et directione AC reliqua <lb></lb> <arrow.to.target n="fig356"></arrow.to.target><lb></lb>reperire. </s></p> <figure id="fig356"></figure> <p type="main"> <s>Ducatur per punctum B horizontalis BC quae <lb></lb>incidat in ipsam AC in puncto C. Fiatque an<lb></lb>gulus ACD rectus: et circa triangulum rectan<lb></lb>gulum ACD transibit semicirculus propositionis <lb></lb>9 huius. </s><s>Amplitudo ergo quadrupla erit ipsius BC, et im<lb></lb>petus erit AD. Quod etc. </s></p> <pb pagenum="168"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XIV.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Data altitudine AB, et basi (cuius tamen <lb></lb> <arrow.to.target n="fig357"></arrow.to.target><lb></lb>quarta pars sit AC), reliqua reperire. </s></p> <figure id="fig357"></figure> <p type="main"> <s>Compleatur rectangulum BACD, et diameter <lb></lb>AD directionem indicabit. </s><s>Facto deinde angulo <lb></lb>ADE recto, erit AE impetus, ut facile ex prae<lb></lb>cedentibus colligitur etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XV.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Proiectio perpendicularis sursum aequalis est dimidiae <lb></lb>basi proiectionis semirectae, si fuerit ab eodem impetu <lb></lb>facta utraque tam perpendicularis, quam semirecta pro<lb></lb>iectio. </s></p> <p type="main"> <s>Sit parabola semirecta ABC, et super <lb></lb> <arrow.to.target n="fig358"></arrow.to.target><lb></lb>AD media amplitudine fiat quadratum <lb></lb>ADEF, erit AE diameter ipsa directio <lb></lb>semirecta. </s><s>Factoque circa AF semicir<lb></lb>culo, transibit semicirculus per I cen<lb></lb>trum quadrati, et erit AF impetus; quare proiectio per<lb></lb>pendicularis sursum usque ad F punctum ascendet. </s><s>Patet <lb></lb>ergo propositum. </s></p> <figure id="fig358"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XVI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si facta fuerit proiectio ad elevationem anguli semi<lb></lb>recti, amplitudo integrae proiectionis erit latus rectum <lb></lb>descriptae parabolae. </s></p> <p type="main"> <s>Sit elevatio semirecta iuxtà lineam AB, facta<lb></lb> <arrow.to.target n="fig359"></arrow.to.target><lb></lb>que sit à proiecto quaelibet parabola ACD. <lb></lb>Dico AD esse latus rectum huius parabolae. </s><s><lb></lb>Cum enim angulus EAB semirectus sit, AEB <lb></lb>rectus, erunt aequalia latera AE, EB; ergo AE dupla erit <lb></lb>ipsius EC. Sed cum AE media proportionalis sit inter <lb></lb>latus rectum et EC, erit latus rectum duplum ipsius AE <lb></lb>nempe aequale ipsi AD. Quod erat etc. </s></p> <pb pagenum="169"></pb> <figure id="fig359"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XVII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Ad proiectiones aequales faciendas minor impetus <lb></lb>requiritur in ea, quae ad elevationem semirectam fieri <lb></lb>debeat. </s></p> <p type="main"> <s>Demonstratum iam est, si ab eodem im<lb></lb> <arrow.to.target n="fig360"></arrow.to.target><lb></lb>petu factae sint proiectiones, longius proce<lb></lb>dere eam quae ad angulum semirectum fuerit <lb></lb>explosa. </s><s>Sint proiectiones AB semirecta, et <lb></lb>C, C non semirecta. </s><s>Dico impetum ipsius C, C non semi<lb></lb>rectae maiorem fuisse quam ipsius B semirectae. </s><s>Si enim <lb></lb>fuisset aequalis, tunc amplitudo iactus AC ex demonstratis <lb></lb>fuisset minor quam AE, ut verbi gratia AD; sed cum <lb></lb>aequalis ponatur amplitudo, maior omnino impetus fuit <lb></lb>per AC quam per AB; vel minor impetus requiritur in <lb></lb>semirecta quam in alia. </s><s>Quod erat etc. </s></p> <figure id="fig360"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>POPOSITIO XVIII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Tempus, sive durationem uniuscuiusque proiectionis <lb></lb>definire. </s></p> <p type="main"> <s>Constructà solita praece<lb></lb> <arrow.to.target n="fig361"></arrow.to.target><lb></lb>dentium figura sit proiectio <lb></lb>ABC, oportet tempus, sive du<lb></lb>rationem eius reperire; hoc est <lb></lb>quanto tempore fiat latio per <lb></lb>parabolam ABC. Scimus iam <lb></lb>ex Galileo idem tempus esse lationis ABC, et cadentis ex <lb></lb>B in D bis. </s><s>Ponamus ergo tempus cadentis naturaliter ex <lb></lb>F in A, esse FA; eritque tempus per EA media propor<lb></lb>tionalis AG, et hoc semper; ergo linea AG metitur tempus <lb></lb>lationis per EA, sive per BD, sive per semiparabolam BC, <lb></lb>vel per integram etiam parabolam ABC, eandem enim <lb></lb>rationem inter se habebunt durationes parabolarum, quam <lb></lb>habent semiparabolarum: et nos loquimur de proportio<lb></lb>nibus, non de mensuris. </s></p> <pb pagenum="170"></pb> <figure id="fig361"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XIX.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Durationes proiectionum sunt ut lineae ordinatim appli<lb></lb>catae in aliqua parabola ad suam uniuscuiusque altitu<lb></lb>dinem. </s></p> <p type="main"> <s>Sint altitudines duarum parabolarum AB, <lb></lb> <arrow.to.target n="fig362"></arrow.to.target><lb></lb>AC (à quocunque impetu sive eodem, sive <lb></lb>non, factae sint, et quascunque bases ha<lb></lb>beant, sive aequales, sive inaequales). Fiat <lb></lb>circa CA parabola inversa AFD, et semicir<lb></lb>culus AGE. Eruntque tempora parabolarum <lb></lb>ut sunt tempora cadentium per CA, BA; hoc est ut CD, <lb></lb>BF per X praecedentis libri. </s><s>Quod erat etc. </s></p> <figure id="fig362"></figure> <p type="main"> <s>Sunt insuper EA, GA in eadem ratione ac CD, BF, <lb></lb>quare etiam EA, GA chordae in semicirculo erunt ut tem<lb></lb>pora parabolarum etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XX.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Parabolarum aequalem basim habentium impetus in <lb></lb>puncto sublimiori sunt in contraria ratione temporum, sive <lb></lb>durationum earumdem. </s></p> <p type="main"> <s>Sint duae parabolae AC, AF quae ean<lb></lb> <arrow.to.target n="fig363"></arrow.to.target><lb></lb>dem habeant basim, et eundem axem BC, <lb></lb>fiatque circa BC parabola inversa BDE. <lb></lb>Dico impetum in C ad impetum in F esse <lb></lb>ut FD, ad CE. Impetus enim in punctis <lb></lb>C, et F sunt puri illi impetus horizonta<lb></lb>les, secundum quos conficitur latio horizontalis AB. <lb></lb> <arrow.to.target n="marg510"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg510"></margin.target>Per praec.</s></p> <figure id="fig363"></figure> <p type="main"> <s>Cum itaque eadem latio horizontatis AB absolvatur <lb></lb>temporibus CE, FD, erunt impetus horizontales reciprocè <lb></lb>ut FD, ad CE per 3 Propos. </s><s>Gal. De Motu naturaliter <lb></lb>accelerato. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XXI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Impetum purum horizontalem, qui invariabilis est sem<lb></lb>per idem un unoquoque parabolae puncto, definire. </s></p> <p type="main"> <s>Item etiam et perpendicularem variabilem. <pb pagenum="171"></pb>Repetita praecedentium propositionum figura, <lb></lb> <arrow.to.target n="fig364"></arrow.to.target><lb></lb>supponimus, ut semper, impetum totalem, sive <lb></lb>compositum proiectionis quem habet mobile in <lb></lb>puncto A, esse tamquam naturaliter cadentis ex <lb></lb>B in A, et hunc ponimus esse ut linea BA. </s></p> <figure id="fig364"></figure> <p type="main"> <s>Sit AD altitudo, et BD sublimitas para<lb></lb>bolae. </s><s>Ergò impetus cadentis per BD sublimitatem para<lb></lb>bolae, erit ut linea BC, media proportionalis inter AB, BD. </s></p> <p type="main"> <s>At iste impetus cadentis ex B in D est ille purus ho<lb></lb>rizontalis qui lationi inest in quolibet puncto parabolae, <lb></lb>et est invariabilis. </s><s>Quare in unoquoque puncto parabolae <lb></lb>impetus horizontalis erit ut linea BC. </s></p> <p type="main"> <s>Perpendicularis verò impetus qui est <lb></lb> <arrow.to.target n="fig365"></arrow.to.target><lb></lb>in primo lationis puncto sic determina<lb></lb>bitur. </s><s>Manente semper unica supposi<lb></lb>tione, impetum silicet casus per EA esse <lb></lb>ipsam EA, impetus perpendicularis in <lb></lb>fine parabolae H, est tamquam naturaliter cadentis ex B <lb></lb>in C, vel ex D in A. Est ergo ut media proportionalis AF. <lb></lb>Quod etc. <lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <figure id="fig365"></figure> <p type="main"> <s>Sed ostendamus etiam pro Corollario, quomodo varietur impetus <lb></lb>respectivè ad horizontem, eiusdem globi ferrei ab eodem tormento pro<lb></lb>iecti; crescit enim impetus perpendicularis non quemadmodum cre<lb></lb>scunt elevationes tormenti, aut altitudines parabolae, sed ea ratione qua <lb></lb>crescit in semicirculo chorda AF. Hinc animadvertere licet futurum <lb></lb>fore ut idem globus ferreus eodem tormento explosus dum ad horizontem <lb></lb>redit aliquando tecta fornicesque domorum traiciat, quan<lb></lb>doque verò neque glaciem alicuius lacunae laedere possit. </s></p> <figure></figure> <p type="main"> <s>Notabimus etiam vim in percutiendo, gravium per se <lb></lb>naturaliter cadentium per spatia BA, CA esse (facto semi<lb></lb>circulo quolibet AED per punctum A) ut sunt AE, AF. Sunt <lb></lb>enim AE, AF tempora casuum cum sint in subdupla ra<lb></lb>tione spatiorum; ergò sunt etiam mensurae, sive indices <lb></lb>momentorum velocitatis aggregatorum per spatia BA, CA.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XXII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Impetum compositum, sive absolutum, quantus sit in <lb></lb>quolibet puncto parabolae demonstrare. </s></p> <p type="main"> <s>In solita praecedentium propositionum figura, sumatur <lb></lb>quodlibet punctum A in parabola GHA, et ducatur hori- <pb pagenum="172"></pb>zontalis ABID. Ducaturque CB. Dico <lb></lb> <arrow.to.target n="fig366"></arrow.to.target><lb></lb>(facta semper eadem suppositione <lb></lb>impetum silicet per CG esse CG) <lb></lb>quod impetus compositus in A, sive <lb></lb>in I, est recta CB. Cum enim impe<lb></lb>tus in puncto parabolae A sit ut na<lb></lb>turaliter cadentis ex puncto sublimitatis E usque in F, vel <lb></lb>ex C usque in D, erit ille impetus ut CB media proportio<lb></lb>nalis inter GC, CD. Quod erat etc. <lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <figure id="fig366"></figure> <p type="main"> <s>Idem etiam hoc alio modo considerabimus. </s></p> <p type="main"> <s>Si ex puncto sublimi alicuius datae parabolae alia parabola circa <lb></lb>eandem diametrum describatur, lineae ordinatim ductae in descripta, <lb></lb>determinabunt impetus absolutos in singulis punctis parabolae datae. </s></p> <p type="main"> <s>Sit data parabola AB, cuius punctum su<lb></lb>blime sit C. Circa communem diametrum fiat <lb></lb> <arrow.to.target n="fig367"></arrow.to.target><lb></lb>per C parabola quaelibet CD, ductisque or<lb></lb>dinatim quotcunque lineis AE, FG, HI, BD. Dico <lb></lb>impetus in punctis A, F, H, B, esse ut sunt <lb></lb>lineae AE, LG, MI, et ND. Hoc enim patet. </s><s>Quia <lb></lb>impetus in A, F, H, B punctis, sunt ut impetus <lb></lb>cadentium per CA, CL, CM, CN, nempe ut lineae <lb></lb>AE, LG, MI, ND. Quod erat etc.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <figure id="fig367"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Linea AB, quam in praecedentibus pro mensura impetus ponebamus, <lb></lb>et circa quam semicirculum describebamus, quarta pars est lateris <lb></lb>recti parabolae BC factae ab horizontali proie<lb></lb> <arrow.to.target n="fig368"></arrow.to.target><lb></lb>ctione. </s><s>Patet hoc ex primo libro, cum AB sit im<lb></lb>petus, hoc est sublimitas parabolae BC secun<lb></lb>dum Galileum, attamen demonstretur alitèr. </s></p> <figure id="fig368"></figure> <p type="main"> <s>Cadat mobile ex A in B, et inde horizontalitèr <lb></lb>conversum describat parabolam BC. Sumatur BD <lb></lb>dupla ipsius BA. Ergo mobile tempore casus per<lb></lb>curret horizontale spatium BD, eritque omninò post <lb></lb>tempus casus in perpendiculo DC. Sed est etiam semper in parabola BC, <lb></lb>ergo in C communi concursu erit. </s><s>Cum ergo facta sit descensio DC <lb></lb>tempore casus, erit DC aequalis BA. Patet autem quadratum BD <lb></lb>aequari rectangulo sub CD, et quadrupla BA (cum utraque CD, BA <lb></lb>semissis sit ipsius BD). Est ergo BA quarta pars lateris recti para<lb></lb>bolae horizontalis BC. Quod etc.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <pb pagenum="173"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XXIII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Omnes parabolae ab eodem impetu AB factae idem <lb></lb>habent latus rectum (dummodo intelligatur punctum A, <lb></lb>ex quo fiunt proiectiones esse vertex <lb></lb> <arrow.to.target n="fig369"></arrow.to.target><lb></lb>omnium obliquarum parabolarum). </s></p> <figure id="fig369"></figure> <p type="main"> <s>Sit horizontalis parabola AD, et non <lb></lb>horizontalis AF: sumantur in tangentibus <lb></lb>ipsorum aequales AC, AE. </s></p> <p type="main"> <s>Quia idem impetus est per AC, et per <lb></lb>AE, ipsae AC, AE, abstracta gravitatis <lb></lb>operatione, eodem tempore absolverentur; <lb></lb>essentque gravia eodem tempore in C et E: sed cum <lb></lb>gravitas operetur, et idem sit tempus, aequales erunt de<lb></lb>scensus EF, CD. Quadratum autem AC aequatur rectan<lb></lb>gulo sub CD et quadrupla AB, cum demonstratum sit in <lb></lb>Lem. praeced. </s><s>rectam AB esse quartam partem lateris <lb></lb>recti parabolae AD, quare etiam quadratum AE aequale <lb></lb>erit rectangulo sub EF, et quadrupla AB. Est igitur ea<lb></lb>dem AB quarta pars lateris recti omnium parabolarum ab <lb></lb>eodem impetu factarum. </s><s>Quod erat etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollarium.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Hinc manifestum est semper sublimitatem parabolarum ascenden<lb></lb>tium, sive lineam impetus, quartam partem esse lateris recti illius <lb></lb>portionis parabolae obliquae, quae verticem habeat in <lb></lb>puncto separationis proiecti ab instrumento impellente. </s></p> <figure></figure> <p type="main"> <s>Verbigratia. </s><s>Si mobile post casum AB ex quiete in <lb></lb>A convertatur non horizontalitèr, sed per quamlibet in<lb></lb>clinatam BC, parabolamque describat BD. Patet lineam <lb></lb>impetus, sive sublimitatem AB, esse quartam partem <lb></lb>lateris recti parabolae BD, considerata tamen parabola obliqua BD ita <lb></lb>ut eius vertex sit punctum B, et applicatarum regula sit tangens BC. </s></p> <p type="main"> <s>Quod autem haec conveniant cum doctrina Conicorum, <lb></lb>sic demonstrabimus. </s><s>Si parabola AB duas tangentes ha<lb></lb> <arrow.to.target n="fig370"></arrow.to.target><lb></lb>buerit AC per verticem, et BC non per verticem: sumpta<lb></lb>que fuerit AD quarta pars lateris recti, dico iunctam DC <lb></lb>angulos rectos facere cum BC. </s></p> <figure id="fig370"></figure> <p type="main"> <s>Agatur BF ordinatim. </s><s>Cum sint aequales FA, AE, erit <lb></lb>quadratum BF quadruplum quadrati CA sed idem quadra- <pb pagenum="174"></pb>tum BF quadruplum est rectanguli FAD, hoc est rectanguli EAD, <lb></lb>aequalia ergo sunt quadratum CA et rectangulum EAD; angulusque <lb></lb>ECD rectus. </s></p> <p type="main"> <s>Hic, nisi penitus abs re nostra esset, facillimè eliceremus demon<lb></lb>strationem foci. </s><s>Si enim produceretur BD essent per quartam primi <lb></lb>elementorum aequales anguli DEC, DBC; sed ad rem nostram. </s></p> <p type="main"> <s>His demonstratis, data parabola AB cuius axis BD, et <lb></lb> <arrow.to.target n="fig371"></arrow.to.target><lb></lb>focus sit C, si sumatur quodlibet punctum A in sectione, et <lb></lb>ordinatim ducatur AD. Dico latus rectum parabolae obli<lb></lb>quae verticem habentis in A, esse quadruplum linearum si<lb></lb>mul DB, BC: sive lineae CE, sive lineae CA si producatur. </s><s><lb></lb>Ducatur tangens AE, et ex B agatur BF parallela tan<lb></lb>genti AE; et AF ducatur parallela axi BD. Erit per iam <lb></lb>demonstrata quadratum HE aequale rectangulo BEC; qua<lb></lb>drupla etiam aequalia erunt; hoc est quadratum AE, vel FB, aequale <lb></lb>erit rectangulo sub BE, et quadrupla EC, vel sub FA et quadrupla <lb></lb>eiusdem EC. Quare ipsa EC, vel DB, BC simul sunt quarta pars lateris <lb></lb>recti parabolae obliquae cuius vertex sit A et diameter AF. </s></p> <figure id="fig371"></figure> <p type="main"> <s>Nos autem dicebamus in praecedenti Corol<lb></lb>lario, lineam AB, quae metitur impetum proie<lb></lb> <arrow.to.target n="fig372"></arrow.to.target><lb></lb>ctionum, sive quae sublimitas est parabolae obli<lb></lb>quae BD verticem habentis in B, esse quartam <lb></lb>partem lateris recti eiusdem parabolae BD. Quod <lb></lb>esse verum confirmavimus etiam ex doctrina Apol<lb></lb>lonij, cum linea AB constet ex DE, et ex sublimita<lb></lb>te, vel quarta parte lateris recti parabolae rectae quae verticem habet D.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <figure id="fig372"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XXIV.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Quaelibet parabola infinitas habet sublimitates. </s></p> <p type="main"> <s>Si enim per punctum sublime D, quod reperit <lb></lb>Galileus, linea horizontalis DE producatur; quae<lb></lb> <arrow.to.target n="fig373"></arrow.to.target><lb></lb>libet linea perpendicularis quae ex hac demitta<lb></lb>tur in parabolam, sublimitas eiusdem parabolae <lb></lb>erit, dummodo impetus à mobili per descensum <lb></lb>aquisitus convertatur non per lineam horizontalem, sed <lb></lb>tangentem. </s></p> <figure id="fig373"></figure> <p type="main"> <s>Proposita sit parabola ABC cuius sublimitas AD, <lb></lb>et per D agatur horizonti aequidistans DE. Demittatur <lb></lb>iam quaelibet EB parallela ipsi DA. Dico EB subli<lb></lb>mitatem esse parabolae ABC, dummodo mobile in puncto <lb></lb>B convenienti modo convertatur, hoc est per tangentem <lb></lb>in puncto B. Vel. </s><s>Dico grave post casum EB per tan- <pb pagenum="175"></pb>gentem BF sive BG conversum, propositam parabolam <lb></lb>percurrere. </s><s>Est enim idem impetus cadentis ex E in B, <lb></lb>ac venientis ex D per A in B. Cum ergo in utroque <lb></lb>casu reperiatur in B idem impetus, eademque directio, sive <lb></lb>venerit mobile ex E in B, sive ex D per A in B, conti<lb></lb>nuabit mobile per eandem lineam BC cursum suum. </s><s>Ea<lb></lb>dem dicemus de conversione per BA post eundem casum <lb></lb>EB. Quare EB sublimitas est parabolae ABC. Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XXV.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Datis binis quibuscunque sive impetu et directione, sive <lb></lb>impetu et amplitudine, sive amplitudine et directione; <lb></lb>focum parabolae reperire. </s></p> <p type="main"> <s>Iuxtà duo data construatur figura pro<lb></lb> <arrow.to.target n="fig374"></arrow.to.target><lb></lb>positionum praecedentium, et producatur <lb></lb>ABC donec concurrat cum axe parabolae <lb></lb>DC. Dico C focum esse parabolae. </s><s>Cum <lb></lb>enim per constructionem aequales sint <lb></lb>EB, BD aequales erunt etiam AB, BC <lb></lb>inter easdem parallelas, et EA, DC. Sed EA sublimitas <lb></lb>est parabolae FD, ergo DC quarta pars est lateris recti, <lb></lb>et propterea C focus erit. </s><s>Quod etc. </s></p> <figure id="fig374"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollarium.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Hinc patet parabolas quae semirectae sint habere focum in hori<lb></lb>zontali linea; minores vero proiectiones quam semirecta focum habere <lb></lb>sub horizonte, et maiores supra horizontem.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XXVI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Parabola proiectionis horizontalis maxima omnium est, <lb></lb>quae fieri possint ab eodem impetu. </s></p> <figure></figure> <p type="main"> <s>Sit impetus AB fiatque circulus ABD. <lb></lb>Sit etiam parabola iactus horizontalis <lb></lb>BC, et alia parabola BE. Dico maiorem <lb></lb>esse parabolam BC quam BE. Est enim <lb></lb>BA recta sublimitas parabolae BC, et <pb pagenum="176"></pb>HA recta sublimitas parabolae BE. Quare BC omnium <lb></lb>maxima erit; cum maiorem habeat sublimitatem, ideoque <lb></lb>maius latus rectum. </s><s>Quod erat etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XXVII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Parabolae ab eodem impetu factae, quarum directio<lb></lb>nes aequaliter ab horizonte utrimque distant sursum, et <lb></lb>deorsum eiusdem parabolae portiones sunt. </s></p> <p type="main"> <s>Sit impetus AB et fiant proiectiones <lb></lb> <arrow.to.target n="fig375"></arrow.to.target><lb></lb>iuxtà directiones BC, BD, aequalibus an<lb></lb>gulis ab horizonte BI utrimque distantes. </s><s><lb></lb>Dico parabolam BE et parabolam BF <lb></lb>portiones eiusdem parabolae esse. </s><s>Produ<lb></lb>catur enim CBG. Demonstratum est Pro<lb></lb>positione 7 huius, quòd si fiat proiectio cum eodem impetu <lb></lb>iuxtà directionem BC, sive BG, parabolae haium proie<lb></lb>ctionum unam eandemque continuatam parabolam effi<lb></lb>cient. </s><s>Erit ergo BH eadem parabola ac BE; quare etiam <lb></lb>BF eadem parabola erit ac BE; quandoquidem aequalitèr <lb></lb>inclinantur directiones BG, BD, idemque est impetus. </s></p> <figure id="fig375"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XXVIII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si ab eodem puncto B cum eodem impetu AB, eodem <lb></lb>temporis momento simul proiciantur gravia per diversas <lb></lb>inclinationes sursum vel deorsum, erunt omnia gravia <lb></lb>semper in periphaeria alicuius circuli cuius centrum erit <lb></lb>in perpendiculo AB. </s></p> <p type="main"> <s>Sit facta proiectio horizontalis BE, et non <lb></lb> <arrow.to.target n="fig376"></arrow.to.target><lb></lb>horizontalis quaelibet alia BH iuxta directio<lb></lb>nem BD. Sumptoque in horizontali parabola <lb></lb>quovis puncto E ducatur perpendiculum EC, <lb></lb>et horizontalis recta EF. Seceturque BD ae<lb></lb>qualis BC, et demittatur perpendiculum DH <lb></lb>aequale ipsi CE, vel BF. Dico gravia eodem <lb></lb>simul tempore esse in E et in H. Cum enim aequales sint <lb></lb>BC, BD eodem simul tempore gravia essent in C et in D <lb></lb>si aequabili motu procederent. </s><s>Sed cum gravitas operetur, <pb pagenum="177"></pb>erunt gravium descensus eiusdem temporis, aequales; at <lb></lb>per suppositionem descensus unius est CE, ergo descensus <lb></lb>alterius erit DH. Quare gravia simul erunt in E et in H, <lb></lb>et propterea in periphaeria circuli, cuius centrum est F, <lb></lb>nam FE, FH aequales sunt, cum sint latera parallelogram<lb></lb>morum opposita lateribus BC, BD aequalibus. <lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <figure id="fig376"></figure> <p type="main"> <s>Verum ergo est, non solum gravia cadentia ab eodem puncto per <lb></lb>diversas planorum inclinationes, sed etiam proiecta semper esse in <lb></lb>eiusdem circuli periphaeria. </s><s>Exempli gratia; si quis ex aliquo puncto <lb></lb>gravia proiceret cum eodem impetu per diversas inclinationes, aliudque <lb></lb>grave emitteret eodem temporis instanti ex quiete, et ab eodem pun<lb></lb>cto; videret gravia proiecta semper in aliquo circulo disposita com<lb></lb>meare, et hiusmodi circulus semper haberet centrum in gravi illo, <lb></lb>quod naturalitèr descendit emissum ex quiete, uti dictum est.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XXIX.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si ab eodem puncto, et cum eodem semper impetu fiant <lb></lb>proiectiones; vertices parabolarum, sive quod idem est, ex<lb></lb>trema ascensionum puncta erunt in sphaeroidi superficie cu<lb></lb>ius quidem maior diameter horizontalis sit, et dupla minoris. </s></p> <p type="main"> <s>Sit impetus AB, et circa AB fiat semi<lb></lb> <arrow.to.target n="fig377"></arrow.to.target><lb></lb>circulus ADB, tum fiant proiectiones iuxtà <lb></lb>tangentes AD, AE. Dico vertices parabo<lb></lb>larum esse in superficie sphaeroidis, quae <lb></lb>habeat axem AB, et diametrum horizonta<lb></lb>lem duplam axis AB. Demonstratum enim <lb></lb>est Propositione 9 huius, quod productis horizontalibus <lb></lb>FG per punctum D, et HI per punctum E, quae duplae <lb></lb>sint linearum FD, HE, demonstratum inquam est puncta <lb></lb>G et I esse vertices parabolarum. </s><s>Sed puncta G et I sunt <lb></lb>in sphaeroidis superficie, de qua diximus (est enim ut GF <lb></lb>ad FD, ita IH ad HE); ergo patet propositum. <lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <figure id="fig377"></figure> <p type="main"> <s>Sphaera ergo activitatis ascendentis proiectorum est in superficie <lb></lb>sphaeroidis illius speciei quae diametrum habeat duplam axis.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma I.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Si recta linea duas parabolas contingat in eodem puncto, sintque pa<lb></lb>rabolarum diametri parallelae, ipsae parabolae se mutuo contingent in <lb></lb>illo eodem puncto. </s></p> <pb pagenum="178"></pb> <p type="main"> <s>Sit recta linea AB quae in puncto B <lb></lb> <arrow.to.target n="fig378"></arrow.to.target><lb></lb>duas parabolas CBD, FBH contingat, et <lb></lb>habeant parabolae parallelas diametros. </s><s><lb></lb>Dico huiusmodi parabolas se mutuo con<lb></lb>tingere. </s><s>Si enim non contingunt, secent; <lb></lb>et intelligatur alteram parabolarum esse <lb></lb>CBH, alteram verò FBD. Agatur BI parallela diametris, et CD parallela <lb></lb>tangenti. </s><s>Erunt ergo aequales CI, IH; item aequales FI, ID. Quod est <lb></lb>impossibile. </s><s>Quare etc.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <figure id="fig378"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma II.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Si duae parabolae ABC, DBE se mutuò contingant in B, et ha<lb></lb>beant diametros parallelas; dico has para<lb></lb>bolas nunquam amplius convenire. </s></p> <figure></figure> <p type="main"> <s>Si enim possibile est, conveniant in F, et <lb></lb>ducatur BH parallela diametris, et FH or<lb></lb>dinatim; tum alia quaevis CI ordinatim pro<lb></lb>ducatur. </s><s>Habebit ergo quadratum FH ean<lb></lb>dem rationem ad duo quadrata CI, EI, nempe <lb></lb>quam habet HB ad BI. Quod est impossibile, ergo etc.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XXX.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si ab eodem puncto cum eodem semper impetu pro<lb></lb>iectiones fiant, parabolae omnes contingent superficiem <lb></lb>conoidis parabolici, cuius latus rectum quadruplum sit <lb></lb>proiectionis sursum perpendicularitèr factae. </s></p> <figure></figure> <pb pagenum="179"></pb> <p type="main"> <s>Sit impetus AB et circa AB fiat circulus ADB, circaque <lb></lb>axem AB fiat ex vertice B parabola BLC cuius focus sit <lb></lb>A. Fiat iam proiectio iuxtà quamlibet elevationem AD, <lb></lb>sumaturque DE aequalis ipsi DF, et demisso perpendiculo <lb></lb>HEI flat sua parabola circa diametrum EI ex puncto A, <lb></lb>eritque haec parabola semita proiecti ab impetu BA iuxtà <lb></lb>lineam directivam AD, et erit HE sublimitas huius para<lb></lb>bolae. </s><s>Ducatur BE, quae conveniet cum parabola BLC. </s></p> <p type="main"> <s> <arrow.to.target n="marg511"></arrow.to.target><lb></lb>Conveniat in L. Dico parabolam APE continuatam con<lb></lb>tingere parabolam BLC in L. Ducantur ordinatim LM, et <lb></lb>FE usque in O. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg511"></margin.target>P. Conic.</s></p> <p type="main"> <s>Sunt per Lemma Propos. 24 praecedentis libri in con<lb></lb>tinua ratione LM, OF, EF; quadratum OF quadruplum <lb></lb>est rectanguli ABF ob parabolam cuius focus est A, et <lb></lb>quadratum EF cum sit per constructionem quadruplum <lb></lb>quadrati DF, quadruplum etiam erit rectanguli AFB. His <lb></lb>demonstratis sic procedemus. </s><s>Recta MB ad rectam BF <lb></lb>per 4 sexti est ut ML ad FE, sive ut quadratum FO ad <lb></lb>quadratum FE (sumptisque eorum subquadruplis) ut rectan<lb></lb>gulum ABF ad rectangulum AFB, hoc est (omissa com<lb></lb>muni altitudine) ut recta BA ad AF; quare dividendo <lb></lb>erit ut MF ad FB, ita BF ad FA, et proptera in continua <lb></lb>ratione sunt MF, BF, FA; sive NE, HE, EI. </s></p> <p type="main"> <s>Transeat iam parabola AE per punctum P, erit quadra<lb></lb>tum AI ad quadr. </s><s>PN, ut IE ad EN, hoc est ut quadr. </s><s><lb></lb>EH ad quadr. </s><s>EN, hoc est ut quadr. </s><s>BH ad quadr. </s><s><lb></lb>NL; et permutando, quadratum AI ad quadratum BH, <lb></lb>erit ut quadratum PN ad quadratum NL. Quare PN, NL <lb></lb>aequales sunt, et ideo parabola APE cum transeat per P <lb></lb>transit etiam per L. Sumatur tandem BR aequalis ipsi BM <lb></lb>et iungatur RL. Manifestum est RL utramque parabolam <lb></lb>contingere, cum sint aequales tam MB, BR inter se, quam <lb></lb>NE, ES inter se. </s><s>Ergo parabolae APE, et BLC se mutuò <lb></lb>contingunt in puncto L per primum lemma; neque amplius <lb></lb>conveniunt per secundum lemma. </s><s>Quod erat etc. <lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Sphaera ergo totalis activitatis proiectorum est in superficie co<lb></lb>noidis parabolici, cuius focus est punctum ex quo fiunt proiectiones; <lb></lb>et latus rectum conoidis quadruplum est proiectionis perpendicularis <lb></lb>sursum. </s><s>Demonstratum enim fuit singulas singularum proiectionum <pb pagenum="180"></pb>parabolas huiusmodi conoidis superficiem attingere, numquam exce<lb></lb>dere. </s><s>Proiecta igitur eodem tempore sunt in sphaerae superficie, in <lb></lb>fine ascensionis sunt in sphaeroidis superficie; suprema illorum activi<lb></lb>tas est in conoidis parabolici superficie.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Parabolae aequales ABC, DEF, et circa eandem diametrum AH <lb></lb>descriptae asympoti sunt; hoc est cum semper magis <lb></lb>accedant invicem, nunquam tamen conveniunt. </s></p> <figure></figure> <p type="main"> <s>Rectangulum sud AD et latere recto differentia est <lb></lb>inter quadrata BG, GE, item etiam inter quadrata CH, HF. <lb></lb>Ergo rectangula etiam sub EB, et BGE tamquam una li<lb></lb>nea, et sub FC, CHF tamquam una linea, aequalia erunt <lb></lb>inter se, cum sint differentiae quadratorum; reciproca ergo habebunt <lb></lb>latera, nempe ut EB ad FC ita erit CHF linea ad BGE lineam, est autem <lb></lb>CHF linea maior quam BGE, et ideo EB maior erit quam FC. Parabolae <lb></lb>ergo semper magis accedunt. </s><s>Quod nunquam conveniant patet. </s></p> <p type="main"> <s>Nam, si possibile est, conveniant in A et ducatur ordi<lb></lb>natim AB. Cum parabolae sint aequales habebunt idem <lb></lb> <arrow.to.target n="fig379"></arrow.to.target><lb></lb>latus rectum, eritque quadratum AB aequale utrique re<lb></lb>ctangulo quod continetur sub latere recto, et alterutra <lb></lb>ipsarum CB, DB. Quod est impossibile.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <figure id="fig379"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XXXI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Parabola proiectionis horizontalis nunquam convenit <lb></lb>cum superficie conoidis praecedentis propositionis, etiam <lb></lb>si semper magis ac magis ad illud accedat. </s></p> <p type="main"> <s>Sit in figura praecedentis propositionis impetus <lb></lb> <arrow.to.target n="fig380"></arrow.to.target><lb></lb>AB; parabola genitrix conoidis sit BC, parabola <lb></lb>autem horizontalis proiectionis sit AD. Dico has <lb></lb>parabolas semper quidem accedere, nunquam ta<lb></lb>men convenire. </s><s>Sunt enim circa eandem diame<lb></lb>trum AB; et sunt aequales; quandoquidem recta AB est <lb></lb>quarta pars lateris recti parabolac BC per constructionem, <lb></lb>et parabolae AD, quia est ipsius sublimitas. </s><s>Ergo per <lb></lb>lemma praecedens asymptoti erunt. </s><s>Quod erat etc. </s></p> <figure id="fig380"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollarium.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Hinc manifestum est parabolas factas iuxtà directiones deorsum <lb></lb>inclinatas numquam contingere superficiem conoidis; attamen si con<lb></lb>tinuatae intelligantur illud contingent ad partes oppositas superiores. <pb pagenum="181"></pb>Demonstravimus enim Propos. 7 et 27, parabolas directionum deorsum <lb></lb>vergentium easdem esse ac directionum sursum vergentium, dummodo <lb></lb>lineae directionum aequalitèr ab horizonte distent utrimque.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XXXII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Dato impetu sive sublimitate AC, cuius proiectio se<lb></lb>mirecta sit parabola AEB, dico, si proiectio fiat cum <lb></lb>eodem impetu horizontalitèr ex puncto sublimitatis C, <lb></lb>iactum sive parabolam cadere in B. </s></p> <p type="main"> <s>Cadat enim, si possibile est, iactus <lb></lb> <arrow.to.target n="fig381"></arrow.to.target><lb></lb>horizontaliter factus ex puncto C in <lb></lb>punctum D. Et quia parabolae CD <lb></lb>impetus, sive sublimitas ponitur recta <lb></lb>AC, erit AC quarta pars lateris recti <lb></lb>parabolae CD; ergo AD applicata ex foco dupla erit ipsius <lb></lb>AC. Sed etiam AB dupla erat ipsius AC; cum supponatur <lb></lb>AB amplitudo facta à proiectione semirecta, ergo aequales <lb></lb>essent AD, AB, impossibile. </s><s>Patet ergo propositum. </s></p> <figure id="fig381"></figure> <p type="main"> <s>Patet etiam quod iactus CB describit parabolam geni<lb></lb>tricem illius Conoidis, cuius superficiem tangunt omnes <lb></lb>proiectiones factae ex puncto A cum eodem impetu. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XXXIII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Dato impetu, et quocunque plano sive erecto, sive ad <lb></lb>horizontem inclinato, reperire in dato plano remotissimum, <lb></lb>sive altissimum punctum ad quod cum dato impetu fieri <lb></lb>possit iactus. </s></p> <p type="main"> <s>Item reperire directionem quae altissimum, sive remo<lb></lb>tissimum iactum faciat. </s></p> <p type="main"> <s>Sit impetus AB et parabola co<lb></lb> <arrow.to.target n="fig382"></arrow.to.target><lb></lb>noidis sit BC. Iam dato plano ad ho<lb></lb>rizontem erecto DE erit punctum E <lb></lb>altissimum omnium illorum, ad quae <lb></lb>potest ex A cum impetu AB iactus <lb></lb>pervenire. </s><s>Si verò inclinatum sit planum ut FH, erit pun<lb></lb>ctum H altissimum illorum ad quae cum dato impetu ex <lb></lb>puncto A potest iactus pervenire. </s><s>Directionem verò quae <pb pagenum="182"></pb>facit parabolam pertinentem ad punctum H sic inveniemus. </s><s><lb></lb>Fiant circa axem AB circulus, et ellipsis propositionis 29 <lb></lb>iunctàque HB secetur ellipsis in I, et ducatur IM horizon<lb></lb>talis quae secet circulum in L: erit AL directio quae para<lb></lb>bolam emittit tangentem conoides in puncto H. Hoc enim <lb></lb>demonstratur in Propositio 30 huius. <lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <figure id="fig382"></figure> <p type="main"> <s>Propositio Archimedis est sequens lemma in libro de Sphaeroidibus <lb></lb>et Conoidibus, quam tamen expeditius demonstrabimus.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Si fuerit parabola ABC, cuius basis AC, tangens AD, <lb></lb> <arrow.to.target n="fig383"></arrow.to.target><lb></lb>parallela diametro CD; ducaturque alia parallela diametro <lb></lb>EF; dico esse ut CF ad FA, ita FB ad BE. Est enim CD <lb></lb>ad BE longitudine ut DA ad AE potentia, vel ut CD ad FE <lb></lb>potentia. </s><s>Sunt ergo continuae CD, FE, BE. Iterum est, ut CA <lb></lb>ad AF ita CD ad FE, vel FE ad BE; et dividendo ut CF <lb></lb>ad FA, ita FB ad BE. Quod erat etc. </s></p> <figure id="fig383"></figure> <figure></figure> <p type="main"> <s>Manente eadem figura et demonstratione, dico si <lb></lb>producatur recta AB usque in H, et iungatur FH, quod <lb></lb>FH, et AD parallelae erunt. </s></p> <p type="main"> <s>Demonstratum enim est ut CF ad FA ita esse FB <lb></lb>ad BE, hoc est CH ad HD. Quare FH parallela erit <lb></lb>ipsi AD.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XXXIV.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Data elevatione et amplitudine parabolae in plano <lb></lb>horizontali, quaeritur amplitudo in plano inclinato. </s></p> <p type="main"> <s>Sit in praecedenti figura data elevatio AD, amplitudo <lb></lb>autem AC, planumque datum sit AH quaeritur transitus <lb></lb>parabolae B. Ducantur CD parallela diametro; HF verò <lb></lb>parallela tangenti, et FB parallela diametro; dico B esse <lb></lb>transitum parabolae. </s><s>Hoc autem patet ex demonstratis. </s></p> <p type="main"> <s>Data in eadem figura elevatione AD et basi AC, pla<lb></lb>noque FE ad horizontem erecto, quaeritur punctum B in <lb></lb>eodem plano FE. Ducatur CD erecta ad horizontem, FH <lb></lb>parallela tangenti AD, et iungatur HA secans EF in B. <lb></lb>Patet iterum transitum parabolae esse punctum B. </s></p> <pb pagenum="183"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XXXV.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Data basi parabolae, unicoque puncto per quod ipsa <lb></lb>transit; vel datis tribus punctis in parabola, elevationem <lb></lb>proiectionis demonstrare. </s></p> <p type="main"> <s>Sit eadem figura data amplitudo AC, datumque pun<lb></lb>ctum B. Vel dentur tria puncta utcumque A, B, C. </s></p> <p type="main"> <s>Iungantur AB, AC, et per C, B puncta sint parallelae <lb></lb>diametro CD, et FBE et dabuntur puncta H et F. Pro<lb></lb>ducatur ergo HF quae parallela tangenti erit, angulus <lb></lb>ergo HAC erit angulus elevationis. </s></p> <p type="main"> <s>Manente eadem figura. </s><s>Dato angulo elevationis HAC <lb></lb>datisque punctis C et B, invenire punctum ex quo facta <lb></lb>fuerit proiectio. </s><s>Agantur per puncta C, et B, horizonti per<lb></lb>pendiculares EF, DC, quae dabunt puncta H, F in linea <lb></lb>HF data. </s><s>Ducantur iam CF, HB, quae concurrant verbi <lb></lb>gratia in A. Et ex puncto A facta erit proiectio nisi <lb></lb>concurrant impossibile datam <emph type="italics"></emph>(sic)<emph.end type="italics"></emph.end> erit. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Si in parabola cuius basis CD, parallela diametro fuerit AB, erit <lb></lb>rectangulum sub AB et latere recto aequale <lb></lb>rectangulo CAD. Ponatur enim EF latus re<lb></lb> <arrow.to.target n="fig384"></arrow.to.target><lb></lb>ctum, et compleatur rectangulum EI. Quia CD <lb></lb>secta est bifariam et non bifariam, erit qua<lb></lb>dratum LD, hoc est rectangulum EI aequale <lb></lb>rectangulo CAD et quadrato LA. Demptis aequalibus (nempe hinc qua<lb></lb>drato LA, sive MB, et inde rectangulo EH) reliqua aequalia erunt, hoc <lb></lb>est rectangula MI, et CAD. Quod etc. </s></p> <figure id="fig384"></figure> <p type="main"> <s>Iam si rectae AB, CD fuerint parallelae diametro, <lb></lb>erit rectangulum EAF ad rectangulum ECF ut AB <lb></lb>ad CD. </s></p> <figure></figure> <p type="main"> <s>Sunt enim illa rectangula aequalia rectangulis sub <lb></lb>AB et latere recto, et sub CD at latere recto respective, <lb></lb>ista vero cum habeant aequalem altitudinem, erunt ut bases AB, CD. <lb></lb>Quare etiam rectangula EAF, ECF erunt ut AB, ad CD.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <pb pagenum="184"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XXXVI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Data directione AB, et basi AD data est altitudo pa<lb></lb>rabolae supra quodvis punctum C. Dividatur bi<lb></lb> <arrow.to.target n="fig385"></arrow.to.target><lb></lb>fariam AD in F, et erigatur FH. Quoniam datur <lb></lb>angulus BAD directionis, et basis AD, dabitur <lb></lb>in triangulo rectangulo latus BD, et ideo FH, <lb></lb>quae quidem est quarta pars ipsius BD ob para<lb></lb>bolam. </s><s>Fiat ergo ut rectangulum AFD, sive qua<lb></lb>dratum semibasis AF ad rectangulum ACD, ita altitudo <lb></lb>FH ad aliam, et quarta reperta erit altitudo quaesita CE. <lb></lb>Quod erat etc. </s></p> <figure id="fig385"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si conoides parabolicum ABC sccetur plano DEF ae<lb></lb>quidistantèr axi, sectio parabola erit, et aequalis semper <lb></lb>ei quae conoides generavit, hoc est aequale latus rectum <lb></lb>habens. <lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Sumpto enim quolibet puncto I in se<lb></lb> <arrow.to.target n="fig386"></arrow.to.target><lb></lb>ctione DIE, applicetur IL, ducaturque MLN <lb></lb>parallela ad AC. Iam: cum aequale sit qua<lb></lb>dratum DP rectangulo APC, erit quad. </s><s>DP <lb></lb>ad quad. </s><s>AH, ut recta PE ad HB ob para<lb></lb>bolam ABC, sed quad. </s><s>AH, ad quad. </s><s>MO est <lb></lb>ut recta HB ad BO, et quad. </s><s>MO ad rectangu<lb></lb>lum MLN, sive ad quad. </s><s>IL est ut recta OB ad LE; ergo ex aequo, quad. </s><s><lb></lb>DP ad IL est ut recta PE ad EL. Propterea sectio DIE parabola erit. </s></p> <figure id="fig386"></figure> <p type="main"> <s>Amplius. </s><s>Quoniam verò rectangulum sub diametro PE et latere <lb></lb>recto parabolae DEF aequale est quadrato applicatae DP sive rectan<lb></lb>gulo APC, cui rectangulo APC aequale est rectangulum sub recta PF, <lb></lb>et latere recto parabolae ABC, (per lemmam Propos. </s><s>praeced.) aequalia <lb></lb>erunt inter se illa praedicta rectangula; sed altitudo PE eadem est <lb></lb>utrique, ergo bases aequales erunt, nempe latus rectum parabolae DIE <lb></lb>aequale erit lateri recto parabolae ABC. Quod. </s><s>etc.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XXXVII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si ab eodem puncto, cum eodem semper impetu, pro<lb></lb>iectiones fiant per omnes lineas horizontales, omnesque <lb></lb>iactus excipiantur in aliqua superficie plana ad horizon- <pb pagenum="185"></pb>tem erecta, dico omnes illos iactus in quandam lineam <lb></lb>parabolicam cadere aequalem semper parabolae proie<lb></lb>ctionis. </s></p> <p type="main"> <s>Hoc autem patet ex lemmate praemisso. </s><s>Nam omnes <lb></lb>illi iactus horizontales superficiem quandam describunt <lb></lb>conoidis parabolici, quam superficiem secat planum illud <lb></lb>erectum in quo feriunt iactus, ergo sectio in quam cadunt <lb></lb>iactus, erit parabola aequalis parabolae genitrici conoidis; <lb></lb>propterea patet propositum. </s></p> <p type="main"> <s>Si verò iactus omnes terminentur in horizonte, sectio <lb></lb>circulus erit; quando verò in planis inclinatis, sectiones <lb></lb>erunt ellipses, quod facile colligi potest ex demonstratio<lb></lb>nibus antiquorum, qui demonstraverunt obliquam sectio<lb></lb>nem conoidis ellipsim esse. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>DE MOTU AQUARUM.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Iam verò et de aquis aliquam huic libello contempla<lb></lb>tionem inserere non erit inconveniens: aquis enim prae <lb></lb>ceteris corporibus sublunaribus adèo peculiaris, et cogna<lb></lb>tus videtur motus, ut ferè nunquam quiescant. </s><s>Omitto <lb></lb>magnum illum nutantis maris motum; praetereo etiam <lb></lb>omnem fluminum, aquarumque currentium tum mensuram, <lb></lb>tum usum, quarum omnis doctrina reperta primum fuit <lb></lb>ab Abbate Benedicto Castellio praeceptore meo. </s><s>Scripsit <lb></lb>ille scientiam suam, et illam non solum demonstratione, <lb></lb>verum etiam opere confirmavit, maxima cum Principum et <lb></lb>populorum utilitate, maiore cum admiratione phyloso<lb></lb>phorum. </s><s>Extat illius liber, vere aureus. </s><s>Nos minuta quae<lb></lb>dam, et plerumque inutilia, non tamen penitus incuriosa <lb></lb>circa hanc materiam prosequemur. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Supponimus.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Aquas violentèr erumpentes in ipso eruptionis puncto <lb></lb>eundem impetum habere, quem haberet grave aliquod, <lb></lb>sive ipsius aquae gutta una, si ex suprema eiusdem aquae <pb pagenum="186"></pb>superficie usque ad orificium eruptionis naturalitèr ceci<lb></lb>disset. </s></p> <p type="main"> <s>Exempli gratia. </s><s>Si tubus AB convenientis ca<lb></lb> <arrow.to.target n="fig387"></arrow.to.target><lb></lb>pacitatis, hoc est magnae laxitatis, intelligatur <lb></lb>semper aqua plenus usque ad libellam A, et <lb></lb>perforetur angusto orificio in B. Supponimus <lb></lb>aquam ex B erumpentem eundem impetum ha<lb></lb>bere, quem haberet grave aliquod si naturalitèr <lb></lb>ex A in B cecidisset. </s></p> <figure id="fig387"></figure> <p type="main"> <s>Hoc ratione quoddammodo confirmari posse <lb></lb>videtur nam si ad osculum B alius tubus inse<lb></lb> <arrow.to.target n="fig388"></arrow.to.target><lb></lb>ratur, et exquisitè coaptetur, aqua ex B influens <lb></lb>in tubum BC, tantam vim habet ut se ipsam <lb></lb>evehat usque ad eandem libellam horizontalem <lb></lb>CA ductam per orificium A. </s></p> <figure id="fig388"></figure> <p type="main"> <s>Quare verisimile videtur etiam quando ipsa <lb></lb>ex B libera erumpit, habere vim redeundi usque <lb></lb>ad horizontalem lineam quae per A ducitur; vel <lb></lb>quod idem est habere tantum impetum quantus est gravis <lb></lb>alicuius, sive unius guttae liberè cadentis ex A in B. </s></p> <p type="main"> <s>Experimentum etiam aliquo modo principium nostrum <lb></lb>probat, quamquam aliqua ex parte reprobare videatur. </s><s><lb></lb>Nam si osculum B sursum dirigatur, et sit aptè rotun<lb></lb>dum, et levigatum, sitque reliqua totius tubi latitudo multo <lb></lb>capacior quàm orificium B, videbimus aquam salientem <lb></lb>per lineam BC, quasi ad libellam suam AD ascen<lb></lb> <arrow.to.target n="fig389"></arrow.to.target><lb></lb>dere. </s><s>Defectionis autem CD causam adscribere <lb></lb>possumus partim impedimento aeris qui contra <lb></lb>quodcunque corpus mobile luctatur; partim etiam <lb></lb>ipsimet aquae, quae dum ex fastigio C reditum <lb></lb>affectat deorsum, se ipsam venientem impedit, et <lb></lb>retardat, neque sinit subeuntes guttas ad illud <lb></lb>ipsum signum ad quod suo impetu pervenirent, <lb></lb>ascendere posse. </s><s>Hoc manifestè patebit, quando opposita <lb></lb>manu foramen B penitus occludatur; deinde retracta <lb></lb>quam citissimè manu repente aperiatur: videbuntur enim <lb></lb>primae, et praeeuntes guttae altius pervenire, quàm sit <lb></lb>deinde culmen aquae C postquam aqua deorsum fluere <lb></lb>coeperit; illae enim priores guttae praecedentem aquam <pb pagenum="187"></pb>non habent, quae contra ipsas refluens motum ipsarum <lb></lb>in fine ascensionis impediat suppono enim ductum BC <lb></lb>perpendicularem. </s></p> <figure id="fig389"></figure> <p type="main"> <s>Adde etiam quod si quis observet aerem ipsi aquae <lb></lb>BC circumfusum, reperiet ipsum agitari, et sursum mo<lb></lb>veri, quae quidem latio non fit sine vi, et propterea cum <lb></lb>impedimento motus aquae ascendentis. </s><s>Unde est, quod si <lb></lb>quis velit de hoc principio experimentum facere, sumen<lb></lb>dum esset argentum vivum, quod ob intimam gravitatem <lb></lb>magis aptum est, et ad conservandum diu conceptum im<lb></lb>petum, et ad superandam aeris resistentiam. </s><s>Aquam autem <lb></lb>ob levitatem multum aberrare videbitur, et praecipuè si <lb></lb>tubus magnae fuerit altitudinis: tunc enim ob maximum <lb></lb>impetum spargitur in guttulas minutissimas tamquam roris, <lb></lb>neque dimidiam, et fortasse tertiam, quartamve partem <lb></lb>ascendit illius intervalli quod re ipsa, theoricè loquendo, et <lb></lb>remotis impedimentis omnibus concepto impetu totum ex<lb></lb>aequare deberet. </s><s>Caeterum si quis praedictis rationibus <lb></lb>non acquiescat, videat an inter sequentes Propositiones <lb></lb>ullam probet; quod si ita erit, facile per resolutionem ex <lb></lb>approbata propositione primam suppositionem demonstra<lb></lb>bimus; sin minus totam hanc appendicem de motu <lb></lb>aquarum vel saltu praetermittat, vel funditus è libello <lb></lb>evellat, quod equidem libentissimè concedo, etsi factum <lb></lb>experimentum omni diligentia magnam partem sequen<lb></lb>tium propositionum exactissimè confirmavit. </s></p> <p type="main"> <s>His expositis consideremus aquam recidivam in E, <lb></lb>nempe in plano horizontali ducto per libellam orificij B. Ex <lb></lb>Galileo habemus impetum aquae cadentis ex C in E tan<lb></lb>tum esse quantus vehere potest eandem aquam ex E in C. <lb></lb>Ergo impetus in E idem est ac in B, sed in E impetus <lb></lb>est tamquam gravis cadentis ex C in E, vel ex A in B <lb></lb>(diximus enim quod punctum C re ipsa deberet esse in <lb></lb>libella AD abstractis impedimentis quae aquam retardant), <lb></lb>ergo impetus in B est tamquam gravis cadentis natura<lb></lb>litèr ex A in B. </s></p> <p type="main"> <s>His suppositis quaedam demonstrabimus de aquis erum<lb></lb>pentibus, quae mirè cum doctrina proiectorum convenire <lb></lb>videntur. <pb pagenum="188"></pb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Primùm manifestum est omnes aquas erumpentes ex foraminibus <lb></lb>tubi alicuius perforati, parabolas describere. </s><s>Primae enim guttae sca<lb></lb>turientes e tubo sunt de natura proiectorum quandoquidem ipse, quam<lb></lb>quam liquidae sunt sphaerulae graves et coherentes, et ideo para<lb></lb>bolam certè designabunt. </s><s>Omnes autem subsequentes, quae cum eodem <lb></lb>impetu emittuntur (supponimus enim tubos semper aqua plenos) semitam <lb></lb>praecedentium percurrent; quare continuus ille aquae fluentis tractus <lb></lb>parabola erit. </s></p> <p type="main"> <s>Obijcet fortasse aliquis hoc non videri, praesertim quando tubi ori<lb></lb>ficium valde angustum erit, et impetus vehemens. </s><s>Tunc enim (ut vi<lb></lb>dere est in linea illa aquea, quae ex fontium fistulis violentiùs erumpit) <lb></lb>prior pars orbitae illius ascendentis magis tensa apparet, et ad para<lb></lb>bolam veriùs conformata; posterior verò, hoc est ea quam aqua de<lb></lb>scendens percurrit, magis prona, et ut ita dicam, languida atque <lb></lb>curva conspicitur. </s><s>Obiectioni respondetur: non solum praecedentem <lb></lb>propositiunculam, sed etiam maiorem partem sequentium huic in<lb></lb>stantiae subiacere. </s><s>Causa est impedimentum medij, quod ad momen<lb></lb>tum corporis mobilis valdè sensibilem habet rationem, multoque ma<lb></lb>iorem quàm in proiectionibus quae fiunt à machinis bellicis. </s><s>Siquidem <lb></lb>illic materia proiectionis sunt globi plumbei, ferrei, vel saltem mar<lb></lb>morei; hic verò linea est, et quidem aquea. </s><s>Nulli igitur mirum sit, <lb></lb>quòd cum fundamentum huius doctrinae equè verum sit theoricè lo<lb></lb>quendo, ac in proiectis Galilei, practicè tamen multum ab ipsis con<lb></lb>templationibus aberrent experimenta, quae ad hoc ut exactiora eva<lb></lb>derent, vel fieri deberent in medio non obstante, vel saltem gravis<lb></lb>sima materia esset adhibenda. </s><s>Quamquam si quis modica altitudine, <lb></lb>solertique diligentia experiri haec omnia velit, minimum quoddam, et <lb></lb>plerumque insensibile deesse comperiet. </s><s>Experimentum, quod nobis <lb></lb>confirmavit has penè omnes speculatiunculas, factum fuit tubo quodam, <lb></lb>imò capsula parallelepipeda, cuius altitudo passum Geometricum exce<lb></lb>debat, cuius basis uno palmo quadrato non erat minor. </s><s>Foramina verò <lb></lb>erant rotunda, circuloque humanae pupillae maiora, non perperam <lb></lb>facta, sed solertissimè excavata in lamellis cupreis tenuibus, et ad <lb></lb>horizontem erectis. </s><s>Aqua enim violenter erumpens semper directione <lb></lb>exit perpendiculari ad illud planum ex quo erumpit, ideoque fiebat ut <lb></lb>emissiones nostri tubi horizontales essent.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Dato tubo AB semper pleno, et aptè perforato fora<lb></lb>minibus CDE, hoc est quae sint figurae circularis, sitque <lb></lb>illorum ductus horizontalis, hoc est <lb></lb> <arrow.to.target n="fig390"></arrow.to.target><lb></lb>in tenui lamella plana pendiculari. </s><s>Da<lb></lb>toque horizonte quolibet BG, invenire <lb></lb>amplitudinem uniuscuiusque parabo<lb></lb>lae. </s><s>Fiat circa AB diametrum semicir<lb></lb>culus AHB. Eritque parabolae fluentis, <lb></lb>ex E amplitudo dupla lineae EI quae horizontaliter ducitur <pb pagenum="189"></pb>in semicirculo. </s><s>Et amplitudo parabolae erumpentis ex D <lb></lb>erit dupla linae DH. Et hoc probatur, quia cum aqua sit <lb></lb>velut proiectum quoddam, sitque (per suppositum) ipsius <lb></lb>punctum sublime A, erunt per Propositionem 5 Galilei, <lb></lb>semisses amplitudinum medio loco proportionales inter <lb></lb>sublimitatem, et altitudinem; quare semisses amplitudinum <lb></lb>aequales erunt lineis EI, DH. </s></p> <figure id="fig390"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollaria.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Hinc manifestum est quod si tubus AB perforetur in D puncto <lb></lb>medio altitudinis, tunc emissionem ex D factam longiùs quam quae<lb></lb>libet alia cadere. </s></p> <p type="main"> <s>Foramina verò quae aequalitèr à puncto medio D distant, patet <lb></lb>aequales amplitudines facere. </s></p> <p type="main"> <s>Manifestum etiam est inferiores parabolas semper superioribus <lb></lb>maiores esse, cum habeant maiorem sublimitatem, hoc est maius latus <lb></lb>rectum, est enim sublimitas quarta pars lateris recti, ut ostensum est.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Dato dolio, sive tubo AB quod aptè perforatum sit <lb></lb>in C, et emissionem faciat CD. Invenienda sit aquae in <lb></lb>tubo latentis libella horizontalis, sive su<lb></lb> <arrow.to.target n="fig391"></arrow.to.target><lb></lb>perficies suprema. </s></p> <figure id="fig391"></figure> <p type="main"> <s>Sit horizon DF, et producatur CB in <lb></lb>F, et secetur bifariam FD in E, fiatque <lb></lb>ut CF altitudo, ad FE semibasim, ita FE <lb></lb>ad aliam quae erit sublimitas CG. Patebit <lb></lb>ergo libellam aquae in tubo latentis esse <lb></lb>per punctum G. </s></p> <p type="main"> <s>Si tubus AB aptè perforetur ubicunque in C, emissio <lb></lb>fluentis aquae coni rectanguli superficiem continget, cuius <lb></lb>axis ipse tubus, vertex verò sit in aquae <lb></lb> <arrow.to.target n="fig392"></arrow.to.target><lb></lb>libella. </s></p> <figure id="fig392"></figure> <p type="main"> <s>Sit angulus coni BAE semirectus, et <lb></lb>AB tubus, hoc est linea ea in quà sunt <lb></lb>foramina, ponatur axis coni. </s><s>Sumatur ae<lb></lb>qualis CD ipsi CA. Ducaturque horizontalis <lb></lb>DE. Dico parabolam transire per E. Si <lb></lb>enim potest, transeat per H, et cum aquae <lb></lb>sublimitas sit CA erit semissis lineae HD media propor<lb></lb>tionalis inter duas aequales DC, CA, et propterea tota DH <pb pagenum="190"></pb>aequalis erit ipsi DA, vel DE, quod est absurdum. </s><s>Si ergo <lb></lb>parabola transit per punctum E ipsa EA tangens est, cum <lb></lb>aequales sint AC, CD. <lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Hinc manifestum est quòd si tubus in omnibus suis punctis aptè <lb></lb>perforatus fuerit, omnes emissiones quodammodo conspirare videbun<lb></lb>tur ad formandam coni rectanguli speciem. </s><s>Si verò non tubus, sed <lb></lb>sphaerula in vertice ipsius posita, aptè perforata sit in omnibus suis <lb></lb>punctis, emissiones omnes cuiusdam conoidis parabolici imaginem <lb></lb>conformabunt, ex Propos. 30 huius.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Aquarum ex tubo AB perforato erumpentium veloci<lb></lb>tates sunt ut lineae in parabola applicatae ad suam unius<lb></lb>cuiusque sublimitatem. </s></p> <p type="main"> <s>Sit tubus AB semper aqua plenus, et <lb></lb> <arrow.to.target n="fig393"></arrow.to.target><lb></lb>ex foraminibus C, D erumpant fluentes li<lb></lb>neae: descriptaque parabola AEF circa <lb></lb>axem AB ducantur ordinatim CE, DF. Erit <lb></lb>ergo velocitas in C ad velocitatem in D, <lb></lb>ut impetus gravis cadentis ex A in C ad im<lb></lb>petum gravis cadentis ex A in D, nempe <lb></lb>ut CE ad DF ex demonstratis in primo <lb></lb>libro de motu. </s></p> <figure id="fig393"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollarium.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Hinc sequitur ex doctrina Abbatis Castellij quantitatem aquae exeun<lb></lb>tis per ostium C ad quantitatem aquae exeuntis per D (quando fora<lb></lb>mina fuerint aequalia) esse ut CE ad DF. Hoc est aquas erumpentes <lb></lb>ex foraminibus aequalibus esse in subdupla ratione sublimitatum, sive <lb></lb>altitudinum suarum. </s><s>Veritatem huius Corollarij primus omnium expe<lb></lb>rimento indagavit eruditissimus vir, aequè literis, scientijsque omnibus <lb></lb>ornatus, <emph type="italics"></emph>Raphael Magiottus,<emph.end type="italics"></emph.end> et veritatem nostram exitus felicitate <lb></lb>confirmavit. </s></p> <p type="main"> <s>Quando verò foramina inaequalia erunt, quantitates aquae exeuntis <lb></lb>compositam rationem habebunt ex ratione velocitatum, et ex ratione <lb></lb>ostiorum.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Si tubus AB cylindricus, sive prismaticus <lb></lb> <arrow.to.target n="fig394"></arrow.to.target><lb></lb>perforatus in fundo B fluat, neque alius hu<lb></lb>mor superinfundatur, velocitates supremae <lb></lb>superficei humoris latentis decrescent cum <lb></lb>eadem ratione, qua decrescunt etiam lineae <lb></lb>ordinatim applicatae in parabola BD, quae <lb></lb>axem habeat BA verticem verò B. Hoc ma- <pb pagenum="191"></pb>nifestum est. </s><s>Nam quando aquae summa superficies erit C, <lb></lb>velocitas erit CD, et quando summa superficies erit E, ve<lb></lb>locitas erit EF ex iam demonstratis; et hoc modo semper. </s></p> <figure id="fig394"></figure> <p type="main"> <s>Cuiusmodi sit solidum ab aquis cadentibus conformatum <lb></lb>investigare. </s></p> <p type="main"> <s>Sit vas aqua semper plenum AB <lb></lb> <arrow.to.target n="fig395"></arrow.to.target><lb></lb>amplissimum, cuius foramen in fundo <lb></lb>circulare sit CD, solidum autem aquae <lb></lb>ex eo fluentis sit COPD, et solidi axis <lb></lb>sit FH. Dico lineam DNP solidi huius <lb></lb>genitricem talem esse, ut numerus bi<lb></lb>quadratus diametri CD, ad biquadra<lb></lb>tum diametri OP sit reciprocè ut alti<lb></lb>tudo FH ad altitudinem FI. </s></p> <figure id="fig395"></figure> <p type="main"> <s>Ostendit Abbas Castellius sectionem CD ad sectionem <lb></lb>OP, esse reciprocè ut velocitas in OP ad velocitatem in <lb></lb>CD, nempe ut HL ad IM in parabola FML. His praemissis. </s><s><lb></lb>Quadratus numerus diametri CD ad quadratum OP est <lb></lb>ut circulus CD ad ad circulum OP, nempe ut HL ad <lb></lb>IM. Numerus autem quadratus ex HL ad quadratum ex <lb></lb>IM est ut HF ad FI, ergo biquadratus uumerus diametri <lb></lb>CD ad biquadratum OP est reciprocè ut altitudo FH, <lb></lb>ad altitudinem FI. Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s>Data sit eadem figura altitudo FI 100, FH 160, dataque <lb></lb>sit diameter foraminis CD 50. Quaeritur quanta futura sit <lb></lb>solidi diameter OP. Fiat ut FH ad FI, nempe ut 160 ad <lb></lb>100 ita numerus biquadratus diametri CD, nempe 6250000 <lb></lb>ad alium, qui erit 3906250; idemque erit numerus biqua<lb></lb>dratus diametri OP: si ergo ab eo extrahatur radix <lb></lb>biquadrata proveniet 44 cum 5 undecimis proximè, tan<lb></lb>tam ergo pronunciabimus esse diametrum OP. </s></p> <p type="main"> <s>Data BD directione fistulae AB <lb></lb> <arrow.to.target n="fig396"></arrow.to.target><lb></lb>et puncto C in quod incidit aqua <lb></lb>fluens, invenire summam latentis <lb></lb>aquae libellam, sive superficiem. </s></p> <figure id="fig396"></figure> <p type="main"> <s>Producatur ABD, et ex C erigatur <lb></lb>perpendiculum CD. Deinde fiat ut CD ad DB, ita DB ad <pb pagenum="192"></pb>aliam, cuius quarta pars sit BE. Dico per E transire <lb></lb>libellam aquae latentis supremam. </s><s>Est enim BD tangens <lb></lb>parabolae, et CD parallela diametro; ergo quadratum BD <lb></lb>aequale erit rectangulo sub CD et latere recto, quare re<lb></lb>perta illa linea (cuius quartam partem posuimus BE) latus <lb></lb>rectum erit, et BE sublimitas. </s><s>Quod etc. <lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Monemus iterum ad hoc ut experimenta cum demonstrationibus <lb></lb>congruant, quòd foramen B debet esse in lamella tenui, et plana, ad <lb></lb>quam perpendicularis sit recta BD. Reliquum verò interioris tubi BA <lb></lb>etc. </s><s>usque ad initium aquaeductus, debet esse capacissimum; quò enim <lb></lb>laxius erit, ed exactius experimentum evadet. </s><s>Quotiescunque autem <lb></lb>aqua per tubum latentem decurrens per angustias transire debuerit, <lb></lb>falsa omnia reperientur; quemadmodum accidet etiam, si prae nimio <lb></lb>impetu, aqua statim atque emissa est, in tenuissimum rorem disper<lb></lb>gatur.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Data directione AD tubi, sive fi<lb></lb> <arrow.to.target n="fig397"></arrow.to.target><lb></lb>stulae BA, et puncto C in quod inci<lb></lb>dat aquae emissio, totam parabolam <lb></lb>aquae fluentis describere. </s></p> <figure id="fig397"></figure> <p type="main"> <s>Producatur BAD, et erigatur per<lb></lb>pendiculum CD. Deinde connectatur <lb></lb>AC. Ducantur iam tres lineae AE, <lb></lb>EF, FH, quarum prima sit ex angulo <lb></lb>A utcunque, secunda parallela tangenti, tertia parallela <lb></lb>diametro et punctum H erit transitus parabolae, ut con<lb></lb>stat ex demonstratis, et sic de singulis punctis parabolae <lb></lb>quaesitae. </s></p> <p type="main"> <s>Posito vase AB sive cylindrico, sive pri<lb></lb> <arrow.to.target n="fig398"></arrow.to.target><lb></lb>smatico quod in fundo perforatum sit fora<lb></lb>mine B. Velocitas aquae exeuntis ex B <lb></lb>velocitati libellae, sive supremae superficiei <lb></lb>descendentis in vase, semper eadem ratione <lb></lb>respondebit. </s></p> <figure id="fig398"></figure> <p type="main"> <s>Quandò libella aquae in vase est AD, <lb></lb>sit velocitas AC aquae exeuntis per B. Tum <lb></lb>fiat, ut sectio AD vasis, ad sectionem orificij B, ita AC <lb></lb>ad AE. Eritque per doctrinam Castellij, ipsa AE velocitas <lb></lb>libellae DA in descendendo. </s><s>Iam circa AM diametrum <lb></lb>fiant per C, et E, duae parabolae MC, ME. </s></p> <pb pagenum="193"></pb> <p type="main"> <s>Consideretur deinde alia libella FH. Quando FH libella <lb></lb>erit, tunc per demonstrata erit velocitas in B ut linea HL. <lb></lb>Sed velocitas in B ad velocitatem libellae FH erit per <lb></lb>doctrinae Castellij ut sectio FH ad sectionem B, nempe <lb></lb>ut CA ad AE et sic semper. </s><s>Quare velocitas aquae ex<lb></lb>euntis ad velocitatem libellae descendentis in quocunque <lb></lb>loco consideretur, semper erit ut linea applicata in maiori <lb></lb>parabola ad applicatam in minori; hoc est in eadem <lb></lb>semper ratione. <lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Aliter etiam ostenditur idem hoc modo. </s><s>Intelligatur in vase AC quae<lb></lb>libet sectio FH, quae non sit summa superficies: sit autem summa <lb></lb>superficies DA. Iam; cum eadem quantitas aquae transeat per sectio<lb></lb>nem B et per FH, erit velocitas in B ad velocitatem in FH reciprocè <lb></lb>ut sectio FH ad sectionem B; sed sumpta sectio FH aequevelox est <lb></lb>ac suprema superficies DA (cum vas ponatur cylindrus, sive prisma) <lb></lb>ergo velocitas in B ad velocitatem supremae superficiei DA descen<lb></lb>dentis in vase semper eadem ratione respondebit; nimirum semper erit <lb></lb>ut sectio vasis ad sectionem foraminis B.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollarium.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Ergo quando altitudines in vase erunt AM, HM, erit velocitas aquae <lb></lb>exeuntis ex B posita altitudine AM, ad velocitatem exeuntis ex B po<lb></lb>sita altitudine HM, ut est velocitas summae superficiei DA ad veloci<lb></lb>tatem summae superficiei FH, hoc enim patet. </s><s>Nam sumpta superiori <lb></lb>conclusione permutando tantum deducitur hoc Corollarium.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Quantitates aquarum ab eodem, sive ab aequalibus fo<lb></lb>raminibus erumpentium eodem tempore, sunt inter se in <lb></lb>subduplicata ratione altitudinum. </s></p> <p type="main"> <s>Sit vas AB praecedentis figurae perforatum in B, et <lb></lb>aliquando maneat semper plenum usque ad signum DA; <lb></lb>aliquando verò usque ad FH. Dico quantitatem aquae exe<lb></lb>untis quando altitudo est AM, ad quantitatem aquae exe<lb></lb>untis quando altitudo est HM (intellige semper eodem tem<lb></lb>pore) esse in subduplicata ratione altitudinum AM ad HM, <lb></lb>nempe ut recta AC ad HL. Nam quando altitudines sunt <lb></lb>AM et HM, velocitates in B sunt ex Coroll. praeced. </s><s>ut <lb></lb>velocitas summae superficiei DA ad velocitatem summae <lb></lb>superficiei FH; sive ut applicata AE ad HI. Ergo quan<lb></lb>titates aquarum erumpentium ex eodem foramine B erunt <pb pagenum="194"></pb>ut AE ad HI, nempe in subduplicata ratione altitudinum <lb></lb>AM ad HM. </s></p> <p type="main"> <s>Hac speculatio convenit exactissimè cum esperimento <lb></lb>à nobis summa cum diligentia facto. </s></p> <p type="main"> <s>Quoddam vas cuius summitas A perforatum <lb></lb> <arrow.to.target n="fig399"></arrow.to.target><lb></lb>est foramine B ita ut superinfluente quodam <lb></lb>aquaeductu in A semper plenum permaneat. </s><s><lb></lb>Quaeritur, quo foramine perforari debeat in C <lb></lb>ut eadem superifluente aqua plenum praecisè <lb></lb>sicut antea permaneat. </s><s>Sumatur inter AB, AC <lb></lb>media AI. Fiatque ut altitudo AC ad mediam <lb></lb>AI ita osculum B ad osculum C. Erit ergo osculum B ad <lb></lb>osculum C, ut applicata CE, ad applicatam BD; hoc est ut <lb></lb>velocitas foraminis C ad velocitatem foraminis B reciprocè. </s><s><lb></lb>Propterà eadem quantitas aquae effluet per utrumque oscu<lb></lb>lum B et C; propositumque vas semper plenum manebit. <lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <figure id="fig399"></figure> <p type="main"> <s>Quoddam verò vas AB cum perforatum sit in fundo foramine <lb></lb> <arrow.to.target n="fig400"></arrow.to.target><lb></lb>B, superinfluente quodam dato aquaeductu D, plenum perma<lb></lb>net usque ad signum C. Quaeritur quantitas aquae in idem <lb></lb>vas ingerendae ad hoc ut repleatur usque ad signum A. Su<lb></lb>matur inter AB, BC media BE: fiatque ut EB ad BA, ita <lb></lb>quantitas aquae datae D ad aliam quantitatem; quae ingesta <lb></lb>omninò vas replevit usque ad signum A, neque illud excedet. </s><s><lb></lb>Quod cum multis alijs huius generis facilè demontratur ex <lb></lb>praecedentibus.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <figure id="fig400"></figure> <p type="main"> <s>Aquarum fluentium (quae tamen aliquo vase excipi <lb></lb>possint) proportionem dicere, sine ulla temporis, veloci<lb></lb>tatis, sectionisque mensura. </s></p> <p type="main"> <s>Sumatur ut in praecedenti figura, quodcumque vas AB, <lb></lb>cuiuscunque figurae sit, ita tamen perforatum in fundo, ut <lb></lb>minor ex datis aquis fluentibus ingesta non effluat statim <lb></lb>tota, sed increscat, et aliquam altitudinem faciat in vase, <lb></lb>puta altitudinem BC et deinde non crescat amplius; sed <lb></lb>tantum aquae prorsus vas emittat, quantum recipit. </s><s>Maior <lb></lb>verò aquae quantitas altitudinem faciat AB. Patet ex <lb></lb>praecedentibus aquam maiorem ad minorem esse in sub<lb></lb>duplicata ratione rectae AB ad BC. Nam cum utraque <lb></lb>aqua transeat per eandem sectionem B, et altera earum <pb pagenum="195"></pb>altitudinem habeat AB altera vero CB, erunt velocitates <lb></lb>aquarum per dictam sectionem exeuntium in subduplicata <lb></lb>ratione AB ad CB. Ergo et quantitates aquarum fluen<lb></lb>tium erunt in subduplicata ratione factarum altitudinum <lb></lb>AB, BC. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Sit diameter alicuius parabolae AB, et mobile aliquod moveatur per <lb></lb>AB ea lege, ut in quocunque puncto lineae AB consideretur semper im<lb></lb>petus eius sit ut linea ordinatim ex illo puncto intra aliquam <lb></lb> <arrow.to.target n="fig401"></arrow.to.target><lb></lb>parabolam applicata. </s><s>Dico hunc motum eundem esse ac gra<lb></lb>vium naturaliter cadentium. </s><s>Intelligatur enim aliquod grave <lb></lb>moveri ex A in B motu naturaliter accelerato, et concipiatur <lb></lb>eius momentum eiusmodi ut tam grave quam etiam mobile <lb></lb>simul dimissa ex A eodem tempore perveniant ad punctum <lb></lb>B. Patet amborum mobilium unum atque eundem futurum esse motum, <lb></lb>nam in quocunque puncto lineae AB consideretur alterutrum dictorum <lb></lb>sive mobile, sive grave, eundem impetum habebit ac alterum, quare <lb></lb>pariter etiam transibunt spatium AB, partesque ipsius et hoc verum <lb></lb>etiam erit si mobile moveatur ex B in A, non crescente, sed decre<lb></lb>scente impetu.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <figure id="fig401"></figure> <p type="main"> <s>Vasa cylindrica sive prismatica in fundo perforata ea <lb></lb>lege exhauriuntur, ut diviso toto tempore in partes ae<lb></lb>quales, emissio ultimi temporis sit ut unum, emissio au<lb></lb>tem penultimi temporis sit ut 3, antepenultimi temporis ut <lb></lb>5, et sic deinceps ut numeri impares ab unitate. </s></p> <p type="main"> <s>Sit vas ut positum est, perforatum in <lb></lb> <arrow.to.target n="fig402"></arrow.to.target><lb></lb>fundo, ipsique adscribatur parabola CD. <lb></lb>Iam demonstravimus fluente ex fundo aqua, <lb></lb>libellam AE ita descendere ut semper velo<lb></lb>citas ipsius sit ut linea sibi respondens in <lb></lb>parabola, nempe impetus in EA sit ut AD, <lb></lb>in FH sit ut HI, et sic semper; erit ergo <lb></lb> <arrow.to.target n="marg512"></arrow.to.target><lb></lb>motus libellae EA tamquam motus deficiens <lb></lb>gravium sursum reflexorum, sive proiectorum; et diviso <lb></lb>toto tempore emissionis in partes aequales, erit spatium <lb></lb>LC decursum à libella ultimo tempore, ut unum; spatium <lb></lb>autem HL ut tres, et HA ut quinque. </s><s>Nam, ex lemmate <lb></lb>praemisso, motus libellae AE est tamquam motus gravium <lb></lb>non cadentium, sed sursum perpendiculariter proiectorum <pb pagenum="196"></pb>(quod idem est), ergo motus libellae AE eadem spatia <lb></lb>transibit temporibus aequalibus, atque grave aliquod sur<lb></lb>sum proiectum, nempe ultimo tempore unum, penultimo <lb></lb>tria; et sic deinceps. <lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg512"></margin.target>Ex lem, <lb></lb>praeced.</s></p> <figure id="fig402"></figure> <p type="main"> <s>Si fiat vas conoidale parabolicum cuius axis sit AB, <lb></lb>et perforatum sit in fundo B videri poterit emissio eius <lb></lb> <arrow.to.target n="fig403"></arrow.to.target><lb></lb>eiusmodi ut motus supremae superficiei descendentis ae<lb></lb>quabilis sit: hoc est ut aequalibus temporibus aequales <lb></lb>altitudine moles exhauriantur; quod tamen falsum est. </s><s><lb></lb>Sunt enim conoidea parabolica inter se ut quadrata axium, <lb></lb>sive altitudinum. </s><s>Si ergo dividamus totam AB in partes <lb></lb>aequales, erit conoides CB ut unum, et DB ut quatuor, <lb></lb>ipsumque EB ut 9, et sic deiceps semper ut numeri quadrati. </s><s>Erunt <lb></lb>ergo conoides CB ut unum, differentia autem CD ut tria, DE ut 5, EF <lb></lb>ut 7, et sic deinceps differentiae erunt ut numeri ab unitate impares. </s><s><lb></lb>Quare videbitur alicui quod singulae huiusmodi differentiae aequalibus <lb></lb>temporibus exauriri debeant per iam demonstrata in praecedenti; sed <lb></lb>quoniam in huiusmodi vacuatione plurimi refert cuius figurae sit ispum <lb></lb>vas, absolutè falsum hoc esse pronuntiamus; demonstrationemque unus<lb></lb>quisque colligere poterit ex his quae sequuntur.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <figure id="fig403"></figure> <p type="main"> <s>Esto vas irregolare ABCDE perfora<lb></lb> <arrow.to.target n="fig404"></arrow.to.target><lb></lb>tum in fundo foramine C; et consideren<lb></lb>tur duae ipsius sectiones AE, BD. Dico <lb></lb>velocitatem summae superficiei aquae de<lb></lb>scendentis, quando erit AE, ad velocita<lb></lb>tem superficiei, quando erit BD, rationem <lb></lb>habere compositam ex ratione subdupli<lb></lb>cata altitudinum FC ad CG, et reciproca sectionum, nempe <lb></lb>sectionis BD ad AE. Concipiatur enim super basi sectionis <lb></lb>AE, quaecunque illa sit, vas prismaticum AIME cuius <lb></lb>altitudo sit FC. Iam velocitas sectionis prismaticae AE <lb></lb>ad NO erit ut recta FC ad CH mediam inter altitudines. </s><s><lb></lb>Velocitas verò sectionis NO ad vclocitatem sectionis BD, <lb></lb>cum eandem altitudinem habeant, est reciprocè ut sectio <lb></lb>BD ad NO. Ergo patet quòd ratio velocitatis sectionis AE <lb></lb>ad velocitatem sectionis BD componitur ex ratione rectae <lb></lb>FC ad CH, et ex ratione sectionis BD ad NO, sive BD <lb></lb>ad AE. <lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <figure id="fig404"></figure> <p type="main"> <s>Hinc manifestum est quod nuper de Conoide parabolico dicebamus, <lb></lb>nempe motum supremae superficiei descendentis non esse aequabilem <pb pagenum="197"></pb>sed subinde acceleratum. </s><s>Qua verò ratione acceleretur, et qua ratione <lb></lb>varientur velocitates supremae superficiei aquae descendentis in sphaera <lb></lb>perforata, sphaeroide, atque alijs vasibus regularibus facilè ex contem<lb></lb>platione praecedenti patebit.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>DE TABULIS.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Sequuntur Tabulae non quidem doctis calculi vigilijs <lb></lb>elaboratae, ut à Galileo factum est, sed ex ipsa Tabula <lb></lb>sinuum ac tangentium facili brevique negozio transcriptae. </s><s><lb></lb>Quocumque tamen modo collectae fuerint, non minus <lb></lb>augent Galilei gloriam, quàm laborem nostrum comminue<lb></lb>rint. </s><s>Cuius enim industriae tanta solertia est, ut per innu<lb></lb>meras multiplicationum, divisionum, et radicum ambages, <lb></lb>ad eosdem pene numeros appellere potuerit, quos ex Tabula <lb></lb>desumere nobis concessum fuit? </s><s>Praedictum hoc volo, nos <lb></lb>supponere voluisse eandem maximam amplitudinem semi<lb></lb>parabolarum cum Galileo partium 10000 item maximam <lb></lb>altitudinem partium 10000 ut eaedem omnino Tabulae eva<lb></lb>derent, et aliqua interdum differentia inter illius numeros <lb></lb>et nostros appareret. </s><s>Ideo in solum laborem bissectionum <lb></lb>incidimus. </s><s>Si verò suppositionem variare, hoc est numerum <lb></lb>hunc duplum 20000 supponere voluissemus, tunc integrae <lb></lb>Tabulae diversae quidem evasissent à Galilei Tabulis, sed <lb></lb>numeri poterant sine ulla bissectione ex sinibus, et tan<lb></lb>gentibus prout ibi leguntur mutuari. </s></p> <pb pagenum="198"></pb> <p type="main"> <s><emph type="italics"></emph>TABULA continens amplitudines semiparabolarum ab eodem impetu <lb></lb>factarum. </s><s>Supposita maxima amplitudine partium 10000. Sunt au<lb></lb>tem numeri Tabulae sinus recti arcuum elevationis duplorum.<emph.end type="italics"></emph.end><lb></lb> </s></p> <table> <row><cell>GRAD. ELEVAT.</cell><cell>AMPLITUDO SEMIPAR.</cell><cell>GRAD. ELEVAT.</cell><cell>GRAD. ELEVAT.</cell><cell>AMPLITUDO SEMIPAR.</cell><cell>GRAD. ELEVAT.</cell></row> <row><cell>0</cell><cell>0000</cell><cell>90</cell><cell>23</cell><cell>7193</cell><cell>67</cell></row> <row><cell>1</cell><cell>349</cell><cell>89</cell><cell>24</cell><cell>7431</cell><cell>66</cell></row> <row><cell>2</cell><cell>698</cell><cell>88</cell><cell>25</cell><cell>7660</cell><cell>65</cell></row> <row><cell>3</cell><cell>1045</cell><cell>87</cell><cell>26</cell><cell>7880</cell><cell>64</cell></row> <row><cell>4</cell><cell>1392</cell><cell>86</cell><cell>27</cell><cell>8090</cell><cell>63</cell></row> <row><cell>5</cell><cell>1736</cell><cell>85</cell><cell>28</cell><cell>8290</cell><cell>62</cell></row> <row><cell>6</cell><cell>2079</cell><cell>84</cell><cell>29</cell><cell>8480</cell><cell>61</cell></row> <row><cell>7</cell><cell>2419</cell><cell>83</cell><cell>30</cell><cell>8660</cell><cell>60</cell></row> <row><cell>8</cell><cell>2756</cell><cell>82</cell><cell>31</cell><cell>8829</cell><cell>59</cell></row> <row><cell>9</cell><cell>3090</cell><cell>81</cell><cell>32</cell><cell>8988</cell><cell>58</cell></row> <row><cell>10</cell><cell>3420</cell><cell>80</cell><cell>33</cell><cell>9135</cell><cell>57</cell></row> <row><cell>11</cell><cell>3746</cell><cell>79</cell><cell>34</cell><cell>9272</cell><cell>56</cell></row> <row><cell>12</cell><cell>4067</cell><cell>78</cell><cell>35</cell><cell>9397</cell><cell>55</cell></row> <row><cell>13</cell><cell>4384</cell><cell>77</cell><cell>36</cell><cell>9511</cell><cell>54</cell></row> <row><cell>14</cell><cell>4695</cell><cell>76</cell><cell>37</cell><cell>9613</cell><cell>53</cell></row> <row><cell>15</cell><cell>5000</cell><cell>75</cell><cell>38</cell><cell>9703</cell><cell>52</cell></row> <row><cell>16</cell><cell>5299</cell><cell>74</cell><cell>39</cell><cell>9781</cell><cell>51</cell></row> <row><cell>17</cell><cell>5592</cell><cell>73</cell><cell>40</cell><cell>9848</cell><cell>50</cell></row> <row><cell>18</cell><cell>5870</cell><cell>72</cell><cell>41</cell><cell>9903</cell><cell>49</cell></row> <row><cell>19</cell><cell>6157</cell><cell>71</cell><cell>42</cell><cell>9945</cell><cell>48</cell></row> <row><cell>20</cell><cell>6428</cell><cell>70</cell><cell>43</cell><cell>9976</cell><cell>47</cell></row> <row><cell>21</cell><cell>6691</cell><cell>69</cell><cell>44</cell><cell>9994</cell><cell>46</cell></row> <row><cell>22</cell><cell>6947</cell><cell>68</cell><cell>45</cell><cell>10000</cell><cell>45</cell></row></table> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Declaratio praecedentis Tabulae.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Posuimus maximam amplitudinem, hoc est basim semi<lb></lb>parabolae ad elevationem grad. 45 factae esse partium <lb></lb>10000 (quot quadrantes passuum geometricorum prorsus <lb></lb>exaequat maximus semijactus machinarum quas appellant <lb></lb><emph type="italics"></emph>Colubrine da 30<emph.end type="italics"></emph.end>). Manifestum ergo est si ponamus (in <pb pagenum="199"></pb>figura propos. 9 proiectorum) AB esse partium 10000, <lb></lb>tunc amplitudinem maximam semiparabolae esse partium <lb></lb>10000 (demonstrata enim est amplitudo parabolae maxi<lb></lb>mae dupla ipsius AB, ergo amplitudo semiparabolae ma<lb></lb>ximae aequalis erit ipsi AB). </s></p> <figure></figure> <p type="main"> <s>Ponamus igitur AB partium 10000 et datus sit àngulus <lb></lb>elevationis DAC gr. 40, quaeritur dupla ipsius EC (nempe <lb></lb>amplitudo semiparabolae) quanta sit respectu ipsius AB. </s></p> <p type="main"> <s>Dato angulo DAC datur arcus AC anguli duplus nempe <lb></lb>gr. 80. Ergò datur CE 9848 sinus arcus AC, sed respectu <lb></lb>semidiametri, quae sit partium 10000. Datur ergo etiam <lb></lb>longitudo quaesita AD, dupla ipsius EC, ab eodem nu<lb></lb>mero 9848 respectu ipsius AB partium 10000. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Praxis.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Duplicetur elevatio, eiusque sinus rectus accipiatur; et <lb></lb>sic numeros Tabulae habebis, qui longitudines, sive ampli<lb></lb>tudines semiparabolarum metientur. </s></p> <pb pagenum="200"></pb> <p type="main"> <s><emph type="italics"></emph>TABULA continens altitudines semiparabolarum quarum impetus idem <lb></lb>sit cum impetu praecedentis Tabulae. </s><s>Supponitur maxima altitudo <lb></lb>part. </s><s>I0000. Sunt autem numeri Tabulae semisses sinuum versorum <lb></lb>arcuum elevationis duplorum.<emph.end type="italics"></emph.end><lb></lb> </s></p> <pb pagenum="201"></pb> <table> <row><cell>GRAD. ELEVAT.</cell><cell>ALTIT. SEMIPAR.</cell><cell>GRAD. ELEVAT.</cell><cell>ALTIT. SEMIPAR.</cell><cell>GRAD. ELEVAT.</cell><cell>ALTIT. SEMIPAR.</cell></row> <row><cell>1</cell><cell>3</cell><cell>31</cell><cell>2653</cell><cell>61</cell><cell>7650</cell></row> <row><cell>2</cell><cell>12</cell><cell>32</cell><cell>2808</cell><cell>62</cell><cell>7796</cell></row> <row><cell>3</cell><cell>27</cell><cell>33</cell><cell>2966</cell><cell>63</cell><cell>7939</cell></row> <row><cell>4</cell><cell>49</cell><cell>34</cell><cell>3127</cell><cell>64</cell><cell>8078</cell></row> <row><cell>5</cell><cell>76</cell><cell>35</cell><cell>3290</cell><cell>65</cell><cell>8214</cell></row> <row><cell>6</cell><cell>109</cell><cell>36</cell><cell>3455</cell><cell>66</cell><cell>8346</cell></row> <row><cell>7</cell><cell>149</cell><cell>37</cell><cell>3622</cell><cell>67</cell><cell>8473</cell></row> <row><cell>8</cell><cell>194</cell><cell>38</cell><cell>3790</cell><cell>68</cell><cell>8597</cell></row> <row><cell>9</cell><cell>245</cell><cell>39</cell><cell>3960</cell><cell>69</cell><cell>8716</cell></row> <row><cell>10</cell><cell>302</cell><cell>40</cell><cell>4132</cell><cell>70</cell><cell>8830</cell></row> <row><cell>11</cell><cell>364</cell><cell>41</cell><cell>4304</cell><cell>71</cell><cell>8940</cell></row> <row><cell>12</cell><cell>432</cell><cell>42</cell><cell>4477</cell><cell>72</cell><cell>9045</cell></row> <row><cell>13</cell><cell>506</cell><cell>43</cell><cell>4651</cell><cell>73</cell><cell>9145</cell></row> <row><cell>14</cell><cell>585</cell><cell>44</cell><cell>4826</cell><cell>74</cell><cell>9240</cell></row> <row><cell>15</cell><cell>670</cell><cell>45</cell><cell>5000</cell><cell>75</cell><cell>9330</cell></row> <row><cell>16</cell><cell>760</cell><cell>46</cell><cell>5174</cell><cell>76</cell><cell>9415</cell></row> <row><cell>17</cell><cell>855</cell><cell>47</cell><cell>5349</cell><cell>77</cell><cell>9494</cell></row> <row><cell>18</cell><cell>955</cell><cell>48</cell><cell>5523</cell><cell>78</cell><cell>9568</cell></row> <row><cell>19</cell><cell>1060</cell><cell>49</cell><cell>5696</cell><cell>79</cell><cell>9636</cell></row> <row><cell>20</cell><cell>1170</cell><cell>50</cell><cell>5868</cell><cell>80</cell><cell>9698</cell></row> <row><cell>21</cell><cell>1284</cell><cell>51</cell><cell>6040</cell><cell>81</cell><cell>9755</cell></row> <row><cell>22</cell><cell>1403</cell><cell>52</cell><cell>6210</cell><cell>82</cell><cell>9806</cell></row> <row><cell>23</cell><cell>1527</cell><cell>53</cell><cell>6378</cell><cell>83</cell><cell>9851</cell></row> <row><cell>24</cell><cell>1654</cell><cell>54</cell><cell>6545</cell><cell>84</cell><cell>9891</cell></row> <row><cell>25</cell><cell>1786</cell><cell>55</cell><cell>6710</cell><cell>85</cell><cell>9924</cell></row> <row><cell>26</cell><cell>1922</cell><cell>56</cell><cell>6873</cell><cell>86</cell><cell>9951</cell></row> <row><cell>27</cell><cell>2061</cell><cell>57</cell><cell>7034</cell><cell>87</cell><cell>9973</cell></row> <row><cell>28</cell><cell>2204</cell><cell>58</cell><cell>7192</cell><cell>88</cell><cell>9988</cell></row> <row><cell>29</cell><cell>2350</cell><cell>59</cell><cell>7347</cell><cell>89</cell><cell>9997</cell></row> <row><cell>30</cell><cell>2500</cell><cell>60</cell><cell>7500</cell><cell>90</cell><cell>10000</cell></row></table> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Explanatio praecedentis Tabulae.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Ponimus maximam altitudinem omnium proiectionum <lb></lb>ab eodem impetu factarum esse partium 10000. Ponimus <lb></lb>ergo in subiecta figura lineam AB esse 10000 partium. </s><s><lb></lb>Dato deinde angulo DAC elevationis gr. 40 quaeritur <lb></lb>quanta sit altitudo AE respectu ipsius AB quae est 10000. </s></p> <figure></figure> <p type="main"> <s>Datur quidem AC 8264 ex Tabula sinuum, cum sit si<lb></lb>nus versus arcus AC gr. 80, qui arcus duplus est auguli <lb></lb>elevationis DAC. Sed datus numerus rectae AC 8264 erit <lb></lb>respectu semidiametri, quae sit partium 10000. Cum verò <lb></lb>nos ponamus totam diametrum AB esse partium 10000 <lb></lb>tunc AE erit 4132, hoc est tantummodo semissis illius <lb></lb>numeri ex Tabula sinuum versorum excerpti. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Praxis.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Duplicetur data elevatio, iliusque sinus versi semissis <lb></lb>accipiatur; et sic habebis numeros Tabulae praecedentis, <lb></lb>qui altitudines parabolarum, sive proiectionum metiuntur. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Declaratio sequentis Tabulae.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Ponimus AB amplitudinem o<lb></lb> <arrow.to.target n="fig405"></arrow.to.target><lb></lb>mnium semiparabolarum esse parti<lb></lb>tum 10000. Data iam elevatione CAD <lb></lb>gr. 30 iuxtà quam dirigendum est <lb></lb>tormentum. </s><s>Quaeritur parabolae AH <lb></lb>altitudo, et sublimitas. </s></p> <figure id="fig405"></figure> <p type="main"> <s>Secetur AB bifariam in C, eriga<lb></lb>turque ad angulos rectos CD, fiatque <pb pagenum="202"></pb>angulus ADF rectus. </s><s>Manifestum est circa diametrum AF <lb></lb>describi semicirculum qui transeat per D cum rectus sit <lb></lb>angulus ad D donec concurat cum directione AD. Cum <lb></lb>ergo fiat proiectio cum impetu FA, et directione AD, erit <lb></lb>amplitudo semiparabolae linea dupla ipsius ED, nempe ipsa <lb></lb>AB; altitudo verò BH, vel AE, sublimitas EF. Quaeritur <lb></lb>ergo quantitas linearum AE, EF. </s></p> <p type="main"> <s>Cum AB sit partium 10000 erit ED nempe semissis <lb></lb>ipsius, partium 2500 semper, quaecunque sit elevatio. </s><s>Si <lb></lb>ergo ED sit sinus totus, erit altitudo EA 5774 tangens <lb></lb>anguli elevationis CAD, hoc est EDA. Sublimitas verò EF <lb></lb>erit 17320 tangens complementi eiusdem anguli. </s><s>Haec <lb></lb>autem vera sunt quando ED sit 10000, sed quia in casu <lb></lb>nostro ED est tantummodo partium 2500, nempe semissis <lb></lb>sinus totius, erunt EA, EF semisses dictarum tangentium; <lb></lb>hoc est altitudo AE 2887, ipsa verò sublimitas EF 8660, <lb></lb>proptereà tormentum illud quod elevabitur gr. 30 ad hoc <lb></lb>ut faciat amplitudinem semiparabolae partium 10000 debe<lb></lb>bit habere sublimitatem, sive impetum 8660. Quod quidem <lb></lb>idem est, ac si diceremus quòd impetus proiectionis tan<lb></lb>tus esse debet, quantus est gravis alicuius naturalitèr ca<lb></lb>dentis ab altitudine 8660 earumdem partium. </s><s>Altitudo <lb></lb>verò talis parabolae erit 2887. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Praxis.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Pro altitudine sume semissem tangentis anguli eleva<lb></lb>tionis. </s></p> <p type="main"> <s>Pro sublimate sume semissem tangentis complementi <lb></lb>anguli elevationis. </s></p> <pb pagenum="203"></pb> <p type="main"> <s><emph type="italics"></emph>TABULA continens altitudines, et sublimitates semiparabolarum qua<lb></lb>rum amplitudines aequales sint. </s><s>Partium silicet semper 10000. Sunt <lb></lb>autem, altitudines semisses tangentium angulorum elevationis at <lb></lb>sublimitates sunt semisses tangentium complementorum elevationis.<emph.end type="italics"></emph.end><lb></lb> </s></p> <pb pagenum="205"></pb> <table> <row><cell>GRAD. ELEVAT.</cell><cell>ALTITUDO</cell><cell>SUBLIMI-TAS</cell><cell>GRAD. ELEVAT.</cell><cell>ALTITUDO</cell><cell>SUBLIMI-TAS</cell></row> <row><cell>0</cell><cell>00</cell><cell>Infinita</cell><cell>23</cell><cell>2122</cell><cell>11779</cell></row> <row><cell>1</cell><cell>87</cell><cell>286450</cell><cell>24</cell><cell>2226</cell><cell>11230</cell></row> <row><cell>2</cell><cell>175</cell><cell>143186</cell><cell>25</cell><cell>2332</cell><cell>10723</cell></row> <row><cell>3</cell><cell>262</cell><cell>95306</cell><cell>26</cell><cell>2439</cell><cell>10252</cell></row> <row><cell>4</cell><cell>350</cell><cell>71503</cell><cell>27</cell><cell>2548</cell><cell>9813</cell></row> <row><cell>5</cell><cell>437</cell><cell>57150</cell><cell>28</cell><cell>2659</cell><cell>9404</cell></row> <row><cell>6</cell><cell>525</cell><cell>47572</cell><cell>29</cell><cell>2772</cell><cell>9020</cell></row> <row><cell>7</cell><cell>614</cell><cell>40722</cell><cell>30</cell><cell>2887</cell><cell>8660</cell></row> <row><cell>8</cell><cell>703</cell><cell>35577</cell><cell>31</cell><cell>3004</cell><cell>8321</cell></row> <row><cell>9</cell><cell>792</cell><cell>31569</cell><cell>32</cell><cell>3124</cell><cell>8002</cell></row> <row><cell>10</cell><cell>882</cell><cell>28356</cell><cell>33</cell><cell>3247</cell><cell>7699</cell></row> <row><cell>11</cell><cell>972</cell><cell>25723</cell><cell>34</cell><cell>3373</cell><cell>7413</cell></row> <row><cell>12</cell><cell>1063</cell><cell>23523</cell><cell>35</cell><cell>3501</cell><cell>7141</cell></row> <row><cell>13</cell><cell>1154</cell><cell>21657</cell><cell>35</cell><cell>3633</cell><cell>6882</cell></row> <row><cell>14</cell><cell>1247</cell><cell>20054</cell><cell>37</cell><cell>3768</cell><cell>6635</cell></row> <row><cell>15</cell><cell>1340</cell><cell>18660</cell><cell>38</cell><cell>3906</cell><cell>6400</cell></row> <row><cell>16</cell><cell>1434</cell><cell>17437</cell><cell>39</cell><cell>4049</cell><cell>6175</cell></row> <row><cell>17</cell><cell>1529</cell><cell>16354</cell><cell>40</cell><cell>4196</cell><cell>5959</cell></row> <row><cell>18</cell><cell>1625</cell><cell>15388</cell><cell>41</cell><cell>4346</cell><cell>5752</cell></row> <row><cell>19</cell><cell>1722</cell><cell>14521</cell><cell>42</cell><cell>4502</cell><cell>5553</cell></row> <row><cell>20</cell><cell>1820</cell><cell>13737</cell><cell>43</cell><cell>4663</cell><cell>5362</cell></row> <row><cell>21</cell><cell>1919</cell><cell>13025</cell><cell>44</cell><cell>4828</cell><cell>5178</cell></row> <row><cell>22</cell><cell>2020</cell><cell>12375</cell><cell>45</cell><cell>5000</cell><cell>5000</cell></row> <pb pagenum="204"></pb> <row><cell>46</cell><cell>5178</cell><cell>4828</cell><cell>69</cell><cell>13025</cell><cell>1919</cell></row> <row><cell>47</cell><cell>5362</cell><cell>4663</cell><cell>70</cell><cell>13737</cell><cell>1820</cell></row> <row><cell>48</cell><cell>5553</cell><cell>4502</cell><cell>71</cell><cell>14521</cell><cell>1722</cell></row> <row><cell>49</cell><cell>4752</cell><cell>4346</cell><cell>72</cell><cell>15388</cell><cell>1625</cell></row> <row><cell>50</cell><cell>5959</cell><cell>4196</cell><cell>73</cell><cell>16354</cell><cell>1529</cell></row> <row><cell>51</cell><cell>6175</cell><cell>4049</cell><cell>74</cell><cell>17437</cell><cell>1434</cell></row> <row><cell>52</cell><cell>6400</cell><cell>3906</cell><cell>75</cell><cell>18660</cell><cell>1340</cell></row> <row><cell>53</cell><cell>6635</cell><cell>3768</cell><cell>76</cell><cell>20054</cell><cell>1247</cell></row> <row><cell>54</cell><cell>6882</cell><cell>3633</cell><cell>77</cell><cell>21657</cell><cell>1154</cell></row> <row><cell>55</cell><cell>7141</cell><cell>3501</cell><cell>78</cell><cell>23523</cell><cell>1063</cell></row> <row><cell>56</cell><cell>7413</cell><cell>3373</cell><cell>79</cell><cell>25723</cell><cell>972</cell></row> <row><cell>57</cell><cell>7699</cell><cell>3247</cell><cell>80</cell><cell>28356</cell><cell>882</cell></row> <row><cell>58</cell><cell>8002</cell><cell>3124</cell><cell>81</cell><cell>31569</cell><cell>792</cell></row> <row><cell>59</cell><cell>8321</cell><cell>3004</cell><cell>82</cell><cell>35577</cell><cell>703</cell></row> <row><cell>60</cell><cell>8660</cell><cell>2887</cell><cell>83</cell><cell>40722</cell><cell>614</cell></row> <row><cell>61</cell><cell>9021</cell><cell>2772</cell><cell>84</cell><cell>47572</cell><cell>525</cell></row> <row><cell>62</cell><cell>9404</cell><cell>2659</cell><cell>85</cell><cell>57150</cell><cell>437</cell></row> <row><cell>63</cell><cell>9813</cell><cell>2548</cell><cell>86</cell><cell>71503</cell><cell>350</cell></row> <row><cell>64</cell><cell>10252</cell><cell>2439</cell><cell>87</cell><cell>95406</cell><cell>262</cell></row> <row><cell>65</cell><cell>10723</cell><cell>2332</cell><cell>88</cell><cell>143186</cell><cell>175</cell></row> <row><cell>66</cell><cell>11230</cell><cell>2226</cell><cell>89</cell><cell>286450</cell><cell>87</cell></row> <row><cell>67</cell><cell>11779</cell><cell>2122</cell></row> <row><cell>68</cell><cell>12395</cell><cell>2020</cell><cell>90</cell><cell>Infinita.</cell><cell>00</cell></row></table> <p type="main"> <s><emph type="italics"></emph>TABULA continens durationes, sive impetus ad horizontem comparatos <lb></lb>proiectionum ab eodem impetu factarum. </s><s>Supponitur maxima du<lb></lb>ratio, sive impetus maximus esse 10000. Sunt autem numeri Tabulae <lb></lb>sinus recti elevationum.<emph.end type="italics"></emph.end><lb></lb> </s></p> <pb pagenum="206"></pb> <table> <row><cell>GRAD. ELEVAT.</cell><cell>DURATIO SIVE IMP.</cell><cell>GRAD. ELEVAT.</cell><cell>DURATIO SIVE IMP.</cell><cell>GRAD. ELEVAT.</cell><cell>DURATIO VEL IMP.</cell></row> <row><cell>1</cell><cell>75</cell><cell>31</cell><cell>5150</cell><cell>61</cell><cell>8746</cell></row> <row><cell>2</cell><cell>349</cell><cell>32</cell><cell>5299</cell><cell>62</cell><cell>8892</cell></row> <row><cell>3</cell><cell>523</cell><cell>33</cell><cell>5446</cell><cell>63</cell><cell>8910</cell></row> <row><cell>4</cell><cell>698</cell><cell>34</cell><cell>5592</cell><cell>64</cell><cell>8988</cell></row> <row><cell>5</cell><cell>872</cell><cell>35</cell><cell>5736</cell><cell>65</cell><cell>9063</cell></row> <row><cell>6</cell><cell>1045</cell><cell>36</cell><cell>5878</cell><cell>66</cell><cell>9135</cell></row> <row><cell>7</cell><cell>1219</cell><cell>37</cell><cell>6018</cell><cell>67</cell><cell>9205</cell></row> <row><cell>8</cell><cell>1392</cell><cell>38</cell><cell>6157</cell><cell>68</cell><cell>9272</cell></row> <row><cell>9</cell><cell>1564</cell><cell>39</cell><cell>6293</cell><cell>69</cell><cell>9336</cell></row> <row><cell>10</cell><cell>1736</cell><cell>40</cell><cell>6428</cell><cell>70</cell><cell>9397</cell></row> <row><cell>11</cell><cell>1908</cell><cell>41</cell><cell>6561</cell><cell>71</cell><cell>9455</cell></row> <row><cell>12</cell><cell>2079</cell><cell>42</cell><cell>6691</cell><cell>72</cell><cell>9510</cell></row> <row><cell>13</cell><cell>2250</cell><cell>43</cell><cell>6820</cell><cell>73</cell><cell>9563</cell></row> <row><cell>14</cell><cell>2419</cell><cell>44</cell><cell>6947</cell><cell>74</cell><cell>9613</cell></row> <row><cell>15</cell><cell>2588</cell><cell>45</cell><cell>7071</cell><cell>75</cell><cell>9659</cell></row> <row><cell>16</cell><cell>2756</cell><cell>46</cell><cell>7193</cell><cell>76</cell><cell>9703</cell></row> <row><cell>17</cell><cell>2924</cell><cell>47</cell><cell>7314</cell><cell>77</cell><cell>9744</cell></row> <row><cell>18</cell><cell>3090</cell><cell>48</cell><cell>7431</cell><cell>78</cell><cell>9781</cell></row> <row><cell>19</cell><cell>3256</cell><cell>49</cell><cell>7547</cell><cell>79</cell><cell>9816</cell></row> <row><cell>20</cell><cell>3420</cell><cell>50</cell><cell>7660</cell><cell>80</cell><cell>9848</cell></row> <row><cell>21</cell><cell>3584</cell><cell>51</cell><cell>7771</cell><cell>81</cell><cell>9878</cell></row> <row><cell>22</cell><cell>3746</cell><cell>52</cell><cell>7880</cell><cell>82</cell><cell>9903</cell></row> <row><cell>23</cell><cell>3907</cell><cell>53</cell><cell>7986</cell><cell>83</cell><cell>9925</cell></row> <row><cell>24</cell><cell>4067</cell><cell>54</cell><cell>8090</cell><cell>84</cell><cell>9945</cell></row> <row><cell>25</cell><cell>4226</cell><cell>55</cell><cell>8192</cell><cell>85</cell><cell>9962</cell></row> <row><cell>26</cell><cell>4384</cell><cell>56</cell><cell>8290</cell><cell>86</cell><cell>9976</cell></row> <row><cell>27</cell><cell>4540</cell><cell>57</cell><cell>8387</cell><cell>87</cell><cell>9986</cell></row> <row><cell>28</cell><cell>4695</cell><cell>58</cell><cell>8480</cell><cell>88</cell><cell>9994</cell></row> <row><cell>29</cell><cell>4848</cell><cell>59</cell><cell>8572</cell><cell>89</cell><cell>9998</cell></row> <row><cell>30</cell><cell>5000</cell><cell>60</cell><cell>8660</cell><cell>90</cell><cell>10000</cell></row></table> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Expositio praecedentis Tabulae.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Iuxtà ea, quae demonstrata sunt in propositionibus 18 <lb></lb>et 21 Proiectorum, quando AB fuerit maxima duratio, <lb></lb>sive maximus impetus ad horizontem comparatus, erit AC <lb></lb>intercepta in semicirculo, duratio, sive impetus elevationis <lb></lb>AC ad horizontem comparatus. </s></p> <figure></figure> <p type="main"> <s>Supponimus AB esse partium 10000 nempe sinum totum, <lb></lb>et dato angulo elevationis EAC gr. 30 quaerimus AC. </s></p> <p type="main"> <s>Manifestum est, facto quadrante BDF, quando AB <lb></lb>fuerit sinus totus, tunc CA esse sinum rectum elevationis, <lb></lb>hoc est anguli EAC, quandoquidem CA aequalis est ipsi <lb></lb>DE, ut ostendimus in praecedenti libello. </s><s>Ergo cum DF <lb></lb>arcus sit gr. 30 erit recta DE, sive AC 5000 respectu ipsius <lb></lb>AB quae est 10000. Hoc autem significat, quòd impetus <lb></lb>gravis naturaliter cadentis ex B in A ad impetum para<lb></lb>bolae in extremo puncto (dummodo ad horizontem tantum <lb></lb>comparetur) erit ut 10000 ad 5000. Duratio verò, sive <lb></lb>tempus lationis naturalis per perpendiculum BA ad tem<lb></lb>pus, sive durationem parabolae erit ut eadem BA ad AC, <lb></lb>nempe ut 10000 ad 5000. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Praxis.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Sume ipsos sinus rectos elevationum, et habebis nu<lb></lb>meros Tabulae, exhibentes durationes, et impetus parabo<lb></lb>larum ad horizontem comparatos. </s></p> <pb pagenum="207"></pb> <p type="main"> <s><emph type="italics"></emph>TABULA continens gradus elevationis quae debet adhiberi, ut amplitudo <lb></lb>proiectionis fiat datae mensurae. </s><s>Supponimus proiectiones omnes <lb></lb>eundem impetum habere, hoc est, esse eiusdem machinae, et maxi<lb></lb>mam proiectionem ponimus partium 4000.<emph.end type="italics"></emph.end><lb></lb> </s></p> <pb pagenum="209"></pb> <table> <row><cell>Spatia sive incrementa proiectionum aequalia.</cell></row> <row><cell>SPATIA</cell><cell>GRAD. ELEVAT.</cell><cell>COMPLE-MEN.</cell><cell>SPATIA</cell><cell>GRAD. ELEVAT.</cell><cell>COMPLE-MEN.</cell></row> <row><cell>10</cell><cell></cell><cell>17</cell><cell>89.</cell><cell>43</cell><cell>260</cell><cell>7.</cell><cell>32</cell><cell>82.</cell><cell>28</cell></row> <row><cell>20</cell><cell></cell><cell>34</cell><cell>89.</cell><cell>26</cell><cell>270</cell><cell>7.</cell><cell>50</cell><cell>82.</cell><cell>10</cell></row> <row><cell>30</cell><cell></cell><cell>52</cell><cell>89.</cell><cell>8</cell><cell>280</cell><cell>8.</cell><cell>8</cell><cell>81.</cell><cell>52</cell></row> <row><cell>40</cell><cell>1.</cell><cell>9</cell><cell>88.</cell><cell>51</cell><cell>290</cell><cell>8.</cell><cell>26</cell><cell>81.</cell><cell>34</cell></row> <row><cell>50</cell><cell>1.</cell><cell>26</cell><cell>88.</cell><cell>34</cell><cell>300</cell><cell>8.</cell><cell>44</cell><cell>81.</cell><cell>16</cell></row> <row><cell>60</cell><cell>1.</cell><cell>43</cell><cell>88.</cell><cell>17</cell><cell>310</cell><cell>9.</cell><cell>2</cell><cell>80.</cell><cell>58</cell></row> <row><cell>70</cell><cell>2.</cell><cell>0</cell><cell>88.</cell><cell>0</cell><cell>320</cell><cell>9.</cell><cell>20</cell><cell>80.</cell><cell>40</cell></row> <row><cell>80</cell><cell>2.</cell><cell>18</cell><cell>87.</cell><cell>42</cell><cell>330</cell><cell>9.</cell><cell>38</cell><cell>80.</cell><cell>22</cell></row> <row><cell>90</cell><cell>2.</cell><cell>35</cell><cell>87.</cell><cell>25</cell><cell>340</cell><cell>9.</cell><cell>56</cell><cell>80.</cell><cell>4</cell></row> <row><cell>100</cell><cell>2.</cell><cell>52</cell><cell>87.</cell><cell>8</cell><cell>350</cell><cell>10.</cell><cell>14</cell><cell>79.</cell><cell>46</cell></row> <row><cell>110</cell><cell>3.</cell><cell>9</cell><cell>86.</cell><cell>51</cell><cell>360</cell><cell>10.</cell><cell>33</cell><cell>79.</cell><cell>27</cell></row> <row><cell>120</cell><cell>3.</cell><cell>27</cell><cell>86.</cell><cell>33</cell><cell>370</cell><cell>10.</cell><cell>51</cell><cell>79.</cell><cell>9</cell></row> <row><cell>130</cell><cell>3.</cell><cell>44</cell><cell>86.</cell><cell>16</cell><cell>380</cell><cell>11.</cell><cell>10</cell><cell>78.</cell><cell>50</cell></row> <row><cell>140</cell><cell>4.</cell><cell>1</cell><cell>85.</cell><cell>59</cell><cell>390</cell><cell>11.</cell><cell>29</cell><cell>78.</cell><cell>31</cell></row> <row><cell>150</cell><cell>4.</cell><cell>19</cell><cell>85.</cell><cell>41</cell><cell>400</cell><cell>11.</cell><cell>47</cell><cell>78.</cell><cell>13</cell></row> <row><cell>160</cell><cell>4.</cell><cell>36</cell><cell>85.</cell><cell>24</cell><cell>410</cell><cell>12.</cell><cell>6</cell><cell>77.</cell><cell>54</cell></row> <row><cell>170</cell><cell>4.</cell><cell>54</cell><cell>85.</cell><cell>6</cell><cell>420</cell><cell>12.</cell><cell>25</cell><cell>77.</cell><cell>35</cell></row> <row><cell>180</cell><cell>5.</cell><cell>11</cell><cell>84.</cell><cell>49</cell><cell>430</cell><cell>12.</cell><cell>44</cell><cell>77.</cell><cell>16</cell></row> <row><cell>190</cell><cell>5.</cell><cell>29</cell><cell>84.</cell><cell>31</cell><cell>440</cell><cell>13.</cell><cell>3</cell><cell>76.</cell><cell>57</cell></row> <row><cell>200</cell><cell>5.</cell><cell>46</cell><cell>84.</cell><cell>14</cell><cell>450</cell><cell>13.</cell><cell>22</cell><cell>76.</cell><cell>38</cell></row> <row><cell>210</cell><cell>6.</cell><cell>4</cell><cell>83.</cell><cell>56</cell><cell>460</cell><cell>13.</cell><cell>42</cell><cell>76.</cell><cell>18</cell></row> <row><cell>220</cell><cell>6.</cell><cell>21</cell><cell>83.</cell><cell>39</cell><cell>470</cell><cell>14.</cell><cell>1</cell><cell>75.</cell><cell>59</cell></row> <row><cell>230</cell><cell>6.</cell><cell>39</cell><cell>83.</cell><cell>21</cell><cell>480</cell><cell>14.</cell><cell>21</cell><cell>75.</cell><cell>39</cell></row> <row><cell>240</cell><cell>6.</cell><cell>57</cell><cell>83.</cell><cell>3</cell><cell>490</cell><cell>14.</cell><cell>40</cell><cell>75.</cell><cell>20</cell></row> <row><cell>250</cell><cell>7.</cell><cell>14</cell><cell>82.</cell><cell>46</cell><cell>500</cell><cell>15.</cell><cell>0</cell><cell>75.</cell><cell>00</cell></row> <pb pagenum="208"></pb> <row><cell>510</cell><cell>15.</cell><cell>20</cell><cell>74.</cell><cell>40</cell><cell>760</cell><cell>25.</cell><cell>44</cell><cell>65.</cell><cell>16</cell></row> <row><cell>520</cell><cell>15.</cell><cell>40</cell><cell>74.</cell><cell>20</cell><cell>770</cell><cell>25.</cell><cell>11</cell><cell>64.</cell><cell>49</cell></row> <row><cell>530</cell><cell>16.</cell><cell>0</cell><cell>74.</cell><cell>0</cell><cell>780</cell><cell>25.</cell><cell>38</cell><cell>64.</cell><cell>22</cell></row> <row><cell>540</cell><cell>16.</cell><cell>21</cell><cell>73.</cell><cell>39</cell><cell>790</cell><cell>26.</cell><cell>6</cell><cell>63.</cell><cell>54</cell></row> <row><cell>550</cell><cell>16.</cell><cell>41</cell><cell>73.</cell><cell>19</cell><cell>800</cell><cell>26.</cell><cell>34</cell><cell>63.</cell><cell>26</cell></row> <row><cell>560</cell><cell>17.</cell><cell>2</cell><cell>72.</cell><cell>58</cell><cell>810</cell><cell>27.</cell><cell>3</cell><cell>62.</cell><cell>57</cell></row> <row><cell>570</cell><cell>17.</cell><cell>23</cell><cell>72.</cell><cell>37</cell><cell>820</cell><cell>27.</cell><cell>33</cell><cell>62.</cell><cell>27</cell></row> <row><cell>580</cell><cell>17.</cell><cell>44</cell><cell>72.</cell><cell>16</cell><cell>830</cell><cell>28.</cell><cell>3</cell><cell>61.</cell><cell>57</cell></row> <row><cell>590</cell><cell>18.</cell><cell>5</cell><cell>71.</cell><cell>55</cell><cell>840</cell><cell>28.</cell><cell>34</cell><cell>61.</cell><cell>26</cell></row> <row><cell>600</cell><cell>18.</cell><cell>26</cell><cell>71.</cell><cell>34</cell><cell>850</cell><cell>29.</cell><cell>6</cell><cell>60.</cell><cell>54</cell></row> <row><cell>610</cell><cell>18.</cell><cell>48</cell><cell>71.</cell><cell>12</cell><cell>860</cell><cell>29.</cell><cell>39</cell><cell>60.</cell><cell>21</cell></row> <row><cell>620</cell><cell>19.</cell><cell>10</cell><cell>70.</cell><cell>50</cell><cell>870</cell><cell>30.</cell><cell>14</cell><cell>59.</cell><cell>46</cell></row> <row><cell>630</cell><cell>19.</cell><cell>32</cell><cell>70.</cell><cell>26</cell><cell>880</cell><cell>30.</cell><cell>50</cell><cell>59.</cell><cell>10</cell></row> <row><cell>640</cell><cell>19.</cell><cell>54</cell><cell>69.</cell><cell>6</cell><cell>890</cell><cell>31.</cell><cell>27</cell><cell>58.</cell><cell>33</cell></row> <row><cell>650</cell><cell>20.</cell><cell>16</cell><cell>69.</cell><cell>44</cell><cell>900</cell><cell>32.</cell><cell>5</cell><cell>57.</cell><cell>55</cell></row> <row><cell>660</cell><cell>20.</cell><cell>39</cell><cell>69.</cell><cell>21</cell><cell>910</cell><cell>32.</cell><cell>45</cell><cell>57.</cell><cell>15</cell></row> <row><cell>670</cell><cell>21.</cell><cell>2</cell><cell>68.</cell><cell>58</cell><cell>920</cell><cell>33.</cell><cell>28</cell><cell>56.</cell><cell>32</cell></row> <row><cell>680</cell><cell>21.</cell><cell>25</cell><cell>68.</cell><cell>35</cell><cell>930</cell><cell>34.</cell><cell>13</cell><cell>55.</cell><cell>47</cell></row> <row><cell>690</cell><cell>21.</cell><cell>49</cell><cell>68.</cell><cell>21</cell><cell>940</cell><cell>35.</cell><cell>2</cell><cell>54.</cell><cell>58</cell></row> <row><cell>700</cell><cell>22.</cell><cell>13</cell><cell>67.</cell><cell>47</cell><cell>950</cell><cell>35.</cell><cell>54</cell><cell>54.</cell><cell>6</cell></row> <row><cell>710</cell><cell>22.</cell><cell>37</cell><cell>67.</cell><cell>23</cell><cell>960</cell><cell>36.</cell><cell>52</cell><cell>53.</cell><cell>8</cell></row> <row><cell>720</cell><cell>23.</cell><cell>2</cell><cell>66.</cell><cell>58</cell><cell>970</cell><cell>37.</cell><cell>58</cell><cell>52.</cell><cell>2</cell></row> <row><cell>730</cell><cell>23.</cell><cell>27</cell><cell>66.</cell><cell>33</cell><cell>980</cell><cell>39.</cell><cell>16</cell><cell>50.</cell><cell>44</cell></row> <row><cell>740</cell><cell>23.</cell><cell>52</cell><cell>66.</cell><cell>8</cell><cell>990</cell><cell>40.</cell><cell>57</cell><cell>49.</cell><cell>3</cell></row> <row><cell>750</cell><cell>24.</cell><cell>18</cell><cell>65.</cell><cell>42</cell><cell>1000</cell><cell>45.</cell><cell>00</cell><cell>45.</cell><cell>00</cell></row></table> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Explicatio praecedentis Tabulae.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Dum supponitur maxima proiectio esse partium 4000, <lb></lb>tunc supponitur quarta ipsius pars, hoc est semidiameter <lb></lb>circuli Propositionis 9 proiectorum esse 1000 qui nnmerus <lb></lb>supponitur etiam pro sinu toto in Tabula sinuum. </s></p> <p type="main"> <s>Quando ergo data erit futura am<lb></lb> <arrow.to.target n="fig406"></arrow.to.target><lb></lb>plitudo AB partium 2120 (quae maior <lb></lb>non sit numero 4000) dabitur etiam AC <lb></lb>530 ipsius AB quarta pars, hoc est DE <lb></lb>erit 530. Ergo ex Tabulis sinuum habe<lb></lb>bitur quantitas arcus AE gr. 32, cuius semissis gr. 16 erit <lb></lb>mensura anguli CAE. </s></p> <figure id="fig406"></figure> <p type="main"> <s>Nempe elevatio quaesita, iuxtà quam fiet proposita <lb></lb>amplitudo AB partium 2120 talium qualium maxima pro<lb></lb>iectio integra sit 4000. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="italics"></emph>Praxis pro construenda Tabula; et hoc ut quivis per solas <lb></lb>sinuum tabulas problema solvere possit.<emph.end type="italics"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Datae futurae amplitudinis quartam partem sume, <lb></lb>hanc in tabula sinuum quaere, arcumque ipsi respondentem <lb></lb>bifariam seca. </s><s>Sic habebis elevationem, quae amplitudi<lb></lb>nem quaesitam facit. </s><s>Sed fusius haec in sequentibus expli<lb></lb>cabimus. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Uso della precedente Tavola.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Supponiamo che il massimo tiro, cioè il tiro fatto all'elevazione del <lb></lb>sesto punto della squadra da una colubrina sia per esempio 4000 passi <lb></lb>geometrici. </foreign></s> <s>Voglio fare con la medesima un tiro di maniera tale, che <lb></lb>riesca per appunto longo passi 2360. Piglio la quarta parte di 2360 <lb></lb>la quale è 590 e guardo su la tavola, e vedo dirimpetto ad esso nu<lb></lb>mero la elevazione da darsi à detto pezzo esser gradi 18 e minuti 5, <lb></lb>overo gradi 71 e minuti 55 suo complemento. </s> <s><foreign lang="it">E dico per le cose di<lb></lb>mostrate, che il sudetto pezzo con una di queste due elevazioni tirerà <lb></lb>la palla lontano passi 2360 sopra l'orizonte. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Se bene quelle elevazioni, <lb></lb>le quali passano il sesto punto della squadra, non si pongono per l'ar<lb></lb>tiglierie, ma solamente per l'uso de' mortari, o trabocchi, o saltamar<lb></lb>tini. </foreign></s> <s>Deve però avvertirsi che con quella prima elevazione la palla <pb pagenum="210"></pb>farà una strada bassa, ma veloce, come la linea <lb></lb> <arrow.to.target n="fig407"></arrow.to.target><lb></lb>segnata A, e con impeto grande orizontale oppor<lb></lb>tuno per sfondare muraglie, o dare altro impulso <lb></lb>laterale. </s> <s><foreign lang="it">Ma con l'altra elevazione farà la strada B, <lb></lb>la quale sarà pigra di moto orizontale, ma con assai impeto perpen<lb></lb>dicolare nel fine, oportuno per sfondare volte, tetti, e far altre passate <lb></lb>perpendicolari all'orizonte; overo per gettar robbe in un certo deter<lb></lb>minato segno, come sarebbero sacchetti imballati con corde pieni di <lb></lb>zolfo, o salnitro, o farina; overo palle con lettere, et altro dentro. </foreign></s> <s><foreign lang="it">In <lb></lb>somma l'una, e l'altra elevazione, che egualmente sia distante dal sesto <lb></lb>punto porterà la palla nello stesso luogo, però con la prima, e mi<lb></lb>nor'elevazione caderà in terra (come essi dicono) <emph type="italics"></emph>di striscio;<emph.end type="italics"></emph.end> e con la <lb></lb>seconda e maggior elevazione batterà quasi perpendicolare. </foreign></s> </p> <figure id="fig407"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Sò che rarissime volte, e forsi anco mai s'incontrerà che il mas<lb></lb>simo tiro d'un'artiglieria sia per appunto que' passi 4000 come par <lb></lb>che si supponga nel calcolo della Tavola nostra, et anco in quelle <lb></lb>del Sig. Galileo però la detta Tavola potrebbe parere inutile Ma noi <lb></lb>mostreremo che il numero supposto di 4000 per ciò non serve ad al<lb></lb>cuna machina particolare, acciò possa servir' a tutte universalmente. </foreign></s> <s><lb></lb>Bisogna dunque avvertire che quel numero supposto di 4000 non è di <lb></lb>passi, ne di canne, o braccia, ne di altre determinate misure, ma si <lb></lb>bene di parti astratte, tali quali esse si siano, che però potendo con<lb></lb>vertirsi in tutte le sorti di misure possibili, fanno la Tavola generale <lb></lb>tanto per le colubrine, quanto per i mortari, o ballestre. </s><s>E per dare <lb></lb>uno esempio come ella si possa addattare a tutte le spezie dell'arti<lb></lb>glierie, e ridurre le parti astratte in passi geometrici, faremo così. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Il massimo tiro di un cannone per esperienza fatta trovo che è per <lb></lb>esempio passi 2300, e voglio con lo stesso fare un tiro il quale sia di <lb></lb>passi 860, faccio così. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Se il massimo tiro 2300 mi dà 860 tiro quesito, <lb></lb>il numero 1000 massimo della Tavola che mi darà, faccio l'operazione, <lb></lb>e trovo 374 il qual numero cercato nella Tavola si ritrova fra 370 e <lb></lb>380. Però adoprando a giudizio la parte proporzionale troverassi l'arco <lb></lb>della sua elevazione dover' essere gradi 11 in circa, overo 79 suo com<lb></lb>plemento. </foreign></s> <s><foreign lang="it">E così è certo che quella artiglieria, la quale elevata a' 6 <lb></lb>punti tirava passi 2300 elevata gradi 11 overo 79 del quadrante tirerà <lb></lb>passi 860 come desideravamo. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Perchè poi ad alcuno potrebbe parer difficile il trovar per espe<lb></lb>rienza il tiro massimo dell'artiglieria, mostreremo:<gap desc="/SM"></gap></foreign></s> </p> <pb pagenum="211"></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="italics"></emph>Come da qualunque tiro fatto anco casualmente, si possa tro<lb></lb>var' il tiro massimo di un pezzo d'artiglieria.<emph.end type="italics"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Sia un pezzo dirizzato conforme la linea AC, della <lb></lb>quale sia l'elevazione l'angolo BAC, qualunque si sia. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Si misuri detto angolo con la squa<lb></lb> <arrow.to.target n="fig408"></arrow.to.target><lb></lb>dra, e trovisi per esempio gr. 30, poi si <lb></lb>spari l'artiglieria, e vada la palla fino al <lb></lb>punto B, e si misuri diligentemente la <lb></lb>linea AB, che sia per esempio 2400 <lb></lb>passi geometrici. </s> <s><foreign lang="it">Dico che date queste due cose, cioè la <lb></lb>elevazione, e la lunghezza del tiro casuale AGB viene ad <lb></lb>esser data anco la linea AD, la quale è la metà del mas<lb></lb>simo tiro, conforme si è dimostrato nell'ultimo Corollario <lb></lb>della Proposizione 9 de proietti. </foreign></s> </p> <figure id="fig408"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Essendo dato l'angolo della elevazione CAB, gr. 30, <lb></lb>sarà il triangolo rettangolo EAC dato in spezie: e per<lb></lb>chè è data la AB in passi, sarà data la AE quarta parte <lb></lb>di essa, cioè 600 passi. </foreign></s> <s>Opereremo dunque così per trovar <lb></lb>la quantità di AD per via di calcolo e de i seni. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Facciasi: come il seno retto 86602 dell'angolo ACE <lb></lb>gr. 60 cioè del supplemento della elevazione al lato AE <lb></lb>che è 600, così il seno totale 100000 ad un quarto numero <lb></lb>693. E così la hipotenusa AC sarà passi 693. Ma per<lb></lb>che anco il triangolo ACD è dato in spezie, facciasi <lb></lb>di nuovo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Come il seno retto 50000 dell'angolo ADC, <lb></lb>il quale è eguale all'angolo dato della elevazione EAC, <lb></lb>alla retta AC che si trovò 693 passi, così il seno <lb></lb>totale ad un quarto numero 1386, et così la retta cercata <lb></lb>AD sarà passi 1386. Ma perchè AD essendo la linea del<lb></lb>l'impeto, o sublimità è eguale alla metà del massimo tiro, <lb></lb>se noi raddoppieremo 1386 verrà a farsi il numero di <lb></lb>2772 passi, che tanta sarà la lunghezza del massimo tiro, <lb></lb>che si cercava di quella machina, la quale elevata gr. 30 <lb></lb>si trovò tirar passi 2400. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Ma con molto maggior brevità, e con un calcolo solo <lb></lb>potremo operare così. </s> <s><foreign lang="it">Pongasi che il seno totale sia CF, <lb></lb>saranno FA, et FD le tangenti una dell'angolo della ele- <pb pagenum="212"></pb>vazione, l'altra del suo supplemento. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Facciasi dunque: <lb></lb>come il seno totale alla CF che è 600, così 230940 (che <lb></lb>è la somma d'ambidue le sudette tangenti) ad un quarto <lb></lb>numero 1386 e così la retta AD si troverà come prima <lb></lb>prima 1386 passi la quale raddoppiata darà come sopra <lb></lb>la misura del tiro semiretto, o massimo, come vogliam <lb></lb>chiamarlo. <lb></lb><gap desc="SM"></gap></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Per Corollario si può avvertire che questo è il modo di argomen<lb></lb>tare, da qualsivoglia tiro d'un'artiglieria, quanto la medesima sia per <lb></lb>tirare all'insu per linea perpendiculare; che sarà quanto la linea AD <lb></lb>ritrovata per via del calcolo. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">La stessa linea AD ci insegna da quanta altezza bisognerebbe lasciar <lb></lb>cadere una palla d'artiglieria, acciò arrivasse in terra con il medesimo <lb></lb>impeto, che conferisce la stessa artiglieria astraendo però sempre <lb></lb>dall'impedimento che può apportare la corpolenza dell'aria, che sap<lb></lb>piamo esser sensibile per variare le proporzioni dimostrate de'tiri, ma <lb></lb>molto più per impedire questo effetto.<gap desc="/SM"></gap></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="italics"></emph>Come con le sole tavole de seni possiamo sapere la massima <lb></lb>altezza alla quale è pervenuta per aria la palla di un <lb></lb>tiro. </s><s>Data però l'elevazione, e longhezza di esso tiro.<emph.end type="italics"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Nell'istessa precedente figura, sia dato l'angolo della <lb></lb>elevazione CAB, e la lunghezza del tiro AB. Si cerca <lb></lb>l'altezza massima, alla quale è pervenuta la palla per aria: <lb></lb>e questa sarà la linea EC. Prendasi pure di nuovo AE 600 <lb></lb>passi, cioè la quarta parte di tutta la lunghezza AB e <lb></lb>poi facciasi: come il seno 86602 dell'angolo ACE supple<lb></lb>mento della elevazione, alla AE che è 600 passi, così <lb></lb>50000 seno della elevazione EAC ad un quarto numero, e <lb></lb>troveremo 346 passi per misura dell'altezza CE, cioè della <lb></lb>maggiore altezza alla quale sia pervenuta la palla per <lb></lb>aria. <lb></lb><gap desc="SM"></gap></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Deve avvertirsi, che non sempre si adoprano le artiglierie di ma<lb></lb>niera tale che la palla vada a terminare nel medesimo piano orizon<lb></lb>tale, dal quale era partita, si come suppongono le Tavole del Galileo, <lb></lb>e nostre. </foreign></s> <s>Però dovendosi tirare sopra una spiaggia d'un colle declive, <lb></lb>overo acclive; parimente dovendosi tirare dalla sommità d'una rocca, <lb></lb>su 'l piano sottoposto orizontale, sin hora non habbiamo scienza al<lb></lb>cuna intorno alla misura di questi tiri. </s> <s><foreign lang="it">Potrebbe calcolarsi la tavola, <lb></lb>ma ciascuno s'accorgerà che dovendosi quella comporre per ogni grado <pb pagenum="213"></pb>d'elevazione del pezzo, e poi per ogni grado d'inclinazione della spiag<lb></lb>gia, e per ogni passo d'altezza della rocca, il moltiplico anderebbe <lb></lb>quasi in infinito. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Mostreremo però per regola generale il modo di cal<lb></lb>colare i suddetli tiri quando occorrerà.<gap desc="/SM"></gap></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Una tale artiglieria con la direzzione AB fà <lb></lb> <arrow.to.target n="fig409"></arrow.to.target><lb></lb>il tiro ACD sopra il piano horizontale AD. Ma <lb></lb>io voglio tirare sopra il piano AC inclinato, e <lb></lb>cerco quanto sarà la lunghezza AC del detto tiro <lb></lb>sopra questo piano. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Si tirino BD per il punto <lb></lb>D, et HF per il punto C perpendicolari all'orizonte; e <lb></lb>si congiunga FE quale per le cose mostrate è parallela <lb></lb>alla AB. </foreign></s> </p> <figure id="fig409"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Misurisi con qualche strumento l'angolo DAE, cioè la <lb></lb>elevazione della spiaggia, e dalla Tavola delle amplitudini <lb></lb>si trovi la lunghezza del tiro orizontale AD. Dopo questo <lb></lb>facciasi: Come DB tangente dell'angolo dell'elevazione del<lb></lb>l'artiglieria, alla BE che è la differenza delle tangenti de <lb></lb>duoi angoli BAD, DAE noti, essendo uno la elevazione <lb></lb>dell'artiglieria; l'altro la elevazione della spiaggia sopra <lb></lb>l'orizonte; così DA nota in passi, ad un quarto numero; <lb></lb>e si troverà la retta FA in passi. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Facciasi poi di nuovo: <lb></lb>come il seno totale, a quel trovato quarto numero che <lb></lb>è la misura di AF in passi, così AC secante dell'angolo <lb></lb>FAC, ad un quarto, e così averemo noto il numero de i <lb></lb>passi, i quali misureranno la linea AC, cioè la lunghezza <lb></lb>del tiro che farà quella tale artiglieria sopra il piano AE <lb></lb>quando si tira all'insù. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ma quando dal punto A bisognasse tirare giù <lb></lb> <arrow.to.target n="fig410"></arrow.to.target><lb></lb>per una spiaggia descendente come AB. Così <lb></lb>troveremo la quantità di AB, cioè dove vada a <lb></lb>a ferire la palla. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Sia data la direzzione AE, cioè, <lb></lb>sia dato l'angolo della elevazione del pezzo CAE, <lb></lb>sia dato ancora l'angolo della inclinazione della <lb></lb>spiaggia CAB. Immaginiamoci l'orizonte AC e <lb></lb>tiriamo perpendicolari ad esso le BE, et HDF, e congiun<lb></lb>ghiamo CH la quale sarà parallela alla AE. Hora su la <lb></lb>tavola delle amplitudini troveremo quanti passi sia AD, <lb></lb>ma noi cerchiamo quanto sia AB. Però facciasi il calcolo <lb></lb>così. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Come FD tangente dell'angolo della elevazione del- <pb pagenum="214"></pb>l'artiglieria, alla DH tangente della inclinazione del piano, <lb></lb>così AD nota in passi, ad un quarto numero. </foreign></s> <s>Et averemo <lb></lb>la misura di DC in passi; e però anco tutta la AC sarà <lb></lb>nota in passi. </s><s>Facciasi dunque di nuovo. </s> <s><foreign lang="it">Come AC seno <lb></lb>totale, alla AC nota in passi, così AB secante dell'an<lb></lb>golo CAB ad un quarto numero; e sarà la misura cercata <lb></lb>della retta AB in passi; cioè la lunghezza del tiro su la <lb></lb>spiaggia descendente AB. <lb></lb><gap desc="SM"></gap></foreign></s> </p> <figure id="fig410"></figure> <p type="main"> <s>Occorre ancora spesse volte di tirare in piani perpendicolari all'o<lb></lb>rizonte, come in muraglie di città, o di torri, o d'altro. </s> <s><foreign lang="it">Però anco <lb></lb>in questo caso soggiungeremo il calcolo per trovar l'altezza di quel <lb></lb>punto dove nel suddetto muro ferirà la palla.<gap desc="/SM"></gap></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Sia la direzzione del pezzo la linea AB, e l'orizonte AC, <lb></lb>et il muro della torre DE perpendicolare all'orizonte; e <lb></lb>sia la distanza AD nota in passi. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Immaginiamoci che la <lb></lb>palla passi libera senza battere nel muro, e vada a col<lb></lb>pire nell'orizonte in C, la Tavola delle amplitu<lb></lb> <arrow.to.target n="fig411"></arrow.to.target><lb></lb>dini dà la quantità della AC. Ma noi cerchiamo <lb></lb>l'altezza DE. Tirisi CB perpendicolare all'ori<lb></lb>zonte, et DF parallela ad AB, e poi congiun<lb></lb>gasi FA, la quale passerà per la comun sezzione <lb></lb>della parabola, e del muro, come si può raccorre dalle cose <lb></lb>già mostrate. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Facciasi hora, come CA lunghezza del tiro <lb></lb>orizontale, alla CD differenza tra le linee AC,AD, già note, <lb></lb>così la BC tangente dell'angolo della elevazione dell'arti<lb></lb>glieria, alla CF tangente dell'angolo FAC. Facciasi di <lb></lb>nuovo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Come il seno totale, alla AD nota in passi, così <lb></lb>la già trovata tangente dell'angolo FAC, ad un quarto nu<lb></lb>mero; il quale sarà la cercata misura della retta DE in <lb></lb>passi, e troveremo il punto E, nel quale anderebbe à fe<lb></lb>rire quel tiro. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Lo stesso calcolo si può anco ridurre quando <lb></lb>il muro DE non sia perpendicolare, ma a scarpa, come <lb></lb>quelli delle moderne fortezze; ma dubitando di apportar <lb></lb>tedio, che utile lascierò la cura di ciò a quel Geometra più <lb></lb>che se ne curerà. <lb></lb><gap desc="SM"></gap></foreign></s> </p> <figure id="fig411"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Le amplitudini delle parabole, delle quali tratta il Galileo, et anco <lb></lb>noi, suppongono che il tiro non termini su 'l piano della campagna, <lb></lb>ma in quel piano horizontale, che passa per la bocca del pezzo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Que- <pb pagenum="215"></pb>sto non sarà vero, se non quando l'artiglieria si mettesse con le ruote <lb></lb>in una fossa, si che la bocca venisse per appunto nel livello della <lb></lb>campagna: ma perche ciò non si costuma, e perche i tiri vanno a <lb></lb>terminare nell'orizonte, che tocca l'infimo punto delle ruote, cerche<lb></lb>remo Geometricamente quanto possa prolungarsi un tiro livellato, o <lb></lb>vogliam dire orizontale, per cagione dell'altezza della bocca del pezzo <lb></lb>sopra il piano della campagna. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Pare che il semidiametro delle ruote, <lb></lb>e la grossezza del metallo cagionino che la bocca dell'artiglierie or<lb></lb>dinarie venga alta sopra il sito orizontale in<lb></lb> <arrow.to.target n="fig412"></arrow.to.target><lb></lb>torno due braccia. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Suppongasi dunque in A la <lb></lb>bocca d'una colubrina, e sia l'horizonte BC, <lb></lb>altezza della bocca sia la retta AB supposta <lb></lb>2 braccia, et la parabola ACD sia il tiro li<lb></lb>vellato; si cerca la retta BC. Sia il tiro se<lb></lb>miretto, o massimo della medesima artiglie<lb></lb>ria, la parabola AEF, e pongasi che AF sia <lb></lb>5000 passi geometrici, cioè 15000 braccia <lb></lb>Fiorentine. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Facciasi il semicircolo solito della <lb></lb>Proposizione 9 AHI et prodotta AL eguale alla AI, si applichi LD. <lb></lb>Per le cose mostrate sarà la retta AI impeto della parabola AEF, <lb></lb>overo della ACD (perchè sono della medesima machina) però AL sarà <lb></lb>la quarta parte del lato retto della parabola ACD, adunque LD <lb></lb>sarà doppia di LA; ma anche AF si mostrò già doppia di AI, però <lb></lb>sono eguali LD, et AF; et vengono ad esser date tre linee, cioè LA <lb></lb>7500, LD 15000, et AB 2. Dunque se noi faremo per la regola del tre. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Come la retta LA ad AB note, cosí il quadrato della retta LD ad un'al<lb></lb>tro numero troveremo 60000 il quale sarà il quadrato della retta BC; <lb></lb>e cavatane la radice quadra, troveremo che la retta BC sarà 245 braccia. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Concludasi dunque che quella machina, la quale fa il massimo tiro di <lb></lb>15000 braccia, se haverà la bocca sollevata due braccia sopra l'ori<lb></lb>zonte, farà il tiro livellato, cioè con niente d'elevazione, lungo in ogni <lb></lb>modo braccia 245. Quanto poi possa prolungarsi qualunque altro tiro, <lb></lb>non orizontale, ma inclinato in su, overo in giù, per cagione dell'al<lb></lb>tezza delle ruote, e d'un bastione, o d'una Rocca, o di qualunque altro <lb></lb>sito, che la sollievi sopra il piano horizontale, si cercherà in questo <lb></lb>modo. </foreign></s> </p> <figure id="fig412"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">È certo che dovendosi tirare dalla cima d'una rocca, overo di un <lb></lb>castello posto in cima d'un sasso, o qualunque luogo alto su 'l piano <lb></lb>orizontale della campagna sottoposta, i tiri riusciranno assai più lun<lb></lb>ghi che i notati sopra la tavola delle amplitudini; e questa differenza <lb></lb>sarà maggiore tanto più quanto più alta sarà la situazione dell'arti<lb></lb>glieria sopra quel piano orizontale nel quale devono ferir le palle, e <lb></lb>terminare i tiri.<gap desc="/SM"></gap></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Sia l'altezza della rocca, o d'altro luogo GF, e debbasi <lb></lb>dal punto F tirare sopra il piano della campagna GE. <pb pagenum="216"></pb>Immaginiamoci l'orizonte FB, e fatto <lb></lb> <arrow.to.target n="fig413"></arrow.to.target><lb></lb>il tiro FCBE con qualunque eleva<lb></lb>zione, si cerca la misura di GE. </foreign></s> </p> <figure id="fig413"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Dalla Tavola delle amplitudini si <lb></lb>troverà la quantità di AB e dalla Ta<lb></lb>vola delle altezze si troverà la AC altezza della parabola. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>La pratica poi del calcolo si potrà fare in più modi. <lb></lb><gap desc="SM"></gap></foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Quadretur numerus AB; quadratusque dividatur per AC, et quotus <lb></lb>erit latus rectum parabolae FCB. Ducatur deinde quotus iam dictus, <lb></lb>in CD, et producti radix quadrata dabit DE.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Overo potremo operare così: <lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Ducantur simul numeri DC, CA, et producti radix quadrata erit <lb></lb>medio loco proportionalis inter DC, CA. Fiat ut CA ad praedictam ra<lb></lb>dicem, ita AB ad alium numerum et quartus numerus erit iterum DE.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Overo finalmente a questo modo: <lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Fiat ut numerus CA altitudo parabolae ex tabula, ad numerum CD <lb></lb>altitudo parabolae et arcis simul, ita AB semiamplitudo parabolae ex <lb></lb>Tabula, ad alium quartum numerum. </s></p> <p type="main"> <s>Sumatur deinde numerus medio loco proportionalis inter diquartum <lb></lb>numerum, et inter AB, quia medius ille proportionalis exhibebit ipsum <lb></lb>DE. Et cum DG aequalis ipsi AB nota sit, erit tota GE nota.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ma potrebbe soggiungere alcuno che dalla sommità <lb></lb>GF più spesso forsi occorrerà tirare con l'artiglieria in<lb></lb>chinata all'ingiù che all'insù, però sarebbe necessario sa<lb></lb>pere per regola geometrica la lunghezza de' tiri, il che <lb></lb>si averà in questo modo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Sia il tiro da farsi all'ingiù <lb></lb>il segnato FH con qualunque angolo d'inclinazione sotto <lb></lb>l'orizzonte, si cerchi GH, fingasi con l'immaginazione <lb></lb>che il tiro abbia da farsi sopra l'orizonte con la medesima <lb></lb>inclinazione per l'appunto, et per le regole precedenti si <lb></lb>trovi la quantità di DE come sopra, overo di DH, dalla <lb></lb>quale se leveremo la già nota FA, overo DG rimarrà <lb></lb>nota la quantità cercata GH. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ma se data la elevazione gr. 40 del <lb></lb> <arrow.to.target n="fig414"></arrow.to.target><lb></lb>tiro ABC, e la base AC 1600 passi, noi <lb></lb>volessimo sapere tutte le diverse altezze <lb></lb>del transito della palla sopra qualunque <lb></lb>punto della linea AC, faremo così. </foreign></s> <s>Divisa per mezzo la <pb pagenum="217"></pb>AC, et alzata DB questa sarà l'altezza suprema, e si tro<lb></lb>verà su la Tavola delle altezze, e delle amplitudini, ope<lb></lb>rando in questo modo. </s> <s><foreign lang="it">Nella tavola delle amplitudini di<lb></lb>rimpetto alli gradi 40 di elevazione trovo la linea AD essere <lb></lb>parti 9848, ma nella Tavola delle altezze trovo la linea BD <lb></lb>essere parti 4132. Poi per la regola del tre, dico. </foreign></s> <s>Se AD <lb></lb>9848 mi dà passi 800 conforme alla supposizione; DB che <lb></lb>è parti 4132 quanti passi darà? </s> <s><foreign lang="it">e ritrovo che la retta BD <lb></lb>è passi 336. Sia ora proposto qualunque punto E sopra di <lb></lb>cui si vuole saper l'altezza del transito della palla, cioè <lb></lb>la linea EH. Suppongasi che la retta AE sia 1000, et la <lb></lb>EC 600 e facciasi di nuovo la regola del tre in questo <lb></lb>modo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Se il numero quadrato di AD, che e è 640000, mi <lb></lb>dà il numero rettangolo delle rette AE, ED che è 600000, <lb></lb>il numero BD che fu trovato 336 che mi darà? </foreign></s> <s><foreign lang="it">E ritrovo <lb></lb>315 passi, adunque l'altezza della parabola sopra il punto <lb></lb>E fu passi 325. Che è quello che si cercava. <lb></lb><gap desc="SM"></gap></foreign></s> </p> <figure id="fig414"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Basterà l'aver' accennato questo poco per il calcolo di alcune va<lb></lb>rietà le quali possono occorrere intorno a questi tiri. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Potevano porsi altri <lb></lb>casi simili a questi, e particolarmente i conversi loro, ma dalla intel<lb></lb>ligenza di questi si possono facilmente dedurre quelli, e l'ingegno di <lb></lb>qualunque Geometra applicandovi troverà minor difficoltà nello sciorre <lb></lb>molti di questi problemi da se me medesimo, che nel passare le lun<lb></lb>ghezze, et le oscuritá delle nostre esplicazioni. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Però passeremo alla <lb></lb>fabbrica della squadra, la quale pare veramente appropriata, anzi <lb></lb>fatta dalla natura a posta per misurar scientificamente, et geometri<lb></lb>camente i tiri de proietti.<gap desc="/SM"></gap></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>DELLA SQUADRA.<emph.end type="center"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Riducasi ora in pratica, e sciolgasi per mezzo di uno <lb></lb>strumento alcune delle già dimostrate proposizioni. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Fa<lb></lb>bricheremo una squadra militare, la quale con certezza <lb></lb>invariabile insegni (almeno alli Filosofi Geometri, se non <lb></lb>a' Bombardieri pratici) quanta elevazione debba darsi a <lb></lb>qualsivoglia machina, acciò la lunghezza del tiro riesca <lb></lb>della proposta misura. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Sciorremo anco per mezzo d'essa <lb></lb>tutti i Problemi, che sopra il tirar delle artiglierie si pos- <pb pagenum="218"></pb>sino formare; quali già furono promessi dal Tartaglia, e <lb></lb>poi ridotti in Tavole dal Galileo, con alcun'altro di più. </foreign></s> <s><lb></lb>Si accorse l'industria militare, che l'uso di una machina <lb></lb>tanto nobile, e di tanta conseguenza, quanto è l'artiglieria, <lb></lb>sarebbe stato troppo ristretto, et di poco beneficio, se <lb></lb>quella non si fusse potuta adoperare se non dentro a quella <lb></lb>poca distanza, ch'ella tira di punto in bianco, o vogliam <lb></lb>dire di mira senza dargli con la squadra aiuto vantag<lb></lb>gioso di alcuna elevazione. </s> <s><foreign lang="it">Fù però pensato come si po<lb></lb>tesse fare, acciò con quel medesimo pezzo, il quale per <lb></lb>se stesso non tirava più che 200 overo 250 passi geo<lb></lb>metrici si potesse tirarne e 400, et anco 600 e più, e più, <lb></lb>sino alla lunghezza del massimo tiro, che possa farsi da <lb></lb>quel tale pezzo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">L'invenzione fu questa; Cominciarono <lb></lb>ad aiutare il pezzo con l'elevazione; cioè non lo diriz<lb></lb>zavano a diritura verso l'oggetto in che doveva col<lb></lb>pire, ma tenendolo nello stesso verticale dell'oggetto, <lb></lb>lo elevavano sopra quella linea retta, la quale và dal pezzo <lb></lb>all'oggetto: e ciò facevano ora più, et ora meno, con<lb></lb>forme che la sforzatura del tiro doveva essere mag<lb></lb>giore, o minore. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Artifizio che sino dal principio del <lb></lb>mondo è stato noto anco a i putti inesperti. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Vediamo <lb></lb>che dovendo essi con una palla di neve, o d'altro, colpire <lb></lb>in un segno vicinissimo, la scagliano a dirittura verso esso <lb></lb>segno; ma dovendo poi giuocare a chi tira più lontano, <lb></lb>overo fare a sassi tra di loro, non tirano già orizontal<lb></lb>mente, ne a dirittura verso i loro contrarij, ma volgendo <lb></lb>i colpi a mezz'aria, senza aver fatto altra speculazione, <lb></lb>tirano tutti all'elevazione del quinto, et anco del sesto <lb></lb>punto della squadra militare a loro ignota. </foreign></s> <s><foreign lang="it">I Bombardieri <lb></lb>poi ebbero col progresso del tempo uno strumento, il <lb></lb>quale facilmente misura queste elevazioni. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Fu inventata da Nicolò Tartaglia Bresciano Matema<lb></lb>tico insigne una squadra con le gambe disuguali congiunta <lb></lb>con il quadrante, la quale già più di cento anni è sempre <lb></lb>stata in uso, et è ancora l'unica regolatrice de' Bombar<lb></lb>dieri, non solo per adoprar l'artiglieria, et alzarla in quei <lb></lb>tiri, che essi chiamano di volata, ma anco per livellarla <lb></lb>negli orizontali. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Divise il Tartaglia quel quadrante in 12 <pb pagenum="219"></pb>parti eguali, cominciando la numerazione di esse dalla <lb></lb>gamba minore; suddivise anco ciascuna di esse in altre 12 <lb></lb>parti eguali, nominando quelle prime Punti, e queste se<lb></lb>conde Minuti della squadra. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ponghiamo la figura della squa<lb></lb>dra, e mostriamo come essa misuri l'elevazione del pezzo. <lb></lb><gap desc="SM"></gap></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Sia l'anima del Cannone AB fermo in <lb></lb> <arrow.to.target n="fig415"></arrow.to.target><lb></lb>qualche positura; Mettasi in bocca d'esso <lb></lb>la maggior gamba della squadra CA si <lb></lb>che si addatti su 'l fondamento di detta <lb></lb>anima, e caschi il piombo in D. Io dico <lb></lb>che l'angolo ECD, cioè l'arco ED, è la mi<lb></lb>sura della elevazione del pezzo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Tirisi una <lb></lb>orizontale AF saranno gl'angoli intorno al punto G retti, ma anco <lb></lb>l'angolo ACF è retto, adunque gl'angoli CAF, et FCG sono eguali per <lb></lb>l'8 del sesto. </foreign></s> <s>Overo così. </s> <s><foreign lang="it">Tirisi per C l'orizontale HI. Se dagli angoli <lb></lb>retti HCD, ACE si leverà il comune ACD, resterà l'angolo ECD della <lb></lb>squadra eguale all'angolo dell'artiglieria sotto l'orizonte HI, o sopra <lb></lb>l'orizonte AF, che è lo stesso per essere alterni.<gap desc="/SM"></gap></foreign></s> </p> <figure id="fig415"></figure> <p type="main"> <s>Col mezzo poi di questa squadra si è fatta dalli Bom<lb></lb>bardieri con lunghe osservazioni una pratica tale, ch'essi <lb></lb>sanno quanti debba elevarsi verbigrazia una colubrina da <lb></lb>40 per colpire in un segno lontano per esempio passi 700 <lb></lb>geometrici, o in qualunque altra distanza. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ma vaglia il vero, le osservazioni sono tanto fallaci; <lb></lb>sono così pochi i bombardieri che le abbiano fatte esquisita<lb></lb>mente, che l'uso dell'artiglieria, levatone il tiro di punto <lb></lb>in bianco, non può avere se non pochissimo di certezza. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Volendosi acquistare qualche scienza sicura intorno alla <lb></lb>squadra ordinaria, sarebbe necessario di fare l'esperienze <lb></lb>non solo con tutte le sorti di palle, e con tutte le diffe<lb></lb>renze di polvere, ma in tutte le spezie de i pezzi, et anco <lb></lb>in tutti quelli, che essendo della medesima spezie, sono <lb></lb>differenti di grandezza, e poi a tutti i gradi delle eleva<lb></lb>zioni possibili. </foreign></s> <s>Moltiplico, che quasi anderebbe in infinito. </s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>E notiamo, che converrebbe fare queste esperienze tutte <lb></lb>ad una ad una; poichè non è vero che per via di propor<lb></lb>zioni si possa da tre, o quattro tiri di un cannone, fatti <lb></lb>a diversa elevazione, argomentare alcun'altro, ne pur dello <lb></lb>stesso cannone caricato con la stessa polvere, e palla. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Che questo sia così, si dimostra per mezzo delle Tavole <lb></lb>poste dal Sig. Galileo, e da noi. </foreign></s> <s>Per esempio. </s><s>Quel can- <pb pagenum="220"></pb>none che elevato al sesto punto tira passi 4000, elevato <lb></lb>ad un punto doverebbe tirar la sesta parte, et a due punti <lb></lb>la terza, et a tre punti la metà. </s><s>Ma la cosa passa molto <lb></lb>diversamente. </s> <s><foreign lang="it">Perchè elevato ad un punto, tira 1032 in <lb></lb>cambio di 666 che è la sesta parte del sudetto massimo <lb></lb>tiro 4000. Al secondo punto poi (et osservisi che con que<lb></lb>sta elevazione l'artiglierie tirano sempre la metà del mas<lb></lb>simo tiro) nel caso nostro tirerà 2000 in cambio di 1333 <lb></lb>che è la terza parte. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Al terzo punto tirerà 2824 in cambio <lb></lb>di 2000 che è la metà del massimo tiro. </foreign></s> <s>Al quarto punto <lb></lb>tirerà 3464 in cambio di 2666. Al quinto tirerà 3860 in <lb></lb>cambio di 2333, che sono cinque sesti di quel massimo. </s><s><lb></lb>Vedesi dunque come accrescendo egualmente le elevazioni <lb></lb>del pezzo, cioè tirando prima ad un punto solo, poi a due, <lb></lb>et a tre, e quattro etc. </s> <s><foreign lang="it">fino al sesto, gl'accrescimenti del<lb></lb>la lunghezza de i tiri non crescono egualmente, cioè con <lb></lb>la medesima proporzione con la quale crescono le eleva<lb></lb>zioni: ma mentre il primo punto tira 1032 il secondo ac<lb></lb>cresce sopra esso 968; il terzo accresce 824; il quarto 640; <lb></lb>il quinto 396; il sesto 140. Per cavar dunque qualche re<lb></lb>gola dalle esperienze, era necessario il farle esattamente <lb></lb>a tutti i gradi della elevazione, in tutte le sorti de i pezzi, <lb></lb>con tutte le varietà delle polveri, e le diverse materie <lb></lb>delle palle, e forsi anco direi che era necessario che le <lb></lb>facesse ogni Bombardiere da se stesso. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Cose quasi impos<lb></lb>sibili a ridursi sotto regole, e cavarne certezza alcuna, se <lb></lb>la Teorica, e la Geometria non ce ne dava manifesta <lb></lb>scienza mediante quell'unica proposizione del Galileo, nella <lb></lb>quale primo di tutti egli ha avvertito, et insegnato a noi, <lb></lb>che i proietti camminano tutti per una linea parabolica. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Su questa supposizione fonderemo lo strumento promesso: <lb></lb>se poi per l'impedimento del mezzo le parabole venghino <lb></lb>troppo deformate, o per molti altri accidenti i tiri riescono <lb></lb>incostantissimi, ci basterà aver sodisfatto indubitatamente <lb></lb>alla scuola de Matematici, se non a quella de Bombardieri. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Noi avanti di porre la fabbrica della nostra squadra, <lb></lb>quale non consiste in altro che nel descrivere un solo se<lb></lb>micircolo, divideremo la squadra ordinaria in punti di<lb></lb>suguali, di maniera tale che misurino non le elevazioni <pb pagenum="221"></pb>del pezzo, ma le lunghezze de i tiri, che è quello di che <lb></lb>l'uso nostro ha bisogno. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Così averemo certezza che l'ar<lb></lb>tiglieria, se sarà alzata ad un punto di essa squadra, <lb></lb>tirerà alla lunghezza d'un tale spazio, qualunque si sia; <lb></lb>alzata poi a due punti raddoppierà precisamente tiro; se <lb></lb>a tre punti, tirerà tre di quei spazij; se a quattro e mezzo, <lb></lb>tirerà quattro e mezzo; se a cinque et un quarto, tirerà <lb></lb>cinque et un quarto; e così fino al sesto punto cresce<lb></lb>ranno sempre nello stesso modo, e con la stessa proporzione <lb></lb>i punti della squadra nello strumento, e gli spazij de i tiri <lb></lb>nella campagna, e dal sesto fino al duodecimo punto <lb></lb>anderanno nella stessa maniera decrescendo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">La costru<lb></lb>zione, e dimostrazione geometrica, cavandosi dalla propo<lb></lb>sizione da noi posta al numero XI de proietti, la quale <lb></lb>dalla data amplitudine insegna trovar l'elevazione. </foreign></s> <s>E serve <lb></lb>comunemente per qualsivoglia sorte d'artiglieria, e di <lb></lb>mortari; per qualunque spezie di palla, o di polvere. <lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Siano le gambe della <lb></lb> <arrow.to.target n="fig416"></arrow.to.target><lb></lb>squadra AB la maggio<lb></lb>re, et AC la minore: poi <lb></lb>fatto centro in A fac<lb></lb>ciasi il quadrante CDE <lb></lb>sopra il quale si hanno <lb></lb>a notare i punti disu<lb></lb>guali, et intorno al dia<lb></lb>metro AC facciasi il se<lb></lb>micircolo AFC e tirata <lb></lb>la FG perpendicolare <lb></lb>ad AB, e tangente al <lb></lb>semicircolo dividasi AG <lb></lb>in sei parti uguali per <lb></lb>avere i sei punti della <lb></lb>squadra, e poi ciascuna <lb></lb>parte in 12 per avere <lb></lb>i minuti (quando però <lb></lb>la grandezza dello stro<lb></lb>mento sarà capace di questa seconda divisione). Hora sia una <lb></lb>delle sei parti la GH. Alzasi la HMI parallela a GF la quale <lb></lb>seghi il semicircolo ne i punti MI. Tirisi poi dal centro A la <lb></lb>retta AFD, et il punto D sarà il sesto della squadra. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Tirisi <lb></lb>la AIL, et il punto L sarà il quinto della squadra; tirisi la <lb></lb>AMN, et il punto N sarà il settimo, e così di tutti gli altri. </foreign></s> <s>Avver<lb></lb>tasi però che l'operazione sarà più giusta, se dopo aver trovato i punti <pb pagenum="222"></pb>1, 2, 3, etc. </s> <s><foreign lang="it">formeremo con la trasportazione d'essi il nono, decimo, et <lb></lb>undecimo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">I mezzi punti, i quarti, et i minuti si troveranno nello stesso <lb></lb>modo, col dividere in mezzo, o in quattro parti, overo in dodici cia<lb></lb>scuna delle porzioni della linea AG con alzar le perpendicolari dalli <lb></lb>punti delle divisioni; segheranno dette perpendicolari il semicircolo, et <lb></lb>per i punti delle sezioni si tireranno i semidiametri nel quadrante, che <lb></lb>questi segherauno il quadrante ne i punti desiderati, de' mezzi punti, <lb></lb>de' quarti, o minuti.<gap desc="/SM"></gap></foreign></s> </p> <figure id="fig416"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Hora è manifesto per la Proposizione IX nostra, che <lb></lb>se la linea della direzione, o vogliam dire della elevazione <lb></lb>del pezzo sarà AO, overo AP; la amplitudine e lunghezza <lb></lb>del tiro sarà come la quadrupla di SO; e se la direzione <lb></lb>sarà AM, overo AN il tiro sarà come la quadrupla di RM: <lb></lb>e quando la elevazione fusse secondo la linea AFD, il <lb></lb>tiro sarà come la quadrupla di QF. Ma le linee SO, RM, <lb></lb>QF per la costruzione nostra egualmente si eccedono, e <lb></lb>però anco le loro quadruple, overo i tiri sopradetti egual<lb></lb>mente si eccederanno l'un l'altro. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Uso della predetta divisione, <lb></lb>fatta nella squadra ordinaria.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Siaci proposta qualunque artiglieria, o mortaro, e con <lb></lb>essa facciasi una sola esperienza; cioè sia elevata a qua<lb></lb>lunque punto, come per esempio al quinto. </s> <s><foreign lang="it">Sparisi, e si <lb></lb>misuri la lunghezza del tiro, e trovisi, verbigrazia, essere <lb></lb>2000 parti. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Fatto questo possiamo sapere quanto tirerà la <lb></lb>medesima artiglieria caricata nello stesso modo, et elevata <lb></lb>a qualsivoglia punto, o minuto, che sarà facile per la re<lb></lb>gola del tre, essendo in questo strumento tanto i punti <lb></lb>quanto la lunghezza de i tiri proporzionali. </foreign></s> <s>La pratica è <lb></lb>questa. </s> <s><foreign lang="it">Voglio sapere quanto tira il sesto punto. </foreign></s> <s>Fò così: <lb></lb>se 5 punti diedero 2000 passi quanto daranno 6 punti? </s><s>e <lb></lb>trovo 2400 passi. </s><s>Dico dunque che quella artiglieria al <lb></lb>sesto punto, cioè col massimo tiro, tirerà due mila e <lb></lb>quattrocento di quelle parti delle quali al 5° punto ne <lb></lb>tirava 2000. </s></p> <p type="main"> <s>Avvertasi però che in cambio di fare questa operazione <lb></lb>con i punti 7, 8, 9, 10, 11 et 12, si fa con i loro comple<lb></lb>menti, i quali sono 5, 4, 3, 2, 1 et 0. </s></p> <pb pagenum="223"></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ma se ci fusse comandato (et importa molto più) che <lb></lb>noi elevassimo il sudetto pezzo in tal modo, che la lun<lb></lb>ghezza del tiro dovesse riuscire per esempio passi 1300 <lb></lb>opereremo così. </foreign></s> <s>Se 2000 passi furono fatti da 5 punti, o <lb></lb>per dir meglio da 60 minuti di squadra, 1300 passi da <lb></lb>quanti minuti si faranno? </s> <s><foreign lang="it">ecco l'operazione 2000, 60, <lb></lb>1300? 39. E troveremo che per fare il tiro di lunghezza <lb></lb>di passi 1300 bisognerebbe dare all'artiglieria l'elevazione <lb></lb>di minuti trentanove di squadra, overo di punti tre et <lb></lb>un quarto. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Modo per fabbricare la squadra nostra.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ma se noi volessimo formare uno strumento, il quale <lb></lb>non solo misurasse la lunghezza de i tiri fatti a diverse <lb></lb>elevazioni, ma anco l'altezza della parabola, la durazione, <lb></lb>o tempo del viaggio, la sublimità, e l'altre cose dimostrate <lb></lb>nel precedente libro de proietti; tutto si farà col solo, e <lb></lb>semplice semicircolo della proposizione 9. Ma venghiamo <lb></lb>alla costruzione. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Prendasi la <lb></lb> <arrow.to.target n="fig417"></arrow.to.target><lb></lb>lamina rettan<lb></lb>gola ABCD di <lb></lb>ottone, o d'al<lb></lb>tra soda ma<lb></lb>teria la quale <lb></lb>habbia la gam<lb></lb>ba AE lunga <lb></lb>da poter mettersi in bocca del pezzo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Facciasi sopra il <lb></lb>diametro AB uno semicircolo AFB, che sarà il semicircolo <lb></lb>della proposizione 9 de proietti, et in B pongasi il filo con <lb></lb>il piombo, e dividasi il semircolo AFB in 90 parti eguali, <lb></lb>che saranno i punti, e minuti eguali della squadra ordina<lb></lb>ria. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Mostriamo ora geometricamente come questa squadra <lb></lb>sia atta a misurare con somma simplicità le lunghezze, <lb></lb>l'altezze de i tiri, il tempo delle durazioni, le sublimità <lb></lb>delle parabole, e le elevazioni de' pezzi. </foreign></s> <s>E poi porremo la <lb></lb>divisione delle linee in essa, senza aver bisogno di Tavola <lb></lb>alcuna per operar detta squadra. <pb pagenum="224"></pb><gap desc="SM"></gap></s></p> <figure id="fig417"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Pongasi, come nella seguente figura, la squadra sopradetta EABCD <lb></lb>in bocca di un pezzo EA qualunque si sia, e caschi il piombo su 'l <lb></lb>punto F del semicircolo AFB <lb></lb> <arrow.to.target n="fig418"></arrow.to.target><lb></lb>diviso in 90 parti eguali. È <lb></lb>certo primieramente, che l'arco <lb></lb>BF misura l'elevazione del <lb></lb>pezzo EA sopra l'orizonte, <lb></lb>imperoche havendo noi con la <lb></lb>divisione del semicircolo in <lb></lb>90 parti solamente valutato <lb></lb>ogni due gradi per un solo, <lb></lb>abbiamo fatto che l'arco BF <lb></lb>sia misura dell'angolo BAF, <lb></lb>cioè della elevazione del pezzo <lb></lb>sopra l'orizonte; quale orizonte <lb></lb>sarà sempre la linea AF. Dico <lb></lb>di più, che se noi fingeremo <lb></lb>che la linea AB diametro del <lb></lb>semicircolo sia l'impeto della <lb></lb>proposta artiglieria, overo la <lb></lb>metà del massimo tiro; la linea FH, perpendicolare al diametro, sarà <lb></lb>la quarta parte della amplitudine, o lunghezza del tiro; la BH sarà l'al<lb></lb>tezza suprema della parabola; la AH sarà la sublimità; la BF sarà <lb></lb>il tempo o durazione del tiro. </foreign></s> </p> <figure id="fig418"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Che tutto questo sia vero si dimostrerà così (accennando la Pro<lb></lb>posizione 9 de proietti, e le sue annesse). Prolunghisi la linea della <lb></lb>direzione ABI, e parimente il perpendicolo FBL indefinitamente. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Pren<lb></lb>dasi poi con l'immaginazione la BL di tanta lunghezza che sia eguale <lb></lb>realmente alla metà del massimo tiro della nostra proposta artiglieria: <lb></lb>et intorno al diametro BL facciasi col pensiero il gran semicircolo BIL <lb></lb>che seghi la BI in qualunque punto I; e tirisi la orizontale IM. È ma<lb></lb>nifesto, per la citata Proposizione 9 de proietti, che la linea MI sarà la <lb></lb>quarta parte reale della lunghezza del tiro: parimente che BM sarà <lb></lb>l'altezza, non finta, ma reale d'esso tiro; e così l'altre misure nel semi<lb></lb>circolo BIL saranno tutte vere, e reali. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Hora notisi che il triangolo <lb></lb>HBF, è simile al triangolo BMI, per essere ambidue rettangoli, e per <lb></lb>aver due angoli alla cima B. Adunque nelle medesime proporzioni sa<lb></lb>ranno tra di loro tutte le misure piccole, e finte della squadra AC, nelle <lb></lb>quali proporzioni sono tutte le misure vere nell'immaginato, e vasto <lb></lb>semicircolo BIL. Cioè, lo linee AB, BF, FH, HB, averanno fra di loro <lb></lb>le proporzioni medesime che hanno respettivamente, le LB, BI, IM, MB. <lb></lb>Però quanto all'argomentar nelle proporzioni, potremo senz'alcuno <lb></lb>errore servirci non meno delle finte su la squadra, che delle vere im<lb></lb>maginate nell'ampiezza dell'aria.<gap desc="/SM"></gap></foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Resta hora, che ponghiamo come questa dottrina, che <lb></lb>sin qui è stata mera speculazione, possa ridursi in pratica </s></p> <pb></pb> <p type="caption"> <s>Opere di Evangelista Torricelli Vol. </s><s>II Tav I.<lb></lb> <arrow.to.target n="fig419"></arrow.to.target> <pb pagenum="225"></pb>manovale, e con facilità. </s> <s><foreign lang="it">Ciascheduno vede che per aver <lb></lb>noi cognizione della quantità delle linee AB, BF, FB, HB, <lb></lb>e loro proporzioni nella precedente figura, sarebbe neces<lb></lb>sario, che tutte le predette linee fussero divise in parti <lb></lb>minutissime con qualche comune misura. </foreign></s> <s><foreign lang="it">A questo effetto <lb></lb>però divideremo in parti eguali, e minutissime il diametro <lb></lb>AB, et il semidiametro ED, come appare nella seguente <lb></lb>figura, dove dipinghiamo la squadra finita (V. Tav. </foreign></s> <s><foreign lang="it">I); e <lb></lb>poi daremo a ciascuna divisione della circonferenza le sue <lb></lb>guide parallele a detti diametri, acciò in essi si possa <lb></lb>leggere il numero, e la quantità delle linee, che saranno <lb></lb>indici della lunghezza, et altezza de tiri; e nel punto del<lb></lb>l'angolo del semicircolo B metteremo il filo col piombo. </foreign></s> </p> <figure id="fig419"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Quanto al numero delle particelle, nelle quali si doverà <lb></lb>dividere il diametro AB potrà essere in arbitrio di cia<lb></lb>scheduno; sarà però bene eleggere il numero 2000 perchè <lb></lb>faciliterà l'operazioni aritmetiche. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Deve ben notarsi, che se alcuno fabbricasse una squa<lb></lb>dra come si è detto, a posta per una spezie d'artiglierie <lb></lb>sola, averebbe senza una minima fatica di calcolo la mi<lb></lb>sura di tutti, i tiri di essa. </s><s>La divisione di questa tale <lb></lb>squadra doverebbe farsi a posteriori in questo modo. </s> <s><foreign lang="it">Fac<lb></lb>ciasi l'esperienza del massimo tiro di quella tale artiglieria, <lb></lb>per la quale vogliamo far la squadra a posta, e si trovi <lb></lb>essere verbigrazia passi 3000. Dividasi poi il diametro della <lb></lb>squadra in parti 1500 et il semidiametro perpendicolare <lb></lb>in parti 750 eguali; cioè fingasi, e suppongasi che il dia<lb></lb>metro AB 1500 sia la metà del massimo tiro 3000, pari<lb></lb>mente che il semidiametro perpendicolare CD 750 sia la <lb></lb>quarta parte del medesimo tiro massimo, e così data poi <lb></lb>qualunque altra elevazione, subito che mettercmo questa <lb></lb>squadra in bocca del suo pezzo, immediatamente vedremo <lb></lb>quanti passi sarà la lunghezza, e quanti l'altezza del tiro, <lb></lb>etc. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma però questa tale squadra fatta verbigrazia per un <lb></lb>cannone da 60 sarebbe anco buona per ogn'altro cannone <lb></lb>da 60 che fusse della medesima lunghezza, et altre pro<lb></lb>proporzioni come quello. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">E ben vero che volendo noi fare la squadra universale, <lb></lb>che serva indifferentente per tutte le spezie, e tutte le <pb pagenum="226"></pb>grandezze dell'artiglierie, faremo così. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Dividasi nella figura <lb></lb>precedente il diametro AB in parti 2000 eguali tra di loro. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Parimente si divida il semidiametro ED in parti 1000, e<lb></lb>guali fra di loro. (Noi per la piccolezza della figura ab<lb></lb>biamo diviso solo in 100 pigliando le parti a dieci a dieci). <lb></lb>Fatto questo si tirino dalle divisioni della circonferenza <lb></lb>segata in gradi eguali al solito, le guide parallele alli dia<lb></lb>metri; acciò si possa sopra essi diametri leggere la quan<lb></lb>tità delle linee rette, conforme occorrerà. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Siaci ora proposta un'artiglieria <lb></lb> <arrow.to.target n="fig420"></arrow.to.target><lb></lb>ignota FG. Facciasi la previa espe<lb></lb>rienza in questo modo. </s> <s><foreign lang="it">Pongasi in <lb></lb>bocca di essa la squadra, e caschi <lb></lb>il filo in qualunque luogo in I. Leg<lb></lb>gasi per via della sua guida la <lb></lb>quantità di IO su 'l semidiametro <lb></lb>diviso, e si tenga a memoria, e poi sparisi l'artiglieria, e <lb></lb>si misuri il tiro, che sia passi (per esempio) 1250. Carichisi <lb></lb>di nuovo l'artiglieria nello stesso modo, e s'inalzi diversa<lb></lb>mente tanto che il filo caschi altrove in M, si cerca la <lb></lb>lunghezza di questo tiro. </foreign></s> </p> <figure id="fig420"></figure> <p type="main"> <s>Facciasi così. </s> <s><foreign lang="it">Se il numero di IO dà la lunghezza di <lb></lb>1250 passi, il numero di ML, che si legge su 'l semidia<lb></lb>metro diviso, quanti passi darà? </foreign></s> <s><foreign lang="it">e troverai parimente la <lb></lb>lunghezza del tiro numerata in passi. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Chi volesse l'altezze, e non le lunghezze de' tiri, faccia <lb></lb>la stessa operazione come s'è detto, ma non con le linee <lb></lb>IO, ML che danno le lunghezze, ma si bene con le HO, <lb></lb>HL, le quali danno le altezze. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Se poi volessimo le subli<lb></lb>mità, bisognerebbe operare con le GO, GL. Ma quello che <lb></lb>importa più, se alcuno dopo fatta la previa esperienza, <lb></lb>volesse che quella medesima artiglieria facesse un tiro <lb></lb>propostoci, longo per esempio 2200 passi. </foreign></s> <s>Si cerca quanta <lb></lb>elevazione debba darsi al pezzo. </s><s>Operisi così. </s> <s><foreign lang="it">Se li passi <lb></lb>1250 della previa esperienza mi danno IO numerata, li <lb></lb>passi 2200 che mi daranno? </foreign></s> <s><foreign lang="it">e troverai un numero il quale <lb></lb>sia per esempio nella squadra ascritto alla linea ML. Si <lb></lb>doverà dunque alzar l'artiglieria tanto che il filo passi <lb></lb>per il punto M et allora il tiro riuscirà di passi 2200. </foreign></s> </p> <pb pagenum="227"></pb> <p type="main"> <s>I tempi overo durazioni de i tiri si danno da le linee <lb></lb>HI, HM e per aver la quantità di queste si può far in due <lb></lb>modi. </s> <s><foreign lang="it">Primo per via di calcolo, perchè il quadrato del <lb></lb>tempo HI (nella passata figura) è sempre eguale alli due <lb></lb>quadrati, dell'altezza HO, e della <lb></lb> <arrow.to.target n="fig421"></arrow.to.target><lb></lb>quarta parte della lunghezza IO. <lb></lb>Secondo, con fare a tutte le divi<lb></lb>sioni della periferia B, C, D, (nella <lb></lb>presente figura) dal centro A le <lb></lb>guide circolari BE, F, DH, che così <lb></lb>essendo la AH divisa già in parti <lb></lb>minutissime eguali, essa ci misurerà tutte le rette AB, AC, <lb></lb>AD che sono i tempi de' tiri. <lb></lb><gap desc="SM"></gap></foreign></s> </p> <figure id="fig421"></figure> <p type="main"> <s>Confessiamo però che quanto all'uso militare, solamente l'amplitu<lb></lb>dini, o lunghezze de i tiri pare che importino, e siano di molto mo<lb></lb>mento. </s><s>L'altre sono tutte curiosità accessorie le <lb></lb> <arrow.to.target n="fig422"></arrow.to.target><lb></lb>quali servono molto più per gusto di Geometria, <lb></lb>che per utile di guerra. </s> <s><foreign lang="it">Però chi volesse la <lb></lb>squadra solo per questo rispetto delle lunghezze; <lb></lb>io prenderei il semicircolo ABC di ottone (come <lb></lb>nella presente figura) il quale havesse la gamba <lb></lb>AD, e col semidiametro EB diviso im parti mi<lb></lb>nutissime et eguali facendo, il principio della <lb></lb>numerazione dal punto E. Di più darei à tutti <lb></lb>i punti della periferia F, G, H, I, le loro guide <lb></lb>GH, FI parallele alla AC, e così s'haverebbero <lb></lb>sopra la EB divise, e numerate tutte le FN, GO, le quali servono per <lb></lb>le amplitudini, o lunghezze de tiri.<gap desc="/SM"></gap></foreign></s> </p> <pb pagenum="228"></pb> <figure id="fig422"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="italics"></emph>Tavola la quale mostra quanti gradi e minuti del quadrante <lb></lb>ordinario contenga ciaschedun punto della nostra squa<lb></lb>dra, che hà i punti disuguali, posta a car. 221.<emph.end type="italics"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Per esempio si cer<lb></lb>ca dove caschi la di<lb></lb>visione del settimo <lb></lb>punto nostro disugua<lb></lb>le. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Guardo la presente <lb></lb>Tavola, dirimpetto al <lb></lb>numero VII e trovo <lb></lb>che casca sopra il <lb></lb>grado 61 e 47 minuti <lb></lb>del quadrante ordi<lb></lb>nario. <lb></lb> <lb></lb><gap desc="SM"></gap></foreign></s> </p> <table> <row><cell>Punti della squadra disuguali</cell><cell>mezzo</cell><cell>2.</cell><cell>23</cell><cell>mezzo</cell><cell>56.</cell><cell>46</cell><cell>Gradi del Quadrante ordinario.</cell></row> <row><cell>I</cell><cell>4.</cell><cell>48</cell><cell>VII</cell><cell>61.</cell><cell>47</cell></row> <row><cell>mezzo</cell><cell>7.</cell><cell>15</cell><cell>mezzo</cell><cell>65.</cell><cell>42</cell></row> <row><cell>II</cell><cell>9.</cell><cell>44</cell><cell>VIII</cell><cell>69.</cell><cell>6</cell></row> <row><cell>mezzo</cell><cell>12.</cell><cell>19</cell><cell>mezzo</cell><cell>72.</cell><cell>10</cell></row> <row><cell>III</cell><cell>15.</cell><cell>0</cell><cell>IX</cell><cell>75.</cell><cell></cell></row> <row><cell>mezzo</cell><cell>17.</cell><cell>50</cell><cell>mezzo</cell><cell>77.</cell><cell>41</cell></row> <row><cell>IV</cell><cell>10.</cell><cell>54</cell><cell>X</cell><cell>80.</cell><cell>16</cell></row> <row><cell>mezzo</cell><cell>24.</cell><cell>18</cell><cell>mezzo</cell><cell>82.</cell><cell>45</cell></row> <row><cell>V</cell><cell>28.</cell><cell>13</cell><cell>XI</cell><cell>75.</cell><cell>12</cell></row> <row><cell>mezzo</cell><cell>33.</cell><cell>14</cell><cell>mezzo</cell><cell>87.</cell><cell>37</cell></row> <row><cell>VI</cell><cell>5.</cell><cell>0</cell><cell>XII</cell><cell>90.</cell><cell></cell></row></table> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ma già che siamo entrati a considerare il moto, e l'impeto de' pro<lb></lb>ietti, non si può sfuggir l'occasione di soggiungere qualche cosa <lb></lb>circa la varietà delle forze loro, nel battere sopra le superficie resi<lb></lb>stenti, ora con maggiore, ora con minor angolo d'inclinazione. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Il Ga<lb></lb>lileo contempla l'impeto d'essi proietti in ogni punto della loro para<lb></lb>bola, e lo misura solamente quanto è in se medesimo, cioè rispetto <lb></lb>a quel piano, in cui perpendicolarmente egli percuotesse. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Noi supponendo che un'impeto mentre arriva a percuotere, quanto <lb></lb>a se sia sempre l'istesso, lo considereremo, e misuremo quanto egli sia <lb></lb>rispetto al piano resistente, variato, solamente dalla diversità de gl'an<lb></lb>goli dell'incidenza. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Non è Bombardiero tanto inesperto, il quale non <lb></lb>sappia, che le palle dell'artiglierie, mentre percuotono in un muro, <lb></lb>hanno sempre minore, e minor forza, (data ogn'altra parità) quanto <lb></lb>l'angolo dell'incidenza sarà più e più acuto. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Si che, quel cannone con <lb></lb>sessanta libbre di ferro, e quaranta di polvere, non solo sfonda ma <lb></lb>ancora sconquassa con il tiro perpendicolare una cortina; appena poi <lb></lb>la offenderà, benchè abbia la medesima carica, e la medesima di<lb></lb>stanza, con proiezzione del tiro, ch'essi chiamano <emph type="italics"></emph>di striscio.<emph.end type="italics"></emph.end> Il Pro<lb></lb>blema, per quanto io sappia, è intatto. </foreign></s> <s>Però se si produrrà qualche <lb></lb>cosa meno sufficiente, e non pura geometrica, o si compatisca fin <lb></lb>che altri tratti meglio la dottrina, o si rifiuti affatto, che poco im<lb></lb>porta.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <pb pagenum="229"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Supposizioni.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">1. Parleremo solamente per i tiri dell'artiglierie: però <lb></lb>supponiamo, che quella porzione della linea, che fa la palla <lb></lb>poco prima e poco dopo al colpire, sia come linea retta. </foreign></s> <s><lb></lb>Sò che si tratta di linea veramente curva; ma avendo <lb></lb>questa (se fusse intera) la sua lunghezza di più di tre mila <lb></lb>passi geometrici, si potrà bene considerarne un braccio, <lb></lb>overo un palmo solo overo un dito senza errore sensi<lb></lb>bile, per linea retta. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">2. Supponiamo secondariamente che le forze, overo <lb></lb>impeti de proietti siano come sono i spazij, che nello <lb></lb> <arrow.to.target n="marg513"></arrow.to.target><lb></lb>stesso tempo si scorrono; cioè se gli spazij A, B, C, saranno <lb></lb>scorsi dal mobile nel medesimo tempo, <lb></lb> <arrow.to.target n="fig423"></arrow.to.target><lb></lb>gl' impeti o forze nel colpire saranno <lb></lb>come gli spazij A, B, C, respettiva<lb></lb>mente. </foreign></s> </p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg513"></margin.target>Galil. 2. de <lb></lb>motu aequa<lb></lb>bili.</s></p> <figure id="fig423"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">3. Ma se il medesimo spazio verrà <lb></lb>scorso dal mobile in diversi tempi, gl'im<lb></lb>peti o forze del mobile in percuotere <lb></lb>averanno la proporzione reciproca de i <lb></lb> <arrow.to.target n="marg514"></arrow.to.target><lb></lb>tempi, cioè se il medesimo spazio D sarà <lb></lb>scorso una volta nel tempo E, et un'altra nel tempo F la <lb></lb>forza della prima sarà come F, e della seconda come E. </foreign></s> </p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg514"></margin.target>Galil. 3. de <lb></lb>motu aequa<lb></lb>bili.</s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">4. Supponiamo poi che tutti i tiri abbino, quanto a <lb></lb>se stessi, sempre il medesimo impeto, il che seguirebbe <lb></lb>quando stando ferma l'artiglieria sempre nel medesimo <lb></lb>luogo, con la medesima carica, medesima elevazione, e <lb></lb>distanza etc. </foreign></s> <s><foreign lang="it">solo si variasse l'obliquità del muro. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Supposto questo: mentre una palla di cannone si av<lb></lb>vicina al muro opposto, la linea, e dirittura <lb></lb> <arrow.to.target n="fig424"></arrow.to.target><lb></lb>del tiro, o è perpendicolare al muro, o no. </s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Se è perpendicolare, la percossa opera con <lb></lb>una tal forza (che proveremo esser la mas<lb></lb>sima che possa aver quel tiro). Se sarà ad <lb></lb>angoli obliqui, come la linea AB alla parete <lb></lb>BC. Io noto che rispetto alla parete BC <lb></lb>sono nella linea AB del proietto due moti insieme com- <pb pagenum="230"></pb>posti: uno cioè, di avvicinamento perpendicolare alla pa<lb></lb>rete, l'altro di passaggio laterale, o parallelo alla stessa. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Il perpendicolare ci viene, e mostrato, e misurato dalla <lb></lb>linea AC, il parallello dalla linea CB; poiche nel medesimo <lb></lb>tempo vengono passati dalla palla ambi gli spazij AC, CB. </foreign></s> </p> <figure id="fig424"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Hora osserviamo che di queste due sorti d' impeto, una <lb></lb>sola è a proposito, per accrescer le forze rispetto a rom<lb></lb>pere il muro, et internar la palla in esso, cioè l'impeto <lb></lb>della lazione perpendicolare AC. L'altro, ancor che fusse <lb></lb>infinito, non accrescerà mai la forza del proietto contro <lb></lb>alla resistenza del muro, se però non gli accellerasse <lb></lb>anco la lazione perpendicolare. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Anzi se fusse l'orizon<lb></lb>tale semplice, e solo, senza mistura alcuna del perpen<lb></lb>dicolare, che altro farebbe la palla, se non correre equi<lb></lb>distante dal muro, senza mai toccarlo, non che romperlo, <lb></lb>se bene fusse un sottilissimo vetro? </foreign></s> <s><foreign lang="it">Quando dunque data <lb></lb>la dirittura di qualsivoglia proiezione, noi sapremo quanto <lb></lb>di questo impeto perpendicolare entra nella composizione <lb></lb>del moto, sapremo anco l'attività, o momento del proietto <lb></lb>verso la resistenza della muraglia contraposta. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Sia la linea di qualsivoglia <lb></lb> <arrow.to.target n="fig425"></arrow.to.target><lb></lb>incidenza AB sopra il piano BF, <lb></lb>presa con qualunque inclinazio<lb></lb>ne, ma però sia la porzione AB <lb></lb>tanto piccola che possa conside<lb></lb>rarsi per retta. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Tirisi perpendico<lb></lb>lare al piano la AC, e si congiunga <lb></lb>CB. Tanto dunque di moto paral<lb></lb>lelo sarà nella linea AB rispetto <lb></lb>alla parete BF, quanta è la linea CB. Ma di questo non <lb></lb>facciamo stima, perchè moltiplicato non aiuta, e diminuito <lb></lb>non debilita il momento, mentre l'altro impeto non alterato <lb></lb>resti il medesimo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Di perpendicolare poi nella stessa, sarà <lb></lb>quanto la linea AC e la forza del colpo sarà maggiore, e <lb></lb>minore, secondo che nello stesso tempo sarà scorsa la <lb></lb>AC maggiore o minore. </foreign></s> </p> <figure id="fig425"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Supponiamo hora che la forza della incidenza AB sia <lb></lb>come AC. Per saper la forza di qualunque altra inci<lb></lb>denza DB, prendasi DB eguale a BA, e tirata la DE per- <pb pagenum="231"></pb>pendicolare al piano sarà la forza di questa incidenza <lb></lb>come l'istessa linea DE. Poichè se AB, DB sono eguali, <lb></lb>e sono i tiri dell'istesso cannone, saranno scorse nel <lb></lb> <arrow.to.target n="marg515"></arrow.to.target><lb></lb>medesimo tempo. </foreign></s> <s>Adunque anco le AC, DE sono fatte <lb></lb>nell'istesso tempo; però gl'impeti rispetto al muro sono <lb></lb>come AC, DE. <lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg515"></margin.target>Per la 2. sup<lb></lb>posizione.</s></p> <p type="main"> <s>Inferiremo dunque che le attività, o momenti de i tiri diversa<lb></lb>mente inclinati sono come i seni retti degli angoli delle incidenze.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Si cava di quì per Corollario che la incidenza per<lb></lb>pendicolare AB hà maggior forza di tutte le altre, es<lb></lb>sendo la forza di essa come il seno totale. </foreign></s> <s>E la proie<lb></lb>zione parallela non ne hà niente, essendo la forza sua come <lb></lb>seno nullo. </s> <s><foreign lang="it">L'incidenza DB ad angolo di 30 gradi ha la <lb></lb>metà della forza totale, essendo il seno suo la metà del <lb></lb>semidiametro. </foreign></s> <s>Le altre poi, conformc averanno maggiore <lb></lb>o minor seno retto, averanno maggiore, o minor forza. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Le forze delle proiezioni hanno reciprocamente la me<lb></lb>desima proporzione, che hanno i lati del triangolo, che <lb></lb>sul piano vien formato dalle linee dell'incidenze. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Sia una proiezione fatta per la linea <lb></lb> <arrow.to.target n="fig426"></arrow.to.target><lb></lb>AC; l'altra per la linea AB. E sia il piano <lb></lb>del triangolo ABC perpendicolare al muro. </foreign></s> </p> <figure id="fig426"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Perchè dunque lo spazio AC si corre <lb></lb>dalla palla nel tempo AC; e lo spazio AB <lb></lb> <arrow.to.target n="marg516"></arrow.to.target><lb></lb>cioè (levato il moto parallelo) lo stesso <lb></lb>spazio AC si corre nel tempo AB, saranno <lb></lb>le forze reciproche de i tempi. </foreign></s> <s>Cioè la <lb></lb>forza per AC sarà come AB e per AB sarà come AC. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg516"></margin.target>Per la 3. sup<lb></lb>posizione.</s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Allora i proietti averanno la stessa forza nel percuo<lb></lb>tere, quando gl'impeti saranno come le secanti de gli <lb></lb>angoli del complemento delle incidenze. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Sia l'impeto per la perpendicolare <lb></lb> <arrow.to.target n="fig427"></arrow.to.target><lb></lb>AB come AB et abbia una tal forza; <lb></lb>acciò l'impeto per l'inclinata AC ab<lb></lb>bia la medesima forza, dico che l'im<lb></lb>peto per AC all'impeto per AB deve <lb></lb>essere come AC alla AB; la quale AC <lb></lb>è secante dell'angolo BAC complemento dell'inclinazione. </s></p> <pb pagenum="232"></pb> <figure id="fig427"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Poichè se saranno gl'impeti per AB, et AC, come sono <lb></lb>gli spazij AB, et AC, i mobili scorreranno nel medesimo <lb></lb>tempo le due linee AB, AC, cioè lo stesso avvicinamento <lb></lb> <arrow.to.target n="marg517"></arrow.to.target><lb></lb>perpendicolare AB. Dunque averanno la medesima forza <lb></lb>contro al muro. </foreign></s> </p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg517"></margin.target>Per la 2. sup<lb></lb>posizione.</s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Di più se col tale cannone, e per <lb></lb> <arrow.to.target n="fig428"></arrow.to.target><lb></lb>la linea CB la palla s'internasse tutta <lb></lb>per l'appunto nel muro; adunque per <lb></lb>tutte le linee elevate non solo s'im<lb></lb>mergerà tutta nella solidità, ma farà <lb></lb>sempre maggior passata, perchè ha <lb></lb>maggior forza. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma delle meno elevate, <lb></lb>perchè ciascuna averà minor forza <lb></lb>niuna entrerà totalmente nella parete, ma alcune anco <lb></lb>risalteranno, e sfuggiranno dall'altra parte. <lb></lb><gap desc="SM"></gap></foreign></s> </p> <figure id="fig428"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Sia però detto tutto questo astraendo da un certo effetto di pie<lb></lb>gamento, o refrazzione che fanno i proietti nel passar con incli<lb></lb>nazione dal mezzo raro al mezzo più denso, incurvandosi la linea al <lb></lb>contrario della refrazzione della luce, e spezie visibili.<gap desc="/SM"></gap></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>FINE DE' LIBRI DEL MOTO.<emph.end type="center"></emph.end></foreign></s> </p> <pb></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>DE MOTU AC MOMENTIS VARIA.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <pb></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>AVVERTIMENTO.<emph.end type="center"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Oltre al libro <emph type="italics"></emph>De Motu Gravium<emph.end type="italics"></emph.end> qui pubblicato, alle questioni di meccanica illu<lb></lb>strate nelle Lezioni Accademiche e ad altre di cui si ha notizia nel Carteggio <lb></lb>Scientifico, rimangono di E. Torricelli fra i manoscritti autografi che si conservano <lb></lb>nella Biblioteca Nazionale di Firenze (Collez. </foreign></s> <s>Galileiana, Div. </s> <s><foreign lang="it">IV.) le proposizioni <lb></lb>che vengono pubblicate nel seguito. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Di esse le prop. 1 e II, il lemma che segue e le <lb></lb>prop. </foreign></s> <s>III e IV sono a carte 8 <emph type="italics"></emph>v<emph.end type="italics"></emph.end> e 9 <emph type="italics"></emph>r,<emph.end type="italics"></emph.end> e la prop. </s> <s><foreign lang="it">XII a carta 14 <emph type="italics"></emph>r<emph.end type="italics"></emph.end> del Tomo XXIX; <lb></lb>la I con l'indicazione “ <emph type="italics"></emph>pro libello de motu<emph.end type="italics"></emph.end> ”, il lemma con la denominazione “ <emph type="italics"></emph>lem<lb></lb>ma de motu<emph.end type="italics"></emph.end> ” e la prop. </foreign></s> <s>XII con la nota “ <emph type="italics"></emph>per le cose dè momenti<emph.end type="italics"></emph.end> ”. </s> <s><foreign lang="it">Le rimanenti <lb></lb>sono raccolte nel Tomo XXXVII, c. 62-79, salvo la dimostrazione della prop. </foreign></s> <s><foreign lang="it">XVI, <lb></lb>qui pubblicata in carattere più piccolo, la quale trovasi in copia a carte 124 <emph type="italics"></emph>r<emph.end type="italics"></emph.end> e <emph type="italics"></emph>v<emph.end type="italics"></emph.end><lb></lb>e 125 <emph type="italics"></emph>r<emph.end type="italics"></emph.end> e <emph type="italics"></emph>v<emph.end type="italics"></emph.end> dello stesso Tomo XXXVII con la seguente annotazione premessa: <emph type="italics"></emph>Fra <lb></lb>i manoscritti del Celeberrimo Geometra E. Torricelli tuttavia esistenti nell'Archivio pri<lb></lb>vato di S. A. R. si legge la risoluzione del seguente Problema Meccanico.<emph.end type="italics"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Nel pubblicare questa dimostrazione vi abbiamo corretto qualche evidente erro<lb></lb>re di trascrizione e vi abbiamo costruita la figura della quale era mancante. </foreign></s> <s><foreign lang="it">In essa <lb></lb>poi si cita un <emph type="italics"></emph>lemma precedente<emph.end type="italics"></emph.end> del quale nè ivi nè altrove abbiamo trovate le <lb></lb>traccie. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Vincenzo Viviani preparó una copia per la stampa in uniforme lingua latina <lb></lb>di tutte le dette proposizioni all'infuori della citata ed importante dimostrazione <lb></lb>della prop. </foreign></s> <s><foreign lang="it">XVI, la quale probabilmente non gli fu nota, la corredò di note ed <lb></lb>aggiunte e vi propose il titolo: <emph type="italics"></emph>De motu ac Momentis Varia.<emph.end type="italics"></emph.end> Detta copia trovasi le<lb></lb>gata nello stesso Tomo XXXVII dei Mss. </foreign></s> <s>Galileiani Div. </s><s>IV. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Conservando il titolo <emph type="italics"></emph>De Motu ac Momentis Varia<emph.end type="italics"></emph.end> proposto dal Viviani e conforme <lb></lb>alle accennate postille dell'autore, pubblichiamo le medesimo scritture secondo gli <lb></lb>originali autografi, nell'ordine nel quale abbiamo ritenuto che fossero scritte e appo<lb></lb>nendovi una progressiva numerazione. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>GIUSEPPE VASSURA. </s></p> <pb></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>DE MOTU AC MOMENTIS VARIA<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO I.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Pro libello de motu.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Ergo gravia tunc habebunt aequalia momenta quando <lb></lb>ipsa fuerint ut secantes complemen<lb></lb> <arrow.to.target n="fig429"></arrow.to.target><lb></lb>torum anguli inclinationis. </s></p> <figure id="fig429"></figure> <p type="main"> <s>Posito enim sinu toto AB, erunt <lb></lb>AC, AD dictae secantes. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO II.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Quando vero gravia aequalia fuerint, erunt momenta <lb></lb>ut sinus angulorum eleva<lb></lb> <arrow.to.target n="fig430"></arrow.to.target><lb></lb>tionis. </s></p> <figure id="fig430"></figure> <p type="main"> <s><emph type="italics"></emph>Nota che mi è, ma la prova <lb></lb>è più bella così:<emph.end type="italics"></emph.end> Nam cum erint <lb></lb>momenta ut ED, FD, erunt <lb></lb>sinus angulorum DAC, DBC. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma de motu.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>In semicirculis, ut vides in figura paral<lb></lb> <arrow.to.target n="fig431"></arrow.to.target><lb></lb>lelae BC, FD aequales sunt. </s></p> <figure id="fig431"></figure> <p type="main"> <s>Mam junctis CD, ED una cadem recta <lb></lb>erunt; alias vero continuata ED faceret augu<lb></lb>lum rectum extra C. Absurdum etc.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <pb pagenum="236"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO III.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si duo circuli se in infimo puncto <lb></lb> <arrow.to.target n="fig432"></arrow.to.target><lb></lb>tangunt, erunt tempora per AI, EF <lb></lb>aequalia. </s></p> <figure id="fig432"></figure> <p type="main"> <s>Item cum tota tempora aequalia <lb></lb>erint, et ablata ablatis, erunt reliqua <lb></lb>IB, FB (etiam non erint ex quiete) <lb></lb>aequalia. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO IV.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si duo circuli se exterius tangunt <lb></lb> <arrow.to.target n="fig433"></arrow.to.target><lb></lb>in puncto sublimiori et infimo, erunt <lb></lb>tempora per AB, CD aequalia. </s></p> <figure id="fig433"></figure> <p type="main"> <s>Ducta enim BE, erunt FE, ID <lb></lb>aequales, et CI, BF aequales. </s><s>Ergo <lb></lb>et de residuis idem. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO V.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Momentum totale ad momentum <lb></lb> <arrow.to.target n="fig434"></arrow.to.target><lb></lb>in hoc situ est ut tota sphaerae su<lb></lb>perficies ad zonam, quam subtendit <lb></lb>AB, si sphaera volvatur circa EF. </s></p> <figure id="fig434"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO VI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si latus exagoni erit AC, erit velocitas, sive momen<lb></lb>tum in AB duplum momenti <lb></lb> <arrow.to.target n="fig435"></arrow.to.target><lb></lb>in AC, quia eodem tempore <lb></lb>spatium duplum peragit. </s></p> <figure id="fig435"></figure> <p type="main"> <s>Ergo si angulus A fuerit <lb></lb>angulus trianguli aequilateri, <lb></lb>erit momentum in AC duplum <lb></lb>momenti per AB. </s></p> <p type="main"> <s>Et si fuerit AB dupla ipsius AC, erit angulus A angu<lb></lb>lus trianguli aequilateri. </s></p> <pb pagenum="237"></pb> <p type="main"> <s>Producatur CD aequalis ipsi CA, et erunt aequalia <lb></lb>latera BA, AD, et etiam BD aequatur ipsi BA. Ergo etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO VII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si AB, BC duo plana fuerint inaequaliter inclinata, <lb></lb>sintque in planis duo gravia quacunque D, F, dico mo<lb></lb>mentum D ad momentum F compositam rationem habere <lb></lb>ex ratione ponderis D ad pondus E omologè, et ex ratione <lb></lb>longitudinis CB ad BA reciprocè. </s></p> <p type="main"> <s>Ponatur enim grave E ae<lb></lb> <arrow.to.target n="fig436"></arrow.to.target><lb></lb>quale ipsi D in altero plano BC, <lb></lb>et erit per prop. 2<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> libelli nostri <lb></lb><emph type="italics"></emph>de Motu<emph.end type="italics"></emph.end> momentum D ad mo<lb></lb>mentum E ut CB ad BA, et <lb></lb>momentum F ad momentum E <lb></lb>est ut pondus F ad pondus E. Ergo momentum D ad <lb></lb>momentum F compositam rationem habet ex ratione CB <lb></lb>ad BA, et ex ratione ponderis D ad E. </s></p> <figure id="fig436"></figure> <p type="main"> <s>Sed quia CB ad BA est ut sinus anguli A ad sinum an<lb></lb>guli B, dicemus etiam rationem momenti D ad momentum <lb></lb>E componi ex ratione sinus elevationis plani AB ad sinum <lb></lb>elevationis plani CB et ex ratione ponderis D ad pondus E. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO VIII.<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Per momento qui intendiamo la proporzione che ha l'attività o <lb></lb>forza del peso attaccato verso la resistenza dell'asta.<gap desc="/SM"></gap></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Galileo mostra che preso il punto A nel mezzo ed il <lb></lb>B non nel mezzo, la resistenza in A alla resistenza in B <lb></lb>sia come reciprocamente il rettangolo CBD al rettangolo <lb></lb>CAD e stante questo: </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Dico che il momento in B al momento in A ha la <lb></lb>proporzione che ha la resi<lb></lb> <arrow.to.target n="fig437"></arrow.to.target><lb></lb>stenza in A alla resistenza in <lb></lb>B, (ovvero che ha il rettan<lb></lb>golo CBD al rettangolo CAD). </foreign></s> </p> <figure id="fig437"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Sia attaccato in A il peso <lb></lb>F, e sia tale che basti per romper l'asta, cioè sia eguale <pb pagenum="238"></pb>alla resistenza che essa ha in A. Sia poi un altro peso H <lb></lb>eguale all'F, ma attaccato in B. Dico che il momento del <lb></lb>peso F al momento di H stà come il rettangolo CAD <lb></lb>al rettangolo CBD. Intendasi il peso E tale che sia eguale <lb></lb>alla resistenza dell'asta in B. Avranno adunque li pesi E <lb></lb>ed F nei siti loro egual momento o virtù verso l'asta. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ora perchè E ed H sono nell'istesso sito sarà il mo<lb></lb>mento E al momento H come la mole E alla mole H, <lb></lb>cioè la mole E alla mole F, cioè la resistenza di B alla <lb></lb>resistenza di A, cioè il rettangolo (p. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Galileo) CAD al <lb></lb>rettangolo CBD. È dunque vero che il momento E, cioè <lb></lb>il momento F eguale, ha la medesima proporzione al mo<lb></lb>mento H che ha il rettangolo CAD al rettangolo CBD. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Prendansi ora due altri pesi <lb></lb> <arrow.to.target n="fig438"></arrow.to.target><lb></lb>uguali fra loro I ed L, e si <lb></lb>attacchino da i punti A e B. È <lb></lb>chiaro che il momento F al <lb></lb>momento I, per esser nel me<lb></lb>desimo sito sta come la mole alla mole anco il momento <lb></lb>F al momento H. Adunque permutando come il momento <lb></lb>F al momento H così il momento I al momento L. </foreign></s> </p> <figure id="fig438"></figure> <p type="main"> <s>Vel sic melius; Momentum I ad momentum F est ut <lb></lb>moles ad molem. Momentum L ad momentum H ut mo<lb></lb>les ad molem. Ergo permutando momentum I ad momen<lb></lb>tum L, ut momentum F ad momentum H nempe ut re<lb></lb>ctangulum CAD ad rectangulum CBD. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO IX.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Se due pesi di diversa gravità in ispecie <lb></lb> <arrow.to.target n="fig439"></arrow.to.target><lb></lb>ma di mole eguali saranno posti in distanze <lb></lb>disuguali dal centro, il momento del primo <lb></lb>al momento del secondo avrà la proporzione <lb></lb>composta della proporzione che ha la gravità <lb></lb>in ispecie del primo alla gravità in ispecie <lb></lb>del secondo e della proporzione che ha la <lb></lb>distanza del primo alla distanza del secondo <lb></lb>dal centro. </foreign></s> </p> <figure id="fig439"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Sieno due pesi L ed O dal centro C a <pb pagenum="239"></pb>distanze disuguali CL e CO. Facciasi come la gravità in <lb></lb>ispecie del primo alla gravità in ispecie del secondo cosi <lb></lb>la linea A alla linea B; e come la distanza del primo alla <lb></lb>distanza del secondo così la linea B alla D. Dico che il <lb></lb>momento di O al momento di L è come la linea A alla D. <lb></lb>Abbia LE la mole e la gravità in ispecie come L, ma la <lb></lb>distanza come O. Sarà il momento di O al momento di <lb></lb>LE come A a B, ma il momento di LE al momento di L sta <lb></lb>come la distanza di LE alla distanza di L, cioè come B a D. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ergo ex aequali il momento di O al momento di L <lb></lb>sta come A a D. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO X.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Se saranno due solidi A, B di gravità diversa in ispecie <lb></lb>e di mole disuguale, posti in distanze disuguali del centro <lb></lb>C, e si farà come la gravità in specie del primo alla gra<lb></lb>vità in specie del secondo così la linea D <lb></lb> <arrow.to.target n="fig440"></arrow.to.target><lb></lb>alla linea E, e come la mole del primo alla <lb></lb>mole del secondo così E ad F, e come la <lb></lb>distanza del primo alla distanza del secondo <lb></lb>così E a G, avrà il momento del primo al <lb></lb>momento del secondo la proporzione che ha <lb></lb>la D alla G. </foreign></s> </p> <figure id="fig440"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Pongasi H in distanza e in gravità in <lb></lb>ispecie come B ma in mole come A. Il <lb></lb>momento di A al momento di H è come D <lb></lb>ad F per l'antecedente, il momento di H al <lb></lb>momento di B è come F a G per costru<lb></lb>zione, adunque ex aequo come il momento <lb></lb>di A al momento di B così la D alla G. Quod erat etc. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Quodlibet pondus a qualibet potentia moveri. </s></p> <p type="main"> <s>Vel nullum pondus pendens tam magnum esse ut ab <lb></lb>omni minima potentia non moveatur. </s></p> <p type="main"> <s>Sit pondus A suspensum filo BA, intelligaturque pon<lb></lb>dus esse ut ipsa BA. </s></p> <pb pagenum="240"></pb> <p type="main"> <s>Detur jam potentia BC et ducatur <lb></lb> <arrow.to.target n="fig441"></arrow.to.target><lb></lb>perpendiculum CD, dico pondus A data <lb></lb>potentia moveri usque in D. Ducatur <lb></lb>tangens FDE; horizzontalis FH ubi<lb></lb>cumque et perpendicularis EH ubicum<lb></lb>que. </s><s>Eritque ut BD ad BC ita FE ad <lb></lb>EH, nempe ut pondus ad potentiam ita <lb></lb>FE ad EH. Ergo pondus sustinetur a <lb></lb>potentia in D puncto plani, quare etiam <lb></lb>in D puncto quadrantis, et propterea in quolibet puncto <lb></lb>arcus AD movetur. </s></p> <figure id="fig441"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Per le cose de' momenti.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Qualsivoglia gran peso da qualunque piecola forza può <lb></lb>essere tirato su per un piano elevato comunque. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Sia nel dato piano l'orizzontale <lb></lb> <arrow.to.target n="fig442"></arrow.to.target><lb></lb>AB e ad essa la perpendicolare <lb></lb>CE, e sia in E il peso dato, quale <lb></lb>pongasi essere come EC, e la data <lb></lb>forza sia come FH (minore di CD <lb></lb>perchè se fusse come CD move<lb></lb>rebbe il peso per tutte le linee del piano dato). Facciasi <lb></lb>dal centro E con l'intervallo EC il semicircolo ACB nel <lb></lb>piano e si tiri l'orizzontale FI, e per la linea EI si potrà <lb></lb>tirare il peso dalla forza FH ovvero IL, poichè se il peso <lb></lb>è come EC, ovvero EI, sarà in EI come IL, però la forza <lb></lb>IL lo agguaglierà Quod etc. </foreign></s> </p> <figure id="fig442"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Di qui si cava che le strade più oblique dei monti <lb></lb>sono tanto più agevoli quanto la IL è minore della CD, <lb></lb>ovvero la IM della CE, essendo simili CED, IML. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Però quando l'angolo IEB sarà gradi 30 allora la sa<lb></lb>lita per EI sarà la metà più agevole che per EC, essendo <lb></lb>il seno IM di gradi 30 la metà del sino toto EC; ovvero <lb></lb>inferisci che la fatica delle salite sarà come i seni degli <lb></lb>angoli che farà la strada con l'orizzontale. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>I pesi dei corpi nostri o delle cose che porteremo sa- <pb pagenum="241"></pb>ranno per le strade EC, EI come CD, IL ovvero come <lb></lb>CE, IM che sono i sini sudetti. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XIII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si plana AB, BC fuerint utcumque inclinata, et gravia <lb></lb>A, C aequalia, aequaliterque a puncto B remota, erit AC <lb></lb>via centri gravitatis. </s></p> <p type="main"> <s>Venerint enim in D et E, <lb></lb> <arrow.to.target n="fig443"></arrow.to.target><lb></lb>et erunt aequales AD, CE. <lb></lb>Dico centrum esse F. </s></p> <figure id="fig443"></figure> <p type="main"> <s>Agatur EH parallela ipsi <lb></lb>BD, erit ut CB ad BA ita <lb></lb>CE ed EH vel DA ad EH; <lb></lb>sed cum CB et BA sint ae<lb></lb>quales, erunt DA, EH aequales, sed sunt parallelae quare <lb></lb>EF, FD aequales erunt. </s></p> <p type="main"> <s>Quando vero gravia non sint aequalia aptentur gravia <lb></lb>ita ut sit ut grave A ad grave C ita AB ad BC, et erit <lb></lb>iterum AC via centri, etc. </s><s>Moveantur usque in D ed E, <lb></lb>eruntque DA, CE aequales. </s><s>At grave A ad grave C est <lb></lb>ut AB ad BC, vel HE ad EC, vel HE ad AD, vel FE ad <lb></lb>FD reciprocè; est ergo F centrum, etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Si angulus ABC sectus bifariam, sit a <lb></lb> <arrow.to.target n="fig444"></arrow.to.target><lb></lb>linea BD, ductaque sit quaelibet AC, et <lb></lb>sumatur AE aequalis ipsi BC, inde EH pa<lb></lb>rallela sit ipsi BD, dico AH, DC aequales <lb></lb>esse. </s></p> <figure id="fig444"></figure> <p type="main"> <s>Est enim ut AD ad DC ita AB ad BC, <lb></lb>vel AB ad AD, vel AD ad AH, quare ae<lb></lb>quales sunt AH, DC.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XIV.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Sit angulus quilibet ABC, et loca centrorum extrema <lb></lb>A, C; linea bisecans angulum sit BD. Deinde noto loco sit <pb pagenum="242"></pb>linea centrorum EH, suma<lb></lb> <arrow.to.target n="fig445"></arrow.to.target><lb></lb>turque EL aequalis ipsi IH, <lb></lb>dico L esse centrum loci. </s></p> <figure id="fig445"></figure> <p type="main"> <s>Nam ut totum locum ad <lb></lb>totum, ita dimidium EB ad <lb></lb>dimidium BH, vel EI ad IH, <lb></lb>vel HL ad LE reciprocè. </s><s><lb></lb>Quare L centrum est gravi<lb></lb>tatis loci sic positi. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Sia la parabola ABC al cui asse BH sia ordinatamente applicata <lb></lb>AC, e presa BD uguale BH tirinsi AD, CD che saranno tangenti. </s><s>Preso <lb></lb>poi qualunque punto E tirisi l'altra tangente FEG. </s></p> <p type="main"> <s>Mostreremo più cose: </s></p> <p type="main"> <s>Per i punti F, E, G, tirinsi parallele all'asse le FM, NP, IL, e si <lb></lb>prolunghi AD che concorra con LG in I, e si tiri AP parallela ad FE. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Perchè si è preso nella parabola un punto <lb></lb> <arrow.to.target n="fig446"></arrow.to.target><lb></lb>E, e la EP è parallela all'asse, e la AP pa<lb></lb>rallela alla tangente FE, e la AF tangente in <lb></lb>A, saranno eguali PE, EN e però saranno <lb></lb>eguali anche AF, FN intra l'istesse parallele. </foreign></s> <s><lb></lb>Perchè poi l'angolo ADC è diviso bifariam <lb></lb>dalla HD, e la GI è parallela alla HD saranno <lb></lb>eguali GD, DI. </s></p> <figure id="fig446"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Perchè CG ad AF ha proporzione subdupla <lb></lb>di GL ad FM, ed anco GE ad EF ha propor<lb></lb>zione subdupla di GL ad FM, sarà come CG <lb></lb>ad AF così GE ad EF ovvero IN ad FN, ma <lb></lb>perchè i conseguenti AF, NF sono eguali sa<lb></lb>ranno eguali gli antecedenti CG, NI, ed ag<lb></lb>giunta comune DG sarà CD ovvero AD eguale <lb></lb>alle NI, DG, e levata la comune ND sarà AN <lb></lb>eguale alle ID, DG e però la metà AF alla metà DG. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Stante questo, dico cbe anco FE sarà eguale ad OG. Si è mostrato <lb></lb>che GE ad EF sta come CG ad AF, ovvero come FD a DG, ovvero <lb></lb>FO ad OG (ob angulum D bifariam sectum), come dunque GE ad EF <lb></lb>così FO, ad OG e componendo GF ad FE come FG a GO, per cui sono <lb></lb>eguali FE, GO.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XV.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Siano i due centri primari A, B, e sia mossa la catena <lb></lb>si che i centri sieno C, D, tirisi CD, e sia la EF che seghi <pb pagenum="243"></pb>l'angolo bifariam, e prendasi DI eguale CF, è chiaro che <lb></lb>I sarà il centro comune. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Dico ora che I sta nella parabola. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Se non ci sta, passi la <lb></lb> <arrow.to.target n="fig447"></arrow.to.target><lb></lb>parabola su la MN paral<lb></lb>lela all'asse EF in L, e si <lb></lb>prenda LN eguale ad LM, <lb></lb>e si tiri la DLO. È certo <lb></lb>che essendo eguali MD, <lb></lb>DA (ut infra ostendam) ed <lb></lb>eguali NL, LM saranno <lb></lb>parallele AN, DL. Dunque DLO sarà la terza tangente <lb></lb>della parabola; e per il lemma precedente saranno <lb></lb>eguali AD, EO, quod est absurdum perchè sono eguali <lb></lb>AD, FG. </foreign></s> </p> <figure id="fig447"></figure> <p type="main"> <s>Quod mox promisimus demostratur sic: Sono eguali <lb></lb>AD ed EC per ipotesi, e CF, DI per costruzione, ora <lb></lb>ED a DA sta come ED ad EC, ovvero DF ad FC, <lb></lb>ovvero FD a DI, ovvero ED a DM, però sono eguali <lb></lb>AD, DM. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XVI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Fra gli effetti della meccanica degni di essere osservati <lb></lb>uno se ne trova non avvertito ancora da alcuno che io <lb></lb>sappia, e pur da esso possono derivare cognizioni di qual<lb></lb>che momento e di molta curiosità. <lb></lb><gap desc="SM"></gap></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Supposta una muraglia verticale AE alla quale nel piano oriz<lb></lb>zontale EF sia normale la retta EF, e supposta inoltre la trave diritta <lb></lb>BCF il di cui centro di gravità sia C, la quale coll'estremità superiore <lb></lb>B si appoggi alla muraglia accennata, e possa coll'estremità F scor<lb></lb>rere liberamente sopra il piano EF, si cerca la proporzione del peso <lb></lb>della trave a quella forza, la quale applicata in F e spingendo diret<lb></lb>tamente per la direzione FE può equilibrare il momento della trave <lb></lb>a scorrere in virtù del suo peso per la direzione EF. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Si supponga la forza richiesta eguale ad un peso attaccato nel <lb></lb>punto Z a una corda di data lunghezza FEZ, la qual lunghezza chia<lb></lb>meremo </foreign><foreign lang="grc">λ</foreign><foreign lang="it">, e che passi per il punto E. Dal centro di gravità C si <lb></lb>abbassi sopra la FE la normale CG, e sia la ragione di BF ad FC <lb></lb>la stessa che la ragione di 1 ad <emph type="italics"></emph>x,<emph.end type="italics"></emph.end> avremo per la similitudine dei <pb pagenum="244"></pb>triangoli BE:CG = BF:FC = 1:<emph type="italics"></emph>x<emph.end type="italics"></emph.end> e conseguentemente, posto P il <lb></lb>peso della trave, sarà la distanza dell'orizontale EF dal peso accen<lb></lb>nato, che può intendersi raccolto nel centro di gravità della trave, <lb></lb>eguale a P.CG, o veramente scrivendo invece di CG l'eguale <emph type="italics"></emph>x<emph.end type="italics"></emph.end>.BE <lb></lb>sarà la distanza della retta EF dal peso P eguale ad <emph type="italics"></emph>x<emph.end type="italics"></emph.end>.P.BE. </foreign></s> </p> <figure></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Sia il peso che si cerca attaccato al punto Z della corda FEZ <lb></lb>eguale a Q, sarà la distanza del peso accennato dall'orizzontale <lb></lb>eguale a q.ZE, e la distanza del centro di gravitá comune dei due pesi <lb></lb>P e Q sotto l'orizzontale eguale a q.ZE — P.CG = q.ZE — <emph type="italics"></emph>x<emph.end type="italics"></emph.end>.P.BE. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Si intenda descritto col centro L e col raggio LM eguale a BF il <lb></lb>quarto di una circonferenza circolare SM<emph type="italics"></emph>s.<emph.end type="italics"></emph.end> Sia la retta L<emph type="italics"></emph>s<emph.end type="italics"></emph.end> parallela <lb></lb>all'orizzonte, e si ponga l'ascissa LO eguale a BE, e si tiri l'ordinata <lb></lb>OM, la quale necessariamente sarà eguale ad EF, e dal punto M si <lb></lb>conduca la tangente della circonferenza circolare <emph type="italics"></emph>n<emph.end type="italics"></emph.end>M alla quale sia <lb></lb>parallela la retta L<emph type="italics"></emph>r<emph.end type="italics"></emph.end>R e si prolunghi l'ordinata MO fino che incontri <lb></lb>la retta L<emph type="italics"></emph>r<emph.end type="italics"></emph.end>R in R, sarà la distanza dal centro di gravità comune <lb></lb>dei due pesi P e Q dalla retta EF, che si è dimostrata eguale a <lb></lb>q.ZE — <emph type="italics"></emph>x<emph.end type="italics"></emph.end>.P.BE, eguale ancora a <expan abbr="q.">que</expan></foreign><foreign lang="grc">λ</foreign><foreign lang="it"> — q.EF — <emph type="italics"></emph>x<emph.end type="italics"></emph.end>.P.BE, cioè a <lb></lb>dire eguale a <expan abbr="q.">que</expan></foreign><foreign lang="grc">λ</foreign><foreign lang="it"> — q.OM — <emph type="italics"></emph>x<emph.end type="italics"></emph.end>.P.LO. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Facciasi come OR:OL = <emph type="italics"></emph>x<emph.end type="italics"></emph.end>.P:Q sarà <emph type="italics"></emph>x<emph.end type="italics"></emph.end>.P.LO = q.OR e in con<lb></lb>seguenza sostituendo q.OR invece di <emph type="italics"></emph>x<emph.end type="italics"></emph.end>.P.LO, nell'equalità espressa <lb></lb>di sopra sarà la distanza dal centro di gravità dei due pesi P e Q dalla <lb></lb>retta orizzontale EF uguale a <expan abbr="q.">que</expan></foreign><foreign lang="grc">λ</foreign><foreign lang="it"> — q.OM — q.OR = <expan abbr="q.">que</expan></foreign><foreign lang="grc">λ</foreign><foreign lang="it"> — q.MR, <pb pagenum="245"></pb>e sarà la scesa del centro di gravità dei due pesi accennati propor<lb></lb>zionale a </foreign><foreign lang="grc">λ</foreign><foreign lang="it"> — MR. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Coll'istesso progresso supposto che l'estremità F della trave BF <lb></lb>sia venuto da F in <emph type="italics"></emph>f,<emph.end type="italics"></emph.end> e ponendo L<emph type="italics"></emph>o = b<emph.end type="italics"></emph.end>E e tirando l'ordinata del <lb></lb>cerchio <emph type="italics"></emph>om,<emph.end type="italics"></emph.end> la quale prodotta incontri la tangente <emph type="italics"></emph>n<emph.end type="italics"></emph.end>M e la retta LR <lb></lb>nei punti <emph type="italics"></emph>n<emph.end type="italics"></emph.end> ed <emph type="italics"></emph>r,<emph.end type="italics"></emph.end> avremo la distanza del centro comune di gravità <lb></lb>dei pesi P e Q dall'orizzontale EF eguale a <expan abbr="q.">que</expan> </foreign><foreign lang="grc">λ</foreign><foreign lang="it"> — <expan abbr="q.">que</expan> <emph type="italics"></emph>om<emph.end type="italics"></emph.end> — <lb></lb>— <expan abbr="q.">que</expan><emph type="italics"></emph>or<emph.end type="italics"></emph.end> = <expan abbr="q.">que</expan></foreign><foreign lang="grc">λ</foreign><foreign lang="it"> — <expan abbr="q.">que</expan><emph type="italics"></emph>mr.<emph.end type="italics"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">E poichè la distanza dal centro comune di gravità di P e Q nel <lb></lb>caso che il trave proposto occupava il sito BCF si è trovato Q</foreign><foreign lang="grc">λ</foreign><foreign lang="it"> — <lb></lb>— q.MR, e nel secondo caso, quando la posizione del trave ac<lb></lb>cennato corrispondeva alla retta <emph type="italics"></emph>bcf<emph.end type="italics"></emph.end> si è dimostrato eguale a <lb></lb><expan abbr="q.">que</expan></foreign><foreign lang="grc">λ</foreign><foreign lang="it"> — <expan abbr="q.">que</expan><emph type="italics"></emph>mr<emph.end type="italics"></emph.end> saranno le distanze nel primo e nel secondo caso come <lb></lb>(<expan abbr="q.">que</expan></foreign><foreign lang="grc">λ</foreign><foreign lang="it"> — q.MR):(<expan abbr="q.">que</expan></foreign><foreign lang="grc">λ</foreign><foreign lang="it"> — <expan abbr="q.">que</expan><emph type="italics"></emph>mr<emph.end type="italics"></emph.end>), cioè a dire sottraendo dal primo il se<lb></lb>condo q.MR — <expan abbr="q.">que</expan><emph type="italics"></emph>mr<emph.end type="italics"></emph.end> o sia <expan abbr="q.">que</expan><emph type="italics"></emph>mn.<emph.end type="italics"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Supposto che la distanza del centro di gravità dei pesi accennati <lb></lb>invece di diventare eguale ad <emph type="italics"></emph>mr<emph.end type="italics"></emph.end> fosse eguale ad <emph type="italics"></emph>nr,<emph.end type="italics"></emph.end> nel qual caso <lb></lb>il centro di gravità comune si sarebbe mosso per una retta orizzontale <lb></lb>M<emph type="italics"></emph>n,<emph.end type="italics"></emph.end> è manifesto che nel caso proposto il centro di gravitá detto in <lb></lb>cambio di descrivere la retta M<emph type="italics"></emph>n<emph.end type="italics"></emph.end> parallela all'orizzonte descrive un <lb></lb>arco di cerchio M<emph type="italics"></emph>m<emph.end type="italics"></emph.end> tangente alla stessa retta orizzontale: dunque in <lb></lb>virtù del <emph type="italics"></emph>lemma precedente<emph.end type="italics"></emph.end> il centro di gravità dei due pesi resterà <lb></lb>immobile nel caso proposto. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Per determinare presentemente il peso Q si osservi che si è fatto <lb></lb><emph type="italics"></emph>x<emph.end type="italics"></emph.end>.P:Q = OR:OL cioè come EB:EF dunque Q = (<emph type="italics"></emph>x<emph.end type="italics"></emph.end>.P.EF)/(EB) onde in<lb></lb>vece di <emph type="italics"></emph>x<emph.end type="italics"></emph.end> ponendo il suo valore (CF)/(BF) sarà il peso Q = (P.CF.EF)/(BF.EB) ovvero <lb></lb>la forza che spingendo in F direttamente verso il punto E può equili<lb></lb>brare il momento del trave a scorrere per il piano orizzontale con <lb></lb>l'estremità F.<gap desc="/SM"></gap></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ora supponiamo che BF sia una linea retta e che in <lb></lb>B ed in F sieno due potenze, e che la B prema perpendi<lb></lb>colarmente in giù verso E, ma la F spinga orizzontalmente <lb></lb>verso E. Cercasi la proporzione del momento che avranno <lb></lb>queste due forze, e dico che la forza B alla F sarà come <lb></lb>la linea EF alla EB permutatamente presa.... Ora in cam<lb></lb>bio delle due potenze si potrà (come nelle macchine della <lb></lb>meccanica e in particolare nella lieva) considerare in B <lb></lb>un peso e in E la potenza. </foreign></s> </p> <pb pagenum="246"></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Primieramente si cerca perchè causa un <lb></lb> <arrow.to.target n="fig448"></arrow.to.target><lb></lb>piccol cerchio di ferro che fascia una colonna <lb></lb>fessa (come nel cortile del Palazzo De' Medici <lb></lb>e sotto le logge delli Orefici) sia bastante a <lb></lb>tener quella colonna che non s'apra, e per con<lb></lb>seguenza a regger quella macchina acciò non <lb></lb>rovini. </foreign></s> </p> <figure id="fig448"></figure> <p type="main"> <s>Sia la colonna fessa AB, quale si consideri <lb></lb>in quattro parti divisa. </s> <s><foreign lang="it">Certo è che premendo il <lb></lb>peso della fabbrica sovraposta in AC, la colonna <lb></lb>procurerà di slargarsi in EF, non potendo AC <lb></lb>discendere se nelle parti di mezzo la fessura <lb></lb>della colonna non si slarga. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ora io dico che ovviandosi presto al disor<lb></lb>dine ogni minima forza basterà per fermarla, e <lb></lb>che lasciando far l'apertura grande, una volta <lb></lb>ci vorrà una forza eguale al peso e può anche <lb></lb>essere che una volta vi si ricerchi forza mille <lb></lb>volte maggiore del peso. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Sia la fessura ABCD, l'apertura o larghezza <lb></lb> <arrow.to.target n="fig449"></arrow.to.target><lb></lb>della quale sia BD e linea perpendicolare sia <lb></lb>AC. Se per le cose supposte in principio, e da <lb></lb>provarsi, ponendo un peso in A ed una potenza <lb></lb>eguale in D, il momento della potenza a quello <lb></lb>del peso sta come la AO alla OD. </foreign></s> </p> <figure id="fig449"></figure> <p type="main"> <s>Per far dunque che i momenti siano eguali <lb></lb>pongasi una potenza che al peso sia come DO <lb></lb>ad OA. Così poi diremo in questo modo, la po<lb></lb>tenza piccola alla grande sta come DO ad OA, <lb></lb>ma la grande al peso stava come AO ad OD, <lb></lb>ergo ex aequo la potenza piccola è eguale al <lb></lb>peso. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Si cava adunque che per tenere unite le <lb></lb>colonne che non si aprino maggiormente, ci <lb></lb>vuole una forza la quale al peso abbia la proporzione che <lb></lb>ha il diametro della figura BD alla perpendicolare AC. </foreign></s> </p> <pb pagenum="247"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XVII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Sia il gran sasso A e sia attaccato ad esso una lunga <lb></lb>corda BC. Io suppongo che un uomo abbia forza di tirar <lb></lb>la corda BC, cioè di conferire a tutta la corda BC una <lb></lb>tal tensione qualunque ella si sia, e questo si vede per <lb></lb>esperienza. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Io considero qui primieramente, che tutta la corda BC <lb></lb>avrà la medesima tensione in ogni sua parte, cioè tanto sarà <lb></lb>tirata nel principio B, quanto nel mezzo D, e quanto verso <lb></lb>il fine C. Questo è assai chiaro astraendo però da qualche <lb></lb>varietà che potesse fare il proprio peso della corda, ed <lb></lb>anco astraendo dalla differenza che potesse nascere dal <lb></lb>toccamento della corda sopra il piano a lei sottoposto, <lb></lb>che però la considereremo in aria, e senza la gravità. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Nondimeno si può con qualche discorso dimostrare <lb></lb>così: </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">L'uomo traente conferisce al punto B tanta forza <lb></lb>quanta ne ha esso uomo, il punto B tira poi con tanta <lb></lb> <arrow.to.target n="fig450"></arrow.to.target><lb></lb>forza il punto E suo congiunto quanto ne ha esso B <lb></lb>cioè quanta è la forza dell'uomo; e il punto E tira il <lb></lb>punto F suo congiunto con quanta ne ha esso E, cioè <lb></lb>quanta è la forza dell'uomo, e così si può andar discor<lb></lb>rendo di tutti li punti cioè di tutta la corda BC. E con<lb></lb>cluderemo che l'ultimo punto C, e perciò il gran sasso <lb></lb>A vien tirato con altrettanta forza per appunto con quanta <lb></lb>vien tirato il primo punto B cioè con la forza dell'uomo <lb></lb>traente non accresciuta e non diminuita. </foreign></s> </p> <figure id="fig450"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Stabiliremo dunque questo principio che qualunque <lb></lb>volta avremo una lunghezza, cioè una estensione di punti <lb></lb>continuati e che il primo di essi venga tirato o spinto <lb></lb>con una tale forza, anco tutti gli altri successivamente <pb pagenum="248"></pb>saranno tirati ovvero spinti con la medesima forza, senza <lb></lb>accrescerla o diminuirla, ma trasmettendola sino alla fine. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Consideriamo poi che se fusse possibile tagliare la <lb></lb>corda BC in due parti, senza guastargli quella tensione <lb></lb>che ella aveva avanti fusse tagliata, e se si potesse attac<lb></lb>care la parte tagliata HI in I, e fusse vero che l'una e <lb></lb>l'altra corda tanto DI quanto HI ritenesse la medesima <lb></lb>tensione di prima, sarebbe vero che il punto I verrebbe <lb></lb>tirato non più da una ma da due forze eguali a quella <lb></lb>dell'uomo traente. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Nell'istesso modo chi facesse non due <lb></lb>parti della corda ma dieci o cento, e le attaccasse tutte <lb></lb>nel punto I e ciascuna parte ritenesse la medesima ten<lb></lb>sione che aveva la corda avanti fusse divisa in parti, <lb></lb>certo è che il punto I sarebbe tirato con forza dieci volte <lb></lb>ovvero cento volte maggiore di quella dalla quale era <lb></lb>tirato in principio. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Gli altri punti poi susseguenti L ed M <lb></lb>tutti verrebbero tirati dalla medesima forza che vien tirato <lb></lb>il punto I, e così per conseguenza il sasso ancora. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSITIO XVIII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Vas quod aequabiliter exhauritur.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Ingeniosissimus juvenis M. A. Riccius certiorem fecit me de desi<lb></lb>derio suo circa illud vas quod aequabili motu exhauritur. </s><s>Dicam igitur <lb></lb>si per memoriam licebit.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Esto conoides parabo<lb></lb> <arrow.to.target n="fig451"></arrow.to.target><lb></lb>lae quadrato quadraticae <lb></lb>ABC, perforatum in fun<lb></lb>do B. Dico illud ea lege <lb></lb>exhauriri, ut motus su<lb></lb>premae superficie humo<lb></lb>ris contenti AC aequa<lb></lb>bilis sit. </s></p> <figure id="fig451"></figure> <p type="main"> <s>Sumatur enim quaelibet alia vasis sectio DI, et super <lb></lb>basi AC concipiatur cylindrus AE. Esto BO media pro<lb></lb>portionalis inter GB, BH, et quoniam est quadrato qua<lb></lb>dratum AG ad quadrato quadratum DH ut GB ad BH, <lb></lb>erit quadratum AG ad quadratum DH ut GB ad BO. </s></p> <pb pagenum="249"></pb> <p type="main"> <s>Nam velocitas superficiei descendentis quando est AG <lb></lb>ad velocitatem superficiei quando erit FH in cylindro est ut <lb></lb>GB ad BO, sive ut quadratum AG ad quadratum DH, <lb></lb>velocitas vero sectionis FH ad DH est ut quadratum HD <lb></lb>ad HF, sive ut quadratum HD ad quadratum AG. Ergo <lb></lb>ex aequo velocitas sectionis AG ad velocitatem sectionis <lb></lb>DH erit ut quadratum AG ad quadratum AG nempe ae<lb></lb>qualis. <lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Si quis desideret descriptionem eiusmodi lineae, nempe parabolae <lb></lb>quadrato quadraticae, talem excogitabamus: </s></p> <p type="main"> <s>Ponatur parabola quadratica vulgata ABC cu<lb></lb> <arrow.to.target n="fig452"></arrow.to.target><lb></lb>jus axis AD, tum applicata BD, secetur AE ae<lb></lb>qualis BD, et iterum DF aequalis CE; eritque <lb></lb>punctum F in parabola quaesita, et sic de reli<lb></lb>quis punctis. </s><s>Quod verum erit hoc. </s><s>Sumatur AH <lb></lb>latus rectum parabolae quadraticae, et erunt ae<lb></lb>quales GH, AH. </s></p> <figure id="fig452"></figure> <p type="main"> <s>Tum quadratum GH ad quadratum BD, sive <lb></lb>quadratum AH ad AE erit ut recta AH ad AD; <lb></lb>ergo continuae erunt AH, AE, AD. Propterea si quadratum GH ad CE <lb></lb>vel FD est ut recta HA ad AE, erit quadrato-quadratum GH ad qua<lb></lb>drato-quadratum FD ut HA ad AD. Deinde ex aequo probatur quadrato<lb></lb>quadratum FD ad quadrato quadratum IM esse ut recta DA ad AM.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>FINIS DE MOTU AC MOMENTIS VARIA.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <pb></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>SOLUZIONE <lb></lb>DI UN PROBLEMA INTORNO ALLE COSE <lb></lb>CHE STANNO NELL'UMIDO.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <pb></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>SOLUZIONE <lb></lb>DI UN PROBLEMA INTORNO ALLE COSE <lb></lb>CHE STANNO NELL'UMIDO<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>SOLUZIONE DI EVANGELISTA TORRICELLI <lb></lb>DATA AD UN QUESITO <lb></lb>PROPOSTO AL P. BENEDETTO CASTELLI.<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Biblioteca Nazionale di Firenze — Mss. </s><s>Galileiani, Div. </s><s>IV, T. XXXVIII, c. 1-8).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Il quesito che mi fu fatto intorno alla materia delle <lb></lb>cose, che stanno nell'humido, trattata da Archimede e <lb></lb>dal sig. Galileo nel suo particolar discorso fu di questo <lb></lb>tenore. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Il ferro per esser men grave in spezie dell'argento <lb></lb>vivo, posto nell'argento vivo non si sommerge tutto, ma <lb></lb>parte di esso resta fuori dell'argento vivo, e parte vi resta <lb></lb>tuffato. </s> <s><foreign lang="it">Hora si cerca se infondendosi acqua nel vaso, dove <lb></lb>stiino come s'è detto, i medesimi corpi, si che l'acqua li <lb></lb>copra del tutto, si cerca (dico) se il ferro restarà nella <lb></lb>stessa positura di prima, cioè con la medesima porzione <lb></lb>nell'argento vivo, o pure se in parte si solleverà fuori di <lb></lb>detto argento vivo, o finalmente se si sommergerà nell'ar<lb></lb>gento vivo con maggior porzione di quello che era avanti <lb></lb>all'infusione dell'acqua, stante che l'acqua soprainfusa <lb></lb>con il suo peso lo veniva a comprimere (per così dire) <lb></lb>più a basso, al qual quesito io risposi così. </foreign></s> </p> <pb pagenum="254"></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Se un solido più grave in spezie dell'acqua, e men <lb></lb>grave dell'argento vivo sarà posto nell'argento vivo e <lb></lb>doppo soprainfusa l'acqua, sì che sopravanzi la parte su<lb></lb>periore del solido, tal solido non si starà come nella <lb></lb>prima positura collocato nell'argento vivo, ma si solleverà <lb></lb>per qualche spazio, la qual Proposizione fu dimostrata da <lb></lb>me con haver prima notati gli tre Lemmi seguenti. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma I.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Se saranno quattro grandezze proporzionali, gl'antecedenti delle <lb></lb>quali sieno maggiori dei conseguenti e dalle prime due ne sijno levate <lb></lb>parti eguali: il rimanente della prima al rimanente della seconda <lb></lb>haverà maggior proporzione che la terza alla quarta. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Sia la AB alla CD come EF a GH, et AB mag<lb></lb> <arrow.to.target n="fig453"></arrow.to.target><lb></lb>giore di CD e perciò ancora la EF maggiore di GH, <lb></lb>e siano dalle AB, CD levate parti eguali BI, e <lb></lb>DK, dico che la rimanente AI, alla rimanente <lb></lb>CK, haverà maggior proporzione, che EF a GH. <lb></lb>Facciasi come AB a CD, così IB a LD, adun<lb></lb>que per essere AB maggiore di CD, sarà ancora IB maggiore della LD; <lb></lb>e perchè come tutta AB a tutta la CD e così la levata via IB, alla <lb></lb>levata via LD; adunque, la rimanente AI alla rimanente CL, sarà <lb></lb>come tutta la AB, a tutta la CD; cioè come EF alla GH; ma perchè IB <lb></lb>è maggiore di LD, (come si è dimostrato) et è uguale alla KD perciò <lb></lb>sarà CL maggiore di CK; adunque la AI, à CK haverà maggior pro<lb></lb>porpozione, che la stessa AI alla CL, cioè che la EF alla GH, che <lb></lb>si doveva dimostrare.<gap desc="/SM"></gap></foreign></s> </p> <figure id="fig453"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma II.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Quando nell'humido sono sommersi due corpi più gravi in spezie <lb></lb>dell'humido nel quale sono sommersi, perdono eguale momento di <lb></lb>gravità in ispezie. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Il che è manifesto, perchè quel che si perde, e <lb></lb>dell'uno e dell'altro ciascheduno è uguale alla gravità in spezie del<lb></lb>l'acqua come si deduce dalle cose dimostrate da Archimede nel primo <lb></lb>libro <emph type="italics"></emph>“ De insidentibus in humido ” (Lemma 5°).<emph.end type="italics"></emph.end><gap desc="/SM"></gap></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma III.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Se saranno due Prismi, o Cilindri simili, et eguali in mole, e della <lb></lb>stessa gravità in spezie immersi similmente nello stesso humido più <lb></lb>grave in spezie di essi Prismi o Cilindri, l'altezza della parte som<lb></lb>mersa dell'uno sarà uguale all'altezza della parte sommersa dell'altro. </foreign></s> </p> <pb pagenum="255"></pb> <p type="main"> <s>Il che se bene pare in un certo modo noto per se stesso, tuttavia <lb></lb>si può dimostrare in questa maniera. </s> <s><foreign lang="it">Sieno due Prismi, o Cilindri AB, <lb></lb>CD, simili, uguali di mole, e della stessa <lb></lb> <arrow.to.target n="fig454"></arrow.to.target><lb></lb>gravità in spezie, e sijno posti similmente <lb></lb>nello stesso humido più grave in spezie <lb></lb>di essi solidi, e sijno, sommersi sino all'al<lb></lb>tezza BE, e DF, dico che BE, è eguale <lb></lb>alla DF; imperoche la GB, alla BE ha la medesima proporzione, che <lb></lb>la gravità in spezie dell'humido alla gravità in spezie del solido AB <lb></lb>(come dimostra il sig. Galileo nel discorso delle cose che galleggiano <lb></lb>nell'humido), cioè come la stessa gravità in spezie dell'humido alla <lb></lb>gravità in spezie del solido CD, già che i solidi sono di gravità in <lb></lb>spezie eguali; ma come la gravità in spezie dell'humido alla gravità <lb></lb>in spezie del solido CD, così è l'altezza HD all'altezza DF, e però <lb></lb>come GB, alla BE così è HD alla DF, e per esser la prima GB uguale <lb></lb>alla terza HD sarà ancora EB uguale alla FD, che era il proposito.<gap desc="/SM"></gap></foreign></s> </p> <figure id="fig454"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSIZIONE.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Stante le suddette cose dico che se un solido più grave <lb></lb>in spezie dell'acqua, e men grave dell'argento vivo sarà <lb></lb>posto nell'argento vivo e doppo soprainfusa l'acqua, si che <lb></lb>sopravanzi la parte superiore del solido, tal solido non <lb></lb>starà come nella prima posizione posto nell'argento vivo, <lb></lb>ma si solleverà per qualche spazio. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Sia il Cilindro, ò ver Prisma <lb></lb> <arrow.to.target n="fig455"></arrow.to.target><lb></lb>ABCD di ferro, ovvero di altra ma<lb></lb>teria più grave in spezie dell'acqua, <lb></lb>e meno dell'argento vivo immerso <lb></lb>nell'argento vivo sino al livello HG, <lb></lb>nel vaso EF, et il rimanente AGHD <lb></lb>resti nell'aria; intendasi di più per <lb></lb>maggior chiarezza un altro prisma, <lb></lb>overo cilindro della medesima gra<lb></lb>vità in spezie, et uguale, e si<lb></lb>mile al solido AC e sia IKLM, immerso similmente (cioè <lb></lb>con il lato LK homologo al lato CB, posto nella parte <lb></lb>inferiore) nell'argento vivo sino al livello NO nel vaso PR, <lb></lb>et il rimanente IOLM intendasi come prima in aria; chiara <lb></lb>cosa è che l'altezza GB è eguale all'altezza OK per il <lb></lb>terzo lemma; hora dico che infondendosi l'acqua nel vaso <pb pagenum="256"></pb>PR sino al livello PQ, si che sopravanzi la parte superiore <lb></lb>del solido MK, il solido MK si solleverà per qualche <lb></lb>spazio. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Imperocchè l'altezza IK all'altezza KO, è come la <lb></lb>gravità in spezie dell'argento vivo alla gravità in spezie <lb></lb>del cilindro posti l'uno e l'altro sotto l'acqua nel vaso PR, <lb></lb>come dimostra il Sig. Galileo e perchè avanti all'infusione <lb></lb>dell'acqua la gravità in spezie dell'argento vivo nel vaso <lb></lb>PR alla gravità in spezie di MK, era come la gravità <lb></lb>in spezie dell'argento vivo nel vaso EF alla gravità in <lb></lb>spezie del solido DB à tal che erano quattro grandezze <lb></lb>proporzionali, e gli antecedenti erano maggiori dei conse<lb></lb>guenti, e di poi per l'infusione dell'acqua nel vaso PR si <lb></lb>sono levate parti eguali di gravità in spezie per il 2° lemma, <lb></lb>adunque per il primo lemma il residuo dell'antecedente, <lb></lb>cioè la gravità in spezie dell'argento vivo nel vaso PR <lb></lb>alla gravità in spezie del solido MK haverà maggior pro<lb></lb>porzione, che la gravità in spezie dell'argento vivo nel <lb></lb>nel vaso EF alla gravità in spezie del solido DB adunque <lb></lb>ancora la linea IK cioè AB alla KO ha maggior propor<lb></lb>zione che la gravità in spezie dell'argento vivo nel vaso <lb></lb>EF alla gravità in spezie del solido DB, cioè che AB alla <lb></lb>BG; e però KO è minore della BG; adunque il solido MK <lb></lb>è stato sollevato per l'infusione dell'acqua, che è quello <lb></lb>che si doveva dimostrare. </foreign></s> </p> <figure id="fig455"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>L'istesso potrebbe dimostrarsi così, ma senza Lemmi:<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Sia un vaso con argento vivo sino al segno AB, e sia <lb></lb>un ferro galleggiante in esso CD la cui parte C sia som<lb></lb>mersa e la D scoperta. </s></p> <p type="main"> <s>Si cerca che cosa farà questo <lb></lb> <arrow.to.target n="fig456"></arrow.to.target><lb></lb>ferro dopo esser ricoperto d'ac<lb></lb>qua. </s> <s><foreign lang="it">Sia infusa l'acqua fino al <lb></lb>segno EF, ed il ferro CD se è <lb></lb>possibile resti fermo nel sito nel <lb></lb>quale stava prima avanti l'infu<lb></lb>sione dell'acqua. </foreign></s> </p> <figure id="fig456"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Immaginiamoci la mole d'ac<lb></lb>qua G simile et eguale alla mole D, e la mole d'argento <pb pagenum="257"></pb>vivo H simile et eguale alla C. È chiaro (per Archimede) <lb></lb>che il solo argento vivo H pesa tanto quanto pesa tutto <lb></lb>il ferro CD, adunque tutta la figura HG essendovi aggiunta <lb></lb>l'acqua G peserà più che il ferro CD; seghiamo ora il vaso <lb></lb>col piano IL; e perchè l'umido LB magis pressum est <lb></lb>quam humidum AL, humidum AL non quiescet sed impel<lb></lb>letur sursum tanta cui, quanta est gravitas aquae molem <lb></lb>habentis figurae G aequalem. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Non starà dunque fermo il ferro doppo l'infusione del<lb></lb>l'acqua ma spingerà all'insù con tanta forza, o momento <lb></lb>quanto è il peso d'una mole d'acqua eguale alla G, overo <lb></lb>alla D. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Ma più brevemente:<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Sia il ferro AB, et il livello dell'argento vivo CD, et <lb></lb>avanti l'infusione dell'acqua stia il <lb></lb> <arrow.to.target n="fig457"></arrow.to.target><lb></lb>ferro con la parte B tuffata, e la A <lb></lb>scoperta. </foreign></s> <s>Infondasi poi acqua, e resti <lb></lb>il ferro come prima senza muoversi. </s></p> <figure id="fig457"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">È chiaro che se la figura A fusse <lb></lb>acqua e la figura B fusse argento <lb></lb>vivo tutta la composta figura BA sta<lb></lb>rebbe senza moversi; ma essendo la <lb></lb>detta figura AB non d'acqua, e d'argento vivo ma di ferro <lb></lb>sarà men grave che non è quella composta d'acqua e di <lb></lb>mercurio (perchè tutta la figura di ferro pesa solamente <lb></lb>quanto la figura B di argento vivo). Adunque al ferro A <lb></lb>manca per poter star fermo il peso dell'acqua A. Onde <lb></lb>feretur sursum tanto impetu, quanta est gravitas aquae <lb></lb>molem habentis aequalem figurae A. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Cerchisi ora quanta sia la parte che per la infusione del<lb></lb>l'acqua s'innalza sopra il livello dell'argento vivo.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Sia il ferro AB di figura prismatica, o cilindrica, im<lb></lb>merso nell'argento vivo sino al segno CD e dopo l'infu<lb></lb>sione dell'acqua si innalzi sino a qualche segno EF. Si <lb></lb>cerca la quantità dell'alzamento DF. </foreign></s> </p> <pb pagenum="258"></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Perchè il ferro AD sommerso nell'argento vivo <lb></lb> <arrow.to.target n="fig458"></arrow.to.target><lb></lb>sino al segno CD galleggiava, sarà il peso del<lb></lb>l'argento vivo AD uguale al peso di tutto il ferro <lb></lb>(per Archimede). Perchè poi doppo l'infusione <lb></lb>dell'acqua il ferro sollevato si fermò con la <lb></lb>parte AF nell'argento vivo e con la rimanente <lb></lb>FH in acqua peseranno le due figure AF d'ar<lb></lb>gento vivo ed FH d'acqua insieme quanto tutto <lb></lb>il ferro. </foreign></s> <s>Adunque egualmente pesano la mole di <lb></lb>argento vivo AD e le due mole AF di argento vivo ed <lb></lb>FH d'acqua insieme: Levata poi la comune AF peserà <lb></lb>tanto l'argento vivo ED quanto l'acqua EB. Ma quando <lb></lb>i pesi assoluti sono uguali, le gravità in specie sono <lb></lb>come le moli contrariamente prese, adunque la mole EB <lb></lb>alla ED cioè la linea BF alla FD sarà come la gravità <lb></lb>in specie dell'argento vivo alla gravità in specie del<lb></lb>l'acqua. </s></p> <figure id="fig458"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ma perchè la BD è nota (cioè la parte scoperta del <lb></lb>ferro avanti si coprisse d'acqua) saranno note ancora le <lb></lb>BF, DF. Perchè data proportione et differentia duarum <lb></lb>magnitudinum ipsae etiam magnitudines dantur. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Quando il ferro non fusse prisma o cilindro, ma solido <lb></lb> <arrow.to.target n="fig459"></arrow.to.target><lb></lb>irregolare come ADBC tuffato nell'ar<lb></lb>gento vivo con la parte ABC, facciasi <lb></lb>come la gravità in specie dell'argento <lb></lb>vivo alla gravità in specie dell'acqua <lb></lb>così la mole DEF alla mole EABF, e <lb></lb>la porzione EABF sarà quella che dopo <lb></lb>l'infusione dell'acqua si solleverà sopra <lb></lb>il livello dell'argento vivo. </foreign></s> </p> <figure id="fig459"></figure> <p type="main"> <s><emph type="italics"></emph>Per corollario si scioglie un pro<lb></lb>blema.<emph.end type="italics"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Se alcuno proponesse di trovare due <lb></lb>moli, una d'acqua e l'altra d'argento vivo le quali insieme <lb></lb>prese fussero uguali e di mole e di peso ad un dato ferro <lb></lb>ovvero: </foreign></s> </p> <pb pagenum="259"></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Si propone il vaso AB da empirsi d'acqua e <lb></lb> <arrow.to.target n="fig460"></arrow.to.target><lb></lb>d'argento vivo in tal modo che il vaso pieno <lb></lb>pesi tanto quanto peserebbe se fusse tutto ferro. </foreign></s> </p> <figure id="fig460"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Facciasi come la gravità in spezie dell'ar<lb></lb>gento vivo alla gravità in spezie del ferro così <lb></lb>HA ad AC. Di più come la medesima gravità <lb></lb>in specie dell'argento vivo alla gravità in specie <lb></lb>dell'acqua così la HE alla EC; ed il vaso AB <lb></lb>pieno fino al segno EF d'argento vivo e il ri<lb></lb>manente fino ad HB di acqua, peserà quanto se fusse <lb></lb>tutto ferro. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Non vi è altro segno che il trovare EF il quale seghi <lb></lb>il vaso in modo che empitane una parte d'argento vivo e <lb></lb>l'altra d'acqua pesi tanto quanto peserebbe se fusse ferro <lb></lb>assoluto. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="italics"></emph>Per far la bilancia, la quale pesa la quantità dell'oro <lb></lb>che sta in un misto, senza sentir la porzione dell'argento <lb></lb>che vi è mescolata o piccola o grande che sia, si fa così:<emph.end type="italics"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Piglio la bilancia ordinaria AB, le cui braccia AC, <lb></lb>CB sieno uguali, e le lanci D ed E sieno non solo uguali <lb></lb>ma dell'istessa materia. </s></p> <figure></figure> <p type="main"> <s>È chiaro che questa bilancia starà equilibrata, o siano le <lb></lb>lanci ambidue in aria, o ambidue in acqua. </s><s>Pongo poi in E <lb></lb>una quantità d'oro, verbi grazia un'oncia, e pongo in D <lb></lb>un'altra oncia d'argento puro. È certo che in aria si farà <lb></lb>pure l'equilibrio, ma abbassandosi ambedue le lanci in ac<lb></lb>qua finchè sieno sommersi i due metalli, è manifesto che <lb></lb>preponderà l'oro, et deorsum feretur tanta ut quanta est <pb pagenum="260"></pb>gravitas aquae magnitudinem habentis aequalem differen<lb></lb>tiae magnitudinum metallorum. </s><s>Ma non importa capir que<lb></lb>sto per intendere la bilancia. </s><s>Piglio un pezzetto di piombo, <lb></lb>od altra materia grave, e ne aggiungo alla parte dell'ar<lb></lb>gento tanto che si faccia l'equilibrio tra quelle due oncie <lb></lb>una d'oro e l'altra d'argento tuffate nell'acqua. </s> <s><foreign lang="it">Fatto <lb></lb>questo quel tal pezzetto di piombo, che sia F, sarà l'in<lb></lb>dice d'un'oncia d'oro, e servirà per tutte le bilancie del <lb></lb>mondo. </foreign></s> <s>Bisogna poi farne delli altri uguali ad esso come <lb></lb>anco ed in particolare i molteplici, delli duodecupli, per <lb></lb>aver gl'indici delle libbre. </s><s>Si può anche partir uno di essi <lb></lb>in 24 parti uguali ed avremo gl'indici degli scrupoli; e <lb></lb>dividendo un indice d'uno scrupolo in altre 24 parti, avremo <lb></lb>gl'indici dei grani, conforme alla divisione solita delle <lb></lb>oncie. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Operazioni.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Si propone un misto d'oro e d'argento. </s><s>Io lo pongo in bilancia, e <lb></lb>dall'altra parte pongo altrettanto argento di peso, e fo l'equilibrio in <lb></lb>aria. </s><s>Demergo poi le lanci in acqua, e trovo che per far l'equilibrio <lb></lb>bisogna aggiungere all'argento 4 1/3 di quei piombetti uguali ad F, ed <lb></lb>io asserisco esser in quel misto oncie 4 1/3 d'oro puro. </s></p> <p type="main"> <s>Quanta sia la porzione dell'argento non si può sapere con questo <lb></lb>strumento, ma mentre s'è fatta nota la porzione dell'oro si trova su<lb></lb>bito con la bilancia solita quanto sia l'argento. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">La ragione di questo consiste; perchè sebbene da una parte pon<lb></lb>ghiamo un misto, nondimeno è l'istesso come se da quella parte me<lb></lb>desima fosse posto quell'oro puro che sta nel misto. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Chi non vede che quell'argento, che sta nel misto, sia quanto si <lb></lb>voglia, contrasta con altrettanto argento dall'altra parte? </foreign></s> <s>però quanto <lb></lb>ad essi non produrranno variazione alcuna, nè in aria nè in acqua. </s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Ma quello che vi è d'oro, sebbene è occulto, in ogni modo contrasta <lb></lb>con altrettanto argento in peso dall'altra parte, e questi fanno varia<lb></lb>zione nel passar dall'aria all'acqua; la qual variazione misurata dai <lb></lb>nostri pesetti fa la spia alla quantità dell'oro che sta occulto nel <lb></lb>misto.<gap desc="/SM"></gap></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>In altro modo.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>L'istesso che facciamo come bilancia con li pesetti di piombo, si <lb></lb>può anco far come stadera col romano corrente; e sarà forse più <lb></lb>curiosa. </s></p> <pb pagenum="261"></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Sia la figura come sta con le lanci A, B uguali e della stessa ma<lb></lb>teria, e con le braccia CD, DE uguali ma che il DC sia slongato fino <lb></lb>in F, col romano G poco lontano dal punto C. Sia fatto questo <lb></lb>ancora in tal modo, che stando come sta il dipinto, sia equilibrato in <lb></lb>aria (ciò si farà col far più grosso il braccio DE, e l'altro DF sempre <lb></lb>più sottile). </foreign></s> </p> <figure></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ciò fatto pongasi un'oncia d'oro in B ed una d'argento in A, l'i<lb></lb>strumento starà pure equilibrato nell'aria, ma sommerse le lanci biso<lb></lb>gnerà tirare il romano dal punto G al punto H. Facciasi l'istessa <lb></lb>operazione con oncie due, quattro, dieci ecc. e bisognerà ritirare il <lb></lb>romano due, quattro, dieci ecc. volte più verso F, e avremo sul manico <lb></lb>CF notati gli intervalli, o punti che saranno gli indici d'oncie due, <lb></lb>quattro, dieci ecc. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>L'operazione e la ragione è l'istessa che la precedente. </s> <s><foreign lang="it">Si pone il <lb></lb>misto in B e altrettanto argento puro in A. Si sommergono in acqua <lb></lb>amendue le lanci e si prova quanto debba ritirarsi il romano verso F <lb></lb>per far l'equilibrio in acqua. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Allora numerando le parti che sono tra <lb></lb>il punto G ed il romano ritirato; che altrettante oncie d'oro saranno <lb></lb>nel misto quanti per appunto saranno gli intervalli, o particelle sud<lb></lb>dette.<gap desc="/SM"></gap></foreign></s> </p> <pb></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>SCRITTURE <lb></lb>SOPRA LA BONIFICAZIONE <lb></lb>DELLA VAL DI CHIANA.<emph.end type="center"></emph.end></foreign></s> </p> <pb></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>AVVERTIMENTO.<emph.end type="center"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Gli scritti, che qui si pubblicano, furono per la prima volta dati alla luce nella <lb></lb><emph type="italics"></emph>Raccolta d'Autori che trattano del moto delle acque<emph.end type="italics"></emph.end> (Firenze — Stamperia di S. Altezza <lb></lb>Reale — Vol. </foreign></s> <s><foreign lang="it">IV, 1768), e in seguito nel 1821-22 nella ristampa della stessa opera <lb></lb>fatta dalla Tip. </foreign></s> <s>Iacopo Marsigli in Bologna per cura di Francesco Cardinali. </s> <s><foreign lang="it">Dalla <lb></lb>prima di queste due edizioni vengono integralmente riprodotti, salvo il collaziona<lb></lb>mento di quelli di essi dei quali si conserva il manoscritto originale nel T. XXXVIII <lb></lb>della Div. </foreign></s> <s>IV dei Mss. </s> <s><foreign lang="it">Galileiani nella Biblioteca Nazionale di Firenze. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Sono questi <lb></lb>ultimi la <emph type="italics"></emph>Proposizione,<emph.end type="italics"></emph.end> la <emph type="italics"></emph>Risposta di D. Famiano Michelini,<emph.end type="italics"></emph.end> parte della <emph type="italics"></emph>Replica<emph.end type="italics"></emph.end> non<lb></lb>chè l'<emph type="italics"></emph>Appendice del Torricelli<emph.end type="italics"></emph.end> che seguono alla <emph type="italics"></emph>Scrittura presentata al Ser. Principe <lb></lb>Leopoldo il 21 aprile 1645,<emph.end type="italics"></emph.end> e infine le <emph type="italics"></emph>Difftcoltà sovvenute al Torricelli dopo che ebbe viste <lb></lb>le Chiane.<emph.end type="italics"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Nella accennata edizione fiorentina del 1768 è posta una nota (V. pag. 111) in <lb></lb>cui si legge. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="italics"></emph>Le seguenti Scritture finora inedite ci sono state favorite da un Amico senza alcuna <lb></lb>disposizione; noi abbiamo procurato di porle secondo quell'ordine, che ci è sembrato richie<lb></lb>dere la lettura delle medesime; Esse sono di Don Famiano Michelini, di Evangelista Tor<lb></lb>ricelli, del Senatore Andrea Arrighetti, e del Marchese Del Borro.<emph.end type="italics"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="italics"></emph>Le più notabili delle sopradette Scritture, son certamente quelle del Torricelli, nelle <lb></lb>quali si scorgono alcuni principi veri della scienza allora nascente del Moto delle Acque; <lb></lb>in esse si trovano promosse varie difficoltà al progetto di abbassare la Chiusa de' Monaci di <lb></lb>S. Flora, e Lucilla d'Arezzo, e di escavare un Canale per mezzo al vasto Padule della Val <lb></lb>di Chiana, progetto che non è stato mai eseguito, ed il boniflcamento fatto finora nella <lb></lb>Val di Chiana, si deve realmente più che ad altro, a quello che propose il Torricelli in <lb></lb>queste Scritture, cioè a' rialzamenti fatti de' terreni paludosi colle deposizioni dei flumi. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Non pertanto il progetto di abbassare la sopradetta Chiusa, di escavare, e profondare il <lb></lb>Canal Maestro è stato più volte rimesso in campo, ma non già eseguito, e molto meno me<lb></lb>riterebbe d'esser tentato ne' presenti tempi, ne' quali il boniflcamento della Val di Chiana <lb></lb>è quasi ultimato, o almeno poco tempo, e spesa si richiede per perfezionarlo, proseguendo <lb></lb>il metodo finora usato delle Colmate, e mantenendo nelle solite misure, e profondità il Canal <lb></lb>Maestro con ripulirlo dalle deposizioni di quelle materie, che scappano dalle Colmate.......<emph.end type="italics"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Come è qui detto, oltre i discorsi di E. Torricelli sopra la bonificazione della <lb></lb>Val di Chiana, altri di minore riguardo furono pubblicati sullo stesso argomeuto <lb></lb>nella <emph type="italics"></emph>Raccolta d'Autori che trattano del moto delle acque,<emph.end type="italics"></emph.end> ma qui si ristampano quelli del <lb></lb>nostro Autoro ed in più soltanto la <emph type="italics"></emph>Risposta<emph.end type="italics"></emph.end> data da D. F. Michelini alla primitiva <lb></lb>scrittura del 12 aprile 1645. La conoscenza di tale <emph type="italics"></emph>Risposta<emph.end type="italics"></emph.end> si è ritenuta necessaria per <lb></lb>l'intelligenza della importantissima <emph type="italics"></emph>Replica<emph.end type="italics"></emph.end> che vi segue immediatamente. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>GIUSEPPE VASSURA. </s></p> <pb></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>SCRITTURE <lb></lb>SOPRA LA BONIFICAZIONE <lb></lb>DELLA VAL DI CHIANA<emph.end type="center"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROPOSIZIONE.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Data una Palude AB (Fig. 1 Tav. </s> <s><foreign lang="it">II) (quale s'intende <lb></lb>esser la Chiana) lunga miglia 15, e larga un miglio rag<lb></lb>guagliatamente, la quale sia ripiena di melme tagliate <lb></lb>nel fosso di mezzo largo braccia 22, per dove scorre l'acqua, <lb></lb>e dato, che il profilo della superficie dell'acqua del detto <lb></lb>fosso si rappresenti in tre stati; prima ne' tempi estivi <lb></lb>secondo AB, quale sia quasi orizzontale: secondo nel tem<lb></lb>po d'inverno nelle minori escrescenze secondo CD elevato <lb></lb>sopra AB un braccio; terzo ne' tempi delle massime piene <lb></lb>secondo EF elevato sopra CD due braccia, delle quali se <lb></lb>ne abbassi un braccio in sei giorni, e il secondo in dodici, <lb></lb>e l'alzata delle massime piene si faccia quando in sei, <lb></lb>quando in cinque, ed al più in tre giorni. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Il profilo del<lb></lb>l'acqua nelle massime piene nella palude AF uscendo dalla <lb></lb>bocca BF sia FGH, e che da F a G vi sia miglia 4, e <lb></lb>braccia due di pendenza. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Da G ad H miglia tre, e braccia <lb></lb>tre di pendenza, dove correndo per cinque canali per lo <lb></lb>spazio di poco più di un miglio, si riduca in un solo, lar<lb></lb>go braccia 26 senza diffondersi; li maggiori fondi della <lb></lb>palude AF, sotto il livello AB estivo sieno braccia tre, e <pb pagenum="266"></pb>sia finalmente una pescaia in H di braccia 17 di caduta <lb></lb>in K; si domanda se facendo un fosso largo braccia 26 <lb></lb>nel fondo, secondo la retta LM parallela all'AB sotto H <lb></lb>braccia 9, la detta palude AB si disseccasse. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Si dice che il canale G parallelo al pelo A delle mas<lb></lb>sime piene, passando più d'un braccio sotto li maggiori <lb></lb>fondi, asciugherà le stagnanti, e scaricherà l'escrescenti <lb></lb>almeno nello stesso tempo d'ora, e che dando al canale <lb></lb>maggiore inclinazione, scaricherà sempre in minor tempo, <lb></lb>secondochè se li darà maggior declive. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Le massime piene s'alzano sopra l'ordinarie al più <lb></lb>braccia due, e si scarica il primo braccio in sei giorni, e il <lb></lb>secondo in dodici, perchè vengono ad elevarsi le dette <lb></lb>due braccia di più sopra il declive, che hanno fino alla <lb></lb>soglia della pescaia, e il primo braccio s'abbassa nella <lb></lb>metà meno di tempo, perchè avendo guadagnato maggiore <lb></lb>altezza se li deve in conseguenza maggior declive. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Se poi <lb></lb>si profonderà il canale da E in G parallelo all'estremità <lb></lb>del pelo A delle massime piene, disperderà le stagnanti, <lb></lb>passando sotto tutti i maggiori fondi I, e scaricherà l'escre<lb></lb>scenti in minor tempo che adesso, ma dicasi nell'istesso, <lb></lb>e se il braccio superiore, come s'è detto, scarica nella <lb></lb>metà meno di tempo, perchè ha acquistato maggior de<lb></lb>clive, si può adunque dire, che abbassando il canale sotto <lb></lb>G braccia due, il braccio inferiore acquisterà la velocità del <lb></lb>superiore, ed il superiore la duplicherà e scaricheranno <lb></lb>ambidue in giorni nove, e così abbassando due altre brac<lb></lb>cia seguirà il medesimo effetto, e con aver levato solo <lb></lb>braccia 8 1/2 della pescaia, averemo ridotto lo scarico del<lb></lb>l'escrescenti in giorni 4 e 1/2. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Dato, che la Chiana con le pendenze che si trova, <lb></lb>scarichi le massime piene in giorni 20, al più, e le riduca <lb></lb>allo stato ordinario in detto tempo. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Si domanda se con sbassar parte della pescaia de' Mo<lb></lb>naci, o tutta volendosi, con profondare il canale a propor<lb></lb>zione del detto sbassamento fino alle Chiarine di Monte <lb></lb>Pulciano in braccia 3, e si dissecheranno li maggiori fondi <lb></lb>contenuti tra le dette Chiarine, e li Ponti d'Arezzo. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Se per la velocità acquistata dallo sbassamento di pe- <pb pagenum="267"></pb>scaia, e profondità di canale si scaricheranno le massime <lb></lb>piene in minor tempo di quello fanno di presente. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>E se abbassandosi orizzontalmente li Chiari di Chiusi, <lb></lb>e Monte Pulciano le dette 3 braccia, si potrà con tale <lb></lb>augumento di declive tirar l'Astrone e la Tresa alla volta <lb></lb>del Chiaro di Chiusi. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Si considera lo stato della Chiana in tre modi, cioè <lb></lb>nelle massime piene, nello stato ordinario d'inverno, e <lb></lb>primavera, e nell'estivo. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Le massime piene per continuazione di pioggie tra<lb></lb>scendono al più l'ordinarie braccia 2, e cessate le pioggie <lb></lb>con la pendenza, che di presente si trovano in 15, o 20 <lb></lb>giorni al più si riducono allo stato ordinario. </s></p> <p type="main"> <s>Il detto stato ordinario riceve augumento d'un braccio <lb></lb>più sopra l'estive da mezzo autunno indietro per pioggie <lb></lb>non continuate, e rinfresco de' scoli, e così si mantiene <lb></lb>fino all'estate, che la riduce all'estivo. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Lo stato estivo secondo la maggiore, e minore aridità, <lb></lb>causa, che quasi ogni anno al Passo alla Querce, e alle <lb></lb>foci della Foenna, e Muserone si passa con piede asciutto, <lb></lb>e alle volte è avvenuto il medesimo sotto al Porto di <lb></lb>Policiano, dove il canale è restato del tutto arido, dacchè <lb></lb>si può dire, che la Chiana in tre parti rimanga quasi <lb></lb>orizzontale. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Le sue pendenze, secondo il livello fatto dagli Inge<lb></lb>gneri Romani, e Fiorentini nel 1600, si vedono distinta<lb></lb>mente notate nel profilo; ma s'avverta che cominciarono <lb></lb>il livello dal Buterone, e dalla soglia delle bocchette a <lb></lb><emph type="italics"></emph>Beccati questo,<emph.end type="italics"></emph.end> trovorno essere di pendenza verso le boc<lb></lb>chette palmi 19 e 1/2 Romani, il che dimostra essere stato <lb></lb>fatto in tempo delle massime piene, e per il gran tempo, <lb></lb>che vi scorse in livellare fino alli Ponti d'Arezzo, l'acque <lb></lb>si ridussero allo stato ordinario, che però mostra il livello <lb></lb>più pendenza di quella, che di presente si trova dalle <lb></lb>Chiarine al Porto di Policiano, come avrebbero conosciuto <lb></lb>se avessero segnato ove arrivava l'acqua a <emph type="italics"></emph>Beccati questo,<emph.end type="italics"></emph.end><lb></lb>quando cominciorno il livello. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Tutti li fondi, ed altezze d'acqua, che in diversi luoghi <lb></lb>si misurorno nel 1643 in tempo che l'acque erano alte <pb pagenum="268"></pb>sopra l'ordinarie un terzo delle massime piene, si vedono <lb></lb>pure distinte nel profilo, e si vede nel luogo, che nelle <lb></lb>massime piene l'acqua passa tutta sotto li cinque canali <lb></lb>delli Ponti d'Arezzo, e che per un poco di velocità acqui<lb></lb>stata tra li detti Ponti, e la Pescaia de' Monaci si riduce <lb></lb>tutta l'acqua in un canale, dove benchè fra detto spazio <lb></lb>v'entri acqua d'altri torrenti, non s'è per tempo alcuno <lb></lb>visto, che si spanda fuori del detto canale. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Dalle suddette osservazioni si è considerato, che ab<lb></lb>bassandosi 10 braccia della detta Pescaia (potendosi anche <lb></lb>del tutto) si tiene, che queste sole bastino con profondare <lb></lb>il canale sino alle Chiarine di Monte Pulciano in modo, che <lb></lb>abbassasse due, o tre braccia di più quell'acque, ci mostra <lb></lb>il profilo, che si disseccherebbero tutti li fondi contenuti <lb></lb>tra li Ponti d'Arezzo, e di Valiano, ed averebbe in distanza <lb></lb>il fondo del canale miglia 22, che sono dalla Pescaia al <lb></lb>principio delle Chiarine braccia 18 e 1/2 di pendenza. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Si dimanda per questo, se dopo fatto il canale con <lb></lb>sue cateratte a' Ponti d'Arezzo per sicurezza, che non si <lb></lb>scarichi maggior acqua in Arno di quella di presente nelle <lb></lb>massime piene con augumento di braccia 6 di pendenza <lb></lb>in detta distanza (come mostra il profilo) l'acqua delle <lb></lb>massime piene (disperse prima le stagnanti) si scariche<lb></lb>ranno in minor tempo di quello fanno di presente, e con<lb></lb>cordando nella verità; Si tiene potere sicurare gli acquisti <lb></lb>già fatti nelle fattorie, ridur parte di quei paludi a cul<lb></lb>tura, e il resto a prateria, e pascoli per ritegno delle ac<lb></lb>que escrescenti, se occorresse trattenerle in tempi piovosi <lb></lb>d'inverno, e si farà acquisto di gran quantità di gronde <lb></lb>dal Buterone, a Valiano mediante l'abbassamento di tre <lb></lb>braccia d'acqua in que' Chiari, che questo ridurrà facilis<lb></lb>simo il poter tirare a questa volta la Tresa e l'Astrone <lb></lb>senza pericolo d'inondazione, e con utile grandissimo, <lb></lb>perchè oltre la lor pendenza ordinaria n'averanno tre <lb></lb>braccia di più per potersi condurre nel Chiaro di Chiusi, <lb></lb>che si troverà orizzontalmente basso con quello di Monte <lb></lb>Pulciano. </foreign></s> </p> <pb pagenum="269"></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>SCRITTURA DEL SIG. TORRICELLI <lb></lb>PRESENTATA AL SERENISS. PRINCIPE LEOPOLDO <lb></lb>A' 12 APRILE 1645.<emph.end type="center"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Io so, che quelle difficoltà, le quali nello spazio d'un <lb></lb>giorno solo mi sono sovvenute, e quelle che mi possono <lb></lb>anco sovvenire nel negozio delle Chiane non solo saranno <lb></lb>state avvertite tutte, ma anco esaminate, e superate da <lb></lb>quelli ingegni elevati, che già molt'anni sono contem<lb></lb>plano questa materia. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Così veramente è neccessario aver <lb></lb>fatto per servir bene S. A. Serenissima, se le scritture nelle <lb></lb>quali si scorgono l'obiezioni e si mostra l'utilità dell'im<lb></lb>presa, mi fussero state partecipate, come speravo, che si <lb></lb>dovesse fare, forse sarei restato persuaso subito senza <lb></lb>perdere ora questo tempo nello scrivere cose già appresso <lb></lb>altri inveterate, e convinte. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Pertanto sarò scusato se in <lb></lb>cambio di difficoltà aduno cose già spianate, e molto più <lb></lb>dovrò essere scusato, perchè se io facessi altrimenti non <lb></lb>obbedirei al comandamento del Serenissimo Gran-Duca. </foreign></s> <s><lb></lb>La somma prudenza di S. A. vuole, che avanti ad una <lb></lb>resoluzione tanto grande, si cerchino, e s'investighino con <lb></lb>ogni industria, le difficoltà tutte che si possono mai im<lb></lb>maginare, anco le minime acciò si discorrano adesso finchè <lb></lb>siamo a tempo. </s> <s><foreign lang="it">Quella natura che opera con immensa <lb></lb>facilità, e con sommo sapere non mancherà già di met<lb></lb>tere mano a tutti quegli impedimenti, che possono render <lb></lb>vana l'intenzion nostra, se mancheremo noi d'investigarli, <lb></lb>e di pensarvi. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Però è necessario che noi procuriamo prima <lb></lb>di antivedere tutti i disordini, e preparargli tutti i ri<lb></lb>medi possibili, e quando questo non si possa ci risolviamo <lb></lb>a desistere affatto dall'impresa. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Il taglio delle Chiane è stato proposto in due modi. </s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Uno tratta di seccare dal Ponte a Buterone fino ai Ponti <lb></lb>d'Arezzo; l'altro tratta di condurre il fosso solamente dal <lb></lb>Chiaro di Monte Pulciano fino alli suddetti Ponti d'Arezzo. </foreign></s> <s><lb></lb>Quella prima è una distanza di 32 miglia; questa se<lb></lb>conda è solamente 20 in circa. </s><s>Io esaminerò solo questa <pb pagenum="270"></pb>seconda proposta, la quale mi pare più probabile e più <lb></lb>riuscibile. </s> <s><foreign lang="it">Le mie obiezioni saranno fondate sopra la lun<lb></lb>ghezza del canale, e sua poca pendenza. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Intanto le me<lb></lb>desime difficoltà, che intorno a questa seconda opinione <lb></lb>s'addurranno, molto più poi averanno forza in quell'altra <lb></lb>prima, dove la lunghezza del paese sarà maggiore, e la <lb></lb>pendenza, o declive, sarà assolutamente minore. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Io suppongo che l'impresa sia fatta, e finita; il fosso <lb></lb>principale dal Chiaro di Monte Pulciano fino ai Ponti <lb></lb>d'Arezzo sarà lungo 20 miglia, ma la pendenza tutta dal <lb></lb>principio fino alla fine di detto fosso sarà intorno a 20 <lb></lb>braccia, come si cava da piante e livelli esattissimi. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ora <lb></lb>perchè le figure fatte all'improvviso come sono quelle, <lb></lb>che ne' congressi, e nel fervore delle contraddizioni si <lb></lb>fanno ingannano non solamente gli occhi ma a me anche <lb></lb>l'intelletto, ho giudicato mettere in profilo il suddetto <lb></lb>fosso con due giuste proporzioni di lunghezza, e pendenza. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Il tutto nel congiunto foglio si vede, e si conosce che in <lb></lb>tutti i modi il pelo dell'acqua resterà sempre poco meno <lb></lb>che orizzontale. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Concedo ora, che l'acqua realmente in <lb></lb>questo fosso si muoverà più veloce, che non faceva prima, <lb></lb>mentre si muoveva nel gran vaso delle Chiane, e questo <lb></lb>da me si concede, poichè trovo, che la pendenza verrà <lb></lb>prossimamente raddoppiata, ma non so già quanto per <lb></lb>appunto sia accresciuta la suddetta velocità. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Questo solo <lb></lb>so di certo, che se correrà quattro volte più veloce vorrà <lb></lb>un quarto dell'alveo che aveva prima, se tre volte più <lb></lb>veloce bisognerà darli un terzo dell'alveo di prima. È <lb></lb>ben vero (per restringermi alle particolarità) che difficil<lb></lb>mente l'acqua nel suddetto fosso arriverà ad essere tre <lb></lb>volte più veloce di quel che era prima. </foreign></s> <s>E se questo è <lb></lb>vero concluderò così. </s> <s><foreign lang="it">Se noi vorremo che l'acqua si <lb></lb>scoli, e se ne vadia dalle Chiane, non dirò meglio o più <lb></lb>presto, ma per appunto come faceva prima bisognerà fargli <lb></lb>un alveo, la cui sezione sia per un terzo della sezione, <lb></lb>o alveo di prima. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Questo sia detto <emph type="italics"></emph>ex facta supposi<lb></lb>tione<emph.end type="italics"></emph.end> della quale anch'io sto in dubbio, poichè non credo, <lb></lb>che l'acqua in quel fosso arriverà a triplicare la sua <lb></lb>velocità, e però sarà peggio poichè vi vorrà un fosso <pb pagenum="271"></pb>più capace, che non è un terzo della sezione o capacità <lb></lb>delle Chiane. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Parmi dunque, che stante il pochissimo acquisto di <lb></lb>velocità acciò l'acqua se ne vada, bisognerà, che il fosso <lb></lb>sia molto grande, e questa grandezza s'intenda nella parte <lb></lb>inferiore ABCD (Fig. 3 Tav. </foreign></s> <s><foreign lang="it">II) che doverebbe venire <lb></lb>occupata dall'acqua; tanto più poi dovrà essere grande <lb></lb>nella parte superiore EABF, dove la lunghezza EF <lb></lb>deve essere composta dalla CD larghezza del fondo, e del <lb></lb>perpendicolo, o profondità del fosso due volte presa, acciò <lb></lb>le sponde vengano con la scarpa naturale, e si possano <lb></lb>mantenere. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Aggiungnerò ora due cose. </s> <s><foreign lang="it">Dato, che sia fatto il fosso <lb></lb>lungo 20 miglia, largo quanto sarà giudicato dagli Archi<lb></lb>tetti, e con 20 braccia di pendenza in tutto; dico primie<lb></lb>ramente che la Chiana ad ogni pioggia notabile si riem<lb></lb>pirà appunto come fa ora, o insensibilmente poco meno; <lb></lb>secondariamente dico, che nel votarsi vorrà quasi quell'i<lb></lb>stesso tempo, che vuole adesso. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Quanto al primo adduco questa ragione; suppongasi <lb></lb>la Chiana asciutta; quella furia d'acqua, che nel medesimo <lb></lb>tempo ogni volta che piove da molti fiumi, fossi, ed altri <lb></lb>scoli scende nelle Chiane da tutte le parti, benchè trovi <lb></lb>il fosso preparato aperto, e netto non però s'incamminerà <lb></lb>giù per esso se non con grandissima tardità, come vedia<lb></lb>mo nei fossi della Campagna di Pisa però io credo, che <lb></lb>senza rimedio alcuno l'acqua suddetta si spargerà, alla<lb></lb>gherà, riempirà le Chiane, e farà gli effetti medesimi che <lb></lb>fa adesso, quanto al senso però, conosco bene, che neces<lb></lb>sariamente ci sarà qualche diversità. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">A questa istanza mi ricordo, che fu risposto nel primo <lb></lb>congresso. </foreign></s> <s><foreign lang="it">L'ho replicata nondimento, perchè mi pare <lb></lb>d'aver scoperto la fallacia nella risposta. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Mi fu detto in <lb></lb>una figura simile alla presente; sia il profilo delle Chiane <lb></lb>AB, (Fig. 2 Tav. </foreign></s> <s><foreign lang="it">II) nello stato presente, sua caduta al <lb></lb>mulino de' Frati sia BC, profilo delle Chiane quando sa<lb></lb>ranno tagliate sia DC. Ora l'acque, che piovano adesso <lb></lb>alzandosi 3 braccia sopra l'AB, allagano grandissimo paese <lb></lb>empiendo le Chiane affatto, ma quando sarà fatto il taglio <pb pagenum="272"></pb>delle Chiane, e che il corso ordinario sarà per DC, l'acqua <lb></lb>alzandosi sopra DC, quelle medesime 3 braccia verrà à <lb></lb>diffondersi pochissimo, non empirà le Chiane altrimenti, <lb></lb>e farà danno insensibile. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Io replico, che AB è il profilo d'una palude larga tre, <lb></lb>o quattro mila braccia, ma DC, è il profilo d'un fosso <lb></lb>largo pochissime braccia, però quell'acqua, che sopra AB <lb></lb>s'alza 3 braccia, la medesima sopra DC, s'alzerà non al<lb></lb>trimenti 3 braccia sole, ma tanto, che riempirà il fosso <lb></lb>fino in cima, e poi anco di più tanto, che sormonti sopra <lb></lb>AB, quasi per altrettanto spazio come faceva prima avanti <lb></lb>che si facesse il taglio, ed il fosso. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Quanto al secondo, ho detto, che le Chiane vorranno <lb></lb>quasi il medesimo tempo, che vogliono adesso per votarsi, <lb></lb>e n'assegno la ragione. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Se l'acqua adesso nel votar le <lb></lb>Chiane si muove con grandissima tardità, ha anche un <lb></lb>grandissimo alveo, nel quale si va movendo, e però vuota <lb></lb>le Chiane in quel tempo, che si sa. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma dopo fatto il taglio <lb></lb>se la diminuzione dell'alveo sarà maggiore, che l'accresci<lb></lb>mento della velocità, io dubito, che vorrà più tempo, <lb></lb>che non vuole adesso per rasciugarsi. </foreign></s> <s>Mi dichiaro; se <lb></lb>l'alveo sarà diminuito cento volte, ma la velocità non sia <lb></lb>cento volte accresciuta, dubito, che sarà peggio l'aver <lb></lb>serrata dentro un fosso quell'acqua, che si moveva in una <lb></lb>laguna tanto grande. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Parmi dunque d'aver qualche ragione di temer questi <lb></lb>due danni, cioè che fatto il taglio, le Chiane si riempiranno <lb></lb>come prima, e dopo riempiute vorranno quasi il mede<lb></lb>simo tempo, che vogliono ora per rasciugarsi. </foreign></s> <s>Onde segui<lb></lb>rebbe, che con grandissima spesa, si sarebbe comprato, o <lb></lb>niuno, o insensibile benefizio. </s></p> <p type="main"> <s>Esaminiamo ora, se per nettare le Chiane dalle melme, <lb></lb>ed altre robe possa seguirne minore alzamento d'acque e <lb></lb>però benefizio notabile. </s> <s><foreign lang="it">Già per conto del fosso ho detto, <lb></lb>che non ostante il fosso, le Chiane si riempiranno come <lb></lb>prima, mentre l'acqua delle pioggie, che scola nelle Chiane <lb></lb>sarà molto più, che non è quella, la quale per il fosso si <lb></lb>parte. </foreign></s> <s>Ora se questo è vero, o sianvi le melme, o non vi <lb></lb>sieno, io dico, che le Chiane nell'istesso modo si riempi- <pb pagenum="273"></pb>ranno, imperocchè quanto vi mancherà di melme sarà <lb></lb>impedito ed occupato da altrettanta acqua. È ben vero, <lb></lb>che essendovi le melme l'acqua arriverà ad un tal segno, <lb></lb>un tantin prima di quel che farebbe, se non vi fussero <lb></lb>state le melme. </s> <s><foreign lang="it">Così la varietà sarà nell'anticipazione del <lb></lb>tempo, e non nell'altezza dell'allagamento. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Se il vaso AB, <lb></lb>(Fig. 4 Tav. </foreign></s> <s><foreign lang="it">II) si ponga sotto le gronde, e la quantità <lb></lb>dell'acqua, che piove, sia maggiore assai di quella, che <lb></lb>esce per la cannella D, il vaso si riempirà ugualmente, o <lb></lb>sianvi, o non vi siano i sassi C, è ben vero, che essendovi <lb></lb>si riempirà un poco prima. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Quanto poi al modo, o invenzione per dissecare le <lb></lb>Chiane non posso soggiungere nulla per molte cagioni; <lb></lb>prima, perchè non ho notizia, e pratica di quei paesi, delle <lb></lb>qualità del terreno, o masso, della diversità dei fondi, e <lb></lb>inegualità di superficie, che può restare nel terreno dopo <lb></lb>levata l'acqua, della quantità dell'impostime, e impedi<lb></lb>menti, che naturalmente vi nascono, o vi portano i fiumi. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>In oltre finchè m'occupan la mente le difficoltà narrate <lb></lb>non posso apprendere, che sia di servizio del Serenissimo <lb></lb>Gran-Duca di tentare quest' impresa. </foreign></s> <s><foreign lang="it">In ultimo non spe<lb></lb>rerò mai di trovar modo per effettuare questa impresa, <lb></lb>tanto sicuro e facile, che sia per arrivare al proposto del <lb></lb>P. Francesco, e molto meno, che possa sussistere in para<lb></lb>gone di quei modi, che mi pare abbia accennato l'Ecce<lb></lb>lentissimo Sig. Maestro di Campo Generale Borri. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>RISPOSTA DI D. FAMIANO MICHELINI <lb></lb>ALLA SCRITTURA DEL SIGNOR TORRICELLI <lb></lb>PRESENTATA AL SERENISSIMO PRINCIPE LEOPOLDO <lb></lb>LI 21 APRILE 1645.<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Propose già un mio amico di rasciugare le Chiane dalle Chiarine <lb></lb>di Monte Pulciano verso Firenze, in modo però che restasse letto spa<lb></lb>ziosissimo, e capacissimo all'acque; onde si contentava di rasciugarne <lb></lb>la terza parte nella lunghezza di 20 miglia ed il resto fusse tutto letto, <lb></lb>e prateria, e questo propose in carta, 10 anni fa; è ben vero, che <pb pagenum="274"></pb>in voce diceva, che S. A. v'averebbe avuto più utile, ma che egli si <lb></lb>contentava propor poco, e che l'effetto fusse maggiore. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Questo pretendeva egli di fare col benefizio della pescaia di 16 ov<lb></lb>vero 18 braccia posta al mulino de' Monaci di Badia, che ne potrebbe <lb></lb>levare, e fare un regolatoio, o cateratta a' Ponti d'Arezzo, che scari<lb></lb>casse la medesima acqua, che scarica adesso nelle maggiori piene, che <lb></lb>così s'assicureranno le riviere d'Arno. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Fu risposto, che il negozio era pericoloso assai a Firenze per le <lb></lb>grand'Acque, e che però non era bene tentar simile impresa con tanto <lb></lb>pericolo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Questa risposta dette un poco di fastidio al proponente, e <lb></lb>tanto più quanto che il Sig. Galileo già primo Filosofo di S.A. gli <lb></lb>aveva lodato assai il pensiero, anzi esortatolo a proporlo, come cosa <lb></lb>utilissima a questo Stato. </foreign></s> <s><foreign lang="it">L'Amico mio pregommi più volte a voler <lb></lb>andar sul luogo a veder le sue ragioni; io più per curiosità che per <lb></lb>poterli giovare v'andai parecchie volte, e sempre il negozio mi pareva <lb></lb>più bello, e stimai, che la paura di Firenze fusse vanamente presa <lb></lb>senza fondamento nessuno. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Così feci una scrittura dove mi par mostrare <lb></lb>vana la paura, e sicuro l'acquisto del terzo della detta Chiana. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Insurgono ora due dotte Scritture, l'una contro la detta mia scrit<lb></lb>tura, l'altra contradice ad un'altra da non so chi proposta, che vorreb<lb></lb>be asciugare in qualche parte anch'egli fino a Buterone da Ponti <lb></lb>d'Arezzo. </s> <s><foreign lang="it">Io risponderò per la parte che tocca a me, e non mi parrà <lb></lb>poco se io m'ingegnerò di mantenere la mia scrittura concludente, <lb></lb>che tratta il rasciugamento della terza parte della Chiana dalle Chia<lb></lb>rine di Monte Pulciano fino a' Ponti d'Arezzo senza pericolo delle ri<lb></lb>viere d'Arno, e massime vedendo, che l'Autore della seconda Scrittura, <lb></lb>si mette alla sentenza dell'Autore della prima con queste parole, <lb></lb><emph type="italics"></emph>“ assolutamente ritroverà, che è negozio ripieno d'infinite difficoltà, o <lb></lb>“ più tosto impossibile come dimostra concludentemente, in una sua <lb></lb>“ dotta scrittura fatta sopra questo negozio delle Chiane, il Sig. Torri<lb></lb>“ celli ”.<emph.end type="italics"></emph.end> Ora se questa, che si stima dimostrazione da amendue gli <lb></lb>Autori potessi provare non esser tale, ma più tosto favorisse il mio <lb></lb>pensiero, cioè la mia scrittura, avrei soddisfatto in gran parte all'ob<lb></lb>bligo mio, tanto più se con l'istesse, promesse, o concessioni dell'av<lb></lb>versario argumentando <emph type="italics"></emph>ad hominem<emph.end type="italics"></emph.end> io dimostrassi la disseccazione <lb></lb>del doppio di quello che proponevo con gran vantaggio dato all'op<lb></lb>positore. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Nel profilo dunque del fosso di 20 miglia fatto dall'oppositore nella <lb></lb>lunghezza d'un braccio disegnato a proporzione apparisce veramente <lb></lb>la pendenza delle 20 braccia nulla, cioè orizzontale, ma finalmente la <lb></lb>concede qualcosa, e la limita a manco della grossezza d'una crazia. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Se egli voleva farla più a suo favore doveva pigliare non un braccio <lb></lb>per la lunghezza delle 20 miglia, ma quattro dita solamente, che anco <lb></lb>la pendenza di 200 braccia sarebbe apparsa insensibile per l'appunto, <lb></lb>come quella delle 20 braccia nella lunghezza d'un braccio, ma non <lb></lb>credo per questo, che il detto oppositore stimasse veramente, che un <lb></lb>fiume, che in detto disegno apparisce la pendenza delle 200 braccia <pb pagenum="275"></pb>insensibile nella lunghezza di 20 miglia, scaricasse poi pochissima <lb></lb>acqua. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Mi sovviene di quel principiante scultore che avendo ridotto secondo <lb></lb>il suo poco sapere una statua ad un certo segno, che a lui pareva <lb></lb>perfettissimo, il suo maestro gli mostrava diversi errori (per ammae<lb></lb>strarlo) ne i muscoli, ne i tendini, nelle vene, nelle congiunture, e fi<lb></lb>nalmente nella composizione delle membra, egli rispose al maestro, <lb></lb>Signor mio voi siete troppo da vicino a rimirare il mio lavoro, ritira<lb></lb>tevi 100 braccia addietro, e poi sappiatemi dire quello, che voi vedete <lb></lb>di queste minuzie. </foreign></s> <s>Non par dunque, che a questo disegno così minuto, <lb></lb>cioè allontanato dalla vista, faccia a proposito per convincere l'avver<lb></lb>sario, cioè la mia scrittura? </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Mi concede poi l'oppositore, che la velocità potrebbe quasi tripli<lb></lb>carsi, e che l'alveo da lasciarsi a conto di questa velocita fusse poco <lb></lb>più d'un terzo, e così non avvedendosene mi concede di rasciugamento <lb></lb>quasi due terzi della Chiana, dove io mi contentavo di un terzo sola<lb></lb>mente in tutto. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma io, Sig. mio, vi concederò metà della Chiana per <lb></lb>letto capacissimo di detti due terzi a conto di detta velocità, facen<lb></lb>dovi ogni gran vantaggio acciò possiate fare la scarpa del fosso forse <lb></lb>come desiderate, e non abbiate più paura, che gli scoli di quei fossi, <lb></lb>che mettono nella Chiana sieno per allagar più il paese già che ora <lb></lb>hanno un letto più capace assai di prima, e tutto per vostro detto, <lb></lb>e con farvi grandissimo servizio, così non dubiterete più del tempo di <lb></lb>votarsi la Chiana, già che gli concedete quasi tripla velocità, ed io <lb></lb>vi do la proporzione dell'alveo maggior del bisogno. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">La Chiana poi non corre per tutta la lunghezza ugualmente, ma il <lb></lb>maggior corso è nel fosso maestro, e pochissimo nelle prode, anzi <lb></lb>tanto insensibilmente vi si muove dove sono le melme, che i paesani <lb></lb>dicono, che l'acqua stia ferma. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Or vedasi quanto maggior letto del <lb></lb>dovere concedo all'avversario nel contentarmi di due terzi di detta <lb></lb>Chiana per letto capacissimo di tutte l'acque. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Le difficultà dunque <lb></lb>della diminuzione dell'alveo che apporta l'avversario, cioè, del non <lb></lb>accrescersi l'alveo a proporzione dello scemamento di velocità, non <lb></lb>pare, che abbia luogo nel nostro caso, poichè l'alveo viene accresciuto <lb></lb>più del dovere, come s'è provato, e la velocità non verrà punto impe<lb></lb>dita dal restringimento di detto alveo, poichè piuttosto sarà più largo <lb></lb>del bisogno. </foreign></s> <s>Sin qui dunque abbiamo rasciugato un terzo di detta <lb></lb>Chiana per detto dell'avversario; vediamo ora se si potesse accrescere <lb></lb>per altro verso. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Io proposi nella mia scrittura (secondo il computo comune di quelli, <lb></lb>che abitano le Chiane) che le melme, sterpi, cannuccie, e l'acque che <lb></lb>perpetuamente stanno nel catino della Chiana importino un terzo di <lb></lb>tutta la Chiana, e più assai, e che levandosi tutti questi impedimenti <lb></lb>perpetui, con abbassare, e levare la pescaia de' Monaci per quello, <lb></lb>che aspetta al rasciugamento dell'acqua, e li sterpi, cannuccie, e mel<lb></lb>me si levino in quel miglior modo, che si può ec. </foreign></s> <s><foreign lang="it">restava dunque <lb></lb>verso le sponde un rasciugamento per un terzo e più della detta Chiana <pb pagenum="276"></pb>poichè il letto era tanto più capace, quanto importano <emph type="italics"></emph>tutti quesli <lb></lb>impedimenti continui:<emph.end type="italics"></emph.end> si leva su l'avversario, ed oppone a questa mia <lb></lb>proposta con queste parole con l'esempio del vaso AB. Esaminiamo ec. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Il caso mi par proposto assai generale, e senza le debite determi<lb></lb>nazioni, e però pare, che concluda, ma in realtà è tutto fuori del caso <lb></lb>nostro, dove si determina la quantità dell'acqua, con la quantità del<lb></lb>l'alzamento, che sono segnati, e determinati mentre si devono pigliare <lb></lb>le massime piene, e si deve supporre, che sopra le massime non ve <lb></lb>ne sieno altre, e con la detta quantità terminata di pioggie compu<lb></lb>tarvi la cannella presente, e poi la figura che scaricherà maggior <lb></lb>quantità d'acqua; io dicevo così nel caso della Chiana, e servami per <lb></lb>esempio il suddetto vaso AB. (Fig. 4, Tav. </foreign></s> <s><foreign lang="it">II) ripieno d'acqua, e sterpi <lb></lb>fino in C, entrivi nuova acqua, che <emph type="italics"></emph>ad summum<emph.end type="italics"></emph.end> arrivi fino all'orlo <lb></lb>AB, che è quello delle massime piene, con lo scarico della cannella D, <lb></lb>dove sono questi impedimenti perpetui, è il medesimo, che se il vaso <lb></lb>fusse minore, poichè dove sono loro non vi può entrare acqua; se <lb></lb>dunque gli impedimenti si leveranno il vaso resterà maggiore; e così <lb></lb>se la quantità con gli impedimenti arriva fino all'orlo AB, levati li <lb></lb>detti impedimenti, la medesima quantità d'acqua non potrà mai arri<lb></lb>vare all'orlo AB, ma più bassa cioè v.g. </foreign></s> <s><foreign lang="it">in EF, e tale spazio impor<lb></lb>terà per la quantità de' sassi, sterpi, melme, e sarà anche minore <lb></lb>l'alzamento per la maggior velocità dell'acqua o della Cannella ec. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>che sarà più bassa assai della Cannella presente. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Bisogna determinare la quantità dell'acqua, e non supporre che <lb></lb>quando si vogliono rasciugare le Chiane venga il diluvio, che in quel <lb></lb>caso non saremo sicuri a Monte Morello. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Concludo dunque, che avendo rasciugato almeno un terzo di Chiana <lb></lb>per la velocità dell'acqua concessami dall'avversario, ed ora un terzo <lb></lb>rasciugatane, per la quantità dell'acque estive, con le melme, sterpi <lb></lb>ec. </s> <s><foreign lang="it">verrà rasciugato due terzi della Chiana proposta, che è quanto <lb></lb>mi occorreva dire in questo proposito. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Averei forse potuto mostrare il <lb></lb>quasi totale rasciugamento, ma per ora mi sono contentato di questo <lb></lb>poco per non volere stiracciare le cose a volerne troppo per me, ed <lb></lb>un troppo poco per il compagno.<gap desc="/SM"></gap></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>REPLICA DEL SIGNOR TORRICELLI.<emph.end type="center"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Se in cambio del negozio importantissimo del rasciu<lb></lb>gare le Chiane si trattasse di qualsivoglia controversia <lb></lb>privata, o per esercizio di Filosofia, o per gara d'ingegno <lb></lb>intrapresa, io confesso, che senza procedere più innanzi <lb></lb>vorrei desistere affatto dalla fatica, e forse anco chiamarmi <pb pagenum="277"></pb>convinto. </foreign></s> <s>Certo è che la risposta data alla mia scrit<lb></lb>tura è di tal sorte, che io mi sarei subito quietato, nè <lb></lb>vorrei replicar più altro in questa causa. </s> <s><foreign lang="it">Ma dove s'agita <lb></lb>un negozio tanto importante del Serenissimo Gran-Duca, <lb></lb>sarei degno non dirò di biasimo, ma di castigo ancora, <lb></lb>se io tralasciassi l'impresa, o per la nullità della risposta, <lb></lb>o per avere osservato in essa qualche modo di trattare, <lb></lb>che da me in poi averebbe forse fatto sdegnare alcuno, <lb></lb>benchè più modesto, e meglio composto di me. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Si tratta <lb></lb>di tentare nel teatro del mondo un impresa già da sedici <lb></lb>secoli in quà, e forse più, ventilata. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Questa ovvero ammi<lb></lb>rata dai dotti deve accrescere con augumento notabile la <lb></lb>facultà alla Serenissima Casa di S. A. ovvero derisa da <lb></lb>tutti i viventi deve assorbire un tesoro di dispendio, con <lb></lb>obbrobrio a tutti noi, a' quali tocca l'esaminare, e il prov<lb></lb>vedere l'esito di questo pensiero. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Però benchè la risposta <lb></lb>datami quanto ai meriti della causa sia nulla, e quanto <lb></lb>al genere della scrittura sia così maltrattata (come io <lb></lb>credo) dal copista, che in alcuni luoghi non solo è fuori <lb></lb>di proposito, ma anco è priva di sentimento, nulladimeno <lb></lb>non mi parrebbe d'aver soddisfatto bene all'obbligo mio <lb></lb>in un negozio così grave se io la disprezzassi. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Quando alcuno leggerà ambedue le precedenti scritture <lb></lb>già fatte in questo proposito, io son certo, che riconoscerà <lb></lb>in esse una molto apparente diversità di costume. </s><s>La mia <lb></lb>per quanto ho potuto sta tutta applicata al negozio che <lb></lb>si tratta, sincera senza adornamenti, senza novelle, piena <lb></lb>tanto più di modestia e di rispetto quanto scarsa d'aculei <lb></lb>e di facezie. </s> <s><foreign lang="it">La risposta poi del mio censore pare alquanto <lb></lb>contraria; la similitudine dello scultore, le conseguenze <lb></lb>dedotte da mie stolide concessioni fatte in proprio disfa<lb></lb>vore senza avvedermene, i documenti precettivi, il diluvio <lb></lb>di Monte Morello, e cose simili pare, che passino ad altro <lb></lb>stile, e ad altro genere di composizione. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Non farà dunque <lb></lb>meraviglia se nella presente troverassi qualche importuna <lb></lb>prolissità e qualche inaspettata mutazione di maniera. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Sarebbe deriso quel Poeta, che non rispondesse per le <lb></lb>rime, e quel musico il quale, o ne' tempi festosi, o nelle <lb></lb>strade notturne nel gareggiare con gli istrumenti non ri- <pb pagenum="278"></pb>spondesse in tuono meriterebbe in cambio d'applausi le <lb></lb>fischiate. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Almeno nella presente scrittura non commetterò <lb></lb>quell'errore, che nella passata contro mia voglia mi trovo <lb></lb>aver commesso. </foreign></s> <s>Tratto dello scrivere l'obiezioni prima di <lb></lb>veder le proposte. </s> <s><foreign lang="it">Imitai quella strana usanza d'alcuni <lb></lb>popoli della Scizia. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Costumano questi (come anche si fa <lb></lb>ne' paesi nostri) di consigliarsi col medico nell'occasioni <lb></lb>appartenenti alla sanità; la stravaganza è, che tocca prima <lb></lb>al Medico il conoscere gl'accidenti occultati, ed indo<lb></lb>vinare tutte le indisposizioni non apparenti del paziente. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Se egli non sa dire per l'appunto a voi questa notte so<lb></lb>praggiunse l'accession della Febbre, ieri vi travagliò lo <lb></lb>stomaco, ora vi tormenta la sete, vi duole il capo, e cose <lb></lb>simili, il fisico vien deriso, ed anco come inutile licenziato. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Basta quanto all'indisposizioni del nostro negozio (benchè <lb></lb>non abbia veduta la scrittura dove si mostra la paura <lb></lb>vana, e sicuro l'acquisto) non solo io credo d'averle indo<lb></lb>vinate alla prima, ma qual che è peggio io dubito, che <lb></lb>saranno incurabili. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Non vorrei ora, che alcuno s'immaginasse, come parmi <lb></lb>d'aver presentito, che io abbia mutato opinione intorno <lb></lb>al negozio di rasciugar le Chiane, ma supposto, che io <lb></lb>l'avessi mutata? </s><s>Quando uno s'accorga d'impugnare inav<lb></lb>vedutamente la verità, e perchè s'ha da vergognare di <lb></lb>mutarsi d'opinione? </s><s>Come l'ho da trattare con genti che <lb></lb>abbiano queste massime, saranno vani senza dubbio tutti <lb></lb>li sforzi, e tutte le ragioni mie per fare apparire la verità. </s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Sono già tre anni da che io sentii il primo motivo circa <lb></lb>l'asciugamento delle Chiane, e supponendo per allora che <lb></lb>l'effetto fosse per riuscire, non applicai l'animo ad altro, <lb></lb>che al danno, il quale si poteva temere d'inondazione alle <lb></lb>riviere d'Arno. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Allora mi parve, che la paura fusse quasi <lb></lb>vana non sapendo io l'immensa quantità dell'acque che <lb></lb>si radunano in quella gran valle della Chiana. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ora che io <lb></lb>ho veduto quel Paese, quantunque in tempo d'acque basse, <lb></lb>vi ho scorto nondimeno una vera simulitudine del mare, <lb></lb>ed ho trovata una pianura, la cui vastità stanca per così <lb></lb>dire l'occhiate. </foreign></s> <s>Sarei bene stolido s'io non temessi di <lb></lb>quell'acque aggiunte in Arno con distribuzione più copiosa <pb pagenum="279"></pb>di quella, con la quale vi vengono di presente. </s> <s><foreign lang="it">Dissi più <lb></lb>copiosa perchè per beneficare le Chiane converrà pure <lb></lb>scaricare in minor tempo quell'adunanza d'inondazione, <lb></lb>che ora in più lungo tempo si smaltisce, e converrà pure <lb></lb>dare il passo sotto i Ponti d'Arezzo ad una gran quantità <lb></lb>d'acqua, che nel tempo delle piene, in cambio d'incam<lb></lb>minarsi per il suo solito viaggio verso il Tevere, rivolgerà <lb></lb>il suo corso tutta in Arno (quando però succeda l'abbas<lb></lb>samento delle acque dalla parte nostra) nè so se un re<lb></lb>golatoio potrà nel medesimo tempo fare l'uno, e l'altro <lb></lb>benefizio, cioè assicurare, che Arno non allaghi le sue <lb></lb>riviere, e la Chiana non affoghi le sue coltivazioni. </foreign></s> <s>Del <lb></lb>resto quanto alla possibilità, ovvero impossibilità dell'asciu<lb></lb>gamento non avendovi io pensato prima che adesso, mi <lb></lb>pare, che possa nominarsi concetto e opinione piuttosto <lb></lb>nuova, che mutata. </s><s>Dunque non ho variato pensiero per <lb></lb>ancora, ma mi dichiaro bene, che lo muterò ogni volta <lb></lb>che io vedrò o mi sarà mostrato ragione, che abbia forza <lb></lb>maggiore delle mie. </s> <s><foreign lang="it">Se si trattasse la vendita d'una Casa, <lb></lb>o il Matrimonio d'una Fanciulla, o le capitolazioni d'una <lb></lb>pace, o altri accordi di commercio civile, allora sì che io <lb></lb>starei non solo fermo ma anco pertinace nella parola <lb></lb>quantunque m'accorgessi aver promesso in mio disvantag<lb></lb>gio. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Nelle cose poi della natura il negozio cammina diver<lb></lb>samente. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Se ne' ragionamenti fatti sopra l'impresa delle <lb></lb>Chiane si fosse concluso concordemente da tutti i Mat<lb></lb>tematici, ed Ingegneri del Mondo, che l'opera sia possibile, <lb></lb>e poi in effetto e realmente ella non fusse possibile, io <lb></lb>credo, che non riuscirà mai. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Non basta avere la confes<lb></lb>sione, e l'accordo de' periti, ma si vuole il consenso della <lb></lb>natura istessa. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Quando questo manchi, il consenso di tutti <lb></lb>i periti della Terra ancorchè persuasi, e convinti sarà <lb></lb>sempre nullo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Però le difficoltà che non sono sovvenute <lb></lb>una volta in questi negozi dove si tratta con la natura <lb></lb>tanto fugace, ed industriosa, si posson produr sempre, e <lb></lb>deve stimarsi a gloria quello, che non imputerà manca<lb></lb>mento a sè, il mutarsi d'opinione, quando nelle contese <lb></lb>naturali si conosca d'aver presa la difesa della falsità. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Primieramente quanto a quel profilo del fosso da me <pb pagenum="280"></pb>posto in disegno proporzionato si scuopre una manifesta <lb></lb>non sottigliezza, ma malignità nella risposta. </foreign></s> <s><foreign lang="it">E chi sarà <lb></lb>mai quello a cui possa cadere nel pensiero, che io abbia <lb></lb>fatto quella figura per ingannare altri con fare apparire <lb></lb>altra non più che la grossezza d'una crazia quella linea, <lb></lb>che in effetto sarebbe circa 20 braccia? </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Il Padre Marino Mersenno litterato famosissimo di <lb></lb>Parigi, e di tutta l'Europa mi chiede in questi giorni ap<lb></lb>punto un disegno proporzionato del meraviglioso Tempio <lb></lb>di S. Maria del Fiore. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Non glielo vò più mandare acciò <lb></lb>la Cupola inarrivabile di Fiorenza, della quale è si gran <lb></lb>concetto per l'universo, non fussi giudicata un Misirizzi. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Ma lasciamo gli scherzi. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Se il mio Censore studiasse una <lb></lb>volta Tolomeo, allora sì che troverebbe uno scrittore <lb></lb>molto più malizioso di me. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Si tratta che gli epicicli, e i <lb></lb>deferenti de' Pianeti paiono fondi di scatole, e pure son <lb></lb>le fatture massime dell'Onnipotenza Creatrice. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Questa si<lb></lb>nistra interpretazione del mio Censore data ad un mio <lb></lb>senso tanto chiaro, è un presumere troppo non solo della <lb></lb>poca accortezza mia, ma di chiunque vedrà giammai l'una, <lb></lb>e l'altra delle nostre scritture. </foreign></s> <s><foreign lang="it">E chi sarà quello tanto <lb></lb>male impressionato contro di me, che non intenda il vero <lb></lb>senso mio, e non conosca l'astuzia altrui? </foreign></s> <s>L'apologo <lb></lb>dello scultore benchè poco a proposito raccontato mi fa <lb></lb>soggiungere un caso non molto diverso. </s><s>Un Architetto <lb></lb>inesperto aveva dettato ad un mio Amico le misure, e <lb></lb>proporzioni d'un Palazzo, ma in voce. </s><s>Quel mio amico non <lb></lb>contento di contemplare la forza delle parole volle vedere <lb></lb>in fatto l'apparenza delle proporzioni. </s><s>Prende però un fo<lb></lb>glio di carta imperiale, e vi descrive sopra fedelmente <lb></lb>con esatto, e proporzionato disegno quanto aveva ordinato <lb></lb>l'Architetto. </s> <s><foreign lang="it">Ma quando vide in paragone della facciata <lb></lb>immensa le finestre piccolissime, e la porta minore delle <lb></lb>finestre non potè contenersi, e se ne rammaricò. </foreign></s> <s>L'Archi<lb></lb>tetto ingegnoso si rise di lui con dire; lo so anch'io, che <lb></lb>vi parranno piccole la porta, e le finestre se voi dipingete <lb></lb>tutta la facciata sopra un foglio, più piccole ancora vi <lb></lb>parranno, se le fate sopra un mezzo, e molto più piccole <lb></lb>sopra un quarto. </s><s>Eh fatela, fatela sopra un prato di 10, <pb pagenum="281"></pb>ovvero 12 miglia, e v'accorgerete se la porta sarà grande. </s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Allora quell'Amico si chiarì affatto dell'Architetto, nè <lb></lb>anco si curò d'insegnarli quello che non sapeva. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Io che <lb></lb>sono più flemmatico gli averei detto: avvertite, che ne' <lb></lb>disegni non si guardano le grandezze assolute, ma parago<lb></lb>nate, e non si contempla la quantità d'una sola parte, <lb></lb>ma le proporzioni del tutto. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Per soddisfazione ora di quegli, <lb></lb>che vedranno le scritture, ma non averanno veduto il fo<lb></lb>glio, sarà bene tralasciando la figura descriverlo quì con <lb></lb>le parole. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Io feci una linea retta orizzontale lunga più <lb></lb>d'un braccio, sopra una estremità di essa alzai una per<lb></lb>pendicolare alta non più della grossezza d'una crazia, così <lb></lb>mi venne nominata non essendo possibile il tagliarla. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Mostravo per via d'una medesima scala, che quella per <lb></lb>appunto era la proporzione del perpendicolo del fosso, e <lb></lb>sua lunghezza orizzontale, soggiugnevo poi che per vedere <lb></lb>il profilo del detto fosso bisognava produrre dall'estremità <lb></lb>della quasi invisibile perpendicolare da me alzata una linea <lb></lb>retta fino all'altra estremità della lunga linea orizzontale. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Ora può essere che io abbia preso errore; ma voglio es<lb></lb>ser già pertinace adesso se fui poco accorto allora, mi <lb></lb>disdico, e confesso, che il perpendicolo reale del fosso, <lb></lb>sarà circa 20 braccia, e però molto maggiore, che la mia <lb></lb>quasi invisibil linea perpendicolare; confesso, che anche <lb></lb>la lunghezza del fosso di 22 miglia sarà realmente mag<lb></lb>giore, che la linea mia, la quale era più d'un braccio. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Ecco ch'io mi chiamo in colpa di quelli artifizi maliziosi <lb></lb>che dall'altrui perspicacia mi sono stati scoperti, ma sog<lb></lb>giungo poi (e noti questo chi mostra averlo compreso) <lb></lb>che l'inclinazione vera, e reale del fosso, o vogliamo dire <lb></lb>pendio, o declività o angolo che è quel che c'importa, <lb></lb>non sarà già punto nè maggiore nè minore del disegnato <lb></lb>da me. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma sempre sarà la medesima specie di pendenza, <lb></lb>e declività tanto nella vastità della campagna, quanto nel<lb></lb>l'angustia d'un foglio, o grande, o piccolo che sia formato <lb></lb>il disegno, purchè sia fatto proporzionato. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Mi pareva pure <lb></lb>d'essermi dichiarato a soprabbondanza, mentre nella scrit<lb></lb>tura non conclusi, che il perpendicolo del fosso reale do<lb></lb>vesse venire quanto la grossezza d'una crazia, ma dissi così. </foreign></s> </p> <pb pagenum="282"></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it">E si conosce, che in tutti i modi il pelo dell'acqua re<lb></lb>sterà sempre poco meno che orizzontale. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Parmi di scorgere <lb></lb>in questo luogo il costume d'alcuni, i quali conoscendo <lb></lb>d'avere il torto nel punto principale della lite, vanno a <lb></lb>bello studio cercando le cavillazioni in parole ambigue, e <lb></lb>per altri fini proferite, acciò si consumi del tempo, e si <lb></lb>cancelli per quanto possono dalla mente del Giudice l'im<lb></lb>pressione fattavi dalle ragioni dell'altra parte. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Concluderò <lb></lb>dunque l'istesso come l'altra volta, cioè che da quel pro<lb></lb>filo del mio foglio si conosce che l'inclinazione, o specie <lb></lb>della pendenza del fosso sarà quasi piana orizzontale; e <lb></lb>chi vuol vedere la specie della pendenza, che averà tutto <lb></lb>quanto quel fosso, contempli la linea inclinata del mio <lb></lb>foglio, poichè per appunto, sarà la medesima tanto in un <lb></lb>braccio di linea, quanto in 22 miglia di campagna, e l'an<lb></lb>golo di detta inclinazione sarà circa la sessantesima parte <lb></lb>d'un grado, tale appunto, che appena è bastante per alte<lb></lb>rare la pianura dell'orizzontalità. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Trovo nella risposta <lb></lb>queste precise parole dopo d'essersi trattato della poca <lb></lb>pendenza dell'alveo. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="italics"></emph>“ Ma non credo già per questo che il detto oppositore <lb></lb>“ stimasse veramente, che un fiume che in detto disegno <lb></lb>“ apparisse la pendenza delle 200 braccia insensibile nella <lb></lb>“ lunghezza di 20 miglia scaricasse poi pochissima acqua ”.<emph.end type="italics"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Non mi offendono i mancamenti, che possono attri<lb></lb>buirsi al copista, o scusarsi per la fretta. </s><s>Quando bene la <lb></lb>locuzione zoppicasse qualche volta, se non vi fusse altro <lb></lb>male sarebbe buon segno mostrandosi l'animo applicato <lb></lb>più alla sostanza delle cose, che alla tessitura delle parole. </s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Mi meraviglio bene, che quello che aveva nel pensiero <lb></lb>di voler poco dopo avvertir me di non so che tralasciata <lb></lb>limitazione, e determinazione in luogo dove non occor<lb></lb>reva, si sia dimenticato in luogo tanto necessario quel <lb></lb>precetto, che aveva preparato per altri, i quali forse non <lb></lb>ne avevano di bisogno. </foreign></s> <s>Quel fiume che ha da scaricar <lb></lb>l'acque ha di necessità di molte determinazioni, e tutte <lb></lb>son tralasciate fuori, che una, la quale non serve punto. </s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Che importa, che un fiume si considera lungo 20 miglia, <lb></lb>o 10 braccia solamente se si parla dell'acqua, che egli <pb pagenum="283"></pb>deve scaricare? </foreign></s> <s>Mai più ho sentito dire, che la lunghezza <lb></lb>de' fiumi in quanto è lunghezza non aver che far punto <lb></lb>circa lo scaricar maggiore, o minore quantità d'acqua. </s><s><lb></lb>Pare a me che fosse molto meglio determinare la qualità <lb></lb>del fiume. </s> <s><foreign lang="it">Se s'intende del Nilo, o del Rio della Plata ne <lb></lb>scaricherà molto più che l'Ema, e il Mugnone. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Di più <lb></lb>era necessario determìnare la stagione dell'anno, poichè <lb></lb>in diverse stagioni ne scaricherà anco il medesimo fiume <lb></lb>maggiore, e minor quantità. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Io poi quando avessi deter<lb></lb>minato di voler motteggiare altri con questa materia, <lb></lb>averei limitato anco lo stato del fiume se nella sua natural <lb></lb>costituzione, o pur gonfiato da qualche piena accidentale. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Ogni studioso del Berna saprà meglio di me, che il Muc<lb></lb>cione del Mugello, benchè per lo più sembri un torrente <lb></lb>molto adusto </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Che non immolla altrui quasi il tallone<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb>nondimeno alle volte ha rappresentato i furori del Po, e <lb></lb>del Danubio, imperocchè anch'esso </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Proluit insano contorquens vortice silvas<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb>innondò, rovinò, affogò </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Camposque, Domosque <lb></lb>Cum stabulis armenta tulit.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Doveva limitarsi la velocità del corso, la quantità della <lb></lb>sezione, e la lunghezza del tempo, imperocchè tutte que<lb></lb>ste cose son tali, che accresciute o diminuite faranno sca<lb></lb>ricare maggiore, o minore quantità d'acqua, a quel fiume <lb></lb>nominato in tempi uguali. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Vedesi dunque se anche dal <lb></lb>mio censore si sia tralasciata qualche determinazione ne<lb></lb>cessaria in luogo dove determinando la lunghezza del letto <lb></lb>ne ha pur messe delle superflue. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Sarebbe ridicolo quel<lb></lb>l'Oltramontano, il quale sentendo essere in qualche piazza <lb></lb>una fontana con molte cannelle, chiedesse poi per venire <lb></lb>in cognizione dell'abbondanza dell'acqua di che materia, <lb></lb>o di che lunghezza sieno le suddette cannelle, e non si <lb></lb>curasse di che sezione, o di che numero elle sieno, o con <lb></lb>che velocità l'acqua per esse scaturisca. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Tralascierò che <lb></lb>poteva anche limitare quelle parole <emph type="italics"></emph>di pochissima acqua,<emph.end type="italics"></emph.end> <pb pagenum="284"></pb>poichè se s'intende in paragone dell'Oceano, o dell'ac<lb></lb>que che sopra i Cieli dimorano, quella di tutti i fiumi della <lb></lb>terra sarebbe pochissima, ma in comparazione della be<lb></lb>vanda d'una Rondine, quella d'ogni rigagnolo sarebbe mol<lb></lb>tissima. </foreign></s> <s>Ritorniamo ormai dalle minuzie all'intento prin<lb></lb>cipale, e pongasi pure in oblio tutte queste disgressioni, <lb></lb>le quali io medesimo do per superflue e per non dette. </s> <s><foreign lang="it">Io <lb></lb>preveggo, che trovandosi alcuno autore, o cacciatore, il <lb></lb>quale abbia detto, che la Rondine non beva punto, subito <lb></lb>mi sarebbe fatta la difficoltà sopra questo bere, e conver<lb></lb>rebbe attaccare una nuova contesa sopra il bere degli <lb></lb>uccelli, tralasciando il punto principale, che è il rasciu<lb></lb>gamento della Chiana, così dissimulando le cose, che im<lb></lb>portano staremo sempre sulle leggerezze, che si disprez<lb></lb>zano. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Che il famosissimo Galileo lodasse il pensiero del <lb></lb>disseccare le Chiane, non solo io lo credo, ma dico che <lb></lb>tutti gli uomini del mondo, la loderanno, e la stimeranno <lb></lb>cosa lucrosissima per gli acquisti della campagna spaziosa, <lb></lb>la quale per mezzo di questo rasciugamento si guadagne<lb></lb>rebbe, ma che il Galileo stimasse possibile quest' impresa, <lb></lb>io non lo so. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Forse negli ultimi momenti della sua vita <lb></lb>mentre fui seco s'era mutato d'opinione. </foreign></s> <s><foreign lang="it">So ben questo, <lb></lb>che P. Benedetto Castelli tanto stimato dal mondo in ma<lb></lb>teria d'acque, interrogato da me una volta per via di lettere <lb></lb>quale fusse il suo parere circa il rasciugamento delle <lb></lb>Chiane, pensando forse ch'io v'inclinassi, mi diede del <lb></lb>Pazzo. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Il mio censore medesimo sa, che l'istesso D. Benedetto <lb></lb>ci rispose una volta in comune con quest'arguzia, se quei <lb></lb>privati i quali a loro spese tenterebbon quest'inpresa aves<lb></lb>sero così piena la testa di cervello, come mi dite che hanno <lb></lb>la borsa piena di denari non averebbero mai applicato il <lb></lb>pensiero ad un'opera tale. </foreign></s> <s><foreign lang="it">E veramente per venire in co<lb></lb>gnizione se l'asciugamento delle Chiane sia, o non sia <lb></lb>posssibile vi vuole altro, che pensare, se un vaso forato nel <lb></lb>fondo si voterà, o non si voterà. </foreign></s> <s>Sulle montagne più su<lb></lb>blimi di Norcia si distende una pianura, che essi chiamano <lb></lb>del Castelluccio. </s> <s><foreign lang="it">Questo gran piano per esser tutto circon<lb></lb>dato da' monti continuati fra di loro, non ha scolo da <pb pagenum="285"></pb>parte alcuna; nulladimeno la provvidenza della natura vi <lb></lb>ha rimediato con farvi quasi nel centro del circuito una <lb></lb>voragine la quale assorbisca non solo le pioggie, che per<lb></lb>pendicolari cascano sul detto piano, ma anco gli scoli, che <lb></lb>vi concorrono da monti circonvicini. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Quel Paese in com<lb></lb>parazione della Chiana è molto minore, e ha la sua pen<lb></lb>denza verso il mezzo assai sensibile. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Se la Chiana nel <lb></lb>mezzo suo, cioè intorno alli Ponti di Valiano avesse <lb></lb>una simil cloaca bastante per inghiottire tutte l'acque, <lb></lb>che vi concorressero, io credo, che le parti vicine si ra<lb></lb>sciugherebbero, ma le lontane per mio credere restereb<lb></lb>bero poco meno, che prima sottoposte all' innondazione. </foreign></s> <s><lb></lb>Abbiamo per le mani un grandissimo Idropico, ma di quegli, <lb></lb>che non guariscono per polveri, e forse non migliorano <lb></lb>per taglio. </s><s>Le indisposizioni che tormentano la Chiana, <lb></lb>son queste tre, e ciascuna di queste per mio giudizio è <lb></lb>irrimediabile. </s> <s><foreign lang="it">La grandezza della pianura, la poca pendenza <lb></lb>di essa, e la gran quantità di fiumi, e fossi, che in essa con<lb></lb>corrono. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Un altra ve n'era, ma perchè si conobbe esser <lb></lb>rimediabile vi fu provveduto, e fu fatto con quell'opera <lb></lb>veramente eroica, il massimo acquisto che si potesse giam<lb></lb>mai sperare dalle bonificazioni di quei paesi. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Io tratto del<lb></lb>l'apertura della Chiana fatta per via di canali, che si ve<lb></lb>dono alli Ponti d'Arezzo. </foreign></s> <s>Allora la Chiana era palude serrata <lb></lb>affatto, e però non è meraviglia se con aprirla si conqui<lb></lb>starono tante terre le quali oggidì si godono e si coltivano. </s><s><lb></lb>Adesso la Chiana è aperta affatto, e l'apertura è tanto <lb></lb>bassa che è atta a scolar l'acqua di tutte le praterie, di <lb></lb>tutte le pasture, e di grandissima parte anco delle can<lb></lb>nucce e realmente la scola. </s><s>Nel tempo che l'ho veduta io i <lb></lb>prati, e le pasture erano asciutte, e nondimeno l'emissario <lb></lb>seguitava gagliardamente a scolare. </s><s>Quel che v'è di danno <lb></lb>non è, che l'apertura odierna sia insufficiente, o per essere <lb></lb>troppo alta, o per essere troppo angusta, che l'uno, e l'altro <lb></lb>è falso. </s> <s><foreign lang="it">Il male consiste quì, che l'acqua sparsa per le <lb></lb>vastissime, e remotissime praterie, e pasture non può con<lb></lb>dursi alla predetta apertura se non in lunghezza di tempo, <lb></lb>stante che la campagna tutta, e fondo della valle di <lb></lb>Chiana, non ha di pendenza tanto che basti verso il suo <pb pagenum="286"></pb>emissario; quindi è, che facciasi pure qualunque diligenza <lb></lb>sia possibile, in ogni modo io temo, che l'inondazione <lb></lb>sarà inevitabile, e lo scolo tardo, onde le semenze reste<lb></lb>ranno affogate, e tanto più se ne' mesi piovosi all'inon<lb></lb>dazione di una pioggia sopravverranno le piene dell'altra, <lb></lb>prima che quella sia scolata affatto, e quest'accidente se <lb></lb>non interverrà ogni inverno, almeno pochissimi ne pas<lb></lb>seranno senza. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ma io dubito d'essermi con vari discorsi dilungato ormai <lb></lb>tanto dal punto principale della risposta, che alcuno potrà <lb></lb>incolparmi, o d'inavveduta loquacità, o di procurata dis<lb></lb>simulazione. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Però mi dichiaro d'essermi diffuso assai nelle <lb></lb>materie precedenti, ma a posta, poichè al punto principale <lb></lb>del negozio io ero per replicare con un solo, e anche breve <lb></lb>periodo in questo modo: Signor Censore mio, quell'accre<lb></lb>scimento di velocità, che io ho conceduto nell'acque della <lb></lb>Chiana per quando sarà fatto il vostro gran canale l'ho <lb></lb>conceduto solamente per quando voi riserriate le acque nel <lb></lb>medesimo canale (come manifestamente parla la mia scrit<lb></lb>tura in più luoghi) e non altrimenti lo concedo per quando <lb></lb>l'acqua si diffonderà per la Chiana. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Questa risposta do<lb></lb>vrebbe bastare, ma acciò qualche lettore non rimanga in <lb></lb>dubbio, se io nella precedente scrittura habbia parlato <lb></lb>chiaro tanto che potessi essere inteso da chi avessi voluto <lb></lb>intendermi, replicherò qui alcuni luoghi di essa. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>1. Concedo ora, che in questo fosso l'acqua si muo<lb></lb>verà più veloce, che non faceva prima mentre si moveva <lb></lb>nel gran vaso delle Chiane, e questo ecc. </s></p> <p type="main"> <s>2. È ben vero, che l'acqua in detto fosso difficilmente <lb></lb>arriverà ad essere tre volte più veloce di quel che era prima. </s></p> <p type="main"> <s>3. Questo sia detto con fatta supposizione, perchè io <lb></lb>non credo, che l'acqua in quel fosso arriverà a triplicare <lb></lb>la sua velocità. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">4. Però sarà peggio perchè vi vorrà un fosso più <lb></lb>capace, che non è un terzo della sezione, o capacità delle <lb></lb>Chiane. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">5. Parmi dunque, che stante il pochissimo acquisto <lb></lb>di velocità acciò l'acqua se ne vada, bisognerà che il fosso <lb></lb>sia molto grande ec. </foreign></s> </p> <pb pagenum="287"></pb> <p type="main"> <s>6. Se l'alveo sarà diminuito cento volte, ma la velocità <lb></lb>non sia cento volte accresciuta, dubito che sarà peggio <lb></lb>l'aver serrata dentro un fosso quell'acqua, che si muoveva <lb></lb>in una laguna tanto grande. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ecco le stolide concessioni fatte senza avvedermene, <lb></lb>dalle quali l'accorto mio Censore cava che io abbia con<lb></lb>ceduto triplicazione di velocità in tutta l'acqua della <lb></lb>Chiana. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma spero, che ognuno potrà ormai accorgersi, che <lb></lb>io non ho conceduto accrescimento di velocità alcuna a <lb></lb>quell'acque, se non nel fosso prenominato. </foreign></s> <s>Ma quando <lb></lb>fussi stato uno sciocco a concedergliela, non so poi se la <lb></lb>natura glie l'averebbe data. </s> <s><foreign lang="it">Quando poi dissi, che triplican<lb></lb>dosi la velocità vi voleva un terzo di quell'alveo che la <lb></lb>Chiana occupa ora, in tempo d'acque grosse, acciò potesse <lb></lb>scaricarsi come prima, io intesi, che vi voleva un fosso <lb></lb>la cui vastità fusse per un terzo della Campagna, che <lb></lb>adesso va sott'acqua; se quest'alveo poi fosse così facile <lb></lb>a farsi in effetto, come il mio Censore è pronto a conce<lb></lb>dermelo con le parole, non occorrerebbe ventilar più avan<lb></lb>ti questa questione. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma egli medesimo si ricorderà, che <lb></lb>io di più li rivocavo anche in dubbio il suddetto accre<lb></lb>scimento di velocità, dico anco nel fosso medesimo per <lb></lb>una ragione, che a lui potrebbe giugner nuova, certo è, <lb></lb>che essendo paradossica non resta però d'esser vera. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Questo <lb></lb>si è che la velocità nell'acque non s'accresce, nè si dimi<lb></lb>nuisce altrimenti conforme alla pendenza del fondo, ma <lb></lb>sibbene conforme alla pendenza accresciuta, o diminuita <lb></lb>della superior superficie loro. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Non sarà sempre vero, che <lb></lb>dalle pendenze del fondo si regoli il corso dell'acque, ma <lb></lb>dalla declività della superficie sì. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ora io voglio pur dire <lb></lb>quest'esito, cioè che quel gran fosso, che si pretende fare <lb></lb>(eccettuati pochi mesi più aridi dell'estate) si conserverà <lb></lb>sempre colmo affatto d'acqua, e la superficie suprema dell'ac<lb></lb>qua sua verrà continuata al pari coll'altra superficie del<lb></lb>l'acque laterali della Chiana, appunto come sta adesso men<lb></lb>tre quel gran fosso non v'è. </foreign></s> <s><foreign lang="it">E se questo sarà vero (come <lb></lb>credo sarà pur troppo) io gli negherò affatto l'accresci<lb></lb>mento della velocità, e se qualche cosa concederò, non lo <lb></lb>concederò in riguardo alla pendenza accresciuta al fondo <pb pagenum="288"></pb>del fosso. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Non basta, che il fondo del fosso abbia acquistato <lb></lb>qualche maggior pendenza, mentre la superficie suprema <lb></lb>dell'acque, la quale deve dar regola alla velocità del corso, <lb></lb>resterà quasi con l'istesso declive, che aveva prima, e non <lb></lb>accrescendosi questo, non doverà ne anco accrescersi la <lb></lb>velocità; l'opinione riuscirà contro la credenza di molti. </foreign></s> <s><lb></lb>Non vorrei già per questo, che ella venisse rigettata prima <lb></lb>di essere eliminata. </s><s>Ora, stante queste cose discorse sin <lb></lb>quì, io non so mai conoscere d'onde mai mi si possa ca<lb></lb>vare quella strana conseguenza, che dice: fin quì dunque <lb></lb>abbiamo rasciugato un terzo di detta Chiana. </s> <s><foreign lang="it">Ma quel <lb></lb>che è peggio si soggiunse <emph type="italics"></emph>per detto dell'avversario.<emph.end type="italics"></emph.end> Piacesse <lb></lb>a Dio di voler concedere a me sua vilissima creatura <lb></lb>questo frutto della Divina Beneficenza, con fare, che dalle <lb></lb>mie parole si potesse dedurre il vero rasciugamento delle <lb></lb>Chiane. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Vorrei scrivere, e parlare di maniera, che altri ne <lb></lb>cavasse non solo l'asciugamento d'una parte, ma anco la <lb></lb>disseccazione del tutto. </foreign></s> <s>Eh cercate di rasciugarla con mez<lb></lb>zi, o con ragioni un poco più efficaci. </s> <s><foreign lang="it">Ma passiamo oramai <lb></lb>a vedere come si rasciuga quell'altro terzo con la fallace <lb></lb>speranza di levare gli impedimenti, i quali occupano così <lb></lb>gran parte del vaso della Chiana. </foreign></s> <s>Primieramente io credo, <lb></lb>che le melme, sterpi, cannucce, l'acque perpetue, metten<lb></lb>dovi anco l'anguille, e le mignatte non sieno la cinquan<lb></lb>tesima parte dell'acqua, quando la Chiana è grossa. </s> <s><foreign lang="it">Io <lb></lb>però non vi computo i due Chiari, perchè questi sono, e <lb></lb>saranno acque perpetue, e non scemeranno mai più di <lb></lb>quello, che fanno adesso nell'estate, mentre si riducono <lb></lb>ad una tale altezza d'acqua nella quale si manterranno <lb></lb>sempre, benchè avessero qualche grande emissario. </foreign></s> <s>Dico <lb></lb>questo perchè negli ardori dell'estate la loro superficie si <lb></lb>riduce al pari dell'acqua viva occulta, e sotterranea, di <lb></lb>quei paesi, come dai pozzi, ed altri cavamenti si conosce. </s><s><lb></lb>Però benchè avessero l'emissario perpetuo, nulladimeno i <lb></lb>Chiari saranno abili a mantenersi in quell'infima altezza, <lb></lb>alla quale si riducono adesso d'estate. </s> <s><foreign lang="it">Potrei in questo <lb></lb>luogo aggiungere una considerazione di qualche momento, <lb></lb>ed è, che il fosso grande quale si tratta di fare incontrerà <lb></lb>tanta copia d'acque vive nel corso di 22 miglia, che forse <pb pagenum="289"></pb>esso non sarà bastante a portare le proprie, o almeno le <lb></lb>proprie saranno bastanti a farlo correre sempre pieno, <lb></lb>Onde scaricar la Chiana, sarà lo stesso come non fusse <lb></lb>mai stato fatto. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Leviamo ora le melme, le canne, e l'acque estive, che <lb></lb>restano in qualche basso (eccettuato però quella de' Chiari) <lb></lb>e queste robe si levino in quel miglior modo, che si può, <lb></lb>se però in alcun modo sarà possibile, che io non lo credo. </s><s><lb></lb>Io dico, che tutte queste diligenze saranno superflue. </s> <s><foreign lang="it">La <lb></lb>Geometria, ed anco l'Algebra mi insegnano già che per <lb></lb>trovare le verità occulte, giovava molte volte il suppor <lb></lb>per fatte cose totalmente ignote, che bene spesso non <lb></lb>erano possibili. </foreign></s> <s>Nelle cose fisiche, e pratiche suol la me<lb></lb>desima invenzione essere d'aiuto molto efficace a chi s'af<lb></lb>fatica per veder la verità. </s> <s><foreign lang="it">Supponghiamo però, che le <lb></lb>melme, ed altri impedimenti sieno levati, o vogliamo nello <lb></lb>stato dell'emissario presente, o del futuro. È vero che il <lb></lb>vaso si farà alquanto più capace, ma alla prima pioggia, <lb></lb>che verrà, una sola mezz'ora di tempo sarà bastante per <lb></lb>supplire con altrettanta acqua a tutti quei corpi, che altri <lb></lb>averà levati in lunghissimo tempo con fatica, e spesa im<lb></lb>mensa. </foreign></s> <s>Quelle prime acque, che discenderanno da tanti <lb></lb>fiumi, e forse in meno di mezz'ora occuperanno molto più <lb></lb>luogo, che non occupavano le melme, e tutte quell'altre <lb></lb>cose aggiunte per far numero. </s> <s><foreign lang="it">E non occorre far molto <lb></lb>capitale della cannella, perchè la cannella, giacchè così <lb></lb>vogliamo chiamarla, non farà se non pochissima operazio<lb></lb>ne, come lungamente è stato discorso. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ecco dunque an<lb></lb>gustiato il vaso come prima, e persa affatto quella spe<lb></lb>ranza fondata sopra la maggioranza del vaso. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Che poi <lb></lb>l'inondazione non sia per arrivare al medesimo segno, al <lb></lb>quale sarebbe arrivata essendo le melme nel vaso, questo <lb></lb>può essere, ma vi vuole quella determinazione di pioggie, <lb></lb>che prudentissimamente il mio censore ha avvertito fra <lb></lb>tante determinazioni, che egli chiama debite, ed io pro<lb></lb>nunzio superflue, una sola ve n'è necessaria. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Non me la di<lb></lb>menticai già, ma la passai con silenzio, per non mostrarmi <lb></lb>temerario nel voler far il diligente. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Parlo della quantità <lb></lb>delle piogge, la determinazione della quale non è mestiero <pb pagenum="290"></pb>della mortalità, ma ufizio riservato all'Onnipotenza. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Quan<lb></lb>do pioverà, e la Chiana sia senza melme, la prima mez<lb></lb>z'ora sarà avvantaggiata per il mio censore, poichè l'acqua <lb></lb>dell'inondazione non si spanderà, ma anderà a mettersi <lb></lb>nel luogo delle melme levate, e ridurrà la Chiana nell'al<lb></lb>tezza in che sarebbe stata essendovi le melme; seguitando <lb></lb>poi a piovere, l'acqua anderà alzandosi a poco a poco. </foreign></s> <s><lb></lb>Bisognerebbe ora avere un determinatore perpetuo, e vi<lb></lb>gilante in Val di Chiana, che quando vedesse l'acque <lb></lb>avvicinarsi per mezzo palmo al segno delle massime piene, <lb></lb>pronunziasse subito una sentenza determinativa, che non <lb></lb>piova più. </s> <s><foreign lang="it">Per massime piene intendo io un tale alza<lb></lb>mento d'acque, al quale quando arriva la Chiana non <lb></lb>possa crescer più, perchè stante il gran carico d'acqua, <lb></lb>altrettanta per appunto se ne smaltisce per l'emissario <lb></lb>quanta se ne somministra dalle piogge. </foreign></s> <s>Bisognerebbe bene, <lb></lb>che piovesse determinatamente, e per l'appunto a volere che <lb></lb>l'acqua alzasse vicino al segno delle massime piene, per <lb></lb>esempio un mezzo palmo, e poi restasse così. </s><s>E perchè? </s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Non mi si parli di grazia di cannella più alta, e più bassa, <lb></lb>poichè non tratto se non nel caso della cannella bassa, <lb></lb>cioè, suppongo sempre lo sbassamento dell'emissario fatto <lb></lb>per via del gran canale, e considero solamente quando <lb></lb>sarà fatto quel fosso, che si tratta di fare, se il levare, <lb></lb>o non levare le melme possa cagionarci diversità d'altez<lb></lb>za nelle massime piene, ed in vero, quando l'acqua cre<lb></lb>scente sarà avvicinata a quel segno delle massime piene, <lb></lb>se la pioggia non cessa subito, io credo, che seguiterà, e <lb></lb>crescerà tanto per appunto quanto averebbe fatto essen<lb></lb>dovi le melme. </foreign></s> <s><foreign lang="it">E che sapranno le nuvole se una parte <lb></lb>della capacità di quel vaso sia pieno di melme o d'acqua? </foreign></s> <s><lb></lb>E quando lo sapessero, perchè, (seguitando a piovere) <lb></lb>dovrà la massima piena alzarsi più con le melme, che con <lb></lb>l'acqua in cambio di esse? </s> <s><foreign lang="it">Mi stupisco che il mio Censore <lb></lb>abbia preso la difesa di questo punto. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma seguiti pure; <lb></lb>quanto vi sarà di vantaggio nel levar le melme, io lo <lb></lb>dissi nella precedente Scrittura, e voglio replicarlo quì. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Se non vi saranno le melme, l'altezza dell'acqua arriverà <lb></lb>al segno delle massime piene, non nel medesimo tempo, <pb pagenum="291"></pb>ma circa mezz'ora più tardi, e se per sorte quando sarà <lb></lb>piovuto per lo spazio di tant'ore, in quell'ultima mezz'ora, <lb></lb>che deve portar l'acqua al segno delle massime piene la <lb></lb>pioggia cessasse, io confesso, che la mancanza delle melme <lb></lb>verrà ad aver fatta l'operazion pretesa, e desiderata, altri<lb></lb>menti nò. </foreign></s> <s>Voglio però anche avvertire, che tutto questo <lb></lb>seguirà solo una volta l'anno, cioè nelle prime pioggie, <lb></lb>che vengono dopo l'estate, poichè le prime piogge dell'au<lb></lb>tunno suppliranno alla mancanza delle melme. </s> <s><foreign lang="it">Del resto <lb></lb>quanto al verno, io son certo, che continuamente nella <lb></lb>Chiana sarà tant'acqua sopra l'estiva, e perpetua, che non <lb></lb>solo occuperà il luogo, che averebbe riempito le melme, <lb></lb>ma dieci, ed anco venti volte da vantaggio. </foreign></s> <s>Tutto questo <lb></lb>discorso sta fondato in quella supposizione che levate le <lb></lb>melme, l'emissario possa scaricare la medesima quantità <lb></lb>d'acqua per appunto, che averebbe scaricato essendovi le <lb></lb>melme. </s><s>Ma di questo io gagliardissimamente sto dubbioso, <lb></lb>e forse forse credo, che levate le melme, ed altri impedi<lb></lb>menti, l'emissario scaricherà tant'acqua meno per appunto <lb></lb>quant'erano i suddetti impedimenti, i quali caricando la <lb></lb>Chiana per altrattanta acqua valevano. </s><s>Così l'operazione <lb></lb>dell'emissario sarà la medesima circa lo sbassamento del<lb></lb>l'acqua, o vi sieno, o non vi sieno le melme; e molto più <lb></lb>l'altezza dell'inondazione, o vi sieno, o non vi sieno sarà <lb></lb>sempre la medesima. </s><s>Nel Lago Trasimeno sono due Isole, <lb></lb>ed essendovi queste s'osserva da 100 anni in quà, che <lb></lb>l'inondazione massima arriva fino ad un certo determinato <lb></lb>segno sulle riviere. </s> <s><foreign lang="it">Se una potenza soprannaturale levasse <lb></lb>repentinamente ambedue queste Isole da' fondamenti, certa <lb></lb>cosa è che l'acqua del Lago si sbasserebbe per allora, e <lb></lb>si manterrebbe sbassata fino alla prime piogge future, ma <lb></lb>poi io son certo, che l'acqua ritornerebbe allo stato pri<lb></lb>miero, e per 100 anni avvenire si manterrebbe sempre a' <lb></lb>quei medesimi segni d'altezza, a' quali si era conservata <lb></lb>essendovi l'Isole. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Forse anco senza le pioggie, io credo <lb></lb>che la forza delle vene sotterranee potesse essere suffi<lb></lb>ciente a somministrar tant'acqua, che supplisse alla man<lb></lb>canza dell'Isola nel Lago di Perugia, e delle melme della <lb></lb>nostra Chiana. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Se io vedrò perseverarsi in quella volga- <pb pagenum="292"></pb>rissima ragione, che non levar quell'isole si fa il vaso <lb></lb>maggiore, ed altre cose simili, che non fanno a propo<lb></lb>sito, ed io replicherò sempre, che, o levarle, o lasciarle, <lb></lb>non importa nulla, quando l'acque vengono somministrate, <lb></lb>o dalle piogge del Cielo, o dalle scaturigini della Terra. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Spero, che questo punto sarà ormai liquidato abbastanza; <lb></lb>ma preveggo che il mio Censore conoscendo la nullità <lb></lb>dell'effetto sperato dal levare gl'impedimenti, ricorrerà, <lb></lb>come ha fatto altre volte alla confusione delle due can<lb></lb>nelle, cosa totalmente aliena del nostro proposito. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Suppon<lb></lb>ghiamo fatto il gran canale da lui preteso, ma non toc<lb></lb>cate le melme, certo è, che per 20 anni avvenire gli alza<lb></lb>menti massimi della Chiana arriveranno fino ad un certo <lb></lb>determinato segno. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ora chi levasse dopo quei 20 anni le <lb></lb>melme (non farebbe egli per le cose esemplificate nel Tra<lb></lb>simeno) un operazione superflua? </foreign></s> <s>la medesima operazione <lb></lb>superflua farà chi le leverà subito. </s></p> <p type="main"> <s>Quanto alla supposizione da me fatta, cioè che una <lb></lb>pioggia universale colassù in Val di Chiana, sia per sup<lb></lb>plire in una mezz'ora alla mancanza delle melme, sterpi, <lb></lb>ed altre robe, che si possono levare, potrei soggiungere <lb></lb>il calcolo, ma per fuggire più noiosa lunghezza lo trala<lb></lb>scierò. </s> <s><foreign lang="it">Voglio anco passar senza esame il modo di levar <lb></lb>via le dette melme, e la maniera di estirpar le cannucce. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Quanto alle melme, ovvero isole natanti della Chiana mi <lb></lb>sono apparse piazze molto spaziose di roba, che sebben <lb></lb>galleggia, nondimeno è interrata, e constipata insieme di <lb></lb>maniera tale, che germoglia a guisa di prateria, e di cam<lb></lb>pagna soda. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Credas innare revulsas, <lb></lb>Cycladas<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb>non so ne anco qual fusse partito più desiderabile, o levar <lb></lb>da i Chiari le melme, che vi sono, o bramarvene quaranta <lb></lb>volte più di quelle, che vi sono di presente. </s><s>La can<lb></lb>nuccia poi benchè artificialmente si arda, e si recida <lb></lb>ogn'anno, ciò non serve ad altro, che per farla risorgere <lb></lb>più bella, e più folta. </s> <s><foreign lang="it">Che ella s'abbia ad estinguere natu<lb></lb>ralmente per via di seccazione non lo spero giammai, poichè <lb></lb>per conservarla basta l'acqua apparente sopra il terreno <pb pagenum="293"></pb>ne' tempi dell' inverno, ed il terreno fresco di sotto ne' <lb></lb>tempi della state. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ella averà l'uno, e l'altro di questi <lb></lb>requisiti; inoltre quando l'estate elle restasse nel terreno <lb></lb>in apparenza asciutto, io credo, che le barbe delle can<lb></lb>nucce arrivino all'acqua viva sotterranea, la quale in quei <lb></lb>paesi, e molto più dove nascono le canne sta vicinissima, <lb></lb>e quasi contigua alla superficie del terreno. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">M'accorgo d'aver discorso ormai con tanta prolissità, <lb></lb>che forse averò apportato molestia, e tedio insieme. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Credo <lb></lb>bene, che mi sarà riuscito mostrare, che la mia prece<lb></lb>dente Scrittura resta nel suo vigor di prima, e che la ri<lb></lb>sposta del mio Censore si trova nulla totalmente come da <lb></lb>me nel principio di questa era stato accennato. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Nulla poi<lb></lb>chè quell'argumento <emph type="italics"></emph>ad hominem,<emph.end type="italics"></emph.end> nel quale tanto esso si <lb></lb>compiace, e sopra il quale s'appoggia tutta la sua Scrit<lb></lb>tura non conclude nulla. </foreign></s> <s>La ragione è perchè non è fon<lb></lb>dato sulla mia concessione altrimenti, ma più tosto su chi<lb></lb>mere di vanità. </s> <s><foreign lang="it">E nulla ancora perchè le risposte date alla <lb></lb>mia considerazione circa l'accrescimento del vaso per via <lb></lb>del levare gl' impedimenti non hanno forza di sorte alcuna. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Abbiamo veduto perchè causa essendo nulla la Scrittura <lb></lb>ho voluto nondimeno per questa volta replicargli, e perchè <lb></lb>cagione in questa io abbia mutato stile, e diversificata <lb></lb>tanto la maniera dello scrivere; si è detto, che non ho <lb></lb>già mutato opinione in questo negozio delle Chiane, ma <lb></lb>che stimerei gloria il mutarla, e realmente vorrei essere <lb></lb>in errore, aver mille torti, e desidererei aver occasione, <lb></lb>che m'astringesse a mutar opinione, ma a forza di ragioni <lb></lb>concludenti, fin'ora non ho sentito se non discorsi di per<lb></lb>sone <emph type="italics"></emph>tantam rem desiderantium magis quam probantium.<emph.end type="italics"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Abbiam veduto, che quel profilo proporzionato del gran <lb></lb>fosso fu da me fatto non con astuzia, benchè con astuzia <lb></lb>mi sia stato interpretato, poichè quel profilo mostrava ve<lb></lb>ramente la specie della pendenza del gran fosso reale, non <lb></lb>accresciuta, e non diminuita punto, ma tale precisamente <lb></lb>quale ella sarà. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Per venire in cognizione del colore, ed <lb></lb>altre qualità d'una grandissima pezza di drappo uniforme, <lb></lb>tanto è vederla tutta, quanto considerarne un piccolissimo <lb></lb>frammento. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Si è mostrata la fragilità degli ingegni umani, <pb pagenum="294"></pb>che nel medesimo soggetto nel quale censurano altri, in<lb></lb>ciampano spesse volte anch'essi tralasciando delle determi<lb></lb>nazioni necessarie, e aggignendone delle superficie. </foreign></s> <s><foreign lang="it">S' è <lb></lb>detto, che non pare affatto vana la paura dell'inondazione <lb></lb>d'Arno, poichè se riuscisse lo sbassamento dell'acque della <lb></lb>nostra Chiana, verrebbero di quà anco quelle, che legittima<lb></lb>mente devono andare nel Tevere. </foreign></s> <s>Se poi la paura di Firenze <lb></lb>deva esser vana, o essenziale, ne abbiamo pur troppo i ve<lb></lb>stigi e le memorie, che ce ne ammaestrano. </s><s>Tralascio i <lb></lb>danni fatti altre volte per le riviere, e pianure tanto frut<lb></lb>tifere, in tempo, che non aveva questo nuovo accrescimento <lb></lb>d'acqua. </s> <s><foreign lang="it">Ricordiamoci solamente la rovina delle terre di <lb></lb>Valdarno, e la strage delle porte di Firenze, quando il fiume <lb></lb>non come Cittadino, ma come nemico venne ad assaltar la <lb></lb>propria Città. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Si è detto, che il solo profondar d'un canale <lb></lb>pel mezzo della Val di Chiana sarà opera superflua, poichè <lb></lb>ogni pianura immensa, il terreno di cui sia quasi piano oriz<lb></lb>zontale, e che in essa concorrino moltissimi fiumi, e fossi, <lb></lb>sarà sempre affogata, e danneggiata dall'acque; e non serve <lb></lb>il dire noi accresceremo la pendenza, poichè alla spaziosa <lb></lb>pianura certamente non s'accrescerà pendenza alcuna, onde <lb></lb>l'acqua dell'innondazione giù per essa non si condurrà alla <lb></lb>bocca dell'emissario se non con lunghezza di tempo. </foreign></s> <s>Quanto <lb></lb>poi all'emissario medesimo, o vogliam dire canale de' Ponti <lb></lb>d'Arezzo lungo 7 miglia, la pendenza verrà più tosto di<lb></lb>minuita al doppio, che punto accresciuta. </s> <s><foreign lang="it">Il vero modo di <lb></lb>bonificare quei Paesi sarebbe non per via d'un fosso, ma <lb></lb>per via d'uno sbassamento eguale di tutta quanta la Valle <lb></lb>a linea retta, cominciando dal pelo del terreno al Chiaro <lb></lb>di Monte Pulciano, e conducendolo fino al fondo della <lb></lb>Pescaia de' Frati, e forse anco fino in Arno, ma con que<lb></lb>sti due patti, senza regolatoio, e senza restringersi mai in <lb></lb>canale, essendo necessario tirare alla dirittura sopradetta <lb></lb>tutto il fondo della Valle, pigliando sempre da una collina <lb></lb>all'altra. </foreign></s> <s>Questo veramente sarebbe un accrescere la pen<lb></lb>denza, e far che l'acqua non si trattenesse tanto a dan<lb></lb>neggiare quelle pianure. </s><s>Se poi io dicessi, che in riguardo <lb></lb>delle spese questo pensiero fosse buono, io meriterei titolo <lb></lb>di bestialità. </s><s>Quanto al levar le melme, e le canne si è <pb pagenum="295"></pb>stimata impresa o superflua, o almeno difficilissima. </s> <s><foreign lang="it">Del <lb></lb>resto si tralascia affatto il considerar la spesa che do<lb></lb>vrebbe farsi in questo grandissimo fosso, e quella, che <lb></lb>anderebbe nel mantenerlo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Solo accennerò, che dal Mulino <lb></lb>de' Frati sino al principio della Chiana sono sette miglia <lb></lb>di terreno sodo da cavarsi tutto in profondità circa 17 <lb></lb>braccia, e la qualità del terreno è stata da me osser<lb></lb>vata, e da altri, che non regge le sponde, ma all'acqua <lb></lb>se ne vanno giù, benchè di presente abbiamo la scarpa <lb></lb>assai grande, e l'altezza a paragone della futura molto <lb></lb>piccola. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Quanto poi al mantenimento avvertisco solo, che <lb></lb>non basterà nettarlo dalle canne, ed erbe, che assoluta<lb></lb>mente vi nasceranno, ma dal terreno, che vi caderà dalle <lb></lb>sponde (come si vede ora) e molto più da quello, che vi <lb></lb>porteranno le torbide, e le bocche de' fiumi. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Due sorte <lb></lb>d'impostime s'osservano colassù, una dell'acqua torbida, <lb></lb>la quale porta in sè certa belletta, e fioretto, e lo lascia <lb></lb>da per tutto dove non sia corrente alquanto rapida: un'al<lb></lb>tra sorte d'impostime peggior della prima, è di terra <lb></lb>grossa a guisa di rena, questa vien portata da' fiumi, e <lb></lb>trascinata sul fondo del proprio letto, finchè corrono ra<lb></lb>pidi. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Quando poi la bocca de' fiumi spande sulla cam<lb></lb>pagna, o sbocca in acque stagnanti, o almeno, che non <lb></lb>corra veloce, tutto il sudetto impostime per esser roba <lb></lb>grave resta ivi, e dove era un fondo si fa in poco tempo <lb></lb>una collina. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Di questo impostime s'osserva, che le piogge <lb></lb>prime dopo i grandissimi caldi dell'estate, ne portano più <lb></lb>che in qualunque altro tempo dell'anno, perchè trovano <lb></lb>la terra cotta, e spolverizzata dal Sole. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Or se il gran ca<lb></lb>nale della Chiana si troverà mai basso, e stagnante, io <lb></lb>credo, che sarà in quel tempo, e non sò intendere perchè <lb></lb>tanti fiumi non sieno per riempirlo in un tratto. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Si rispon<lb></lb>derà forse, che quel gran canale si netterà da se mede<lb></lb>simo, ed io dirò d'aver veduto la Tresa, l'Astrone, ed il <lb></lb>Salarco, i quali benchè più rapidi assai del futuro canale <lb></lb>della Chiana, nondimeno non si mantengono i letti, ma con<lb></lb>tinuamente s'alzano. </foreign></s> <s><foreign lang="it">L'istesso credo, che facciano molt'altri, <lb></lb>ma non gli ho veduti. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Quanto all'impostime della belletta <lb></lb>non si prenda la regola dell'osservar quello, che fa oggidì la <pb pagenum="296"></pb>Chiana, poichè s'alzerà l'impostime molto più quando sarà <lb></lb>fatto il canale profondo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Questo è chiaro, poichè se con due <lb></lb>vasi prenderò della medesima acqua torbida, ma in uno <lb></lb>due dita, e nell'altro due braccia d'altezza si vedrà l'impo<lb></lb>stime nei vasi a proporzione dell'altezza. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Tralascio, che po<lb></lb>trebbe l'impostime nel gran canale crescere per un altra <lb></lb>ragione, ed è quando quello, che si deporrà sulla scarpa <lb></lb>delle sponde non si reggesse sù, ma calasse nel fondo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Non <lb></lb>si guardi ne anco alla facilità del mantenersi ora il canale <lb></lb>de' Ponti d'Arezzo per più rispetti. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Primo, perchè il pre<lb></lb>sente essendo cavato in masso, o pancone, o spugnone che <lb></lb>sia, non genera canne nè erba; poi, perchè essendo lontanis<lb></lb>simo da i fiumi, non riceve acque se non purgate, e dalla <lb></lb>terra grave, e anco dalla belletta; in ultimo, perchè il pre<lb></lb>sente canale de' Ponti d'Arezzo ha circa due volte, più <lb></lb>pendenza, che non averà il grande quando sarà fatto. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Voglio ora soggiungere il mio sentimento vero, e reale <lb></lb>circa questa impresa della quale si tratta. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Quando le spese <lb></lb>fussero per esser mediocri, e comportabili tanto nel fare, <lb></lb>quanto nel mantenere, io son d'opinione, che metterebbe <lb></lb>conto il fare il suddetto gran canale. </foreign></s> <s>Dico questo perchè <lb></lb>ingenuamente io confesso di credere, che qualche acquisto <lb></lb>si farebbe. </s><s>Credo anco che lasciandosi la Chiana come <lb></lb>sta adesso, una gran quantità di prati sarà sempre sog<lb></lb>getta all'acqua, ma facendosi l'impresa di che si ragiona, <lb></lb>io credo, che verrebbero degl'anni nei quali le suddette <lb></lb>praterie potrebbero coltivarsi, ed essere fruttifere a grano. </s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Questo sarebbe quando le piogge dell'inverno venissero <lb></lb>moderate di quantità, e discontinuate, con intervallo tale <lb></lb>di tempo tra l'una e l'altra, che ogni volta quando venisse <lb></lb>la pioggia seguente, la Chiana si trovasse già sgravata <lb></lb>dalla precedente; ma il male è, che quasi ogn'anno s'os<lb></lb>serva o nel principio o nel mezzo, o nel fin dell'inverno <lb></lb>uno spazio di quattro, o cinque settimane continuamente <lb></lb>piovose, sicchè quasi ogni giorno piove, ed anco alle volte <lb></lb>piove più d'una volta il giorno. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Non vorrei già sentire alcuni, i quali non contenti di <lb></lb>poco acquisto in questo negozio argumentano il benefizio <lb></lb>per via della regola del tre, e dicono: se una apertura <pb pagenum="297"></pb>bassa quattro braccia di presente scarica l'acqua per esem<lb></lb>pio in dieci giorni, un'apertura bassa 18 braccia che farà? </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Avvertisco prima che l'acque non si scaricano a propor<lb></lb>zione della bassezza delle cannelle, ma in sudduplicata <lb></lb>proporzione, cioè quando la cannella sarà quattro volte <lb></lb>più bassa porterà due volte più acqua, e quando sia nove <lb></lb>volte più bassa porterà tre volte più acqua in tempi <lb></lb>eguali. </foreign></s> <s>Ma questo è vero nelle botti, ed altri vasi simili, non <lb></lb>nelle Chiane. </s> <s><foreign lang="it">Supposto nondimeno per ora, che sia vero <lb></lb>anche nelle Chiane, si trova, che la bassezza, o pen<lb></lb>denza del fosso verrebbe prossimamente raddoppiata; adun<lb></lb>que quell'acqua la quale ora si scarica in sette tempi, <lb></lb>allora si scaricherebbe prossimamente in cinque; poco <lb></lb>acquisto. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Il voler poi nel negozio delle Chiane servirsi <lb></lb>di quell'argumento; è il medesimo come chi dicesse <lb></lb>così: il magazzino del sale è per esempio 300 brac<lb></lb>cia e rende per esempio 300 mila scudi l'anno, se lo <lb></lb>faremo di 500 braccia, che renderà? </foreign></s> <s>O pure un tal <lb></lb>viandante con le scarpe d'otto punti fa tre miglia per <lb></lb>ora, con le scarpe di 16 punti quante ne farà? </s> <s><foreign lang="it">L'ac<lb></lb>crescere il magazzino, e l'accrescere le scarpe in questi <lb></lb>negozi è quasi il medesimo che accrescere la pendenza al <lb></lb>fondo del fosso nel particolar della Chiana. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Imperocchè <lb></lb>facciasi pure il fosso grande quanto si vuole, che l'acqua <lb></lb>vorrà sempre quasi il medesimo tempo per condursi dalle <lb></lb>campagne allagate e quasi orizzontali alla bocca dell'E<lb></lb>missario, cioè vicino al Porto di Puliciano. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Questo poi è <lb></lb>stato discorso abbastanza, e s'è detto, che non bisogne<lb></lb>rebbe accrescere la pendenza ad un fosso solo, che ri<lb></lb>spetto alla palude piena sarà un rigagnolo non apparente, <lb></lb>ma a tutto il fondo di questa vastissima valle, e non con<lb></lb>verrebbe poi in ultimo chiudere l'acqua in un canale lungo <lb></lb>sette miglia, il quale abbia la metà meno pendenza di <lb></lb>quel che ha desso, a voler che l'acqua, la quale partiva <lb></lb>per esempio in 10 giorni possa partire in quattro, molto <lb></lb>meno poi converrebbe dargli il regolatoio il quale astrin<lb></lb>gesse l'acqua a partire nel medesimo tempo, nel quale si <lb></lb>parte adesso. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Quanto al calcolo delle spese io suppongo, che già sia <pb pagenum="298"></pb>stato fatto, e con molta diligenza considerato dal mio <lb></lb>Censore, che propone o persuade il negozio. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Certo, che <lb></lb>prima di persuader l'acquisto, e il beneficio doverebbe <lb></lb>averlo fatto, nè in modo alcuno sarebbe comparso a trat<lb></lb>tar dell'utilità senza aver prima esaminate le spese. </foreign></s> <s>In <lb></lb>quanto a me sarei giudicato ridicolo, quando mi mettessi <lb></lb>a proporre un acquisto grandissimo, e sicuro senza avere <lb></lb>esaminata la spesa. </s><s>Se io dicessi, e con scritture anco <lb></lb>provassi, che lo spianare Monte Morello sarebbe un opera <lb></lb>utilissima, ognuno me lo crederà. </s><s>Si suppone un monte <lb></lb>tutto sterile, ma di pianta vastissima e di terra ottima <lb></lb>nel fondo. </s><s>Chi non vede che si porrebbe fare un immen<lb></lb>sità d'orti, i quali mantenessero tutta la Toscana a zucche <lb></lb>e piselli? </s><s>Ma quando poi io fussi interrogato, hai tu pen<lb></lb>sato alla spesa? </s> <s><foreign lang="it">Ed io rispondessi; Signor no, ma basta <lb></lb>provare, che l'acquisto è grande, ed è certo, alle spese <lb></lb>poi vi sì penserà dopo, e si farà il calcolo da altri. </foreign></s> <s>Io <lb></lb>sono sicurissimo, che incontrerei le derisioni, e le maldi<lb></lb>cenze d'ognuno. </s><s>Non vengo ad altra applicazione, perchè <lb></lb>in questo particolare veramente io credo, che non ve ne <lb></lb>sarà di bisogno. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Non posso già venire alla determinazione del discorso <lb></lb>senza qualche giusta doglianza nel sentirmi dal mio Cen<lb></lb>sore chiamare avversario. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Io professo di non essere avver<lb></lb>sario altrimenti, ma amico, e servitore obbligato, e quel <lb></lb>che importa coadiutore, e favorevole nel negozio, che si <lb></lb>agita. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Io desidero forse più d'ogni altro, che questo pen<lb></lb>siero abbia effetto, e prego Iddio, che contrappesate le <lb></lb>spese, e gli acquisti venga giudicato negozio utile, e si <lb></lb>risolva d'eseguirlo quanto prima. </foreign></s> <s>Mi sovviene d'una madre <lb></lb>la quale avendo un figlio unico gravemente infermo con<lb></lb>trastava col Chirurgo, mentre questo metteva mano ai <lb></lb>ferri, e al fuoco per sanarlo. </s> <s><foreign lang="it">Avvertite, diceva la madre, <lb></lb>che con quella incisione delle vene potresti offendere l'ar<lb></lb>teria, e toccare i nervi; non vorrei per fuggire una infiam<lb></lb>mazione che incorressimo nello spasimo, e temo col dolor <lb></lb>di quell'arsura non affrettiamo la morte. </foreign></s> <s><foreign lang="it">All'udir queste, <lb></lb>ed altre difficoltà non credo, che alcuno degli assistenti <lb></lb>giudicasse giammai che la madre fusse avversaria del <pb pagenum="299"></pb>Chirurgo, ma piuttosto d'animo, e d'intenzion, concorrendo <lb></lb>ambidue per diverse strade al medesimo fine, cioè alla <lb></lb>salute del figlio. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Se io a guisa della madre timida ma af<lb></lb>fettuosa ho proposte varie difficoltà, l'ho fatto perchè <lb></lb>temo, e vorrei sentirle confutate, e convinte, ma con <lb></lb>buone ragioni, delle quali forse per mia propria incapacita <lb></lb>sin qui ne ho sentite poche. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Dubito che i primi motori <lb></lb>del seccamento della Chiana abbian fatto, come fu detto <lb></lb>di Cicerone il quale una volta <emph type="italics"></emph>quum optimam caussam <lb></lb>suscepisset, pessima defensione usus est.<emph.end type="italics"></emph.end> Se il pensiero è <lb></lb>buono, come credo, e come desidero, ma che le ragioni <lb></lb>buone non sieno state prodotte, o da me non sentite, per <lb></lb>ancora ci sarà sempre tempo. </foreign></s> <s>Del resto io giudico bene <lb></lb>il non replicar più a qualunque sorta di risposta che possa <lb></lb>uscire, quando però io non avessi comandamenti espressi <lb></lb>in contrario. </s><s>Non mancherò già di supplire in voce, e di <lb></lb>spiegar meglio le mie ragioni circa quei luoghi dove io <lb></lb>mi fussi, o con troppa confusione diffuso, o con poca <lb></lb>chiarezza esplicato ec. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>APPENDICE CHE SEGUE ALLA SCRITTURA <lb></lb>DEL SIG. TORRICELLI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Dopo terminato il discorso, sono astretto in luogo <lb></lb>d'appendice aggiungere un pensiero d'un mio amico, acciò <lb></lb>sia considerato, e se così meriterà, non men, che gli altri <lb></lb>venga convinto e rejetto. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Questo amico è concorde in tutto e per tutto all'opi<lb></lb>nione del mio Censore, e crede indubitatamente che facen<lb></lb>dosi il gran canale si faranno anco tutti quegli acquisti, che <lb></lb>sono stati, e con le scritture, e con i discorsi anteposti. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Quello di che egli teme, è questo. </foreign></s> <s>Tutti quei grandis<lb></lb>simi paesi, che si acquisteranno, e si libereranno dall'ac<lb></lb>que non s'acquisteranno se non con pochissimo vantaggio <lb></lb>sopra l'acque; cioè si libereranno veramente dall'acque, <lb></lb>ma in tal maniera, che sbassandosi tutti egualmente per <lb></lb>esempio un palmo, sarebbero per restare inutili come <pb pagenum="300"></pb>prima. </s><s>Si osserva poi, che le terre anco piane mentre si <lb></lb>coltivano vanno perpetuamente scemando per due rispetti. </s><s><lb></lb>Primo, perchè piovendovi sopra acqua chiara la medesima <lb></lb>scola nelle fosse, che circondano i campi, ma torbida. </s> <s><foreign lang="it">Se<lb></lb>condo che forse importa più perchè ogni anno si trasporta <lb></lb>una grandissima quantità di sostanza terrea nel grano, <lb></lb>biade e loro paglie, le quali si levano dai suddetti campi <lb></lb>coltivati. </foreign></s> <s>Queste terre che s'acquisterebbero, son lontane <lb></lb>dalle colline, e dalle bocche de' fiumi, onde non ci sarebbe <lb></lb>speranza alcuna di ricolmarle, quando fussero abbassate. </s> <s><foreign lang="it">E <lb></lb>quando bene ci fusse la possibilità, e la speranza per <lb></lb>allora si potrebbe dire; ricolmiamole dunque adesso senza <lb></lb>far la spesa immensa del gran canale, che non servirà, se <lb></lb>non per pochi anni. </foreign></s> <s>Nè anche s'usa in quei paesi ferti<lb></lb>lissimi rendere ogni anno qualche cosa al campo decre<lb></lb>scente con lo spargervi dell'acconcime. </s> <s><foreign lang="it">Ora se queste due <lb></lb>premesse son vere, cioè che quegli acquisti verrebbero <lb></lb>ad aver pochissimo vantaggio, che gli assicurasse sopra <lb></lb>l'acque, e che le terre coltivate vanno perpetuamente ab<lb></lb>bassandosi, mi pare d'antivedere, che in pochi anni l'ac<lb></lb>quisto comprato con immensa spesa ritornerebbe nello <lb></lb>stato di prima, e forse peggio. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Dico peggio perchè dove <lb></lb>sarà stato coltivato resterà più basso, che prima, ma certo <lb></lb>è, che tutto il rimanente fondo della Chiana per l'impo<lb></lb>stime va alzandosi, e per conseguenza anche l'acqua. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Chi <lb></lb>si contentasse di quello, che la natura ha fatto acqui<lb></lb>stabile dell'industria umana, cercherebbe di raggirar do<lb></lb>vunque mai si può quelle bocche de' fiumi i quali ricol<lb></lb>mando quelle terre verificano le favole del Tago, e del <lb></lb>Pattolo portando veramente arene d'oro a chi se ne sa <lb></lb>servire. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Chi non si contenta del possibile, e voglia con <lb></lb>novità tanto pericolosa andar contro l'opinione di tanti <lb></lb>secoli, e mutare una consuetudine tanto antiquata della <lb></lb>natura circa quei paesi, incontrerà o l'impossibilità nel<lb></lb>l'operare, o la fallacia nel riuscire, o la difficoltà nel man<lb></lb>tenere, ovvero conforme al pensiero del mio amico la cer<lb></lb>tezza del perdere in breve tempo ogni cosa ecc. </foreign></s> </p> <pb pagenum="301"></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>RISTRETTA INFORMAZIONE DEL SIGNOR TORRICELLI <lb></lb>NELLA QUALE S'ACCENNANO ALCUNE RAGIONI PER PROVARE, <lb></lb>CHE NON METTE CONTO IL TENTAR L'IMPRESA <lb></lb>DEL RASCIUGAR LE CHIANE.<emph.end type="center"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Val di Chiana è un paese, la cui lunghezza è circa 30 <lb></lb>miglia, la cui larghezza sarà dove più, e dove meno, alle <lb></lb>volte circa due miglia, alle volte uno, ed anco in diversi <lb></lb>luoghi dove maggiore, e dove minore. </s><s>Le sponde più <lb></lb>larghe di questa Valle, cioè i piani appiè delle colline son <lb></lb>coltivati a grano per essere i più alti, e più sicuri dal<lb></lb>l'inondazione. </s> <s><foreign lang="it">Dopo questi seguita una grandissima striscia <lb></lb>di terreno, la quale è più bassa della sopradetta, ed è <lb></lb>sottoposta spesse volte all'acque del verno, però non si <lb></lb>coltiva, ma si lascia a prateria: seguita poi un'altra striscia, <lb></lb>che per essere anco molto più della suddetta sottoposta <lb></lb>all'inondazione produce erbaccia grossa, e si lascia per <lb></lb>pastura. </foreign></s> <s><foreign lang="it">In ultimo nel più basso della valle resta un'altra <lb></lb>striscia di terra, che per essere quasi tutto l'anno inon<lb></lb>data, vi nascono canne, giunchi, ed altre erbe palustri. </foreign></s> <s><lb></lb>Così Val di Chiana vien divisa in quattro stati di fondo, <lb></lb>cioè coltivato, prateria, pastura e cannuccia. </s></p> <p type="main"> <s>Deve ora sapersi, che questa valle non ha quasi punto <lb></lb>di pendenza, poichè si vede alle volte tutta piena d'acqua, <lb></lb>e l'acqua giù per essa non si muove se non insensibilmente <lb></lb>verso i Ponti d'Arezzo, dove ella per suo emissario ha un <lb></lb>canale lungo circa 7 miglia. </s><s>Di più in detta valle concor<lb></lb>rono moltissimi fiumi, fossi, ed altri scoli, che in tempo <lb></lb>di piogge portano grandissima quantità d'acqua. </s> <s><foreign lang="it">Questa <lb></lb>valle benchè soggetta all'inondazione non è però serrata <lb></lb>come alcuno si potrebbe immaginare, ma è aperta affatto, <lb></lb>e sufficientemente come si vede dal canale suddetto sopra, <lb></lb>e sotto i Ponti d'Arezzo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Che l'apertura presente sia ba<lb></lb>stante per rasciugar la Chiana io ne son certo, perchè ho <lb></lb>vedute tutte le praterie, e quasi tutte le pasture asciutte, <lb></lb>e nondimeno i canali d'Arezzo seguitavano a scaricare <pb pagenum="302"></pb>l'acqua gagliardamente, segno manifesto, che i canali d'A<lb></lb>rezzo sono più bassi, che le praterie e le pasture della <lb></lb>Chiana; la ragione poi perchè l'acqua si trattenga tanto <lb></lb>per quelle campagne, mentre la Chiana si trova aperta <lb></lb>è questa. </foreign></s> <s>Perchè quelle grandissime, e lontanissime cam<lb></lb>pagne, non hanno quasi niente di pendenza verso i canali <lb></lb>d'Arezzo, e però l'acqua si tratien tanto innanzi, che si <lb></lb>conduca alli suddetti canali per andarsene. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ora per rasciugar questa valle è stato proposto di tirar <lb></lb>per mezzo di val di Chiana un fosso assai profondo il quale <lb></lb>venga a terminare a piè della pescaia de' Monaci di <lb></lb>Badia. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Io confesso, che quest'impresa sarà qualche cosa <lb></lb>più di quello che si faccia adesso, ma non credo, che sarà <lb></lb>bastante per far l'effetto, che si desidera. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Una similitudine <lb></lb>forse farà capir meglio il negozio. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Immaginiamoci tutto <lb></lb>il pavimento d'una gran sala, ovvero di S. Maria del Fiore <lb></lb>inondato, e sopra esso sieno per esempio quattro dita <lb></lb>d'acqua; figuriamoci anco che per lo mezzo di detto pa<lb></lb>vimento sia cavato un canalino d'un dito, che venga fino <lb></lb>alla soglia della porta maggiore, e che nella soglia sia <lb></lb>solamente un taglio pur d'un dito, per il quale l'acqua se <lb></lb>n'abbia da uscire. </foreign></s> <s>Pensano questi che cavandosi quel ca<lb></lb>nalino quattro volte più profondo, l'acqua debba uscire <lb></lb>quattro volte più presto, ma io dico, che assolutamente <lb></lb>di no. È vero, che l'acqua uscirà alquanto più presto di <lb></lb>prima, ma la differenza sarà poca, e l'acquisto sarà insen<lb></lb>sibile. </s> <s><foreign lang="it">Per conseguire il fine, che si desidera, sarebbe ne<lb></lb>cessario levare tutta la soglia della porta, ovvero tutta <lb></lb>la facciata, ma molto maggiore acquisto si farebbe con <lb></lb>accrescere alquanto la pendenza a tutto il pavimento del <lb></lb>Tempio. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Le tre imperfezioni della Chiana son queste, e tutte <lb></lb>tre sono, per mio credere irrimediabili. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Prima, la lunghezza <lb></lb>della valle. </foreign></s> <s>Seconda, la quantità grande de' fiumi, e fossi, <lb></lb>che scolano in essa. </s><s>Terza, la pochissima pendenza di <lb></lb>questa valle. </s> <s><foreign lang="it">Ogni parte, che abbia queste condizioni sarà <lb></lb>affogata dall'acqua, perchè ogni volta che una gran quantità <lb></lb>d'acqua debba passare per una pianura lunga, e larga assai, <lb></lb>ma che penda pochissimo; facciansi pure gli argini alti, <pb pagenum="303"></pb>e il canale profondo quanto si vuole, che sempre allar<lb></lb>gherà ogni cosa; e se non s'accresce la pendenza a tutta <lb></lb>la pianura vorrà sempre quasi il medesimo tempo per <lb></lb>rasciugarsi; s'aggiunge quest'altra considerazione. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Se l'ac<lb></lb>qua, che si scarica in dieci giorni, noi la faremo scaricare <lb></lb>in quattro, è vero che la Chiana ne riceverà benefizio, ma <lb></lb>le riviere d'Arno, e la Città di Firenze ne porterano le <lb></lb>pene. È stato proposto ancora, per far maggior acquisto, <lb></lb>di levar via le melme, cioè l'isole natanti nella Chiana, <lb></lb>perchè così si verrebbe a fare il vaso maggiore e più ca<lb></lb>pace d'acqua. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>A questo si è risposto, che ciò sarebbe vero quando <lb></lb>in quel vaso non dovesse piover più, ma dovendovi pio<lb></lb>vere sarà gettato via ogni fatica perchè quel, che vi man<lb></lb>cherà di melme sarà supplito d'altrettanta acqua, e così <lb></lb>l'inondazione, seguitando a piovere, arriverà a quella me<lb></lb>desima altezza, alla quale sarebbe arrivata non levando <lb></lb>le melme, è ben vero, che vi arriverà alquanto più tardi. </s><s><lb></lb>S'aggiunge di più, che la forza delle vene sotterranee <lb></lb>delle quali quella palude è piena senza le piogge, ridurrà <lb></lb>prestissimo l'acqua di quei Chiari alla medesima altezza, <lb></lb>alla quale stava essendovi le melme. </s> <s><foreign lang="it">Un mio amico aveva <lb></lb>tenuti quattro giorni continui dentro un pozzo 20 bellis<lb></lb>simi cocomeri; quando li levò tutti a un tratto s'accorse, <lb></lb>che il pelo dell'acqua calò più d'un braccio, e si pensava, che <lb></lb>dovesse restar sempre così. È ben vero che in meno di <lb></lb>mezz'ora vide l'acqua rialzata al medesimo segno al quale <lb></lb>stava prima che fussero levati i cocomeri. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Questo punto <lb></lb>di levar le melme è stato discorso lunghissimamente nelle <lb></lb>scritture già fatte, e forse s'è provato essere una diligenza <lb></lb>superflua. È anche stato discorso, che oltre la spesa gran<lb></lb>dissima, e principale, che vi vorrebbe per fare quel gran<lb></lb>dissimo fosso vi vorrebbe di più una grandissima spesa <lb></lb>annua per mantenerlo, imperocchè vi nascerebbero, e <lb></lb>canne, e sterpi, ed erbe foltissime, come negli altri ca<lb></lb>nali di Chiana, e di più sarebbe soggetto a riempirsi d'im<lb></lb>postime, molto più che non è la Chiana adesso, per le <lb></lb>ragioni da me addotte nella scrittura lunga. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">In ultimo quando ben anco la prima spesa fusse tollera- <pb pagenum="304"></pb>bile, ed il mantenimento del fosso fusse facile, e l'acquisto <lb></lb>fusse grande come è stato proposto, io credo, che la dura<lb></lb>zione del benefizio sarebbe breve. </foreign></s> <s><foreign lang="it">La ragione è questa, <lb></lb>mentre noi averemo fatto acquisto di grandissime campa<lb></lb>gne, e le ridurremo a coltura, la terra anderà continua<lb></lb>mente calando per due cagioni; prima, perchè l'acqua, che <lb></lb>vi pioverà sopra chiara, anderà via torbida: seconda, per<lb></lb>chè ogn'anno leverem via una quantità di sostanza terrea <lb></lb>levandone biade, grano, e lor paglie e non rimettendovi mai <lb></lb>niente, perchè là non si dà acconcime, nè altro. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Di più se queste terre coltivate caleranno, la superficie <lb></lb>dell'acqua delle Chiane và sempre crescendo, come si vede <lb></lb>manifestamente. </s><s>Così averemo due moti contrari, che si <lb></lb>anderanno incontro l'un l'altro, sbassandosi la terra, ed <lb></lb>alzandosi l'acqua, onde io temo, che in breve tempo ri<lb></lb>tornerà allagato tutto l'acquisto. </s></p> <p type="main"> <s>Risponderanno, che questo moto và tardissimo, ed io <lb></lb>dirò, che anco per tardo che sia, farà l'effetto presto, <lb></lb>poichè quell'altezza di terra, che essi sperano d'acquistare <lb></lb>sopra l'acqua, quando ben anco l'acquistassero, non può <lb></lb>essere se non pochissima. </s><s>Che poi questo debba succedere, <lb></lb>come ho detto, si prova con l'esempio. </s><s>La fattoria de'Pa<lb></lb>glietti di S. A. S. e forse qualche altra, una volta erano <lb></lb>coltivate, e fertili; venne poi tempo, che calando esse <lb></lb>per la coltivazione, ed alzandosi la Chiana per l'impo<lb></lb>stime andarono quasi affatto sott'acqua. </s> <s><foreign lang="it">Ma il Bartolotti <lb></lb>per via di fiumi l'ha ricolmate, e sono fertilissime. </foreign></s> <s>Il me<lb></lb>desimo accaderà negli acquisti, che si pretendono ora; <lb></lb>quando saranno fatti anderanno in breve tempo sott'acqua, <lb></lb>come le fattorie sopradette. </s> <s><foreign lang="it">Ma quel che è peggio non <lb></lb>potranno mai più riacquistarsi, perchè gli acquisti, che <lb></lb>si sperano ora non hanno fiumi che possano ricolmare, <lb></lb>come hanno avuto gli affitti del Bartolotti. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Così l'im<lb></lb>presa del rasciugar le Chiane, o sarà impossibil per la <lb></lb>natura del paese, o sarà insopportabil per la spesa del <lb></lb>gran fosso, o sarà grave la pensione annua del mante<lb></lb>nimento, o sarà pericolosa per l'inondazione d'Arno, o <lb></lb>sarà vana per la certezza di perdere in pochi anni ogni <lb></lb>acquisto, che si possa sperare. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Tutte queste cose, toccate <pb pagenum="305"></pb>quì, con alcune altre, che per brevità si tralasciano, sono <lb></lb>state discorse a pieno nelle mie due precedenti scritture, <lb></lb>alle quali mi rimetto. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>DIFFICOLTÀ SOVVENUTE AL SIGNOR TORRICELLI <lb></lb>DOPO AVER VEDUTE LE CHIANE, <lb></lb>ACCENNATE DAL SERENISSIMO PRINCIPE LEOPOLDO.<emph.end type="center"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="italics"></emph>Prima.<emph.end type="italics"></emph.end> Che per aver visto quel paese vastissimo in <lb></lb>tempo d'acque basse, tenendo sicuro, che l'escrescenti <lb></lb>sieno di gran lunga più dell'ordinarie, non può far di <lb></lb>meno non temere dell'inondazione d'Arno, mentre per <lb></lb>bonificare le Chiane converrà scaricare l'escrescenti in <lb></lb>minor tempo, che di presente, e tanto più, che succedendo <lb></lb>lo sbassamento dalla parte nostra, converrà dare il passo <lb></lb>sotto a' Ponti d'Arezzo a quell'acque, che sogliono incam<lb></lb>minarsi verso il Tevere: e non sa se un regolatoio in un <lb></lb>istesso tempo possa sicurare, che Arno non allaghi le <lb></lb>sue riviere, e la Chiana non affoghi le sue semente; ri<lb></lb>ducendo a memoria quante volte Arno abbia danneggiato <lb></lb>le riviere tanto fruttifere con la rovina delle terre del <lb></lb>Val d'Arno, e la strage delle porte di Fiorenza. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="italics"></emph>Seconda.<emph.end type="italics"></emph.end> Che dubita assai della poca pendenza, qual <lb></lb>confessa circa a 20 braccia, e dice, che l'angolo della sua <lb></lb>inclinazione sarà circa la sessantesima parte d'un grado, <lb></lb>tale per l'appunto, che appena sarà bastante per alterare <lb></lb>l'orizzontale. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Dice consistere il male, che l'acqua sparsa per <lb></lb>vastissime campagne non può condursi all'emissario se <lb></lb>non in lunghezza di tempo per non aver tanta pendenza, <lb></lb>che basti per lo sfogo di tanti fiumi, e fossi, che vi con<lb></lb>corrono, e che però sarà lo scolo tardo, e l'inondazione <lb></lb>inevitabile, con l'affogo delle semente, e non gioverà dar <lb></lb>pendenza al canale, perchè quella che si poteva se gli <lb></lb>diede nel canale di sette miglia a' Ponti d'Arezzo, che ne <lb></lb>derivò poi il grand'acquisto di tante terre. </foreign></s> <s>Ma ora la <lb></lb>Chiana è aperta affatto, e l'apertura è tanto bassa, che <pb pagenum="306"></pb>basta per scaricare l'acqua delle praterie, e di gran parte <lb></lb>delle cannucce. </s> <s><foreign lang="it">E poi in lunghezza di 20 miglia non si <lb></lb>potrà mai dare di pendenza al canale per la metà di <lb></lb>quella si trova di presente l'emissario in sette miglia, ben<lb></lb>chè s'abbassasse tutta la pescaia, perchè quella che si <lb></lb>trova adesso nel detto emissario, per essere assai declive, <lb></lb>riceve, e sgorga quanto per inondazioni di piogge nelle <lb></lb>Chiane si aumenta di massime piene. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Dice poi, che il vero modo di bonificare quei paesi <lb></lb>(se lo permettesse la spesa) sarebbe per via d'uno sbassa<lb></lb>mento eguale di tutta la valle con tirare il fondo di quella <lb></lb>a linea retta dal pelo del terreno del Chiaro di Monte<lb></lb>pulciano fino al fondo della Pescaia, e forse in Arno, ma <lb></lb>senza regolatoio, e senza mai restringere il canale da una <lb></lb>collina all'altra. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="italics"></emph>Terza.<emph.end type="italics"></emph.end> Che per venire in cognizione reale del rasciuga<lb></lb>mento, si doveva determinare la qualità delle Chiane, la <lb></lb>stagione dell'anno, perchè in diverse stagioni si scarica più <lb></lb>o meno e si doveva limitare lo stato del fiume se nella <lb></lb>natural costituzione ovvero gonfiato da piogge accidentali, <lb></lb>si doveva limitare la velocità del corso, e la quantità della <lb></lb>sezione, e la lunghezza del tempo, perchè tutte queste <lb></lb>accresciute o diminuite, faranno scaricare più, e meno <lb></lb>acqua in tempi eguali. </foreign></s> <s><foreign lang="it">E non basta pensare se un vaso <lb></lb>forato nel fondo s'asciugherà per venire in cognizione se <lb></lb>l'asciugamento sia, o non sia possibile; perchè nelle mon<lb></lb>tagne di Norcia si trova una pianura circondata da monti <lb></lb>continuati con la pendenza assai sensibile verso il mezzo <lb></lb>dove la natura vi ha provvisto d'una voragine, che assor<lb></lb>bisce tutti gli scoli del monte, e del piano. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Deduce poi <lb></lb>da questo, che se le Chiane avessero una simil cloaca nel <lb></lb>mezzo, cioè a' Ponti di Valiano, si rasciughebbero le parti <lb></lb>convicine, ma non le lontane. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="italics"></emph>Quarta.<emph.end type="italics"></emph.end> Che quando sia concesso accrescimento di ve<lb></lb>locità l'ha solo concesso nel gran canale, e che l'acqua <lb></lb>sarà riserrata nel medesimo, e non altrimenti lo concede <lb></lb>per quando l'acque si diffonderanno, perchè allora corre<lb></lb>ranno al pari dell'acque laterali; e quando disse, tripli<lb></lb>candosi la velocità vi vuole un terzo di quell'alveo che <pb pagenum="307"></pb>la Chiana occupa in tempo d'acque grosse, per iscaricarsi <lb></lb>come prima, intese, che vi voleva un fosso largo per un terzo <lb></lb>della Campagna, che ora va sott'acqua, revocando anco <lb></lb>in dubbio tale acrescimento di velocità per un suo nuovo <lb></lb>pensiero, che la velocità dell'acqua non si accresce nè di<lb></lb>minuisce secondo la pendenza del fondo, ma conforme <lb></lb>alla pendenza accresciuta o diminuita dalla superficie loro <lb></lb>nè sarà sempre vero che dalle pendenze del fondo si re<lb></lb>goli il corso dell'acque, ma dalla declività della superior <lb></lb>superficie. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Intende di più, che quel gran fosso, eccettuati pochi <lb></lb>mesi dell'estate, si conserverà sempre colmo, e la super<lb></lb>fice suprema dell'acqua verrà continuata al pari del<lb></lb>l'acque laterali appunto come sta adesso senza il gran <lb></lb>fosso e però negherà affatto l'accrescimento di velocità, <lb></lb>e se qualcosa concederà non sarà in riguardo della pen<lb></lb>denza accresciuta al fondo del fosso, ma in riguardo <lb></lb>della pendenza della superior superficie, la quale deve dar <lb></lb>regola al corso dell'acque, e se questo starà con lo stesso <lb></lb>declive, benchè il fosso acquisti pendenza, non acquista <lb></lb>velocità. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Anzi intende di più, che facendosi il canale <lb></lb>fino al Chiaro di Montepulciano, non saranno mai per <lb></lb>abbassarsi le Chiane più di quello fanno nell'acque estive, <lb></lb>perchè negli ardori dell'estate la lor superficie si riduce <lb></lb>al pari dell'acqua viva sotterranea di quei paesi, come <lb></lb>da pozzi si conosce, e questa sarà sempre bastante a <lb></lb>mantener pieno quel gran fosso, oltre l'acque che po<lb></lb>trebbero incontrarsi simili a queste nel corso di 22 miglia, <lb></lb>che sarebbero bastanti a riempirlo anche queste, e per <lb></lb>l'acqua delle Chiane sarebbe il medesimo come se il fosso <lb></lb>non fosse mai stato fatto, e così buttato via ogni spesa. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="italics"></emph>Quinta.<emph.end type="italics"></emph.end> Che le melme, sterpi, cannucce, ed acque per<lb></lb>petue non sono la cinquantissima parte dell'acqua, quando <lb></lb>la Chiana è grossa e che levandosi queste nel miglior <lb></lb>modo, che si può, sarà vero, che il vaso sarà un po' più <lb></lb>capace, ma tanto poco, che in mezz'ora, che segua di <lb></lb>piovere sarà supito d'altrettanta acqua, quant'erano quegli <lb></lb>impedimenti perpetui levati con spesa immensa, e così <lb></lb>verrà angustiato il vaso come prima, e persa affatto la <pb pagenum="308"></pb>sua maggioranza, se però non vi fusse quella determina<lb></lb>zione di piogge, che quando il seguito di mezz'ora di più <lb></lb>potesse arrivare al segno delle massime piene, dovesse <lb></lb>restare di piovere. </foreign></s> <s><foreign lang="it">E per massime piene intende un tal <lb></lb>alzamento d'acque, al quale quando l'acqua arriva non <lb></lb>possa crescere più, perchè stante il gran carico d'acqua, <lb></lb>altrettanta appunto se ne smaltisce per l'emissario, quanta <lb></lb>si somministra dalle piogge. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ma il benefizio d'aver levate le melme, cannucce, ed <lb></lb>altro, servirà solo l'estate, perchè alla prima acqua del<lb></lb>l'autunno sarà supplito alla mancanza loro, e nel resto <lb></lb>dell'inverno, sia bassa l'acqua quanto si vuole, che sarà <lb></lb>nella Chiana tant'acqua sopra l'estiva, e perpetua, che non <lb></lb>che non solo occuperà il luogo delle melme, ma per dieci, <lb></lb>ed anche venti volte di vantaggio. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Anzi di più sta in <lb></lb>dubbio, e forse crede, che levate le melme ed altri impe<lb></lb>dimenti, l'emissario scaricherà tant'acqua meno per l'ap<lb></lb>punto quant'erano gli suddetti impedimenti, i quali cari<lb></lb>cando la Chiana valevano per altrettanta acqua, e non <lb></lb>sa se sia cosa più desiderabile il levar le melme, o bra<lb></lb>marvene quaranta volte di più. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Adduce l'esempio del Lago <lb></lb>di Perugia, dal quale se una potenza soprannaturale le<lb></lb>vasse le due Isole sarebbe il medesimo che il levare le <lb></lb>melme dalle Chiane, perchè alla prima pioggia, o dalle <lb></lb>vene sotterranee sarebbe subito ripieno quanto occupavano <lb></lb>l'Isole. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>L'estirpar poi le cannucce tien per cosa impossibile <lb></lb>perchè l'acqua che la bagnerà d'inverno sarà bastante a <lb></lb>mantenerle fresche, e molto più le conseveranno l'acqua <lb></lb>occulte sotterranee, che sono al pari delle loro radici. </s><s>Il <lb></lb>reciderle poi, o arderle non serve ad altro, che per farle <lb></lb>germogliare più folte, e vigorose. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="italics"></emph>Sesta.<emph.end type="italics"></emph.end> Mostra gran difficoltà nel fare, e mantenere il <lb></lb>fosso per esser sodo il terreno nelle sette miglia, e che <lb></lb>non reggendo le sponde con grande scarpa adesso, che è <lb></lb>poco fondo, molto meno le reggerà quando sarà più fondo <lb></lb>17 braccia, e però oltre l'immensa spesa nel farlo, vi <lb></lb>s'aggiugnerà quella di mantenerlo, perchè oltre il terreno, <lb></lb>che vi caderà dalle sponde vi sarà l'impostime delle tor- <pb pagenum="309"></pb>bide, che portano i fiumi, e vi nasceranno le cannucce, <lb></lb>e l'erbe, perchè la poca corrente non averà forza di por<lb></lb>tar via quegli impedimenti, e molto più si riempirà quando <lb></lb>sarà più fondo, e più capace di quello, che adesso è poco <lb></lb>fondo, e manco capace; perchè se si metterà in due vasi <lb></lb>dell'acqua assai torbida, ma in uno due sola dita, e nel<lb></lb>l'altro due braccia, si vedrà la gran differenza dell'impo<lb></lb>stime, che sarà affondato nell'uno, e nell'altro. </foreign></s> <s><foreign lang="it">E dall'e<lb></lb>sempio di molti fiumi, che ha visto di maggior pendenza <lb></lb>attorno le Chiane, quali rialzano sempre il lor letto, de<lb></lb>duce, che seguirà il medesimo del nuovo canale. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="italics"></emph>Settima.<emph.end type="italics"></emph.end> Che quando le spese fussino per esser mediocri, <lb></lb>tanto nel fare, quanto nel mantenere quel gran canale, è <lb></lb>d'opinione, che metterebbe conto, e confessa di credere, <lb></lb>che qualche acquisto si farebbe. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Credo anco, che lascian<lb></lb>dosi la Chiana come sta adesso, una gran parte dei prati <lb></lb>sarà sempre soggetta all'acque, ma facendosi l'impresa, <lb></lb>che si ragiona, vi sarebbero degli anni, che potrebbero <lb></lb>coltivarsi, e questo sarebbe quando le piogge d'inverno <lb></lb>venissero moderate di quantità, e discontinuate, con inter<lb></lb>vallo di tempo fra l'una, e l'altra in modo, che quando <lb></lb>venisse la pioggia seguente, la Chiana già si trovasse <lb></lb>sgravata dalla precedente. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Non ammette già che in questo negozio si voglia argu<lb></lb>mentare il benefizio con la regola del tre, con dire; se <lb></lb>una cannella bassa quattro braccia scarica l'acqua in dieci <lb></lb>giorni, che farà un'apertura più bassa 18 braccia; ed avver<lb></lb>tisce, che l'acque non si scaricano a proporzione della <lb></lb>bassezza della cannella, ma in sudduplicata proporzione <lb></lb>cioè, quando la cannella sarà quattro volte più bassa, <lb></lb>porterà due volte più acqua, e quando sarà 9 volte più <lb></lb>bassa porterà tre volte più acqua, e questo è solo vero <lb></lb>nelle botti, ma supposto, che sia anco nelle Chiane, si <lb></lb>trova, che la pendenza del fosso verrebbe prossimamente <lb></lb>raddoppiata, e però quell'acqua, che ora si scarica in 7 <lb></lb>tempi, allora si scaricarebbe prossimamente in cinque, che <lb></lb>non è grande acquisto. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="italics"></emph>Ottava.<emph.end type="italics"></emph.end> Che facendosi il gran canale, tutti quei gran<lb></lb>dissimi paesi si libereranno veramente dell'acque, ma con <pb pagenum="310"></pb>tanto poco vantaggio, che sbassandosi un palmo egual<lb></lb>mente sarebbero per restare inutili come prima. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Dice, che le terre ancor piane, mentre si coltivano, <lb></lb>vanno perpetuamente scemando; prima, perchè piovendovi <lb></lb>sopra acqua chiara, la medesima scola ne' fossi, e se ne <lb></lb>va via torbida. </s> <s><foreign lang="it">Seconda, perchè ogni anno si trasporta via <lb></lb>una grandissima quantità di sostanza terrea, nel grano, <lb></lb>biade, e lor paglie, che si levano dai campi coltivati, <lb></lb>essendo queste lontane dalle Colline, e dalle bocche dei <lb></lb>fiumi, non vi sarebbe speranza di ricolmare quando fos<lb></lb>sero abbassate, e quando vi fosse la possibilità, si potrebbe <lb></lb>dire, ricolmiamole adesso senza fare la spesa immensa <lb></lb>nel canale, che se le premesse sono vere, sarà meglio rag<lb></lb>girare quei fiumi ovunque la natura ci dimostra per acqui<lb></lb>stabile; perchè rialzandosi il letto della Chiana dall'impo<lb></lb>stime, si rialzerà anche l'acqua, ed affogherà le col<lb></lb>tivazioni. </foreign></s> </p> <pb></pb> <p type="caption"> <s>Opere di Evangelista Torricelli Vol. </s><s>II Tav.II</s></p> <figure></figure> <pb></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROSPETTIVA PRATICA.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <pb></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>AVVERTIMENTO.<emph.end type="center"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Il T. XXIV della Div. </foreign></s> <s>IV dei Mss. </s> <s><foreign lang="it">Galileiani della Biblioteca Nazionale di Firenze <lb></lb>contiene in 11 carte e 22 tavole le prime pagine di un trattato di <emph type="italics"></emph>prospettiva pratica,<emph.end type="italics"></emph.end><lb></lb>che E Torricelli si era proposto di scrivere in 20 lezioni e sotto forma di dialogo. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Il testo autografo delle dette 11 carte viene qui pubblicato conforme all'originale <lb></lb>per quanto in esso non si trovi neppur compiuta la prima lezione, come esempio <lb></lb>della varia attività dell'Autore. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Le tavole, per lo più incomplete e di soggetto molto elementare, dovettero <lb></lb>essere disegnate per la maggior parte come esercizio dai suoi allievi. </s><s>Due di esse <lb></lb>soltanto vengono riprodotte come saggio a <emph type="italics"></emph>Tav. </s><s>III<emph.end type="italics"></emph.end> e <emph type="italics"></emph>Tav. </s> <s><foreign lang="it">IV<emph.end type="italics"></emph.end> del presente volume, <lb></lb>come quelle che sono meglio finite e che abbiamo giudicate di mano dello stesso <lb></lb>E. Torricelli. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>GIUSEPPE VASSURA. </s></p> <pb></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>PROSPETTIVA PRATICA<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Dialogo di<emph.end type="italics"></emph.end> ALESSIO <emph type="italics"></emph>e<emph.end type="italics"></emph.end> CONTI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>AL. Già che siamo a sera, e piove così forte, non voglio <lb></lb>Sig. Conti che in nessun modo ella se ne vadia a casa. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">CON. Questa sarà somma grazia perchè come vede, ò an<lb></lb>cora i panni della state, chè mi penetrerebbe l'acqua <lb></lb>fino all'ossa. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>AL. A questo ci sarebbe rimedio perchè averei io d'acco<lb></lb>modarla di buon ferraiolo che al sicuro potrebbe andare <lb></lb>ma non ne rag[i]oniamo perchè intendo che questa sera <lb></lb>stia da me. </s></p> <p type="main"> <s>CON. La dolce vostra conversazione più mi tiene che la <lb></lb>pioggia, e già che così volete volentieri e con sommo <lb></lb>gusto accetto questo vostro scommodo. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">AL. Non più cerimonie, entriamo nel mio studio e qui <lb></lb>cerchiamo di far ora di cena. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">CON. O questo è quello che bramo perchè quivi non man<lb></lb>cherà materia da ragionare. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>AL. Si certo entri adunque e segga e senza cerimonie. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">CON. Veramente questo è un luogo da Virtuosi pari vostri, <lb></lb>e dove mai rincrescerebbe lo stare. </foreign></s> <s>Ma già che veggo <lb></lb>quel libro aperto, dicami per grazia che contiene egli. </s></p> <p type="main"> <s>AL. Quello è un libro da un tale composto.... intitolato <lb></lb><emph type="italics"></emph>Prospettiva Pratica.<emph.end type="italics"></emph.end></s></p> <pb pagenum="314"></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it">CON. In fatti il Cielo mi aiuta e mi ha condotto in luogo <lb></lb>che una volta potrò saziare qualche mio appetito; di<lb></lb>temi di grazia perchè si dice <emph type="italics"></emph>prospettiva pratica.<emph.end type="italics"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">AL. Ò perchè per mezzo di regole e modi si descrive in <lb></lb>superficie, o carta tela, o muro qual si voglia oggetto, <lb></lb>senza sapere altro, che la regola, che, perchè la fa <lb></lb>quello che fà, è usata con fede dalli Pratici, senza <lb></lb>volerne notizia di altro fondamento di Teorica, essendo <lb></lb>quella facile e breve a impararsi, e questa difficile e <lb></lb>lunga; quella ricerca il solo disegno, questa oltre al <lb></lb>disegno le Matematiche, studio lungo e senza fine e <lb></lb>fastidioso a mandarsi a memoria. </foreign></s> <s><foreign lang="it">E però questi che à <lb></lb>composto il libro à fatto per insegnare con una breve <lb></lb>pratica a conseguire l'istesso, in opera, che conseguiva <lb></lb>un altro con una lunga teorica, e vegga che egli ha <lb></lb>dedicato alli Giovani studiosi del disegno, perchè in <lb></lb>esso non tratta se non quello che ai Pittori può oc<lb></lb>correre in tal occasione. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>CON. È stata veramente bella fatica et se questa sera ci <lb></lb>fusse tempo e che non fusse vostro scommodo averei <lb></lb>caro di sentir qual cosa intorno a questa Prospettiva, <lb></lb>perchè ò alcuni dubbi, che mi ànno alle volte fatto <lb></lb>impazzire, vero è che non sapendo io le ragioni è forza <lb></lb>che resti privo dell'Intelligenza. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">AL. Questa è una Materia che ben sia chiamata Pratica <lb></lb>ad ogni modo è tanto chiara e intelligibile per se <lb></lb>stessa et ogni mediocre ingegnio la può capire, et qui <lb></lb>sono stati dei Giovanetti di pochissimo tempo che con <lb></lb>il solo aver studiato le Pratiche della Geometria anno <lb></lb>fatto miracoli in <expan abbr="q.">que</expan><emph type="sup"></emph>ta<emph.end type="sup"></emph.end> Arch. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">CON. Sono necessari li studi della Geometria. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">AL. Sono, ma solo serve quelli pochi Principi della co<lb></lb>gnizzione delle forme et dei corpi et fabbrica loro, <lb></lb>come sarebbe il tirar una linea sopra una data a an<lb></lb>goli retti, il constituire triangoli quadrati pentagoni <lb></lb>eptagoni ottagoni sopra linee date o ne' dati cerchi, <lb></lb>il far un angolo eguale a un dato, una forma eguale <lb></lb>a una data, et altre Cose, le quali non le sapendo per <lb></lb>pratica non si può anco per pratica operare cosa alcuna. </foreign></s> </p> <pb pagenum="315"></pb> <p type="main"> <s>CON. Io adunque che queste cose le ho passate con qual<lb></lb>che poco di Pratica potrei in questo far qualche frutto, </s></p> <p type="main"> <s>AL. Potrebbe. </s></p> <p type="main"> <s>CON. et in questo tempo secondo voi imparerei questa <lb></lb>Pratica Prospettiva. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">AL. Se come à fatto nelli altri studi in questo si occu<lb></lb>passe spererei che in meno di 20 lezioni ella fusse il <lb></lb>Primo Prospettivo del Mondo, et con il suo operare <lb></lb>in un par di mesi si farebbe franco. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>CON. In fatti già che siamo qui et ne ò sempre avuto <lb></lb>voglia di grazzia vegghiamo se stasera so cominciare, </s></p> <p type="main"> <s>AL. se non vuol altro questa è voglia che se la potrà <lb></lb>cavare, </s></p> <p type="main"> <s>CON. et io altro non desidero però diamoci dentro. </s></p> <p type="main"> <s>AL. eccomi a servirla presto. </s> <s><foreign lang="it">Sappia dunque che Prospet<lb></lb>tiva non è altro che ridurre in una superficie Piana o <lb></lb>Concava o Convessa o torta qual si voglia corpo come <lb></lb>dalli occhi è veduto, et per cio fare sono andati inver<lb></lb>tigando diversi modi fra li quali il più Chiaro et Sicuro <lb></lb>è questo che son per mostrarvi et l'istesso che è in <lb></lb>questo libro il quale si chiama per traluccidazione, ma <lb></lb>perchè avanti entriamo a ragionar di questo, bisogna <lb></lb>Gettare alcuni fondamenti acciò la fabbrica dello studio <lb></lb>sia ben fondata: dirò prima acciò intenda, che a volere <lb></lb>ridurre in superficie piana un oggetto veduto dall'oc<lb></lb>chio di qual si voglia forma è di necessità prima pren<lb></lb>dere di quello ogni Misura: Altezza: lunghezza e Gros<lb></lb>sezza et quelle ridurre in piano, nel modo che sentirà <lb></lb>acciò da quelle per mezzo delli raggi visuali et della <lb></lb>Virtu loro ne venga ridotto come ho detto in quella <lb></lb>vedutta di Prospettiva che più si desidera sopra una o <lb></lb>piu superficie, et tali Misure in 2 modi si <lb></lb> <arrow.to.target n="fig461"></arrow.to.target><lb></lb>descrivano altezza e lunghezza, l'una sarà <lb></lb>Pianta et l'altra Proffilo o faccia, in que<lb></lb>sta li alzati si mostra et in quella le di<lb></lb>stanze. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma per più Chiarezza, seguirò <lb></lb>qui sopra questo foglio la linea retta AB <lb></lb>stando sopra il Piano FE perpendicu<lb></lb>larmente e che l'estremo A cada nell'e- <pb pagenum="316"></pb>stremo B et per esser retta li mezzi si opponghino alli <lb></lb>estremi tutta la linea AB sopra il piano FE segnerà <lb></lb>un punto, e questo me lo doverà concedere. </foreign></s> </p> <figure id="fig461"></figure> <p type="main"> <s>CON. Già questo ne son capace. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">AL. Ma quando la linea come mostra GF <lb></lb> <arrow.to.target n="fig462"></arrow.to.target><lb></lb>cade sopra il piano IK et pende allora <lb></lb>il punto F cade in H et il G dove <lb></lb>tocca et tutta la linea GF nel piano, <lb></lb>diventa GH, et della figura prima la <lb></lb>linea AB è Proffilo et il punto C è pianta, et di questa <lb></lb>seconda la linea GF è Proffilo et la GH è pianta, et <lb></lb>uno non può andare senza l'altro, </foreign></s> </p> <figure id="fig462"></figure> <p type="main"> <s>CON. Et questo ancora mi pare assai Chiaro e da non <lb></lb>poter essere altrimenti. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">AL. da questo si cava questo altro <lb></lb> <arrow.to.target n="fig463"></arrow.to.target><lb></lb>che stando la linea NO anco a <lb></lb>piano in aria sopra il piano LM <lb></lb>cade li perpendicolari OQ et NP <lb></lb>et formano sopra il piano PQ, et <lb></lb>questa pianta et NO Proffilo si <lb></lb> <arrow.to.target n="fig464"></arrow.to.target><lb></lb>chiama, </foreign></s> </p> <figure id="fig463"></figure> <figure id="fig464"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">et ancora sopra il piano RS <lb></lb>stando la VT volta in dentro <lb></lb>cade li suoi estremi XY sopra il <lb></lb>Piano; XY è pianta e VT è <lb></lb> <arrow.to.target n="fig465"></arrow.to.target><lb></lb>Proffilo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma sopra il piano Z& <lb></lb>stando la linea R</foreign><foreign lang="grc">ω</foreign><foreign lang="it"> perpendicu<lb></lb>lare et volta la sua pianta sa<lb></lb>rebbe quella che fa il perpendi<lb></lb>colo </foreign><foreign lang="grc">ωα</foreign><foreign lang="it"> cioè R</foreign><foreign lang="grc">α</foreign><foreign lang="it">, et cosi per <lb></lb>l'altro Verso o altri Modi che <lb></lb>essa linea si prendesse sopra il Piano. </foreign></s> </p> <figure id="fig465"></figure> <p type="main"> <s>Ma perchè per maggior intelligenza ho segniato <lb></lb>li piani in veduta, sappia che a voler poi descriver le <lb></lb>piante essi Proffili non vanno segniati così </s></p> <p type="main"> <s>CON. et perchè nò </s></p> <p type="main"> <s>AL. perche si come aviamo detto delle linee bisogna anco <lb></lb>ragionare di piani e loro superficie. </s> <s><foreign lang="it">Aviamo ora il qua<lb></lb>drato ABDC di piana superficie il quale è composto <pb pagenum="317"></pb>di quattro linee rette, però la <lb></lb> <arrow.to.target n="fig466"></arrow.to.target><lb></lb>AC per la prima dichiarazzione in <lb></lb>pianta sopra il piano EF fa il <lb></lb>punto G, et l'altra BD per la me<lb></lb>desima sopra l'istesso piano EF <lb></lb>fa in pianta un punto H, dico che <lb></lb>tirata la linea GH averemo la <lb></lb>pianta di tutto il quadrato pero<lb></lb>che se A cade in C et B in D anco la linea AB caderà <lb></lb>in CD et per conseguenza in GH che per la 3<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> AB et <lb></lb>CD à per pianta GH. </foreign></s> </p> <figure id="fig466"></figure> <p type="main"> <s>CON. intendo benissimo voi volete dire che la semplice <lb></lb>linea GH contiene tutte la quattro linee AB et BD <lb></lb>et DC et CA. </s></p> <p type="main"> <s>AL. V. S. mi à inteso nobilmente <lb></lb> <arrow.to.target n="fig467"></arrow.to.target><lb></lb>[ .... passo piu oltre]: </s></p> <figure id="fig467"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">voltiamo ora la nostra su<lb></lb>perficie ABCD, dico che per <lb></lb>le ragioni delle linee della 4<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>Proposizzione GH sarà la pian<lb></lb>ta sopra il Piano EF. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Seguitiamo a voltar la su<lb></lb>perficie fin tanto che il punto <lb></lb>A tocchi il punto B et il <lb></lb> <arrow.to.target n="fig468"></arrow.to.target><lb></lb>punto C tocchi il punto D <lb></lb>tutta la superficie sarà in una <lb></lb>linea come qui sotto si vede. </foreign></s> </p> <figure id="fig468"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">CON. In fino a qui non ci ò al<lb></lb>cuna difficultà et veggo che <lb></lb>questa Superficie[è]in Proffilo, <lb></lb>che AB si tocchino et CD si <lb></lb>tocchino, fanno il medesimo effetto che AC in pianta <lb></lb>et BD. ò io inteso bene? </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">AL. benissimo Sig. et piu oltre passo: <lb></lb> <arrow.to.target n="fig469"></arrow.to.target><lb></lb>sopra il piano NO sta pendente <lb></lb>la superficie IKLM che cadendo <lb></lb>giù da I et K li perpendicoli in <lb></lb>sul piano fanno li punti <expan abbr="Pq.">Pque</expan> Si <lb></lb>che la linea LI per la 5<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> fa la sua <pb pagenum="318"></pb>pianta in LP et KM in MQ et IK per la 4<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> in PQ et <lb></lb>LM tocca nei medesimi punti LM, si che tutta IKLM <lb></lb>fa la pia[nta] in sul piano NO. — LMPQ come segniato <lb></lb>gli mostro </foreign></s> </p> <figure id="fig469"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">CON. mi piace che queste cosi le intendo assai chiaramen<lb></lb>te ma ditemi digrazzia nella 1<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> proposizzione dove dite <lb></lb>che una linea retta stando a Piombo sopra il piano, fa <lb></lb>solo un punto, il detto Punto da egli notizzia di quanto <lb></lb>lunga sia la linea. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">AL. Non si ricord[a] ella ch'io gli dissi che la pianta non <lb></lb>puo stare senza il Proffilo ne il Proffilo senza la pianta, <lb></lb>questo lo dicevo perchè dalla pianta non si a le notiz<lb></lb>zie se non di una cosa o di due al piu, et nel Proffilo <lb></lb>l'istesso et li corpi che 3 cose anno cioè altezza, lun<lb></lb>ghezza et grossezza, anno bisogno della notizia di tutte. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>CON. serve adunque la medesima pianta, a una linea che <lb></lb>sia alta quanto a una bassa. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">AL. Serve, et non solo della linea sola ma ancora delle <lb></lb>superficie </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">CON. digrazzia segniamo un poco perche il vedere in fatto, <lb></lb>mi cava d'ogni dubbio. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">AL. eccomi Pronto, la linea AB lunga <lb></lb> <arrow.to.target n="fig470"></arrow.to.target><lb></lb>3 cade perpendicolarmente sopra il <lb></lb>piano EF, et fa in pianta il punto G <lb></lb>per la prima proposizzione ora taglian<lb></lb>dola in C et che solo restassi CB la <lb></lb>medesima pianta G servirebbe, et ta<lb></lb>gliandola di nuovo in D che restassi <lb></lb>DB la pianta G, non si muta mai, ma <lb></lb>allora si muta quando la linea <lb></lb> <arrow.to.target n="fig471"></arrow.to.target><lb></lb>HL pende sopra il piano e fa <lb></lb>la pianta HO, che se la taglia<lb></lb>mo in K la linea HO non serve <lb></lb>più per pianta della HK ma si <lb></lb>bene di HK è la sua pianta HN, <lb></lb>et se tagliassimo la linea HKL <lb></lb>in I la mia pianta non sarebbe <lb></lb>più HNO ma HM pero che il punto I non cade più <lb></lb>sopra H et il punto K non cade più sopra il punto IH <pb pagenum="319"></pb>et il punto L non cade più sopra il punto KIH et tutti i <lb></lb>quattro venivano a unirsi in uno, come sopra dicemmo. </foreign></s> </p> <figure id="fig470"></figure> <figure id="fig471"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">CON. infatti come dicevi da Principio, mi pare che queste <lb></lb>cose sieno molto facili a capirsi, et mi maraviglio che <lb></lb>i Giovani studiosi del Disegno non si esercitino in <lb></lb>questo tanto a loro necessaria Scienza, perôche i pit<lb></lb>tori anno più necessità della Prospettiva che di qual<lb></lb>sivoglia altra cosa et vorrei sapere, che molti che ci <lb></lb>sono fanno alle volte delle . . . . . . . . . . . . . . . . . <lb></lb>. . . il saper questa pratica come faccino no la sapendo <lb></lb>a far cosa che possa stare. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">AL. io glielo dirò in poche parole, eglino si mettono a <lb></lb>Disegnare dal naturale et si come di uno scorcio di <lb></lb>una figura fanno, così d'una fabbrica o piano fanno, <lb></lb>et ò veduto di quelli far modelli di tutta l'opera et <lb></lb>da quelli cavar il tutto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . <lb></lb>delle figure, lo sfuggimento delle lontananze et via <lb></lb>discorrendo. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>CON. et da questi modi pare possano operare bene? </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">AL. possono fino a un certo che, et da loro a quelli che <lb></lb>con la regola operano è Giusto è come dal Cieco e <lb></lb>come dall'Alluminato, perochè il Cieco tasta con le <lb></lb>mani e con il bastone dove deve passare e mettere i <lb></lb>piedi et benchè usi diligenza ad ogni modo qualche <lb></lb>sasso o . . . . sempre trovano dove bene spesso cascando <lb></lb>rompersi la bocca, ma quello che vede, se non è Gran <lb></lb>cosa o di poca avvertenza o altro, non vi è pericolo <lb></lb>di male alcuno, ma lasciamo andare e torniamo al <lb></lb>nostro Proposito. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">CON. Un altro dubbio hò nella mente qual'è che nella <lb></lb>quarta Proposizzione voi mi fate sbiecare la linea e <lb></lb>Dove nel Proffilo si vedeva per la 3<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> la sua larghezza <lb></lb>appunto in quella nella Pianta solo scorgo vedersi la lar<lb></lb>ghezza sua e nel Proffilo nò. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">AL. immaginasi V. S. una linea <lb></lb> <arrow.to.target n="fig472"></arrow.to.target><lb></lb>AB la quale stando ferma in <lb></lb>A giri dalla testa 1, 2, 3, 4, 5 <lb></lb>velocissimamente et eccone lo <lb></lb>esempio pigli una righa et la <pb pagenum="320"></pb>leghi a uno spago da una testa et Preso quello spago, <lb></lb>facciala girare in volta con gran velocità, ella al certo <lb></lb>vedrà un circolo di righe, et questo nasce dallo spesso <lb></lb>ritornare che fa la riga nel luogo dove guarda l'occhio, <lb></lb>et per lo piano fa il medesimo che la linea AB, Az et <lb></lb>A.1 et A.4 et A.5 et c. </foreign></s> <s><foreign lang="it">et perchè il Proffilo sta a <lb></lb>piano col Piano BC le linee vengono ad incontrare <lb></lb>nel Proffilo ma non nella Pianta, benchè nel mio Di<lb></lb>segno per essere in veduta par che scortino perchè le <lb></lb>piante e proffili non scortano per esser vedute dall'oc<lb></lb>chio, ma per esse ridotte sopra superficie piane per <lb></lb>mezzo dei suoi perpendicoli come sarebbe la superficie <lb></lb>AB stando in piano et la <lb></lb> <arrow.to.target n="fig473"></arrow.to.target><lb></lb>linea da quella sollevata <lb></lb>pure . . . . . dalli estremi <lb></lb>di quella cade li 2 piombi <lb></lb>C, D et sopra essa super<lb></lb>ficie fa li due estremi CD <lb></lb>se alzate la linea come <lb></lb>in ET il piombo cade in <lb></lb>K, se in H cade in L et <lb></lb>se in G cade in M et così <lb></lb>la pianta viene a scortare <lb></lb>come vedete mediante il <lb></lb>sollevamento di detta linea et tanto sarebbe se calassi <lb></lb>con la testa F abbasso tanto che se la riducessi per<lb></lb>pendicolare verrebbe la pianta un sol punto. </foreign></s> </p> <figure id="fig472"></figure> <figure id="fig473"></figure> <p type="main"> <s>CON. ò capito un poco meglio quanto mi avete rappresen<lb></lb>tato et Godo di questa facilità di Principi </s></p> <p type="main"> <s>AL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>FINE DEL VOLUME SECONDO.<emph.end type="center"></emph.end></foreign></s> </p> <pb></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>OPERE <lb></lb>DI <lb></lb>EVANGELISTA TORRICELLI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <pb></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Riservati tutti i diritti accordati dalla Legge <lb></lb>in Italia e all'Estero.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <pb></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>OPERE <lb></lb>DI <lb></lb>EVANGELISTA TORRICELLI <lb></lb>EDITE IN OCCASIONE DEL III CENTENARIO DELLA NASCITA <lb></lb>COL CONCORSO DEL COMUNE DI FAENZA <lb></lb>DA <lb></lb>GINO LORIA E GIUSEPPE VASSURA<emph.end type="center"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>VOLUME III: RACCONTO D'ALCUNI PROBLEMI <lb></lb>CARTEGGIO SCIENTIFICO <lb></lb>CON 260 FIGURE ED ALCUNI FACSIMILE DI AUTOGRAFI <lb></lb>PUBBLICATO PER CURA DI GIUSEPPE VASSURA<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <figure></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>FAENZA<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>STABILIMENTO TIPO-LITOGRAFICO G. MONTANARI <lb></lb>AMMINISTRATO DALL'ORFANOTROFIO MASCHI<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>1919.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <pb></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>INDICE<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> </s></p> <pb></pb> <table> <row><cell>RACCONTO D'ALCUNI PROBLEMI PROPOSTI E PASSATI SCAMBIEVOL-</cell></row> <row><cell> MENTE TRA GLI MATEMATICI DI FRANCIA, ET IL TORRICELLI NE</cell></row> <row><cell> I QUATTRO ANNI PROSSIMAMENTE PASSATI . . . . . . . .</cell><cell>Pag.</cell><cell>1</cell></row> <row><cell>CARTEGGIO SCIENTIFICO . . . . . . . . . . . . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>33</cell></row> <row><cell>INDICE CRONOLOGICO DEL CARTEGGIO . . . . . . . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>511</cell></row> <row><cell>INDICE ALFABETICO DEL CARTEGGIO . . . . . . . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>517</cell></row></table> <p type="main"> <s><foreign lang="it">RACCONTO D'ALCUNI PROBLEMI PROPO<lb></lb>STI E PASSATI SCAMBIEVOLMENTE <lb></lb>TRA GLI MATEMATICI DI FRANCIA, <lb></lb>ET IL TORRICELLI NE I QUATTRO <lb></lb>ANNI PROSSIMAMENTE PASSATI. </foreign></s> </p> <pb></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>AVVERTIMENTO.<emph.end type="center"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Quattro esemplari manoscritti di questo <emph type="italics"></emph>Racconto<emph.end type="italics"></emph.end> trovansi in un codice della Colle<lb></lb>zione Galileiana presso la Biblioteca Nazionale di Firenze, indicato nel <emph type="italics"></emph>recto<emph.end type="italics"></emph.end> della <lb></lb>terza sua carta: “ <emph type="italics"></emph>Discepoli di Galileo,<emph.end type="italics"></emph.end> T. XXXII — <emph type="italics"></emph>Torricelli Evangelista,<emph.end type="italics"></emph.end> Volume 12 ”. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Il primo di questi esemplari è autografo e occupa le carte 21-43; il secondo copia <lb></lb>conforme del primo e di poco posteriore, occupa le carte 44-59: il terzo a carte 60-81 <lb></lb>è di mano di Lodovico Serenai; e l'ultimo a carte 82-149 è copia del secolo XVIII <lb></lb>rilevata dal precedente per servire per la stampa. </foreign></s> <s>Inoltre esiste la copia a stampa, <lb></lb>che ANGELO FABRONI diede alla luce nelle “ VITAE ITALORUM DOCTRINA EXCELLENTIUM <lb></lb>QUI SAECULIS XVII ET XVIII FLORUERUNT. Pisis. 1778, Vol. </s><s>I. pag. 376-399 ” la quale è <lb></lb>conforme alle ultime due manoscritte. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Nell'esemplare autografo il titolo originale del <emph type="italics"></emph>Racconto<emph.end type="italics"></emph.end> si legge in modo evidente <lb></lb>sotto alcune cancellature, che sono di mano del Serenai, ed è tale: “ <emph type="italics"></emph>Racconto d'al<lb></lb>cuni Problemi proposti e passati scambievolmente tra gli Matematici di Francia, et il Tor<lb></lb>ricelli ne i quattro anni prossimamente passati ”.<emph.end type="italics"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Con le dette cancellature il Serenai ha modificato il titolo nel modo seguente: <lb></lb>“ <emph type="italics"></emph>Racconto d'alcune Proposizioni proposte e passate scambievolmente tra i Mattematici di <lb></lb>Francia, e me dall'anno 1640 in qua<emph.end type="italics"></emph.end> ”. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Inoltre nella definizione che precede la propo<lb></lb>sizione XLVI dove sull'originale sta scritto: “ <emph type="italics"></emph>M. Roberval mi propose di marzo pros<lb></lb>simo pas.to il seguente problema,<emph.end type="italics"></emph.end> ecc.... ” egli ha cassate le parole: “ <emph type="italics"></emph>di marzo pros<lb></lb>simo pas.to<emph.end type="italics"></emph.end>.... ”, forse perchè la lettera, con la quale Roberval comunicò al Torricelli <lb></lb>quel problema, e che pervenne a questi nel marzo 1646, effettivamente fu scritta con <lb></lb>la data 1 gennaio 1646 (V. Carteggio Scientifico N.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> 161). Queste varianti si trovano <lb></lb>naturalmente anche nelle ultime due copie manoscritte ed in quella a stampa del <lb></lb>Fabroni, nelle quali inoltre non sono riprodotte le due postille autografe del Tor<lb></lb>ricelli alla prop. </foreign></s> <s>XXV, ed alla definizione che precede la XXXV rispettivamente. </s></p> <p type="main"> <s>Nell'esemplare autografo la proposizione L è sottoscritta con la seguente data <lb></lb>e firma: <emph type="italics"></emph>Dom.co Capponcini 25 Genn. 1662,<emph.end type="italics"></emph.end> in questo modo: </s></p> <figure></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">La presenza di questa data e firma è spiegata da un istromento notarile che fu <lb></lb>pubblicato da CARLO ROBERTO DATI nell'opuscolo intitolato: “ LETTERA AI FILALETI <lb></lb>DI TIMAURO ANTIATE. <emph type="italics"></emph>Della Vera Storia della Cicloide, e della Famosissima Esperienza <lb></lb>dell'Argento Vivo.<emph.end type="italics"></emph.end> In Firenze all'Insegna della Stella, 1663. Con licenza dei Superiori ”. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>A pag. 25, linea 13-16 di detto opuscolo si legge: “ <emph type="italics"></emph>Strumento di recognizione, di scritture <lb></lb>di mano propria di Evangelista Torricelli addotte nella precedente lettera, celebrato nel<lb></lb>l'Accademia Fiorentina a di 25 di Gennaio dell'anno 1662, dall'Incarnazione, secondo il <lb></lb>costume di Firenze, ed esistente nell'Archivio pubblico di detta Città<emph.end type="italics"></emph.end> ”. </foreign></s> <s>Un esemplare <lb></lb>manoscritto originale infatti di questo strumento trovasi nelle carte 123<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end>-125<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> d'un <lb></lb>protocollo dell'Archivio Pubblico de' Contratti di Firenze intitolato: “ D. 12, FILZA 8 <lb></lb>DI CONTRATTI, <emph type="italics"></emph>di Sir (sic) Domenico di Giovan Batista Capponcini, Notaro Resideente (sic) <lb></lb>a Firenze. </s> <s><foreign lang="it">Dal 30 Marzo 1662 al di 4 ottobre 1669. Dal N. al N. (sic)<emph.end type="italics"></emph.end> ”. </foreign></s> <s>In que<lb></lb>sto istromento adunque, rogato da Domenico Capponcini Notaio fiorentino e Cancel<lb></lb>liere dell'Università di Firenze, si legge: </s></p> <p type="main"> <s>“ Al Nome di Dio Amen. </s> <s><foreign lang="it">L'Anno dell'Incarnazione di Nostro Signore Giesù <lb></lb>“ Christo mille seicentosessantadue, nell'Indizione prima, il di venticinque di Gennaio. <pb pagenum="4"></pb>“ Sedente Alessandro Settimo Sommo Pontefice, e il Serenissimo Ferdinando Secondo <lb></lb>“ Gran Duca Quinto di Toscana felicemente Dominante. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Fatto fù questo presente <lb></lb>“ pubblico Istrumento in Firenze nel Popolo di San Benedetto, nella Via dello <lb></lb>“ Studio, e in una delle schuole dell'Antichissima, e Nobilissima Accademia Fioren<lb></lb>“ tina, quivi presenti gl'infrascritti Nobili SS. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">“ Sig. Conte Filippo del Sig. Marchese Rinieri d'Elci Gentilumo Senese. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">“ Sig. Conte Carlo del Sig. Conte Piero de' Bardi de' SS. Conti di Vernio, et. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">“ Sig. Francesco del qu. </foreign></s> <s>Sig. Lorenzo Ridolfi, Gentiluomi Fiorentini, e tutti trè <lb></lb>“ Accademici di detta Accademia, Testimoni, etc. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">“ Apparisca per l'Instrumento presente pubblicamente a tutti, e per tutto, qual<lb></lb>“ mente Constituto personalmente davanti all'Illustrissimo Sig. Benedetto del qu. <lb></lb>“ Sig. Nicolò Gori Gentiluomo Fiorentino I. C. e uno degli Avvocati del Collegio <lb></lb>“ de' Nobili di detta Città di Firenze, al presente Consolo Dignissimo di detta Acca<lb></lb>“ demia, e davauti a detti SS. Testimonij, et à me in questa parte Notaro Pubblico <lb></lb>“ Fiorentino, e Cancelliere infrascritto, etc. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">— “ Il Sig. Lodovico del qu. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Sig. Francesco Serenai I. C. Fiorentino, e Accade<lb></lb>“ demico della detta Accademia espose, che l'Eruditissimo quon. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Sig. Evangelista <lb></lb>“ del qu. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Sig. Gasparo Torricelli da Faenza Celeberrimo Matematico, e Filosofo <lb></lb>“ del Serenissimo Gran Duca di Toscana, e Professor Pubblico delle Matematiche <lb></lb>“ nella detta Accademia Fiorentina, trovandosi gravemente infermo, sotto di quat<lb></lb>” tordici del Mese di Ottobre dell'anno milleseicenquaranzette fece suo Testa<lb></lb>“ mento, nel quale, et del quale elesse, e deputò Esecutore esso Sig. Lodovico, chia<lb></lb>“ mandolo suo fedelissimo, e cordialissimo amico: e gli ordinò fra l'altre cose, che <lb></lb>“ seguita sua morte, per mezzo del Padre Fra Bonaventura Cavalieri Professor Pub<lb></lb>“ blico di Matematiche nello studio di Bologna, facesse stampare suoi scritti, studi, <lb></lb>“ e fatiche di Geometria, quali haveva già in ordine con le Dimostrazioni, e fra le <lb></lb>“ dette scritture di Geometria comprendesse lettere, e risposte passate fra lui, e i <lb></lb>“ Matematici di Francia etc. </foreign></s> <s><foreign lang="it">come meglio detto Sig. Lodovico disse apparire nell'Ar<lb></lb>“ chivio Pubblico di questa Città per l'istesso testamento del quale fu rogato Ser. <lb></lb>“ Marchionne di Iacopo Bimbacci Notaio Pubblico Fiorentino, e col qual testa<lb></lb>“ mento detto Sig. Evangelista morì la notte seguente al dì ventiquattro del me<lb></lb>“ desimo sopradetto mese di Ottobre di detto anno mille seicenquaranzette. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>“ E soggiunse non haver per ancora potnto come Esecutore Testamentario pre<lb></lb>“ detto far pubblicare, e stampare le dette Opere, et Lettere Geometriche di detto Sig. <lb></lb>“ Evangelista prima per la grave malattia nell'istesso tempo, e per la morte prossi<lb></lb>“ mamente succeduta anco di detto Padre Frà Bonaventura Cavalieri sotto dì trenta <lb></lb>“ di Novembre dell'istesso anno; e poi per diversi accidenti, che anno impedito tal <lb></lb>“ pubblicazione, come è noto alli amici Fiorentini di detto Sig. Torricelli, e massime <lb></lb>“ alla maggior parte degli infrascritti S. S. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">“ Ma ora per servir come deve, e desidera all'istanza del Sig. Carlo del qu. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Sig. Ca<lb></lb>“ millo Dati Gentiluomo Fiorentino uno anch'egli di detti Accademici, e Professor <lb></lb>“ pubblico di Lettere Umane Greche, e Latine nel sopradetto Studio Fiorentino (il <lb></lb>“ qual Sig. Carlo come parzialissimo amico della verità, e del Sig. Torricelli sotto <lb></lb>“ nome di Timauro Antiate vuol pubblicare un'Apologia in difesa della fama di lui) <lb></lb>” trovarsi detto Sig. Lodovico necessitato a far pubblicamente sapere, e leggitima<lb></lb>“ mente constare che fra le seritture appresso di se esistenti, e come sopra lasciategli <lb></lb>“ dal Sig. Torricelli per dare alle stampe, vi sono le infrascritte di propria mano di <lb></lb>“ csso Sig. Torricelli, e cioè: </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">“ Un libretto in foglio intitolato: <emph type="italics"></emph>Racconto di alcune proposizioni proposte, e passate <lb></lb>“ scambievolmente tra i Matematici di Francia e me, dall'anno mille seicen quaranta in <lb></lb>“ quà.<emph.end type="italics"></emph.end> Nel quale a numero einquanta questa, <emph type="italics"></emph>Il centro di gravità della Cicloide stà <lb></lb>“ nell'asse, e lo sega in proporzione di sette a cinque.<emph.end type="italics"></emph.end> E seguita. <emph type="italics"></emph>Havendo io avvisato la <lb></lb>“ sola enunciazione di quest'ultimo Teorema in Francia etc.<emph.end type="italics"></emph.end> e finisce con queste parole <lb></lb>“ <emph type="italics"></emph>hanno tentato di farmi<emph.end type="italics"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s>“ I. Una Bozza di lettera che incomincia <emph type="italics"></emph>Clarissimo Viro Robervallio etc. </s><s>Evangelista <lb></lb>“ Torricellius S. P. Eloquar apertê tecum etc.,<emph.end type="italics"></emph.end> e finisce. <emph type="italics"></emph>et intellectum meum ditare.<emph.end type="italics"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>“ II. Altra Bozza di lettera che comincia <emph type="italics"></emph>M. Mersenno Clarissimo, et Celeberrimo <lb></lb>“ Viro S. P. Iam non in legendis Epistolis tuis etc.,<emph.end type="italics"></emph.end> e finisce. <emph type="italics"></emph>Kàl, Maij. </s><s>Anno 1644, Evan<lb></lb>“ gelista Torricellius.<emph.end type="italics"></emph.end></s></p> <pb pagenum="5"></pb> <p type="main"> <s>“ III. Altra Bozza di lettera che comincia <emph type="italics"></emph>Doctissimo et Celeberrimo Viro M. M. <lb></lb>“ Torricellius s. </s><s>p. Heri ad me delatae fuerunt literae tuae etc.<emph.end type="italics"></emph.end> e finisce. <emph type="italics"></emph>Nihil univer<lb></lb>“ salius habet Geometria<emph.end type="italics"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>“ IV. Altra Bozza di lettera che comincia. <emph type="italics"></emph>Clarissimo Viro Robervallio Torri<lb></lb>“ cellius S. P. D. De Trochoide (esto quantumlibet Trochoides) etc.<emph.end type="italics"></emph.end> e finisce. <emph type="italics"></emph>Interea toto <lb></lb>“ affectu me tibi commendo Vir Clarissime Valè. </s><s>Dat. </s><s>Flor. 7.ma Iulij Anni 1646.<emph.end type="italics"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>“ V. Altra Bozza di lettera che comincia. <emph type="italics"></emph>Doctissimo, et celeberrimo Viro P. M. Mer<lb></lb>“ senno Evangelista Torricellius S. Seris Epistolis damus serum responsum etc.<emph.end type="italics"></emph.end> e finisce. <lb></lb>“ <emph type="italics"></emph>Iamque vale meque obsequentissimum servum tuum ama. </s><s>D. Florentiae die 7.a Iulij 1646.<emph.end type="italics"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>“ VI. Altra Bozza di lettera che comincia. <emph type="italics"></emph>Doctissime et Celeberrime P. Mersenne. <lb></lb>“ Oro Paternitatem Vestram, ut secum ipsa recordari velit etc.<emph.end type="italics"></emph.end> e finisco <emph type="italics"></emph>nam aliquod <lb></lb>“ commercium cum tanto Viro valde desidero.<emph.end type="italics"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>“ VII. Altra Bozza di lettera che comincia <emph type="italics"></emph>Illustrissimo et. </s><s>Doctissimo Viro P. de <lb></lb>“ Carcaus, E. Torricellius Sal. </s><s>Circa Problema numericum Illustrissimi Domini Senatoris <lb></lb>“ de Fermat. </s><s>elc.,<emph.end type="italics"></emph.end> e finisce <emph type="italics"></emph>et me inutilem quidem sed obsequentissimum famulum, ut <lb></lb>“ cepisti ama. </s><s>D. Florentiae die 8 Iulij 1646.<emph.end type="italics"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">“ Onde presentato davanti all'Illustrissimo Sig. Consolo, e SS. Testimoni soprad<lb></lb>“ detti il detto Racconto, e le dette sette Bozze di lettere [numerate come sopra si <lb></lb>“ vede da me Notaio, e Cancelliere infrascritto] il medesimo Signor Lodovico Serenai <lb></lb>“ primieramente per mezzo di suo giuramento prestato in forma etc. </foreign></s> <s><foreign lang="it">toccate etc. <lb></lb>“ disse, et affermò essere state tutte dette scritture, e ciascuna di esse da se trovate <lb></lb>“ con molt'altre nell'eredità del detto S. Evangelista Torricelli alla di lui morte <lb></lb>“ nella stessa Camera dov'egli morì nel Palazzo de' Medici da lui abitato in Firenze <lb></lb>“ sul canto di Via Larga. </foreign></s> <s><foreign lang="it">E di poi la detta Proposizione cinquantesima del Racconto, <lb></lb>“ e quelle sette Bozze di lettere detto Sig. Lodovico con reiterato giuramento pre<lb></lb>“ stato in forma etc. </foreign></s> <s>toccate etc. </s><s>disse e confermò esser tutte, e ciascuna di esse <lb></lb>“ scritta di propria mano dell'istesso Sig. Torricelli, e per tali, e come tali attual<lb></lb>“ mente le riconobbe, e riconosce etc. </s></p> <p type="main"> <s>“ In causa di suo sapere etc. </s> <s><foreign lang="it">oltre alle cose predette disse perche come amico <lb></lb>“ intrinseco, e confidente di detto Sig. Evangelista Torricelli, avendo seco conversato <lb></lb>“ e praticato lungo tempo, e vedutolo più volte scrivere, aveva et ha piena e parti<lb></lb>“ colar notizia del di lui carattere, scritto, e scritturato, e vedere, e riconoscere <lb></lb>“ accertatamente la defta Proposizione del Racconto, e le dette sette Bozze di lettere, <lb></lb>“ e ciascuna di esse essere state, et essere scritte di propria mano del medesimo <lb></lb>“ S. Torricelli, e cosi asserì, depose, et affermò per la mera verità etc. </foreign></s> <s>e in ogni mi<lb></lb>“ glior modo etc. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">“ E incontinenti, e per più evidente, e legittima giustificazione della verità so<lb></lb>“ pradetta. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">“ Il Sig. Andrea del qu. </foreign></s> <s>Lorenzo Cavalcanti </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">“ Il Sig. Agostino del qu. </foreign></s> <s>Sig. Gio: Batista Nelli </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">“ Il Sig. Ridolfo del qu. </foreign></s> <s>Sig. Alessandro Paganelli </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">“ Il Sig. Ferdinando del qu. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Sig. Orazio della Rena </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">“ Il Sig. Vincenzio del qu. </foreign></s> <s>Sig. Iacopo Viviani </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">“ e il Sig. Alessandro del qu. </foreign></s> <s>Sig. Tommaso Segni. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">“ Tutti Gentiluomini Fiorentini, e Accademici della medesima sopradetta Acca<lb></lb>“ demia pregati per la mera verità dall'istesso S. Lodovico Serenai, e Constituiti <lb></lb>“ come sopra davanti à detto Illustrissimo Sig. Consolo, e SS. Testimoni, et a me <lb></lb>“ Notaio, e Cancelliere infrascritto per causa, et occasione di riconoscere anch'essi <lb></lb>“ la scrittura e carattere di detta Proposizione cinquantesima del Racconto, e le <lb></lb>“ sette Bozze di Lettere sopradette, e deporre per la verità di mano di chi siano <lb></lb>“ scritte quelle, e ciascuna di esse à detti SS. et à ciascuno di loro mostrate, et <lb></lb>“ esibite, essi SS. e ciascun di loro le medesime ben vedute, lette, osservate, et ad <lb></lb>“ una ad una diligentemente considerate etc. </foreign></s> <s>per mezzo di loro, e di ciascuno di lor <lb></lb>“ giuramento prestato in forma, etc. </s><s>toccate etc. </s> <s><foreign lang="it">dissero, asserirono, et affermarono, <lb></lb>“ e ciascun di lor SS. disse, asserì, et affermò la detta proposizione cinquantesima <lb></lb>“ del Racconto, e le sette Bozze di lettere comincianti, e terminanti come sopra, <lb></lb>“ essere state, et essere fatte, e scritte di propria mano del sopradetto Sig. Evange<lb></lb>“ lista Torricelli, e per tali, e come tali unitamente, e indifferentemente le confer<lb></lb>“ marono, e riconobbero, e ciascun di loro le conferma, e le riconosce, etc. </foreign></s> </p> <pb pagenum="6"></pb> <p type="main"> <s>“ In causa di lor sapere etc. </s> <s><foreign lang="it">dissero, e ciascun di loro disse, et affermò per es<lb></lb>“ sere stati scolari, amici intrinseci, e famigliari del detto Sig. Evangelista Torricelli, <lb></lb>“ e aver vedute molt'altre scritture Matematiche, e Filosofiche, e d'altre materie <lb></lb>“ di propria mano dell'istesso Sig. Torricelli, e averlo veduto molte volte serivere. <lb></lb>“ E però aver auto, e aver piena notizia, e cognizione esattissima del di lui scritto, <lb></lb>“ e carattere, e conoscere ingenuamente tutte le scritture sopradette come sopra <lb></lb>“ esibite dal detto Sig. Lodovico Serenai essere state, et essere scritte di proprio <lb></lb>“ pugno del medesimo Sig: Evangelista Torricelli. </foreign></s> <s>Et così deposero, et affermarono, <lb></lb>“ e ciascun di detti SS. asseverantemente depose, et affermò per la pura, e sincera <lb></lb>“ verità, etc, e in ogni miglior modo, etc. </s></p> <p type="main"> <s>“ Et io Notaio, e Cancelliere infrascritto fui pregato a formare di tutte le reco<lb></lb>“ gnizioni, e cose sopradette, e di ciascuna di esse pubblico Istrumento, come ho <lb></lb>“ formato questo presente. </s> <s><foreign lang="it">E per maggior riscontro e autenticazione delle sopradette <lb></lb>“ recognizioni hò sottoscritto di mia propria mano la detta proposizione cinquante<lb></lb>“ sima del Racconto e ciascuna delle sopradette Bozze di lettere (dal detto Sig. Lo<lb></lb>“ dovico riprese) in questa forma cioè. <emph type="italics"></emph>Dom.co Capponcini 25 Genn. 1662.<emph.end type="italics"></emph.end> E tutto <lb></lb>“ in ogni miglior modo etc. </foreign></s> <s>Rogantes, etc. </s></p> <p type="main"> <s>“ <emph type="italics"></emph>Die.<emph.end type="italics"></emph.end> Approbo Ego Dominicus infrascriptus Verbum in fine renovatum sub eius <lb></lb>“ signo prout lineaturam Verbi <emph type="italics"></emph>tuum<emph.end type="italics"></emph.end> quia per errorem etc. </s></p> <p type="main"> <s>“ Ego Dominicus Capponcinius D. Io: Baptistae ol. </s><s>fil I. V. D. Civis Florenti<lb></lb>“ nus et in hac parte Notarius publicus, nec non dictae Accademiae Florentinae <lb></lb>“ Cancellarius de praed. </s><s>licet aliena manu, mihi tamen fida, rogat. </s><s>fui, et in fidem <lb></lb>“ propria manu me subscripsi ad laudem Dei, et B. V. M. </s></p> <p type="main"> <s>“ Collatum per me Franciscum de Francisconis ex Ministris subst. </s><s>in generali <lb></lb>“ Archivio Florentino hac die 31. Martij 1663. </s></p> <p type="main"> <s>“ Ioannes Oricellarius I. V. D. et Conservator vidit ”. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Il periodo di tempo al quale questo <emph type="italics"></emph>Racconto<emph.end type="italics"></emph.end> si riferisce e l'epoca in cui fu <lb></lb>scritto si deducono dal contenuto di esso con il sussidio del <emph type="italics"></emph>Carteggio Scientifico.<emph.end type="italics"></emph.end><lb></lb>Come il Torricelli dichiara nella prop. </foreign></s> <s>XX i problemi mandati da Lui in Francia <lb></lb>per la prima volta furono una ventina in un foglio indirizzato al Padre Gio. </s><s>Fran<lb></lb>cesco Nicerone. </s> <s><foreign lang="it">Questo foglio, da noi ritrovato, è pubblicato nel presente volume <lb></lb>(V. Carteggio Scientifico, N.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> 52), e di esso si discorre come di cosa recentemente <lb></lb>ricevuta in una lettera del Padre Marino Mersenne in data 1<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> agosto 1643 (V. Car<lb></lb>teggio Scientifico, N.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> 55). Quindi lo scambio famoso di problemi tra il Torricelli ed <lb></lb>i Matematici di Francia ebbe inizio nella prima metà dell'anno 1643. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Il <emph type="italics"></emph>Racconto<emph.end type="italics"></emph.end> poi fu scritto nella seconda metà dell'anno 1646, cioè circa quattro <lb></lb>anni dopo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Invero nella citata definizione che precede la prop. </foreign></s> <s><foreign lang="it">XLVI scrivendo il <lb></lb>Torricelli: “ <emph type="italics"></emph>M. Roberval mi propose di marzo prossimo pas.to il seguente problema, <lb></lb>etc.<emph.end type="italics"></emph.end> . . . . ” allude al problema di trovare la forma e l'area della curva così <lb></lb>detta di Roberval, quale come sopra è detto fu comunicato da Roberval a Torricelli <lb></lb>con lettera del 1 genn 1646, (V. Carteggio Scientifico, N.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> 161) e pervenne a questo sol<lb></lb>tanto nel marzo seguente. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Scriveva adunque il Torricelli posteriormente al marzo <lb></lb>1646, ma sempre nell'istesso anno. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Il che è confermato anche nella prop. </foreign></s> <s><foreign lang="it">L, dove, <lb></lb>parlando della comunicazione data in Francia del centro di gravità della cicloide, <lb></lb>sta scritto: “ . . . . <emph type="italics"></emph>e questo fu nella state del 1644. Essi hanno tardato due anni a <lb></lb>rispondere, et hora ecc.<emph.end type="italics"></emph.end> . . . . ”. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Dunque scriveva Torricelli il suo <emph type="italics"></emph>Racconto<emph.end type="italics"></emph.end> nell'e<lb></lb>state del 1646, nè si comprende perchè Lodovico Serenai abbia creduto bene di spo<lb></lb>stare la data iniziale del periodo di tempo al quale il <emph type="italics"></emph>Racconto<emph.end type="italics"></emph.end> istesso si riferisce. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Per questo, ed anche per il fatto che varianti di interesse apprezzabile oltre <lb></lb>quelle accennate, non si trovanto tra i diversi esemplari manoscritti, abbiamo col<lb></lb>lazionato la presente edizione con l'originalo autografo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">E poichè questo scritto è <lb></lb>una comunicazione al pubblico la quale in certo qual modo riveste il carattere di <lb></lb>corrispondenza, e può chiarire varie questioni dibattute nelle lettere del Torricelli e <lb></lb>relative risposte, lo abbiamo pubblicato in questo volume delle <emph type="italics"></emph>Opere<emph.end type="italics"></emph.end> insieme al <lb></lb><emph type="italics"></emph>Carteggio Scientifico.<emph.end type="italics"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s>GIUSEPPE VASSURA. </s></p> <pb></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>RACCONTO D'ALCUNI PROBLEMI<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">RACCONTO D'ALCUNI PROBLEMI PROPOSTI E PASSATI SCAM<lb></lb>BIEVOLMENTE TRA GLI MATEMATICI DI FRANCIA, ET <lb></lb>IL TORRICELLI NE I QUATTRO ANNI PROSSIMAMENTE <lb></lb>PASSATI. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ritrovandomi io in Roma l'anno 1640 hebbi occasione <lb></lb>per via di amici comuni di conoscere il P.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> Gio. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Francesco <lb></lb>Nicerone al Convento della Trinità de' Monti della reli<lb></lb>gione de' Minimi di S. Francesco di Paola. </foreign></s> <s>Questo Padre <lb></lb>è di Nazione francese, professore, et anco vero professore <lb></lb>di lettere e scienze di molte sorti. </s> <s><foreign lang="it">Egli è l'Autore di un <lb></lb>volume intitolato la Prospettiva Curiosa, nella quale mo<lb></lb>stra di havere esercitato non solo l'intelletto ma anco la <lb></lb>mano. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Si vedono di suo molte opere meravigliose, delle <lb></lb>quali una di un ritratto mirabile si conserva appresso il <lb></lb>Ser.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Gran Duca di Toscana. </foreign></s> <s>Non tralasciò questo Pa<lb></lb>dre di obbligarmi con ogni sorte di cortesia e di amore<lb></lb>volezza, offerendosi anco di pigliar sopra di sè tutta la cura <lb></lb>quando io mi fussi risoluto di lasciare stampare in Parigi <lb></lb>alcuna delle mie operette geometriche. </s> <s><foreign lang="it">Giudicai però molto <lb></lb>ragionevole, e conveniente il continuare con si degno Let<lb></lb>terato qualche commercio di virtuosa amicizia anco dopo <lb></lb>che egli si era trasferito in Parigi, et io ero passato alla <lb></lb>servitù di questa Ser.<emph type="sup"></emph>ma<emph.end type="sup"></emph.end> Altezza di Toscana; onde con <lb></lb>opportuna occasione mandai al suddetto Padre Nicerone <pb pagenum="8"></pb>in un foglio la nota d'alcune mie invenzioni geometriche <lb></lb>fino al numero di venti, accennando solo la enunciazione <lb></lb>senza dimostrazione alcuna. </foreign></s> <s><foreign lang="it">E feci questo a ciò non solo <lb></lb>il predetto Padre vedesse quel compendio dei miei studij, <lb></lb>ma anco acciò lo conferisse a i Matematici della Francia, <lb></lb>e ne chiedesse il loro giudizio. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Furono, sebben mi ricordo, <lb></lb>gli seguenti Problemi: gli racconterò tutti per ordine, <lb></lb>ancorchè la maggior parte sia poi stata pubblicata da me <lb></lb>colle stampe circa tre anni dopo che gli havevo proposti <lb></lb>in Francia. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>I.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Se nel cerchio sarà un poligono regolare parilatero, e <lb></lb>si rivolga la figura intorno al cateto <lb></lb> <arrow.to.target n="fig474"></arrow.to.target><lb></lb>B, si cerca la proporzione della sfera <lb></lb>all'inscritto solido. </foreign></s> </p> <figure id="fig474"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Si continui la proporzione della A <lb></lb>alla B in quattro termini A, B, C, D, <lb></lb>e sarà la sfera al solido inscrittogli <lb></lb>come il diametro d'essa sfera, cioè <lb></lb>come la dupla di A, alla B et alla D insieme prese. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>II.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Se nel cerchio sarà un poligono rego<lb></lb> <arrow.to.target n="fig475"></arrow.to.target><lb></lb>lare parilatero, e si volga la figura intorno <lb></lb>alla diagonale AB; la sfera al solido sarà <lb></lb>come il quadrato AB al quadrato AC. </foreign></s> </p> <figure id="fig475"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>III.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Se nel cerchio sarà un poligono re<lb></lb> <arrow.to.target n="fig476"></arrow.to.target><lb></lb>golare imparilatero, e si volga la figura <lb></lb>intorno alla B, si cerca la proporzione <lb></lb>della sfera al solido. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Sia continuata <lb></lb>la proporzione di A alla B in quattro <lb></lb>termini A, B, C, D, et sarà la sfera <lb></lb>al suo solido, come quattro A, insieme prese, ad una B, <lb></lb>due C, et una D insieme prese. </foreign></s> </p> <pb pagenum="9"></pb> <figure id="fig476"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>IV.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Se intorno al cerchio sarà un poligono <lb></lb> <arrow.to.target n="fig477"></arrow.to.target><lb></lb>regolare parilatero, e si volga la figura <lb></lb>intorno al cateto C; sarà il solido alla <lb></lb>sfera come gli due quadrati D, et C in<lb></lb>sieme presi, al quadrato C preso due <lb></lb>volte. </foreign></s> </p> <figure id="fig477"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>V.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <figure></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Se intorno al cerchio sia un poligono <lb></lb>di lati numero pari, e si volga la figura <lb></lb>intorno alla diagonale A sarà il solido <lb></lb>alla sfera come la linea A alla linea B. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>VI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Se intorno al cerchio sarà un <lb></lb> <arrow.to.target n="fig478"></arrow.to.target><lb></lb>poligono regolare imparilatero, e si <lb></lb>volga la figura intorno alla B, si <lb></lb>cerca la proporzione del solido alla <lb></lb>sfera. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Si continui la proporzione <lb></lb>della A alla B in tre termini A, B, <lb></lb>C, et sarà il solido alla sfera come <lb></lb>una A, con due B et con una C insieme prese, a quattro <lb></lb>C insieme prese. </foreign></s> </p> <figure id="fig478"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>VII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Dati due solidi delle pred.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> sei spezie qualunque si <lb></lb>siano, o della med.<emph type="sup"></emph>ma<emph.end type="sup"></emph.end> spezie, o di diverse, esprimere la <lb></lb>proporzione dell'un solido all'altro. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>VIII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <figure></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Se qualsivoglia poligono regolare parila<lb></lb>tero sarà rivoltato intorno all'uno et all'altro <lb></lb>suo asse A et B. Sarà il solido dell'asse o <pb pagenum="10"></pb>cateto B, al solido dell'asse o diagonale A come gli due <lb></lb>quadrati A et B insieme presi, al rettangolo AB preso <lb></lb>due volte. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>IX.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Trovare il centro della gravità della parabola <emph type="italics"></emph>a priori,<emph.end type="italics"></emph.end><lb></lb>cioè senza sapere, o supporre la quadratura di essa, come <lb></lb>haveva fatto Archimede. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Così fu proposto allora questo problema; ma adesso <lb></lb>dimostriamo non solo il centro di gravità della parabola <lb></lb>ordinaria e vulgata degl'antichi, ma anco d'infinite altre <lb></lb>parabole tutte di diversa spezie, delle quali una sola fu nota <lb></lb>a gl'antichi. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma i problemi di queste parabole con la de<lb></lb>finizione dell'istesse saranno più abbasso, [dopo il numero <lb></lb>27 fino al N. 36]. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>X.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Se sarà un frusto sferico ABCD, tagliato con piani <lb></lb>paralleli fra di loro, overo eretti all'asse EF, et sia centro <lb></lb>di gravità della figura il punto O, sarà <lb></lb> <arrow.to.target n="fig479"></arrow.to.target><lb></lb>la retta EO alla retta OF, come un <lb></lb>quadrato BC con due quadrati EF, e <lb></lb>due quadrati AD, ad un quadrato AD <lb></lb>con due quadrati EF, e due quadrati <lb></lb> <arrow.to.target n="fig480"></arrow.to.target><lb></lb>BC. </foreign></s> </p> <figure id="fig479"></figure> <figure id="fig480"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Questa enunciazione con pochissima <lb></lb>mutazione si riduce a comprendere anche <lb></lb>i frusti, et i segmenti della sferoide. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Così <lb></lb>in una sola e facilissima enunciazione si vedono ristrette <lb></lb>molte e difficilissime proposizioni ignote a gl'antichi, ma <lb></lb>dimostrate da Luca Valerio con molte Proposizioni, e con <lb></lb>diversissime enunciazioni; non essendosi accorto che sotto <lb></lb>una sola semplicissima et universale si potevano compren<lb></lb>dere tutti i casi, sopra i quali egli forma proposizioni <lb></lb>tanto diverse. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Volendo che comprenda anco la sferoide, dovrà tro- <pb pagenum="11"></pb>varsi una linea vicaria della EF, e <lb></lb> <arrow.to.target n="fig481"></arrow.to.target><lb></lb>si troverà così. </foreign></s> <s>Facciasi come l'asse, <lb></lb>o diametro intiero di cui è parte <lb></lb>EF, all'asse, o diametro conjugato <lb></lb>ad esso, così la retta EF ad un'al<lb></lb>tra, che sia K. Et sarà la EO, alla <lb></lb>OF, come un quadrato di BC con <lb></lb>due quadrati K, et due quadrati <lb></lb> <arrow.to.target n="fig482"></arrow.to.target><lb></lb>AD, ad un quadrato AD con due <lb></lb>quadrati K, e due quadrati BC in<lb></lb>sieme presi. </s></p> <figure id="fig481"></figure> <figure id="fig482"></figure> <p type="main"> <s>La dimostrazione di questo Pro<lb></lb>blema fu da me conferita a gl'amici <lb></lb>in Italia, e mandata anco in Francia, circa due anni dopo <lb></lb>che io l'havevo proposta. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Definizione.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Se sarà il solido AFBIC, nato <lb></lb> <arrow.to.target n="fig483"></arrow.to.target><lb></lb>dalla revoluzione di una sezione co<lb></lb>nica, o sia parabola, o hiperbola, o <lb></lb>porzione di circolo, ovvero d'elisse; <lb></lb>e sia tirato il piano FI parallelo <lb></lb>alla base AC, et che seghi per <lb></lb>mezzo l'asse nel punto E, <emph type="italics"></emph>chiame<lb></lb>remo il cerchio<emph.end type="italics"></emph.end> FI <emph type="italics"></emph>media sezzione.<emph.end type="italics"></emph.end></foreign></s> </p> <figure id="fig483"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>XI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>TEOREMA I.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Il solido predetto al suo cono inscritto sarà come una <lb></lb>sua base con quattro medie sezzioni, a due sue basi. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>XII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>TEOREMA II.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ma facendosi, come una base con due medie sezzioni <lb></lb>a due medie sezzioni, così la retta BO alla OD, sarà il <lb></lb>punto O centro di gravità di quel tale solido. </foreign></s> </p> <pb pagenum="12"></pb> <p type="main"> <s>Nella prima di queste due enunciazioni sta compendiata <lb></lb>una gran parte delle dottrine di Archimede, cioè la so<lb></lb>stanza principale delli libri <emph type="italics"></emph>de Sphaera, et cylindro, et de <lb></lb>sphaeroidibus et conoidibus.<emph.end type="italics"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Nella seconda poi sta grandissima parte della dottrina di <lb></lb>Luca Valerio, del Commandino, e del Galileo; i quali con <lb></lb>numero grandissimo di proposizioni hanno cercato i cen<lb></lb>tri della gravità ne i solidi delle sezzioni coniche, i quali <lb></lb>da noi in una sola proposizione sono stati ristretti. </foreign></s> <s>L'uno <lb></lb>e l'altro de i predetti teoremi si dimostra con una sola <lb></lb>dimostrazione; la proposta fu lodata in Francia, ma non <lb></lb>già sciolta. </s> <s><foreign lang="it">Et io qualche anno dopo conferii la dimostra<lb></lb>zione con gli amici d'Italia. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>XIII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Tra l'altre cose, che io proposi, fu anche il problema <lb></lb>della cicloide, cioè quanto appartiene alle quadrature et <lb></lb>alle tangenti, supponendo (si come sentivo dire comune<lb></lb>mente da tutti i Matematici d'Italia) che il Galileo fusse <lb></lb>stato il primo ad osservar questa figura già sono 50 anni; <lb></lb>e credendomi d'essere stato io il primo a trovar le dimo<lb></lb>strazioni. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Mi fu risposto da Monsù Roberval, che quanto <lb></lb>all'origine della figura, erano già molti anni che ella era <lb></lb>nota in Francia, ma di chi fusse specolazione era incerto; <lb></lb>quanto poi alle dimostrazioni mi scrisse che esso ancora <lb></lb>le haveva et anco prima di me. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Per allora lo credetti; <lb></lb>ma adesso ammaestrato da quanto soggiungerò intorno <lb></lb>al Problema 50, imparo a credere che non le havesse, ma <lb></lb>le prendesse dalle mie: così ho veduto che in altra occa<lb></lb>sione egli manifestamente ha fatto. </foreign></s> </p> <figure></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Definizione.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Se l'hiperbola sarà girata intorno <lb></lb>ad una delle sue asimptoti AB; na<lb></lb>scerà un solido infinitamente lungo <lb></lb>verso le parti A. </s></p> <pb pagenum="13"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>XIV.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>TEOREMA I.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Se questo solido sarà segato col piano CD; sarà il ci<lb></lb>lindro CE eguale al solido CAD benchè infinitamente <lb></lb>lungo. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Questa proposta da Monsù Roberval fu giudicata falsa, <lb></lb>et impossibile, anzi havendovi studiato qualche tempo so<lb></lb>pra, intesi dal P. Mersenne in voce quando passò di quà, <lb></lb>che il suddetto Roberval scrisse non so che dimostrazioni, <lb></lb>o discorsi, per provare che la mia enunciazone era assurda, <lb></lb>et impossibile. </foreign></s> <s><foreign lang="it">In ogni modo poi non passarono molti <lb></lb>giorni, che egli, per quanto io intesi dal detto Padre, ri<lb></lb>trovò la vera dimostrazione. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>XV.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <figure></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>TEOREMA II.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Qualunque frusto di questo solido è me<lb></lb>dio proporzionale fra gli due suoi cilindri, <lb></lb>cioè inscritto e circoscritto. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>XVI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>TEOREMA III.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ogni frusto del medesimo solido si sega in qualunque <lb></lb>data proporzione. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Queste tre proposte del mio solido hiperbolico infini<lb></lb>tamente lungo furono dimostrate da Monsù Roberval con <lb></lb>bellissime et altissime dimostrazioni; le quali sono total<lb></lb>mente diverse dalle mie, e sono appresso di me. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Questo <lb></lb>è quanto di dimostrazione io ho havuto di Francia; le mie <lb></lb>intorno a questa materia sono già stampate nel libro <lb></lb>dedicato al Ser.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Principe Leopoldo, cioè nella se<lb></lb>conda parte verso il fine del mio libretto. </foreign></s> </p> <pb pagenum="14"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>XVII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">La vite triangolare della prima revoluzione è uguale <lb></lb>ad un conoide hiperbolico, del quale si sa l'altezza, il lato <lb></lb>retto, e il lato verso. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>XVIII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Supposti infiniti numeri in continua proporzione di <lb></lb>maggioranza, il primo termine è medio proporzionale fra <lb></lb>la prima differenza e la somma di tutti. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>XIX.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Tutte le projezzioni fatte col medesimo impeto dal <lb></lb>medesimo punto, toccano la superficie concava di un tale <lb></lb>conoide parabolico noto ecc. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>XX.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">La lunghezza della projezzione semiretta è dupla del <lb></lb>tiro perpendicolare all'insù fatto col medesimo impeto. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Questi furono i Problemi da me mandati in Francia <lb></lb>la prima volta. </s> <s><foreign lang="it">Hora sono stampati tutti fuor che il 10 — <lb></lb>11 et 12 de i quali ho confidato la dimostrazione in mano <lb></lb>d'amici in iscritto ma non istampata. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Fra tutti i suddetti <lb></lb>Problemi solo fu dimostrato in Francia quello del solido <lb></lb>hiperbolico infinitamente lungo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">La dimostrazione di <lb></lb>Monsù Roberval mi fu mandata per mezzo del P. Marino <lb></lb>Mersenne litterato famosissimo dell'Ordine di S. Francesco <lb></lb>di Paola e Franzese di nazione. </foreign></s> <s>Questo Padre da me per <lb></lb>l'avanti non conosciuto si mosse a procurar l'amicizia mia <lb></lb>con l'occasione di quel poco di applauso che hebbero i <lb></lb>sopradetti miei Problemi. </s> <s><foreign lang="it">Così continuò poi e continua <lb></lb>anco di presente il medesimo Padre Mersenne ad esser <lb></lb>l'interprete fra quei dottissimi Matematici di Parigi <lb></lb>et me. </foreign></s> </p> <pb pagenum="15"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Definizione.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Se il cerchio sarà girato intorno alla sua tangente, <lb></lb>nascerà un solido che noi chiamiamo <emph type="italics"></emph>annello chiuso.<emph.end type="italics"></emph.end> Ma <lb></lb>se il cerchio sarà girato intorno ad una linea, che sia nel <lb></lb>medesimo suo piano e sempre dal cerchio egualmente lon<lb></lb>tana, nascerà un solido che chiamiamo <emph type="italics"></emph>annello aperto.<emph.end type="italics"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>XXI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>TEOREMA I.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">La superficie dell'annello chiuso al cerchio suo geni<lb></lb>tore, sta come la periferia di un cerchio alla quarta parte <lb></lb>del diametro del medesimo. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>XXII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>TEOREMA II.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">La superficie dell'annello aperto è eguale ad un cer<lb></lb>chio il cui semi-diametro sia medio proporzionale tra la <lb></lb>periferia del cerchio girato, o vogliam dir genitore, e <lb></lb>tra l'aggregato delli due semi-diametri ineguali del<lb></lb>l'annello. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Questi due teoremi, benchè non molto difficili, sono <lb></lb>stati da me proposti a diversi Matematici, ma per ancora <lb></lb>non ho havuto la soluzione da alcuno. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>XXIII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Trovare un triangolo rettangolo in numeri; di cui il <lb></lb>maggior lato sia quadrato; la somma de gl'altri due sia <lb></lb>quadrato, e la somma del maggiore, e del mezzano sia <lb></lb>quadrato. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Per esempio. </s> <s><foreign lang="it">Nel triangolo rettangolo 5, 4, 3 deve il <lb></lb>maggior lato 5 esser quadrato, e la somma di 4 et 3 essere <lb></lb>quadrato, e la somma di 5 et 4 essere quadrato. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Devono <pb pagenum="16"></pb>i numeri da trovarsi havere le suddette tre condizioni <lb></lb>delle quali l'esempio da noi dato non ne ha altro che <lb></lb>una, cioè l'ultima. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>XXIV.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Nella progressione geometrica del binario tutte le po<lb></lb>testà gl'esponenti delle quali saranno nella suddetta pro<lb></lb>gressione, se si accresceranno di una unità, si faranno <lb></lb><emph type="italics"></emph>numeri primi.<emph.end type="italics"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Exponentes 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. </s></p> <p type="main"> <s>Potestates 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Per esempio, la potestà 4 il cui esponente 2 sta nella <lb></lb>medesima progressione, se si accrescerà di una unità, si <lb></lb>farà 5 numero primo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Et la potestà 16 il cui esponente 4 <lb></lb>sta nella medesima progressione, se si accrescerà di una <lb></lb>unità si farà 17 numero primo. </foreign></s> <s>E così di tutte l'altre. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>XXV.<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> <arrow.to.target n="marg518"></arrow.to.target></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg518"></margin.target>Questo poi fu <lb></lb>dimos trato <lb></lb>da me in tre <lb></lb>modi diversi <lb></lb>e la dimo<lb></lb>straz.ne fu <lb></lb>vulgata in <lb></lb>Fiorenza, <lb></lb>Roma, Pisa, <lb></lb>Bologna et <lb></lb>in Francia <lb></lb>acciò altri <lb></lb>non potesse <lb></lb>vantarsi.</s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Dati tre punti, trovare un altro punto, dal quale tiran<lb></lb>dosi tre linee rette a gli punti dati, queste sieno la <lb></lb>minima quantità; cioè tutte tre insieme prese sieno mi<lb></lb>nori di qualunque altre tre, che da qualsivoglia altro <lb></lb>punto possano tirarsi a gli tre dati punti. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Questi tre Problemi del triangolo numerico, della pro<lb></lb>gressione, e degli tre punti sono di Monsù de Fermat Se<lb></lb>natore di Tolosa. </foreign></s> <s>Nessuno di essi è stato da me dimo<lb></lb>strato; e credo che la dimostrazione sia riservata in mano <lb></lb>dell'autore. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Mentre il Padre Marino Mersenne passò di quà l'anno <lb></lb>1644 per andare a Roma, mi lasciò in mano per brevis<lb></lb>simo tempo, cioè fin ch'egli desinò, una scrittura del so<lb></lb>pradetto Monsù Fermat. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Era la scrittura latina, ma di <lb></lb>carattere franzese, onde appena io intesi la proposta del <lb></lb>Problema seguente. </foreign></s> <s>Mi accorsi bene che la soluzione era <lb></lb>per via di luoghi solidi, cioè per via d'hiperbole, la qual <lb></lb>cosa deve fuggirsi da Geometri ogni volta che vi sia la <lb></lb>soluzione per via di luoghi piani. </s><s>Il problema era tale. </s></p> <pb pagenum="17"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>XXVI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Dato il mezzo eircolo ABC trovare il <lb></lb> <arrow.to.target n="fig484"></arrow.to.target><lb></lb>massimo rettangolo ADB, che possa farsi <lb></lb>da una parte AD del diametro, et dall'ap<lb></lb>plicata, o perpendicolare BD. </foreign></s> </p> <figure id="fig484"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Questo Problema fu da me sciolto subito, non solo nel <lb></lb>mezzo cerchio, ma anco nel mezzo ellisse, nella parabola, <lb></lb>et mezza parabola; e non solo dimostrai il massimo pro<lb></lb>dotto che possa farsi da una parte del diametro nella sua <lb></lb>applicata; ma trovai anco il massimo prodotto che possa <lb></lb>farsi da qualunque dignità d'una parte del diametro in <lb></lb>qualunque dignità della sua applicata. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Come per esempio; <lb></lb>dimostrai qual fusse il massimo prodotto <lb></lb> <arrow.to.target n="fig485"></arrow.to.target><lb></lb>del cubo AB nel quadrato BC. Vidi che <lb></lb>questa specolazione poteva propagarsi in <lb></lb>molte altre figure, et in particolare nell'in<lb></lb>finite parabole, e la medesima strada te<lb></lb>nuta da me poteva essere universale per trovare anco <lb></lb>nell'infinite parabole, et altre figure quel massimo pro<lb></lb>dotto, ma per allora mi parve d'haver fatto assai quanto <lb></lb>al mio desiderio, e troppo quanto all'altrui domanda. </foreign></s> </p> <figure id="fig485"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>XXVII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Allora il prodotto che si fa dalle dignità delle parti <lb></lb>di un numero, overo d'una linea segata, sarà il massimo <lb></lb>che possa mai farsi, quando le parti havranno la medesima <lb></lb>proporzione che hanno gli esponenti delle dignità. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Per esempio. </s> <s><foreign lang="it">Allora il prodotto che si fa dal moltipli<lb></lb>care una parte nell'altra, sarà il massimo, quando la linea, <lb></lb>overo il numero sarà segato per mezzo: et allora il pro<lb></lb>dotto che si fa moltiplicando una parte nel quadrato del<lb></lb>l'altra, sarà il massimo, quando le parti saranno come uno <lb></lb>a due. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Et allora il prodotto del quadrato di una parte <lb></lb>nel cubo dell'altra sarà il massimo, quando le parti sa<lb></lb>ranno come gl'esponenti del quadrato e del cubo, cioè <lb></lb>come 2 a 3 ecc. </foreign></s> </p> <pb pagenum="18"></pb> <p type="main"> <s>Questo gran Problema da me si dimostra per pura <lb></lb>Geometria, e senz'algebra. </s> <s><foreign lang="it">Fu da me proposto un pezzo <lb></lb>fà, nè per ancora ne ho havuta la dimostrazione univer<lb></lb>sale, la quale sta riservata appresso di me. È ben vero <lb></lb>che agli amici di Roma mandai già (pregato da uno di <lb></lb>essi) la dimostrazione di tal Problema per quando gli <lb></lb>esponenti delle dignità sieno in proporzione moltiplice <lb></lb>solamente. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Vastissimo Problema sarà il seguente delle infinite <lb></lb>parabole il quale per quanto intendo fu prima inventato <lb></lb>da Fra Bonaventura Cavalieri; ma esso, se ben s'accorse <lb></lb>che v'erano quelle figure, non ne trovò le proprietà, e non <lb></lb>ne dimostrò le passioni. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Il primo che habbia dimostrato <lb></lb>gl'accidenti di queste Parabole è stato per quanto intendo <lb></lb>Monsù de Fermat, e prossimamente Monsù Roberval. È <lb></lb>ben vero che se altri mi haverà prevenuto nel tempo, io <lb></lb>spero che l'haverò superato nella moltitndine delle maniere <lb></lb>çh'io tengo per mostrar le quadrature, le tangenti, i centri <lb></lb>et i solidi delle suddette parabole. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Definizione.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Parabolas voco eas in quibus applicatarum dignitates, <lb></lb>dignitatibus diametralium sint proportionales. </s><s>Per esempio. </s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Sia la figura AEBC, di cui sia dia<lb></lb> <arrow.to.target n="fig486"></arrow.to.target><lb></lb>metro BD, et base AC, e preso qua<lb></lb>lunque punto F nel diametro, sia <lb></lb>applicata FE, cioè parallela alla <lb></lb>base. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Devono le dignità delle appli<lb></lb>cate DA, FE, esser tra di loro come <lb></lb>le dignità delle diametrali DB, FB; <lb></lb>cioè, per esempio, come il qua<lb></lb>drato AD al quadrato EF, così la retta DB alla BF; <lb></lb>overo come il cubo AD al cubo EF, così la linea DB <lb></lb>alla BF; overo come il cubo AD al cubo EF così deve <lb></lb>essere il quadrato di DB al quadrato di BF, e questo <lb></lb>sempre in qualunque luogo si prenda il punto F, et in <lb></lb>tutte l'altre infinite dignità dell'algebra. </foreign></s> </p> <pb pagenum="19"></pb> <figure id="fig486"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>XXVIII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>TEOREMA I.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Il parallelogrammo circoscritto di qualsivoglia parabola, <lb></lb>alla parabola medesima sta come la somma de gli espo<lb></lb>nenti all'esponente delle applicate. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>XXIX.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>TEOREMA II.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Il centro di gravità di qualunque parabola sega il <lb></lb>diametro nella proporzione, che ha il parallelogrammo <lb></lb>circoscritto alla sua parabola. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>XXX.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>TEOREMA III.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Se in qualunque parabola AB sarà dato <lb></lb> <arrow.to.target n="fig487"></arrow.to.target><lb></lb>il punto A, e si cerchi la tangente: sia appli<lb></lb>cata AC, al diametro BC, et facciasi come <lb></lb>l'esponente dell'applicate all'esponente delle <lb></lb>diametrali, così la retta DC alla BC che la <lb></lb>congiunta AD sarà tangente della parabola <lb></lb>nel punto A. </foreign></s> </p> <figure id="fig487"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>XXXI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>TEOREMA IV.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Il cilindro circoscritto a qualsivoglia conoide nato dal <lb></lb>rivoltar una delle parabole intorno al suo diametro, ha la <lb></lb>medesima proporzione che ha il duplo dell'esponente dia<lb></lb>metrale insieme con l'esponente delle applicate. </foreign></s> </p> <pb pagenum="20"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>XXXII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>TEOREMA V.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Il centro di gravità del predetto conoide sega l'asse <lb></lb>nella proporzione medesima che ha il cilindro circoscritto <lb></lb>allo stesso conoide. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>XXXIII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>TEOREMA VI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Se una delle infinite parabole sarà girata intorno alla <lb></lb>sua base, la proporzione del cilindro circoscritto al so<lb></lb>lido fatto dalla parabola, sarà composta della proporzione <lb></lb>che ha il triangolo inscritto alla sua parabola, e della pro<lb></lb>porzione che ha l'esponente diametrale col duplo dell'espo<lb></lb>nente delle applicate, all'esponente delle applicate. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Vel sic. </s><s>Erit cylindrus ad solidum praedictum, ut nu<lb></lb>merus qui fit ex ductu aggregati exponentium in summam <lb></lb>ejusdem aggregati et exponentis applicatarum; ad duplum <lb></lb>quadrati applicatarum. </s></p> <p type="main"> <s>Questi teoremi in più modi da me si dimostrano, ma <lb></lb>in particolare le quadrature, e le tangenti si provano da <lb></lb>me in cinque maniere differenti. </s> <s><foreign lang="it">Dimostro ancora gli so<lb></lb>lidi di dette parabole girate intorno alla tangente verti<lb></lb>cale, overo girate intorno ad una linea parallela al dia<lb></lb>metro: fra l'altre cose da me aggiunte ne porrò una da <lb></lb>me mandata in Francia, e per facilitar l'enunciazione sup<lb></lb>porremo solo quelle parabole nelle quali le dignità dell'ap<lb></lb>plicate sono come le parti del diametro. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>XXXIV.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>TEOREMA VII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si quaelibet semiparabola auferatur a circumscripto <lb></lb>sibi rectangulo, remanebit quoddam trilineum mixtum <lb></lb>quod supponamus converti dupliciter nempe circa tan- <pb pagenum="21"></pb>gentem, et circa parallelam diametro. </s><s>Solidum factum ex <lb></lb>revolutione circa tangentem, ad solidum factum ab eodem <lb></lb>trilineo circa parallelam diametro revoluto, erit ut diameter <lb></lb>integra parabolae ad fractionem quamdam tangentis, <lb></lb>cujus quidem fractionis numerator duplus sit exponentis <lb></lb>dignitatis applicatarum et unitate auctus; denominator <lb></lb>vero fiet, si ducas exponentem dignitatis applicatarum <lb></lb>unitate auctum, in se ipsum binario auctum, productique <lb></lb>semissem tantum accipias. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Definizione.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Dalle spirali d'Archimede io deduco infinite sorti di <lb></lb>spirali con questa definizione. </s></p> <p type="main"> <s>Volgasi la linea AB in una super</s></p> <figure></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it"> <arrow.to.target n="marg519"></arrow.to.target><lb></lb>ficie piana con moto equabile intorno <lb></lb>al punto fermo A, e nell'istesso tempo <lb></lb>un punto mobile vada camminando <lb></lb>sopra linea cominciando dal termine A, <lb></lb>con questa legge, che le dignità degli <lb></lb>spazi passati sieno fra di loro come i <lb></lb>tempi trascorsi, overo come gl'angoli passati, che è lo <lb></lb>stesso. </foreign></s> <s>Per esempio. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg519"></margin.target>Universalius. </s><s><lb></lb>Sint digni<lb></lb>tates radio<lb></lb>rum spiralis <lb></lb>ut dignita<lb></lb>tes tempo<lb></lb>rum quae<lb></lb>cumque.</s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Il cubo o altra dignità di AC, al cubo o altra dignità <lb></lb>parigrada di AD, sia come l'angolo CAB all'angolo DAB; <lb></lb>overo come il tempo che ha consumato il punto mobile <lb></lb>per arrivare in C al tempo che ha consumato l'istesso <lb></lb>per arrivare in D. Il moto del punto in queste spirali <lb></lb>sarà moto equabile, e di velocità sempre minore, e mi<lb></lb>nore quanto più il punto si dilunga dal centro. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Quando <lb></lb>poi il moto del punto sia inequabile ma di velocità cre<lb></lb>scente, allora nasce un'altra sorte di spirali che chiame<lb></lb>remo <emph type="italics"></emph>Geometriche,<emph.end type="italics"></emph.end> e porremo la definizione più a basso. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">In queste il punto mobile comincia sempre il suo moto <lb></lb>con velocità infinita eccettuata la spirale d'Archimede; <lb></lb>ma in quelle comincia con infinita tardità, benchè l'una <lb></lb>e l'altra non duri fuorchè per un istante di tempo. </foreign></s> </p> <pb pagenum="22"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>XXXV.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>TEOREMA I.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Io trovo la proporzione che ha lo spazio di ciascuna <lb></lb>di queste spirali al circolo concentrico, e circoscritto. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>XXXVI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>TEOREMA II.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Trovo la proporzione degli archi di cerchio con alcune <lb></lb>linee rette segate dalle tangenti all'usanza di Archimede. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>XXXVII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>TEOREMA III.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Provo che qualsivoglia di queste linee spirali si ag<lb></lb>guaglia ad una delle sopradette linee paraboliche. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Il primo di questi tre teoremi intendo essere stato di<lb></lb>mostrato in Roma dal Sig. Michel Angelo Ricci già mio <lb></lb>scolare. </foreign></s> <s>Quanto al terzo intendo che in Francia da Monsù <lb></lb>Roberval sia stato dimostrato che la sola linea spirale <lb></lb>d'Archimede si agguaglia ad una sola linea parabolica <lb></lb>d'Appollonio. </s> <s><foreign lang="it">Ma noi habbiamo la prova delle infinite linee <lb></lb>spirali, ciascuna delle quali si agguaglia ad una partico<lb></lb>lare e sua corrispondente delle infinite linee paraboliche. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Fu da me ritrovata un'altra sorta di spirali maravigliose <lb></lb>delle quali do la definizione per via del moto, et in un'al<lb></lb>tra maniera. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Tralascerò la definizione del moto, e darò <lb></lb>l'altra per via delle medie proporzionali. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Definizione.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Sia una linea retta AC segata in B in qualunque ma<lb></lb>niera, et si alzi la perpendicolare BD media proporzionale <lb></lb>tra AB, BC, Di più seghisi l'angolo DBC per mezzo della <pb pagenum="23"></pb>BE, che sia media proporzionale tra DB, BC, et di <lb></lb>nuovo seghisi l'angolo DBE per mezzo della BF, la <lb></lb>quale sia media tra DB, BE e così si faccia sempre <lb></lb>segandosi per mezzo gli angoli con linee medie pro<lb></lb>porzionali si troveranno molti <lb></lb> <arrow.to.target n="fig488"></arrow.to.target><lb></lb>punti come A, D, F, E, C, ecc. <lb></lb>per i quali passerà una linea <lb></lb>spirale chiamata geometrica, la <lb></lb>quale fra l'altre ha questa pro<lb></lb>prietà, che avanti di arrivare <lb></lb>al suo centro B deve fare in<lb></lb>torno ad esso infinite revolu<lb></lb>zioni. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Nulla di meno questa <lb></lb>linea, quantunque sia curva e composta d'infinite revolu<lb></lb>zioni si prova eguale ad una linea retta, come nel presente <lb></lb>teorema dirò. </foreign></s> </p> <figure id="fig488"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>XXXVIII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <figure></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>TEOREMA I.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Se sarà CO tangente della spi<lb></lb>rale geometrica, il cui centro sia <lb></lb>B, e l'angolo CBO sia retto, sarà <lb></lb>la tangente istessa CO eguale a <lb></lb>tutta la linea spirale cominciando <lb></lb>dal contatto C fino al centro B; <lb></lb>non ostante ch'ella sia composta <lb></lb>d'infinite revoluzioni. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>XXXIX.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>TEOREMA II.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Si dimostra anco qualunque arco, overo parte della <lb></lb>spirale geometrica eguale ad linea retta. </foreign></s> </p> <pb pagenum="24"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>XL.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>TEOREMA III.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Se sarà la spirale geometrica di cui sia centro B mas<lb></lb>simo raggio BC, e tangente CO sarà il triangolo BOC <lb></lb>doppio dello spazio contenuto tra la retta BC, e tutte l'in<lb></lb>finite revoluzioni della spirale, overo, se su la base BC <lb></lb>faremo il triangolo isoscele BDC, questo sarà uguale allo <lb></lb>spazio di tutte le infinite revoluzioni ecc. Idem enim est etc. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Queste cose da me si provano in ambidue le maniere; <lb></lb>cioè per indivisibili, et all'usanza degli antichi colla dop<lb></lb>pia posizione. </s><s>Il Problema è stato proposto già è un pezzo, <lb></lb>et non è stato sciolto da alcuno che io sappia. </s> <s><foreign lang="it">La dimo<lb></lb>strazione non è stata da me conferita a nessuno per an<lb></lb>cora; ma si riserba appresso di me fra le cose le più re<lb></lb>condite. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Definizione.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Fra le mie invenzioni è quella delle infinite hiperbole, <lb></lb>la definizione delle quali si darà in questo modo. </s></p> <p type="main"> <s>Siano le due linee AB, AC ad angoli retti (sebbene <lb></lb>non è ne anche necessario) et saranno AB, AC le asim<lb></lb>ptoti o vogliam dire i non concorrenti delle hiperbole. </s> <s><foreign lang="it">Sia <lb></lb>poi una linea curva FEF ecc, di tal sorte che applicandosi <lb></lb>all'asimptoto AB le linee DE, GF, dovunque si sieno, <lb></lb>sempre le dignità parigrade delle applicate siano fra di loro <lb></lb>come le dignità parigrade delle asimptotali, <emph type="italics"></emph>ma recipro<lb></lb>camente.<emph.end type="italics"></emph.end> Per esempio, deve essere il quadrato ED al qua<lb></lb>drato FG (che sono dignità parigrade <lb></lb> <arrow.to.target n="fig489"></arrow.to.target><lb></lb>dell'applicate) come il cubo GA al <lb></lb>cubo AD (che sono dignità parigrade <lb></lb>delle asimptotali reciprocamente pre<lb></lb>se). E la figura BFEF infinitamente <lb></lb>lunga da ambedue le parti sarà una <lb></lb>delle infinite hiperbole, la quale non <lb></lb>concorrerà mai con nessuna delle <lb></lb>asimptoti AB, AC. I teoremi sono questi. </foreign></s> </p> <pb pagenum="25"></pb> <figure id="fig489"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>XLI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>TEOREMA I.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Se sarà una delle infinite hiperbole, <lb></lb> <arrow.to.target n="fig490"></arrow.to.target><lb></lb>le cui asimptoti siano AC, AB, et sia AC <lb></lb>l'asimptoto delle dignità maggiori; se la <lb></lb>figura sarà segata dall'applicata DE, e si <lb></lb>faccia il parallelogrammo BEDA; havrà <lb></lb>il parallogrammo BEDA, e tutta la ri<lb></lb>manente figura ECD, benchè infinita<lb></lb>mente lunga la medesima proporzione <lb></lb>che ha la differenza degli esponenti al minore esponente. </foreign></s> </p> <figure id="fig490"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>XLII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>TEOREMA II.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Se sarà girata la figura BECA intorno all'asse AB, <lb></lb>nascerà un solido di base infinita poichè la linea AC infi<lb></lb>nita farà un cerchio infinito. </s> <s><foreign lang="it">Hora il solido fatto dalla <lb></lb>figura BECA al solido fatto dalla ECA sarà come l'espo<lb></lb>nente asimptotale al doppio dell'esponente dell'applicate. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>XLIII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>TEOREMA III.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Ma se la figura precedente sarà girata intorno all'a<lb></lb>simptoto delle maggiori dignità AC, nascerà dalla figura <lb></lb>ECD un solido infinitamente lungo, ma dalla figura DB <lb></lb>si farà un cilindro. </s> <s><foreign lang="it">Il predetto solido benchè infinitamente <lb></lb>lungo al cilindro BD ha proporzione nota, la denomina<lb></lb>zione della quale si ha dagli esponenti delle dignità. </foreign></s> </p> <pb pagenum="26"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>XLIV.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>TEOREMA IV.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Data una delle infinite hiperbole di cui siano asimptoti <lb></lb>BC, BD, et la BC sia quella delle maggiori dignità. </s> <s><foreign lang="it">Se <lb></lb>sarà dato qualunque punto A nella hi<lb></lb> <arrow.to.target n="fig491"></arrow.to.target><lb></lb>perbola, si cerca la tangente. </foreign></s> <s>Mandisi la <lb></lb>AE ordinatamente applicata; e si faccia <lb></lb>come l'esponente maggiore al minore, <lb></lb>così la retta BE alla EC; et congiunta <lb></lb>CA sarà tangente. </s></p> <figure id="fig491"></figure> <p type="main"> <s>Queste cose dell'hiperbole sono state <lb></lb>proposte in Francia et in Italia, ma per <lb></lb>ancora non sciolte da nessuno per quanto io sappia. </s> <s><foreign lang="it">Se la <lb></lb>quadratura d'una sola hiperbola è stata cercata tanto e <lb></lb>sempre in vano, noi per una ne diamo infinite, e si de<lb></lb>ducono dal primo dei quattro precedenti teoremi nel me<lb></lb>desimo modo, nel quale è stata per esempio da noi dedotta <lb></lb>la seguente. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Definitio.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Esto angulus quilibet DEF, omnes<lb></lb> <arrow.to.target n="fig492"></arrow.to.target><lb></lb>que cylindri ad communem angulum <lb></lb>E compositi sint inter se aequales, axes<lb></lb>que eorum aequidistantes rectae DE. <lb></lb>Erunt hujusmodi cylindri (quorum ex<lb></lb>tremi sint AE, CE) intra lineam quam<lb></lb>dam curvam ABC, quae una est ex <lb></lb>infinitis nostris hyperbolis. </s></p> <figure id="fig492"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>XLV.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Ut recta FE et ED (hoc est ut maxima cylindrorum <lb></lb>diameter ad maximam altitudinem) ita erit quadratum FI <lb></lb>(nempe quadratum differentiae inter extremas diametros) ad <lb></lb>triangulum AHC una cum hyperbola ABC simul sumpta. </s></p> <pb pagenum="27"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Definizione.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Monsù Roberval mi propose di marzo prossimo pas.<emph type="sup"></emph>to<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>il seguente problema che da me fu sciolto subito. </s></p> <p type="main"> <s>Sia qualunque angolo rettilineo CAB, e <lb></lb> <arrow.to.target n="fig493"></arrow.to.target><lb></lb>sia qualunque linea curva CDB, o sia parte <lb></lb>di periferia circolare o ellittica, o linea di <lb></lb>parabola o di hiperbola, o di cicloide, o di <lb></lb>qualunque altra linea benchè ignota, et irre<lb></lb>golare. </s> <s><foreign lang="it">Prendasi in essa qualunque punto <lb></lb>D, e suppongasi DE tangente, e poi pongasi <lb></lb>GF eguale et parallela alla AE. Così ha<lb></lb>vremo trovato il punto F, per il quale deve <lb></lb>passare una nuova linea CFHI, ecc. Gli <lb></lb>altri punti di questa nuova linea, come per <lb></lb>esempio H, si trovano nell'istesso modo come si è trovato <lb></lb>il punto F. </foreign></s> </p> <figure id="fig493"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Si nota che il trilineo BDCFHI, alle volte sarà infini<lb></lb>tamente lungo verso I, e la curva CFHI, non concorrerà <lb></lb>mai colla retta BI. Questo accaderà ogni volta che la BI, <lb></lb>sarà tangente della CDB, nel punto B; il che può seguire <lb></lb>in infiniti casi. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Altrimenti il detto trilineo sarà terminato. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>XLVI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Il trilineo BDCFHI sempre si mostra uguale alla sua <lb></lb>figura genitrice ACDB, o sia infinito, o sia finito di lun<lb></lb>ghezza. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">La dimostrazione mia è stata da me mandata in Fran<lb></lb>cia e divulgata anco tra gli amici d'Italia. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>XLVII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Il centro di gravità in tutte le figure o piane o solide <lb></lb>sega l'asse o diametro sempre colla medesima legge, cioè <lb></lb>la parte dell'asse, o diametro verso la cima, all'altra parte, <lb></lb>sta come tutti i prodotti de gl'applicati nelle parti del <pb pagenum="28"></pb>diametro verso la cima a tutti i prodotti de medesimi <lb></lb>applicati nelle rimanenti parti del diametro. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Per <emph type="italics"></emph>applicati<emph.end type="italics"></emph.end> intendo nelle figure piane le linee appli<lb></lb>cate, ma nelle figure solide, i piani applicati all'asse, o <lb></lb>diametro. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">La dimostrazione non è stata trovata per ancora che <lb></lb>io sappia; è bene stata da me conferita con gli amici <lb></lb>d'Italia. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>XLVIII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">La superficie del cono scaleno vien misurata da Monsù <lb></lb>Roberval. </foreign></s> <s>Questo Problema già sono molti anni che è <lb></lb>stato da lui proposto, nè per ancora da alcuno è stata <lb></lb>trovata la dimostrazione. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>XLIX.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Se due figure piane saranno girate intorno a due linee <lb></lb>come axi; gli solidi fatti dalla revoluzione haveranno fra <lb></lb>di loro la proporzione composta della proporzione che <lb></lb>hanno le figure piane genitrici, e della proporzione che <lb></lb>hanno le distanze del centro di gravità delle medesime <lb></lb>dall'asse della revoluzione. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Le proporzioni componenti devono essere prese homo<lb></lb>logamente. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>L.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Il centro di gravità della cicloide sta nell'asse, e lo <lb></lb>sega in proporzione di 7 a 5. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Havendo io avvisato la sola enunciazione di questo <lb></lb>ultimo teorema in Francia mi fu risposto dal P. Mersenne, <lb></lb>che allora era l'interprete tra Monsù Roberval e me, che <lb></lb>io in questo havevo prevenuto il loro Geometra Roberval, <lb></lb>il quale circa la cicloide haveva dimostrato ogni altra <lb></lb>cosa, fuorchè il centro di gravità, e solido intorno all'asse; <lb></lb>et che riconoscevano da me come da primo inventore <lb></lb>questa invenzione del centro di gravità della cicloide, e <lb></lb>che non credevano che geometricamente potesse esser <pb pagenum="29"></pb>vera la mia proposta. <emph type="italics"></emph>Dubitat Robervallius noster an me<lb></lb>chanicè tantum centrum gravitatis inveneris, quod tamen <lb></lb>geometricè falsum suspicatur. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Docebis num demonstratio<lb></lb>nem habeas.<emph.end type="italics"></emph.end> Con altre confessioni simili come appare <lb></lb>in lettere di propria mano del P. Mersenne, le quali sono <lb></lb>appresso di me. </foreign></s> <s><foreign lang="it">In queste confessa apertamente che Monsù <lb></lb>Roberval non haveva quel theorema; se ne chiamano de<lb></lb>bitori a me; e parlando di Roberval dice queste parole: <lb></lb><emph type="italics"></emph>Qui cum tuas postremas litteras legisset praedictum cen<lb></lb>trum gravitatis tibi debere fatetur, qui primus invenisti.<emph.end type="italics"></emph.end><lb></lb>Et mi prega più d'una volta acciò io voglia mandargli la <lb></lb>dimostrazione, con promettermi che si sarebbe messa fra <lb></lb>quelle di Monsù Roberval, e così per l'appunto seguì. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Io <lb></lb>subito gli mandai in una lunga scrittura non solo la di<lb></lb>mostrazione del centro di gravità, ma anco la dimostra<lb></lb>zione del teorema precedente, al n.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> . . . . poichè serviva <lb></lb>per lemma all'intenzione mia; e questo fu l'estate del <lb></lb>1644. Essi hanno tardato due anni a rispondere, et hora <lb></lb>dimenticati delle lettere passate, o confidando che io ha<lb></lb>vendole spezzate non le abbia più, scrivono che le pre<lb></lb>dette dimostrazioni mandate da me a loro istanza le ha<lb></lb>vevano un pezzo fa. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Hora si sta controvvertendo questo <lb></lb>punto; et se essi persisteranno in dire che avanti di me <lb></lb>havevano le predette dimostrazioni, io sono risoluto di far <lb></lb>riconoscere le lettere, le quali sono notissime a molti in <lb></lb>Italia, e stamparle insieme con le ragioni mie, acciò il <lb></lb>mondo veda che furto vergognoso hanno tentato di farmi. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>LI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Se sarà il parallelogrammmo ABCD <lb></lb> <arrow.to.target n="fig494"></arrow.to.target><lb></lb>col suo triangolo ACD, tutte le infinite <lb></lb>linee del parallelogrammo, a tutte le in<lb></lb>finite linee del triangolo sono duple. </foreign></s> <s>Ma <lb></lb>tutti i quadrati sono tripli di tutti i qua<lb></lb>drati; tutti i cubi sono quadrupli di tutti <lb></lb>i cubi; tutti i quadrato-quadrati sono <lb></lb>quintupli di tutti i quadrato-quadrati etc. </s><s>in infinitum, <lb></lb>in tutte le infinite dignità dell'Algebra. </s></p> <pb pagenum="30"></pb> <figure id="fig494"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Questo teorema fu primieramente inventato e proposto <lb></lb>da Fra Bonaventura Cavalieri, ma però da esso non fu <lb></lb>ritrovata la dimostrazione universale; havendo egli presa <lb></lb>una strada, che per quanto intendo, camminava solo fino <lb></lb>alli cubi overo alli quadrato-quadrati. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Il primo che habbia dimostrato il teorema universal<lb></lb>mente in tutte le infinite dignità dell'algebra è stato <lb></lb>Monsù Bougrand franzese, che hora è morto. </foreign></s> <s>La sua di<lb></lb>mostrazione però cammina per via di algebra. </s> <s><foreign lang="it">Dopo que<lb></lb>sto, per quel ch'io sappia, nessun ha dimostrato il teorema <lb></lb>fuor che me, et la mia dimostrazione procede senz'algebra <lb></lb>per sola geometria; et non solo è universalissima come <lb></lb>quella di Monsù Bougrand, ma è infinitamente più univer<lb></lb>sale. </foreign></s> <s>Quella suppone un parallelogrammo col suo trian<lb></lb>golo inscritto, cioè l'ultima delle parabole colla prima pa<lb></lb>rabola inscritta. </s> <s><foreign lang="it">Ma io porterò il problema supponendo il <lb></lb>parallelogrammo, cioè l'ultima parabola con qualunque <lb></lb>altra parabola inscritta; e dimostrato questo, facilissima<lb></lb>mente si ridurrà la proposizione a due parabole qualunque <lb></lb>che elle si sieno, con un solo argomento <emph type="italics"></emph>ex aequo.<emph.end type="italics"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>LII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si in parallegrammo inscripta sit aliqua ex infininitis <lb></lb>parabolis, omnes dignitates applicatarum in parallegrammo <lb></lb>ad omnes ejusdem gradus applicatarum in parabola, erunt <lb></lb>ut exponens applicatarum parabolae una cum numero <lb></lb>qui fit ab esponente dignitatis propositae in exponentem <lb></lb>diametralium, ad exponentem diametralium. </s></p> <p type="main"> <s>Exempli gr. </s><s>Esto parabola cuius dignitates applicata<lb></lb>rum sint quadrato-quadratae, diametralium vero cubi; et <lb></lb>propositum sit invenire rationem omnium quadratorum <lb></lb>parallelogrammi circumscripti ad omnia quadrata parabo<lb></lb>lae. </s><s>Erunt omnia praedicta quadrata parallelogrammi ad <lb></lb>omnia quadrata parabolae juxta theorema praecedens, ut <lb></lb>10 ad 4. Nempe ut numerus qui constatur si ad exponen<lb></lb>tem applicatarum parabolae, qui est 4, addamus 6, hoc <lb></lb>est numerum qui fit ex ductu dignitatis propositae, et de <lb></lb>qua quaeritur, nempe 2, in exponentem dignitatis diame<lb></lb>tralium nempe 3; ad exponentem dignitatis applicatarum. </s></p> <pb pagenum="31"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Definizione.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Il P. Fra Bonaventura Cavalieri non mi <lb></lb> <arrow.to.target n="fig495"></arrow.to.target><lb></lb>propose, ma mi pregò a voler trovare la <lb></lb>dimostrazione di quanto dirò più abbasso, <lb></lb>confessando di non saperla neanche esso. </s></p> <figure id="fig495"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Sia un solido ABCDFE, il quale habbia <lb></lb>per basi opposte due parabole ACF, BED <lb></lb>eguali, simili, parallele, e similmente col<lb></lb>locate: e sia questo solido segato col <lb></lb>piano AEF, il quale passi per la base di <lb></lb>una, e per la cima dell'altra parabola op<lb></lb>posta. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Mi domandava il P.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> Cavalieri la <lb></lb>proporzione che haveranno tra di loro le parti di questo <lb></lb>tale solido. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>LIII.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Il quesito fu da me sciolto universalmente; e non solo <lb></lb>gli risposi che il suo solido a me proposto era segato in <lb></lb>proporzione sesquialtera; ma con un'enunciazione facile <lb></lb>e universalissima gli dissi qual proporzione habbiano le <lb></lb>parti di tal solido, anco quando le basi opposte siano <lb></lb>qualunque altra sorta di figure, purchè habbiano diametro. </foreign></s> <s><lb></lb>Gli mandai la brevissima dimostrazione, siccome la man<lb></lb>dai anco agli altri amici d'Italia. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Il medesimo P. Fra Bonaventura Cavalieri mi ha <lb></lb>fatto istanta più d'una volta in diversi <lb></lb> <arrow.to.target n="fig496"></arrow.to.target><lb></lb>tempi, acciò io volessi trovar la dimo<lb></lb>strazione di un altro quesito che nean<lb></lb>che egli sapeva. </foreign></s> </p> <figure id="fig496"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Definizione.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Se sarà un solido nato, et segato come <lb></lb>il precedente, ma che le basi opposte <lb></lb>siano figure composte di due mezze para<lb></lb>bole ABC, ABF congiunte con la base <pb pagenum="32"></pb>comune AB, et che le cime sieno C e F, si cerca il centro <lb></lb>di gravità delle due parti del solido. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>LIV.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Io dimostrai che facendosi BD alla DA come 8 a 7 <lb></lb>(nel caso propostomi) e tirando la DE parallela alla BI; <lb></lb>e di nuovo facendo EO alla OD come 8 a 7, il punto Q <lb></lb>cioè il mezzo della retta OD era centro della parte di <lb></lb>sopra del solido segato. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ma la mia dimostrazione essendo universale provava, <lb></lb>che se il solido nasceva dalla prima parabola, che è il <lb></lb>triangolo, la retta DB alla DA era come 6 a 6; se dalla <lb></lb>seconda parabola era come 8 a 7; se dalla terza come 9 <lb></lb>a 8; se dalla quarta come 10 a 9, et sic semper. </foreign></s> <s><foreign lang="it">La retta <lb></lb>poi ED va segata nella medesima proporzione che la BA, <lb></lb>et si troverà il punto O; e segando per mezzo la OD in <lb></lb>Q, sarà Q centro della parte superiore del solido segato. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Quanto al centro della parte inferiore non soggiungerò <lb></lb>altro: Poichè essendo dato il centro di tutto et d'una parte <lb></lb>con la proporzione delle parti, è dato ancora il centro <lb></lb>della parte rimanente per la 8, del problema degli equi<lb></lb>ponderanti. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">La dimostrazione di questo è stata da me conferita solo <lb></lb>al medesimo P. F. Bonaventura, il quale me l'ha chiesta. </foreign></s> </p> <pb pagenum="33"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>CARTEGGIO SCIENTIFICO.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <pb pagenum="34"></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>AVVERTIMENTO.<emph.end type="center"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Tutte le lettere di interesse scientifico indirizzate da E. Torricelli ad altri, o da <lb></lb>altri a lui, e che ci fu dato di rinvenire, sono qui pubblicate per intero, e in ordine <lb></lb>cronologico. </s> <s><foreign lang="it">Altre sette lettere di terzi indirizzate a terzi, ma in qualche lor parte <lb></lb>riguardanti il Torricelli sono pure qui pubblicate per intero o per quella parte che <lb></lb>poteva interessare. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Le lettere del Torricelli, affinchè si distinguano dalle altre a prima vista, sono <lb></lb>impresse con i caratteri medesimi con cui furono stampati gli altri scritti di lui; <lb></lb>tutte le altre in caratteri di formato più piccolo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Come intestazione è stato posto a <lb></lb>ciascuna lettera il nome del mittente e del destinatario, la data e il luogo di pro<lb></lb>venienza e di destinazione, ponendo fra parentesi quadra quelli fra questi dati che <lb></lb>non risultano direttamente dal documento ma sono dedotti da elementi indiretti. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Inoltre è indicata la fonte dalla quale fu rilevato il documento ed è notato se esso <lb></lb>è autografo, in copia manoscritta o a stampa. </foreign></s> <s>Nel caso che si sia potuto disporre di <lb></lb>più copie, si è data sempre la preferenza a quella autografa, poi alle fedelissime <lb></lb>copie di Lodovico Serenai, e tra le rimanenti a quella che si è ritenuta più proba<lb></lb>bilmente corrispondere all'originale perduto. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Dopo l'intestazione ciaseuna lettera è fedelmente riprodotta secondo l'originale <lb></lb>dal quale è stata rilevata, e si è avuta somma cura di conservarne anche l'orto<lb></lb>grafia, salvo qualche eccezione rara e di poco momento, adottata di necessità per <lb></lb>l'intelligenza del lettore. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Per tale scopo è stata risolta qualche abbreviazione, si <lb></lb>sono distinti gli <emph type="italics"></emph>u<emph.end type="italics"></emph.end> dai <emph type="italics"></emph>v,<emph.end type="italics"></emph.end> e soltanto quando è sembrato necessario si è disposto oppor<lb></lb>tunamente delle majuscole e della punteggiatura. </foreign></s> <s>Le figure geometriche sono ripro<lb></lb>dotte conformi alle originali, essendosene conservate anche le dimensioni all' infuori <lb></lb>di quei pochi casi in cui si opponevano difficoltà tipografiche, Si sono lasciate poi <lb></lb>senza figure quelle poche lettere che ne erano mancanti. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Intine furono lasciate in bianco le parole eventualmente mancanti nelle copie <lb></lb>non autografe, sostituite con dei puntini quelle di lettura impossibile, e, come al<lb></lb>trove fu fatto, posto un (?) in qualche raro caso di lettura incerta, ed un <emph type="italics"></emph>(sic)<emph.end type="italics"></emph.end> in <lb></lb>qualche altro di incerto significato per il lettore. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>GIUSEPPE VASSURA. </s></p> <pb pagenum="35"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>CARTEGGIO SCIENTIFICO<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>1<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> TORRICELLI a GALILEO GALILEI [in Firenze].<lb></lb>Roma, 11 settembre 1632.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir. , Mss Galileiani, P. VI, T. XI, e. 232 — Autografa).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Molto Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> et Ecc.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> mio Col.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Nella absenza del Rev.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Padre Matematico di N. Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end>, <lb></lb>sono restato io; humilissimo suo discepolo e servitore, con <lb></lb>l'honor di suo secretario; fra le lettere del quale ha<lb></lb>vendo io letta quella di V. S. molto Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> et Ecc.<emph type="sup"></emph>ma<emph.end type="sup"></emph.end>, a lei <lb></lb>ne accuso, conforme l'ordine datomi, la ricevuta, e a lui <lb></lb>Rev.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> ne do parte in compendio. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Potrei nondimeno io me<lb></lb>desimo assicurar V. S. che il Padre Abbate in ogni occa<lb></lb>sione, e con il Maestro di Sacro Palazzo e con i compagni <lb></lb>di quello e con altri prelati ancora, ha sempre procurato <lb></lb>di sostenere in piedi li Dialoghi di lei Ecc.<emph type="sup"></emph>ma<emph.end type="sup"></emph.end>, e credo che <lb></lb>sia stato causa che non si è fatta precipitosa resolutione. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Io sono pienissimamente informato d'ogni cosa. </s> <s><foreign lang="it">Sono <lb></lb>di professione matematico, ben che giovane, scolaro del <lb></lb>Padre R.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> di 6 anni, e duoi altri havevo prima studiato <lb></lb>da me solo sotto la disciplina delli Padri Gesuiti. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Son stato <lb></lb>il primo che in casa del Padre Abbate, et anco in Roma, <pb pagenum="36"></pb>ho studiato minutissimamente e continuamente sino al <lb></lb>presente giorno il libro di V. S., con quel gusto che ella <lb></lb>si puol imaginare che habbia havuto uno che, già havendo <lb></lb>assai bene praticata tutta la geometria, Apollonio, Archi<lb></lb>mede, Teodosio, et che havendo studiato Tolomeo et visto <lb></lb>quasi ogni cosa del Ticone, del Keplero e del Longomon<lb></lb>tano, finalmente adheriva, sforzato dalle molte congruenze, <lb></lb>al Copernico, et era di professione e di setta galileista. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Il Padre Grienbergiero, che è molto mio, confessa <lb></lb>che il libro di V. S. gli ha dato gusto grandissimo e che <lb></lb>ci sono molte belle cose, ma che l'opinione non la loda, <lb></lb>e se ben pare che sia, non la tien per vera. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Il Padre <lb></lb>Scheiner, quando gliene ho parlato, l'ha lodato, crollando <lb></lb>la testa; dice anco che si stracca nel leggerlo per le molte <lb></lb>disgressioni. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Io gli ricordavo le medesme scuse e diffese <lb></lb>che V. S. in più lochi va intessendo. </foreign></s> <s>Finalmente dice che <lb></lb>V. S. si è portato male con lui, e non ne vol parlare. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Del resto io mi stimo fortunatissimo in questo, d'esser <lb></lb>nato in un secolo nel quale ho potuto conoscere et riverir <lb></lb>con lettere un Galileo, cioè un oracolo della natura, et <lb></lb>honorarmi della padronanza et disciplina d'un Ciampoli, <lb></lb>mio amorevolissimo signore, eccesso di meraviglia, o se <lb></lb>adopri la penna o la lingua o l'ingegno. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Haverà quanto <lb></lb>prima il Padre R.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> la carissima di V. S., e le risponderà. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Intanto V. S. Ecc.<emph type="sup"></emph>ma<emph.end type="sup"></emph.end> mi farà degno, ben che inetto, d'esser <lb></lb>nel numero de' servi suoi e de' seguaci del vero; che già <lb></lb>so che il Padre R.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end>, o a bocca o per lettere me gli <lb></lb>haverà altre volte offerito per tale. </foreign></s> <s>E per fine a V. S. <lb></lb>faccio con ogni maggior affetto riverenza. </s><s><lb></lb>Roma, 11 Settembre 1632.<lb></lb> Di V. S. molto Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> et Ecc.<emph type="sup"></emph>ma<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb> Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Gall. </s><s>Gal.<lb></lb> <arrow.to.target n="fig497"></arrow.to.target></s></p> <pb pagenum="37"></pb> <figure id="fig497"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>2<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> TORRICELLI a RAFFAELLO MAGIOTTI in Roma.<lb></lb>Fabriano, 8 gennaio 1640.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XL, c. 17, 20 e 21 — Autografa).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Molt'Ill.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> e M.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> Rev.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> S.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> e Pron.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> Col.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ecco il libretto che accennai a V. S. Lo mando legato, <lb></lb>e mi protesto che ella non l'apra <emph type="italics"></emph>nisi data prius fideius<lb></lb>sione de non grannellando.<emph.end type="italics"></emph.end> La verità è che senza l'altra <lb></lb>parte de i proietti, è vergogna di lasciarlo vedere, per che <lb></lb>se fusse con quello, passerebbe per proemio, o per intro<lb></lb>duzione a quello, nel quale è qualche cosa di gusto mio; <lb></lb>ma in questo non sono se non baie; e vaglia il vero <lb></lb>quando io l'ho riletto adesso per emendar le lettere scam<lb></lb>biate nel copiare, non mi è piaciuto; e se non era per il <lb></lb>rispetto di durar fatica un'altra volta nel copiare, davo di <lb></lb>penna ad un terzo di quelle robbe, cioè alle più sciocche. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Quanto alla verità credo certo di non essermi ingannato <lb></lb>in alcun luogo; quanto alle dimostrazioni tutte saranno <lb></lb>brevi, ma in quest'ultima lettura ne ho trovato alcune <lb></lb>che non so se saranno facili. </foreign></s> <s>Sia come si voglia, le per<lb></lb>sone dotte l'intenderanno: così compatissero le leggerezze, <lb></lb>come passaranno le scabrosità. </s> <s><foreign lang="it">Mi venne voglia di strac<lb></lb>ciar ogni cosa, quando un giorno trovai sul libretto dello <lb></lb>specchio ustorio di fra Bonaventura quel modo di descriver <lb></lb>la parabola (fra Bonaventura l'attribuisce al Sovero) che <lb></lb>sta in questo libro mio, dopo averlo stimato per mia in<lb></lb>venzione già sono più di due anni. È vero che bisogna <lb></lb>che io l'havessi visto già sette o ott'anni sono, ma il ga<lb></lb>lantuomo mi era uscito di memoria e poi ci era tornato <lb></lb>come mio. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ora basta, questo errore di memoria è stato <lb></lb>causa che io habbi trattato del descriver la parabola, per <lb></lb>che se non stimavo per mia questa invenzione, non n'ha<lb></lb>verei parlato, per che questa mi piace più di tutte quelle <pb pagenum="38"></pb>che habbi mai visto appresso tanti Autori che tutti vogliono <lb></lb>dar del naso a descriver la parabola. </foreign></s> <s><foreign lang="it">In questi altri fogli <lb></lb>n'haverò uno, il quale (se il Demonio non fa un altro mi<lb></lb>racolo) lo stimo per mio, et è tale, a proposito de' proietti. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Dato il cannone AB d'una fontana <lb></lb> <arrow.to.target n="fig498"></arrow.to.target><lb></lb>appresso uno muro; ovvero che sia un <lb></lb>pezzo d'artiglieria; e dato un solo <lb></lb>punto C per dove passi o l'aqua, o la <lb></lb>palla, io fo tutta la parabola in que<lb></lb>sto modo. </foreign></s> </p> <figure id="fig498"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Prolungo la AB fino in D ecc. et <lb></lb>alzo CD perpendicolare all'horizzonte, <lb></lb>e congiungo AC. Fatto il triangolo ACD, tiro a caso la <lb></lb>AE dal punto A e faccio EF parallela a BD, et FH paral<lb></lb>lela a CD; e per H passa la parabola, e nell'istesso modo <lb></lb>trovo più e più punti fin che bastano per tirar la linea <lb></lb>curva ecc. Questa poi, estraendo dal moto, si può proporre <lb></lb>da per se, così. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Data la base AC, la tangente AD, e la CD <lb></lb>parallela del diametro, descrivere nel triangolo CAD la sua <lb></lb>parabola. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma io ho il torto a tediare in tanti modi la gen<lb></lb>tilezza di V. S., la quale reverisco con tutto l'affetto, e le <lb></lb>bacio cordialissimamente le mani. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Dal modo dello scrivere <lb></lb>s'accorga che non ho tutto il tempo che vorrei. </foreign></s> <s><lb></lb>Di Fabr.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> 8 Genn. 1640.<lb></lb> Di V. S. m. </s><s>Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> e m. </s><s>Rev.<emph type="sup"></emph>do<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>Dev.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> et Obblig.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> S.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb> Evang. </s><s>Torricelli</s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Perchè il foco delle parabole ha che fare in alcuni <lb></lb>Teoremi de proietti più che qualcuno non pensa, l'inserisco <lb></lb>nel mio libretto, e mi pare di dimostrarlo assai più facil<lb></lb>mente che Vitellione, Maria Ghetaldo e fr. </foreign></s> <s>Bonaventura <lb></lb>i quali apportano tutti la med.<emph type="sup"></emph>ma<emph.end type="sup"></emph.end> dimostrat.<emph type="sup"></emph>ne<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Però non vorrei arrogarmi una dimostratione non mia. </s><s><lb></lb>Mando questa copia a V. S. acciò mi faccia gratia di <lb></lb>vedere se confronta con quella di Orontio Fineo. </s> <s><foreign lang="it">Se ben <lb></lb>credo che lui ancora porterà la comune di Vitellione, che <lb></lb>va per via di quei quattro rettangoli del 2.<emph type="sup"></emph>do<emph.end type="sup"></emph.end> d'Euclide. <pb pagenum="39"></pb>Oltre questi quattro Autori, non so che altri tratti del <lb></lb>foco della parabola. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Proprietà della parabola.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Se sarà la parabola il cui asse AB, e la quarta parte <lb></lb>del lato retto sia AC, e preso qualunque punto E, si <lb></lb>tirino due tangenti AD, ED. Dico che <lb></lb> <arrow.to.target n="fig499"></arrow.to.target><lb></lb>l'angolo HDC è retto. </foreign></s> </p> <figure id="fig499"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Tirisi l'ordinatam.<emph type="sup"></emph>te<emph.end type="sup"></emph.end> applicata EB; e <lb></lb>per che le AB, AH sono eguali, et EB, <lb></lb>AD parallele, sarà il quad.<emph type="sup"></emph>to<emph.end type="sup"></emph.end> EB quadru<lb></lb>plo del quad.<emph type="sup"></emph>to<emph.end type="sup"></emph.end> AD. L'istesso quad.<emph type="sup"></emph>to<emph.end type="sup"></emph.end> EB <lb></lb>è quadruplo del rettangolo BAC, cioè <lb></lb>HAC, adunque il quad.<emph type="sup"></emph>to<emph.end type="sup"></emph.end> AD, è eguale <lb></lb>al rettangolo HAC. Però l'angolo HDC <lb></lb>è retto, etc. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Mostrato questo cioè che la linea, <lb></lb>che dal punto C va al concorso delle due <lb></lb>tangenti sempre fa angoli retti con la tangente la quale <lb></lb>non est per verticem parabolae, si mostra la proprietà del <lb></lb>foco, per la quarta Propos.<emph type="sup"></emph>ne<emph.end type="sup"></emph.end> del p.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> d'Euclide, così: </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Sia la parabola il cui asse AB, et AC <lb></lb> <arrow.to.target n="fig500"></arrow.to.target><lb></lb>sia la quarta parte del lato retto. </foreign></s> </p> <figure id="fig500"></figure> <p type="main"> <s>Prendasi qualunque punto D, et sia <lb></lb>ED parallela all'asse; e tirinsi le tangenti <lb></lb>DF, AF, e si congiungano CD, CF. Dico <lb></lb>che gl'angoli EDH, et CDF sono eguali. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Poi che tirata la ordinatam.<emph type="sup"></emph>te<emph.end type="sup"></emph.end> appli<lb></lb>cata BD, perche le DB, FA sono paral<lb></lb>lele, e BA, AI eguali, saranno ancora <lb></lb>DF, FI eguali fra di loro; e la FC è co<lb></lb>mune, e gl'angoli ad F sono retti, adun<lb></lb>que per la 4 del p.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> d'Euclide, l'angolo <lb></lb>FDC è uguale all'angolo FIC, cioè all'HDE, etc. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">In questa dimostratione il caso è unico; ma nella co<lb></lb>mune sono tre casi, e sempre bisogna variar la dimo<lb></lb>strat.<emph type="sup"></emph>ne<emph.end type="sup"></emph.end> poi che o la DB casca tra il foco e la cima, overo <lb></lb>alla parte opposta, overo su 'l foco istesso. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Mi scusi di <pb pagenum="40"></pb>gratia della scrittura vituperosa per che l'hora è tarda <lb></lb>assai; e so che V. S. adesso dorme. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="italics"></emph>Fuori:<emph.end type="italics"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Al m. </s><s>Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> e m. </s><s>Rev.<emph type="sup"></emph>do<emph.end type="sup"></emph.end> S. Pron.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> Col.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Il Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Raffaello Magiotti </s></p> <p type="main"> <s>In Santa Lucia </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">della Chiavica </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Roma </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>3<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> TORRICELLI a BENEDETTO CASTELLI in Roma.<lb></lb>Fabriano, 11 giugno 1640.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Reale Biblioteca Palatina di Parma, bacheca degli autografi, prima sala della “ Pa<lb></lb>latina ” — Autografa).<gap desc="/SM"></gap></foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Rev.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Pad. </s><s>e mio S.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> e Pron.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> Col.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">La settimana passata mi furono proposti da un P. Ge<lb></lb>suita che fa scuola qui due Problemi di Geometria, ben <lb></lb>che egli sia assai novitio nella professione. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Havevo inteso <lb></lb>che due Problemi erano stati in mano de Matematici del <lb></lb>Colleg.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> Rom.<emph type="sup"></emph>no<emph.end type="sup"></emph.end>, se bene indarno; Giubilai nel trovarne la <lb></lb>solutione, non tanto per che le stimano Proposte di qual<lb></lb>che grand'huomo, quanto per che mi danno hora adito di <lb></lb>reverire il più caro próne che io habbia et il p.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> ingegno <lb></lb>che viva. </foreign></s> <s>Questi Gesuiti non vogliono confessare di dove <lb></lb>venghino queste Proposte, forsi forsi sarà robba di V. P. <lb></lb>R.<emph type="sup"></emph>ma<emph.end type="sup"></emph.end>, o almeno saranno capitati anco in mano sua. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Sia come si voglia, ho voluto farne parte al mio Mae<lb></lb>stro, e protettore, come farò presto d'alcune aggiunte o <lb></lb>progressi, intorno alle materie de' moti del Galileo, che ho <lb></lb>in ord.<emph type="sup"></emph>ne<emph.end type="sup"></emph.end> da molti mesi in quà. </foreign></s> <s>Le copierò quando habbia <lb></lb>un poco di tempo. </s><s>E per hora reverisco humilm.<emph type="sup"></emph>te<emph.end type="sup"></emph.end> V. P. <lb></lb>R.<emph type="sup"></emph>ma<emph.end type="sup"></emph.end>, con renderli nuove humiliss,<emph type="sup"></emph>me<emph.end type="sup"></emph.end> grazie delle carità con <pb pagenum="41"></pb>le quali mi benefica e m'impone obbligat.<emph type="sup"></emph>ni<emph.end type="sup"></emph.end> immortali. </s><s>Di <lb></lb>Fabriano XI Giugno 1640. D. V. P. Rev.<emph type="sup"></emph>ma<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb> Hum.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> et obbl.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Servo<lb></lb> Evang.<emph type="sup"></emph>ta<emph.end type="sup"></emph.end> Torricelli</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Alterum ex propositis Problema erat.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Datam rectam lineam ita in duas partes secare, ut <lb></lb>differentia quadrator.<emph type="sup"></emph>um<emph.end type="sup"></emph.end> partium datam rationem habeat <lb></lb>ad rectangulum sub eisdem partibus comprehensum. </s></p> <p type="main"> <s>Quod absolvemus hoc modo. </s></p> <p type="main"> <s>Sit data recta linea AB; rationis <lb></lb> <arrow.to.target n="fig501"></arrow.to.target><lb></lb>autem termini C, et D. Coaptentur <lb></lb>EF, FG ad angulos rectos inter se: <lb></lb>sitque EF equalis ipsi C, et EG ipsi <lb></lb>D. Tum divisa EF bifariam in H, de<lb></lb>scribatur centro H, radio HG semi<lb></lb>circulus secans lineam EF productam, <lb></lb> <arrow.to.target n="fig502"></arrow.to.target><lb></lb>in punctis I, et L. Fiat deinde ut IF <lb></lb>ad FG ita AM, ad MB. </s></p> <figure id="fig501"></figure> <figure id="fig502"></figure> <p type="main"> <s>Dico M esse punctum quaesitum. </s></p> <p type="main"> <s>Fiat enim quadratum ex AB et sumpta MN aequalis <lb></lb>ipsi MB, compleatur figura. </s></p> <p type="main"> <s>Quia factum est ut IF ad FG, ita AM ad MB erunt <lb></lb>tres lineae IF, FG, FL, et tria spatia AO, OB, OP, in con<lb></lb>tinua, et eadem ratione. </s><s>Ergo ex aequo, et dividendo erit <lb></lb>ut EF ad FL ita gnomon QNS ad OP quadratum, sed ut <lb></lb>FL ad FG, ita OP ad OB, ergo ex aequo erit ut EF ad <lb></lb>FG, hoc est, ut C ad D, ita gnomon QNS, ad rectangu<lb></lb>lum OB; nempe differentia quadratorum partium ad rectan<lb></lb>gulum earundem. </s><s>Quod erat fac. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Alterum erat.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Datam rectam lineam ita in duas partes secare, ut rec<lb></lb>tangulum sub tota et minori segmenta comprehensum <lb></lb>habeat datam rationem ad differentiam quadratorum par<lb></lb>tium. </s></p> <pb pagenum="42"></pb> <p type="main"> <s>Quod ita expediemus. </s></p> <p type="main"> <s>Sit data recta linea AB, et termini <lb></lb> <arrow.to.target n="fig503"></arrow.to.target><lb></lb>datae rationis sint C, D. </s></p> <figure id="fig503"></figure> <p type="main"> <s>Fiat ut dupla ipsius C ad D ita <lb></lb>AE ad EB, seceturque AE bifariam in F. Dico F esse <lb></lb>punctum quaesitum. </s></p> <p type="main"> <s>Cum enim factum sit ut dupla ipsius C ad D, ita AE <lb></lb>ad EB, erit (sumptis antecedentium dimidiis) ut C ad D <lb></lb>ita AF ad EB, hoc est rectangulum FAB, ad rectangulum <lb></lb>EBA, sub eadem altitud.<emph type="sup"></emph>ne<emph.end type="sup"></emph.end> AB. Sed rectangulum FAB, <lb></lb>est id quod continetur sub tota et minori segmento, rec<lb></lb>tangulum vero EBA, est differentia quadratorum partium; <lb></lb>Quare factum est quod etc. </s></p> <p type="main"> <s>Demonstrationes eorum quae obiter assumuntur, data <lb></lb>opera ommisse sunt; ipsa enim Problemata, vel proposita <lb></lb>tantum, Auctorem redolent lemmatum non indigentem. </s></p> <p type="main"> <s>Quia vero aliqui existimarunt haec Problemata per re<lb></lb>gulam Algebrae solvi non posse, nos per simplicem Aritm.<emph type="sup"></emph>m<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>illa absolvemus. </s></p> <p type="main"> <s>Primum Problema sic. </s><s>Quadratum semissis primi ter<lb></lb>mini, et quadratum secundi termini simul adde: aggregati <lb></lb>radicem quadratam extrahe. </s><s>Fiat ut radix quad.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> cum se<lb></lb>misse p.<emph type="sup"></emph>i<emph.end type="sup"></emph.end> term.<emph type="sup"></emph>i<emph.end type="sup"></emph.end> et secundo termine simul, ad ipsum secun<lb></lb>dum, ita numerus datus ad alium. </s><s>Et repertus, erit minor <lb></lb>pars quaesita num.<emph type="sup"></emph>ri<emph.end type="sup"></emph.end> dati. </s></p> <p type="main"> <s>Secundum vero sic. </s><s>Fiat ut duplus primi termini cum <lb></lb>secundo ad secundum, ita datus numerus ad alium. </s><s>Detrahe <lb></lb>repertum numerum à numero dato, et residui semissis erit <lb></lb>minor pars quaesita num.<emph type="sup"></emph>ri<emph.end type="sup"></emph.end> dati. </s><s>Demonstrationes perspi<lb></lb>cuae sunt ex ipsis geometricis constructionibus. </s></p> <pb pagenum="43"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>4<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> TORRICELLI a [RAFFAELLO MAGIOTTI in Roma].<lb></lb>[Fabriano] 5 gennaio 1641.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, T. XL, c. 30-31 — Autografa).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Molt' Ill.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> e M.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> Rev.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> S.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> e Pron.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> Col.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Finalmente m'ammalai, e quasi sono stato per morire <lb></lb>contro mia voglia, hora, Dio laudato sto assai bene; ma <lb></lb>mi restano sopra 200 lettere da rispondere per il padrone. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>La prima funzione della convalescenza, e quasi dell'anno, <lb></lb>sarà di riverir V. S., alla cui gentilezza, et alla cui virtù <lb></lb>professo tant'obbligazione. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Io non rendo fiao per fiao <emph type="italics"></emph>(sic),<emph.end type="italics"></emph.end> però se V. S. mi mandò <lb></lb>una lettera piena di faldonate, e d'anemoscopii à pericolo <lb></lb>di farmi scoppiar dalle risa, io mando a V. S. la inclusa, <lb></lb>acciò ella veda gl'anemoscopii de i cervelli grandi, e delle <lb></lb>teste quadrate, e non rotonde come quelle de gl'amici di <lb></lb>V. S. Mando una lettera del gran f. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Bonaventura, dove <lb></lb>ella vedrà i quesiti di Parigi e poi vedrà quello del P. <lb></lb>suddetto. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Quanto alli primi tre di Parigi non mi paiono <lb></lb>gran cose; ma gl'ultimi due gli ho per materie molto <lb></lb>recondite. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Li primi due sono d'Algebra pura, et il primo <lb></lb>del triangolo equicrure in sostanza (se ben palliato) non <lb></lb>vuol dire altro se non, dividere un dato numero 6 in due <lb></lb>tali parti che la differenza de i quadrati delle parti molti<lb></lb>plicata nel quadrato della minor parte produca 9 ecc., <lb></lb>l'altro è d'Algebra manifestamente. </foreign></s> <s>Se io sapessi di que<lb></lb>sta scienza, quanto ne sapevo quando partii da Roma, mi <lb></lb>sarei certo messo a pensarvi; ma per che quà non habbiamo <lb></lb>libbri di tal materia, io nelle questioni che passano l'equa<lb></lb>zion semplice, non mi ci intrigo. </s><s>Lascierò pensarvi al <lb></lb>P. Abb. </s><s>che è tanto benemerito di questa dottrina, et a <lb></lb>quel P. delle scuole Pie amico di V. S. che in essa è tanto <lb></lb>insigne. </s><s>Il terzo quesito, che è di segar la linea in due <pb pagenum="44"></pb>parti ecc., è uno di quelli, che furono mandati a me l'e<lb></lb>state passata. </s></p> <p type="main"> <s>Quanto al quesito di f. </s> <s><foreign lang="it">Bonaventura, io veramente <lb></lb>lo giudico cosa inesplicabile da qualsivoglia ingegno fuor <lb></lb>che dal suo proprio. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Mi par mill'anni di sentir la rispo<lb></lb>sta di quei Franzesi. È ben vero che acciò il quesito <lb></lb>sia bello, doverebbero quelle sue linee curve esser di <lb></lb>quelle <emph type="italics"></emph>de quibus ratio haberi solet Geometria,<emph.end type="italics"></emph.end> cioè o cir<lb></lb>coli, o ellissi, o parabole, o hiperbole. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma io so di certo <lb></lb>che nel quesito predetto nessuna può essere hiperbole; e <lb></lb>solo la prima è parabola. </foreign></s> <s>Del resto mi pare che non pos<lb></lb>sino esser circoli, nè ellissi, però staremo aspettando che <lb></lb>diavolo siano. </s> <s><foreign lang="it">V. S. vedrà accennato in questo predetto <lb></lb>quesito, quello che ella accennò a me con le passate, cioè <lb></lb>che il cilindro al suo fuso parabolico sia come 15 a 8. <lb></lb>Del restante io vado sospettando che f. </foreign></s> <s>Bonaventura habbia <lb></lb>fatto questa narratione più per me che per Mons. </s><s>al quale <lb></lb>va la lettera. </s> <s><foreign lang="it">Ma s'inganna, se pensa che io voglia pic<lb></lb>carmi, e rompermi il cervello in queste robbe, mentre <lb></lb>nella professione non sarei atto a nettar le scarpe nè a <lb></lb>lui, nè a quello che misura la superficie del cono scaleno <lb></lb>e la linea cicloide. </foreign></s> <s>Queste sono cose, che per lo più si <lb></lb>trovano incidentemente, e f. </s><s>Bonaventura credo che le <lb></lb>scioglierà con i suoi principii de gl'infiniti; cose non ap<lb></lb>provate da tutti. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Quando questi quesiti vengono sciolti da quelli alli <lb></lb>quali sono proposti, veramente non se gli può negare una <lb></lb>gran gloria; ma quando no, non mi pare che sia vergogna, <lb></lb>o che vi si perda di riputazione, poi che ogn'uno non è <lb></lb>obbligato ad aver fatto il suo studio particolare sopra <lb></lb>quella tal materia, come havrà fatto quello che propone <lb></lb>ecc. Se io per esempio, che ho pensato qualche poco alle <lb></lb>bagatelle del moto, domandassi ad un Geometra qual<lb></lb>cuna di quelle cose che ne i miei scartafacci sono triviali, <lb></lb>quando la trovasse sarebbe degno di molta lode; ma quando <lb></lb>mi rispondesse: vatt'impicca viso di fava ecc. Come se <lb></lb>io verbi grazia chiedessi a V. S. quale sia la sfera (per <lb></lb>così dire) dell'attività totale de i proietti: Cioè qual figura <lb></lb>vadano a toccare tutte le palle della medesima artiglieria <pb pagenum="45"></pb>sparata a tutte le possibili elevazioni sempre dall' istesso <lb></lb>luogo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Parimente quale sia la sfera dell'attività ascendente <lb></lb>de proietti: cioè in quale figura siano i punti altissimi <lb></lb>(o vogliam dire della conversione) di tutti i tiri che si <lb></lb>possano fare dalla medesima artiglieria e dal medesimo <lb></lb>luogo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Queste se bene son figure delle più frequenti, e più <lb></lb>considerate che habbia la geometria, ella haverebbe ragione <lb></lb>a darmi del b. </foreign></s> <s>f. per la testa. </s> <s><foreign lang="it">Se poi gli domandassi. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Quale <lb></lb>è il lato retto di tutte l'infinite parabole che si possano <lb></lb>fare dalla medesima artiglieria (considerando il diametro <lb></lb>comune delle parabole per la bocca del pezzo). Questa è <lb></lb>cosa da spiritare a prima vista; ma poi riesce cosa ridi<lb></lb>cola quando si mostra che tutte hanno l'istesso lato retto, <lb></lb>e che questo è duplo della lunghezza del tiro fatto all'e<lb></lb>vazione del 6° punto; overo quadruplo del tiro perpendi<lb></lb>colare all'in sù. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma punto per adesso, lasciamo i quesiti <lb></lb>a chi gli vuole; et intanto io ho trasgredito i precetti della <lb></lb>convalescenza, et ho la testa debolissima per la troppa <lb></lb>flebotomia. </foreign></s> <s>La reverico. </s><s><lb></lb>Alli 5 Genn.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> 1641.<lb></lb> Di V. S. m. </s><s>Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> e m. </s><s>Rev.<emph type="sup"></emph>da<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>Dev.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> et Obblig.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Se.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb> E. Torricelli</s></p> <p type="main"> <s>Manderò presto quelle prime mie goffaggini, prepari <lb></lb>la patientia. </s></p> <p type="main"> <s>Alla lettera di V. S. non rispondo, per che questa è <lb></lb>stata scritta così a caso. </s></p> <p type="main"> <s>Quella di fr. </s><s>Bonaventura V. S. me la rimanderà a suo <lb></lb>comodo . </s></p> <pb pagenum="46"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>5<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> BENEDETTO CASTELLI a GALILEO GALILEI <lb></lb>in Firenze.<lb></lb>Roma, 2 marzo 1641.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, P. VI, T. XIII, c. 252 — Autografa).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Molto Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> ed Ecc.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> e P.<emph type="sup"></emph>ron<emph.end type="sup"></emph.end> Col.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Io penso di partire di Roma intorno a' 20 del corrente, ed andarò <lb></lb>diritto alla volta di Pisa, chè così tengo ordine da parte del Ser.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Gran <lb></lb>Duca, e di già ho ottenuta licenza da questi Padroni. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Farò le Feste di Pa<lb></lb>sca, piacendo a Dio, in Pisa, e poi verrò a Firenze a riverire V. S. Ecc.<emph type="sup"></emph>ma<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>e mi trattenerò in Firenze cinque o sei giorni al più, per passare a Venezia <lb></lb>al nostro Capitolo generale, e poi andarò a Brescia a vedere le ultime <lb></lb>miserie di casa mia, e nel ritorno spero fermarmi in Firenze qualche <lb></lb>giorno. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Intanto servirò V. S. nel particolare delle corde, che mi comanda. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Spero di dargli qualche gusto intorno a quelle poche di fatiche e <lb></lb>basse che io ho haute per le mani in questi ultimi mesi, e di più portargli <lb></lb>un libro, e forsi anche il secondo libro, fatto da un mio discepolo , <lb></lb>il quale, havendo hauti i primi principii di geometria dieci anni sono <lb></lb>dalla mia scola, ha poi fatto tale progresso, che ha dimostrate molte <lb></lb>proposizioni di quelle <emph type="italics"></emph>de motu<emph.end type="italics"></emph.end> dimostrate già da V. S., ma diversamente, <lb></lb>e passato superedificando maravigliosamente intorno alla stessa ma<lb></lb>teria, a segno che ha mossa la maraviglia al Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Raffaello Magiotti <lb></lb>nostro ed altri di buon gusto: e se bene il suo ingegno non arrivarà <lb></lb>alla sottigliezza di quei sublimi trattati dei centri e circonferenze <lb></lb>fisiche, metafisiche, matematiche e teologiche, che ella mi accenna del <lb></lb>Liceti, vedrà in ogni modo che la strada che V. S. Ecc.<emph type="sup"></emph>ma<emph.end type="sup"></emph.end> ha aperta <lb></lb>alli intelletti humani viene battuta da un galantissimo huomo, mo<lb></lb>strando quanto sieno fecondi i ricchi semi che ella ha seminati in <lb></lb>questa materia del moto; e vedrà quanto honore egli fa alla gran <lb></lb>scola di V. S. Ecc.<emph type="sup"></emph>ma<emph.end type="sup"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Non sarò più longo per hora, riserbandomi il resto a bocca: e li <lb></lb>fo riverenza. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Di Roma, il 2 di marzo 1641.<lb></lb> Di V. S. molto Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> ed Ecc.<emph type="sup"></emph>ma<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>Devotiss.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> ed Oblig.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Ser.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> e Dis.<emph type="sup"></emph>lo<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb> Don Benedetto Castelli</foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="italics"></emph>Fuori:<emph.end type="italics"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Al molto Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> ed Ecc.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> e P.ron Col.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">il Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Galileo Galilei, p.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> Filosofo del Ser.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> G. D. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Firenze </s></p> <pb pagenum="47"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>6<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> BONAVENTURA CAVALIERI a TORRICELLI <lb></lb>[in Roma].<lb></lb>Bologna, 14 marzo 1641.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLI, c. 103-104 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>M.to Rev.do Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> mio Oss.mo </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ricevo dalla gentilezza sua nuovi favori, e dal suo sublime ingegno <lb></lb>continuamente nuovi parti, e meravigliosi, contrassegno certissimo <lb></lb>della fecondità di quello, del che molto mi rallegro seco, e la ringrazio <lb></lb>con tutto l'affetto. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ho visto la sua dimostrazione di quella bellissima <lb></lb>passione della parabola, quale è veramente degna di annoverarsi fra <lb></lb>le di lei principali, poichè, se si è stimato tanto finora il sapere, che <lb></lb>la parte dell'asse compresa tra la cima, ed il fuoco della parabola è <lb></lb>la quarta parte del lato retto, quanto deve pregiarsi questa, che com<lb></lb>prende infinite riflesse, ciascuna delle quali è la quarta parte del lato <lb></lb>retto di quella parabola, che ha per diametro la sua incidente, e tanto <lb></lb>poi riesce più bella, e più grata la dimostrazione, quanto è più facile <lb></lb>in materia tanto difficile. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ammiro similmente le cose peregrine, che <lb></lb>ella ha trovato in materia de' proietti, e se ne deve molto pregiare il <lb></lb>Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Galileo, che da cossì esquisito ingegno sia stata continuata la <lb></lb>dottrina del moto in maniera così eccellente. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Resto poi assai mortifi<lb></lb>cato di non poterla servire circa l'Apollonio del Commandino, poichè <lb></lb>per qualunque diligenza fatta da tutti i Librari, e da molti miei amici <lb></lb>(per servire insieme ancora il Padre Niceroni, che ancor esso me ne <lb></lb>faceva istanza) non è mai stato possibile trovarne pur uno. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Io però <lb></lb>me ne trovo uno, che è al suo servizio, quando comandi, che io gliene <lb></lb>serva, che è quanto gli posso dire; e se io ne avessi due, lo manderei <lb></lb>senza altro senza aspettare altra richiesta. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Accetti dunque, il mio <lb></lb>buon desiderio di servirla, mentre me gli confermo cordialissimo ser<lb></lb>vitore, e mi condoglio della morte della madre, quale, come prudente <lb></lb>mi persuado, che avrà francamente sopportato; e le bacio affettuosa<lb></lb>mente le mani. </foreign></s> <s><lb></lb>Di Bologna alli 14 marzo 1641.<lb></lb> Fra Bonaventura Cavalieri</s></p> <pb pagenum="48"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>7<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> TORRICELLI a [GALILEO GALILEI in Arcetri].<lb></lb>Roma, 15 marzo 1641.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, P. I. T. XII, c. 203 — Autografa).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Molt' Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> et Ecc.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> P.ron Col.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">All'opere di V. S. Ecc.<emph type="sup"></emph>ma<emph.end type="sup"></emph.end> si conviene piu tosto l'ammira<lb></lb>tione, che il commento. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Lo stupore è stato in me supremo <lb></lb>fin dal primo giorno che fui fatto degno di poter vedere i <lb></lb>suoi libbri: parerà nondimeno che quest'ultimo del moto <lb></lb>habbia eccitato in me piu tosto l'ardire, che la maraviglia. </foreign></s> <s><lb></lb>Confesso che meriterei questo concetto, quando l'intentione <lb></lb>mia fusse mai stata di far comparir queste poche scritture <lb></lb>in Roma o altrove, e principalmente avanti al supremo <lb></lb>giuditio di V. S. Ecc.<emph type="sup"></emph>ma<emph.end type="sup"></emph.end>. Scrissi questi fogli, non per biso<lb></lb>gno che io giudicassi haverne le sue dottrine, ma per ne<lb></lb>cessità, che havevo io di formar questo memoriale d'erudi<lb></lb>tione alla mia poca intelligenza, e pel desiderio che tenevo <lb></lb>di mostrare al mio maestro lontano come anco in assenza <lb></lb>havevo propagata con qualche studio mio la sua disciplina. </s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Compiacciasi V. S. Ecc.<emph type="sup"></emph>ma<emph.end type="sup"></emph.end> di assolvere la mia ossequiosa <lb></lb>reverenza e divotione, se io, per ammaestrar me stesso tra<lb></lb>scorsi nel far questa parafrasi alle sue scienze: so che ancor <lb></lb>ella haverà fatto l'istesso da fanciullo nelle scuole d'hu<lb></lb>manità sopra i versi dell' Eneide e l'orazioni di M. Tullio. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Quanto poi al far vedere ad altri le mie povere debolezze, <lb></lb>lascierò che la facondia del P. Abbate difenda la causa sua <lb></lb>per discolpa di se stesso. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Intanto io supplico humilmente <lb></lb>V. S. Ecc.<emph type="sup"></emph>ma<emph.end type="sup"></emph.end> a voler restar servita di permettere che io mi <lb></lb>possa gloriare del titolo di suo servo: e la rendo certa che <lb></lb>quanto io cedo al Magiotti e Nardi nel merito dell'ingegno, <lb></lb>altretanto gl'eccedo nel pregio di riverir con infinita <lb></lb>stima il famoso nome del Galileo, nome benemerito del<lb></lb>l' Universo e consecrato all'eternità. </foreign></s> </p> <pb pagenum="49"></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Stimo imprudenza il consegnar lettera più longa in <lb></lb>mano d'uno orator tanto eloquente quanto è il P. Reve<lb></lb>rendissimo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Egli supplirà nel rappresentare i sensi della <lb></lb>mia devotione a V. S. Ecc.<emph type="sup"></emph>ma<emph.end type="sup"></emph.end> e scuserà appresso di lei <lb></lb>non solo la povertà delle materie del libretto, ma anco <lb></lb>l'oscurità, lo stile, e gli errori innumerabili, che partico<lb></lb>larmente saranno nella seconda parte. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Questa seconda <lb></lb>parte non è copiata, ma scritta per la prima volta con <lb></lb>molta fretta, così come egli la porta, senza che ne anco sia <lb></lb>stata riletta. </foreign></s> <s>Et humilmente me le dedico, e la riverisco. </s><s><lb></lb>Di Roma, 15 marzo 1641.<lb></lb> Di V. S. molto Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> et Ecc.<emph type="sup"></emph>ma<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>Hum.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> e Dev.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Servo<lb></lb> Evangelista Torricelli</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>8<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> TORRICELLI a [GALILEO GALILEI in Arcetri].<lb></lb>Roma, 27 aprile 1641.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir, Mss. </s><s>Galileiani, P. I, T. XII, c. 213 — Autografa).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Molt' Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> et Ecc.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> e P.ron mio Col.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Resto egualmente honorato e confuso dalla eccessiva <lb></lb>gentilezza di V. S. Ecc.<emph type="sup"></emph>ma<emph.end type="sup"></emph.end>, la quale, prima di conoscermi, <lb></lb>con tanta prodigalità mi comparte le sue gratie e m'in<lb></lb>vita alla sua servitù. </s> <s><foreign lang="it">Io mi conosco et ingenuamente mi <lb></lb>confesso inabile a servirla; nondimeno la rendo certa che <lb></lb>il desiderio haverebbe superata l'erubescenza, et haverei <lb></lb>volato per esser subito a reverirla presentialmente; ma <lb></lb>credo che ella haverà inteso dal P. Abbate un legame <lb></lb>che egli mi lasciò qui nel suo partire, se bene per poco <lb></lb>tempo, cioè fino al suo ritorno. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Questo è la promessa di <lb></lb>servire il figlio del Conte di Castel Villano con una let- <pb pagenum="50"></pb>tione di geometria e fortificatione; e l'istesso obbligo si <lb></lb>è da me ratificato al Conte suo padre in questi ultimi <lb></lb>giorni, mentre egli, essendo di partenza per Perugia, dove <lb></lb>si è inviato, ha voluto lasciare il figlio qui in Roma quasi <lb></lb>a posta per questo effetto. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Supplico humilmente V. S. Ecc.<emph type="sup"></emph>ma<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>a volere assolvermi per queste poche settimane, fin che <lb></lb>ritorni il P. Abbate, che non tarderà molto, e poi si assi<lb></lb>curi che io conosco benissimo quanto grande interesse e <lb></lb>benefitio mio si inserisca in questo trattato di servire <lb></lb>attualmente al Galileo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Prego Dio che mi acceleri questa <lb></lb>gratia e volino per me questi giorni di tardanza, poi che <lb></lb>io non vedo l'hora di essere quanto prima ad arricchir me <lb></lb>stesso col raccogliere le minutie di quei tesori che si ma<lb></lb>neggiano in cotesta casa, dove la presenza di V. S. Ecc.<emph type="sup"></emph>ma<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>è la regia della Verità e l'erario della Sapienza. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Intanto <lb></lb>non passa mai giorno senza qualche honorata commemo<lb></lb>ratione tra il Nardi e 'l Maggiotti e me del nostro gran <lb></lb>Maestro. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Condoni al mio affetto la soverchia arroganza, <lb></lb>se ancor io indegnamente mi ascrivo il titolo della sua <lb></lb>famosa disciplina. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Supplico V. S. Ecc.<emph type="sup"></emph>ma<emph.end type="sup"></emph.end> a continuarmi la sua gratia, e <lb></lb>con la debita sommissione la prego a studiar più per l'ac<lb></lb>crescimento della vita che della gloria: questa non può <lb></lb>crescer più, ma sì ben quella, e per essa si formano voti <lb></lb>cordiali da tutti i suoi servi, ma in particolare da me, suo <lb></lb>partialissimo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Reverisco V. S. Ecc.<emph type="sup"></emph>ma<emph.end type="sup"></emph.end> con affetto ossequioso <lb></lb>e le ratifico il possesso della mia servitù. </foreign></s> <s><lb></lb>Di Roma, 27 aprile 1641.<lb></lb> Di V. S. molto Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> et Ecc.<emph type="sup"></emph>ma<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb> <arrow.to.target n="fig504"></arrow.to.target></s></p> <pb pagenum="51"></pb> <figure id="fig504"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>9<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> TORRICELLI a [GALILEO GALILEI in Arcetri].<lb></lb>Roma, 1 giugno 1641.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, P. VI, T. XIII, c. 270-271 — Autografa).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Molt' Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> et Ecc.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> e P.ron Col.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Già sono molte settimane che il Padre Rev.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> , per <lb></lb>quanto intendo, partì da Venetia, per fermarsi qualche <lb></lb>tempo in Brescia. </foreign></s> <s>Essendo però io stato irresoluto e non <lb></lb>sapendo dove scrivergli, invio l'inclusa a V. S. Ecc.<emph type="sup"></emph>ma<emph.end type="sup"></emph.end>, <lb></lb>supponendo che egli, subito giunto in Firenze, quando <lb></lb>che sia, capiterà costì. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Io reverii V. S. Ecc.<emph type="sup"></emph>ma<emph.end type="sup"></emph.end> anco con l'occasione del P. Cle<lb></lb>mente , persona di molto garbo et anco di straordinario <lb></lb>sapere. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Nella lettera portata da lui narravo certe mie co<lb></lb>sette intorno alli solidi della sfera, e la supplicavo a non <lb></lb>conferir la lettera con alcuno. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Hora, mutato d'opinione, <lb></lb>mando l'incluso foglio a V. S. Ecc.<emph type="sup"></emph>ma<emph.end type="sup"></emph.end>, acciò lo senta e <lb></lb>poi, se così le parerà, lo mandi al P. Clemente et a co<lb></lb>testi geometri, i quali forse m'honoreranno d'inclinar <lb></lb>l'altezza de i loro ingegni a veder questa bassezza del <lb></lb>mio. </foreign></s> <s>Sono sei teoremetti fondamentali, da i quali cavo <lb></lb>certe passioni e proportioni di varii solidi, come ne mando <lb></lb>una parte in un foglietto separato , conforme mi sono <lb></lb>venuti in mente all'improvviso. </s> <s><foreign lang="it">Mi pare d'haver ampliato <lb></lb>un tantino la dottrina d'Archimede nel libro DE SFERA <lb></lb>ET CILINDRO. Io poi mostro le mie propositioni, qua<lb></lb>lunque esse si siano, con dimostrationi dirette e senza <lb></lb>l'aiuto de gl'indivisibili, come ho conferito ogni cosa al <pb pagenum="52"></pb>S.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Magiotti. </foreign></s> <s>Questi altri geometri vi specolano da loro, <lb></lb>compiacendosi di pigliarvisi gusto. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Io spasmo di desiderio di poter essere a servir V. S. <lb></lb>Ecc.<emph type="sup"></emph>ma<emph.end type="sup"></emph.end>, la quale reverisco con humilissimo affetto, fin tanto <lb></lb>che la fortuna m'apporti quell'hora di prosperità nella quale <lb></lb>mi sia concesso di poter essere a reverirla con la per<lb></lb>sona. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Di Roma, il p.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> di Giugno 1641.<lb></lb> Di V. S. Ecc.<emph type="sup"></emph>ma<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>Hum.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> et Obbl.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> S.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb> Evang.<emph type="sup"></emph>ta<emph.end type="sup"></emph.end> Torricelli</foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Due nuove famose ci sono: la morte del Card.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> Pio , <lb></lb>e la stampa, aspettatissima già sono anni, del P. Atanasio <lb></lb>Kircher. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Questo è il Gesuita matematico di Roma. </foreign></s> <s>L'o<lb></lb>pera stampata è un volume assai grosso sopra la calamita; <lb></lb>volume arricchito con una gran supelletile di bei rami. </s><s><lb></lb>Sentirà astrolabii, horologii, anemoscopii, con una mano <lb></lb>poi di vocaboli stravagantissimi. </s><s>Fra l'altre cose vi sono <lb></lb>moltissime carraffe e carraffoni, epigrammi, distici, epitafii, <lb></lb>inscrittioni, parte in latino, parte in greco, parte in arabico, <lb></lb>parte in hebraico et altre lingue. </s> <s><foreign lang="it">Fra le cose belle vi è, in <lb></lb>partitura quella musica che dice esser antidoto del veleno <lb></lb>della tarantola. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Basta: il S.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Nardi e Magiotti et io hab<lb></lb>biamo riso un pezzo. </foreign></s> </p> <pb pagenum="53"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>10<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> BONAVENTURA CAVALIERI a [TORRICELLI <lb></lb>in Roma].<lb></lb>Bologna, 15 giugno 1641.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLI, c. 105-108 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>M.<emph type="sup"></emph>to<emph.end type="sup"></emph.end> Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> mio Oss.mo </s></p> <p type="main"> <s>Il favore fattomi da V. S: mandandomi le sue belle specolazioni <lb></lb>geometriche è stimato da me singolare, comecchè venga da persona, <lb></lb>il cui giudizio appresso di me è in concetto molto grande per le rela<lb></lb>zioni avutene da parecchi virtuosi, e tanto più che mi fa un regalo <lb></lb>proporzionato al mio gusto. </s> <s><foreign lang="it">Perciò la ringrazio quanto so, e posso, e <lb></lb>dico, che le sue proposizioni mi sono parse belle al pari, dirò, di quelle <lb></lb>di Archimede, nè mi occorre dirvi sopra alcuna cosa, ma solo ammi<lb></lb>rare la felicità del suo ingegno. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Io sono per la mia continua infermità <lb></lb>reso quasi del tutto inabile a tali specolazioni, onde son sforzato a <lb></lb>passarmela con cose dozinali. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Un amico mio volendo far ristampare il <lb></lb>mio specchio ustorio mi pregò a volere aggiungervi qualche cosa; <lb></lb>onde ricordandomi d'aver pubblicato nella mia Geometria al 2° scolio <lb></lb>della Proposizione 10<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> del Libro 6° un modo, che mi parve assai facile <lb></lb>per descrivere la parabola, nè avendo allora potuto ritrovare un simil <lb></lb>modo di far l'Iperbola, e l'Ellissi, mi ci applicai di nuovo, e finalmente <lb></lb>trovo, che queste due ancora poco differentemente dalla parabola si <lb></lb>possono descrivere, siccome ella può intendere di queste figure, nelle <lb></lb>quali essendo proposto AC diametro, A cima della sezione da farsi, AO <lb></lb>diametro trasverso, E qualunque punto della sezione, e compito il <lb></lb>parallelogrammo EA, basta dividere proporzionalmente CE, EG (io poi <lb></lb>le ho divise per esempio in quattro parti eguali, cominciando a notare <lb></lb>le parti da C verso E nella CE, e da G verso E nella GE) imperocchè <lb></lb>se nella figura della parabola tiraremo per le divisioni di CE, parallele <lb></lb>ad AC, ma nell'iperbola, et ellissi tiraremo da O alle stesse divisioni <lb></lb>di CE, linee rette, e poi in tutte tre le sezioni tiraremo da A alle divi<lb></lb>sioni della GE, linee rette, dal concorso di queste con le predette s'ave<lb></lb>ranno li punti S, B, D in dette sezioni, cioè S dal concorso della prima <lb></lb>con la prima, B dal concorso della seconda con la seconda nel qual modo <lb></lb>potremo notare quanti punti vorremo in dette sezioni facendo più mi<lb></lb>nuta divisione delle CE, EG. Ma per non fare la fatica di dividere CE, <lb></lb>EG in parti eguali ciascuna, e di numero pari quelle di CE a quelle di <lb></lb>EG, giungo CG, e poi tiro quante parallele mi pare a CG con prolungare <lb></lb>la AG verso G, e misurare in essa prolungata, et in CE parti eguali di <pb pagenum="54"></pb>numero pari, e ciò secondo qualunque apertura di compasso, che si possi <lb></lb>replicare più volte sopra CE, non m'importando, se nel fine a vanza della <lb></lb>CE una particella minore dell'altre; e cossì in somma descrivo pro<lb></lb> <arrow.to.target n="fig505"></arrow.to.target><lb></lb>porzionalmente le CE, EG, descrivendo la mezza sezione ASBDE, e <lb></lb>l'altra mezza nell'istesso modo avendo il tutto confermato con la di<lb></lb>mostrazione, quale vederà stampata, se l'acutezza del suo ingegno <lb></lb>(come mi persuado, che la ritroverà) non la vide prima. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma troppo ho <lb></lb>detto a chi in un'occhiata può intendere il tutto. </foreign></s> <s><foreign lang="it">E poichè la genti<lb></lb>lezza sua mi da questa confidenza la vorrei pregare a intendere, se <lb></lb>alla Trinità de' Monti fosse giunto ancora da Parigi un tal Padre <lb></lb>Gio: Francesco Niceroni franzese, e studioso delle mattematiche, <lb></lb>poichè mandai alcuni mesi sono costì indirizzate a lui alcune risolu<lb></lb>zioni di quesiti mandatimi da Lui, nè ho mai inteso, se le abbi rice<lb></lb>vute, o nò. </foreign></s> <s>Però mi saria caro sapere, se vi è, ovvero quando l'aspet<lb></lb>tano, e mi perdoni dell'incomodo. </s> <s><foreign lang="it">Sto aspettando da Venezia il Rev.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>P.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> Abbate Don Benedetto nostro, ma per anco non l'ho potuto vedere. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Pertanto mi continui di simili favori quando gli sia comodo, che se <lb></lb>non la ricambierò con altrettanto, gliene professerò però sempre un'af<lb></lb>fettuosa gratitudine; e con tal fine le bacio le mani. </foreign></s> <s><lb></lb>Di Bologna alli 15 giugno 1641.<lb></lb> Di V. S: M.<emph type="sup"></emph>to<emph.end type="sup"></emph.end> Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>Aff.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> et Obb.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Serv.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb> F. Bonaventura Cavalieri</s></p> <pb pagenum="55"></pb> <figure id="fig505"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>11<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> TORRICELLI a [GALILEO GALILEI in Arcetri].<lb></lb>Roma, 29 giugno 1641.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, P. VI, T. XIII, c. 272 — Autografa)<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Molt' Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> et Ecc.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> S.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> e P.ron Col.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Ricevo dalla gentilezza di V. S. Ecc.<emph type="sup"></emph>ma<emph.end type="sup"></emph.end> honori troppo <lb></lb>eccessivi per mezzo delle sue lettere: confesso che sono <lb></lb>veramente sproportionati affatto al mio merito, ma però op<lb></lb>portuni molti al mio bisogno. </s> <s><foreign lang="it">Viviamo in un secolo, il quale <lb></lb>in materia di matematiche è cieco affatto; però gran pa<lb></lb>trocinio e gran privilegio mi pare una testimonianza d'un <lb></lb>valore accreditato e di un nome coronato di gloria, come <lb></lb>già si stima per tutto il nome immortale di V. S. Ecc.<emph type="sup"></emph>ma<emph.end type="sup"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Questi giorni passati, leggendo un manoscritto d'un <lb></lb>amico virtuoso, trovai uno sforzo che egli fa per mostrar <lb></lb>l'origine della propositione 18 delle Spirali d'Archimede. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Mi parve che io ne cavassi poco frutto, onde, ripensan<lb></lb>dovi dopo, mi venne sospetto che questa dottrina pendesse <lb></lb>dalla scienza del moto, et in particolare da una proposi<lb></lb>tione di V. S. Ecc.<emph type="sup"></emph>ma<emph.end type="sup"></emph.end> posta nel principio de i Proietti, la <lb></lb>quale facilmente le sovverrà nelle sue tenebre luminose <lb></lb>per essere un semplicissimo triangolo rettangolo, e tratta <lb></lb>di questo: Che se un mobile camminerà di due moti etc., <lb></lb>il momento della sua velocità sarà in potenza eguale a <lb></lb>quelli due etc. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Il mio discorsetto (se bene per inavver<lb></lb>tenza mi ci è scappato il titolo di dimostratione) sarà un <lb></lb>poco tedioso, non havendo io voluto far figura, se non in <lb></lb>ultimo un triangolo solo con il primo circolo della spirale <lb></lb>e quattro semplici lettere; altrimenti con la decima parte <lb></lb>di quel proemio haverei detto quello che volevo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">So quanto <lb></lb>vaglia in V. S. Ecc.<emph type="sup"></emph>ma<emph.end type="sup"></emph.end> <emph type="italics"></emph>clara dies animi;<emph.end type="italics"></emph.end> però procurerò <lb></lb>di non aggiungere al tedio della scrittura anco quello <lb></lb>della lettera. </foreign></s> </p> <pb pagenum="56"></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Qua si è preinteso che il P. Rev.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> resti a Venetia per <lb></lb>questa state. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Io gli ho già scritto che desidero di essere <lb></lb>a servire presentialmente V. S. Ec.<emph type="sup"></emph>ma<emph.end type="sup"></emph.end>, e voglio in tutti <lb></lb>i modi procurar d'eseguirlo. </foreign></s> <s>Et humilissimamente la re<lb></lb>verisco. </s><s><lb></lb>Di Roma, 29 Giugno 1641.<lb></lb> Di V. S. molt'Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> et Ecc.<emph type="sup"></emph>ma<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Il S.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Nardi e S.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Magiotti sono due grandi ammira<lb></lb>tori del S.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Galileo. </foreign></s> <s>Il Nardi poi specialmente lo riverisce. </s><s><lb></lb>Il S.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Magiotti sta a Frascati già un mese. <lb></lb> Hum.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Dev.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> et Obbl.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> S.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb> Evang.<emph type="sup"></emph>ta<emph.end type="sup"></emph.end> Torricelli</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>12<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> BONAVENTURA CAVALIERI a [TORRICELLI <lb></lb>in Roma].<lb></lb>Bologna, 10 luglio 1641.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLI, c. 109-112 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>M.<emph type="sup"></emph>to<emph.end type="sup"></emph.end> Rev.<emph type="sup"></emph>do<emph.end type="sup"></emph.end> Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> mio Oss.mo </s></p> <p type="main"> <s>Siccome ella sopravanza le mie deboli invenzioni in ogni maniera, così <lb></lb>mostra anco nell'affetto eccessi di gentilezza. </s> <s><foreign lang="it">Perciò io ricevo le iper<lb></lb>boli delle mie lodi dall'abbondanza di esso affetto, e non perchè a me <lb></lb>si convenghino, e l'accerto, che conosco me stesso in questa parte <lb></lb>forsi tanto, che la vanagloria non ha in me luogo. </foreign></s> <s>Se io ho ritrovato <lb></lb>qualche cosa è stato piuttosto fortuna, che sapere, e so, che se altri <lb></lb>ingegni, che'l mio, si fossero istradati nelle materie da me intraprese, <lb></lb>l'avriano trattate in miglior modo che non ho fatto io. </s><s>Et adesso mi <lb></lb>trovo in così cattivo stato di sanità, e vengo tanto offeso dalle speco<lb></lb>lazioni sottili, che non è poco, che io possi intendere le cose da me <lb></lb>altre volte ritrovate, non che rinvenirne di nuove. </s> <s><foreign lang="it">Perciò non dovrà me<lb></lb>ravigliarsi, se quelle dimostrazioni, che io mandai al Padre Niceroni <lb></lb>furno per luogo solido, poichè sapendo esso questo mio cattivo stato <lb></lb>sperai, che la sua benignità dovesse compatirmi se io gli davo quella <lb></lb>sodisfazione, che io potevo, nè mi applicai a cercare altra dimostra<lb></lb>zione nonostante che il Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Gio: Anton Rocca, benissimo credo da <pb pagenum="57"></pb>lei conosciuto, con mandarmi una dimostrazione per luogo piano di <lb></lb>questo primo problema, che V. S: dimostra (poichè il secondo, benchè <lb></lb>facile, non mi fu proposto) mi accertasse esser dimostrabile per luogo <lb></lb>piano, la quale è poco differente, se io non m'inganno, dalla sua, <lb></lb>poichè ebbi per questo una flussione così gagliarda, che mi vietò il <lb></lb>potervi più applicare. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ciò dico per mia scusa, e perchè comprenda che io <lb></lb>conosco la mia debolezza, e che le lodi datemi si convengono a Lei, <lb></lb>che veramente dimostra, quanto alto arrivi il suo ingegno, e quanto <lb></lb>possesso ella tenga della buona Geometria, del che molto mi rallegro <lb></lb>seco. </foreign></s> <s><foreign lang="it">La ringrazio ancora de' vari modi, che ella dall'abbondantissimo <lb></lb>seno del suo ingegno ne trae per la descrizione delle sezioni coniche, <lb></lb>degni di essere visti dagli amatori di queste dottrine, e che sono stati <lb></lb>da me molto ammirati, come anco la dimostrazione del mio modo di <lb></lb>descriverle, o dimostrazioni così arringate, e belle, e diverse dalla mia, <lb></lb>non so anco se da quella del Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Rocca, che ne ha pure apportato <lb></lb>una ancor esso. </foreign></s> <s>Così anco m'è piaciuta assaissimo la sua dimostrazione <lb></lb>del fuso parabolico, come facile, breve, e nuova, per quanto io posso <lb></lb>sapere, sebbene anch'io ho visto pochi libri in questa materia. </s> <s><foreign lang="it">Resta <lb></lb>dunque, che io la ringrazi di vivo cuore di tanti favori, come io faccio, <lb></lb>esortandola a palesare con le stampe questi suoi Tesori, che non con<lb></lb>viene stiano nascosti in verun modo, e massime, che intendo aver ella <lb></lb>trovato bellissime cose circa il moto doppo il Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Galileo, quali ella <lb></lb>sa quanto saranno grate alli studiosi. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Io son già reso inabile, come ho <lb></lb>detto, a far cosa di momento; lei che possiede così esquisito intelletto, <lb></lb>e gode, come mi persuado, una perfetta sanità, facci quello che ad <lb></lb>altri non è concesso, che io per me loderò sempre tal risoluzione, e <lb></lb>sarò sempre ammiratore delle sue peregrine invenzioni, e con tal fine <lb></lb>baciandole affettuosamente le mani, gli prego dal Cielo ogni vero <lb></lb>contento & <lb></lb>Di Bologna alli 10 luglio 1641.<lb></lb> Di V. S: M.<emph type="sup"></emph>to<emph.end type="sup"></emph.end> Rev.<emph type="sup"></emph>do<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>Aff.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> et Obb.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Serv.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb> F. Bonaventura Cavalieri</foreign></s> </p> <pb pagenum="58"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>13<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> TORRICELLI a [GALILEO GALILEI in Arcetri].<lb></lb>Roma, 17 agosto 1641.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, P. VI, T. XIII, c. 281 — Autografa).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Molt'Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> et Ecc.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> e P.ron Col.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Portai il giorno di S. Pietro una lettera alla posta, <lb></lb>con speranza dovesse pervenire in mano di V. S. Ecc.<emph type="sup"></emph>ma<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>Dopo, fino a questo giorno, sono stato travagliatissimo, <lb></lb>non vedendone risposta. </foreign></s> <s><foreign lang="it">In ultimo il S.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Nardi mi ha, in <lb></lb>cambio di consolarmi, raddoppiato il dolore, mentre mi <lb></lb>ha fatto vedere in una di V. S. Ecc.<emph type="sup"></emph>ma<emph.end type="sup"></emph.end> come ella si è <lb></lb>compiaciuta di rispondermi. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Pensavo che si fusse persa la <lb></lb>mia, della quale mi curavo poco; ma intendo essersi sal<lb></lb>vata quella, ma smarrita la risposta di V. S. Ecc.<emph type="sup"></emph>ma<emph.end type="sup"></emph.end>, da <lb></lb>me stimata come tesoro invidiabile dalla posterità. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Qui <lb></lb>le lettere di Toscana capitano o alla posta di Firenze o <lb></lb>a quella di Genua: in questa sta un tiranno, il quale <lb></lb>spesso, per non cercare, nega le lettere, se ben vi sono; <lb></lb>in quella sta un professore di memoria, il quale pretende <lb></lb>di rispondere subito a chiunque comparisce, se vi siano <lb></lb>lettere e quante per apunto e di che loco. </foreign></s> <s>Non ho potuto <lb></lb>in più volte far tanto che o l'uno o l'altro di questi si <lb></lb>sia degnato di pigliar in mano le lettere e guardarvi. </s> <s><foreign lang="it">In <lb></lb>tanto ho ricevuto qualche conforto nel leggere le lettere <lb></lb>scritte da lei al S.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Nardi, et insieme con lui starò aspet<lb></lb>tando la dimostratione da V. S. Ecc.<emph type="sup"></emph>ma<emph.end type="sup"></emph.end> promessa circa il <lb></lb>principio supposto nell'opera da me tanto ammirata. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Fra i travagli che ho havuto nella perdita di mia <lb></lb>madre, seguita pochi giorni sono, nondimeno ho cercato <lb></lb>di metter in netto un libro che io chiamo de i <emph type="italics"></emph>Solidi <lb></lb>Sferali,<emph.end type="italics"></emph.end> e l'ho finito di ricopiare apunto hoggi. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Mia di<lb></lb>sgratia il non esser nato qualche decina d'anni prima: <lb></lb>haverei stimato maggior fortuna il poter porgere qualche <pb pagenum="59"></pb>mia debolezza in mano di V. S. Ecc.<emph type="sup"></emph>ma<emph.end type="sup"></emph.end>, che se havessi <lb></lb>havuto certezza di poterla consecrare alla eternità. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Reverisco V. S. Ecc.<emph type="sup"></emph>ma<emph.end type="sup"></emph.end> con infinito affetto, e con tutto <lb></lb>l'ossequio la supplico a voler comandare a qualche suo <lb></lb>ministro che mi faccia la gratia che io chiedo al P.Rev.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> , <lb></lb>quando egli tardasse a comparire in Firenze, dove spero <lb></lb>certo sarà per S. Bartolomeo. </foreign></s> <s><lb></lb>Roma, 17 Agosto 1641.<lb></lb> Di V. S. Ecc.<emph type="sup"></emph>ma<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>Hum.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> et Obbl.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Servo<lb></lb> Evang.<emph type="sup"></emph>ta<emph.end type="sup"></emph.end> Torricelli</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>14<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> BONAVENTURA CAVALIERI a [GALILEO <lb></lb>in Arcetri].<lb></lb>Bologna, 20 agosto 1641.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, P. VI. T. XIII, c. 283-284 — Autografa).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">. . . . . . . . . S'io havessi la sudetta lettera scrittami dal Beau<lb></lb>grand, li vorrei mandare le sue parole precise, che occupano una <lb></lb>carta intiera, circa la persona di V. S. Ecc.<emph type="sup"></emph>ma<emph.end type="sup"></emph.end>; ma lo farò quanto <lb></lb>prima mi rivenga da Reggio, dove l'ho mandato al S.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Gio. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Antonio <lb></lb>Rocca, giovine intendentissimo delle matematiche, e della tacca del <lb></lb>Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Torricelli da me benissimo conosciuto e da lei con ragione inal<lb></lb>zato alle stelle; poichè essendo tra lui e me passate alcune lettere ho <lb></lb>potuto conoscere quanto egli sia singolare nella geometria, havendo <lb></lb>trovate le cose peregrine che lei mi scrive, da lui parimente scrittemi <lb></lb>e da me viste con molta maraviglia. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Anzi deve sapere, che havendo io trovato modo assai facile di <lb></lb>descrivere tutte le settioni coniche (cioè nel modo, credo si ricordi, <lb></lb>ch'io descrivo la parabola di fare le altre settioni ancora in similis<lb></lb>sima maniera), esso pure (come parimenti ha fatto il detto Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Rocca) <lb></lb>ne ha apportato la dimostratione, assai differente dalla mia. </foreign></s> <s><foreign lang="it">In somma <lb></lb>tra noi passa conferenza tale, quale ambidue potiamo desiderare per <lb></lb>goderci di quei gusti che son havuti da pochi . . . . . . . . . . </foreign></s> </p> <pb pagenum="60"></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>15<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> GALILEO GALILEI a TORRICELLI in Roma.<lb></lb>[Arcetri] 27 settembre 1641.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Dalla PREFAZIONE [DI TOMMASO BUONAVENTURI] ALLE LEZIONI ACCADEMICHE DI E. TORRI<lb></lb>CELLI, ecc., in Firenze, nella stamperia di S. A. R. per Jacopo Guiducci e Santi <lb></lb>Franchi, 1715, pag. </foreign></s> <s>XII-XIII).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Dispiacemi in estremo la perdita della lettera, che mandava a V. S. <lb></lb>mentre che non vedendo ella mia risposta, si sarà formato concetto <lb></lb>di me del tutto contrario al vero, cioè che io meno del giusto, avessi <lb></lb>stimato per cosa di poco momento quello, che io sopra modo ammirai, <lb></lb>ed ammiro, cioè il maraviglioso concetto a V. S. sovvenuto, per dimo<lb></lb>strare con tanta facilità, e leggiadria quello, che Archimede con strade <lb></lb>tanto inospite, e travagliose investigò nelle sue Spirali, strada la quale <lb></lb>a me parve sempre tanto astrusa e recondita, che dove collo studio, <lb></lb>per avventura di cento anni, non mi sarei disperato del tutto di tro<lb></lb>vare l'altre conclusioni del medesimo Autore, di questa sola non mi <lb></lb>sarei promessa l'invenzione in mill'anni, ne in perpetuo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ora giudichi <lb></lb>V. S. quale mi sia riuscito il suo gentilissimo trovato. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Gli accennava <lb></lb>in detta mia lettera il gaudio, che ne sentiva, ma d'attribuirgli le me<lb></lb>ritate lodi non mi pareva, che uno, o due fogli ne fosser capaci, però <lb></lb>mi riserbava a pagar tale ufizio, e debito con V. S. in voce, stando sulle <lb></lb>speranze d'aver pure a goderla per qualche giorno, avanti che la mia <lb></lb>vita, omai vicina al fine, si terminasse. </foreign></s> <s>Dello adempirsi tal mio desi<lb></lb>derio me ne dette V. S. in una sua amorevolissima non lieve speranza, <lb></lb>ma ora non sento nell'ultima sua cenno di confermazione, anzi per <lb></lb>quel che intendo nell'altra sua scritta al Padre Reverendissimo Castelli, <lb></lb>ed a me mandata aperta, ritraggo pochissimo, o niente di vivo rima<lb></lb>nere in tal mia speranza. </s> <s><foreign lang="it">Non voglio nè debbo cercare di ritardare sì <lb></lb>buoni incontri, ed avvenimenti, che meritatamente doverebbono costì <lb></lb>succedere al valor suo, tanto sopra le comuni scienze elevato; ma <lb></lb>bene gli dirò con sincero affetto, che forse anco quà sarebbe ricono<lb></lb>sciuto il merito del suo ingegno peregrino, ed il mio basso tugurio <lb></lb>non gli riuscirebbe per avventura ospizio men comodo di qualcuno de <lb></lb>i molto sontuosi; perchè son sicuro, che l'affetto dell'Ospite non lo ritro<lb></lb>verebbe in altro luogo più fervente, che nel mio petto; e so bene, che <lb></lb>alla vera virtù piace questo sopra ogni altro comodo. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Gli scriveva anco la grande stima, che faceva, e fo degli altri suoi <lb></lb>trovati, de' quali mi mandò le conclusioni, ma di tutto mi riserbava, <lb></lb>come ho detto, a trattarne seco a bocca, come anco di conferirli alcune <lb></lb>mie reliquie di pensieri mattematici, e fisici, per potere col suo aiuto <lb></lb>ripulirgli, sicchè meno imbrattati, potessero lasciarsi vedere coll'altre <pb pagenum="61"></pb>mie coserelle. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Mando questa sotto una del Sig. Nardi dal quale ella <lb></lb>la riceverà, insieme colla dimostrazione di quello, che io supponeva <lb></lb>nell'ultimo mio Dialogo, come principio conceduto; vedanla insieme, <lb></lb>e l'emendino, comunicandola anco al terzo mio riverito Padrone il <lb></lb>Sig. Magiotti, ed a tutto il triumvirato con riverente affetto bacio <lb></lb>le mani. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>16<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> TORRICELLI a [GALILEO GALILEI in Arcetri].<lb></lb>Roma, 28 settembre 1641.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, P. I, T. XII, c. 220-221 — Autografa).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Molt'Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> et Ecc.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> e P.ron Col.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Per quest'ordinario aspettavo lettere dal P. Abbate da <lb></lb>Fiorenza, dove spero sia giunto infallibilmente, ma tutto <lb></lb>indarno; anzi havendo io cercato da gl'amici suoi e da i <lb></lb>servitori, non è stato possibile che io ne trovi un semplice <lb></lb>avviso. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Io gli scrivo costà; quando egli ci sia, supplico <lb></lb>V. S. Ecc.<emph type="sup"></emph>ma<emph.end type="sup"></emph.end> ad impetrarmene due righe di risposta, della <lb></lb>quale ho eccessivo desiderio, per non dire necessità. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Per <lb></lb>mezzo di un tanto intercessore ho havuto risposta dal <lb></lb>frate mio zio che sta a Prato Vecchio, della cui vita du<lb></lb>bitavo forte, essendo gl'anni che io non havevo potuto <lb></lb>farvi penetrar una lettera. </foreign></s> <s>Del tutto laudo Dio e ringratio <lb></lb>cordialissimamente V. S. Ecc.<emph type="sup"></emph>ma<emph.end type="sup"></emph.end>, dalla quale ricevo questa <lb></lb>consolazione. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Persisto più che mai nel proposito di voler essere a <lb></lb>servirla, ma la supplico, come feci con le passate, a voler <lb></lb>condonare questa poca dilatione, che sarà di non molti <lb></lb>giorni, all'interesse che io le scrissi in confidenza. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Quanto <lb></lb>all'altro interesse di costà, io resterò sodisfatto della buona <lb></lb>gratia di V. S. Ecc.<emph type="sup"></emph>ma<emph.end type="sup"></emph.end>, anco quando manchi ogn'altra spe<lb></lb>ranza. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma qui in Roma mi trovo d'haver fatto sette mesi <lb></lb>non il lettore, ma il vetturino; e se non vado con somma <lb></lb>prudenza, overo se non ritorna chi mi ci ha messo, io <pb pagenum="62"></pb>dubito d'haver gettato via ogni cosa. </foreign></s> <s>Sia ciò detto in con<lb></lb>fidenza a V. S. Ecc.<emph type="sup"></emph>ma<emph.end type="sup"></emph.end>, con la quale spero pure di dover <lb></lb>fare le belle essaggerationi e le belle sfogature in voce. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Il S.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Nardi partirà fra pochi giorni; però anderà prima <lb></lb>alla patria, e poi, riposato per qualche giorno, sarà in Fi<lb></lb>renze per starci un mese. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Io gli ho detto che se lui si <lb></lb>ferma niente a casa, mi trovarà costì. </foreign></s> <s>In tanto reverisco <lb></lb>con affetto devotissimo et ossequiosissimo V. S. Ecc.<emph type="sup"></emph>ma<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>Roma, 28 7mbre 1641.<lb></lb> Di V. S. molto Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> et Ecc.<emph type="sup"></emph>ma<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>Hu.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> et Obbl.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> S.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb> E. Torricelli</s></p> <p type="main"> <s>Rendo infinite gratie al S.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Viviani dell'honore che fa <lb></lb>al mio nome. </s><s>Ha voluto obbligarmi prima che conoscermi. </s><s><lb></lb>In tanto io riconosco che l'eccessiva gentilezza dell'ho<lb></lb>spite soprabbonda anco ne i suoi cohabitatori. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>17<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> BONAVENTURA CAVALIERI a [TORRICELLI <lb></lb>in Firenze].<lb></lb>Bologna, 30 ottobre 1641.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz., Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLI, c. 113-115 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>M.<emph type="sup"></emph>to<emph.end type="sup"></emph.end> Rev.<emph type="sup"></emph>do<emph.end type="sup"></emph.end> Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> mio Oss.mo </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Reputo grandissima la fortuna di V. S: M. Rev.da, poichè al grande <lb></lb>ingegno suo accoppia quello del Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Galileo stimato oggidì, con ra<lb></lb>gione, la fenice degl'ingegni. </foreign></s> <s>Oh che felice congiunzione da invidiarsi <lb></lb>da qualunque virtuoso, oh che gran conseguenze ne possono seguire, <lb></lb>che grand'utilità alle buone lettere per così maraviglioso innesto; ma <lb></lb>più non dirò per non parere essere a parte di questa invidia, sebbene non <lb></lb>la saprei nè anco in tutto negare. </s> <s><foreign lang="it">Per soddisfar poi al desiderio del <lb></lb>Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Antonio Nardi, gli dico, che la dimostrazione del fuso parabolico, <lb></lb>venutami dal quondam Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Beaugrand, che Iddio abbia in gloria, pro<lb></lb>cede per via degl'indivisibili, ma è diversa dalla mia et anco da <pb pagenum="63"></pb>quella del Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Gio: Anton Rocca Gentiluomo Reggiano, ed intenden<lb></lb>tissimo delle mattematiche. </foreign></s> <s>Detto Beaugrand poi, al quale molto piac<lb></lb>que questa maniera nuova degl'indivisibili avea pensiero di praticarla <lb></lb>in materia de' Centri gravità, poichè mi dimandava, se l'avevo usata <lb></lb>io, e me ne richiedeva qualche esempio. </s> <s><foreign lang="it">Onde se il Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Nardi vuole <lb></lb>stampare quello che dice per gl'indivisibili, avrà campo ancora, se <lb></lb>non l'ha fatto, di aggiungere quella de'centri quando ci abbia gusto. </foreign></s> <s><lb></lb>Potrà poi dire ancora al detto Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Nardi, che tengo anco la misura <lb></lb>del fuso Iperbolico, e de' segmenti, ma non la stimo molto, perchè non <lb></lb>è assoluta, ma suppone la quadratura dell'Iperbola, quale non so, se <lb></lb>alcuno ancora l'abbi ritrovato, e se lei lo sapesse, mi sarebbe molto <lb></lb>caro intenderlo. </s> <s><foreign lang="it">Bartolomeo Sovero nel Libro quinto de' curvi ac recti <lb></lb>promota proportione la promise, ma non so, se poi fosse pubblicata; <lb></lb>Io non ci ho fatto, se non pochissima considerazione supponendola per <lb></lb>difficilissima, poichè vedo, che è restata intatta appresso i primi Geo<lb></lb>metri, come dalle loro opere si vede, se forse non m'ingannassi per <lb></lb>avere io visto poca quantità de' loro Libri. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Resta, che ella mi onori <lb></lb>talvolta de' suoi comandi e di conservar fresca la servitù mia nella <lb></lb>memoria del nostro Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Galileo al cui affetto mi trovo obbligatissimo, <lb></lb>siccome sono altrettanto ammiratore del suo divino ingegno, e con tal <lb></lb>fine le bacio affettuosamente le mani con riverire insieme il detto <lb></lb>Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Galilei, ed il Padre Castelli se pure ancor costì si ritrova. </foreign></s> <s><lb></lb>Di Bologna alli 30 ottobre 1641.<lb></lb> Di V. S: M.<emph type="sup"></emph>to<emph.end type="sup"></emph.end> Rev.<emph type="sup"></emph>da<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>Dev.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Servit.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb> F. Bonaventura Cavalieri</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>18<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> FULGENZIO MICANZIO a GALILEO in Firenze.<lb></lb>Venezia, 2 novembre 1641.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz., Fir., Mss. </s><s>Galileiani, P. VI, T. XIII, c. 293 — Autografa la flrma).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Molt'Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> et Ecc.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end>, Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Col.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Non posso tacere un puoco di mia invidia alli colloquii che devono <lb></lb>passare nel triumvirato, che stimo più dell'antico romano, di V. S. <lb></lb>molt'Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> et Ecc.<emph type="sup"></emph>ma<emph.end type="sup"></emph.end>, del Padre Castelli, et di quel spirito così ele<lb></lb>vato di cui ella mi scrive in modo che mi fa penar nel desiderio <pb pagenum="64"></pb>di conoscerlo. </foreign></s> <s>E dove s'incontrarebbono mai tre personaggi tali? </s> <s><foreign lang="it">Dio <lb></lb>fa gl'huomini, dice il proverbio, et essi si accompagnano. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Godano, chè <lb></lb>è delle felicità maggiori che s'incontrino in questa vita; et mi do ben <lb></lb>a credere che il Padre Castelli non stia su le frasi di Corte, ma che <lb></lb>dia nel genio suo, cioè nel filosofo e nel galanthuomo. . . . . . . </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>19<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> BENEDETTO CASTELLI a TORRICELLI <lb></lb>in Firenze.<lb></lb>Roma, 9 novembre 1641.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz., Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XXXVI, c. 55 — Autografa).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>M.<emph type="sup"></emph>to<emph.end type="sup"></emph.end> Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> e P.ron Col.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Ho consegnata la lettera di V. S. molto Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> al Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Francesco, e <lb></lb>credo che per questo ord.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> sodisfarà al desiderio di V. S. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Son restato trafitto dalla nova che V. S. mi dà della indisposizione <lb></lb>del nostro Vecchio, se bene, poi il giudicio che ne fa l'Ecc.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Ma<lb></lb>giotti mi consola, ed a quest'hora penso che le cose siino in sicuro, <lb></lb>per quello che comporta la grave età sua e la comune fragilità <lb></lb>nostra, dalla quale dobbiamo ogni momento aspettare ogni strano ed <lb></lb>inopinato accidente. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Io stò bene, Dio grazia, e poco mi curo di una discesa in una ga<lb></lb>nassa, che mi tormenta tutti i denti. </s><s>Nel resto ho cominciate le lezzioni <lb></lb>al solito, ma senza allegrezza. </s> <s><foreign lang="it">Ancora non ho potuto trattare col Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>Conte di Castel Villano, non mancarò però a suo luogo e tempo fare <lb></lb>l'obbligo mio. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Attenda con ogni puntualità a servire, e consolare il buon Vecchio, <lb></lb>chè ne haverà merito appresso Dio, ed appresso gli huomini. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Saluti <lb></lb>caram.<emph type="sup"></emph>te<emph.end type="sup"></emph.end> il Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Vincenzo e mi continovi il suo amore e li bacio le <lb></lb>mani. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Roma, il 9 di 9bre 1641.<lb></lb> Di V. S. molto Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb> Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Torricelli<lb></lb> Devotiss.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> Ser.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> di cuore<lb></lb> Don Bened.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> Castelli</foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="italics"></emph>Fuori:<emph.end type="italics"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Firenze </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">In casa del Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Galileo Galilei </foreign></s> </p> <pb pagenum="65"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>20<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> BONAVENTURA CAVALIERI a [TORRICELLI <lb></lb>in Firenze].<lb></lb>Bologna, 17 dicembre 1641.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLI, c. 116-117 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Molto Rev.<emph type="sup"></emph>do<emph.end type="sup"></emph.end> Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> mio Oss.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Mi giunse la lettera di V. S: M. Rev.<emph type="sup"></emph>da<emph.end type="sup"></emph.end> in tempo, che io stavo nel <lb></lb>letto con la febbre, e gotta, che mi levorno il poter godere allora le <lb></lb>sue bellissime specolazioni, e sebbene non sono anco ben riavuto, ho <lb></lb>però goduto al dispetto del male de' saporitissimi frutti del suo inge<lb></lb>gno, essendomi riuscito infinitamente ammirabile quel solido iperbo<lb></lb>lico infinitamente lungo, ed uguale ad un corpo quanto a tutte e tre <lb></lb>le dimensioni finito, ed avendolo io comunicato ad alcuni miei scolari <lb></lb>filosofi, hanno confessato parergli veramente maraviglioso, e strava<lb></lb>gante, che ciò possa essere, onde se la dimostrazione almeno del caso <lb></lb>quando gli asintoti fanno angolo retto potesse esser capita da loro, <lb></lb>che hanno pur visto i sei primi Libri d'Euclide, mi saria caro poterle <lb></lb>dare in questa parte sodisfazione oltre il gusto, che ne averei anch'io. </foreign></s> <s><lb></lb>Però non intendo incomodarla. </s> <s><foreign lang="it">In somma io dissi al Rev.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> P.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> D <lb></lb>Benedetto quando passò di quà, che poteva ormai lasciare da <lb></lb>banda F. Bonaventura, e solo celebrare l'unico valore del Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Torri<lb></lb>celli, e ben vado continuamente conoscendo d'aver detto il vero a tanti <lb></lb>contrassegni, che ella mi da del suo valore. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Restò poi amareggiato <lb></lb>il gusto delle sue belle speculazioni con la trista nuova dell'infirmità <lb></lb>del Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Galileo, tanto più mettendo ella dubbio della vita di sì <lb></lb>grand'uomo, che saria veramente una perdita incomparabile alla Re<lb></lb>pubblica de' Letterati. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Mi son però alquanto rallegrato, quando non <lb></lb>ho visto altra sua lettera, avendo supposto, che pur viva, e si sia <lb></lb>riavuto dal male. </foreign></s> <s>Io poi mi confesso così vivamente affezionato al <lb></lb>gran merito, e valore, et alla benevolenza mostratami sempre da esso <lb></lb>in ogni occasione, che ne porterò eterni caratteri di obbligazione im<lb></lb>pressi nell'animo, quantunque non possi con effetti mostrarli quella <lb></lb>gratitudine che io vorrei. </s> <s><foreign lang="it">Per tanto non potendo per ora altro fare, desi<lb></lb>dero, che ella a nome mio gli annunzi sanità e felicità in particolare <lb></lb>in queste SS.<emph type="sup"></emph>me<emph.end type="sup"></emph.end>. Feste di Natale, come ancora a lei le desidero piene <pb pagenum="66"></pb>di ogni contento, e la pregherò ad onorarmi di qualche avviso dello <lb></lb>stato del nostro Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Galileo, al quale faccio riverenza, et a V. S. bacio <lb></lb>affettuosamente le mani. </foreign></s> <s><lb></lb>Di Bologna 17 dicembre 1641.<lb></lb> Aff.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> et Obb.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Servit.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb> F. Bonaventura Cavalieri</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>21<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> BONAVENTURA CAVALIERI a [TORRICELLI <lb></lb>in Firenze].<lb></lb>Bologna, 7 gennaio 1642.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLI, c. 118-119. — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>M.<emph type="sup"></emph>to<emph.end type="sup"></emph.end> Rev.<emph type="sup"></emph>do<emph.end type="sup"></emph.end> Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> mio Oss.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ricevei la sua gratissima in tempo, che io non potei vedere le sue <lb></lb>dimostrazioni per ritrovarmi ricaduto in nuova podagra, che mi ha <lb></lb>con la febbre impedito dal poterle gustare. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Sono in questo stato <lb></lb>ridotto a questo secondo ordinario, oltre il quale non mi è parso il <lb></lb>dovere differire di mandargli il foglietto, che ora gli mando. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Però <lb></lb>avendole ora scorse alla sfuggita le dico, che mi son parse cose rego<lb></lb>latissime, e degne del suo ingegno, nè io ci metto, quanto alla verità <lb></lb>punto di dubbio, sì perchè concordano con Archimede quelle del fo<lb></lb>glietto, sì anco perchè il modo mi pare buonissimo, anzi mi pare, se <lb></lb>male non mi ricordo, (poichè non ho il libro alle mani) che anch'io <lb></lb>mi sia servito di questi indivisibili curvi però non estendendomi oltre <lb></lb>i cerchi comparati alle parabole; solo parmi, che alcuno potesse desi<lb></lb>derare una proposizione generale, che dimostrasse l'eggualità di due <lb></lb>figure piane, e solide, quando i loro indivisibili curvi, e diversi sono <lb></lb>eguali; e forsi se io non m'inganno saria simile a quella, che metto <lb></lb>io nel secondo Libro della Geometria sul principio, però in questo mi <lb></lb>rimetto alla sua sottigliezza: Così la ringrazio della dimostrazione del <lb></lb>solido acuto iperbolico veramente divina; e non so come abbi pescato <lb></lb>nell'infinita profondità di quel solido così facilmente la sua dimen<lb></lb>sione, poichè veramente a me pare infinitamente lungo, parendomi <lb></lb>infinitamente lungo lo spazio piano, che lo genera, et ogni parte di <lb></lb>esso generando parte di solido. </foreign></s> <s>Sebbene non ci ho pensato molto, e <lb></lb>potrei anco ingannarmi. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ora la ringrazio di questo favore e termino lo scrivere, perchè più <lb></lb>non posso per ora desideroso d'intender buone nuove del nostro <pb pagenum="67"></pb>Sig. Galileo, quale riverirà in nome mio, et io, non mi scorderò di lei <lb></lb>con il P.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> Don Benedetto, che senza far bugia, so quanto abbi da dire, <lb></lb>e con questo scusando la mia impotenza finisco baciandole affettuosa<lb></lb>mente le mani. <lb></lb> Di V. S: m. </foreign></s> <s>Rev.<emph type="sup"></emph>da<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>Di Bologna li 7 gennaio 1642.<lb></lb> F. Bonaventura Cavalieri</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>22<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> TORRICELLI a [. . . . . . . . . . . . . . .].<lb></lb>Firenze, 3 febbraio 1642.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XXVI, c. 6-7 — Autografa).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Molto Rev.<emph type="sup"></emph>do<emph.end type="sup"></emph.end> P. e S. mio Pron.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> Col.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Se il P. Francesco non si è dimenticato affatto della <lb></lb>mia inutilissma servitù, è bene un effetto della sua incom<lb></lb>parabile gentilezza. </foreign></s> <s><foreign lang="it">L'istesso posso dire anco del virtuo<lb></lb>siss.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Sig. Dottor Ruschi, la casa del quale, mercè della <lb></lb>sua persona, da me fu praticata come la Regia della Sa<lb></lb>pienza, e della Virtù. È vero che io non sono buono a <lb></lb>nulla, mà quando bene fusse altrimenti è verissimo che la <lb></lb>nullità de i comandamenti de miei amatissimi padroni <lb></lb>P. Francesco e Dottor Ruschi, cooperano per farmi restar <lb></lb>sempre invisibile nelle latebre della mia ritiratezza. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Mà <lb></lb>comunque si sia, V. P. si compiacerà di ricevere una coppia <lb></lb>di Teoremi Geometrici nuovi, preconizzati dal miracoloso <lb></lb>fr. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Bonaventura se bene uno di essi <lb></lb> <arrow.to.target n="fig506"></arrow.to.target><lb></lb>l'hà disgustato per essere d'un suo <lb></lb>emolo che gli hà stampato un libro <lb></lb>contro. </foreign></s> </p> <figure id="fig506"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Se sarà una porzione di sfera, o <lb></lb>di sferoide ABC, o maggiore, o mi<lb></lb>nore, o hemisferio, o hemisferoide <lb></lb>ch'ella si sia; overo conoide para<lb></lb>bolico, overo hyperbolico; il cui asse BD, et cono inscritto <pb pagenum="68"></pb>ABC. Si cerca la proporzione del solido al cono inscritto. </foreign></s> <s><lb></lb>Già si sà che i libbri d'Archimede e di fr. </s> <s><foreign lang="it">Bonaventura <lb></lb>ne sono pieni, ma hora con una sola dimostraz.<emph type="sup"></emph>ne<emph.end type="sup"></emph.end> si prova <lb></lb>che il solido predetto, al cono inscritto ha la medesima <lb></lb>proporzione che il quadrato EF col quad.<emph type="sup"></emph>to<emph.end type="sup"></emph.end> EG al doppio <lb></lb>del quad.<emph type="sup"></emph>to<emph.end type="sup"></emph.end> EG: (supponendo EF applicata al mezzo del<lb></lb>l'asse BD). </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Di più se si farà come il quad.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> EF al quad.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> EG: così <lb></lb>la retta DO alla OE, il punto O sarà centro della gravità <lb></lb>del detto solido; il che è compendio di quasi tutto Luca <lb></lb>Valerio. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Quella poi dell'emolo di fr. </s><s>Bonaventura, che è un tal <lb></lb>P. Guldini Gesuita, è la massima conclusione di tutte <lb></lb>quante quelle che io habbia mai sentito fino a questo <lb></lb>giorno et è tale. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Se qualsivoglia figura piana ABC <lb></lb> <arrow.to.target n="fig507"></arrow.to.target><lb></lb>sarà girata intorno a qualsivoglia asse <lb></lb>AC (o sia l'asse congiunto con la fig.<emph type="sup"></emph>ra<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>si ò nò) il solido rotondo descritto dalla <lb></lb>figura, sarà eguale ad un solido la cui <lb></lb>base sia ABC fig.<emph type="sup"></emph>ra<emph.end type="sup"></emph.end> genitrice, mà l'al<lb></lb>tezza poi sia eguale alla periferia che <lb></lb>nel girare sarà stata descritta dal cen<lb></lb>tro di gravità della fig.<emph type="sup"></emph>ra<emph.end type="sup"></emph.end> genitrice. </foreign></s> </p> <figure id="fig507"></figure> <p type="main"> <s>Di più. </s> <s><foreign lang="it">La superficie curva di quel solido rotondo an<lb></lb>cor che irregolarissima, sarà sempre eguale ad un paral<lb></lb>lelogrammo rettangolo, un lato del quale sia eguale alla <lb></lb>linea genitrice ABC, e l'altro sia eguale alla periferia de<lb></lb>scritta parimente dal centro della gravità di essa linea <lb></lb>genitrice nel girare. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Un Teorema poi così grande (che è <lb></lb>verissimo) il buon P.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> non lo sà dimostrare; solo va pro<lb></lb>vando che concorda con le dottrine d'Archimede, e del <lb></lb>XII.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> d'Euclide; ma fra Bonaventura ne ha la dimo<lb></lb>strazione facilissima per via degli indivisibili. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Se mi in<lb></lb>contrerò col S.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Paolino gli ne farò parte, presupponendo <lb></lb>d'incontrar il gusto d'un ingegno vivacissimo come il <lb></lb>suo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ho per le mani due allievi di V. P. il S. Simone e <lb></lb>S. Filippo Paganucci, spiriti che fanno honore alla disci<lb></lb>plina di V. P. e volenterosi di maniera che non mi lasciano <pb pagenum="69"></pb>ne mattina ne sera, ancor che siano giorni feriati e di va<lb></lb>canze. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma io m'accorgo di havere con loquacità troppo <lb></lb>importuna trapassati i termini delle lettere, et i confini <lb></lb>della civiltà, però la supplico a perdonarmi, et humilm.<emph type="sup"></emph>te<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>la rev.<emph type="sup"></emph>co<emph.end type="sup"></emph.end> Fir.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> 3 feb.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> 1642. <lb></lb> Di V. P. M.<emph type="sup"></emph>to<emph.end type="sup"></emph.end> Rev.<emph type="sup"></emph>da<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>Dev.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> et Obblig.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Servo<lb></lb> Evangelista Torricelli</foreign></s> </p> <p type="main"> <s>La supp.<emph type="sup"></emph>co<emph.end type="sup"></emph.end> d'un bacia mano al <lb></lb>F. Bartolotti tanto mio P.<emph type="sup"></emph>rone<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>23<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> TORRICELLI a [. . . . . . . . . . . . . . .].<lb></lb>[Firenze, febbraio 1642].<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XXVI. c. 187-<emph type="italics"></emph>v<emph.end type="italics"></emph.end> — Minuta autografa).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Mi reputo non solo fortunato ma anco felice, mentre <lb></lb>contro ogni mio merito mi vedo promosso a godere la be<lb></lb>neficenza del S.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> G. D. et il patrocinio del S.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Principe <lb></lb>Leopoldo. </foreign></s> <s>Ho visto la lettera scritta da V. S. Ill. </s> <s><foreign lang="it">al S. An<lb></lb>drea Arrighetti, e confesso che le condizioni quali mi si <lb></lb>offeriscono in questa lettera eccedono non solo il merito <lb></lb>ma anco il desiderio. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Il titolo solo di servo beneficato da <lb></lb>cotesta Ser.<emph type="sup"></emph>ma<emph.end type="sup"></emph.end> Casa dovrebbe bastarmi per stipendio soprab<lb></lb>bondante per tutto il tempo della vita mia. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Rendo humil.<emph type="sup"></emph>me<emph.end type="sup"></emph.end> gratie alla generosità della V. S. Ill. </foreign></s> <s>che <lb></lb>con brighe si frequenti si è compiaciuta di cooperare al <lb></lb>mio collocamento. </s><s>Scriverò al Ser.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> S. Principe Leopoldo <lb></lb>subito che ella così mi consigli, overo sarò a sodisfare in <lb></lb>persona quando ne haverò un cenno. </s></p> <pb pagenum="70"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>24<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> TORRICELLI a [MICHELANGELO RICCI <lb></lb>in Roma].<lb></lb>Firenze, 7 marzo 1642.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XL, c. 100-101 — Copia di L. Serenai).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Già che V. S. studia Luca Valerio accogli una propo<lb></lb>sizione che ne abbraccia molte di Luca Valerio. </s> <s><foreign lang="it">Giudichi <lb></lb>V. S. chi la porti meglio o egli o io. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Se sarà un frusto di sfera ABCD ta<lb></lb> <arrow.to.target n="fig508"></arrow.to.target><lb></lb>gliato co'piani paralleli AD, BC, (o pas<lb></lb>sino per il centro sì o nò, ò l'intrapren<lb></lb>dino sì o nò) e sia l'asse del frusto EF <lb></lb>e sia centro di gravità O. Sarà la retta <lb></lb>EO alla retta OF, come il quadrato BC con due quadrati <lb></lb>EF e due quadrati AD ad un quadrato AD con due qua<lb></lb>drati FE e due quadrati BC etc. </foreign></s> </p> <figure id="fig508"></figure> <p type="main"> <s>Se V. S. la comunica al Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Raffaello sò certo che <lb></lb>l'havrà cara perchè su' libri non le troverà portate a <lb></lb>questo modo. </s></p> <p type="main"> <s>Se volesse anco dirgli questa potrà dirgliela. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Se sarà un settore di cerchio ABCD facciasi come <lb></lb>l'arco à tutta la corda AC, così l'asse BD alla DO, et il <lb></lb>punto O sarà centro di gravità dell'arco ABC. <lb></lb>Firenze 7 marzo 1642.</foreign></s> </p> <pb pagenum="71"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>25<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> BONAVENTURA CAVALIERI a [TORRICELLI <lb></lb>in Firenze].<lb></lb>Bologna, 25 marzo 1642.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLI, c. 120-121 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Molto Rev.<emph type="sup"></emph>do<emph.end type="sup"></emph.end> Sig. mio Oss.mo </s></p> <p type="main"> <s>Non poteva arrivarmi la miglior nuova di quella, che mi ha dato <lb></lb>in due lettere di esser stato trattenuto da codesta Seren.<emph type="sup"></emph>ma<emph.end type="sup"></emph.end> A. per <lb></lb>Lettore di Mattematica nell'Accademia Fiorentina con provvisione di <lb></lb>200 piastre. </s> <s><foreign lang="it">Me ne può esser testimonio il Rev.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> P.re Abbate Castelli, <lb></lb>al quale non mancai di raccomandare V. S. innanzi che morisse il <lb></lb>nostro Sig. Galileo, parendomi, che fosse gran male, che un soggetto <lb></lb>tanto inoltrato nelle mattematiche stesse come gemma nascosta, e <lb></lb>non fosse adoperato a benefizio pubblico. </foreign></s> <s>Nè ho potuto persuadermi <lb></lb>in contrario, considerando la generosità di codesto Seren.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Padrone, <lb></lb>e lo spirito non ordinario di Principe in favorire i letterati. </s> <s><foreign lang="it">Io me ne <lb></lb>rallegro dunque, perchè spero dalla felicità del suo ingegno congiunta <lb></lb>con l'occasione gran cose. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Io ne sarò sempre ammiratore; e come che <lb></lb>io sia ridotto in un pessimo stato di sanità, che m'impedisce oltre la <lb></lb>mia natural debolezza, dal poter far cosa di momento, goderò, che <lb></lb>ella vada segnalandosi con le sue gloriose fatiche, e che ella si mostri <lb></lb>ben degno seguace delle pedate di un Galileo maraviglia degl'ingegni <lb></lb>dei nostri tempi. </foreign></s> <s><foreign lang="it">E poichè mi è mancato in cotesto luogo un amico, <lb></lb>padrone e maestro d'incomparabil valore, et affetto, mi consolerò fa<lb></lb>cendo conto, che dalle ceneri di questa unica fenice [sia] risorto un <lb></lb>augello poco da quello dissomigliante. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Se ella dunque continuerà con la conferenza di darmi segno di <lb></lb>gradire il mio affetto, e la stima che io fo del suo ingegno, riceverò <lb></lb>grandissimo ristoro della passata perdita. </foreign></s> <s>Aspetterò di udire volentieri <lb></lb>qual esito avrà avuto l'incominciata disputa delle acque, e che ella <lb></lb>si sia accomodata in Firenze conforme a quanto mi ha scritto. </s> <s><foreign lang="it">E frat<lb></lb>tanto gli pregherò dal Cielo quei favori, che la possono maggiormente <lb></lb>incamminare ad una fama gloriosa. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Con che gli bacio affettuosamente <lb></lb>le mani. </foreign></s> <s><lb></lb>Di Bologna alli 25 marzo 1642.<lb></lb> Di V. S: M.<emph type="sup"></emph>to<emph.end type="sup"></emph.end> Rev.da<lb></lb> F. Bonaventura Cavalieri</s></p> <pb pagenum="72"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>26<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> BONAVENTURA CAVALIERI a [TORRICELLI <lb></lb>in Firenze].<lb></lb>Bologna, 1 luglio 1642.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLI, c. 122 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Molto Rev.<emph type="sup"></emph>do<emph.end type="sup"></emph.end> Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> mio Oss.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Sono molti e molti giorni, che io non ho sentito nuova di V. S. <lb></lb>m. </s><s>Rev.da. </s><s>Non so, se ella ricevesse una mia in Pisa, che era in rispo<lb></lb>sta a due sue da me ricevute. </s><s>Ora curioso d'intendere dell'esser suo <lb></lb>vengo con questa di nuovo a salutarla desioso di sapere, se ha dato <lb></lb>principio alla lettura di Mattematica costì, come mi persuado, che <lb></lb>avrà di già fatto con molta sua lode. </s> <s><foreign lang="it">E di più desidero sapere, se <lb></lb>mai il Sig. Anton Nardi stampasse quel suo Libro, del quale ella mi <lb></lb>scrisse. </foreign></s> <s>Non mi estenderò più in lungo sì per essere io poco sano, sì <lb></lb>anco perchè scrivo dubbioso, se ella si trovi, o no in Firenze; perciò <lb></lb>ricevendo risposta mi estenderò poi più in lungo in altra mia, e con <lb></lb>questo faccio fine, e di tutto cuore la riverisco & <lb></lb> Di V. S. M. R.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>Bologna p.mo luglio 1642.<lb></lb> Aff.mo Servitore<lb></lb> F. Bonaventura Cavalieri</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>27<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> BONAVENTURA CAVALIERI a [TORRICELLI <lb></lb>in Firenze].<lb></lb>Bologna, 14 luglio 1642.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLI, c. 123-128 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>M.<emph type="sup"></emph>to<emph.end type="sup"></emph.end> Rev.<emph type="sup"></emph>do<emph.end type="sup"></emph.end> Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end>, e Pron. </s><s>Col.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ho visto con meraviglia grande le due gioie, che mi manda di <lb></lb>Geometria, e veramente confesso di non aver mai fatto tal passaggio <lb></lb>nella dottrina degl'indivisibili, applicandole ai numeri come mi accenna <lb></lb>nella prima cosa, o nel lemma da lei dimostrato, quale comprendo <pb pagenum="73"></pb>esser verissimo; poichè essendo le grandezze, o numeri continuamente <lb></lb>proporzionali, anco le differenze so essere proporzionali nella propor<lb></lb>zione di quelli, e come la differenza tra il primo termine, e il secondo <lb></lb>al detto primo termine, così essere ciascuna differenza all'antecedente, <lb></lb>e però come uno a uno, così tutti a tutti, cioè come la detta prima <lb></lb>differenza al primo termine, così l'aggregato <lb></lb>intendo essere all'aggregato di <lb></lb>ordinatamente applicata BD e giungasi AD che si divida egualmente <lb></lb>in F, e per F, si tiri la EFG parallela ad AC e poi si giunghino AE, <lb></lb>ED. Essendo adunque BC a CG, come GF ad FE (quale credo sia un <lb></lb>lemma d'Archimede, se non m'inganno, poichè io non l'ho di presente, <lb></lb>o come si può facilmente provare per la 20.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> del primo de' Conici, o <lb></lb>per dir meglio, come la proverei io, non mi sovvenendo per ora strada <lb></lb>più breve) e BC doppia di CG sarà anco GF doppia di FE; adunque <lb></lb>il triangolo GFD sarà doppio di FED, et CFD doppio di AED, et ACD <lb></lb>quadruplo di AED. Così iscrivendo successivamente nelle rimanenti <lb></lb>porzioni AE, ED li suoi triangoli, proverei di quelli esser quadruplo il <lb></lb>triangolo AED &. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Onde per il lemma, come la differenza tra il <lb></lb>triangolo ACD, ed AED, ad esso triangolo ACD cioè come 3 a 4, <lb></lb>così sarà ACD all'aggregato de' triangoli cioè alla semiparabola <lb></lb>ACD. Cosa veramente che mi è parsa singolarissima, e mi è pia<lb></lb>ciuta in estremo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ho voluto dirli questo poco, che mi è sovvenuto, <lb></lb>acciò ella vegga, se ho preso la buona strada per avere evi<lb></lb>denza della sua quadratura della parabola, e se m'incontro con lei. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>L'altra cosa pure mi è parsa bellissima ancora, ma per ritrovarmi io <lb></lb>ora aggravato di podagra, non mi sono internato più oltre, solo dirò, <lb></lb>che stimo tal vite esser forsi eguale al solido, che faria il triangolo <lb></lb>ACB, se non avesse altro moto, che quello del paralleogrammo FE, <lb></lb>però se io m'inganno, la prego a sgannarmi. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Per tanto faccio fine <lb></lb>con rallegrarmi seco del glorioso titolo di Mattematico di un tanto <lb></lb>Principe, e del succedere al gran Galileo, all'altezza del cui merito non <lb></lb>potea già altri giungere, che il Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Torricelli. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Mi compatisca nell'in<lb></lb>composto mio scrivere, e mi favorisca di darmi qualche volta nuova <lb></lb>della sua persona, che mi sarà sempre gratissimo. </foreign></s> <s><lb></lb>Di Bologna 14 luglio 1642.</s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Il P.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> Priore di S. Giovannino tiene alcune copie delle mie Geo<lb></lb>metrie. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Se gli venisse occasione di qualche spaccio la prego a voler<lb></lb>mene favorire. <lb></lb> Dev.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Servitore<lb></lb> F. Bonaventura Cavalieri</foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Dopo scritto ho ricevuto l'altra sua gratissima, nella quale ella mi <lb></lb>onora di darmi avviso de' suoi gloriosi progressi, de' quali me ne ral<lb></lb>legro infinitamente, e spero, che questa occasione sia per promoverla <lb></lb>all'invenzione di cose inaudite. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Mi ha tutto rallegrato il sentir mento<lb></lb>vare il Sig. Vincenzio Viviani amico mio carissimo, restando io stu- <pb pagenum="74"></pb>pito, poichè dove io credevo, che se ne stesse a Pisa a godersi una <lb></lb>vita tranquilla, e riposata lontana dalle fatiche delli studi (poichè l'età, <lb></lb>che deve avere me lo persuadeva) vedo, che egli più che mai lavora, <lb></lb>e si affatica con l'ingegno avido di pasteggiare anch'egli con le vi<lb></lb>vande preziose, che compariscono nella mensa geometrica. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Mi sarà <lb></lb>favore, che gli accenni il gusto, che ne sento, e che gli ricordi la mia <lb></lb>antica <lb></lb>Accademici della Crusca hanno fatto un grande <lb></lb>acquisto con l'aggregazione di V. S. che gli porterà fior di roba. </foreign></s> <s>Sento, <lb></lb>che vogliono cose piuttosto fisiche, che mattematiche, e forsi con ra<lb></lb>gione, poichè quelle assomiglierei io piuttosto alla Crusca, e queste al <lb></lb>fior di farina vero cibo, e nutrimento dell'intelletto. </s> <s><foreign lang="it">Nondimeno conviene <lb></lb>accomodarsi al loro genio, anzi al genio universale che non istima punto <lb></lb>le mattematiche, se non ne vede qualche applicazione alla materia, non <lb></lb>picciola infelicità veramente di queste nobilissime scienze, e forse <lb></lb>non picciola causa del poco numero de' loro seguaci, come in <lb></lb>tutti i tempi ho sentito deplorare da' più eccellenti mattematici nelle <lb></lb>opere loro. </foreign></s> <s>Onde conviene esser fornito di due sorti di roba per sod<lb></lb>disfare a tutti i gusti. </s> <s><foreign lang="it">Anzi per soddisfare al pubblico, che argomenta <lb></lb>il valore de' Dottori, e delle dottrine dal numero de' seguaci, bisogna <lb></lb>provvedersi di quella, che è più di spaccio, e per servirlo bene ingan<lb></lb>narlo, o direi assassinare gl'ingegni poichè il pubblico vuole esser <lb></lb>trattato così, per esser servito bene. </foreign></s> <s>Vi è chi ha un'aura tanto grande <lb></lb>per mezzo dell'astrologia giudiciaria, che maggiore non la potrebbe <lb></lb>avere, se rinnovasse tutte le altre mattematiche da capo a piedi, <lb></lb>e vi trovasse meraviglie maggiori di quelle d'Archimede. </s><s>E che <lb></lb>s'ha dunque, da fare? </s><s>Se questi per più breve strada giungono all'i<lb></lb>stessa meta di gloriosa fama, alla quale arrivano i poveri mattematici, <lb></lb>et massimi in Geometria dopo infiniti et infiniti, et infiniti sudori. </s> <s><foreign lang="it">Ma <lb></lb>poichè la condizione delle cose umane porta così, conviene aver pa<lb></lb>zienza, ed accomodarsi all'universale per il fine estrinseco, conservando <lb></lb>però il buono per il proprio fine di saper qualche cosa, e per quegli, <lb></lb>che amano più di sapere, che di parere. </foreign></s> <s>Ma troppo mi son lasciato <lb></lb>trasportare dall'affetto verso queste nobilissime dottrine, e troppo ho <lb></lb>detto a Lei, che meglio di me lo sa. </s> <s><foreign lang="it">Mi resta ringraziarla dell'ono<lb></lb>rata commemorazione fatta della persona mia col Seren.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Principe <lb></lb>Leopoldo ricevendo io ciò più dall'affetto suo, che dal merito mio, che <lb></lb>del certo non v'è. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ricordogli di nuovo, che capitandole chi volesse alcuna <lb></lb>delle mie geometrie, potrà far capo dal nostro Padre Priore a S. Gio<lb></lb>vannino alla Porta S. Pier Gattolini, il quale ne deve avere circa 12 <lb></lb>copie. </foreign></s> <s><foreign lang="it">E perciò se gli viene l'occasione la prego a favorirmene. </foreign></s> <s><foreign lang="it">E con <lb></lb>questo gli bacio affettuosamente le mani. </foreign></s> </p> <pb pagenum="75"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>28<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> RAFFAELLO MAGIOTTI a [TORRICELLI <lb></lb>in Firenze].<lb></lb>Roma, 19 luglio 1642.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLI, c. 71-78 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>M.<emph type="sup"></emph>to<emph.end type="sup"></emph.end> Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> e Pron mio Oss.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">La lettera di V. S: delli 28 di giugno mi è stata resa alli 19 di <lb></lb>luglio, et io tornai l'antivigilia del Corpus Domini, talchè mi è stata <lb></lb>rattenuta almeno tre altri ordinari, ne' quali non ho mancato di fare le <lb></lb>diligenze a tutte le Poste. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Or sia come si vuole, mi metterò a rispon<lb></lb>dere cominciando dall'ultimo, e dicendo, che il Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Michelangelo <lb></lb>è tutto di V. S: secondo che quel faldone è morto, come muorano <lb></lb>i cigni, cantando, volsi dir cacando, e stando sopra la seggetta per <lb></lb>rendere una medicina ordinata allo speziale di proprio capriccio. </foreign></s> <s>Con<lb></lb>sideri per grazia quello, che averebbe ordinato per me. </s> <s><foreign lang="it">Lodo, che il <lb></lb>Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Principe frequenti l'Accademia, ma però stimo a sacrilegio, che <lb></lb>V. S: abbia a perdere il tempo intorno alle parole, potendo con molto <lb></lb>magior benefizio e privato e pubblico spenderlo intorno alle cose. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Porrò <lb></lb>le dimostrazioni chiestemi nel foglio secondo, et ho gusto, che ella ab<lb></lb>bia scolari dell'intelligenza accennatami, et in tal numero qual non si <lb></lb>troverebbe in tutta Roma. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Sento grandissimo contento della ritiratezza <lb></lb>del Padre Francesco, certissimo, che egli si fermerà tutto in specola<lb></lb>zioni peregrine, e degne del suo lucido ingegno, e lascerà gracchiare <lb></lb>a questi suoi ser-faccende, che in fine non sanno far altro, che sviare <lb></lb>i meglio soggetti della Religione, per essere loro i rabbini, e satrapi, <lb></lb>tra gl'ignorantelli. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma qui sarà meglio far pausa per non mostrarmi <lb></lb>un cantore più sconcertato del Culiseo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ben mi rincresce che se egli se <lb></lb>ne sta tanto ritirato fra di voi correranno poche conferenze di studi, <lb></lb>alle quali mi parrebbe trovarmi di presenza, sebbene lontanissimo, <lb></lb>tanto è il gusto che io sento delli abboccamenti, che si fanno da sug<lb></lb>getti tanto meritevoli. </foreign></s> <s>Io per me posso ormai dire addio speculazioni, <lb></lb>addio concetti geometrici, addio dimostrazioni. </s><s>Già son passate le <lb></lb>occasioni già passa l'età, e con quella ogni volontà di far cosa di <lb></lb>buono. </s> <s><foreign lang="it">In tutta la villeggiatura, che è durata ben quaranta giorni, io <lb></lb>non ho fatto altro, che scorrere le sezioni del Midorgio senza appli<lb></lb>care ad altro, passando il resto del tempo in giuochi, e ricreazioni. </foreign></s> <s>E <pb pagenum="76"></pb>quà mi accorgo, che V. S. va con le mani avanti per non cadere, volsi <lb></lb>dire, che ella fa certi premessi di non avere speculato, perchè io non <lb></lb>gli abbia a dimandare qualche sua bella invenzione, ma s'inganna, <lb></lb>se crede di scapparmi dalle mani, che io le voglio vedere, se io do<lb></lb>vessi ben venire apposta per rubargliene. </s> <s><foreign lang="it">In manco di mezz'ora averò <lb></lb>rifrustato quei suoi stanzini così caldi come sono, che non saranno <lb></lb>mai più caldi della mia camera. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Sarà dunque il meglio, che ella me <lb></lb>ne faccia buona parte acciocchè io non abbia a far del resto. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma <lb></lb>l'ultimo capo della sua lettera, che doveva essere il primo della mia, <lb></lb>mi era uscito di mente. </foreign></s> <s>Io ho scritto una lunga lettera al Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Antonio, <lb></lb>qual si trattiene in Arezzo, e spero quanto prima di aver risposta, <lb></lb>talchè allora darò conto di V. S: di quanto occorre. </s></p> <p type="main"> <s>Ho trovate le dimostrazioni chiestemi, e vedo certo non potere in <lb></lb>tutto stasera finire di scriverle, nè posso commetterle ad altri, che <lb></lb>sono difficilissime, e chi non bene le intende, non le può ben trascri<lb></lb>vere. </s> <s><foreign lang="it">Scriverò dunque quella del P.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> Bonaventnra con le stesse sue <lb></lb>parole, e lascerò ad un'altra volta quella del Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Anton Rocca da <lb></lb>Reggio, che è più lunga quattro volte con vari supposti di meccanica. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ho caro Ia congiuntura del Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Vincenzio Viviani, dal quale desi<lb></lb>dererei il modo del Sig. Galileo di tirare in prospettiva le superficie, <lb></lb>et i corpi per via di due corpi, che s'intersegano. </foreign></s> <s>Questa mi mostrò <lb></lb>il Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> Aggiunti, e so, che molti in Fiorenza l'usano, ma io non me <lb></lb>ne ricordo, et ho promesso ad un Cavaliere amico mio di farmela <lb></lb>venire. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Dico questo, acciò il Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Viviani non creda, che questo sia se<lb></lb>greto, e finalmente acciò V. S: la provveda per altra via. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="italics"></emph>Dimostrazione del P. F. Bonaventura, che il fuso parabolico <lb></lb>sia al suo cilindro come 8 a 15.<emph.end type="italics"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma I.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Data AC divisa bifariam in D, et non <lb></lb> <arrow.to.target n="fig509"></arrow.to.target><lb></lb>bifariam in B cubi AB, BC aequantur <lb></lb>duobus cubis ipsius AD, et sex ductis ipsius AB in quadratum BC. </s></p> <figure id="fig509"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma II.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Data AC utcumque secta in B, biquadratum ipsius AC aequatur <lb></lb>biquadratis AB, BC, et sex ductis quadrati AB in quadratum BC cum <lb></lb>quatuor ductis AB in cubum BC, et quatuor ductis CB in cubum BA. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma III.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Data AC secta bifariam in D, et non bifariam in B erunt biqua<lb></lb>drata AB, BC aequalia duobus biquadratis AD, et duobus biquadratis <lb></lb>DB, et 12 ductis quadrati AD in quadratum DB. </s></p> <pb pagenum="77"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma IV.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>His suppositis ostenditur in quocumque parallelogrammo, ut BD du<lb></lb>cta diametro AC, et sumpta regula DC, omnes cubos linearum omnium <lb></lb>parallelogrammi BD quadruplos esse <lb></lb> <arrow.to.target n="fig510"></arrow.to.target><lb></lb>omnium cuborum linearum omnium <lb></lb>trianguli ADC, et insuper omnes bi<lb></lb>quadratos BD esse quintuplos omnium <lb></lb>biquadratorum trianguli ADC. Et haec <lb></lb>ostenduntur ad imitationem proposi<lb></lb>tionis 24 Libri 2.<emph type="sup"></emph>i<emph.end type="sup"></emph.end> in qua probatur <lb></lb>omnia quadrata BD tripla esse om<lb></lb>nium quadratorum trianguli ADC. </s></p> <figure id="fig510"></figure> <p type="main"> <s>His vero praedemonstratis, si ea ponatur semiparabola AMC circa <lb></lb>diametrum AB, in quam ordinatim applicata CB, et regula CD, osten<lb></lb>detur praedictum theorema. </s><s>Ducatur quaecumque LG parallela CD, <lb></lb>secans AC in N, et AMC in M. Erit ergo (ut in corollario primae 4.<emph type="sup"></emph>i<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>novae Geometriae) CD ad MG, hoc est LG ad MG, ut quadratum DA <lb></lb>ad quadratum AG, hoc est, ut quadratum LG ad quadratum GN. Ergo <lb></lb>ut quadratum LG ad quadratum GM, ita erit biquadratum LG ad bi<lb></lb>quadratum GN (tum enim quadratum LG ad quadratum GM duplam <lb></lb>habet rationem ipsius LG ad GM, quam biquadratum LG ad biqua<lb></lb>dratum GN dupla maius, quam habet quadratum LG ad quadratum GN) <lb></lb>hoc autem de ceteris eadem ratione ostendetur. </s><s>Ergo omnia quadrata <lb></lb>BD ad omnia quadrata trilinei ANCD erunt ut omnia biquadrata BD <lb></lb>ad omnia biquadrata AMCD. Sed haec biquadrata sunt in ratione quin<lb></lb>tupla, ut probatum sopponitur, ergo omnia quadrata BD erunt quintupla <lb></lb>omnium quadratorum trilinei ANCD quod serva (<emph type="italics"></emph>sic<emph.end type="italics"></emph.end>). </s></p> <p type="main"> <s>Quum vero ut quadratum LG ad rectangulum LGM, ita sit LG ad <lb></lb>GM, et sic in caeteris, erunt omnia quadrata BD ad omnia rectangula <lb></lb> <arrow.to.target n="fig511"></arrow.to.target><lb></lb>sub BD, et trilineo AMCD, ut omnes lineae BD ad omnes lineas AMCD. <lb></lb>Sunt autem illae harum triplae (prima 4.<emph type="sup"></emph>i<emph.end type="sup"></emph.end> novae Geometriae) ergo omnia <lb></lb>quadrata BD erunt tripla omnium rectangulorum sub BD, et trilineo <lb></lb>AMCD. Scinduntur autem omnia rectangula sub BD, et trilineo AMCD <lb></lb>per 23. Lib. 2.<emph type="sup"></emph>i<emph.end type="sup"></emph.end> novae Geometriae in omnia rectangula sub semiparabola <lb></lb>ABC, et trilineo AMCD, et in omnia quadrata trilinei AMCD; ergo <lb></lb>omnia quadrata BD tripla sunt omnium rectangulorum sub ABC, AMCD, <lb></lb>et omnium quadratorum AMCD; ideoque sunt ad illa ut 15 ad 5, sed <lb></lb>eadem omnia quadrata BD sunt ad omnia quadrata AMDC ut 15 ad 3, <pb pagenum="78"></pb>ut ostensum est, ergo ad residuum, hoc est ad omnia rectangula sub <lb></lb>ABC, AMCD erunt ut 15 ad 2 et eadem bis sumpta ut 15 ad 4 sunt <lb></lb>autem ad omnia quadrata AMCD ut 15 ad 3; ergo ad praedicta rectan<lb></lb>gula bis sumpta una cum omnibus quadratis erunt ut 15 ad 7, ergo <lb></lb>per conversionem rationis omnia quadrata BD ad omnia quadrata <lb></lb>semiparabolae ABC erunt ut 15 ad 8. Solvantur enim omnia quadrata <lb></lb>BD per curvam AMC in omnia quadrata ABC omnia quadrata AMCD, et <lb></lb>omnia rectangula bis sub ABC, AMCD per 23 2.<emph type="sup"></emph>i<emph.end type="sup"></emph.end> novae Geometriae, <lb></lb>ergo omnes circuli ad omnes circulos, et subinde cylindrus genitus ex <lb></lb>BD ad solidum ex ABC erit ut 15 ad 8 quod &. </s> <s><foreign lang="it">Questa è la dimostra<lb></lb>zione prima dell'Autore del Teorema bellissimo, al quale s'è arrivato <lb></lb>per mezzo degl'infiniti; e per l'istessa strada ci arriva ancora il <lb></lb>Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Rocca, ma con molti più supposti, come dissi, e come ella vedrà <lb></lb>un'altro ordinario, giacchè l'ora è tarda, et io ho pieno il fuso para<lb></lb>bolico. </foreign></s> <s>Viva V. S: con ogni suo contento, e si ricordi degli amici, che <lb></lb>così non si scorderà di me. <lb></lb> Di V. S: m.to Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>Roma addì 19 luglio 1642.<lb></lb> Aff.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end>, et Obb.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Serv.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb> Raffaello Magiotti</s></p> <figure id="fig511"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>29<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> BONAVENTURA CAVALIERI a [TORRICELLI <lb></lb>in Firenze].<lb></lb>Bologna, 21 ottobre 1642.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir, Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLI, c. 129-130 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>M.<emph type="sup"></emph>to<emph.end type="sup"></emph.end> Rev.<emph type="sup"></emph>do<emph.end type="sup"></emph.end> Sig. mio e P.ron Col.mo </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ho ricevuto dal nostro Padre Priore di costì avviso, come ella mi <lb></lb>ha favorito di far dar via una copia della mia Geometria, onde la rin<lb></lb>grazio, e se gli viene occasione di altri, la prego a farle spacciare, <lb></lb>rimettendomi a Lei nel prezzo in tutto, e per tutto, e gli ho anco <lb></lb>ordinato, che se v'è il Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Viviani, gliene doni una copia. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Desidero <lb></lb>poi intendere, come se la vadi passando, sì della salute corporale, come <lb></lb>anco de' suoi studi, e progressi, stando insieme con molto desiderio <lb></lb>aspettando l'uscita in luce della sua opera del moto, quale so, che <lb></lb>gradirà alli studiosi al pari di quella del nostro Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Galileo per le <lb></lb>relazioni, che n'ebbi dal P.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> D. Benedetto, e per quel saggio, che ella <lb></lb>m'ha dato con l'altre sue sottilissime specolazioni. </foreign></s> <s>Io son continua<lb></lb>mente infermo, e però non posso oltre la mia solita tenuità, far cosa <pb pagenum="79"></pb>di momento. </s> <s><foreign lang="it">Credo fra due mesi sarà finito di stampare un mio opu<lb></lb>scolo di Trigonometria con la Tavola de' seni, tangenti e secanti, e <lb></lb>de' loro logaritmi insieme, nel quale ho ristretto la somma di essa <lb></lb>Trigonometria da esercitarsi tanto per la solita moltiplicazione, e di<lb></lb>visione per i seni &, quanto per la semplice addizione de' loro loga<lb></lb>ritmi. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ho condesceso a lasciarlo stampare dopo il direttorio, e l'altre <lb></lb>operette aggiunte (per le quali ciò parea superfluo) sì perchè il diret<lb></lb>torio venne così scorretto, che non si può leggere; sì anco, perchè <lb></lb>nelle altre operette non vi sono, se non le regole per i logaritmi. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Onde avendolo io già dettato così alli miei scolari, gli è parso bene <lb></lb>avere stampata in un piccol volume l'una e l'altra maniera di calco<lb></lb>lare. </foreign></s> <s><foreign lang="it">E questo gli dico per mia scusa, se per caso gli capitasse alle <lb></lb>mani, tanto più perchè non vi sarà cosa degna del suo ingegno. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Non <lb></lb>vi essendo le dimostrazioni, se non della Trigonometria piana, che <lb></lb>sono il vero cibo de' sublimi ingegni, e perchè stante la mia continua <lb></lb>infermità non posso partorire, se non cose imperfette, e di poca su<lb></lb>stanza. </foreign></s> <s><foreign lang="it">E con tal fine pregandole dal Signore ogni vero contento, li <lb></lb>bacio affettuosamente le mani. <lb></lb> Di V. S: M.<emph type="sup"></emph>to<emph.end type="sup"></emph.end> Rev.da<lb></lb>Di Bologna alli 21 ottobre 1642.<lb></lb> F. Bonaventura Cavalieri</foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>30<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> TORRICELLI a [BONAVENTURA CAVALIERI <lb></lb>in Bologna].<lb></lb>Firenze, 25 ottobre 1642.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XL, c. 119-120 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Molto Rev.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> Prot.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> mio S.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> e Pron.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> Col.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Fui l'altro giorno a visitare il Padre Priore del Con<lb></lb>vento di V. P.<emph type="sup"></emph>à<emph.end type="sup"></emph.end> il quale per amor di lei mi fece una molti<lb></lb>tudine di accoglienze, e di proferte: tutto io devo ricono<lb></lb>scere della gentilezza di V. P.<emph type="sup"></emph>à<emph.end type="sup"></emph.end>, la quale si compiace di <lb></lb>qualificare il mio merito che non consiste in altro, fuor <lb></lb>che in quel tanto che si contentano dire di me i padroni <lb></lb>benefici, e gli amici amorevoli. </foreign></s> <s>Le ne rendo cordialissime <lb></lb>grazie e moltiplico ogni giorno più le mie molte obbliga- <pb pagenum="80"></pb>zioni. </s> <s><foreign lang="it">La supplico ad impetrar tanto di tregua dalle sue <lb></lb>noiose infermità che ella possa dar un'occhiata all'inclusa <lb></lb>dimostrazione, e beneficarmi del suo consiglio; se gli pare <lb></lb>che questo sia buon modo di camminare con i suoi indi<lb></lb>visibili. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Mi compatisca della briga, poichè fo ricorso al suo <lb></lb>sapere come a mio maestro; e se fussi presente, io l'infa<lb></lb>stidirei anco assai più spesso, quando potessi farlo senza <lb></lb>la molestia dello scrivere che m'è molto noioso. </foreign></s> <s>Intesi poi <lb></lb>che V. P.<emph type="sup"></emph>à<emph.end type="sup"></emph.end> aveva qualche specolazione intorno alla figura <lb></lb>de' vetri per l'occhiale. </s><s>La supplico a conferirmi qualche <lb></lb>cosa, però senza dimostrazione, ma la conclusione sola; <lb></lb>non per filosofarvi, ma per operare. </s> <s><foreign lang="it">Vo lavorando conforme <lb></lb>ad alcune considerazioni del Galileo, e mie, e fino ad ora <lb></lb>ho passato assai la mediocrità, non ho però arrivato alli <lb></lb>vetri del Fontana. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Per grazia V. P.<emph type="sup"></emph>à<emph.end type="sup"></emph.end> mi favorisca. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Intesi poi anche ch'ella s'ingegnava di provare una <lb></lb>conclusione intorno all'acqua, nella quale ho qualche scru<lb></lb>polo, tanto nella conclusione, quanto anco nella dimostra<lb></lb>zione. </foreign></s> <s>Che la conclusione sia vera, io lo credo, ma la <lb></lb>difficoltà, quanto a me, io non la so sciorre. </s><s>La proporrò <lb></lb>per tanto a V. P.<emph type="sup"></emph>à<emph.end type="sup"></emph.end> supplicandola a significarmi bre<lb></lb>vemente se è una vanità. </s> <s><foreign lang="it">Suppongo che se un <lb></lb> <arrow.to.target n="fig512"></arrow.to.target><lb></lb>tubo, o altro vaso sempre pieno di acqua AB, <lb></lb>sarà forato in diversi luoghi C, D ec., suppongo, <lb></lb>dico, che l'acqua che esce dal foro C habbia <lb></lb>tant'impeto, quanto haverebbe una goccia caduta <lb></lb>dal livello A fino in C; cioè che gl'impeti del<lb></lb>l'acque scaturienti da C, D ec. </foreign></s> <s><foreign lang="it">siano gl'istessi, <lb></lb>che di una gocciola caduta per gli spazi AC, AD. Questo <lb></lb>si prova con alcune ragioni, e con più d'una esperienza. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Ne dirò una fatta in Roma esatta<lb></lb> <arrow.to.target n="fig513"></arrow.to.target><lb></lb>mente, et è, che posti eguali li fori <lb></lb>C, D l'acqua che nel medesimo <lb></lb>tempo esce per C, a quella che esce <lb></lb>per D, sta in subduplicata propor<lb></lb>zione dell'altezze AC, AD. E questo <lb></lb>basta per la mia supposizione. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ora <lb></lb>sia un'acqua AB la quale poi venga accresciuta tanto che <pb pagenum="81"></pb>la sezzione CB sia doppia d'altezza della prima AB. Si <lb></lb>crede che anco la velocità sarà accresciuta al doppio. </foreign></s> </p> <figure id="fig512"></figure> <figure id="fig513"></figure> <p type="main"> <s>Ora discorro così: Facciasi intorno al diametro CD <lb></lb>una semiparabola. </s> <s><foreign lang="it">L'impeto dunque del velo d'acqua, che <lb></lb>passa per A, è misurato dalla linea AF, et sic de reliquis. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Però tutti gl'impeti della sezzione CB a tutti gl'impeti <lb></lb>della sezzione AB saranno, come la semiparabola ECD <lb></lb>alla semiparabola FCA, cioè come 4 alla radice di 2 e <lb></lb>non a 2, come si crede. </foreign></s> <s>So che questo mio è qualche pa<lb></lb>ralogismo in materia tanto difficile, però non ne fo capitale <lb></lb>alcuno. </s> <s><foreign lang="it">So bene certo che sarà subito scoperto dal perspi<lb></lb>cacissimo ingegno di V. P.<emph type="sup"></emph>à<emph.end type="sup"></emph.end> Non mi sono nè anco spiegato <lb></lb>bene interamente, perchè troppa sarebbe stata la prolissità. </foreign></s> <s><lb></lb>Reverisco V. P.<emph type="sup"></emph>à<emph.end type="sup"></emph.end> con affetto cordialissimo e le prego da <lb></lb>Dio ogni più desiderata prosperità ec. <lb></lb> Di V. P.<emph type="sup"></emph>à<emph.end type="sup"></emph.end> m. </s><s>Rev.<emph type="sup"></emph>da<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>Di Firenze, 25 ottobre 1642.</s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">È qui il Signor Giovanni Borelli, discepolo già del Padre <lb></lb>Abate Castelli, et ora Lettore pubblico di Mattematiche <lb></lb>nello studio di Messina. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Viene con autorità di eleggere <lb></lb>Dottori primari per quello studio con grosse provvisioni. </foreign></s> <s><lb></lb>Starà qui un mese, poi verrà costà, et anco a Padova. </s><s>Non <lb></lb>vede l'ora d'arrivare a reverire, et a conoscere V. P.<emph type="sup"></emph>à<emph.end type="sup"></emph.end> di <lb></lb>presenza. </s><s>Intanto la reverisco humilmente per mezzo <lb></lb>di questa lettera. <lb></lb> Dev.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> et Obblig.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Ser.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb> Evangelista Torricelli</s></p> <pb pagenum="82"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>31<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> BONAVENTURA CAVALIERI a [TORRICELLI <lb></lb>in Firenze].<lb></lb>Bologna, 29 ottobre 1642.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLI, c. 131-138 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>M.<emph type="sup"></emph>to<emph.end type="sup"></emph.end> Rev.<emph type="sup"></emph>do<emph.end type="sup"></emph.end> Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> e P.ron Col.mo </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">L'occasione della venuta d'un nostro Padre costà mi ha fatto risol<lb></lb>vere a scrivergli ora, benchè maggior tempo, e comodità ci vorrebbe <lb></lb>per dire quanto avrei da dire; perciò mi scuserà, se mi ristringerò riser<lb></lb>bandomi a scriverle più diffusamente con altra opportunità. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Quanto al <lb></lb>dimandarmi consiglio in materia delle sue sottilissime invenzioni, dico, <lb></lb>che ella sa bene, che di ciò non ha di bisogno, onde nè anco deve <lb></lb>conferirmele come a maestro, ma si bene come ad amico, e servitore, <lb></lb>che ammirerà sempre i parti del suo felice ingegno. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ho poi visto la <lb></lb>sua maniera di trovare il Centro della Parabola, la quale mi è pia<lb></lb>ciuta assaissimo, e credo non si possi migliorare. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Gli conferirò nondi<lb></lb>meno ciò, che mi è passato per la fantasia dopo che io ebbi la lettera in <lb></lb>materia di trovare il centro di gravità di alcune figure per gl'indivisibili, <lb></lb>da non compararsi però nella facilità alla sua, il che mi riserbo nel<lb></lb>l'ultimo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Quanto poi ai vetri non gli posso dir altro, se non d'aver <lb></lb>specolato alquanto sopra di essi per ritrovare dove sia il concorso di <lb></lb>varie lenti fatto da raggi paralleli, qualunque siano le loro due su<lb></lb>perficie (quali però suppongo sempre sferiche) e mi parve d'averlo <lb></lb>trovato almeno propinquamente, cioè non facendo caso di errare dal <lb></lb>vero quanto è la grossezza della lente. </foreign></s> <s>Ora perchè non ho mai appli<lb></lb>cato al fabbricar lenti, per ciò non posso distintamente sapere, che <lb></lb>servizio mi potria far simil trovato, ma stimo così in universale, che <lb></lb>forsi se ne potria cavare qualche benefizio. </s> <s><foreign lang="it">Ero per far ristampare il <lb></lb>mio specchio ustorio e per aggiungervi questo con qualche altra cose<lb></lb>rella, ma la mia infirmità, et altri accidenti mi fanno portare innanzi <lb></lb>questo e certe altre faccende ancora. </foreign></s> <s>Non mi spiego più distintamente <lb></lb>ora circa tale invenzione, perchè richiederia più tempo, che non ho di <lb></lb>presente. </s> <s><foreign lang="it">Circa l'acqua non sono ne anche io lontano dal suo pensiero di <lb></lb>credere, che non sia così certa la conclusione, nè la supposta dimostra<lb></lb>zione da me mandata al P.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> D. Benedetto, siccome egli potè vedere i <lb></lb>dubbi, che vi avevo nella medesima lettera, che gli scrissi sopra que<lb></lb>sto fatto. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Vero è, che la sua opposizione non mi ci leva affatto l'as- <pb pagenum="83"></pb>senso, poichè stante il suo esempio del vaso pieno d'acqua forato in <lb></lb>diverse altezze & parmi, che ella consideri nell'acqua solo l'impeto <lb></lb>cagionato dal premer dell'acqua superiore, mediante la di lei gravezza; <lb></lb>ma nell'acque de' fiumi parmi, che oltre quella, vi sia ancora da con<lb></lb>siderare l'impeto, o velocità, che conferisce l'acqua inferiore alla supe<lb></lb>riore; onde un tal velo d'acqua parmi, che non solo abbi il detto impeto <lb></lb>cagionato dalla gravezza dell'acqua superiore, ma anco quello, che gli <lb></lb>conferisce l'acqua inferiore, che si muove per la pendenza del letto, <lb></lb>che non mi pare accada nel vaso, e perciò resto ancora irresoluto in <lb></lb>in questo negozio non avendo avuto tempo d'applicarvi, ma credo, <lb></lb>che lei con la sua sottigliezza chiarirà il tutto. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Vengo ora al particolare de' Centri di gravità & et per dargli un <lb></lb>poco di saggio del mio pensiero apporterò per esempio il triangolo, <lb></lb>et il conoide parabolico, da' quali potrà inten<lb></lb> <arrow.to.target n="fig514"></arrow.to.target><lb></lb>dere come questa maniera si possa anco appli<lb></lb>care ad altre figure, e prima non tralascerò per <lb></lb>il triangolo di dire, che mi pare, che gl'indivi<lb></lb>sibili arrechino molta facilità per ritrovare il di <lb></lb>lui centro, poichè essendo il centro di gravità <lb></lb>d'ogni proposta linea retta, e terminata nel <lb></lb>mezzo di essa, facilmente provaremo essere il <lb></lb>Centro del triangolo per esempio ABD nella AC, che divide egualmente <lb></lb>BD in C, poichè i Centri di tutte le linee parallele a BD (cioè il Centro <lb></lb>di tutto il triangolo ABD) sono nell'AC, il che pur anche si verificherà <lb></lb>di qualsivoglia figura intorno il diametro, cioè che sarà nell'istesso <lb></lb>diametro, onde se tiraremo la BE, che tagli AD egualmente in E, e <lb></lb>la AC in O sarà il centro e sarà AO doppia di OC, poichè, i triangoli <lb></lb>ABE, DBE sono eguali, come anco AOE, DOE, e però ABO, BOD sa<lb></lb>ranno uguali, cioè ABO sarà doppio di OBC, onde AO sarà doppia <lb></lb>di OC. Ora vengo all'altro modo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">E siccome si prova facilmente che <lb></lb>i momenti dei gravi appesi in una bilancia hanno tra loro la propor<lb></lb>zione composta delle moli (supponendosi egualmente gravi in ispecie) <lb></lb>e delle distanze dal sostegno: così invece di corpi attaccandovi linee, <lb></lb>o superficie piane supposte come gravi, riceverò per provato, che pure <lb></lb>i momenti delle pesate linee avranno la detta proporzione composta etc. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Venendo ora all'applicazione: sia il triangolo ADB nel quale divisa BD <lb></lb>egualmente in C, e tirata la AC, quale sia divisa in O, sicchè AO sia <lb></lb>doppia di OC. Dico il Centro essere O del triangolo ABD. Tirisi per <lb></lb>provar questo la AR perpendicolare sopra BD prolungata in R, e poi <lb></lb>dentro il triangolo ADB tirinsi qualunque parallele a DB, cioè IE, KF, <lb></lb>LG, per O, et MH le quali s'intendino sospese dalli punti N 8 P Q della <lb></lb>libra AR, ne' quali prolungate incontrano la AR. Dico, che il momento <lb></lb>di tutte le linee del triangolo ALG è uguale al momento di tutte le <lb></lb>linee del trapezio LGBD, essendo regola di Per provar <lb></lb>questo descrivasi sopra AP il quadrato 2P, e poi si compisca il ret<lb></lb>tangolo ZR, e tirato AZ, e prolongato sino al concorso con R6 in 4 <lb></lb>si compisca parimente il rettangolo Z4, e si prolunghino le EN, F8, <pb pagenum="84"></pb>HQ, sicchè ne venghino le NV, 8X, QY3. Se noi dunque compareremo <lb></lb>per esempio il momento di KF al momento di IE, trovaremo per il <lb></lb>supposto, che quello a questo ha proporzione composta della pro<lb></lb>porzione della mole, cioè di KF a IE, cioè di 8T ad NS, e della <lb></lb>distanza 8P alla distanza PN, cioè di XT ad VS, cioè avrà la propor<lb></lb>zione del rettangolo 8TX ad NSV; onde intendendosi 8TX per misura <lb></lb>del momento di KF, sarà NSV misura del momento di IE, ed in somma <lb></lb>de' momenti di tutte le linee del triangolo ALG saranno misura i <lb></lb>rettangoli sotto tutte le linee de' triangoli A2Z,AZP. Così provaremo <lb></lb>che il rettangolo Y3Q sarà misura del momento di MH, e così, che <lb></lb>di tutte le linee del trapezio LGBD saranno misura i rettangoli sotto <lb></lb>tutte le linee del triangolo Z46, e del trapezio Z4RP. Resta ora a <lb></lb>provare, che questi rettangoli siano uguali, il che così otterremo. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Tutti li quadrati di ZR alli rettangoli sotto ZR, et il triangolo 4Z6, sono <lb></lb>come ZR al triangolo Z46, cioè quadrupli, o come 12 a 3, per essere <lb></lb>ZR doppio di Z4 e questo doppio del triangolo 4Z6. Di più essendo <lb></lb>tutti li quadrati di ZR quadrupli di tutti li quadrati del rettangolo <lb></lb>Z4, cioè come 12 a 3, e questi tripli di tutti li quadrati del triangolo <lb></lb>4Z6, cioè, come 3 a 2, saranno tutti li quadrati ZR a tutti li qua<lb></lb>drati di 4Z6, come 12 a I, et alli detti rettangoli sotto 4 6Z et ZR s'è <lb></lb>provato essere, come 12 a 3; adunque colligendo tutti li quadrati ZR <lb></lb>alli rettangoli sotto Z46, et il trapezio 4ZPR saranno come 12 a 4; <lb></lb>ma tutti gli quadrati di AZ a tutti gli quadrati di ZR sono doppi; <lb></lb>adunque tutti li quadrati AZ alli rettangoli sotto 4Z6, 4ZPR saranno <lb></lb>come 24 a 4, cioè sescupli; ma sono anco li quadrati AZ sescupli delli <lb></lb>rettangoli sotto AZP, A2Z. </foreign></s> </p> <figure id="fig514"></figure> <p type="main"> <s>Adunque questi eguagliano quelli. </s> <s><foreign lang="it">Adunque li momenti di tutte le <lb></lb>linee del triangolo ALG misurati da questi rettangoli eguagliano i <lb></lb>momenti di tutte le linee del trapezio LGBD misurati da quegli altri <lb></lb>rettangoli. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Onde il momento del triangolo ALG eguaglia il momento <lb></lb>del trapezio LGBD; adunque O è il centro. </foreign></s> <s>Il che &. </s> <s><foreign lang="it">Intenda ora DAB <lb></lb>per l'ambito della parabola, che passa per l'asse AC del Conoide iper<lb></lb>bolico sopra il circolo DB, al quale ella supponga perpendicolare AC, <lb></lb>e ciò per non fare altra figura. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Si proverà dunque il momento del cir<lb></lb>colo KF al momento del circolo IE essere come il rettangolo 8TX al <lb></lb>rettangolo NSV, e questi rettangoli esser misura de' momenti di tutti <lb></lb>i circoli del conoide ALG, siccome gli altri sotto Z46, Z4RP misura de' <lb></lb>momenti di tutti i circoli del frusto LDBG; e perchè quelli si sono <lb></lb>provati eguali, perciò sarà O centro. </foreign></s> <s><foreign lang="it">La frezza che mi fa il P.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end>, che è <lb></lb>per partirsi, è cagione che io non mi possi spiegare a bastanza. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma <lb></lb>supplirà il suo valore al mio mancamento. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Mi favorirà del suo parere <lb></lb>circa questa maniera veramente difficile; e però da non farne molto <lb></lb>capitale. </foreign></s> <s>Vedrà almeno, come riescono ancora in questa parte gl'indi<lb></lb>visibili assai fecondi; poichè trasformando i momenti in rettangoli, o <lb></lb>parallelepipedi, o altri solidi, potiamo rintracciare i centri ancora, credo <lb></lb>io, d'altre figure, quali per mancamento di tempo tralascio. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Pregola finalmente a riverire in nome mio, e risalutare il Sig. Gio; <pb pagenum="85"></pb>Borelli, che sarà da me aspettato con grandissimo desiderio. </foreign></s> <s>E con <lb></lb>questo faccio fine, con baciarle affettuosamente le mani. <lb></lb> Di V. S: M. Rev.<emph type="sup"></emph>da<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>Di Bologna 29 ottobre 1642.<lb></lb> Dev.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> et Obb.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Servit.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb> Fra Bonaventura Cavalieri</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>32<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> BONAVENTURA CAVALIERI a [TORRICELLI <lb></lb>in Firenze].<lb></lb>Bologna, 23 dicembre 1642.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLI, c. 139-141 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>M.<emph type="sup"></emph>to<emph.end type="sup"></emph.end> Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> et Ecc.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> mio Oss.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Non ho potuto prima d'ora rispondere alla gentilissima lettera di <lb></lb>V. S: per essere io stato sempre infermo, massime nel tempo, che si <lb></lb>è trovato quà il Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Gio: Borelli, che mi ha in parte amareggiato <lb></lb>il gusto avuto della sua amabilissima conversazione. </foreign></s> <s>Ora vengo a <lb></lb>ringraziarla dell'affetto, che per sua grazia mi ha dimostrato con rac<lb></lb>comandarmi un tal soggetto, quale è stato perciò da me servito, se <lb></lb>non come meritava esso, e Lei, che lo raccomandava, almeno per <lb></lb>quanto si estendevano le forze mie. </s> <s><foreign lang="it">La stima poi, che ella mostra di <lb></lb>fare delle mie debolezze, è da me ricevuta dall'abbondanza del suo <lb></lb>affetto, e non dal merito di quelle, poichè sono di niuno momento <lb></lb>massime in comparazione de' suoi sottilissimi trovati, come mi stimo <lb></lb>deva essere il modo, che mi accenna di ritrovare il centro di gravità <lb></lb>per gl'indivisibili. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Intorno al quale non mancherò di dire, come il <lb></lb>Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Gio: Antonio Rocca Gentiluomo Reggiano, ingegno vivacissimo, <lb></lb>e versatissimo nelle mattematiche, altre volte da me, credo, nominatoli, <lb></lb>mi mandò un altro modo assai facile di ritrovare i Centri di gravità <lb></lb>per gl'indivisibili, quale ora non ho alle mani, ma sta <lb></lb> <arrow.to.target n="fig515"></arrow.to.target><lb></lb>rivolto fra i miei scartafacci, e forsi potriano rincon<lb></lb>trarsi insieme. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Intesi dal Sig. Borelli come alcuni mat<lb></lb>tematici costi avean qualche dubbio sopra il modo <lb></lb>degl'indivisibili, e mi pare, che il dubbio fosse simile <lb></lb>a questo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Sia la semiparabola ABC iscritta al paral<lb></lb>lelogrammo EB, diametro AB, ordinatamente applicata <lb></lb>FD, che tagli la AHC in H, e la retta AC in G. Ora <lb></lb>essendo DF ad FH, come FH ad FG, e perciò FH <lb></lb>media proporzionale tra DF, FG, pare che tutte le linee della semi- <pb pagenum="86"></pb>parabola AHCB dovriano esser medie et però la semiparabola media <lb></lb>proporzionale fra EB, et il triangolo ABC, il che poi non è vero, <lb></lb>onde pare, che in questo manchino gl'indivisibili la qual cosa non <lb></lb>credo dovrà far difficoltà a nissuno, poichè essendo A, B, C, nu<lb></lb>meri continuamente proporzionali, nondimeno la somma D fatta delli <lb></lb>tre A eguali, non è alla somma E delli tre B, come l'istessa E alla <lb></lb> <arrow.to.target n="table30"></arrow.to.target><lb></lb>somma fatta delli tre C. Il che si sa non esser mai vero (cioè che <lb></lb>queste somme sieno proporzionali) se non quando gli antecedenti sono <lb></lb>anco tra loro proporzionali, cioè essendo uguali li A, dovriamo anco <lb></lb>essere uguali li B, il che non essendo, perciò non segue, che le somme <lb></lb>siano proporzionali; e ciò conforme il lemma d'Archimede, non so, se <lb></lb>sia nel primo de' da me pure registrato nella mia Geometria, <lb></lb>non so, se nel Libro 2.<emph type="sup"></emph>do<emph.end type="sup"></emph.end> per non l'avere io presente. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ho voluto dir que<lb></lb>sto, perchè tale mi significò, che fusse il dubbio d'alcuni costi, benchè <lb></lb>non già di lei, che mi disse, che non ci avea dubbio veruno. </foreign></s> <s>Vorrei più <lb></lb>diffondermi, ma l'esser di fresco uscito dall'infirmità, mi fa per forza <lb></lb>esser breve. </s> <s><foreign lang="it">Perciò altro non dirò per ora, se non che pregarle dal Cielo <lb></lb>ogni più desiderabile felicità in coteste SS.<emph type="sup"></emph>me<emph.end type="sup"></emph.end> Feste di Natale con un <lb></lb>fortunato principio dell'anno nuovo con che li bacio affettuosamente le <lb></lb>mani pregandola insieme a scusarmi del titolo datoli sinora di M. Rev.<emph type="sup"></emph>do<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>per errore preso da chi mi significò, non so come, che ella fosse, in abito <lb></lb>clericale, che sarà per l'innanzi da me emendato. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Così sbagliavo anco <lb></lb>intorno al nome di Vincenzio Viviani pensandomi, che fosse il Padre, <lb></lb>che avesse per suo diporto voluto accompagnare la vecchiaia del <lb></lb>Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Galileo, e trattenersi, benchè in età cadente in questi studi, dove <lb></lb>ho poi inteso essere il figlio suo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Lo sbaglio però sarà solo stato nel <lb></lb>nome, ma non nell'affetto, che essendo stato assaissimo verso il Padre <lb></lb>con ogni ragione si deve continuare anco nel figlio, al quale però potrà <lb></lb>V. S: farle testimonianza di questo con ricordarmele servitore, e quì <lb></lb>di nuovo la riverisco con tutti li amici e padroni. <lb></lb> Di V. S: M. Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end>, et Ecc.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>Di Bologna alli 23 Xbre 1642<lb></lb> Fra Bonaventura Cavalieri</foreign></s> </p> <pb pagenum="87"></pb> <figure id="fig515"></figure> <table> <table.target id="table30"></table.target> <row><cell>A</cell><cell>B</cell><cell>C</cell></row> <row><cell>36</cell><cell>24</cell><cell>16</cell></row> <row><cell>36</cell><cell>12</cell><cell>4</cell></row> <row><cell>36</cell><cell>18</cell><cell>9</cell></row> <row><cell>108</cell><cell>54</cell><cell>29</cell></row> <row><cell>D</cell><cell>E</cell><cell>F</cell></row></table> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>33<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> BONAVENTURA CAVALIERI <lb></lb>a GIANNANTONIO ROCCA [in Reggio].<lb></lb>[Bologna] 28 dicembre 1642.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(LETTERE DI UOMINI ILLUSTRI DEL SECOLO XVII A GIANNANTONIO ROCCA, ecc. In Mo<lb></lb>dena 1785, pag. 311, N. 126).<gap desc="/SM"></gap></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Tra gli molti danni cagionatimi dalla mia continua indisposizione, <lb></lb>che sempre più si va aggravando, sento pur questo ancora di restar <lb></lb>privo del commercio, ch'io potrei aver più spesso per lettere con li <lb></lb>amici, e Patroni, come lei mi è, convenendomi contro mie voglie usar <lb></lb>così lungo silenzio. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Non dovrà perciò maravigliarsi, se tanto tempo fa <lb></lb>non gli ho scritto, benchè ne habbi avuto più, e più volte intenzione. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Hora vengo con questa mia a riverirla ed a ringraziarla del felice an<lb></lb>nunzio delle buone feste, li ripriego quella maggior felicità, ch'ella <lb></lb>sappi desiderare, con un fortunato principio dell'anno nuovo. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Mi è poi giunto nuovo l'avviso, che mi da del P. Guldini, poichè <lb></lb>non ho visto ancora; ma spero veder quanto prima il 2 Tomo, che <lb></lb>mi accenna, intendendo, che uno di questi librari ne habbi qualche <lb></lb>copia. </foreign></s> <s>Nè mi è discaro, che questo Padre habbi preso ad impugnare <lb></lb>questo mio metodo degli indivisibili, poichè, se io sono in errore, verrò <lb></lb>a restare disingannato; ma s'egli è quello, che s'inganna, havrà al<lb></lb>meno fatto questo servizio alla mia Geometria che alcuni, che non <lb></lb>l'havrebbono mai vista, vi faranno qualche riflessione. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Quanto al I Tomo dell'Herrigoni, io l'ho già visto, ed insieme ho <lb></lb>soddisfatto alla mia curiosità quanto a quella linea Diottrica, che <lb></lb>deve unire in un punto secondo i suoi principii; l'ho descritta, e mi <lb></lb>pare, che molto s'accosti all'Iperbola, sebben per dirla non resto in <lb></lb>tutto soddisfatto, fondandosi sopra una petizione alquanto secondo me <lb></lb>dubbiosa, com'ella potrà vedere nella di lui Diottrica nel principio etc. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Credo poi, che quà il Sig. Carl'Antonio Manzini ne farà qualche <lb></lb>prova meccanica. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Quanto alla diligenza fatta del Sovero la ringrazio, nè mi occorre <lb></lb>dirci altro sopra. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Mi è poi stato sopra modo grato l'impiego del Co: Antonio Ba<lb></lb>racchi giovane veramente meritevole di questa, e d'ogni maggior ca<lb></lb>rica, e mi farà grazia, scrivendogli, di riverirlo a nome mio, e congra<lb></lb>tularsi seco, della sua principiata fortuna con Patrone, e Principe di <lb></lb>cosi alto valore. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Quanto poi ai libri usciti di nuovo ne ho di pochissima cognizione, <lb></lb>perchè quà non ne capitano gran fatto. </s> <s><foreign lang="it">Credo che saprà del libro del <pb pagenum="88"></pb>Liceti in risposta alla lettera del Sig. Galileo, dove vedrà con quanta <lb></lb>profondità di dottrina procedi questo gran Filosofo. </foreign></s> <s>Vidi l'altro giorno <lb></lb>un libro di Claudio Midorgi in Francese intitolato Ricreazioni Mate<lb></lb>matiche; ma ella forsi l'avrà visto, non vi sono dimostrazioni; ma sem<lb></lb>plici pratiche in diverse scienze così Matematiche, come naturali. </s></p> <p type="main"> <s>Mi sono fatto prestare le opere di Simon Stevino, ma per essere <lb></lb>in Franzese, ne posso aver poco costrutto; parmi però d'intendere, <lb></lb>ch'ella le abbi. </s> <s><foreign lang="it">Circa il mio Specchio Ustorio non ne ho mai fatto altro, <lb></lb>perchè un Padre mio amico ha fatto gettare uno specchio parabolico, <lb></lb>e resta da polirsi, onde differisco per vederne pur prima qualche <lb></lb>prova. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Intanto si va stampando quell'operetta di Trigonometria, che credo <lb></lb>li sarà stata accennata dal P. Riccioli, a istanza del quale principal<lb></lb>mente ho condisceso, che si stampi. </foreign></s> <s><foreign lang="it">In materia finalmente di chi sia <lb></lb>successo in luogo dei qu. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Sig. Galileo, credo di haverli scritto altre <lb></lb>volte di un Signor Evangelista Torricelli Romano, ed allievo del P. D. <lb></lb>Benedetto: hora saprà, che questo è successo in suo luogo con provi<lb></lb>sione di 200 Piastre l'anno, e la Casa, leggendo in Firenze nell'Acca<lb></lb>demia. È veramente un soggetto di singolar valore, e dottrina, prati<lb></lb>chissimo in Euclide, Apollonio, Archimede etc., e nelle opere del Sig. Ga<lb></lb>lileo havendo egli aggiunti due libri alla dottrina del moto, del detto <lb></lb>Sig. Galileo, quali si dovranno pure vedere in luce quanto prima, e <lb></lb>mi ha in diverse volte mandate diverse sue speculazioni, ed invenzioni <lb></lb>tanto sottili, che lo stimo l'Archimede dell'età nostra. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Potrei dirgliene <lb></lb>molte, che sono da lui inventate, e per la via ordinaria, e per la mia <lb></lb>degl'indivisibili, de' quali egli è piú pratico di me; ma li basterà per <lb></lb>ora, e per un saggio questo, che mi ha scritto ultimamente di haver <lb></lb>ritrovato per via pure degl' Indivisibili. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Dice adunque di aver dimostrato, se sarà ABC una porzione di <lb></lb>Sfera, o Sferoide, o conoide Parabolico, o Iperbolico, cui sia asse BD, <lb></lb>e si congiungeranno, BA, BC, (intendendosi formato il cono, ABC) e si <lb></lb>taglierà per mezzo BD in E, applicando ordinate <lb></lb> <arrow.to.target n="fig516"></arrow.to.target><lb></lb>la FE, che tagli BA in I, che il solido AFBC, al <lb></lb>cono ABC, sarà come il quadrato FE, con il qua<lb></lb>drato EI, al doppio del quadrato EI: nel che ella <lb></lb>puo vedere tutta la mia Geometria compendiata; <lb></lb>l'istesso pure mi scrive, che trova i centri di <lb></lb>gravità di tutte le figure piane, e solide consuete <lb></lb>della Geometria con un modo facilissimo per via degl'Indivisibili, e <lb></lb>questo con occasione, che li mandai un modo mio di trovare il centro <lb></lb>di gravità di alcune figure, che ora per brevità tralascio. </foreign></s> <s><foreign lang="it">L'istesso <lb></lb>ha ritrovato nuove dimostrazioni delle cose d'Archimede per la strada <lb></lb>ordinaria, ed in particolare mostra con gran facilità l'intercetta tra <lb></lb>la tangente la spirale, ed il principio di essa esser eguale alla circon<lb></lb>ferenza del primo circolo cosa dimostrata da Archimede con tanta <lb></lb>difficoltà. </foreign></s> <s>Si è messo a lavorar de' vetri da cannocchiale, e mi scrive <lb></lb>fin d'ora d'aver passato oltre alla mediocrità, e mi persuado farà gran <pb pagenum="89"></pb>cose. </s><s>Ha fatto globettini piccioli di cristallo quanto è un grano di <lb></lb>miglio, e manco ancora, con i quali si veggono cose minutissime, come <lb></lb>gambe di pulci, fili di seta cruda, capelli, e simili di smisurata gran<lb></lb>dezza. </s> <s><foreign lang="it">In somma è soggetto degnissimo dell'amicizia sua, e per ciò <lb></lb>l'esortarei a prender qualche occasione di comunicare con un tal sog<lb></lb>getto, che so vi avrà grandissimo gusto, e troverà altro, che F. Bo<lb></lb>naventura Cavalieri, ridotto omai a termine per la sua crudele infer<lb></lb>mità di non poter più far cosa di momento; e se io in questo la posso <lb></lb>servire, gli esibisco l'opera mia: perchè avrò per gloriosa fortuna <lb></lb>l'avere accoppiati insieme due soggetti d'impareggiabil valore. </foreign></s> </p> <figure id="fig516"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ho poi goduto quà per dieci giorni continui, sebben sempre febbri<lb></lb>citante, e pieno di dolori della podagra, dell'amabilissima conversa<lb></lb>zione d'un discepolo del P. D. Benedetto, che a me giunse nuovo, e <lb></lb>questo è il Sig. Gio: Alfonso Borelli pubblico Lettore delle Matema<lb></lb>tiche in Messina, mandato da que' Signori che governano quello studio <lb></lb>per le Università d'Italia per condurre Lettori primarii in quella Città <lb></lb>con grossi stipendii, massimamente di Legge, e Medicina, il quale si <lb></lb>parti di quà circa 12 giorni sono per andare a Padova, e a Venezia, <lb></lb>e per ritornarsene poi in Messina. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Questo mi portò alcuno di quei <lb></lb>globetti, cioè tre de' quali ella n'è patrona, e mi diede ampio raggua<lb></lb>glio de' progressi delle Matematiche in Fiorenza, e in Pisa, e come <lb></lb>lo stesso Gran Duca da stipendii a giovani, ma poveri, acciò s'incam<lb></lb>minino in quegli studii, generosità degna di quel gran Principe, e da <lb></lb>pochi imitata. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Esso mi diede pure nuova della morte di Gio: Camillo <lb></lb>Gloriosi, essend'anch'esso Napolitano. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Intendo che il Chiaramonte abbi <lb></lb>scritto contro il Filol.; ma non ho ancor visto nè l'uno, nè l'altro. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ma troppo colla mia forsi importuna loquacità avrò attediata V. S. <lb></lb>tuttociò sarà in contraccambio del lungo silenzio usato con lei, che <lb></lb>perciò la pregherò a scusarmene, ed a conservarmi nella sua buona <lb></lb>grazia, alla quale bacio per fine affezionat.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> le mani <lb></lb> Fra Bonaventura Cavalieri.</foreign></s> </p> <pb pagenum="90"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>34<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> BONAVENTURA CAVALIERI a [TORRICELLI <lb></lb>in Firenze].<lb></lb>Bologna, 29 dicembre 1642.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLI, c. 142-143 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>M.<emph type="sup"></emph>to<emph.end type="sup"></emph.end> Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> et Ecc.mo Sig. mio Oss.mo </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Il regalo fattomi da V. S: della sua ingegnosa specolazione è da <lb></lb>me stato gradito, come cosa di delicatissimo sapore. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ella va aggiun<lb></lb>gendo miracoli a miracoli, acciò riconosca quanto ella si lasci addietro <lb></lb>tutti gli altri ingegni. </foreign></s> <s><foreign lang="it">In somma ho ammirato la sua invenzione, e ri<lb></lb>conosciuto come in essa ha in un certo modo compendiato tutta la <lb></lb>mia Geometria, dalla quale ella mi dice aver dependenza. È ben vero, <lb></lb>che se in qualche parte è parso a V. S: et ad altri sinora, che se ne <lb></lb>possi ritrarre qualche frutto, di quì innanzi converrà mutar sentenza, <lb></lb>e lasciar da banda gl'indivisibili, come cosa inutile, e senza fonda<lb></lb>mento, siccome mi è stato scritto, che ha dimostrato nuovamente il <lb></lb>P.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> Paolo Guldini Gesuita che stampò alcuni anni sono la Centrobarica, <lb></lb>il quale in un altro Tomo stampato di nuovo contradice in più luoghi <lb></lb>alla detta mia Geometria. È ben vero, che ciò non pregiudicherà alle <lb></lb>invenzioni sottilissime di V. S:, che dipendono dagl'indivisibili, poichè <lb></lb>a lei non mancheranno modi di liberarle da questi fallaci fondamenti. </foreign></s> <s><lb></lb>Io però non l'ho anco visto, ma spero di vederlo presto essendone ar<lb></lb>rivato almeno uno, che io so, quà in Bologna. </s> <s><foreign lang="it">Forsi ne saranno giunti <lb></lb>costà ancora; onde ella potrà vedere ciò, che questo Padre gli oppone. </foreign></s> <s><lb></lb>Intanto con desiderarle felice principio dell'anno nuovo, ringraziola <lb></lb>delle buone Feste, e faccio fine baciandole affettuosamente le mani. </s><s><lb></lb>Di Bologna alli 29 Xbre 1642.</s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ho fatto riflessione, se il modo mandatomi potesse servire per il <lb></lb>fuso parabolico, al quale trovai già, che il cilindro circoscritto era <lb></lb>come 15 a 8 ma parmi, che secondo la sua regola saria come 15 a 8 <lb></lb>e 1/8, onde non so dove io mi sbagli. </foreign></s> <s><foreign lang="it">In questo però la prego a dir<lb></lb>mene il suo senso. <lb></lb> Dev.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end>, ed Obb.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Servit.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb> F. Bonaventura Cavalieri</foreign></s> </p> <pb pagenum="91"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>35<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> TORRICELLI a MICHELANGELO RICCI <lb></lb>in Roma.<lb></lb>Firenze, 2 gennaio 1643.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XL, c. 81 — Copia di L. Serenai).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Molto Ill.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> Sig.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> mio P.rone Col.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ricevo ora due lettere di V. S, resemi in questo punto <lb></lb>per farmi reo d'una mala creanza appresso un mio Padrone <lb></lb>tanto benigno quanto V. S. Rispondo in bottega di un <lb></lb>libraio mio amico; et in prima le do nuova come il Ponte <lb></lb>di Pisa è rovinato affatto . Era d'un arco solo la cui <lb></lb>corda 124 braccia, la cui spesa finora 125 m. </foreign></s> <s>piastre, e <lb></lb>stava anco sulle centine. </s><s>Opera d'architetto troppo ar<lb></lb>dito. </s> <s><foreign lang="it">Il P. Santini è mio parzialissimo, e gli darò tal <lb></lb>notizia di V. S. per quest'altro ordinario, che egli mede<lb></lb>simo stimerà sua ventura un'amicizia tanto garbata e <lb></lb>virtuosa come la sua. </foreign></s> <s>Ella mi coglie all'improvviso, sì che <lb></lb>io non so che problema possa conferirgli. </s><s>Ho studiato in <lb></lb>vetri assai, ma ho lasciato per causa di <lb></lb> <arrow.to.target n="fig517"></arrow.to.target><lb></lb>poca sanità. </s><s>Questa settimana ho trovato <lb></lb>una cosa di meccanica che è totalmente <lb></lb>nuova. </s> <s><foreign lang="it">Sia un muro AB eretto all'orizonte <lb></lb>BC, e una stanga AC appoggiata con due <lb></lb>potenze eguali, una in A e l'altra in C che <lb></lb>spinghino verso B. Il momento della A al <pb pagenum="92"></pb>momento della C sarà come CB alla CA. Adun<lb></lb> <arrow.to.target n="fig518"></arrow.to.target><lb></lb>que perchè i momenti siano eguali V. S. sa <lb></lb>come si haverà da fare. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ne cavano poi una <lb></lb>specolazione sopra le Colonne fesse cerchiate <lb></lb>con un sottil cerchio di ferro, come n'è una <lb></lb>nel cortile del Palazzo de'Medici, e molte sotto <lb></lb>le Logge della Galleria in Firenze. </foreign></s> </p> <figure id="fig517"></figure> <figure id="fig518"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">La potenza che basta in EF per tener unita <lb></lb>la colonna che non si allarghi basta che al <lb></lb>peso soprapposto alla colonna habbia la pro<lb></lb>porzione che ha il diametro della fessura EF <lb></lb>(cioè la larghezza maggiore di essa) alla per<lb></lb>pendicolare AD che va dal capitello alla base. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Come se il diametro EF è la millesima <lb></lb>parte della perpendicolare AD, basta che la <lb></lb>forza che stringe la colonna sia la millesima <lb></lb>parte del peso aggravante. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Scrivo in luogo che <lb></lb>non posso applicare nè rileggere la lettera; <lb></lb>però mi compatisca. </foreign></s> <s>E le auguro felicissimo l'anno nuovo. </s><s><lb></lb>Firenze 2 Genn.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> 1643.<lb></lb> Di V. S. M.<emph type="sup"></emph>to<emph.end type="sup"></emph.end> Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>Devot.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> e Obblig.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Ser.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb> Evang.<emph type="sup"></emph>ta<emph.end type="sup"></emph.end> Torricelli</s></p> <pb pagenum="93"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>36<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> BONAVENTURA CAVALIERI a [TORRICELLI <lb></lb>in Firenze].<lb></lb>Bologna, 13 gennaio 1643.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLI, c. 144-152 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>M.to Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> et Ecc.mo Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> e P.ron Col.mo </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Se mi è parsa maravigliosa la prima sua specolazione, questa se<lb></lb>conda del modo di ritrovare i Centri di gravità mi è parsa pur som<lb></lb>mamente bella. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma infatti il P.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> Guldini battezza tutte queste cose <lb></lb>trovate per gl'indivisibili, come provate solo per modo meccanico, e <lb></lb>non veramente dimostrativo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ho di già visto il suo secondo Tomo <lb></lb>della Centrobarica, nel quale, benchè sia assai grosso, non consuma <lb></lb>però più che nove, ovver dieci carte per la contradizione alla mia <lb></lb>Geometria, della quale dice non aver visto, se non queste poche cose, <lb></lb>che egli prende a impugnare, riserbandosi a miglior tempo il confutare <lb></lb>il resto. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Incominciando dunque dalla prima proposizione del primo Libro, <lb></lb>che è di trovare il vertice d'una figura (il che eseguisco io con far <lb></lb>muovere equidistantemente una retta, o piano, sino che tocchi la figura) <lb></lb>oppone esser modo meccanico, ma vedrei un poco volentieri, che in <lb></lb>cosa così universale mi somministrasse egli miglior modo, quale, se <lb></lb>io non m'inganno, stimo esser difficilissimo, mentre non si discende <lb></lb>alle specie delle figure. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Passa poi, senza veder altro del primo al se<lb></lb>condo libro, et ivi a bocca aperta biasima le differenti petizioni, e la <lb></lb>prima, e terza proposizione pronunziandole per false assolutamente. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Il tutto perchè gl'infiniti indivisibili non si danno actu, ma solo po<lb></lb>tentia nel continuo, e poi perchè sono infiniti, e però incomparabili. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Tralasciato poi il resto, passa a' nuovi fondamenti del settimo Libro, <lb></lb>apponendo a quella superposizione delle figure egualmente analoghe, <lb></lb>come a cosa meccanica, e che non finirebbe mai. </foreign></s> <s>E sebbene per levare <lb></lb>ogni ombra a chi avesse dubbio per questo non finir mai, soggiungo <lb></lb>un'altra dimostrazione dell'istesso quanto alle figure piane, conforme <lb></lb>allo stile d'Archimede, finalmente cavilla pure anco contro di questa, <lb></lb>mostrando, che io non posso spezzare le figure tanto diverse, e stra<lb></lb>vaganti in più pezzi, che fanno a mio proposito. </s><s>Onde conclude la mia <lb></lb>Geometria non aver sussistenza alcuna. </s> <s><foreign lang="it">Ora io son risoluto con l'oc<lb></lb>casione dell'opuscolo di Trigometria con le tavole de' seni, e logaritmi, <lb></lb>che io stampo in grazia di questi scolari, di aggiungervi un poco di <lb></lb>risposta; e perchè egli stima questa mia maniera infruttuosa, mi saria <lb></lb>molto caro, se io potessi accennare, o mostrare quei trovati maravi- <pb pagenum="94"></pb>gliosi, a' quali è arrivata lei con l'aggiunta della sottigliezza del suo <lb></lb>ingegno. </foreign></s> <s>Questo però che io dico intendo sia per non detto, quando <lb></lb>a Lei paresse altrimente. </s><s>Ma volendosi compiacere di farmi questo <lb></lb>favore, parmi, che in due modi ciò potesse farsi; cioè, o essendo Lei <lb></lb>per istampare le sue specolazioni in breve, che ella v'inserisse ancora <lb></lb>le cose trovate per gl'indivisibili in grazia mia. </s> <s><foreign lang="it">Ovvero che ella le <lb></lb>distendesse, et inviasse a me in forma di lettera, e che si contentasse, <lb></lb>che io le inserissi alle mie risposte, precisamente come me le mandasse, <lb></lb>e come cose sue, e sotto il suo nome, e non in altro modo, cioè nel <lb></lb>modo istesso che le farebbe stampar Lei, acciò il Padre nel medesimo <lb></lb>tempo vedesse il frutto di quelli, conoscesse il mondo il valore di V. S., <lb></lb>e che gl'indivisibili sono accetti a' Geometri d'incomparabil valore, <lb></lb>benchè egli dica non essere approvati da' Geometri. </foreign></s> <s>Però sia questo <lb></lb>per non detto quando ella non ci abbi gusto, o comodità di farlo nè <lb></lb>nell'uno, nè nell'altro modo. </s> <s><foreign lang="it">Se il Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> Anton Nardi avesse stampato <lb></lb>le sue Ricercate Geometriche & mi saria stato e molto caro, e molto <lb></lb>a proposito; ma non avendo io con lui corrispondenza di lettere, non <lb></lb>ho campo di pregarnelo, come volentieri farei. </foreign></s> <s>E se mai ella avesse <lb></lb>occasione di scrivergli, riceverei a sommo favore, che ella gliene desse <lb></lb>qualche motivo. </s> <s><foreign lang="it">Spero ancora, che il Sig. Gio: Antonio Rocca mi farà <lb></lb>grazia di due, o tre proposizioni ritrovate pur da lui per gl'indivisibili, <lb></lb>e che sono veramente singolari, e molto a proposito per rispondere <lb></lb>al detto Padre, siccome ora meglio intenderò. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Intendo pure di pub<lb></lb>blicarle, come è il dovere sotto il nome suo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Imperocchè deve sapere, <lb></lb>che il detto P.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> ha ritrovato una bellissima cosa, poichè è universale <lb></lb>per tutte le figure solide, che nascono per revoluzione intorno all'asse, <lb></lb>e per le superficie curve descritte pure dalle linee, o rette o curve, <lb></lb>che s'intendono pure generarsi per rivoluzione intorno l'asse, alle <lb></lb>quali non sono ancora arrivati gl'indivisibili. </foreign></s> <s>E quello, che importa, <lb></lb>è assai più facile da intendersi, che lo spezzamento degl'indivisibili, <lb></lb>e questo consiste tutto in questa proposizione. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Se sarà trovato il Centro di gravità della figura piana, o linea, che <lb></lb>si sia, da rivolgersi moltiplicando la circonferenza descritta nell'intera <lb></lb>rivoluzione dal Centro di gravità nella figura piana, o linea revoluta, <lb></lb>si produrrà la solidità del corpo, o la superficie descritta. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Questo gran principio è lasciato dal Padre senza alcuna dimostra<lb></lb>zione, e dice di volerlo solo provare ab inductione, cioè che le con<lb></lb>clusioni cavate da esso sono vere concorrendo con quelle d'Euclide, <lb></lb>Archimede etc. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Il che parmi, quando io non avessi altra cosa in mia <lb></lb>difesa, che mi somministri la risposta adeguata per il detto Padre; <lb></lb>poichè ancor le mie proposizioni concordano e però dovransi per lui <lb></lb>stimarsi veri anco i miei principii. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">E perchè anco al Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Rocca sovvenne due anni sono una simil <lb></lb>cosa, poichè dimostrò, che il momento della parabola librata intorno <lb></lb>la base con un parallelogrammo applicato all'istessa base al momento <lb></lb>del parallelogrammo è, come il solido descritto dalla parabola, cioè il <lb></lb>fuso parabolico al cilindro fatto dal parallelogrammo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Perciò ne cavo <pb pagenum="95"></pb>di quà, che il fuso al cilindro ha la proporzion composta (come si di<lb></lb>mostra essere il momento al momento di due pesi) della propor<lb></lb>zione della parabola al parallelogrammo, e della distanza del Centro <lb></lb>di gravità della parabola dall'asse della rivoluzione, alla distanza <lb></lb>del Centro di gravità del parallelogrammo dal detto asse; la quale <lb></lb>(quando il parallelogrammo si supponga dell'istessa altezza con la <lb></lb>parabola) sarà come 4 a 5, siccome la parabola al parallelogrammo, <lb></lb>e come 2 a 3, quali compongono la proporzione di 8 a 15, cioè del <lb></lb>fuso al Cilindro, siccome appunto trova anco il detto Padre. </foreign></s> <s><foreign lang="it">E perchè <lb></lb>le distanze de' Centri dall'asse della rivoluzione sono come le cir<lb></lb>conferenze da loro descritte; e la dimostrazione del Sig. Rocca fatta <lb></lb>per gl'indivisibili si adatta ad ogni altra figura piana, perciò è ma<lb></lb>nifesto, che il Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Rocca viene virtualmente ad aver dimostrato, che <lb></lb>questi corpi rotondi (come generalmente anch'esso Padre li chiama) <lb></lb>hanno la proporzion composta della proporzione delle figure genitrici, <lb></lb>e delle circonferenze descritte da' Centri, d'onde finalmente si prova <lb></lb>facilmente, che la solidità di un qualunque corpo rotondo è il prodotto <lb></lb>della circonferenza fatta dal Centro moltiplicata nella figura genitrice. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Cosa che il Padre lascia senza dimostrare, e perciò calzerà bene, che <lb></lb>gl'indivisibili li faccino questo servizio, almeno quanto ai solidi, seb<lb></lb>bene stimo l'istesso potersi anco provare per la circoscrizione, et in<lb></lb>scrizione. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Quanto poi alle superficie descritte da linee rette, si prova <lb></lb>detto principio per la misura del circolo, superficie, e frusto di superficie <lb></lb>di cono dataci da Archimede, e da questi si trasferisce alla superficie <lb></lb>della sfera, et altre superficie curve per l'inscrizione, e circoscrizione <lb></lb>delle rette. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Sicchè ella intende quanto sia bello questo principio, e <lb></lb>quanto a me torni a proposito il provarcelo con l'invenzione del Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>Rocca per gl'indivisibili, come diceva di sopra. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ora perchè il Padre avendo incontrato questa maniera veramente <lb></lb>bella, pare, che vogli sbandire non solo dalla persona propria, ma da <lb></lb>ogni altro gl'indivisibili, è necessario, che io gli mostri, che se questa <lb></lb>maniera avanza gl'indivisibili in qualche cosa, ancor questi avanzano <lb></lb>quelli in qualche altra. </foreign></s> <s><foreign lang="it">E per tralasciare l'infinità de' solidi, a' quali <lb></lb>essi continuamente s'estendono, mi vado indovinando, che il modo di <lb></lb>trovare il Centro di gravità de' solidi, e massime da lei accennatimi, <lb></lb>sia uno degli avanzi. </foreign></s> <s>Similmente non mi pare da sprezzare la misura <lb></lb>del fuso iperbolico (supposta la quadratura dell'iperbola) da esso Padre <lb></lb>non ritrovata; et in somma in molte altre, per non parlare anco delle <lb></lb>cose fisiche, parmi, che gl'indivisibili possino avvantaggiar quel modo, <lb></lb>come ella sa meglio di me, i quali, se in qualche modo si adattassero <lb></lb>alle superficie curve non vi saria che desiderarvi. </s></p> <p type="main"> <s>Se ella adunque si disponesse a farmi questo favore, ella farebbe <lb></lb>un segnalato servizio agl'indivisibili, et a me ancora. </s> <s><foreign lang="it">E perchè la <lb></lb>somma delle difficoltà fattemi dal Padre, si riduce all'incomparabilità <lb></lb>degl'infiniti, et alla superposizione da farsi di una figura spezzata <lb></lb>sopra un'altra eguale innumerabili volte, che pare pure impossibile, <lb></lb>la vorrei pregare (benchè io abbi diverse cose da dire in risposta) se <pb pagenum="96"></pb>gli sovvenisse qualche cosa, che potesse maggiormente mettere in <lb></lb>chiaro la risposta a queste due cose, la quale non sovvenisse a me, <lb></lb>mi vogli onorare di darmene un poco di motivo; poichè e la mia <lb></lb>continua infirmità m'impedisee la totale applicazione, e plura vident <lb></lb>oculi plures, quam solus ocellus, e chi è sopra il giuoco pare che veda <lb></lb>meglio i colpi, che chi giuoca, oltre la sua incomparabile sottigliezza <lb></lb>d'ingegno, che può giungere dove la mia debolezza di corpo, e di <lb></lb>mente non possono arrivare, e con pregarla a scusarmi li bacio affet<lb></lb>tuosamente le mani. </foreign></s> <s><lb></lb>Bologna 13 Gennaio 1643.<lb></lb> P. Bonav.<emph type="sup"></emph>ra<emph.end type="sup"></emph.end> Cavalieri</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>37<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> MICHELANGELO RICCI a [TORRICELLI <lb></lb>in Firenze].<lb></lb>Roma, 16 gennaio [1643].<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLII. c. 1-8 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap><lb></lb>Ricci 16 Gen.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> 1643. 1644.</s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Sia il cilindro retto AB, la cui altezza BC, et Base il cerchio CA, <lb></lb>del quale sia diametro ADC, et il punto D centro. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Intendasi eretto 'l <lb></lb>cono AEC con la medesima base, et altezza del cilindro. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Dico che 'l <lb></lb> <arrow.to.target n="fig519"></arrow.to.target><lb></lb>cono, il quale abbia per base la superficie del cilindro senza le basi, <lb></lb>e per altezza il semidiametro DA sarà eguale al residuo del cilindro, <lb></lb>toltone il cono AEC. Sia il cerchio HI eguale alla superficie del cilindro <lb></lb>senza le basi, il cui diametro HG sarà medio proporzionale tra la BC, <lb></lb>AC; et fatto centro C, intervallo CDA descrivasi il cerchio AF; sarà il <pb pagenum="97"></pb>cerchio HI al cerchio AF, cioè il quadrato HG al quadrato AC, come la <lb></lb>BC alla CA; ma il cerchio AF al cerchio AC, cioè il quadrato AC al qua<lb></lb>drato DA, sta come la retta CA alla sua quarta parte, la quale sia KA. <lb></lb>Dunque per l'egual proporzione il cerchio HI al cerchio CA sta come la <lb></lb>BC alla KA, et però secondo la XV<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> del 12<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end>, il cono la cui base sia il <lb></lb>cerchio HI e l'altezza KA è uguale al cono sovra il cerchio CA (base del <lb></lb>cilindro, et del cono AEC) et con l'altezza BC, che è l'altezza del cilindro, <lb></lb>e del cono AEC, cioè uguale al cono AEC; et per essa la DA doppia <lb></lb>della KA; il cono, la cui base è 'l cerchio HI cioè la superficie del <lb></lb>cilindro senza le basi, et altezza la DA sarà doppio del cono AEC, et <lb></lb>in conseguenza eguale al residuo del cilindro AB toltone il cono AEC, <lb></lb>che si dovea provare &. </foreign></s> </p> <figure id="fig519"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ora sia il cilindro AFBC, il cui asse DH, nel <lb></lb> <arrow.to.target n="fig520"></arrow.to.target><lb></lb>quale presso il punto E siano ad esso punto for<lb></lb>mati due coni AEC, FEB, e tirata la EG perpen<lb></lb>dicolare al lato FA del rettangolo AFBC prodotto <lb></lb>nel cilindro con la sezione fatta da un piano per <lb></lb>l'asse. È manifesto l'AD essere uguale alla GE, <lb></lb>et li due coni assieme AEC, FEB eguali al cono <lb></lb>AEC della figura addotta di sopra; et però il cono <lb></lb>con l'altezza GE, et che abbia per base la super<lb></lb>ficie del cilindro senza le basi viene ad essere <lb></lb>uguale al residuo del cilindro, toltine i coni AEC, <lb></lb>FEB. Il che dovevo provare. </foreign></s> </p> <figure id="fig520"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Sia un frusto conico ABCD, le cui basi siano i due cerchi paralleli <lb></lb>AD, BC, et l'asse FE, per il quale <lb></lb> <arrow.to.target n="fig521"></arrow.to.target><lb></lb>calando un piano faccia nel frusto <lb></lb>il trapezio ABCD, et nelle basi faccia <lb></lb>le sezioni AED, BFC diametri di essi <lb></lb>cerchi. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Sia nell'asse ad arbitrio preso <lb></lb>il punto G, al quale si costituiscano <lb></lb>due coni ADG, BCG sopra le mede<lb></lb>sime basi del frusto; et dal punto G <lb></lb>si tiri la GI perpendicolare al lato <lb></lb>CD. Dico, che'l frusto conico, toltine <lb></lb>li due coni AGD, BGC è uguale ad <lb></lb>un cono, che abbia per base la su<lb></lb>perficie del frusto senza le basi; et <lb></lb>per altezza la perpendicolare GI. Si <lb></lb>passi un piano per il punto G paral<lb></lb>lelo al cerchio AD, che faccia il cer<lb></lb>chio LM, il cui diametro LGM. Inten<lb></lb>dasi sopra il cerchio LM il cono LEM, <lb></lb>et tirata la EH perpendicolare al lato <lb></lb>CD si faccia il cono RST con l'altezza VS uguale alla GE, et sulla base <lb></lb>RT media fra i cerchi AD, LM, che sarà poi medio proporzionale fra i <lb></lb>coni AGD, LEM. E perchè il cono AGD al cono RST sta come il cono RST <pb pagenum="98"></pb>al cono LEM saranno per la 12<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> del 5<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> tutti gli antecedenti, cioè gli coni <lb></lb>AGD, RTS assieme a tutti i conseguenti, cioè RTS, LEM assieme come <lb></lb>un antecedente AGD ad un conseguente RST, ovvero come la base AD <lb></lb>alla base RT (perchè i coni hanno pari altezza) cioè come il quadrato ED <lb></lb>al quadrato VT, ovvero la retta ED alla terza proporzionale GM, poichè <lb></lb>siccome sono proporzionali li tre cerchi AD, RT, LM, così sono proporzio<lb></lb>nali i quadrati delle ED, VT, GM, et i loro lati, cioè esse rette. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma il <lb></lb>cono, che abbia per base la superficie del frusto ALMD senza le basi, e <lb></lb>l'altezza EH, ad un cono con l'istessa base, ma con l'altezza GI sta <lb></lb>in proporzione dell'altezza EH dall'altezza GI, cioè della retta ED alla <lb></lb>GM per la similitudine dei triangoli IGM, HED. Dunque l'istessa pro<lb></lb>porzione di ED alla GM hanno li due coni assieme AGD, RST alli due <lb></lb>coni RST, MEL assieme; et il cono, che abbia per base la superficie <lb></lb>del frusto ALMD senza le basi, et l'altezza HE ad un cono, che abbia <lb></lb>per base la medesima superficie, et per altezza la GI. Sono adunque <lb></lb>queste quattro quantità fra di loro proporzionali. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma la prima, e la <lb></lb>terza quantità sono eguali, cioè li due coni assieme AGD, RST (i quali <lb></lb>coni sono eguali al residuo del frustro ALMD, toltone il cono LEM per <lb></lb>la nostra *) sono eguali al cono, che abbia per base la superficie del <lb></lb>frusto ALMD senza le basi, et l'altezza HE per la 19.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> del primo libro <lb></lb>de sphaera, et cylindro; dunque essendo la prima, et la terza quantità <lb></lb>eguali, sono anche eguali la seconda, et la quarta quantità per la 14<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>del 5<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end>., cioè li due coni RST, MEL assieme (i quali sono eguali al residuo <lb></lb>del frusto ALMD, toltone il cono AGD per la nostra *) sono eguali <lb></lb>al cono, che abbia per base la superficie del frusto ALMD, senza le <lb></lb>basi, et l'altezza GI. Inoltre per la sopraccitata d'Archimede, il cono <lb></lb>con l'istessa altezza GI, et sopra la superficie del frusto LMBC senza <lb></lb>le basi, è uguale al residuo del frusto LMBC toltone il cono BGC. <lb></lb>Dunque i residui dei frusti ALMD, LBCM, toltone i coni AGD, BGC, <lb></lb>cioè il residuo del frusto ADCB, toltone i coni ADG, CBG è uguale <lb></lb>a' due coni, che hanno l'istessa altezza GI; ma uno ha per base la <lb></lb>superficie del frusto ALMD senza le basi; l'altro la superficie del frusto <lb></lb>LMBC pur senza le basi: ma a questi due coni è uguale un cono solo <lb></lb>sotto l'altezza GI, et la superficie intera del frusto ADCB senza le <lb></lb>basi. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Dunque a un cono sotto la GI, e sopra la superficie del frusto <lb></lb>ABCD senza le basi è uguale il residuo del frusto ABCD toltone i coni <lb></lb>ADG, CBG. Il che si dovea provare. </foreign></s> </p> <figure id="fig521"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Questo è quel che promisi a V. S. l'ordinario passato, et essendomi <lb></lb>ridotto a questa ultima sera a distendere la suddetta dimostrazione, mi <lb></lb>sono poi ritrovato in tal confusione, che non sapevo dove avessi la <lb></lb>testa, come V. S. si potrà avvedere dalle figure, che fatte avevo su<lb></lb>perfluamente, et molto più dall'intricatissimo metodo, che uso nel di<lb></lb>mostrare. </foreign></s> <s>Prego V. S., che usi meco questa libertà, o di metterle in <lb></lb>disparte fintanto che le si conceda ozio da attenderci, o di lasciarle <lb></lb>andare, perchè m'avveggio benissimo, che non mi son saputo ben di<lb></lb>chiarare. </s> <s><foreign lang="it">Devo solo avvertire V. S: che dove vedrà questo asterisco * <lb></lb>dinota il bisogno di una proposizione, che mi trovo aver dimostrata <pb pagenum="99"></pb>in tre maniere, della quale a V. S: feci un cenno questa Pasqua <lb></lb>passata, cioè che 'l frusto conico è eguale a tre coni, che abbiano la <lb></lb>medesima altezza del frusto, ma che due basi siano le medesime che <lb></lb>del frusto, et l'altra del terzo cono sia media proporzionale fra quelle. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Quanto poi alla proposizione, di che V. S: mi fece grazia l'ordinario <lb></lb>passato, io le dico di non intendere due cose (che in sostanza poi vorrà <lb></lb>dir niente) la prima è quel che intenda V. S: per diametro della fessura, <lb></lb>se l'apertura, ovvero la misura di quanto arrivi nel di dentro la fessura <lb></lb>nella colonna. </foreign></s> <s><foreign lang="it">La seconda è, che supponendo il <lb></lb> <arrow.to.target n="fig522"></arrow.to.target><lb></lb>muro AB eguale all'AC, et la stanga come V. S. <lb></lb>dice appoggiatavi, con due potenze uguali in B, <lb></lb>et in C, che premano verso A, non so dico inten<lb></lb>dere qual ragione possa diversificare il momento <lb></lb>di B da quello di C, essendo gli angoli B, et C <lb></lb>delle inclinazioni delle potenze eguali, et finalmente <lb></lb>in tutto et per tutto in simile costituzione amen<lb></lb>due le potenze: et pure V. S. mi dice, la potenza B alla C avere il mo<lb></lb>mento in proporzione di AC verso la CB &. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Questo la prego a volermi <lb></lb>dichiarare, et mi scusi del fastidio, et della presunzione. </foreign></s> <s>Il P.re Santini <lb></lb>ancor non è arrivato quà in Roma. </s> <s><foreign lang="it">Questa notte è morto il Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>Cardinal Cesarini quasi all'improvviso. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Savelli sta male, et il medesimo <lb></lb>si dice di Baldeschi, e Capponi, et due settimane sono morì il Cardinal <lb></lb>Raggi. </foreign></s> <s>Le sono servit.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> obbl.mo et aff.mo, et le bacio le mani di cuore. </s><s><lb></lb>Roma li 16 Gennaio 1644 (<emph type="italics"></emph>sic<emph.end type="italics"></emph.end>)<lb></lb> Di V. S: m.to Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> e m.to Ecc.te <lb></lb>Aff.mo, et Obb.mo Servit.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> e Discepolo<lb></lb> Michelangiolo Ricci</s></p> <figure id="fig522"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>38<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> TORRICELLI a [MICHELANGELO RICCI <lb></lb>in Roma].<lb></lb>Firenze, 20 gennaio 1643.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XL, c. 82 — Copia di L. Serenai).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Molt' Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> P.ron mio Col.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Lessi poi con diligentia tutto il foglio di V. S. et ho <lb></lb>ammirato i progressi del suo ingegno fertilissimo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Se io <lb></lb>non havessi molto ben conosciuto la sua vivacità, e la <lb></lb>gran chiarezza del suo intelletto resterei attonito sapendo <pb pagenum="100"></pb>di non haver saputo mai spargere i semi di tanta messe, <lb></lb>e di così matura ricolta. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Se V. S. va continuando con questo passo, e anco <lb></lb>assai minore (già che le restano degli anni molti da im<lb></lb>piegare) io spero che il nostro secolo vedrà risuscitato <lb></lb>qualche novello non so s'io mi dica Archimede o Euclide. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Quanto alla mia bagatella meccanica, V. S. ha mille ra<lb></lb>gioni di dubitar della verità mentre m'è scappata una <lb></lb>lettera per un'altra. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Caro errore è stato il mio poichè m'ha <lb></lb>dimostrato quanto V. S. sia à bottega però mi dichiaro <lb></lb>meglio. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="italics"></emph>La potenza in A alla potenza in C sta reciprocamente <lb></lb>come la retta CB alla BA.<emph.end type="italics"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">La dimostrazione non l'ho scritta, <lb></lb> <arrow.to.target n="fig523"></arrow.to.target><lb></lb>ma pende dalla velocità poichè moven<lb></lb>dosi la stanga AC radente le due linee <lb></lb>dell'angolo retto ABC, la velocità nella <lb></lb>quale sta costituito il punto A alla <lb></lb>velocità nella quale sta constituito il <lb></lb>punto C sta come BC alla BA. </foreign></s> </p> <figure id="fig523"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Quanto al diametro della fessura <lb></lb> <arrow.to.target n="fig524"></arrow.to.target><lb></lb>che io dicevo l'ho per difficile à spic<lb></lb>gar meglio il mio concetto, pure V. S. <lb></lb>s'immagini che la figura ABCD, sia <lb></lb>l'apparente rottura di un muro, o di <lb></lb>una colonna fessa; io intendevo per <lb></lb>diametro la retta AB presa nel mezzo <lb></lb>dell'apertura, la qual retta va cre<lb></lb>scendo assieme con la fessura istessa <lb></lb>e deve intendersi nel piano della su<lb></lb>perficie esterna del muro, ò &. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Scusi <lb></lb>V. S. la mia confusione, mentr'io per fine la riverisco con <lb></lb>tutto il cuore. </foreign></s> <s><lb></lb>Di Firenze 20 gennaio 1643.<lb></lb> Di V. S. Mol. </s><s>Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>Dev. </s><s>e Oblig. </s><s>Ser.<lb></lb> Evang.<emph type="sup"></emph>ta<emph.end type="sup"></emph.end> Torricelli</s></p> <pb pagenum="101"></pb> <figure id="fig524"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>39<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> BONAVENTURA CAVALIERI a [TORRICELLI <lb></lb>in Firenze].<lb></lb>Bologna, 3 febbraio 1643.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLI, c. 153-154 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>M.to Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end>, et Ecc.mo Sig.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> e P.ron Col.mo </s></p> <p type="main"> <s>Ho letto, e riletto con gusto grandissimo, et con infinita ammira<lb></lb>zione le cose mandatemi, nè penso, che da un pezzo in quà, se non <lb></lb>mai, si siano da' Geometri gustati frutti così saporosi, e di tanta <lb></lb>meraviglia quanto questi. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Non si dubiti già, che io gli mostri a veruno, non mi parendo il <lb></lb>dovere, che io sì malamente corrisponda alla sua innata cortesia, per <lb></lb>la quale si compiace di comunicarmele. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Devo però confessarle il mio <lb></lb>errore, che io scrivendo al Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Rocca per dargli un saggio del sin<lb></lb>golar valore di V. S: innanzi il suo avviso gli accennai la conclusione <lb></lb>non già del trovare il Centro di gravità, ma della misura, la quale <lb></lb>gli è parsa miracolosa. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma dopo l'avviso si assicuri, che nè anco le <lb></lb>conclusioni manifesterò senza sua licenza; sebbene del Sig. Rocca, <lb></lb>che è Gentiluomo discretissimo non occorre dubitare. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ad ogni modo <lb></lb>non preterirò come ho detto senza il suo consenso; anzi se ella è <lb></lb>per istampare in breve le sue cose, mi astenerò anco di accennare <lb></lb>le conclusioni nella mia risposta, acciò comparendo nel Teatro del <lb></lb>mondo così intatte rieschino più maravigliose. </foreign></s> <s><foreign lang="it">In somma in questo <lb></lb>farò conforme che comanderà, non essendo il mio intento altro, che <lb></lb>fare apparire a quel buon Padre, che gl'indivisibili non sono affatto <lb></lb>da disprezzare, ma per istrada assai breve ci posson condurre a con<lb></lb>clusioni maravigliose, quali non potrà negare, che non siano queste <lb></lb>da lei ritrovate. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Non resterò poi di dire, come nello scorrere la prima <lb></lb>volta le sue dimostrazioni, pensai, che elle dessero la misura della <lb></lb>sfera, e sferoide, ma poi mi accorsi, che ella la supponeva passando <lb></lb>per quella a' loro segmenti. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Non mi estendo più in lungo per stare <lb></lb>un poco risentito; ma quì farò fine con ringraziarla di questi favori, <lb></lb>e confermandomele devotissimo Servitore gli bacio affettuosamente <lb></lb>le mani. </foreign></s> <s><lb></lb>Di Bologna alli 3 Febbraio 1643.<lb></lb> P. Bonav,<emph type="sup"></emph>ra<emph.end type="sup"></emph.end> Cavalieri</s></p> <pb pagenum="102"></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>40<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> TORRICELLI [a RAFFAELLO MAGIOTTI <lb></lb>in Roma].<lb></lb>Firenze, 14 febbraio 1643.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Autografo posseduto dal Sig. Cav. </foreign></s> <s>Dottor Carlo Piancastelli di Fusignano).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Molt'Ill.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> e M.<emph type="sup"></emph>to<emph.end type="sup"></emph.end> R.<emph type="sup"></emph>do<emph.end type="sup"></emph.end> S.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> e P.rone Mio Col.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Quei libretti de i sini del . . . . . . (quando V. S. non <lb></lb>gl'habbia presi) mi favorisca non prendergli à più d'un <lb></lb>testone l'uno: per che sarebbe troppo esorbitante prezzo. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Nella portieria del Collegio Romano i Gesuiti stessi gli <lb></lb>vendevano una lira l'uno. </foreign></s> <s>Per grazia la s'informi se in <lb></lb>Roma se ne trovasse alcuno di quelli d'Ollanda, mà biso<lb></lb>gna circoscriverlo al libraio, per che non vanno sotto nome <lb></lb>del Pitisco, ma d'uno che non mi ricordo. </s><s>Il S.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Dottor <lb></lb>Serenai fa . . . . . . hiersera mi disse haver fatto ogni <lb></lb>diligenza per havere delle cose di M. . . . . . . , ma in<lb></lb>darno. </s> <s><foreign lang="it">Hà parlato con uno appresso il quale sono restati <lb></lb>i libbri e le scritture del sud.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end>, et hà cavato che delle <lb></lb>Musiche ve ne sarebbero, ma dell'Intavolature non vi è <lb></lb>niente di certo che sia di lui, solo vi si sono trovate alcune <lb></lb>cose senza nome di lui, e che potrebbero esser d'altri. </foreign></s> <s>Il <lb></lb>detto S.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Dottore poi studia da pazzo, ancor che l'Officio <lb></lb>lo tenga occupatissimo; nell'Astronomia, calcoli, e cose <lb></lb>simili non hà pari; oltre poi alla Musica, et al sonar di <lb></lb>tasti, che suona mirabilmente bene. </s> <s><foreign lang="it">Adesso si è messo <lb></lb>intorno a <01><emph type="sup"></emph>li<emph.end type="sup"></emph.end> sferici, e mi rompe il capo, per che non si <lb></lb>contenta della pratica, ma vol le ragioni, e vol sapere <lb></lb>sempre quello che fa. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Quella cosa de centri, non sò se scrissi a V. S. o al <lb></lb>Predetto Abbate sia come vole eccola: </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Se sarà una porzione di sfera, o sferoide maggiore, o <lb></lb>minore, o hemisf.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> overo Conoide parabo.<emph type="sup"></emph>co<emph.end type="sup"></emph.end> overo hyper- <pb pagenum="103"></pb>b.<emph type="sup"></emph>co<emph.end type="sup"></emph.end> (può ella esser più universale?) <lb></lb> <arrow.to.target n="fig525"></arrow.to.target><lb></lb>il cui asse ED, cono inscritto FDG et <lb></lb>applicata dal mezzo dell'asse in CA. </foreign></s> </p> <figure id="fig525"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Dico che il solido pred.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> al cono <lb></lb>inscritto sarà come il quad.<emph type="sup"></emph>to<emph.end type="sup"></emph.end> AC col <lb></lb>quad.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> CB al doppio del quad.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> CB. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Dico poi (et è la parte Meccanica) che se noi faremo <lb></lb>come il quadrato AC al quad.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> CB così la retta EO alla <lb></lb>retta OC, che O sarà il centro della gravità di d.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> solido: <lb></lb>Et anco è vero nel cono istesso sì bene impropriamente. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Questo si dimostra per gl'indivisibili, e V. S. sarà anco <lb></lb>servita della dimostraz.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end>, la quale è piaciuta à F.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> Bona<lb></lb>ventura tanto che è dato nelli eccessi in quest'ultima <lb></lb>risposta del presente ordinario. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Mi ricordo che il S.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Ant.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> Nardi una volta pensando <lb></lb>alle cose del P. delle Faille, venne in pensiero di una con<lb></lb>clusione vera, et è tale. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Se dentro un Settore di cerchio <lb></lb> <arrow.to.target n="fig526"></arrow.to.target><lb></lb>o intorno ad esso sarà (per la continua <lb></lb>bissezzione dell'arco) descritta la fig.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>ABCDEFGHIL; e si faccia come <lb></lb>il perimetro rettilineo ABCDEFGHI <lb></lb>alli 2/3 della corda AI così il cateto <lb></lb>della figura alla retta LM che il punto <lb></lb>M sarà il centro della gravità della med.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> fig.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end></foreign></s> </p> <figure id="fig526"></figure> <p type="main"> <s>Questo si dimostra da me con brevità in una propos.<emph type="sup"></emph>ne<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>sola, o al più due per farle più sbrigate; non l'ho scritte <lb></lb>per che à me non fanno gioco nessuno. </s> <s><foreign lang="it">Essendo conclu<lb></lb>sione veram.<emph type="sup"></emph>te<emph.end type="sup"></emph.end> trovata del S.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Nardi, supplico V. S. a do<lb></lb>mandarli s'egli ha la dimostraz.<emph type="sup"></emph>ne<emph.end type="sup"></emph.end> universale, e quando non <lb></lb>l'habbia, e la voglia lo servirò. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Intanto reverisco V. S. con tutto l'affetto; e le auguro <lb></lb>ogni più bramata prosperità. </s><s>Di Fir.<emph type="sup"></emph>ze<emph.end type="sup"></emph.end> 14 Febbraio 1643. <lb></lb> Di V. S. M.<emph type="sup"></emph>to<emph.end type="sup"></emph.end> Ill.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> e M. R.<emph type="sup"></emph>do<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Quant'à quello che V. S. dice di far copiare le baga<lb></lb>telle che vanno passando così fra F. Bonaventura e me; <lb></lb>la verità è che sono baie; sò bene che piaceranno a V. S.; <lb></lb>e l'haverà; Voglio propriam.<emph type="sup"></emph>te<emph.end type="sup"></emph.end> cercar d'uno che copij per <pb pagenum="104"></pb>che ne ho bisogno per molti rispetti, non havendo tempo <lb></lb>di far nulla per me, et in Fir.<emph type="sup"></emph>ze<emph.end type="sup"></emph.end> non ci è l'arte del copiare <lb></lb>com'ella sà per mercede. </foreign></s> <s>Basta, o in un modo, o in un <lb></lb>altro ella sarà servita. <lb></lb> Dev.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> et Obbl.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> S.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> vero<lb></lb> E. Torricelli</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>41<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> TORRICELLI a [BONAVENTURA CAVALIERI <lb></lb>in Bologna].<lb></lb>Firenze, 21 febbraio 1643.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XL, c. 121-122 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>M.to Rev.<emph type="sup"></emph>do<emph.end type="sup"></emph.end> P.re Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> e P.ron Col.mo </s></p> <p type="main"> <s>Comincio a temere d'esser troppo impertinente, e nojoso <lb></lb>a V. P.<emph type="sup"></emph>à<emph.end type="sup"></emph.end>, la quale con tanta gentilezza ha mostrato sem<lb></lb>pre di gradire le mie vanità. </s> <s><foreign lang="it">Le mando ora la specolazion <lb></lb>della Vite, supplicandola a dirmi il suo parere, s'ella la <lb></lb>stima dimostrazion buona, o pure una baja manifesta. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Non <lb></lb>ho potuto ritrovar quest'ultimo libro della Centrobarica; <lb></lb>supplico V. P.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> ad avvisarmi se vi sia alcuna delle seguenti <lb></lb>conclusioni. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">1. — Il solido settore della sfera, che è composto <lb></lb>di un cono, e d'un segamento sferico, ha il centro di gra<lb></lb>vità nell'asse, tanto lontano dal centro della sfera, quanto <lb></lb>sono 3/4 dell'asse del cono, e 3/8 della saetta del segm.<emph type="sup"></emph>to<emph.end type="sup"></emph.end>, <lb></lb>il che abbraccia l'hemisferio ancora. <lb></lb> <arrow.to.target n="marg520"></arrow.to.target></foreign></s> </p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg520"></margin.target>Vide libr. </s><s><lb></lb>pr.<emph type="sup"></emph>m<emph.end type="sup"></emph.end> Cap.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>10 propos. 5<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">2. — La superficie sferica di qualunque segmento di <lb></lb>sfera ha il centro di gravità nel mezzo della sua saetta. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">3. — Ogni zona di superficie sferica (tagliata con <lb></lb>piani paralleli) ha il centro nel mezzo del segamento d'asse <lb></lb>intercetto tra i detti piani. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">4. — Se nel settore del cerchio sarà iscritta una <lb></lb>figura di molti lati uguali mediante la continua bisse- <pb pagenum="105"></pb>zione dell'arco, se faremo come <lb></lb> <arrow.to.target n="fig527"></arrow.to.target><lb></lb> <arrow.to.target n="marg521"></arrow.to.target><lb></lb>tutte le dette linee eguali ABC <lb></lb>alla corda AC; così il cateto della <lb></lb>figura DE alla EO, il punto O sarà <lb></lb>centro di tutte le linee rette uguali <lb></lb>ABC. </foreign></s> </p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg521"></margin.target>Lib. I. Cap. 3 <lb></lb>prop. 6.</s></p> <figure id="fig527"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">5. — Ma se faremo come <lb></lb>tutte le rette ABC alli 2/3 della <lb></lb>corda AC, così il cateto DE alla EI, il punto I sarà <lb></lb> <arrow.to.target n="marg522"></arrow.to.target><lb></lb>centro della figura rettilinea ABCE. </foreign></s> </p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg522"></margin.target>Lib. I. Cap. 8 <lb></lb>prop. 11.</s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">6. — Facendosi poi, come l'arco ABC alla corda AC, <lb></lb>così il semidiametro BE alla EO, il punto O sarà centro <lb></lb> <arrow.to.target n="marg523"></arrow.to.target><lb></lb>dell'arco. </foreign></s> </p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg523"></margin.target>Lib. I. Cap. 5 <lb></lb>prop. 2.</s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">7. — E facendosi come l'arco ABC alli 2/3 della corda <lb></lb>AC, così BE alla EI, il punto I sarà centro del settore. <lb></lb> <arrow.to.target n="marg524"></arrow.to.target><lb></lb>Quest'ultima è del P.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> delle Faille dimostrata da lui con <lb></lb>un libro di roba, et io la dimostro con meno d'un foglio, <lb></lb>in due modi diversi per l'indivisibili e senza. </foreign></s> </p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg524"></margin.target>Lib. I. Cap. 9 <lb></lb>prop. 1.</s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Temo, che quell'autore della Centrobarica, si sia incon<lb></lb>contrato in alcuna di queste verità, il che mi dispiace<lb></lb>rebbe, non tanto perchè ne resterei privo io quanto perchè <lb></lb>ne resterebbe padrone uno, che non n'è degno. </foreign></s> <s>Così mi pare <lb></lb>di poter dire d'uno, che biasimi la dottrina degl'indivisi<lb></lb>bili, che è la vena, e la miniera inesausta delle specola<lb></lb>zioni belle, e delle dimostrazioni a priori. </s><s>La supplico poi <lb></lb>a volere con sua comodità farmi grazia di rimandare la <lb></lb>inclusa scrittura, et anco con quella, che mandai le setti<lb></lb>mane passate, quando però l'abbia più, poichè un'amico <lb></lb>mio me ne fa istanza grande, et io non mi posso ridurre <lb></lb>a copiare. </s> <s><foreign lang="it">Questi è il Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Raffaello Magiotti in Roma <lb></lb>intendentissimo di queste cose, e parzialissimo di V. P.<emph type="sup"></emph>à<emph.end type="sup"></emph.end>, <lb></lb>e del Padre Don Benedetto comune Maestro. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Ella sarà dunque Padrona, o di mandarle a me, o pure <lb></lb>farvi una sopracoperta, e mandarle a dirittura al detto <lb></lb>Sig. Magiotti. </s><s>E quì con ogni affetto reverisco V. P.<emph type="sup"></emph>à<emph.end type="sup"></emph.end>. <lb></lb> Di V. P.<emph type="sup"></emph>à<emph.end type="sup"></emph.end>, Molto Red.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>Di Fiorenza 21 Febbr. 1643.<lb></lb> Evangelista Torricelli</s></p> <pb pagenum="106"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>42<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> TORRICELLI a MICHELANGELO RICCI <lb></lb>[in Roma].<lb></lb>Firenze, 27 febbraio 1643.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XL, c. 88 — Copia di L. Serenai).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Molto Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> e P.ron mio Col.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Ho gusto che V. S. habbia domestichezza col virtuo<lb></lb>siss.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> P.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> Santini, al quale scrissi la posta passata. </s><s>Dal <lb></lb>Sig. Antonio Nardi ho una lettera oggi, e non mi tratta <lb></lb>punto d'haver ricevuta quella di V. S. mandatali da me, <lb></lb>ne resto maravigliato. </s><s>Dirò a V. S. due bagattelle. </s> <s><foreign lang="it">Se una <lb></lb>ruota si volgerà sopra un piano come quella delle carrozze, <lb></lb>overo la ruzzola, le velocità degli infiniti punti della ruota <lb></lb>sono come le corde che da quei punti vanno al contatto. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Cioè la velocità di A a quella di B, <lb></lb> <arrow.to.target n="fig528"></arrow.to.target><lb></lb>sta come AC alla BC, ma la dirittura <lb></lb>dell'impeto è comune a tutti gli in<lb></lb>finiti punti della ruota, poichè tutti <lb></lb>sono diretti verso il punto sublime D. <lb></lb>La ruota però va considerata come <lb></lb>una semplice periferia. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Di quì nasce <lb></lb>che la tangente EI della cicloide passa <lb></lb>sempre per il punto sublime I del cerchio che passa per <lb></lb>il contatto E. </foreign></s> </p> <figure id="fig528"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Discorro così: il punto E <lb></lb> <arrow.to.target n="fig529"></arrow.to.target><lb></lb>duplici latione fertur, nempe <lb></lb>directa aequi-distanter re<lb></lb>ctae FL per rectam EM, <lb></lb>et circulari per peripheriam <lb></lb>EN hoc est per tangentem <lb></lb>EN, suntque impetus huius<lb></lb>modi lationum, sive ipsae <lb></lb>lationes aequales, ergo neutri illaz . . . . . . obediet, sed <pb pagenum="107"></pb>aequaliter feretur inter utramque directionem, nempe per <lb></lb>lineam EI, quae bifariam secat angulum NEM. Mi scusi <lb></lb>per gratia perchè ho la testa piena di vetri. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Mi scanda<lb></lb>lizzai che il P.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> Santini gli habbia proposta cosa tanto <lb></lb>facile. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Non so se gli conferisse mai questa bagattella, se <lb></lb>del triangolo rettangolo ABC sarà <lb></lb> <arrow.to.target n="fig530"></arrow.to.target><lb></lb>divisa la base AC nella medesima <lb></lb>proporzione aritmetica dei lati, cioè <lb></lb>che i segmenti AD, DC habbiano la <lb></lb>med.<emph type="sup"></emph>ma<emph.end type="sup"></emph.end> differenza delli lati, il ret<lb></lb>tangolo ADC sarà uguale al triangolo ABC. Dopo data la <lb></lb>differenza de i lati del triangolo rettangolo con la base, <lb></lb>dare esso triangolo &. </foreign></s> </p> <figure id="fig529"></figure> <figure id="fig530"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Rendo mille affettuosissime grazie al D.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Girolamo suo <lb></lb>fratello e mio Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> et al Sig. Braga della memoria che <lb></lb>conservano di me et a V. S. bacio di quore (<emph type="italics"></emph>sic<emph.end type="italics"></emph.end>) le mani. </foreign></s> <s><lb></lb>Firenze 27 febbraio 1643.<lb></lb> Di V. S. m.<emph type="sup"></emph>to<emph.end type="sup"></emph.end> Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>Dev.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> e obblig.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Ser.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb> Evang.<emph type="sup"></emph>ta<emph.end type="sup"></emph.end> Torricelli</s></p> <p type="main"> <s>Al S.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> Mi </s></p> <p type="main"> <s>chelang.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Ricci </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>43<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> TORRICELLI a [BONAVENTURA CAVALIERI <lb></lb>in Bologna].<lb></lb>Firenze, 28 febbraio 1643.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XL, c. 123 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>M.to Rev.<emph type="sup"></emph>do<emph.end type="sup"></emph.end> P.re mio Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> e P.rone Col.mo </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Per reverire V. P.<emph type="sup"></emph>à<emph.end type="sup"></emph.end>, piglierò occasione di accennargli <lb></lb>una conclusione, trovata da me pur oggi, ed è tale: se <lb></lb>sarà un frusto sferico ABCD tagliato con piani paralleli, <lb></lb>il cui asse sia EF; centro di gravità O, sarà la retta EO <pb pagenum="108"></pb>alla OF, come il quadrato BC con due <lb></lb> <arrow.to.target n="fig531"></arrow.to.target><lb></lb>quadrati EF, et con due quadrati AD, <lb></lb>al quadrato AD con due quadrati FE, <lb></lb>et con due quadrati BC. </foreign></s> </p> <figure id="fig531"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Mi pare più spedita, che quella di Luca Valerio, et è <lb></lb>universale, o sia intrapreso il centro, o no. </foreign></s> <s>In somma a <lb></lb>me pare, che per via degl'indivisibili si trovino (oltre l'in<lb></lb>numerabili, e maravigliose di V. P.<emph type="sup"></emph>à<emph.end type="sup"></emph.end>) anco tuttavia delle <lb></lb>conclusioni da non isprezzarsi, et che se io le trovassi in <lb></lb>altri, mi parrebbero speciose. </s><s>Come dunque questa dot<lb></lb>trina non è da stimarsi? </s><s>se costoro ammettessero le con<lb></lb>clusioni per belle, come credo, che bisogni concedere con<lb></lb>verrà pur anco approvare la dottrina? </s><s>ovvero se lodano le <lb></lb>conclusioni, e non la dottrina, almeno doveranno mostrare, <lb></lb>che ve ne siano delle false, ma credo, che dureranno fatica. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Diedi nuova al Padre Francesco delle scuole Pie Mat<lb></lb>tematico del Ser.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Principe Leopoldo, del nuovo Libro <lb></lb>del Guldini, et egli mi scrive, ch'io procuri in tutti i modi <lb></lb>d'averne uno. </foreign></s> <s>Supplico V. P.<emph type="sup"></emph>à<emph.end type="sup"></emph.end> ad avvisarmi, se costì ve ne <lb></lb>sarà, o almeno dove è stampato, e quando la spera d'aver <lb></lb>fornita, e pubblicata la risposta. </s><s>E con ossequio di cuore <lb></lb>la reverisco. </s><s><lb></lb>Firenze ult.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> Febbr. 1643.<lb></lb> Evangelista Torricelli</s></p> <pb pagenum="109"></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>44<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> TORRICELLI a RAFFAELLO MAGIOTTI <lb></lb>in Roma.<lb></lb>Firenze, 28 febbraio 1643.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Autografo posseduto dal Sig Cav. </foreign></s> <s>Dottor Carlo Piancastelli di Fusignano).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Molt'Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> e M.<emph type="sup"></emph>to<emph.end type="sup"></emph.end> Rev.do S.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> e P.ron Col.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Staremo dunque aspettando i libretti delle tavole, delle <lb></lb>quali però non ho molta fretta. </s> <s><foreign lang="it">V. S. havrà da me la di<lb></lb>mostrazione delli due Teoremi conferitigli, cioè del Geo<lb></lb>metrico, e del Meccanico, havendo scritto già a F. Bona<lb></lb>ventura che rimandi o à me, overo con una sopracoperta a <lb></lb>V. S. quelli med.<emph type="sup"></emph>mi<emph.end type="sup"></emph.end> fogli che io mandai à lui due settimane <lb></lb>sono con le suddette dimostrazioni; et una di più tale. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Se il rettangolo AB, et triangolo ret<lb></lb> <arrow.to.target n="fig532"></arrow.to.target><lb></lb>tangolo ACD essendo sempre nel med.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>piano, si giraranno intorno all'asse EB; <lb></lb>e che nell' istesso tempo il triangolo si <lb></lb>muova verso F. Il. </foreign></s> <s><foreign lang="it">solido descritto dal <lb></lb>triangolo si chiama da me Vite. </foreign></s> </p> <figure id="fig532"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Hora: la Vite della prima revoluzione <lb></lb>è uguale ad uno conoide hyperbolico la <lb></lb>cui altezza sia AC, lato retto sia la 4.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>proporzionale facendosi come CA ad AD così la doppia <lb></lb>di AE ad un altra, lato verso sia la quarta proporzionale <lb></lb>facendosi come DA ad AC così la doppia di AE ad un <lb></lb>altra. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Spero che per quest'altro sabbato o a V. S. overo à me <lb></lb>torneranno i foglietti, però ella potrebbe avanzar tempo <lb></lb>per intender quella dimostrazione, con rinfrescarsi la me<lb></lb>moria, e rivedere un lemma che entra in essa. </s><s>Et è tale. </s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Se in una sezzione di cono o sia parabola o hiperbola, o <lb></lb>ellisse si segheranno due rette linee AB, CD; e siano le <lb></lb>tangenti EF parall.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> alla AB, et la FG parall.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> alla CD. <pb pagenum="110"></pb>Sarà il rettangolo CHD al rettang.<emph type="sup"></emph>lo<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb> <arrow.to.target n="fig533"></arrow.to.target><lb></lb>AHB come il quad.<emph type="sup"></emph>to<emph.end type="sup"></emph.end> FG al quad.<emph type="sup"></emph>to<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>FE. </foreign></s> </p> <figure id="fig533"></figure> <p type="main"> <s>Questo si dimostra dalli Comen<lb></lb>tatori d'Archimede sopra la 13-14 <lb></lb>et 15 d'Archimede de Conoidibus e <lb></lb>Spheroidibus. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Io poi ho trovato ultimam.<emph type="sup"></emph>to<emph.end type="sup"></emph.end> la <lb></lb>dimostraz.<emph type="sup"></emph>ne<emph.end type="sup"></emph.end> del centro del settore di cerchio in due modi. </foreign></s> <s><lb></lb>Cioè per la via comune con molta brevità; et poi per <lb></lb>gl'Indivisibili dimostrato prima questo lemma. </s></p> <p type="main"> <s>Se sarà un settore di cerchio o <lb></lb> <arrow.to.target n="fig534"></arrow.to.target><lb></lb>maggiore o minore che sia. </s><s>Se si farà <lb></lb>come l'arco ABC alla sua corda AC, <lb></lb>così BD alla DE. Il punto E sarà <lb></lb>centro di gravità dell'arco ABC. </s></p> <figure id="fig534"></figure> <p type="main"> <s>Il Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Dottor Serenai è tutto di <lb></lb>V. S. e studia alla disperata intorno <lb></lb>alli triangoli sferici in particolare, oltre ad altri studij et <lb></lb>altre occupazioni. </s> <s><foreign lang="it">Io la reverisco con tutto il cuore. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Et <lb></lb>augurandole dal Cielo ogni felicità le bacio le mani. </foreign></s> <s>Di <lb></lb>Fir.<emph type="sup"></emph>ze<emph.end type="sup"></emph.end> l'ult.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> di Feb.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> 1643. <lb></lb> Di V. S. M. Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> e M.<emph type="sup"></emph>to<emph.end type="sup"></emph.end> R.<emph type="sup"></emph>do<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>Dev.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Obbl.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> S.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb> Evang.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> Torricelli</s></p> <p type="main"> <s><emph type="italics"></emph>Fuori:<emph.end type="italics"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Al Molt'Ill.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> e M.<emph type="sup"></emph>to<emph.end type="sup"></emph.end> Rev.<emph type="sup"></emph>do<emph.end type="sup"></emph.end> S. P.ron Col.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Il Sig. Raffaello Magiotti </s></p> <p type="main"> <s>Roma. </s></p> <pb pagenum="111"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>45<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> BONAVENTURA CAVALIERI a [TORRICELLI <lb></lb>in Firenze].<lb></lb>Bologna, 3 marzo 1643.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLI, c. 155-157 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Molt'Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end>, et Ecc.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> e P.ron Col.mo </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Io mi trovo debitore di risposta a due sue gratissime lettere, la <lb></lb>quale è stata ritardata da nuovo assalto della gotta, che mi ha tenuto <lb></lb>impedita particolarmente la mano destra dallo scrivere, siccome pur <lb></lb>dura in parte l'impedimento, che però non posso se non esser breve, <lb></lb>tralasciando di rispondere alli molti particolari delle sue lettere contro <lb></lb>mia voglia, come volentieri farei, onde mi ristringerò alli capi prin<lb></lb>cipali. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Io dico adunque, che io resto obbligatissimo alla sua infinita cor<lb></lb>tesia, che tanto mi favorisce col regalarmi delle preziose gioie delle <lb></lb>sue dimostrazioni, che ella mi ha mandato (quali rimando conforme al <lb></lb>suo comandamento) che appunto come gioie tra i fili degl'indivisibili <lb></lb>da me rozzamente tenuti gli arrecheranno infinito splendore. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Onde <lb></lb>ricevo, come per scherzo, e per burla il dirmi, che io abbi così accu<lb></lb>ratamente vindemiato, che poco ci resti di bello da andare raggranel<lb></lb>lando, poichè ella mi fa molto bene vedere il contrario, cioè che io ho <lb></lb>lasciato i più belli, e più preziosi frutti, mentre le sue dottissime in<lb></lb>venzioni tanto avanzano le mie debolezze. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Le ho lette, e rilette con <lb></lb>molto gusto, non vi avendo alcuno scrupolo, quantunque in quella della <lb></lb>vite l'assunto di tutte le superficie cilindriche sia nuovo rampollo di <lb></lb>questa dottrina; poichè non lo reputo men vero di quello delle linee, <lb></lb>e de' piani: intorno alla qual vite provato questo parmi, che direbbe <lb></lb>poi il Guldini, che si eguaglia al prisma che ha per base il triangolo, <lb></lb>che si rivolge, e per altezza la periferia descritta dal di lui Centro di <lb></lb>gravità, conforme al suo principio, che di già gli accennai. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Circa poi le conclusioni mandatemi, devo dirle che il detto Guldini <lb></lb>le dimostra anch'esso, eccettuato, che non torna il Centro di gravità, <lb></lb>nè del solido settore della sfera, nè delle zone di essa, o superficie <lb></lb>delle porzioni. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Solo dice di stimar probabilmente, che il centro di esse <lb></lb>superficie sia l'istesso, che il centro di gravità delle figure genitrici <lb></lb>della porzion di sfera, o della porzion compresa fra piani paralleli, <lb></lb>provandolo a simili; poichè dice, siccome il Centro della superficie <lb></lb>conica, eccettuata la base, è l'istesso che del triangolo per l'asse, così <pb pagenum="112"></pb>accaderà in questi, anzi così anco dice, nelle porzioni di superficie <lb></lb>dello sferoide, e conoide parabolico; onde credo, che in questo inciampi <lb></lb>discordando dalle sue conclusioni, che veramente mi paiono bellissime, <lb></lb>come anco l'altro modo nuovo, con il quale pure misura la porzione <lb></lb>di sfera, sferoidi, e conoidi. </foreign></s> <s><foreign lang="it">E perchè non posso più scrivere per debo<lb></lb>lezza della mano, faccio fine con ringraziarla di nuovo baciandole affet<lb></lb>tuosamente le mani. </foreign></s> <s><lb></lb>Di Bologna alli 3 marzo 1643.<lb></lb> Di V. S. M.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> et Ecc.<emph type="sup"></emph>ma<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>Dev.mo et Obb.mo Servit.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb> F. Bonav.<emph type="sup"></emph>ra<emph.end type="sup"></emph.end> Cavalieri</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>46<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> TORRICELLI a [BONAVENTURA CAVALIERI <lb></lb>in Bologna].<lb></lb>Firenze, 7 marzo 1643.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XL, c. 124-125 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>M.to R.<emph type="sup"></emph>do<emph.end type="sup"></emph.end> P.re mio Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> e P.ron Col.mo </s></p> <p type="main"> <s>Sento con infinito mio disgusto la troppa frequenza <lb></lb>degli assalti, che danno a V. P.<emph type="sup"></emph>à<emph.end type="sup"></emph.end> le sue malattie; et è <lb></lb>pur vero, che tant'altri nati, non per ampliar le scienze, <lb></lb>e beneficare i secoli, ma per grattarsi la pancia, godono <lb></lb>perfettissima, ed interrotta sanità. </s><s>Fra questi tali non son <lb></lb>già io, perchè rarissime volte finisco un mese senza indi<lb></lb>sposizione. </s> <s><foreign lang="it">Rinnuovo la preghiera della settimana passata, <lb></lb>supplicandola a darmi qualche avviso, se costì, o almeno <lb></lb>dove si possa avere il nuovo Libro del Guldini, se egli <lb></lb>cammini in materia de' centri temerariamente, spero che <lb></lb>inciamperà più di una volta, come certissimamente egli <lb></lb>ha inciampato enormemente circa i centri delle superficie. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Dopo che io ebbi la lettera di V. P.<emph type="sup"></emph>à<emph.end type="sup"></emph.end>, dimostrai anco <lb></lb>senza indivisibili, che il centro delli et zone <lb></lb>sferiche sono nel mezzo della porzione d'asse, che gli cor<lb></lb>risponde, e la dimostrazione è semplicissima, e quasi si<lb></lb>mile alla IX<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> del P.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> delli equiponderanti. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Mi darebbe <pb pagenum="113"></pb>poi anco il cuore di dimostrare, che il centro della super<lb></lb>ficie del conoide parabolico, non è l'istesso, che quello <lb></lb>della parabola genitrice. </foreign></s> <s>Quanto allo sferoide, et iperbolico <lb></lb>non ne so nulla, ma vedendo, ch'egli s'è ingannato in que<lb></lb>sti, posso credere che si sia ingannato anche in quelli. </s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Io non vorrei essere tanto prosuntuoso che ardissi di con<lb></lb>sigliarla, ma almeno antepongo al suo giudizio, se ella <lb></lb>stimerà bene, toccargli questo punto nella risposta, con <lb></lb>mostrargli, che egli finalmente adduce delle conclusioni. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Io quanto a me crederò, che i metodi del Padre siano <lb></lb>ottimi, e che quello degli indivisibili di F. Bonaventura sia <lb></lb>cattivo; so bene per cosa certa, che quegli ottimi dedu<lb></lb>cono delle cose false (che tali si dimostrano) e che da <lb></lb>quel cattivo non si cava, se non conclusioni vere, quando <lb></lb>si operi conforme alli precetti dell'arte, et alle cose dimo<lb></lb>strate negli elementi. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Io non posso credere, che quello <lb></lb>sia grand' Uomo, mentre in cose tanto gelose si lascia <lb></lb>trasportare ad argomentare <emph type="italics"></emph>a simili.<emph.end type="italics"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Il parallelogrammo è doppio del triangolo, anco la por<lb></lb>zion dell'asse alla cima è doppia di quella alla base del <lb></lb>triangolo. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Il parallelogrammo è sesquialtero della parabola, anco <lb></lb>la porzion dell'asse è sesquialtera. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Il cilindro è triplo del cono, anco la porzion dell'asse <lb></lb>alla cima è tripla della rimanente. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Il cilindro è duplo del conoide parabolico, et anco la <lb></lb>porzion dell'asse alla cima è dupla della rimanente. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Io dunque, che avrò più similitudini, che non ha il <lb></lb>padre, seguiterò ad argumentare, e dirò: il cilindro è <lb></lb>sesquialtero dell' hemisferio, dunque la porzione dell'asse <lb></lb>dell' hemisferio, che è dalla cima fino al centro della gra<lb></lb>vità, sarà sesquialtera della rimanente. </foreign></s> <s>Ma questo è falso <lb></lb>come 5 a 3. Non starò a tediarla più, et umil<lb></lb>mente la reverisco. <lb></lb> Di V. P.<emph type="sup"></emph>à<emph.end type="sup"></emph.end> M.<emph type="sup"></emph>to<emph.end type="sup"></emph.end> R.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>Di Firenze 7 Marzo 1643.</s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Il Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> Antonio Nardi m'avvisa d'aver dimostrato il <lb></lb>centro di gravità del settore solido di sfera con conclu- <pb pagenum="114"></pb>sione più bella della mia, et è questa: facciasi, come la <lb></lb>superficie sferica del settore alli 3/4 del cerchio sua base, <lb></lb>così il semidiametro ad un'altra da prendersi dal centro <lb></lb>della sfera, che quel punto sarà centro, et è verissima, e <lb></lb>concorda con la mia. <lb></lb> Dev.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Ser.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> et Obbligatiss.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb> Evangelista Torricelli</foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>47<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> BONAVENTURA CAVALIERI a [TORRICELLI <lb></lb>in Firenze].<lb></lb>Bologna, 10 marzo 1643.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLI, c. 158-162 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>M.<emph type="sup"></emph>to<emph.end type="sup"></emph.end> Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end>, et Ecc.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end>, e P.ron Col.mo </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">La fertilità del suo ingegno è tale, che trova sempre nuovi frutti <lb></lb>da regalarmi, che sono tanto preziosi, che io non so per la mia steri<lb></lb>lità più trovare parole sufficienti per ringraziarla. </foreign></s> <s>Mi è dunque piaciuta <lb></lb>in estremo la proposizione mandatami, et in somma non posso dir <lb></lb>altro se non chiamare avventurati gl'indivisibili, che hanno ritrovato <lb></lb>sì gran promotore. </s> <s><foreign lang="it">Credo, che questi suoi maravigliosi trovati dovranno <lb></lb>far gran forza anco a quelli, che aborriscono gli detti indivisibili, ma <lb></lb>non credo già, che siano finalmente per appagarsi abbastanza di que<lb></lb>sta Dottrina, mentre le difficoltà dell'infinito gli tengono annebbiato, <lb></lb>e titubante l'intelletto. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Si può dire assai, come ancor ella benissimo <lb></lb>discorre, ma per convincere gli ostinati non mai a bastanza. </foreign></s> <s>Quanto <lb></lb>alla mia risposta al Guldini posso dire, che non sii anco cominciata sì <lb></lb>per essere io stato ammalato, sì anco per l'impedimento delle lezioni <lb></lb>pubbliche, e private sopraggiuntemi dopo l'infirmità. </s> <s><foreign lang="it">Ho ben notato <lb></lb>in carta diversi particolari, che in sustanza si ristringono alle risposte, <lb></lb>che io posso dare circa le difficoltà dell'infinito, e di quella soprapo<lb></lb>sizione, della quale mi servo nella proposizione 2.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> del Libro 2.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> della <lb></lb>mia Geometria, e nella prima del Lib. 7.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end>. La quale potendosi dubitare, <lb></lb>che non fosse mai per finire, poichè per la sopraposizione mutua non <lb></lb>si sa, se vengan di quelle figure a farsi congruenti tali parti, che siano <lb></lb>la metà, o più della metà loro (che così si saria sicuro, che almeno <lb></lb>si potria arrivare ad un residuo minore di qualunque proposta quan<lb></lb>tità &) perciò possi generare qualche dubbio. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Onde volsi apportare la <pb pagenum="115"></pb>seconda dimostrazione della prima del Lib. 7.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> per levare ogni scupolo <lb></lb>ne' piani, et avria veramente bisognato portarne una simile per i so<lb></lb>lidi, ma la moltiplice, anzi infinita loro varietà mi atterrì sì, che tra<lb></lb>lasciai l'impresa, lasciando, che quella de' piani facesse fede esser <lb></lb>vera anco tra solidi non ostante il dubbio degl'infiniti atti della sopra<lb></lb>posizione, tanto più non dovendosi attualmente fare tale sopraposi<lb></lb>zione, ma sotto una intendendosi tutti gli altri atti, che sono fattibili <lb></lb>nell'istesso modo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Onde, siccome per provare, che le infinite linee d'un <lb></lb>Cerchio tirate dal centro sono eguali, basta provarlo di tre, così parmi, <lb></lb>che anco in questo si possi fare il trapasso per gli detti altri, ancorchè <lb></lb>fossero infiniti. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Mi sarà in somma caro sentire, particolarmente circa <lb></lb>questo il suo senso. </foreign></s> <s>Credo poi di potere apportarne dimostrazione si<lb></lb>mile a quelle d'Archimede per la circoscrizione et inscrizione de' solidi <lb></lb>per quei solidi che hanno qualche regolarità; ma per tutti trovare <lb></lb>altra dimostrazione, che quella, che ho apportato, reputo per difficilis<lb></lb>simo. </s> <s><foreign lang="it">E pure se è vera, come oltre la dimostrazione addotta ne ab<lb></lb>biamo tanti riscontri nelle ritrovate conclusioni, bisogna pure, che vi <lb></lb>sia il vero modo di dimostrarla, quale, se non è quello, non so altro <lb></lb>ritrovarne, che abbracci tutti i solidi in un tal colpo. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Circa il Libro del Guldini non posso dirle altro, se non che quà in <lb></lb>Bologna non se ne trovano, essendo venuto solo quello, che ho io, et <lb></lb>un altro, che fu comperato da un altro. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma credo, che a Venezia se <lb></lb>ne troveranno, poichè di là vennero questi due. È stampato in Vienna <lb></lb>dell'Austria del 1640. Mi compatisca per grazia, se mi vede lento in <lb></lb>queste cose, poichè non applico, se non sempre con timore di nuovo <lb></lb>male; essendo io assalito quasi ogni 30 o 40 giorni dalla podagra o <lb></lb>gotta in tutta la vita con febbre continua per otto, o dieci giorni e <lb></lb>con dolori atrocissimi, che mi levano di tono, e mi disordinano tutti <lb></lb>gli esercizi non meno dell'intelletto, che del corpo. </foreign></s> <s>E pure si dovria <lb></lb>correre la carriera, mentre s'è in calda, e l'intelletto fresco nelle cose <lb></lb>concepite. </s> <s><foreign lang="it">E perciò non si dovrà maravigliare della mia lunghezza, <lb></lb>anzi della sterilità mia, poichè mi trovo talmente afflitto, che non ho <lb></lb>talento d'applicare a specolazioni di qualche momento. </foreign></s> <s><foreign lang="it">E quì faccio <lb></lb>fine con pregare nostro Signore, che la preservi Lei, che può appor<lb></lb>tare con la felicità, e fertilità del suo ingegno alla Repubblica Lette<lb></lb>raria tanto beneficio, poichè non posso in quella fare ormai (sebbene <lb></lb>non ho fatto nulla) più cosa degna del cospetto del mondo. </foreign></s> <s>Con che <lb></lb>di tutto cuore la riverisco, baciandole affettuosamente le mani. </s><s><lb></lb>Di Bologna alli 10 marzo 1643.<lb></lb> F. Bonaventura Cavalieri</s></p> <pb pagenum="116"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>48<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> BONAVENTURA CAVALIERI a [TORRICELLI <lb></lb>in Firenze].<lb></lb>Bologna, 24 marzo 1643.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLI, c. 163-164 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>M.<emph type="sup"></emph>to<emph.end type="sup"></emph.end> Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end>, et Ecc.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> e P.ron Col.mo </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Sono uscito ora di letto dove sono stato contrastando con la Gotta, <lb></lb>e febbre continua circa dieci giorni; subito però levato ho voluto ri<lb></lb>verirla con questa mia, et insieme dirle, come con l'occasione, che si <lb></lb>finisce di stampare la Tavola de' Seni, e Logaritmi con un opuscolo <lb></lb>delle regole della Trigonometria in grazia de' miei scolari da me la<lb></lb>sciata uscire in luce; parmi bene dare un avviso della risposta, che <lb></lb>io son per dare doppo alle opposizioni del Guldini, et accennare, con<lb></lb>forme al suo consiglio, come in esso non mancano proposizioni false, <lb></lb>senza dire quali siano, e ciò faccio assicurandomi, che ella non abbi <lb></lb>verun dubbio nella sua dimostrazione, nella quale prova, che il Centro <lb></lb>di gravità della superficie della porzione, o frusto sferico sia nel mezzo <lb></lb>della saetta, o asse siccome li posso opporre parimente qualche peti<lb></lb>zione di principio. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Credo, che avrà ricevuta la mia, nella quale l'avvi<lb></lb>savo come a Venezia potesse avere gli quattro libri di esso Guldini, <lb></lb>perciò essendo fresco dal male non mi estenderò più in lungo; ma fa<lb></lb>cendo fine, me gli confermerò devotissimo, e cordialissimo servit.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> ba<lb></lb>ciandole affettuosamente le mani. </foreign></s> <s><lb></lb>Bologna 24 marzo 1643.<lb></lb> Di V. S. M.to Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end>, et Ecc.ma<lb></lb> F. Bonav.<emph type="sup"></emph>ra<emph.end type="sup"></emph.end> Cavalieri</s></p> <pb pagenum="117"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>49<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> TORRICELLI a [BONAVENTURA CAVALIERI <lb></lb>in Bologna].<lb></lb>Firenze, 28 marzo 1643.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XL, c. 126-127 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Molto R.<emph type="sup"></emph>do<emph.end type="sup"></emph.end> P.re mio Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> e P.ne Col.mo </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Il Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> Antonio Nardi mi scrive da Arezzo, che sta <lb></lb>facendo copiare il suo Lib.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> Geometrico, per mandarlo poi <lb></lb>quà a me, et acciò io lo faccia pervenire anco in mano <lb></lb>di V. P.<emph type="sup"></emph>à<emph.end type="sup"></emph.end> per sentire una parola del suo purgatissimo <lb></lb>giudizio. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Le scrissi, che il centro delle superficie sferiche stava <lb></lb>nel mezzo dell'asse corrispondente; glie ne darò un cenno <lb></lb>per timore d'essermi ingannato; senza indivisibili, mentre <lb></lb>s'abbia a contendere con genti, che non gli accettano. </foreign></s> <s><lb></lb>Le premesse, che son pedanterie meccaniche, e geome<lb></lb>triche son tali. </s></p> <p type="main"> <s>1. — Suppongo che i predetti centri sieno nell'asse. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">2. — Suppongo, che se alquante grandezze avranno <lb></lb>il centro di gravità nella retta AB, il centro comune di <lb></lb>tutte sia fra i centri estremi. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">3. — Suppongo, che se una sfera sarà segata con <lb></lb>piani paralleli, le superficie delle Zone intercette, et anco <lb></lb>de' segamenti estremi siano fra di loro, come le porzioni <lb></lb>dell'asse corrispondenti. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">4. — Se una linea retta AB sarà segata in quante <lb></lb>parti un vuole uguali, et di numero pari, et che in cia<lb></lb> <arrow.to.target n="fig535"></arrow.to.target><lb></lb>scuna di esse sia il centro di gravità d'altrettante gran<lb></lb>dezze eguali fra di loro; suppongo che il centro comune <lb></lb>di tutte sia in una delle due sezzioni di mezzo CE, ED, <pb pagenum="118"></pb>e lo provo così. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Siano i centri di grandezze eguali i punti <lb></lb>F, G, H, I, N, L, M, O, ciascuno de' quali sia in uno dei <lb></lb>segamenti della linea utcumque. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Perchè dunque le gran<lb></lb>dezze, delle quali essi son centri si suppongono uguali, <lb></lb>sarà il centro comune delle due grandezze FO, il punto <lb></lb>medio della retta FO; ma il punto medio della retta FO <lb></lb>sta nella retta CD: così anco il centro della coppia GM sta <lb></lb>nella retta CD; et il centro dell'altre due coppie HL, et <lb></lb> <arrow.to.target n="marg525"></arrow.to.target><lb></lb>IN sta nella CD, adunque il centro comune di tutte sta <lb></lb>nella retta CD. </foreign></s> </p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg525"></margin.target>Per la 2. sup<lb></lb>posizione.</s></p> <figure id="fig535"></figure> <p type="main"> <s>Sia ora la superficie di un segmento, o frusto sferico <lb></lb>di cui sia asse AB, et segata <lb></lb> <arrow.to.target n="fig536"></arrow.to.target><lb></lb>per mezzo AB in C. Dico, che <lb></lb>C sarà centro di gravità. </s> <s><foreign lang="it">Se non <lb></lb>è C, sia un'altro, per esempio <lb></lb>D, e seghisi per mezzo AC in <lb></lb>E, et di nuovo EC seghisi per <lb></lb>mezzo in F, et così sempre, fin <lb></lb>che s'arrivi ad una sezione CF <lb></lb>minore della retta CD. Seghisi <lb></lb>poi tutto l'asse in parti uguali <lb></lb>alla CF, et per i punti passino <lb></lb>piani perpendicolari all'asse; non è dubbio, che tutte le <lb></lb> <arrow.to.target n="marg526"></arrow.to.target><lb></lb>superficie de frusti, e del segamento ultimo saranno eguali. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Anzi ogn'una di esse haverà il centro di gravità in un <lb></lb> <arrow.to.target n="marg527"></arrow.to.target><lb></lb>segamento della retta AB divisa in parti eguali. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Dunque il <lb></lb>centro comune di tutte le grandezze sarà in una delle due <lb></lb>sezzioni di mezzo CF, CG. Dunque il centro di tutte non è D, <lb></lb>ma necessariamente sarà C, dimostrandosi, che niun altro <lb></lb>punto della retta AB può essere centro di gravità della pre<lb></lb>detta superficie sferica, di segmento, o di frusto, che ella sia. </foreign></s> </p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg526"></margin.target>Per la 3.</s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg527"></margin.target>Per la 1.</s></p> <figure id="fig536"></figure> <p type="main"> <s>Non starò a tediarla da vantaggio. </s> <s><foreign lang="it">La riverisco con <lb></lb>ogni affetto, et ossequio, pregandole dal Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> Iddio il <lb></lb>colmo delle prosperità sempre, et in particolare in queste <lb></lb>prossime santissime Feste di Pasqua. <lb></lb> Di V. P.<emph type="sup"></emph>à<emph.end type="sup"></emph.end> M. R.da<lb></lb>Firenze 28 marzo 1643.<lb></lb> Dev.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> et Obbl.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Ser.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> perpetuo<lb></lb> Evangelista Torricelli</foreign></s> </p> <pb pagenum="119"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>50<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> BONAVENTURA CAVALIERI a [TORRICELLI <lb></lb>in Firenze].<lb></lb>Bologna, 31 marzo 1643.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLI, c. 165-166 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>M.to Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> et Ecc.mo Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> e P.ron mio Col.mo </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ho ricevuto la sua bellissima dimostrazione del centro di gravità <lb></lb>delle superficie delle porzioni, o segmenti della sfera, e veramente non <lb></lb>degenera punto dalla sottigliezza delle altre mandatemi; onde la devo <lb></lb>pregare a scusarmi, se io scrissi, se non ci aveva dubbio; poichè non <lb></lb>fu ciò, perchè io dubitassi, che ella si potesse ingannare, ma per levare <lb></lb>ogni minima ombra di dubitazione a chi è così pronto al cavillare. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Io dunque conforme al suo consiglio gli pronunzierò per falsa quella <lb></lb>sua proposizione. </foreign></s> <s><foreign lang="it">E se ella avesse pur la dimostrazione, che il centro <lb></lb>della superficie del Conoide parabolico non è l'istesso, che il Centro <lb></lb>della parabola, che passa per l'asse, aggiungerei questa ancora, tut<lb></lb>tavia, se non adesso si potrà poi inserire nella risposta. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Vedrò molto <lb></lb>volentieri l'opera del Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Nardi non per giudicarla, ma sibbene per <lb></lb>ammirarla, poichè mentre è stimato da Lei non può essere, se non <lb></lb>persona di molto valore. </foreign></s> <s><foreign lang="it">E quì finisco per non attediarla con augu<lb></lb>rarle felicissime feste, ed il colmo d'ogni felicità, baciandole affettuo<lb></lb>samente le mani. </foreign></s> <s><lb></lb>Di Bologna alli 31 marzo 1643.<lb></lb> Di V. S: M. Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> et Ecc.<emph type="sup"></emph>te<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb> F. Bonav.<emph type="sup"></emph>ra<emph.end type="sup"></emph.end> Cavalieri</s></p> <pb pagenum="120"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>51<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> TORRICELLI a [BONAVENTURA CAVALIERI <lb></lb>in Bologna].<lb></lb>Firenze, 4 aprile 1643.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XL, c. 128 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>M.to Rev.<emph type="sup"></emph>do<emph.end type="sup"></emph.end> P.re mio Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> P.rone Col.mo </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Che il centro della superficie del conoide parabolico <lb></lb>non sia l'istesso, che il centro della parabola genitrice, <lb></lb>io ne ho certezza per me stesso, ma non già dimostra<lb></lb>zione Geometrica. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Jo so questo di sicuro, che tutte quelle <lb></lb>grandezze, che avendo comune l'asse, et segate utcumque, <lb></lb>sempre si segano nell'istessa proporzione, hanno anco co<lb></lb>mune il centro della gravità, et di queste già se ne sanno <lb></lb>non poche. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ho poi dimostrazione che segando il conoide <lb></lb>parabolico con piani eretti all'asse, non si sega proporzio<lb></lb>nalmente la superficie del conoide, e la parabola genitrice, <lb></lb>o per axem; ma per esempio: essendo segato con un <lb></lb>piano solo, averà la superficie curva del frusto solido alla <lb></lb>superficie rimanente del conoide minore, minor proporzione, <lb></lb>che il frusto di parabola alla parabola minore rimanente. </foreign></s> <s><lb></lb>Ma in ciò non dirò altro, perchè sono cose, che andereb<lb></lb>bero in lungo. </s> <s><foreign lang="it">Jo ho fatto questa settimana santa a Ca<lb></lb>stello in Villa appresso il Ser.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> Principe D. Lorenzo, <lb></lb>con il quale non è passato quasi mai sera, che non si <lb></lb>sia fatto onoratissima commemorazione dell'immenso va<lb></lb>lore di V. P.<emph type="sup"></emph>à<emph.end type="sup"></emph.end>. S. A. mostra d'aver molta cognizione del <lb></lb>maraviglioso ingegno di F. Bonaventura, ancorchè da un <lb></lb>gran tempo in quà S. A. abbia abbandonato affatto ogni <lb></lb>applicazione de i studi, ne' quali fu già istruita, e dal <lb></lb>Galileo, e da D. Benedetto; e questo per causa di cattiva <lb></lb>sanità, che l'inquieta. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Il Sig. Cav.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> Lodovico Incontri <lb></lb>M.<emph type="sup"></emph>tro<emph.end type="sup"></emph.end> di Camera di S. A. et intendentissimo di questi studj, <lb></lb>non me la cedeva punto punto nel celebrare il nome di <pb pagenum="121"></pb>V. P.<emph type="sup"></emph>à<emph.end type="sup"></emph.end>, intorno al quale non si può ecceder tanto, che <lb></lb>sempre non sia meno del vero. </foreign></s> <s><foreign lang="it">La reverisco con ossequioso <lb></lb>affetto pregandole dal Cielo felicissima la santa Pasqua. <lb></lb> Di V. P.<emph type="sup"></emph>à<emph.end type="sup"></emph.end> M. Rev.da.<lb></lb>Firenze 4 Aprile 1643.<lb></lb> Evangelista Torricelli</foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>52<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> BONAVENTURA CAVALIERI a [TORRICELLI <lb></lb>in Firenze].<lb></lb>Bologna, 23 aprile 1643.<lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLI, c. 167-172 — Copia moderna). </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">L'originale di questa lettera era nel gennaio 1662 presso il Serenai: V. LETTERA AI <lb></lb>FILALETI DI TIMAURO ANTIATE, Firenze 1663, pag. 24. <emph type="italics"></emph>Inventario di scritture private <lb></lb>manoscritte che si adducono in questa lettera in prova della Verità,<emph.end type="italics"></emph.end> ecc., N. I.<gap desc="/SM"></gap></foreign></s> </p> <p type="main"> <s>M.to Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> et Ecc.mo Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> e P.ron mio Col.mo </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Se ne viene costà il P. F. Sigismondo Pellegri, che è mio vicario, <lb></lb>et amico parzialissimo di V. S., benchè non la conosca, se non per <lb></lb>fama, e per le relazioni, che con occasione delle sue lettere gli ho <lb></lb>dato di quando in quando del suo valore. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Viene per presentare all'Ill.mo <lb></lb>Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Conte Alessandro Bentivoglio il mio Libro Trigonometrico, al <lb></lb>quale da lui è stato dedicato, et anco per venire a conoscerla di pre<lb></lb>senza, e per riverirla in nome mio, con la quale occasione li presen<lb></lb>terà detto mio Libro, sebbene non senza mio rossore, poichè non è <lb></lb>cosa veramente degna di Lei, che è avvezza a cibarsi l'intelletto di <lb></lb>vivande d'altro sapore, che non sono queste mie piene d'insipidezza. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>La bellezza del carattere mi allettò alla ristampa di quelle cose, che <lb></lb>già altre volte stampate vennero scorrettissime, e le preghiere de'miei <lb></lb>scolari m'indussero a questa risoluzione, alla quale per altro non sarei <lb></lb>venuto. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Non è però il libro in tutto privo di qualche cosa, credo <lb></lb>nuova, tra le quali è principalmente la materia del Problema 10 della <lb></lb>Trigonometria sferica, la dimostrazione del quale non mi è accaduto <lb></lb>di vederla ancora appresso di altri. </foreign></s> <s>E finalmente la pregherò a con<lb></lb>donarmi la stampa di queste bagattelle, non mi permettendo la mia <lb></lb>continua infirmità di poter far cose maggiori. </s> <s><foreign lang="it">Intesi poi dalla sua <lb></lb>sotto il dì 4 d'Aprile la commemorazione fatta della persona mia con <lb></lb>il Seren.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Principe D. Lorenzo insieme con il Sig. Cav.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> Lodo- <pb pagenum="122"></pb>vico Incontri; onde mi confesso sommamente obbligato alla troppa <lb></lb>loro cortesia, et affetto, che li fa eccedere troppo gli angusti termini <lb></lb>de' miei meriti, e gliene rendo infinite grazie. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Vedo poi nell'istessa, <lb></lb>con quanta modestia ella proponga di non avere dimostrazione geo<lb></lb>metrica che il Centro di gravità della Parabola genitrice non sia <lb></lb>anco centro di gravità della superficie del Conoide generato, poichè <lb></lb>a me pare, che l'abbi molto vicina, mentre ha certezza delle due <lb></lb>proposizioni, che mi accenna. </foreign></s> <s>E con tale occasione non voglio man<lb></lb>care di dirle un mio peccato, acciò me ne dia tanto più volentieri <lb></lb>l'assoluzione, quanto io più liberamente lo confesso. </s> <s><foreign lang="it">La ragione del <lb></lb>Guldini, che il Centro di gravità della figura genitrice delle porzioni <lb></lb>di sfera, sferoide, Conoide sia l'istesso consiste tutta nella similitudine <lb></lb>presa con il Cono, e di lui frusto, nelli quali il Centro di gravità della <lb></lb>figura genitrice, e della superficie è tutt'uno, e però trapassando alli <lb></lb>aggregati di superficie conoide, e de' frusti, che si sogliono inscrivere, <lb></lb>e circoscrivere alla sfera conclude pure, che in questi solidi è vero, che <lb></lb>il Centro di gravità della figura genitrice, e della superficie del solido è <lb></lb>tutt'uno: onde potendo noi infinitamente avvicinarci alla superficie sfe<lb></lb>rica mediante l'inscrizione, e circoscrizione di questi solidi, perciò con<lb></lb>clude finalmente l'intento. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ora questa ragione mi quadrava tanto, che <lb></lb>mi fece restare alquanto titubante, innanzi che io vedessi la di lei di<lb></lb>mostrazione, e questa mia credenza nasceva dallo stimare, che quello, <lb></lb>che si verifica de' Coni, e frusti loro si verificasse anco degli aggregati <lb></lb>di coni, e di frusti; ma vista la dimostrazione di V. S: conclusi fra me, <lb></lb>che bisognava ciò fosse falso, e finalmente ne trovai anco la dimostra<lb></lb>zione, cioè essendo il solido ABCDF composto <lb></lb> <arrow.to.target n="fig537"></arrow.to.target><lb></lb>del cono retto ABF, e del frusto d'un altro <lb></lb>BCDF, e la figura ABCDF sua genitrice, provai, <lb></lb>che il Centro di essa come G non poteva esser <lb></lb>centro della superficie ABCDF (eccettuata la <lb></lb>base CD) poichè il triangolo ABF (che ha co<lb></lb>mune il Centro colla superficie ABF) al tra<lb></lb>pezio BCDF (che ha comune il Centro con la <lb></lb>superficie BCDF) non ha l'istessa proporzione, <lb></lb>che ha la superficie ABF alla superficie BCDF, <lb></lb>come ella benissimo può vedere, e perciò mi accorsi, che l'errore del <lb></lb>Guldini, e mio era cagionato dal credere questo per vero, che non è. </foreign></s> <s><lb></lb>Onde ella intende la ragione di quel poco dubbio, che avevo innanzi <lb></lb>il vedere la sua dimostrazione, e perciò la prego a scusarmene. </s></p> <figure id="fig537"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Finalmente ho sentito nell'ultima sua la misura dello spazio Cicloidale <lb></lb>con molta mia meraviglia, essendo stato sempre stimato problema di <lb></lb>molta difficoltà, che straccò già il Galileo, siccome io pure, parendomi <lb></lb>assai difficile lo lasciai andare; onde ella ne avrà non poca lode di <lb></lb>questo, oltre le tante sue meravigliose invenzioni, che gli daranno <lb></lb>eterna fama. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Non restarò poi di dirle intorno a questo, che il Galileo <lb></lb>mi scrisse una volta d'avervi applicato 40 anni fa, e che non aveva <lb></lb>potuto trovar niente, e che si era persuaso, che il detto spazio fosse <pb pagenum="123"></pb>triplo del circolo suo genitore, ma che poi gli pareva che non fosse <lb></lb>precisamente, se mal non mi ricordo, poichè per quanto abbi cercato <lb></lb>nelle mie scritture, non ho mai potuto tal lettera ritrovare. </foreign></s> <s>Sicchè se <lb></lb>sta, come mi pare di ricordarmi, bisogna, che esso molto s'ingannasse <lb></lb>a credere, che fosse altrimente, che triplo. </s> <s><foreign lang="it">Mi ha poi arrecato gusto <lb></lb>indicibile ancora che ella abbi un tale scolare, come si mostra il Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>Vincenzio Viviani, che arriva anch'esso a cosi belle sottigliezze. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma per <lb></lb>più non attediarla farò fine raccomandandoli il detto Padre, al quale <lb></lb>potrà conferire a bocca quelle cose, che alla penna arrecherebbero <lb></lb>stanchezza, e bisognandole mi sarà favore, che l'indirizzi in materia, <lb></lb>se sia bene o no presentare alcuna Copia ad alcuno di cotesti Seren.<emph type="sup"></emph>mi<emph.end type="sup"></emph.end>, <lb></lb>come meglio ella giudicherà; e qui la reverisco di tutto cuore. </foreign></s> <s><lb></lb>Di Bologna alli 23 aprile 1643.<lb></lb> F. Bonavent.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> Cavalieri</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>53<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> BONAVENTURA CAVALIERI a [TORRICELLI <lb></lb>in Firenze].<lb></lb>Bologna, 12 maggio 1643.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLI, c. 173-175 — Copia moderna)<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Molto Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> et Ecc.mo Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> e P.ron Col.mo </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ho letto le dimostrazioni mandatemi con quel gusto, et ammira<lb></lb>zione, che ella si può immaginare, mentre ho assaggiato un cosi glo<lb></lb>rioso, e maraviglioso parto del suo ingegno, intorno al quale hanno <lb></lb>indarno affaticato tanti altri. </foreign></s> <s>Onde lodo sommamente la generosa ri<lb></lb>soluzione di S. A. S. di fare stampare le sue tante, e tanto ammirande <lb></lb>invenzioni, degna veramente di sì gran Principe, poichè farà un im<lb></lb>menso beneficio a' letterati, mentre farà, che possino arricchirsi di <lb></lb>così preziose gioie. </s> <s><foreign lang="it">Questa gran felicità di trovar quello, che ad altri <lb></lb>non è stato concesso, mi fa sperare, che pure gli potria riuscire la <lb></lb>soluzione di questo problema mandatomi poco fa da Parigi, al quale <lb></lb>io non ho applicato per sentire io immediatamente muoversi la flus<lb></lb>sione, e venirmi la gotta, quando niente m'interno in specolazioni <lb></lb>tali, nè perciò penso d'applicare. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Però se a Lei paresse di specolarvi <lb></lb>sopra il Problema è tale. </foreign></s> <s>Invenire conum scalenum, cujus superficies sit <lb></lb>dato spatio aequalis. </s><s>Però non intendo d'incomodarla, ma di rimetterlo <lb></lb>al suo beneplacito. </s> <s><foreign lang="it">Il P.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> Sigismondo la risaluta, e se gli ricorda ser<lb></lb>vitore, et io la ringrazio dell'affetto, con il quale mostra di gradire <pb pagenum="124"></pb>quell'operetta, che gli dono a mio nome, la quale veramente non era <lb></lb>degna delle sue mani, essendo cosa destinata al mero servizio, e co<lb></lb>modo de' miei scolari, ma non occorre, che io più replichi le scuse, <lb></lb>che ella sa, che io feci nell'altra mia circa di questo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Mi avvisano poi <lb></lb>di Parigi non solo delli 4 Libri de' Conici del Migordi, ma di un nuovo <lb></lb>Libro intitolato così: nova Geometriae clavis Algebra, cuius beneficio <lb></lb>aperitur immensus Matheseos Thesaurus, et resolvuntur plurima pro<lb></lb>blemata hactenus non soluta in serie multarum quantitatum continue <lb></lb>proportionalium &. </foreign></s> <s>Authore Jacobo de Billy. </s> <s><foreign lang="it">Quali crederò di avere, poi<lb></lb>chè ho scritto, che me gli mandino, e Lei ne sarà padrona. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Mi è final<lb></lb>mente doluta in estremo la perdita del nostro comune, e dilettissimo <lb></lb>maestro che Iddio l'abbia avuto in gloria, avendo io più obblighi <lb></lb>a lui, che a tutti gli altri uomini del mondo insieme. </foreign></s> <s>Ma poichè la <lb></lb>sorte comune è inevitabile convien darsi pace. </s><s>Rimando i foglietti, e <lb></lb>la ringrazio infinitamente, e finisco per più non attediarla baciandole <lb></lb>affettuosamente le mani. </s><s><lb></lb>Di Bologna alli 12 maggio 1643.<lb></lb> Dev.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> et Obb.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Servit.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb> F. Bonaventura Cavalieri</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>54<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> [TORRICELLI a . . . . . . . . . . . . . . . ].<lb></lb>[Firenze, anteriore al luglio 1643].<lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">(Museo Torricelliano del Comune di Faenza — Autografa). </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">È questa certamente una copia del foglio di problemi dal Torricelli mandati per <lb></lb>la prima volta in Francia al P. Gio. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Francesco Nicerone, del quale foglio si <lb></lb>parla nel presente Volume a pag. 7, lin. 25; pag. 8, lin. 1-10; pag. 14, lin. 16-30; <lb></lb>e nelle lettere ai N. 55, 56 e 57; e che fu da questi rimesso al matematico Gilles <lb></lb>Personnier de Roberval il quale ne fece il commento nella lettera al P. Marino <lb></lb>Mersenne riportata nel seguito al N. 56. Non è probabile però che sia la copia <lb></lb>originale che pervenne nelle mani del Roberval, poichè i problemi enunciati <lb></lb>nella presente sono gli stessi che quelli considerati dal Roberval nella detta let<lb></lb>tera del N. 56, ma vi ha qualche variante nell'ordine in cui sono esposti, poi<lb></lb>chè ai N. 9, X, XI, 12, 13 della copia presente corrispondono invece nel com<lb></lb>mento del Roberval quelli indicati coi N. 10, 13, 12, 11, 9 rispettivamente. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Con molta probabilità è questa un'altra compilazione dei medesimi problemi che <lb></lb>dovette essere mandata dal Torricelli al P. Marino Mersenne, e c'è da credere <lb></lb>che fosse ritrovata nella cella di questo dotto religioso insieme a tutti gli ori<lb></lb>ginali delle altre lettere scrittegli dal Torricelli e che sono pubblicate nel pre<lb></lb>sente volume. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Racconta infatti il Padre Hilarione De Coste (LA VIE DU P. MARIN MERSENNE THEO<lb></lb>LOGIEN ecc. de l'Ordre des Peres Minimes. </foreign></s> <s>PAR F. H. D. C. Religieux du mesme <lb></lb>Ordre. </s> <s><foreign lang="it">A PARIS Chez SERASTIEN CRAMOISY M. DC. XLIX pag. 89-92) che dopo la <pb pagenum="125"></pb>morte del Mersenne avvenuta il 1° settembre 1648 furono ritrovate nella sua <lb></lb>cella una quantità di lettere di uomini insigni del suo tempo e fra queste varie <lb></lb>scrittegli da E. Torricelli. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Inoltre questo autografo insieme ad altri del Torri<lb></lb>celli faceva parte di un manoscritto posseduto nel 1875 dal conte Giacomo <lb></lb>Manzoni di Lugo, la provenienza del quale manoscritto si desume abbastanza <lb></lb>facilmente da quanto ne scrive il principe Baldassare Boncompagni (BULLETTINO <lb></lb>DI BIBLIOGRAFIA E DI STORIA DELLE SCIENZE MATEMATICHE E FISICHE, Roma, Tip. </foreign></s> <s><lb></lb>delle Scienze Mat. </s><s>e Fis., 1875, Vol. </s> <s><foreign lang="it">VIII, <emph type="italics"></emph>Intorno ad alcune lettere di Evangelista <lb></lb>Torricelli, del P. Marino Mersenne e di Francesco Du Verdus,<emph.end type="italics"></emph.end> pag. 353, nota 6): <lb></lb>“ Questo manoscritto è composto di 15 carte, numerate ne' margini superiori <lb></lb>“ de' <emph type="italics"></emph>recto<emph.end type="italics"></emph.end> coi numeri 2-16, nella 15<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> delle quali (<emph type="italics"></emph>verso<emph.end type="italics"></emph.end>), numerata nel mar<lb></lb>“ gine superiore del suo <emph type="italics"></emph>recto<emph.end type="italics"></emph.end> col numero 16, è scritto col lapis <emph type="italics"></emph>Lettres trouvées a <lb></lb>“ l'Académie des Sciences ”.<emph.end type="italics"></emph.end> (V. l'annotazione premessa al N. 117 del presente <lb></lb>“ volume). Il Manoscritto medesimo già posseduto da Guglielmo Libri, illustre <lb></lb>“ matematico, nato in Firenze il 2 gennaio 1803 e morto in Fiesole nel giorno 28 <lb></lb>“ di settembre 1869, è accuratamente descritto in una perizia legale ora posseduta <lb></lb>“ dal prelodato sig. conte Manzoni, contenuta in 14 carte, numerate, nè <emph type="italics"></emph>recto<emph.end type="italics"></emph.end> coi <lb></lb>“ numeri III, 1, 3, 5, 7, 8, 10, 12. 14 intitolato (pag. 1<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end>, lin. 1-3) “ PROCÈS VERBAL <lb></lb>“ d'EXPERTISE ARBOGAST ” e che ha (pag. 1, lin. 18-19) le seguenti data e firma: <lb></lb>“ <emph type="italics"></emph>Londres 1<emph.end type="italics"></emph.end><emph type="sup"></emph>er<emph.end type="sup"></emph.end> <emph type="italics"></emph>mai 1850. F.ic Lepelle de Bois Gallais<emph.end type="italics"></emph.end> ”. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">I fogli del manoscritto in discorso furono venduti separatamente, quelli aventi le <lb></lb>carte numerate coi numeri 4, 5, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 trovansi ora nel Museo <lb></lb>Torricelliano della Città di Faenza e conservano le traccie dell'antica rilegatura, <lb></lb>nonchè quelle della numerazione che era fatta col lapis. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Quello che viene qui <lb></lb>pubblicato costituiva le due carte 12-13 del codice già posseduto dal sig. conte <lb></lb>Giacomo Manzoni e porta sul <emph type="italics"></emph>recto<emph.end type="italics"></emph.end> di ciascuna di esse in alto a sinistra come <lb></lb>firma dal perito <emph type="italics"></emph>F.ic Lepelle de Bois Gallais,<emph.end type="italics"></emph.end> la sigla <emph type="italics"></emph>F L. de B G.<emph.end type="italics"></emph.end> Nel seguito <lb></lb>sono pubblicate al N. 138 le carte 2-3, al N. 120 le c. 4-5, al N. 124 le c. 6-9, al <lb></lb>N. 176 le c. 10-11 ed al N. 117 le c. 14-16 dello stesso manoscritto.<gap desc="/SM"></gap></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>De solidis sphaeralibus.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>I.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Sit intra circulum descriptum fuerit <lb></lb> <arrow.to.target n="fig538"></arrow.to.target><lb></lb>poligonum regulare habens latera nu<lb></lb>mero paria; et convertatur figura circa <lb></lb>catetum B. Quaeritur ratio sferae ad <lb></lb>solidum. </s></p> <figure id="fig538"></figure> <p type="main"> <s>Continuetur ratio A ad B in qua<lb></lb>tuor terminis A, B, C, D; eritque sfera ad solidum ut dia<lb></lb>meter sferae, hoc est ut dupla A ad utramque simul B <lb></lb>et D. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>2.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si in circulo fuerit poligonum regulare <lb></lb> <arrow.to.target n="fig539"></arrow.to.target><lb></lb>parilaterum, et convertatur figura circa <lb></lb>diagonalem A. Queritur etc. </s></p> <figure id="fig539"></figure> <p type="main"> <s>Ostendimus sfaeram esse ad solidum <lb></lb>ut quadratum A ad quadratum B. Etc. </s></p> <pb pagenum="126"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>3.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si in circulo sit poligonum regu<lb></lb> <arrow.to.target n="fig540"></arrow.to.target><lb></lb>lare imparilaterum, et convertatur <lb></lb>figura circa A. Quaeritur etc. </s><s>Con<lb></lb>tinuetur ratio B ad A in quatuor <lb></lb>terminis B, A, C, D; eritque sfera ad <lb></lb>solidum ut quadrupla ipsius B ad A <lb></lb>semel, C bis, et D semel simulque <lb></lb>sumptas. </s></p> <figure id="fig540"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>4.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si circa circulum sit poligonum re<lb></lb> <arrow.to.target n="fig541"></arrow.to.target><lb></lb>gulare parilaterum, et convertatur figura <lb></lb>circa B. Queritur etc. </s><s>Erit solidum ad <lb></lb>sferam ut duo simul quadrata A, et B <lb></lb>ad duplum quadrati B. </s></p> <figure id="fig541"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>5.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si circa circulum sit poligonum regu<lb></lb> <arrow.to.target n="fig542"></arrow.to.target><lb></lb>lare parilaterum, et convertatur circa A. <lb></lb>Queritur etc. </s><s>Erit solidum ad sferam ut <lb></lb>axis ad axem, nempe ut A ad B. </s></p> <figure id="fig542"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>6.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si circa circulum sit poligonum <lb></lb> <arrow.to.target n="fig543"></arrow.to.target><lb></lb>regulare imparilaterum, et conver<lb></lb>tatur figura circa B. Queritur etc. </s><s><lb></lb>Continuetur ratio A ad B in 3 ter<lb></lb>minis, eritque solidum ad sferam ut <lb></lb>A semel, B bis, et C semel simulque <lb></lb>sumptae ad quadruplum ipsius C. <lb></lb>Etc. </s><s>Etc. </s><s>Etc. </s></p> <pb pagenum="127"></pb> <figure id="fig543"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>7.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Datis duobus quibuscumque ex solidis praedictarum sex <lb></lb>specierum, rationem alterius ad alterum exprimere. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>8.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si poligonum regulare parilaterum du<lb></lb> <arrow.to.target n="fig544"></arrow.to.target><lb></lb>plici axe convertatur, nempe circa B, et <lb></lb>circa A. Erit solidum cujus axis B ad so<lb></lb>lidum cujus axis A, ut duo simul quadrata <lb></lb>A et B ad rectangulum quod fit ex A in <lb></lb>B bis sumptum etc. </s></p> <figure id="fig544"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>9.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Centrum gravitatis parabolae ostenditur a priori, hoc <lb></lb>est non supposita quadratura; et hoc facillimé. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>X.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si fuerit frustum sfericum planis pa<lb></lb> <arrow.to.target n="fig545"></arrow.to.target><lb></lb>rallelis absissum, cujus centrum gravita<lb></lb>tis O, erit EO ad OF ut quadratum BC <lb></lb>cum duobus quadratis EF, duobusque <lb></lb>AD, ad quadratum AD cum duobus EF, duobusque BC. </s></p> <figure id="fig545"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>XI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si fuerit solidum ABC factum <lb></lb> <arrow.to.target n="fig546"></arrow.to.target><lb></lb>ex revolutione sectionis coni circa <lb></lb>axem BD, inscriptus vero conus sit <lb></lb>ABC. Applicata FE, ad punctum <lb></lb>medium axis, erit solidum ad conum <lb></lb>inscriptum ut duo quadrata FE, EG <lb></lb>ad duplum quadrati EG. </s></p> <figure id="fig546"></figure> <p type="main"> <s>Si vero fiat ut quadratum FE ad <lb></lb>quadratum EG ita recta DO ad OE, erit O centrum gra<lb></lb>vitatis solidi. </s><s>etc. </s></p> <pb pagenum="128"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Vel sic.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Erit solidum ABC ad conum inscriptum, ut circulus <lb></lb>basis AC una cum quadruplo circuli qui axem bifariam <lb></lb>secat, ad duplum ejusdem basis. </s><s>etc. </s><s>etc. </s><s>etc. </s><s>Posito verò <lb></lb>centro gravitatis O, erit BO ad OD ut basis solidi cum <lb></lb>duplo circuli qui axem bifariam secat, ad duplum ejusdem <lb></lb>circuli qui axem secat bifariam. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Definitio.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si circulus aliquis signato <lb></lb> <arrow.to.target n="fig547"></arrow.to.target><lb></lb>aliquo ipsius puncto rectam <lb></lb>lineam contingat, et super ea<lb></lb>dem convertatur donec signa<lb></lb>tum punctum ad contactum <lb></lb>redeat, lineam curvam quam signatum punctum describit, <lb></lb>cycloidem appellant. </s></p> <figure id="fig547"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>12.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Omne spatium cycloidale, nempe contentum sub curva <lb></lb>illa, et recta quae ipsius basis est, triplum demonstratur <lb></lb>circuli ipsius genitoris; sive sesquialterum trianguli sibi <lb></lb>inscripti, et hoc quinque modis inter se differentibus. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Definitio.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si planum duarum linearum aequidis<lb></lb> <arrow.to.target n="fig548"></arrow.to.target><lb></lb>tantum AB, CD manente ipsarum altera <lb></lb>CD, convertatur motu circulari, eodemque <lb></lb>tempore triangulum EAF habens angu<lb></lb>lum EAF rectum moveatur motu progres<lb></lb>sivo super recta AB, ita ut semper in <lb></lb>plano parallelarum existat; solidum de<lb></lb>scriptum a triangulo EAF cocleam appellamus. </s></p> <pb pagenum="129"></pb> <figure id="fig548"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>13.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Coclea primae revolutionis, (hoc est facta a triangulo <lb></lb>EAF donec ad idem planum pervenerit a quo moveri ce<lb></lb>perat) aequalis est conoidi hyperbolico cujus latus rectum <lb></lb>habetur si fiat ut FA ad AE ita dupla AC ad aliam. </s><s>Ver<lb></lb>sum vero habetur, si fiat ut EA ad AF ita dupla AC ad <lb></lb>aliam, altitudo verò conoidis sit AF. Et idem solidum co<lb></lb>cleare primae revolutionis centrum gravitatis habet in <lb></lb>recta CD, in loco cognito. </s></p> <p type="main"> <s>Coclea non solum a triangulo genita, sed etiam a qua<lb></lb>libet figura etiam irregulari aequalis est solido recto, <lb></lb>cujus basis sit figura genitrix cocleae, altitudo verò linea <lb></lb>quaedam cognita etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Definitio.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si hyperbola cujus asimptoti AB, <lb></lb> <arrow.to.target n="fig549"></arrow.to.target><lb></lb>BC angulum rectum compraehendant <lb></lb>convertatur circa manentem axem AB, <lb></lb>solidum fiet infinitae longitudinis versus <lb></lb>A (non autem infinitae magnitudinis), <lb></lb>quod appellamus acutum solidum hy<lb></lb>perbolicum. </s></p> <figure id="fig549"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>14.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Dato ex hoc solido frusto quolibet EDFG, secto planis <lb></lb>ad axem erectis; illud secatur plano basibus parallelo in <lb></lb>qualibet data ratione. </s><s>Item ostenditur quod frustum illud <lb></lb>medium proportionale est inter duos cilindros, quorum <lb></lb>bases sint EG, DF, altitudo verò eadem cum frusto, etc. </s><s><lb></lb>Item probatur quod solidum acutum super basi DF ere<lb></lb>ctum, et extensum versus A in infinitam longitudinem, <lb></lb>aequale est cylindro cujus basis DF, altitudo verò IB. </s></p> <p type="main"> <s>Metimur etiam solidum acutum factum ab hyperbola <lb></lb>cujus asymptoti angulum acutum, sive obtusum con<lb></lb>tineant </s></p> <pb pagenum="130"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>15.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Suppositis infinitis multitudine numeris, sive magnitu<lb></lb>dinibus in continua proportione Geometrica majoris inae<lb></lb>qualitatis, ostenditur primus terminus medius proportio<lb></lb>nalis inter primam differentiam et aggregatum omnium <lb></lb>terminorum (primam voco differentiam excessum primi <lb></lb>numeri supra secundum). </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>16.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Omnes et singulae proiectiones quae ab eodem impetu <lb></lb>fiunt ex puncto A, contingunt superficiem cujusdam conoidis <lb></lb> <arrow.to.target n="fig550"></arrow.to.target><lb></lb>parabolici, cujus focus sit A; quarta verò pars lateris recti <lb></lb>sit AB, jactus perpendicularis sursum. </s><s>etc. </s><s>Item longitudo <lb></lb>projectionis factae ad elevationem semirectam dupla est <lb></lb>jactus perpendicularis sursum facti ab eodem impetu. </s><s>etc. </s><s><lb></lb>Et multa his similia, quae ob cartae brevitatem omit<lb></lb>tuntur. </s></p> <pb pagenum="131"></pb> <figure id="fig550"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>55<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> MICHELANGELO RICCI a TORRICELLI <lb></lb>[in Firenze].<lb></lb>Roma, 18 luglio 1643.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLII, c. 9-13 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Al M.to Ill.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> e m.to Ecc.te Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> e P.rone <lb></lb>il Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Vangelista Torricelli </s></p> <p type="main"> <s>M.to Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end>, e m.to Ecc.<emph type="sup"></emph>te<emph.end type="sup"></emph.end> Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> mio Oss.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Fu mio pensiero il procurar la luce della stampa alle opere di Don <lb></lb>Benedetto, avendomi ciò persuaso quella gratitudine, che io sempre <lb></lb>ho detto a V. S: aver nell'animo mio altam.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> fisse le sue radici. </foreign></s> <s>Sono <lb></lb>troppo grandi le obbligazioni, che io devo alla memoria immortale di <lb></lb>quel Padre, che con effetti di non ordinaria umanità sempre mi ha <lb></lb>ricevuto, onorato, et amato. </s> <s><foreign lang="it">Ma poichè le cose passano nel modo, che <lb></lb>ella mi dice, ed il pubblicar le sue scritture potrebbe fomentare in <lb></lb>altrui qualche livido affetto di malignità, non tirerò più avanti il ne<lb></lb>goziato, ma distornerò quel poco trattato, che ordito avevo co'monaci, <lb></lb>e con il Libraio. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Attenda pure frattanto V. S: a sollecitare il suo libro, <lb></lb>perchè possa poi affaticare a pubblica utilità, e ridurre in netto questa <lb></lb>opera di Don Benedetto. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Il Padre Nicerone mi scrive, che esso, e tutti <lb></lb>gli virtuosi di quel Regno desiderano di veder quanto prima le opere <lb></lb>di V. S: e che il foglio di proposizioni, che io gli mandai va cammi<lb></lb>nando per le mani di tutti con molta lode delle belle invenzioni di <lb></lb>V. S:. Soggiunge poi alcuni complimenti garbatissimi di offerta, e di <lb></lb>scusa a V. S:, et a me, in conformità dei quali dice d'averne scritto <lb></lb>a V. S:. Quanto alla dimostrazione, che io Le mandai, già l'avevo <lb></lb>veduta in Sereno, e quando che in lui stavo leggendola mi avvidi che <lb></lb>poteva leggiadram.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> adattarsi alla proposizione degli angoli della <lb></lb>incidenza, e della riflessione per misurare la lunghezza de' raggi, co' <lb></lb>quali son portate le specie all'occhio. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma prima che da Sereno l'ap<lb></lb>presi da V. S: mentre studiavo gli elementi di Euclide, che mi ricordo <lb></lb>ancora, che la mi disse in due maniere differenti. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Mi compiacqui assai <lb></lb>nel potere applicare a materie naturali quella dimostrazione che è <lb></lb>graziosissima in se stessa; ma però che non serviva ad altro, che a <lb></lb>pascere l'intelletto astratto mi pareva in un certo modo che fosse <lb></lb>inutile, e . . . . . . E poichè vedo, che V. S: è così propizio al mio <lb></lb>profitto non (<emph type="italics"></emph>sic<emph.end type="italics"></emph.end>) voglia gravarsi di leggere l'infrascritta dimostrazione, <lb></lb>la quale quando mi venga approvata da V. S: mi renderò sicuro non <pb pagenum="132"></pb>solo della bontà della dimostrazione, ma assieme d'aver ben capita la <lb></lb>materia delle resistenze del Galileo, intorno alla quale versa. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Sia dato il prisma, o cilindro <lb></lb> <arrow.to.target n="fig551"></arrow.to.target><lb></lb>AB, nel quale preso ad arbitrio il <lb></lb>punto E sia quivi sostenuto il <lb></lb>peso L come peso massimo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Dato <lb></lb>poi un'altro peso G si cerca di tro<lb></lb>vare nel prisma AB il luogo, dove <lb></lb>il peso G sia retto come peso <lb></lb>massimo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Sulla lunghezza AB s'in<lb></lb>tenda descritta la parabola ADB, il <lb></lb>cui diametro DC, et ad esso sia pa<lb></lb>rallela la FE. Si faccia come il <lb></lb>peso G al peso L, così la retta <lb></lb>EF alla parte HC del diametro DC, e dal punto H si tiri la HI <lb></lb>parallela alla BA, et dal punto I la KI parallela al diametro DC; <lb></lb>dico il punto K essere il punto cercato. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Perchè il peso G al peso L <lb></lb>si è fatto, come la FE alla HC, ovvero KI, cioè come il rettangolo <lb></lb>BEA al rettangolo AKB, cioè come la resistenza in K alla resistenza <lb></lb>in E. Dunque permutando, il peso G alla resistenza in K ha la pro<lb></lb>porzione del peso L alla resistenza in E che sono eguali per il sup<lb></lb>posto, et però il peso G sarà sostenuto in K come peso massimo, <lb></lb>il che & </foreign></s> </p> <figure id="fig551"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Il Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Raffaello saluta caramente V. S:, lo viddi l'altra mattina, <lb></lb>e mi diede nuova, che il Berti era fatto Littore qui di Sapienza. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Il <lb></lb>Sig<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Buonaccorsi è andato a Sora invitato dal Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Duca, et accom<lb></lb>pagnato dall'Abate Buoncompagni fratello del Duca, e quivi passerà <lb></lb>questa estate. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Io però non ho potuto considerar le spire delle cam<lb></lb>panelle, e cucuzze, ma ringrazio V. S: dell'avvertenza, e mi rallegro, <lb></lb>che cotesti suoi discepoli siano diligenti osservatori della natura. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Buon <lb></lb>per loro, che hanno maniera di far si belle osservazioni, et inoltre <lb></lb>comodità di V. S: che gli promuove a più alte considerazioni. </foreign></s> <s>La ri<lb></lb>verisco con cuore pieno di gratitudine, e colmo di affetto. </s><s><lb></lb>Roma li 18 Luglio 1643.<lb></lb> Di V. S. M.to Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> et Ecc.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>Aff.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> et Obb.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Discepolo<lb></lb> Michelangelo Ricci</s></p> <pb pagenum="133"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>56<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> [GILLES PERSONNIER DE ROBERVAL] <lb></lb>a MARINO MERSENNE in Parigi.<lb></lb>Parigi, anteriore all'agosto 1643.<lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s> <s><foreign lang="it">Galileiani, Discepoli, T. XLI, c. 2-6 — Copia del tempo con <lb></lb>note di mano propria di Torricelli). </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Un altro esemplare mss. </s> <s><foreign lang="it">di questa lettera in copia di Vincenzo Viviani trovasi nel <lb></lb>codice intitolato “ Discepoli di Galileo, T. XXXII ” a carte 15-20. Inoltre se ne <lb></lb>hanno due copie a stampa del 1693 e 1730 nella raccolta: DIVERS OUVRAGES DE <lb></lb>MATHEMATIQUE ET DE PHYSIQUE, <emph type="italics"></emph>Par Messieurs de l'Académie Royale des Sciences,<emph.end type="italics"></emph.end><lb></lb>A PARIS DE L'IMPRIMERIE ROYALE, M.DC.SCIII; e nel volume: MEMOIRES DE L'ACA<lb></lb>DEMIE ROYALE DES SCIENCES Depuis 1666 jusqu' à 1699, TOME VI, A PARIS PAR LA <lb></lb>COMPAGNIE DES LIBRAIRES, M.DCC.XXX, AVEC PRIVILEGE DU ROY. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Una copia mss , forse la medesima che qui viene riprodotta, trovavasi nel gennaio 1662 <lb></lb>in mano di L. Serenai: V. LETTERA AI FILALETI DI TIMAURO ANTIATE, ecc. Fi<lb></lb>renze 1663, pag. 24, <emph type="italics"></emph>Inventario di scritture private manoscritte, che si adducono in <lb></lb>questa lettera in prova della Verità<emph.end type="italics"></emph.end> ecc., N. VI.<gap desc="/SM"></gap></foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Epistola . . . . . . . . . <lb></lb>ad Mersennium </s></p> <p type="main"> <s>Reverende Pater </s></p> <p type="main"> <s>Ex propositionibus Clariss. </s><s>Torricellii eas tantum examinandas cen<lb></lb>sui, quas non nisi ab egregio Geometra profectas esse iudicabam. </s><s><lb></lb>Qua propter praetergressis octo primis circa sphaeram et solida eidem <lb></lb>inscripta, et circumscripta, quarum examen quesivis vel mediocriter <lb></lb>versatum fugere, non posse existimavi; nonam aggressus sum quae est <lb></lb>de dimensione cochleae, quam ut ardua est ita veram esse certissima <lb></lb>demonstratione perspexi, ita ut ex ea unica Authorem inter praestantes <lb></lb>huius seculi Mathematicos enumerare non verear ; <expan abbr="quotq.">quotque</expan> fortasse <lb></lb>mirere, nihil refert magis ne an minus inter se distent spirae ipsius <lb></lb>cochleae modo idem sit semper triangulum, a quo describatur; sed et <lb></lb>etiam si ipsum triangulum moveatur tantum ad motum parallelo<lb></lb>grammi, non autem motu progressivo ita ut idem triangulum absoluta <lb></lb>conversione in se ipsum redeat; eodem modo se res habebit, nec mu<lb></lb>tabitur propositio. </s></p> <p type="main"> <s>10. — De centro gravitatis parabolae inveniendo a priori, nulla <lb></lb>supposita eius quadratura si ipse sic proponit ut se invenisse intelligat, <pb pagenum="134"></pb>laudamus . Si vero a nobis quaerit dabitur illi non solum in parabola <lb></lb>conica, quam quadraticam appellamus, quia in ea quadrata ordinatim <lb></lb>applicatarum inter se sunt ut portiones diametri: sed etiam in parabola <lb></lb>cubica in quadrato-quadratica etc. </s><s>atque in earum solidis; sive ipsae <lb></lb>parabolae circa suos axes; sive circa tangentes ad extremitatem axis; <lb></lb>sive circa aliquam ex ordinatis ad axem convertantur, et geniti inde <lb></lb>solidi sive fusi parabolici, dimidium plano ad ipsius axem erecto rese<lb></lb>ctum proponatur; et multa alia de quibus si aliquando res postulabit <lb></lb>futius agemus. </s><s>Nunc vero hoc indicasse sufficiat, in dimidio fuso parabo<lb></lb>lico quadratico centrum gravitatis axem dividere in duas portiones qua<lb></lb>rum ea quae ad verticem, ad eam quae ad basim se habet ut 11 ad 5; in <lb></lb>cubico ut 13 ad 7; in quadrato quadratico ut 15 ad 9; in quadrato cubico <lb></lb>ut 17 ad 11; atque ita in infinitum addendo semper 2 ad singulos <lb></lb>praecedentis rationis terminos praeter rationes solidorum ipsorum ad <lb></lb>cilindros quibus inscribuntur quas omnes invenimus, et quarum spe<lb></lb>culatio forsan minime spernenda Viro Clarissimo videbitur . </s></p> <p type="main"> <s>11. — In cycloide Torricelli agnosco nostram trochoidem, nec <lb></lb>recte percipio quomodo ipsa ad Italos pervenerit , nobis nescientibus, <lb></lb>nisi forsan a J De Beaugrand missa fuerit, cui hoc solemne erat, alio<lb></lb>rum inventa mutatis vocabulis, et supressis Authorum nominibus propa<lb></lb>lare. </s><s>Quod si illa tanto Viro (Torricellium intelligo) placuerit laetor. </s><s><lb></lb>Spero autem brevi fore ut eadem in lucem emittatur, cum suis tangen<lb></lb>tibus, cumque solido ex conversione illius circa basim genito, forsan <lb></lb>et circa axem: neque id tantum in prima trochoide, cuius basis aequalis <lb></lb>esse ponitur circumferentiae rotae genitricis; sed etiam in quavis alia <lb></lb>trochoide sive prolata, sive contracta atque in socijs earundem. </s></p> <p type="main"> <s>12. — Propositio de solido a qualibet sectione coni circa axem <lb></lb>circumvoluta, descripto, atque ad conum eidem inscriptum unica nu<lb></lb>meratione collato elegantissima est, et verissima, demonstravimus enim. </s><s><lb></lb>Nec ei inferior est ea que sub eadem figura habetur de centro gravi<lb></lb>tatis ipsorum solidorum, quas etiam demonstravimus : quod si ambas <lb></lb>duabus tantum demonstrationibus ostenderit, nihil video quod in hac <lb></lb>materia desiderari possit : sed vereor ne positis Authorum demonstra<lb></lb>tionibus ipse inde propositiones suas deduxerit: quod etiam si ita esset <lb></lb>tamen non parum laudis mereretur: neque enim cuilibet contingit <lb></lb>aliorum inventis addere tanti ponderis propositiones. </s></p> <pb pagenum="135"></pb> <p type="main"> <s>13. — Eiusdem fere argumenti est sequens propositio de frusto <lb></lb>sphaerico duobus planis parallelis secto, de quo nihil dicimus quia in <lb></lb>eo non immorati sumus . </s></p> <p type="main"> <s>14. — Omnium elegantissima est decimaquarta cuius demonstra<lb></lb>tionem hic addere libet, <lb></lb> <arrow.to.target n="fig552"></arrow.to.target><lb></lb>cuperemque valde scire <lb></lb>utrum in idem cum Cla<lb></lb>rissimo Viro medium in<lb></lb>ciderim, vel diversum . <lb></lb>Igitur in fig. cuius con<lb></lb>structionem ex ipsius <lb></lb>Torricellj propositione <lb></lb>notam esse suppono, e<lb></lb>xistente B centro hyperb. </s><s><lb></lb>asymptotis BA, BC ad <lb></lb>angulos rectos, solido <lb></lb>autem quovis DEFG ter<lb></lb>minato, ut propositum <lb></lb>est; primum ostenda<lb></lb>mus tale solidum me<lb></lb>dium proportionale esse <lb></lb>inter duos cylindros eius<lb></lb>dem altitudinis cum so<lb></lb>lido puta rectae AH, quo<lb></lb>rum unius basis sit cir<lb></lb>culus DE, alterius vero <lb></lb>FG, ex hac enim cae<lb></lb>tera facile demonstra<lb></lb>buntur. </s><s>Inter AB et BH <lb></lb>media proportionalis sit <lb></lb>BT, tum inter BA et BT <lb></lb>media quoque proportionalis sit BN, atque inter BT et BN esto <expan abbr="Bq.">Bque</expan> <lb></lb>Item inter BA et BN sit BK, inter BT et B4 sit BY, inter B4 et BH <lb></lb>sit B7; atque ita tot continuae inveniantur mediae quot libuerit; sic <lb></lb>enim erunt quoque continuae proportionales differentiae ipsarum H7, 7 4, <lb></lb>4Y, etc. </s><s>usque ad ultimam KA, et in eadem ratione primarum; patet <lb></lb>autem hac ratione eo deveniri posse ut cylindrus cuius basis circulus <lb></lb>FG, altitudo autem ultima differentia KA minor sit quovis spatio so<lb></lb>lido dato; iam per puncta 7, 4, Y, T, etc. </s><s>ducantur plana ad rectam <lb></lb>AB erecta solidum secantia secundum circulos quorum diametri 6 8, <lb></lb>3 5, XZ, SV etc. </s><s>parallelae ipsi FG; patet quoque ex natura hyper- <pb pagenum="136"></pb>bolae proportionales esse rectas FH, 6 7, 3 4, XY, ST, et reliquas in <lb></lb>eadem ratione sed inversa primarum BH, B7, B4, etc. </s><s>denique inscri<lb></lb>bantur et circumscribantur ipsi solido totidem cylindri quot sunt dif<lb></lb>ferentiae H7, 7 4, 4Y, etc: <expan abbr="sintq.">sintque</expan> inscripti 8 21, 5 10, Z 14 etc. </s><s>circum<lb></lb>scripti vero F11, 6 15, 3 17, etc. </s><s>constat ergo omnes circumscriptos <lb></lb>simul superare omnes inscriptos simul minori spatio quam cylindro <lb></lb>altitudinis KA et basis FG, hoc est minori spatio quovis proposito. </s><s><lb></lb>Praeterea cylindrus basis SV, et altitudinis AH est medius proportionalis <lb></lb>inter cylindros eiusdem altitudinis sed basium DE, FG; dividatur ipse <lb></lb>medius in cylindros eiusdem basis SV sed altitudinum H7, 7 4, 4Y, YT, <lb></lb>etc. </s><s>usque ad ultimum altitudinis AK, qui ultimus maior quidem est <lb></lb>primo inscripto 8 21, sed minor circumscripto F11, quod sic ostendimus. </s><s><lb></lb>Quoniam recta ST media est proportionalis inter DA, FH, maior erit <lb></lb>ratio circuli medii SV ad circulum 6 8, quam rectae DA ad rectam 6 7; <lb></lb>at idem circulus medius SV ad circulum FG minorem habebit rationem, <lb></lb>quam eadem recta DA ad eamdem 6 7; ut autem DA ad 6 7, ita H7 ad <lb></lb>AK, ergo circulus medius SV ad basim quidem inscripti 6 8, maiorem <lb></lb>habet rationem: ad basim vero circumscripti FG, minorem quam alti<lb></lb>tudo communis inscripti et circumscripti H7, ad altitudinem ultimi <lb></lb>medii AK; eodem modo demonstrabimus cylindrum altitudinis NK <lb></lb>basis vero circuli medii SV, maiorem quidem esse secundo inscripto <lb></lb>5 10; minorem vero secundo circumscripto 6 15, atque ita de reliquis <lb></lb>ordine sumptis. </s><s>Patet igitur tandem totum cylindrum medium omnibus <lb></lb>quidem inscriptis simul maiorem esse; omnibus vero circumscriptis <lb></lb>minorem caetera persequi apud vos inutile fuerit . </s></p> <figure id="fig552"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Corollarium.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Patet autem manifesto positis rectis BH, B7, B4, BY, etc. </s><s>continuè <lb></lb>proportionales, et facta constructione eadem, dividi totum solidum <lb></lb>hyperb. </s><s>FGED in portiones continue proportionales, in eadem quidem <lb></lb>sed inversa ratione rectarum ipsarum BH, B7, B4 etc. </s><s>quae portiones <lb></lb>erunt FG 8 6, 6 8 5 3, 3 5 ZX etc. </s><s>quia qui ipsis portionibus aequales <lb></lb>erunt in ratione proposita, quae proprietas eximia est . </s></p> <p type="main"> <s>Secundo intelligamus solidum hyperbolicum BA versus A infinite <lb></lb>productum esse; atque idem secari quovis plano 3 5, ad rectam BA <lb></lb>erecto in puncto 4, ac circulum constituente, cuius diameter 3 5 tum <lb></lb>super hac base circulo 3 5 esto cylindrus 3 5 24 23, cuius altitudo <lb></lb>sit B4. Dico talem cylindrum aequalem esse solido hyperbolico super <lb></lb>basi 3 5 constituto, atque infinite versus A extenso. </s></p> <p type="main"> <s>Alias vel cylindrus maior est solido vel minor; esto primum maior, si <lb></lb>fieri potest, et excessus esto magnitudo 25, ita ut solidum hyperb. </s><s>una <pb pagenum="137"></pb>cum spatio 25 intelligatur aequale esse cylindro proposito 3 5 24 23. <lb></lb>Jam intelligatur cylindrus quidam cuius altitudo B4, semidiameter vero <lb></lb>basis PQ, ita ut hic cylindrus minor sit spatio 2 5, sit autem PQ perpen<lb></lb>dicularis ad BA <expan abbr="atq.">atque</expan> interjecta inter hyperbolam et asymptoton, hoc <lb></lb>enim fieri potest. </s><s>Tum fiat ut B4, ad BQ, ita BQ ad BA, et terminetur so<lb></lb>lidum hyperbolicum circulo DAE. Erit ergo ex praedemonstratis solidum <lb></lb>3 5 E D aequale cylindro altitudinis A4, basis vero semidiametri <expan abbr="Pq;">Pque</expan> <lb></lb>addantur inaequalia solido quidem spatium 25, cylindro vero alter <lb></lb>cylindrus altitudinis B4, et eiusdem basis semidiametri PQ, fient ergo <lb></lb>inaequalia, illinc solidum hyperbolicum 35ED, una cum spatio 25, maius; <lb></lb>hinc vero totus cylindrus altitudinis AB, basis semidiametri PQ, minor: <lb></lb>at totus hic cylindrus aequalis est cylindro proposito 3 5 24 23, quia <lb></lb>bases et altitudines reciprocantur ex natura hyperbolae. </s><s>Ergo solidum <lb></lb>hyperbolicum 35ED, una cum spatio 25, maius esset cylindro 3 5 24 23; <lb></lb>verum solidum hyperbolicum infinite extensum versus A una cum eodem <lb></lb>spatio 25 positum est aequale eidem cylindro 3 5 24 23; hoc ergo infinite <lb></lb>extensum minus esset sua portione 3 5 ED, quod est absurdum. </s></p> <p type="main"> <s>Esto 2° cylindrus 5 23; minor solido hyperbolico infinite extenso, <lb></lb>si fieri potest; poterit ergo ex ipso solido detrahi portio quaedam puta <lb></lb>3 5 ED maior eodem cylindro 5 23, ita ut planum DE parallelum sit plano <lb></lb>3 5, <expan abbr="constituatq.">constituatque</expan> circulum cuius centrum A. Inveniatur recta BQ media <lb></lb>proportionalis inter BA et B4; seceturque solidum hyperbolicum plano <lb></lb>PQR parallelo ipsi 3 5, iam ut supra solidum 3 5 ED aequale est cylindro <lb></lb>basis PQR, altitudinis vero A4; cylindrus vero 5 23 aequalis est cylindro <lb></lb>eiusdem basis PQR, altitudinis vero AB; ponitur autem solidum 3 5 ED, <lb></lb>maius cylindro 5 23. Ergo cylindrus basis PQR, altitudinis A4, maior <lb></lb>esset cylindro eiusdem basis, et altitudinis AB, quod est absurdum . </s></p> <p type="main"> <s>Tandem proposito quovis solido hyperbolico ex predictis, puta DEGF, <lb></lb>oportet ipsum dividere in duas portiones quae datam servent rationem, <lb></lb>ut magnitudo data 26, ad datam magnitudinem 27, fiat ut recta FH <lb></lb>ad rectam DA, ita magnitudo 26, ad aliam quampiam 28; dividaturque <lb></lb>recta AH altitudo solidi in puncto T, ita ut portiones HT, TA, eandem <lb></lb>habeant rationem quam magnitudo 28 ad magnitudinem 27; et per <lb></lb>punctum T ducatur planum STV, parallelum plano FG, vel DE, quod<lb></lb>quidem planum STV dividat solidum hyperbolicum in duas portiones <lb></lb>FGVS, et SVED. Dico has portiones eamdem inter se rationem habere <lb></lb>quam magnitudinem 26 ad magnitudinem 27. Nam inter BT et BH, <lb></lb>media sit proportionalis B4; item inter BT et BA, media sit proport. </s><s><lb></lb>BN, et per puncta 4, N ducantur plana praedictis parallela, atque so<lb></lb>lidum secantia secundum circulos quorum diametri 3 4 5, MNO; quoniam <lb></lb>ergo continuè sunt proportionales BH, B4, BT, BN, BA: erunt quoque <lb></lb>porportionales in eadem sed inversa ratione rectae FH, 3 4. ST, MN, <lb></lb>DA propter hyperbolam quare ex praedemonstratis cylindrus altitudinis <lb></lb>HT, basis vero diametri 3 5, aequalis est portioni solidi hyperb. </s><s>FGVS, <pb pagenum="138"></pb>et cylindrus altitudinis TA, basis autem diametri MO, aequalis est <lb></lb>reliquae portioni SVED. Sunt autem ipsi cylindri in ratione data ma<lb></lb>gnitudinis 26 ad 27, ut iam demonstrabimus; quare ut portiones solidi <lb></lb>hyperb. </s><s>sunt in eadem ratione data. </s></p> <p type="main"> <s>Et quidem quod cylindri sint in ratione data magnitudinis 26 ad <lb></lb>magnit. 27 sic constabit quoniam ex constructione ut magnit. 26 ad <lb></lb>magnit. 28, ita recta FH ad rectam DA, ut autem FH ad DA, ita <lb></lb>sumpta comuni altitudine recta ST, rectangulum sub FH, ST ad re<lb></lb>ctangulum sub DA, ST, hoc est ita quadratum 3 4 ad quadratum MN, <lb></lb>sive circulus diametri 3 5, ad circulum diametri MO; ergo ut magnitudo <lb></lb>26 ad magnit 28, ita circulus diametri 3 5, ad circulum diametri MO; <lb></lb>addatur hinc quidem ratio altitudinis HT ad altitud. </s><s>TA; illinc autem <lb></lb>ratio magnitud 28 ad magnitud. 27, quae rationes sunt eaedem ex con<lb></lb>structione. </s><s>Igitur ratio composita ex rationibus circuli 3 5 ad circulum <lb></lb>MO, et altitudinis HT ad altitud. </s><s>TA, hoc est, ratio cylindrorum com<lb></lb>ponitur ex rationibus magnitudinis 26 ad magnit. 28, et 28 ad 27, quae <lb></lb>ambae rationes constituunt rationem 26 ad 27, ut propositum est. </s></p> <p type="main"> <s>Hic mirabilis quaedam proprietas accidit circa plana spatia hyper<lb></lb>bolica huius constructionis, illa nempe FG 8 6, 6 8 5 3, 3 5 ZX, XZVS, etc. </s><s><lb></lb>quae omnia sunt aequalia, positis continue proportionalibus rectis BH, <lb></lb>B7, B4, BY, etc. </s><s>ut supra; cuius quidem proprietatis demonstratio non <lb></lb>erit difficilis ei qui animadverterit omnia parallelogramma iisdem spa<lb></lb>tiis inscripta esse aequalia, sicuti et circumscripta aequalia . </s></p> <p type="main"> <s>Tandem si asymptoti hyperbolae non sint ad angulum rectum vel <lb></lb>eaedem erunt ex se demonstrationes omnes praecedentes, vel addictione <lb></lb>et detractione conorum quorumdam fient eaedem. </s></p> <p type="main"> <s>Caeterum, Reverende Pater, hoc scias velim, me magnifacere adeo <lb></lb>excellentem Virum, etiam ultra quam verbis aut literis exprimere <lb></lb>possim. </s><s>Fac etiam obsecro ut ipse innotescat nostris Geometris prae<lb></lb>sertim D. D. De Fermat, et Des Cartes, quorum <expan abbr="utrumq.">utrumque</expan> meo quidem <lb></lb>iudicio nec ipsi Archimedi iure quis postposuerit; haec enim apud me <lb></lb>recipio fore ut et his et illi gratissimum quid facturus sis. </s></p> <pb pagenum="139"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>57<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> MARINO MERSENNE a TORRICELLI <lb></lb>in Firenze.<lb></lb>Parigi, 1 agosto 1643.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLI, c. 1 — Autografa).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Geometrae Clarissimo DD. Toricello S. P. </s></p> <p type="main"> <s>Cùm Geometra noster Eruditissimus Robervalius examem tuarum <lb></lb>aliquarum propositionum miserit, Vir Clarissime, quo testatur se dein<lb></lb>ceps Amicè tecum agere, ipseque miratus fuerim Tuorum theorematum <lb></lb>folio unico ad R. P. Niceronem nostrum misso comprehensorum pul<lb></lb>chritudinem atque subtilitatem, nolui apud me hanc, quam ad me <lb></lb>misit Epistolam retinere, ut illius effectus particeps videas quanti te <lb></lb>nostri faciant ex unico folio: quid ex toto libro? </s><s>cuius editionem iam <lb></lb>iam avidiùs expectamus, et ego forsan, Hetruriam brevi petiturus, ut <lb></lb>tuos illos tractatus devorem et in Galliam confestim mittam. </s></p> <p type="main"> <s>Porro de nostri Geometrae iudicabis ingenio ex illa demonstratione <lb></lb>qua tuis theorematibus praeludit. </s><s>Multa quidem acutissima parata <lb></lb>habet, sed quae non possumus efficere ut in lucem publicam edat, <lb></lb>cumque virum noveris, Apollonium et Archimedem pluresque alios in <lb></lb>unico reperies, quo vix unquam iudicio firmiore ullum me vidisse me<lb></lb>mini . . . . . . Cartesii dubio procul iam videris Geometrica in illius <lb></lb>libri cursum cuius titulus <emph type="italics"></emph>Methode,<emph.end type="italics"></emph.end> est enim Gallicus, et in Dioptrica <lb></lb>reliquorum ut et in Geometria sive Analytica superasse videtur. </s><s>Gra<lb></lb>tius verè facies si nos donabis quid iam promas et quid a te possimus <lb></lb>expectare quod sanè semper erit desiderium: Vale Vir Clarissime meque <lb></lb>semper credas </s></p> <p type="main"> <s>Obsequentissimum Mersennum Minimum. </s><s><lb></lb>Parisiis Calendis Augusti 1643.</s></p> <p type="main"> <s>Nisi forsan meos characteres malè pictos legere possis te iuvabit <lb></lb>Illustris et Nobilis dominus Doni <foreign lang="grc">μεσιχώτατος</foreign>, cui me plurimum, ut<lb></lb>pote antiquissimo et optimo amico me commendatum velim, novit <lb></lb>enim qui scribam, et peroptimè legit. </s></p> <pb pagenum="140"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>58<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> TORRICELLI a MARINO MERSENNE <lb></lb>[in Parigi].<lb></lb>Firenze . . . settembre 1643.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XL, c. 47 — Copia di L. Serenai).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>Rev.<emph type="sup"></emph>do<emph.end type="sup"></emph.end> Patri Viroque celeberrimo Mersenne <lb></lb>E. T. S. P.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>. . . . 7bre 1643. </s></p> <p type="main"> <s>Nunquam memini tandiu me hesitasse in Theorematum <lb></lb>reconditorum demonstratione, quam in interpretatione tua<lb></lb>rum litterarum Vir. </s><s>Clar.<emph type="sup"></emph>me<emph.end type="sup"></emph.end> Idque ob characteres meis <lb></lb>praecipue oculis sic exaratos, ut dubium in scri<lb></lb>ptura tua obscuritatem suscipiam an lucem in ingenio. </s><s><lb></lb>Certe Tantali penam quodammodo expertus sum, quando<lb></lb>quidem lectoque celeberrimo nomine Mer<lb></lb>senni, epistola tamen frui non poteram , tantique <lb></lb>colloquio gaudere prohibebar. </s><s>Gratias ago primum P. Tuae <lb></lb>quae tanto honore dignum iudicavit, deinde eximio Viro <lb></lb>Io: Bapt. </s><s>Donio vere litterarum tuarum Aedipo. </s><s>Hic <lb></lb>P. Tuam plurima resalutatione saluere iubet, desiderat<lb></lb>que, certiorem se fieri de iudicio tuo, quo sanè nullum <lb></lb>praestantius est, circa secundam partem sui libri iam ad <lb></lb>te missam. </s><s>Caeterum verba non invenio, quibus exprimam <lb></lb>gradum admirationis ad quem me rapuerunt Geometricae <lb></lb>Demonstrationes Clar.<emph type="sup"></emph>mi<emph.end type="sup"></emph.end> Robervallij, qui tam <lb></lb>sublimè, mirabili invento nugas meas nobilitavit. </s><s>Gratulor <lb></lb>immo invideo huic Coelo huiusmodi virorum feracitate <lb></lb>fortunato. </s><s>Quod si Clar.<emph type="sup"></emph>mi<emph.end type="sup"></emph.end> DD. de Fermat, et des Cartes <lb></lb>eiusdem notae sunt, manifesta iam temeritas est me ulte<lb></lb>rius progredi in mathematicis contemplationibus. </s></p> <p type="main"> <s>Libellos meos retrahere iam non possum, praelis enim <lb></lb>coeperunt subijci, quamquam editio fortasse in futuram <pb pagenum="141"></pb>estatem protrahetur, sculptoris à quò figurae inciduntur <lb></lb>culpa, sive potius imperitia. </s><s>Vale diu Vir Cl., meque inu<lb></lb>tilem quidem sed amantissimum et obsequentissimum ser<lb></lb>vum semper existima. </s><s>Flor ... Septembris. </s></p> <p type="main"> <s>In praesens (quod ex me petis) nihil molior, meditorve, <lb></lb>neque enim occupatissimus, et ob inclementiam Coeli meo <lb></lb>capiti inimicum valetudinarius aliquid laude dignum ag<lb></lb>gredi possum. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>59<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> MICHELANGELO RICCI a [TORRICELLI <lb></lb>in Firenze].<lb></lb>Roma, 12 settembre 1643.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLII, c. 14-17 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>M.to Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> e m.to Ecc.<emph type="sup"></emph>te<emph.end type="sup"></emph.end> Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> mio Oss.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Facilissimo, e breve modo per confermare la mia proposizione è <lb></lb>quello dei due triangoli insinuatomi da V. S:, nè dissimile è il modo, <lb></lb>col quale tenta la medesima d'atterrare. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Io però con buona grazia di <lb></lb>V. S: dirò il mio sentimento con protesto di volerlo solamente esporre <lb></lb>al suo perfettissimo giudizio, e non di voler seco ingaggiar lite, o <lb></lb>mantener disputa. </foreign></s> <s><foreign lang="it">V. S: primieramente prova, che ne' due triangoli <lb></lb>quì addotti in figura, li quali sono d'altezze BC, EF uguali pari sia il <lb></lb>numero delle linee parallele alle altezze e consequentem' anco pari in <lb></lb>amendue le basi il numero dei punti. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Questo dunque tenghiamo saldo. <lb></lb> <arrow.to.target n="fig553"></arrow.to.target><lb></lb>Dopo si considera, che sovrapposto il triangolo ABC al triangolo DEF, <lb></lb>come quì si vede in figura, tutte le linee del picciolo triangolo AGC <lb></lb>parte dell'EFD si adattano a quelle del sopraposto ABC, ed in conse<lb></lb>guenza segue per detto di V. S:, che li punti della base AC siano in <lb></lb>numero eguali a quelli della base DC. Soggiugne poi V. S:, <emph type="italics"></emph>et quelle <lb></lb>che avanzano?<emph.end type="italics"></emph.end> Io chieggio quali elle sono? </foreign></s> <s><foreign lang="it">poichè le linee del tra<lb></lb>pezio CGEF già V. S. ha provato di prima, che hanno le omologhe <lb></lb>nel triangolo ABC, e però non aggiungono quantità veruna sopra il <pb pagenum="142"></pb>numero delle linee di ABC, ovvero di AGC, ma si deduce poi una <lb></lb>conclusione proferita dal Galileo con somma ammirazione, che pari <lb></lb>sia il numero dei punti (cioè infinito) della AC, DC, DF, et così, che <lb></lb>nell'infinito ogni sua parte sia infinita, et eguale al suo tutto, nè <lb></lb>possa essere un numero finito parte d'un numero infinito, come V. S: <lb></lb>avrà letto nelle opere del Sig. Galileo. </foreign></s> <s>Questo è quello, che io bal<lb></lb>bettando ho saputo esporle, forse con qualche temerità, e troppo <lb></lb>baldanza. </s> <s><foreign lang="it">Ma V. S: non lo attribuisca ad altro, se non che in questa <lb></lb>maniera ho stimato per me più agevole il dichiararmi. </foreign></s> <s>Intendo la <lb></lb>ricevuta di quella lettera di Parigi, et apprezzo la sublimità delle <lb></lb>composizioni mandatele da quel Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end>, e perchè so quanto sieno belle, <lb></lb>et alte le conclusioni di V. S: mi è avviso che quelle di quel Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>non possino avere altra preminenza sopra le sue, di quella che lor <lb></lb>concede la sua modestia. </s> <s><foreign lang="it">Credo bensì, che in Parigi colà sieno perfettis<lb></lb>simi Geometri, comecchè sono provetti nella professione, hanno con<lb></lb>tinua comunicazione fra di loro, hanno talento nobile a simili profes<lb></lb>sioni, e comodità di Libri, cose, delle quali con mio estremo dolore <lb></lb>mi veggo destituito, et non dirò bugia a V. S:, se le dico, che in due, <lb></lb>o tre anni di diligenza, che io fo per avere uno Archimede del Com<lb></lb>mandino non ho ancora potuto avere l'intento. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Così è contumace il <lb></lb>mio destino! Bisognami tutto il giorno impazzirmi attorno il Fluranzia, <lb></lb>il quale tuttavia scuopro più debile, e pieno di scorrezioni; nè man<lb></lb>cano in esso degli errori solenni, fra i quali uno ne avvertii nei giorni <lb></lb>passati nel primo libro <emph type="italics"></emph>de sphaera, et cylindro<emph.end type="italics"></emph.end> alla proposizione 34 ed <lb></lb>è l'ultimo dei lemmi, che egli propone per dimostrare a qual cono sia <lb></lb>eguale una porzione di un solido inscritto nella porzione maggiore <lb></lb>della sfera. </foreign></s> </p> <figure id="fig553"></figure> <p type="main"> <s>Ma passerò ad altro. </s> <s><foreign lang="it">Il Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Raffaello mi avvisa, che della linea <lb></lb>cicloide ne tratta il Padre Mersenio nell' Opera sua di Musica, che è <lb></lb>un volume grosso quanto un calessino, et dice, che gli fu prestato <lb></lb>dal Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Gio: Battista Doni, che per certo stima l'avrà appresso di se <lb></lb>costì in Firenze. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Intendo poi da questi Sig.<emph type="sup"></emph>ri<emph.end type="sup"></emph.end> Fiorentini gran cose del Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Viviani <lb></lb>scolare, o amico, che sia di V. S:, se piacerà al cielo di non m'invi<lb></lb>diare questo trattenimento, et anco favorirà li miei sforzi, a qualche <lb></lb>tempo pregherò V. S: ad introdurmi seco nella conoscenza, et mi ser<lb></lb>virà per un poco di esercizio, et per imparare da Lui qualche bella <lb></lb>verità, di che vivo desiderosissimo. </foreign></s> <s>Per ora non vo'manifestare altrui <lb></lb>la mia inerzia. </s> <s><foreign lang="it">Con che rinnovando a V. S. la memoria della solita mia <lb></lb>devozione con riverente affetto Le bacio le mani. </foreign></s> <s><lb></lb>Roma li 12 Settembre 1643.</s></p> <p type="main"> <s>Mi trovavo una dimostrazione da scrivere a V. S. ma mi manca <lb></lb>la carta e 'l tempo. <lb></lb> Aff.mo, et Obb.mo servitore vero, e discepolo<lb></lb> Michelangiolo Ricci</s></p> <pb pagenum="143"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>60<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> BONAVENTURA CAVALIERI a TORRICELLI <lb></lb>[in Firenze].<lb></lb>Bologna, 22 settembre 1643.<lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLI, c. 176-183 — Copia moderna). </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">L'originale di questa lettera nel gennaio 1662 era presso L. Serenai: V. LETTERA AI <lb></lb>FILALETI DI TIMAURO ANTIATE, Firenze 1663, pag. 24. <emph type="italics"></emph>Inventario di scritture private <lb></lb>manoscritte che si adducono nella presente lettera in prova della Verità,<emph.end type="italics"></emph.end> ecc., N. IV.<gap desc="/SM"></gap></foreign></s> </p> <p type="main"> <s>M.to Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end>, et Ecc.mo Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> e P.ron Col.mo </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Mi è giunto nuovo il nome del Robervallio, che da segni a V. S: <lb></lb>di Geometra insigne, e mi stupisco, che nè il P. Niceroni, nè il Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>Gio: Antonio Rocca, che in una lunga lettera mi diede un pezzo fa <lb></lb>ragguaglio de' principali mattematici di Parigi, non me ne abbi detto <lb></lb>pure una minima parola. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Tuttavia non lo stimo io manco, mentre ella <lb></lb>lo giudica soggetto eminente, il che non può essere di meno, aven<lb></lb>dogli dimostrate le cose, che dice, e massime le sue maravigliose pro<lb></lb>posizioni. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Poichè mi ricordo, che il Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Galileo di felice memoria, mi <lb></lb>disse, che dimandando ad alcuni Gentiluomini principali di Parigi di <lb></lb>Francesco Vieta, niuno disse di conoscerlo, se non quando soggiunse <lb></lb>che era Cont.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end>, e secretario del Rè, che allora si rammentorno di lui, <lb></lb>ma come mattematico non lo conoscevano. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Mi ralleggo poi seco, che <lb></lb>la fama delle sue ammirabili proposizioni sia arrivata in Francia, seb<lb></lb>bene mi dispiace, che il detto Robervallo si arroghi il primato circa <lb></lb>la Cicloide, o almeno che da esso sia venuta a notizia di V. S:, e <lb></lb>immeritatamente incolpa in questo il Beungrand, quale non parlò di <lb></lb>tal cosa nè a me, nè credo nè anco al Galileo, o P. D. Benedetto, <lb></lb>quando venne in Italia, o scrisse mai, che io sappia di tal cosa, poichè <lb></lb>ne averei pure avuto qualche sentore. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Fu bene il P. Nicerone, che <lb></lb>propose a me tal quesito, al quale però non applicai spaventato dalla <lb></lb>lettera del Galileo, quale mi avvisava d'avervi pensato indarno molto, <lb></lb>e molto tempo, siccome credo, che altra volta gli scrivessi. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Se poi <lb></lb>fosse il primo il Galileo a pensare a tal quesito, o gli fosse proposto <lb></lb>da altri veramente non lo so. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Quanto al resto, che soggiugne a V. S: <lb></lb>detto Robervallio circa le parabole quadratiche cubiche non so dirle <lb></lb>altro se non che io proposi a P. Mersennio un tal quesito, acciò se <lb></lb>alcuno di quei mattematici di Parigi avessero avuto gusto di pensarvi <lb></lb>intorno lo facessero a lor piacere; e mi par pure, che io ne accen<lb></lb>nassi qualche cosa ancora a V. S. Sia come si voglia, il quesito era <lb></lb>questo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Sia BC qualunque parallelogrammo, et in esso tirate da A a D <pb pagenum="144"></pb>linee, quali si voglia AFD, AGD, AHD, AID di tal condizione, che se <lb></lb>sarà preso in AC qualunque punto E, e per esso tirata la EK paral<lb></lb>lela a CD, che tagli dette linee ne' punti F, G, <lb></lb> <arrow.to.target n="fig554"></arrow.to.target><lb></lb>H, I, & sia come CA, ad AE; cosí CD, ovvero KE <lb></lb>ad EF, e così il quadrato KE al quadrato EG, il <lb></lb>cubo KE al cubo EH, il biquadrato KE al bi<lb></lb>quadrato EI, et sic deinceps &. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Stanti queste <lb></lb>cose dimandavo, siccome sappiamo, che il paral<lb></lb>lelogrammo BC è doppio dello spazio AFDB per <lb></lb>essere AFD retta: e l'istesso BC è triplo e del <lb></lb>trilineo AGDB per essere AGD parabola, se così <lb></lb>l'istesso BC era quadruplo dello AHDB quintu<lb></lb>plo di AIDB, e così sestuplo, settuplo, ottuplo, <lb></lb>nonuplo de' susseguenti trilinei; dal che si cava <lb></lb>poi, che tutte le linee di BC son doppie di tutte <lb></lb>le linee del triangolo ACD, essendo regola CD; <lb></lb>tutti i quadrati di BC tripli di tutti i quadrati <lb></lb>ACD; tutti i cubi quadrupli di tutti i cubi; tutti i <lb></lb>biquadrati quintupli di tutti i biquadrati, sin <lb></lb>dove nell'ultimo problema della mia Centuria <lb></lb>dissi di essere arrivato io; e tutti gli cubi qua<lb></lb>drati sestupli di tutti gli cubi quadrati, come <lb></lb>provò ancora il Sig. Gio: Antonio Rocca, avendo <lb></lb>dimostrato susseguentemente in tutte le altre dignità algebriche que<lb></lb>sta proporzione il Beaugrand mosso dal detto ultimo problema, quale <lb></lb>morse poi quindici giorni dopo; e la dimostrazione la tengo ap<lb></lb>presso di me, e penso d'inserirla nella risposta al Guldini, acciò non <lb></lb>perisca, et essendo per gl'indivisibili dimandavo di più i Centri di gra<lb></lb>vità di queste figure piane, e poi rivolte tanto circa AC, quanto circa <lb></lb>AB, o parallele ad esse, la proporzione del cilindro fatto da BC alli ge<lb></lb>nerati solidi, et i lor Centri di gravità, siccome la qualità di dette <lb></lb>linee, delle quali sappiamo, che AFD è retta, AGD parabola, cioè se le <lb></lb>AHD, AID erano sezioni coniche, o altre linee &. </foreign></s> <s>Questo in somma era <lb></lb>il quesito. </s> <s><foreign lang="it">Ora parmi che le cose promesse dal Robervallio possino <lb></lb>avere avuto origine da questa proposta per il riscontro, che si vede. </foreign></s> <s><lb></lb>E stimo, che AGDC sia la di lui semiparabola quadratica AHDC la <lb></lb>cubica, AIDC la biquadratica &. </s> <s><foreign lang="it">Onde mi stupisco, che il P.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> Mersennio <lb></lb>non mi abbia avvisato della soluzione data a questo mio quesito. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma <lb></lb>o forsi lo vuol fare detto Robervallio in istampa; o vuol dissimulare, <lb></lb>che io l'abbi proposto a Parigi; o il P.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> Mersenno non lo propose. </foreign></s> <s><lb></lb>In somma la cosa sta così, et esso P.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> Mersennio ne può far fede. </s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Anzi questo stesso avevo io proposto al Beaugrand, sebbene la lettera <lb></lb>non giunse colà, se non dopo la sua morte. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ora da questo si vede, che <lb></lb>bisogna andar molto cauto, nel comunicare le cose, che si trovano <lb></lb>con sudore, poichè altri, o si fa padrone della dimostrazione, o pre<lb></lb>tende almeno del primato dell'invenzione, come accade ora a V. S: <lb></lb>circa la cicloide. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Io perciò delle cose, che mi ha conferito, sono stato <pb pagenum="145"></pb>sempre geloso a lasciarle intendere ad altri, e sebbene ella mi diede <lb></lb>licenza per il Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Rocca non l'ho fatto (non già perchè diffidassi <lb></lb>d'un Cavaliere così compito) ma perchè è un gran pezzo, che non <lb></lb>passano lettere tra lui, e me, e perchè stimo, che stampate tutte in<lb></lb>sieme gli saranno forsi di maggior meraviglia. È ben vero, che scri<lb></lb>vendo ultimamente al P.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> Niceroni, gli dissi, come V. S: aveva dimo<lb></lb>strato la misura dello spazio cicloidale in tre modi, ma non accennai <lb></lb>già qual fosse la proporzione ritrovata, nè altro mi ricordo di avere <lb></lb>scritto colà, parendomi, che da questa sola, come ex ungue Leonem, <lb></lb>potessero essere ragguagliati di qual sorte d'ingegni produca la nostra <lb></lb>Italia, e che progressi farebbono, se quà vi fosse il fervore in queste <lb></lb>scienze, che è tra quei virtuosi, e studiosi di Parigi. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Credo, che V. S: <lb></lb>si accorgerà dal mio scomposto scrivere dello stato di poca sanità, nel <lb></lb>quale mi ritrovo per una lunga ricercata di podagra con febbre continua, <lb></lb>della quale non sono anco libero, perciò la prego a scusarmi. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Circa <lb></lb>la pietra lucifera, non trovo, che sia venale quà appresso alcuno, ma <lb></lb>chi la calcina lo fa per suo gusto, e per regalarne a' suoi amici, e <lb></lb>quando alcuno ne voglia non pretendon cosa alcuna, ma stanno a <lb></lb>quel regalo che gli è fatto. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Così il Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Alfonso Borelli ne ebbe, <lb></lb>non so, che scatolini, e diede quel che gli parve per regalo ad un <lb></lb>tal Prete di S. Job, il quale fra gli altri ne suol calcinare. </foreign></s> <s>E dice, <lb></lb>che non si può fare i pezzi molto grandi, perchè nell'istesso pezzo <lb></lb>una parte sarà buona e l'altra no. </s> <s><foreign lang="it">Onde egli ne cava la buona, e ne <lb></lb>fa scatolini. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Se ne vorrà per se, o qualche suo amico, mi avvisi, che <lb></lb>procurerò di servirla nel miglior modo, che saprò, e potrò. </foreign></s> <s><foreign lang="it">In tanto io <lb></lb>cammino assai lentamente nella risposta al Guldini, non essendo an<lb></lb>cora al fine del primo Dialogo (poichè mi son risoluto ad imitazione <lb></lb>del Galileo di rispondere in Dialogo, avendolo onorato con introdurvi <lb></lb>per interlocutore il P.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> D. Benedetto, un Sig. Cesare Marsili Gentil<lb></lb>uomo Bolognese morto un pezzo fa, che fu amico mio, e si dilettava <lb></lb>delle mattematiche, et un Usulpa Ginuldus anagramma di Paulus Gul<lb></lb>dinus) colpa della mia infirmità, in questo però si contiene la parte <lb></lb>difensiva, siccome in un altro sarà, non dirò l'offensiva, ma l'esame <lb></lb>del fondamento del Guldini da lui non provato; la dimostrazione di <lb></lb>quello per gl'indivisibili, e senza, et altre cose, che mostreranno il <lb></lb>frutto, che si cava dagl'indivisibili. </foreign></s> <s><foreign lang="it">In un altro poi, che sarà il terzo <lb></lb>dialogo disegno mettere quelle poche cose, che mi è accaduto trovare <lb></lb>in diverse materie etiam senza gl'indivisibili, acciò non perischino. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Queste cose quando siano da me finite di comporsi, mi sarà grazia, <lb></lb>che gli dia un poco un'occhiata, se si compiacerà di farlo, perchè non <lb></lb>avendo io nella mia Religione tali revisori, quali hanno i PP. Gesuiti, <lb></lb>mi conviene cercarli di fuori; e farò gran capitale, che siano passate <lb></lb>per il purgato giudizio di V. S: alla quale per fine bacio affettuosa<lb></lb>mente le mani. </foreign></s> <s><lb></lb>Di Bologna 22 7bre 1643.</s></p> <figure id="fig554"></figure> <p type="main"> <s>Ho inteso, che M.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Ciampoli sia morto però non di sicuro. </s><s>Se così <lb></lb>fosse mi spiacerebbe molto come di un mio P.ron Singolare, e di un <pb pagenum="146"></pb>segnalato virtuoso. </s><s>Ella forsi ne saprà la certezza; però la prego a <lb></lb>darmene qualche avviso. <lb></lb> Di V. S: m.to Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> et Ecc.mo <lb></lb>Dev.mo et Obb.mo Servit.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb> Fra Bonaventura Cavalieri</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>61<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> [TORRICELLI a GIO. FRANCESCO NICERON <lb></lb>in Parigi].<lb></lb>Firenze, 1 ottobre 1643.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XL, c. 75 — Copia di L. Serenai).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Si me acre Geometrarum genus laudant Parisienses <lb></lb>tui, non video cui potius hoc referam quam singulari in <lb></lb>me benevolentiae tuae, atque humanitati. </s><s>Non enim me <lb></lb>latet cum affectum tuum jam pridem noverim quibus ver<lb></lb>bis et laubibus de me loquaris apud Clar. </s><s>Viros, qui <lb></lb>postea voluerunt, ut cum Poeta loquar meas esse aliquid <lb></lb>putare nugas. </s><s>Maximas gratias ago eloquentiae tuae, quae <lb></lb>augendo minima, illam mihi laudem comparavit, quam ex <lb></lb>meritis meis expectare, nunquam potuissem. </s><s>De libellis <lb></lb>opticis, quos tu Vir. </s><s>Clar. </s><s>desiderabas, nihil habeo quod <lb></lb>promittere possim, audivi enim rem difficilem desiderari, <lb></lb>praesertim si libelli manuscripti sint. </s><s>Jam dubitatur an <lb></lb>hujusmodi libelli extent. </s><s>Quandoquidem index ille corru<lb></lb>ptissimus, qui Pat.<emph type="sup"></emph>ti<emph.end type="sup"></emph.end> . . . . . . oblatus est, non ex ipsis <lb></lb>bibliothecae libris, sed ex quibusdam catalogis antiquissi<lb></lb>mis, et mendacissimis descriptus fuit, et temere editus. </s><s><lb></lb>Laudatissimus noster M. Angelus Riccius quotidie majo<lb></lb>res in Geometria progressus exhibet; utinam tam inge<lb></lb>niosus adolescens meliori valetudine gauderet, haberet <lb></lb>enim aetas nostra insolitum quiddam quod ab ipso speraret. </s><s><lb></lb>Vale Vir Praestantissime, et me obsequentissimum servum <lb></lb>tuum ut soles ama. </s><s><lb></lb>Flor. </s><s>Kal. </s><s>Octob. 1643.</s></p> <pb pagenum="147"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>62<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> TORRICELLI <lb></lb>a GILLES PERSONNIER DE ROBERVAL <lb></lb>[in Parigi].<lb></lb>Firenze, 1 ottobre 1643.<lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>(MEMOIRES DE L'ACADEMIE ROYALE DES SCIENCES CONTENANT LES OUVRAGES ADOPTEZ PAR <lb></lb>CETTE ACCADEMIE AVANT RENOUVELLEMENT EN 1699. A la Haye chez P. Gosse et I. <lb></lb>Neaulme, 1731. Tome Troisiéme: OUVRAGES DE M. DE ROBERVAL, pag. 357-361). </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Una bozza di questa lettera di mano propria di Torricelli era presso il Serenai nel <lb></lb>gennaio 1662 (<emph type="italics"></emph>V. Istrumento di recognizione etc.<emph.end type="italics"></emph.end> a pag. 4, N. 1 del presente volume), <lb></lb>e fino alle parole <emph type="italics"></emph>inaequalitatem atque rasurae,<emph.end type="italics"></emph.end> trovasi pubblicata nella LETTERA <lb></lb>AI FILALETI DI TIMAURO ANTIATE, ecc., Firenze 1663; pag 11.<gap desc="/SM"></gap></foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Clarissimo Viro Robervallio Evangelista Torricellius <lb></lb>S. P. </s></p> <p type="main"> <s>Eloquar aperte tecum sine interprete Vir Clarissime, <lb></lb>quis enim dissimulare possit? </s><s>Et quamquam literae tuae <lb></lb>ad Cl. </s><s>Mersennum missae sint, non autem ad me, cohibere <lb></lb>tamen non possum animi mei impetum quin ad te currat, <lb></lb>tibique totum se dedicet, tamquam Apollini Geometrarum. </s><s><lb></lb>Fortunatas certe iam existimare debeo nugas meas, atque <lb></lb>illas iam non amplius nihili facere, quandoquidem dignae <lb></lb>habitae sunt, quae judicium tuum subirent, et animadver<lb></lb>sionibus tuis nobilitarentur. </s><s>Principio ex me quaeris an <lb></lb>centrum gravitatis parabolae a priori, ut inventum a me <lb></lb>proponatur, aut quaeratur ut ignotum: eruberescerem certè <lb></lb>ignotum theorema inter alias propositiunculas meas a me <lb></lb>demonstratas collocare. </s><s>Ostendimus illud unica, brevique <lb></lb>demonstratione; sed ea occasione admiratus sum foecun<lb></lb>ditatem eximiam ingenii tui circa tot parabolas, earumque <lb></lb>solida non solum geometricè, sed etiam mechanicè consi<lb></lb>derata, et ad mensuram scientiamque redacta. </s><s>De his nihil <lb></lb>ego habeo quod proferam, et fortasse non habebo; si <lb></lb>quidem difficillimae, nisi fallor, contemplationis censeo <lb></lb>hujusmodi theoremata. </s><s>Praeterea immorari non soleo circa <pb pagenum="148"></pb>figuras non vulgatas, et circa solida, quae si nova sint, <lb></lb>saltem ab antiquis et receptis figuris planis ortum non <lb></lb>habeant; atque hoc ea praecipuè ratione, ut laborum <lb></lb>fructus, quando res ex animi voto succedet, communem <lb></lb>literatorum applausum sortiatur, neque sint qui invideant <lb></lb>figuras a me ipso fabricatas. </s><s>Mensura cycloidis (hoc enim <lb></lb>nomine Clarissimus Galileus nominavit 45 iam abhinc <lb></lb>annis figuram illam, quae fortasse tibi nunc trochois est) <lb></lb>mihi se se ultro obtulìt non speranti, penè dixi non quae<lb></lb>renti. </s><s>Illam deinde quinquies diversis semper principiis <lb></lb>demonstravi. </s><s>Quoad solida nihil habeo: tangentem prae<lb></lb>dictae lineae jam ostenderat mihi Vincentius Vivianus Flo<lb></lb>rentinus Clarissimi Galilaei alumnus, etiam nunc adole<lb></lb>scens. </s><s>Quoad auctorem hujus figurae, credo ego ingenium <lb></lb>tuum feracissimum, atque acutissimum illam ex se obser<lb></lb>vare potuisse nemine indicante; hujusmodi enim lineae <lb></lb>natura familiaris erat, constatque ex compositione duorum <lb></lb>motuum recti, et circularis. </s><s>Attamen vivunt adhuc testes <lb></lb>quibus olim Galilaeus irritas lucubrationes suas communi<lb></lb>cavit circa hanc figuram; immo supersunt paginae aliquot <lb></lb>clarissimi Matematici, in quibus, et picturas, et aggres<lb></lb>siones nonnullas suas circa hoc subjectum iam adolescens <lb></lb>delineaverat. </s><s>Pluribus ab hinc annis theorema hoc pro<lb></lb>posuit ille mirabili Geometrae Cavalerio nostro, ipsique <lb></lb>dixit idem quod et mihi, et pluribus aliis confirmavit, <lb></lb>nempè se olim experimentum fecisse appensis ad libellam <lb></lb>spatiis figurarum materialibus quantuplum esset cycloidale <lb></lb>spatium ad circulum suum genitorem, et semper illud <lb></lb>invenisse, nescio quo facto, minus quam triplum; ideoque <lb></lb>inceptam contemplationem deseruisse ob incommensura<lb></lb>bilitatis suspicionem; quod si aliquando, inconstanti fal<lb></lb>lacia, reperisset minus quam triplum, aliquando vero <lb></lb>majus tunc asserebat Lynceus Mathematicus, ulteriorem <lb></lb>contemplationem prosecuturum fuisse; reiecta scilicet va<lb></lb>riationis causa in materiae inaequalitatem, atque rasurae. </s></p> <p type="main"> <s>Propositionem illam de solido a qualibet coni sectione <lb></lb>circa axem revoluta descripto, atque de ejusdem solidi <lb></lb>centro gravitatis, unica simul brevique demonstratione <lb></lb>ostendimus, supposita tantum modica Apollonii cognitione. <pb pagenum="149"></pb>Verum duplex theorema inter neglecta a me rejicitur; <lb></lb>nullum enim habebit locum in opusculis, quae nunc pro<lb></lb>palare cogor, in quibus praecipuè profiteor materiae uni<lb></lb>tatem. </s></p> <p type="main"> <s>Quoad solidum hyperbolicum, jam non meum sed tuum, <lb></lb>dispeream si jam ampliùs spero me visurum tuam sublimem <lb></lb>et tam doctam demonstrationem quae cum tua conferri <lb></lb>mereatur. </s><s>Optimum equidem maximumque nunc percipio <lb></lb>laborum meorum fructum, eo tantum nomine, quod tu, <lb></lb>Vir Clarissime atque Ingeniosissime, tam acutis demon<lb></lb>strationibus, tantâque doctrinae affluentia, unicam ine<lb></lb>ptiolam meam illustrare dignatus sis. </s><s>Gratias primum <lb></lb>ago maximas. </s><s>Deinde ut desiderio tuo satisfaciam, me<lb></lb>thodus mea circa demonstrationem hujus solidi diversis<lb></lb>sima est a tuâ. </s><s>Altera quidem ex meis aggressionibus per <lb></lb>doctrinam indivisibilium procedit, quae si cum erudito <lb></lb>lectore semper ageretur, paucissimis verbis expediri posset; <lb></lb>altera vero per inscriptionem et circumscriptionem, more <lb></lb>Veterum, non adeo expedita est, sed facilis, et fortasse <lb></lb>curiosa. </s><s>Hoc unum reperi in tua scriptura, quod conveniat <lb></lb>cum meis, nempe constructio illa pro secando frustro solidi <lb></lb>hyperbolici in data ratione: demonstrationes verò ab eadem <lb></lb>constructione dissimillimae emanant. </s></p> <p type="main"> <s>Caeterum evidentiores agnosco hyperbolas in laudibus <lb></lb>quibus me exornas, quam in demonstrationibus quibus <lb></lb>hyperbolicum solidum ipse metiris. </s><s>Utinam illis aliquando <lb></lb>dignus fiam, ut in lectione operum tuorum, quae avidis<lb></lb>simus expecto, illa intelligere valeam, fructusqne scientiae <lb></lb>suavissimos, et divitias ingenii inestimabiles inde colligere <lb></lb>possim, et intellectum meum ditare. </s><s>Vale, Vir Clarissime <lb></lb>tuorumque Operum editionem accelera, in pubblicam litte<lb></lb>ratorum omnium utilitatem. </s><s><lb></lb>Florentiae Kal. </s><s>Octob. 1643.</s></p> <pb pagenum="150"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>63<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> TORRICELLI a [RAFFAELLO MAGIOTTI <lb></lb>in Roma].<lb></lb>Firenze, 4 dicembre 1643.<lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XL, c. 34-35 — Copia di L. Serenai. </s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Le poscritte nell'ordine in cui vengono riprodotte, da un codice del secolo XVII, <lb></lb>in copia di mano di Michelangelo Ricci). </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Un esemplare mss. </s> <s><foreign lang="it">di questa lettera con le due poscritte relative ai telescopi, ed ai <lb></lb>vetri trovasi in un codice della Biblioteca Riccardiana di Firenze segnato col <lb></lb>N. 2467.<gap desc="/SM"></gap></foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Molto Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> e Molto Rev.<emph type="sup"></emph>do<emph.end type="sup"></emph.end> Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>P.ron mio Col.mo </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ho ricevuto il piego di V. S. con la copia dell'Ariette <lb></lb>e con la promessa di altre più fresche ed anche più belle <lb></lb>del Maestro dell'Apollinare Carissimi. </foreign></s> <s>Vorrei esser buono <lb></lb>a servirla in alcuna cosa, ma per ora non posso, giacchè <lb></lb>ella non mi comanda con altro che col modo mio di far <lb></lb>le centine e vetri. </s></p> <p type="main"> <s>Sappia dunque che la centina è facilissima da farsi: e la <lb></lb>natura medesima la fa perfettissima, dove l'arte non <lb></lb>potrebbe mai arrivare. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Si piglia un pezzo di vetro piano, overo rozzo, tondo, <lb></lb>e grande per appunto quanto il vetro da lavorarsi, overo <lb></lb>pochissima cosa di più. </foreign></s> <s>Si attacca sopra qualche cosa <lb></lb>grave, acciò la mano non porti la centina in giro; io ado<lb></lb>pero una rotella di piombo, over un mattone o altro. </s><s><lb></lb>Dopo questo comincio ad affondarla con un vetro piccolo <lb></lb>pur piano e smeriglio tagliente. </s> <s><foreign lang="it">Nell'affondarla non osservo <lb></lb>altro se non che il vetro, con che l'affondo, pratichi più <lb></lb>spesso intorno al mezzo che dalle bande della futura centina. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>In somma non passa un hora (quando ben anche il vetro <lb></lb>fusse rozzo) che io ho affondato una centina per un oc<lb></lb>chiale di tre braccia e mezza, lavorato da ambe le parti; <lb></lb>intendendo però che la centina non sia di diametro più <lb></lb>che una piastra e 2/3 fiorentina. </foreign></s> </p> <pb pagenum="151"></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Non vorrei che ella avesse scrupolo della centina, perchè <lb></lb>basta che ella sia incavata alla peggio, e poi nel lavorare <lb></lb>il vetro la si fa perfetta dalla natura medesima. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Fatto <lb></lb>questo si mette da parte quel vetro piccolo che ha incavata <lb></lb>la centina, e si piglia il vetro che si vuol lavorare ben <lb></lb>tondato, et anche abbozzato in una centinaccia di rame, o <lb></lb>d'altro, purchè non sia affatto piano, e ne anche tanto <lb></lb>colmo che sia sproporzionato affatto con la centina già <lb></lb>preparata. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Questo poi si comincia a lavorare con spoltiglia <lb></lb>fina, sintanto che V. S. giudica che si sia adattato con la <lb></lb>centina; il che si conosce anche a vista, perchè il vetro che <lb></lb>era abbozzato con lo smeriglio aveva la grana grossa, ma <lb></lb>dopo dove averà toccata la spoltiglia, l'haverà più minuta. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Quando dunque il vetro sarà arruotato da per tutto, <lb></lb>non vi si da più spoltiglia, ma si continua a lavorare <lb></lb>con quel residuo che sarà tra l'un vetro e l'altro, et <lb></lb>anche sugl'orli. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Questa operazione si continua fintanto <lb></lb>che quella materia sia consumata, e ridotta bianca, im<lb></lb>palpabile, e untuosa come burro, bagnando la centina <lb></lb>(quando si asciugasse) con una mezza gocciolina d'acqua, <lb></lb>overo con l'alito della bocca messa li vicino. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Se tali ope<lb></lb>razioni saranno ben fatte, il vetro verrà senza graffi, e <lb></lb>senza segni, et averà una pelle tale, che obbliguandolo <lb></lb>all'asse della visione circa a mezz'angolo retto, farà <lb></lb>specchio alle cose luminose. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Quanto al pulire, mai si pulisce sulla centina che l'ha <lb></lb>lavorato, perchè polisce dalle bande prima e poi tardissimo <lb></lb>nel mezzo, e non vengono bene. </s><s>Bisogna dunque darvi <lb></lb>una centina più dolce. </s><s>Io adopero una rotella di lavagna <lb></lb>larga circa otto dita, e quasi dissi piana. </s><s>Solo vi do quattro <lb></lb>botte di pomice, fintanto che l'occhio cominci a conoscere <lb></lb>che ella non è più piana. </s><s>Questa la metto in una tavola <lb></lb>con una rotella di panno sotto, acciò non si rompa, e poi <lb></lb>vi conficco sopra con bullettine da impanata un pezzo di <lb></lb>panno fine senza nodi, tarme ecc. e tirato da tutte le bande <lb></lb>quanto mai è possibile. </s> <s><foreign lang="it">Quest'invenzione è meglio che <lb></lb>legare il panno intorno alla centina, perchè si tira meglio; <lb></lb>e poi perchè essendo il panno conficcato nella tavola sot<lb></lb>toposta la centina viene a restare immobile sotto i giri <pb pagenum="152"></pb>della mano. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Il tripolo poi vi si da in forma d'unguento <lb></lb>tanto scarso che non faccia massa intorno a gl'orli del <lb></lb>vetro e della centina, aggiungendo hora quattro gocciole <lb></lb>d'acqua, et hora un poco di tripolo, conforme il panno <lb></lb>ne averà bisogno. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Solo conviene avere un poco di pazienza <lb></lb>nel pulire, perchè và via ogni minima bruttura et ine<lb></lb>gualità che sia nella superficie del vetro. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Quanto alla piccolezza della centina di vetro soprad<lb></lb>detta, cioè che sia eguale al vetro da lavorarsi, V. S. lo <lb></lb>stimi un gran segreto. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Credo che ella intenderà benissimo <lb></lb>che se la centina non è sferica, nè anco il vetro può es<lb></lb>sere di buona sfericità. </foreign></s> <s><foreign lang="it">E chi mi assicura che la centina <lb></lb>si mantenga sferica, quando essa sarà d'un palmo di <lb></lb>diametro, et il vetro sarà quanto una piastra? </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma quando <lb></lb>siano eguali, e che la mano del lavorante farà moti irre<lb></lb>golari, e stravaganti, cioè spire, girighori, circoli, e sopra<lb></lb>tutto diametri molti e per tutti i versi, allora si che <lb></lb>neanche un Angelo potrà dar al vetro figura più perfet<lb></lb>tamente sferica. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Il segreto poi che m'importa, e che non si da altro che <lb></lb>da Dio e da me, è questo. </s> <s><foreign lang="it">Non attaccare i vetri da lavo<lb></lb>rarsi con pece, nè con altro per via di fuoco, perchè quelle <lb></lb>materie nel freddarsi si ritirano più da una parte che <lb></lb>dall'altra, et inarcano il vetro, il quale finchè sta attac<lb></lb>cato sul macinello ha la figura ottima, ma quando lo <lb></lb>stacchiamo per metter nell'occhiale, egli si spiana come <lb></lb>prima, e la figura si guasta. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Questo segreto che dico adesso <lb></lb>a V. S. è stato da me osservato evidentemente tanto, che <lb></lb>l'ho toccato con mano, e direi anche a V. S. il come, ma <lb></lb>lo lascio per brevità. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ora io attacco i vetri così: piglio <lb></lb>un macinello di piombo di questa proporzione; alla faccia <lb></lb>A spianata metto una rotella di roversino <lb></lb>o altro panno fino cedente, acciò il vetro <lb></lb> <arrow.to.target n="fig555"></arrow.to.target><lb></lb>tocchi sul morbido: dopo cingo sopra <lb></lb>detto panno il macinello con una pelle <lb></lb>di guanto tiratissima e la lego con lo <lb></lb>spago CD stretta assai: dopo impiastro <lb></lb>la faccia di detta pelle A con cera rossa calda e distesa <lb></lb>sottilissima. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Così il vetro (purchè non sia bagnato) <pb pagenum="153"></pb>s'attaccherà sempre se ben freddo; e quando occorresse, <lb></lb>si da una strofinatura a detta pelle con una palla della <lb></lb>medesima cera rossa, che attaccherà assai forte. </foreign></s> </p> <figure id="fig555"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Così ne seguita che il vetro non sarà sforzato, ma <lb></lb>quella figura che riceverà dalla centina, l'istessa riterrà <lb></lb>quando sia staccato dal macinello. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Oltre di ciò V. S. <lb></lb>averà comodità di cominciare a provare il vetro se fa <lb></lb>bene o male subito che si comincia a pulire, e potrà stac<lb></lb>carlo et attaccarlo cento volte senza danno alcuno, e piu <lb></lb>tosto con giovamento. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Che quando si adopera la pece, la <lb></lb>regola è, non lo staccar mai se non quando egli è finito. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Quanto all'invenzione del macinello di piombo non è mia, <lb></lb>ma è buonissima; perchè nel dar la pelle non occorre <lb></lb>aggravar quasi niente la mano, ma il piombo medesimo <lb></lb>fa quasi da per lui; anco nel pulire aiuta assai: et acciò <lb></lb>faccia meglio il servizio abbiamo i macinelli che son <lb></lb>quasi due dita più di diametro che il vetro stesso, acciò <lb></lb>gravitino quel di più. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Et osservi che fare il ma<lb></lb> <arrow.to.target n="fig556"></arrow.to.target><lb></lb>cinello alto assai è male perchè fa lieva e fa <lb></lb>tracollare il vetro. </foreign></s> <s>Quando V. S. proverà queste <lb></lb>invenzioni (che non son se non due: centina pic<lb></lb>cola e non adoprar fuoco) io l'assicuro che farà <lb></lb>i vetri buoni, anche quando la materia fusse cat<lb></lb>tiva; e non gliene riuscirà mai nessuno cattivo affatto, <lb></lb>ma sempre più che mediocri. </s> <s><foreign lang="it">Quanto poi agli ottimi, <lb></lb>son fortune; e bisogna accordar molte cose, la figura, la <lb></lb>materia et il pulimento. </foreign></s> <s><foreign lang="it">L'osservazione mi ha insegnato <lb></lb>che nei vetri la figura importa assaissimo, et il pulimento <lb></lb>pochissimo. </foreign></s> <s>La ragione è questa. </s><s>Io ho provato molti dei <lb></lb>miei vetri che appena cominciavano a trasparire, et ho <lb></lb>veduto che non ostante la grana grossissima che have<lb></lb>vano, in ogni modo facevano bene per essere la figura <lb></lb>buona. </s> <s><foreign lang="it">Altri poi puliti come diamanti per un tantino di <lb></lb>mancamento inimaginabile che sia nella figura, non fanno <lb></lb>nulla. </foreign></s> <s><foreign lang="it">La prego a tener segreto quanto le scrivo, in par<lb></lb>ticolare quello dell'attaccare, perchè è cosa che nessuno <lb></lb>ne sospetta, e non vi è cosa che rovini più i vetri, quando <lb></lb>però non si adoperino grossissimi. </foreign></s> </p> <figure id="fig556"></figure> <p type="main"> <s>Cercherò se trovo certi fogliacci dove stava un poco <pb pagenum="154"></pb>di ricordo delle obiezzioni che si fecero sopra li 2.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> libro <lb></lb>dell'Acque Correnti. </s><s>La mia stampa va pigra, ma non si <lb></lb>può far altro. </s><s>Io sono occupatissimo tanto che non ho <lb></lb>tempo di scrivere, et in ogni modo scrivo lettere così <lb></lb>brevi. </s><s>Abbia pazienza. </s><s>Il P. Lodovico la riverisce cor<lb></lb>dialmente, e l'ama più di quel che ella possa imma<lb></lb>ginarsi. È un gran galantuomo e amicissimo dello Studio <lb></lb>e delle Virtù. </s><s>E la riverisco. </s><s>Fir. 4 Xbre 1643. <lb></lb> Di V. S. <lb></lb>Dev. </s><s>et Obb.mo Servitore<lb></lb> Ev. </s><s>Torricelli.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>MONITA CIRCA USUM TELESCOPIJ.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Illud praecipuè non est negligendum tubi fabrica, ne <lb></lb>in ipso usu inflectatur, sitque majoris potius crassitiei, <lb></lb>quam ut radios intus convergentes intercipere possit. </s><s>Detur <lb></lb>etiam tribus aut quatuor internodijs sive diaphragmatis <lb></lb>(qualia sunt in arundinibus) sed perforatis esse inter se<lb></lb>ptus, ne lumen quoddam intra os tubi obliquè receptum <lb></lb>incidens in cavam tubi superficiem ad oculum ullo modo <lb></lb>repercuti possit. </s><s>Curandum iusuper est quam partem vitri <lb></lb>detectam, sive apertam relinquamus, quod experienti mani<lb></lb>festum erit. </s></p> <p type="main"> <s>Ad res vero minutas aspiciendas minori circulo uten<lb></lb>dum est. </s><s>Caeterum quamquam vitra perfectissima sint, <lb></lb>perraro bonitatem suam ostendere possunt ob aeris tem<lb></lb>periem. </s><s>Vel enim nebula quaedam sive caligo, sive fumus <lb></lb>tenuissimus in aere est, quarum rerum atomos non secus <lb></lb>ac reliqua obliqua auget, et visibilia reddit telescopium. </s><s><lb></lb>Praeterea aer saepissimè tremit, et quodammodo scintil<lb></lb>lat, (credo equidem ob vapores ascendentes) non tantum <lb></lb>aestate, et sub ardente sole, sed et hyeme etiam, et saepè <lb></lb>flante Borea, imò et de nocte quod lunam contemplanti <lb></lb>patebit. </s><s>Tunc enim ambitus ejus tremit, maculaeque minu<lb></lb>tiores malignè cernuntur: Malignius autem tunc temporis <lb></lb>figura Saturni conspicitur. </s></p> <pb pagenum="155"></pb> <p type="main"> <s>Perfectissima visio fit ut plurimum matutino sole, et <lb></lb>vespertino tempore, averso semper sole, nubilo etiam coelo, <lb></lb>(quod inverisimile est) et post pluviam clarissimus con<lb></lb>spectus est per tubum, dummodo species objectorum non <lb></lb>ferantur supra frequentissima urbium loca. </s><s>Vis enim ingens <lb></lb>vaporum, quae de fumarijs emittitur, species omnes visi<lb></lb>biles perturbat. </s><s>Plura monere poteram. </s><s>Pauca haec suffi<lb></lb>ciant, quae non nisi longo usu observari solent. </s><s>Multi enim <lb></lb>perfectionem accusant vitrorum, cum ijs contrario tempore <lb></lb>utantur, ipsique potius accusandi sint. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="italics"></emph>Haec Torricellius.<emph.end type="italics"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Quidam ex Patribus Societatis Iesu in epistola ad <lb></lb>Gassendum recens missâ vehementer invehitur in Ga<lb></lb> <arrow.to.target n="fig557"></arrow.to.target><lb></lb>lilei definitionem de motu uniformiter accelerato, <lb></lb>aliamque tradit definitionem, quae talis est. </s><s>Motum <lb></lb>uniformiter acceleratum voco qui per aequalia spatia <lb></lb>aequales acquirit gradus velocitatis. </s><s>Inde post multa <lb></lb>infert peracta motu spatia gravium ex quiete caden<lb></lb>tium temporibus deinceps aequalibus esse in ratione <lb></lb>dupla. </s><s>Quod non modo falsissimum est, sed facilè <lb></lb>suam sibi propositionem destruens. </s><s>Concedamus id <lb></lb>verum esse. </s><s>Ergo spatium p.<emph type="sup"></emph>i<emph.end type="sup"></emph.end> temporis erit ut unum, <lb></lb>2.<emph type="sup"></emph>i<emph.end type="sup"></emph.end> temporis ut 2, 3.<emph type="sup"></emph>i<emph.end type="sup"></emph.end> temporis ut 4, 4.<emph type="sup"></emph>i<emph.end type="sup"></emph.end> vero temporis <lb></lb>ut 8. Nonne ita? </s><s>Si verum hoc est ratio non est dupla. </s><s><lb></lb>Nam primi simul et secundi temporis spatium erit 3. <lb></lb>Tertii vero simul et quarti temporis spatium erit 12. <lb></lb>Falsum itaque est quod ait auctor ille, nam ego ex <lb></lb>ipsius documento invenio rationem spatiorum tempo<lb></lb>ribus aequalibus non duplam, sed quadruplam. </s><s>Idem <lb></lb>absurdum accidet semper quamcumque tandem rationem <lb></lb>inveniat, pronuntietque praeter jam a Galileo prolatam. </s></p> <figure id="fig557"></figure> <p type="main"> <s><emph type="italics"></emph>ex eodem Torricellio.<emph.end type="italics"></emph.end></s></p> <pb pagenum="156"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>CONDIZIONI RICHIESTE NEI VETRI.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Che le pulighe (così si chiamano a Venezia et anche <lb></lb>in Firenze) sieno poche, e piccolissime. </s></p> <p type="main"> <s>Che i tortiglioni, cioè quelle onde interne, che talvolta <lb></lb>hanno i vetri, non vi siano di nessuna sorte. </s> <s><foreign lang="it">Ma ne' vetri <lb></lb>piani è difficilissimo il vedergli, e ne' rozzi impossibile, <lb></lb>però questo documento sarà quasi superfluo. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Il colore sia poco, qualunque sia o avvinato, o bianco, <lb></lb>o capellino, o verdognolo. </s> <s><foreign lang="it">Si conosce facilmente col met<lb></lb>tere il vetro sopra un foglio di carta, o su la pezzuola. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>La condizione poi più necessaria di tutte è la limpi<lb></lb>dezza, perchè sendovi questa, ancorche manchino le altre <lb></lb>tutte, i vetri verranno buoni; quando manchi questa, an<lb></lb>corche per le altre sieno perfetti, mai faranno bene. </s> <s><foreign lang="it">Il <lb></lb>modo di conoscerla è guardare i vetri per taglio, ma che <lb></lb>i vetri non sieno larghi più di quattro overo sei dita, <lb></lb>se il taglio sarà diritto, e seguito come fa il foco così <lb></lb>si vedrà (guardando verso il lume) per la cras<lb></lb> <arrow.to.target n="fig558"></arrow.to.target><lb></lb>sizie del vetro fino alla parte opposta, come se <lb></lb>fosse ambra, o meglio come acqua, e si vedrà la <lb></lb>materia omogenea tutta d'un colore, e senza <lb></lb>striscie, o righe, overo onde. </foreign></s> <s>Quando sarà altrimente la <lb></lb>pasta sarà cattiva. </s></p> <figure id="fig558"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Se poi il taglio sarà smollettato con le tenaglie così <lb></lb>sarà più difficile a conoscere la bontà; ma <lb></lb> <arrow.to.target n="fig559"></arrow.to.target><lb></lb>non di meno si vede qualche poco di spiana<lb></lb>turina da poter guardar dentro, e da pertutto <lb></lb>si vede un'allegria che brilla, come se fusse <lb></lb>diamante; se poi si vede torbido, et offuscato, <lb></lb>la pasta è cattiva. </foreign></s> </p> <pb pagenum="157"></pb> <figure id="fig559"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>64<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> BONAVENTURA CAVALIERI a [TORRICELLI <lb></lb>in Firenze].<lb></lb>Bologna, 22 dicembre 1643.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLI, c. 184-185 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>M.to Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end>, et Ecc.mo Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end>, e P.ron Col.mo </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Essendo qualche giorni, che io non tengo nuova di lei, vengo con <lb></lb>questa mia a riverirla per intendere qualche cosa del suo bene stare, <lb></lb>et a che termine ella sia circa le sue fatiche da stamparsi, delle quali, <lb></lb>come di cose sublimi, e gloriose non manco d'esserle Tromba, dovunque <lb></lb>può arrivare la mia benchè debol voce; siccome poco fa ne diedi pur <lb></lb>nuova a Parigi, dove le opere sue sono desideratissime. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Io poi impedito <lb></lb>dalla mia solita infirmità, oltre le occupazioni sopraggiunte della <lb></lb>pubblica lettura, non ho potuto far di più in quest'anno, che il primo <lb></lb>dialogo delli tre da me designati da fare, nel quale ho risposto, almeno <lb></lb>mi sono sforzato di rispondere alle obiezioni fattemi dal Guldino; ri<lb></lb>serbando per il secondo l'apportare alcuni frutti degl'indivisibili, et <lb></lb>in particolare di dire ciò, che mi è parso, che si possa per il contrario <lb></lb>opporre alla sua Centrobarica, cioè circa alcune cose principali. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Per il <lb></lb>terzo varie specolazioni indipendenti dagl'indivisibili incontrate da me <lb></lb>in diversi tempi. </foreign></s> <s><foreign lang="it">E perchè conosco, che ella è più pratica di me in <lb></lb>questa dottrina degl'indivisibili, desidererei, che volesse spendere due, <lb></lb>o tre ore di tempo dando un'occhiata a questo primo dialogo, che io <lb></lb>gli manderò, quando non gli sia ciò d'incomodo, acciò me ne dicesse <lb></lb>il suo senso, e mi desse qualche avvertimento intorno a quello, avendo <lb></lb>più caro di essere avvisato de' miei errori dagli amici, che censurato <lb></lb>dalli nemici. </foreign></s> <s>Starò dunque aspettando risposta sopra questo particolare. </s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>E frattanto gli auguro felicissime Feste con il buon capo d'anno, e li <lb></lb>bacio affettuosamente le mani. </foreign></s> <s><lb></lb>Bologna 22 Xbre 1643<lb></lb> Dev.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end>, et Obb.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Servit.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb> F. Bonaventura Cavalieri.</s></p> <pb pagenum="158"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>65<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> MARINO MERSENNE a TORRICELLI <lb></lb>in Firenze.<lb></lb>[Parigi], 25 dicembre 1643.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLI, c. 9 — Copia di L. Serenai).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Ad Clarissimum D. Toricellum. </s></p> <p type="main"> <s>Satis mirari non possumus, quod ne verbum quidem abs te V. C. <lb></lb>á tot mensibus non accepimus; an igitur ingratum habuisti nostri <lb></lb>Geometrae de tuo opere iudicium? </s><s>aut illius de tuo pulcherrimo Theo<lb></lb>remate demonstratio displicuit? </s><s>Cum volueris significabis unde sit <lb></lb>factum ut nihil de tua sanitate nihil , quam tibi hocce novo 1644 <lb></lb>anno firmam exopto. </s><s>Cum autem noveris qua vestrae Civitatis parte <lb></lb>Dominus Doni habitet, nempe ut audio, prope nostrum Monasterium, <lb></lb>quaeso ut mea epistola hic inclusa statim ei reddatur, meque tui semper <lb></lb>credas obsequentissimum Mersennum. </s><s>Festo Natalis Domini anni 1643. </s></p> <p type="main"> <s>Si schedulae istius lator ipse tibi dederit illam, est . . . . et nobilis <lb></lb>admodum . . . . . . et in Geometricis versatus, quippe Robervalli, á quo <lb></lb>demonstrationem accepisti, discipulus, credo, acutissimus. </s></p> <p type="main"> <s>Clarissimus Geometra Senator Tholosanus Fermatius, tibi (per me) <lb></lb>sequens problema solvendum proponit, quod tuo de Conoideo acuto <lb></lb>infinito aequivaleat. </s></p> <p type="main"> <s>Invenire triangulum rectangulum in numeris, cuius latus maius sit <lb></lb>quadratum summaque duorum aliorum laterum etiam sit quadratum, <lb></lb>denique summa maioris et medij lateris sit etiam quadratum. </s><s>Exempli <lb></lb>gratia in triangulo 5, 4, 3. oportet 5. esse numerum quadratum, deinde <lb></lb>summa 4. et 3. hoc est 7. foret quadratus numerus; denique summa <lb></lb>5. et 4. hoc est 9. esset quadrata. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="italics"></emph>a tergo<emph.end type="italics"></emph.end> — Ad Clarissimum Virum Dominum Toricellum. <lb></lb> Florentiae.</s></p> <pb pagenum="159"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>66<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> [. . . . . . . . .] al GRAN DUCA FERDINANDO II.<lb></lb>[Firenze], 4 gennaio 1644.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss Galileiani, Discepoli, T. XXI, c. 42 — Copia).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Ser.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Gran Duca </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Il Senatore e Priore Donato dell'Antella Luogotenente dell'Acca<lb></lb>demia del Disegno e il Cav.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> Rimbotto Rimbotti Provveditore di essa <lb></lb>umilissimi servi di V. A. S. con ogni debita reverenza la supplicano <lb></lb>che si voglia degnare di eleggere per Lettore della n.<emph type="sup"></emph>ra<emph.end type="sup"></emph.end> Accademia il <lb></lb>Dottore Vangelista Torricelli per la lettura delle fortificazioni militari <lb></lb>nè giorni di festa con il med.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> emolumento solito darsi. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Che di tal <lb></lb>gra.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> pregheranno il Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> Dio per il colmo di sua felicità e grandezza <lb></lb>quam Deus etc. <lb></lb> <emph type="italics"></emph>eleggesi il Dott.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> Gio: bat:<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> Torricelli per la<emph.end type="italics"></emph.end><lb></lb>Fer. <emph type="italics"></emph>sudd.<emph type="sup"></emph>ta<emph.end type="sup"></emph.end> lettura con il solito emolumento.<emph.end type="italics"></emph.end><lb></lb> Persio Falconcini<lb></lb>4 Gen.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> 1644.</foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>67<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> BONAVENTURA CAVALIERI a [TORRICELLI <lb></lb>in Firenze].<lb></lb>Bologna, 8 gennaio 1644.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLI, c. 186-189 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>M.to. </s><s>Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end>, ed Ecc.mo Sig.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> e P.ron Col.mo </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">In conformità di quello, che io gli scrissi confidato nella sua amo<lb></lb>revolezza gl'invio questo primo Dialogo per contenersi in esso materia <lb></lb>principalmente di controversia in cosa, della quale ella è benissimo per <lb></lb>non dire più di me informata. </foreign></s> <s><foreign lang="it">So, che ella vi troverà di molte imper<lb></lb>fezioni, ma spero, che mi avrà in parte per iscusato, sapendo di quanto <lb></lb>pregiudizio mi sia allo speculare la continua mia infirmità corporale, <lb></lb>e mi farà grazia dirmene liberamente il suo senso. </foreign></s> <s>So, che le dimo- <pb pagenum="160"></pb>strazioni, o lemmi, che quivi dimostro, potevano forsi apportarsi in <lb></lb>miglior modo, e con più chiarezza; tuttavia dovendo esser vista da <lb></lb>quelli principalmente; che hanno inteso la mia Geometria, a' quali io <lb></lb>la indirizzo, spero, che supereranno facilmente le difficoltà, che incon<lb></lb>treranno. </s> <s><foreign lang="it">Vi ho inserito alcuni discorsi fatti dal Marsiglio con un poco <lb></lb>di libertà filosofica, acciò anco i puri Filosofi vi abbiano qualche cosa <lb></lb>per il gusto loro, sebbene di poco momento, anzi so, che a molte cose <lb></lb>daranno del naso, come alla composizione del continuo d'indivisibili, <lb></lb>alle immagini, e semi, che si riduchino a un punto, il che da me è <lb></lb>stato messo per un certo ghiribizzo, e come cosa ammirabile, o che si <lb></lb>riduchino, o nò ad un punto, e degna di considerazione. </foreign></s> <s>L'ho poi no<lb></lb>minata Lei per onorare con la persona sua questa mia rozza scrittura, <lb></lb>e con tale occasione apportando alcuni suoi pensieri a proposito di <lb></lb>quel che si tratta, secondo che dalle sue lettere ho raccolto. </s> <s><foreign lang="it">Se però <lb></lb>io mancassi in cosa alcuna, o se non gli piacesse, che io v'inserissi <lb></lb>le dette cose, me ne avvisi, che le tralascerò. </foreign></s> <s>Se incontrasse poi <lb></lb>qualche errore, anco nell'umanità, et ortografia, mi sarà caro, che <lb></lb>nell'istesso tempo, che lo legge, lo corregga ancora, poichè non si <lb></lb>può essere così oculato, che molti non se ne trascorrino. </s> <s><foreign lang="it">Mi rallegro <lb></lb>poi del progresso della sua stampa, e stia sicura, che è desideratissima <lb></lb>da molti, e da me in particolare, essendochè saranno queste come gioie <lb></lb>tolte dalla miniera più ricca delle mattematiche. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Credo, che essendo <lb></lb>così innanzi nella stampa, dove dico delle sue cose, che <emph type="italics"></emph>quam primum<emph.end type="italics"></emph.end><lb></lb>vedranno la luce, dovrò dire <emph type="italics"></emph>nuper,<emph.end type="italics"></emph.end> poichè credo, che questi miei dia<lb></lb>loghi usciranno dopo, e perciò dove io dico di volere per mostrare il <lb></lb>frutto degl'indivisibili, numerare le conclusioni mostrate da lei, sarà <lb></lb>allora forse superflo, però farò in questo, come ella vorrà, e se le <lb></lb>siano stampate, crederò, che non sarà nè anco mal fatto accennarle, <lb></lb>per eccitare la curiosità anco di quelli, che non vedessero la sua opera. </foreign></s> <s><lb></lb>E compiacendosi pure che io lo faccia, mi sarà grazia d'un poco d'in<lb></lb>dice, quando non fossse uscita la detta Opera delle dette conclusioni. </s><s><lb></lb>Finalmente la pregherò a volermi perdonare di tanto incomodo, e <lb></lb>visto che l'avrà, potrà riconsegnarlo al P.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> Priore medesimo, che glielo <lb></lb>consegna, che avrà cura di raccomandarmelo. </s> <s><foreign lang="it">Non so, se abbi visto <lb></lb>gli quattro Libbri de' Conici del Midorgio; mi sono arrivati poco <lb></lb>fa, e non ho visto altro, che i titoli delle proposizioni, e mi pare un <lb></lb>acuto Geometra, et uomo di molta dottrina per quello, che da essi <lb></lb>posso raccogliere, e da qualche proposizione, che ho visto. </foreign></s> <s>Se avrà <lb></lb>caro di vederlo, mi avvisi, che ce lo manderò, e mi comandi. </s><s>E con <lb></lb>tal fine li bacio affettuosamente le mani. </s><s><lb></lb>Di Bologna alli 8 Gennaio 1644.<lb></lb> Dev.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end>, et Obb.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Serv.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb> F. Bonaventura Cavalieri</s></p> <pb pagenum="161"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>68<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> MARINO MERSENNE a TORRICELLI <lb></lb>in Firenze.<lb></lb>Parigi, 13 gennaio 1644.<lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLI, c. 10-11 — Copia di L. Serenai). </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">L'originale di questa lettera trovavasi nel gennaio 1662 in mano di L. Serenai: <lb></lb>V. LETTERA AI FILALETI DI TIMAURO ANTIATE, ecc., Firenze 1663, pag. 24. <emph type="italics"></emph>Inven<lb></lb>tario di scritture private manoscritte che si adducono in questa lettera in prova della <lb></lb>Verità,<emph.end type="italics"></emph.end> ecc., N. VIII.<gap desc="/SM"></gap></foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Clarissimo Viro D. Torricello S. P. </s></p> <p type="main"> <s>Cum me tantae in pingendo, seu characteres exarando, reum efficias <lb></lb>obscuritatis, Vir clarissime, calamo praecipiendum existimavi, ut tandem <lb></lb>absque Oedipo me possis intelligere. </s><s>Vide igitur num hac vice hanc <lb></lb>epistolam sis perlecturus; quamquam et illos quibus me vidisti chara<lb></lb>cteres nostri Typographi absque ulla difficultate legant licet ignarissimi. </s></p> <p type="main"> <s>Porrò noster Geometra tuis litteris vehementer delectatus est: for<lb></lb>teque sit ad te scripturus: displicet verò quod liber ille tuus hocce <lb></lb>novo anno, quo illum expectabamus nondum prodierit, et ad alterum <lb></lb>saeculum remittas. </s><s>Trochoidis verò naturam, vel ut vis, Cycloidis, ita <lb></lb>penetravit Robervallus noster, nihil ut elegantius, vel profundius videris <lb></lb>eiusque solidum, cum super base convertitur, ad cylindrum eiusdem <lb></lb>altitudinis demonstravit esse ut 5 ad 8. </s></p> <p type="main"> <s>Nescio an ad te scripserim lineam parabolicam inventam aequalem <lb></lb>alteri lineae curvae, nempe helici Archimedeae, et quaecumque tuus ille <lb></lb>Preceptor Cavallierus per indivisibilia proposuit, à praedicto Robervallo <lb></lb>geometricè demonstrata. </s><s>Quaerebas an Cartesius et Fermatius sint <lb></lb>eiusdem metalli, quid ergo dubitas, postquam Cartesij Geometrice libros <lb></lb>.4 Gallicos a 3 aut 4 annis editos et tractatus de locis planis, locis ad <lb></lb>superficiem, et alia plurima vidisti, aut saltem videre debuisti, cum <lb></lb>eis dudum ad Santinium Genuensem, tuum credo amicum miserim cum <lb></lb>alijs Geometricis. </s></p> <p type="main"> <s>Est tamen hoc inter illos discrimen quod Cartesij sublimius ingenium <lb></lb>admiremur, quippe momento ferè perficiat quod alij pluribus medita<lb></lb>tionibus. </s><s>Teste Trochoide, cuius spatium triplum, et omnes tangentes, <lb></lb>ut et hyperbolae, ellipsis, & eodem modo notae, statim atque proposita <lb></lb>sunt, demonstravit, vix ut credam ei quidpiam in rebus Geometricis im<lb></lb>possibile, à quo etiam vere futuro Physicam demonstratam expectamus. </s></p> <p type="main"> <s>Superest ut de Viro Nobilissimo D. Doni nonnihil addam quod vel <lb></lb>ipse in hisce litteris, si libuerit, videat, maxime verò si tibi rursus <pb pagenum="162"></pb>Oedipo fuerit opus: quod ubi resciero, deinceps à scribendo libentis<lb></lb>sime abstinebo. </s></p> <p type="main"> <s>Illius igitur opera postrema quae vidi, quaeque à 2. annis Viro <lb></lb>Illustri à secretis Principis Arausicani mutuò dedi cedro digna sunt, <lb></lb>neque putem in eo genere quidpiam doctius et antiquitati congruentius <lb></lb>scribi posse. </s><s>Utinam, cum iam existimem eum in otio degere, magnum <lb></lb>illud opus Harmonicum, quod saepe adeo in alijs operibus laudat velit <lb></lb>tandem aliquando in lucem edere, vel si recusant Typographi ob im<lb></lb>mensitatem operis, illud doctis amicis qui sibi transcribi curent, more <lb></lb>veterum commune faciat. </s><s>Ego sane 6 <emph type="italics"></emph>pistolas<emph.end type="italics"></emph.end> in eius transcriptionem <lb></lb>libenter impendero: quispiam Harmoniae cupidus idem prestet. </s><s>Ab his <lb></lb>enim praesertim non ab ignaris, aut istius artis osoribus, laudem ex<lb></lb>pectare debeat. </s></p> <p type="main"> <s>“ Numquam respondisti de vi percussionis, num quod caeperat Ga<lb></lb>“ lileus ab aliquo perfectum sit, aut perficiendum. </s><s>Nempe quomodo <lb></lb>“ cum viribus vectis aut praeli componenda. </s><s>Nonnihil etiam muginor <lb></lb>“ <emph type="italics"></emph>(sic)<emph.end type="italics"></emph.end> circa Hydraulico-Pneumati . . . et Ballistica, ut tibi alijsque <lb></lb>“ magnis Geometris Phaenomena parem, quae deinceps variarum de<lb></lb>“ monstrationum <foreign lang="grc">υποχειμενον</foreign> prebeant. </s><s>Cum ad magnum Bonaventuram <lb></lb>“ scripseris plurimum meo nomine salutes velim quemadmodum et e<lb></lb>“ ruditissimum Donium ”. </s></p> <p type="main"> <s>Brevi verò nostram etiam aliam epistolam et ipse . . . . . à nobili <lb></lb>Gallo (nostri Oratoris à Sancto Chaumont comite) du Verdus accipies <lb></lb>Robervalli optimo omnium discipulo, à quo plura disces tam de Tan<lb></lb>gentibus, quàm alijs quibuscumque rebus Geometricis. </s><s>Vale iterum, <lb></lb>meque tui credas obsequentissimum Mersennum. </s><s>Idibus Januarijs <lb></lb>anni 1644. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="italics"></emph>à tergo<emph.end type="italics"></emph.end> — Clarissimo Domino D. Torricello Magni Ducis <lb></lb>Hetruriae Matematico Florentiam. </s></p> <pb pagenum="163"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>69<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> TORRICELLI a [MICHELANGELO RICCI <lb></lb>in Roma].<lb></lb>Firenze, 23 gennaio [1644].<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XL, c. 103-104 — Copia di L. Serenai).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ho veduta la sua speculazione bellissima sopra il ci<lb></lb>lindro o frusto conico dal quale sieno levati due coni. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Nel primo de' miei libretti già stampato è una dimostra<lb></lb>zione, dalla quale si può dedurre cotesta sua con l'aiuto <lb></lb>però di alcune altre di Archimede nel libro de Sphera et <lb></lb>Cilindro, così non occorrerà che ella s'incomodi a trascri<lb></lb>vere la dimostrazione in questi tempi d'ozio carnevalesco. </foreign></s> <s><lb></lb>F. Bonaventura Cavalieri stampa un libro in dialogo latino <lb></lb>per risposta al P. Guldini Gesuita che l'ha maltrattato in <lb></lb>materia delli indivisibili. </s><s>Quel Sig. Raffaello non ci scrive <lb></lb>più, in ogni modo lo riveriamo più che mai. </s> <s><foreign lang="it">V. S. poi ha <lb></lb>trovato una dimostrazione che fu la più laboriosa che io <lb></lb>incontrassi nel libro de' solidi sferali. </foreign></s> <s>Mi pare che ella <lb></lb>faccia miracoli, e tanto più se la dimostra <lb></lb> <arrow.to.target n="fig560"></arrow.to.target><lb></lb>per la via di Archimede senza indivisibili <lb></lb>come spero che ella faccia. </s></p> <figure id="fig560"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Quel che dimostro nel libretto è que<lb></lb>sto. </foreign></s> <s>Se da un cono ABC sarà levato <lb></lb>il cono ADC con la medesima base et <lb></lb>asse ma di minor altezza. </s><s>Il rimanente <lb></lb>sarà eguale ad un cono che habbia la base <lb></lb>eguale alla superficie curva <lb></lb> <arrow.to.target n="fig561"></arrow.to.target><lb></lb>del cono ABC, ma per al<lb></lb>tezza la DE perpendicolare <lb></lb>alla BC. </s></p> <figure id="fig561"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Se da un frusto conico <lb></lb>ABCD sarà levato il cono <lb></lb>AED, che è sulla base mag<lb></lb>giore del frusto, il rima- <pb pagenum="164"></pb>nente sarà eguale ad un cono la cui base s'agguagli alla <lb></lb>curva superficie del frusto, ma l'altezza sia la EF perpen<lb></lb>dicolare alla AB. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Da queste pare a me di cavare quella di V. S. (che <lb></lb>in vero è più universale della mia, e forse sarà portata <lb></lb>più facilmente). Mi compatisca perchè scrivo Dio sa come, <lb></lb>non havendo il cervello su questa roba. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Già che vi sono entrato <lb></lb> <arrow.to.target n="fig562"></arrow.to.target><lb></lb>eccogli due descrizioni del<lb></lb>l'hiperbola, o vogliamo dire <lb></lb>proprietà di essa, e pas<lb></lb>sioni. </s><s>Siano le due linee <lb></lb>AB, CD ad angoli retti e <lb></lb>preso qualunque punto D <lb></lb>faccia tutte le coppie delle <lb></lb>linee uguali DB, BE & <lb></lb>DF, FG, & DH, HI & e <lb></lb>le BE, FG, & siano paral<lb></lb>lele alla CD. </s></p> <figure id="fig562"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Il punto O sarà centro <lb></lb>della sezione, e i lati verso <lb></lb>e retto saranno uguali. </foreign></s> </p> <figure></figure> <p type="main"> <s>Siano AB, CD ad an<lb></lb>goli retti, e preso un punto <lb></lb>E dovunque si sia si man<lb></lb>dino molte linee. </s> <s><foreign lang="it">Se V. S. <lb></lb>segherà per mezzo tutte le <lb></lb>intercette AO, AO & per <lb></lb>i punti passerà una hiper<lb></lb>bola, il cui centro sarà nel <lb></lb>mezzo della retta EM, e <lb></lb>gli asimptoti paralleli alle <lb></lb>due rette AB, CD. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Questa passione serve per segare qualunque angolo <lb></lb>dato in tre parti eguali. </s></p> <pb pagenum="165"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Descrizione overo proprietà dell'ellissi.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Siano AB, CD gli assi <lb></lb> <arrow.to.target n="fig563"></arrow.to.target><lb></lb>di un ellisse e si prolunghino <lb></lb>tutti. </foreign></s> <s>Se V. S. inclinerà la <lb></lb>retta EF di tal maniera che <lb></lb>ella sia eguale al semiasse <lb></lb>IC, la rimanente FG sarà <lb></lb>eguale all'altro semiasse IA <lb></lb>etc. </s><s>Questa è la passione, la <lb></lb>descrizione poi patet. </s><s>Incli<lb></lb>nando molte linee eguali alla <lb></lb>EG, cioè alla metà dell'ag<lb></lb>gregato delli assi. </s><s><lb></lb>Firenze 23 Genn.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> 1634 (<emph type="italics"></emph>sic<emph.end type="italics"></emph.end>).</s></p> <figure id="fig563"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>70<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> TORRICELLI a RAFFAELLO MAGIOTTI.<lb></lb>Firenze, 6 febbraio 1644.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XL, c. 36-37 — Autografa).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Molto Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> e M.<emph type="sup"></emph>to<emph.end type="sup"></emph.end> Rev.<emph type="sup"></emph>do<emph.end type="sup"></emph.end> mio Sig. P.ron Col.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Finalmente dopo mille vani discorsi, e mille castelli in <lb></lb>aria (laudato sia Dio) l'invenzione de i vetri m'è data <lb></lb>nelle mani. </s><s>Ho gusto che quel Napolitano s'accorga che <lb></lb>il Gran Duca hà in casa sua chi fa quanto lui, et anco <lb></lb>più di lui. </s> <s><foreign lang="it">Da pochi giorni in quà ne ho lavorati solo 6, <lb></lb>tra i quali 4 ne sono riusciti con diffetto apparente, gli <lb></lb>altri due sono stati a prova con quel perfettissimo del <lb></lb>Gran duca fatto dal Fontana, e non vi si trova una minima <lb></lb>differenza, se non che quello è il meglio che sia stato fatto <lb></lb>tra mille vetri nello spazio di 30 anni dal Fontana; et i <lb></lb>miei sono scelti fra sei fatti nello spatio d'otto giorni. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Io <pb pagenum="166"></pb>spero di passar anco più avanti, sebene il Gran Duca mi <lb></lb>dice d'esser soddisfatto così, et hieri appunto mi donò di <lb></lb>sua mano una collana di 300 scudi, con medaglia, e motto <lb></lb><emph type="italics"></emph>virtutis praemia.<emph.end type="italics"></emph.end> Spero che V. S. n'haverà gusto, e gli sarà <lb></lb>sprone di seguitare avanti. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Mi dispiacque bene di non poter <lb></lb>darle qualche luce, poichè il Gran Duca mi ha imposto <lb></lb>silenzio et segretezza. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Che l'invenzione sia la medesima <lb></lb>che quella del Fontana, mi par quasi impossibile; io pa<lb></lb>gherei bene qualche cosa che la sua non fusse come la <lb></lb>mia. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Quanto a gl'altri studii di specolazione dormono, et <lb></lb>aspetto che presto presto il S. Michel Angelo Ricci mi <lb></lb>passi avanti, poichè m'ha inviate ingegnossime dimostra<lb></lb>zioni. </foreign></s> <s>Reverisco V. S. con ogni affetto e le prego buona <lb></lb>Quaresima. </s><s>Di Fir.<emph type="sup"></emph>ze<emph.end type="sup"></emph.end> 6 feb.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> 1644. <lb></lb> Di V. S. m. </s><s>Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> e M.<emph type="sup"></emph>to<emph.end type="sup"></emph.end> Rev.<emph type="sup"></emph>da<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>Dev.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> et Obblig.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> S.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb> Evangelista Torricelli</s></p> <p type="main"> <s><emph type="italics"></emph>Fuori:<emph.end type="italics"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Al Molto Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> e M.<emph type="sup"></emph>to<emph.end type="sup"></emph.end> Rev<emph type="sup"></emph>.do<emph.end type="sup"></emph.end> S.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> P.ron Col.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Il Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> Raffaello Magiotti </s></p> <p type="main"> <s>Roma. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>71<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> TORRICELLI a MICHELANGELO RICCI <lb></lb>[in Roma].<lb></lb>Firenze, 6 febbraio [1644].<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani Discepoli, T. XL, c. 83 — Copia di L. Serenai).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Molto Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> P.ron mio Col<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Bene bene mirabilmente. </s><s>Ho veduto la dimostrazione <lb></lb>di V. S. sopra quelle cose avvisateli da me e per sua <lb></lb>maggior gloria io le fò sapere come io non havevo la <lb></lb>dimostrazione di quella passione dell'ellisse che ha trovata <pb pagenum="167"></pb>V. S. ero ben quasi che certissimo che la cosa passava <lb></lb>così, ma la dimostrazione Geometrica non m'era sovvenuta. </s><s><lb></lb>Si come anco confesso di non haver dimostrazione di quella <lb></lb>dell'hiperbola, che V. S. dice non haver trovata. </s> <s><foreign lang="it">Quanto <lb></lb>all'altra dimostrazione che ella manda è la med.<emph type="sup"></emph>ma<emph.end type="sup"></emph.end> che <lb></lb>quella havevo ancor io, e il S.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Viviani l'ha trovata in <lb></lb>modo assai più difficile ma più universale. </foreign></s> <s>Quella di V. S. <lb></lb>sopra l'ellisse calza anco quando l'inclinata linea concorra <lb></lb>con l'asse dall'altra parte cioè sia DE eguale alla AB <lb></lb>dico che DF sarà eguale alla BC &. </s><s>V. S. la vedrà subito <lb></lb>perchè è la med.<emph type="sup"></emph>ma<emph.end type="sup"></emph.end> che quella già trovata e scrittami. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Hieri fui onorato grandemente dal G. Duca con una <lb></lb>collana di 300 scudi, havendo S. A. gradito in estremo <lb></lb>una mia invenzione di lavorar i vetri trovata per via di <lb></lb>speculazione Geom.<emph type="sup"></emph>ca<emph.end type="sup"></emph.end>, e con la dottrina e cognizione di <lb></lb>queste figurine coniche, e con la scienza della refrazione. </foreign></s> <s><lb></lb>Rev.<emph type="sup"></emph>co<emph.end type="sup"></emph.end> V. S. con infinito affetto. </s><s>Firenze 6 Febb.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> 1643 <emph type="italics"></emph>(sic).<emph.end type="italics"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Mando la lettera di V. S. al Sig. Ant.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> Nardi acciò <lb></lb>ammiri. <lb></lb> Di V. S. M.<emph type="sup"></emph>to<emph.end type="sup"></emph.end> Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>Dev.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> e obbl.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Ser.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb> Evang.<emph type="sup"></emph>ta<emph.end type="sup"></emph.end> Torricelli</s></p> <p type="main"> <s>Al S. Michel.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> Ricci. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>72<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> BONAVENTURA CAVALIERI a [TORRICELLI <lb></lb>in Firenze].<lb></lb>Bologna, 16 febbraio 1644.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLI, c. 190-194 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Mto. </s><s>Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end>, et Ecc.mo Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> e P.ron Col.mo </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Dopo scritto, e mandata la lettera alla Posta, mi è sopraggiunta la <lb></lb>sua gratitissima, nella quale dopo la cortese commemorazione, che fa <lb></lb>della lettura delle mie leggerezze nel primo Dialogo, ella mi da una nuova <lb></lb>così segnalata d'aver ritrovato cose nuove in materia di refrazione, <lb></lb>e de' vetri del Telescopio. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Io gliene rendo grazie singolari, e mi ral- <pb pagenum="168"></pb>legro seco e dell'onore, e del premio riportatone dalla generosità di <lb></lb>cotesto Seren.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end>. E veramente non è poco, che dopo molte fatiche, e <lb></lb>vigilie essendosi ritrovato qualche cosa di pregio, si abbia poi chi la <lb></lb>conosca, e la riconosca, come da cotesta Augustissima Casa possono <lb></lb>sperar sempre i virtuosi. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Già gli scrissi, che avevo speculato anch'io <lb></lb>intorno alla refrazione delle Lenti non già in ordine al Canocchiale <lb></lb>ma al mio specchio ustorio, da me ancora non messo in pratica per <lb></lb>non avere io questa fortuna di poter lavorare, e malamente potendosi <lb></lb>servire di artefici in questo fatto, che non intendono, o non vogliono <lb></lb>operare con quella diligenza, che vi bisogna. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Gli dissi che avevo trovato <lb></lb>una regola per sapere il concorso delle Lenti fatto de'raggi, che ri<lb></lb>cevono paralleli, ma che non sapevo poi ciò, che se ne potesse ritrarre <lb></lb>per i vetri de' Telescopi. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Avvertii con tale occasione l'equipollenza <lb></lb>della lente convessa da una banda, e cava dall'altra con la convessa <lb></lb>di grande sfera, essendo le predette due di picciola sfera. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Come notata <lb></lb>anco dal Keplero nella sua Diottica, sebbene egli non ha la regola <lb></lb>ferma di trovare il detto concorso di questi Menischi (come lui gli <lb></lb>chiama) siccome fondato sopra i suoi principii, cioè in particolare, che <lb></lb>sino al trigesimo grado dell'inclinazione, la refrazione sia circa 1/3 <lb></lb>dell'inclinazione, l'ho ritrovata io. </foreign></s> <s>Non so però, che miglioramento <lb></lb>si possi avere in questo, se non di lavorare in cambio d'un gran con<lb></lb>vesso, un convesso, e cavo piccoli. </s> <s><foreign lang="it">Basta, che sin quà è arrivata la <lb></lb>mia specolazione quanto alle Lenti variate come si voglia, quanto al <lb></lb>piano concavo, e convesso, cioè ho trovato regola per sapere il con<lb></lb>corso de'raggi paralleli, o il punto, dal quale divengono i raggi <lb></lb>paralleli per l'ingresso nelle dette lenti. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma sin quì stiamo dentro il <lb></lb>Piano concavo, e convesso; ma lei forse sarà uscita da questa superficie, <lb></lb>e passato a specolare sopra la linea, che possi per refrazione unire <lb></lb>in un punto, cosa da tanti ricercata, ma tentata invano. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Sebbene mi <lb></lb>pare, che l'Eroigono (<emph type="italics"></emph>sic<emph.end type="italics"></emph.end>) nel suo corso mattematico, cioè nella sua Diot<lb></lb>trica supponga d'averla trovata, fondandosi sopra questo principio, che <lb></lb>i seni delle inclinazioni siano proporzionali con i seni delle refrazioni, <lb></lb>ma perchè questo principio lo prova solo facendo un trapasso dalla <lb></lb>meccanica alla Diottica, con dire, che l'impulso del raggio, che incontra <lb></lb>la superficie del Diafano è quale l'impulso del grave cadente per un <lb></lb>piano eretto, o inclinato sopra l'orizzonte alla medesima inclinazione, <lb></lb>che ha il raggio sopra la superficie del Diafano; e di questo non porta <lb></lb>altra ragione, per questo sono stato sempre dubbioso, e di questo <lb></lb>principio, e di quella sezione, o linea, se sia veramente quella, che <lb></lb>unisca i paralleli in un punto. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma il suo ingegno atto a fare ogni <lb></lb>gran passata avrà al certo superati tutti questi intoppi, o sarà cam<lb></lb>minato per altra strada libera d'ogni dubbio, mentre ella ne ha pa<lb></lb>rimente avuto il riscontro nella pratica. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Mi saria caro sapere, se ella <lb></lb>con questa nuova forma de' vetri fa acquisto in grandezza e chiarezza, <lb></lb>et anco nella lunghezza del Telescopio con abbreviarlo cosa tanto <lb></lb>desiderata da tutti, e se ella si ferma nelle superficie piane, e sferiche, <lb></lb>o esce fuori di queste; non intendendo poi sapere che forma sia, anzi <pb pagenum="169"></pb>protesto di non chiedergli in questo cosa alcuna, mentre ella voglia <lb></lb>per degno rispetto tenerla celata, sino che li parrà espediente il pub<lb></lb>blicarla, assicurandola però che quanto si compiacerà significarmi, il <lb></lb>tutto sarà da me tenuto con segretezza. </foreign></s> <s>E per fine di nuovo ralle<lb></lb>grandomi seco, e ringraziandola di tal nuova datami, li bacio affet<lb></lb>tuosamente le mani. <lb></lb> Di V. S. m.to Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> Ecc.ma<lb></lb>Di Bologna alli 16 Febb.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> 1644<lb></lb> Dev.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> et Obb.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Servit.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb> F. Bonav.<emph type="sup"></emph>ra<emph.end type="sup"></emph.end> Cavalieri</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>73<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> BONAVENTURA CAVALIERI a [TORRICELLI <lb></lb>in Firenze].<lb></lb>Bologna, 15 marzo 1644.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. 41, c. 195-197 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>M.to Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end>, et Ecc.mo Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end>, e P.ron Col.mo </s></p> <p type="main"> <s>Sento dalla sua la meravigliosa operazione de' suoi vetri, e molto <lb></lb>me ne rallegro seco. </s> <s><foreign lang="it">Vedo, che ella non vuol lasciar luogo di gloria <lb></lb>ad alcuno in questo nobilissimo stromento; poichè con il vigore del <lb></lb>suo ingegno è arrivata al minimum, et maximum, quod sic, come <lb></lb>dicono i Filosofi, e s'è mostrata prodigiosa non meno nella picciolezza, <lb></lb>che nella grandezza di tale istrumento; poichè non meno ammiro quei <lb></lb>globetti di vetro, che io intesi dal Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Alfonso Borelli, che ella aveva <lb></lb>ritrovato, di questo, che ella nuovamente ha inventato. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Io ne ho dato <lb></lb>ragguaglio quà in Bologna alli miei scolari, et ad alcuni amici miei, <lb></lb>fra' quali vi è, che ha lavorato con qualche singolare diligenza intorno <lb></lb>a questi vetri, e tutti stanno con gran desiderio meco aspettando di <lb></lb>poter far qualche saggio della sua rara invenzione. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Devo poi rendermi <lb></lb>in colpa dell'esser venuto così importunamente ad annoiarla con il <lb></lb>mio Dialogo, mentre ella stava tutta impiegata in così gloriosa spe<lb></lb>colazione. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Quanto poi al Telescopio gli dirò quello, che io mi ritrovo. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>N'ebbi uno dalla felice memoria del Galileo, il quale moltiplica l'og<lb></lb>getto in lunghezza circa trenta volte, sebbene non ha tutta la chiarezza, <lb></lb>che vorrei, e la sua lunghezza è circa B.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> 4 fiorentine. </foreign></s> <s>Non ne mancano <lb></lb>però quà in Bologna de' migliori, anzi quell'amico mio, che ne lavora <lb></lb>per suo gusto, fece prova di vedere con un suo Telescopio una lettera <lb></lb>simile alla sua (qual dice vedersi a lume di torcia lontana cento B.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> <pb pagenum="170"></pb>Fiorentine) e mi dice d'averla letta in distanza di circa 90 B.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> Fio<lb></lb>rentine, non avendo provato ciò in maggior lunghezza, perchè non <lb></lb>aveva maggior lontananza in casa sua. </s> <s><foreign lang="it">Di che volendomi ella favorire <lb></lb>d'un vetro, come ella per sua grazia mi esibisce, e come riceverò a <lb></lb>sommo favore, consideri, che non vorrà mostrarsi inferiore a questi, <lb></lb>se io ho da riuscirne con loro con quell'onore del quale in virtù delle <lb></lb>sue parole mi sono vantato. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Lo potrà dunque fare, che porti quella <lb></lb>lunghezza di canne, che a lei parerà, poichè in questo a Lei mi rimetto, <lb></lb>e il tutto riceverò a grado, e riconoscerò dalla sua grazia, e cortesia. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Ho poi visto la sua specolazione della Cicloide, e mi è piaciuta som<lb></lb>mamente, siccome ammiro tutte le cose, che escono dalla fecondità <lb></lb>del suo ingegno. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ho dato principio a stampare il Dialogo, che gli <lb></lb>mandai, onde mi bisogneria applicare al secondo, e terzo, ma dall'in<lb></lb>firmità mia vengo assai ritardato. </foreign></s> <s><foreign lang="it">E non occorrendomi dirgli altro <lb></lb>per ora farò fine con augurarle dal Cielo ogni felicità, baciandole <lb></lb>affettuosamente le mani. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Quando mi onorerà de' vetri, se vi aggiungesse qualcuno de' suoi <lb></lb>globettini, mi faria favor particolare. </s><s><lb></lb>Di Bologna 15 marzo 1644<lb></lb> Dev.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end>, et Obb.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Servit.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb> F. Bonav.<emph type="sup"></emph>ra<emph.end type="sup"></emph.end> Cavalieri</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>74<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> BONAVENTURA CAVALIERI a [TORRICELLI <lb></lb>in Firenze].<lb></lb>Bologna, 5 aprile 1644.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLI, c. 198-201 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>M.to Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end>, et Ecc.mo Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> e P.ron Col.mo </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ho letto la sua lettera, et insieme ho visto, et ammirato le sue <lb></lb>sottilissime speculazioni, intorno alle Cicloidi, e mi son piaciute molto. </foreign></s> <s><lb></lb>La ringrazio poi de' globettini mandatimi, e quanto alla lente mi ri<lb></lb>metto a Lei, poichè qualunque cosa mi verrà dalle sue mani, la terrò <lb></lb>come gioia preziosa. </s> <s><foreign lang="it">Ho anco visto il foglietto mandatomi coll'obie<lb></lb>zione dell'innominato, e mi è parsa di facile soluzione; poichè non <lb></lb>prende le abscisse, o troncate da una tal retta, come prescrive la loro <lb></lb>definizione. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Per soddisfar poi a chi l'ha fatta, et ad ogni altro, che <lb></lb>la potesse fare, accennerò nel secondo dialogo la soluzione tanto di <lb></lb>questa, quanto di altre, che ella sa, che danno fastidio a quelli, a' <lb></lb>quali giunge nuova la dottrina degl'indivisibili, fra le quali parmi ne- <pb pagenum="171"></pb>cessario scioglier questa, che poco fa mi è sovvenuta, e mi pare che <lb></lb>abbi molta apparenza, e però possi far molta difficoltà a chi è inesperto <lb></lb>in questa materia. </foreign></s> <s>La difficoltà dunque consiste in questo. </s> <s><foreign lang="it">Sia HD <lb></lb>perpendicolare ad AG, et AD minore, <lb></lb>et DG maggiore di essa DH. Giunte <lb></lb> <arrow.to.target n="fig564"></arrow.to.target><lb></lb>poi le HG, HA sia regola HD. E di <lb></lb>tutte le linee del Triangolo HAD se <lb></lb>ne prendano quante si voglia KB, IC, <lb></lb>e per K, I tirinsi le KM, IL parallele <lb></lb>ad AG, et le LE, MF parallele ad HD. <lb></lb>E dunque manifesto, che la KB è <lb></lb>uguale ad MF et IC ad LE, et in con<lb></lb>seguenza, che a quante si voglia si <lb></lb>prenderanno in tal modo nel triangolo HAD, cioè (dirà alcuno) a tutte <lb></lb>le linee del triangolo HAD troveremo eguali tutte le linee del triangolo <lb></lb>HDG; onde questi triangoli saranno uguali; e pure sono disuguali. </foreign></s> </p> <figure id="fig564"></figure> <p type="main"> <s>Adunque & </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ora a questo dubbio direi, che intendendo noi preso nel triangolo <lb></lb>HAD tutte le di lui linee di retto transito (che sono tante, quanti sono <lb></lb>i punti di retto transito della AD) altrettanti punti, ma di obliquo <lb></lb>transito prendendo nella AH, et altrettante parallele ad AG, ed in <lb></lb>conseguenza altrettante nel triangolo HDG parallele ad HD, le quali <lb></lb>in conseguenza non sono tante, quanti sono i punti di retto transito <lb></lb>della maggiore di DA, DG; cioè quante sono tutte le linee del trian<lb></lb>golo HDG, cioè non sono tante infinità di Linee queste, come quelle; <lb></lb>e però non si prendendo in ambedue questi triangoli per questa via <lb></lb>tutte le loro linee di retto transito, non si conclude bene l'egualità di <lb></lb>detti triangoli. </foreign></s> <s>Parmi, che ciò per una certa analogia si possi dare <lb></lb>ad intendere con la tela. </s> <s><foreign lang="it">Poichè intendendo HAG esser pur di tela, <lb></lb>AG regola dell'ordito, et HD del tessuto, essendo nel triangolo HAD <lb></lb>100 fili di tessuto, saranno cento ancora i punti segnati in HA da' <lb></lb>quali per l'ordito stesi cento fili, noteranno cento punti in HG, e <lb></lb>cento parallele ad HD nel tessuto del triangolo HDG. Ma il tessuto di <lb></lb>esso HDG porta molto più fili ciòè, per essere 300, essendo DG tripla <lb></lb>di DA, adunque di questi 300 fili non ne prendiamo se non 100, e così <lb></lb>suo modo negl'infiniti. </foreign></s> <s>So che non mancheranno però a questo nuove <lb></lb>istanze, e cavillazioni; ma a chi ha pratica di questo metodo, come <lb></lb>lei, credo, che ciò non darà fastidio. </s> <s><foreign lang="it">Intenderò però volentieri il suo <lb></lb>senso e circa di questo, e se resta di questo soddisfatta, e se gli sov<lb></lb>viene cosa, che possi render più chiara la risoluzione di questa difficoltà, <lb></lb>e qui finisco baciandole affettuosamente le mani. <lb></lb> Di V. S: m.to Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end>, et Ecc.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>Di Bologna alli 5 Aprile 1644<lb></lb> Dev.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Serv.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb> F. Bonaventura Cavalieri</foreign></s> </p> <pb pagenum="172"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>75<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> FRANCESCO DU VERDUS a [TORRICELLI <lb></lb>in Firenze].<lb></lb>Roma, 30 aprile 1644.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLI, c. 91 — Copia di L. Serenai).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Molto Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> Padron mio Col.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Sarei affatto mal creato se dopo l'aver io tardato tanto à rendere <lb></lb>a V. S. molto illustre questa parte del mio debito non glene facessi <lb></lb>le mie scuse. </foreign></s> <s>Spero però dalla sua cortesia e gentilezza che lei resti <lb></lb>servita di riceverle dopo d'aver letto qui, che se non fussi stata l'ob<lb></lb>bligazione d'andar ogni giorno dall'Ecc.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Ambasciatore, e se <lb></lb>con questa, sei ò otto giorni di febbre non mi avessero levato sin ora <lb></lb>il modo di sodisfare all'obbligazione che io tenevo di riverirla, non <lb></lb>avrei tardato tanto à render à V. S. molto Illustre le debite grazie de <lb></lb>favori che mi fece passando per Firenze. </s> <s><foreign lang="it">Sono già alcuni giorni che <lb></lb>io ho auto l'onore di reverire il Sig. Michelangelo Ricci, il quale avendo <lb></lb>trovato non meno dotto che cortese, me ne sarei meravigliato se non <lb></lb>fusse stato che io riseppi che detto Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> aveva imparato di V. S., la <lb></lb>quale quando vi è riverita col titolo d'Archimede del suo secolo, si <lb></lb>dice manco di quello li debbono i letterati. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Le parlo di quella fortuna <lb></lb>che io hebbi di riverire il S.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Ricci per dargli un testimonio dell'os<lb></lb>servanza quale porto à V. S., e anche perchè avendo detto al S.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>Ricci di quelle tre ò quattro righe che io mostrai à V. S. sopra il <lb></lb>Cavalieri, il desiderio che hà detto Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> di sapere il suo giudizio mi <lb></lb>ha obbligato, à farglene menzione, ma il favore singolare che io li <lb></lb>domando è che resti servita di darmi parte nella sua buona grazia, e <lb></lb>le bacio humilissim.<emph type="sup"></emph>te<emph.end type="sup"></emph.end> le mani. <lb></lb> Di V. Signoria molto Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>In Roma alli 30 d'Aprile 1644.<lb></lb> Devotiss.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> Servit.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb> Franc. </foreign></s> <s>Du Verdus.</s></p> <pb pagenum="173"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>76<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> TORRICELLI a MARINO MERSENNE <lb></lb>in Parigi.<lb></lb>Firenze, 1 maggio 1644.<lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>di Parigi, Fond latin, nouvelles acquisitions, 2338, f.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> 1). </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Un esemplare manoscritto di questa lettera di mano di L. Serenai e con qual<lb></lb>che lacuna trovasi in un codice della Biblioteca Nazionale di Firenze inti<lb></lb>tolato “ Discepoli di Galileo, T. XL ” a carte 48-49, infine un brano autografo <lb></lb>che incomincia con le parole: .... <emph type="italics"></emph>in iisdem praefatis terminis per conversionem <lb></lb>rationis,<emph.end type="italics"></emph.end> e va fino alla fine della lettera, trovasi a c. 42 del codice medesimo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Tale <lb></lb>brano porta la firma e data: <emph type="italics"></emph>Dom.co Capponcini 25 Genn. 1662,<emph.end type="italics"></emph.end> per cui si vede <lb></lb>che l'originale intero della lettera era nelle mani di L. Serenai nel genn. 1662 <lb></lb><emph type="italics"></emph>(V. Strumento di recognizione ecc.<emph.end type="italics"></emph.end> a pag. 4, N. II del presente Vol.). </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Essendovi qualche varietà fra le diverse compilazioni, viene qui pubblicata inte<lb></lb>gralmente la copia esistente a Parigi che è la più completa, e che con tutta pro<lb></lb>babilità fu quella mandata in Francia dal Torricelli, e di seguito il detto brano <lb></lb>autografo.<gap desc="/SM"></gap></foreign></s> </p> <p type="main"> <s>M. Mers.<emph type="sup"></emph>no<emph.end type="sup"></emph.end> Clariss.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end>, et Celeberrimo viro P. S. </s></p> <p type="main"> <s>Jam non in legendis epistolis tuis vir Cl.<emph type="sup"></emph>me<emph.end type="sup"></emph.end> de obscu<lb></lb>ritate queror, sed de brevitate. </s><s>Adeo enim et eruditionis, <lb></lb>et benevolentiae erga me tuae plenae sunt, ut quantumvis <lb></lb>longae, brevissimae tamen videri mihi debeant. </s><s>Effecimus <lb></lb>insuper uterque, tu elegantiori characterum delineatione, <lb></lb>ego repetitâ sepius eorumdem lectioné, ut cursim aequé <lb></lb>ac Gallici Typographi, omissá omni hesitatione, scriptio<lb></lb>nem tuam perlegam. </s><s>Ex me queris an Galileus quidquam <lb></lb>reliquerit de vi percussionis: pene nihil; omnesque illas, <lb></lb>et quidem plurimas multumque vigilatas contemplationes, <lb></lb>quas circa hoc subiectum in intellectu habebat, plurimique <lb></lb>faciebat oculatus ille caecus, secum tulit. </s><s>Exceptis tamen <lb></lb>duobus experimentis mechanicis, quorum utrumque inferre <lb></lb>videtur percussionis vim infinitatam esse debere. </s><s>Duo haec <lb></lb>tantum ex optatissimis illis cogitatis supersunt, quia Ga<lb></lb>lileus aliquibus amicis suis, inter quos, et mihi illa signi<lb></lb>ficaverat tamquam primas causas, quae animum suum <lb></lb>impulerant ad considerandum hujusmodi subiectum, atque <lb></lb>in ipso infinitum momentum indagandum. </s><s>Pulcherrimum <pb pagenum="174"></pb>sanè problema illud est circa curvam Parabolicam alteri <lb></lb>curvae aequalem: agnosco in hoc titulo subtilissimum in<lb></lb>genium incomparabilis Mathematici Robervalii, cuius opera <lb></lb>utinam vivente me in lucem prodeant. </s><s>De hoc autem Pro <lb></lb>blemate, ac de illo numerico quod attulit D. Du Verdus <lb></lb>nihil habeo quod ad te scribam, quandoquidem circa pa<lb></lb>rabolicum nihil, circa numericum vero parum admodum <lb></lb>immoratus sum, cum non viderim (ut vera fatear) unde <lb></lb>mihi initium speculationis, aditusque panderetur. </s><s>De Cy<lb></lb>cloide, vel Trochoide, habemus etiam ante paucos menses <lb></lb>inventa, et Geometris italis communicata. </s><s>Attamen si acu<lb></lb>tissimus Robervallius adeo alté naturam hujus figurae pe<lb></lb>netravit, quemadmodum ipse refers vir Cl.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> concedo sponte <lb></lb>omnium harum inventionum gloriam Geometrae praestan<lb></lb>tissimo et vere mirabili. </s><s>Principio quo ad figuras planas ita <lb></lb>definimus. </s><s>Esto circulus AB, <lb></lb> <arrow.to.target n="fig565"></arrow.to.target><lb></lb>qui cycloidem Primariam AD <lb></lb>describat uti vulgatum est: <lb></lb>producaturque radius CAE <lb></lb>in infinitum. </s><s>Lineas quae a <lb></lb>quolibet puncto radij CA in <lb></lb>infinitum producti describun<lb></lb>tur Trochoides vel Cycloides <lb></lb>secundarias appellabimus. </s><s>Cir<lb></lb>culumque uniuscuiusque proprium genitorem eum vocabi<lb></lb>mus cuius diameter aequalis sit maximae suae Trochoidis <lb></lb>altitudini. </s></p> <figure id="fig565"></figure> <p type="main"> <s>Iam spatium sub qualibet cycloide linea, et recta eius <lb></lb>basi comprehensum ad triangulum eiusdem basis et altitu<lb></lb>dinis, est ut periphaeria circuli proprij genitoris una cum <lb></lb>duplo basis Cycloidis, ad duplum basis ejusdem Cycloidis, <lb></lb>vel fortasse melius in rectis lineis, quod idem est, ut <lb></lb>patet manifeste, sic. </s></p> <p type="main"> <s>Quodlibet spatium Cycloidale praedictum ad praedictum <lb></lb>triangulum, est ut altitudo sive axis eiusdem spatij una <lb></lb>cum duplo axis primariae Cycloidis ad duplum axis eiusdem <lb></lb>Primariae. </s><s>Ratio, quam quodcumque spatium Cycloidale <lb></lb>habet ad circulum proprium genitorem, habetur in ijsdem <lb></lb>praefatis terminis. </s><s>Per conversionem rationis. </s></p> <pb pagenum="175"></pb> <p type="main"> <s>Tangens ad imperatum punctum cuiuscumque cycloidis <lb></lb>ita datur. </s><s>Transeat per datum punctum periphaeria circuli <lb></lb>proprij genitoris basim tangentis, quam periphaeriam in <lb></lb>eodem dato puncto contingat recta linea conveniens cum <lb></lb>basi Cycloidis; tum fiat ut altitudo propositae Cycloidis <lb></lb>ad altitudinem Primariae ita tangens praedicta inter datum <lb></lb>punctum, et basim intercepta, ad aliam quandam lineam <lb></lb>apte sumendam in basi ex termino tangentis: deinde ab <lb></lb>extremitate huius assumptae tangens ad imperatum Cy<lb></lb>cloidis punctum emittatur. </s><s>Pro ipsa autem basi, sumi <lb></lb>potest, quaelibet ipsi paralella. </s></p> <p type="main"> <s>In Primaria Cycloide Tangens procedit à puncto subli<lb></lb>miori genitoris circuli per datum punctum transeuntis ba<lb></lb>simque tangentis. </s><s>Corollarium est. </s></p> <p type="main"> <s>Solidum quod fit a spatio Cycloidali circa tangentem <lb></lb>axi aequidistantem revoluto ad Cylindrum eiusdem altitu<lb></lb>dinis, eiusdemque diametri est subsesquitertium. </s><s>Huius <lb></lb>demonstrationem non habeo, sed inventum demonstra<lb></lb>tumque fuit hoc ab Antonio Nardio patritio Aretino olim <lb></lb>Galilei intimo; reliqua mea sunt. </s></p> <p type="main"> <s>Solidum quod fit a spatio Cycloidali circa tangentem <lb></lb>basi parallelam revoluto, est ad cylindrum eiusdem axis, <lb></lb>et diametri, subsesquiseptimum. </s></p> <p type="main"> <s>Solidum quod fit a spatio Cycloidali circa axem revo<lb></lb>luto ad cylindrum eiusdem axis et basis, est ut 11 ad 18. </s></p> <p type="main"> <s>Solidum circa axem ad solidum circa basim ineffabilem <lb></lb>rationem habet: componitur enim ex ratione 44 ad 45, et <lb></lb>ex ratione circuli alicujus ad quadratum circumscriptum. </s></p> <p type="main"> <s>Solidum circa basim ad Cylindrum eiusdem axis et <lb></lb>diametri est ut 5 ad 8, dabimusque demonstrationem <lb></lb>petentibus; non scimus, et fatemur demonstratum fuisse <lb></lb>hoc à Cl.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> viro Robervallio ante nos. </s></p> <p type="main"> <s>Centrum gravitatis integrae Cycloidis axem ita dividit <lb></lb>ut pars ad verticem terminata sit ad reliquam ut 7 ad 5. </s></p> <p type="main"> <s>Centrum vero semicycloidis est in linea axi aequidi<lb></lb>stante, quae integram totius Cycloidis basim ita secat ut <lb></lb>partes sint 19 et 8. Sive, quae basim semicycloidis ita <lb></lb>secat ut pars ad curvam terminata sit ad reliquam ut 16 <lb></lb>ad 11. </s></p> <pb pagenum="176"></pb> <p type="main"> <s>Clariss. </s><s>Donius epistolam a te propriam accepit, et <lb></lb>meam perlegit. </s><s>Itaque spero ad ea quae continentur in <lb></lb>utraque responsurum. </s></p> <p type="main"> <s>Doctissimum aeque, atque amabilissimum Dominum <lb></lb>D. Du Verdus vix salutavi. </s><s>Ipse enim mihi reddidit <lb></lb>epistolam tuam, qua iure de silentio meo querebaris vir <lb></lb>Clarissime; tuum uno, aut altero tantum brevique collo<lb></lb>quio, non nisi pauca simul conferre potuimus circa com<lb></lb>munia studia mathematica. </s><s>Miror quod ille ne verbum <lb></lb>quidem fecerit de misterio illarum tangentium, quas ipse <lb></lb>significas. </s></p> <p type="main"> <s>Videbo num per litteras aliquid possim ab ipso impe<lb></lb>trare. </s></p> <p type="main"> <s>De libello meo duo opuscola impressa sunt, reliqua duo <lb></lb>lentius adhuc procedunt, occupatissimus enim sum tum in <lb></lb>officina vitraria ad usum Telescopij, tum in aedificandis <lb></lb>in dies machinis ad tentanda varia experimenta physica, <lb></lb>utrumque iussu Ser.mi Domini Magni Ducis. </s><s>Novum opus <lb></lb>tuum Cogitata Physico-Mathematica avidissime expecta<lb></lb>mus: ego autem praecipue, qui hucusque multò plura <lb></lb>didici ex lectione, unius tui libri vir Clar.me, quam plu<lb></lb>rium aliorum: adeo eruditione semper atque omni doctri<lb></lb>narum genere abundant. </s><s>Aeternum certe debeo Clarissimo <lb></lb>Donio nostro, quod primus omnium ipse me dignum puta<lb></lb>vit, qui viderem opera tua apud ipsum exitentia. </s><s>Vale <lb></lb>diu in publicum bonum vir eximie; meque ama, atque <lb></lb>hanc nimiam, et incomptam loquacitatem excusa. </s><s><lb></lb>Dat. </s><s>flor. </s><s>Kal. </s><s>Maij anno 1644.<lb></lb> addictissimus Servus<lb></lb> Evangelista Torricellus</s></p> <p type="main"> <s><emph type="italics"></emph>Fuori:<emph.end type="italics"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Celeberrimo viro </s></p> <p type="main"> <s>P. Marino Mersenno </s></p> <p type="main"> <s>Lut. </s> <s><foreign lang="it">Paris. <pb pagenum="177"></pb> <emph type="italics"></emph>Brano autografo della lettera precedente.<emph.end type="italics"></emph.end><lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </foreign></s> <s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XL, c. 42).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>. . . . . . in iisdem praefatis terminis <emph type="italics"></emph>Per conversionem <lb></lb>rationis.<emph.end type="italics"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Tangens ad imperatum punctum ita datur: Transeat <lb></lb>per datum punctum periphaeria circuli proprij genitoris <lb></lb>basim tangentis quam in eodem dato puncto contingat <lb></lb>recta conveniens cum basi Cycloidis. </s><s>Tum fiat ut altitudo <lb></lb>propositae Cycloidis, ad altitudinem Primariae, ita tangens <lb></lb>praedicta inter datum punctum et basim intercepta, ad <lb></lb>aliam quandam lineam apte sumendam in basi à termino <lb></lb>tangentis, tum ab extremitate hujus assumptae tangens <lb></lb>ad imperatum cujuslibet Cycloidis punctum emittatur. </s><s><lb></lb>Pro ipsa autem basi sumi potest quaelibet ipsi parallela. </s><s>In <lb></lb>primaria Cycl. </s><s>tangens procedit a puncto subliminiori ge<lb></lb>nitoris circuli per datum punctum transeuntis, basimque <lb></lb>tangentis. </s></p> <p type="main"> <s>Solidum, quod fit a spatio cycloidali circa tangentem <lb></lb>axi aequidistantem revoluto, ad cilindrum ejusdem altitu<lb></lb>dinis, ejusdemque diametri, est subsesquitertium. </s><s>Demon<lb></lb>stratio non est mea; sed inventum demonstratumque fuit <lb></lb>hoc ab Antonio Nardio patritio Aretino olim Galilei ami<lb></lb>cissimo, reliqua mea sunt. </s></p> <p type="main"> <s>Solidum, quod fit a spatio cycloidali circa tangentem <lb></lb>basi parallelam revoluto, est ad cilindrum ejusdem altitu<lb></lb>dinis, et diametri subsesquiseptimum. </s></p> <p type="main"> <s>Solidum quod fit a spatio cycloidali circa axem revoluto, <lb></lb>ad cilindrum ejusdem axis et diametri, est ut 5 ad 8. <lb></lb>Solidum idem circa axem, ad solidum circa basim, est ut <lb></lb>circulus aliquis ad quadratum sibi circumscriptum. </s><s>Hinc <lb></lb>est solidum etiam circa basim ad cilindrum eiusdem axis <lb></lb>et diametri ut 5 ad 8. </s></p> <p type="main"> <s>Centrum gravitatis spatij cycloidalis axem ita dividit, <lb></lb>ut pars quae ad verticem sit ad reliquam ut 7 ad 5. </s></p> <p type="main"> <s>Clariss:<emph type="sup"></emph>s<emph.end type="sup"></emph.end> Donius epistolam a te propriam accepit, et <lb></lb>meam perlegit: itaque spero ad ea, quae continentur in <pb pagenum="178"></pb>utraque, responsurum. </s><s>Doctissimum et amabilissimum Do<lb></lb>minum Du Verdus vix salutavi, ipse enim mihi reddidit epi<lb></lb>stolam tuam, qua jure de silentio meo querebaris Vir <lb></lb>Clar.<emph type="sup"></emph>me<emph.end type="sup"></emph.end>. Tum uno aut altero tantùm colloquio non nisi <lb></lb>pauca conferre potuimus circa communia studia math<emph type="sup"></emph>ca<emph.end type="sup"></emph.end>. <lb></lb>Miror quod ipse ne verbum quidem fecerit de misterio <lb></lb>illarum tangentium quas ipse significas. </s><s>Videbo num per <lb></lb>litteras possim aliquid ab ipso impetrare. </s><s>De libello meo <lb></lb>duo opuscula impressa sunt, reliqua duo lentius proce<lb></lb>dent; occupatissimus enim sum tum in officina vitraria ad <lb></lb>usum telescopij, tum in aedificandis in dies machinis ad <lb></lb>tentanda varia experimenta physica utrumque iussu Ser. <lb></lb>Magni Ducis. </s><s>Novum opus tuum Cogitata Physico-Mathe<lb></lb>matica avidissime expectamus; ego autem praecipuè, qui <lb></lb>hactenus multò plura didici ex letione unius tui libri, <lb></lb>V. Clar., quàm plurium aliorum; adeò eruditione semper, <lb></lb>atque omni doctrinarum genere abundant. </s><s>Aeternum certè <lb></lb>debeo Cl. </s><s>Donio nostro, qui primus omnium me dignum <lb></lb>putavit qui viderem opera tua apud ipsum existentia. </s><s><lb></lb>Vale diù in publicum bonum Vir Eximie, meque ama, et <lb></lb>hanc loquacitatem excusa. </s><s><lb></lb>Flor. </s><s>Kalendis Maijs An. 1644<lb></lb> Ev: Torr:</s></p> <pb pagenum="179"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>77<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> BONAVENTURA CAVALIERI a [TORRICELLI <lb></lb>in Firenze].<lb></lb>Bologna, 7 maggio 1644.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLI, c. 202-206 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>M.to Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end>, et Ecc.mo Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> e P.ron Col.mo </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ho finalmente ritrovato il vetro da Lei mandatomi, del quale som<lb></lb>mamente la ringrazio, e lo terrò per una gioia, essendo veramente <lb></lb>cosa degna di molta stima per quanto ho potuto comprendere da quel <lb></lb>poco di esperienza, che ne ho potuto fare, però malamente per non <lb></lb>avere io canna così lunga, se non trovo il traguardo, o luce meno acuto. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Non so poi, che cosa significhino quei due pezzi, o circoli annessi, ne' <lb></lb>quali sta scritto B.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> 2 2/3 se forsi non prescrivono il traguardo, che <lb></lb>meglio risponde al detto vetro, del quale avria caro mi dicesse qualche <lb></lb>cosa. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Il nome suo poi sta benissimo circoscritto a opera così meravi<lb></lb>gliosa, ma il mio non già con quel titolo da me non meritato. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Cercarò <lb></lb>di fare esperienza più esatta, e di partecipare a questi virtuosi le mara<lb></lb>viglie del suo ingegno. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Li mando questa scatola di pietra lucifera, quale <lb></lb>di già senza che me ne facesse lei altro motivo gli avea destinata, seb<lb></lb>bene ho differito tanto per non l'avere l'artefice prima d'ora finita di <lb></lb>calcinarla. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ho cercato d'aver della meglio, e gliene mando quella quan<lb></lb>tità, che ho potuto avere. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Potrà lei scegliere per se la migliore, quale <lb></lb>conoscerà dall'esperienza, sebbene quella, che sta verso il fondo della <lb></lb>scatola credo sia migliore. </foreign></s> <s>L'onore poi, che ella mi fa appresso cotesti <lb></lb>Seren.<emph type="sup"></emph>mi<emph.end type="sup"></emph.end> Padroni è di soverchio non avendo io merito veruno, sebbene <lb></lb>mi glorio, e glorierò sempre d'avere avuto sotto la serenità di cotesto <lb></lb>Cielo i primi alimenti et elementi delle mattematiche. </s> <s><foreign lang="it">Ho poi visto con <lb></lb>mio molto gusto la sua opera della sfera, e solidi sferali, e mi pare, <lb></lb>che ella con molta sodezza di dottrina, e molto sottilmente abbi al<lb></lb>largato i confini della dottrina d'Archimede per grandissimo spazio. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Io mi stimavo però di vedere un' opera intiera, che comprendesse tutte <lb></lb>le cose da lei trovate sin quì; ma lei ha voluto dar solo un primo <lb></lb>saggio della qualità esquisita della roba, che tiene nell' officina del <lb></lb>suo sublime ingegno. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Li do poi nuova come è morto il Padre Guldini, <lb></lb>e sono quanto alla stampa verso il fine del primo dialogo da Lei visto, <lb></lb>nel quale mi ascriverà ella forsi due errori. </foreign></s> <s><foreign lang="it">L'uno per non avere nella <lb></lb>commemorazione del suo nome aggiunto quel titolo glorioso, che porta <lb></lb>degnamente in fronte l'opera sua pubblicata; e l'altro per averla io <lb></lb>citata per testimonio come approvatore degl'indivisibili, forsi troppo <pb pagenum="180"></pb>audace, et inconsideratamente per non sapere io se questo a lei ve<lb></lb>ramente fosse per piacere. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ella del primo errore la prego a scusarmi <lb></lb>poichè, sebbene ella mi diede un poco di cenno, nondimeno pareami <lb></lb>fosse il dovere, che ella fussi il primo a pubblicarlo con la stampa, <lb></lb>dopo la quale non mi mancherà modo di correggere, e supplire quel <lb></lb>titolo che conviene. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Quanto poi al secondo la testimonianza fattami per <lb></lb>le sue lettere, e l'aver lei visto il dialogo mi hanno fatto prendere <lb></lb>questa sicurtà. </foreign></s> <s>Ben è vero, che non dovevo io dall'approvarmi lei <lb></lb>privatamente gl'indivisibili, promettermi liberamente d'averne un pub<lb></lb>blico testimonio. </s> <s><foreign lang="it">Del che, quando ella sia d'altro senso, parlo rispetto <lb></lb>alle cose, che ella dice d'aver ritrovato per via degl'indivisibili (tra <lb></lb>le quali parmi registrare la solidità de' corpi sferali) per grazia me <lb></lb>n'avvisi in tempo, acciò io non la citi per testimonio contro sua vo<lb></lb>lontà, et io non sia reputato dal mondo per bugiardo; non trovandovi <lb></lb>io altro rimedio, che di far ristampar que' fogli, nè quali sarò scorso <lb></lb>in questo errore. </foreign></s> <s>Ho voluto accennarli questo per potermi più sicura<lb></lb>mente, e più adeguatamente aggiustare in questo con la sua volontà, <lb></lb>quale non intendo con questo di piegare altrimente da quello, al che <lb></lb>lei inclina in questo particolare. </s> <s><foreign lang="it">Sento poi l'accennato dal padre Mer<lb></lb>senno, al quale mi farà favore di renderli duplicati saluti. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Io pure, <lb></lb>come ella può vedere nel Libro 6° della mia Geometria, mostrai, mi <lb></lb>ricordo, l'affinità grande, che è tra la curva parabolica, e la spirale <lb></lb>d'Archimede, quanto alli spazi mi paion poi mirabili le due cose, che <lb></lb>mi dice il Padre Santini, nè credevo certo passasse tant'oltre. </foreign></s> <s><foreign lang="it">E quì <lb></lb>cordialmente la riverisco di nuovo ringraziandola del regalo del vetro <lb></lb>fattomi, con augurarle dal Cielo ogni contento. </foreign></s> <s><lb></lb>Di Bologna alli 7 Maggio 1644<lb></lb> Di V. S. m. </s><s>Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> et Ecc.<emph type="sup"></emph>ma<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>Dev.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Serv.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb> F. Bonaventura Cavalieri</s></p> <pb pagenum="181"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>78<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> FRANCESCO DU VERDUS a [TORRICELLI <lb></lb>in Firenze].<lb></lb>Roma, 21 maggio 1644.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLI, c. 92-93. — Copia di L. Serenai).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Molto Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> Padron mio Col.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ho ricevuto stamane la cortesissima lettera di V. S. per mezzo del <lb></lb>Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> e Padron mio amorevoliss.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> il S.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Michelagn.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> Ricci, e avendola <lb></lb>letta per dir così con avidità, ho provato con grandissima mia sodi<lb></lb>sfazione quel gusto soave e singolare che non si ha da cercar in altri <lb></lb>complimenti che in quelli della sua cortesia, nè manco in altre dimo<lb></lb>strazioni matematiche, che in quelle della sua profondissima Geometria, <lb></lb>mi tengo per obbligatissimo à V. S. di quel favore che mi fà con <lb></lb>destar li spiriti della mia divozione verso al Sig. Michelagnolo, quale <lb></lb>per essere stato scolare dell'Archimede de' nostri tempi, e per aver <lb></lb>con tanta diligenza coltivato quei primi semi di Geometria, che V. S. <lb></lb>ad ingegno così sottile consegnò non si può riverire à bastanza da <lb></lb>quelli che professano di servire alla virtù. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Non mancherò al mio debito <lb></lb>di fargli parte delle sue bellissime dimostrazioni del centro di gravità <lb></lb>del frusto sferico, come anche le manderò à R.<emph type="sup"></emph>diss.<emph.end type="sup"></emph.end> PP. Mersennio e <lb></lb>Nicerone, e ad altri miei amici in Parigi, poichè lei me ne dà la licenza, <lb></lb>della quale li son obligatissimo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Quanto tocca all'altre sue lettere spero <lb></lb>di mandarle domattina, e farle capitare nelle mani di detti Padri per <lb></lb>via della corrispondenza procuratami in Lione dal R.<emph type="sup"></emph>do<emph.end type="sup"></emph.end> P.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> Niceron. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Mi mostrerei ingrato del favore che mi hà fatto di mandarmele aperte <lb></lb>amendue, acciocchè secondo hò interpretato io ne cavassi quel frutto <lb></lb>che abonda in ogni sua singolar invenzione. </foreign></s> <s>Glene fo le debite grazie <lb></lb>e la prego resti servita di scriverli di me ogni volta che vorrà scrivere <lb></lb>in Francia. </s> <s><foreign lang="it">Nella lettera inviata à P. Mersenne hò letto il conto di <lb></lb>alcune sue proposizioni, e n'ho cavato detto catalogo per mia privata <lb></lb>istruzione, perchè se bene mi son da pochi dì in quà tutto dato à cose <lb></lb>d'astronomia, tuttavia sendomi piaciuto tanto quel poco che io studiai <lb></lb>di Geometria, non posso far di meno che lasciarmi rapire in maraviglia <lb></lb>dalle invenzioni sue esquisitissime. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Non imputi dunque V. S. à manca<lb></lb>mento mio d'affetto per la Geometria s'io l'assicurerò che la sodi<lb></lb>sfazione datami da detta lettera non puol andar del pari, o per dir <lb></lb>meglio non puol esser in nessuna maniera ammessa in comparazione <lb></lb>coll' allegrezza eccessiva che mi hà dato il vedere in quella del P. <lb></lb>Niceron quanto gli è ben riuscito quella sua singolar invenzione in<lb></lb>torno al lavoro de vetri per il Telescopio, poichè l'Altezza sua Sereniss.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> <pb pagenum="182"></pb>l'incomparabile tra Principi è la vera fenice delli ingegni l'ha onorata <lb></lb>non dirò di quella bella collana, ma della sua giustissima approbazione, <lb></lb>quale venendogli data dal sodissimo giudizio del più Grande e più <lb></lb>virtuoso Principe che l'Italia abbia mai visto, non riceverebbe in com<lb></lb>parazion nessuna tutte le altre remunerazioni delle quali è stata fin <lb></lb>ora onorata la virtù de gli huomini singolari. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Nella lettera che V. S. <lb></lb>mi scrive veggo che lei stà in forse per non sò che cosa scrittale s'io <lb></lb>non m'inganno dal P. Mersenne se non sarà quel <emph type="italics"></emph>transmisit ad Italos<emph.end type="italics"></emph.end><lb></lb>del Sig. Robervallio nella sua dimostrazione del solido infinito hyper<lb></lb>bolico di non haver parlato à V. S. della maniera di detto Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> per <lb></lb>le tangenti, ne fò fede per questa lettera, e mi obbligo anche di farla <lb></lb>ò di parola ò per scritto ogni volta che V. S. mel comanderà, e vera<lb></lb>mente mi sarebbe ben stato difficile il farli parte di un suo methodo <lb></lb><emph type="italics"></emph>(sic)<emph.end type="italics"></emph.end> Geometrica intorno à dette tangenti, perchè oltre che io non hò <lb></lb>portato nessun manuscritto di Francia, e che il desio d'imparare in <lb></lb>Italia qualche altra virtù come l'Astronomia, l'Architettura e qualcosa <lb></lb>per la cognizione della maniera de' Pittori m'ha fatto scordare affatto <lb></lb>quel poco di Geometria ch'io m'era ingegnato d'imparare, e posso dir in <lb></lb>verità che detto Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> non m'abbi mai insegnato detta methodo; però per <lb></lb>ricognizione del favore che mi fece di volermi mostrare alcune sue spe<lb></lb>culazioni mecaniche darò brevemente ombra à V. S. di quella che mi <lb></lb>disse di usar alle volte per maniera di trattenimento nel cercar delle tan<lb></lb>genti. </foreign></s> <s>E perchè io n'ho scordato l'applicazione alle sezioni coniche e ad <lb></lb>altre linee di natura più incognita, come di spirali di quadratrici di Cis<lb></lb>soidi etc. </s> <s><foreign lang="it">li dirò solamente l'esempio nella Concoide d'una linea retta. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Suppone p.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> il Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Robervallio per prin<lb></lb> <arrow.to.target n="fig566"></arrow.to.target><lb></lb>cipio d'invenzione in ogni spezie di linea <lb></lb>curva quella che il Galileo andò pensando <lb></lb>intorno al cerchio, dove parla della (non <lb></lb>sò se dirò fionda) che getta i sassi, che un <lb></lb>mobile descriva il cerchio se si partirà dal <lb></lb>suo diametro come AB, verso C, sarà por<lb></lb>tato per la tangente BC, cosa che par verissima ad uno che considera <lb></lb>che la natura non forma altra linea che la tangente alla quale si possa <lb></lb>determinare, perchè la ragione che avrebbe per la linea BC, la avrebbe <lb></lb>anco per la BD, mentre la BD fà l'angolo BDC uguale al CBA (<emph type="italics"></emph>sic<emph.end type="italics"></emph.end>), quella <lb></lb>poi applicandola generalmente conclude che <lb></lb>un mobile DE pel suo moto descriverà qua<lb></lb> <arrow.to.target n="fig567"></arrow.to.target><lb></lb>lunque linea averà in ogni punto di detta <lb></lb>linea la tangente in detta punta per linea <lb></lb>di direzione. 2.° da quello che il Blancano e <lb></lb>altri hanno scritto che se il punto A sarà <lb></lb>portato verso B, <emph type="italics"></emph>motu aequali et uniformi<emph.end type="italics"></emph.end><lb></lb>mentre la linea AB, cammina <emph type="italics"></emph>motu simili<emph.end type="italics"></emph.end> sopra BC, che facci angolo <lb></lb>con AB, detto punto A, descrive il terzo lato d'un triangolo ABC ecc. <lb></lb>Da queste due proposizioni cava le tangenti di dette linee, supponendo <lb></lb>che s'un punto avrà due moti, verbi gratia circolare e parabolico, e <pb pagenum="183"></pb>che la direzione del circolare sia AB, quella del parabolico BC, che <lb></lb>sarà se, AB, sarà la tangente del cerchio, et BC, la tangente della <lb></lb>parabola, <emph type="italics"></emph>sintque lineae<emph.end type="italics"></emph.end> AB, BC, <emph type="italics"></emph>in eadem circuli ratione ad parabolam,<emph.end type="italics"></emph.end><lb></lb>la linea <emph type="italics"></emph>ae.<emph.end type="italics"></emph.end> terzo lato del triangolo, ecc. sarà la tangente di quella <lb></lb>curva che dà i moti circolare, e parabolico, sarà descritta. </foreign></s> </p> <figure id="fig566"></figure> <figure id="fig567"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Sia dunque per esempio il polo della <lb></lb> <arrow.to.target n="fig568"></arrow.to.target><lb></lb>Conchoide della linea retta A, la base, <lb></lb>BCD, vertex, E, detta Conchoide EF, <lb></lb>e vogliamone la tangente in F, tirisi <lb></lb>la retta ACF che seghi la base in C, <lb></lb>et à detta ACF, per C et F, tirinsi le <lb></lb>perpendicolari CG, FH, hora il Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>Robervallio considera che se la linea <lb></lb>AE girerà intorno al centro, A, ver<lb></lb>bigratia verso la parte destra F, di ma<lb></lb>niera che un punto B cammini verso la <lb></lb>parte, E, che per mezzo di quel metodo composito <emph type="italics"></emph>ex recto et circulari<emph.end type="italics"></emph.end><lb></lb>descriva la base BCD, e che in un'istesso tempo il punto E cammini <lb></lb>tanto verso F, cioè all'insù, quanto B, cammina verso E, quel secondo <lb></lb>punto descriverà la Conchoide EF, perciocchè <emph type="italics"></emph>ex natura ipsi omnes <lb></lb>lineae,<emph.end type="italics"></emph.end> CF, <emph type="italics"></emph>sunt aequales lineae,<emph.end type="italics"></emph.end> BE, e tanto cammina il punto, E, all'insù <lb></lb>quanto il punto, B, <emph type="italics"></emph>hoc posito.<emph.end type="italics"></emph.end> Dal punto, A, sia tirata la linea AGH, <lb></lb>acciocchè, AG, <emph type="italics"></emph>sit ad<emph.end type="italics"></emph.end> AH, <emph type="italics"></emph>ut<emph.end type="italics"></emph.end> AC, <emph type="italics"></emph>ad<emph.end type="italics"></emph.end> AF, cioè come la circonferenza del <lb></lb>cerchio, AC, à quella del cerchio AF, <emph type="italics"></emph>idest ut motus circularis puncti<emph.end type="italics"></emph.end> C, <lb></lb><emph type="italics"></emph>ad motum circularem puncti<emph.end type="italics"></emph.end> F, se noi tireremo la GD, parallela alla AE <lb></lb>avremo la direzione del moto retto di C, e la proporzione di detto <lb></lb>moto al circolare dell'istesso punto <emph type="italics"></emph>ut<emph.end type="italics"></emph.end> GD, <emph type="italics"></emph>ad<emph.end type="italics"></emph.end> CG (perchè data una <emph type="italics"></emph>ex <lb></lb>componentibus<emph.end type="italics"></emph.end> CG, <emph type="italics"></emph>et composita<emph.end type="italics"></emph.end> CD, <emph type="italics"></emph>datur reliqua ex componentibus<emph.end type="italics"></emph.end> GD), <lb></lb>ma detto moto retto è uguale nel punto F come abbiamo detto, e il <lb></lb>suo circolare <emph type="italics"></emph>est ad circulare<emph.end type="italics"></emph.end> C, <emph type="italics"></emph>ut<emph.end type="italics"></emph.end> FH, <emph type="italics"></emph>ad<emph.end type="italics"></emph.end> GD; dunque se noi pigleremo <lb></lb>FH, per termine homologo della ratione del moto circolare F al moto <lb></lb>retto F, avremo GD, ovvero HI, uguale alla GD, per termino homologo <lb></lb>al moto retto F, ma dette FH, HI, sono ancora le direzioni di quei due <lb></lb>moti componenti. <emph type="italics"></emph>Datisque directionibus et ratione duorum motuum <lb></lb>componentium<emph.end type="italics"></emph.end> si averà la direzione del composito, cioè per il primo <lb></lb>principio la tangente FI <emph type="italics"></emph>quod erat propositum.<emph.end type="italics"></emph.end> Da questa speculatione, <lb></lb>oltre la cognizione delle tangenti di molte linee, detto Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> n'ha <lb></lb>cavato ancora quella ugualità d'una parabola con una helice, trovando <lb></lb>nell'una e l'altra i moti componenti uguali, n'ha cavato ancora <emph type="italics"></emph>ma<lb></lb>ximam superficiem sine basibus Cilindri datae spherae inscripti,<emph.end type="italics"></emph.end> et altre <lb></lb>bellissime cose. </foreign></s> <s>E qui riverisco V. S. pregandola perdoni alla fretta <lb></lb>con la quale le scrivo per avvisarla presto che le sue lettere giunge<lb></lb>ranno quanto presto à Parigi. </s><s><lb></lb>Di Roma alli 21. di maggio 1644.<lb></lb> Di V. S. m.<emph type="sup"></emph>to<emph.end type="sup"></emph.end> Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>Devotiss.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> et affezionat.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Servitore<lb></lb> F. du Verdus.</s></p> <pb pagenum="184"></pb> <figure id="fig568"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>79<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> FRANCESCO DU VERDUS a [TORRICELLI <lb></lb>in Firenze].<lb></lb>Roma, 3 giugno 1644.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLI, c. 94 — Copia di L. Serenai).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Molto Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Padr. </s><s>mio Colendiss.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Benchè io habbi già ringraziato V. S. del favore che mi fece rispon<lb></lb>dendo alli affetti miei con li affetti suoi, e mandandomi le sue bellis<lb></lb>sime dimostrazioni <emph type="italics"></emph>de centro gravitatis,<emph.end type="italics"></emph.end> con la sua cortesissima lettera, <lb></lb>in vece di tre ò quattro righe che li paghi il mio debito: gle ne ren<lb></lb>derò però nuove gratie con l'occasione che mi dà la sua lettera di <lb></lb>fargli questa seconda risposta, ma mi permetterà di fargli prima le <lb></lb>mie querele di che non habbi nella sua voluto trattar meco con quel <lb></lb>solito libero e amorevol modo, che non cessa di onorar con Titoli d'Il<lb></lb>lustrissimo semplici gentiluomini miei pari. </foreign></s> <s><foreign lang="it">V. S. mi domandò per la <lb></lb>sua che io li scrivessi con che gusto adoperava il Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Robervallio <lb></lb>il modo di questi Indivisibili se io non conoscessi il merito di detto <lb></lb>Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> crederei che non lascia vedere le cose dell'invenzion sua per <lb></lb>esserne poi da più persone riputato più dotto di quello ch'egli è; ma <lb></lb>perchè io ho potuto imparare anche dalle lettere di V. S. quant'è la <lb></lb>sua virtù, non voglio nè manco biasimarlo d'esser troppo tenace, e <lb></lb>tropp'avaro conservatore delle sue cose, poichè l'essermene capitate <lb></lb>poche in mano s'aurà d'attribuire all'ignoranza mia, et alla cognizione <lb></lb>ch'egli n'ebbe, che giudicandomi poco degno della qualità di suo <lb></lb>scolare me ne comunicò pochissime. </foreign></s> <s>Eccone però una quale non ho <lb></lb>ancora scordata, com'hò <lb></lb>già fatto l'altre. </s></p> <figure></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Sia proposta la Cy<lb></lb>cloide primaria ADB, la <lb></lb>cui base sia AB, il cir<lb></lb>colo genitore ecc. e in <lb></lb>luogo d'immaginarla de<lb></lb>scritta dal moto di un <lb></lb>punto, come D, pel volgimento del cerchio (perchè bisognerebbe con<lb></lb>siderare tutti i diametri di detto cerchio) s'immagini descritta la <lb></lb>Cycloide dal moto di detto punto D, che sia portato per tutti i punti <lb></lb>di detta circonferenza, <emph type="italics"></emph>motu aequali et uniformi,<emph.end type="italics"></emph.end> mentre tutto il cer<lb></lb>chio sarà tirato da, A verso, B, in maniera che l'istessa sua asse CD <lb></lb>sia sempre perpendicolare alla Regola, AB. </foreign></s> </p> <pb pagenum="185"></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Hora il Sig. Roberval <emph type="italics"></emph>Cycloidi sociam adiungit hoc pacto, intelligatur <lb></lb>punctum<emph.end type="italics"></emph.end> E <emph type="italics"></emph>in diametro<emph.end type="italics"></emph.end> CD <emph type="italics"></emph>tantum ascendere versus<emph.end type="italics"></emph.end> D <emph type="italics"></emph>quantum<emph.end type="italics"></emph.end> A, <emph type="italics"></emph>sive<emph.end type="italics"></emph.end> D, <lb></lb><emph type="italics"></emph>in circunferentia ascendit ab<emph.end type="italics"></emph.end> A <emph type="italics"></emph>versus<emph.end type="italics"></emph.end> D <emph type="italics"></emph>describendo Cycloidem, ductisque<emph.end type="italics"></emph.end><lb></lb>EFHG, IKML, <emph type="italics"></emph>et quilibet ritt . . . sit<emph.end type="italics"></emph.end> GH, <emph type="italics"></emph>postea incipiendo à puncto quo<lb></lb>libet in Cycloide, aequalis,<emph.end type="italics"></emph.end> EF, <emph type="italics"></emph>parti eiusdem rectae interceptae inter dia<lb></lb>metrum circuli genitoris et circumferentiam etc.<emph.end type="italics"></emph.end> Sarà descritta la curva, <lb></lb>AGLD, compagna della Cycloide per mezzo della quale il Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Roberval <lb></lb>trova che lo spazio Cycloidale primario è triplo del suo cerchio. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Perchè <emph type="italics"></emph>descripto parallelogrammo<emph.end type="italics"></emph.end> ABON, <emph type="italics"></emph>ut in figura,<emph.end type="italics"></emph.end> quale sarà qua<lb></lb>druplo del cerchio, detta Compagna lo dividerà <emph type="italics"></emph>bifariam<emph.end type="italics"></emph.end> ugualmente, <lb></lb>è dunque la parte, AGLDB, doppia di detto cerchio, ma pel principio <lb></lb>delli indivisibili, e per la descrizione <emph type="italics"></emph>ex ipotesi,<emph.end type="italics"></emph.end> ciascheduna lunella, <lb></lb>AGLDMH, è uguale al semicircolo <emph type="italics"></emph>ergo<emph.end type="italics"></emph.end> etc. </foreign></s> <s>Di questo ne cavava anche <lb></lb>detto Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> altre varie conseguenze intorno alla Cycloide le quali pure <lb></lb>o non mi comunicò, ò sarebbe difficile che io le potessi così presto <lb></lb>rivocare à mente, ma da questo V. S. le avrà già cavate tutte, ed è <lb></lb>per questo ancora che io non mi stesi l'altra volta in quei problemi <lb></lb><emph type="italics"></emph>de motu composito ex duobus componentibus, et composito. </s><s>Datis trium <lb></lb>directionibus invenire proportionem ipsorum motuum. </s> <s><foreign lang="it">Datis rationibus <lb></lb>et unica directione, sive lineam directionis,<emph.end type="italics"></emph.end> ecc. che son cose facilissime, <lb></lb>e di conto nessuno; quali non desiderando gran cognizione della Geo<lb></lb>metria, invidiano il nome di bagattelle alle invenzioni che V. S. direbbe <lb></lb>incomparabili se non fussero sue. </foreign></s> <s>E con questo la reverisco, e le bacio <lb></lb>humilissimamente le mani. </s><s>Roma alli 3. di Giugno 1644. <lb></lb> Di V. S. molto Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>Humiliss.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> et affezionat.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Servitore<lb></lb> Du Verdus.</s></p> <pb pagenum="186"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>80<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> TORRICELLI a [MICHELANGELO RICCI <lb></lb>in Roma].<lb></lb>Firenze, 11 giugno 1644.<lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s> <s><foreign lang="it">Galileiani, Discepoli, T XL, c. 89-90 — Copia del tempo. </foreign></s> <s>La <lb></lb>figura dalla PREFAZIONE DI [TOMMASO BUOXAVENTURI] ALLE LEZIONI ACCADEMICHE DI <lb></lb>EVANGELISTA TORRICELLI, Firenze 1715 per Jacopo Guiducci e Santi Franchi). </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">L'originale di questa lettera era nel gennaio 1662 presso il destipatario Michelangelo <lb></lb>Ricci in Roma come risulta dall' <emph type="italics"></emph>Inventario di scritture private manoscritte che si <lb></lb>adducono in questa lettera in prova della Verità,<emph.end type="italics"></emph.end> ecc. pubblicato da [Carlo Dati] <lb></lb>nella LETTERA AI FILALETI DI TIMAURO ANTIATE, Firenze 1663, pag. 24, N. XXI. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Copia del brano: “ <emph type="italics"></emph>Noi abbiamo fatto molti vasi di vetro . . . . . . . . . . . per la rarefaz<lb></lb>zione maggiore che quella del pochissimo spazio B.<emph.end type="italics"></emph.end> ” fu mandato da M. A. Ricci per <lb></lb>mezzo di Francesco Du Verdus al P. Marino Mersenne in Francia: V. N. 92 e 93 <lb></lb>del pres. </foreign></s> <s><foreign lang="it">volume. — La detta copia è probabilmente quella che si trova attual<lb></lb>mente nella Biblioteca Nazionale di Parigi, <emph type="italics"></emph>Fond. </foreign></s> <s>latin, nouv. <expan abbr="acq.">acque</expan><emph.end type="italics"></emph.end> vol. 2338, f.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> 45: <lb></lb><emph type="italics"></emph>Sans date. </s><s>Extrait de deux lettres de Torricelli a M.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Ricci, copies faites en France <lb></lb>avec dessins du barometre. </s><s>Extrait d'un lettre du Sieur Torricelli.<emph.end type="italics"></emph.end> Soprascritta: <emph type="italics"></emph>Au <lb></lb>Reverend. </s><s>Père Mersenne Religieux ez Minimes de la Place Royale.<emph.end type="italics"></emph.end><gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Molto Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> Padrone mio Col.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Mandai queste settimane passate alcune mie dimostra<lb></lb>zioni sopra lo spazio della Cicloide al Sig. Antonio Nardi, <lb></lb>con pregarlo, che dopo haverle vedute le inviasse a drittura <lb></lb>a V. S. o pure al Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Magiotti. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Le accennai già, che <lb></lb>si stava facendo non so che esperienza filosofica intorno <lb></lb>al vacuo, non per far semplicemente il vacuo, ma per far <lb></lb>uno strumento, che mostrasse le mutazioni dell'aria, hora <lb></lb>più grave e grossa, et hor più leggera e sottile. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Molti <lb></lb>hanno detto, che il vacuo non si dia, altri che si dia, ma <lb></lb>con repugnanza della Natura, e con fatica; non so già, <lb></lb>che alcuno habbia detto, che si dia senza fatica, e senza <lb></lb>resistenza della Natura. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Io discorreva così: se trovassi una <lb></lb>causa manifestissima dalla quale derivi quella resistenza, <lb></lb>che si sente nel voler fare il vacuo, indarno mi pare si <lb></lb>cercherebbe di attribuire al vacuo quella operazione, che <lb></lb>deriva apertamente da altra cagione, anzi che facendo <lb></lb>certi calculi facilissimi, io trovo, che la causa da me ad<lb></lb>dotta (cioè il peso dell'aria), doverebbe per se sola far <pb pagenum="187"></pb>maggior contrasto, che ella non fa nel tentarsi il vacuo. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Dico ciò, perchè qualche Filosofo vedendo di non poter <lb></lb>fuggire questa confessione, che la gravità dell'aria cagioni <lb></lb>la repugnanza, che si sente nel fare il vacuo, non dicesse <lb></lb>di concedere l'operazione del peso aereo ma persistesse <lb></lb>nell'asseverare, che anche la Natura concorre a repugnare <lb></lb>al vacuo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Noi viviamo somersi nel fondo d'un pelago <lb></lb>d'aria elementare, la quale per esperienze indubitate si sa <lb></lb>che pesa, e tanto, che questa grossissima vicino alla su<lb></lb>perficie terrena, pesa circa la quattrocentesima parte del <lb></lb>peso dell'acqua. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Gli Autori poi de' Crepuscoli hanno os<lb></lb>servato, che l'aria vaporosa, e visibile si alza sopra di noi <lb></lb>intorno a cinquanta, overo cinquanta quattro miglia ma io <lb></lb>non credo tanto, perchè mostrerei, che il <lb></lb> <arrow.to.target n="fig569"></arrow.to.target><lb></lb>vacuo doverebbe far molto maggior resi<lb></lb>stenza, che non fa se bene vi è per loro <lb></lb>il ripiego, che quel peso scritto dal Ga<lb></lb>lileo, s'intenda dell'aria bassissima dove <lb></lb>praticano gli uomini e gli animali, ma <lb></lb>che sopra le cime degli alti monti, l'aria <lb></lb>cominci ad esser purissima, e di molto <lb></lb>minor peso che la quattrocentesima parte <lb></lb>del peso dell'acqua. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Noi abbiamo fatti <lb></lb>molti vasi di vetro come i seguenti se<lb></lb>gnati A, et B grossi, e di collo lungo due <lb></lb>braccia, questi pieni d'argento vivo poi <lb></lb>serratagli con un dito la bocca e rivoltati <lb></lb>in un vaso dove era l'argento vivo C si <lb></lb>vedevano votarsi, e non succeder niente <lb></lb>nel vaso che si votava; il collo però AD <lb></lb>restava sempre pieno all'altezza d'un <lb></lb>braccio, e un quarto, e un dito di più. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Per mostrar che il vaso fusse perfetta<lb></lb>mente voto, si riempieva la catinella sot<lb></lb>toposta d'acqua fino in D, et alzando il <lb></lb>vaso à poco, à poco, si vedeva quando <lb></lb>la bocca del vaso arrivava all'acqua, de<lb></lb>scender quell'argento vivo dal collo, e riempirsi con im<lb></lb>peto horribile d'acqua fino al segno E affatto. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Il di- <pb pagenum="188"></pb>scorso si faceva mentre il vaso AE stava voto, e l'argento <lb></lb>vivo si sosteneva benchè gravissimo nel collo AC, questa <lb></lb>forza che regge quell'argento vivo contro la sua natura<lb></lb>lezza di ricader giù, si è creduto fino adesso, che sia stata <lb></lb>interna nel vaso AE, o di vacuo, o di quella robba som<lb></lb>mamente rarefatta; ma io pretendo, che la sia esterna, e <lb></lb>che la forza venga di fuori. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Su la superficie del liquore, <lb></lb>che è nella catinella gravita l'altezza di cinquanta miglia <lb></lb>d'aria; però qual maraviglia è se nel vetro CE, dove l'ar<lb></lb>gento vivo non ha inclinazione, ne anco repugnanza per <lb></lb>non esservi nulla, entri, e vi s'innalzi fin tanto, che si <lb></lb>equilibri colla gravità dell'aria esterna, che lo spinge? </foreign></s> <s><lb></lb>L'acqua poi in un vaso simile, ma molto più lungo, salirà <lb></lb>quasi fino a diciotto braccia, cioè tanto più dell'argento <lb></lb>vivo, quanto l'argento vivo è più grave dell'acqua per <lb></lb>equilibrarsi con la medesima cagione, che spinge l'uno e <lb></lb>l'altro. </s> <s><foreign lang="it">Confermava il discorso, l'esperienza fatta nel me<lb></lb>desimo tempo col vaso A, e colla canna B ne'quali l'argento <lb></lb>vivo si fermava sempre nel medesimo orizonte AB segno <lb></lb>quasi certo, che la virtù non era dentro; perchè più forza <lb></lb>havrebbe havuto il vaso AE, dove era più robba rarefatta, <lb></lb>et attraente, e molto più gagliarda per la rarefazzione <lb></lb>maggiore che quella del pochissimo spazio B. Ho poi <lb></lb>cercato di salvar con questo principio tutte le sorte di re<lb></lb>pugnanze che si sentono nelli vari effetti, attribuiti al vacuo, <lb></lb>ne vi ho fin hora incontrato cosa che non cammini bene. </foreign></s> <s><lb></lb>So che a V. S. sovverranno molte obbiezzioni, ma spero <lb></lb>anche che pensandovi le sopirà. </s> <s><foreign lang="it">La mia intenzione prin<lb></lb>cipale poi non è potuta riuscire cioè di conoscer quando <lb></lb>l'aria fusse più grossa e grave e quando più sottile e leg<lb></lb>giera collo strumento EC, perchè il livello AB si muta <lb></lb>per un'altra causa (che io non credevo mai) cioè per il <lb></lb>caldo e freddo e molto sensibilmente, apunto come se il <lb></lb>vaso AE fusse pieno d'aria. </foreign></s> <s><lb></lb>Firenze 11 Giugno 1644.<lb></lb> Di V. S. M.<emph type="sup"></emph>to<emph.end type="sup"></emph.end> Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>Dev.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> et Obbg.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Se.<lb></lb> V. Torricelli</s></p> <pb pagenum="189"></pb> <figure id="fig569"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>81<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> MICHELANGELO RICCI a [TORRICELLI <lb></lb>in Firenze].<lb></lb>Roma, 11 giugno 1644.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLII, c. 18-21 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>M.to Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> e m.to Ecc.<emph type="sup"></emph>te<emph.end type="sup"></emph.end> Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end>, e P.rone Oss.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Vivo con molto desiderio di sentire il successo di cotesti esperimenti <lb></lb>accennatimi da V. S: con altra sua, e del lavoro de' vetri, et sue altre <lb></lb>invenzioni ho mille, che me ne richiedono. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Non è due giorni, o tre, che <lb></lb>il Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Cavaliere del Pozzo mi fe istanza di sapere, se V. S. fosse per <lb></lb>mandar fuori vetri lavorati al suo modo, et mi pregò a volerne inten<lb></lb>dere il senso di V. S:. La prego pertanto con vivo affetto a voler <lb></lb>restar servita di favorir me con qualche avviso, et satisfare assieme <lb></lb>alla curiosità di questi Sig.<emph type="sup"></emph>ri<emph.end type="sup"></emph.end>, et in particolare del Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Cavalier del <lb></lb>Pozzo, il quale ha [in] grandissima stima il valore, e 'l merito di V. S:, <lb></lb>siccome posso attestargliene io, col quale spesse volte me ne ragiona. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Il P.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> Santini aspetta di giorno in giorno il suo libretto, et io non <lb></lb>perderò tempo in procurarne uno per V. S:, ancorchè egli mi dica, <lb></lb>che V. S: lo dovrà avere di Genova prima di noi. </foreign></s> <s>Io poi sono stato <lb></lb>un mese intero, senza quasi potere aprire un libro distratto da varie <lb></lb>occupazioni, et dalla compagnia degli amici, che venivano a condurmi <lb></lb>a spasso. </s><s>Applicai solo l'altro ieri ad una lunghissima proposizione de <lb></lb>conoidibus, et sphaeroidibus per ridurla a brevità comportabile. </s><s>Come <lb></lb>ciò mi sia succeduto prego V. S: ad esserne giudice. </s><s>La proposi<lb></lb>zione è tale. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Sia il Conoide iperbolico ABC, il <lb></lb> <arrow.to.target n="fig570"></arrow.to.target><lb></lb>cui asse BD; et segato con un piano <lb></lb>parallelo all'asse, si seghi di nuovo <lb></lb>per l'asse con piano eretto al primo <lb></lb>piano segante; la comun sezione, de' <lb></lb>quali piani sia FE, et la sezione fatta <lb></lb>nel conoide dal piano per l'asse sia <lb></lb>l'iperbola ABC. Dico la sezione fatta <lb></lb>intorno EF dal piano parallelo all'asse <lb></lb>BD, essere una iperbola simile all'ABC. <lb></lb>Dell'iperbola ABC sia BN asse tra<lb></lb>sverso, et dal punto F si applichi la <lb></lb>FM ordinatamente, prolongandosi poi <lb></lb>FE in O tanto, che la FO superi BN <pb pagenum="190"></pb>di due BM, et si prolunghi DN in L uguagliandola ad EO. Nella FE <lb></lb>si prendano due punti EG, per li quali passino due piani seganti il <lb></lb>conoide eretti all'asse BD, che formeranno nel conoide due cerchi <lb></lb>intorno ADC, HGKI come diametri e i lor centri saranno D, K. Le co<lb></lb>muni sezioni di questi cerchi col piano EF saranno QE, PG perpendi<lb></lb>colari alle rette AEC, HGI, EF, et necessariamente saranno ordinate <lb></lb>ne' cerchi. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Et perchè il rettangolo NDB al quadrato DA sta come il <lb></lb>rettangolo NMB al quadrato FM ovvero ED sarà il residuo rettan<lb></lb>golo LDM, ovvero OEF al residuo AEC rettangolo, come NDB al qua<lb></lb>drato DA, cioè come il lato trasverso NB al lato retto. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Similmente <lb></lb>proveremo essere il rettangolo OGF al rettangolo HGI, et perciò per<lb></lb>mutando sarà il rettangolo OEF all' OGF come il rettangolo AEC, cioè <lb></lb>il quadrato QE al rettangolo HGI, cioè al quadrato PG. Dunque la <lb></lb>sezione intorno EF sarà iperbola, il cui asse EF, et l'asse trasverso <lb></lb>OF. Et perchè il lato trasverso NB al suo resto si è provato come il <lb></lb>rettangolo OEF all'AEC, ovvero EQ quadrato, cioè come il lato <lb></lb>trasverso OF al suo lato retto, et gli angoli da essi lati compresi <lb></lb>sono retti, segue, che le due iperbole sieno simili; il che si doveva <lb></lb>provare. </foreign></s> </p> <figure id="fig570"></figure> <p type="main"> <s>Il Corollario, che ne deducono li commentatori di Archimede è tanto <lb></lb>facile a dedurlo da questa proposizione, che non dirò altro. </s><s>Ecco dunque <lb></lb>quanto le può dare la mia inerzia. </s> <s><foreign lang="it">So che V. S: compatirà al mio no<lb></lb>viziato, et anco alla temerità in voler parlare avanti il tempo; et quì <lb></lb>affettuosissimamente bacio a V. S: le mani. </foreign></s> <s><lb></lb>Roma li 11 Giugno <emph type="italics"></emph>1644<emph.end type="italics"></emph.end><lb></lb> Aff.mo et Obb.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Servit.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end>, e discepolo<lb></lb> Michelangelo Ricci</s></p> <pb pagenum="191"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>82<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> BONAVENTURA CAVALIERI a [TORRICELLI <lb></lb>in Firenze].<lb></lb>Bologna, 15 giugno 1644.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLI, c. 207-210 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>M.to Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> et Ecc.mo Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Non ho prima d'ora potuto scrivere a V. S: sì per essere stato <lb></lb>lungamente afflitto dal mio solito male, sì anco per le occupazioni del <lb></lb>nostro Capitolo Generale, nel quale ho cercato di servire il molto R.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>P.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> Bartolomeo da lei raccomandatomi, sì per servirla lei, come anco <lb></lb>per gli obblighi. </foreign></s> <s><foreign lang="it">che tengo al Padre, e per gli suoi meriti. </foreign></s> <s>La ringrazio <lb></lb>poi de' fogli mandatimi, quali ho potuto vedere solo così alla sfuggita. </s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Ho però compreso quanto favorisca il metodo degl'indivisibili, e quanto <lb></lb>onori la persona mia certamente sopra ogni mio merito. </foreign></s> <s>Io però non <lb></lb>desideravo altro se non che avendo ella tanta pratica di questa nuova <lb></lb>maniera, ella, che se n' è servita in grado così eccellente, testificasse <lb></lb>al mondo l'utilità, che si può cavare da questo metodo, e la sua molta <lb></lb>fecondità. </s> <s><foreign lang="it">Confesso, che il vederla astenersene onninamente nell'opera <lb></lb>de' solidi sferali mi generò qualche timore di restar privo di così glo<lb></lb>rioso testimonio, ma ora veggo, che ella ha fatto davvantaggio. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Onde <lb></lb>me gli confesso perciò obbligatissimo. </foreign></s> <s>Le copie poi, che quà compar<lb></lb>vero, furno due sole, per quanto ho potuto sapere. </s> <s><foreign lang="it">Ho finalmente <lb></lb>sentito con ammirazione il resto delle Proposizioni Cicloidali, e ben <lb></lb>veggo quanto ella superi le invenzioni degli antichi, e quanto alti <lb></lb>fondamenti ella getti per ergere un tempio, nel quale eternamente <lb></lb>saran celebrate le lodi, e viverà perpetuamente la fama delle sue glo<lb></lb>riose fatiche, et invenzioni. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Posso bene anch'io chiamare avventurati i <lb></lb>miei indivisibili, poichè, se per parte del mio avversario sono stati <lb></lb>oppressi, vengono bene così esaltati, e propagati dalla felicità della <lb></lb>sua penna, et ingegno, che più non potria desiderarsi, ricevendo da <lb></lb>lei quello splendore, che non avriano giammai potuto avere dal proprio <lb></lb>autore, non solo per difetto dell'ingegno, ma anco per la sua continua <lb></lb>infirmità, che ormai gli proibisce affatto il poter fare più cosa di mo<lb></lb>mento nè in questo, nè in altro. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Non resterò però di raccomandargli <lb></lb>questo, che avrei fatto volentieri, se avessi potuto, e vien riserbato a <lb></lb>Lei, cioè di sforzarsi, che apparisca al mondo di quanta utilità sieno <lb></lb>le mattematiche per le cose fisiche, mostrando insieme, quanto gl'in<lb></lb>divisibili ci possin giovare in queste cose ancora, e come ella attesta <lb></lb>aver provato nelle cose meccaniche, e come anche io ho, sebbene di <pb pagenum="192"></pb>lontano subodorato in qualche modo, sebbene resto impotente a tanta <lb></lb>impresa. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Parmi, che ciò dovesse riuscire con molta sua gloria, ed uti<lb></lb>lità delle mattematiche, le quali, se stando su gli astratti delle figure, <lb></lb>e numeri sono da pochi intese, e coltivate, alletterebbono con suprema <lb></lb>violenza gl'ingegni, quando vedessero rilucere la loro eccellenza nelle <lb></lb>cose Fisiche ancora, nelle quaii vanno senza frutto ravviluppandosi <lb></lb>gl'ingegni per esser privi della vera, e sicura scorta delle mattema<lb></lb>tiche. </foreign></s> <s><foreign lang="it">E chi potrà far questo meglio di lei, che ha fatto un passaggio <lb></lb>così grande in quelle, e s'è straordinariamente in queste? (<emph type="italics"></emph>sic<emph.end type="italics"></emph.end>). So, che <lb></lb>Platone mostrò quasi aborrire da questo senso, nè io sarei da lui lontano, <lb></lb>quando gli uomini fossero d'altra tempra, ma chi vuole conciliare <lb></lb>universalmente la grazia dell'universale alle mattematiche, e vuole, <lb></lb>che sieno apprezzate dal mondo, parmi, che bisogni giungere a questo <lb></lb>segno. </foreign></s> <s>Ma purtroppo mi son lasciato trasportare da questo mio senso <lb></lb>particolare verso le mattematiche, troppo ho detto per chi tanto sa, <lb></lb>e tanto intende. </s> <s><foreign lang="it">Farò fine per più non attediarla con dirle ancora, che <lb></lb>le suddette cose mi hanno impedito il poter far prova a mio modo del <lb></lb>suo vetro mandatomi, come spererò di far quanto prima, e con tal <lb></lb>fine con tutto l'affetto me gli offero, e raccomando, baciandole affet<lb></lb>tuosamente le mani. </foreign></s> <s><lb></lb>Di Bologna alli 15 Giugno 1644<lb></lb> Dev.mo et Obb.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Servit.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb> F. Bonaventura Cavalieri</s></p> <pb pagenum="193"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>83<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> MICHELANGELO RICCI [a TORRICELLI <lb></lb>in Firenze].<lb></lb>Roma, 18 giugno 1644.<lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLII, c. 22-27 — Copia moderna). </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">L'originale di questa lettera trovavasi nel gennaio 1662 presso L. Serenai: V. LET<lb></lb>TERA AI FILALETI DI TIMAURO ANTIATE, Firenze 1663, pag. 24. <emph type="italics"></emph>Inventario di scritture <lb></lb>private manoscritte che si adducono in questa lettera in prova della Verità,<emph.end type="italics"></emph.end> ecc., <lb></lb>N. XXII.<gap desc="/SM"></gap></foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Molt' Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end>, et M.to Ecc.<emph type="sup"></emph>te<emph.end type="sup"></emph.end> Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end>, e P.rone Oss.mo </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Fu opinione degli Epicurei, che non solo il vacuo naturalmente si <lb></lb>potesse dare, ma che in effetti si ritrovassero nel mondo molti spazi <lb></lb>vuoti, come V. S: si ricorderà d'aver letto presso Lucrezio. </foreign></s> <s><foreign lang="it">A questi <lb></lb>si opposero alcuni Teologi, li quali gelosi troppo indiscretamente del<lb></lb>l'unione e conservazione dell'universo, alla quale stimano che sia indi<lb></lb>rizzata l'obbedienza delle creature prontissima nell'ascendere, o discen<lb></lb>dere conforme richiede la ragion del contatto; con dire, che neppure <lb></lb>l'Onnipotenza Divina poteva operare in modo, che si desse questo <lb></lb>spazio vuoto, che dicono gli Epicurei, ma scuso in parte questi buoni <lb></lb>Teologi, che forse per non acquistarsi cattivo nome appresso il mondo <lb></lb>d'essere Epicurei, tanto più concorrendovi in loro qualche altro indizio <lb></lb>preso dalle loro azioni, si son voluti a più potere dilungare dai loro <lb></lb>sentimenti, siccome pretendono d'essere creduti lontani nell'operare <lb></lb>dallo stile di quello, <emph type="italics"></emph>qui Bacchanalia vivunt Epicuri de grege porcis:<emph.end type="italics"></emph.end><lb></lb>ciò sia detto con riverenza di V. S:, la quale non vo' tediare con <lb></lb>altro, che le potrei soggiugnere appresso in questa materia, poichè <lb></lb>stimo, che sarà pur troppo nauseata dalla temeraria opinione de' sud<lb></lb>detta Teologi, et dal costume suo costante di meschiar subito le cose <lb></lb>di Dio ne' ragionamenti naturali, dove che quelle dovrebbono con <lb></lb>maggior rispetto, e riverenza esser trattate. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Il modo, con che V. S: <lb></lb>salva le esperienze fatte in riprova del vacuo, cioè del salire le cose <lb></lb>gravi contro sua naturale inclinazione, io lo giudico tanto più buono <lb></lb>dell'altro, quantoche con questo ci conformiamo alla semplicità della <lb></lb>natura nelle opere sue; la quale potendo salvare l'unione de' corpi <lb></lb>col solo moto all'ingiù, invano averebbe innesto loro una nuova na<lb></lb>turale inclinazione d'obbedire alla causa universale moderatrice del <lb></lb>mondo, come essi dicono. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Et ammiro il nobile ardimento di V. S: <lb></lb>nell'avere in considerazione cosa non tocca da veruno finora, la quale <lb></lb>ha parimenti tanto di probabilità, che toltone due, o tre obiezioni, <pb pagenum="194"></pb>che sono per dire a V. S:, le quali prego V. S: a volermele risolvere, <lb></lb>siccome so, che ella potrà fare agevolmente; stimo essere il pìù vero, <lb></lb>ed il più ragionevole, che possa dirsi in simile questione. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Primieramente <lb></lb>pare a me, che si potesse escludere l'azione dell'aria nel gravitare sulla <lb></lb>superficie estrinseca dell'argento, che sta nel vaso, ponendovi un coper<lb></lb>chio con un pertugio solo, per il quale passi la canna di vetro, e poi <lb></lb>turando onninamente ogni parte, acciocchè non v'abbia più comunica<lb></lb>zione. </foreign></s> <s>L'aria superiore al vaso, la qúale verrebbe in tal caso a gravitare <lb></lb>non più sulla superficie dell'argento, ma sul coperchio, et mantenendosi <lb></lb>allora l'argento vivo sospeso in aria come prima, non si potrebbe più <lb></lb>attribuire l'effetto al peso dell'aria, che ve lo sostenga quasi in equili<lb></lb>brio. </s> <s><foreign lang="it">Secondariamente preso uno schizzatoio, che vuole essere usato <lb></lb>assai in questo soggetto, et abbia la sua animella dentro onninamente, <lb></lb>acciò escluda con la sua corpolenza ogni altro corpo, poi turando in <lb></lb>cima il foro, et ritirando per forza l'animella indietro, sentiamo grandis<lb></lb>sima resistenza, et ciò non segue solamente tenendo in giù lo schizza<lb></lb>toio, et voltando in su l'animella, sopra il cui manico grava l'aria, ma <lb></lb>segue per ogni verso, che si faccia; et pure non pare, che si possa in <lb></lb>questi casi facilmente intendere, come il peso dell'aria c'abbia che <lb></lb>fare. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Finalmente un corpo immerso nell'acqua non contrasta con tutta <lb></lb>l'acqua, che vi stia sopra, ma con quella sola, che al moto del corpo <lb></lb>immerso si muove, la quale non è maggior di esso corpo, et perchè <lb></lb>stimerei, che la stessa dottrina fosse da applicarsi alla librazione <lb></lb>dell'argento, dovrebbe esso contrastare con tanto d'aria, quanto è la <lb></lb>sua mole, et come potrebbe l'aria preponderar mai? </foreign></s> <s><foreign lang="it">Questo è quello, <lb></lb>che mi ha somministrato la mia sciocchezza in opposizione del senso <lb></lb>di V. S. nel che dovrà scusare il desiderio, che tengo di perfettamente <lb></lb>capire la soluzione delle obiezioni in contrario per esserne poi asso<lb></lb>luto difensore, siccome io son sincero ammiratore, et di questa, et di <lb></lb>ogni altra invenzione di Lei a me tutte gratissime. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ho pensato di <lb></lb>scrivere al Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Nardi, e di riverirlo, che forse con tale occasione egli <lb></lb>mi manderà poi le scritture mandateli da V. S: intorno la cicloide. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Avrei curiosità di sapere in questo soggetto qual proporzione abbia <lb></lb>il solido nato dalla rivoluzione del piano cicloidale intorno l'asse ri<lb></lb>spetto al suo cilindro circoscritto, et non parendo a V. S: troppa te<lb></lb>merità la mia nel richiedergliene, la prego a favorirmi di accennarlo <lb></lb>in risposta, o con sua comodità. </foreign></s> <s>Scrissi l'ordinario passato una pro<lb></lb>posizione a V. S:, et un'altra volta la pregherò a voler vedere una <lb></lb>mia proposizione intorno li frusti parabolici, iperbolici, sferici, & com<lb></lb>presi sotto una iperbola proposizione. </s> <s><foreign lang="it">Considerai ancora, che si poteva <lb></lb>dimostrare col metodo usato da V. S. nella proposizione de' frusti <lb></lb>sferici, la proposizione pur sua appartenente ai solidi parabolici iper<lb></lb>bolici con dimostrare, che dal conoide v. </foreign></s> <s><foreign lang="it">g. parabolico, toltone il <lb></lb>cono iscrittoli, resti un solido escavato uguale ad una sferoide intorno <lb></lb>l'asse del frusto, et che il suo semiasse minore passi di 4.<emph type="sup"></emph>to<emph.end type="sup"></emph.end> il rettan<lb></lb>golo armillare come V. S. m'intenderà benissimo; ma poi si verrobbe <lb></lb>a supporre per nota la quantità della sferoide; onde si farebbe la <pb pagenum="195"></pb>proposizione meno universale assai, portando in conseguenza la notizia <lb></lb>della quantità della sferoide, la cognizione anco della sfera. </foreign></s> <s>Chiedo <lb></lb>perdono a V. S: di tante ciance, che le do, et mal composte, et la <lb></lb>prego a comandarmi. </s><s><lb></lb>Roma li 18 Giugno <emph type="italics"></emph>1644.<emph.end type="italics"></emph.end><lb></lb> Di V. S: m.to Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> et m.to Ecc.<emph type="sup"></emph>te<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>Aff.mo, et Obbl.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Servit,<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> e Discepolo<lb></lb> Michelangiolo Ricci</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>84<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> MARINO MERSENNE a TORRICELLI <lb></lb>in Firenze.<lb></lb>Parigi, 24 giugno 1644.<lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli. </s> <s><foreign lang="it">T. XLI, c. 12-13 — Copia del tempo). </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">L'originale di questa lettera trovavasi nel gennaio 1662 in mano di L. Serenai: <lb></lb>V. LETTERA AI FILALETI DI TIMAURO ANTIATE, Firenze 1663, pag. 24. <emph type="italics"></emph>Inventario di <lb></lb>scritture private manoscritte che si adducono in questa lettera in prova della Verità,<emph.end type="italics"></emph.end><lb></lb>ecc., N. X.<gap desc="/SM"></gap></foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Incomparabili Geometrae D. Torricello S. P. D. </s></p> <p type="main"> <s>Vix credere possis, Vir Clarissime, Charissimeque quantis tuae no<lb></lb>vissimae litterae accessionibus tuam apud me famam et aestimationem <lb></lb>promoverint: quid enim illi putem qui vel nostrum Geome<lb></lb>tram Robervallum inventione centri gravitatis cycloidis, et illius circa <lb></lb>axem solidi: reliqua invenit et demonstravit; sed qui (licet <lb></lb>ille parata dicat habere quae trochoidis suae plana spectant, ad eden<lb></lb>dum parata) tamen non debeat infodere tuas circa idem negotium de<lb></lb>monstrationes, iuvat enim idem pluribus modis demonstratum inspi<lb></lb>cere. </s><s>Ille verò non solum per indivisibilia, sed more alterius demon<lb></lb>strationis quam ad te misi, omnia praedicta demonstravit, qui cum <lb></lb>tuas postremas legisset, praedictum solidum, et centrum gravitatis <lb></lb>tibi debere fatetur, qui primus invenisti. </s><s>Rogamus tamen an centrum <lb></lb>gravitatis solidorum cycloidorum habeas quae numerasti, ut habes <lb></lb>centrum gravitatis plani cycloidalis: et cur nam dicas te habere de<lb></lb>monstrationem solidi circa basim ut 5 ad 8; nunquid et aliorum <lb></lb>habes? </s></p> <p type="main"> <s>Perge, Vir summe, ut ne quidem te fugiat inventio quadraturae et <lb></lb>duplicationis cubi, in qua nuper Santinius vester operam navavit adeo <lb></lb>inutilem, quod graviter ob meam iam dum propositionem tuli; cur <pb pagenum="196"></pb>enim nobis non premisit lectionem ante editionem? </s><s>novissime enim <lb></lb>de erratis, idque amicissime, et absque testibus, quos sibi <lb></lb>infensos. </s></p> <p type="main"> <s>Verebatur forte ne quis Gallus illius inventionem uti suam sibi <lb></lb>vindicaret, quod frustra quispiam timeat apud honestos viros, qui <lb></lb>maxime illustrium virorum sartam tectam volunt. </s></p> <p type="main"> <s>Porro cum rescierim te parabolam invenisse quae parabolas omnium <lb></lb>iactuum tangentibus. </s><s>Figuram istius meis iactibus prop. 28. <lb></lb>Ballisti videbis accomodatam cum tui nominis celebratione: <lb></lb>sed et gaudebo de demonstrationibus tibi reservatis de omnibus à me <lb></lb>circa figuram illam propositis. </s></p> <p type="main"> <s>Quid verò speras aut expectas à me quidpiam, quod ulla ratione <lb></lb>tibi satisfaciat, qui praesertim observationes et naturae phenomena pro<lb></lb>sequor? </s><s>Ut iam tua nostros tractatus lectione iudicem indignos, qui <lb></lb>maiorum aquilarum instar ad sublimiora contendis: eo praesertim con<lb></lb>tentus si tibi materiam plurifariam suggessero, cui praedecessorem <lb></lb>tuum aemulatus, geometricas demonstrationes addideris, ut sim <lb></lb>tu verò Architectus. </s></p> <p type="main"> <s>Gratissimum verò facies si duas illas experientias tibi à Galilaeo <lb></lb>datas, quibus percussionis vis infinita videtur esse, ad me scribas. </s></p> <p type="main"> <s>In epistola ad mechanicas, quam ad te per Dominum Du Verdus <lb></lb>mitto, resperies <emph type="italics"></emph>(sic)<emph.end type="italics"></emph.end> quod te etiamnum peregrinationem Ita<lb></lb>licam Lyburnam futuram meditor, qua te possim amplecti, et mecum <lb></lb>quaedam Geometrica fere cupiam, quibus finem scribendi <lb></lb>facio donec me certiorem feceris, num te sim Florentiae inventurus, <lb></lb>et paucis diebus tuo beneficio, quae notatu pulchriora sint, lustrare <lb></lb>possim: tuum praesertim librum ibidem, si fuerit tunc publici iuris, de<lb></lb>vorare cupiam. </s><s>Quis autem ille Narnius, qui tam acutum ? Ut <lb></lb>video longe plura estis sublimia quàm nostri Galli, qui rari sunt <lb></lb>admodum. </s><s>Iamque tibi satisfactum putem a D. Du Verdus quo ad tan<lb></lb>gentem attinet, quippe qui curavit hinc sibi, credidero tui gratiâ, <lb></lb>suum exemplar mittendum. </s><s>Novi enim nobilissimum illius genium, <lb></lb>quippe Viros omnes honestos quibuscunque potest officijs obstringit, <lb></lb>beneficijsque superat. </s></p> <p type="main"> <s>Quantâ laetitiâ afficiar? </s><s>si quando audierim tibi tandem Vitrum <lb></lb>linceum Ana occurrisse, quae dioptris melioribus servatis, <lb></lb>sed cum hyperbola ab optimis artificibus inutilis inventa sit, <lb></lb>quod sit impossibile figuram illam in vitris inducere et observare qua <lb></lb>lineam invenire potuisti? </s><s>Ellipsis enim etiam suas patitur <lb></lb>difficultates ut ad singuli nolentes volentes reddant. </s><s><lb></lb>Indices expectamus D. Des Cartes de Hollandia cum sua nova <lb></lb>philosophia, quae tipis Amsterodamicis : si demonstrata sit <lb></lb>in primis exemplar tibi comparandum. </s><s>Illius dudum Dioptricam et Geo<lb></lb>metriam vidisti: ex ungue leonem. </s><s>Dubito num scripserim ad te re<lb></lb>pertum apud nos agrimensorem, qui in minimis terminis reperit qua<lb></lb>draturam circuli Archimedea iustiorem, nempe circulum inscriptum esse <lb></lb>ad quadratum inscrisptum ut 10. ad 9: quod quidem ad verum adeo <pb pagenum="197"></pb>arridet ut longe sit exactior quam 22. ad 7. Sed et ipse verum exactè <lb></lb>credit se demonstrasse cum tamen Robervallus contendat polygonum <lb></lb>97 laterum circumscriptum esse minorem paulò, quàm ille cir<lb></lb>culum; quippe quem paulo maiorem circulo quaesito, ra<lb></lb>tionem 10 ad 9 cum quadrato inscripto, faciat. </s></p> <p type="main"> <s>Cum autem charta supersit ne de brevitate conqueraris accipe me<lb></lb>thodum reperiendi protinus numeri qui iussas partes aliquotas habeat. </s><s><lb></lb>Quaeris verbigratia quis sit numerus habens 59 partes aliquotas, adde <lb></lb>1. fiunt 60. sume partes eius componentes 2, 2, 3, 5, quae se multipli<lb></lb>cantes faciunt 60; et ex unoquoque aufer unitatem, supersunt 1, 1, 2, 4, <lb></lb>quorum potestates minimae analogae 9, 16, 7, 5, non solum tribuunt <lb></lb>numerum quaesitum, putà 5040, partes 59, aliquotas habentem, sed <lb></lb>etiam ex infinitis eundem numerum partium habentibus omnium mi<lb></lb>nimum, et ita de reliquis numeris. </s><s>In praefatione mea ad hydraulica <lb></lb>numeros habes, quorum partes aliquotae sunt vel centenarius; vel <lb></lb>millenarius vel millia partium. </s><s>Mirabilis est D. Fermatius in numericis <lb></lb>problematibus solvendis. </s><s>Est et regula, quâ dicto citius cognoscatur <lb></lb>quot partes aliquotas habeat numerus datus; vel etiam quam omnes <lb></lb>illius partes aliquotae summam efficiant, etiam si partes illae nescian<lb></lb>tur. </s><s>Doleo quod ne dum regula inventa sit quâ aeque facile reperiatur <lb></lb>℞ <expan abbr="q.">que</expan> vel Cubica dati uumeri, at data Radix efficit sua Quad. </s><s>vel Cubum <lb></lb>ratio difficilior; sed forte superabitur aliquando diffi<lb></lb>cultas. </s></p> <p type="main"> <s>Haec sunt in praesentiarum, Vir Clarissime, quibus laborem illum <lb></lb>improbum tantisper levare velim, quem in vitris expoliendis, utinam, <lb></lb>eâ qua cupis, felicitate, insumis: faxit Deus Op. </s><s>Max. </s><s>ut tota vale<lb></lb>tudine fruaris dum fuero tui obsequentissimus Mersennus. <lb></lb>24 Iunij anni 1644. statim atque tuas accepi.</s></p> <p type="main"> <s>Dubitat noster Robervallus an mechanicê tantum centra gravitatis <lb></lb>Cycloidis aut si vis Trochoidis, inveneris, quae Geometricè falsa suspi<lb></lb>catur, docebis num istius rei demonstrationem habeas. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="italics"></emph>A tergo verò:<emph.end type="italics"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Clarissimo, Doctissimoque Viro Domino Toricello. <lb></lb> Florentiam.</s></p> <pb pagenum="198"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>85<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> TORRICELLI a [MICHELANGELO RICCI <lb></lb>in Roma].<lb></lb>[Firenze, 28 giugno 1644].<lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>(Bìbl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s> <s><foreign lang="it">Galileiani, Discepoli, T. XL, c. 116-118 — Copia del tempo. </foreign></s> <s><lb></lb>Le figure dalla Prefazione di [Tommaso Buonaventuri] alle <emph type="italics"></emph>Lezioni Accademiche<emph.end type="italics"></emph.end> di <lb></lb>Evangelista Torricelli, Firenze 1715 per Iacopo Guiducci e Santi Franchi). </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">L'originale di questa lettera era presso al Ricci in Roma nel gennaio 1662: V. LET<lb></lb>TERA AI FILALETI DI TIMAURO ANTIATE. [Carlo Dati] Firenze 1663, pag. 24. <emph type="italics"></emph>Inventario <lb></lb>di scritture,<emph.end type="italics"></emph.end> ecc:, N. XXIII. — Il brano: “ <emph type="italics"></emph>Quanto alla prima io rispondo . . . . <lb></lb>. . . . Applichi V. S. che io non staro a tediarla di più.<emph.end type="italics"></emph.end> ” fu mandato da <lb></lb>M. A. Ricci per mezzo di Francesco Du Verdus al P. Marino Mersenne in Francia: <lb></lb>V. N. 92 e 93 del presente vol. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Tale copia è probabilmente quella che trovasi nella <lb></lb>Biblioteca Nazionale di Parigi, Fond. </foreign></s> <s>latin, nouv. <expan abbr="acq.">acque</expan> vol. 2338, f.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> 45: sans date. <lb></lb><emph type="italics"></emph>Extrait de deux lettres de Torricelli a M.r Ricci, copies faites en France avec dessins <lb></lb>du baromètre. </s><s>Extrait d'une autre lettre du mesme au mesme sur le mesme sujet.<emph.end type="italics"></emph.end><gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Non mi sono ignote le prerogative sublimi et li meriti <lb></lb>grandi dell'Ill.mo Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> Cav.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> Del Pozzo vero possessore e <lb></lb>protettore della Virtù e dei Virtuosi. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Piacesse a Dio che <lb></lb>io come semplice amatore della Virtù havessi potuto go<lb></lb>dere i benefizi della sua potente protezzione in tempore <lb></lb>opportuno che n'haverei potuto sperare con ragione altri <lb></lb>avanzamenti che dal povero D. Benedetto che sia in Cielo. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Quanto al servirlo di vetri, non è possibile perchè non <lb></lb>ne ho, e non è possibile che lavori fino all'ottobre pros<lb></lb>simo quando havrò finito la mia tediosissima stampa del <lb></lb>libretto, che mi tormenta dieci volte più che non fece la <lb></lb>prima invenzione, e composizione di esso. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Oltre che du<lb></lb>rante il caldo non si può durar tanta fatica, et io fo ogni <lb></lb>cosa da per me non volendo aiuto, o servitù in questo <lb></lb>negozio. </foreign></s> <s>Son passati delli Oltramontani che m'hanno sup<lb></lb>plicato et offerto di molte doppie e Dio sa se le haverei <lb></lb>prese volentieri, e non ho avuto da servirli. </s> <s><foreign lang="it">Lavorai poche <lb></lb>settimane, cioè tutta la quaresima, e quindici giorni di <lb></lb>carnevale; feci circa a quattro o vero cinque vetri perfetti <lb></lb>che gli ha il Gran Duca, e parte i Principi, et alcun'altro <lb></lb>ne ho dato ad altri Padroni, e due ne ho io che non son <pb pagenum="199"></pb>cosa da stare ai paragoni come io desidererei, quando io <lb></lb>abbia vita, e tempo, e materia haverò memoria a cenni <lb></lb>che ora mi dà V. S. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Intanto tengo per superfluo rispondere alle sue tre <lb></lb>obiezzioni intorno alla mia fantasia della resistenza appa<lb></lb>rente nel far il vacuo, perchè spero che a lei medesima <lb></lb>saranno sovvenute le soluzioni, dopo scritta la lettera. </foreign></s> <s><lb></lb>Quanto alla prima io rispondo. </s> <s><foreign lang="it">Se V. S. induce la lamina <lb></lb>saldata che copra la superficie della catinella, la induce <lb></lb>di maniera che ella tocchi l'argento vivo della catinella, <lb></lb>che quello innalzato nel collo del vaso resterà come prima <lb></lb>sollevato non per il peso della sfera aerea, ma perchè <lb></lb>quello della catinella non potrà dar luogo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Se poi V. S. <lb></lb>indurrà quella lamina si chè ella pigli dentro anche del<lb></lb>l'aria, io domando se quell'aria serrata dentro, V. S. vuole <lb></lb>che sia nel medesimo grado di condensazione che l'esterna, <lb></lb>et in questo caso l'argento vivo si sosterrà come prima, <lb></lb>(per l'esempio che darò adesso della lana) ma se l'aria <lb></lb>che V. S. include sarà più rarefatta dell'esterna, all'hora il <lb></lb>il metallo sollevato descenderà alquanto; se poi fusse <lb></lb>infinitamente rarefatta, cioè vacuo, all'hora il metallo de<lb></lb>scenderebbe tutto purchè lo spazio ser<lb></lb> <arrow.to.target n="fig571"></arrow.to.target><lb></lb>rato lo potesse capire. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Il vaso ABCD è <lb></lb>un cilindro pieno di lana, overo d'altra <lb></lb>materia compressibile (diciamo d'aria) il <lb></lb>qual vaso ha due fondi BC stabile, et AD <lb></lb>mobile, e che si adatti, e sia AD caricato <lb></lb>sopra dal piombo E che pesi 10000000 <lb></lb>libbre. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Credo che V. S. intenderà quanta <lb></lb>violenza sia per sentire il fondo BC. Hora <lb></lb>se noi spingeremo a forza con piano, o <lb></lb>ferro tagliente FG si che entri e tagli la <lb></lb>lana compressa, io dico che se la lana <lb></lb>FBCG sarà compressa come prima, an<lb></lb>corche il fondo BC non senta più nulla <lb></lb>del peso sopraposto dal piombo E in ogni <lb></lb>modo patirà il medesimo che pativa pri<lb></lb>ma. </foreign></s> <s>Applichi V. S. che io non starò a tediarla più. </s><s>Quanto <lb></lb>alla seconda. </s> <s><foreign lang="it">Fu una volta un filosofo che vedendo la can- <pb pagenum="200"></pb>nella messa alla botte da un servitore lo bravò con dire <lb></lb>che il vino non sarebbe mai venuto, perchè natura de' gravi <lb></lb>è di premere in giù e non horizontalmente, e dalle bande; <lb></lb>ma il servitore fece toccarli con mano, che se bene i liquidi <lb></lb>gravitano per natura in giù in ogni modo spingono, e schiz<lb></lb>zano per tutti i versi anco all'insù, purchè trovino luoghi <lb></lb>dove arrivare, cioè luoghi, che resistano con forza minore <lb></lb>della forza di essi liquidi. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Infonda V. S. un boccale tutto nel<lb></lb>l'acqua, colla bocca all'ingiù, poi li buchi il fondo, si che <lb></lb>l'aria possa uscire, vedrà con che impeto l'acqua si muove <lb></lb>di sotto all'in su per riemperlo. </foreign></s> <s>V. S. applichi da se, che <lb></lb>non la tedierò più. </s><s>La terza obiezzione non mi par troppo <lb></lb>a proposito, certo è che è meno valida dell'altre, ancor<lb></lb>che essendo presa dalla Geometria paia più gagliarda di <lb></lb>tutte. </s> <s><foreign lang="it">Che un corpo posto nell'acqua contrasti solo con <lb></lb>tanta mole d'acqua quanta è la <lb></lb> <arrow.to.target n="fig572"></arrow.to.target><lb></lb>mole sua, è vero; ma il me<lb></lb>tallo sostenuto in quel collo di <lb></lb>vaso, non mi pare che si possa <lb></lb>dire ne immerso in acqua ne in <lb></lb>aria, ne in vetro, ne in vacuo; so<lb></lb>lamente si può dire che egli è un <lb></lb>corpo fluido, e libratile, una super<lb></lb>ficie del quale confina col vacuo, <lb></lb>o quasi vacuo, che non gravita <lb></lb>punto; l'altra superficie confina <lb></lb>con aria premuta da tante miglia <lb></lb>d'aria ammassata, e però quella <lb></lb>superficie non premuta punto, a<lb></lb>scende scacciata da quell'altra, et <lb></lb>ascende tanto, fin che il peso del <lb></lb>metallo sollevato arrivi ad aggua<lb></lb>gliare il peso dell'aria premente <lb></lb>dall'altra parte. </foreign></s> <s><foreign lang="it">V. S. immagini il <lb></lb>vaso A col tubo BCD congiunto <lb></lb>et aperto in D, come sta dipinto, <lb></lb>e sia il vaso A pieno d'argento <lb></lb>vivo; certo è che il metallo salirà nel tubo fino al suo <lb></lb>livello E, ma se immergerò detto strumento nell'acqua fino <pb pagenum="201"></pb>al segno F, l'argento vivo non salirà fino ad F ma solo <lb></lb>tanto fino che l'altezza del livello nel tubo avanzi il livello <lb></lb>del vaso EA della quattordicesima parte in circa dell'al<lb></lb>tezza, che haverà l'acqua F sopra il livello del vaso A; e <lb></lb>questo V.S. l'habbia per certo, come se havesse fatto l'espe<lb></lb>rienza. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Hora quì si vede che si può dar caso, che l'acqua F <lb></lb>sia alta quattordici braccia, et il metallo nel tubo ED sia <lb></lb>alto un braccio solo; dunque quel braccio solo di metallo <lb></lb>non contrasta con altrettanta acqua, ma con tutta l'al<lb></lb>tezza d'acqua, che è tra A et F; et in questi casi ella <lb></lb>sa, che non si guarda alle larghezze, e grossezze dei solidi, <lb></lb>ma solo alli perpendicoli, et alle gravità in specie, e non <lb></lb>ai pesi assoluti. </foreign></s> <s>Ma ho forsi detto troppo, se potessi par<lb></lb>larle forsi ella resterebbe appagata meglio. </s><s>Io l'assicuro, <lb></lb>che se le sovviene altro ella da se medesima potrà sciorre <lb></lb>ogni difficultà; perchè quà se ne sono pensate molte, e <lb></lb>tutte si sciolgono. </s><s>Sia come si voglia. </s> <s><foreign lang="it">Io viddi la sua <lb></lb>bellissima dimostrazione dell'hiperbole simili nate nel Co<lb></lb>noide hiperbolico, e l'ammirai come ingegnosa e compen<lb></lb>diosa, veramente degnissima del suo ingegno. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Vedrò vo<lb></lb>lentieri quella che Ella accenna cioè che in qualunque <lb></lb>sezzione conica sarà adattata una retta AB che non seghi <lb></lb>l'asse dentro la sezzione, il solido che dalla figura AB si <lb></lb>descrive sia sempre uguale ad una tale sferoide. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ella deve <lb></lb>sapere che io l'ho dimostrato fra le mie bagattelle, non<lb></lb>dimeno mi sarà carissimo il vedere se ella cammina per <lb></lb>le medesime o per diverse vie e per quali quanto al <lb></lb>solido. </foreign></s> </p> <pb pagenum="202"></pb> <figure id="fig571"></figure> <figure id="fig572"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>86<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> TORRICELLI a MARINO MERSENNE <lb></lb>in Parigi.<lb></lb>[Firenze, . . . . luglio 1644].<lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XL, c. 50-51 — Copia di L. Serenai). </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Questa lettera è una risposta all'ultima del Mersenne qui pubblicata al N. 84, come <lb></lb>è notato nel medesimo codice “ Discepoli di Galileo, T. XL ” a c. 50 sul margine <lb></lb>laterale interno, ove si legge: <emph type="italics"></emph>In risp a di una de' 24 Giugno 1644.<emph.end type="italics"></emph.end> Una bozza <lb></lb>originale di essa era nelle mani di L. Serenai nel gennaio del 1662. (V. Stru<lb></lb>mento di recognizione ecc. a pag. 5, N. III del presente vol.).<gap desc="/SM"></gap></foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Doctissimo celeberrimoque Viro M. M. Torricel<lb></lb>lius f. </s><s>p. </s></p> <p type="main"> <s>Heri ad me delatae fuerunt litterae tuae Vir ornatiss<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>ideoque intra paucas horas horas (<emph type="italics"></emph>sic<emph.end type="italics"></emph.end>) has Propositiunculas <lb></lb>quas nunc mitto composui.... Constitueram demonstra<lb></lb>tiones de centro gravitatis cycloidis, semicycloidisque, <lb></lb>quas in mente tantum . . . . nulli per aliquot . . . . com<lb></lb>munis facere; attamen victus alteram earum mitto, nempe <lb></lb>cycloidis, sileo alteram cum ex ea pendeat demonstratio <lb></lb>solidi circa axem, victus autem tunc fui, quando in illa <lb></lb>verba incidi <emph type="italics"></emph>Dubitat Robervallius noster Geometrice ne an <lb></lb>aliqua mechanica ratione demonstrationes habeas de centro <lb></lb>grav.<emph.end type="italics"></emph.end> Quo ad centrum gravit. </s><s>Solid. </s><s>Cycloidalium nihil <lb></lb>scio nihilque spero unquam, adeo puncta illa meo iudicio <lb></lb>in abdito latent. </s><s>Primum folium novi operis mechanici <lb></lb>perlegi, legendumque dedi doctis viris amicis meis, dabo<lb></lb>que Cl. </s><s>Donio quam primum rure redierit in Urbem. </s><s><lb></lb>Interea satis mirari nequeo solertem industriam, et inex<lb></lb>plicabilem scientiae cupiditatem tuam Vir Clarissime, <lb></lb>qui post tot et tam varia iucunda scitu, et utilia experi<lb></lb>menta, etiam soni celeritatem mensus es. </s><s>De duratione <pb pagenum="203"></pb>proiectionum, quae missilibus fiunt oculorum sensui su<lb></lb>biectis, ego pauca quaedam demonstraveram ut videre <lb></lb>erit in libris de motu in impressis, et mox edendis; sed <lb></lb>de fragore nihil unquam cogitare potuissem in quantumvis <lb></lb>longa studijsque addicta aetate. </s><s>Clar. </s><s>Donius, quem iam <lb></lb>certum feceram de proxima peregrinatione tua in Italiam, <lb></lb>avidissime expectabat adventum tam docti, insignisque <lb></lb>viri. </s><s>Plura continet epistola tua, quibus responsum exa<lb></lb>ctius dare non possum antequam optimus interpres advenit <lb></lb>Donius noster. </s><s>Problema pulcherrimum de inueniendo <lb></lb>numero, qui quotcunque partes habeat aliquotas, proponi <lb></lb>tantùm vidi, reliqua nondum intellexi, cuiusnam inventio <lb></lb>sit, et qua ratione Problema solvatur. </s><s>Santinium verò, <lb></lb>caveat quis ne inter amicos meos numeret, impostorem <lb></lb>enim neque inter proximos eum volo. </s><s>Non monet me <lb></lb>quod ipse librum adhuc manuscriptum mihi aliisque non <lb></lb>communicaverit. </s><s>Transeat hoc. </s><s>Sed etiam post editio<lb></lb>nem peximi (<emph type="italics"></emph>sic<emph.end type="italics"></emph.end>) libri, monitus ab amicis, et certior factus <lb></lb>de veritate, acriter respondit se scire quod non erraverit, <lb></lb>immo et si quis contra scribat, responsurum. </s><s>Error est <lb></lb>in intellectu. </s><s>Quid facias illi? </s><s>iubeas miserum esse libenter. </s><s><lb></lb>Interim sis ipse felix diuque multumque. </s></p> <p type="main"> <s>Scriptionis genus fortasse . . . . . . . . . erit, attamen <lb></lb>facile intelligetur à max. </s><s>Geom. </s><s>quibus tantùm haec scribo. </s><s><lb></lb>Caeterum Author orat celeberrimum virum Mersennum <lb></lb>ut hanc scripturam Geometris conferat quam plurimis <lb></lb>fieri poterit, ne quis in eam incidat, et intra paucos <lb></lb>menses usurpet, praesertim cum rationem demonstrandi <lb></lb>contineat quae si universaliter proponatur, veluti proponi <lb></lb>posset, nihil universalius habeat Geometria. </s></p> <pb pagenum="204"></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>87<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> TORRICELLI a RAFFAELLO MAGIOTTI <lb></lb>in Roma.<lb></lb>[Firenze, . . . . luglio 1644].<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Autografo posseduto dal Sig. Cav. </foreign></s> <s>Dottor Carlo Piancastelli di Fusignano).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Molt'Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> e M. R.<emph type="sup"></emph>do<emph.end type="sup"></emph.end> S.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> P.ron Col.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Insomma V. S. è Profeta: piaccia a Dio che gli suc<lb></lb>ceda l'indovinar così, ciò che ella havrà hora nel pensiero, <lb></lb>et il mondo nel desiderio per benefizio del Christianesimo, <lb></lb>e per sollevam.<emph type="sup"></emph>to<emph.end type="sup"></emph.end> della Virtù. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Subito ricevuta la lettera <lb></lb>di V. S. che m'avvisava ch'io mi guardassi da quello Aes <lb></lb>sonans, ecco uno scartafaccio di quattro facciate, scritto <lb></lb>di maniera, che Plauto l'haverebbe giudicato non di Gal<lb></lb>line, ma' di Porci . Bisogna nondimeno mostrar di farne <lb></lb>conto per più rispetti, et in particolare (se non voglio <lb></lb>star sempre nella miseria in che stò hora) conviene che <lb></lb>anco con la benevolenza procuri d'acquistar qualche aura. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Mi manda il p.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> foglio d'una Opera di Mecanica Teorica <lb></lb>et Pratica. </foreign></s> <s>Tra varie esperienze, che sono contrarie alle <lb></lb>mie dimostraz.<emph type="sup"></emph>ni<emph.end type="sup"></emph.end> circa i Proietti, ne pone una specolaz.<emph type="sup"></emph>ne<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>mirabile. </s> <s><foreign lang="it">Quando l'Angelo di Dio suonerà la tromba <lb></lb>l'ult.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> giorno del mondo per chiamar i morti al Giudizio <lb></lb>quanto tempo crede V. S. che metterà quel suono a dif<lb></lb>fondersi per tutto, e circondar la terra? </foreign></s> <s>già V. S. sà che <lb></lb>il suono non cammina istantaneam.<emph type="sup"></emph>te<emph.end type="sup"></emph.end> ma con tempo, hora <lb></lb>egli hà calcolato che in quattro hore si spargerà per <lb></lb>tutta la terra. </s><s>Bisognerebbe hora domandargli dove si <lb></lb>poserà l'angelo a' suonare. </s><s>Talia enim sciat, qui multa <lb></lb>vult scire, oportet. </s> <s><foreign lang="it">Mando inclusa la dimostrazione del <lb></lb>centro di gravità della cicloide, e già che vi havevo den<lb></lb>tro le mani anco del solido circa basim, la mando, perchè <pb pagenum="205"></pb>dubitat Robervallius che io non habbia fatto qualche <lb></lb>dimostrazione Santiniana intorno a questi centri di gra<lb></lb>vità, che à sua signoria sono parsi imperscrutabili. </foreign></s> <s>Havrei <lb></lb>caro, che ne restasse copia in Roma, e che la vedessero <lb></lb>più testimoni che sia possibile per ogni buon rispetto. </s><s><lb></lb>Spero che l'ingegno esquisito di V. S. non ne havrà <lb></lb>disgusto; almeno vedrà una specolazione che n'havrà <lb></lb>pochi esempij. </s> <s><foreign lang="it">Non sò se io gli scrissi che il P. Rinieri <lb></lb>Mat.<emph type="sup"></emph>co<emph.end type="sup"></emph.end> di Pisa comparve, et è anco qui, amicissimo mio. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Furono fatti i paragoni in più sessioni avanti questi Ill.<emph type="sup"></emph>mi<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>ma con poca accuratezza si trovarono differenze notabili, <lb></lb>i vetri però erano assai buoni, et egli ha speranze grandi. </foreign></s> <s><lb></lb>Non vedo l'hora che venga la stagion che non si suda; <lb></lb>acciò i miei padroni anco assenti possino haver certezza, <lb></lb>che non è favola, mà verità che io lavoro di vetro con <lb></lb>qualche industria. </s> <s><foreign lang="it">In questo tempo la sospensione di Roma <lb></lb>non vorebbe lettere troppo lunghe; particolarmente non <lb></lb>si converebbero con V. S. che hà cagione di star sospesa <lb></lb>più d'ogn'altro, poi che hoggidi non bastano i meriti, <lb></lb>e la Virtù per la suprema esaltazione, nondimeno nella <lb></lb>Casa che ella serve, par che concorrano tante, e si grandi <lb></lb>prerogative, che i popoli concordemente gli augurano <lb></lb>Regni, e corone, et io anche le spero, e ne prego Dio <lb></lb>per vedere una volta premiata la Virtù nella persona <lb></lb>tanto conspicua del mirabile S.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> Raf.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> Magiotti. <lb></lb> Di V. S. M. Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> e M. R.<emph type="sup"></emph>do<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>Devm.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> et Obbl.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> S.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb> Evangelista Torricelli</foreign></s> </p> <pb pagenum="206"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>88<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> MICHELANGELO RICCI a [TORRICELLI <lb></lb>in Firenze].<lb></lb>Roma, 2 luglio 1644.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLII, c. 28-32 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>M.to Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end>, e M.to Ecc.<emph type="sup"></emph>te<emph.end type="sup"></emph.end> Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> Oss.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">È stata troppo indiscretezza la mia (et ora me ne avveggio) nel <lb></lb>fatigare la cortesia di V. S. con tante interrogazioni, et obbiezioni <lb></lb>anco per avventura poco a proposito. </foreign></s> <s>Sarà però tanto maggiore l'ob<lb></lb>bligo, che gliene conserverò nell'animo, siccome procurerò di mostrare <lb></lb>alle occasioni, che verranno di suo servizio. </s> <s><foreign lang="it">Sono quasi affatto rimasto <lb></lb>quietato nelle difficoltà intorno l'opinione di V. S: et quel poco di <lb></lb>dubbio, che mi resta, procede solo dal non avere io potuto considerare <lb></lb>la sua gentilissima lettera per mancamento di tempo, et per debo<lb></lb>lezza di talento in simili materie. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ne rendo a V. S: quelle grazie, che <lb></lb>so, e posso maggiori sì di questo, come della proposizione, che pensa <lb></lb>d'inviarmi per mezzo del Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Nardi, la quale mi sarà oltre modo <lb></lb>cara, et la terrò appresso di me con quella riserva, alla quale mi pos<lb></lb>sono obbligare i cenni di V. S:, et altri rispetti, che me le fanno ob<lb></lb>bligatissimo servitore. </foreign></s> <s>La mia considerazione intorno li frusti de' so<lb></lb>lidi parabolici iperbolici segati con due piani paralleli è tale. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Sia il frustro AKBCD, et in esso <lb></lb> <arrow.to.target n="fig573"></arrow.to.target><lb></lb>intendasi il frustro conico, ovvero di <lb></lb>porzion conica ABCD; il loro asse HE <lb></lb>sia diviso nel mezzo dall'applicata KL, <lb></lb>che divida BA in G, HE in I; et la MI <lb></lb>sia differenza delle rette AE, GI. Dico il <lb></lb>frusto AKBCD al suo cono iscritto AHD <lb></lb>essere in proporzione di due quadrati <lb></lb>KI et un quadrato GI col quadrato MI <lb></lb>al quadrato AE. Sia il quadrato di F <lb></lb>medio proporzionale tra li quadrati AE, BH. Et perchè il frusto AKBCD <lb></lb>toltone il frusto ABCD al cono AHD sta come due rettangoli KGI al <lb></lb>quadrato AE; et il frusto ABCD al cono medesimo come li tre qua<lb></lb>drati AE, F, BH al medesimo quadrato AE; dunque tutto il frusto <lb></lb>AKBCD al cono AHD è come due rettangoli KGL con li quadrati AE, <lb></lb>F, BH al quadrato AE. Ora per ridurli alli termini detti nella propo<lb></lb>sizione: facciasi NE, OE uguali alle rette GI, BH. Saranno gli eccessi <lb></lb>AN, NO uguali, et perciò li quadrati AE, OE assieme uguali a due qua- <pb pagenum="207"></pb>drati NE, et due quadrati NA per la 10<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> del 2<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end>. Inoltre, sendo li qua<lb></lb>drati AF, F, BH proporzionali, saranno anche i lati, et il quadrato <lb></lb>della media F uguale al rettangolo AEO, giontovi uno de' quadrati <lb></lb>NA, ovvero NONA, ovvero NO, doventerà eguale al quadrato NE. <lb></lb>Sicchè ridotti sono li tre quadrati AE, F, BH a tre quadrati NE, et <lb></lb>uno AN, ovvero MI; et congiunti con li due rettangoli KGL averemo <lb></lb>due quadrati KI un quadrato GI, et uno MI (in luogo di due rettan<lb></lb>goli KGL, et li tre AE, F, BH quadrati) al quadrato AE in propor<lb></lb>zione medesima, che il frusto AKBCD al cono AHD. Quod proponebatur. </foreign></s> </p> <figure id="fig573"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Che il residuo del frusto AKBCD, toltone il frusto conico sia verso <lb></lb>il cono AHD come due rettangoli KGL al quadrato AE, lo suppongo <lb></lb>dimostrato da V. S: molto egregiamente, et la maniera mia poco varia, <lb></lb>avendolo io dimostrato eguale al quì descritto cilindro intorno l'asse <lb></lb>istesso del frusto, et che il suo quadrato TI sia eguale al rettangolo <lb></lb>KGL al cilindro dico toltone li coni PIQ, RIS et mi vaglio della me<lb></lb>desima proporzione presa dai conici. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Che poi il frusto ABCD al cono <lb></lb>AHD stia come quei tre quadrati al quadrato AE, il raccolgo da una <lb></lb>proposizione mia altre volte accennata a V. S:, che un tal frusto sia <lb></lb>eguale a tre coni con l'altezza HE, et sopra i cerchi descritti dagl'in<lb></lb>tervalli AE, F, BH. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Da un pezzo in quà applico molto poco agli studi. </s><s>Questi giorni <lb></lb>addietro feci un poco di specolazione intorno la superficie, che dicono <lb></lb>degli anelli, et mi venne dimostrata la seguente proposizione. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Sia il cerchio ABCD, il cui centro F, et <lb></lb> <arrow.to.target n="fig574"></arrow.to.target><lb></lb>li suoi assi AC, BD. Si tiri all'AC prolun<lb></lb>gato la perpendicolare HE intorno la quale <lb></lb>sia rivoltato il cerchio. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Dico che la super<lb></lb>ficie di quel solido nato dal cerchio così <lb></lb>rivolto alla superficie della sfera descritta <lb></lb>dal medesimo cerchio, avrà la proporzione <lb></lb>della circonferenza d'un cerchio descritto coll'intervallo FE al diametro <lb></lb>BD. Con che fine umilmente la riverisco, et le chieggio perdono della <lb></lb>noia, et tedio, che le do continuamente. </foreign></s> <s><lb></lb>Roma li 2 Luglio <emph type="italics"></emph>1644.<emph.end type="italics"></emph.end></s></p> <figure id="fig574"></figure> <p type="main"> <s>Comunicherò un giorno di questa settimana, che viene la lettera <lb></lb>di V. S: al Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Cav. </s><s>del Pozzo, perchè se ne compiace assai . <lb></lb> Michelangelo Ricci</s></p> <pb pagenum="208"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>89<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> FRANCESCO DU VERDUS a TORRICELLI <lb></lb>in Firenze.<lb></lb>Roma, 2 luglio 1644.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLI, c. 95-96 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Molto Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> Padron mio Colend.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Hò ricevuto le Tavole dell'Argoli che V. S. ha voluto restar servita <lb></lb>di mandarmi, e sebbene io hò tardato molto à rendergli le debite <lb></lb>grazie della prontissima sua cortesia, della quale mi favorì in cercarle <lb></lb>e darmene avviso; non ne è stata cagione la mia pigrizia, perchè ri<lb></lb>trovandomi in campagna in quell'istesso tempo che giunse quà il <lb></lb>Procaccio, vi restai ancora alcuni giorni dopo, e il mio tornare in <lb></lb>Roma fù più presto finire un viaggio, che venire da spasso. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ora che <lb></lb>avendo goduto le delizie et il fresco dell'acqua di Caprarola, e di Ba<lb></lb>gnaia, l'obbligazione di stare in Roma mi condanna alla pena del suo <lb></lb>fuoco finiti i diletti de sensi miei, cercherò le vere sodisfazioni dell'a<lb></lb>nimo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">V. S. mi favorirà, e ne la supplico con affetto di credere che il <lb></lb>gusto grandissimo che io trovo nello studiar le sue lettere, passa di <lb></lb>gran lunga tutti gli altri, perchè oltre quell'utile che ne ricevo, im<lb></lb>parando ogni volta qualche singolar proposizione, godo ancora i favori <lb></lb>della sua gentilezza, avendo lei congiunto à parole cortesissime la <lb></lb>sublimità de' concetti, et alle bellezze de' fiori dell'eloquenza, le ric<lb></lb>chezze de' frutti della dottrina. </foreign></s> <s><foreign lang="it">V. S. mi dice d'aver letto con gusto <lb></lb>la dimostrazione ch'io le mandai del Sig. Robervallio, et io mi mera<lb></lb>viglio che lei abbia dato il nome di dimostrazione à non sò che ch'io <lb></lb>le scrissi ma così in fretta che non ebbi nè pure il tempo necessario <lb></lb>per mettere de' punti e delle come, alla mia lettera non dubito punto <lb></lb>che lei non esplicasse delle cifere più difficili assai di quelle di Tritemio <lb></lb>avendo disinvolta la confusione dell'espressione mia, e conceputo i <lb></lb>sensi del Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Robervallio esplicatigli, anzi implicatigli dall'oscurità <lb></lb>d'un tale interprete. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Quanto poi tocca alle sue dimostrazioni per le <lb></lb>tangenti, non mi maraviglio che detto Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> abbia auto pensieri con<lb></lb>formi à quelli di V. S. perche molte altre volte li è occorso di dimo<lb></lb>strare invenzioni di matematica due anni e più ancora dopo essere <lb></lb>state dimostrate da altri Signori, e così gli sono state attribuite da <lb></lb>molti delle proposizioni de' segni fermate dal Cartes e numerate le <lb></lb>ricchezze altrui nella nota de' beni suoi, de' quali egli è abbondan<lb></lb>tissimo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Così quella di V. S. intorno alle sezioni coniche è l'istessa <lb></lb>appunto con la sua, anzi da questo se ne potrà cavare argumento della <pb pagenum="209"></pb>fretta con la quale mi trovavo obligato l'ultima volta di scriverli che <lb></lb>io scordai di dirgli che s'accordava la dimostrazione cavata da quei <lb></lb>moti compositi con le dimostrazioni d'Apollonio, che quei moti io li <lb></lb>avevo esaminati dalle descrizioni che ne fa il Sig. Mydorgio, e che <lb></lb>così si accordano le Tangenti delle Spirali con le dimostrazioni di <lb></lb>Archimede. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Glele potrei dire se . . . avanzasse il tempo da pensarvi, <lb></lb>ma oltre che la cosa è una bagatella, mi farebbe forse scordare la <lb></lb>supplica che i' hò da farli per parte del Padre Niceron, resti servita <lb></lb>di dirmi quale fu quell'esperimento Physico che fece poco fà radunare <lb></lb>dinanzi all'Altezza Ser.<emph type="sup"></emph>ma<emph.end type="sup"></emph.end> del Gran Duca una mano di virtuosi a' quali <lb></lb>lei presedeva per dirglene i lor pareri. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Sono obligato poi à dirle che io aspettavo li suoi ordini per pa<lb></lb>garla della doppia che hà pagata per me al Libraio, e che non avendoli <lb></lb>ricevuti io son andato dal Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Ricci per informarmi se io avevo da <lb></lb>metterla dentro à questa lettera, ma il non averlo trovato in Casa fà <lb></lb>che io ne differirò il pagamento fin che il detto signore mi abbia data <lb></lb>quella notizia della Posta di Fiorenza. </foreign></s> <s>Intanto le bacio humilissima<lb></lb>mente le mani, e la reverisco di tutto l'affetto. </s><s><lb></lb>Di Roma alli 2.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> di Luglio 1644.<lb></lb> Di Vosignoria <lb></lb>Divotiss.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> et Obbedient.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Servitore<lb></lb> Franc.<emph type="sup"></emph>co<emph.end type="sup"></emph.end> Du Verdus</s></p> <p type="main"> <s>Al molt'Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> Pd.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> mio Colendiss.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Il Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Evangelista Torricelli matematico </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">dell'Altezza Sereniss.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> del Gran Duca </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>in Palazzo Medici </s></p> <pb pagenum="210"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>90<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> FRANCESCO DU VERDUS a [TORRICELLI <lb></lb>in Firenze].<lb></lb>Roma, 9 [luglio] 1644.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLI, c. 89-90 — Copia di L. Serenai).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Molto Illustre Signore Padron mio Colen.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Spiegando una volta Persio nella Satira i suoi sentimenti sopra <lb></lb>l'opinioni del volgo e quel <emph type="italics"></emph>pulchrum digito monstrari et dicier hic est,<emph.end type="italics"></emph.end><lb></lb>mostrò che quel poco di fama non bastava per premio alla virtù, e <lb></lb>che nè manco se le poteva proporre per fine l'acquisto della stima <lb></lb>appo le persone più savie che sanno distinguere fra il vero e il falso, <lb></lb>fra il reale e l'apparente, non che appresso la plebe degli ingegni, <lb></lb>che poteva facilmente esser sedotta dall'apparenze della verità. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="italics"></emph>Sed re . . . . . . extremaque esse recuso euge tuum et Belle, nam <lb></lb>Belle hoc excute totum, quid non intus habet?<emph.end type="italics"></emph.end> Quello che quel valente <lb></lb>huomo fece delle lodi della plebe, l'istesso credo che s'abbi da fare <lb></lb>de suoi vituperi, perchè la ragione ci fà credere, e l'esperienza lo <lb></lb>conferma, che essendosi uno per mezzo dello studio e delle sue medi<lb></lb>tazioni tirato dal numero del volgo, vien al più delle volte ò biasimato <lb></lb>ò poco pregiato, ò che l'invidia li susciti de nimici ò che l'inezia li <lb></lb>facci de Burlatori, e che non essendo i suoi sensi ben noti ad ognuno, <lb></lb>riesca facile à gli invidi di farne credere quel che vogliono da quelli che <lb></lb>nol capiscono. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Così abbiamo visto che è stato ricompensato à quei <lb></lb>che si lasciavano persuadere dalle ragioni naturali il moto della Terra <lb></lb>che loro pativano di vertigine; e così è stato detto di quei che dubi<lb></lb>tavano nel vacuo che loro nol cercassero più, poichè avevano in testa <lb></lb>delle locande: et io non mi maraviglio punto che pochi habbino pre<lb></lb>giato quei virtuosi, poichè anche de filosofi come quel lor Tassoni, e <lb></lb>il nostro Montagne hanno fatto delle invettive contro l'esperienza et <lb></lb>i secreti della medicina e della Chimica, hanno chiamata l'Astrologia <lb></lb>superstizione: che altri huomini dati all'Istoria maestra principale <lb></lb>della vita il nome di novelle di vecchierella; e quello d'invenzione <lb></lb>humana, alla divina prudenza politica tanto necessaria fra le virtû <lb></lb>heroiche, anzi che si trova ogni giorno de Cornelii Agrippa che nu<lb></lb>merano anche la Teologia fra quelle cognizioni delle quali si hà da <lb></lb>dubitare. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma com'io veggo che il comune degli ingegni essendo infe<lb></lb>riore assai alle gran notizie, non ne potrà dire che delli spropositi, e <lb></lb>che per questo bisognerà sempre risolversi à quel <emph type="italics"></emph>fatum contemnere<emph.end type="italics"></emph.end><lb></lb>dal . . . così io mi dò fermamente à credere che quelli che in qualche <pb pagenum="211"></pb>cognizione saranno riusciti valentuomini daranno le debite lodi agli <lb></lb>Inventori di nuove scienze: tirati medesimamente dall'esempio, e dal<lb></lb>l'autorità del più dotto, e più savio Gran principe che sia mai stato <lb></lb>il vero protettore delle Lettere, L'Altezza del Serenissimo Gran Duca <lb></lb>di Toscana Che vedendo bene che gli impedimenti più grandi alle <lb></lb>nuove invenzioni non erano che la pigrizia nel cercarle, e la preoccu<lb></lb>pazione nel ritenere l'antiche, hà voluto che i suoi virtuosi dubitas<lb></lb>sero anco di quelle conclusioni che filosofi del suo secolo avevano <lb></lb>ricevuto dalli antichi; e l'avevano per certissime. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Così il sol di Giu<lb></lb>stizia di Sua Altezza, che non hà voluto far quell'ingiuria al suo secolo <lb></lb>di credere che gli ingegni d'oggidì siano inferiori a quelli del passato, <lb></lb>diede occasione al Galileo di trovare quei gran misteri della natura <lb></lb>ch'egli scoprì, con la facilità e l'acutezza del suo bel genio, e colla <lb></lb>sua industria mirabile nel fare, e nel esplicare le sue sperienze andò <lb></lb>mostrando a' posteri. </foreign></s> <s><foreign lang="it">E così oggi l'Istessa conoscendo i medesimi <lb></lb>talenti in V. S., si deletta di darli l'istesse occupazioni del Galileo, <lb></lb>acciocchè V. S., come nella sua professione gli hà succeduto, così <lb></lb>anche sia l'erede della sua reputazione et uno di <lb></lb> <arrow.to.target n="fig575"></arrow.to.target><lb></lb>quelli de quali habbino profetizato et augurato <lb></lb>che da Fiorenza si aspettavano maraviglie. — Non <lb></lb>intendo di parlare della profondità di scienza di <lb></lb>V. S. negli studi di Geometria perche non s'hà da <lb></lb>comparare l'Archimede di Fiorenza che con quello <lb></lb>di Siracusa. </foreign></s> </p> <figure id="fig575"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Questa lettera le scrivo con occasione d'una <lb></lb>delle sue della quale mi ha fatto partecipe il <lb></lb>Sig. Michelagnol Ricci, e le scrivo per assicurarla <lb></lb>di averla letta con grandissimo mio gusto, e assi<lb></lb>curarla che io non credo che in tal genere si pos<lb></lb>sino vedere più ingegnose speculazioni ne più <lb></lb>profonde coniettute delle sue. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Non li farò dunque <lb></lb>obbiezioni à quello conchiude della gravità del<lb></lb>l'aria, perchè oltre che è molto verisimile la sua <lb></lb>opinione, e s'io non m'inganno tanto vera come <lb></lb>ingegnosissima, io poi non ho tempo da pensare <lb></lb>ad altre cose che allo studio che hò cominciato <lb></lb>poco fà dell'Astronomia. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Però quando io non cre<lb></lb>dessi di tediare V. S. le direi quello che mi in<lb></lb>dusse à credere subito che io ebbi letta la sua <lb></lb>sperienza, sottoponendo però al suo giudizio quella <lb></lb>mia opinione. </foreign></s> <s><foreign lang="it">L'essere io stato in filosofia scolare <lb></lb>de PP. Iesuiti, mi potrebbe impedire di creder il <lb></lb>vacuo, se io avessi giurato in <emph type="italics"></emph>verba magistri,<emph.end type="italics"></emph.end> ma <lb></lb>come io hò visto che le ragioni loro altro non <lb></lb>concludono se non che per forza se si dà il <emph type="italics"></emph>va<lb></lb>cuum,<emph.end type="italics"></emph.end> mi son indotto poi à dubitarne, e tanto più <lb></lb>che io hò visto che le ragioni loro non erano migliori di quelle di <pb pagenum="212"></pb>Lucrezio, quale Scaligero (sopra Manilio) è di parere che si lasci <lb></lb>garrire (dice lui) <emph type="italics"></emph>cum poetis,<emph.end type="italics"></emph.end> e non ragionare con i filosofi. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Anzi che <lb></lb>nell'esperienza di V. S. io credo che nella palla E <emph type="italics"></emph>detur vacuum,<emph.end type="italics"></emph.end><lb></lb>e medesimamente poichè nell'immergere l'estremità C nell'argento <lb></lb>vivo della catinella, il dito che tura il canale C è tutto immerso <lb></lb>nell'argento vivo, acciocchè cavandolo fuora, l'aria non vi possa <lb></lb>entrare, perchè io mi persuado che <emph type="italics"></emph>non datur vacuum<emph.end type="italics"></emph.end> se non sfor<lb></lb>zatamente quando un'agente più forte della resistenza dell'aria (o <lb></lb>CA in questo esempio) ò di qualsisia altro corpo lo forza a cedergli; <lb></lb>e che da questo principio io considero la virtù attrattiva, e motiva <lb></lb>quasi di tutte le cose, non sò se come effetto di quella resistenza, ò <lb></lb>come causa, ò più presto per l'istesso. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Io credei che l'attrazione che <lb></lb>fà l'argento vivo C di quello che stà nella canna AC succhiandolo <lb></lb>per così dire, ritrova la forza dell'aria, che trapassando 'l vetro come <lb></lb>fanno molte altre qualità senza però esser <emph type="italics"></emph>in distans,<emph.end type="italics"></emph.end> perchè in tal <lb></lb>caso si può unire ne'punti A e B, sostiene l'avanzo del <arrow.to.target n="fig576"></arrow.to.target> nel collo <lb></lb>del vaso; ma perchè quella ragione non bastava sola per esplicare i <lb></lb>due casi della sua sperienza de due vasi, credei che si avesse anco da <lb></lb>comparare la gravità del <arrow.to.target n="fig577"></arrow.to.target> con quell'istessa forza dell'aria, di ma<lb></lb>niera che quel succhiare del <arrow.to.target n="fig578"></arrow.to.target> C, avendo mosso in giù il <arrow.to.target n="fig579"></arrow.to.target> conte<lb></lb>nuto in quei due vasi, egli dall'un' e l'altro uscisse fin tanto che la <lb></lb>gravità del resto fusse uguale alla virtù attrattiva e sostenente del<lb></lb>l'aria, e questo esplica l'esperimento del livello AB ne due vasi. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Quanto poi tocca à riempirli d'acqua detti vasi, quando . . . quello <lb></lb>che non fa l'aria io credei ch'era perchè l'aria non poteva farsi un <lb></lb>passaggio per l'argento vivo C, che troppo li resisteva: ma però che <lb></lb>l'acqua benchè men grave vinceva detta resistenza del <arrow.to.target n="fig580"></arrow.to.target>, aiutata <lb></lb>medesimamente al <emph type="italics"></emph>motus impressionis<emph.end type="italics"></emph.end> che se li dà infondendola nel <lb></lb>vaso CD, e che la manco fatica dell'aria in sostenerla, e che l'istessa <lb></lb>virtù attrattiva che prima teneva sospeso il <arrow.to.target n="fig581"></arrow.to.target> insieme con quella <lb></lb>impressione concorrevano à farla succedere, e riempire il vaso CE, <lb></lb>ma quando io dico à V. S. e solo animi gratia oltre che n'è stato <lb></lb>assai subito il pensiero, e che io non hò auto tempo di esaminarlo, io <lb></lb>credo affatto à tutti li suoi pareri. È poi tempo ch'io vada dal Pro<lb></lb>caccio, al quale darò con questa lettera la doppia di Spagna, che V. S. <lb></lb>restò servita di volere spender per me nella Copia di quelle Tavole <lb></lb>dell'Argoli. </foreign></s> <s>Il Procaccio glela renderà franca. </s> <s><foreign lang="it">In tanto lei mi facci <lb></lb>grazia di credere che io le sono obligatissimo di questo, e di tutti gli <lb></lb>altri effetti della sua cortesia. </foreign></s> <s>Cercarò l'occasione di riconoscerla con <lb></lb>miei servi . . . quali la supplico di valersene, poichè l'obbligo e l'in<lb></lb>clinazione vogliono ch'io sia. </s><s>Roma alli 9 . . . . . . . 644. <lb></lb> Di V. S.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>Devotiss<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> et Affezionat<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Servitore<lb></lb> Franc. </s><s>Du Verdus.</s></p> <pb pagenum="213"></pb> <figure id="fig576"></figure> <figure id="fig577"></figure> <figure id="fig578"></figure> <figure id="fig579"></figure> <figure id="fig580"></figure> <figure id="fig581"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>91<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> TORRICELLI a MICHELANGELO RICCI <lb></lb>[in Roma].<lb></lb>Firenze, 10 luglio 1644.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XL, c. 95 — Copia di L. Serenai).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>M.<emph type="sup"></emph>to<emph.end type="sup"></emph.end> Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> P.ron mio Col.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Ho veduto la bellissima dimostrazione mandatami da <lb></lb>V. S. e mi rallegro infinitamente che ella faccia sì bei <lb></lb>progressi. </s><s>Io l'assicuro per quanta notizia io possa havere <lb></lb>degli ingegni almeno d'Italia che ella ha trovato un Teo<lb></lb>rema che non so se alcun altro l'havesse saputo trovare, <lb></lb>e portar poi la dimostrazione così politamente. </s> <s><foreign lang="it">In quanto <lb></lb>a me confesso d'invidiarla anzi che in questa pretendo di <lb></lb>haverci qualche particella dell'invenzione, <lb></lb> <arrow.to.target n="fig582"></arrow.to.target><lb></lb>poichè mi pare d'essere stato il primo a <lb></lb>mostrare che se una linea retta sarà adat<lb></lb>tata in una sezione conica si chè non seghi <lb></lb>l'asse, il solido anellare fatto da quel bilineo <lb></lb>misto sarà eguale ad una sferoide che hab<lb></lb>bia il massimo cerchio eguale alla massima <emph type="italics"></emph>(sic)<emph.end type="italics"></emph.end> del detto <lb></lb>solido, e la medesima altezza. </foreign></s> <s><foreign lang="it">La conclusione del Teorema <lb></lb>di V. S. si potrebbe mandare a' questi professori, che io <lb></lb>non credo la dimostrassero per certo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Io distesi già la di<lb></lb>mostrazione de' solidi cicloidali, ma essendo riuscita lunga <lb></lb>assai non ho ancora ob inertiam, copiata quella del solido <lb></lb>circa basim per mandarla al Sig. Nardi iuxta promissio<lb></lb>nem, e di là à V. S. </foreign></s> </p> <figure id="fig582"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">La supplico a far recapitar l'annessa a Monsu De <lb></lb>Verdus p<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> della posta e la reverisco con infinito ossequio. </foreign></s> <s><lb></lb>Fir.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> 10 Luglio 1644. <lb></lb> Dev.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> e Obblig.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Ser.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb> Evang.<emph type="sup"></emph>ta<emph.end type="sup"></emph.end> Torricelli<lb></lb> Al Sig. Michelang.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> Ricci.</s></p> <pb pagenum="214"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>92<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> MICHELANGELO RICCI a [TORRICELLI <lb></lb>in Firenze].<lb></lb>Roma, 16 luglio 1644.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLII, c. 33-39 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>M.to Ill.re e m.to Ecc.<emph type="sup"></emph>te<emph.end type="sup"></emph.end> Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> e P.ron Oss.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Nello spazio di tre giorni mi sono arrivate due lettere di V. S. a <lb></lb>me, conforme il solito gratissime, in una delle quali ho letto con gran<lb></lb>dissima passione, che 'l libretto di quel nostro amico contenga in se <lb></lb>tanti errori. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Dio sa, se dal principio non me lo avvisai per una pro<lb></lb>posizione, che esso mi partecipò con la sua dimostrazione, alla quale <lb></lb>subitamente opposi, che nulla conchiudeva. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Non diede orecchio allora <lb></lb>al mio dire, et molte settimane doppo si pubblicò il suo libbro, e tra <lb></lb>le altre opposizioni, che egli stesso ne ricevette di Parigi, e di Genova, <lb></lb>una ve ne fu, che quasi era la medesima con la mia. </foreign></s> <s>Questo interviene <lb></lb>giustamente a chi non crede, se non al suo cervello. </s> <s><foreign lang="it">Ma ora v'ha di <lb></lb>peggio, che dalla medesima proposizione, che egli fa io ne deduco in <lb></lb>poche parole tutto il contrario di quello, che pretende, dovecchè allora <lb></lb>io stimavo, e conosceva solo mancar di prova la sua proposizione, ma <lb></lb>non di verità. </foreign></s> <s><foreign lang="it">La proposizione era di applicar una linea tra il dia<lb></lb>metro prodotto, et la periferia convessa d'un cerchio da un punto dato <lb></lb>nel detto cerchio, dalla quale dipende totalmente la sezione dell'angolo, <lb></lb>come V. S. sa meglio di me. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Et perchè posso in due parole sbrigarmi <lb></lb>soggiungerò quì il mio discorso. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Dice egli nel semicer<lb></lb> <arrow.to.target n="fig583"></arrow.to.target><lb></lb>chio ADB sia dato il punto <lb></lb>D, et connesse AD, et AH <lb></lb>lato del quadrato iscritti<lb></lb>bile, si prenda la DI, che <lb></lb>possa la differenza de'qua<lb></lb>drati AH, AD, et sia per<lb></lb>pendicolare all' AD; poi <lb></lb>congiungendo AI questa <lb></lb>sia media il semidiametro <lb></lb>AC differenza delle estreme, et si trovi la maggiore estrema, che sia DF <pb pagenum="215"></pb>applicata dal punto D, che seghi il cerchio in E. Dice che FE sarà <lb></lb>eguale al semidiametro AC. Ora io dico dunque, se FD è maggiore <lb></lb>estrema FE la differenza delle estreme sarà DE minor estrema, et il <lb></lb>rettangolo FDE eguale al quadrato AI, cioè ai quadrati AD, DI, ov<lb></lb>vero ai quadrati AC, CD con quattro rettangoli ACK (intesa la DK <lb></lb>perpendicolare all' AB, et congiunta la C) perchè due rettangoli ACK <lb></lb>sono la differenza del quadrato AD, et delli quadrati AC, CD assieme, <lb></lb>cioè del quadrato AK, et però due ACK sono eguali al quadrato DI; <lb></lb>ma il quadrato AD è uguale ai quadrati AC, CD con due altri ret<lb></lb>tangoli ACK; dunque quattro rettangoli ACK con li quadrati AC, CD <lb></lb>sono eguali al quadrato AI, cioè al rettangolo FDE. Inoltre il quadrato <lb></lb>DF è eguale ai quadrati FC, CD con due rettangoli FCK, toltone parte <lb></lb>eguale da ambe le parti, cioè il rettangolo DFE dal quadrato DF, et <lb></lb>BFA dal quadrato FC resta il rettangolo FDE eguale ai quadrati AC, <lb></lb>CD con due rettangoli FCK. Ma al medesimo FDE erano uguali li <lb></lb>quadrati AC, CD con quattro rettangoli ACK, dunque due rettangoli <lb></lb>FCK sono eguali a quattro rettangoli ACK (toltone li quadrati comuni <lb></lb>AC, CD) et per la comune altezza CK due rette FC saranno eguali a <lb></lb>quattro AC, et in consegueuza una FC doppia di AC, cioè FA uguale <lb></lb>ad AC. Quod non ponebatur. </foreign></s> </p> <figure id="fig583"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Questo è quanto mi ha conferito del suo libretto, cioè la fabbrica <lb></lb>di questo problema, che finalmente <emph type="italics"></emph>mole mit sua.<emph.end type="italics"></emph.end> non mancherò debito <lb></lb>della mia sincerissima affezione, che tengo seco di farlo accorto del<lb></lb>l'error suo, significandogli, senza però noiare alcuno, che da molti <lb></lb>periti Geometri mi viene opposto al suo libretto, et vo, che egli si <lb></lb>avveda, che amo meglio esser ributtato da lui per troppo ingenuo, che <lb></lb>accarezzato come adulatore, in causa particolarmente, nella quale <lb></lb><emph type="italics"></emph>agitur summa rerum<emph.end type="italics"></emph.end> la reputazione sua, et degl'italiani. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma questo è <lb></lb>nulla: sentirà V. S. a sbattere Midorgio, e Claudio Hardy, li quali <lb></lb>sono stati per quanto intendo, acremente trattati da lui in una sua <lb></lb>lettera con trattargli da ignoranti, comechè gli abbiano fatte istanze <lb></lb>contro, alla soluzione delle quali basta la sola intelligenza del primo, <lb></lb>et sesto libro degli elementi. </foreign></s> <s>Passo all'altra lettera di V. S. per la <lb></lb>quale pare, che V. S. mi accenni di sospettare un poco, che io voglia <lb></lb>attribuirmi l'invenzione di cotesta sua proposizione de'solidi conoidali, <lb></lb>e sferici escavati da un cono, o da un cilindro. </s><s>Non piaccia a Dio, <lb></lb>che io faccia mai simile azione. </s> <s><foreign lang="it">Si ricordi pure V. S. d'una lettera che <lb></lb>io Le scrissi molte settimane sono dove le dicevo d'aver considerato, <lb></lb>che il modo usato da V. S. per li frusti sferici poteva portarsi con <lb></lb>modo più generale: intendo quanto alla sfera escavata dal cono, o dal <lb></lb>cilindro. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Secondariamente dissi a V. S., che provando un tal solido <lb></lb>escavato essere uguale ad una tale sferoide, non poteva servire alla <lb></lb>proposizione generale, nella quale si cercasse la proporzione di sfera, <lb></lb>sferoide, conoide al cono iscritto, poichè bisognerà supporre come noto <lb></lb>la sferoide essere doppia del rombo iscrittoli. </foreign></s> <s>Et a questo pretesi poi <lb></lb>di ovviare io con dimostrare que' solidi eguali ad un cilindro con le <lb></lb>determinazioni già avvisatele nell'ultima mia. </s> <s><foreign lang="it">Si tolga dunque dall'a- <pb pagenum="216"></pb>nimo tali pensieri, che se mai avessi neppur ombra, che V. S. mi tenesse <lb></lb>in concetto di arrogarmi nemmeno un . . . . d'altrui, vorrei imporre <lb></lb>alli Studi miei perpetuo silenzio, poichè con essi è solo il mio fine di <lb></lb>spassarmi, e di continuare il commercio con V. S. a me sopra modo <lb></lb>dilettevole. </foreign></s> <s><foreign lang="it">La lettera del Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> du Verdus non l'ho avuta prima di <lb></lb>questa mattina, essendo solo jernotte arrivata la posta di Genova, che <lb></lb>la portò, et questa mattina subito levato di letto, l'ho mandata per <lb></lb>il servitore, acciò l'avesse più presto, e non l'ha trovo in casa, nè <lb></lb>fino a mezzodì l'aspettavano, io perciò di nuovo gliel'ho fatta presen<lb></lb>tare subito dopo desinare. </foreign></s> <s>Al Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Nardi ho scritto due lettere senza <lb></lb>vederne mai risposta. </s> <s><foreign lang="it">Il Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Raffaello dopo d'essere tornato di Fra<lb></lb>scati è stato quì da me due volte, et erano tre, o quattro mesi che <lb></lb>mai v'era capitato, non restando io di sospettare, che egli non avesse <lb></lb>presa occasione di disgusto, senza però, che io mi sia potuto avvedere <lb></lb>dell'occasione: ma mi sono poi chiarito, che era una mera sua tra<lb></lb>scuraggine nel far conto d'un servitore, come io gli professo d'essere <lb></lb>affezionatissimo, et prego però V. S. a farmi grazia di tenermi ricor<lb></lb>dato nella sua grazia. </foreign></s> <s>Et quì a V. S. riverentemente bacio le mani. </s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Le lettere di V. S. intorno le cose del vacuo le ha volute il Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Du <lb></lb>Verdus per mandarne copia in Parigi, et al Sig. Raffaello non ho po<lb></lb>tuto ancora fargliele vedere. </foreign></s> <s><lb></lb>Roma lì 16 Luglio 1644.<lb></lb> Di V. S. molto Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end>, et m.to Ecc.<emph type="sup"></emph>te<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>Aff.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end>, et Obb.mo Servit.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> e Discepolo<lb></lb> Michelangiolo Ricci</s></p> <pb pagenum="217"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>93<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> FRANCESCO DU VERDUS a [TORRICELLI <lb></lb>in Firenze].<lb></lb>Roma, 23 luglio 1644.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLI, c. 97 — Copia di L. Serenai).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Molt'Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> ptr mio Colend.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Al debito mio di scrivere à V. S. per mandargli questa lettera del <lb></lb>R. P. Mersenne si è aggiunto di più l'obligo di ringraziarla del favore <lb></lb>che mi fà col continuarmi le sue cortesissime lettere. </foreign></s> <s>Il Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Toricelli <lb></lb>suo fratello m'hà favorito stamane di venir in persona à mia casa <lb></lb>per rendermi l'ultima sua. </s> <s><foreign lang="it">Io li sono obbligatissimo della cortesia che <lb></lb>usa verso di me promettendomi il ragguaglio di quelle sue esperienze <lb></lb>in caso che il Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Michelangelo non me ne dia il conto ch'io desi<lb></lb>derei (<emph type="italics"></emph>sic<emph.end type="italics"></emph.end>). Però io penso d'aver già informato il R. P. Niceron della <lb></lb>cagione della sua lettera, mandandoli un ristretto di quella che V. <lb></lb>S. à detto Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> sopra le sue canne di vetro, e quel modo suo di cer<lb></lb>care il <emph type="italics"></emph>vacuum.<emph.end type="italics"></emph.end> Ne scrissi al P. Niceron e ne scrissi ancora à V. S. <lb></lb>oggi sono 8. giorni che fu il dì 16. di questo, e la lettera la diedi al <lb></lb>Procaccio loro ordinario di Firenze con la doppia di Spagna che io le <lb></lb>dovevo tanti giorni fà . Li rinoverò però le mie scuse se io tardai <lb></lb>tanto à mandargliela, e mi scuserà di nuovo che sendo andato dal <lb></lb>S.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Ricci per informarmi à chi s'aveva da consegnare la prima volta, <lb></lb>non lo trovai, e la seconda che fu credo una Domenica, avendomi detto <lb></lb>che io la dessi al Procaccio, bisognò aspettare che egli partisse. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Spero <lb></lb>della sua Civiltà che non dubiterà punto di quanto le dico. </foreign></s> <s>La sup<lb></lb>plico però resti servita di non credere parole sole, e mi dia qualche <lb></lb>cagione di servirla con fatti secondo io desidero con tutto l'affetto <lb></lb>possibile. </s><s>Roma alli 23. di Luglio 1644. <lb></lb> Di V. S. molt Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Avendomi il P. Mersenne dato licenza di legger la sua lettera, hò <lb></lb>pigliata sicurtà nella cortesia di V. S., e l'ho letta, ma non hò potuto <lb></lb>intendere quelle <emph type="italics"></emph>potestate minime analoge<emph.end type="italics"></emph.end> nè 'l suo modo di trovare <lb></lb>un non so che <emph type="italics"></emph>habeat iussas . . . partium aliquarum.<emph.end type="italics"></emph.end><lb></lb> Divot.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Servitore<lb></lb> Franc. </foreign></s> <s>Du Verdus</s></p> <pb pagenum="218"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>94<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> [TORRICELLI a MICHELANGELO RICCI <lb></lb>in Roma].<lb></lb>Firenze, 12 agosto 1644.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XL, c. 107-108 — Copia di L. Serenai).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Il. </s> <s><foreign lang="it">P.re F. Bonaventura mi scrisse la settimana passata, <lb></lb>e aggiungerò quì un capitolo della sua lettera. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="italics"></emph>Con tale occasione gli dissi<emph.end type="italics"></emph.end> (cioè al P.re Mersenne) <emph type="italics"></emph>che <lb></lb>ero intorno a specolare sopra un quesito non ancora dige<lb></lb>rito quale bisognò dirli facendomene instanza per conferirlo <lb></lb>al d<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> Robervallio. </foreign></s> <s>Io dissi che non era quesito da un par <lb></lb>suo, tuttavia volse che io glielo dicessi, ed <lb></lb>è tale. </s> <s><foreign lang="it">Sia sopra ACB come base il corpo <lb></lb> <arrow.to.target n="fig584"></arrow.to.target><lb></lb>colonnare (o cilindrico come lo chiamo io <lb></lb>nella mia Geometria) ADEBCF, si che DFE <lb></lb>sia l'opposta base, et anch'essa parabola si<lb></lb>mile eguale e similmente posta come ACB. <lb></lb>Stendasi poi un piano per la retta AB, e <lb></lb>per la cima F della parabola DFE. Ora <lb></lb>dissi che io cercavo la proporzione delli due <lb></lb>frusti di detto corpo fatti del piano AFB, <lb></lb>io poi non l'ho più pensato ma per una <lb></lb>certa analogia stimai che fossero fra di loro <lb></lb>come 5 a 2.<emph.end type="italics"></emph.end></foreign></s> </p> <figure id="fig584"></figure> <p type="main"> <s>Queste sono le precise parole di F. Bonaventura. </s> <s><foreign lang="it">Io <lb></lb>vi pensai subito, e trovai subito la dimostrazione, et il <lb></lb>medesimo giorno che ebbi la lettera gli mandai la risposta. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Parteciperò anco a V. S. il mio pensiero rimettendomi <lb></lb>a lei il comunicarlo a cotesti Sig.<emph type="sup"></emph>ri<emph.end type="sup"></emph.end> se lo stimerà degno. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Esto figura quaelibet ABC diametrum habens, sitque <lb></lb>diameter BE, centrum vero gravitatis sit F. Super ipsa fi<lb></lb>gura esto solidum cylindricum cavalerianum ABCD sectum <lb></lb>plano EBDG per oppositas diametros EB, DG ducto. </s><s>Se<lb></lb>cetur autem et altero plano per tria puncta ACD ducto. <pb pagenum="219"></pb>Dico frustum quod sub tribus pla<lb></lb> <arrow.to.target n="fig585"></arrow.to.target><lb></lb>nis curvaque superficie contine<lb></lb>bitur ad reliquum frustum sub <lb></lb>duobus planis et curva quaedam <lb></lb>superficie contentum esse ut recta <lb></lb>BF ad FE. </s></p> <figure id="fig585"></figure> <p type="main"> <s>Nam producatur FH axis to<lb></lb>tius solidi, ducaturque IOL quae <lb></lb>bifariam secet latera EG, BD, con<lb></lb>nectantur EL, DI. </s></p> <p type="main"> <s>Patet p<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> quod centrum totius <lb></lb>solidi erit O punctum medium to<lb></lb>tius axis FH, centrum vero frusti <lb></lb>superioris ABCD, erit in recta EL, <lb></lb>at reliqui frusti in recta DI (fa<lb></lb>cile probatur hoc; nam si totum <lb></lb>solidum secetur plano quolibet ad planum CP parallelo, <lb></lb>parallelogrammum quod nascetur in superiori frusto cen<lb></lb>trum habebit in recta EL, at reliquum parallelogrammum <lb></lb>quod fiet in frusto inferiori centrum habebit in recta DI, <lb></lb>propterea omnia simul parallelogramma superioris frusti, <lb></lb>sive ipsum superius frustum centrum habebunt in recta <lb></lb>EL, et sic de reliquo inferiori). </s></p> <p type="main"> <s>Esto iam centrum gravitatis frusti ABCD punctum <lb></lb>quodlibet M in recta EL, productaque MON, erit omnino <lb></lb>N centrum reliqui frusti; eritque frustum inferius ad fru<lb></lb>stum ABCD superius reciprocè ut MO ad ON, sive ut LO <lb></lb>ad OI, hoc est ut BF ad FE. Quod erat propositum etc. </s></p> <p type="main"> <s>Quando vero huiusmodi solidum ab aliqua parabola <lb></lb>ortum ducat centrum gr. </s><s>verum frusti ABCD habebitur <lb></lb>in communi concursu rectarum EL et DF. Ergo et reliqui <lb></lb>frusti centrum verum dabitur etc. </s><s>etc. </s></p> <p type="main"> <s>Giunto quì tralasciai la lettera, e ora non mi sovvien <lb></lb>più ciò che io volessi soggiugnere. </s> <s><foreign lang="it">La dimostrazione an<lb></lb>cora è stata vista e non riletta, però mi rimetto alla <lb></lb>discrezione del suo giudizio. </foreign></s> <s>Firenze 12 Agosto 1644. </s></p> <pb pagenum="220"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>95<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> MICHELANGELO RICCI a [TORRICELLI <lb></lb>in Firenze].<lb></lb>Roma, 13 agosto [1644].<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLII, c. 46-48 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Molto Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> e P.rone Oss.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Procurai dal Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Magiotti quella lettera, dalla quale copiai subi<lb></lb>tamente la dimostrazione del solido Cicloidale, et poi la mandai, con<lb></lb>forme l'ordine datomi da V. S. a Monsù du Verdus con pregarlo in<lb></lb>stantemente, che volesse quanto prima inviarla in Parigi. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ebbe tempo <lb></lb>tutto ieri dopo desinare, e tutt'oggi per copiarla; sicchè mi giova <lb></lb>credere, che sarà in tempo di andar domattina per il Corriero. </foreign></s> <s><foreign lang="it">L'occu<lb></lb>pazione di molte lettere d'amici mi hanno notabilmente disgustato <lb></lb>per avermi prolungato il gusto di leggerla e meditarla diligentemente, <lb></lb>poichè tutto ieri e oggi sono stato costretto a rispondere a chi mi da <lb></lb>o brighe, o ciance. </foreign></s> <s>Ho tuttavia veduto un metodo meraviglioso per <lb></lb>l'universalità sua, et leggiadro per la maniera, con che V. S. lo rap<lb></lb>presenta, et per quella poca cognizione, che ho di queste materie, non <lb></lb>v'è al certo autore, che cammini nè per istrade così nobili, nè così <lb></lb>nuove. </s> <s><foreign lang="it">Lodato sia Dio, che V. S. recupera la riputazione degl'ltaliani <lb></lb>bruttamente oltraggiate nella persona di quel nostro amico , che da <lb></lb>anco ad intendere con la sua ostinazione d'essere incapace d'inten<lb></lb>dere la forza delle opposizioni, che gli son fatte, et in conseguenza <lb></lb>d'essere costituito in ultimo grado d'ignoranza di dottrine geometriche. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>L'altra sera tentai per via di numeri la verità della sua quarta proposi<lb></lb>zione, nella quale pare che usi un altro modo di risolvere differente <lb></lb>dall'altro, et conobbi final<lb></lb> <arrow.to.target n="fig586"></arrow.to.target><lb></lb>mente neppure esso sussi<lb></lb>stere. </foreign></s> <s>Quando non sia con <lb></lb>tedio di V. S. pregola a <lb></lb>dargli un'occhiata, che l'e<lb></lb>samine è tale. </s></p> <figure id="fig586"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Prendo la sua medesima <lb></lb>figura, et suppongo la sua <lb></lb>costruzione aggiungendovi <lb></lb>solamente che BD suppongo <lb></lb>essere arco sutteso dal semidiametro. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Poi supponendo FE esser 4, AC 5, <pb pagenum="221"></pb>sarà la differenza de' loro quadrati 9 dunque AK quadrato sarà 9, et <lb></lb>AB quadrato 100, dunque KB quadrato 109, et due quadrati KL 54 e 1/2 <lb></lb>per essere la metà del quadrato KB; et perchè sottratto dal quadrato <lb></lb>AB 100 il quadrato DB 25 resta il quadrato AD 75, si levino dal qua<lb></lb>drato AD due quadrati KL resterà 20 e 1/2 eguale al quadrato DO. Dunque <lb></lb>il quadrato AO sarà 95 1/2, et per la sua asserzione FDE eguale al qua<lb></lb>drato AO sarà pur 95 1/2. Inoltre FD quadrato è eguale ai quadrati <lb></lb>FC, CD con due rettangoli FCM (intesa la perpendicolare DM) toltone <lb></lb>utrinque parti uguali, cioè DFE, et BFA resta FDE, che si provò <lb></lb>95 1/2 eguale ai quadrati AC, CD con due FCM si tolgano li due <lb></lb>quadrati AC, CD eguali a 50, restano i due rettangoli FCM 45 1/2, <lb></lb>et diviso 45 1/2 per CM, che è 2 1/2, per la perpendicolare DM, che di<lb></lb>vide in due parti eguali la BC 5; sarà il quoziente 18 1/5 per il valore <lb></lb>di due FC, onde una FC varrà 9 1/10, dalla quale detratto il semidia<lb></lb>metro 5 resta FA 4 1/10 maggiore in conseguenza di FE, il che &. </foreign></s> <s>Et <lb></lb>poichè fa esso tanta stima de' numeri videat se suo sibi gladio jugu<lb></lb>latum. </s><s>Prego V. S. in caso che per onorarmi mostrasse altrui questo <lb></lb>discorso di voler restar servita, di considerare, che qualche calcolo <lb></lb>non sia errato; avendolo scritto a mente con fretta, e dopo due, o <lb></lb>tre giorni non v'ho più atteso. </s><s>Bacio a V. S. le mani, et me le ras<lb></lb>segno Servit.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> Obb.mo <lb></lb>Di Roma lì 13 Agosto 1...44<lb></lb> Michelangelo Ricci</s></p> <pb pagenum="222"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>96<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> [TORRICELLI a MICHELANGELO RICCI <lb></lb>in Roma].<lb></lb>Firenze, 27 agosto 1644.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XL, c. 99-100 — Copia di L. Serenai).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>È stata stimata assaissimo anco la prova per via di <lb></lb>numeri con la quale V. S. prova falsa la Proposizione 4 <lb></lb>di N. Per via delle Tavole de seni <lb></lb> <arrow.to.target n="fig587"></arrow.to.target><lb></lb>io che non duro fatica volentieri ne <lb></lb>provai falsa una la quale fatta col <lb></lb>compasso riusciva puntualissima per <lb></lb>la poca differenza che ha dalla costru<lb></lb>zione vera. </s> <s><foreign lang="it">Questa è la fabrica del<lb></lb>l'eptagono regolare in una figura si<lb></lb>mile a questa perchè non ho appresso <lb></lb>di me il libro. </foreign></s> </p> <figure id="fig587"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Prometto a Monsù du Verdus di mandar sabato futuro <lb></lb>alcune conclusioni geometriche trovate, le quali mi furono <lb></lb>proposte già dal Robervallio, et altre ve ne saranno ag<lb></lb>giunte di mio nella stessa materia. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Queste saranno intorno <lb></lb>a quelle infinite parabole che V. S. havrà inteso nominare, <lb></lb>la prima delle quali è il triangolo <lb></lb> <arrow.to.target n="fig588"></arrow.to.target><lb></lb>ABC, e si chiama lineare; la 2.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> ADB <lb></lb>che è la conica vulgata, e si chiama <lb></lb>quadratica; la 3.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> AEB cubica; la 4.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>AFB biquadratica, e così in infinito <lb></lb>per ordine secondo tutte le dignità <lb></lb>dell'Algebra. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Le ragioni del nome <lb></lb>sono perchè nella prima come le parti <lb></lb>del diametro così sono le linee appli<lb></lb>cate, ma nella seconda così sono i <lb></lb>quadrati dell'applicate; nella terza <lb></lb>così si suppone siano i cubi dell'applicate &. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Il numero <pb pagenum="223"></pb>poi di prima 2.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> 3.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> e 4.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> & si chiama il numero della <lb></lb>dignità di ciascuna. </foreign></s> </p> <figure id="fig588"></figure> <p type="main"> <s>Hora tutte queste si quadrano; tutti i solidi fatti dalla <lb></lb>revoluzione circa axem, circa tangentem, circa basim, circa <lb></lb>parallelam diametro si trovano, così anco tutti i centri <lb></lb>delle figure piane e de solidi, e tutte le sudette propor<lb></lb>zioni cadono in numeri stravaganti ma ordinati & come <lb></lb>ella sentirà. </s></p> <p type="main"> <s>Ma per non passarla senza qualche cosa geometrica <lb></lb>dirò un Corollario delle suddette specolazioni, che è fuor <lb></lb>dell'ordine, ma però è strano. </s></p> <figure></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Se nel rettangolo ABCD sarà <lb></lb>una delle suddette parabole DEB la <lb></lb>cui cima sia D, diametro DC, tan<lb></lb>gente DA, et il trilineo ADEB va ri<lb></lb>voltato prima circa tangentem AD, <lb></lb>poi circa AB parallelam diametro. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Il solido della tangente al solido della AB sarà come <lb></lb>il diametro DC della parabola ad una minuzia della tan<lb></lb>gente, la qual minuzia si trova nella maniera seguente. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Pro numeratore duplica numerum dignitatis ipsique <lb></lb>adde unitatem. </s><s>Pro denominatore due numerum dignitatis <lb></lb>unitate auctum in se ipsum binario auctum et producti <lb></lb>semissem accipe pro denominatore. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Però quando la parabola sarà la prima, allora il solido <lb></lb>circa AD al solido circa AB sarà come il diametro CD <lb></lb>alla tangente DA intiera, ma nella 2.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> parabola sarà come <lb></lb>il diametro alli 5/6 della tangente; nella 3.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> come il diame<lb></lb>tro alli 7/10 della tangente; nella 4.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> come il diametro alli <lb></lb>9/15; nella quinta come il diametro alli 11/21 della tangente, <lb></lb>et sic in infinitum. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Queste son cose che se non fussero trovate a caso per <lb></lb>via di altre lunghe specolazioni fatte avanti per altro <lb></lb>fine io credo che a cercarle a posta sarebbero impossibili <lb></lb>per dir così. </s><s>Di Firenze 27 Agosto 1644. </s></p> <pb pagenum="224"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>97<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> MICHELANGELO RICCI a [TORRICELLI <lb></lb>in Firenze].<lb></lb>Roma, 3 settembre 1644.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T XLII, c. 40-42 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>M.to Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end>, e P.ne Oss.mo </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Fui l'altro giorno a spasso col Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> Stelluti, quello, che ha com<lb></lb>mentato le satire di Persio e discorsi seco a lungo della persona di <lb></lb>V. S. (dimostra egli certo grande affezione verso di Lei) poi da questo <lb></lb>venissimo a ragionare dell'autor del Libretto A. S. L. . Mi disse, che <lb></lb>esso andava congetturando, che l'amico abbia fatta riflessione alle <lb></lb>opposizioni fatteli, et che non pensi più ad altre apologie, nè a ri<lb></lb>stampare quella sua operetta. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Io posso accertar V. S., che da un pezzo <lb></lb>in quà, nè con me, nè con altri comuni amici esce più a discorrere di <lb></lb>questa sua invenzione, anzi che mostra alienazione d'animo da' discorsi <lb></lb>attenenti alle mattematiche, come quelle, che sono state vergognoso <lb></lb>pericolo della sua riputazione per favellare col modo di Seneca. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Molto <lb></lb>diversamente accade a V. S. il quale continuamente si va avanzando <lb></lb>verso la meta de' suoi gloriosi pensieri come vedo nella gentilissima <lb></lb>sua de' 24 del corrente. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Et siccome ammiro, che ella abbia arrivate <lb></lb>tante recondite speculazioni, come son quelle accennatemi nella sua, <lb></lb>così ogni ora mi sembra un'eternità, finchè non ricevo la nota di co<lb></lb>teste sue invenzioni. </foreign></s> <s>La materia è onninamente conforme al genio mio, <lb></lb>et spero di rintracciarne qualche cosa. </s> <s><foreign lang="it">Un pezzo fa un mese, e mezzo <lb></lb>in circa inviai a V. S. una lettera del P.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> Nicerone; temo, che sia <lb></lb>smarrita, poichè da V. S. non ne ricevo avviso alcuno. </foreign></s> <s>Se non le fosse <lb></lb>per avventura capitata, la prego ad accennarmelo con la prima occa<lb></lb>sione, che resti servita di rispondermi. </s> <s><foreign lang="it">Così parimenti del Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Nardi <lb></lb>amerei averne qualche nuova da V. S. avendo pensiero di volersi <lb></lb>trasferire costà per godere della sua conversazione dottissima, e gen<lb></lb>tilissima. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Il Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Raffaello nostro sta tra il timore, e la speranza del <lb></lb>suo Cardinale. </foreign></s> <s>Corse voce l'altra mattina, che esso per certo fosse <lb></lb>creato Pontefice, poi si raffreddò, et oggidì se ne discorre con dubbio <lb></lb>sentimento. </s><s>La fazione de' Sig.<emph type="sup"></emph>ri<emph.end type="sup"></emph.end> Barberini unita con la Francese lo <lb></lb>promuove efficacissimamente, la Spagnuola con altrettanta durezza si <lb></lb>oppone. </s><s>Dio sa quando si risolvono, essendo ambe le parti indurate, <pb pagenum="225"></pb>chi in un senso, chi in un altro opposto. </s><s>V. S. frattanto si conservi, <lb></lb>e si ricordi, che le vivo servit.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> obblig.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end>, et aff.mo. </s><s><lb></lb>Roma lì 3 Settembre 1644.</s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ho recapitata subito la lettera del Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Du Verdus, et ringrazio <lb></lb>V. S. che mi abbia onorato del recapito. <lb></lb> Aff.mo Servit.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> et Discepolo<lb></lb> Michelangiolo Ricci.</foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>98<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> MICHELANGELO RICCI a [TORRICELLI <lb></lb>in Firenze].<lb></lb>Roma, 10 settembre 1644.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli T. XLII, c. 43-45 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>M.to Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end>, e M.to Ecc.<emph type="sup"></emph>te<emph.end type="sup"></emph.end> Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> Oss.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Non ho dubbio alcuno, che V. S. troverà sempre nuove falsità <lb></lb>nelle proposizioni di A. S. L. fintanto che quasi si adegueranno gli <lb></lb>errori al numero delle conclusioni. </foreign></s> <s>Io ne ritrovai non solo quelle due, <lb></lb>ma altre ancora, le quali non mi seppi recare a scriverle a V. S. per <lb></lb>non la tediare. </s> <s><foreign lang="it">Stimai sì bene, che dalla falsità di quella costruzione, <lb></lb>e risoluzione, che egli adopera all'applicazione d'una linea eguale al <lb></lb>semidiametro d'un cerchio, la qual linea stia fra il convesso del mede<lb></lb>simo cerchio, et il diametro, prodotto & credei, dico, che mancando <lb></lb>questa risoluzione ruinasse più che la metà del libro suo, poichè quindi <lb></lb>segue la trisezione dell'angolo, dalla trisezione la fabbrica dell'Epta<lb></lb>gono, et così d'altre sue conclusioni. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Le due medie non le volsi esa<lb></lb>minare stanco dal ruminar più spropositi; viddi solo, che una certa <lb></lb>linea parallela, che deve far tutto il giuoco, non si prova, che sia <lb></lb>tale, nè per costruzione a noi è manifesto, sicchè resta irresoluto il <lb></lb>problema. </foreign></s> <s>Ora supposto questo qual problema vi resta? </s><s>Che proposi<lb></lb>zione, o dimostrazione, che non sia contaminata da mille follie? </s><s>Non <lb></lb>penso più oltre. </s><s>Ho ammirate le invenzioni di V. S. intorno le infinite <lb></lb>parabole. </s> <s><foreign lang="it">Con una debile meditazione fattavi sopra ho cominciato a <lb></lb>sbozzar qualche dimostrazione sopra il medesimo soggetto, della quale <lb></lb>pregherò V. S. a suo tempo voglia essere correttore, e censore. È <lb></lb>gran tempo che non ho composto nulla distratto da mille diversissimi <pb pagenum="226"></pb>studi, li quali mi occupano quel, o niente di cervello, che mi ritrovo. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>All'arrivo del libro di V. S. desideratissimo spero di ripigliare il mio <lb></lb>liuto. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ne ho pregato un amico costì, che me ne provveda quanto prima <lb></lb>per la impazienza del desiderio, con cui vivo; supplico perciò V. S. <lb></lb>a non volermi ancora aggiungere quest'obbligo di mandarmelo lei, <lb></lb>poichè vivo pur con troppo rossore, mentre mi vedo inutile a servirla <lb></lb>mai in cosa veruna, et la reverisco. </foreign></s> <s><lb></lb>Roma li 10 Settembre 1644.<lb></lb> Di V. S. m.to Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> et m.to Ecc.<emph type="sup"></emph>te<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Mercoldì alle 18 ore morì il Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Cardinale Bentivogli: questa <lb></lb>mattina è uscito di Conclave Mattei ammalato, et oggi si crede sia <lb></lb>per uscir Gabbrielli travagliato da dolori colici. <lb></lb> Dev.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end>, et Obb.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Servit.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> e Discepolo<lb></lb> Michelangelo Ricci.</foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>99<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> BONAVENTURA CAVALIERI a [TORRICELLI <lb></lb>in Firenze].<lb></lb>Bologna, 13 settembre 1644.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLI, c. 211-214 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>M.<emph type="sup"></emph>to<emph.end type="sup"></emph.end> Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end>, et Ecc.mo Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end>, e P.ron Col.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end>. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Mentre ella va continovamente lavorando, e s'incammina a passi <lb></lb>veloci al fin della stampa delle sue gloriose fatiche, io per il contrario <lb></lb>continuamente afflitto dalla mia infirmità la quale mi ha tenuto im<lb></lb>pedito quasi per tutto Luglio, et Agosto, me ne sto ozioso dormendo <lb></lb>per me la stampa, anzi la penna, che dovria ormai aver composto il <lb></lb>rimanente de' Dialogi. È ben stampato il primo, ma il secondo, e <lb></lb>terzo non solo non è stampato, ma nè anco composto. </foreign></s> <s><foreign lang="it">In somma io <lb></lb>sono in stato di far poco, poichè appena comincio ad applicarmi, che <lb></lb>subito mi assaltano le flussioni, e dolori; onde non si maravigli della <lb></lb>mia tardanza. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Della sua speculazione circa le tangenti in genere <lb></lb>ella non me ne ha mai detto niente; onde ammiro questa invenzione, <lb></lb>e massime circa le spirali, come cosa, che fu stimata sempre singo<lb></lb>lare fra le invenzioni sottilissime di Archimede. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Della proposizione, che <lb></lb>mi accenna, tengo la dimostrazione per gl'indivisibili sino a' biqua<lb></lb>drati inclusivi sin dove avea bisogno per la misura del fuso parabolico. <pb pagenum="227"></pb>Il Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Rocca aggiunse quella de' cubi quadrati, et il Beaugrand la <lb></lb>compì per via dell'Algebra litterale Vietea applicata agl'indivisibili <lb></lb>in tutte le dignità Algebratiche, et è quella dimostrazione, che io <lb></lb>accenno nel prime Dialogo di voler ristampare come cosa degna <lb></lb>compiendo sì mirabil Teorema, e camminando per gl'indivisibili; e <lb></lb>veramente stimo questa proposizione fecondissima, e credo, che il <lb></lb>Robervallio l'abbia conosciuta per tale, e ne abbi avuto motivo da <lb></lb>quello, che dico nel fine del centesimo Problema della mia Centuria, <lb></lb>come altra volta gli ho scritto. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Del P.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> Santini intesi già di Francia <lb></lb>le difficoltà, che aveano intorno al suo Libro, e mi maraviglio molto <lb></lb>della sua estimazione, e che non si ravveda dell'errore, o ravveden<lb></lb>dosi non se ne emendi. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ho visto il foglio che mi manda innanzi al <lb></lb>quale però mi mancano ancora gli fogli Q, R, S, ma non si prenda <lb></lb>fastidio di mandarmeli, perchè mi manca ancora la parte de' solidi <lb></lb>sferali (poichè quella, che viddi, non era mia) onde finite tutte l'opere, <lb></lb>le piglierò poi tutte insieme, quando ne venghino a Bologna, dove <lb></lb>però sarà di poco spaccio così nobil merce, poichè quà più si fa pro<lb></lb>fessione di giudiciaria, che d'altro, e pochi, o niuno quasi si ritrova <lb></lb>quà, che sia atto a conoscere la bontà di questi cibi saporiti. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Aspetto <lb></lb>però quà circa il mezzo del seguente mese il Signor Rocca, che mi <lb></lb>ha promesso di venire a star quà sette, otto giorni per suo diporto; <lb></lb>et avrò campo di discorrere alquanto di quelle cose, delle quali s'in<lb></lb>contrano così pochi, che si possa discorrere: et avrò ambizione d'es<lb></lb>sere il primo a mostrarli l'opere di V. S. Desidero qualche poco di <lb></lb>tregua dal mio male per poter pur compire quanto devo, ma temo <lb></lb>di dover molto tardi riuscirne, mentre all'impedimento del male mi <lb></lb>si aggiungeranno anco le lezioni pubbliche in breve. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Basta farò quello, <lb></lb>che potrò, e che Iddio vorrà, e spererò d'avere qualche ragionevole <lb></lb>scusa, e d'esser compatito da quelli, che sanno il mio stato infelicis<lb></lb>simo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Prego il Cielo, che vogli concedergli una sanità imperturbata, <lb></lb>acciò il mondo possa arrichirsi delle sue peregrine invenzioni, et i <lb></lb>Letterati saziarsi l'ingorda fame con cibi di così delicato sapore, e <lb></lb>così sustanziosi. </foreign></s> <s>E con questo li bacio affettuosamente le mani <lb></lb>Di Bologna alli 13 Settembre 1644.<lb></lb> F. Bonav.<emph type="sup"></emph>ra<emph.end type="sup"></emph.end> Cavalieri</s></p> <pb pagenum="228"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>100<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> MICHELANGELO RICCI a [TORRICELLI <lb></lb>in Firenze].<lb></lb>Roma, 24 settembre 1644.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLII, c. 49-50 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>M.to Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> e M.to Ecc.<emph type="sup"></emph>te<emph.end type="sup"></emph.end> Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> e P.rone Oss.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Rendo affettuosissime Grazie a V. S., che avendomi favorito d'uno <lb></lb>de' bellissimi Libri suoi, mi abbia inoltre voluto dare occasione di <lb></lb>meritare appresso i Sig.<emph type="sup"></emph>ri<emph.end type="sup"></emph.end> Verdus, e Magiotti col presentargli cosa da <lb></lb>essi grandemente desiderata. </s> <s><foreign lang="it">Ne avevo fatti venire altri tre per me, <lb></lb>et per un amico, destinando il terzo all' Ill. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Cav.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> del Pozzo, il <lb></lb>quale l'ha ricevuto come dono pregiato. </foreign></s> <s>Credo che mi occorrerà com<lb></lb>metterne anche più, facendo tutti capo da me, che sanno essere di <lb></lb>V. S. servitore affezionato, e parziale. </s><s>Non vi è stato tempo di farli <lb></lb>ancora legare; onde solamente alla sfuggita ho potuto gustarne <lb></lb>qualche proposizione, le quali tutte trovo ammirabili. </s><s>Ho poi veduto <lb></lb>citare una proposizione tale. </s> <s><foreign lang="it">Il solido nato dalla Cicloide girata <lb></lb>d'intorno una tangente all'asse parallela del suo cilindro è subsesqui<lb></lb>tertio. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Cosa dimostrata da me fin dal principio che sentii nominar la <lb></lb>cicloide, et per la facilità, con che si dimostra, non ne ho mai fatta <lb></lb>stima veruna. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Riverisco V. S. con espression del mio debito, et le <lb></lb>bacio le mani. </foreign></s> <s>Ho recapitati tutti e tre i libri a nome di V. S. e <lb></lb>gliene baciano umilmente le mani. </s><s><lb></lb>Roma li 24 7bre 1644.<lb></lb> Di V. S. m.to Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> et Ecc.<emph type="sup"></emph>ma<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>Servit.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> Dev.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end>, et Obb.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Discepolo<lb></lb> Michelangelo Ricci.</s></p> <pb pagenum="229"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>101<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> MICHELANGELO RICCI a [TORRICELLI <lb></lb>in Firenze].<lb></lb>Roma, 30 settembre 1644.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLII, c. 51-53 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>M.to Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end>, et Ecc.<emph type="sup"></emph>te<emph.end type="sup"></emph.end> Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> P.rone Oss.mo. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Quando non sia temerità troppo grande il chiedere a V. S. di che <lb></lb>figura debbano essere i vetri per gli occhialoni, e con qual propor<lb></lb>zione gli si devano applicare gli acuti, io ne la vorrei pregar viva<lb></lb>mente ad istanza di amico virtuosissimo, ed anche al merito di lei <lb></lb>singolarmente devoto. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma se V. S. ha proposto d'occultare con la <lb></lb>maniera di lavorare anche la notizia della figura con quell'altro requi<lb></lb>sito appresso, mi rimetto alla prudenza, et all'arbitrio di V. S., et la <lb></lb>mia istanza sia come nulla. </foreign></s> <s>I libri di V. S. sono distribuiti tutti in <lb></lb>persone intelligenti. </s> <s><foreign lang="it">Que' quattro, che V. S. mi fece grazia inviarmi, <lb></lb>gli ho distribuiti conforme all'ordine ricevuto; gli altri tre, che avevo <lb></lb>ordinati io, sono andati nelle mani del Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Cav.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Del Pozzo, di Monsù <lb></lb>Tevenot, et del P. Don Cherubino monaco di S. Calisto. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Vi sono altri <lb></lb>amici, che gli desiderano, et a questo effetto penso operare con qualche <lb></lb>Libraio, che ne commetta. </foreign></s> <s>L'ho finora veduto più d'una volta quasi <lb></lb>tutto, et circa la coclea trovo potersi estendere altri due terzi, avendo <lb></lb>trovato una coclea uguale ad un conoide parabolico, et un'altra eguale <lb></lb>ad una porzione di sfera, o di sferoide. </s> <s><foreign lang="it">Mi son rallegrato di trovarvi <lb></lb>sopra sette o otto proposizioni con le sue dimostrazioni per l'appunto, <lb></lb>come le avevo pensate io, et in particolare la prova di quella sup<lb></lb>posizione fàtta dal Galileo ne' Libri del moto la conferii al Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Ma<lb></lb>giotti due o tre anni sono, avendola rintracciata con quel lume che <lb></lb>ebbi da V. S. circa il medesimo soggetto. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Concordo anche in al<lb></lb>cune cose della coclea, et in molte appartenenti ai solidi sferali, <lb></lb>sopra di che speculai per qualche tempo in compagnia del suddetto <lb></lb>Padre Don Cherubino. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Tutto riferisco a V. S., e gliene terrò sempre <lb></lb>l'obbligazione, che devo riserbandomi alle occasioni di confermarlo, e <lb></lb>comprobarglielo con gli effetti; et la riverisco. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Salutano V. S. il Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>Cavalier Del Pozzo, col quale discorsi ieri di Lei, il Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Francesco <lb></lb>Stelluti, Monsù du Verdus, et il Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> Antonmaria Sinibaldi. </foreign></s> <s><lb></lb>Roma lì 30 7mbre; 1644.<lb></lb> Aff.mo et obb.mo Servitore, e discepolo<lb></lb> Michelangelo Ricci.</s></p> <pb pagenum="230"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>102<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> FRANCESCO DU VERDUS a [TORRICELLI <lb></lb>in Firenze].<lb></lb>Roma, 9 ottobre 1644.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLI, c. 98 — Copia di L. Serenai).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Molt'Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> P.ron Colend.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Non possono venire di Fiorenza che effetti di liberalità, e di cor<lb></lb>tesia. </s> <s><foreign lang="it">Send'egli sempre stato vero che i popoli dal Principe prendono <lb></lb>la regola del vivere. </foreign></s> <s>V. S. avrebbe per forza da esser tale, vivendo <lb></lb>sotto l'imperio di quell'Altezza, la cui liberalità, e generosità, non da <lb></lb>V. S. solamente nell'ultime sue opere, ma da ognuno vien ammirata <lb></lb>non che laudata. </s> <s><foreign lang="it">Ma V. S. già corrisponde col suo Genio alla virtù <lb></lb>del Padrone, e per far parte de' suoi sudditi non ha prestato l'orec<lb></lb>chie ad altre voci, che à quelle della natura, e dell' inclinazione, che <lb></lb>già l'avevano fatto tale. </foreign></s> <s>E certo è che V. S. n'ha dato assai gran <lb></lb>saggio facendo profusione de' suoi tesori, ecc., e dando delle Copie <lb></lb>dell'opera sua tanto alli presenti, quanto alli assenti, alli ignoranti, <lb></lb>com'à quelli che meglio li sapranno godere. </s> <s><foreign lang="it">Hora Signore sendo io <lb></lb>di questi ultimi hò da ringraziarla mille volte di quel favore da lei <lb></lb>ricevuto per mezzo del Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Agnolo Ricci. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Io ricevendolo credei che <lb></lb>V. S. era stata d'intelligenza con la mia febbre, poichè mi lasciò <lb></lb>l'istesso giorno ch'io ricevei quel suo dono, ma avendone anche dipoi <lb></lb>auto qualche eccesso, e prestata fra tanto l'opera sua à due curiosi <lb></lb>amici miei, non potrò goderla che dopo tornato da' dintorni di Roma, <lb></lb>fuor della quale bisogna ch'io vadia per pigliarne un poco l'aria, <lb></lb>come un rimedio dell'avanzo del male. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Tornato io m'ingegnerò di <lb></lb>far fretta delle sue fatiche, per potermi dar quel vanto, che se ben <lb></lb>io non ho auto fortuna d'esser allievo dell'Archimede de' nostri tempi, <lb></lb>aurò però per mezzo suo imparate le più belle cose della Geometria. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Fra tutto il R. P. Mersenne viene in fretta di Parigi à portargli di <lb></lb>Francia quel titolo d'incomparabile matematico, che li è già stato dato <lb></lb>dalla sua patria. </foreign></s> <s>Io manderei à V. S. la lettera scrittami pochi giorni <lb></lb>fanno da detto Padre s'ella fusse così latina com'è francese. </s><s>La man<lb></lb>derei pure al Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Doni per fargli vedere che detto Padre le procurerà <lb></lb>quei libri di musica ch'egli desidera; non li scrivo altro per non dar à <lb></lb>V. S. l'incommodo di farli capitar in mano la mia lettera, non sapendo <lb></lb>io la casa quale abita detto Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end>, e qui la reverisco per non tediarla più. </s><s><lb></lb>Roma alli 9 d'Ottobre 1644.<lb></lb> Di V. S. molto Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>Devot.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> e obligat.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Serv.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb> Fr. </s><s>Du Verdus.</s></p> <pb pagenum="231"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>103<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> BONAVENTURA CAVALIERI a [TORRICELLI <lb></lb>in Firenze].<lb></lb>Bologna, 18 ottobre 1644.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLI, c. 215-216 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>M.<emph type="sup"></emph>to<emph.end type="sup"></emph.end> Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end>, et Ecc.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end>, e P.ron Col.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Io non ho saputo prima d'ora che V. S. mi avesse regalato delle <lb></lb>sue gloriose fatiche. </s><s>Farò far diligenza per averle, et eseguirò quanto <lb></lb>comanda sì quanto al P.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> Torricelli , come anco al Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Rocca, quale <lb></lb>aspetto quà oggi, siccome mi ha scritto di venire. </s> <s><foreign lang="it">Saria stato compito <lb></lb>il gusto, se ella ancora si fosse trovata quà, come me ne aveva moti<lb></lb>vato il nostro P.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> Diffinitore; ma poichè non lo potiamo avere in <lb></lb>persona, lo goderemo nelle delizie del suo ingegno, quale so senz'altro <lb></lb>che saranno molto gradite dal Sig. Rocca. </foreign></s> <s>Quanto alla dimostrazione <lb></lb>del Beaugrand la manderei adesso, ma perchè occupa molte carte, e <lb></lb>per assicurarmi più che non andasse a male, aspetterò qualche occa<lb></lb>sione di mandargliela per qualche persona, che venghi costà come <lb></lb>spero quanto prima di averla. </s> <s><foreign lang="it">Per tanto io la ringrazio di sì nobil <lb></lb>regalo, e ce lo goderemo questi pochi giorni il Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Rocca, ed io con <lb></lb>molta avidità, e gli darò poi parte del gusto, che ne avrà avuto meco il <lb></lb>Sig. Rocca, sebbene egli forse parimente lo farà come che viva molto <lb></lb>desideroso di dichiararsegli con lettere almeno, se non può in altro <lb></lb>modo per suo servitore, et ammiratore del suo merito. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Con che la <lb></lb>riverisco desiderandole dal Cielo ogni felicità. </foreign></s> <s><lb></lb>Di Bologna alli 18 Ottobre 1644.<lb></lb> Di V. S. M.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end>, et Ecc.ma.<lb></lb> F. Bonav.<emph type="sup"></emph>ra<emph.end type="sup"></emph.end> Cavalieri</s></p> <pb pagenum="232"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>104<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> MICHELANGELO RICCI a [TORRICELLI <lb></lb>in Firenze].<lb></lb>Roma, 22 ottobre 1644.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLII, c. 54-56 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>M.to Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end>, et Ecc.mo Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end>, e P.rone Oss.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Se la temerità de' miei pensieri giugnesse mai a tal segno di voler <lb></lb>gareggiare nelle invenzioni con V. S., sarei giustamente da esser con<lb></lb>dannato, così per un stolto, come sommamente m'onoro delle lodi, <lb></lb>che la sua cortesia soprabbondantemente mi attribuisce. </s> <s><foreign lang="it">Ma il mio <lb></lb>fine fu solo di additare a V. S. alcune mie debili considerazioni intorno <lb></lb>materia altamente trattata da V. S., et perchè alle qualità del mio <lb></lb>nulla sapere potrebbero talora parere adottive, stimai bene di chia<lb></lb>marne testimoni d'indubitata fede, non per altro, che per darmi a <lb></lb>conoscere lontano dall'arrogarmi le invenzioni altrui, azione, che io <lb></lb>sempre ho detestata nell'animo mio. </foreign></s> <s><foreign lang="it">M'avvidi sì bene dopo di avere <lb></lb>inviata la lettera, che non avevo usato quei termini di riverente osse<lb></lb>quio, che dovevo verso di V. S., del che umilmente la prego a condo<lb></lb>narmi la colpa, comechè sia originata dalle mal regolate mie passioni, <lb></lb>le quali mi abbagliano talora il lume della ragione, che trascorro in <lb></lb>simili mancamenti. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Rendo a V. S. infinite grazie di tante lodi, e tante <lb></lb>cortesie, dalle quali mi reputo tanto più obbligato, quanto che non si <lb></lb>proporzionano punto nè col mio demerito, nè col mio mal costume <lb></lb>usato verso V. S. Il requisito intorno gli occhiali fu ad istanza del <lb></lb>Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Sinibaldi, che pensa di affatigarsi a qualche tempo intorno il <lb></lb>medesimo lavoro de' vetri, et resterà consolatissimo di quella luce, <lb></lb>che da V. S. avrà intorno la proporzione de'vetri concavi, e convessi. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>De' Libri poi di V. S. ne ho ricevuto quest'ordinario una dozzina, <lb></lb>poichè tutti gli amici ricorrono a me per averne. </foreign></s> <s>E godo estrema<lb></lb>mente, che mi riconoscano per discepolo, e servitore di V. S., essen<lb></lb>dochè vanterò sempre più la fortuna di essere stato allievo di un <lb></lb>pari di V. S. ch'è quanto mai di onore mi potessero preparare le mie <lb></lb>fatiche. </s> <s><foreign lang="it">Al Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Francesco Stelluti farò li baciamani di V. S., così al <lb></lb>Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> di Verdus, et al Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Sinibaldi, et riverirò in suo nome il Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>Cavalier del Pozzo, appresso il quale frequentemente discorriamo del <lb></lb>valore di V. S. Il Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Magiotti si trattiene a Frascati a diporto co' <lb></lb>Sig.<emph type="sup"></emph>ri<emph.end type="sup"></emph.end> Sacchetti, et il Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> Antonio Nardi pensa di trasferirsi costà <lb></lb>a godere la conversazione virtuosissima, e dolcissima di V. S. per far <lb></lb>poi passaggio quà a Roma. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Il Padre Mersennio viene anch'esso da <pb pagenum="233"></pb>Parigi, et il Padre Clemente delle Scuole Pie partirà fra pochi mesi <lb></lb>da Palermo, dove si ritrova, per queste parti. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Arrivò a giorni passati <lb></lb>un Gentiluomo Milanese di esquisita diligenza nel lavorare al torno, <lb></lb>et anche nel lavoro de' vetri vanta gran perfezione. </foreign></s> <s>Questi come pae<lb></lb>sano de' miei parenti, e di loro amico familiare mi ha fatto parlare <lb></lb>per essere introdotto da me nell'amistà di questi virtuosi di Roma. </s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Procurerò di aver qualche certezza del suo sapere fin dove si estenda, <lb></lb>et ne ragguaglierò V. S. a cui per fine con umile affetto bacio le <lb></lb>mani. </foreign></s> <s><lb></lb>Roma li 22 Ottobre <emph type="italics"></emph>1644.<emph.end type="italics"></emph.end><lb></lb> Di V. S. m.to Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end>, et Ecc.te <lb></lb>Aff.mo, et Obb.mo Servitore e Discepolo<lb></lb> Michelangelo Ricci.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>105<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> BONAVENTURA CAVALIERI a [TORRICELLI <lb></lb>in Firenze].<lb></lb>Bologna, 25 ottobre 1644.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLI, c. 217-221 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>M.to Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end>, et Ecc.mo Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> e P.ron Col.mo </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ricevo dalla sua cortesissima lettera nuove così buone della mia <lb></lb>salute corporale, che sariano veramente atte a consolare qualunque <lb></lb>disperato. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma io, che ho riposto la mia salute nel disperare ogni <lb></lb>salute, ne sento quel gusto, e refrigerio, che provo talvolta dormendo <lb></lb>coll'insognarmi di camminare, quale, finito che sia il sonno, svanisce <lb></lb>anch'egli. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Veramente un mattematico, quale è il Padre Francesco <lb></lb>potria far gran forza al mio credere, se parlasse di mattematica, ma <lb></lb>trattandosi di medicina non so con che fortuna, o ingegno vi abbi <lb></lb>introdotta la certezza mattematica, sicchè ne parli con tanta sicurezza. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Non so, se egli sappia, che la mia gotta è giperea, o tosfacca, come <lb></lb>la chiamano i Sigg. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Medici, e perciò non capisco, se egli lo sa con <lb></lb>qual medicamento voglia risolvere detti nodi, essendo appunto pas<lb></lb>sato in proverbio: solvere nodosamente. </foreign></s> <s>Tuttavia se io fossi per rice<lb></lb>vere da Iddio tal grazia, spererei, che l'istesso avesse inspirato al <lb></lb>Padre forsi qualche rimedio impossibile a ritrovarsi dagli uomini senza <lb></lb>il di lui aiuto. </s> <s><foreign lang="it">Ma essendo costì tanti gottosi, e massime cotesti Seren.<emph type="sup"></emph>mi<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>Principi, come per essere il Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Principe D. Lorenzo, stupisco, che <pb pagenum="234"></pb>egli non abbia dato principio da così nobil personaggio, e poi dein<lb></lb>ceps descendere a F. Bonaventura ancora. </foreign></s> <s><foreign lang="it">His tamen non obstantibus <lb></lb>son risoluto di scrivergli, e di sentire in somma quello, che dice, e se <lb></lb>mi guarisce, li prometto di venirli a trovare ambidue a piedi sino a <lb></lb>Firenze, e di venire a servire il Padre tutto il tempo rimanente di mia <lb></lb>vita. </foreign></s> <s>Non creda però, che io voglia differire sino allora a portarli la <lb></lb>dimostrazione, che ella desidera, che credo starei troppo, ma spero <lb></lb>quanto prima di farcela avere. </s> <s><foreign lang="it">L'ho data a copiare, ma per essere <lb></lb>assai lunga non se n'è anco venuto a capo: sicchè in questo la prego <lb></lb>a volere avere un poco di pazienza, avendone io tanta nel sopportare <lb></lb>la mia gotta. </foreign></s> <s>Ma che ne farò poi, quando sarò guarito, che non ne <lb></lb>averò più bisogno? </s><s>Ella mi avviserà, se avesse qualche suo amico, <lb></lb>che ne avesse bisogno, che gliene farò poi un presente. </s><s>Prego però <lb></lb>V. S. a non voler leggere questa lettera al Padre Francesco, acciò <lb></lb>egli non pensasse, che io fussi troppo duro in credere, e che io avessi <lb></lb>del suo valore minor concetto di quel che merita persona così piena <lb></lb>di virtù. </s><s>Orsù, che his hactenus; altrimenti bisognerà, che io incominci <lb></lb>a parteciparli di questa mia pazienza in leggere questa mia prolissa, <lb></lb>e forsi noiosa lettera. </s><s>Ho finalmente ricevuto le quattro copie dell'opera <lb></lb>sua, e poco doppo le due lettere, le quali mi stupisco, che abbiano <lb></lb>tardato tanto. </s> <s><foreign lang="it">Ho mandato le due al Padre Torricelli, e data la sua <lb></lb>al Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Rocca giunto in Bologna quattro giorni sono, e due volte visto <lb></lb>da me, quale la ringrazia infinitamente, come egli poi farà con let<lb></lb>tere. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Credo poi, che partendosi un suo camerata di quà, verrà nel mio <lb></lb>Convento a stare per otto giorni, cioè fra uno, o due dì, e allora ci <lb></lb>goderemo de' frutti delicatissimi del suo felice ingegno. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Io ho dato <lb></lb>l'opera a legare; e prima scorrendo solo i titoli ho visto quanto am<lb></lb>plamente ella abbi dilatata la dottrina de motu del Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Galileo, e <lb></lb>delle acque del P.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> Castelli oltre le proprie cose tutte maravigliose <lb></lb>da Lei inventate, e me ne rallegro seco vivamente. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma il dir di più <lb></lb>mi riserbo dopo la lettura di quello. </foreign></s> <s>In tanto ho visto le conclusioni <lb></lb>dedotte da quel lemma veramente mirabili; e sono appunto quelle, che <lb></lb>io dimandavo al Beaugrand in una Lettera, quali debbero poi esser <lb></lb>riferite al Robervallio. </s><s>Solo vi era di più la qualità delle infinite linee <lb></lb>delle parabole, quale parimente dimandavo, cioè se erano sezioni coni<lb></lb>che, o di altra sorte. </s> <s><foreign lang="it">In somma ella ha parimente raccolto il bello, e <lb></lb>il buono, che mi pare possa dedursi da quel lemma, il quale se non <lb></lb>è mica plenariamente da me stato dimostrato, quello però, che ho <lb></lb>provato io, ha potuto dar lume per il rimanente, consistendo il tutto <lb></lb>nello spezzamento delle dignità algebriche fatto dal diametro del pa<lb></lb>rallelogrammo, e dalla linea bisecante i lati opposti, il quale, comecchè <lb></lb>riesca facile nelle linee, quadrati, e cubi, quanto più si va in sù, tanto <lb></lb>più crescono i pezzi, e volendo camminare precisamente per la strada <lb></lb>da me intrapresa, assai si confonde nel procedere avanti, e però restai; <lb></lb>che se fosse stata nota la pratica dell'Algebra litterale, come allora <lb></lb>non ci avevo badato, et ho poi visto doppo, levavo tal confusione, e <lb></lb>finivo anch'io la dimostrazione; poichè ella consiste in detto spezza- <pb pagenum="235"></pb>mento. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma il tutto meglio intenderà dalla dimostrazione. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Fra tanto <lb></lb>li bacio le mani, e ringrazio il Padre Francesco della sua buona vo<lb></lb>lontà, nella quale non cade dubbio, che perciò me gli confesso obbli<lb></lb>gatissimo. </foreign></s> <s><lb></lb>Di Bologna 25 Ottobre <emph type="italics"></emph>1644.<emph.end type="italics"></emph.end><lb></lb> F. Bonaventura Cavalieri.</s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>106<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> GIANNANTONIO ROCCA a TORRICELLI <lb></lb>[in Firenze].<lb></lb>[Bologna, fine ottobre o primi novembre 1644].<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(LETTERE D'UOMINI ILLUSTRI DEL SECOLO XVII A GIANNANTONIO ROCCA. In Modena <lb></lb>MDCCLXXXV, pag. 331).<gap desc="/SM"></gap></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Non senza qualche rimorso ho ricevuto il libro, che da parte di <lb></lb>V. S. mi è stato dato qui in Bologna dal P. Bonaventura Cavalieri, <lb></lb>immaginandomi, che o sia per relazione di esso Padre, o di qualch'al<lb></lb>tro mio amorevole, o sia per innata sua cortesia avrà presupposto di <lb></lb>me più di quello, ch'è in verità, e ch'ella sia per trovare. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma quanto <lb></lb>sono men degno di questo onore, tanto maggiore è la grazia, che <lb></lb>ricevo, ben altrettanta la stima, che ne faccio, rendendomisi anche <lb></lb>indicibilmente più caro, mentre in questo viene ad aprirmisi l'adito <lb></lb>all'amicizia, e grazia di V. S., e che reco a particolar mia fortuna, e <lb></lb>non potrei dirle il compiacimento, che internamente ne sento, essendo <lb></lb>già un pezzo fa molto bene informato dell'incomparabil valore di lei, <lb></lb>e se non lo fossi riavrei una più che irrefragabil testimonianza nel <lb></lb>libro, di cui V. S. mi fa dono, del quale assolutamente non credo, che <lb></lb>la Geometria, e Meccaniche potessero desiderare cosa più teorica e <lb></lb>maravigliosa. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Rendo adunque a V. S. vivissimi, ed efficacissimi ringra<lb></lb>ziamenti di così fatto favore, e desiderando, che la presente mia let<lb></lb>tera dia appunto principio ad una vera, ed indissolubile amicizia, e <lb></lb>servitù con esso lei, non lascierò di pregarla, che già mi è stata così <lb></lb>amorevole delle sue grazie, avanti che le avessi dato alcun segno <lb></lb>della mia osservanza, voglia per l'avvenire non essermi scarso dei <lb></lb>suoi comandi, che sebbene in me non troverà qualità tali, che possano <lb></lb>avere relazione alcuna con la sublimità del suo ingegno, e quanto <lb></lb>a' studi di Matematica io ne sia piuttosto amatore, che professore, <lb></lb>contuttociò è tale l'affetto, che io porto all'infinito suo merito, e tanto <lb></lb>il desiderio, con cui ambirò sempre di adoperarmi in cose di suo ser<lb></lb>vigio, che almeno per questo capo mi pare di poter sperare alcun <lb></lb>posto tra il numero de' suoi servitori, e quì per fine le bacio con ogni <lb></lb>più vero affetto le mani. <lb></lb> Gio. </foreign></s> <s>Ant. </s><s>Rocca.</s></p> <pb pagenum="236"></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>107<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> TORRICELLI a GIANNANTONIO ROCCA <lb></lb>[in Bologna].<lb></lb>Firenze, 12 novembre 1644.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(LETTERE D'UOMINI ILLUSTRI DEL SECOLO XVII A GIANNANTONIO ROCCA. In Modena <lb></lb>MDCCLXXXV, pag. 348).<gap desc="/SM"></gap></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">La gentilezza di V. S. mi onora con tanta soprabbon<lb></lb>danza di cortesia, che io quanto a me resto confuso, nè <lb></lb>so trovar parole efficaci per esprimere i sentimenti del <lb></lb>mio cuore. </foreign></s> <s>Mi pareva soverchio, se ella non si fosse sde<lb></lb>gnata per aver io senz'alcun merito seco, pigliato ardire <lb></lb>di mandargli un cumulo delle mie sciocchezze stampate. </s><s><lb></lb>Ed ora m'addossa un'infinità di obbligazioni con lettera <lb></lb>tanto cortese. </s> <s><foreign lang="it">La supplico a voler sopportare l'inezie del <lb></lb>mio libretto con altrettanta compassione, con quanta be<lb></lb>nignità ella m'ha dato segno di riceverlo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Del resto io <lb></lb>avrò fra i titoli di gloria l'aver avuto fortuna di dedicar<lb></lb>mi servo a V. S. Ammiro il suo ingegno dacchè viddi in <lb></lb>Roma la dimostrazione sua del Fuso Parabolico, e feci <lb></lb>concetto del suo valore, giudicandolo come <emph type="italics"></emph>ex ungue leo<lb></lb>nem.<emph.end type="italics"></emph.end> Rendo a V. S. cordialissime grazie dell'onore, ch'ella <lb></lb>mi fa, contentandosi d'ammettermi alla sua servitù, e la <lb></lb>prego ad esercitarmi come suo servo vero. <lb></lb> Vangelista Torricelli.</foreign></s> </p> <pb pagenum="237"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>108<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> BONAVENTURA CAVALIERI a [TORRICELLI <lb></lb>in Firenze].<lb></lb>Bologna, 14 novembre 1644.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XXVIII, c. 53 — Autografa).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>M.<emph type="sup"></emph>to<emph.end type="sup"></emph.end> Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> et Ecc.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> e P.ron Col.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Mandai due ordinarij sono la dim.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> del Beaugrad da lei dimanda<lb></lb>tami, e spero che a quest'hora l'havrà ric.<emph type="sup"></emph>ta<emph.end type="sup"></emph.end> e vista, et insieme havrà <lb></lb>potuto comprendere che nell'istesso modo per l'Algebra litterale si <lb></lb>può far la dim.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> dalla p.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> dignità sino a . . . . . Io però fo la dim.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>in <expan abbr="q.">que</expan><emph type="sup"></emph>te<emph.end type="sup"></emph.end> per la via longa, seguendo lo stile di Euclide, come havrà <lb></lb>potuto vedere per le linee, e <arrow.to.target n="fig589"></arrow.to.target>.<emph type="sup"></emph>ti<emph.end type="sup"></emph.end> nella mia Geometria. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Scrissi poi al <lb></lb>P. Franc.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> desideroso di sentire il suo senso circa le mie difficoltà, che <lb></lb>ho di guarire dalla mia infirm.<emph type="sup"></emph>tà<emph.end type="sup"></emph.end> ma, ò che egli non ha ric.<emph type="sup"></emph>to<emph.end type="sup"></emph.end> la mia, ò <lb></lb>che non ha potuto rispondere, ò che io non posso haver da lui tal gratia, <lb></lb>e non ne son degno, non ho visto niente. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Scrissi à V. S. scherzando <lb></lb>sopra <expan abbr="q.">que</expan><emph type="sup"></emph>to<emph.end type="sup"></emph.end> pensiero, che gli è entrato di volermi risanare dalla Gotta, <lb></lb>ma confido anco che per la prudenza sua gli haverà celato quello, <lb></lb>che era da tacere. </foreign></s> <s><foreign lang="it">La prego a darli un motto della mia lettera per <lb></lb>sentire quello, che dice. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Si partì poi di quà il S.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Rocca mercoldì <lb></lb>passato, ma del suo libro non habbiamo potuto discorrere sì per es<lb></lb>sere stato lui occupatiss.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> in negotij, e non l'haver potuto vedere, si <lb></lb>anco perchè io lo prestai ad un mio amico, che me lo richiese con <lb></lb>molta istanza ne l'hò anco potuto rihavere. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Havendolo però noi scorso <lb></lb>superficialmente havrà potuto da esso S.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Rocca intendere quanto sia <lb></lb>grande la stima, che meritamente egli, et io ancora ne facciamo. </foreign></s> <s>Me <lb></lb>lo riserbo per delitia à migliore comodità, et intanto me li confermo <lb></lb>ser.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> di sinceriss.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> affetto. </s><s><lb></lb>Di Bologna alli 14 9bre 1644.<lb></lb> Di V. S. M. Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> et Ecc.<emph type="sup"></emph>ma<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>Dev.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> et Obb.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Ser.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb> f. </s><s>B. Cav.<emph type="sup"></emph>ri<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <pb pagenum="238"></pb> <figure id="fig589"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>109<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> MICHELANGELO RICCI a [TORRICELLI <lb></lb>in Firenze].<lb></lb>Roma, 19 novembre 1644.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLII, c. 57-61 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>M.to Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end>, et Ecc.<emph type="sup"></emph>te<emph.end type="sup"></emph.end> Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> mio Oss.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Che V. S. si compiaccia nella lettura delle mie bagattelle, il credo, <lb></lb>perchè sommamente lo desidero; ma però non m'inganna tanto il pro<lb></lb>prio amore, che non discerna molto bene ancora quanto abbondino <lb></lb>d'imperfezioni, e di leggerezze. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Tuttavia giacchè V. S. si è lasciata <lb></lb>trasportare dalla sua cortesia verso di me a segno di chiedermele, io <lb></lb>che non ho altra mira, che di servire ai cenni, e di secondare il gusto <lb></lb>di V. S. le mando alcune considerazioni intorno le sezioni coniche, et <lb></lb>i loro umbilici, o fochi, che vogliam dire. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Sit quaelibet sectio Coni, vel circumferentia circuli ABC, cujus axis <lb></lb>BD, focus F, per quem ordinatim applicetur recta HF producta in G. <lb></lb> <arrow.to.target n="fig590"></arrow.to.target><lb></lb>Dico GFH aequalem esse recto lateri sectionis. </s><s>Sit latus rectum BE; <lb></lb>erit ut DB, ad BE, vel quarta pars rectanguli DBE ad quartam partem <lb></lb>quarti BE, sic in parabola rectangulum DBF, vel eadem quarta pars <lb></lb>DBE, ad rectangulum FBE (sumpta nimirum BF altitudine communi) <lb></lb>in reliquis vero ita rectangulum DFB, quod <lb></lb>est eadem quarta pars DBE ad quadratum <lb></lb> <arrow.to.target n="fig591"></arrow.to.target><lb></lb>FH. Ergo per 9<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end>. s.<emph type="sup"></emph>i<emph.end type="sup"></emph.end> quarta pars quadrati <lb></lb>BE aequatur quadrato FH, sumptisque qua<lb></lb>druplis quadratum BE aequatur quadrato <lb></lb>GH, et latus lateri. </s><s>Quod ostendendum <lb></lb>fuerat &. </s></p> <figure id="fig590"></figure> <figure id="fig591"></figure> <p type="main"> <s>His positis; sit quaecumque sectio Coni, <lb></lb>vel circumferentia circuli ABC, cujus axis <pb pagenum="239"></pb>BD applicetur vertici ordinatim, BI dimidium lateris recti, ducaturque <lb></lb>IH parallela axi occurrens sectioni in H puncto, ex quo applicetur or<lb></lb>dinatim FH secans axem in F. Dico F esse focum quaesitum. </s><s>Si non, <lb></lb>ponatur quodcumque punctum K, et ordinetur KL, quae per anteceden<lb></lb>tem aequabitur BI, vel FH, quod est absurdum. </s><s>Simili ratiocinio inve<lb></lb>nietur alter focus in ellipsi, et hyperbola. </s><s>Quod faciendum erat &. </s></p> <p type="main"> <s>Li miei studi sono disordinatissimi e tepidi per mancamento di <lb></lb>persona con chi conferire. </s><s>Il Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Raffaello non si lascia veder mai, <lb></lb>et io non mi lascio veder da lui, perchè mi dice di avere mille occu<lb></lb>pazioni, alle quali non vo' portar pregiudizio, e disturbo. </s> <s><foreign lang="it">Questi giorni <lb></lb>addietro intrapresi un' operetta intorno la sezione del cono, et del <lb></lb>cilindro; materia trattata dal Midorgio per quel che tocca il cono, <lb></lb>non solo più diffusamente di quel che richieda la materia, ma dirò <lb></lb>così per ambages, mentre vi è una strada facilissima, dove si cammina <lb></lb>brevemente, et con principi immediati dell'identita, o similitudini delle <lb></lb>sezioni, s'accresce il di lui mancamento, che porterà in tre, e quattro <lb></lb>proposizioni, quel che non è altro, che una varietà di casi. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Circa la <lb></lb>sezione del cilindro ne parla Sereno, ma imperfettamente, et anche <lb></lb>egli si va ravvolgendo in mille labirinti per arrivar poi ad una meta, <lb></lb>dove poteva immediatamente por piede, tentando altra via. </foreign></s> <s><foreign lang="it">L'una, et <lb></lb>l'altra materia, crederò in poche proposizioni di sbrigare, se la flemma <lb></lb>accompagnerà, o per dir meglio modererà l'ordine della mia impazien<lb></lb>za. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Mi son destato all'avviso del nuovo Libro di V. S. et mi porgerà <lb></lb>materia d'apportare agli amici nuova desideratissima. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Mi rammarico <lb></lb>d'avere perduta appresso V. S. quella confidenza e famigliarità prin<lb></lb>cipiata nel tempo del mio noviziato. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Se per alcun mio demerito mi è <lb></lb>sospesa, riputerò a mio singolar favore, che ella me ne faccia avveduto, <lb></lb>acciocchè io possa essere ridintegrato nella buona grazia di V. S. <lb></lb>la quale è l'unico scopo delle mie fatiche in questa professione di <lb></lb>Geometria; poichè, eccettuate alcune proposizioni, che un pezzo fa <lb></lb>vidde il Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Magiotti, et alcune triviali, cioè appartenenti ai Libri <lb></lb>d'Euclide, et altre materie più ordinarie, le quali mostrai ad un mo<lb></lb>naco amico mio, non vi è persona, che vegga le mie scritture. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Perchè <lb></lb>non essendo mio fine di stampare, o di essere riputato per conto <lb></lb>veruno, disprezzo le mie specolazioni, come in se stesse di nulla esti<lb></lb>mazione, et non le scrivo, solo qualcuna per mantenere il commercio <lb></lb>con V. S., et riportarne per mia gloria qualche lode, della quale mi <lb></lb>conosco pur troppo ambizioso. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Tengo lettere del Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Nardi, che vuole <lb></lb>essere costì da V. S. La prego a raccomandarmi in grazia, quando <lb></lb>segua la sua venuta, et a voler continuare sempre la gentil disposi<lb></lb>zione verso di me persuadendosi che io procurerò costantemente di <lb></lb>rendermene al possibile degno, et le bacio le mani. </foreign></s> <s><lb></lb>Roma lì 19 Novembre <emph type="italics"></emph>1644.<emph.end type="italics"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Con altra occasione scriverò a V. S. ciò che pensai della coclea &. </foreign></s> <s><lb></lb>Il Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Francesco Stelluti saluta caramente V. S., e scrivendogli <pb pagenum="240"></pb>V. S. mi obbligherà singolarmente ad accrescermi la di lui benevo<lb></lb>lenza con quegli uffici, che la gentilezza di V. S. sa fare per onorare <lb></lb>chi la riverisce, come io &. <lb></lb> Di V. S. M.to Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end>, et Ecc.ma <lb></lb>Aff.mo, et Obb.mo Servitore, et Discepolo<lb></lb> Michelangelo Ricci.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>110<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> MICHELANGELO RICCI a [TORRICELLI <lb></lb>in Firenze].<lb></lb>Roma, 9 dicembre 1644.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLII, c. 62-64 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>M.to Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end>, et Ecc.mo Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end>, e P.rone Oss.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Rendo mille grazie alla sincerità, gentilezza di V. S. che con mio <lb></lb>singolar profitto mi addita i miei mancamenti. </s> <s><foreign lang="it">La prego con tutto <lb></lb>l'affetto a voler continuare meco sempre in questa maniera, che lo <lb></lb>riceverò per caparra della sua solita amorevolezza, e buona volontà <lb></lb>verso de' studi miei. </foreign></s> <s>Io confesso a V. S., che sono così maltrattato da <lb></lb>alcune perturbazioni d'animo, e da pensieri noiosissimi, e tali, che non <lb></lb>rammento aver quasi provato i più travagliosi; onde mi par d'operar <lb></lb>miracoli ogni volta, che metto in carta due versi senza errore, nonchè <lb></lb>senza minimo mancamento. </s> <s><foreign lang="it">Compatisca però se con le mie sciocchezze <lb></lb>più che mai mal composte io porto tedio, et occupazione a V. S. <lb></lb>Dirò solo per satisfare alla promessa, che io le <lb></lb> <arrow.to.target n="fig592"></arrow.to.target><lb></lb>feci, che rivolto intorno AC il rettangolo AB, <lb></lb>sarà descritto dal triangolo CBD un solido <lb></lb>eguale ad una mezza sfera, se AB sarà qua<lb></lb>drato; et ad una emisferoide, se AB sarà ret<lb></lb>tangolo oblongo, come io potrei dimostrare, se <lb></lb>non fosse provato da V. S. nel libro <emph type="italics"></emph>de dimens. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>parab.<emph.end type="italics"></emph.end> Ora questa mezza sfera è descritta dal <lb></lb>triangolo rettangolo CBD, che gira nella concavità della superficie <lb></lb>cilindrica descritta dalla retta BD. Il quale triangolo descriverà una <lb></lb>coclea (mentre gli si aggiungerà il moto retto all'insù) eguale alla <lb></lb>suddetta mezza sfera, ovvero emisferoide. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Secondariamente sia il trian<lb></lb>golo isoscele ABD, il cui asse BC, intorno al quale rivolto esso triangolo <lb></lb>venga descritto un solido dal triangolo GQD, il cui lato QG sia paral<lb></lb>lelo all'AB. Sarà questo solido uguale ad un conoide parabolico. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Perchè <lb></lb>intesa IHR semiparabola intorno all'asse IH eguale all'asse QF del <lb></lb>triangolo, et il quadrato HR eguale al rettangolo AGD, poi tirata la <pb pagenum="241"></pb>LOMN, parallela all'AD, et la PQ ordinata nella semiparabola, facendo <lb></lb>IP eguale al QM, sarà il quadrato PQ eguale al rettangolo LON, come <lb></lb>facilmente si prova; et sic de singulis; dunque il conoide è uguale al <lb></lb>solido fatto dal triangolo QGD, il qual triangolo gira sulla superficie <lb></lb> <arrow.to.target n="fig593"></arrow.to.target><lb></lb>cilindrica descritta dalla QF parte dentro, e parte fuori. </foreign></s> <s>Sicchè datogli <lb></lb>il moto all'insù descriverà anch'esso una coclea eguale al conoide <lb></lb>suddetto. </s><s>Quod &. </s></p> <figure id="fig592"></figure> <figure id="fig593"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Il Padre Mersenne credo, che verrà a trovarmi, perchè così mi <lb></lb>disse un Padre della sua Religione amicissimo mio. </foreign></s> <s>Nientedimeno mi <lb></lb>terrò onorato assai dell'occasione, che V. S. mi porgerà di presentarle <lb></lb>sue lettere. </s><s>Io come dico a V. S. sto talmente turbato interiormente, <lb></lb>che sfuggo i congressi di certe sorte di persone, le quali possono ne<lb></lb>cessitarmi a parlar di scienze; tanto più questo Padre, che verrà in <lb></lb>Italia per giudice dell'altrui talento. </s><s>Invidio i suoi trattenimenti car<lb></lb>nevaleschi, poichè per me tutto è tempo di passione, ed augurandole <lb></lb>sempre nuove consolazioni, affettuosissimamente le bacio le mani. </s><s>Per <lb></lb>conto di quel Problema non mi dà l'animo di applicarvi. </s><s><lb></lb>Roma lì 9 Decembre <emph type="italics"></emph>1644.<emph.end type="italics"></emph.end><lb></lb> Di V. S. M.to Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end>, et Ecc.ma <lb></lb>Servit.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> aff.mo et Obb.mo Discepolo<lb></lb> Michelangelo Ricci</s></p> <pb pagenum="242"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>111<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> [TORRICELLI a MICHELANGELO RICCI <lb></lb>in Roma].<lb></lb>Firenze, 17 dicembre 1644.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XL, c. 97 — Copia di L. Serenai).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Ho veduto con molto mio gusto le specolazioni di V. S. <lb></lb>sopra le Coclee, o Viti. </s> <s><foreign lang="it">Veramente sono ingegnosissime, <lb></lb>e m'hanno accresciuto molto più il concetto già grandis<lb></lb>simo ch'io havevo formato del suo valore. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Mi rallegro <lb></lb>seco ch'ella vada facendo progressi di <expan abbr="q.">que</expan><emph type="sup"></emph>ta<emph.end type="sup"></emph.end> sorte, e la prego <lb></lb>anco a tener conto delle cose ch'ella và trovando e spe<lb></lb>colando di mano in mano perchè saranno bastanti un <lb></lb>giorno ad assicurargli l'immortalità del nome. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Passò hieri di quà il P. Ant.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> Nardi, ma passò quasi <lb></lb>fuggendo non essendosi fermato più d'un giorno. </foreign></s> <s>Lo re<lb></lb>ver.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> etc. </s><s>Firenze 17 Dicembre 1644. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Mi mostrò il P.re Mersenne un foglio con dimostra<lb></lb>zione lunghissima, e per quanto mi parve ell'era difficile. </foreign></s> <s><lb></lb>La pensai poi ed era una baia, e si scioglie con i primi <lb></lb>6 libri d'Euclide et è tale. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Dato il semicircolo ABC di cui sia centro E, trovar <lb></lb>il punto D si che il rettangolo ADB sia il <lb></lb> <arrow.to.target n="fig594"></arrow.to.target><lb></lb>massimo che si possa contenere dal seg<lb></lb>mento AD e dalla perpendicolare DB. <lb></lb>Il punto D cade nel mezzo di EC. La <lb></lb>prova poi è facile per certa dottrina del <lb></lb>6.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> libro, non so se io lo scrissi altra volta, caso che sì, <lb></lb>scusi il difetto di memoria. </foreign></s> </p> <pb pagenum="243"></pb> <figure id="fig594"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>112<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> MICHELANGELO RICCI a [TORRICELLI <lb></lb>in Firenze].<lb></lb>Roma, 24 dicembre 1644.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLII, c. 65-68 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>M.to Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> et Ecc.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> mio Oss.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Il Padre Mersenne è stato da me finora tre volte, prima col Padre <lb></lb>Emanuelle Magnani amicissimo mio, poi con un Armeno pur mio amico, <lb></lb>et ultimamente assieme col Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Cavalier del Pozzo; ma quanto è <lb></lb>stato facile in onorarmi con le sue visite, altrettanto difficile si rende <lb></lb>in trovarlo in convento per restituirgli la visita, poichè sempre va <lb></lb>fuori, cercando virtuosi manoscritti, et altre curiosità. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Questa sera mi <lb></lb>son trattenuto alla Trinità fino a mezzora, e più di notte, volendogli <lb></lb>presentar la lettera di V. S.; ma facendosi troppo tardi, et esso non <lb></lb>veniva mi son risoluto di lasciarla in mano del suddetto Padre Ema<lb></lb>nuelle, il quale gliela ricapiterà sicura, e complirà per me. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ho stimato <lb></lb>bene di far così, acciocchè fosse in tempo di rispondere a V. S., poi <lb></lb>una di queste Feste tornerò per farli riverenza, e ricevere gli onori, <lb></lb>che mi prometto da lui in riguardo della gentilissima lettera da V. S. <lb></lb>scrittali, nella quale mi vedo onorato troppo, sicchè mi passa certa<lb></lb>mente in mortificazione. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Il Problema Franzese non ha in sè difficoltà <lb></lb>veruna, e senza bisogno di coniche sezioni, come V. S. m'avvertisce, si <lb></lb>può benissimo sciorre; tuttavia dall'iperbola io ne deduco un metodo <lb></lb>molto generale, valendomi di quella, non per l'estezione <emph type="italics"></emph>(sic)<emph.end type="italics"></emph.end> del Pro<lb></lb>blema, o diremmo noi per trovare il punto quesito, ma trovato questo <lb></lb>geometricamente mi servo dell'iperbola per facilitarne la prova. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Sia <lb></lb>qualsivoglia figura ABC sulla retta <lb></lb> <arrow.to.target n="fig595"></arrow.to.target><lb></lb>AC costituita, e di natura tale, che <lb></lb>tutte le perpendicolari, che si ti<lb></lb>rano dall'ambito suo ABC cadano <lb></lb>nella retta AC. Per trovar simil<lb></lb>mente in questa figura il massimo <lb></lb>rettangolo AFB, tutto si riduce a <lb></lb>questo di trovare la DBE, che toc<lb></lb>chi la figura ABC, et dal punto B <lb></lb>del contatto sia essa tangente segata in mezzo, et applicata essa <lb></lb>tangente nell'angolo retto DAE. Perchè fatto vertice B, et asintoti <lb></lb>DA, AE si descriva l'iperbola HGB, oppur s'intenda, sarà il rettangolo <lb></lb>BA, cioè GA maggior del rettangolo AI, et sic de ceteris; dunque AB <pb pagenum="244"></pb>è il massimo; anzi che si può pro<lb></lb> <arrow.to.target n="fig596"></arrow.to.target><lb></lb>porre il problema più generale cer<lb></lb>cando il massimo parallelogrammo <lb></lb>col dato angolo, ed allora si fa <lb></lb>l'angolo DAE uguale al dato quando <lb></lb>non sia maggiore d'un retto, ov<lb></lb>vero al compimento di due retti, se <lb></lb>è maggior d'un retto, et come di <lb></lb>sopra, trovata la tangente DBE, che <lb></lb>sottenda l'angolo DAE, et nel punto del contatto sia divisa nel mezzo <lb></lb>in B, proveremo AB essere il massimo parallelogrammo con l'angolo <lb></lb>dato. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Altre bagattelle deduco da questa maniera, le quali a V. S. sa<lb></lb>rebbono di tedio il leggerle, et a me lo scriverle di fatica. </foreign></s> </p> <figure id="fig595"></figure> <figure id="fig596"></figure> <p type="main"> <s>Avevo in una cartuccia notata una risoluzione, o analisi delle sud<lb></lb>dette cose per quel che attiene all'ellissi, et al circolo unitamente in <lb></lb>una proposizione, ma me la sono smarrita. </s> <s><foreign lang="it">Trovavo quella tangente <lb></lb>divisa bifariam nel punto del contatto, et intercetta, qualcuno l'averà <lb></lb>presa come carta, che non servisse a nulla. </foreign></s> <s>Poco me ne curo, perchè <lb></lb>la stimo poca perdita, et piacendo al Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> la rintraccerò. </s> <s><foreign lang="it">Bacio a <lb></lb>V. S. le mani, et Le rendo le buone feste, et il buon capo d'anno, con <lb></lb>tutto quel bene, che V. S. desidera. </foreign></s> <s>Continui meco, siccome la prego, <lb></lb>il suo solito cortese affetto, e mi comandi. </s><s><lb></lb>Roma lì 24 Dicembre <emph type="italics"></emph>1644.<emph.end type="italics"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ho preso copia della scrittura intorno la percossa, et ne rendo a <lb></lb>V. S. le debite grazie, &. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Averei caro di sapere in che spendano il <lb></lb>tempo cotesti matematici, et se hanno per le mani qualche bella <lb></lb>materia. <lb></lb> Aff.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end>, et Obb.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Servit.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> e Discepolo<lb></lb> Michelangelo Ricci</foreign></s> </p> <pb pagenum="245"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>113<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> MARINO MERSENNE a TORRICELLI <lb></lb>in Firenze.<lb></lb>Roma, 25 dicembre [1644].<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani Discepoli, T. XLI, c. 56-58 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Tandem, vir Illustrissime, binas Galilaei experientias abs te accipio, <lb></lb>de quibus nihil est, quod timeas, quippe quas tuis solis amicis osten<lb></lb>surus sum, verbi gratia, Domino Riccio, ut quae minus bene capio, <lb></lb>mihi explicet. </s><s>Porro multa similia reperies in mea Ballistica, siquando <lb></lb>ad tuas manus pervenerit, quam paulo ante meum e Lutetia discessum <lb></lb>in lucem emisi, quae tibi etiam servire possint, ut plura tuis cogitatio<lb></lb>nibus addas. </s></p> <p type="main"> <s>Miror vero tui ingenii mirabiles foetus, quos tuus liber profert, <lb></lb>adeo ut ausim primum tibi locum Geometras inter huius seculi tribuere, <lb></lb>a quo quum expectem judicium de Aristarcho , qui nondum ex meo <lb></lb>Sacco nondum allato ad me pervenit, malim jam illum, quem pro <lb></lb>D. Du Verdus huc afferri curaveram, ad te mittere, quo fruaris, quem<lb></lb>que, si lubet, ubi cum perlegeris, et de eo mentem aperueris, quid <lb></lb>nempe in eo desideres, aut quid superfluum arbitreris etiam Clarissimo <lb></lb>viro D.no Donio legendum trades, donec ex Sacco alium ad eum mit<lb></lb>tam quemadmodum et ad Pisanum mathematicum Renerium, si bene <lb></lb>memini. </s><s>Itaque ne quidpiam dubites, me fidem meam apud vos omnes <lb></lb>liberaturum, et deinceps provisurum, ne Saccus, ubi fuerint pretiosiora, <lb></lb>mihi excidat. </s></p> <p type="main"> <s>Vix autem credideris quanto gaudio afficiar de noto mihi Riccio, <lb></lb>et Magiotto, ad illum penitus rescribes, me strictissimam cum eo ami<lb></lb>citiam velle contrahere, eiusque nobilissimum ingenium apud nostros <lb></lb>commendare. </s><s>Optimus Magiottus mihi ostendit vitrum prospicilij, quod <lb></lb>ad eum misisti, quod cum Fontanae vitro, quod etiam habet, collatum, <lb></lb>minus bonum apparuit; quumque legissem in tuo Libro, vitra a te <lb></lb>parata superare, quae hucusque apparuere, nempe et vitra Galileana, <lb></lb>et Fontanae, miratus sum, quod id in illo tuo vitro non deprehende<lb></lb>retur. </s><s>Quamquam post tuam assertionem vix dubitem, quin revera po<lb></lb>lieris alia, quae eo, quo dicis, modo reliqua superent. </s><s>Quis vero ego <lb></lb>sim, qui abs te unum ex istis Bonis sperem? </s><s>Quamquam si per solam <pb pagenum="246"></pb>pecuniam stet, ausim abs te unum ex optimis expectare, pro quo, a <lb></lb>me prius hic probato, iussam abs te pecuniam sim refusurus. </s><s>Experien<lb></lb>tiae, si vis, testis erit Magiottus ille expers, et oculatus. </s><s>Ceterum no<lb></lb>veris me tibi ita addictum esse, tantique tuam virtutem, atque scien<lb></lb>tiam ita facere, nihil ut meae ad te existimationi putem addi posse. </s><s><lb></lb>Si rursus mea scriptura tibi sit difficilis, habes oedipum amicissimum <lb></lb>D. Donium, cui me plurimum commendabis, dum utriusque fuero semper <lb></lb>obsequentissimus Mersennus. </s></p> <p type="main"> <s>Die Natalis Domini Romae. </s><s>Miror te per plana reperisse, quae <lb></lb>Fermatius discursu de maximis habet, quem tamen propria manu de<lb></lb>scriptum ad te vel iam misit, vel brevi missurus est D. Du Verdus. </s><s><lb></lb>Si placet ad me idem mittere per plana solutum mittam ad Fermatium, <lb></lb>et Robervallum, ut tui foetum ingenii admirentur, et paria referant. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>114<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> MICHELANGELO RICCI a [TORRICELLI <lb></lb>in Firenze].<lb></lb>Roma, 31 dicembre 1644.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLII, c. 69-73 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>M.to Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end>, et Ecc.mo Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end>, e P.rone Oss.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Il Padre Mersenno con l'acclusa lettera accusa la ricevuta di quella, <lb></lb>che le fu da me presentata in nome di V. S., e dopo molte, e molte <lb></lb>cose, le quali potrà ella intendere in essa, mi ha pregato, che volessi <lb></lb>scrivere a V. S. qual debba esser quel vaso, che riempito d'acqua, e <lb></lb>poi votato per di sotto in esso scenda la superficie dell'acqua conte<lb></lb>nutavi per parti uguali dell'asse in tempi eguali; supposto l'asse per<lb></lb>pendicolare all'orizzonte. </s> <s><foreign lang="it">E s'è indotto a far la presente richiesta per <lb></lb>aver letto nel libro di V. S. che il vaso parabolico mostra a prima <lb></lb>vista di prestar questo, ma in effetto poi così non succede. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Quanto <lb></lb>alla scrittura della percossa, egli mi disse avervi sopra delle difficoltà, <lb></lb>le quali tutte confessò poi sopite; quando in latino gli dissi quel che <lb></lb>la scrittura scriveva in volgare. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ha veduto il Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Nardi questa me<lb></lb>desima scrittura, e dopo un poco di riflessione, che vi fece sopra, ha <lb></lb>trovato alcune opposizioni, delle quali vo' per onorarmi, farmene par<lb></lb>tecipe. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Credami V. S., che alle perturbazioni, che io sopportavo nel <lb></lb>pensiero acerbissime non poteva il Cielo concedermi più proporzionato <lb></lb>sollievo della conversazione del Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> Antonio Nardi altrettanto cor<lb></lb>tese, che dotto, il quale senza eccezione alcuna mi va onorando con <pb pagenum="247"></pb>la comunicazione de' suoi dottissimi ritrovati. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Pensai l'altro giorno <lb></lb>potersi dimostrare per luoghi piani tutto quello, che pretende l'autor <lb></lb>franzese intorno le tangenti, perchè ripigliando la figura con la co<lb></lb>struzione nell'altra mia inviatale, cioè la tangente EF divisa nel punto <lb></lb>B bifariam, il parallelogrammo EH <lb></lb>è uguale ad AH. Gionti utrinque <lb></lb> <arrow.to.target n="fig597"></arrow.to.target><lb></lb>eguali, sarà AI eguale al gnomone <lb></lb>LEKHI, et in conseguenza minore <lb></lb>di EB, cioè AB, et sic de singulis. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Dunqne AB è il massimo parallelo<lb></lb>grammo, che si possa costituire nel <lb></lb>triangolo AEF con l'angolo comune <lb></lb>A, et però AB sarà anco maggiore <lb></lb>di GA (et ogni altro) contenuto sotto <lb></lb>la parte AM della base della figura, e della cadente GM dal perimetro <lb></lb>di essa figura . </foreign></s> </p> <figure id="fig597"></figure> <p type="main"> <s>Evvi un altro problema tale. </s> <s><foreign lang="it">Nel semicircolo ABC fare il rettangolo <lb></lb>ABD eguale ad un dato; il quale problema è solamente proposto, ma <lb></lb>la risoluzione dice d'averla posta in un'operetta sua <emph type="italics"></emph>de locis planis et <lb></lb>solidis,<emph.end type="italics"></emph.end> dove con un'iperbola soddisfa al quesito. </foreign></s> <s>Penso, che possa essere <lb></lb>in questa maniera. </s> <s><foreign lang="it">Se il rettangolo <lb></lb>dato sia eguale al medesimo ADB <lb></lb> <arrow.to.target n="fig598"></arrow.to.target><lb></lb>(il quale non deve esser minore del <lb></lb>dato) si costruirà il problema come <lb></lb>di sopra; se minore, se gli faccia <lb></lb>eguale HA intorno il diametro del<lb></lb>l'AB congiunta; poi fatto vertice H, <lb></lb>asintoti EA, AF si descriva l'iper<lb></lb>bola IHK, che ne' due punti I, K <lb></lb>seghi il cerchio, et questi due punti <lb></lb>ci additeranno li due rettangoli, che possono satisfare al quesito. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ho <lb></lb>fatto consegnare al Procaccio un Libretto datomi dal Padre Mersenno, <lb></lb>et l'ho francato, che l'avviso Le serva. </foreign></s> </p> <figure id="fig598"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Un monaco di S. Callisto che tien cura delle scritture postume <lb></lb>del Padre Abate Castelli prega V. S. a volergli far grazia del proprio <lb></lb>parere intorno la seconda parte delle acque correnti, perchè si trova <lb></lb>un Libraro, che gli stamperebbe a sue spese, et li P.P. non vedono <lb></lb>volentieri sepolte le gloriose fatiche di quel buon vecchio. </foreign></s> <s>Quando <lb></lb>ancora V. S. si trovasse in istato di porvi mano, e perfezionarle, credo, <lb></lb>che i Padri se ne riputerebbero favoriti. </s> <s><foreign lang="it">Il Padre Mersenno è frequen<lb></lb>temente da me a far lunghissimi colloqui, e dico certo, che se dura <lb></lb>questo Padre un sol mese continuamente, come fa, mi necessiterà im<lb></lb>parare la lingua mendicante latina, che potrò viver sicuro in ogni <lb></lb>evento, che mi succedesse di trovarmi in bisogno di poter comparire <lb></lb>tra gli altri preti franzesi mendicanti. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ha egli una lingua latina così <pb pagenum="248"></pb>pura, che l'impatta talvolta con Merlin Coccaio. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Io però devo sempre <lb></lb>dirne bene, se mi fa tutto quello, che mi ha promesso, cioè di procu<lb></lb>rarmi manoscritti, e libri a noi sconosciuti, che nelle parti della Francia <lb></lb>giornalmente s'imprimono. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ma è tempo ch'io taccia, ho parlato tanto, che mi potrò oggimai <lb></lb>appropriare il titolo di <emph type="italics"></emph>aes sonans, et cybalum tinniens.<emph.end type="italics"></emph.end> Riverisco V. S. <lb></lb>et le replico l'augurio del buon capo d'anno. </foreign></s> <s><lb></lb>Roma lì 31 Dicembre <emph type="italics"></emph>1644.<emph.end type="italics"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Perchè ognuno abbia il suo onore, confesso, che alle suddette con<lb></lb>siderazioni mi ha dato luce quel poco, che V. S. mi accennò nella sua <lb></lb>gentilissima, potersi con una certa dottrina del 6.° risolvere il pro<lb></lb>blema nel cerchio. <lb></lb> Aff.mo, et Obb.mo Servit.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> e Discepolo<lb></lb> Michelangelo Ricci</foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>115<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> MICHELANGELO RICCI a [TORRICELLI <lb></lb>in Firenze].<lb></lb>Roma, 7 gennaio 1645.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLII, c. 74-75 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Molto Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end>, et Ecc.mo Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> mio Oss.mo. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Con le lettere dell'ordinario passato, et dell'antecedente avvisai a <lb></lb>V. S. una mia certa considerazione per risolvere il problema franzese, <lb></lb>la quale essendo nata fra le inquietudini di ben mille noiosissimi pen<lb></lb>sieri, che richiamavano l'animo ad oggetti di più alta premura, benchè <lb></lb>altrettanto più disgustosi, manca in due cose, per quanto io posso <lb></lb>ricordarmi; primieramente chiamo un angolo per un altro secondaria<lb></lb>mente v'ho tralasciata una determinazione, che darebbe il compimento <lb></lb>al problema così generalmente proposto, come io lo risolvei. </foreign></s> <s>Ma <lb></lb>l'averne io detto tanto sarà occasione, che io non la tedi maggior<lb></lb>mente in cosa di picciolissimo rilievo. </s> <s><foreign lang="it">L'altra mattina mi successe di <lb></lb>sciorre un altro problema portato con gran lungheria dall'autor fran<lb></lb>zese della medesima scrittura, il quale è tale. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Nel semicircolo ABC ritrovare AD + DB, che sia il massimo aggre<lb></lb>gato della perpendicolare, e d'un segamento del diametro AEC. La <lb></lb>retta ED possit dimidium quadrati a semidiametro EC, et s'alzi la <lb></lb>perpendicolare DB dico AD + DB essere il cercato. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Facciasi GD eguale <lb></lb>a DB, et si connetti EB, e GB prolongata fino in F al concorso dell'AF <pb pagenum="249"></pb>tangente del semicerchio in A, sarà il <lb></lb> <arrow.to.target n="fig599"></arrow.to.target><lb></lb>triangolo FAG isoscele, come anche <lb></lb>il triangolo BDG, et però AD + DB <lb></lb>eguale ad AG. Sia tirata utcunque la <lb></lb>perpendicolare IH prodotta in K, sarà <lb></lb>similmente AH + HK eguale ad AG, <lb></lb>cioè ad AD + DB; ma AH + HI è aggre<lb></lb>gato minore di AH + HK dunque sarà <lb></lb>anche minore dell'aggregato AD + DB, <lb></lb>et sic de singulis. </foreign></s> </p> <figure id="fig599"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Dunque AD + DB è il massimo; il <lb></lb>che si dovea fare. È noto che l'artifizio <lb></lb>per trovare questo massimo aggregato consiste in trovare un trian<lb></lb>golo isoscele, la cui base tocchi la periferia ABC in un sol punto. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Dal <lb></lb>Padre Mersenno ho ricevuto il plico quì aggiunto, che prego V. S. a <lb></lb>voler restare servita di ricapitarlo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">E quì facendo a V. S. le dovute <lb></lb>offerte della mia servitù le bacio affettuosissimamente le mani. </foreign></s> <s><lb></lb>Roma li 7 Gennaio 1645.<lb></lb> Di V. S. m.to Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> et Ecc.ma <lb></lb>Aff.mo, et Obb.mo servit.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> e Discepolo<lb></lb> Michelangelo Ricci.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>116<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> MARINO MERSENNE a TORRICELLI <lb></lb>in Firenze.<lb></lb>Roma, 10 gennaio 1645.<lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>(Bibl. </s><s>Naz Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLI, c. 14-15 — Copia di L. Serenai). </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Nel margine laterale interno della carta 14 <emph type="italics"></emph>recto<emph.end type="italics"></emph.end> dello stesso codice “ Discepoli di <lb></lb>Galileo, T. XLI, ecc ” è scritto longitudinalmente: “ <emph type="italics"></emph>Initium lectionis. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Oro Virum <lb></lb>Illustrissimum Dominum Doni, ut si non possis, hasce nostras litteras tibi perlegat<emph.end type="italics"></emph.end> ”. <lb></lb>— Tutto cio che segue dalle parole “ <emph type="italics"></emph>Miror quod cum saccus meus<emph.end type="italics"></emph.end> . . . ” fino alla <lb></lb>fine è ripetuto nelle carte 67-70 dello stesso manoscritto in copia di mano <lb></lb>diversa.<gap desc="/SM"></gap></foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Cum nuper inviserem Dominum du Verdus Vir Illustrissime, mira<lb></lb>tus sum quod ad te non misisset tractatum Fermatij de Minimis, quod <lb></lb>illum pro uno vel altero die Tevenello commodasset amico suo Gallo, <lb></lb>qui non reddito tractato (<emph type="italics"></emph>sic<emph.end type="italics"></emph.end>) Neapolim petijt. </s><s>Namque iam alium <lb></lb>eiusdem Fermatij tractatum accipe, quandiu alium recuperaro: de quo <lb></lb>tractatu iudicium tuum expeto. </s><s>Porrò tantum apud me iam iam potes, <lb></lb>ut tibi nihil non debere mihi videar, adeo ut tua desideria, iussa vocare <lb></lb>possim. </s><s>Credo Dominum Ricci ad te scripsisse ut formam Vasis ad <pb pagenum="250"></pb>nos mittas, quod aquam suam per idem foramen in temporibus aequa<lb></lb>libus redderet, cum conoidale parabolicum pag. 202 minime tibi satis<lb></lb>fecerit. </s><s>Itaque Vas ad id proprium expectamus, quod ubi vino falerno <lb></lb>fuerit oppletum, . . . . tua salute paribus . . . . intervallis et tempo<lb></lb>ribus evacuemus. </s><s>Quaeso te verò ne prodatur illa Charta Synereseos et <lb></lb>Anastrophes, ne si pereat exemplar primum, illo semper tractatu carea<lb></lb>mus. </s><s>Quantum cupio ut tua nova gravitatis centra, et alia . . . . <lb></lb>vulgentur, quae tanti facio, ut etiam propriis impensis sim illorum edi<lb></lb>tionem curaturus, dum Parisios rediero, si iusseris. </s></p> <p type="main"> <s>Det tibi annum faustissimum, quo nova tua perspicilia possis ad <lb></lb>summam perfectionem brevi perducere . . . . . . . . . . . . . . nomine <lb></lb>. . . . . a viro nostro harmoniae . . . . patri, restauratorique. </s><s>Jam . . . <lb></lb>gaudeo . . . novisse nobilem Virum Mich . . . . Riccium, et quosdam <lb></lb>alios . . . . . . quos omnibus Peripateticis longe . . . . </s></p> <p type="main"> <s>Si vel hac vice difficilis sit tibi meus character, et magno Viro <lb></lb>Domino Doni ad legendum egens, alteram . . . . longioribus litteris <lb></lb>Italicis scribam quales sunt sequentes <lb></lb>Tui Obsequentissimi Mersenni. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>10. novi anni 1645. in Monte Pincio seu Sanctae Trinitatis.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Miror quod cum saccus meus datus sit afferendus ad me die S. Ste<lb></lb>phani, quo Genua religiosus unus ex nostris discessit ut Civitatem <lb></lb>vestram appelleret, nondum tamen huc advenerit, nescio num praedones <lb></lb>maritimi illum in captivum duxerint, aut unde tanta illa mora: si <lb></lb>omnia perdidero maxime dolebo propter vestram Illustrem Domina<lb></lb>tionem, quod Geometriae non potuerim illi, quae sacco involvebantur <lb></lb>communia facere. </s></p> <p type="main"> <s>Habeo praeclara et subtilia 1-2. et 3. prop. </s><s>de motu graium (<emph type="italics"></emph>sic<emph.end type="italics"></emph.end>) <lb></lb>descendentium, quae oportuisse te vidisse dudum egregiè demonstrata <lb></lb>ab Robervallo nostro in meis harmonicis Gallicis, quae habet ex meo <lb></lb>dono Illustris Dominus Doni Gall......... videre poteris apud illius librum, <lb></lb>si tantisper Gallicè intelligas. </s><s>Imò si non intelligas, gaudebis admodum <lb></lb>videre tractatum illum mechanicum ad calcem libri tertij positum, <lb></lb>. . . . . . . . . . intelligas, figurae ipsae te Gallicam linguam docebunt, <lb></lb>. . . . . . . . . . . . materia vidisse firmius. </s><s>Quin et Pappus quem pagina <lb></lb>203. laudas, egregiè refellitur pag. </s><s>undecima propos. </s><s>Coroll. 4. ubi <lb></lb>Cardani et Pappi paralogismi deteguntur. </s><s>Quem tractatum si legeris <lb></lb>iudicium tuum requiro. </s></p> <p type="main"> <s>Si necessarium iudices ut ad Dominum Doni scribam ut curet ad <lb></lb>tuam domum librum illum perferri, faciam, vel si volueris illum postu<lb></lb>lare . . . ex uno exemplari vellem, et separabo tractatum illum, quem <lb></lb>ad te missurus sum protinus ubi iusseris, . . . . . . . tantum tres qua<lb></lb>terniones seu paginas in folio 36. quae ubi perlegeris remittes ne . . . <lb></lb>exemplar sit imperfectum. </s><s>Vel si desperes de intellectu gallico, faciam <lb></lb>ut nobilissimus amicus Riccius, qui gallicè intelligit, illum tractatum <lb></lb>perlegat, et suum ad te iudicium, vel . . . tractatum in synopsin ad <pb pagenum="251"></pb>te mittendam. </s><s>Quod etiamnum feci in meis . . . . . . . . . tractatu de <lb></lb>. . . . . . . . , ubi latine praecipua illius tractatus reddidi, sed quidquid <lb></lb>sit . . . aliqua istorum . . . . . . . . . exemplaria expectes, nil penitus <lb></lb>accipies licet . . . dediss . . circa . . . 3. Junium praeteritum Romam <lb></lb>transmittenda: quae te scire volui ut . . . . . . . . . . . . . . . deplores <lb></lb>infelicitatem. </s></p> <p type="main"> <s>Pagina 104. supponis cum Galileo velocitates in diversis planorum <lb></lb>inclinationibus ita esse ut sunt momenta, quando fuerit eadem moles. </s><s><lb></lb>Si quis negaverit hanc hypothesim ob paralogismum, et . . . . . . . . <lb></lb>momentorum, seu gravitationum cum ipsius motibus, quomodo suppo<lb></lb>situm probari possit? </s><s>ne forte corruant quaecumque Galileus se proba<lb></lb>turum existimavit, aut ipse in illius gratiam addideris. </s><s>Expectamus <lb></lb>abs te postulati rationem, ab experientia, si fieri potest, independentem. </s></p> <p type="main"> <s>Sed et qua ratione variae vasis spherici, sive sphaerae partes va<lb></lb>cuantur, expectamus, ut laginam sphaericam iuxta paginam tuam 203. <lb></lb>vacuando eadem ratione et proportione tibi praehibamus quo vacuabi<lb></lb>tur: poteris enim in 4. partes aequales, vel etiam inaequales axim seu <lb></lb>diametrum dividere, ita ut partes illae sint rationales, vel . . . . . . . . <lb></lb>universalem qui nos manuducat ante . . . . . . . . . , ut qualibet pro<lb></lb>portione cum amicis . . . . . . . vinum degustemus. </s><s>Quae per te nobis <lb></lb>licita speramus. </s></p> <p type="main"> <s>Cum saepenumero contingat in minoribus discursus tui libri litteris, <lb></lb><emph type="italics"></emph>c<emph.end type="italics"></emph.end> pro <emph type="italics"></emph>e,<emph.end type="italics"></emph.end> et <emph type="italics"></emph>b<emph.end type="italics"></emph.end> pro <emph type="italics"></emph>h,<emph.end type="italics"></emph.end> et vice versa occurrant, te velimus rogatum, ut <lb></lb>deinceps in edendis cures maior character seu . . . . . . ut habentur <lb></lb>in figuris, in ipso textu libri apponi; quod etiam faciet ad ornatum <lb></lb>ut praestitum vides in Conicis nostri Mydorgij. </s><s>Certe si mihi quidpiam <lb></lb>edendum nostrae Lutetiae miseris, id sedulo curaturus sum. </s><s>In quo Com<lb></lb>mandinus etiam . . . semper curavit, nam obcaecantur oculi in mino<lb></lb>ribus litteris legendis . . . . . . . . . . . tibus. </s><s>Scio Typographos dicere <lb></lb>se tot capitales litteras non habere, sed ipsi ante editionem curant <lb></lb>nummorum sufficientiam sibi fundi. </s><s>Uti factum videbis in mea harmonia <lb></lb>tractatu praedicto in quo tantus capitalium numerus singulis paginis <lb></lb>repetuntur. </s></p> <p type="main"> <s>An vidisti systema Physicum excellentissimi Nardij? </s><s>quid tibi vide<lb></lb>tur? </s><s>Sed numquid et alios sive hac in Urbe, sive alicubi in Italia, qui <lb></lb>quaedam Physica vel moralia geometricè pertractent? </s><s>neque enim per<lb></lb>mittas me redire in Galliam, quin prius viros egregios salutem. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="italics"></emph>à tergo:<emph.end type="italics"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Ad Virum eruditissimum Dominum Evangelistam Torricellum <lb></lb> Florentiam.</s></p> <pb pagenum="252"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>117<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> [TORRICELLI] a MARINO MERSENNE <lb></lb>[in Roma].<lb></lb>[Firenze, gennaio 1645].<lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">(Museo Torricelliano del Comune di Faenza — Autografa). </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">È costituita da tre care incollate insieme: sul margine superiore de' <emph type="italics"></emph>recto<emph.end type="italics"></emph.end> delle prime <lb></lb>due trovasi a sinistra la sigla <emph type="italics"></emph>F.L. de B.G.,<emph.end type="italics"></emph.end> della terza che è bianca, <emph type="italics"></emph>F L B G,<emph.end type="italics"></emph.end><lb></lb>e a destra le traccie quasi invisibili dei N. 14, 15, 16 fatti col lapis; sul <emph type="italics"></emph>verso<emph.end type="italics"></emph.end><lb></lb>poi della terza carta si leggè ancora scritto col lapis: “ <emph type="italics"></emph>Lettres trouvèes a l'Aca<lb></lb>dèmie des Sciences<emph.end type="italics"></emph.end> ” (V. annotazione premessa al N. 54 del presente Volume). </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Una copia di mano di L. Serenai con qualche piccola varietà trovasi a carte 76-77 <lb></lb>del codice della Biblioteca Nazionale di Firenze intitolato: “ Mss. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Galileiani, <lb></lb>Discepoli, T. XL, ecc. ” dove sulla carta 76 <emph type="italics"></emph>recto<emph.end type="italics"></emph.end> lin. 1-2 si legge “ <emph type="italics"></emph>Torricellius <lb></lb>ut credimus ad D. de Verdus ma fra lett.re di Verdus in q.to da 409 a 443 io non <lb></lb>trovo questa che qui acc.sa il Torric.i<emph.end type="italics"></emph.end> ”. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Evidentemente questa lettera è invece <lb></lb>una risposta alla precedente del Mersenne (V N. 116).<gap desc="/SM"></gap></foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Ornatiss. </s><s>Celeberrimoque Viro Patri M. M. Salutem. </s></p> <p type="main"> <s>Longam, ideoque mihi carissimam abs te accipio hodie <lb></lb>epistolam Vir Cl.<emph type="sup"></emph>me<emph.end type="sup"></emph.end>. Si per tempus licebit, curabo ut ijs <lb></lb>omnibus, quae à me desideras, satisfaciam. </s><s>Primum in epi<lb></lb>stola tua haec habes verba. <emph type="italics"></emph>Itaque iam alium eiusdem Fer<lb></lb>matij tractatum accipe.<emph.end type="italics"></emph.end> Quem tractatum? </s><s>Nullus enim in <lb></lb>epistola tua tractatus a me repertus est. </s><s>Deinde mihi <lb></lb>commendas ne pereat quoddam folium Synesereos, et Ana<lb></lb>strophes. </s><s>Quin per me iam perijt. </s><s>Numquam enim memini <lb></lb>me vidisse. </s><s>Inventa mea Geometrico Mechanica, hoc est <lb></lb>nugas illas quas inveni, sed non digessi, circa centra gra<lb></lb>vitatis multarum figurarum, si quando finita, et in ordinem <lb></lb>redacta habebo, fortassè favorem et diligentiam quam <lb></lb>mihi cum tanta liberalitate offers, non recusabo. </s><s>Clar.<emph type="sup"></emph>mus<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>Donius libellum sub Aristarchi nomine scriptum perlegit <lb></lb>quidem, an probaverit nescio. </s><s>Tria vitra convexa cum <lb></lb>duobus concavis ad te ferenda curabit, ingeniosissimus <lb></lb>Michael Angelus Riccius; iam enim Tabellioni nostro <lb></lb>illa dedi Romam perferenda. </s><s>Tractatum Gallicum in quo <lb></lb>asseris eadem contineri quae ego ad initium libelli de <pb pagenum="253"></pb>Motu demonstravi, numquam legi, neque in talem librum <lb></lb>incidi, imò si incidissem neque legissem, cum ego Gallicè <lb></lb>nesciam. </s><s>Pappum ego, et si in omnibus alijs laudaverim, <lb></lb>loco a te citato, nempe pagina 103 libelli mei non laudo. </s><s><lb></lb>Tantum ego promitto solutionem problematis ab ipso <lb></lb>propositi, sed non soluti; quando quis consideret utram<lb></lb>que solutionem, animadvertet meam multum ab ea quam <lb></lb>Pappus affert discrepare. </s><s>Famosum dixi problema Pappi, <lb></lb>quia famosum est apud magnos Autores, sed immeritò. </s><s><lb></lb>Demonstratio enim ipsius, et aliorum ipsum sequentium, <lb></lb>nihil concludit. </s></p> <p type="main"> <s>Quod ego suppono pag.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> 104 cum Galileo, adeò mani<lb></lb>festum mihi videtur, ut sine ulla dubitatione loco principij <lb></lb>concedi posse videatur. </s><s>Ratio Phisica est. </s><s>Si fuerint in di<lb></lb>versis planis duae sphaerae (exemp. </s><s>gr.) vitreae, et aequa<lb></lb>les: postquam ostendero momentum unius ad momentum <lb></lb>alterius esse duplum, quis non concedat et velocitatem ad <lb></lb>velocitatem fore duplam? </s><s>Dupla enim causa duplum effe<lb></lb>ctum parere deberet in eodem subiecto. </s><s>Moles a me sup<lb></lb>ponuntur aequales eiusdemque materiae; virtus verò quae <lb></lb>impellit alteram molem dupla demonstratur virtutis alte<lb></lb>rius, ergo si dupla virtus impellens est, et subiecta aequa<lb></lb>lia, duplam procul dubio velocitatem efficiet. </s><s>Neque obstat <lb></lb>quod obijci potest de gravibus in eodem plano constitutis; <lb></lb>quae sive sunt eiusdem molis, sive non, aequali tamen ve<lb></lb>locitate feruntur. </s><s>Nam omnia gravia, cuiuscunque molis, <lb></lb>ponderis, aut figurae sint, liberè demissa in loco absque <lb></lb>impedimentis eadem velocitate ferentur deorsum. </s><s>Nempe <lb></lb>tam sphaera aurea, quam lapidea, ac etiam lignea, imò et <lb></lb>ex quàcunque materia levissima, eâdem velocitate ex se <lb></lb>descendent. </s><s>Si verò pusillum quoddam spatium graviores <lb></lb>materiae videntur antecedere, non procedit hoc ab inaequa<lb></lb>litate virtutum moventium, quae nulla est, sed ab inaequa<lb></lb>litate impedimentorum. </s><s>Tantum enim est in unoquolibet <lb></lb>corpore virtutis moventis quantum est et materiae exemp. </s><s><lb></lb>gr: in uncia auri atque in uncia cerae tantundem est et ma<lb></lb>teriae, et virtutis moventis licet cera appareat multo ma<lb></lb>iorem locum occupare, propterèa dum quiescunt aequali<lb></lb>ter gravitant, et manifestè aequalitatem virtutum indicant. <pb pagenum="254"></pb>Quando vero moventur aurum praecedet (sed longe minùs <lb></lb>quam pro ratione specierum gravitatis) ipsàm ceram, quod <lb></lb>quidem accidit quia cum virtutes aequales sint in utraque <lb></lb>materia, altera cum maiori mole ambientis medij, altera <lb></lb>verò cum minori luctari debet. </s><s>Quando verò consideramus <lb></lb>duas moles eiusdem materiae, sed alteram unius unciae, <lb></lb>alteram X librarum, aequaliter hae descendunt in eodem <lb></lb>plano, quia in utraque sphaera virtutes illae arcanae, licet <lb></lb>inaequales sint, inter se eandem habent rationem, quam <lb></lb>resistentiae, hoc est corpora ipsa movenda. </s><s>Vel si mavis <lb></lb>hoc modo: Virtus minor ad minus pondus a se movendum, <lb></lb>eandem habet rationem quam virtus maior ad maius pon<lb></lb>dus a se movendum. </s><s>Exiguum illud quod videtur ali<lb></lb>quando antecedere gravius, quando maxima fuerit inter <lb></lb>pondera proportio, oritur non a principijs intrinsecis, sed ab <lb></lb>ex[t]ernis impedimentis, nempe a densitate medij, quae (ut <lb></lb>optimè docet Galileus) magis impedit minores moles quam <lb></lb>maiores; quandoquidem minores cum maiorem superficiem <lb></lb>habeant, a maiori quantitate medij retardantur. </s><s>Mirum <lb></lb>ergò non sit metalla, lapides, ligna etc. </s><s>tam in descensu <lb></lb>libero, quàm in eodem plano collocata penè eâdem velo<lb></lb>citate descendere, cum singula aequale momentum, hoc est <lb></lb>aequalem sibi ipsis virtutem moventem habeant. </s><s>At in pla<lb></lb>nis inaequalitèr inclinatis ubi ego ostendero duas sphaeras <lb></lb>aequales, et aequè graves inaequalia momenta habere, quid <lb></lb>ni inferre possim eam quae maius habet momentum maiori <lb></lb>velocitate delabi, pro ratione momentorum? </s><s>Sed ego nimis <lb></lb>fortasse provectus sum in causa, quae tanto patrocinio non <lb></lb>videbatur indigere. </s><s>Satis enim erat inter pondus, et mo<lb></lb>mentum distinguere. </s></p> <p type="main"> <s>Quod assumpsi pagina <lb></lb> <arrow.to.target n="fig600"></arrow.to.target><lb></lb>105 ostenditur hoc modo. </s><s><lb></lb>Repetatur eadem figura <lb></lb>quae in libello. </s><s>Dico mo<lb></lb>mentum A ad momentum <lb></lb>B ita esse ut CD ad DE: <lb></lb>Sumantur enim ID, DH <lb></lb>aequales ipsis CD, DE, et in punctis I, H, duo gravia <lb></lb>constituantur aequalia tum inter se, tum ipsis A, B, et <pb pagenum="255"></pb>connectatur BH, quae tamquam libra concipiatur. </s><s>Patet <lb></lb>quod recta BH bifariam secatur in L (per 2 sexti) ergo <lb></lb>punctum L erit centrum gravitatis gravium B, H; sed L <lb></lb>est in perpendiculo per suspensionis punctum ducto, ergo <lb></lb>gravia sic connexa, sive colligentur rectâ HB, sive rectis <lb></lb>HD, DB, non movebuntur, nulla enim maior ratio est <lb></lb>cur ad dextram potiùs quam ad sinistram etc. </s><s>Si ma<lb></lb>nent, ergo momentum in B aequale est momento in H, <lb></lb>eâdemque ratione momentum A momento I aequale. </s><s>Pro<lb></lb>pterea momentum A ad B est ut momentum I ad H, <lb></lb>sive ut recta ID ad DH (gravia enim aequalia sunt) sive <lb></lb>ut CD ad DE. Quod erat etc. </s></p> <figure id="fig600"></figure> <p type="main"> <s><emph type="italics"></emph>Fuori:<emph.end type="italics"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Ornatiss.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> <expan abbr="atq.">atque</expan> Celeberrimo Viro </s></p> <p type="main"> <s>P. Marino Mersenno </s></p> <pb pagenum="256"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>118<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> TORRICELLI a MICHELANGELO RICCI <lb></lb>in Roma.<lb></lb>Firenze, 17 gennaio 1645.<lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>(LETTRES AUTOGRAPHES COMPOSANTS LA COLLECTION DE M. ALFRED BOVET, décrites par <lb></lb>ETIENNE CHARAVAY. Paris, Charavay Frères, 1887).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>A pag. 187 di questo catalogo si legge: </s></p> <p type="main"> <s><emph type="italics"></emph>Savants et Explorateurs.<emph.end type="italics"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="italics"></emph>“ 510 ” Torricelli (Evangelista) illustre physicien italien, le meilleur <lb></lb>disciple de Galilée, inventeur du baromêtre (1643) n. </s><s>a Faenza, 15 <lb></lb>ottobre 1608, m. à Florence, 25 ottobre 1647. L. A. S. à Angelo Ricci, <lb></lb>à Rome; Florence, 17 janvier 1645, 3 p. </s><s>in-fol., traces de cachet. </s><s><lb></lb>Très rare (Coll. </s><s>B. Fillon).<emph.end type="italics"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="italics"></emph>Precieuse lettre relative à ses travaux sur la spirale d'Archimede. </s><s>Il <lb></lb>le prie de savoire du père Mersenne (le célèbre geomètre, ami et dé<lb></lb>fenseur de Descartes) quel est l'auteur français qui a prétendu <lb></lb>démotrer que la ligne courbe parabolique est égale à une spirale <lb></lb>d'Archimède. </s> <s><foreign lang="it">Il donne alors la définition de cette ligne telle qu' il <lb></lb>la conçoit, et il complète sa dèmonstration par une figure. </foreign></s> <s>Il prie <lb></lb>Angelo Ricci de communiquer ces observations au Père Mersenne.<emph.end type="italics"></emph.end></s></p> <pb></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>LETTRE DE TORRICELLI A ANGELO RICCI — FRAGMENT<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>Numero 510.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <figure></figure> <pb pagenum="258"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>119<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> MICHELANGELO RICCI a [TORRICELLI <lb></lb>in Firenze].<lb></lb>Roma, 28 gennaio 1645.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLII, c. 76-82 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>M.to Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end>, et Ecc.mo Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> e P.rone Oss.mo. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Son debitor di risposta a tre lettere di V. S. piene di gentilezza, <lb></lb>e di specolazioni geometriche, alle quali rispondendo secondo la ra<lb></lb>gione dell'anteriorità ordinatamente, dico, non essere stata mia inven<lb></lb>zione di ritrovar quelle tangenti segate bifariam, ma di accennar sola<lb></lb>mente quanto sia lontano dal penetrare il principio vero di trovare <lb></lb>quelle quantità massime iscritte, e minime circoscritte. </foreign></s> <s><foreign lang="it">L'autor fran<lb></lb>zese, che è Monsù de Fermat, che ne assegna per metodo il descrivere <lb></lb>un'iperbola tangente in un sol punto, dovecchè io dicevo doversi tira<lb></lb>re una retta nel detto modo tangente; e questa abduzione io dimo<lb></lb>stravo geometricamente esser la vera, mentre ciò fatto immediata<lb></lb>mente concludiamo (per esemplificare) il massimo rettangolo iscritto <lb></lb>nel cerchio, il minimo circoscritto, et altre cognizioni non disprezzabili. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Vegga V. S., oppur si riduca in mente, che io soggiugnevo d'aver <lb></lb>trovato per analisi il modo di tirar quelle tangenti, che sapevo pur <lb></lb>troppo esser di necessità alla compita risoluzione del quesito. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Abban<lb></lb>donai poi subito l'impresa di seguitar tal materia, a comun parere <lb></lb>triviale, ma ultimamente ad imitazione di V. S., che l'ha altamente <lb></lb>nobilitata con le sue graziose dimostrazioni ripigliai la considerazione, <lb></lb>e ne ho riportato il frutto <lb></lb> <arrow.to.target n="fig601"></arrow.to.target><lb></lb>dei seguenti Teoremi. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Sia <lb></lb>il cerchio, ovvero ellipsi <lb></lb>ABC, il cui asse AB, si <lb></lb>cerca il massimo rettan<lb></lb>golo ADE sotto la per<lb></lb>pendicolare DE, et il se<lb></lb>gamento AD dell'asse. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Si <lb></lb>faccia BF eguale al se<lb></lb>miasse HB, e diviso HB <lb></lb>nel mezzo in D si alzi la <lb></lb>DE, et la AG perpendico<lb></lb>lari, et si giunga, e pro<lb></lb>duca FE sino al concorso in G. Sarà come AF ad FB, cioè triplo, così <lb></lb>AD a DB, dunque FEG sarà tangente, et l'AD alla DF eguale, poichè <pb pagenum="259"></pb>alle eguali AH, BF, si aggiungono parti uguali HD, DB. Dunque ADE <lb></lb>sarà il massimo, conforme egregiamente conchiude V. S., soggiungo il <lb></lb>rettangolo GAF essere il minimo, che sia <lb></lb> <arrow.to.target n="fig602"></arrow.to.target><lb></lb>costituito dall'AG, AF, et abbia per dia<lb></lb>metro una tangente il cerchio AEB, o <lb></lb>ellissi. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Sia il triangolo ABC, la cui base <lb></lb>divisa nel mezzo in F, e tirata per F <lb></lb>utcumque la DFE. Dico il triangolo ABC <lb></lb>esser minore del triangolo ADE, et sic <lb></lb>de singulis; sarà pertanto il minimo de' <lb></lb>triangoli con le suddette condizioni. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Fac<lb></lb>ciasi BG parallela all'AC, et saranno <lb></lb>simili, et eguali li triangoli BGF, EFC <lb></lb>per le parallele, et per gli eguali lati <lb></lb>BF, FG. Giontovi comune ABFE, sarà ABC eguale ad ABGFE, cioè <lb></lb>minore del triangolo ADE. </foreign></s> </p> <figure id="fig601"></figure> <figure id="fig602"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ora si ripigli la figura di sopra, et se è possibile trovare un trian<lb></lb>golo rettangolo minore dell'AFG sia DAL, la cui base DCL tocchi nel <lb></lb> <arrow.to.target n="fig603"></arrow.to.target><lb></lb>punto C, poi imaginata per E la DEK, la quale cadrà nell'AL come è <lb></lb>manifesto sarà il triangolo ADEK minore di ADCL per la minor base, <lb></lb>et eguale all'altezza, ma per l'antecedente AGF è minore di ADEK, <lb></lb>dunque molto minore di ADCL, et sic de singulis, dunque GAF sarà <lb></lb>il minimo, et il rettangolo suo doppio minimo tra' rettangoli &. È noto <lb></lb>che de' triangoli isosceli iscritti, che sono eguali <lb></lb> <arrow.to.target n="fig604"></arrow.to.target><lb></lb>ai rettangoli simili all'ADE; AME sarà il mas<lb></lb>simo et il doppio di AGF il minimo circoscritto. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Nel cerchio conchiuderò assolutamente que' trian<lb></lb>goli essere gli estremi; poichè nel cerchio ABC <lb></lb>descritto qualsivoglia triangolo non isoscele ADC <lb></lb>troveremo un altro isoscele ABC maggior del sud<lb></lb>detto sopra la comune base AC per l'altezza BF <lb></lb>maggiore di GD, et conseguentemente il massimo <lb></lb>dell'isosceli sarà massimo ancora dello scaleno ADC, e simili. </foreign></s> </p> <figure id="fig603"></figure> <figure id="fig604"></figure> <p type="main"> <s>Quanto ai circoscritti. </s> <s><foreign lang="it">Sia DEF scaleno, et la sua base DF tocchi <lb></lb>in A. Facciasi EG eguale ad EH in modo che la GH tocchi il cerchio, <pb pagenum="260"></pb>e sia segata nel mezzo in I, il che seguirà dividendosi l'arco BAC <lb></lb>bifariam in I, e quindi tirandosi la tangente GIH. Poi tirata per <lb></lb>I la FIK sarà per le cose suddette DEF maggiore di EKIF maggiore <lb></lb>di GEH &. </foreign></s> </p> <figure></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Trovato il massimo rettangolo ADE si prenda AHI utcumque pur <lb></lb>simile rettangolo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Sarà DE ad HI in maggior proporzione, che reci<lb></lb>procamente AH ad AD, et il cerchio descritto coll'intervallo DE avrà <lb></lb>maggior proporzione al cerchio de<lb></lb> <arrow.to.target n="fig605"></arrow.to.target><lb></lb>scritto coll'intervallo HI di quello <lb></lb>che abbia DE ad HI, et AH ad AD. <lb></lb>Dunque il cono isoscele descritto dal <lb></lb>triangolo rettangolo ADE sarà mag<lb></lb>gior del cono descritto dall'AHI et <lb></lb>sic de singulis. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Dunque abbiamo il <lb></lb>massimo iscritto dell'isosceli, de'quali <lb></lb>sia asse AB nel cerchio, et ellissi &. </foreign></s> <s>Si<lb></lb>milmente de' circoscritti discorrerò &. </s></p> <figure id="fig605"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">La scrittura di V. S. delle infinite <lb></lb>parabole, l'ho riavuta poche setti<lb></lb>mane sono dal Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Raffaello, al quale la prestai subito copiata, e <lb></lb>vi ho notato un non so che sopra li denominatori delle proporzioni, <lb></lb>che sarà per avventura quell'inavvertenza che mi scrive aver com<lb></lb>messa nel copiare. </foreign></s> <s>Si potrebbe supplire facilmente con dire: Rectan<lb></lb>gulum circumscriptum ad quamlibet parabolam proportionem habet <lb></lb>superparticularem (excepto primo casu) denominatam a dignitate para<lb></lb>bolae, et numeris secundum ordinem naturalis progressionis incipiendo <lb></lb>a 3. ita ut fiat pro denominatore proportionis fractus numerus, cujus <lb></lb>denominator dignitas, et numerator talis numerus & secundum seriem <lb></lb>progressionis naturalis. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Quanto alla proposizione settima desidererei sapere, se quella paral<lb></lb>lela al diametro s'intenda fuori della figura solamente, oppur vaglia <pb pagenum="261"></pb>in ogni caso. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ho ritrovato alcune cosucce intorno le infinite iperboli, <lb></lb>et infinite ellissi, le quali per carestia di tempo differisco ad altra <lb></lb>occasione di scriverle. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Considererò un poco ciò, che V. S. mi adduce <lb></lb>per conto della ruota, essendomi capitata la lettera di V. S. in ora, <lb></lb>che mi tocca di scrivere quanto posso, e V. S. s'avvederà benissimo <lb></lb>dalla confusione della presente lettera, che senza premeditare ho <lb></lb>scritto il tutto all'improvviso, et mentre che la testa era mezzo stanca <lb></lb>dallo scrivere. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Averei molte, e molte cose da comunicare a V. S. con <lb></lb>isperarne il frutto dell'emendazione, e l'usura d'altre sue maravigliose <lb></lb>specolazioni, ma per brevità di tempo le taccio. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Il Sig. Nardi saluta <lb></lb>vivissimamente V. S., e seco discorro spesse volte il più di Lei. </foreign></s> <s>Ha <lb></lb>nelle mani la lettera delle spirali e non me l'ha ancor restituita per <lb></lb>mostrarla al Padre Mersenno. </s><s>Questo Padre mostra di non saper molta <lb></lb>Geometria, ma di aver fatte infinite osservazioni. </s> <s><foreign lang="it">Ha un trattato mec<lb></lb>canico, il quale leggerò per servir V. S. in quel poco, che mi permet<lb></lb>terà la mia debolezza d'ingegno, e d'intendenza di Lingua franzese. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Domattina procurerò li vetri dandogli il dovuto ricapito. </foreign></s> <s><foreign lang="it">E quì con<lb></lb>fuso in me medesimo di tanti onori, che ricevo da Lei, e dalla consi<lb></lb>derazione della mia inabilità in corrisponderle con effetti di vera devo<lb></lb>zione, le bacio le mani. </foreign></s> <s><lb></lb>Roma lì 28 Gennaio 1645.<lb></lb> Di V. S. m.to Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> et Ecc.ma <lb></lb>Aff.mo, et Obb.mo Servit.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> e Discepolo<lb></lb> Michelangelo Ricci.</s></p> <pb pagenum="262"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>120<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> [TORRICELLI a MARINO MERSENNE <lb></lb>in Roma]<lb></lb>[Firenze, fine gennaio 1645].<lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">(Museo Torricelliano del Comune di Faenza — Autografa). </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Questa lettera è costituita da due carte in foglio sul margine superiore de' <emph type="italics"></emph>recto<emph.end type="italics"></emph.end> di <lb></lb>ciascuna delle quali trovansi a sinistra la sigla <emph type="italics"></emph>G L B G,<emph.end type="italics"></emph.end> e a destra le traccie <lb></lb>di una numerazione fatta col lapis che permette di leggere i numeri <emph type="italics"></emph>4<emph.end type="italics"></emph.end> sulla <lb></lb>prima e <emph type="italics"></emph>5<emph.end type="italics"></emph.end> sulla seconda. </s> <s><foreign lang="it">Inoltre sul <emph type="italics"></emph>verso<emph.end type="italics"></emph.end> della seconda carta si legge scritto <lb></lb>con lapis: “ <emph type="italics"></emph>Torricelli (Inedit)<emph.end type="italics"></emph.end> ”. (V. Annotazione premessa al N 54 del presente <lb></lb>volume).<gap desc="/SM"></gap></foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Solutiones quas sine locis solidis à me petis, Vir Clar.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end>, <lb></lb>accipe. </s></p> <p type="main"> <s>Esto semicirculus vel <lb></lb> <arrow.to.target n="fig606"></arrow.to.target><lb></lb>semiellipsis cuius axis <lb></lb>AB, centrum verò C. <lb></lb>Quaeritur maximum re<lb></lb>ctangulum sub segmento <lb></lb>diametri AD, et sub per<lb></lb>pendiculari DE. </s></p> <figure id="fig606"></figure> <p type="main"> <s>Secetur bifariam CB <lb></lb>in D, et erectâ DE, dico rectangulum ADE maximum <lb></lb>esse omnium quae ad semicirculum sunt; ipsum vero ADF <lb></lb>maximum eorum quae ad ellipsim. </s></p> <p type="main"> <s>Ponatur BG aequalis semidiametro BC, et producta <lb></lb>GEM iungantur EC, EB, eritque CEB triangulum aequila<lb></lb>terum; angulique BEG, BGE aequales in triangulo iso<lb></lb>scele; ergo additis aequalibus erunt duo anguli CEB, BEG, <lb></lb>aequales duobus ECG, EGC, suntque omnes in uno eodem<lb></lb>que triangulo, ergo CEG rectus est, et GE tangens. </s><s>Jam: <lb></lb>si rectangulum ADE non est maximum eorum quae ad <lb></lb>semicirculum spectant, esto maximum AHI, productâque <lb></lb>HI in L erit rectangulum ADE majus rectangulo AHL <pb pagenum="263"></pb>(per 27 sexti elementorum secundum Clavium) quando<lb></lb>quidem AD aequalis est ipsi DG. Sed rectangulum AHI <lb></lb>maius ponitur quam ADE, ergo rectangulum AHI multò <lb></lb>maiùs erit quam AHL, pars suo toto etc. </s></p> <p type="main"> <s>Dico etiam rectangulum ADF maximum esse omnium <lb></lb>quae ad ellipsim spectant. </s><s>Nam sumatur quodlibet aliud <lb></lb>puta AHO. Rectangulum ADF ad AHO rationem habet <lb></lb>compositam ex ratione DF ad HO, sive DE ad HI, et <lb></lb>ex ratione DA ad AH. Ergo rectangulum ADF ad AHO <lb></lb>est ut rectangulum ADE, ad AHI, nempe maius. </s><s>Quod etc. </s></p> <p type="main"> <s>Simile quoddam ad me scripserat Clar.<emph type="sup"></emph>mus<emph.end type="sup"></emph.end> Dominus <lb></lb>Du Verdus, nempe maximam superficiem cylindricam in <lb></lb>sphaera descriptibilem repertam fuisse, cui ego addideram <lb></lb>et in spheroide, et in Conoide, fusoque parabolico. </s><s>Ponatur <lb></lb>enim tantummodo circuli quadrans ABC, sectoque angulo <lb></lb>ABC bifariam rectâ BD, fiat quadratum BHDF, et per D <lb></lb>ducatur tangens ED. Certum est <lb></lb> <arrow.to.target n="fig607"></arrow.to.target><lb></lb>rectam BE bifariam secari in F, <lb></lb>propterea per 27 sexti ostenditur <lb></lb>ut in praecedenti, quadratum HF <lb></lb>maximum esse omnium rectangu<lb></lb> <arrow.to.target n="marg528"></arrow.to.target><lb></lb>lorum etc. </s><s>Ergò etiam in quadru<lb></lb>plis, patet quadratum in integro <lb></lb>circulo descriptibile maximum <lb></lb>esse omnium rectangulorum etc. </s><s><lb></lb>Sed superficies cylindrorum inter <lb></lb>se sunt ut eorundem rectangula <lb></lb>per axem, ergo patet, etc. </s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg528"></margin.target>6. l. </s><s>p. de So<lb></lb>lid: Sphae<lb></lb>ralibus.</s></p> <figure id="fig607"></figure> <figure></figure> <p type="main"> <s>In sphaeroide verò sic agemus. </s><s><lb></lb>Esto semiellipsis ABC cuius axis <lb></lb>AC, centrum D. Fiat circa AC <lb></lb>semicirculus AEC, sectoque an<lb></lb>gulo recto CDE bifariam rectâ <lb></lb>DI erigatur perpendicularis MIL. <lb></lb>Dico DL esse maximum rectangulum etc. </s><s>Nam sumpto <lb></lb>quolibet alio DN. Habebit rectangulum DL ad DN ratio- <pb pagenum="264"></pb>nem compositam ex ratione LM, ad NP, sive IM ad OP, <lb></lb>et ex ratione DM ad DP, ergo rectangulum DL ad DN <lb></lb>erit ut DI ad DO, nempe maius ex praecedenti. </s><s>Apud nos <lb></lb>verò idem est maximum rectangulum reperire in figura <lb></lb>plana, et maximam superficiem cylindricam in solido, ergo <lb></lb>etc. </s><s>Neque refert circa quem axem convertatur ellipsis, <lb></lb>nam quodcunque rectangulum circa quodvis latus conver<lb></lb>tatur aequales superficies cylindricas describit, intellige <lb></lb>semper sine basibus. </s></p> <figure></figure> <p type="main"> <s>In solidis parabolicis sic. </s><s><lb></lb>Esto parabola ABC cuius axis <lb></lb>BE secetur ita ut ED ad DB <lb></lb>sit dupla, tum applicatâ DF <lb></lb>dico rectangulum EF maxi<lb></lb>mum esse etc. </s><s>Agatur enim <lb></lb>per F tangens GF et erunt <lb></lb>aequales GB, BD, ideò ae<lb></lb>quales GD, DE, et aequales <lb></lb>GF, FI; aequalesque EH, HI. Ergo iterum ex 27 sexti <lb></lb>patet rectangulum EF maximum esse etc. </s><s>Jam si parabola <lb></lb>convertatur sive circa axem, sive circa basim, rectangulum <lb></lb>EF describet maximam superficiem cylindricam quae de<lb></lb>scribi possit, sive in conoide, sive in fuso etc. </s></p> <p type="main"> <s>Ingeniosissimus, et ornatissimus iuvenis Michael An<lb></lb>gelus Riccius certiorem fecit me de tuo desiderio circa <lb></lb>vas illud quod aequabili motu exauritur. </s><s>Dicam igitur, si <lb></lb>per memoriam licebit. </s></p> <p type="main"> <s>Esto conoides parabo<lb></lb> <arrow.to.target n="fig608"></arrow.to.target><lb></lb>lae quadratoquadraticae <lb></lb>ABC perforatum in fundo <lb></lb>foramine B. Dico illud <lb></lb>ea lege exauriri ut motus <lb></lb>supremae superficiei AC <lb></lb>humoris contenti, aequa<lb></lb>bilis sit. </s><s>Sumatur enim <lb></lb>quaelibet alia vasis sectio DI, et super basi AC concipiatur <lb></lb>cylindrus AE. Esto BO media proportionalis inter altitu- <pb pagenum="265"></pb>dines GB, HB. Et quoniam est quadratoquadratum AG <lb></lb>ad quadratoquadratum DH ut GB ad BH ob suppositio<lb></lb>nem, erit quadratum AG ad quadratum DH ut GB ad BO. <lb></lb>Jam sic velocitas superficiei descendentis quando est AC <lb></lb>ad velocitatem superficiei descendentis quando est FE in <lb></lb>cylindro, est ut GB ad BO, sive ut quadratum AG ad <lb></lb>quadratum DH. Velocitas verò sectionis FE ad velocita<lb></lb>tem sectionis DI est reciprocè ut sectio ad sectionem, <lb></lb>nempe ut quadratum DH ad HF, sive ad AG. Propterea <lb></lb>ex aequo velocitas sectionis AC ad velocitatem sectionis <lb></lb>DI erit ut quadratum AG ad quadratum AG, hoc est <lb></lb>aequalis. </s></p> <figure id="fig608"></figure> <p type="main"> <s>Si quis descriptionem quaerat prae<lb></lb> <arrow.to.target n="fig609"></arrow.to.target><lb></lb>dictae parabolae, talem excogitabamus <lb></lb>multis alijs parabolis communem. </s><s>Pone <lb></lb>parabolam vulgatam ABC cuius axis AF, <lb></lb>applicatâ deinde EB ubicunque, secetur <lb></lb>AF aequalis ipsi EB, et ED aequalis ipsi <lb></lb>FC, eritque punctum D in parabola qua<lb></lb>dratoquadratica, et sic de reliquis punctis. </s><s>Demonstratio <lb></lb>facillima est. </s></p> <pb pagenum="266"></pb> <figure id="fig609"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>121<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> MICHELANGELO RICCI a [TORRICELLI <lb></lb>in Firenze]<lb></lb>Roma, 4 febbraio 1645.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLII, c. 83-86 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>M.to Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end>, et Ecc.mo Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> e P.rone Oss.mo </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ho ricevuta la scatola con li vetri, ma vi trovo variazione di un <lb></lb>vetrino concavo, che mancherebbe al conto di V. S. L'ho cercato, e <lb></lb>ricercato ingannando il mio pensiero, quall'era, che fosse un solo, <lb></lb>poichè non gli ho appena ricevuti dalla Dogana, dove gli avea conse<lb></lb>gnati il Procaccia, che subito gli ho chiusi in Cassa, et alcuni di dopo <lb></lb>così serrati nella scatola come gli posi, gli diedi in mano del Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>Raffaello, il quale mi avvertì non esservi se non un concavo; il che <lb></lb>io non avevo considerato. </foreign></s> <s>Prego perciò V. S. a volersi ridur bene in <lb></lb>memoria, se uno, o due ne ha mandati, perchè io possa andar pen<lb></lb>sando qual esito abbia potuto sortire. </s> <s><foreign lang="it">Me ne son travagliato lungo <lb></lb>tempo, e mi sarà forza di continuare con la medesima sospensione <lb></lb>d'animo, finchè non mi certifichi della verità del fatto. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Nella lettera, che diffusa scrissi a V. S. l'ordinario passato evvi <lb></lb>un fallo, che immediatamente riconobbi, ma perchè nell'istesso tempo <lb></lb>la scrissi quella materia, e la inventai (usanza scomunicata, la quale <lb></lb>mi fa sentire delle notabili mortificazioni) in quel fervore non me ne <lb></lb>avvidi. </s> <s><foreign lang="it">Se le sue occupazioni gliel permettono, la prego a volere ap<lb></lb>plicare un poco su quel metodo, che io quivi sono andato indicando <lb></lb>al meglio, che ho saputo, perchè sarebbe altra cosa, che quello inse<lb></lb>gnato da Monsù de Fermat nell'appendice de maxima, et minima <emph type="italics"></emph>(sic).<emph.end type="italics"></emph.end><lb></lb>Quanto alle figure piane cammina egregiamente a mio parere. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Resta <lb></lb>di vedere qual sia il massimo cono isoscele in un altro cono isoscele <lb></lb>iscrittibile, il quale io dissi esser l'equicrure nato dal massimo tri<lb></lb>angolo iscritto nel triangolo per axem del cono. </foreign></s> <s>Finora non so, se <lb></lb>vero sia, nè come si dimostri. </s> <s><foreign lang="it">Accludo quì il trattato de Sinereseos, <lb></lb>et Anastrophe, che precede all'appendice mostratale dal P. Mersenno, <lb></lb>non solo per l'ordine della dottrina, ma per la dignità della materia <lb></lb>e per la leggiadria del metodo, che insegna quivi, vedrà ella in <lb></lb>effetti, che io non m'inganno in questo. </foreign></s> <s>La scrittura è piena di er<lb></lb>rori derivati, penso io, dall'essere stata copiata e ricopiata più volte. </s><s><lb></lb>Emendai quasi tutta la mia copia con fatica non ordinaria, essendo <lb></lb>fuor di misura trasfigurata. </s> <s><foreign lang="it">Sentirà nell'acclusa lettera del P.re Mer- <pb pagenum="267"></pb>senno quel che dica egli di tale scrittura, della lettera da ricopiarsi <lb></lb>al Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Doni, et in risposta della dottrina scrittagli da V. S. intorno <lb></lb>il suo supposto. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Il Libretto per il Sig. Doni lo manderò indubitata<lb></lb>mente l'ordinario, che segue, poichè non sono stato in tempo di conse<lb></lb>gnarlo al Procaccio di questa volta. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Qual sia il Libretto lo intenderà <lb></lb>dalla lettera del P.re Mersenno, il quale anche prega V. S. si compiaccia, <lb></lb>o di tenerlo, o di darlo al Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Doni, o ad altro amico. </foreign></s> <s>Il trattato <lb></lb>meccanico l'ho veduto in quella maniera, che si vede un Libro, che abbia <lb></lb>in se belle figure. </s> <s><foreign lang="it">Mi fece vedere il Padre le figure, et li sommari delle <lb></lb>proposizioni, e non più. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Quando sarà in mia libertà di leggerlo, appli<lb></lb>cherò con diligenza per dirne il mio sentimento a V. S. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Sia qualsivoglia delle infinite iperboli, ovvero ellissi, e circoscrittoli <lb></lb>un rettangolo si raggirino intorno l'asse coniugato (che nelle iperboli <lb></lb>è quel di fuori) trovo la proporzione del solido nato dalle suddette <lb></lb>figure al Tubo cilindrico generato dal rettangolo circoscritto. </foreign></s> <s>E quì a <lb></lb>V. S. resto obb.mo et aff.mo Servitore <lb></lb>Roma li 4 febbraio <emph type="italics"></emph>1645.<emph.end type="italics"></emph.end><lb></lb> Aff.mo, et Obb.mo Servit.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> e Discepolo<lb></lb> Michelangelo Ricci.</s></p> <pb pagenum="268"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>122<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> MARINO MERSENNE a TORRICELLI <lb></lb>in Firenze.<lb></lb>Roma, 4 febbraio 1645.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLI, c. 7-8 — Autografa).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Illustri Geometrae Domino Torricello S. P. </s></p> <p type="main"> <s>Cùm numquam à Lectione litterarum Dominationis vestrae recedam <lb></lb>nisi doctior, non est quod dubites quantum mihi gratae sint: quan<lb></lb>quam, si liceat cum nostro Robervallo dubitare, non videatur adhuc <lb></lb>intellectus cogi. </s><s>E proportione momentorum conceditur proportionem <lb></lb>velocitatis motuum; alioqui sint duo arcus eiusdem materiae, puta <lb></lb>chalibeae, quorum unus tendatur unâ vi, alius vi duplici, sequeretur <lb></lb>arcum vi duplâ tensum duplâ velocitate suam sagittam mittere; quod <lb></lb>ita repugnat experientiae, ut ne quidem arcus vi quadruplâ tensus <lb></lb>suam sagittam duplâ velocitate mittat. </s><s>Et ad duplam aut triplam <lb></lb>velocitatem inferendam, vel velocitatem in data ratione augendam nec <lb></lb>dum sciamus vires tendentes necessarias, et tamen vires tendentes <lb></lb>dant momentum corpori gravi excutiendo quod tibi viro doctissimo et <lb></lb>subtilissimo proponendum arbitratus sum, ut ostenderem qua de causa <lb></lb>de momentorum proportione relata ad velocitatem dubitaremus. </s></p> <p type="main"> <s>Velocitas nescio quid habeat diversitatis et heterogenei quod vix <lb></lb>cum momentis concilientur nisi abs te summo viro, qui nos tibi novo <lb></lb>iure habebis obstrinctissimos si nodum hunc dissolueris. </s></p> <p type="main"> <s>Porrò iam accipies tractatum illum Synereseos, qui cum à D. Teve<lb></lb>nello perditus esset illum describi, curavi, quo de, post illius lectionem, <lb></lb>tuum iudicium expectarim. </s><s>Tuus autem sit ille tractatus, nec eum <lb></lb>remittas, nobis enim exemplar superest. </s><s>Quòd ad inventa mechanica <lb></lb>pertinet, liber Gallicus de quo dicebam est in fine tertij libri de moti<lb></lb>bus in Harmonia mea Gallica, non in Latina, quam Gallicam, et ideo <lb></lb>tractatum illum accuratissimum, utpote Robervalli, apud dominum <lb></lb>Doni videre poteris cum figuris ibidem existentibus; iamque eundem <lb></lb>acutissimo Riccio ostendi. </s><s>Tùnc autem dixi te Pappum laudare, hoc <lb></lb>est citare, ita enim latini intelligunt; quandoquidem novi te illius <lb></lb>paralogismum agnovisse, licet eum in tuo libro non detegas, qua de <lb></lb>re tuam sententiam requiro. </s><s>Cùm nequidem Galli nostri Geometrae <lb></lb>conveniant in quo erraverit, dum ea tractat quae habes pag. 103. Si <lb></lb>Gallicè tractatum illum Mechanicum intelligere nequeas, librum meum <lb></lb>Ballisticum et Mechanicum ad te mittam in quo maximam illius par<lb></lb>tem latinè edidi. </s></p> <pb pagenum="269"></pb> <p type="main"> <s>Caeterùm quae demonstrasti ad suppositionem Galilei confirmandam <lb></lb>mihi maxime arrident si considerationi, quam de arcu fecimus, sati<lb></lb>sfacias, quippe nervus tensus non redit in eadem ratione velocitatis, <lb></lb>aut sagittam non emittit, quâ tenditur arcus enim mille libris tensus <lb></lb>vix triplò velociùs emittit sagittam, quam arcus 50 libris tensus. </s></p> <p type="main"> <s>Vidi cum magna voluptate lineam tuam curvam lineae rectae aequa<lb></lb>lem cui nondum lineam parabolicam aequalem Robervallus invenire <lb></lb>potuit, qui spirali parabolicam aequavit, et cuilibet parti spiralis archi<lb></lb>medeae partem parabolae: quanquam gaudebo videre modum quo <lb></lb>parabolam spiralibus aequas, num sit idem cum methodo Robervalliana <lb></lb>quam libro hydraulico-pneumatico tetigi. </s></p> <p type="main"> <s>Sed neque despero quin modum aliquem alium me doceas quo de<lb></lb>scribatur tua curva rectae aequalis, et his modis nondum Domino <lb></lb>Riccio revelatis nobis illuceas. </s></p> <p type="main"> <s>Est etiam in tuo libro, ut et in meis hydraulicis, quo <lb></lb> <arrow.to.target n="fig610"></arrow.to.target><lb></lb>plurimum movear, et credo moveri debear, nempe quomodo <lb></lb>fieri possit ut ausimus supponere in tubo aquâ pleno AB <lb></lb>guttam in B per orificium B eadem velocitate descendere, <lb></lb>ac si iam ab A ad B in aere libero descendisset, cùm revera <lb></lb>non ab A descenderit, et aqua possit syringe per B inijci, <lb></lb>ita ut gutta quae fluxura est ex B, nunquam fuerit in A. </s></p> <figure id="fig610"></figure> <p type="main"> <s>Moveor insuper, quòd si AB sit cylindrus solidus aeneus, <lb></lb>totus non descendat in aere celeriùs quam pars eiusd. cy<lb></lb>lindri AC escissa et ex D eodem momento cadente ac totus <lb></lb>cylindrus AB, et tamen pars illa B aequalis D debet censeri <lb></lb>descandisse ex A, ut aqua. </s><s>Cui dubio medicinam adhibeas <lb></lb>velim. </s></p> <p type="main"> <s>Adde tuam sententiam, num revera existimes guttam liquoris ex <lb></lb>B eadem velocitate exilire, ac si eadem gutta ex A in B in aere libero <lb></lb>cecidisset, videtur enim aqua superior existens ab A in B, retardare <lb></lb>motum aquae exilientis ex B, quandoquidem aqua in A ob fugam <lb></lb>vacui vel ob sequelam cogi videtur ire celerius initio puncti A, quam <lb></lb>sua ferat inclinatio. </s><s>Sit enim tubus AB unius miliaris, et intelligatur <lb></lb>adeo tenuis, ut sit tantum crassitudinis unius guttae aquae puncto <lb></lb>huic respondentis, dubio procul gutta in A aeque celeriter movebitur <lb></lb>ac gutta in B, igitur longè celerius quàm si sola gutta ex a in aëre <lb></lb>libero caderet. </s></p> <p type="main"> <s>Cùmque iam absque impedimentis aeris guttam <lb></lb> <arrow.to.target n="fig611"></arrow.to.target><lb></lb>considerem, peto abs te regulam quâ possim agno<lb></lb>scere quantò celeriùs ex A in tubo cadere incipiat <lb></lb>gutta ob tubi longitudinem, quam in aëre libero <lb></lb>sola gutta caderet. </s></p> <figure id="fig611"></figure> <p type="main"> <s>An verò existimas impossibile ut reperiamus <lb></lb>lineam rectam parabolae aequalem? </s><s>quia potiùs à <lb></lb>te reperiendam credidero, ubi ampliùs cogitaveris, <lb></lb>cùm tot parabolae proprietates agnoscas, et moti<lb></lb>bus tam rectis quàm parabolicis iam tot leges imposueris. </s><s>Quanquam <pb pagenum="270"></pb>scire cupio qua ratione magnitudinem impetus reperias in motu para<lb></lb>bolico, verbi gratiâ, moveatur lapis per lineam axis AB descendendo <lb></lb>ab A ad B, vel itidem à C ad B, et eodem tempore moveatur alius lapis <lb></lb>ab A ad D, sive motu aequabili sive motu naturali ordinario, quaero <lb></lb>proportionem impetus in B et in D, idque non tantum, cùm AD est pa<lb></lb>rabola, sed etiam cùm est quadrans ellipsis vel circuli: si ad tangentes <lb></lb>recurras, nulla tangens in quadrante circuli ex D ad axem AC etiam in <lb></lb>infinitum productum perveniet. </s><s>Quae, puto, sufficiant ut canonem uni<lb></lb>versaliter nobis condas ad impetus in curvis et rectis inveniendos. </s></p> <p type="main"> <s>Varias chartas Geometricas cùm Robervalli tum Fermatij, quas non<lb></lb>dum vidisti in meo sacco reperi, de quibus ad te scribet Dominus Ric<lb></lb>cius, ut si quas legere cupis, confestim ad te, ut istius artis corypheum, <lb></lb>mittentur. </s><s>Libellum etiam nuper cum litteris meis oblitum ad te mittet, <lb></lb>quem vel pro te retineas, si Dominus Donius alium habebit, vel ei <lb></lb>tribuas, si alium prae te habueris. </s><s>Quin te obsecro ut litteras meas <lb></lb>cum tuis coniunctas ei tribuas cum meis commendationibus. </s></p> <p type="main"> <s>Tractatulum auro pretiosiorem habeo de refractionibus, 3 proposi<lb></lb>tionibus conclusum cuius fortè proximis meis litteris propositiones <lb></lb>exscribam ad te mittendas, utpote tuis vitris <lb></lb> <arrow.to.target n="fig612"></arrow.to.target><lb></lb>scindendis aut figurandis utilis. </s><s>Vale vir Illu<lb></lb>str. </s><s>mèque semper tui credes servum obse<lb></lb>quentissimum Mersennum. <lb></lb>4 februarii anni 1645.</s></p> <figure id="fig612"></figure> <p type="main"> <s>Parabolam quadraticam dedisti pro vase <lb></lb>dante suum liquorem per DAF temporibus <lb></lb>aequalibus; quaeso ut in charta satis firma <lb></lb>qualis est qua chartis luditur, designes mihi <lb></lb>figuram quam sequi possit aurifex in suo mo<lb></lb>dulo, ut mihi construat vas argenteum porta<lb></lb>tile, cuius suprema pars latior, qua bibitur <lb></lb>non excedat hanc lineam dico non excedat <lb></lb>quia tu potes facere illam partem strictiorem, <lb></lb>altitudo verò vasis non excedat lineam <foreign lang="grc">αβ</foreign> ut <lb></lb>quandò fieri possit, et in vase bibere possis <lb></lb>dum transibo per Florentiam. </s></p> <p type="main"> <s>Insuper peto si vas invertatur, ut in CC, AA, BB, DD, quâ ratione <lb></lb>temporà 4 quae erant aequalia in axe D, 1, 2, 3, 4, ibunt in inverso vase <lb></lb>AA, CC, etc. </s><s>liquore per orificium DD egrediente, idest quomodo seca<lb></lb>bitur axis AA, DD, qui in DA aequaliter secabatur. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="italics"></emph>Fuori:<emph.end type="italics"></emph.end><lb></lb> </s></p> <pb pagenum="271"></pb> <table> <row><cell>Domino Evangelista</cell><cell></cell></row> <row><cell>Torricello viro</cell><cell></cell></row> <row><cell>Clarissimo</cell><cell>Florentiam</cell></row></table> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>123<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> [TORRICELLI a MICHELANGELO RICCI <lb></lb>in Roma].<lb></lb>Firenze, 6 febbraio 1645.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XL, c. 97-98 — Copia di L. Serenai).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Ho hauto una lettera di V. S. tutta piena di bellissime <lb></lb>invenzioni, di che mi rallegro sommamente. </s> <s><foreign lang="it">Mi pare ch'ella <lb></lb>tratti la materia con altra opulenza che Monsù De Fermat, <lb></lb>per quel poco però che potei accorgermi da un solo foglio <lb></lb>mostratomi dal P.re quì, ma da me non inteso. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Del resto <lb></lb>quel Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> bisogna che sia un grandiss.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> valentuomo, egli <lb></lb>è il primo inventore di tutte le proposizioni dell'infinite <lb></lb>parabole: basterebbe questo, ma ha anco dell'altre cose <lb></lb>belle, e con principij suoi nuovi che vuol dire assai. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Anzi <lb></lb>i theoremi suoi sopra la materia delle parabole sono più <lb></lb>universali assai de miei, poichè la sua definizione dice che <lb></lb>la dignità AB alla CD, purchè queste siano del medesimo <lb></lb>grado, sia come la dignità BE alla ED, <lb></lb> <arrow.to.target n="fig613"></arrow.to.target><lb></lb>purchè anche queste siano del med.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> grado <lb></lb>tra loro per esempio che il cubo AB al <lb></lb>cubo CD, sia come il quadrato BE al qua<lb></lb>drato ED questa sarà una delle sue para<lb></lb>bole, ma la mia specolazione che pareva <lb></lb>tanto universale non comprende la sud.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>parabola. </foreign></s> <s>V. S. dunque vede che le specie delle sue pa<lb></lb>rabole sono infinite volte più delle mie: e pure ha tutte <lb></lb>le quadrature, tutti i solidi, tutti i centri di gravità de <lb></lb>piani, e de solidi con molte altre cose mirabili in pro<lb></lb>posizioni bellissime e facilissime da esprimersi. </s> <s><foreign lang="it">A me man<lb></lb>cavano alcune altre cose da trovare in questa materia, <lb></lb>ma non cercarò più, poichè intendo che il metodo di <lb></lb>Monsù Fermat è comunicato agli amici suoi in Francia: <lb></lb>però che gloria havrei quando ben trovassi una cosa già <lb></lb>divulgata, che si potesse sospettare che io l'havessi pene<lb></lb>trata in qualche maniera. </foreign></s> <s>Confesso bene che se Rober- <pb pagenum="272"></pb>vallio da principio mi mandava la vera definizione forse <lb></lb>io non trovavo nulla. </s></p> <figure id="fig613"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Quanto all'errore da me fatto nel foglio di quei teo<lb></lb>remi, non è in quel che pensa V. S., poichè quello a giu<lb></lb>dizio mio sta bene, ma è errato il Teorema de centri de <lb></lb>solidi, poichè havendo scritto seguitamente molti fogli <lb></lb>secondo che nel discorso andavo facendo le prove, cavavo <lb></lb>in margine i termini delle proporzioni, e quando copiai <lb></lb>quelle conclusioni in quel foglio, copiai una cosa per <lb></lb>un'altra; però dovevo dire che i centri de conoidi divi<lb></lb>dono l'asse nelle medesime proporzioni che hanno i cilindri <lb></lb>ad essi conoidi et i termini son questi 3/1 4/2 5/3 6/4 7/5 8/6. <lb></lb>Quanto all'infinite hiperbole et ellissi V. S. si può im<lb></lb>maginare che io non lasciai di tentare, e che avanti a <lb></lb>me v'hanno pensato coloro di Francia, ma vi si è trovato <lb></lb>da farsi poco honore. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Nulla di meno credo che si potrebbe arrivare a due <lb></lb>cose, cioè alla misura de conoidi e loro centri, più là di <lb></lb>queste due cose l'ho per impossibile, però non vi perderò <lb></lb>tempo. </s><s>Mi dorrebbe incominciare a trovare i solidi e centri <lb></lb>loro, e poi non poter finire la contemplazione, mentre i <lb></lb>franzesi han finito la loro così perfettamente. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">V. S. mi domanda di quella tangente del 7.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> Teorema <lb></lb>ma io non mi ricordo qual sia il 7.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> Teorema perchè <lb></lb>estrassi quelle margini in quel foglio che mandai e di <lb></lb>cui non ho altra copia su miei fogliacci non n'ho numero <lb></lb>nè d'ordine. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Credo nondimeno ch'ella <lb></lb> <arrow.to.target n="fig614"></arrow.to.target><lb></lb>intenda di quel solido d'un trilineo <lb></lb>girato in due maniere, ecco, sia una <lb></lb>parabola della mia definizione BDC <lb></lb>tangente per la cima BA, parallela al <lb></lb>diametro sia AC. Il trilineo ABDC ri<lb></lb>voltato intorno alla BA, overo alla AC <lb></lb>fa i solidi con quelle proporzioni che <lb></lb>scrissi. </foreign></s> <s><foreign lang="it">V. S. scusi la lunghezza, et il carattere e la reve<lb></lb>risco. </foreign></s> <s>Di Firenze li 6 Febbraio 1645. </s></p> <pb pagenum="273"></pb> <figure id="fig614"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>124<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> TORRICELLI a MARINO MERSENNE <lb></lb>in [Roma].<lb></lb>[Firenze, febbraio 1645].<lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">(BULLETTINO DI BIBLIOGRAFIA E DI STORIA DELLE SCIENZE MATEMATICHE E FISICHE, <lb></lb>Roma 1875, T. VIII: <emph type="italics"></emph>Intorno ad alcune lettere di Evangelista Torricelli, del P. Marino <lb></lb>Mersenne e di Francesco Du Verdus<emph.end type="italics"></emph.end> per B. BONCOMPAGNI, pag 390-393). </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">L'originale autografo, dal quale il Boncompagni cavò la copia che qui viene ripro<lb></lb>dotta, trovasi attualmente nella collezione del sig. Warocquè, bourgmestre de <lb></lb>Morlanwelz-Mariemont, e consta di tre carte sui <emph type="italics"></emph>recto<emph.end type="italics"></emph.end> delle quali si leggono le <lb></lb>iniziali <emph type="italics"></emph>I L B G<emph.end type="italics"></emph.end> (V. l'annotazione premessa al N. 54 del presente Vol.). </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Una copia di mano di L. Serenai fino alle parole . . . . <emph type="italics"></emph>in hac epistola mitto inclusam<emph.end type="italics"></emph.end><lb></lb>e con varie lacune e varianti si trova a c. 52-53 del Codice della Bibl. </foreign></s> <s>Naz. </s> <s><foreign lang="it">di <lb></lb>Firenze intitolato “ Discepoli di Galileo, T. XL ”, dove sul <emph type="italics"></emph>recto<emph.end type="italics"></emph.end> della carta 52 <lb></lb>lin. 1 si legge: <emph type="italics"></emph>Al Mersennio in risposta alla sua de' 4 Febb.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> 1645.<emph.end type="italics"></emph.end><gap desc="/SM"></gap></foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Iam vero à P. V. Hydram pro epistola accipio, quae <lb></lb>quidem non septem, sed centum continet capita difficul<lb></lb>tatum, obiectionum, et petitionum, ad quae singula si ego <lb></lb>respondere valerem, nec Herculi iurè cederem. </s><s>Possem <lb></lb>sanè ab omnibus breviter me expedire per unicum verbum <lb></lb>“ nescio ” quandoquidem de maxima parte eorum quae ex <lb></lb>me querit P. V. nihil scire confiteor, attamen non dissimu<lb></lb>labo quaedam quae animadverti. </s><s>Primum P. V. dubitat an <lb></lb>in mobilibus augeatur velocitas secundum rationem mo<lb></lb>mentorum. </s><s>Causam verò dubitandi affert experimentum <lb></lb>quoddam, quod me nihil penitus movet, plurimas enim in <lb></lb>se continet discrepantias et dissimilitudines à materia de <lb></lb>qua agimus. </s><s>Nam in mobilibus à momento suo deorsum <lb></lb>delatis virtus, sive vis movens intrinseca est et naturalis, <lb></lb>in missilibus autem extrinseca, et violenta. </s><s>In illis virtus <lb></lb>movens, quocunque tendat mobile, intrà ipsum est, et eo<lb></lb>dem, constantique tenore operatur uniformitèr impellens <lb></lb>mobile. </s><s>In his virtus movens peracto quodam brevissimo <lb></lb>impulsu statim deserit missile; quin et in ipso impulsu <lb></lb>summopere in se ipsa inaequalis est, violenta primò, deinde <lb></lb>remissa, tandem languida. </s><s>Nam certe multo maiore nisu <lb></lb>nervus impellit sagittam dum ipse tensissimus est, et sa- <pb pagenum="274"></pb>gitta in principio motus tardior, quàm ipsam agat dum <lb></lb>concitatissima est, et ipse parum tensus prope rectitudinem <lb></lb>suam. </s><s>Deinde negabo, et quidem iure, suppositum vestrum, <lb></lb>nempe arcum tensum quadruplo pondere, ideo quadruplo <lb></lb>momento tensum esse. </s><s>Exempli gratia: si ego dixerim <lb></lb>tunc arcum duplo momento tendi, quando à centuplo pon<lb></lb>dere attrahitur, quis evincet me? </s><s>Globus plumbeus pensilis <lb></lb>quo a minori filo pendet frequentior est. </s><s>Ergo si duplo <lb></lb>vel triplo curtatum fuerit filum, duplo vel triplo frequentior <lb></lb>erit? </s><s>plurima peteram proferre hujusmodi, quae libens <lb></lb>omitto. </s><s>Nervus attrahitur a minori pondere ad angulos <lb></lb>recto propriores, à maiori vero ad angulos magis a recto <lb></lb>distantes, ideoque momentum ponderum non erit pro <lb></lb>ratione ipsorum ponderum. </s><s>Adde etiam quod variantur et <lb></lb>anguli quos efficit nervus cum extremitate arcus. </s><s>Deinde <lb></lb>cum liberatur arcus quam dissimili atque inopinabili ra<lb></lb>tione retrahit nervum? </s><s>Quis enim sciat quomodo arcus <lb></lb>emittit sagittam? </s><s>Quis mihi ostendat rationem motuum <lb></lb>ipsius arcus, nervi, sagittaeque? </s><s>Nemo Mechanicus nescit <lb></lb>tunc denique deprehendi rationes virium quando repe<lb></lb>riuntur rationes motuum, sive spatiorum a potentià resi<lb></lb>stentiàque peractorum. </s><s>Dicat iam Geometra aliquis quando <lb></lb>sagitta impellitur per spatium trium digitorum, quaenam <lb></lb>spatia nervus percurrit, quaenam arcus? </s><s>per quàm diversas <lb></lb>lineas? </s><s>immo quidam ex his motibus nescio per lineasne <lb></lb>an per spatia propriè fiant, neque cuiusmodi sint illae li<lb></lb>neae atque illa spatia. </s><s>Nervus in cythara tensus quocunque <lb></lb>pondere attrahatur, si repente incisum sit retinaculum <lb></lb>ponderis, semper eundem sonum reddit, ideoque eandem <lb></lb>frequentiam tremoris; propterea velocitates nervi redeuntis <lb></lb>erunt non secundum rationem ponderum, sed spatiorum, <lb></lb>sive elongationum ipsius nervi à rectitudine. </s><s>Quid ni ali<lb></lb>quid tale contingat in arcu? </s><s>cuius nervus si semper ad <lb></lb>rectitudinem eodem tempore redeat, iam velocitates non <lb></lb>erunt ut pondera, sed ut spatia remotionis, sive attractionis <lb></lb>ipsius nervi. </s><s>Tum demum videbimus quoties multiplican<lb></lb>dum sit ipsum pondus, ut duplum attractionis spatium <lb></lb>efficiat. </s><s>Sed ne quis putet sagittam, licet ad eandem ele<lb></lb>vationem cum dupla velocitate emittatur, duplum ideò <pb pagenum="275"></pb>spatium percursuram esse. </s><s>nam spatia peracta à missilibus <lb></lb>duplicatam rationem habent velocitatum proicientium, si <lb></lb>ad eandem elevationem emissa sint. </s><s>Protulit P. V. cur <lb></lb>dubitaret de mea supposi<lb></lb> <arrow.to.target n="fig615"></arrow.to.target><lb></lb>tione; ego iam dixi cur non <lb></lb>movear ab experimento sa<lb></lb>gittarum. </s><s>Ecce iam contra <lb></lb>experimentum cur ego de <lb></lb>suppositione non dubitem. </s><s><lb></lb>Sit horizon AB; duo plana <lb></lb>AC, CB. sitque exempli gra<lb></lb>tia AC triplum longitudine <lb></lb>ipsius CB eritque ex ostensis, <lb></lb>reciprocè momentum gravis <lb></lb>in CB ad momentum in CA <lb></lb>triplum. </s><s>Ostendo mediante <lb></lb>experimento etiam velocitatem, in plano CB triplam esse. </s><s><lb></lb>Producatur CB in C <emph type="italics"></emph>(sic)<emph.end type="italics"></emph.end> ita ut CD triplum sit ipsius AC, <lb></lb>tum ponantur in A, et in D impedimenta quaedam lignea, <lb></lb>sive ex alia materia dura, et sonora; deinde quis ex C duos <lb></lb>globos eiusdem materiae emittat eodem simul tempore, <lb></lb>clausisque oculis, attendat auribus, an globi eodem tem<lb></lb>poris momento perveniant ad impedimenta. </s><s>Nam certè si <lb></lb>experimentum cum debita diligentia factum fuerit unicum <lb></lb>tantum ictum percipiet. </s><s>Tractatum Synereseos accepi, sed <lb></lb>nondum perlegi. </s><s>De Pappi paralogismo nihil scripsi, quia <lb></lb>in animo erat neminem carpere, praesertim veteres, et <lb></lb>magni nominis Autores. </s><s>Satis duxi diversam, et veram <lb></lb>solutionem afferre. — Unica methodo parabolicam spirali, <lb></lb>spiralesque meas rectis lineis aequales ostendo. </s><s>Propterea <lb></lb>liceat mihi parumper utramque demonstrationem silere, <lb></lb>donec videam an ullus ex amicis Problema solvat. — In<lb></lb>strumentum quod P. V. petit dabo, verùm oro ne illud pro<lb></lb>paletur, nam ad solutionem Problematis conferre potest. </s></p> <figure id="fig615"></figure> <p type="main"> <s>Accipiatur regula ABC, cuius angulus ABC sit acutus <lb></lb>(pro varietate anguli variae spirales fient) noteturque pun<lb></lb>ctum aliquod D in latere CB. Tum figatur in subiecto <lb></lb>folio stylus ad angulos rectos, quem stylum latus regulae <lb></lb>AB semper contingere debet. </s><s>Jam ponatur apex anguli B <pb pagenum="276"></pb>supra quodvis punctum <emph type="italics"></emph>primum<emph.end type="italics"></emph.end> per quod ducere volumus <lb></lb>spiralem, deinde alio stylo sive acu notetur in subiecta <lb></lb>carta punctum D, quod <lb></lb> <arrow.to.target n="fig616"></arrow.to.target><lb></lb>erit <emph type="italics"></emph>secundum.<emph.end type="italics"></emph.end> Moveatur <lb></lb>deinde regula ità ut con<lb></lb>tingat stylum EF et an<lb></lb>gulus B ponatur supra <lb></lb>secundum punctum; eâ<lb></lb>demque acu notetur ite<lb></lb>rum punctum D in carta, <lb></lb>quod erit <emph type="italics"></emph>tertium,<emph.end type="italics"></emph.end> et sic <lb></lb>semper. </s><s>Confiteor tamen hoc istrumentum describere non <lb></lb>spirales ipsas, sed tangentes ipsarum spiralium; et puncta <lb></lb>B, D quò propiora erunt inter se, eò minus spirales falsae <lb></lb>a veris ab errabunt. </s><s>Si quis verò in punctis B, D duos <lb></lb>stylos figat, moveatque regulam aptè, ita ut stylus sequens <lb></lb>eandem viam percurrat quam praecedens designaverit, spi<lb></lb>rales easdem habebit veris proximas. </s><s>Ne quaeso P. V. petat <lb></lb>istrumentum etiam pro veris, nam illud non habeo. </s></p> <figure id="fig616"></figure> <p type="main"> <s>De velocitate aquarum erumpentium a tubis et. </s><s>c. vera <lb></lb>puto quaecumque scripsi in libello meo. </s><s>Quo ad obiectio<lb></lb>nem, respondeo eam valere in tubis quorum latitudo par<lb></lb>vam habeat rationem ad osculum eruptionis, Ideò ego <lb></lb>supposui, et saepe monui tubum omnem maximae laxitatis <lb></lb>esse debere; foramen verò si ad tubum comparetur plus<lb></lb>quàm millies minus. </s><s>Caeterum si quis totam illam doctri<lb></lb>nam respuat (quamquam vera sit) nihil ad me. — Magni<lb></lb>tudinem impetus proiectorum in quolibet puncto lineae <lb></lb>parabolicae iam inveni per tangentes. </s><s>Quando quis dabit <lb></lb>proiecta per circulum, et ellipses decurrentia, fortasse me<lb></lb>thodum tangentium mutabo. — Depletionem conoidis bi<lb></lb>quadratici unico tantùm modo contemplatus sum, nempe <lb></lb>dum inversum statuitur. </s><s>Qua ratione depleatur in alijs <lb></lb>positionibus latet, et fortasse in aeternum latebit. </s><s>In hac <lb></lb>enim materia consideranda concurrunt corpora, superficies, <lb></lb>tempora, velocitates, momenta, figurae et alia, quae omnia <lb></lb>inter se genere differunt, simulque ad unicum communem <lb></lb>effectum conspirant. — Parabolam biquadraticam qualem <lb></lb>P. V. desiderat descriptam et in carta firmiori circumcisam <pb pagenum="277"></pb>in hac epistola mitto inclusam. </s><s>Descriptionis demonstratio<lb></lb>nem dicam, ne quis dubitet sitne parabola quesita. </s></p> <p type="main"> <s>Esto circulus ABC cuius dia<lb></lb> <arrow.to.target n="fig617"></arrow.to.target><lb></lb>meter AC, et applicata quaelibet <lb></lb>BD secetur AE aequalis ipsi AB, <lb></lb>et applicatà EF, secetur DG ae<lb></lb>qualis ipsi AF, per punctum G <lb></lb>transibit parabola et reliqua pun<lb></lb>cta eodem modo quaeruntur. </s></p> <figure id="fig617"></figure> <p type="main"> <s>Iàm quadratum FA ad qua<lb></lb>dratum AC ob circulum ut recta <lb></lb>EA ad AC ergo biquadratum FA, <lb></lb>sive GD ad biquadratum AC, erit ut quadratum EA ad <lb></lb>quadratum AC, sive ut quadratum BA ad quadratum AC, <lb></lb>sive (ob circulum) ut recta DA ad AC. </s></p> <p type="main"> <s>Eodem argumento ostendemus biquadratum AC ad <lb></lb>biquadratum IH esse ut recta CA ad AI. Ergo ex aequo <lb></lb>biquadratum GD ad biquadratum HI erit ut recta CA ad <lb></lb>AI. Ergo &c. </s></p> <p type="main"> <s>Simplicior constructio esset, et demonstratio brevior, <lb></lb>si pro circulo posuissemus parabolam quadraticam; sed <lb></lb>illam ideo fugimus quia non habet descriptionem expedi<lb></lb>tam quemadmodum habet circulus. </s><s>Iamque valeat P. V. <lb></lb>diuque in publicum bonum vivat, scribatque, et semper sui <lb></lb>obsequentissimum servum extimet me <lb></lb> Evang.<emph type="sup"></emph>tam<emph.end type="sup"></emph.end> Torricellium.</s></p> <p type="main"> <s>Tria Vitra miseram. </s><s>Nunc quartum mitto reliquis omni<lb></lb>bus praestantius. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="italics"></emph>Fuori:<emph.end type="italics"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Celeberrimo Viro P. M.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> Mersenne. </s></p> <pb pagenum="278"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>125<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> MARINO MERSENNE a [TORRICELLI <lb></lb>in Firenze].<lb></lb>[Roma, febbraio 1645].<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLI, c. 49-50 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Scripseram meas novissimas literas, vir incomparabilis, quum me <lb></lb>certa horologii cupido incessit, quod in Gallia facturus sim iuxta qua<lb></lb>dratam parabolen, cuius descriptionem ad nos misisti, hanc nimirum, <lb></lb>quae sequitur iuxta formam charthae tuae, quam vellem, ut ad eam <lb></lb>perficeres altitudinem versus partes A et B, ut satis aquae contineret <lb></lb>ad notandas 24 horas unius diei. </s></p> <figure></figure> <p type="main"> <s>Quum autem pateram huius formae fieri curaturus sim, statim atque <lb></lb>Galliam repetiero, si quinque amici tuae Dominationi ita praebibant, <lb></lb>ut per aequales axis partes unusquisque vacuet, quaero abs te quanto <lb></lb>mage bibiturus sit is, qui primam, quam qui secundam, et ita de ceteris <lb></lb>exhauriet. </s><s>Quod ad novum problema reduces, quam inter se rationem <lb></lb>servent solida CDEF, et EFGH, et ita de reliquis. </s></p> <p type="main"> <s>Insuper perquam velim, ut, hoc soluto, aliud addas, nempe quibus <lb></lb>in locis scindetur axis ON, vel ipsa figura CND in lateribus suis, ut <lb></lb>sint partes illius sectae inter se aequales. </s><s>Certe miratus sum, quod <lb></lb>existimaris in inversa figura CND, ita ut N sit suprema pars, et O <lb></lb>infima, ubi foramen, non posse notari partes, seu puncta in axe NO, <lb></lb>ad quae liquor temporibus aequalibus perventurus est. </s><s>Cur enim id <lb></lb>impossibile? </s><s>Sed haec omnia tuo otio abs te expectem, dum tui semper <lb></lb>futurus sum studiosissimus, et obsequentissimus servus Mersennus. </s></p> <pb pagenum="279"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>126<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> [TORRICELLI a PIETRO CARCAVY <lb></lb>in Parigi].<lb></lb>[Firenze, febbraio 1645].<lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XL, c. 40-41 — Copia di L. Serenai). </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Questa lettera porta sul margine superiore della c. 40 <emph type="italics"></emph>recto<emph.end type="italics"></emph.end> di mano dello stesso <lb></lb>Serenai la nota: “ <emph type="italics"></emph>Copia di bozza di lett.a di mano del Torricelli, che crediamo scritta <lb></lb>da lui al P. de Carcaus<emph.end type="italics"></emph.end> ”.<gap desc="/SM"></gap></foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Ill.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> etc. </s></p> <p type="main"> <s>Non sarà mai possibile che io con parole arrivi ad <lb></lb>esprimere quanto mi conosca obbligato all'alta cortesia <lb></lb>di V. S. Ill.<emph type="sup"></emph>ma<emph.end type="sup"></emph.end> la quale mi ha stimato degno dell'honore <lb></lb>di sue lettere, e s'è compiaciuta di ammettermi alla sua <lb></lb>servitù. </s> <s><foreign lang="it">Mi reputo assai più honorato per questa fortuna <lb></lb>del mio nome che è giunto alla notizia di V. S. Ill.<emph type="sup"></emph>ma<emph.end type="sup"></emph.end> e del <lb></lb>nobilissimo S.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> Fermat e del S. Robervallio, che se io <lb></lb>godessi l'applauso di tutte le nazioni, e di tutti i secoli. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Non potevano quelle mie poche e puerili specolazioni <lb></lb>che manuscritte giunsero costì desiderar teatro più nobile <lb></lb>e più glorioso, mentre hanno hauto sorte di esser lette e <lb></lb>considerate da signori tanto cospicui e per chiarezza del<lb></lb>l'intelletto, e per splendor di nascita. È verissimo quanto <lb></lb>scrive l'Ill.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Senator Tolosano Fermat, cioè che la sua <lb></lb>definizione delle infinite parabole è più universale della <lb></lb>scritta da me; ma è ben vero che la scritta da me non <lb></lb>è anco mia, havendola io voluta porre in quello stesso <lb></lb>modo, nel quale mi fu accennata già dall'acutissimo S. Ro<lb></lb>berval quando mi propose il Problema. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Sarò anco scusato se io in parti tanto remote ho giu<lb></lb>dicato per primo autore di esse parabole il Sig. Roberval, <lb></lb>dal quale primieramente io le intesi. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ora ammirerò mag<lb></lb>giormente l'Ill.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Sig. Fermat, del cui sublime valore io <lb></lb>avevo ben notizia anco prima; ma però non sapevo che <lb></lb>quella così ampia specolazione fusse parto del suo mara- <pb pagenum="280"></pb>viglioso ingegno. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Io non ho proceduto più avanti intorno <lb></lb>alla predetta materia, sì perchè mi bastava l'havere sco<lb></lb>perto molte delle cose propostemi con haverne aggiunte <lb></lb>alcune altre di mia invenzione, come anco per aver inteso <lb></lb>che il metodo del Sig. Fermat non è segreto appresso <lb></lb>l'Autor solamente, ma da lui conferito anco agli amici, <lb></lb>onde a me si poteva giustamente diminuire il frutto della <lb></lb>gloria quando ben mi fusse riuscito l'inventar nell'Italia <lb></lb>cose già divulgate nella Francia. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Io confesso che i centri della gravità de i solidi di esse <lb></lb>parabole rivoltate intorno all'asse non stanno con quelle <lb></lb>proporzioni che io avevo accennate; ma era pur neces<lb></lb>sario che fra molti teoremi veri, e da me dimostrati, ne <lb></lb>inserissi alcuno di maniera tale che potessi accorgermi <lb></lb>se altri ne aveva la dimostrazione. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Intesi dal P. Mersenne già che la curva parabolica si <lb></lb>dimostrava eguale ad una spirale di Archimede. </foreign></s> <s>Vi pensai <lb></lb>e trovai la dimostrazione così. </s> <s><foreign lang="it">Data una spirale d'Archi<lb></lb>mede, ovvero qualunque parte di essa, se gli dimostra <lb></lb>una curva parabolica eguale. </foreign></s> <s>Trovai anco un'altra sorta <lb></lb>di spirali (che con un semplicissimo instrumento facilissi<lb></lb>mamente si descrivono prossime alle vere) le quali si dimo<lb></lb>strano eguali a linee rette. </s><s>Mando solamente per ora alcuni <lb></lb>disegni di esse e poi manderò un'altra volta . . . . anco <lb></lb>la definizione che ho in tre modi, ma non ho risoluto <lb></lb>quale di essi io debba eleggere. </s> <s><foreign lang="it">Accennerò solamente che <lb></lb>se le spirali di Archimede sono infinite di numero e tali <lb></lb>che tra di loro non son differenti se non in grandezza, <lb></lb>le mie spirali sono infinite di numero e non sono diffe<lb></lb>renti tra di loro se non in ispezie, poichè ogni spezie <lb></lb>non contiene altro che una sola spirale la quale non può <lb></lb>averne altra nè maggiore nè minore di sè che gli sia <lb></lb>simile. </foreign></s> <s>Di più, qualunque mia spirale ABC non perviene <lb></lb>al suo centro D se non dopo infinite revoluzioni strettis<lb></lb>sime fatte intorno al punto D. Nulladimeno non solo qua<lb></lb>lunque parte o arco di essa spirale, ma anco tutta intera <lb></lb>si prova eguale ad una retta. </s> <s><foreign lang="it">Dimostrai alcune cose accen<lb></lb>natemi dal P. Mersenne, e credo che una del Fermat, <lb></lb>circa la materia de maximis et minimis, ve ne aggiunsi <pb pagenum="281"></pb>di più alcune delle mie trovate con quella occasione; ma <lb></lb>non stimandole io degne di così alti intelletti come V. S. <lb></lb>Ill.<emph type="sup"></emph>ma<emph.end type="sup"></emph.end> e Sig. Fermat, mi basterà averle comunicate al <lb></lb>P. Mersenne. </foreign></s> <s>Resta che io renda a V. S. Ill.<emph type="sup"></emph>ma<emph.end type="sup"></emph.end> quelle gra<lb></lb>zie che io posso maggiori dell'onore che ella si è degnata <lb></lb>di farmi con sue lettere, per la continuazione delle quali <lb></lb>io le porgo cordialissime preghiere. </s> <s><foreign lang="it">La supplico anco a <lb></lb>volermi continuar la sua grazia, che io mi glorierò sempre <lb></lb>di vivere sotto il suo patrocinio, e humilmente la re<lb></lb>verisco. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>127<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> [TORRICELLI a MICHELANGELO RICCI <lb></lb>in Roma].<lb></lb>Firenze, 11 febbraio 1645.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XL, c. 99 — Copia di L. Serenai).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Sapevo che i coni retti non sono fra di loro come i <lb></lb>triangoli per axem, ma mi diedi ad intendere di non haver <lb></lb>capito bene, e tornai a casa, e mi messi à rispondere, <lb></lb>ma ciò poco importa. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Io non ho ancor visto il foglio <lb></lb>della Sineresi et anastrofe, forse lo vedrò e ne scriverò al <lb></lb>P.re Mersenne se però l'intenderò stante gli errori che <lb></lb>V. S. dice del copista et anco la difficoltà della materia. </foreign></s> <s><lb></lb>La specolazione dell'hiperbole et ellissi non può esser se <lb></lb>non bella. </s><s>Attenda V. S. à cercarne dell'altre, et in parti<lb></lb>colare quella de conoidali, e de centri di gravità di essi, <lb></lb>che credo poter trovarsi. </s><s>E quì con ogni ossequio la <lb></lb>reverisco. </s><s><lb></lb>Di Firenze 11 Febbraio 1645.</s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ho poi ricevuto un'altra lettera di V. S. Devo dirgli che <lb></lb>ella studia troppo, e trova delle verità troppo belle; m'è <lb></lb>piaciuto assaissimo la sezione del conoide hiperbolico che <lb></lb>faccia parabola. </foreign></s> <s><foreign lang="it">L'assicuro che se io havessi mai fatto <pb pagenum="282"></pb>reflessione al piano segante d.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> conoide, qual piano suc<lb></lb>cessivamente inclinato passa dal far l'hiperbole al far <lb></lb>l'ellissi, subito mi veniva in testa che deve far anco la <lb></lb>parabola nel punto del transito. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Io pensavo una volta <lb></lb>che se il cono fatto dall'asimptote sarà segato con piani <lb></lb>tangenti il conoide hiperbolico, sempre taglieranno por<lb></lb>zioni di cono uguali, e gli ellissi che saranno basi di detti <lb></lb>coni, havranno fra loro non so che proporzione, credo <lb></lb>come gli assi maggiori. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Il piano poi che V. S. dice far <lb></lb>la parabola subito mi sovvenne non <lb></lb> <arrow.to.target n="fig618"></arrow.to.target><lb></lb>poter esser altro che quello che anderà <lb></lb>equidistante ad uno delli asimptoti. </foreign></s> <s>Di <lb></lb>coteste scritture di Monsù di Fermat <lb></lb>vedrò volentieri quelle che V. S. sti<lb></lb>merà degne d'esser vedute, e che non <lb></lb>sieno gran volume. </s> <s><foreign lang="it">Quella parallela che <lb></lb>V. S. mi chiede è la AC parallela al<lb></lb>l'asse, e tutta fuor della figura. </foreign></s> </p> <figure id="fig618"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Quanto à quella denominazione di proporzioni quando <lb></lb>io havessi detto <emph type="italics"></emph>moltiplice<emph.end type="italics"></emph.end> denominata dalla dignità della <lb></lb>parabola, allora non si poteva intendere se non dupla <lb></lb>tripla etc. </foreign></s> <s><foreign lang="it">ma quando dissi supraparticolare denominata <lb></lb>non si poteva (a giudizio mio) intendere se non sesquial<lb></lb>tera, sesquiterza etc., et anco dupla perche io farò la de<lb></lb>finizione che piglierà la dupla per multiplice et anco per <lb></lb>sopraparticolare, e darò eccezzione alla definizione del <lb></lb>Clavio. </foreign></s> <s>Se queste proporzioni 5 a 4, e 4 a 3, e 3 a 2 son <lb></lb>sopraparticolari perchè poi rad <emph type="italics"></emph>(sic)<emph.end type="italics"></emph.end> non sarà? </s><s>Quando la <lb></lb>nostra serva un ordine qualsiasi più che in due casi, le <lb></lb>serva poi sempre. </s><s>Tratto delle cose di Geometria e d'A<lb></lb>ritmetica, ma questo poco importa. </s></p> <pb pagenum="283"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>128<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> MICHELANGELO RICCI a [TORRICELLI <lb></lb>in Firenze].<lb></lb>Roma, 12 febbraio 1645.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLII, c. 87-91 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>M.to Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end>, et Ecc.mo Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> e P.rone Oss.mo </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Que' ministri della Posta di Genova mi hanno cossi tardi recapitata <lb></lb>la gentilissima lettera di V. S. che volendo rispondere in tempo non <lb></lb>posso prendermi veruna comodità di ridurmi a memoria alcune dimo<lb></lb>strazioni, che desideravo comunicare a V. S., tanto più che dall'errore <lb></lb>di due ordinari fa mi son fatto un poco circospetto nel mandar fuori <lb></lb>li sogni miei, sicchè voglio prima considerargli con qualche maturità; <lb></lb>sebbene scrivendo a V. S. le mie bagattelle vengo con tal confidenza, <lb></lb>che non ho punto di rossore, anzi (mi sia lecito dirlo) mi rallegro di <lb></lb>essere ammaestrato, e corretto da Lei, come in testimonio di quell'an<lb></lb>tica gentilezza, con la quale restò servita d'indirizzarmi un tempo <lb></lb>alle presenti specolazioni. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Non ardisco così altrui dare a vedere le <lb></lb>mie scritture, se prima per qualche settimana non le ho bene esami<lb></lb>nate, il che mi succede tanto felicemente, quanto il conosco necessario <lb></lb>alla mia debolezza. </foreign></s> <s>La dimostrazione delle infinite iperboli, et ellissi, <lb></lb>che scrissi a V. S. è facilissima, et è una sola, alla quale devo aggiun<lb></lb>gere, che l'istessa proporzione di quei solidi al suo Tubo cilindrico <lb></lb>circoscritto l'hanno le infinite parabole al rettangolo ad esse circo<lb></lb>scritto, pigliando sempre figure nelle quali le dignità delle applicate <lb></lb>abbiano l'istesso grado. </s><s>Ho trovato ancor la strada per tirar le tan<lb></lb>genti a ciascheduna delle infinite parabole, e nell'iperbola lineare <lb></lb>trovo, che non si può tirar tangente di sorte veruna, perchè la cavità <lb></lb>volta in fuori. </s><s>In queste materie trovo gran facilità con l'uso delli <lb></lb>indivisibili; onde mi servo per passatempo di pensar molte cose in<lb></lb>torno questo amplissimo soggetto. </s><s>Il Monsù de Fermat è valentissimo <lb></lb>uomo, e confesso da quelle sue scritture d'aver preso lume ad innu<lb></lb>merabili invenzioni, le quali prima mi sembravano difficilissime, et ora <lb></lb>troppo vulgari per la facilità, con che si dimostrano. </s> <s><foreign lang="it">Non credo però, <lb></lb>che egli sia senza difetto, o diciamo errore. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Dice egli in un trattato, che fa <emph type="italics"></emph>de locis ad superficiem:<emph.end type="italics"></emph.end> si super<lb></lb>ficies quaepiam planis in infinitum secetur, et omnes sectiones plano<lb></lb>rum, et superficies illius sint quanquam ellipses, quandoque circumfe<lb></lb>rentiae circuli, quanquam parabolae, aut hyperbolae, et nihil praeterea, <lb></lb>superficies primum posita erit, vel conoidis parabolici, vel hyperbolici. </foreign></s> </p> <pb pagenum="284"></pb> <p type="main"> <s>La dimostrazione la tace. </s><s>Ma chiedo io? </s> <s><foreign lang="it">quell'<emph type="italics"></emph>aut hyperbolae,<emph.end type="italics"></emph.end> ov<lb></lb>vero copula in maniera, che vaglia quanto dire <emph type="italics"></emph>et:<emph.end type="italics"></emph.end> nel qual caso <lb></lb>sarebbe falso, che il conoide parabolico potesse segarsi con piano, <lb></lb>che facesse iperbola: ovvero disgiunge, sicchè voglia inferire, <emph type="italics"></emph>quan<lb></lb>quam parabolae in conoide parabolico, quanquam hyperbolae,<emph.end type="italics"></emph.end> e si rife<lb></lb>risca al conoide iperbolico, e questo ancora è falso, poichè io dimostro <lb></lb>(e stimo la proposizione essere intatta, nè immaginata mai da ve<lb></lb>runo) potersi segare il conoide iperbolico in modo che ne venga una <lb></lb>parabola, anzi infinite. </foreign></s> <s>Prego però V. S. a non ne far motto. </s> <s><foreign lang="it">Manderò <lb></lb>a V. S. la mia dimostrazione, e staremo a vedere, se egli stampa <lb></lb>queste sue scritture, come par che accenni di voler fare, e in tal caso <lb></lb>lo avvertirei dell'errore; non prima potendosi scusare col colore di <lb></lb>aver fallato il copiatore, et io non averei stima alcuna d'aver trovato <lb></lb>la proposizione fra le infinite verità, che sono al mondo, et l'errore <lb></lb>fra le sue dottissime specolazioni. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Quello, che io scrissi a V. S. <lb></lb>sopra gli Teoremi delle infinite parabole, era: si quaelibet parabola <lb></lb>convertatur circa lineam diametro parallelam, erit cylindrus circum<lb></lb>scriptus ad solidum ex parabola factum in proportione superparticu<lb></lb>lari & dove io chiedevo, se la paralella potea prendersi ad arbitrio <lb></lb>fuori, e dentro la parabola. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">L'altra proposizione, che: rectangulum circumscriptum ad quambilet <lb></lb>parabolam proportionem habeat superparticularem denominatam a di<lb></lb>gnitate parabolae (excepta prima, quae est 2/1) hoc est ut 3/2: 4/3 & <lb></lb>mi parea patir qualche opposizione, poichè 2, 3 & che sono le dignità <lb></lb>delle infinite parabole possono sì ben denominar la proporzion multi<lb></lb>plice, rappresentando l'abitudine del tutto alle sue parti aliquote, ma <lb></lb>non già la superparticolare, la quale si denomina dall'unità più la <lb></lb>parte aliquota &, come avevo letto nel Clavio. </foreign></s> <s>Tuttavia vagliami per <lb></lb>aprire a V. S. la mia difficoltà, acciocchè ella usando meco la sua <lb></lb>solita cortesia mi faccia avveduto dell'inganno. </s> <s><foreign lang="it">Ho trovato ultima<lb></lb>mente il massimo cono iscrittibile nella sfera, e sferoide, e nel fuso <lb></lb>parabolico; similmente il massimo triangolo iscrittibile nella figura <lb></lb>composta di due parabole intorno una come applicata. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Il Libretto, che <lb></lb>dovevo mandare a V. S. non lo manderò prima del seguente ordina<lb></lb>rio. </foreign></s> <s>Mi farà poi favore d'avvisarmi la ricevuta dell'Operetta di Monsù <lb></lb>de Fermat de Anastrophe, et Syneresi, et piacendole quella, se desi<lb></lb>dererà vedere altre scritture da quella dependenti. </s><s>E quì pregando a <lb></lb>V. S. ogni contento, le faccio umilissima e cordial riverenza. </s><s><lb></lb>Roma li 12 Febbraio 1645.</s></p> <p type="main"> <s>Ringrazio sommamente V. S. de' disegni mandatimi, e li tengo <lb></lb>molto cari. <lb></lb> Michelangelo Ricci</s></p> <pb pagenum="285"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>129<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> MICHELANGELO RICCI a [TORRICELLI <lb></lb>in Firenze].<lb></lb>Roma, 18 febbraio 1645.<lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLII, c. 92-93 — Copia moderna). </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Sul margine sinistro della carta 92 si legge come nota del copista: <emph type="italics"></emph>lettera imperfetta <lb></lb>perchè stracciata.<emph.end type="italics"></emph.end><gap desc="/SM"></gap></foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Mersenno . . . . </s></p> <p type="main"> <s>se n'anderà. </s><s>M'ha imposto di scrivere a V. S. per intendere . . . . <lb></lb>. . . . composta di minor lunghezza di Tubo, o diremo, che è di sfericità <lb></lb>minore . . . . significarmelo, acciocchè venga in tempo di risolvere, e <lb></lb>di contraere. </s> <s><foreign lang="it">Desideraria quanto prima i Libri di V. S. per il quale <lb></lb>si è dato ordine al Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Giuliano Dardanelli mercante costì, che sen<lb></lb>dogli consegnati quattro Libri di V. S. sborsi il denaro. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Prego V. S. <lb></lb>a volermi onorare di farglieli dare, perchè esso poi con la prima occa<lb></lb>sione li manderà, et io tengo commissione dal Padre di mandarglieli <lb></lb>a Parigi. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ho inviato un Libro, che m'ha dato il Padre Mersenno al <lb></lb>Sig. Gio: Batt.<emph type="sup"></emph>sta<emph.end type="sup"></emph.end> Doni il quale prego V. S. a volerlo avvisare in caso, <lb></lb>che la mia lettera, che a parte gli scrivo, non gli fosse recapitata. </foreign></s> <s>Et <lb></lb>poiche mi trovo un poco di fretta, mi rapporto a quel, che per l'ordi<lb></lb>nario di Genova domattina le son per dire, e riverentemente a V. S. <lb></lb>bacio le mani. </s><s><lb></lb>Roma li 18 Febbraio 1645.<lb></lb> Di V. S. m.to Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> et Ecc.mo <lb></lb>Aff.mo servit.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> e Discepolo Obb.mo<lb></lb> Michelangelo Ricci</s></p> <pb pagenum="286"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>130<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> MICHELANGELO RICCI a [TORRICELLI <lb></lb>in Firenze].<lb></lb>Roma, 25 febbraio 1645.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLII, c. 94-97 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Molt'Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end>, et Ecc.mo Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end>, e P.rone Oss.mo </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ho ricevuta la scatola con il vetro, et in absenza del Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Raf<lb></lb>faello, che si trattiene ad Ostia col Sig. Sacchetti, l'ho fatta recapitare <lb></lb>in proprie mani al Padre Mersenno. </foreign></s> <s>Dubito, che abbia poca volontà <lb></lb>di far questa spesa, avendomi per un viglietto accusata la ricevuta <lb></lb>del vetro, et assieme confessa di non esser uomo di tanta facoltà, che <lb></lb>possa spendere dieci pistole, et perciò dopo d'averlo paragonato co' <lb></lb>primi vetri dice di volermelo rimandare. </s><s>Forse domani anderò a salu<lb></lb>tarlo, et intenderò meglio la sua intenzione. </s> <s><foreign lang="it">Quando non si risolva a <lb></lb>nulla, procurerò che mi restituisca i vetri per rimandargli incontinente <lb></lb>a V. S. conforme l'ordine datone al Sig. Raffaello nella lettera <lb></lb>inclusa. </foreign></s> <s>Il Padre è di partenza tra nove giorni, non so, se per Parigi <lb></lb>addirittura, oppure verso Bologna, e Venezia, e quindi alla Guascogna <lb></lb>per complire col Sig. de Fermat. </s> <s><foreign lang="it">Quanto alla proposizione da me av<lb></lb>vertita circa la sezione del conoide iperbolico, che genera una para<lb></lb>bola, sono certissimo, che ella averebbe trovata questa, et altre più <lb></lb>degne verità, e teoremi, ma in ciò appare la mia fortuna d'avervi <lb></lb>dato mente il primo, e ben V. S. mi conferma nella detta opinione, <lb></lb>mentre mi nomina quel piano segante aequidistanter ad un asintoto, <lb></lb>che fa la sezione parabolica. </foreign></s> <s>Dopo avere scritto quella farragine di <lb></lb>ciance intorno i massimi, e minimi, arrivai al modo di tirar la tan<lb></lb>gente per aver li massimi, e minimi coni, et cilindri circoscritti, et <lb></lb>iscritti. </s><s>La cosa si scioglie col tirare una tangente a similitudine del<lb></lb>l'altra, ma segata, non per metà, ma in due segamenti, che l'uno sia <lb></lb>doppio dell'altro, come a V. S. dimostrerò in tempo più opportuno <lb></lb>essendo la scrittura un poco lunghetta. </s> <s><foreign lang="it">Per la prova della proposizione <lb></lb>delle infinite iperboli, et ellissi, basterà, che le accenni per brevità una <lb></lb>general passione, la quale è tale. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Siamo ABC, EDF due iperboli simili, et eguali intorno l'asse HG, <lb></lb>nelle quali i cubi, o quadrati, o le linee & delle applicate GA, PL siano <lb></lb>come i rettangoli DGB, DPB. Applicando le GA, PL, HE, MR, che <lb></lb>taglino parti uguali del diametro, cioè BG eguale a DH & tirando <lb></lb>inoltre da vertici BI, DK, e congiungendo AE, LM. Come il cubo GA <lb></lb>a PL, cioè IB a BN, così il rettangolo BGD, ovvero AIE al rettangolo <pb pagenum="287"></pb>BPD, cioè LNM similmente delle altre iperbole <lb></lb> <arrow.to.target n="fig619"></arrow.to.target><lb></lb>quadratoquadratiche &. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Rivoltisi dunque la <lb></lb>suddetta figura intorno TV secondo diametro, <lb></lb>et il solido nato dal trilineo BAI al tubo ci<lb></lb>lindrico nato dall'AB; sarà come i cubi maxi<lb></lb>marum abscissarum ad cubos omnium abscis<lb></lb>sarum, hoc est ut I ad 4 et per conversionem <lb></lb>rationis, il Tubo cilindrico al solido dell'iper<lb></lb>bola cubica come 4 a 3, quod &. </foreign></s> <s><foreign lang="it">A somiglianza <lb></lb>di questa si dimostra il medesimo delle infinite <lb></lb>ellissi d'intorno l'asse conjugate rivolte, e di <lb></lb>tutte le parabole paragonate co' suoi rettan<lb></lb>goli circoscritti che volentieri lascio di ragionar <lb></lb>minutamente per minor tedio di V. S., e mia <lb></lb>maggior comodità. </foreign></s> <s>Riverisco V. S. con tutto <lb></lb>l'animo, e le bacio le mani. </s> <s><foreign lang="it">Consultò meco un <lb></lb>mio amico delle mattematiche molto bene instrutto sopra la proposi<lb></lb>zione 18.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> del supplemento della Geometria, la quale desiderava d'in<lb></lb>tendere per la materia importantissima, che proponeva, cioè di segar <lb></lb>l'angolo bifariam con nuova maniera. </foreign></s> <s>Vi feci un poco di riflessione, per <lb></lb>compiacere all'amico, e con una breve analisi tutto l'opposto si con<lb></lb>chiude di quello, che pretende l'autore. </s><s>Questo medesimamente taccio, <lb></lb>avendone per l'addietro pur troppo copiosamente ragionato. </s><s><lb></lb>Roma li 25 Febbraio 1645.</s></p> <figure id="fig619"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Che quell'applicata, di cui feci a V. S. istanza deve tenersi fuori <lb></lb>della parabola, conobbi anche io, e 'l dimostrai alcuni mesi sono, ma <lb></lb>non dichiarandosi questo pareva a me, che restasse imperfetta la pro<lb></lb>posizione generalmente proposta, et anche falsa. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ella non mi dice cosa veruna, se l'opposizione ha luogo in quelle <lb></lb>parole del Fermat; per cortesia mi comunichi il suo senso. <lb></lb> Aff.mo Servit.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> e Discepolo<lb></lb> Michelangelo Ricci</foreign></s> </p> <pb pagenum="288"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>131<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> [TORRICELLI a MICHELANGELO RICCI <lb></lb>in Roma].<lb></lb>Firenze, 25 febbraio 1645.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XL, c. 106 — Copia di L. Serenai).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Intendo dalla lettera di V. S. la sua veramente egregia <lb></lb>inventione delle tangenti alle infinite parabole. </s><s>Sono molte <lb></lb>settimane che V. S. mi va avvisando cose ingenosissime, <lb></lb>ma a mio giudizio m'è parso che questa porti la palma. </s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Ora Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> mio ella mi cagiona un rossor continuo col titolo <lb></lb>di discepolo, che in nessun modo, e per nessun rispetto <lb></lb>io lo devo comportare, prima perchè ella non deve mai <lb></lb>ascriversi altro titolo verso di me che di padronanza as<lb></lb>soluta; poi se ben fummo una volta insieme à considerar <lb></lb>gli elementi della Geometria, io son dell'opinion di coloro <lb></lb>che stimano che in queste scienze nulla s'insegni, ma <lb></lb>tutto s'impari da sè, che però non ci sono nè maestri nè <lb></lb>discepoli, finalmente quando ben ci fussero, mi pare che <lb></lb>V. S. ha cominciato a potermi esser maestro. </foreign></s> <s><foreign lang="it">E dove <lb></lb>mai gli ho io insegnato cose come sono di queste tan<lb></lb>genti, e di quell'altre universali come dell'ellissi, e dell'hi<lb></lb>perbole? </foreign></s> <s>Ho ben io imparato dalle sue lettere cose che <lb></lb>forse non haverei avvertite mai, perchè tornando hiersera <lb></lb>a casa con le lettere di V. S. in mano, m'entrò in testa <lb></lb>che quelle tangenti non potessero essere. </s> <s><foreign lang="it">Ciò fu causa <lb></lb>che feci non sò che figure, e trovai poi che era veris<lb></lb>simo, e ne scrissi la dimostrazione universale per la dot<lb></lb>trina del moto, strada che credo sia diversa da quella di <lb></lb>V. S. Bisognerebbe che il P. Mersenne portasse in Francia <lb></lb>una nota di queste cose di V. S. Haverei caro sapere se <lb></lb>Monsù Fermat habbia questa notizia delle tangenti para<lb></lb>boliche. </foreign></s> <s>Voglio accennare a V. S. anco le tangenti di tutte <lb></lb>le infinite ellissi delle quali se ben non ho dimostrazione <lb></lb>universale a mio modo nondimeno ne ho certezza. </s></p> <pb pagenum="289"></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Sia una delle ellissi ABC, si <lb></lb> <arrow.to.target n="fig620"></arrow.to.target><lb></lb>che le dignità delle applicate <lb></lb>(quarum una sit FE) siano come <lb></lb>i rettangoli delle parti della base, <lb></lb>overo asse AC (quarum unum sit <lb></lb>AFC). Si cerca la tangente al <lb></lb>punto E. Facciasi sempre come <lb></lb>il quadrato AF al quadrato FC così nella prima <emph type="italics"></emph>parabola<emph.end type="italics"></emph.end><lb></lb>la retta AH ad HC, nella 2.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> così il quadrato AH ad <lb></lb>HC, etc. </foreign></s> <s><foreign lang="it">nella 3.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> così il cubo AH ad HC, etc. </foreign></s> </p> <figure id="fig620"></figure> <p type="main"> <s>Se V. S. trova la dimostrazione sarà sua perchè io <lb></lb>non ho voglia di studiare. </s><s><lb></lb>Firenze 25 Febbraio 1645.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>132<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> MICHELANGELO RICCI a [TORRICELLI <lb></lb>in Firenze].<lb></lb>Roma, 26 febbraio 1645.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLII, c. 98-100 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Sono stato pregato da un certo Sig. Abram Armeno peritissimo <lb></lb>della Lingua arabica di significare a V. S. la sua intenzione che saria <lb></lb>di tradurre il rimanente de' Conici d'Apollonio, che in cotesta Libreria <lb></lb>Medicea s'intende conservarsi. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ha sentito riferire dal Sig. Luca Hol<lb></lb>stenio, che sua Altezza propone una somma grossissima di denari a <lb></lb>chi felicemente compirà l'impresa d'interpretargli, ma esso, che il solo <lb></lb>onore ha per fine, poco cura di premio così dovizioso di denari. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Stima <lb></lb>(e con ragione) di non poter più fruttuosamente impiegare il suo <lb></lb>studio, nè di poter ritrovare più salda base alla perpetuità del suo <lb></lb>nome di questo, che inoltre sarà estremamente gradito, dice egli, da' <lb></lb>Geometri, la maggior parte de' quali esso conosce, et ama. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Forse a <lb></lb>V. S. non sarà difficile il condur a buon fine quanto si desidera, giac<lb></lb>chè vi concorre il genio di Sua Altezza, l'onore di cotesta Biblioteca, <lb></lb>di dove si dirà essere uscita opera tanto bramata da'nostri maggiori, <lb></lb>e coetanei. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Che se gran tempo si tarda, non mancherà per avventura <lb></lb>qualche diligente Oltramontano, che prenderà ad interpretare il testo <lb></lb>arabico dell'Olanda, preoccupando all'Italia quella gloria, che senza <pb pagenum="290"></pb>dispendio, et incomodità veruna avrebbe potuto conquistare. </foreign></s> <s><foreign lang="it">In tutto <lb></lb>però rapportandomi alla destrezza, e prudenza di V. S. attenderò <lb></lb>avidamente qualche risposta per compiacerne l'amico, il quale riverisce <lb></lb>la fama prima, e poi la persona di Lei, et io unitamente le bacio le <lb></lb>mani <lb></lb>Roma lì 26 Febbraio 1745.</foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Feci ricapitar la lettera di V. S. e la scatola conforme gliene do <lb></lb>parte con altra mia. </s> <s><foreign lang="it">Quanto alle opere del Fermat non ho veduto <lb></lb>finora altro di plausibile, che de maximis, et minimis, contenuto in <lb></lb>cotesta scrittura, che le mandai, et un altro opuscoletto sopra le tan<lb></lb>genti, che presuppone quell'altro trattato. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Dove, se posso servir V. S. <lb></lb>in cosa alcuna per sollevarla dalla fatica di studiarlo, me le offero <lb></lb>prontissimo con iscrivergliene ben cento esempi, che io ne ho fatti, e <lb></lb>in tutti mirabilmente cammina l'unica regola del Fermat. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Monsù Ro<lb></lb>berval si risolve di stampare un suo discorso della Trocoide, che V. S. <lb></lb>chiama Cicloide, et appresso la misura della superficie del Cilindro, e <lb></lb>Cono Scaleno. <lb></lb> Aff.mo, et Obb.mo Servit.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> e Discepolo<lb></lb> Michelangelo Ricci</foreign></s> </p> <pb pagenum="291"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>133<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> [TORRICELLI a MARINO MERSENNE <lb></lb>in Roma].<lb></lb>[Firenze, . . . febbraio 1645].<lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XL, c. 59 — Copia di L. Serenai). </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Nel margine superiore del <emph type="italics"></emph>recto<emph.end type="italics"></emph.end> della carta 59 dello stesso codice “ Discepoli di <lb></lb>Galileo, T. XL, ecc. ” è scritto: “ <emph type="italics"></emph>Si crede esser risposta ad una l.ra del P. Mer<lb></lb>sennio. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Bozza di mano del Torricelli<emph.end type="italics"></emph.end> ”. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">L'ordine di successione di questa e delle tre seguenti lettere ai N. 134, 135, e 139, <lb></lb>delle quali l'ultima ha la data 15 marzo 1645, risulta evidentemente dal conte<lb></lb>nuto di esse, come fu notato anche da BALDASSARE BONCOMPAGNI. (V. BULLETTINO <lb></lb>DI BIBLIOGRAFIA E DI STORIA DELLE SCIENZE MATEMATICHE E FISICHE, Roma Tip. </foreign></s> <s><lb></lb>delle Scienze Mat. </s><s>e Fis., 1875, Vol. </s> <s><foreign lang="it">VIII, <emph type="italics"></emph>Intorno ad alcune lettere di Evangelista <lb></lb>Torricelli, del Padre Marino Mersenne e di Francesco Du Verdus,<emph.end type="italics"></emph.end> pag. 372-373).<gap desc="/SM"></gap></foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Aegre fero vitrum meum quod Clar<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Viro Magiotto <lb></lb>miseram ab alio vitro superari, sed dabo aliquando operam <lb></lb>ne superetur semper. </s><s>Ex optimis apud me nullum habeo, <lb></lb>neque habere possum ob penuriam optimae materiae quae <lb></lb>si quando haberi possit vel exigua, quolibet adamante <lb></lb>pretiosior est. </s></p> <p type="main"> <s>Quod vero addidi in fine libelli mei verum est, non de <lb></lb>omnibus sed de aliquibus iisque perfectissimis vitris, quae <lb></lb>apud Ser. Magnum Ducem sunt. </s><s>Inventum meum et dili<lb></lb>gentia nihil unquam afferet boni, nisi adiuvante materia; <lb></lb>quando haec ex omni parte perfecta sit, tunc fructus in<lb></lb>venti mei manifeste apparebit. </s><s>Curabo ut ad te perferatur <lb></lb>unum, fortasse et alium ex meis vitris, ut experiaris teste <lb></lb>etiam Magiotto, utrum magis probetur. </s><s>Deinde convenit <lb></lb>nobis. </s><s>Displicet mihi non posse illud offerre ea liberalitate <lb></lb>qua optarem, et qua deberem praecipue erga tantum vi<lb></lb>rum, ob paupertatem meam. </s><s>Perlegi iam libellum quem <lb></lb>ad me misisti, de quo vix iudicium meum proferre ausim. </s><s><lb></lb>Multa in eo placent, sed non omnia. </s><s>Deinde credam ego <lb></lb>affirmantibus nobis ex barbaro codice descriptum et emen<lb></lb>datum, sed non ideo credam ab aevo Aristarchi descen<lb></lb>disse. </s><s>Quicquid sit magni quidem et philosophi et Astro<lb></lb>nomi inventum est. </s><s>Nugas Geometricas quas ex me petis <pb pagenum="292"></pb>mitto. </s><s>Hoc unum oro, ne demonstrationes ipsas in Galliam <lb></lb>mittas, nimis enim sunt. </s><s>Si placuerint Conclusio<lb></lb>nes tantum mittere poteris hoc modo: equidem pro certo <lb></lb>habeo omnia haec Theoremata cum innumeris aliis elegan<lb></lb>tioribus et universalissibus demonstrata fuisse a Clar.<emph type="sup"></emph>mis<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>Geometris Gallis, ego satis quoque laudis referam, nisi <lb></lb>dedignentur gradibus ipsorum temens subrepere <lb></lb>conatus meos. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>134<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> MARINO MERSENNE a [TORRICELLI <lb></lb>in Firenze].<lb></lb>[Roma, . . . febbraio 1645].<lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLI, c. 51-55 — Copia moderna). </s></p> <p type="main"> <s>Per la data, vedi l'annotazione al N. 133.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Tuas novissimas literas, vir Illustr. </s><s>perlegebam, quum tandem meus <lb></lb>ex Genua saccus allatus est, quo nonnullae chartae geometricae, tum <lb></lb>Fermatii, tum Robervalli continentur, quas si volueris, ad te mittam, <lb></lb>ubi tuus ille mirus Discipulus D. Riccius illas viderit, qui sit ad te <lb></lb>scripturus, num mereantur tuos oculos. </s><s>Gratum sane vas illud quadrato<lb></lb>quadratae parabolae, quod, tui gratia, velim mihi ex argento, vel alia <lb></lb>materia fieri, ubi modellum mihi Dominus Riccius pararit ex charta, <lb></lb>quod artifex sequi possit; solasque propositiones absque demonstra<lb></lb>tionibus, ut iussisti ad nostros Parisienses mittam. </s></p> <p type="main"> <s>Porro quod ita tuorum vitrorum bonitatem ita mihi cofirmes, si <lb></lb>materia adsit debita, inducit me, ut quum per Venetias transiero, ar<lb></lb>culam ad te mittam, vel mecum feram, si per Florentiam rediero, <lb></lb>quae vitris optimis et ad poliendum, ac radios transfundendum aptis<lb></lb>simis, plena sit. </s></p> <p type="main"> <s>Facit vero magna tui animi, sed et oculorum, existimo, perspica<lb></lb>citas, ut tibi tantam vitrorum magni Ducis bonitatem apponenti cre<lb></lb>dam, hoc est, te ei ut moecenati dedisse vitra tuae methodi, quae <lb></lb>reliqua superent. </s><s>Aliquando forte revelabis, num sphaerice, aut sphae<lb></lb>roidice, et an ellyptice, vel hyperbolice iuxta tradita a Domino Car<lb></lb>tesio, labores, an aliam figuram repereris, nuper iterum cum Domino <lb></lb>Magiotto tuum vitrum experti sumus in fastigio Domus Domini <lb></lb>qui tres, aut quatuor longissima perspicilia Fontanae habet, <lb></lb>quae reliquis praevalere videntur. </s></p> <pb pagenum="293"></pb> <p type="main"> <s>Porro quum non omnia tibi satisfecerint, quae <lb></lb> <arrow.to.target n="fig621"></arrow.to.target><lb></lb>penes Aristarchum legisti, gratum facies, siquod <lb></lb>minus placuit, moneas, ac aliquam tuae displi<lb></lb>centiae rationem innuas, quum nihil in eo fuerit, <lb></lb>quod nostro Robervallo non placuerit. </s></p> <figure id="fig621"></figure> <p type="main"> <s>Petieram etiam, si bene memini ut doceres, <lb></lb>qua ratione secandus sit axis sphaerici vasis, ut <lb></lb>quum evacuabitur temporibus aequalibus, verbi <lb></lb> <arrow.to.target n="fig622"></arrow.to.target><lb></lb>gratia, quatuor temporibus, sciatur quovis tem<lb></lb>pore, ad quam axis partem aqua pertingere de<lb></lb>beat. </s><s>Sint DE quatuor aequalia tempora, quibus <lb></lb>vas sphaericum BGAH depleatur, et penitus va<lb></lb>cuetur; quaero puncta axis BA, ad quae liquor, <lb></lb>primo, secundo, tertio tempore perveniet. </s><s>Dignum <lb></lb>problema, quod te tantisper exerceat. </s></p> <figure id="fig622"></figure> <p type="main"> <s>Peto etiam, num expertus fueris, quae tui libri pag. 206 legimus <lb></lb>de colubrina da 30 quam ais ad 45 gradus semijactu suo (puto <lb></lb>semijactu legendum), fecisse 10000 quadrantes passuum geometricorum. </s><s><lb></lb>An per quadrantes istos intelligis quartam partem passus geometrici? </s><s><lb></lb>Si fueris expertus doce colubrinae longitudinem, et pulveris quantita<lb></lb>tem, et quantum e plano horizontali fuerit erecta, an e fastigio turris, <lb></lb>aut muri, tune enim longius abire debuit. </s></p> <p type="main"> <s>Oblivisci nolim, Robervallum, et Cartesium numquam induci potuisse, <lb></lb>ut crederent fundamentum Galilaei, nempe gravia a quiete recedentia <lb></lb>per omnes tarditatis gradus transire, sed potius aliqua nota velocitate <lb></lb>incipere. </s><s>Siquid habeas, quo Basim istam cofirmes, docebis. </s></p> <p type="main"> <s>Jam vero libellum Aristarchi abs tuo obsequentissimo recipies, <lb></lb>quem vel tuum facies, si Dominus Doni habet alium, vel si jam tibi <lb></lb>retinueris, hunc illi meo nomine trades. </s><s>Alium ad Professorem Pisanum <lb></lb>mittemus, quum alia venerint, quae rursus expecto, exemplaria; nam <lb></lb>ex tribus solis, quae fuerunt in sacco, duo iam habetis, et unum dedi <lb></lb>nobili viro Riccio. </s><s>Venerunt etiam ad me tria exemplaria meorum <lb></lb>physicomathematicorum, quae si tanto viro scirem digna, mitterem <lb></lb>unum; sed quum fere perpetua nitar experientia, et sim potius laborius, <lb></lb>quum Architectus, quid oculis aquilinis meas tenebras subjiciam? </s><s>Quam<lb></lb>quam me plurimum delectat, quod eadem ambo circa aquas, et projecta <lb></lb>monstraverimus; signum est enim veritatis, quum multi absque con<lb></lb>ventione in idem occurrunt. </s></p> <p type="main"> <s>Illustr. </s><s>D. Doni meo nomine salutes velim, meque ad illum scri<lb></lb>pturum, ubi videro praestantissimos viros, quos mihi suis postremis <lb></lb>literis indicavit. </s></p> <p type="main"> <s>Santinius iterum laborat in demonstrandis per plana lineis duabus, <lb></lb>aut quotcumque proportionalibus inter duas datas, et in aliis, quae <lb></lb>solida fuerunt (<emph type="italics"></emph>sic<emph.end type="italics"></emph.end>) ostendet, num vera futura sint. </s><s>Vale, vir incom<lb></lb>parabilis, tuique obsequentissimum Mersennum firmiter credito. </s></p> <pb pagenum="294"></pb> <p type="main"> <s>Quum satis chartae mihi supersit, dubium musicum tibi propositum <lb></lb>velim, quod puto pendere ab eodem principio, quo in duplicata temporum <lb></lb>ratione nosti esse spatia a gravibus transcursa. </s><s>Sit igitur chor<lb></lb> <arrow.to.target n="fig623"></arrow.to.target><lb></lb>da, seu nervus citharae uno pondere, seu vi una tensus in B, <lb></lb>faciatque sonum aliquem. </s><s>Constat experientia, nervum eumdem <lb></lb>debere quatuor viribus tendi, ut faciat sonum ad octavam <lb></lb>superiorem, hoc est, ut ascendat ad diapason: et tamen soni <lb></lb>facientes diapason sunt tantum in ratione dupla hoc est quum <lb></lb>AB momento temporis servet <lb></lb>(<emph type="italics"></emph>sic<emph.end type="italics"></emph.end>) cum tensione unius Librae, seu virtutis <lb></lb>ut eodem tempore, bis eodem, vel aequali momento temporis <lb></lb>(<emph type="italics"></emph>sic<emph.end type="italics"></emph.end>) debet tendi vi quadupla, cur ratio ponderum duplicatur? </s><s>Quae <lb></lb>confido abs te vir Illustr. </s><s>penetrari posse, et forte deduci ex iam tra<lb></lb>ditis in Libro subtilissimo. </s><s>Quod iam forte perscripserat ad te doctis<lb></lb>simus Geometra Michael Angelus Ricci. </s></p> <figure id="fig623"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>135<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> TORRICELLI a MARINO MERSENNE <lb></lb>in [Roma].<lb></lb>[Firenze, febbraio 1645].<lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>(BALDASSARRE BONCOMPAGNI: BULLETTINO DI BIBLIOGRAFIA E DI STORIA DELLE SCIENZE <lb></lb>MATEMATICHE E FISICHE, Roma, Tip. </s><s>delle Scienze Mat. </s><s>e Fis, 1875, Vol. </s> <s><foreign lang="it">VIII, <lb></lb><emph type="italics"></emph>Intorno ad alcune lettere di Evangelista Torricelli, del Padre Marino Mersenne e di <lb></lb>Francesco Du Verdus,<emph.end type="italics"></emph.end> pag. 394-396). </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Un esemplare manoscritto di mano di L. Serenai trovasi a carta 57 del codice indi<lb></lb>cato “ Discepoli di Galileo, T. XL, ecc. ” nella Biblioteca Nazionale di Firenze. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>A linea 1 del <emph type="italics"></emph>recto<emph.end type="italics"></emph.end> della stessa carta 57 si legge: “ <emph type="italics"></emph>Al P. Mersennio quando si <lb></lb>trovava in Roma per passar a Venezia<emph.end type="italics"></emph.end> ”. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Nella presente edizione si è data la preferenza alla copia a stampa del Boncompagni, <lb></lb>la quale fu rilevata dall'autografo già posseduto dal C.<emph type="sup"></emph>te<emph.end type="sup"></emph.end> Giacomo Manzoni, e di <lb></lb>cui è parola nell'annotazione premessa al N. 54 del presente Volume. </foreign></s> <s>Per quanto <lb></lb>riguarda la data di questa lettera V. l'annotazione premessa al N. 133.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Gratissimum facies si arculam plenam vitris optimis <lb></lb>sive miseris mihi, sive attuleris, quandò Venetias adieris, <lb></lb>quo ego usquè ad futuram aestatem non sum iturus. </s><s>In<lb></lb>terim ego scribam ad Clar: Magiottum ut te doceat de <lb></lb>qualitatibus quas ego in vitris desidero, postea et ipse <lb></lb>fructum capies de munere tuo cum faenore, iuxtà mate<lb></lb>riae quam mittes perfectionem. </s></p> <p type="main"> <s>Ego affirmavi in libello de Systemate quaedam mihi <lb></lb>non placuisse, et quidem non pauca. </s><s>Non ideò accuso li- <pb pagenum="295"></pb>bellum, neque ingenium eorum qui in illo omnia probant, <lb></lb>sed me ipsum. </s><s>Doctissimus Robervallius suo quo pollet <lb></lb>mentis acunime omnes illas difficultates superat, quas <lb></lb>ego evincere non possum. </s><s>Petis ut scribam quae displi<lb></lb>cent, rationesque displicentiae addam. </s><s>Non faciam hoc <lb></lb>si sapiam. </s><s>Primum quia hac petitione librum exigis a me, <lb></lb>non epistolam. </s><s>Deinde, si Autor libelli non vivit (quod <lb></lb>apud nos incertum est) non deerunt saltem ipsius fautores, <lb></lb>qui eum defendere velint. </s><s>Sed ego non sum in eo gradu, <lb></lb>neque ingenij, neque fortunae ut has contentiones susci<lb></lb>pere, et fovere possim. </s><s>Exemplar Aristarchi quod iam mi<lb></lb>sisti meum factum est ex tuo dono Vir Clar.<emph type="sup"></emph>me<emph.end type="sup"></emph.end> Itaque <lb></lb>poteris reliqua tam Domino Io. </s><s>Baptistae Donio, quàm <lb></lb>etiam P. Vincentio Renerio Mathematico Pisano mittere. </s></p> <p type="main"> <s>Quod deinde postulas de vase sphaerico, nescio an inter <lb></lb>inventa mea habuerim. </s><s>Curavi quidem ut à Typographo <lb></lb>omitterentur quaedam appendiculae, sive Corollaria circa <lb></lb>sphaeram, Sphaeroidem, atque alia vasa regularia; quae <lb></lb>quidem in exemplari manuscripto habebam; sed cum illa <lb></lb>omnia parvipenderem memoriâ exciderunt; et exemplar <lb></lb>ipsum de more reconditum est in Biblioteca Inquisitionis. </s></p> <p type="main"> <s>Non feci experimentum de maximo semijactu tormenti, <lb></lb>quod nostri appellant <emph type="italics"></emph>colubrina da<emph.end type="italics"></emph.end> 30, sed supposui vulga<lb></lb>tam fere omnium opinionem qui putant maximum iactum <lb></lb>praedictae machinae esse passuum Geometricorum circitèr <lb></lb>5000. Deinde quamquam re vera fuerit sive minor, sive <lb></lb>maior centiès, nihil tamen labis contraxissent Tabulae <lb></lb>atque doctrina mea. </s><s>Nam ego illa suppositione pro exem<lb></lb>plo tantum utor, non autem pro fundamento doctrinae. </s></p> <p type="main"> <s>Quod gravia à quiete cadentia per omnes tarditatis <lb></lb>gradus transeant ego credo. </s><s>Quin etiam quomodo fieri <lb></lb>possit alitèr cum Galileo non intelligo. </s><s>Non tamen iudico, <lb></lb>etiam si alias rationes haberem praeter <lb></lb> <arrow.to.target n="fig624"></arrow.to.target><lb></lb>allatas à Galileo, afferendas esse. </s><s>Esto <lb></lb>angulus aliquis rectilineus ABC punctum<lb></lb>que B progrediatur motu aequabili super <lb></lb>recta BC versus C. Quando punctum B <lb></lb>fuerit in D tunc sanè erit distantia ipsius <lb></lb>à recta BA perpendicularis DE. Negabit fortasse aliquis <pb pagenum="296"></pb>punctum D transijsse omnes minoris distantiae gradus <lb></lb>usque in infinitum antequam ad distantiam DE pervenerit? </s></p> <figure id="fig624"></figure> <p type="main"> <s>Gratissimum erit si potero tantùm legere opus Physico<lb></lb>Mathematicum. </s><s>Deinde cui iusseris illud dabo. </s><s>Neque enim <lb></lb>cum 3 tantùm ex Gallia delata sint, unum ausim deside<lb></lb>rare; nollem tamen perdere hoc beneficium, cum ab ipsius <lb></lb>lectione plurimos eruditionis fructus sperem me perce<lb></lb>pturum. </s></p> <p type="main"> <s>Miseret me Sanctinij vestri, si iterum idem opus revol<lb></lb>vit. </s><s>Miser: quantâ laborat in Caribdi. </s></p> <p type="main"> <s>De problemate Musico habeo nescio quid, opinionem <lb></lb>dicam, non demonstrationem, quidquid est, scribam quando <lb></lb>aliquid temporis vacabit. </s><s>Duo alia problemata huic simil<lb></lb>lima iam pridem habeo soluta Geometricè, alterum est; <lb></lb>quare in vase cuius basis perforata sit altitudines aquae <lb></lb>duplicatam rationem habeant velocitatum, hoc est, si positâ <lb></lb>tali aquae altitudine velocitas emissionis e fundo erum<lb></lb>pentis talis est, quarè ad velocitatem duplam faciendam <lb></lb>quadrupla requiratur altitudo, et ad triplam noncupla? </s><s><lb></lb>Sed iam hora monet me ut finem faciam. </s><s>Vale, Vir cele<lb></lb>berrime, tuique obsequentissimum ama. <lb></lb> Torricellium.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="italics"></emph>Fuori:<emph.end type="italics"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Doctiss. <expan abbr="atq.">atque</expan> Celeberrimo Viro P. Marino Mersenno. </s></p> <pb pagenum="297"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>136<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> MICHELANGELO RICCI a [TORRICELLI <lb></lb>in Firenze].<lb></lb>Roma, 5 marzo 1645.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLII, c. 101-106 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Molto Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end>, et Ecc.mo Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end>, e P.rone Oss.mo </s></p> <p type="main"> <s>Mi fu resa una lettera di V. S. iermattina quando stavo ragionando <lb></lb>col Padre Mersenno di Lei, e de' suoi vetri. </s> <s><foreign lang="it">Gli diedi subitamente il <lb></lb>foglietto inclusomi, del quale rende a V. S. molte grazie. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Voleva pa<lb></lb>rimenti la nota di quella proposizione circa le tangenti delle infinite <lb></lb>ellissi, ma non gliela volsi lasciar copiare adducendo per iscusa, che <lb></lb>era un abbozzo, il quale ricevuto che abbia l'ultima mano, farò, che <lb></lb>lo sappia indubitatamente. </foreign></s> <s><foreign lang="it">L'ho considerata poi in quel poco tempo, <lb></lb>che m'è restato dopo la partenza del Padre, che fu dopo desinare a <lb></lb>notte, e dopo aver compito all'obbligo dell'Ufficio divino, che mi toglie <lb></lb>il più bel tempo da studiare di tutto il giorno, et insieme all'obbligo <lb></lb>della civiltà con dar risposta ad alcune lettere. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Dico questo, perchè <lb></lb>avendomi portato l'analisi a concludere un assurdo dalla posizione di <lb></lb>quella proprietà, che ella m'accenna, adduco la brevità del tempo per <lb></lb>iscusa di non essermi potuto finalmente acquetare nella dubietà, che <lb></lb>mi trattiene l'osservazione di V. S. et la forza dell'analisi dall'altro <lb></lb>canto. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma per venire all'esempio: pon<lb></lb> <arrow.to.target n="fig625"></arrow.to.target><lb></lb>ghiamo AEC esser l'ellissi quadratica, <lb></lb>il cui asse AC, tangente HE, ordinata <lb></lb>FE. Sarà per la proprietà comune, o <lb></lb>dirò vulgata AF ad FC, come AH ad HC, <lb></lb>et i lor quadrati AF quadrato ad FC q <lb></lb>come AH q ad HC q: ma per la nuova <lb></lb>passione apportata da lei FH q ad HC q <lb></lb>ha similmente la proporzione di AF q ad FC <expan abbr="q.">que</expan> Dunque l'istessa pro<lb></lb>porzione hanno al quadrato HC il quadrato AH, et il quadrato FH, <lb></lb>cosa impossibile. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Deliberavo di tacer questo fintanto che meglio mi <lb></lb>chiarissi del vero, ma poi l'ho scritta confidato nella gentil natura <lb></lb>di V. S., la quale intenderà la mia difficoltà con quella verissima inter<lb></lb>pretazione, che solo sia per impetrarne la soluzione, et per frequentare <lb></lb>l'uso di quella confidenza, alla quale tante volte m'ha invitato. </foreign></s> <s>Le mie <lb></lb>dimostrazioni per le tangenti paraboliche camminano nell'ordinaria via <lb></lb>di Euclide, nè ho potuto introdurmi punto in cotesti moti, i quali son <pb pagenum="298"></pb>quelli, che portano al termine. </s> <s><foreign lang="it">Infestato dalla mia solita pigrizia, ma <lb></lb>più da molestie fatali, non posso scriver molto, il che sarà cagione, se <lb></lb>differirò qualche tempo di mandare a V. S. alcune specolazioni del <lb></lb>Sig.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> de Fermat, et le prove delle suddette tangenti. </foreign></s> <s>Ma ella non si <lb></lb>lasci dall'affetto verso di me trasportare, perchè alle lodi di V. S. facil<lb></lb>mente dò fede, perchè le ambisco, e quindi prendo congettura che non <lb></lb>le sieno tediose le mie bagattelle geometriche, che però la prego a <lb></lb>volermelo accennare, quando io le arrecassi disturbo, e noia. </s> <s><foreign lang="it">Il Padre <lb></lb>Mersenno ha prolungato il giorno della sua partenza un'altra settimana <lb></lb>e forse più. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Vorrebbe prima di partire, che io gli dassi la regola dimo<lb></lb>strata per ritrovare i massimi, e minimi coni, e cilindri, che si possono <lb></lb>circoscrivere, od iscrivere; così d'altre materie vorrebbe le proposizioni <lb></lb>almeno, ma io non voglio mettermi in uno steccato senza il patrocinio <lb></lb>di V. S. Quando ella mai facesse nota di sue proposizioni per mandarle <lb></lb>in Parigi, la pregherei a soggiungere alcune mie proposizioni, le quali <lb></lb>le paressero ben dimostrate, con dire, che fossero di Geometra Italiano, <lb></lb>ma senza porvi il mio nome. </foreign></s> <s><foreign lang="it">La suddetta regola chiestami dal Padre <lb></lb>Mersenno io gliela darò, sebbene dopo qualche tempo, e dopo l'appro<lb></lb>vazione di V. S., ma mi son fatto promettere di non rivelare il nome di <lb></lb>chi l'abbia trovata, siccome generalmente m'ha promesso di fare in tutte <lb></lb>le cose mie. </foreign></s> <s>Non voglio, che altri si rida di me, come quello, che mi <lb></lb>voglia mettere in dozzina delle stringhe rotte. </s><s>Il vetro ultimo lo feci <lb></lb>consegnare in prorie mani al Padre Mersenno, e lo trova eccellente, <lb></lb>ma dice di non si poter prevalere di tanta somma di denaro, (atteso <lb></lb>il viaggio che dovesse fare) quanta sarebbe necessaria per comperarlo. </s><s><lb></lb>Ne offerse cinque doppie, e poichè sentì esibirsi senza denari uno di <lb></lb>quei due inferiori di condizione, benchè più lunghi di diametro, cominciò <lb></lb>ad inclinare a scegliersi uno di quelli. </s> <s><foreign lang="it">Mi pare, che sia raffreddato <lb></lb>assai all'avviso di questi prezzi, non già che esso non giudichi esser <lb></lb>giustamente tassata la bontà de' vetri, ma perchè al bisogno del <lb></lb>viaggio, et alla povertà religiosa, che ei professa, dice non parer con<lb></lb>veniente questa spesa. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Mi son rallegrato assai, che il vetrino si sia ritro<lb></lb>vato. </foreign></s> <s><foreign lang="it">I Libri gli attenderò dal Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Dardanelli, che scrive di averli da <lb></lb>avere quanto prima, e ne rende a V. S. affettuosissime grazie per lo <lb></lb>scomodo, e la cortese volontà, che tiene di mandarmeli ella medesima, <lb></lb>quando gli avesse. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Perciò scrivo a V. S. perchè so, che ella non gli <lb></lb>ha, et avendogli dubiterei con iscrivergliene, di eccitare la sua genti<lb></lb>lezza a far cosa, che io non dovrei poi comportare. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ieri trattenni a <lb></lb>pranzo con me il Padre Mersenno, essendosi trovato in queste nostre <lb></lb>parti dopo mezzodì, senza aver rotto digiugno e si fece un brindisi <lb></lb>alla sanità di V. S. Non so, se mi avvisassi a V. S. questo Settembre <lb></lb>la mutazione, che noi facessimo di casa, e la vendita del negozio. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Noi <lb></lb>abitiamo in Strada Giulia dirimpetto al Palazzo de' Ceuli, dove il <lb></lb>Covrè Ambasciator di Francia si tratteneva in tempo, che V. S. si <lb></lb>trovava quì. </foreign></s> <s>L'avviso con mistero a V. S., perchè in quella maniera, <lb></lb>che si risolve di andare a Bologna, a Venezia, et altrove, potrebbe <lb></lb>risolversi di rivedere la Regina di tutte le Città, e dar questo onore <pb pagenum="299"></pb>alla nostra nuova abitazione, et al desiderio di servirla, che abbiamo <lb></lb>con far capitale di quella prontezza, benchè povera, che di vero cuore <lb></lb>le offerisco, e le bacio le mani. </s><s><lb></lb>Roma lì 5 Marzo 1645.</s></p> <figure id="fig625"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Avrei caro sapere, se l'invenzione di lavorare, che V. S. ha per li <lb></lb>vetri del Telescopio, potesse applicarsi agli occhiali da naso. <lb></lb> Aff.mo, et Obb.mo Servit.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> e Discepolo<lb></lb> Michelangelo Ricci</foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>137<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> [TORRICELLI a MICHELANGELO RICCI <lb></lb>in Roma].<lb></lb>Firenze, 11 marzo 1645.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XL, c. 108-109 — Copia di L. Serenai).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Circa quelle tangenti dell'ellissi io non so che diavolo <lb></lb>m'abbia scritto perchè quasi sempre scrivo volando. </s><s>So <lb></lb>bene che se la penna ha errato, non credo che habbia <lb></lb>errato l'intelletto. </s> <s><foreign lang="it">Ho voluto dir questo che se l'ellissi sarà <lb></lb>il primo o vogliam dire lineare <lb></lb> <arrow.to.target n="fig626"></arrow.to.target><lb></lb>(in effetto poi sarà la parabola <lb></lb>vulgata) e che tangente sia DO, <lb></lb>sarà come il quadrato AB al BC <lb></lb>così la retta AD alla DC, ma se <lb></lb>sarà il secondo, o quadratico ellisse, sarà come il qua<lb></lb>drato AB al BC così il quadrato AD al DC, ma se sarà <lb></lb>il terzo overo cubico, sarà come il quadrato AB al BC <lb></lb>così il cubo AD al DC. Questo è il senso et il concetto <lb></lb>medesimo che io ho hauto sempre; quanto all'ellissi p<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end>. <lb></lb>e 2°. </foreign></s> <s><foreign lang="it">ne ho (et ognuno l'havrà) la dimostrazione havendo <lb></lb>io provato che nella parabola le tre rette AD, BD, CD <lb></lb>sono in continua proporzione. </foreign></s> </p> <figure id="fig626"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Studiamo il foglio della Sineresi, et anastrofe, e la <lb></lb>maggior parte da me non era intesa punto perchè sup- <pb pagenum="300"></pb>pone certo metodo Ureteo (?) a me ignoto, e del resto è <lb></lb>difficilissimo di spiegatura come mi riescono per lo più gli <lb></lb>Oltramontani. </foreign></s> <s>Però io trovai un altro metodo non Ureteo, <lb></lb>ma evangilesteo col quale facilmente et in subito senza <lb></lb>linee o difficoltà con pura geometria, e senza neanche <lb></lb>l'odor dell'algebra mostro la seguente proposta cioè: </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Se una retta linea sarà segata in due parti allora il <lb></lb>prodotto che si farà dalla moltiplicazione delle dignità di <lb></lb>esse parti sarà il massimo quando le parti saranno fra di <lb></lb>loro nella medesima proporzione della dignità, cioè: </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Allora la moltiplicazione del quadrato di una parte <lb></lb>nel cubo dell'altra sarà la massima quando le parti sa<lb></lb>ranno come 2 a 3, et sic de singulis. </foreign></s> <s>Ho poi dimostrato <lb></lb>questo. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Se sarà circolo, overo ellissi ADC <lb></lb> <arrow.to.target n="fig627"></arrow.to.target><lb></lb>e che il prodotto della retta AB nella <lb></lb>BD sia il massimo, sarà AB a BC <lb></lb>come 3 a 2, ma se la retta AB nel <lb></lb>quadrato BD farà il massimo sarà AB <lb></lb>a BC come 5 a 3, et sic semper. </foreign></s> </p> <figure id="fig627"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ma se la figura sarà parabola nel p<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> caso detto la AB <lb></lb>alla BC sarà come 2 ad 1, nel 2° come 3 a 2, nel 3° come <lb></lb>4 a 3, et sic semper. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Spero anco che farò la proposizione più universale <lb></lb>con pigliar anco del diametro AB qualunque dignità, e <lb></lb>forse propagare la specolazione a tutte le parabole. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Se <lb></lb>il P. Mersenne si trovasse in Roma supplico V. S. a darli <lb></lb>copia di questi massimi della parabola et ellissi e circolo, <lb></lb>ma non della linea segata. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Non credo che egli si tro<lb></lb>verà più costì, ma quando vi fusse do autorità assoluta <lb></lb>a V. S. di poter disporre di quei vetri a suo gusto, e <lb></lb>quando volesse quel meglio per l'offerta che V. S. mi <lb></lb>avvisa, o volesse uno di quegli altri tre, in qualsivoglia <lb></lb>modo egli è Padrone, purche mi trovi poi col tempo <lb></lb>qualche occasione di mandarne in Francia. </foreign></s> <s><lb></lb>Firenze XI marzo 1645.</s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Non è mai possibile che io possa esprimere con parole <lb></lb>l'alta obbligazione che ella m'impone, mentre con eccesso <pb pagenum="301"></pb>tanto grande di cortesia mi offerisce l'honore di un ho<lb></lb>spizio tanto honorato come è la sua Casa in tempo di mie <lb></lb>occorrenze, erano pur anco grandi gli altri titoli di bene<lb></lb>merito che ella tiene sopra di me, senza aggiugnermene <lb></lb>con obbligazioni così magnanime dei nuovi. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>138<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> MICHELANGELO RICCI a [TORRICELLI <lb></lb>in Firenze].<lb></lb>Roma, 12 marzo 1645.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLII, c. 107-110 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Molt' Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end>, et Ecc.mo Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end>, e P.rone Oss.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Delibera il Padre Mersenno di scegliersi uno di quei due vetri men <lb></lb>buoni, alla ricompensa de' quali V. S. non richiedeva se non arculam <lb></lb>vitrorum; e perchè non potesse mai protestar l'ignoranza di quel, che <lb></lb>dovrà dare a V. S., gli lessi l'ordinario passato la lettera di V. S., <lb></lb>e ieri di nuovo gliela replicai. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Procurerò, che mi restituisca il residuo <lb></lb>de' vetri per consegnarlo nelle mani del Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Magiotti al suo ritorno. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Il metodo di Monsu Fermat cammina sempre in un modo et è il mede<lb></lb>simo che s'insegna nell'operetta de syneresi, et anastrophe. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Non posso <lb></lb>mandargliene copia prima del sabato prossimo, dovendola io medesimo <lb></lb>copiare con qualche fatica per la moltitudine delle note algebraiche, che <lb></lb>vi sono. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Del pensiero di V. S. intendo servirsi Monsù de Roberval, ma <lb></lb>non riuscirà per mio avviso così facile, et accomodato ad esprimere le <lb></lb>proporzioni in ogni caso, come fa singolarmente questo del Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> de Fer<lb></lb>mat. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Oltre che l'ha egli promosso all'invenzione de' centri di gravità <lb></lb>alla misura de' piani, e solidi, al ritrovamento degli asintoti; cose che <lb></lb>finalmente abbracciano tutta quasi la Geometria. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Se non avesse la diffi<lb></lb>coltà della sintesi, che non appare si possa fare seguendo i vestigi della <lb></lb>risoluzione, come si costuma nell'analisi ordinaria del Vieta, stimerei <lb></lb>non si poter più desiderare in questa professione; ma perchè V. S. sel <lb></lb>vedrà da se stessa con più profondo giudizio, non accade, che io glielo <lb></lb>stia esagerando. </foreign></s> <s>Resterò molto obbligato al favor di V. S., se darà a <lb></lb>divedere al Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Abramo, che sia di qualche frutto l'intercessione mia <lb></lb>appresso di Lei, col parlare almeno a cotesti Sig.<emph type="sup"></emph>ri<emph.end type="sup"></emph.end>, e riportarne risposta <lb></lb>qualunque si sia. </s> <s><foreign lang="it">Temo di avere in fallo scritto a V. S. che Robervallio <lb></lb>stampi la quadratura della superficie d'un Cilindro scaleno, ma dovevo <pb pagenum="302"></pb>dire d'un Cono Scaleno, e di più ragiona del Centro di gravità in <lb></lb>genere, provando esso trovarsi nelle figure. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ringrazio V. S. che mi <lb></lb>abbia avvisato la mia semplicità, od ignoranza in conto di quello <emph type="italics"></emph>aut.<emph.end type="italics"></emph.end><lb></lb>Così la ringrazio della pazienza, con che si è compiaciuta di leggere <lb></lb>le mie fantasie, delle quali con più riserva ne manderò a V. S. per <lb></lb>non l'attediare. </foreign></s> <s>Devo pregarla a voler dare un'occhiata con qualche <lb></lb>attenzione ad una certa scrittura, che le son per mandare intorno i <lb></lb>massimi, e minimi solidi, come anche alla seguente maniera di mo<lb></lb>strare quel che non le partecipai con la dimostrazione delle infinite <lb></lb>parabole, iperbole, et ellissi, et esemplificherò nelle abscisse de cubi &. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Tutti li quadrati del quadrato AB sono sex<lb></lb> <arrow.to.target n="fig628"></arrow.to.target><lb></lb>cupli di tutti li rettangoli ADB in ABC, e presi <lb></lb>tre volte questi rettangoli saranno solamente <lb></lb>dupli. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Moltiplicati li quadrati, e rettangoli in <lb></lb>tutte le linee del quadrato AB, si formeranno <lb></lb>tutti li cubi di AB, e tutti li solidi DAB in ABC <lb></lb>3 in tres lineas quadrati AB, i quali saranno in <lb></lb>proporzion dupla per le altezze comuni; e per <lb></lb>la conversion di ragione tutti li cubi di AB a <lb></lb>tutti li cubi de' triangoli ADB, ABC saranno pur dupli, e conseguen<lb></lb>temente quadrupli de' soli cubi ADB, il che &. </foreign></s> </p> <figure id="fig628"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Che la progressione avvisatale da me sia vera, e buona me ne <lb></lb>certificai per legittime conseguenze da alcune proposizioni che io lessi. </foreign></s> <s><lb></lb>Tentai poi in alcuni casi di mostrarla, e mi successe felicemente. </s> <s><foreign lang="it">Non <lb></lb>volsi dopo stancarmi nella prova di tutta quella serie interminata. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Ho ricevuta una lettera cortesissima dal Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Doni con una acclusa <lb></lb>al Padre Mersenno; non gli risponderò prima d'aver procurata la <lb></lb>risposta del Padre; frattanto la prego a volergli far riverenza in <lb></lb>nome mio, et a V. S. affettuosissimamente bacio le mani &. </foreign></s> <s><lb></lb>Roma li 12 m.zo <emph type="italics"></emph>1645.<emph.end type="italics"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Trovo per analisi le tangenti delle infinite iperboli, et ellissi, ma <lb></lb>non mi resta tempo di applicare per le dimostrazioni di quelle. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Il Padre Mersenne la prega per la soluzione del problema armonico, <lb></lb>che a V. S. propose. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Mi resterebbe anche di significare a V. S. alcune <lb></lb>opposizioni fatte in Parigi alle dottrine del moto inventate dal Galileo; <lb></lb>ma scrivo subito dopo desinare, e non posso dilungarmi. <lb></lb> Aff.mo et Obb.mo Servit.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> e Discepolo<lb></lb> Michelangelo Ricci.</foreign></s> </p> <pb pagenum="303"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>139<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> MARINO MERSENNE a [TORRICELLI <lb></lb>in Firenze].<lb></lb>Roma, 15 marzo 1645.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLI, c. 16-17 — Copia di L. Serenai).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Hactenus expectavi, Vir Illustrissime, mei dubij harmonici solutio<lb></lb>nem, quam Vestra Dominatio meditata est, cur nempe nervus ad ali<lb></lb>quem sonum acutiorem adducendo ac tendendo pondera, seu vires <lb></lb>tendentes in ratione duplicata intervallorum harmonicorum appendula <lb></lb>sint. </s><s>Cum enim ut iam scripseram diapason verbi gratia habeat suam <lb></lb>rationem 1 ad 2, quare vis tendens nervum ad sonum acutum ut 2; <lb></lb>debet esse ad vim facientem sonum ut unum, ut 4 ad 1. </s></p> <p type="main"> <s>Erat etiam ex re ut diceret Vestra Dominatio, cur aqua fluens ex <lb></lb>foramine facto in imo tubi, censeatur eâdem exilire velocitate ac si <lb></lb>descendisset à tubi summitate. </s><s>Id enim supponit V. D. et tamen aqua <lb></lb>in imo fluens re vera non descendit ex summitate tubi. </s></p> <p type="main"> <s>Quae solummodo pauca nunc propono, ne V. D. deterreatur à mul<lb></lb>titudine difficultatum, què dicam me vidisse vitra omnia, quae huc <lb></lb>misit, meque ei vel de solo visu gratias agere, ut Gallis nostris certum <lb></lb>faciam quantum V. D. possit in huiusmodi dioptricis, et quam feliciter <lb></lb>praxim theoricae coniungat. </s><s>Porrò unum ex duobus peioribus, vel minus <lb></lb>bonis, iuxta Vestrae Dom. </s><s>voluntatem, puto me accepturum; quanquam <lb></lb>tubi longitudo me deterret, malimque unius solius brachij vitrum ha<lb></lb>bere quod sit praestantissimum quam vitrum 3 aut 4 vel plurium bra<lb></lb>chiorum, quippe machinis indigent importunis et difficilibus. </s><s>Credo <lb></lb>autem V. D. non alia uti figura in suis convexis, vel concavis, quàm <lb></lb>sphaerica, est enim nimium difficilis elliptica, vel hyperbolica, de qna <lb></lb>fuse Cartesius noster in suis dioptricis prius gallice, nunc verò latine <lb></lb>editis, quae si desideret V. D. confestim e Lutetia missurus sum. </s><s>Sed <lb></lb>et penes me hîc habeo tractatulum aureum manuscriptum latinum, <lb></lb>quo vera perspiciliorum perfectorum fundamenta explicantur; quem <lb></lb>tractatum demonstratum si velit perlegere V. D. statim mittam ad me <lb></lb>postea remittendum. </s></p> <p type="main"> <s>Placet autem hîc 2 propositiones addere satis pulchras, quas nescio <lb></lb>an V. D. contemplata fuerit. </s></p> <p type="main"> <s>Cylindri cuiuscunque superficies curva est ad superficiem planam <lb></lb>ambarum basium simul, ut altitudo cylindri ad semidiametrum basis. </s></p> <p type="main"> <s>Cylindri superficies integra compraehensis basibus est aequalis su<lb></lb>perficiei curvae sine basibus cylindri, cuius basis eadem est vel aequalis, <lb></lb>altitudo verò aequalis altitudini unà cum semidiametro basis. </s></p> <pb pagenum="304"></pb> <p type="main"> <s>Cubus inscriptus sphaerae inscribitur in minori sphaerae circulo, <lb></lb>cuius basis ad circumscripti basim est ut 1 ad 3. </s></p> <p type="main"> <s>Solidum inscripti ad solidum circumscripti est ut 1 ad √27. </s></p> <p type="main"> <s>Cubus circumscriptus est fere duplus sphaerae. </s></p> <p type="main"> <s>Absque basibus cylindrus habens pro lineis suis quadratum inscri<lb></lb>ptum, maximam habet superficiem. </s></p> <p type="main"> <s>Maximus quo ad soliditatem est inscriptus cubo inscripto. </s></p> <p type="main"> <s>Maximus cylindrus quo ad superfi<lb></lb> <arrow.to.target n="fig629"></arrow.to.target><lb></lb>ciem cum basibus, inscriptus in sphaera <lb></lb>hanc habet proprietatem, ut linea ducta <lb></lb>ab angulo D usque ad A sit diameter; <lb></lb>tumque DC est linea proportionaliter <lb></lb>secta in A, si à C ducatur linea CB erit <lb></lb>tangens circuli CB aequalis diametro, <lb></lb>et latus cylindri BA erit minus segmen<lb></lb>tum diametri basis BD proportionaliter <lb></lb>sectae. </s></p> <figure id="fig629"></figure> <p type="main"> <s>In quibus si non omnia nova sint Dominationi Vestrae, fortè saltem <lb></lb>aliqua si tamen ulla possint ess (<emph type="italics"></emph>sic<emph.end type="italics"></emph.end>) nova ei qui nullum non problema sol<lb></lb>vere valèat. </s><s>Ut ut sit, me tui velim credas obsequentissimum Mersennum. </s></p> <p type="main"> <s>15. Martij anni 1645. Romae. </s></p> <p type="main"> <s>Obliviscebar esse lesuistam (<emph type="italics"></emph>sic)<emph.end type="italics"></emph.end> Gallum nomine Caszreum, qui <lb></lb>nuper longâ epistola ad D. Gassendum directa, quam Clariss.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> V. D. <lb></lb>Riccio sincerissimo amico tuo ostendi, quique fusius de ea ad te scri<lb></lb>pturus est, Galilaei librum de motu impugnantibus contendere illum <lb></lb>paralogismos fecisse. </s><s>Iam tuum est tantum Virum Ille le<lb></lb>suista contendit accelerationis motus fieri per momenta in progressione <lb></lb>geometrica dupla idest primo 2, 3, 4, 5, etc. </s><s>spatia confici 1, 2, <lb></lb>4, 8, 16 impari 1, 2, 3, 5, 7 et Utinam illam <lb></lb>epistolam Galileum vindicans imo et se ipsum qui <lb></lb>Ait ille sit bilanx ABCD, lances A <lb></lb> <arrow.to.target n="fig630"></arrow.to.target><lb></lb>et B, sit pila unius unciae in lance <lb></lb>A et pila eiusdem ponderis in lance B, <lb></lb>erunt in aequilibrio, sed ponantur duae <lb></lb>librae in lance A, libra in B cadat ex <lb></lb>altitudine diametri e B <lb></lb>2. pilas ex A; 2. <foreign lang="grc">ακ</foreign>, <lb></lb>3. pilas ex A denique à quot <lb></lb>diametris suis, puta 12, 12, vel <lb></lb>quotcumque pilas <lb></lb>et velocitate sunt <lb></lb>ac varia spatia in progressione dupla D. Riccius <lb></lb>illam epistolàm ad te mittere poterit, cuius refutationem si à te accipit, <lb></lb>mihi dandam, Reliqua scribit D. Riccius. </s><s>Nobis abest <lb></lb>per totam Quadragesimam Magiottus </s></p> <pb pagenum="305"></pb> <figure id="fig630"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>140<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> FRANCESCO DU VERDUS a [TORRICELLI <lb></lb>in Firenze].<lb></lb>Roma, 15 marzo 1645.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLI, c. 99 — Copia di L. Serenai).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Mio Signore </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Se io sono stato tempo senza rendere à V. S. il debito delle mie <lb></lb>lettere non s'hà però da incolpar in questo la mia pigrizia, ò il man<lb></lb>camento d'affetto verso personaggio suo pari. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Mentre il ℞ P. Mersenne <lb></lb>hà creduto di dovere stare un pezzo in questi paesi, io ho stimato <lb></lb>ch'ei solo dovea godere il gusto d'essere il corrispondente de li fran<lb></lb>cesi appo V. S., ne hò per quel tempo tralasciato impiego di tanto <lb></lb>pregio, che per dare a detto Padre saggio del rispetto li porto. </foreign></s> <s>Adesso <lb></lb>ch'egli si trova di partenza, io ricomincerò di nuovo à dare l'impor<lb></lb>tunità delle mie lettere, ma però sempre con quel fine che sia per <lb></lb>renderla sicura de' miei ossequij. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">M'ha fatto sperare detto Padre che io potrei essere un di quelli <lb></lb>che farebbero un brinde à sua sanità nel vaso da lei descritto, e però <lb></lb>io hò stimato convenevole pregarla resti servita d'informarmi d'alcune <lb></lb>sue proprietà, acciocchè io verifichi l'assioma in <emph type="italics"></emph>vino veritas,<emph.end type="italics"></emph.end> et habbi <lb></lb>maggiore occasione di stendermi fra li piatti, e li bicchieri sulle lodi <lb></lb>di V. S. à cui per fine bacio humilissimamente le mani desiderandole <lb></lb>ogni bene. </foreign></s> <s><lb></lb>Di Roma a' 15 Marzo 1645.<lb></lb> Di V. S.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>Divotiss.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> Servitore<lb></lb> Franc.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> De Verdusi</s></p> <pb pagenum="306"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>141<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> MICHELANGELO RICCI a [TORRICELLI <lb></lb>in Firenze].<lb></lb>Roma, 19 marzo 1645.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLII, c. 111-112 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>M.to Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end>, et Ecc.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> e P.rone Oss.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Le aggiungo quì tanto da leggere, che per non dare a V. S. mag<lb></lb>giore occupazione risponderò brevemente alla gentilissima sua. </s><s>Al <lb></lb>Padre Mersenno è venuto un dolore in una coscia, che per qualche <lb></lb>giorno non potrà partire, e molti denari dubita d'avere a spendere <lb></lb>per guarirne, poichè viepiù sempre incrudelisce la doglia. </s> <s><foreign lang="it">Dice, che <lb></lb>piglierebbe il vetro migliore al prezzo di cinque doppie, ma vorrebbe <lb></lb>credenza per fino al suo arrivo in Parigi, di dove manderà subitamente <lb></lb>i denari. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Aspetterò da V. S. la risposta, poichè il Padre m'impone, <lb></lb>che gliene scriva. </foreign></s> <s>Ho ammirate le nuove specolazioni di V. S. per la <lb></lb>brevità, e facilità, con che dice mostrarle, e poi la leggiadria nell'e<lb></lb>sprimere le proporzioni di quella linea segata. </s> <s><foreign lang="it">Quanto a quei massimi <lb></lb>iscritti nel cerchio, o ellissi, la cosa io la ridurrei alle tangenti, et il <lb></lb>metodo s'adatta ai prodotti, non solo fatti dalle dignità infinite del<lb></lb>l'applicata in un segamento del diametro, ma dalle infinite dignità <lb></lb>diametrali ancora, cioè v. </foreign></s> <s><foreign lang="it">g. pel solido massimo biserei una tangente <lb></lb>segata in B, sicchè EB sia doppio di FB, il che faremo col prolungare <lb></lb>DE uguale all'AD; poi tirando la tangente FBE sarà segata, come si <lb></lb> <arrow.to.target n="fig631"></arrow.to.target><lb></lb>desidera. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Allora il prodotto di BC <expan abbr="q.">que</expan> in AC al solido IH <expan abbr="q.">que</expan> in AH ha la <lb></lb>proporzione composta del quadrato BC ad HI quadrato, cioè BE <expan abbr="q.">que</expan> ad <lb></lb>EI <expan abbr="q.">que</expan> e della retta AC ad AH, cioè di BF ad FI, la qual proporzione <lb></lb>composta è quella del solido FB nel quadrato BE al solido FI nel <lb></lb>quadrato IE. In questa maniera si riduce la difficoltà al general lemma <lb></lb>della linea segata che V. S. dimostra. </foreign></s> <s>Anche io lo dimostrai con <pb pagenum="307"></pb>fatica, e difficoltà. </s><s>Il Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> Antonio Nardi, et io facciamo spessa com<lb></lb>memorazione di Lei, et le bacio le mani. </s><s><lb></lb>Roma lì 19 marzo 1645.</s></p> <figure id="fig631"></figure> <p type="main"> <s>Ho fatto ricapitare immediatamente l'acclusa al Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> suo fratello. <lb></lb> Di V. S. m.to Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> et Ecc.ma <lb></lb>Aff.mo et Obb.mo Servit.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> e Discepolo<lb></lb> Michelangiolo Ricci</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>142<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> MICHELANGELO RICCI a [TORRICELLI <lb></lb>in Firenze].<lb></lb>Roma, 26 marzo 1645.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLII, c. 113-118 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>M.to Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> et Ecc.mo Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> e P.rone Oss.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ho così premura nello scrivere di non infastidire V. S. et così <lb></lb>altamente impresso nell'animo il concetto del suo valore, che mi <lb></lb>danno doppio motivo d'accennar piuttosto, che scrivere le mie dimo<lb></lb>strazioni. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Anzichè mi portai con brevità più del solito nell'ultima di<lb></lb>mostrazione, dove tentavo di provare, che tutti <lb></lb>li cubi del quadrato AC siano tripli di tutti i <lb></lb> <arrow.to.target n="fig632"></arrow.to.target><lb></lb>cubi del Triangolo ADC, servendomi sempre <lb></lb>delle proporzioni del Padre Cavaglieri a V. S. <lb></lb>molto ben note. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Che primieramente tutti li qua<lb></lb>drati AC siano sescupli di tutti gli rettangoli <lb></lb>di ABC in ACD è dimostrato nel corollario <lb></lb>della proposizione 24.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> del 2.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> Lib.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> della Geo<lb></lb>metria Indivis. </foreign></s> <s><foreign lang="it">E che tutti li cubi di AC siano <lb></lb>eguali a tutti li cubi di ABC + tutti li cubi di ACD + tutti li solidi <lb></lb>fatti da tutte linee di AC in tutti li rettangoli ABC in ACD presi tre <lb></lb>volte, è manifesto dalla seconda parte della 38.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> proposizione del me<lb></lb>desimo Libro. </foreign></s> </p> <figure id="fig632"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Esposi a V. S. con le lettere dell'ordinario passato in qual maniera <lb></lb>io riducessi l'invenzione dei massimi all'invenzione delle tangenti, cioè <lb></lb>per darne un'esempio nella figura quì posta. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Volendo noi ritrovare il <lb></lb>massimo prodotto da qualsivoglia dignità di AF in qualsivoglia dignità <lb></lb>di FB (e siano pur presi come si vogliano il segamento AF, et l'appli<lb></lb>cata) cercheremo la tangente ID segata in B punto del suo contatto in <pb pagenum="308"></pb>guisa che IB a BD abbia la proporzione dell'esponente della dignità di <lb></lb>AF all'esponente della dignità di FB. Esemplificai nel Cubo tanto che si <lb></lb>scorge il metodo generale ad ogni sorte di dignità, però tralascerò di <lb></lb>ripeterne più nulla. </foreign></s> <s>Sarà dunque l'unico <lb></lb> <arrow.to.target n="fig633"></arrow.to.target><lb></lb>scopo in questa invenzione de' massimi <lb></lb>l'investigare ID tangente segata in B con <lb></lb>qualsivoglia data proporzione. </s> <s><foreign lang="it">Ho poi di<lb></lb>mostrato che, data qualsivoglia propor<lb></lb>zione di R ad S, troveremo la suddetta <lb></lb>tangente nel circolo, e nell'ellissi, facendo <lb></lb>il semidiametro EC a CD, come R ad S, <lb></lb>poi tirando la tangente DBI sarà segata <lb></lb>in B con la proporzione di R ed S. Con facilità non dissimile a questa <lb></lb>della costruzione si dimostra il problema, et a V. S. non sarà difficile <lb></lb>il provarlo ma piacendole di veder la mia strada, che è singolarmente <lb></lb>piana, basterammi un sol cenno, essendo io così pronto a ricever l'onore <lb></lb>del suo giudizio intorno le mie bagattelle, come disposto a corrispon<lb></lb>derle con pienezza d'ossequio, e di obbligato affetto. </foreign></s> <s>Ma posto che ABC <lb></lb>sia parabola faremo R + S come AF ad FC, et ordinata la FB si tirerà <lb></lb>al B la tangente. </s> <s><foreign lang="it">Sono per la via di mostrar l'istesso nella vulgare <lb></lb>iperbola, avendo già per algebra rintracciata una graziosa passione <lb></lb>di quella, e dimostrata che ella sia geometricamente, non resta veruna <lb></lb>difficoltà per l'invenzione de' massimi. </foreign></s> </p> <figure id="fig633"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Le inviai Sabato passato l'opuscolo delle tangenti di Monsù de <lb></lb>Fermat con una Lettera, o due del Padre Mersenno. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Il Padre non ha <lb></lb>scritto per alcune settimane, vergognandosi per mio avviso di essere <lb></lb>usato fuori in offerte, dalle quali voleva pure al meglio fosse possi<lb></lb>bile, ritirarsi; in conseguenza di che non m'ha più parlato manco di <lb></lb>dar le doppie offerte in prezzo del vetro di V. S. il migliore; ma con<lb></lb>tentandosi d'uno degl'inferiori, dove non correva moneta, così pensa <lb></lb>di passarsela. </foreign></s> <s>Si è fatto conoscere un poco troppo avvantaggioso, et <lb></lb>avido di regali, e presenti. </s><s>Da me ha ricevuto (e sia detto con lei <lb></lb>confidentemente) in dono cinque Libri di quelli di V. S., et altri Li<lb></lb>bricciuoli, de' quali ha fatto mostra di compiacersi quando meco è <lb></lb>stato quì, dove studio. </s><s>Nè mi dispiace di quelli, che volontariamente <lb></lb>gli ho dati, ma d'alcuni, che ho fatti venir di fuori. </s><s>M'ha però pro<lb></lb>messo donarmi un'opera sua, che seguendo ciò, io dovrò lodarmi di <lb></lb>lui. </s> <s><foreign lang="it">Rendo grazie a V. S. del favore fattomi col salutare in mio nome <lb></lb>il Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Doni, e dell'operato nell'interesse del Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Abramo. </foreign></s> <s>Giacchè si <lb></lb>vede inutile e vano l'impiegar fatica in coteste scritture, non accaderà, <lb></lb>che V. S. passi più avanti col trattato appresso cotesti signori. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Il Padre Mersenno partirà dimani, o dopo dimani; m'ha lasciato <lb></lb>un mezzo foglio pieno d'interrogazioni da fare a V. S. cioè per conto <lb></lb>de' bracci, de' quali V. S. si serve, se intende delle braccia fiorentine, <lb></lb>o romane, e qual sia il divario fra di loro. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Quanta sia l'altezza de' <lb></lb>Palazzi più sontuosi di cotesta Città e le dimensioni del Duomo &. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Le <lb></lb>opposizioni al trattato del moto si riducono a pochi capi. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Oppone pri- <pb pagenum="309"></pb>mieramente (e se ne reputa assai l'autore) a quella riprova della vul<lb></lb>gare diffinizione data al moto accelerato, che si trova a carte 164, <lb></lb>cioè che la velocità cresca secondo lo spazio. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Dice esser vero nel moto <lb></lb>equabile, che sendo la velocità in proporzione delli spazi, sono questi <lb></lb>passati in egual tempo; ma bisogna, che il Galileo provi, il che non <lb></lb>fa, che posta la definizione vulgare, ne segua, che la velocità, con la <lb></lb>quale un mobile passa v. </foreign></s> <s><foreign lang="it">g. BC, sia eguale ad un moto equabile, <lb></lb> <arrow.to.target n="fig634"></arrow.to.target><lb></lb>e la velocità, con la quale è passato lo spazio BA dallo stesso <lb></lb>mobile sia eguale ad un moto equabile, e poi questi due moti <lb></lb>equabili abbiano la proporzione di BC a BA. Oppone nel secondo <lb></lb>luogo, che l'assunto primo fatto dal Galileo, ma da V. S. di<lb></lb>mostrato, sia bisognoso di prova, e perciò o probabile o impro<lb></lb>babile, et in conseguenza le proposizioni susseguenti asserisce <lb></lb>esser tanto lontane dall'evidenza geometrica, quanto è impossi<lb></lb>bile aver certezza d'una conclusione dedotta da verisimili assunti. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Finalmente dice esser difficilissimo il certificarsi dell'esattezza del<lb></lb>l'esperienza fatta dal Galileo, e riferita a carte 175(?) et egli ne adduce <lb></lb>in contrario una fallacissima, come l'avrà letta nella lettera del Padre <lb></lb>Mersenno. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Con questi fondamenti presume il Gesuita d'alzar rocca <lb></lb>inespugnabile a' danni del Galileo, e della sua scuola, e con mille vanti <lb></lb>di se medesimo, e scherno del Galileo, si dimostra non men leggiero <lb></lb>ne' costumi, che sia nella dottrina. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma pian piano mi son condotto <lb></lb>inavvedutamente al fine del foglio, il che non volevo. È troppo dolce <lb></lb>cosa il contrattar co'pari di V. S. Dove la distanza s'interpone, tenta <lb></lb>la penna facile, e loquace di ristorare i danni della sua lontananza. </foreign></s> <s><lb></lb>Scusi perciò la noia, che le può venire, essendo onninamente contro la <lb></lb>mia intenzione, che sol era d'accennarle in due parole le sopradette <lb></lb>invenzioni circa i massimi. </s><s>E quì assieme col Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Nardi la riverisco. </s><s><lb></lb>Roma lì 26 marzo <emph type="italics"></emph>1645.<emph.end type="italics"></emph.end><lb></lb> Aff.mo et Obb.mo servit.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> e Discepolo<lb></lb> Michelangelo Ricci</s></p> <pb pagenum="310"></pb> <figure id="fig634"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>143<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> MICHELANGELO RICCI a [TORRICELLI <lb></lb>in Firenze].<lb></lb>Roma, 2 aprile 1645.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLII, c. 119-122 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Molto Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end>, et Ecc.mo Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> e P.rone Oss.mo </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">andò il Padre Mersenno alla volta di Bologna, e di là a Ve<lb></lb>nezia, et a Parigi. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Mi lasciò di fargli sapere quello, che V.S. <lb></lb>disponeva del vetro suo migliore, et a quest'effetto ho procurato <lb></lb>sia quanto prima inviata la lettera di V. S. dal Padre Dyeurè, che <lb></lb>tiene ordine dal suddetto Padre di mandargli a Venezia le lettere, <lb></lb>che nello spazio di 15 giorni dopo la sua partenza capiteranno quì. </foreign></s> <s>Ha <lb></lb>portato seco uno de' due vetri inferiori con animo di soddisfare a <lb></lb>V. S. con la scatola de' vetri passando per Venezia. </s> <s><foreign lang="it">E perchè il <lb></lb>ritorno del Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Magiotti, che fu tre, o quattro giorni fa, non seguì <lb></lb>in tempo di potersi abboccare col Padre, gli feci leggere la lettera di <lb></lb>V. S. dichiarandogli quelle condizioni da Lei richieste ne' vetri al <lb></lb>meglio modo, che seppi. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Non ho veduto ancora il Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Magiotti, ma <lb></lb>la prima volta, che 'l vedrò, darogli in custodia i vetri di V. S. pre<lb></lb>gandolo a custodire quel migliore per il Padre, conforme ella mi ac<lb></lb>cenna. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Le rendo affettuosissime grazie della risposta intorno gli occhiali <lb></lb>e per dirla a V. S., stimerei cosa molto accetta, se potesse ritrovarsi <lb></lb>maniera di perfezionarli, comecchè servino alla necessità di molti Si<lb></lb>gnori, e privati, e ne sia l'uso comune a tutte le sorti di gente. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Mi <lb></lb>ha dilettato in estremo la riprova di V. S. alla proposizione del Ge<lb></lb>suita posta così audacemente, che li cadenti di moto naturalmente <lb></lb>accelerato passino in tempi uguali, spazi, che son fra loro in progres<lb></lb>sione geometrica di 1 a 2 ; così mi son riserbata copia delle circo<lb></lb>stanze da osservarsi nell'uso del Telescopio , e parendomi l'uno e <lb></lb>l'altro degno della curiosità del Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Du Verdus, gli diedi a vedere la <lb></lb>lettera (interpretandone il beneplacito di V. S.) ancorchè quivi ammo<lb></lb>nisca il Padre, che non la partecipassi altrui. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Intendo, che questi Parigini abbiano trovati gli asintoti anche nella <lb></lb>linea quadratrice qual sia DB, facendo eguale al semidiametro AC del <lb></lb>quadrante BAC, non so, se la retta DE ovvero la CF e da questo <lb></lb>punto (sia E, ovvero F che non mi sovviene) tirano una parallela <pb pagenum="311"></pb>all'AB, qual dicono essere uno degli asintoti. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Io mi son così allargato <lb></lb>ad intraprendere vari studi, e fra di loro talmente disparati, che non <lb></lb> <arrow.to.target n="fig635"></arrow.to.target><lb></lb>lasciano quietar l'intelletto, nè pensar più all'invenzione di cosa alcuna <lb></lb>sia facile alla prima vista d'ogni ordinario Geometra. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Cagione <lb></lb>n'è solo mancarmi persona con cui conferire le materie di Geometria; <lb></lb>e quanto meno son questi, altrettanto abbondano gli amici <lb></lb>allo studio delle quali m'adatto quanto più posso, perchè <lb></lb>trovi in me fondamento la loro amicizia della somiglianza <lb></lb>s'appaga. </foreign></s> <s>Il Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Antonio Nardi fatica intorno l'opera sua. </s><s>Ha dato <lb></lb>perfezione alla parte metafisica; ora è d'intorno la Fisica, e poi rivederà <lb></lb>le matematiche. </s><s>Il che non potrà seguir prima di dieci mesi ovvero <lb></lb>un anno. </s><s>E mi duole, che tardi tanto ad uscire in luce Opera, che si <lb></lb>spera debba essere doviziosa di tutte le specolazioni, cioè pasto per <lb></lb>ogni sorte di professor di scienza. </s> <s><foreign lang="it">Ricapitai la lettera al Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Du <lb></lb>Verdus, e mi disse di aver ricevuta una nuova linea da Parigi, la <lb></lb>quale averebbe inviata a V. S. con la risposta della lettera. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ora mi <lb></lb>viene in mente, che Robervallio ha dimostrata la proposizione ulti<lb></lb>mamente da lei provata per conto de' massimi prodotti da due sega<lb></lb>menti d'una linea data, così mi disse il Mersenno senza che io facessi <lb></lb>a lui menzione di questo; dissi ben poi, che V. S. ancora l'aveva di<lb></lb>mostrata. </foreign></s> <s>Similmente hanno le tangenti alle infinite parabole, ma non <lb></lb>le spiegano con quei termini acconci, come si potrebbero enunciare. </s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Prego V. S. a farmi l'onore di dire al Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Gio: Battista Doni, che <lb></lb>per le mani del Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Giulio Cavalcanti gli mando una lettera del <lb></lb>Padre Mersenno, et una da lui ne ricevo diretta al Padre, che gli farò <lb></lb>capitare in Venezia essendo partito di quà cinque giorni sono. </foreign></s> <s>Bacio <lb></lb>a V. S. le mani, e per cortesia compatisca alla necessità, in che sono <lb></lb>di molestarla, e gravarla in mille maniere per la scarsezza di persona, <lb></lb>con cui possa usar quella confidenza, che per avventura sarà da me <lb></lb>abusata con esso lei. </s><s><lb></lb>Roma lì 2 Aprile <emph type="italics"></emph>1645.<emph.end type="italics"></emph.end><lb></lb> Di V. S. m.to Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end>, et Ecc.ma <lb></lb>Aff.mo, et Obb.mo Servit.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> e Discepolo<lb></lb> Michelangelo Ricci</s></p> <pb pagenum="312"></pb> <figure id="fig635"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>144<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> MICHELANGELO RICCI a [TORRICELLI <lb></lb>in Firenze].<lb></lb>Roma, 9 aprile 1645.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLII, c. 123-126 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Molto Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end>, et Ecc.mo Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end>, e P.rone Oss.mo </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ho ricevuto in pochi giorni due lettere del Padre Mersenno. </foreign></s> <s>L'ul<lb></lb>tima mi è stata ricapitata oggi, dove m'impone di fare a V. S. mille <lb></lb>baciamani da sua parte, e mi fa istanza per quel vetro migliore, de<lb></lb>siderando saperne l'intenzione di V. S. Io tengo ordine da Lei di <lb></lb>consegnarlo al Padre, quando si trovi in Roma, ma essendosi variato <lb></lb>il caso da quel che l'esposi, ho sospesa l'esecuzione fintanto che V. S. <lb></lb>di nuovo mi favorisca di nuova istruzione. </s> <s><foreign lang="it">Il divario è, che il Padre <lb></lb>si è portato via uno de' più ordinarii, cosa che non le avevo signifi<lb></lb>cato, perchè non era risoluto in se medesimo di farlo, non so adesso, <lb></lb>se debbo dargli ancor questo più perfetto. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Il Padre mi lasciò maniera <lb></lb>di ricapitargli qualunque cosa per via sicura, et il Padre, che è me<lb></lb>diatore in fargliela avere, oggi è stato da me con dirmi, che si poteva <lb></lb>indirizzare il vetro a Turino, perchè quivi passando il Padre avrebbe <lb></lb>certamente avuto il vetro, e seco portatoselo in Parigi. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Mi dispiace <lb></lb>però, che V. S. non abbia mandato l'acuto proporzionato, in difetto <lb></lb>del quale sarà per avventura attribuito al mancamento del vetro inde<lb></lb>bitamente il non rappresentar gli oggetti con quella chiarezza, che <lb></lb>può. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Parlo non senza fondamento, sendomi trovato presente un giorno, <lb></lb>che si provava un Telescopio, e per l'improporzione del vetro acuto <lb></lb>rappresentava confusi gli oggetti; fu subitamente sentenziato per or<lb></lb>dinario, tanto più, che non un solo acuto gli si mutò, ma molti: ma <lb></lb>in altro tempo, che si ritrovò un acuto accomodato riusciva oltremodo <lb></lb>maraviglioso. È anche in se stesso il Padre disadatto a questa faccenda, <lb></lb>nè dissimili sono quei Franzesi dediti per lo più alla mera specolazione <lb></lb>d'algebriche fantasie, che faranno qualche difficoltà nell'esperimento <lb></lb>del vetro di V. S. Favoriscami di dare un'occhiata a questa bagattella, <lb></lb>che potrà talvolta essere occasione di maggior ritrovato. </foreign></s> <s><foreign lang="it">ABC sia una <lb></lb>delle infinite parabole, nelle quali sieno le dignità delle applicate, <lb></lb>come le parti del diametro, conforme la definizione di V. S., il suo <lb></lb>lato retto chiamo quello, che nella quadratica moltiplicato nella retta <lb></lb>BE fa un rettangolo uguale al quadrato dell'applicata EC: nella cubica <lb></lb>quello, il cui quadrato moltiplicato nella BE faccia un solido eguale <lb></lb>al cubo EC, et sic de singulis &. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Prendiamo dunque BD per tal lato <pb pagenum="313"></pb>retto, e si applichi AEC eguale ad esso BD, il quale sia diviso in E <lb></lb>per metà dall'asse. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Dico CE esser doppia della BE nella quadrica; <lb></lb>quadrupla nella cubica; ottupla nella qua<lb></lb> <arrow.to.target n="fig636"></arrow.to.target><lb></lb>drato-quadratica &. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Si divida BD in mezzo <lb></lb>nel punto F, e si formi la progressione geo<lb></lb>metrica doppia I, 2, 4 & sarà per esempio <lb></lb>nella cubica il quadrato BD al quadrato BF, <lb></lb>ovvero EC reciprocamente come EC retta <lb></lb>alla retta BE. È dunque EC alla BE come <lb></lb>il quadrato BD al quadrato BF, et perchè <lb></lb>BD è doppia di BF, sarà BD a BF come 2 <lb></lb>a 1, et il quadrato BD al quadrato BF come <lb></lb>il quadrato di 2 al quadrato di 1, cioè 4 a 1. Ho esemplificato ne' nu<lb></lb>meri, perchè non riesce così facile sapere per esempio come sia il cubo <lb></lb>di BD al cubo di BF, il che facilmente s'ottiene per mezzo della pro<lb></lb>gressione de' numeri, camminando sempre la proporzione di CE alla <lb></lb>BE secondo la progressione de' numeri sopradetti. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Compatisca la mia <lb></lb>imperfezione nel dichiararmi, e la mia bassezza nella considerazione <lb></lb>di queste umili specolazioni, e comandandomi liberamente le bacio <lb></lb>le mani. </foreign></s> <s><lb></lb>Roma lì 9 Aprile <emph type="italics"></emph>1645.<emph.end type="italics"></emph.end></s></p> <figure id="fig636"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Giacchè si sono ritrovati questi massimi iscrittibili, sarebbe neces<lb></lb>sario per compimento della materia il dimostrar metodo pe' minimi <lb></lb>circoscrittibili. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Io non passo il Cono &. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Per quel Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> Abramo Armeno vorrei qualche risposta da dargli, <lb></lb>avendo da V. S. ricevuto solamente un non so che in confidenza. </s><s>Il <lb></lb>Padre Mersenno me ne prega istantemente &. <lb></lb> Aff.mo, et Obb.mo Servit.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> e Discepolo<lb></lb> Michelangelo Ricci</s></p> <pb pagenum="314"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>145<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> FRANCESCO DU VERDUS a [TORRICELLI <lb></lb>in Firenze].<lb></lb>Roma, 15 aprile 1645.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLI, c. 100-101 — Copia di L. Serenai).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Signor mio </s></p> <p type="main"> <s>Con l'occasione di queste feste quali desidero à V. S. felicissime io <lb></lb>li renderò ancora li debiti ringraziamenti per la sua cortesissima ri<lb></lb>sposta. </s> <s><foreign lang="it">V. S. sul fine di quella lettera sodisfà molto bene alli miei <lb></lb>dubbij intorno alla parabola quadrato quadratica; ma mi pare che sul <lb></lb>principio lei ò si persuada che io sia qualche gran matematico haven<lb></lb>dole fatto per ischerzo delle proposte, ò pure, che io abbia lasciato <lb></lb>affatto lo studio della Geometria se le avrò fatte da dovero. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>A questo per renderle conto delle mie occupazioni, io le confesso <lb></lb>la mia ignoranza nelle cose matematiche, e riconosco che non solo <lb></lb>da quel tempo in quà che io la reverij passando per Firenze mò fa <lb></lb>l'anno, io non ho imparato nulla delle cose geometriche, ma hò di più <lb></lb>scordato quelle dimostrazioni di Archimede e d'Apollonio, forse anco <lb></lb>d'Euclide, quali avevo con grandissimo mio gusto imparate in Francia. </s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Venni à Roma, Signore, per acquistarci alcuna di quelle notizie, quali <lb></lb>altrove non s'imparano: e se ben non m'è riuscito, però in questo <lb></lb>hò quasi sodisfatta la mia curiosità, adesso come quello <emph type="italics"></emph>in patenti <lb></lb>prensus eget,<emph.end type="italics"></emph.end> io domanderò à Domene Dio un pò di quell'ozio quale <lb></lb>può render felice chi se ne contenta, e quale io senz'altro impiegherò <lb></lb>nello studio dell'opere già stampate di V. S., delle quali lei mi favorì, <lb></lb>e di quell'altre che i maggiori matematici desiderano con impazienza <lb></lb>che V. S. non tardi di dare alla pubblica luce. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ci son portato dal pro<lb></lb>prio genio, e ci vengo ancora esortato da quelli amici che hò lasciati <lb></lb>in Francia, e li quali pochi ordinarij passano che non me ne mandino <lb></lb>qualche nuova proposizione. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Io però perchè erano cose proporzionate <lb></lb>alla mia piccola sfera, non ne hò fatta parte à V. S. perchè poco le <lb></lb>sarebbero state care, pure come lei giudicò degno della sua approba<lb></lb>tione quel methodo di tirar le Tangenti per via di moti compositi, <lb></lb>io piglio sicurezza di mandarle la descrizione di certa linea che addi<lb></lb>mandano Teroide ò vogliamo dire Ala, quale ricevei uno di questi <lb></lb>ultimi giorni, e quale avendo scordato il modo di parlare delli mate<lb></lb>matici, io non dubito che nel tradurla dal franzese, io non habbi com<lb></lb>messo ad ogni parola un barbarismo in matematica. </foreign></s> <s>Pur restando <pb pagenum="315"></pb>sicuro che lei più l'affetto mio considererà che le parole, io qui le <lb></lb>faccio quella descrizione. </s></p> <p type="main"> <s>Sint al rectos angulos, <emph type="italics"></emph>ab, ed,<emph.end type="italics"></emph.end> rectae <lb></lb> <arrow.to.target n="fig637"></arrow.to.target><lb></lb>infinitae quarum comunis sectio, <emph type="italics"></emph>d;<emph.end type="italics"></emph.end> Centro <lb></lb><emph type="italics"></emph>a<emph.end type="italics"></emph.end> ducantur occultae <emph type="italics"></emph>ac,<emph.end type="italics"></emph.end> secantes <emph type="italics"></emph>dc<emph.end type="italics"></emph.end> rectam <lb></lb>in <emph type="italics"></emph>c<emph.end type="italics"></emph.end> sumanturque in ipsis portiones <emph type="italics"></emph>ce<emph.end type="italics"></emph.end> ae<lb></lb>quales ipsis <emph type="italics"></emph>ed<emph.end type="italics"></emph.end> singulae singulis ad se re<lb></lb>latis, haec linea transibit per puncta <emph type="italics"></emph>e.<emph.end type="italics"></emph.end></s></p> <figure id="fig637"></figure> <p type="main"> <s>Sumpta autem super, <emph type="italics"></emph>ab,<emph.end type="italics"></emph.end> rectâ, <emph type="italics"></emph>as,<emph.end type="italics"></emph.end> ae<lb></lb>quali ipsi, <emph type="italics"></emph>ad,<emph.end type="italics"></emph.end> sed ad aliam partem, ducta<lb></lb>que <emph type="italics"></emph>su,<emph.end type="italics"></emph.end> ad rectam, <emph type="italics"></emph>ab,<emph.end type="italics"></emph.end> perpendiculari. </s><s>Si <lb></lb>eodem centro, <emph type="italics"></emph>a,<emph.end type="italics"></emph.end> occultae rectae ducantur <lb></lb>secantes <emph type="italics"></emph>su,<emph.end type="italics"></emph.end> ut <emph type="italics"></emph>de, dc,<emph.end type="italics"></emph.end> rectà dictum est de<lb></lb>scribetur si placet <emph type="italics"></emph>ale<emph.end type="italics"></emph.end> pars altera cuius <lb></lb>axis erit <emph type="italics"></emph>ag,<emph.end type="italics"></emph.end> recta. </s></p> <p type="main"> <s>Ulterius sumptis, <emph type="italics"></emph>st,<emph.end type="italics"></emph.end> et <emph type="italics"></emph>db,<emph.end type="italics"></emph.end> invicem ae<lb></lb>quales ipsisque <emph type="italics"></emph>as, ad,<emph.end type="italics"></emph.end> excitatae in <emph type="italics"></emph>b<emph.end type="italics"></emph.end> et <emph type="italics"></emph>t,<emph.end type="italics"></emph.end> ad <lb></lb> <arrow.to.target n="fig638"></arrow.to.target><lb></lb>rectam, <emph type="italics"></emph>ab,<emph.end type="italics"></emph.end> perpendiculares, erunt Teroides <lb></lb><foreign lang="grc">ασύμτατος</foreign>, alias non concurrat Teroides cum <lb></lb><emph type="italics"></emph>bf,<emph.end type="italics"></emph.end> in <emph type="italics"></emph>e,<emph.end type="italics"></emph.end> ergo latus <emph type="italics"></emph>ae,<emph.end type="italics"></emph.end> duplum erit lateris, <lb></lb><emph type="italics"></emph>ac,<emph.end type="italics"></emph.end> et <emph type="italics"></emph>ce,<emph.end type="italics"></emph.end> hoc est <emph type="italics"></emph>cd,<emph.end type="italics"></emph.end> aequalis, <emph type="italics"></emph>ca,<emph.end type="italics"></emph.end> quod ab<lb></lb>surdum est. </s></p> <figure id="fig638"></figure> <p type="main"> <s>Rursus si altera <foreign lang="grc">ἀσύμτοτων</foreign> continuetur <lb></lb>super linea, <emph type="italics"></emph>ab,<emph.end type="italics"></emph.end> describaturque centro, <emph type="italics"></emph>a,<emph.end type="italics"></emph.end><lb></lb>Terois, cuius ea linea sit <foreign lang="grc">ασύμτλολος</foreign> tertia <lb></lb>haec pars curvae descriptae, cum primâ <lb></lb>referat eam Concoidem ad lineam rectam <lb></lb>cuius intervallum maius perpendiculari à <lb></lb>polo in basim ductà, idemque intervallum <lb></lb>à basi sive norma Concoideos sumitur. </s></p> <p type="main"> <s>Sit, <emph type="italics"></emph>a,<emph.end type="italics"></emph.end> polus, <emph type="italics"></emph>bc,<emph.end type="italics"></emph.end> regula sive norma seu ut alij Basis Concoideos, <lb></lb>productaque, <emph type="italics"></emph>ba,<emph.end type="italics"></emph.end> ad partes, <emph type="italics"></emph>a,<emph.end type="italics"></emph.end> quantum vis in <emph type="italics"></emph>d,<emph.end type="italics"></emph.end> intervallo <emph type="italics"></emph>bd<emph.end type="italics"></emph.end> sumantur <lb></lb>aequalia, <emph type="italics"></emph>ce<emph.end type="italics"></emph.end> à punctis <emph type="italics"></emph>c,<emph.end type="italics"></emph.end> rectae <emph type="italics"></emph>cd<emph.end type="italics"></emph.end> in rectis, <emph type="italics"></emph>cae,<emph.end type="italics"></emph.end> occultis per <emph type="italics"></emph>a,<emph.end type="italics"></emph.end> ductis, <lb></lb>describeturque: per <emph type="italics"></emph>e, e, e,<emph.end type="italics"></emph.end> Concois <emph type="italics"></emph>ecd.<emph.end type="italics"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Theorema. </s><s>Si à quovis puncto, <emph type="italics"></emph>e,<emph.end type="italics"></emph.end> in Teroide assumpto coniungatur <lb></lb>ad, <emph type="italics"></emph>a,<emph.end type="italics"></emph.end> recta, <emph type="italics"></emph>ea,<emph.end type="italics"></emph.end> secans <emph type="italics"></emph>dc,<emph.end type="italics"></emph.end> in <emph type="italics"></emph>c,<emph.end type="italics"></emph.end> et alia ducatur, <emph type="italics"></emph>egh,<emph.end type="italics"></emph.end> parallela rectae, <lb></lb><emph type="italics"></emph>ab,<emph.end type="italics"></emph.end> eademque secans, <emph type="italics"></emph>dc,<emph.end type="italics"></emph.end> rectam in <emph type="italics"></emph>h<emph.end type="italics"></emph.end> at â <emph type="italics"></emph>IT<emph.end type="italics"></emph.end> parallelâ rectae, <emph type="italics"></emph>ab,<emph.end type="italics"></emph.end><lb></lb>eademque secanti, <emph type="italics"></emph>agj,<emph.end type="italics"></emph.end> in <emph type="italics"></emph>I.<emph.end type="italics"></emph.end> Dico rectangulum, <emph type="italics"></emph>a<emph.end type="italics"></emph.end>c aequale esse duobus <lb></lb><emph type="italics"></emph>aIg, egh,<emph.end type="italics"></emph.end> rectangulis. </s><s>Constat per 47 1<emph type="sup"></emph>i<emph.end type="sup"></emph.end>, e 4<emph type="sup"></emph>am<emph.end type="sup"></emph.end>, 6<emph type="sup"></emph>i<emph.end type="sup"></emph.end>. Problema ad datum <lb></lb>in Teroide punctum Tangentem rectam lineam ducere. </s></p> <p type="main"> <s>Punctum datum, <emph type="italics"></emph>e,<emph.end type="italics"></emph.end> sit primo extra puncta, <emph type="italics"></emph>a, d.<emph.end type="italics"></emph.end> Iungatur, <emph type="italics"></emph>ae<emph.end type="italics"></emph.end> secans <lb></lb><emph type="italics"></emph>ed,<emph.end type="italics"></emph.end> in <emph type="italics"></emph>E,<emph.end type="italics"></emph.end> ipsque ad <emph type="italics"></emph>c,<emph.end type="italics"></emph.end> et, <emph type="italics"></emph>e,<emph.end type="italics"></emph.end> puncta perpendiculares excitentur in, <emph type="italics"></emph>em,<emph.end type="italics"></emph.end><lb></lb>quarum partes, <emph type="italics"></emph>cn, em, ab<emph.end type="italics"></emph.end> eadem recta, <emph type="italics"></emph>anm,<emph.end type="italics"></emph.end> absindantur. </s><s>Excitentur <lb></lb>etiam <emph type="italics"></emph>no, qm,<emph.end type="italics"></emph.end> rectae ipsi <emph type="italics"></emph>ae<emph.end type="italics"></emph.end> parallelae et comunis sectio <emph type="italics"></emph>no, de,<emph.end type="italics"></emph.end> re<lb></lb>ctarum sit, <emph type="italics"></emph>O,<emph.end type="italics"></emph.end> sumaturque in <emph type="italics"></emph>mq,<emph.end type="italics"></emph.end> pars inaequalis, <emph type="italics"></emph>no,<emph.end type="italics"></emph.end> et aggregato, <lb></lb><emph type="italics"></emph>co,<emph.end type="italics"></emph.end> iuncta, <emph type="italics"></emph>qe,<emph.end type="italics"></emph.end> tanget Teroidem in <emph type="italics"></emph>c.<emph.end type="italics"></emph.end></s></p> <pb pagenum="316"></pb> <p type="main"> <s>Demonstratio nullo negotio deducitur ex <lb></lb> <arrow.to.target n="fig639"></arrow.to.target><lb></lb>legibus motuum compositorum. </s></p> <figure id="fig639"></figure> <p type="main"> <s>Ex hoc autem casu duo reliqui intelligen<lb></lb>tur puta quando, <emph type="italics"></emph>e,<emph.end type="italics"></emph.end> punctum idem erit cum, <lb></lb><emph type="italics"></emph>d,<emph.end type="italics"></emph.end> vel inter, <emph type="italics"></emph>a,<emph.end type="italics"></emph.end> et, <emph type="italics"></emph>d,<emph.end type="italics"></emph.end> puncta, et si quidem, <emph type="italics"></emph>e,<emph.end type="italics"></emph.end><lb></lb>erit idem cum <emph type="italics"></emph>d,<emph.end type="italics"></emph.end> rectaque cum <emph type="italics"></emph>dc,<emph.end type="italics"></emph.end> angulum <lb></lb>ad, <emph type="italics"></emph>d,<emph.end type="italics"></emph.end> efficiet graduum 45, tangens erit: si <lb></lb> <arrow.to.target n="fig640"></arrow.to.target><lb></lb>verò punctum, <emph type="italics"></emph>e,<emph.end type="italics"></emph.end> sit inter, <emph type="italics"></emph>a,<emph.end type="italics"></emph.end> et <emph type="italics"></emph>d,<emph.end type="italics"></emph.end> recta, <emph type="italics"></emph>mq,<emph.end type="italics"></emph.end><lb></lb>non aggregato rectarum, <emph type="italics"></emph>no, co,<emph.end type="italics"></emph.end> sed earun<lb></lb>dem differentiae aequalis erit etc. </s></p> <figure id="fig640"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Io poi prego V. S. mi favorisca di man<lb></lb>darmi qualche sua dimostrazione intorno, od, <lb></lb>a questa linea, overo alli suoi piani & solidi <lb></lb><emph type="italics"></emph>sive ex revolutione circa axem, sive circa ali<lb></lb>quam ex tangentibus geniti.<emph.end type="italics"></emph.end> Desidero quel fa<lb></lb>vore, e per potermi vantare di non aver <lb></lb>trovato eccezione nella sua cortesia la quale <lb></lb>secondo io, pure gradirà quella domanda & <lb></lb>ancora per dare à quell'amico mio un segno <lb></lb>di quanto io stimi le cose che mi manda, <lb></lb>pigliando licenza di farla vedere à V. S. e qui le desidero di nuovo <lb></lb>quelle feste felicissime, e ogni maggior contentezza. </foreign></s> <s><lb></lb>Di Roma li 15, <lb></lb>aprile 1645.<lb></lb> Di V. S.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>Divotiss.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> e Obbligatiss.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> Serv.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb> Franc.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> Du Verdus</s></p> <pb pagenum="317"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>146<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> MARINO MERSENNE a [TORRICELLI <lb></lb>in Firenze].<lb></lb>Venezia, 28 aprile 1645.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLI, c. 47-48 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Statim atque Venetias perveni, vir Clarissime, cogitavi serio de <lb></lb>persolvendis vitris promissis, ob quae comparanda quum nullum lapi<lb></lb>dem non movissem, et etiam Mouranum petiissem, tandem ea, quae <lb></lb>mitto, nobis occurrerunt egregia credo, quae nec arenam, nec undas, <lb></lb>neque virorem, neque vinacitatem habeant, et radici, qui sunt super <lb></lb>duo, aut tres, non penetrant, sed sunt dumtaxat in superficie, non in <lb></lb>solido ubi crusta exterior politura detersa fuerit, limpidissima, credo, <lb></lb>futura sunt. </s><s>Porro in ea sum fere sententia, ut ob solum Dominationis <lb></lb>vestrae videndae desiderium, et extremum vale ei dicendum, Floren<lb></lb>tiam repetam; quod si mihi succedat, videbimus varios illos tractatus, <lb></lb>quos paraveris, illos praesertim, qui de motu aquae, et de ratione du<lb></lb>plicata tensionum harmonicarum agunt. </s><s>Quod si quae sint, sive de <lb></lb>centris figurarum ab eo noviter inventis, sive de quibusvis aliis rebus, <lb></lb>quae Parisiis edenda mihi committere volueris, libentissime feram. </s></p> <p type="main"> <s>Obsecro, ut statim atque praesentem acceperis, nuntium vestrum, <lb></lb>qui singulis septimanis Venetias venit, adeas, ut arculam, quam mitto, <lb></lb>plenam vitris, ab eo accipias, ne illam retineat, aut amiserit. </s><s>Quam ut <lb></lb>tutius feratur, curae Reverendi Patris Joannis Chrysostomi Campi Ge<lb></lb>nuensis, huiusce Conventus Veneti minimorum Sancti Francisci de Paula <lb></lb>Lectoris in Philosophia, et Theologia, commisi, qui curabit eam oppor<lb></lb>tune ad vestram Dominationem mittere cum Litera, quam ad eam <lb></lb>seribet. </s><s>Interim me plurimum commendes Colendissimo mihi Ioanni <lb></lb>Baptistae Doni, faciasque ei spem mei ad Florentiam reditus, ni mor<lb></lb>bus impediat, qui me iam hic arripuit. </s><s>Vale, vir Clarissime, meque <lb></lb>tui credas obsequentissimum Mersennum. </s><s><lb></lb>Die. 28 Aprilis, in meo ex Venetiis discessu.</s></p> <pb pagenum="318"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>147<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> MICHELANGELO RICCI a [TORRICELLI <lb></lb>in Firenze].<lb></lb>Roma, 30 aprile 1645.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLII, c. 127-132 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>M.to Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> et Ecc.mo Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> e P.rone Oss.mo </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ogni volta che V. S. mi riduce in memoria quelle doglianze, che <lb></lb>talora ho fatte seco in occasione di non ricever sue lettere, segue <lb></lb>con mia confusione, e rossore, vergognandomi di me medesimo, comec<lb></lb>chè troppo temerariamente diffidai della gentilezza di V. S. a lei nativa, <lb></lb>et al mio affetto eternamente favorevole per quanto mi promettono i <lb></lb>certissimi testimoni della sua bene stabilita affezione verso di me, che <lb></lb>del continuo ricevo. </foreign></s> <s>Non sarà più possibile, che io prorompa per l'av<lb></lb>venire in simili esorbitanze, giacchè ella di bel nuovo mi assicura, che <lb></lb>il solo impedimento, et anche grandissimo sarà bastante a ritardarla <lb></lb>dalla comunicazione delle sue lettere, che a me sono pregiatissimi <lb></lb>favori. </s><s>Il vetro a quest'ora è un pezzo lontano di quà, avendo avuto <lb></lb>dal Padre Mersenno ordine a bocca, et in iscritto da Loreto, da Bolo<lb></lb>gna, et ultimamente da Venezia, che io consegnassi al Padre Dyeurè <lb></lb>quà in Roma la scatoletta col vetro, mentre V. S. restava di conce<lb></lb>derglielo con l'abilità di rimetterle i denari al suo arrivo in Parigi. </s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Scrissi a Lei per nuova commissione, e non avendo ella potuto rispon<lb></lb>dere cosa alcuna, interpretai non essere in lei mutazione alcuna all'or<lb></lb>dine datomi di prima di far avere il vetro al suddetto Padre; che <lb></lb>perciò io subitamente lo ricapitai. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Il Padre, che l'ha inviato a Turino <lb></lb>(per dove passerà il Padre Mersenno, e gli sarà fedelmente consegnato) <lb></lb>è diligentissimo, e molto intrinseco del Mersenno in maniera che non <lb></lb>resta da temere, che non vada sicuro il vetro; oltre che il Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Magiotti <lb></lb>l'ha veduto, et il Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Giovanni Rucellai, et altri, li quali un giorno <lb></lb>furono meco, et assieme il Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Raffaello alla Trinità de' Monti dove <lb></lb>fu esperimentato. </foreign></s> <s>Ho dato parte questa mattina al Sig. Anton. </s> <s><foreign lang="it">Nardi, <lb></lb>et al Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Raffaello, che dal Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Principe Leopoldo si è commessa <lb></lb>la cura a V. S. di far copiare il foglio dell'Apollonio Arabico, e l'aspet<lb></lb>tano con molta curiosità. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Salutano ambedue affettuosissimamente V. S., <lb></lb>e nella sua buona grazia si raccomandano. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Trovai l'altra settimana <lb></lb>la proposizione de' minimi circoscritti con universalità, e facilità gran<lb></lb>dissima, fabbricata però sulla proposizione accennatami da V. S. che <lb></lb>divisa una linea in modo, che faccia il massimo prodotto con i due <lb></lb>suoi segamenti in proporzione degli esponenti di quelle dignità, che <pb pagenum="319"></pb>fanno tal prodotto. È piaciuta al Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Nardi la proposta de' massimi <lb></lb>inscrittibili, e de' minimi circoscrittibili per la brevità, e facilità, <lb></lb>essendo universale non solo a qualsivoglia prodotto da due dignità, <lb></lb>ma universale ancora ad ogni sorte di flgura capace ad esser tocca <lb></lb>da rette linee, che perciò ha risoluto d'insinuarla nelle opere sue. </foreign></s> <s><foreign lang="it">La <lb></lb>materia resterà inutile, se non è animata dal favor di V. S., che par<lb></lb>tecipi la dimostrazione della proposizione sua, la quale sarà da me <lb></lb>ricevuta con que' debiti termini di predicarla sua, e per tale il Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>Antonio Nardi la pubblicherà. </foreign></s> <s>Faciliterà parimenti un'altra mia consi<lb></lb>derazione, la quale invierò a V. S. con altre lettere. </s><s>Per ora la prego <lb></lb>non isdegnare la seguente speculazione, che alcun tempo fà mi passò <lb></lb>per la fantasia. </s> <s><foreign lang="it">Siano due sezioni opposte AB, CD, il cui diametro <lb></lb>trasverso BC, et il coniugato <lb></lb> <arrow.to.target n="fig641"></arrow.to.target><lb></lb>EG. Si tiri AD parallela alla <lb></lb>BC, congiungendosi AB, CD, e <lb></lb>si tirino le PI, KF equidistanti <lb></lb>alla medesima BC. Dico il ret<lb></lb>tangolo INP al rettangolo FHK <lb></lb>essere come il rettangolo DIC <lb></lb>al rettangolo DFC. Per li punti <lb></lb>I, F si passino OIS, MFR or<lb></lb>dinate al diametro CV. Sarà <lb></lb>il rettangolo QIN al rettangolo <lb></lb>OIS, come il rettangolo YFH al rettangolo MFR, et permutando, il <lb></lb>rettangolo QIN, ovvero PNI al rettangolo YFH, ovvero KHF come <lb></lb>il rettangolo OIS al MFR, ovvero DIC al rettangolo DFC. Il che & </foreign></s> </p> <figure id="fig641"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Supponiamo adesso BC, EG assi coniugati, e prodursi un solido dal <lb></lb>bilineo CHD rivoltato intorno GE. Dico produce un'ellissi, del quale <lb></lb>un'asse è GE, l'altro la linea, che potrà il quadruplo rettangolo FHK, <lb></lb>supposto però, che FK divida per mezzo la CD. Questa materia è im<lb></lb>parata da lei, e la mando a Lei come a suo principio. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Sarà un caso <lb></lb>della proposizione, che ella dimostra d'un'applicata in qualsivoglia <lb></lb>sezion di cono, o circonferenza di cerchio, che seghi un bilineo genitor <lb></lb>d'un'ellissi, quando sia rotata intorno l'asse della sezione medesima. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>L'istesso sarà vero, quando noi congiungessimo i punti D, M; D, H & <lb></lb>in luogo de' punti C, D. Ci siamo rallegrati tutti di casa nostra, et <lb></lb>alcuni amici comuni di fuori, che ella tocchi la meta nel lavoro de' <lb></lb>vetri, e che abbia sortito un Principe conoscitore della sua virtù, degno <lb></lb>di esser numerato fra i mecenati, con tanto miglior ragione, quanto <lb></lb>sono istoriche verità quelle de' suoi fatti, ma le memorie del Mecenate <lb></lb>antico danno qualche sospetto d'essere in parte menzogne nobilitate <lb></lb>dalla bocca di valorosi Poeti, che ne cantarono. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Il Padre Mersenno <lb></lb>si raccorda servitore obbligatissimo a V. S. e scrive di Venezia, che <lb></lb>non era ancor gito a Morano, per iscegliere i vetri, e pagare il debito <lb></lb>che tiene con V. S.; s'accusa insieme debitore delle cinque doppie, le <lb></lb>quali mi farà capitare subito, che sia pervenuto alla Patria. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Son mole<lb></lb>stato con frequentissime interrogazioni da molti amici intorno la <pb pagenum="320"></pb>stampa del nuovo Libro di V. S., cioè quando sia per uscire alla luce, <lb></lb>qual materia contenga, et avendo sentito motivar di non so che ope<lb></lb>retta del moto delle acque (a me totalmente nuovo avviso) desiderano <lb></lb>curiosamente da Lei per mezzo mio d'averne contezza. </foreign></s> <s>Il credito, in <lb></lb>che io son costituito appresso le genti d'esser servitor suo, siccome <lb></lb>d'osservanza non ordinaria (che ben sel comprendono) così dall'amore<lb></lb>volezza di V. S. annoverato fra'suoi cari da occasione a loro d'essermi <lb></lb>attorno con queste dimande, et a me di gravar Lei, forse indiscreta<lb></lb>mente, con le mie troppe ciance. </s> <s><foreign lang="it">Rendo poi umilissime grazie a V. S. <lb></lb>dell'operato appresso di S. A. S.<emph type="sup"></emph>ma<emph.end type="sup"></emph.end> in pro del Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Abram Armeno, il <lb></lb>quale non ho veduto alcuni giorni sono, ma poco potrà passare, che <lb></lb>non ci vediamo. </foreign></s> <s>E quì offerendole la mia servitù prontissima, la prego <lb></lb>a non lasciarla oziosa, et le bacio le mani. </s><s><lb></lb>Roma l'ultimo aprile <emph type="italics"></emph>1645.<emph.end type="italics"></emph.end><lb></lb> Di V. S. m.to Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> et Ecc.ma <lb></lb>Aff.mo Servitore, e Discepolo<lb></lb> Michelangelo Ricci.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>148<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> FRANCESCO DU VERDUS a [TORRICELLI <lb></lb>in Firenze].<lb></lb>Roma, 19 maggio 1645.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli T. XLI, c. 102 — Copia di L. Serenai).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Molto Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> P.<emph type="sup"></emph>ron<emph.end type="sup"></emph.end> mio Colend.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Io non dubito punto che le mie lettere non tedijno V. S., ma perchè <lb></lb>lei s'è già mostrata risoluta à quella per così dire fatale necessità, che <lb></lb>espone de dotti all'importunità degli ignoranti, e m'ha dato licenza <lb></lb>d'importunarla in quel modo, io per questo non ho fatto difficoltà <lb></lb>veruna di scrivere à V. S. le mie lettere. </s><s>Per l'ultima mia lettera io <lb></lb>le proponevo la descrizione d'una linea che in Francia addimandano <lb></lb>Ala, ò Teroide, e perchè io mi immagino che si sia persa quella lettera <lb></lb>senza capitarle in mano, piglio però sicurezza dalla modestia di V. S. <lb></lb>di farle di nuovo detta descrizione. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Sopra la retta <emph type="italics"></emph>abc,<emph.end type="italics"></emph.end> utrinque producta si piglino da ambedue le <lb></lb>bande le parti <emph type="italics"></emph>ab, bc<emph.end type="italics"></emph.end> eguali ad invicem, e ne punti <emph type="italics"></emph>a, b, c, b, c<emph.end type="italics"></emph.end> eri<lb></lb>gantur perpendiculares, <emph type="italics"></emph>af, bd, cg:<emph.end type="italics"></emph.end> dal centro, <emph type="italics"></emph>a,<emph.end type="italics"></emph.end> si tirino le occulte <lb></lb><emph type="italics"></emph>ae, de,<emph.end type="italics"></emph.end> secantes <emph type="italics"></emph>bd,<emph.end type="italics"></emph.end> in <emph type="italics"></emph>d,<emph.end type="italics"></emph.end> sopra le quali da ogni punto <emph type="italics"></emph>d,<emph.end type="italics"></emph.end> si piglino <pb pagenum="321"></pb>utrinque, e verso, <emph type="italics"></emph>a,<emph.end type="italics"></emph.end> et anche più in là le <lb></lb> <arrow.to.target n="fig642"></arrow.to.target><lb></lb>parti, <emph type="italics"></emph>de,<emph.end type="italics"></emph.end> uguali à, <emph type="italics"></emph>bd,<emph.end type="italics"></emph.end> per li punti <emph type="italics"></emph>e, e,<emph.end type="italics"></emph.end> si <lb></lb>descriverà detta linea, o se così vogliamo <lb></lb>dire quattro linee 1, 2, 3, 4, la 1.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> delle quali <lb></lb>con la 2.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end>, ò la 3.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> con la 4.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> ci rappresenta <lb></lb>una immagine della Concoide che si descrive <lb></lb>pigliando l'intervallo di sotto alla sua Re<lb></lb>gola ò base, & essendo detto intervallo mag<lb></lb>giore della distanza del Polo da detta base. </foreign></s> </p> <figure id="fig642"></figure> <p type="main"> <s>Sit <emph type="italics"></emph>a,<emph.end type="italics"></emph.end> polus, <emph type="italics"></emph>ab,<emph.end type="italics"></emph.end> distantia eius à basi, sive <lb></lb>perpendicularis in basim <emph type="italics"></emph>bd; bc<emph.end type="italics"></emph.end> intervallum, <lb></lb>cui aequales abscinduntur, <emph type="italics"></emph>de,<emph.end type="italics"></emph.end> ex occultis à <lb></lb>basi, <emph type="italics"></emph>bd,<emph.end type="italics"></emph.end> ductis per, <emph type="italics"></emph>a,<emph.end type="italics"></emph.end> polum. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">La 1.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end>, e 3.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end>, ò vero la 2.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> e 4.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> parte della <lb></lb>Teroide ci rappresentano quasi come una <lb></lb>spezie d'hiperbole, il cui asse è, <emph type="italics"></emph>af,<emph.end type="italics"></emph.end> gli as<lb></lb>sintoti <emph type="italics"></emph>cg, cg.<emph.end type="italics"></emph.end></foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Mandai ancora à V. S. le tangenti di quelle <lb></lb>linee per via di molti <emph type="italics"></emph>(sic)<emph.end type="italics"></emph.end> compositi, ma es<lb></lb>sendo cosa facile non gliela ridirò. </s><s>Io poi la supplico resti servita man<lb></lb>darmi qualche proprietà di detta linea ò delli suoi piani, ò solidi, con la <lb></lb>licenza di mandarla come cosa trovata da V. S. à quel mio amico che <lb></lb>di Parigi mi manda detta descrizione, acciò che io li possa dare un <lb></lb>segno di quanto io stimi la sua amicizia mandando le sue dimostra<lb></lb>zioni di linee all'Archimede de' nostri tempi. </s><s>Et io intanto bacio à <lb></lb>V. S. le mani con desiderarle ogni felicità. </s><s><lb></lb>Di Roma li 19 Maggio 1645. Di V. S.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb> Devotiss.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> e Obligatiss.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> Serv.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb> Franc.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> De Verdusi</s></p> <pb pagenum="322"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>149<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> [BENEDETTO GUERRINI a TORRICELLI <lb></lb>in Firenze].<lb></lb>Firenze, 25 maggio [1645].<lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XXXIV, c. 188 — Autografa). </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Dal foglio sul quale è scritta questa lettera, è stata tagliata lungo il margine destro <lb></lb>la parte qui segnata con puntini, e sul <emph type="italics"></emph>recto<emph.end type="italics"></emph.end> in basso si legge il numero <emph type="italics"></emph>244<emph.end type="italics"></emph.end><lb></lb>scritto con inchiostro rosso da L. Screnai.<gap desc="/SM"></gap></foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Molt'Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> mio P.rone </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Dice S. A. che se V. S. havesse in ordine un occhia . . . . . . . . . <lb></lb>come quello di hieri, lo mandi per questo la . . . . . . . . . . . . . . . . <lb></lb>del Alt. </foreign></s> <s>Sua lo vedrà volentieri, e io . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . <lb></lb>lo Reveris. </s><s><lb></lb>Di Cam.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> di S. A. 25 Maggio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . .<lb></lb> Di S. V. Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>Serv. </s><s>Devot. . . . . . . .<lb></lb> Bened: Guerr. . . . . . . .</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>150<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> MICHELANGELO RICCI a [TORRICELLI <lb></lb>in Firenze].<lb></lb>Roma, 18 giugno 1645.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLII, c. 133-136 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>M.to Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end>, et Ecc.mo Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end>, e P.rone Oss.mo </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Se a V. S. occorrerà di scrivere al Padre Mersenno per intendere <lb></lb>di que' vetri, che egli le mandò qualche particolarità, onde le si faci<lb></lb>liti il ritrovargli, avremo buonissima comodità quà in Roma d'inviare <lb></lb>a Lui la lettera per via sicura; ancorchè io stimi, che non si possa <lb></lb>più indirizzargli altrove le lettere, che in Parigi, dove quanto prima <lb></lb>dovrà arrivare, sendosi molto tempo fa messo in viaggio per Marsi<lb></lb>glia a quella volta. </foreign></s> <s>Il caldo l'abbiamo quì grandissimo, e talmente <lb></lb>grave, che adnotant seniores, quibus otium est vetera, et praesentia <lb></lb>contendere, come disse Tacito, non essersi provato maggiore da più <pb pagenum="323"></pb>di 30 ovvero 40 anni in quà. </s> <s><foreign lang="it">Io per me non mi lamento, nè comprovo <lb></lb>il lor detto, o sia per la freschezza dell'abitazione o per la sobrietà <lb></lb>usata da me a bello studio, rimedio, a parer mio efficacissimo sopra <lb></lb>tutti per non sentire il caldo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma passo ad altro, poichè nei tempi <lb></lb>caldi, in che siamo, anche il rammemorare il caldo par, che dia noia. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Monsù Bullialto mandò fuori prima il Filolao senza il nome di lui, che 'l <lb></lb>compose, conforme il costume di molti Franzesi, ed oltramontani i più <lb></lb>superbi, i quali temendo di non dare in qualche scartata, si pongono <lb></lb>dietro la tavola, che hanno esposta a spiare i sensi degli uomini in<lb></lb>torno le lor fantasie. </foreign></s> <s>Così fece l'Apelle post tabulam latens, così Monsù <lb></lb>des Cartes più modernamente, et altri. </s> <s><foreign lang="it">Il buon Monsù Bullialto dice <lb></lb>qualche castroneria nell'ultima sua opera, per altro dottissima, et in <lb></lb>particolare è inciampato con dire, che le sezioni del conoide iperbolico <lb></lb>sono le sole ellissi, iperboli, e cerchi, negando la sezione delle para<lb></lb>bole. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Dice poi che le stelle erranti di necessità devono essere dotate <lb></lb>di propria luce, poichè altrimenti venendo illuminate dal sole appari<lb></lb>rebbero tutte d'uno stesso colore, siccome una stessa è la luce, che <lb></lb>le colora. </foreign></s> <s>Pare a V. S. che sia questa solenne? </s><s>E quel che è peggio <lb></lb>ve n'è una nidata di simili bestialità. </s> <s><foreign lang="it">Quanto alla licenza di leggere <lb></lb>que' Libri, che V. S. dice consistere in aver fortuna col maestro di <lb></lb>Sacro Palazzo, o aver persona di grado, che voglia raccomandare il <lb></lb>negozio. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Questo però vale con persone, che abitino in Roma, e nel <lb></lb>suo Distretto; ma per V. S. verbi gratia, bisognerebbe ricorrere alla <lb></lb>Congregazione dell'Indice, perchè l'autorità del maestro di Sacro Pa<lb></lb>lazzo, ha solo come dicevo, l'uso nel distretto, e per fuori va dele<lb></lb>gando gl'Inquisitori di quei Luoghi. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Se le occorrerà di voler qualche <lb></lb>licenza, m'informerò dello stile della S.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> Congregazione, e conceden<lb></lb>dosi la licenza ad altri, potrà ella rendersi certa, che non le si negherà. </foreign></s> <s><lb></lb>Quelle scritture dell'acqua saranno ricevute dagli amici nostri, e da <lb></lb>me con singolarissimo contento senza determinazione di tempo, siasi <lb></lb>pur tardi, o a buon'ora. </s><s>Lo studio è pochissimo, e vario, cioè di pro<lb></lb>spettiva, d'architettura, di Geometria, belle lettere & quindi avviene, <lb></lb>che abbracciando molto nulla poi stringo, e passano le settimane, e <lb></lb>i mesi, senza che io mi sovvenga neppure una minima proposizione <lb></lb>di Geometria, dove che prima ogni giorno pensavo qualcosa di nuovo. </s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Li giorni addietro un amico mio voleva misurare certe altezze con <lb></lb>l'aiuto d'un filo, e venne a consultare meco per trovar qualche mezzo <lb></lb>alla consecuzione del suo intento. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Fattavi un poco di riflessione, dimo<lb></lb>strai, che il filo ABC essendo attaccato da due <lb></lb> <arrow.to.target n="fig643"></arrow.to.target><lb></lb>capi, e che per esso scorra qualche peso, detto <lb></lb>peso incurverà il filo in angolo, facendo gli an<lb></lb>goli ABE, CBD uguali sopra la retta EBD tirata <lb></lb>nel punto B parallela all'orizzonte. </foreign></s> </p> <figure id="fig643"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">L'avvertenza di questo fu bastante all'amico <lb></lb>per conseguire il suo pensiero, et alla sagacità <lb></lb>di V. S. l'aver detto questo sarà più che troppo per farle intendere <lb></lb>dimostrativamente, che la cosa vada così. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Il Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Antonio Nardi rive- <pb pagenum="324"></pb>risce V. S. con ogni affetto, e nella stampa del Libro suo va un poco <lb></lb>lento, perchè vi restano da rivedere le materie matematiche, e non <lb></lb>ha potuto attendervi per molti giorni impedito da un poco d'indispo<lb></lb>sizione. </foreign></s> <s>Bacio a V. S. affetuosissimamente le mani, e le son Servitore. </s></p> <p type="main"> <s>Il Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Magiotti ancor non è tornato di Frascati. </s><s><lb></lb>Roma li 18 Giugno <emph type="italics"></emph>1645.<emph.end type="italics"></emph.end><lb></lb> Michelangelo Ricci.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>151<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> MICHELANGELO RICCI a [TORRICELLI <lb></lb>in Firenze].<lb></lb>Roma, 23 giugno 1645.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLII. c. 137-142 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>M.to Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end>, et Ecc.mo Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> e P.rone Oss.mo </s></p> <p type="main"> <s>Mentre dimoravo in Frascati ho ricevute due gentilissime di V. S., <lb></lb>e perchè mi ero colà trasferito a fine di ricrearmi, et ingrassarmi un <lb></lb>poco, ho voluto esperimentare, rinunziando a qualunque fatica, benchè <lb></lb>minima, quanto giovi a tal fine una vita quieta e tranquilla, o per <lb></lb>dirla chiara, una vita da vero poltrone. </s><s>Si aggiunse la compagnia di <lb></lb>alcuni Signori, che erano meco in Frascati, i quali non comportavano, <lb></lb>che io neppur la penna pigliassi in mano per iscrivere una parola, <lb></lb>nonchè una lunga lettera, come avevo di necessità per rispondere a <lb></lb>tutti li capi delle sue lettere. </s> <s><foreign lang="it">Prego V. S. a voler scusare la mia dila<lb></lb>zione, non totalmente volontaria, et in materia, dove ella non porta <lb></lb>nocumento per mio avviso, di sorte alcuna, et aggradire ora le grazie, <lb></lb>che le rendo per le bellissime specolazioni mandatemi, e gli avverti<lb></lb>menti circa le figure, che per una certa similitudine (in tempo che è <lb></lb>carestia di nomi) si ponno domandar cicloidali. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Mi rimaneva in questi <lb></lb>dubbio qual fosse la limitazione necessaria, che io non avevo rinvenuta, <lb></lb>e pregola di favorirmi, con avviso più <lb></lb> <arrow.to.target n="fig644"></arrow.to.target><lb></lb>specificato del suo sentimento. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Quanto <lb></lb>a quel che ella dice, che la lor quadra<lb></lb>tura è troppo ricondita; pare a me, che <lb></lb>sia teorema non dispregevole il dire, che <lb></lb>in tutte le suddette figure l'eccesso della <lb></lb>cicloidale sopra il triangolo ABC sia <lb></lb>uguale alla figura genitrice CDB. E V.S. <lb></lb>non si maravigli, se queste figure non <lb></lb>osservano le Leggi delle cicloidali considerate da lei, perchè a quelle <pb pagenum="325"></pb>son come genere alla sua specie, e sarebbe strano allora, che le osser<lb></lb>vassero, ovvero, che le cicloidali di V. S. non avessero le condizioni <lb></lb>generali delle figure da me considerate. </foreign></s> <s><foreign lang="it">La facilità, o diciamo la sin<lb></lb>cerità della mia definizione, che scuopre a prima vista tutto il segreto, <lb></lb>sappia V. S. che è stata procurata da me, piacendomi assai più di <lb></lb>rendere facilissime le cose, dove gli altri hanno affettato l'oscurità, e <lb></lb>che non hanno saputo ritrovare il suo natural principio, che di renderle <lb></lb>oscure, perchè altri ammiri in quell'oscurità quel che non ci si trova. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Per le spirali infinite ho metodo anche facilissimo, che fa divedere <lb></lb>quanto inutilmente si aggirasse Archimede per dare ad intendere quelle <lb></lb>materie delle spirali, mentre poteva immediatamente colpire, e con<lb></lb>chiudere la ragione della spirale al cerchio &, e che la tangente a <lb></lb>qualsivoglia punto della spirale si trovi con alzare una perpendicolare <lb></lb>(dal principio della spirale al razzo, che va al punto dato nella spirale) <lb></lb>eguale al giro fatto dal medesimo razzo, il qual giro sarà eguale ad <lb></lb>una, o due circonferenze di cerchio descritto col suddetto razzo, secondo <lb></lb>che il punto dato sarà termine della prima, o seconda rivoluzione. </foreign></s> <s><lb></lb>E questo si dimostra geometricamente in pochissime righe, come ho <lb></lb>fatto vedere al Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Nardi, et al Sig. Magiotti li mesi passati. </s></p> <figure id="fig644"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Spiacquemi notabilmente che ella mi scrivesse la sua dimostrazione <lb></lb>delle infinite parabole, senza farmi prima motto di volerla mandare, <lb></lb>perchè io gliela avrei prima mandata, acciocchè ella avesse veduto <lb></lb>il mio modo, che in effetti non è punto differente dal suo, che in un <lb></lb>lemma accidentale per levare a V. S. ogni sospetto, che io mi sia <lb></lb>potuto vestire delle sue invenzioni. </foreign></s> <s>Non mi mancherà nondimeno mezzo <lb></lb>di assicurar V. S. di questa verità, quando ella (il che non credo) ne <lb></lb>avesse dubbio alcuno; poichè al Sig.<emph type="sup"></emph>ro<emph.end type="sup"></emph.end> Anton Nardi partecipai di aver <lb></lb>trovata questa invenzione fin da questo marzo passato, e ne scrissi <lb></lb>allora la dimostrazione con la medesima figura, che ella mi manda; <lb></lb>solo s'aggiunge l'iscrizione di alcuni rettangoli, per la quale V. S. si <lb></lb>rapporta ad un'altra sua scrittura. </s> <s><foreign lang="it">E ciò dico solamente perchè la mia <lb></lb>dimostrazione l'avevo promessa al Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> Antonio, e non posso ritirarmi <lb></lb>dall'osservanza della mia parola, dall'altra parte vivo gelosissimo della <lb></lb>buona grazia di V. S., e non vorrei, che per qualche sospetto si venisse <lb></lb>a diminuire l'affetto, o il credito, che io ho appresso di lei d'essere <lb></lb>uomo da non usurparmi quel di veruno. </foreign></s> <s>Il corollario, che ella trae <lb></lb>dalla proposta di Robervallio è molto graziosamente dedotto. </s><s>Io glielo <lb></lb>cavavo, ma con più lunga maniera. </s> <s><foreign lang="it">Nella dimostrazione delle tangenti <lb></lb>alle infinite parabole scrittami da V. S. trovo un'opposizione, che vi <lb></lb>si richiede il lemma di una linea segata in modo, che ne dia il mas<lb></lb>simo prodotto & ma allora senza veruna costruzione si dimostra col <lb></lb>metodo, che io le partecipai al medesimo proposito. </foreign></s> <s>Secondariamente, <lb></lb>dopo intesa tutta la prova, non resta l'animo mio convinto, che lo <lb></lb>stesso si avveri in ogni altro caso, e per darne un esempio trovo <lb></lb>difficoltà nell'applicare la dimostrazione di V. S. al caso che le dignità <lb></lb>delle applicate siano quadratocubi, e siano in ragione de' quadrati, <lb></lb>ovver cubi delle parti diametrali. </s> <s><foreign lang="it">Prego V. S. a volermi far grazia <pb pagenum="326"></pb>dell'applicazione dimostrandomi come in questo <lb></lb> <arrow.to.target n="fig645"></arrow.to.target><lb></lb>caso il prodotto di FCG sia eguale al prodotto <lb></lb>FIH, e come supponendosi CG lato retto si ri<lb></lb>duca al lemma de' massimi & </foreign></s> </p> <figure id="fig645"></figure> <p type="main"> <s>Qui m'arrossisco dell'ardir, che prendo in <lb></lb>tediarla con ciance, et incomodandola con le <lb></lb>mie domande importune. </s><s>Mi fa però qualche <lb></lb>pretesto l'aver io fermo proponimento, e pron<lb></lb>tezza di volontà ad ogni suo cenno, con che riverentemente le bacio <lb></lb>le mani. </s><s><lb></lb>Roma lì 23 Giugno <emph type="italics"></emph>1645.<emph.end type="italics"></emph.end><lb></lb> Michelangelo Ricci.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>152<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> TORRICELLI a MARINO MERSENNE <lb></lb>in Parigi.<lb></lb>[Firenze, giugno 1645].<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XL, c. 58 — Copia di L. Serenai).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Al P. M.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> Mersennio. </s><s>Parigi </s></p> <p type="main"> <s>Galileus ait spatia peracta a gravibus ex quiete natura<lb></lb>liter descendentibus (temporibus deinceps aequalibus) inter <lb></lb>se esse ut numeri impares ab unitate incipientes. </s><s>Hoc ve<lb></lb>rum est, non obstante qualibet obiectione. </s><s>Miror quando <lb></lb>reperiatur aliquis cuius contradicendi cupiditas adco pro<lb></lb>cedat, ut Propositiones proferre non dubitet, quae etiam <lb></lb>si verae fuerint falsae omnino essent. </s><s>Nonne inauditum <lb></lb>absurdum hoc est, veritatem sibi ipsi repugnare, atque <lb></lb>etiam si reperta sit veritas, si veritas verè sit, non amplius <lb></lb>veritatem sed falsum protinus esse? </s><s>In huiusmodi sirtes <lb></lb>incidit Auctor ille qui Galilei propositum negavit, pronun<lb></lb>tiavitque alium affirmans spatia gravium ex quiete descen<lb></lb>dentium temporibus deinceps aequalibus esse in ratione <lb></lb>dupla. </s><s>Verum enim sit esse in dupla ratione, fateor. </s><s>Videa<lb></lb>mus numquid consequatur ergo spatium primi temporis <lb></lb>erit ut unum, secundi temporis ut duo, tertij ut quatuor, <pb pagenum="327"></pb>quarti verò ut octo, etc. </s><s>Si verum hoc est, ergo spatium <lb></lb>duorum simul temporum erit 3, deinde spatium duorum <lb></lb>simul sequentium erit 12. Ratio autem 12 ad 3 non mihi <lb></lb>videt <emph type="italics"></emph>(sic)<emph.end type="italics"></emph.end> dupla. </s><s>Falsum itaque quod ait Auctor ille; <lb></lb>nam ego ex ipsius documento invenio proportionem non <lb></lb>duplam, sed quadruplam. </s><s>Idem absurdum accidet semper <lb></lb>quamcunque tandem rationem pronunciet, praeter iam a <lb></lb>Galileo prolatam. </s><s>Nec me movet experimentum trium <lb></lb>experimentorum fallacissimum (neque enim aliud esse po<lb></lb>test ad falsum optimè corfirmandum). Nam pro comperto <lb></lb>habeo, globum unius librae si alterum lancem cadat à <lb></lb>qualibet altitudine etiam minima, non solum aequalem <lb></lb>sibi globum, sed etiam centuplo maiorem ex altera bilancis <lb></lb>parte elevaturum esse. </s><s>Libra vero non utcunque sed eius<lb></lb>modi esse debet ut ipsius fila nihil distrahantur, neque <lb></lb>brachia . . . . . . . . . . neque materia, sive globi cadentis, <lb></lb>sive subiectae lancis contundatur, haec enim singula effe<lb></lb>ctum impediunt; Gravitas etiam lancium, et brachiorum <lb></lb>librae experimentum minus exactum reddere possunt, dum <lb></lb>haec singula impetum seu momentum cadentis globi mi<lb></lb>nuere certum est. </s><s>Quae omnia si penitus vitentur, sive <lb></lb>quoad fieri poterit minuantur, procul dubio quilibet parvi <lb></lb>globuli casus in altero lancium ingens pondus ab alia parte <lb></lb>elevabit sed per spatium exiguum. </s></p> <p type="main"> <s>Esto libra AB cuius fulcrum in medio C ex una parte <lb></lb>ponderis 100 libr., ex alia unius tantum librae elevetur <lb></lb> <arrow.to.target n="fig646"></arrow.to.target><lb></lb>cadatque pondus minus ab altitudine decem diametrorum <lb></lb>suorum; quaeritur an elevare possit pondus centum libra<lb></lb>rum. </s><s>Hoc equidem nescio. </s><s>Sed facto experimento, clavum <lb></lb>ferreum D tenaci ligno infixum subijcimus lanci, visum<lb></lb>que A pondus centum librarum sua gravitate non im- <pb pagenum="328"></pb>pellere ulterius clavum. </s><s>Globus verò ferreus unius librae <lb></lb>cadens ab altitudine decem diametrorum impellebat eun<lb></lb>dem, nam repetitis saepius ictibus, totus clavus in ligno <lb></lb>fixus tandem est. </s><s>Ergo maius momentum est ictus globi <lb></lb>minoris, quam gravitatis maioris, propterea ictus minoris <lb></lb>gravitatem maioris superare debet; quanquam quando <lb></lb>proportio gravium maxima fuerit, spatium prae exiguitate <lb></lb>oculis percipi nequeat, sive etiam ob inflexionem librae <lb></lb>nullum effectum facere videatur. </s></p> <figure id="fig646"></figure> <p type="main"> <s>Oro P. V. ne quis videat hanc epistolam; neque enim <lb></lb>respondere et animus neque talia me movent. </s></p> <p type="main"> <s>Quo ad Parabolam biquadraticam describendam aliam <lb></lb>methodum dabo, qua eam describere possimus ad datam <lb></lb>quamcunque altitudinem. </s><s>Coeterum non est cur eam de<lb></lb>scriptam à me, exigat P. V. nam haec requirunt suam <lb></lb>diligentiam, et perfectissima instrumenta, arificisque so<lb></lb>lertiam quales Lutetiae . . . . . sunt, ego autem apprime <lb></lb>negligens sum circa huiusmodi descriptiones et picturas. </s><s><lb></lb>Coeterum illud praemoneo ejusmodi experimenta non nisi <lb></lb>in maximis vasibus cum demonstratione concordatura esse <lb></lb>ob figuram vasis, quae in parvo vix perfecta fieri potest. </s><s><lb></lb>Deinde credo ego frigus, calorem, velocitatem aquae exe<lb></lb>untis vel augere vel minuere posse, ut constat ab alijs <lb></lb>experimentis. </s><s>Methodus describendae parabolae esto. </s></p> <pb pagenum="329"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>153<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> MICHELANGELO RICCI a [TORRICELLI <lb></lb>in Firenze].<lb></lb>Roma, 8 luglio 1645.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLII, c. 143-144 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Molt'Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end>, et Ecc.mo Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> e P.rone Oss.mo </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Mi fu resa cosi tardi la gentilissima di V. S. che non fui a tempo <lb></lb>di rispondere l'ordinario passato; mi compatisca pertanto, e riceva, <lb></lb>come la prego con la solita umanità le affettuosissime grazie, che <lb></lb>rendo a V. S. per la scrittura de maximis, la quale basterà solo dire, <lb></lb>che sia parto del felicissimo ingegno di V. S., e che sia da noverarsi <lb></lb>fra più singolari, e per l'appunto fra' massimi, siccome de' massimi si <lb></lb>ragiona. </foreign></s> <s><foreign lang="it">E questa è per avventura la più bella lode, che io le sappia <lb></lb>attribuire conforme alla qualità del suo merito. </foreign></s> <s>La rimando a V. S. <lb></lb>secondo ella m'impose, avendone ritenuto copia appresso di me, ma <lb></lb>con proponimento stabile non solo di non la pubblicare, ma nemmeno di <lb></lb>servirmene io in conto alcuno, sendo questa mia certa deliberazione <lb></lb>di portarmi sempre così fedelmente nell'occasione delle sue invenzioni <lb></lb>geometriche, che per onorarmi singolarmente a me suole comunicare, <lb></lb>come prontamente desidero di servirla in ogni occorrenza per l'obbligo, <lb></lb>che ne tengo, et a V. S. bacio riverentemente le mani. </s> <s><foreign lang="it">Sto notando <lb></lb>certe mie bagattelle intorno le tangenti delle infinite parabole, infinite <lb></lb>iperbole, et infinite ellissi con alcune altre leggiere considerazioni. </foreign></s> <s>Il <lb></lb>caldo mi fa pigro, e mi rende molesto lo scrivere. </s> <s><foreign lang="it">Pregherò poi V. S. <lb></lb>che voglia dargli una lettura, essendo per la brevità, e facilità del <lb></lb>soggetto tale, che non le darà lunga noia. </foreign></s> <s><lb></lb>Roma lì 8 Luglio <emph type="italics"></emph>1645.<emph.end type="italics"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ho salutato il Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Nardi, e 'l Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Magiotti a nome di V. S., e <lb></lb>le rendono duplicati saluti. </foreign></s> <s>Sono stati tutti due indisposti per alcuni <lb></lb>pochi giorni, ma si ritrovano adesso in buona sanità. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Dal Padre Mersenno ebbi commissione di mandare uno de' suoi <lb></lb>Libretti al Padre Rinieri Lettor di Pisa, del quale non so il nome, nè <lb></lb>la Religione per formarne il soprascritto; vorrei che V. S. mi facesse <lb></lb>grazia d'avvisarmi queste particolarità, e scusi la briga. <lb></lb> Aff.mo et Obb.mo Servitore e Discepolo<lb></lb> Michelangelo Ricci</foreign></s> </p> <pb pagenum="330"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>154<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> BONAVENTURA CAVALIERI a [TORRICELLI <lb></lb>in Firenze].<lb></lb>Bologna, 1 agosto 1645.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLI, c. 222-227 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>M.to Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end>, et Ecc.mo Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> e P.ron Col.mo </s></p> <p type="main"> <s>Sono tali e tanti i mali, che mi cagiona la mia incessabile infer<lb></lb>mità, che non dovrà maravigliarsi, se ella non solo non vede frutto <lb></lb>alcuno delle mie fatiche, ma nè anco sente di me nuova alcuna, essendo <lb></lb>quella parimente cagione di sì lungo silenzio. </s> <s><foreign lang="it">Si assicuri, che ne ricevo <lb></lb>gran mortificazione per questa parte ancora, poichè non potrei avere <lb></lb>maggior gusto, che nel comunicare con Lei, et i miei travagli, e quei <lb></lb>pochi, et infelici avanzi, che mi restano de' miei studi, perchè spererei <lb></lb>e nel rigore di quelli, e nella debolezza di questi di essere da lei com<lb></lb>patito. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Godo però, et ammiro la fertilità del suo ingegno, che in di<lb></lb>verse materie impiegandosi continuamente, e con utilità pubblica, e <lb></lb>con molta sua gloria si affatica. </foreign></s> <s><foreign lang="it">E siccome di ciò ne rendono testimo<lb></lb>nianza le sue opere di già stampate, nelle quali ella si può dire, che <lb></lb>abbia di grande spazio lasciatosi addietro le colonne d'Ercole meta <lb></lb>del corso de'passati ingegni: così spero, che succederà nel fatto, che <lb></lb>mi accenna circa il rasciugare le Chiane. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Poichè mi persuado, che dove <lb></lb>non giunge chi è tanto informato del ritrovato sin quì in materia d'acque <lb></lb>massime dal nostro P. Castelli di felice memoria, dilettissimo maestro, <lb></lb>e chi v'ha aggiunto tanto del suo, non ci arriveranno altri del certo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Et <lb></lb>io pure sono uno di quelli, che in materia d'acque, sebbene ho inteso <lb></lb>la specolazione del detto Padre, e con mio gusto, et ammirazione quelle <lb></lb>di V. S. almeno in qualche parte, tuttavia vedendola partorire tante <lb></lb>stravaganze, quante si veggono tutto il giorno, non potrei se non con <lb></lb>molta timidità ridurmi al pronunziare per cosa ferma, cosa, che dovesse <lb></lb>essere autenticata dal fatto, massime mancando io di quelle esperienze, <lb></lb>che bisognaria ancora aver fatto per potere parlare francamente in <lb></lb>simil materia. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ciò dico, perchè troppo onore mi ha fatto V.S. appresso <lb></lb>il Seren.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Gran Duca, proponendomi per uno delli arbitri in questo <lb></lb>fatto, e la ringrazio della sua buona volontà, che ha sempre stimato le <lb></lb>bassezze mie più del dovere. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma per dire in questo liberamente il mio <lb></lb>parere: non crederei, che di queste cose dovessero trovarsi giudici più <lb></lb>competenti de'suoi avversari quali avendo ingegno dovrieno restar ca<lb></lb>paci, et acquietarsi in quelle cose, che si può credere siano da V. S. <lb></lb>provate, non con vane ragioni, ma con tali, che si possino stimare (se <pb pagenum="331"></pb>si astrae dall'imperfezione, et irregolarità della materia) dimostrazioni. </foreign></s> <s><lb></lb>Poichè chi è avvezzo a filosofare con severità mattematica, non credo, <lb></lb>che farà altrimenti. </s> <s><foreign lang="it">Stante queste cose stimerò, che la proposta del <lb></lb>P.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> Francesco anderà del pari coll'altra del risanarmi dalla Podagra. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Ma per trapassare in altro proposito, dirò del nostro buon Padre <lb></lb>Mersennio, quale viddi due volte, e sebbene mi trovavo allora in ma<lb></lb>lissimo stato, ad ogni modo mi bisognò sentire una farraggine di <lb></lb>cose, che propose di avere in petto, e tra l'altre mi maravigliai molto <lb></lb>di quel suo navigar sott'acqua del quale ha riempito ogni luogo, dove <lb></lb>è passato, per non dire di mille altre sue maraviglie. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Mi lodò sopra <lb></lb>modo, e credo con ragione, il Robervallio per uno de' principali mat<lb></lb>tematici della Francia, et io per quel poco, che io da V. S., ne intesi, <lb></lb>dissi, che concordavo in questo con lui. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Di poi mi parve bene dirli, che <lb></lb>quel Teorema delle infinite parabole era venuto dall' Italia, cioè da <lb></lb>me, che ne avevo dato, se non formalmente almeno virtualmente il <lb></lb>primo saggio nell'ultimo Problema della mia Centuria, anzi che ne <lb></lb>avevo scritto, e propostolo al medesimo P.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> Mersennio, sebbene parea, <lb></lb>che non se lo ricordasse. </foreign></s> <s>Con tale occasione li dissi, che ero intorno a <lb></lb>specolare sopra un quesito non ancora digerito, quale bisognò dirgli <lb></lb>facendomene istanza per conferirlo al detto Robervallio; io dissi, che <lb></lb>non era quesito da un par suo, tuttavia volse, che io glielo dicessi, <lb></lb>ed è tale. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Sia sopra la parabola ACB, come base, il corpo <lb></lb> <arrow.to.target n="fig647"></arrow.to.target><lb></lb>colonnare, o cilindrico, come lo chiamo io nella Geo<lb></lb>metria, ADEBCF, sicchè DEF sia l'opposta base, et <lb></lb>anch'essa parabola simile, eguale, et similmente po<lb></lb>sta come ACB; stendasi poi un piano per la retta <lb></lb>AB, e per la cima F della parabola DFE. Ora dissi, <lb></lb>che io cercavo la proporzione delli due frusti di detto <lb></lb>corpo fatti dal piano AFB. Io poi non ci ho più pen<lb></lb>sato, ma per una certa analogia stimai, che fossero <lb></lb>fra di loro come 5 a 2. Se nasce occasione a V. S. <lb></lb>mi sarà grazia, che a nome mio facci al Seren.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>Gran Duca umilissima riverenza, ricordandoli la viva <lb></lb>memoria, che io tengo de'benefizi ricevuti in cotesto <lb></lb>felicissimo Stato, e le infinite obbligazioni, che io <lb></lb>professo a cotesta Seren.<emph type="sup"></emph>ma<emph.end type="sup"></emph.end> Casa, e particolarmente a S. A. Dirò poi con <lb></lb>tale occasione in confidenza a V. S. che io tengo costì alcuni denari, <lb></lb>cioè piastre 1000 sopra il monte di Pietà, de' frutti de' quali parmi <lb></lb>che si devano perdere sei mesi, come mi viene scritto dal mio riscuo<lb></lb>titore, e sebbene per una volta sola, ciò finalmente non mi darebbe <lb></lb>fastidio, nè mi parrebbe cosa da moverne parola con il Seren.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>Gran Duca, nondimeno potendo nascere occasione di scemare anco <lb></lb>più questi frutti, allora vorrei ben pregarla a passare un poco buono <lb></lb>ufizio con il detto Seren.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end>, perchè io potessi ricevere qualche grazia <lb></lb>in questo fatto. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Poichè sono denari questi avanzati dalle mie fatiche <lb></lb>per potermene servire in un caso, che io non potessi più leggere, <pb pagenum="332"></pb>poichè resterei privo d'ogni sussidio, e rimesso alla discrezione de'Frati, <lb></lb>della quale può immaginarsi quanto capitale si possa fare. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Et io <lb></lb>per non venire in queste angustie ho messo questi pochi da parte, <lb></lb>e gli ho depositati in cotesto luogo per me stimato d'ogni altro più <lb></lb>sicuro, non solo per le proprie condizioni, ma anco per avere sperato <lb></lb>ad ogni occasione di sinistro incontro qualche protezione del Seren.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>Gran Duca, e qualche refrigerio a' miei mali, poichè per altro sono <lb></lb>irreparabili. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ho accennato questo a V. S. in confidenza, perchè mi fa<lb></lb>vorisca d'avvisarmi, se ella crede, che io possa sperare questa carità <lb></lb>per il povero F. Bonaventura da cotesto Seren.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Padrone, siccome <lb></lb>ho sempre confidato. </foreign></s> <s>E per più non attediarla faccio fine, e di tutto <lb></lb>cuore la riverisco. </s><s><lb></lb>Di Bologna al primo d'Agosto 1645.<lb></lb> Dev.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end>, et Obb.mo Servit.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb> F. Bonav.<emph type="sup"></emph>ra<emph.end type="sup"></emph.end> Cavalieri</s></p> <figure id="fig647"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>155<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> BONAVENTURA CAVALIERI a [TORRICELLI <lb></lb>in Firenze].<lb></lb>Bologna, 8 agosto 1645.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLI, c. 228-231 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>M.to Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end>, et Ecc.mo Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> e P.rone Col.mo </s></p> <p type="main"> <s>Ho ricevuto la gratissima sua, e vista con ammirazione la soluzione <lb></lb>del quesito, anzi davvantaggio, sebbene, quando io ci pensai ebbi <lb></lb>anco fine di trovarne la soluzione generalmente in tutte le parabole. </s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Credo poi, che io sbagliassi scrivendo, che io stimavo, che la propor<lb></lb>zione delle parti del detto solido nella parabola quadratica fosse come <lb></lb>5 a 2 verificandosi ciò dalla proporzione dell'intiero solido alla parte <lb></lb>superiore, come ella dimostra. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Li dirò poi il mio intento quando mi <lb></lb>messi a pensarvi, sebbene infruttuosamente, nel che conosco quanto io <lb></lb>resti indebolito per la mia infirmità (aggiuntavi la poca mia abilità <lb></lb>dell'ingegno) non essendomi più concesso il potermi internare in si<lb></lb>mili specolazioni senza mia notabilissima offesa. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ora siccome abbiamo <lb></lb>la proporzione di tutte le linee del parallelogrammo BC a tutte le <lb></lb>linee del triangolo ACD, o prima parabola, presa per regola CD, ov<lb></lb>vero DB base, e di tutti i loro quadrati cubi così intendevo di ritro<lb></lb>vare la proporzione di tutte le linee del parallelogrammo BC, a tutte <lb></lb>le linee della seconda parabola, e così di tutti i quadrati, e cubi dalla <lb></lb>proporzione de'quali cubi stimai pendesse la soluzione del quesito, <pb pagenum="333"></pb>come particolare nella parabola quadratica, e pro<lb></lb> <arrow.to.target n="fig648"></arrow.to.target><lb></lb>babilmente che fosse, come 5 a 2 poichè tutte le <lb></lb>linee sono come 3 a 2, tutti i quadrati come 4 a <lb></lb>2, tutti i biquadrati come 6 a 2 come facilmente <lb></lb>mostravo, onde concludevo probabilmente che tutti <lb></lb>i cubi fossero come 5 a 2 e così le altre seguenti <lb></lb>dignità algebriche dopo i biquadrati come 7 a 2, 8 <lb></lb>a 2 & stando sempre saldo il termine 2 e quelli <lb></lb>altri camminando secondo il progresso naturale <lb></lb>de' numeri. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Così stimai fosse nella parabola cubica mutato il comun <lb></lb>termine 2 in 3 e ritenendo il progresso medesimo de' numeri, inco<lb></lb>minciando da 4 sicchè le linee etc. </foreign></s> <s><foreign lang="it">fossero come 4 a 3, i quadrati come <lb></lb>5 a 3, i cubi come 6 a 3, et i biquadrati come 7 a 3, da'quali biqua<lb></lb>drati vedevo pendere la proporzione dell'intero solido alla parte su<lb></lb>periore, essendo tutte le parabole cubiche dell'intero solido a tutte <lb></lb>le parabole cubiche della parte superiore, come tutti i biquadrati di <lb></lb>BC a tutti i biquadrati della mezza parabola cubica ACD, come facil<lb></lb>mente si prova: siccome nella quadratica sono come tutti i cubi di BC <lb></lb>a tutti i cubi di ACD. In somma cercavo queste proporzioni in tutte le <lb></lb>dignità algebriche di tutte le dette parabole con la regola CD, siccome <lb></lb>l'avevo trovate posta per regola BD, la qual cosa ella compisce colla <lb></lb>sua bellissima dimostrazione, dalla quale credo potersi probabilmente <lb></lb>dedurre tutte le dette proporzioni, sebbene quei solidi hanno riguardo <lb></lb>solo ad alcune particolari dignità di esse parabole, come quello della <lb></lb>quadratica a tutti i cubi, della cubica a tutti i biquadrati etc. </foreign></s> <s>Ella lo <lb></lb>vedrà meglio di me, che ritrovandomi alquanto travagliato non posso <lb></lb>più per ora internarmi in questa specolazione. </s> <s><foreign lang="it">Dico bene, che stante <lb></lb>le tante cose, che portano seco queste parabole, mi paiono maravi<lb></lb>gliose, et io, che fui il primo, che entrai in questo così fecondo, e <lb></lb>così grande problema (sebbene il Robervallio lo battezzò poi col nome <lb></lb>di parabola infinita) me ne pregerei molto, se avessi compita io in <lb></lb>tutte le dignità algebriche della prima parabola la dimostrazione, <lb></lb>che apportò il Beaugrand; per la qual cosa poco più di merito li <lb></lb>vengo ad avere, che l'avervi dato principio, e somministrato occasione <lb></lb>a' sublimi ingegni di ritrarne infinite conclusioni. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Stimo poi grande<lb></lb>mente la sua dimostrazione, non solo per quello, che ella dimostra, <lb></lb>come anco per il modo, accoppiando la dottrina del Centro di gra<lb></lb>vità con gl'indivisibili; che mi pare faccino una preziosissima lega. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Del negozio, che io le accennai, starò alla fortuna degli altri, e spe<lb></lb>rerò dalla benignità di S. A. S. essendovi luogo a qualche grazia, che <lb></lb>ella all'occasione sia per favorirmi. </foreign></s> <s>Godo, che ella fruttuosamente e <lb></lb>gloriosamente affatichi; mi faccia grazia talvolta di consolarmi con <lb></lb>le sue lettere, che mi sono sempre gratissime, e per tanto con tutto <lb></lb>l'affetto la riverisco. </s><s><lb></lb>Di Bologna 8 Agosto <emph type="italics"></emph>1645.<emph.end type="italics"></emph.end><lb></lb> Di V. S. M. Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> et Ecc.ma <lb></lb>Dev.mo et Obb.mo Serv.<lb></lb> F. Bonav.<emph type="sup"></emph>ra<emph.end type="sup"></emph.end> Cavalieri</s></p> <pb pagenum="334"></pb> <figure id="fig648"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>156<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> MICHELANGELO RICCI a [TORRICELLI <lb></lb>in Firenze].<lb></lb>Roma, 13 agosto 1645.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLII, c. 145-147 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>M.to Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> Sig.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> e P.rone Oss.mo </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Se V. S. sapesse la consolazione, che recano a me, et agli amici <lb></lb>comuni le lettere sue gentilissime, et abbondanti sempre mai di nuove, <lb></lb>et acute specolazioni, sarebbe certamente contento dell'incomodo, che <lb></lb>sente nello scriverle, per la diversione, che tiene d'altre faticose occu<lb></lb>pazioni. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Il Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Antonio Nardi, col quale ci vediam quasi ogni giorno <lb></lb>al tempo di venir le sue lettere, sollecitamente me ne richiede, et il <lb></lb>Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Magiotti vien talvolta fino a casa, quando che e' non abbia <lb></lb>continuamente da me nuova di V. S., ad intendere qual novità, che <lb></lb>materia V. S. specoli, e scriva. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Faccio le istanze di Monsù di Verdus, <lb></lb>Monsù Tevenot, del Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Cavalier del Pozzo, de' quali è sempre una <lb></lb>delle prime interrogazioni, se tengo lettere di V. S. Alla curiosità di <lb></lb>tanti letterati, che la riveriscono, ardisco dire, che si compete un non <lb></lb>so che di ragione, per la quale V. S. non deva per lungo tempo ne<lb></lb>gare la partecipazione de' suoi studi, i quali non solamente sono am<lb></lb>mirati, ma portano seco gran forza nello stimolare l'altrui pigrizia a <lb></lb>camminar per la strada, per cui V. S. s'è cotanto inoltrata. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Sono <lb></lb>piaciute assaissimo le proposizioni degl'iscritti, e circoscritti ottaedri, <lb></lb>dodecaedri, cubi &; e poichè ella pare, che nella sua m'accenni, che <lb></lb>le fosse grato di sapere, se altri abbia preoccupato il luogo di primo <lb></lb>inventor di quelle, rispondo che l'Abate Maurolico ha considerate le me<lb></lb>desime cose in tutti i casi possibili con particolar brevità; e per darne <lb></lb>a V. S. qualche saggio nell'iscrizione dell'ottaedro nel Cubo così dice. </foreign></s> <s><lb></lb>Coniunge sex basium cubi centra per duodecim rectas, quae quidem <lb></lb>inclusum octaedrum configurabunt. </s> <s><foreign lang="it">E volendo iscrivere il cubo nell'ot<lb></lb>taedro così dice: Octo triangulorum centra continua per duodecim <lb></lb>lineas, quippe quae et latera inclusi cubi erunt. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Le osservazioni poi <lb></lb>del sale ridotto in parallelepipedi, le marchesite in dodecaedri per <lb></lb>opera di natura sono graziosissime, e della prima mi ricordo averne <lb></lb>fatta osservazione molti anni sono. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Mi dice il Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Antonio, che nella <lb></lb>istoria naturale Ferrante lmperato vi si contengono rare forme, e <lb></lb>stravaganti di varie pietre, e minerali dove trovasi ancora soggetto <lb></lb>per altre bellissime considerazioni. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Di cotesto strumento aquae per <lb></lb>l'umido è arrivata la notizia ai Padri del Collegio Romano, i quali <pb pagenum="335"></pb>se ne sono fabbricato uno, e mi riferisce il Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Buonaccorsi, che vi <lb></lb>faccian sopra delle maraviglie grandi. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Veramente non gli si può negar <lb></lb>molta lode, portando a tanta conseguenza una bagattella maneggiata <lb></lb>da putti più che da ceretani. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Il medesimo Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Buonaccorsi dice, che <lb></lb>un Padre Gesuito studente di Teologia, si vanta d'aver stretta corri<lb></lb>spondenza di lettere con V. S., come anche il Padre Atanasio Kircher. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Il Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Magiotti, et io preghiamo V. S., che voglia certificarci del vero, <lb></lb>e quando ciò sia, desidererebbe il Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Antonio, che ella l'introducesse <lb></lb>con sua lettera all'amicizia di quelli. </foreign></s> <s>Avrei altre cose da scrivere a <lb></lb>V. S., ma le riserberò al ritorno, che farà di Val di Chiana, dove prego <lb></lb>il Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> Dio le conceda perfetta salute, e quivi, et altrove ogni sorte <lb></lb>di prosperità, et le bacio riverentemente le mani. </s><s><lb></lb>Roma lì 13 Agosto 1645.<lb></lb> Di V. S. m.to Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end>, et Ecc.ma <lb></lb>Aff.mo, et Obb.mo Servitore, e Discepolo<lb></lb> Michelangelo Ricci</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>157<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> MICHELANGELO RICCI a [TORRICELLI <lb></lb>in Firenze].<lb></lb>Roma, 20 agosto 1645.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLII, c. 148-153 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>M.to Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end>, et Ecc.mo Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end>, e P.rone Oss.mo </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ricevo un maraviglioso riscontro della perspicacia di V. S. con la <lb></lb>lettera sua gentilissima de' 12 St.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end>, dove piuttosto mi conviene ammi<lb></lb>rare, che di lodare la facilità, e brevità della sua dimostrazione in <lb></lb>soggetto astrusissimo, e per la varietà de' solidi, che abbraccia, dif<lb></lb>ficilissimo a ridursi sotto l'unità d'una general proposizione, come ella <lb></lb>ha fatto. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Segnalato è anche il favore fattomi nel comunicarmi la verità, <lb></lb>e la prova, da che m'avveggio, e me ne glorio d'esser fatto lo scopo <lb></lb>de'favori di V. S., giacchè a me direttamente invia le sue dottissime <lb></lb>specolazioni, e mi porge occasione di obbligarmi questi virtuosi che per <lb></lb>mio mezzo possono godere i frutti dell'ingegno di V. S. Non mi sono <lb></lb>potuto mai ridurre a notar quella proposizione delle tangenti, ora pa<lb></lb>rendomi vergogna il più tardare, quasichè sia troppo supina la mia <lb></lb>negligenza, accennerò a V. S. il mio pensiero nel modo, che potrò <lb></lb>meglio così alla sprovvista. </foreign></s> </p> <pb pagenum="336"></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Mi figuro una sorte di figure intorno al diametro BF in cui le <lb></lb>dignità delle applicate AF, DE che siano d'un medesimo grado fra <lb></lb>loro, siano in ragione delle dignità diametrali, <lb></lb> <arrow.to.target n="fig649"></arrow.to.target><lb></lb>che domando le dignità di BF, BE, le quali siano <lb></lb>pure fra di loro d'un medesimo grado. </foreign></s> <s>Quì noto <lb></lb>la moltitudine infinite di queste figure ridursi <lb></lb>in tre ordini. </s> <s><foreign lang="it">Il primo quando le dignità delle <lb></lb>applicate hanno l'istesso grado con le dignità <lb></lb>diametrali, et allora le figure non si distingue<lb></lb>ranno dagli ordinari triangoli, servendo di asse, <lb></lb>o diametro la retta, che da un angolo casca nel <lb></lb>mezzo del lato opposto. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Il secondo quando il <lb></lb>grado delle dignità delle applicate è maggiore, o diciam superiore a <lb></lb>quello delle dignità diametrali; e in tal caso ne avremo le tangenti <lb></lb>con fare GF ad FB, come l'esponente delle dignità delle applicate <lb></lb>all'esponente delle dignità diametrali; poi congiungendo GA sarà tan<lb></lb>gente la curva. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Perchè dividendo GB a BF sarà come la differenza <lb></lb>degli esponenti suddetti all'esponente della dignità di BF, onde il pro<lb></lb>dotto dalla dignità di BF nella dignità di GB di cui sia esponente la <lb></lb>differenza degli esponenti suddetti, sarà il massimo rispetto la retta <lb></lb>GF, poichè GF vien divisa in ragione degli esponenti, conforme richiede <lb></lb>la proposizione generale mandatami da V. S., e detto massimo sarà <lb></lb>omogeneo colla dignità delle applicate. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Sia per esempio la parabola <lb></lb>cubica, e GB doppia di BF, sarà il prodotto <lb></lb> <arrow.to.target n="fig650"></arrow.to.target><lb></lb>della retta BF nel quadrato di BG massimo <lb></lb>rispetto GF, et è il prodotto solido, e però <lb></lb>omogeneo ai cubi, che sono delle applicate <lb></lb>(chiamo parabola cubica, quando i cubi EC, <lb></lb>AF sono come le rette CB, BF). Intendasi <lb></lb>preso il punto D nella tangente ancorchè <lb></lb>prodotta, per il quale si passi la EDC, che <lb></lb>sia ordinatamente applicata nella parabola, <lb></lb>e la seghi in E. GB non potrà esser doppia <lb></lb>di BC, et il solido CB quadrato in BC non <lb></lb>sarà massimo rispetto GC, siccome è mas<lb></lb>simo GB quadrato in BF rispetto GF. Dun<lb></lb>que il cubo di GF al solido GB quadrato <lb></lb>in BF ha minor ragione, che il cubo GC al <lb></lb>solido GB quadrato in BC, e permutando il cubo GF al cubo GC, ovvero <lb></lb>il cubo AF al cubo DC ha minor ragione, che il solido GB quadrato in <lb></lb>BF al solido GB quadrato in BC, cioè (per la base comune BG quadrato) <lb></lb>la retta BF alla BC, ovvero il medesimo cubo AF al cubo DC. Dunque <lb></lb>il punto D casca fuori della figura. </foreign></s> <s>L'istesso d'ogni altro punto, e sarà <lb></lb>manifesto GA esser tangente. </s><s>Il che &. </s></p> <figure id="fig649"></figure> <figure id="fig650"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Resta il terzo ordine quando il grado delle applicate è minore di <lb></lb>quello delle dignità diametrali, e queste figure saranno trilinei formati da <lb></lb>una retta, e due curve indentro incapaci di linee rette, che le tocchino. </foreign></s> </p> <pb pagenum="337"></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Quando Ia cosa cammini bene, veda V. S. con quanta ragione la <lb></lb>supplicassi della sua dimostrazione, che serve di base principale a <lb></lb>tutto il discorso di queste tangenti, de' massimi iscritti, e minimi cir<lb></lb>coscritti, come già le feci vedere. </foreign></s> <s>Anzichè mi rimane da significarle <lb></lb>più considerabile conseguenza che da quella proposizione sua io ri<lb></lb>traggo. </s> <s><foreign lang="it">Aggiungo di più (ma con patto che ella riceva il tutto con <lb></lb>quelle riserve convenienti, che ci vanno, cioè che io non intendo, se <lb></lb>non quello, che è di piacer di V. S., che già so qual sia) che Monsù <lb></lb>Roberval ha dimostrato anch'esso la proposizione di V. S. onde non mi <lb></lb>par dovere che ella si lasci preoccupare il posto da lui, mentre la stampi <lb></lb>per la prima, e poi Monsù de Fermat ha preso a dimostrar queste tan<lb></lb>genti delle linee paraboliche, ma assai più singolarmente, che non ho <lb></lb>fatto io, ristringendosi alle sole figure, in cui le dignità delle applicate <lb></lb>sieno, come le linee, o parti del diametro &. </foreign></s> <s>Finalmente le tangenti <lb></lb>delle iperboli, et ellissi infinite non sono, che io sappia, venute sotto <lb></lb>la considerazione di veruno, e queste anche io dimostrerei, quando fosse <lb></lb>pubblica la proposizione di V. S. come vedrà piacendo a Dio, questo <lb></lb>ordinario segnente. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Tengo lettere di Lione dal Padre Mersenno, che desidera sapere, <lb></lb>se V. S. ha ricevuto i vetri, che le mandò da Venezia. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Dice d'avere <lb></lb>avuto il vetro di V. S., e che arrivato in Parigi farà, che siano a <lb></lb>V. S., pagati li denari per quello. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Mi fa istanze vivissime perchè io <lb></lb>la riverisca in suo nome, e intenda gli problemi, e soggetti della spe<lb></lb>colazione di lei, dalla quale starò attendendo in risposta da poterlo <lb></lb>contentare. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Quello che mi riservai di dire la settimana passata è, che <lb></lb>mi vien riferito il Fontana essersi piccato per l'emulazione di V. S. <lb></lb>nel lavoro de' vetri, et ha mandato quà in Roma un suo vetro esqui<lb></lb>sitissimo, che lo teneva presso di se, come singolare, acciò sia para<lb></lb>gonato con alcuno di quelli di V. S. e mi dicono, che superi di gran <lb></lb>lunga uno, che hanno di V. S. Non so chi sian questi, che hanno i <lb></lb>vetri di V. S., lo dissi al Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Raffaello, e mi consigliò ad accennarle <lb></lb>questo, perchè avverta di mandar vetri, se non in mano di persone <lb></lb>discrete, le quali abbiano discrezione in paragonare i vetri, che siano <lb></lb>stimati pari dai loro maestri, e non uno ordinario, e per tale tenuto <lb></lb>per esempio da lei, con un prezioso del Fontana. </foreign></s> <s>Come servitore, che <lb></lb>le sono, ho voluto accennarle questo, perchè ho sentito alcuni, i quali <lb></lb>formavano qualche giudizio traverso per un simile paragone. </s><s>E quì <lb></lb>facendole riverenza con profondissimo affetto le bacio le mani. </s><s><lb></lb>Roma lì 20 agosto <emph type="italics"></emph>1645.<emph.end type="italics"></emph.end><lb></lb> Aff.mo Servit.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> e Obb.mo Discepolo<lb></lb> Michelangelo Ricci</s></p> <pb pagenum="338"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>158<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> MICHELANGELO RICCI a [TORRICELLI <lb></lb>in Firenze].<lb></lb>Roma, 24 settembre 1645.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLII, c. 154-158 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>M.to Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end>, et Ecc.mo Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> e P.rone Oss.mo </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">V. S. mi fa gran torto, se indirizza le sue giustificazioni a me nella <lb></lb>causa de' vetri fra 'l Fontana, e lei, poichè oltre la certezza, che deve <lb></lb>avere del mio zelo, con che invigilo in pro di V. S. per il rispetto <lb></lb>delle obbligazioni, che le tengo, s'aggiungerà qualche testimonianza <lb></lb>maggiore all'arrivo in Parigi di Monsù Tevenot giovine di nobile, et <lb></lb>ingenua natura, il quale è già inviato a quella volta, e prima di par<lb></lb>tire promisemi di voler esser tromba del valor di V. S., sì per la ra<lb></lb>gione della Giustizia, come particolarmente per mia cagione, da cui <lb></lb>resta pienamente informato di tutto il succeduto nei paragoni fatti <lb></lb>fra vetri di V. S., e del Fontana. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Con le lettere ricevute di nuovo, <lb></lb>procurerò di levare il sinistro concetto fatto da qualcheduno quà in <lb></lb>Roma, quando però sia stata ignoranza la sua, non invidia, o mali<lb></lb>gnità, come io dubito, perchè in tal caso non potrò se non metterlo <lb></lb>in timore, che spargendo simili voci autorizzate dal detto di quei Padri <lb></lb>Gesuiti, opererò che egli resti svigliaccato, e bugiardo, avendo appresso <lb></lb>di me attestazioni in contrario. </foreign></s> <s><foreign lang="it">La lettera del Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Alberto andai per <lb></lb>recapitarla io di persona, e non avendolo potuto trovare, mandai un <lb></lb>servitore di notte, che gliela presenti, e questa mattina ne ho fatto <lb></lb>procurar la risposta, la quale accludo in questa. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Il Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Tommaso <lb></lb>Bianco fu ieri appunto da me, poche ore dopo, che ricevei la lettera <lb></lb>di V. S. Gli feci leggere l'espressione, che V. S. facea del proprio <lb></lb>affetto verso di lui, e gliene professa molte obbligazioni. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ho poi lettere del Padre Mersenno, che sia giunto in Parigi, di <lb></lb>dove mi scrive una lunghissima lettera, ma brevissima al giudizio suo, <lb></lb>poichè dice, che essa contiene una minima parte di quello, che mi <lb></lb>scriverà da poi, che avrà riassunte le conoscenze di quei virtuosi. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Sa<lb></lb>luta caramente V. S. e l'avvertisce, come Monsù de Roberval ha di<lb></lb>mostrato, che il solido fatto dalla rivoluzione d'una Cicloide intorno <lb></lb>l'asse non osservi la ragion di 11 a 18 verso il cilindro circoscrittogli, <lb></lb>ma posto che sia quell' 11 il cilindro sarà più che 18. Secondaria<lb></lb>mente avvisa, che sia stata inventata una macchina in Parigi, con <lb></lb>la quale in due sole ore si può lavorare un vetro a perfezione, e si <lb></lb>offerisce di mandargliene il disegno, quando V. S. ne tenga curio- <pb pagenum="339"></pb>sità. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Passando per Lione ha trovato quivi un occhialone, opera d'un <lb></lb>certo Franchini, che lavora nella Galleria di cotesta altezza, e l'ha <lb></lb>trovato superiore in paragone del vetro di V. S. Di più è uscito <lb></lb>alle stampe un libro sopra la Calamita, e sue proprietà, e con queste <lb></lb>presume di provar dimostrativamente l'immobilità della Terra. </foreign></s> <s><foreign lang="it">In <lb></lb>ultimo prega V. S. che voglia rispondere alla lettera di quel Ge<lb></lb>suita, che impugna le dottrine del moto, conforme già ne ragguagliai <lb></lb>V. S., e soggiunge alcuni pensieri di Robervallio in questa parte, con <lb></lb>caratteri però così sconci, che finora non ho potuto ritrovare persona, <lb></lb>che ne possa dar chiara interpretazione. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Io per me vado considerando, <lb></lb>che Robervallio sia contrario alle proposizioni del Galileo in materia <lb></lb>dell'augumento di velocità nei gravi cadenti, e contrario in modo che <lb></lb>neghi ogni proposizione del Galileo: ma di questo ha promesso di scri<lb></lb>verne il suo parere, et allora per mezzo del Padre Mersenno intende<lb></lb>remo il tutto nella propria scrittura. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Quanto all'avvertimento intorno le tangenti lo stimo buonissimo, e <lb></lb>ne la ringrazio. </foreign></s> <s>Vorrei pregarla, che riducesse alla debita generalità <lb></lb>quella proposizione de' massimi, perchè io potessi valermene per la <lb></lb>universale proposizione delle tangenti. </s><s>Io vi feci un poco di riflessione <lb></lb>e dubito, che quella maniera non si possa portar più ampiamente, ma <lb></lb>che sia necessario di valersi come di lemma di quella verità acqui<lb></lb>stata finora. </s> <s><foreign lang="it">La proposizione, che dicevo a V. S. è nel Libro de pro<lb></lb>portionibus del Cardano alla proposizione 135.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end>, e gli serve di lemma <lb></lb>la proposizione 133.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> forse che potrebbe recar qualche luce a V. S. <lb></lb>ma quando non serva ad altro, vedrà chiaramente, che poteva il Car<lb></lb>dano farsi onore, con proporre assai universalmente quella proposi<lb></lb>zione, giacchè il metodo era generale, e solo bastava, che, dove no<lb></lb>mina la proporzione dupla, usasse il termine multiplice, secondo richiede <lb></lb>il grado de' producenti il massimo, che si cerca. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Mi trovo molte inven<lb></lb>zioni, e di linee, e di potestà infinite, alle quali non posso dar perfe<lb></lb>zione per il divertimento di amici, che sempre sono a farmi conver<lb></lb>sazione. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Compatisca pertanto se io ricorro a Lei, pregandola che <lb></lb>voglia prendersi l'incomodo di superar la detta difficoltà, non avendo <lb></lb>io tempo di farlo e (quel che dovevo dir prima) mancandomi l'ingegno <lb></lb>necessario più del tempo, essendo il sapere effettivamente figliolo più <lb></lb>dell'ingegno, che del tempo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Mi resterebbe di far la scusa, perchè io <lb></lb>con libertà, qual si conviene alla sincerità del mio affetto riverente <lb></lb>verso V. S., le ho scritto quanto m'avvisa il Padre Mersenno, avendo <lb></lb>giudicato, che ella possa meglio provvedere a tutto mentre che sappia <lb></lb>la realtà di quanto occorre. </foreign></s> <s>E quì con ossequio parzialissimo bacio a <lb></lb>V. S. le mani. </s><s><lb></lb>Roma lì 24 Settembre <emph type="italics"></emph>1645.<emph.end type="italics"></emph.end><lb></lb> Dev.mo Servit.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> et Obb.mo Discepolo<lb></lb> Michelangelo Ricci</s></p> <pb pagenum="340"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>159<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> MARINO MERSENNE a TORRICELLI <lb></lb>[in Firenze].<lb></lb>Parigi, 10 ottobre 1645.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLI, c. 22-27 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap><lb></lb>10 Ott.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> 1645. Lutetiae Mersennus.</s></p> <p type="main"> <s>Eruditissimo viro Domino Evangelistae Torricello S. P. </s></p> <p type="main"> <s>Quum a meo Lutetiam reditu vix dumanti quas Literas salutarim, <lb></lb>neque vitrum concavum tuo convexo adhibendum acceperim, quod brevi <lb></lb>ex Aquis Sextiis, ubi reliqui illud, ad me mitti debet, quo bonitatem <lb></lb>vitri tui quasi possem explorare, quod tanti facis, adhibui tamen illi <lb></lb>tria, aut quatuor satis bona concava, quae mihi, et Gassendo, et aliis <lb></lb>amicis docuerunt, vitrum Gassendi, quod olim a Galilaeo accepit, esse <lb></lb>longe tuo praestantius, quod nempe quarta parte Tubum tuo breviorem <lb></lb>requirat, et tamen cum iisdem concavis clarius, aut aeque clarum, sed <lb></lb>maius obiectum exibeat. </s><s>Sed et Lugduni quum essem redeundo, melius <lb></lb>tuo vitrum expertus sum, quod abs vestro opifice fiorentin<emph type="italics"></emph>o<emph.end type="italics"></emph.end> Hipolyto <lb></lb>Francini factum, et venditum est. </s></p> <p type="main"> <s>Nosti vero quanto magis facienda sint vitra, quum minus longum <lb></lb>Tubum requirunt, si obiecta aeque crassa, claraque faciant, quod qui<lb></lb>busdam ex hac urbe prospiciliis contingit, quae, quum fere tantum <lb></lb>sesquibrachium, aut ad summum duo brachia vestra trahantur, tuum <lb></lb>tamen quatuor brachiorum vitrum exaequant, vix ut hic reperiatur, qui <lb></lb>pro tuo isto vitro unicam doupiam, seu pistolam tribuere velit. </s><s>Nihilo<lb></lb>minus quum verba mea tibi, ac amico Riccio revocare neque velim, ne<lb></lb>que mihi fas sit, iam iam scripsi, ut tota pecunia, nempe quinque <lb></lb>doupiae tibi tribuantur, licet tibi forte vitrum illud remissurus sim, quod <lb></lb>alteri possis dare, a quo etiam pecuniam tibi necessariam accipias. </s><s>Est <lb></lb>unus Capucinus Rheita Antuerpiae, qui facit prospicilia, quae duodecim <lb></lb>diametros Lunae diametro aequales, et ipsam Lunam aeque, ac tuae, <lb></lb>et nostrae dioptricae quatuor brachiorum, quae solummodo 1/4 Lunae <lb></lb>qualibet vice, ut probe nostri, referunt, imprimit Librum, cui titulus: <lb></lb>Oculus Enoch, in foglio, in quo modum faciendi huiusce generis tele<lb></lb>scopia tradit; quae quum in Libro videro, et ipsis oculis experti fue<lb></lb>rimus, fusius ea de re scribam. </s><s>Tu iam habes nostrum Astronomum <lb></lb>Boulialdum Venetiis apud Oratorum nostrum, quem, si pergas illuc, <lb></lb>videre poteris; est enim vir honestus, et doctus. </s></p> <pb pagenum="341"></pb> <p type="main"> <s>Ante Festum Ascensionis longe, arculam vitris plenam in manibus <lb></lb>Lectoris Philosophiae, qui est in Conventu nostro Veneto, quique est <lb></lb>Religiosus minimus, natione Genuensis, cuius nomen excidit animo, <lb></lb>reliqui, quam sancte pollicitus est, se statim vestro apud venetos Re<lb></lb>sidenti traditurum, ut postmodum ad te Florentiam mittat. </s><s>Nondum <lb></lb>didici, an ea vitra acceperis, quae, si amissa essent ferrem gravissime; <lb></lb>credo enim ea praestantia. </s><s>Nihil hac vice mathematicum mitto, quod <lb></lb>matheseos Princeps Robervallius ad te scribat. </s><s>Sed rescire velim an <lb></lb>amplius de mea difficultate harmonica cogitaveris, cum vis quadrupla <lb></lb>requiratur ad usque ad acutum diapason elevandam, vel ad mo<lb></lb>tum duplo frequentiorem ei imprimendum, quam, si solvisti, id a te <lb></lb>velim expectare. </s><s>Sed et tractatulum de motu aquae fac, ut videam, <lb></lb>quod per Riccium facere poteris, quem meo nomine, quaeso, salutes. </s><s><lb></lb>Offero etiam, quod dudum Florentiae coram dicebam, nempe quaecum<lb></lb>que hic mihi committere volueris tuo nomine imprimenda, me esse <lb></lb>paratissimum quemadmodum et tui in reliqua obsequentissimus Mer<lb></lb>sennus. </s><s><lb></lb>Lutetiae 10. Octobris anni 1645.</s></p> <p type="main"> <s>Nescio, an mea cogitata physica mathematica Roma acceperis, quae, <lb></lb>si nondum habes, mone me, ut iubeam unum exemplar ad te confe<lb></lb>stim mitti, sunt enim quaedam post meum discessum Romae recepta <lb></lb>exemplaria, in quibus velim unum esse tuum nisi tamen respuas utpote <lb></lb>quod, quum a me procedat, tua lectione minime dignum, ut sit, aequi, <lb></lb>bonique consules, et potius animum, quam alia ponderabis. </s><s>Curavi <lb></lb>etiam post meum ex urbe discessum, ut unum exemplar Domino Riccio <lb></lb>daretur, quod ipse testatus est suis ad me Litteris se accipisse. </s><s>Noster <lb></lb>Gassendus praeclarum tractatum in sui, et Galilaei defensionem nuper <lb></lb>edidit, quo strenue refellit scriptum Jesuistae Cazrei, qui nuper Romam <lb></lb>petiit ad Generale eligendum cum aliis Gallis. </s><s>Gaudebis dubio procul, <lb></lb>quum adeo praestantem Galilaei vestri apologiam videris, et siquid in <lb></lb>eo genere scripsisti, rursus edi poterit, si differat a Gassendi ratiociniis. </s><s><lb></lb>Facile vero possis impetrare Libellum praedicti Cazrei, de quo quum <lb></lb>essem Romae, ad te scripseram, quandoquidem Dominus Riccius potest <lb></lb>illum a Sanctinio accipere, est enim illius amicus, et protinus illum ad <lb></lb>te mittere. </s><s>Deinde videbis Gassendum adversarium, quippe quem brevi <lb></lb>mittent ad Sanctinium, a quo Riccius illico eum etiam ad te mitten<lb></lb>dum mutuo cupiat. </s><s>Siquid habes ad me mittendum, id poteris eadem <lb></lb>exequi via, qua ad Dominum Carcavi nostrum amicum communem <lb></lb>scripseris, nisi malis per Riccium. </s><s>Si videris Clarissimum Baptistam <lb></lb>Doni 100000 me illi commendes velim. </s><s>Addo propositionem satis pul<lb></lb>chram. </s></p> <p type="main"> <s>Quadratum medii arithemetici est aequale quadrato medii geome<lb></lb>trici, et quadrato semidifferentiae extremorum. </s></p> <p type="main"> <s>Siquod habeas praestantissimum vitrum, quod unum, aut summum, <lb></lb>alterum brachium trahatur, cupio illud, quod simili compensato, ubi <lb></lb>novam machinam conficiendis istis spicilis adhibuero, quod vitrum, vel <pb pagenum="342"></pb>per Riccium, vel per vestrum Residentem hic manentem ad me poteris <lb></lb>tuto transmittere: nam Tubi longiores sunt ninium importuni. </s><s>Iam <lb></lb>iam vidi hominem, qui hic circuli quadraturam duplicationem Cubi, et <lb></lb>triplicationem anguli reperiit. </s><s>Ubi haec edentur tria folia, confestim <lb></lb>ad te mittam. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>160<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> [TORRICELLI a MICHELANGELO RICCI <lb></lb>in Roma].<lb></lb>Firenze, 2 dicembre 1645.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XL, c. 101 — Copia di L. Serenai).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Mi rallegro che V. S. con tanta facilità habbia trovato <lb></lb>i centri di gravità delle parti del cerchio, e della sfera, <lb></lb>(taccio l'ellissi e la sferoide perchè vanno sotto la mede<lb></lb>sima invenzione) non so s'ella vedesse certi fogliacci che <lb></lb>io già son due anni mandai al S.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Raffaello. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Dimostrano <lb></lb>il centro di gravità nel settor del cerchio in due modi, e <lb></lb>brevemente, cioè more veterum, e per indivisibili. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Quanto <lb></lb>al centro di gravità del settor di sfera mi scrive il S.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Ant.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>Nardi d'Arezzo d'haverlo mostrato ed enunciato come fa <lb></lb>V. S. Io gli risposi d'haverlo mostrato et enunciato in <lb></lb>altro modo, cioè che sta nell'asse del settore lontano dal <lb></lb>centro della sfera per 3/4 dell'asse del cono, e 3/8 della <lb></lb>saetta del segmento. </foreign></s> <s><foreign lang="it">V. S. intende già che il settore è <lb></lb>composto di un cono e di un segmento. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>La medesima enunciazione credo che mi paresse adat<lb></lb>tarsi anco alla sferoide, ma ora ho la testa lontanissima <lb></lb>da simili cose. </s> <s><foreign lang="it">Dimostrai la concordanza tra la proposi<lb></lb>zione del S.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Nardi, e la mia, e devo averla in scritto. </foreign></s> <s>Ma <lb></lb>di quel Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Raff.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> Magiotti che n'è? </s><s>almeno V. S. me ne dia <lb></lb>qualche nuova. </s> <s><foreign lang="it">Io m'immagino che il Sig. Ant.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> Nardi <lb></lb>havrà a buon termine le sue stampe; per grazia V. S. me <lb></lb>ne dia qualche avviso. </foreign></s> <s>Rendo ossequiose grazie all'Ill.mo <lb></lb>Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Cav. </s> <s><foreign lang="it">del Pozzo e S.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Tommaso Bianco della memoria <lb></lb>che si degnano conservar di me. </foreign></s> <s>Firenze li 2 Xbre 1645. </s></p> <pb pagenum="343"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>161<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> MICHELANGELO RICCI a [TORRICELLI <lb></lb>in Firenze].<lb></lb>[Roma, dicembre 1645].<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLII, c. 187-190 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>M.to Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> et Ecc.mo Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end>, e P.rone Oss.mo </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Godo sommamente, che V. S. et il Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Riccardo siano convenuti <lb></lb>assieme, perchè la soddisfazione che ella mi significa d'aver ricevuta per <lb></lb>la sua parte, non sarà stata per mio avviso punto inferiore dal canto <lb></lb>del Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Riccardo; il quale avrà potuto conoscere quanto veridicamente <lb></lb>io gli abbia più volte asserito, che in lei maravigliosamente s'univano <lb></lb>la gentilezza, e 'l valore. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Mi rendo certo, che terrà a me buon grado, <lb></lb>che io gli abbia procurata, benchè con ufficio superfluo, la conoscenza <lb></lb>di V. S. la quale molto bramava, e potrà confermare nella loro cre<lb></lb>denza i Geometri oltramontani, che la stimano per dotta e per compita, <lb></lb>come n'ho sentito io medesimo ragionare. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Nell' Opera del Padre Kirker <lb></lb>penso, che abbiamo incontrate ambidue le medesime dissonanze, che <lb></lb>alla prima apertura del Libro m'hanno perturbato l'animo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Viddi fra <lb></lb>le altre belle proposizioni, che nella parabola il quadrato d'un'appli<lb></lb>cata alla parte diametrale da detta applicata segata verso il vertice, <lb></lb>ha la proporzione che il quadrato d'un'altra applicata alla parte dia<lb></lb>metrale; ma che? </foreign></s> <s>Ve ne saranno delle altre forse più sciocche, le quali <lb></lb>taccio per non offendere V. S. con la commemorazione di queste inezie. </s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>La proposta, che ella mi scrive univer<lb></lb> <arrow.to.target n="fig651"></arrow.to.target><lb></lb>salissima, l'ho ammirata sopra tutte le <lb></lb>altre, che ho sentite da V. S., et ero così <lb></lb>lontano a credere, che si potessero unire <lb></lb>in quella tante particolari proposizioni, <lb></lb>che si leggono, e si rintracciano alla <lb></lb>giornata, quanto son lontano dal rinve<lb></lb>nirla e dimostrarla. </foreign></s> <s>Dirò a V. S. una <lb></lb>proposizione, che più volte le avevo ac<lb></lb>cennata ed è tale. </s></p> <figure id="fig651"></figure> <p type="main"> <s>Supponatur figura quaedam ABC, in <lb></lb>qua dignitates applicatarum parigradae, <lb></lb>puta dignitates ipsius AD, et EL sint <lb></lb>veluti productum ex qualibet dignitate ipsius AD in quamlibet digni- <pb pagenum="344"></pb>tatem BD ad productum ex dignitate ipsius HL (quae parigrada sit <lb></lb>cum dignitate ipsius AD) in dignitatem BL parigradam cum dignitate <lb></lb>BD. Debent autem producta esse homogenea dignitatibus applicatarum, <lb></lb>hoc est ad eumdem gradum spectantia. </s></p> <p type="main"> <s>His positis si HL sumptus toties, quoties est unitas in exponente <lb></lb>dignitatum BL, BD fuerit et HK sumptus quoties unitas est in expo<lb></lb>nente dignitatum HL, HD, ita BL ad BK, et ordinetur LE. Dico junctam <lb></lb>KE fore tangentem. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Supplico V. S. a volerla considerare un poco fra tanto, che io <lb></lb>prenderò tempo di scriverne la dimostrazione, perchè la mia testa <lb></lb>non è per anco bene assicurata, sicchè possa applicare alle cose geo<lb></lb>metriche, o ad altro, che ricerchi più, che una semplice attenzione. </foreign></s> <s><foreign lang="it">La <lb></lb>supplico parimenti a farmi avvertito di quella dimostrazione nel par<lb></lb>ticolare delle linee che per certa somiglianza, dirò Cicloidali, delle <lb></lb>quali avrei mandata la prova, se l'avessi giudicata necessaria alla <lb></lb>perspicacia di V. S., molto più dopo aver ella meditato lungo tempo <lb></lb>sulle Cicloidali, sulla traccia delle quali cammina il mio discorso. </foreign></s> <s>Il <lb></lb>Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Antonio Nardi se la passa in buona salute, et attende a far <lb></lb>trascrivere l'opera sua. </s><s>Credo, che per l'autunno prossimo voglia trasfe<lb></lb>rirsi costà per farla imprimere. </s><s>Del Sig. Raffaello n'è anco bene, ma <lb></lb>non affatto, perchè ieri si sentiva alquanto indisposto. </s><s>Li saluterò tut<lb></lb>tadue al primo incontro, che sarà forse oggi, o domani comunicando <lb></lb>loro la lettera di V. S. con la proposta generale nè da essi, nè da <lb></lb>me al certo più sentita. </s></p> <p type="main"> <s>Riverisco V. S. con ossequio singolarissimo restando &. <lb></lb> Di V. S. m.to Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> et Ecc.ma</s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Mi sovviene, ora che devo riverirla in nome del Padre Mersenno, <lb></lb>che l'altra mattina mi scrisse. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Monsieur des Cartes anch'egli s'è ap<lb></lb>plicato alla materia delle Cicloidali, trovando le quadrature e le tan<lb></lb>genti col metodo, dato nella sua Geometria; e questo ha fatto per <lb></lb>dare un poco di mortificazione a Monsieur di Robervallio, che in alcuni <lb></lb>passi aveva inciampato, o dirò meglio, non gli aveva potuti pas<lb></lb>sare &. <lb></lb> Dev.mo et Obb.mo Servit.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> e Discepolo<lb></lb> Michelangelo Ricci</foreign></s> </p> <pb pagenum="345"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>162<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> MARINO MERSENNE a TORRICELLI <lb></lb>[in Firenze].<lb></lb>Parigi, 13 dicembre 1645.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLI, c. 18-21 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap><lb></lb>13 7.<emph type="sup"></emph>bre<emph.end type="sup"></emph.end> 1645. Lutetiae Mersennus.</s></p> <p type="main"> <s>Clar.mo Viro D.no Evangelistae Torricello Servus obsequentis<lb></lb>simus Mersennus. </s></p> <p type="main"> <s>Nolui permittere, Vir Clar.<emph type="sup"></emph>me<emph.end type="sup"></emph.end> Literas amici nostri D. Robervalli ad <lb></lb>te sine meis abire, tum, ut tibi faciam testatissimum quanti omnes <lb></lb>tuum Librum faciant penitus aureum, tum ut certiorem efficiam, me <lb></lb>dudum Romae curasse, ut summa, de qua convenimus, pecuniae ad te <lb></lb>illico per Dominum Riccium mitteretur. </s><s>Qua de re num perfecta fuerint, <lb></lb>et num vitra venetiana per vestrum Oratorem (cui Pater Chrysostomus <lb></lb>noster minimus in Conventu nostro Veneto qui Lector est Venetiis in <lb></lb>Philosophia, natione Genuensis, in cuius manibus ea reliqueram, prae<lb></lb>dicta vitra meo nomine pro te tribuere debuit) acceperis quaeso moneas. </s></p> <p type="main"> <s>Quod ad vitra tua, quae iam habeo, primum, quod me gratis acci<lb></lb>pere permisisti nil penitus valet: aliud, quod solutum arbitror, superatur <lb></lb>a vitro Domini Gassendi, quippe quarta parte brevius, seu minus tra<lb></lb>hatur, et tamen cum eodem vitro concavo reddit obiectum saltem <lb></lb>aeque clarum, et magnum. </s><s>Porro te monitum velim iam Augustae <lb></lb>Windelicorum fieri Telescopia longe meliora, quam tua, vel cuiuspiam <lb></lb>alterius communia, quae serviunt duobus oculis, quaeque propterea Ca<lb></lb>pucinus Rheita (qui nuper edidit tractatum de hoc Tubo, quem vocat <lb></lb>Oculum Enoch, et Eliae) vocat Binocula (?). Habent itaque quatuor con<lb></lb>vexa, nullum concavum; duo pro quovis oculo, quae quia obiectum in<lb></lb>vertunt, quod parum refert in astris, si tertium concavum addatur, cer<lb></lb>tum est obiectum. </s><s>Sed iam fortassis Librum illum videris, nec dubito, <lb></lb>quin eadem Telescopia possis imitari, quin et superare. </s><s>Quod si nondum <lb></lb>videris, tibi breviter, et clare describam omnia, statim atque iusseris; <lb></lb>quid enim amico, sed tali, tantoque non debeam amico? </s><s>qui, maxime <lb></lb>cupio, meo nomine salutabis plurimum Dominum Doni Florentiae, et <lb></lb>Romae Dominum Ricci. </s><s>Ubi videris refutationem iam editam Domini <lb></lb>Gassendi, qua vindicavit Galilaeum, et se ipsum adversus Cazreum <lb></lb>Jesuistam, de quo Roma ad te scripseram, miraberis viri eloquentiam, <lb></lb>et subtilitatem, qui iam a paucis diebus volens nolens publicus mathe<lb></lb>maticae Regiae Professor factus, quique suae orationis in Laudem <pb pagenum="346"></pb>mathematicarum pulchritudine, quam habuit coram Emin.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Cardinali <lb></lb>Lugdunensi, et maxima virorum illustrium corona in Scholarum aditu <lb></lb>auditores rapuit in admirationem. </s></p> <p type="main"> <s>Quam quidem orationem brevi legere poteris, quippe iam praelium <lb></lb>experitur: nihil de iis, quae scribit Robervallus noster addo, ne quid <lb></lb>repetatur. </s><s>Tantum adiicio, Rheitam praedictum in suo oculo Enoch <lb></lb>describere machinam admodum facilem, qua contendit vitra formam <lb></lb>hyperbolicam facile induere posse, ut Telescopia longe perfectiora eva<lb></lb>dant, quamquam non deest hic vir summus, qui neminem habet in <lb></lb>opticis aequalem, qui contendit se demonstrare hyperbolam quidem ad <lb></lb>combustionem optimam in vitris, sed in prospiciliis Sphaericam figu<lb></lb>ram optimam, non hyperbolicam. </s><s>Cuius quidem tractatum videbis de <lb></lb>refractione ad calcem meae Synopsis Geometricae, quam Dominus Ric<lb></lb>cius habet. </s><s>Moneo praeterea Dioptricam Cartesianam hic latine venalem <lb></lb>esse, quam tibi facile possis comparare, qui Gallicam intelligere non <lb></lb>potuisti: Haec sunt, vir Clar.<emph type="sup"></emph>me<emph.end type="sup"></emph.end>, quae nunc scribenda putavi, praeser<lb></lb>tim ut testarer me semper tui <lb></lb> Obsequentissimum <lb></lb>Mersennum<lb></lb>Idibus Decembris anni 1645. Lutetiae.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>163<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> MARINO MERSENNE a TORRICELLI <lb></lb>[in Firenze].<lb></lb>[Parigi, dicembre 1645].<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Marciana in Venezia, Classe XI, Codice XCVI, c. 37-38 — Copia di Mons, Giusto <lb></lb>Fontanini).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Praeclarissimo viro D. Torricello </s></p> <p type="main"> <s>Cum nuper serio de centro percussionis cogitaverimus hoc est quo <lb></lb>in loco, vel in qua sui parte quodlibet corpus motum fortius percutiat, <lb></lb>varia occurrerunt; dicam illustrissimo Geometrae quod occurit. </s></p> <p type="main"> <s>Sit B oculus vel cylinder, prisma <lb></lb> <arrow.to.target n="fig652"></arrow.to.target><lb></lb>et AB quo suspensus in A instar funis <lb></lb>penduli et ductus ad C, tendat ad B <lb></lb>invenimus centrum percussionis in D <lb></lb>quod dividit AB in ratione sesquial<lb></lb>tera, ita ut 2/3 sint ab A ad D et 1/3 <lb></lb>a D ad B. Praeterea invenimus funem <lb></lb>pendulum et qualem AD facere suas <lb></lb>vibrationes eodem tempore, quo cylinder AB suas facit. </s><s>Unde mihi <pb pagenum="347"></pb>natum est sciendi desiderium quaenam sit ratio vibrationum cuiuscun<lb></lb>que corporis ad vibrationes funis penduli. </s><s>Hoc est detur altitudo trian<lb></lb>guli cuiuslibet, qui sit Isocronus dato fune pendulo eo vice versa. </s></p> <figure id="fig652"></figure> <p type="main"> <s>Sit verbi gratia triangulus ABC cuius altitudo <lb></lb> <arrow.to.target n="fig653"></arrow.to.target><lb></lb>BD sitque angulus B 150 graduum, quaeritur quae <lb></lb>sit ratio funis penduli triangulo praedicto Isocroni. </s><s><lb></lb>Dicam quae docuit experientia postquam explicatio <lb></lb>nobis distincta videtur, ut facile centrum percu<lb></lb>tionis cujusvis trianguli reperiatur, quod suppono suspensum in B, et <lb></lb>libere ad instar funis penduli moveri. </s></p> <figure id="fig653"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>Phaemena mea<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Hic semper supponitur ista corpora moveri intra axem horizzonti <lb></lb>perpendicularem instar cylindri AB. </s></p> <p type="main"> <s>Triangulus 60 graduum in B est ad funem pendulum ut 6 ad 5. </s></p> <p type="main"> <s>Triangulus 90, 92 aequalis funipendulo. </s></p> <p type="main"> <s>Triang. 110 grad. </s><s>ut 2 ad 3. </s></p> <p type="main"> <s>Triang. 170 grad. </s><s>ut 1 ad 23. </s></p> <p type="main"> <s>Circulus ad funem pend. </s><s>ut diagonalis quadrati ad eius vistam. </s></p> <p type="main"> <s>Circumferentia aequalis funi pendulo. </s></p> <p type="main"> <s>Sphaera fili ut circulus. </s></p> <p type="main"> <s>Navi cycloidali ut 3 ad 2. </s></p> <p type="main"> <s>Parabolae figura vel potius bibitoria aequalitatis quam ad me Ro<lb></lb>mae misisti est aequalis funi pendulo, quam bene velim in poculum <lb></lb>argenteum convertere, tuae ut valetudini nobis charissimae praeli<lb></lb>bemus. </s></p> <p type="main"> <s>Si principium aliquod occurrat universale, quo tradas modum re<lb></lb>periendi cui funi pendulo sit aequale datum corpus suspendendum, aut <lb></lb>viceversa; vel modum quo facile reperiatur centrum percussionis cu<lb></lb>iuslibet dati corporis, forte non dedignaberis nobis impertiri. </s><s>Si D. Car<lb></lb>tesij nondum vidisti Dioptricen anno praeterito latine editam, statim <lb></lb>atque iusseris ad te mittam. </s><s>Porro nondum videramus Guldinum de <lb></lb>centro gravitatis, nisi abhinc nudius tertius, is quo iam Robervallo <lb></lb>centrum gravitatis semicirculi, et semicircumferentiae, quod primus <lb></lb>existimabat se reperisse dixerit, quod illud ad se misisset in suis literis. </s><s><lb></lb>Obsecro ut audacter iubeas quidquid petieris ex hac urbe, in qua tuum <lb></lb>invenies obsequentissimum Mersennum. </s></p> <pb pagenum="348"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>164<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> MICHELANGELO RICCI a [TORRICELLI <lb></lb>in Firenze].<lb></lb>Roma, 16 dicembre 1645.<lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mrs. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLII, c. 159-160 — Copia moderna). </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">A c. 159, lin. 1, dello stesso codice “ Discepoli di Galileo, T. XLII ”, si legge come <lb></lb>nota del copista: <emph type="italics"></emph>è mancante la lettera.<emph.end type="italics"></emph.end><gap desc="/SM"></gap></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">. . . . mattina, e prima di partire condusse seco da me il suo fratello, <lb></lb>che si scopre ben intendente delle cose Geometriche. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Mi fece ieri vedere <lb></lb>una lunga serie di proposizioni concernenti la sezione della sfera, et <lb></lb>altre materie del 2° de sphaera, et cylindro, in quello però, che non <lb></lb>ha bisogno delle due medie proporzionali, o di quel lemma difficilis<lb></lb>simo, e per luoghi solidi dimostrato da Eutocio, in ordine alla sezione <lb></lb>della sfera in data proporzione. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Tutti li due fratelli sono cortesissimi, <lb></lb>dotti, e fanno stima grande dell'opera di V. S., della quale mi ragionò <lb></lb>il Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Riccardo fratello del detto Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Tommaso con molti encomi, <lb></lb>prima di saper, che io fossi servitore, e scolare di quell'osservanza, et <lb></lb>obbligazione, che io sono verso di V. S. Mi maraviglio, che non veggo <lb></lb>nella sua lettera menzione alcuna d'una lettera del Padre Mersenno, <lb></lb>che io Le inviai. </foreign></s> <s>La prego a volermene avvisare qualche cosa, perchè <lb></lb>il Padre mi molesta sempre volendo saper nuova di Lei, e molto più <lb></lb>starà ansioso d'aver da Lei qualche risposta. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Restami per fine di augurare a V. S. felicissime le Sante Feste di <lb></lb>Pasqua, (<emph type="italics"></emph>sic<emph.end type="italics"></emph.end>) e pregarla a volermi tener vivo nella sua grazia, che giuro <lb></lb>a V. S. è una delle più care cose, che io desideri in questo mondo, e <lb></lb>le bacio le mani. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Il Libro del Padre Kircher sarà tra pochi giorni <lb></lb>fuori mancandovi solo di far l'indice &. </foreign></s> <s><lb></lb>Roma lì 16 Dicembre 1645.<lb></lb> Di V. S. m.to Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end>, et Ecc.ma.</s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Scritta la lettera il Padre Mersenno mi scrive di aver dato l'ordine <lb></lb>per lo sborso delle cinque doppie, che sono il prezzo de' vetri &. <lb></lb> Dev.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end>, ed Obb.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Servit.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> e Discepolo<lb></lb> Michelangelo Ricci</foreign></s> </p> <pb pagenum="349"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>165<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> GILLE PERSONNIER DE ROBERVAL <lb></lb>a TORRICELLI [in Firenze].<lb></lb>Parigi, 1 gennaio 1646.<lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>(Da un codice mss. </s> <s><foreign lang="it">del secolo XVII attualmente presso il prof. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Giuseppe Vassura <lb></lb>in Faenza — Copia del tempo). </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Questa lettera, che porta la data 1 gennaio 1646, ma non fu ricevuta dal Torricelli <lb></lb>che nel marzo seguente, V. N. 168 del pres. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Vol., trovavasi nel gennaio 1662 in <lb></lb>copia presso L. Serenai e presso molti in diversi luoghi d'Italia: V. LETTERA <lb></lb>AI FILALETI DI TIMAURO ANTIATE, Firenze 1663, pag. 24. <emph type="italics"></emph>Inventario di scritture pri<lb></lb>vate manoscritte che si adducono nella presente Lettera in prova della Verità,<emph.end type="italics"></emph.end> ecc., <lb></lb>N. XII.<gap desc="/SM"></gap></foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Clarissimo Viro Torricellio A. P. De Roberval S. P. D. </s></p> <p type="main"> <s>Vir Clarissime </s></p> <p type="main"> <s>Iam biennium elapsum est, ex quo litteras tuas accepi, quibus ut <lb></lb>statim responderem, multae me causae invitare videbantur; tum ut tibi <lb></lb>significarem me tenuitatis meae conscium, humanitati tuae tribuere <lb></lb>eximias illas laudes, quarum erga me nihil tale meritum plane pro<lb></lb>digus fuisti: tum etiam, ut quia de Trochoide nostra, quam ipse Cy<lb></lb>cloidem vocas, multa verba tanquam de antiquâ propositione feceras, <lb></lb>quae cum a celeberrimo Galileo tentata solvi non potuisset, tibi non <lb></lb>speranti, vix etiam quaerenti, se ultrò obtulisset; monerem talem pro<lb></lb>positionem multis iam ab annis per Galliam iactatam fuisse: a quo <lb></lb>autem primum propositam, incertum: Donec tandem anno duodecimo <lb></lb>iam elapso, ego à Reverendo nostro Mersenno non levi expostulatione <lb></lb>incitatus, in illius demonstrationem incidi, quam tamen per annum <lb></lb>integrum cum nemine ex nostris Geometris communicavi, sed tan<lb></lb>tum curavi, ut ipsi me invenisse nescirent, nondum patefactâ illis <lb></lb>ratione subsesquitertiâ, quam illa obtinet ad suum Parallelogrammum. </s><s><lb></lb>Anno autem illo elapso, quia publicum certamen pro cathedra regia, <lb></lb>quod expectabam, et cui talem novam propositionem cum suis tan<lb></lb>gentibus, et solidis servabam, non obtigerat, aperui subsesquitertiam <lb></lb>illam rationem sine demonstratione: ac tum duo ex nostris Geome<lb></lb>tris, nempe D. Defermat, et D. Descartes demonstrationes invenerunt <lb></lb>inter se penitus, et a nostra diversas: atque ex inde propositio illa <lb></lb>vulgata est, ita ut nunc pro nova haberi apud nostros nullo modo <lb></lb>possit, quae per tot annos iam inveteravit; earum autem demonstra<lb></lb>tiorum illam, quae a D. Descartes missa fuerat, Ioannes de Beaugrand <lb></lb>excepit, et propria manu scriptam, cujus duplum ipse Mersennus, et <pb pagenum="350"></pb>ego, et multi alii perlegimus, ad ipsum Galileum misit, estque penitus <lb></lb>eadem cum una ex tribus quas a nobili viro D. du Verdus jam Romae <lb></lb>degente, tamquam in Italia inventas nuper accepi. </s><s>Et quoniam circa <lb></lb>ea tempora, quibus ad celeberrimum Galilaeum scribebat ipse de Beau<lb></lb>grand, compertum est eundem non solam illam propositionem, sed et <lb></lb>multas alias aliorum authorum, tanquam suas, suppressis authorum <lb></lb>ipsorum nominibus, quocumque missitare consuevisse, factum est ut <lb></lb>Vir doctissimus D. Desargues, cum talem plagiarium ferre non posset, <lb></lb>de ea re in quodam ex suis operibus iam ante sex annos in lucem <lb></lb>emissis disertis verbis scripserit, ut quid cuicumque proprium esset, <lb></lb>omnes certiores faceret. </s><s>Ibi autem ipse D. Desargues D. de Fermat <lb></lb>suam de Tangentibus curvarum, deque minimis, et maximis inveniendis <lb></lb>methodum; mihi autem meam Trochoidem, a plagiario illo recuperatas, <lb></lb>nostris utriusque nominibus additis, restituit. </s><s>Haec inquam erant de <lb></lb>quibus statim monendus mihi videbare. </s><s>Adde quod cum in eadem epi<lb></lb>stola scripsisses de solido ispsius Trochoidis te nihil habere, consen<lb></lb>taneum erat, ut quod de illa re perceperam, ac simul de tangentibus, <lb></lb>tecum comunicarem; nam quod ad centrum gravitatis attinet, iamdiu <lb></lb>est ex quo methodum universalem invenimus, qua illud in unaquaque <lb></lb>figura plana reperiatur ex notis rationibus tum figurae illius ad alteram <lb></lb>quandam figuram planam, cuius centrum notum sit, quam solidi ejusdem <lb></lb>propositae figurae, ad solidum illius alterius. </s><s>Imò etiam absque tali <lb></lb>praenotione in multis figuris: unde haec nostra methodus tibi forsan <lb></lb>universalior videbitur, quam ea, de qua scripsisti, quae in omnibus <lb></lb>figuris haec nota supponit: ut sic notis illis rationibus plani, et solidi <lb></lb>alicujus figurae, supervacaneum sit apud nostros Geometras de centro <lb></lb>talis figurae quidquam superaddere, quibus praeter hanc nostram me<lb></lb>thodum suppetit, et alia D. de Fermat a nostra prorsus diversa eadem<lb></lb>que subtilissima, atque elegantissima, qualia sunt omnia tanti viri <lb></lb>inventa, quod iam tibi saltem aliqua ex parte, patuisse arbitror. </s></p> <p type="main"> <s>Cum autem haec scribere pararem, ecce supervenere a te ad R. P. <lb></lb>Mersennum litterae, quibus significabas utrumque Trochoidis solidum, <lb></lb>nempe circa basim, et circa axem a te nuper detectum fuisse; et illius <lb></lb>quidem, quod circa basim, rationem ad suum Cylindrum esse, ut quinque <lb></lb>ad octo, illius vero, quod circa axem, ut undecim ad octodecim; ac <lb></lb>utramque rationem viâ mechanicâ, ex noto prius plani centro tibi in<lb></lb>notuisse. </s><s>Harum rationem prior a nobis viâ Geometrica inventa, jam<lb></lb>dudum vulgata fuerat: posteriorem autem vera minorem comperimus: <lb></lb>quod sane statim demonstrare, et tibi scribere poteram; supersedere <lb></lb>tamen decrevi, donec veram rationem invenissem: eo enim a nobis res <lb></lb>deducta erat, ut invento iam medio, nihil aliud superesset, quam die<lb></lb>rum aliquot continuorum labor; de fine autem omnino confidere pos<lb></lb>semus. </s><s>Ne verò mirere, quod tantum temporis in unico problemate <lb></lb>volvendo consumpserimus, illud enim ex ijs est quae, et longa inqui<lb></lb>sitione indigent, et aerem pertinacis Geometrae requirunt operam; <lb></lb>nec memini me aliud unquam demonstrasse, quod cum eo conferri <lb></lb>possit, sive multitudinis mediorum necessarium, sive difficultatis ipso- <pb pagenum="351"></pb>rum investigandorum habeatur ratio. </s><s>Ecce ergo illius enunciationem in <lb></lb>Trochoide simplici, sive primaria, cujus basis aequalis ponitur circum<lb></lb>ferentiae, altitudo autem, sive axis aequalis diametro Rotae Genitricis. </s></p> <p type="main"> <s>Si ex tribus quadrantibus quadrati dimidiae basis, dematur tertia <lb></lb>pars quadrati altitudinis; erit ut reliquum ad ipsum dimidiae basis <lb></lb>quadratum, ita solidum Trochoidis circa axem conversae, ad Cylindrum <lb></lb>ejusdem basis, ejusdemque cum ipso solido altitudinis. </s><s>Quamvis autem <lb></lb>talis esset demonstratio, et tam plana, ut ipsi reluctari non possem; <lb></lb>tamen quia tua enunciatio, Vir Clarissime, a nostra diversa erat, ope<lb></lb>rae praetium visum est, inventum nostrum Clarissimis Viris Academiae <lb></lb>Mathematicae Parisiensis proceribus communicare, quo tantorum Vi<lb></lb>rorum iudicio confirmatus, illud liberius in lucem emittere auderem; <lb></lb>sed et media demonstrationis ejusmodi sunt, ut quarumlibet aliarum <lb></lb>Trochoidum tam prolatarum, quam contractarum solidis facilé possint <lb></lb>accomodari, quod tamen enuntiare nimis longum esset. </s><s>Hinc ergò si <lb></lb>vera fuisset illa ratio 11 ad 18 inventa erat et ratio peripheriae cir<lb></lb>culi ad ejusdem diametrum, ut numeri duodecim ad radicem quadratam <lb></lb>numeri quindecim, quae quam à vero abesset, iudicare tibi promptum <lb></lb>est. </s><s>De centro gravitatis tam plani totius Trochoidis, quam ejusdem <lb></lb>dimidij, nihil est quod addam praeter ea, quae superius dicta sunt. </s><s><lb></lb>Solidorum autem centra axes dividunt secundum rationes, quae si notae <lb></lb>sint innotescet circuli quadratura. </s></p> <p type="main"> <s>Solida circa tangentes ex praedictis duobus praecipuis circa basim, <lb></lb>et circa axem, atque ex ipso Trochoidis plano ominò pendent; prae <lb></lb>coeteris autem, illud quod fit circa tangentem axi parallelam, nullo <lb></lb>negotio detegitur, patitur enim ipsum regulam universalem hanc omni<lb></lb>bus notam. </s><s>Si quaevis figura plana suo axe in partes aequales, et si<lb></lb>miles dividatur, convertatur autem figura illa circa tangentem axi <lb></lb>parallelam; erit solidum inde genitum ad suum cylindrum, ut figura <lb></lb>plana ad suum parallelogrammum. </s><s>Imò modo recta axi parallela du<lb></lb>catur per punctum figurae planae ab axe remotissimum, sive tan<lb></lb>gens illa sit, sive non, perinde est, neque rursus semper requiritur, ut <lb></lb>partes aequales etiam similes existant; possunt enim aliae quaedam <lb></lb>conditiones similitudinem hanc compensare. </s><s>At iam nimis moror in re <lb></lb>prorsus trita. </s><s>Sed et rectarum Trochoidem quancumque in assignato <lb></lb>puncto tangentium inventio simplicissima est, ex universali methodo <lb></lb>inveniendarum tangentium iampridem a nobis excogitata, quae per <lb></lb>motuum compositionem procedit, quamque publicè privatimque docendo, <lb></lb>ante decem annos vulgavimus, additis exemplis e nobilissimis Curva<lb></lb>rum quadraticis, scilicet, Cissoidis, Conchoidum, Helicum, et multarum <lb></lb>aliarum, quarum tangentes apud antiquos Geometras, aut nullae, aut <lb></lb>vijs intricatissimis inventae reperiuntur, cum tamen hac methodo <lb></lb>statim, et ultro se se offerant. </s><s>Praecipuè verò Trochoidum, et Helicum <lb></lb>tangentes ideo inventu faciles evadunt, quia lineae ipsae oriuntur ex <lb></lb>compositione motus recti, et circularis, utriusque uniformis, quorum <lb></lb>directio, et inter velocitates ratio in omnibus curvae punctis, ex ipsa <lb></lb>descriptionis hypothesi constat, unde constat quoque tertij motus ex <pb pagenum="352"></pb>illis duobus compositi directio, quae curvae tangentem in assignato <lb></lb>puncto exhibet. </s><s>At in alijs curvis describendis, quia motuum aliquis, <lb></lb>ut plurimum difformis est, sive inaequalis, ideo nec directio illius in <lb></lb>quovis puncto, statim apparet, nec velocitatis ad velocitatem alterius, <lb></lb>ratio citò detegitur: quae sanè difficultas sicuti tyrones terrere, atque <lb></lb>morari solet, ita è contrario à veteranis ridetur, et facile superatur. </s></p> <p type="main"> <s>Huic epistolae nihil ultra adderemus, nisi nuper in manus nostras <lb></lb>incidisset opus tuum de solidis sphaeralibus, de motu, de Dimensione <lb></lb>Parabolae, de Solido Hyperbolico, et Trochoide, sive ut vis Cycloide, <lb></lb>et de Coclea: quod, quia aliter per otium non licuit, raptim tantum, <lb></lb>attamen integrum percurrimus. </s><s>De his omnibus Vir Clarissime vis <lb></lb>ingenuè dicam quid sentiam? </s><s>Ubicumque Geometra agis, ibi te Geome<lb></lb>tram praestantissimum ostendis, cui nullum priscorum, aut Neoteori<lb></lb>corum facilè praetulerim; idemque proculdubio mecum fatebitur qui<lb></lb>cumque rectè perpenderit, quam ardua, quamque abstrusa sint tua <lb></lb>inventa; quam brevi verò, et expedita methodo eadem proposueris; <lb></lb>quam deniquè acuta, sed clara demonstratione confirmaveris. </s><s>Itaque <lb></lb>in libris de Sphaeralibus, de Parabola, de Solido Hyperbolico, ac de <lb></lb>Coclea nihil animadvertimus, quod non laudemus maximè: vide tamen, <lb></lb>ut enunciationes 2.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end>, et 7.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> propositionis p.<emph type="sup"></emph>i<emph.end type="sup"></emph.end> libri de Sphaeralibus ad <lb></lb>polygona parium numero laterum restringas, quod ad sequentia suffi<lb></lb>ciet, vel paulisper immutes, si stante tua catheti definitione, ipsas <lb></lb>universales esse velis. </s><s>Trochoidem libasti tantum, et sane laetor, quod <lb></lb>idem te, quod nos argumentum delectaverit. </s><s>At ubi doctrinam de <lb></lb>motu demonstrare suscipis, pace tua dixerim, Vir clarissime, vix adduci <lb></lb>possum, ut aliud credam, quamquod Celeberrimi vestri Galilaei ma<lb></lb>nibus, forsan potentis alicujus viri jussu parentare volueris ed a margine la seguente postilla di mano diversa:, adductis <lb></lb>in pompam duobus illis libris, quorum fundamentum ipsius Galilaei <lb></lb>postulatis, vel placitis, vel etiam coniecturis non admodum certo ex<lb></lb>perimento innixis stabilitur, quod si ergo horum librorum conclusiones <lb></lb>experientiae repugnent, hoc non ideo factum est, quod malè ex ijs <lb></lb>principijs deductae sint: quin contra in eo te egregium praestas, ac <lb></lb>planè talem, qualem soles, ut ibi etiam magnum Torricellium liceat <lb></lb>agnoscere: sed . . . . quia labantibus fundamentis non potest stare <lb></lb>quidquid pulchrum superextruere contendas. </s><s>Nam primum, quod gra<lb></lb>vium naturaliter cadentium spatia emensa sint in duplicata ratione <lb></lb>temporum, ut vult Galilaeus, utque ipse cum multis alijs viris doctis<lb></lb>simis usurpas. </s><s>Id quidem ex mediocri altitudine verum apparet, prae<lb></lb>cipuè in metallis, lapidibus, alijsque corporibus, quae sub exigua mole <lb></lb>magnum pondus possident: at ex altitudine majori, atque in materia <lb></lb>minus gravi, ut in subere in medulla sambucea, in follibus, et caeteris <lb></lb>eiusmodi corporibus, experientia contrarium ostendit: postquam enim <pb pagenum="353"></pb>illa corpora initio sui casus per aliquam distantiam talem accelerationis <lb></lb>proportionem ad sensum servaverint, ulterius tamen progrediendo <lb></lb>longe ab ipsa aberrant, minusque, ac minus augent suam velocitatem, <lb></lb>donec ad aliquam maximam devenerint, quam postea uniformem ser<lb></lb>vare videntur. </s><s>Sed et ad eiusmodi aequalitatem quandam velocitatis <lb></lb>tandem pervenire deprehendes omnia illa pondera, quae ex funibus <lb></lb>pendentia, descensu suo motus circulares in alijs corporibus produ<lb></lb>cunt, ut videre est in ponderibus horologiorum, et aliarum eiusmodi <lb></lb>machinarum. </s><s>Unde non abs re persuasi videntur aliqui unumquodque <lb></lb>corpus grave in assignato medio, atque in data resistentia, posse ac<lb></lb>quirere aliquem gradum velocitatis, nec ultra; atque omninò aptitu<lb></lb>dinem illius ad suscipiendos tales gradus, ex illis positis, medio sci<lb></lb>licet ac resistentia, posse adimpleri, ac esse finitam: nec est etiam <lb></lb>quod quis causetur resistentiam aeris. </s><s>Esto enim, quod ille impediret, <lb></lb>ne velocitas tanta esset, quanta contingeret in medio perfectè liquido, <lb></lb>ac permeabili; ac certè ille impedire non posset quò minus mobile, si <lb></lb>non tantos, at quosdam tamen novos, atque novos velocitatis gradus <lb></lb>indueret, si eorum recipiendorum aptitudo in ipso finita non esset. </s><s><lb></lb>Deinde, quod cum Galilaeo sursus assumis, grave sursum proiectum, <lb></lb>atque ascendens motu naturaliter deficiente, usque ad sublimius pun<lb></lb>ctum suae lationis, si ex eodem sublimiori puncto recidat naturaliter <lb></lb>usque in eundem locum, unde proiectum est, tunc gradum impetus ac<lb></lb>quisiti in fine sui casus fore illum, quem habuit a proijciente, et quoad <lb></lb>eandem altitudinem evectum est: hoc inquam à vero tantum discrepat, <lb></lb>ut experimentis multoties repetitis affirmare ausim, impetum proij<lb></lb>cientis in arcubus, atque in balistis, plusquam quadruplum esse im<lb></lb>petus post casum. </s><s>Sed et hoc confirmavit celebris experientia in Hol<lb></lb>landia ad id facta, atque repetita in tormento bellico perpendiculariter <lb></lb>erecto, cuius globus post casum, parum admodum terram subintravit, <lb></lb>vix scilicet ad dimidiam violentae penetrationis partem, imo (quidquid <lb></lb>dicant permulti qui proculdubio, vel id nunquam experti sunt, vel non <lb></lb>satis diligentem operam inter experiendum adhibuerunt) multo bre<lb></lb>viori tempore ascendunt, quam descendunt fortium arcuum et balista<lb></lb>rum sagittae, quod et ego datâ operâ multoties expertus sum: Nec <lb></lb>rursus hic aerem causari quisquam jure poterit, cum is tam ascendendo, <lb></lb>quam descendendo idem prorsus existat. </s><s>Tandem, quod praeter duo <lb></lb>praedicta, tanquam concessum quid in demonstrationem saepissimè ad<lb></lb>ducis, praecipuè vero libro 2.° de motu proiectorum prop.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> 2.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> et 3.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>nempè ut tuis ipsismet verbis utar, si proijciatur mobile iuxta directio<lb></lb>nem utcumque elevatam: (horizontalis enim directionis examen supponis <lb></lb>à celeberrimo Galilaeo iam esse absolutum) patet quod sine tractione <lb></lb>gravitatis procederet mobile motu recto, et aequabili per lineam dire<lb></lb>ctionis; motu quidem recto concedimus, at motu aequabili; Uinde hoc? </s><s><lb></lb>equidem in omnibus omninò mobilibus proiectis experientia constantis<lb></lb>simè huic assertioni repugnat. </s><s>Et sanè quamquam nihil aliud, id aer <lb></lb>necessariò impedit, dum sua resistentia gradus velocitatis ipsius proiecti <lb></lb>sensim suffuratur. </s><s>Quod si quis dixerit nos aerem minime considerare: <pb pagenum="354"></pb>cur ergo tabulae inde constructae? </s><s>cur nova illa norma dirigendis tor<lb></lb>mentis bellicis accomodata? </s><s>haec proculdubio praxim respiciunt, quae <lb></lb>in aere tantum fit, nec alibi, quam in aere, aut in aqua, quod multo <lb></lb>longius aberraret, fieri potest: sed esto, quod medium daretur perfectè <lb></lb>liquidum, et permeabile, quod tamen merum figmentum est: quis un<lb></lb>quam ostendit fore, ut tunc impetus violentus nihil detrimenti patiatur, <lb></lb>sed idem perpetuò mansurus sit? </s><s>id quidem verum futurum esse apparet, <lb></lb>si impetus ille sit substantia quaedam, quae perire, sive annihilari non <lb></lb>possit: at si ille sit tantum modus aliquis substantiae eandem in statu <lb></lb>violento constituens, nondum constat num ipsa se ab eiusmodi vio<lb></lb>lentia sensim liberare possit, ac tandem in pristinum statum quietis <lb></lb>redire. </s><s>Quod sanè nisi ita sit, non video cur proiectum quodvis etiam <lb></lb>in hunc nostrum aerem emissum, in terram unquam recideret: neque <lb></lb>hucusque quemquam reperi, qui argumenta, quae ad hoc excogitavimus <lb></lb>solvere valuent, doleo tantum, quod illa prolixiora sint, quam ut huic <lb></lb>epistolae inseri quaeant. </s><s>Vereor hercle ne magno Galileo nimium pla<lb></lb>cuerit parabola illa, quae oriretur ex compositione hujus motus aequa<lb></lb>bilis cum motu casus naturalis in ratione duplicata temporum, ut ipse <lb></lb>putat, existentis, sed vide quaeso vir clarissime, quid accideret si mo<lb></lb>bile proiectum talem parabolam sequeretur, nempe si duo essent muri <lb></lb>horizonti perpendiculares, quorum alter a Bombarda quadam distaret <lb></lb>20 passibus geometricis tantum alter vero 118? Pulsus autem ipsius <lb></lb>Bombardae esset 1200 passum: tunc eodem impetu in utrumque mu<lb></lb>rum incurreret globus à tali bombarda explosus; cum tamen è con<lb></lb>trario hic impetus in murum remotiorem vix aliquid habeat, quo cum <lb></lb>impetu in propinquiorem conferri possit; ut quotidie in militia experi<lb></lb>mur, et ego data opera multoties annotavi, si non in ijsdem omninò <lb></lb>distantijs, at certè in alijs, quae non longe a praedictis discreparent, <lb></lb>quaeque praeterea non uno tantum capite vestrae (?) assertioni fa<lb></lb>vere debuissent. </s><s>Observavimus etiam in Urbium obsidionibus fremitum <lb></lb>omnium globorum tormentariorum tam ab hostibus in nos, quam à <lb></lb>nobis in hostes emissum, initio quidem sui motus acutissimum quid <lb></lb>ac planè horrendum sonare: indè verò gradatim, sed citissimè in gra<lb></lb>vissimum sonum degenerare idque intra spatium 12 aut 15 unius mi<lb></lb>nuti horaij secundorum, quo globi illi in longinquas stationes emissi <lb></lb>intermedium aerem percurrunt; undè manifestum est velocitatem initio <lb></lb>quidem maximam esse, eandem autem mirum in modum, atque adeò <lb></lb>gradatim, sed citissimè minui. </s><s>Ijdem etiam globi sub finem sui jactus <lb></lb>facile videntur in aere, etiam antequam in terram primum deciderint, <lb></lb>cum tamen initio actus eiusdem prae nimia celeritate, visum quem<lb></lb>cumque perspicacissimum effugiant. </s></p> <p type="main"> <s>Multa quidem Vir clarissime, attamen non omnia diximus: quae si <lb></lb>eo animo exceperis, quo scripsimus (scripsimus autem animo aequè <lb></lb>tui ac veritatis studioso, planèque ingenuo) et si tibi ita videbitur, <lb></lb>reliqua addemus. </s><s>Caeterum mirandum illud tuum solidum acutum <lb></lb>hyperbolicum, monet me ne illud praeteream, quod nuper mihi occur<lb></lb>rerit: incidi enim in spatia plana multitudine infinita acuta omnia, <pb pagenum="355"></pb>atque singula secundum acumen in infinitum abeuntia, quorum tamen <lb></lb>unum quodque spatio plano finito, seu undique clauso, sit aequale: ea <lb></lb>autem sunt ejusmodi. </s></p> <p type="main"> <s>Esto in plano quodcumque Trilineum ABC cuius latera duo AB, BC <lb></lb>ad angulum quemcumque constituta, recta sint, tertium autem latus <lb></lb>AC sit utcumque curvum: ac doctrinae tantum gratiâ, AB dicatur basis, <lb></lb>BC verò altitudo ipsius trilinei: ducta autem rectâ AD ipsi BC paral<lb></lb>lelâ, atque si opus est indefinitâ: ponam curvam AC ita inter parallelas <lb></lb>AD, BE, contineri, ut . . . . . . . earum inter ipsa puncta A, C occurrat: <lb></lb>tum per A intelligatur ducta recta AQ tangens curvam AC in puncto <lb></lb>A, quae tangens vel coincidat cum ipsa AD, vel occurrat rectae BC <lb></lb>productae, si opus fuerit, versus C in puncto Q, praeterea esto curva <lb></lb>AC eiusmodi, ut sumpto in ea quovis puncto F inter puncta A, C atque <lb></lb>per ipsum punctum F ductâ rectâ FG curvam ipsam tangente in F, <lb></lb>haec FG occurrat rectae BC productae, si opus fuerit versus O in <lb></lb>puncto G. Tum per F ducatur FH parallela ipsi BC, atque occurrens <lb></lb>basi AB in H: quanta est autem recta BG tanta sumatur HI, in recta <lb></lb>HF producta si opus fuerit versus F, et habebimus punctum I. Eodem <lb></lb>modo sumpto in curva AC quovis alio puncto L inter puncta A, C, <lb></lb>atque per ipsum punctum L ductâ rectâ LM curvam tangente in L <lb></lb>quae rectae BC productae, si opus fuerit, versus C occurrat in puncto <lb></lb>M, ducatur recta LN, et quanta est recta BM tanta sumatur NO, <lb></lb>in recta HL producta si opus fuerit, versus L, et habebimus aliud <lb></lb>punctum O. Quod si idem factum esse intelligatur per omnia cur<lb></lb>vae AC puncta, habebimus infinita puncta, continuè disposita C, I, <lb></lb>O, P et eae, per quae intelligi potest ducta esse alia quaepiam curva, <lb></lb>quae abibit in infinitum versus rectam AD, cum scilicet tangens AL <lb></lb>cum ipsa AD concidet: ipsius curva CIOP erit asimptotos, vel eadem <lb></lb>curva CIOP occurret rectae AD: quo casu ipsa eadem AD, ut in P po<lb></lb>sita AD aequalis ipsi BL, cum scilicet tangens AZ occurret altitudini <lb></lb>BC omni autem casu demonstratur spatium ABCIOPD, sive infinitè lon<lb></lb>gum sit versus P, sivè omninò finitum duplum esse trilinei propositi <lb></lb>ABC. Hinc ergo, si curva illa CIOP tota existat extra spatium ABC <lb></lb>trilinei patet fore, ut idem spatium ABC, trilineo ALFCIOPD aequale <lb></lb>existat, sive hoc infinitum sit versus P, sive finitum. </s><s>Iam manifestum <lb></lb>est curvam AC posse esse arcum circunferentiae circuli, vel ellipsis, vel <lb></lb>parabolae, vel hyperpolae, vel quadratricis, vel cissoidis, vel conchoidis, <lb></lb>vel helicis, vel Trochoidis, vel infinitarum aliarum curvarum, quae exco<lb></lb>gitari possunt: eundem autem arcum talem positionem habere posse, <lb></lb>ut recta AD ipsum tangat in A, et rectae BC parallela existat: quo <lb></lb>pacto spatium ipsum ALFCIOPD versus PD in infinitum semper abibit. </s><s><lb></lb>Potest quoque initio proponi non quidem trilineum quale est ABC, sed <lb></lb>bilineum ex recta AB et curva quapiam quae ad rectam BC eo modo <lb></lb>referatur, quo supra diximus habita tangentium ratione. </s></p> <p type="main"> <s>Sed quia dicendo circa hanc materiam, in infinitum abiremus; nos <lb></lb>autem huic epistolae jam supra modum prolixae finem tandem aliquem <lb></lb>imponere volumus: Ideo donec hortus hic fructus suos feret, si quos <pb pagenum="356"></pb>laudabiles gustus producere aptus est, interim ex ipso flores aliquot <lb></lb>deligamus, si tota curva CIOP extra trilineum ABC existat sumpto, <lb></lb>ut supra, in curva AC quocumque puncto L, per quod ducatur LR pa<lb></lb>rallela basi AB, atque occurrens altitudini BC in puncto R: tunc tri<lb></lb>lineum LRC trilineo LEO erit aequale simili modo ducta FS sub ijsdem <lb></lb>conditionibus, erit trilineum FSC aequale trilineo FCI, et quadrilaterum <lb></lb>LFSR aequale quadrilatero LFIO. Si curva AC fuerit parabola cuius <lb></lb>vertex C axis BC et ordinatim ad hanc diametrum applicatâ AB, tunc <lb></lb>curva CP occurrens rectae AD in P erit alia parabola ipsi AC aequalis; <lb></lb>et ducta recta PZ trilineum PCZ aequale erit trilineo ABC, sive tri<lb></lb>lineo ACP unde parallelogrammum AZ triplum erit spatij ABC, et hinc <lb></lb>habebitur parabolae quadratura modo ab alijs prorsus diverso. </s><s>Quae<lb></lb>cumque sit curva CIOP assignatur ex nostra methodo recta eandem <lb></lb>tangens in dato puncto puta in I, vel O, etc. </s><s>quadratrix quaecumque <lb></lb>vel cissois, ex utraque parte producta secundum leges suae descriptio<lb></lb>nis, abit in infinitum, habetque assymptotos invicem, atque axi paral<lb></lb>lelas, ex quibus quidem assimptotis atque ex ipsis curvis, et quacumque <lb></lb>tangente, fient spatia plana acuta in infinitum versus acumen abeuntia, <lb></lb>quae eodem modo quo supra dicta, demonstrantur spatiis planis finitis <lb></lb>undique circumscriptis esse aequalia. </s></p> <p type="main"> <s>Sed et ex nostro hortulo centrorum gravitatis hunc habe florem. </s><s><lb></lb>Si BDC semicircumferentia circuli intelligatur esse uniformiter gravis, <lb></lb>continuetur autem in utroque ipsius quadrante linea quadratrix BEC <lb></lb>quae per puncta BC eiusdem circumferentiae extrema transeat, ha<lb></lb>beatque idem cum ipsa centrum magnitudinis A atque eundem axem <lb></lb>AC tunc vertex C talis quadratricis BEC erit centrum gravitatis pro<lb></lb>positae semicircumferentiae BDE. Vale Vir clarissime. </s><s>Parisijs Kalen: <lb></lb>Januarii 1646. — <emph type="italics"></emph>Finis.<emph.end type="italics"></emph.end></s></p> <pb pagenum="357"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>166<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> TORRICELLI a MICHELANGELO RICCI <lb></lb>[in Roma].<lb></lb>Firenze, 10 febbraio 1646.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XL, c. 93-94 — Copia di L. Serenai).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Molto Ill.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> S.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> Pron.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> mio Col.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>La tanto promessa e da me tanto aspettata lettera di <lb></lb>Robervallio non è ancora comparsa. </s> <s><foreign lang="it">Se verrà, prometto a <lb></lb>V. S. di comunicargliela e gli do parola di non curarmi <lb></lb>punto di quanto ella sia per contenere. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Che i principii <lb></lb>della dottrina <emph type="italics"></emph>de motu<emph.end type="italics"></emph.end> siano veri o falsi a me importa <lb></lb>pochissimo. </foreign></s> <s>Poichè se non son veri, fingasi che sian veri <lb></lb>conforme habbiamo supposto, e poi prendansi tutte le altre <lb></lb>specolazioni derivate da essi principij, non come così miste, <lb></lb>ma pure Geometriche. </s><s>Io fingo o suppongo che qualche <lb></lb>corpo o punto si muova all'ingiù et all'insù con la <lb></lb>nota proporzione et horizzontalmente con moto equabile. </s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Quando questo sia io dico che seguirà tutto quello che <lb></lb>ha detto il Galileo, et io ancora. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Se poi le palle di piombo, <lb></lb>di ferro, di pietra non osservano quella supposta propor<lb></lb>zione, suo danno, noi diremo che non parliamo di esse. </foreign></s> <s><lb></lb>Ma lasciamo ciò da parte. </s><s>Quanto al veder le fasce in <lb></lb>Giove io non l'ho mai vedute, perchè non si vedono <lb></lb>sempre, e quando io ho hauto l'occasione di guardarlo (il <lb></lb>che è stato da quattro o sei volte dopo che son tornato <lb></lb>in Fiorenza), non si vedevano. </s><s>Del resto D. Bened.<emph type="sup"></emph>to<emph.end type="sup"></emph.end> l'ha <lb></lb>vedute in Roma in presenza mia già sono circa 14 anni <lb></lb>con occhiale mediocre. </s><s>Don Vinc.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> Renieri l'ha vedute già <lb></lb>sino fino a 6 anni con occhiale mediocre, et altri le ve<lb></lb>dono continuamente con occhiali che non sono perfetti. </s><s><lb></lb>Quanto al girarsi in sè, io lo tengo per certo senza ve<lb></lb>derne altro contrassegno. </s> <s><foreign lang="it">Ogni corpo lassù, intorno al <lb></lb>quale si girino altri corpi, V. S. dica pure che gira an- <pb pagenum="358"></pb>ch'esso, ma in tempo più breve che qualunque altro corpo <lb></lb>che gli si muova intorno, però io credo che si inganne<lb></lb>ranno coloro che pensano che Giove metta più giorni in <lb></lb>fare una revoluzione sola. </foreign></s> <s>Il Ser.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> G. Duca mi comandò <lb></lb>che io facessi un occhiale di 20 braccia, lo feci, cioè la<lb></lb>vorai un vetro di un palmo di diametro che andava lungo <lb></lb>24 passi andanti. </s> <s><foreign lang="it">S. A. lo faceva tenere in mano da un <lb></lb>huomo, e poi si allontanava finchè facesse il suo officio, <lb></lb>e con quel vetro solo senza altro vetro all'occhio vedeva <lb></lb>gli oggetti e chiari giusto come haverebbe fatto l'occhia<lb></lb>lone; ancorchè ciò si facesse in campagna nell'aria aperta <lb></lb>e luminosa e che il vetro si tenesse da un huomo a caso, <lb></lb>e non fermo bene. </foreign></s> <s>Questa sperienza l'ha replicata tante <lb></lb>volte che è stata veduta da chi non l'ha voluta vedere. </s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Ultimamente comandò che si facesse il cannone, e si <lb></lb>prese un abete di 23 braccia fiorentine e fu incavato male <lb></lb>e commesso peggio per la fretta. </foreign></s> <s>Poichè guar<lb></lb> <arrow.to.target n="fig654"></arrow.to.target><lb></lb>dando io dopo commesso veddi che la cavità in <lb></lb>cambio di esser conica circolare faceva questa <lb></lb>apparenza. </s> <s><foreign lang="it">La mattina che S. A. era per partire <lb></lb>alla volta di Pisa lo fece tirar su per le finestre nelle <lb></lb>sue camere, e vi mettemmo il vetro. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Fu guardato una <lb></lb>villa con infinita scomodità; non havevamo concavo pro<lb></lb>porzionato e trovammo che il vetro voleva sette braccia <lb></lb>più che l'abete di lunghezza. </foreign></s> <s>Così non si potè haver gusto. </s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Mi lasciò ordine S. A. che io facessi un altro vetro un <lb></lb>po' minore, e facessi accomodar meglio il cannone. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ho <lb></lb>già fatto il vetro, ma è riuscito pienissimo di tortiglioni. </foreign></s> <s><lb></lb>Voglio nondimeno che come torna lo trovi in ordine. </s><s><lb></lb>Quella mattina nondimeno se ben con infinita scomodità <lb></lb>vedevamo certi coppi con le macchie che vi erano su di <lb></lb>grandezza sterminata. </s> <s><foreign lang="it">Ho caro che V. S. habbia recuperato <lb></lb>quel danaro, quale si potrà rimandare al Mersenne quando <lb></lb>rimandi il nostro vetro. </foreign></s> <s>Quel Signor Eustachio horologiaio <lb></lb>è mio amico, è persona di molto buon gusto, discorso e <lb></lb>giudicio, e non dubito che sia per far bene. </s><s>Ma però che <lb></lb>sia per arrivar al segno che ho arrivato io non lo credo. </s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Della felicità e del gusto che V. S. haverà nel leggere gli <lb></lb>ampli volumi nuovi che sono per uscire alla luce, io la <pb pagenum="359"></pb>compatisco. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Rendo grazie cordialissime al S. Ant.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> della <lb></lb>memoria che conserva della mia servitù. </foreign></s> <s>E le bacio con <lb></lb>ossequio le mani. </s><s><lb></lb>Di Firenze 10 febb.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> 1646.<lb></lb> Di V. S. m.<emph type="sup"></emph>to<emph.end type="sup"></emph.end> Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>Dev.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> et oblig.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Ser.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb> Vang.<emph type="sup"></emph>ta<emph.end type="sup"></emph.end> Torricelli</s></p> <figure id="fig654"></figure> <p type="main"> <s>Al S. </s></p> <p type="main"> <s>Michel.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Ricci </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>167<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> TORRICELLI a VINCENZO RENIERI <lb></lb>in Pisa.<lb></lb>Firenze, 23 febbraio 1646.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XL, c. 1-2 — Autografa).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>M.<emph type="sup"></emph>to<emph.end type="sup"></emph.end> Rev. P.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> mio Sig. P.<emph type="sup"></emph>ron<emph.end type="sup"></emph.end> Col.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ho ricevuto dal Procaccio le dieci doppie, quali anderò <lb></lb>pagando allo stampatore ogni settimana secondo i fogli <lb></lb>che mi mostrerà stampati di nuovo, a ragione di Lire 10 <lb></lb>per foglio. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Il mio Cabeo adesso cioè la metà d'esso, sta <lb></lb>in mano del S. Doni. </foreign></s> <s>Se vedrò occasione opportuna, pro<lb></lb>curerò di servir V. P. alla quale bacio con ogni aff.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> le <lb></lb>mani. </s><s><lb></lb>Di Firenze 23 Febb.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> 1646.<lb></lb> Di V. P. m.<emph type="sup"></emph>to<emph.end type="sup"></emph.end> Rev.</s></p> <p type="main"> <s>Comincerò forse questa sera a pagare un foglio o due <lb></lb>al Massi. <lb></lb> Dev.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> et Obbl.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> S.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb> Vang.<emph type="sup"></emph>ta<emph.end type="sup"></emph.end> Torricelli</s></p> <p type="main"> <s><emph type="italics"></emph>Fuori:<emph.end type="italics"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Al m.<emph type="sup"></emph>to<emph.end type="sup"></emph.end> Rev. P.re mio Sig. <emph type="italics"></emph>P.ron Col.<emph.end type="italics"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Il P.r Don Vincenzo Renieri </s></p> <p type="main"> <s>Pisa. </s></p> <pb pagenum="360"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>168<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> [TORRICELLI a MICHELANGELO RICCI <lb></lb>in Roma].<lb></lb>Firenze, 17 marzo 1646.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XL, c. 104-105 — Copia di L. Serenai).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Finalmente ho ricevuto quella lettera del Roberval <lb></lb>che da tanto tempo in quà è stata promessa dal P. Mer<lb></lb>senne. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Si diffonde assai contro la dottrina del moto, ma <lb></lb>però non dice cosa alcuna che non si sapesse e dal Galileo, <lb></lb>e da me, et anco da gli altri, anzi egli mostra di non haver <lb></lb>letto il Galileo dove ne i discorsi che fa avanti la dottrina <lb></lb>de projetti accenna tutte le difficoltà, anzi molto più che <lb></lb>non fa il Roberval; se bene il Galileo dice d'haver osser<lb></lb>vato il fischio delle palle in principio più acuto, et in fine <lb></lb>più grave, e non dice d'haver misurato il tempo dell'a<lb></lb>scendere di una palla molto più breve che il tempo della <lb></lb>ricaduta. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Manda la proposta di un problema che gli piace assais<lb></lb>simo, è ben vero che ne trovai la dimostrazione avanti <lb></lb>che io tornassi a casa dopo haver havuto la lettera. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Lo <lb></lb>conferirò anco a V. S. Siano AB, BC ad <lb></lb> <arrow.to.target n="fig655"></arrow.to.target><lb></lb>angulos rectos, e sia la ADC qualunque <lb></lb>curva, pur che possa haver tangente e <lb></lb>però a qualunque punto D sia tangente <lb></lb>DE et alzisi FDG eguale alla BE così <lb></lb>haveremo il punto G cioè uno delli in<lb></lb>finiti per i quali passerà una linea curva <lb></lb>AGHI, la quale in molti casi può essere <lb></lb>asimptoto della CI et andar in infinito. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Ora lo spazio ICBAHI benchè longo in<lb></lb>finitamente è sempre doppio della figura <lb></lb>genitrice ABC. La mia dimostrazione <lb></lb>cammina all'usanza degli antichi, e non <lb></lb>adopero altro che una sola proposizione del p.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> libro di <pb pagenum="361"></pb>Euclide. </foreign></s> <s>Ho ricevuto la lettera questa settimana, voglio <lb></lb>però rispondergli subito per non tardar due anni come <lb></lb>hanno fatto essi, e non voglio risponder altro alle obiezioni <lb></lb>del moto. </s><s>Solo voglio accennargli un altro modo di andar <lb></lb>in infinito che pure è misurabile. </s></p> <figure id="fig655"></figure> <p type="main"> <s>Prima io dimostrai che infinite quantità in proporzione <lb></lb>Geometrica majoris inaequalitatis sono misurabili. </s> <s><foreign lang="it">Poi mo<lb></lb>strai che un solido infinitamente lungo era misurabile; e <lb></lb>sapevo che descrivendosi una figura piana le cui linee an<lb></lb>dassero continuamente decrescendo come i circoli del pre<lb></lb>detto solido, anco quella era misurabile onde l'invenzione <lb></lb>del piano infinitamente lungo perde assai dopo pubblicata <lb></lb>quella del solido. </foreign></s> <s>Quello che ora voglio accennare è questo. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Se una linea retta stando fermo un suo estremo anderà <lb></lb>girandosi con velocità sempre eguale; e nel medesimo <lb></lb>tempo si muova per essa linea un punto con tal legge che <lb></lb>in tempi eguali passi spazii continuamente proporzionali, <lb></lb>descriverà una curva, che si può chiamare spirale Geome<lb></lb>trica. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Deve però il punto non partirsi dal centro, ma da <lb></lb>qualunque altro luogo di mezzo della linea, e movendosi <lb></lb>verso il centro dovrà andar passando spazii sempre minori; <lb></lb>e movendosi per l'opposito passerà spazij sempre maggiori. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>La descrizione mechanica si può fare così. </s> <s><foreign lang="it">Posta una <lb></lb>retta AC divisa utcumque <lb></lb> <arrow.to.target n="fig656"></arrow.to.target><lb></lb>in B, alzisi la perpendico<lb></lb>lare BD media proporzio<lb></lb>nale fra AB, BC, et havre<lb></lb>mo tre punti della spirale. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Dopo dividasi per mezzo <lb></lb>l'angolo ABD dalla EB, e <lb></lb>sia EB media fra le AB, <lb></lb>BD, et havremo il punto <lb></lb>E, e se di nuovo divide<lb></lb>remo per mezzo l'angolo <lb></lb>ABE, e porremo la BF media fra le AB, BE, havremo il <lb></lb>punto F et sic de singulis. </foreign></s> </p> <figure id="fig656"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Quel che è mirabile in queste spirali è che se sarà <lb></lb>centro di essa C e sia preso qualunque arco AD, se centro C <lb></lb>intervallo CD faremo l'arco di cerchio BD, e tireremo due <pb pagenum="362"></pb>tangenti BE al cerchio, et AE <lb></lb> <arrow.to.target n="fig657"></arrow.to.target><lb></lb>alla spirale, la retta AE sarà <lb></lb>eguale alla curva AD, e questo <lb></lb>sempre sin tanto che dal cen<lb></lb>tro C cretta la perpendicolare <lb></lb>CH, che seghi la tangente AH <lb></lb>in H, sarà la AH eguale a tutta <lb></lb>la linea spirale, non ostante <lb></lb>che queste spirali prima che <lb></lb>arrivino al centro C devino <lb></lb>necessariamente fare intorno <lb></lb>ad esso infinite revoluzioni. </foreign></s> <s>Vi <lb></lb>è di più che anche lo spazio è <lb></lb>misurabile benchè sia composto di un aggregato di infinite <lb></lb>revoluzioni. </s> <s><foreign lang="it">Poichè preso qualunque settore della spirale <lb></lb> <arrow.to.target n="fig658"></arrow.to.target><lb></lb>che sia CAB sarà come la differenza tra BA, CA alla BA, <lb></lb>così il settore BAC a tutto lo spazio della spirale benchè <lb></lb>composto d'infinite revoluzioni sopraposte. </foreign></s> </p> <figure id="fig657"></figure> <figure id="fig658"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ho ricevuto anco in questa settimana il foglietto in<lb></lb>cluso mandatomi dal P. Mersenne per un'altra mia, acciò <lb></lb>io lo veda e lo faccia veder <lb></lb> <arrow.to.target n="fig659"></arrow.to.target><lb></lb>da altri, et avvisi il parere. </foreign></s> <s><lb></lb>Quanto a me non voglio av<lb></lb>visar altro. </s> <s><foreign lang="it">Lo farò ben ve<lb></lb>dere, e non so a chi mostrarlo <lb></lb>che possa giudicarlo con mag<lb></lb>gior fondamento che V. S. <lb></lb>Mi è solo parso che per pro<lb></lb>vare quod tangens arcus sub<lb></lb>dupli minor sit quam subdupla tangentis praedicti arcus <lb></lb>dupli, bastava accennar la terza del 6.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> di Euclide, poichè <lb></lb>come CA ad AB così CD alla DB senza calcoli, etc. </foreign></s> <s>Fi<lb></lb>renze 17 Marzo 1646. </s></p> <pb pagenum="363"></pb> <figure id="fig659"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>169<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> TORRICELLI a [BONAVENTURA CAVALIERI <lb></lb>in Bologna].<lb></lb>Firenze, 23 marzo 1646.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XL, c. 129-130 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>M.<emph type="sup"></emph>to<emph.end type="sup"></emph.end> Rev. P.re mio Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> P.ron Col.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Il Roberval Mattematico Franzese m'ha scritto in que<lb></lb>sta mattina con propormi un suo problema ad imitazione <lb></lb>dei mio solido infinitamente lungo. </s><s>Mi successe di trovar <lb></lb>la dimostrazione subito e n'ho preparato un'altro, pur <lb></lb>nell'istesso genere da proporre a lui. </s> <s><foreign lang="it">Avviserò l'uno e <lb></lb>l'altro a V. P.<emph type="sup"></emph>à<emph.end type="sup"></emph.end> per dargli parte de' studi altrui, non già <lb></lb>de' miei; poichè nella soluzione del propostomi non ho <lb></lb>specolato punto e nell'invenzione del mio non ho faticato <lb></lb>niente adesso, essendo più d'un anno che l'avevo digerita. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Dice il Roberval: siano ad angoli retti AB, BC, e sia <lb></lb>ADC qualunque linea, o circolare, o parabolica, o iperbo<lb></lb>lica, o ellittica o conoide, o quadratrice, o cicloide, o qua<lb></lb>lunque altra regolare o irregolare, che abbia la cima in <lb></lb>A, overo in C, overo altrove. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Prendasi in <lb></lb> <arrow.to.target n="fig660"></arrow.to.target><lb></lb>essa curva qualunque punto D, et sia tan<lb></lb>gente DE, et alla BE sia eguale, e paral<lb></lb>lela la GF. Avremo il punto F per il quale <lb></lb>passerà la nuova linea AFI, et sic de reli<lb></lb>quis punctis lineae AFI. Ora la linea AFI <lb></lb>può molte volte essere asintoto con la CO, <lb></lb>e questo sarà ogni volta che la CO sarà <lb></lb>tangente alla ADC. Il problema è, che la <lb></lb>figura CDAFIP o finita, o infinita, che sia <lb></lb>di lunghezza, è sempre uguale alla sua <lb></lb>figura genitrice ABCD. Il mio problema è <lb></lb>d'alcune spirali geometriche già che quelle <lb></lb>d'Archimede sono aritmetiche, e la definizione può darsi <lb></lb>in più d'un modo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Se la linea ABC stando fermo il punto <pb pagenum="364"></pb>estremo A si muoverà ingiro con moto sempre egualmente <lb></lb>veloce, e nell'istesso tempo il punto B (preso in qualunque <lb></lb>luogo della linea girante, purchè non sia l'estremo A) <lb></lb>anderà movendosi su la linea girante con questa legge, che <lb></lb>in tempi uguali passi spazi continuamente proporzionali, <lb></lb>verrà descritta una curva, che chiameremo spirale Geo<lb></lb>metrica. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Deve, però il punto B se si muove verso il cen<lb></lb>tro A passar spazi sempre minori, ma movendosi verso C <lb></lb>sempre maggiori. </foreign></s> </p> <figure id="fig660"></figure> <p type="main"> <s>La descrizione per punti può aversi così. </s> <s><foreign lang="it">Voglio, che <lb></lb>sia centro A, e che la linea passi <lb></lb> <arrow.to.target n="fig661"></arrow.to.target><lb></lb>per D, et H. Alzo la perpendi<lb></lb>colare AB, che sia media tra <lb></lb>AD, et AH, et ho il terzo punto <lb></lb>B, sego l'angolo BAH per mezzo <lb></lb>con la AI, et fo che la AI sia <lb></lb>media tra BA, AH, et ho il punto <lb></lb>I, sego per mezzo l'angolo BAI <lb></lb>con la AL, et fo, che AL sia <lb></lb>media tra BA, AI. </foreign></s> </p> <figure id="fig661"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">È manifesto, che questa cur<lb></lb>va, o non giungerà mai al cen<lb></lb>tro A, o se vi giunge, avrà <lb></lb>prima fatto infinite revoluzioni intorno d'esso, si prova, <lb></lb>che qualunque arco di essa come DF è eguale alla retta <lb></lb>DG; se però la DG sarà tangente della spirale, e la EG <lb></lb>tangente dell'arco di cerchio, che passando per F abbia <lb></lb>centro in A. Ma tutta la curva spirale benchè sia composta <lb></lb>d'infinite revoluzioni, nulladimeno è uguale alla sua tan<lb></lb>gente DC purchè la AC s'alzi dal centro perpendicolare <lb></lb>alla AD. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Lo spazio ancora benchè com<lb></lb> <arrow.to.target n="fig662"></arrow.to.target><lb></lb>posto d'infinite revoluzioni soprapo<lb></lb>ste non è infinito, ma terminato, e <lb></lb>misurabile. </s></p> <figure id="fig662"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Supplico V. P.<emph type="sup"></emph>à<emph.end type="sup"></emph.end>, se però ella se <lb></lb>ne ricorda, a voler farmi grazia <lb></lb>d'avvisarmi, se quel Padre Gesuita <lb></lb>della Centrobarica dimostri geometricamente che facen- <pb pagenum="365"></pb>dosi, come l'arco di cerchio ABC alla sua corda AC, così <lb></lb>il semidiametro BD alla DE il punto E sia centro del<lb></lb>l'arco ABC. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Mi pare che V. P.<emph type="sup"></emph>à<emph.end type="sup"></emph.end> mi scrivesse, che egli diceva que<lb></lb>sto Teorema, ma non mi ricordo, s'ella mi dicesse, se egli <lb></lb>lo dimostrava, overo lo supponeva. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>E la reverisco con affetto, pregandole felicissime le <lb></lb>sante Feste di Pasqua. </s><s><lb></lb>Firenze 23 Marzo <emph type="italics"></emph>1646.<emph.end type="italics"></emph.end><lb></lb> Dev.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> et Obbl.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Ser.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb> Vangelista Torricelli</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>170<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> TORRICELLI a [BONAVENTURA CAVALIERI <lb></lb>in Bologna].<lb></lb>Firenze, 7 aprile 1646.<lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XL, c. 131-132 — Copia moderna). </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Sul margine sinistro della carta 131 dello stesso codice “ Discepoli di Galileo, <lb></lb>T. XLI, ecc. ’ si legge la nota; <emph type="italics"></emph>si levi il nome del Guldini quando si stampi.<emph.end type="italics"></emph.end><gap desc="/SM"></gap></foreign></s> </p> <p type="main"> <s>M.<emph type="sup"></emph>to<emph.end type="sup"></emph.end> Rev.<emph type="sup"></emph>do<emph.end type="sup"></emph.end> P.re mio Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> P.rone Col.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">A posta domandai a V. P.<emph type="sup"></emph>à<emph.end type="sup"></emph.end> se il Guldini dimostrava <lb></lb>quella proprietà dell'arco per poter rispondere a Monsù <lb></lb>Roberval. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Mi dispiace, che il Guldini la dimostri, perchè <lb></lb>ancor io avevo, già son quattro anni, quella dimostrazione. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Io provai, che facendosi, come tutti <lb></lb> <arrow.to.target n="fig663"></arrow.to.target><lb></lb>i lati eguali A, E, F, G, B, H, I, L, C <lb></lb>a due terzi della corda AC, così la <lb></lb>retta BD ad aliam sumendam ex <lb></lb>centro, il termine della presa sarebbe <lb></lb>centro di gravità della figura retti<lb></lb>linea DABC. Ma facendosi, come i <lb></lb>suddetti lati eguali alla corda AC, <lb></lb>così la BD ad aliam sumendam ex centro, il termine sa- <pb pagenum="366"></pb>rebbe stato centro di tutte le rette A, E, F, G, H, I, L, C. <lb></lb>Dalla prima inferivo il centro del settore more veterum. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Dalla seconda inferivo il centro dell'arco prima, e poi il <lb></lb>centro del settore per indivisibili; ma le dimostrazioni, <lb></lb>con le quali applico il lemma son tanto acute, che non <lb></lb>pensavo che il Guldini vi fusse potuto arrivare. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Già che <lb></lb>V. P.<emph type="sup"></emph>à<emph.end type="sup"></emph.end> ha inteso il mio mezzo termine, la supplico ad inco<lb></lb>modarsi di nuovo, et avvisarmi, se và per questa strada. </foreign></s> </p> <figure id="fig663"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Quando nella lettera di V. P.<emph type="sup"></emph>à<emph.end type="sup"></emph.end> viddi, ch'ella trattava <lb></lb>di quei centri di gravità intorno a quel suo solido, ebbi <lb></lb>paura, che ella mi avesse scoperto una passione, che io <lb></lb>trovai. </foreign></s> <s>Ora perchè ella non abbia a trovarla io la dirò. </s> <s><foreign lang="it">Il <lb></lb>centro della gravità in tutte le figure piane, o solide <lb></lb>(purchè abbiano, o l'asse, o il diametro) sega sempre o <lb></lb>l'asse, o diametro, che sia con la medesima regola. </foreign></s> <s><foreign lang="it">La <lb></lb>Natura non è così ricca d'invenzioni, come a noi sembra <lb></lb>per la nostra propria debolezza. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ella non bada, che la <lb></lb>proporzione delle parti del diametro in alcune figure sia <lb></lb>dupla, in altre tripla, in altre sesquialtera, come 5 a 3, <lb></lb>come 7 a 5 e tante altre sorti di proporzioni anche incom<lb></lb>mensurabili. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Questi sono corollarj, ma il Teorema univer<lb></lb>sale non so, se sia sovvenuto ancora a nessuno, anzi credo, <lb></lb>che nessuno abbia mai pensato, che vi possa essere; e <lb></lb>pure v'è ed è tale. </foreign></s> <s>Centrum gravitatis ita secat axem sive <lb></lb>diametrum tam in planis, quam in solidis figuris, ut pars <lb></lb>versus verticem sit ad reliquam ut sunt omnes ductus <lb></lb>applicatarum in omnes diametri portiones versus verticem <lb></lb>abscissas ad omnes ductus eorumdem applicatarum in re<lb></lb>liquas diametri portiones. </s><s>Ella vede, che quelli <emph type="italics"></emph>ductus<emph.end type="italics"></emph.end> in <lb></lb>figure piane saranno rettangoli, in solide poi saranno so<lb></lb>lidi. </s> <s><foreign lang="it">Ella conoscerà subito che questo è un corollario della <lb></lb>dimostrazione, ch'io gli mandai intorno al solido segato <lb></lb>per traverso con un piano che passi per extremas ap<lb></lb>plicatas. </foreign></s> <s>Nulladimeno io v'ho trovato una dimostrazione <lb></lb>a posta ed è tale. </s></p> <p type="main"> <s>Esto quaelibet figura plana ABCD, cujus diameter CA, <lb></lb>centrum vero gravitatis sit E. Dico CE ad EA esse ut <lb></lb>omnia rectangula sub applicatis, et portionibus diametri <lb></lb>versus verticem abscissis, quorum unum est DIC ad omnia <pb pagenum="367"></pb>rectangula sub iisdem applicatis, et reliquis diametri por<lb></lb>tionibus quorum unum est DIA. </s></p> <figure></figure> <p type="main"> <s>Ponatur enim figura CFGH similis, aequalis, et simi<lb></lb>liter conversa sintque diametri in directum, et sit centrum <lb></lb>figurae CFGH punctum O. Tum suspendatur libra ex <lb></lb>puncto C, sive aequiponderet, sive non. </s><s>Applicatis deinde <lb></lb>lineis homologis DI, HL, erit momentum lineae DI ad mo<lb></lb>mentum lineae HL ut, rectangulum DIC ad rectangulum <lb></lb>HLC, et hoc semper: ergo collectim totum momentum <lb></lb>figurae ABCD ad totum momentum figurae CFGH erit <lb></lb>ut omnia rectangula, quorum unum est DIC ad omnia <lb></lb>rectangula quorum unum est HLC. Sed etiam CE, et CO <lb></lb>sunt ut momenta figurarum; ergo CE ad CO, sive ad <lb></lb>aequalem EA, erit ut omnia rectangula, quorum unum <lb></lb>DIC ad omnia rectangula, quorum unum HLC, sive DIA, <lb></lb>quod etc. </s> <s><foreign lang="it">Nelle figure solide basta mutar nome all'appli<lb></lb>cato, che non è linea, ma piano, et però anco il rettangolo <lb></lb>si muterà in solido. </foreign></s> <s><foreign lang="it">L'istessa proposizione abbraccia il <lb></lb>centro anche delle linee, e delle superficie, ma in cambio <lb></lb>delle porzioni del diametro si adoperano le tangenti. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Sup<lb></lb>plico V. P.<emph type="sup"></emph>à<emph.end type="sup"></emph.end> a non conferir la dimostrazione con alcuno, <lb></lb>perchè proposi il Teorema agli amici di Roma, e forse <lb></lb>lo proporrò in Francia, e non l'ho conferita se non a <lb></lb>V. P.<emph type="sup"></emph>à<emph.end type="sup"></emph.end> alla quale faccio reverenza. </foreign></s> <s><lb></lb>Firenze 7 Aprile <emph type="italics"></emph>1646.<emph.end type="italics"></emph.end><lb></lb> Di V. P.<emph type="sup"></emph>à<emph.end type="sup"></emph.end> M. R.<emph type="sup"></emph>da<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb> Evangelista Torricelli</s></p> <pb pagenum="368"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>171<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> [TORRICELLI a MICHELANGELO RICCI <lb></lb>in Roma].<lb></lb>Firenze, 7 aprile 1646.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XL, c. 109-110 — Copia di L. Serenai).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Lodo poi sommamente la sua perspicacia che ha vo<lb></lb>luto specolar anco intorno alle spirali, et ha voluto col <lb></lb>prevenirmi nello scrivere far sua propria l'invenzione che <lb></lb>ella accenna circa la misura dello spazio. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ella saprà che fin <lb></lb>da che il P. Mersenne era in Italia io mi posi à pensar <lb></lb>alle spirali, et in quelle appunto che V. S. definisce, trovai <lb></lb>che non solo la prima linea spirale, che io chiamo aritme<lb></lb>tica di Archimede è eguale ad una curva parabolica qua<lb></lb>dratica, ma trovai che qualunque altra parabolica d'altra <lb></lb>dignità era eguale ad un'altra spirale. </foreign></s> <s>Allora cercai se <lb></lb>alcuna di esse si poteva mostrar uguale a linee rette ma <lb></lb>indarno, e mi convenne definirne una specie a mio modo. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Quanto alla misura degli spazij che V. S. accenna è <lb></lb>la prima cosa che si vegga dopo che uno ha notizia delle <lb></lb>parabole, così anco del segamento fatto dalle tangenti <lb></lb>che tagliano linee rette con certa proporzione verso gli <lb></lb>archi degli angoli trascorsi. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ma passando ad altro per non esser prevenuto in una <lb></lb>osservazioncella che feci un pezzo fa gli dirò che i centri <lb></lb>di gravità tanto delle figure piane habbiano diametro, <lb></lb>quanto delle solide che habbiano asse, tutte segano il dia<lb></lb>metro overo asse coll'istessa regola. </foreign></s> <s><foreign lang="it">La natura non è così <lb></lb>feconda d'invenzioni come a noi sembra per la nostra cecità. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>La natura non bada che la proporzione delle parti del <lb></lb>diametro ò asse in alcune figure sia dupla, in altre tripla, <lb></lb>in altre sesquialtera, in altre come 5 a 3, in altre come 7 <lb></lb>a 5, e tante altre sorti di proporzioni anche incommensu<lb></lb>rabili. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Questi sono corollarij, ma il teorema universale non <lb></lb>so che sia sovvenuto ancora a nessuno, anzi credo che <pb pagenum="369"></pb>nessuno abbia mai pensato che vi possa essere. </foreign></s> <s>Ora io dirò <lb></lb>a V. S. che pars diametri versus verticem ad partem versus <lb></lb>basim est ut sunt omnes ductus applicatos in omnes dia<lb></lb>metri portiones versus verticem abscissas ad omnes ductus <lb></lb>eorumdem applicatarum in reliquas diametri portiones. </s><s>Sò <lb></lb>che V. S. vede subito che quelli <emph type="italics"></emph>ductus<emph.end type="italics"></emph.end> in figure piane <lb></lb>saranno rettangoli, et in solide saranno solidi. </s> <s><foreign lang="it">Anco il <lb></lb>centro delle linee, e quello delle superficie de' corpi ro<lb></lb>tondi o girati circa axem cadono sotto una regola alquanto <lb></lb>diversa, poichè nelle linee che siano segate dalla saetta <lb></lb>in parti uguali congruenti, et ad angoli uguali, il centro <lb></lb>sega il diametro di tal maniera ut pars ad verticem sit <lb></lb>ad reliquam ut sunt omnes tangentes ab ipsa linea usque <lb></lb>ad extremum applicatum per verticem productae ad omnes <lb></lb>tangentes ab eadem linea usque ad alterum extremum <lb></lb>applicatum productas. </foreign></s> <s>Nelle superficie poi fatte dalle pre<lb></lb>dette linee girate intorno alla saetta, la proporzione è <lb></lb>come tutti i rettangoli delle applicate, e delle prime pre<lb></lb>dette tangenti, a tutti i rettangoli delle applicate e delle <lb></lb>2.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> predette tangenti. </s><s>Supplico V. S. a far parte a co<lb></lb>testi Sig.<emph type="sup"></emph>i<emph.end type="sup"></emph.end> miei P.roni di queste baie, acciò io non habbia <lb></lb>a rinnovar la fatica con copiare le medesime seccaggini più <lb></lb>volte. </s> <s><foreign lang="it">La dimostrazione della prima proposta l'ho in due <lb></lb>modi, una è un corollario d'un'altra mia bagattella, e que<lb></lb>sta non la stimo, l'altra è una dimostrazione a posta che <lb></lb>non mi dispiace. </foreign></s> <s>L'altre due proposte che non sono di tanto <lb></lb>momento hanno la loro dimostrazione pochissimo diversa. </s><s><lb></lb>Firenze 7 aprile 1646. </s></p> <pb pagenum="370"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>172<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> TORRICELLI a [BONAVENTURA CAVALIERI <lb></lb>in Bologna].<lb></lb>Firenze, 21 e poi 28 aprile 1646.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XL, c. 133-135 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>M.<emph type="sup"></emph>to<emph.end type="sup"></emph.end> Rev.<emph type="sup"></emph>do<emph.end type="sup"></emph.end> P.re mio Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> P.rone Col.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Rendo infinite grazie a V. P.<emph type="sup"></emph>à<emph.end type="sup"></emph.end>, che in cambio di darmi <lb></lb>solo un poco di ragguaglio intorno a i mezzi d'una di<lb></lb>mostrazione sola, si è compiaciuta di mandarmi tutto il <lb></lb>Libro del Guldini, quale procurerò di recuperare quanto <lb></lb>prima. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Circa quel lemma 18 da me posto nel libretto della <lb></lb>parabola, io pretendo, che ogni ordine di quelle magnitu<lb></lb>dini sia di numero finito, cioè ciascuno contenga quattro, <lb></lb>overo sci termini e non più. </foreign></s> <s><foreign lang="it">E poi fo la dimostrazione, <lb></lb>e provo, che tutto il primo ordine a tutto il secondo sia <lb></lb>come tutto il terzo a tutto il quarto. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Provato questo sa<lb></lb>ranno anche quegli ordini proporzionali sempre, purchè ad <lb></lb>ogni termine, ch'io prenderò ne sia uno corrispondente <lb></lb>ad esso da potersi prendere nel secondo ordine, et uno <lb></lb>parimente nel terzo, et uno finalmente nel quarto; o siano <lb></lb>di numero finito, overo infinito. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Così quella obiezzione <lb></lb>d'infinite grandezze paragonate ad una sola non mi si <lb></lb>può fare (ancorchè nel libro non mi fussi dichiarato bene) <lb></lb>perchè non ho mai avuto quella intenzione, ma ho solo <lb></lb>preteso di far la dimostrazione, delle grandezze finite di <lb></lb>numero, purchè tutti quattro gli ordini contengano egual <lb></lb>numero di termini. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Provato questo mi par concedibile, <lb></lb>che il numero si possa considerare ampliato fino all'infi<lb></lb>nito, che sempre camminerà con proporzionalità, omai <lb></lb>verranno termini con i quali possa subentrare la propor<lb></lb>zionalità. </foreign></s> <s>Confesso che è cosa difficile, e che a questa, et <lb></lb>altre, non mancheranno contradittori purchè abbiamo vo- <pb pagenum="371"></pb>glia di oppugnare. </s> <s><foreign lang="it">Credo, che quella proposizione, che <lb></lb>V. P.<emph type="sup"></emph>à<emph.end type="sup"></emph.end> accenna della sua Geometria supirà ogni cosa, e <lb></lb>la vedrò; adesso non ho tempo. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Quanto al trovar la proporzione di quelli <emph type="italics"></emph>omnes ductus<emph.end type="italics"></emph.end><lb></lb>ad omnes ductus io non vi ho nulla, e non ho cercato <lb></lb>altro stimandola assai intrigata materia. </s> <s><foreign lang="it">Solo mi basta di <lb></lb>aver trovato il semplice Teorema, e l'unica legge del <lb></lb>centro di gravità. </foreign></s> <s>Quanto al modo di adoprar quelle tan<lb></lb>genti, lo dirò come posso, non avendo per ancora veduto <lb></lb>se non la verità, ma non anco pensato punto al modo di <lb></lb>portar la materia e metterla in carta. </s></p> <p type="main"> <s>Se saranno ACD, OGH <lb></lb> <arrow.to.target n="fig664"></arrow.to.target><lb></lb>le due linee simili eguali <lb></lb>come nell'altra dimostra<lb></lb>zione mandatole. </s> <s><foreign lang="it">Prendasi <lb></lb>due punti omologhi B et F. <lb></lb>Avrà il momento di B al <lb></lb>momento di F proporzione <lb></lb>composta della proporzione <lb></lb>della qualità, o quantità, o spezie del punto B a quella <lb></lb>del punto F, e della distanza IC alla distanza CL. Dunque <lb></lb>il momento di B a quello di F, sta come la tangente BE <lb></lb>alla VF, overo alla BP, et sic de singulis. </foreign></s> </p> <figure id="fig664"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Se poi sieno superficie; il circolo del punto B a quello <lb></lb>del punto F avrà la proporzione composta dalla distanza <lb></lb>IC alla CL, e del giro al giro, overo della BI alla FL, e <lb></lb>della spezie alla spezie overo larghezza. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Si ridurrà dunque <lb></lb>il momento del circolo B a quello di F ad essere come <lb></lb>il rettangolo IBE al rettangolo LFV, overo al rettangolo <lb></lb>IBP, et sic etc. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Confesso, che sono portati oscurissimamente, e che vi <lb></lb>saranno grandissimi passi da spianarsi, ma per ora non è <lb></lb>possibile ch'io sappia dir più, volendovi anco una lun<lb></lb>ghezza molto prolissa. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Quanto al centro di quei solidi, che ella diceva io gli <lb></lb>sò, ma dipendono da quelle dimostrazioni, ch'io feci già, <lb></lb>mentre mostrai la proporzione del cilindro al conoide di <lb></lb>qualsivoglia parabola, perchè da quella dimostrazione si <lb></lb>deduce la proporzione dei due frusti del solido di V. P.<emph type="sup"></emph>à<emph.end type="sup"></emph.end>, e <pb pagenum="372"></pb>sapendo questa, sò dove è il centro delle due semiparabole <lb></lb>e per conseguenza il centro di quei tali solidi. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Se ella <lb></lb>forse desiderava questo centro per aver la dimostrazione <lb></lb>di quei conoidi, non la posso servire, perchè io gli dovrei <lb></lb>dire prima dei Conoidi, e poi del centro desiderato. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Le <lb></lb>conclusioni non mi si ricordano, ma se ella comanderà, <lb></lb>cercherò fra i miei fogliacci, e troverò la proporzione in <lb></lb>universale di tutti quei solidi nati da qualunque parabola. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Dopo scritto fin quì, ho ricevuto il libro del Guldini, <lb></lb>e scartabellato quasi tutto. </foreign></s> <s>Ho veduto, che adopra i me<lb></lb>desimi mezzi, che adopro anch'io per quei centri; ma Dio <lb></lb>sa con quanta confusione, e stento. </s> <s><foreign lang="it">In somma io gli pro<lb></lb>nunzio, che il Padre Guldino, per quanto si può argomentar <lb></lb>da questo libro, è stato un bue. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ho anco fatto riflessione di nuovo sopra quei solidi so<lb></lb>pradetti, de' quali V. P.<emph type="sup"></emph>à<emph.end type="sup"></emph.end> desiderava i centri, et ho veduto, <lb></lb>ch'io non gli sò, e che dalle mie cose delle parabole non <lb></lb>possono altrimenti derivarsi. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Quel Teorema di quelli omnes <lb></lb>ductus è fatto per Teorema per mostrar come stà il centro <lb></lb>in ogni figura; se poi da esso non se ne possono dedurre <lb></lb>corollarj per debolezza del nostro ingegno, pazienza. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Voglio soggiungere una quadratura di certa Hiperbola <lb></lb>bastarda, ch'io trovai già una volta. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Se sarà una iperbole ABC di tal <lb></lb> <arrow.to.target n="fig665"></arrow.to.target><lb></lb>sorte, che tutti i cilindri CE, AE et fra <lb></lb>essa, e gli asintoti FE, ED siano fra di <lb></lb>loro uguali, la quadreremo così. </foreign></s> </p> <figure id="fig665"></figure> <p type="main"> <s>Erit ut recta FE ad ED (hoc est, <lb></lb>ut maxima Cylindrorum diameter ad <lb></lb>maximam eorumdem altitudinem) ita <lb></lb>quadratum FI (nempe quadratum dif<lb></lb>ferentiae inter extremas diametros) ad triangulum AHC, <lb></lb>una cum hyperbola ABC simul sunpta. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ma lo spazio del triangolo AHC per essere rettilineo <lb></lb>è noto: dunque anco l'Iperbola sarà nota. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Questa Iper<lb></lb>bola va in infinito da ambe le parti; e da una parte sola<lb></lb>mente ha proprietà del mio solido iperbolico, cioè la <lb></lb>figura piana tagliata infinitamente longa, è eguale al pa<lb></lb>rallelogrammo, che è tra essa figura, et il punto E su la <pb pagenum="373"></pb>medesima base della figura. </foreign></s> <s>E quì senza più ciarle reve<lb></lb>risco V. P.<emph type="sup"></emph>à<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb> Di V. P.<emph type="sup"></emph>à<emph.end type="sup"></emph.end> M. Rev.<emph type="sup"></emph>da<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>Di Fiorenza 21 e poi 28 Aprile <emph type="italics"></emph>1646.<emph.end type="italics"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">La supplico a darmi avviso, chi sia un tale Artemiso <lb></lb>Tebano, se mal non mi ricordo, il quale m'ha mandato <lb></lb>un Lunario in un Libretto, e vorrei rispondergli. <lb></lb> Dev.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> et Obbl.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Ser.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb> Evangelista Torricelli</foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>173<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> TORRICELLI a [BONAVENTURA CAVALIERI <lb></lb>in Bologna].<lb></lb>Firenze, 5 maggio 1646.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XL, c. 136-137 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>M.<emph type="sup"></emph>to<emph.end type="sup"></emph.end> R.<emph type="sup"></emph>do<emph.end type="sup"></emph.end> P.re mio Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> P.ron Col.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Supplico V. P.<emph type="sup"></emph>à<emph.end type="sup"></emph.end> a voler far recapitare l'inclusa al <lb></lb>Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> Artemiso Tebano, già che così m'ha scritto. </s> <s><foreign lang="it">Jo poi <lb></lb>sono stato astretto a dispensarmi per <lb></lb> <arrow.to.target n="fig666"></arrow.to.target><lb></lb>un poco dal voto di non istudiare. </foreign></s> <s><lb></lb>Quelle Iperbole m'hanno tirato per <lb></lb>forza. </s><s>Ho trovato la quadratura di <lb></lb>tutte, i solidi, e le tangenti. </s></p> <figure id="fig666"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Sia per esempio il biquadrato AB <lb></lb>al biquadrato BC, come il cubo DB al <lb></lb>cubo BE, e questo sempre. </foreign></s> <s>Io mostro, <lb></lb>che la figura DGFB infinitamente <lb></lb>lunga alla figura GFC infinitamente <lb></lb>lunga stà come l'esponente maggiore al minore, cioè, come <lb></lb>4 a 3. Volendosi poi la tangente al punto H, si fà, che la <lb></lb>IE alla EB sia come l'esponente 4 all'esponente 3. I solidi <lb></lb>osserveranno le Proporzioni medesime che osservano al- <pb pagenum="374"></pb>cune d'esse Iperbole. </s> <s><foreign lang="it">Ho anco trovato per via Geometrica <lb></lb>purissima, parte senza indivisibili e parte con indivisibili, <lb></lb>ma senza Algebra, quel lemma universalissimo, che del <lb></lb>parallelogrammo, e del triangolo, tutte le linee sono duple <lb></lb>delle linee, ma i quadrati tripli, i cubi quadrupli, et sic in <lb></lb>infinitum. </foreign></s> <s><foreign lang="it">E nel medesimo tempo trovo con la sua vera <lb></lb>dimostrazione, che volendo segar una linea, overo un nu<lb></lb>mero di maniera tale, che il prodotto delle dignità delle <lb></lb>parti, sia il massimo, bisogna che le parti abbiamo la pro<lb></lb>porzione degli esponenti. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Questa dimostrazione fu da me <lb></lb>trovata un tempo fa, ma solamente nel caso quando gli <lb></lb>esponenti erano in ratione multiplici. </foreign></s> <s>Ora l'ho trovata <lb></lb>universalissima, e tutte le suddette cose senz'Algebra: <lb></lb>anzi (come ella forse un giorno vedrà) tutte le suddette <lb></lb>cose, siccome anco la dottrina delle infinite parabole sono <lb></lb>una cosa medesima, ma difficilissima a darvi dentro. </s></p> <p type="main"> <s>Parerà, che da quel primo Teorema da me accennato <lb></lb>seguiti la quadratura dell'Iperbola vulgata, ma non è vero. </s><s><lb></lb>Dunque, potrebbe uno argumentare esservi paralogismo, <lb></lb>e ne anche questo è vero. </s> <s><foreign lang="it">La conclu<lb></lb> <arrow.to.target n="fig667"></arrow.to.target><lb></lb>sione è questa; che la ABCD alla <lb></lb>BCE sia come uno ad uno, il che è <lb></lb>vero; poichè ambedue sono infinite, <lb></lb>non solo di lunghezza ma di quantità, <lb></lb>o di spazio, e però non si può con<lb></lb>cluder nulla della proporzione, che ha <lb></lb>ABED alla rimanente, essendo quella <lb></lb>infinita, e questa finita, onde avviene, <lb></lb>che BCE viene ad essere, ut unum, <lb></lb>et essa AE ut nihil. </foreign></s> </p> <figure id="fig667"></figure> <p type="main"> <s>La prego a non far motivo di queste robbe, perchè i <lb></lb>Franzesi ne potrebbero aver notizie, et usurpare, o aggiun<lb></lb>gervi, e pubblicarle per loro avanti a me. </s> <s><foreign lang="it">Voglio prima <lb></lb>andar vedendo quello che vi si può trovare, e poi le con<lb></lb>ferirò a tutti gli amici, et anco ad essi. </foreign></s> <s>E la reverisco <lb></lb>con ogni ossequio. </s><s><lb></lb>Firenze 5 Maggio 1646.<lb></lb> Di V. P.<emph type="sup"></emph>à<emph.end type="sup"></emph.end> M.<emph type="sup"></emph>to<emph.end type="sup"></emph.end> R.<emph type="sup"></emph>da<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb> Evangelista Torricelli.</s></p> <pb pagenum="375"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>174<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> [TORRICELLI a MICHELANGELO RICCI <lb></lb>in Roma].<lb></lb>Firenze, 28 maggio 1646.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XL, c. 101-103 — Copia di L. Serenai).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Questa volta sì che la S. V. ha mille ragioni di lamen<lb></lb>tarsi di me, et insieme accertarsi di quello che tante volte <lb></lb>io ho asserito, cioè che non sono più buono a niente per <lb></lb>la mancanza non solo dell'ingegno ma anco della memoria. </foreign></s> <s><lb></lb>Non sono già mill'anni che V. S. mi scrisse la dimostra<lb></lb>zione di quelle tangenti delle parabole sotto li 20 di agosto <lb></lb>1645, et io me n'ero scordato affatto. </s></p> <p type="main"> <s>Hora V. S. vedrà questa che io le mando con due di<lb></lb>mostrazioni sopra la quadratura delle infinite parabole <lb></lb>conforme promessi con le passate. </s><s>Ella conoscerà con <lb></lb>quanta fretta sia stato scritto ogni cosa senza ne anco <lb></lb>guardar i fogli dove ho steso le dimostrazioni per esser <lb></lb>cose molto più lunghe. </s> <s><foreign lang="it">Sò nondimeno che la sua perspi<lb></lb>cacia non durerà fatica ad intender quello che certo non <lb></lb>intenderei io se da altri mi fusse mandato in tal maniera; <lb></lb>stimando più difficile il capire una scrittura tanto sporca <lb></lb>che l'inventar di nuovo. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Volevo differire ad un'altra occasione, ma finalmente <lb></lb>mi risolvo di scrivere adesso una mia osservazione cioè <lb></lb>che un problema tenuto fin ora per universale, non è al<lb></lb>trimenti universale; et è questo. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Se dentro un parallelogrammo sarà descritta una delle <lb></lb>infinite parabole, tutte le dignità delle linee del paralle<lb></lb>logrammo à tutte le dignità delle linee della parabola <lb></lb>(purchè le dignità sieno del medesimo grado) hanno una <lb></lb>proporzione che si cava dagli esponenti. </foreign></s> <s>E si prova tanto <lb></lb>se le linee siano parallele alla base quanto parallele al <lb></lb>diametro. </s><s>La proporzione apparisce subito sapendosi già <lb></lb>quella di tutte le linee, e quella di tutti i quadrati a tutti <lb></lb>i quadrati. </s></p> <pb pagenum="376"></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ma in oltre io ho dimostrato quella di tutte l'altre di<lb></lb>gnità in infinito, e questo coll'occasione che io cercavo la <lb></lb>proporzione di tutti i cubi a tutti i cubi affine di mostrare <lb></lb>con nuovo metodo i centri della gravità come ho poi <lb></lb>ottenuto. </foreign></s> <s>Firenze 28 Maggio 1646. </s></p> <figure></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Per le tangenti delle infinite parabole <lb></lb>anco per quelle di due nomi.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Si cerca la tangente in A. Facciasi come l'esponente <lb></lb>dell'applicate a quello delle diametrali così ED alla DC. <lb></lb>Dico che la AE prodotta non concorre con la parabola <lb></lb>fuor che nel punto A. Se è possibile concorra anco in B, <lb></lb> <arrow.to.target n="fig668"></arrow.to.target><lb></lb>et applicata BF fiat ut ED ad DC, ita EF ad FI, e pon<lb></lb>gasi per esempio che i cubi dell'applicate siano come i <lb></lb>quadrati delle diametrali. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Pongasi la CG di modo che il <lb></lb>cubo AD sia eguale al prodotto della dignità DC nella <lb></lb>CG e sarà la CG lato retto della figura. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ora il cubo BF <lb></lb>propter parabolam sarà eguale al prodotto del quadrato FC <pb pagenum="377"></pb>nella retta CG. Ma il med.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> cubo BF (propter rectas <lb></lb>lineas et constructiones) sarà eguale al prodotto del qua<lb></lb>drato FI nella IH. Adunque i prodotti FCG et FIH sa<lb></lb>ranno eguali, quod est absurdum. </foreign></s> <s>Nam recta EF secat <lb></lb>in I, ita ut FI ad IE sit dupla. </s></p> <figure id="fig668"></figure> <p type="main"> <s>Le dimostrazioni che io ho saltate sono discorsi di linee <lb></lb>proporzionali che con facilità da V. S. si vedranno. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Per la quadratura delle parabole.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Sia una delle parabole AB nel parallelogrammo DE, <lb></lb>e sia tangente AF, e fatto il parallelogrammo FGDC sia <lb></lb>in esso una parabola del med.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> nome <lb></lb> <arrow.to.target n="fig669"></arrow.to.target><lb></lb>e de med.<emph type="sup"></emph>mi<emph.end type="sup"></emph.end> nomi con la ABC. Si <lb></lb>prova che la parabola ABCE è eguale <lb></lb>al trilineo ABCG, e la dimostrazione <lb></lb>è poco differente da quella che mandai <lb></lb>in Roma trovata da <lb></lb>me alle figure di Ro<lb></lb>bervallio. </foreign></s> </p> <figure id="fig669"></figure> <p type="main"> <s>Che ogni paralle<lb></lb>log.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> ad ogni inscrit<lb></lb>ta parabola pur che <lb></lb>siano dell'istesso nome, habbia sempre la med.<emph type="sup"></emph>ma<emph.end type="sup"></emph.end> propor<lb></lb>zione qualunque sia si prova facilmente a priori con una <lb></lb>figura simile a questa trovandosi una 3.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> parabola che <lb></lb>habbia la med.<emph type="sup"></emph>ma<emph.end type="sup"></emph.end> base con una delle prime, e la med.<emph type="sup"></emph>ma<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>altezza coll'altra. </s></p> <p type="main"> <s>His positis. </s><s>Ratio GCF ad parabolam ABCE nota est <lb></lb>nempe ut parallelog.<emph type="sup"></emph>m<emph.end type="sup"></emph.end> ad parallelogr.<emph type="sup"></emph>m<emph.end type="sup"></emph.end>, sive ut FC ad CE, <lb></lb>et duplicatis conseguentibus, et componendo, et sumptis <lb></lb>conseguentium semissibus, nota erit ratio parallelogrammi <lb></lb>GE ad parabolam ABCE, ergo nota erit ratio DE ad <lb></lb>ABCE. Quod etc. </s></p> <pb pagenum="378"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Alio modo.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Ma poi molto sbrigatamente si prova così supposta <lb></lb>la definizione di Robervallio, e non occorre sapere che la <lb></lb>figura generata venga parabola dell'istesso nome. </s><s>Sia <lb></lb>una parabola ABC, e sia fatta la costruzione di Rober<lb></lb>vallio, e sia per esempio la parabola cubica. </s><s>Sarà dunque <lb></lb>DL ad LA tripla, cioè EB alla BF tripla, et hoc semper. </s><s><lb></lb>Ergo trilineum GABC triplum trilinei ABCI, ergo etiam <lb></lb>parabola ABC tripla trilinei ABCI, et <lb></lb> <arrow.to.target n="fig670"></arrow.to.target><lb></lb>convertendo componendoque paralle<lb></lb>logrammum ad parabolam erit ut 4 <lb></lb>ad 3 etc. </s></p> <figure id="fig670"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Queste quadrature le stimo per baie <lb></lb>rispetto alla soddisfazione che ho di <lb></lb>quelle maniere mie, che sono comuni <lb></lb>anco all'hyperbole, e ad altri problemi <lb></lb>massimi, e danno nel medesimo tempo <lb></lb>le tangenti e i centri. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Queste qui le <lb></lb>avviso acciò che V. S. veda che anco <lb></lb>Monsu Roberval non è il primo huomo <lb></lb>del mondo, mentre stima una gran cosa a cavar la qua<lb></lb>dratura della parabola vulgata da quelle sue figure, mentre <lb></lb>noi da quelle sue figure caviamo la quadratura di tutte <lb></lb>le parabole, come appare in quest'ultima, et in modo <lb></lb>poco differente con invenzione propria affatto, senza nulla <lb></lb>d'altri, come la precedente, dimostriamo un'altra volta il <lb></lb>med.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end></foreign></s> </p> <pb pagenum="379"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>175<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> TORRICELLI a VINCENZO RENIERI <lb></lb>in Pisa.<lb></lb>Firenze, 16 giugno 1646.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(British Museum di Londra, collezione Egerton, Vol. </s><s>XXVII, f.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> 37 — Autografa).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Molto Rev. P.re mio S.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> P.rone Col.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ho ricevuta la moneta dal Procaccio di Pisa, se bene <lb></lb>la doppia di 40 è scarsa circa 12 grani, ma forse anco <lb></lb>egli l'haverà cambiata. </foreign></s> <s>Quell'altro vetro che ella si trova <lb></lb>essere di pasta ottima, speravo migliorarlo, ma se lo vo<lb></lb>gliono così, mi risparmieranno la fatica. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Non so se ella habbia veduto il nuovo libro del P.re <lb></lb>Atanasio Kircher Matem.<emph type="sup"></emph>co<emph.end type="sup"></emph.end> nel Collegio Romano in Roma. </foreign></s> <s><lb></lb>Il Titolo è Ars Magna Lucis et Umbrae. </s><s>Volume che <lb></lb>pesa 16 libre e non so che once, benchè sia tutto pieno <lb></lb>di leggerezze. </s> <s><foreign lang="it">Io ne ho formato una idea, che egli sia <lb></lb>una grandiss.<emph type="sup"></emph>ma<emph.end type="sup"></emph.end> massa di sterco, hoc est di merda, nella <lb></lb>quale però (a differenza di quella d'Ennio) siano mesco<lb></lb>lati qualche pezzo di legno, d'osso et anco di ferro e di <lb></lb>piombo, ma di prezioso nulla. </foreign></s> <s>E sopratutto <lb></lb> <arrow.to.target n="fig671"></arrow.to.target><lb></lb>se vi è cosa di comportabile è sempre <lb></lb>d'altri, ma suppressis autorum nominibus. </s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Non occorre far altra tavola di Pianetini, <lb></lb>perchè girano tutti nello spazio di 42 hore <lb></lb>precise quasi infilzati nel med.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> hemidia<lb></lb>metro et in linea retta sempre col centro <lb></lb>in <arrow.to.target n="fig672"></arrow.to.target>. Pronunzia pazzam.<emph type="sup"></emph>te<emph.end type="sup"></emph.end> le distanze e <lb></lb>grandezze dei corpi celesti con spropositi non minori del <lb></lb>predetto. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Dice che il quadrato isoperimetro al cerchio <lb></lb>è eguale al cerchio; fa oriuoli (?) non solo in aquile e in <lb></lb>colombe, ma sù il temperino, in 50 sorti di bicchieri, su <lb></lb>gli stivali, su gli orinali, e in cento mila sorti di cose ini<lb></lb>maginabili, sempre con una superbia come nessuno al <pb pagenum="380"></pb>mondo sapesse qualcosa fuor che lui. </foreign></s> <s>Ma lasciamolo stare, <lb></lb>è meglio tacere che dirne poco. </s><s>Questo è quell'autore <lb></lb>dell'altro libro grande, ma molto minore di questo, sopra <lb></lb>l'Ars Magnetica stampato già 5 anni sono. </s> <s><foreign lang="it">Altri libri ha<lb></lb>veva stampati prima et hora vi sono altri 16 volumi varij e <lb></lb>grossi non meno di questi in procinto per andargli (?) pub<lb></lb>blicando uno per volta, se Dio gli darà aita. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Che S. D. M. <lb></lb>lo faccia se gli pare che sia bene per decoro della reli<lb></lb>gione di S. Ignazio e per utilità della Repubblica litteraria <lb></lb>caricata hormai troppo di libracci che non sono buoni da <lb></lb>nulla. </foreign></s> <s>Oh! questi sono scrittori! Si può dire con Seneca: <lb></lb>Infelix si tam multa legisset. </s><s>Io la rev.<emph type="sup"></emph>co<emph.end type="sup"></emph.end> di cuore. </s><s><lb></lb>F. 16 Giugno 1646.<lb></lb> Dev.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> et Obbl.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> S.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb> Vang.<emph type="sup"></emph>ta<emph.end type="sup"></emph.end> Torricelli</s></p> <figure id="fig671"></figure> <figure id="fig672"></figure> <p type="main"> <s><emph type="italics"></emph>Fuori:<emph.end type="italics"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Al M.<emph type="sup"></emph>to<emph.end type="sup"></emph.end> Rev. P.re mio Sig. </s></p> <p type="main"> <s>P.ron Col.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Il Rev. D. Vincenzo Renieri </s></p> <p type="main"> <s>Pisa. </s></p> <pb pagenum="381"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>176<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> TORRICELLI a GILLES PERSONNIER <lb></lb>DE ROBERVAL [in Parigi].<lb></lb>Firenze, 7 luglio 1646.<lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>di Parigi, Fond. </s> <s><foreign lang="it">latin, Nouv. <expan abbr="acq.">acque</expan>, Vol. 2338, f.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> 12 — Autografo il post<lb></lb>scriptum). </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Una minuta di questa lettera di mano propria del Torricelli era nel gennaio 1662 <lb></lb>presso L. Serenai (V. <emph type="italics"></emph>Strumento di recognizione,<emph.end type="italics"></emph.end> ecc. a pag. 5, N. IV, del presente <lb></lb>volume, ed anche LETTERA AI FILALETI DI TIMAURO ANTIATE, Firenze 1663, pag. 24. <lb></lb><emph type="italics"></emph>Inventario di scritture private manoscritte che si adducono nella presente lettera in <lb></lb>prova della Verità,<emph.end type="italics"></emph.end> ecc., N. XIII).<gap desc="/SM"></gap></foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Clarissimo viro Robervallio Torr: S. P. D. </s></p> <p type="main"> <s>De Trochoide (esto enim quantumlibet Trochoidis) sive <lb></lb>Italicum sive Gallicum Problema sit, nihil mea interest. </s><s><lb></lb>Meum certe non est quod ad inventionem attinet. </s><s>De <lb></lb>auctore ipsius quod ego acceperam ab amicis illud cre<lb></lb>dideram scripseramque. </s><s>Vos aliter vultis? </s><s>per me iam licet. </s><s><lb></lb>Hoc certissimum est (quicquid tandem feratur ab aliis) <lb></lb>celeberrimum Galileum usque ad supremum vitae diem <lb></lb>mensuram illius figurae ignoravisse quam ex Gallia non <lb></lb>accepit, ubi fortasse inventa non fuerat: illud certe pro<lb></lb>fitebatur; neque video cur demonstrationem illius si a <lb></lb>quopiam accepisset, in commune non protulisset ad glo<lb></lb>riam suam, quamquam aliena esset. </s><s>Ego fateor non adeo <lb></lb>multis ab hinc annis demonstrationes illas me reperisse, <lb></lb>sed proprio Marte non minus, quam a quopiam alio, sive <lb></lb>ante me, sive post, factum sit. </s><s>Si vero aliqua ex meis de<lb></lb>monstrationibus convenit cum Gallicis, primum quod ad <lb></lb>meam internam quietem attinet, quodque plurimi facio, ego <lb></lb>mihi conscius sum illas omnes ex meo reperisse, et qui<lb></lb>cunque me noverit idem credet: deinde quidquid alij cre<lb></lb>dant, nihil me movet. </s><s>Eximium illum voluptatis fructum <lb></lb>quem percipimus unusquisque in inventione veritatis, et <lb></lb>pro quo tantum speculor, nemo a me auferet. </s><s>De gloria <lb></lb>quam per contentiones, et controversias acquirere debeam <pb pagenum="382"></pb>minime sollicitus sum: Propterea non tantum unam, sed <lb></lb>et omnes demonstrationes illas, si [quis] volet, concedere pa<lb></lb>ratus ero, dummodo per iniuriam non eripiat. </s><s>Sed de centro <lb></lb>gravitatis Cycloidis scis profectò V. Cl: me demonstratio<lb></lb>nem illius misisse in Galliam (atque utinam non misissem) <lb></lb>precibus Clarissimi Mersenni integro biennio antequam il<lb></lb>lud habere diceres, ut in ultimis tandem epistolis habuisse <lb></lb>iam diu confiteris. </s><s>In illa demonstratione mea ostendebatur <lb></lb>a me dato centro gravitatis et mensura alicuius plani <lb></lb>(quod satis erat ad intentum meum) ipsius solidum demon<lb></lb>strare. </s><s>Ipse vero dicis V. Cl: tandem habere methodum <lb></lb>pro reperiendo centro gravitatis plani ex data solidi pla<lb></lb>nique mensura. </s><s>Propositiones conversae sunt. </s><s>Inversio au<lb></lb>tem huiusmodi facillima est; et si in alterum ex nobis <lb></lb>suspicio aliqua ferri debeat, certe in me non cadet; nam <lb></lb>multo antequam de hoc verbum faceres cum nostris Italis, <lb></lb>sed et cum Gallis, son solum enunciationem, sed etiam <lb></lb>demonstrationem ipsam, orantibus vobis, ego misi in Gal<lb></lb>liam. </s><s>Illud etiam pro me stare videtur argumentum, quod <lb></lb>numquam ne verbum quidem fecisti de Centro gravitatis <lb></lb>Cycloidis, cum interea tantopere, et quidem merito, glo<lb></lb>riaveris de omnibus aliis, quadratura, tangentibus, solidis, <lb></lb>etiam de eo circa axem, quod tantum sperare dicebas. </s><s><lb></lb>Verisimile non est cum reliqua omnia proponeres, et in <lb></lb>lucem edere velle promitteres quadraturas, tangentes, et <lb></lb>solida, de unico Centro gravitatis siluisse, si illud tantum <lb></lb>speravisses, quod quidem Problema meo iudicio nulli reli<lb></lb>quorum post habendum videtur. </s><s>Sed de his, si opus fuerit, <lb></lb>multo plura dicemus suo tempore. </s><s>Nemo tam facile suam <lb></lb>laudem unicuique tribuet quam ego dummodo tamen igno<lb></lb>rantia, vel credulitate non decipiar. </s><s>Methodum pro tan<lb></lb>gentibus ex doctrina motus ego reperi pluribus ab hinc <lb></lb>annis, nulla ab alijs habita luce, vel auxilio: cum amicis <lb></lb>contuli; et in multis figuris propagavi. </s><s>Postea incidi in <lb></lb>demonstrationes Trochoidis et utrumque vulgavi inter ami<lb></lb>cos, antequam in meis libellis ederem. </s><s>Ex improviso, <lb></lb>quando nil tale sperabam, nuncius horribilis ex vobis af<lb></lb>fertur haec omnia ante me vos etiam invenisse. </s><s>Si verum <lb></lb>hoc est, certe pro meis illa amplius non essent habenda <pb pagenum="383"></pb>(quamquam fortasse nullus mortalium ad haec umquam <lb></lb>descenderet). Vide vir clarissime quam ingenue ego agam <lb></lb>cedendo, etiam ea quae iure aeque mea sunt, ac vestra, <lb></lb>cum uterque proprio marte adinvenerit abstracta, (si qua <lb></lb>intercesserit) modici temporis differentia. </s><s>Sed incredibile <lb></lb>est quanta iniuria afficiar dum video praeripi ea, quae <lb></lb>mea esse deberent sine controversia. </s><s>Invoco hominum <lb></lb>fidem. </s><s>Ecce verba ipsissima vestri Clarissimi Mersenni in <lb></lb>Epistola ad me data postquam enunciationem tantum <lb></lb>Centri gr. </s><s>Cycloidis sine demonstratione ad vos miseram <lb></lb>dicebam enim secare axem in ratione 7 ad 5. </s></p> <p type="main"> <s>Dubitat noster Robervallius an mechanice tantum <lb></lb>centra gr. </s><s>cycloidis, et semicycloidis inveneris, quae Geo<lb></lb>metrice falsa suspicatur docebis num istius rei demon<lb></lb>strationem habeas. </s></p> <p type="main"> <s>Quare ergo V. Clar.me dubitabas et Geometrice falsum <lb></lb>suspicabaris, quod ipse sciebas? </s><s>non dubito ego an vestra <lb></lb>plana in infinitum abeuntia figurae genitrici aequalia sint, <lb></lb>nam demonstrationem habet. </s><s>At ego non docui num de<lb></lb>monstrationem illam haberem, sed protinus (quod quis<lb></lb>piam praeter me non fecisset) arreptam demonstrationem <lb></lb>in Galliam misi, simulque methodum vere meam, cum <lb></lb>demonstratione pro inveniendo alterutro sive centro, sive <lb></lb>solido in omnibus figuris, ex altero dato cum quadratura: <lb></lb>quam methodum si apud vos ante habebatis certe de veri<lb></lb>tate illa geometrica non erat quod dubitaretis, sed missa fa<lb></lb>ciamus haec: Habeo enim et aliam methodum, quae unica <lb></lb>enunciatione determinat reperitque centrum gravitatis li<lb></lb>nearum, superficierum ex revolutione natarum, planorum, <lb></lb>corporumque omnium, dummodo axem, sive diametrum <lb></lb>habeant. </s><s>Vulgata est haec apud amicos italos; oro vos ne <lb></lb>inter vestra hanc etiam habeatis, nam hoc esset tollere <lb></lb>penitus omne litterarum scientiarumque commercium. </s><s>De <lb></lb>libellis meis si tibi vir Clar.me placuerunt ut ipse affirmas <lb></lb>(excepto tamen de motu, et Trochoide) maximas ago gra<lb></lb>tias. </s><s>In hoc autem plurimum discrepamus, nam mihi ex <lb></lb>ipsis nullus placet, meliora non edidi, quia meliora habere <lb></lb>non credebam: talia edidi, quasi coactus. </s><s>Videbar enim <lb></lb>quodamodo ad hoc tenere ex titolo officij mei utinam com- <pb pagenum="384"></pb>mercium hoc cum Clar. </s><s>Galliarum Geometris accidisset <lb></lb>mihi ante aliquot annos, nam certe vel meliora edidissem, <lb></lb>vel nulla si reliqua bona essent levis esset iactura libellum <lb></lb>de motu, et quidem totum ex meis opusculis abolere. </s><s>Argu<lb></lb>menta quae producis V. Clar.me contra fundamenta illius <lb></lb>doctrinae fortia sunt, sed tamen non sunt nova. </s><s>Extant <lb></lb>huiusmodi obiectiones, immo etiam, et multo fortiores <lb></lb>apud ipsum Galileum in libro Proiectorum, sed latitant <lb></lb>in illis Dialogis, quos ipse inter latinas propositiones Ita<lb></lb>licè interserit. </s><s>Respondere possem eadem, quae respondet <lb></lb>Galileus, et non nihil etiam ex meo; sed non aestimo tanti <lb></lb>illum meum libellum, ut hanc molestiam suscipere tecum<lb></lb>que eandem partiri V. Clar.me aequum caenseam libellum <lb></lb>esse ex maiori parte Geometricum. </s><s>Archimedes supposuit <lb></lb>olim proiecta non per parabolas, sed per lineas spirales suas <lb></lb>procedere; et huius suppositionis gratia totum libellum <lb></lb>composuit. </s><s>At suppositionem esse falsam non multo post <lb></lb>comperit. </s><s>Quid faceret? </s><s>librum ne illum damnare penitus <lb></lb>debebat? </s><s>quin potius eadem omnia legi sineret sublata <lb></lb>omni Proiectorum memoria, additoque vocabulo puncti <lb></lb>cuiusdam, quod non naturali, sed ficta quadam motuum <lb></lb>lege moveatur. </s><s>Proprium habet hoc Geometria quod nullis <lb></lb>alienis auxilijs suffulta, sibi ipsi tantum innixa numquam <lb></lb>ruere potest, sed mole sua stat, licet reliqua omnia, quae <lb></lb>propria culpa ipsi male adherebant, dilabantur. </s><s>Reiciamus <lb></lb>ergo quicquid Physicum est in eo libello, nempe vocabula <lb></lb>proiectorum, gravium, ballistarum etc. </s><s>et Geometricum <lb></lb>maneat, hoc est propositiones abstractae. </s><s>Caeterum fa<lb></lb>bulae, instrumenta et si quid aliud huiusmodi est, non <lb></lb>sint pro mensurandis proiectorum iactibus, sed pro deter<lb></lb>minandis quibusdam lineis geometricis, alijsque ad geo<lb></lb>metricas parabolas pertinentibus. </s><s>Librum Desargues num<lb></lb>quam vidi, sed quomodo probet ea quae proponit, nescio. </s><s><lb></lb>Videas ipse an liceat unicuique talia scribere, et fortasse <lb></lb>etiam pari ratione probare. </s><s>Videas autem ipse V. Clar.me <lb></lb>quam facile sit hoc aevo scriptorum feracissimo in aliorum <lb></lb>reperta incidere, et per suis innocenter aliena circumferre. </s><s><lb></lb>Ipse proponis tamquam novum quod quadratrix transeat <lb></lb>per centrum gravitatis semiperiphaeriae etc. </s><s>At multis ab <pb pagenum="385"></pb>hinc annis hoc ipsum demonstratum fuit, et editum ab <lb></lb>alijs multo universalius. </s></p> <p type="main"> <s>Hoc ipsum ostenderam ego quoque maxima, et brevi<lb></lb>tate, et simplicitate, antequam scirem quemdam Guldinum <lb></lb>Iesuitam haec edidisse. </s><s>Monitus enim fui nuperrime a <lb></lb>Clar.mo Viro Cavalerio me in idem inventum incidisse <lb></lb>atque adeo perdidi contemplationem qua nullam habeo <lb></lb>elegantiorem, aut magis absolutam. </s><s>Admiratus sum subti<lb></lb>lissimum Theorema de spatijs in infinitam longitudinem <lb></lb>abeuntibus. </s><s>Egregium inventum et quod magis meis vel <lb></lb>ipse praeferam. </s><s>At non dico inter mea illud habuisse cum <lb></lb>ad infinitam illam distantiam (exceptis hyperbolis meis) <lb></lb>non respexerim. </s><s>Circa illius demonstrationem nihil prorsus <lb></lb>moratus sum; nam vix lecta propositione statim animad<lb></lb>verti ipsi convenire demonstrationem, qua iam pridem usus <lb></lb>fueram in dimensione infinitarum parabolarum. </s><s>Vulgata <lb></lb>iam est apud amicos italos, ipsamque hic obiter adiungam <lb></lb>prorsus a Tangentibus quando quidem tangentes in ea <lb></lb>adhibentur, quae omnia (licet ineptiae sint) fidei vestrae <lb></lb>commendo. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma I.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Esto parabola quaelibet ABC ad cuius punctum A <lb></lb>danda sit tangens. </s><s>Applicetur AD ad diametrum ED, <lb></lb>fiatque un exponens applicatarum, qui <lb></lb> <arrow.to.target n="fig673"></arrow.to.target><lb></lb>exemp. </s><s>gr. </s><s>sit 5 ad exponentem dia<lb></lb>metralium qui exemp. </s><s>gr. </s><s>sit 3 ita recta <lb></lb>ED ad DC, ita EI ad IO, sitque latus <lb></lb>rectum CL cui aequidistet OP. </s></p> <figure id="fig673"></figure> <p type="main"> <s>Erit iam dignitas BI, hoc est in no<lb></lb>stro casu cuboquadratum BI aequale <lb></lb>ductui dignitatum IC in CL nempe du<lb></lb>ctui cubi IC in quadratum OP (ut mox patébit) ergo ductus <lb></lb>IC in CL et IO in OP sunt aequales, quod est impossibile, <lb></lb>ut demonstrabimus inferius. </s></p> <p type="main"> <s>Quod promisimus primo ostendetur sic. </s><s>Cuboquadra<lb></lb>tum AD ad cubo quadratum BI rationem habet composi<lb></lb>tam ex ratione cubi AD ad BI, sive cubi DE ad EI, sive <pb pagenum="386"></pb>cubi DC ad IO. Et ex ratione quadrati AD ad BI sive qua<lb></lb>drati DE ad EI, vel quadrati CE ad EO, hoc est quadrati <lb></lb>CL ad OP. Ergo cubo quadratum AD ad BI erit ut ductus <lb></lb>cubi DC in quadratum CL ad ductum cubi IO in quadratum <lb></lb>OP. Sed antecedentia sunt aequalia ob latus rectum, ergo <lb></lb>et consequentia aequalia erunt quod promisimus primo. </s></p> <p type="main"> <s>Secundum vero ostendimus sic. </s><s>Recta IO ad OE est <lb></lb>ut exponens diametralium ad differentiam exponentium, <lb></lb>nempe ut 3 ad 2, quare ductus cubi IO in quadratum OE <lb></lb>erit maximus (quod demonstravimus iampridem universa<lb></lb>liter, geometrice sine ulla ope algebrae). Sed ut ductus IO <lb></lb>in OE ad ductum IC in CE ita ductus IO in OP ad IC in <lb></lb>CL. Quare et IO in OP maximus erit. </s></p> <p type="main"> <s>Haec una est ex quinque methodis quas habemus pro <lb></lb>tangentibus. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma II.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Omnia parallelogramma, puta AB, <lb></lb> <arrow.to.target n="fig674"></arrow.to.target><lb></lb>CD ad inscriptas sibi parabolas (du<lb></lb>modo parabolae sint eiusdem speciei) <lb></lb>eandem rationem habent. </s><s>Ponimus <lb></lb>tantum figuram, et omittimus demon<lb></lb>strationem, nam facillima est, praeci<lb></lb>pue vero per doctrinam indivisibilium, <lb></lb>addita tertia parabola in parallelo<lb></lb>grammum BD, et ductis ubicunque <lb></lb>duabus tantum rectis <emph type="italics"></emph>ef, gh,<emph.end type="italics"></emph.end> &. </s></p> <figure id="fig674"></figure> <p type="main"> <s>Iam quadratura parabolarum talis est. </s><s>Esto parabola <lb></lb>quaelibet ABC cuius diameter BC, basis AC, <lb></lb> <arrow.to.target n="fig675"></arrow.to.target><lb></lb>parallelogrammum verò circumscriptum sit <lb></lb>FC, esto Tangens AD; concipiaturque in pa<lb></lb>rallelogrammo FBDE alia parabola eiusdem <lb></lb>speciei, sive quod idem est linea Roberval<lb></lb>liana (nova enim illa linea quam ipse exco<lb></lb>gitasti V. Clar.me si ortum ducat ex aliqua <lb></lb>parabolarum semper parabola evenit eiusdem <lb></lb>speciei, quod ego novum esse scio, licet for<lb></lb>tasse turpe videatur hoc fatere) et erit parabola ABC <pb pagenum="387"></pb>aequalis trilineo ABC, ut ego demonstravi elapso iam <lb></lb>biennio per eandem demonstrationem quam ad tuas lineas <lb></lb>applicatam in folio separato ad te nunc mitto . Iam ut <lb></lb>exponens applicatarum ad exponentem diametralium ita <lb></lb>est recta DC ad CB ob tangentem per lemma primum, <lb></lb>et ita est parallelogrammum EC ad FC. Sed ita etiam <lb></lb>sunt ambae simul parabolae EBD, ABC ad parabolam <lb></lb>ABC, ob 2.<emph type="sup"></emph>m<emph.end type="sup"></emph.end> lemma. </s><s>Ergo per 19 Quinti reliquum EBA <lb></lb>sive parabola ABC ipsi aequalis, erit ad reliquum FBA ut <lb></lb>erat totum ad totum, hoc est ut exponens applicatarum <lb></lb>ad exponentem diamet.<emph type="sup"></emph>m<emph.end type="sup"></emph.end> Propterea convertendo, compo<lb></lb>nendoque patet parallelogrammum quodlibet ad suam pa<lb></lb>rabolam esse ut aggregatum exponentium ad exponentem <lb></lb>applicatarum. </s></p> <figure id="fig675"></figure> <p type="main"> <s>Sed et alia ratione concludimus maiori brevitate qua<lb></lb>draturam omnium parabolarum. </s><s>Estque haec demonstratio <lb></lb>veluti corollarium demonstrationis, quam in folio separato <lb></lb>ad te mitto, videbis Vir Clar.me ex eodem invento ex <lb></lb>quo gloriaris te quadraturam unius parabolae quadraticae <lb></lb>deduxisse, nos quadraturam omnium nullo plane negotio <lb></lb>derivare per indivisibilia more nostro quodque elegantius <lb></lb>est demonstratio concludit quamquam <lb></lb> <arrow.to.target n="fig676"></arrow.to.target><lb></lb>ignotum sit cuiusnam speciei sit nova <lb></lb>illa linea tua, quam diximus supra pa<lb></lb>rabolam esse eiusdem gradus cum ge<lb></lb>nitrice. </s></p> <figure id="fig676"></figure> <p type="main"> <s>Esto parabolarum aliqua BAFC <lb></lb>cuius diameter AB, basis vero BC, pa<lb></lb>rallelogrammum circumscriptum BL, <lb></lb>linea nova Robervalliana quaecunque <lb></lb>tandem sit, esto ADE, et sumpto quo<lb></lb>libet puncto F in linea parabolica, sit <lb></lb>applicata FI. Tangens FH, et ipsa GFD <lb></lb>diametro aequidistet: tum iuncta DH <lb></lb>applicatis aequidistans et ipsa erit ob <lb></lb>definitionem figurae. </s></p> <pb pagenum="388"></pb> <p type="main"> <s>Iam DF recta ad FO erit ut HI, ad IA, sive ob Tan<lb></lb>gentem, ut exponens applicatarum ad exponentem dia<lb></lb>metralium. </s><s>Et semper ita continget ubicumque sumpta <lb></lb>fuerit recta DF. Ergo omnes antecedentes simul, nempe <lb></lb>trilineum EDAFC sive parabola ABC ipsi aequalis, erunt <lb></lb>ad omnes consequentes simul, nempe ad trilineum LAC <lb></lb>ut exponens applicatarum ad exponentem diametralium. </s><s><lb></lb>Quadratura ergo patet convertendo, componendoque ut <lb></lb>supra. </s></p> <p type="main"> <s>Praedictae methodi tum pro quadraturis, tum pro Tan<lb></lb>gentibus sunt quas minimi prae caeteris ego facio (non <lb></lb>tamen patiar mihi illas eripi) supersunt adhuc pro Tan<lb></lb>gentibus quatuor, pro quadraturis vero adhuc tres me<lb></lb>thodi, inter quas una est praecipua, et generalissima, quae <lb></lb>communis est et parabolarum, et hyperbolarum tam qua<lb></lb>draturis, quam etiam tangentibus, alijsque Problematibus, <lb></lb>quae nondum circumferre est animus. </s></p> <p type="main"> <s>Iam examinavimus figuras planas, solidasque in infini<lb></lb>tum recta via excurrentes. </s><s>Alium modum habet Geometria <lb></lb>in infinitum abeundi, et quidem mensurabilem. Problema <lb></lb>circa lineam est, quae cum sit curva, et ex infinitis spiris <lb></lb>conflata, rectae tamen lineae aequalis est; et hoc Geome<lb></lb>tricè more veterum demonstratum est a nobis. </s><s>Figuras <lb></lb>quasdam huius Problematis sine ulla definitione misimus <lb></lb>in Galliam iam ante biennium. </s><s>Clar.mo tamen Mersenno <lb></lb>dum esset Romae communicavimus quasdam rationes pro <lb></lb>descriptione proxima earumdem spiralium quarum quae<lb></lb>dam Theoremata una cum definitione ad vos nunc mitto. </s><s><lb></lb>Videbatur aliquid deesse, cum reperta solidorum et spa<lb></lb>tiorum in infinitum abeuntium dimensione, nulla de lineis <lb></lb>adhuc facta esset mentio, linearum quidem genus non <lb></lb>potest in infinitam distantiam abire quin et quantitas infi<lb></lb>nita sit. </s><s>At potest occultum habere caput et inter labe<lb></lb>rintos infinitarum revolutionum adeo reconditum ut solis <lb></lb>Geometriae oculis sit visibile. </s><s>Quicquid est, et an Problema <lb></lb>dignum sit oculis tuis ipse videbis Vir Clarissime. </s></p> <p type="main"> <s>Hyperbolarum Theoremata, quae mitto ad ill.<emph type="sup"></emph>m<emph.end type="sup"></emph.end> De Fer<lb></lb>mat ut iudicium subeant, num cum parabolis saltem aliqua <lb></lb>ex parte conferri possint, videre poteris. </s><s>Si unius hyper- <pb pagenum="389"></pb>bolae Primariae quadratura tamdiu quaesita est, nos pro <lb></lb>una infinitas damus. </s><s>Interea toto affectu me tibi com<lb></lb>mendo Vir Clarissime. </s></p> <p type="main"> <s>Vale. </s><s><lb></lb>Dat. </s><s>Florentiae die 7 Iulij anno 1646.</s></p> <p type="main"> <s>Factum etiam est ut usque ad initium Augusti Mensis <lb></lb>litterae iam absolutae apud me morarentur ob varia im<lb></lb>pedimenta mea. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>177<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> [TORRICELLI] a GILLES PERSONNIER <lb></lb>DE ROBERVAL [in Parigi].<lb></lb>[Firenze, 7 luglio 1646].<lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">(Museo Torricelliano del Comune di Faenza — Autografa). </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Questa lettera della quale si discorre nella precedente (V. N. 176, pag. 387), è <lb></lb>costituita da un foglio di due carte, sui <emph type="italics"></emph>recto<emph.end type="italics"></emph.end> di ciascuna delle quali in alto a <lb></lb>sinistra trovasi la firma <emph type="italics"></emph>F. Lepelle de B. G.,<emph.end type="italics"></emph.end> e a destra scritti col lapis il nu<lb></lb>mero <emph type="italics"></emph>10<emph.end type="italics"></emph.end> sulla prima ed il numero <emph type="italics"></emph>11<emph.end type="italics"></emph.end> sulla seconda. (V. l'annotazione premessa <lb></lb>al N. 54 del presente volume).<gap desc="/SM"></gap></foreign></s> </p> <figure></figure> <p type="main"> <s>Clar.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Viro Robervallio </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma Primum.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>In figura qualis a Cl. </s><s>Roberval de<lb></lb>finita est, quodlibet parallelogrammum <lb></lb>inscriptum AB minus erit quàm FA de<lb></lb>scriptum in figura genitrice. </s></p> <p type="main"> <s>Nam ductâ tangente per A, finitâque <lb></lb>figura, aequale erit AB ipsi AI. Ergo pa<lb></lb>tet quod erat etc. </s></p> <pb pagenum="390"></pb> <figure></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma Secundum.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Circumscriptum veró parallelogram<lb></lb>mum CD majus erit quàm aliud paralle<lb></lb>logrammum FE, quod nempe circumscri<lb></lb>ptum sit figurae genitrici. </s></p> <p type="main"> <s>Nam ducta tangente per O et com<lb></lb>pletâ figurâ erit CD aequale ipsi FM. <lb></lb>Ergo CD majus est quàm FE. Quod <lb></lb>erat etc. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Teorema.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Sumatur primó aliqua pars figurae definitae: puta <lb></lb>ABCDE, dico aequalem esse figurae BGC. Alias major <lb></lb>esset vel minor. </s><s>Sit primó major, <lb></lb> <arrow.to.target n="fig677"></arrow.to.target><lb></lb>seceturque BK semper bifariam <lb></lb>donec HE minus sit excessu. </s><s>Tum <lb></lb>inscribatur in figura mixta BCE <lb></lb>alia figura constans ex parallelo<lb></lb>grammis aequealtis RD, LM, etc. </s><s><lb></lb>quorum ultimum sit IO. Eritque <lb></lb>inscripta figura ob constructionem <lb></lb>adhuc major spatio BGC. Quod est <lb></lb>contra lemma primum. </s></p> <figure id="fig677"></figure> <p type="main"> <s>Sit deinde minor, sectoque BK <lb></lb>semper bifariam repertum sit HE <lb></lb>minus defectu. </s><s>Tum circumscriba<lb></lb>tur figurae BCE alia figura con<lb></lb>stans ex parallelogrammis aeque<lb></lb>altis, et erit circumscripta figura <lb></lb>adhuc minor figurâ BCE. Quod <lb></lb>esse non potest. </s><s>Nam eadem figura <lb></lb>circumscripta trilineo BCE major <lb></lb>est quam alia quaedam figura cir<lb></lb>cumscripta ipsi BGC ob 2.<emph type="sup"></emph>m<emph.end type="sup"></emph.end> lemma. </s><s><lb></lb>Patet ergo quod erat etc. </s></p> <p type="main"> <s>Abeat jam in infinitum (quamquam hactenus dicta suf- <pb pagenum="391"></pb>ficere deberent) Dico aequales esse figuras etc. </s><s>Alias altera <lb></lb>ipsarum major erit. </s><s>Sit major APC, et erit aliqua ipsius pars <lb></lb>puta BGC aequalis alteri figurae. </s><s>Statim absurdum patet. </s></p> <p type="main"> <s>Si vero ponatur major ACEF, erit aliqua ipsius pars, <lb></lb>puta BCE aequalis figurae genitrici APC. Absurdum jam <lb></lb>patet, etc. </s></p> <p type="main"> <s>Hactenus de his novis lineis; et ne reliquum paginae <lb></lb>pereat adijciamus aliquid de Spiralibus Geometricis, quae <lb></lb>nisi fallor et ipsae novae lineae erunt. </s></p> <p type="main"> <s>Esto quaelibet recta linea AB recta utcumque in C, <lb></lb>deinde erigatur perpendicularis CD quae sit media propor<lb></lb>tionalis inter BC, CA. Iterum <lb></lb> <arrow.to.target n="fig678"></arrow.to.target><lb></lb>recta CE media sit inter DC, <lb></lb>CA, secetque bifariam angu<lb></lb>lum DCA. Amplius recta CF <lb></lb>media inter DC, CE secet bi<lb></lb>fariam angulum DCE: et sic <lb></lb>fiat semper ducendo medias <lb></lb>proportionales quae bifariam <lb></lb>secent angulos, habebimusque <lb></lb>puncta A, E, F, D, B, et quotcumque alia voluerimus per <lb></lb>quae transibit quaedam linea curva, quam Spiralem Geo<lb></lb>metricam appellamus. </s></p> <figure id="fig678"></figure> <p type="main"> <s>Sed aliter possumus eamdem definire. </s><s>Si recta linea AB <lb></lb>(in seguenti figura) manente <lb></lb> <arrow.to.target n="fig679"></arrow.to.target><lb></lb>ejus extremo A circumagatur <lb></lb>in plano, aequali semper velo<lb></lb>citate: et eodem tempore ali<lb></lb>quod punctum C ejusdem li<lb></lb>neae super eâdem moveatur <lb></lb>ea lege, ut spatia aequalibus <lb></lb>temporibus peracta inter se <lb></lb>proportionalia sint, eandemque <lb></lb>proportionem servent quam ha<lb></lb>bebunt distantiae ejusdem puncti à centro A, iterum ean<lb></lb>dem Spiralem Geometricam habebimus. </s></p> <figure id="fig679"></figure> <p type="main"> <s>Peculiare hoc habet haec linea, quod antequam perve<lb></lb>niat ad centrum, infinitas revolutiones circa ipsum absol- <pb pagenum="392"></pb>vere debebit; attamen longitudo ejus, non solum quo ad <lb></lb>partes, sed et universa nota est. </s><s>Nam <emph type="italics"></emph>si fuerit centrum A, <lb></lb>unusque ex radiis AB, ipsa veró <lb></lb> <arrow.to.target n="fig680"></arrow.to.target><lb></lb>BC tangens, et angulus BAC re<lb></lb>ctus, erit tangens BC aequalis uni<lb></lb>versae spirali BDA.<emph.end type="italics"></emph.end> Dato vero <lb></lb>arcu quocumque BI facillime ipsi <lb></lb>recta linea aequalis abscinditur, <lb></lb>demonstraturque. </s></p> <figure id="fig680"></figure> <p type="main"> <s>Ostendi poterant haec per <lb></lb>indivisibilia more nostro, quam <lb></lb>demonstrationem negligimus <lb></lb>tamquam minus receptam ab <lb></lb>omnibus. </s><s>Adhibuimus itaque du<lb></lb>plicem positionem more veterum, <lb></lb>sequuti methodum antiquorum <lb></lb>quae magis ab omnibus recipitur. </s></p> <p type="main"> <s>Spatium quoque mensurabile est, quamquam ex infini<lb></lb>tis revolutionibus constet, habetque notam rationem ad <lb></lb>spatium planum finitum et certum. </s><s>Extendimus deinde <lb></lb>eandem contemplationem in alias spirales super curvis su<lb></lb>perficiebus descriptas, quas omnes rectis quibusdam lineis <lb></lb>demonstramus aequales. </s></p> <p type="main"> <s>Deinde etiam Spiralem Archimedeam in infinitas spe<lb></lb>cies propagamus, definientes, quod non solum spatia pe<lb></lb>racta a puncto mobili, sed etiam dignitates spatiorum pro<lb></lb>portionales sint cum angulis peractis. </s><s>Ex qua definitione <lb></lb>totidem oriuntur spirales quot sunt parabolae. </s><s>Rationes <lb></lb>omnium spatiorum ad circulum demonstravit acutissimus <lb></lb>iuvenis Michael Angelus Ricci, qui infinitas quoque hyper<lb></lb>bolas, diversas a nostris, et ellipses contemplatus est, et <lb></lb>non spernenda Theoremata inde derivavit. </s><s>Nos vero ha<lb></lb>bemus et reliqua Theoremata, de rationibus absissarum a <lb></lb>tangentibus cum ipsis peripherijs <emph type="italics"></emph>praecipue verò unam<lb></lb>quamque lineam spiralem unicuique lineae parabolicae ae<lb></lb>qualem esse demonstramus.<emph.end type="italics"></emph.end></s></p> <pb pagenum="393"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>178<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> MICHELANGELO RICCI a [TORRICELLI <lb></lb>in Firenze].<lb></lb>Roma, 7 luglio 1646.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLII, c. 161-174 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>M.to Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end>, et Ecc.mo Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> e P.rone Oss.mo </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">All'ultima di V. S. mi converrebbe rispondere con un lunghissimo <lb></lb>discorso, quando volessi considerare ad uno ad uno tutti i capi, e <lb></lb>motivi, che vi si contengono; ma perchè sarebbe ciò con suo tedio, <lb></lb>e mia soverchia fatica tralascerò di replicar cosa alcuna sulla difficoltà <lb></lb>ad esser capita la ragione fra qualsivoglia curva, e ciascuna delle <lb></lb>sue parti, bastando al teorema da me proposto, che tal proporzione <lb></lb>vi sia, e con tal ipotesi io poi procedo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">La nuova, e bellissima dimo<lb></lb>strazione d'una retta eguale ad un arco di cerchio, l'ammirerò col si<lb></lb>lenzio, e l'applaudirò esteriormente con gli scherni dovuti; poichè <lb></lb>volendo fargli festa esteriore non son sufficienti tutte le fischiate, che <lb></lb>possono fare i baroni dell'uno e l'altro foro, cioè di Piazza Navona, e <lb></lb>di Campo di Fiore. </foreign></s> <s>Ma di costui, come d'autore oltramontano nulla <lb></lb>mi grava, duolmi sibbene, che seco si accoppij (il che temo sia presto <lb></lb>per succedere) un nostro Italiano, ed amendue stiano a parte di così <lb></lb>strane derisioni. </s><s>Voglia Dio, che non segua. </s> <s><foreign lang="it">Finalmente che la mia pro<lb></lb>posta della tangente alla spirale d'Archimede anche con la generalità, <lb></lb>che io gli scrissi, e con brevità di lunga mano maggiore di quella del <lb></lb>medesimo Archimede sia tra le cose vili presso di V. S. io gliel credo <lb></lb>di vantaggio, e stimerò anche vilissimo il modo per dimostrarla gran<lb></lb>demente gradito dal Sig. Nardi, e molto più artifizioso di quello usato <lb></lb>in qualche ricondita proposizione da altri, e da me. </foreign></s> <s>Ciò di buona vo<lb></lb>glia ammetto per non dilungarmi a distinguere, che di proposte vili <lb></lb>si puole addurre artifiziosissima dimostrazione, e che non si possa <lb></lb>per questo avvilir l'una, perchè l'altra sia vile. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Passo dunque al punto principale, cioè che la quadratura delle in<lb></lb>finite parabole, io deva totalmente riconoscerla, come sua, benchè io <lb></lb>scriva d'averla molto prima, che ella mi scrivesse la sua, che quasi è <lb></lb>la medesima, e benchè io l'abbia ritrovata prima di Lei, per quel che <lb></lb>posso congetturare da una sua lettera, che mi scrisse il Marzo pas<lb></lb>sato, dove disprezzava l'invenzione di Robervallio; e fu allora, che <lb></lb>io le risposi, che io non potevo, se non istimarla assai, come fecondo <lb></lb>principio di bellissime conseguenze, alludendo alla quadratura suddetta, <lb></lb>di che avevo preso motivo da quella invenzione, e dall'invenzione <pb pagenum="394"></pb>de' centri di gravità delle stesse parabole, con altri misteri, a' quali <lb></lb>scorgevo aperta la strada. </foreign></s> <s>Questa ultima però de' centri di gravità <lb></lb>non la perfezionai, stante l'indisposizione, che allora mi travagliava, <lb></lb>e richiedendo studio maggiore, che la quadratura. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Le ragioni di V. S. son due; la prima, che sarà giudicato impos<lb></lb>sibile, che ci siamo incontrati ambedue nel medesimo metodo così pre<lb></lb>cisamente, senza che uno di noi abbia veduto il progresso dell'altro, <lb></lb>o di poco l'abbia alterato, essendo troppo fuori dell'usato quel modo <lb></lb>di provare. </foreign></s> <s><foreign lang="it">La seconda, vuole; che io non possa avere quelle quadra<lb></lb>ture generalmente, perchè vi si richiede il teorema delle tangenti; <lb></lb>a questo il teorema de' massimi, il quale io confesso di non aver ge<lb></lb>neralmente trovato per ancora. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Io dico a V. S., che la proposta di <lb></lb>Robervallio mi fu comunicata dal Sig. Raffaello per ordine di Lei, e <lb></lb>ne ammirai la dimostrazione, che ella subitamente vi fece, come a <lb></lb>V. S. ne scrissi in quel tempo. </foreign></s> <s>Da questo io presi occasione di mo<lb></lb>strare la quadratura delle infinite parabole. </s><s>Non lo metto in dubbio. </s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Se poi giudicherà impossibile (cosa che V. S. non disse mai) il de<lb></lb>durre questa quadratura, io avrò fatto l'impossibile, e il Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Antonio <lb></lb>me ne farà fede. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma perchè V. S. non dirà, che sia difficile, ma faci<lb></lb>lissimo il dedurla dalla proposizione di Robervallio, anzi una cosa me<lb></lb>desima; io replico, che ciò non sarà agevolmente ammesso da chi <lb></lb>saprà che Robervallio avendo dimostrata la propria proposizione, <lb></lb>stimò ardua impresa il cavarne la quadratura della sola parabola <lb></lb>vulgata, come V. S. mi significò nella sua de' 28 di maggio prossimo. </foreign></s> <s><lb></lb>Et aggiungo quel che di sopra dicevo, che ella averebbe fatto stima <lb></lb>grandissima di quella proposta, quando ne avesse dedotta la detta <lb></lb>quadratura, che sebbene ora mostra di prezzar poco, allora era uno <lb></lb>de' massimi teoremi, che fossero in volta. </s> <s><foreign lang="it">Circa poi all'essere una cosa <lb></lb>medesima la proposta di Robervallio, e la quadratura, onde seguirebbe, <lb></lb>che la demostrazione di questa io non potessi appropriarmi, quando <lb></lb>avessi con poca alterazione di quella proposta preso fondamento alla <lb></lb>mia dimostrazione; le ridurrò solamente a memoria il suo senso avvisa<lb></lb>tomi nella lettera poco dianzi mentovata. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ella mi comunica due maniere <lb></lb>per dimostrare le infinite quadrature, l'una delle quali ha il medesimo <lb></lb>progresso con la mia maniera, e piglia per fondamento una dimostra<lb></lb>zione, da quella della proposta di Robervallio, poco differente (come <lb></lb>V. S. asserisce). L'altra si serve espressamente della proposta di Ro<lb></lb>bervallio con la dimostrazione fattale da V. S., e conchiude la lettera: <lb></lb><emph type="italics"></emph>noi da quelle sue figure, cioè di Robervallio, caviamo la quadratura di <lb></lb>tutte le parabole come appare in quest'ultima, et in modo poco differente, <lb></lb>con invenzione propria affatto, senza nulla d'altri, come la precedente <lb></lb>dimostriamo un'altra volta il medesimo.<emph.end type="italics"></emph.end> Ecco dunque, che variandosi <lb></lb>un poco la dimostrazione adattata alla proposta di Robervallio, e da <lb></lb>questa derivandosi la quadratura delle infinite parabole, (et io poi non <lb></lb>solo vario il poco di V. S., ma forse assai più), si può per detto di <lb></lb>Lei chiamare invenzione senza nulla d'altri. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ma non è da tacere, che nella dimostrazione di V. S. fanno giuoco <pb pagenum="395"></pb>principale le tangenti, delle quali non solamente io posso dirmi il <lb></lb>primo per la verità, che generalmente le partecipai, ma per il metodo <lb></lb>generale ancora, dal quale confessa ella d'avere avuto motivo per la <lb></lb>dimostrazione fattane dopo per via del moto. </foreign></s> <s>Ella scrive sotto li 25 <lb></lb>di Febbraio dell'anno passato in questo tenore, rispondendo alla lettera, <lb></lb>con la quale avvisavo l'invenzione delle suddette tangenti. </s><s>Ho ben io <lb></lb>imparato dalle sue lettere cose, che forse non avrei avvertite mai, <lb></lb>perchè tornando iersera con le lettere di V. S. in mano, mi entrò in <lb></lb>testa, che quelle tangenti non potessero essere. </s> <s><foreign lang="it">Ciò fu causa, che feci <lb></lb>non so che figure, e trovai poi, che era verissimo, e ne scrissi la di<lb></lb>mostrazione universale per via del moto. </foreign></s> <s>Se dunque io non posso per <lb></lb>l'un rispetto attribuirmi questa quadratura, ella pare a me, che non <lb></lb>vorrà attribuirsela, avendo riguardo a quest'altro rispetto, sicchè re<lb></lb>sterà come effetto di mutua causalità, per favellar con le scuole, e <lb></lb>non si dirà nè suo nè mio parto proprio, e totale, essendo ella primo <lb></lb>in un genere, et io primo in un altro. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Alla seconda ragione, rispondo, che io facevo due conti in caso, <lb></lb>che non mi fusse succeduto di provare quel lemma generalmente, cioè <lb></lb>di supplicar V. S., che me ne favorisse, conforme all'intenzione, che <lb></lb>me ne diede l'anno passato, quando mi mandò il medesimo lemma <lb></lb>dimostrato, ma in casi particolari; ovvero di proporre il metodo, e <lb></lb>darne, come un esempio in que' casi che posso, avvertendo, che ridu<lb></lb>cendo qualsivoglia caso all'invenzione de' massimi si trova general<lb></lb>mente la origine di tutto. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Mando a V. S. parte della mia dimostrazione nel proposito nostro, <lb></lb>stimandola sufficiente per quello, che si pretende, cioè di scoprire la <lb></lb>convenienza dei metodi, e giuro a V. S. che questa è la medesima <lb></lb>dimostrazione, che io scrissi il Marzo passato, solo qualche paroluccia <lb></lb>ho mutato nel trascrivere, per portare in generale quello, che per fa<lb></lb>cilità esemplificavo in una parabola cubica, e vi ho aggiunta la de<lb></lb>terminazione . . . . . . . . Del rimanente confermo a V. S., che è la <lb></lb>medesima, e la figura anche è l'istessa. </foreign></s> <s>E siami Dio in testimonio, <lb></lb>poichè per torre ogni sospetto di frode, stimo ciò necessario, assicu<lb></lb>randola, che se io non giuro mai nè in bene, nè in male, non voglio <lb></lb>per un leggiero guadagno offendere Iddio, e me medesimo. </s><s>Ella, che <lb></lb>sa per esperienza quanto mi sia facile di penetrare, e pervenire in ma<lb></lb>teria di Geometria li concetti altrui, mi puole anche umanamente cre<lb></lb>dere questa invenzione. </s><s>Ella si ricorderà due mesi sono, che mi avvisò <lb></lb>una sua proposizione dimostrata da lei in modo ricondito, e pure io <lb></lb>l'indovinai, . . . . che si serviva d'un'altra sua invenzione & per un <lb></lb>piccolo cenno che n'ebbi. </s></p> <p type="main"> <s>Sia qualsivoglia dell'infinite parabole ABC, in cui la dignità delle <lb></lb>applicate sia di grado superiore alla dignità delle parti diametrali. </s><s>E <lb></lb>si faccia BA all'AD come l'esponente di questa dignità all'esponente <lb></lb>di quella. </s> <s><foreign lang="it">Si compisca il parallelogrammo DC, e sopra la DE, e per B, <lb></lb>come vertice, intendasi passare una parabola dell'istessa specie con <lb></lb>l'ABC, la qual sia DBE. Dico, che la parabola ABC sarà eguale al <pb pagenum="396"></pb>trilineo CBE. Perchè non essendo uguale sarà maggiore, o minore. </foreign></s> <s><lb></lb>Pongasi maggiore di tanto quanto è lo spazio K, e si circoscriva al <lb></lb>trilineo una figura composta di pa<lb></lb> <arrow.to.target n="fig681"></arrow.to.target><lb></lb>rallelogrammi egualmente alti, dei <lb></lb>quali sia l'infimo IE, e la figura cir<lb></lb>coscritta ecceda di spazio minore <lb></lb>al K. Dunque sarà essa circoscritta <lb></lb>minore pur anche alla parabola. </s><s>Ma <lb></lb>questo è falso. </s><s>Dunque &. </s></p> <figure id="fig681"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Si passino per li punti F, K, L <lb></lb>ne' quali le applicate nel trilineo <lb></lb>segano il suo perimetro, le rette <lb></lb>MK & equidistanti all' AC onde si <lb></lb>formino i parallelogrammi circo<lb></lb>scritti alla parabola e vi si ag<lb></lb>giunga LB. Sarà ciaschedun paral<lb></lb>lelogrammo circoscritto al trilineo <lb></lb>maggiore del suo corrispondente, e <lb></lb>circoscritto alla parabola (e sono di <lb></lb>numero eguali); dunque la circoscritta alla parabola è minore della <lb></lb>circoscritta al trilineo, (e molto minor la parabola che la circoscritta <lb></lb>al trilineo). Per prova di questo s'intenda congiunta la CD, e perchè <lb></lb>BA all'AD sta come l'esponente delle dignità diametrali all'esponente <lb></lb>delle dignità delle applicate sarà CD tangente, e però segherà GF. <lb></lb>Sia in R. Dunque GF ad FH avrà maggior ragione, che GR ad RH, <lb></lb>ovvero per la similitudine de' triangoli GC ad HD, ovvero FI a GE; <lb></lb>dunque il parallelogrammo sotto GF, e GE sarà maggiore del paral<lb></lb>lelogrammo sotto FH, et FI. Giontovi comune IG sarà il parallelo<lb></lb>grammo IE maggiore dell' HC. Il simile d'ogni altro; dunque &. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">La seconda parte io la tralascio, perchè a lei basta di vedere il <lb></lb>mio progresso, che manifestamente si vede in questa sola parte. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Supplico V. S. che dopo d'aver letto la mia dimostrazione voglia <lb></lb>riflettere un poco, quanto differente sia l'aver dimostrato con Rober<lb></lb>vallio la sua proposta, e l'aver dimostrato in questa mia maniera la <lb></lb>quadratura delle infinite parabole. </s> <s><foreign lang="it">Perchè poniamo nel caso di Rober<lb></lb>vallio ABC una figura capace di tangenti per mezzo delle quali sia <lb></lb>descritta, come egli insegna, la figura DBE per provare poi, che il <lb></lb>trilineo sia eguale alla figura ABC. Quì egli non ha fatica veruna di <lb></lb>determinar le condizioni della sua figura, a fine che le si possano <lb></lb>tirare tangenti a ogni punto: ma io lo determino da me, e dico, che <lb></lb>le dignità delle applicate devono essere superiori di grado alle di<lb></lb>gnità diametrali. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Egli niente cura il sapere qual ragione abbia la <lb></lb>DA segata dalla tangente rispetto alla BA, et io scuopro con mia <lb></lb>invenzione una tal proporzione. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Egli non ci fa conoscer punto qual <lb></lb>sorte di figura sia la DBE; io manifesto esser parabola della stessa <lb></lb>specie con l'ABC, e quì confesso a V. S. d'essermi maravigliato nel <lb></lb>rivedere la mia carta, che anche in questo termine ero convenuto seco, <pb pagenum="397"></pb>chiamando la DBE parabola dell'istessa specie con l'ABC; ma ciò è <lb></lb>di niuna conseguenza. </foreign></s> <s>La dimostrazione alla proposta di Robervallio <lb></lb>si serve delle tangenti per dimostrare i parallelogrammi circoscritti <lb></lb>al trilineo maggiore de' circoscritti alla figura ABC, et io anche mi <lb></lb>servo delle tangenti, benchè con uso alquanto alterato. </s> <s><foreign lang="it">E questo è <lb></lb>quanto di convenienza fra le due dimostrazioni si ritrova. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Sicchè pare <lb></lb>a me di poter conchiudere, che ella usando la proposta delle tangenti <lb></lb>(che da niuno prima di me è stata generalmente enunciata, nemmeno <lb></lb>in Francia, come io congetturo dalle parole del Padre Mersenno) in<lb></lb>trecci nella dimostrazione delle infinite quadrature più del mio, ser<lb></lb>vendosi ella ancora dell'uso de' massimi alterato, che io non prendo <lb></lb>del suo, valendomi delle tangenti per le quadrature, come ella fa in <lb></lb>proposito differente. </foreign></s> <s><foreign lang="it">E questo dissi al Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Antonio Nardi, il medesimo <lb></lb>giorno, che studiai la dimostrazione di V. S. sulla proposta di Ro<lb></lb>bervallio, che ella non poteva (sebbene avesse trovata la dimostra<lb></lb>zione, che poi ha trovata) servirsene per la necessità, che vi era della <lb></lb>proposizione delle tangenti. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Quì stimo bene, che io preoccupi un pensiero, che potesse in Lei <lb></lb>destarsi dal vedere, che io scrivo tanto di questa proposizione delle <lb></lb>tangenti alle parabole, et è che io vanti troppo una bagattella, e <lb></lb>con importuna vanità. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma sappia V. S. che io ne faccio molto minor <lb></lb>considerazione, di quel che ella si crederà, avendo le tangenti alle <lb></lb>infinite iperbole, et ellissi, delle quali V. S. avrà sentito a quest'ora <lb></lb>l'enunciazione, che mi rendono vili nel concetto mio quelle due para<lb></lb>bole, che dipendono da metodo assai disinvolto, et ordinario rispetto <lb></lb>a quelle delle iperboli. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Finirò di tediarla conchiudendo con una riflessione fatta alla di<lb></lb>mostrazione ultimamente mandatami per le tangenti alle parabole; <lb></lb>dove ella mi dimostra per un esempio il suo intento nella parabola, <lb></lb>in cui li cubi delle ordinate sono, come i quadrati delle parti diame<lb></lb>trali. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ella si sarà poi accorto, che questa parabola si dimostra con il <lb></lb>lemma della linea segata in ragion moltiplice, che entra espressamente <lb></lb>fra i casi che io posso con questo lemma dimostrare. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Poichè DB sarà <lb></lb> <arrow.to.target n="fig682"></arrow.to.target><lb></lb>la metà di BC, sarà DB in BC <expan abbr="q.">que</expan> il massimo rispetto il cubo DC; ma DB <lb></lb>in BE <expan abbr="q.">que</expan> non sarà massimo rispetto il cubo DE, dunque maggior ra<lb></lb>gione ha DB in BC <expan abbr="q.">que</expan> a DC cubo, che DB in BE <expan abbr="q.">que</expan> a DE cubo, e per- <pb pagenum="398"></pb>mutando DB in BC <expan abbr="q.">que</expan> a DB in BE <expan abbr="q.">que</expan> (cioè AC cubo ad EF cubo) avrà <lb></lb>maggior ragione, che il cubo DC al cubo DE, ovvero il medesimo cubo <lb></lb>DC al cubo DE, ovvero il medesimo cubo AC al cubo GE; dunque il <lb></lb>cubo GE è maggiore del cubo FE, et il punto G cade fuori della curva. </foreign></s> <s><lb></lb>Il che si dovea provare. </s></p> <figure id="fig682"></figure> <p type="main"> <s>Ho parlato forse troppo. </s><s>Ma che? </s><s>a Lei, come ad arbitro delle mie <lb></lb>cose, ho voluto dar piena informazione de' miei sentimenti, i quali <lb></lb>muterò sempre che da lei non sieno approvati per buoni. </s> <s><foreign lang="it">Desidero sì <lb></lb>bene, mentre ella persista nell'opinione di prima, che mi conferisca il <lb></lb>modo per soddisfare il Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Antonio, il quale è certissimo, essendo <lb></lb>egli testimonio a se medesimo, che io fin da Marzo trovai questa di<lb></lb>mostrazione, e gliela promisi. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Imperocchè a quel signore desidero <lb></lb>servire, e non dargli mai, neppur minima occasione di dolersi della <lb></lb>mia fede, o del mio ossequio. </foreign></s> <s><foreign lang="it">A V. S. che tengo in luogo di maestro <lb></lb>o di Padrone, ho voluto anche dal casuale incontro de' miei concetti <lb></lb>co'suoi prima che si venga a risoluzione alcuna di pubblicarli; il che <lb></lb>non sarebbe però senza far menzione, che ella similmente l'ha trovo, <lb></lb>e quando ella così si compiaccia, farei per ogni suo vantaggio men<lb></lb>zione d'aver preso gran motivo da una sua bellissima dimostrazione. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>In somma uno de' principali riguardi, che ho avuto, et avrò sempre; <lb></lb>sarà di non contrariar mai al proposito fermo, che da principio feci, <lb></lb>di non tacere il nome di quello, che mi avesse obbligato coll'inse<lb></lb>gnarmi cosa alcuna, dando a ciascuno lode, e l'onor, che gli si deve; <lb></lb>et umilmente la riverisco. <lb></lb> Di V. S. M.to Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end>, et Ecc.mo.<lb></lb>Roma lì 7 Luglio 1646.<lb></lb> Div. </foreign></s> <s>et Obb.mo Serv.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end>, et Discepolo<lb></lb> Michelangelo Ricci</s></p> <pb pagenum="399"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>179<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> TORRICELLI a MARINO MERSENNE <lb></lb>[in Parigi].<lb></lb>Firenze, 7 luglio 1646.<lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XL, c. 45-46 — Autografa). </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Questa lettera porta a lin. 18 c. 46 <emph type="italics"></emph>v<emph.end type="italics"></emph.end> dello stesso codice la data e firma: “ <emph type="italics"></emph>Dom.co <lb></lb>Capponcini 25 Genn. 1662<emph.end type="italics"></emph.end> ” quindi è la minuta di mano propria del Torricelli <lb></lb>che nel gennaio 1662 era presso L. Serenai. (V. <emph type="italics"></emph>Strumento di recognizione,<emph.end type="italics"></emph.end> ecc. a <lb></lb>pag. 5, N. V del presente volume, e anche LETTERA AI FILALETI DI TIMAURO AN<lb></lb>TIATE. Firenze 1663, pag. 24: <emph type="italics"></emph>Inventario di scritture private manoscritte che si ad<lb></lb>ducono in questa lettera in prova della Verità,<emph.end type="italics"></emph.end> ecc., N. XIII).<gap desc="/SM"></gap></foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Doctissimo, et celeberrimo Viro P. M. Mersenno <lb></lb>Evang.<emph type="sup"></emph>ta<emph.end type="sup"></emph.end> Torricellius S. </s></p> <p type="main"> <s>Seris epistolis damus serum responsum: advenerunt <lb></lb>enim litterae P. V. Clarissimique Viri Robervallij, quam<lb></lb>quam kal. </s><s>Ian. </s><s>datae sint, propè finem mensis Martij; <lb></lb>eaeque mihi redditae sunt per Ill.<emph type="sup"></emph>mos<emph.end type="sup"></emph.end> Viros Comitem Fer<lb></lb>dinandum Bardi, et Andream Arrighetti. </s><s>De mora verò <lb></lb>tam seri mei responsi vix ineunte Julio redditi, non est <lb></lb>quod me excusem; inertia enim mea notior est quàm ut <lb></lb>possit occultari. </s><s>Excepi satis frequentes querelas circa <lb></lb>vitrum illud quod ex meis P. V. voluit habere. </s><s>Ad haec <lb></lb>primùm respondeo; si vitrum illud idem sit quod ego Ro<lb></lb>mam misi, neque a quopiam (quod non credo) in tot itine<lb></lb>ribus commutatum sit, optimum esse; neque in tota Gallia, <lb></lb>universisque regionibus transalpinis ullum aeque bonum <lb></lb>reperiri censeo, dumodo è manibus meis, vel saltem Fran<lb></lb>cisci Fontanae emissum non sit. </s><s>Non habemus quidem ocu<lb></lb>los Enoc, et Eliae, similesque somniantium ineptias, at <lb></lb>habemus certissimam demonstrationem nusquam gentium <lb></lb>fieri posse vitra meis perfectiora. </s><s>Aequè perfecta fieri pos<lb></lb>sibile est, facientque Pauci quos Aequus amabit Jupiter, <lb></lb>et qui Conicorum, refractionumque doctrinam aeque pos<lb></lb>sidebunt, at non meliora. </s><s>Notum iam est hoc per univer<lb></lb>sam ferè Europam unde mea vitra expetuntur. </s><s>At P. V. <pb pagenum="400"></pb>ne quaeso ex quocunque vitro meo argumentum sumat <lb></lb>de reliquis omnibus meis; nam singula eiusdem notae non <lb></lb>evadunt. </s><s>Vix enim decima quaeque perfectiss.<emph type="sup"></emph>ma<emph.end type="sup"></emph.end> fiunt ob <lb></lb>materiae imperfectionem, quae difficillimè, nec nisi peracto <lb></lb>opere dignosci potest; reliqua partim penitùs mala sunt, <lb></lb>partim mediocria. </s><s>Nescio an ornatissimus iuvenis M. An<lb></lb>gelus Ricci oraverit P. V. ut vitrum illud ad nos remit<lb></lb>teret, pecuniamque suam haberet: certè ego enixè eum <lb></lb>rogaveram ut hoc faceret; neque pecuniam ullam unquam <lb></lb>accepissem (quam ex Florentia Romam ad eum retrò mi<lb></lb>seram) nisi ipse certum me fecisset P. Vestram tandem <lb></lb>nescio quo pacto animadvertisse vitrum non esse penitus <lb></lb>contemnendum. </s><s>Mira scribit P. V. de vitro Gassendiano, <lb></lb>quod ipse habuit à Galileo. </s><s>Vitra nostra, et praecipue illud <lb></lb>quod P. V. habet, sine dubio meliora sunt quam vitrum <lb></lb>illud electissimum quod Galileus in delicijs habebat, et <lb></lb>prae oculis suis amabat. </s><s>Nescio an existimandum sit Ga<lb></lb>lileum ex duobus vitris, melius misisse ad Cl. </s><s>Gassendium, <lb></lb>peius verò sibi ipsi reservavisse. </s><s>Sed illud absurdum omninò <lb></lb>est Tubum Gassendianum quarta parte breviorem ijsdem <lb></lb>adhibitis concavis maius obiectum repraesentare. </s><s>Hoc enim <lb></lb>idem prorsus est ac si P. V. dixisset. </s><s>Positis duobus trian<lb></lb>gulis isoscelibus et aequiangulis quod minora habet crura <lb></lb>maiorem basim habuisse. </s><s>Scripsit etiam P. V. reperisse <lb></lb>quoddam Vitrum Hippoliti Francini amici mei quod nostro <lb></lb>praestantius erat. </s><s>Quodnam fuerit illud vitrum, triginta du<lb></lb>catis, hoc est undecim pistolis emptum optimè scio. </s><s>At <lb></lb>iam satis superque notum est intra Fontanae praestantiora <lb></lb>Francinianis reperiri, mea verò reliquis omnibus meliora <lb></lb>esse. </s><s>Longitudo tubi argumentum est verum arcanum de <lb></lb>figura vitrorum me reperisse. </s><s>Praeteritam hiemem impendi <lb></lb>iussu Ser.<emph type="sup"></emph>mi<emph.end type="sup"></emph.end> M. Ducis in perficiendis Telescopiis usque ad <lb></lb>longitudinem decem passuum Geometricorum. </s><s>Talia verò <lb></lb>in Caelum non possunt converti sine maximis molibus, tu<lb></lb>bum fecimus ex malo triremis, scisso prius bifariàm, deinde <lb></lb>excavato, et iterum compacto: sed tam gravis est, tam <lb></lb>longus, tam incomodus, et ferè nunquam rectus, ut penè <lb></lb>nullius usus reperiatur. </s><s>Sequenti hieme, quando labor resumi <lb></lb>poterit, non ero monendus me debere concavum P. V. <pb pagenum="401"></pb>quod quidem à me factum sit, et ad vitrum 4 brachiorum <lb></lb>iustam habeat debitamque proportionem. </s><s>Ill.<emph type="sup"></emph>mus<emph.end type="sup"></emph.end> Vir lo: <lb></lb>Baptista Balianus misit ad me nomine P. V. quoddam <lb></lb>examen quadraturae circuli a Batavo quodam Mathema<lb></lb>tico editae. </s><s>Examen vidi, atque illud ut videretur misi <lb></lb>Romam ad amicos, breve quidem est, at multo brevius <lb></lb>esse poterat si pro demonstratione quadam numerica, quam <lb></lb>praemittit, adhibuisset Propositionem 3 libri VI Euclidis. </s><s><lb></lb>Sed de hoc examine nihil amplius recordor. </s><s>Habeat hic <lb></lb>P. V. quadraturam perfectissimam à Mathematico Romano <lb></lb>Societatis lesu demonstratam nuperrime in libro cuius ti<lb></lb>tulus Ars Magna lucis, et Umbrae. </s><s>Quadratura talis est. </s></p> <p type="main"> <s>Si radius AB, arcusque quadrantis AC, <lb></lb> <arrow.to.target n="fig683"></arrow.to.target><lb></lb>uterque bifariam secetur in D, et E, pro<lb></lb>ducta DE secabit ex tangente rectam CF <lb></lb>aequalem arcui CE. </s></p> <figure id="fig683"></figure> <p type="main"> <s>Habet praeterea idem Geometra aliquid <lb></lb>quod et vestris Geometris, quibus nihil no<lb></lb>vum est, fortasse novum erit, <emph type="italics"></emph>hoc est Quadratum circulo <lb></lb>isoperimetrum eidem circulo aequale esse.<emph.end type="italics"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Ad clarissimum Virum Robervallium mittimus spirales <lb></lb>quasdam (ut credo) nostras, quarum linea aequalis osten<lb></lb>ditur lineae rectae. </s><s>Ad Ill.<emph type="sup"></emph>mum<emph.end type="sup"></emph.end> D: De Fermat Hyperbolas <lb></lb>(fortasse meas) mitterem sed vereor ne ineptias meas pe<lb></lb>nitus dedignetur videre, qui iamdiù assuevit nobilissimo <lb></lb>infinitarum parabolarum Theoremati. </s><s>Certè quo ad nume<lb></lb>rum pauciores non erunt hyperbolae nostrae. </s></p> <p type="main"> <s>Tibi verò V. Clar.<emph type="sup"></emph>me<emph.end type="sup"></emph.end> Corollarium mitto ex ipsis hyper<lb></lb>bolis deductum. </s><s>Quadratura quaedam est, quarum cente<lb></lb>nas, immo infinitas poteram mittere, nisi vidissem satis <lb></lb>superque esse unam ut statim omnes emergant. </s><s>Vale, <lb></lb>meque obsequentissimum servum tuum ama. </s><s>D. Flor. </s><s>die <lb></lb>7 Julij 1646 . </s></p> <pb pagenum="402"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>180<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> TORRICELLI a MARINO MERSENNE <lb></lb>[in Parigi].<lb></lb>[Firenze, 7 luglio 1646].<lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XL, c. 43-44 — Autografa). </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Questa lettera porta a lin. 24, c. 44 <emph type="italics"></emph>v<emph.end type="italics"></emph.end> del medesimo codice “ Discepoli di Galileo, <lb></lb>T. XL, ecc. ” la firma e data “ <emph type="italics"></emph>Dom.co Capponcini 25 Genn. 1662<emph.end type="italics"></emph.end> ”, è perciò la <lb></lb>minuta di mano propria del Torricelli, che nel gennaio 1662 era presso L. Sere<lb></lb>nai (V. <emph type="italics"></emph>Strumento di recognizione,<emph.end type="italics"></emph.end> ecc. a pag. 5, N. VI del presente Volume), ed <lb></lb>è quella che Carlo Dati chiama <emph type="italics"></emph>una poscritta<emph.end type="italics"></emph.end> alla precedente del Torricelli al <lb></lb>P. Mersenne in data 7 luglio 1646 (V. LETTERA AI FILALETI DI TIMAURO ANTIATE, ecc. <lb></lb>Firenze 1663 pag. 16, lin. 5-9 ed anche pag. 24: <emph type="italics"></emph>Inventario di scritture private ma<lb></lb>noscritte che si adducono in questa lettera in prova della Verità,<emph.end type="italics"></emph.end> ecc., N. XIV). </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Un esemplare manoscritto della lettera medesima senza apprezzabili varianti si <lb></lb>trova nella Biblioteca Nazionale di Parigi, fond. </foreign></s> <s><foreign lang="it">latin., nouv. <expan abbr="acq.">acque</expan>, 2338, f.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> 8, nel <lb></lb>quale però si trovano aggiunte in fine le parole: <emph type="italics"></emph>Atque hic me tibi iterum com<lb></lb>mendo Torricellium<emph.end type="italics"></emph.end> le quali sembrano scritte di mano dello stesso Torricelli.<gap desc="/SM"></gap></foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Doctiss.<emph type="sup"></emph>me<emph.end type="sup"></emph.end> et Celeberrime P. Mersenne </s></p> <p type="main"> <s>Oro P. Vestram ut secum ipsa recordari velit quando <lb></lb>ego scripsi centrum gravitatis cycloidis secare axem in <lb></lb>ratione 7 ad 5, et solidum circa axem esse ad cilindrum <lb></lb>ut 11 ad 18, ipsam mihi in epistola maximè longa respon<lb></lb>sum hoc dedisse sub die 24 Junii 1644. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>“ Incomparabili Geometrae D. Torricellio S. P. D.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>“ Vix credere possim D. Clar. </s><s>Charissimeque quantis <lb></lb>“ tuae novissimae litterae accessionibus tuam apud me fa<lb></lb>“ mam, et estimationem promoverint. </s><s>Quid enim illi pu<lb></lb>“ tem <foreign lang="grc">ἀδύνατον</foreign> qui vel nostrum Geometram Robervallum <lb></lb>“ inventione centri gravitatis cycloidis, et illius circa axem <lb></lb> <arrow.to.target n="marg529"></arrow.to.target><lb></lb>“ solidi . . . . . . . . . . Reliqua enim invenit, et demon<lb></lb>“ stravit. </s><s>Sed qui (licet illa parata dicat habere quae Tro<lb></lb> <arrow.to.target n="marg530"></arrow.to.target><lb></lb>“ choidis suae plana spectant ad adendum parata) tamen <lb></lb>“ non debeas infodere tuas circa idem negotium demon<lb></lb>“ strationes: iuvat enim idem pluribus modis demonstra<lb></lb>“ tum inspicere. </s></p> <pb pagenum="403"></pb> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg529"></margin.target><emph type="italics"></emph>verbum deest.<emph.end type="italics"></emph.end></s></p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg530"></margin.target><emph type="italics"></emph>parata bis le<lb></lb>gitur.<emph.end type="italics"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>“ Ille verò non solum per indivisibilia sed more alterius <lb></lb>“ demonstrationis quam ad te misi omnia praedicta de<lb></lb>“ monstravit, <emph type="italics"></emph>qui cum tuas postremas legisset praedictum <lb></lb>“ Solidum, et centrum gravitatis tibi debere fatetur, qui pri<lb></lb>“ mus invenisti.<emph.end type="italics"></emph.end> Rogamus tamen an centrum gravitatis <lb></lb>“ solidorum Trochoidicorum habeas quae numerasti, ut ha<lb></lb>“ bes centrum gravitatis plani Cycloidalis; et curnam dicas <lb></lb>“ te habere demonstrationem solidi circa basim ut 5 ad 8. <lb></lb>“ Numquid et aliorum habes? ” </s></p> <p type="main"> <s>Omittimus maximam, et longissimam epistolae partem <lb></lb>in qua deinde plures, et etiam clariores hujusmodi con<lb></lb>fessiones leguntur. </s><s>Deinde versus finem iterum haec habet <lb></lb>P. V.<emph type="sup"></emph>ra<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>“ Dubitat noster Robervallus an Mechanicé tantum <lb></lb>“ centra gravitatis Cycloidis, et semicycloidis inveneris, <lb></lb>“ quae Geometricé falsa suspicatur, docebis num istius <lb></lb>“ rei demonstrationem habeas ”. </s></p> <p type="main"> <s>Potestne aliquid clarius desiderari? </s><s>postquam ego vidi <lb></lb>Clar. </s><s>Robervallum suspicari, et P. Vestram a me demon<lb></lb>strationem petere, vix lectâ epistolâ statim misi demonstra<lb></lb>tionem centri gravitatis cycloidis, solidique circa basim, <lb></lb>et quod summopere dolet in ipsa demonstratione quae <lb></lb>satis longa erat, misi etiam demonstrationem meam, et <lb></lb>verè meam, pro methodo quae inservit ad inveniendum <lb></lb>centrum gravitatis ex dato solido, sive solidum ex dato <lb></lb>centro etc. </s><s>Clar. </s><s>tandem Robervallus in ultima epistola <lb></lb>inquit non solùm centrùm gravitatis Cycloidis jam diu <lb></lb>habuisse, sed etiam methodum meam, inversâ tantùm pro<lb></lb>positione, inter sua numerat, quod egerrimè fero. </s><s>Si enim <lb></lb>centrum gravitatis, antequam demonstrationem meam vi<lb></lb>deret, non habebat quemadmodum certé, immó certissimé <lb></lb>scio non habuisse (ut P. V. vel ipsemet, vel tandem universa <lb></lb>Europa testis esse poterit) sine dubio neque Methodum <lb></lb>habebat. </s><s>Nolui primum epistolae caput ad Clar. </s><s>Roberval<lb></lb>lium mittere; satis enim duxi si illud consideraret P. V.<emph type="sup"></emph>ra<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>Nam spero ipsam huic meae injuriae obviam ituram adeó <lb></lb>ut mihi mea tribuantur, in ipsa enim maximé confido; et <lb></lb>ipsa me protegere debet quae a me demonstrationem illam <lb></lb>petivit, et accepit, et quae semper fuit interpres hujus <pb pagenum="404"></pb>commercij ex parte tantùm vestra tam docti atque eruditi. </s><s><lb></lb>Scio etiam eam esse Clar. </s><s>Robervalli humanitatem atque <lb></lb>fidem, eamque habere ipsum inventorum suorum copiam, <lb></lb>ut statim atque monitus erit a P. Vestra de ratione tem<lb></lb>porum, de epistolis datis, et de hoc quod fortasse exci<lb></lb>derat ei tot occupationibus distracto, ipsum credam in <lb></lb>meam sententiam venturum. </s><s>Ne verò duo praedicta epi<lb></lb>stolae capita a me conficta existimentur, neve quidquam <lb></lb>sive additum, sive detractum commutatumque credatur <lb></lb>primùm reminiscentia P. V. fidem facere poterit, deinde <lb></lb>auctoritas Clar. </s><s>Virorum, characteres P. V. optimé cogno<lb></lb>scentium. </s><s>Si Ill.<emph type="sup"></emph>mus<emph.end type="sup"></emph.end> Donius aderat, ab ipso petijssem testi<lb></lb>monium de fide mea in describendis capitibus epistolae <lb></lb>praedictae. </s><s>Invoco fidem atque benevolentiam P. V. quam <lb></lb>maximam censeo, namque vim patior. </s><s>Si Centrum illud <lb></lb>gravitatis sciebat, una cum methodo universali Clar. </s><s>Ro<lb></lb>bervallus quando ipsi P. V.<emph type="sup"></emph>ra<emph.end type="sup"></emph.end> meam solam enunciationem <lb></lb>ostendit, certè non dixisset hoc ipsum mihi debere, neque <lb></lb>me primum inventorem P. V.<emph type="sup"></emph>ra<emph.end type="sup"></emph.end> nominavisset, neque illud <lb></lb>falsum Geometricé potuisset suspicari Robervallius; neque <lb></lb>P.V. publicé etiam typis edidisset illa Problemata esse mea. </s></p> <p type="main"> <s>Quaeso P. V. ignoscat mihi, si fortasse in his multò <lb></lb>longius quàm opportebat provectus sum. </s><s>Fateor enim <lb></lb>omnia inventa mea pro nihilo me habere, et meras nugas <lb></lb>cognoscere, at nimio dolore afficerer et graviorem contu<lb></lb>meliam paterer, si quidquam mihi tamquam penitus fatuo, <lb></lb>et semimortuo tam manifesté praeripi viderem sineremque. </s><s><lb></lb>Incredibile est quanto desiderio expectem responsum P. V. <lb></lb>circa hoc negotium. </s></p> <p type="main"> <s>Lectâ iterum epistolâ Clar. </s><s>Robervallij, et obsignata <lb></lb>jam meâ ad ipsum data animadverto me nihil respondisse <lb></lb>de solido Cycloidis circa axem. </s><s>Sed neque responsum quod<lb></lb>piam dari necesse existimo. </s><s>Tum enim quispiam iuré ar<lb></lb>guere poterit me quando in paralogismos meos incidet. </s><s><lb></lb>Habemus apud Archimedem prop. 2 de Circuli dimensione <lb></lb>Circulum ad Quad.<emph type="sup"></emph>m<emph.end type="sup"></emph.end> diametri esse ut 11 ad 14. Quaero ab <lb></lb>ipso unde nam putet me habuisse rationem quam ad nu<lb></lb>meros 11 et 18 reducebam? </s><s>si verò ea dicit ut ego demon<lb></lb>strationes iterum ultrò mittam, fallitur. </s></p> <pb pagenum="405"></pb> <p type="main"> <s>Praelectionem, sive orationem adeó laudatam doctis<lb></lb>simi et eloquentissimi P. Gassendi libentissimé viderem. </s><s><lb></lb>Nihil enim ex ejus operibus vidi praeter vitam D. De <lb></lb>Peiresck. </s></p> <p type="main"> <s>Libentissimé etiam scirem ubinam degat hoc temporis <lb></lb>Clar. </s><s>et celeberrimus Des Cartes, nam aliquod commer<lb></lb>cium cum tanto Viro valdé desidero. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>181<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> TORRICELLI a PIETRO CARCAVY <lb></lb>[in Parigi].<lb></lb>Firenze, 8 luglio 1646.<lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XL, c. 38-39 — Autografa). </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Nel medesimo codice “ Discepoli di Galileo T. XL, ecc. ” si legge sul margine su<lb></lb>periore della carta 38 la nota: <emph type="italics"></emph>8 lugl. 1646 a P de Carcaus,<emph.end type="italics"></emph.end> ed in fondo alla <lb></lb>carta 39 la firma e data: “ <emph type="italics"></emph>Dom.co Capponcini 25 gennaio 1662<emph.end type="italics"></emph.end> ”; (V. <emph type="italics"></emph>Strumento di <lb></lb>recognizione,<emph.end type="italics"></emph.end> ecc. a pag. 5 N. VII del presente Vol., ed anche LETTERA AI FILA<lb></lb>LETI DI TIMAURO ANTIATE. Firenze 1663 pag. 24: <emph type="italics"></emph>Inventario di scritture private ma<lb></lb>noscritte che si adducono in questa lettera in prova della Verità,<emph.end type="italics"></emph.end> ecc., N. XVI).<gap desc="/SM"></gap></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>Ill.mo et Docti.mo Viro P. de Carcaus <lb></lb>Evang. </s><s>Torricellius sal.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Circa problema numericum Ill.mi Senatoris De Fermat <lb></lb>nihil moratus sum: totus enim alienus a studijs omnibus <lb></lb>fui integro hoc anno, et fortasse etiam in sequentibus ero, <lb></lb>cum alia mihi inter ratio ineunda sit. </s><s>Dubitavi etiam ne <lb></lb>problemata ista numerica, quae communem et vulgatam <lb></lb>algebrae methodum fortasse excedunt, difficilis admodum <lb></lb>solutionis essent; praesertim si quis illa tantùm inquirat <lb></lb>data opera: quamquam postea se se offerant processu tem<lb></lb>poris quando ea disciplina colitur ex instituto et assidua <lb></lb>contemplatione evolvitur. </s><s>Praeterea non tam plausibile <lb></lb>mihi videbatur inventum illud: omnes potestates quarum <lb></lb>exponens etc. </s><s>Si unitate augeantur numeros primos fieri: <lb></lb>illudque, triangulum rectangulum in numeris reperire <lb></lb>cujus bina latera quadratum efficiant, sine alia simili con- <pb pagenum="406"></pb>ditione propositum, quod non memini, ut operae pretium <lb></lb>ducerem ingeniolum meum propriae gloriae adeo indignum <lb></lb>circa alienam diutius torquere. </s><s>At non hujusmodi visum <lb></lb>est problema tàm vastum, tàm multiplex de infinitis pa<lb></lb>rabolis, quod ego inventum primò existimabam a Cl. </s><s>Ro<lb></lb>bervallio proficisci: deinde audivi ab Ill.mo D. de Fermat <lb></lb>repertum; postremo comperio Cl. </s><s>Cavalerium hoc inventum <lb></lb>sibi vindicare, cum ipse multis ab hinc annis illud con<lb></lb>templatus sit quamquam frustra, deinde anno 1639 in pu<lb></lb>blicam lucem emiserit in quodam suo libello proposue<lb></lb>ritque reperiendum per idem ferè tempus Cl. </s><s>Viro I. F. <lb></lb>Niceroni dum Bononiam pertransiret communicavit ut in <lb></lb>Galliam ferret, quamquam ipse Cavalerius absolutam solu<lb></lb>tionem nondum haberet. </s><s>Sed nihil hoc ad nos attinet, hoc <lb></lb>unum sciat velim Ill.mus D. de Fermat me demonstratio<lb></lb>nes omnes circa praedictas parabolas (cujuscumque sint) <lb></lb>reperisse universalissimas, licet nescio quo pacto definitio <lb></lb>exciderit non adeó universalis. </s><s>Quod ad tangentes attinet <lb></lb>quinque methodos habeo poenitus inter se diversas. </s><s>Qua<lb></lb>draturas etiam totidem, ex quibus jam duas quas prae <lb></lb>caeteris minimi facio vulgavi inter amicos, et ad Clar. </s><s><lb></lb>Robervallium mitto fortasse ad subeundam eandem for<lb></lb>tunam cum meo centro gravitatis Cycloidis. </s><s>Circa centrum <lb></lb>gr. </s><s>vestri Geometrae praedicant mira se habere, et univer<lb></lb>salissima. </s><s>Ego vero quid habeam praeter solitas nugas <lb></lb>meas. </s><s>Misi jam ante biennium ad Clar. </s><s>Robervallium de<lb></lb>monstrationem methodi meae pro reperiendo sive centro, <lb></lb>sive solido alicujus plani ex altero tantum dato una cum <lb></lb>quadratura. </s><s>Exponam hic enunciationem alterius cujusdam <lb></lb>Propositiunculae non ut demonstratio inveniatur nam fa<lb></lb>cillima est, et jam vulgata inter amicos italos, sed ut <lb></lb>magis elucescant aliorum amplissimae contemplationes. </s></p> <p type="main"> <s>In quacumque figura sive plana sive solida dummodo <lb></lb>axem, vel diametrum habeat, centrum gravitatis axem, <lb></lb>sive diametrum secat unica semper hac lege: nempe ut <lb></lb>pars axis vel diametri versus verticem figurae sit ad re<lb></lb>liquam quaemadmodum sunt omnes etc ad omnes etc. </s></p> <p type="main"> <s>Haec est regula ex qua centra gravitatis exprimo, cum <lb></lb>habeam methodum non adeó difficilem pro invenienda <pb pagenum="407"></pb>ratione quam habent pred. </s><s>omnes etc. </s><s>ad omnes etc. </s><s>Immó <lb></lb>sub eodem theoremate compraehenduntur centra gr. </s><s>li<lb></lb>nearum, et superficierum paucis tantum mutatis in enun<lb></lb>ciatione. </s></p> <p type="main"> <s>Sed quid est cur tantopere petatis judicium meum de <lb></lb>Aristarchi libello? </s><s>idem postulavit Clar. </s><s>Mersennus dum <lb></lb>esset Romae. </s><s>Amici mei existimant libellum planè divinum, <lb></lb>et ab Auctore divino compositum. </s><s>Ego censeo libellum sub <lb></lb>Aristarchi nomine editum, conscriptum fuisse nostra hac <lb></lb>aetate. </s><s>Quod attinet ad doctrinam, omnia quidem optima <lb></lb>credo cum a doctissimis viris probentur, attamen et mihi, <lb></lb>et quibusdam amici quam plurima non placent od ingenii <lb></lb>nostri imbecillitatem. </s><s>Sed quaero ne et rationes postuleris, <lb></lb>quemadmodum fecit ipse Clar. </s><s>Mersennus cur ego libellum <lb></lb>nuper conscriptum censeam, sive cur in eo multa displi<lb></lb>ceant. </s><s>Ridiculum sané esset me multa potiora, et ad me <lb></lb>spectantia consultó negligentem, circa negotium quod ad <lb></lb>me minime attinet excruciari. </s><s>Oro D. V. ut inventum <lb></lb>meum de infinitis hyperbolis, et si placet etiam de spira<lb></lb>libus statim innotescat non solum Ill.mo De Fermat, sed <lb></lb>etiam aliis Geometris. </s><s>Quando enim ego misi jam ante <lb></lb>biennium demonstrationem de centro gr. </s><s>Cycloidis cum <lb></lb>demonstratione methodi pro reperiendo sive centro sive <lb></lb>solido alicujus plani, memini me oravisse Clar. </s><s>Mersennum <lb></lb>ut utramque demonstrationem cum multis statim confer<lb></lb>ret; quod si ille fecisset certé nunc mihi mea non eripe<lb></lb>rentur, quae alii mihi debent, nam primus inveni, imó <lb></lb>solus inveni. </s><s>Vale Vir Ill.me, et me inutilem quidem, sed <lb></lb>obsequentissimum famulum ut caepisti ama. </s><s><lb></lb>D. Flor. </s><s>die 8 Julij an. 1646.</s></p> <pb pagenum="408"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>182<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> TORRICELLI a [BONAVENTURA CAVALIERI <lb></lb>in Bologna].<lb></lb>Firenze, 14 luglio 1646.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XL, c. 138-139 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Molto Rev.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> P.re mio S.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> P.ron.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> Col.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Mando a V. P.<emph type="sup"></emph>à<emph.end type="sup"></emph.end> un poco di saggio del libro del Padre <lb></lb>Atanasio Kircher. </foreign></s> <s>Mando una sola proposizione, ma tale, <lb></lb>che da questa sola ugna ella potrà argomentare quanto <lb></lb>sia tutto quel lione. </s> <s><foreign lang="it">Faccio poi sapere a V. P.<emph type="sup"></emph>à<emph.end type="sup"></emph.end> come in <lb></lb>questi giorni mi trovo due liti; una col Robervallio di <lb></lb>Francia, il quale sfacciatissimamente e vergognosissima<lb></lb>mente scrive aver avuto il centro di gravità della Cicloide <lb></lb>avanti ch'io gli mandassi la dimostrazione; e non solo <lb></lb>il centro predetto della gravità della Cicloide, ma dice che <lb></lb>anco aveva quel metodo da me dimostrato, e mandato da <lb></lb>me in mano sua, dove io mostravo che dato il centro di <lb></lb>gravità, e quadratura d'un piano si dà il solido. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Esso l'ha <lb></lb>rivoltata, e dice, che aveva il metodo di trovare il centro <lb></lb>di gravità, data la quadratura et il solido. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Quando io <lb></lb>avvisai in Francia la sola enunciazione di quel centro di<lb></lb>cendo, che sta nell'asse segato, come 7 a 5, il Padre Mer<lb></lb>senne mi scrisse una lettera piena d'iperbole di lodi, con<lb></lb>fessando, che io ho prevenuto in questo il loro geometra <lb></lb>Robervallio; mi prega a mandar la dimostrazione. </foreign></s> <s>Mi dice, <lb></lb>che Robervallio ha dimostrato ogni cosa, fuor che questo. </s><s><lb></lb>Mi dice che i suoi Geometri non credono, che queste cose <lb></lb>si siano trovate, e parlando di Robervallio dice: <emph type="italics"></emph>qui quum <lb></lb>tuas postremas legisset, praedictum solidum, et centrum gra<lb></lb>vitatis tibi fatetur debere, qui primus invenisti. </s> <s><foreign lang="it">Rogamus <lb></lb>tamen an centrum gravitatis ecc.<emph.end type="italics"></emph.end> et in ultimo della lettera <lb></lb>lunghissima dice: <emph type="italics"></emph>Dubitat noster Robervallus an mechanicé <lb></lb>tantum centra gravitatis cycloidis, et semicycloidis inveneris,<emph.end type="italics"></emph.end> <pb pagenum="409"></pb><emph type="italics"></emph>quae geometricé falsa suspicatur. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Docebis num istius rei <lb></lb>demonstrationem habeas.<emph.end type="italics"></emph.end> E molte altre simili confessioni, <lb></lb>le quali sono in una lunghissima lettera che io ho stimato <lb></lb>da Quaresima in qua per persa; finalmente dopo moltis<lb></lb>sime diligenze l'ho trovata, et ho scritto le mie ragioni in <lb></lb>Francia, con copia della lettera loro, e le testimonianze <lb></lb>della recognizione, e quando occorrerà, la farò riconoscere <lb></lb>da otto o dieci letterati, e la stamperò con le ragioni mie. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>L'altra lite l'ho col Signor Michel Angelo Ricci di <lb></lb>Roma. </s><s>Al suddetto Signore mandai la dimostrazione da <lb></lb>me adattata alle figure infinitamente lunghe di Roberval, <lb></lb>fin di Marzo passato. </s> <s><foreign lang="it">Alle settimane passate io mandai al <lb></lb>medesimo la stessa dimostrazione applicata alla quadra<lb></lb>tura dell'infinite parabole in due modi. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Quando aspetto <lb></lb>che mi ringrazi, trovo, che egli dice, avere adattata ancor <lb></lb>lui quella mia dimostrazione alla quadratura delle para<lb></lb>bole; et hora vi pretende il medesimo ius che v'ho io. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Primieramente la dimostrazione fondamentale è mia senza <lb></lb>controversia, et egli lo confessa. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Avanti, che egli me ne <lb></lb>dia motivo gli mando l'applicazione alle parabole; et hora <lb></lb>nella risposta mi dice, che questa applicazione l'aveva; e <lb></lb>quel che più mi duole, mi dice, che già era accordato di <lb></lb>stampar questa sua cosa nel libro che uscirà presto del <lb></lb>Signor Antonio Nardi. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Dico il fatto mio all'uno, et all'altro, <lb></lb>cioè al Roberval, et al Ricci. </foreign></s> <s><foreign lang="it">E perchè sono stracco dal <lb></lb>caldo, e dallo scrivere reverisco con ogni ossequio V. P.<emph type="sup"></emph>à<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>Firenze 14 luglio 1646.<lb></lb> Dev.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end>, et Obbl.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Se.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb> Vangelista Torricelli.</foreign></s> </p> <pb pagenum="410"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>183<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> MARINO MERSENNE a TORRICELLI <lb></lb>[in Firenze].<lb></lb>Parigi, 26 agosto 1646.<lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLI, c. 59-65 — Copia moderna). </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Nel manoscritto intitolato “ Discepoli di Galilco, T. XLI, ecc. ” c. 65, <emph type="italics"></emph>verso<emph.end type="italics"></emph.end> lin. 18-21 <lb></lb>tra la parola <emph type="italics"></emph>Lutetiae<emph.end type="italics"></emph.end> e la parola <emph type="italics"></emph>Curabo<emph.end type="italics"></emph.end> si legge: “ <emph type="italics"></emph>Qui s'includa — iam iam meus <lb></lb>fasciculus,<emph.end type="italics"></emph.end> ecc. <emph type="italics"></emph>con tutto il restante segnato. </foreign></s> <s>Ed inoltre<emph.end type="italics"></emph.end> ”.<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Incomparabili Geometrae, viroque Clarissimo D. Evangelistae <lb></lb>Torricello S. P. D. Mersennus illius obsequentissimus. </s></p> <p type="main"> <s>Saepe miratus sum, vir Clar.<emph type="sup"></emph>me<emph.end type="sup"></emph.end> qui fieri possit, vix ut e vestra Flo<lb></lb>rentia aliquam Epistolam accipiamus, quum Roma adeo facile ad nos <lb></lb>amicorum literae perveniant, unde saepius amicum nostrum D. Ange<lb></lb>lum Riccium saluto. </s><s>Existimabam tamen me quum essem Romae post <lb></lb>Florentiam, eam cum vestra Dominatione amicitiam contraxisse, quam <lb></lb>postea mutuis literis non solum fovere, verum etiam propagare pos<lb></lb>semus; et sane meam semper polliceor, qua fultus dicam primo me <lb></lb>satis admirari non posse, quod noster Robervallus tanti vir ingenii, <lb></lb>et iudicii fere solus neget, motum semel impressum nunquam desitu<lb></lb>rum, si tollantur omnia impedimenta, vellemque, te ad illum scribere, <lb></lb>ut suas rationes, aut fundamenta, vel demonstrationem, si quam habet, <lb></lb>promeret, et ad te scribere cur nostrum illud axioma non recipiat, <lb></lb>quum post magnum Galilaeum, Cartesius, Gassendus, etc. </s><s>illud amba<lb></lb>bus ulnis amplectantur. </s></p> <p type="main"> <s>Secundo contendit Robervallus tuam illam lineam spiralem, quam <lb></lb>rectae lineae dixisti futuram aequalem, esse penitus impossibilem, <lb></lb>quod, an verum existimes, significare poteris, vel ab eo petere pro tuo <lb></lb>iure, ut rationem impossibilitatis explicet, et demonstret. </s></p> <p type="main"> <s>Tertio scias velim, me hoc anno Tholosates invisisse, et prope Bur<lb></lb>digalam per tres, aut quatuor dies mansisse cum acutissimo Domino <lb></lb>Fermatio, quem tanti nobiscum facis, quique tuum inventum de cy<lb></lb>lindro hyperbolico in infinitum producto mirum in modum extollebat, <lb></lb>illum enim dudum ad eum miseramus, qui tamen nondum vidit tuum <lb></lb>librum, quem illi pollicitus sum statim atque Roma huc advenerit. </s></p> <p type="main"> <s>Pollicitus est interim, se verti tuum porismata Euclidis, dummodo <lb></lb>ei textum Graecum Pappi, ubi loquitur de illis Porismis, ad eum mit<lb></lb>teremus, quod et factum est: siquid tanto viro proponendum habeas, <lb></lb>iube tantummodo, confestim enim tibi parebo. </s></p> <p type="main"> <s>Quarto, ur scias, quibus iam incumbamus, loco funependuli dati, <pb pagenum="411"></pb>quod suas vibrationes dato tempore perficit, quaerimus omnium cor<lb></lb>porum axem, cuius nempe longitudinis esse debeat, ut sua vibrationes, <lb></lb>seu oscillationes isochronas, seu eiusdem temporis cum funependuli <lb></lb>vibrationibus habeat. </s><s>Quod ad experientiam attinet, omnimodo fere <lb></lb>corpora sum expertus, nempe triangula, circulorum sectores, circulus, <lb></lb>semicirculos, circumferentiam, sphaeram, parabolam, etc. . . . . quas <lb></lb>observationes, si cupis, continuo missurus sum, quacumque edixeris. </s><s><lb></lb>Sed rationes inquirimus, quarum nunc tibi gustum faciam. </s><s>Sit baculus, <lb></lb>sive quadratus, sive rotundus, etc. </s><s>AB, dico funependulum CD suas <lb></lb>habere vibrationes aequales tempore vibrationibus funependuli CD lon<lb></lb>gitudine subsesquialteri, itaque dividatur cylindrus, sive baculus AB <lb></lb>in tres partes, C D 2 erit partium. </s><s>Regula generalis est, quam nobis <lb></lb>D. Cartesius a nobis rogatus misit, haec est, omnia corpora praeter <lb></lb>centrum gravitatis, aliud centrum percussionis, sive agitationis habere; <lb></lb>nempe quando suspensa ad modum funependuli libere moventur, eaque <lb></lb>omnia suas vibrationes aequali tempore perficere, quae sua centra <lb></lb>percussionis habent a puncto suspensionis aequidistantia. </s><s>Verbi gratia <lb></lb>quia centrum percussionis cylindri AB est ad 2/3 in puncto E, et cen<lb></lb>trum percussionis funependuli CD in puncto D, habent vibrationes <lb></lb>aequales, videbis tuo, si placet, otio, num haec ratio sit legitima, quod <lb></lb>vix credidero; nisi enim cylindrus AB sit tenuis, ita ut diameter basis <lb></lb>sit ad minimum sextuplae altitudinis cylindri, seu baculi, non amplius <lb></lb>ratio procedit. </s><s>Nam si fuerit altitudo AB aequalis diametro AF, con<lb></lb>stat ex observatis funependuli longitudinem aequalem esse cylindri <lb></lb>longitudini, suas ut vibrationes aequales habeat. </s><s>Aliae igitur rationes, <lb></lb>et regulae inveniendae pro cunctis corporibus. </s><s>Modum porro centri <lb></lb>percussionis inveniendi in quibusvis corporibus nondum generalem ha<lb></lb>bemus. </s><s>Siquem tradidit Dominus Cartesius desideres, mittam. </s></p> <p type="main"> <s>Quinto foret opere pretium, tuus ut liber, vel hic iterum typis com<lb></lb>mitteretur, vel curares, ut centum exemplaria huc a tuo Bibliopola <lb></lb>mitterentur, sunt enim plures, qui librum illum expectant, quem tan<lb></lb>topere a nobis laudatum, idque merito vident non permittemus tamen <lb></lb>hic imprimi, nisi prius non solum consenseris, sed etiam addideris, aut <lb></lb>detraxeris quidquid placuerit; quanquam non dubito, quin malis Flo<lb></lb>rentiae recudi. </s><s>ubi praesentia commodius addere poteris <lb></lb>inventa. </s><s>Ut ut sit, speramus nullum numerum exemplarium tantum <lb></lb>huc apparere posse, quin statim divendantur. </s></p> <p type="main"> <s>Sexto gratissimum facies, si doceas quid nuper inveneris, quidque <lb></lb>mente premas, gauderetque summopere Fermatius, si laborares in spi<lb></lb>ralibus, aut aliis curvis reperiundis, quae rectis lineis forent aequales, <lb></lb>caret enim hujuscemodi genio. </s><s>Denique, si rationem repereris meae, <lb></lb>quum essem Romae quaestionis de musica, nempe cur vis requiratur <lb></lb>quadrupla ad nervum elevandum, vel acuendum usque ad diapason, <lb></lb>seu octavam, quum ratio diapasonis sit tantum dupla, me novis ami<lb></lb>citiae vinculis obstringes, si eam mihi explicaris, quemadmodum, et <lb></lb>cur Tubus aqueus debeat esse in ratione dupla, quoad altitudinem, ut <lb></lb>duplam aquam effundat, utriusque enim difficultatis, vel eandem, vel <pb pagenum="412"></pb>germanam rationem esse vix dubito, qualis etiam est gravis cadentis, <lb></lb>et ex motus acceleratione arcessendam. </s></p> <p type="main"> <s>Hanc autem Epistolam per Dominum Riccium hic amantissimum <lb></lb>mitto, ne pereat in itinere florentiano nobis adeo infesto, ut ne qui<lb></lb>dem intra annum tutas literas impetrare possimus: quem etiam oro, <lb></lb>ut si iudices, te nimis laboraturum in manu mea legenda, italice, vel <lb></lb>etiam latine describat, et illico ad te mittat. </s><s>Si vero tibi via breviore <lb></lb>occurrat, sive per vestrum apud nos legatum, sive alio modo scribes, <lb></lb>et monebis. </s></p> <p type="main"> <s>Quaeso te, ut quem videris excellentissimum amicum Donium, mil<lb></lb>lies meo nomine salutes; dicasque me mirari, si dudum non accepit <lb></lb>meas literas quibus illius ultimis respondebam, meque vehementer scire <lb></lb>velle, num liber illius latinus de musica sit brevi typos experturus: <lb></lb>quidve sentiat de quodam libro musico, quem Pisauri Galeazzo Cano<lb></lb>nicus imprimit, et num Italice, vel Latine. <lb></lb>26 Augusti 1646. Lutetiae.</s></p> <p type="main"> <s>Jam iam meus fasciculus factus erat, quum Tabellionem inquirerem, <lb></lb>quum tua ad me, ad Robervallum, et Carcavum ad me pervenerunt, <lb></lb>quibus tibi plene satisfactum iri polliceor: neque vel unum ex tuis <lb></lb>egregiis inventis, sive praeteritis, sive praesentibus, sive futuris tibi <lb></lb>arripietur, sed tribuuntur omnia; et certe, ut video, te ipsum longe <lb></lb>superasti. </s><s>Quum autem haec epistola scripta esset cum alia strenuis<lb></lb>simi nostri Ricci, quaeso, ut illam ad eum mittas. </s><s>De vitro tuo iterum <lb></lb>gratias ago, plures acturus, ubi parvulum vitrum prope oculum appo<lb></lb>nendum, quod expecto, accepero. </s></p> <p type="main"> <s>Curabo, ut alia vice Epistola mea meliori manu scribatur, spero <lb></lb>tamen, te hanc legere posse, sed et amicissimum habes nobilem Do<lb></lb>nium, quem etiam saluto, qui te hac in re, si fuerit opus, iuvet; quaeso, <lb></lb>ut si fieri potest, meo characteri assuescas. </s><s>Gratissimum mihi, et Do<lb></lb>mino Cartesio facies, si ad eum scripseris. </s><s>Mittam enim illi tuas literas <lb></lb>in Hollandiam, ubi degit. </s><s>Vale iterum, vir incomparabilis: heri tuas <lb></lb>accepi. </s><s>Relinquo apertam Epistolam Domini Riccii, ut eam possis le<lb></lb>gere, quam postea claudes, et ad illum mittes. </s></p> <pb pagenum="413"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>184<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> MARINO MERSENNE a TORRICELLI <lb></lb>[in Firenze].<lb></lb>Parigi, 15 settembre [1646].<lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLI, c. 39-46 — Copia moderna). </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">L'originale di questa lettera trovavasi nel genn. 1662 presso L. Serenai. (V. LET<lb></lb>TERA AI FILALETI DI TIMAURO ANTIATE, ecc. Firenze, 1663, pag. 24: <emph type="italics"></emph>Inventario di <lb></lb>scritture private manoscritte che si adducono in questa lettera in prova della Verità,<emph.end type="italics"></emph.end><lb></lb>ecc., N. XV).<gap desc="/SM"></gap></foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Clarissimo Viro Domino Evangelistae Torricello S. P. </s></p> <p type="main"> <s>Statim atque tuas literas perlegi, vir Clarissime, vereque incompa<lb></lb>rabilis (cuius epitheti mei, tibique quarto modo, ut logice loquar, con<lb></lb>venientis, tibi, vel alteri cuiquam rationem apodicticam aperiam, si <lb></lb>fuerit opus) admiratus sum, quod ullus tuas inventiones, sive proble<lb></lb>maticas, sive theorematicas, tibi fuerit ausus eripere, quas semper <lb></lb>tibi sartas tectas coram omnibus alacriter, et fortiter me asserturum <lb></lb>confidas. </s><s>Quamquam satis probas ex meis literis, omnia ita se habuisse, <lb></lb>quum scripsi, neque enim ab eo tempore negare velim, nostrum Ro<lb></lb>bervallum eadem alia methodo reperisse, sed ubi prior ivisti; neque <lb></lb>crediderim, ut est vir ingenuus, sibi quidpiam in ea re velle unquam <lb></lb>vindicare, quod vel umbram iniuriae tibi inferat. </s><s>Porro quum hocce <lb></lb>meum responsum diligenter expetieris, nolui expectare nostrorum Clar. </s><s><lb></lb>virorum Carcavii, Robervalli, et forsitan Fermatii responsiones, quas <lb></lb>serius venturas praevideo, et quibuscum spero me scripturum iterum. </s><s><lb></lb>Accipe igitur interim hanc Fidei meae, et benevolentiae erga te Sche<lb></lb>dulam; cui permitte, ut addam, non usque adeo esse verum, quod <lb></lb>supponis, nempe fieri non posse, ut ex duobus Tubis opticis aequali <lb></lb>longitudine tractis, unus repraesentet obiecta maiora, quandoquidem <lb></lb>apud nos saepenumero contingit, ut Tubus sesquipedalis, maiora, cla<lb></lb>rioraque referat obiecta, quam Tubus bipedalis, etiamsi ambo iudicen<lb></lb>tur boni Tubi, vel vitra utriusque sint probae notae. </s></p> <p type="main"> <s>Addo Patrem Magnani nostri Ordinis in Trinitate montis Romae, <lb></lb>diu ad me scripsisse, quod quum tu missises optimum ex tuis vitris <lb></lb>Romam, ut vinceres bonitatem optimi vitri, quod etiam ad victoriam <lb></lb>Fontana miserat, ipse Magnani fecerit propria manu vitrum (in his <lb></lb>enim a multis annis laborat, ut te noster amicus Angelus Riccius, <lb></lb>etiam illius amicus certiorem facere poterit) quod, testibus curiosis <lb></lb>Romanis, forsan Magiotto, et alii, tam Fontanae vitrum, quam tuum <lb></lb>superavit. </s><s>Quod ab Angelo Riccio rescire poteris; sed et illud vix Ma<lb></lb>gnani forte videre, et experiri potero, si Dominus Du Verdus Burdiga- <pb pagenum="414"></pb>lensis, etiam amicus Ricci, cui Pater Magnanus illud dedit in Galliam <lb></lb>redituro, huc ad nos venerit cum praedicto vitro, ut nuper, quum <lb></lb>essem Burdigalae, se venturum promisit, seque nondum ex arca sua <lb></lb>praedictum vitrum eruisse, nec habere Tubum, quem hic ei suggeram, <lb></lb>eundem videlicet, qui tuo vitro servit. </s></p> <p type="main"> <s>Iterum addo, vitrum Gassendinum, quod trahitur quarta parte bre<lb></lb>vius, quam tuum, obiecta quidem clariora, cum eodem vitrulo, quod <lb></lb>oculo applicatur, sed tamen tantisper minora repraesentare. </s><s>Illud vi<lb></lb>trum Galilaeus miserat Domino Gassendo. </s><s>Revera totius urbis nostrae <lb></lb>hactenus fuit optimum iudicatum, donec tandem tuum apparuit, quo <lb></lb>ipse Gassendus fatetur, maiores Saturni appendices, quam suo reprae<lb></lb>sentari; et ipse noster artifex, qui vitra pro Tubis a triginta annis <lb></lb>continuo parat, contendit tuum vitrum Gassendino melius, hoc est <lb></lb>crassiora obiecta facere; solum adverto, maiorem in Gassendino clari<lb></lb>tatem, sed, ut optime notas, id a melioris materiae vitro pendet, quod <lb></lb>nequit arte suppleri; quanquam spero futurum, ut parvum vitrum, <lb></lb>quod abs te expecto, aliud tuum vitrum clarius efficiat. </s><s>Porro conatus <lb></lb>sum hanc Epistolam ita scribere, ut eam absque ullius possis auxilio <lb></lb>legere. </s><s>Certe nullus est in tota Gallia, qui non hanc cursim, ac librum <lb></lb>impressum legat; scribe tamen, si etiamnum tibi laborem impertiat, <lb></lb>tuncque faciam, ut meae Literae sequentes a scriba quodam transcri<lb></lb>bantur. </s><s>Scripsi ad Clar. </s><s>Des Cartes, gratas ut habeat tuas literas, <lb></lb>tuumque, de quibus volueris rebus, commercium amicum excipiat, quod <lb></lb>eum facturum aeque certo teneas, ac certum est, me hasce lineas exa<lb></lb>rasse. </s><s>Procul dubio tantus est Analysta, ut ei conveniat Vietaeum <lb></lb>illud, nullum non problema solvere. </s><s>Quandiu illius opus dioptrices, quo <lb></lb>docet quidquid attinet ad refractionem luminis, et ad specilla facienda <lb></lb>quum hyperbolica, tum ellyptica etc. </s><s>fuit Gallicum, non potuisti illo <lb></lb>frui; quum autem anno praeterito latine ediderit, hicque perstent <lb></lb>exemplaria, nisi iam ad tuas manus pervenerit, potes tibi unum exem<lb></lb>plar comparare. </s><s>Ubi vero noverit, te in vitris hyperbolicis, vel ellypti<lb></lb>cis, vel quovis alio modo conicis vitra parare, quanto gaudio afficietur, <lb></lb>quum hactenus omnes de ea re desperarint, quod nunquam uniformiter <lb></lb>potuerint vitrum, hyperbolica figura servata, polire. </s><s>Audio unum Cau<lb></lb>sidicum Nivernensem, qui scripsit ad me machinam nuper facillimam <lb></lb>invenisse, qua horae spatio duo vitra perficit, puto hyperbolica, quae <lb></lb>longitudine unius brachii tracta tantumdem faciant quoad obiecti cras<lb></lb>sitiem, et claritatem, quantum vestra vitra trium, <lb></lb> <arrow.to.target n="fig684"></arrow.to.target><lb></lb>aut quatuor brachiorum; vitra autem illa tanto me<lb></lb>liora, quanto deteriora fuerint: quod quidem verum <lb></lb>aestimo, si sint hyperbolica, vel ellyptica, ut probat <lb></lb>illustris Cartesius in sua dioptrica; unde fit, ut etiam <lb></lb>ausim coniicere, tua vitra non esse istiusmodi figu<lb></lb>rae, quippe non vis ita detegi superficiem tuorum <lb></lb>vitrorum, sed tantumdem solum, quantus est hic cir<lb></lb>culus A, vel paulo plus. </s><s>Non peto quibus figuris utaris, absit a me, ut <lb></lb>de tuo arcano cogitare velim. </s></p> <pb pagenum="415"></pb> <figure id="fig684"></figure> <p type="main"> <s>Vix risum cohibere possim, quum de circuli quadratura Kirkeriana <lb></lb>cogito, quam scripsisti, quam certe nusquam illi Robervallus invideat. </s><s><lb></lb>Vix tamen credo, rem secundam asserere, nempe quadratum Isoperi<lb></lb>metrum circuli, ei esse aequalem, quum per sensum id falsum esse <lb></lb>constet. </s><s>Sed nil dicis de tota illa arte Lucis, num lectu digna sit, et <lb></lb>omnia quae ibi leguntur, aut maxima pars vera sit, necne. </s></p> <p type="main"> <s>Nil etiam dicis de duobus commentariorum voluminibus Jesuistae <lb></lb>Cabei Romae hoc anno editis, num sint egregia, in quibus audio Ga<lb></lb>lilaeum saepenumero refutari. </s><s>Docebis quid de illis duobus auctoribus <lb></lb>censendum fuerit, et quid bene habeat ille Cabeus Romae credo de<lb></lb>gens; quum enim ibi aderam, degebat in collegio. </s><s>An vos ita patie<lb></lb>mini tantum virum pulcherrimae Philosophiae, vel inventorem, vel <lb></lb>instauratorem impune vellicari? </s><s>Miror, quod ais de quadraturis, Artis <lb></lb>Lucis et Umbrae, quas si Kerkerus affirmet (forte siquidem illas refert <lb></lb>et confutat) quis non ei cucurbitae caput afferat? </s><s>mitto nostri Gas<lb></lb>sendi, quam requiris, orationem, de qua iudicium feras. </s><s>Aderat Cardi<lb></lb>nalis Lugdunensis, qui diligit illum impense. </s><s>Porro sum tibi consilio, <lb></lb>ut quae reperisti centra gravitatis, et ipsas illorum inveniendorum, et <lb></lb>reperiendarum tangentium omnes methodos, cum iis, quae de hyper<lb></lb>bolis, quadraturis, et spiralibus feliciter invenisti, typis committas, <lb></lb>nequis deinceps tuo labore gaudeat, utque tuo nomini iustam, meri<lb></lb>tamque celebritatem non deneges, ne vel ipse iniustus evadas, ac the<lb></lb>saurum a Deo commissum diutius quam par sit, infodias. </s></p> <p type="main"> <s>Oro, ut Clar. </s><s>Donius inclusas accipiat. </s><s>Unus ex subtilissimis Ac<lb></lb>cademiae geometricae nuper fassus est mihi, tuam se demonstrandi <lb></lb>methodum in tuo libro admirari ob tantam brevitatem, minime tamen <lb></lb>obscuritate laborantem. </s><s>Plura, Deo volente quum alii nostri responde<lb></lb>bunt, quod non existimo ita brevi futurum, quin iterum possis ad me <lb></lb>scribere, huicque Epistolae respondere: pergratumque facies, si semper <lb></lb>tuorum inventorum aliquo tuas literas condieris. </s><s>Quam ex Antuerpia <lb></lb>circuli, et hyperbolae quadraturam a Patre Jesuista Vincentio sitientes <lb></lb>hic expectabamus, iam ex illius literis ad me ab hinc tribus mensibus <lb></lb>datis mechanicam intelligo; an unquam debeamus geometricam expe<lb></lb>ctare necdum scio: quid tibi videtur? </s><s>praeclara alioqui cetera de co<lb></lb>nicis pollicetur. </s><s>Videremo <emph type="italics"></emph>(sic)<emph.end type="italics"></emph.end> posteaque te monebo, nisi tamen prius <lb></lb>ad tuas manus, quam ad meas liber pervenerit. </s><s>Quum ubique in meis <lb></lb>ultimis libris quaesivissem, quo loco dixissem, te Centri gravitatis, et <lb></lb>Solidi inventorem, de quo iam quaestio est, tandem post multas horas <lb></lb>in quaerendo consumptas reperi hoc haberi ad calcem <emph type="italics"></emph>(sic)<emph.end type="italics"></emph.end><lb></lb>quae in procinctu meae Romanae peregrinationis imprimi curaveram: <lb></lb>quod me penitus in nostra sententia confirmavit, et acuti viri Nardii, <lb></lb>quem Romae novi, mihi memoriam confricavit, qui suam philosophiam <lb></lb>pollicebatur illico edendam, quod tamen minime factum video; urge, <lb></lb>quaeso, tantum virum, et amicum, ut tandem edat. </s><s>Iam recitavit mihi <lb></lb>maximam Epistolae suae partem Robervallus, in qua mirabilem agno<lb></lb>sces Geometriae confidentiam, ac si nihil ei sit impossibile, et omnia <lb></lb>gravitatis centra contemnat, quippe sint in illius, si vel tantillum co- <pb pagenum="416"></pb>gitare velit, manu. </s><s>Sed et suam ad te methodum transmittet; iudicabis, <lb></lb>an mirabilem, et matrem aliarum methodorum fecundissimam, vale <lb></lb>dum tui semper fuero servus, et amicus studiosissimus, et obsequen<lb></lb>tissimus Mersennus 15. Septembris. </s></p> <p type="main"> <s>Parisiis. </s></p> <p type="main"> <s>Ut in tertia margine innuebam, citius quam arbitrabar Robervalli <lb></lb>responsum obtinebis. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>185<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> BONAVENTURA CAVALIERI <lb></lb>a GIANNANTONIO ROCCA [in Reggio].<lb></lb>Bologna, 17 ottobre 1646.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(LETTERE D'UOMINI ILLUSTRI DEL SECOLO XVII A GIANNANTONIO ROCCA. In Modena <lb></lb>MDCCLXXXV. Lettera 141, pag. 365).<gap desc="/SM"></gap></foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Dopo un lungo silenzio, cagionato da diverse mie occupazioni, ma <lb></lb>principalmente dalla continua infermità, vengo pur di nuovo a salu<lb></lb>tarla con questa mia, e significarli, come alcuni giorni sono mi si <lb></lb>presentò all'improvviso un'occasione con un P. Gesuita di farli perve<lb></lb>nire alle mani il Libretto della Ruota Planetaria con le carte stampate, <lb></lb>della quale gli andavo un pezzo fa debitore, e perchè non vi era tempo <lb></lb>di scrivere, giudicai meglio il mandare almeno il Libro, se non potevo <lb></lb>la lettera, al quale debito intendo con questa soddisfare. </foreign></s> <s>Avrà poi in <lb></lb>detto libretto potuto vedere, che non l'ho stampato sotto mio nome, <lb></lb>e questo per diverse ragioni. </s> <s><foreign lang="it">Primo per avere il P. Renereo già inse<lb></lb>gnato il modo di calcolare i luoghi de' Pianeti conforme a tutte le più <lb></lb>famose Ipotesi, onde questa potea parer superflua. </foreign></s> <s>Dipoi non si po<lb></lb>tendo con questa Ruota arrivare alla precisione de' numeri, apportando <lb></lb>ancora qualche svario la carta stampata, che disugualmente si ritira; <lb></lb>e perchè quelli che sono pratichi solamente nell'Effemeridi, biasime<lb></lb>ranno forse questa operazione come più faticosa; e per molte altre, <lb></lb>sebbene però non sono tali, che non ricevano anche qualche risposta. </s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>In somma non avendo il modo di farla vedere a lei prima, com'era <lb></lb>mio pensiero, nè volendola più molestare di quel, che avevo fatto, ciò <lb></lb>mi ha fatto prendere da me questa risoluzione o bene, o male, ch'io <lb></lb>abbi fatto, se ben non essendo cosa di rilievo, poco male posso aver <lb></lb>fatto. </foreign></s> <s><foreign lang="it">L'istesso timore parimenti di non incommodarla mi ha fatto <lb></lb>ristampare la risposta al Guldini in forma più concisa, e più adeguata <pb pagenum="417"></pb>al suo consiglio, che per me sia stato possibile; Avendo nel fine di <lb></lb>essa apportata ancora la dimostrazione di V. S. che per beneficio pub<lb></lb>blico de' studiosi, per servizio di esso Guldini, e per onore del mio <lb></lb>Libro. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Questa risposta, è nella terza Esercitazione, poichè, come già <lb></lb>scrissi, la prima e la seconda sono in esplicazione de' fondamenti della <lb></lb>mia Geometria; la quarta poi, che pure è stata presa intorno alle <lb></lb>potestà coniche avendo dimostrate le cose del secondo Libro di essa <lb></lb>mia Geometria in tutte le dette potestà coniche, avendovi inserita la <lb></lb>dimostrazione di Beaugrand, e le mie del fuso parabolico ed iperbolico, <lb></lb>che già vidde V. S. Credo di aggiungerne due ancora, e poi terminare <lb></lb>quest'opera dopo tanto tempo che io dovrei averla fatta. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma s'ella <lb></lb>sapesse quanto io sia impedito, e travagliato dal mio male, credo mi <lb></lb>scuserebbe. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Poichè avendomi preso la gotta a molestare nella gola, <lb></lb>oltre tutte le altre parti del corpo, studio sempre con timore, nè mi <lb></lb>interno troppo in speculazioni di momento. </foreign></s> <s>Il Sig. Torricelli sta lavo<lb></lb>rando de' vetri per i cannocchiali, ma più lavora con l'intelletto, avendo <lb></lb>ritrovato in Geometria cose peregrine, e tali, ch'ella stupirà, quando <lb></lb>le vedrà. </s> <s><foreign lang="it">Ha dimostrato anch'egli la quadratura delle infinite parabole <lb></lb>(come le hanno chiamate in Francia) ch'è poi l'istesso, che tutte le <lb></lb>linee rette del parallelogrammo essere doppie di tutte quelle dei trian<lb></lb>goli costituiti dal diametro, tutti i quadrati tripli, con il rimanente ecc. <lb></lb>per via diversissima, il qual Theorema ella sa, che io lo proposi in <lb></lb>Francia, sebbene ora si fanno là inventori del medesimo, ma io cito <lb></lb>per testimonio il P. Mersennio al quale lo mandai, ed il P. Niceroni, <lb></lb>che vedendo l'ultimo Problema della mia Centuria, dove io lo accenno, <lb></lb>disse di volerlo proporre colà, siccome lo propose al Beaugrand. </foreign></s> <s>In <lb></lb>somma si vede in loro anco in questa parte una emulazion grande <lb></lb>cogl'Italiani. </s> <s><foreign lang="it">Il che chiaramente conferma la lite, che hora gravemente <lb></lb>ha con il Robervallio intorno alla cicloide, poichè il Robervallio pretende <lb></lb>esser stato il primo a dimostrare la proporzione dello spazio a quello <lb></lb>del cerchio genitore, e che la fosse comunicata a Galileo, dal quale <lb></lb>poi il Torricelli l'apprendesse. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma quel, che importa è, che avendo il <lb></lb>Sig. Torricelli, trovatone il centro di gravità, e del solido ancora fatto <lb></lb>per la rivoluzione intorno alla base (il che già aveva comunicato per <lb></lb>via del Mersennio al Robervallio, che prima dubitò se fosse ben tro<lb></lb>vato, avendo allora scritto il Mersennio, che in questo esso Torricelli <lb></lb>aveva prevenuto il Robervallio) ora dice esso Robervallio, che ne aveva <lb></lb>la dimostrazione, e s'usurpa anch'in questo il primato dell'invenzione <lb></lb>non ostante che le lettere del Mersennio avute prima apertamente di<lb></lb>chiarino il contrario. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Taccio molte altre cose inventate dal detto Tor<lb></lb>ricelli per non attediarla, e supponendo, che le occupazioni delle fac<lb></lb>cende di casa, la impedischino non poco dal potersi applicare a questi <lb></lb>studij, come tanto fruttuosamente, e gloriosamente avrebbe fatto. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Mi <lb></lb>sarà caro poi, s'ella mi avviserà di qualche errore, o mancamento nel <lb></lb>libretto della Ruota Planetaria, poichè il ritrovarmi in questo pessimo <lb></lb>stato mi fa più negligente, ed imperfetto di quel, che io forsi sarei se <lb></lb>fossi sano, che perciò spererò di ritrovar scusa appresso di lei delle <pb pagenum="418"></pb>imperfezioni, ch'ella vi noterà, e con tal fine pregandoli dal cielo ogni <lb></lb>vera felicità, li bacio affettuosamente le mani. </foreign></s> <s><lb></lb>Bologna 17 ott. 1646.</s></p> <p type="main"> <s>Questa mattina mi sovvenne questo modo di trovar facilmente un <lb></lb>solido infinitamente lungo eguale ad un solido finito. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Nel parallelogrammo BD, tirate AC, e qualunque parallele indefinite <lb></lb>FGHO, IKLM, alla regola BAN, facisi come GH, ad HF, così HF ad <lb></lb> <arrow.to.target n="fig685"></arrow.to.target><lb></lb>HO, e come KL ad LI così LI ad LM, e DE eguali a DC, sarà la linea <lb></lb>EOM, che passa per tali punti asintoto con BN. Onde il rettangolo so<lb></lb>lido fatto sotto il triangolo ACD, e lo spazio ADEN, sarà infinitamente <lb></lb>lungo, ed eguale al quadrato solido di BD, per l'ugualianza del qua<lb></lb>drato FH, al quadrangolo GHO, e così degl'altri. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Della qual sorte ella <lb></lb>vedrà, che diversissimi se ne possono trovare, e che la linea infinita <lb></lb>AN, è eguale al quadrato BA. E che il centro di gravità di esso sarà <lb></lb>nella parallela, che taglia ugualmente AD, o per dir meglio la detta <lb></lb>linea sarà la equilibratoria del solido, poichè non credo, che tali solidi <lb></lb>abbino centro di gravità. </foreign></s> <s><foreign lang="it">E che saranno eguali le parti di detti due <lb></lb>solidi corrispondenti tagliate con il piano di qualunque rettangolo <lb></lb>segnato. <lb></lb> Fr. </foreign></s> <s>Bonav. </s><s>Cavalieri</s></p> <pb pagenum="419"></pb> <figure id="fig685"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>186<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> MARINO MERSENNE a [TORRICELLI <lb></lb>in Firenze].<lb></lb>Parigi, 6 novembre 1646.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLI, c. 28-30 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap><lb></lb>6 Novembre 1646. Parisiis.</s></p> <p type="main"> <s>Vereor, ut existimes per me stare V. Clar.<emph type="sup"></emph>me<emph.end type="sup"></emph.end> quin Robervallianum <lb></lb>responsum accipias, quod fere perfecit, in quo Libellum accipies, adeo <lb></lb>nempe longum est, quodque promittit se mihi lecturum post octiduum, <lb></lb>in quo pulchra sis inventurus, ne vero differam amplius, praemitto <lb></lb>quam desiderasti Gassendinam Epistolam inauguralem, cuius tuum <lb></lb>mihi postea iudicium aperies, statim vero, atque suum ille responsum <lb></lb>transcribi curaverit, ad te mittam, et quum legeris, nos tuis literis <lb></lb>sincerissimo matheseos succo perlitis, quum voles, beabis. </s><s>Audio no<lb></lb>strum Bullialdum a te ambabus ulnis acceptum et optimo Tubo dona<lb></lb>tum, an illud tuum, quod habeo vitrum longe superat, cuius vero longitu<lb></lb>dinis est? </s><s>Ab hinc anno plurimum laboravimus in regulis inveniendis, <lb></lb>quibus agnoscatur, et determinetur centrum percussionis cuiuslibet cor<lb></lb>poris alicui clavo ita appensi, ut libere hinc inde instar Funependuli <lb></lb>moveri possit. </s><s>Verbi gratia sit su<lb></lb> <arrow.to.target n="fig686"></arrow.to.target><lb></lb>spensus triangulus ligneus, aut al<lb></lb>terius materiae CDE in puncto B, <lb></lb>qui libere possit moveri versus G <lb></lb>et H instar Funependuli, in quo <lb></lb>puncto axis CF versus I quantumvis <lb></lb>producti, si fuerit opus, erit pun<lb></lb>ctum, seu centrum percussionis, seu <lb></lb>virtutis, hoc est, in quo vehemen<lb></lb>tissime percutiat, vel quod eodem <lb></lb>recidat, putamus quantae longitu<lb></lb>dinis debet esse Funependulum, ut moveatur, seu vibretur aequali <lb></lb>tempore, ac praedictum triangulum. </s><s>Vide, ut mihi significes, an Gali<lb></lb>laeus ea de re cogitarit, et si regulam invenerit, quae sit generalis <lb></lb>in omni triangulo, gratum facies, si communices illam mecum; neque <lb></lb>enim puto ullam esse regulam generalem pro omni corpore, sed erit <lb></lb>diversa pro triangulis, pro sectoribus Circuli etc. </s><s>Itaque solum trian<lb></lb>gulum proposui, quem sumes, si lubet 152. graduum: hoc est, sit an<lb></lb>gulus DCE, vel C, quo suspenditur 152. graduum, vel quotcumque <lb></lb>volueris, si enim tua regula sit generalis pro quolibet triangulo non <pb pagenum="420"></pb>interest: sed et de eodem triangulo cogitabis quum appenditur per <lb></lb>basim hoc modo in C et angulus illius D vibratur in F, et E, in quo <lb></lb>nempe loco axis CD in A si fuerit opus, <lb></lb> <arrow.to.target n="fig687"></arrow.to.target><lb></lb>producti, sit praedictum centrum percus<lb></lb>sionis. </s><s>Quaeso, ut meas literas hic inclusas <lb></lb>accipiat amicus noster Clar. </s><s>Donius, me<lb></lb>que semper credas tui obsequentissimum <lb></lb>Mersennum. <lb></lb>6 novembris anni 1646. Parisiis.</s></p> <figure id="fig686"></figure> <figure id="fig687"></figure> <p type="main"> <s>Si Tubum vestrum 10. pedum geome<lb></lb>trice tandem exploretis in Coelo, vel in <lb></lb>Terra doce quae portenta videantur; de<lb></lb>bet autem Tubus esse tantae firmitatis, ut in fine prope vitrum con<lb></lb>cavum observator stare, vel potius sedere commode possit, et ipsum <lb></lb>Tubum facile ad quemvis angulum dirigere, uti iam credo, monueram. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>187<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> [TORRICELLI a MICHELANGELO RICCI <lb></lb>in Roma].<lb></lb>[Firenze, 7 novembre 1646].<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XL, c. 98 — Copia di L. Serenai).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Monsù Bullialto è partito questa mattina da Fiorenza <lb></lb>alla volta di Livorno per andar di colà adirittura verso <lb></lb>Costantinopoli. </s> <s><foreign lang="it">Hieri giunse quà un altro Franzese ancor <lb></lb>esso virtuosissimo Monsù Baltassar de' Monconis amico <lb></lb>di Bullialdo, il quale ha procurato (e procurerà anco <lb></lb>quando si abboccherà seco di nuovo in Livorno fra pochi <lb></lb>giorni) di persuaderlo di voler andar seco fino al Cairo, e <lb></lb>di colà per Babilonia, e per mezzo la Persia, e per mezzo <lb></lb>l'India arrivar fino alla Cina, et al Giapone. </foreign></s> <s>Questo ha <lb></lb>danari dapertutto, e e seco mena interprete. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Io rendo infinite grazie a V. S. della misura di che <lb></lb>mi ha favorito de palmi Romano e Napoletano. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Non so come a questi giorni passati io sciolsi un Pro<lb></lb>blema di Monsù Fermat. </s><s>Datis tribus punctis alium <pb pagenum="421"></pb>punctum reperire ex quo si ad tria data rectae ducantur <lb></lb>ipsae eductae sint minima quantitas. </s><s>Procurerò di mandar <lb></lb>la dimostrazione perchè mi che si divulghi <lb></lb>già che le mie stampe hormai vedo che dormiranno per <lb></lb>sempre. </s> <s><foreign lang="it">Non so se il </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>188<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> TORRICELLI a [VINCENZO RENIERI <lb></lb>in Pisa].<lb></lb>Firenze, 17 novembre 1646.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XL, c. 3-4 — Autografa).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Molto Rev.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> P.re mio S.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> P.ron.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> Col.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Mi stupisco ch'ella non mi scriva nulla di Monsù di <lb></lb>Monconis, e dell'occhiale che io gli ho dato, havendolo <lb></lb>pregato che nel passar per Pisa fusse da V. P. e gli mo<lb></lb>strasse l'occhiale. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Non ho ancora havuto quello di braccia <lb></lb>5 1/3 ch'ella mi rimanda, e non occorreva rimandarlo per <lb></lb>che a me non serve a niente: non ho nè anco ricevute <lb></lb>l'ultime lettere del Procaccio, il quale arrivò hieri et anco <lb></lb>tardi. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Questa sera sarò da esso per il vetro, e per dargli <lb></lb>l'altro, e per vedere se V. P. manda o polizza, o denari, e <lb></lb>la servirò col Massi e Landi, i quali m'hanno detto che <lb></lb>è venuto parte della carta; me la farò anco mostrare <lb></lb>sotto pretesto di voler vedere di che qualità ella è, et se <lb></lb>è tutta a un modo. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Mando un vetro, et una luce per il solito Procaccio, <lb></lb>franco di porto ogni cosa. </foreign></s> <s>Il vetro è di braccia 5 o poco <lb></lb>più, ma è dell'ultima bontà, sì che non occorre á sperare <lb></lb>che si muti mai più. </s> <s><foreign lang="it">Se la materia non era di certo co<lb></lb>lore pavonazzo scuro della quale S. A. S. mostra non <lb></lb>haver molto gusto, sarebbe stato del Ser.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> G. Duca et <lb></lb>era delli meglio che havesse: Se io avevo comodità di ve<lb></lb>der il cielo (sia detto senza adularla) io me lo tenevo per <pb pagenum="422"></pb>me. </foreign></s> <s>Ora godaselo, e non desideri mai nè più terminato, nè <lb></lb>di più distinto, e più tranquillo vetro. </s><s>Mando una luce, <lb></lb>acciò ella veda quale serve più al suo vetro, e l'accom<lb></lb>pagni. </s> <s><foreign lang="it">Del resto quello che avvanzerà la accompagni con <lb></lb>quel mio vetro di braccia 4 3/4; il quale si potrà vendere <lb></lb>quando venga occasione. </foreign></s> <s>Credo che ella havrà veduto che <lb></lb>è un vetro molto buono. </s></p> <p type="main"> <s>Com'è possibile che cotesti buoi, asini, stolidi abbiano <lb></lb>ardire di parlar di me, e di Monsù Bullialdo? </s><s>Vagliono <lb></lb>più le scarpe di Bullialdo in materia di tutte le cose, che <lb></lb>non vagliono tutti costoro, ignoranti che sono. </s><s>Se avanti <lb></lb>al partire havessero parlato col Ser.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Sig. Principe Leo<lb></lb>poldo, o se S. A. si fusse degnata di dirglielo, havrebbero <lb></lb>saputo che non hanno trovato cosa che io non l'habbia <lb></lb>trovata ancor io. </s> <s><foreign lang="it">Supplico V. P. a farmi grazia di voler <lb></lb>informare chi gl'hà parlato di simil cosa, chè io diedi a <lb></lb>quello stolido di Paolo del Buono la nota di più di 50 <lb></lb>problemi, dico cinquanta, e non dico tre. </foreign></s> <s>Parte di essi era <lb></lb>mia invenzione e parte di varii Franzesi. </s> <s><foreign lang="it">Tra quegli d'altri <lb></lb>proposti a me n'erano circa quattro o cinque, che non mi <lb></lb>sovviene il numero da me non isciolti, ma nè anco stu<lb></lb>diati, parte per che erano incuriosi, parte per che erano <lb></lb>triviali e di robbe del primo libro d'Euclide. </foreign></s> <s>Uno solo ve <lb></lb>n'è che havendolo io studiato assai non l'ho mai trovato, <lb></lb>e questo non si troverà nè anco da cotesti sciocchi. </s><s>Hora <lb></lb>tra 50 problemi, tra i quali ne sono più di 30 vastissimi <lb></lb>e di cose sublimi che escono dall'ordinario, e che con la <lb></lb>proposta sola arrecano maraviglia, nessuno nè anco è stato <lb></lb>inteso da cotesti valentomini; dico che non hanno inteso <lb></lb>le proposte, e che non sono atti ad intenderle. </s> <s><foreign lang="it">Un pro<lb></lb>blema dicono d'havere sciolto, et è appunto uno di quelli <lb></lb>che io mi vergognavo di pensarvi per la facilità, e trivialità <lb></lb>d'esso; perchè V. P. veda che cosa è gli manderò la dimo<lb></lb>strazione la quale io ho in tre ó quattro modi; Ma avverta <lb></lb>questo che io ho caro che la dimostrazione si confidi con <lb></lb>intendenti, ma non vorrei che andasse alla notizia di co<lb></lb>testi Archimedi salvati, per che ho paura che si siano <lb></lb>vantati anco appresso Principi d'haver le dimostrazioni <lb></lb>che non hanno. </foreign></s> <s>Se io poi ho a credere che essi l'habbiano, <pb pagenum="423"></pb>penserò che glie l'habbia dettata la natura, e che per <lb></lb>istinto naturale l'habbiano trovata. </s> <s><foreign lang="it">Dico questo per che <lb></lb>tutta la dimostrazione, e tutta la dottrina del Problema <lb></lb>non è altro che la 20<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> del p.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> lib.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> d'Euclide, la quale da <lb></lb>essi è intesa benissimo, e però fra un numero così grande <lb></lb>di proposte, solo quella dicono d'haver trovata. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Io man<lb></lb>derò a V. P. il libretto se ella lo vuol vedere. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Legga pure <lb></lb>questa lettera a chi gli ha parlato di questo negozio, chè <lb></lb>io mi contento. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Non credo che con la ventesima del p.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>lib.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> d'Euclide si darà la soluzione della proposta che <lb></lb>mando qui dentro. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Hebbi giovedì sera l'inclusa Proposta <lb></lb>fattami dai Matematici del Collegio Romano per via di <lb></lb>un loro P.re Raffaello Prodanelli mio amico. </foreign></s> <s>Prima che io <lb></lb>arrivassi a casa havevo non solo trovata ma scritta tutta <lb></lb>la mia dimostrazione che questa sera mando a Roma. </s><s>Fate, <lb></lb>fate che la vedano, e che la fiutino un poco. </s><s>Ma troppo <lb></lb>mi sono io diffuso, e troppo ho honorato costoro che io <lb></lb>non dovrei nè anco sapere che fussero al mondo. </s><s>Reverisco <lb></lb>V. P. con ogni affetto. </s><s><lb></lb>Di Firenze 17 novembre 1646.<lb></lb> Dev.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> et Obb.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> S.<lb></lb> Vangelista Torricelli</s></p> <pb pagenum="424"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>189<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> TORRICELLI a VINCENZO RENIERI <lb></lb>in Pisa.<lb></lb>Firenze, 24 novembre 1646.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XL, c. 56 — Autografa).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Molto Rev.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> P.re mio Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> P.ron.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> Col.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Ho havuto le lettere tanto tardi che non ho potuto an<lb></lb>cora riscuotere le 20 doppie. </s> <s><foreign lang="it">Spero bene che le riscuoterò <lb></lb>adesso, volendo tornare dal Procaccio. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Non ho potuto nè <lb></lb>anco copiare le mie dimostrazioni circa le 3 brevissime le <lb></lb>quali dimostrazioni io le ho in tre modi, come ho fatto <lb></lb>vedere qua pubblicamente; e cotesti sciocchi, ignoranti <lb></lb>non gli stimo degni nè anco di nettarmi la lavagna. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Man<lb></lb>derò anco la dimostrazione circa la divisione del circolo: <lb></lb>(hoc est per dirla in confidenza) la dimostrazione mia mo<lb></lb>stra che il Problema è l'istesso che trovar una retta <lb></lb>eguale ad un arco. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Hora tornerò a vedere se posso haver le doppie, e la <lb></lb>reverisco. </s><s><lb></lb>Di Fir.<emph type="sup"></emph>ze<emph.end type="sup"></emph.end> 24 Novembre 1646.</s></p> <p type="main"> <s>Se V. P. vuole un cannone per l'occhiale di b.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> 4 3/4 <lb></lb>io lo manderò subito ma bisognerà pagarlo 2 scudi. </s></p> <p type="main"> <s>Ho ricevuto le venti doppie, ma non pagherò niente <lb></lb>al Massi e Landi se ella non comanda con avviso parti<lb></lb>colare. <lb></lb> Dev. </s><s>et Obb.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb> V. Torricelli</s></p> <p type="main"> <s><emph type="italics"></emph>Fuori:<emph.end type="italics"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Al m.<emph type="sup"></emph>to<emph.end type="sup"></emph.end> Rev. P.re mio Sig. Col.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Il P. D. Vinc.<emph type="sup"></emph>zo<emph.end type="sup"></emph.end> Renieri </s></p> <p type="main"> <s>Pisa </s></p> <pb pagenum="425"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>190<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> TORRICELLI a [VINCENZO RENIERI <lb></lb>in Pisa].<lb></lb>Firenze, 1 dicembre 1646.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XL, c. 7-8 — Autografa)<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Molto Rev.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> P.re mio Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> P.ron.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> Col.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Sono stato dal Massi e Landi, à quali ho contato dop<lb></lb>pie diciotto da 20 lire l'una; sì che á me restano lire 27 <lb></lb>di V. P. (stante che ella mi scrisse che mi tenessi le <lb></lb>lire 13 quali mancavano a finire que' dodeci scudi, l'altra <lb></lb>parte de' quali cioè lire 71 hebbi dal Monaco di Badia). <lb></lb>M'ho fatto fare la ricevuta da Messer Amadore, col quale <lb></lb>ho havuto che dire tutta questa mattina per conto della <lb></lb>carta. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Primieramente egli confessa d'haver mandato un <lb></lb>foglio o due di carta inferiore, e questo dice d'haverlo fatto <lb></lb>per che non haveva potuto haver della carta promessa e <lb></lb>voleva proseguir la stampa. </foreign></s> <s>Io ho veduto 22 risme di <lb></lb>carta, e ne hò confrontato molti quaderni tolti da di<lb></lb>verse risme con i primi fogli dell'opera di V. P., e m'è <lb></lb>parso che accompagni. </s><s>Ne mando qui un quarto di foglio <lb></lb>acciò V. P. ancora la veda. </s> <s><foreign lang="it">Altre 18 risme mi dice esser <lb></lb>in ordine della medesima qualità, e le aspetta d'hora in <lb></lb>hora. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Mi dice che anco il Sig. Benedetto Guerrini gli <lb></lb>ha fatto una parlata molto risentita per ordine del Ser.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>P.ro.<emph type="sup"></emph>ne<emph.end type="sup"></emph.end> à conto dell'istesso negozio. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Io gli ho messo paura, <lb></lb>con dirgli la verità, cioè che S. A. S. porta affezione a <lb></lb>V. P., e che molte volte mi ha parlato di lei con lo<lb></lb>darla sempre, e che però se egli non serve puntualmente <lb></lb>conforme alla promessa, porta pericolo poi, se V. P. ri<lb></lb>corre al Ser.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> G. Duca d'haver a ristampare a sue <lb></lb>spese que' fogli che saranno giudicati non accompagnare <lb></lb>con que' primi dell'opera. </foreign></s> <s>Si è dato ordine che quelli che <lb></lb>havranno cura di sciorre le risme e bagnare i fogli hab- <pb pagenum="426"></pb>biano avvertenza che non passino tra l'altra de' quaderni <lb></lb>inferiori. </s></p> <p type="main"> <s>Quanto all'occhiale, io lo manderò ad ogni cenno e <lb></lb>già lo sto lavorando. </s> <s><foreign lang="it">Sarà un vetro della medesima lon<lb></lb>ghezza di cotesto, della medesima pasta, e bellezza, e spero <lb></lb>anco che forse forse sarà migliore, per che sempre s'im<lb></lb>para qualche nuova diligenza. </foreign></s> <s>Basta si potranno parago<lb></lb>nare, e troveranno quanto io prometto. </s> <s><foreign lang="it">Il prezzo poi sa<lb></lb>ranno dieci doppie da 20. insieme con la sua canna; o se <lb></lb>per amore di V. P. gli farò qualche agevolezza l'assicuro <lb></lb>che non lo farei per altro. </foreign></s> <s><foreign lang="it">A Monsù Baltassar io lo vo<lb></lb>levo donare in tutti quanti modi, pure mi lasciò per il <lb></lb>vetro solo quattro dobbloni. </foreign></s> <s>Già che vi è questo esempio <lb></lb>di questo prezzo fatto à quel mio amico, mi contenterò <lb></lb>di rifarlo anco in grazia di V. P., sì che manderò l'oc<lb></lb>chiale finito di tutto punto per 25 piastre di nostra mo<lb></lb>neta. </s> <s><foreign lang="it">Me ne sono domandati di molti, e credo che con<lb></lb>verrà alzare il prezzo, finalmente ogn'uno si è chiarito <lb></lb>che sono buoni. </foreign></s> <s><foreign lang="it">A Napoli a i fautori del Fontana mede<lb></lb>simo gli mando io, e per che sono avvezzi a pagargli cari <lb></lb>mi mandano più danaro che non chiedo a dozzine di <lb></lb>scudi per volta. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">La dimostrazione promessa la mando nel foglio incluso <lb></lb>et in altro modo la metto qui. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Resolutio.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Sint data tria puncta A, B, C, et tres brevissimae, quas <lb></lb>quaerimus, sint ad punctum D, nempe tres AD, BD, CD, <lb></lb>dico tres angulos ADB, BDC, CDA <lb></lb> <arrow.to.target n="fig688"></arrow.to.target><lb></lb>esse inter se aequales. </s><s>Nam si possi<lb></lb>bile est sint duo ex ipsis quilibet inae<lb></lb>quales, puta ADB, BDC, et circa focos <lb></lb>A, C transeat ellipsis per punctum D <lb></lb>cui tangens sit EF eruntque aequales <lb></lb>anguli EDA, FDC per 48 Tertii Co<lb></lb>nicorum. </s><s>Sed inaequales ponebantur <lb></lb>BDA, BDC, ergo reliqui BDE, BDF inaequales crunt: <lb></lb>Quare circulus descriptus centro B intervallo BD secabit <pb pagenum="427"></pb>rectam EF, atque ideo ipsam ellipsim. </s><s>Quoniam si cir<lb></lb>culus non secat ellipsim, ergo poterit in segmento circuli <lb></lb>DF recta linea accomodari ex puncto D quae cadet intra <lb></lb>rectam DF et sectionem conicam quod est absurdum <lb></lb>ex 36 p.<emph type="sup"></emph>mi<emph.end type="sup"></emph.end> Conicorum. </s><s>Sumatur ergo in arcu ellipseos <lb></lb>intra circulum intercepto punctum quod vis I (52 Tertii <lb></lb>Conicorum) eruntque rectae ADC rectis AIC aequales, <lb></lb>set BI minor est quam BD, ergo tres IA, IB, IC minores <lb></lb>erunt tribus minimis DA, DB, DC. </s></p> <figure id="fig688"></figure> <p type="main"> <s>Compositio Problematis facillina est. </s><s>Sint tria data <lb></lb>puncta A, B, C. Reperiatur punctum D, ad quod tres <lb></lb>eductae aequales angulos efficiunt. </s><s>Dico <lb></lb> <arrow.to.target n="fig689"></arrow.to.target><lb></lb>tres eductas AD, DB, DC esse brevissimas. </s><s><lb></lb>Nam nisi sint brevissimae, sint, si possi<lb></lb>bile est, brevissimae AE, EB, EC. Ergo <lb></lb>per praemissam erunt tres anguli ad E <lb></lb>aequales; et ideo BDC erit 1/3 quatuor <lb></lb>rectorum; item BEA 1/3 quatuor rectorum, et AEC 1/3 <lb></lb>quatuor rectorum. </s><s>Nempe tres anguli praedicti BDC, BEA, <lb></lb>AEC aequales erunt quatuor rectis, quod est impossibile. </s><s><lb></lb>Nam tres anguli praedicti una cum duobus angulis B, et C <lb></lb>sunt aequales quatuor rectis, cum sint in eodem quadri<lb></lb>latero. </s></p> <figure id="fig689"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Quella che mando nel foglio è più prolissa, et un'altra <lb></lb>pure [de] luoghi piani ne ritengo per carestia di tempo. </foreign></s> <s><lb></lb>Prego V. P. a divulgare la voce di haver queste dimostra<lb></lb>zioni, et anco a mostrarle a chi ella giudicherà persona <lb></lb>fidata, per che quei stolidi non l'hanno sicuramente. </s> <s><foreign lang="it">Per <lb></lb>sabbato prossimo manderò quella del dividere il cerchio <lb></lb>in partes aequales e l'altra dimostrazione delle tre bre<lb></lb>vissime. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Per far copiare quel testo greco, ho cercato alcuno <lb></lb>che potesse fare il servizio per danari, ma non ci è nes<lb></lb>suno. </foreign></s> <s>Hora parlerò al Signor Gio. </s> <s><foreign lang="it">Battista Doni; la diffi<lb></lb>coltà è questa, che non si sa in che luogo del libro siano <lb></lb>le osservazioni da copiare; e non è il dovere dar l'aggravio <lb></lb>ad un Signore di questa sorte di haver a vedere tutto il <lb></lb>libro, e poi anco non sapere quali siano l'osservazioni de- <pb pagenum="428"></pb>siderate. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Se egli non potrà fare il favore; V. P. havrà <lb></lb>il tempo di arrivare quà a vederlo da sè stessa, poichè se <lb></lb>il libro è di 200 fogli la stampa gli darà tempo quanto <lb></lb>ne vorrà. </foreign></s> <s><lb></lb>Fir.<emph type="sup"></emph>ze<emph.end type="sup"></emph.end> primo X.bre 1646.<lb></lb> Di V. P. m. </s><s>Dev.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Obb.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb> V. Torricelli</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>191<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> TORRICELLI a [VINCENZO RENIERI <lb></lb>in Pisa].<lb></lb>Firenze, 8 dicembre 1646.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XL, c. 9-10 — Autografa).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>M.<emph type="sup"></emph>to<emph.end type="sup"></emph.end> Rev.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> P.re mio Sig. P.ron.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> Col.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Sabbato passato io scrissi a V. P. una lettera lunghis<lb></lb>sima e più nella lettera havevo incluso un foglio scritto da <lb></lb>tutte 4 le facciate, et erano le dimostrazioni di quel Pro<lb></lb>blema franzese, e la pregavo á rimandarlo. </foreign></s> <s>V'era anco <lb></lb>mezzo foglio di carta che havevo presa da M. Amadore <lb></lb>per mostra delle 22 risme venute da Colle. </s> <s><foreign lang="it">Portai la let<lb></lb>tera in Bottega del Signoretti con altre di Roma e di <lb></lb>Napoli di molto mio interesse, e forse saranno perdute <lb></lb>tutte. </foreign></s> <s>Questa sera me ne sono lamentato, ma si ha da <lb></lb>far con bestie ecc. Hebbi lunghissimo trattato con Mess. </s><s><lb></lb>Amadore circa la carta sabbato mattina passato che fu <lb></lb>il primo di Dicembre. </s> <s><foreign lang="it">Mi disse che anco il Sig. Benedetto <lb></lb>per ordine di S. A. S. gli haveva parlato risentitamente e <lb></lb>che però havrebbe dato gusto a V. P. Confessò che il foglio <lb></lb>della settimana passata era inferiore, e questo lo fece per <lb></lb>che non havendo altra carta voleva tirar avanti l'opera, e <lb></lb>non perder tempo. </foreign></s> <s>Mi mostrò 22 risme di carta, et io ne <lb></lb>apersi molte, e le confrontai col foglio B e mi parve che <lb></lb>vi fusse o pochissima o niuna differenza. </s> <s><foreign lang="it">Altre 18 risme <lb></lb>mi dice esservi in ordine della medesima qualità, e che <pb pagenum="429"></pb>l'aspettava d'hora in hora. </foreign></s> <s>Sarò lunedì a sollecitarlo. </s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Quanto al copiare quelle osservazioni del Tolomeo Greco, <lb></lb>non si trova chi le faccia per danaro; quanto al Signor <lb></lb>Gio. </foreign></s> <s>Batta. </s> <s><foreign lang="it">Doni, se V. P. non sà il luogo per l'appunto <lb></lb>dove sono, non mi pare cosa da proporre à questo Signore, <lb></lb>cioè pregarlo a legger tutto il libro, e poi anco non saprà <lb></lb>quali siano le osservazioni bramate. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Intendo che l'opera <lb></lb>sua sarà circa 200 fogli, e però sarà lavoro che vorrà <lb></lb>degli anni: però non mancherà tempo a lei medesima di <lb></lb>poter esser quà da se stessa e vedere quello che vorrà. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Scrissi ancora sabbato che stavo lavorando il vetro di <lb></lb>braccia cinque, e dava speranza d'essere maraviglioso, ma <lb></lb>nel lavorare lo spezzai. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ne ho poi fatto un altro migliore, <lb></lb>e più bello, compagno per l'appunto di cotesto di V. P. <lb></lb>Lo mando diretto a lei franco di porto con la sua luce: <lb></lb>è dell' istessa materia del suo, ma sarà un palmo più <lb></lb>lungo. </foreign></s> <s>Non starò a chiederne 40 scudi, nè dodeci doppie. </s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Se l'amico lo vorrà mi mandi 25 piastre, et io sabbato <lb></lb>prossimo manderò il cannone aggiustato perfettissima<lb></lb>mente. </foreign></s> <s>V. P. mi farà grazia di provarlo quanto prima col <lb></lb>suo cannone, e quando non lo voglia, me lo rimandi per <lb></lb>che ho carestia di simili vetri, et ho commessioni di la<lb></lb>vorar per dei Re; e ne caverò anco 50 de' scudi. </s><s>Quando <lb></lb>V. P. volesse per sè questo che mando hora, e vender quel <lb></lb>primo, io mi rimetto a lei. </s> <s><foreign lang="it">Già che il diavolo ha voluto <lb></lb>così, scriverò qui una delle dimostrazioni, cioè la più <lb></lb>breve: </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Sint data tria puncta A, B, C; quaeruntur tres bre<lb></lb>vissimae ecc. Sint tres brevissimae, quas quaerimus, DA, <lb></lb>DB, DC. Dico tres angulos ad pun<lb></lb> <arrow.to.target n="fig690"></arrow.to.target><lb></lb>ctum D constitutos omnino aequales <lb></lb>inter se esse. </s><s>Nam si possibile est, <lb></lb>sint ex ipsis duo quilibet inaequales, <lb></lb>puta BDA, BDC; Concipiatur circa fo<lb></lb>cos A, C ellipsis per punctum D; cui <lb></lb>sit tangens EDF, eruntque aequales <lb></lb>anguli EDA, FDC per 48 Tertii Conicorum. </s><s>Propterea re<lb></lb>liqui BDE, BDF inaequales erunt, atque ideo circulus <lb></lb>centro B intervallo BD descriptus secabit et rectam DF <pb pagenum="430"></pb>et ipsam ellipsim (Nisi enim secet ellipsim poterit in <lb></lb>segmento circuli DF recta linea accomodari ex puncto D <lb></lb>quae cadet in locum qui est intra sectionem conicam at<lb></lb>que eius tangentem. </s><s>Quod fieri non potest ex 36 Primi <lb></lb>Conicorum). Sumatur iam Punctum quodvis I in arcu elli<lb></lb>pseos intercepto intra circulum, et erunt duae AD, DC <lb></lb>aequales duabus AI, IC, per 52 Tertii Conicorum; sed IB <lb></lb>minor est quam DB, ergo tres rectae ad punctum I con<lb></lb>stitutae minores erunt tribus minimis, quod esse non po<lb></lb>test. </s><s>Sunt ergo (quando tres eductae sint minimae) tres <lb></lb>anguli ad punctum D, ubi eductae concurrunt, inter se <lb></lb>aequales. </s></p> <figure id="fig690"></figure> <p type="main"> <s>Compositio manifesta est. </s><s>Sint data tria puncta A, B, <lb></lb>C. Reperiatur punctum D, ad quod tres anguli ADB, <lb></lb>BDC, CDA sint inter se aequales. </s><s>Dico tres eductas esse <lb></lb>minimas. </s><s>Nam nisi sint minimae, sint si <lb></lb> <arrow.to.target n="fig691"></arrow.to.target><lb></lb>possibile est minimae ad aliud punctum <lb></lb>E; et erunt per praecedentem demonstra<lb></lb>tionem tres anguli ad E inter se aequa<lb></lb>les: nempe AEB erit 1/3 quatuor recto<lb></lb>rum, item AEC 1/3 quatuor rectorum, et <lb></lb>per constructionem etiam BDC est 1/3 quatuor rectorum, <lb></lb>propterea in quadrilatero BDCE essent plusquam 4 anguli <lb></lb>recti. </s><s>Quod est absurdum. </s></p> <figure id="fig691"></figure> <p type="main"> <s>Inventio vero puncti D facillima est sive per Propos. <lb></lb>33 Tertii Euclidis, sive hoc modo. </s><s>Sint data puncta A, <lb></lb>B, C, fiant super ductis AB, BC, <lb></lb> <arrow.to.target n="fig692"></arrow.to.target><lb></lb>triangula aequilatera; et circa fa<lb></lb>cta triangula describantur circuli <lb></lb>quorum peripheriae intra triangu<lb></lb>lum ABC se secent in D; erit pun<lb></lb>ctum D quaesitum. </s><s>Nam duo an<lb></lb>guli BDC, BEC, cum sint oppositi <lb></lb>in quadrilatero intra circulum, erunt aequales duobus rectis. </s><s><lb></lb>Sed angulus E est gr. 60, ergo reliquus BDC erit gr. 120, <lb></lb>et sic de reliquis. </s><s>Superest Determinatio Problematis quae <lb></lb>quidem ab Auctore non est data. </s><s>Problema itaque non <lb></lb>est solubile, quotiescumque sectio peripheriarum hoc est <pb pagenum="431"></pb>punctum D non cadit intra triangulum ABC. Quod qui<lb></lb>dem continget quotiescumque triangulum ABC angulum <lb></lb>aliquem habebit qui non sit minor gr. 120. Sed in eo <lb></lb>casu ipsum anguli praedicti punctum quaesito satisfaciet, <lb></lb>improprie tamen. </s></p> <figure id="fig692"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ho scritto in fretta, già che il diavolo ha portata la <lb></lb>lettera passata. </foreign></s> <s>Manderò anco l'altre soluzioni che pro<lb></lb>cedono senza dottrina conica, et a dirittura senza resolu<lb></lb>zione; caso però che V. P. non habbia a quest'hora ricevuta <lb></lb>la lettera. </s> <s><foreign lang="it">Mando qui la dimostrazione che io diedi in <lb></lb>risposta al Gesuita che mi propose segare il circolo per <lb></lb>lineas parallelas in partes aequales quotcumque. </foreign></s> <s>Questa <lb></lb>settimana i medesimi Gesuiti me ne mandano un altro; <lb></lb>cioè lunulam Hyppocratis dividere in quotcumque partes <lb></lb>aequales per lineas rectas. </s><s>Et io rispondo che ho la dimo<lb></lb>strazione di dividerla non solo in quante parti eguali <lb></lb>uno vuole, ma in che proporzioni vorremo; e non solo <lb></lb>tutta la luna ma qualunque parte di essa sempre per <lb></lb>linee rette. </s></p> <p type="main"> <s>Avvisavo sabbato di haver pagato a Messer Amadore <lb></lb>Massi doppie diciotto a conto di V. P., e ne ho la rice<lb></lb>vuta. </s><s>Tanto mi disse che haveva bisogno per carta ordi<lb></lb>nata. </s><s>Intanto la reverisco e la prego se vorrà confidare <lb></lb>la mia dimostrazione delle tre brevissime a qualche amico, <lb></lb>lo faccia pure, ma non vorrei che capitasse in mano di <lb></lb>quei buoi; per che credo che non l'habbiano. </s><s>Io ho già <lb></lb>mandato le mie per tutta l'Europa a dispetto loro; ma <lb></lb>io gl'honoro troppo, per che dovrei mostrare di nè anco <lb></lb>sapere che essi siano al mondo. </s><s><lb></lb>Fir.<emph type="sup"></emph>ze<emph.end type="sup"></emph.end> 8 X.<emph type="sup"></emph>bre<emph.end type="sup"></emph.end> 1646.<lb></lb> Di V. P. m. </s><s>R.<emph type="sup"></emph>da<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>Dev.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> et Obb.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> S.<lb></lb> V. Torricelli</s></p> <pb pagenum="432"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>192<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> MARINO MERSENNE a [TORRICELLI <lb></lb>in Firenze].<lb></lb>Parigi, 8 dicembre 1646.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLI, c. 31-32 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Quum non dubitem V. Clar. </s><s>te in dies Robervalli nostri responsum <lb></lb>expectare, meque taedeat, quod sit adeo piger, noveris esse tandem <lb></lb>perfectam Epistolam ad te mittendam, quae non minus credo quam 40. <lb></lb>paginas habebit, quapropter reliquus mensis requiritur, ut tibi ex eius <lb></lb>originali optimis characteribus describatur, sed et vult tria, aut 4. <lb></lb>exemplaria rursus excribi pro amicis; quare vix illam pro strenis ha<lb></lb>biturus es: urgebo tamen quantum potero. </s><s>Tubum firmum, et pulchrum <lb></lb>pro tuo vitro curo mihi parari, et vitrulum, quod vocamus courte veiis, <lb></lb>hoc est concavum aptissimum abs te expecto. </s><s>Sed primum vitrum, <lb></lb>quod mihi dedisti, quum forte tua manu, vel cura melius effici possit, <lb></lb>ad te remittam. </s><s>Sumus iam in examinando centro percussionis in omni<lb></lb>bus corporibus suspensis, et vibratis; propter quod centrum ingens est <lb></lb>controversia inter Illustrem Cartesium, et Robervallum, quam postea <lb></lb>tecum, si desideras, communicabo, ubi finita fuerit. </s><s>Centies Clariss.<emph type="sup"></emph>m<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>Donium Saluto. </s><s>Quaeso doceas me, num vitrum, quod tu, vel Dux ve<lb></lb>ster dedit Bovillialdo nostro, sit tuo, quod habeo, longe praestantius, <lb></lb>et cuius longitudinis; quidque de novo in Coelis detexeris. </s><s>Vale vir <lb></lb>Clariss.<emph type="sup"></emph>c<emph.end type="sup"></emph.end>, meque tui semper observantissimum crede Mersennum. <lb></lb>8 Decembris anni 1646. Parisiis.</s></p> <pb pagenum="433"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>193<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> TORRICELLI a MARINO MERSENNE <lb></lb>[in Parigi].<lb></lb>Firenze, 1 febbraio 1647.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>di Parigi, Fonds. </s><s>latin., nouv. <expan abbr="acq.">acque</expan>, vol. 2338, f.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> 6 — Autografa (?)).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Clarissimo Viro P. Marino Mersenno <lb></lb>Evangelista Torricellius S. D. </s></p> <p type="main"> <s>Pluribus epistolis tuis unicum responsum dabo Vir <lb></lb>Clar.me doctissimeque. </s><s>Doctissimum vero appello quinto <lb></lb>quodam modo, cuius rei rationem aperiam, quotiescunque <lb></lb>docueris ipse, quare me incomparabilem Geometram, sed <lb></lb>quarto quodam modo, limitata silicet appellatione dixeris <lb></lb>in una ex tuis epistolis. </s><s>Dicis enim rationem apodicticam, <lb></lb>te daturum, si tamen ratio ulla demonstrativa dari potest <lb></lb>illius tui dicti, quod ex omni parte falsum est. </s><s>Sed omissis <lb></lb>iocis veniamus ad seria. </s><s>Saepe iam excusavisti, vir omni<lb></lb>fariam, et quocunque modo volueris doctissime, tarditatem <lb></lb>responsi quod a Clarissimo viro Robervallio vestro debetur <lb></lb>litteris meis iam ab ineunte mense Augusto ad ipsum <lb></lb>datis. </s><s>Sive quaeso ipsum quantumcunque libuerit cunctari, <lb></lb>neque enim ipsi respondere potero usque ad futuram ae<lb></lb>statem, si tamen unquam potero iam enim litterae nostrae <lb></lb>in immensum crescunt, et epistolae degenerant in volu<lb></lb>mina. </s><s>At mihi quaelibet iactura temporis gravis est, et <lb></lb>multa habeo potiora, quae maturanda essent, et tamen <lb></lb>omnia praetermitto. </s><s>De centro illo percussionis, de quo <lb></lb>iam non semel scripsisti, nihil sollicitus sum. </s><s>Problema <lb></lb>enim non arridet animo meo. </s><s>Tubum quem dedi Claris<lb></lb>simo viro Bullialdo aeque perfectum existimarem, sed <lb></lb>octava ferè parte breviorem isto tuo. </s><s>Verum cum ipse <lb></lb>centies iam scripseris istum tuum nihil penitus valere, su<lb></lb>perest ergo ut ego tubum Bullialdi praeferam, quem nun<lb></lb>quam praetulissem, nisi me certiorem fecisses de imper<lb></lb>fectione istius, quod tam saepe reperisti facto experimento <pb pagenum="434"></pb>omnibus aliorum vitris inferius. </s><s>Veniet cum hac epistola <lb></lb>vitrum cavum quod iam diu promiseram. </s><s>Expectavi diu <lb></lb>multumque reditum alicuius ex vestris in Galliam, ut ad <lb></lb>te illud perferret, sed frustra: nondum enim contigit mihi <lb></lb>alloqui aliquem ad nos redeuntem. </s><s>Sed quid tandem pro<lb></lb>derit vitrum cavum mittere si praecipuum illud convexum <lb></lb>tam malum est? </s><s>Vitra mea iam undique toto terrarum <lb></lb>orbe expetuntur quamquam adeo imperfecta tibi visa sint <lb></lb>Vir Clarissime. </s><s>Hoc unum moneo, vitrum illud quod ipse <lb></lb>habes hoc requirere, silicet ut eius <lb></lb> <arrow.to.target n="fig693"></arrow.to.target><lb></lb>pars detecta, vel nihil penitus differat <lb></lb>ab hoc circulo, vel si differet paulo <lb></lb>admodum maior sit ad obiecta ob<lb></lb>scura, minor vero ad clariora. </s><s>Caete<lb></lb>rum quicumque iudicat tubum tuum <lb></lb>ideo meliorem Gassendiniano telesco<lb></lb>pio quia maiora refert obiecta cum <lb></lb>longior sit, pace illius dictum velim, fallitur. </s><s>Melior enim <lb></lb>est qui purissimam visionem offert, et distinctiora exhibet <lb></lb>obiecta praesertim ea quae valde minuta sunt. </s><s>Legi iam <lb></lb>saepe inauguralem epistolam Clarissimi Gassendi magna <lb></lb>cum animi voluptate, maiore cum admiratione: summas <lb></lb>ago tibi gratias vir doctissime qui me dignum tam pre<lb></lb>tioso munere iudicavisti. </s><s>Quotiescunque ad me litteras mi<lb></lb>sisti pro eruditissimo viro Io: Baptista Donio, ipsas a me <lb></lb>statim accepit, et summopere caras habuisse testatus est. </s><s><lb></lb>Tubis meis longissimis nihil adhuc novi deteximus in <lb></lb>Coelo, praeter fascias Ioviales, quae ipsum Iovis globum, <lb></lb>tanquam terrestrae nostre zonae, praecingunt. </s><s>Ipse enim <lb></lb>fere nunquam in Coelum aspicio ob inopportunitatem ae<lb></lb>dium quas inhabito. </s><s>Spero iam Robervallium vestrum non <lb></lb>amplius dicturum impossibiles spirales meas quae infinitas <lb></lb>revolutiones peragunt antequam ad centrum perveniant: <lb></lb>credo enim ipsum iam reperisse demonstrationes omnes, <lb></lb>cum illarum quas Geometricas, et penitus meas appello, <lb></lb>tum etiam illarum quas ex Archimedis definitione in infi<lb></lb>nitas algebrae dignitates propagata, derivo. </s><s>Idem etiam <lb></lb>spero de Problemate infinitarum hyperbolarum. </s><s>Quid enim <lb></lb>non credam de tali ingenio, cui tamen (ignoscas mihi hoc <pb pagenum="435"></pb>vir Clarissime) ipse detrahis aliquid, dum tantum intempe<lb></lb>stivis laudibus extollere contendis. </s><s>Scripsisti iam per uni<lb></lb>versam fere Italiam litteris Genuam, Bononiam, Romam, <lb></lb>et Florentiam missis, mira atque inaudita de epistola illa <lb></lb>quam adornat Robervallius. </s><s>Vocas enim et mirabilem, et <lb></lb>mirabilium inventorum plenam, et inimitabilem, et maxi<lb></lb>mam in Geometria confidentiam prae se ferentem, atque <lb></lb>his similia. </s><s>Quisnam tantae expectationi ab omni parte <lb></lb>respondere possit nisi unus Robervallius, et iudicio tuo! <lb></lb>Si quis (ut ipse scripsisti vir Clarissime) ex Typographis <lb></lb>vestris voluerit libellos meos iterum typis committere, gra<lb></lb>tum faciet si curabit ut plurimi errores qui in prima edi<lb></lb>tione irrepserunt, tollantur. </s><s>Ipse quod praedictis libellis <lb></lb>addam in praesens nihil polliceor. </s><s>Habeo quidem plura <lb></lb>Geometrica quorum editionem aliquando fortasse expediam <lb></lb>si per aetatem licebit, sed paratis prius his, ut cecinit ille, <lb></lb>quorum indiget usus. </s><s>Proxime praeteritis mensibus autu<lb></lb>mni incidi in Problema quoddam, propositum, ut ego au<lb></lb>divi, ab Illustrissimo viro de Fermat. </s><s>Iubebat enim datis <lb></lb>tribus punctis aliud reperire ex quo tres eductae ad data <lb></lb>tria puncta sint minima quantitas. </s><s>Construxi Problema, <lb></lb>demonstravi, determinavique, nam propositum fuerat sine <lb></lb>determinatione. </s><s>Solutio non una est: alia enim per doctri<lb></lb>nam solidorum procedit; alia atque alia sine locis solidis <lb></lb>per pura plana rem omnem absolvit. </s><s>Si volueris demonstra<lb></lb>tiones habebis vel ex me, vel ex Cavalerio, vel Magiotto, <lb></lb>vel Renerio nostro; cum variis enim amicis illas contuli <lb></lb>quamquam facilis admodum contemplatio videatur. </s><s>Doceas <lb></lb>quaeso, num huiusmodi Problematis solutio apud vos in <lb></lb>vulgus exierit, an apud autorem hactenus lateat: Audio <lb></lb>ab ingeniosissimo amico nostro M. Angelo Riccio utique <lb></lb>nostrum destinatum fuisse librum novissime recusum Ni<lb></lb>ceronis vestri, ab ipso Autore dum inter vivos ageret. </s><s>De<lb></lb>vinces me singulari beneficio si curaveris supremam hanc <lb></lb>voluntatem optimi, celeberrimique viri adimpleri. </s><s>Interim <lb></lb>certo scias vir Clarissime te nunquam erraturum donec <lb></lb>inter magis certas et immutabiles possessiones tuas adnu<lb></lb>merabis Torricellium. </s><s>Vale. </s><s><lb></lb>Florentiae Kalendis Februarij anno 1647.</s></p> <pb pagenum="436"></pb> <figure id="fig693"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>194<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> MARINO MERSENNE a TORRICELLI <lb></lb>[in Firenze].<lb></lb>Firenze, 1 marzo 1647.<lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir. </s><s>Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLI, c. 33-38 — Copia moderna). </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">L'originale di questa lettera trovavasi nel gennaio 1662 presso L. Serenai. (V. LET<lb></lb>TERA AI FILALETI DI TIMAURO ANTIATE, ecc. Firenze 1663, pag. 24. <emph type="italics"></emph>Inventario di <lb></lb>Scritture private manoscritte che si adducono nella presente lettera in prova della <lb></lb>Verità,<emph.end type="italics"></emph.end> ecc., N. XIX).<gap desc="/SM"></gap></foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Clarissimo, doctissimoque Domino Evangelistae Torricello <lb></lb>M. Mersennus P. S. D. </s></p> <p type="main"> <s>Gaudeo vehementer, vir Clar.<emph type="sup"></emph>me<emph.end type="sup"></emph.end>, quod semper nova reperias, neque <lb></lb>a tuo de nimis iactata Robervalliana Epistola judicio velim abnuere; <lb></lb>quam tantam, ut loqueris, confidentiam prae se ferre tandem videbis, <lb></lb>ut verear, ne tibi minus grata futura sit: quippe non eam urbanitatem, <lb></lb>vel comitatem observat, quam omnes in eo desideramus. </s><s>Nolim qui<lb></lb>dem prohibere quominus illa sit in eo, quam Philosophus 4 <lb></lb>Ethic. </s><s>cap. 14 permittit, scilicet ut scribat quae <lb></lb>sed ire porro minime licet, quippe si usque ad sit, <lb></lb>de quibus te monitum volui, nequod nimis fuerit, te <lb></lb>vel tantillum commoveat. </s><s>Ipse vero desideravit, ut ad amicos v. </s><s>gr. </s><s><lb></lb>Bononiam, et Romam exemplaria mitterem, ad quos vere dicis, me <lb></lb>illo sciente, volenteque scripsisse: quamquam si fuerit illa prolixior, <lb></lb>necdum sciam, si cuiquam missurus sim, quum ipse possis illam cum <lb></lb>amicis communicare, praesertim cum Angelo Riccio, cui me missurum <lb></lb>pollicitus fueram, a quo unum tui Libri exemplar spero, quod admo<lb></lb>dum D. Fermatius expetit; nondum enim vidit Librum, qui iam <lb></lb>mihi revocat in memoriam meam demonstrationem, qua probem, te <lb></lb>revera incomparabilem esse; nullus mortalium primo Inventutis flore <lb></lb>tanta unquam, ac Dominus Torricellius, in scientiis praestitit; nullus <lb></lb>Geometra tot propositiones adeo pulcras, et subtiles tanta brevitate <lb></lb>demonstravit; nullus analysta hactenus tam acuta problemata cum <lb></lb>specillorum adeo facile praxi coniunxit; nullus Geometra lineas ullas <lb></lb>curvas rectis aequales invenit, aut demonstravit. </s><s>Quis ergo me de pa<lb></lb>ralogismo arguat, quod virum Clarissimum, et amicissimum dixerim <lb></lb>incomparabilem? </s><s>quod erat demonstrandum. </s></p> <p type="main"> <s>Ut vero noveris ante receptam Epistolam aliquid ex pluribus, quae <lb></lb>in ea continentur, ait se non illarum notharum hyperbolarum, sed <lb></lb>unius verae, et primariae quadraturam maluisse; narrat quaecumque <pb pagenum="437"></pb>suis Libris futuris mechanicis complectitur, multaque sibi peculiariaque <lb></lb>reperit, mittitque generalem methodum inveniendi Centrum cuiuslibet <lb></lb>corporis. </s><s>Mitto cetera, quae lecturus es, dummodo semper memineris <lb></lb>me stylum illum acerbiorem nullatenus probare, a quo nos omnes, <lb></lb>licet amici, non possumus eum divellere, quidquid urgeamus Gallos <lb></lb>omnium comiores nunquam pati debere, ut a quoquam urbanitate vin<lb></lb>cantur. </s></p> <p type="main"> <s>Si bene memini, non credebat, te rectam invenisse aequalem tuis <lb></lb>spiralibus. </s><s>Nos autem, quod non infinitis circumvolutionibus ad Centrum <lb></lb>pervenirent; quod si scripserim, revoco; quod si verum est de recta <lb></lb>aequali, in sua Epistola tuum appellat; qua de re quum volueris nos <lb></lb>certiores facies. </s><s>Dudum in recta aequali curvae parabolicae reperienda <lb></lb>laboratum, sed frustra hactenus, necdum vero Librum latinum nostri <lb></lb>Niceronis legere potuimus, quod praela sudent in eius elogio ab illius <lb></lb>amico Romae facto cum effige addendo: quod quum factum fuerit, <lb></lb>curam in me suscipio librorum ad vos transmittendorum, cuius etiam <lb></lb>missionis vos prius moniturus sum. </s><s>Ex Hollandia libellus in quarto <lb></lb>pervenit ad nos, qui varia describit instrumenta, quibus lineae conicae, <lb></lb>puta parabolicae, hyperbolicae, et ellypticae describantur: additque <lb></lb>tractatum de solidis aequationibus, quem ad Dominum Riccium brevi <lb></lb>mittam, qui tecum communicet. </s><s>Prostat etiam Liber in 4<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> Lugduni <lb></lb>editus de motuum omni genere, Libri decem, quibus, inter alia, putat <lb></lb>auctor se demonstrasse proportionem accelerationis motus gravium <lb></lb>Galilaei geometrice falsam esse, licet in praxi bonam; suam vero per <lb></lb>numeros naturales 1, 2, 3, 4, 5, etc. </s><s>esse veram; vocatur Honoratus <lb></lb>Fabri, estque Jesuista, qui nuper Romam petiit, ut philosophiam, credo, <lb></lb>in Collegio Romano doceat: Librum suum edidit sub nomine unius ex <lb></lb>suis discipulis Lugdunensibus, ubi philosophiam, atque mathematicas <lb></lb>docebat. </s><s>Est admodum acutus, et totam philosophiam, cuius Liber <lb></lb>praedictus est secundum volumen, 14 voluminibus se demonstraturum, <lb></lb>atque daturum, ut omnes mathematicas quinque voluminibus polli<lb></lb>cetur. </s></p> <p type="main"> <s>Audio vestrum Renerium professorem Pisanum aliquid nuper edi<lb></lb>disse, quod docebis, ad quem etiam, si scripseris, gaudebo, illum te <lb></lb>mediante a me salutari, quippe quem transeundo, licet noctu vidi, <lb></lb>meque gratiose reduxit ad hospitium, uti peregrinum itinera vicorum <lb></lb>nescientem. </s><s>Heri Robervallius ad me accedens asseruit, se iam duo <lb></lb>suae ad te Epistolae exemplaria excribi <emph type="italics"></emph>(sic)<emph.end type="italics"></emph.end> curasse; si mihi dederit <lb></lb>unum, gratum habeas, si ad nostrum amicum Riccium misero; cuius <lb></lb>et amicum Magnani nostri Ordinis Romae in Monte Pincio S. Trinitatis, <lb></lb>audio microscopium fecisse, et ab horologiorum artifice alia similia <lb></lb>fieri, quibus Pulex manui videtur aequalis, oculi ut pisa, et aures, <lb></lb>quae instar cordis moveantur. </s><s>Pretium scribit Magnanus noster esse <lb></lb>duodecim scutorum; quid tibi videtur? </s></p> <p type="main"> <s>Gratias autem habeo de vitro concavo, quod praecedenti convexo <lb></lb>recte convenit, quod an sit sphaericum, docebis. </s><s>Quod attinet ad illa <lb></lb>tria, quae commemoras puncta, Robervallus ait, hoc non annumeran- <pb pagenum="438"></pb>dum inter problemata nobilissima; et demonstrationem per solida, <lb></lb>quum per plana fieri potest, ignobilem esse, et propemodum errorem; <lb></lb>necdum tamen vidi demonstrationem, quam libens a te suscipiam. </s></p> <p type="main"> <s>Plurimum quaeso salutes virum nobilem D. Donium meo nomine. </s><s>De<lb></lb>monstravit nuper Batavus chordam, vel catenam, etiamsi mathemati<lb></lb>cam duobus extremis detentam, cedentem in medio non efficere Lineam <lb></lb>parabolicam, sed aliam, quam determinat; qui et novo modo demon<lb></lb>strat proportionem accelerationum gravium Galilaei esse veram. </s><s>Sed <lb></lb>et alius nuper post Gassendus impugnavit Cazraeum Jesuistam, qui <lb></lb>contenderat adversus Galilaeum illam proportionem esse per nu<lb></lb>meros 1, 2, 4, 8 etc, ut Roma ad te scribebam. </s><s>An vidisti egregiam <lb></lb>Gassendi refutationem? </s><s>Haec pauca sunt, quae praemittenda iudicavit <lb></lb>tui studiosissimus. </s></p> <p type="main"> <s>Cur non monuisti de ingenti tuo perspicillo decem passuum geome<lb></lb>tricorum, num tubus ex malo navis factus feliciter successerit? </s><s>Hic <lb></lb>habemus artificem, qui facit tractilia novem brachiorum vestrorum, quae <lb></lb>adeo longa sunt, ut sint inutilia. </s><s>Nihil etiam dicis de tua ratione, <lb></lb>quam invenisti pro motibus aquarum, quae omnia quum libuerit, et <lb></lb>per otium licuerit, nos docebis. </s><s><lb></lb>Parisiis Calendis martii 1647.</s></p> <pb pagenum="439"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>195<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> TORRICELLI a [NICCOLÒ ZUCCHI <lb></lb>in Roma].<lb></lb>Firenze, 12 marzo 1647.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(R. Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Centrale Vittorio Emanuele in Roma, A. B. 58 — Autografa).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Molto Rev. P.re mio Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> P.ron Col.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Havrei potuto rispondere sabbato passato alla corte<lb></lb>siss.<emph type="sup"></emph>ma<emph.end type="sup"></emph.end> lettera di V. S., má hò voluto tardare questi due <lb></lb>giorni per poter prima considerare tutta la sua dottiss.<emph type="sup"></emph>ma<emph.end type="sup"></emph.end> et <lb></lb>ingegnosiss.<emph type="sup"></emph>ma<emph.end type="sup"></emph.end> scrittura; la quale (ben che di Lei havessi <lb></lb>formato grandiss.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> concetto) nulladimeno mi è riuscita <lb></lb>superiore all'espettazione. </s> <s><foreign lang="it">Certo è che io l'antepongo á <lb></lb>gross.<emph type="sup"></emph>mi<emph.end type="sup"></emph.end> volumi: et oltre al beneficio che ne hò ricevuto <lb></lb>io med.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> nell'intelletto, hò anco animo di prevalermene <lb></lb>ogni volta che m'occorrerà trattar di Meccaniche alli miei <lb></lb>Ascoltatori, facendo sempre il debito honore all'Autor <lb></lb>d'essa Scrittura. </foreign></s> <s>Ma per che pare che la modestia di V. S. <lb></lb>esponga la scrittura più tosto alle censure che alle lodi, <lb></lb>dirò con ogni sincerità, e con libertà veram.<emph type="sup"></emph>to<emph.end type="sup"></emph.end> filosofica <lb></lb>non sò che cosa che mi è parso d'avvertire in essa. </s> <s><foreign lang="it">Parmi <lb></lb>che quelle quattro parole <emph type="italics"></emph>Cum omne finitu ablatione finiti <lb></lb>in determinata proportione tandem consumatur.<emph.end type="italics"></emph.end> mentre V. S. <lb></lb>dice <emph type="italics"></emph>proportione<emph.end type="italics"></emph.end> senza aggiungere altro, molti intenderanno <lb></lb>Geometrica, nel qual caso la proposizione è sempre falsa, <lb></lb>poi che levandosi da qualunque grandezza parti sempre <lb></lb>proportionali in proporzione Geometrica di maggiore ine<lb></lb>gualità la grandezza numquam absumitur. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>L'altra cosa che hò notato è l'obiezzione che V. S. fá <lb></lb>alla Propos: 6 degl' Equiponderanti. </s><s>Io non nego che Ar<lb></lb>chimede sia un poco scarso in quella Propos.<emph type="sup"></emph>ne<emph.end type="sup"></emph.end> e che <lb></lb>gl'espositori siano anche loro difettosi (comprendendovi <lb></lb>anche Guidobaldo da me poco stimato), e però confessso <lb></lb>che l'obiezzioni di V. S. hanno ragionevole apparenza, má <pb pagenum="440"></pb>nulladimeno io credo che Archimede sia incolpabile, e si <lb></lb>possa dimostrare che la Proposizione è verissima, e ben <lb></lb>dimostrata anco secondo la strada che piglia esso Archi<lb></lb>mede. </s> <s><foreign lang="it">Quanto poi alle Taglie mi è piaciuto assaiss.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> il <lb></lb>vedere che V. S. confermi una opinione che io havevo un <lb></lb>pezzo fá, cioè che la Lieva non vi habbia che fare punto. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Anzi io sono solito à ridermi di quelli che hanno dato nome <lb></lb>di Taglie à questa Machina, per che le Taglie non vi hanno <lb></lb>che fare punto, et ingiustissimam.<emph type="sup"></emph>te<emph.end type="sup"></emph.end> hanno usurpato questo <lb></lb>nome, il quale con molta maggiore ragione si deve alla <lb></lb>Corda. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Se io faró passare la corda in tanti annelli lisci, <lb></lb>et insaponati, ella farà il med.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> effetto che faceva con <lb></lb>le Taglie; è ben vero però che con le Taglie scorrerà <lb></lb>alquanto meglio. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Io non posso se non chiamarmi obbli<lb></lb>gatiss.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> alla soprabbondante gentilezza di V. S., e per <lb></lb>l'honore che m'hà fatto nel comunicarmi la sua speco<lb></lb>lazione, e per il beneficio che indi ne traggo. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Le ne rendo però infinite grazie, e le soggiungo quello <lb></lb>di che m'ero dimenticato, che i fogli di V. S. sono pieni <lb></lb>di scorrezzioni, et anco alle volte sono scambiate le lettere <lb></lb>indicative delle figure; la qual cosa potrebbe dar fastidio <lb></lb>á qualcuno che habbia poca pratica. </foreign></s> <s><lb></lb>E qui con <expan abbr="osseq.">osseque</expan><emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> le faccio rev.<emph type="sup"></emph>za<emph.end type="sup"></emph.end> Di Fir.<emph type="sup"></emph>ze<emph.end type="sup"></emph.end> 12 Marzo 1647.<lb></lb> Al P. M.<emph type="sup"></emph>to<emph.end type="sup"></emph.end> Rev.<emph type="sup"></emph>do<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>Dev.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> et Obbl.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Ser.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb> <arrow.to.target n="fig694"></arrow.to.target></s></p> <pb pagenum="441"></pb> <figure id="fig694"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>196<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> TORRICELLI a [VINCENZO RENIERI <lb></lb>in Pisa].<lb></lb>Firenze, 14 marzo 1647.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XL, c. 11 — Autografa).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Molto Rev.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> P.re mio S.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> P.ron.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> Col.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Vengono in cotesta città il S. Gherardo Bode con un <lb></lb>suo S. fratello ambidue studiosi, e virtuosi giovani, e no<lb></lb>bili Alemanni della città d'Amburg: vanno vedendo tutta <lb></lb>l'Europa, più per la curiosità di conoscere huomini che ve<lb></lb>ramente siano huomini, che per la voglia di vedere paesi. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Ho voluto accompagnarli con queste quattro righe, essen<lb></lb>dosi essi mostrati curiosissimi di essere introdotti avanti <lb></lb>a V. P. del valor della quale havevano notizia anco prima <lb></lb>che parlassero con me. </foreign></s> <s>Hanno seco uno occhiale de' miei <lb></lb>di braccia 5. Se V. P. vorrà vederlo, conoscerà che è del<lb></lb>l'ultima perfezione che possa farsi. </s><s>Pagai allo stampatore <lb></lb>quattro doppie per suo ordine, e più altre due per quattro <lb></lb>fogli stampati le due ultime settimane passate. </s><s>E qui la <lb></lb>riverisco con ogni ossequio. <lb></lb> Di V. P. m. </s><s>Rev.<emph type="sup"></emph>da<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb> <arrow.to.target n="fig695"></arrow.to.target></s></p> <pb pagenum="442"></pb> <figure id="fig695"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>197<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> TORRICELLI a [VINCENZO RENIERI <lb></lb>in Pisa].<lb></lb>Firenze, 13 aprile 1647.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XL, c. 12 — Autografa).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>M. Rev.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> P.re mio S.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> P.ron.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> Col.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Ricevetti gl'altri denari, e ne pagai due doppie al <lb></lb>Massi e Landi subito. </s><s>Conservo tutte le ricevute per farne <lb></lb>quel tanto che da V. P. mi sarà poi ordinato. </s><s>Ma che <lb></lb>occorre a stampare più Tavole Medicee? </s><s>Ecco qua questa <lb></lb>razza sfondradona che ci vuole far restare tutti coglioni <lb></lb>in ogni sorte di professione. </s><s>V. P. legga l'incluso fronte<lb></lb>spicio, e poi abbandoni affatto l'Astronomia. </s> <s><foreign lang="it">Mi disse il <lb></lb>libraio Bolognese che l'opera non sarà finita di stampare <lb></lb>prima che fra 2 anni. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Quel mio lunario che ella ha ve<lb></lb>duto è l'opera del Quaranta Cornelio Malvasia che fu <lb></lb>Generale al tempo d'Urbano 8<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end>. del resto se non era per<lb></lb>sona qualificata ne sarei andato in collera da dovero. </foreign></s> <s>Io <lb></lb>la reverisco, non essendo per ancora affatto sano. </s><s><lb></lb>Di Fir.<emph type="sup"></emph>ze<emph.end type="sup"></emph.end> 13 aprile 1647.<lb></lb> Di V. P. m. </s><s>Rev.<emph type="sup"></emph>da<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>Dev.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> et Obb.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> S.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb> Vang.<emph type="sup"></emph>ta<emph.end type="sup"></emph.end> Torricelli</s></p> <p type="main"> <s>Il S. Ricciardi mi dice che V. P. ha certi bellissimi <lb></lb>sonetti in lode sua propria: se non fusse temerità la sup<lb></lb>plicherei d'una copia; tratto di quelli che ella non è per <lb></lb>istampare. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ho ricevuto l'altra lettera di V. P. dove mi comanda <lb></lb>il pagamento della carta, et il trovare uno che corregga <lb></lb>la stampa. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Eseguirò il pagamento. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Quanto poi a correg<lb></lb>gere la stampa io assolutamente non sono buono quando <lb></lb>anco fussi disoccupato, e che sia vero ella lo vedrà dal <lb></lb>mio libretto che fu corretto da me, e però è pieno d'errori, <pb pagenum="443"></pb>e perchè ogni volta che comparivano con quel foglio mi <lb></lb>davano una pugnalata ecc. Lessi la lettera di V. P. hier<lb></lb>sera in bottega del Cecchi libraio forte, pregando esso <lb></lb>Cecchi e molti di que' giovani a proporre qualche prete o <lb></lb>altri atto al servizio del correggere, ma indarno. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Anderò <lb></lb>procurando di nuovo, et intanto parlerò anco con lo stam<lb></lb>patore dal quale non sono stato ancora, per che la mat<lb></lb>tina non esco di casa non essendo sano in quell'hora, et <lb></lb>il giorno vado per ordine del P.ron.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> col S. Arrighetti ri<lb></lb>vedendo il fiume intorno a Fiorenza. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>198<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> TORRICELLI a VINCENZO RENIERI <lb></lb>in Pisa.<lb></lb>Firenze, 27 aprile 1647.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XL, c. 15-16 — Autografa).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Molto Rev.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> P.re mio Sig. e P.ron.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> Col.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Non ho ricevuto ancora li 50 scudi dal Procaccio, per <lb></lb>che hebbi la lettera tardi, et il sabbato santo da sera il <lb></lb>Procaccio non si potette trovare da un huomo dello stam<lb></lb>patore che mandammo a cercarlo. </foreign></s> <s>In ogni modo non è <lb></lb>cosa che ce ne sia fretta. </s><s>Delle 54 doppie che io ho havuto <lb></lb>in più volte da V. P. già una ella me ne doveva a me in <lb></lb>più partite ecc. delle 53 restantemi già ne ho pagate allo <lb></lb>stampatore 51, la maggior parte per ordine di lei spe<lb></lb>ciale e l'altra parte per regola datami dell'andar pagando <lb></lb>i fogli a mezza doppia l'uno. </s> <s><foreign lang="it">Ho tutte le ricevute per <lb></lb>farne quello che ella comanderà. </foreign></s> <s>Mi restano due doppie <lb></lb>oltre li cinquanta scudi che s'aspettano. </s><s>Di questi pagherò <lb></lb>la carta quando la vedrò, già ch'ella così ordina. </s><s>Del <lb></lb>resto anderò circospetto in dargli più denari, e dirò che <lb></lb>così ho comandamento. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Mando la lettera di Monsù Bullialdo, l'ho ricevuta il <lb></lb>Sabbato Santo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">La supplico á soddisfare al saluto del <pb pagenum="444"></pb>Sig. Paganino Gaudenzio, già che la mala fortuna, la mia <lb></lb>salvatichezza, e sopratutto il mio pochissimo merito an<lb></lb>cora non m'hanno dato occasione d'incontrar la servitù <lb></lb>di un sì grand'huomo. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ancor io guardai la congiunzione della ☽ con <arrow.to.target n="fig696"></arrow.to.target>, ma <lb></lb>con gli occhi per che era sul verticale del mio muro, e <lb></lb>però non si poteva adattar l'occhiale. </foreign></s> <s>La prego a voler <lb></lb>nella sua opera (o a proposito di queste osservazioni, overo <lb></lb>nel trattar di <arrow.to.target n="fig697"></arrow.to.target> e suoi pianetini), voler dico far qualche <lb></lb>servizio alli miei occhiali per interesse mio. </s><s>Spero che ella <lb></lb>conosca di poter dire la verità. </s> <s><foreign lang="it">Certo è che ella ha havuto <lb></lb>occasione per mezzo del Ser.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Padrone in ciò curiosis<lb></lb>simo di vedere, et esperimentare i più famosi occhiali che <lb></lb>si facciano in Europa; che poi i miei non si possino mai <lb></lb>superare la rendo certa io; ma che per ancora non siano <lb></lb>stati agguagliati forse ella l'haverà veduto da per sè. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Lo <lb></lb>stampatore mi dice haver trovato chi farà il servizio di <lb></lb>correggere l'opera. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Gli do nuova che sabbato sera si finì <lb></lb>in mia presenza la stampa del Lucrezio commentato dal <lb></lb>Sig. Medico Nardi. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Questo a mio giudizio era un grande <lb></lb>impedimento alla stampa di V. P. per che anco il Nardi <lb></lb>voleva i suoi due fogli ogni settimana. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Se gli venisse oc<lb></lb>casione di rimandare l'Aristarco franzese mi sarebbe grato. </foreign></s> <s><lb></lb>E la reverisco. </s><s><lb></lb>Di Fior.<emph type="sup"></emph>za<emph.end type="sup"></emph.end> 27 aprile 1647.<lb></lb> Di V. P. m. </s><s>Rev.<emph type="sup"></emph>da<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>Dev.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> et Obb.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> S.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb> V. Torricelli</s></p> <figure id="fig696"></figure> <figure id="fig697"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ho nuova anco di Monsù Baltassar de Monconis quale <lb></lb>è giunto a salvamento nel Cairo: Quegli Egitiachi vedendo <lb></lb>le maraviglie di quel grande occhiale che portò seco, gli <lb></lb>l'hanno rubato: cioè il cannone, e luce piccola, ma egli <lb></lb>che non fu coglione aveva il vetro importante in cassa. </foreign></s> <s><lb></lb>Ora domanda un altro cannone e luce. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ho ricevuta dopo scritta la lettera li 50 scudi dal Pro<lb></lb>caccio. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="italics"></emph>Fuori:<emph.end type="italics"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Al molto Rev. P.re Sig. mio P.ron Col.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Il P.re Don Vincenzo Renieri </s></p> <p type="main"> <s>Pisa. </s></p> <pb pagenum="445"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>199<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> MICHELANGELO RICCI a [TORRICELLI <lb></lb>in Firenze].<lb></lb>Roma, 18 maggio 1647.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir. </s><s>Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLII, c. 175-178 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>M.to Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end>, et Ecc.mo Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> e P.rone Oss.mo </s></p> <p type="main"> <s>Sono stato alcuni giorni a diporto in un Castello dell'Umbria detto la <lb></lb>Penna, e per la vicinanza di Viterbo, dove si trattiene un mio fratello <lb></lb>Domenicano, colà mi son trasferito a vederlo dopo due anni, che non <lb></lb>l'avevo riveduto. </s> <s><foreign lang="it">Mi fu inviata là fuori una lettera di V. S. con la <lb></lb>nuova della sua ricuperata sanità, della quale io mi son rallegrato <lb></lb>sommamente. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Gli studiosi d' Euclide dovranno restare obbligati molto <lb></lb>all' infermità di V. S., che avendole tolta la lena per correre verso i <lb></lb>più rilevati posti di Geometria, l'abbia costretta a contentarsi di <lb></lb>scherzar intorno agli elementi, e proporzioni, con ridurre il tutto a <lb></lb>quella facilità, che può promettersi ciascheduno dall'ingegno di V. S. <lb></lb>Ho dato speranza di quest'opera a certi Gentiluomini miei amici, da' <lb></lb>quali è adesso desiderata con qualche ausietà. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Una seconda lettera di <lb></lb>V. S. mi è capitata quest'ordinario con un frontespizio annesso pieno <lb></lb>di solenni promesse, poichè V. S. avrà veduto, che si esibisce di trattar <lb></lb>pienamente l'astronomia che fra le altre scienze matematiche è la più <lb></lb>difficultosa in riguardo delle osservazioni, e difficili a farsi e difficili <lb></lb>a trovarle conformi tra di loro. </foreign></s> <s>Eseguirò quanto V. S. m'impone, man<lb></lb>dando quel foglio al Padre Mersenno per la prima occasione, che mi <lb></lb>verrà di scrivergli. </s> <s><foreign lang="it">Frattanto mi trovo in obbligo di rispondere a <lb></lb>V. S. ad un quesito per il comandamento, che ella me ne fa, e dico, <lb></lb>che Gio: Batista de' Benedetti avvertì quello stesso, che giudiziosa<lb></lb>mente ha considerato V. S., et in una lettera diretta a Francesco Vi<lb></lb>comercato ne discorre diffusissimamente provando in più maniere (una <lb></lb>delle quali parmi la medesima con quella di V. S.) che negli specchi <lb></lb>concavi la vista non cammini per linee brevissime, ma per le più lun<lb></lb>ghe. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Mi sovviene ancora d'averne scritto a V. S. io pochi anni sono, <lb></lb>e valendomi d'un lemma, che è il Teorema 35° del secondo Libro di <lb></lb>Sereno, e V. S. mi rispose (perchè io non citavo Sereno, ma incorporavo <lb></lb>nel mio discorso la dimostrazione di Lui) che tutto camminava bene, <lb></lb>ma che quello, che v'era di Geometrico conveniva con una proposizione <lb></lb>di Sereno &. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ecco come gli uomini s'incontrano nei medesimi concetti, <lb></lb>o non saputi, o che stanno altamente sepolti nella memoria. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Io trovo, <lb></lb>che la Cicloide BDC, il cui asse è BF avrà per asintoto AE, mentre <pb pagenum="446"></pb>che AE sia perpendicolare al diametro AB, e per conseguenza equidi<lb></lb>stante all'asse BF; che la quadratura si può considerare non solo nel <lb></lb>quadrante, ma nella metà d'una porzione <lb></lb> <arrow.to.target n="fig698"></arrow.to.target><lb></lb>maggiore, o minore, et anco in questa vi è <lb></lb>il suo asintoto. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Finalmente che vedendo noi <lb></lb>due linee, che alla vista sembrino esser pa<lb></lb>rallele, e linee rette saranno in verità o due <lb></lb>iperboli, o una retta, et una iperbola, mentre <lb></lb>l'occhio stia perpendicolarmente sovra una <lb></lb>delle linee vedute, la quale è quella, che sarà, <lb></lb>et apparirà retta. </foreign></s> <s>Queste bagatelle mi pas<lb></lb>sarono per la testa alcuni giorni sono, non <lb></lb>avendo più forza per applicarmi di proposito <lb></lb>alla specolazione di soggetto serio. </s> <s><foreign lang="it">Non ho sentito, che ella abbia ri<lb></lb>cevuti que' dodici giuli, che le mandai per il Procaccio in prezzo del<lb></lb>l'occhialino. </foreign></s> <s>Mi dorrebbe che si fossero smarriti, ma replicherei lo <lb></lb>sborso. </s><s>E quì con riverente ossequio le bacio le mani. <lb></lb> Di V. S. m.to Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end>, et Ecc.ma<lb></lb>Roma li 18 Maggio 1647.<lb></lb> Devot.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> et Obb.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Servit.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb> Michelangelo Ricci</s></p> <pb pagenum="447"></pb> <figure id="fig698"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>200<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> TORRICELLI a [VINCENZO RENIERI <lb></lb>in Pisa].<lb></lb>Firenze, 25 maggio 1647.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XL, c. 13-14 — Autografa).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Molto Rev.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> P.re mio Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> P.ron.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> Col.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Sono venute finalmente 30 risme di carta, se bene pare <lb></lb>che Mess. </s> <s><foreign lang="it">Amadore confessi che non sono di quella per<lb></lb>fezzione che esso sperava, non ostante la premura fino <lb></lb>de' padroni con il comandamento dato dal S. Benedetto <lb></lb>Guerrini. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Io gli diedi 33 piastre per pagarla, cioè 30 á <lb></lb>conto di quella venuta di Colle, e scudi 3 per pagarne <lb></lb>certa comprata in Fiorenza pochi giorni avanti. </foreign></s> <s>Non vedo <lb></lb>l'hora di veder finito questo suo libro, sperando che vo<lb></lb>glia riuscire un'opera molto degna. </s><s>Non mi curo molto <lb></lb>de' Pianeti vecchi, ma aspetto con avidità queste Tavole <lb></lb>de' Pianetini novi. </s> <s><foreign lang="it">Oh quanti ne vidi le settimane passate?! <lb></lb>A fè che cotesti nostri amici di Napoli, e di Germania <lb></lb>non haverebbero scritto di vederne chi 9 e chi 11 ecc. Io <lb></lb>ne vidi più di 50, mentre <arrow.to.target n="fig699"></arrow.to.target> passò su la nebulosa del Pre<lb></lb>sepe. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Osservai queste settimane passate <arrow.to.target n="fig700"></arrow.to.target> quando era in <lb></lb>congiunzione di Venere; e così all'improviso sul campanile <lb></lb>del Domo discorrendo con alcuni giovani che eran meco, <lb></lb>feci un certo calcolaccio per la prima volta che avevo <lb></lb>veduto <arrow.to.target n="fig701"></arrow.to.target>, e conietturai che egli di diametro reale fusse <lb></lb>meno di 8 miglia delle nostre. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Lo paragonai a <arrow.to.target n="fig702"></arrow.to.target> giudi<lb></lb>cando quanto egli apparisse minore; poi con la memoria <lb></lb>paragonavo <arrow.to.target n="fig703"></arrow.to.target> a qualche macchia di quelle tonde nella ☽; <lb></lb>e fatto conto anco delle lontananze insomma trovavo che <lb></lb>egli era una coglionaria molto piccola. È verissimo che <lb></lb>il Novelli há volontà di fare gl'occhiali come me. È anco <lb></lb>vero che ne ha fatto finalmente qualcuno che ha havuto <lb></lb>ardire di farlo comparire in palazzo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Basta; è stato pro- <pb pagenum="448"></pb>vato con i miei, e può essere che qualcuno suo parziale <lb></lb>l'habbia lodato, ma però il Ser.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> P.ron.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> non veggo che <lb></lb>si degni di parlarne, ma parla bene di quel Romanesco, <lb></lb>ancorchè poi non adopri altri occhiali che i miei. </foreign></s> <s>Un'altra <lb></lb>volta già sono un anno e mezzo questo medesimo No<lb></lb>velli ne mandò due al Poggio a Caiano mentre S. A. S. <lb></lb>era in villa. </s><s>Si provarono, e furono ributtati con l'oibò. </s><s><lb></lb>Mi vi trovavo ancor io, e v'era anco Tordo. </s> <s><foreign lang="it">Quello che <lb></lb>propose gl'occhiali fu un Cav.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> Rucellai; è ben vero che <lb></lb>mai volle nominare l'autore a noi altri; e solo per coniet<lb></lb>ture sapemmo che erano del Novelli. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Quelli poi che scri<lb></lb>vono che fanno miracoli, bisogna che siano gente che non <lb></lb>hanno pratica de' miei; et io ho sempre detto che non <lb></lb>solo il Novelli, et il Divini, e Tordo, et il Fontana, ma <lb></lb>mille altri faranno occhiali che daranno grandissimo gusto, <lb></lb>e parrà che non si possa far più. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Bisogna aver il paragone <lb></lb>presente e de' miei, e degli altrui, e poi bisogna anco di <lb></lb>più che il giudice non sia novizio nel guardare, perchè <lb></lb>molte volte non vedrà la differenza, la quale vi è e se <lb></lb>ben piccola, in ogni modo si stima assaissimo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Io ho il <lb></lb>libro delle Bestialità osservate, o più tosto sognate dal <lb></lb>Fontana nel cielo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Se ella vuol vedere pazze cose, cioè <lb></lb>spropositi, finzioni, sfacciataggini, e mille vituperij simili, <lb></lb>io gli manderò il libro: potrà forse cavare robba da ri<lb></lb>dere per l'opera sua. </foreign></s> <s>Tra le doppie che V. P. mi mandò <lb></lb>ne fu una di Milano ottima di peso, ma fessa e rattop<lb></lb>pata; e Mess. </s> <s><foreign lang="it">Amadore l'ha conservata fino adesso di<lb></lb>cendo che trova difficoltà nello spacciarla. </foreign></s> <s>Ho promesso <lb></lb>di scriverlo a V. P. come fo. </s><s>Ma spero che la spenderà, <lb></lb>perchè finalmente come non vi è altro male, corrono. </s><s>E <lb></lb>la reverisco con ogni ossequio. <lb></lb> Di V. P. m. </s><s>Rev.<emph type="sup"></emph>da<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb> <arrow.to.target n="fig704"></arrow.to.target></s></p> <pb pagenum="449"></pb> <figure id="fig699"></figure> <figure id="fig700"></figure> <figure id="fig701"></figure> <figure id="fig702"></figure> <figure id="fig703"></figure> <figure id="fig704"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>201<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> [TORRICELLI a MICHELANGELO RICCI <lb></lb>in Roma].<lb></lb>Firenze, 29 giugno 1647.<lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XL, c. 95-97 — Copia di L. Serenai). </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">L'originale di questa lettera trovavasi nel gennaio 1662 presso il M. A. Ricci in <lb></lb>Roma: V. LETTERA AI FILALETI DI TIMAURO ANTIATE, ecc. Firenze, 1663, pag. 24. <lb></lb><emph type="italics"></emph>Inventario di scritture private manoscritte che si adducono nella presente lettera in <lb></lb>prova della Verità,<emph.end type="italics"></emph.end> ecc., N. XVII.<gap desc="/SM"></gap></foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Mi è anco parso opportuno di copiare la presente scrit<lb></lb>tura per mandarla in mano di V. S. a questo effetto; cioè <lb></lb>per supplicarla che voglia farmi grazia di tenerla appresso <lb></lb>di se per poter in ogni caso far testimonianza che io gliela <lb></lb>mandai fino di questo tempo. </s> <s><foreign lang="it">Accennai anco prima non <lb></lb>so che cosa intorno a queste medesime hiperbole, ma <lb></lb>senza le determinazioni, e senza il quarto Teorema del <lb></lb>solido di base, o di lunghezza infinita. </foreign></s> <s>Non ho mai ve<lb></lb>duto risposta da quelli oltramontani. </s><s>Hanno già hauto da <lb></lb>me la definizione e un cenno de' teoremi. </s> <s><foreign lang="it">Un altra volta <lb></lb>m'è intervenuto che havendogli io avvisata l'enunciatione <lb></lb>del centro di gravità della Cicloide, dopo haver confessata <lb></lb>l'invenzione per mia, dopo aver anco dubitato se la pro<lb></lb>posta fusse vera, dopo havermi pregato à mandar la di<lb></lb>mostrazione, et haverla io mandata, tacquero due anni, e <lb></lb>poi dissero, che havevano ogni cosa avanti à me. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Sareb<lb></lb>bero più scusati nella materia presente, nella quale io <lb></lb>non ho ancora divulgato la dimostrazione, quando la tro<lb></lb>vassero, usurparla per loro. </foreign></s> <s><foreign lang="it">L'altra grazia della quale io <lb></lb>supplico V. S. è questa cioè che voglia favorirmi scri<lb></lb>vendo al P.re Mersenne ó ad altri Matematici dargli avviso <lb></lb>di quel quarto Teorema senza però manifestare l'enun<lb></lb>ciazione. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Basta solo che sappiano che l'habbiamo dimo<lb></lb>strato in due modi, cioè more veterum, et per indivisi<lb></lb>bilia, che il solido nato dalla revoluzione di alcune delle <lb></lb>mie hiperbole intorno ad uno asintoto, ancor che di base, <pb pagenum="450"></pb>e di larghezza infinita, in ogni modo è uguale ad un tal <lb></lb>solido di mole finita, et anco di poca quantità. </foreign></s> <s><lb></lb>Firenze 29 Giugno 1647.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Definitio.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Sint AF, AH ad angulos rectos (vel si mavis ad aliud <lb></lb>quemlibet angulum) sumptoque in AH <lb></lb> <arrow.to.target n="fig705"></arrow.to.target><lb></lb>aliquo puncto B, ponatur quaevis recta <lb></lb>BC ordinatim applicata, hoc est aequi<lb></lb>distans ipsi AF; tum sumpto quolibet <lb></lb>alio puncto D, est ut quaelibet dignitas <lb></lb>asymptotalis BA ad dignitatem asympto<lb></lb>talem sibi parigradam AD, ita reciprocé <lb></lb>alia quaecumque dignitas applicatae <lb></lb>DE ad dignitatem sibi parigradam ap<lb></lb>plicatae BC; et hoc modo semper ubi<lb></lb>cumque sumatur punctum D; lineam <lb></lb>illam quae per omia puncta ECE etc. </s><s>transibit Hyper<lb></lb>bolam vocamus. </s></p> <figure id="fig705"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Theorema Primum. </s><s>Spatium.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si fuerit quaelibet ex infinitis hyperbolis cujus asym<lb></lb>ptoti AD, AH, et quaedam ordinatim appli<lb></lb> <arrow.to.target n="fig706"></arrow.to.target><lb></lb>cata BC, si compleatur parallelogrammum <lb></lb>AC, erit figura universa DCHA ad figu<lb></lb>ram CHB ut exponens dignitatis asymptota<lb></lb>lium ad exponentem dignitatis applicatarum <lb></lb>quarum una est BC. Oportet exponentem <lb></lb>asymptotalium AH majorem esse exponente <lb></lb>dignitatis ad ipsam AH applicatarum, alias <lb></lb>figura plana non solum longitudine sed etiam <lb></lb>magnitudine infinita esset ut a nobis demonstratur. </s></p> <pb pagenum="451"></pb> <figure id="fig706"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Theorema 2. Tangens.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <figure></figure> <p type="main"> <s>Esto hyperbola cujus asymptoti AD, DB, <lb></lb>quaeraturque tangens ad punctum C. Ap<lb></lb>plicetur ordinatim CE, fiatque ut exponens <lb></lb>dignitatis asymptotarum quarum una est <lb></lb>DA ad exponentem sibi applicatarum, qua<lb></lb>rum una est EC, ita recta DE ad EA, et <lb></lb>ducta AC tangens erit. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Theorema 3. Solidum acutum infinitè longum.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Sint asymptoti AB, BC, et quaevis ordinatim applicata <lb></lb>AD, peractoque parallelogrammo BD con<lb></lb> <arrow.to.target n="fig707"></arrow.to.target><lb></lb>vertatur figura circa axem EAB. Solidum <lb></lb>factum ex figura CDEAB ad solidum fa<lb></lb>ctum ex figura DEA, erit ut numerus duplus <lb></lb>exponentis dignitatum asymptotalium EB <lb></lb>ad ipsam exponentem dignitatis applicata<lb></lb>rum quarum una est AD. </s></p> <figure id="fig707"></figure> <p type="main"> <s>Necesse est duplum exponentis asym<lb></lb>ptotalis maiorem esse exponente applica<lb></lb>tarum, aliàs solidum esset mole infinitum quod a nobis <lb></lb>demonstratur. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Theorema 4. Solidum cuius basis <lb></lb>et latitudo infinita est.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Sint asymptoti BE, BC, et quaelibet applicata AD, com<lb></lb>pletoque parallelogrammo BD convertatur figura universa <lb></lb>CBBA circa axem BC. Solidum factum ex figura CDEAB <lb></lb>ad solidum factum ex figura DEA erit ut exponens asym<lb></lb>ptotalium EB ad duplum exponentis applicatarum, quarum <lb></lb>una est AD. </s></p> <p type="main"> <s>Necesse est ut numerus exponens dignitatum aympto<lb></lb>talium quarum una AB maior sit duplo exponentis appli<lb></lb>catarum quarum una AD, aliàs figura erit mole infinita, <lb></lb>ut a nobis ostenditur. </s></p> <pb pagenum="452"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>202<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> MICHELANGELO RICCI a [TORRICELLI <lb></lb>in Firenze].<lb></lb>[Roma, primi luglio 1647].<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLII, c. 184-186 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Molt'Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end>, et Ecc.mo Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> e P.rone Oss.mo </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Con isperanza di sentir qualche nuova degna di esser saputa da <lb></lb>V. S. sono andato oggi alla Trinità de' Monti, dove aveva il Padre <lb></lb>Mersenno inviate sue lettere contenenti alcune curiosità, le quali cre<lb></lb>devo, che fossero geometriche, e che forse potessero appartenere alle <lb></lb>materie delle iperboli da lei considerate; ma ho fatto invano quel <lb></lb>viaggio, e mi son ridotto a rispondere alla sua gentilissima di notte, <lb></lb>quando il corpo è stracco, e la mente poco atta all'applicazione. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Dirò <lb></lb>dunque brevemente che il Teorema secondo delle tangenti l'ho consi<lb></lb>derato, e dimostrato in una maniera facile per mio avviso, e breve, <lb></lb>ed è tale. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Sia qualsivoglia delle infinite iperbole per esempio con le <lb></lb>dignità asintotali cubiche, e le dignità delle applicate quadratiche, e <lb></lb>facciasi DE ad EA (dopo avere applicata l'ordinata CE dal punto C <lb></lb>dato) come l'esponente della dignità asintotale a quello delle applicate, <lb></lb>cioè come 3 a 2. Dico, che la retta connettente AC sarà tangente. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Imperocchè il prodotto del quadrato GH in GD cubo al prodotto del <lb></lb>quadrato CE nel DE cubo, è in ragione del prodotto, AG quadrato in <lb></lb>DG cubo al prodotto AE quadrato in ED cubo <lb></lb> <arrow.to.target n="fig708"></arrow.to.target><lb></lb>(e così degli altri prodotti simili al prodotto <lb></lb>HG quadrato in GD cubo, che son terminati <lb></lb>nella retta ACB) ma il prodotto AE quadrato <lb></lb>in ED cubo è massimo adunque ancora CE <lb></lb>quadrato in ED cubo sarà massimo di quei <lb></lb>terminati nella retta ACB, e in conseguenza <lb></lb>il suo eguale FG quadrato in GD cubo sarà <lb></lb>ancor esso maggiore rispetto HG quadrato in <lb></lb>GD cubo, e però FG maggiore della retta HG, <lb></lb>e finalmente il punto H fuori della curva, et <lb></lb>ogni altro punto della curva iperbolica sarà da una medesima parte <lb></lb>della CAB, e perciò sarà questa tangente. </foreign></s> <s>Il che &. </s></p> <figure id="fig708"></figure> <p type="main"> <s>Supplico V. S. a volerla paragonare con la sua dimostrazione, e <lb></lb>significarmi solamente, se confrontano, o no; sebbene potrebb'essere, <lb></lb>che la mia fosse poco a proposito, essendo fatta in tempo, che per la <lb></lb>distrazione d'alcuni mesi dallo studio geometrico, ho dimenticato molte <pb pagenum="453"></pb>cose, e perso una prontezza tale, quale m'ero acquistata in qualche <lb></lb>parte. </s><s>Scriverò a suo tempo in Parigi, et altrove dell'invenzione di <lb></lb>V. S. per la comunicazione delle quali gliene resto con infinita obbli<lb></lb>gazione. </s><s>Mi dispiace poi dell'indisposizione, che la travaglia, la quale <lb></lb>mi pare, che l'abbia presa per assedio, girandole già un pezzo fa or <lb></lb>da una parte, or dall'altra, ma sempre intorno la testa. </s> <s><foreign lang="it">Certi amici <lb></lb>miei vivono desiderosi di leggere le invenzioni di V. S. dirette ad age<lb></lb>volare il secondo d'Euclide, avendo avuto notizia da me fin d'allora, <lb></lb>che ella si compiacque onorarmi con tale avviso. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Quì abbiamo un Pa<lb></lb>dre Gesuita franzese, detto il Padre Fabri, stimato per Matematico <lb></lb>valoroso, secondo mi dicono gli amici miei, che lo conoscono per fama, <lb></lb>et è venuto alla Penitenzieria di S. Pietro con fine di comporre. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Credo che sarà giunto a Livorno un vascello Inglese, che porta l'Am<lb></lb>basciadore d'Inghilterra per ricedere in Costantinopoli, e con quello <lb></lb>spero di ricevere l'Opera del Sig.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> . . . . . . . . . di cui scrissi a V. S. <lb></lb>un'altra volta. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Quì faccio fine, restando tuttavia il solito &. <lb></lb> Divot.mo et Obb.mo Ser.<lb></lb> Michelangelo Ricci.</foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>203<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> [TORRICELLI a MICHELANGELO RICCI <lb></lb>in Roma].<lb></lb>Firenze, 20 luglio 1647.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XL, c. 106-107 — Copia di L. Serenai).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">La dimostrazione che V. S. mi scrive intorno alle <lb></lb>tangenti delle infinite hiperbole è alquanto diversa dalla <lb></lb>mia, ma però il fondamento è il medesimo, cioè la suppo<lb></lb>sizione che dignità della linea segata in ragione delli <lb></lb>esponenti facciano il massimo prodotto: teorema che mo<lb></lb>strandosi per la strada che lo mostro io, tutte le mie cose <lb></lb>restano scoperte perchè dipendono da questo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">La diversità <lb></lb>della dimostrazione stà in questo, che io la porto all'u<lb></lb>sanza di Apollonio, cioè si possibile est non tangat etc. </foreign></s> <s><lb></lb>non dico già che mi paia più chiara nè migliore che la <lb></lb>usata da V. S. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ho alcune cose nuove come V. S. vedrà nel foglio <lb></lb>quì annesso La supplico a volerlo mandare al P. Mer- <pb pagenum="454"></pb>senne con salutarlo in mio nome, ma questo sia senza <lb></lb>suo incommodo, cioè per la prima occasione che ella havrà <lb></lb>di scrivergli per altro. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Farò che V. S. habbia quelle mie <lb></lb>bagattelle sopra le proporzioni del V libro d'Euclide. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Vi <lb></lb>manca un po' di proemio, et in ultimo un'appendice che <lb></lb>mostra il modo di propagare anco negli altri generi di <lb></lb>quantità, quello che io dimostro nel genere delle linee. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>L'operetta è piccolina pare a me di 17 proposizioni per lo <lb></lb>più brevissime, et il proemio e l'appendice saranno molto <lb></lb>brevi. </foreign></s> <s>Il male è che quà non habbiamo copisti merce<lb></lb>narij, che io l'havrei fatta sbrigare subito. </s> <s><foreign lang="it">Ho poi pen<lb></lb>siero (se così parrà a V. S. dopo haverla veduta) di la<lb></lb>sciarla stampare ma sotto nome di alcuno di questi miei <lb></lb>giovani, e con la medesima occasione si potrà pubblicare <lb></lb>ancora il dialogo dettato dal Galileo negli ultimi giorni <lb></lb>della sua vita sopra la definizione delle proporzioni di <lb></lb>Euclide, et il frammento dettatomi dal medesimo sopra la <lb></lb>proporzione composta. </foreign></s> <s>Se io stamperò per ora queste po<lb></lb>chissime baie mie, non lo farò se non con rossore, e per <lb></lb>necessità. </s> <s><foreign lang="it">La necessità consiste quì che io sicuramente <lb></lb>non voglio più leggere il V libro di Euclide se non nella <lb></lb>mia maniera qualunque ella si sia; però è necessario che <lb></lb>il libretto sia stampato, acciò gli uditori possano haverlo <lb></lb>appresso di se altrimenti, o subito usciti di scuola la dot<lb></lb>trina sarà dimenticata, overo dovendo copiarla lasceranno <lb></lb>più tosto la patria non chè la scuola per non haver que<lb></lb>sto tedio. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Hieri mi trovai a sentire in camera del Ser.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>G. Duca un puttino di meno di otto anni rispondere in <lb></lb>materia di Teologia, filosofia, medicina, e Legge a varij <lb></lb>professori chiamati all'improvviso. </foreign></s> <s>Cosa veramente mira<lb></lb>bile. </s><s>Ora dicono volergli insegnare le matematiche. </s><s>Sta<lb></lb>remo a vedere. </s><s>Ma V. S. n'havrà già notizia perchè in<lb></lb>tendo che torna da Roma. </s><s><lb></lb>Firenze 20 Luglio 1647.</s></p> <pb pagenum="455"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>204<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> BALDASSAR DE MONCONIS a TORRICELLI <lb></lb>in Firenze.<lb></lb>Cairo, 20 luglio 1647.<lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s> <s><foreign lang="it">Galileiani, Discepoli, T. XLI, c. 79-80 — Copia del tempo). </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Sul margine superiore del <emph type="italics"></emph>recto<emph.end type="italics"></emph.end> della carta 79 dello stesso codice “ Discepoli di Ga<lb></lb>lileo, T. XLI ” si legge: <emph type="italics"></emph>Copia di lettera scritta al Sig. Vangelista Torricelli da Monsù <lb></lb>Baldassar de Monconis dal Cairo alli 20 luglio 1647.<emph.end type="italics"></emph.end><gap desc="/SM"></gap></foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Ill.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Sig. e P.rone mio Col.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Per esser troppo obbligato alla sua cortesia nè sapendo di che <lb></lb>maniera poter degnamente ringraziarla ho fatto il mancamento di non <lb></lb>la salutare, quando diede l'ordine al Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Michele Daniele da membrare <lb></lb>l'Occhiale che ho ricevuto e pagato al detto Daniele li scudi 6 3/4; et <lb></lb>ancora non mi sarei ardito a fargli leggere una pessima lettera ver<lb></lb>gognoso di esporre la mia ignoranza alla luce di tanti savi ingegni <lb></lb>come quelli di V. S. e di tutti gli altri virtuosi e dottissimi Sig.<emph type="sup"></emph>ri<emph.end type="sup"></emph.end> sua <lb></lb>Camerata i miei Padroni se non me ne avesse fatto uno espresso co<lb></lb>mandamento: obedisco stante l'averle domandato perdono del mio <lb></lb>silenzio e fatto scuse di questo scritto che è il primo che ho fatto in <lb></lb>lingua Italiana, e seguitando il proprio ordine col quale ho vedute le <lb></lb>bellezze di questi paesi comincierò dalla Città d'Alessandria situata <lb></lb>appresso il mare dove è una lingua di terra che vi entra un miglio <lb></lb>avanti verso Tramontana, dopo si divide egualmente verso levante a <lb></lb>ponente forma due bellissimi porti l'uno per li Vascelli l'altro per le <lb></lb>Galere, et in quella Città non ci è cosa intera altro che una grande <lb></lb>aguglia tutta intagliata di Caratteri jeroglifici più bella assai che <lb></lb>quella Madonna del Popolo di 60 piedi d'alto, e di 7 di faccia et fora <lb></lb>sopra d'un bel piedistallo una colonna di 8 piedi di diametro e 125 di <lb></lb>alto di una sola pietra che alcuni dicono fonduta, et altri cavata nel <lb></lb>monte Sinai; ma questo è ben falso perchè sò stato là e non ho ve<lb></lb>duto nessuna delle cominciate come si diceva, nè manco luogo dove si <lb></lb>potessino tagliare. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Questa si domanda la Colonna di Pompeo sopra della <lb></lb>quale al mio parere erano depositate le sue Ceneri, come sopra la <lb></lb>Guglia del Vaticano quelle di Giulio Cesare, tutto lo restante della <lb></lb>Città è così rovinato che pare che il cielo habbia discaricato la sua <lb></lb>collera sopra di lei geloso che fusse una bellezza tale in terra perchè <lb></lb>dalle reliquie de' suoi muri ornati di 50 in 50 passi di maravigliose <lb></lb>torri, e dalla quantità de pezzi di colonne le quali mostrano ancora <lb></lb>l'ordine di tutte le strade si vede che è stata la più bella e superba <pb pagenum="456"></pb>fabbrica del mondo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">A una giornata di là s'incontra il famoso fiume <lb></lb>Nilo sopra del quale si naviga fino al Cairo con grande soddisfazione <lb></lb>tanto per cagione del suo corso assai lento benchè sia due o tre <lb></lb>volte tanto largo come l'Arno, quanto per la quantità delle ville che <lb></lb>sono da ambe le parti le quali per la sua inondazione rende fertilis<lb></lb>sime et anco tutto l'Egitto. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Il Cairo chiamato grande non ha più di <lb></lb>6 miglia di circuito come lo posso giudicare per il tempo che ho <lb></lb>messo a fare il giro delli muri di un hora e cinquanta minuti sopra <lb></lb>un'asino, che se camminano veramente più che qualsivoglia Cavallo al <lb></lb>passo, quelli sono le cavalcature ordinarie di questi paesi à tutti li <lb></lb>Cristiani, a' quali non è lecito di cavalcare altrimenti. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Le strade sono <lb></lb>in numero di 24 mila secondo la vulgare opinione, tutte angustissime, e <lb></lb>per questo pare che la Città sia popolosissima particolarmente li giorni <lb></lb>di mercato, nelli quali non si può camminare si gran pena e fastidio <lb></lb>è per quelle strade dove lo fanno, ma nelle altre e nelli altri giorni non <lb></lb>è così; è ben vero che la maggior parte della gente non si vede per<lb></lb>chè le donne i fanciulli e gli schiavi non escono mai. </foreign></s> <s>Le Case sono brut<lb></lb>tissime fatte per la maggior parte di canne e di mattoni qualcheduno <lb></lb>crudi perchè raramente si vede pioggia, e se casca per ventura come ho <lb></lb>veduto è pochissima. </s> <s><foreign lang="it">La cosa più notabile che sia dentro la Città è <lb></lb>il pozzo di Joseph dentro il Castello cavato nella rocca viva 132 piedi <lb></lb>profondo, sino a la metà solamente descendono li bovi per un strada <lb></lb>tagliata nella rocca tutto all'intorno del detto pozzo; il quale è qua<lb></lb>drato lungo et haverà qualche 20 piedi di lunghezza, e 14 di larghezza. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Le Piramidi sono lontane sette o otto miglia dalla Città in una pia<lb></lb>nura dall'altra parte del fiume sono veramente maravigliose come lo <lb></lb>potrà giudicare V. S. da <expan abbr="q.">que</expan><emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> misure che ho pigliate assai diligentemente: <lb></lb>la più grande sua faccia è di 682 piedi, e la sua altezza di 520 piedi <lb></lb>o vero 208 gradi che vanno ciascuno all'intorno della piramide le <lb></lb>quali sono di grandissimi pezzi di pietra maggiori di quelli del Coliseo <lb></lb>s'io non m'inganno, et hanno due, due e mezzo, e tre piedi d'altezza; <lb></lb>sù nella cima vi è una piattaforma quadrata di 16 piedi di faccia <lb></lb>dentro si va a una stanza principale (dove è una sepoltura detta di <lb></lb>faraone di quelle pietre che dicono fondute) per diverse strade, l'une <lb></lb>che descendono, e le altre ascendono, benchè tutte in linea dritta per <lb></lb>spazio di 350 piedi; vicino a questa piramide ve n'è un'altra poco mi<lb></lb>nore, e due altre più piccole assai, et una gran quantità di differenti <lb></lb>sepolture tutte all'intorno. </foreign></s> <s>Si vede anco là una grandissima testa di <lb></lb>pietra che era una hiena, la quale ha 26 piedi di altezza, e dalle <lb></lb>sue orecchie fino al naso 15 piedi; dicono che era un oracolo dentro <lb></lb>del quale si veniva sotto terra per la gran piramide che è lontano <lb></lb>solamente 300 passi. </s> <s><foreign lang="it">di queste simili Piramidi ne erano assai per <lb></lb>spazio di quindici miglia seguitando il corso del Nilo verso la sua <lb></lb>origine, fra le quali ne restano due o tre belle et assai intere, e <lb></lb>molte rovinate nel luogo dove si cavano oggi di quelli corpi chiamati <lb></lb>mummie dentro della rocca sopra la quale sono fondate tutte le Pira<lb></lb>midi. </foreign></s> <s>Questa rocca è tutta intagliata a modo di diverse e lunghe <pb pagenum="457"></pb>strade l'istesso spazio di 15 miglia e si descende a basso per certi <lb></lb>pozzi quadrati i quali come è tutto quel sito sono coperti di grandis<lb></lb>sima quantità di arena. </s> <s><foreign lang="it">Ho avuto ventura di farne aprire un nuovo <lb></lb>dove ci ho trovato una delle più curiose mummie che mai si sia ve<lb></lb>duto in l'Europa, e fra molte ordinarie che trovai ce n'era una che <lb></lb>aveva una cintura di foglie che parevano di arancio passate per il <lb></lb>mezzo tutte con un filo di palma. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Visto tutto questo passai al Monte <lb></lb>Sinai per istesso cammino che fece il popolo Ebreo et incontrammo <lb></lb>l'acque de masa, che non hanno conservata la dolcezza che le diede <lb></lb>Mosè nè meno quelle dodici fonti che erano fra le settanta palme (che <lb></lb>sono ben multiplicate adesso) ma le fontane sono calide assai e di <lb></lb>sapore nitroso; queste sono appresso di un castello chiamato Tour <lb></lb>situato al bordo del mar rosso dove discesi per pigliar di mia mano <lb></lb>quelli funghi, lumache, alberi e coralli che vi sono in tanta quantità <lb></lb>che rendono la navigazione difficilissima. </foreign></s> <s><foreign lang="it">E questo mare simile ad un <lb></lb>bel giardino e perchè queste cose sono la maggior parte gialle, e pa<lb></lb>vonazze pare di lontano che tutto il mare sia dell'istesso colore, e <lb></lb>per questo è verisimile che lo chiamino rosso. </foreign></s> <s>benchè habbi fatto gran <lb></lb>diligenza per sodisfare alla promessa che feci al Preg.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> padre Rinieri <lb></lb>la prego a fargli sapere che non ho potuto trovar là nessuna calamita <lb></lb>benchè ne siano assai dentro, e si dice che per questo fanno li Va<lb></lb>scelli che navigano per questo mare senza chiodo nè altro ferro, ma <lb></lb>che attacchino le tavole una con l'altra con fili di palma come è ben <lb></lb>vero che ne ho veduto qualcuno al porto di Suez anticamente detto <lb></lb>Arsinoe, (?) de quali fino le ancore erano di pietra, ma è ben vero <lb></lb>ancora che ve ne erano altri e galere dove erano assai ferri, e per <lb></lb>questo crederei che quelli che sono senza chiodi è più tosto per <lb></lb>mancamento e carestia di ferro in quel paese che per paura delle <lb></lb>rocche di Calamita. </s> <s><foreign lang="it">Questo mare non haverà più che dieci miglia di <lb></lb>largo, et il suo flusso è così piccolo che a pena si riconosce; suo <lb></lb>corso è da scirocco a maestro, a due giornate di quel porto dentro le <lb></lb>Montagne ci è una pianura di 3 miglia di lunghezza da tramontana a <lb></lb>mezzogiorno, e di un miglio di larghezza tutta intornata di monti al<lb></lb>tissimi nella quale il popolo Ebreo idolatrò il Vitello, al fondo o ultimo <lb></lb>della quale dalla parte di mezzogiorno si offerisce una più piccola <lb></lb>montagna che è quella d'Oreb al piede della quale dentro della pia<lb></lb>nura ci è il luogo della spina ardente dove lì frati di S. Basilio hanno <lb></lb>costrutto un convento et una cappella particolare nell'istesso loco <lb></lb>dove apparve, e dove maravigliosamente esce di sotto un marmo che <lb></lb>lo copre un suavissimo odore di continuo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">alla parte di ponente di <lb></lb>quel Convento ci è il Monte Sinai sopra del quale non si può andare <lb></lb>in meno di tre ore; nella cima si vedono due grotte tagliate nella rocca <lb></lb>una aperta al ponente dove era Moisè quando Iddio li fece vedere le <lb></lb>sue spalle, e l'altra dirimpetto qualche venti passi lontana aperta al<lb></lb>l'oriente dove la legge li fu data, nella valle di quel monte resta oggidì <lb></lb>la rocca della quale fece uscire il torrente che veramente mi pare la <lb></lb>più bella curiosità che si possa trovare perchè pare che sia cascata <pb pagenum="458"></pb>dalla Montagna nel mezzo del cammino dove resta piantata sopra poco <lb></lb>spazio di terra benchè habbia 42 piedi di circonferenza nel mezzo, e 14 <lb></lb>nell'alto . . . . in figura irregolare una zona di un piede di largo comin<lb></lb>ciando da basso passa per lo alto da una banda all'altra, e dentro di <lb></lb>questa zona sono le aperture o bocche in n.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> di 18 di dove scaturiva <lb></lb>l'acqua che ha lasciato fin adesso li suoi vestigi, e pare che quelle <lb></lb>aperture siano fatte per compressione e straordinaria della rocca. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Questa sola pietra potrebbe dare il nome di Petrea a quell'Arabia <lb></lb>così chiamata per la grande quantità che vi ci sono. </foreign></s> <s><foreign lang="it">In diciasette giorni <lb></lb>che camminassimo dentro non trovassimo altre cose che campi pieni <lb></lb>di pietre solamente senz'alberi nè erbe, nondimeno ho lasciato di ri<lb></lb>cevere grande satisfazione delle diverse specie che ci sono di miglio <lb></lb>in miglio, e particolarmente ce ne sono alcune dentro delle quali la <lb></lb>natura ha dipinto delle figure così bene che un pittore non potrebbe <lb></lb>arrivare a tanta perfezione, e mi par aver riconosciuto per certe altre <lb></lb>che tutte non si formano per iustaposizione perchè essendo perfette <lb></lb>pietre di fuori, rotte poi non sono altro che arena dentro che si va <lb></lb>a poco a poco petrificando come si cava da diverse che ne ho pigliato <lb></lb>di differenti gradi di cozione per le quali si vede il progresso delle <lb></lb>loro formazioni. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Desidererei aver fatto altre annotazioni più curiose <lb></lb>e degne delli meriti della sua persona a cui desidero mille felicità; <lb></lb>come a tutti li altri signori e particolarmente alli Sigg.<emph type="sup"></emph>ri<emph.end type="sup"></emph.end> Ferdinando <lb></lb>Rena, e Vincenzio Viviani che saluto cordialm. </foreign></s> <s>e V. S. un'altra volta <lb></lb>con grandissimo affetto. </s><s><lb></lb>Del Cairo à venti di Luglio 1647.<lb></lb> Dev.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> et Obb.mo S.re<lb></lb> Balthasar de Monconis</s></p> <pb pagenum="459"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>205<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> GIO. BATTISTA RENIERI a [TORRICELLI <lb></lb>in Firenze].<lb></lb>Genova, 2 agosto 1647.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLI, c. 81-86 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>M.to Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> mio Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">I favori, che D. Vincenzo Renieri mio fratello ha ricevuti da V. S. <lb></lb>per il vincolo del sangue non può fare, che non me ne abbino reso <lb></lb>partecipe, sicchè per tal causa mi conviene anco partecipare negli <lb></lb>obblighi, ma acciocchè le possa venire in mente il ricompenso di quelli <lb></lb>in comandarmi, ricorro alla sua gentilezza, pregandola a favorirmi di <lb></lb>sue solite grazie, acciocchè quelle rendendo maggiore il cumulo degli <lb></lb>obblighi, le rendino altresì più viva la memoria in darmi occasione di <lb></lb>disfalcarli. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Essendo pervenuta a Genova la sua Opera del moto de' proietti, <lb></lb>nella quale così al vivo si scuopre il suo acutissimo ingegno diede <lb></lb>occasione a questi nostri Signori di farne diverse esperienze con il <lb></lb>tiro di varie sorti di cannoni, e veramente mi ha reso assai stupefatto <lb></lb>che tal Teorica così ben fondata abbi cosí malamente risposto alla <lb></lb>pratica. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Si è provato un Cannone al massimo tiro in elevazione mas<lb></lb>sima di gradi 45 o sia di sei punti, e s'è ritrovato per appunto (in <lb></lb>quanto comportava la varietà delli tiri più volte replicati) passi 2300 <lb></lb> <arrow.to.target n="marg531"></arrow.to.target><lb></lb>conforme giustamente V. S. nella sua opera asserisce essersi esperi<lb></lb>mentato più volte; ma vero è che messosi detto cannone parallelo <lb></lb>all'Orizzonte, e repetito più volte il tiro con istromenti aggiustatis<lb></lb>simi, si è ritrovato il tiro più di quattrocento passi de'nostri, che usano <lb></lb>i Bombardieri, anzi che il maggiore si è prolungato sino a cinquecento <lb></lb>passi, e l'altezza delle ruote neppure arrivava a due braccia, anzichè <lb></lb>detti passi 400 li passava di punto in bianco, come sogliono dire i Bom<lb></lb>bardieri, cosa troppo disorbitante dal calcolo cavato dalle sue teorie <lb></lb>secondo le quali per l'altezza delle ruote non gliene poteva essere at<lb></lb>tribuito, nemmeno la metà del detto tiro. </foreign></s> <s><foreign lang="it">L'infelicità del mio ingegno <lb></lb>accompagnata dal desiderio d'imparare con lo stimolo anche di questi <lb></lb>Signori, massime per la novità apportata dall'Opera del Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Baliani <lb></lb>nella quale assolutamente nega, il moto'de proietti essere parabolico, <lb></lb>sebbene le ragioni, che egli adduce, non mi paiono sufficienti (conforme <lb></lb>V. S. dall'opera sua avrà forse visto) non m'ho potuto contenere di non <lb></lb>ricorrere da V. S., acciocchè ella mi spieghi questo passo: stante che <lb></lb>il venire a termine di negarne l'esperienza, come non compitamente <pb pagenum="460"></pb>fatta; la diligenza osservata che io medesimo ho visto, col ripeterla <lb></lb>più volte, avuto eziandio riguardo minutamente alla qualità, e quantità <lb></lb>delle monizioni, non me l'ha concesso, e pure la disorbitanza de'tiri, <lb></lb>così differenti dal calcolo, mi fa restar stupefatto, massime che non si <lb></lb>tratta di varietà tollerabile. </foreign></s> </p> <p type="margin"> <s><margin.target id="marg531"></margin.target><emph type="italics"></emph>Non asserisco <lb></lb>tal cosa che <lb></lb>mi ricordi.<emph.end type="italics"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Se l'autorità del Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Galileo, del quale convienmi esser parziale <lb></lb>non mi facesse resistenza, non mancherei d'aver qualche dubbio circa <lb></lb>il moto de' proietti, se fusse parabolico, o no, oppure se è tale, non <lb></lb>saprei accertarmi, se l'asse della detta parabola, debba essere perpen<lb></lb>dicolare all'orizzonte, o nò, e la causa parmi, che possa essere la se<lb></lb>guente. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Presoppongasi, che la palla del Cannone non debba mai trovar <lb></lb>riposo sino a tanto che non arrivi al Centro della Terra, verso del <lb></lb>quale pare, che tendino tutti i gravi; certa cosa è, che doppo la fine <lb></lb>delle sue vibrazioni, e raggiri trasportata dal proprio peso, dovrebbe <lb></lb>nel centro fermarsi, e congiungersi a quello; ma se si anderà tut<lb></lb>tavia prolongando il lato della parabola con l'asse insieme, certo è <lb></lb>che l'asse ferirà nel proprio centro, ma il lato della parabola anderà <lb></lb>sempre più dilungandosi da quello, quell'ora che i quadrati delle linee <lb></lb>ordinatamente applicate hanno da essere proporzionali tra di loro, <lb></lb>come le parti dell'asse tra di loro, conforme è necessario. </foreign></s> <s>Il dire poi, <lb></lb>che debbano servare linea parabolica in parte, e in parte nò, non pare, <lb></lb>che possa acquietarmene l'intelletto, et <lb></lb> <arrow.to.target n="fig709"></arrow.to.target><lb></lb>eziandio ripugnerebbe alla sua dottrina. </s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Sicchè chi volesse statuire il proietto <lb></lb>interamente parabolico, converebbe con<lb></lb>stituire l'asse alquanto inclinato; e per <lb></lb>esempio chi per schivare l'inconvenienza <lb></lb>del congiongersi l'asse della parabole <lb></lb>con il proprio lato, lo statuisse nel punto <lb></lb>C, cioè parallelo al semidiametro della <lb></lb>Terra BD. Se dunque facendosi il tiro <lb></lb>massimo da A in D, e non trovando la <lb></lb>resistenza in D, ma trascorresse sino al <lb></lb>centro B, et arrivasse portata dall'im<lb></lb>peto la palla in G, e facesse le sue <lb></lb>vibrazioni GH sino a tanto che venisse a fermarsi nel centro B; credo, <lb></lb>che forse si potrebbe salvare la parabole ne'tiri compiutamente. </foreign></s> <s>Gli <lb></lb>dico però tutto questo per supposto, stante che è una considerazione <lb></lb>che ho fatto superficialmente. </s></p> <figure id="fig709"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Sebbene mi si potrebbe rispondere, che stante la distanza della <lb></lb>superficie terrena dal centro, detta inclinazione verrebbe ad essere <lb></lb>insensibile di maniera tale che chi volesse inclinar l'asse della para<lb></lb>bole nel modo detto CF, appena nel massimo tiro comporterebbe <lb></lb>l'inclinazione di cinque minuti, a tal che nemmeno credo, che per <lb></lb>questo si verrebbero a medicare i tiri sopradetti, et appena da questa <lb></lb>forma di parabole alla perpendicolare, vi sarebbe differenza. </foreign></s> </p> <pb pagenum="461"></pb> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Comunque ella si sii, desidero esserne accertato da V. S. massime <lb></lb>che può essere, che la debolezza del mio intelletto non mi dii adito <lb></lb>di capire le sue acutissime proposizioni. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Credo d'averla assai tediata, <lb></lb>ma l'essermi ciò incaricato da questi Signori mi ha dato causa d'es<lb></lb>sere verso di lei importuno; oltre che l'affettuosa servitù, che le <lb></lb>professo mi renda parziale della sua dottrina, oltre che è un ren<lb></lb>dermi parziale della verità contro questa nostra turba di Bombar<lb></lb>dieri, che con le loro balordaggini cercano di trovare il pelo nel<lb></lb>l'uovo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Avendo dunque ambizione di far conoscere le loro scioccherie <lb></lb>a questi Signori con la propria esperienza, ne desidero da Lei il modo <lb></lb>quanto prima. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Le offerisco per fine la mia obbligata servitù, benchè inabile verso <lb></lb>i meriti di V. S. quale mentre desidero, che sia da Lei impiegata, le <lb></lb>bacio umilmente le mani. </s><s><lb></lb>Genova a' 2 Agosto 1647.<lb></lb> Di V. S. m.to Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>Obb.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Serv.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb> Gio. </s><s>Batista Renieri</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>206<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> [TORRICELLI a GIO. BATTISTA RENIERI <lb></lb>in Genova].<lb></lb>[Firenze agosto 1647].<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir. </s><s>Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XL, c. 60-68 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Lascio da parte le cerimonie, e risponderò solamente <lb></lb>al negozio della lettera di V. S. Primieramente non fù mai <lb></lb>mia intenzione, quando io scrissi quel Libretto del moto <lb></lb>di voler sostener le cose, che io affermavo in esso, se non <lb></lb>ex hypothesi, cioè contro coloro, i quali mi concederanno <lb></lb>per vere quelle due famosissime supposizioni: che le di<lb></lb>scese del grave in tempi eguali siano ut-numeris impares <lb></lb>ab unitate: e che gli spazi passati orizzontalmente in tempi <lb></lb>eguali siano eguali tra di loro. </foreign></s> <s>La prima di queste due <lb></lb>supposizioni è tanto vera, che la natura, quando benanche <lb></lb>vi volesse, non può fare altrimenti. </s><s>Eccone un poco di <lb></lb>prova, che servirà a V. S. per confutare tutte le altre pro- <pb pagenum="462"></pb>porzioni di numeri, che si possono giammai immaginare da <lb></lb>qualunque Filosofo. </s> <s><foreign lang="it">Supponiamo che un grave descendente <lb></lb>in tempi eguali passi li spazi per esempio così: nel primo <lb></lb>tempo un braccio, nel secondo braccia 2, nel terzo brac<lb></lb>cia 3, nel quarto braccia 4, nel quinto braccia 5, nel sesto <lb></lb>braccia 6 ecc. facciami grazia ora V. S. di raddoppiare <lb></lb>i tempi. </foreign></s> <s>Non v'è dubbio, che se i tempi erano eguali sem<lb></lb>plici saranno eguali anche raddoppiati, o triplicati, o qua<lb></lb>druplicati. </s> <s><foreign lang="it">Ella dunque troverà, che ne'tempi raddoppiati, <lb></lb>che pure saranno tempi eguali, nel primo il grave farà <lb></lb>braccia 3, nel secondo 7, nel terzo 11 ecc. la qual pro<lb></lb>porzione è molto diversa da quella, che s'era supposta. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Imperochè, se nel primo tempo fa braccia 3, nel secondo <lb></lb>dovrebbe far braccia 6, nel terzo 9 ecc. L'istessa esor<lb></lb>bitanza troverà V. S. in qualunque altra serie di numeri, <lb></lb>fuorchè in quella del Galileo; e la natura non fa questi <lb></lb>spropositi, e queste incostanze, ma osserva sempre la me<lb></lb>desima legge. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Non ho eccettuato i numeri delle altre di<lb></lb>gnità dell'Algebra, stimando, che non ve ne sia bisogno, <lb></lb>per che non credo, che caderanno mai in pensiero ad <lb></lb>alcuno, essendo troppo manifestamente discordanti dal no<lb></lb>stro proposito. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">La seconda supposiz<emph type="italics"></emph>t<emph.end type="italics"></emph.end>one, cioè che orizzontalmente si <lb></lb>passino dal mobile spazi eguali in tempi eguali, è veris<lb></lb>sima, astraendo però dagl'impedimenti. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Verissima, dico, <lb></lb>per che quell'impeto impresso nel grave, o deve estinguersi <lb></lb>subito nel primo istante, che la virtù impellente cessa, o <lb></lb>deve continuare in infinito sempre equabile, mentre non <lb></lb>ha cagione alcuna, che lo ritardi, o che l'acceleri. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Se questi <lb></lb>due fondamenti son veri, tutte le altre cose addotte dal <lb></lb>Galileo, e da me, e che si addurranno da chiunque discor<lb></lb>rerà geometricamente, bisogna, che per necessità inevita<lb></lb>bile siano vere; e quando le esperienze appariranno di<lb></lb>scordanti, converrà specolare da che cagione possa nascere <lb></lb>la discordanza. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Molte di queste cause, le quali possono <lb></lb>far discordare l'esperienza dalla dimostrazione, furono av<lb></lb>vertite dal Galileo nel suo Libro del moto. </foreign></s> <s><foreign lang="it">La principa<lb></lb>lissima però è l'impedimento dell'aria, la quale resiste ad <lb></lb>ogni sorte di moto, ma molto più quando il mobile sarà <pb pagenum="463"></pb>più veloce; et in somma moltissimo quando il proietto <lb></lb>verrà cacciato dalla furia soprannaturale del fuoco, che è <lb></lb>la massima di tutte le nostre velocità, e naturali et arti<lb></lb>ficiali. </foreign></s> <s>Non è però maraviglia se l'esperienze, particolar<lb></lb>mente quelle, che si fanno con macchine da fuoco riescano <lb></lb>diverse dalla dimostrazione. </s> <s><foreign lang="it">Il supposto nostro è, che l'im<lb></lb>peto orizzontale si mantenga sempre il medesimo; la pra<lb></lb>tica però dimostra, che l'impeto orizzontale presso alla <lb></lb>bocca delle macchine è quattro, e sei volte maggiore, che <lb></lb>presso alla fine del tiro. </foreign></s> <s>Potrei sbrigarmi dalla risposta <lb></lb>con un brevissimo dilemma, e dire. </s><s>O mi si concedono per <lb></lb>vere quelle due supposizioni, o no. </s><s>Se V. S. me le concede <lb></lb>per vere, bisogna, che ella, o chiunque altro me le conce<lb></lb>derà, necessariamente affermi, e difenda quanto ho scritto <lb></lb>in materia di moto. </s><s>Se mi si negheranno, e si ributte<lb></lb>ranno per false le dette supposizioni, et io con quei tali <lb></lb>detesterò, et abiurerò, come falsissimo, e mal fondato tutto <lb></lb>quello, che ho scritto in materia di moto. </s></p> <p type="main"> <s>Rispondo ora all'esperienza che V. S. mi accenna. </s> <s><foreign lang="it">Io <lb></lb>confesso che l'esperienze non concorderanno con la dimo<lb></lb>strazione per l'appunto, senza farvi i suoi debiti defalchi, <lb></lb>e senza le dovute considerazioni di quanto possa venire <lb></lb>alterato il tiro da molti accidenti. </foreign></s> <s>Ma non ostante questo, <lb></lb>in ogni modo la differenza accennatami da V. S. è tanto <lb></lb>grande, che può proceder semplicemente da leggiere ca<lb></lb>gioni. </s> <s><foreign lang="it">Tre dubbi mi fanno sospettare, che il tiro da V. S. <lb></lb>chiamato orizzontale sia riuscito più lungo del dovere in <lb></lb>comparazione del suo massimo. </foreign></s> <s>Primo: io dubito che l'a<lb></lb>nima dell'artiglieria non fusse livellata, cioè perfettamente <lb></lb>parallela all'orizzonte ma avesse qualche insensibile ele<lb></lb>vazione. </s> <s><foreign lang="it">Secondo: io temo, che il piano, sopra il quale si <lb></lb>tirò, non fusse orizzontale, ma inclinato, e che nel luogo <lb></lb>dell'artiglieria fosse più alto, e dove cascò la palla fosse <lb></lb>più basso. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Se questo fosse vero, benchè pochissimo, cioè <lb></lb>sebbene la difficoltà dell'altezza non fusse più che due <lb></lb>sole braccia, può cagionare un notabile allungamento nel <lb></lb>tiro. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Terzo: io sospetto, che l'artiglieria istessa nell'atto <lb></lb>dello sparare faccia qualche movimento, per causa del <lb></lb>quale venga ad alzare qualche poco la bocca, e però a <pb pagenum="464"></pb>tirare con qualche minuto d'elevazione. </foreign></s> <s><foreign lang="it">La cagione del <lb></lb>dubitare mi si accresce, mentre V. S. mi referisce che il <lb></lb>tiro alle volte fu intorno a 400 e alle volte arrivò a 500 <lb></lb>passi. </foreign></s> <s>Questa differenza sì grande che V. S. avvisa, non <lb></lb>può mai procedere da altro, che dall'incostante elevazione <lb></lb>data al pezzo. </s> <s><foreign lang="it">Quanto al primo bisognerebbe livellare il <lb></lb>cannone con diverse squadre non fidandosi d'una sola, la <lb></lb>quale se in se medesima abbia d'errore quanto è la gros<lb></lb>seza d'un pelo, può cagionare grandissima diversità. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Quanto <lb></lb>al secondo bisognerebbe assicurarsi dell'orizzontalità del <lb></lb>piano, col tirare sulla spiaggia marina, cioè sull'estremo <lb></lb>margine dell'acqua del mare, overo sopra una pianura <lb></lb>livellata. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Quanto al terzo del movimento, che possa fare <lb></lb>l'artiglieria nello sparare, non ci saprei rimedio; ma pro<lb></lb>porrò bene a V. S. due riprove, dalle quali manifestamente <lb></lb>si convincerà, se io avrò ragione, overo il torto. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>La prima è questa. </s> <s><foreign lang="it">Ella mi dice che il tiro orizzontale <lb></lb>s'è trovato lungo più di 400 passi. </foreign></s> <s>Io rispondo, che que<lb></lb>sto tiro non è stato orizzontale, e per farglielo vedere <lb></lb>dico così. </s> <s><foreign lang="it">Pongasi l'artiglieria in A nel luogo solito, dove <lb></lb>si suol tirare. </foreign></s> <s>Sia caricata al solito, e livellata al solito. </s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Poi prima di dar fuoco facciasi piantare nel mezzo della <lb></lb>lunghezza del tiro un telaro quadro fatto di quattro canne <lb></lb>di due, o tre braccia l'una, e sianvi tirate sopra le carte, <lb></lb>come se fusse un'impanata da fenestra, e facciasi pian<lb></lb>tare in luogo, che la palla vi debba dar dentro. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Se il tiro <lb></lb>sarà veramente orizzontale, ella vedrà che il passaggio <lb></lb>della palla sarà più basso, che la bocca del cannone. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Ma <lb></lb>io dubito tutto il contrario. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Imperocchè se il tiro riesce <lb></lb>lungo più di 400 passi, come V. S. afferma, ella vedrà, <lb></lb>che il passaggio della palla nel mezzo della lunghezza del <lb></lb>tiro si alzerà più di quattro delle braccia, e forse non <lb></lb>toccherà il telaro. </foreign></s> <s><foreign lang="it">E non bisognerà scusarsi con dire che <lb></lb>la palla passi dalle bande; prima per che in una città <lb></lb>come cotesta dove sono bombardieri espertissimi, si saprà <lb></lb>accomodare il telaro in modo, che la palla sicuramente <lb></lb>non passerà dalle bande. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Anzi dopo il tiro medesimo, po<lb></lb>nendo un segno bianco nel luogo, dove avrà colpito la <lb></lb>palla, si potrà vedere, se l'artiglieria, il telaro, et il colpo <pb pagenum="465"></pb>della palla sono per diritto. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Io dissi di caricare, e livellare <lb></lb>prima il cannone, e poi dopo piantare il telaro, per che <lb></lb>così si sfugge la metà della fatica. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Altrimente piantando <lb></lb>prima il telaro, bisognerà avere due avvertenze, cioè di <lb></lb>addirizzare il pezzo al telaro, et insieme di livellarlo. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>L'altra riprova sarà questa. </s> <s><foreign lang="it">V. S. tenga in mano una <lb></lb>palla d'artiglieria quando si sta per tirare, e la tenga alto <lb></lb>da terra quanto sarà alta la bocca del pezzo; e nel me<lb></lb>desimo tempo, che l'artiglieria spara, V. S. lasci cadere la <lb></lb>palla, et osservi diligentemente se le palle ambidue arri<lb></lb>vano a toccare il terreno nel medesimo tempo, sì, o no. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Quella che V. S. lascia con mano, può osservarsi con l'u<lb></lb>dito ponendosi sotto un pezzo di legno; quella lanciata <lb></lb>dall'artiglieria, si potrà osservare con l'occhio, essendo fa<lb></lb>cile il vedere quella spolverata, che fa nel toccare il ter<lb></lb>reno. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Se giungono nel medesimo tempo ambedue a toccar <lb></lb>terra, il tiro certamente sarà orizzontale; ma quando la <lb></lb>palla scagliata consumi più tempo della lasciata con mano, <lb></lb>sarà segno certo che il tiro non è livellato, ma elevato. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Si potrebbe anco accomodare una palla sopra qualche <lb></lb>ordigno di legno, di maniera tale che appena si reggesse <lb></lb>e far che la bocca del pezzo nello sparare gli levasse di <lb></lb>sotto qualche sostegno, sicchè nel medesimo tempo ella <lb></lb>cadesse a piombo sopra qualche cosa atta a far romore. </foreign></s> <s><lb></lb>Ma ormai ho detto troppo, parlo con V. S. che per se <lb></lb>stessa è intendentissima e poi scrivo a una patria, dove <lb></lb>la sottigliezza, e l'industria sono usanze, l'ingegno e la <lb></lb>perspicacia sono naturalezze, le esquisitezze più rare sono <lb></lb>consuetudini. </s> <s><foreign lang="it">Mi dolgo bene che V. S. non mi ha avvisato <lb></lb>quello che avevo più caro di sapere, cioè di quanta por<lb></lb>tata fosse il cannone della sperienza. </foreign></s> <s>Qual sorte di passi <lb></lb>fosse quella, con la quale si misurò. </s> <s><foreign lang="it">Con che sorte di stru<lb></lb>menti fosse livellato il pezzo, se pure fu livellato con instru<lb></lb>menti, oppure se fusse tirato semplicemente, come si dice, <lb></lb>a raro di metallo, cioè traguardando sopra la estremità <lb></lb>superiore del metallo, come si fa con i moschetti. </foreign></s> <s>Che <lb></lb>cosa V. S. intende, quando mi dice, che alle volte hanno <lb></lb>passato li 400 passi di punto in bianco. </s> <s><foreign lang="it">non si meravigli <lb></lb>di questa domanda, per che si può intendere in due modi, <pb pagenum="466"></pb>et io avrò carissima l'esplicazione del senso in che si piglia <lb></lb>costì. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Avrei anco caro di sapere in che luogo fu fatta la <lb></lb>prova, e quante volte fu tirato; e se si tirava apposta per <lb></lb>esperimentar la lunghezza di questo tiro orizzontale, op<lb></lb>pure tiravano a segno conforme al solito. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>207<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> TORRICELLI a [BONAVENTURA CAVALIERI <lb></lb>in Bologna].<lb></lb>Firenze, 15 agosto 1647.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XL. c. 140-142 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>M.<emph type="sup"></emph>to<emph.end type="sup"></emph.end> Rev. P.re mio Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> P.ron Col.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Sono alcune settimane, che mi trovo certe nuove in<lb></lb>venzioni da conferire a V. P.<emph type="sup"></emph>à<emph.end type="sup"></emph.end>, la quale per sua propria <lb></lb>gentilezza ha mostrato sempre di gradire le mie inezie. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Ho differito il mandarle aspettando questa sicura occa<lb></lb>sione, cioè il passaggio del Revd.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Padre Abate Lanci, <lb></lb>che è il più caro padrone, ch'io abbia acquistato da <lb></lb>gran tempo in quà, et è veramente affezionato fautore, <lb></lb>et amatore de' nostri comuni studi. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Egli potrà testificare <lb></lb>a V. P.<emph type="sup"></emph>à<emph.end type="sup"></emph.end> se gli encomj del suo famoso valore, e la com<lb></lb>miserazione della sua infelice sanità, sieno stati i più <lb></lb>spessi argomenti dei nostri discorsi. </foreign></s> <s>Mando le misure d'una <lb></lb>nuova figura, la quale ho chiamata mezza iperbola per <lb></lb>avere un solo asintoto; ma forse con più ragione poteva <lb></lb>chiamarsi linea logaritmica, o Neperiana, poichè in essa <lb></lb>benissimo si comprendono la natura, le proprietà, e le di<lb></lb>mostrazioni dei logaritmi. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Lemma.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Sia la mezz'iperbola, o linea logaritmica ABCD di cui <lb></lb>sia l'asimptoto EH, et sieno 4 applicate AE, BF, CG, DH <pb pagenum="467"></pb>proporzionali fra di loro; io dico, che gl'intervalli EF, <lb></lb>GH sono eguali: dividesi FG per mezzo in I; et per la <lb></lb>definizione della nostra linea, sa<lb></lb> <arrow.to.target n="fig710"></arrow.to.target><lb></lb>ranno in continua proporzione BF, <lb></lb>LI, CG; adunque il quadrato LI <lb></lb>sarà uguale al rettangolo di BF <lb></lb>in CG, e però il medesimo qua<lb></lb>drato LI sarà uguale anco al ret<lb></lb>tangolo di AE in DH. Adunque AE, LI, DH son continue, e <lb></lb>però ex definitione le distanze EI, IH sono uguali, e cavate <lb></lb>le FI, IG che sono eguali restano EF, GH eguali etc. </foreign></s> </p> <figure id="fig710"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Supposita definitione Hemyperbolae, <lb></lb>sive lineae logarithmicae.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Ponatur Hemyperbola, sive logarithmica ABCDEFGH, <lb></lb>cujus asimptotus IL. Certum est neque maximam, neque <lb></lb> <arrow.to.target n="fig711"></arrow.to.target><lb></lb>minimam applicatarum dari posse. </s><s>ergo proposita quali<lb></lb>bet, sive exigua, sive immensa linea recta, erit quaedam <lb></lb>ex applicatis propositae lineae aequalis. </s><s>Ponetur ergo quae<lb></lb>dam applicata LH pro unitate, et LM ipsius multiplex <lb></lb>quantuncumque libuerit pro maximo numeno absoluto ta<lb></lb>bulae. </s><s>Completoque rectangulo ILMA ducantur ex sin<lb></lb>gulis punctis H, N, O, P rectae ad asymptoton parallelae. </s><s><lb></lb>His peractis erit unitatis LH logarithmus nullus. </s><s>Binarii <lb></lb>vero LN logaritmus erit NG. Ternarii autem LO, loga<lb></lb>rithmus erit OF et quatermarii LP, logarithmus erit PE <lb></lb>etc. </s><s>et sic semper usque ad maximum tabulae nume<lb></lb>rum LM cujus logarithmus est MA _____________ Altera <lb></lb>vero species logarithmorum erunt complementi illorum, <pb pagenum="468"></pb>qui jam explicati sunt. </s><s>Nempe maximus tabulae numerus <lb></lb>absolutus IA logarithmum habet nullum. </s><s>Numerus vero <lb></lb>IQ logarithmum habet QB; et IR habet RC; ipse vero nu<lb></lb>merus absolutus IS habet pro logarithmo SD, et sic sem<lb></lb>per. </s><s>Unitas tandem IT logarithmum habebit omnium ma<lb></lb>ximum TH. Hinc manifestum est data una tantum specie <lb></lb>logarithmorum, quaecumque sit, alteram construi posse <lb></lb>per solam substractionem, substrahendo silicet singulos <lb></lb>logarithmos ab uno, eodemque semper numero. </s><s>Neque <lb></lb>quicquam refert ex quonam numero substractiones insti<lb></lb>tuantur. </s><s>Possunt enim substractiones fieri, sive ex numero, <lb></lb>qui aequalis sit maximo datorum logarithmorum, sive ex <lb></lb>majori, quantum libuerit. </s><s>Virtus enim, et efficacia loga<lb></lb>rithmorum in solis eorum differentiis consistit. </s></p> <figure id="fig711"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ora posta la definizione della linea logaritmica, il <lb></lb>lemma dimostrato, e la dichiarazione precedente è facilis<lb></lb>simo il dimostrar l'operazioni solite. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Sia il massimo numero <lb></lb>assoluto della tavola il segnato <lb></lb> <arrow.to.target n="fig712"></arrow.to.target><lb></lb>AB. Siano quattro numeri pro<lb></lb>porzionali AC, AD, AE, AF, io <lb></lb>dico che dati tre di questi, <lb></lb>qualunque si siano, potrà tro<lb></lb>varsi il quarto. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Sieno tirate le <lb></lb>CG, DH, EI, FL parallele al<lb></lb>l'asintoto AM, saranno dunque <lb></lb>li quattro numeri proporzio<lb></lb>nali GM, HN, IO, LP; suppo<lb></lb>niamo che manchi HN. Sarà <lb></lb>dunque come il primo IO al secondo LP, così il terzo GM <lb></lb>al quarto ignoto. </foreign></s> <s><foreign lang="it">La regola solita è questa: si mettano <lb></lb>insieme i logaritmi del secondo, e del terzo, e si farà la <lb></lb>somma V, R, S, T, V (ciascuna di queste lettere significa <lb></lb>ciascuna delle parti della retta AM) se ne cavi il loga<lb></lb>ritmo del primo, cioè T, V, resterà V, R, S, overo V, T, S, <lb></lb>poichè nel lemma si provò, che R e T erano eguali. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Adunque V, T, S sarà il logaritmo del quarto numero cer<lb></lb>cato. </foreign></s> <s>L'istesso discorso e nell'istesso modo si fa in quel<lb></lb>l'altra specie di logaritmi. </s></p> <pb pagenum="469"></pb> <figure id="fig712"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Per l'estrazione delle radici.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Si cerca la radice QQ del numero assoluto AC. Sia la <lb></lb>unità BI dunque il logaritmo di AC sarà AB. Seghisi AB <lb></lb>in quattro parti eguali e sieno BF, <lb></lb> <arrow.to.target n="fig713"></arrow.to.target><lb></lb>FE, ED, DA, adunque per la defini<lb></lb>zione i numeri BI, FH, EL, DM, AC <lb></lb>sono in continua proporzione: ma <lb></lb>BI è l'unità, adunque FH è una ra<lb></lb>dice, et EL è il suo quadrato, DM il suo cubo, et AC il <lb></lb>suo biquadrato. </foreign></s> </p> <figure id="fig713"></figure> <p type="main"> <s>Avrò nojato V. P.<emph type="sup"></emph>à<emph.end type="sup"></emph.end> con questo saggio delle mie ba<lb></lb>gattelle. </s> <s><foreign lang="it">Mi protesto però, ch'io non istimo altro che la <lb></lb>speculazione geometrica mandata sù l'annesso foglio; del <lb></lb>resto quest'altre conseguenze io le lascio alli pratici e <lb></lb>propriamente alli calcolatori. </foreign></s> <s>Supplico V. P.<emph type="sup"></emph>à<emph.end type="sup"></emph.end> a volermi con <lb></lb>sua comodità però, far rimandare l'incluso foglio. </s><s>E quì <lb></lb>con ogni ossequio la reverisco. <lb></lb> Di V. P.<emph type="sup"></emph>à<emph.end type="sup"></emph.end> M.<emph type="sup"></emph>to<emph.end type="sup"></emph.end> Rev.<emph type="sup"></emph>da<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>Di Fiorenza 15 Agosto 1647.<lb></lb> Dev.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> et Obb.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Ser.<emph type="sup"></emph>ro<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb> Vangelista Torricelli.</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Theorema de Hemihyperbola.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><emph type="italics"></emph>Primum.<emph.end type="italics"></emph.end> Sit Hemihyperbola ABC, in qua sumatur <lb></lb>punctum quodlibet A, et ex eo sit AH perpendicularis ad <lb></lb>asymptoton HD, ipsa vero AE <lb></lb> <arrow.to.target n="fig714"></arrow.to.target><lb></lb>tangens, erit universa figura <lb></lb>plana ABH, licet in infinitam <lb></lb>longitudinem abeat, dupla trian<lb></lb>guli AEH. </s></p> <figure id="fig714"></figure> <p type="main"> <s>Si vero sumatur alterum <lb></lb>punctum C, ex quo CD ad <lb></lb>asymptoton sit erecta, CI vero <lb></lb>parallela, erit quadrilineum mixtum ACDH duplum trian<lb></lb>guli AIH. </s></p> <pb pagenum="470"></pb> <p type="main"> <s><emph type="italics"></emph>Secundum.<emph.end type="italics"></emph.end> Si universa figura sine fine longa conver<lb></lb>tatur circa asymptoton HD, erit solidum acutum sine <lb></lb>fine longum factum ex revolutione hemyperbolae, se<lb></lb>squialterum coni, qui a triangulo AEH describitur circa <lb></lb>axem HE. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>De Spirali Geometrica.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Evulgavimus jampridem definitionem spiralis geome<lb></lb>tricae, ejusque theoremata de linea, et de spatio. </s><s>Enun<lb></lb>ciationem tantum de spatio, <lb></lb> <arrow.to.target n="fig715"></arrow.to.target><lb></lb>quam silueramus nunc emit<lb></lb>timus. </s></p> <figure id="fig715"></figure> <p type="main"> <s>Esto spiralis Geometrica, <lb></lb>cujus centrum A, maximus <lb></lb>radius AB, tangens vero BC, <lb></lb>et fiat super basi AB trian<lb></lb>gulum aequicrure ACB. Erit <lb></lb>triangulum ACB aequale uni<lb></lb>verso spatio sub spirali, et recta AB contento, licet hoc spa<lb></lb>tium ex infinitis numero revolutionibus superpositis constet. </s></p> <p type="main"> <s>Ipsa vero spiralis linea, licet ex infinitis numero re<lb></lb>volutionibus constet, aequalis est duobus lateribus AC, CB <lb></lb>simul sumptis. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Definitio.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Si fuerit quaedam linea ABC, quae omnes rectas per<lb></lb>pendiculares ad rectam DE, aequalibusque intervallis inter <lb></lb> <arrow.to.target n="fig716"></arrow.to.target><lb></lb>se distantes, secet in continua proportione geometrica li<lb></lb>neam illam ABC hemhyperbolam voco, rectam vero DE <lb></lb>ejus asymptoton, quae quidem unica erit. </s></p> <pb pagenum="471"></pb> <figure id="fig716"></figure> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Descriptio.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Ponatur recta linea DE sine fine longa ex utraque <lb></lb>parte. </s><s>In ea sumantur duo puncta quelibet D, et E, eri<lb></lb>ganturque perpendiculares inaequales DA, EC; tum secta <lb></lb>DE bifariam in F erigatur FB, quae media proportionalis <lb></lb>sit inter DA, EC sectisque iterum partibus bifariam in G, <lb></lb>et M, erigantur GH, MN mediae proportionales inter pro<lb></lb>ximas DA, FB, et inter FB, EC, atque haec divisio fiat <lb></lb>quotiescumque libuerit. </s><s>Denique per extrema puncta re<lb></lb>perta A, L, H, B, N, C, etc. </s><s>transibit linea, quam hemihy<lb></lb>perbolam appellamus. </s></p> <p type="main"> <s>Continuabitur autem usque in infinitum, si sumptis <lb></lb>aequalibus deinceps intervallis in recta DE producta, lineas <lb></lb>erigamus in continua proportione cum jam repertis. </s></p> <pb pagenum="472"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>208<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> GIO. BATTISTA RENIERI a [TORRICELLI <lb></lb>in Firenze].<lb></lb>Genova, 24 agosto 1647.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLI, c. 87-88 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>M.to Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> mio Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Ricevei la di V. S. a me, et a questi nostri Signori di molto gusto, <lb></lb>stante il modo, che V. S. addusse circa il fare l'esperienza de' tiri; il <lb></lb>che subito si ridusse in pratica in tal forma. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Si prese un Falconetto <lb></lb>di libbre due di palla, quale aggiustato con l'anima a livello, o sia <lb></lb>orizzontalmente fece un tiro di palmi 700 de' nostri, la misura de' <lb></lb>quali V. S. può quí benissimo vedere, et il passo de' Bombardieri nostri <lb></lb>fa 2 palmi e 1/3. Il Falconetto suddetto era alto da terra 3 palmi e 1/2 <lb></lb>in circa. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Dalla bocca del Falconetto si misurarono 300 palmi, et ivi <lb></lb>posesi in detta distanza un telaro conforme V. S. asseriva esser ne<lb></lb>cessario di fare per conoscere, se il tiro era orizzontale, o nò. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Sparato <lb></lb>che fu la botta ferì in detto telaro più bassa 2 palmi e 1/2 della bocca <lb></lb>del Cannone, o sia della linea orizzontale. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Si fece di nuovo il tiro, però con due bersagli, o sia telari, uno <lb></lb>lontano dalla bocca palmi 300 e l'altro palmi 500. La botta nel primo <lb></lb>telaro ferì 2 palmi e 1/2 bassa più della bocca, o sia orizzonte, ma nel <lb></lb>secondo telaro, che era distante palmi 500 ferì bassa poco più di 2 <lb></lb>palmi, e 1/2 dove pare, che il proietto non riuscisse parabolico. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Posesi di nuovo un altro telaro vicino alla bocca del Pezzo 100 <lb></lb>palmi, e la botta, che si tirò, ferì più basso del livello, o sia della <lb></lb>linea orizzontale due palmi scarsi. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Si tirò poi con elevazione d'un mi<lb></lb>nuto di squadra da' bombardieri, et il tiro fu 1800 palmi. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Queste prove <lb></lb>comecchè riuscirono differenti dalla immaginazione de' Bombardieri <lb></lb>gli fecero ammutolire; però a prima giunta trovarono scusa, che il <lb></lb>Falconetto fosse sboccato, e che perciò andasse (come sogliono essi <lb></lb>dire) di . . . . . . . . . frico. </foreign></s> <s>S'è dato ordine, che piglino dalla nostra <lb></lb>armeria un Pezzo di Cannone di tutta perfezione, et a lor gusto, acciò <lb></lb>se ne veda prova più certa. </s><s>Si sarebbero fatte nuove esperienze, ma <lb></lb>le piogge interrotte, che quì in Genova son seguite, hanno impedito la <lb></lb>prova. </s> <s><foreign lang="it">Da questi però mi vado confermando nel parere del Sig.<emph type="sup"></emph>r<emph.end type="sup"></emph.end> Galileo, <lb></lb>e di V. S. Però farolla avvisata del tutto, mentre per ora non se ne può <lb></lb>cavar fondamento alcuno. </foreign></s> <s>Finisco per non più tediarla, e mentre resto <lb></lb>a' suoi comandi prontissimo, le bacio affettuosamente le mani. </s><s><lb></lb>Genova a dí 24 Ag.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> 1647.<lb></lb> Obb.mo Serv.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb> Gio. </s><s>Batta. </s><s>Renieri</s></p> <pb pagenum="473"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>209<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> TORRICELLI a [MICHELANGELO RICCI <lb></lb>in Roma].<lb></lb>Firenze, 24 agosto 1647.<lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XL, c. 114-115 — Copia di L. Serenai). </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">L'originale di questa lettera si trovava nel gennaio 1662 presso al Ricci in Roma; <lb></lb>V. LETTERA AI FILALETI DI TIMAURO ANTIATE, Firenze 1663, pag. 24-25: <emph type="italics"></emph>Inventario <lb></lb>ai scritture private manoscritte che si adducono nella presente lettera in prova della <lb></lb>Verità,<emph.end type="italics"></emph.end> ecc., N. XX.<gap desc="/SM"></gap></foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Molto Ill.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> e P.ron.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end> mio Col.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Spero che a quest'ora V. S. mi havrà fatto grazia (come <lb></lb>accennò con l'ultime sue voler fare) di mandar in Francia <lb></lb>quelle mie inezie. </s> <s><foreign lang="it">Quella linea che io chiamavo mezza iper<lb></lb>bola non è affatto nuova invenzione, come credo che ella <lb></lb>havrà conosciuto subito, ma viene autorizzata dal nome di <lb></lb>un grand'autore, e da una invenzione grandissima nelle ma<lb></lb>tematiche. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Parlo del Nepero e de' logaritmi dell'una e del<lb></lb>l'altra specie, la nascita de' quali con le lor proprietà e <lb></lb>dimostrazioni si scorgono manifestamente in quella linea. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>In somma quei due moti, uno aritmetico, e l'altro geome<lb></lb>trico che da Nepero non furon considerati se non separa<lb></lb>tamente l'uno dall'altro, da me sono stati contemplati uni<lb></lb>tamente, e ne ho cavato una speculazione di geometria, <lb></lb>dove che egli non andava rintracciando altro che una pra<lb></lb>tica aritmetica. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Delle spirali dedotte da quelle di Archi<lb></lb>mede universalmente non ho conferito con V. S. i teoremi, <lb></lb>per che forse ella gli haverà quanto me. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Voglio ora almeno <lb></lb>conferirgli a lei per vedere se confrontano, e se gli piac<lb></lb>ciono, ma non già ad altri se non amici e confidenti Ita<lb></lb>liani, per che saputa l'enunciazione è superata in questo <lb></lb>particolare più che 2/3 della difficoltà. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Lascerò quel primo <lb></lb>facilissimo del quale parlammo un'altra volta, quando io <lb></lb>scrissi d'haver gli altri due, e lascerò la definizione univer<lb></lb>salissima delle spirali, che comprende non solo quelle nelle <lb></lb>quali le dignità de' radij sono come le dignità de' tempi, <pb pagenum="474"></pb>et in somma che qualunque dignità de' radij siano come <lb></lb>qualunque altre dignità de' tempi. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>2. Esto spiralis ABC cuius centrum A, initialis vero <lb></lb>linea AD, et sumpto in spirali quo<lb></lb> <arrow.to.target n="fig717"></arrow.to.target><lb></lb>libet puncto C ducatur radius AC, <lb></lb>fiatque angulus CAI rectus, et ex A <lb></lb>centro describatur circulus CED. Po<lb></lb>naturque ut exponens temporum ad <lb></lb>exponentem radiorum, ita arcus DEC <lb></lb>ad rectam AI, et erit iuncta CI tan<lb></lb>gens. </s></p> <figure id="fig717"></figure> <p type="main"> <s>3. Linea spiralis quaecumque ABC <lb></lb>aequalis est lineae curvae cuiusdam semiparabolae, cuius <lb></lb>quidem semiparabolae basis sit recta AC, nempe maximus <lb></lb>spiralis radius. </s><s>Altitudo vero sive diameter semiparabolae <lb></lb>ad arcum CED sit ut exponens radiorum ad aggregatum <lb></lb>amborum spiralis exponentium. </s><s>Ipsa denique semiparabola <lb></lb>talis sit ut exponens applicatarum aequetur aggregato <lb></lb>exponentium spiralis. </s><s>Diametralium vero exponens expo<lb></lb>nenti temporum sit aequalis. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Non ho mai saputo nuova alcuna di quei nostri Signori <lb></lb>franzesi, nè di quella risposta, o Apologia, o invettiva che <lb></lb>fusse di Monsù Roberval, della quale mi avera dato avviso <lb></lb>più d'una volta il Padre Mersenne. </foreign></s> <s>Quando V. S. ne sa<lb></lb>pesse niente mi farebbe molta grazia con darmene parte. </s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Fra le nuove ancora che io grandemente desidero è qual<lb></lb>che avviso del Signor Antonio Nardi e de' suoi studij, <lb></lb>e di dove si trovi di presente. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Se si trovasse in Roma <lb></lb>havrei caro anco di sentire il suo giudizio intorno alle <lb></lb>bagattelle, e della presente lettera, e delle passate. </foreign></s> <s><foreign lang="it">In<lb></lb>tanto scusimi V. S. del soverchio tedio, e con ossequio la <lb></lb>reverisco. </foreign></s> <s><lb></lb>Di Fior.<emph type="sup"></emph>za<emph.end type="sup"></emph.end> 24 agosto 1647.<lb></lb> Di V. S. M.to Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>L'appendice al mio libretto delle proporzioni è già <lb></lb>messa al netto. </s><s>Il Proemio mi riesce lunghissimo, parti<lb></lb>colarmente in riguardo dell'opera. </s> <s><foreign lang="it">Ma è pur necessario <pb pagenum="475"></pb>diffondersi per mostrar l'insufficienza, e difetto del V Libro <lb></lb>di Euclide. </foreign></s> <s>Se V. S. havesse qualche motivo di suggerirmi <lb></lb>in questo proposito, mi farebbe grazia singulare. <lb></lb> Dev.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> et obb.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Ser.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb> Vang.<emph type="sup"></emph>ta<emph.end type="sup"></emph.end> Torricelli</s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>210<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> TORRICELLI a [BONAVENTURA CAVALIERI <lb></lb>in Bologna].<lb></lb>Firenze, 31 agosto 1647.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XL, c. 144-145 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>M.<emph type="sup"></emph>to<emph.end type="sup"></emph.end> Rev.<emph type="sup"></emph>do<emph.end type="sup"></emph.end> P.re mio Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> P.rone Col.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Dovrei accusare la gentilezza di V. P.<emph type="sup"></emph>à<emph.end type="sup"></emph.end> di soverchia <lb></lb>prodigalità nel compartirmi le sue lodi. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Non è chi conosca <lb></lb>la debolezza delle mie povere, e poche considerazioni <lb></lb>meglio di me onde mi parrà pure assai quando verranno <lb></lb>semplicemente compatite dal suo mirabile ingegno, e poi <lb></lb>anco da altri successivamente minori del suo. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Quanto allo <lb></lb>stampare delle cose mie, oramai io mi rimetto totalmente <lb></lb>in lei, e non eccettuerò cosa alcuna, se non quello, che gli <lb></lb>parrà troppo lungo per la mole, e rispetto all'angustia del <lb></lb>suo libro, e quello, che gli parrà poco opportuno, cioè <lb></lb>meno degno di luce per rispetto della mia riputazione. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Jo ho in pensiero (se Dio vorrà) di stampare un libro <lb></lb>con titolo <emph type="italics"></emph>de novis lineis.<emph.end type="italics"></emph.end> Nuove linee chiamo le parabole, <lb></lb>Iperbole, le spirali di molte sorti, le Cicloidi, le logarit<lb></lb>miche, e qualche altra simile, con i Teoremi delle qua<lb></lb>drature, solidi intorno diversi assi, tangenti, e centri di <lb></lb>gravità, e cose simili. </s> <s><foreign lang="it">Non sarebbe gran fatto, ch'io stam<lb></lb>passi adesso un libretto, che ho già messo in polito sopra <lb></lb>le proporzioni del quinto libro d'Euclide, cioè la mole del <lb></lb>medesimo quinto libro construita di nuovo da me, e nel <lb></lb>proemio con qualche occasione dessi notizie delle mie ba- <pb pagenum="476"></pb>gattelle. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Jo per dirla, ho maggior premura, e maggior in<lb></lb>teresse nel lavorare occhiali, che nel mettere in ordine le <lb></lb>mie specolazioni. </foreign></s> <s>Però ho paura d'esser prevenuto, se non <lb></lb>in tutto almeno in parte. </s> <s><foreign lang="it">Quindi è, che hò caro, e pro<lb></lb>curo, che se per ora non posso mandar fuori l'opera, al<lb></lb>meno si pubblichi un poco di catalogo di esse, insieme <lb></lb>con qualche saggio, acciò il Mondo veda, che ho queste <lb></lb>cose, et in che tempo le ho. </foreign></s> <s>Non mi ricordo d'aver mai <lb></lb>significato a V. P.<emph type="sup"></emph>à<emph.end type="sup"></emph.end> i teoremi delle mie spirali. </s> <s><foreign lang="it">Lo farò <lb></lb>ora, overo gli ripeterò quì. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Definizione.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Muovasi una linea in piano intorno ad un suo estremo, <lb></lb>e nel medesimo tempo un punto cammini sopra quella <lb></lb>linea, cominciando dal suddetto estremo con questa legge, <lb></lb>che le dignità parigrade delli spazi passati, siano, come <lb></lb>qualunque altre dignità parigrade de' i loro tempi. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Theoremata.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>1. Sit quaelibet ex infinitis spiralibus ABC, cuius cen<lb></lb>trum sit A, initialis vero linea AD, <lb></lb> <arrow.to.target n="fig718"></arrow.to.target><lb></lb>et sumpto in spirali, quolibet puncto <lb></lb>C, ducatur radius AC, et centro A <lb></lb>fiat arcus circuli CED erit spatium <lb></lb>in quo B, ad spatium in quo F, ut <lb></lb>numerus duplus exponentis dignitatis <lb></lb>temporum ad ipsummet exponentem <lb></lb>dignitatis radiorum. </s></p> <figure id="fig718"></figure> <figure></figure> <p type="main"> <s>2. Positis iisdem fiat angulus CAI <lb></lb>rectus, et sit CI tangens, erit arcus <lb></lb>CED ad rectam AI, ut exponens <lb></lb>temporum ad exponentem radiorum. </s></p> <p type="main"> <s>3. Positis iisdem linea ipsa spiralis <lb></lb>ABC aequalis est lineae curvae cu<lb></lb>jusdam semiparabolae cuius basis LM <lb></lb>aequalis sit maximo spiralis radio AC. </s></p> <pb pagenum="477"></pb> <p type="main"> <s>Altitudo vero LN ad arcum CED sit ut <lb></lb> <arrow.to.target n="fig719"></arrow.to.target><lb></lb>exponens radiorum ad aggregatum amborum <lb></lb>spiralis exponentium. </s></p> <figure id="fig719"></figure> <p type="main"> <s>Ipsa denique semiparabola talis sit, ut <lb></lb>exponens applicatarum aequalis sit aggregato <lb></lb>exponentium spiralis. </s><s>Diametralium vero ex<lb></lb>ponens exponenti temporum sit aequalis; angulus NLM <lb></lb>debet esse rectus. </s></p> <p type="main"> <s>Nella passata lettera V. P.<emph type="sup"></emph>à<emph.end type="sup"></emph.end> mi somministra un motivo <lb></lb>bello, cioè che la spirale geometrica al suo triangolo sia <lb></lb>eguale, et isoperimetra: Ma mi pare difficile da intendersi. </s></p> <p type="main"> <s>Jo dissi che tutta la linea curva spirale era eguale alli <lb></lb>due lati AB, BC. Adunque <emph type="italics"></emph>ad<lb></lb> <arrow.to.target n="fig720"></arrow.to.target><lb></lb>dita comuni recta<emph.end type="italics"></emph.end> AC etc. </s> <s><foreign lang="it">Non <lb></lb>so vedere quali siano gli spazi <lb></lb>isoperimetri. </foreign></s> </p> <figure id="fig720"></figure> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Quanto all'egualità io pro<lb></lb>vo, che il triangolo ABC è <lb></lb>uguale agli infiniti spazi; il <lb></lb>primo de' quali è contenuto <lb></lb>dalla retta CE, e dall'arco <lb></lb>COE. Il secondo dalla retta <lb></lb>EG, et dall'arco EFG. Il terzo <lb></lb>dalla retta GI, e dell'arco GHI. <lb></lb>Il quarto dalla retta IM, e dal<lb></lb>l'arco ILM, e così sempre, si <lb></lb>che V. P.<emph type="sup"></emph>à<emph.end type="sup"></emph.end> vedrà le infinite su<lb></lb>perposizioni. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Chi non volesse <lb></lb>sopraposizioni: si tiri dal punto <lb></lb>G la retta GV parallela alla <lb></lb>CB, ed il trapezio CBVG sarà <lb></lb>eguale allo spazio serrato dalla curva COEFG, et dalla <lb></lb>retta GC. Ma io mi porterò troppo indiscretamente verso <lb></lb>l'infelice stato di V. P.<emph type="sup"></emph>à<emph.end type="sup"></emph.end>. Mi perdoni e mi comandi. <lb></lb> Di V. P.<emph type="sup"></emph>à<emph.end type="sup"></emph.end> M. R.<emph type="sup"></emph>da<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>Firenze 31 Agosto 1647.<lb></lb> Dev.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> et Obb.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Serv.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb> Vangelista Torricelli</foreign></s> </p> <pb pagenum="478"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>211<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> TORRICELLI a GIO. BATTISTA RENIERI <lb></lb>[in Genova].<lb></lb>[Firenze, primi di settembre 1647].<lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XL, c. 69-74 — Copia moderna). </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Sul recto della carta 69 dello stesso codice “ Discepoli di Galileo, T. XV ”, leggesi: <lb></lb><emph type="italics"></emph>Torricelli a Gio. </foreign></s> <s>Ba. </s><s>Ranieri.<emph.end type="italics"></emph.end><gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>M.<emph type="sup"></emph>to<emph.end type="sup"></emph.end> Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> Oss.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Sabbato passato io non risposi alla lettera di V. S. per <lb></lb>che stavo tutto intrigato nello sgombrare. È partito di <lb></lb>questo Palazzo (et anco di questo Stato) il Duca di Van<lb></lb>domo, quale ci faceva abitare con angustia e scomodità. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Ora per grazia di Dio abbiamo avuto gli appartamenti ono<lb></lb>revoli. </foreign></s> <s>Non risposi anco, per che aspettavo per questa <lb></lb>settimana l'altra lettera, che mi parve V. S. accennasse <lb></lb>volere scrivere. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Io replico in sustanza le medesime cose della passata, <lb></lb>cioè che noi facciamo due supposizioni principali; una è <lb></lb>che gli spazi delle cadute de' gravi in tempi eguali siano, <lb></lb>ut numeri impares ab unitate, et però il moto verticale <lb></lb>inequabile. </foreign></s> <s><foreign lang="it">L'altra è che il proiettile passi orizzontalmente <lb></lb>in tempi eguali spazii eguali. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Un'altra supposizione ancora <lb></lb>si fa, et è che il proietto vada descendendo su linee paral<lb></lb>lele tra di loro; e questo non è vero, per che sono perpen<lb></lb>dicolari, che vanno ad unirsi nel centro della Terra. </foreign></s> <s><foreign lang="it">La <lb></lb>prima delle predette supposizioni può provarsi diretta<lb></lb>mente, come ha procurato di fare il Galileo, e poi indiret<lb></lb>tamente, per che non può essere secondo altri numeri, <lb></lb>conforme io scrissi a V. S. nella passata. </foreign></s> <s><foreign lang="it">La seconda ancora <lb></lb>ha qualche prova, come si discorre dal Galileo, e come par <lb></lb>probabile, e sarebbe verissima astraendo dall'impedimento <lb></lb>dell'aria. È ben vero che questo impedimento è grande, <lb></lb>massime trattandosi di proietti cacciati per via di fuoco; e <lb></lb>però farà che l'esperienze saranno molto diverse dalla spe<lb></lb>colazione. </foreign></s> <s>La terza supposizione anch'essa suppone quelle <pb pagenum="479"></pb>linee parallele tra di loro, e pure concorrono; ma quanto <lb></lb>a questa è tanto insensibile la differenza, che può passarsi <lb></lb>per verissima. </s> <s><foreign lang="it">Ora ammettendosi queste tre supposizioni, <lb></lb>è necessario ammettere, che il proietto vada per una pa<lb></lb>rabola, e che tutte le altre cose del Galileo, e mie siano <lb></lb>vere, siccome sono verissime, e certissime in astratto, <emph type="italics"></emph>et <lb></lb>ex hypothesi.<emph.end type="italics"></emph.end> Volendo poi fare l'esperienze, e volendo, che <lb></lb>tornino bene, bisognerà fare i debiti defalchi di tutto <lb></lb>quello, che l'impedimento dell'aria può pregiudicare al <lb></lb>moto orizzontale; questo è quello che importa assai. </foreign></s> <s>La <lb></lb>verità derivante dalle altre due supposizioni si può sicura<lb></lb>mente sprezzare come pochissima. </s> <s><foreign lang="it">Ma tutte queste cose <lb></lb>sono state discorse molto meglio dal Galileo, al quale mi <lb></lb>rimetto. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Io poi per fuggire le controversie apposta più <lb></lb>volte iteratamente e chiaramente mi son protestato ne' <lb></lb>miei Libri del moto di scrivere piuttosto ai Filosofi che <lb></lb>ai Bombardieri. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Rispondo ora alla sperienza. </s><s>Ne' tiri avvisatimi da V. S. <lb></lb>io trovo tanta instabilità, anzi tanto assurdo che non so <lb></lb>come possa mai stare. </s><s>Però non credo che l'esperienze <lb></lb>fatte, e scrittemi ultimamente da V. S. possano decidere <lb></lb>niente in questa materia. </s><s>mostrerò l'assurdo in questa <lb></lb>maniera. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Sia A la bocca del Pezzo; AL sia l'asse del Pezzo, <lb></lb>ovvero la linea orizzontale; C il punto, dove cascò la palla. <lb></lb> <arrow.to.target n="fig721"></arrow.to.target><lb></lb>GD sia il più vicino bersaglio, HE il mezzano, LF il più <lb></lb>remoto, e siano i punti, dove passò la palla questi cinque <lb></lb>A, I, O, M, C. Mi scrive V. S. che la distanza BD fu presa <lb></lb>di 100 palmi, BE di 300, BF di 500, BC fu trovata 700 <lb></lb>palmi. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Di più che la discesa GI fu due palmi scarsi, <lb></lb>HO palmi due e mezzo, et LM poco più di palmi 2 e 1/2. <lb></lb>Stanti queste esperienze immaginiamoci una linea retta <lb></lb>tirata dal punto A per il punto I, che vada a ferire <lb></lb>nell'orizzontale BC nel punto P. E sarà come IG alla <pb pagenum="480"></pb>GA, così AB alla BP. Ma perchè V. S. dice, che GI fù <lb></lb>due palmi scarsi, pongasi che fusse palmi 1 3/4 (so che <lb></lb>V. S. dirà che fu più di questo numero, che pongo io; <lb></lb>e tanto maggiore seguirà l'assurdo), fatta l'operazione <lb></lb>per la regola del tre, si troverà BP essere palmi 200; ma <lb></lb>BE era 300, adunque prolungandosi AP il punto O resta <lb></lb>sopra la linea retta AP e però quel proietto, il quale è <lb></lb>passato per gli punti A, I, O ter conveniet cum recta linea <lb></lb>AP producta quantum oportet. </foreign></s> <s>La prima volta conviene <lb></lb>con essa in A, la seconda in I, la terza poi per forza <lb></lb>conviene con la AP prolungata dalla parte P quanto bi<lb></lb>sogna; ma è impossibile, che un proietto convenga, o se<lb></lb>ghi più di due volte una linea retta. </s> <s><foreign lang="it">Se poi V. S. dirà, <lb></lb>che la GI nominata due palmi scarsi fu maggiore del mio <lb></lb>supposto, cioè di palmi 1 3/4, tanto maggiore sarà l'assurdo <lb></lb>per che il punto O tanto più sarà elevato sopra la retta <lb></lb>AP, come ella vedrà facendo il calcolo. </foreign></s> </p> <figure id="fig721"></figure> <p type="main"> <s>In altro modo si può trovare l'assurdo. </s> <s><foreign lang="it">Tirisi dal punto <lb></lb>A per il punto O la retta AOR, sarà come OH ad HA <lb></lb>così AB alla BR, e fatto il calcolo per la regola del tre <lb></lb>si troverà BR esser di palmi 420; ma la BF era di palmi <lb></lb>500. adunque il punto M resta sopra la retta AR prolun<lb></lb>gata; e la retta GV si troverà 1 1/6 e però il punto I sarà <lb></lb>senza dubbio sotto al V. Dunque il viaggio della palla <lb></lb>A, I, O, M, C sega la linea retta AR prolungata in tre luo<lb></lb>ghi, cioè in A, e poi in O, e finalmente se la palla vorrà <lb></lb>andare al centro segherà di nuovo la linea retta AR pro<lb></lb>lungata. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Il che è impossibile, poichè la linea curva, che <lb></lb>descrivono i proietti, qualunque ella sia, ha il concavo <lb></lb>totum ad easdem partes, et non sega una linea retta più <lb></lb>che due volte. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Se cotesti Signori averanno fatto nuova <lb></lb>osservazione, aspetterò da V. S. con ansietà il solito favore <lb></lb>dell'avviso. </foreign></s> <s>Forse anco potrebbe l'esperienza riuscire al<lb></lb>quanto più aggiustata. </s> <s><foreign lang="it">Non so come abbiano fatto a <lb></lb>misurare la scesa della palla. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Se per sorte avessero sup<lb></lb>posto che il terreno sia orizzontale, e poi misurato dalla <lb></lb>terra fino al buco fatto dalla palla nel telaro, ciò sarebbe <lb></lb>fallacissimo. </foreign></s> </p> <pb pagenum="481"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>212<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> MICHELANGELO RICCI a [TORRICELLI <lb></lb>in Firenze].<lb></lb>Roma, 7 settembre 1647.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XLII, c. 179-183 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>M.to Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end>, et Ecc.mo Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> e P.rone Oss.mo </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Le proposte di V. S. intorno le spirali Aritmetiche portate alla <lb></lb>generalità simile delle infinite parabole mi sono arrivate nuove, per<lb></lb>chè avendo incominciato a speculare non mi fu permesso il proseguire <lb></lb>dalla solita mia indisposizione. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Viddi, che l'analogia delle parabole <lb></lb>era l'unico, e diritto sentiero di giungervi, siccome per la medesima <lb></lb>via si dimostra l'egualità d'una curva parabolica con una curva spirale <lb></lb>secondo che ella accortamente asserisce; e da un autor franzese, penso, <lb></lb>che sia Robervallio, fu dimostrata la suddetta egualità fra due curve <lb></lb>per via de' moti composti, che descrivono le due curve, i quali moti <lb></lb>hanno per componenti due moti nella parabola, che in effetto sono i <lb></lb>medesimi nella spirale Archimedea. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Se ella però s'incammina per la <lb></lb>regia strada della Geometria si potrà dire, che abbia superato un passo <lb></lb>de' più ardui, che siano nella professione, e che i letterati del nostro <lb></lb>secolo debbano aspettare da lei il compimento della Geometria, e la <lb></lb>risoluzione di qualunque difficoltà. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Tentò il Guldini col metodo ordi<lb></lb>nario di mostrare, che una retta linea si eguagliava alla spirale Ar<lb></lb>chimedea, prese ambidue con le riserve & ma dopo lungo progresso, <lb></lb>quando credeva di aver nelle mani un buon pesce, avvidesi al para<lb></lb>gone di una proposizione in tal soggetto, che per numeri si approssi<lb></lb>mava al vero, che in luogo di pesce aveva preso un granchio, e perchè <lb></lb>la pesca gli sembrò artifiziosa, volle stamparla con l'altre opere sue, <lb></lb>forse acciocchè le genti l'ammirassero per industrioso pescator dei <lb></lb>granchi. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Quanto alle proporzioni io vi ho affaticato sopra molto poco, non <lb></lb>facendovi io capital veruno, perchè osservo, che Archimede non usò mai <lb></lb>la sesta definizione d'Euclide delle quattro quantità proporzionali, ma <lb></lb>s'incamminò assai diversamente come potrà ella scorgere dalla dimo<lb></lb>strazione della 6.<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> degli equiponderanti, all'imitazione della quale Ma<lb></lb>rino Ghetaldo nel suo Archimede Promoto dimostra il 2.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> e 3.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> Teorema. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>E sebbene leggesi nel Fluvantia la prima proposizione delle spirali <lb></lb>dimostrata con la definizione d'Euclide, non è però da maravigliarsene, <lb></lb>perchè quella prova è dello Scoliaste, e non dell'autore; di che potrà <lb></lb>V. S. certificarsi leggendo il testo greco, dove non è, e dopo essersi <pb pagenum="482"></pb>ben chiarito, non sarà per avventura riprova da sprezzarsi contro la <lb></lb>detta proposizione. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Taccio l'opposizione presa dalla Filosofia, che Eu<lb></lb>clide tratti de' numeri dopo il secondo, essendo tanto ragionevole il <lb></lb>trattar prima della quantità discreta, che della continua, la quale ag<lb></lb>giunge la posizione delle parti sopra la discreta, quanto è convene<lb></lb>vole, e necessario al buon metodo il trattar prima il generale, e poi <lb></lb>lo speciale. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Nè passerà senza censura appresso i logici il veder dimo<lb></lb>strate alcune passioni delle quantità moltiplici, e dopo le medesime <lb></lb>passioni universalmente in tutte le quantità, simile errore si trova fre<lb></lb>quentemente in Euclide, poichè la prima del libro 2° è parte della 22<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>del medesimo libro, essendo il medesimo dare un lato del triangolo <lb></lb>equilatero, che tutt'e tre, et ex datis lateribus triangulum construere; <lb></lb>la 47<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> del primo e parte della 31<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> del sesto, et altrove. </foreign></s> <s>Ma questo <lb></lb>non si può talvolta evitare, perchè non sovviene la prova universale, <lb></lb>e v'è necessità di quel particolare Teorema, come alcuni dicono per <lb></lb>discolpa d'Euclide, che facesse principio dalla descrizione dell'equi<lb></lb>latero. </s> <s><foreign lang="it">Il che succede bene, quando occorre la detta necessità; ma <lb></lb>questo non accadeva ad Euclide, potendo nella seconda del primo, <lb></lb>fatto centro nella cima del triangolo isoscele, e intervallo un lato pro<lb></lb>dotto, e terminato ad arbitrio segar l'altro lato secondo il suo bisogno, <lb></lb>senza addurvi la prima, seconda, e terza proposizione. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Dico di van<lb></lb>taggio, che poteva supporre, che due lati insieme siano maggiori nel <lb></lb>triangolo del terzo lato, verità per detto del Filosofo Epicureo, cono<lb></lb>sciuta dagli asini medesimi, e con tal ipotesi dimostrar la 22<emph type="sup"></emph>a<emph.end type="sup"></emph.end> sul <lb></lb>bel principio del primo libro. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Conchiudo, che il secondo libro non l'ho <lb></lb>limato, perchè deliberavo di proscriverlo, ma che negli altri elementi <lb></lb>mi ritrovo aver fatte qualche ponderazione, le quali abbreviano nota<lb></lb>bilmente in alcuni luoghi. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Il Sig. Nardi si trattiene in Arezzo, e li <lb></lb>giorni passati mi mandò l'opera sua originale, perchè la facessi rive<lb></lb>dere dal S.<emph type="sup"></emph>o<emph.end type="sup"></emph.end> Offizio. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Gli mando questa sera la nota delle invenzioni di <lb></lb>V. S. scrittemi il mese passato, e per altra occasione gl'invierò quelle <lb></lb>di quest'ordinario. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Il Padre Mersenno mi scrisse ultimamente, che sa<lb></lb>lutassi di cuore V. S., a cui non ardiva scrivere, per non poterle osser<lb></lb>vare la promessa della lettera, che tante volte avea detto di mandare <lb></lb>a questa volta. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Parlo della lettera di Robervallio, della quale dovevo <lb></lb>ancor io averne copia. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Adesso il suddetto Padre stampa un opuscolo <lb></lb>distinto in venti capi, e di tutti i capi n'ha mandato il titolo già im<lb></lb>presso. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Vi sarà la proposizione del Centro di gravità della semicicloide. </foreign></s> <s><foreign lang="it"><lb></lb>Il metodo generale di trovare i Centri della gravità; un Oceano, come <lb></lb>egli dice, d'osservazioni, et altre infinite curiosità. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Non tratterrò più <lb></lb>V. S. con le mie ciancie, ma conchiuderò assicurandola della mia antica <lb></lb>divozione, che mi costituisce immutabilmente &. <lb></lb> Di V. S. m.to Ill.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end>, et Ecc.ma.<lb></lb>Roma lì 7 Settembre 1647.<lb></lb> Div.mo, et Obbl.mo Servit.<emph type="sup"></emph>e<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb> Michelangelo Ricci</foreign></s> </p> <pb pagenum="483"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>213<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> TORRICELLI a [BONAVENTURA CAVALIERI <lb></lb>in Bologna].<lb></lb>Firenze, 21 settembre 1647.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XL, c. 146-147 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>M.<emph type="sup"></emph>to<emph.end type="sup"></emph.end> R.<emph type="sup"></emph>do<emph.end type="sup"></emph.end> P.re mio Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> P.ron Col.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s>Già scrissi a V. P.<emph type="sup"></emph>à<emph.end type="sup"></emph.end> che ella stampasse di mio tutto <lb></lb>quello, che ella giudicava degno d'esser veduto, e l'istesso <lb></lb>replico adesso. </s><s>Nello stampare quelle cose cavate da <lb></lb>quella mia lettera scritta al Robervallio, avrò caro, che <lb></lb>ella accenni di cavar quelle dimostrazioni dalla mia <lb></lb>lettera mandata in Francia, pare a me, fin di luglio <lb></lb>1646. Mi parve di mandare a V. P.<emph type="sup"></emph>à<emph.end type="sup"></emph.end> la mia dimostra<lb></lb>zione applicata alle figure infinitamente lunghe di Ro<lb></lb>bervallio. </s> <s><foreign lang="it">se ella li hâ, potrebbe stampare la definizione, <lb></lb>e dimostrazione con accennare (conforme vedrà nella sud<lb></lb>detta mia lettera latina) che quella dimostrazione, e modo <lb></lb>di dimostrar per gnomoni, o piu tosto per supplementi, <lb></lb>fu da me inventata nel quadrar l'infinite parabole, e dopo <lb></lb>applicata anco alla misura di quelli spazi di Robervallio. </foreign></s> <s><lb></lb>Se V. P.<emph type="sup"></emph>à<emph.end type="sup"></emph.end> non avesse la predetta dimostrazione, io la man<lb></lb>derò. </s><s>Quella, che ella chiede da <lb></lb> <arrow.to.target n="fig722"></arrow.to.target><lb></lb>me si accennerà con un esem<lb></lb>pio, acciò V. P.<emph type="sup"></emph>à<emph.end type="sup"></emph.end> la porti poi a <lb></lb>suo modo. </s><s>Parabolae ejusdem <lb></lb>speciei inter se sunt ut circum<lb></lb>scripta parallelogramma. </s></p> <figure id="fig722"></figure> <p type="main"> <s>Sint duae parabolae ABC, <lb></lb>ADE ejusdem speciei, quarum <lb></lb>diametri AF, AI; vertices sint <lb></lb>conjuncti in A, parallelogramma <lb></lb>vero circumscripta sint FG, HI. Dico etc. </s><s>Compleatur <lb></lb>parallelogrammum AHSF, in quo intelligatur parabola <pb pagenum="484"></pb>AOS circa diametrum AF ejusdem speciei cum jam positis <lb></lb>parabolis: et sumpto utcumque puncto M ducantur ordi<lb></lb>natim ML, MN. Jam dignitas NM ad MB, erit ut dignitas <lb></lb>LM ad MO; utraque enim ratio eadem est cum ratione <lb></lb>dignitatis diametralium FA ad AM. Propterea etiam lineae <lb></lb>proportionales erunt; nempe ut NM ad MB, ita LM ad <lb></lb>MO, suntque omnes primae, quarum una est NM, aequales <lb></lb>inter se; item omnes tertiae, quarum una est LM, aequa<lb></lb>les inter se. </s> <s><foreign lang="it">Ergo ex lemnate (credo che sia il 18 de <lb></lb>dimensione Parabolae) parallelogrammum GF ad suam <lb></lb>parabolam erit, ut HF ad suam. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Sumatur, et in AH punctum quodlibet P, ex quo du<lb></lb>cantur PQ, PR diametris parallelae, et erit ut dignitas <lb></lb>PQ ad QD, ita dignitas parigrada PR ad RT. Nam utra<lb></lb>que ratio eadem est cum ratione dignitatum, nempe cum <lb></lb>ratione dignitatis HA ad AF. Ergo, ut supra concludemus <lb></lb>HI ad suam parabolam esse ut HF ad suam. </s><s>Propterea <lb></lb>FG ad suam erit, ut HI ad suam, namque sunt eaedem <lb></lb>eidem rationes inter se sunt eaedem. </s><s>Convertendo, et per<lb></lb>mutando patet propositum. </s> <s><foreign lang="it">Potrà V. P.<emph type="sup"></emph>à<emph.end type="sup"></emph.end> cavar quello che <lb></lb>gli bisogna e supplire dove io ho tralasciato per fuggir <lb></lb>la lunghezza delle parole. </foreign></s> <s>Sto sgombrando, ed ho tutte <lb></lb>le mie cose sottosopra, e non è possibile, che io adesso <lb></lb>possa trovare dove stanno notate queste robbe. </s> <s><foreign lang="it">Però ho <lb></lb>scritto questa dimostrazione così alla peggio, et all'im<lb></lb>provviso, con pensiero, che ella sia per supplire dove io <lb></lb>ho mancato. È partito quel Duca di Vandomo, il quale <lb></lb>teneva assediato tutto questo Palazzo, eccettuato un an<lb></lb>golo, nel quale stavo confinato io, et alcuni altri servitori <lb></lb>di S. A. S. Ora ho impetrato il più bello, e più grande, e <lb></lb>più utile appartamento che ci sia: Dico utile, perchè è una <lb></lb>colombaia da piccioni domestici, dove ne voglio tenere fino <lb></lb>cento paja. </foreign></s> <s>E quì con ogni ossequio riverisco V. P.<emph type="sup"></emph>à<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>Di Firenze 21 7bre 1647.<lb></lb> Vangelista Torricelli.</s></p> <pb pagenum="485"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>214<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> TORRICELLI a [BONAVENTURA CAVALIERI <lb></lb>in Bologna].<lb></lb>Firenze, 5 ottobre 1647.<lb></lb><gap desc="SM"></gap>(Bibl. </s><s>Naz. </s><s>Fir., Mss. </s><s>Galileiani, Discepoli, T. XL, c. 148-149 — Copia moderna).<gap desc="/SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>Molto R.<emph type="sup"></emph>do<emph.end type="sup"></emph.end> P.re mio Sig.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end> P.ron Col.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Con le passate lettere mi pare ch'io avvisassi a V. P.<emph type="sup"></emph>à<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>il modo, come si può provare, che i parallelogrammi tra <lb></lb>di loro siano, come la parabole inscritte, purchè sieno <lb></lb>parigrade. È ben vero, che toccherà poi a lei il limare <lb></lb>qualche poco la mia confusione, con aggiugnere quello, <lb></lb>che gli parrà necessario. </foreign></s> <s>Io sono adesso tanto lontano da <lb></lb>queste robbe, che non le intendo più, et appena le rico<lb></lb>nosco. </s></p> <p type="main"> <s>Mando quella dimostrazione, che V. P.<emph type="sup"></emph>à<emph.end type="sup"></emph.end> desidera. </s><s>A gran <lb></lb>fatica l'ho trovata, e se non la trovavo certamente non <lb></lb>mi sarebbe sovvenuta; sarà scritta forse <lb></lb> <arrow.to.target n="fig723"></arrow.to.target><lb></lb>un poco troppo laconica; ma io la <lb></lb>mando a lei giusto, come la mandai in <lb></lb>Francia. </s><s>Credo che sarà meglio disten<lb></lb>derla un poco più copiosa, e più chiara; <lb></lb>perchè tutti poi non saranno Robervallj. </s></p> <figure id="fig723"></figure> <p type="main"> <s>Credo che ancora vi manchi un'altra <lb></lb>dimostrazione, cioè che supposta la fi<lb></lb>gura genitrice di Robervallio essere una <lb></lb>parabola, quella che nasce sia un'altra <lb></lb>parabola parigrada. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Sia nell'angolo ABC la figura geni<lb></lb>trice ADC, la quale sia una delle pa<lb></lb>rabole, e l'estrema tangente CG, e nel <lb></lb>parallelogrammo BGFC sia la linea di <lb></lb>Robervallio, che si proverà parabola <lb></lb>parigrada alla genitrice; overo sia parabola parigrada alla <lb></lb>genitrice, che si proverà esser la linea di Robervallio. </foreign></s> <s>Sup- <pb pagenum="486"></pb>poniamo noi, che ADC sia una delle parabole. </s> <s><foreign lang="it">Prendasi <lb></lb>nella linea genitrice un punto qualunquesia D, et sia tan<lb></lb>gente DH, et ODE parallela al diametro BA e convenga <lb></lb>colla linea di Robervallio nel punto E, et congiunta EH <lb></lb>sarà parallela alla BC, perchè questa è la legge, con la <lb></lb>quale si descrive la linea AEF. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Ora quum sit DH tangens, et DI applicata erit HI <lb></lb>ad IA ut exponens applicatarum ad exponentem diametra<lb></lb>lium. </s><s>Eadem ratione erit GB ad BA ut exponens appli<lb></lb>catarum ad exponentem diametralium. </s><s>Ergo GB ad BA <lb></lb>est, ut HI ad IA, et dividendo permutandoque erit ut <lb></lb>GA ad AH, ita BA ad AI. Sed etiam GF ad HE ob aequa<lb></lb>litatem est ut BC ad ID; ergo patet propositum. </s><s>Quoniam <lb></lb>enim proportionales sunt quatuor rectae GA, AH et BA, <lb></lb>AI; erit quaecumque dignitas GA ad AH ut dignitas BA <lb></lb>ad AI, dumodo omnes quatuor dignitates sint parigradae, <lb></lb>et cognomines. </s><s>Idem de applicatis quae utrinque sunt ae<lb></lb>quales. </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Se V. P.<emph type="sup"></emph>à<emph.end type="sup"></emph.end> averà qualche poco di tregua dal suo male <lb></lb>potrà cavar quello, che gli parra, e correggere e supplire. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Se nel libro, che ella stampa vi fusse luogo a propo<lb></lb>sito, mi sarebbe gratissimo, che V. P.<emph type="sup"></emph>à<emph.end type="sup"></emph.end> v'inserisse un Ca<lb></lb>pitolo, cioè una parte del Proemio ch'io fo al mio libro <lb></lb>delle proporzioni. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Questo Capitolo contiene un sommario <lb></lb>delle materie che saranno nel mio libro <emph type="italics"></emph>de novis lineis,<emph.end type="italics"></emph.end><lb></lb>cioè tutte le invenzioni principali, e tutte si dimostrano <lb></lb>per via di indivisibili, ancorchè tutte abbiamo ancora le <lb></lb>dimostrazioni all'usanza degli antichi. </foreign></s> <s><foreign lang="it">Se ella giudicherà di <lb></lb>potervelo inserire lo manderò, e manderò anco, se ella <lb></lb>vorrà, tutto il libretto delle proporzioni. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">La lunghezza del predetto capitolo sarà quanto tutta <lb></lb>questa lettera. </foreign></s> <s>E con ogni ossequio la riverisco. <lb></lb> Di V. P.<emph type="sup"></emph>à<emph.end type="sup"></emph.end> M.<emph type="sup"></emph>to<emph.end type="sup"></emph.end> R.<emph type="sup"></emph>da<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb>Firenze 5 Ottobre 1647.</s></p> <p type="main"> <s>Aspetto l' incluso foglio con sua comodità. <lb></lb> Dev.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> et Obb.<emph type="sup"></emph>mo<emph.end type="sup"></emph.end> Ser.<emph type="sup"></emph>re<emph.end type="sup"></emph.end><lb></lb> Vangelista Torricelli</s></p> <pb pagenum="487"></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>— <emph type="bold"></emph>215<emph.end type="bold"></emph.end> —<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> GILLES PERSONNIER DE ROBERVAL <lb></lb>a TORRICELLI.<lb></lb>[Parigi, 1647].<lb></lb><gap desc="SM"></gap></s></p> <p type="main"> <s>(MEMOIRES DE L'ACADEMIE ROYALE DES SCIENCES contenant les ouvrages adoptez par <lb></lb>cette Académie avant renouvellement en 1699, TOME TROISIEME, OUVRAGES DE <lb></lb>MATHEMATIQUE DE M. DE ROBERVAL. A la Haye Chez P. Gosse et I. Neaulme <lb></lb>MDCCXXXI, pag. 365-399). </s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Un'altra copia a stampa di questa lettera sotto lo stesso titolo di EPISTOLA AEGIDII <lb></lb>PERSONERII DE ROBERVAL AD EVANGELISTAM TORRICELLIUM si trova nella raccolta: <lb></lb>DIVERS OUVRAGES DE MATHEMATIQUE ET DE PHYSIQUE <emph type="italics"></emph>Par Messieur de l'Accadémie <lb></lb>Royale des Sciences<emph.end type="italics"></emph.end> a Paris de l'Imprimerie Royale MDCXCIII pag. 284-302. </foreign></s> </p> <p type="main"> <s><foreign lang="it">Essa è una risposta alla lettera del Torricelli al Roberval in data 7 luglio 1646 (V. <lb></lb>N. 176, 177 del pres. </foreign></s> <s><foreign lang="it">vol.), e come tale era stata varie volte preannunziata dal <lb></lb>P. Marino Mersenne (V. N. 184, 186, 192, 194 del pres. </foreign></s> <s><foreign lang="it">vol.), ma é certo che il 24 <lb></lb>agosto 1647 il Torricelli non l'aveva ancora ricevuta, come risulta da una sua let<lb></lb>tera a Michelangelo Ricci (V. N. 209 del pres. </foreign></s> <s><foreign lang="it">vol.), e neppure il 7 settembre suc<lb></lb>cessivo come si vede da una risposta del Ricci (V. N. 212 del pres. </foreign></s> <s><foreign lang="it">vol.), nè pare <lb></lb>che la ricevesse prima di morire, perchè Carlo Roberto Dati (LETTERA AI FILA<lb></lb>LETI DI TIMAURO ANTIATE, Firenze 1663 pag. 19, lin. 12-14) parlando della me<lb></lb>desima lettera scrisse: “ <emph type="italics"></emph>E credo assolutamente, che si morisse poco dopo senza <lb></lb>riceverla, e che non fosse altrimenti mandata, già che fra le scritture del Torricelli <lb></lb>non si ritrova; e per diligenze fatte in diversi luoghi non m'è sortito incontrare chi <lb></lb>n'abbia contezza<emph.end type="italics"></emph.end> ”.<gap desc="/SM"></gap></foreign></s> </p> <p type="main"> <s>Vir Clarissime </s></p> <p type="main"> <s>Si me unum respicerem; si nulla existimationis nostrae, si nnlla <lb></lb>caeterorum hominum, si nulla ipsius, quam prae caeteris diligo, veri<lb></lb>tatis habitâ ratione, internâ animi tranquillitate conquiescerem: non <lb></lb>me moveret profectò, quòd vos Deûm atque hominum fidem invocetis, <lb></lb>quòd celeberrimorum hominum testimonium in me adducere conemini, <lb></lb>quòd denique nullum non moveatis lapidem, ad hoc ut ego meorum <lb></lb>ipsius operum plagiarius habear: quippe qui planè mihi conscius sum, <lb></lb>ex iis quae ad vos scripsi, nihil non verum esse; sed fateor ingenuè; <lb></lb>longè absum a praestanti illo vitae philosophicae statu, tantámque <lb></lb>beatitudinem si optare nobis licet, non etiam sperare statim licet. </s><s>Ego <lb></lb>enim inter multos natus, inter multos educatus, cum multis vivere <lb></lb>atque conversari assuetus, cum multis etiam necessitudines contraxi; <lb></lb>ita ut rebus externis non moveri huc usque nondum didicerim. </s><s>Itaque <lb></lb>admonet nos existimatio nostra, quam tueri, quámque, si quo id labore <lb></lb>liceat aut impendio, promovere tenemur; postulant amici, collegae, <lb></lb>Mathematici Galliarum praestantissimi, quibus omnia me debere fateor; <lb></lb>cogit ipsa cui totum me dicavi veritas: ne tam gravem vestram ac<lb></lb>cusationem prorsus neglîgam, praesertim quam nulllus negotii fuerit <lb></lb>refellere; cùm praeter rationes nostras, quae per se sufficiunt, iisdem <pb pagenum="488"></pb>ambo testibus utamur. </s><s>Erit etiam quod de vobis expostulem, & ut <lb></lb>spero non injuriâ, qui cùm festucam in nostris oculis quaeratis, tra<lb></lb>bem in vestris non animadvertatis. </s><s>Nolim tamen ob id tolli inter nos <lb></lb>litterarum commercium; quod vos nimiùm rigidè, meo quidem judicio, <lb></lb>quasi aliquid nobis timendum minati estis: quin potiùs optarim tales <lb></lb>iras, suavissimi commercii redintegrationem esse. </s><s>Quod si inter nos, <lb></lb>per nos ipsos conveniri non potest, judicent amici: nos judicio ipso<lb></lb>rum stare promittamus. </s><s>Ad rem venio. </s></p> <p type="main"> <s>De propositione Rotae atque atque Trochoidum illius, primùm audivi <lb></lb>Parisiis anno 1628, (eo enim demum anno ab expeditione Rupellana re<lb></lb>versus, statui in maxima illa atque omni studiorum genere excultissima <lb></lb>urbe, firmas sedes stabilire; cùm antea vagus, incertis fedibus, diversis <lb></lb>in regni Gallici partibus degissem) afferuitque qui proponebat celeber<lb></lb>rimus vir Pater Mersennus, talem quaestionem per multos jam annos a <lb></lb>pluribus tentatam, eousque insolutam permansisse: cui ego respondi, <lb></lb>hoc ei commune esse cum multis aliis vetustissimis nobilissisque propo<lb></lb>sitionibus; neque ideo quicquam in illa magis quàm in his mirandum <lb></lb>videri, si unà cum illis solutione careret. </s><s>Ac tunc ipse, cùm difficillimam <lb></lb>existimarem, certè supra vires meas, intactam ita dimisi, ut per sex <lb></lb>annos de illa ne quidem somniarim. </s><s>Atque ut verum fatear, ego tune <lb></lb>annum agens vigesimumseptimum, etiamsi continuo decennii anteacti <lb></lb>exercitio, discendo, docendoque, atque agendo in rebus Mathematicis, in <lb></lb>primis verò in Analiticis, quibus etiamnum maximè delector, non medio<lb></lb>criter profecissem; tamen, neque eum adhuc habitum mihi comparave<lb></lb>ram neque eas ingenii vires susceperam, quae ad ejusmodi quaestiones <lb></lb>sufficerent. </s><s>Interea, cùm mecum ipse saepius cogitarem, quâ potissimùm <lb></lb>ratione possem in suavissimae Matheseos adyta penetrare, statui divi<lb></lb>num Archimedem, quem ferè unum inter antiquos Geometras suspicio, <lb></lb>attentiùs considerare; ex qua consideratione sublimem illam & nunquam <lb></lb>satis laudatam infiniti doctrinam mihi comparavi: sic enim tunc voca<lb></lb>bam eam quae a Clarissimo Cavallerio vocatur doctrina indivisibilium. </s><s><lb></lb>Ridebis forsan; &, Hic ergo Gallus, inquies, non solùm trochoidum di<lb></lb>mensionem ante nos, si Diis placet; non solùm parabolarum omnium, <lb></lb>non solum solidorum ad has & illas pertinentium, non solùm planorum <lb></lb>ab helicibus cujuscunque gradus aut dignitatis compraehensorum, non <lb></lb>solum earumdem helicum secundùm longitudinem cum praedictis para<lb></lb>bolis comparationem, non solùm curvarum omnium tangentes per mo<lb></lb>tuum compositionem, non solùm doctrinam centrorum gravitatis inve<lb></lb>nerit, sed & praestantissimi nostri Cavallerii indivisibilia quoque? </s><s><lb></lb>atque illa omnia nobis; haec illi, plagiarus ille impune eripuerit? </s><s>Ve<lb></lb>rumtamen, rideatis licet, & talia, aut iis pejora de nobis putetis, aut <lb></lb>voceferemini, Ego trochoides, parabolas, helices, tangentes, & centra <lb></lb>ante vos; imò & multò plura non solùm inveni, sed & vulgavi: an <lb></lb>vultis ut verum reticeam quod partes nostras adjuvat, falsum autem <lb></lb>proferam quod nobis nociturum sit? </s><s>nos aetate aut tempore saltem <lb></lb>priores, aetatis aut temporis beneficia respuemus, & junioribus aut <lb></lb>saltem tempore posterioribus, vivi, adhuc relinquemus? </s><s>Apage stultam <pb pagenum="489"></pb>illam in nosmetipsos injustitiam. </s><s>Quòd si cuncta ego unicâ epistola <lb></lb>quam ad vos scripsi, non enumeravi, nihil mirum; illa enim aliunde <lb></lb>satis prolixa extitit, nec id necessarium, aut operae pretium judicavi. </s><s><lb></lb>Deinde etiam, quid de paucis aliquot propositionibus enumeratis glo<lb></lb>riari attinet? </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Pauperis est numerare pecus.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb>Sed de vobis plura postea: nunc de Indivisibilibus, quoniam illa ad <lb></lb>rem faciunt, dicamus. </s><s>Illa ergo, an ante nos clarissimus Cavallerius <lb></lb>invenerit, nescio: certè illud scio, me integro quinquennio antequam <lb></lb>in lucem emiserit, eâ doctrinâ usum fuisse in solvendis multis, iisque <lb></lb>planè arduis propositionibus. </s><s>Attamen, absiste moveri; ego tanto viro, <lb></lb>tantae ac tam sublimis doctrinae inventionem non eripiam; nec pos<lb></lb>sum; nec si possim, faciam. </s><s>Ille prior vulgavit: ille, hoc jure, suam <lb></lb>fecit: ille, hoc jure, habeat atque possideat: ille tandem, hoc jure, <lb></lb>inventoris nomine gaudeat. </s><s>Absit ut in posterum, quod nec priùs feci, <lb></lb>in tali causa, intercessoris ridiculi provinciam mihi suscipiam; prae<lb></lb>sertim cùm nequidem inter amicos quicquam unquam de tali doctrina <lb></lb>vulgaverim, quam neque publici juris facere, nisi post aliquot annos, <lb></lb>juvenili quodam mei ipsius amore, decreveram. </s><s>Quippe sperabam in<lb></lb>terim, fore ut solutione difficiliorum quaestionum quas quotidie nullo <lb></lb>negotio tali istrumento adjutus vulgabam, doctrinae famam facilè con<lb></lb>sequerer: neque sanè haec spes ex toto me fefellit. </s><s>Postquam enim <lb></lb>ingenti ardore doctrinam ipsam excoluissem, eandemque ad puncta, ad <lb></lb>lineas, ad superficies, ad angulos, ad solida praecipuè; postremò etiam <lb></lb>ad numeros extendissem, haud fuit difficile ea exequi propter quae <lb></lb>amici laetarentur, invidi disrumperentur. </s><s>Exultabam ergo nimiùm juve<lb></lb>niliter, ac tanto diligentiùs doctrinam ipsam reticebam; dignus planè <lb></lb>in quem Poëta dixerit, </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Nec ferre videt sua gaudia ventos;<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb>qui detectâ auri fodinâ ditissimâ, dum grana quaedam ex ea decerpta <lb></lb>ostento, ut ex divitibus ac beatis quidam habear; interim alius eandem <lb></lb>a se quoque detectam, palàm, plaudentibus omnibus, ostendit, ac pu<lb></lb>blici juris facit; ita ut exinde periculum sit ne ridear, si a me quoque <lb></lb>inventam fuisse affirmavero. </s><s>Est tamen inter clarissimi Cavallerii me<lb></lb>thodum & nostram, exigua quaedam differentia. </s><s>Ille enim cujusvis su<lb></lb>perficiei indivisibilia secundùm infinitas lineas; solidi autem indivisi<lb></lb>bilia secundùm infinitas superficies considerat. </s><s>Unde ex vulgaribus <lb></lb>Geometris plerique; sed & quidam ex superbis illis sciolis qui soli <lb></lb>docti haberi volunt, quique si nihil aliud, certè hoc unum satis habent, <lb></lb>ut in magnorum Virorum opera insurgant, quòd a se minimè profecta <lb></lb>esse invideant, occasionem carpendi Cavallerii arripuerunt, tanquam si <lb></lb>ille aut superficies ex lineis, aut solida ex superficiebus revera constare <lb></lb>vellet. </s><s>Quanquam autem illi coram eruditis nihil aliud lucrentur quàm <lb></lb>ignorantiae aut invidiae titulum, tamen iidem coram imperitis, suâ <lb></lb>authoritate, de doctorum famâ non mediocriter detrahunt; nec ab iis <pb pagenum="490"></pb>illaesus evasit Cavallerius. </s><s>Nostra autem methodus, si non omnia, certè <lb></lb>hoc cavet, ne heterogenea comparare videatur; nos enim infinita nostra <lb></lb>seu indivisibilia sic consideramus. </s><s>Lineam quidem tanquam si ex infinitis <lb></lb>seu indefinitis numero lineis constet, superficiem ex infinitis seu indefi<lb></lb>nitis numero superficiebus, solidum ex solidis, angulum ex angulis, nu<lb></lb>merum indefinitum ex unitatibus indefinitis: immo plano-planum ex pla<lb></lb>no-planis numero indefinitis componi concipimus, atque ita de altioribus; <lb></lb>singula enim suas habent utilitates. </s><s>Dum autem speciem aliquam in <lb></lb>sua infinita resolvimus, aequalitatem quandam, vel certè notam ali<lb></lb>quam progressionem inter partium altitudines aut latitudines ferè <lb></lb>semper observamus. </s><s>Sed de hoc satis superque: nunc ad vos redeo. </s><s><lb></lb>Cùm itaque ope indivisibilium multa protulissem, tandem anno 1634 <lb></lb>celeberrimus P. Mersennus trochoidem in memoriam revocavit, non <lb></lb>sine gravi expostulatione, quasi propositionem haudquaquam ignobilem, <lb></lb>de industriâ praeterirem difficultate illius perterritus. </s><s>Ego sic casti<lb></lb>gatus coepi sedulò ipsam inspicere; ac tune quidem, quae absque in<lb></lb>divisibilibus difficillima visa erat, ipsis opitulantibus, nullo negotio <lb></lb>patuit. </s><s>Modus autem noster ab aliis omnibus quos huc usque videre <lb></lb>contigit, longè diversus est; & nisi me nimiùm amo, idem illis omnibus <lb></lb>longè antecellit; quia omnium simplicissimus, brevissimus, universalis<lb></lb>simus, & ad solida detegenda aptissimus existat, ut solus sponte a na<lb></lb>tura productus, caeteri per vim ab arte efficti videantur. </s><s>Habes annum <lb></lb>quo trochoidem invenimus; diem etiam si ita expediret adjicerem. </s><s><lb></lb>Caetera jam ad te scripsi, & horum omnium testem locupletissimum <lb></lb>(praeter quàm plurimos alios, quorum epistolas de hac re etiamnum <lb></lb>apud me asservo) ipsum eundem habeo quem laudas, celeberrimum <lb></lb>P. Mersennum. </s><s>Vide ergo num sit cur doleam, cùm vos per exprobratio<lb></lb>nem objicitis propositionem illam forsan ante obitum Galilaei nondum <lb></lb>fuisse inventam, qui tamen vixit usque ad annum 1642. praecipuè, cum <lb></lb>jam ad vos scripserim me anno duodecimo jam elapso invenisse. </s><s>Ut <lb></lb>sic mihi tot testes habenti, & cui una sufficuborum, &c. </s><s>ad earum ma<lb></lb>ximam toties sumptam, ut suprà, sic comparabuntur, ut antecedens <lb></lb>rationis sit semper 2 exponens quadrati; consequens verò sit summa <lb></lb>ex ipso exponente 2 & alio exponente ipsius gradus ad quem perti<lb></lb>nent numeri quorum sumuntur radices quadratae. </s><s>Ut si sumantur ra<lb></lb>dices quadratae numerum quadrato-quadrato-cuborum qui sunt septimi <lb></lb>gradus cujus exponens est 7, erit consequens rationis 9, constatum ex <lb></lb>2 & 7, & ratio erit ut 2 ad 9. Similiter, summa omnium radicum cubica<lb></lb>rum omnium numerorum ordine naturali, hoc est in primo gradu, atque <lb></lb>indefinitè sumptorum, ad earumdem radicum maximam toties sumptam, <lb></lb>se habet ut 3 exponens cubi, ad 4 compositum ex eodem 3 & 1 expo<lb></lb>nente primi gradus; summa omnium radicum cubicarum omnium qua<lb></lb>torum, ad earumdem radicum maximam toties sumptam ut suprà, so <lb></lb>habet ut 3 ad 5; atque ita in infinitum, radices cubicae omnium gra<lb></lb>duum, ad earumdem maximam sumptam ut supra, comparabuntur; <lb></lb>eritque in omnibus antecedens 3, consequens verò componetur ex eodem <lb></lb>3 juncto cum exponente gradus cujus radix cubica sumpta fuerit, Nec <pb pagenum="491"></pb>aliter radices quadrato-quadratae omnium graduum, ad earum maxi<lb></lb>mam sumptam ut dictum est, comparabuntur, eritque antecedens 4; <lb></lb>& sic in infinitum infinities, ut satis ex praedictis patet. </s><s>Haec cùm ad <lb></lb>amplissimum virum scripsissem, dubitavit num eorum demonstrationem <lb></lb>haberem. </s><s>Itaque paucis verbis indicavi eàm esse facillimam, per du<lb></lb>plicem positionem more Veterum, incipiendo ab unitate, & procedendo <lb></lb>ordine per omnes potestates. </s><s>Quo pacto, facilè est concludere in qua<lb></lb>dratis, exempli gratia, summam omnium numerorum quadratorum or<lb></lb>dine naturali, sed finitè, sumptorum, ad eorumdem maximum toties sum<lb></lb>ptum, collatam, majorem esse quàm 1/3; at dempto ab eadem summà, <lb></lb>seu ab antecedente rationis, ipsorum quadratorum maximo tantùm, <lb></lb>remanente integro consequente, reliqui rationem minorem quàm 1/3. Nec <lb></lb>ad id demonstrandum, aliò recurrendum est quàm ad genesim quadra<lb></lb>torum, quâ fit ut quivis numerus quadratus componatur ex proximo <lb></lb>quadrato minore, ex duplo radicis ejusdem minoris, atque ex unitate; <lb></lb>quemadmodum etiam quivis numerus cubus componitur ex proximo <lb></lb>cubo minore, ex triplo quadrati minoris, ex triplo radicis minoris, atque <lb></lb>ex unitate. </s><s>Qui quidem cubus est ipsum maximum quadratum toties <lb></lb>sumptum quot sunt numeri quadrati ab unitate incipientes, atque ita <lb></lb>de singulis potestatibus, secundum uniuscujusque genesim. </s><s>Corollaria, <lb></lb>quomodo ab iis deducantur, aliàs, si ita expediat, explicabimus. </s><s>Neque <lb></lb>etiam fortassis spernendum videbitur corollarium aliud quod ex tali <lb></lb>numerorum inspectione deduxi: illud autem tale est. </s><s>Propositis quot<lb></lb>cumque numeris multitudine finitis, qui ab unitate, secundùm naturalem <lb></lb>numerorum seriem procedant 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, &c. </s><s>usque ad 100000000 <lb></lb>exempli gratiá; exhibere summam quadratorum, aut cuborum, aut <lb></lb>quadrato-quadratorum, aut cubo-qnadratorum, aut cubo-cuborum, &c. </s><s><lb></lb>omnium talium numerorum: quae sanè regula, pro quadratis, & cubis, <lb></lb>reperitur specialis apud Authores; at pro omnibus potestatibus, nullam <lb></lb>apud illos reperimus universalem. Haec ergo fuit nostra pro parabola<lb></lb>rum planis ac solidis, simúlque pro planis helicum, methodus. </s><s>Post <lb></lb>haec proposuit vir amplissimus (quod & ipse jamdiu in omnibus figuris <lb></lb>universaliter quaerebam) praedictarum figurarum centra gravitatis in<lb></lb>venire. </s><s>Ac ille quidem ad analysim recurrit, nos ad nostra infinita; <lb></lb>unde methodus illius, ut plerisque inventis analyticis accidit, abstrusis<lb></lb>sima est, subtilissima, atque elegantissima: nostra aliquot mensibus <lb></lb>posterior, simplicior evasit, & universalior; quò fit ut caeteris collata, <lb></lb>magis nobis arrideat. </s><s>Ut tamen alicui possit esse universalis, debet is <lb></lb>omnibus numeris absolutus esse Geometra, qualis huc usque nullus ap<lb></lb>paruit. </s><s>Quoniam verò hoc nostrae hujusce dissertationis praecipuum <lb></lb>caput est, ac vos non obliquè aut occultè, sed directè & apertè innuistis <lb></lb>methodum nostram, quam tamen huc usque nondum vidistis, illius quam <lb></lb>circa finem anni 1644 ad R. P. Mersennum a vobis missam legimus, esse <lb></lb>inversam, ac proinde nostram a vestra fuisse desumptam; quo posito <lb></lb>tanquam vero, adeo indignamini, ut tres maximas epistolas ad amplis<lb></lb>simos celeberrimosque viros, adjectis etiam ad id magnis Appendicibus, <lb></lb>gravissimis querilis impleveritis; quò nos nihil tale meritos, acerbissimâ <pb pagenum="492"></pb>plagiarii contumeliâ afficeretis: idcirco & locus & res postulat ut tam <lb></lb>atrocem injuriam, quandoquidem & licet & facilè prossumus, a nobis <lb></lb>propellamus. </s><s>Ad hoc autem satis superque futurum speravi, si mostram <lb></lb>illam methodum ad vos cum demonstratione mitterem; non quidem <lb></lb>suis omnibus numeris absolutam, nimis enim longa est, sed sic dige<lb></lb>stam, ut a vobis, aliisque non vulgaribus Geometris nullo negotio in<lb></lb>telligatur; praecipuè ab iis qui indivisibilia non oderint: alios enim <lb></lb>nihil moror, & Geometrarum nomine indignos puto, qui viâ apertâ, <lb></lb>tutâ, atque facili relictâ, longos ac difficiles anfractus sequi malint. </s><s><lb></lb>Hoc pacto, cùm illa nostra a vestra planè diversa sit, ac diversis <lb></lb>omnino fundamentis innitatur, non erit ampliùs quòd vobis ereptam <lb></lb>conqueri jure possitis. </s><s>Eam ergo seorsim cum suis figuris conscripsi<lb></lb>mus, ne hujus epistolae lectionem interturbaret. </s></p> <p type="main"> <s>Facile autem erit animadvertere methodum illam eo modo quo pro<lb></lb>posita est, universalem quidem esse absoluto Geometrae, attamen <lb></lb>eandem a priori rarò procedere (universalem autem a priori invenire, <lb></lb>hoc est ex sola figurae aut lineae definitione, nullá ejus cum aliâ <lb></lb>quavis figurâ, aut lineâ comparatione factâ, vix sperandum puto: quae <lb></lb>tamen si haberetur, & circuli & hyperbolae, aliarumque numero infi<lb></lb>nitarum figurarum quadratum simul haberetur) siquidem illa in figuris, <lb></lb>vix solà plani cum plano aut solâ solidi cum solido comparatione <lb></lb>contenta, utramque simul & plani & solidi aut etiam altioris speciei <lb></lb>comparationem persaepe requirit. </s><s>Immo, illâ methodo, solidorum centra <lb></lb>vix directè, sed plerumque indirectè tantùm, putà mediante aliquo <lb></lb>plano congruo deteguntur. </s><s>Sed nec illa linearum centris inservit, nisi <lb></lb>ipsae lineae, earumqae proprietates quaedam ex praecipuis ac speci<lb></lb>ficis examinari geometricè possint: quae omnia ex adjectis exemplis <lb></lb>post ipsam methodum seorsim videre licet. </s><s>De methodo Domini <emph type="italics"></emph>De <lb></lb>Fermat,<emph.end type="italics"></emph.end> nisi eam adhuc videris, hoc scies, ipsam trianguli, atque pla<lb></lb>norum parabolicorum omnium & solidorum ab iis ortorum centra a <lb></lb>priori elegantissimè ostendere. </s><s>Verùm eandem aliarum figurarum cen<lb></lb>tris accomodare, hîc labor; cùm ne quidem a posteriori, reliquis figuris <lb></lb>huc usque inservierit; quanquam forsan, quominùs id fieri possit, nihil <lb></lb>repugnet. </s><s>Jam quod ad tempus attinet, meministi opinor, Vir Claris<lb></lb>sime, methodum vestram non ante annum 1644 Parisios missam fuisse, <lb></lb>atque eandem tunc admodum recens inventam: siquidem, ut ex vestris <lb></lb>literis patet, vobis eâ adjutis, solidi trochoidis circa basim mensura <lb></lb>paulò ante demum patuerat, quam sub finem anni 1643 nondum habe<lb></lb>batis: haec enim sunt vestra verba in primâ vestrarum ad me epistola, <lb></lb><emph type="italics"></emph>Quoad solida, nihil habeo.<emph.end type="italics"></emph.end> Ego verò meâ methodo usus sum jam ab <lb></lb>anno 1637, atque illius ope, & planorum parabolicorum omnium, & so<lb></lb>lidorum centra jam tum inveneram; quorum centrorum quae ad di<lb></lb>midios fusos parabolicos pertinent, enuntiavi eâ epistolâ quam ad <lb></lb>R. P. Mersennum de vestris inventis scripsi anno 1643, quò primùm <lb></lb>anno de Torricellio Parisiis auditum est. </s><s>Haec, inquam, enuntiavi anno <lb></lb>plusquam integro priusquam vestra illa methodus appareret; quae <lb></lb>vestris forsan, & nostris, unà cum aliorum inventis (ingeniosè procul <pb pagenum="493"></pb>dubio) collatis, tantem apparuit. </s><s>Sed finge id quod non est, ipsam ve<lb></lb>stram ante annum 1644 fuisse inventam. </s><s>Finge etiam id quod multò <lb></lb>magis non est, ipsam cum nostrâ prorsus convenire, ac planè eandem <lb></lb>esse: quid tum? </s><s>An nos nostram statim ut minime nostram repudia<lb></lb>bimus, qui eâ septennio integro ante praedictum illum annum 1644 <lb></lb>tânquam nostra, immo verè nostrâ nemine reclamante usi fuerimus? </s><s><lb></lb>Num potiùs praescriptionis jure nos tutabimur? & quibuscunque inter<lb></lb>cedentibus, nostram ut nostram lege asseremus, cùm in talium rerum <lb></lb>possessione, vel unius diei praescriptionem valere, nemo inficiari possit? </s><s><lb></lb>Multò ergo potiori jure nunc, quandoquidem nostra & tempore longè <lb></lb>prior est, & penitus diversa, intercessoribus valere jussis, & nostra <lb></lb>tota manebit, qualiscunque tandem illa sit; & nostram ubique asse<lb></lb>rere, & fructibus ab ea productis tanquam nostris uti ubique licebit. </s><s><lb></lb>Sed neque argumenta quae produxisti, ejus ponderis esse videntur, ut <lb></lb>illa quemquam ex iis qui nos vel mediocriter norunt, in tam sinistram <lb></lb>de nobis opinionem pertraherent. </s><s>Primùm enim, dum ais me nunquam <lb></lb>ne verbum quidem fecisse de centro gravitatis trochoidis; cùm interea <lb></lb>tantopere, & quidem meritò, gloriarer de omnibus aliis, quadraturâ, <lb></lb>(comparationem cum circulo dicere voluisti) tangentibus, solidis, &c. </s><s><lb></lb>nec verissimile esse, cùm reliqua omnia proponerem, de unico centro <lb></lb>gravitatis siluisse; si illud tantùm speravissem; quod quidem problema, <lb></lb>tuo judicio, nulli reliquorum posthabendum videtur: dum haec ais, <lb></lb>inquam, Vir Clarissime, ex tuo genio loqueris; nos dum scripsimus, <lb></lb>ex nostro etiam genio scripsimus. </s><s>Tu, cùm magnifaceres centra, quia <lb></lb>ex iis solida deducere posse confidebas, solida autem praecipuè inten<lb></lb>debas; ideo centrorum inventionem magnificè extulisti, nec caeteris <lb></lb>posthabendam, immo praehabendam judicasti. </s><s>Ego contrà, quia sine <lb></lb>centris solida & quaesivi & viâ Geometricâ inveni; datis autem solidis, <lb></lb>statim, & absque labore centra sequebantur. </s><s>Ideo centra ne respexi <lb></lb>quidem, neque ad ea unquam animum applicui; certus omnino ex prae<lb></lb>mista nostra methodo, dato plano quod dudum habebam, sola solida <lb></lb>mihi quaerenda superesse; centra autem simul cum plano & solidis <lb></lb>haberi. </s><s>Quòd si apologo uti liceat: ego sim Aetopi illius Phrygis sta<lb></lb>tuarius: plani trochoidi mensura, esto mihi summi Jovis statua; men<lb></lb>sura solidi, statua Neptuni; centrum autem, esto statua Mercurii. </s><s>Jam <lb></lb>adsit nobis e coelo sub forma hominis ignoti Mercurius ipse, Jovis & <lb></lb>Majae filius, interrogetque, Quanti statua Jovis? </s><s>Indicabo sanè ego <lb></lb>alicujus pretii. </s><s>Interroget deinde de statua Neptuni: ego & ipsam ali<lb></lb>cujus pretii indicabo. </s><s>Tandem interroget de suaipsius Mercurii statua, <lb></lb>quid ego? </s><s>quid autem aliud nisi hoc? </s><s>Amice? </s><s>si priores illas duas <lb></lb>emeris, tum tertiam hanc auctarium tibi dabo. </s><s>Itaque, Vir Clarissime, <lb></lb>quae tibi Jovis aut Neptumi statua merito fuit, illa nobis Mercurii <lb></lb>tantùm statua extitit. </s><s>Ignosce, si placet, stylo; hoc usi sumus ut men<lb></lb>tem nostram aperiremus. </s><s>De R. P. Mersenno, quid scripserit in ea epi<lb></lb>stola cujus verba toties repetita contra me adducis, nescio: quid autem <lb></lb>illi dixerim ego planè memini, nec ipse omnino oblitus est; nec etiam <lb></lb>illa quae dixi malè congruunt cum iis quae saepius pro te citasti. </s><s>Sed <pb pagenum="494"></pb>rursus, nos ex mente nostra locuti sumus; ille, ut intellexit, sic scripsit: <lb></lb>vos ex mente vestra interpretati estis; ac illa vestra interpretatio a <lb></lb>nostra mente alienissima est. </s><s>Omnibus tamen attentè consideratis, pace <lb></lb>tuâ dixerim, Vir Clarissime, censui praecipuam malae interpretationis <lb></lb>culpam in vos recidere: neque enim verba illius, quae ipse adducis, a <lb></lb>nostro sensu adeo aliena fuerunt, quin ab iis verum illum nostrum <lb></lb>sensum facilè perspexisses, si aequi interpretis personam tibi assumere <lb></lb>voluisses. </s><s>Scripseras ad ipsum te utrumque trochoidis solidum bene<lb></lb>ficio centrorum priùs inventorum detexisse: ac illud quidem quod circa <lb></lb>basim, ut se habet revera, enuntiaveras ut 5 ad 8; quod ille cùm ve<lb></lb>rum sciret (jam dudum enim ego illi tale indicaveram) non aegre per<lb></lb>suasus est, & alterum quoque circa axem tale esse quale affirmabas <lb></lb>ut 11 ad 18. Laetus itaque statim ille mihi per literas significavit <lb></lb>habere se quod mecum communicare vellet. </s><s>Adivi; epistolam tuam legi, <lb></lb>ac circa illud postremum solidum tantùm quod circa axem, immoratus <lb></lb>sum; quippe quod nondum habebam, nisi in terminis vero admodum <lb></lb>proximis, extra quos excurrebat ratio illa a vobis assignata 11 ad 18. <lb></lb>Hinc ergo, quia de nostris terminis nullum nobis supererat dubium <lb></lb>illico animadvertimus rationem illam vestram 11 ad 18 verâ esse mi<lb></lb>norem. </s><s>Cùm igitur super hâc re cogitabundus hâererem, tum R. P. ad <lb></lb>me prior, Quid ergo, inquit, dices de clarissimo Torricellio? </s><s>nonne in<lb></lb>signium adeo theorematum cognitionem ipsi te debere fateberis? </s><s>Fa<lb></lb>terer, respondi, si vera estent; attalia non esse certus sum: miror sanè <lb></lb>quod vir talis falsum pro vero nobis velit obtrudere, nec aliud suspi<lb></lb>cari possum, nisi quod ille mechanicâ quâdam ratione, per approxi<lb></lb>mationem, hujusmodi rationem a vero non admodum longè aberrantem <lb></lb>invenerit, existimaveritque veram rationem non posse detegi; ac <lb></lb>proinde suam haud veram esse, a nemine posse demonstrari. </s><s>Haec, <lb></lb>inquam ego tum, oratione, fateor, planè scyticâ; quam ille suâ ad vos <lb></lb>epistolâ lenivit, pro suo genio qui omnino mitis est, ut ex stylo ejus <lb></lb>satis perspicere potuistis. </s><s>Jam, cùm dixi, Faterer me debere, si vera <lb></lb>essent; planum est me non intellexisse de solido circa basim quod <lb></lb>jamdiu ante vos habebam, & habere me ad vos scrisperam; neque de <lb></lb>centro trochoidis, quod dato tali solido, unà cum plano latere non po<lb></lb>terat. </s><s>Intellexi ergo de solido circa axem ac de centro hemitrochoidis <lb></lb>quod ab eo dependet, quae etiamsi brevî habiturum me confidebam, <lb></lb>tamen jure praescriptionis, vestra fuissent, si vestra illa enuntiatio <lb></lb>cum vero congruisset. </s><s>Hinc sanè nemo non videt minimè difficile fuisse, <lb></lb>ex verbis epistolae R. Patris quae vos toties citavistis, verum sensum <lb></lb>qualem jam attulimus, elicere: sed nescio quo fato aliter accidit unde <lb></lb>lis haec pro re nullius fere momenti, putà pro nugis nostris, ut ipse <lb></lb>saepe loqueris, inter nos suscepta est. </s><s>Itaque, ne quid in posterum si<lb></lb>mile accidat, si tale commercium inter nos continuetur, oro vos ubi<lb></lb>cumque agetur de propositione Mathematica cujus discussio ad me <lb></lb>pertinebit, ne cujuscunque literis fidem habeatis, nisi manu meâ illae <lb></lb>obsignatae sint: sic enim fiet ut ego mea tantum, non etiam aliorum <lb></lb>scripta, ex meo sensu interpretari tenear. </s><s>Nam, pace amicorum hoc <pb pagenum="495"></pb>dictum esto, hac in materia, soli mihi fidere assuevi, jamdudum exper<lb></lb>tus, interpretes plerosque, vel dum amicis blandiri appetunt, vel dum <lb></lb>rem non satis intelligunt, omnia literis obscurare ac prorsus deformare. </s><s><lb></lb>Unde qui tales literas accipiunt, illi, dum vel placitis laudibus ac blan<lb></lb>ditiis avidè sese ingurgitant, vel quod obscurum est ad placitum sibi <lb></lb>sensum detorquent, fit necessariò ut & scribentis & primi authoris ve<lb></lb>rum sensum longè relinquant. </s><s>Ac hujusmodi quidem allucinationis <lb></lb>exemplum afferam ex tuis ipsius literis, ex proprio tuo sensu, sine in<lb></lb>terprete ad R. P. Mersennum scriptis, in quibus haec habes: <emph type="italics"></emph>Tibi veró, <lb></lb>vir clarissime, corollariolum mitto ex ipsis hyperbolis deductum. </s><s>Qua<lb></lb>dratura quaedam est, quarum centenas, immo infinitas poteram mittere, <lb></lb>nisi vidissem satis superque esse unam, ut statim omnes emergant.<emph.end type="italics"></emph.end><lb></lb>Deinde in iis quas ad nos scribis, quas ipse R. P. etiam ante nos le<lb></lb>gerat, haec habes: <emph type="italics"></emph>Si unius hyperbolae primariae quadratura tam<lb></lb>diu quaesita est, nos pro una infinitas damus.<emph.end type="italics"></emph.end> Ex quibus verbis statim <lb></lb>existimavit R. P. primariae hyperboles quadraturam a te inventam <lb></lb>fuisse. </s><s>Itaque cùm aliquo post tempore, de ipsis quadraturis cum eo <lb></lb>colloquerer, diceremque non difficulter illas assecutum esse me: Habes <lb></lb>ergo tandem, inquit ille, hyperbolae conicae quadraturam? </s><s>Nequaquam, <lb></lb>respondi; neque enim legitima haec, & nothae illae iisdem legibus <lb></lb>addictae sunt. </s><s>Memisellum, inquit, quantâ spe decido, qui ubi Cleopatrae <lb></lb>aut etiam majoris pretii unionem speravi, ibi vitreas tantùm ampullas <lb></lb>reperio! Sed de hoc ipse forsan rescribet: ego verò ideo scripsi, ut <lb></lb>tali exemplo monerem hac in materia non esse tutum interprete uti; <lb></lb>cùm etiam absque hoc tantae eveniant allucinationes. </s><s>His ergo nostris <lb></lb>rationibus, acerbissimae vestrae accusationis argumentis luculenter <lb></lb>respondisse, atque cumulatè satisfecisse speramus. </s><s>Nunc verò </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Auspice num mage sit nostrum penetrabile telum?<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb>Videamus, inquam, nuc, num sit quod de vobis multò potiori jure queri <lb></lb>possim. </s><s>Ac primùm. </s><s>Nonne vos trochoidem nostram, postquam & a <lb></lb>R. P. Mersenno & a nobis moniti estis, jam a multis annis eam no<lb></lb>stram esse, eamque brevi a nobis in lucem emittendam, postquam ve<lb></lb>stris ad ipsum R, P. & ad me literis polliciti estis vos talem messem <lb></lb>nobis relicturos intactam; tamen omni jure, ac vestrâ etiam fide vio<lb></lb>latis, tanquam vestram non literis modo manuscriptis (quanquam ne<lb></lb>que hoc ferendum fuerit) sed libello ad id praelis commisso, vulgavi<lb></lb>stis? </s><s>idque interim, ac eodem prorsus tempore quo continuis vestris <lb></lb>literis contraria promitteretis? </s><s>Haeccine vestra religio? </s><s>haec consue<lb></lb>tudo? </s><s>Quòdsi ego huc usque de tali injuria pro rei acerbitate questus <lb></lb>non sum, fateor, soli ne id facerem evicerunt communes amici. </s><s>Quid <lb></lb>autem lucri feci illis obtemperando? </s><s>nempe crevit vobis fiducia, quia <lb></lb>me bardum, qui illatarum injuriarum nihil sentirem, existimavistis. </s><s><lb></lb>Attamen si ad paucula verba quae super hâc re ad vos scripsi animum <lb></lb>adverteritis, facilè ex iis percipietis de me dici posse: </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Vultu simulat: premit altum corde dolorem.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end> <pb pagenum="496"></pb>Nonne ergo ipse prior idem quod vos, sed non absque causa clamare <lb></lb>debui, <emph type="italics"></emph>Vim patior, incredibile est quanto desiderio expectem responsum <lb></lb>super hac re.<emph.end type="italics"></emph.end> Quibus sanè verbis, ac multò etiam pluribus cùm ad <lb></lb>R. P. Mersennum tum ad amplissimum D. <emph type="italics"></emph>de Carcavy<emph.end type="italics"></emph.end> scriptis, non ob<lb></lb>scurè significavistis vos, nisi coram vobis purgati fuerimus, in nos <lb></lb>acerbius quidpiam omnino statuisse; ut sic & injuriâ, & mulctâ simul <lb></lb>afficeremur. </s><s>Sed de hoc satis: nunc ad alia capita transeamus. </s></p> <p type="main"> <s>Rursus igitur, nonne primus omnium parabolas ego cum helicibus <lb></lb>comparavi secundùm longitudinem? </s><s>Nonne jam annus quintus excurrit, <lb></lb>ex quo tale theorema vulgavi, idemque meo nomine praelis mandavit <lb></lb>R. P. Mersennus? </s><s>nonne vos ab amicis rescivistis, ac tum demum <lb></lb>anno 1645 ad id animum applicuistis? </s><s>Habeo sanè super hâc re vestras <lb></lb>ad vestros amicos Romanos literas vestrâ manu ac vestro idiomate <lb></lb>scriptas. </s><s>Quid tum? </s><s>Jam vos palam, omnibus ferè vestris literis glo<lb></lb>riamini, non solùm parabolam conicam cum helice Archimedea compa<lb></lb>rasse, sed & reliquas parabolas cum propriis suis helicibus, immo & <lb></lb>quemlibet helicis arcum vel partem, sive ex centro incipiat sive non, <lb></lb>& sive primam revolutionem excedat sive non, demonstrasse cuidam <lb></lb>lineae parabolicae esse aequalem. Quid hoc rei est? </s><s>Gloriaris de rebus <lb></lb>nostris tanquam si tuae illae sint; atque id postquam nostras esse sic <lb></lb>rescivisti, ut nisi rescivisses, nequidem de illis forsan unquam som<lb></lb>niasses. </s><s>Nec est quod fingas existimasse te nos solam helicem Archi<lb></lb>medeam considerasse; nimis enim frigidum fuerit figmentum, & absque <lb></lb>ullo fundamento; cùm una eademque sit illius & caeterarum, demon<lb></lb>strationis via & methodus, quam qui invenerit, omnia procul dubio in<lb></lb>venerit, si modo voluerit, nempe haec, Quaevis parabola unà cum <lb></lb>helice sibi propriâ sic se habet, ut si portio axis parabolae, compre<lb></lb>hensa inter ordinatim applicatam ad axem, & tangentem a termino <lb></lb>applicatae ductam, aequalis esse intelligatur circumferentiae circuli <lb></lb>primae revolutionis in helice: (intellige helices planas, nos enim co<lb></lb>nicas quoque cum parabolis comparavimus) applicata autem aequalis <lb></lb>semidiametro ejusdem circuli: tum, quae inter verticem & applicatam <lb></lb>interjicitur parabola, aequalis sit longitudine helici primae revolutionis. </s><s><lb></lb>Quòd si in eadem parabola sumatur a vertice quaevis portio; a prin<lb></lb>cipio autem helicis propriae sumatur etiam portio, a cujus termino <lb></lb>ducta recta ad helicis centrum, aequalis sit rectae a termino sumptae <lb></lb>portionis parabolae ad axem applicatae: erunt & hae portiones ae<lb></lb>quales. </s><s>His sic a nobis inventis, si quis quidpiam addiderit; aut si <lb></lb>imitando similia effecerit, habeat sanè quam ipse laudem merebitur. </s><s><lb></lb>In helicibus conicis existente cono recto, omnia se habent ut suprà; <lb></lb>modò tantùm loco semidiametri circuli primae revolutionis, qui circulus <lb></lb>in ipso cono existit, sumatur recta a vertice coni ad circumferentiam <lb></lb>ejusdem circuli terminata. </s><s>Hic autem, centrum helicis erit vertex coni; <lb></lb>& quae a centro ad puncta helicis ducuntur rectae, erunt portiones <lb></lb>laterum coni ejusdem. </s><s>At equidem rescivisse me fateor, dices. </s><s>Verùm <lb></lb>demonstrationem proprio marte adinveni. </s><s>Esto: quid inde? </s><s>Sanè si <lb></lb>quaestionem proposuissem tantùm, non etiam solvissem, illa tua fuisset, <pb pagenum="497"></pb>qui prior solvisses: nunc quando prior solvi ego, & solutam vulgavi, <lb></lb>mea est; nec mihi, etiamsi omnes conentur, verè eripi potest. </s><s>An, <lb></lb>quaeso, meae aut etiam vestrae sunt parabolarum Domini <emph type="italics"></emph>de Fermat<emph.end type="italics"></emph.end><lb></lb>quadraturae? </s><s>aut spatiorum helicum cum circulis comparationes, quas <lb></lb>ambo proprio marte invenimus? </s><s>Quid de ipsis speretis vos, nescio sanè: <lb></lb>ego certè, quanquam mea multò quàm vestra potior sit causa, ipsam <lb></lb>tamen prorsus desero. </s><s>An meum est solidum vestrum hyperbolicum? </s><s><lb></lb>an mea hyperbolarum vestrarum novarum quadratura? </s><s>minimè verò; <lb></lb>attamen amborum ipsorum theorematum demonstrandorum una eadem<lb></lb>que est methodus, quam nos invenimus, & jampridem ad vos misimus <lb></lb>vestro solido accommodatam, quamque iisdem hyperbolis accommodare <lb></lb>non admodùm difficile est. </s><s>Reperi quoque in illarum singulis, ex parte <lb></lb>unius tantùm ex asymptotis, resecari posse spatium planum acutum <lb></lb>& versùs acumen infinitum, quod tamen spatio finito atque undique <lb></lb>clauso sit aequale. </s><s>Obiter autem, ut verum fatear, nonne istis hyper<lb></lb>bolis occasionem dedere parabolae illae Domini <emph type="italics"></emph>de Fermat?<emph.end type="italics"></emph.end> Nonne <lb></lb>etiam illa nostra propositio de helicibus & parabolis longitudine ae<lb></lb>qualibus ansam praebuit illi alteri de qua adeo magnificè gloriaris? </s><s><lb></lb>de illo inquam, helicum genere quae describuntur, dum recta unifor<lb></lb>miter quidem circa manens centrum circumvolvitur, at punctum inte<lb></lb>rim secundùm illam rectam fertur proportionaliter, quam quidem heli<lb></lb>cem rectae cuidam asteris aequalem? </s><s>Quae autem sit illa recta, & <lb></lb>quomodo ad datas se habeat, tanquam si Cereris Sacrum sit, planè <lb></lb>reticuisti. </s><s>Non tamen nos latet, eam aequalem est hypotenusae cujusdam <lb></lb>trianguli rectanguli, cujus unum laterum aequale sit rectae a centro ad <lb></lb>terminum helicis ductae: sed enim, quis triangulum istud dabit, ex <lb></lb>hypothesi quod dentur positione & longitudine duae ex iis rectis quae <lb></lb>a centro ad helicem terminantur? </s><s>vel contrà, quis triangulo dato, dabit <lb></lb>helicem? </s><s>Utrumque si dederis, Vir Clarissime, vel alterutrum tantùm, <lb></lb>ego munus id eo munere compensabo, quod vel ipse duplo pluris facias. </s><s><lb></lb>Sed cave: hîc via praeceps est & lubrica; ac talis, ex qua ad parallo<lb></lb>gismum lapsus sit facillimus: nisi tamen quod petimus datam fuerit, <lb></lb>propositio nullius pretii remanebit. </s><s>Illud etiam non videris animadver<lb></lb>tisse, propositionem hanc non esse novam, sed ipsam prorsùs eandem <lb></lb>esse cum antiqua illa, quá quaeritur linea per quam pondus ad cen<lb></lb>trum terrae laberetur secundùm uniformem ad suum horizontem incli<lb></lb>nationem; talis enim linea ad tale genus pertinet. </s><s>Quàm verò minimè <lb></lb>nova sit propositio testabitur ipse R. P. Mersennus. </s><s>Verùm, quia datâ <lb></lb>inclinatione, hoc est, dato specie triangulo rectangulo, datoque centro <lb></lb>helicis in centro terrae, dato insuper uno ejusdem helicis puncto, putà <lb></lb>in ipsius terrae superficie; non poterat geometricè, nec etiam suppositâ <lb></lb>circuli quadraturâ, assignari aliud in ea punctum; ideo illa inculta per<lb></lb>mansit, ac ferè ex toto neglecta est. </s><s>Neque rursus, idem solum aut <lb></lb>primum genus est earum helicum, quae finitae cum sint, infinitas tamen <lb></lb>circa punctum quoddam revolutiones absolvunt: tales enim & longè <lb></lb>antiquiores sunt illae quae in globis terrestribus atque in mappis mundi, <lb></lb>loxodromias seu ventorum vias referunt, quaeque praeter has illud <pb pagenum="498"></pb>habent peculiare, quòd ex utraque parte finitae sint; & tamen circa <lb></lb>utrumque polum infinities circumvolvantur. </s><s>Cumque sic imitando, res <lb></lb>Geometricae in infinitum plerumque abeant, quidni etiam linea recta <lb></lb>circa manens centrum aequaliter vel proportionaliter circumvolvetur, <lb></lb>ac simul punctum mobile vel aequaliter vel inaequaliter secundùm re<lb></lb>ctam eandem legibus quibusdam feretur vel a centro, vel versùs cen<lb></lb>trum, ad describenda infinities infinita helicum genera? </s><s>Ex iis autem, <lb></lb>genus illud novimus, cujus helices hyperbolis conicis demonstrantur <lb></lb>aequales, quidni rursus licebit, pro infinitis hyperbolis effingendis, imi<lb></lb>tari vigesimam primam propositionem libri primi Conicorum Apollonii, <lb></lb>sicuti pro infinitis parabolis vigesimam propositionem imitatus est <lb></lb>D. <emph type="italics"></emph>De Fermat?<emph.end type="italics"></emph.end> Verùm hic omnia persequi nec lubet nec vacat. </s><s>Superest <lb></lb>unum expostulationis nostrae caput circa novas nostras quadratrices <lb></lb>lineas, quas non ita pridem, vix scilicet ante biennium invenimus, nec <lb></lb>multò post ad vos misimus. </s><s>Possem hic, & sanè potiori jure, eadem <lb></lb>verba adjicere quae vos circa centra gravitatis: <emph type="italics"></emph>Utinam non misissem:<emph.end type="italics"></emph.end><lb></lb>sed illa nimis acerbam, prorsusque contumeliosam prae se ferunt expro<lb></lb>brationis speciem: quin contrà, & misisse <lb></lb> <arrow.to.target n="fig724"></arrow.to.target><lb></lb>laetor; quandoquidem ita vobis placuerunt; <lb></lb>& nisi tunc misissem, nunc utique mitterem. </s><s><lb></lb>Illas, inquam, lineas ex quibus fiunt spatia <lb></lb>plana longitudine infinita, quae tamen spatiis <lb></lb>finitis undique clausis sunt aequalia; vos li<lb></lb>neas Robervallianas, ab inventoris nomine, <lb></lb>vocavistis; ego voco quadratrices, ab earum <lb></lb>officio, & inventionis fine: ego enim figura<lb></lb>rum quadraturae intentus, dum nihil negligo <lb></lb>eorum quae ad propositum illum finem con<lb></lb>ducere videntur, praecipuè verò ipsarum fi<lb></lb>gurarum in alias figuras transmutationem <lb></lb>experior, in tales linea incidi hac ratione. </s></p> <figure id="fig724"></figure> <p type="main"> <s>Esto in figura, trilineum ABC quale re<lb></lb>quiritur, cujus punctum B sit vertex; recta <lb></lb>AB altitudo; recta AC basis; & linea BDC <lb></lb>sit quaecunque curva: nihil enim refert qua<lb></lb>liscunque accipiatur. </s><s>Verùm, ut ex infinitis <lb></lb>generibus aliquod hic eligamus, quod vobis <lb></lb>instar omnium sit, esto illa curva BC ad <lb></lb>easdem partes cava, putà ad partes ductae <lb></lb>rectae BC, ita ut ipsa tota sit extra triangu<lb></lb>lum ABC, & eadem a puncto B ad punctum <lb></lb>C continuè recedat a recta BA, & ad rec<lb></lb>tam CA propiùs accedat; sumpto utroque, <lb></lb>recessu scilicet & accessu, secundùm per<lb></lb>pendiculares a curva BC ad rectas BA, AC <lb></lb>ductas. </s><s>Tum in ipsa curva BC, sumantur <lb></lb>continuè a vertice B, quaecunque & quotcunque puncta D, E, &c. </s><s>a <pb pagenum="499"></pb>quibus ductae intelligantur rectae DF, EG, &c. </s><s>tangentes curvam BC <lb></lb>in iisdem punctis D, E, &c. </s><s>atque occurrentes axi AB producto ultra <lb></lb>verticem B, in punctis F, G, &c. </s><s>Intelligatur quoque per punctum C <lb></lb>recta CK tangens eandem curvam BC in puncto C; quae quidem recta <lb></lb>CK vel eidem axi AB occurret ultra verticem B, vel eadem CK eidem <lb></lb>AB erit parallela, coincidetque cum recta CR, quam ipsi AB ponimus <lb></lb>esse parallelam. </s><s>Praeterea, a punctis D, E, &c. </s><s>ducantur rectae DI, <lb></lb>EH axi BA parallelae, atque occurrentes basi AC in punctis I, H, &c. <lb></lb>& per punctum A, ipsis tangentibus DF, EG, &c. </s><s>ducantur totidem <lb></lb>rectae ordine parallelae, AM quidem ipsi DF; AL autem ipsi EG, &c. </s><s><lb></lb>occurratque recta AM rectae DI productae in M, atque ita habebimus <lb></lb>punctum M: occurrat quoque recta AL rectae EH productae in L; atque <lb></lb>ita rursus habebimus punctum L, & sic de caeteris. </s><s>Quo pacto habebimus <lb></lb>a puncto A infinita alia puncta continuo ordine disposita M, L, &c. </s><s>Per <lb></lb>haec intelligatur ducta linea continua AML &c. </s><s>illa erit primaria nostra <lb></lb>quadratrix: primariam vocamus, quia ipsa prima occurrit, & prima a <lb></lb>nobis vulgata est; caeterae autem ab illa primaria, saltem per occa<lb></lb>sionem, dependerunt. </s><s>Quòd si tangens CK occurrat axi AB, ductâ rectâ <lb></lb>AN parallelâ eidem CK, & productâ rectâ RC donec ipsi AN occurrat <lb></lb>in N, erit & punctum N in eadem quadratrice AMLN. Aliàs autem, si <lb></lb>CK coincidat cum ipsa CR (cùm scilicet ipsi AB fuerit parallela) linea <lb></lb>AML in infinitum producta nunquam concurret cum recta RC etiam <lb></lb>infinitè producta; sed haec RC producta, ipsius AML productae erit <lb></lb>asymptotos, & punctum N a puncto C infinitè distabit. </s><s>Potuit etiam <lb></lb>loco trilinei, assumi bilineum aut aliud quodcumque spatium; sed <lb></lb>omnia exequi unicâ epistolâ, nec possumus nec volumus, ut ii quibus <lb></lb>inventum placuerit, habeant quod imitando addere possint. </s><s>Jam ergo, <lb></lb>in assumpto exemplo trilinei ABC, positis quae supra diximus, fit qua<lb></lb>drilineum quoddam ABCN duabus curvis BC, AN, & duabus rectis BA, <lb></lb>CN comprehensum; sive id quadrilineum finitum sit versùs N, sive <lb></lb>idem in infinitum versùs illam partem abeat: hoc ergo spatium ABCN <lb></lb>dico esse trilinei ABC duplum. </s><s>Demonstratio nostra omnino universalis <lb></lb>erit pro omnibus curvis, & spatiis; poteritque more Veterum, per du<lb></lb>plicem positionem institui, nos tamen per infinita sic procedemus. </s><s>Du<lb></lb>cantur, aut duci intelligantur a puncto A ad infinita seu indefinita nu<lb></lb>mero puncta curvae BC, rectae AD, AE, &c. </s><s>ut sic spatium ABC in infinita <lb></lb>trilinea resolvi concipiatur; quae quidem trilinea totidem rectis AD, <lb></lb>AE, &c. </s><s>ac portionibus interceptis curvae BC comprehendantur; spa<lb></lb>tium autem ABCN in totidem quadrilinea resolvatur, quot sunt trilinea <lb></lb>quae quadrilinea a parallelis DM, EL, &c. </s><s>ac portionibus interceptis <lb></lb>curvarum BC, AN constituantur: erunt ergo singula trilinea cum sin<lb></lb>gulis quadrilineis, super eâdem basi constituta ad puncta D, E, &c. </s><s><lb></lb>propter tangentes, (absque tangentibus enim falsum esset) atque in <lb></lb>iisdem parallelis; putà trilineum ad AD cum quadrilineo ad DM, in <lb></lb>iisdem parallelis DF, MA; trilineum autem AE, cum quadrilineo ad EL, <lb></lb>in iisdem parallelis EG, LA, atque ita de reliquis. </s><s>Quapropter singula <lb></lb>quadrilinea singulorum trilineorum erunt ut dupla, ex legibus infiniti; <pb pagenum="500"></pb>& omnia omnium, hoc est totum spatium ABCN quod ex omnibus <lb></lb>quadrilineis constat, duplum erit totius spatii ABC, quod constat ex <lb></lb>omnibus trilineis. </s><s>Patet autem eodem ratiocinio, quadrilaterum ABDM, <lb></lb>trilinei ABD duplum esse; & quadrilaterum ABEL, trilinei ABE, & sic <lb></lb>de caeteris. </s><s>Si ergo trilineum CAMLN totum extra trilineum ABC exi<lb></lb>stat, ut in assumpto exemplo, erunt duo illa trilinea aequalia, sive <lb></lb>punctum N in infinitum abeat, sive non. </s><s>Quòd si praeterea, eo casu <lb></lb>quo curva AMLN tota extra trilineum ABC existit, ex punctis D, E, &c. </s><s><lb></lb>ducantur rectae DX, EV basi CA parallelae, atque axi occurrentes in <lb></lb>punctis X, V, &c. </s><s>fient spatia BDX, BEV, &c. </s><s>spatii AIM, AHL, &c. </s><s>sin<lb></lb>gula singulis aequalia. </s><s>Quoniam enim, ex demonstratione universali <lb></lb>praemissa, totum quadrilineum ABDM, totius trilinei ABD, duplum <lb></lb>est; & ablatum parallelogrammum AXDI, ablati trianguli AXD est <lb></lb>quoque duplum, erit & reliquum reliqui duplum: reliquum autem pri<lb></lb>mum constat ex duobus trilineis BDX, AIM; secundum verò est solum <lb></lb>trilineum BDX: quare duo illa trilinea BDX, AIM simul, hujus solius <lb></lb>BDX dupla sunt, ac proinde aequalia sunt inter se trilinea illa BDX, <lb></lb>AIM. De caeteris eadem est demonstratio. </s><s>Sed & trilineum BDF bilineo <lb></lb>AM, & trilineum BEG bilineo AL aequale esse facile demonstrabitur; <lb></lb>& multa alia quae consultò omittimus. </s><s>Potest quoque ad solida extendi <lb></lb>hoc nostrum inventum; scilicet, praedictae omnes figurae circa axem <lb></lb>AB utrinque productum quantùm satis, convertantur; ac spatia quidem <lb></lb>solida ad rectas AD, AE, &c. </s><s>constituta, pro pyramidibus; spatia autem <lb></lb>solida ad parallelas DM, EL, &c. </s><s>pro parallelepipedis accipiantur. </s><s>Quo <lb></lb>pacto solidum descriptum a quadrilineo ABCN, sive illud versus N in<lb></lb>finitum sit, sive non, triplum erit solidi a trilineo ABC descripti: & <lb></lb>solidum a trilineo ACN in assumpto exemplo descriptum, duplum erit <lb></lb>solidi a trilineo ABC descripti; & hinc habentur innumerae species <lb></lb>solidorum infinitè finitorum. </s></p> <p type="main"> <s>Possunt etiam rectae MI, LH, &c. </s><s>produci versùs punctae D, E, usque <lb></lb>ad puncta T, S, &c. </s><s>ita ut rectae IT, HS, &c. </s><s>aequales sint rectis DM, <lb></lb>EL, &c. & per puncta BTS, &c. </s><s>potest intelligi curva quadratrix BTS: <lb></lb>haec autem illa erit quam ad vos misimus; de qua ideo nihil est quod <lb></lb>hic addamus: quod autem illa secundaria sit, manifestum est. </s></p> <p type="main"> <s>Tandem, ductis tangentibus DF, EG, &c. </s><s>ut suprà; potuit loco puncti <lb></lb>A assumi aliud quodcunque punctum B vel C, vel quodvis in plano <lb></lb>trilinei ABC quantumvis producto existens, per quod ducerentur rectae <lb></lb>tangentibus illis parallelae; quemadmodum hic ductae sunt AM, AL, &c. <lb></lb>& per puncta D, E, &c. </s><s>duci quoque potuerunt totidem aliae rectae <lb></lb>inter se & cuivis datae parallelae, cum tangentibus & tangentium pa<lb></lb>rallelis parallelogramma constituerent, qualia sunt AFDM, AGEL, &c. </s><s><lb></lb>unde aliae infinitae generabuntur quadratrices: sed haec nunc indicasse <lb></lb>sufficiat. </s><s>Vides itaque, Vir Clarissime, quàm latus hoc loco ad imitan<lb></lb>dum pateat campus. </s><s>Vides etiam alia prorsus a tuis hyperbolicis di<lb></lb>versa genera solidorum infinitorum, & multitudine innumerabilia, & <lb></lb>illis forsan, magis miranda; eo quòd haec nostra de externa sua lati<lb></lb>tudine nihil unquam remittant, ut vestris necessariò accidit. </s><s>Neque <pb pagenum="501"></pb>tamen nostra nos ad vestrorum imitationem effinximus (quod si factum <lb></lb>fuisset, quantumcumque abstrusa, vobis tamen tribueremus) sed haec <lb></lb>a nostro linearum quadratricarum invento sic dependerunt, ut ab illis <lb></lb>sejungi non potuerint. </s><s>Vides denique nos nec plana, nec solida infinitè <lb></lb>finita praecipuè intendisse; sed nostras quadratrices, quae ex figu<lb></lb>rarum in alias transformatione nascuntur, ex quarum origine talia <lb></lb>spatia necessariò consecuta sunt; & nobis aliud animo agitantibus, <lb></lb>sese ultro obtulerunt. </s></p> <p type="main"> <s>Jam, quadratura parabolae quomodo ex praedictis facile deducatur, <lb></lb>sic ostendimus. </s><s>Intelligatur in hoc nostro exemplo, curva BC esse <lb></lb>quaevis parabola, sive conica illa sit, sive alia: (unica enim omnibus <lb></lb>inservit demonstratio) cujus axis sit AB; vertex B; basis AC; & recta BY <lb></lb>ipsam tangat in vertice, occurratque rectae NC productae in puncto Y, <lb></lb>ut sit parallelogrammum ABYC spatio trilineo parabolico ABC circum<lb></lb>scriptum. </s><s>Ducantur etiam, vel duci intelligantur a singulis punctis <lb></lb>curvae AMLN, putà a punctis M, L, N, &c. </s><s>rectae MQ, LP, NO, &c. </s><s>basi <lb></lb>AC parallelae occurrentes axi BA producto in punctis Q, P, O, &c. </s><s>quo <lb></lb>pacto, constituetur aliud quoddam trilineum ANO, cujus axis erit AO, <lb></lb>vertex A, & basis NO. In hoc trilineo, rectae ad axem ordinatim appli<lb></lb>catae erunt MQ, LP, NO, &c. </s><s>quae ordinatim applicatis in parabola, DX, <lb></lb>EV, CA, &c. </s><s>singulae singulis debito ordine sumptis, erunt aequales; at <lb></lb>portiones axis AO inter verticem A, & applicatas interceptae, putà AQ, <lb></lb>AP, AO, &c. </s><s>aequales erunt rectis FX, GV, KA, &c. </s><s>singulae singulis de<lb></lb>bito ordine sumptis: quae omnia ex constructione manifesta sunt. </s><s>Est <lb></lb>autem in quavis parabola, ut FX ad XB, sic GV ad VB, & sic KA ad AB, <lb></lb>propter tangentes DF, EG, CK. Quare erit quoque, positâ in nostro <lb></lb>exemplo quâvis parabolâ BDEC, ut AQ ad BX, ita AP ad BV, & ita AO <lb></lb>ad BA, &c. </s><s>Est ergo curva AMLN parabola ejusdem speciei cum para<lb></lb>bola BDEC; cúmque AC, ON sint aequales erit spatium AON ad spa<lb></lb>tium ABC, ut axis AO ad axem AB. Ostensum autem est spatium ABC <lb></lb>aequale esse spatio ACN; quare spatium AON ad spatium ACN est ut <lb></lb>AO ad AB: & componendo, parallelogrammum ACNO ad spatium ACN, <lb></lb>sive ad spatium ABC, se habet ut recta OB ad rectam BA. Sed ut pa<lb></lb>rallelogrammum AY ad parallelogrammum AN, ita recta AB ad rectam <lb></lb>AO; ergo, ex aequo, in ratione perturbata, erit parallelogrammum AY <lb></lb>ad spatium ABC, ut recta OB ad rectam AO. Datae autem sunt rectae <lb></lb>illae OB, AO, quia AO ipsi AK datae aequalis est, ex constructione: ergo <lb></lb>data est ratio parallelogrammi AY ad spatium trilineum parabolicum <lb></lb>ABC, ut propositum est; & est talis ratio ut recta composita ex AK <lb></lb>& AB, ad rectam AK. </s></p> <p type="main"> <s>Simili ratiocinio, in solidis isparum parabolarum circa axem AB <lb></lb>conversarum, concludemus universaliter sic esse cylindrum AY ad so<lb></lb>lidum ABC, ut recta composita ex AK & dupla ipsius AB, ad ipsam <lb></lb>eandem AK. </s></p> <p type="main"> <s>Quomodo ergo in ejusmodi quadratrices inciderim, jam tenes: quàm <lb></lb>verò ingenuè ad vos miserim, ipsi scitis: sciunt & Academiae nostrae <lb></lb>proceres, qui omnes epistolam nostram, antequam ad vos mitteretur, <pb pagenum="502"></pb>perlegerunt; sciunt & multi alii cum quibus eandem ego, vel amici <lb></lb>communicavimus; sciunt, inquam, illi omnes, me expressis verbis, ve<lb></lb>luti florem quemdam ex horto illo delectum, vobis indicasse quadratu<lb></lb>ram parabolae primariae seu conicae. </s><s>Quis igitur meo loco constitutus, <lb></lb>fore speravisset ut Clarissimus Torricellius, inde per imitationem, cae<lb></lb>teras parabolas quadrandi arreptâ occasione, (quod nullius fuit negotii, <lb></lb>quia eademque est omnium methodus) haec verba subjiceret: <emph type="italics"></emph>Praedictae <lb></lb>methodi, tum pro quadraturis, tum pro tangentibus, sunt quas minimi <lb></lb>prae caeteris ego facio, non tamen patiar mihi illas eripi.<emph.end type="italics"></emph.end> Et haec: <lb></lb><emph type="italics"></emph>Linea Robervalliana, si ortum ducat ex aliqua parabolarum, semper <lb></lb>parabola evenit ejusdem speciei; quod ego novum esse scio, licet fortasse <lb></lb>turpe videatur hoc fateri.<emph.end type="italics"></emph.end> Et rursus in alia epistola: <emph type="italics"></emph>Quadraturas ad <lb></lb>Clarissimum Robervallium mitto, fortasse ad subeundam eandem for<lb></lb>tunam cum meo centro gravitatis cycloidis,<emph.end type="italics"></emph.end> hoc est trochoidis. </s><s>Atque <lb></lb>ita, sicuti palam non accusaverat Torricellius, tanquam si centrum <lb></lb>illud nostrae trochoidis, a nobis illi surreptum fuisset, sic timere se <lb></lb>simulavit, ne eodem fato illae suae (si Diis placet) parabolarum qua<lb></lb>draturae sibi a nobis eriperentur. </s><s>Quis, inquam, hoc speravisset? </s><s>Nam, <lb></lb>Deum Immortalem! quid illis in quadraturis aut novum est aut ad <lb></lb>Torricellium pertinet, ut ei possit eripi? </s><s>An in universum quadraturae <lb></lb>illae sunt Torricellii? </s><s>Nequaquam. </s><s>Primariae enim sive conicae para<lb></lb>bolae quadratura Archimedis est; caeterarum autem, D. <emph type="italics"></emph>De Fermat:<emph.end type="italics"></emph.end><lb></lb>dico D. <emph type="italics"></emph>de Fermat;<emph.end type="italics"></emph.end> quia caeterarum illarum medium a medio Archi<lb></lb>medis planè diversum est, & diversum esse debuit, quandoquidem ad <lb></lb>illas, medium Archimedeum omnino ineptum est. </s><s>Quòd si omnibus illud <lb></lb>aptum fuisset; tunc, quantumvis ab eo diversum esset medium D. <emph type="italics"></emph>de <lb></lb>Fermat,<emph.end type="italics"></emph.end> omnes tamen illas quadraturas uni Archimedi tribueremus, ac <lb></lb>caeteras per imitationem inventas ad primariam remitteremus. </s><s>Siqui<lb></lb>dem facile est inventis addere: authorem verò sese praebere, hoc opus <lb></lb>hîc labor est. </s><s>Non igitur aut Torricellii, aut nostrae sunt, parabolarum <lb></lb>quadraturae in universum; nec illae aut ipsi aut nobis eripi possunt. </s><s><lb></lb>Superest igitur ut de medio decertemus. </s><s>Sed ad quid hoc? </s><s>Quando, <lb></lb>sive ego vicero sive Torricellius, ipsa res vel Archimedi cedet, vel <lb></lb>D. <emph type="italics"></emph>de Fermat.<emph.end type="italics"></emph.end> Attamen quod in eo medio praecipuum est, nostrum <lb></lb>est, ipso Torricellio concedente, nempe nostra quadratrix, quam ipse <lb></lb>Robervallianam vocat. </s><s>Quid igitur ipsi relinquitur? </s><s>Forsan, inquiet <lb></lb>aliquis, vult Torricellius suum esse, quòd usus fuerit complementis <lb></lb>aequalibus parallelogrammorum, eaque praedictis Robervallianis qua<lb></lb>dratricibus accommodaverit, ut duplici positione inscriptorum & cir<lb></lb>cumscriptorum uteretur more Veterum. </s><s>Atqui ob tantillum, quod nec <lb></lb>ipsum universale est, adeo sollicitum esse, adeoque invigilare ne sibi <lb></lb>eripiatur, pauperis cujusdam est, qui hoc unum possideat, non autem <lb></lb>ditissimi Torricellii, qui infinitos rerum multò pretiosiorum possidet <lb></lb>thesauros. </s><s>At, dicet alius: Robervallius unicam parabolam primariam <lb></lb>seu conicam, Torricellius verò omnes omnino quadravit. </s><s>Robervallius <lb></lb>scilicet unicam! Quis autem nos usque adeo caecos existimaverit? </s><s><lb></lb>praecipuè cùm una eademque sit omnium methodus quam suprà osten- <pb pagenum="503"></pb>dimus? </s><s>Egone in eo quod difficilius fuit, si tamen quid difficile dici <lb></lb>potuit, nempe in quadratricibus ipsis detegentis, atque in primariae <lb></lb>parabolae quadratura perspicax, in facillimis repentè caecutiero? </s><s>Quin <lb></lb>ergo saltem enuntiavisti? </s><s>Satis fuit unam enuntiare; caeterae sponte <lb></lb>sequebantur. </s><s>Quid hoc rei est? </s><s>An tandem ego ea omnia ignorasse <lb></lb>censebor, quaecunque unicâ quam ad Torricellium scripsi epistolâ <lb></lb>expressis verbis non comprehendi? </s><s>Respiciat ille ad verba nostra, ut <lb></lb>quid voluerimus intelligat: florem mittebamus, non arborem. </s><s>Ac jam <lb></lb>decennium est ex quo absolutis nothis illis parabolis, vix animo occurrit, <lb></lb>nisi urgeat occasio, ut illas ampliùs nominem; Torricellio verò ipsae <lb></lb>novae sunt, adeoque ipsarum ille non obliviscitur, ut magnum quid <lb></lb>putet, si centum modis illas quadraverit, cùm tamen infinitis id fieri <lb></lb>possit. </s><s>Rursus ergo, quid in illis quadraturis novum est quod ad Tor<lb></lb>ricellium pertineat? </s><s>Non video sanè: attamen scire gestio, ne quod <lb></lb>illius est, quodque sibi eripi minimè passurum esse minatur, impru<lb></lb>dentes auferamus. </s></p> <p type="main"> <s>Jam perspiciat quicunque Torricellii legerit epistolas, quàm multa <lb></lb>praeteream legitimae expostulationis capita. </s><s>Enimvero, illud ne viro <lb></lb>ingenuo ferendum fuit, quod nobis comminando scripsit super aliâ <lb></lb>quadam methodo centrorum gravitatis inveniendorum, quam habere se <lb></lb>gloriatur? <emph type="italics"></emph>Oro vos,<emph.end type="italics"></emph.end> inquit, <emph type="italics"></emph>ne inter vestra hanc etiam habeatis: nam <lb></lb>hoc esset tollere penitus omne literarum, scientiarumque commercium.<emph.end type="italics"></emph.end><lb></lb>Quid aliud ad manifestum furem scribi potuit? </s><s>Interim tamen, de illa <lb></lb>methodo callidè ac de industriâ tacuit Torricellius: ita ut si aliquam <lb></lb>ego aut alius quispiam proferamus, jam ipsi liberum sit illam astutiis <lb></lb>ejusmodi, atque in longum prospicientibus verbis, sibi asserere, ac de <lb></lb>ea locutum esse se, suà fide affirmare. </s></p> <p type="main"> <s>Quis rursus feret quod ad R. P. Mersennum scribit, cùm de centro <lb></lb>nostrae trochoidis loquitur? <emph type="italics"></emph>Quod certe<emph.end type="italics"></emph.end> (ait) <emph type="italics"></emph>immo certissime scio non <lb></lb>habuisse Robervallium, antequam demonstrationem meam videret; ut <lb></lb>P. V. vel ipsemet, vel tandem universa Europa testis esse poterit.<emph.end type="italics"></emph.end> De <lb></lb>centro illo jam satis suprà, immo usque ad nauseam; nec circa illud <lb></lb>universa Europa testis nobis formidanda; quin, si fieri posset, prae cae<lb></lb>teris optanda. </s><s>Verúm, quid tale centrum ad universam Europam? </s><s>Crede <lb></lb>mihi, Clarissime Torricelli; esto (quod tamen sine arrogantia dici non <lb></lb>potest) quòd in rebus Mathematicis ambo simus egregii ita ut paucos <lb></lb>pares, nullos agnoscamus superiores: nequaquam tamen, hoc pacto, <lb></lb>tales erimus quos universa respiciat Europa; nempe misellos Geometras <lb></lb>de nescio quo puncto desceptantes. </s><s>Simus potiùs ambo, ego triginta <lb></lb>millium peditum nostrorum veteranorum dux, tu totidem vestrorum: <lb></lb>adsit utrique equitatus tali numero debitus, nihilque desit armorum, <lb></lb>annonae, aut fidei militum erga duces; ac tunc universa forsan nos <lb></lb>respiciet Europa. </s></p> <p type="main"> <s>Hoc loco, vir Clarissime, cogitare subiit quî fieret, ut cùm semel ad <lb></lb>te scripserim (prima enim alia nostra de te epistola ad R. P. Mersennum <lb></lb>directa fuerat) idque stylo qui meo & amicorum judicio, nihil omnino <lb></lb>acerbi, quanquam post ereptas a te nobis nostras trochoides, redolet; <pb pagenum="504"></pb>ipse tamen e contrario, acri adeo stilo rescripseris; nec mihi soli, quo <lb></lb>pacto faciliùs res componerentur, sed tribus (nescio num etiam pluribus) <lb></lb>literis ad amplissimos celeberrimosque viros de me scriptis, haud alio <lb></lb>argumento quam quod existimares (nimis tamen leviter) centrum tro<lb></lb>choidis ipsius tibi fuisse ereptum. </s><s>Tantusne Torricellio earum quas suas <lb></lb>putat, nugarum zelus (liceat eo tibi familiari nugarum vocabulo uti) <lb></lb>ut statim atque eas sibi ereptas putaverit, </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Irruat & frustra ferro diverberet umbras,<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb>ne quidem cogitando quantas ille, cùm directè, tùm indirectè, ab aliis <lb></lb>sumpserit, ob quas periculum sit ne quamvis placidos acriùs irritando, <lb></lb>ipse vicissim poenas luat? </s><s>Atqui consentaneum erat, vir prudens cùm <lb></lb>sit, ut meminisset hujus praecipti, quod qui dedit, is procul dubio fuit <lb></lb>ad unguem factus homo; videlicet, </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Qui, ne tuberibus propriis offendat amicum <lb></lb>Postulat, ignoscat verrucis illius.<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb>Equidem, inter plurimas hujusce tam acris styli causas, haec nobis <lb></lb>videtur probabilior, quod tu, Vir Clarissime, spatium Mathematicum <lb></lb>ingressus, seu fato seu sponte, viam a nostris jam ante plures annos <lb></lb>tritam inieris, a qua huc usque parum deflexeris; unde non mirum est <lb></lb>si in easdem stationes, littora, portus, fluvios, & regiones incidas, quibus <lb></lb>illi dudum detectis nomina indiderunt, eaque omnia in chartas intule<lb></lb>runt: ipse autem, cùm illa a te primùm detecta existimes, fit ut postea <lb></lb>indigneris si quis contrarium asseruerit, atque id quod verum est can<lb></lb>didè enarraverit. </s><s>Memineris ergo spatium illud infinities infinitè infi<lb></lb>nitum esse, idemque solidum, immo etiam plusquam solidum, tibi verò <lb></lb>nec pedes, nec pennas, nec alas deesse: deflectas ergo paululum vel <lb></lb>ad dextram, vel ad sinistram, vel suprà vel infrà: curre, nata, vel etiam <lb></lb>vola: haec enim potes omnia, quae sanè </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>pauci, quos aequus amavit <lb></lb>Iupiter, aut ardens evexit ad aethera virtus, <lb></lb>potuere;<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb>sic enim fiet, ut, quod non semel, immo pluries jam praestitisti, & novas <lb></lb>regiones detegas, & viros doctos non solùm adeo feliciter imiteris, quan<lb></lb>quam nec ipsum laude caret; sed, quod multò laudabilius est, teipsum <lb></lb>viris doctis praebeas imitandum. </s></p> <p type="main"> <s>Huc usque pro nobis plura diximus: nunc pro divino Archimede <lb></lb>pauca liceat. </s><s>Bis, ut tua excuses, tantum virum in discrimen adducis, <lb></lb>Vir Clarissime; semel pro libris tuis de motu projectorum; iterum autem, <lb></lb>pro illâ tuâ minimè verâ ratione solidi trochoidis circa axem, ad suum <lb></lb>cylindrum ut 11 ad 18. Ac primùm quidem, pro libris de motu proje<lb></lb>ctorum haec ais: <emph type="italics"></emph>Archimedes supposuit olim projecta, non per parabolas <lb></lb>sed per lineas spirales suas procedere.<emph.end type="italics"></emph.end> Hanc Archimedis suppositionem <lb></lb>nullibi videre licuit in ejus operibus: commentarios autem, forsan, non <lb></lb>omnes legi; sed nec corum authoribus licuit tanto viro absurdas <pb pagenum="505"></pb>ejusmodi suppositiones affingere. </s><s>Deinde, pro excusando vestro illo <lb></lb>fictitio trochoidis solido, haec scribis ad R. P. Mersennum: <emph type="italics"></emph>Habemus <lb></lb>apud Archimedem, prop. 2. de circuli dimensione, circulum ad quadra<lb></lb>tum diametri esse ut 11 ad 14: quaero ad ipso (Robervallio, supple) <lb></lb>undenam putet me habuisse rationem quam ad numeros 11 & 17 redu<lb></lb>cebam?<emph.end type="italics"></emph.end> Quae post verba illa sequitur linea, solitam totius epistolae <lb></lb>redolet acerbitatem. </s><s>Equidem Archimedes haec habet: at non dissimu<lb></lb>lavit statim (nempe propositione tertia, quae manifestò lemma est ad <lb></lb>illam secundum) talem rationem 11 ad 14 non esse accuratam, sed <lb></lb>tantùm verae proximam: apud vos autem nihil tale habetur; sed ve<lb></lb>stram illam rationem 11 ad 18 tanquam accuratam proposuistis, ex <lb></lb>invento priùs centro tanquam accurato deductam: immo, illam pro <lb></lb>accurata exceperunt quicunque existimaverunt vos adeo candidos esse, <lb></lb>ut nefas existimaretis ea enuntiare quae vera non essent. </s><s>Enimvero, <lb></lb>Vir Clarissime, plerique ex nostris vix persuaderi potuissent, Torri<lb></lb>cellium nobilem adeo Geometram, aliquid purè Geometricum sine de<lb></lb>monstratione affirmare voluisse. </s><s>Sed nec illa vestra ratio 11 ad 18 <lb></lb>ex terminis vero proximis ab Archimede assignatis pro circuli dimen<lb></lb>sione deducta est, cùm eadem extra ipsos terminos longè evagetur; <lb></lb>unde non video quid vobis hîc proficiat Archimedis authoritas, praeci<lb></lb>puè in materia purè Geometrica, ubi pro errore accipitur quidquid <lb></lb>accuratè verum non est, quantumcumque illud ad verum proximè acce<lb></lb>dere deprehendatur. </s></p> <p type="main"> <s>Hîc fieri posse video, ut aliquis hujusce nostrae epistolae stylum <lb></lb>ideo carpat, quòd ille nec amico, nec adversario convenire videatur; <lb></lb>utpote qui pro amico, acrior, pro adversario contrà, lenior quàm par <lb></lb>sit adpareat. </s><s>Equidem, Clarissimum Torricellium adversarium habere <lb></lb>absit ut unquam optaverim; adversarius sanè illi ego ero nunquam, <lb></lb>nisi ipse prior talem me effecerit. </s><s>Quòd autem amicum & cupierim & <lb></lb>adhuc cupiam, argumentum certissimum est, quòd prior amaverim, ac <lb></lb>nomen ejus celebre per Galliam, quàm maximè potuit, reddiderim. </s><s>Sic<lb></lb>cine ergo (urgebit censor) cum amicis tuis te gerere solitus es? </s><s>Pri<lb></lb>mùm quidem, apologiam contra acerbam ipsius accusationem mihi de<lb></lb>bui; deinde metui (fateor) ne ipse quem summopere amicum mihi cupio, <lb></lb>ex illis esset qui aliena veluti perspicillis cavis respiciunt; sua, con<lb></lb>vexis aut iis forsan quae plurimis faciebus distinguuntur, unde fit ut <lb></lb>iidem aliena contractiora, sua verò ampliora aut numerosiora, aut etiam <lb></lb>pulchris coloribus ornatiora quàm sint revera videre videantur. </s><s>Itaque <lb></lb>admonere eum volui officiosè, ut amorem proprium alieno temperaret. </s><s><lb></lb>Ac, ne ad excitandum duriusculus haberetur, stylum adhibui utcunque <lb></lb>acutum & mordacem: sic enim fore speravi ut sapiens cùm sit, se ab <lb></lb>amante pungi sentiret, atque ita ad redamandum acriùs incitaretur. </s><s><lb></lb>Quanquam autem tot paginas minimè inutiles fore spero, doleo tamen <lb></lb>quòd illas in tractando ejusmodi ingrato ac planè taedioso argumento <lb></lb>insumere oportuerit; cùm alia ferè innumera longè suaviora, ac viris <lb></lb>doctis, ut puto, acceptiora, cùm ex nobis, tùm ex nostris habeamus; <lb></lb>qualia sunt quae sequuntur. </s><s>Circa analysim quidem, de aequationum <pb pagenum="506"></pb>recognitione, & emendatione, novâ prorsus methodo, de earundem de<lb></lb>terminatione ac de ipsarum per locos proprios resolutione, atque com<lb></lb>positione. </s><s>Circa Geometriam, de locis planis, solidis, atque ad superfi<lb></lb>ciem; ubi in specie, restituta habemus loca solida ad tres & quatuor <lb></lb>lineas: de cylindris, & conis isoperimetris, cùm demptâ base, tum ad<lb></lb>ditâ: de iisdem sphaerae inscriptis, & circumscriptis, seu spatiorum so<lb></lb>lidorum, seu etiam superficierum tantum habeatur ratio; ubi mirabere <lb></lb>forsan quâ ratione a nobis concludi potuerit, positâ sphaerae diametro <lb></lb>32 partium, axem coni inscripti cujus superficies comprehensa base sit <lb></lb>maxima, essè hanc apotomen 23 —— √17; si sphaerae superficies <lb></lb>uno, duobusve, vel tribus aut pluribus circulis, in quotcunque & quas<lb></lb>cumque portiones secta sit, quamcunque ex illis portionibus cum alia <lb></lb>ac cum tota comparamus, ac uniuscujusque centrum gravitatis assi<lb></lb>gnamus. </s><s>Circa cylindricas & conicas superficies scalenas, tum etiam <lb></lb>circa rectas, mira habemus. </s><s>Inter illa perpende qualenam sit hoc pro<lb></lb>blema: Portionem superficiei cylindri recti exhibemus, quae superficiei <lb></lb>datae cylindri scaleni sit aequalis. </s><s>Sed & istud: Dato quadrato, aequa<lb></lb>lem damus cylindricae superficiei portionem, idque absolutè, nullâ sup<lb></lb>positâ circuli quadraturâ, & exclusis cylindri basibus. </s><s>Problemata atque <lb></lb>theoremata innumera habemus soluta, cùm circa conicas sectiones, tùm <lb></lb>circa alia fere omnia Geometriae huc usque notae tam teoreticae quàm <lb></lb>praticae capita. </s><s>Circa Arithmeticam, Musicam, Opticam, Astronomiam, <lb></lb>Gnomonicam, & Geographiam. </s></p> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph><emph type="italics"></emph>Plura quidem feci, quam quae comprehendere dictis <lb></lb>In promptu mihi sit;<emph.end type="italics"></emph.end><emph.end type="center"></emph.end><lb></lb>sed illa omnia vulgaria aestimo. </s><s>Attamen, die quibus in terris Luna <lb></lb>minori spatio quàm 24 horarum nostrarum communium, bis oriatur, <lb></lb>aut bis occidat ejusdem horizontis respectu. </s><s>Facile quidem theorema, <lb></lb>sed quod primâ fronte impossibile multis videatur. </s><s>At Mechanicam a <lb></lb>fundamentis ad fastigium novam extruximus, rejectis omnibus, praeter <lb></lb>paucos admodum, antiquis lapidibus quibus illa constabat; ita ut nunc <lb></lb>octo contignationibus, hoc est totidem libris, absolvatur. </s><s>Primus est <lb></lb>de centro virtutis potentiarum in universum, an detur tale centrum, <lb></lb>& quibus potentiis conveniat, quibus verò minimè; secundus de libra, <lb></lb>ubi de aequiponderantibus; tertius de centro virtutis potentiarum in <lb></lb>specie; quartus de fune mira continet; quintus de istrumentis & ma<lb></lb>chinis; sextus de potentiis quae in diversis mediis agunt; septimus de <lb></lb>motibus compositis; octavus denique, de centro percussionis potentia<lb></lb>rum mobilium. </s><s>In his omnibus nulla admitto nova postulata, sed tan<lb></lb>tùm ea quae vulgò recepta sunt apud Authores: quòd sanè exequi, <lb></lb>quàm non facile opus sit, testes sunt quotquot huc usque de gravibus <lb></lb>super planis inclinatis existentibus egerunt; inter quos & ipse haberis, <lb></lb>Vir Clarissime, qui propositione prima libri primi de motu gravium <lb></lb>descendentium, ad id demonstrandum novo postulato usus es, quod <lb></lb>quivis non facilè concesserit, quia pondera quae proponis, non librâ <lb></lb>rigidâ & rectâ, ut fieri solet, sed fune molli ac perfectè plicabili invi- <pb pagenum="507"></pb>cem alligantur. </s><s>Nos autem ad hoc, librá utimur modo usitato dispositâ, <lb></lb>cujus beneficio propositionem illam non aliter demonstramus, quàm <lb></lb>aut vectem aut axem in peritrochio: eam autem jam ante quindecim <lb></lb>annos invenimus, atque anno 1636 tanquam Mechanicae nostrae pro<lb></lb>dromum, praelo commisimus atque vulgavimus, sed Gallico idiomate. </s><s><lb></lb>Neque etiam cum tantùm casum consideravimus qui solus ab omnibus <lb></lb>attenditur; cùm scilicet potentia pondus in plano inclinato positum <lb></lb>retinens, agit per lineam directionis ipsi plano parallelam; sed & <lb></lb>dum eadem linea directionis aliam quamcunque positionem obtinuerit: <lb></lb>quo pacto, ratio ponderis ad potentiam infinitè mutatur. </s><s>Ibi autem <lb></lb>quiddam demonstravimus quod multis omnino paradoxum visum est; <lb></lb>nempe, si intelligatur praelum aliquod duobus planis parallelis per<lb></lb>fectè rigidis constans, quod ita disponatur ut ejus plana horizonti non <lb></lb>sint parallela: tunc, quantâcumque potentiâ prematur praelum illud, <lb></lb>planis semper perfectè planis ac parallelis inter se remanentibus, illa <lb></lb>nullum pondus inter se retinebunt; sed illud pondus propriâ gravitate <lb></lb>statim labetur inter ipsa plana, atque idem a praelo sese liberabit, <lb></lb>nisi aliunde retineatur. </s><s>Haec quidem ad quintum nostrum librum per<lb></lb>tinent. </s><s>Libet autem ex quarto quoque haec addere. </s><s>Si tres potentiae <lb></lb>totidem funibus ad communem nodum religatis agentes, (nodus est <lb></lb>quodvis punctum in fune) aequilibrium constituant: tunc describi po<lb></lb>terit triangulum cujus centrum gravitatis sit nodus ipse, tres autem <lb></lb>anguli ad tria funium puncta alicubi terminentur (infinita quidem de<lb></lb>scriberentur triangula, sed omnia similia) erunt autem tunc tres po<lb></lb>tentiae in eadem ratione cum tribus rectis a centro trianguli ad tres <lb></lb>angulos terminati; ita ut quaelibet potentia homologa sit ei rectae <lb></lb>quae in fune ipsius existit. </s><s>Si quatuor potentiae non existentes in eo<lb></lb>dem plano, totidem funibus ad communem nodum religatis agentes, <lb></lb>aequilibrium constituant: tunc quod suprà de triangulo dictum est, <lb></lb>de quadam pyramide tetragona verum erit. </s><s>Hinc aliud paradoxum, <lb></lb>funis horizonti minimè perpendicularis quantâ vi tendatur, si perfectè <lb></lb>plicabilis, nullo modo autem rigidus ex se existat, imposito quocunque <lb></lb>vel minimo pondere, aut si ipse ex se gravis esse intelligatur, flectetur <lb></lb>necessariò vel rumpetur, nec viribus ullis fieri poterit ut rectus evadat. </s><s><lb></lb>Similiter, tres vel quotcunque funes ad communem nodum religati, <lb></lb>totidem potentiis in eodem plano existentibus, quod planum horizonti <lb></lb>non sit perpendiculare, quibuscunque viribus tendantur; imposito quo<lb></lb>cunque vel minimo pondere, vel si ipsi funes per se graves esse intel<lb></lb>ligantur, nunquam tamen poterunt eò adduci ut in eodem plano con<lb></lb>sistant. </s><s>Tandem etiam, ex octavo libro illud habebis: Omnis sectoris <lb></lb>circuli semicirculo non majoris circa centrum circuli circumvoluti, exi<lb></lb>stente axe motus ad planum ejusdem circuli sive sectoris, perpendicu<lb></lb>lari, centrum percussionis sive impetus in recta angulum sectoris bi<lb></lb>fariam dividente quaesitum, sic reperietur: Ut chorda arcus sectoris <lb></lb>ad ipsum arcum, ita tres quadrantes semidiametri circuli ad rectam <lb></lb>inter ipsius circuli centrum, & centrum percussionis sectoris interceptam. </s><s><lb></lb>Ex tali centro quod extra sectorem aliquando existet, si impetus se- <pb pagenum="508"></pb>ctoris eo modo moti quo dictum est, excipiatur, productâ ad id recta <lb></lb>angulum bifariam dividente, si centrum illud extra sectorem excurrerit, <lb></lb>erit impetus ille maximus omnium qui ex quovis puncto in eadem recta <lb></lb>existente excipi possunt. </s></p> <p type="main"> <s>De his & aliis agemus in posterum, si ita tibi placuerit, Vir Cla<lb></lb>rissime, postquam litibus valere jussis, solidam inierimus amicitiam, <lb></lb>quam, ut spero, non recusabis. </s><s>Illius autem leges, quòd ad litterarum <lb></lb>commercium attinet, tales sunto. </s><s>Nihil tentandi gratiâ scribam. </s><s>Quic<lb></lb>quid scripsero, nisi de eo dubitare me, aut illud quaerere scripsero, <lb></lb>verum existimasse censear. </s><s>Quoties per otium licuerit alicujus enun<lb></lb>tiati demonstrationem mittere, mittam: nisi misero, si cupias, quàm <lb></lb>citò mittere tenear. </s><s>His legibus, si quid addere, aut detrahere; immo, <lb></lb>si ipsas prorsus tollere, & alias ferre voles, licet. </s><s>Memineris tamen, <lb></lb>quaestionibus agere tentandi gratiâ, odiosum esse atque amico indi<lb></lb>gnum; neque enim omnia possumus omnes: tum etiam amicum dele<lb></lb>ctare oportet, non torquere. </s><s>Haec si observaverimus, tunc procul dubio, <lb></lb>& durabit amicitia; & dum uterque nostrûm vicissim & reciprocè do<lb></lb>cebit & docebitur, uterque amborum scientiam, salvâ tamen inventoris <lb></lb>laude, possidebit. — <emph type="italics"></emph>Finis.<emph.end type="italics"></emph.end></s></p> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>FINE DEL CARTEGGIO SCIENTIFICO.<emph.end type="center"></emph.end></foreign></s> </p> <pb></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>INDICI <lb></lb>CRONOLOGICO ED ALFABETICO <lb></lb>DEL CARTEGGIO.<emph.end type="center"></emph.end></s></p> <pb></pb> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>INDICE CRONOLOGICO <lb></lb>DEL CARTEGGIO<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> </s></p> <pb></pb> <table> <row><cell><emph type="bold"></emph>1632.<emph.end type="bold"></emph.end></cell></row> <row><cell>1.</cell><cell><emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> a G. Galilei . . . . . . . .</cell><cell>11</cell><cell>settembre . . .</cell><cell>Pag.</cell><cell>35</cell></row> <row><cell><emph type="bold"></emph>1640.<emph.end type="bold"></emph.end></cell></row> <row><cell>2.</cell><cell><emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> a R. Magiotti . . . . . . .</cell><cell>8</cell><cell>gennaio . . . .</cell><cell>”</cell><cell>37</cell></row> <row><cell>3.</cell><cell>” B. Castelli . . . . . . . .</cell><cell>11</cell><cell>giugno . . . .</cell><cell>”</cell><cell>40</cell></row> <row><cell><emph type="bold"></emph>1641.<emph.end type="bold"></emph.end></cell></row> <row><cell>4.</cell><cell><emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> a R. Magiotti . . . . . . .</cell><cell>5</cell><cell>gennaio . . .</cell><cell>”</cell><cell>43</cell></row> <row><cell>5.</cell><cell>B. Castelli a G. Galilei . . . . .</cell><cell>2</cell><cell>marzo . . . .</cell><cell>”</cell><cell>46</cell></row> <row><cell>6.</cell><cell>B. Cavalieri a <emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> . . . . . . .</cell><cell>14</cell><cell> ” . . . .</cell><cell>”</cell><cell>47</cell></row> <row><cell>7.</cell><cell><emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> a G. Galilei . . . . . . . .</cell><cell>15</cell><cell> ” . . . .</cell><cell>”</cell><cell>48</cell></row> <row><cell>8.</cell><cell>” ” . . . . . . . .</cell><cell>27</cell><cell>aprile . . . .</cell><cell>”</cell><cell>49</cell></row> <row><cell>9.</cell><cell>” ” . . . . . . . .</cell><cell>1</cell><cell>giugno . . . .</cell><cell>”</cell><cell>51</cell></row> <row><cell>10.</cell><cell>B. Cavalieri a <emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> . . . . . . .</cell><cell>15</cell><cell> ” . . . .</cell><cell>”</cell><cell>53</cell></row> <row><cell>11.</cell><cell><emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> a G. Galilei . . . . . . .</cell><cell>29</cell><cell> ” . . . .</cell><cell>”</cell><cell>55</cell></row> <row><cell>12.</cell><cell>B. Cavalieri a <emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> . . . . . . .</cell><cell>10</cell><cell>luglio . . . .</cell><cell>”</cell><cell>56</cell></row> <row><cell>13.</cell><cell><emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> a G. Galilei . . . . . . . .</cell><cell>17</cell><cell>agosto . . . .</cell><cell>”</cell><cell>58</cell></row> <row><cell>14.</cell><cell>B. Cavalieri a G. Galilei . . . .</cell><cell>20</cell><cell> ” . . . .</cell><cell>”</cell><cell>59</cell></row> <row><cell>15.</cell><cell>G. Galilei a <emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> . . . . . . . .</cell><cell>27</cell><cell>settembre . . .</cell><cell>”</cell><cell>60</cell></row> <row><cell>16.</cell><cell><emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> a G. Galilei . . . . . . . .</cell><cell>28</cell><cell> ” . . .</cell><cell>”</cell><cell>61</cell></row> <row><cell>17.</cell><cell>B. Cavalieri a <emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> . . . . . . .</cell><cell>30</cell><cell>ottobre . . . .</cell><cell>”</cell><cell>62</cell></row> <row><cell>18.</cell><cell>F. Micanzio a G. Galilei . . . .</cell><cell>2</cell><cell>novembre . . .</cell><cell>”</cell><cell>63</cell></row> <row><cell>19.</cell><cell>B. Castelli a <emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> . . . . . . . .</cell><cell>9</cell><cell> ” . . .</cell><cell>”</cell><cell>64</cell></row> <row><cell>20.</cell><cell>B. Cavalieri a <emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> . . . . . . .</cell><cell>17</cell><cell>dicembre . . .</cell><cell>”</cell><cell>65</cell></row> <pb pagenum="512"></pb> <row><cell><emph type="bold"></emph>1642.<emph.end type="bold"></emph.end></cell></row> <row><cell>21.</cell><cell>B. Cavalieri a <emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> . . . . . . .</cell><cell>7</cell><cell>gennaio . . . .</cell><cell>Pag.</cell><cell>66</cell></row> <row><cell>22.</cell><cell><emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> a [. . . .] . . . . . . . .</cell><cell>3</cell><cell>febbraio . . .</cell><cell>”</cell><cell>67</cell></row> <row><cell>23.</cell><cell>” [. . . .] . . . . . . . .</cell><cell></cell><cell> ” . . .</cell><cell>”</cell><cell>69</cell></row> <row><cell>24.</cell><cell>” M. A. Ricci . . . . . . .</cell><cell>7</cell><cell>marzo . . . .</cell><cell>”</cell><cell>70</cell></row> <row><cell>25.</cell><cell>B. Cavalieri a <emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> . . . . . . .</cell><cell>25</cell><cell> ” . . . .</cell><cell>”</cell><cell>71</cell></row> <row><cell>26.</cell><cell> ” ” . . . . . . .</cell><cell>1</cell><cell>luglio . . . .</cell><cell>”</cell><cell>72</cell></row> <row><cell>27.</cell><cell> ” ” . . . . . . .</cell><cell>14</cell><cell> ” . . . .</cell><cell>”</cell><cell>72</cell></row> <row><cell>28.</cell><cell>R. Magiotti a <emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> . . . . . . .</cell><cell>19</cell><cell> ” . . . .</cell><cell>”</cell><cell>75</cell></row> <row><cell>29.</cell><cell>B. Cavalieri a <emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> . . . . . . .</cell><cell>21</cell><cell>ottobre . . . .</cell><cell>”</cell><cell>78</cell></row> <row><cell>30.</cell><cell><emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> a B. Cavalieri . . . . . . .</cell><cell>25</cell><cell> ” . . . .</cell><cell>”</cell><cell>79</cell></row> <row><cell>31.</cell><cell>B. Cavalieri a <emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> . . . . . . .</cell><cell>29</cell><cell> ” . . . .</cell><cell>”</cell><cell>82</cell></row> <row><cell>32.</cell><cell> ” a <emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> . . . . . . .</cell><cell>23</cell><cell>dicembre . . .</cell><cell>”</cell><cell>85</cell></row> <row><cell>33.</cell><cell> ” a G. A. Rocca . . .</cell><cell>28</cell><cell> ” . . .</cell><cell>”</cell><cell>87</cell></row> <row><cell>34.</cell><cell> ” a <emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> . . . . . . .</cell><cell>29</cell><cell> ” . . .</cell><cell>”</cell><cell>90</cell></row> <row><cell><emph type="bold"></emph>1643.<emph.end type="bold"></emph.end></cell></row> <row><cell>35.</cell><cell><emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> a M. A. Ricci . . . . . . .</cell><cell>2</cell><cell>gennaio . . .</cell><cell>”</cell><cell>91</cell></row> <row><cell>36.</cell><cell>B. Cavalieri a <emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> . . . . . . .</cell><cell>13</cell><cell> ” . . .</cell><cell>”</cell><cell>93</cell></row> <row><cell>37.</cell><cell>M. A. Ricci a <emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> . . . . . . .</cell><cell>16</cell><cell> ” . . .</cell><cell>”</cell><cell>96</cell></row> <row><cell>38.</cell><cell><emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> a M. A. Ricci . . . . . . .</cell><cell>20</cell><cell> ” . . .</cell><cell>”</cell><cell>99</cell></row> <row><cell>39.</cell><cell>B. Cavalieri a <emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> . . . . . . .</cell><cell>3</cell><cell>febbraio . . .</cell><cell>”</cell><cell>101</cell></row> <row><cell>40.</cell><cell><emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> a R. Magiotti . . . . . . .</cell><cell>14</cell><cell> ” . . .</cell><cell>”</cell><cell>102</cell></row> <row><cell>41.</cell><cell>” B. Cavalieri . . . . . . .</cell><cell>21</cell><cell> ” . . .</cell><cell>”</cell><cell>104</cell></row> <row><cell>42.</cell><cell>” M. A. Ricci . . . . . . .</cell><cell>27</cell><cell> ” . . .</cell><cell>”</cell><cell>106</cell></row> <row><cell>43.</cell><cell>” B. Cavalieri . . . . . . .</cell><cell>28</cell><cell> ” . . .</cell><cell>”</cell><cell>107</cell></row> <row><cell>44.</cell><cell>” R. Magiotti . . . . . . .</cell><cell>28</cell><cell> ” . . .</cell><cell>”</cell><cell>109</cell></row> <row><cell>45.</cell><cell>B. Cavalieri a <emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> . . . . . . .</cell><cell>3</cell><cell>marzo . . . .</cell><cell>”</cell><cell>111</cell></row> <row><cell>46.</cell><cell><emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> a B. Cavalieri . . . . . . .</cell><cell>7</cell><cell> ” . . . .</cell><cell>”</cell><cell>112</cell></row> <row><cell>47.</cell><cell>B. Cavalieri a <emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> . . . . . . .</cell><cell>10</cell><cell> ” . . . .</cell><cell>”</cell><cell>114</cell></row> <row><cell>48.</cell><cell> ” ” . . . . . . .</cell><cell>24</cell><cell> ” . . . .</cell><cell>”</cell><cell>116</cell></row> <row><cell>49.</cell><cell><emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> a B. Cavalieri . . . . . . .</cell><cell>28</cell><cell> ” . . . .</cell><cell>”</cell><cell>117</cell></row> <row><cell>50.</cell><cell>B. Cavalieri a <emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> . . . . . . .</cell><cell>31</cell><cell> ” . . . .</cell><cell>”</cell><cell>119</cell></row> <row><cell>51.</cell><cell><emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> a B. Cavalieri . . . . . . .</cell><cell>4</cell><cell>aprile . . . .</cell><cell>”</cell><cell>120</cell></row> <row><cell>52.</cell><cell>B. Cavalieri a <emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> . . . . . . .</cell><cell>23</cell><cell> ” . . . .</cell><cell>”</cell><cell>121</cell></row> <row><cell>53.</cell><cell> ” ” . . . . . . .</cell><cell>12</cell><cell>maggio . . . .</cell><cell>”</cell><cell>123</cell></row> <row><cell>54.</cell><cell><emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> a [. . . .] . . . . . . . . .</cell><cell>anteriore al luglio .</cell><cell>”</cell><cell>124</cell></row> <row><cell>55.</cell><cell>M. A. Ricci a <emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> . . . . . . .</cell><cell>18</cell><cell>luglio . . . .</cell><cell>”</cell><cell>131</cell></row> <row><cell>56.</cell><cell>G. P. de Roberval a M. Mersenne .</cell><cell>anteriore all'agosto</cell><cell>”</cell><cell>133</cell></row> <row><cell>57.</cell><cell>M. Mersenne a <emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> . . . . . . .</cell><cell>1</cell><cell>agosto . . . .</cell><cell>”</cell><cell>139</cell></row> <row><cell>58.</cell><cell><emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> a M. Mersenne . . . . . . .</cell><cell></cell><cell>settembre . . .</cell><cell>”</cell><cell>140</cell></row> <row><cell>59.</cell><cell>M. A. Ricci a <emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> . . . . . . .</cell><cell>12</cell><cell> ” . . .</cell><cell>”</cell><cell>141</cell></row> <row><cell>60.</cell><cell>B. Cavalieri a <emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> . . . . . . .</cell><cell>22</cell><cell> ” . . .</cell><cell>”</cell><cell>143</cell></row> <row><cell>61.</cell><cell><emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> a G. F. Niceron . . . . . .</cell><cell>1</cell><cell>ottobre . . . .</cell><cell>”</cell><cell>146</cell></row> <pb pagenum="513"></pb> <row><cell>62.</cell><cell><emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> a G. P. Roberval . . . . . .</cell><cell>1</cell><cell>ottobre . . . .</cell><cell>Pag.</cell><cell>147</cell></row> <row><cell>63.</cell><cell>” R. Magiotti . . . . . . .</cell><cell>4</cell><cell>dicembre . . .</cell><cell>”</cell><cell>150</cell></row> <row><cell>64.</cell><cell>B. Cavalieri a <emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> . . . . . .</cell><cell>22</cell><cell> ” . . .</cell><cell>”</cell><cell>157</cell></row> <row><cell>65.</cell><cell>M. Mersenne a <emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> . . . . . .</cell><cell>25</cell><cell> ” . . .</cell><cell>”</cell><cell>158</cell></row> <row><cell><emph type="bold"></emph>1644.<emph.end type="bold"></emph.end></cell></row> <row><cell>66.</cell><cell>[. . . .] al G. D. Ferdinando II .</cell><cell>4</cell><cell>gennaio . . . .</cell><cell>”</cell><cell>159</cell></row> <row><cell>67.</cell><cell>B. Cavalieri a <emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> . . . . . . .</cell><cell>8</cell><cell> ” . . .</cell><cell>”</cell><cell>159</cell></row> <row><cell>68.</cell><cell>M. Mersenne ” . . . . . . .</cell><cell>13</cell><cell> “ . . .</cell><cell>”</cell><cell>161</cell></row> <row><cell>69.</cell><cell><emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> a M. A. Ricci . . . . . . .</cell><cell>23</cell><cell> ” . . .</cell><cell>”</cell><cell>163</cell></row> <row><cell>70.</cell><cell>” R. Magiotti . . . . . . .</cell><cell>6</cell><cell>febbraio . . .</cell><cell>”</cell><cell>165</cell></row> <row><cell>71.</cell><cell>” M. A. Ricci . . . . . . .</cell><cell>6</cell><cell> ” . . .</cell><cell>”</cell><cell>166</cell></row> <row><cell>72.</cell><cell>B. Cavalieri a <emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> . . . . . . .</cell><cell>16</cell><cell> ” . . .</cell><cell>”</cell><cell>167</cell></row> <row><cell>73.</cell><cell> ” ” . . . . . . .</cell><cell>15</cell><cell>marzo . . . .</cell><cell>”</cell><cell>169</cell></row> <row><cell>74.</cell><cell> ” ” . . . . . . .</cell><cell>5</cell><cell>aprile . . . .</cell><cell>”</cell><cell>170</cell></row> <row><cell>75.</cell><cell>F. du Verdus a <emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> . . . . . .</cell><cell>30</cell><cell> “ . . . .</cell><cell>”</cell><cell>172</cell></row> <row><cell>76.</cell><cell><emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> a M. Mersenne . . . . . . .</cell><cell>1</cell><cell>maggio . . . .</cell><cell>”</cell><cell>173</cell></row> <row><cell>77.</cell><cell>B. Cavalieri a <emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> . . . . . .</cell><cell>7</cell><cell> ” . . .</cell><cell>”</cell><cell>179</cell></row> <row><cell>78.</cell><cell>F. du Verdus a <emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> . . . . . .</cell><cell>21</cell><cell> ” . . .</cell><cell>”</cell><cell>181</cell></row> <row><cell>79.</cell><cell> ” ” . . . . . .</cell><cell>3</cell><cell>giugno . . . .</cell><cell>”</cell><cell>184</cell></row> <row><cell>80.</cell><cell>T. a M. A. Ricci . . . . . . .</cell><cell>11</cell><cell> ” . . . .</cell><cell>”</cell><cell>186</cell></row> <row><cell>81.</cell><cell>M. A. Ricci a <emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> . . . . . . .</cell><cell>11</cell><cell> ” . . . .</cell><cell>”</cell><cell>189</cell></row> <row><cell>82.</cell><cell>B. Cavalieri ” . . . . . . .</cell><cell>15</cell><cell> ” . . . .</cell><cell>”</cell><cell>191</cell></row> <row><cell>83.</cell><cell>M. A. Ricci ” . . . . . . .</cell><cell>18</cell><cell> ” . . . .</cell><cell>”</cell><cell>193</cell></row> <row><cell>84.</cell><cell>M. Mersenne ” . . . . . . .</cell><cell>24</cell><cell> ” . . . .</cell><cell>”</cell><cell>195</cell></row> <row><cell>85.</cell><cell><emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> a M. A. Ricci . . . . . . .</cell><cell>28</cell><cell> ” . . . .</cell><cell>”</cell><cell>198</cell></row> <row><cell>86.</cell><cell>” M. Mersenne . . . . . .</cell><cell></cell><cell>luglio . . . .</cell><cell>”</cell><cell>202</cell></row> <row><cell>87.</cell><cell>” R. Magiotti . . . . . . .</cell><cell></cell><cell> ” . . . .</cell><cell>”</cell><cell>204</cell></row> <row><cell>88.</cell><cell>M. A. Ricci a <emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> . . . . . . .</cell><cell>2</cell><cell>luglio . . . .</cell><cell>”</cell><cell>206</cell></row> <row><cell>89.</cell><cell>F. du Verdus a <emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> . . . . . .</cell><cell>2</cell><cell> ” , . . .</cell><cell>”</cell><cell>208</cell></row> <row><cell>90.</cell><cell> ” ” . . . . . .</cell><cell>9</cell><cell> ” . . . .</cell><cell>”</cell><cell>210</cell></row> <row><cell>91.</cell><cell><emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> a M. A. Ricci . . . . . . .</cell><cell>10</cell><cell> ” . . . .</cell><cell>”</cell><cell>213</cell></row> <row><cell>92.</cell><cell>M. A. Ricci a <emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> . . . . . . .</cell><cell>16</cell><cell> ” . . . .</cell><cell>”</cell><cell>214</cell></row> <row><cell>93.</cell><cell>F. du Verdus ” . . . . . .</cell><cell>23</cell><cell> ” . . . .</cell><cell>”</cell><cell>217</cell></row> <row><cell>94.</cell><cell><emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> a M. A. Ricci . . . . . . .</cell><cell>12</cell><cell>agosto . . . .</cell><cell>”</cell><cell>218</cell></row> <row><cell>95.</cell><cell>M. A. Ricci a <emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> . . . . . . .</cell><cell>13</cell><cell> ” . . . .</cell><cell>”</cell><cell>220</cell></row> <row><cell>96.</cell><cell><emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> a M. A. Ricci . . . . . . .</cell><cell>27</cell><cell> ” . . . .</cell><cell>”</cell><cell>222</cell></row> <row><cell>97.</cell><cell>M. A. Ricci a <emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> . . . . . . .</cell><cell>3</cell><cell>settembre . . .</cell><cell>”</cell><cell>224</cell></row> <row><cell>98.</cell><cell> ” ” . . . . . . .</cell><cell>10</cell><cell> ” . . .</cell><cell>”</cell><cell>225</cell></row> <row><cell>99.</cell><cell>B. Cavalieri a <emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> . . . . . . .</cell><cell>13</cell><cell> ” . . .</cell><cell>”</cell><cell>226</cell></row> <row><cell>100.</cell><cell>M. A. Ricci a <emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> . . . . . . .</cell><cell>24</cell><cell> ” . . .</cell><cell>”</cell><cell>228</cell></row> <row><cell>101.</cell><cell> ” ” . . . . . . .</cell><cell>30</cell><cell> ” . . .</cell><cell>”</cell><cell>229</cell></row> <row><cell>102.</cell><cell>F. du Verdus a <emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> . . . . . .</cell><cell>9</cell><cell>ottobre . . . .</cell><cell>”</cell><cell>230</cell></row> <row><cell>103.</cell><cell>B. Cavalieri a <emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> . . . . . .</cell><cell>18</cell><cell> ” . . . .</cell><cell>”</cell><cell>231</cell></row> <row><cell>104.</cell><cell>M. A. Ricci a <emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> . . . . . . .</cell><cell>22</cell><cell> ” . . . .</cell><cell>”</cell><cell>232</cell></row> <row><cell>105.</cell><cell>B. Cavalieri a <emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> . . . . . .</cell><cell>25</cell><cell> ” . . . .</cell><cell>”</cell><cell>233</cell></row> <pb pagenum="514"></pb> <row><cell>106.</cell><cell>G. A. Rocca a <emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> . . . . . . .</cell><cell></cell><cell>ottobre-novembre.</cell><cell>Pag.</cell><cell>235</cell></row> <row><cell>107.</cell><cell><emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> a G. A. Rocca . . . . . . .</cell><cell>12</cell><cell>novembre . . .</cell><cell>”</cell><cell>236</cell></row> <row><cell>108.</cell><cell>B. Cavalieri a <emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> . . . . . . .</cell><cell>14</cell><cell> ” . . .</cell><cell>”</cell><cell>237</cell></row> <row><cell>109.</cell><cell>M. A. Ricci a <emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> . . . . . . .</cell><cell>19</cell><cell> ” . . .</cell><cell>”</cell><cell>238</cell></row> <row><cell>110.</cell><cell> ” ” . . . . . . .</cell><cell>9</cell><cell>dicembre . . .</cell><cell>”</cell><cell>240</cell></row> <row><cell>111.</cell><cell><emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> a M. A. Ricci . . . . . . .</cell><cell>17</cell><cell> ” . . .</cell><cell>”</cell><cell>242</cell></row> <row><cell>112.</cell><cell>M. A. Ricci a <emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> . . . . . . .</cell><cell>24</cell><cell> ” . . .</cell><cell>”</cell><cell>243</cell></row> <row><cell>113.</cell><cell>M. Mersenne a <emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> . . . . . .</cell><cell>25</cell><cell> ” . . .</cell><cell>”</cell><cell>245</cell></row> <row><cell>114.</cell><cell>M. A. Ricci a <emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> . . . . . . .</cell><cell>31</cell><cell> ” . . .</cell><cell>”</cell><cell>246</cell></row> <row><cell><emph type="bold"></emph>1645.<emph.end type="bold"></emph.end></cell></row> <row><cell>115.</cell><cell>M. A. Ricci a <emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> . . . . . . .</cell><cell>7</cell><cell>gennaio . . .</cell><cell>”</cell><cell>248</cell></row> <row><cell>116.</cell><cell>M. Mersenne a <emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> . . . . . .</cell><cell>10</cell><cell> ” . . .</cell><cell>”</cell><cell>249</cell></row> <row><cell>117.</cell><cell><emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> a M. Mersenne . . . . . .</cell><cell></cell><cell> ” . . .</cell><cell>”</cell><cell>252</cell></row> <row><cell>118.</cell><cell><emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> a M. A. Ricci . . . . . . .</cell><cell>17</cell><cell> ” . . .</cell><cell>”</cell><cell>256</cell></row> <row><cell>119.</cell><cell>M. A. Ricci a <emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> . . . . . . .</cell><cell>28</cell><cell> ” . . .</cell><cell>”</cell><cell>258</cell></row> <row><cell>120,</cell><cell><emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> a M. Mersenne . . . . . . .</cell><cell>fine gennaio . . .</cell><cell>”</cell><cell>262</cell></row> <row><cell>121.</cell><cell>M. A. Ricci a <emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> . . . . . . .</cell><cell>4</cell><cell>febbraio . . .</cell><cell>”</cell><cell>266</cell></row> <row><cell>122.</cell><cell>M. Mersenne a <emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> . . . . . .</cell><cell>4</cell><cell> ” . . .</cell><cell>”</cell><cell>268</cell></row> <row><cell>123.</cell><cell><emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> a M. A. Ricci . . . . . . .</cell><cell>6</cell><cell> ” . . .</cell><cell>”</cell><cell>271</cell></row> <row><cell>124.</cell><cell><emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> a M. Mersenne . . . . . .</cell><cell></cell><cell> ” . . .</cell><cell>”</cell><cell>273</cell></row> <row><cell>125.</cell><cell>M. Mersenne a <emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> . . . . . .</cell><cell></cell><cell> ” . . .</cell><cell>”</cell><cell>278</cell></row> <row><cell>126.</cell><cell><emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> a P. Carcavy . . . . . . .</cell><cell></cell><cell> ” . . .</cell><cell>”</cell><cell>279</cell></row> <row><cell>127.</cell><cell><emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> a M. A. Ricci . . . . . . .</cell><cell>11</cell><cell> ” . . .</cell><cell>”</cell><cell>281</cell></row> <row><cell>128.</cell><cell>M. A. Ricci a <emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> . . . . . . .</cell><cell>12</cell><cell> ” . . .</cell><cell>”</cell><cell>283</cell></row> <row><cell>129.</cell><cell> ” ” . . . . . . .</cell><cell>18</cell><cell> ” . . .</cell><cell>”</cell><cell>285</cell></row> <row><cell>130.</cell><cell> ” ” . . . . . . .</cell><cell>25</cell><cell> ” . . .</cell><cell>”</cell><cell>286</cell></row> <row><cell>131.</cell><cell><emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> a M. A. Ricci . . . . . . .</cell><cell>25</cell><cell> ” . . .</cell><cell>”</cell><cell>288</cell></row> <row><cell>132.</cell><cell>M. A. Ricci a <emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> . . . . . . .</cell><cell>26</cell><cell> ” . . .</cell><cell>”</cell><cell>289</cell></row> <row><cell>133.</cell><cell><emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> a M. Mersenne . . . . . .</cell><cell></cell><cell> ” . . .</cell><cell>”</cell><cell>291</cell></row> <row><cell>134.</cell><cell>M. Mersenne a <emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> . . . . . .</cell><cell></cell><cell> ” . . .</cell><cell>”</cell><cell>292</cell></row> <row><cell>135.</cell><cell><emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> a M. Mersenne . . . . . .</cell><cell></cell><cell> ” . . .</cell><cell>”</cell><cell>294</cell></row> <row><cell>136.</cell><cell>M. A. Ricci a <emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> . . . . . . .</cell><cell>5</cell><cell>marzo . . . .</cell><cell>”</cell><cell>297</cell></row> <row><cell>137.</cell><cell><emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> a M. A. Ricci . . . . . . .</cell><cell>11</cell><cell> ” . . . .</cell><cell>”</cell><cell>299</cell></row> <row><cell>138.</cell><cell>M. A. Ricci a <emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> . . . . . . .</cell><cell>12</cell><cell> ” . . . .</cell><cell>”</cell><cell>301</cell></row> <row><cell>139.</cell><cell>M. Mersenne a <emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> . . . . . .</cell><cell>15</cell><cell> ” . . . .</cell><cell>”</cell><cell>303</cell></row> <row><cell>140.</cell><cell>F. du Verdus a <emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> . . . . . .</cell><cell>15</cell><cell> ” . . . .</cell><cell>”</cell><cell>305</cell></row> <row><cell>141.</cell><cell>M. A. Ricci a <emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> . . . . . . .</cell><cell>19</cell><cell> ” . . . .</cell><cell>”</cell><cell>306</cell></row> <row><cell>142.</cell><cell> ” ” . . . . . . .</cell><cell>26</cell><cell> ” . . . .</cell><cell>”</cell><cell>307</cell></row> <row><cell>143.</cell><cell> ” ” . . . . . . .</cell><cell>2</cell><cell>aprile . . . .</cell><cell>”</cell><cell>310</cell></row> <row><cell>144.</cell><cell> ” ” . . . . . . .</cell><cell>9</cell><cell> ” . . . .</cell><cell>”</cell><cell>312</cell></row> <row><cell>145.</cell><cell>F. du Verdus a <emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> . . . . . .</cell><cell>15</cell><cell> ” . . . .</cell><cell>”</cell><cell>314</cell></row> <row><cell>146.</cell><cell>M. Mersenne a <emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> . . . . . .</cell><cell>28</cell><cell> ” . . . .</cell><cell>”</cell><cell>317</cell></row> <row><cell>147.</cell><cell>M. A. Ricci a <emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> . . . . . . .</cell><cell>30</cell><cell> ” . . . .</cell><cell>”</cell><cell>318</cell></row> <row><cell>148.</cell><cell>F. du Verdus a <emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> . . . . . .</cell><cell>19</cell><cell>maggio . . . .</cell><cell>”</cell><cell>320</cell></row> <row><cell>149.</cell><cell>B. Guerrini a <emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> . . . . . . .</cell><cell>25</cell><cell> ” . . . .</cell><cell>”</cell><cell>322</cell></row> <pb pagenum="515"></pb> <row><cell>150.</cell><cell>M. A. Ricci a <emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> . . . . . . .</cell><cell>18</cell><cell>giugno . . . .</cell><cell>Pag.</cell><cell>322</cell></row> <row><cell>151.</cell><cell> ” ” . . . . . . .</cell><cell>23</cell><cell> ” . . . .</cell><cell>”</cell><cell>324</cell></row> <row><cell>152.</cell><cell><emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> a M. Mersenne . . . . . .</cell><cell></cell><cell> ” . . . .</cell><cell>”</cell><cell>326</cell></row> <row><cell>153.</cell><cell>M. A. Ricci a <emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> . . . . . . .</cell><cell>8</cell><cell>luglio . . . .</cell><cell>”</cell><cell>329</cell></row> <row><cell>154.</cell><cell>B. Cavalieri a <emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> . . . . . . .</cell><cell>1</cell><cell>agosto . . . .</cell><cell>”</cell><cell>330</cell></row> <row><cell>155.</cell><cell> ” ” . . . . . . .</cell><cell>8</cell><cell> ” . . . .</cell><cell>”</cell><cell>332</cell></row> <row><cell>156.</cell><cell>M. A. Ricci a <emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> . . . . . . .</cell><cell>13</cell><cell> ” . . . .</cell><cell>”</cell><cell>334</cell></row> <row><cell>157.</cell><cell> ” ” . . . . . . .</cell><cell>20</cell><cell> ” . . . .</cell><cell>”</cell><cell>335</cell></row> <row><cell>158.</cell><cell> ” ” . . . . . . .</cell><cell>24</cell><cell>settembre . . .</cell><cell>”</cell><cell>338</cell></row> <row><cell>159.</cell><cell>M. Mersenne a <emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> . . . . . .</cell><cell>10</cell><cell>ottobre . . . .</cell><cell>”</cell><cell>340</cell></row> <row><cell>160.</cell><cell><emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> a M. A. Ricci . . . . . . .</cell><cell>2</cell><cell>dicembre . . .</cell><cell>”</cell><cell>342</cell></row> <row><cell>161.</cell><cell>M. A. Ricci a <emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> . . . . . . .</cell><cell></cell><cell> ” . . .</cell><cell>”</cell><cell>343</cell></row> <row><cell>162.</cell><cell>M. Mersenne a <emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> . . . . . .</cell><cell>13</cell><cell> ” . . .</cell><cell>”</cell><cell>345</cell></row> <row><cell>163.</cell><cell> ” ” . . . . . .</cell><cell></cell><cell> ” . . .</cell><cell>”</cell><cell>346</cell></row> <row><cell>164.</cell><cell>M. A. Ricci a <emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> . . . . . . .</cell><cell>16</cell><cell> ” . . .</cell><cell>”</cell><cell>348</cell></row> <row><cell><emph type="bold"></emph>1646.<emph.end type="bold"></emph.end></cell></row> <row><cell>165.</cell><cell>G. P. de Roberval a <emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> . . . .</cell><cell>1</cell><cell>gennaio . . . .</cell><cell>”</cell><cell>349</cell></row> <row><cell>166.</cell><cell><emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> a M. A. Ricci . . . . . . .</cell><cell>10</cell><cell>febbraio . . .</cell><cell>”</cell><cell>357</cell></row> <row><cell>167.</cell><cell><emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> a V. Renieri . . . . . . .</cell><cell>23</cell><cell> ” . . .</cell><cell>”</cell><cell>359</cell></row> <row><cell>168.</cell><cell><emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> a M. A. Ricci . . . . . . .</cell><cell>17</cell><cell>marzo . . . .</cell><cell>”</cell><cell>360</cell></row> <row><cell>169.</cell><cell><emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> a B. Cavalieri . . . . . . .</cell><cell>23</cell><cell> ” . . . .</cell><cell>”</cell><cell>363</cell></row> <row><cell>170.</cell><cell> ” ” . . . . . . .</cell><cell>7</cell><cell>aprile . . . .</cell><cell>”</cell><cell>365</cell></row> <row><cell>171.</cell><cell><emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> a M. A. Ricci . . . . . . .</cell><cell>7</cell><cell> ” . . . .</cell><cell>”</cell><cell>368</cell></row> <row><cell>172.</cell><cell><emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> a B. Cavalieri . . . . . .</cell><cell>21</cell><cell>e 28 aprile . .</cell><cell>”</cell><cell>370</cell></row> <row><cell>173.</cell><cell> ” ” . . . . . . .</cell><cell>5</cell><cell>maggio . . . .</cell><cell>”</cell><cell>373</cell></row> <row><cell>174.</cell><cell><emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> a M. A. Ricci . . . . . . .</cell><cell>28</cell><cell> ” . . . .</cell><cell>”</cell><cell>375</cell></row> <row><cell>175.</cell><cell><emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> a V. Renieri . . . . . . .</cell><cell>16</cell><cell>giugno . . . .</cell><cell>”</cell><cell>379</cell></row> <row><cell>176.</cell><cell><emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> a G. P. de Roberval . . . .</cell><cell>7</cell><cell>luglio . . . .</cell><cell>”</cell><cell>381</cell></row> <row><cell>177.</cell><cell> ” ” . . . . . .</cell><cell>7</cell><cell> ” . . . .</cell><cell>”</cell><cell>389</cell></row> <row><cell>178.</cell><cell>M. A. Ricci a <emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> . . . . . . .</cell><cell>7</cell><cell> ” . . . .</cell><cell>”</cell><cell>393</cell></row> <row><cell>179.</cell><cell><emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> a M. Mersenne . . . . . .</cell><cell>7</cell><cell> ” . . . .</cell><cell>”</cell><cell>399</cell></row> <row><cell>180.</cell><cell> ” ” . . . . . . .</cell><cell>7</cell><cell> ” . . . .</cell><cell>”</cell><cell>402</cell></row> <row><cell>181.</cell><cell><emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> a P. Carcavy . . . . . . .</cell><cell>8</cell><cell> ” . . . .</cell><cell>”</cell><cell>405</cell></row> <row><cell>182.</cell><cell><emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> a B. Cavalieri . . . . . . .</cell><cell>14</cell><cell> ” . . . .</cell><cell>”</cell><cell>408</cell></row> <row><cell>183.</cell><cell>M. Mersenne a <emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> . . . . . .</cell><cell>26</cell><cell>agosto . . . .</cell><cell>”</cell><cell>410</cell></row> <row><cell>184.</cell><cell> ” ” . . . . . .</cell><cell>15</cell><cell>settembre . . .</cell><cell>”</cell><cell>413</cell></row> <row><cell>185.</cell><cell>B. Cavalieri a G. A. Rocca . . .</cell><cell>17</cell><cell>ottobre . . . .</cell><cell>”</cell><cell>416</cell></row> <row><cell>186.</cell><cell>M. Mersenne a <emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> . . . . . .</cell><cell>6</cell><cell>novembre . . .</cell><cell>”</cell><cell>419</cell></row> <row><cell>187.</cell><cell><emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> a M. A. Ricci . . . . . . .</cell><cell>7</cell><cell> ” . . .</cell><cell>”</cell><cell>420</cell></row> <row><cell>188.</cell><cell><emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> a V. Renieri . . . . . . .</cell><cell>17</cell><cell> ” . . .</cell><cell>”</cell><cell>421</cell></row> <row><cell>189.</cell><cell> ” ” . . . . . . .</cell><cell>24</cell><cell> ” . . .</cell><cell>”</cell><cell>424</cell></row> <row><cell>190.</cell><cell> ” ” . . . . . . .</cell><cell>1</cell><cell>dicembre . . .</cell><cell>”</cell><cell>425</cell></row> <row><cell>191.</cell><cell> ” ” . . . . . . .</cell><cell>8</cell><cell> ” . . .</cell><cell>”</cell><cell>428</cell></row> <row><cell>192.</cell><cell>M. Mersenne a <emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> . . . . . .</cell><cell>8</cell><cell> ” . . .</cell><cell>”</cell><cell>432</cell></row> <pb pagenum="516"></pb> <row><cell><emph type="bold"></emph>1647.<emph.end type="bold"></emph.end></cell></row> <row><cell>193.</cell><cell><emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> a M. Mersenne . . . . . .</cell><cell>1</cell><cell>febbraio . . .</cell><cell>Pag.</cell><cell>433</cell></row> <row><cell>194.</cell><cell>M. Mersenne a <emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> . . . . . .</cell><cell>1</cell><cell>marzo . . . .</cell><cell>”</cell><cell>436</cell></row> <row><cell>195.</cell><cell><emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> a N. Zucchi . . . . . . . .</cell><cell>12</cell><cell> ” . . . .</cell><cell>”</cell><cell>439</cell></row> <row><cell>196.</cell><cell><emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> a V. Renieri . . . . . . .</cell><cell>14</cell><cell> ” . . . .</cell><cell>”</cell><cell>441</cell></row> <row><cell>197.</cell><cell> ” ” . . . . . . .</cell><cell>13</cell><cell>aprile . . . .</cell><cell>”</cell><cell>442</cell></row> <row><cell>198.</cell><cell> ” ” . . . . . . .</cell><cell>27</cell><cell> ” . . . .</cell><cell>”</cell><cell>443</cell></row> <row><cell>199.</cell><cell>M. A. Ricci a <emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> . . . . . . .</cell><cell>18</cell><cell>maggio . . . .</cell><cell>”</cell><cell>445</cell></row> <row><cell>200.</cell><cell><emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> a V. Renieri . . . . . . .</cell><cell>25</cell><cell> ” . . . .</cell><cell>”</cell><cell>447</cell></row> <row><cell>201.</cell><cell><emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> a M. A. Ricci . . . . . . .</cell><cell>29</cell><cell>giugno . . . .</cell><cell>”</cell><cell>449</cell></row> <row><cell>202.</cell><cell>M. A. Ricci a <emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> . . . . . . .</cell><cell>primi luglio . . .</cell><cell>”</cell><cell>452</cell></row> <row><cell>203.</cell><cell><emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> a M. A. Ricci . . . . . . .</cell><cell>20</cell><cell>luglio . . . .</cell><cell>”</cell><cell>453</cell></row> <row><cell>204.</cell><cell>B. de Monconis a <emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> . . . . .</cell><cell>20</cell><cell> ” . . . .</cell><cell>”</cell><cell>455</cell></row> <row><cell>205.</cell><cell>G. B. Renieri a <emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> . . . . . .</cell><cell>2</cell><cell>agosto . . . .</cell><cell>”</cell><cell>459</cell></row> <row><cell>206.</cell><cell><emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> a G. B. Renieri . . . . . .</cell><cell></cell><cell> ” . . . .</cell><cell>”</cell><cell>461</cell></row> <row><cell>207.</cell><cell><emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> a B. Cavalieri . . . . . . .</cell><cell>15</cell><cell> ” . . . .</cell><cell>”</cell><cell>466</cell></row> <row><cell>208.</cell><cell>G. B. Renieri a <emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> . . . . . .</cell><cell>24</cell><cell> ” . . . .</cell><cell>”</cell><cell>472</cell></row> <row><cell>209.</cell><cell><emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> a M. A. Ricci . . . . . . .</cell><cell>24</cell><cell> ” . . . .</cell><cell>”</cell><cell>473</cell></row> <row><cell>210.</cell><cell><emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> a B. Cavalieri . . . . . . .</cell><cell>31</cell><cell> ” . . . .</cell><cell>”</cell><cell>475</cell></row> <row><cell>211.</cell><cell><emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> a G. B. Renieri . . . . . .</cell><cell>primi settembre . .</cell><cell>”</cell><cell>478</cell></row> <row><cell>212.</cell><cell>M. A. Ricci a <emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> . . . . . . .</cell><cell>7</cell><cell>settembre . . .</cell><cell>”</cell><cell>481</cell></row> <row><cell>213.</cell><cell><emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> a B. Cavalieri . . . . . . .</cell><cell>21</cell><cell> ” . . .</cell><cell>”</cell><cell>483</cell></row> <row><cell>214.</cell><cell> ” ” . . . . . . . .</cell><cell>5</cell><cell>ottobre . . . .</cell><cell>”</cell><cell>485</cell></row> <row><cell>215.</cell><cell>G. P. de Roberval a <emph type="bold"></emph>T.<emph.end type="bold"></emph.end> . . . . . . . . . . . . . . .</cell><cell>”</cell><cell>487</cell></row></table> <p type="main"> <s><emph type="center"></emph>INDICE ALFABETICO <lb></lb>DEL CARTEGGIO<emph.end type="center"></emph.end><lb></lb> </s></p> <table> <row><cell>Cavalieri B.</cell><cell>a Torricelli E.</cell><cell>. . . . .</cell><cell>14</cell><cell>marzo</cell><cell>1641</cell><cell>.</cell><cell>Pag.</cell><cell>47</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . .</cell><cell>15</cell><cell>giugno</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>53</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . .</cell><cell>10</cell><cell>luglio</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>56</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>a Galilei G.</cell><cell>. . . . .</cell><cell>20</cell><cell>agosto</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>59</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>a Torricelli E.</cell><cell>. . . . .</cell><cell>30</cell><cell>ottobre</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>62</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . .</cell><cell>17</cell><cell>dicembre</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>65</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . .</cell><cell>7</cell><cell>gennaio</cell><cell>1642</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>66</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . .</cell><cell>25</cell><cell>marzo</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>71</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . .</cell><cell>1</cell><cell>luglio</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>72</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . .</cell><cell>14</cell><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>72</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . .</cell><cell>21</cell><cell>ottobre</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>78</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . .</cell><cell>29</cell><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>82</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . .</cell><cell>23</cell><cell>dicembre</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>85</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>a Rocca G. A.</cell><cell>. . . . .</cell><cell>28</cell><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>87</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>a Torricelli E.</cell><cell>. . . . .</cell><cell>29</cell><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>90</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . .</cell><cell>13</cell><cell>gennaio</cell><cell>1643</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>93</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . .</cell><cell>3</cell><cell>febbraio</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>101</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . .</cell><cell>3</cell><cell>marzo</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>111</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . .</cell><cell>10</cell><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>114</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . .</cell><cell>24</cell><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>116</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . .</cell><cell>31</cell><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>119</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . .</cell><cell>23</cell><cell>aprile</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>121</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . .</cell><cell>12</cell><cell>maggio</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>123</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . .</cell><cell>22</cell><cell>settembre</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>143</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . .</cell><cell>22</cell><cell>dicembre</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>157</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . .</cell><cell>8</cell><cell>gennaio</cell><cell>1644</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>159</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . .</cell><cell>16</cell><cell>febbraio</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>167</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . .</cell><cell>15</cell><cell>marzo</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>169</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . .</cell><cell>5</cell><cell>aprile</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>170</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . .</cell><cell>7</cell><cell>maggio</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>179</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . .</cell><cell>15</cell><cell>giugno</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>191</cell></row> <pb pagenum="518"></pb> <row><cell>Cavalieri B.</cell><cell>a Torricelli E.</cell><cell>. . . . .</cell><cell>13</cell><cell>settembre</cell><cell>1644</cell><cell>.</cell><cell>Pag.</cell><cell>226</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . .</cell><cell>18</cell><cell>ottobre</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>231</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . .</cell><cell>25</cell><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>233</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . .</cell><cell>14</cell><cell>novembre</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>237</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . .</cell><cell>1</cell><cell>agosto</cell><cell>1645</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>330</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . .</cell><cell>8</cell><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>332</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>a Rocca G. A.</cell><cell>. . . . .</cell><cell>17</cell><cell>ottobre</cell><cell>1646</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>416</cell></row> <row><cell>Castelli B.</cell><cell>a Galilei G.</cell><cell>. . . . . .</cell><cell>2</cell><cell>marzo</cell><cell>1641</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>46</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>a Torricelli E.</cell><cell>. . . . .</cell><cell>9</cell><cell>novembre</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>64</cell></row> <row><cell>Galilei G.</cell><cell>”</cell><cell>. . . . . .</cell><cell>27</cell><cell>settembre</cell><cell>1641</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>60</cell></row> <row><cell>Guerrini B.</cell><cell>”</cell><cell>. . . . . .</cell><cell>25</cell><cell>maggio</cell><cell>1645</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>322</cell></row> <row><cell>Magiotti R.</cell><cell>”</cell><cell>. . . . . .</cell><cell>19</cell><cell>luglio</cell><cell>1642</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>75</cell></row> <row><cell>Mersenne M.</cell><cell>”</cell><cell>. . . . . .</cell><cell>1</cell><cell>agosto</cell><cell>1643</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>139</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . . .</cell><cell>25</cell><cell>dicembre</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>158</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . . .</cell><cell>13</cell><cell>gennaio</cell><cell>1644</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>161</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . . .</cell><cell>24</cell><cell>giugno</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>195</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . . .</cell><cell>25</cell><cell>dicembre</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>245</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . . .</cell><cell>10</cell><cell>gennaio</cell><cell>1645</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>249</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . . .</cell><cell>4</cell><cell>febbraio</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>268</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . . .</cell><cell></cell><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>278</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . . .</cell><cell></cell><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>292</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . . .</cell><cell>15</cell><cell>marzo</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>303</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . . .</cell><cell>28</cell><cell>aprile</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>317</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . . .</cell><cell>10</cell><cell>ottobre</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>340</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . . .</cell><cell>13</cell><cell>dicembre</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>345</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . . .</cell><cell></cell><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>346</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . . .</cell><cell>26</cell><cell>agosto</cell><cell>1646</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>410</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . . .</cell><cell>15</cell><cell>settembre</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>413</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . . .</cell><cell>6</cell><cell>novembre</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>419</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . . .</cell><cell>8</cell><cell>dicembre</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>432</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . . .</cell><cell>1</cell><cell>marzo</cell><cell>1647</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>436</cell></row> <row><cell>Micanzio F.</cell><cell>a Galilei G.</cell><cell>. . . . . .</cell><cell>2</cell><cell>novembre</cell><cell>1641</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>63</cell></row> <row><cell>Monconis (de) B.</cell><cell>a Torricelli E.</cell><cell>. . .</cell><cell>20</cell><cell>luglio</cell><cell>1647</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>455</cell></row> <row><cell>Renieri G. B.</cell><cell>”</cell><cell>. . .</cell><cell>2</cell><cell>agosto</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>459</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . .</cell><cell>24</cell><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>472</cell></row> <row><cell>Ricci M. A.</cell><cell>”</cell><cell>. . .</cell><cell>16</cell><cell>gennaio</cell><cell>1643</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>96</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . .</cell><cell>18</cell><cell>luglio</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>131</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . .</cell><cell>12</cell><cell>settembre</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>141</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . .</cell><cell>11</cell><cell>giugno</cell><cell>1644</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>189</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . .</cell><cell>18</cell><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>193</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . .</cell><cell>2</cell><cell>luglio</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>206</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . .</cell><cell>16</cell><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>214</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . .</cell><cell>13</cell><cell>agosto</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>220</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . .</cell><cell>3</cell><cell>settembre</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>224</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . .</cell><cell>10</cell><cell>settembre</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>225</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . .</cell><cell>24</cell><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>228</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . .</cell><cell>30</cell><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>229</cell></row> <pb pagenum="519"></pb> <row><cell>Ricci M. A.</cell><cell>a Torricelli E.</cell><cell>. . . . .</cell><cell>22</cell><cell>ottobre</cell><cell>1644</cell><cell>.</cell><cell>Pag.</cell><cell>232</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . .</cell><cell>19</cell><cell>novembre</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>238</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . .</cell><cell>9</cell><cell>dicembre</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>240</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . .</cell><cell>24</cell><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>243</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . .</cell><cell>31</cell><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>246</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . .</cell><cell>7</cell><cell>gennaio</cell><cell>1645</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>248</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . .</cell><cell>28</cell><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>258</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . .</cell><cell>4</cell><cell>febbraio</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>266</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . .</cell><cell>12</cell><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>283</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . .</cell><cell>18</cell><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>285</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . .</cell><cell>25</cell><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>286</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . .</cell><cell>26</cell><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>289</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . .</cell><cell>5</cell><cell>marzo</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>297</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . .</cell><cell>12</cell><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>301</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . .</cell><cell>19</cell><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>306</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . .</cell><cell>26</cell><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>307</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . .</cell><cell>2</cell><cell>aprile</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>310</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . .</cell><cell>9</cell><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>312</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . .</cell><cell>30</cell><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>318</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . .</cell><cell>18</cell><cell>giugno</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>322</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . .</cell><cell>23</cell><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>324</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . .</cell><cell>8</cell><cell>luglio</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>329</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . .</cell><cell>13</cell><cell>agosto</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>334</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . .</cell><cell>20</cell><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>335</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . .</cell><cell>24</cell><cell>settembre</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>338</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . .</cell><cell></cell><cell>dicembre</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>343</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . .</cell><cell>16</cell><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>348</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . .</cell><cell>7</cell><cell>luglio</cell><cell>1646</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>393</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . .</cell><cell>18</cell><cell>maggio</cell><cell>1647</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>445</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . .</cell><cell>primi luglio</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>452</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . .</cell><cell>7</cell><cell>settembre</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>481</cell></row> <row><cell>Roberval (de) G. P.</cell><cell>a M. Mersenne</cell><cell>. .</cell><cell>ant. all'agosto</cell><cell>1643</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>133</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>a Torricelli E.</cell><cell>. .</cell><cell>1</cell><cell>gennaio</cell><cell>1646</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>349</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. .</cell><cell></cell><cell>fine</cell><cell>1647</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>487</cell></row> <row><cell>Rocca G. A.</cell><cell>”</cell><cell>. .</cell><cell>ottobre-nov.</cell><cell>1644</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>235</cell></row> <row><cell>Torricelli E.</cell><cell>a Galilei G.</cell><cell>. . . . . .</cell><cell>11</cell><cell>settembre</cell><cell>1632</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>35</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>a Magiotti R.</cell><cell>. . . . .</cell><cell>8</cell><cell>gennaio</cell><cell>1640</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>37</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>a Castelli B.</cell><cell>. . . . .</cell><cell>11</cell><cell>giugno</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>40</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>a Magiotti R.</cell><cell>. . , . ,</cell><cell>5</cell><cell>gennaio</cell><cell>1641</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>43</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>a Galilei G.</cell><cell>. . . . . .</cell><cell>15</cell><cell>marzo</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>48</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . . .</cell><cell>27</cell><cell>aprile</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>49</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . . .</cell><cell>1</cell><cell>giugno</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>51</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . . .</cell><cell>29</cell><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>55</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . . .</cell><cell>17</cell><cell>agosto</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>58</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . . .</cell><cell>28</cell><cell>settembre</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>61</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>a [. . . .]</cell><cell>. . . . . .</cell><cell>3</cell><cell>febbraio</cell><cell>1642</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>67</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>a [. . . .]</cell><cell>. . . . . .</cell><cell></cell><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>69</cell></row> <pb pagenum="520"></pb> <row><cell>Torricelli E.</cell><cell>a Ricci M. A.</cell><cell>. . . . .</cell><cell>7</cell><cell>marzo</cell><cell>1642</cell><cell>.</cell><cell>Pag.</cell><cell>70</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>a Cavalieri B.</cell><cell>. . . . .</cell><cell>25</cell><cell>ottobre</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>79</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>a Ricci M. A.</cell><cell>. . . . .</cell><cell>2</cell><cell>gennaio</cell><cell>1643</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>91</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . .</cell><cell>20</cell><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>99</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>a Magiotti R.</cell><cell>. . . . .</cell><cell>14</cell><cell>febbraio</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>102</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>a Cavalieri B.</cell><cell>. . . . .</cell><cell>21</cell><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>104</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>a Ricci M. A.</cell><cell>. . . . .</cell><cell>27</cell><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>106</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>a Cavalieri B.</cell><cell>. . . . .</cell><cell>28</cell><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>107</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>a Magiotti R.</cell><cell>. . . . .</cell><cell>28</cell><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>109</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>a Cavalieri B.</cell><cell>. . . . .</cell><cell>7</cell><cell>marzo</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>112</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . .</cell><cell>28</cell><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>117</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . .</cell><cell>4</cell><cell>aprile</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>120</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>a [. . . .]</cell><cell>. . . . . .</cell><cell>ant. al luglio</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>124</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>a Mersenne M.</cell><cell>. . . . .</cell><cell></cell><cell>settembre</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>140</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>a Niceron G. F.</cell><cell>. . . .</cell><cell>1</cell><cell>ottobre</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>146</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>a Roberval (de) G. P.</cell><cell>. .</cell><cell>1</cell><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>147</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>a Magiotti R.</cell><cell>. . . . .</cell><cell>4</cell><cell>dicembre</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>150</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>a Ricci M. A.</cell><cell>. . . . .</cell><cell>23</cell><cell>gennaio</cell><cell>1644</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>163</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>a Magiotti R.</cell><cell>. . . . .</cell><cell>6</cell><cell>febbraio</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>165</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>a Ricci M. A.</cell><cell>. . . . .</cell><cell>6</cell><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>166</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>a Mersenne M.</cell><cell>. . . .</cell><cell>1</cell><cell>maggio</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>173</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>a Ricci M. A.</cell><cell>. . . . .</cell><cell>11</cell><cell>giugno</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>186</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . .</cell><cell>28</cell><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>198</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>a Mersenne M.</cell><cell>. . . .</cell><cell></cell><cell>luglio</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>202</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>a Magiotti R.</cell><cell>. . . . .</cell><cell></cell><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>204</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>a Ricci M. A.</cell><cell>. . . . .</cell><cell>10</cell><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>213</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . .</cell><cell>12</cell><cell>agosto</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>218</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . .</cell><cell>27</cell><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>222</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>a Rocca G. A.</cell><cell>. . . . .</cell><cell>12</cell><cell>novembre</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>236</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>a Ricci M. A.</cell><cell>. . . . .</cell><cell>17</cell><cell>dicembre</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>242</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>a Mersenne M.</cell><cell>. . . .</cell><cell></cell><cell>gennaio</cell><cell>1645</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>252</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>a Ricci M. A.</cell><cell>. . . . .</cell><cell>17</cell><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>256</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>a Mersenne M.</cell><cell>. . . .</cell><cell>fine gennaio</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>262</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>a Ricci M. A.</cell><cell>. . . . .</cell><cell>6</cell><cell>febbraio</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>271</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>a Mersenne M.</cell><cell>. . . .</cell><cell></cell><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>273</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>a Carcavy P.</cell><cell>. . . . .</cell><cell></cell><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>279</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>a Ricci M. A.</cell><cell>. . . . .</cell><cell>11</cell><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>281</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . .</cell><cell>25</cell><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>288</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>a Mersenne M.</cell><cell>. . . .</cell><cell></cell><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>291</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . .</cell><cell></cell><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>294</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>a Ricci M. A.</cell><cell>. . . . .</cell><cell>11</cell><cell>marzo</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>299</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>a Mersenne M.</cell><cell>. . . .</cell><cell></cell><cell>giugno</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>326</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>a Ricci M. A.</cell><cell>. . . . .</cell><cell>2</cell><cell>dicembre</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>342</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . .</cell><cell>10</cell><cell>febbraio</cell><cell>1646</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>357</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>a Renieri V.</cell><cell>. . . . .</cell><cell>23</cell><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>359</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>a Ricci M. A.</cell><cell>. . . . .</cell><cell>17</cell><cell>marzo</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>360</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>a Cavalieri B.</cell><cell>. . . . .</cell><cell>23</cell><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>363</cell></row> <pb pagenum="521"></pb> <row><cell>Torricelli E.</cell><cell>a Cavalieri B.</cell><cell>. . . . .</cell><cell>7</cell><cell>aprile</cell><cell>1646</cell><cell>.</cell><cell>Pag.</cell><cell>365</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>a Ricci M. A.</cell><cell>. . . . .</cell><cell>7</cell><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>368</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>a Cavalieri B.</cell><cell>. . . . .</cell><cell>21-28</cell><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>370</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . .</cell><cell>5</cell><cell>maggio</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>373</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>a Ricci M. A.</cell><cell>. . . . .</cell><cell>28</cell><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>375</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>a Renieri V.</cell><cell>. . . . .</cell><cell>16</cell><cell>giugno</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>379</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>a Roberval (de) G. P.</cell><cell>. .</cell><cell>7</cell><cell>luglio</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>381</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . .</cell><cell>7</cell><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>389</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>a Mersenne M.</cell><cell>. . . .</cell><cell>7</cell><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>399</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . .</cell><cell>7</cell><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>402</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>a Carcavy P.</cell><cell>. . . . .</cell><cell>8</cell><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>405</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>a Cavalieri B.</cell><cell>. . . . .</cell><cell>14</cell><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>408</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>a Ricci M. A.</cell><cell>. . . . .</cell><cell>7</cell><cell>novembre</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>420</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>a Renieri V.</cell><cell>. . . . .</cell><cell>17</cell><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>421</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . .</cell><cell>24</cell><cell></cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>424</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . .</cell><cell>1</cell><cell>dicembre</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>425</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . .</cell><cell>8</cell><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>428</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>a Mersenne M.</cell><cell>. . . .</cell><cell>1</cell><cell>febbraio</cell><cell>1647</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>433</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>a Zucchi N.</cell><cell>. . . . . .</cell><cell>12</cell><cell>marzo</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>439</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>a Renieri V.</cell><cell>. . . . .</cell><cell>14</cell><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>441</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . .</cell><cell>13</cell><cell>aprile</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>442</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . .</cell><cell>27</cell><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>443</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . .</cell><cell>25</cell><cell>maggio</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>447</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>a Ricci M. A.</cell><cell>. . . . .</cell><cell>29</cell><cell>giugno</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>449</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . .</cell><cell>20</cell><cell>luglio</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>453</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>a Renieri G. B.</cell><cell>. . . .</cell><cell></cell><cell>agosto</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>461</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>a Cavalieri B.</cell><cell>. . . . .</cell><cell>15</cell><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>466</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>a Ricci M. A.</cell><cell>. . . . .</cell><cell>24</cell><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>473</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>a Cavalieri B.</cell><cell>. . . . .</cell><cell>31</cell><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>475</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>a Renieri G. B.</cell><cell>. . . .</cell><cell>primi settembre</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>478</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>a Cavalieri B.</cell><cell>. . . . .</cell><cell>21</cell><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>483</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . . .</cell><cell>5</cell><cell>ottobre</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>485</cell></row> <row><cell>Verdus (de) F.</cell><cell>a Torricelli E.</cell><cell>. . . .</cell><cell>30</cell><cell>aprile</cell><cell>1644</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>172</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . .</cell><cell>21</cell><cell>maggio</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>181</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . .</cell><cell>3</cell><cell>giugno</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>184</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . .</cell><cell>2</cell><cell>luglio</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>208</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . .</cell><cell>9</cell><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>210</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . .</cell><cell>23</cell><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>217</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . .</cell><cell>9</cell><cell>ottobre</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>230</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . .</cell><cell>15</cell><cell>marzo</cell><cell>1645</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>305</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . .</cell><cell>15</cell><cell>aprile</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>314</cell></row> <row><cell>”</cell><cell>”</cell><cell>. . . .</cell><cell>19</cell><cell>maggio</cell><cell>”</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>320</cell></row> <row><cell>[. . . .] al G.</cell><cell>Duca Ferdinando II</cell><cell>. .</cell><cell>4</cell><cell>gennaio</cell><cell>1644</cell><cell>.</cell><cell>”</cell><cell>159</cell></row></table> <p type="main"> <s><foreign lang="it"><emph type="center"></emph>FINE DEL VOLUME TERZO.<emph.end type="center"></emph.end></foreign></s> </p> </chap> </body> <back></back> </text> </archimedes>