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Version vom 2009-02-14
author Klaus Thoden <kthoden@mpiwg-berlin.mpg.de>
date Thu, 02 May 2013 11:08:12 +0200
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<head><title></title> 
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</head><body >

<!--l. 12--><p class="noindent"><pb/></p>
<div class="center" >

<!--l. 13--><p class="noindent">
</p><!--l. 14--><p class="noindent"><span 
class="cmr-12">11. </span><span 
class="cmbxti-10x-x-120">Bemerkungen zu unserer Arbeit: </span> <br/><span 
class="cmbxti-10x-x-120">,,</span><span 
class="cmbxti-10x-x-120">Über die</span>
<span 
class="cmbxti-10x-x-120">elektromagnetischen Grundgleichungen </span> <br/><span 
class="cmbxti-10x-x-120">f</span><span 
class="cmbxti-10x-x-120">ür bewegte</span>
<span 
class="cmbxti-10x-x-120">K</span><span 
class="cmbxti-10x-x-120">örper&#8220;; </span> <br/><span 
class="cmbxti-10x-x-120">von A. Einstein und J. Laub.</span></p></div>
<div class="center" >

<!--l. 20--><p class="noindent">
</p><!--l. 21--><p class="noindent">--------</p></div>
<!--l. 24--><p class="indent">   Hr. Laue war so freundlich, uns auf eine in unserer im <br/>Titel genannten Arbeit enthaltene Unrichtigkeit hinzuweisen.<sup ><span 
class="cmr-7">1</span></sup>) <br/>Wir sagen dort (Ann. d. Phys. 26. p. 535. 1908):
</p><!--l. 29--><p class="indent">   ,,Es ist bemerkenswert, daß die Grenzbedingungen für die <br/>Vektoren G, D, H, B an der Grenze zweier Medien dieselben <br/>sind, wie für ruhende Körper. Es folgt dies direkt aus den <br/>Gleichungen (1a) bis (4a).&#8220;
</p><!--l. 34--><p class="indent">   Abgesehen davon, daß für die Herleitung der Grenz-<br/>bedingungen die Gleichungen (3a) und (4a) nicht in Betracht <br/>kommen, ist diese Behauptung nur dann richtig, wenn die Be-<br/>wegungskomponente normal zur Grenzfläche verschwindet, was <br/>bei der im <span 
class="cmsy-10">§ </span>2 der genannten Arbeit behandelten Aufgabe
 <br/>tatsächlich zutrifft. Die allgemein gültigen Grenzbedingungen <br/>findet man wohl am leichtesten auf folgendem Wege, der dem <br/>von Heinrich Hertz eingeschlagenen entspricht.
</p><!--l. 41--><p class="indent">   Ist die Grenzfläche, oder besser gesagt, die unendlich <br/>dünne Grenzübergangsschale, beliebig bewegt, so werden sich <br/>in einem momentan in ihr gelegenen ruhenden Punkt die das <br/>elektromagnetische Feld bestimmenden Größen im allgemeinen <br/>unstetig bzw. unendlich rasch mit der Zeit ändern; diese <br/>Änderungen werden aber stetig sein für einen Punkt, der sich <br/><span 
class="cmti-10">mit der Materie bewegt. </span>Es wird also die Anwendung des
 <br/>Operators
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img 
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Bemer_de_1909_02/fulltext/img/Einst_Bemer_de_1909_020x.png" alt="@ @t + (d  \~/ ) " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 54--><p class="nopar">
</p><!--l. 58--><p class="noindent">an einem Skalar oder einem Vektor auch in der Grenzfläche <br/>----------
</p><!--l. 62--><p class="indent">   1) Hr. Laue hat uns in seinem Briefe bereits die Grenzbedingungen <br/>richtig angegeben und uns eine andere Ableitung derselben mitgeteilt. <pb/>
</p><!--l. 69--><p class="indent">

</p><!--l. 70--><p class="noindent">nicht zu unendlich großen Werten führen. Schreiben wir nun <br/>die Gleichung (1a)<sup ><span 
class="cmr-7">1</span></sup>) in der Form:
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img 
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Bemer_de_1909_02/fulltext/img/Einst_Bemer_de_1909_021x.png" alt=" {             } 1  @D-                         1 c  @t  +(d  \~/ ) D + q = curl H + c (d  \~/ ) D " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 79--><p class="nopar">
</p><!--l. 83--><p class="noindent">und nehmen wir an, daß die Stromdichte <span 
class="cmmi-10"><img 
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Bemer_de_1909_02/fulltext/img/cmmi10-18.png" alt="q" class="cmmi-10x-x-18" align="middle" /> </span>auch in der Grenz-<br/>schicht endlich sei, so ist die linke Seite dieser Gleichung in <br/>der Grenzschicht endlich. Dasselbe gilt also auch für die <br/>rechte Seite der Gleichung.
</p><!--l. 88--><p class="indent">   Zur leichten Interpretation dieses Resultates denken wir <br/>uns das Koordinatensystem so gelegt, daß ein bestimmtes, <br/>unendlich kleines Stück der Grenzfläche, das wir nun be-<br/>trachten wollen, der <span 
class="cmmi-10">Y Z</span>-Ebene parallel sei. Dann ist klar, <br/>daß die Ableitungen aller Größen nach <span 
class="cmmi-10">y </span>und <span 
class="cmmi-10">z </span>in dem be-<br/>trachteten Stück der Grenzfläche endlich bleiben. Es muß <br/>also auch der Inbegriff derjenigen Glieder der rechten Seite <br/>obiger Gleichung, die Differentiationen nach <span 
class="cmmi-10">x </span>enthalten, etwas <br/>Endliches liefern. Durch einfaches Entwickeln der rechten Seite <br/>und Weglassen der nach <span 
class="cmmi-10">y </span>und <span 
class="cmmi-10">z</span>
differenzierten Glieder gelangt <br/>man zu dem Resultate, daß in der Grenzschicht die Ausdrücke:
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img 
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Bemer_de_1909_02/fulltext/img/Einst_Bemer_de_1909_022x.png" alt="dx @Dx-,  c  @x @Hz--  dx @Dy-, @x     c  @x @Hy- + dx @Dz-  @x     c  @x " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 112--><p class="nopar">
</p><!--l. 116--><p class="noindent">endlich bleiben. Setzen wir noch voraus, daß die Geschwindig-<br/>keitskomponenten an der Grenzfläche keinen Sprung erleiden, <br/>so folgt daraus, daß die Ausdrücke:
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img 
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Bemer_de_1909_02/fulltext/img/Einst_Bemer_de_1909_023x.png" alt="Dx, Hy + dxDz,      c H  - dxD   z   c  y " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 128--><p class="nopar">
</p><!--l. 132--><p class="noindent">auf beiden Seiten der Grenzfläche (<span 
class="cmmi-10">Y Z</span>-Ebene) denselben Wert <br/>

</p><!--l. 135--><p class="noindent">----------
</p><!--l. 138--><p class="indent">   1)1. c. <pb/>
</p><!--l. 142--><p class="indent">

</p><!--l. 143--><p class="noindent">haben. Da D<sub ><span 
class="cmmi-7">x</span></sub> und die Komponenten von d stetig sind, können <br/>wir die beiden letzten Ausdrücke auch ersetzen durch:
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img 
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Bemer_de_1909_02/fulltext/img/Einst_Bemer_de_1909_024x.png" alt="      1 Hy -  c(dz Dx - dx Dz),      1 Hz -  c(dx Dy - dy Dx). " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 153--><p class="nopar">
</p><!--l. 157--><p class="indent">   Von der speziellen Wahl der Lage der Koordinatenachsen <br/>relativ zum betrachteten Element der Grenzfläche machen wir <br/>uns frei, indem wir das Resultat in den Bezeichnungen der <br/>Vektoranalysis schreiben. Bezeichnen wir durch die Indizes <span 
class="cmmi-10">n</span>
 <br/>bzw. <span class="overline"><span 
class="cmmi-10">n</span></span> die Komponente des betreffenden Vektors im Sinne <br/>bzw. senkrecht zur Normale der Unstetigkeitsfläche, so folgt, daß
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img 
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Bemer_de_1909_02/fulltext/img/Einst_Bemer_de_1909_025x.png" alt="{ Dn,      }       1   H - c[dD]  n " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 171--><p class="nopar">
</p><!--l. 175--><p class="noindent">an der Grenzfläche stetig sein müssen.
</p><!--l. 178--><p class="indent">   In gleicher Weise schließt man aus der Gleichung (2a)<sup ><span 
class="cmr-7">1</span></sup>) <br/>die Stetigkeit der Komponenten:
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img 
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Bemer_de_1909_02/fulltext/img/Einst_Bemer_de_1909_026x.png" alt=" Bn, {    1    }  G + - [dB]  -.      c      n " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 188--><p class="nopar">
</p><!--l. 192--><p class="indent">   Bern und Würzburg, November 1908.
</p><!--l. 194--><p class="noindent">----------
</p><!--l. 197--><p class="indent">   1) 1. c.
</p>
<div class="center" >

<!--l. 199--><p class="noindent">
</p><!--l. 200--><p class="noindent">(Eingegangen 6. Dezember 1908.)</p></div>

<div class="center" >

<!--l. 203--><p class="noindent">
</p><!--l. 204--><p class="noindent">----------</p></div>
<!--l. 207--><p class="indent">   <span 
class="cmti-10">Nachtrag. </span>Wenn an der betrachteten Grenzfläche eine <br/>Schicht wahrer Elektrizität (<span 
class="cmsy-10"><img 
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Bemer_de_1909_02/fulltext/img/cmsy10-73.png" alt=" integral " class="10x-x-73" /></span> <span 
class="cmmi-10"><img 
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Bemer_de_1909_02/fulltext/img/cmmi10-25.png" alt="r" class="cmmi-10x-x-25" align="middle" /> d<img 
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Bemer_de_1909_02/fulltext/img/cmmi10-1c.png" alt="t" class="10x-x-1c" /></span>) von der Flächendichte <span 
class="cmmi-10"><img 
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Bemer_de_1909_02/fulltext/img/cmmi10-11.png" alt="j" class="cmmi-10x-x-11" align="middle" /> </span> <br/>sich befindet, so wird <span 
class="cmmi-10"><img 
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Bemer_de_1909_02/fulltext/img/cmmi10-18.png" alt="q" class="cmmi-10x-x-18" align="middle" /> </span>unendlich. Es ist dann
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img 
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Bemer_de_1909_02/fulltext/img/Einst_Bemer_de_1909_027x.png" alt="curl H + 1 (d D) D - q          c " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 217--><p class="nopar">
</p><!--l. 221--><p class="noindent">in der Grenzschicht endlich, wobei <span 
class="cmmi-10"><img 
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Bemer_de_1909_02/fulltext/img/cmmi10-18.png" alt="q" class="cmmi-10x-x-18" align="middle" /> </span>durch (<span 
class="cmmi-10">d/c</span>)<span 
class="cmmi-10"><img 
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Bemer_de_1909_02/fulltext/img/cmmi10-25.png" alt="r" class="cmmi-10x-x-25" align="middle" /> </span>ersetzt <br/>werden kann. Für diesen Fall findet man ebenfalls die obigen <br/>Grenzbedigungen, mit dem Unterschiede, daß die erste der-<br/>selben durch
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img 
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Bemer_de_1909_02/fulltext/img/Einst_Bemer_de_1909_028x.png" alt="Dn2 - Dn1 = j " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 230--><p class="nopar">
</p><!--l. 234--><p class="noindent">zu ersetzen ist.
</p>
<div class="center" >

<!--l. 237--><p class="noindent">
</p><!--l. 238--><p class="noindent">(Eingegangen 19. Januar 1909.)</p></div>
<div class="center" >

<!--l. 241--><p class="noindent">
</p><!--l. 242--><p class="noindent">----------</p></div>
    
</body></html>