Mercurial > hg > mpdl-xml-content
view texts/archimedesOldCVSRepository/archimedes/raw/carda_propo_01_la_1570.raw @ 10:d7b79f6537bb
Version vom 2009-02-14
| author | Klaus Thoden <kthoden@mpiwg-berlin.mpg.de> |
|---|---|
| date | Thu, 02 May 2013 11:08:12 +0200 |
| parents | 22d6a63640c6 |
| children |
line wrap: on
line source
<pb> <pb> <pb> <head>HIERONYMI CARDANI MEDIO LANENSIS, CIVISQV'E BONO- NIENSIS, PHILOSOPHI, MEDICI ET Mathematici clari$simi,</head> <head>OPVS NOVVM DE PROPORTIONIBVS NVMERORVM, MO TVVM, PONDERVM, SONORVM, ALIARVMQV'E RERVM men$urandarum, non $olùm Geometrico more $tabilitum, $ed etiam uarijs experimentis & ob$eruationibus rerum in natura, $olerti demon$tratione illu$tratum, ad multiplices u$us ac- commodatum, & in Vlibros dige$tum.</head> <head>PRAETEREA.</head> <head>ARTIS MAGNÆ, SIVE DE REGVLIS ALGEBRAICIS, LIBER VNVS, ABSTRVSISSIMVS & inexhau$tus plane totius Arithmeticæ the$aurus, ab authore recens multis in locis recogni- tus & auctus.</head> <head>ITEM.</head> <head>DE ALIZA REGVLA LIBER, HOC EST, ALGEBRAICAE logi$ticæ $uæ, numeros recondita numerandi $ubtilitate, $ecundum Geo- metricas quantitates inquirentis, nece$$aria Coronis, nunc demum in lucem edita.</head> <head>O<I>pus</I> P<I>hy$icis &</I> M<I>athematicis imprimis utile & nece$$arium.</I></head> <fig> <head>Cum Cæ$. Maie$t. Gratia & Priuilegio.</head> <head>BASILEÆ.</head> <pb> <head>IN LIBRVM DE PROPORTIONIBVS HIERONYMI CARDANI MEDIOLANENSIS, CIVISQV'E Bononien$is, Medici, Præfatio ad M. A. Amulium Venetum Card. Illu$tri$simum.</head> <P>Bene Dictum e$tmeo iudicio à Platone M. A. Amuli optime, beatas fore Re$pub. $i uel illarum domini $apientiæ amatores e$$ent, aut qui $apientiæ e$$ent amatores domina- rentur, hocip$um clarè intelligens, $tudio $a pientiæ nihil e$$e utilius humano generi: quo $imul & pietas, & iu$titia, & mutuus amor hominum inter $e & eorum commo- da continerentur. Nempe hi$ce quatuor tota no$tra felicitas com- prehenditur. Si quidem pietate in Deos nihil ni$i $anctum, & pu- rum, & illu$tre $apimus: hocip$o primum quod $upra nos e$t, intel- ligimus, Deos ueneramur, gratias agimus, timor cum ueneratione no$tros animos $ubit, & de futura uita cogitamus, hæc ip$a morta- lia $i non negligentes $altem paruifacientes. Iu$titiam autem adeò nece$$ariam humano generi e$$e $cimus, ut $ine illa ne<01> e$$e, nedum benè e$$e po$símus, ut ne<01> latronum cœtus ab$<01> ea diu $tare po$- $int. Porrò quid dicam de concordia, & mutua hominum beneuo- lentia, in quibus omnis uit&ecedil; human&ecedil; dulcedo repo$ita e$t: nec quis $u$tineat uiuere, qui $e omnibus odio$um e$$e $entiat. His ip$is fi- lios in $pem alimus, parentes fouemus, fratres tuemur, & adiuua- mus, amicis opitulamur, cum hominibus hilarem & iucundam ui- tam ducimus. Si quis $erpentem in lecto haberet, nunquam $om- num caperet: ita nihil mole$tius e$t in hac uita, quam e$$e cum quo nolis, & priuari con$uetudine eorum cum quibus maximè uiuere cupias. Quid enim habent Principes præcipuum cum tota illa po- tentia quam habent, ni$i hoc unum, quod $uis quos amant bene fa- cere po$sint: nam reliqua omnia exerceri, uenari, edere, bibere, dor- mire, iter agere, loca amæna inui$ere multis alijs conce$$um e$t, ma- iore<03> commodo qui in uita priuata degunt. Si ergo principatum cum totlaboribus, curis, periculis, & meritò omnes appetunt: nec e$t in eo quicquam præcipuum præter hoc, cui dubium e$t quin hocnon $it $ummum huius uitæ hominibus bonum? propter cu- ius uel dubiam $pem eorum, quæ habent obliti mortales pericli- tantur. Succedunt inde tot commoda, non $olum utilia, $ed plera<01> <foot><*> 2 etiam</foot> <pb> etiam nece$$aria, quæ nos $apientia docet: huiu$modi ergo omnia cùm libris contineantur, meritò optimus qui$que librorum bono- rum perpetuitati at<01> in columitati fauere debet. C. Caligulam exe- cramur $olum ob id quod Vergilij, & T. Liuij $cripta delere cogi- tauerit. Quid facturi e$$emus, $i feci$$et quod cogitauerat? E$t in $a- pientum monumentis bonum $ine malo, mens $ine corporea labe: Virtutes ab$<01> uitijs, gratiæ & iucunditas $ine $orde, & immundi- tia, uoluptas $ine dolore, conuer$atio ab$<01> tædio, delitiæ ab$<01> mi$e ria nuda, omnia bona præ$tant, at<01> laudabilia ab omnibus morta- litatis exuuijs libera, tantum commodi afferunt libri. Sed & in eo- rum electione ac $tudijs modus, ac medio critas quædam $eruanda e$t, quæ $i quis neglexerit non leui incommodo afficietur: eam an- tiqui rationem alij proportionem appellarunt, non equidem etiam in pertritis tam facillimã, ut rentur homines: nam in alijs rebus per- ob$curam e$$e fatentur, ego difficillimam puto undi<01>, & magis for $an ubi non exi$timamus. Vnde plures decidere uidemus magnis cum auxilijs, & euidenti $pe: quid aliud e$t in cau$a quàm ignota men$ura rerum? quam tamen plerique tenere $e putant. Ergo, cùm $ummum bonum in hac men$ura $itum e$$e cernerem, ut clarè o$ten dunt mu$icæ uoces, quæ non ni$i indiuiduo (ut ita dicam) $pacio $eu loco $tare po$$unt, ita & in figuris picturarum & $tatuarum, & diebus decretorijs, & negocijs ciuilibus oper&ecedil;precium me factu- rum exi$timaui, $i omnia hæc quæ latè patebant breuiter in unum redegi$$em, nõ tantum ne lectorem tædio afficerem, quàm ut quòd aliàs do cui, breuibus tractationibus, & plura continerentur, & faci lius docerentur. Cum uerò bona fortuna quædam effeci$$et, ut tibi libellum dedica$$em de Prouidentia ex con$titutione temporum, longe meliore occa$ione nominis tui typographi obliti $int, indi- gnum fore putaui, ut non ærea (quemadmodum cum Glauco Dio medes) cum aureis commutarem. Ita<01> infinitis licet circumuentus negocijs totus huic operæ in cubui, at<01> adeò ut præter $pem unius anni penè $pacio liber ab$olueretur. Qui cum tibi (ut dixi) iam iurè deberetur, eò tamen magis dedican dum putaui, quod non ego $o- lum quanquam id maximè, $ed communis con$en$us ho- minum exi$timet, te $ingulari uirtute omnibus $tudio$is plurimum fauere, Vale.</P> <foot>TABVLA</foot> <pb> <head>TABVLA PRO- POSITIONVM DE PROPORTIONIBVS.</head> <table> <row><col>I.</col><col>Proportionem <I>in proportionem duci, e$t $uperiores numeros at<01> inferiores inuicem ducere.</I></col><col><I>pagina</I> 6</col></row> <row><col>II.</col><col>P<I>roportio extremorum producitur ex intermedijs.</I></col><col>7</col></row> <row><col>III.</col><col>S<I>i proportio ex duabus proportionibus in quatuor terminis producatur, ip$a uerò proportio inter duas alias quantitates fuerit con$tituta: con$urgent trecen- ti $exaginta modi productionis proportionis.</I></col><col>7</col></row> <row><col>IIII.</col><col>S<I>i fuerit proportio primi ad $ecundum, producta ex proportionibus tertij ad quartum, & quinti ad $extum, producetur etiam ex proportione tertij ad $extum, & quinti ad quartum.</I></col><col>8</col></row> <row><col>V.</col><col>S<I>i fuerit proportio primi ad $ecundum, producta ex proportione tertij ad quartum, & quinti ad $extum: erit proportio tertij ad $extum, producta ex proportionibus primi ad $ecur dum, & quarti ad quintum.</I></col><col>8</col></row> <row><col>VI.</col><col>E<I>x trecentis $exaginta modis producendarum proportionum triginta $ex tantum e$$e nece$$arios.</I></col><col>9</col></row> <row><col>VII.</col><col>I<I>n modis qui nece$$ariò producuntur ex duabus proportionibus, cum duæ quantitates ex illis quæ modos conficiunt, æquales fuerint: proportio producta ad quatuor quanti- tates omiologas reducetur.</I></col><col>10</col></row> <row><col>VIII.</col><col>S<I>i duarum proportionum $uperiores numeri alternatim cum inferioribus multiplicen- tur at<01> coniungantur, erit proportio aggregati ad productum ex inferioribus in- uicem proportio, ex primis proportionibus compo$ita.</I></col><col>11</col></row> <row><col>IX.</col><col>S<I>i duarum proportionum $uperiores numeri alternatim cum inferioribus multiplicen- tur, minus<03> productum ex maiore detrahatur, erit re$idui ad productum ex in$e- rioribus proportio uelut illa, quæ relinquitur detracta minore proportione ex ma- iore.</I></col><col>11</col></row> <row><col>X.</col><col>S<I>i fuerit alicuius quantitatis ad unam partem proportio, uelut alterius partis ad $ecun- dam quantitatem, erit proportio cuiu$uis quantitatis eiu$dem generis ad $ecundam compo$ita proportio, ex proportionibus eiu$dem quantitatis, a$$umptæ ad utranque partem primæ quantitatis $eor$um.</I></col><col>11</col></row> <row><col>XI.</col><col>P<I>roportio aggregati quarumlibet duarum quantitatum ad aggregatum duarum æqua- lium quantitatũ e$t, compo$ita ex proportionibus primis, & diui$a per duplam.</I></col><col>12</col></row> <row><col>XII.</col><col>P<I>ropo$itis duabus proportionibus unam alteri iungere ab$<01> multiplicatione.</I></col><col>12</col></row> <row><col>XIII.</col><col>P<I>roportio confu$a aggregata primæ & tertiæ quatuor quantitatum omiologarum ad aggregatum $ecundæ & quartæ, e$t uelut compo$ita ex ei$dem diui$a per du- plam.</I></col><col>13</col></row> <row><col>XIIII.</col><col>P<I>roportiones confu$æ & coniunctæ in tribus quantitatibus inuicem commutantur.</I></col><col>13</col></row> <row><col>XV.</col><col>S<I>i fuerint quatuor quantitates proportio confu$a, aggregati primæ & tertiæ, ad aggre- gatum $ecundæ & quartæ, erit ut monadis addito prouentu, qui fit diui$a differentia, differentiarum primæ & $ecundæ, at<01> quartæ & tertiæ, per aggregatum tertiæ & quartæ ad ip$am monadem.</I></col><col>14</col></row> <row><col>XVI.</col><col>O<I>mnium quatuor quantitatum propo$ita prima, quæ non minorem habet proportio- nem ad $uam corre$pondentem quàm alia ad aliam, erit proportio confu$a illarum,</I></col><col></col></row> <foot><*> 3 <I>ut pro-</I></foot> <pb> <row><col></col><col><I>ut producti ex aggregato primæ & tertiæ, in tertiam ad productum ex iggre gato tertiæ & omiotatæ ad $ecundam in ip$am quartam.</I></col><col>14</col></row> <row><col>XVII.</col><col>O<I>mnes duæ proportiones conuer$æ producunt æqualem proportionem.</I></col><col>15</col></row> <row><col>XVIII.</col><col>S<I>i fuerint quotlibet quantitates in continua proportione multiplici præter, ultimã proportio uerò penultimæ ad ultimam, qualis re$idui primæ ad $ecundam, erit primæ ad aggregatum reliquarum, uelut penultimæ ad ultimam.</I></col><col>15</col></row> <row><col>XIX.</col><col>S<I>i fuerint aliquot quantitates arithmeticæ omiologæ, quarum exce$$us $it æqualis minimè, omnibus autem deficientibus $upplementa ad æqualitatem maximè adiungantur, erunt quadrata omnium quantitatum æqualium, adiecto rur$us quadrato primæ cum eo quod fit ex minima primi ordinis in aggregatum o- mnium quantitatum eiu$dem, tripla aggregato quadratorum omnium quanti tatum primi ordinis pariter acceptis.</I></col><col>17</col></row> <row><col>XX.</col><col>C<I>um fuerint quatuor quantitates, fuerit<03> $ecũda æqualis tertiæ, aut prima æqualis quartæ, erit proportio primæ ad quartam, aut tertiæ ad $ecundam, producta ex proportionibus primæ ad $ecundam & tertiæ ad quartam.</I></col><col>21</col></row> <row><col>XXI.</col><col>C<I>um decu$$atim ducta fuerit prima in quartam, & $ecunda in tertiam, produ- ctum<03> primæ in quartam, diui$um fu<*>rit per productum $ecundæ in tertiam, erit proportio primæ ad $ecundam, diui$a per proportíonem tertiæ ad quar- tam.</I> E<I>t $imiliter interpo$ita omiologa.</I></col><col>22</col></row> <row><col>XXII.</col><col>C<I>um fuerit proportio primæ ad $ecundam maior quàm tertiæ ad quartam, erit confu$a ex his maior quàm tertiæ ad quartam, minor autem quàm primæ ad $ecundam.</I></col><col>23</col></row> <row><col>XXIII.</col><col>O<I>mnis motus naturalis ad locum $uum e$t: ideò per rectam lineam fit.</I></col><col>23</col></row> <row><col>XXIIII.</col><col>O<I>mnis motus circularis uoluntarius e$t.</I></col><col>23</col></row> <row><col>XXV.</col><col>T<I>res $unt motus omnino $implices naturalis, uoluntarius, & uiolentus.</I></col><col>24</col></row> <row><col>XXVI.</col><col>M<I>otus ergo compo$iti quatuor nece$$ariò $unt $pecies.</I></col><col>24</col></row> <row><col>XXVII.</col><col>M<I>otus uoluntarius e$t in loco: naturalis ad locum: uiolentus ex loco.</I></col><col>25</col></row> <row><col>XXVIII.</col><col>M<I>otus quilibet uoluntarius aut uiolentus in aliquo medio fit.</I></col><col>25</col></row> <row><col>XXIX.</col><col>O<I>mnis motus uoluntarius æqualis e$t $emper: $impliciter etiam quilibet alius mo- tus.</I></col><col>25</col></row> <row><col>XXX.</col><col>I<I>n omni corpore mobili in medio partes medij re$i$tunt obuiæ, aliæ impel- lunt.</I></col><col>26</col></row> <row><col>XXXI.</col><col>O<I>mnis motus naturalis in æquali medio ualidior e$t in fine quàm in principio.</I> V<I>iolentus contrà.</I></col><col>26</col></row> <row><col>XXXII.</col><col>O<I>mne mobile naturaliter motum $eu uiolenter uelocius mouetur in medio rariore quàm den$iore.</I> M<I>aior quo<01> e$t proportio finis motus in corpore rariore ad finem motus in corpore den$iore quàm principij.</I> I<I>n uiolento autem celerius perueniret ad finem motus in corpore den$iore.</I></col><col>27</col></row> <row><col>XXXIII.</col><col>O<I>mnia duo mobilia æqualis undi<01> magnitudinis quæ æquali in tempore æqualia $pacia pertran$eunt in diuer$is $ub$tantia medijs nece$$e e$t, ut $it ponderis ad pondus, quem ad modum medij ad medium proportio duplicata.</I></col><col>27</col></row> <row><col>XXXIIII.</col><col>P<I>roportio corporis cubi ad $uam $uperficiem quadratam, e$t uelut eiu$dem $uperfi ciei, ad latus eiu$dem uerò ad monadem.</I></col><col>28</col></row> <row><col>XXXV.</col><col>V<I>ocum magnitudines excre$cunt in acumine, non in grauitate, finis autem e$t in utroque extremo.</I> P<I>ropter hoc minima facta uariatione in hypate acutæ uix ferunt.</I></col><col>29</col></row> <row><col>XXXVI.</col><col>S<I>i proportio per proportionem minorem æquali ducatur, proportio minor pro-</I></col><col></col></row> <foot><I>ducetur.</I></foot> <pb> <row><col></col><col><I>ducetur.</I> V<I>nde manife$tum e$t duas proportiones minores æqualitate inuice<*> du ctas proportionem minorem unaqua<01> illarum producere.</I></col><col>30</col></row> <row><col>XXXVII.</col><col>S<I>i plures homines, quorum per $e nauim mouere poßint, aut pondus ferre $imul iuncti eam moueant, aut pondus ferant, erunt illæ proportiones coniunctæ non productæ.</I></col><col>30</col></row> <row><col>XXXVIII.</col><col>O<I>mne corpus tantum re$i$tit motui contrario $uo natúrali, quantum mouetur oc- culto motu quie$cendo.</I></col><col>31</col></row> <row><col>XXXIX.</col><col>A<I>b æquali aut minore ui quàm $it impedimentum non fit motus.</I></col><col>31</col></row> <row><col>XL.</col><col>O<I>mne corpus $pb æricum tangens planum in puncto mouetur ad latus per quam- cun<01> uim, quæ medium diuidere pote$t.</I></col><col>31</col></row> <row><col>XLI.</col><col>S<I>i fuerint duæ quantitates $umatur<03> toties aggregatũ maioris & minoris, quo- ties aggregatum minoris & maioris, erit proportio confu$a maioris aggregati ad minus, minor quam multiplicis maioris ad multiplex minoris.</I></col><col>32</col></row> <row><col>XLII.</col><col>T<I>rahentium nauim, aut ferentium pondera proportiones in $e inuicem, quomodo ducere oporteat con$iderare.</I></col><col>32</col></row> <row><col>XLIII.</col><col>P<I>roductionem ad additionem retrabere.</I></col><col>33</col></row> <row><col>XLIIII.</col><col>S<I>i fuerit proportio motoris ad id quod e$t maximum non mouens, & $pacium & tempus, nota erit etiam reliquorum nota.</I></col><col>33</col></row> <row><col>XLV.</col><col>R<I>ationem $tateræ o$tendere.</I></col><col>34</col></row> <row><col>XLVI.</col><col>A<I>n $it aliqua proportio & qualis inter animam & uitas, & $ua corpora con$ide- rare.</I></col><col>35</col></row> <row><col>XLVII.</col><col>S<I>i duo mobilia æqualister in eodem circulo iuxta proprios motus moueantur, pro- ductum temporis circuituum inuicem, erit æquale producto differentiæ tempo rum circuitus ductæ in tempus coniunctionis primæ.</I></col><col>36</col></row> <row><col>XLVIII.</col><col>S<I>i tria mobilia ex eodem puncto di$cedant, fuerint<03> duorum ac duorum coniun- ctiones in temporibus commen$is, illa tria mobilia denuo coniungentur in tem pore producto ex denominatore diui$ionis temporis maioris per minus in mi- nus aut numeratore in maius.</I></col><col>37</col></row> <row><col>XLIX.</col><col>P<I>ropofitio mobilis in circulo circuitus tempore data<03> ratione di$tantiæ ab illo mo bilis circuitum inuenire, quod ex eod&etilde; puncto di$cedens cũalio mobili in dato puncto cõueniat $ub quocũ<01> numero circuituũ t&etilde;pus quo<01> cõiunctionis.</I></col><col>39</col></row> <row><col>L.</col><col>O<I>mnes circuituum portiones in ei$dem temporibus repetuntur.</I></col><col>40</col></row> <row><col>LI.</col><col>O<I>perationes dictas exemplo declarare.</I></col><col>41</col></row> <row><col>LII.</col><col>T<I>ria mobilia coniuncta in eod&etilde; puncto, quorum duo & duo conueniant in partib. incommen$is inter $e, in perpetuum in nullo unquam puncto conuenient.</I></col><col>42</col></row> <row><col>LIII.</col><col>C<I>irculorum $e in aduer$um mouentium proportionem declarare.</I></col><col>43</col></row> <row><col>LIIII.</col><col>P<I>roportio circuli ad $uum diametrum per $imilitudinem e$t quarta pars periphe- riæ.</I> R<I>ur$us<03> eiu$dem circuli ad peripheriam diametri quarta pars.</I></col><col>44</col></row> <row><col>LV.</col><col>P<I>roportionem medicamentorum per ordines $up po$ita æquali proportione in or- dinibus per quantitates & proportiones demon$trare.</I></col><col>44</col></row> <row><col>LVI.</col><col>P<I>roportio cuiu$uis binomij ad $uum reci$um, uel ei commen$um e$t duplicata ei quæ ad numeri latus.</I></col><col>49</col></row> <row><col>LVII.</col><col>M<I>otus rationem ad pondus inuenire.</I></col><col>49</col></row> <row><col>LVIII.</col><col>Q<I>uæ ex alto de$cendunt, cur non eandem pro di$tantia motus rationem in libero aëre $eruent con$iderare.</I></col><col>49</col></row> <row><col>LIX.</col><col>O<I>mne mobile motum duobus motibus non ad idem tendentibus utro<01> $eor$um tar dius mouetur $imili motu.</I></col><col>50</col></row> <row><col>LX.</col><col>O<I>mne mobile motu naturali de$cendentis parte, de$cendit grauiore $ecundum gra-</I></col><col></col></row> <foot><*> 4 <I>uitatis</I></foot> <pb> <row><col></col><col><I>uitatis centrum.</I></col><col>51</col></row> <row><col>LXI.</col><col>P<I>roportionum ictus ad pondus rei & di$tantiam generaliter con$iderare.</I></col><col>52</col></row> <row><col>LXII.</col><col>P<I>roportionem motoris in plano ad motorem, qui eleuat pondus iuxta id quod mouet, inuenire.</I></col><col>53</col></row> <row><col>LXIII.</col><col>O<I>mne graue quanto proximius alligatum plano, tantò facilius trabitur.</I></col><col>53</col></row> <row><col>LXIIII.</col><col>O<I>mne mobile quantò latius tanto tardius moustur in plano.</I></col><col>54</col></row> <row><col>LXV.</col><col>P<I>roportionem duorum mobilium inter $e cum auxilio medij inuenire.</I></col><col>54</col></row> <row><col>LXVI.</col><col>P<I>roportionem laterum eptagoni, & $ubten$arum con$iderare, & quæ à reflexa proportione pendent.</I></col><col>55</col></row> <row><col>LXVII.</col><col>S<I>i fuerint aliquot quantitates ab una quantitate aliæ<03> totidem ab eadem analo- gæ, erit proportio tertiæ unius ordinis ad tertiam alterius, ut $ecundæ ad $e- cundum duplicata, & quartæ ad quartam triplicata, quintæ ad quintam quadruplicata, at<01> $ic de alijs.</I></col><col>57</col></row> <row><col>LXVIII.</col><col>P<I>ropo$itio collectorum ab</I> E<I>uclide &</I> A<I>rchimede.</I></col><col>57</col></row> <row><col>LXIX.</col><col>P<I>ropo$itio collectorum ex quatuor libris</I> A<I>pollonij</I> P<I>ergei &</I> Q. S<I>ereni.</I></col><col>59</col></row> <row><col>LXX.</col><col>S<I>i fuerint tres quantitates <*> ontinua proportione, aliæ<03> totidem in continua proportione poterunt con$tituere tres quantitates in æquali differentia per- uer$im copulatæ.</I></col><col>62</col></row> <row><col>LXXI.</col><col>P<I>roportionem leuitatis ponderis per uirgam torcularem attracti ad rectam $u- $pen$ionem inuenire.</I></col><col>63</col></row> <row><col>LXXII.</col><col>P<I>roportionem ponderis $phæræ pendentis ad a$cendentem per accliue planum inuenire.</I></col><col>63</col></row> <row><col>LXXIII.</col><col>P<I>roportionem ponderum attractorum penes figuram in plano inuenire.</I></col><col>64</col></row> <row><col>LXXIIII.</col><col>P<I>roportionem concutientis ad concu$$um in$tabili inuenire.</I></col><col>64</col></row> <row><col>LXXV.</col><col>P<I>roportion&etilde; immoti in aqua, ad immotũ in terra in excipiendo ictũ inuenire.</I></col><col>65</col></row> <row><col>LXXVI.</col><col>P<I>roportionem duorũ mobilium $ibi inuic&etilde; concurrentiũ per rectã inuenire.</I></col><col>66</col></row> <row><col>LXXVII.</col><col>P<I>roportionem motus obliqui ad motum rectum in nauibus inuenire.</I></col><col>66</col></row> <row><col>LXXVIII.</col><col>P<I>roportionem nauis ad triremes quotuis concurrentes demon$trare.</I></col><col>67</col></row> <row><col>LXXIX.</col><col>P<I>roportionem medicamentorum purgantium inuicem declarare</I></col><col>68</col></row> <row><col>LXXX.</col><col>P<I>roportionem motus $ecundum obliquum ad rectum in $pacio declarare.</I></col><col>69</col></row> <row><col>LXXXI.</col><col>Q<I>uualis $it angulus, per quem pote$t moueri nauis ad rectum explorare.</I></col><col>70</col></row> <row><col>LXXXII.</col><col>P<I>roportionem uelorum indagare.</I></col><col>70</col></row> <row><col>LXXXIII.</col><col>P<I>roportionem rece$$us à recta uia ad obliquitatem inue$tigare.</I></col><col>72</col></row> <row><col>LXXXIIII.</col><col>D<I>i$tantiã centri terræ à centro mundi per motum lapidis</I> H<I>erculei declarare.</I></col><col>73</col></row> <row><col>LXXXV.</col><col>P<I>roportio ponderis unius grauis ad aliud $ub eadem men$ura e$t ueluti eiu$dem ad differentiam ponderis ua$is repleti ex altero graui, & ex ambobus de- tracto priore.</I></col><col>74</col></row> <row><col>LXXXVI.</col><col>S<I>i circuli in æ quales $eu in $phæra $eu in plano $e $ecuerint, nunquàm oppo$itos angulos æquales habent.</I></col><col>77</col></row> <row><col>LXXXVII.</col><col>P<I>roportiones craßitiei aquæ ad a&etilde;r&etilde; in cõparatione ad radios demon$trare.</I></col><col>78</col></row> <row><col>LXXXVIII.</col><col>I<I>n$trumentũ</I> A<I>colingen, quo momenta temporum deprehendãtur fabricare.</I></col><col>79</col></row> <row><col>LXXXIX.</col><col>P<I>roportionem den$itatis aquæ ad aërem per pondera inuenire.</I></col><col>82</col></row> <row><col>XC.</col><col>R<I>ationem impetus uiolenti extra mißi ponderis ad æqualitatem reducere.</I></col><col>82</col></row> <row><col>XCI.</col><col>P<I>roportionem grauis cubi, & $phærici æqualium in accliui, & de$cen$us eorum demon$trare.</I></col><col>83</col></row> <row><col>XCII.</col><col>P<I>roportion&etilde; ponderis æqualis iuxta longitudinis cõparation&etilde; demon$trare.</I></col><col>85</col></row> <row><col>XCIII.</col><col>P<I>ropter qd in cõcußione etiã leui nauis loco moueatar o$t&etilde;dere.</I> V<I>nde manifi $iũ e$t duas naues $ibi inuic&etilde; occur$antes retrocedere, & quãtũ retrocedãt ambæ.</I></col><col>86</col></row> <foot>S<I>i</I></foot> <pb> <row><col>XCIIII.</col><col>S<I>i quãtitas aliqua nota at<01> proportio erit producta, quãtitas nota $imiliter.</I> E<I>t $i duæ proportiones notæ fuerint, erit producta ex his at<01> diui$a coniuncta<03> at<01> detra- cta nota.</I> E<I>t $i fuerit totius ad partem proportio nota, erit et ad aliam partem nota: & alterius partis ad alterã uno minor.</I> E<I>t $i fuerit partis ad partem, erit ad to<*>um monade minor at<01> nota.</I> E<I>t $i fuerit unius quãtitatis ad duas quãtitates proportio nota, erit & cõfu$a ex eis nota.</I> E<I>t $i fuerint trium quantitatum omiologarum, aut quatuor analogarum omnes præter unam cognitæ, erunt | & illa alia cognita.</I></col><col>87</col></row> <row><col>XCV.</col><col>C<I>uiu$uis trigoni rectanguli, aut cuius duo auguli $int in dupla proportione, aut qui circulo in$criptus $it cognita quantitate unius lateris in comparatione ad dimetien t&etilde;, $i proportio duorum laterum cognita fuerit, erũt omnia eius latera cognita.</I></col><col>88</col></row> <row><col>XCVI.</col><col>C<I>um in per$picuũ den$um radij lumino$i inciderint, quatuor fiunt luminis genera.</I></col><col>89</col></row> <row><col>XCVII.</col><col>M<I>otũ inuer$ionis in figuris in cõparatione ad motũ $phæræ in plano inue$tigare.</I></col><col>91</col></row> <row><col>XCVIII.</col><col>P<I>roportionem ponderum æqualium per differentiam angulorum inuenire.</I></col><col>92</col></row> <row><col>XCIX.</col><col>P<I>roportionem grauitatum per multitudin<*> $uppo$itorum orbium o$tendere.</I></col><col>93</col></row> <row><col>C.</col><col>P<I>roportion&etilde; grauitatis ponderũ attractorum per trochlearũ numerũ inue$tigare.</I></col><col>93</col></row> <row><col>CI.</col><col>P<I>roportionem precij gemmarum ex tribus in eodem genere cognitis inuenire.</I></col><col>94</col></row> <row><col>CII.</col><col>P<I>roportionem motuum inuer$ionis, & attractionis in plano inuenire.</I></col><col>95</col></row> <row><col>CIII.</col><col>P<I>roportionem eorundem in accliui demon$trare.</I></col><col>95</col></row> <row><col>CIIII.</col><col>P<I>roportionem motus attractionis in decliui ad motum in plano determinare.</I></col><col>95</col></row> <row><col>CV.</col><col>P<I>roportionem ferentium pondus in pertica inuenire.</I></col><col>96</col></row> <row><col>CVI.</col><col>Q<I>uales proportiones angulorum doceant laterum proportiones.</I> A<I>t<01> uicißim deter- minare.</I></col><col>97</col></row> <row><col>CVII.</col><col>S<I>i in circulo duæ diametri ad rectum angulum $e $ecauerint: aliæ uerò ad perpendicu- lum ex diametro exicrint ad circum ferentiam, $ingulæ $upra diametrum erunt ma iores portionibus reliquis diametri $uperioribus, infra autem minores.</I> D<I>imidium autem portionis $uperioris re$iduum ad centrum maius $agitta habebit.</I> I<I>n aliqua præterea portionis $uperioris parte, quæ uer$us diametrum tran$uer$um po$ita e$t, maior e$t differentia partis diametri ei corre$põdentis, &qtilde; line æ tran$uer$æ.</I></col><col>100</col></row> <row><col>CVIII.</col><col>P<I>unctum æqualitatis differentiæ de$cen$us & remotionis à centro inuenire.</I></col><col>100</col></row> <row><col>CIX.</col><col>R<I>ationem libræ expendere.</I></col><col>101</col></row> <row><col>CX.</col><col>S<I>i duæ $phæræ ex eadem materia de$cendant in aëre, eodem temporis momento ad planum ueniunt.</I></col><col>104</col></row> <row><col>CXI.</col><col>C<I>ur ex medio tela ualidiorem ictum, & naues in $calmo à remo ac malo recipiant in- de ex puppi explorare.</I></col><col>105</col></row> <row><col>CXII.</col><col>C<I>ur ex imo leuia longiùs ferantur declarare,</I></col><col>106</col></row> <row><col>CXIII.</col><col>C<I>ur uirga longius mittatur à puero quam à uiro inueftigare.</I></col><col>107</col></row> <row><col>CXIIII.</col><col>C<I>ircularis motus differentias quatuor e$$e, earum<03> rationem contemplari.</I></col><col>108</col></row> <row><col>CXV.</col><col>P<I>roportionem motuum impul$ionis, & attractionis inter $e, ab eadem ui decla- rare.</I></col><col>110</col></row> <row><col>CXVI.</col><col>C<I>ur machinæ oblongæ igneæ longius emittant $phæram explorare.</I></col><col>111</col></row> <row><col>CXVII.</col><col>I<I>n curriculis maior e$t uis pulueris copio$ioris ampliore in $pacio, quàm paucioris in minore iuxta proportionem eandem.</I></col><col>112</col></row> <row><col>CXVIII.</col><col>Q<I>uanta proportione decedat ictus in obliquum parietem ab eo qui e$t ad perpendi- culum declarare.</I></col><col>114</col></row> <row><col>CXIX.</col><col>Q<I>uantum ictus machinæ procliuis ad angulum minuatur explorare.</I></col><col>115</col></row> <row><col>CXX</col><col>P<I>roportionem partium nauis ad eundem obliquum uentum explorare.</I></col><col>118</col></row> <row><col>CXXI.</col><col>F<I>labelli uires at<01> naturam declarare.</I></col><col>219</col></row> <row><col>CXXII.</col><col>C<I>ontemptus circa</I> S<I>olis rationem in umbris declarare.</I></col><col>120</col></row> <foot><*> 5 C<I>ognita</I></foot> <pb> <row><col>CXXIII.</col><col>C<I>ognita ratione umbræ ad gnomonem $inum, & arcum altitudinis ab horizon- te, quouis tempore digno$cere.</I></col><col>121</col></row> <row><col>CXXIIII.</col><col>P<I>roportionem umbræ uer$æ e$$e ad gnomonem, uelut gnomonis ad umbram uer$am.</I></col><col>122</col></row> <row><col>CXXV.</col><col>P<I>roportionem dimetientis, & peripheriæ cuiuslibet circuli paralleli æquino- ctiali per cognitam partem magni circuli demon$trare.</I></col><col>123</col></row> <row><col>CXXVI.</col><col>C<I>irculi horarij naturam declarare.</I></col><col>123</col></row> <row><col>CXXVII.</col><col>D<I>ata poli altitudine ortus amplitudinem demonftrare.</I></col><col>124</col></row> <row><col>CXXVIII.</col><col>N<I>ota amplitudine ortus, cuiu$<01> puncti arcum $emidiurnum inuenire.</I></col><col>124</col></row> <row><col>CXXIX.</col><col>D<I>ata altitudine</I> S<I>olis in quacun<01> regione, quacun<01> die di$tantiam</I> S<I>olis à meri- diano cogno$cere.</I></col><col>124</col></row> <row><col>CXXX.</col><col>D<I>ata regionis altitudine, & loco</I> S<I>olis proportionem gnomonis, tam ad um- bram rectam quàm uer$am, uel etiam in cylindro determinare.</I></col><col>125</col></row> <row><col>CXXXI.</col><col>S<I>i lineæ alicui duplum alterius adiungatur, erit proportio d<*>arum ad primam maior quàm dupli cum prima ad primam cum una adiecta.</I></col><col>126</col></row> <row><col>CXXXII.</col><col>S<I>i ad duas lineas quarum una alteri dupla $it eadem linea addatur, erit aggrega- ti ex minore, & adiecta ad ip$am minorem, minor proportio quàm aggre- gati ex maiore, & adiecta ad ip$am maiorem duplicata.</I></col><col>126</col></row> <row><col>CXXXIII.</col><col>S<I>i fuerint duæ quantitates, quarũ una alteri dupla $it: minuatur à minore quæ- dam quantitas, ead&etilde;<03> maiori addatur, erit minoris ad re$iduum maior pro- portio, quàm aggregati ad maiorem duplicata.</I> S<I>i uerò minori addatur, & à maiore detrabatur, erit aggregati ad minorem minor proportio quàm maioris ad re$iduum duplicata.</I></col><col>127</col></row> <row><col>CXXXIIII.</col><col>S<I>i rectangula $uperficies $it, cuius pars tertia quadrata $it corpus, quod ex la- tere quadratæ in re$iduum $uperficiei con$tat, maius e$t quouis corpore ex eadem $uperficies, aliter diui$a con$tituto.</I></col><col>127</col></row> <row><col>CXXXV.</col><col>S<I>i linea in duas partes, quarum una fit alteri dupla diuidatur, erit quod fit ex tertia parte in quadratum re$idui parallelipedum maius omni pararalleli- pedo, quod ex diui$ione eiu$dem lineæ creari poßit.</I></col><col>128</col></row> <row><col>CXXXVI.</col><col>D<I>enominationes in infinitum extendere.</I></col><col>129</col></row> <row><col>CXXXVII.</col><col>R<I>ationem numerorum ex progreßione declarare.</I></col><col>131</col></row> <row><col>CXXXVIII.</col><col>M<I>odos u$us horum numerorum declarare.</I></col><col>131</col></row> <row><col>CXXXIX.</col><col>R<I>adices omnes à propo$itis numeris extrahere.</I></col><col>132</col></row> <row><col>CXL.</col><col>R<I>adices per numeros fractos determinare.</I></col><col>133</col></row> <row><col>CXLI.</col><col>N<I>umeros fractos ad minores in ea i&etilde; proportione ualde propinqud deducere</I></col><col>136</col></row> <row><col>CXLII.</col><col>D<I>enominationũ in crem&etilde;ta ex extrema cognita inuenire.</I> E<I>t cõuer$o modo.</I></col><col>137</col></row> <row><col>CXLIII.</col><col>S<I>i linea in duas partes diuidatur, corpora quæ fiunt ex una parte in alterius quadratum mutuo æqualia $unt corpori, quod fit ex tota linea in $uperfi- ciem unius partis in alteram.</I></col><col>138</col></row> <row><col>CXLIIII.</col><col>D<I>uplum cubi medietatis maius e$t aggregato corporum mutuorum, cuiuslibet diui$ionis quantum e$t, quod fit ex tota in quadratum differentiæ.</I></col><col>139</col></row> <row><col>CXLV.</col><col>S<I>i linea in duas partes diuidatur quadrata ambarum partium detracto eo, quod fit ex una parte in alteram, æqualia $unt producto unius in alteram cum quadrato differentiæ.</I></col><col>139</col></row> <row><col>CXLVI.</col><col>C<I>orpus quod fit ex linea diui$a in $uperficiem æqualem quadratis ambarum par tium detracta $uperficie unius partis in alteram, e$t æquale aggregato cubo- rum ambarum partium.</I></col><col>139</col></row> <row><col>CXLVII.</col><col>P<I>ropo$ita linea diui$a duas ei line as adijcere, ut proportio additarũ $ingularium</I></col><col></col></row> <foot><I>& partium</I></foot> <pb> <row><col></col><col><I>& partium $imul iunctarum ad additas $it mutua.</I></col><col>148</col></row> <row><col>CXLVIII.</col><col>P<I>ropo$itis tribus lineis primam $ic diuidere, ut adiectis duabus alijs lineis, $ecun- dum ration&etilde; mutuam $ingularum $ingulis, aggregatũ ex una adiectarũ, & par te ad aggregatũ ex alia parte, & adiecta $e habeat, ut $ecunda ad tertiã.</I></col><col>140</col></row> <row><col>CXLIX.</col><col>D<I>atam lineam $ic diuidere, ut proportio quadratorum ad dupium unius partis in alteram $it, ut lineæ datæ ad lineam datam.</I></col><col>141</col></row> <row><col>CL.</col><col>P<I>ropo$itis duabus lineis, lineam communem utri<01> adiungere, ut $it maioris ad ad- ditam proportio, uelut quadratorum minoris, & adiectæ ad duplum unius in alteram.</I></col><col>141</col></row> <row><col>CLI.</col><col>P<I>roportio differentiæ quadratorum partium cuiu$uis lineæ, ad quadratum diffe- rentiæ illarum e$t, uelut totius lineæ ad differentiam.</I></col><col>142</col></row> <row><col>CLII.</col><col>S<I>i linea in duas partes æquales, duas<03> inæquales diuidatur, fuerit<03> proportio ag- gregati ex maiore, & dimidio ad ip$am maiorem, uelut ex minore, & ali- qua linea ad ip$am minorem, & rur$us aggregati ex minore, & dimidio ad ip$am minorem, uelut aggregati ex maiore, & alia addita ad ip$am maiorem, erit proportio dimidij ad partem unam inæqualem, uelut alterius partis inæ- qualis ad $uam additam mutuò, & etiam proportio additarum inuicem, uelut proportio partiũ inæqualiũ duplicata, & rur$us ip$um dimidiũ lineæ a$$um- ptæ mediũ, erit proportione inter additas.</I> D<I>emũ proportio dimidij cũ addita maiore ad dimidiũ, cum addita minore, uelut maioris partis ad minor&etilde;.</I></col><col>142</col></row> <row><col>CLIII.</col><col>V<I>im quamcun<01> manus multiplicare.</I></col><col>144</col></row> <row><col>CLIIII.</col><col>S<I>i lineæ datæ alia linea adiungatur, ab extremitatibus autem prioris lineæ duæ rectæ in unum punctum concurrant proportionem habentes, quam mediam inter tota m & adiectam, & adiectam erit punctus, concur$us à puncto extre- mo lineæ adiectæ di$tans per lineam mediam.</I> Q<I>uod $i ab extremo alicuius li- neæ æqua'is mediæ, $eu peripheria circuli, cuius $emidiameter $it media linea duæ lineæ ad prædicta puncta producantur, ip$æ erunt in proportione mediæ ad adiectam.</I></col><col>145</col></row> <row><col>CLV.</col><col>Q<I>uadr atorum numerum proportionem & inuentionem con$iderare.</I></col><col>147</col></row> <row><col>CLVI.</col><col>H<I>orologiorum tempus multiplicare.</I></col><col>152</col></row> <row><col>CLVII.</col><col>H<I>orologiorum molarium rationem o$tendere.</I></col><col>154</col></row> <row><col>CLVIII.</col><col>R<I>ationem indicis mobilis cum rota, qua horarum numerus per ictus indicatur ex- plicare.</I></col><col>156</col></row> <row><col>CLIX.</col><col>N<I>ullus angulus rectilineus æqualis e$$e pote$t alicui angulo contento recta, & cir culi portione.</I></col><col>158</col></row> <row><col>CLX.</col><col>P<I>ropo$ita linea tribus<03> in ea $ignis punctum inuenire, ex quo ductæ tres lineæ ad $igna $int in proportionibus datis.</I></col><col>162</col></row> <row><col>CLXI.</col><col>S<I>i fuerint duo trianguli, quorum ba$es in eadem linea $int con$tituti, & æquales ad unum punctum terminati, & latus unum commune inter reliqua quantita- te medium nece$$e e$t angulum à maioribus lineis contentũ minorem e$$e.</I></col><col>162</col></row> <row><col>CLXII.</col><col>P<I>roportionem duorum orbium, quorum diametrorum conuexæ partis, & conca- uæ proportiones datæ $int inue$tigare.</I></col><col>164</col></row> <row><col>CLXIII.</col><col>P<I>roportionem uirium $tellarum per motus $uos indagare.</I></col><col>165</col></row> <row><col>CLXIIII.</col><col>S<I>yderum proportionem in magnitudine o$tendere.</I></col><col>166</col></row> <row><col>CLXV.</col><col>P<I>roportionem motuum omnium $tellarum ad</I> S<I>olem con$iderare.</I></col><col>167</col></row> <row><col>CLXVI.</col><col>P<I>roportiones mu$icas $uperpartientes in eas, quæ particulá una tantum abundant reducere.</I></col><col>168</col></row> <foot>P<I>roportio-</I></foot> <pb> <row><col>CLXVII.</col><col>P<I>roportionem mu$icam ad $apores & odores coaptare.</I></col><col>176</col></row> <row><col>CLXVIII.</col><col>P<I>icturarum proportiones explicare.</I></col><col>179</col></row> <row><col>CLXIX.</col><col>P<I>roportionem mu$icam in in$trumentis declarare iuxta compo$itionis ra- tionem.</I></col><col>182</col></row> <row><col>CLXX.</col><col>C<I>oniugationes cuiu$uis numeri breuiter inuenire.</I></col><col>185</col></row> <row><col>CLXXI.</col><col>P<I>ropo$itis duobus quibuslibet numeris, quotuis alios $eu in continuum $eu medios in continua proportione arithmetica, geometrica & mu$ica in- uenire.</I></col><col>187</col></row> <row><col>CLXXII.</col><col>P<I>roportiones</I> S<I>tiphelij de$cribere.</I></col><col>191</col></row> <row><col>CLXXIII.</col><col>C<I>irculum $uper centro $uo mouere æqualiter, ita quod omnia illius puncta per rectam lineam moueantur ultro citro<01>.</I></col><col>192</col></row> <row><col>CLXXIIII.</col><col>P<I>rogre$$us & regre$$us, tam $ine latitudine quàm cum latitudine in planetis per $olos concentricos circulos æqualiter motos demon$trare.</I></col><col>194</col></row> <row><col>CLXXV.</col><col>C<I>au$am uarietatis diametrorum ex $uppo$itis concentricis demon$tra- re.</I></col><col>195</col></row> <row><col>CLXXVI.</col><col>R<I>ationem centri grauitatis declarare.</I></col><col>197</col></row> <row><col>CLXXVII.</col><col>S<I>i proportio aliqua ex duabus proportionibus eiu$dem quantitatis ad alias duas componatur, erit proportio illarum duarum eadem proportioni producti ex proportione in primam duarum quantitatum, detracta prio- re illa quantitate, quæ ad duas comparatur, ad eandem priorem quanti- tatem.</I></col><col>198</col></row> <row><col>CLXXVIII.</col><col>P<I>roportionem mi$tionis metallorum, maximè auri & argenti declara- re.</I></col><col>199</col></row> <row><col>CLXXIX.</col><col>S<I>i duobus totis duæ portiones $imiles ab$cindantur ab ei$dem denuò, & ab- $cißis portionibus partes eædem auferantur, denuo<03> ac denuò quoties libuerit à portionibus, & ù re$iduis ip$arum quantitatum partes eædem auferantur, erit re$iduí ad re$iduum, ueluti totius ad totum.</I></col><col>200</col></row> <row><col>CLXXX.</col><col>S<I>i aliqua quantitas in duas partes diuidatur, fuerit<03> alicuius quantitatis ad partes illas compo$ita proportio, non poterit eiu$dem quantitatis ad par- tes alias quantitatis diui$a, aliter proportio eadem componi.</I></col><col>202</col></row> <row><col>CLXXXI.</col><col>C<I>um fuerit aliqua proportio, compo$ita ex proportionibus primæ ad $ecun- dam & tertiam, & rur$us quartæ ad quintam & $extam: ita $e habebit proportio $ecundæ ad tertiam, ad proportionem quintæ ad $extam, uelut producti ex proportione in $ecundam detracta prima ad primam ad pro- ductum ex proportione in quintam, detracta quarta ad quartam.</I></col><col>203</col></row> <row><col>CLXXXII.</col><col>P<I>ropo$ita differentia proportionum partium $imilium ad partes a$$umptas, propo$ita<03> proportione totius ad re$idua eadem, differentiam propor- tionum totius ad reliquum re$idui inuenire.</I></col><col>203</col></row> <row><col>CLXXXIII.</col><col>S<I>pacium uitæ naturalis per $pacium uitæ fortuitum declarare.</I></col><col>204</col></row> <row><col>CLXXXIIII.</col><col>Q<I>uæcun<01> grauia in uorticibus aquarum, merguntur, in medio uorticis, pri- mum uer$a mergantur.</I></col><col>211</col></row> <row><col>CLXXXV.</col><col>C<I>ur homo $edens quanto altius $edet, & quanto magis crura ad fœmora, & fœmora ad pectus reclinata habet, facilius con$urgat, cum tamen hæc op- po$ito modo inuicem $e habeant, declarare.</I></col><col>213</col></row> <row><col>CLXXXVI.</col><col>S<I>i fuerit proportio primæ & $ecundæ quantitatis ad tertiam, ut primæ & quartæ ad quintam, fuerit<03> quarta $ecunda maior, erit proportio quar- tæ ad quintam maior quàm $ecundæ ad tertiam.</I> Q<I>uod $i fuerit maior</I></col><col></col></row> <foot><I>quartæ</I></foot> <pb> <row><col></col><col><I>quartæ ad quintam quàm $ecundæ ad tertiam, nece$$e e$t quartam $ecunda e$$e maiorem.</I></col><col>214</col></row> <row><col>CLXXXVII.</col><col>S<I>i ei$dem uiribus & ‘eadem’ proportione cum auxilio ponderis tertij quar- tum pondus moueatur quibus $ecundum, auxilio primi nece$$e e$t quartũ pon dus tardius & maiore cum difficultate moueri quàm $ecundum.</I></col><col>214</col></row> <row><col>CLXXXVIII.</col><col>S<I>i uires aliquæ moueant cum ponderibus aliqua pondera, ut compo$ita pro- portio $it eadem proportioni uirium & duorum ponderum mouentium ag- gregatum æquale duorum ponderum, ubi maior fuerit partium in æqual<*>as, ibi erit maior difficultas.</I></col><col>214</col></row> <row><col>CLXXXIX.</col><col>S<I>i pondus minus ad longitudinem minorem $ub æquali proportione coapte- tar, facilius deor$um trahetur quàm quod maius e$t & propius.</I></col><col>215</col></row> <row><col>CXC.</col><col>S<I>i fuerit primum graue minus $ecundo, & $ecundum minus tertio, proportio autem primi ad $ecundum multo maior quàm $ecundi ad tertium, po$ibile erit propo$itis uiribus ei$dem addere pondus $ecũdo, ut ip$um & tertium mouea- tur faciliùs ab ei$dem uiribus, & primo uel $ecundo quàm antea.</I></col><col>215</col></row> <row><col>CXCL.</col><col>C<I>um fuerint duo pondera & uires, duxeris<03> aggregatum ex uiribus & mi- nore pondere in maius, addideris<03> in$uper quantum e$t productum dimidij ui rium in $e latus aggregati detracto dimidio uirium, dice<*> pondus auxiliare æqualis proportionis.</I></col><col>215</col></row> <row><col>CXCII.</col><col>S<I>i ex medio diametri linea ad perpendiculum erigatur ad circuli peripheri- am, ex eo puncto autem quotlibet lineæ ducantur $eu intus ad circun ferentia<*> u$<01>, $eu extra ad diametrum, erit proportio totius lineæ ad totam uelut mu- tuo partis ad partem.</I></col><col>217</col></row> <row><col>CXCIII.</col><col>R<I>ationem ponderis triplicem explicare.</I></col><col>218</col></row> <row><col>CXCIIII.</col><col>P<I>roportionem ponderis longioris in medio $u$pen$i, ad breuius illi æquale & in medio $u$pen$um declarare.</I></col><col>219</col></row> <row><col>CXCV.</col><col>S<I>i lectus fiat dupla longitudine ad latitudinem, melius $uffulcietur re$tibus ex medio ad angulos & eius æquidi$tantibus quàm $ecundum longitudinem & latitudinem.</I></col><col>220</col></row> <row><col>CXCVI.</col><col>S<I>i duo circuli $uper eodem centro eodem motu trans feruntur, æquale $pacium $uperant.</I></col><col>221</col></row> <row><col>CXCVII.</col><col>C<I>ur lances ad locum $uum $u$pen$i redeant, impendentes nõ, demõ$trare.</I></col><col>224</col></row> <row><col>CXCVIII.</col><col>C<I>ur $olidum quod cubus uocatur</I> P<I>yramide $tabilius $it o$tendere.</I></col><col>225</col></row> <row><col>CXCIX.</col><col>R<I>ationem remorum nauim impellentium inuenire.</I></col><col>227</col></row> <row><col>CC.</col><col>C<I>ur temo cum paruus $it, magnam nauim agere pote$t, & cur cùm uarietas $it in prora, ip$e con$tituatur in puppi.</I> E<I>t cum transuer$im ab aqua prematur rectà nauim dirigat.</I></col><col>228</col></row> <row><col>CCI.</col><col>S<I>i duæ lineæ non $ecantes circuli peripheriam in unum punctum ex ea coe- ant exterius, nece$$e e$t illas peripheria contenta e$$e maiores.</I></col><col>229</col></row> <row><col>CCII.</col><col>R<I>ationem $trepitus o$tendere.</I></col><col>232</col></row> <row><col>CCIII.</col><col>C<I>ur $cytalis onera portentur faciliùs, explorare.</I></col><col>233</col></row> <row><col>CCIIII.</col><col>C<I>ur pluribus trochleis, pondera facilius eleuentur o$tendere.</I></col><col>233</col></row> <row><col>CCV.</col><col>S<I>uper uerbis</I> P<I>latonis de fine</I> R<I>eipublicæ.</I></col><col>234</col></row> <row><col>CCVI.</col><col>R<I>hombi paßiones qua$dam declarare.</I></col><col>235</col></row> <row><col>CCVII.</col><col>P<I>roportionem agentium naturalium in tran$mutatione con$iderare.</I></col><col>238</col></row> <row><col>CCVIII.</col><col>M<I>ota res à centro grauitatis per prior&etilde; motum, in reditu uelocius mouetur quam $i quieuerit.</I></col><col>238</col></row> <foot>S<I>i</I></foot> <pb> <row><col>CCIX.</col><col>S<I>i $uperficies rectangula in duas partes æquales diui$a intelligatur, quæ am- bæ quadratæ $int, item<03> in duas inæquales, erit parallelipedum ex latere mediæ partis in totam $uperficiem maius aggregato parallelipedorum ex partibus inæqualibus in latera alterius partis mutuo, in eo, quod fit ex dif ferentia lateris minoris partis à mediæ latere in differentiam maioris par- tis $uperficiei à media $uperficie bis, & ex differentia amborum laterum inæqualium iunctorum ad ambo latera, æqualia iuncta in minorem par- tem $uperficiei.</I></col><col>241</col></row> <row><col>CCX.</col><col>S<I>i duæ lineæ ad æquales angulos ab eodem puncto peripheriæ circuli refle- ctantur, nece$$e e$t angulos cum dimetiente factos æquales e$$e.</I> V<I>nde ma- nife$tum e$t, protractam diametrum angulum $uppo$itum per æqualia di- uidere.</I></col><col>242</col></row> <row><col>CCXI.</col><col>S<I>i duæ lineæ ex duobus punctis peripheriam contingentes, in eandem par- tem protrahantur, $emper magis di$tabunt inuicem ea ex parte, & nun- quam concurrent.</I></col><col>243</col></row> <row><col>CCXII.</col><col>S<I>i ab eodem puncto ad circuli peripheriam lineæ quotuis ducantur, tres inue- nire lineas, quæ non in alium punctum reflectentur.</I></col><col>244</col></row> <row><col>CCXIII.</col><col>P<I>ropo$ito circulo, at<01> in eius peripheria puncto $ignato, lineas contingentes ultra cítra<01>, & eam ab ip$omet deducere.</I></col><col>245</col></row> <row><col>CCXIIII.</col><col>S<I>i extra circulum duo puncta æqualiter à centro di$tantia $ignentur, erit pun- ctum reflexionis æqualis in medio arcus intercepti inter lineas, quæ à cen tro ducuntur ad illa puncta.</I> S<I>i uerò unum centro proximius fuerit altero, punctum æqualitatis in peripheria tantò longius, uer$us breuiorem line- am, quantò punctum aliud à centro magis di$teterit.</I></col><col>245</col></row> <row><col>CCXV.</col><col>P<I>unctum reflexionis punctorum inæqualiter di$tantium à centro, æqualiter di$tat à lineis, ductis à centro ad puncta æqualiter di$tantia alterutrin- que.</I></col><col>246</col></row> <row><col>CCXVI.</col><col>S<I>i fuerint circuli duo inæquales, & extra utrunqúe punctum ad illud ex mi- nore reflexè per magnam partem minoris à maiore perueuire pote- runt.</I></col><col>247</col></row> <row><col>CCXVII.</col><col>O<I>culus uidet partem $uperficiei</I> L<I>unæ illuminatam à</I> S<I>ole per radios reflexos à</I> S<I>olis corpore: nec tamen pote$t uidere imaginem ip$ius in</I> L<I>una tan quam in $peculo.</I></col><col>248</col></row> <row><col>CCXVIII.</col><col>R<I>ationem maculæ</I> L<I>unæ indagare.</I></col><col>248</col></row> <row><col>CCXIX.</col><col>R<I>ationem eorum quæ apparent circa</I> S<I>olem $peculo in aqua po$ito decla- rare.</I></col><col>150</col></row> <row><col>CCXX.</col><col>C<I>au$am cur</I> S<I>ol æ$tiuis diebus exoriens umbram ad meridiem, cum in meridie ad boream mittat, explorare.</I></col><col>252</col></row> <row><col>CCXXI.</col><col>M<I>agnitudo</I> L<I>unæ & cæterorum a$trorum digno$citur ex proportione alio- rum ad eam iuxta di$tantiam: ip$ius uerò iuxta rationem pupillæ ad</I> L<I>u- nam di$tantiæ ratione.</I></col><col>354</col></row> <row><col>CCXXII.</col><col>Q<I>uantitates quæ æquales e$$e non po$$unt in eodem genere, maius tamen & minus recipiunt, $unt in proportione pote$tatis.</I></col><col>255</col></row> <row><col>CCXXIII.</col><col>Q<I>uantitates quæ actu æquales e$$e non po$$unt, in nulla proportione actu e$$e po$$unt.</I></col><col>256</col></row> <row><col>CCXXIIII.</col><col>N<I>eque temporis totius, ut imaginamur, ip$um e$$e infinitum, neque æui ui- tarum proportio ulla e$t ad tempus, quod pote$tate e$t, utpotè diem</I></col><col></col></row> <foot><I>uel</I></foot> <pb> <row><col></col><col><I>uel men$em.</I></col><col>256</col></row> <row><col>CCXXV.</col><col>P<I>roportio media non e$t ex ratione agentis, $ed patientis.</I></col><col>256</col></row> <row><col>CCXXVI.</col><col>P<I>roportio $ublimis non con$i$tit in magnitudine, $ed ordine, iuxta quem diffe- rentia e$t eius quod e$t ante & po$t.</I></col><col>257</col></row> <row><col>CCXXVII.</col><col>V<I>itæ iuxta numerum perfectionum in comparatione ad cogitationem no- $tram proportionem quand am habent.</I></col><col>259</col></row> <row><col>CCXXVIII.</col><col>P<I>roportionem $cientiæ futurorum & cæterorum occultorum con$idera- re.</I></col><col>260</col></row> <row><col>CCXXIX.</col><col>I<I>ncorporea omnia unum $unt, ne<01> numerus e$t eorum.</I></col><col>261</col></row> <row><col>CCXXX.</col><col>P<I>roportio incorporeorum a$cendentium $emper maior e$t.</I></col><col>262</col></row> <row><col>CCXXXI.</col><col>T<I>res e$$e mundos at<01> inter ip$os nullam e$$e proportionem: nec numero cos definiri.</I></col><col>263</col></row> <row><col>CCXXXII.</col><col>O<I>mnis motus naturalis quanto uelocior e$t tanto propior e$t & magis $imil limus quieti.</I></col><col>264</col></row> <row><col>CCXXXIII.</col><col>Q<I>uod e$t in mundo incorporeo æternum e$t, beatum, $ecurum, immutabile $ecundum locum, $olum iuxta e$$entiam fit: iuxta quod uelut à leui $u- $urro aquæ & aura æ$tiua demulcetur.</I></col><col>270</col></row> </table> <head>FINIS.</head> <p n=>1</p> <head>HIERONYMI CAR DANI MEDIOLANENSIS, CI- VI'SQVE BONONIENSIS, MEDICI- de Proportionibus, $eu Ope- ris Perfecti LIBER QVINTVS.</head> <P>Prima diffinitio.</P> <P>Proportio ab Euclide $ic de$cribitur, Quòd $it duarum quantitatum eiu$dem generis, quod ad magnitudinem attinet, compara- tio certa.</P> <P>Secunda diffinitio.</P> <P>Proportiones per $imilitudinem dicũtur, cùm quantitas quantitati compara&ttilde; alterius generis, cui fingitur æqualis e$$e pote$tate.<*></P> <P>Velut $i a b fingatur monas in comparatione ad b c erit rectangulum a c æquale lineæ b c.</P> <fig> <P>Tertia diffinitio.</P> <P>Proportio æqualis proportioni e$t, cùm eodem modo termini $e habent inuicem in utra<01></P> <P>Quarta diffinitio.</P> <P>Proportiones $ecundum genus notæ dicuntur, cùm nouimus, quòd $int maiores, aut minores. Nam cùm æquales $unt, $imul ne- ceffe e$t, ut cogno$camus genus, & $peciem.</P> <P>Quinta diffinitio.</P> <P>Datum po$itione e$t: quod nece$$ariò ex po$itis certam habet quantitatem.</P> <P>Sexta diffinitio.</P> <P>Datum $impliciter dicitur, quod ex propo$itis cogno$ci pote$t, quantum $it.</P> <P>Septima diffinitio.</P> <P>Proportiones pote$tate dicun&ttilde;, quæ$ub comparatione aliarum quantitatũ nece$$ariam habentium cõnexionem $olũ cogno$cun&ttilde;.</P> <P>Hæ autem $unt aliquando eiu$dem generis, cum primis ut nu- meri: aliquandò alterius, ut linearum & $uperficierum, angulorum, & arcuum: aliquando eiu$dem generis, & diuen$arum $pecierum, ut arcuum per $inus, qua utuntur A$tronomi.</P> <P>Octaua diffinitio.</P> <P>Proportio homonyma dicitur duarum quantitatum diuer$i ge- <marg>C<I>or</I>^{m}.</marg> neris, $ed alterius a b altero dependentium, uelut motus ad tem- <foot>A pus.</foot> <p n=>2</p> pus. Dicimus enim motum tardum, uel uelocem in comparatione ad tempus.</P> <P>Nona diffinitio.</P> <P>Proportionum aliæ dicuntur rhete, aliæ alogæ, rhetæ quæ $unt ut numeri ad numerum, alogæ quæ non $unt numeri ad numerum.</P> <P>Decima diffinitio</P> <P>Proportio rhete alia æqualis, alia multiplex, uel $ubmultiplex: alia unius partis exce$$us, aut defectus, alia plurium, quam $uper- partientem, aut $upartientem uocant.</P> <P>Vndecima diffinitio.</P> <P>Cum diui$o denominatore per numeratorem exit quantitas alo ga, proportio dicitur aloga: $i autem numerus integer, aut pars nu- meri nota dicitur rhete.</P> <P>Duodecima diffinitio.</P> <P>Proportionem in proportionem duci e$t, quoties recto ordine tres quantitates in ei$dem collo can&ttilde;: ut $int tres quan <fig> titates a b c dicetur proportio a ad c producta ex pro portione a ad b & b ad c, & $imiliter proportio c ad a producitur ex proportione b ad a, & c ad b.</P> <P>Tertiadecima diffinitio.</P> <P>Proportionem per proportionem diuidi e$t, quoties ad eandem quantitatem duæ quantitates comparantur, tunc illarum propor- tio e$t, quæ prodit una per alteram diui$a.</P> <P>Sint proportiones a & b ad c & interponatur b inter a & c, dico proportionem a ad c diui$am per proportionem a ad b, & prodire proportionem b ad c, con$tat ex conuer$a præcedentis.</P> <P>Quartadecima diffinitio.</P> <P>Additio proportionum intelligitur quotiens duarum quanti- tatum ad unam tertiam, proportiones per aggregatum ip$arum quantitatum ad eandem coniunguntur.</P> <P>Velut $i comparentur a b & b c ad d, inde tota <fig> a c ad d dicemus proportionem, ac ad d e$$e con iunctã ex duabus <04>portionibus a b ad d & b c ad eand&etilde; d. Hoc & duo $equentes $icut & du&ecedil; anteced&etilde;tes demon- $trabitur e$$e. nunc $olum quomodo intelligendũ $it proponimus.</P> <P>Quintadecima diffinitio.</P> <P>Detractionem proportionis à proportione intelligimus fieri per detraction&etilde; minoris quantitatis à maiore, comparatam ad ean- dem quantitatem.</P> <P>Velut in exemplo $uperiore detracta proportione b c ad d ex <foot>propor-</foot> <p n=>3</p> proportione a c ad d, relinquetur proportio a b ad d. & probatur ex conuer$ione præcedentis.</P> <P>Sextadecima diffinitio.</P> <P>Extractio radicum alicuius proportionis fit per extractionem radicum quantitatum illius iuxta unam, & eandem rationem.</P> <P>Velut quadratæ, uel cubæ, uel pronicæ, uel uniner$alis, uel alte- rius modi.</P> <P>Decima$eptima diffinitio.</P> <P>Cùm fuerint duæ proportiones $imiles in tribus terminis con- tinuatæ, dicetur proportio primæ quantitatis ad tertiam ueluti primæ ad $ecundam duplicata. Et $i $int tres proportiones $imiles in quatuor terminis, dicetur proportio primæ quantitatis ad quar- tam triplicatà ei, quæ e$t primæ ad $ecundam,</P> <P>Decimaoctaua diffinitio.</P> <P>Confu$a proportio dicitur $implicis, aut compo$itæ quantitatis ad compo$itam in comparatione ad proportiones ad partes.</P> <P>Decimanona diffinitio.</P> <P>Quantitates qu&ecedil; in continua $unt <04>portione Analogæ uocan&ttilde;.</P> <P>Dictum e$t hoc ad fugiendum nomen barbarum, etiam ut bre- uiter tamen po$$emus $ententiam explicare.</P> <P>Vige$ima diffinitio.</P> <P>Reflexa proportio dicitur cum trium quantitatum aggregatum primæ, & tertiæ $e habet ad $ecundam uelut $ecunda ad tertiam,</P> <P>Vige$ima prima diffinitio.</P> <P>Trium quantitatum analogarum aliæ quidem Geometricæ, cùm proportio $imilis e$t: Aliæ Arithmeticæ, cum fuerit æqualis exce$$us hucindè: Aliæ mu$icæ cum fuerit proportio primæ ad ter tiam multiplex, aut $implex, aut compo$ita exce$$us quæ $implici iuncta $it ad multiplicis perfectionem: eadem autem $it proportio exce$$us primæ, & $ecundæ ad exce$$um $ecundæ $upra tertiam.</P> <P>Velut proportio 6. 4. 3. dupla e$t utrin<01>, & 6. 3. 2 tripla. & 28. 24. 21. & 45. 40. 36. Geometrica uerò & arithmetica facilius continuan- tur in quotquot quantitatibus, $ed & mu$ica uelut 12. 8. 6. 4. 3. & proportio 8 ad 5 mu$ica e$t: quia proportio 5 ad 4 mu$ica e$t, & bene $onans, igitur con$titutis 8. 5. 4. cum 8 ad 4 benè $onet, & 5 ad 4, & 4 $it extrema non media inde 8. & 5 benè $onãt. nam in me- dijs nõ e$t uerũ, ut in 9. 6. 4 bis diapente, & 16. 12. 9 bis diate$$aron.</P> <P>Vige$ima $ecunda diffinitio.</P> <P>Quantitates quæ $imilem habent proportionem non continua- tam, omiologæ appellantur.</P> <P>Vige$ima tertia diffinitio.</P> <P>Prima operatione con$i$tere dicuntur proportiones, cùm inter primo conflatas quantitates con$titerint.</P> <foot>A 2 PRI-</foot> <p n=>4</p> <P>PRIMA Animi communis $ententia.</P> <P>Omnis Proportio e$t, aut æqualitatis, aut maior inæqualis, aut minor.</P> <P>Secunda animi communis $ententia.</P> <P>Quilibet numerus tantus dicitur, quanta e$t illius proportio ad monadem.</P> <P>Dicimus enim quatuor, quod monadem quater contineat. Et duo cum dimidio cùm monadem bis & $emis contineat.</P> <P>Tertia animi communis $ententia.</P> <P>Proportionem defectus, $eu detractæ quantitatis ad defectum e$$e po$$e, ut quantitatis ad quantitatem dicuntur communes ani- mi $entcntiæ, quæ ex intellectu $olo terminorum, quod ueræ $int, cogno$cuntur. Si ergo defectus e$t quantitas, & quantitas eiu$dem $peciei, quia detrahitur, & defectus non e$t $implicitur, $ed detra- cto ergo per quartam petitionem: uel primam diffinitionem erit proportio interillas. Sunt enim ambæ detractæ.</P> <P>Quarta animi communis $ententia.</P> <P>Inter quantitatem, & defectum minorem quantitate, cuius e$t de fectus, e$t proportio, quatenus e$t quantitas. Sit a b linea, & detra- cta quantitas b c, non maior a b & d $it alia quæuis quantitas eiu$- <fig> d&etilde; generis, dico quòd inter d & b c e$t propor- tio quatenus b c e$t quantitas, quia $unt eiu$- dem generis ideo $unt in aliqua proportione per primam diffinitionem. Sed ut b c e$t defectus, nulla e$t propor- tio: quia quanto b c augetur, tanto augetur proportio d ad b c, & hoc e$t contra demon$trata ab Euclide.</P> <P>Quinta animi communis $ententia.</P> <P>Cum proportio producitur ex proportionibus quælibet illa- rum dicetur producta diui$a per alteram.</P> <P>Sexta animi communis $ententia.</P> <P>Æqualium quantitatum $eu proportionum ad tertiam compa- rabilium eadem e$t proportio at<01> uici$sim. Hæc et$i demon$tre- tur ab Euclide, e$t tamen hic generalior: & $atis per $e nota. Vt $it propior animi communi $ententiæ, quàm rei demon$trandæ.</P> <P>Septima animi communis $ententia.</P> <P>Ad quod quantitas proportionem habet infinitam, id in genere illius quantitatis non comprehenditur.</P> <P>Nam proportio e$t duarum quantitatum eiu$dem generis com- paratio certa: at hæc comparatio certa non e$t: non igitur quantita- tes ambæ $unt, aut non eiu$dem generis.</P> <foot>PRI-</foot> <p n=>5</p> <P>PRIMA Petitio.</P> <P>Si fuerit primi ad $ecundum, ut tertij ad quartum, & ex primo in $ecundum producatur æquale, aut maius, aut minus primo, uel $ecundo, producetur eodem modo ex tertio in quartum &ecedil;quale aut maius, aut minus tertio, uel quarto eadem ratione & ordine.</P> <P>Secunda petitio.</P> <P>Proportiones po$$unt duci, diuidi, iungi, & auferri, & $umi radix in eis cuiu$cunque generis, atque earum quantitatis, ut libet, po$$e tran$ponere.</P> <P>Tertia petitio.</P> <P>Proportionis cuiu$uis nomen à denominatore $uprà $cripto, & numeratore infrà $cripto $umitur.</P> <P>Quarta petitio.</P> <P>Diui$a quauis quantitate per aliam eiu$dem generis, quod exit proportio dicitur.</P> <P>Quinta petitio.</P> <P>Qu&ecedil;libet proportio e$t uel inter duas quantitates, uel per unam $ignificatur.</P> <P>Nam per tertiam petitionem $i $int duæ quantitates, quæ non hæ beant unius rationem, nomen $umit proportio à duobus numeris, $in autem $it altera monas, erit per $ecundam animi communem $en tentiam, proportio numerus ip$e Ideò patet, quod dicitur.</P> <P>Sexta petitio.</P> <P>Propo$ita proportione quacun<01>, & monade quantitatem inue nire, quæ $e habeat ad monadem in proportione propo$ita.</P> <P>Nam cùm per quartam petitionem diui$a quantitate per quan- titatem exeat proportio, & numerus ad monad&etilde; $e habeat, ut pro- portio, ideo $umpta monade $ecundum illum numerum, ille nume rus e$t quantitas quæ$ita.</P> <P>Septima petitio.</P> <P>Quamlibet quantitatem per aliam eiu$dem generis diuidere po$$e.</P> <P>Octaua petitio.</P> <P>Proportionem in proportionem ducere po$$e: quamuis $int in- ter quantitates diuer$i generis.</P> <P>Quod dicitur de multiplicatione intelligendum e$t de alijs ope- rationibus $uprà enumeratis.</P> <P>Nona petitio.</P> <P>Monadem $emper $umere in quo cunque genere po$$e propo$i- ta proportione.</P> <foot>A 3 Nam</foot> <p n=>6</p> <P>Nam licet diuidere per $eptimam petitionem quantitatem per quantitatem proportionis: & quod exit, e$t proportio per quar- tam petitionem, & per $ecundam animi communem $ententiam illa proportio e$t numero æqualis: ergo diui$a proportione, per $i- milem numerum $tatuetur monas.</P> <P>Decima petitio.</P> <P>In quouis genere quantitatum $umere po$$e quantitatem, quæ <marg>D<I>uodecima $exti</I> E<I>lem.</I></marg> $e habeat ad monadem in proportione data. Similem huic propo- nit Euclides in lineis generaliter: nos autem contrà generaliter in omnibus quantitatibus, $ed de monade tantum.</P> <P>Vndecima petitio.</P> <P>Monadem in quancun<01> quantitatem ductam æquale ip$i pro- ducere. Similiter & proportionem æqualem.</P> <P>Nam cum aliqua quantitas augeat ducta aliqua minuat, nece$$e e$t aliquam e$$e, quæ nec augeat, nec minuat, & hæc e$t monas. Idem dico de diui$ione. Aequalitas etiam ducta, uel diuidens non <marg>S<I>ecunda ani mi cõmunis $ententia.</I></marg> mutat proportionem: nec quantitatem ip$am, igitur monas æqua- litatem refert. Quod etiam e$t per$picuum ex $upradictis.</P> <P>Duodecima petitio.</P> <P>Cum fuerint quatuor quantitates & ad primam, & tertiam æquè multiplicibus a$$umptis, item <03> ad $ecundam & quartam, & $i mul- tiplex primæ maius e$t multiplici $ecundæ, multiplex tertiæ $it ma- ius multiplici quartæ, & $i minus minus, & $i æquale æquale, id<03> $emper quouis modo a$$umptis his proportionibus ad primam & tertiam, & ad $ecundam & quartam erit proportio primæ ad $ecun dam, ut tertiæ ad quartam. Hæc etiam a$$umitur ab Euclide. Et per <marg>Q<I>uinto</I> E<I>le. diff.</I> 6.</marg> hanc intelligimus etiam conuer$am.</P> <P>Tertiadecima petitio.</P> <P>Quantitates æquales, atque proportiones in qua$uis quanti- tates ductæ eandem $eruant rationem. Euclides hanc demon$trat, nos autem ad uitandum tædium petimus concedi, $ub qua in- <marg>Q<I>uarta quin ti</I> E<I>lem.</I></marg> cluduntur diui$io etiam additio, detractio, laterum omnium in- uentio.</P> <P>Quartadecima petitio.</P> <P>Cùm termini alicuius quantitatis eandem $eruant rationem in omnibus, & firmi $unt ac $tabiles eiu$dem rationis comparatione contentæ partes æqualem $eruant exce$$um, $eu proportionem.</P> <P>PROPOSITIO prima.</P> <P>Proportionem in proportionem duci e$t $uperiores nume- ros atque inferiores inuicem ducere.</P> <foot>Sit</foot> <p n=>7</p> <P>Sit proportio lineæ a ad lineam b, ut anguli cad angulum d, $ta- <marg>C<I>or</I>^{m}.</marg> tuatur e monas in genere a <fig> b, & fiat fad e, ut cad d, & du <marg>P<I>er</I> 9. P<I>etit.</I></marg> catur<*>a in f & b in e, & pro- ducantur g & h. Quia ergo <marg>P<I>er</I> 10. P<I>et.</I></marg> fe$t proportio ip$a, erit g ad <marg>P<I>er</I> 8. P<I>etit.</I></marg> a ut c ad d, $ed h e$t æqualis b, igitur a ad h ut ad b. Du- cta ergo dicetur proportio a <marg>P<I>er</I> 2. A<I>ni- <*>i $entent.</I></marg> ad b in proportionem c ad d ducendo terminos proportionis, $eu quantitatis recta $cilicet $u- periores cum $uperioribus, & inferiores cum inferioribus. Nam $i <marg>P<I>er</I> 11. P<I>et.</I></marg> rur$um con$tituantur fad e ut a ad b cùm f $it proportio, & k ad f ut <marg>P<I>er</I> 8. P<I>etit.</I></marg> c ad d, erit k ad e, ut g ad h, k autem fit ex ductu proportionis a ad b, quæ e$t fin proportionem c ad d, liquet igitur propo$itum.</P> <P>Propo$itio $ecũnda.</P> <P>Proportio extremorum producitur ex intermedijs.</P> <marg>C<I>or</I>^{m}.</marg> <P>Sint a b c quantitates dico proportio- <fig> nem a ad c, produci ex proportione a ad b <marg>P<I>er</I> 6. <I>&</I> 9. P<I>etit.</I></marg> & b ad c, $tatuantur totidem à monade d e f, erúntque ex demon$trantis ab Euclide in quinto Elem&etilde;torum in eadem proportio- ne, ftatuatur ergo d prima quantitas e $e- cunda & tertia f quarta. eritqúe per præce- <marg>P<I>er</I> 13. P<I>et.</I></marg> dentem proportio productorum ex d in e & $it g, & in f & $it h, producta ex propor- tionibus d ad e & e ad f, quare ex propor- tionibus a ad b & b ad e, $ed ex dictis cum e $it eadem, erit proportio d ad f, ut g ad h & proportio, d ad f per æquam proportionem ab Euclide demon$tratam, ut a ad c, igitur <marg>P<I>er</I> 13. P<I>et.</I></marg> proportio a ad c producitur ex proportionibus a ad b & b ad c, & e$t proportio ip$a a ad c d numerus, ut o$ten$um e$t.</P> <P>Ex hoc $equitur, quòd cùm fuerit quantitas tertia monas ex pro- <marg>C<I>or</I>^{m}. 2.</marg> portionibus inuicem ductis producetur prima quantitas.</P> <marg>C<I>or</I>^{m}. 3</marg> <P>Ex hoc $equitur, quòd conuer$a proportio producitur ex con- uer$is proportionibus.</P> <P>Propo$itio tertia.</P> <P>Si proportio ex duabus proportionibus in quatuor terminis producatur, ip$a uerò proportio inter duas alias quantitates fue- <foot>A 4 rit</foot> <p n=>8</p> rit con$tituta: con$urgent trecenti $exaginta modi productionis proportionis.</P> <marg>C<I>or</I>^{m}.</marg> <P>H&ecedil;c propo$itio ut præcedens & $equ&etilde;tes tres ab Alchindo $um- ptæ $unt, & ab eo demon$trantur. Sit ergo proportio a ad b, pro- <table> <row><col>a</col><col>b</col></row> <row><col>---</col><col>---</col></row> <row><col>c</col><col>d</col></row> <row><col>---</col><col>---</col></row> <row><col>e</col><col>f</col></row> <row><col>---</col><col>---</col></row> </table> ducta ex proportione c ad d & e ad f, con$tat quòd cum $int $ex quantitates, quòd fieri pote- runt quindecim coniugationes, quas po$ui à la- tere facilitatis gratia, quibus re$pondent totidem <table> <row><col>a b</col><col>b a</col></row> <row><col>a c</col><col>c a</col></row> <row><col>a d</col><col>d a</col></row> <row><col>a e</col><col>e a</col></row> <row><col>a f</col><col>f a</col></row> <row><col>b c</col><col>c b</col></row> <row><col>b d</col><col>d b</col></row> <row><col>b e</col><col>e b</col></row> <row><col>b f</col><col>f b</col></row> <row><col>c d</col><col>d c</col></row> <row><col>c e</col><col>e c</col></row> <row><col>c f</col><col>f c</col></row> <row><col>d e</col><col>e d</col></row> <row><col>d f</col><col>f d</col></row> <row><col>e f</col><col>f e</col></row> <row><col>direc.</col><col>conuer.</col></row> </table> conuer$æ: erunt ergo triginta. Singulæ autem ha rum produci po$$unt duodecim modis: ductis duodecim in triginta, fiunt trecenti $exaginta mo di. Et hoc e$t clarum per$e, modo demõ$tremus, quod $inguli horum modorum po$sint produ- ci duodecim modis, & capiamus ab primam qu&ecedil; pote$t produci ex c d & e f: Item ambabus con- uer$is d c & fe: & rur$us altera recta altera con- uer$a: & hoc bifariam c d & f e, & d c & e f, $unt er- go iam quatuor modi. Totidem ex c e & d f, toti- dem<03> ex c f & d e, igitur erunt duodecim mo- di, quibus produci po$$e intelligitur propor- tio a ad b.</P> <P>Propo$itio quarta.</P> <P>Si fuerit proportio primi ad $ecundum produ- cta ex proportionibus tertij ad quartum, & quin ti ad $extum, producetur etiam ex proportione tertij ad $extum, & quinti ad quartum.</P> <P>Sit proportio a b producta ex proportioni- <table> <row><col>a</col><col>b</col><col></col></row> <row><col>c</col><col>e</col><col>g</col></row> <row><col>d</col><col>f</col><col>h</col></row> <row><col>---</col><col>---</col><col>---</col></row> <row><col>c</col><col>e</col><col>g</col></row> <row><col>f</col><col>d</col><col>h</col></row> </table> bus c ad d, & e ad f, dico quod etiam erit produ- <marg>P<I>er</I> 8. <I>petit.</I></marg> cta ex proportionibus c ad f, & e ad d, di$ponan- tur ut in figura & fiat ex c in e g, & ex d in fh, ergo <marg>I<I>n</I> 13. <I>petit.</I></marg> per primam harum g ad h ut a ad b, $ed per præ- $uppo$ita in $ecunda productione etiam prode- unt g & h, igitur per primam propo$itionem ha- rum a ad b proportio producitur ex proportionibus c ad f tertiæ $cilicet ad $extam, & e ad d quint&ecedil; ad quartam, quod fuit propo$itũ.</P> <P>Propo$itio quinta.</P> <P>Si fuerit proportio primi ad $ecundum producta ex proportio- ne tertij ad quartum, & quinta ad $extum: erit proportio tertij ad $extum producta ex proportionibus primi ad $ecundum, & quar- ti ad quintum.</P> <foot>Sit</foot> <p n=>9</p> <P>Sit proportio a ad b producta ex proportio- <marg>C<I>or</I>^{m}.</marg> <table> <row><col>a</col><col>b</col></row> <row><col>---</col><col>---</col></row> <row><col>c</col><col>e</col></row> <row><col>---</col><col>---</col></row> <row><col>d</col><col>f</col></row> <row><col>---</col><col>---</col></row> </table> nibus c ad d, & e ad f, dico quod proportio c ad f producitur ex proportione a ad b & d ad e. In- terponam d e inter c & f, erit<03> ex $ecunda pro- po$itione repetita proportio c ad f producta ex tribus proportionibus c ad d, d ad e, e ad f, $ed proportiones c ad d, & e ad f producunt pro- portionem a ad b, igitur proportio c ad f produ citur ex proportionibus a ad b, & e ad f.</P> <table> <row><col>c</col></row> <row><col>-----</col></row> <row><col>d</col></row> <row><col>-----</col></row> <row><col>e</col></row> <row><col>-----</col></row> <row><col>f</col></row> <row><col>-----</col></row> </table> <P>Propo$itio $exta.</P> <P>Ex trecentis $exaginta modis producenda- rum proportionum triginta $ex tantum e$$e ne- ce$$arios.</P> <table> <row><col>c</col><col>p</col></row> <row><col>---</col><col>---</col></row> <row><col>a</col><col>d</col></row> <row><col>---</col><col>---</col></row> <row><col>b</col><col>e</col></row> <row><col>---</col><col>---</col></row> </table> <P>Per quartam enim proportio a ad b produ- <marg>C<I>or</I>^{m}.</marg> citur bifariam, & ex c ad d, & e ad f, & ex c ad f, & e ad d. & perpræ cedentem c ad f producitur ex a ad b, & d ad e, & per quartam rur$us ex a ad e, & d ad b. Et per præcedentem rut$us a ad e ex c ad f & b ad d, igitur per quartam eadem produ- cetur ex c ad d & b ad f. Quare per præceden- tem c ad f ex a ad e, & d ad b, & ita di$ponemus hos modos in tabula. Vides etiam <table> <row><col></col><col>Primi ad $ecundum.</col></row> <row><col>1</col><col>tertij ad quartũ, & quin</col></row> <row><col></col><col>ti ad $extum.</col></row> <row><col>2</col><col>tertij ad $extum, & qu<*>n</col></row> <row><col></col><col>ti ad quartum.</col></row> <row><col></col><col>Primi ad tertium.</col></row> <row><col>3</col><col>$ecundi ad quartum, &</col></row> <row><col></col><col>quinti ad $extum.</col></row> <row><col>4</col><col>$ecundi ad $extum, &</col></row> <row><col></col><col>quinti ad quartum.</col></row> <row><col></col><col>Primi ad quintum.</col></row> <row><col>5</col><col>$ecundi ad $extũ, & ter-</col></row> <row><col></col><col>tij ad quartum.</col></row> <row><col>6</col><col>$ecundi ad quartum, &</col></row> <row><col></col><col>tertij ad $extum.</col></row> <row><col></col><col>Secundi ad quartum.</col></row> <row><col>7</col><col>primi ad tertium, & $ex</col></row> <row><col></col><col>ti ad quintum.</col></row> <row><col>8</col><col>primi ad quintum, et $ex</col></row> <row><col></col><col>ti ad tertium.</col></row> <row><col></col><col>Secundi ad $extum.</col></row> <row><col>9</col><col>primi ad quintũ, & quar</col></row> <row><col></col><col>ti ad tertium.</col></row> <row><col>10</col><col>primi ad tertiũ, & quar-</col></row> <row><col></col><col>ti ad quintum.</col></row> <row><col></col><col>Tertij ad quartum.</col></row> <row><col>11</col><col>primi ad $ecundum, &</col></row> <row><col></col><col>$exti ad quintum.</col></row> <row><col>12</col><col>primi ad quintum, & $ex</col></row> <row><col></col><col>ti ad $ecundum.</col></row> <row><col></col><col>Tertij ad $extum.</col></row> <row><col>13</col><col>primi ad $ecundum, &</col></row> <row><col></col><col>quarti ad quintum.</col></row> <row><col>14</col><col>primi ad quintum, &</col></row> <row><col></col><col>quarti ad $ecundum.</col></row> <row><col></col><col>Quarti ad quintum.</col></row> <row><col>15</col><col>$ecundi ad primum, &</col></row> <row><col></col><col>tertij ad $extum.</col></row> <row><col>16</col><col>$ecundi ad $extum, & ter</col></row> <row><col></col><col>tij ad primum.</col></row> <row><col></col><col>Quinti ad $extum.</col></row> <row><col>17</col><col>primi ad $ecundum, &</col></row> <row><col></col><col>quarti ad tertium.</col></row> <row><col>18</col><col>primi ad tertiũ, & quar-</col></row> <row><col></col><col>ti ad $ecundum.</col></row> </table> aliquos modos non produci, ut pri- mi ad quartum nec ad $extum, & li- quet, quòd cùm $int quindecim o- mnes modi qui produci po$$e intelli- guntur, & nouem tantum producan- tur $ex e$$e, qui non <04>ducuntur, quos $eor$um in tabula coniunxi. Et con- $tat etiam, quod totidem conuer$i $ci- licet decem octo producũtur, de qui- bus diximus, ut $int omnes triginta $ex, qui con$tat ex duabus propo$i- tionibus præmi$sis, & hac tertia, quã adiungemus $cilicet, quòd propor- tio primi ad tertium producatur ex proportionibus $ecũdi ad quartum, & quinti ad $extũ. Hoc enim ex præ- cedentibus non liquet: benè liquet permutatis ordinibus, quod $i pro- portio primi ad tertium producitur, <foot>quod</foot> <p n=>10</p> quod etiam propor- <marg>Modi qui nõ producuntur pri. ad quartu pri. ad $extum $ec. ad tertiũ $ec. ad quintũ tert. ad quint. quart. ad $ext.</marg> tio primi ad quintũ. Nam tertium, & quin tum, item <03> quartum, & $extum non diffe- rũt ni$i ordine uolun tario. Ergo interpo$i- to e inter a, & c per $e- cundam propo$itio- nem proportio a ad c producitur ex proportionibus a ad e, & e ad c, ut ex demon$tratis in præ- $enti proportio a ad c producitur ex c ad f & b ad d. Proportio ergo a ad c producitur ex proportionibus e ad c & c ad f & b ad d, at e ad c & c ad f producunt eam, quæ e$t e ad f per $ecũdam propo$itionem. Igitur pro- portio a ad c producitur ex propor- tionibus b ad d $ecundi ad quartum, & e ad f quinti ad $extum. Hæc Al- chindus in $uo libello: $ed licet inge- nio $a ualde: parum tam&etilde; utilia olim erãt nece$$aria ad intelligendum ma- gnam cõpo$itionem Ptolem&ecedil;i, nunc po$tquam Heber has $ex quantita- tes traduxit ad quatuor, pror$us hæc $cientia ulli u$ui e$$e de$ijt.</P> <table> <row><col>a</col><col>e c</col><col>a e</col><col>e c</col></row> <row><col></col><col></col><col>c b</col><col>e</col></row> <row><col></col><col></col><col>f d</col><col>c</col></row> <row><col></col><col></col><col></col><col>f</col></row> </table> <P>Propo$itio $eptima.</P> <P>In modis qui nece$$ariò produ- cuntur ex duabus proportionibus, cum du&ecedil; quantitates ex illis, qu&ecedil; mo dos conficiunt, æquales fuerint: pro- <table> <row><col>a</col><col>b</col></row> <row><col>---</col><col>---</col></row> <row><col>c</col><col>e</col></row> <row><col>---</col><col>---</col></row> <row><col>d</col><col>f</col></row> <row><col>---</col><col>---</col></row> </table> portio producta ad quatuor quanti- tates omiologas reducetur.</P> <marg>C<I>or</I>^{m}.</marg> <P>Sint $ex quantitates a b c d e f, & producatur <04>portio a ad b ex pro- portione c ad d, & e ad f, tu $cis, quòd modi recepti $unt prima cum $ecunda, tertia uel quinta, & $ecunda cum quarta, & $exta, & tertia $imiliter cum ei$dem, & quinta eodem modo cum ei$dem: $i igitur du&ecedil; quantitates ex his, qu&ecedil; faciunt pro- <foot>portionem</foot> <p n=>11</p> portionem productam inter $e fuerint æquales reducetur hæc pro- portio ad quatuor quantitates omologas, $cilicer abiectis amba- bus æqualibus. Sit gratia exempli prima æqualis quintæ: & quia in octauo modo proportio $ecũdi ad quartum producitur ex pro- portione primi ad quintum, & $exti ad tertium, ergo per expo$ita proportio $ecundi ad quartum, ut $exti ad tertium, & ita permutan- do, & conuertendo $ecundi ad $extum, ut quarti ad tertium, & tertij <marg>V<I>ndecima petitione.</I></marg> ad quartum, ut $exti ad $ecundum.</P> <P>Propo$itio octaua.</P> <P>Si duarum proportionũ $uperiores numeri alternatim cum infe rioribus multiplicentur, at<01> coniungantur: erit proportio aggre- gati ad productum ex inferioribus inuicem proportio ex primis proportionibus compo$ita.</P> <fig> <P>Sit proportio una a ad b, alia c ad d, ducatur b in <marg>C<I>or</I>^{m}.</marg> c, fiat<03> e & a in d, & fiat f, iungantur<03> e & f & fiat h, & ducatur b in d et fiat g: dico proportion&etilde; h g com- po$itam e$$e ex proportione a ad b, & c ad d. Quia <marg>E<I>x</I> 13 <I>peti- tione.</I></marg> enim ex b in c fit e, & ex b in d fit g, erit proportio e ad g, ut c ad d, & $imiliter, quia ex d in a fit f, & ex d in b fit g, erit f ad g ut a ad b. Sed e & f componunt h, igitur proportio h ad g e$t com po$ita ex proportionibus e & f ad g, igitur per communem animi $ententiam, & diffinitionem compo$itæ proportionis, proportio h <marg>P<I>er</I> 14 <I>diffi nitionem.</I></marg> ad g compo$ita e$t ex proportionibus a ad b, & c ad d, quod e$t propo$itum.</P> <P>Propo$itio nona.</P> <P>Si duarum proportionum $uperiores numeri alternatim cum inferioribus multiplicentur, minus<03> productum ex maiore detra- hatur, erit re$idui ad productum ex inferioribus proportio uelut illa, quæ relinquitur detracta minore proportione ex maiore.</P> <P>Hæc eodem modo probatur, ut præcedens, ni$i quod h fit de- <marg>C<I>or</I>_{m}. 152.</marg> tracto è minore: gratia exempli ex f, & ita ex diffinitione patet pro- po$itum.</P> <P>Propo$itio decima.</P> <P>Si fuerit alicuius quantitatis ad unam partem proportio uelut al terius partis ad $ecũdam quantitatem erit proportio cuiu$uis quan titatis eiu$dem generis ad $ecundam compo$ita proportio ex pro- portionibus eiu$dem quantitatis a$$umptæ ad utran <01> partem pri- mæ quantitatis $eor$um.</P> <marg>C<I>or</I>^{m}.</marg> <fig> <P>Sit a b quantitas diui$a in c, & $i cut a b ad a c, ita b c ad d: erit<03> iterum permutando a b ad b c, ut a c ad d, & $umatur quædam quantitas e eiu$- <foot>dem</foot> <p n=>12</p> dem tamen generis, cum illis dico quòd proportio e ad d e$t com- po$ita ex proportionibus e ad a c, & e ad b c. Po$ita ergo e tan<08> $u- periore numero, & a c & c b inferioribus, erit ex octaua propo$itio- ne huius proportio productorum ex e in a c, & coniunctorum, & ex con$equenti per primam $ecundi Elementorum producti ex e in a b ad productum ex a c in c b compo$ita ex proportionibus e ad a c, & e ad c b: at quod fit ex a c in c b, e$t æquale ei quod fit ex a b in d, eo quòd a b, a c, c b & d $unt omiologæ per decimam$extam $exti Elem&etilde;torum: Proportio igitur producti ex e in a b ad productum ex d in a b e$t compo$ita ex proportionibus e ad a c, & e ad e b: At proportio producti ex e in a b ad productum ex d in a b, e$t uelut e <marg>13. P<I>etit.</I></marg> ad d. per $uppo$ita igitur proportio e ad d e$t compo$ita ex propor tionibus e ad a c, & e ad b c, quod fuit demon$trandum.</P> <P>Propo$itio undecima.</P> <P>Proportio aggregati quarumlibet duarum quantitatum ad ag- gregatum duarum æqualium quantitatum e$t compo$ita ex pro- portionibus primis, & diui$a per duplam.</P> <marg>C<I>or</I>^{m}.</marg> <P>Sit proportio a ad c, & b ad d, & $int c & d <fig> æquales, dico quòd proportio a b ad c d e$t compo$ita ex proportionibus a ad c, & b ad d diui$o compo$ito per duplam. Quia enim <marg>E<I>x $exta</I> A<I>nim. com. $ententia.</I></marg> c & d $unt æquales, erit b ad c, ut b ad d, qua- re ex diffinitione cùm proportio a b ad c d <marg>D<I>ecimaquarta</I></marg> $it compo$ita ex proportionibus a ad c, & b ad c, erit etiam compo$ita ex dictis ex propo$itione a ad c, & b ad d, <marg>13. P<I>etit.</I></marg> $tatuatur ergo e æqualis c d media inter a b & c. Et erit per $ecun- dam propo$itionem proportio aggregati a b ad c producta ex <marg>P<I>er</I> 2. P<I>etit.</I></marg> proportione aggregati a b ad c, & e ad c, igitur proportio a b ad e erit proportio a b ad c, diui$a per proportionem e ad c, $ed e ad c e$t <marg>P<I>er quintam</I> A<I>nim. com. $en tentiam.</I></marg> dupla: igitur proportio a b ad c d e$t proportio a b ad c diui$a per duplam.</P> <P>Propo$itio duodecima.</P> <P>Propo$itis duabus proportionibus unam alteri iungere ab$que multiplicatione.</P> <marg>C<I>or</I>^{m}. 10. P<I>etit.</I></marg> <P>Sint propo$itæ proportiones a ad c & <fig> b ad d, & a$$umo e ad c, iuxta ea quæ Eu- clides demon$trauit, ut b ad d, erit igitur <marg>E<I>x generali com.</I> A<I>nim. $en tentia.</I></marg> proportio a e ad c, compo$ita ex proportionibus a ad c, & e ad c, $ed proportio e ad c e$t, ut b ad d, igitur proportio a e ad c compo- $ita e$t ex proportionibus a ad c, & b ad d.</P> <P>Aliter ex b in c fiat fex a in d, g ex c in d h coniunctum ex f g, k.</P> <foot>Quia</foot> <p n=>13</p> <fig> <P>Quia ergo ex c in b fit f, ex c in d h, erit f ad h, ut b ad d, igitur ut e ad c, $ed a ad c, ut g ad h igi <marg>P<I>er</I> 13. P<I>et.</I></marg> tur a e ad c, ut k ad h, $ed k ad h cómponitur ex proportionibus a ad c, & b ad d. Ex octaua ha rum igitur proportio a c ad c compo$ita e$t ex ei$dem. For$an quis dicat hanc eandem e$$e octauæ $ed nõ e$t, in illa enim proportio com- paratur ad productum, in hac ad unam ex quantitatibus.</P> <P>Ex hoc $equitur quòd: Quælibet duæ quantitates quarum ag- <marg>C<I>or</I>^{m}.</marg> gregatum e$tidem ad eam quantitatem, componunt eandem pro- portionem.</P> <P>Propo$itio tertiadecima.</P> <P>Proportio confu$a aggregati primæ & tertiæ quatuor quantita- tum omiologarum ad aggregatũ $ecundæ & quartæ, e$t uelut com po$ita ex ei$dem diui$a per duplam.</P> <marg>C<I>or</I>^{m}.</marg> <P>Sint a ad b, ut c ad d, dico, quòd erit confu$a <table> <row><col>a</col><col>c</col></row> <row><col>-----</col><col>-----</col></row> <row><col>b</col><col>d</col></row> <row><col>---</col><col>---</col></row> </table> proportio a c aggregati ad aggregatũ b d, com po$itæ ex his proportionibus diui$æ per du- plam æqualis. Erit enim aggregati ex a c ad aggregatum ex b d, ue- lut a ad b per 18 quinti Elementorum. Sed proportiones a ad b, & c ad d componunt proportionem producti a in d, & c in b per octauam harum, ad productũ ex b in d, productum uerò ex a in d e$t æquale producto ex b in c per decimam$extam $exti Elemento- rum, & proportio producti ex b in c ad productum ex b in d e$t ue lut c ad d, quare ut aggregati a c ad aggregatum b d, igitur propor- tio compo$ita ex a ad b, & c ad d, e$t uelut confu$a bis $umpta. Igi- tur confu$a e$t uelut compo$ita diui$a per duplam per modum un- decimæ huius.</P> <P>Propo$itio quartadecima.</P> <P>Proportiones confu$æ, & coniunctæ in tribus quantitatibus in- uicem commutantur.</P> <fig> <P>Sint tres quantitates, dico, quod proportio c <marg>C<I>or</I>^{m}.</marg> ad a b confu$a e$t, conuer$a coniunctæ a & b ad <marg>14. <I>diff.</I></marg> c. Nam per dicta proportio a b ad c efficit con- iunctam ex a b ad c: $ed c ad a b conuer$a e$t eius, quæ e$t a b ad c, & proportio c ad a b e$t confu$a eius, quæ e$t c ad a & b. Igitur pro- portio confu$a in tribus quantitatibus e$t contraria coniunctæ in ei$dem.</P> <P>Ex quauis ergo illarum data, data erit & reliqua.</P> <marg>P<I>er</I> 18. <I>diff.</I></marg> <foot>B Propo$itio</foot> <p n=>14</p> <P>Propo$itio quintadecima.</P> <P>Si fuerint quatuor quantitas-proportio confu$a aggregati pri- mæ & tertiæ ad aggregatum $ecundæ, & quartæ erit ut monadis addito prouentu, qui fit diui$a differentia differentiarum primæ & $ecundæ, at<01> quartæ & tertiæ per aggregatum tertiæ, & quartæ ad ip$am monadem.</P> <fig> <P>Sint quatuor quantitates a b, c, d, e f, & <marg>C<I>or</I>^{m}.</marg> $it a b maior cin a h, & e fmaior d in f g, & differentia f g & a h $it a k: dico proportio- nem a b, & d confu$am ad c & e f, e$$e ut mo nadis addito prouentu, uel detracto a k diui$æ per aggregatum c. & e f ad ip$am monadem, & manife$tum e$t, quòd pote$t continge- re pluribus modis: Primus ut a b $it maior c & e f minor d, & tunc differentiæ coniungentur, & prouentus, addetur monadi. Idem fa- ciendum erit $i a b $it maior c, & e f $it minor d, $ed exce$$us $uperet defectum. At $i uel a b $it minor c, & e f maior d, uel ita minor, ut c exce$$us $upra b a $it maior defectu, detrahemus prouentum à mo- nade. Alia cautio e$t quòd $i fuerint utrinque exce$$us, aut defectus, minuemus minorem de maiore: $i autem unus $it exce$$us alter de- fectus, iungemus illos, & po$t diuidemus. uno ergo demon$trato ut pote primo intelligentur reliqui. Quia ergo b h e$t æqualis c & e g æqualis d & h k æqualis g f, erit ex communi animi $ententia ag gregatum ex d & k b æquale aggregato ex c & e f, igitur per dicta proportio aggregati ad aggregatum e$t unum. at uerò diui$a k a per c & e f fit quantum diui$a eadem per b k, & d, $ed diui$a k a per b k, & d iunctas, exit proportio a k ad aggregatum b k & d: igitur di- ui$a a k per aggregatum e f & c, exibit eadem proportio, igitur a b & d ad aggregatum c & e f e$t coninncta ex monade & proportio- ne a k ad aggregatum c & e f, quod erat demon$trandum.</P> <fig> <P>Ex hoc patet quod proportionum confu$io <marg>C<I>or</I>^{m}.</marg> fit iunctis denominatoribus numeratoris: mul- tiplicatio multiplicatis: additio multiplicatis decu$$atim in numeratores ad productum ex denominatoribus, ut in exemplis.</P> <P>Propo$itio $extadecima.</P> <P>Omnium quatuor quantitatum propo$ita prima, quæ non minorem habet proportionem ad $uam corre$pondentem, quàm alia ad aliam <fig> erit proportio confu$a illarum, ut pro- ducti ex aggregato primæ & tertiæ in <foot>tertiam,</foot> <p n=>15</p> tertiam, ad productum ex aggregato tertiæ & omiotatæ ad $ecun- dam in ip$am quartam.</P> <P>Hæc magis reducit confu$am proportionem ad notitiam, quàm, præcedens, quia reducit ad proportionem productã, qu&ecedil; operatio e$t $implici$sima, $iue per multiplicationem quantitatum fiat, duæ $unt tantum multiplicationes, $iue per eundem terminum $ufficit alium addere. Summatur ergo a b, c, d & e, & non $it maior propor- tio d ad e, quàm a b ad c, & $tatuatur tunc prima a b, $ecunda c, ter- tia d, quarta e, & po$tquam non e$t minor ratio a b ad c, quàm d ad e, $umatur a f ad c, ut d ad e. licet enim hoc facere. Dico quod pro- portio confufa a b & d ad c & e e$t uelut producti ex aggregato a b & d in d ad productum ex aggregato a f & d in e. Statuatur aggre- <marg>P<I>er</I> 10. P<I>et.</I></marg> gatum a b & d linea a d prima quantitas, & aggregatum a f & d, <fig> a d $ecunda quantitas, & d tertia, & c quarta, & ex a b in d fiat g, ex a d in e fiat h, erit ergo per pri- mam propo$itionem g ad h pro- <marg>P<I>er</I> 13. P<I>et.</I></marg> ducta ex proportionibus a b d ad a f d, & d ad c. Sed proportio a f d ad aggregatum c e, e$t uelut d ad e. Proportio uerò a b d ad a f d, & a f d ad e c producunt proportio- nem a b d ad c & e per $ecundam propo$itionem, harum igitur con- $u$a a b ad c, & d ad e, & e$t proportio a b d ad c & e, producuntur ex proportionibus a b d ad a f d, & d ad e. Ergo proportio g ad h e$t confu$a ex a b ad e, & d ad e, quod erat demon$trandum.</P> <P>Propo$itio decima$eptima.</P> <P>Omnes du&ecedil; proportiones conuer$æ producunt æqualem pro- portionem.</P> <table> <row><col>a</col></row> <row><col>-----</col></row> <row><col>b</col></row> <row><col>---</col></row> <row><col>c</col></row> <row><col>----</col></row> </table> <P>Sint duæ proportiones a ad b & b ad a conuer$a, <marg>C<I>or</I>^{m}.</marg> dico, quòd producunt proportionem æqualem. fiat enim b ad c, ut b ad a, erit igitur a æqualis c & b c con <marg>P<I>er</I> 6. A<I>ni- mi commun&etilde; $ententiam.</I></marg> uer$a eius quæ e$t a ad b, $ed per $ecundam harum proportiones a ad b, & b ad c producunt propor- tionem a ad c, igitur proportiones etiam a ad b & b ad a produ- cunt eandem.</P> <P>Propo$itio decimaoctaua.</P> <P>Si fuerint quotlibet quantitates in continua proportione multi- plici præter ultimam: proportio uerò penultimæ ad ultimam qua- lis re$idui primæ ad $ecundam, erit primæ ad aggregatum reliqua- rum uelut penultimæ ad ultimam.</P> <foot>B 2 Sint</foot> <p n=>16</p> <marg>C<I>or</I>^{m}.</marg> <P>Sint quantitates a b c d in continua proportione multiplici, $ed d ad e $it uelut re$idui a & b ad b, dico proportionem a ad b c d e e$$e ut d ad e. Quia enim e$t gnomonis e ad quadratum d, ut d ad e ex $uppo$ito erit per coniunctam proportionem c & d ad d & e, u<*> <marg>13. P<I>ropo$. quinti</I> E<I>lem.</I></marg> d ad e, $ed e gnomo cum quadrato d efficit qua- <fig> dratum e, igitur ut c quadrati ad d & eiuncta, ita d ad e. Rur$us, quia b quadrati ad c quadratum, <marg>P<I>er</I> 19. <I>quin ti</I> E<I>lem.</I></marg> ut c ad d erit gnomonis b ad quadratum c, ut gnomonis c ad quadratum d, & ita d ad e, igitur <marg>P<I>er</I> 12. <I>quin ti</I> E<I>lement.</I></marg> gnomonum b c cum quadrato d ad aggrega- tum c d e quadratorum, ut d ad e, $ed c gno- mo cum d quadrato perficit c quadratum, & c quadratum cum gnomone b perficit quadratum b, igitur proportio quadrati b ad quadrata c d e, ut d quadrati a d e. Et ita repetendo de quotuis quantitatibus in infi nitum u$<01>. Hæc proponitur ab Archimede in libro de quadrato æquali parabolæ, & minus generaliter & pluribus demon$tratur. Ego tamen quia e$t generalis, de$cribam illam per corrolarium: ad- dam<03> aliud quod ex hoc $equitur.</P> <marg>C<I>or</I>^{m}. 1.</marg> <P>Si fuerint quotlibet quãtitates omnes analogæ præter ultimam, $it autem penultima ad ultimam qualis re$idui primæ & $ecundæ ad $ecundam, erit proportio primæ ad aggregatum omnium alia- rum ueluti penultimæ ad ultimam.</P> <marg>C<I>or</I>^{m}.</marg> <P>Hæc enim e$t euidens, quia conuenit ei demon$tratio propo$ita. <fig> exemplo autem in numeris à latere po$ito uides declarationem. nam proportio 16 ad 32 e$t uelut 27 re$i dui primæ & $ecundæ ad ip$am $e- cundam $cilicet ad 54.</P> <marg>C<I>or</I>^{m}. 2.</marg> <P>Ex hoc patet etiam quòd a$$umptis omnibus, $ub multiplicibus analogiæ u$que in infinitum prima quantitas e$t multiplex aggre- gati omnium reliquarum numero 1 m: quo prima e$t multiplex $ecundæ.</P> <marg>C<I>or</I>^{m}. 3.</marg> <P>Si fuerint quotlibet quantitates in $uper particulari proportio- ne analogæ, erit proportio primæ ad aggregatum omnium in infi- nitum iuxta proportionem multiplicem conuer$am illius partis.</P> <marg>C<I>or</I>^{m}.</marg> <P>Velut collectæ in $e$quialtera duplæ in $exquitertia triplæ in $exqui$eptima $eptuplæ. Vt capio 512 448 392 343, & ita deinceps u$que in infinitum aggregatum omnium earum erit 3584. Septu- <foot>plum</foot> <p n=>17</p> plum 512, & aggregatum 18. 12. 8. 5 2/3, & ita deinceps in $<*>xquialtera erit 54 duplum 27 primæ in eo ordine.</P> <head>SCHOLIVM.</head> <P>Ex quo patet genus demon$trandi nouun & pulchrum: nam $upponatur 54, aggregatum duplum 27, primæ igitur addito 27 ad 54, cum $it dimidium, & addito 13 1/2, dimidio 27 ad 27, nam ex $uppo$ito quantitas $equens e$t $exquialtera ad 27, igitur 81 e$t du- <marg>P<I>er</I> 18. <I>quin ti</I> E<I>lem.</I></marg> plum ad 40 1/2. Igitur conuertendo e$t proportio aggregati prioris ad 27 e$t dupla, ergo aggregatum e$t 54.</P> <marg>C<I>or</I>^{m}. 4.</marg> <P>Ex hoc patet eandem generaliter quod proportio maioris quan titatis ad aggregatum reliquarum analogarum e$t, uelut eius quod prouenit diui$o quadrato maioris termini per differentiam eius, & $equentis maioris in eadem proportione ad ip$um maiorem.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Exemplum $it proportio augens 25 & 35 duarum quintarum, uo lo $cire quantum $it aggregatum omnium citra 25, maximam acci- pio 35, ulteriorem ad 25, cuius differentia a 25 e$t 10, cum quo diui- do 625 quadratum, exit 62 1/2 aggregatum quantitatum. Et facile po- <marg>Q<I>uæftio.</I></marg> re$t demon$trari. Si quis dicat in qua proportione $unt infinitæ quantitates analogæ cum 12, quæiunctæ efficiunt 10, iunge 10 cum 12 fit 22, duc 22 in 12 fit 264, diuide 264 per 10, exit 26 2/3, & in ea pro- portione erũt illæ quantitates, in qua $unt 26 2/3 ad 12: duc per 5 fiunt 60, & 132 diuide per 12, exeunt 11 & 5, & ita eruntin proportione 11 ad 5 experiaris, & inuenies, & demon$tratur ex prioribus.</P> <P>Propo$itio decimanona.</P> <P>Si fu erint aliquot quantitates arithmeticæ omiologæ, quarum exce$$us $it æqualis minimè, omnibus autem deficientibus $upple- menta ad &ecedil;qualitatem maximè adiungantur, erunt quadrata omni- um quantitatum æqualium adiecto rur$us quadrato primæ cum eo quod fit ex minima primi ordinis in aggregatũ omnium quan- titatum eiu$dem tripla aggregato quadra- <fig> torum omnium quantitatum primi ordinis <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> pariter acceptis.</P> <P>Sint aliquot quantitates a b c d e f g h in continua <04>portione. Arithmetica di$po$it&ecedil; ita ut minima earũ qu&ecedil; $it h, $it &ecedil;qualis diffe- renti&ecedil; quantitatum $ecundũ ordinem di$po $itarũ, uelut differentia a & b, & b & c, & c & d, et ita de alijs, addantur aũt $upplem&etilde;ta $in gulis harum, quæ $int i k l m n o p, ita ut o&etilde;s fiant &ecedil;quales cũ $uis $upplementis ip$i line&ecedil; à maiori. E$t<03> id&etilde; ac $i e$$ent aliquot quanti <foot>B 3 tates</foot> <p n=>18</p> tates, & diuideren&ttilde; $ingul&ecedil; $ecundũ numerum illarũ, $i quatuor in quatuor partes æquales, $i quin<01> in quin<01>, $i decem in decem, eara tione ut ultima diuidere&ttilde;, ubi e$t finis primæ partis, penultima ubi e$t finis $ecundæ partis, antepenultima ubi e$t finis tertiæ, & $ic de alijs. Vocabo ergo primas quãtitates <04>po$itas a b c d e f g h quan- titates primi ordinis, $ed quantitates æquales quæ con$tãt ex quan titatib. primi ordinis, & fupplementis, appellabo quantitates $ecun di ordinis: ex quo patet quòd prima quãtitas erit ex utro <01> ordine, quia non e$t diui$a, reliquæ omnes differunt, quantitates uerò quas adiunxi nominabo $upplem&etilde;ta, & $unt una minus quã quantitates ordinum: ut $i quãtitates ordinum $int octo, erunt $upplementa $e- ptem, & $i quantitates ordinũ, e$$ent $eptem e$$ent $upplem&etilde;ta $ex, quia inter $upplementa nõ adnumera&ttilde; quantitas indiui$a. Erunt er go $upplementa i k l m n o p, quætanto erunt maiora quanto quan titates primi ordinis $unt minores, & contrà tanto maiora, quanto quãtitates primi ordinis $unt maiores. quantitates aũt $ecundi ordi nis appellabun&ttilde; a, b i, ck, dl, em, fn, go, & hp. Hæcuolui pluribus agere, ut dilucidior e$$et <04>po$itio. quæ licet nõ $it difficilis, e$t tam&etilde; confu$a ualde propter multitudinem quantitatũ & ordinum. Dico ergo &qring;d aggregatum quadratorũ quantitatum $ecundi ordinis pri mo quadrato bis repetito, $eu uno addito cũ eo quod fit ex minima in aggregatum quantitatum primi ordinis e$t triplũ aggregato ex quadratis omnibus quantitatũ eiu$d&etilde; primi ordinis, & utres exem plo facilius innote$cat, $int quãtitates primi ordinis 8. 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1. quorum quadrata $int 64. 49. 36. 25. 16. & 9.4 & 1. quæ iuncta faciũt 204, dico quod $i $umamus quadrata omnium quãtitatum $ecundi ordinis, quæ $unt octies 64, & eis addiderimus unum quadratũ ex his, ut fiant nouies 64, & erunt 556, $imul iuncta & eis addamus, &qring;d fit ex 1 quantitate minima primi ordinis in 36 aggregatum quanti- tatum omnium primi ordinis, & e$t tale productũ 36, ut fiat totum 612, quod tale 612 e$t triplum 204, aggregati quadratorũ primi or- dinis unius demon$tratio h&ecedil;c e$t. Quia ex quarta $ecundi Element. Euclidis $ingula quadrata quantitatũ diui$arũ $ecundi ordinis con $tant ex quatuor partibus quarum du&ecedil; $unt quadrata partium, reli- quæ duæ $unt producta ex partibus inuic&etilde; bis, & quia h fuit æqua- lis 1, & p &ecedil;qualis b, quia $upplementa fuerũt&ecedil;qualia mutuò quanti tatibus, & ita c æqualis o & k æqualis g & d, æqualis n & l, æqualis f, e aũt &ecedil;qualis m. Sequi&ttilde; ergo quod $umptis duabus quantitatibus $ecundi ordinis hab entibus $upplem&etilde;ta mutuò æqualia ip$is quan titatibus quod quadrata partium erũt dupla quadratis primarum quantitatum: ueluti capio b i $ecundam & h p ultimam, quarũ qua- <foot>drata</foot> <p n=>19</p> drata partium $unt quadrata b & i, & h & p, $ed b e$t æqualis p, & h æqualis i. Ergo quatuor quadrata b i & h p $unt dupla quadratis b & h, & ita concludã de omnibus ubi duæ quantitates duabus com parantur: $ed in e m quia e$t $ola una quantitas, i$tud e$t etiam cla- rius, quia quadrata e & m $unt dupla quadrato e $oli eo, quod & m <marg>I<I>n</I> 5. E<I>l<*></I> P<I>rop.</I> 12.</marg> $unt æquales. Igitur per demon$trata ab Euclide erit proportio o- mnium quadratorum b i, c k, d l, e m, f n, g o, h p, ad quadrata b c d e f g h, pariter accepta proportio dupla. atuerò addito quadrato a quadratis b c d e f g h, & erunt quadrata omnium quantitatum, & quadratis b i, c k, d l, e m, f n, g o, h p, duplo qu<*>drati a $cilicet $emel, quia a e$t ex $ecundo ordine quantitatum, & $emel, quia hoc fuit a$- $umptum in Problemate. Sequitur ut quadrata omnia quãtitatum $ecundi ordinis, prout $unt diui$a in partes addito quadrato a, $int dupla quadratis primarum quantítatum, $imul pariter acceptis. Re liquum e$t modo ut o$tendamus dupla illorũ productorum, cum eo quod fit ex minima quantitate, $cilicet h in aggregatum ip$arum quantitatum primi ordinis e$$e æquale quadratis, quantitatũ eiu$- dem primi ordinis pariter acceptis. Con$tatigitur, quod duplum <*> in b e$t æquale duplo h in ip$um b, quia h & i $unt æquales, & du- plum k in ip$um c, e$t æquale quadruplo h in idem c, quia k e$t du- pla h, & $imiliter duplum l in ip$um d e$t æquale $excuplo, h in d, quia l e$t tripla h, & ita procedendo erunt illa dupla producta æ- qualia productis ex h in ip$as quantitates toties $umptis quantus e$t numerus, qui prouenit duplicato numero, $ecundum qu&etilde; h con tinetur in illo $upplemento, exemplum uolo duplum producti lin d bis, $cio quòd $upplementum l continet h ter, duplicabo tria & fi- ent $ex, igi&ttilde; duplũ lin d æquale e$t $excuplo h in ip$um d. Quo con- $tituto, cum $uppo$itum $it producta illa duplicata cum <04>ducto h in aggregatum primarum quãtitatum e$$e æqualia quadratis ip$a- rum quantitatum, igitur addemus productũ ex h in $ingulas quan- titates productis illis prioribus, & fiet productum h in a $emel, in b ter, in c quinquies, in d $epties, in e nouies, in f undecies, in g trede- cies, & in h quindecies æquale duplo producti uniu$cuiu$<01> quan- titatis in $uum $upplementum cum producto h in aggregatũ ip$a- rum quantitarum, at quadratum a e$t &ecedil;quale producto ex h in eam, qu&ecedil; talem habet proportionem ad ip$um a, qual&etilde; habet a ad ip$um <marg>L<I>ib.</I> 6. E<I>l<*>.</I> P<I>rop.</I> 17.</marg> h per demon$trata ab Euclide, & pariter de quadrato b, quod e$t &ecedil;- quale ei quod fit ex h in eam quæ toties continet b, quotiens b con tinet h, & ita quadratum c æquale e$t ei, quod continetur $ub h, & habente proportionem ad b eandem, quam b ad h, & $imiliter de quadrato c & omnibus reliquis, u$<01> ad h ip$um. Gratia ergo exem <foot>B 4 pli</foot> <p n=>20</p> pli quadratum a, erit æquale producto ex h in omnes quatitates $e- cundas, quia quotus e$t numerus quantitatum, totus e$t numerus $ecundum quem a continet h, & $imiliter quotus e$t numerus quan títatum incipiendo à b, & quotus e$t numerus quantitatum incipi- endo à c, toties b uel c contin&etilde;t h, & ita de alijs, quadrata ergo om- nium quantitatum $imul iuncta $unt æqualia productis ex h in $in- gulas illarum toties $umptis, quoties illæ cõtinent h, $eu quotus e$t numerus illius quantitatis, incipiendo ab h, & numerãdo uer$us a. Rur$us dico, quod productum multiplicis cuiuslibet quãtitatis in minimam, $eu quadratum eiu$dem quantitatis &ecedil;quale e$t producto eiu$dem quantitatis, & dupli omnium $equentium primi ordinis in ip$am minimam quantitatem, uelut quadratum a e$t æquale produ cto ex h in a, & in duplum b c d e f g h, hoc aut&etilde; facile e$t probare in his quantitatibus, quia $i quadratum a e$t æquale producto h in o- mnes quantitates $ecundi ordinis, & omnes quantitates $ecundi or dinis $imul $umptæ $unt &ecedil;quales ip$i a, & duplo reliquarũ primi or dinis, quia tales quantitates $unt æquales $uis $upplementis uici$- $im, ut h cum i, k cum g, f cum l, e cũ m, ergo tam $upplementa, quàm quantitates primi ordinis $unt dimidium quantitatum $ecundi or- dinis, ergo duplum quantitatum primi ordinis e$t dimidium quan titatum $ecundi ordinis, uerùm de b dico idem accidere, quia qua- dratum b e$t &ecedil;quale producto ex h in b, & in duplum reliquarum à b, $cilicet duplum c d e f g h, & hoc e$t o$tendere, quod i$t&ecedil; quantita tes $unt dimidium totidem quantitatum æqualium b, nam c e$t mi- nor b in h, & $upplementum p quod e$t æquale ip$i b, $i tota h p fiat æqualis ip$i b, ut pote h q erit ip$a q dempta h æqualis ip$i c, ergo quantitates primi ordinis $emper $unt æquales $upplementis non ueris, $ed prioris quantitatis a$$umptæ, $eu in comparatione ad il- lam, quadratum igitur b e$t æquale <04>ducto ex h in b, & in duplum c d e f g h, & $imiliter per eadem, quadratum c e$t æquale producto ex h in c, & in duplum d e f g h, & $ic de alijs. Habemus ergo, quod quadrata a b c d e f g h $imul iuncta $unt æqualia producto ex h in a, & in duplum reliquarum, & ex h in b, & in duplum reliquarum $equentium, & producto ex h in c $emel, & in duplum $equentium u$<01> ad h, & ita de reliquis. hoc enim e$t, quod nuper demon$traui- mus. Antea quo <01> demõ$tratum e$t, quod duplum b in i, c in k, d in l, e in m, f in n, g in o, h in p, cũ producto h in aggregatũ a b c d e f g h erat &ecedil;quale productis ex h in a $emel, & in b ter, & in c quinquies, in d $epties, in e nouies, in fundecies, in g tredecies, in $eip$am h quin- decies, detractis ergo p ordin&etilde;, &qring;d fit ex h in a ab utro <01> aggregato, & ex h in b c d e f g h bis relinque&ttilde; ex una parte, <09> fit ex h in b $emel <foot>cum</foot> <p n=>21</p> cum $uis duplicatis $equentibus, & in c, & in d, & in reliquis pa- riter conduplicatis $uis $equentibus ex altera, quod fit ex h in b $e- mel, in c ter, in d quinquies, in e $epties, in f nouies, in g undecies, in h tredecies, detractis ergo rur$us quod fit ex h in b $emel, & ex h in c d e f g h bis relinquetur, quod fit ex h in c, & duplo $equen- tium, & d & duplo $equentium, & e & aliarum pariter: & ex alia parte, quod fit ex h in c $emel, & in d ter, & in e quinquies, in f $e- pties, in g nouies, in h undecies. Ab his rur$us detractis, quòd fit ex h in c $emel, & in $equentes bis, relinquetur h in d $emel cum $uis $equentibus bis, & in e $emel cum $uis $equentibus & in f, & in g & in h pariter, & ex alia parte, quod fit ex h in d $emel, in e ter, f quin- quies, g $epties, h nouies, ab his rur$us detraho, quod fit ex h in d $emel, & in $equentes bis, relinquetur ex una parte, quod fit ex h in e f g h cum duplo $equentium ex alia, quod fit ex h in e $e- mel, f ter, g quinquies, h $epties, & $imiliter ab his detractis, quod fit ex h in e $emel, & bis in $equentes, relinquetur ex una par- te; quod fit ex h in f $emel, & in g h bis, & in g $emel, & in h bis, & in h $emel, & ex alia, quod fit ex h in f $emel, in g ter, in h quin- quies. Iterum detractis, quod fit ex h in f $emel, & in g h bis com- muniter relin quetur, quod fit ex h in g $emel, & in h bis, & in h $e- mel, & ex alia parte quod fit ex h in g $emel, & ex h in h ter. Sed i$ta, quæ relicta $unt iam, $unt manife$tè æqualia, ergo etiam pri- ma aggregata ab initio fuere æqualia, ergo & æqualia illis qua- drata a b c d e f g h his, quæ fiunt, ex h in ea$dem quantita- tes cum duplo producti b in i, cin k, d in l, e in m, f in n, g in o, h in p, $ed iam his quadratis a b c d e f g h demon$trata $unt e$$e du- pla quadrata h p, g o, f n, e m, d l, c k, b i, cum duplo quadra- ti a, ergo quadrata omnium quantitatum $ecundi ordinis cum quadrato a rur$us repetito, & producto h in aggregatum quanti- tatum primi ordinis $unt tripla quadratis quantitatum primi ordi- nis pariter acceptis, quod fuit propo$itum, & fuit Archimedis in li bro de lineis $piralibus, & ego adieci hic propter modum demon $trandi, qui e$t eleganti$simus, & procedit ex principijs arithmeti- cis, & diuer$is à communibus, & ideo non reuoluitur, ut $olentre- liquæ quæ$tiones.</P> <P>Propo$itio uige$ima.</P> <P>Cùm fuerint quatuor quantitates, fuerit<03> $ecunda æqualis ter- tiæ, aut primæ æqualis quartæ, erit proportio primæ ad quartam, aut tertiæ ad $ecundam producta ex proportionibus primæ ad $e- cundam, & tertiæ ad quartam.</P> <marg>C<I>or</I>^{m}.</marg> <P>Cùm enim quantitates hæ non fuerint &ecedil;quales, cõ$tat per $ecun- <foot>dam</foot> <p n=>22</p> dam harum, quod proportio primæ ad quartã producitur ex pro- portione primæ ad $ecundam, $ecund&ecedil; ad tertiam, & terti&ecedil; ad quar tam: ergo non ex $olis proportionibus primæ ad $ecundam, & ter- tiæ ad quartam, & $imiliter ex prima harum proportio prim&ecedil; ad $e- cundam, & tertiæ ad quartam producunt proportionem producti primæ in $ecundam ad productum tertiæ in quartam. Et in multi- plicatione proportio, quæ $olet e$$e inter producta illa, & e$t qua$i duplicata e$t inter ip$as quantitates. Sint igitur quantitates a b c d, & $it b æqualis c, ponantur ergo recto ordine a b c d, erit<03> propor <fig> tio a ad d producta ex proportioni- bus a ad b, b ad c, & c ad d, producan- tur igitur ex proportionibus a ad b, c ad d. proportio c ad f, erit igitur pro- portio e ad f, $i multiplicetur per pro- portionem b ad c eadem quæ prius, & <marg>P<I>er</I> 16. P<I>et.</I></marg> producta iam e$t eadem ei, quæ e$t a ad d, ergo proportio a ad d erit producta ex proportionibus a ad b, c ad d per primam propo$itionem. Quod uerò diximus de pri- ma & quarta $i $int æquales, manife$tum e$t, quòd res redit ad idem $olum tran$mutato ordine, ut tertia, & quarta præmittantur prim&ecedil;, & $ecundæ. Hæcigitur propo$itio nihil aliud innuit, quàm quod in hoc ca$u productio, quæ$olet fieri ex tribus proportionibus fiat ex duabus tantum.</P> <P>Propo$itio uige$imaprima.</P> <P>Cùm decu$$atim ducta fuerit prima in quartam, & $ecunda in ter tiam; productum<03> primæ in quartam diui$um fuerit per produ- ctum $ecundæ in tertiam erit proportio primæ ad $ecundam diui- $a per proportionem tertiæ ad quartam. Et $imiliter interpo$ita omiologa.</P> <marg>C<I>or</I>^{m}.</marg> <fig> <P>Primum exponamus $ecundam partem, $it proportio a ad b, quam uolo diuidere per proportionem c ad d, facio e ad b, ut c ad d, erit <marg>P<I>er</I> 10. P<I>et.</I></marg> ergo per $ecũdam harum proportio ad b pro- ducta ex proportione a ad e, & e ad b, quare ex a ad e, & c ad d, ergo diui$a proportione a ad b per proportionem c ad d exit proportio a ad e, & hic e$t $ecundus modus. Primus autem modus ducatur a in d & fiat f, & b in c & fiat g, dico proportione f ad g e$$e prouen- tum proportionis a ad b, diuide per proportionem c ad d, ducatur igitur c in f & fiat h, & d in g & fiat k, quia igitur h producitur ex c in f, & f producitur ex a in d, ergo h producetur ex producto c in d, in a, & $imiliter quia k producitur ex d in g, & g producitur ex b in <foot>c, ergo</foot> <p n=>23</p> c, ergo k producetur ex c d in b, ergo ex c d in a fit h, ex c d in b fit k. erit a ad b ut h ad k, igitur ex prima harum cum ex c in f producatur h, & ex d in g k, & dicatur produci proportio h ad k ex proportio- ne c ad d, & f ad g, & proportio h ad k $it eadem, quæ a ad b, ergo proportio a ad b producitur ex c ad d, & f ad g, ergo diui$a propor- tione a ad b prodibit proportio f ad g, quod fuit propo$itum.</P> <P>Propo$itio uige$ima$ecunda.</P> <P>Cùm fuerit proportio primæ ad $ecundam maior, quàm tertiæ ad quartam, erit confu$a ex his maior quàm tertiæ ad quartam, mi- nor autem quàm primæ ad $ecundam.</P> <fig> <P>Sit proportio a ad b maior quàm c <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> ad d, dico, quod confu$a ex a c ad b d e$t maior, quàm c ad d, et minor quàm a ad b, ut enim c ad d ita fiat e ad b, erit <03> per tertiamdecimam ha- <marg>P<I>er</I> 10. P<I>et.</I></marg> rum e c ad b d confu$a minor quàm a c ad b d, nam e e$t minor a, quia proportionem habent minorem ad b quam a eo quòd e ha- bet proportionem ad b, quam c ad d, quæ aut&etilde; c ad d minor, quám a ad b, ut $uppo$itum e$t, igitur e c ad b d minor, quàm a b ad c d, e b autem ad c d e$t, ut demon$tratum e$t qualis c ad d, ergo c ad d mi- nor, quàm confu$a a b ad c d, quod e$t $ecundum per idem proba- bitur, & primum po$ita f ad d, ut a ad b, erit<03> a maior c, igitur ma- ior proportio a f ad b d, quàm a c ad b d, $ed a f ad b d, ut a ad b per candem tertiamdecimam huius ergo proportio confu$a a b ad c d e$t minor, quàm a ad b.</P> <P>Propo$itio uige$imatertia.</P> <P>Omnis motus naturalis ad locum $uum e$t: ideo per rectam li- neam fit.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Motus naturalis e$t, ut con$eruetur corpus, & conueniat locus corpori, igitur fit ad $uum locum. Locus autem dicitur in compara tione ad uniuer$um. ideo omnis motus naturalis e$t à centro mun- di $ur$um, uel ad centrum deor$um. Et quia quanto natura celerius $uum finem pote$t a$$equi (quia finis bonus e$t aliter non illum ap- peteret) eum quærit, cùm $it $apienti$simæ uitæ mini$tra: at linea re- <marg>D<I>i$t. tertia primi</I> E<I>lem.</I></marg> cta breui$sima e$t Euclide te$te à puncto ad punctum, igitur omnis motus naturalis e$t $ur$um aut deor$um per rectam lineam.</P> <P>Propo$itio uige$imaquarta.</P> <P>Omnis motus circularis uoluntarius e$t.</P> <P>Sit motus in circulo $eu per circulum in orbe cuius $it centrum, $it c mundi centrum: igitur ex diffinitione circuli tantum di$tabit a, quantum b ab ip$o c: $ed in motu naturali per pr&ecedil;cedentem nece$$e e$t, ut recta feratur ad c, uel recedat, igitur motus a e$t uoluntarius, <foot>non</foot> <p n=>24</p> <fig> non naturalis. nam $i uiolentus e$$et, non e$$et perpetuus. Omnia ergo a$tra feruntur circa centrum mundi. Sit modo rota e f g, di co enon moueri motu circulari nam linea e clõgior e$t g c, ergo recta mouetur ad cen trum non circa centrum. Indicio etiamid e$t: quòd $i in e ponatur fru$tum aliquod in$igne plumbi in motu ad g per f de$cen- det raptim: at dum ex g in e magna cum dif- ficultate, igitur motus hic non e$t naturalis, nec circularis. nihil etiam hoc modo $ponte mouetur. Sed cum non moueatur per rectam naturaliter, nec æquidi$tans à centro per cir- culum relinquitur, ut moueatur motu uiolento, aut mi$to, $ed non ex uoluntario, cum nullo modo moueatur æquidi$tans à centro, $ed $emper ab e lineæ ad centrum fiant breuiores, liquet e$$e mo- tum uiolentum: aut mi$tum ex naturali, & uiolento.</P> <P>Propo$itio uige$imaquinta.</P> <P>Tres $unt motus omnino $implices naturalis, uoluntarius & uiolentus.</P> <marg>C<I>or</I>^{m}.</marg> <P>Tres $unt modi, quibus po$$unt moueri in comparatione ad cen trum $cilicet uel recta cum centro, uel æquidi$tando à centro, uel neutro modo, igitur tres motus. Rur$us uel à principio interiore non intelligente, & e$t naturalis, uel intelligente & e$t uoluntarius: uel exteriore & e$t uiolentus. Hæc autem diui$io e$t $olum propria non prima. Nam e$t uiolentus in recta ad centrum: ideo omnis, qui non e$t in recta ad centrum, nec æquidi$tat, uiolentus e$t: non ta- men omnis uiolentus e$t extra rectam. Attractio autem, quæ fit ob raritatem corporum, $eu, ut dicunt, à uacuo, uiolenta e$t non natu- ralis ni$i ratione finis, non agentis. Sunt enim quatuor genera mo- <marg>7. P<I>hy$. cap.</I> 2.</marg> tus uiolenti ab Ari$totele po$ita, uectio, tractio, pul$io, & uolutio: quanquam his non opus $it in demon$tratiua $cientia. cõ$tat enim uolutionem ex tractione, & pul$ione apud illum con$i$tere.</P> <P>Propo$itio uige$ima.</P> <P>Motus ergo compo$iti quatuor nece$$ariò $unt $pecies.</P> <P>Si tantum $unt tres $pecies $implicium, con$tat ratione arithme- tica quatuor e$$e compo$itorum. Di$quiramus ergo an $int natura- liter tot $pecies, for$an enim repugnabit aliquis alicui. Porrò uidea- mus primò, quot $int uiolentorum $pecies: Prima erit cum non $e- cundum rectam lineam fuerit: nec à centro æquidi$tantem. Secun- da cum fuerit $ecundum rectam, $ed non ad centrum. Tertia cum fuerit in recta ad centrum, $ed contrario modo, uelut terræ $ur$um. <foot>Quarta</foot> <p n=>25</p> Quarta cùm in recta ad centrum, $ecundum naturam, $ed nõ à prin cipio naturali. Velut cum quis proij cit lapidem rectà in terram è turri uiolentius, quàm ille $ua grauitate de$cen$urus e$$et. Hic igi- tur motus e$t compo$itus ex naturali, & uiolento. Animalium au- tem motus uoluntarius e$t, cum $it à principio interiore cogno$cen te: & $it quatenus à principio in linea circulari æqualiter di$tante à centro: $ed quia ob$tat grauitas, ideò mi$tus e$t ex naturali, & uo- luntario. Sed circularis, & uiolentus $oli e$$e non po$$unt: nam uio lentus e$t nece$$ariò in corpore graui aut leui: $ed omne corpus gra ue aut leue, cùm mouetur, naturaliter mouetur $altem in fine: & per totum motum, motu ócculto, qui maximè in hoc libro dignus e$t con$ideratione, igitur motus uoluntarius, & uiolentus non po$- $unt e$$e $imul $oli. Eruntergo $ecundum naturam tantùm tres $pe- cies. Velut cùm quis $candit, aut$alit: E$t enim motus naturalis $al- tem in fine, & uoluntarius, & uiolentus. Si quis autem uelit uiolen- tum cum uoluntario copulare dicemus con$tare eam compo$itio- nem in initio $aliendi. Motum autem occultum uocamus grauita- tem aut leuitatem.</P> <P>Propo$itio uige$ima$eptima.</P> <P>Motus uoluntarius e$t in loco: naturalis ad locum: uiolentus exloco.</P> <P>Hæc e$t tertia differentia primarum $pecierum motuum uolun- tarius fit manente corpore toto in eodem loco, ideo proprius e$t cœlo, corpora autem animalium in eodem loco feruntur: quia in eodem orbe nata redire ad proprium locum. Et ideò, ut dixi, e$t mo tus mi$tus ex naturali, & uoluntario, qui $i per $e fieret, non fatiga- ret mobile, cùm ex utro<01> principio ab interiore ui procedat. Sed quia fit per mu$culos, qui trahuntur: hic autem motus e$t uiolen- tus, ideò per con$equentiam fatigat. Qui uerò naturalis, e$t ut re- deat corpus ad $uum locum, igitur naturalis e$t ad locum. Sed uiolenti finis e$t, ut protrudatur ex loco in quo e$t, non habens cer- tum finem. licet enim qui trahit, ad $uum locum trabat, non tamen ad locum mobilis.</P> <P>Propo$itio uige$imaoctaua.</P> <P>Motus quilibet naturalis aut uiolentus in aliquo medio fit.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Cùm uacuum non detur, & omnis motus naturalis $it ad locum, et uiolentus ex loco per præcedentem, igitur cùm non $it in medio, uacuum erit in aliquo corpore, uelut aere, aqua, igne, ligno.</P> <P>Propo$itio uige$imanona.</P> <P>Omnis motus uoluntarius æqualis e$t $emper: $impliciter etiam quilibet alius motus.</P> <foot>C Motus</foot> <p n=>26</p> <marg>C<I>o</I>m.</marg> <P>Motus uoluntarius non habet, quòd fatiget, & $umma perfectio e$t æqualitas, & natura quæ mouet non debilitatur, igitur perpe- tuo per$euerat æqualis. ne<01> enim e$t, ut dixi, per medium corpus. Naturalis quo<01>, & uiolentus cum ratione proportionis mouentis $upra mobile per$e non uarientur, & ab &ecedil;quali proportione &ecedil;qua- lis uelo citas proueniat, igitur natura tales motus $unt &ecedil;quales, nam in utro<01> mouens, mouet $ecundum ultimam $uam uim.</P> <P>Propo$itio trige$ima.</P> <P>In omni corpore mobili in medio, partes medij re$i$tunt obuiæ, aliæ impellunt.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Sit mobile a cui partes $ubiaceant directæ b, & $it graue. Et pa- tet ne diuidatur b re$i$tere, cum autem $uperauerit, partes b de$cen- dunt ante a, & trahunt partes c & d adh&ecedil;rentes $ecum, at<01> ita e c d f <fig> adiuuant ad de$cen$um partes etiam laterales g & h cum a tran$it in b, ne detur uacuum, tran- $eunt in k uelo ci motu, ergo propellunt a maio reimpetu inferius.</P> <marg>C<I>or</I>^{m}.</marg> <P>Ex quo patet, quod in omni motu naturali, uel uiolento fit augumentum uelocitatis ab initio $altem u$que ad aliquid.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Et ideò etiam bellicæ machinæ cuiu$cun<01> generis certam exi- gunt di$tantiam, ut uiolentius feriant.</P> <P>Propo$itio trige$imaprima.</P> <P>Omnis motus naturalis in æquali medio ualidior e$t in fine, quàm in principio: uiolentus contrà.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Cùm enim ex præcedenti augeantur $emper ob medium, & cau- fa, quæ mouet, $it perpetua, & à principio æterno, quod per dictæ æqualiter mouet, igitur motus ille fiet uelo cior in fine quàm in alia parte temporis. In uiolento autem, cùm perueniat ad finem de$init <marg><*> 29. P<I>ropo$.</I></marg> uis illa nece$$ariò, quæ mouet, & $uperatur à ui naturali, quæ mo- uet in contrarium, igitur antequam ce$$et motus fiet tardi$simus in fine.</P> <P>Ex quo patet, quòd motus quadrifariam mi$ti dicuntur, aut $pe- <marg>C<I>or</I>^{m}.</marg> cie, ut cùm quis iacit lapidem è turri: uel ex occulto naturali, & uio- lento manife$to: uelut cùm quis iacit lapidem, & de$cendit po$tmo <fig> dum ex b in c motu utroque manife$to, $ed ex a in b motu uiolento manife$to, & naturali oc- culto: uel ratione medij, & hoc modo omnis motus naturalis etiam non $olum uiolentus e$t mi$tus ex proportione uirtutis mouentis, cum motu medij, ad me- dium ip$um, uel $i uiolentus $it ex proportione uirtutis mouentis, <foot>& medij</foot> <p n=>27</p> & medij ad mobile, ac medium, quod re$i$tit. Quarto ex motibus imperfectis natura $ua, & non e$t uera mi$tio, & hoc apparet in mo- tibus uoluntarijs animalium, qui non $unt ne<01> æquales, ne<01> perfe ctè circa medium: $ed $unt potius $imiles uoluntarijs. Etideo de- mon$trationes illæ Ari$totelis quoad u$um nihil iuuant nos.</P> <P>Propo$itio trige$ima$ecunda.</P> <P>Omne mobile naturaliter motum, $eu uiolenter uelo cius moue- tur in medio rariore, quàm den$iore. Maior quo<01> e$t proportio fi- nis motus in corpore rariore ad finem motus in corpore den$iore, quàm principij. In uiolento autem celeriùs perueniet ad finem mo tus in corpore den$iore.</P> <fig> <P>A mobile moueatur in b medio rariore, & in c den$io- <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> re, igitur b minus re$i$tit, quàm c & magis adiuuat, quia uelociùs mouetur: igitur duplici de cau$a a mouebitur uelociùs in b quàm in c: & quia per corrolarium trige$i- mæ, & præcedentis proportio finis (ubi æqualiter moueantur) ad $ua principia maior erit in d, quàm in e: ergo per demõ$trata à Cam pano po$ita d prima, b $ecunda, e tertia, c quarta, maior erit propor- tio d ad e, quàm b ad c quod fuit propo$itum in naturali.</P> <P>Propo$itio trige$imatertia.</P> <P>Omnia duo mobilia æqualis undi<01> magnitudinis, quæ æquali in tempore æqualia $patia pertran$eunt in diuer$is $ub$tantia me- dijs, nece$$e e$t, ut $it ponderis ad pondus, quemadmodum medij ad medium, proportio duplicata.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Sint duo mobilia a & b magnitudine, & forma omnino paria, & $int media c & d, exempli gratia: & pertran$eant æquale $patium in utro<01> in eodem tempore, e dico proportionem ponderis b ad pondus a e$$e duplicatam ei quæ e$t raritatis c ad raritatem d. Quia enim feruntur æqualiter, nam in æquali tem- <fig> pore, $eu eodem æqualia $patia pertran$e- unt, erit proportio potentiæ a cum $uo auxi- lio ad id, quod re$i$tit ex c ut b cum $uo au- xilio ad id, quod re$i$tit ex d, permutando igi tur d ad c, ut b ad a, $ed c ad d proportio rari- tatis duplicat actionem, tum minus re$i$ten- do, tum adiuuando motum a, igitur proportio differentiæ motus e$t duplicata proportioni raritatis: $ed proportio motus e$t æqua- lis proportioni ponderis uici$sim per uige$imam$extam $exti Ele- mentorum b ad a, igitur proportio b ad a ponderis e$t duplicata ei, quæ e$t raritatis c ad raritatem d.</P> <foot>C 2 SCHO-</foot> <p n=>28</p> <head>SCHOLIVM PRIMVM.</head> <P>Ne tamen $ine exemplo intelligas hanc duplicatam rationem, proponatur craritas quatuor, d unum, a pondus duodecim libra- <fig> rum, tunc c re$i$tit $olum ex quarta parte, & effi- cit a quadruplo maioris actionis, $cilicet ut qua- draginta octo, tota igitur proportio, qua mo- uebitur a in c, erit centum nonaginta duorum, & hoc diuidemus per d, quod e$t unum, exibit põdus b centum nonaginta duo. Pro- portio igitur b ad a e$t $exde cupla, & hæc e$t duplicata quadruplæ raritatis c ad raritatem d.</P> <P>Quòd $i quis neget tantundem augere c actionem a, quanto mi- nus re$i$tit, $ed aut magis aut minus, & $it proportio b ad a dupli- cata ip$i f, dico fe$$e proportionem c ad d, nam proportio b ad a e$t uelut actionis c ad d per decimam$extam $exti Elementorum, ergo ex auxilio c in proportionem a ad c fit proportio b ad a, $ed ex fin $e fit proportio b ad a ex diffinitione proportionis duplicatæ. Sed ex duabus proportionibus a ad c, & actionis ex c ad a produ- citur proportio b ad a, igitur per decimam$eptimã $exti Elemento- rum proportio c ad d e$t media inter proportiones a ad c, & actio- nis a in c, quare æqualis f, igitur proportio b ad a duplicata ei, quæ e$t c ad d quod erat demon$trandum.</P> <head>SCHOLIVM SECVNDVM.</head> <P>Si autem media fuerint diuer$arum rationum, ut aqua, & aër non demon$trat argumentum, quia pondera inter $e non $eruant ratio- nem. Nam lignum centum librarum ex $alicis arbore, non magis de$cendit, quàm lignum libræ unius. Ideò nec in comparatione ad medium aëris.</P> <P>Propo$itio trige$imaquarta.</P> <P>Proportio corporis cubi ad $uam $uperficiem quadratam, e$t ue- lut eiu$dem $uperficiei ad latus, eiu$dem uerò ad monadem.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Sit cubus a b c eius quadrata, $uperficies a <fig> c, latus a b, monas d, dico eas e$$e inuicem analogas. Quia enim proportio a b c ad a c e$t, ut quoties a$$umitur a c in a b c, & toties ctiam a$$umitur a b in a c ex diffinitione Eucli <marg>P<I>rima ex</I> C<I>ampano.</I></marg> dis $ecundo Elementorum, $i ergo monas e$t in continua proportione, habeo intentum: $i non ponatur e media inter a e & d, erit ergo per decimam noni Elementorum elatus a c, ergo æqualis a b, igitur cum a c, e & d $int analogæ, erunt & a b c, a b, & d analogæ, quod fuit demon$trandum.</P> <foot>Propo $itio</foot> <p n=>29</p> <P>Propo$itio trige$imaquinta.</P> <P>Vocum magnitudines excre$cunt in acumine non in grauitate, finis autem e$t in utro<01> extremo, propter hoc minima facta uaria- tione in hypate acutæ uix ferunt.</P> <marg>C<I>o</I>m.</marg> <P>Quoniam facta uariatione in hypate, quæ e$t in Diapa$on, uel bis Díapa$on maiore interual- <fig> lo di$tat, uelut ex a in b in grauiore, maius e$t in- teruallum ex c in d, igitur maior e$t b d, quàm a c ergo $ingulæ uoces inter b & d magis di$tant, <fig> quàm inter a & c, & quanto magis appropin- quant ad d, igitur d maius e$t quàm b. Ergo magnitudo e$t ratione acuitatis, non grauitatis, cum $uppo$uerimus d e$$e acutiorem b & cip$o a. O$tenditur etiam idem quia uox grauis fit ex priuatione motus $icut acuta ex uehementia. Motus autem e$t res, quies, priuatio.</P> <P>Secundum $ic: nam remi$sio mota non feriet aurem, ideò $onum non pariet ob nimiam tarditatem. At in uelo ci$simo motu oportet uel fidem uel arteriam contrahi, & non contrahitur ni$i per mu$cu- los, igitur contentio illa finem habet. Si autem non $it nece$$arium habere, uel ualde procul po$sit extendi contentio, ut in machinis igneis $trepitus fit maximus, nam motus, ut motus e$t etiam in aëre nullum finem per $e habet ni$i ratione in$trumenti, ergo $trepitus tantus e$$e pote$t, ut fermè ob$urde$cant, qui audierint, ut ferunt de Nili cataractis.</P> <fig> <P>Tertium $ic $it a b humi- lior uox, quæ excre$cat $e- mitonio minore $olum in c, & $it d e dupla ad ab $e- <fig> cundum naturam, ut in uo- cibus medijs fiet, ut $i e debeat excre$cere $emitonio minore per de- cimamnonam quinti Elem&etilde;torum fe dupla c b, & in acutis ubi ex- creuerit ad diapa$on quadrupla: pueri autem uox, quæ iam diapa- $on altior e$t d e, erit bis diapa$on, & ideò quadrupla b c, $ed in acu- tioribus erit dupla, nullus enim puer e$t adeo fractæ uocis, qui$u- pra humillimam non a$cendat per diapa$on, igitur interuallum uo- cum erit octuplum a d, b c, $ed communiter a$cen dunt ad bis diapa $on, igitur interuallum unius uocis etiam cum $emitonio propor- tionem habentis e$t æquale fermè toti a b, cum autem in diapa$on $int duodecim $emitonia, & duo comata, manife$tum e$t, quod ex- ten$io illa erit maxima in cõparatíone grauioris uo cis a b. Etideò minimum in crementum in humilioribus uocibus, ubi quis coga- <foot>C 3 tur</foot> <p n=>30</p> tur a$cendere, maximum e$$e uidetur, adeò ut ægrè à pluribus fera- tur, à quibu$dam non omnino feratur.</P> <head>SCHOLIVM.</head> <P>Ob hoc natura fecit, ut non quemadmodum in fidibus uoces ex breuitate intenderentur, $ed ex con$trictione ligulæ, ut dicunt, $u- per a$peram arteriam uox ad diapa$on acueretur addito impetu proportione, ut ex con$trictione, & impetu cõ$urgeret dupla pro- portio. Hoc autem manife$tè experimur in elymis in quibus nullæ pror$us facta mutatione in$trumenti con$tantibus digitis omni- bus præter pollicem $ini$træ uocem exacuimus ad diapa$on, inde etiam ad bis diapa$on: $icut declarauimus in commentarijs Epi- demiorum.</P> <P>Propo$itio trige$ima$exta.</P> <P>Si proportio per proportionem minorem æquali ducatur, pro- portio minor producetur. Vnde manife$tum e$t duas proportio- nes minores æqualitate inuicem ductas proportionem minorem unaqua<01> illarum producere.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <fig> <P>Proportio a b ad c, quali$cun<01> $it, duca- tur in proportionem minorem æqualitate fad g, dico quod producta proportio erit minor ea, quæ e$t a b ad c fiat d ad a b, ut f ad g, et erit per $ecundam huius d ad c pro- ducta ex proportionibus a b ad c, & f g. Item<03> per decimamquar- <marg>P<I>er</I> 1 <*>. P<I>et.</I></marg> tam quinti Elementorũ erit d minor a b, igitur maior a b ad c, quàm d ad c. igitur quàm proportio a b ad c in proportionem f ad g. Sit autem utra<01> minor æqualitate ea, quæ a b ad c, & ea quæ f ad g, di- co productam unaqua<01> earum e$$e minorem. Quod enim (manen tibus his, quæ dicta $unt) minor $it d ad c, quam a b ad c ex prima parte o$ten$um e$t. Quòd uerò etiam minor $it d ad c, quàm d ad a b, & ex con$equenti quàm f ad g demon$tratur $ic. Quia enim mi- nor e$t a b ad c, æqualitate erit a b minor c, fiat ergo h æqualis a b, erit ergo d ad h, ut d ad a b per $eptimam quinti Elementorum, at d ad c minor quàm d ad h per octauam eiu$dem, igitur minor d ad c, quàm d ad a b, igitur patet propo$itum.</P> <P>Propo$itio trige$ima$eptima.</P> <P>Si plures homines, quorum nulli per $e nauim mouere po$sint, aut pondus ferre $imul iuncti eam moueant, aut pondus ferant, erunt illæ proportiones coniunctæ non productæ.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Cùm enim primus non po$sit mouere nec $ecundus, erunt pro- portiones minores æqualitate, Ideò per $ecundam partem præce- dentis multo minus mouerent duo, quàm unus. Et $i quatuor mo- <foot>ucrent</foot> <p n=>31</p> uerent unus<03> per $e mouere non po$$et, adderetur $i proportio produceretur, fieret minor, ergo minus mouerent quinque quàm quatuor ex ij$dem, quod e$t ab$urdum.</P> <P>Propo$itio trige$imao ctaua.</P> <P>Omne corpus tantùm re$i$tit motui contrario $uo naturali quan cum mouetur occulto motu quie$cendo.</P> <marg>C<I>o</I>m.</marg> <P>Sit a corpus quie$cens in pauimento b, & mouetur in eo occul- <marg>I<I>n commen.</I> 26. P<I>ropo$.</I></marg> to motu uer$us centrum, ut $uprà ui$um e$t, contra- <fig> rius illi $it motus ad c, $i ergo a quie$ceret in c moue- retur ad b occulto motu certa ui, ergo eadem re$titit, ne traheretur ad c. Manife$tum e$t autem, quod hic <marg>P<I>er</I> 30. P<I>ro po$.</I></marg> motus occultus e$t minor manife$to.</P> <marg>C<I>or</I>^{m}.</marg> <P>Ex hoc patet cur naues & currus ab initio tardè & difficulter mo ueantur, ubi moueri cœperint motus augetur: quoniam re$i$tunt <marg>Q<I>ue$t.</I> 31.</marg> per motum occultum naturalem qui maximus e$t dum quie$cunt, ut etiam do cebat philo$ophus in mechanicis, nam motus ille natu- ralis e$t, & ideò contrarius uiolento: Ergo cum iam mouetur uio- lenter minus, mouetur naturaliter, igitur minus re$i$tit. Declarabi- tur enim infrà quòd omne quod mouetur duobus motibus tanto <marg>P<I>ropo$.</I> 59.</marg> minus uno mouetur quanto magis altero.</P> <P>Propo$itio trige$imanona.</P> <P>Ab æquali aut minore ui, quàm $it impedimentũ, non fit motus.</P> <P>Sit a quod re$i$tat, ne $ur$um trahatur per decem, dico, quod nõ <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> $ur$um trahetur neque à decem, neque minore: nam $i impedimen- tum non e$$et, moueretur infra ut decem, ergo $i traheretur $ur$um per decem tantum moueretur $ur$um, quantũ deor$um, ergo quie- $ceret. Si uerò à minore moueretur à maiore ui deor$um, quam $ur- $um, ergo deor$um $impliciter non $ur$um.</P> <P>Propo$itio quadrage$ima.</P> <P>Omne corpus $phæricum tangens planum in puncto mouetur ad latus per quancun<01> uim, quæ medium diuidere pote$t.</P> <fig> <P>Sit corpus ad unguem $phæricum a tan- <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> gens planum b in puncto c (e$t enim hoc nece$$arium ex demon$tratis ab Euclide in decima$exta Propo$itione tertij Elemento- rum) dico, quod mouebitur à ui, quæ pote$t $cindere aërem. Nam cum non a$cendat, nec de$cendat, $ed qua$i in circulo ad centrum mundi moueatur, pondus non affert. Ne<01> ratione magnitudinis contactus, cum $it in puncto $olo, igitur remanet $olum aëris impedimentum.</P> <foot>C 4 Exhoc</foot> <p n=>32</p> <marg>C<I>or</I>^{m}. 1.</marg> <P>Ex hoc liquet, quod oportet b planum e$$e ex duri$sima mate- ria, quæ nullo modo cedat, aliter tanget plu$quàm in puncto.</P> <marg>C<I>or</I>^{m}. 2.</marg> <P>Vix fieri pote$t, utin elementaribus $phæra tangat planum in puncto. Vel quia planum non erit exactè rectum, uel non durum, ut pror$us non cedat, uel non ad æquilibrium po$itum, uel $phæra non erit exactè rotunda.</P> <P>Propo$itio quadrage$imaprima.</P> <P>Si fuerint duæ quantitates $umatur<03> totius aggregatum maio- ris & minoris, quoties aggregatum minoris, & maioris, erit pro- portio confu$a maioris aggregati ad minus, minor quàm multipli- cis maioris ad multiplex minoris.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Sint duæ magnitudines a & b, & $it a maior <fig> b, & $umatur exempli gratia a quater cum b $e- mel, & b quater cum a $emel, dico, quod propor tio (quam confu$am e$$e liquet) aggregati primi ad $ecundum, e$t <marg>E<I>x</I> 18. <I>diff.</I></marg> minor quàm quadrupla. Con$tat enim quod proportio quadru- pli a ad a e$t maior, quam b ad quadruplum b, cum una $it quadru- pla, alia $ub quadrupla, igitur per uige$imam$ecundam huius ag- gregati quadrupli a cum b $emel, ad quadruplum b cum a $emel mi <marg>I<I>n</I> 2. <I>lib. de</I> A<I>tqui pon- deran.</I> P<I>ropo$.</I> 10.</marg> nor, quàm quadrupli a ad a, & maior quàm b ad quadruplum b, & e$t pro intellectu Archimedis.</P> <P>Propo$itio quadrage$ima$ecunda.</P> <P>Trahentium nauim, ut ferentium pondera proportiones in $e in- uicem, quomodo ducere oporteat con$iderare.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Hoc quomodo non po$sit fieri $uprà docuimus, nunc etiam ge- <marg>P<I>ropo$.</I> 37.</marg> neraliter dicam, cum con$i$tant hæc in duobus terminis, productio uerò præ$upponit quatuor terminos, ut in prima propo$itione, aut $altem tres, atque in his medius habet rationem mouentis, & moti, ergo cum in huiu$modi nõ $int quatuor termini, nec tres, è quibus unus $it mouens, & motum proportio non poterit produci. Illud etiam patet exemplo, nam $i e$$et lapis, aut nauis ob$i$tens ut $ex, & e$$ent homines uiribus $inguli, ut quatuor cum dimidio, tres mo- uerent in proportione dupla $exquiquarta perdicta $uperius eo- dem loco, at $i proportio duci po$$et aliquorum hominum nume- rus po$$et mouere in duplicata proportione ad unguem $cilicet 5 1/16 ut e$$et uix hominum collectorum 30 3/8 at nullus e$t numerus ho minum qui collectus faciat hunc numerum, nam $ex homines ex- plentnumerum 27, & $eptem 31 1/2, & ideò non pote$t duci propor- tio. Et ideò maximus e$t error dicendo decem homines mouent na uim proportione tripla, ergo triginta alij additis illis $imiles robo- re mouebunt à proportione uiginti $eptupla $cilicet ducta nonu- <foot>pla</foot> <p n=>33</p> pla in triplam. Sed $umpta proportione alio modo producitur. Ve lut $i dicam, homines decem mouent nauim, aut ferũt pondus pro- portione tripla, igitur quadraginta homines idem facient propor- tione duodecupla $cilicet quadrupla in triplam ducta. Cum ergo addo triginta homines, qui mouent in proportione nonupla, non oportet ducere nonuplam in triplam, $ed totum numerum accipe- re, & quam proportionem habet ad partem, tandem habet uis mo- uens ad uim mou&etilde;tem. Vnde $i duo moueant in proportione $ex- quialtera, & $ex in proportione quadrupla cum dimidia, & iungan tur, ut fiant octo, non oportebit ducere $exquialteram, in quadru- plam $exquialteram, $ed cum octo ad duo $it in proportione qua- drupla, $umemus quadruplam ad $exquialteram, qu&ecedil; erit $excupla, & octo mouebunt, aut pondus gerentin proportione $excupla.</P> <P>Propo$itio quadrage$imatertia.</P> <P>Productionem ad additionem retrahere.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <fig> <P>Sit proportio a ad b dupla pote$tate li- cet $int quin<01> homines, & $int quindecim homines c, & habebunt ad b $excuplam proportionem per præcedentem. Iuncta ergo a, & c per octauam huius mouebũt b proportione octupla, dico, quod $i du- xeris proportion&etilde; c ad a plus uno. i. qua- druplam in proportionem a ad b, quæ e$t dupla, proueniet eadem octupla. Nam quia in coniunctione $ufficit iungere c cum a, & $u- mitur $ecundum proportionem a ad b, igitur cum proportio a ad b co mparata ad proportionem c & a ad b $it, $icut proportio c & a ad a, & proportio c & a ad a $it, $icut proportio c ad a, & a ad a, & proportio a ad a habet rationem unius, igitur proportio aggregati c a ad b e$t producta ex proportione c ad a plus monade in propor tionem a ad b, quod erat demon$trandum.</P> <P>Propo$itio quadrage$imaquarta.</P> <P>Si fuerit proportio motoris ad id, quod e$t maximum non mo- uens & $patium, & tempus, nota erit etiam reliquorum nota.</P> <P>Sæpe contingit, ut quin<01> homines moueant nauim, & $patium ad tempus notum, & etiam cognitum maximum, quod mouere non pote$t. Sit ergo a numerus hominum, b na- <fig> uis, c maximum, quod non mouere pote$t, d tempus, e $patium, f motor alius $iue numerus hominum notus, & g tempus, dico, quod h $patium notum erit, $eu notũ g tempus, & h $patium, dico, quod erit f motor, $eu numerus <foot>hominum</foot> <p n=>34</p> hominum notus. Quoniam ergo notum e$t a & c, quia e$t æquale b, igitur proportio a ad b nota e$t: $ed iuxta illam a mouet b in d tempore per e $patium, igitur per præcedentem, ut f ad a ita $patij ad e in d tempore. Sed per eadem ut temporis d ad $patium illud, ita g ad h, ergo cum nota $int d e f g erit etiam h, & ita conuertendo.</P> <P>Propo$itio quadrage$imaquinta.</P> <P>Rationem $tateræ o$tendere.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Archimedes nititur huic fundamento, quod pondera, quæ pro- portionem mutuam habent, ut di$tantiæ à libella a, quæ $u$pen- duntur, æqualiter ponderant, $it ergo libella a b, & $u$pen$a in a cen trum mundi c, ad quod dirigitur pondus, & liquet, quod ip$um non $e inclin abit ex uige$imatertia propo$itione. Si ergo ponantur lo co lineæ b d in e & f, & $it proportio e b <fig> ad b f, ut g ad h, dico, quòd erit æquili- brium, per eandem enim h mouebitur in k, $cilicet ut perueniat in rectam a d, $i enim non e$$et |$u$pen$um h, moueretur in re- cta e h per eandem, quia ergo retinetur, mo- uetur per obliquam h k, & $umatur in pro- pin quum punctum in b e, & n in æquali di- $tantia in e f, quia ergo e b totum mouetur eadem ui in $ingulis partibus, quia a pon- dere h, & in h mouetur per h k in m per m p, ergo qualis e$t proportio magnitudinis h k ad m p, talis e$t uis in m p ad uim in h k, & ita in b erit penè infinita: quia quanta ui ex- tenditur ex h in k tanta puncta b, $e circumuertit ergo propor- tio hypomochlij ad $patium, uelut roboris ad robur, at eadem n o ad h k, e$t enim n o æqualis m p, & n b, & b m æquales, ut uerò g ad h, ita e b ad b f: ergo ut e b ad b f, ita uirium n o ad h k, ut igitur g ad h, ita uirium m p ad h k: ut etiam g l ad n o, ita uirium f b ad n b. nam idem pondus $cilicet g mouet totam b f, igitur ut g $e habet <marg>P<I>er</I> 9. <I>quin- ti</I> E<I>lem.</I></marg> ad n o, ita h ad m p, $ed m p & n o $unt æquales, ergo tanta e$t uis g in f, quanta h in e.</P> <marg>C<I>or</I>^{m}. 1.</marg> <P>Ex quo patet, quod hypomo chlion moueretur infinita ui, $i po$- $et e$$e punctus: $ed quia in extrema $uperficie cylindri, ideò pote$t aliqua ui retineri.</P> <marg>C<I>or</I>^{m}. 2.</marg> <P>Et $i quis po$$et capere ha$tam in extremo puncto, non po$$et eam mouere, etiam quod haberet robur infinitum, quia ab æquali non fit motus per trige$imamnonam propo$itionem.</P> <marg>C<I>or</I>^{m}. 3.</marg> <P>Et libella nihil retinet ni$i quantum e$t pondus eius quod cu- <foot>pit</foot> <p n=>35</p> pit ad centrum peruenire, & pondus ei appen$um non prohi- bet motum, etiam $i e$$et infinitum, ni$i quatenus non uult recede- re ex directo centri mundi: & ut grauat hypomochlion faciens im- pre$sionem.</P> <marg>C<I>or</I>^{m}. 4.</marg> <P>Et $i terra tota e$$et appen$a polo, moueretur magna ui: quoni- am uis eadem e$t in polo, quæ in circulo toto æquinoctij.</P> <marg>C<I>or</I>^{m}. 5.</marg> <P>Etrota, quanto uelocius mouetur in ambitu, tanto mi norem habet uim: $ed propter aërem, qui $ecum circum- <fig> fertur, mouetur magno impetu, & magnas facit læ$iones. Ideò hoc in cono non accidit.</P> <marg>C<I>or</I>^{m}. 6.</marg> <P>Ex quo patet ratio eleuandi pondera magna per tra- bem, ut à latere uides.</P> <P>Propo$itio quadrage$ima$exta.</P> <P>An $it aliqua proportio, & qualis inter animam, & ui- tas, & $ua corpora con$iderare.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Declarauimus motum cœli e$$e uoluntarium, ob$equente cœ- lo per uirtutem in eo infu$am. In animalibus autem, & præcipuè in homine notius e$t hoc experientibus nobis in ip$is: $ed motus hic, ut dixi $upra, mi$tus e$t, ille uerò cœle$tis ignotior e$t. Certum <marg>P<I>ropo$.</I> 27.</marg> tamen e$t plenè ob$equi cœlum uitæ, nec pror$us repugnare. So- let Ari$toteli imponi, quòd $i adderetur a$trum cœlo, quòd cœlum aut quie$ceret, aut tardius moueretur: quod e$t, ac $i diceremus, quòd homo paruus $i fieret maior, non e$$et adeò agilis, tanquam motus ille e$$et ab externa cau$a. Imò perinde e$$et, ac$i quis dice- ret, quod lapides magni minus uelociter de$cenderent, quam par- ui. Quin potius ut lapis magnus uelociùs mouetur: quàm par- uus naturali motu, & tardius præternaturali, ita cœlum motu uo- luntario, $i ita dici po$$et æqualius & maiore cum efficacia, quan- to den$ius. Et ita $i Ari$toteles illud dixi$$et, o$tendi$$et magnam imperitiam. Ideò quale iudicium debemus facere de Alexandro, & <marg>T<I>ex.</I> 71. 2. <I>de</I> C<I><*>.</I></marg> Aueroe, qui hoc ei tribuunt. legi&ttilde; enim in textu Arabico tale quip- piam. De Animalibus for$an po$$et hoc dici, quoniã, ut $uprà dixi- mus, motus ille mi$tus e$t. Remanet ergo difficultas, quoniã $i mo- tus i$te non à proportione fit, quare non e$t infinitus? & dico <09> in animalibus tres $unt cau$æ, una, quia e$t mi$tus, & habet repugnan tiam: $ecunda, quia e$t de loco ad locum, motus autem cœli e$t in lo co: tertia e$t communis etiam cœlo, et e$t, quoniã non e$t ratio finis. Natura enim diuina non appetit mouere tã celeriter. Quid e$t ergo <04>portio, cũ $it ultimũ uoluntatis uit&ecedil;, ut obtemperet primæ cau$æ, ideo illud e$t ultimũ, &qring; mouet. E$t aũt idem uelle, & po$$e. In natura <foot>enim</foot> <p n=>36</p> enim cœli e$t ille appetitus, cuius prin cipium e$t uita: & eíus uolun tatis bonum ip$um. Et ideo hæc proportio nõ diuiditur. In anima- libus autem non e$t uis illa ni$i, cum proportione, quia primum in- $trumentum, quod recipit, & e$t $piritus uim habet determinatam, cum $it uirtus in materia: ideo nõ mouet ni$i cum certa proportio- ne, uelut lumen in medio in $e non habet proportionem ni$i ad lu- cem, $ed ut e$t in illo, pote$t e$$e remi$$um, ob$curũ & hebes. Quæ- ritur ergo quantitas illius? $i dicas, quòd e$t à luce: quæro quanti- tas lucis, unde $it? for$an dicendum, quòd uelutin motibus, quanto den$iora $unt corpora tanto mouen&ttilde; maiore nixu, & robore. Nam calor in materia augetur iuxta illius quantitatem: idem in luce, & reliquis. Dico ergo proportionem e$$e infinitam: nam $i corpus e$- $et infinitum & optimè di$po$itum infinita ui moueretur & agili- tate, ut enim maius e$t eo maiores uires habet.</P> <P>Propo$itio quadrage$ima$eptima.</P> <P>Si duo mobilia æqualiter in eodem circulo iuxta proprios mo- tus moueantur, productum temporis circuituum inuicem erit æ- quale producto differentiæ temporum circuitus ductæ in tempus coniunctionis primæ.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Sint duo mobilia a & b in eodem pun- <fig> cto, quæ æqualiter uer$us candem partem moueantur æqualibus in temporibus, inui cem tamen in æqualiter, ita quod a in f & b in g temporibus ab$oluant circulum, & ho rum differentia $it h. Dum ita que a perficit circulum b perueniat in c, igitur c d b e$t dif ferentia, quæ $uperanda e$t, & proportio circuli ad b c ut g ad f, quare reliqui ad reli- quum, ut re$idui ad re$iduum, $cilicet circu- li ad c d b, ut g ad h, & b c ad c d b ut f ad h, coniungantur igitur in k tempore, erunt<03> k f g h omiologa, ut productum ex circulo in b c diui$o per certam quantitatem & cum circulo & b c & c d b diffe- rentia, & $it $productum exfin g, dico quod diui$a $ per h exibit k tempus coniunctionis primæ, $it ita<01> d locus coniunctionis, dico igitur quod differentia $patij pertran$iti a b, a & a, b in reditu ex con iunctione prima ad d e$t unus circulus completus, non enim po$- $unt e$$e plures, nam $equeretur, quòd a aliquando pertran$i$$et b, et $ic non e$$et prima coniunctio, nec pote$t e$$e minus, nam $ic cum a & b $int in d ultra perfectas circulationes uterque eorum pertran $iuit arcum b c, igitur nullo modo differentia pote$t e$$e minor cir- culo, neque maior, ut declaratum e$t, igitur e$t unus circulus ad un- <foot>guem</foot> <p n=>37</p> guem. Hoc declarato ponatur m $patium compofitum ex circulis pertran$itis a b a cum $patio b d, etenim $patium, quod pertran$it b a coniunctione in a, ad coniunctionem primam in d, & erit ex de- mon$tratis horum differentia circulus qui uocetur o, & $it p $pa- tium, quod pertran$it b in tempore eodem, in quo a pertran$it o, & $it q differentia o, & p qu&ecedil; in circulo e$t c d l b, quia igitur in eodem tempore a pertran$it m & b, n, erit m ad n, ut a ad b, & eadem ratio- ne a ad b, ut o ad p, igitur ex undecima quinti Euclidis m ad n, ut o ad p, quare cum o $it differentia m & n, & q, differentia o & p erit ex decimanona quinti Euclidis, m ad o, ut o ad q, & ita circulus e$t ana logus inter $patium pertran$itum à motore uelociori, & inter diffe- rentiam $patij quæ accidit, dum uelocior motor pertran$it circu- lum, id e$t quòd circulus a c d e$t analogus inter c d l b, & circulos pertran$itos a b a cum portione b d. Reuertor igitur ad propo$i- tum, cum $it m ad o, ut o ad q, & m ad o, ut n ad p, ex $extadecima quinti Euclidis, erit ex undecima eiu$dem n ad p, ut o ad q, quare ex $extadecima $exti Elementorum ducto o, id e$t circulo, $eu maiore numero in p $patium pertran$itum a b, $eu ducto fin g, & diui$o per q differentiam $patiorum, $eu per h exibit n, $eu $patium quod pertran$it b ab una coniunctione ad aliam quod erat demon- $trandum.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Ex hoc patet, quod proportio temporis coniunctionis ad tem- pus tardioris motus circuitionis e$t ueluti temporis circuitus uelo cioris motoris ad differentiam temporis motus tardioris, & uelo- cioris motoris in uno circuitu.</P> <P>Propo$itio quadrage$imao ctaua.</P> <P>Si tria mobilia ex eodem puncto di$cedant, fuerint<03> duorum, ac duorum coniunctiones in temporibus commen$is illa tria mobi- lia denuò coniungentur in tempore producto ex denominatore di ui$ionis temporis maioris per minus in minus, aut numeratore in maius.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Sint tria mobilia a, quod circuat in duobus annis b in quinque, c in $eptem. Dico quod primum redibunt in numero producto ex $eptem quin<01> & duobus, qui $unt numeri primi, & erit ille nume- rus $eptuaginta annorum. Nam in $eptuaginta annis a perficiet tri- gintaquin<01> reuolutiones b quatuordecim, c decem: ergo redibũt per perfectos circuitus ad idem punctum. O$tendo modo quod non ante: nam $i $ic: $it, ut in trigintaquinque annis igitur b & c per- ficient perfectos circuitus, ergo redibũt ad idem punctum, a autem non redibit, quoniam eius circuitus non numerat trigintaquin<01> aliter non fui$$et $eptuaginta minimus numeratus ab a b c, cum <foot>D ergo</foot> <p n=>38</p> ergo iam $upponatur numerari a b & c non numerabitur a b a, er- go a non perficiet circuitus, ergo non redibit ad primum locũ, ergo non erit iunctus cum b & c. Quod $i dicas a b c coniungi in decem $eptem annis numero non numerato ab ali <fig> quo illorum temporum, auferantur perfe- ctæ circulationes, & remanebũt dimidium ex a, duæ quintæ ex b, tres $eptimæ ex c, igi- tur oportebit ut hæ portiones $int æqua- les, ut po$t perfectas circulationes in idem punctum, cõueniant, ergo 1/2 & 2/5 & 3/7 æqui- ualebunt, quare proportio 7 ad 3 & 5 ad 2 & 2 ad 1, e$t una, quare permutando 3 ad 2 ut 7 ad 5, $ed 7 & 5 $unt contra $e primi, ergo in $ua proportione mi nimi per dicta in $eptimo Elementorum: ergo tria, & duo non $unt in eadem proportione. Rur$us dicantur conuenire in annis qua- <marg>P<I>ropo$.</I> 23</marg> tuordecim cum dimidio, ergo in uiginti nouem conuenient ite- rum: ergo per $ecundam partem erit $eptem ad unum, ut duo ad unum, igitur permutando unius ad unum, ut $eptem ad duo, $ed unum e$t æquale uni, ergo duo erunt æqualia $eptem. Rur$us dica- mus, quod in tempore annorum <02> quadrata decem $imiliter aufe- ram integras reuolutiones, quas potero, & erunt <02> 2 1/2 m: 1, & <02> 2/5 & <02> 10/49 æqualia. Hic uides infinita $equi in conuenientia, quæ longum e$$et numerare, nam $eptem e$$et æquale quin<01>, & proportio reci$i ad potentia rethe, ut numeri ad numerum. Igitur non conueniunt ante $eptuaginta annos.</P> <marg>C<I>or</I>^{m}. 1.</marg> <P>Ex hoc $equitur, quòd nullibi conuenient præterquàm in eo- dem puncto, $cilicet in quo ab initio coniuncti fuerunt.</P> <marg>C<I>or</I>m. 2.</marg> <P>Sequitur denuo ex propo$itione ip$a repetita, & primo corrola- rio, quod nullibi alibi conuenient quàm in dato primo puncto, in quo coniuncti fuerant ab initio etiam u$<01> in æternum.</P> <P>Sit rur$us ut a circuat in annis duobus cum dimidio, b in tribus cum tertia parte, cin quatuor cum quarta parte ducam per $uos denominatores, & erit ut a in quin<01> annis. b in decem, c in decem- $eptem circuant, & redeant ad idem punctum, & quia quin que nu- merat decem, & decem, & decem$eptem $unt numeri inuicem pri- mi, ducam decem in decem$eptem fiunt centum $eptuaginta. Con- $tat igitur c quadragíes, b quinquagies $emel, a $exagies octies cir- cumuerti, & redire ad idem punctum: ergo rur$us coibunt po$t tot annos in eo, dico modo, quod non ante: nam $i non $it, ut in trigin- ta tribus annis. gratia exempli, aufero decem$ept&etilde;, decem, & quin- que, & relinquentur $exdecim tria & tria, & rur$us ex $exde cim tres <foot>cir cuitus</foot> <p n=>39</p> cir cuitus c, & relinquentur 3 3/4 $equetur igitur, ut $it proportio 17 ad 13, & 2 1/2 ad 1/2 & 3 1/3 ad 3 eadem, & ita 17/13, 5/2 & 10/9 eadem $i iam $uppo<*>- mus 17 & 10 e$$e primos inuicem, ut in $ecunda demon$tratione<*> Igitur $equuntur eadem corrolaria, quæ dicta $unt.</P> <P>Propo$itio quadrage$imanona.</P> <P>Propo$ito mobilis in circulo circuitus tempore, data<03> ratione di$tantiæ ab illo mobilis circuitum inuenire, quod ex eodem pun- cto di$cedens cum alio mobili in dato puncto conueniat $ub quo- cun<01> numero circuituum tempus quo<01> coniunctionis.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <fig> <P>Sit in circuli peripheria a pũctus, qui cir cuat æquali motu (hocenim $emper intel- ligitur) in b tempore: & $it datus punctus c in quo di$cedens e mobile ex coniunctio- ne cum a po$t certos circuitus proprios, aut etiam. $ine ulla circuitione perfecta de- beat conuenire. Volo $cire tempus circui- tionis e: & etiam tempus coniunctionis. Sit ergo primum ut ab$<01> circuitione ulla e, a debeat comprehen- dere e in c po$t numerum circuitionum ip$ius a, qui $it f. nam $i a o c currit e in prima circuitione ip$ius e, igitur a mouetur uelocius quàm e, cum ergo debeat attingere ip$um e, nece$$e e$t ut a pertran- $eat prius per punctum ex quo di$ce$sit antequam redeat ad con- iunctionem e: ergo perficiet $altem unam circuitionem. Ducemus ergo f in b, & fiet g tempus circuitus aut circuituum a, & quia $pa- tium a c datum e$t, $it b temporis circuitus a ad h, uelut circuli to- <marg>P<I>er</I> 10. P<I>et.</I></marg> tius ad a c, & iungatur g cum h & fiat k. Fiat quoque, ut monadis ad h, ita l ad monadem, & ducatur l in k, & fiat m: dico m e$$e tem- pus circuitus e. Con$tat enim ex $uppo$ito, quod k e$t tempus to- tum in quo a peruenit po$t b circuitiones in c, $i ergo e moueretur per m tempus totum ex $uppo$ito perficeret circuitum, at quia cir- cuitus ad a c, ut monadis ad h, igitur etiam ut l ad monadem, ergo proportio circuitus ad a c, ut m ad monadem: ergo $i in m tran$it to tum circuitum in monade tran$it a c: $ed monas ducta in k facit k, igitur e in tempore k perueniet in c, quod erat demon$trandum. Proponatur modo tempus reuolutionum e ip$um d: eodem mo- <marg>P<I>er</I> 11. P<I>et.</I></marg> do agemus ducendo fin b fit g, addatur h & fiat k, diuidatur k per aggregatum d & a e, & exeat m, (idem enim e$t diuidere per aggre- gatum d & h, & multiplicare per l) dico ergo ut in demon$tratione priore, quod m e$t tempus circuitus e. Nam cum k $it tempus, in quo a po$t circuitus f peruenit ad c, ergo diui$o ip$o toto tempore <foot>D 2 per</foot> <p n=>40</p> per numerum reuolutionum d, & partem reuolutionis exibit tem- pus unius reuolutionis.</P> <P>Exemplum primi in repaulò ob$curiore: $it f 4 & b 2 1/2 & a c 4/5, du cemus 4 in 2 1/2 fit 10, adde 4/5 6 quod e$t 2 fit 12, diuide per 4/5 $eu mul- tiplica per 5/4 quod idem e$t, fit 15 circuitus e, in quatuor ergo circui- tibus, & 4/5 qui $unt duo decim anni perueniet a ad c, & in duodecim annis e perueniet ad c, nam 12 $unt 4/5 ip$ius 15. Similiter in $ecundo ca$u $it f 4 ut prius b 2 1/3 a c 1/7, ducemus 4 in 2 1/3 fit 9 1/3, addemus<03> h portionem b qualis a c e$t totius circuitus, id e$t 1/7, e$t autem 1/7 2 1/3, 1/3 fient 9 1/3, $imiliter ponatur d 5, & quia a c e$t 1/7 erunt 36/7, diuide ergo 9 2/3 id e$t 29/3 per 36/7 exeunt 203/108 tempus reuolutionis e. Quin que ergo reuolutiones e erunt 1015/108 addita $eptima parte, quæ e$t 29/108 fient 2044/108 $eu 261/27, & $unt anni 9 18/27 $eu 9 2/3, ergo in tanto tempore a faciet qua- tuor circuitus, & $eptimam partem, & e quinque circuitus, & $e- ptimam.</P> <marg>C<I><*></I>^{m}.</marg> <P>Ex hoc patet, quod non coniungentur in alio loco, ne<01> alio tem pore ante prædictum tempus.</P> <P>Propo$itio quinquage$ima.</P> <P>Omnes circuituum portiones in eiu$dem temporibus repetun&ttilde;.</P> <P>Sint in circulo a b c d e f g: a & b iuncta, & in primo congre$$u iungantur in c, in $ecundo in d, in tertio in e, in quarto in f, in quinto in g, in $exto in h, in $eptimo in k, in octauo in l. Et $ic deinceps cũ<03> tempora $int æqualia, erunt & circuitus totidem numero, & exce$- $us æquales etiam a c, c d, d e, e f, f g, g h, h k, <fig> k l. Et $i aggregatum a $cilicet circulorum, & portionis fuerit commen$um circulo, & ita de b erunt omnia cõmen$a ad circulum, <marg>P<I>er</I> C<I>or</I>^{m}. <I>præcedentis.</I></marg> & etiam inter $e. Et $i inter $e aggregata, uel portiones erunt, & eodem modo reliqua. Et quoniam circuli circulis commen$i $unt: $i portiones erunt inuicem commen$æ erũt, & toti circuitus cum partibus commen$i, & $i non commen$i, neque erunt inter $e, ne<01> ad circulum. Et $i totum $patium cum circuitibus erit unius generis, erunt duplicata, & tri- plicata, & quadruplicata eiu$dem generis: quare cum $patia ip$a detractis circuitibus uelut rhete habeant naturam reci$i, & $patia ip$a tota $int eiu$dem generis, erunt $patia, quæ relinquuntur eiu$- dem generis. Erunt tamen incommen$a nece$$ariò, $i partes fuerint incommen$æ toti. Ponatur a c incommen$a toti circulo dico, quod a k etiã e$t incommen$a toti circulo: & etiã a k, & k c. Quia enim a c e$t incommen$a circulo, & k a cum toto circulo $emel e$t commen- <foot>$a a c</foot> <p n=>41</p> $a a c, quia multiplex ei. igitur cum circulus, & a k diuidantur in cir- <marg>P<I>er</I> 14. <I>deci mi</I> E<I>lement.</I></marg> culum et a k, & circulus $it incommen$us circulo, cum a k erit aggre. gatum ex circulo, & a k incommen$um ip$i a k, & a k pariter incom <marg>P<I>er</I> 17. <I>eiu$dem.</I></marg> men$a circulo. Rur$us quia a k e$t incommen$a circulo cum a k, & circulus cum a k $it multiplex ad a c, erit a k incommen$a a c, quare <marg>P<I>er</I> 14. <I>rur$us.</I></marg> erit c k incommen$a a k & a c, & circulo ad dita a k. Si ergo a c $it commen$a circulo, erunt omnes portiones e genere numeri, & $i <marg>P<I>er</I> 17. <I>rur$us.</I></marg> potentia rhete erunt omnes, uel potentia rhete, uel circulis detra- ctis, ut a k & a l reci$a: & a c $it potentia $ecunda rhete, id e$t radix cu bica erunt omnes c d, d e, e f, potentia $ecunda rhete, et radices cubi- cæ numeri, $eu latera corporum rhete, a k uero & a l, & huiu$modi in infinitum reci$a potentia rhete.</P> <marg>C<I>or</I>^{m}.</marg> <P>Ex hoc patet, quod cum circulus po$sit diuidi in infinita gene- <marg>P<I>er penulti- mam uige$i- mi</I> E<I>lement.</I></marg> ra quantitatum, quæ non $unt inuicem commen$æ cum<03> coniun- ctiones hæ $emper in eodem genere maneant, quod infinita pun- cta, & infinitis in $peciebus quantitatum remanebunt in quibus a & b in perpetuum nunquam conuenient. Velut $i coniunctio pri- ma fiat in <02> cu. 1/2 alicuius circuli, nunquam conuenient, ne<01> in me- dietate, ne<01> in quarta parte, nec octaua, nec tertia, nec $exta, nec no- na, nec quinta, nec decima, & $ic de $ingulis in genere commen$a- rum toti circulo. Neque in <02> quadrata 1/2 uel 1/3 uel 1/5 ne<01> <02> 1/6 uel 1/20, ne<01> in <02> 3 m: 1, nec 2 m: <02> 3 nec in <02> <02> 2 aut 3 aut 7 nec in <02> rela- ta alicuius numeri, nec in 2 m: <02> <02> cub. 3 nec 2 m: <02> cub. 4, & $ic de alijs.</P> <P>Propo$itio quinquage$imaprima.</P> <P>Operationes dictas exemplo declarare.</P> <marg>C<I>or</I>^{m}.</marg> <P>Supponamus in circulo prædicto a c <02> 7 con$tat, quod e$$e non pote$t, quia <02> 7 e$t maior monade, ideo toto circulo, quare non po terit e$$e pars circuli, $ed referetur ad quantitat&etilde; certam, uelut quod circulus $it 10. $emper ergo diuidemus <02> 7, $eu eam portionem per 10 quantitatem circuli & exibit <02> 7/100, & hæc erit portio circuli, & ita $i portio $it <02> cub. 16, diuidemus <02> cub. 16 per 10 exibit <02> cu 2/125, & ita de alijs.</P> <P>Sed cum ex repetitione cre$cat portio illa, donec exuperet mo- nadem, aut aliquem quemuis numerum detracta monade aut nu- mero circuituum habebit rationem reci$i. Velut <02> 7/100 quater $um- pta efficit <02> 112/100. Et hoc e$t potentia rhete, $ed $i quis auferat mona- dem fiet <02> 112/100 m: 1, & hoc e$t reci$um 1, $cilicet 1 p: <02> v: 23/25 m: <02> 28/25, $ed ta men uerè e$t linea media.</P> <P>Quod uerò non contingat coniungi in alio loco, neque tem- pore $it, ut a b iungantur in c, & $it reuolutio a triplex integra, & b <foot>D 3 $excuplex,</foot> <p n=>42</p> $excuplex, & tempus totum decem annorum: ita ut a c $it tertia pars circuitus, & a circuitus tres anni, & quia circuitus b funt fex cum tertia, diuidemus decem per 6 1/3 exit 1 11/29, dico quod non prius, neque in alio <fig> puncto. Si enim primùm in eodem pun- cto, &, gratia exempli, in quatuor annis congruit enim, & b dicamus quod per- egerit duas reuolutiones cum tertia, hoc enim e$t nece$$arium, $i debet perueni- re ad c, & erunt anni tres, & 23/19, non ergo anni quatuor. Cum enim tempora di- uer$a diuiduntur per numeros haben- tes proportionem erunt, qui prodeunt <table> <row><col>Decem</col><col></col><col>Quatuor</col><col></col></row> <row><col>3</col><col>3 1/3</col><col>1 11/19</col><col>2/(<*>/2<*>)</col></row> <row><col>1 11/19</col><col>6 1/3</col><col></col><col></col></row> </table> numeri in eadem ratione. Diui$o ergo 10 per 1 11/19 exit 6 2/3, & diui$o 4 per 1 11/19 exit 2 8/15, igitur 6 1/3 ad 2 8/15, ut 10 ad 4, igitur 8/25 non pote$t e$$e æquale 1/3. Si enim per præcedentem repetuntur, ergo non po$- $unt redire, doneciterum coniung antur in ip$o a. Si enim aliter $it ut ex e, igitur e c e$t æqualis a c pars toti, quod contingere non po- te$t. Sin uerò coniunctio fiat in d, igitur per præcedentem d e e$t pars a c $ubmultiplex quomodolibet, quare non fuerunt a$$um- pti primi numeri. Veluti in exemplo con$tituimus, quod a, & b conueniunt in c in decem annis, & a c e$t tertia pars circuitus: er- go in triginta annis conueniunt in a, & in quadraginta rur$us in c. $i ergo quis a$$ump$i$$et quadraginta annos ab initio pro con- gre$$u, & diui$i$$et per 1 12/19 exiret 25 1/3, & $i per 3 exiret 13 1/3, & mani- fe$tum e$t, quod uterque numerus pote$t diuidi per eundem nu- merum, utpote 4 & exit numerus cum eadem parte $cilicet 6 1/3 & 3 1/3 ergo conuenient ante, non ergo a$$ump$i$ti minimos in ea pro- portione. Illi autem nequaquam amplius diuidi non po$$unt eo- dem modo.</P> <P>Propo$itio quinquage$ima$ecunda.</P> <P>Tria mobilia coniuncta in eodem puncto, quorum duo, & duo conueniant in partibus in commen$is inter $e, in perpetuum in nul- lo unquam puncto conuenient.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Sint a b c iuncta, & primo iungantur a & b, iterum in d & b, & c in e, & $int a d, a e inconimen$æ, dico quòd a b c nunquam con- uenient in aliquo puncto, $eu primo, $eu alio à prim o: $i non con- <foot>ueniant</foot> <p n=>43</p> <fig> ueniant in f, erunt ergo in g tempore re- uolutiones integræ, & portio a f in$uper. Et quia hæ con$tituuntur per congre$$us b cum a, & $unt $patia a d, & b cum c, & $unt $patia e f, igitur $patium a f erit ex ge- nere quantitatis a d, & a e per quinqua- ge$imam, harum ergo erunt commen$æ: quod e$t contra $uppo$itum. Et harum propo$itionum principium e$t traditum à Campano Nouarien$i Euclidis expo$itore, in quodam libello non edito qui diligentia patris mei Facij ad me peruenit.</P> <P>Propo$itio quinquage$imatertia.</P> <P>Circulorũ $e in aduer$um mouentium proportionem declarare.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Sit orbis a b cuius cen- <fig> centrum c, manubrium c d f e, $eu uero tangat circu lum g, $eu more gemmas $culpentium aligetur al- teri orbi funiculo a l b, & $it in uertice axis k m or- biculus $olidus aut $emi- circulari forma m, dico quod proportio motus a b ad motum m e$t produ cta ex duabus proportio- nibus c n $emidimeti&etilde;tis, & $emidimetientis m ad k o, quare ut rectanguli c n in dimidium dimetientis m ad quadratum o, ut enim a b ad ol orbem, id e$t peripheriarũ ita c n ad o k, quoniam o l mouetur toties in una circuitione a b, quo- ties peripheriã o l contine&ttilde; in peripheria a b, ergo quoties o k con- tinetur in c n toties in una circuitione a b o l circumuertitur, $ed quoties circumuertitur ol, toties etiam m, quia uter<01> mouetur eo- dem circuitu k m axis, ergo quoties m circumducitur in circuitu a b toties o k continetur in c n, ergo $i fiat comparatio $emidiametri m ad c n, erit product a proportio circuitus a b ad circuitum m ex <04>portione c n ad o k, et $emidimetientis m ad id&etilde; o k, ergo per 26 <04>portio numeri circuitus unius p alterũ e$t, ut rectanguli $ub c n, & $emidimetiente m ad quadratum k o, quod erat demon$trandũ.</P> <P>Manife$tum e$t autem ex ip$a $ola con$titutione, quod $i a b mo- <marg>C<I>or</I>^{m}. 1.</marg> <foot>D 4 uetur</foot> <p n=>44</p> uetur $ur$um à dextro in $ini$trum in inferiore parte, mouebitur à $ini$tro in dextrum, & uter<01> circulorum g & k in $uperiore parte, & in inferiore mouebitur contrario motu, $cilicet in $uperiore à $ini $tro in dextrum, & inferiore à dextro in $ini$trum, illi uerò duo or- bes $imili motu mouebuntur tam in parte $uperiore, quàm inferio- re, & proportio motuum eorum inter $e erit uelut dimetientium corundem.</P> <marg>C<I>or</I>^{m}. 2.</marg> <P>Rur$us cum a b circumuertatur cum manubrio c d f e, tanto uelo cius circumuertetur, & in ea proportione, qua d f continetur in c n, & in eodem tempore, in quo manubrium circumuertitur in eodem axis circumuertitur, & orbis, ut dictum e$t, ergo in eodem tempo- re, in quo axis circumuertitur in eodem orbis: ergo tanto tardius uidebitur moueri axis ip$o orbe, quanta e$t proportio minoris in æqualitatis ip$ius axis, $eu ambitus, $eu $emidimetientis ad ambi- tum, $eu $emidimetientem orbis.</P> <P>Propo$itio quinquage$imaquarta.</P> <P>Proportio circuli ad $uum diametrum per $imilitudin&etilde; e$t quar- ta pars peripheriæ. Rur$us<03> eiu$dem circuli ad peripheriam diame tri quarta pars.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Quoniam enim $uperficies circuli, ut ab <fig> Archimede demon$tratum e$t, fit ex dimi- <marg>P<I>er</I> 16. <I>$ex ti</I> E<I>lement.</I></marg> dio diametri in dimidiũ peripheriæ erit, ut eadem fiat ex tota peripheria in quartã par tem diametri, & ex tota diametro in quar- tam part&etilde; peripheri&ecedil;. ergo proportio are&ecedil; circuli ad diametrum per $imilitudinem <marg>P<I>er</I> 2. <I>diff.</I></marg> e$t quarta pars peripheri&ecedil;, & <04>portio are&ecedil; ad peripheriã e$t quarta pars dimetientis, quod erat probandum.</P> <P>Propo$itio quinquage$imaquinta.</P> <P>Proportionem medicamentorum per ordines $uppo$ita æquali proportione in ordinibus per quantitates, & proportiones de- mon$trare.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Galenus libro quinto de Simplicibus medicamentis, quem $e- <marg>C<I>ap. ult.</I></marg> quuti $unt alij medici, ponit quatuor ordines medicamentorũ iux- ta qualitates calidi, frigidi, $icci, & humidi, & primus e$t cum medi- camentũ non $entitur quale $it licet operetur, uelut cam&ecedil;melon, ab- $ynthium, & oriza: $ecundus e$t, cum $entitur, $ed non lædit, ut nux myri$tica, $aluia, ozimum: tertius e$t cum $entitur, & lædit, $ed non de$truit, neque corrumpit corpus, uelut a$$arum apium $ta- phi$agria, cappares, myrrha, ruta: quartus e$t, cum de$truit ue- lut pyretrum, piper, euphorbium cæpe aggre$te, & $inapis, cina- <foot>momum</foot> <p n=>45</p> momum autem, & gingiber numerantur inter medicinas calídas tertij gradus, & hoc opus comparatur ad corpus $icut dicit Gale- nus, & Serapio non ad linguam, ut medici no$tri temporis interpre tantur. Ex quo patet, quod aliqua medicina poterit e$$e quarti ordl nis, & non lædere linguam in gu$tu, & alia tertij ordinis, quæ non $olum lædet linguam, $ed $en$um eius corrumpet, et de$truet, quod contingit propter $ub$tantiam tenuem cra$$æ mi$tam cum $iccitate pari ip$i calori. Sed non oportet h&ecedil;c nunc tractar, enon $olum quia non $it locus, $ed etiam quòd con$u$a $it per $eip$a materia ab$que eo, quod difficultatem difficultati addamus, $olum ergo eas dubita tiones adiungemus, quas uol&etilde;tes declarare propo$itionem præ$en tem, neque $uperfugere, neque declinare po$$umus. Nam de $icco, & humido, cum $int longè minoris actionis, quàm calidum, & fri- gidum, & præcipuè humidum, non uideo quomodo po$sit Gale- nus $tatuere medicinam humidam tertij gradus, nedum quarti, cum non po$sit inueniri medicina, quæ de$truat corpus no$trum propter humidam qualitatem. Et licet Serapio po$uerit gingiber <marg>C<I>ap.</I> 336. 337. & 338.</marg> & enulam & zelim in tertio ordine calidorum & humidorum: & inter frigidas, & humidas in tertio portulacam, aizoum, & uirgam pa$toris, & fungos. Primum non au$us e$t ponere medicinas ullas calidas, aut frigidas in quarto ordine, qu&ecedil; $int humidæ. $ecundum, quando dicit medicinas calídas, aut frigidas, atque humídas in ter- tio ordine, intelligit $olum de qualitate actiua $cilicet caliditate, uel frigiditate, & non de humida qualitate, quod o$tendit de gingibe- re, & enula, dicens, quod $unt calidæ in tertio ordine, & humidæ humido crudo, non au$us addere ordinem, quia non uídit ratio- nem, qua po$$ent dici humidæ in tertio. Et clarius in capite de zei- len, quem $tatuerat inter medicinas calidas, & humidas in tertio, di cit quod e$t calida in tertio, & humida in primo, ergo non intelligit per medicinas calidas & humidas in tertio ordine, quod $int humi- dæ in tertio ordine. Clarius etiam de frigidis & humidis, nam por- tula cam dicit e$$e frigidam in tertio, humidam in $ecundo, & quod maius, e$t cum collo ca$$et aizoum inter medicinas frigidas, & hu- midas in tertio ordine, dicit, quod e$t frigidum in tertio ordine, ad- ijcit, quod e$t $iccum parum, & de uirga pa$toris nihil dicit de hu- mido, $ed dicit, quod a$tringit, ex quo concludo, quod $ecun- dum mentem Serapionis nulla e$t medicina humidior portulaca, etiam uidetur innuere de fungis, $atis e$t quod non excedunt $ecun dum ordinem in humido ne<01> calida neque frigida, $ed frigida $unt humidiora, ut fungi, & portulaca, quia frigiditas in generatione humidum magis admittit, quàm caliditas, & calida magis hu- <foot>mectant,</foot> <p n=>46</p> mectant, quia magis penetrat uis medicamenti, & hæc regula de humido, & $icco e$t generalis apud Serapionem, quod non intelli- gitur ordo in pa$siuis, ni$i $pecialiter exprimatur, nam de $iccitate non nego, quin inueniantur medicinæ $iccæ in tertio, & for$an in quarto ordine, $ed de hac Galeni o$citantia, quæ in illo peculiaris e$t dum uult $equi $uas methodos $ine alio di$crimine, medicis con $i derandum relinquo.</P> <P>Secunda difficultas e$t maior, & magis pertinet ad nos, & e$t, quòd non declarauit an i$ti ordines inter $e aliquã proportionem $eruarent, an omnino nullam, $i enim nulla proportio $eruatur, fieri nullo modo pote$t, ut per cognitionem temperaturæ $implicium medicamentorum cogno $camus temperaturam compo$itorum ex illis ratione ulla, $ed oportebit $olum experiri. Sed $i ordines $er- uant proportionem, adhuc relinquitur dubium, an illa proportio $it Arithmetica, uel Geometrica, uel Mu$ica, & nihil mirum e$$et, quod e$$et Mu$ica, ut aliâs docuimus, ubitractauimus de differen- tia inter $en$um auditus, et ui$us. Sed quia de hac nullus medicus ui detur intellexi$$e, omittam hanc tractationem. Et quanquàm Gale- nus po$sit uideri non exi$tima$$e, quòd hi ordines non $eruent proportionem ullam, quia non au$us e$t tractare de temperamen- to medicamentorum compo$itorum per rationem temperamen- ti $implicium, nihilominus $uppo$ito quod ita e$$et, quod $eruetur altera proportionum, uolo o$tendere rationem componendi in utraque proportione & Arithmetica, & Geometrica. Ex quo $e- quitur, quod Aueroes quàm o$citanter tractauerit in quinto $uo- rum collectaneorum de hoc, & non di$tinguit, neque docet pri- mum an $it aliqua proportio, deinde $i qua $it, cuius generis $it, & cum in re tam clara pugnet pror$us, ut cœcus ictus maximos eden- do, $ed in ca$$um plero$que, quàm malè agant qui ei in arduis tan- tum tribuunt fidei, & authoritatis, $ed hæc e$t infelicitas no$tra, & ira Deorum. Suppo$ito ergo quod primò ordines di$tinguantur per proportionem arithmeticam, $it $uperficies a b pro quantitate, <fig> & a $it calida in primo gradu, & b in ter- tio, erit ergo perinde ac $i duo corpora e$$ent unum altitudinis unius cum ba$i quadrilatera rectangula a, aliud altitu- dinis trium, ba$i autem quadrilatera $u- perficie rectangula b, hoc igitur erit to- tum mi$tum, & quia quantitas medicamenti non mutatur quæ e$t a, b, ergo talia corpora æquantur uni corpori, cuius ba$is e$t a b, cum ergo talia corpora producantur ex a in unum, & b in tria, ergo <foot>diui$o</foot> <p n=>47</p> diui$o aggregato per a b prodibit altitudo, $eu ordo qualitatis to- tius medicamenti, iuxta quod con$tituitur regula prima libri artis medendi paruæ huiu$modi, & reliquæ, traduxi autem illas ad hunc locuin, “quia pendent ex demon$tratione hac: “duc numerum ordi- nis $ingulorum medicamentorum in numerum quantitatis, $imilia iunge, di$similia detrahe, quod fit, diuide per aggregatum, quanti- tatum, exibit numerus ordinis compo$iti. Sic mi$cendo calidum in $ecundo ordine cum duplo pondere temperati conflabit calidum in be$$e. Secunda $i ex pluribus diuer$arum, qualitatum, & ordi- num temperatum efficere uelis, duc quæ $unt eiu$dem qualitatis in $uas quantitates, & iunge, quod fit, diuide per numerum or dinis medicamenti contrarij, exibit quantitas illius, $ub qua $i iungatur, fiet medicamentum temperatum. Tertia cum nolueris ex tempera- to, & alio cuiu$cunque ordinis medicamen conficere ordinis re- mi$sionis, detrahe numerum ordinis eius, quod conficere uis ex nu mero ordinis eius, quod habes, & cum re$iduo diuide numerum medicaminis, quod conficere uis, quod exit e$t numerus quantita- tis medicamenti non temperati in comparatione ad temperatum.” Ex his potes propo$itis quibu$cunque medicamentis conficere antidotum $ub quo cunque ordine remi$siore potenti$simo ex il- lis. Quarta in compo$itione, quæ non fermente$cit calida, calidis iuncta $emper opus augent, ut mel cum pipere. Quæ autem $ub mi nore quantitate exhibentur non $ub remi$siore ordine agant, $ed uel facilius impediuntur, uel minorem corporis partem, uel leuius immutant.</P> <P>Quod $i $tatuamus proportionem e$$e Geometricam, modus erit idem in omnibus, & quo ad numerum etiam in primo, & $ecun do ordine, quia in proportione dupla Geometrica $ecundus ordo tantundem di$tat à primo, quantum primus ab æqualitate, quia unum & duo $eruant proportionem, & æqualem di$tantiam, $ed in cæteris ordinibus non ita erit, quia qui e$$et trium in Arithmetica, $cilicet totius ordo e$t, quatuor in Geometrica, & quartus ordo, qui e$$et quatuor in Arithmetica, e$$et octo in Geometrica, ideo <fig> $cribemus ordines hoc modo, & operabimur cum numeris loco ordinum, exemplum ergo primum $it medicina calida in tertio ordine quatuor uncia- rum, & medicina frigida in $ecũdo ordine duarum unciarum, duco quatuor in tria, $i proportio $it Arithmetica, fit duodecim, duco duo in duo fit quatuor, detraho quatuor in duo- decim, quia omnis medicina tantum retondit de contrario, $eu mi- nuit relin quuntur octo $cilicet caliditatis, diuido per $ex ag- <foot>gregatum</foot> <p n=>48</p> gregatum unciarum exit unum, & tertia, ergo erit calida in princi- pio $ecundi ordinis. Secundum exemplum $int eædem medicinæ, & $it proportio Geometrica, ducemus ergo quatuor in quatuor, & fiunt $exdecim, & duo in duo fiunt quatuor, detrahe quatuor ex $ex decim, & remanent duodecim, diuide per $ex, ut prius, exeunt duo, ergo erit calida in fine $ecund i gradus uides ergo di$crimen. rur$us $int ambæ medicinæ calidæ, & ducemus, ut prius in tertio exem- plo, ubi proportio $it Arithmetica iungendo duodecim cum qua- tuor, & fient $exdecim, diuide per $ex, exeunt duo, & duæ tertiæ, er- go erit calida in medio tertij gradus, rur$us in quarto exemplo iun gemus $edecim cum quatuor, & fient uiginti, diuide per $ex exi- bunt tria & tertia, & ita erit in medio tertij gradus, ut prius, $ed $i ille quatuor unciæ e$$ent calidæ in quarto gradu, & illæ duæ unciæ in $ecundo gradu, ut prius ducendo quatuor in quatuor fiunt $ex- decim, & duo in duo fiunt quatuor, iunge, & fient uiginti, diuide per $ex exeunt tria cum tertia, ergo erit calida in principio quarti gradus $ecundum proportionem Arithmeticam, $ed $ecundum Geometricam duc quatuor in octo, fiunt triginta duo, adde qua- tuor ut prius, $cilicet productum duorum in duo fiunt triginta $ex, diuide per $ex, exeunt $ex, & quia $ex ad quatuor maiorem habent proportionem, quàm octo ad $ex ideo hæc medicina erit calida ul- tra medium quarti gradus, iam ergo uides rationem, & differen- tiam horum.</P> <P>Quod $i quis dicat, an debeat attendi Geometrica proportio in medicamentis, an Arithmetica, re$pondeo, quòd ueri$imilius e$t de Arithmetica, quia illa proportio etiam quod $it minor quatuor ad trium, quàm trium ad duo, & multò minor quàm duo ad unum ni- hilominus longè plus operatur, quia tertius ordo iam incipit e$$e præter naturam, & uidemus, quod læ$io facta in uulnerato, etiam quòd $it quadruplo minor, plus nocet longè, quàm in $ano qua- druplo maior: quia termini præter naturam $unt ualdè angu$ti in comparatione ad latitudinem naturalem, $icut etiam uidemus in- tendendis chordis $corpionum, quod ultima pars e$t breuis & ta- men homini tantam difficultatem adijcit. Notandum e$t etiam, quòd ob hoc diui$erunt ordines in tres partes, uelut gingiber e$t calidum in fine tertij ordinis, origanum in medio, cinamomum in principio, & ita euphorbium e$t calidum in principio quarti gra- dus, $ed in fine principij piper, in prin cipio principij aqua $epara- tionis in medio quarti ordinis, $ed oleum chalcanthi factum ea ar- te, ut exurat paleas, $icut ignis e$t calidum in fine quarti ordinis, & ita $ufficiet diuidere propter eandem cau$am primum, & $ecun- <foot>dum</foot> <p n=>49</p> dum ordinem in duas tantum partes non ratione latitudinis, quæ e$t æqualis, uel etiam for$an maior, $ed ratione uarietatis operatio- nis quæ minus $entitur, & maximè in primo ordine.</P> <P>Propo$itio quinquage$ima$exta.</P> <P>Proportio cuiu$uis binomij ad $uum reci$um, uel ei commen- $um e$t duplicata ei, quæ ad numeri latus.</P> <marg>C<I>o</I>m.</marg> <P>Cum enim proportionis medium $itlatus numeri eo quod ex bi nomio in reci$um $uum fit numerus ex his, quæ demon$trata $unt generaliter in tertio Arithmeticæ de omnibus binomijs cum $uis <marg>P<I>er</I> 6. P<I>ro- po$. lib. de</I> A<I>liza.</I></marg> reci$is, uel in quadratis lateribus erit <02> numeri media proportione inter binomium, & $uum reci$um, igitur cum proportio producto- rum ex binomio in commen$a reci$o $it, ut commen$orum ad reci- <marg>P<I>er</I> 17. <I>$ex ti</I> E<I>lement.</I></marg> $a crunt omnia producta ex binomio in commen$a reci$o $uo <02> nu <marg>P<I>er</I> 17. <I>$eptimi eiu$dem.</I></marg> meri, igitur proportio binomij ad reci$um $uum, & omnia com- men$a illi, e$t duplicata ei quæ ad <02> numeri.</P> <marg>P<I>er</I> 6. <I>deci- mi</I> E<I>lement:</I></marg> <P>Propo$itio quinquage$ima$eptima.</P> <P>Motus rationem ad pondus inuenire.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>O$ten$um e$t antea, quod motus naturalis uelocior fit in fine, ac magis augetur ob aëris motum, ubi uerò hæret e$t ac $i quie$cat. Eadem autem e$t ratio in motis uiolenter, & naturaliter dum &ecedil;qua- li impetu feruntur. Sed $ubitò po$t etiam, quod motus æqualiter augerentur minus tamen cre$cit proportio uiolenti $cilicet ob im- <fig> pedimentum naturale. Sed $i uis mouens fuerit adeò ualida ut proportio incrementi ex aëre $it maior, quàm impedimentum, & in crementum al terius mobilis naturaliter moti, motus ille uelo- cior fiet naturali, ut in $phæris ferreis ex machina igne excu$sis, quod ergo attinet ad præ$entem motum ratio e$t eadem. Quicun que ergo motus minoris grauis cogit de$cendere lancem ex ad- uer$o proportionem habet eandem ad $uum mo bile quam habet graue æquiponderans. Sit ergo ut a ex b, c, d, e, eleuet eodem ordine pondera e, f, g, h, erit ergo ponderum h, g, f, e, ad $e inuicem, & ad a qualis mo- tuum ob di$tantiam intentorum. Experimentum ergo docet, quòd dimidium ponderis æquilibrium facit ex palmo minoris dimidio motum manife$tum, & ex palmo quarta pars ponderis, ergo $e ha- bent prope portionem.</P> <P>Propo$itio quinquage$imaoctaua.</P> <P>Qu&ecedil; ex alto de$cendunt cur non eandem pro di$tantia motus ra tionem in libero aëre $eruent con$iderare.</P> <foot>E Aër</foot> <p n=>50</p> <P>Aër in $ublimiore eius regione $emper naturali motu fertur ex Oriente in Occidentem, $ed & infra uerum minus manife$tè. At ca- $u plerun <01> contingit, ut moueatur longè uehementius, $eu ad ean- dem partem, $eu aliam. Qui uerò naturalis e$t, debilis <fig> e$t, quoniam in tenui ualde $ub$tantia e$t: nec cõtinuus $ed in$tar motus aquæ maris fluit ac refluit: aliter ne- ce$$e e$$et, ut $ingulis horis per mille milliaria procede- ret, ut $ic ne <01> latere po$$et, quarndoquidem fortuiti mo tus, qui $unt multo tardiores non latentnos. Nam tardiores illos e$$e cõ$tat, cum in hora $int pul$us arteriarum, quatuor millia ictuũ in homine prope temperamentum: $i igitur motus naturalis aëe;ris e$$et continuus, in hora aër procederet ob ambitum terræ millies mille pa$$us, igi&ttilde; in ictu pul$us $uperaret pa$$us 250. At experimur nullum uentum aut procellam $uperare quinquaginta pa$$us, cum etiam continuus e$$e nunquam $oleat, imò ne po$sit quidem, ita <01> cum hic multo tardior etiam in $ublimi, dum e$t, nos latere non queat, multo minus po$$et naturalis latere, $i adeò uelox & in ea- dem parte a&etilde;ris e$$et at <01> continuus. Præterea tantus impetus nun- quam à minore motu, aut cau$a $uperaretur, adeò ut $emper flatum aëris orientalem $entiremus. Quotidie etiam aduenire ad nos aë- rem ex Illyrico, Macedonia, My$ia, Ponto, Bythínia, Capado cia, Sy ria, Babylonia, Hyrcanomarí, Bactrianis, Sacís, Scythis, ac Seris, to- to præterea Oceano orientali tam ua$to, & Gallica noua, terra <03> flo rida non $olum res e$t admirabilis', & incredibilis, $ed etiam aliena à $en$u, & ab his, quæ eueniunt. A'$en$u quidem, quoniam nebul&ecedil;, quæ in aëre mouentur, primùm non in eandem partem $emper mo uentur: nun quam autem adeò celeriter: at $i aër $ic circumuoluere- tur, mouerentur & illa, qu&ecedil; in eo continentur, quotidie<03> aërem ex- periremur & nubilo$um, & madidum propter mare. Nechis, quæ eueniunt hoc $atis re$pondet, nec nobis id contingeret, ut $i pe$ti- aliqua in regione no$tra directa $æuiret, ut aër $ingulis diebus la- be ea infectus ad nos deferretur. Moueri uerò aërem $emper mani- fe$ti$simum e$t tum experimento, tum ratione: ratione $iquidem, quod aqua & cœlum naturaliter perpetuò mouentur, quare etiam aër. Experimento, quòd ubi hiant o$tia, & ianuæ, ibi perpetuus $en- titur flatus. Ergo $i a pondus de$cendat in c, ex alto fertur rectà, $ed $i ex $ublimi transferetur in b, & indirecta, & ad latus, unde ex hoc $equitur.</P> <P>Propo$itio quin quage$imanona.</P> <marg>C<I>o</I>m.</marg> <P>Omne mobile motum duobus motibus non ad idem tendenti- bus, utro <01> $eor$um tardius mouetur $imili motu.</P> <foot>Sit a</foot> <p n=>51</p> <P>Sit a mobile, quod moueatur per a b c impul$u uenti aut uiolen- <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <fig> to cum naturali coniuncto: & $it terminus naturalis e, <marg>P<I>er</I> 20. <I>bu-ius.</I></marg> & uiolenti d: uter <01> in directo c, dico, quod tardius per- ueniet ad c quam d, uel e. De e manife$tum e$t, quoniam motus aëris, qui intendit motum a, diuíditur in partem, quæ iuuat motum ad d, & partem, quæ mouetur ad e, igitur fit minor adiectio. Et etiam quia a c e$t longior a e ex diffinitione rectæ: quare tardius perueniet ad c quàm ad e du plici ratione. Dico etiam, quod tardius ad c quàm d. Quia enim uis, quæ fert ad d repugnat ei, quæ fert ad e, & uis, quæ fert ad e, re- pugnat ei quæ fert ad d, igitur tardius perueniet ad c, quàm d. Nec potes dicere, quòd uis, quæ fert ad c adiuuet ad motum è regione d, nam cum unus motus non po$sit perfici $ine altero, igitur quan- tum motus ad eretar dabit motum ad d, tanto motus a c erit tardí- or ab$olutè motu ad d. Verum etiam e$t, quod c e breuior erit a d, quia motus ad e $emper contrahit motum ad d naturalis uiolen- rum ob cau$am dictam. Vtrùm uerò motus ad c ab$olutè $it tardi- or, quàm ad d, non $uppo$ito, quod c e $it æqualis a d, $ed minor, nunc non e$t locus determinandi.</P> <P>Ex hoc patet, quod motus æquidi$tantis mobilis, finis e$t mini- <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> mus omnium: quoniam mobile qua$i quie$cit in illo. Velut $i a mo ueatur ad b, inde deflectat ad c minimus motus erit in b, ubi incipit naturalis: nam cum incipiat, erit debili$simus, quia non <fig> e$t motus actu: uiolentus autem æqualis e$t naturali, dum minimus e$t: ergo cum ex di$tantia medij palmi duplicetur, naturalis erit motus in b minimus, ni$i b c <marg>P<I>er</I> 57. <I>bu-ius.</I></marg> e$$et minor dimidio palmi. Et etiam quòd e$$et minor, quia ut di- ctum e$t, uter <01> $imul iunctus e$t æqualis uni eorum non impedito uel minor.</P> <P>Propo$itio $exage$ima.</P> <P>Omne mobile motu naturali de$cendens parte, de$cendit gra- uiore $ecundum grauitatis centrum.</P> <P>Sit a mobile, grauitatis centrum b, cuius pars ei pro- <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <fig> ximior $it c a, dico quod de$cendat motu naturali c a, parte tangendo terram, quia enim totum a non pote$t de$cendere ad centrum de$cendit b, quia eadem e$t na- tura partis, & totius: totius autem terræ natura e$t ut centrum, totius $it centrum grauitatis, quare b breuiore uia fertur <marg>P<I>er</I> 23. <I>bu-ius.</I></marg> ad centrum, ergo per c d proximiorem partem ip$i b. Sed pars pro- ximior nece$$ariò e$t grauior, quia centrum e$t in medio grauita- <foot>E 2 tis,</foot> <p n=>52</p> tis, ergo omne mobile de$cendit motu naturali per $ui grauio- rem partem.</P> <marg>C<I>or</I>^{m}.</marg> <P>Ex hoc $equitur, quòd graue habens partes inæquales, $eu $ub- $tantia, $cu forma, $i ita excutiatur, ut pars grauior nõ $it, infrà opor- tet, ut circumuoluatur.</P> <P>Propo$itio $exage$imaprima.</P> <P>Proportionem ictus ad pondus rei, & di$tantiam generaliter con$iderare.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Dictum e$t $uperius de proportione de$cenfus ad grauitatem: <marg>P<I>ropo$.</I> 57.</marg> & quòd $i graue de$cendat ex alto impeditur à motu aëris: & quòd <marg>P<I>ropo$.</I> 58.</marg> res, quæ mouetur duobus motibus non ad idem tendentibus tar- <marg>P<I>ropo$.</I> 59.</marg> dius mouetur, quam motus $it unu$qui$que. Demùm quòd graue <marg>P<I>ropo$.</I> 60.</marg> de$cendens circumuoluitur, $i pars grauior non $it, deor$um: & an- tea ubi egimus de proportione motus ad grauitatem, quod h&ecedil;cin- telligenda $unt prout po$$unt intelligi de motu etiam uiolento. Cum ergo uideamus duo hæc, quodres acuta frangit caput, $i ex alto incidat, $ed non concutit, lata concutit, $ed non diuidit, premit tamen carnem $ubiectam: nec hoc accidit merito ponderis: nam ut ui$um e$t $emilibra lapidis, uel ferri cadens ex alto contundit caput, & uulnerat, & non eleuat in æquilibrio, ut potè ex alto cadens loco per $patium octo palmorum pondus $exdecim librarum, & a pon- dere $exdecim librarum homo non læditur, nec uulneratur, ergo id accidit ex alia cau$a, & e$t, quod aër interceptus inter graue, & cor- pus no$trum non pote$t dilabi tam citò, ergo ne corpus penetret, cogitur ingredi locum, cui e$t obuius, at <01> ita concutere, & diuide- re. Ex quibus $equuntur omnia hæc.</P> <marg>C<I>or</I>^{m}.</marg> <P>Primùm $i quod incidit, molle fuerit, non uulneratur caput, uel pars $ubiecta, quia re$ilit in corpus molle: nec à molli, quia retundi- tur, pote$t uulnerari: ergo nullo modo. Sed neque adeò concutit, quia aër rediens, & receptus in molli corpore pro parte, non uer- berat locum.</P> <marg>C<I>or</I>^{m}.</marg> <P>Secundum in omni colli$ione $eu duri, $eu mollis, $ed magis du- ri, dilabuntur partes aëris ad latera, ideo quod partes mediæ pre- muntur. Et quanto motus e$t tardior.</P> <marg>C<I>or</I>^{m}.</marg> <P>Tertium in motu uelo ci fit maior ictus & læ$io, & maiora omnia quam proproportione motus: quoniam ob uelo citat&etilde; minus diffu git aëris. Et ideò fiunt grauia uulnera ex modico incremento uelo- citatis motus.</P> <marg>C<I>or</I>^{m}.</marg> <P>Quartum res latæ, duræ concutiunt, & non uulnerant ni$i $int cum magno impetu, aut ualde graues: acutæ autem uulnerant, $ed non concutiunt, ni$i parti acutæ lata $uccedat.</P> <foot>Quintum</foot> <p n=>53</p> <P>Quintum, corpora dura magis læduntur à latis, quia $cindun- <marg>C<I>or</I>^{m}.</marg> tur, mollia autem à tenuibus, quia diuiduntur: nam mollitie excipi- unt aërem, & ita à latis non adeò patiuntur, & etiam, quoniam nec franguntur, nec $ponte $cinduntur.</P> <P>Sextum, etiam in duris penetrat aliquid aëris, aliter tota frange- <marg>C<I>or</I>^{m}.</marg> rentur. Con$tat etiam omnem lapidem marmoreum, aut $iliceum e$$e poro$um, ut dicunt. Et etiam quia recipitur in mollioribus, er- go etiam in durioribus & in duri$simis: quod $i non recipiant ut ui trum, & gemmæ tota franguntur. Hoc etiam uidetur $en$i$$e Philo $ophus, qui uult, quòd res franguntur ob poros.</P> <P>Propo$itio $exage$ima$ecunda.</P> <P>Proportionem motoris in plano ad motorem, qui eleuat pon- dus iuxta id, quod mouet inuenire.</P> <P>Con$titutum e$t inuenire proportionem uirium, quæ eleuant <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> pondus ad uires, quæ ip$um in plano leui trahere po$- <fig> $unt. Vires enim, quæ eleuant pondus a $unt eædem puta b, quæ uero trahunt c, $ed hæ po$$unt uariari, nam quanto uinculum altius, aut decliuis locus magis, aut a$pera $uperficies $eu ponderis $eu plani, tanto difficilius trahitur, & maiores expo$cit uires: hoc enim experimento deprehenditur. Duæ uerò po$tremæ cau$æ etiam per $e per$picuæ $unt, nec demon $tratione indigent: ni$i quod $i planum $it duri$simum, ac leui$si- mum, quod e$t a$perum facilius trahitur, quia minore $ui parte pla- num tangit. Nos præterea $upponimus planum æquale undique leue durum, & corpus undique $ibi $imile, id e$t cubi formam refe- rens, & uinculum in imo: Demon$trare igitur expedit primum, quòd in hoc ca$u b e$t duplum ad c. Quia enim cum a eleuatur b ui res $uperant motum ob$curum $eu occultum, $eu pondus a, & $i permitteretur $ine eo, quod $u$tineret, de$cenderet iuxta pondus $uum, quod $it d: nititur ergo per pondus d, at quia trahendo duci- tur circa medium, nam plana $uperficies parum differt à rotunda terræ ob terræ magnitudinem, media erit repugnantia: in eo enim quod mouetur, grauitatem habet d in eo, quod nõ remouetur nul- lam habet grauitatem, mediam ergo retinet grauitatem, quare ut b ad d, ita c ad dimidium, grauitatis a, at b e$t primum, quod pote$t mouere d, igitur c e$t primum, quod pote$t mouere dimidium a, ut ergo dimidium a ad d, ita c ad b, e$t igitur c dimidium b.</P> <P>Propo$itio $exage$imatertia.</P> <P>Omne graue quanto proximius alligatum plano, tanto faci- lius trahitur.</P> <foot>E 3 Sit</foot> <p n=>54</p> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Sit graue a b c alligatum funibus in d ef, dico, <fig> quòd facilius trahetur per fe quàm c b & e b, quàm d a, quia $i debet trahi ex a uel b, aut cadet, aut uis ex a & b communicabitur c, igitur erit minor quàm in c, & hoc naturaliter. Mathematica autem ratione quoniam ex a tra- hetur c, qua$i per lineam d c: at attractio recta e$t ualidior obliqua- igitur attractio c per d e$t debilior, quàm per f. Rur$us $i e trahitur per d cùm a peruenerit in d, erit perinde ac, $i attractum e$$et per li- neam c d, $ed linea c d mouet duobus motibus, uno ad $uperiora, al <marg>P<I>er</I> 59. <I>bu-ius.</I></marg> tero ad latus, ergo lentius ad f per d c quàm f c, quod erat demon- $trandum.</P> <P>Propo$itio $exage$imaquarta.</P> <P>Omne mobile quanto latius tanto tardius mouetur in plano.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Demon$tratum e$t $uperius quòd $i mobile $it $ph&ecedil;ricum, & tan <marg>P<I>ropo$.</I> 40.</marg> gat planum in puncto, quòd mouetur per quancunque uim aptam diuidere medium. Quia ergo $i tangat in puncto facillime moue- tur, $i in linea paulò difficilius, $i per $uperficiem adhuc difficilius, igitur cum fiat attritio in motu quanto latius e$t mobile eo diffici- lius mouetur. Sit ergo mobile a b, quod moueatur uer$us c, & quia pars b $eu dimidium mouetur iuxta rationem me- <fig> dietatis, & pars a eodem modo, ergo conduplicata difficultate, quia medietas b impedit medietatem, a quanto latius e$t, & longius a b, tanto difficilius <marg>P<I>ropo$.</I> 62</marg> mouetur. Et hoc intelligitur de corporibus ualde latis propter dicta $uperius.</P> <P>Propo$itio $exage$imaquinta.</P> <P>Proportionem duorum mobilium inter $e cum auxilio medij inuenire.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Graue de$cendit naturaliter quatuor cau$is: prima e$t ponderis magnitudo, unde quod grauius e$t celerius de$cendit. Secundò ob paruam medij repugnantiam, ideo quanto medium e$t rarius & mobile tenuius, tanto celerius de$cendit: contrà uerò tardius. Ter- tiò ob impetum aëris $ub $equentis: & ideo mobile quòd ex eadem <marg>P<I>ropo$.</I> 30.</marg> materia con$tat, $emper de$cendit parte acutiore $uprapo$ita, ne aër cogatur celerius ferri: & quanto diutius de$cendit, tanto magis in- tenditur motus, at <01> augetur, ut $uprà de claratum e$t. Quarta cau$a e$t, quod non impediatur ab aëre tran$uerfim moto, et à latere: ideo leuia mobilia & magna non $olum lentius de$cendunt, quoniam <marg>P<I>ropo$.</I> 59.</marg> paruam uim habeant, & magnam repugnantiam, $ed quia tran$uer <marg>P<I>ropo$.</I> 62.</marg> $im impul$a minus mouentur motu recto, ut $upra ui$um e$t. Por- <foot>rò pro-</foot> <p n=>55</p> rò proportio ratione de$cen$us aucta, declarata e$t paulo antè, quare cum medium $upponatur eiu$dem generis, & figura non eiu$modi, nec leuitas, ut pror$us non impellat, nedum ut moueat la tus: figura quo que eadem ambobus relinquetur proportio motus ad motum producta ex proportionibus incrementi in proportio- <marg>P<I>er</I> 42. <I>ha-rum.</I></marg> nem ponderum, & iam habuimus proportionem incrementi ex <marg>I<I>n</I> 61. <I>ha-rum.</I></marg> motu aëris, ergo proportio unius motus producti ad alteram no- ta erit.</P> <P>Propo$itio $exage$ima$exta.</P> <P>Proportionem laterum eptagoni, & $ubten$arum con$iderare, & quæ à reflexa proportione pendent.</P> <marg>C<I>o</I>m.</marg> <P>Sit eptagonus a b d f g e c, & $ubten$æ b <fig> c, & f e duobus lateribus, tribus autem d c d e, & erunt (quia intelligitur eptagono æ- quilatero, & æquiangulo) b c & e finuicem æquales: & item d c, & d e æquales: & $i du- cerentur b e & c f inuicem æquales: & ad a c & d g: quare cum angulus cb d con$i$tatin <marg>P<I>er</I> 28. & 29. <I>tertij</I> E<I>lem.</I></marg> arcu c e g f d, & angulus b d c in arcu b a c, & angulus b c d in arcu b d; & $it arcus c e g f d duplus arcus b a c, quia c e g f d $ubtendit quatuor latera epta- goni, & arcus b a c duo, & ita arcus etiam b a c duplus arcui b d erit angulus d b e duplus angulo c d b, & angulus c d b duplus an- <marg>P<I>er ult. $exti</I> E<I>lem.</I></marg> gulo b c d, quare per demon$trata à nobis proportio laterum b d, b c, c d, e$t reflexa, igitur proportio d b & b c, ad d c, ut d e ad b c, & <marg>D<I>e</I> S<I>uh. lib.</I> 16.</marg> rur$us proportio b d & d e ad b e, ut b e ad b d. Quare $uppo$ita d b 1, b c 1 po$itione, erit d c latus 1 quad. p: 1 po$itione. Proportio <marg>P<I>er</I> 20. <I>diff.</I></marg> uerò, ut dictum e$t b d & d c ad b c, id e$t p: <02> 1 quad. p: 1 pos, ad 1 pos e$t, ut b c ad b d, id e$t 1 pos ad 1, igitur 1 p: <02> v: 1 quad. p: 1 pos æquatur quadrato b c, quod e$t 1 quad. igitur 1 quad. m: 1 æquatur <02> v: 1 quad. p: 1 pos quare 1 quad. quad. m: 2, quad. p: 1 æquatur 1 quad. p: 1 pos. Additis igitur communiter quatuor quadratis fient 1 quad. quad. p: 2 quad. p: 1 æqualia 5 quad. p: 1 pos. Et reducitur ad 1 cu. æqualem 1 3/4 pos p: 7/8.</P> <P>Aliter $tante $uppo$itione ut Ludouicus Ferrarius ex demon- $tratis à Ptolemæo quadratum b c, & e$t 1 quad e$t æquale produ- cto ex b d in c e, quod e$t 1, & a b in d c, igitur detracto 1, produ- cto b d in c e ex 1 quad. quadrato c b, relinquitur productum ex a b in c d 1 quad. m: 1, ergo diui$o co per a b, quæ e$t 1, relinquitur c d 1 quad. m: 1 huius uerò quadratum per ead&etilde; demon$trata à Pto- <foot>E 4 lemæo,</foot> <p n=>56</p> lemæo, &ecedil;quale e$t rectangulis ex b c in de, & b d in c e, igitur 1 quad. quad. m: 2 quad. p: 1 e$t æquale 1 producto b d in c e, & producto b cin d e detracto 1 communi, relin quetur productum ex b c in d e 1 quad. quad. m: 2 quad. igitur diui$o 1 quad. quad. m: 2 quad. per 1 pos, exit 1 cu. m: 2 pos æqualia d e, & d e e$t æqualis d c, ut ab initio demon$trauimus, & d c fuit 1 quad. m: 1, igitur 1 cu. m: 2 æquantur 1 quad. m: 1, igitur 1 cu. p: 1 æquantur 1 quad. p: 2 pos.</P> <P>Aliter ut Pacciolus, concurrant latera eptagoni b d, c e in a, & du cantur perpendiculares a f, d g & c d, & $it c e i ca 1 pos, & quia ut <marg>P<I>er</I> 42. <I>pri mi</I> E<I>lement.</I></marg> a e ad a c, ita d e ad b c, erit ergo b c (1 posp: 1)/(1 pos) quare b f (1/2 pos 1/2,)/(2 pos) & quia d h e$t dimidium d e, erit d h, & g f <fig> 1/2, cum ergo b f $it (1/2 pos p: 1/2)/pos erit ergo di- ui$a 1/2 pos per 1 pos, & exit 1/2, b f 1/2p: 1/2/pos igitur detracta g f relinquetur g b 1/2/(1 pos). & eius quadratum 1/4/(1 quad). igitur cum qua- dratum b d $it 1, erit quadratum g d 1 m: 2/4/(2 quad)g c autem e$t compo$ita ex e f, quæ e$t 1/2p: 1/2/(1 pos) & f g quæ e$t 1/2, erit igitur c g 1 p: 1/2/(1 pos), & quadratũ eius 1 p: 1/pos e$t 1/4/(1 quad.) quare &qtilde;dratũ e d &qring;d e$t <marg>P<I>er</I> 32. <I>pri mi</I> E<I>lement.</I></marg> compo$itum ex quadratis c g & g d erit 2 p: 1/pos c a uerò e$t æqua- lis c d, quia, ut demon$tratum e$t angulus d c e e$t $eptima pars duorum rectorum, & angulus b c e ei duplus, quare cum c f a $it re- ctus erit ex trige$ima$ecunda primi Elementorum f a c tres $epti- mæ unius recti, ergo d a c 6/7 unius recti, d c a uerò 2/7 unius recti, quia <marg>P<I>er $extam eiu$dem.</I></marg> e$t $eptima pars duorum rectorum, ígitur a d c e$t 6/7 unius recti: igi- tur c d e$t æqualis c a, ergo quadratum quadrato: igitur 1 quad. p: 2 pos p: 1, æquatur 2 p: 1/(1 pos) igitur 1 quad. p: 2 pos, æquantur 1 p: 1/(1 pos). Quare 1 cub. p: 2 quad. æquatur 1 pos p: 1. <fig> Sit etiam angulus a duplus b, & b c dupla b a: & erit per eadem proportio a c, & a b ad c b, ut c b ad c a. Ponamus ergo ab 1, erit b c 2, & a c 1 pos, & a c, a b 1 pos p: 1, & du- cta in a c fit 1 quad. p: 1 pos, & hoc e$t æquale 4 quadrato b c per re- flexæ proportionis diffinitionem. Igitur a c e$t <02> 4 1/4 m: 1/2, & ita de alijs.</P> <P>Propo$itio $exage$ima$eptima.</P> <P>Si fuerint aliquot quantitates ab una quantitate, aliæ<03> totidem <foot>ab eadem</foot> <p n=>57</p> ab eadem analo gæ, erit proportio tertiæ unius ordinis ad tertiam alterius, ut $ecundæ ad $ecundam duplicata, & quartæ ad quartam triplicata, quintæ ad quintam quadruplicata, at <01> $ic de alijs.</P> <marg>C<I>o</I>_{m}.</marg> <P>Sint quantitates b c d e f, ab a in continua proportio- <table> <row><col></col><col>a</col><col></col></row> <row><col>b</col><col></col><col>g</col></row> <row><col>c</col><col></col><col>h</col></row> <row><col>d</col><col></col><col>k</col></row> <row><col>e</col><col></col><col>l</col></row> <row><col>f</col><col></col><col>m</col></row> <row><col></col><col>n</col><col></col></row> <row><col>o</col><col></col><col>t</col></row> <row><col>p</col><col><G>a</G></col><col>u</col></row> <row><col>q</col><col><G>b g</G></col><col>x</col></row> <row><col>z</col><col></col><col>y</col></row> <row><col>s</col><col></col><col>z</col></row> </table> ne, & aliæ totidem g h k l m, dico quod proportio h c e$t duplicata ei, quæ e$t g ad b, & k ad d triplicata, & l ad e quadruplicata, & $ic deinceps, $umatur enim unum, & ab <marg>P<I>er</I> 8. <I>non<*></I> E<I>le.</I> & 22. & 23. <I>octa ui.</I></marg> co o p q r s in proportione b ad a, & tuxyz in propor- tione g ad a, erit igitur p quadratum o, & u quadratum t, & q cubus o, & x cubus t, & ita de alijs: ergo proportio <marg>V<I>ide per</I> 23. P<I>etit.</I></marg> n ad p duplicata ei, quæ t ad o, & x ad q triplicata ei, quæt ad o, & pote$t etiam demon$trari generaliter ultra qua- <marg>P<I>er</I> 23. <I>$ex ti</I> E<I>lem.</I> & 33. <I>undeci-mi.</I></marg> dratum, & cubum: nam $i ducatur t in o, fiat <03> <G>a</G> erit, pro- portio enim ad <G>a</G> eadem quæ t ad o, & proportio a ad p, ut t ad o, igitur per diffinitionem proportionis duplicatæ <marg>P<I>er</I> 17. <I>$e-ptimi</I> E<I>lem.</I></marg> po$itam in quinto libro ab Euclide u ad p duplicata ei, quæ t ad o, & $imiliter ex t in p fit <G>b</G> ex o in u, <G>g</G> erunt<03> <marg>D<I>iff.</I> 10.</marg> q <G>b g</G> x in continua proportione per eandem. Quia ergo propor- tio q ad <G>b</G> e$t ut o ad t, patet, quod x ad q e$t triplicata ei, quæ e$t t ad o, & ita de reliquis, cum ergo proportio p ad o $it, ut e ad b, & o ad <marg>P<I>er</I> 24. <I>quinti</I> E<I>lem.</I></marg> n, ut b ad a, & n ad t, ut a ad g, & t ad u, ut g ad h, $equitur ut $it t ad a, ut g ad b, & u ad p, ut h ad c, igitur cum $it ut u ad p duplicata ei, qu&ecedil; e$t t ad o erit h ad e, duplicata ei quæ e$t g ad b, & ita de reliquis, & no&ngrave; refert, $eu dicas u ad p duplicatam ei, quæ e$t t ad o, $eu dicas p <marg>P<I>er</I> 10 <I>diff. quinti</I> E<I>lem.</I></marg> ad u duplicatam ei, quæ e$t o ad t. Aliter & euidentius in duabus $oleo demon$trare: cum enim $it e & h duplicata ei quæ e$t b & g ad a, ut $upra, & quadrati b ad quadratum a, & quadrati g ad qua- <marg>P<I>er</I> 20. <I>$ex ti</I> E<I>lement.</I></marg> dratum a duplicata his quæ b & g ad a erunt b & g quadratorum ad quadratum a, uelut c & h ad a. Et conuertendo qua- <table> <row><col>&qtilde;d.</col><col>b</col><col>e</col></row> <row><col>&qtilde;d.</col><col>a</col><col>a</col></row> <row><col>&qtilde;d.</col><col>g</col><col>h</col></row> </table> drati a ad quadratum g, ut a ad h, con$tituantur ergo hic & erit quadrati b ad quadratũ g, ita c ad h: $ed qua- drati b ad quadratum g, ut b ad g proportio duplicata igitur e ad h, ut b ad g duplicata.</P> <P>Propo$itio $exage$imaoctaua, collectorum ab Euclide & Archimede.</P> <P>Omnis cylindrus cono habenti ba$im, & altitudinem eandem <marg>1</marg> triplus e$t. Omnis cylindrus $phæræ habenti eundem magnum <marg>2</marg> circulum, & altitudinem $exquialter e$t. Omnis $phæra dupla e$t <marg>3</marg> cono, cuius ba$is e$t eius circulus magnus, & altitudo eadem, quæ $phæræ ip$ius. Omnis $uperficies $phæræ quadrupla e$t maiori <marg>4</marg> $uo circulo. Superficies portionis $phæræ e$t æqualis circulo, cu <marg>5</marg> <foot>ius</foot> <p n=>58</p> ius $emidiameter e$t linea ducta à uertice portionis ad finem illius.</P> <P>Quilibet $ector $phæræ æqualis e$t cono, cuius ba$is e$t circu- lus æqualis $uperficiei eiu$dem portionis, altitudo uerò $phæræ $e- midiameter. Proportio $phæræ ad $ectorem datum, e$t duplica- ta ei, qu&ecedil; e$t dimetientis ad lineam, quæ à uertice portionis ad lim- bum. Cum enim $phæra $it æqualis cono, cuius ba$is e$t maior cir- culus, altitudo uerò dupla dimetienti per tertiam harum, quæ hic <marg>P<I>er</I> 14. & 15. <I>duodeci mi</I> E<I>le.</I> E<I>ucl.</I></marg> proponuntur: erit $phæra æqualis cono ba$im habenti circulum, cuius $emidiameter $it æqualis diametro $phæræ, altitudo uerò $e- midiameter $phæræ. At per $extam harum $ector $phæræ e$t æqua- lis cono habenti altitudinem $cmidiametrum $phær&ecedil;, ba$im autem <marg>P<I>er</I> 11. <I>duo decimi</I> E<I>le.</I></marg> ip$am portionis $uperficiem: igitur proportio $phæræ ad $ecto- rem, uelut circuli cuius diameter e$t dupla dimetienti $phæræ ad círculum æqualem $uperficiei portionis: at $uperficies portionis per quintam harum e$t æqualis circulo, cuius $emidiameter e$t li- nea à uertice portionis ad limbum eiu$dem: ergo proportio $phæ- ræ ad $uum $ectorem e$t uelut circuli, cuius dimetiens e$t duplus di metienti $phæræ, aut $emidimetiens e$t æqualis dimetienti $phæræ ad circulum, cuius $emidimetiens e$t linea à uertice portionis ad limbum. Sed proportio talium circulorum e$t duplicata propor- <marg>P<I>er</I> 2. <I>duode cimi</I>, & 20. <I>$exti</I> E<I>lem.</I></marg> tioni $emidimetientium, igitur proportio $phæræ ad $uum $ecto- rem e$t ueluti dimetientis $phæræ ad lineam, quæ á uertice portio- <marg>8</marg> nis ad limbum duplicata. Cuicunque portioni $phæræ conus ille habetur æqualis, qui ba$im hab eat eandem cum portione, altitudi- nem uerò lineam rectam, quæ ad altitudinem portionis eandem habeat proportionem, quam $emidiametros $phæræ unà cum alti- tudine reliquæ portionis habet ad eandem reliquæ portionis alti- <marg>9</marg> tudinem. Earum $phæræ portionum, quæ æqualibus $uperfi- <marg>10</marg> ciebus continentur medietas $phæræ maxima exi$tit. Proportio $uperficiei $phæræ plano diui$æ ad reliquæ portionis $uperficiem, & re$idui $ectoris ad $ectorem, e$t uelut quadratorum duarum li- nearum quæ à uerticulis $ectionum ad communem $uperficiem plani portiones $ecantis de$cendunt: nam $ectorem $phæræ, dico <marg>P<I>er</I> 22. <I>quinti</I> E<I>lem.</I></marg> corpus compo$itum ex portione, & cono illo. Ille idem etiam defi- nit Ellip$im coni a cuti anguli $ectionem, quam dicit etiam fieri $e- <marg>P<I>er</I> 20. <I>$ex ti</I> E<I>lem.</I></marg> cto cylindro per planum non ad angulos rectos $tante $uper cylin- dri axem. Ab hac igitur coni acuti anguli $ectione $eu ellip$i cir- <marg>P<I>er</I> 11. <I>quinti</I> E<I>lem.</I></marg> cumacta figura $phæroides corpus quod ba$im rotundam habet, uocat: id <01> duplex ob longum, quod fit diametro longiore quie- $cente, & prolatum quod fit quie$cente breuiore: $icut reliquam $ci licet parabolen aut hyperbolen, quia inferius non e$t terminata, <foot>in cono</foot> <p n=>59</p> in cono rectangulo uocat rectanguli coni $ectionem: ex qua cir- cumacta fit conoidale, quia planam habet ba$im. Si ergo in ea- <marg>11</marg> dem rectanguli coni $ectione à plano portiones æquales habentes diametros ab$cindantur, illæ portiones erunt æquales. Et triangu- li in ei$dem portionibus in$cripti æquales erunt. Diametrum uo- cat in quacunqũe portione lineam, quæ omnes lineas ba$i æquidi- $tantes per æqualia diuidit. Omnis circuli cuius diameter e$t ma <marg>12</marg> ior diameter ellip$is proportio ad ellip$im e$t uelut directè diame- tri ellip$is ad diametrum tran$uer$am. Ex quo patet quod pro- <marg>13</marg> portio cuiuslibet circuli ad ellip$im e$t uelut quadrati $uæ diame- tri ad rectangulum recta, & tran$uer$a diametro ellip$is compre- hen$um. Ex hoc rur$us $equitur quod ellip$is ad ellip$im, ut re- <marg>14</marg> ctanguli ex diametris unius ad rectangulum ex diametris alterius.</P> <P>Si conoides & $phæroides $ecet plano æquidi$tanti axi fiet $e- <marg>15</marg> ctio conoidalis $imilis ei à qua conoides $eu $phæroides de$cri- ptum e$t. Sin autem $upra axem plano ad perpendiculum erecto $ectio circulus erit. Et $i $ecentur obliquè fiet ellip$is, modo omnia latera comprehendat. Omnis portio conoidalis rectanguli, quam <marg>16</marg> planum $ecat, $exquialtera e$t, cono qui ba$im & axem eandem ha- bet. Ex quo patet, quod $i portio conoidalis rectanguli & $phæ- <marg>17</marg> ræ medietas eandem ba$im habeant & axem eundem, medietas $phæræ $exquitertia erit conoidali portioni. Et $i eiu$dem rectan <marg>18</marg> guli conoidalis portiones ab$cin dantur erit portionum propor- tio uelut quadratorum axium. Cuiuslibet $phæroidis pars pla- <marg>19</marg> no per centrum ab$ci$$a dupla e$t cono ba$im & axem eadem ha- benti. Si autem non $uper centrum erit proportio earum ad co- <marg>20</marg> num ba$im, & axem eandem habentem uelut coniunctæ ex axe al- terius partis & dimidio axis $phæroidis ad axem alterius partis.</P> <P>Demum proportio partis conoidis obtu$i anguli plano ab$ci$- <marg>21</marg> $æ ad conum, ba$im & axem eadem habentem e$t ueluti lineæ, com po$itæ ex axe portionis & triplo adiectæ ad compo$itum ex axe portionis & duplo eiu$dem adiectæ. Adiectam uocat hyperbolis tran$uer$am. Omnis cylindrus cono triplus e$t habenti eandem <marg>22</marg> ba$im & altitudinem. Omnes cylindri coni $phæræ $unt in pro- <marg>23</marg> portione corporum $imilium planis $uperficiebus contentarum.</P> <P>Propo$itio $exage$imanona, collectorum ex quatuor libris Apollonij Pergei & Q. Sereni.</P> <P>Si fuerit linea bifariam diui$a, ei<03> in longum alia addita, & rur- <marg>1</marg> $us alia detracta, fuerit<03> totius cum addita ad eam, quæ addita e$t ueluti re$idui ad detractam erit lineæ com- <fig> po$itæ ex addita, & dimidia ad dimidiam <foot>ip$am</foot> <p n=>60</p> ip$am uelut dimidiæ ad differentiam eius, & detractæ. Rur$us<03> li- neæ compo$itæ ex dimidio & re$iduo dimidiæ ac detractæ ad li- neam compo$itam ex addita & detracta ut re$idui dimidiæ, & de- tractæ ad partem detractam. Et rur$us totius compo$itæ ad com- po$itam ex dimidia & addita, uelut compo$itæ ex addita, & diffe- rentia ad ip$am additam. Velut $it propo$ita a b per æqualia diui$a in c, addita b d, & detracta b e, $it proportio a d ad d b, ut a e ad e b, dico e$$e, ut c d ad cb, ita ab ad c e. Et ut a e ad e d ut c e ad e b. Etite- <marg>2</marg> rum ut a d ad c d uelut e d ad d b. In parabole proportio partium diametri ad uerticem terminantium duplicata e$t proportioni li- nearum ab ei$dem punctis ordinatim ductarum ad ip$am $ectio- <marg>3</marg> nem. In hyperbole autem & ellip$i & circuli circumferentia erit quadratorum linearum ordinatim ductarum inter $e uelut rectan- <marg>4</marg> gulorum partium diametri ad eadem puncta terminantium. Et in ei$dem $i à puncto peripheriæ contingens ad diametrum ducatur, & ab eodem ordinata, erit ut partis diametri intercept&ecedil; inter extre- mum, & ordinatam ad partem inter ordinatam & peripheriam, ue- lut interceptæ inter extremum & contingentem ad interceptam <marg>5</marg> exterius inter finem contingentis & peripheriam. Et in ei$dem quadratum $emidiametri æquale e$$e rectangulo ex intercepta in- ter centrum & ca$um contingentis in inter ceptam inter centrum & <marg>6</marg> ca$um ordinatæ à loco contactus productæ. Si parabolen recta linea contingens ad diametrum perueniat, $umpto<03> puncto alio in $ectione æquidi$tans ab eo ducatur contingenti: & ab utroque etiam ad diametrum ordinatæ, demum à uertice æquidi$tans illis, & à priore puncto diametro æquidi$tans donec concurrant, erit triangulus ex ordinata, & æquidi$tante à $ecundo puncto, & dia- metri parte contentus rectangulo ex prima ordinata & parte dia- metri inter uerticem & $ecundam ordinatam contento æqualis.</P> <marg>7</marg> <P>Si in parabole contingente ad diametrum ducta ex alio puncto ei æquidi$tans ducatur ex ip$a $ectione, ubi iterum $ecat $ectione<*> intercepta per æqualia diuidetur linea à puncto contingentis dia- <marg>8</marg> metro æquidi$tanti ducta. Idem uerò fermè continget ducta li- nea à centro in locum contactus, $ecabit enim omnes contingenti <marg>9</marg> æquidi$tantes in hyperbole, ellip$i at <01> circulo. E$t autem omne centrum in medio diametri: diameter autem in circulo & ellip$i il- las per æqualia diuidit intus enim e$t: in contrapo$itis inter uerti- cem, & uerticem po$ita e$t exterius utriu$que contingenti ad per- pendiculum in$i$tens. In hyperbole autem exterius etiam adiacet, ut in contrapo$itis eadem & tran$uer$a uo catur: cuius terminus e$t punctus concur$us cum latere trianguli, qui conum per axem diui- <foot>dit:</foot> <p n=>61</p> dit: linea uerò tangens uerticem hyperbolis ad quam ordinatæ <marg>10</marg> po$$unt, Recta appellabitur. Datarecta linea po$itione, alia<03> ma gnitudine data & angülo parabolen, & hyperbolen, & ellip$im, & contrapo$itas circa datam po$itione tanquàm diametrum de- $cribere tanquàm cono erecto, ut angulus ad uerticem $ectionis comprehen$us $it, & per rectam rectangulum æquale comprehen- datur quadrato datæ lineæ magnitudine. Si linea in duas partes <marg>11</marg> diuidatur, ei<03> utrinque æquales lineæ adiun- <fig> gantur erit rectangulum ex partibus totius æ- quale rectangulis partium prioris lineæ, & ex priore linea cum una adiecta in eam, quæ adiecta e$t. Si hyperbo <marg>12</marg> len recta linea in uertice contingat, & utrinque ab$cindatur, quan- tum e$t, quod pote$t in quartam partem rectanguli ex diametro tran$uer$a hyperbolis, quæ exterius adiacetin eam, quæ recta dici- tur, ad quam, quæ ordinatim ducuntur, $unt æquidi$tantes lineæ, quæ à $ectionis centro ad terminos contingentis ducuntur $emper ip$i $ectioni magis appropinquabunt, nec unquam conuenient: & ob id a$ymptoton appellantur. Nec ullæ aliæ intra angulũ illum <marg>13</marg> inueniri poterunt. Vnde etiam intra datũ angulum de$cribere do- cemur hyperbolen cuius anguli latera $int a$ymptota. A$ymptotis <marg>14</marg> duabus propo$itis uni hyperboli, in finitas alías eidem a$ymptotas inuenire. Duabus rectis a$ymptotis infinitas $ubijci po$$e hyperbo les illis rectis, & inter $e a$ymptotas. Cum in duabus $uperficie- <marg>15</marg> bus æquidi$tantibus duo circuli æquales, quorum linea per cen- tra non e$t ad perpendiculum earum infinitis planis $ecantur, fiunt in ip$is lineæ à peripheria in peripheriam rectæ quæ corpus cylin- dricum claudunt quod $calenus cylindrus appellatur: longè alius ab eo, qui fit recto cylindro per duo plana æquidi$tantia, $ed non ad perpendiculum po$ita di$$ecto. nam eius extremæ $uperficies non circuli, $ed ellip$es $unt. Si $calenus cylindrus plano non æ- <marg>16</marg> quidi$tanti ba$i, $ed ita ut angulos interiores æquales faciat angu- lis ba$is $ectio circulus erit: uo catur<03> hæc$ectio $ubcontraria: nec ulla præter hanc & ba$i æquidi$tantem $ectio circulus e$$e pote$t: $ed $unt ellip$es. Super eundem circulum, & $ub eadem altitudi- <marg>17</marg> ne ellip$es $imiles in cono & cylindro e$$e po$$unt, quæ ab eodem plano fiant, docet<03> uel ba$i uel cono uel cylindro, aut cono pro- po$ito reliqua facere, quod e$t ualde admirabile: cum ellip$is cylin- drica $emper æqualis $it in utraque parte à diametro tran$uer$a utrinque æqualiter di$tante, conica uerò minor nece$$ariò $it in $u- periore parte uer$us coni uerticem latior in inferiore, ubi partes a diametro tran$uer$a æqualiter di$teterint: ip$&ecedil; autem non $olum $i- <foot>F miles,</foot> <p n=>62</p> <marg>18</marg> miles, $ed unam per$æpe in utri$ <01> e$$e uult. Sed & hoc Archime- des dicere uidetur: lineæ ductæ à uertice coni$caleni ad perpendi- culum $uper ba$es $ingulas omnium triangulorum per axe<*> coni tran$euntium in peripheriam unius circuli cadunt.</P> <P>Propo$itio $eptuage$ima.</P> <P>Si fuerint tres quantitates in continua proportione, aliæ<03> toti- dem in continua proportione, poterunt con$tituere tres quantita- tes in æquali differentia peruer$im copulatæ.</P> <marg>C<I>o</I>m.</marg> <P>Velut $int a b c primi ordi- <fig> nis, & d ef $ecundi, & $it 28, <marg>16</marg> b 4, c 2, & d 2 1/4, e 1 1/2, f 1, tunc iunctis a & e fit 9 1/2, & b & d b 1/4, & e cum f 3, at 3 & 6 1/4 & 9 1/2 æqualiter di$tant, nam diffe- rentia e$t 3 1/4. At $i iungatur cum e, & b cum f, & c cum d idem poterit contingere: ut in figura uides, nam a e e$t 8 1/2, p: <02> 1 1/<*>4, & b f 7, & c d 5 1/2, m: <02> 1 1/4, & differentia b f ab utro <01> com- po$ito, e$t 1 1/2 p: <02> 1 1/4, qua excedit & exceditur. Dico modo, qua$i ex ordine coniungantur quale$cun <01> proportiones fuerint, modo non $int ambæ æqualitatis 1, ut b iungatur cum c, & reliquæ ut li- bet, uelut a cum d, & c cum f, uel a cum f, & e cum d, nunquam fient <marg>17</marg> æquales exce$$us, nam de primo e$t clarum: nam $i a cum diun- gatur, & ambæ fuerint maximæ, maior e$t differentia a ad b, quàm b ad c, & maior etiam d ad e quàm e ad f, ideo maior erit differentia a & d ad b e quàm b e ad c f, quod erat probandum. Eodem modo $ed laborio$ius demon$tratur reliquus modus $cilicet, quod con- iunctio a f ad b e e$t maior aut minor quàm b e ad c d, ex hoc$e- quuntur corrolaria.</P> <P>Primum, tres æquales quantitates non po$$unt diuidi in tres, & tres quantitates in continua proportione ordinatè, ut dixi, ni$i u- triu$que ordinis tres, ac tres inuicem $int æquales.</P> <P>Secundum, tres quantitates in æquali exce$$u ordinate, ut dixi, non po$$unt diuidi in tres, & tres quantitates, quæ $int in eadem proportione quantumcun <01> proportiones illæ duorum ordinum fint diuer $æ.</P> <P>Tertium, tres quantitates, quæ $intin eadem proportione non po$$unt diuidi ordinate in tres ac tres, quæ $int in continua propor tione ni$i $int ambæ proportiones eædem cum proportione ip$a- rum quantitatum.</P> <foot>Propo$itio</foot> <p n=>63</p> <P>Propo$itio $eptuage$imaprima.</P> <P>Proportionem leuitatis ponderis per uirgam torcularem attra- cti ad rectam $u$penfionem inuenire.</P> <fig> <P>Sit torcularis uirga, cuius $piræ a b per circui- <marg>C<I>o</I>m.</marg> tum $int centuplæ ad altitudinem a b, & axis d c <marg>P<I>ropo$.</I> 45.</marg> $emidiametro b c centupla, & quoniam per $upe- rius a$$umpta, qualis e$t proportio $patij ad $pa- tium, talis leuitatis ad leuitat&etilde;, igi&ttilde; e pondus a$cen dens per a b leuius quam per b crectã centuplo, et $imiliter cum circuitus b c, & d c $int in eodem tem pore, & circuitus d c, $it centuplus ad $piralem b c per demon$trata ab Euclide, ergo e erit centuplo leuius circum ductum per d quàm b, $ed per b circumductum cen- tuplo leuius e$t, quàm per rectam, igitur e ponderat folum particu- lam ex decem millibus recti ponderis.</P> <P>Propo$itio $eptuage$ima$ecunda.</P> <P>Proportionem ponde<*>is $ph&ecedil;ræ pendentis ad a$cendentem per accliue planum inueni<*></P> <fig> <P>Sit $phæra æqualis ponderig in pun- <marg>C<I>o</I>m.</marg> cto b, quæ debeat trahi $uper b c accli- ue planum b e ad perpendiculum pla- <marg>P<I>ropo$.</I> 40. 7</marg> ni b f. Quia ergo in b e mouetur a, qua- uis modica ui per dicta $uperius, erit per communem animi $ententiam uis, quæ mouebit a per e b nulla: per dicta uerò a mouebitur ad f $emper, a con$tanti ui æquali g, & per b c a con$tanti ui æqua- li k, $icut per b d a con$tanti æquali h, ergo per ultimam petitio- nem, cum termini $eruent, quo ad partes eandem rationem $in- guli per $e, & motus per b e $it a nulla ui, erit proportio g ad k, ue- lut proportio uis, quæ mouet per b f ad uim, quæ mouet per b c, & uelut anguli per e b f recti ad angulum e b c, & ita uis, quæ mouet a per b f, & e$t, ut dictum e$t, g ad uim, quæ mouet per b d, & e$t h ex $uppo$ito, ut c b f ad e b d, igitur proportio dif- ficultatis motus a per b d ad idem a per b c, e$t uelut h ad k, quod erat demon$trandum.</P> <foot>F 2 Propo$itio</foot> <p n=>64</p> <P>Propo$itio $eptuage$imatertia.</P> <P>Proportionem ponderum attractorum penes figuram in pla- no inuenire.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Sint duo pondera æqualia in plano a & b, & $it <fig> a $uperficies qua planum tangit dupla b $uperfi- ciei, qua planum tangit: dico quod $i trahantur ab imo, quod erunt æqualia: $u$pendantur, & erunt æqualia ex $uppo$ito, $ed a quie$cens in plano e$t dimidium a $u$pen$i, & b quie$cens in plano e$t di midium b $u$pen$i ex demon$tratis $uperius, igi- tur per communem animi $ententiam a & b in pla- no $unt æqualia.</P> <marg>C<I>or</I>^{m}.</marg> <P>Ex hoc manife$tum e$t, quod proportio uirium trahentium pon dera in plano eadem e$t, quæ ip$orum ponderum dum $u$pendun- tur. Vbiplanum æquale $it, & $olidum.</P> <marg>P<I>ropo$.</I> 62.</marg> <P>Propo$itio $eptuage$imaquarta.</P> <P>Proportionem concutientis ad concu$$um $tabili inuenire.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Intelligo concutiens e$$e $olidum, quod non frangitur, id<03> gra- uitate, & impetu concutere, nam de duritie $upponitur, & grauitas, ut demon$trabitur in corrolario e$t iuxta $uperficiem inferiorem ponderi comparatam. Cum ergo motus concu$sionis magnitudo con$tet ex grauitate, impetu & figura, concu$si autem ex pondere & connexione: multiplicatis inuicem partibus productorum pro- portio, erit proportio concu$sionis: ut $it grauitas decem, impetus quadraginta: pondus icti centum connexio ut duo, ducemus qua- dragintain decem, & fient quadringenta, et duo in centum, fient du centa, igitur concu$sio erit dupla.</P> <marg>C<I>or</I>^{m}. 1.</marg> <P>Cum fuerit figura rotunda, concu$sio erit integra in puncto: quia $phæra iacens in plano totum pondus in punctum cogit.</P> <marg>C<I>or</I>^{m}. 2.</marg> <P>Si autem planum e$t, quod ijcitur, proportio totius ad totum e$t minor, quàm partis ad partem pro ratione quantitatis latitudinis. <marg>P<I>ropo$.</I> 84.</marg> $ed maior ratione aëris comprehen$i, de quo infrà.</P> <marg>C<I>or</I>^{m}. 3.</marg> <P>Cum proportio minor fuerit $tabile, non poterit in $olido plano moueri: aliter fieret motus à debiliore, & per præcedentem etiam po$$et pari ratione eleuari.</P> <marg>C<I>or</I>^{m}. 4.</marg> <P>Cum<03> $tabile non mouetur, & omne agens agat aliquid nece$$e e$t, ut $tabilis partes cedant, aut di$$oluantur. Quanto ergo magis cedit, tanto minus di$$oluitur.</P> <foot>Cau$æ</foot> <p n=>65</p> <P>Cau$æ igitur quæ alleuiant ictum, ne di$$oluatur, $unt $eptem le- <marg>C<I>or</I>^{m}. 9.</marg> uitas ictus, ponderis, fractura, mollities eius, quodicitur, mollities eius, quod excipit ictum, motus eiu$dem, & figura lata, & inæqua- lis. Durities ergo, quatenus fracturæ opponitur, aliud e$t, quam ut molliciei: & utra <01> e$t cau$a, quæ augetictum, ut reliquæ oppo$itæ minuunt, dicemus autem de his inferius.</P> <P>Propo$itio $eptuage$imaquints.</P> <P>Proportionem immoti in aqua ad immotum in terra in excipien do ictum inuenire.</P> <P>Sit pondus a in terra æquale b eiu$dem naturæ magnitudinis fi- <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> guræ, & eodem in $itu, quod $it in aqua porrò a, $i e$$et affixum ter- ræ oportet, ut conuellatur, aut di$$oluatur aut frangatur. Et clarum <fig> e$t, quod totum ictum excipit. Si uerò affixum non $it, euertitur, & tanto mino- rem partem excipit ictus, quanto faci- lior e$t ad euer$ionem. Vnde nata fabu- la de quercu, quæ cum immobilis e$$et, & $taret uento euer$a e$t, arundo flecten- do $e, cecidit quidem, $ed non e$t eradi- cata. Sermo igitur e$t de b in$identi aqu&ecedil; in comparatione ad a, quando excipit plenum ictum. Cum ergo b tangitur, ex- cipit plenum ictum illo in$tanti, $ed quia non excipitur ictus cedente materia, & antequam materia cedat b mouetur loco, quia in$idet aquæ, ergo non excipit ictum. Proponatur ergo, quod moueatur b per c$pa- tium in d tempore, & $it, ut idem b ab e ui trahatur per idem $pa- tium in eodem tempore ex loco directo ad eandem partem: qua- lis ergo proportio e ad b, & aërem, qui cum eo re$i$tit, talis propor- tio ictus f grauis puta in a ad ictum Y in b. Quia per demon$tra- <marg>P<I>ropo$.</I> 2.</marg> ta $uperius proportio f ad a producitur ex proportionibus e ad b, <marg>P<I>er</I> 42. & 43. P<I>ropo$.</I></marg> & a ad e, ergo diui$a proportione f ad a per proportionem c ad b exibit proportio ictus Y in a ad ictum Y in b quod erat demon- $trandum.</P> <P>Ex hoc patet, quod b quanto mollius, leuius, & $trictius in imo, <marg>C<I>or</I>^{m}.</marg> & in tenuiore aqua, eo minus lædetur. Et quanto ictus lentior fue- rit etiam quod $it grauius Y.</P> <foot>F 3 Propo$itio</foot> <p n=>66</p> <P>Propo$itio $eptuage$ima$exta.</P> <P>Proportionem duorum mobilium $ibi inuicem concurrentium per rectam inuenire.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Iam cognito, quod mobilia, quæ loco mouentur per præceden- tes, $ed omnino quie$cunt integros excipiuntictus: alia quidem, quæ concurrunt, non omnino re$iliunt, alia uero re$iliunt, & quæ re$iliunt minores excipiuntictus, $equitur ut diuer$a $it compara- tio: nam erunt, quæ $tando excipient ictus, & hæc integros ut mu- ri, & quæ concurrendo, nec re$iliendo, ut equi cur$u incitati: & quæ $tando, $ed re$iliendo, ut naues $tantes: & quæ concurrendo, re$i- liendo qúe ut naues uentis, & triremes ab impul$u: bifariam ergo contingit intelligi, quod proponitur. Sed in utroque etiam $en$u uarietas e$t: nam ut concurrit pars altera celerius, ita etiam magis concutitur. Et ideo $it, ut proportio ictùs $it in comparatione ad grauitatem duplá, & concurrant æqualiter, & $int æquè grauia, & neutrum re$iliat, erunt in proportione quadrupla, & eodem mo- do $i utrunque re$iliat. At $i diuer$o impetu ferantur, ut dixi, tria erunt præcipuè con$ideranda grauitas $eu pondus, impetus, & an re$iliat. Quanto enim grauiora fuerint, & maiore impetu agen- tur, & non re$ilierint eo maiorem ictum recipient: quanto leuio- ra, & minore impetu, & magis re$ilierint, minus lædentur. Sed & in debilitando ictum con$iderare oportet tria, quod re$iliat, quod diffugiat, quod circumuertatur: re$iliunt naues, $i ro$tris concur- rant pleno ictu: $i uerò non pleno ictu concurrant, $ed diffugiant hoc experimento compertum e$t minimum e$$e ictum: $i ro$tro tran$uer$um nauis feriatur medium, e$t hoc.</P> <fig> <P>Sit ergo ut a b nauis tangat ro$tro b c $ic ut diffugiat, erit hypomochlium c, & $i tangat e f hypomochlium e$t in d dupla, ergo e$t c b ip$i d e, igitur ictus duplo minor excipitur à c b quàm ef. E$t etiam tempus longè maius, quo excipit ictum ef, quàm b c: $tatim enim di$cedit b c occurrit <03> alijs partibus, in c f autem impingit, & angulus a d c e$t longè ma- ior recto, quàm a b f: ob hæc igitur longè maior e$t ictus c f quàm b c: uocant autem hoc declinationem.</P> <P>Propo$itio $eptuage$ima$eptima.</P> <P>Proportionem motus obliqui ad motum rectum in nauibus inuenire.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Cùm uentus fertur ad puppim rectà, naui$qúe gubernaculum di <foot>rigitur,</foot> <p n=>67</p> rigitur, tendunturqúe uela ac expanduntur $umma in parte mali, tunc motus e$t ueloci$simus: fingamus autem, quod omnia ad idem tendant præter uentum, qui non directus $it ad puppim, $ed à latere, ut uides, & temo $itin contrarium tantundem directus, & $upponamus pro nune, quod uelum $it $olum in anteriore parte nauis, nam $ecus e$$et nimis magna differentia, <fig> quod nauis una ageretur tribus malis alia una: Quæritur igitur proportio motus b c ad mo- tum d e: fiat ergo c f æqualis e g, ita ut f angulus rectus $it, & manife$tum e$t, quod h c maior e$t c f, cum ergo angulus f rectus $it, quanto maior erit angulus h c f, tanto maior erit proportio h c ad c f, quod e$t primum a, ińde noto angulo h c f per ea, quæ tradita $unt ab A$trologis de $inu & arcu erit nota proportio c h ad c f, ideo ad e g fiat ergo c k æqualis c h, igitur c k erit maior e g, $i ergo perambula- bit æqualiter c, ut c h, erit temporis motus e g ad motum e f, ut c k ad c f, igitur cum nota $it c k, e$t enim æqualis c h, erit temporis ad tempus proportio nota. Quod autem in æquali tempore mouebi- tur nauis per c k & h c patet ex a$$umpto inferius declarando.</P> <marg>P<I>ropo$.</I> 99.</marg> <P>Propo$itio $eptuage$imaoctaua.</P> <P>Propo$itionem nauis ad triremes quotuis concurrentes de- mon$trare.</P> <P>Sit nauis deferens pondus decuplo maius triremi, & con$tat, <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> quod impul$u æquabitur decem triremibus, ubi flante uento e puppi æqualiter feratur in aduer$um, quantum triremes ui homi- num. Sed quoniam triremes impediuntur à uento licet $ine uelis $int, habent enim & ip$&ecedil; malum, & uelum, $ed exigua comparatio- <marg>P<I>ropo$.</I> 74.</marg> ne nauium, ideo ictus ille multo ualidior e$t ex demon$tratis. Cum uero uis illa $imul $it, liquet, 'quòd hoc in ca$u ni$i machinæ ob$ta- rent una nauis mille po$$et obruere triremes di$iunctas per tantum $patium inter $e, quantum e$t id, in quo nauis pote$tuenti impul- $um recipere. At impedimentorum maximum $unt machinæ, quæ in nauim collimant à lateribus, cum triremes quaquâ uer$um $e a- g ant, & ob id proram $olam exponunt ictibus, in quam difficile e$t collimare, & $i tangatur pars ea robu$tior e$t, nec periculum euer$ionis adeò in currit, ut à lateribus: nec enim adeò angu$ta e$t a prora ad puppim nauis, quam à latere ad latus: his tot cau$is mi- nus e$t obnoxia machinis triremis, quám nauis. Sed & alia cau$a e$t, quoniam nece$$e e$t ut ob angulum laterum ad proram <foot>F 4 ictus</foot> <p n=>68</p> ictus dilabatur $&ecedil;pius $olum traiecta $uperficie. Secundum impe- dimentum e$t à uento, $i ualde obliquus $it, nam ad rectum impul- $um, multum debilitatur: aut $i incon$tans $it, uiribus<03> remittatur. Tertium uerò $i triremes inuicem connexæ $int, ac $e tangant, in quas nauis dirigitur. Sed & hoc infrà demon$trabitur nauim, ut le- <marg>P<I>rop.</I> 109.</marg> uior fuerit facilius elabi, $ed ut pondere magis onerata grauiores ictus inferre: ob hoc triremem inuenerunt mediam maximi u$us <G>a)mfh/rh<19></G>. Galeonum uulgò uocant.</P> <P>Propo$itio $eptuage$imanona.</P> <P>Proportionem medicamentorum purgantium inuicem de- clarare.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Scio, quàm multa concurrant, etiam per $e ad purgationem mul titudo humorum præparatio locus propinquus, $ed nobis $er- mo e$t pari$ub conditione, ut $it dimidia uncia Ca$siæ nigræ in tri- bus uicibus expurget libram humorum, & uelim $cire ab una un- cia, quoties expurgabitur, & quantum. Dico, quod in $camonio, & agarico hæc ratio deprehendi pote$t: in his autem medicamentis, quæ magis leniunt, quàm à proprietate educant, ut e$t ca$sia nigra, ratio hæc non ualet, quoniam feces quando que pro maiore par- te educuntur, ita ut etiam multiplicato medicamento de$it, quod educatur. Et quamuis humores iuxta proportionem trahat, cum tamen feces proportionem non $eruent, $equitur: ut aggregati ad <marg>E<I>x conuer$a</I> 18. <I>quint.</I></marg> aggregatum proportio non $eruetur. At non e$t facile po$tmo- dum interno$cere feces ab humoribus, quocirca uidetur propor- tio illa confundi. Quod $i medicamentum leniens, fiat ob quanti- tatem purgans humores, ut de multa ca$sia nigra, tuncnon pote$t a$signari illa comparatio ni$i ut e$t medicamentum purgans. Et $it gratia exempli, primum ut grana $ex $camonij purgent aliquem ter, & uncias decem bilis, dico iuxta rationem $uprapo$itam, quod <marg>P<I>ropo$.</I> 37.</marg> grana duodecim purgabunt iuxta proportionem duplam $exqui- alteram, $i duo grana nil purgant, $ed commouent. æqualia enim <marg>P<I>ropo$.</I> 42.</marg> $unt: ut quatuor $int dupla, & $ex tripla, & mouent ter, quia $exqui- alteram habent proportionem ad exce$$um, igitur duodecim du- plam, & $exquialteram ad quatuor, nam decem ad quatuor e$t du- pla $exquialtera, & purgabit $epties cum nixu libras duas fer- me bilis. Vt comparatio fiat exce$$us ad uim, quæ re$i$tit eodem modo. In ca$sia ergo nigra $i uncia unanõ purga, $ed lenit tantum, & duæ unciæ purgant ter, & libram unam bilis, tres unciæ duplam <foot>habent</foot> <p n=>69</p> habent proportionem iuxta exce$$um ad unam, exce$$us igitur duplum purgabunt, & duplo magis, id e$t præter feces libras duas bilis in $ex uicibus.</P> <P>Propo$itio octuage$ima.</P> <P>Proportionem motus $ecundum obliquum ad rectum in $pa- tio declarare.</P> <P>Hæc uídetur $imilis $uperiori cuidam propo$itioni, $ed tamen in <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> hoc differt, quoniam in c a $upponimus nauim moueri, ut concu- tiat, hic autem iuxta motum $olum: ut proponamus b nauim ferri <fig> uer$us a uento recto ex b in a: $it autem uentus ex cin a mouens nauim ex b in a: nòn enim moue- bit ut quidam putant in ratione c a ad b a: ut $i ca $it $exquiquarta ad b a, ut æquali impetu ex b & c flante uento moueretur tardius per c a, quam per b a, quia æqualiter ex $uppo$ito: ergo tanto tardius c fertur in a, quam b in idem quanto lon- gior e$t c a, b a igitur $i b perueniet in a in qua- tuor diebus c perueniet in idem a in quinque diebus. Hoc enim e$t per $e manife$tum: $ed non quærimus id, $ed ut uento c a æquali per c a ei, qui e$t b a per b a, ubi b moueatur uen to c a per b a, quanto tardius mouebitur. Mouebitur. n. tardius ad a per b a, quam per c a, at per c a tardius, quam ex b in a per æqua- lem uim, ergo multo tardius ex b in a per c a uentum, quam per uen tum ex b in a. Quærimus ergo compo$itionem horum, ut $it c nauis, quæ debeat transferri ad a per uentum ex b, & $equitur, quod tardius, quam ex c per uentum ex c in a, & tardius ex b per uentum ex cin a. Ergo malus, qui in prora e$t conuoluto eo, qui e$t in puppi, ut etiam Ari$toteles docet tantundem nititur ad re- <marg>Q<I>uæ$t.</I> 7. M<I>echanica.</I></marg> ctum ex cin æquidi$tantem locum ab a quantum c di$tat ab con- tra temo, qui in puppi e$t dirigitur ad h, & $i ualidius $it uentus e- tiam adiuuante temonem, $eu contra nitente, quantum licet mo- bili pondere nauis ad id latus, premitur enim nauis, qua$i $ubmer- gi debeat, uento in aduer$um premente, ut $i uentus repente huic contrarius exoriatur, periculũ $ubeat, ne obruatur. Cum ergo uen- tus ex b feratur, æquidi$tans c h, & c feratur per temonem in k, & ab oppo$itis æqualis actio $equatur, imò tota impeditur, ex c in h fere- tur iuxta proportionem anguli, quem con$tituit h c cum a c ad to- um rectum, Si igitur ex c in a debuit ferri in duodecim horis ob <foot>uim</foot> <p n=>70</p> uim uenti, & uiæ longitudinem, angulus uerò h c a $it $exta re- cti pars, feretur ex c uer$us a ad quantitatem b a in quatuorde- cim horis: igitur rur$us quanta e$t proportio c a ad b a tan- tum e$t temporis, in quo fertur ex c ad a ad quatuordecim horas per uentum b a.</P> <P>Propo$itio octuage$imaprima.</P> <P>Qualis $it angulus, per quem pote$t moueri nauis ad rectum explorare.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Cum in præcedenti propo$itione o$ten$um $it angulum k c a oportere e$$e æqualem angulo h c a, ut feratur, c in a uento c h, nec tamen pror$us, $ed temo magis inflectit uer$us k quam uentus co- git uer$us h: $icut contra maiori ui uentus dirigit ad h, quàm temo ad k, ut nece$$e $it nauim flecti ad k pondere, ideo $i uentus e$$et tran$uer$us periclitaretur, nece$$e e$t, ut per omnes uentos, qui fe- runt ab ea, quæ ad perpendiculum $uper c a, & $unt quatuordecim: $ed quoniam, ut dixi, pondere adiuuante uis uenti minor fit, nece$- $e e$t, ut per uentos debiliores feratur magis ab extremis, qui pro- pe perpendiculum $unt: ita ut numerus omnium $it, cum leui$simi fuerint, quatuordecim, cum uiolenti$simi, tres tantum proprius, & qui di$tant trige$ima$ecunda parte totius circuli, id e$t partibus un decimi, cum quarta reliqui undecim, medij $unt: ut tanto plures a$- $umi po$sint à Nauclero, quanto molliores $unt uenti, tanto pau- ciores, quo uiolentiores. Tutius autem fuerit in ualidis uentis diri- gere nauim per uentum proximiorem, quam per ip$ummet, qui re- <marg>P<I>ropo$.</I> 83</marg> ctè tendit ad locum. Veluti tendat nauis ex a in b, uentus tendat in cualidior, cum<03> magnus fuerit angulus c a b, ut potè dodrans to- tius recti, ut e$$et temo dirigendus ad $extum uentum altrin$ecus di rigemus $olum ad quintum, ut feratur in d, & hoc erit tanto cele- rius, & celerius feratur per a d & d b, quàm $i nauis recta lata e$$et ex a in b. in$uper tutius.</P> <P>Propo$itio octuage$ima$ecunda.</P> <P>Proportionem uelorum indagare.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Vela tribus in locis di$poni $olent dolo b, quod in prora con- $tituitur, & in malo, qui ponitur in medio ratione, quæ inferius o$tendetur, $ed non ad unguem, quia cum malus in anteriorem partem à uento impellatur, $i e$$et in medio, $emper præmeretur nauis in anteriorem partem, ex quo duo magna incommoda $eque rentur: primùm ut periculum $ubiret, ne inuer$a in anteriorem par- <foot>tem</foot> <p n=>71</p> tem $ubmergeretur. Secundum ne pre$$a in parte anteriore dif- ficilius aquas di$$ecaret, & ob id longe tardiu, moueretur. Pro- pter hæc duo incommoda igitur malus etiam $i unicus e$$et (quod uulgati$simum maloribus no$tris |fuit) in parte magis proræ proxima locabatur à gubernatoribus, ut e$$et qua$i in trien te à ro$tro in be$$e à puppi: Rarum fuit, & memorabile, quod nunc pa$sim habet olim Antigoni <G>triame/<15>&</G> 1, uelorum trium: quorum po$tremum Epidromus ut ip$a uoce intelligamus non fui$$e ue- lum in malo ip$o medio, $ed in puppi con$titutum. Cau$a Dolonis inferius exponetur: quod autem e$$et paruum, & omnium mini- mum, ut nauis $acile ab eo inuerteretur. Vnde etiam nunc minus minime habent tam quantitate, quam etiam altitudine, quod uo- cant Trinehetum, $olum enim $u$tinet nauim, quæ à uentis, uel un- dis mergi $olet: ab undis ubi humilior e$t, à uentis à lateribus, et an- teriore parte. Vnde humile, & exiguum uelum efficit, ut nauis ante- riore parte leuis, nec mergatur prona à uentis, nec aquas ea exci- piat, nec tamen impelli pote$t nauis in $copulos, nec euerti ob cau- $as dictas: ob quæ in magnis tempe$tatibus hoc ip$o duntaxat uti $olent. Quod et$i nimium $æuierint, etiam illud demittunt, & $i fieri pote$t, etiam malum ip$am quamuis $ine uelo $it. Sed plerun- que circumuolutam, & implicatam $olet antennam annexam, at- que $u$pen$am habere. Sed & ne nauis pror$um obruatur, quo- niam ea pars omnem uentorum uim excipere $olet, & ut leui$sima $it ijdem Gubernatores puppim multa arena, lapillis qúe onerant. Ergo uelocitas nauis à uentorum impetu, eorumqúe rectitudi- ne à uelorum magnitudine, & loco humiliore, aut $ublimiore ha- betur: tum nauis leuitate, & forma. Quæ enim non merguntur ut <G>droma/des</G> ($ic enim uocat Ari$tophanes) eas, quas nunc uulgus fre- gatas appellat) qua$i aquas innatantes cur$u $unt ueloci$simæ. Et longiores latis. Po$t has $unt, quæ carinam habent tenuem, ut fa- cile aquas diuidant. Vltimo loco, quæ qua$i mediæ, ante quidem tenues, pò$t latiores ad uelocem cur$um, & ferendum onera aptæ, & humiles altis: & leui ex ligno. Sed nos de uelorum uarieta- te loquimur, non ea', quæ ad malos pertinet. Con$tat enim me- dio loco plus mouere, quam in extremis, ut infrà docebi- mus. Antiquo enim tempore opus non fuit malorum mul- titudine, quoniam $yderibus uias dirigebant ob id non ad amu$sim, quoniam linea dirigi non poterat maximè ob mo- tus obliquitatem in circulo ui$us: ideò mali multi confu- $ionem in cur$u, & impedimentum in naui, maiu$qúe pericu- lum attuli$$ent. At nunc inuenta pyxide, & lapidis Her- <foot>culei</foot> <p n=>72</p> culei auxilio pluribus locis uela di$po$ita melius dirigunt iter, ut qua$i cra$$a minerua depictum, & pote$tate deformatum, ad amu$- $im contrahant. Motus ergo magnitudo non $impliciter con$tat, $ed comparatione $uper$iciei ueli ad uelum longitudine quidem, <marg>P<I>ropo$.</I> 86.</marg> ac latitudine conflata per multiplicationem. Altitudinis quo <01> ut <marg>P<I>ropo$.</I> 42.</marg> infrà exponetur. Ex quorum omnium ductu, qua$i cubica, uel tri- plicata ratione, ut $uperius o$ten$um e$t, ratio uelocitatis motus na uium conflatur.</P> <P>Propo$itio octuage$imatertia.</P> <P>Proportionem rece$$us à recta uia ad obliquitatem inue$tigare.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Sit nauis in a itura in b (uentus rectus ad c, medius ad e) per ob- liquũ, cum ergo tardius moueatur per a e quàm a c & per a b, quam per a d, & $int ad perpendiculum b e, b d quas con$tat e$$e breui$si- mas earum, quæ ad a c & ad a d. Queritur igitur quando uelocius <fig> ferretur ad b, an cum per a c, c b, an cum per a d, d b, an cum per a b $impliciter. Et con$tat quod a d & d b longiores $unt a b, i$tud enim demon$tratum e$t ab Euclide in primo Elementorum, dico modo a c, & <marg>P<I>ropo$.</I> 20.</marg> c b e$$e longiores a d & d b, nam quadrata a d & d b & a c & c b $unt æqualia quadrato a b per dicta ibi- <marg>P<I>ropo$.</I> 47.</marg> dem, & ideo quadrata a c & c b &ecedil;qualia quadratis a d & d b, $ed a d e$t longior a c, quia ducta c d angulus d c a e$t obtu$us, igitur ad maiorem a c per decimam nonam primi Elementorum: quare per communem animi $ententiam quadratum a d maius e$t quadrato a c, quarerur- $us per communem animi $ententiam quadratum c b maius e$t quadrato d b. Cum ergo quadrata a d & d b æqualia $int quadra- tis a c & c b, & a d $it maior a c & c b maior d b, $equitur per nonam $ecundi Elementorum, quod a c & c d $int maiores a d & d b pari- ter acceptis. Si ergo maior fuerit exce$$us quàm proportio motus per temonem cohibiti, ut $upra ui$um e$t, tardius mouebitur per a d, d b quàm a b per a c, c b quàm per a d, d b, $ed $i contrà maior $it proportio motus cohibiti à temone ad motum liberum quàm ex- <marg>P<I>ropo$.</I> 80.</marg> ce$$us ad exce$$um uelocius mouebitur per a d d b, quàm per a b, & per a c quàm per a b. Accedit huc e incommodo longioris uiæ, quod uento a c non poterit ferri nauis ex c d in b, quoniam antea ægre ferebatur: & nunc ægrius per c b quàm a b, plus enim di$tat uentus a c ab itinere c a quàm à uento a b, ut ui$um e$t $uperius, igi- tur multo melius e$t (ni quid ob$tet) ire per a b quàm per ullã aliam <marg>P<I>er</I> 81. P<I>ropo$.</I></marg> uiam: ni$i $tationes $int in c d, uel periculum immineat in a b. Vbi ta men uenti $ecundarent, tantum e$t uirium in recto cur$u, & æquali <foot>uelocitate</foot> <p n=>73</p> uelocitate ferretur citius ex a in b per a d d b, & etiam citius per a c, c b in b quam per ip$am a b, quod fuit propo$itum declarare.</P> <P>Propo$itio octuage$imaquarta.</P> <P>Di$tantiam centri terræ à centro mundi per motum lapidis Her culei declarare.</P> <marg>C<I>o</I>_{m}.</marg> <P>Non me later Ari$totelem exi$timare centrum mundi e$$e cen- trum terræ illud<03> proba$$e, quod tamen ex demon$tratione no$tra mathematica apparet nunc$ubijciam, & quid ad illius rationes di- cendum $it, aliâs etiam dicendum erit: nam liber hic, ut mathemati- ca decet, e$$e debet ab omnibus contentionibus ab$olutus. Con- $tat $anè non e$$e propriam uim lapidis illius, ut qui non $it circum- $criptus $ed fru$tulum quoduis id pote$t, ne<01> per $e, $ed in ferro & pendulo, nec fieri pote$t, ut $it illius tãquam $peciei unius lapidum, $ed qua$i perfectæ portionis cuiu$dam generis terræ, quæ ab$olu- ta $it, cuius indicium e$t illius copia, ne<01> enim ullibi non inuenitur, & ubi ferrum effoditur, ut in Ilua In$ula Tyrrheno mari, e$t ergo fer <fig> ri uis terræ maritæ, quæ perfecta in $uo ge- nere, ubi uim fœcundam acceperit à ma$cu- lo $cilicet Herculeo lapide, quærit primum ut de$cendat, ubi hoc non po$sit $alt&etilde; quæ- rit, ut quie$cere po$sit. Vt ergo quie$cat à motu cœli qui e$t ab Oriente in Occiden- tem iuxta axis cœli $itum $e dirigit, quod ille $olus quie$cat in $uo motu, uel $altem tardi$simè moueatur: indicio e$t quod $i extra $itum illum acus ferrea imbuta eo lapide ponatur, $tatim tre- mit uchementer, adeò ut nec momento ullo con$i$tat, $ed mi$erè & grauiter torqueri uideatur, non ergo quod $entiat polorum locum qui tantum abe$t ab illa, ut nec ab homine perito mathematicarum, $ed quod uix illa cœli $entiatur circa centrum mundi. Cuius indi- cio e$t Oceani maris, aquarum fluxus & refluxus. Duos ergo ha- bet motus terra perfecta, $eu ferrum lapide Herculeo imbutũ $ub- ordinatos imperfectum perfecto: perfectus e$t, ut de$cendat ad cen trum terræ, ut ibi quie$cat: imperfectum, cum à perfecto prohibe- tur, ut quie$cat $altem extra centrum cum in clinatione ad centrum, et hoc fiet $i $ecundum longitudinem acus dirigatur per axem mun di, cum $itu tamen de$cen$ui ad terræ centrum proximiore, ut $æpi- us $uperius declarauimus, dum de motu grauium & præcipuè li- bræ, & centro grauitatis loqueremur. Quibus demon$tratis tum experimento tum ratione à Fortunio Affaytato Cremonen$i Me- dico, cum per hæc po$tmodum cogeretur fateri acum ad polum <foot>G tendere,</foot> <p n=>74</p> tendere, cum tamen tendat à dextro latere $cilicet ab Oriente no- uem partibus, $eu decima parte unius recti in centro terræ, quæ e$t quadrage$ima totius ambitus cœli. Statuatur centrum mundia, & b a c axis, $ecundum quam mouetur motu diurno, ital a dextra exit oriens, k a $ini$tra occidens, & $tatuatur d centrum terræ, $eu $uprà $eu infrà, non tamen in linea b c, $ed uel $uprà in dextra parte, uel in- frà in $ini$tra, ita ut ducta linea per illud punctum arcus b g $it no- uem partium. Con$tituta ergo acu in e puncto, ubilinea h ad g $ecat peripheriam terr&ecedil; dico, quod acus dirigetur per h g, & non per b c, nam acus mouetur ad centrum per eam, & in eo $itu tota dirigitur, quia omnes partes grauis con$entiunt in motu principij grauitatis ad centrum, hoc enim demon$tratum: nixus ergo e$t ut moueatur per c d, & in eo nixu qui e$t quies cu$to dit lineam axis, quæ e$t a b, ut quie$cat, ergo non quie$cet, ni$i in linea d g, quod erat demon- $trandum. Quæ autem $equuntur ex his corrolaria omnia concor- dant cum experimentis. Ergo hic $ermo e$t demon$tratiuus, ut e- nim bene dixit Auerroes: Sermo demon$tratiuus $atisfacit omni- bus problematibus quæ cõtingunt circa principale quæ$itum. Ex hoc ergo patet, quod angulus di$tantia d ab a in latitudine e$t de ci- ma pars recti, et quod quanto magis di$tatin longitudine centrum terræ à centro mundi, tanto etiam minus di$tatin latitudine. Hæc enim $unt demon$trata clarè in mathematicis. Vnde fieri po$$et quod hæc quantitas di$tantiæ e$$et res, per quam exigua etiam $i non e$$et maior quatuor digitis $ufficeret, modo etiam per ualde paruum $patium di$taret ab eodem in longitudine. De cau$a au- tem huius differentiæ aliâs dicendum erit, hiclo cus non e$t, $ed $uf- ficit $cire quod ita $it, quod $i mobilis $it punctus d, clarum e$t ali- quando futurum ut minus di$tet g à b, aliquando ut $it idem. Et quali$cun<01> motus $it, nece$$e e$t eam di$tantiam uariari.</P> <P>Propo$itio octuage$imaquinta.</P> <P>Proportio ponderis unius grauis ad aliud $ub eadem men$ura e$t, ueluti eiu$dem ad differentiam ponderis ua$is repleti ex altero graui, & ex ambobus detracto priore.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Sit aurum a, & liquor b, quæ repleant uas c, & pondus amborum $it librarum quadraginta, & <fig> uas repletum liquore $olo $it librarum xxix, au- rum autem $it ponderis librarum xij, igitur reli- quum erit ponderis xxviij, differentia ergo ua- $is pleni, & non pleni liquore e$t libra una, pon- dus auri e$t librarum duodecim: dico quod au- ri pondus e$t duode cuplum ponderi liquoris, & <foot>$i fui$$et</foot> <p n=>75</p> $i fui$$et pondus amborum libræ xxxix, manentibus reliquis, $eque retur quod pondus liquoris e$$et xxvij, & quia plenum uas $uppo- nitur e$$e librarum xxix, e$$et differentia libræij, at auri pondus e$t libræ xij, igitur proportio ponderis auri ad liquorem e$$et $excu- pla. Nam $i uas plenum liquore ex $uppo$ito e$t librarum xxix, & cum auro xl, gratia exempli, & auri pondus e$t xij, igitur liquoris pondus e$t xxviij librarum: $ed cum liquor $it corpus $imilium par- tium, igitur loci ad lo cum, ut ponderis ad pondus, ergo dum ade$t aurum, liquor occupat xxviij partes cxxxix, totius ua$is igitur au- rum continet unam partem tantum, & cum aurum pondus habeat librarum xij, & liquor unius: quia totum uas cxxxix librarum dum e$t plenum, & e$t diui$um in xxix partes, igitur pondus unius par- tis liquoris e$t una libra, igitur pondus auri e$t duode cuplum ad pondus liquoris quod fuit propo$itum.</P> <marg>C<I>or</I>^{m}. 1.</marg> <P>Ex quo $equitur quòd $i ducatur pondus illud partis per pon- dus repleti ua$is ex alio graui, & productum diuidatur per differen tiam illam, prodibit pondus ua$is repleti liquore graui.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Exemplum, $i pondus auri fuerit librarum xij, pondus ua$is re- pleti liquore xxix librarum, pondus auri & liquoris replentium uas xxxix librarum, ducemus xij in xxix fit cccxlviij, diuido perij differentiam xxvij ponderis ua$is, repleti ex ambobus detracto au- ri pondere, & xxix ponderis ua$is repleti liquore exit clxxiiij, & tan tum auri uas illud continebit, nam cum duæ partes quas occupa- bat aurum e$$ent ponderis librarum xij, totum quod erat partium xxix, continebit decies & quater cum dimidio illud aurum xij, aut ductum in xiiij cum dimidio, efficit cclxxiiij ut prius.</P> <head>EXEMPLVM.</head> <P>Quia ergo in $uperiore propo$itione docui, quod ferrum e$t ue- ra terra: uolui $cire qualis e$$et proportio ferri ad aquam. Accepi ur ceum cuius aqua dum plenus e$$et ponderis, fuit unciarum $ex, & $eptuncis unciæ, & $eptuncis duodecimæ partis unciæ & pondus ferri unciæ $eptem, & triens unciæ & triens duodecimæ partis un- ciæ: & ua$is aqu&ecedil; & ferro eodem repleti unciæ tredecim, & duode- cima & $eptunx duode cimæ partis unciæ. Detrahemus ergo vij & trientem & trientem duodecimæ. i. 7 & 64/144 pondus ferri ex 13 19/144, & relinquentur 5 99/144, detrahe ex 6 81/144, pondere aquæ totius ua$is relin quuntur 17/18, diuide 7 64/144 per 17/18 exit proportio ponderis ferri ad pon dus aquæ 7 15/17. Ethoc e$t proximum ei quod dixit Philo$ophus de proportione ponderis terræ & aquæ.</P> <marg>C<I>or</I>^{m}. 2.</marg> <P>Ex hoc patet $olutio problematis cuiu$dam propo$iti alias<03> mi nus bene $oluti cùm cau$am habeat manife$ti$simam, $cilicet quod <foot>G 2 wa$e</foot> <p n=>76</p> ua$e aqua pleno impo$itis $en$im centum aureis coronatis nihil ef- funditur, non quod quicquam ab$umatur in metallo, $ed cau$a e$t quod cum aurum $it duplum pondere ferro, erit ex demon$tratis $ex decuplum ad pondus aquæ. Igitur cum $it proportio ponderis auri ad differentiam $patij eadem, $i $it uas aquæ ponderis libræ unius & mediæ, erit pondus totum xxiij unciarum, igitur aqua de- ficiet $olum ex decimaoctaua parte $eu cre$cet ex impo$itione auri, $ed illa pars in tumore aquæ ab$umitur, nõ $olum, quia <fig> dum aureos imponimus plana $olum $it, $ed quia non ex quauis rotunditate defluit, aliter in urceo tam exiguo non po$$et apparere rotunda: quod enim rotunditas to- tius terræ, quæ etiam planam o$tendit totam unam re- gionem ad rotun ditatem quæ apparet in exiguo urceo aquæ. E$t igitur rotunditas illa potius ob lentorem aqu&ecedil; qui auge- tur à lentore argenti, & etiam magis auri, cum $en$u digitorum per- cipiatur.</P> <marg>C<I>or</I>^{m}. 3.</marg> <P>Ex hoc apparet ratio quomodo Archimedes potuerit deprehen dere coronam à Hierone propo$itam quantum auri & argenti con tineret. Sit ergo uas a b aqua plenũ ponderis un ciarum triginta, & cum libra auri $it ponderis unciarum quadraginta unius, & cum li- bra argenti ponderis unciarum quadraginta cum dimidio, igitur erit auri pondus ad aquæ pondus duodecuplum, argenti autem ad idem octuplum, quare auri ad arg&etilde;tum pondus $exquialterum. Ponamus ergo quod corona impo$ita ex auro & argento $olo fa- bricata (hoc enim $upponere oportet) fuerit un ciarum $exaginta, pondus autem aquæ content&ecedil; cum corona in ua$e unciarum uigin tiquatuor cum dimidio, $cilicet totum octuaginta quatuor cum di- midia, erit ergo proportio ponderis coronæ ad pondus aquæ, ut cxx ad xi, aurum igitur e$t proportione duodecuplum, argentum autem octuplum, corona ut cxx ad xi. Con$tituantur $ub ei$dem ra- tionibus ducen do lxxxviij. cxx. cxxxij. hoc e$t ac $i dicamus, accipe partes ex cxxxij & lxxxviij, tot ut faciant integrum & componant cxx. Et ideò reduces ad minores numeros, $cilicet xxxiij. xxij. et xxx. <marg>P<I>ropo$.</I> 178.</marg> & operaberis per regulam de con$olatione monetarum, quas po- nemus infrà, & fient auri partes octo & argen <fig> ti partes iij, nam cum duxeris iij in octo pon- dus argenti fiet xxiiij, & cum duxeris viij in xij, pondus auri fiet xcvi, igitur totum pon- dus erit cxx, diuidendum per xi, aggregatum partium auri & argenti, ita uero uncia ad unciam, ut tota corona mi $ta ad coronam puram auri & argenti.</P> <foot>Ex hoc</foot> <p n=>77</p> <P>Ex hoc etiam patet modus cogno$c&etilde;di proportionem grauium <marg>C<I>or</I>^{m}. 4.</marg> inuicem per $olam aquam, uelut auri ad plumbum, ad lapides uel æs, aut æris ad lapidem & $imilia, ut in præcedenti operatione de- prehendi$ti: nam cum $it nota proportio auri ad aquam & æris uel lapidis ad eandem, erit auri ad æs uel lapidem nota.</P> <P>Et $imiliter $ciemus per hoc accipere partes diuer$orum, qu&ecedil; iun <marg>C<I>or</I>^{m}. 5.</marg> ctæ faciant con$titutum pondus. Velut uolo facere ma$$am ex mel- <fig> le & aqua, quæ impleat uas, quod mellis contineat quindecim, aquæ duodecim, uolo ut contentum $it ponderis quatuorde cim, operabor, ut in cõ$olatio- nibus, ponam duas partes mellis & unam aquæ, ut uides in operatione à latere.</P> <P>Propo$itio octuage$ima$exta.</P> <P>Si circuli in æquales, $eu in $phæra, $eu in plano $e $ecuerint nun- quam oppo$itos angulos æquales habent.</P> <P>Capiantur tres quartæ cir culorum magnorum a b, a c, b c, & alia <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> b d ad rectos angulos erũt<03> uici$sim poli, & ducatur per medium parallelus, erit ergo e f æqualis e g, & f e æqualis f g, $ed ba$is c g e$t <fig> quarta circuli, & ba$is c b dimidium quartæ circuli eo quod tota b a e$t quarta circuli, igi- tur per modum 25 primi Elementorum quæ tenet, erit angulus c f g maior oppo$ito c f b. Hoc autem tenet in eiu$dem rationis $uperfi- ciebus, quales $unt hæ, quæ $unt $uperficies eiu$dem $ph&ecedil;ræ. po$$et etiam demon$trari per modum quartæ primi Elementorum. Et eti- am con$tituta $phæra e f g, cuius hic circulus e$$et maior circulus, & non tangeret ni$i in illa linea $phæra maiorem, & utrin <01> $ecaret eo- dem circulo. Et etiam per cordas & trigonos rectilineos, auxilio tam&etilde; regulæ dialecticæ. Ex hoc $equitur auxilio regulæ dialecticæ, <fig> quod in omnibus parallelis a c d & e f g cum b c circulo maiore, & per aliam regulam dialecticam in omnibus cira culis inæqualibus inter $e ad æquales angulos $ecanti- bus & ex tertia demum regula dialectica, $equitur in o- mnibus circulis in æqualibus $e $ecantibus ad quemuis angulum in $phæræ $uperficie. Sunt autem hæ regulæ mediæ inter axiomata & demon$trata. Et ex logica propria illi arti. In plano au- <marg>P<I>er</I> 13. <I>terd tij</I> E<I>lement.</I></marg> tem $patium d b c minus e$t a b c, $ed $patium c b d e$t unum, ergo per communem animi $ententiam $patium a b d, maius e$t $patio c b c, quod fuit probandum.</P> <foot>G 3 Propo$itio</foot> <p n=>78</p> <P>Propo$itio octuage$ima$eptima.</P> <P>Proportionem cra$sitiei aquæ ad aërem in comparatione ad ra- dios demon$trare.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Sit in aheno a b c d in imo e dena <fig> rius argenteus cera affixus uel cla- uo, quem uideat ex h impo$ita aqua clara u$<01> ad f, uideat ex k, igitur per aquam deflectitur à perpendiculo per angulum k f n, & in l, per angu- lum l g o cre$cente aqua demum in labro m a p, & $it e annexus, & tabu la h k l m $it affixa $olo uel pondere firma foraminibus obliquis infrà $pectantibus, & per a a$picientibus extremitatem e. Po$$umus ergo imaginari primum, quòd omnes inclinationes $int à perpendicu- lari, dum exit aqua, & ita denarius uideretur, uel in $uperficie aquæ in directo e, uel in recta ex oculo in imo, quorum neutrum uerum e$t. Secundus modus e$t, ut radius delatus e a flectatur ad k uell, & hoc non quia in a non e$t mutatio medij. Tertius e$t, ut linea ex ocu lo ducta perueniat per punctum a ad $uperficiem aquæ, & ex ea per directum ad denarium, & tunc quia oculus iudicat $e uidere per rectam, ideo iudicabit $e uidere per l a g in q, eo quod $emper in directo loci in quo e$t e. At quoniam non ex qua cun<01> di$tantia ui- detur e, $ed ex longinquiore loco, ubi uas fuerit humilius quod li- neæ ad a ex oculo, quanto a fuerit humilius, tanto propius ip$i e procedunt. Et uer$a uice lineæ ex e ad a, quanto e e$t humilius ad quencun<01> locum inflectuntur, tanto inferius cadũt. Ergo cum fue rint ad æquilibrium h, magis di$tabunt ab e, & ita e magis procul uidebitur. Cau$a ergo triplex e$t humilitas, uel altitudo ua$is: humi litas uel altitudo aquæ: & labri ua$is altitudo. Sed han crelinquere po$$umus. Difficultas ergo experimenti etiam rectè facti e$t, quo- niam po$ito ua$e n c d $olum, ut altitudo $it tantum n e, procul ma- gis uidebitur e, quàm $i uas $it a b c d, & totum plenum. Vbi autem uas fit a b c d, magis procul uidebitur e cum $uerit totum plenum, quam cum fuerit plena $ola pars n c d. Sic difficile e$t con$iderare an altitudo aquæ faciat ad ui$ionem procul, cum in humiliore, $ed di$sipari ua$e longius uideatur in pauca, quia labrum non ob$tat: in eodem autem longius in pluri aqua, quia labrum etiam non ob- $tat, $ed alia ratione. Vt ergo uideamus hoc experimentum, capie- <foot>mus</foot> <p n=>79</p> mus duo ua$a a b c d duplum h k l m $ub eadem proportione alti- tudinis & latitudinis, & collo cabimus ita ut p n radius æquidi$tet f e, & collo cabimus tabulas cum foraminibus, ut prius, & g f p q <fig> in æquilibrio, in de uidebimus, an q p $it æqualis aut breuior, nam longior e$$e non pote$t, quoniam inflectitur a minore aqua, ideo angulus p h q non pote$t e$$e maior f a g, $uppo$ita p h æquali a f: quod $i non e$$et, $ufficeret, ut q & p e$$ent in æquilibrio uno, & f g alio. Sed ueritas e$t quod à maiore aqua maior fit reflexio: tum quia in his, quæ $unt $ecundum naturam corpoream, & $ub$tan- tiam den$am, aut tenuem uarietas quantitatis uariat uires: tum quia uidemus, quod in altiore aqua denarius uidetur magis cum fundo elatus. Igitur his cognitis experimentum fiat cum ua$e ple- no. Et (ut dixi) con$iderabimus proportionem anguli f a g ad far, $eu f e c quæ $anè e$t no tabilis: adeò ut $it maior proportio aquæ ad aërem comparatione grauium quàm lucis.</P> <marg>C<I>or</I>^{m}. 1.</marg> <P>Ex his cogno$cemus comparatione eiu$dem aquæ tenuitatem aëris unius regionis in comparatione ad aërem alterius: nam ubi remotius uidebitur denarius, ibi aër erit tenuior.</P> <marg>C<I>or</I>_{m}. 2.</marg> <P>Et per idem in eadem regione comparationem aquarum. Nam cum $it idem aër, & uas, ac reliqua paria, ubi magis procul uidebi- tur denarius, aqua erit cra$sior ideò deterior.</P> <marg>C<I>or</I>^{m}. 3.</marg> <P>Se quitur etiam quòd omnes res propiores in aqua uidentur, quam $int, & ideò maiores: & ob id etiam omnis aqua profundior e$t, quam uideatur. Vtingredi per$æpè $it periculo$um.</P> <P>Propo$itio octuage$imaoctaua. De in$trumento momentorum.</P> <P>In$trumentum Acolingen, quo momenta temporum deprehen dantur fabricare.</P> <foot>G 4 Et</foot> <p n=>80</p> <marg>C<I>om.</I></marg> <P>Et quoniam motus naturales fiunt in tempore: & dicuntur ue- lociores, uel ob $patium loci magnum, quod $uperatur, uel ob tem poris breuitatem in uelo ci$simis motibus, quod ad $patia attinet, facilius digno$cuntur uelociores, quoniam $patium maius & ma- net, ut men$urari commodè po$sit: $ed quòd ad tempus, quanto tar diores, quoniam in uelo cibus quantitas temporis e$t exigua: & e- tiam tempus ip$um perpetuò diffluit: ideò difficillimè deprehen di pote$t. Huius cau$a exco gitauimus in$trumentum, quod uo caui- mus Acolingen: quod con$tat tribus rotis: prima e$t pedum duo- decim diametri, in ambitu autem habet denticulos ccclx æqua- les, & æqualiter inter $e di$tantes, huius peripheriæ funis cum pon- deribus in$eritur, ita ut cum alijs duabus rotis renitentibus in una hora circumagatur æqualiter. Duodecim ex his denticulis curru- lis duode cim denticulorum axis $ecundæ rotæ in$eritur: $ic ut cum rota magna duode cim conuer$a fuerit partibus, $ecunda rota cu- ius axis $it pedum duorum, $cilicet $excuplo maior circumuerta- tur. Huius minoris ambitus diui$us $it in cxx partes æquales, & unicuique parti denticulus in$ertus $it: ita hæc rota tricies in una hora conuertetur. Singulis uerò denticulis currulis axis rotæ ha- bentis denticulos quatuor in$eratur, ita ut dum $ecunda rota uer- titur $emel minima circumuertatur tricies: nam pro $ingulis qua- tuor denticulis, quibus media rota cir cumagetur, minima tota cir- cumuertetur, ideoqúe nongenties in una hora. Hæc minima ro- tula be$$em pedis in dimetiente habebit, ut $it $exta pars illius, in ambitu autem diui$a erit in xl partes, ut cum circumuer$a fue- rit nongenties in una hora pertran$ierit partes xxxvi. Et cum pul$us hominis communis $int in hora <23>, uel circa nouem partes ex his rot&ecedil; minoris perficient circiter unam pul$ationem ex dia$to- le & $i$tole, $eu ex di$tentione & contractione perfectam: ut partis unius conuer$io fiat in nona parte, uel circa unius pul$ationis pul- $us humani: & hoc e$t minimum fermè, quod ab humano $en- $u percipi po$sit. Erit etiam proportio rotarum eadem tam in dia- metris, quàm circuitibus $cilicet $excupla, neque motus diffor- mis, quoniam maior tanto tardius mouebitur, quanto quod ue- locius mouetur etiam minus erit, tamen proportio uelo citatis ma- ioris ad minorem in æqualibus $patijs uigintiquin cupla, ut ma- ioris ad mediam quintupla, nam cum $it $excupla in ambitu, & tricies moueatur uelocius comparatione totius, $equitur, ut proportio $patij, quod $uperabit media ad $patium, quod $u- perabit maior in ei$dem temporibus, erit quintupla, $emper ad un- guem. Et ita mediæ ad minorem quintupla, & ideò maioris ad <foot>minorem</foot> <p n=>81</p> minorem uelo citas uiginti quincupla, ut non $it difformis, neque pcriculo$a, ut in rotis moletrinis, & $it diui$a per medium iuxta proportionem, cum $it tanto uelo cior minor media, quanto media maiore. Rur$us proportio partium maioris ad mediæ partes tripla e$t $cilicet ccclx ad cxx, & mediæ ad minor&etilde; tripla cxx ad xl, & pro- portio e$t $excupla, iterum igitur partes maioris ad mediam, & me- diæ ad minorem erunt in dupla proportione, utrobi<01>, & e$t pul- chrum. Ideò partes etiam minimæ rotæ erunt $atis magnæ: nam cum diameter $it bes pedis, ambitus peripheriæ erit duorum pe- dum. 1. unciarum uigintiquatuor: igitur diui$a peripheria in xl par- ter, unaquæ <01> pars erit maior dimidia uncia.</P> <head>SCHOLIVM.</head> <P>Et cum defuerit in$trumentum, utemur men$ura expul$u homi- nis de$umpta, $ed non e$t adeò exacta. Accedit aliud commodum, quòd cum in una hora circumuertantur partes xxxvi, id e$t triginta $ex mille: & octauus orbis circumuertatur in totidem annis, tot erunt momenta ex his in una hora, quot anni in uno circuitu $tella- rum fixarum. Vtintelligamus, quàm breui tran$it una hora apud nos, ita apud Deum, utita dicam (nam nulla in infinito proportio) unus annus magnus, & reditus rerum omnium. Comparata etiam rota minima ad rotam moletrini $ic $e habet, quòd cùm modica ad- e$t, uer$atur rota in una pul$atione: cum $atis abundans quinquies, aut $exies cum immodica duo decies.</P> <fig> <foot>Ex hoc</foot> <p n=>82</p> <marg>C<I>or</I>^{m}.</marg> <P>Ex hoc $equitur, quod homo $i moueretur uelo citate motus ro- tæ moletrinæ in $ex eb domadibus perueniret ad $ydus Lunæ, nam rotarum earum, quibus ferrum acuitur $emidimetiens communi- ter e$t bes unius pa$$us, ideò dimetiens pa$$us cum triente: ambi- tus ergo quatuor pa$$us, & xxi pars, colligamus nunc integra, in uno ictu pul$us circumagitur decies, id e$t pa$$us xl, in hora $unt <23> pul$ationes: in hora igitur $patium pertran$itum e$t cxl pa$$uum in M. horis, ergo erunt clx M. pa$$uum addita parte xxi, erunt clxviij M. pa$$uum, & tantum di$tat luna à terra: & M. horæ $unt dies penè xlij, eb domadæ $cilicet $ex.</P> <P>Propo$itio octuage$imanona.</P> <P>Proportionem den$itatis aquæ ad aërem per pondera inuenire.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Contingit hoc multis modis: primum acceptis duabus $phæru- lis æqualibus ex cry$tali$ub$tantia una<03> demi$$a ab alti$sima turri, & men$urato ictu per in$trumentum præcedens, & $ub totidem momentis alia demi$$a in aquam, in de $ub eodem tempore dimen- $a altitudine, erit proportio $patij ad $patium, ut den$itatis aquæ, ad den$itatem aëris. Item emi$$a $phærula per in$trumentum in aërem, in de in aquam: & fumpta proportione. Et uidimus $corpionem, qui $phærulã creteam emittebat pedibus lxx, & in aqua per unum & dimidium adeò, ut proportio fuerit, ut quinquaginta ad unum: ideò e$t fallax experimentum in uiolento motu: nam cum emitte- batur in aquam erat propè, & ob id in $ummo robore: cùm in aë- rem, emittitur $en$im uis. De hoc ergo loquar.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Et erumpentia ob id magis quàm è terra, et minus quàm ex aëre: diuiditur enim aqua cum graue petit fundum, & aqua feruet: & e$t mirabilius, quàm utile.</P> <P>Propo$itio nonage$ima.</P> <P>Rationem impetus uiolenti extra mi$si ponderis ad æqualita- tem reducere.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Sit uiolentum a quod moueatur per b c d e, e $patium, & quia uiolentum contrà nititur naturali, cadat ergo in planum in e: $unt ergo tria con$ideran da, primum quod, ut dixi aliâs, motus uiolen- tus pro certa di$tantia augetur, & cau$am ibireddidi, ut potè u$que ad c, $ed hoc e$$et difficile cognitu. Secundum, quod ubi in cipit de- cre$cere, $emper magis ac magis decre$cit propter naturalem ni- xum contra operantem. Tertium quod ubi de$cendere in cipit, ibi e$t æqualis uis uiolentum motum agens cum naturali. Certum e$t etiam quod motus æqualis intelligitur erecta ad perpendiculum e f, donec occurrat a d: & diui$a tota b f per tempus, locus ergo, in quo mouetur per tantum $patium, dicitur locus motus æqualis: <foot>qui</foot> <p n=>83</p> qui $it gratia exempli g h, cuius medium proportione $it k, di- co k con$i$tere propiorem f, quàm b, etiam$i æqualiter mouere- tur. Primum quòd in tota g f declinat, & totus motus e$t lentior, quàm in tota b g, & tamen tardatur tantundem, ergo per commu- nem animi $ententiam, k e$t propior f, quàm b. Secundò, quia per $ecundum $uppo $itum motus a uer$us f, continuè fit lentior, igitur per communem animi $ententiam multò longius e$t tempus mo- tus a k, quam f, & tanto maius $patium. Tertiò, quia motus ex b uer $us caugetur, & $i e$$et æqualis adhuc multò e$$et breuior k f quam a k, igitur multò magis hoc modo, & triplicata ratione. Si ergo b k <fig> e$$et $exquiquarta $olum ip$i k f, erit b k dupla: fermè ex triplicata ratione ip$i k f, & iuxta eundem modum ponemus mediam uim xlvi pa$sibus à $corpione a quam & hoc modo erit propèid quod e$t.</P> <head>SCHOLIVM.</head> <P>Dubitat autem Philo$ophus in mechanicis quæ nam uis $it, qu&ecedil; moueat lapidem iam excu$$um? & dubium non e$t quin ex parte $it aër motus tum ratione, quia mouetur ergo mouet, tum experimen to, ut in fulminibus, & his quæ uento impelluntur, ut hypophy$is, $ed in $corpionibus & arcubus & pilis id non $ufficere uidetur. Ita- que uelut & caliditas & frigiditas in corporibus natura contrarijs aliquandiu manent, & agunt ita & uiolentos motus, id<03> Alexan- der & Simplicius uolunt. Inditio $unt quòd mota & emi$$a ex lon- gioribus machinis quan quam non aërem continentibus, nec in- anibus tamen, longius eijciunt $agittas & mi$silia, quoniam uis illa firmius imprimitur, uelut etiam de lapidibus & ferro, quod di- utius in igne moram traxit, aut continuè follibus ignitum e$t, nam etiam tanto tardius refrigeratur unum quod que horum, & alia urit & accendit calore illo externo, quanquam natura frigidum $it: di- cemus autem & de hoc $uo loco.</P> <P>Propo$itio nonage$imaprima.</P> <P>Proportionem grauis cubi, & $phærici æqualium in accliui, & de$cen$us eorum demon$trare.</P> <P>Hic non pauca $unt cõ$ideranda: Primum <fig> quòd hoc intelligi pote$t, uel de motibus at- tractionis, uel impul$ionis, uel inuer$ionis. Secundum quod omne, quod impellitur $uperiùs, tantundem gra- uat attractum, quantum ad de$cen$um, $i $it rotundum, nam qua- drata, etiã alia non de$cendunt $ponte in decliui, & $i $it locus ualdè <foot>decliuis,</foot> <p n=>84</p> decliuis, tanto minus de$cendunt, quanto $unt latiora. Quia tamen omnia difficiliùs de$cendunt $phæricis, & facilius quàm in plano, ubi ponderant ni$i per dimidium grauitatis, ideò proportio hæc con$tat ex proportione anguli de$cen$us ad totum rectum, & ma- gnitudine $uperficiei, qua incumbit ad pondus comparata. Omne enim graue, quanto grauius tam ad quietem, quàm ad motum na- turalem potentius e$t: hoc enim per$picuum e$t, quia quieti natu- rali motus uiolentus, & motui naturali quies uiolenta opponitur: quia ergo maiore ui opus e$t ad motum præter naturam, ergo $e- cundum naturam etiam maiore ui quie$cit. A$$ump$imus ergo cu- bum, ut magis notum. Sphæra igitur in omni decliui de$cendit, quia ut dictum e$t, nil habet quod re$i$tat ad motum: & ip$a gra- uior e$t in decliui, quàm in plano, quia c pun- ctus cadit ultra e, ergo punctus contactus, & <fig> centrum grauitatis, & centrum mundi, non $unt in una linea. Si enim b c contangeretur, e$$et b c plana. Si uerò tangit, angulus e$t maior angulo contactus, ergo cum nece$$arium $it, æquidi$ta- re aliter non e$$et $phæricum, oportet, ut eleue- tur ex parte c, & de$cendat uer$us b, & ideò ut continuetur motus. Si uerò $it in linea conta- ctus b c f, & æquidi$tet non erit, ut dixi punctus contactus in linea centrorum, $ed in a c, cum $uppo$itum $it lineam a d e$$e lineam centrorum: maior e$t ergo portio g c e, quàm re$i- duum, ergo de$cendet in b. Cubus uerò non de$cendet, ni$i cum di- midium d addito, quod inter cipitur inter lineam mediam, & quæ à centro mundi ad punctum medium contactus u$<01> quò perueniat ad oppo$itam partem, eam habuerit proportionem ad idem me- dium eadem portione detracta, quem iuncta proportioni an guli declinationis ad re$iduum recti dimidiam proportionem efficiat. Eadem<03> ratio aliorum planorum. Dico præterea quòd motus $phæræ, & etiam corporum rectarum $uperficierum in de$cen$u alius e$t æqualis, & alius inæqualis, & qua$i à latere, uelut $i angu- lus unus prolabatur, ac fiat circumuolutio: cum ergo facilius fiat hoc, & maximè $i non retineatur æqualiter, & difficile $it in medio retinere, propterea prolap$us hi melius retin&etilde;tur duobus uinculis, quàm in medio, non $olum ob hanc æqualitatem, & complexum meliorem, $ed etiã, quod omnes motus, omnes ponderum nixus fa ciliùs cohibentur, & deducun&ttilde; diui$i in partes, <08> $i toti contin ean&ttilde;, aut ui trahãtur. Et ideo uin cula in rami cibus duplicia dextra, & $ini $tra $cilicet in ead&etilde; parte tamë longe $unt meliora etiam ferreis, quæ $olum in medio nectantur.</P> <foot>Ex hoc</foot> <p n=>85</p> <marg>C<I>or</I>^{m}. 1.</marg> <P>Ex hoc etiam $equitur, <fig> quod cùm omne graue $pontè $emper appropin- quet centro mundi, & a $i moueretur per planum e, magis remoueretur à cen- tro mundi, ut per e c per ea quæ diximus, & quoniam linea ex centro mundi ad c longior e$t, quàm ad e, multò pote$t enim e$$e, ut in proportione diametri quadrati ad latus eius, & ctiam maior. ergo poterit e$$e adeò parum decliuis linea c d, ut c punctus ma- gis di$ter à centro mundi, quàm d, & tamen feretur ex d in c motu naturali, ut demon$tratum e$t, ergo per purum mo- tum naturalem poterit a remoueri à centro mundi. Hoc uolui pro- ponere, ut intelligeres in plano uero c e non moueri a $ponte, quia c nece$$ariò altior e$t d: $i ergo mouebitur, non erit c e recta, $ed pars proportionis circuli $uperficiei terræ, quæ $en$u à recta di$tin- gui non poterit. Hoc ergo e$t primum, ex quo $equitur.</P> <marg>C<I>or</I>^{m}. 2.</marg> <P>Quod aliquid poterit uideri decliue, in quo non de$cendet imò erit, ut potè $i aliqua linea obliqua e$$et inter c e, & f e, illa e$$et decli- uis $pecie, & re, & tamen graue in illa non de$cenderet, quia à cen- tro mundi magis remoueretur: hoc tamen e$t perdifficile factu, & maximè in parua di$tantia, uel etiam unius miliaris. Atque hæc in leuigatis.</P> <P>Propo$itio nonage$ima$ecunda.</P> <P>Propprtionem ponderis æqualis iuxta longitu dinis compara- tionem demon$trare.</P> <fig> <P>Hoc e$t, quod Archimedes reliquit <marg>C<I>om.</I></marg> intactum, cum e$$et maximè nece$$a- rium, & o$tendit magis ab$tru$a, $ed pace illius dixerim minus utilia. Cum ergo $ump$i$$em uirgam b f ponderis unciarum xxiij, fui$$et b a uige$imaquarta pars, b f fuit pondus æ- quilibrij in b appen$um librarum uiginti$ex cum dimidia: fuit igi- tur proportio ponderis e f ad pondus f b, ut tredecim ferme ad <foot>H unum.</foot> <p n=>86</p> unum. Et rur$us feci a b quintam partem a f, & fuit a b unciarum quatuor, & pondus quod æquauit librarum quatuor, ideò du- plum ad pondus b f, $icut c f ad c b: con$tat enim quòd pondus ap- pen$um e$t æquale ponderi cf. Et rur$us po$ui b a quartam partem b f, & fuit pondus, quod æquauit in b duæ libræ: ex quo manife- $tum e$t, quòd proportio c f ad c b e$t $emper uelut ponderis c f ad totam b f. Et hoc e$t, ac $i dicamus, quòd proportio ponderis c f ad totam e$t confu$a ex proportione e f ad c b, & c f, quod e$t 1 p. Id <marg>E<I>x</I> 18. <I>diff.</I></marg> etiam declaratum e$t in primo de Subtilitate. Proponatur ergo lemma, iam $ic proportio ponderis cf ad pondus b c, e$t primum ut longitu dinis cf, $i e$$et $u$pen$a in medio ad longitudinem b c, quia $upponuntur proportione $imiles $uis longitudinibus ma- gnitudines, & pondera. At c f $u$pen$a in c, tanto e$t grauior pon- dere proprio, quanto proportionis longitudinis cf ad cb quadra- tum, quia in $e ducitur proportio: igitur proportio ponderis c f in loco $uo ad b c pondus e$t confu$a ex proportione longitudinis cf ad c b, & quadratis eiu$dem proportionis longitudinis cf ad c b. Sed quadratum proportionis longitudinis cf ad cb e$t æquale producto proportionis longitudinis c f in ip$am c f, propterea quòd ex proportione longitudinis cf ad cb in ip$am c b fit c f, igi- tur proportio ponderis c f ad pondus c b e$t confu$a ex propor- tione ponderis c f ad pondus c b, & proportione ponderis cf alicu ius $e habentis ad pondus cf, ut cf longitudo ad longitudinem c b, igitur proportio ponderis cf ad pondus b f, ut cf ad c b in lon- gitudine, quod erat probandum.</P> <P>Propo$itio nonage$imatertia.</P> <P>Propter quid in concu$sione etiam leui nauis loco moueatur o$tendere. Vnde manife$tum e$t, duas naues $ibi inuicem occur$an tes retrocedere, & quantum retrocedant ambæ.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Proponatur, quod proportio motus grauis in a d graue in aqua $it, uelut proportio ponderis attracti in terra ad den$itatem aquæ cum profunditate, nam ubi pondus $upernataret aquæ, quia aqua e$t rotunda, e$t ac $i tangeret in puncto. Quare per demon$trata $u- periùs mouebitur à quacun<01> ui, ergo nixus contrarius aduenit ob <marg>P<I>ropo$.</I> 40.</marg> profunditatem, & aquæ den$itatem, $ed quanto aqua den$ior e$t, tanto minus nauis de$cendit, & quanto minus den$a, tanto magis: ergo pari modo fermè redduntur mobiles, & in aqua dulci & $al$a, ubi naues $int $imiles forma, pondere, magnitudine. Quia crgo ne- ce$$e e$t tabulam nauis e$$e duriorem, quam aqua ad re$i$tendum, ergo pars maior ictus mouebit primo nauim, quam tabulam pe- netret, cum ergo quod facilius e$t, præcedat, difficilius ergo naues <foot>utrin<01></foot> <p n=>87</p> utrin<01> mouebuntur, & quia inter duos quo$cun<01> motus contra- rios nõ e$$eos, ut utar uocabulo Auerrois quinto Phy$icorum, ne- ce$$e e$t, ut intercedat quies media, & in quiete ab ictu, ut ui$um e$t $uperius, oportet, ut quod excipit ictum uelloco moueatur, uel ce- <marg>P<I>ropo$.</I> 74.</marg> dat, & ictus penetret, uel aër non conden$etur ob tarditatem ultra metam, nec retro cedere pote$t ex $uppo$ito, & ictus e$t magnus, clarum e$t, quod oportet, ut cedat, & $i durum $it confringatur. Proportio ergo rece$$us ad ictum e$t ut temporis, & magnitudinis partis, quæ cedit, & retro ce$$us po$ito ictu tanquam monade.</P> <P>Propo$itio nonage$imaquarta.</P> <P>Si quantitas aliqua nota at<01> proportio erit producta quantitas nota $imiliter. Et $i duæ proportiones notæ fuerint, erit producta ex his at<01> diui$a, coniuncta<03>, at<01> detracta nota. Et $i fuerit totius ad partem proportio nota erit, & ad aliam partem nota, & alterius partis ad alteram uno minor. Et $i fuerit partis ad partem, erit ad to tum monade minor at<01> nota. Et $i fuerit unius quantitatis ad duas quantitates proportio nota, erit & confu$a ex eis nota. Et $i fuerint trium quantitatum omiologarum, aut quatuor analogarum, o- mnes præter unam cognitæ erunt, & illa alia cognita.</P> <fig> <P>Sit quantitas a b & ducta in d proportionem, <marg>C<I>om.</I></marg> producat b c: dico quod duobus quibuslibet ex his cognitis, erit cognitum tertium: nam cogni- tum quodlibet dicitur in comparatione ad $impliciter cognitum, quod e$t unum per $e omnibus cognitum. Ob id Arithmetica e$t prima omnium di$ciplinarum, quia habet principium cognitum, & id, quod e$t, ad principium comparatum cognitum in illius com paratione: ne<01> aliter cognitum dici pote$t. Quia ergo d cognita e$t, erunt monades, & partes cognitæ in ea: aliter non e$$et cognita b a, igitur cum cognita $it, erit cognita per $ingulas monades, quan ta $it. Et $i diceres quòd b a non e$t cognita per partem monadis: dico quod pars monadis non e$t incognita, quia cum monades $unt cognitæ, e$$et d incognita. Omnes enim, quod componitur ex cognito & incognito, e$t incognitum, quia cognitum $olum ratio- ne partis cognitæ. Si ergo pars monadis e$t cognita, erit pars a b quælibet prout ex monade componitur $impliciter cognita. Su- <marg>E<I>x $ecunda animi com- muni $enter tia.</I></marg> pere$t, ut $olum pars partis: & dico quod illa etiam e$t cognita: quia $i pars ab e$$et, monas e$$et cognita: e$$et enim pars ip$a.</P> <P>Sed $i $it pars, erit $umpta $ecundum partem monadis ip$ius, ideò erit cognita iuxta nomen, uelut dimidium e$t dimidium mo- nadis, dimi dium tertiæ partis monadis e$t cognitum, quia tertia pars e$t cognita, & $cimus, quanta pars a$$umatur illius. Ergo $i a b, <foot>H 2 & d</foot> <p n=>88</p> & d cognitæ $unt erit & b c, quod e$t primum. Per hæc eadem pro- bantur quatuor $equentes partes eodem modo. Sexta $ic: $it pro- portio a c ad c b, nota igitur in comparatione ad monadem, $ed pro portio a c ad c b b a e$t monas, igitur proportio a c ad a b nota e$t, quoniam aliter non po$$et dici proportio a c ad b c nota. Aliter, $it proportio a c ad c b e nota, ex $uppo$ito igitur conuer$a nota quæ $it f ex f, igitur in a c fit b c ex g in a c, fiat a b ergo ex a c in f g fit a, cigi tur f g e$t monas, f autem nota e$t, igitur in comparatione ad mona- <marg>P<I>er demon- $trat.</I> 12. P<I>ropo$.</I></marg> dem, ergo re$iduum g notum. Cum uerò proportio a c ad c b com- ponatur ex proportione a b b c ad b c, & proportio b c ad b c $it monas, & proportio a c ad b c nota, erit proportio a b ad b c cogni <marg>P<I>er</I> 11. P<I>et.</I></marg> ta, & monade minor proportione a c ad b c. Per idem octaua pars <fig> demon$trabitur. Inde $it proportio a ad b, & ad c no- ta, erit ergo b, & c ad a nota, quare b c ad a nota, $ed <marg>E<I>x demon$t.</I> 12. P<I>ropo$.</I></marg> hæc e$t conuer$a ad b c confu$a, igitur proportio a ad b confu$a nota e$t. Vltimum $it, $int a b c omiologæ, & $int a & b <marg>P<I>er</I> 14. P<I>ropo$.</I></marg> notæ duo, quod c nota e$t, nam a b, $i notæ $unt, nota e$t proportio earum. Ergo & proportio b ad c ergo per primam partem huius <marg>P<I>er</I> 3. P<I>etit.</I></marg> cum $it b nota, exit & c. Et $i ponantur a c notæ, dico, quòd b nota erit: nam proportio a c ad c nota e$t, quæ $it d, igitur d ad monadem ut a ad c, ergo latus notum erit, quod ductum in c producit b, b igi- <marg>E<I>x</I> 2. A<I>nimi $ententia.</I></marg> tur nota. Et $imiliter in analogis $int a b c notæ: & ideò erit propor- tio a ad b nota ergo c ad d. cum<03> c nota $it, ergo per primam par- tem huius erit d nota, quod fuit demon$trandum.</P> <P>Propo$itio nonage$imaquinta.</P> <P>Cuiu$uis trigoni rectanguli, aut cuius duo anguli $int in dupla proportione, aut qui circulo in$criptus $it cognita quantitate uni- us lateris in comparatione ad dimetientem $i proportio duorũ la- terum cognita fuerit, erunt omnia eius latera cognita.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Non de cognitione <04>pinqua a$tronomorũ, de qua abundè ab Heber tractatum e$t, $ed de exacta, de qua $uperius egi nunc $ermo <marg>P<I>ropo$.</I> 97.</marg> e$t: $it igitur primum a b c trigonus orthogonius: & $it a rectus, & <04>portio duorũ laterum cognita, dico, quod omnia latera cognita <marg>P<I>er</I> 47. <I>pri mi</I> E<I>lement.</I></marg> <fig> erunt: nam $it proportio, gratia exempli, a b ad b c, erit ergo quadrati a b ad qua- dratum b c cognita, quia duplicata: at quadrata a b, & a c perficiunt quadratum b c, igitur proportio quadrati a b ad a c et e$t 1 p: cognita erit, quare & a b ad a c, & eod&etilde; modo a c ad b c: quod e$t primum. Exemplum, ponatur b c dupla a b, erit a b quadratum $ub quadruplum quadrato a b quare $ubtriplum quadrato a cigi- <foot>tur $i</foot> <p n=>89</p> tur $i a b ponatur 1 b c erit 2, & a c <02> 3. Rur$us ponatur angulus b duplus angulo c quali$cun<01> $it, erit per demon$trata $uperius pro- portio a b b c ad a c, ut a c ad a b, $i igitur nota $it proportio a c ad a b, erit nota proportio a b b c ad a b per præcedentem. Ergo per eandem omnia nota $cilicet b c ad b a, & b c ad c a. Et $i e$$et nota proportio a b ad b c, dico, quod e$$ent nota omnia, nam nota e$$et a b, & b c, & quod fit ex a b in ip$um aggregatum. Sed hoc e$t æ- <marg>P<I>er</I> 17. <I>$ex ti</I> E<I>lem.</I> P<I>ropo$.</I> 17.</marg> quale quadrato a c, igitur notum e$t quadratum a c ergo a c: igitur <04>portio a b b c ad a c, & a c ad a b. Vt $i a b e$$et 4 b c 5, e$$et a b b c 9 ducta in a b, quæ e$t, fit 36, cuius latus e$t b a c $cilicet. Et $i e$$et trigonus aliquis in cir culo, cuius proportio duorum laterum $it co gnita ad dimetientem relata, $equitur per demon$trata $upe- rius, quod etiam tertium latus erit cognitum in comparatione ad eadem, & ideo etiam proportio illorum laterum ad unguem co- gnita erit.</P> <P>Multa præterea cognita e$$ent in hoc genere, quæ nunc præter- <marg>C<I>or</I>^{m}.</marg> mitto, quia non $unt ad finem nece$$aria. Alia præterea per diligen- tem inqui$itionem maioris artis quàm alias edidimus. tum uerò etiam per nouas demon$trationes.</P> <P>Propo$itio nonage$ima$exta.</P> <P>Cum in per$picuum den$um radij lumino$i in ciderint, quatuor fiunt luminis genera.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Sit $ol a, & per$picuum den$um, exempli gratia, ut ampula magna aqua plena b c d, & $i $it rotunda accendit ignem ex ad- uer$o ut in e. Dico ergo in b c d e$$e quatuor genera luminis. Pri- mum quod e$t ualidius, & rectà tran$it, ualidius enim e$t, quod tran$it quàm quod tran$ire non pote$t, & etiam quia, ut dixi, ignem accen dit. Secundum e$t quod colligitur in ampula, & dein- de $pargitur circũcircà, nam id ualidius e$t, quia penetrat, & re$ilit quàm quod non penetrat, aut $i penetrat, non $pargitur, & hoc dif- funditur circa uas, necreflectitur rectè, $ed qua$i intro colligitur, & diuer$a ratione diffunditur, e$t tamen imbecillius primo, ut dictum e$t. Tertium genus e$t, quod illuminat intus ingrediendo, $ed non $pargitur, & hoc e$t debilius $ecundo, quia nõ pote$t $pargi. Quar- <fig> tum e$t, quod non ingreditur omnino, $ed refle- ctitur, i$tud e$t ab$<01> dubio imbecillimum, quo- niam penetrare non pote$t. Et licet in $peculis concauis radius reflexus uideatur e$$e ualidior, $tatim enim accendit ignem, hoc non contin- git, ni$i quia in $peculo cauo radij omnes col- <foot>H 3 liguntur</foot> <p n=>90</p> ligun&ttilde; ob opacũ, quod à tergo e$t, ne<01> $pargun&ttilde;, ne<01> tran$eũt, ne<01> combibuntur, ut ita dicam $ed omnes reflectũtur. Ex quo colligitur quin cuplex ordo radiorum iuxta rationem uirium, primus e$t refle xorũ à $peculo cõcauo, & hi $unt pot&etilde;ti$simi ob ration&etilde; dictã, po$t quos $unt radij, qui tran$eunt per per$picuum maximè rotundum, qui & ip$i generant ignem, & debiliorem primo, deinde reliqui tres $equentes $upradicti. Sextus e$t radiorum, qui reflectuntur à rebus non nitidis, ut à muris, & tabulis, nam omnia dura reflectunt & etiam mollium plera<01>, & hæc reflexio e$t fermè infinita, & ob id cubicula etiam in angulis illuminantur.</P> <marg>C<I>or</I>^{m}. 1.</marg> <P>Ex hoc $equitur, quòd Luna remittit lumen, non reflectit, nam $ecus non illuminaret to tum orbem, $ed $olum portionem oppo- $itam Soli, & hoc etiam rarò, ergo combibitur, & illu$trat circun- circa ubi<01>.</P> <marg>C<I>or</I>^{m}. 2.</marg> <P>In $tellis lumen Solis pertran$it aliter, $i reflecteretur, non illumi- naret nos, aut apparerent, uelut cometæ, quia pars una e$$et clarior reliqua, & $i conbiberent lumen, non uiderentur æquè claræ, cum Sol e$$et propinquus, aut remotus.</P> <marg>C<I>or</I>^{m}. 3.</marg> <P>Luna tota intus illuminatur à Sole, quoniam $i ante coniun- ctionem illuminatur à $ini$tra parte, & combibit lumen per cor- rolarium primum, & po$t coniunctionem illuminatur à dex- tra, & combibit pariter lumen, ergo e$t tota naturæ per$picuæ, $ed uidetur ob$cura ex aduer$o, propterea quòd radij ualidiores refle- xi illu$trant illam ex parte Solis, diffugiunt à contraria, quod ma- nife$tè apparet in ampula expo$ita Soli. Pars enim clarior uer$us Solem uidetur, quam ex aduer$o, hoc autem longè magis in Luna ob di$tantiam.</P> <marg>C<I>or</I>^{m}. 4.</marg> <P>In omni Solis eclip$i fit colectio radiorum ad a$pectum, & ideo in regione illa, in qua centrum Solis integitur à centro Lunæ, & ubicun<01> fit, fit in cendium per tertium corrolarium. Hoc autem fit $emper in quauis coniunctione, & dum Luna $ilet in regione ae- ris, $ed terris non $e cundùm centrum, uerùm ad latitudinem, & ad Orientem ante coniunctionem cum Sole, & ad Occidentem po$t: $ed centra non $unt in linea ui$us.</P> <marg>C<I>or</I>^{m}. 5.</marg> <P>Ex hoc $equitur, quod oportet $ub$tantiam Lunæ e$$e ualde cla- ram, cum uideamus ab ampula tam paruum lumen diffundi, & ra- rum, à Luna uerò in uniuer$um orbem, & tam copio$um, ut nece$- $arium $it $ub$tantiam Lunæ e$$e den$am, & lucidam ualde.</P> <head>SCHOLIVM.</head> <P>Et $i quis dicat, quòd $i in cendium illud fieri po$$et in hora ecli- p$is, $equeretur, quòd ut in ampula in medio Lunæ uideretur ma- <foot>gnus</foot> <p n=>91</p> gnus $plendor, referens corpus Solis. Propterea dico, quòd uel ac- eidit, quia homo non pote$t ea hora intueri Solem, & etiam e$t im- peditus à radijs circum$tantibus, cuius indicio e$t, quod in $pe- culo po$ito in aqua, $imile uidetur $tellulæ in centro Lun&ecedil;: & hic e$t $plen dor Solis collectus in centro Lunæ. po$$et etiam dici, quòd Luna circa medium propter maculam non admitteret lumen, & ita e$$et inæqualium partium.</P> <P>Propo$itio nonage$ima$eptima.</P> <P>Motum inuer$ionis in figuris in comparatione ad motum $phæ ræ in plano inue$tigare.</P> <marg>C<I>om.</I></marg> <P>Voco motum inuer$ionis, qui $imilis e$t motui $phæræ, $cili- cet circumuertendo graue à uertice, & manife$tum e$t, quòd in quacunque figura, qua graue in$idet plano per punctum ue- <marg>P<I>er</I> 40.</marg> lut ouata ip$um mouetur à quauis ui, $ed $i in$ideat per $uperfi- ciem, quanto maior e$t, & humilior, tanto difficilius mouetur, ideò in corpore uiginti ba$ium, quòd inter regularia uocata, plu- res habet, $uperficies pro ratione æqualis ponderis, motus erit longe facilior. Alia cau$a e$t inæqualitas partium, unde quæ ro- tunda $unt, quia prominent, facile mouentur, & cum partes me- diæ in$i$tant plano, quanto minores erunt tanto facilius moue- buntur ratione ponderis. Vnde patet, quòd corpora ouata faci- lius mouentur, etiam quàm $phærica, habent enim partem me- diam minorem, & paria $unt ratione ince$$us plani, $ed aëris mul- titudine tardius, quoniam enim $phæra $ub æquali ambitu plus continet corporis, ergo ouatum æquale $phæræ habet maio- rem ambitum ip$a $phæra. Hæc autem à Theone partim de- mon$trata $unt, partim ab Archimede, & partim à nobis, ergo motus ouati e$t fermè æqualis motui $phæræ, & tardior e$t con- <fig> citatus, quàm $phæræ, quia à ma- iore excipitur aëre, & partes exte- riores non ita incumbunt in me- dium $ecundum longitudinem. Cu- bus uero tardior e$t propter æqua- litatem, & latitudinem $uperficiei in- ferioris, omnium aut&etilde; minime pro- pter has cau$as conus ambligonius, & quanto magis fuerit, ratio uero eleuationis e$t, ut $it cubus b c, cuius medium grauitatis $it b $uper pla- <foot>H 4 no de,</foot> <p n=>92</p> no de, & eleuetur ex a, & manife$tum e$t, quod in$idebit per totam lineam c f ip$i plano, & proportio grauitatis totius $u$pen$i in com paratione ad grauitatem eius, qui inuertit, e$t, uelut proportio par- tis terminatæ ad lineam c f uer$us eum, qui eleuat ad partem, quæ ultra e$t, cum uerò hæ partes notæ $int iuxta perpendiculum ex centro grauitatis, manife$tum e$t, quod $ciemus pondus corporis a b cf, dum inuertitur in quo cunque $itu ad pondus eius, dum $u- $penditur, & clarum e$t, quòd cùm centrum, & medium grauitatis fuerint in una linea per c f, tunc nulla erit grauitas.</P> <P>Propo$itio nonage$imaoctaua.</P> <P>Proportionem ponderum æqualium per differentiam angulo- rum inuenire.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Sit a b, quæ $i appen$a e$$et ad æquidi- <fig> $tantem terræ $uperficiei, nulla ui po$$et ele <marg>P<I>er</I> C<I>or</I>^{m}. 2. 45. P<I>ropo$.</I></marg> uari, inflectatur ergo ad c punctum, omi$$a c g, & manife$tum e$t, quod $i b c in$i$teret <marg>P<I>er</I> 86. P<I>ropo$.</I></marg> ad perpendiculum, ponderaret a c $i e$$et in æquilibrio, ponatur ergo accliuis in c d per notum angulum. Quia igitur b c ad c a no- ta e$t, erit dicta $uperiùs notum pondus b h, po$ita h c æquali c a, quare totius a b, & iam fuit e k notum, & punctus d notus: hoc enim infrà demon$trabitur, qualis igitur proportio lineæ <marg>P<I>ropo$.</I> 99.</marg> tran$uer$æ dl ad lineam de$cendentem d m, talis differentiæ pon- derum c m, & c e, id e$t partis ad partem. hæc autem inferiùs de- mon$trabuntur. Neque enim ab$urdum e$t in materijs mi$tis, ali- <marg>P<I>ropo$.</I> 97.</marg> quando uti nondum demon$tratis cum fuerint mathematica, quia obtinent principij rationem, quod etiam facit Archimedes. Ma- nife$tum e$t autem, quod in angulo m c d recti dimidio, propor- tio media erit. Sed hoc bifariam contingere pote$t $cilicet, ut $it media, per quantitatem, & per proportionem, e$t autem media, ut <marg>P<I>ropo$.</I> 98.</marg> demon$trabitur infrà $ecundum proportionem l d ad l e, propo- natur ergo c e b, erit latus quadrati <02> 72, igitur latus octogoni e$t <02> v: 72 m: <02> 2592, & latus re$idui <02> v: 72 p: <02> 2592. quadrata er- go partium ba$is differunt in <02> 10368. Quare partes ba$is $unt 6 p: <02> 18, & 6 m: <02> 18 $cilicet l e, l d autem e$t <02> 18, igitur differen- tia, & proportio e$t, qualis <02> 18 ad 6 m: <02> 18 fermê, ut 17 ad 7, & ta- lis e$t proportio ponderis c d ad pondus c e ratione in crementi, $eu differentiæ. Vt $i pondus in c e e$$et decem librarum in c in <foot>quadra-</foot> <p n=>93</p> quadraginta erit in c d triginta unius cum quarta, $ed proportionis ratione e$$et uiginti octo cum tertia.</P> <P>Propo$itio nonage$imanona.</P> <P>Proportionem grauitatum per multitudinem $uppo$itorum or bium o$tendere.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Omne, quod mouetur, mouetur $ecundum naturam ponderis, quæ in attractione, ut demon$tratum e$t, æqualis e$t dimidio $u- $pen$i, cum ergo diuidatur in multiplices partes motus uniu$cuiu$- que, e$t $ecundum dimidium illius partis, ut, $i $int $ex rotæ in cur- ru det, quod uehitur, $it pondus $exaginta librarum, unaquæ que <marg>P<I>er</I> 40.</marg> rota habet pondus quinque librarum, $cilicet diui$o triginta per $ex, & quia quod cunque mouetur $phæricè non habet pondus, ni$i quantum premitur axis, ideò pondus $exaginta librarum in uehendo red ditur læ$us, quanto proportio producta minor e$t additione. Exemplum, $it deductum pondus $exaginta librarum per $ex rotas ad uigintiquatuor, quia $i rotæ po$$ent circumduci, ut in inuer$ione dictum e$t, & e$$ent æquales, & in $olido æquali, ac duro, nulla ui mouerentur, $ed qua$i per $e, ergo $uppo$ito pon- dere uiginti quatuor librarum a$$umemus unamquam<01> partem, & ducemus eam in $eip$am, $cilicet detraham quintam partem ex toto 30, fit 24, duc 30 in $e, fit 900, duc 24 in $e, fit 576, proportio ut 25 ad 16, at diui$o 30 in $ex partes, fit 5, detrahe quintam partem, fit 4, duc in $e, fit 16, duc in $ex, fit 96, igitur proportio 900 ad 96 e$t ut 25 ad 2 2/3, quod ergo erat 16 factum e$t 2 2/3, proportio ergo de- cre$centis maior e$t diui$o per plura. Sed plerunque additis ro- tis cre$cit pondus nihilo $ecius, redditur etiam leuius. Sed & de hoc in $equenti.</P> <P>Propo$itio cente$ima.</P> <P>Proportionem grauitatis ponderum attractorum per trochlea- rum numerum inue$tigare.</P> <marg>C<I>om.</I></marg> <P>Ari$toteles in Mechanicis cen$et cau$am leuitatis trochlearum <marg>I<I>n</I> M<I>echan.</I> Q<I>uæ$t.</I> 18.</marg> e$$e in pondere eleuando, quòd pondera auxilio uectium facilius mouentur, quàm manibus. Rotulæ uerò in trochleis uectes $unt, & axis mi$ta hypomochlij, ergo facilius pondus trahitur per u- nam rotulam, quàm $i manu traheretur, at uerò per duas tres, unde tris pa$$us longe facilius, & etiam facilius per quinque, unde pentas pa$$us, nam quinque orbiculis, qua$i totidem uectibus diui$um pondus manife$tè fit leuius, & ut dictum e$t, tanquam totidem uectibus pondus eleuatur, e$tqúe proportio produ- <foot>cta,</foot> <p n=>94</p> cta, $emper<03> prior hypomochlij locum habet, ueruntamen minus a$$umit laboris, po$terior uerò uectis maiorem partem $ibi ponde- ris $eruat, uelut in $uccula etiam iugum traiectum per plures colo- pes facilius uertitur. Et $i quis dicat nónne totum pondus in$idet prim&ecedil; trochleæ per trochleam, intelligo nunc $olùm rotulam cum ip$o axe, $eu axiculo (ut dicunt) non autem in proprio $ignificato, in quo etiam funis traiectus, & in$idens rotulæ, $eu rotulis, nam una trochlea plures continere'pote$t orbiculos, & axes. Licet ergo pondus in$ideat primæ trochleæ, $eu rotulæ, in eo tamen, quod tra hitur, diuiditur', licet non æqualiter dico, præter id funis motum intendi. nam motus actionem auget, & ideò quanto longior, eo fa- cilius mouet ob con cu$sionem, demum quia leuis e$t rotula circa axem, ut plus uecte po$sit.</P> <P>Propo$itio cente$imaprima.</P> <P>Proportionem precij gemmarum ex tribus in eodem genere co gnitis inuenire.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Solent gemmarij uendere adamantem ponderis unius grani uno coronato, duorum autem granorum tribus coronatis, qua- tuor autem, gratia exempli, quadraginta coronatis, qu&ecedil;ritur quan- tum ualebit adamas octo granorum, quoniam ergo proportio non $eruatur. E$t enim in pondere utraque dupla, in precio autem ex prima habetur tripla, ex $ecunda habetur proportio maior, quàm tredecim ad unum, propterea utendum e$t proportione propinquiori, $i $atis faceret. gratia exempli, in prima ad ditione fuit unum granum, & acqui$iuit proportionem triplam, in $ecunda fue runt duo grana, $i ergo acqui$i$$et $olum $excuplam proportio- nem, haberemus intentum. Propterea in i$to ca$u oportet demon- $trare forma Geometrica, $uppo$ito, quòd $it figura recta ex uno la <fig> tere a b, ita ut angulus, uel minimus capiat b c æqualem a b, & ex æquali b a c addito fiat b d tripla b c, & ex angulo b a e duplo b a d, fiat b c d e quadragintupla a b, & iuxta rationem erit in infinitum. Siue $it parabole, $iue hiperbole, $eu $it alia coincidentium.</P> <foot>SCHOLIVM</foot> <p n=>95</p> <head>SCHOLIVM.</head> <P>Et nota, quòd $i res hæc e$$et naturalis, o$tenderet infinitum in rebus ex regula dialectica, $ed quia ex uolũtaria, nullas habet uires.</P> <P>Propo$itio cente$ima$ecunda.</P> <P>Proportionem motuum inuer$ionis, & attractionis in plano inuenire.</P> <P>Et $it, ut aliquid inuertatur, declaratum autem e$t $uprà, quid $it <marg>C<I>o</I>_{m}.</marg> inuer$io, & quàm diuer$a $it rur$us, & quòd attractio e$t dimidium <marg>P<I>ropo$.</I> 89.</marg> ponderis eleuati. Cum ergo con$tet in inuer$ione, quanta $it pro- portio ponderis $u$pen$i ad pondus inuer$um, & pondus $u$pen$i <marg>P<I>ropo$.</I> 62.</marg> $it duplum ponderi attracti, $equitur, ut diuifa proportione ponde ris $u$pen$i ad pondus inuer$um per medium cogno$catur propor tio attractionis ad inuer$ionem.</P> <P>Ex hoc $equitur, quod aliquod pondus trahi pote$t, quod non <marg>C<I>or</I>^{m}.</marg> pote$t inuerti, hoc autem indigetlonga declaratione, quam doce- bimus inferiùs: & tamen attigit hocrarò.</P> <P>Propo$itio cente$imatertia.</P> <P>Proportionem eorundem in accliui demon$trare.</P> <P>Dupliciter pote$t intelligi, uel de$cendendo, uel a$cendendo. <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <marg>P<I>ropo$.</I> 72.</marg> Sed ego nunc loquor de a$cen$u, contraria ratione intelliges de de$cen$u, & circa inuer$ionem demon$trata e$t proportio eius iuxta angulum a$cen$us, & $imiliter declarabitur de proportione <marg>I<I>n $equenti.</I></marg> attractionis iuxta eundem angulum a$cen$us, & nuper declarata e$t proportio inuer$ionis in plano ad attractionem, ex quibus $e- quitur per ea, quæ dicam inferius, quòd proportio cuiu$uis mobi- lis inuer$i ad attractum $ub quibu$cun <01> angulis nota erit.</P> <P>Propo$itio cente$imaquarta.</P> <P>Proportionem motus attractionis in decliui ad motum in pla- no determinare.</P> <P>Si ab accliue, $eu decliue in quo d ad attra- <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <marg>E<I>x</I> 62. & 64. P<I>ropo$.</I></marg> <fig> hendum, cuius nota e$t ex $uperioribus dif- ficultas in plano ratione figuræ con$tante, er- go ea quæritur proportio a$cen$us, & quo- niam terminus ad perpendiculum e$t dupla proportio, & iam grauitas in plano e$t dimidium, ideò quicquid acquiritur in eleuatione e$t in comparatione ad illud dimidium, cum ergo attractio $ecundum eandem proportionem augeatur, er- go $emper maior difficultas augebitur, ergo ab initio minimum <foot>erit</foot> <p n=>96</p> erit di$crimen ab attractione in plano. Exempli gratia $it, ut graue d in plano $it, ut quin <01>, & $u$pen$um decem, ergo in medio angulo erit penè $eptem, $ed $eptem minus longe di$tãt à quin <01>, quàm de- cem ad $eptem, ergo in $ecunda parte plus longè augebitur difficul tas attractionis $upra difficultatem in medio angulo accliui, quam in prima parte à plano ad medium accliue, & quoniam planum in plano de$cendit, tanto uehementius, quanto difficilius attrahitur, ergo planum in decliui $ublimi longe maiore impetu feretur infrà quam $it proportio anguli ad angulum. Exempli gratia, planum in medio angulo, $i incipiat de$cendere in dodrante multo lentius, quàm pro dimidio uirium de$cen$us totius anguli, imò initium de- $cen$us e$t à medio recti ad unguem, ubi omnia plana $int, & duri$- $ima, & cau$a huius e$t, quia omne graue tendit ad centrum, quòd maior pars ip$ius grauis e$t ultra medium grauitatis in decliui humiliore.</P> <P>Propo$itio cente$imaquinta.</P> <P>Proportionem ferentium pondus in pertica inuenire.</P> <fig> <P>Hæc proponitur etiam à Philo$o- <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> pho, & ponatur ab, & $i pondus $it in <marg>Q<I>us$t.</I> 59. M<I>echanic.</I></marg> medio d grauat æqualiter utrunque, nam in hoc con$entit experimentum cum ratione, at uerò $i ponatur in cita, ut b c $it tripla b a uiderentur a & b, tanquam hypomochlia, & pon <marg>P<I>ropo$.</I> 45.</marg> dus ip$um b, ut grauior e$$et cb, quam c a. Ari$toteles, $eu author ille hoc uidens bifariam re$pondet: primum quòd hoc e$t inuer- <marg>P<I>rop.</I> 103.</marg> $um in$trumentum, cum in cæteris motor $it ex aduer$o hypomo- chlij, hic in ip$o, ge$tans enim mouet & hypomochlij in$tar e$t hu- merus. At hoc uerum non e$t: quod mouet enim e$t pondus, & e$t in c: nam a, & contingit moueri: quia $i $tarent, idem $equeretur. Se- cunda re$pon$io e$t, quod utrun <01> premit $cilicet ferentes & pon- dus, & quòd qui longior e$t ab hypomochlio facilius mouet, & redit ad idem fermè: nam in c con$tituitur, quod moueri debet, ca- pita uectium $unt a, & b: motus autem e$t ip$um $u$tinere pondus. At hoc non uidetur, quoniam ratio, qua uectis longior facilius mo uet, e$t ambitus magnitudo, ob quam motus redditur tardior, & ideo leuior: igitur non e$t hoc uerum de motu occulto, $icut e$t gra uis prementis, $ed circumducente, cum in occulto uelut in $tatera contrarium accidere do cuerimus aliâs. Quidam dixere b premere c uer$us a, a contrà uer$us b, & ideò grauari magis a àb, quàm b ab a, quia maiorem uim habet b e, quàm a c. I$tud fal$um e$t bifariam. Primum, quia & $i a, & b $int in æquilibrio, ut nec unus in alterum <foot>in cumbat,</foot> <p n=>97</p> in cumbat, necimpellat, $ed tantum $u$tineat nihilo$ecius res uera e$t. Et etiam quia non e$t uerum, quòd qui longius in cumbit, ma- iorem uim inferat. Propterea dicendum e$t, quòd qui ex commu- nibus propria nituntur demon$trare, omnes corrumpunt di$cipli- nas. Nihil deterius e$t his mon$tris. Nam et$i hæc ratio uera e$$et: non tamen reddit cau$am, quia non e$t ex proprijs principijs. Dico ergo, quod $i c de$cendat in e, per perpendiculum de$cendet, igitur d b e$t longior d a, quare angulus e a b maior e b a: igitur pondus c plus de$cendit comparatione a, quàm b, ergo plus grauat cip$um a quàm b, $eu ex cau$a, quod magis premat, $eu ex effectu, quòd ma- gis de$ce$$erit. Cau$a ergo erroris e$t, quod $i ponatur angulus f b a æqualis angulo f a b, & ponatur b f &ecedil;qualis b c, tun c in eodem tem- pore, in quo tran$it dimidium c in e, tran$ibit aliud dimidium c in f. quia $eparat&ecedil; partes grauiores $unt in c b, quàm c a, propter di$tan- tiam ab hypomochlio, $ed tunc uelo cius mouentur, & angulus fit &ecedil;qualis. Sed quando pondus e$t unum, & c de$cendit ad e, cum de- $cendat inæquali tempore, & peragat maiorem angulum compa- ratione a, quam b, $equitur, ut uelo cius moueatur comparatione a quàm b. Ergo $i non mouetur, cum omnis potentia $it $imilis actui, tum quia ab eo producitur, & effectus e$t $imilis cau$æ: tum quia e$t initium actus, igitur etiam quod a b non in clinetur, nec de$cen- dat, grauius erit pondus, comparatione a quàm b, quod erat de- mon$trandum.</P> <P>Ex hoc $equitur, quòd aliqua iuncta erunt grauiora re$pectu u- nius, quæ erunt mutato ordine diui$a leuiora. Quoniam diui$a, quæ longius di$tant æqualem, aut maiorem angulum faciunt, iun- cta minorem.</P> <P>Propo$itio cente$ima$exta.</P> <P>Quales proportiones angulorum doceant laterum proportio- nes. At <01> uici$sim determinare.</P> <P>Sit circulus a b c, cuius dimetiens, nota b d $it b, erit ergo latus <marg>C<I>o</I>_{m}.</marg> <fig> exagoni a b dimidium b d, id e$t 3. igitur cum angulus a $it rectus, erit a d <02> 27 latus trianguli. Et latus quadrati per eandem <02> 18. Vt latus exagoni $it <02> 9. Quadrati <02> 18 Trianguli <02> 27, & ita pote$tate $e habent hæc ut 1. 2. 3. Et $unt nota. Et quia latus d e c agoni e$t <02> 11 1/4 m, 1 1/2. & ip$um erit notum. Quare latus pentagoni e$t <02> v 22 1/2 m: <02> 101 1/4 notum. Et iam notum fuit latus epta- goni. Habebimus igitur latera Trianguli <foot>I qua-</foot> <p n=>98</p> quadrati pentagoni, & eptagoni æquilaterorum nota: & etiam $ubten$orum duobus ex his. Sit, gratia exempli, a b 3 & b c <02> 11 1/4m: 1 1/2, ut prius, & ponatur b d diameter, erit ad <02> 27 & c d <02> v 22 1/2 m: <02> 101 1/4, quam ducemus in a b, & fiet <02> v 202 1/2 m: <02> 8201 1/4. Duce- mus itidem <02> 27 a d in b c <02> 11 1/4 m: 1 1/2 fiet <02> 303 3/4m: <02> 60 3/4, hoc to- tum diuide per 66, quæ e$t b: fiet a c <02> 8 7/16 m: <02> 1 11/16 p: <02> v: 5 45/72 m: <02> 6 1701/5184. Nec credas te errare, quoniam latus pentagoni e$$et, ac $i an- gulus b rectus e$$et: $ed quia e$t obtu$us, ideo a c e$t alia linea, & maior latere pentagoni. Et $imiliter $i a b, & a c notæ e$$ent, utpo- <marg>P<I>er</I> 52. E<I>le ment.</I></marg> te a b 3, ut prius a c 5 dico, quòd b c nota e$t: nam a d erit <02> 27, & quia ex b d in a c fit 30, fiet ex b c in a d pos <02> 27, et ex a b in c d <02> 324 m: 9 quad. igitur 30 m: pos <02> 27 æquantur <02> 324 m: 9 quad. quare 900 p: 27 quad. m: pos <02> 97200 æquãtur 324 m: 9 quad. igitur 576 p: 16 quad. &ecedil;quantur pos <02> 97200. Quadratum igitur p: 36 &ecedil;quan- tur pos <02> 379 11/16, erit ergo b c <02> v: <02> 94 59/64 p: <02> 58 59/64 & $imiliter $i a c $it nota, puta 4 erit a b $ubten$a dimidio arcus a c nota. Erit enim a e 2 ergo d e 3 p: <02> 5 et b e 3 m: <02> 5, igi&ttilde; a b <02> v: 18 m, <02> 180. Igitur hoc modo diuidendo, iungendo, & detrahendo habebimus ex quatu- or illis $implicibus trianguli quadrati. Pentagoni, & eptagoni in numeras linearum magnitudines in circulo. Et $imiliter quouis mo do, ut dictum e$t, in quauis figura æquilatera, utpote $uppo$ito <fig> quod de$criptum $it nonangulum in circulo æquilaterum, quod etiam erit æquiangulum, & $it arcus a b duplus arcui a c, erit angulus a c b duplus an- gulo a b c, & angulus b a c in portione b d e c $excuplus a b c, & triplus a c b. Erit ergo per demon$trata proportio <marg>I<I>n</I> 16. <I>de</I> S<I>ubtil.</I></marg> b a ad a c, uelut a c, & c b, ad a b: pro- portio autem a b arcus ad a c, ex $up- po$ito maior e$t proportione rectæ a b ad a c, igitur etiam propor- tione a c & c b ad a b, ergo duo latera trianguli ad tertium minorem habent proportionem, quam arcus ad arcum, quanto rectæ ad re- ctam minor e$t. Sit rur$us in triangulo b e d quomodolibet modo $it angulus b d e quadruplus angulo b e d, & diuidatur d per &ecedil;qua- lia ducta d f, erit igitur proportio f d, d e ad f e, ut e f ad f d, $ed e f ad <marg>P<I>er</I> 3. <I>$exti</I> E<I>Elem.</I></marg> f b ut d e ad d b. igitur proportio b d, d e ad f b cõpo$ita ex propor- tionibus e f ad f d, & e d ad d b. Proportio igitur b d, d e ad f b, ut producti ex e f in e d ad productum ex d fin d b. Rur$us ponamus, <marg>P<I>er</I> 23. <I>$ex ti</I> E<I>lem.</I></marg> quod in quadrangulo a b c d primæ figuræ $it a b 4 b c 3 c d 5 ad 6 dico, quòd $pacium contentum erit notum. Ductis rectis a c & b d <foot>quomo-</foot> <p n=>99</p> quomodolibet, ut $e $ecent in e, erunt anguli d c a, & d b a æquales, <marg>P<I>er</I> 21. <I>ter tij</I> E<I>lem.</I></marg> quia in ea&dacute;em portione circuli a d, & anguli a d e &ecedil;quales, quia con tra $e po$iti. igitur trianguli a b e, & c d e $imiles, & proportio d c ad <marg>P<I>er</I> 15. <I>pri mi</I> E<I>lement.</I></marg> a b, ut c e ad b e, c d autem fuit 5 a b 4, igitur $i b e ponatur 4 pos c e erit 5 pos. Per ea$dem, & eodem modo a d ad b c ut d e ad e c. igitur po$ita c e 5 pos erit e d 10 pos, tota igitur d b 14 pos. Et quoniam ea- <marg>P<I>er</I> 32. <I>pri mi</I> E<I>lem.</I></marg> dem proportio a e ad e b per eadem, & e b fuit 4 pos: igitur a e e$t 8 pos, quare a e 13. po$t productum igitur ex a c in d b, e$t 182 quad. & hoc æquatur productis a b in c d, quod e$t 20, & b c in a d quod e$t 18, totum igitur e$t 38, igitur res e$t <02> 19/91. Quare not&ecedil; erunt lineæ b e, e d, a e, & e c, $ed $ufficit, ut cognita $it a c, uel b d. Per regulam enim triangulorum erunt notæ areæ a b c, & a d e, quare tota $uper- ficies a b c d. Et e$t inuentum Scipionis Ferri Bononien$is de quo aliâs. Pote$t etiam inuenta a c uel b d haberi $uperficies facilius per catheros.</P> <P>Sit modo obtu$i angulus a b c, & nota latera $ingula, & angu- lus a b c, & producantur latera ad perpendicu- <fig> lum, ut $int d & e recti, & quia anguli ad a $unt æquales, erunt anguli e b a, & d e a $emper æ- <marg>P<I>er</I> 32. <I>pri mi</I> E<I>lem.</I></marg> quales. Et hoc idem contingit in acuti angulis triangulis intus, & e$t utile mechanicum: & quia a b c notus e$t, & d notus, erunt anguli tri goni d b c noti: & $i fuerit angulus a notus, erũt anguli d a c & e a b noti, & ideo anguli e b a, & d c a: & $emper notum, quod fit ex b a in a d, uel c a in a e, $unt enim &ecedil;qualia inter $e: etiam notæ ad & a c, quoniam duplum horum e$t exce$$us quadrati b c $uper quadrata a b, & a c. Quod uerò proponiturà Monteregio de cognitione an- gulorum in triangulis non e$t intelligendum, ut uerba $ignificant, <marg>P<I>er</I> 12. <I>$e- cundi</I> E<I>lem.</I></marg> $ed $olum de cognitione quoad u$um tabularum.</P> <P>Et iterum ponamus, quòd proportio a c c b ad a b $it qualis a b ad a c, dico quòd angulus c duplus e$t angulo b. Si non ducatur c d <fig> faciens angulum d c b duplum b, erit igitur pro- portio d c c b ad d b, ut d b ad d c. Maior e$t aut&etilde; d c, quàm a c, aut æqualis, aut minor, $i æqualis, igitur maior proportio d c c b ad b d quàm b a, igitur maior <04>portio b d ad d c quam b a ad a c ad a c & æquales $unt igitur b d maior d a pars toto, quod e$$e non pote$t. Si uerò d c ponatur maior a c, magis ex hoc $equitur b d ma- iorem e$$e b a. Quod $i minor $it d c quàm a c. Ex demon$tratio- ne ip$ius reflexæ proportionis patet hoc contingere non po$$e. Et $imiliter patet conuer$as in reliquis etiam ueras e$$e, non $olum <foot>I 2 in</foot> <p n=>100</p> in proportionibus noti$simis angulorum $ed etiam in coniuncti- one & detractione. Et e$t ex $ubtili$simis operationibus, quæ ho- mini in hoc genere eueniant.</P> <P>Propo$itio cente$ima$eptima.</P> <P>Si in circulo duo diametri ad rectum angulum $e $ecauer int: ali&ecedil; uerò ad perpendiculum ex diametro exierint ad circumferentiam, $ingulæ $upra diametrum erunt maiores portionibus reliquis dia- metri $uperioribus, infra autem minores. Dimidium autem porti- onis $uperioris re$iduum ad centrum maius $agitta habebit. In ali- qua præterea portionis $uperioris parte, quæ uer$us diam etrum tran$uer$um po$ita e$t, maior e$t differe ntia partis diametri ei cor- re$pondentis, quam lineæ tran$uer$æ.</P> <fig> <P>Sint du&ecedil; diametri a b, c d ad perpendi culum $ecantes $e in centro, & ducũtur $upr f g k h, & infra m l ad perpendicu- lum $upra a b: dico f g e$$e maiorem f a, & k h k a, & contrà minorem m l, quàm m a. Per octauam enim $exti, quod fit ex <marg>P<I>er</I> 31. <I>ter- tij</I> E<I>lement.</I></marg> b f in f a æquale e$t &qtilde;drato f g, $ed b f e$t maior f g, quia b f e$t maior c b, & ideo e c g f, ergo f g maior e$t f a, m l aũt minor e$t per ead&etilde; e c, quare e a, multo igitur minor m a, quod e$t primum. Suppo$ito etiam, quòd <marg>P<I>er</I> 7. <I>tertij</I> E<I>lem.</I> C<I>or</I>^{m}.</marg> a g arcus $it dimidium a c, dico a f minor&etilde; e$$e f e, nam quadratum e <marg>1. <I>eiu$dem.</I></marg> g æquale e$t quadratis f e, & f g, & quadratũ a g quadratis f g & f a & e g e$t &ecedil;qualis lateri exagoni, & a g latus octogoni, igitur e g ma- <marg>P<I>er</I> 47. <I>pri mi</I> E<I>lem.</I></marg> ior g a, & duo quadrata e f & f g maiora duobus quadratis f g & f a, detracto igitur communi f g quadrato, patet propo$itum.</P> <marg>P<I>er</I> C<I>or</I>^{m}. 15. <I>quarti</I> E<I>lem.</I></marg> <P>Cum rur$us ex prima parte huius line&ecedil; f g & k h $int maiores f a, & k a & ea $it æqualis e c, nece$$e e$t ut iuxta punctum c augeatur <marg>P<I>er</I> 28. <I>ter- tij</I> E<I>lem.</I></marg> magis linea in ea, quam $it differentia lineæ tran$uer$æ ad lineam tran$uer$am per communem animi $ententiam, quod e$t tertium.</P> <P>Propo$itio cente$imaoctaua.</P> <P>Punctum &ecedil;qualitatis differenti&ecedil; de$cen$us, & remotionis à cen- tro inuenire.</P> <P>Per præcedentem moto puncto a uer$us c $emper u$ <01> ad e, c ma <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> gis di$tat pũctum a linea a e, quàm à puncto a uer$us, quia linea n h maior e$t n a, & per eandem dum appropinquat ad c cum e c fiat &ecedil;qualis ea, maius fit in crementum in a e, quàm re$pectu lineæ tran$- uer$alis. Volo ergo inuenire punctum hoc in quo fit mutatio: & diuido arcum ac per æqualia in f, & dico illum e$$e punctum quæ- $itum: accepto quouis puncto in e f, puta k, duco g o h p &ecedil;quidi$tan <foot>tes</foot> <p n=>101</p> <fig> tes a b, & c d: erunt <03> anguli q & n recti <marg>P<I>er</I> 29. <I>pri mi</I> E<I>lem.</I></marg> & anguli f e a, & f e c &ecedil;quales, igitur uter <marg>P<I>er</I> 23. <I>ter tij</I> E<I>lem.</I></marg> que dimidium recti: igitur per dicta in primo Elementorum Euclidis e n &ecedil;qua <marg>P<I>ropo$.</I> 32. & 6.</marg> lis n k, igitur c q æqualis e n, quare h p æqualis g o, $ed quod fit ex o k in k g e$t <marg>P<I>er</I> 34. <I>pri mi</I> E<I>lem.</I></marg> æquale ei, quod fit ex p k in k h, igitur <marg>P<I>er</I> 7. <I>tertij</I> E<I>lement.</I></marg> k h e$t æqualis k g ex eisdem o$tendi- tur f l m k quadratum e$$e. Quia ergo k h e$t æqualis k g, & k l æqualis k m, erit l g æqualis m h. Er- go de$cendendo ex g in f, quantum f l $uperat l g, tantum de$cen- dendo ex f in h, f m $uperat m h per communem animi $ententi- am. At f m e$t de$cen$us f in linea a e, & m h di$tantia, quæ acqui- ritur in linea f r, n m enim e$t æqualis f r, igitur n h excedit f r in h m, & ita a n excedit a r in n r &ecedil;quali f m. Quantum ergo in g f, l f excedit l g, tantum in de$cen$u ex f in h, f m, quæ refert g l, ex- cedit h m, quæ refert f l. Arcus autem f g e$t æqualis arcui f h, quod cũ po$$em o$tendere pluribus modis $atis con$tat, quia chor <marg>P<I>er</I> 47. <I>pri mi</I> E<I>lem.</I></marg> darum illorum quadrata $unt inuicem æqualia, quia lineæ f m, & <marg>P<I>er</I> 47. <I>ter- tij</I> E<I>lem.</I></marg> f l item <01> m h & l g $unt æquales, & anguli m, & l recti. Igitur cum ad quod uis punctum in linea e f $emper linea de$cen$us in parte inferiore e$t maior linea di$tantiæ tanto, quanto per æqualem ar- cum in $uperiore linea di$tantiæ e$t maior linea, de$cen$us $equitur per regulam Dialecticam quod punctus f, e$t punctus &ecedil;qualitatis. Per idem diceremus in quarta parte inferiore.</P> <P>Propo$itio cente$imanona.</P> <P>Rationem libræ expendere.</P> <P>Cum libra moueatur, uelut rota circa axem, quia trutina manet, ideò $i pondus ponatur, dum iugum fuerit in linea a b nihil mo- uebitur, quia appetitus de$cen$us ex puncto a maximus e$t, & ni- hil iuuat motum extra naturam, idem dico de graui po$ito inuerti- ce b a. Nam duo $unt motus in rota, & in libra unus, per quem dum fertur per arcum a f, gratia exempli de$cendit, quantum e$t <marg>P<I>ropo$.</I> 98.</marg> a r, quæ e$t minor dimidio e r, & ideò minor e r, quæ e$t maior di- midio, ut demon$tratum e$t, & etiam minor r f, quæ æqualis e$t r e <marg>I<I>n præceden ti.</I></marg> per demon$trata rur$us: & hic e$t naturalis ut palam e$t: alter præ- ter naturã, & e$t ferri ad latus, quoniam hoc e$t propriũ immortali- bus: cun <01> hic $it ad latus e$t etiam cõtra naturam, quia magis di$tat a centro, nam e f e$t longior c r, $i ergo r ferretur in f, moueretur à centro, & contra naturam. Dum ergo fertur ex a in f, multo lentius <foot>I 3 fertur</foot> <p n=>102</p> fertur, quàm ex f in c: uelo cius autem ex c u$que ad medium: nam plurimum de$cendit. Ex h ad b autem celerrimè, quoniam de$cen- dit, & appropinquat lineæ a b, ut uter <01> motus $it naturalis. Non ergo mouetur pr&ecedil;ter naturam ni$i quatenus longius recedit à linea a b, unde in inferiore parte mouetur ad eandem, ideò de parte c b tota per$picua e$t ratio, cur facillimè de$cendat, $imiliter & tota, hoc enim e$t demon$tratum. Similiter & quare difficillimè feratur ex b u$ <01> ad p, & ultra p u$ <01> ad directum r f: at de motu ex a in f, quod debeat ferri, quia plus remouetur, quam de$cendat, nulla e$t ratio: ut nec cur ex oppo$ito f ad a difficilem $e præ$tet: & hoc e$t, quia tertiam rationem etiam ip$e Ari$toteles, & qui eum $equuti $unt, prætermi$it. Ea autem e$t, quod dum fertur ad g, uel f etiam li- cet non de$cendat magis, quàm remoueatur, ex a <fig> ad centrum terræ tamen magis appropinquat. Quia enim e a e$t &ecedil;qualis e c, quoniam prodeunt à centro circuli eiu$dem, & b e, & e c $unt maio- res b c, ideò b a erit maior b c, e$t autem b cen- <marg>P<I>er</I> 17. <I>pri mi</I> E<I>lem.</I></marg> trum mundi, ergo a motum ad c, appropin qua- uit ip$i b</P> <P>Dico etiam quod libra ex chalybe tenui$simo, & quanto leuiorũ concharum, & longioris iugi 10 exactior, quoniam lances illæ minori exce$$u mouentur, quia plus di$tant ab hypomochlio. Sit ergo libra, cuius iugum a b trutin a c: lances d & e, alia libra, cuius lances h, & k, & l m longiores, iugum f g. Con$tat, quod qualis proportio f g ad a b, talis ambitus, ad ambitum: motus er- go $i $it æqualis utrarumque, igitur a tanto minore proportione <fig> <foot>moue-</foot> <p n=>103</p> mouebitur in h, quam in d, uelut $it proportio f g ad a b dupla, ut ergo æqualiter moueantur, $i $it dupla $exquiquarta in d cum lan- ce ad e uacuam, erit in h $exquialtera, & mouebit æquali tempore. Ergo iuxta hoc fient libræ, quæ examinabunt decimam, & uige$i- mam partem grani, quod e$t nece$$arium in precio$is rebus, & me- dicamentis potentibus, & longè magis in mechanicis experimen- tis, & maximè quæ ad demon$trationem pertinent magnitudinis $uperficierum, & con$tat res in tribus, in longitudine, f g iungi, in le uitate materiæ illius, & lancium, nam tanto maior redditur propor tio ponderis exigui, & in firmitate iugi ac rectitudine. ideò debet fieri ex chalybe purgato, durato ac tenui$simo, natura <03> leui, & ut c $it in medio, & mobilis f g.</P> <P>Con$iderandum e$t demum an f l & g m $int grauiores f h, & g k. Vt enim grauiores extiterint minus facilè mouentur. Viden- tur autem mihi, qui de his con$crip$erunt perperam contemp$i$$e hoc, con$tat enim, quòd dum l de$cendit, remouetur a b n c tru- tina, & m, quæ a$cendit contra appropinquat. Videtur autem hoc bifariam contra naturam: nam ut diximus pondus applicat $e ad rectam n c, quia uer$us centrum, & etiam quia facit angulum ob- tu$um, cum deberet, ut ab initio $altem con$tituere cum iugo re- ctum. Et de m nihil mirum e$t, cum acutum, ut $e ad lineam, quæ ad centrum retrahat. Huiu$modi præterij$$e Ari$totelem, demiror, quæ nimis fuerunt in con$picuo, ut dubitem ne non $uus $it ille li- ber, qui eius penè nihil $apiat præter ob$curitatem. Tentan- dum e$t igitur horum cau$as a$signare. nam quæ huiu$modi po- te$t e$$e doctrina ni$i perfecta fuerit, in omnibus etenim nece$$e e$t aut omnia $cire, aut ignorare. In hoc igitur dico, quod h f, $eu l f, $emper æquidi$tant n c trutinæ, ergo cum angulus f c n in clina- to iugo fiat obtu$us de$cendente pondere, & n c g a$cendente pon- dere fiat acutus, ergo angulus l f c tantundem fiet obtu$ior, & m g c acutior, quanto anguli ad c tales $unt. Et cau$a e$t quia n c ratio- ne ponderis e$t directa ad centrum, ergo oportet, ut pondera l, uel h, & m, uel k, $i debent tendere ad centrum, ut f l, & g m æquidi- $tent n c, ni$i quantum e$t pro di$tantia f, à puncto c, & g a b eodem, quæ comparata ad centrũ terr&ecedil;, $eu mundi, e$t in$en$ibilis omnino. Circa hæc notandũ i$tud mirabile fcilicet, quod ratio motus, quan- tumuis exigua $ufficit ad motus modũ, licet uelo citas p&etilde;deat ex gra uitate, & alijs. Et <09> graue, quod expers e$t $en$us, debeat $equi ratio nem Geometricam uix $apientibus cognitã, cau$a tamen una e$t, & per$picua: nã omne graue e$t in linea à centro mũdi: $i aũt medium grauis $it extra lineã, uertitur ad illam, qu&ecedil; e$t in eo, nam centrũ $em <foot>I 4 per</foot> <p n=>104</p> per e$t in ead&etilde;. Ergo $ola in clinatio ad hoc ut mediũ grauis $it in li- nea centrorũ grauitatis & terræ, $ufficit. E$t ergo principium in $ei- p$o. In appen$is $imiliter. Trutina enim, & finis iugi, & grauis cen- trũ mundi centrũ $unt in ead&etilde; linea, ut e$$e po$$unt, cum exigua illa & $ola di$tantia intercedat. & hoc e$t primum. Quia ergo iugũ e$t ex materia $olida, mouetur ratione, quæ dicta e$t, lances autem oportet cum filis appen$i $int, ut puncta f & h, uell, & g k, uel g m $int in una linea cum centro terræ. Et quia l magis di$tat a b f quam h, & m a g magis, quam k, & oportet faciant eandem inclinatio- nem, quia anguli trutinæ cum iugó $unt ijdem, & linea cl e$t ma- ior c h, & c m, quàm c k in quouis $itu, ergo $patium, quod ambitur, e$t maius ergo per d e mon$trata $uperius l e$t grauius h etiam præter uinculorum additionem, & m grauius k. Quanto igi- tur longiores $unt funiculi à libræ extremitate $eu iugi, tanto gra- uius redditur pondus, quod tamen multi putant e$$e fal$um: nec aliquid referre, quòd $it longum, aut breue $u$tentaculum.</P> <P>Propo$itio cente$imadecima.</P> <P>Si duæ $phæræ ex eadem materia de$cendant in a&etilde; re eodem temporis momento ad planum ueniunt.</P> <fig> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Supponitur quod ex eodem loco. Sermo enim ab$urda $ub interpretatione nunquam ni$i ab inui- dio$o, uel imperito intelligi debet. Sit ergo a tripla ad b, $phærula ad $phærulam ex plumbo ambæ fer- ro uel lapide eiu$dem generis, dico, quòd inæquali tempore peruenient ad planum c d. Nam a propor- tionem habet ad b, ut uiginti$eptem ad unum. pro- portio autem $patij a ad $patium b nonupla e$t, & proportio den$itatis aëris ad aërem e$t tripla, propterea quod den- $itas illa multiplicatur propter impetus magnitudinem. nam $i ro- bur, ut decem percutiat baculo lato, ut quatuor ictus erit maior du- plo, quàm $it robur, ut quinque percutiat baculo, ut duo: propter den$itatem ergo maiorem aëris in a, quam in b: & quoniam $i $ub maiore impetu mouetur a&etilde;r $ub a, quam $ub b, igitur proportio erit comparanda longitudini à centro a ad longitudinem a centro b, quæ e$t tripla. Si ergo $ubtripla e$t ratio motus b ad a, quod ad medium attinet, tripla autem propter uelo citatem di$ce$$us aë- ris à medio grauitatis, quod e$t in $uperficie e regione centri graui- tatis in linea ad centrum mundi, ut dictum e$t in præcedenti: mani- fe$tum e$t, quod a, & b inæquali tempore peruenient ad $ubie- ctum planum, & æquidi$tans centris eorum. Similiter & in aqua: <foot>cum</foot> <p n=>105</p> cum uerò uideatur in illa tanto celerius a de$cendere, quàm b, quanto e$t $emidiameter a longior $emidiametro b, liquet ex hoc, quod æquali uelo citate de$cendunt, $ed ob uelo citatem motus in aëre latet di$crimen anticipationis contactus $oli a ante b, qui di- gno$citur in aqua, ex quo patet exactam e$$e æqualitatem. Sed re$i- liunt $emel in aqua ambæ, cum pluries in aëre a $olo, quare etiam in aqua perturbatur cognitio in parum accuratis, at <01> $en$u præditis, $icut etiam in ca$u, ne altera alteram perueniat, utra <01> comprehen$a duobus digitis, altera alteram tangente, & u$que ad centrum in aquam demi$sis $imul digitis dilatatis dimittendæ $unt.</P> <P>Propo$itio cente$imaundecima.</P> <P>Cur ex medio tela ualidiorem ictum, & naues in $calmo à remo, ac malo recipiant inde ex puppi explorare.</P> <P>Ari$toteles uidetur in Mechanicis, & qui eum $equuti $unt, ui- <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> dentur rem nauticam quòd ad remos attinet, referre in longitu- dinem partis, quæ $calmum tanquàm hypomochlium interiacet & manum: ea enim circa medium nauis cum illa ibi $it latior ma- ior e$t. Sed & qui lembos ducunt, & in puppe magis di$tant à $calmo & in prora, quàm in medio nauis, nec tamen uelo cius il- lam agunt: non quòd ratio illa fal$a $it, $ed quia uelo cius ferun- tur etiam ob aliam cau$am, quàm $it hæc, & magis uniuer$alem. Primum igitur $umamus, quod $uperiùs demon$tratum e$t $cili- <marg>P<I>ropo$.</I> 86.</marg> cet, quòd ubi pondus aliquod æquale undique tanquam in li- bra $u$pen$um fuerit, proportio ponderis partium inæqualium ad duas partes æquales, e$t confu$a ex proportione longitudi- nis earundem, & quadrato eiu$dem proportionis. Sit ergo diui- $a a b in c, & fiat c e æqualis c a: proportio igitur ponderis b e ad pondus e a e$t compo$ita ex proportione b e ad e a, & quadrato <fig> eius $ecũdum longitudinem. at po$ita agi na d g in medio a b, <04>portio ponderis b e ad pondus ea e$t, ueluti longitudinis b e ad e a, igitur proportio põderis b e ad e a, cum agina e$t extra medium in c, e$t tanto maior proportione b c ad ea, quantum e$t quadratum illius pro- <marg>P<I>er</I> 10. <I>quinti</I> E<I>lem.</I></marg> portionis, ergo b e pondus maius e$t, cum agina e$t in c, quàm in d. igitur per commun&etilde; animi $ententiã addito communi pondere a e, erit pondus a b minus $emper cum agina e$t in d, <08> in ullo alio lo- co a b. Ergo pondus a b apprehen$um in d mouebi&ttilde; a b æquali ui <marg>P<I>er</I> 8. <I>quin- ti</I> E<I>lem.</I></marg> maiore proportione, <08> in ullo alio loco. Ha$tile ergo in medio ap- prehen$um maiore ui mouebitur, quàm in ulla alia parte. Et $i gra- <foot>cilius</foot> <p n=>106</p> cilius $it in anteriore parte propinquius comprehen$um calci, & $i cra$sius, uel grauius propius cu$pidi. Semper igitur ob hanc cau- $am mota ex medio grauitatis, $eu uelo, $eu ramo, $eu manu uelo- cius mouentur, quàm ex alijs partibus. In remo etiam pote$t acce- dere illud commodum, cuius meminit Ari$tcteles. Propter hoc igi tur, qui malum in naui collo carunt tantùm unum, in medio fermè eum collocarunt, ut antiqui: & qui duos aut tres, maiorem cra$sio- <marg>P<I>ropo$.</I> 82.</marg> rem $cilicet, & altiorem in medio con$tituerunt.</P> <P>Propo$itio cente$imaduodecima.</P> <P>Cur ex imo leuia longius ferantur declarare.</P> <P>Iam uerò cõ$ideremus, quòd propo$itum e$t, non $olum in com- <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> paratione ad medium, $ed extremorum inuicem, mi$$a enim ab imo uelo cius feruntur, quàm à medio non $olum manu, $ed $corpioni- bus, & arcubus. Videmus & hoc ob$eruare pueros uirgam lon- gius iacentes non ex medio, $ed imo apprehen$am, quoniam pars ip$a anterior, & quæ manu apprehen$a e$t, uehementi impetu emit- titur: & ut recipit impetum magis æqualem, longius fertur, nam quod emittitur proportionem habet ad $patium. Cum ergo appre hen$a in medio uirga $olum medietate anteriore impetum recipiat per $e, ob id minus fertur: at impetus $equitur proportionem, ut ui- $um e$t, quæ e$t circa medium ob leuitatem ponderis. In leuibus ergo maius $patium $uperabunt emi$$a ex imo, quoniam propor- tio $patij eadem e$t ad duplum, & ad dimidium. igitur ex imo fer- me duplum etiam $patij $uperabit: non tamen omnino quia maio- rem, ut dixi proportionem habet ad id, quod ex medio comprehen $um e$t. At in leuibus non e$t nece$$arium, ut ex medio apprehen- dantur, quoniam etiam cum incremento illo ponderis iam leuia $unt: plus ergo facit longitudo eius, quod eiaculatur, quàm impe- <fig> tus, cuius demon$tratio e$t hæc. Sit uirga a b apprehen$a in medio ponderis unciæ mediæ, & in a d, ut $it d a palmus, & uige$i- ma pars totius a b, erit ergo re$iduum ad duplum, a d nonuplum, <marg>P<I>er</I> 86.</marg> & a b tota unciarum quin <01> cum dimidia, $i igitur grauetur, quia in $itu recto e$t mediæ unciæ, in æquidi$tanti terræ, quin <01> unciarum cum dimidio, erit in $itu dimidij recti unciarum trium. E$t igitur proportio $excupla, $i apprehendatur in medio, & ad æquidi$tan- tem, ad apprehen$am in imo, & ad angulum medium: at emi$$a ex <marg>P<I>er</I> 89.</marg> a d habet totum aërem a b circumdantem impul$um ex c b $olum dimidium reliqua pars ui trahitur, ergo proportio $patij a b, erit $exdecupla fermè $patio b c, quoniam e$t triplicata corporis ad cor pus eius, quæ e$t longitudinis ad longitudinem, & quadruplicata <foot>re$pectu</foot> <p n=>107</p> re$pectu aëris a c, qui re$i$tit apprehen$a a b in c. Et iam minus fere- batur quinta parte, ideo longius eiaculabitur triplo ex a, quàm ex c. Nec tamen maiore impetu, quia obliquè fertur, & quæ obliquè feriũt, minore cum impetu feriunt: at <01> eo magis $i leuia fuerint: ab aëre enim circumambiente perturbantur, & in incertum trudun- tur. Quæ ergo grauia $unt ex medio emi$$a, & ad æquidi$tantem longius feruntur, & maiore cum impetu, quia magis directè: leuia autem longius ex imo, $ed minore cum impetu, $i aliqua cau$a à re- cto, & æquidi$tante declinauerint. At $i à $uprema parte, & iuxta cu$pidem, neque procul feruntur, neque cum impetu ob cau$as di- ctas. Eadem quoque ratio e$t omnium machinarum: ideò oblon- g&ecedil;longius eiaculantur, quoniam proportionem $eruant ad cana- <marg>P<I>rop.</I> 107.</marg> iem. Sed de hoc inferius agetur.</P> <P>Propo$itio cente$imatertia decima.</P> <P>Cur uirga longius mittatur à puero, quàm à uiro inue$tigare.</P> <marg>C<I>o</I>_{m}.</marg> <P>Diligentia, & u$us puerilis efficit, ut uirga feratur $ecundum me- dium rectianguli: uir autem non con$tanter iacit, & $ecundum re- ctum, at rectus ince$$us in leuibus, quia ab aëre in obliquum defle- ctitur uirga ob longitudinem efficit, ut inflectatur infrà celerius, & de$inat citius motus, ac finiatur. Tertia cau$a e$t, quòd leui$sima non adeò recipiunt impetum ut grauia: nam leui$simam & exigu- am ligni portionem maximo nixu uix excutiemus è manu. Cau$a ergo e$t: quoniam uim, oportet, ut habeat, quod contra naturam mouetur, ut naturaliter moueri po$sit, quæcun <01> igitur naturaliter exiguum habent motum, ut pluma, palea, fe$tucæ nulla ratione ue- hementer contra naturam agi po$$unt. Quædam ergo à pueris lon gius iaciũtur ob $olam peritiam, & exercitationem, quædam quo- niam ad angulum latiorem magis feruntur, quàm $it rectus, quæ- dam quoniam leui$sima $unt. Sed $i leuiora non feruntur ualido motu uiolento, cur tamen à pueris iacta longius ferũtur? Ratio e$t, quoniam maior uis deficiente obiecto magis fatigatur, atque ideò minus mouet. Propter hæc igitur omnia non $olùm in pueris, $ed in machinis, quæ accommodata $unt, melius impelluntur, aclon- gius feruntur, quàm leui$sima. nam nec palea $corpione iacta tam procul, quàm $agitta fertur, cum proportio maior $it, tamen ad pa- leam, quàm ad $agittam. Inde fit, ut quemadmodum Turca ille lite- ras $ui Prin cipis, cum timeret ad no$tros propius accedere, lapidi al ligatas longius emi$it. Cau$am autem huius docet Ari$toteles in Mechanicis dum quærit cur, & grauia & leuia ualde longe proijci nequeunt: nam grauia nimis, moueri nõ facilè po$$unt: leuia etiam ualde ad rem mouere non ualent. Ob hæc utra <01> ex his paruo cum <foot>impetu</foot> <p n=>108</p> impetu emittuntur, tamet$i uehementer nitaris. Sed & leuia ferun- tur hac illac, ut non po$sint retinere impetum prioris uiolentiæ: in- natum enim e$t, ut duorum motuum $imul in eadem re uigentium, cum illa proprio impetu feratur, unus alterum impediat: nam $i ro- ta uehatur circulariter acta, non tamen ce$$abit, aut iminuetur impe tus circulationis. Multa ergo in huiu$modi anomalis motibus con $ideranda $unt, ut illorum impetum robur, aclocum definiamus.</P> <P>Ex hoc liquet, cur plumbeæ $phærulæ longius ferantur à tor- <marg>C<I>or</I>^{m}.</marg> mento emi$$æ, quàm ligneæ, etiam $i non fran gantur.</P> <P>Propo$itio cente$imaquartadecima.</P> <P>Cir cularis motus differentias quatuor e$$e, earum qúe rationem contemplari.</P> <P>In motu circulari aut axis progredi&ttilde;, aut $uo loco manet. Vtro <01> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> autem modo uel mouetur ab axe, uel circumferentia, igitur con$tat quatuor e$$e motuum differentias: quas cum tres proponat author libri Mechanicarum, aut Ari$totelem illum e$$e, credendum non e$t, aut illum $tupidum dicere nece$$e e$t, nam modum diuidendi eum latui$$e quis putet. cum rota igitur aut $phæra in plano cir- cumagitur, motus e$t ex circumferentia prægrediente axe: ut pa- lam e$t: motis enim loco nobis mouentur omnia, quæ $unt in no- bis. Cum uerò rotæ $ub curru $unt, progreditur axis earum, & rota ob id cum quie$cere nequeat, quia facilius circumuertitur, quàm trahatur, procedit, & hic e$t $ecundus modus, quo rota ex circumfe rentia mouetur, & ex axe initium e$t motus. At uerò in rota molari, & quibus gladij exacuuntur, cum loco non moueantur, motus e$t ex axe: axis enim rotam circumagit, non rota axem, quie$cit tamen in eodem loco rota, & axis $cilicet, quia non progreditur, $ed in lo- co mouetur: atque hic e$t tertius modus. Demum $uccula putei, & ip$a mouetur circulari motu, & trochleæ etiam, ne<01> enim progre- diuntur: $ed non ex axe mouentur, uerùm $uccula per coloppes cir cumducitur, & tro chlea per funes, axis <03> in $uccula mouetur, in tro chleis autem quie$cit pror$us: dico mouetur, id e$t circumducitur, non quod progrediatur: ut non $olum $int quatuor modi, $ed po- tius quin <01>, nam & demon$tratione o$tenduntur, & experimento do cente deprehenduntur. Horum omnium liberrimus e$t, primus ex cir cumferentia progrediente toto, $eu attracto $eu impul$o & ue loci$simus, cuius cau$am $uprà o$tendimus. Proximus huic e$t mo- <marg>P<I>ropo$.</I> 40.</marg> tus rotarum per axem, quoniam axis premit rotam interius $o- lam, & labitur: ideo <03> quod & axis, & rota intus $int leui$sima, pro- de$t plurimum: & aurigæ axungia inungunt, & nomen ab eo traxit <foot>axungia.</foot> <p n=>109</p> axungia. Et <09> rota magna $it: quoniam cum nõ rota, $ed axis traha- tur in æquali tempore & magna, & parua trahitur: utra <01> uerò una conuer$ione tantam lineã rectam $uperat, quanta e$t rotæ periphe- ria. Quod $i plures $int rotæ celerius feruntur, quia axis minus tan- to rotã premit. Et $i rectus $it axis, & bene rotundus, & foramen ro tundum, & latius, & è duri$simo ligno, ut non po$sit in clinari: & rota ip$a in ambitu æqualis, omnia hæc faciunt ad motus uelo cita- tem, unde Homerus.</P> <marg>I<I>liad.</I> 23.</marg> <P><G><*> xnia tu/<13>e w_o/de<17>i w_a/r & ko/ni<19> a)|mfi xuqu_nai</G>.</P> <P>Id e$t, ue$tigia per cu$sit pedibus, ante <03> illa puluis pedibus ex- cu$$us (ue$tigia $cilicet relinquentibus) ingrederetur. Principalis autem cau$a uelo citatis e$t agens, uelut equi. Sed inter hũc motum & priorem medius e$t Scitalæ uocatæ, nam ut in primo axis proci- dit & rotundum à $uperficie circumagitur, licet axis etiam circum- ducatur, ut axis, & rota, aut $phæra duplici motu moueantur, fci- licet antror$um, & circumcirca, in rota currus duo ijdem motus $int, axis quo <01> antror$um moueatur, $ed non circumagatur: unde impeditior e$t hic motus: ita in Scytala utrun <01> utro <01> motu mo- uetur, & circumcirca, & antror$um, at <01> id commune e$t, cum pri- mo ita axis mouet rotas, non rotæ axem, quòd $ecundo motui ro- tarum in curru proprium e$t, ut tantum degenerent à primo motu, quanto leuius uertuntur, quàm in $ecundo motu. Trahitur ergo <fig> iugum in $citala, uelut in rotis currus, $ed e$t annexum rotis non in curri- bus. Propterea in primo motu trahi- tur, uel impellitur à $uperficie: in $e- cundo a b axe, $ed non affixo rotis, unde ægrè trahuntur in $cyta- la ab axe affixo rot&ecedil;. Quare leuius quàm in curru, difficilius quàm in rota uel $phæra à $uperficie extima circumacta. Quartus modus e$t, ut dixi, circumuecta rota ab axe, quum non progreditur, ut in moletrinis, & rotis, quibus ferrum exacuitur. E$t enim hic $imilior primo, quia contrarius, in primo enim procedit rota, & uertitur à circumferentia, hic quie$cit rota, & mouetur ab axe. Proximus huic e$t, qui fit in $ucculis ob firmitatem axis: nam axis e$t coniunctus rotæ. Vltimus e$t trochlearum, qui & difficillimus: $it enim à cir- cunferentia, & axis di$iunctus e$t à trochlea: quod ad dit difficulta- tem. Sed & trochlea caret colloppibus. Ergo uerum e$t, quod o- mnia rotunda facilius circumaguntur, $ed uaria ratione: nam plus mota $uper aliquo plano, ut in plau$tris & $cytalis: minus in $uccu- lis, & rotis acuentibus ferrum, & molis: nam & $i rotun ditatem iu- uet ob æqualitatem ad conuer$ionem, non tamen in his e$t ad eò <foot>K utilis.</foot> <p n=>110</p> utilis. Vtilitas ergo prima e$t, cum circumuertitur in plano, uelut in rotis $cytalis, & $phæris. Secunda quæ minor e$t, cum à $uperfi- cie circumuertitur, ut in trochleis. Tertia cum à coloppis, quæ mi- nima e$t omnium, ut in $ucculis. Motus autem cœli non e$t ex tri- plici primo genere, cum $it in loco, & non ad locum, ne<01> ut rotæ molaris: nam ille e$t ex axe: necut in tro chlea: nam in ea axis quie$- citip$um autem cœlum circa axem non uertitur, $ed cum axe, $i ta- men in$ecabilis linea circumagi pote$t dici. Relinquitur ergo, ut Cœli motus propior $it motui $ucculæ, quàm alij motui. Differt ab eo in hoc, quod in $uccula mouetur axis ab orbe: at in cœlo ut non mouetur ab axe, ita nec axis ab orbe: cun <01> $it motus $im- plici$simus, in alio genere collocandus e$t: quando quidem in illo nulla pars po$sit dici primo, quod nece$$ariũ e$t in uno quo <01> horũ.</P> <P>Propo$itio cente$imaquinta decima.</P> <P>Proportionem motuum impul$ionis, & attractionis inter'$e ab eadem ui declarare.</P> <P>Con$tat, quòd attractio cum fune longiore ualidior e$t, quam <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> cum manibus, quoniam e$t cum motu quodam: motus autem au- get actionem, ideo attractio ualidior e$t hac de cau$a, $ed & impul- $io cum baculo ualidior e$t, quam cum manibus, quoniam licet col ligere omnes uires in illo baculo, & ip$um applicare loco, unde fa- cilius impelli pote$t. Velut $phæra ex medio latere: nam ibi magis colliguntur uires, & ad impellendum facilius e$t, quodcun <01> leui- us e$t. Pars autem magis remota à centro grauitatis e$t leuior, his duabus cau$is, $phæra ex medio latere facilius ac magis impellitur. Sed nos $upponimus nunc applicationem æqualem e$$e, nam $e- cus ad impellendum facilius e$t applicare totum corpus, quàm at- tractionem. Pectore enim magna ui impellimus, nihil e$t compar, quo trahere po$simus. Sed, ut dixi, $it baculus applicatus alicui la- pidi ea parte, qua facilius pote$t impelli & trahi, & quæritur, quæ maior $it uis, an attrahendi? & dico quòd homo, uel conatur trahe- re toto corpore, & impellere, at <01> hoc modo magis trahit, quàm impellet, quoniam corporis pondus melius adhibetur in tractione quàm impul$u: uel citra corporis pondus, $ed $ola ui membrorum: & tunc magis impellit, quoniam impul$us fit corpore prono in an- terior&etilde; partem, quæ in clinatio, & motus e$t naturalis magis, quàm in attractione in partem po$teriorem. Sed ubi nulla $it diuer$itas ne<01> horum, ne<01> figurarum æqualis uis æqualem efficit motum: quia impul$us impellentis comparatione e$t attractio re$pectu al- terius. Verùm non e$t eadem uis nec propè par impellendi, at que attrahendi hominibus, cum attractio fiat per mu$culos ad origi- <foot>nem</foot> <p n=>111</p> nem $uam naturaliter $e retrahentibus impul$ui nullum in$trumen tum à natura delegatum inuenio, nam ad exten$ionem mu$culi $a- nè ex aduer$o $unt fabricati: cum ergo duo $int tantum motus mu- $culorum ten$io, dum retrahũtur ad principium $uum, & remi$sio, dum membrum quie$cit in naturali nullus erit locus impul$ioni, ni$i ex con$equentia non per $e, quamobrem multo infirmiorem il- lum attractione in brachijs e$$e, nece$$e e$t.</P> <P>Propo$itio cente$ima$extadecima.</P> <P>Cur machinæ ablongæ igneæ longius emittant $phæram ex- plorare.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Quoniam ratio $uperius adducta, ne<01> in his, ne<01> in hypophy- <marg>P<I>rop.</I> 103.</marg> $is (uocant cerbatanas) non pote$t $atisfacere, cum tamen idem $e- quatur in his, ut in illis uidetur, qua$i uis e$$e in $phærula $ic emi$- $a, & non in aëre, quemadmodum dicebamus, coniuncto e$$e. Ex quo nece$$e e$$et, ut quod longius ferretur, etiam ualidiores ictus <fig> inferret, hoc autem non ita $e habet, $ed ictus magnitud o ex robore machi- narum tam ignea- rum, quam $corpio num pendet, nam $it a $corpio ma- gnus, $ed tenuis, ex hòc palam e$t lon- gius mittere $agit- tam, quòd à parua, & breui, quantun- uis cra$$a non lon- ge mittitur: at uerò quod b cra$$us & paruus maiore cum impetu mittat o$tenditur nam ea pondera $agittæ mouet, quæ non pote$t mouere a, igitur b ualidiore robore mouet, quam a. Prætera illud o$ten dit iugum fu- nis arcus cra$siora duriora, quæ maioribus uiribus indig&etilde;t, quam a, qui à puero tendi poterit. Non e$t ergo eadem ratio mittendi longius, & ualidiore cum robore. Eadem ergo cum ratio $it in machinis igneis, cra$siores enim, & latiores ac breuiores magis concutiunt, quam longiores tenuiores minoris $phæræ capaces: non $olum ob mag nitudinem $phæræ magis illæ concutiunt, $ed, ut dixi, ob maiorem impetus uim: cau$a ergo e$t manife$ta in his, $ed non cau$a, qua longius ferantur in longiore canali. Sed uide- <foot>K 2 tur</foot> <p n=>112</p> tur una, eadem <01> e$$e ratio in utri$que. Con$tituatur can alis a b lońgior, & c d breuior, ut $it $exqui alter a b ad c d, & $it rur$us <fig> $phærulæ locus e in longiore, $exqui alter in di$tantia a b, qua lis e$t in f a d, & erit per dicta ab Euclide in quinto, ac $exqui altera c f. Po$$emus igitur di- cere, quod uelut ab hypomo- chlio longiore $patio circuma- gitur pondus: ita & a b c, & f. Sed rur$us incidimus in id, ut maiore impetu feratur e quàm f. Ideo $i concedatur maiore ferri ex e, quam ex f non $equitur, ut celerius, aut maiore impetu. Percutit puer pugno quanta ui pote$t ac celerrimè, uir robu$tus lentè, & mi- nore impetu, $ed tamen ictus longè maior e$t. E$t enim ictus robur non à uelo citate $olum, $ed maiore ex ponderis grauitate, quæ $ola premit, urget, & frangit etiam $ine motu. Solum ergo id re$tat du- bium, cur $i grauius e$t, moueatur eodem ferm é impetu: nam quo maiore impetu fertur, eo longius fertur, non tamen magis ferit, con cutit, aut qua$$at, $ed grauitas ad hoc plus facit impetu. Palea maxi- mo impetu demi$$a non ferit, non ledit, & celerius de$cendit, fer- rum $ola grauitate actum, imò etiam temperato ictu lædit graui- ter, qua$$at, & frangit: ita <01> f maiore indiget quantitate pyrij pulue- ris, quàm e: $iquidem tertia parte ponderis $uæ $phæræ: at maius e$t pondus f quam e, ergo maius pondus pulueris f quàm e, ergo maior uehementia ictus, $iquidem ea $equitur, robur cau$æ mouen tis $im pliciter: ut concludamus longitudinem ictus $equi propor- tionem motoris ad motum, $ed uehementia robur motoris: nam $i ex portione mouet æquale pondus maiore cum impetu mouet, quoniam maior e$t proportio: $i minore igitur pondus maius e$t, &, ut dixi plus facit magnitudo ponderis cum leui ictu, quàm ma- gnitudo ictus cum leui pondere. Quæ ergo feruntur per longio- res canales maiore impetu feruntur, & $ocietatem hab&etilde;t aëris moti per longius $patiũ, ut tardius remittatur, quia longiore tempore uĩs motus confirmata e$t, & <04>portio eius, quòd mouet, maior e$t ad id, quod moue&ttilde;, quia minus extenditur, at uerò f motũ minore <04>por- tione ictũ facit maior&etilde;, <04>a, ut dixi, tãto grauius, e$t quod ferit. Quod aut&etilde; minus ext&etilde;datur machina a b quam c d, nũc o$t&etilde;dere oporter.</P> <P>Propo$itio cente$imadecima$eptima.</P> <P>In cuniculis maior e$t uis pulueris copio$ioris ampliore in $pa- tio, quàm paucioris in minore iuxta proportionem eandem.</P> <foot>Sit</foot> <p n=>113</p> <P>Sit $patium f d $exqui tertium b e, puluis quo <01> in f d $patio $i- <marg>C<I>o</I>_{m}.</marg> militer $exqui tertius pulueri b e pondere, & manife$tum e$t, quod dum conuertitur in ignem quali$cun <01> $it proportio (modo eadem ignis ad puluerem) erit ignis in f d pariter $exqui tertius igni in b e, dico quòd $i cra$sities f d $it etiam $exqui tertia cra$sitiei b e, quod poterit frangi, & moueri f d quie$cente b e. Vnde idem in cuniculis ut magnus cuniculus cum multo puluere po$sit mouere montem paruus cum puluere proportione re$pondente priori non po$sit. Nam cùm æqualia $int omnia iuxta <03> rationem eandem, nece$$e e$t ut pro ratione extendantur, at in paruo $patio minor fit den$itas c&ecedil;- tera paria $unt, ergo à paruo $patio non tantus fit impetus, quantus à magno. Impetus etiam proportionem habet ad põdus, & ad con- iunctionem, à maiore igitur impetu plura, & maiora mouentur, & conuelluntur, quam à minore, ob hæc igitur minores cuniculi $uc- cutiunt, maiores euertunt, maximi exturbant, & proij ciunt. Nam qui $uccutiunt, ubi pondus, aut coniunctio maior $it, quàm ut di- $trahere po$sint, conden$ant partes proximiores, & rimas faciunt, per quas exhalat ignis aut omnino extinguitur, aut conden$atur. At ergo in bellicis machinis, minus dilatat puluis, cum fuerit in lon go canali, ob id ergo maiore impetu feruntur per illas, quàm per breuiores, etiam quòd minor $it puluis, minor $it ignis. Experimen tum facies in canali, ubi $ambuci medulla pro globulo flatu impel- lente expellitur ab$ <01> periculo: nam quanto minor fuerit canalis ambitu ac longior eo maiore impetu pellitur. For$an qui$piam nos meritò poterit uideri repreh&etilde;di$$e, quòd inanis gloriæ $tudio per- nitio$a humano generi do ceam. Quibus re$pondeo, me nihil do cu i$$e, quod ín humani generis detrimentum cedat, huiu$mo di <01> pr&ecedil;- cepta iam ob$cura$$e, ut ne quid mali accidere po$$et hominibus ex his: nã quòd ad ea, quæ declarata, $unt, cau$as $olùm retuli, effectus ip$imodi artis nimiũ feruntur, ac nimio plu$quam uell&etilde; in telligun- tur. Vt cum ad copiam, ad magnitudinem, ad coacta imperia mi$e- rorum re$picio, nihil plus po$sit addi. Omnia enim hucu$ <01> $pectãt ad potentiorum in crementa. An ergo $uccurrere afflictis, ob$e$sis, cinctis, æquare condition&etilde;, liberare à $eruitute etiam rebelles nõ li- cebit? Ab initio fuimus omnes liberi: excogitata fuit regni ratio ad commodum hominum, ea uer$a e$t per uim in Tyrannid&etilde;. Subtili ergo ratione occurrendũ e$t imbecillioribus: nã reliqua omnia ni- mis, ut dixi, qu&ecedil; ad cuniculos ad magnitudin&etilde; machinarũ ad rectos ictus ad libram&etilde;ta ad longitudinem $pacij, per quos globus ille de- fertur, nota $unt improbis illis artificibus, nec no$trum e$t $pectare, cur id licuerit, po$tquam Deus hanc uiolentiam e$$e uoluit. Multa damnamus, &qtilde; Deus e$$e uult: boni uiri e$t nõ ni$i opitulari homini- bus, etiã malis modo bonis futuri nõ $int impedim&etilde;to: quamobr&etilde; <foot>K 3 ea</foot> <p n=>114</p> ea tradenda $unt, quæ oppre$sis $int auxilio: ea $unt, qu&ecedil; $ubtilibus con$tãt rationibus, et multiplicata amittũt uim ut qua$i pr&ecedil;$t&etilde;t pau ca multis, & exigua magnis. In c&ecedil;teris ob$curare ita decet cuncta, &qtilde; obe$$e po$$unt, aut quouis modo puerti ad malos u$us queãt, ut di- cta nõ dicta e$$e put&etilde;t, hoc e$t officiũ nõ $olum <04>bi, $ed etiã pruden tis uiri.</P> <P>Propo$itio cente$imadecimaoctaua.</P> <P>Quanta <04>portione decedat ictus in obliquum parietem ab eo, qui e$t ad perpendiculum declarare.</P> <fig> <P>Sit paries b d e, ex a fera&ttilde; in dictus, qui $i <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> e$$et in c d pariet&etilde; e$$e ad perpendiculum, & ualidi$simus, $in uero in f g abraderet, & nõ cõqua$$aret. Quæritur ergo ex b d e muro qualis excipietur? erit ergo proportio anguli c d a ad angulũ b d a, ueluti ictus a d in d c ad ictũ in b d, manife$tũ e$t aũt $equi <04>portio- nem, quoniã maxima uarietate cõ$tat dum ex angulo b d a acuto fit acutior, quoniã $i b d c $it &qtilde;druplus b d a erit re$iduus ad dimidiũ b d a nonuplus ip$i dimidio, & ad quartã part&etilde; habebit <04>portionem decemnou&etilde; ad unũ. Si ergo etiã in id&etilde; tenderent, nõ efficerent mille ictus &qring;d tres, cuius demon$tratio h&ecedil;c e$t. Supponamus <04>portion&etilde; b d c ad &qtilde;rtam part&etilde; a d b ad dito re$iduo ad b d c e$$e $olũ decuplã: tũc ex duob. ictibus centupla erit in d c ad eã, qu&ecedil; in b e, etiã tribus millecupla: nam cõqua$$ata turri in primo ictu, id d decuplo magis ad perpendiculum <08> in b d e $uma&ttilde; decima pars in ambitu d, & illa erit ergo tã di$$oluta, & infirma ex $uppo$ito, <08> e$t tota b e: $ed ex $e cundo ictu decuplo magis cõqua$$abi&ttilde; illa pars, <08> b e ergo tota d c centuplo magis qua$$abi&ttilde; ex duob. ictibus c d turris, <08> b e, & ita in tribus: ex dec&etilde; millibus ergo ictibus etiã ad amu$sim directis, cũ ta m&etilde;id uix fieri po$sit in tãta multitudine nõ plus cõminue&ttilde; b d e, <08> ex decë c d &ptilde;ter quã exiguũ quippiã in $uperficie. Imo ut declaratũ e$t multo minus repetita ratione multiplicis. Ob id in arce Medio- lan&etilde;$i exterius lapidibus uiuis in rotundũ diducta $uperficie inter- <fig> uallo <03> &qtilde; drato hunc in modũ munit&ecedil; $unt altiores tur res. Fiat ergo murus cuius <04>portio a d c ad b d a $it $ex quitertia, erit <03> angulus b d c dodrãs recti, & parũ incli natis, $iquid&etilde; b d c erit quarta pars recti, & $it tant&ecedil; ma- gnitudinis, at <01> duritiei, ac adeò benè coniunctus fer- <table> <row><col>729</col></row> <row><col>972</col></row> <row><col>1296</col></row> <row><col>1728</col></row> <row><col>2304</col></row> <row><col>3072</col></row> <row><col>4096</col></row> <row><col>5461 1/3</col></row> <row><col>7281 7/9</col></row> </table> reis cathenis, ac $tolonibus, ut po$sit re$i$tere machinarũ fe- rentiũ $ph&ecedil;rã librarũ ducentarum (quæ $anè maximæ $unt) quin quaginta: tũc cum <04>portio $exquitertia nouies repeti- ta, ut in numeris uides, efficiat quinquies replicatis nouem ictibus, fiet <04>portio decupla quinquies <04>ducta, qu&ecedil; e$t cen tũ millium ad unũ in quadraginta quin <01> ictibus. Antequã ergo peruenit ad quinquaginta ictus rectos nece$$e erit, ut <foot>multo</foot> <p n=>115</p> multo plures centum millibus ictus excipiat ante <08> euertatur, quæ recta $i e$$et quin quaginta $olùm potui$$et $u$tinere. Quæ ergo hu mana potentia $ufficeret. In arce Medio lan&etilde;$i uidimus uix attactas in illis extuberationibus lapideis. Sed quoniam hic occurritur per inclinationem machinarum, ideò de hoc $ermon&etilde; $um habiturus.</P> <P>Propo$itio cente$imadecimanona.</P> <P>Quantum ictus machin&ecedil; procliuis ad angulũ minua&ttilde; explorare.</P> <P>Huiu$ce cau$a excogitarũt, ut ictus ad perpendiculũ dirigere&ttilde;, & <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> quanquã angulus d e f $it &ecedil;quali angulo a b c, longè tñ maior e$t uis a b <08> d e duplici cau$a, & quoniã a b e$t $ecundũ nat uram impetus <fig> ignis, & etiã eorũ, qu&ecedil; emittun&ttilde; in altum: & &qring;d pars $uperior in b retineat ictũ, in e non retineat. Sed caui tas fiat maior in inferiore parte: cuius experim&etilde;tum quiliber facere pote$t cũ ha$ta. Huic ergo $olertiæ, &qtilde; tormenta iubet altius collocare ob$tat primũ, quod ictus ex decliui $itu periculo$ior e$t <04> machina, & ma ximè &qring;d retro impellit, <09> ex retro ce$$a, po$t <08> exone rata e$t, digno$ci&ttilde;, & ad collimandũ decedit parte ui- riũ $uarum, &qring;d et$i paruũ $it in ductu tñ, & ictuũ mul tiplicatione magnũ affert di$crimen. Habet & cõmo dum $itus muri accliuis terrã $uppo$itã ad perpendiculum, &qtilde; ictum $u$tinet: adeò ut omnib. inuic&etilde; collectis, perinde $it ac $i ex perpen- diculo, et &ecedil;quidi$tanti ad $olũ feria&ttilde;. Venetus. S. aliter Patauij cauit, uidetur <03>, <09> $apienti$simus $it, & eandem $equatur ubi <01> normam, po$t <08> in rotundã figuram totũ urbis ambitum formauit, & fo$$a la ta, ac <04> fundi$sima aqua <03> perenni muniuit, & $ummã muri partem rotundã in hunc modũ effecit cauã <03> interius undi <01>, ne cuniculis <fig> po$$et euerti, à lateribus uerò humiles, ac cra$si$simas turres, ut nul la ui po$$ent dirui, eas <03> tormentis bellicis, undi <01> latera lu$trantib. reple$$et, illud diligenti$sime cauit, ne murus humilior e$$et aduer$a ripa, $ed ad libellã tamen depre$$us, ut etiã machinis in terram exten $is $ph&ecedil;rulæ non tangerent murũ: nam cũ fo$$a $it quadraginta pa$- $uum, excedat aũt murus exterior&etilde; aggerem uno pa$$u, ut quicquid in ambitu e$t uno ictu oculi cogno$ci po$sit, & aggeris angulus ma ior $it uno pa$$u, tũ magis adiecta cra$sitie machin&ecedil; fieri non pote$t, utictus in murũ dirigatur. Eam ob cau$am etiã cauit, ne &ecedil;dificiũ ul- <fig> lum, aut planta, uel colliculus e$$et cir- cum circa urb&etilde; ad tria M. P. laborat hoc periculo h&ecedil;c urbs, ne tota &ecedil;dificijs euer- $is concidat. Turcarũ enim Princeps di- dicit, ut in Nouo ca$tro in Melit&ecedil; In$ul&ecedil; arce S. Elmi appellata plu$ <08> mille icti- bus in $ingulos dies imo M D obtundere <foot>K 4 munitio-</foot> <p n=>116</p> munitiones. Eum <03> impetum producere ad quindecim dies, & ui- ginti tum etiam longius, ut facilè domos omnes euertat, homines occidat: $i qui $uper$unt tot in commodis obruuntur uigilijs, fame, $iti, puluere, ut inutiles red dantur. Ideò huic incõmodo occurrunt aggeribus intra mœnia erectis, in quos uis torm&etilde;torum igneorum emoritur. Sed dices, cur ergo non pro muris erigere eos præ$tat, & minore $umptu $atis? quoniam $ubruuntur à fo$$oribus facillimè, $<*> ad illos peruenire po$sit ho$tis. Ideò intra m œnia utili$simi $unt, <04> mœnijs parum pro$unt. Quod uerò ad te$tudines attinet, $ub qui- bus lat&etilde;t fo$$ores machinæ laterales, & à fronte & ignes, & aqua al- tior <04>hibent omnino iniuriam, qu&ecedil; ab his imminet. Cæterum hu- iu$modi cum in longum differun&ttilde; morbis, illuuie, incõmodis, plu- uijs, frigoribus omnino di$$oluũtur, ut nulla multitudo huic operi $ufficere po$sit. Rhodus, Alba regia, Melita, Ca$trum nouũ, Byzan tium, $i diferri potui$$ent tempora, non ce$si$$ent uictori quantum- uis $uperbo. Vicit pertinacia, audacia <03> $umma, Corcyrã, Viennam capere nõ potuit, quoniam in longũ trahebatur oppugnatio. Mul tæ machinæ, & pauci homines prædæ ob$e$$orum expo$itæ $unt: pauc&ecedil;, & pauci homines ob$idebuntur potius, quam ob$idebunt. Exercitus magnus di$$oluitur, & $emetip$um con$umit, $i nulla fiat acce$sio aut exigua quomodo $tabit: $i magna auxilia omnia cor- rumpuntur. Contrà ob$e$sis auxilia $i ueniant lu$trata, & munita, et omnibus nece$$arijs ornata uiri integri cõtra fatigatos, & fe$$os cor pore, armati contra inermes, alacres contra torpidos $uperueniunt. Ob id præcipuum e$t auxilium pr&ecedil;ter h&ecedil;c his, qui oppugnantur co pia militum, qui per initia nun <08> quie$cant diu noctu <03>, uerũ noctu duo tubicines per$æpe exercitũ in$omn&etilde; in armis tota nocte cõtine bũt. Serio aũt die pugnare, & noctu cũ minimè id $perãt, & fatigati $unt: mira euenire $olent in his in$peratis, ac audacibus eruptionib. per$&ecedil;pe etiã omnino $upra fid&etilde;. Ita nõ conquie$cere oportet donec, uel omnino à cepto de$inat ho$tis, aut locũ occupet $ibi relictũ po- tius <08> qu&etilde; elegerit. nam experimentũ frequens do cuit, ubi illæ ma gn&ecedil; uires $uo arbitrio locũ, qu&etilde; elegerũt obtinere potuerint, tand&etilde; potiri locis quãtumuis munitis in hoc &qring;d diximus cõtra oppona&ttilde;. Etenim $ept&etilde; modis cũ urbes, at <01> arces capian&ttilde;, quorũ duo $unt ex tra &ptilde;$ent&etilde; con$ideration&etilde; ob$idio, &qtilde; magnitudine ambitus loci tol- li&ttilde;, & <04>ditio, &qtilde; cu$to dũ uigilãtia, cuniculi, euer$io $uperioris muri, euer$io ab imo <10> machinas, cuniculi, $eu $uffo$sio, urbis euer$io, $eu &ecedil;dificiorũ: & &qtilde;uo cant aggre$sio, $eu oppugnatio <10> $calas, & crates cũ $agittarijs: his omnib. $atisfactũ puto, pr&ecedil;ter <08> oppugnationi <04>- pter humilitat&etilde; murorũ: nã lignis opplen&ttilde;, at <01> fa$ciculis, terra <03> fo$ $&ecedil;: nihil. n. re$i$tit immen$&ecedil; illi pote$tati, & crudelitati $&ecedil;ui$simorũ ty rãnorũ. Verũ, ut dixi, terra noctu effodi&ttilde;, ligna artificio$is ignib. eru <foot>untur.</foot> <p n=>117</p> untur. Et longum e$t opus $iue per paucos, $iue per multos quis ef- ficere conetur: ut non minus exigat temporis, quàm ob$idio: nam multitudine unus alterum impedit, & mortui uiuos, ut omnino res $it non $peranda ni$i aduer$us inerti$simos. Pontes euertunt machi næ, ignes <03>. Sed ubi etiam muros obtinuerint ob rotunditatem in illis con$i$tere non po$$unt. Inde à defen$oribus propul$antur $ari$- $is, telis, ignibus, tran$uer$is trabibus, machinis: illud<03> accedit com modi, ut quanto plures eo facilius excutiantur. Dixi non debere uereri maxima etiam præterid, quoniam & i$t&ecedil; ip$&ecedil; tanto $anguine acqui$it&ecedil; tanto deorum & hominum iniuria modica $cintilla ignis $ine munitionibus, exercitibus, $iue machinis, ab$<01> terræ cõcu$sio- ne, aut inundatione, uel pe$te euertuntur. In illam mi$eram lachry- mam patris $cintilla ignis inferni, cùm Deo placuerit, mitti&ttilde;, ex qua, quod coalitũ e$t, multis $eculis imperium luxu, crudelitate, $tultitia unius filij, uix uno lu$tro toto di$$oluitur. Hanc $cintillã cum felici etiam genio $ecum ex utero detulit Alexander Magnus. In alijs alij genium $ortiti $unt, alij $cintillã detulere ab Orco. Ex imperio A$$y riorum per luxum Sardanapalus: ex Medorum per $cintillã A$tya- ges: ex Per$arũ per $tultitiam Darius: ex Romanorũ Honorius. Di ces, h&ecedil;c quid ad <04>portionem? Imò uelut machina ad perpendiculũ librata pauculo illo puluere Pyrio urb&etilde; euertit, ita $cintilla illa infer ni ignis $emini magni tyranni indita euertit at <01> di$$oluit totum re- gnum $ine machinis, ut dixi, uel exercitibus ullis, & quod maius e$t remedio nullo. Sed puerulo indito luxus, ignauiæ, crudelitatis at <01> $tultiti&ecedil; fontibus, mirabile dictu $anè, & ad proportionem diuino- rum in$trumentorũ pertinens. Sed redeamus ad in$titutum: Video enim, quid po$sit obijci, $cilicet muros cra$$os, et altiores tueri urb&etilde; & ædificia illius po$$e ab$<01> aggeris erectione, & $i diruan&ttilde; manere etiam nihilominus imo magis, quod e$t terram, u$<01> quoniã eadem ratione manet, quia concuti non po$sit à machinis: nec ho$tes id cu raturos, $perantes hoc $olũ $ufficere, &qring;d mœnia $olo æquen&ttilde;, at <01> id factũ e$t Mediolani, & in arce eius, tũ Papi&ecedil; & in Cremonen$i arce. Verùm ni fallor, ut paruis arcibus à tanta ui tormentorum nullum e$t præ$idiũ, aut $alutis $pes, ita ne<01> cõuenit, ut muris humilibus ag geri confidant, nam & pauci homines tanto labori non $ufficerent, & agger cum fo$$a effo$$a $cilicet terra defen$ores nimis in angu$tũ cogeret. At in urbibus contra eueniet: muris enim erectis altius ma chinæ lapidum fru$tis hominem occid&etilde;t: an percu$$a $uperiore par te ob coniunctionem inferior concutitur, & in de totũ $imul cadit, ut uidimus Papi&ecedil;, quo cad&etilde;te, & fo$$a impletur, & <G>t<05>kole/tois</G> facilior aditus ad $ubruendum reliquas partes pr&ecedil;be&ttilde;: imò percul$i defen- <foot>$ores</foot> <p n=>118</p> $ores $æpe muneris $ui obliui$cuntur, de$erta<03> ea parte liberum ingre$$um ho$tibus exhibent. Tum uerò magis, quod non confi- dunt animo nõ ad id parato, po$$e aggerem $ufficientem, & in tam breui tempore ex$truere, & etiam intelligunt, antequam erigatur, patere à lateribus introitum ho$tibus.</P> <P>Propo$itio cente$imauige$ima.</P> <P>Proportionem partium nauis ad eundem obliquum uentum explorare.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Sint mali in naui a b c, ad b e, c fuentus è regione g h k etiam ad perpendiculum feratur, ut anguli g d a, h e b, k f c $int æquales, dico tamen diuer$o modo affici: nam cum premitur a uer$us l, c premi- tur uer$us f: at $i prematur cuer$us n a, premitur uer$us d, at $i pre- <fig> matur b uer$us m, & a uer- $us l, $ed non quantum ex g d, & cuer$us n, $ed non quantum ex k f, ab eodem ergo uento contrarij mo- tus efficiuntur ex uelorum diuer$itate, etenim per uen tum d feretur ad meridiem nauis, & per uelum f ad Se ptentrionem etiam didu- cto auxilio e l a ui, quanto magis cum illo: & $i uen- tus excipiatur in f uelo, non iuuabit clauus, & $i in d dirigetur, & temperabitur motus, & $i in e medio modo. Ergo $i uentus feratur rectè iuuabit, ut dici $olet omnibus, & plenis uelis excipere, $i ex obliquo demittere antennam puppis, $in autem ual- de obliqu us $it, $olo proræ uelo utemur. Si ualidior quàm oportet humiliore. Atque hæc po$tmodum $unt diligenter numeranda, ac metienda: nunc $ufficiat cau$am reddidi$$e, & admonui$$e diuer$i- tatis motuum, quæ ex uelis contingit: nam eò fertur nauis, quò prora dirigitur. Ergo cum puppis tanto feratur uer$us meridiem a b, quanto prora uer$us meridiem a d, & quanto puppis fertur uer $us meridi&etilde;, tanto prora fertur uer$us boream, igitur quanto prora fertur uer$us meridiem a d, tanto uer$us boream a b f, $ed $itus claui pote$t multo plus in comparatione ueli d, quam f $cilicet, quia di- $tantia a b a e$t o a, & di$tantia e c e$t o c, tanto plus ergo pote$t cla- ui $itus in comparatione ad uelum d, quam f, quanta e$t proportio <foot>o a, ad</foot> <p n=>119</p> o a, ad o c, igitur clauus e$t longè potentior in comparatione ueli d, quam f, ergo uelum d minus agit nauim, quam f. Sed ut extrema $e habent, ita medium eorum comparatione, igitur malus b e uali- dior e$t, multo d a, & infirmior c f. Verùm, ut dixi, ob $itum $impli- citer ualidius e$t, uelum e quam f, & etiam quia, ut dixi, altior & era$sior $olet e$$e, ideo multo ualidior tribus his cau$is, quàm e f: adde quartam quòd uelum habet maius, antiquo tempore uoca- tum acatius. At ut etiam docui c b non e$t in medio, nec æquidi$tat ab a d & c f, $ed in clinatur ad proram ideo<03> imbecillior: cum ergo $it æqualium, & paulo maiorum uirium, quàm c f, & tutior, & me- lius agatur per clauũ quàm c f, & $it a d nimis iu$to imbecillis, pro- pterea b e mali, & ueli maximus e$t u$us: adeò mali nomen per an- tonoma$iam de ip$o $impliciter intelligatur.</P> <P>Propo$itio cente$imauige$imaprima.</P> <P>Flabelli uires, at <01> naturam declarare.</P> <P>Sit flabellum a b c appen$um, ut $olet, in a, & moueatur motu <marg>C<I>o</I>m.</marg> qua$i circa axem p a q in parte inferiore, & aër comprehen$us $ub b h k, & $patium $it 1 m figuræ nauicularis, quæ con$tat e$$e par- tem cylindri inanis ex formatione ab Euclide $cripta: nam $i pro- poneretur p a q ad perpendiculum $uper$tans plano, fieret circum- ducta a b c $uperficie, quæ e$$et lata $uperius, $icut etiam inferius <marg>L<I>ib.</I> 11. <I>diff.</I> 21.</marg> cylindrus: at $uperius a b tenuis e$t, & angu$ta, ergo fiet pars cy- lindri inanis: quia non circunuoluitur, donecredeat. Ergo per di- cta $uperius $ectio illius p r q s per axem e$t pars cuiu$dam elly- <marg>P<I>ropo$.</I> 6<*></marg> p$is. Et $ectio quæuis planæ $uperficiei æquidi$tans a b cuelut tu, item <01> æquidi$tans axi p a q e$t $uperficies rectangula, quarum una e$t $imilis, & æqualis b h k, e$t in una $uperficie cum axe p a q alia uerò e$t æquidi$tans eidem axi maior aut minor æquidi$tanti- um, & ip$a laterum, at <01> rectangula ac $i cylindrus $tans axi plano æquidi$tanti $ecaretur iuxta longitudinem $eu altitudinem $uam: & manife$tum e$t, quod i$ta duo plana, & eorum $uperficies $ecant $e mutuò ad rectos angulos.</P> <P>Quibus con$titutis, qui $tabunt iuxta l, & m longitudines aëris moti, & loci, per quem tran$it flabellum, $entient magnum uentum, quoniam cum corpus m x l ab extremis partibus $it elatius a b ex- tremis, $tantes, & alti tangentur à uento agitato. Si uero $edeant, aer primum non attinget illos, ut etiam quia $ur$um pellitur non per- ueniet ad illos, imò diffugiet, ergo non refrigerabuntur. Qui uerò à lateribus l x m $tabũt hiccinde, uelut in f g, $i $teterint, nõ refrigeræ bũtur, quia quãdo flabellum erit in l, uel m aer de$cendet, ergo fugi et ab illis, cum autem fuerit in x, erit in loco humiliori, & mouebi- <foot>tur</foot> <p n=>120</p> tur diuer$a ratione, quippe ab f in h, & non ad latera, ergo ne que <fig> contactu, neque motu, qui fiet per æquidi$tantem f, & g non poterunt refrige- rari. Sed $i humili loco $e- deant, quoniam aër de$cen dit, ex l & m uer$us x, & etiam, quia erunt proximi h k, quãdo fuerit in x, refri- gerabun&ttilde; ualde. Qui aut&etilde; erũt iuxta h & k minus re- frigerabun&ttilde; utri$<01>, $ed pau lulum in reditibus propin quis, & ne<01> $tantes, ne<01> $ed&etilde;tes, $ed $i altius attolla- tur h k. Rur$us $i b h k fue- rit grauior eodem, ut de- $cendat tanto impetu, quã- to a$cendit attractum, ut pote ex ligno tenui nucis, tunc multo magis refrige- rabit, & procul, nõ ob uim ualidiorem, $ed quoniam celerius occur$antes $ibi contrarijs motibus, ac ue- hem&etilde;tibus fiet colli$io par tium aëris, & ideo in ambitum impelletur, & undique cubiculum refrigerabit, quod non faciet maius longè flabellum lento motu agitatum, aut ex materia leui. Idem multo magis contingeret, ubi duo e$$ent flabella laquearibus appen$a, quæ ad perpendiculum a&etilde;rem mouerent, $eu quod $uperficies eo modo $e haberent: & $i flabella rotunda e$$ent, tunc maiorem ambitum aëris occuparent, & uelocius deficientibus angulis mouebuntur.</P> <P>Propo$itio cente$imauige$ima$ecunda.</P> <P>Contemptus circa $olis rationem in umbris declarare.</P> <P>Con$tat primùm $olem, & excentro, & toto eius ambitu illumi- nare hanc primùm diuer$itatem, quæ aliquando tota diametro computata dimidium unius partis totius cœli excedit: $cioterici negligunt, ut exiguam. Secundò etiam diuer$itatis illius, qua mo- dò à terra uer$us ab$idem defertur, modò ad terram de$cendere to- tidem uariata altitudine, non parum nullam habent rationem, $eu <foot>quòd</foot> <p n=>121</p> quòd tanta ne $it, ut euidentem in gnomonibus faciat uarietatem, $eu quòd incertum adhuc $it, an id uerè $oli accidat. Tertium e$t fi- nis umbræ ip$ius gnomonis, qui incertus e$t, ut pars non contem- nenda in dubium uertatur, quoniam $en$im ex ob$curo in illumi- natum feratur, attamen contemnitur etiam. Quartum quòd cum $ol moueatur in $pira, fingitur qua$i in parallelo æquinoctiali circu lo circumagatur ab his, qui horologia de$cribunt. Quintum quòd cum inæqualiter in orbe $uo moueatur quanuis exigua $it hæc dif- ferentia, æqualiter tam&etilde; moueri præ$upponitur. Sextum e$t, quòd dies æquales $upponuntur, qui tamen tum ex ratione partis pera- gratæ, tum ratione a$cen$us eiu$d&etilde; $unt inæquales, & tam&etilde; hæc in- qualitas etiã in horarũ computatione prætermittitur. Sed & h&ecedil;c ut prior ratione magis, quã $en$u deprehendi&ttilde;. Septimũ e$t di$crimen, &qring;d oritur ex ui$us circulo $eu horizonte, & circulo tran$eunte p cen trũ mundi, nam horizon uere tãto minor e$t circulo magno, quan- tum e$t $emidiameter terr&ecedil;, cõparatus ad $emidiametrũ orbis cœle $tis, $ed e$t in$en$ilis quantitatis. Octauũ e$t, quod trianguli ex gno- mone umbra, & radijs $olis latera non mutant lineas, quæ à $ole ad centrum terræ deueniunt, nec quòd maius e$t, radius $olis ad uerti- cem hominis breuior habetur femidimetiente. Hæc igi&ttilde; omnia $ci- otericorũ opifices non ob$eruant, $ed negligunt. Verum quatuor tantùm altitudinem poli regionis locum $olis in eclyptica locum $olis in circulo æquinoctialis, uel æquinoctiali parallelo, ex qui- bus tribus fit altitudo $olis, una in circulo $cilicet uerticali ab hori- zonte, & differentia lineæ meridianæ à linea uer$us polum, quam <marg>P<I>ropo$.</I> 84.</marg> o$tendit lapis Herculeus, de qua dictum e$t $uperius.</P> <P>Propo$itio cente$imauige$imatertia.</P> <P>Cognita ratione umbr&ecedil; ad gno monem $inum, & arcum altitudi- nis ab horizonte quouis tempo- re digno$cere.</P> <fig> <P>Sit circulus magnus, in quo $ol <marg>C<I>o</I>_{m}.</marg> a f g $uper$tans ad perpendicu- lum circulo ui$us f e g, quos mani fe$tum e$t tran$ire per idem cen- trum mundi c, quia magni $unt, & $it c d erecta ad perpendiculum $uper f g, nam perinde e$t per $e- ptimum contemptum, ac $i $uper- <marg>P<I>ræced.</I> P<I>ro po$.</I></marg> ficies horizontis tran$eat per terr&ecedil; centrum, & pedes per octauum, <marg>P<I>rop.</I> 113.</marg> ideo proportio e c ad c d umbræ ad gnomonem, ut b e ad b a, ergo <foot>L per</foot> <p n=>122</p> per demon$trata b a cognita in comparatione a d e a, e a autem per octauum contemptum e$t dimetiens circuli, ergo a b $inus notus, & arcus f a, quod e$t primum cognitum. Et hic quidem circulus uerticalis dicitur, quia per illum tran$it, aliter non e$$et ad perpen- diculum horizonti.</P> <marg>C<I>or</I>^{m}. 1.</marg> <P>Ex hoc $equitur, quod altitudines $olis æquales omnes in uno $unt circulo horizonti parallelo. Et $i $ol fuerit in uno circulo ho- rizonti parallelo, altitudines $olis, & umbræ magnitudines æqua- les erunt.</P> <marg>C<I>or</I>^{m}. 2.</marg> <P>Sol ni$i bis in una die pote$t e$$e in circulo horizonti parallelo, $emel ante meridiem, & $emel po$t, tantundem ab eodem di$tans.</P> <marg>C<I>or</I>^{m}. 3.</marg> <P>Cum ergo ita $it, nece$$e e$t umbras æquales, & circulum hori- zonti parallelũ fieri $ub in æqualibus horis in diuer$is $emper die- bus, præterquam cum in punctis fuerit æqualis ab &ecedil;quinoctiali, & in eandem partem declinationis, & hoc bis cõtingit $olum in anno pro quolibet circulo parallelo, $icut in eodem die etiam bis tãtum, ut dictum e$t.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Nam exempli gratia, cum $ol e$t in initio Capricorni, & in Cœli medio, minima e$t umbra eius diei, & totius anni. Cum ergo fuerit ante meridiem, uel po$t, erit umbra maior ex $uppo$ito $ecudo um- bra meridiei: at ei æqualis poterit e$$e umbra meridiei alterius diei ex primo $uppo$ito, ergo umbræ æquales diuer$orum dierum fi- unt $ub diuer$o $itu $olis, quo æd circulum meridiei, quod erat de- mon$trandum.</P> <marg>C<I>or</I>^{m}. 4.</marg> <P>Ex hoc $equitur, quod horarum determinatio fit $ecundum line- am in æqualem obliquam, quæ toti anno $eruiat, ut æqualium um- brarum determinatio hararum & partium eius numerum.</P> <marg>C<I>or</I>^{m}. 5.</marg> <P>Ex quo colligitur modus faciendi gnomonem, $eu per umbras rectas, $eu per uer$as, qui docebit toto anno non $olũ horas, $ed mo menta pul$uũ, de quibus dictũ e$t quod MMMDC horam perficiũt.</P> <P>Propo$itio cente$imauige$imaquarta.</P> <P>Proportionem umbræ uer$æ e$$e ad gnomonem, uelut gnomo- nis ad umbram uer$am.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Vmbra uer$a dicitur, quoties gnomo in pariete ad perpendicu- lum figitur, $ic ut gnomo æquidi$tet circulo horizontis. Sit ergo paries c k ad perpendiculum f g, & h k a d gnomo ad perpendicu- lum parietis & $ol, ut prius in a, & $it primo k h tantæ longitudinis <marg>P<I>er</I> 15. <I>pri mi</I> E<I>lem.</I></marg> ut umbræ locus $it pũctus d, ut $it radius a h d e, erit<03> angulus d u- trin <01> æqualis, & propterea triangulus k h d $imilis d c e. Sit modo <marg>P<I>er</I> 4. <I>$exti</I> E<I>lem.</I></marg> gnomo maior m l ip$o h k & c l maior c k $eu æqualis, & quam an- guli k & l recti $unt, & anguli l m n, & k h d æqualis, quia a n, & a c <foot>$unt</foot> <p n=>123</p> $unt æquidi$tantes per octauum contemptum, erunt per dicta tri- anguli $imiles, igitur proportio l m gnomonis ad l n umbram ut k h gnomonis ad k d umbram, $ed k h, ad k d, ut c e umbræ ad c d gnomonem: igitur proportio l m gnomonis ad l n umbrã, ut um- bræ c e ad c d gnomonem, quod fuit demon$trandum.</P> <P>Ex hoc primùm patet & pr&ecedil;cedenti, quod cognita proportione <marg>C<I>or</I>^{m}. 1.</marg> umbr&ecedil; uer$&ecedil; ad gnomonem cogno$citur $inus $olis, & arcus altitu- dinis in circulo magno, & e$t altitudo ab horizontis parte, quæ proximior e$t loco $olis, ut demon$tratum à nobis in Geometricis.</P> <P>Se quitur etiam, quòd cùm umbra fuerit æqualis gnomoni, $eu <marg>C<I>or</I>^{m}. 2.</marg> recta, $eu uer$a $olis, uel Lunæ, uel $tellæ, altitudo erit partium qua- draginta quin <01>: nam anguli d & e, uel d & h erunt æquales: igitur arcus f a medietas quartæ ideò partium xlv. Et $i gnomo fuerit ma- ior umbra uer$a, uel minor recta, erit arcus f a minor xlv partibus, $i contrà maior. Et hoc ubi<01> terrarum. Et ubi non po$sit tantundem eleuari, ut quando $ol e$t $ub circulo capricorni, nunquam nobis <marg>P<I>er</I> 5. <I>primi</I> E<I>lement.</I></marg> gnomo æquabitur umbræ rectæ $ed $emper erit minor, & $emper <marg>P<I>er ult. $exti</I> E<I>lem.</I></marg> maior umbra uer$a pari ratione.</P> <P>Propo$itio cente$imauige$imaquinta.</P> <P>Proportionem dimetientis, & peripheri&ecedil; cuiuslibet circuli paral leli æquinoctiali per cognitam partem magni circuli demon$trare.</P> <P>Hæc erat tam clara, ut hic locum non mereretur: tam nece$$aria <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> huic propo$ito, ut non potuerit omitti. Sit ergo Aequinoctij circu- lus a b portio circuli magni nota, a c parallelus circulus, &ecedil;quinoctij circulo c d, erit igitur $inus c d notus. Et ideò quadratũ c d notum, <marg>P<I>er</I> 3. <I>tertij,</I> & 8. & 17. <I>$exti</I> E<I>lem.</I></marg> ergo & pars utra<01> b d d a nota. Quare detracta a d ex d b relin qui- tur d g æqualis f c diametro paralleli a$signari. Quare proportio <marg>P<I>er</I> 5. <I>$ecu<*> di</I> E<I>lem.</I></marg> a b ad e f nota ex obiter $uprà demon$tratis, & pariter ambi- tus circuli a b ad ambitum circuli c d, e$t enim ut dimetientis ad di- <marg>P<I>er</I> 113. P<I>ropo$.</I></marg> metientem.</P> <P>Propo$itio cente$imauige$ima$exta.</P> <P>Circuli horarij naturam declarare.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <fig> <P>Circulus horarius e$t circulus magnus tran$iens per $ol&etilde;, aut lunam, aut quoduis $ydus, de quo agitur, & per polos mundi, ideò differt à circulo priore altitudinis So- lis, quia ille $tat ad perpendiculum $uper horizontem, ni$i cum tangitur uice meridi- ani, uter<01> tamen tran$it per centrũ mundi, ac $olis. Hic etiam ad $imiles partes æqui- noctij circulum, & omnes parallelos $ecat. <foot>L 2 Et</foot> <p n=>124</p> Et principalis e$t meridianus, ideò ab illo A$trologi horas utrin<01> ante, & po$t numerant. Ideò clarũ e$t, quòd horæ à meridie com- putatæ $unt cõmunes, habitantibus $ub quauis altitudine poli, & ubiuis $it, $ol modò regiones æqualiter di$tent à fortunatis, $eu $int in eadem longitudine.</P> <P>Propo$itio cente$imauige$ima$eptima.</P> <P>Data Poli altitudine ortus amplitudinem demon$trare.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Sit horizon a d b æquinoctij circulus <fig> a k f eclyptica c g, & punctus ortus in ea g. & c initium arietis, & g b amplitudo ortiua & c e, c f quartæ circulorum, ut $it e f maxi- ma $olis declinatio, & polus mundi borea- lis l, quia igitur l d nota e$t ex $uppo$ito, & l k quadrans erit k h re$iduũ ad dimidium circuli notum. Quia uerò æquinoctium, & Meridianus $ecant $e ad angulos rectos, & b a æquidi$tat ab utro <01> polo, erit b polus h d, quare b k, quarta circuli, & angulus k rectus. Igitur $umus in di$po$itione tabula- rum primi mobilis, ergo etiam oppo$itus triangulus, qui ei e$t æqualis, & &ecedil;quiangu- lus in eadem di$po$itione b m d, quare cum data $it g n declinatio pũcti g dati, datus erit, & arcus g b quæ$itus.</P> <P>Propo$itio cente$imauige$imaoctaua.</P> <P>Nota amplitudine ortus cuiu$<01> pũcti arcũ $emidiurnũ inuenire.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Sit in eadem figura nota g b, uolo illius arcũ $emidiurnum. Cum ergo g n $it declinatio, erit pars arcus Meridiani horarij per polos tran$euntis, compleatur ergo l g n o, & quia g n nota e$t, quia de- clinatio puncti dati, & g b nota ex $uppo$ito, & f angulus rectus, quia e f e$t portio meridiani, erit b n nota differentia a$cen$ionis a quarta circuli k b, igi&ttilde; tota k n arcus $emidiurnus. Quoniã g p paral lelus $imilis e$t k n, & in eo reuolui&ttilde; Sol: ergo quando enim perue- niet ad p. Po$$umus etiam $ine inuentione arcus ortus amplitudi- nis per triangulum k m d ex notitia g n cogno$cere eandem n b.</P> <marg>C<I>or</I>^{m}.</marg> <P>Ex his duabus $equitur cõuer$a $cilicet, <09> data magnitudine diei cuiu$cũ<01> in quauis regione nota erit poli altitudo eiu$d&etilde; regionis.</P> <P>Propo$itio cente$imauige$imanona.</P> <P>Data altitudine $olis in quacun<01> regione quacun<01> die di$tan- tiam $olis à Meridiano cogno$cere.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Sit Horizon a b c d æquinoctij circulus b e d. Meridianus a e c Polus mundi Borealis f uertex, g, pũctus in eclyptica h ducatur ex <foot>polo</foot> <p n=>125</p> polo mundi circulus horarius f h k ad æquinoctij circulum, & uer- ticalis circulus p h l u$<01> ad Horizontem, & circulus parallelus æ- quinoctij circulo h m, $it ergo h l altitudo $olis nota, igitur h g nota <marg>P<I>er</I> 123. P<I>ropo$.</I></marg> erit re$iduum quart&ecedil; circuli, & $imiliter h k <fig> nota, quia declinatio puncti dati in eclypti ca e$t n nota dies, & locus $olis ex $uppo$i- to ergo nota fh re$iduũ quart&ecedil; circuli no- ta e$t etiã g e, quæ e$t &ecedil;qualis altitudini po- li ex $uppo$ito, ergo re$iduum quadrantis f g, ergo triangulus f g h notorum laterum ergo notus angulus f, ergo arcus k e di$tan <marg>P<I>ropo$.</I> 34. <I>lib.</I> 4.</marg> tia $umpta in æquinoctij circulo puncti h, cui $imilis e$t arcus h m ex parallelo h m, nam quando k perueniet <marg>D<I>e</I> T<I>riang.</I> M<I>onteregij.</I></marg> in e h perueniet in m, & in æquali tempore, qua diui$a per quinde- cim gradus, habebimus horas di$tãti&ecedil; $olis à Meridie ante, uel po$t, & minuta horarum dando quibuslibet gradibus quatuor minuta horæ, & quibuslibet minutis graduum quatuor $ecunda horæ, & ita habebimus tempus exacti$simum à Meridie in quacun<01> regi- one, & in quacun<01> hora diei.</P> <P>Propo$itio cente$imatrige$ima.</P> <P>Data regionis altitudine, & loco $olis proportionem gnomo- nis tam ad umbram rectam, quam uer$am, uel etiam in cylindro de- terminare.</P> <P>H&ecedil;c e$t propo$itio illa pulcherrima, quam tot ambagibus tradi- <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> dere antiqui cum $uis analematibus, & $cioteris, nec tamen demon $trationem, nec rationem exactam in$trumenortum con$tructio- nem, qua po$$emus per umbras rectas uer$as, & cylindricas $cire ad unguem, qualis hora, & minutum, & $ecundum diei e$$et quocun- que anni tempore. Pleri<01> autem tam laborio$è id conati $unt de- mon$trare, ut $tudio$os deterruerint ab opere: res autem ip$a facil- lima e$t. Propo$ita ergo Poli exacta altitudine $olis in Meridie declinatione addita uel detracta, habebis re$iduum eius ad qua- drantem f g, & $imiliter habebis ex declinatione nota loci $olis de- tracta à quadrante f h & iuxta horam tuam, & minutum multi- <marg>P<I>er</I> 28. <I>li.</I> 4. <I>loan. de</I> M<I>on teregij de</I> T<I>riang.</I></marg> plicatum per quindecim arcum k e quare angulum f, ex quo arcum g h, quare re$iduum h l, igitur punctum umbr&ecedil; rect&ecedil;, uel uer$&ecedil; ip$i- us gnomonis ad unguem, & ita con$titues horologium exacti$si- mum $ecundum ea, quæ dixi in Corrolarijs $upradictis, & quia ho- <marg>P<I>er</I> 123. <I>uel</I> 124. P<I>ropo$.</I></marg> rizon a b c d $ecat æquinoctialem in c&etilde;tro terræ ducta g h k, erunt anguli b h g, & k h l &ecedil;quales. Igitur po$ito g ortu puncti eclypti- cæ, erit g b ortus amplitudo nota, & ideò angulus b h g, & k h l <foot>L 3 notus,</foot> <p n=>126</p> <marg>P<I>rop.</I> 123. C<I>orol.</I> 1.</marg> notus, & ita extendemus per totum annum. Cum uerò fuerit g ele- uatus erit, ut demõ$tratum e$t, in circulo magno uerticali, ergo an- gulus fiet in eodem circulo, quia gnomo e$t etiam in illius $uperfi- cie. Ergo angulus erit æqualis angulo, quem faceret $ol, $i oriretur <marg>P<I>er</I> 127. P<I>ropo$.</I></marg> <fig> in puncto horizontis, quem $ecat circulus uerticalis $ub ea altitudine: $ed his e$t no- tus: nam in priore figura g h f e$t notus ea- <marg>P<I>er</I> 15. <I>pri mi</I> E<I>lem.</I></marg> d&etilde; ratione, qua f, & ideò ei oppo$itus k h n, & k rectus, e$t enim f polus b d, & h k decli natio nota ergo k n, & h n notæ. At e k, & g h fuere notæ. Ergo e n, & g n, quare re$i- duæ n l & n b notæ. E$t autem angulus l rectus. ergo ortus amplitudo punctil nota $cilicet arcus l b, ergo in præ$enti figura angulus m h b, ergo k h l. igitur poterimus $tatuere angulos umbrarum, & iam po$$umus determinare magnitudinem: ergo punctum ad ungu&etilde; umbr&ecedil; qua- libet hora, & parte horæ $ingulis diebus in quacun<01> regione datæ altitudinis poli uer$a, & rects. In cylindrica autem eodem modo $i- cut in uer$a, e$t enim $pecies umbr&ecedil; uer$&ecedil;, ni$i quod analema ob ob- liquitatem cylindri melius aptatur, rotundum $cilicet cum rotũdo.</P> <P>Propo$itio cente$imatrige$imaprima.</P> <P>Si lineæ alicui dupla alterius adiunga&ttilde;, erit <04>portio duarum ad primã maior, quam dupli, cum prima ad primam cum una adiecta.</P> <P>Sit a b linea, cui adiecta $it b c, & rur$us ad b c c d æ&qacute;ualis b c dico, quod proportio a c ad a b e$t maior, quàm a d ad a c. Propor <marg>C<I>o</I>m.</marg> tio enim c d ad c a minor e$t, quàm ad a b per octauam quinti E- lementorum. Ergo minor d c ad c a quàm c b ad a b, quia b c & c d $unt æquales, ideò æqual&etilde; habent proportion&etilde; ad a b: igi&ttilde; coniungendo per 28. Quinti propor <fig> tio d a ad a c minor, quam c a ad a b, quod erat demon$trandum.</P> <marg>P<I>er</I> 7. <I>quin- ti</I> E<I>lem.</I></marg> <P>Propo$itio cente$imatrige$ima$ecunda.</P> <P>Si ad duas lineas, quarum una alteri dupla $it eadem linea adda- tur erit aggregati ex minore, & a d adiecta ad ip$am minor&etilde; minor proportio quam aggregati ex maiore, & adiecta ad ip$am maio- rem duplicata.</P> <marg>C<I>o</I>m.</marg> <P>Sint duæ line&ecedil; a b, & c d. & $it c d dupla ad a b, ad datur cõmunis <fig> b e, & uo cetur iuncta c d, d f dico, quod proportio e a ad a b, e$t mi- nor duplicata f c ad c d, adij cia- tur d f æqualis g f, quia ergo g d e$t dupla ad f d, ideo ad e b c d autem e$t du pla ad a b, tota igitur <foot>g c</foot> <p n=>127</p> g c duplatoti e a. quare ut g c ad g d ut e a ad e b permutãdo, & per euer$am ut e a ad a b, ita g c ad c d, ut g c ad c d cõponitur ex g e ad f e, & f c ad c d, igitur e a ad c b componitur ex ei$dem. Proportio autem g c ad f c e$t minor, quam f c ad c d, igitur minor quàm du- plicata f c ad c d. con$tat uerò ex ei$dem, quod proportio c a ad a b maior e$t duplicata g c ad f c.</P> <P>Propo$itio cente$imatrige$imatertia.</P> <P>Si fuerint duæ quantitates, quarum una alteri dupla $it: minua- tur à minore quædam quãtitas eadem<01> maiori addatur, erit mino- ris ad re$iduũ maior <04>portio, quã aggregati ad maior&etilde; duplicata. Si uerò minori addatur et à maiore detrahatur, erit aggregati ad mi nore m minor proportio quàm maioris ad re$iduum duplicata.</P> <marg>C<I>o</I>m.</marg> <fig> <P>Sit a b dupla c d, & addatur quæ- dam ad b a, qu&ecedil; $it a g, eadem detraha- tur ex c d & $it c h, dico, quod propor- tio e d ad d h maior e$t, quam duplica- ta g b ad a b, & rur$us $i quædam ad c & minuatur ex a b utpotè c f addatur c d, & a e minuatur ex a b, erit proportio f d ad c d mi- nor duplicata a b ad g e. Primũ $ic re$ecentur a n & k l æquales $in- gulæ c h, igitur a l dupla e$t e h & a b fuit dupla a d, c d igitur ut in priore con$titutioné præcedentis a b ad l b, ut c d ad h d & a b ad b l maior, quam duplicata a b ad b k ut minor quàm k b ad b l. hoc enim demon$tratum e$t in fine, igitur c d ad h d maior, quàm du- plicata a k ad k b, $ed a k ad k b maior e$t per uige$imam tertiam, hu- ius $cilicet per demon$trationem illius, quàm g b ad b a, igitur mul- to maior c d ad d h, quàm duplicata g b ad b a, quod e$t primum.</P> <P>Secundum $ic per eadem, addito enim duplo f c ip$i <fig> a b ut in $ecunda figura, & $int a m, & m n erit f d ad c d, ut n a ad a b, quare cum n a ad a b $it minor duplicata per præcedentem in b ad a b, & a b ad e b $it maior, ut demon $tratum e$t in uige$ima tertia huius, quàm m b ad a b, erit f d ad d c multo minor duplicata a b ad b e, quod e$t $e- cundum.</P> <P>Propo$itio cente$imatrige$imaquarta.</P> <P>Si rectangula $uperficies $it cuius pars tertia quadrata $it, corpus quod ex latere quadratæ in re$iduum $uperficiei con$tat maius e$t quouis corpore ex eadem $uperficies aliter diui$a con$tituto.</P> <P>Sit rectangulum a c cuius tertia pars c e $it quadrata, dico quod <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> corpus, quod cõ$tat ex e d in a b e$t maius omni corpore, quod fue rit ex latere partis $uperficiei a b in reliquam part&etilde;. Si non diuidatur uel $upra uel infra, & primo in f erit aut&etilde; <04>portio e d ad d f, ut e c ad <foot>L 4 e k,</foot> <p n=>128</p> e k, & f a ad a e, ut $uperficierum ip$a- <fig> rum per primam $exti Elementorum: at per præcedentem maior e$t proportio e d ad d f, quàm a f ad a e, duplicata igi- tur maior e$t proportio e d ad eam, qu&ecedil; pote$t $uper f c $uperficiem, quam f a ad a e, igitur maior, quàm a k ad a b ex pri- ma $exti Elementorum: igitur per trige $imam quartam undecimi. Parallelipe- dum ex e d in a b maius e$t parallelipedo ex ea, quæ pote$t in f c $u- perficiem in ip$am $uperficiem a k. Si uerò diui$io facta fuerit in g, con$tat ex præcedenti, quod minor e$t proportio g e ad e d, quàm $it duplicata e a ad a d a g, eam igitur minor proportio eius lineæ, quæ pote$t in g e $uperficiem ad e d quam a b ad a h, igitur paralle- lipedum ex e d in a b e$t maius parallelipedo ex ea, quæ pote$t g c in a h cum $it a b ad a h, ut dictum e$t, uelut a e ad a g.</P> <marg>C<I>or</I>^{m}.</marg> <P>Manife$tum e$t autem, quòd tale corpus e$t æquale duplo cubi lateris partis tertiæ quadratæ.</P> <P>Propo$itio cente$imatrige$imaquinta.</P> <P>Si linea in duas partes, quarum una $it alteri dupla, diuidatur erit, quod fit ex tertia parte in quadratum re$idui parallelipedum maius omni parallelipedo, quod ex diui$ione eiu$dem lineæ crea- ri po$sit.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Sit a c dupla b c, & $it quadratum ad ip$ius a c, dico parallelipe- <fig> dum ex b c in a d maius e$$e quouis alio ex diui$ione lineæ a b $imiliter creato. Secetur primo in e, & fiat quadratum a f, erit<03> per uige$imam quintam. Huius proportio c b ad b c maior duplicata a e ad a c, quare ma- ior, quam a f ad a d per uige$imam $exti Ele mentorum, igitur per trige$imam quartam undecimi, Parallelipedum ex b c in a d maius e$t parallelipedo e b in a f, quod e$t demon$trandum. Si uerò diui$io cadat in g, fiat qua- dratum a h, et erit per uige$imamtertiam huius proportio g c ad c b minor, quam duplicata c a ad a g: igitur minor, quàm a d ad a h, igi- tur per eandem parallelipedum ex c b in a d maius e$t parallelipe- do ex g b in a h.</P> <marg>C<I>or</I>^{m}.</marg> <P>Ex hoc liquet quòd parallelipedum illud erit quadruplum cu- bo minoris partis, & dimidium cubi maioris.</P> <foot>Propo$itio</foot> <p n=>129</p> <P>Propo$itio cente$imatrige$ima$exta.</P> <P>Denominationes in infinitum extendere.</P> <P>Inquit Euclides, $i fuerint quotlibet quantitates ab uno in conti- <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <marg>L<I>ib.</I> 9. P<I>ro po$.</I> 8.</marg> nua proportione, erit tertius numerus quadratus, & omnes alij $e- quentes uno intermi$$o. Tertia igitur in comparatione ad $ecun- dam etiam, quod non $it numerus, e$t quadratum: e$t enim tertia ab uno quadratum $ecundæ, quæ e$t proportio. Detracto igitur uno omnes quantitates lo co pari $unt quadratæ: ut $cias ergo cu- ius $unt quadratæ diuide per medium, & erit quadratum illius, er- go quadrage$ima erit quadratum uige$imæ, & uige$ima decimæ, & decima quintæ, & uige$ima$exta tertiæ decimæ, & ita de alijs. Iuxta hoc dicemus, quod $ecunda erit quadratũ, & quarta quadra- tum quadrati, & octaua quadratũ quadrati quadrati. Et $extadeci- ma quad quad quad quad. & ita trige$ima $ecunda quad quad quad quad quad. Quod autem quad. e$t quarta in ordine, ideo & octa- ua & duodecima & decima$exta, & $ic de alijs $unt quadrata qua- drati, & $icut quarta e$t quadratum quadrati primæ, ita octaua $e- cundæ, & duodecima tertiæ, & $extadecima quartæ, & uige$ima quintæ, & ita $emper diuidendo per quatuor.</P> <P>Secunda regula dicebat ibidem Euclides, $i fuerint quotlibet <marg>L<I>ib.</I> 9. P<I>ro- po$.</I> 8.</marg> quantitates ab uno in continua proportione quartus, ab uno erit cubus $upple $ecundæ, & ita duobus $emper intermi$sis, uno igi- tur ip$o relicto quolibet loco ternario, ut tertia, $exta, nona, duode- cima $unt cubi, & cubi eius quantitatis, qu&ecedil; exit diui$o numero per tria, uelut tertia primæ, $exta $ecundæ, nona terti&ecedil;, duo decima quar tæ: & ita tertia erit cubus nona cubus cubi, & uige$ima$eptima cu- bus cubi cubi $cilicet primæ. Et trige$imanona e$t cubus ter- tiæ decimæ.</P> <P>Tertia regula quarta quantitas, ut ui$um e$t: e$t quad quad. Et quinta e$t relatum primum, quia 5 e$t numerus primus, & 7 e$t re- latum $ecundum, quia e$t $ecundus numerus primus: & undecima tertium: & tertiadecima quartum: & decima$eptima quintum: & decimanona $extum: & uige$imatertia $eptimum & uige$ima quin- ta, quia e$t primus numerus præter quam ad quintam, ideò e$t rela- tum quintæ, quæ e$t relatum primum primæ, omnes ergo numeri primi $unt relata, alij omnes $unt ex natura cubi uel quadrati. Sed relata $unt inter $e omnia diuer$orum generum ni$i uige$imũ quin- tum, quod e$t relatum primum primi relati, & quadrage$imumno- num e$t relatum $ecundum relati $ecundi. Et ita cente$imum uige$i- mum primum e$t relatum tertium tertij relati, reliqua, ut dixi, me- dia inter hæc $unt $ui generis.</P> <foot>Quarta</foot> <p n=>130</p> <P>Quarta regula propo$ita quantitate ab uno in continua propor tione, $i uis $cire cuius naturæ $it detracto uno con$idera, an po$sit diuidi per duo, e$t quadratum medietatis, & ita procedes diuiden- do u$<01> ad numerum primum, qui uel e$t 2, & erit ex genere quad quad. uel 3, & erit ex genere quadratorum cuborum, & $imiliter $i $it 9, erit ex genere quadratorum cubi cubi. Et $i proueniat alius nu merus primus, ut 5. 7. 11. 13. erit quadratum relati illius ordinis. Et $i non pote$t diuidi numerus quantitatum per 2 uide, $i po$sit diuidi per 3, tunc erit cubus illius quantitatis, & $i illa quantitas, quæ pro- uenit ex diui$ione: fuerit 3, uel potuerit diuidi per 3, erit cubus, uel cubus cubi, & ita deinceps. Si uerò $it alius numerus primus, ut 5. 7. 11. erit cubus relati. Et ita $i nõ po$sit diuidi per 2, nec per 3, erit ex genere relati. Et tunc $i po$sit diuidi per alium numerum, ut 35, erit relatum ex eo genere. Vtpotè trige$imaquinta quantitas e$t rela- tum $ecundum relati primi, $eu relatum primum relati $ecundi. Nam quoties quantitas pote$t diuidi per duos numeros, dicetur $ub utro <01> uici$sim, ut duodecima pote$t diuidi per 4 & 3, ideò di- cetur cubus quad quad. uel quad quad. cub. & per 2 & 6, & dicetur quadratum cubi quadrati, & quadratum cubicum quadrati ip$ius proportionis, ad quam omnia referri debent.</P> <P>Quinta regula ex præcedenti pendet, & e$t, quod denomina- tiones, & proportiones uici$sim commutantur: uelut 256 e$t quad quad quad, & inter quad quad quad, & quad quad $unt quatuor ter mini ip$o computato, & inter quad quad, & quod ui$i duo, ergo quad quad quad continet plures proportiones, & proportiones duplicatæ non con$tituunt quad: nam 64 continet duas duplas ad 16, non tamen e$t quadratum 16, ideo oportet diligenter ani- maduertere.</P> <P>Sexta regula $imiliter ex dictis pendet, & e$t, quòd gratia exem- pli relatum primum comparatum ad primum terminum e$t $exta quantitas, cum autem comparatur ad rem, iam præ$upponit pro- portionem. Exemplum relatum primum proportionis 21/20 e$t 4084101/3200000 & e$t aliquanto maior $exquiquarta, & $i colligas terminos 100. 105. 110 1/4 115 61/80 121 861/1600 127 19681/32000. Tu uides quòd $unt $ex termini in utra <01> computando primum, $ed in 21/20 $unt duo termini, & in qua- drato tres, & in quadrato quadrati per præcedentem, adduntur duo & ultimus $cilicet $extus fit ex relato ip$o. Ergo ultra propor- tionem $unt tantum quatuor termini.</P> <P>Septima regula ad effugiendum omnes errores tu $cis, quòd 4096 quadratum 64 e$t $extus a 64, ad quem habet proportionem quadrati, & 64 e$t $imiliter $extus ab uno illo $cilicet non compu- <foot>tato,</foot> <p n=>131</p> tato, & ita 64 habet rationem unius, & licet comparetur ad 2 rem, & $it $extus ab eo, eo computato 4096 autem à 64 $it $eptimus, ta- men non e$t eadem ratio, quia 64 non e$t quadratum 2.</P> <P>Propo$itio cente$imatrige$ima$eptima.</P> <P>Rationem numerorum ex progre$sione declarare.</P> <P>Michaël Stifelius rationem pulcherrimam tradidit ad inuentio- <marg>C<I>o</I>_{m}.</marg> <marg>P<I>rimæ $uæ</I> A<I>rith.</I></marg> nem numerorum, qui uo cantur multiplicandi, & componitur hoc modo. Ex prima componitur 1 & 2, faciunt 3. 1. 2. 3 faciunt 6. 1. 2. 3. 4 faciunt 10, & ita prima tabula con$tituit $ecundam recta $erie nu- merorum iunctis o- mnibus ab uno. Ter <table> <row><col>1</col><col>2</col><col>3</col><col>4</col><col>5</col><col>6</col><col>7</col><col>8</col></row> <row><col>1</col><col></col><col></col><col></col><col></col><col></col><col></col><col></col></row> <row><col>2</col><col></col><col></col><col></col><col></col><col></col><col></col><col></col></row> <row><col>3</col><col>3</col><col></col><col></col><col></col><col></col><col></col><col></col></row> <row><col>4</col><col>6</col><col></col><col></col><col></col><col></col><col></col><col></col></row> <row><col>5</col><col>10</col><col>10</col><col></col><col></col><col></col><col></col><col></col></row> <row><col>6</col><col>15</col><col>20</col><col></col><col></col><col></col><col></col><col></col></row> <row><col>7</col><col>21</col><col>35</col><col>35</col><col></col><col></col><col></col><col></col></row> <row><col>8</col><col>28</col><col>56</col><col>70</col><col></col><col></col><col></col><col></col></row> <row><col>9</col><col>36</col><col>84</col><col>126</col><col>126</col><col></col><col></col><col></col></row> <row><col>10</col><col>45</col><col>120</col><col>210</col><col>252</col><col></col><col></col><col></col></row> <row><col>11</col><col>55</col><col>165</col><col>330</col><col>462</col><col>462</col><col></col><col></col></row> <row><col>12</col><col>66</col><col>220</col><col>495</col><col>792</col><col>924</col><col></col><col></col></row> <row><col>13</col><col>78</col><col>286</col><col>715</col><col>1297</col><col>1716</col><col>1716</col><col></col></row> <row><col>14</col><col>91</col><col>364</col><col>1001</col><col>2002</col><col>3003</col><col>3432</col><col></col></row> <row><col>15</col><col>105</col><col>455</col><col>1365</col><col>3003</col><col>5005</col><col>6435</col><col>6435</col></row> <row><col>16</col><col>120</col><col>560</col><col>1820</col><col>4368</col><col>8008</col><col>11440</col><col>12870</col></row> <row><col>17</col><col>136</col><col>680</col><col>2380</col><col>6188</col><col>12376</col><col>19448</col><col>24310</col></row> </table> tia fit ex $ecunda & tertia, primò a$$umi tur 10 in tertia, ut in $ecunda, & ex 10 $e- cundæ, & 10 tertiæ fit 20, & ex 15 $ecun- dæ, & 20 tertiæ fit 35, & ex 21 $ecundæ, & 35 tertiæ fit 56, & ex 28, & 56 fit 84. Et quanta fit ex tertia, & ex $eip$a. primum a$$umendo 35 ex ter tia, & ponitur pro primo numero quartæ, & ex 35 tertiæ, & 35 quartæ fit 70 numerus $ecundæ quartæ: & ita ex 56 & 70 fit 126, & ex 84, & 126. 210. & ita quinta ex quarta & $eip$a, & $ic in infinitum.</P> <P>Regula ergo e$t, quòd binarius $eruit <02> quadratæ, & quia nihil e$t in eius directo, $olus ip$e $eruiet <02> quadratæ. Ternarius autem cubicæ, & quia in eius directo e$t alter ternarius, ille etiam $eruiet <02> cubicæ. Quaternarius autem $eruiet quadrato quadrati, & $ena- rius, qui e$t in illius directo. Ergo quinarius $eruiet <02> relat&ecedil; prim&ecedil;, & duo $equentes numeri $cilicet 10 & 10, & eo dem modo $enarius numeri duo $equentes 15 & 20 $eruient cubo quadrati, & ita etiam $eptenarius cum tribus $equentibus numeris 21. 35 & 35 $eruient rel. $ecundi radici, & ita deinceps in infinitum.</P> <P>Propo$itio cente$imatrige$imaoctaua.</P> <P>Modos u$us horum numerorum declarare.</P> <P>In quouis numero denominationis oportet tot addere o, quo- <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <foot>tus e$t</foot> <p n=>132</p> tus e$t ordo, & facere tot numeros $equentes; quotus e$t ordo, & $emper minuere unam o, uelut quia quadrata <02> e$t prima ad 2 ad- demus o, & fiet 20, nec alium qu&ecedil;remus numerum. Sed quia cubi- ca e$t $ecundo loco, habebit prima nota 00, & fiet 300, & $ecundum 3 unam 0, & fiet 30, & in quadrato quadrati addemus 000 primo, & 00 $ecundo, & o tertio, & ita hab ebimus 4000. 600. 40. $ed quia in tabula non e$t 4 ultimum, addemus $imilem primo $emper. In relato primo, ergo habebimus 50000. 1000. 1000. 50. & in cubo quadrati 600000. 150000. 20000. 1500. 60. Manife$tum e$t, quòd his uice uer$a a$$ump$imus 15 & 6 $imiles prioribus addendo $em- per ut dixi o minus, donec ad unam peruenerit. Et ita in relato $e- cundo 7000000. 2100000. 350000. 35000. 2100. 70. & ita dein ceps.</P> <P>Propo$itio cente$imatrige$imanona.</P> <P>Radices omnes à propo$itis numeris extrahere.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Propo$itis quibu$uis numeris utpotè 916132832, uolo detrahere <02> relatam primam, primum habebo in tabula de$cripta relata pri- ma numerorum $implicium u$que ad 10 uelut in exemplo. Dein de <fig> $ub$cribam pun- ctum $ub prima nota à dextra, & quia e$t quarta in ordine hoc, $eu quinta denominatio $ecun- dum no$trum, omittam quatuor notas in- ter medias, & $ub$cribam punctum aliud, & ita facerem $i e$$ent plures quàm decem notæ: relinquitur ergo ad pũctum primum à $ini$tra 9161, cuius qu&ecedil;ro <02> relatam pri- mam in tabula, quam inuenio e$$e 6, nam 7776 eius relatum primum e$t <04>ximius ex minoribus ad 9161, detraho igitur 7776, ex numero propo$itio relinquitur. Dein de póno 6 & quadratum eius, & cub. & quadratum quadrati, quia, ut dixi, e$t quarta denominatio a- pud illum, & è regione numeros præcedentes in- uentos relati primi ex præcedenti propo$itione: & duco $ingulos cum $uis collateralibus, ut uides etiam in figura, et cum ultimo pro- ducto, $cilicet 64800000 diuido 138532832 exit 2, huius accipio o- mnes numeros ad relatum primum u$<01> ut uides, & pono minores è regione maiorum, utpotè 2 è regione 1296 & 50000, & 4 è regio- <foot>ne</foot> <p n=>133</p> ne 216 & 10000, & 8 è regione 36 & 10000, & 16 è regione 6, & 50, & duco 6 in 50 fit 300, duco in 16 fit 4800, duco 36 in 1000 fit 36000, duco 36 in 8 fit 288000, duco etiam 216 in 10000 & fit 2160000, & duco hos per 4 fit 86400000, duco rur$us 1296 in 50000 fit 64800000, duco in 2 fit 129600000. Demum addo 32 re- latum primum 2, & fit $umma omnium 138532832, & ita habemus radicem relatam primam dictinumeri e$$e 62. Et $i numerus produ ctus fui$$et maior oportui$$et accipere proximo minorem. Inde per regulam $equentem addere minutias.</P> <P>Propo$itio cente$imaquadrage$ima.</P> <P>Radices per numeros fractos determinare.</P> <P>Duplex e$t modus, ut etiam docui in arithmeticis, $cilicet ut pro <marg>C<I>o</I>m.</marg> radice quadrata addatur duo o, & pro cuba tria, & pro quadrata quadrata quatuor, & pro relata prima quinque, & ita deinceps, & pr&ecedil; decimis $emel, pro cente$imis bis, pro mille$imis ter, pro millia- ribus $eu partibus earum quater, pro cente$imis mille$imis quin- quies, pro mille$imis mille$imarum $exies, & ita deinceps deinde per præcedentem detrahere radicem, & erit ualde exacta. Exemplo non utar, ni$i quòd $i uelles radicem relatam 16 ad mille$imas, acci- cipies radicem relatam numeri à latere propo$iti, & ita de alijs 1600000, 00000, 00000, & $i uelles <02> cub. 5 1/5 per mille$imas, pri mo addes ter 000, & fiet 3000000000, inde $ume 1/5 1000000000, qui e$t 200000000, & adde ad 5000000000, fit 2500000000, & hoc quia unum refert numerum 1000000000 ex $uppo$ito & 1/5 e$t 1/5 unius.</P> <P>Secundus modus e$t, ut accipias proximè maiorem, & multipli- ca in $e, & detrahe numerum propo$itum, & re$iduum diuide per duplum radicis primo inuentæ, $i fuerit quadrata, & per triplum quadrati eiu$dem $i fuerit cubica, & per quadruplum cubi, $i fuerit quadrata quadrata, & per quin cuplum quadrati quadrati, & quod exit detrahes ex priore radice, & rur$us quod relinquitur, multipli- ca in $e, & eodem modo agendo quod $upere$t à numero propo$i- to, diuide per duplum radicis prioris, $i $it radix quadrata, uel per triplum quadrati $i $it cubica, & quod exit rur$us detrahe, & ita a- gendo, peruenies ad exacti$simam radicem, exemplum uolo radi- cem quadratam 5 proxima maior e$t 3, quadratum 9, differentia 4, diuide per 6 duplum 3 exit 2/3, detrahe ex 3 fit 2 1/3, quadratum e$t 49/9 quod e$t 5 4/9, rur$us diuido 4/9 differentiam 5 4/9 & 5 per 4 2/3 duplum radicis primæ exit 2/21, detrahe ex 2 1/3, relinquitur 2 5/21, radix $atis pro- pinqua, nam eius quadratum e$t 5 4/441, in cubica $imiliter uolo <02> cu. 5, proxima maior e$t 2, cubus 8, differentia 3, diuide per triplum <foot>M quadrati</foot> <p n=>134</p> quadrati 2 quod e$t 12 exit 1/4 detrahe ex 2 fit 1 3/4 cuius cubus e$t 5 23/64 differentia e$t 23/64 diuide per triplum quadrati 1 3/4 quòd e$t 9 3/16 exit 23/588 detrahe ex 1 3/4 relinquũtur 1 107/147 cuius cubus e$t 5 504449/3176523 Ita diuides hunc exce$$um $i placet per triplum quadrati 1 107/147 & e$t fermè 9 exit 56050/3176523 qua$i detrahe ex 1 107/147 relinquuntur 323159/453789.</P> <P>Tertius modus e$t $ubtilior, tu $cis, &qring;d duo decima denominatio e$t quadrata $ext&ecedil;, & quadrata quad, tertiæ, & cuba quarti, quarta autem e$t inter tertiã & $extam $ecunda quantitas in continua pro- portione: ergo inuenta <02> numeri propo$iti & <02> radicis inuentæ reducã ad unam denominationem, et inter numeratores collo cabo duas quantitates, quod facile erit $en$im procedendo, & habebo <02> cu. quæ$itam, $cilicet minorem ex duabus intermedijs. Et $imiliter pro relata prima, capiam $exaginta denominationes, & $cis, quòd quintadecima e$t <02> <02> $exage$im&ecedil;, & decima e$t <02> cu. <02> $exage$im&ecedil;, & duodecima <02> relata prima $exage$imæ per eandem inuenta, er- go <02> numeri propo$iti tanquam ille $it $exage$ima denominatio, inueniam illius radicis inuentæ <02> quadratam, & cubicam, & quia duodecima quantitas quæ e$t <02> relata prima numeri e$t $ecunda, quatuor intermediarum inter ponam inter <02> quadra- tum, quadratum, & cubicam quadratam quatuor numeros in continua proportione, & $ecundus ex minoribus erit <02> relata prima numeri propo$iti. Exemplum cubicæ uolo <02> cu: 5 habui <02> quadratam eius 2 5/21 $ed uolo proximiorem diuidendo 4/441 per 4, quod e$t fermè duplum 2 5/21 exit 1/441 detraho ex 2 5/21 relinquitur ualde proxima <02> 5. 2 104/441 huius igitur radix quadrata, primo inuenta e$t 1 1/2 $ecunda proximior e$t 1 41/84 reduco ad eandem denominationem fi- ent 284/9261 2 416/1764 & 1 861/1764 inter 3944, & 2625, inueniemus duos nume- ros in continua proportione, ut uides, & erit $ecunda quantitas <fig> 3006/7641, quod e$t 167/98 proximum ad 1 5/7, <02> cubica. 5. nã eius cubus e$t 5. 13/343 at exacti$sima e$t ergo 1 69/98. ut liquet. Pro relata prima ergo ponamus, ut ue- lim <02> relatam primã 25, accipio 5 <02> 25 cuius <02> e$t, ut ui$um e$t, 2 104/441 $imiliter <02> cu: 5 fuit 1 69/98 igitur reducam ad unam denominationem, & inueniam quatuor numeros in cõtinua proportione inter illos, & $ecundus po$t minimum ex illis erit <02> relata prima propinqui$- $ima 25. Quomodo uerò inueniantur facillimè illi termini, do- cui in $exto libro operis perfecti.</P> <P>Quarta regula e$t utilior, licet minus uideatur nobilis, & e$t $un- data in hoc, quod $i a b $it maior c & eis ad dantur b e, & d f æqua- les dico, quod erit minor proportio a c ad c f, quam a b ad c d, & ex con$equenti per uiã fracti maior pars unius erit c fip$ius a e, quàm <foot>c d</foot> <p n=>135</p> c d ip$ius a f ex Euclide. Dico ergo quod maior e$t proportio a b <fig> ad c d, quàm a e ad e f, fiat d g ad quam $it b c ut <marg>8. P<I>ropo$. quinti</I> E<I>lem.</I> P<I>er</I> 18. <I>quinti</I> E<I>lem.</I></marg> a b ad c d, erit<01> a e ad c g ut a b ad c d, minor au- tem e$t a e ad c f, quam ad c g, igitur minor a e ad c f quàm a b ad c d quod fuit propo$itum. Simili ter $i fuerint duæ quantitates, a b & c d, quarum a b $it maiore, c d autem eadem e minor, dico, quòd dimidium aggregati a b & c d maiorem habebit proportionem ad e, quàm c d & minor, nam iun- cta b f æquali d e ad a b, ita ut f g $it dimidium totius a f, qùia ergo <fig> f g e$t dimidium f a & fb e$t minor dimidio <marg>P<I>er</I> 11. <I>quinti</I> E<I>lem. amplificatã.</I></marg> f a cum $it minor b a, & $imiliter f g e$t mi- nor a b, quia a b e$t maior dimidio a f, quia e$t maior b f, ergo proportio g f ad c e$t ma ior quam b f ad e, ita quam c d ad e, & mi- <marg>P<I>er</I> 8. <I>quin- ti</I> E<I>lem.</I></marg> nor quàm a b ad e, quod fuit propo$itum. Quo ui$o uolo <02> 1000 quadratam, & quòd de quadrata dico, dico etiam de alijs radici- bus & erit ex $ecunda regula harum 31 39/62 & quadratum erit 1000 1521/3844. Iuxta ergo primam partem regulæ 31 38/61 erit minus, & in ueritate in eo, quod fit ducendo, ut uides, & hoc e$t pro- <fig> ximum ad 1<*>/160, multiplico igitur duplum 31 39/62, quod e$t fermè 63 1/4 in 1/160 fient 63/160 <fig> detrahe ex 1521/3844 hoc modo, diuide 3844 per 160 exit 24 <*>/40 diuide 1521 per 24, exit 63 3/8, habes igitur quod 1521/3844 $unt 63/160, igitur detracto 63/160 ex 63/160 nihil relinquitur, & erit <02> exa- cta ualde 1000 hoc 31 38/61 cuius quadratum 1000 41/3421 uides breuita tem, & propinquitatem in producto differentia e$t 1/100 aut parum maius quod ad radicem comparatum cum debeat diuidi per du- plum eius erit paulo maius 1/6300. Vnde facilior e$t, & breuior hæc uia quàm per 00 ad ditus. Rur$us uolo aliquid adi&mtilde;ere & cum pro pinquitate ita facio. Con$idero quòd 31 38/61 e$t maius 1/6300 radice, di- uido 6300 per 62 exit 103 fermè, ne<01> enim curo in hoc fractiones, multiplico ergo 103 in 38/61 & habeo 3914/6283 hic denominator e$t proxi- mus 6300, aufero ergo 1 ex 3914, habebo ualde proximam <02> 1000, 31 3913/6283 cuius quadratum e$t 1000 minus 1/1048 hoc ut dixi diui$um per duplum <02> quod e$t 63 e$t omnino in$en$ile in radice.</P> <P>Quinta regula e$t omnium pulcherrima, & e$t communis omni bus & fractis & integris & omnibus generibus radicum, & $it ex- emplum, uolo <02> radicis $upra$criptæ $cilicet 31 3913/6283 multiplico 31 in 6283, & fit 194793, cui addo 3913, fit 198686 manife$tum e$t igi- tur, quod 198686/6283 æquiualet 31 3913/6283 hoc facto, quod e$t commune om- <foot>M 2 nibus</foot> <p n=>136</p> nibus radicibus extrahendis pro radice quadrata, multiplicabo nù meratorem, qui e$t 194686 per denominatorem, qui e$t 6283, & $i uoluero radicem cubicam, multiplicabo eundem numeratorem per quadratum denominatoris, & $i uoluero radicem radicis, mul- tiplicabo per cubum, multiplicabo per quadratum quadratum 6283, & ita de alijs una diminutione minore, & eius qui prouenit numeri <02> $uprapo$ita denominatori erit <02> eiu$modi, quam $u$ce- pi$ti, uelut in exemplo fuit numerus 198686/6283 quia ergo uolo <02> quad. multiplico 198686 in 6283, & fit 1248344138, huius accipio <02> quad. quæ e$t 35332, hæc autem e$t diuidenda per 6283, & exeunt 5 3917/12566, ecce uides radicem exactam admodum, & facilem. Volo rur- $us <02> quadrat. 5 3917/12566, multiplico 12566 per 5 & fit 62830, cui addo 3917, & fit 66747, cui $uppono 12566 denominatorem, fient ergo 66747/12566, manife$tum e$t igitur quòd hoc æquiualet 5 3917/12566, $i igitur mul tiplicarem denominatorem per denominatorem & numeratorem, quod proueniret, e$$et æquale eidem numero, ergo <02> eius e$$et ea- dem cum <02> prioris, $ed <02> denominatoris e$$et prior numerus, er- go $ufficiet extrahere <02> producti ex denominatore in numerato- rem, & ita productum erit ex denominatore in numeratorem 838742802, cuius <02> e$t 28961, hæc igitur diui$a per 12566 o$ten- dit <02> 2 3892/12566. In hac autem quadrata e$t alius modus $ine multiplica- tione, $ed non e$t communis alijs, ubi $tatueris denominatorem pro denominatore <02>, utpote 12566, & numeratorem 66747, con- $titues medium $en$im augendo.</P> <P>Rur$us uolo <02> relatam 2 3829/12566 reduco ad denominatorem, & fit ut prius 28961/12566, duco igitur 12566 ad quad. quad. $ed $ufficiet in hoc ca$u deducere ad minores denominationes, utpotè diuide 28961 per 12566 exit 2 3829/12566 multiplico per 566 fit 1104 5862/12566, hoc detrahe ex 28961 habebis 27856/12000, diuide igitur per 1000 habebis 12 & 27 107/125 at 108/126 $unt 6/7, igitur habes 12 pro denominatore, & 27 6/7 pro nume- ratore, quare erunt numeri 195/84, erit ergo per hanc regulam, ut ducas 84 ad quad. quadrati, & fit 49787136, duc in 195 fit 9708491520, cuius <02> relata prima e$t 99, igitur <02> relata prima 2 3829/12566 e$t 1 15/84 pau- lo maior, id e$t 1 13/70. Et nota quod $i denominator haberet <02> illius generis, quam quæris, $ufficeret inuenire radicem eiu$dem generis ab$<01> alia numerorum multiplicatione.</P> <P>Propo$itio cente$imaquadrage$imaprima. (deducere.</P> <P>Numeros fractos ad minores in ead&etilde; <04>portione ualde <04>pinqua</P> <P>Cum plerun<01> numeri fracti hab cantur per radices, ut aliquan- <marg>C<I>o</I>_{m}.</marg> do maiores $int, aut minores eo fit, ut po$sint reduci ad mino- res numeros, ut melius intelligi po$sint & facilius tractari, & <foot>cum</foot> <p n=>137</p> cum hoc $it exactior illa pars exemplum, ergo habeo 2 3829/12566, quem uolo certa ratione ad minores diui$iones deducere. Deduco pri- mò totum ad fractiones ducendo 2 in 12566, & addendo 3829, & fit 26961/12566, multiplico 12566 per 9, quia proportio unius ad alterum e$t fermè, ut 9 ad 4, & fit 113094, multiplico 4 in 28961 fit 115844, hoc igitur e$t maius, igitur proportio 28961 ad 12566 e$t maior quàm 9 ad 4, detraho igitur 12566 ex 28961, relinquitur 16395, de- traho 113094 ex 115844, relinquitur 2750, diuido 2750 per 16395 exit 55/328 addo 2 denominatori fit 55/330, quod e$t 1/6, nami$tæ additiones paruæ præter quòd parum uariant quantitatem etiam dum ad ex- amen reducuntur, nihil impediunt, detrahe igitur 1/6 à 9/4, & ducendo per 6, & detrahendo 53/23, duco igitur primos numeros $cilicet 28961/12566 mutuo in 53/23, fiunt 665998, & 666107, ita uides, quod proportio 53 ad 23 e$t paulo minor, quàm 28961 ad 12566, & æquiualent 27/2<*> & 2 3829/12566.</P> <P>Propo$itio cente$imaquadrage$ima$ecunda.</P> <P>Denominationum incrementa ex extrema cognita inuenire, & conuer$o modo.</P> <P>Quidã per u$uram rediuiuã fecit 40000 coronatos ex 40 in 40 <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> annis. Qu&ecedil;ro qutãa fuerit u$ura, & quãdo habuit 1000 coronatos, quidã uellent $oluere per regulam trium quantitatum, in qua com- mitterentur maximi errores. Et in ea multi $unt modi, & omnes fal- $i præter hanc uiam nulla e$t uera, adde quòd uellent multi per $or- tem inuentam $oluere augendo per $ingulos annos, quod adeò difficile e$$et, & penè foret impo$sibile. Ideò diuides 40000 per 40 numerum $ortis exit 1000, igitur in 40 annis unum fit mille, $unt ergo 40 denominationes ab uno, quarum quadrage$ima e$t 1000, igitur uige$ima e$t <02> 1000 |$cilicet |31 3913/6283, igitur decima e$t <02> eius <marg>P<I>er</I> 136. P<I>ropo$.</I></marg> 5 3917/12566 huius radix, erit quinta quantitas 2 7/23, cuius <02> relata prima, <table> <row><col>Anni</col><col>Aurei</col></row> <row><col>1</col><col>1 13/70</col></row> <row><col>2</col><col>1 67/165</col></row> <row><col>5</col><col>2 7/23</col></row> <row><col>6</col><col>2 118/161</col></row> <row><col>7</col><col>3 14/61</col></row> <row><col>10</col><col>5 3917/12566</col></row> <row><col>20</col><col>31 38/61</col></row> <row><col>40</col><col>1000</col></row> </table> erit proportio 1 13/70, cuius quadratum e$t 1 1889/4900 $eu 1 67/165 pro $ecunda quantitate, duces ergo primam, quæ e$t 83/70 in quintam, quæ e$t reducta ad mino- res fractiones facilitatis cau$a 53/23, & habebis $ex- tam quantitatem 2 118/161, duco etiam quintam quan- titatem $cilicet 53/23 in $ecundam quæ e$t 232/165, & fit $e- ptimi anni quantitas, duco igitur $eptem anno- rum numerum, qui e$t 3 14/61 in 31 38/61 fit 102 992/6283. At in $ex annis additis ad uiginti, fit tanto minus, quan- to 31 38/61 ductum in differentiam $eptem, & $ex an- norum quæ e$t 60/121, fit ergo 15 35/492. Quia ergo an- <foot>M 3 nuatim</foot> <p n=>138</p> nuatim $olum u$ura adij citur $orti, $ufficiet diuidere 2 992/6283 per 15 35/492 $cilicet multiplicando per 12 numerum men$ium 2 992/6283 fit 25 5621/6283 di- uide 25 5621/6283 per 15 35/492, exit men$is unus, & dies 21, detrahe ex 27 an- nis, remanent anni 26, men$es 10, dies 9, in quo tempore habuit 4000 aureos coronatos. V$ura autem fuit ut ui$um 13/70, igitur per re- gulam trium duc 13 in 100 fit 1300, diuide 1300 per 70 exit 18 4/7<*> & tanta fuit pro centum. Et cum computaueris in tribus annis, acqui- rit modico plus be$$e eius, quod habet. Et ita in 13 annis, & parua illa parte perueniet ad decuplum eius, quod habet, $cilicet 4000 au reorum, & habebit aureos 40000, ut propo$itum e$t.</P> <head>SCHOLIVM.</head> <P>In propo$ita proportione numero <03> terminorum rediuiuam u- $uram inuenire.</P> <P>Sit gratia exempli, in $ex annis u$ura rediuiua uige$imæ, erit- qúe proportio 21/20, cuius numeratorem $exies ducam in $e primum bis fit 441: ergo ducto 441 in $e fit qúe 194481 ductum in 441 fit 85766121 $exies ductum 21, quinquies autem ducam 20 deno- <fig> minatorem in $e fit bis 400, ter 8000, quinquies ergo 3200000, diuide nume- ratorem per denominatorem abiectis quin<01> notis erit 26 2566121/3200000. Quæ propor tio e$t proxima 26 4/5 ad 20, & ita ut 134 ad 100. Et $i pigeret tædij autlaboris po$$es pro xij annis, ducere 134 in $e, & fit 17956 diuide per 100 eadem ratione, exit 179 14/25 & ita 100 in xij annis, fit tantundem. Et ita pro xviij & xx annis.</P> <P>Propo$itio cente$imaquadrage$imatertia.</P> <P>Si linea in duas partes diuidatur, corpora, quæ fiunt ex una par- te in alterius quadratum mutuò æqualia $unt corpori, quod fit ex tota linea in $uperficiem unius partis in alteram.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Sit a c diui$a in a b, b c quadratum a b $it <fig> a d, quadratũ b c, $it b e parallelogrammũ ex a b in b e, a f dico quòd corpora ex a b in b e, & b c in a d æqualia $unt corpori ex a c in a f. Quia enim corpus ex a c in a f con$tat ex a b in a f, & b c in a f, per primam $ecun- <marg>I<I>d e$t per eius demon- $trationem.</I> P<I>er</I> 29. <I>un decimi</I> E<I>lem.</I></marg> di Elementorum. corpus autem ex a b in a f e$t æquale corpori ex b c in a d, & corpus ex b c in a f e$t æquale corpori ex a b in b c igitur con$tat propo$itum.</P> <foot>Propo-</foot> <p n=>139</p> <P>Propo$itio cente$imaquadrage$imaquarta.</P> <P>Duplum cubi medietatis maius e$t aggregato corporum mutu- orum cuiuslibet diui$ionis, quantum e$t, quod fit ex tota in quadra tum differentiæ.</P> <marg>C<I>o</I><*></marg> <P>Sit a b diui$a per æqualia in c, & per inæqua- lia in d, dico, quòd duplum cubi a c e$t maius ag <fig> gregato corporum ex a d in quadratum b d, & b d in quadratum a cin eo quod fit ex a b in quadratum c d, nam per præcedent&etilde; du- plum cubi a c e$t æquale corpori ex a b in quadratum a c: aggrega- tum quo que corporum ex a d in quadratum b d, & b d in quadra- tum a d e$t &ecedil;quale ei, quod fit ex a b in rectangulũ ex a d in d b. qua- dratũ aut&etilde; a c e$t maius rectangulo a d in d b quadrato c d differen tiæ, igitur duplum cubi a c excedit aggregatum corporũ mutuorũ in corpore ex a b in quadratum c d differenti&ecedil;, quod e$t propo$itũ.</P> <marg>P<I>er</I> 5. <I>$ecun di</I> E<I>lement.</I></marg> <P>Propo$itio cente$imaquadrage$imaquinta.</P> <P>Si line a in duas partes diuidatur quadrata ambarum partium detracto eo quod fit ex una partein alteram, &ecedil;qualia $unt producto unius in alteram cum quadrato differentiæ.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Sit linea a c diui$a in b, & $it differentia a b, b c, b d, dico quod quadrata a b & b c detracto <fig> eo quod fit ex a b in b c, æqualia $unt producto a b in b c cum qua- drato b d. Quoniam. n. quadrata a b, b c æqualia quadratis a d d b b c & productis ex a d in d b bis & quod fit ex a b in b c æquale e$t ei quod fit ex a d in $e cum eo quod fit ex a d in d b, quia a d e$t &ecedil;qua <marg>P<I>er</I> 4. <I>$ecun di</I> E<I>lem.</I></marg> lis b cideo quadrata a b & b c detracto eo quod fit ex a b in b c $unt æqualia quadratis a d d b, & producto a d in d b $emel: a c quadra- <marg>P<I>er</I> 1. <I>$ecun di</I> E<I>lem.</I></marg> tum a d cum producto a d in d b e$t æquale producto a b in a d, & ex con$equenti in b c, igitur re$iduum quadratorum a b & b c de- tracto producti a b in b c e$t æquale a b in b c cum quadrato b d quod fuit propo$itum.</P> <P>Propo$itio cente$imaquadrage$ima$exta.</P> <P>Corpus quod fit ex linea diui$a in $uperficiem &ecedil;qual em quadra- tis ambarum partium detracta $uperficie unius pa<*>tis in alterã, e$t æquale aggregato cuborum ambarũ partiũ.</P> <fig> <P>Sic a b diui$a in e quadrata partium e f & <marg>C<I>o</I>m.</marg> b d detrahatur ex e f, f g æqualis a d, dico cor pus ex a b in $uperficies b d, d g æquale e$- $e cubis a c & c b pariter acceptis, quia. n. ex a b in b d fiunt duo corpora cubus b d & corpus ex a d in quadratum d b hoc autem e$t æquale corpori ex b cin a d quia <foot>M 4 fiunt</foot> <p n=>140</p> fíunt ex æqualibus lineis: at corpus quod fit ex a b in d g æquale e$t corporibus quæ fiunt ex a c, c b in $uperficiem d g at cubus a c con- tinet duo corpora qu&ecedil; fiunt & a c in d g & g f, igitur cubus a c $upe- rat productum ex a b in d g in producto ex a c in f g & $uperatur ab eo in producto ex b c in d g, $uperabatur etiam, ut ui$um e$t, cubus b c à producto b a in d b in producto b cin c f, igitur cubi a c c b $u- perantur à producto a b in ad in producto b cinc f & in d g, quare in producto b c in f e: $i quidem f e & f g $unt æqualia ex $uppo$ito $uperant autem in producto ex c b in e f, igitur tantum e$t in in quo $uperantur quantum e$t id in quo $uperant: ergo $unt æqualia.</P> <P>Propo$itio cente$imaquadrage$ima$eptima.</P> <P>Propo$ita linea diui$a duas ei lineas adijcere, ut proportio addita- rum $ingularum & partium $imul iunctarum ad additas $it mutua.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Sit linea a b diui$a in c uolo eius <fig> partibus addere lineas, ut propo$i- <marg>P<I>er</I> 13. <I>$ex ti</I> E<I>lem.</I></marg> tum e$t, $tatuo mediam c d inter a e & <marg>P<I>er</I> 11. <I>$ex ti</I> E<I>lement.</I></marg> c b quæ $it c d, & facio ut c d ad c a ita c a ad a e, & ut d c ad c b ita c b ad b f, quia ergo d e media e$t inter <marg>P<I>er</I> 11. <I>quinti</I> E<I>lem.</I></marg> a c & c b, & ut ea ad a cita d c a c b ad c f erunt omnes in continua <marg>P<I>er</I> 18. <I>quinti</I> E<I>lem.</I></marg> proportione, quare proportio e c ad c a ut c f ad b f & e c ad ea ut c f ad c b quod e$t propo$itum.</P> <P>Propo$itio cen te$ima quadra ge$imaoctaua.</P> <P>Propo$itis tribus lineis primam $ic diuidere, ut adiectis duabus alijs lineis $ecundum rationem mutuam $ingularum $ingulis ag- gregatum ex una adiectarum & parte ad aggregatum ex alia parte & adiecta $e habeat, ut $ecunda ad tertiam.</P> <marg>C<I>o</I>m.</marg> <P>Sit a, b, c, d, propo$itæ line&ecedil;, <fig> uolo diuidere a b ita in e ut $umpta $ecundum proportio- nem alicuius quantitatis, puta g ad a e $ic b f ad e b & ut g ad e b $ic g a ad a e ut $it propor- tio g e ad e f ut c ad d. Sint ergo omnia cõ$tituta & $it g rectan- gulum ex a e in e b, cum ergo g a contineat a e ut g continet e b, g autem continet e b $ecundum a e, igitur g a continet a e $ecundum a c, ergo ex diffinitione qua- <marg>P<I>er</I> 1. <I>$ecuu di</I> E<I>lement.</I></marg> drati a g e$t quadratum a e. Pari ratione b f e$t quadratum b e. pro- portio igitur g e ad e f cum $it ut c ad e ex $uppo$ito erit ut ip$i pro- portioni addamus, & detrahamus ex duplo a b & dimidium re$i- dui ducamus in $e, & addamus aggregato quadrati a b cum ip$a <foot>a b,</foot> <p n=>141</p> a b, & latus eius detracto dimidio re$idui erit b clinea, quare diui- $io nota, & e$t ut dicamusu: olo diuidere datam lineam, ut quantita- tes adiectæ $ub mutua proportione ad unam tertiam cum parti- bus obtineantinter $e proportionem datam.</P> <P>Propo$itio cente$imaquadrage$imanona.</P> <P>Datam lineam $ic diuidere, ut proportio quadratorum ad du- plum unius partis in alteram $it, ut line&ecedil; datæ ad lineam datam.</P> <P>Sit data a b quam uolo diuidere, ut proponitur $ub proportio- <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> ne c d ad e, diuido a b bifariam in f, & ab$cindo <fig> g d æqualem d e, & inter c g re$iduũ & c e inter- pono <04>portione, & ut h ad c g ita a f medietatis a b ad fk. Omnia i$ta $unt noti$sima ex primo & $exto Elemento- <fig> rũ Euclidis. Si ergo ab$cindantur fk ex fa, dico quod proportio quadratorum l k & k a ad du- plum rectanguli a k in k b e$t ut c d ad d e. Quia. n. c e ad c g dupli- cata e$t ei qu&ecedil; e$t h ad c g, duplicata e$t etiã ei quæ e$t f a ad fk, qua- re ut quadrati a f ad fk, ita c e ad c g, igitur di$iungendo c g ad g e ut re$idui quadrati k f ad re$iduum quadrati a f, quare c g ad g d ut quadrati k f ad dimidium re$idui quadrati a f, igitur coniunctim c d ad d g ut quadrati k f & dimidij re$idui quadrati a f ad ip$um dimi- dium re$idui. At uerò cum g d $it æqualis d e, erit c d ad d e ut qua- drati k f cum dimidio re$idui $æpius dicti ad ip$um dimidium re$i- dui. Igitur etiam ut dupli quadrati k f cum re$iduo ad re$iduũ, $unt enim omnia duplicata. At duplũ quadrati k f cũ re$iduo e$t æqua- le quadratis a f & f k, igitur quadratorum a f & f k ad differentiam eo rum proportio e$t ut c d ad d e, igitur dupli quadratorum a f & f k ad duplum differentiæ quadratorum a f & fk ut c d ad d e. Ve- <marg>P<I>er</I> 9. <I>$ecun di</I> E<I>lem.</I></marg> rum duplum quadratorum a f & f k æquatur quadratis b k & k a. <marg>P<I>er</I> 5. <I>$ecun di</I> E<I>lem.</I></marg> Et duplum differentiæ quadratorum a f & fk e$t &ecedil;quale duplo pro ducti b k in k a, igitur proportio quadratorum k b & k a ad duplũ producti k b in k a e$t ueluti c d ad d e, quod e$t propo$itum.</P> <P>Propo$itio cente$imaquinquage$ima.</P> <P>Propo$itis duabus lineis lineã communem <fig> utri<01> adiungere, ut $it maioris ad additam pro- portio, uelut quadratorum minoris & adiectæ ad duplum unius in alteram.</P> <P>Hæc e$t qua$i conuer$a præced&etilde;tis. Sit a ma- <marg>C<I>o</I>m.</marg> ior, & b c minor, & fiat b d dupla b c, $uper quã erigatur b f æqualis a; & $it rectangulum d f & de$cribatur quadratum b c quod $it b g re$idu&ecedil; $uperficiei ad d f latus $it h, dico h e$$e lineam quæ$itam. Superficies <foot>enm</foot> <p n=>142</p> enim d f cum fiat ex a in duplum b c, dupla erit $uperficiei a in b c, $u perficies f d, tota æquatur quadratis h & b c, igitur quadrata h & b c dupla $unt $uperficiei a in b c, quod uerò fit ex a in duplum b c $e habet ad id quod fit ex h in duplum b c, ut a ad h, cum per eandem lineam ducantur, igitur quod fit ex a in duplum b c, & $unt quadra- ta h & b c, $e habent ad duplum h in b c, ut a ad h, quod fuit de- mon$trandum.</P> <P>Propo$itio cente$imaquinquage$imaprima.</P> <P>Proportio differentiæ quadratorum partium, cuiu$uis lineæ ad quadratum differentiæ illarũ e$t uelut to tius line&ecedil; ad differentiam.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Sit a b diui$a in puncto c, & fiat c d æqualis c b, manife$tum e$t quod differentia partium <fig> e$t a d, dico proportionem differentiæ quadra torum a c & c b ad quadratum a d differentiæ partium e$$e ut a b ad <marg>P<I>er</I> 4. <I>$ecun di</I> E<I>lem.</I></marg> a d. Quoniam differentia quadratorum a c & c b e$t, quod fit ex a d in d c bis cum quadrato a d, & ideò quod fit ex a d in d b cum qua- drato a d, & ideò quod fit ex tota a b in a d. Igitur differentia qua- <marg>P<I>er</I> 3. <I>$ecun di</I> E<I>lem.</I></marg> drato a c & c b e$t quod fit ex a b in a d, quare cum quadratum a d fiat ex a d in a d, erit proportio a b ad a d, uelut differentiæ quadra- <marg>P<I>er</I> 1. <I>$exti</I> E<I>lem.</I></marg> torum a c & b c ad quadratum a d differentiæ partium. Quod fuit propo$itum.</P> <P>Propo$itio cente$imaquinquage$ima$ecunda.</P> <P>Si linea in duas partes æquales duas <03> in æquales diuidatur, fue- rit<03> proportio aggregati ex maiore & dimidio ad ip$am maiorem uelut ex minore, & aliqua linea ad ip$am minorem, & rur$us aggre- gati ex minore dimidio ad ip$am minorem, uelut aggregati ex ma- iore & alia addita ad ip$am maiorem, erit proportio dimidij'ad par tem unam inæqualem, uelut alterius partis inæqualis ad $uam ad- ditam mutuò, & etiam proportio ad ditarum inuicem, uelut pro- portio partium inæqualium duplicata, & rur$us ip$um dimidium lineæ a$$umptæ medium erit proportione inter additas. Demum proportio dimidij cum ad dita maiore ad dimidium cum addita mi nore, uelut maioris partis ad minorem.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Sit propo$ita a b diui$a per <fig> æqualia in c per inæqualia in d, & $it ut addantur a g & b f, ita ut proportio c a, & a d ad a d $it ueluti f d ad d b, & c b & b d ad b d, uelut g d ad d a, & hæc e$t quarta $ecũdi Archimedis de $ph&ecedil;ra, & Cylindro: quia ergo a c & a d ad a d, ut f d ad d b erit a c ad a d, fb ad b d. Et $imiliter quia e$t c b & b d ad b d, uelut g d ad d a erit <foot>c b ad</foot> <p n=>143</p> c b ad b d, uelut g a ad a d, & hoc e$t primum. Quia ergo c a e$t æ- qualis c b, erit c a ad b d, uelut g a ad a d, & iam fuit a d ad c a, ut b d ad f b, per conuer$am igitur a d ad b d, ut g a ad a d, & ut b d ad fb, interpo$itis ergo a d & d b inter a g & b f cum compo$ita $it pro- portio a g ad b f ex proportione a g ad a d, & ad d b, & d b ad b f, & proportio a d ad d b, $it æqualis proportioni <fig> a g ad a d, & d b ad b f, igitur proportio a g ad b f. Per de- mon$trata ab Alchindo e$t duplicata proportioni a d ad d b quod e$t $ecundum. Rur$us quia ex primo demon- $trato, uel eius conuer$o proportio a d ad a c e$t uelut b d ad b f, & d b ad a c, ut a d ad a g, proportiones ergo <fig> a d & d b ad a c componunt proportionem produ- ducti a d in d b, quod $it h ad quadratum a c quod $it k, & $imiliter proportio b d ad b f & a d ad a g com- ponunt proportionem producti ex b d in a d, quod $itl ad productum b f in a g, quod $it m, per demon$trata ab Eucli- de in $exto Elementorum, igitur proportio h ad k ut l ad m, $ed h & <marg>I<I>n</I> P<I>rop.</I> 23 P<I>ropo$.</I> 9.</marg> l $unt æquales, quia producuntur ex ei$dem, igitur per demon$tra- ta in quinto Elementorum Euclidis, k e$t æquale m, ergo a c e$t me- dia pro portione inter b f & g a, quod e$t tertium. Quia uerò ex pri- mo demon$trato e$t fb ad b d, ut a c ad a d, & c b ad idem b d, ut g a ad idem a d erit coniungendo fb & b c ad b d, ut coniun- <fig> gendo g a & a c ad a d, $ed fb & b c componunt f c & g a, & a c componunt g c, igitur ut f c ad b d, ita g c ad a d, er- go permutando g c ad f c, ut a d ad b d, quod e$t quartum.</P> <P>Cum ergo punctum d fuerit datum, licet inuenire a g & b f, faci- lè, ut Archimedes præ$up ponit proportionem g d ad d f datam & quærit eam, quæ e$t a d ad d b, & peruenitur ad res numero triplo quadrati dimidij lineæ a$$umptæ æquales cubo & numero, qui $it ex duplo cubi dimidij in 1 m: ip$a proportione, & quod produci- tur diui$o per 1 p: ip$a proportione. Veluti po$ita a b 10, & propor- tione quam uolo g d ad d f $excupla, duco 5 dimidium 10 in $e fit 25, & triplico, fit 75 numerus rerum. Inde duco 5 idem dimidium ad cubum fit 125, duplico fit 250, duco in 5, qui e$t 1 m: proportione fit 1250, diuido per 7, qui e$t 1 p: proportione exit 178 4/7 numerus, qui cum cubo æquatur 75 rebus. Cum ergo con$tituta fuerit diui$io in c, non recipit proportionem g d ad f d quam uolueris, $ed $equitur una $ola ad illã, & e$t mirabile, quoniam line&ecedil; uidentur $umi liberè. Sed non e$t ita. Et etiã quia Archimedes uide&ttilde; a$$umere aliã lineam, $ed non inue $tigat eam, imò o$tendit eam ex a$$umptis. At Euto ci- us o$ten dit ambas, unã ex propria inuentione, aliam ex Diocle, $ed <foot>una</foot> <p n=>144</p> una e$t $uperflua, quia ut dixi, una $e quitur ad aliam. Ex hoc pa- tet cur Dio cles a$$ump$erit lineam unam, quæ e$t a c, quæ $e ha- bet ad a d, & d b, ut uici$sim a d, & d b ad additas, quod e$t pri- mum demon$tratum. Sic enim omittit primum quod proponit Ar chimedes, & a$$umit quod proximum e$t: & ideò Archimedes non pro bat, nec præ$upponit, quod à Diocle probatur, $cilicet datum e$$e punctum d in linea a b, $ed $olum in linea g f, ideò cogitur pro- bare $ecundum quod demon$tratur ab Eutocio, & à nobis demon $tratum e$t $uprà. Archimedes aũt a$$umit lineã extra circulum, quã uo cat b f, quæ e$t æqualis b c medietati: aliam a$$umit quam uocat b h, cuius proportio ad b d e$t $icut quadrati ad a d quadratum a b. Con$tat ergo quod proportio g d ad d f e$t data. Et $imiliter f g ad g d, & e$t 1 præ proportione data. Vnde notandum quod datum dicitur, $impliciter cognitum alio modo, dicitur datum po$itione, quod e$t certum & tale, uelut $i quis dicat, diuide 10 in duos nume- ros quadratos: hoc non e$t datum, pote$t enim diuidi pluribus mo dis. At $i dicas ut una pars $it alterius quadratũ, i$tud antequàm $ci untur partes, dicitur datum po$itione. Ergo datum po$itione e$t du plex, uel ut ratio nota $it, non autem quantitas, ut $i dicam a b e$t du pla ad b c, utra <01> dicitur nota po$itione, quo- niam ne$cio quanta $it a b. Vel $i quantitas e$t <fig> nota proportio ignota $it, ut $i a c $it 10, & $it, ut b c $it <02> relata, a b erit punctus b, & proportio a b ad b c data po $itione, non tamen nota. Et $i dicas igitur omnia, quæ habent deter minationem erunt data po$itione? Dico quod non, quia oportet, ut illa determinatio comprehendatur $ub una ratione, ea<03> $altem generaliter co gnita.</P> <P>Propo$itio cente$imaquinquage$imatertia.</P> <P>Vim quan cun <01> manus multiplicare.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Cum enim radimus aut trahimus manife$tum e$t, <marg>P<I>er</I> 37.</marg> quod ambabus manibus uis conduplicatur, & ma- <fig> ior redditur, quanta e$t proportio totius ad exce$- $um: uelut $it a quod mouetur ab una manu uiribus ut b, quæ $unt exce$$us b d $upra a, cum ergo propor tio c b d ad a $it compo$ita ex proportionibus c & b d ad a manife$tum e$t, quod erit producta ex pro- portione c b d ad b d, & b d ad a, $ed e b d e$t dupla ad b d, quia e e$t æqualis, cigitur proportio c b d ad <marg>P<I>er</I> 2.</marg> a e$t maior multo quàm duorum exce$$uum, qui mo uerent in proportione dupla: uelut $i adderemus f <foot>ad d b</foot> <p n=>145</p> ad d b æqualem b, multo maior e$t ex communi animi $ententia e f b d quã f b d, quia e continet f, & quantum e$t d in$uper: cum ergo b cum d moueat a in proportione b d ad a & f cum d mouebit a in proportione eadem qua b d, ergo per uiam additionis duplo ue- locius, quàm dupla proportione, uerùm dupla comparatione ad proportionem b d ad a, non autem duplicata $ed dupla, ut dixi, qu&ecedil; erit maior quàm dupla per addition&etilde; exce$$us. Ergo $i addatur al- ter homo, erit dupla ad illam duplam, ueluti addendo æqualem d b f e, adeò ut $i proportio d b f e e$$et quintupla, mouerent illi duo in proportione decupla. Sed annexo baculo aut lima aut $erra annu- lo h, ita ut circunuolui po$sit h æquabit uires non $olum d b f e $ed multorum hominum. igitur multo plus aget homo ambabus ma- nibus radendo aut $ecando cum g, quàm quadrupla proportione unius manus, & hocincrementum e$t non $olum magnæ utilitatis, $ed ualde accõmodatum in actionibus artificum operum grauiorum. Et huiu$modi conduplicatio e$t ratio limæ quam $urdam uocamus.</P> <fig> <P>Propo$itio cente$imaquadrage$imaquarta.</P> <P>Si line&ecedil; dat&ecedil; alia linea adiungatur, ab extremitatibus autem pri- oris line&ecedil; duæ rectæ in unum punctum con currant proportionem habentes quam media inter totam & adiectam, ad adiectam erit punctus concur$us à puncto extremo lineæ adiectæ di$tans per li- neam mediam. Quòd $i ab extremo alicuius lineæ æqualis mediæ $eu peripheria circuli cuius $emidiameter $it media linea duæ lineæ ad prædicta puncta producantur, ip$&ecedil; erunt in proportione medi&ecedil; ad adiectam.</P> <marg>C<I>o</I>m.</marg> <P>H&ecedil;c propo$itio e$t admirabilis: & etiam de$crip$i, ut multa $ecre- ta Dialecticæ potius aperiren&ttilde; quam quod huic propo$ito multũ congrueret. Ideò potius $cholij cau$a po$ita e$t quam ip$ius tracta- tionis: ut modũ demon$trandi magis quam id, &qring;d demon$tra&ttilde;, re- $picere oporteat. Con$titua&ttilde; ergo (per uiam problematis) linea a b & proportio c ad d, & fiat d e ad c, ut c ad d, & a b ad e ut b f ad d, & ut g ad c, erit<03> g media inter a f & f b, quod licet $olum $upponatur ab Appollonio, tam&etilde; facilè demon$tratur & à Commandino adie- cta e$t demõ $tratio. Concurrant ergo ex a & b du&ecedil; line&ecedil; in aliquod <marg>P<I>er</I> 29. <I>pri mi, &</I> 4. <I>$ex ti</I> E<I>lem.</I></marg> punctum, putat h ut $it a h ad h b uelut c ad d, dico quod $i ducat h f quod ip$a erit æqualis g, ducatur b l æquidi$tans a h, & quia <marg>P<I>er</I> 22. <I>quinti</I> E<I>lem.</I></marg> ex $uppo$ito a h ad h b, ut g ad b f, erit b h ad h a, ut b f ad g, & quia trianguli a h f & b l f $unt $imiles erit proportio a h ad b l, ueluti a f <marg>P<I>er</I> 11. <I>quin ti</I> E<I>lement.</I></marg> ad fb, igitur per &ecedil;quam proportionem b e h ad b l, ut a f ad g, $ed ut <marg>P<I>er</I> 6. <I>$exti</I> E<I>lem.</I></marg> a f ad g ita g ad b f ex $uppo$ito: & ut a f ad g, it a h a ad h b, ex $uppo <foot>N $ito</foot> <p n=>146</p> $ito igitur ut a h ad h b ita h b ad b l, $ed angulus a h b e$t æqualis angulo h b l, ergo triangulus a h b e$t $imilis triangulo h b l, quare angulus b h l e$t &ecedil;qualis angulo h a f, igitur du orum triangulorum f a h, & fb h duo <marg>P<I>er</I> 32. <I>pri mi, &</I> 4. <I>$ex ti</I> E<I>lement.</I></marg> anguli unius a & f $unt æquales duo- bus angulis, alterius igitur propor- <fig> tio a f ad fh re$picientium angulos &ecedil;- <marg>P<I>er</I> 11. <I>quinti</I> E<I>lem.</I></marg> quales ut a h ad h b re$picientium an- <marg>P<I>er</I> 7. <I>quin- ti</I> E<I>lem.</I></marg> gulum f, $ed a h ad h b ut c ad d, ex $up po$ito igitur a f ad f h, ut c ad d, $ed ut c ad d ita a f ad g, ex $uppo$ito ergo h f e$t æqualis g.</P> <marg>C<I>or</I>^{m}. 1.</marg> <P>Cum ergo h&ecedil;c demon$tratio $it ex $en$u in uno puncto h, ideò ad quælibet puncta traduci pote$t, quæ potero imaginari, & ita pri- ma uo cabitur $en$us, $ecũda imaginandi: Et quoniã in demon$tran- do non a$$umimus aliquid, quod $it proprium alicui puncto, ni$i proportionem h a ad h b $imilem e$$e c ad d, ideo hoc pertinet ad intellectum, & e$t tertium. Etidem dico $i k e$$et ultra h quod po- te$t contingere. modò k a ad k b $it ut c ad d & k f $it &ecedil;qualis g idem $equetur, & comprehenditur $ub tertio & pertinet ad intellectum, & quoniam demon$tratur quod punctum k ubicun <01> $umatur, e$t in &ecedil;quali di$tãtia à puncto f$cilicet per g lineam, erit $emper in peri- pheria circuli, & hoc pote$t e$$e in infinitis locis $impliciter & extra infinitum nihil e$t, igitur $ub hoc continetur conuer$um $cilicet, quod a quolibet puncto circuli ductis lineis ad a & b ip$&ecedil; erunt in <04>portione c ad d. Et ita ab$<01> principijs Geometricis concluditur <04>po$itio Geometrica & hoc e$t <G>w_erila/mp<15>si<19></G> & fermè $ummum in- tellectus humani. Et pote$t demon$trari Geometricè duobus uer- bis. Quia. n. f$upponi&ttilde; æqualis g eo quòd h e$t in peripheria circu- li erit media inter a f & f b, quare cum angulus f $it communis, erit proportio a h ad h b, laterum re$picientium angulum f in utroque <marg>P<I>er</I> 6. <I>$exti</I> E<I>lem.</I></marg> triangulo, uelut h f lateris in maiori ad f b latus in minori, quare <marg>P<I>er</I> 4. <I>eiu$d&etilde;</I></marg> cum ex $uppo$ito h f ad fb $it ut c ad d, erit a ad b, ut c ad d. Et uides Apollonium, & Pappium quanta $uperflua adij ciant in hac $ecun- <marg>P<I>er</I> 11. <I>$ex ti</I> E<I>lem.</I> I<I>n primo</I> C<I>o nicor.</I> A<I>pol. in</I> P<I>ræfat.</I></marg> da parte demon$trationis, quæ e$t prima apud illos, & ducunt unã lineam non nece$$ariam ex puncto b ad latus fh. Vt antiquorũ ple ri<01> non tantum potuerint Geometria & ingenio, quæ ferunt excel lenti$sima in illis, quantum nos ex Dialectica <G>w_e?ila/mp<15>si<19></G> inducen tes. e$t enim $ingulare hoc exemplum.</P> <marg>C<I>or</I>^{m}. 2.</marg> <P>Ex hoc etiã patet quod $i circulus duceretur $ecundum f k tran- $iret<03> per m & n e$$et a m ad m b & a n ad b n, ut a h ad h b.</P> <foot>S C H O-</foot> <p n=>147</p> <head>SCHOLIVM</head> <P>Ex hoc pater qualiter ex uera demon$tratione $en$u o$ten$a per- uenimus ad quotquot imaginando, inde intellectu abiectis condi- tionibus non nece$$arijs facimus infinitum & uniuer$ale. Demum $ine artis $pe cialis auxilio o$tendimus Iheorema uniuer$ale (quod etiam poterat o$tendi Geometricè, $ed longè pulchrius e$t, ac $ubli- mius per <G>w_erilamp<15>si<19></G>, qa hocip$o infinita alia do cemus generaliter per $implicem compreh&etilde;$ionem o$tendere) $cilicet quod à quouis puncto peripheri&ecedil; circuli, cuius $emidiameter e$t media proportio- ne inter totam exten$am à centro u$<01> exterius, & partem quæ' e$t à centro ad punctum de$criptum $ub proportione continua datarũ linearum lineæ ductæ ex eo ad punctum exterius, & punctum de- $criptum $unt in proportione datarum linearum.</P> <P>Propo$itio cente$imaquinquage$imaquinta.</P> <P>Quadratorũ numerorũ <04>portionem & inuention&etilde; cõ$iderare.</P> <fig> <P>Primùm oportet $cire e$$e tres naturales numerorum $eries, primam Euclidis iuxta <marg>E<I>xemplũ</I> 1.</marg> quamuis proportion&etilde;, in qua unum & ter- tius & quintus, & ita uno $emper intermi$- $o $unt quadrati. Primus quo <01>. 1. unum & quartus & $eptimus & ita duobus intermi$sis $unt cubi. In $ecun- do ordine e$t naturalis $eries numerorum, ex qua colligitur alia, & ex illa bini quilibet $e $equentes con$tituunt numerum quadratũ. In tertia numeri impares, qui $emper collati efficiunt quadratum.</P> <fig> <P>Sit ergo propo$itus numerus cui uelim addere quadratum numerum, ut fiat qua- <marg>E<I>xemplũ</I> 2.</marg> dratus totus, accipe numerum quadratum minorem illo quem uis, & detrahe à propo $ito numero $eu quadrato $eu non re$idu- <marg>E<I>xemplũ</I> 3.</marg> um, diuide per duplum <02> quadrati quod <*>axi$ti, &qring;d exit duc in $e fiet quadratus numerus, idem <03> additus <*>umero propo$ito, faciet quadratum. Velut capio 16 qui e$t qua- dratus, aufero 9 quadratum minor&etilde; relin quitur 7, diuido per 6 du- plum <02> 9, exit 1 1/6 quadratum eius e$t 1 13/36 qui additus ad 16 facit 17 13/36 quadratũ cuius <02> e$t 4 1/6.</P> <P>Ex hoc patet <04>po$ito quouis numero &qtilde;drato modus inuenien- <marg>C<I>or</I>^{m}. 1.</marg> di infinitos numeros quadratos qui cũ illo iuncti facient quadratũ.</P> <head>SCHOLIVM.</head> <P>Po$$em adducere demon$trationes omnium horũ, $ed reddere- tur res longa cũ $int manife$t&ecedil; ex $eptimo octauo & nono Euclidis. Exemplum $ecundum capio modò 14 qui non e$t quadratus, aufe- ro 9, remanet 5, diuido per 6 duplum <02> 9 exit 5/6 quadratũ eius e$t 25/36 <foot>N 2 hic</foot> <p n=>148</p> hic additus ad 14 con$tituit 14 25/36 quadratum 3 5/6. Et ita 14 e$t diffe- rentia duorum quadratorum, $cilicet 25/36 & 14 25/36.</P> <marg>C<I>or</I>^{m}. 2.</marg> <P>Ex hoc habebis duo quadrata in datis terminis quæ different dato numero, & e$t pulchrum. Velut uolo duo quadrata quæ dif- ferant in 2, & <02> minoris $it inter 1 & 2, tunc capies per regulam i- p$am 2, & auferes numerũ quadratum ita quòd re$iduum diui$um per duplum radicis efficiat numerũ inter 1 & 2. Veluti capio 4/9 qua- dratum, aufero ex 2, relinquitur 1 5/9 diuido per duplum 2/13 radicis 4/9 & e$t 1 1/3 & exit 1 1/6, & hic e$t minor numerus cuius quadratum e$t 1 13/36 cui $i addantur 2, fient 3 13/36 numerus quadratus 1 5/6.</P> <marg>C<I>or</I>_{m}. 3.</marg> <P>Cum autem uolueris duo quadrata quæ differant in 100, tunc per regulam datam $i auferes 1, peruenires ad numeros magnos & fractos, & ideo melius e$t quia numerus e$t par, ut detrahas nume- rum parem quadratum, ita quod re$iduum po$sit diuidi per duplũ radicis, ut in hoc non detraho ne<01> quia remanet impar, nec 16 quia 84 re$iduũ non põt diuidi per 8 ita ut exeat integer numerus, ergo detrahã 4 & relinque&ttilde; 96, diuido per duplũ radicis quod e$t 4 exit 24, cuius quadratum &qring;d e$t 576 addito 100 facit 676 quadratũ 26. Et ita ex 433 non auferam $ed 9, quia relinquetur 24 qui pote$t diui- di per $e, duplum <02> 9 & exit 4 cuius quadratũ e$t 16, addito 33 fit 49.</P> <P>Secunda regula, cum uolueris propo$ito uno numero quadra- to illum diuidere infinitis modis in duos numeros quadratos, cape quemuis numerum quadratum per primum exemplum regul&ecedil; pri mæ, & cum eo diuide numerum propo$itum, & qui proueniet erit quadratus, hũc ergo duces in partes numeri quadrati qu&ecedil; $unt nu- meri &qtilde;drati, & fient duo quadrati numeri, & illi compon&etilde;t numerũ quadratũ prior&etilde; quem diui$i$ti. quia multipli catio fit per eo$d&etilde; nu- meros qui $unt partes diui$oris. Velut uolo facere de 4 duas partes qu&ecedil; $int &qtilde;drati numeri, capio numerũ &qtilde;dratũ qui cõpona&ttilde; ex duo- bus &qtilde;dratis, uelut 25, diuido 4 per 25 exit 4/25 hũc duco <10> 9 & 16 &qtilde;dra- tos numeros cõponentes 25 fiũt 1 11/25 & 2 14/25 &qtilde;drati 1 2/5 & 1 3/5 Et hi &qtilde;drati cõponunt 4. Et ita po$$es diuidere infinitis modis, puta per 17 13/36 & per 169. Tertia regula cum unus numerus additus <fig> primo & detractis à $ecũdo facit ambo quadrata, id&etilde; numerus coniunctus cum differentia illorum nume- rorum & detractus à primo & additus $ecundo facit eo$dem numeros quadratos, ueluti capio 10 primum 3 $ecundum 6 additus ad 10 & detractus à 7 efficit 6 & 1 quadratos dico quod iunctus 16 cum 3 differen- tia 10 & 7 fit 9, qui detractus à 10 & additus ad 7 effi- cit 1 & 16 numeros quadratos priores.</P> <foot>SCHO-</foot> <p n=>149</p> <head>SCHOLIVM</head> <P>Sunt & alij modi plures faciendi huiu$modi, $ed nõ $unt ad eò ge nerales, & nihilo minus $unt magis confu$i, & non aliquid plus.</P> <P>Quarta regula, cũ uolueris numerũ aliquem non quad. qui bifa riã compona&ttilde; ex duob. &qtilde;d. uelut 10 ex 25, & 25 & 49 & 1, <fig> & $uma&ttilde; a b numerus quad. diui$us in $upplem&etilde;ta, ita <09> c d $it portio minor eiu$modi, ut adiecta illi æ&qtilde;li c d gnomo cir cũ$criptus c k l cũ f&qtilde;drato, $it &ecedil;&qtilde;lis a b &qtilde;drato, detractis igi&ttilde; c e & e d, æ&qtilde;libus erunt duo $upplem&etilde;ta c k l cũf qua- drato &ecedil;qualia duob. $upplem&etilde;tis a b cũ &qtilde;drato h g. Maio- ra aũt $upplem&etilde;ta excedũt minora in duplo quad. c d igi&ttilde; detractis minoribus $upplementis cõmunibus, erit duplũ quad. c d cũ f qua- drato &ecedil;qualia h g &qtilde;drato. Ergo <04>po$ito numero, putà 3 ducam in $e fit 9, ducã 2 minor&etilde; in $e fit 4, duplicabo fit 8, detraho ex 9, relinqui&ttilde; 1 numerus &qtilde;dratus, igi&ttilde; dicã &qring;d 3 cũ duplo 2, & erit totũ 7, e$t unus numerus, alter <02> 1. 1. 1, & horũ &qtilde;d. cõponunt 50, duplũ &qtilde;d. 5. Et $imi liter capio 6 &qtilde;d. 36 duplũ &qtilde;d. 4. 32 differentia 4, numerus &qtilde;d. 2, ideo 6 cũ duplo 4, & e$t 14, e$t unus numerus, alter 2, quorũ &qtilde;d. $unt 200, dimidiũ e$t 100 &qtilde;d. 10 cõpo$iti ex 6 & 4. Et ita capio 9, &qtilde;d. eius 81 du plũ &qtilde;d. 6. 72 differentia 9 numerus &qtilde;d. igi&ttilde; cum duplo 6, & e$t 21, e$t unus illorũ, alter 3 &qtilde;d. 450, duplũ 225 &qtilde;d. 15, qui con$tat ex 9 & 6. Et ita capio 11 &qtilde;d. cuius e$t 121, duplũ &qtilde;d. 6 e$t 72 differentia, 72 & 21 e$t 49 numerus &qtilde;d. 7, igi&ttilde; 23 qui con$tat ex 11, & duplo 6 numeri mino ris e$t unus numerus, alter e$t 7 &qtilde;d. quorũ $unt 578. duplũ 289, &qtilde;d. 17, qui con$tat ex 11 & 6. Quinta regula, per hoc inueniemus infini tos numeros &qtilde;d. cõponentes 32, nam cũ 32 $it duplus &qtilde;d. diuidã <10> unum aggregatũ ex inuentis puta 578, & quia ambo ex $uppo$ito $unt dupli ad &qtilde;d. qui <04>ueniet erit &qtilde;d. $cilicet 16/289, duc in numeros &qtilde;- dratos qui componunt 578, & $unt 529 & 49, & fient 2 206/289 & 29 83/289, & hi iuncti fiũt 32, quia $unt multiplicatæ partes numeri, per quem e$t <*>iui$us numerus. Et ita poteris diuidere 32 in infinitos alios &qtilde;d.</P> <P>Sexta regula, ponamus modò &qring;d uelim diuidere 10, cõpo$itũ ex duob. &qtilde;d. 9 & 1, & non duplũ numero &qtilde;d. ita &qring;d $it diui$us in alios duos: ducã 10 in 25 cõpo$itũ ex duob. &qtilde;d. fit 250/25, at 250 cõponi&ttilde; aliter ex duob. quad. <08> 225/25 & 25/25, $cilicet 169/25 & 81/25, id e$t 6 19/25 & 3 6/25, qui $unt &qtilde;d. 2 3/5 & 1 4/5, & ita uolo diuidere 13 in duo alia &qtilde;drata <08> 9 & 4, duco 13 in 25 & fit 325/25, qui nece$$ario cõponi&ttilde; ex 225/25 & 100/25, $ed ego uolo &qring;d cõpo na&ttilde; aliter, uelut ex 289/25 & 63/25, & ita ex 11 14/25 & 1 11/25, qui $unt numeri &qtilde;d. com ponentes 13, & <02> $unt 3 2/5 & 1 1/5, & in his opus e$t in du$tria, $cilicet ut multiplice&ttilde; per numeros &qtilde;d. ut <04>ueniant numeri illi bifariã compo $iti ex &qtilde;dratis. Vt uerò uideamus re$iduũ, <04>ponamus <09> uelim diui dere 6 in duos numeros &qtilde;d, primũ $cire debes &qring;d non po$$unt e$$e <foot>N 3 integri</foot> <p n=>150</p> integri exratione dicta, quia oporteret ut e$$ent ambo impares aut pares, & $ic differr&etilde;t numero pari, ergo oporteret ut e$$et unus me- dius numerus &qtilde;d. $unt & ali&ecedil; rationes, $ed ne<01> unus po$$et e$$e inte ger, & alius fractus, nõ e$$et. n. 6 numerus integer: relinqui&ttilde; ergo ut $int duo fracti: $ed in numeris fractis &qtilde;d. deductis ad minimas deno minationes operũ, ut tam denominator <08> numerator habeat radi- ces, ergo oportet &qring;d hoc $it in illis, & quia iuncti debent facere inte- gros 6, nece$$e e$t ut denominator $it unus, & id&etilde; in utro<01>, et &qring;d nu meratores $imul iuncti $int $excuplũ denominatoris, $i fracti deb&etilde;t &ecedil;quipollere 6, ergo ille denominator cũ $it &qtilde;d. & numeratores am- bo $int &qtilde;d. & $int $excuplũ denominatoris, oportebit inuenire nu- merũ &qtilde;d. qui ductus in 6, faciat numerũ qui cõponi&ttilde; ex duob. &qtilde;d. aut cõponi&ttilde; &ecedil;qualiter, ergo <04>portio medietatis ad medietat&etilde; 6, e$t ueluti totius ad 6, $ed totu continet 6 in &qtilde;d. quia ex 6 in &qtilde;d. fit totũ, ergo ex medietate in &qtilde;d. idem fit medietas, $ed medietas e$t nume- rus &qtilde;d. ergo 3 e$$et numerus &qtilde;d. &qring;d e$t fal$um, oportet igi&ttilde; ut nume ri illi $int inæ quales, & ut 6 diuidatur in duas partes in&ecedil;quales, hoc aũt fit diuidendo quemlibet numerũ parem, qui cõponi&ttilde; ex duob. numeris &qtilde;d. nam $i e$$et impar, nõ po$$et <04>dire numerus integer, & cũ <04>uenerit numerus &qtilde;d. ille erit qu&etilde; qu&ecedil;rimus, nã diui$o 6 per to- tum illũ numerum, inde &qring;d <04>uenit multiplicato per numeros &qtilde;d, cõponentes illum numerũ <04>ductum, <04>ducun&ttilde; partes 6, quæ erũt numeri &qtilde;d. quia denominator utriu$<01> partis ex $uppo$ito e$t nume rus &qtilde;dratus, qui multipli catus e$t per 6, & numeratores $unt nume ri &qtilde;drati, qui cõponebant numerũ productũ, et tales partes &ecedil;quan&ttilde; 6, quia numerus <04>ductus componi&ttilde; ex numeratoribus, & produ- ci&ttilde; tale cõpo$itum ex 6 in denominator&etilde;, & hic e$t diui$us per deno minator&etilde;, ergo <04>uenit 6, $i e&mtilde; multiplicato 3 in 4 fit 12, diui$o 12 per 4, exit nece$$ario idem 3. Pro colligendo ergo numeros omnes, qui cõponuntur ex &qtilde;dratis, <04>pones tibi $eriem &qtilde;d. omniũ, & inde iun- ges, & diuides per 6, & cũ prodierit &qtilde;dratus, inueni&ttilde; denominator, & numeri cõponentes ip$um erunt numeratores, et $uppo$iti deno minatoribus cõ$tituent partes. Vt uerò cogno$cas, ex quibus po$- $it componi primum ex imparibus, non oportet a$$umere ni$i 135, quia 7 diui$um per 6 relin quit 1, & 9 diui$um per 6, relinquit 3, & 35 diui$um per 6 relinquit 5. ergo non pote$t componi numerus im- par, qui diuidatur per 6, ut $up er$it impar alius quàm 1. 3. 5. $ed 1 & 3 & 5, & 5 componunt 4 & 1, & 1 & 3 & 5 componunt 2, $cilicet abie- cto 6, ergo tales numeri &qtilde;drati $i $int impares, uel ambo terminan- tur in 3, ut 9 & 81, qui faciunt 90, uel in 1 & 5, $ed nullus numerus quadratus diui$us per 6 terminatur in 5, quia 1 ductum in $e produ- cit 1, & 3 pro ducit 3, & 5 pro ducit 1, ut 5 in 5 facit 25, & 11 in 11 produ- <foot>cit</foot> <p n=>151</p> cit 121, quibus diui$is per 6 $upere$t 1. Quod etiam $ic demon$tratur de 5, & compo$itis à 5, nam diui$o 5 in 3 & 2, quadratum eius cõpo- nitur ex duplo 3 in 2, in quo nihil $upere$t, $i diuidatur per 6, & ex quadrato 3, quòd e$t 9, in quo $upere$t 3, & ex quadrato 2 quod e$t <marg>P<I>er</I> 4. <I>$ecun di</I> E<I>lem.</I></marg> 4, $ed iunctis 4 & 3, & abiecto 6 $upere$t 1, ergo 5 in 5 ductũ, & diui $o producto relin quitur 1. Et $imiliter capio 17, et componi&ttilde; ex 12 & 5 quadratum, ergo 17 componitur ex quadrato 12, in quo nihil $u- pere$t, & duplo 5 in 12, in quo etiã nihil $upere$t, $i diuidatur per 6: & ex quadrato 5, in quo $upere$t 1, ergo in nullo numero cõpo$ito ex 5 & 6, uel compo$itis ex 6, poterit produci numerus, qui diui$us per 6 relin quat 5, igitur ne<01> talis numerus potérit cõponi ex duo- bus quadratis, in quib. $uper$it 5 & 1, quia nullus e$t, in quo $uper- $it 5 facta diui$ione per 6. Ex quo colligitur una regula: quod $i quis dicat multiplicaui 27 in $e, et diui$i per 13, uellem $cire quid $upere$t, dico quod $ine multiplicatione et diui$ione poteris hoc $cire ex de- mon$tratione dicta, diuide ergo 27 per 13, & relin quitur 1, duc in $e fit 1: dices ergo, quod $upererit 1, & ita $i ducerem 28 in $e, & diuide- rem per 11, dico quod $upererit 3, nam diui$o 28 per 11, relin quitur 6, duc in 6 fit 36, diuide per 11, relin quitur 3, ut dictum e$t, & tantum relinqui&ttilde; ducto 28 in $e & fit 784, & diui$o per 11. Reuertendo ergo ad propo$itum, pater quod ex duobus tantum numeris imparibus quadratis pote$t conflari ille numerus, quorũ radices diui$æ per 6 relin quunt 3. Sed de paribus uel $upere$t 2 uel 4 uel nihil, $ed &qtilde;dra- tum 2 e$t 4, & &qtilde;dratum 4 diui$um per 6 etiam relinquit 4, ergo ne<01> ex duobus numeris, in quibus $uper$int 2, ne<01> in quibus $uper$int 4, ne<01> in quibus $uper$int in uno 2, in altero 4 poterũt quadrata, in quibus $emper $upererit 4, & iuncta faciunt 8, in &qring;$upere$t 2, cõ fla- re numerũ dictũ $eu quæ$itũ, qui po$sit diuidi <10> 6: ne<01> ex &qtilde;d. duo- rũ num&etilde;rorũ, in quorũ altero nihil $uper$it in reliquo $uper$it 2 uel 4, quia in aggregato &qtilde;dratorũ $emper $upererit 4. Ergo relinqui- tur quod ille numerus componetur ex duobus quadratis, uel impa ribus, quorum latera diui$a per 6 relinquunt 3, uel ex duobus pari- bus, quorum latera diui$a per 6 nihil relinquant. Oportet igitur inuenire duos tales numeros quadratos numerorum imparium, in quibus $uper$it 3, $i diuidantur per 6, aut parium in quibus nihil $u- per$it, quorum aggregato diui$o per 6 prodeat numerus &qtilde;dratus'.</P> <P>His ui$is dico, quod con$tat radices talium numerorum opor- tere e$$e in imparibus per additionem 6 incipiendo à 3, ut $int 3. 9. 15. 21. 27. 33. 39. 45. 51. & $ic deinceps: in paribus au- tem per additionem eiu$dem 6 incipiendo à 6, uelut 6. 12. 18. 24. 30. 36. 42. 48. 54. 60. Dico ergo quod diui- $o numero illo compo$ito per 6 in imparibus exibit numerus, <foot>N 4 qui</foot> <p n=>152</p> qui diui$us per 6 $upererit 3, & in paribus qui poterit diuidi per 6. Quia componun&ttilde; ex huiu$modi: uelut 3 in $e facit 9, & 25 in $e facit 225, qui iũcti faciũt 234, diui$o 235 per 6 exit 39, qui iterũ diui$us <10> 6 $upere$t 3, & $imiliter capio 6 & 12, quorũ &qtilde;drata $unt 36 & 144, & aggregatũ 180, qui diui$us per 6 exit 30, qui iterũ pote$t diuidi per 6. Et hoc quia quilibetillorũ pote$t diuidi per &qtilde;dratũ 6 in paribus, ergo aggregato diui$o per 6 &qring;d prodit, iterũ poterit diuidi per 6. Et in imparibus quo dlibet &qtilde;dratorũ exuperat $upra $enarios in 3, igi&ttilde; aggregatũ diui$um in 2 pariet numerũ qui diui$us per 3, exibit numerus impar cõpo$itus ex $enarijs & 3. Illud ergo quadratũ, &qring;d <04>dibit, uel erit cõpo$itum ex $enarijs, uel $upererit 3. Sed cũ 3 nume ret 6, ergo tres &qtilde;drati numeri $cilicet duo, qui cõponunt numerũ, <marg>P<I>er</I> 29. <I>$e- ptimi</I> E<I>lem.</I></marg> & qui <04>dit per diui$ion&etilde; 6, erunt cõpo$iti inter $e, ergo & radices il lorum. Igi&ttilde; radix numeri &qtilde;drati, qui <04>uenit diui$o aggregato qua- dratorũ per 6 e$t ex eod&etilde; ordine impariũ, $i impares numeri &qtilde;drati fuerũt, aut pariũ $i pares. At hoc e$$e nõ pote$t, nã fracti illi numeri, qui erũt radices, nõ erũt minimi, $ed diui$i per 3 o$tendent minores, quod e$t contra $uppo$itum, quare nullo modo 6 pote$t diuidi in duos numeros quadratos, ne<01> integros, neque fractos, quod erat demon$trandum. Habes igitur ex hoc demon$trationem quando nõ po$sit diuidi, & quado po$sit, quod po$sit, & quomodo $imul.</P> <P>Propo$itio cente$imaquinquage$ima$exta.</P> <P>Horologiorum tempus multiplicare.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Contingit quando <01> &qring;d horologiorũ tem <fig> pus breue e$t, uolumus aũt maius efficere: id duob. modis po$$umus, quorũ unus diffici- lior e$t $ed perpetuus, & longè nobilior, nam grauitas ponderis uer$atilis efficit quid&etilde; tar- dior&etilde;, $ed di fficilius mobil&etilde;, & ob id grauio- re põdere in digent&etilde;. Sit ergo rota a b uer$ati- lis, quæ certam men$uram exigit <04> quacun<01> funis parte corre$<10>on dentis uni denti ex centum, in quos di$tincta $it, curriculum aũt c d quin<01> dentiũ, per &qring;drota $exaginta dentes hab&etilde;s circumuolua&ttilde; in cõuer$ione, igi&ttilde; prim&ecedil; rot&ecedil; uities circumfere&ttilde;, $ecũda d&etilde;tes<03> M. CC. rur$us ad hãc $ecundã tertia necta&ttilde; cum curriculo $ex dentiũ, at<01> in ea d&etilde;tes $eptuaginta duo, ut in una cõuer$ione $int xiiij cccc, dentes igi&ttilde; tot dentes in una cõuer$ione prim&ecedil; rot&ecedil; circumuoluentur. Iam uerò tempus illud poterit duplicari ac triplicari iuxta tarditat&etilde; tem poris uer$atilis: quãto igi&ttilde; pondero$ius fuerit illud t&etilde;pus, tanto tar- dius mouebi&ttilde;, pauciores <03> circumuolutiones nece$$ari&ecedil; erũt ad ex- pl&etilde;dam unam di&etilde;: id e$t horas 24, $ed hoc in cõmodi accedet, quòd reuolutio indicis tanto tardior erit, ut nõ iu$tè o$ten dat horas: pro- <foot>po$itum</foot> <p n=>153</p> po$itum igitur e$t, ut pondera tardius ferantur, index aũt, & qu&ecedil; ad indicem $equuntur horarum demon$trationes celerius aut eodem modo ferantur. Ponamus ergo po$t<08> eadem e$t ratio celerioris & æqué uelocis, ponderis aũt tardius de$cendentis, aut cõtrà tardio- ris, aut æqualiter cir cumducti in dicis, celerioris aũt de$cen$us pon- deris, quod ad nullam utilitat&etilde; profuturum uideo. Sit ergo ut pon dus uelim tardius de$cendere, rotam aũt &ecedil;qualiter circumferri, dico quod ex tempore mobili $eu uer$atili (& e$t ferrum, quod in $um- mo horologij citra ultra<03> fer&ttilde; tam in horologijs ponderum <08> mo læ) id fieri non pote$t: nam quantum tardabitur rota tertia $ecunda & prima, at<01> ob id de$cen$us ponderum, tantum remorabitur rota prima quæ indicem o$tendit, ergo tantum index tardabitur quan- rum põdera, & ut uno uerbo dicam, cùm ead&etilde; rota index circumfe- ratur, & põdus de$cendat, quantũ unum tardatur tantum & aliud.</P> <P>Secundus modus e$t, ut rota una totum tempus cum indice in ui gintiquatuor horis circumuoluatur, & currulis in quo funis minor fiat: nece$$e e$t igi&ttilde;, ut circumuoluta rota aut $emel aut bis, &ttilde;er, qua- ter decies, & circumuolua&ttilde; pleno cir cuitu index, et $ine errore: quo- niam tempus & dentes men$uræ re$pondent: igitur $ub ei$dem cir- cuitibus numero eodem<03> tempore minus ex fune de$cend&etilde;t in cur ruli paruo <08> magno: quare mutatione indiget currulis, aut ut funis circumuoluens rotam curriculum habeat annexũ rotæ o$ten denti horas, in qua pauciores $int dentes: nam in eodem tempore, & cir- cuitu paucioribus uicibus circumuoluitur rota funis quæ grauita- te temporis, & multitudine dentiũ certam <fig> $eruabit men$urã. Sed in hoc nece$$e e$t gra uius efficere pondus, aut leuius t&etilde;pus quo- niã funis debilius circumuertit rotã: minus tñ tardè <08> $it <04> paruitatis circuitus ratione.</P> <P>Tertius modus facilior e$t, & magis com p&etilde;dio$us: Sit horologium a b c, in quo rota d quæ funem cõtinet ba$is horologij e f, cui firmiter $int app&etilde;$&ecedil; du&ecedil; trochle&ecedil; g & h, & fu nis una parte tro chle&ecedil; appen$us in k, duca&ttilde; ad inferiorem aliam tro chleam lin$eratur<03> ibi orbiculo $uo, & redeat à dextra $uperius in$era&ttilde;<03> orbiculo $uperioris tro chle&ecedil;, dedu ca&ttilde;<03> uer$us $ini$trã: at<01> ibi de$cend&etilde;s habe at põdus tractorium in m, deduca&ttilde;<03> $upra ad rotã horologij d, et cir cumuolutus exeat ip$um, & de$c&etilde;dat ad tro chleãn, $ub <03> ea circumuolutus iterũ a$cen <foot>dat</foot> <p n=>154</p> dat à dextra parte, et circumuoluatur h co chle&ecedil; rediens ad $ini$tram ibi<03> de$cendens connectatur tro chleæ in inferiori in o, cuius imæ parti annectatur pondus remorans in imo annexum parte tro ch- leæp. Cum ergo trahitur n tro chlea, trahitur funis adeò ut pon- dus m, tandem a$cendat cum tro chleal prope k: quia ergo in duo- decim horis pondus m de$cenderet per k l funem reuolutionibus circa d rotam dicamus uiginti, ergo $i debet de$cendere à k ad l, per funem duplicatam k l cum ip$am nece$$e $it obequitantem d reuo- lutionibus quadraginta circumuolui d, nam tota o h n d m g l k lon gè maior e$t duplo k l, nece$$e e$t m de$cendere tardius quàm in du plo temporis, quo de$cenderet per rectum funem k l, quod erat de- mon$trandum. Et hanc appendicem uidi apud Cæ$arem Odonum Apulum medicum, uirum elegantem lepidi<03> ingenij. Memento uerò quod ubi orbiculi non cederent funi, uel quia duriores in cir- cumuolutione, uel quia latius exciperent illum reduplicato fune circa illos omnin o circumducuntur, $ed difficilius ideò egent gra- uiori pondere.</P> <P>Propo$itio cente$imaquinquage$ima$eptima.</P> <P>Horologiorum molarium rationem o$tendere.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Sunt horum duo genera primum, & anti <fig> quius licet multo po$terius eo quod pon- deribus ducitur, quod funiculo ex inte$ti- nis ouium $eu fidibus liræ agitur. Sit igitur axis f k erectus $uper plano, cui per longum coniuncta mola multiplicis $piræ in fine, cu ius cannectatur ferreo circulo, qui habeatur lo co cap$ulæ b c, quæ circumuolui po$sit: huic circũductus funis d e multipliciter in pun cto g, $it autem e h in modum pyramidis $en$im in acutum, $ed non ualde per $pirã exculptam de$inentis, cui rota in uertice in$erta den $iculo, & uertatur h e, colligens funiculum tractum in $pira uer$us apicem: unde funiculus circumuoluet b g d, cap$ulã uer$us c, traher ergo molam, & con$trin get uiolenter quãtum fert longitudo funis quæ circumuolui pote$t a b e ad h: & cum trahitur in d eremittitur, non pote$t mola $tatim retrahere reluctantibus denticulis h l rotæ, & alijs quæ implicantur curriculo m, a igitur mola con$tructa uio- lenter mouet b g d, cap$ulam motu contrario à c in d & in g & in b, quare funis d e trahitur, & trahit e h illum circumuoluendo contra- rio motu priori, is mouet denticulo rotam h l, illa per curriculum in aliam rotã, & $ic deinceps donec tempus moueatur, & rota indicis. Hic ade$t cap$ula, & quod circumuertitur à claue non e$t axis mol&ecedil; $ed extra molam, $cilicet e h. Et quoniam hac ratione quanto mola a <foot>magis</foot> <p n=>155</p> magis explicabi&ttilde;, tanto lentius trahet, & uertet e h, ideò hoc ex $tru ctura auxilium præ$tatur, ut funis in inferiore parte cõplexus latio- res orbes, & è regione tanto uehementius uertat e h: & ita uis quæ remittitur ob molæ laxitatem, augetur tantundem ob $itum & ma- gnitudinem $pirarum ut di$tantiorum $ua extremitate ab hypomo chlio, quod e$t axis coni e h, $eu in$tar axis.</P> <P>Alterum genus horologiorum cum mola $ine fune loco cap$ul&ecedil; habet rotã plano $ub $tratam, plenam denticulis axis, quo circum- agitur uiolenter, non e$t extra molam, $ed ei annexa e$t mola intus, exterius aũt rot&ecedil;; ergo circumducto axe mol&ecedil; uim patitur circulus exterior, $ed non moue&ttilde;, quoniam clauo impedi&ttilde;. Vbi mola quan- tum decet con$tricta e$t $ublato clauo $tatim $ecum trahit rotam, & illa curriculũ rotas <03> alias, & tempus agitur, & index uertitur. Sed in hoc idem e$t in commodum $ine remedio <fig> quod fuit in priore. Vbi enim cœperit laxa- ri mola tanto tardius progrediuntur rotæ at<01> index. Veluti axis a b cui $ecun dum lon gitudinem molæ caput interius annexum e$t altero circulo rotæ in c d curriculum rotæ e, implexum rotæ f clauus rotam retinens, donec circumducto a b mola con$tringa- tur, & latus eius trahat rotam ex c. Inde $ublato clauo circulus, $eu rota trahitur ex c in g, & in famola, quæ etiam $ecundum eandem partem circumuoluta e$t: igitur d circumagetur à rota & reliqua. Sed ut dixi con$tructio hæc non $atisfacit.</P> <P>Aliam ergo oportuit excogitare qu&ecedil; huiu$modi e$t. Sub axe a b, qui cir cumuertitur ad molam contrahendam rotam, collocant par uam quæ e$t, ut ita dicam, pars axis ima cui in$eruntur dentes in am bitu ea ratione, ut dum mola ten ditur, premant denticulos interio- res, atque ita elabitur, toties<03> circumducitur manente g f, donec colligatur mola, quæ non ut in priore reliquo extremo ulli rotæ affixa e$t, $ed columnæ in continenti opercula horologij. Cum ergo mola tenta retrahat axem a b contrario mo- <fig> tu, & ille rotam mobilem, quæ cum non po$sit regredi propter auer$os dentes, mouet rotam f g contrario mo tu, quæ circumacta per denticulos $u- os curriculum agit, & reliqua omnia nece$$aria. Cur autem cum laxatur mo la, & uertit lentius c e rotam coniun- ctam, ideo<03> g f, & reliqua omnia nõ tardetur tempus, & circumuo- <foot>lutio</foot> <p n=>156</p> lutio indicis cau$a e$t alia longè quàm in priore, nam mola longior fit cra$sior, & durior adeo<03> robu$ta, & rotæ leues, ac tempus dum laxata fuerit munus $uum iu$to in tempore obeant: quare nece$$e e$t, ut ab initio uehementius agat, & celerius rotam cum axe qui <*> hitur à mola. Ergo excogitarunt aliud genus retinaculi forma <*>o- chleæ quod ab initio moratur uehem&etilde;ter axem ne circumagatur, et quanto magis mola explicatur eo minus retinet impetũ illius <*>deo ut uehementer retineat uehementem concitationem medio criter moderatam, $egniter lentam, nullo modo iu$tam: ita fit, ut $emper fermè æqualiter moueatur. Difficile e$t tamen ad unguem $eruare moderationem, & æqualitatem, & magis etiam in his horologijs, quæ uno circuitu molæ tempus lõgius exigunt: at difficilius etiam efficere molam, quæ longo tempore duret, cum intenta ualde cele- rius moueat rotas, & ob id breui ab$oluat circuitum, mollior au- tem citò remittatur. Et ob id longior & non adeò dura melior e$t. Ratio autem cochleæ ita $e habet. <fig> Circa axem molæ d deducitur cochlea a b c, quæ dum laxatur mola cochlea mouetur ex b in c, at <01> ita pariter laxatur uis cochleæ retinentis axem.</P> <P>Propo$itio cente$imaquinquage$imaoctaua.</P> <P>Rationem indicis mobilis cum rota horarum numerus per ictus indicatur explicare.</P> <marg>C<I>o</I>_{m}.</marg> <P>Hoc fieri pote$t in $ingulo genere horologij trium de$criptorũ. Propterea $ufficiat de uno o$tendi$$e. Sed & in $ingulo genere $unt multi modi, unius tamen reddidi$$e ration&etilde; $ufficiat. Hoc aũt qua- tuor habet difficultates: prima ut horarum ictus conueniant cum indice: $ecunda ut conuer$o indice conuertatur, & rota ictuum: ter tia ut ictuum numerus cum numero indicis conueniat. Vnde mul- ta $unt horologia, in quibus ictus unus $olum auditur $ingulis ho- ris, at<01> hic modus facilis e$t: quarta cur in horum pleri$ que $i non pul$ata $tatim hora transfera&ttilde;ur index, non ce$$at pul$atio: imò nec retineri pote$t, donec pondus illud de$cenderit. Ergo primi & ter- tij ratio hæc habeatur, cum rota qu&ecedil; indicis rotam circumagit, per- uenerit ad horæ finem, denticulo $oluit aliam, eleuans obicem, illa mouetur à pondere proprio alio, $cilicet ab illo quod tempus agit: aut $i $it horologium molæ à mola alia propria, quæ malleos cir- cumacta perpetuò mouet, at<01> motura e$$et $emper, donec pondus ad terram de$cenderet: uerum dum mouetur de$cendit ferrum pro quouis ictu quod in rotæ limbum incidit, & donec inciderit in eam partem quæ lenis e$t dilabitur, nec retinetur, & ita eleuatur rur$us, <foot>at uerò</foot> <p n=>157</p> at uero cum in concauam partem incidit retineri nece$$e e$t: at<01> ita pondus non amplius de$cendit, rota $i$titur, malleus manet immo- bilis: $patia ergo quæ $unt inter cauitates $unt $ecundum magnitu- dinem proportionis numerórum horarũ, uel ad $ex, uel ad duode- cim, uel ad uiginti- <fig> quatuor terminan- tium. Ita quod, gra- tia exempli, $it iam in cauitate a duode- cim&ecedil; horæ uncus, di uidam circulum to- tum in duas partes æquales, quia in $in gulis medietatibus propo$itum e$t, duo decim facere cauita- tes <04> unco retinen- do. Et quia in una- qua<01> medietate o- portet, ut pul$ent ho ræ lxxviij, & præterea $int ibi $ex $patia cauitatum, quarum $ingulæ contineant, gratia exempli, duo $patia unius ictus, ut certius retinea tur uncus, erũt igitur $patia omnia nonaginta: diuidemus ergo me- dietatem circuli utran<01> in nonaginta partes æquales in cipiendo ab a, & dabimus b primæ hor&ecedil; quod $patium e$t unius tantum par tis ex nonaginta, po$t de$cribemus c cauitatem duarum partium, ita ubi ictum unum dederit uncus, retinebitur in c, pò$t accipiemus duo $patia, & $int $ignificata d litera, po$t qu&ecedil; faciemus cauitatem e: & ita uncus bis cadet in d, & pul$abunt duo ictus, & pò$t retinebi- tur uncus in e. Et po$t accipiam $patium trium partium, quod $it f, & po$t de$cribam cauitatem g duarum partium, at<01> ita procedam u$<01> ad duodecim.</P> <P>Ex quo manife$tum e$t pondus quod agit rotam uolæ non de- <marg>C<I>or</I>^{m}. 1.</marg> $cendere, ni$i dum horæ pul$ant, $ecus quie$cere.</P> <P>Secundum, quòd de$cendit illud pondus plus & minus, iuxta <marg>C<I>or</I>^{m}. 2.</marg> proportionem numeri horarum, ita quod quando pul$abit una ho ra parum ualde de$cendet, cum $ex horæ $excuplo magis, cum duo- decim adhuc longè magis, id e$t duplo plus quàm cum pul$ant $ex horæ.</P> <P>Secunda con$tructio hanc habetrationem: Cum n rota indicis coniuncta fuerit rotæ, quæ transfert malleum, nece$$e e$t ut unà fe- <foot>O rantur:</foot> <p n=>158</p> rantur: quinimò illud magis mirum de quo illi non mirantur quia frequens e$t, $cilicet cur aut quomodo $i diui$æ $unt ut cir çũducto indice non transferatur rota mallei, põdere tamen uer$ata rota in- dicis in idem incidat, ut horæ quæ pul$u declarantur ad unguem & in ei$dem $ectionibus cõueniant cum horis quas index o$ten dit.</P> <P>Ver`m quia multis modis contingit ordinem horologiorum peruerti: in $imilibus quidem $i hora indicis $imul & pul$us unà circumferuntur, $ed tardius ambo index traducitur ad locum debi- tum, inde ponderi aliquid additur. Si uerò antè proce$$erit quam. Sol in dicet ablato pondere, $ines tempus fluere u$<01> ad indicis lo- cum $ine motu horologij, pondus quo<01> ip$um minues. At $i pon- dus pul$us in terram deuenerit uel propè, expecta donec $uper li- nea index fuerit, inde trahe, ne<01>. n. excurret: nam $i dum index e$t in medio horæ aut propè, traxeris pondus pul$us, non de$inet de$cen dere, pul$abuntqúe horæ donec ad terram pondus deuenerit, quòd $i iam in errorem incideris pul$ent<03> hor&ecedil; & de$cendat, pon- dus, $en$im deducito indicem, cum. n. ad finem hor&ecedil; peruenerit ini- tium<03> $equentis, quoniam ferrum in interuallum deuenerit rota & pondus firmabitur. Inde $ublato põdere donec Sol ad horã quam index mon$trat peruenerit, reddes pondus horologio. Si ergo ho- ram pul$u eand&etilde; declarat quam index, bene e$t, $i non, paululũ uir- gulã eleua qu&ecedil; e$t iuxta fores horologij pul$abit<03> $equens hora, id uero toties repetes immoto in dies & $ublato, $i uereris ne extra in- teruallũ ferrum feratur, & ob id excurrat rota pul$us horarũ, donec hora pul$et quæ cum indice conuenit, $tatim<03> pondus quo horæ pul$ant $ur$um retrahes. His quinque regulis u$um di$ces $imilium horologiorum, unumquod<01> autem proprias habet: $ed duæ pri- mæ omni horologiæ $atisfaciunt. Quòd $i hæ non $atisfa ciunt iam horologium laborat: tum uerò illud di$$oluere oportet & deterge- re & inungere, iuuat autem uel cap$ula uel linteo perpetuo pul- uerem ab illo arcere. Quòd $i nec $ic re$tituitur nece$$e e$t di$$ol- uere & antea con$iderare impedimentum, pò$t denticulum qui la- borat, plerun<01>. n. aliquem inuenies huius modi, quem lima aut alia ratione re$titues, $emper autém hi fermè re$tituuntur: at qui mola aguntur præter rotarum & axium & indicum labores, molæ etiam inæqualitati & defectibus $ubiciuntur, qui $i nimis uelo citer agunt rotas cum difficultate re$tituuntur moderationi, $i lentius rarò uel nunquam emendantur, uix etiam noua inducta mola.</P> <P>Propo$itio cente$imaquinquage$imanona.</P> <P>Nullus angulus rectilineus æqualis e$$e pote$t alicui angulo con tento recta & circuli portione.</P> <foot>Sit</foot> <p n=>159</p> <P>Sit angulus a & circulus b c, dico non po$$e aliquem angulum <marg>C<I>o</I>_{m}.</marg> contentum recta & circuli portione e$$e illi <fig> æqualem. $i enim e$$e po$sit, $it c b e. duca- tur recta b d faciens rectilineum d b c &ecedil;qua <marg>P<I>er</I> 23. <I>pri mi</I> E<I>lem.</I></marg> lem a, erit igitur d b c &ecedil;qualis e b c per com- munem animi $ententiam, $eu ergo b d ca- dat intra circulum $eu extra, erit pars &ecedil;qua- lis toti quod e$$e non pote$t. Sed ne<01> po- te$t cadere recta $uper b e. namid e$t contra demon$trata ab Eucli- <marg>23. E<I>lem.</I></marg> de. At $i $it angulus c b e exterior $imiliter producta b d, $eu intus, $eu extrà cadat, pars erit æqualis toti quod e$$e non pote$t.</P> <P>Ex hoc patet quod nullus angulus peripheria circuli & recta cõ- <marg>C<I>or</I>^{m}. 1.</marg> tentus pote$t e$$e æqualis recto, quia rectus etiam rectilineus e$t.</P> <P>Et rur$us nullus angulus peripheria & <marg>C<I>or</I>^{m}. 2.</marg> <fig> recta contentus à recta linea per æqualia diuidi pote$t, patet quia una pars e$$et an- gulus rectilineus, alia contentus recta & pe ripheria: i$ti aut&etilde; non po$$unt e$$e æquales, quare nec prior potuit per æqualia diuidi.</P> <P>Ex hoc etiam patet quod $pacium con- <marg>C<I>or</I>^{m}. 3.</marg> tentũ à peripheria circuli nulli angulo rectilineo &ecedil;quale e$$e pote$t. nam dimidium e$$et æquale dimidio, quod e$t contra demon$trata.</P> <head>LEMMA PRIMVM.</head> <P>Inter duos circulos qui $e diuidant infinitæ lineæ duci po$$unt. Inter circulos autem qui $e tangant, rectalinea duci non pote$t.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Sint duo circuli a b & a c, qui $e diuidant <marg>P<I>er</I> 11. <I>pri mi</I> E<I>lem.</I></marg> in a, & ducatur ex centro inferioris d a & <fig> a d, & ad d a cathetus a e, dico quòd a e di- uidet angulum b a c ducatur ex centro $u- <marg>P<I>er</I> 15. <I>ter tij</I> E<I>lem.</I></marg> perioris a c b quod $it f, fa cui cathetus a g, quia ergo e a cadit infra a g, & inter a g & <marg>P<I>er</I> 11. <I>ter- tij</I> E<I>lement.</I></marg> a b non pote$t duci recta, igitur e a cadit in- <fig> tra a c b circulum. Rur$us tangant $e circuli c d & c e, & ducatur a b per centra eorũ qu&ecedil; applicabit ad c, ex c ducatur cathetus c f & quoniã c f contangit circulũ c e, ligitur, du- cta quauis linea infra c f, cadet intra circulũ c e. Non ergo poterit cadere inter c d & c e.</P> <head>LEMMA SECVNDVM.</head> <P>Dato angulo contento duabus peripherijs æqualiũ circulorum $e $e cantium æqualem rectilineum illi fabricare.</P> <foot>O 2 Sit</foot> <p n=>160</p> <P>Sit angulus a b c duabus peripherijs æqualium circulorum con <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> tentus, uolo ei æqualem rectilineum fabricare, ducantur b d & b e <marg>P<I>er modum</I> 8. <I>primi</I> E<I>l.</I></marg> æquales, ut pote facto b centro erit<01> angulus d b a æqualis angu- lo e b c, addito utri<01> communi d b e ex peri <fig> pheria & recta, fiet angulus d b e ex rectis æqualis a b c ex peripherijs, quod crat de- mon$trandum.</P> <P>Ex hoc patet quod reliqua duo $pacia <marg>C<I>or</I>^{m}. 4.</marg> non po$$unt e$$e æqualia rectilineo. Nam $patium b a c demon$tratum e$t æquale e$- $e rectilineo, & b ad non e$t æquale rectili- neo, igi&ttilde; $patiũ c a d non pote$t e$$e æquale angulo rectilineo, nam $i $ic $it b a c &ecedil;quale f g h & c a d h g k, igi&ttilde; totũ, b a d erit &ecedil;quale <marg>P<I>er</I> 3. C<I>or</I>^{m}. <I>præ$entis.</I></marg> toti f g k &qring;d e$t contra $uppo$itũ, ideò ne<01> b a e quia b a c & d a e $unt æ&qtilde;lia rectilineis <10> $e, & etiã pariter accepta. Totum aũt $patiũ a e$t &ecedil;&qtilde;le quatuor, re- ctis ergo re$iduũ, $cilicet $patia c a d & b a c pariter accepta $unt &ecedil;&qtilde;- lia rectilineis $patijs, $ed $patiũ e a d non e$t æ&qtilde;le rectilineo, ergo <10> demon$trata hic, nec b a e, nã $i $it, $it ergo b a e æquale h g k & quia ambo $patia b a e & c a d $unt æ&qtilde;lia rectilineo ex demon$tratis, $it ergo æqualia f g k, erit ergo ex communi animi $ententia $patium f g h æquale $pacio c a d, quod e$t contra primam partem corrolarij.</P> <head>LEMMA TERTIVM.</head> <marg>P<I>er</I> 11. <I>pri mi</I> E<I>lement.</I></marg> <P>Inter duas rectas lineas $e tangentes circuli dati peripheriam <marg>P<I>er</I> 3. <I>eiu$d&etilde;</I></marg> ducere. Sit circulus datus a b rectilineus <fig> angulus c d e, uolo illum diuidere circuli periferia data b f, duco perpendicularem d g ex, d $uper d c, & facio g d æqualem a b <marg>P<I>er</I> 15. <I>ter tij</I> E<I>lem.</I></marg> & duco circulum per d qui $it d h qui cadet infra d c & ob id etiam $upra d e, igitur di- uidet angulum c d e, quare cum circulus d h $it æqualis circulo b f <marg>C<I>or</I>^{m}. 6.</marg> patet propo$itum.</P> <P>Ex hoc patet quod infinitis modis pote$t diuidi angulus c d e <marg>P<I>er</I> 1. <I>diff. tertij eiu$d&etilde;.</I></marg> peripheria b f, nam diui$o per rectam c d e linea d k per &ecedil;qualia & di <marg>P<I>er</I> 9. <I>primi</I> E<I>lem.</I></marg> ui$o k d e per præ$entem peripheria b f, patet propo$itum quoniam angulus c d e pote$tin infinitum recta diuidi, & ita $emper per peri- pheriam, unde patet propo$itum.</P> <head>SCHOLIVM.</head> <P>At<01> hæc omnia $equuntur de mente Euclidis, quæ tamen ui- dentur difficillima creditu, quoniam anguli rectilinei, et ex periphe <foot>ria</foot> <p n=>161</p> ria & recta $unt ex genere quantitatis continuæ, & quòd detur ma- ius & minus & nunquam detur &ecedil;quale, uidetur ab$urdum ne dum admirabile. Et maximè quod etiam anguli ex peripheria & recta $unt diuer$orum generum inter $e & infinitorum. Pr&ecedil;terea i$tud re- pugnare uidetur ip$imet Euclidi, dicenti duabus magnitu dinibus <marg>1. P<I>ropo$.</I></marg> <marg>10. E<I>lem.</I></marg> propo$itis inæqualibus, $i de maiore earum plus dimidio detraha- tur, at<01> iterum de re$iduo maius dimidio, & rur$us de eo quod re- linquitur plus dimidio, nece$$e erit ut tandem minor minore quan- titas relinquatur. Ne<01> illud argumentum uidetur concludere an- gulus contactus, ex recta, & circuli circumferentia non pote$t recta diuidi, & rectilineus pote$t diuidi, ergo rectilin eus $emper e$t ma- ior angulo contactus, quia hoc contingit in angulo contactus pro pter modum anguli, non paruitatem: $i cut etiam non ualet de figu- <fig> ra a lunari, & quadrangulo b. nam pote$t b diuidi ab angulo ad angulum recta & a non pote$t, & tamen a maius e$t quam b, cum contineat ip$am. Proponantur ergo duo circuli a d e & a f g qui $e contingant in a, & corum centra $int b & c & ducantur rectæ a f d & a g e & con$tat &qring;d portiones a d & a f $imiles $unt, <fig> itemque a e & a g, ducta enim a b c <marg>P<I>er</I> 11. <I>ter tij</I> E<I>lement.</I></marg> per centra circulorum ex contactu tran$ibit per illa: quare anguli h a g & h a e $untijdem & $imiliter h a f & h a d ijdem, portiones ergo af & a d item<03> a g & a e $imiles $unt: an- gulus igitur g a e ex peripherijs & <marg>E<I>x</I> 10. <I>diff. tertij</I> E<I>lem.</I></marg> e a d ex rectis $unt ijdem in puncto a: $ed quod ad ba$sim maior e$t ba- $is g e quam e d: hoc enim $uppono quod per $e e$t manife$tum toties diuid&etilde;do arcum d e ut fiat minor recta g e. Quia ergo $unt du&ecedil; ma- gnitudines, quarum ter mini $unt ijdem ex una parte, $cilicet pun- ctum a, ex alia autem unus e$t maior altero, $cilicet g e quam e f & <marg>P<I>er</I> 1. <I>deci- mi</I> E<I>lem.</I></marg> a d e peripheria e$t maior recta a g e. Ergo per regulam dialecti- cam $i $ub eadem proportione procederent, maius e$$et $patium $emper inter peripherias quàm rectas. igitur angulus peripheria- rum e$t maior angulo à rectis contento. Cum angulus non $it ni$i quidam habitus propinquitatis linearum, $ed angulus con- tactus ex recta & peripheria maior e$t contento ex peripherijs cum habeat rationem totius ad partem, igitur angulus contactus e$t maior dato angulo rectilineo.</P> <foot>O 3 Propo-</foot> <p n=>162</p> <P>Propo$itio cente$ima$exage$ima.</P> <P>Propo$ita linea tribus <03> in ea $ignis punctum inuenire, ex que ductæ tres lineæ ad $igna $int in proportionibus datis.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Sit data linea a b c in qua puncta dicta & datæ tres line&ecedil; d e f, uo- lo inuenire punctum, puta g ex quo ductæ tres lineæ ad a b c puncta $int in proportione a g ad <marg>P<I>er</I> 154.</marg> g b, ut d ad e & g b ad g c, ut e ad f. Per pr&ecedil;ceden <fig> tia inuenio circulum ex cuius peripheria omni- bus ex punctis ductæ lineæ ad a b $int in pro- portione d ad e, & per idem circulum ex cuius peripheria quælibet lineæ ductæ ad b c puncta $int in proportione c ad f, $i igitur i$ti duo circu- li $e $ecabunt in aliquo puncto puta g: liquet quod lineæ ductæ ex g ad a b c, erunt in propor tione d e f.</P> <marg>C<I>or</I>^{m}_{m}.</marg> <P>Ex quo liquet quod $i uoluero ducere ad tria puncta data, tres lineas in continua proportione data d ad e, $ubijciam tertiam uel in terponam, $i uoluero mediam. Et $i uellem, ut e$$et a g ad g b dupli- cata ei quæ e$t g b ad b c, & uellem quòd proportio d ad a d f data e$$et, oporteret inuenire duas medias proportione inter d & f, in de operari cum una earum per modum propo$itum. Differt corrola- rium hoc à propo$itione in hoc, quod in propo$itione non quæri- mus ni$i proportionem g a ad g b & g b ad b c, non g a ad g c, ne<01> comparationem proportionum: at in corrolario quærimus tres proportiones g a g b & g c, & comparationem proportionum in- ter $e, $cilicet æqualitatem.</P> <P>Propo$itio cente$ima$exage$imaprima.</P> <P>Si fuerint duo trianguli quorum ba$es in eadem linea $int con- $tituti & æquales & ad unum punctum terminati, & latus unum commune inter reliqua quantita- <fig> te medium, nece$$e e$t angulum à maioribus lineis contentum mi- norem e$$e.</P> <P>Sint duo trianguli a b c, a c d, <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> quales proponuntur, & $it a d ma- <marg>P<I>er</I> 23. <I>pri mi</I> E<I>lement.</I></marg> ior a b dico angulum d a c e$$e mi- norem. Si non fiat angulus d a c æ- qualis ex alia parte, & oportet $i non $it minorut uel cadat a d $u- <marg>P<I>er</I> 38. <I>pri mi</I> E<I>lem.</I></marg> per a b & ducta a d ad &ecedil;qualitatem cadet infra b, ducta ergo d c erit trigonus a d c maior a b c, quod e$$e non pote$t cum $int æquales. <foot>Si</foot> <p n=>163</p> Si autem a d cadat extra a b ducatur d e: quæ $i cadat $upra b c uel infra, cum totum $it maius parte erit a d e, ut prius maior a b c quod <marg>P<I>er</I> 18. <I>pri mi</I> E<I>lem.</I></marg> e$t contra Euclidem. Reliquum e$t ut d c cadat $upra b c: hoc au- <marg>P<I>er</I> 23. <I>eiu$ dem.</I></marg> tem e$$e non pote$t, nam cum $uppo$uerimus a b e$$e minorem a c erit angulus a c b minor angulo a b c, quare a c b e$t minor recto, & <marg>P<I>er</I> 13. <I>eiu$ dem.</I></marg> ideò a c d maior recto, at a c d æqualis e$t a c d, alteri igitur a c d e$t <marg>P<I>er</I> 4. <I>eiu$- dem.</I></marg> maior recto a c b minor, erit ergo pars maior toto.</P> <head>LEMMA.</head> <P>His demon$tratis quis dicere po$$et ex $uperius expo$itis quod <marg>L<I>emmate</I> 3. P<I>rop.</I> 159.</marg> angulus rectilineus $emper e$$etmaior angulo contactus? quia an- gulus contactus non pote$t diuidi ni$i obliqua linea, recti lineus autem tam obliqua quam recta. Propter hoc exponantur circuli <fig> tres $e tangentes a b, a c, a d hac rati- one ut a b, b c, c d $int æquales, erunt <marg>P<I>er</I> 11. <I>ter tij</I> E<I>lem.</I></marg> enim centra omnia in linea conta- ctus, & ducatur a e f g recta quomo <marg>P<I>er</I> 31. <I>ter tij</I> E<I>lement.</I></marg> dolibet: & erunt ductis lineis b c, <marg>P<I>er</I> 32. <I>pri- mi</I> E<I>lem.</I></marg> c f, d g anguli e f g recti, quare om- nes trigoni a b e, a c f, a d g, $imiles <marg>P<I>er</I> 4. <I>$exti</I> E<I>lem.</I></marg> & ideo a e, e f, f g æquales, at<01> por- tiones a g, a f, a e, iuxta proportio- nem circulorum, quare a g, erit $ex- quialtera a f & a f dupla a e, igitur <marg>P<I>er</I> 10. <I>diff- tertij</I> E<I>lem.</I></marg> per præcedentem maior erit angu- lus e a f, quam f a g, & a d a ex recta <marg>P<I>er præce- dentem.</I></marg> & peripheria quam e a f, igitur augendo eadem ratione cum perue- niamus ad angulum b a g qui fermè e$t recto æqualis cum deficiat $olo angulo contactus, liquet angulum e a g e$$e longè maiorem multis rectilineis. I$tud po$$et etiam demon$trari uia Archimedis diuidendo arcus g a in h & f a in k bifariam ducendo <03> lineas re- ctas g h & fk & ita diuidendo h a in 1, & k a in m bifariam, & ducen- do rectas at<01> ita $emper appropinquando puncto a. Concludo er- go quod angulus cõtactus ex recta & peripheria e$t maior multis rectilineis. Cau$a autem erroris e$t quod multi exi$timarunt corro- larium illud e$$e Euclidis cum non $it. Nam Euclidi $ufficit hoc quòd angulus contactus nõ po$sit recta diuidi, nam eo utitur po$t modũ in demon$trationibus. Eo uerò quod $it minor omnibus re- ctilineis angulis non utitur, ideò etiam $i uerũ fui$$et nõ ad didi$$et: quanto minus: cum uerum non $it, ideò fuit adiectũ ab aliquo qui id&etilde; fore credidit nõ po$$e diuidi rectalinea & e$$e minus quocun<01> quod recta linea diuidi po$$et, quod apertè ut dixi fal$um e$t.</P> <foot>O 4 SCHO</foot> <p n=>164</p> <head>SCHOLIVM.</head> <P>Ratio autem quòd omnis angulus contactus indiuiduus $it, $eu duorum circulorum, $eu circuli cum recta e$t, quoniam cum fuerint duæ rationes contrariæ, & una perpetuò minuitur, alia manet ne- ce$$e e$t, ut tandem, quæ minuitur, $uperetur ab ea quæ manet: cum ergo circuli curuitas maneat, & angulus tendat in punctum perpe- tua diminutione nece$$e e$t, ut curuitas circuli impediat diui$io- nem rectè: $ed hoc habet duplicem obicem. Primum, quia nullus angulus ex circumferentia & recta po$$et diuidi: hoc autem fal$um e$t manife$tè, cum $olus ille qui fit ex contactu lineæ, quæ non di- uidit circulum, diuidi non po$sit. Secundò, quod angulus conta- ctus duorum circulorum $e exterius tangentium multo minus po$$et diuidi angulo contactus interioris duorum circulorum, quod tamen fal$um e$t: & hoc animaduertit Campanus no$ter, uir acutus. Dico ergo quòd in his qui $e tangunt exterius, non fit diui- $io ni$i $emel: & quamuis inclinentur mutuò, tamen in concur$u non aptantur, ut cum obuiat rectæ aut cauæ parti circuli quia ne- ce$$e e$t, ut accedat, in alio autem di$cedat: indicio e$t quod circu- los $e exterius tangentes, in puncto facilè de$cribes, interius uix fie- ri pote$t, $ed uidentur coniuncti <fig> per longum interuallum. Ad aliud dico, quòd ille angulus ex recta & peripheria conuexa circuli propter di$ce$$um $eruat maiorem inclina- tionem in quocun<01> puncto, quàm $it acce$$us conuexæ partis exterio- ris circuli.</P> <P>Propo$itio cente$ima$exage$ima $ecunda.</P> <P>Proportionem duorum orbium <fig> quorum diametrorum cõuexæ par tis, & concauæ proportiones datæ $int, inue$tigare.</P> <P>Sint duo orbes a b c d & e f g h, <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> & $it proportio a d ad b c, data & e h ad f g, data & rur$us a d ad e h, di- co orbis proportionem a b c d ad orb&etilde; e f g h e$$e datã. Quia. n. <04>por tio a d $phær&ecedil; ad b c e$t ueluti ad di metientis ad b c dimetient&etilde; triplicata, ideò cũ nota $it a d ad b c di <marg>P<I>er</I> 18. <I>duo decimi</I> E<I>lem.</I></marg> metientiũ, erit nota etiã a d $phæræ ad b c $ph&ecedil;rã. quare orbis ad ad $ph&ecedil;rã b c. nota e$t etiã <04>portio b c dimeti&etilde;tis ad a d & ad a d e h & <foot>c h ad</foot> <p n=>165</p> e h ad f g, igitur b c proportio dimetientis ad f g dimetientem nota. <marg>P<I>er</I> 22. <I>quinti</I> E<I>lem. &</I> A<I>lizam.</I></marg> Quare $phæræ b c ad f g $phæram. atnota e$t proportio f g ad e h dimetientium igitur & $phærarum: igitur nota e$t f g $phæræ ad or bem e h, igitur cum nota $it proportio orbis ad a d $phæram b c, & b c $phæræ ad f g $phæram, & f g $phæræ ad orbem e h, erit propor tio orbis a d ad orbem e h nota, quod e$t propo$itum.</P> <P>Propo$itio cente$ima$exage$imatertia.</P> <P>Proportionem uirium $tellarum per motus $uos indagare.</P> <P>Mouentur $tellæ omnes ab Oriente in Occidentem die una, qui <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> motus fit à prima mente, quæ mouet: ideò quod ad hoc attinet non e$t diuer$itas: uerùm in motibus ab Occidente in Orientem cũ $int proprij, oportet con$iderare tempus, in quo circumuertũtur, & ma gnitudinem ambitus, & inde magnitudinem orbis, qui circumagi- tur, & horum trium facta comparatione digno$citur robur uirium $tellarum & uitarum quæ mouent eas. Ponatur ergo, ut uelim pro- portionem uit&ecedil; Saturni ad uitam Lunæ: erit ergo (ut docet Alphra <marg>D<I>iff.</I> 21.</marg> ganus) Luna, cum e$t in longitudine propiore, altitudinem habens 109000 M.P. & cum e$t in longitudine longiore 208500, tota igitur dimetiens 417000 M.P. mane 218000 M.P. Igitur proportio $olida- rum $phærarum e$t uelut 72511713 ad 10360232, remanebit ergo proportio orbis ad $phæram elementorum, ut 62151481 ad 10360232, & e$t $excuplum fermè. Rur$us proportio dimetientis al- titudinis Saturni ad contentum e$t uelut 2011 ad 1440, & e$t propè 201 ad 114, quare 67 ad 38, quare $phærarum ut 300000 ad 55000 ferme. Igitur ferè ut 60 ad 11. Rur$us proportio dimetientis $phæ- ræ Saturni ad dimetientem $phæræ Lunæ e$t propè 313, & $phæra- rum $olidarum 306 317 10. Perinde e$t. Quia ergo proportio $phæ- ræ Saturni ad $phæram Lunæ e$t 30631710, & orbis Lunæ e$t 5/6 $olum $phæræ $uæ diuidemus 30631710 per 5/6, & exibit proportio $phæræ Saturni ad orbem Lunæ 36758052, at quia proportio $o- lidæ $phæræ Saturni ad contentum e$t ut 60 ad 11, erit $phæræ ad orbem, ut 60 ad 49 re$iduum, diuidam ergo 36758052 per 60, exe- unt 612634, & ducam per 49, id e$t per 100, fit 61263400, & diuiden do per 2, exit 30631700, detraho 612634, relinquitur proportio or- bis Saturni ad orbem Lunæ 30019066.</P> <P>Iam uerò circuitus Saturni ad circulum Lunæ, proportio e$t 313, ut ui$um e$t, Lunæ autem tempus per $ex ductum e$t 164 dies, Sa- turni 177 anni propemodum, qui $unt dies 64649 diuide, duc ergo 313 in 164, fiunt 51332. Idem ergo peragrat Luna in 51332 diebus, quod Saturnus in 64649, & e$t quo ad hoc agi- <foot>lior,</foot> <p n=>166</p> lior, ut ita dicam, quarta parte: at Saturnus, ut dictum e$t, mouet or- bem 30019066, $ed lentiùs quinta parte, detrahe illam fiet robur Sa turni in comparatione ad Lunam 24015253.</P> <P>E$t tamen Luna multo agilior ob propinquitatem, & ob uarie- tatem luminis, & magnitudinem $uperficiei. Et etiam quod maius e$t ob id quod defert ad nos uires omnium $yderum, nihilominus quo ad uires uix e$t comparatio.</P> <head>SCHOLIVM.</head> <marg>46</marg> <P>Multum autem differt hæc propo$itio à $uperiore, nam in illa quæ$iuimus uim uitarum ex proportione ad $ua corpora, quæ quodammodo e$t quodammodo, non hic autem exponimus uim uitarum ex earum operatione. Propterea $ubij ciemus breuiter alti- tudinem proportiones in minore longitudine & maiori</P> <table> <row><col>Luna</col><col>in minore altitudine</col><col>51</col><col>in maiore</col><col>64</col></row> <row><col>Mercurij</col><col>in minore</col><col>64</col><col>in maiore</col><col>167</col></row> <row><col>Veneris</col><col>in minore</col><col>167</col><col>in maiore</col><col>1120</col></row> <row><col>Solis</col><col>in minore</col><col>1120</col><col>in maiore</col><col>1220</col></row> <row><col>Martis</col><col>in minore</col><col>1220</col><col>in maiore</col><col>8876</col></row> <row><col>Iouis</col><col>in minore</col><col>8876</col><col>in maiore</col><col>14405</col></row> <row><col>Saturni</col><col>in minore</col><col>14405</col><col>in maiore</col><col>20110</col></row> </table> <P>Stellarum fixarum propior 20110 longior non habetur. Et hæ men$uræ $unt in comparatione ad $emidiametrum terræ. Et iuxta id quod potuit $e cundum rationem haberi: nam demon$tratio $ola e$t de altitudinibus Solis & Lunæ, & eorum magnitudinibus à <marg>L<I>ib.</I> 5. <I>cap.</I> 14. 15. <I>&</I> 16.</marg> Ptolemæo in magna compo$itione.</P> <P>Propo$itio cente$ima$exage$imaquarta.</P> <P>Syderum proportionem in magnitudine o$tendere.</P> <table> <row><col>Luna ad terram comparata</col><col>1/39</col></row> <row><col>Mercurij corpus</col><col>1/22000</col></row> <row><col>Veneris</col><col>1/29</col></row> <row><col>Solis corpus</col><col>166</col></row> <row><col>Martis</col><col>15/8</col></row> <row><col>Iouis</col><col>95</col></row> <row><col>Saturni</col><col>91</col></row> </table> <P>Stellarum autem fixarum in$ignium unaquæ<01> etiam minima, $i <marg>D<I>iff.</I> 22.</marg> credendum e$t Alphragano, e$t centies maior tota terra, unde ca- nem nece$$e e$t centies mille maiorem e$$e, e$t enim in eadem altitu|| dine, & dimetiens decuplus dimetienti $tellarum $ecundæ magni- tudinis, quas ille in$ignes uocat: aliter Saturnus non tantus e$$e po$$et, cum $it minimus a$pectu.</P> <foot>Propo$itio</foot> <p n=>167</p> <P>Propo$itio cente$ima$exage$imaquinta.</P> <P>Propo$itionem motuum omnium $tellarũ ad $olem con$iderare.</P> <P>Videtur Sol qua$i Rex in Cœlo, nam omnes orbes cum illius <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> motu conueniunt, & uideturres admiratione digna his, qui non nouerunt, quanta $it concordia omnium rerum, de qua infrà dice- mus. Ergo Luna primum hoc habet, ut linea æqualis motu Solis $emper media $it inter lineam æqualis motus Lun&ecedil; & loci maximè inæqualitatis motus eius, ubi $cilicet tardi$simè mouetur, Veneris autem & Mercurij ut motus æquales idem $emper $int cum motu æquali, & locus cumloco ip$ius Solis ad unguem præterid quod infrà dicemus. Trium uerò $uperiorũ ratio $ic cõ$tat ad Solem ut à Prolem&ecedil;o ob$eruatũ e$t ex Hipparcho. In omnire$titutione cuiu$- libet planet&ecedil; $uperioris numerus reuolutionũ Solis &ecedil;qualis e$t nu- mero re$titutionũ planet&ecedil; $ecundũ motũ æqualitatis & in&ecedil;qualita tis pariter acceptis. Velut Saturnus in annis quinquaginta nouem die una & horis decem octo quinquage$ies $epties per motum in&ecedil;- qualem ad ungu&etilde;, per æqualem autem duabus reuolutionibus par te in$uper una & quadraginta quin <01> minutijs, quæ re$pondent di- ei uni, & horis decem octo ex motu Solis, & ita bis Saturnus reuol uitur $ecundum motum æqualitatis & quinquage$ies $epties per motum inæqualem & $imiliter. Iupiter in annis 70, diebus trecen- tis $exaginta, horis quatuor, $exaginta quin<01> reuolutiones in&ecedil;qua les perficiet & $ex &ecedil;quales, deficientibus ex &ecedil;qualibus quatuor par- tibus & dextante quod e$t quãtum peragraret Solin quatuor die- bus, & dextante diei ad perfectionem $cilicet annorum $eptuaginta at<01> unius. Martis quo <01> $tella in annis $eptuaginta nouem, & die- bus tribus & horis fermè quatuor triginta nouem facit inæquali- tatis reuolutiones: æqualitatis autem quadraginta duas, & in$uper partes tres cum $extante, quas manife$tum e$t peragrari à Sole in diebus tribus at<01> horis quatuor. Veneris quo <01> $ydus in octo an- nis deficientibus diebus duobus & quadrante, inæqualitatis quin- que perficit reuolutiones, æqualitatis autem tantundem ad un gu&etilde; quantum Sol deficiente eadem parte $eu diebus duobus & qua- drante. Mercurij quo <01> $tella in quadraginta $ex annis & una die & hora una fermè quadraginta $ex fermè perficit reuolutiones æ- qualis motus & in$uper gradum unum cum portione re$pondenti portioni temporis, id e$t, horæ fermè uni: in æqualitatis autem cen- $um quadraginta quin <01>. At<01> h&ecedil;c $unt manife$ti$sima et ut dixi ad- miranda $unt, præterea alia minus generalia, aut minus manife$ta aut non tanti momenti quæ con$ultò prætermitto, non e$t. n. locus hic do cendi artes $ingulas $ed $olum ea tra ctandi quæ ad argumen <foot>tum</foot> <p n=>168</p> tum pertinent. Igitur ut ad rem redeam. Solis cum octauo Orbe ea ratio e$t, ut linea quam ille permeat eadem $it quam qu&ecedil; fix&ecedil; $tellæ, non. n. ad eandem di$tantiam & mente conceptam ab æquinoctijs de$cendentem ac æquidi$tantem mouetur, $ed ad eam $ecundum quam $tell&ecedil; fix&ecedil; in octauo orbe mouentur in comparatione ad ecli- pticam $uperioris orbis. Porrò de his at<01> huiu$modi in Paralipo- menis diximus, ubi etiam docuimus quomodo $ecundum duos cir <marg>L<I>ib.</I> 14. <I>cap.</I> 7.</marg> culos, qui $olum circa $uum centrum mouentur, punctus datus per petuò in recta linea feratur.</P> <P>Propo$itio cente$ima$exage$ima$exta.</P> <P>Proportiones mu$icas $uperpartientes in eas quæ particula una tantum abundant reducere.</P> <marg>C<I>o</I>_{m}.</marg> <P>Ptolem&ecedil;i hoc inuentum fuit, ut & multa alia pr&ecedil;clara: ita<01> $ta- tuendum e$t, primum uoces &ecedil;quales non concentum efficere, quia diuer$æ non $unt, qu&ecedil; autem diuer$&ecedil; $unt, nihilominus proportio- ne con$tant $implici$sima & multiplici, tales optimam efficiunt ar- moniam. Eiu$modi $unt quæ in dupla $unt proportione, uocatur autem diapa$on. 1. qua$i omnia comprehendens non à numero uo- cum uelut diapente & diate$$aron à quatuor & quin <01> uo cibus. In diapa$o. n. omnia cõprehendi uidentur. 1. omnes uo cũ differentiæ, quanquã ex octo tantũ uo cibus con$tet. Pò$t $unt quæ in &qtilde;drupla, unde bis diapa$on, po$t quæ in tripla, nam <04>pior e$t monadi $eu &ecedil;- qualitati: $ed non adeò $implex ut bis diapa$on. Vocant aũt hanc diapa$on diapente: inde $ub$equi&ttilde; octupla qu&ecedil; uix in uocib. huma- nis habetur: frequ&etilde;s in in$trumentis, uo ca&ttilde;<03> tris diapa$on inde $ex- cupla, $eu bis diapa$on diapente. Quintupla aũt minus cõcors e$t: $ed de hac inferius dicemus, at<01> de multiplicib. dicta $unto. Sed de cõ centu ex particula $uperaddita $exquialtera $exquitertia at<01> alijs nunc agendum. Clarum e$t. n. has e$$e $implici$simas. Cum ergo du pla proportio non magis po$sit diuidi æqualibus interuallis at<01> $implicibus proportionibus quàm in $exquialteram & $exquiter- tiam, uelutinter 4 & 2 interpo$ito 3. nam proportio 3 ad 2 e$t $ex- quialtera, & 4 ad 3 $exquitertia: nec melius pote$t diuidi, at $exqui- alteram & $exquitertiam quantumuis magnis numeris diuidere non licebat melius aut commodius quam per $exquioctauas: uelu- ti $umpto numero 64 cui duplus e$t 128, inter medius 96 qui cum 64 $exquialteram facit proportionem, quæ $uaui$sima e$t omni- um deductis multiplicibus, uo catur<03> diapente. At quæ e$t 128 ad 96 $exquitertia e$t minu$<01> benè $onat per $e, $ed in acutioribus uo- cibus $olum cum alijs benè $onat, uelut cum diapente, perficiens diapa$on, interuallum, ergo inter 96 & 64 diui$um per $exquio cta- <foot>uas</foot> <p n=>169</p> uas <04>ducit 72 et 81, nã 72 ad 64 e$t $exquio ctauũ, $icut 81 ad 72. uerùm id accidebat in cõmodi <09> 81 ad 64 nullã habet <04>portion&etilde; commodã, & multominus 96 ad 81, quare ui$um e$t Ptolem&ecedil;o ut $ubtracta mona de fier&etilde;t termini 64, 72, 80, & 96, <04>portio aũt 80 ad 64 cõ$tituit $exqui quartã at<01> ditonũ, <04>portio quo <01> 96 ad 72 $exquitertiã $emiditonũ <03>. Rur$us <04>portio 128 ad 64 cõponi&ttilde; ex <04>portionib. 80 ad 64, &qtilde; habe&ttilde; <04> ditono ut dictũ e$t, & e$t $exquiquarta <04>portio. At 128 cum 80 e$t in <04>portione $uperpartiente tres quintas, &qtilde; iterũ e$t con$ona. Regula e&mtilde; e$t <09> ubi con$onantia uo cũ diuida&ttilde; in duas partes, quarũ una $it con$o nans, reliquã etiã e$$e con$onant&etilde;, at nõ cõuerti&ttilde;. S&ecedil;pe. n. fit ut ex duab. con$onantibus di$$onans cõpo$itio oria&ttilde;, uelut ex duplici diap&etilde;te, aut diap&etilde;te cũ ditono, $ed ut ad <04>po$itũ reuertar, alia diapa$on e$t inter 80 & 40, at inter 48 & 40 e$t $emiditonus ut o$t&etilde;$um e$t, uelut inter 96 & 80, nam inter 45 & 40 e$t <04>portio $exquioctaua, inter 48 aũt & 45 $ex- quiquinta decima, igi&ttilde; ex regula data <04>portio 80 ad 48 &qtilde; e$t $uperbi- partiens tertias $eu $olida cũ be$$e $eu $exta maior erit cõ$onans. Iam er go uidemus detractione aut additione $exquio ctuage$imæ, concinnas reddi uulgatiores armonias: tertiã utran <01> maior&etilde; $cilicet & minor&etilde;, ac rur$us $extã maior&etilde; at<01> minore &qtilde; in minoribus numeris $cilicet à mo- nade ad octo po$itæ $unt. Vides præterea $emiditonũ in $exquiquinta <table> <row><col>Diapa$on</col><col>2</col><col>1</col></row> <row><col>Bis diapa$on</col><col>4</col><col>1</col></row> <row><col>Diapa$on diapente</col><col>3</col><col>1</col></row> <row><col>Tris diapa$on</col><col>8</col><col>1</col></row> <row><col>Bis diapa$on diap&etilde;te</col><col>6</col><col>1</col></row> <row><col>Hæmiolia</col><col>3</col><col>2</col></row> <row><col>Hæmitritæa</col><col>4</col><col>3</col></row> <row><col>Ditonus</col><col>5</col><col>4</col></row> <row><col>Semiditonus</col><col>6</col><col>5</col></row> <row><col>Sexta minor</col><col>8</col><col>5</col></row> <row><col>Sexta maior</col><col>5</col><col>3</col></row> <row><col>Bis diapa$on ditonus</col><col>5</col><col>1</col></row> </table> cõ$tare: adeò ut à $enario infra nihil inutile reddatur. Diate$$aron aũt cum primum di uidi pote$t, $i $ecus diuidatur <08> in ditonũ & $emitoniũ, aut in $emiditonum & tonũ, $cilicet in duo tantũ interualla, non cõmo- dius quã inter octo & $eptem & $ex diuidi pote$t. Cum ergo octo ad $ept&etilde; di$$ona $it, quippe nimis remota e$t h&ecedil;c <04>portio à $en $u humano: quamobr&etilde; ex regula data, ne- que proportio $ept&etilde; ad $ex. Sed dubitabis meritò, quia cũ diate$$aron diuidatur bifa- riã, in ditonũ & $emitoniũ, ac rur$us in $e- miditonũ & tonũ, quarum altera cõ$onans e$t, reliqua nõ. Vide&ttilde; ergo infirmari regula illa, <09> con$onantia diui$a $i una pars cõ$onet, alia non po$sit e$$e di$$onans, nã con$tat coniũ & $emitoniũ tam per $e quam in cõpo$itione di$$onare: & nõ parũ $ed acerbè. Verũ re$pondeo diate$$a ron, ut dixi, numerari inter ambiguas coniugationes, quatenus e&mtilde; per fe e$t, di$$onans e$t: at <01> $ic in con$onant&etilde; & di$$onantem diuidi pote$t: quatenus aũt pars e$t diapa$on cõ$onans in acutis: quan <08> etiã adiecta ditono aut $emiditono $uprà efficiat $extã maiorem aut minor&etilde; parum benè $onantes. At quintupla <04>portio ut ab initio <04>po$itum e$t, cõ$tat bis diapa$on, & $exquiquarta, ut planè manife$tũ e$t: $exquiquarta aũt <foot>P ditonus:</foot> <p n=>170</p> ditonus: bis diapa$on aũt quindecim uo cibus. Omnes igitur decem, & $ept&etilde; uoces, &qtilde; $exdecim interuallis di$tinguun&ttilde;, con$onantes $unt: & ex genere ditoni, & $exquiquartæ, $ed paulo minus benè $onãt <08> ditonus ip$e. Igitur quintuplã multiplicem ad $ex quiquartã reduximus. Verum ut o$ten$um e$t & decima$eptima, &qtilde; bis diapa$on cõ$tat, & $emiditono benè $onat, h&ecedil;c aũt inter non aginta $ex & uiginti: quadrupla igi&ttilde; e$t & $uperquadripartiens quintas. Diapa$on quo <01> cum $exta maiore & mi nore eandem habentrationem quam 16 ad 5, & 10 ad 3, triplam utran<01>, $ed altera $exquiquinta, altera $exquitertia: bis diapa$on uerò cũ ei$dem ut uiginti ad tria, & 32 ad quin <01> $excupla utra<01>: $ed altera $uperbipar- tiens tertias, altera quintas. Manife$tũ e$t igitur hanc diui$ionem nõ $o- lum concinnam magis e$$e & $uauem $ed omnem tonorũ & $emitonio- rum nece$sitat&etilde; effugere. Quòd uerò in cau$a fuit ut toni & $emitonia in u$u e$$ent, id e$t, quoniam in di$c&etilde;do nece$$e e$t eandem $eruari ratio- nem in crementorũ, ne <01> arithmeticam $ed geometricã. Ideò a$c&etilde;$us per tonos & $emitonia cõmodus fuit, nam duplicem $olũ differentiam pue ri u$u a$$equi coguntur. At uerò poterat & per $exqui$extam diuidi dia te$$aron, ut inter triginta $ex & quadraginta nouem interpo$itis 42, ue- rùm triplex $equeba&ttilde; in cõueniens: primum ut diate$$aron ad amu$sim non $eruaretur, $ed incidebat in cacophoniam, addita quadrage$ima o- ctaua parte: deficiente aũt in duabus $exqui$eptimis numeris $eu <04>por tione $exquitertia: ut inter 49 & 64 loco 48 & 64, uelut etiã inter 48 ad 36, additaigitur monade in termino medio utrin <01> fit di$$onantia. Se- cundum inconueniens, e$t <09> $ic diuidente non $eruabatur ratio $exqui- quartæ & $exquiquintæ $eu ditoni & $emiditoni, quæ uoces benè $o- nant. Tertium inconueniens erat, quòd hæcratio diuidendi diapentes minimè $atisfaciebat, uelutinter 324 & 216. Interponere enim nece$$e erat 252 & 294, unde incongrua rur$us erat diui$io. His tot cau$is cum proportiones maiores non fatisfacerent ut $exqui quinta quæ diate$$a- ron nullo modo æqualiter diuidere pote$t, & in diapente deficit $exqui uige$imaquarta, ut inter 25 & 36, coacti $unt cum nec $exqui$exta nec $exqui$eptima idoneæ e$$ent ad $exquio ctauam confugere.</P> <P>E$t & alia diui$io toni in $emitonia, &qtilde; e$t uaria pon&etilde;do tonũ inter 18 & 16, media uox e$t 17 $emitonium maius inter 17 & 16, $ed minus inter 18 & 17, quorũ differentia e$t 1/288. Hic $ubit admiratio quomodo $emi- toniũ minus apte&ttilde; tam gratè in $ymphonijs, maius aũt nequaquã. Ptole m&ecedil;us hoc negaret, quia $exquiquinta $eu $emiditonus cõ$tat tono inte- gro, qui e$t inter 90 & 80, & $emitonio plu$quã maiore quod e$t inter 96 & 90, & e$t $exquiquinta decima: &qtilde; maior e$t tono maiore 1/255. Pro- pterea dicemus cau$am e$$e <09> po$ito $emiditono inter 81 & 96, id e$t, 27 & 32 $ublato tono, id e$t, 234 & 216, remanebit 13 differentia 256 ad 243, $eu qualis e$t 96 ad 91 & 1/8 quæ e$t ut 768 ad 729 et redit ad id&etilde;, $cili <foot>cer,</foot> <p n=>171</p> cet, ut 256 ad 243, 13 autem e$t paulo plus decimanona, ergo multo mi- nus $emitonio minore. $ecundum m&etilde;tem ergo Ptolemæi, po$ito tono inter 135, & 120, & $emitonio maiore inter 128 & 120 remanebit $emito- nium minus fermè inter 19 & 18, id e$t, 133 & 126, qu&ecedil; proportio differt à 135 & 138. Si quis autem bene animaduertat, $exquioctuage$ima illa adimitur, ex tono & additur $emitonio minori, & hæc e$t cau$a quòd $emitonium maius Ptolemæi $it concinnum, quia additur tonis imper fectis. Dimidium autem $emitonij minoris e$t inter 36 & 35, & uocatur cõma: & e$t minus & maius: maius e$t inter 35 & 34, rur$us cõma mi- nus diuiditur in duas die$es, minorem, quæ e$t inter 72 & 71, & maio- rem, qu&ecedil; e$t inter 71 & 70, & ideò manet difficultas quomodo intenta uoce per die$im fiat melior con$onantia? nam de remi$sione po$$emus dicere quòd accipitur loco $exquio ctuage$imæ: $ed in $exquioctuage- $ima remittitur de tono $ecundum mentem Ptolemæi, in die$i intendi- tur $emitonium minus, $icut o$tendit experimentum, $ed for$an conue niunt quia intentio $emitonij minoris deducit $emiditonum ad $exqui quintam: e$t enim differentia $emitonij minoris intenti hoc modo ad $emitonium minus, ut 136 ad 135: $ed hoc e$t longè minus $exquioctua ge$ima, unum $at e$t, hanc e$$e ultimam diui$ionem toni in octo par- tes, & ut in diatonico toni dominantur, ita in chromatico $emitonia in enarmonico die$es, $ed die$es fugitando (utita dicam) ac aures uelli- cando, mirum in modum oblectant audientes: uelut toni $tando, un- de etiam nomen, $emitonia medium modum obtinent.</P> <P>Tertium genus proportionis (omitto modò diui$ion&etilde; temporum binarij, ternarij, quinarij, qui ultimus e$t eorum quos $en$us recipiat, nam $eptenarius propinquior e$t binarij diui$ioni ob octonarium, & modos illos $atis notos Doricum, Lydium & Phrigium, ac eiu$modi) e$t Ptolemæi: rur$us qui cum uideret de$pectam futuram mu$icæ con- templationem, conatus e$t illius aliquod $ingulare emolumentum o$tendere, quemadmodum fecit & in libro de Prædictionibus, exi$ti- mans ni illos compo$ui$$et ueluti pr&ecedil;mium o$tendentes tanti laboris quantus nece$$arius uideretur ad intellectum librorum Magnæ com- po$itionis, futurum e$$e, ut hi negligerentur, ergo & hoc in mu$icæ li- bris o$tendere molitus e$t, $cilicet, præclarum e$$e aliqu&etilde; huius cõtem- plationis finem, quod utinã non feci$$et, ne illud uerè de eo dici po$$et:</P> <P>—Non omnia po$$umus omnes.</P> <P>Virum enim hunc $upra omnem humani ingenij metã fui$$e nõ nega- mus: $ed hanc partem quam hic agit, adeò infeliciter tractat, ut malim credere totũ illum tertium librũ fui$$e ab aliquo alio adiectũ. Etenim quid turpius $apienti homini <08> imitari uulgares illos? $ept&etilde; planetæ, $eptem mundi miracula, $ept&etilde; artes liberales: quid enim $imilitudo nu <foot>P 1 meri</foot> <p n=>172</p> meri iuuare pote$t, aut quàm afferre utilitatem? nimis certè in dignũ e$t uti argum&etilde;to à $imilitudine $umpto: tum maximè adeò leui. Sed quo- niam con$tat omnia quæ in mundo $unt ordine coniuncta e$$e, & ne- ce$sitate uinciri, ideò cùm finis ip$e uerus $it, non tam debemus Ptole- mæum damnare, <09> non probauerit, quàm laudare, quod ueritat&etilde; $ine ratione $it a$$ectus. Sæpe enim accidit huiu$modi uiris adeò pr&ecedil;$tan- tibus ut ueritas detegatur, quam cùm illi, ut mos e$t hominũ, rationi- bus adornare nituntur, tran$gredientes metam muneris, in ab$urda & ineptias incidũt. Ergo id modò declarare aggrediar, $upponens <09> ue- rum e$t, $cilicet hanc mu$icam concinnitat&etilde; cum diuinis connexã e$$e, & ab illis originem ducere. Verùm dubium e$t, an $oni propter nume ros iucundi $int, an propter aliud? & $i propter aliud, cur ergo numeri ad hoc $unt nece$$arij? & cur ob$eruare eos oportet ne ab illorum ordi ne di$iungi po$sint? Hoc aũt perfacilè intelligi&ttilde;, & à nobis aliâs decla- ratum e$t, $cilicet delectare nos, quæ percipiuntur quæ<03> ratione facta uidentur, quoniã in his naturæ uis relucet & imago uniuer$i, ergo dele ctant nos, quoniam natur&ecedil; ordine nos con$tamus. Illud difficilius lon gè &qring;d tam&etilde; diligenti ob$eruatione dignũ uidetur, $cilicet, quonam pa cto harmonia cum rebus cœle$tibus aut humanis cõiuncta $it. For$an & illud ab re non e$$et intelligere, cur nullum animal pr&ecedil;ter hominem capax $it harmoniæ? an for$an quoniã $olus homo ratione participet, & ob id $olus gaudet ratione? ordinata aũt ratione cõ$tant aut $ola aut maximè, numerus autem quid aliud e$t quàm ordinis $eparatorũ ima- go. Porrò hæc accipienda $unt ex his quæ $en$ibus deprehenduntur, qualia $unt <09> animus mouetur & uarios affectus in duit iuxta harmo- niæ diuer$itatem lætiti&ecedil;, tri$titi&ecedil;, impetus, remi$sionis, timoris, $pei, ira- cundiæ, & commi$erationis. Nos enim maximè octo affectus mouent mu$icæ modulationes. Secundum quid autem mouent? uel quia con- $onæ aut di$$onæ, uel quia concitat&ecedil; aut tardæ, uel quod maius e$t <09> tendant in acutum ad alacritatem, uel in grauem de$inant & remi$$um $onum ad cõmi$erationem, & lachrymas, aut etiam ex modo tetrachor dorum. Illud $anè non ob$curum e$t, animã cum $ono maximè e$$e con iunctã, nam ne<01> odoribus ut odores $unt, ne<01> $aporibus, aut his quæ tanguntur licet plurimum delectent, aut etiam lædant, anima mouetur ad affectus, licet, ut dixi, magis homo delectetur, aut tri$titia afficiatur quemadmodum ex $onorum uaria natura, quod etiam in mor$is à Ta rantula (arane&ecedil; genus e$t) deprehenditur. Quinimò nec à luce nec à co loribus aut pictura, ni$i ut hæc ad memoriam reuocãt ea, propter quæ ad hilaritatem aut tri$titiam uel iram, uel commi$erationem mouemur. Vnde quo$dã reges ferunt iniurias acceptas iu$si$$e depingi in aula ne po$$ent obliui$ci, at longè plures curarũt, ut potius eorũ facta egregia <foot>pinge-</foot> <p n=>173</p> pingerentur continuata per memoriam uoluptate, quam dum illa àge rent, cõceperant: nihilominus, ne<01> color ip$e, nec lux aut $pectaculum uel imagines po$$unt adeò mouere animi affectus, uel $onus. Nam duo in uniuer$um ex ui$u ad animi affectus mouendos habentur, tene bræ ad tri$titiam & metum, pictura regionum amœnarũ ad iucundita tem, $ed irã quæ moueant picturæ alacritatemúe aut cõmi$erationem, non habemus. Videtur ergo ob hæc $onus ip$e magis animæ intimus <08> ullum aliud $en$ile. Quod $i odoratus e$t in app&etilde;dicibus cerebri, ui $us in pupilla oculi, gu$tus in linguæ neruis, ueri$imile e$t magis inti- mum e$$e auditum, $cilicet in cerebro ip$o, at<01> ob id magis ab illo mo- ueri animam. Ne<01> e&mtilde; in a&etilde;re concepto à concauitatibus auris, qui no $tri pars non e$t: ne<01> à tympano, cùm $uperflua fui$$et cauitas interior omnis: ne<01> enim inter pupillam & cerebrum pars ulla cernitur ad ui- $um adiuuandum idonea: $ed $olus $ufficit con$en$us pupill&ecedil; cum cere bro: nam ad nos per $piritus deffertur imago, non e&mtilde; ui$us e$$et unus, nec in uno tempore fieret, $ed ueluti è $ecũdo $peculo & decimo $imul, & eodem tempore reflectitur imago, ut à primo ita $en$us ui$us ex pu- pilla in cerebro & in corde & anima $imul relucet. At ergo non potuit in tympano uel neruo den$iore fieri auditus, $ed in cerebro ip$o, ob &qring;d magis moueret affectus. Sed & magis incorporeus e$t $onus, ut qui in$trumentum proprium non afficiat, ni$i cum immoderatus fuerit, at omnis color, omnis lux oculum afficit, ac, ut ita dicam, tingit, ne<01> $uc- ce$siones illas ob id adeò minutas oculus percipere pote$t ut auris, $ed coinquinatur, ut ita dicam, priorum obiectorum reliquijs at<01> ima ginibus. Vt in uniuer$um con$tet puriorem e$$e auditus $en$um etiam animæ no$træ propiorem quàm ui$um.</P> <P>Quibus con$titutis uidendum e$t, quomodo $onus permutet affe- ctus: hoc autem nõ quia animam, quæ immortalis e$t & immateriaria, $ed quoniam aut corporis eam partem, quæ e$t animæ in$trumentum, id e$t, $piritum, aut animæ principal&etilde; coniunctionem qua corpori an- nexa e$t. Vt enim corpus de$erit aut impeditur à corporis commercio corpus immoritur: hoc præ$entiens animus, fiunt illa duo præuia ad mortem timor & tri$titia. Vt contrà, lætitia non e$t ni$i communicatio animæ corpori, & quatenus communicatur $olum de uita cogitat, at<01> ob id qua$i immortalis, qui lætatur obliui$citur mortis. Ergo anim&ecedil; ra tio illa erit, quæ ut cogno$cit perfectè exhilaratur dulcedine uo cum, & hoc fit in diapa$on. Vt uerò imperfectè diapente, ut imperfectius dia- te$$aron, at cum ex diate$$aro & diapente perficitur diapa$on, accidit ei id&etilde;, quod quær&etilde;ti gemmas in matrice dum inuenit, & ei qui ex tabulis arcam cõficit, & puero cũ adole$cit, & generaliter ei qui ex imperfectis perfecta colligit: ex quintæ enim & quartæ $en$u imperfectarũ con$o- <foot>P <*> nantiarum</foot> <p n=>174</p> nantiarum percipit perfectam diapa$on. Videamus ergo an aliquid $it $imile in animæ facultatibus, nec dubiũ e$t quin ex $en$ib. exterioribus at<01> interioribus fiat intelligentia. Et $en$us quid&etilde; exteriores $exquiter tia cõ$tant: e$t enim illorũ imperfecta cognitio: maior longè memori&ecedil; unius & rationis reliquarum<03> facultatũ, ex quibus intellig&etilde;tia oritur. Iam uerò habemus exactam $imilitudin&etilde; facultatum anim&ecedil; human&ecedil;, &qtilde; cogno$cit. Nunc ulterius <04>cedamus et uideamus, an$it aliqua etiã con iunctio inter illas, nam $imilitudo et$i $it una originis cau$a, non tamen $ola digna e$t ut à Philo$opho numere&ttilde; inter cau$as ordinis & natura- lis uinculi. Non e$t ut tetrachordorũ genera ad partes anim&ecedil; cõparen- tur, cũ $int uoluntaria diui$ione, non natura con$tituta. Sed $i quis hoc uelit, magis ad rationem <04>prietatis re$piciat, $uauitas in chromatico, $ubtilitas in Enarmonico, $tabilitas in diatonico: Vt Enarmonicũ ad mentem uerè referri po$sit, chromaticũ ad $en$us: diatonicũ ad uitã na turalem<03> facultatem. Sed, ut dixi, iam <04>pius accedamus, cõcitatior $o nus, ut Doricus ad alacritatem pertinet, ad pugnam, ad uim anim&ecedil; ira- $cibilis: Phrygius ad uoluptat&etilde;, Lydius ad intelligentiam remi$sione corporeorũ affectuum. Sed nõ qu&ecedil;rere decet aut laborare, ut malè in- uenta aut di$tributa aptemus ordini natur&ecedil;, $ed ut res rebus. Diximus quatuor e$$e differ&etilde;tias nobiliorũ affectuũ animi, $cilicet, timoris, $pei, iracũdi&ecedil; $eu $&ecedil;uiti&ecedil; & cõmi$erationis, l&ecedil;titi&ecedil;, tri$titi&ecedil;, impetus ac remi$- $ionis. Et uide&ttilde; mu$ica nec hoc &ecedil;qualiter monere, $ed primũ uideamus an hi$oli affectus $int maximi, quippe dee$$e uiden&ttilde; amor at<01> odium. Et mihi dubium non e$t quin hi potenti$simi $int omniũ præter metũ. Sed metus cũ cau$a, affectus propriè nõ e$t, $ed potius $cientia quædã. Proprium enim perturbationum e$t excedere rationem: at metus mor tis, ppri&ecedil; aut de filio, non e$t à ratione alienús, nec excedit metas, modò inanis non $it aut fal$us, ob hoc metum excludemus ab hoc negocio: tum maximè ob id quod nulla mu$ica e$t quæ metũ excitet cùm ea, nõ opus $it in eo, qui $it cum ratione coniunctus. Indicio e$t <09> potius illũ excudit abrupta mu$ica, $icut & omnia alia quæ perturbant rationem, ueluti $olanũ & madrangora at<01> cicuta. Amorem igitur & odium nõ excitat mu$ica, quia amor & odium alicuius $unt amor & odium, mu$i ca aũt generales $olum mouet animi affectus. Et commi$eratio, licet $it Didonis aut Phillidis, tamen e$t generaliter mi$erentis. Qu&ecedil;ramus er- go rur$us qui $int affectus generales animi. Et $anè uiden&ttilde; e$$e lætitia at<01> tri$titia: impetus & remi$sio: $&ecedil;uitia ac mi$ericordia & audacia. Sũt tria ferme cõiũcta $imul impetus & $æuitia at<01> audacia, quoniã cũ mo tu <10>turbato animi $unt eiecta ratione. Ob id unũquod <01> horũ ab ira- cundia deriua&ttilde;. Quapropter & ita ration&etilde; expellit aut $uppeditat. at ra tio perturba&ttilde;, aut ab immodicis $onis, aut in cõptis et magnas mutatio <foot>nes</foot> <p n=>175</p> nes habentibus at<01> a$peris. Hæc autem, ut ita dicam, nulla e$t mu$ica. Sed ne<01> mu$ica ulla tri$titiam gignit, cum ut dixi, tri$titia nil aliud $it <08> mortis imago, mu$ica aũt uitam fouet. Vnde nõ immeritò fertur Xeno philus mu$icus centũ quin<01> annis $ine aliquo incõmodo uixi$$e, quod $ingulare e$$e exemplum in humana uita refert Plinius. Relin quitur igi tur tandem, ut mu$ica maximè moueat tres affectus lætitiam, remi$sio- nem & mi$ericordiam. Et quod ex his po$tmodum ad labores in$urga- mus intentius, hoc non e$t ex mu$ic&ecedil; ui aut facultate, $ed cõ$equentibus ad illa alia cau$is. Ne<01> ergo horũ cau$as ex diui$ionibus at<01> di$tribu- tionibus uoluntarijs mu$icæ cõ$iderare oportet, $ed ex ip$a rerũ natura at<01> e$$entia. Veluti intentionis et remi$sionis, a$peritatis at<01> $uauitatis celeritatis ac tarditatis; cõ$onantium aut di$$onantium uo cũ at <01> muta- tionis: hæ enim differenti&ecedil; præcipu&ecedil; $unt uo cum, uel etiam te$te Ari$to tele. Verùm nõ ob$curum e$t: quemadmodum remi$siones fiant animi <marg>I<I>n lib. de</I> A<I>u dibilibus.</I></marg> affectuum, cũ remittuntur uoces aut intendantur ad earũ intentionem. Sed non e$t æqualis ratio, quoniam natura no$tra ad remi$sion&etilde; natu- raliter inclinata e$t, ad intentionem non ita, $ed per uim quandã aut me- dio uoluptatis, aut cum anima purior e$t à corporis impedimentis. Et ob id ad $tudia nil aptius e$t pura $obrietate: nihil ineptius crapula at<01> temulentia. At l&ecedil;titi&ecedil; cau$&ecedil; $unt, & cõ cordia uo cũ, & mutatio ex a$pera in $uauem, nõ $ecus ac eius qui euadit è paupertate uel è mole$tia aliqua aut dolore aut alio incõmodo, tum inten$io uo cũ ac liber $onus. Vnde in l&ecedil;titia $olent homines exclamare. At ad cõmi$erationem mouendam omnia remitti oportet ex magna in parua, adeo<03> deficientem ex a$pera in leuem, ex ueloci in tardam, ex di$$ona in con$onantem. Antiqui ergo (ut author e$t Cælius Rhodiginius) Dorico ad temperantiam & mode <marg>L<I>ib.</I> 9. <I>ca.</I> 3.</marg> rationem utebantur, $cilicet quòd non haberet præcipites lap$us, ne<01> arduas intentiones: Phrygio ad impetum & bellicum ardorem, $cilicet per a$peras intentiones: Lydio ad fletus & lamentationes per ca$us & remi$siones longas ac $uaues: ideo funeribus peculiaris: Mixolydio ad commi$erationem, ut defectiones interponantur & breues abruptæ<03> remi$siones, iuuant<03> in hoc plurimum & $en$us uerborum, familiaris hic tragædijs: Aeolicus qui & Ionicus tranquillitatis animi author e$t $o mnum<03> conciliat: Dorico non ab$imilis $ed $uauior & mollior: ideò chromatici generis. Qu&ecedil; uerò ad cœli motus referuntur, diapa$on qui- dem refertur ad motum diurnum, nam maximo con$tat, & exacti$simo interuallo, unus<03> e$t in omnibus & iucundi$simus & omnia continet, uelut & diurnus motus. Proprius autem tàm erraticis quàm fixis, qui etiam æqualitati propinquior e$t, & ad maiorem di$tantiam $cilicet de- clinationis $igniferi ab æquinoctij circulo ad diapente refertur. Rur$us diate$$aron quòd minimo cõ$tat interuallo ac maximè inæquali, & per $e quidem qua$i non nece$$ario ad motum in latitudinem refer&ttilde;, is enim <foot>exiguus</foot> <p n=>176</p> exiguus e$t & inæqualis. Ex horum ita<01> duorum cõpo$itione quem- admodum et ex diate$$aro & diapente conformatur diapa$on, pulchra con$truitur exortus & occa$us $yderum ratio, quæ primo motu cõ$tat.</P> <P>Porrò de participatione diapente, quam non $olũ u$urpamus in in- $trum&etilde;tis fi$tularum organis dictis: $ed etiã in fidibus monachordorũ $eu clauichordorũ (ita. n. nunc uo can&ttilde; in$trum&etilde;ta quib. caruerunt anti- qui) nõ alia e$tratio, quàm &qtilde; dicta e$t con$tituendarũ con$onantiarum in ditonis & $emiditonis $exta<03> utra<01>. Vt e&mtilde; quatuor con$onantiæ $uauiores efficeren&ttilde;, nece$$e fuit unã, $cilicet diapent&etilde; uariari. Exempli gratia, $int fides expo$it&ecedil; octo, & ut con$titua&ttilde; proportio h ad c, ut 128 <table> <row><col>a</col><col>ut</col></row> <row><col>b</col><col>re</col></row> <row><col>c</col><col>mi</col></row> <row><col>d</col><col>fa</col></row> <row><col>e</col><col>$ol</col></row> <row><col>f</col><col>re</col></row> <row><col>g</col><col>mi</col></row> <row><col>h</col><col>fa</col></row> </table> ad 80, id e$t ut 8 ad 5, c facta e$t remi$sior octoge$ima, quare cũ 81 diapente habeat ad 121 cũ dimidio, erit ad 80 maior 1 1/2, id e$t octuage$ima parte 120, quare intentior diapente. Atin diapa$o omnia ad id&etilde; redeunt: horũ etiam cau$a $emitonia nigra illa ad- dita $unt. Sed h&ecedil;c tractatio <04>prium locũ exigeret, $ecus e$$et ni- mis curio$i illa huc traducere. quemadmodum, & ut uellemus Philo$ophiam naturalem, moral&etilde;, & mathematicã ad mu$icã tra ducere <04>portion&etilde;. Melius $anè fui$$et $ubtilioribus rationibus hãc m&etilde;$uris motuũ a$trorũ <04>ut cõueniũt (quantũ fieri potuit) apta$$e.</P> <P>Propo$itio cente$ima$exage$ima$eptima.</P> <P>Proportionem mu$icam ad $apores & odores coaptare.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Melius feci$$et Ptolem&ecedil;us, $i hãc <04>portionem ad $apores & odores et picturas, quemadmodũ inuenimus nos, applica$$et, uel ut Vitruuius ad machinas, poterat e&mtilde; hoc $cire, cum Vitruuius plu$<08> centum quin- quaginta annis Ptolem&ecedil;ũ antece$$erit. Et quan<08> Latinè $crip$erit, non tam turpè erat latina legi$$e, aut cõuer$a ab alio quopiam intellexi$$e, <08> ne$ciui$$e nece$$aria pulchra<03> inuenta aliorum clarorum uirorum, & quod deterius erat, rerũ memorabilium loco fabulas $ubtexui$$e. Ergo ut ad rem ueniam: mu$ica proportio bifariam inueni&ttilde; in $aporibus: $im- pliciter, & ex comparatione, & $impliciter quidem $umma $uauitas ad diapa$on refertur: e$t enim $uaui$simus concen$us in $aporibus, ergo dulce ei re$põdet, ut $implex, quid enim $uauius e$$e pote$t in utro <01> ge nere. At pinguis, qualis in carnibus & ouis benè pr&ecedil;paratis ad diap&etilde;te refertur, e$t enim & ip$e $uaui$simus po$t dulce, at <01> in $uo genere perfe ctus, diate$$aron uerò optimè $al$o cõuenit. Hic enim per $e improbus e$t & in$uauis, $icut etiam $apor $al$us e$t, diate$$aron aũt cum diapente perficit diapa$on, & cum diapa$o inutile e$t, et di$cordat, ita $apor $al$us cum pingui $ummam delectationem affert: cum dulci adeò parum con gruit, ut melius $ocietur cũ amaro, uelut in oliuis benè $al$is. Ergo $al- $us $apor cum diate$$aro ad ungu&etilde; congruit rur$us $emiditonus cũ in$i pido, & a$tringens cum ditono conueniunt ad unguem, nam uter<01> nõ illepidus, & cum dulci conuenit, ita $emiditonus & ditonus cum diapa <foot>$o con-</foot> <p n=>177</p> $o conueniunt, uterque etiam horum $aporum parum mouet$en- $um, & inter $e $unt qua$i $imiles quod ditono accidit & $emidito- no, $ed & neuter horum cum pingui conuenit, ne<01> ditonus aut $e- miditonus cum diapente congruit, di$cordat enim h&ecedil;c compo$itio non parum. Rur$us & in hoc $imiles $unt quod diate$$aron cum di- tono & $emiditono plurimum conuenit, ita & in$ipidum, & a$trin- gens cum $al$o bellè cõueniunt. Diate$$aron enim cum ditono $ex- tam efficit maiorem, & cum $emiditono minorem qu&ecedil; utri<01> con$o nant, non tamen plus $uaues per $e $unt, quòd dulci & pingui care- ant, ut nec $exta maior aut minor, &qring;d ne<01> diapa$on perficiant ne<01> diapente: Acris aut&etilde; $apor $exta maiori $imilis e$t, acidus minori: mutuo conueniunt cum in$ipido acris, & cum a$tringente acidus, quemadmodum & $exta maior cum $emiditono, & minor cum di- tono copulatur perficientes diapa$on: $ed minus $uauem, quia ab- e$t diapente ibi, quia abe$t pingue: au$terum uero cum acri mode- rato conuenit, propterea bene uter<01> cum in$ipido iungitur, unde illud Epigrammatici:</P> <P>Vt $apiant fatuæ fabrorum prandia betæ, O quam $æpe petet uina piper<03> coquus.</P> <P>Piper enim acre e$t, & uinum au$terum e$t. Et iu$ta querela Cicero- nis in Epi$tolis familiaribus, qui à maluis fatetur $e uictum, ut deci- derit in lienteriam: conueniunt ambo hi $apores cũ dulci & pingui, uelut & utraque $exta maior & minor cum diapa$on & diapente, at neuter cum $al$o, nam ne<01> diate$$aron cum $extamaiore uel mino- re iungi pote$t. Amarus autem $apor tono per$imilis e$t, di$$onus enim per $e e$t $emper, & amarus per$e odio$us tonus origo e$t o- mnium con$onantiarũ, ita omnes fructus, $eu dulces $eu a$tringen- tes, $eu acidi, $eu acres prius amari $unt: tonus præterea nulla cum con$onantia peius coit quàm cum diapa$o, ita ne<01> amarus $apor infelicius iungnur quàm cum dulci, amarus quo <01> $apor cum nul- lo magis conuenit quã cum $al$o, ita tonus additus diate$$aro, perfi cit diapente dulci$simam con$onantiam, ut multi oliuas benè$al$as prætulerint fa$ianis: tantum conuenit $al$o cum amaro, amarus, quo <01> $apor leuis non abhorret à pingui, deteriorem tam&etilde; aliquan to efficit, ut intortis ex ab$ynthio ouis & ca$eo, atque in uitibus in quibus coma ab$ynthij in cocta fuit parum, degenerat tamen $apor ille à pingui: ita tono addito ad diapente fit $exta maior, non adeò $uauis ut diapente, attamen nõ pror$us in$uauis. Similiter $i tonus addatur ad $emiditonum aut ad ditonum ex altero fit diate$$aron, qui non concordat ex reliquo tritonus omnium a$perrimus. Ergo cum idem fiat coniuncto amaro cum in$ipido, ac deterius cũ a$trin- <foot>P 2 gente,</foot> <p n=>178</p> gente, uelut in acerbis glandibus, quibus nihil tri$tius gu$tari po- te$t. Manife$tum e$tigitur optimè conuenire hano $aporum diui- $ionem cum mu$ica proportione.</P> <P>Cum<03> $apores ex $eptem planetis pendent manife$tè, Saturnus e&mtilde; habet a$tringens, quoniam frigidus e$t & $iccus. Iupiter pingue cõtraria ratione, & quoniã hic $uauis e$t, ille tri$tis, acre & au$terum cõueniunt$oli, apparet<01> in eis uis maxima ad $piritũ uitalem cõfir mandum, uires <03> o&etilde;s adauget, uelut & Sol. Venus habet dulce: de- mon$tratione hoc non indiget. Mars $al$um & cũ peruer$è di$po$i- tus e$t, amarũ. Luna in$ipidum. Mercurius acidũ, etenim frigida e$t & humida Luna, & Mercurius tenuitat&etilde; quan dam habet cũ tempe ram&etilde;to moderato, cuiu$modi fermè e$t acidus $apor, quan<08> ad fri- giditatem declinet, parũ enim habet uiriũ Mercurius &qring;d minima $it $tellarum, ut $uprà docuimus. Huiu$modi ergo ratione con$iderata Luna ad $emiditonũ pertinebit Mercurius ad $extã minorem, Sol ad $extam maiorem, Mars ad tetrachordũ, Saturnus ad ditonum, Iupiter ad diapente, Venus ad diapa$on, unde plena illius dona uul garis felicitatis opum honoris amoris & uoluptatis, po$t quem e$t Iupiter, ut $ine his duobus omnino nulla po$sit e$$e felicitas.</P> <P>Sed & in circulo $igniferi aliquam mu$ica proportio habebit ra- tionem: diapa$on e&mtilde; erit & totius ad dimidium, & be$sis ad trien- tem, & dimidij ad quadrantem, & trientis ad $extant&etilde;, diapente aũt totius circuli ad be$$em, & dodrantis ad dimidiũ, & dimidij ad tri- entem, & quadrãtis ad $extant&etilde;, diate$$aron aũt totius circuli ad do drantem, & be$sis ad dimidiũ, & trientis ad quadrãtem: ita<01> in hoc $olo cũ Ptolem&ecedil;o concordamus, in reliquis duobus ne$cio qua ra- tione Ptolem&ecedil;us omi$erit unam cõiugationem, nam cũ e$$ent qua- tuor in diapa$on & diapente, tres tantum numerauit. Reliquas aũt quatuor per integra $igna numerare licebit, ad ration&etilde;, tamen a$pe- ctuum deducere non po$$umus, propterea efficaciam quandam ha bent etiam $ignorum mutationes, $ed harmoniam non perficiunt, nam & $i $umamus $exquiquartam & $exquiquintam, ut in his $ex- quialteram, $eu diapente con$tituamus, aut tria aut $ex $igna acci- pere oportebit: utrun<01> fuerit, reliqua pars ad diate$$aron pertinere minimè pote$t: quamobrem conuenientius e$$et meo iudicio, ut to tus circulus non ad diapa$on, uelut Ptolemæus, referretur, $ed po- tius ad diapa$on diapente: ita enim con$titutis quatuor, quinque, $ex, duo decim<03> numeris, con$taret tota ratio harmonica, diui$o e- tiam diapente in ditonum & $emiditonum. $ed de hoc $atis.</P> <P>Reuertamur ad $apores, in quibus diximus aliam e$$e rationem mu$icam iuxta cõpo$itionem: cum enim inter $apores qui quoui$- <foot>modo</foot> <p n=>179</p> modo conueniunt, dupla fuerit optimi $aporis proportío ad dete- riorem, medius uerò ad deteriorem $exquitertia, optimus ad me- dium $exquialtera, $apor ille optimus erit. Et primum quidem id in pingui tanquàm medio dulci<03> & $al$o experiamur, $imiliter in $al$o, acri, at<01> in$ipido. Manife$tũ e$t enim quod horum optimus e$t in$ipidus, quia per $e ferri pote$t, $al$us autem medius, acris de- terrimus, $uperabit ergo in$ipidus $al$um $exquialtera, acrem du- pla proportione, $al$us acrem $exquitertia. Rur$us dulcem copule- mus cum acri, & cum in$ipido aut cum acido, & in$ipido præ$tabit, ut dulcis dupla, aut quadrupla, aut octupla proportione in$ipi- dum $uperet, id e$t, per diapa$on, uel bis diapa$on, aut ter diapa- $on: acidum uero in$ipidum $exquitertia $uperabit. Alia rur$us ra- tio in coniunctionibus $aporum ad $en$um uniu$cuiu$<01> referenda e$t, in quo enim e$t $umma uoluptas comparatione ad illum, hic $ta tuemus diapa$on, optimum<03> con$tituemus $aporem, dimidium il lius quod ad uires attinet ex minus iucundo $exquitertium, ad il- lum minus iucundum ex medio. Exempli gratia, proponamus ut alicui au$tera maximè iucunda $int (nam $al$a nemini, quòd nullum animal præter hominem, imò ne plantæ quidem ni$i admodum paucæ, & $ui generis $al$o alantur, iucunda e$$e po$$unt: cum $al$um amari pars $it, eo<03> deterius quod acutum $it$al$um, unde in $ale nullum animal na$citur: in ab$ynthio, quanquàm ualde amaro, exi- guum mu$carum genus, nigrum tota æ$tate oritur, & in ruta uer- miculi) is ergo au$teri, quantum $atis erit$umet, dulcis tãquàm me- dij. gratia exempli (nam optima ad extremum oppo$itum uix tran- $ire queunt) be$$em accipito huius, gratia exempli, tanquàm deter- rimi a$tringentis dodrantem, ut $it dulcis ad a$tringentem dupla proportio. Sic ergo con$tituetur iuxta naturam propriam mu$ica proportione $apor iucundi$simus.</P> <P>Idem quo <01> in odoribus & eadem ratione, $ed ex $aporibus hoc cum intellectum $it, fru$tra fuerit con$umere tempus, eadem enim in omnibus ad $ciendum proportionem intelligenda erunt.</P> <P>Propo$itio cente$ima$exage$imaoctaua.</P> <P>Picturarum proportiones explicare.</P> <P>E$t pictura imago rei corporeæ quanquàm, & per illam, & acti- <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> ones, & cogitationes, $ed non ni$i ut per corpora $ignificantur: ut ergo corpora ip$a referamus. coloribus opus e$t, nam corpora, co- lorata $unt, $ecundò ip$a rerum natura $cientia<03> illarum, unde pi- ctorem multi$cium e$$e nece$$e e$t. tertium e$t, ut minimas earum differentias explicare norit. quartum, ut affectiones, uelut in ira- <foot>P 3 to rubo-</foot> <p n=>180</p> to ruborem, ciliorum cõtractionem, tumorem faciei in ambulante in clinationem quandam, flexionem cruris at<01> $imilia. quintum e$t lux coloribus exhib&etilde;da, $ed de horum nullo propo$itum e$t hic lo- qui, quando quidem hæc u$u magis & con$ideratione, quàm ratio- ne con$tent proportioneúe, nec $int adeò admiranda ut neque $im- plex magnitudo quã$exto loco reponere po$$umus. Tria ergo ui- dentur e$$e præcipua quorum nunc ratio habenda e$$et, ut $int in totum nouem, $ed unum ex his relinquemus, tum quia alienum ab hac con$ideratione, tum quia alibi pertractatum at<01> etiam ab alijs, ne<01> adeò admiratione dignum $cilicet magnitudo picturarum re- $pondens magnitudini corporum iuxta $itus differentiam, nam qu&ecedil; altiores $unt paulo latiores at<01> in $uperiori magis parte quam in inferiore, multò autem longiores e$$e oportet, $ic & quæ à latere erunt eadem ratione iuxta a$pectus ingredientium rationem. Ve- rum hoc ut dixi omittamus, & de duplici miraculo in pictura lo- quamur, $cilicet di$tantia magna quam in parua tabella referimus, et corporeitate quam in plano repr&ecedil;$entamus. Horum autem duo- rum aliqua communia $unt aliqua propria. Dicemus ergo primũ de corpore ita pingendo, ut palàm extra tabulam prominere uide atur. Hoc autem primum ex forma $umitur, nam $i corpus in plano $it nece$$e e$t, ut partes illius quædam pror$us ab$condantur, par- tes aliæ non pror$us, aliæ pror$us $int in con$picuo. Ergo pictu- ram talem fingere oportebit, quæ partes $ingulas pro ratione o$ten dat aut occultet. Secũda ratio e$t quodima corporis ob$cura $unt, $umm&ecedil; partes lucid&ecedil; & claræ aclumine qua$i dealbatæ: media, me- dia quadam ratione ut in columnis, tantum<03> pote$t hæc ratio, ut uel $ola picturas fallere nos faciat corpora eas e$$e putantes. Opor- tet autem imum e$$e ad unguem $imile in colore colori anguli loci & $ummum parti quæ $e oculis maximè $ubiectam præbet & cla- ram: media uerò qualia ex umbris ob$curari $olent. Tertia ratio e$t pro modo partium iuxta obliquitat&etilde; a$pectus: nam in$picienti a b in c d ex e oculo: depingemus in c d iuxta obli- <fig> quitatem $uam, quia cum c d uideatur per line- as e a c & e b d, & eleuatum in $itu a b, nece$$e e$t ut uideatur in $itu a b, ergo eleuatum à c d. E$t & alia con$ideratio proportionis ad proxima remota<03>, grati a exempli, $i homo e$$et po$t co- lumnam a b, lateret eius pars, quæ e$t propinquior parieti c d, ergo $i depinxerimus hominis partes tantum dextram, reliquum $ub um bra, cogitur oculus iudicare columnam eleuatam a pariete. De- mum omnia hæc ita $unt $ubijcienda oculis, & per minimas diffe- <foot>rentias</foot> <p n=>181</p> rentias & animaduer$iones ita dijudicanda, at<01> experimento $ub- ijcienda, tum proprio, tum aliorum non artis in expertium, ut re<*> pror$us ab$oluta uideatur, atque in hoc multum refert multiplices partes $ecundum longitudinem coloribus di$tinguere ad hoc a- ptis, qui $unt ob$curus, $ub ob$curus, cinereus, qualis $ilicis candi- dus $ine luce, demum etiam aliquid nigri adijciendum, nam diui$io $ecundum longitudinem multum impedit, hanc repræ$entationem iuuant, & extrema benè coaptata, uelut $capi imi, & capitula & $u- premi, tũ trabeationes ex materia coronæ, zofoni, tœnia, epi$tylia, plinthi, echini, hypotrachelia, a$tagali, apophyges. Quæ etiam in parte inferiore cũ $pira $eu ba$i & limbo & toro & plintho inferio- re, & $tylobata, et alia tœnia $umma diligentia, & cum eleuatione ac magnitudine ultra columnæ limites extendantur. Sicin $tylobata ratio diapente con$tat, cui $olet addi utrinque $exta pars pro coro- nice, manife$tum e$t autem, quod in ea con$tat mu$ica ratio diapa- $on ex diapente & diate$$aro, compo$iti nam duæ $extæ partes, alte ra utrin<01> adiecta tertiam conficiunt ut $it diate$$aron $uprà diapen te. In regionibus autem & $patijs depingendis eadem fermè $eruan da $unt duobus tamen adiectis, quorũ unum e$t ut longinqui$sima pars, nõ per nigrum aut ob$curum, $ed cœruleum color&etilde;, qualis in cœlo determinanda e$t (ni$i nox fingatur) nam cœlum longi$simè à nobis di$tat, ita nubes coloribus proprijs, & montes cum niui- bus, & $patia uelut fluminis alueus, mare, lacus, atque hæc omnia per colores di$tantiæ finguntur, uelut fluminis pars propior clara & lympida, & colore aqueo cernitur remota ob$cura, quæ maxi- mè procul abe$t nigra. Sed maxima e$t confirmatio in compara- tionibus: ut $i arbores propè magnæ $int, & homines & animalia, in remotiore autem parte minimi, ac qua$i puncti magnitudinem referentes, atque ut in his mu$ica non geometrica aut arithmeti- ca proportio $eruetur. Equidem $i quis iudicio hæc con$equa- tur, ac diligentia quæ $cribi non po$$unt, $ed contemplatione ha- bentur, $en$u quoque, quem experimentum docet, necip$um man- dare literis, licet ex rationibus tamen, quas hic docemus intelli- get parum differre repræ$entationem à re ip$a corporea. Sed de his hactenus, quæ $i diligentius quis per$equi uelit $ine artis experientia, plus adimet perfectioni rei, quam adijciet. Hoc enim aliâs <marg>I<I>n prima</I> D<I>islcfficæ.</I></marg> declarauimus.</P> <foot>P 4 Propo$itio</foot> <p n=>182</p> <P>Propo$itio cente$ima$exage$imanona.</P> <P>Proportionem mu$icam in in$trumentis declarare iuxta compo $itionis rationem.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Tria $unt in$trumentorum genera, in quibus maximè relucet ra- tio compo$itionis mu$icæ quæ à nobis nunc $unt demon$tranda, $cilicet machinæ bellic&ecedil;, ut catapultæ & bali$t&ecedil; & $corpiones, & hy draulica in$trumenta ad modulationes parata, quæ antiquo tem- pore maximè in u$u fuerunt nunc de$ita, de quibus Vitruuius agit <marg>C<I>ap.</I> 15. <I>ad</I> 18. <I>& in cap.</I> 13.</marg> in decimo libro. Tertium e$t æneorum in$trumentorum, quorum etiam u$us de$ijt in $cœnicis theatris, ad intendendam uocem cum modulatione, ut etiam clamor audientium & uulgi cum uoluptate <marg>C<I>ap.</I> 5.</marg> excipiatur, de quo idem in quinto libro egit. Sed nil melius quàm uerba ip$ius explicare de hoc tractantis, $unt autem hæc. “Mu$icen autem $ciat oportet, uti canonicam rationem & mathematicam no- tam habeat: præterea bali$tarum, catapultarum, $corpionum tem- peraturas po$sit rectè facere. In capitulis enim dextra ac $ini$tra $unt foramina homotonorum, per qu&ecedil; tenduntur ergatis aut $ucu- lis & uectibus è neruo torti funes, qui non præcluduntur, nec præ- ligantur ni$i $onitus ad artificis aures certos & &ecedil;quales fuerint. Bra- chia enim quæ in eas tentiones includuntur cum exten duntur æ- qualiter & parter utra<01> plagam emittere debent. Quod $i non ho- motona fuerint, impedient directam telorum mi$sionem. Item the- atris ua$a ærea, qu&ecedil; in cellis $ub gradib. mathematica ratione collo- can&ttilde;, & $onitũ di$crimina, qu&ecedil; Gr&ecedil;ci <G><*>x<05>_a</G> uocãt, ad $ymphonias mu $icas $iue concentus componun&ttilde;, diui$a in circinatione diate$$aron & diapente & diapa$on, uti uox $cœnici $onitus cõueniens in di$po $itionibus, tactu cũ o$tenderit aucta cũ increm&etilde;to clarior et $uauior ad $pectatorũ perueniat aures. Hydraulicas quo <01> machinas & cæ- tera &qtilde; $unt $imilia his organis $ine mu$icis rationib. efficere nemo poterit. Capiamus ergo primum illud &qring;d e$t manife$tius, $cilicet de hydraulicis organis quorum meminit Suetonius in Nerone: Reli- quam diei partem per organa hydraulica noui & ignoti generis cir cunduxit, o$tenden$<01> $ingula de ratione ac difficultate cuiu$<03> di$- $erens iam $e prolaturum, ut con$tet illa fui$$e magni opificij quæ no$tra &ecedil;tate de$iere.” Re$tat unicum & ualde leue exemplũ auiculæ æneæ uelligneæ re$onantis. Certum e$t a&etilde;re effici $onum, $ed ita mi $ceri aquæ, ut dulcior & mollior non $olum euadat, $ed etiam acuti- or ac modulatior. Eadem autem ratio maris: $ed cum aquæ corpus moueatur, uidetur difficile $eruare proportionem. ea prima diffi- cultas. $ecunda e$t, quod cùm aqua moueatur, uix ficri po$$e uide- tur ut totum $eruet uocis integrum tenorem. tertia ob illius con- <foot>$umptio-</foot> <p n=>183</p> $umptionem. Propterea nil mirum e$t $i Nexo de his $ubtiliter di- $putauit, mirum fuit quod in tanta animi perturbatione ni$i ad amentia, ut illi putant, referatur. Sed quidiam amplius uagor, extat <marg>L<I>ib,</I> 10. <I>cd,</I> 16.</marg> compendio$a ratio con$tructionis illius apud eundem Vitruuium ubi Philander ex Atheneo $onus hydradis $uauis admodum at<01> <marg>L<I>ib.</I> 4. <I>cap.</I> 24.</marg> iucundus auditu e$t: ita ut omnes concinnitate capti conuerterent, fuit<03> Alexendrin&ecedil; urbis inuentum authore Cte$ibio ton$ore, e$t autem magnæ Clep$ydræ in$trumentum non ab$imile, $unt enim fi$tulæ in aquam contortæ, quæ, cùm aqua à iuuene quopiam per- cutitur, axinis per organum tran$euntibus inflantur, periucũdum- qúe $onum emittunt. E$t autem arærotundæ hoc in$trumentum per$imile inuentum<03> Ptolemæi $ecundi Euergit&ecedil; temporibus, de quo eundem Cte$ibium $crip$i$$e ferunt. Fiebant autem ex ære & ba$is eligno cum regulis dextra ac $ini$tra $calari regula compactis, aqua autem in &ecedil;rea arca continebatur. Facilè autem e$t per hæc reli qua inuenire: nam epi$tomijs includebatur aër at<01> re$erabatur, & modus erat per uectes: non tamen octo fi$tularũ & exin de uocum numerum in$trumentum id $uperabat organa no$tra ut lo cupleti- ora ita a$periora. Liquet ergo $i fabrilis omnis ars ad Architectum pertinet, illum etiam hacratione oportere e$$e peritum mu$icæ.</P> <marg>L<I>ib.</I> 5. <I>ca.</I> 5.</marg> <P>“De Va$is uerò æneis theatri quod melius e$t quàm ut eundem authorem con$ulamus, dicentem ua$a &ecedil;rea pro ratione magnitudi- nis theatri ita fabricentur, ut cum tangũtur, $onitum facere po$sint inter $e diate$$aron diapent, ex ordine addit diapa$on, po$tea inter $edes theatri con$titutis cellis ratione mu$ica ibi collo centur: ita uti nullum parietem tangant circa<03> habeant locum uacuũ et à $ummo capite $patium, ponant<03> inuer$a & hab eant in parte qu&ecedil; $pectat ad $cenam $uppo$itos cuneos ne minus alios $emipede, contra<03> eas cellas relinquantur apertur&ecedil; inferiorum graduum cubilibus lon- g&ecedil; pedes duos altæ $emipedem. Et $i non erit ampla magnitudine theatrum, media altitudinis tran$uer$aregio de$ignetur, & in ea tre decim cellæ duo decim æqualib. interuallis di$tantes confornicen&ttilde; uti ea echea quæ $upra $cripta $unt, ad neten hyperboleon $onan- tia in cellis quæ $untin cornibus extremis utra<01> parte prima col- locentur, $ecunda ab extremis diate$$aron ad net&etilde; diezeugmenon, tertia diate$$aron ad neten parame$on, quarta ad neten $ynemme- non, quinta diate$$aron ad me$en, $exta diate$$aron ad hypaten me- $en in medio unum diate$$aron ad hypaten hypaton. Quæ fequun- tur & ad intelligentiam prædictorum melius ex Gulielmo Philan- dro emendata $ic tran$cribemus: Eas regiones in tredecim cellas diuidit æqualibus interuallis: id e$t, cellas paribus uici$sim inter- <foot>$ticijs</foot> <p n=>178</p> $ticijs di$po$itas di$tribuit $ex hinc at<01> hinc & unam mediam, quæ tamen non u$us, $ed partitionis & re$pon$us cau$a fit in media pr&ecedil;- cinctione. In ima præcinctione ponuntur ua$a qu&ecedil; habent harmo- ni&ecedil; ration&etilde;, hoc modo. In cornuũ cellis collocantur quæ $onitũ ha- bent netes hyperboleon. Sub$equuntur utrin<01> quæ $unt ad neten diezeugmenon interuallo con$onantia diate$$aron. In tertijs cel- lis $unt quæ ad neten parame$en interuallo item diate$$aron, quæ $unt in quartis tono $olummodo di$tant & $unt netes $ynemenon. In quintis cellis $unt ad me$en interuallo diate$$aron. In $extis cellis ad hypaten me$on, it&etilde; diate$$aron $patio. In media cella $unt ad hy paten hypaton interuallo diate$$aron. In media præcinctione $unt ua$a chromatos, collocantur autem in cornibus ua$a quæ $unt ad paraneten hyperbolem. In $ecundis cellis ad paraneten diezeugme nõ $patio diate$$aron, in tertijs ad paraneten hynemenon $patio dia pente. In quartis ad lichanon me$on interuallo diate$$aron. In quin tis ad lichanon hypaton, it&etilde; diate$$aron. In $extis ad parame$en &qring;d $patium ad paraneten hyperboleon e$t diapente ad paraneten hy- nemenon diate$$aron. In chromatis media cella nulla $unt ua$a, quod à lichano hypaton ad proslambanomenon, aut ad aliam o- mnino decem & octo uocum nulla $it con$onantia, $unt enim hæ- mitonia tantum duo & tonus. In tertia præcinctione collocantur ua$a diatoni. Etin cornibus quidem ea quæ $unt ad paraneten, hy- perboleon. In $ecundis cellis ad paraneten diezeugmenon. $patio diate$$aron. In tertijs ad paraneten hynemenon diapente. In quar- tis ad lichanon me$on diate$$aron. In quintis ad lichanon hypaton diate$$aron. In $extis quæ ad proslambanomenon diate$$aron $pa- tio. In media quæ $unt ad me$en, quod ea ad proslambanomenon habet con$onantiam diapa$on, & ad lychanon hypaton diapente.” <marg>L<I>ib.</I> 16.</marg> Hæc autem ex $igura patent in opere de Subtilitate de$cripta.</P> <P>Porrò quod ad machinas attinet. Sit catapulta, cuius rudens a b quam oportet trahere, $i emittere debeat lapi- <fig> dem, aut $corpio $agittam ad aliquod $ignum puta c, cum ergo $onus c a & c b homotenus fue rit, non $olum æqualiter pertractæ erunt c a & c b, $ed etiam æquales: nam $i æquales e$$ent, & in&ecedil;qualiter tractæ, aut in&ecedil;quales & inæqualiter tract&ecedil; $onũ diuer$um redd&etilde;t euidenter. At $i in- &ecedil;quales & &ecedil;qual&etilde; $onum reddant, erit tñ ut fidis notæ quæ $trepitum edit duplicem, & effigiem oculis multiplic&etilde;, unde $agitta in partem aduer- $am dirigitur rud&etilde;tis intentioris, at<01> hæc ex Vitruuio eodem dum de his agit.</P> <foot>Propo$itio</foot> <p n=>185</p> <P>Propo$itio cente$ima$eptuage$ima.</P> <P>Coniugationes cuiu$uis numeri breuiter inuenire.</P> <P>Sint gratia exempli dec&etilde; homines, & patet quod po$$ent e$$e $in <marg>C<I>o.</I> ^{m}</marg> guli, & hoc dec&etilde; modis, quia $unt dec&etilde;, ut Petrus & Ioannes: item, po$$unt e$$e omnes $imul, & hoc uno modo tantum, & po$$unt e$$e duo, & hoc pote$t uariari &qtilde; draginta quin<01> modis: & po$$unt e$$e octo, & manife$tum e$t, quod totid&etilde; modis uariantur, $cilicet qua- draginta quin<01>, nam cum erunt octo, duo quirelinquũtur, uariari po$$unt 45 modis, ergo & illi octo ad ungu&etilde; totidem modis. Et $i- militer tres quot modis uariantur tot modis $ept&etilde;, & quot modis quatuor tot$ex: quin<01> autem quia $unt dimidium decem, pluribus modis uariantur. Etideò pro ordine huius detrahes unũ, ut $i $int undecim uiri pones decem, $i decem pones nou&etilde;, & colliges natu- ralem $eriem numerorum, utinfrà uides uno $emper termino defi- ciente: & expriore ordine, ubi uidebis $emper etiã duplicari nume- ros: ut 3. 6. in de $ub 6. 10. & 20 àlatere, & $ub 20 35. & à latere 70 du- plum 35, & $ub <table> <row><col>1</col><col>2</col><col>3</col><col>4</col><col>5</col><col>6</col><col>7</col><col>8</col><col>9</col><col>10</col><col>11</col></row> <row><col>1</col><col>1</col><col>1</col><col>1</col><col>1</col><col>1</col><col>1</col><col>1</col><col>1</col><col>1</col><col>1</col></row> <row><col>2</col><col>3</col><col>4</col><col>5</col><col>6</col><col>7</col><col>8</col><col>9</col><col>10</col><col>11</col><col></col></row> <row><col>3</col><col>6</col><col>10</col><col>15</col><col>21</col><col>28</col><col>36</col><col>45</col><col>55</col><col></col><col></col></row> <row><col>4</col><col>10</col><col>20</col><col>35</col><col>56</col><col>84</col><col>120</col><col>165</col><col></col><col></col><col></col></row> <row><col>5</col><col>15</col><col>35</col><col>70</col><col>126</col><col>210</col><col>330</col><col></col><col></col><col></col><col></col></row> <row><col>6</col><col>21</col><col>56</col><col>126</col><col>252</col><col>462</col><col></col><col></col><col></col><col></col><col></col></row> <row><col>7</col><col>28</col><col>84</col><col>210</col><col>462</col><col></col><col></col><col></col><col></col><col></col><col></col></row> <row><col>8</col><col>36</col><col>120</col><col>330</col><col></col><col></col><col></col><col></col><col></col><col></col><col></col></row> <row><col>9</col><col>45</col><col>165</col><col></col><col></col><col></col><col></col><col></col><col></col><col></col><col></col></row> <row><col>10</col><col>55</col><col></col><col></col><col></col><col></col><col></col><col></col><col></col><col></col><col></col></row> <row><col>11</col><col></col><col></col><col></col><col></col><col></col><col></col><col></col><col></col><col></col><col></col></row> </table> 70 126, & à late- re 252, & hoc <04> cognitione &qring;d rectè $is opera- tus. Secundò a- nimaduertes $e- qu&etilde;tes ordines fieri ex recta li- nea priorum, ue lut $extus ordo e$t 7. 28. 84. 210. 462. ita incipiendo in primo ordi- ne à 7, & tendendo ad dextram, inuenies illos eo$dem numeros ad unguem, & ita in $eptimo ordine 8. 36. 120. 330. à $ini$tra inuento 8 in primo ordine, & procedendo ad dextram, inuenies 36. 120. & 330. Tertium e$t quod numeri ultimi à medio $unt ijdem, ut 462 & 462. 330 & 330. 165 & 165. 55 & 55. 11 & 11. Et $eor$um, ut dixi, rema- net 1. Oportetigitur colligere numeros angulares, ut à latere ui- des, & fit 2047 numerus coniugationum, tot enim modis po$$unt uariari. Et $i e$$ent decem tantum, ut ab initio propo$ui, primus or- do finitur ad 10, $ecundus ad 45, tertius ad 120, quartus ad 210, quin tus ad 252, $extus redit ad 210, $eptimus ad 120, octauus ad 45, no- nus ad 10, decimus ad 1. Etita colligeretur $umma ex extremis nu- meris angularibus 1023. Et tot erunt coniugationes. Hic uides quia numerus 10 e$t par, et quod adempta monade, relinquitur 9, qui e$t impar quòd medius qui pertinet ad quintum ordinem e$t maxi- <foot>Q mus,</foot> <p n=>186</p> mus, & e$t 252, & e$t coniugatio quinarij: hoc uolui dixi$$e, <table> <row><col>11</col></row> <row><col>55</col></row> <row><col>165</col></row> <row><col>330</col></row> <row><col>462</col></row> <row><col>462</col></row> <row><col>330</col></row> <row><col>165</col></row> <row><col>55</col></row> <row><col>11</col></row> <row><col>1</col></row> <row><col>----</col></row> <row><col>2047</col></row> </table> ut intelligeres rationes colligendi $ingulos ordines $eor- $um. Quod ergo attinet ad collectionem maximi numeri, primus ordo $eruit $emper ultimo relinqu&etilde;do monadem, & $ecundus penultimo, & tertius antepenultimo, & ita de alijs, nam $i $ecundus uariatur 55 modis, &'pen- ultimus uariabitur 55 modis. Et $i tertius uaria- tur 165 modis, antepenultimus uariatur 165 mo dis. Et ita de alijs.</P> <table> <row><col>10</col></row> <row><col>45</col></row> <row><col>120</col></row> <row><col>210</col></row> <row><col>252</col></row> <row><col>210</col></row> <row><col>120</col></row> <row><col>45</col></row> <row><col>10</col></row> <row><col>1</col></row> <row><col>----</col></row> <row><col>1023</col></row> </table> <marg>C<I>or</I>^{m}. 1.</marg> <P>Hæc autem ratio $atisfacit multum, & e$t ne- ce$$aria in temperiebus corporis humani. Vt in $ecundo, De dentibus. Et etiam ut quælibet di- $ciplina quàm breui$simè tradi po$sit, ut gratia exempli, medicina tota in una pagina, dico me- dicina nõ $olum Græcorum, $ed etiam Arabum & Latinorum, & etiam longè plus: nam $i tradatur uigintiquatuor regulis fimplicibus, & ex illis fiant coniugationes 16777215, mani fe$tum e$t quod erunt regulæ omnes hæ multo plures, quàm con- tineantur in omnibus libris Græcorum, & Arabum, & Latino- rum, qui extant. Et tamen per$picuum e$t, uigintiquatuor regulas una pagina commodi$simè contineri. Et hoc aliâs docui, quan- quàm credam me erra$$e in $upputatione, nam locum inuenire non potui. Vnum e$t id certum, quòd hæc ratio quàm nunc explicabo, e$t uera & demon$tratiua, & facillima.</P> <P>Cum enim $uperior $it uera & demon$tratiua, non e$t tamen fa- cilis, & præcipuè in magnis numeris. Et ideò inueni hanc, quæ (ut dixi) facillima e$t: adde numero propo$ito monadem, in de confla- ri inuenias numerum à monade in eodem ordine, & ab eo detra- cta monade habes numerum coniugationum. Exemplum, $i $int 10 adde 1 fit 11. Vndecimus ergo numerus in proportione dupla e$t 1024, detrahe 1 & relinquantur 1023 numerus coniugationum, ut in priore $upputatione. Item $i $int 11 numeri adde 1 fit 12, duo de- cimus ergo numerus in proportione dupla e$t 2048, detrahe 1 re- lin quuntur 2047, coniugationes 11, ut prius in $uprà $cripto exem- plo. Et ita pro uiginti quatuor regulis adde 1 fit 25, uige$imus quin- cus igitur numerus in ordine duplæ proportionis à monade e$t 16777216, ergo detracta monade relin quitur numerus (ut dixi) re- gularum & coniugationum uigintiquatuor regularum, quæ ta- men non $int contrariæ inuicem: nam tunc e$$ent pauciores. Et quia in i$tis numeris duplicandis po$$es facile incidere in errorem, diuide ultimum per 16, & $i nihil $upere$t, rectè proce$sit opus: $in <foot>autem</foot> <p n=>187</p> autem aliquid $uper$it, aberra$ti. Vtau- <table> <row><col>1</col><col>1</col></row> <row><col>2</col><col>2</col></row> <row><col>3</col><col>4</col></row> <row><col>4</col><col>8</col></row> <row><col>5</col><col>16</col></row> <row><col>6</col><col>32</col></row> <row><col>7</col><col>64</col></row> <row><col>8</col><col>128</col></row> <row><col>9</col><col>256</col></row> <row><col>10</col><col>512</col></row> <row><col>11</col><col>1024</col></row> <row><col>12</col><col>2048</col></row> <row><col>13</col><col>4096</col></row> <row><col>14</col><col>8192</col></row> <row><col>15</col><col>16384</col></row> <row><col>16</col><col>32768</col></row> <row><col>17</col><col>65536</col></row> <row><col>18</col><col>131072</col></row> <row><col>19</col><col>262144</col></row> <row><col>20</col><col>524288</col></row> <row><col>21</col><col>1048576</col></row> <row><col>22</col><col>2097152</col></row> <row><col>23</col><col>4194304</col></row> <row><col>24</col><col>8388608</col></row> <row><col>25</col><col>16777216</col></row> </table> tem habeas numeros $ingulorum or- dinum, in quauis multitudine, deduci- to numerum ordinis à primo, & diui- de per numerum ordinis ip$ius reli- quum, & illud quod prouenit, duci- to in numerum maximum præceden- tis ordinis, & habebis numerum quæ- $itum. Velut $i $int undecim, uolo $ci- re breuiter numeros, qui fiunt ex ua- riatione trium. Primum deduco pro $ecundo ordine 1 ex 11 fit 10, diuido per 2 numerum ordinis, exit 5, duco in 11 fit 55 numerus $ecundi ordinis. Inde detra ho 2, qui e$t numerus differentiæ ordi- nis tertij à primo ex 11, relinquitur 9, di- uido 9 per 3 numerũ ordinis exit 3, du- co 3 in 55 numerum $ecundi fit 165, nu- merus tertij ordinis. Similiter uolo nu merum uariationum quatuor, deduco 3 differentiam 4 à primo ordine ab 11, relinquitur 8. diuido 8 per 4 numerum ordinis, exit 2, duc 2 in 195 fit 330. numerus quarti ordinis. Similiter pro quinto detraho 4 dif- ferentiam à primo ordine, relinquitur 7, diuido per 5 numerum or- dinis exit 1 2/5, duco in 330 numerum præcedentis ordinis, fit 462 numerus quinti ordinis.</P> <P>Ex hoc colligitur manife$tè modus conuertendi proportionem <marg>C<I>or</I>^{m}. 2.</marg> arithmeticam in proportionem mi$tam: dico mi$tam, quia opor- tet addere monadem in priore numero: dein de quia numerum terminorum oportet $umere iuxta numerum a$signatum, $cilicet addita monade: demum, quia oportet detrahere monadem ip$am. E$t tamen $umpta à proportione Geometrica ut liquet, $cilicet con- tinua dup la.</P> <P>Propo$itio cente$ima$eptuage$imaprima.</P> <P>Propo$itis duobus quibuslibet numeris, quotuis alios, $eu in continuum, $eu medios in continua proportione arithmetica, geo- metrica & mu$ica inuenire.</P> <P>Hæc tota propo$itio pendet ex intellectu diffinitionis earum. <marg>C<I>o</I>_{m}.</marg> Sint ergo propo$iti duo numeri 2 & 3, & uelim tertium in conti- <marg>D<I>iff,</I> 20.</marg> nua proportione arithmetica, duplico quemuis, ut pote 3 fit 6, de- <foot>Q 2 traho</foot> <p n=>188</p> traho 2, reliquum remanet 4 tertius numerus. Item uolo quar- tum, duplico 4 fit 8, detraho 3 remanet 5 quartus numerus: item uolo minorem 3 & 2, duplico 2 fit 4, detraho 3 remanet 1, $i autem uellem minorem uno, non po$$et, quia e$$et nihil, $ed cre$cendo pote$t extendi in infinitum, ita capio 2, & <02> 10, duplico <02> 10, fit <02> 40, detraho 2, remanet <02> 40 m: 2, & ita $i uolo quartum numerum, duplico <02> 40 m: 2 fit <02> 160 m: 4, detrahe <02> 10 ex <02> 160 m: 4, re- manet <02> 90 m:4, & ita 2 <02> 10 <02> 40 m: 2, & <02> 90 m: 4, $unt in con- tinua proportione arithmetica, & ita pote$t extendi in infini- tum. Sed $i uellem unum, aut duos, aut tres terminos, uel quouis medio 5 arithmeticæ, diuido differentiam per 1 p:numero termi- norum, & partes addo minori numero. Exemplum, uolo tres nu- meros medios inter 2 & 7 in continua proportione arithmeti- ca, detraho 2 à 7 remanet 5, diuido 5 per 1 p: quam 3, id e$t per 4, exit 1 1/4, adde ergo 1 1/4 ad 2 fit 3 1/4 primus terminus, cui adde iterum 1 1/4 fit 4 1/2 $ecundus terminus, cui adde iterum 1 1/4 fit 5 3/4 tertius numerus: fient ergo quinque termini, hoc modo in continua pro- portione arithmetica 23 1/4 4 1/2 5 3/4 & 7. Rur$us uolo totidem, uolo inter 2 & <02> 32, detraho 2 ex <02> 32 remanet <02> 32 m: 2, diuido per 4, qui e$t 1 p: numero terminorum, exit <02> 2 m: 1/2, addo ergo <02> 2 m: 1/2 ad 2 fit 1 1/2, p: <02> 2 primus terminus, cui iterum addo <02> 2 m: 1/2 fit <02> 8 p:1, $ecundus terminus, cui etiam addo <02> 2 m: 1/2 fit <02> 18 m: 1/2, & ita habes tres terminos medios in continua proportione arithmetica inter 2 & <02> 32, & ita $i uelles quatuor terminos, diui- deres differentiam per 5, & $i uelles quinque, diuideres per $ex. & ita de alijs quibu$cunque.</P> <P>Pro Geometrica proponantur, gratia exempli, 2 & 4, $i uelim in continua proportione tertium, duco 4 in $emet fit 16, diuido per 2 exit 8. & $i uelles quartum duc 8 in $e fit 64, diuide per 4 exit 16 quartus terminus, & ita in infinitum, & $i uelles minorem 2, duc 2 in $e fit 4, diuide 4 per 4 exit 1 tertius terminus, & ita $i uelles mino- rem. duc 1 in $e fit 1, diuide per 2 exit 1/2 quartus terminus, & ita ha- bes quo$uis terminos, & e$t $imilis arithmeticæ hæc operatio, $ed in arithmetica duplicamus unum terminum, & detrahimus alium: in geometrica multiplicamus unum terminum ad productum, & diuidimus per alium. Et $i uelim terminum in continua proportio- ne 2 & <02> 10, duco eodem modo <02> 10 in $e fit 10, diuido per 2 fit 5 tertius terminus, & uelim quartum, duco 5 in $e fit 25, diuido per <02> 10 exit <02> 62 1/2 quartus terminus.</P> <P>Et $i uelles plures terminos medios in <04>portione geometrica, de ducito maius extremum in $e $ecundũ denomination&etilde; inferior&etilde;, id <foot>e$t, $i</foot> <p n=>189</p> e$t, $i uolo duos terminos $emel, & dein de in minorem, & <02> cubica producti e$t $ecundus terminus, idem facio de minore in $e in de in maiorem, & accipio <02> cu. Exemplum, uolo duos termi- nos inter 2 & 3, duco 3 in $e fit 9, duco 2 in 9 fit 18, capio <02> cu. 18. hic e$t unus terminus, & ita duco 2 in $e fit 4, duco in 3 fit 12, capio <02> cu. 12 pro $ecundo termino. Et $i uolo tres terminos, duco 3 in 3 fit 9, du co 3 in 9 fit 27, duco 2 in 27 fit 54, & <02> <02> 54 e$t primus terminus. Item duco 2 in 2 fit 4, duco 3 in 3 fit 9, duco 4 in 9 fit 36, & <02> <02> 36, id e$t, <02> 36 e$t $ecundus terminus, $imiliter duco 2 ad $uum cubum fit 8, duco 3 in 8 fit 24, & <02> <02> 24, e$t tertius terminus. Similiter uolo quatuor terminos medios, duco 3 in 3 fit 9, duco 9 in 9 fit 81, duco 2 in 81 fit 162, & <02> relata prima 162, e$t primus terminus, item duco 2 in 2 fit 4, & 4 in 4 fit 16, & 3 in 16 fit 48, & <02> relata prima 48 erit quartus terminus, item ducendo 3 ad cubum fit 27, & 2 ad quadra- tum, & fit 4, & 4 in 27 fit 108, & <02> relata prima 108, erit $ecundus terminus, & $imiliter ducendo 2 ad cubum fit 8, & 3 ad quadratum fit 9, & 9 in 8 fit 72, & <02> relata prima 72 e$t tertius terminus. Habe- bis ergo terminos in continua proportione 2, id e$t, <02> relata pri- ma 32, <02> relata prima 48, <02> relata prima 72, <02> relata prima 108, <02> relata prima 172, & <02> relata prima 243, quod e$t 3, & ita de alijs in infinitum.</P> <P>At pro mu$ica, $i $int exhibiti duo numeri minores utpotè 2 & 3, uelim tertium terminum, diuido 2 per 1 differentiam exit 2, detraho 1 pro regula remanet 1, diuido 3 maiorem terminum per 1 exit 3, ad- de 3 ad 3, fit 6 maior terminus. Similiter capio 3 & 4, diuide 3 mino- rem terminum per 1 differentiam exit 3, detrahe 1 pro regula, relin- quitur 2, diuide 4 terminum medium per 2 exit 2, adde ad 4 fit 6 ma ior terminus. Stiphelius autem erat in $ua regula, nam $ic 12 4 & 3 e$$entin continua proportione mu$ica ex $ua regula. Dico ergo, quod $i proponantur 5 & 7, & uelim mu$icam proportionem con- tinuare, detraho 5 de 7 relinquitur 2, diuido 5 per 2 exit 2 1/2, detra- he 1 pro regula remanet 1 1/2, diuide 7 per 1 1/2 exit 4 & 2/3, adde ad 7 fit 11 2/3, reduc ad integra multiplicando omnia per 3, habebis 35, 21, & 15, in continua proportione mu$ica, nam 35 ad 15 e$t ut 7 ad 3, & 14 ad 6, e$t ut 7 ad 3, e$t autem 14 differentia 21 & 35, & 6 dif- ferentia 21 & 15, & ita po$$es continuare inueniendo quartum, quintum, $extum, in infinitum. Rur$us $int propo$iti duo termini maiores, uelut 6 & 4, detrahe 4 à 6 exit 2, diuide 6 per 2 exit 3, ad- de 1 pro regula fit 4, diuide 4 minorem terminum per 4 exit 1, de- trahe 1 ex 4, relinquitur 3 minor terminus, & ita propo$itis 6 & 3 <foot>Q 3 differentia</foot> <p n=>190</p> differentia e$t 3, diuide 6 per 3 differentiam exit 2, adde 1 pro re- gula fit 3, diuide 3 per 3 exit 1, detrahe ex 3 relinquitur 2 minor ter- minus, & ita potes inuenire quotuis. Gratia exempli, habeo 3 & 2 maiores, capio 1 differentiam, per quam diuido 3 exit 3, addo 1 fit 4, diuido 2 minorem terminum per 4 exit 1/2, detrahe 1/2 ex 2, relinquuntur 1 1/2, erunt ergo 32 & 1 1/2, 1. 6. 4. 3. duplican- do 2, ut prius in continua proportione mu$ica, quia ergo 632 $unt in continua proportione mu$ica, & 32, & 1 1/2 $unt in con- tinua proportione mu$ica, erunt duplicando 3. 4. 6. 12. in con- tinua proportione mu$ica. Rur$us $int propo$iti maior, & mi- nor terminus, ut 6 & 2, diuides maiorem per minorem exit 3, cui addes 1 fit 4, diuide 4 differentiam 6 à 2 per 4 iam inuentum exiti, adde ad 2 fit 3 medius terminus, $imiliter inter 6 & 3, uolo me- dium terminum in proportione mu$ica, detraho 3 à 6, relinquitur 3, $imiliter diuido 6 maiorem terminum per 3 minorem terminum, exit 2, addo 1 pro regula fit 3, diuido 3 differentiam iam $eruatam per hoc 3 iam inuentum exit 1, addo ad 3 minorem terminum fit 4, medius terminus, $ic uolo inter 4 & 6 medium terminum in con- tinua proportione mu$ica, diuido 6 per 4: exit 1 1/2, addo ei pro re- gula fit 2 1/2, diuide 2 differentiam 4 & 6 per 2 1/2 exit 4/5, adde ad 4 fit 4 4/5 terminus medius, duc omnes in 5, habebis integros nume- ros 30, 24 & 20, & $unt pulcherrimæ regulæ, quia po$$es diui- dere 24 & 20 interponendo medium, id e$t capiendo 6 & 5, diui- de 6 per 5 exit 1 1/5, adde 1 pro regula fit 2 1/5, diuide 1 differentiam per 2 1/5 exit 5/11, adde ad 5 fient termini 5 5/11 & 6, reduc ad integra fi- ent 55. 60. 66. & quia 30. 24. & 20, etiam erant in continua propor- tione, & 30 ad 20, erat $exquialter, ideò capiam $exquialterum ad 55, & e$t 82 1/2, erunt ergo 82 1/2 66. 60. & 55. in continua proportio- ne mu$ica, ergo duplicando 165 132 120 & 110, erunt in continua proportione.</P> <P>Adnotat Stiphelius, quod cum fuerint tres termini in continua proportione geometrica, & inter primum & tertium interpo$itus fuerit terminus in continua proportione arithmetica, quod ibi erit proportio mu$ica, & dat exemplum de 12. 9. 8 & 6, $ed ita e$t in- telligendum, ut a$$umpta proportione arithmetica, ut potè 12 9 & 6, in de ut e$t 9 ad 6, ita fiat 12 ad 8, tunc i$ti tres termini 128 & 6 e- runt in continua proportione mu$ica. Et hoc e$t pulchrum, $i ita in- telligatur, $cilicet ex proportione Geometrica & Arithmetica con- $tituere proportionem mu$icam.</P> <foot>Ex hoc</foot> <p n=>185</p> <P>Ex hoc patet &qring;d in proportion&etilde; Arithmetica & mu$ica $emper, $i <marg>C<I>or</I>^{m}.</marg> duo termini fuerint numeri, tertius erit numerus, & in Geometrica idem erit, $i medius & extremus fuerint numeri, erit alter extremus numerus, $ed tamen $i unus euariet, omnes poterunt e$$e diuer$i.</P> <P>Propo$itio cente$ima$eptuage$ima$ecunda.</P> <P>Proportiones Stiphelij de$cribere.</P> <P>Con$iderauit Michael Stiphelius quod $ump$it à Bo&etilde;tio, qua$- <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> dam inueniri proportiones tribus numeris con$titutis, quæ in nul- lo trium primorum generum continerentur, $ed quædam tamen geometricis aliæ mu$icis a$similarentur, prima ergo Geometrica- rum e$t, quoties proportio $ecundæ ad primam fuerit, uelut diffe- rentiæ $ecundæ & primæ ad differentiam $ecundæ & tertiæ. Velut <marg>2 1</marg> capio 2, 4, 5, proportio 4 ad 2 e$t dupla talis e$t 2 differentiæ 4 & 2 <marg>2 4 5</marg> ad 1 differentiam 5 & 4, nam in uera proportione Geometrica fit conuer$o modo, quia proportio $ecundæ ad primam e$t, uelut dif- ferenti&ecedil; tertiæ & $ecundæ ad differentiam $ecundæ à prima ut in 4. 6. & 9 proportio 6 ad 4 e$t uelut 3 differentiæ 9 ad 6 ad 2 differen- tiam 6 & 4.</P> <P>Secũda proportio quam ille appellat po$teriorem, e$t in qua pro portio tertij ad $ecundum e$t uelut differentiæ primi & $ecundi ad differentiam $ecundi & tertij: Velut capio 1, 4, 6, proportio 6 ad 4 <marg>3 2</marg> tertij $cilicet, & $ecundum e$t uelut 3 differentiæ 4 & 1, ad 2, differen- <marg>1 4 6</marg> tiam 6 & 4, & hæc $imiliter differt à Geometrica uera in eo quo in Geometrica uera oporteret, ut proportio tertij ad $ecundum e$$et ut differentia tertij & $ecundi ad differentiam $ecundi & primi. Dif- fert à priore, quoniam in illa differentiæ $eruant eundem ordinem, quanuis transferantur in hac uerò fit conuer$us modus.</P> <P>Tertia e$t ut $it proportio differentiæ primæ & tertiæ ad diffe- rentiam primæ & $ecundæ, uelut $ecundæ ad primam, in Geometri ca autem e$$et $icut aggregati $ecundæ & primæ ad ip$am primam, tales ergo quantitates erunt uelut 4, 6, 7, nam proportio 6 ad 4 e$t <marg>3</marg> uelut 3 differentiæ 4 & 7 ad 2 differentiam 4 & 6.</P> <marg>4 6 7</marg> <marg>2</marg> <P>Quarta proportio $imilis Geometricæ e$t cum fuerit proportio differentiæ primæ & tertiæ ad differentiam tertiæ & $ecund&ecedil;, uelut $ecundæ ad primam, uelut in 2, 3, 5 proportio differentiæ 5 & 2 quæ <marg>3</marg> <marg>2 3 5</marg> e$t 3 ad differentiam $ecundæ & tertiæ, quæ e$t 2 e$t uelut 3 quantita <marg>2</marg> tis $ecundæ ad 2 quantitatem primam.</P> <P>Prima aut&etilde; harmonicarũ quæ notha e$t nec legitima, hoc modo $umitur: Vt $it proportio primæ ad tertiam uelut differentiæ $ecun <marg>1 2</marg> dæ & tertiæ ad differentiam $ecundæ & primæ, ueluti capio 6 pri- <marg>6 5 3</marg> mam 5 $ecundum 3 tertiam proportio 6 ad 3 e$t dupla $icut 2 diffe- <foot>Q 4 rentiæ</foot> <p n=>186</p> rentiæ $ecundæ à tertia ad 1 differentiam $ecundæ à prima. Manife- $tum e$t autem quod in uera harmonica proportio differentiarum e$t primæ & $ecundæ ad illam quæ $ecundæ & tertiæ.</P> <P>Secunda notha harmonica e$t, ut $it propor- <fig> tio primæ ad tertiam, uelut differentiæ primæ à tertia ad differentiam $ecundæ à tertia, ponatur 25, prima 21, $ecunda 15, tertia proportio 25 ad 15 e$t uelut 10 differentiæ prim&ecedil; à tertia ad b differen tiam $ecundæ à tertia.</P> <P>Tertia e$t $imilis priori, ni$i quod $umitur dif- <fig> ferentia primæ à $ecunda pro ultimo termino. Ex- emplum, 25 primus terminus, 19 $ecundus, 15 ter- tius, proportio 25 ad 15 e$t uelut 10 differentiæ pri- mæ a tertia ad b, differentiam primæ à $ecunda. Has proportiones quanquàm exiguæ utilitatis, proponere uo- lui, ut excogitatis aliquibus demon$trationibus, uelut $uperius diximus, pulchra theoremata & problemata tradi po$$ent.</P> <P>Propo$itio cente$ima$eptuage$imatertia.</P> <P>Circulum $uper centro $uo mouere æqualiter, ita quòd omnia illius puncta per rectam lineam moueantur ultro citro <01>.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Sit a centrum circuli b c, & æqualis ei <fig> circulus d e, centrum eius b in circumfe- rentia circuli b c, fixum ita ut ibi mouea- tur ad motum circuli b c: & moueatur b uer$us c æqualiter, & e contrario motu etiam regulariter, & duplo uelocius ex e uer$us d, dico omnia puncta d e moue- ri in linea recta, & primum capio pun- ctum d, quod $it in linea recta centro- rum: & moueatur b ad c, & $i circulus d e e$$et immobilis, palam e$t quòd pun- ctum d cum $it in una linea a b, cum b perueniret in c, d e$$et in linea a c, putà in h $ecundum quantitatem, ergo b d ex <marg>P<I>er</I> 20. <I>ter tij</I> E<I>lem.</I></marg> centro c, de$cribo circuli portionem h k, duco etiam c k, erit ergo angulus h c k duplus a, quare arcus h k duplus b c, nam con$i$tunt in centris circulorum æ- qualium: igitur cum ex h motu conuer$o, & duplo ueloci in codem tempore feratur d perueniet in k, & ita $ecundum rectam lineam erit motum eadem ratione ex d in k, quod erat demon$trandum.</P> <foot>Ex hoc</foot> <p n=>187</p> <P>Ex hoc patet quòd quando b <fig> <marg>C<I>or</I>_{m}. 1.</marg> erit in c peracta quarta circuli, ut in $ecunda figura erit per motum l e in a: nam cum d a $it dupla c b, igi- tur in eodem tempore l perueniet ad a, in quo b perueniet ad c.</P> <P>Dico etiam, quod quãdo b per- <marg>C<I>or</I>_{m}. 2.</marg> ueniet ad fin prima figura, d perue- niet ad g, quia permeabit totum cir culum, & a b d $unt in una recta li- nea. Et cum b perueniet ad m in $e- cunda figura, d rur$us perueniet ad a centrum.</P> <P>Ex hoc patet, quòd punctum d permeabit lineam rectam æqua- <marg>C<I>or</I>^{m}. 3.</marg> lem duplo diametri unius circuli, id e$t, quantum e$t linea a g in pri ma figura.</P> <P>Sequitur etiam, quòd d punctum meabit et remeabit per rectam <marg>C<I>or</I>^{m}. 4.</marg> lineam ag, peragendo bis eam in uno circuitu circuli b c, $eu duo- bus circuitibus d e.</P> <P>O$ten damus modo, quod pun <fig> ctum d extra lineam centrorum, $ci licet in linea d c a f tran$ibit per re- ctã eandem, ut in tertia figura pro- ducatur c d u$<01> ad k, ita ut c k $it æqualis c a, erit ergo punctus d pri mæ figuræ m è regione k tertiæ, & dum c mouetur ad e, d perueniat ad g, erit ergo e g æqualis ea, & $e- cet circulus g h rectam a d in h, & ducatur c h. Et erit ut prius angu- lus h e g duplus h a g, ergo arcus <fig> g h duplus e c, ergo g remeauit in h in tempore quo c feretur in e, quare d de$cendit per rectam in h.</P> <P>Dico rur$us, quòd quanto ma- gis d erit propinquum lineæ d g, tanto minus de$cendet in recta, quanto magis propinquum longi tudinibus medijs, tãto celerius mo uebitur, adeò ut in $ecunda figura apparet motum ex d in g, non de$cendit ni$i per d n, & motum ex g in l de$cendit ex n in a centrum fixum. De$cendat ergo ex e in h & h <foot>Q 4 in k</foot> <p n=>188</p> in k per arcus æquales, & ducantur arcus h l & k m. Quia n m & n l $unt minores quarta circuli, & maiores $unt f e & fl, & angulus an- gulo non minor, patet propo$itum. Ita ergo motus, ut appropin- quant pũctis medijs $unt uelo ciores, & in æquali di$tãtia æquales.</P> <P>Et hoc inuentum fuit Ludouici Ferrarij, cuius meminimus in Ar te magna, & nos ei $ub texuimus ex no$tra inuentione, cuius ille de- mon$trationem inuenire nequiuit.</P> <P>Propo$itio cente$ima$eptuage$imaquarta.</P> <P>Progre$$us & regre$$us tam $ine latitudine, quàm cum latitudi- ne in planetis per $olos concentricos circulos æqualiter motos de- mon$trare.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Sit eclyptica a b c d, & arcus regre$$us b c in partes <fig> quatuor æquales diui$us, & de$cribantur circuli duo b h & e k $uper e & f, & $upponatur orbis $uperior $ub eclyptica tamen, cuius polus in f, qui circumagatur in du plo temporis retroce$$us planetæ, & in di$tantia circuli e k $ub puncto e eclypticæ, polus alterius orbis concen- trici inferioris, qui circumagatur in tempore retro ce$$us planetæ, & planeta $it in puncto 6, liquet ergo quòd pla neta ille in uno circuitu e k circuli permeabit b c & re- meabit, & $emper erit $ub ip$a eclyptica. Sed enim eclyptica habet rationem rectæ lineæ, ut quiuis circulus maximus. Et $i quis relu- ctetur fingamus rectam $ubten$am arcui b c, & aliam po$tmodum æquidi$tantem in eadem $uperficie, & in orbe inferiore, & tunc pa- tebit liquidò propo$itum. Sed $i uelim latitudinem de$cribam, ma- ximam latitudinem à puncto b, & ducam circulum magnum per punctum illud: reliqua ut prius, ad unguem: nihil enim refert quod ad demon$trationem præcedentis attinet, $eu a d ponatur eclypti- ca, $eu alius circulus magnus.</P> <marg>C<I>or</I>^{m}. 1.</marg> <P>Ex hoc patet cau$a cur retroce$$us in initio, & in fine $int exigui, in medio $int magni imò maximi, & quomodo perpetuò uarietur latitudo in tempore retro ce$$us, & ratio omnium, & $imiliter de in- crementis & uelocitate motus.</P> <marg>C<I>or</I>^{m}. 2.</marg> <P>Ex hoc $equitur, quod cum erratica fuerit in centro $eu polo f, & tunc mouetur uelo ci$símè, quòd tamen erit in oppo$ito $olis, & tunc etiam ibi erit ip$e polus, quare alter erit cum ip$o $ole.</P> <marg>C<I>or</I>_{m}. 3.</marg> <P>Et quia dum motus e$t ueloci$simi $ecundum ordinem $igno- rum, tunc erratica $uperior e$t $oli iuncta, e$t<03> in polo, oportet ut polus fmoueatur $ecundum ordinem $ignorum, adeò ut cum $ol peruenerit ad illius oppo$itum, orbis $uperior dimidium perfecerit <foot>circuitus</foot> <p n=>195</p> cir cuitus, inferior autem integrum. Ergo orbis $uperior tanto tar- diùs mouetur $ole, quantum e$t id quod peragit polus $ine æquali motu in orbe $ignorum, per motum circunducentis orbis $uperio- ris in tempore dimidij circuitus. Inferior ergo cum moueatur du- plo uelociùs $uperiore, ut dictum e$t, igitur duplo uelo cius $ole, ni- $i quantum e$t duplum motus poli $uperioris per motum orbis circunducentis.</P> <head>SCHOLIVM I.</head> <P>Intelligo autem per arcum retro ce$$us non $olum illum quo pla- neta retrocedit, nam hic e$t longè minor arcu proce$$us, $ed in quo motus in æqualis e$t minor æquali, palam autem e$t hunc fore æ- qualem arcui uelocioris motus quàm $it motus æqualis.</P> <head>SCHOLIVM II.</head> <P>Cum ergo, dum erratica e$t in polo orbis $uperioris, ibi quie$cat motu eius, motu autem inferioris orbis ueloci$simè moueatur $eu progrediendo $eu regrediendo motu<03> cir culari, & tamen per re- ctam lineam, igitur uideretur quòd motus circularis partes po$$et tran$ire in rectum. Re$pondeo quòd $ufficit $ola inclinatio ob ma- gnitudinem anguli: nam dum $ydus transfertur extra centrum mo- tu orbis inferioris, mouetur uelociter quo ad angulum motu orbis $uperioris.</P> <P>Propo$itio cente$ima$eptuage$imaquinta.</P> <P>Cau$am uarietatis diametrorum ex $uppo$itis concentricis de- mon$trare.</P> <P>In tribus $uperioribus planetis & quibu$cun<03> $tellis octaui or- <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> bis manife$tum e$t, quòd pars quæ re$picit nos quantò remotior fuerit à Sole, tãto magis illuminatur. Manife$tum e$t etiam & expe- rimento & ratione, quòd illud quod magis lucet, & e$t illuminatũ à Sole in nocte, maius uidetur, $icut etiam de facibus nocturnis. Et rur$us, quod $ub $tantia orbium circa loca quæ habentur pro polis e$t den$ior, & quod res in medio den$o apparent maiores, $icut de pi$cibus in aqua, denarijs & baculis. Demon$tratum aũt e$t in præ- cedenti, quod quando $tella fuerit in polo orbis $uperioris, quòd tunc maximè retrocedit, & ideò cum in tempore maximi retro ce$- $us $it in oppo$ito Solis dũ tres $uperiores $unt in oppo$itu Solis, multo maiores duabus ex cau$is e$$e uidentur, & iuxta proportio- nem propinquitatis ad Solem commutant quantitatem & tanto minores apparent, quia non po$$unt, commutare formã, uelut Lu- na propter æqualitatem $ub$tanti&ecedil; & luminis proprij copiam, qu&ecedil; non $init di$cerni uarietatem figur&ecedil;. In Luna autem $ecus e$t, nam in <foot>ip$a</foot> <p n=>196</p> ip$a di$cernitur ob paucitatem luminis proprij figuræ uarietas, & ob id non apparet maior, imò minor aut mediæ quantitatis in op- po$ito Solis, $ed maxima in longitudinibus medijs, quoniam ibi $unt poli motus uarietatis ut dictum e$t, qu&ecedil; habet locum retro ce$- $us, $ed ob motus paruitatem Luna non pote$t retrocedere, uerùm $olùm motus tardatur. Nam licet den$itas $it in cœlo $uperiore & motus uelox nihilominus efficit imaginem maiorem, $icut apparet de pi$ce in magna aqua in medio, & in parua in imo, nam in parua uidetur longè maior quàm in magna, licet $it in æquali di$tantia. In Venere autem & Mercurio eadem e$t ratio di$tantiæ à Sole ut di- ctum e$t in præcedenti. Cum ergo $ub Sole multum moueantur motu differentiæ uel $ecundum $ucce$sionem, uel contra $ucce$- $ionem in medijs longitudinibus, parum tunc uidentur e$$e mino- res, quia $unt remotiores à polo orbis $uperioris. Quod autem pro pinqui coniunctioni Solis, & ueloces uideantur minores, i$tud contingit ob primam cau$am, quia minus illuminantur, ea parte quæ ad nos uergit. Re$tat ergo $olum o$tendere cur propinqui Soli & in retroce$$u uideãtur maiores, cùm utra<01> ratio ob$tet, $unt enim remoti à polo orbis $uperioris & propinqui Soli, cau$a e$t quoniam apparent $olùm in crepu$culis quando $unt $ic di$po$iti, & tunc aër e$t cra$sior. Quæ cau$a facit, ut neque dum ueloci$simi $unt $emper parui uideantur, ideò non pote$t con$titui certa ratio. imò i$ta deducta $unt potius ex fundamento fal$o illius figmen- ti, quam ex $en$u (ita enim argumentantur) retro cedunt, ergo $unt propinquiores terræ, ergo uidentur maiores, & ita fingunt $en- $u $ehabere quod fal$a ratione o$tendere uidentur. quod<03> i$tud $it uerum, patet quia nullum in$trum&etilde;tum etiam in aëre clari$simo Aegypti pote$t o$tendere differentiam minorem $exminutis, & hic e$t fermè diameter Mercurij, nec tanta e$t differentia in Venere. Reliquum e$t ut $atisfa ciamus obiectioni quam faciunt de diuer- $itate magnitudinis Lunæ propter eclip$im, nam uidetur e$$e ali- quando maior, & aliquando minor in æquali di$tantia à $ectione capitis & caudæ draconis, adeò ut non uideatur po$$e a$signari. di co ergo huius cau$am e$$e umbram ip$ius Lunæ dubiam, $icut eti- am in crepu$culis, quoniam Sol in diuer$o $itu facit diuer$am um- bram comparatione oculi no$tri, maior e$t enim in hyeme quàm in æ$tate, & quæ e$t propior nobis quàm quæ procul, & quæ e$t in meridie quàm iuxta Ortum uel Occa$um, & ideò tam parua diffe- rentia & incerta, & quæ aliquando uariat, nullo modo uitiare po- te$t rationem motuum æternorum.</P> <foot>Propo$i-</foot> <p n=>197</p> <P>Propo$itio cente$ima$eptuage$ima$exta.</P> <P>Rationem centri grauitatis declarare.</P> <P>Duplicem rationem c&etilde;tri grauitatis inuenit Archimedes, unam <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> $u$pen$orum ponderum: alteram $upernatantium aquæ, in qua- rum utra<01> $ubtilitatis certè e$t quantum dignum e$t authore illo ingenio $i$simo, $icut etiam in elica linea, fructus autem non pro ra- tione laboris, ne<01> enim ab ætate illa u$que nunc inuentus e$t qui$- quam, qui potuerit docere, nec ille idem quæ nam utilitas ex huiu$- modi contemplatione haberetur, propterea totum hoc una propo $itione conclu$imus.</P> <P>Dico igitur quòd c&etilde;trum grauitatis in appen$is æqualibus qua- dratis aut quadrilateris parallelis e$t, ubi$e inter$ecant duæ diame- tri. Et quod in triangulis e$t punctus in quo concurrant tres lineæ, duct&ecedil; ab angulis ad latera illa per æqualia $ecando. In quadrilatero autem trapezio centrum grauitatis e$t in puncto lineæ, quæ $ecat ambo latera oppo$ita per æqualia, ita ut proportio partis eius li- neæ, quæ intercipitur à minore æquidi$tantium, ad partem quæ in- tercipitur à maiore æquidi$tantium, $it ueluti dupli maioris æqui- di$tantium cum minore ad duplum minoris æquidi$tantium cum maiore. Cuiu$cun<03> portionis à recta linea, & rectanguli coni $ecti- one comprehen$æ, centrum grauitatis diuidit diametrum portio- nis, ita ut pars eius ad uerticem terminata, $it ad partem eam $exqui- altera, quæ ad ba$im portionis terminatur. Cuiuslibet fru$ti à $ecti- one rectanguli coni ablati, centrum grauitatis e$t in linea recta, qu&ecedil; fru$ti exi$tit diametros: qua in quinque partes æquas diui$a, cen- trum in quinta eius media exi$tit, atque in eo eius puncto quo ip$a quinta $ic diuiditur, ut portio eius propinquior minori ba$i fru- $ti ad reliquam eius portionem eam habeat proportionem, quam habet $olidum, cuius ba$is $it quadratum lineæ illius quæ fru$ti ba- $is maior extiterit.. Altitudo ueró i$tis utri$que $imul æqualis lineæ quæ dupla $it minoris ba$is fru$ti, & ba$i maiori eiu$dem, ad $oli- dum quod ba$im habeat quadratum ba$is minoris fru$ti, altitudi- nem uero i$tis utri$<01> $imul æqualem lineæ quæ dupla $it maioris ba$is, & ba$i minori. Et hæc de prima, multa qúe alia pulchra de- clarat Federicus Comandinus, in $uo libro de Centro grauitatis, ut pote. Quod cuiuslibet portionis conoidis rectanguli axis à cen- tro grauitatis ita diuiditur ut pars, quæ determinatur ad uerticem reliquæ, quæ ad ba$im terminatur dupla $it, & longè $ubtiliora qu&ecedil; quilibet uidere poterit apud illum.</P> <foot>SCHOLIVM.</foot> <p n=>198</p> <head>SCHOLIVM.</head> <P>Partes omnes con$entiunt in grauitatem medij, quoniam una aliam non uult centro mundi fieri propiorem.</P> <P>De $ecunda præcipua $unt, quod $i magnitudo aliqua humido leuior ea in grauitate proportionem habebit ad humidum &ecedil;qualis molis, quam pars magnitudinis demer$a ad totam magnitudinem, & hoc intelligitur quando magnitudo illa fuerit è genere $olido- rum rectorum & rectangulorum. Secunda e$t, quòd quæ $imilia $unt $uperficiebus, ita ut axem habeant in medio, $ecundum $itum axis merguntur & prominent, & $i aliter mergantur, redeunt. Ter- tia, quod qu&ecedil; angu$tiora $unt, ab oppo$ita parte uerò latiora, incli- nantur ad partem acutiorem, quia $ic facilius de$cendunt. Quarta e$t, de corporibus non æqualibus, ip$a enim nece$$e e$t, ut ab hac $e inflectant, & ratio horum diuer$a e$t iuxta rationem proportionis partium quæ merguntur adinuicem. Quinta e$t, quòd mer$a in hu- mido, quanto minus mer$a fuerint, tanto facilius & eo frequenti- us commutantur.</P> <P>Propo$itio cente$ima $eptuage$ima$eptima.</P> <P>Si proportio aliqua ex duabus proportionibus eiu$dem quanti tatis ad alias duas componatur: erit proportio illarum duarum ea- dem proportioni producti ex proportione in primam duarum quantitatum detracta priore illa quantitate, quæ ad duas compara tur, ad eandem priorem quantitatem.</P> <P>Sit proportio a ad compo$ita ex proportionibus c <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <fig> ad d & c ad e, dico quòd proportio d ad e e$t, ut produ- cti ex proportione in d detracto c ad ip$um c. Et nos $uperius expo$uimus conuer$am huius. Erit enim per $ecundã demon$trationem illius proportio a ad b, uelut producti ex c in d, & e ad productum d in e: at productum d in e & in propor tionem, e$t idem quod productum proportionis in d in ip$um e: igi tur cum in uno $it productum e in c, & d in c, in alio productum a b in d in de in e, quæ $unt æqualia, detracto producto e in c ex produ- cto proportionis in d & inde in e, relinquetur, productum c in d æ- quale producto a b .i. proportionis in productum d in e, detracto numero c in e: igitur ducto c in d, & diui$o per productum a b in d numero c, exibit e, igitur cum illud productum fiat ex d, $cilicetin c, & ex e in productum proportionis in d dempto numero c, erit pro portio d ad e, uelut producti ex d in proportionem, detracto e ad ip$um c, uelut c $it 12, d 4, e 6, a b erit 5 proportio d ad e, uelut d in a b, id e$t 20, detracto c, & e$t 8 ad c 12.</P> <foot>Ex</foot> <p n=>199</p> <P>Ex demon$tratione $equitur, quod qualis e$t proportio e ad a b, <marg>C<I>or</I>m.</marg> talis e$t producti d in e, ad aggregatum eorum. Si quis ergo dicat, habeo 10, & uolo inuenire duas quantitates, quarum differentia $it 1, & proportio 10, ad eas componat quintuplam, dices quintupla e$t dimidium 10, igitur in uenias duas quantitates, quarum differen tia $it 1, & proportio producti unius in alteram ad aggregatum $it dupla. Et hoc e$t manife$tum.</P> <P>Propo$itio cente$ima $eptuage$imaoctaua.</P> <P>Proportionem mi$tionis metallorum, maximè auri & argenti declarare.</P> <P>Dubium non e$t, quod mi$tio non cogno$catur ducto ponde- <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> re totius in partem auri uel argenti, & productis collectis diui$o aggregato per aggregatum ponderis, idqúe e$t per $e manife- $tum, nam qualis e$t proportio partis ad partem, talis e$t totius ad totum.</P> <P>Sed e$t genus mi$tionis, quod uocant con$olationem. Veluti, uolo ex argento perfectionis decem & $eptem, & quinque, confla- re argenti ma$$am centum librarum perfectionis nouem, ita agen- dum e$t. Detrahe 9 à 10, & omni maiori 10, relinqui- tur 1, hoc $uppone 7 & 5, item detrahe 7 & 5, & omne <fig> minus 9 à 9, relinquitur 2 & 4, iunge omnia re$idua fient 8, nam 4. 2. 11. Dicemus ergo quod 8 unci&ecedil; per- fectionis nouem componentur ex 6 uncijs perfe- ctionis decem & una $eptem alia quinque. Po$t di- ces, $i unciæ octo fiant 100, $ex & una, & una, quot fient, erunt<03> un- ciæ aut libræ, aut ut uo cant marchæ perfectionis decem, & duo de- cim cum dimidia, ac duodecim cum dimidia perfectionis, ut $e- ptem & ut quinque: licebit etiam propo$itis terminis pluribus ex repetita operatione idem facere, ueluti $int ma$$æ perfectionis 10. 7. 5. & 2. uolo ma$$am perfectionis ut 8. Tu $cis quod ex 10. 7 & 5. fit ma$$a perfectionis nouem data lege $ub 6. 1 & 1. nunc habeo iam perfectam ut 9, aliam ut 2, detraho 2 ex 8, relinquitur 6 & 8, x 9 re- linquitur 1, iunge fient 7, erunt ergo $eptem unciæ, in <fig> quibus $ex erunt perfectionis, ut 9 & 1 perfectionis ut 2, & totum erit perfectionis ut octo. Duc ergo, ut ex- plores ueritatem, 6 in 9 fit 54, duc 2 in 1 fit 2, iunge fit 56 diuide per 7 exit 8 perfectio quæ$ita.</P> <P>Per idem intelliges detractionem ex ma$$a argenti perfectionis 7, detraxi quartam partem perfectionis 10, uolo $cire do drantem <foot>qualis</foot> <p n=>201</p> militer l n ip$ius l m, iuxta pro- <fig> portionem h, $umatur rur$us <marg>P<I>er</I> 22. <I>quinti</I> E<I>lem.</I></marg> de ip$ius a b pars $ecundum h, <marg>P<I>er</I> 18. <I>quinti</I> E<I>lem.</I></marg> & n o ip$ius k l, $ecundum ean dem proportionem. Et rur$us <marg>P<I>er</I> 19. <I>&</I> 22. <I>eiu$dem.</I></marg> $umatur e f æqualis d b, & o p <marg>P<I>er</I> 22. <I>eiu$- dem.</I></marg> æqualis n l, ut $int portiones b c & l m $ecundum proportionem h, & $umatur f g ip$ius a c, $ecun <marg>P<I>er eandem.</I></marg> dum proportionem h, & p q ip$ius k o, $ecundum eandum propor- <marg>P<I>er</I> 19. <I>&</I> 22 <I>eiu$dem.</I></marg> tionem, & ita procedendo $emper, dico quod erit a g re$idui ad k q <marg>P<I>er ea$dem.</I></marg> re$iduum, ut a b ad k l. Quia enim a b ad b c, ut k l ad l m ex $uppo$i- <marg>P<I>er</I> 19 <I>quin- ti</I> E<I>lem.</I></marg> to, erit a b ad b d, ut k l ad l n: e$t etiam a b ad d e, ut k l ad n o ex $up- po$ito, igitur a b ad b c, ut k l ad l o. Igitur a b ad a c, ut k l ad k o. Rur <marg>P<I>er</I> 16. <I>eiu$- dem.</I></marg> $us quia b c ad e f, ut l m ad o p, erit a b ad e f, ut k l ad o p, at fuit a b ad a e, ut k l ad k o & a e ad g f, ut k o ad p q, igitur a b ad' g f, ut k l ad q p. Quare a b ad g e, ut k l ad q o. Iterum ergo a b ad b g, ut k l ad l q. Ergo a b ad a g, ut k l ad k q. Igitur a b ad k l, ut a g ad k q, quod erat demon$trandum.</P> <P>Ex hoc patet, quod et$i proportio non maneat eadem in parti- <marg>C<I>or</I>^{m}. 1.</marg> bus totius, & partis modo $it eadem in totis ad partes a$$umptas, et in partibus ad partes a$$umptas, nihilominus $equitur idem.</P> <P>Sequitur rur$us, quod et$i proportio eadem non maneat quan- <marg>C<I>or</I>^{m}. 2.</marg> titatum a$$umptarum ad partes quæ $umuntur, nec etiam partium modo $emper pars, quæ a$$umitur $it totius pars, & alia partis idem ueratur.</P> <P>Velut $i prima uice capiam b d partem b c, ut l n partem l m $e- <marg>C<I>o</I>m.</marg> cundum h proportionem, & deinde capiam d e partem a b & n o partem k l $ecundum proportionem r, quæ $it alia ab h, & $ecunda uice capiam e f partem b c, & o p partem l m $ecundum proportio- nem h, quæ $it alia ab h & r. Et capiam f g partem a e & p q partem k o, $ecundum eandem proportionem, $ed tamen quæ non $it ali- qua prædictarum, $cilicet h r s, $ed diuer$a ab eis, & uocetur t, dico quod nihilominus erit proportio a g ad k q, ut a b ad k l, quæ pa- tent ex ui demon$trationum, in quibus nil plus a$$umitur ad de- mon$trandum, quàm id quod proponitur in corrolarijs.</P> <P>Ex hoc etiam $equitur, quod $ecundum quem numerum prima <marg>C<I>or</I>^{m}. .3.</marg> quantitas ab$umetur, $ecundum eundem ab$umetur & $ecunda.</P> <P>Velut $i prima quantitas ab$umatur ad unguem in quinta detra- <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> ctione, etiam $ecunda k l in quinta detractione ad unguem ab$ume tur, quod patet per demon$trata, nam re$idua $emper $unt eædem partes ip$arum quantitatum.</P> <foot>R Quarto</foot> <p n=>202</p> <P>Quarto $equitur, quod $i detractio fuerit facta eodem modo, & <marg>C<I>or</I>^{m}. 4.</marg> fuerit proportio totius ad totum, ut re$idui ad re$iduum, erunt par tes a$$umptæ $imiles.</P> <P>Velut $i fuerit facta detractio iuxta propo$itionem, aut primum <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> uel $ecundum corrolarium, & fuerit proportio a g ad k g, ut a b ad k l, erit a b ad b c, ut k l ad l m.</P> <P>Sequitur etiam, quod $i fuerit a$$umpta proportio primarũ par- <marg>C<I>or</I>^{m}. 5.</marg> tium eadem, & facta fuerit detractio in omnibus præter unam iux- ta dicta, & fuerit totius ad totum, ut re$idui ad re$iduum, erit ut illa etiam reliqua detractio, $eu ad tota, $eu ad partes $it facta, $ecundum eandem proportionem.</P> <P>Velut $i $it proportio a b ad k l, ut a g ad k g, & rur$us ut b c ad <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> l m, & a$$umptæ $int proportiones eædem $emper totius, & totius ad partes, & re$iduorum ad partes, etiam & b c & l m ad partes, eti- am excepta una $eu quantitatum a b & k l, $eu re$iduorum ut a c & k o, $eu partium ut b c & l m ad partes, dico quod hæ partes etiam erunt a$$umptæ $ecundum eandem proportionem ad ip$as magni- tudines, uel partes primas uel re$idua.</P> <P>Sed & id $equitur ex his, quod cuiu$cunque $eu totius $eu partis <marg>C<I>or</I>^{m}. 6.</marg> $eu utriu$que pars maior a$$umetur, erit maior proportio totius ad totum quàm re$idui ad re$iduum.</P> <P>Hæc demon$trantur à Campano, nam $i $it maior proportio a b <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> ad a g, quam k l ad k g, erit maior a b ad k l quàm a g ad k g.</P> <marg>R<I>up.</I> 16. <I>quinti</I> E<I>lem.</I></marg> <P>Sequitur rur$us, quod in eadem con$titutione cuiu$cunque ma- <marg>C<I>or</I>^{m}. 7.</marg> ior pars ab$umetur, ea quantitas minori numero, uel numeri parte ab$umetur.</P> <P>Nam $i minor erit continuo proportio a b ad a e, quàm k l ad k <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> o, & a e ad e g, quàm k o ad o g, erit longe minor a b ad b g quàm k l ad l g, igitur longe maior a b ad a g quam k l ad k g. Igitur a g citius ab$umetur quam k g.</P> <P>Propo$itio cente$imaoctuage$ima.</P> <P>Si aliqua quantitas in duas partes diuidatur, fueritque alicuius, quantitatis ad partes illas compo$ita proportio eiu$dem quan- titatis ad partes alias quantitatis diui$a aliter proportio eadem componi.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Sit a b proportio ad partes c d quæ $int c e, & c d componens f, dic<*> quod non poterit c d aliàs diuidi, ut proportio a b ad illas componat candem proportionem f. Aliter $it diui$a in g, & erit mi- <foot>nor c g,</foot> <p n=>203</p> nor c g, minor aut maior c d minore, capiam ergo c d minorem, erit igitur proportio a b ad c d maioris exce$$us ad proportionem a b ad c g, quàm $it proportio a b ad g d, ma- <fig> ior proportione a b ad c e, propterea quod g e communis differentia maiorem habet proportionem ad e d quam g c, igitur ma- ius e$t aggregatum proportionum a b ad c e, & e d, quã eiu$dem a b ad c g & g d, quod erat demon$trandum.</P> <P>Propo$itio cente$imaoctuage$imaprima.</P> <P>Cum fuerit aliqua proportio compo$ita ex proportionibus pri- mæ ad $ecundam & tertiam, & rur$us quartæ ad quintam & $ex- tam, ita $e habebit proportio $ecundæ ad tertiam proportionem quintæ ad $extam, uelut producti ex proportione in $ecundam de- tracta prima ad primam ad productum ex proportione in quin- tam, detracta quarta ad quartam.</P> <P>Sit pro portio g compo$ita ex proportionibus a <fig> ad b & c, & proportionibus d ad e & f, dico quod quemadmodum b ad c, ad proportionem e ad f, ita producti ex g in b, detracto a ad a ad productum ex g in e, detracto d ad d. E$t enim, ut demon$tratum e$t b ad c, ut productum ex g in b, detracto a ab a & e ad f, ut pro- ducti ex g in e, detracto d ad d, igitur cum æqualium $int eædem comparationes, erit ut proportionis b ad c ad proportionem e ad f, ita producti ex g in b, detracto a ad a, ad productum e$t g in e, de- tracto d ad d.</P> <P>Quare erit proportio b ad c ad proportionem e ad f, uelut re$i- dui b detracto quod prouenit, diui$o a per proportionem a ad pro portionem re$idui e detracto quod prouenit diui$o d per propor- tionem ad ip$um d.</P> <P>Propo$itio cente$ima octuage$ima$ecunda.</P> <P>Propo$ita differentia proportionum partium $imilium ad par- tes a$$umptas propo$ita<03> proportione totius ad re$idua eandem differentiam proportionum totius ad reliquum re$idui inuenire.</P> <fig> <P>Sint datæ partes b c & e f, $imiles in compa- ratione ad a b & d e, & data re$idua a g & d h in cõparatione a b & d e, $imilia in differentia proportionis f e ad c l, ad proportionem c b ad b k, dico quod data e$t differentia proportionis a b ad g k ad proportionem d e & f h. Nam quia proportio f e ad c l, ad pro- <foot>R 2 portionem</foot> <p n=>204</p> portionem b e ad c k data e$t, & c f ad e d, ut b c ad b a, erit ut a c ad l e contineat a b ad b k, ut f e ad e l, c b ad b k, $ed a b ad a d, ut d c ad d h, igitur a b ad b d, ut d e ad c h. Sunt ergo duæ quantitates a b & d c, quæ eandem habent compo$itam proportionem ad g k & k b, & h l & l e, quare per præcedentem proportionis h l ad l e, ad pro- portinem g k ad k b, ut h l detracto prouentu d e, diui$i per propor tionem ad d e ad proportionem g k, detracto prouentu a b, diui$i per eandem proportionem ad ip$um a b. Si igitur nota e$t l e & h l, erit nota proportio re$idui h l detracto prouentu d e diui$i per pro- portionem, quare nota detractio g k detracto prouentu a b diui$i per eandem proportionem ad a b. E$t autem a b nota, & propor- tio nota, & ideo prouentus, & cum $it proportio nota, erit ergo re$iduum notum, cui addito prouentu fit tota g k nota, quod fuit demon$trandum.</P> <P>Propo$itio cente$ima octuage$imatertia.</P> <P>Spatium uitæ naturalis per $patium uitæ fortuitum declarare.</P> <P>Cum con$tet homines ca$u uiuere ægrotantes primum $æpe: <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> deinde uiuentes in aëre malo, & ip$um intempe$tiuis horis $ub- euntes tri$titijs, curis, uigilia, uenere, laboribus perperam $e excru- ciantes, tũ uerò immodico cibo & potu, & prauo, & $æpius, quàm oporteat, & intempe$tiuè, & malè præparato, & uario $e replentes, atque $ic alij ad $exage$imum, alij ad $eptuage$imum, rari octuage- $imo, rariores nonage$imo uel cente$imo anno ita moriun&ttilde;, ut non ca$u, neque ui aut morbo, $ed potius qua$i naturali quadam morte ab$umpti intereant: de quibus tantum e$t $ermo. Atque ut exem- plo commodiore utamur, capiamus annum octoge$imum, qui e$t terminus communis uitæ humanæ, non $olum no$tra ætate, $ed an- tiquo tempore etiam fuit, ut Dauid te$tatur in P$almis, in Cantico Moy$is: antea autem $i quis moriatur, non naturali morte, $ed ui morbi ab$umptus exi$timatur. Certum e$t, quod $i homo recta ra- tione uiueret, quod aliquanto diutius uitam extenderet, ne<01> enim negare po$$umus, cum in magnis exce$sibus maximè $ectionis ue- næ & curarum, quin homo euidentur uitam breuiorem efficiat: quod ergo euidenti$simum e$t in magnis exce$sibus, in paruis ean- dem habet uim licet occultiorem. Errorem autem in uita hunc ade$- $e perpetuum, qui$<01> intelligit qui no$tras actiones pen$itare uelit, cum $altem malam $equamur con$uetudinem: iam ergo proponan- tur iuxta dicta du&ecedil; line&ecedil; a b uit&ecedil; naturalis exqui$it&ecedil; recte longior & <foot>c d uitæ</foot> <p n=>205</p> c d uitæ quam is uicturus e$t, id e$t, annorum octuaginta, quam cõ- <marg>P<I>rop.</I> 179. E<I>t in cor.</I> 1. <I>&</I> 2.</marg> $tat e$$e breuiorem aliquanto. Et proponatur error quadrage$imæ partis in ip$a uita, quamuis $it longe maior: quotu$qui$<01> enim e$t qui non $altem edat bibat<03> quadrage$ima parte, plu$quàm opor- teat in comparatione ad naturam, id e$t, ut natura fatigatur quadra ge$ima illa parte amplius quàm debeat: idem dico de laboribus, cu ris, uigilijs, uenere. Sed hoc non e$t generale: habet<03> multas exce- ptiones inuicem pugnantes, ut tandem concludam non concoqui plenè po$$e, & ob id impurum manere, unde citò di$$oluitur, & ca- lorem etiam naturalem extinguit: at<01> etiam ob id, tum quia debi- tos labores, & multo minus ad perfectam ætatem perferre nõ po$- $unt, den$ari nequit & pingue$cere, ut duplici cau$a multo celerius re$oluatur, una etiam calorem extinguat. Sit ergo a e talis pars a b, qualis c f, c d. Cum ergo a b con$umi- <fig> tur in octuaginta annis, $emper $eruat proportion&etilde; cum uita contracta, quæ æqualiter ab$umitur: quia portiones illæ æquales $unt in minore inuicem $icut in maiore, & inæquales $eruant eandem proportionem, $umatur ergo a b annorum cclvij. men$ium v. & ab$umatur $emper quantitas æqualis octuage$ima a e, & quadrage$ima a b & re$iduorum.</P> <table> <row><col>A<I>n.</I></col><col>A<I>n.</I></col><col>Q<I>uad.</I></col><col>A<I>n.</I></col><col>A<I>n.</I></col><col>Q<I>uad.</I></col><col>A<I>n.</I></col><col>A<I>n.</I></col><col>Q<I>uad.</I></col><col>A<I>n.</I></col><col>A<I>n.</I></col> <col>Q<I>uad.</I></col><col>A<I>n.</I></col><col>A<I>n.</I></col><col>Q<I>uad.</I></col><col>A<I>n.</I></col><col>A<I>n.</I></col><col>Q<I>uad.</I></col></row> <row><col></col><col>257</col><col>20</col><col>14</col><col>168</col><col>32</col><col>28</col><col>106</col><col>25</col><col>41</col><col>65</col><col>27</col><col>54</col><col>36</col><col>6</col><col>68</col><col>13</col><col>23</col></row> <row><col>1</col><col>250</col><col>0</col><col>15</col><col>163</col><col>24</col><col>29</col><col>103</col><col>0</col><col>42</col><col>63</col><col>2</col><col>55</col><col>34</col><col>10</col><col>69</col><col>12</col><col>10</col></row> <row><col>2</col><col>242</col><col>30</col><col>16</col><col>158</col><col>21</col><col>30</col><col>99</col><col>17</col><col>43</col><col>60</col><col>19</col><col>56</col><col>32</col><col>16</col><col>70</col><col>10</col><col>38</col></row> <row><col>3</col><col>235</col><col>28</col><col>17</col><col>153</col><col>23</col><col>31</col><col>95</col><col>38</col><col>44</col><col>58</col><col>0</col><col>57</col><col>30</col><col>24</col><col>71</col><col>9</col><col>28</col></row> <row><col>4</col><col>228</col><col>33</col><col>18</col><col>148</col><col>30</col><col>32</col><col>92</col><col>23</col><col>45</col><col>55</col><col>22</col><col>58</col><col>28</col><col>34</col><col>72</col><col>8</col><col>19</col></row> <row><col>5</col><col>222</col><col>5</col><col>19</col><col>144</col><col>2</col><col>33</col><col>89</col><col>11</col><col>46</col><col>53</col><col>7</col><col>59</col><col>27</col><col>6</col><col>73</col><col>7</col><col>11</col></row> <row><col>6</col><col>215</col><col>23</col><col>20</col><col>139</col><col>18</col><col>34</col><col>86</col><col>2</col><col>47</col><col>50</col><col>34</col><col>60</col><col>25</col><col>19</col><col>74</col><col>6</col><col>4</col></row> <row><col>7</col><col>209</col><col>8</col><col>21</col><col>135</col><col>0</col><col>35</col><col>82</col><col>36</col><col>48</col><col>48</col><col>24</col><col>61</col><col>23</col><col>34</col><col>75</col><col>4</col><col>38</col></row> <row><col>8</col><col>203</col><col>0</col><col>22</col><col>130</col><col>25</col><col>36</col><col>79</col><col>34</col><col>49</col><col>46</col><col>16</col><col>62</col><col>22</col><col>11</col><col>76</col><col>3</col><col>34</col></row> <row><col>9</col><col>196</col><col>37</col><col>23</col><col>126</col><col>15</col><col>37</col><col>76</col><col>35</col><col>50</col><col>44</col><col>10</col><col>63</col><col>20</col><col>29</col><col>77</col><col>2</col><col>31</col></row> <row><col>10</col><col>191</col><col>1</col><col>24</col><col>122</col><col>9</col><col>38</col><col>74</col><col>0</col><col>51</col><col>42</col><col>6</col><col>64</col><col>19</col><col>9</col><col>78</col><col>1</col><col>29</col></row> <row><col>11</col><col>185</col><col>10</col><col>25</col><col>118</col><col>7</col><col>39</col><col>71</col><col>6</col><col>52</col><col>40</col><col>4</col><col>65</col><col>17</col><col>30</col><col>79</col><col>0</col><col>28</col></row> <row><col>12</col><col>179</col><col>25</col><col>26</col><col>114</col><col>9</col><col>40</col><col>68</col><col>15</col><col>53</col><col>38</col><col>4</col><col>66</col><col>16</col><col>13</col><col>80</col><col>0</col><col>0</col></row> <row><col>13</col><col>174</col><col>6</col><col>27</col><col>110</col><col>15</col><col></col><col></col><col></col><col></col><col></col><col></col><col>67</col><col>14</col><col>37</col><col></col><col></col><col></col></row> </table> <P>Vt corrigas tabulam, $cito quod numerus quadrage$imæ cum $uperiore annorum numero à leua componit numerum quadrage $imæ $uperioris $impliciter, aut abiectis quadragenarijs. Velut è regione trige$imi anni, $unt anni nonagintanouem, quad. 17 è directo anni 29, $unt anni 103, quad. 0. ad de 17 quad. ad 103 fit 120, abijce 40 ter, nil $upere$t, & ita nulla e$t quadragenaria è regione 29 & 103.</P> <foot>S Rur$us</foot> <p n=>206</p> <P>Rur$us cum deuenimus ad annos 79, $uper$unt $olum 28 qua- dragenariæ, & e$t minus anno, $ed hoc fieri ob fractiones & nume- rorum partes, & etiam $i e$$et aliquis error, e$$et magis ad augen- dum numerum annorum 257, men$ium $ex quàm ad diminutio- nem, ideo non curaui de exacta ueritate.</P> <P>Præterea ex hac tabella digno$cis, quod in ultimis annis parum pote$t produci uita in comparatione ad primos, ueluti in 60 anno $uper$unt anni 20, ex uita ordinaria, ex exacta paulo plures quàm 25, $cilicet 25 cum dimidio. Ergo à 60 anno non poterit per quam- uis cu$todiam homo producere uitam plus annis quin<01> cum di- midio. Et $i dicas tunc cu$todia maximè opus e$t, & magis quàm unquam, re$pondeo quod uerum e$t, $ed non ad producendum ui- tam, $ed ne in morbum incidas: nam ex quocun<01> morbo homo ab ea ætate perit, cum habeat adeò imbecilles uires. Ex hoc patet, quod Alexius Cornarius, patritius Venetus, cum incœpi$$et cu$to diam anno 36, cum po$$et uiuere 44 annis, iuxta rationem uit&ecedil; com munis, potuit producere eam annis 79, igitur annis 25 plu$quàm ui xi$$et uita communi etiam quòd fui$$et $anus.</P> <P>Si ergo aliquis $it uicturus centum annis uita communi adde- mus eodem modo trige$imamnonam partem, id e$t quadrage$i- mam partem, & quadrage$imam quadrage$imæ huic numero, & unum amplius, & habebimus numerum ut infrà.</P> <table> <row><col>A<I>n.</I></col><col>A<I>n.</I></col><col>Q<I>uad.</I></col><col>A<I>n.</I></col><col>A<I>n.</I></col><col>Q<I>uad.</I></col><col>A<I>n.</I></col><col>A<I>n.</I></col><col>Q<I>uad.</I></col></row> <row><col></col><col>257</col><col>20</col><col>87</col><col>314</col><col>33</col><col>94</col><col>383</col><col>11</col></row> <row><col>81</col><col>265</col><col>3</col><col>88</col><col>323</col><col>34</col><col>95</col><col>394</col><col>3</col></row> <row><col>82</col><col>272</col><col>34</col><col>89</col><col>333</col><col>5</col><col>96</col><col>405</col><col>6</col></row> <row><col>83</col><col>280</col><col>32</col><col>90</col><col>342</col><col>26</col><col>97</col><col>416</col><col>27</col></row> <row><col>84</col><col>289</col><col>0</col><col>91</col><col>352</col><col>16</col><col>98</col><col>428</col><col>13</col></row> <row><col>85</col><col>297</col><col>16</col><col>92</col><col>362</col><col>16</col><col>99</col><col>440</col><col>11</col></row> <row><col>86</col><col>306</col><col>0</col><col>93</col><col>372</col><col>27</col><col>100</col><col>452</col><col>22</col></row> </table> <P>Et ex hac tabula digno$cemus quantum qui$que po$sit uiuere, quouis tempore ætatis $uæ, illud intelligendo quod non e$t eadem men$ura omnibus, ut neque uitæ ordinariæ, nec magnitudinis cor porum, nec ingeniorum, nec eiu$modi in aliquibus uita decre$cit per uige$imam partem, hic $cilicet qui inordinatè uiuunt, alijs uix $e xage$ima, quan<08> pauci$simis. Hic ergo numerus maximè concor- dat cum experimentis duobus, &qtilde; apparuerunt parũ ante t&etilde;pora no $tra, $cilicet Ioannis de t&etilde;poribus, qui uixit annis 361, & Richardus de temporibus, annis 400. Et ambo fuerunt milites Caroli Ma- gni, nam non potuerunt omnino pro$picere uitæ rationi exqui$i- ti$simæ. Referũt etiam in India no$tris t&etilde;poribus uiuere ad centum <foot>quinquaginta</foot> <p n=>207</p> quinquaginta annos, cuius cau$am transferunt in aërem: ego po- tius in uitæ genus, ab$tinent enim carnibus, ouis, ca$eo & uino, u- tuntur<03> fructibus tantum, & uiuebant $ine $olicitudine ulla & cu- ris. Vnde rectè in$inuatum e$t etiam ultra hi$toriam, quod Adam e$$et perpetuò uicturus, $i non degu$ta$$et fructum arboris boni & mali, id e$t, quod mors nobis obrepit ob, $olicitudines & curas. A- uenzoar autem cum uixerit multis cum curis, & fuerit in carcere Hali, & ab eo per iniuriam uexatus, & natus in malo aëre, $ola ratio- ne uictus produxit uitam ad annos 135, ut te$tatur Auerroes, quid euenturum erat, $i in bono aëre educatus nihil graue, & adeò diu- turnum expertus fui$$et:</P> <P>Pro u$u autem huius & $uperioris tabulæ, $i quis proponat iu- uenem ex $tirpe eorum, qui uiuunt $exaginta annis, iam natum de- cem & $eptem annos, uelimus<03> $cire quantum uiuere po$sit, uide è regione 20 annorum in primo ordine, & habes annos 139. Quad. 18. & ab hoc numera 17 annos, & habebis annos 37 è regione, quorum $unt anni 76. Quad. 35, id e$t, men$es 10, dies 15. uel iunge 17, numerum annorum exactorum, & 20 numerum annorum defi- cientium ab 80, fiunt anni 33, ut prius, è quorum regione habet an- nos 76. quad. 35.</P> <P>At $cio multos qui parum con$yderatè hæc legunt, obiecturos, primum quod ne<01> mihi, neque ulli alij potui, uel ad centum uel ad nonaginta annos uitã producere. Secundũ, &qring;d $i uita humana e$$et eiu$modi, naturaliter e$$et ut in pluribus: at uix inuenire licet aliqu&etilde; qui exce$$erit cente$imumuige$imum annum. Et maximè cum $cri- ptum $it: Non $piritum meum in carne ultra centum uiginti annos, & loquitur Deus. Videtur etiam nece$$e hoc uolenti, cupere totam uitam $ub incerto fine, & non uacare, nec negotijs nec uoluptati, quæ $unt duo illa præcipua, quibus uita no$tra con$tat, & maximè amittere bona, adeò $ecura ob tam leuem & inanem $pem. Ab$ur- dum etiam e$$e hoc quod latuerit tot præclaros medicos at<01> phi- lo$ophos, quorum nullus de hoc $ermonem fecit. Hæc & huiu$mo di $unt qu&ecedil; mihi obij ci po$$e $entio. At rogo quid admirabilius e$t, an $olem e$$e plus centies et $exagies terra ac mari, an homines tam- diu po$$e producere uitam? Et plures imperito hoc quam illud cre dituri $unt: & tamen res illa ita $e habet, nec apud $apientes dubia e$t: nedum incredibilis. Similiter quòd corpus adeò tenue, debeat adeò celeriter circumferri, ut in uno ictu pul$us debeat peragere $patium bis mille quingentorum millium pa$$uum, & tamen & il- lud demon$trari pote$t euidenti$simè. Ergo ut ad obiecta re$pon- deam $erò mihi hoc inuenire cõtigit, infeliciter natus, peius educa- <foot>S 2 tus, &</foot> <p n=>208</p> tus & imbecilli corpore ac natura, quod aliâs dixi, nec for$an in quibu$dam $ufficiat educatio ab initio, $ed requiritur $ucce$sio, qualis fuit olim per multas ætates, $ic progenerantur gigantes & homines ad miraculum u$que, docui etiam exacta media ætate, hoc uix fieri po$$e. Contingunt præterea multa impedimenta. Sufficit nobis $cire quid $it in natura hominis, non quæro modò quomo- do faciendum: nec e$t præ$entis in$tituti, quin etiam ueri$imile e$t ad hoc e$$e uiam quandam compendio$iorem, quæ minimè la- tuerit antiquos, maximè Hebræos. Et for$an etiam hoc no$tro tem- pore haberi po$$et quamuis lateat. Vnum e$t certum, oportere ab initio uitæ (qui uiam hanc exqui$itam, quam hic trado, $equi uo- luerit) con$tituere formam uictus, & tum maximè contractam, quoniam (ut ui$um e$t in tabula) ex minimo errore, & breui tempo re plurimum temporis uitæ perit. Oportet autem multa ade$$e, cor pus moderatè $anum, & medio criter $altem con$titutum, in$tituto- rem $apientem, obedientiam pueri, & per omnes ætates cum pati- entia $umma commoda diuitiarum, & bonum aërem & fortunam blandientem no$tro propo$ito, ne quis ca$us in tanto tempore ad- uer$us nos impediat, ob tot & tanta quæ nece$$aria $unt, & a$siduè, ideo res hæc fabulo$a ui$a e$t ad hanc u$<01> diem, tum maximè quod nemo eam docuerat. De dicto Moy$is non laboro, cum $imus me- dici ac philo$ophi non theologi. Quin etiam po$t hæc uixit Abra- <marg>G<I>en. ca.</I> 25.</marg> hamus annis clxxv, I$aacus autem clxxx, Iacobus cxlvij, $ed non la- <marg>C<I>ap.</I> 35.</marg> boro de his, uerùm relinquo illa $apientibus: melius e$t ergo ut de- <marg>C<I>ap.</I> 47.</marg> mon$trationem adducam huius, cum experimento etiam coniun- ctam. Con$tat enim quod humidum pingue euane$cit per ætates, $eu à calore innato, $eu ab aëre con$umatur, & quod humidum pin- gue purum, ac den$um tardè ab$umitur, $icut apparet experimen- to de oleo & $epo $alitis, quæ durant longiori tempore, quam $i nil tale admi$tum habeant hæc pinguia, $imiliter aqua quadruplo ce- lerius, imo longe uelocius ab$umitur oleo in ua$e feruente. Et ita de pinguedinibus uariorum animalium de ligno iunipero, quod referunt durare in annum, cur alia non po$sint ad $ex dies. Cer- tum etiam e$t, quod coctio conden$et, & e$t Philo$ophi in quar- to Metheororum. Si ergo coctio perfecta fiat, & puri$simum hu- midum re$tauretur, dubium non e$t, quin homo po$sit uiuere $ex- cuplo plus aut etiã octuplo: quia cùm res peruenit ad quendã ter- minum, tunc acquiritur perfectio qu&ecedil;dã ultra omn&etilde; fidem, $icut ui- demus de auro, &qring;d pror$us etiã longo tempore ab ignibus nõ ab$u mitur: adeò ut liceat dicere, for$an non e$$e contra rationem, quod detur humidum, quod nunquàm à calore naturali ab$umitur, quia <foot>non</foot> <p n=>209</p> non e$t par ratio de auro & humido humano, nam in auro nõ e$t ca lor ni$i ab exteriore igne, $ed in humido no$tro e$t calor intus, & $e- cundum $ub$tantiam, ut $altem habeamus experimentum longi$- $imæ uitæ & humidi quod uix à calore, & non ni$i multis in $eculis ab$umatur. Atque hæc (ne incurramus irri$ionem Galeni) de Phi- lo$opho qui pollicebatur perpetuitatem uitæ, quanquam non ob id refugiam hoc, ut negem po$$e hominis uitam e$$e perpetuam, quod Galenus Philo$ophũ hoc dicentem irri$erit, $ed quòd uidea- mus omnia $ublunaria interire, quòd $ciamus omne compo$itum debere di$$olui, quoniam compo$itio $it accidens, & accidens e$t medium inter ea quæ $unt & non $unt: loquor de huiu$modi acci- dentibus quæ adueniunt. Demum, quoniam calor ille $it in ip$o hu mido: ideo cum h&ecedil;c non animaduerterit Galenus, potius fuit uates in irridendo, quàm $apiens, ut authoritate eius moueri debeamus. Hanc coctionem non animaduerterunt medici, $ed $olam illam bo- nam qu&ecedil; e$t cau$a $anitatis, quæ $tat cum uigilia, labore & ciborum multitudine, cùm illa exacta non $tet ni$i cum optimis & paucis ualde cibis, quiete ac $omno. Et ideo $unt $ex genera coctionum, di- co quod ad perfectionem attinet corrupta, imperfecta, imperfecta morbo$a, imperfecta quæ emendari pote$t, has omnes uitare do- cent medici: bona quæ e$t cum longa $anitate, cui medici $tudent: ualde bona quam per umbram qua$i cognouerũt, & exacta quam nec per $omnium quidem uiderunt, quæ $ola e$t cau$a tantæ lon- gitudinis uitæ, cum tamen nunquam fuerit uel admodum parum interrupta. Hoc autem inter cætera o$tendit experimentum de ele- phantis, quos Ari$toteles ducentis annis uiuere con$tanter affir- mat, alius dixit e$$e trecentis. Vt con$tet iam in natura animalium & in genere caloris habentis magnum motum, & $ub$tantiam te- nuem hoc inueniri po$$e, ut excludamus plantas de quarũ uita lon- gi$sima $atis con$tat, $ed quia caret motu euidenti calor in illis, & $ub$tantia e$t cra$$a animalium comparatione, non laboro. At de elephanto omnes confitentur quòd $it omnium ingenio $i$simum, adeò ut multi homines illo indu$tria & cognitione inferiores e$$e uideantur. Ne<01> etiam ueri$imile e$t quod natura hominem fecerit hac in parte illo inferiorem, præ$ertim cum de nullo alio animali apud Ari$totelem dubium $it, & ubi modo aliquod dubium e$$et propter querelam Theophra$ti, & illud quod $olet prædicari de ceruis, tanto magis ueri$imile e$t indignum fui$$e hominem conce- dere tot animalibus in diuturnitate uitæ. Quam obrem cum hæc tractatio ad libros de tuenda Sanitate $pectaret, homines ad eos re- <*>ego, nam ob id illos con$crip$i quòd uiderem Galenum nec hoc <foot>S 3 uidi$$e</foot> <p n=>210</p> uidi$$e nec multa alia, $ed eorum loco longas & inutiles di$putatio- nes inter$erui$$e. Verùm etiam, quoniam eam tractationem diuul- $it, ut alia cogamus quærere in libris de Alimentis, alia, de cibis bo- ni & mali $ucci: tum uerò & tractatio ip$a eduliorum e$t imperfe- cta, & multa etiam deficiunt circa genera: in quo e$t ex cu$andus ob uarietatem regionis & ætatis. Dee$t præterea maxima pars, quæ nec ibi nec alibi habetur, $cilieet, de ciborum præparatione. Quod etiam hæc latuerint tot præclaros uiros, quid mirum? cum Hippo- crates uixerit $eculo illo agre$ti, in quo non e$t mirandum, quod ali quid, pauca quædam & ab$tru$a omi$erit, $ed quod tam multa tam bene inuenerit, ut fuerit, $icut de Pindaro dicitur, imò longè uerius quam de Pindaro inimitabilis. De Galeno quid mirum, qui non ni$i ueterum $cripta collegit, at<01> utinam $alt&etilde; bene. De Ari$totele is multa inuenit $uo Marte, & Theophra$tus longè plura. De alijs, dico tam medicis quàm philo$ophis, hoc e$t, quod queror, quod in $patio pene duorum millium annorum, non hoc quod ualde re- conditum erat, $ed nec leue ullum experimentum, uel naturæ arca- num, uel uitæ $alutare auxilium inuenerit. Sed litigant de nugis & rebus inutilibus, & etiam qu&ecedil; $ciri nõ po$$unt, ac plerun<01> non $ine magna impietate. Quod uerò nece$$e $it amittere uoluptatem, & negocia prætermittere uolenti hanc uitam longam adipi$ci, quæ po$tmodum etiam ualde in certa e$t: dico quod quantum ad uolu- ptates & negocia, non e$$e nece$$e, $ed $olum $uperfluas res, & dam no$as & irritas, quas etiam philo$ophi & ciuitatum in$titutores, & morum cen$ores docent debere uitari, etiam nullo propo$ito emo- lumento, at reliqua cõ$uetudo efficit nõ $olum grata & tolerabilia, $ed etiam iucunda. De incerto fine, quid e$t certum apud homines, ni$i hoc nihil certum e$$e? Verum tamen $i quis re$piciat ad præ- mium tam $ingulare e$t, & nobile atque utile, ut non lu$erit operam immeritò, quicun<01> cum $pe tam illu$tris commodi, & tam exigua iactura rerum, ac minore periculo $e huic aleæ experiundæ commi- $erit. Cum, $i quis hoc ip$um adipi$catur, uerè dici po$sit $ummum bonum adeptum e$$e: Non $olum compos factus diuturnitatis ui- tæ, $ed cum illa tot uoluptatum, quæ in longo tempore percipiun- tur $cientiæ tot rerum, quas non ni$i temporis longitudo o$tende- re pote$t, tot denique ca$us uidere tum opum in crementum, quod qua$i certi$simum e$t in longa ætate & u$u $apientia & authoritate plena, adeò ut fermè nece$$e $it ad principatus $peciem deuenire, qui tamdiu uixerit, tum gloria ip$a in comparabili. Hæc autem ma- xime accidere nece$$e e$t, quod ut ui$um e$t, quanto longior fuerit ætas eo firmiores etiã $unt illius partes quæ ad mortis tempus ap- <foot>propinquant</foot> <p n=>211</p> propinquant pari ratione, ut ex tabella prima deprehendere licet, quòd $i cum hoc $obolis felicitas accedat, non ob$curum e$t huiu$- modi po$$e dici ultimam hominis felicitatem apud eos, qui huma- nas res aliquid e$$e putant. Accidunt autem hæc $ponte in $eculo- rum renouationibus, cum humanum genus con$umitur, $eu qui $u per$unt ob robur, $eu ex terra geniti, ut dubitat Ari$toteles. Ha$en credit, tum ob aëris puritatem, & maximè quòd alterutro modo ex calidis regionibus & $ublimibus locis homines reparari nece$- $e $it, tamen etiam ob uictus $implicitatem, cum in altera $uper$int $oli pi$ces, in altera ne hi quidem, ut in Arcanis demon$tratum e$t. Atque etiam ob curarum ab$entiam: $iquidem homines illi gau- dent, reges ex agricolis haud dubiè terrarum facti, ac qua$i $ecu- ri mole$tiarum ad hanc ætatem perueniunt longa $patia tempo- ris, & propagandæ $obolis habentes, ut felici$simè uiuant, re$tituti ex optimis quibu$cunque aureæ illi ætati, non $olum ob uitæ $yn- ceritatem atque $plendorem, $ed etiam longitudinem $ic appella- tæ. Quæ finem habuit dum $atis (uti cœperunt) à Saturno in u$um traductis: unde etiam falcis in$igne accepit. Eadem tamen ætate pauci$simi ex infinitis diutius quam no$tra uiuere cœperunt, cæte- ri omnes minus quam nunc, quòd neque ue$titus corporum ab in- undatione parta, neque aëris puritas à $qualoribus maneret, & edu lia multo pauciora e$$ent hominibus & incondita.</P> <P>Propo$itio cente$imaoctuage$imaquarta.</P> <P>Quæcunque grauia in uorticibus aquarum merguntur, in me- dio uorticis primum uer$a mergantur.</P> <P>Hanc proponit Ari$toteles, $ed non quantum nece$$arium e$t <marg>C<I>o</I>m.</marg> explicauit, unius enim quæ$iti, id e$t, primi multiplicem rationem reddit. Sed neque illam perfectè, quod amborum cau$a una $it, ac coniuncta, $ic ergo uortex, cuius extremus circulus a b centrum in aquæ $uperficie c <fig> capacitas uorticis d e, ut aqua feratur per $patium d e f g, h k in maiore circulo na- uis, aut aliud graue, quod natura $ua non e$$et de$cen$urum (ut fal$ò exponitur de lapide, nam lapis, nec reuoluitur, nec fer- tur ad d e circulum intimum, $ed præoccu- pat ex grauitate $ua fertur in imum) dico &qring;d h k prius circumuoluetur, in de trahetur ad d e, & ubi fuerit ibi de$c&etilde;det, $ed $i leuius $it nece$$ariò peruenet ad c antequam de$cendat. Cum ergo aqua <foot>S 4 grauis</foot> <p n=>212</p> grauis $it tota, fertur ad circulum d e, ut de$cendat. Sed & quia de- $cendit per d e f g, & magis ex centro e, ideo omnes partes circumui cinæ trahuntur ad d e, & ad e centrum $uperficiei uorticis, tanquàm ad centrum, ut de$cendant, at<01> id primum. Cun<03> lignũ de$cendat partim <04>pria grauitate, partim attractũ, $i fuerit leue corpus, ut plu- ma, quod natura $ua nõ de$cendat, nece$$e e$t ut de$c&etilde;dat $ola ui at- tractionis, qu&ecedil; nõ e$t tanta in toto d e quãta in e, igi&ttilde; oportet ut pri- us perueniat ad c quàm de$cendat, quia contra naturã propriã de- $cendit ui attractũ. Cum uerò pars quæ in directo c e$t, uelo ci$simè de$cendat, conantur omnes partes aqu&ecedil;, qu&ecedil; circa $unt de$cendere, et cũ nõ po$sint $imul peruenire, mouentur ad illud linea, dico quia habentinitium in e, circulus autem nullũ habet initiũ, igitur uiden- tur moueri circulariter. Sed cum in circulo partes à c&etilde;tro mouean&ttilde;, uelo cius mouebuntur, uelocius in elica a b quàm l m, & l m quàm n o. Et ob has duas cau$as mouebuntur uelocius partes quæ $unt circa c, quàm di$tantes ab eod&etilde;, tum quia in medio, tũ quia tardius mouen&ttilde; motu elice. Declaratũ e$t. n. $uperius quod unus motus in eod&etilde; mobili aliũ impedit & retardat. Cum ergo h k $it in $pacio a b l m & aqua rapia&ttilde; motu, dico ad d e mouebit ad d e, & motu dico qui uidetur circularis, nam mouetur motu eius à quo $u$tine&ttilde;. Mo- uetur etiam ad d e, quoniam pars illa e$t humilior, nam $emper de- $cendit, omne aũt quod mouetur partim e$t in termino, à quo, par- tim ad quem, ideo partim iam aqua illa cum de$cendat humilior e$t locus, igitur nauis ad illũ locum feretur. Tertio, quia latus k impelli tur, in maiore circulo, ideo maiore impetu <fig> quàm h, quare de$c&etilde;det & circulo mouebi- tur, nã $i h quie$ceret palã e$t, &qring;d nauis circu lariter mouere&ttilde;, $ed h fungitur uice quie$c&etilde;- tis, quia tardius moue&ttilde; quã k, igi&ttilde; k moue- bitur ad d e & motu circulari aut participe eius. Quarta cau$a e$t, quoniam h cupit de- $c&etilde;dere, ut graue. ergo ferri, ubi minus impe diatur à motu uiol&etilde;to, at minus impedi&ttilde; in circulo, de qua a b, qa a b cũ maioris $it ambitus a qua in co ulterius fer&ttilde; quã in d e, ob hæc oĩa & in mari & fluminibus ac lacubus cũ na ues fuerint in ambitu uorticis iã rapiun&ttilde; ad illũ, & circulari motu: is<03> motus e$t indiciũ $ubmer$ionis, quoniã indicat aquã, ibi propè de$c&etilde;dere rectà uer$us c&etilde;trũ, & ob id prud&etilde;tes naut&ecedil; magna ui uen toru & remorũ $&ecedil;pe $eruãt $e, pr&ecedil;o ccupãtes motũ elicũ recto motu. Cur aũt aqua &qtilde; e$t in a, non potius fera&ttilde; per obliquam lineam ad d uel g, <08> ad e uel c inde ex illis ad d uel g, præ$ertim cũ ad$it breuior <foot>a e &</foot> <p n=>213</p> a e & e d et a g breuior a e et c (ut docet Euclides) cau$a e$t quia aqua quæ de$cendit per e d & c g maiore impetu de$cendit quàm per ad uel a g ut demon$tratum e$t, ergo non poterit quæ e$t in e d uel e g loco dimoueri, nec cedere aquæ per obliquam lineam de$cendenti.</P> <P>Propo$itio cente$imaoctuage$imaquinta.</P> <P>Cur homo $edens quanto altius $edet, & quanto magis crura ad femora & femora ad pectus reclinata habet, facilius con$urgat, cum tamen hæc oppo$ito modo inuicem $e habeant, declarare.</P> <P>Huius $ecundam partem Ari$toteles in Mechanicis propo$uit, <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> $ed neque $ub adiecta dubitatione, $edens n <fig> altius a b pectus, b c femur, c d crus eiu$- dem uel æqualis, pectus g h, femur h k, crus k l longior b f quam h n facit, ut facilius $ur- gat a b c d quàm g h k l, & tamen anguli a b c & b c d $unt maiores g h k & h k l, qui- nimo cum uolumus $urgere, contrahimus c d & k l propè & è re- gione a b, igitur patetratio $ecundi, propior n e$t c d ip$i a b quanto angulus a b c minor e$t, cui æqualis e$t b c d. Cum ergo quanto pro pior e$t c d ip$i a b eo facilius $urgat, quoniam particeps magis di- $po$itionis per quam $urgit, propior autem quo anguli $unt acuti- ores, ideo facilius exurgit homo, quo contractiora $unt crura, & an guli femorum ad crura & pectus minora. Hucus<03> Ari$toteles & bene.</P> <P>Sed cur rur$us contractiora dum $unt crura, homo facilius exur- git? Proponantur c f contracta ad perpendiculum, & in clinetur b a in o ut fiant b o & f e equidi$tantes, ita enim commodius $urgimus: nec aliter qui $unt imbecilliores: quia ergo b e$t in directo f, ideo mu$culi femoris inferiores ob crus, & $uperiores ob pectus $unt magis ten$i & anteriores cruris itidem, ideo maiore ui trahunt par ticulam. Vnde manente fixo f & capite etiam & pectore grauitate $ua adiuuantibus, facilius homo exurgit quam ad latos angulos cum contractio, ut dixi, mu$culorum et inclinatio partium $uperio- rum fiat maior.</P> <P>Rur$us pro prima parte problematis, dico quòd quanto altior e$t b f tanto facilius exurgit, nam $upponatur angu- <fig> lus reflixionis a h e æqualis a h c, & b c k æqualis h k f, igitur cum b f $it breuior b f, erit h k breuior b c & f k, f c. quare b c femur, & f c crus erunt uiolentius exten- $a quàm in $itu h k, k f ergo, mu$culi fa cilius erigent $edentem altiore loco quàm humiliore, quod erat de- mon$trandum.</P> <foot>Propo-</foot> <p n=>214</p> <P>Propo$itio cente$imaoctuage$ima$exta.</P> <P>Si fuerit proportio primæ & $ecund æ quantitatis ad tertiam, ut primæ & quartæ ad quintam, fueritqúe quarta $ecunda maior, erit proportio quart&ecedil; ad quintam maior quàm $ecundæ ad tertiam. Quod $i fuerit maior quart&ecedil; ad quintam, quàm $ecund&ecedil; ad tertiam, nece$$e e$tquartam $ecunda e$$e maiorem.</P> <P>Sit proportio a & b ad c, ut a & d ad e, $it<03> d maior b, dico maio- <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> rem e$$e proportion&etilde; d ad e quàm b ad e, quod <fig> $i maior $it proportio d ad c quàm b ad c, dico d e$$e maiorem b. Quoniam enim e$t d e$t maior b ad d e$t maior a b per commun&etilde; animi $enten- tiam, igitur cum $it proportio a d ad e ut a b ad c, erit e maior c, igitur minor proportio a ad e quam a ad c, at propor- <marg>P<I>er</I> 14. <I>quin ti</I> E<I>lem.</I></marg> tio totius a d ad e e$t æqualis proportioni a b ad e, igitur ex com- <marg>P<I>er</I> 8. <I>eiu$- dem.</I></marg> muni animi $ententia maior proportio d ad e, quam b ad c. Rur$us, $i maior e$t proportio d ad e quàm b ad c, igitur per communem animi $ententiam maior e$t a ad e quàm a ad c, igitur e maior quàm <marg>P<I>er</I> 10. <I>quinti</I> E<I>lem.</I></marg> c, $ed d maiorem habet proportionem ad e quàm b ad c, igitur d <marg>P<I>er eadem $æpius repe- titam.</I></marg> maiorem quàm b.</P> <P>Propo$itio cente$imaoctuage$ima$eptima.</P> <P>Si ei$dem uiribus & eadem proportione cum auxilio ponderis tertij, quartum pondus moueatur quibus $ecundum auxilio primi, nece$$e e$t quartum pondus tardiùs & maiore cum difficultate moueri quàm $ecundum.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Maneat prior figura, & $int uires a quæ cum pondere b moue- ant c pondus, et cum d pondere eadem uires $ub eadem proportio- ne moueant e, $it autem pondus d maius quàm b, dico e tardius & difficilius moueri quàm c. Nam ex præcedente e erit maius quàm c, & proportio d ad e maior quàm b ad c, & proportio a ad e minor quàm ad c, tum ergo propter uectem magis pre$$um, tum quia d non mouet e, ni$i motum ab a, nece$$e e$t ut tardius & maiore cum difficultate admoueat e quo a b mouet c. Et ideo eo perueniri po- terit ab$que dubio, ut a b moueat uelociter e & a d, nullo mouente. Quia hoc accidit cùm d non mouet c ni$i quia motum ab a.</P> <P>Propo$itio cente$imaoctuage$imaoctaua.</P> <P>Si uires aliquæ moueant cum ponderibus aliqua pondera, ut compo$ita proportio $it eadem proportioni uirium & duorum ponderum mouentium aggregatum æquale duorum ponderum, ubi maior fuerit partium inæqualitas, ibi erit maior difficultas.</P> <P>Sint uires a, & aggregatum ponderum b c & d e æqualia, & a <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> cum f & g moueat b & c $ub proportionibus componentibus ean- <foot>dem</foot> <p n=>215</p> dem proportionem, quam componunt proportiones a & h mo- uendo d & a, & k mouendo e, & $it maior diffe- <fig> rentia ponderis e ad d quàm c ad b, dico quod maiore cũ difficultate mouebuntur d & e quàm b & e. Nam cũ differentia e & d $it maior quàm <marg>P<I>er præce- dentem.</I></marg> c & b, & d e & b c $int æqualia, erit e maius c, igi- tur e difficilius mouebitur ab a & k quàm c ab a & g. Itidem quia e tanto maius e$t c, quanto b maius e$t d, & proportio a k ad e & a h ad d, conficiunt proportio- nem a g ad c & a f ad b, erit ut motus d e $int tardiores & difficilio- res motibus b c, per regulam dialecticam, nam difficultas motus e $upra difficultatem motus c, e$t maior quam difficultas motus b $upra difficultatem motus d, igitur difficultas motus d & e, maior e$t difficultate motus b & e, quod erat demon$trandum.</P> <P>Propo$itio cente$imaoctuage$imanona.</P> <P>Si pondus minus ad longitudinem maiorem $ub æquali pro- portione coaptetur, facilius deor$um trahetur quàm quod maius e$t & propius.</P> <P>Sit $itula aquæ f annexa tigno <fig> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> in e & ad minuendum pondus ad datur ex aduer$o elongius $eu uincatur pondus a, dico quod cõmo dius erit quàm $i &ecedil;quale ad grauitatem addatur b proprius in e, nam quia b &ecedil;quiponderat in d ut a in e, & homo trahens ex e plus pote$t quàm ex d, igitur fa- cilius trahet ex e quam d. Et quo- niã graue minus ponderat quan to magis di$tat à medio, licet mo- ueat magis, ergo inclinatum ad <marg>P<I>er</I> 45.</marg> medium, cum ergo moueatur <marg>P<I>ropo$.</I></marg> uelocius ex e quam d, & $emper <marg>P<I>rop.</I> 109.</marg> uelocius de$cendendo in com- paratione a g h, igitur $emper magis & magis uelociter ex e quàm d ut $it duplex incrementum & comparatione c e ad c d & de$cen$us ad de$cen$um in utro<01> & $imiliter in reditu, quia facilius impelletur $ur$um e quàm d per primam rationem.</P> <P>Propo$itio cente$imanonage$ima.</P> <P>Si fuerit primum graue minus $ecundo, & $ecundum minus ter- tio, proportio autem primi ad $ecundum multo maior quàm $ecun <foot>di ad</foot> <p n=>216</p> di ad tertium, po$sibile erit propo$itis uiribus ei$dem addere pon- dus $ecundo, utip$um & tertiũ moueantur facilius ab ei$dem uiri- bus, & primo uel $ecundo quam antea.</P> <P>Sit a põdus minus, c maius, proportio a ad b multo maior quàm b ad c, uires d, & d cum a moueat b & cum b mo <fig> ueat c, dico quòd poterit addi pondus ad b ut d cum a moueat b, & d cum b moueat e maiore fa- cilitate componendo proportiones quam antea: Cum enim fuerit proportio d b ad c minima, quãtumcun<03> moueatur b facilè ab a d <marg>P<I>er</I> 188.</marg> plus refert difficultas c moti a b d: igitur cum addito pondere di- <marg>P<I>er</I> 187.</marg> midio quod a $uperat b omnino uincat a d ip$um b, cum eo quod additum e$t, & tanto minor $it difficultas motus c a b d cum ponde re addito, $equitur ut minor $it difficultas motus b cum pondere addito a b a d, & motus c à b cum pondere addito & d quàm b & e ab a & b cum uiribus d.</P> <marg>Q<I>uæ$t.</I> 28</marg> <P>Ex hoc patet quod qui interpretati $unt Ari$totelem, cum non po$sit nec intelligi nec demon$trari, fucum fecerunt legentibus: ni- hilominus hoc illis debemus, quod $i Phrynis non fui$$et, Timo- theus non fui$$et, nam ni$i illi quod $ciuerunt protuli$$ent in medi- um, ego for$an aut illa non intellexi$$em aut neglexi$$em. Ita<01> & re- liquas habes à nobis expo$itas licet non adeò diligenter, & mo- dum huiu$modi exponendi. Subij ciemus autem et hanc, ut obiect&ecedil; quæ$tioni, quantum nerui $it ($i pœnitus quis res $equi uelit, non addictus nimis authoritati ueterum ut pedem figere uelit, ubi illi res uix tactas reliquerunt) in telligamus.</P> <head>SCHOLIVM.</head> <P>Vocatur autem hæc proportio auxiliaris. Cun<01> fuerit &ecedil;qualis d & a ad b ut d & b ad e, dicetur auxiliaris æqualis.</P> <P>Propo$itio cente$imanonage$imaprima.</P> <P>Cum fuerint duo pondera & uires duxeri$<03> aggre gatum ex ui- ribus & minore pondere in maius, addideris<03> in$uper quãtum e$t productum dimidij uirium in $e latus aggregati detracto dimidio uirium, dicetur pondus auxiliare æqualis proportionis.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Sint pondera b minus, c maius, & ducatur aggre- <fig> gatum ex a uiribus & b minore pondere in e, & ei addatur quadratum dimidij a, dico quod radix $eu- latus huius detracto dimidio a e$t pondus auxiliare æquale, $it productum a b in e $uperficies & quadra- tum dimidij a $it e, ita quod tota d e $it $uperficies quadrata, cuius latus $it f g: f h autem dimidium a di- co h g e$$e pondus auxiliare æquale. Quia enim f g <foot>quadra-</foot> <p n=>217</p> quadratum e$t æquale quadratis g h, h f & duplo g h in h f, & qua- <marg>P<I>er</I> 4. <I>primi.</I> E<I>lem.</I></marg> dratum fh e$t &ecedil;quale e $uperficiei, erit quadratum h g minus $uper- ficie d in duplo g h in h f, quare productum a b in cerit &ecedil;quale qua- drato g h in $e & a, nam duplo g h in h f & iam duplum g h in h f e$t &ecedil;quale producto g h in a, quia a e$t duplum h f, igitur qualis e$t pro <marg>P<I>er</I> 16. <I>$ex ti</I> E<I>lem.</I></marg> portio a b ad g h, talis g h & a ad c, igitur per definitionem datam g h & quantitas grauitatis auxiliaris æquale.</P> <P>Ex hoc manife$tum e$t, quod $i fuerit datum pondus tertium au- <marg>C<I>or</I>^{m}. 1.</marg> xiliare, quod $ciemus quantum addendum uel detrahendum ut fi- at pondus auxiliare æquale, nam inuenta g h $i fuerit k maior adde- mus quod deficit, & $i minor quàm k detrahemus ex k quod e$t $uperfluum.</P> <P>Et rur$us inuenta g h ut perficiamus pondus &ecedil;quale, augebimus <marg>C<I>or</I>^{m}. 2.</marg> aliquanti$per, ut fiat æqualis ad unguem difficultas in motu: iuxta <marg>P<I>rop.</I> 187.</marg> doctrinam $uperiùs d atam.</P> <P>Propo$itio cente$imanonage$ima$ecunda.</P> <P>Si ex medio diametri linea ad perpendiculum erigatur ad circu- li peripheriam: ex eo puncto aut&etilde; quotlibet lineæ ducantur $eu in- tus ad circumferentiam u$<01>, $eu extra ad diametrum, erit proportio totius lineæ ad totam, uelut mutuò partis ad partem.</P> <P>Ex media diametro a c. 1. c&etilde;tro b, ducatur ad perpendiculum b d, <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> & ex d lineæ d a d e d h, dico d e ad d a, ut d a ad d f, & d h ad d a ut d a ad d g, & d e ad d h ut d g ad d f. Quia n quod fit ex d em e f, æ- quale e$t ei quod ex e c in e a, quod uerò ex e c in e a cum quadrato <marg>P<I>er</I> 36. <I>ter- tij</I> E<I>lem.</I></marg> b d $eu b a &ecedil;quale e$t quadrato b e, igitur ex <fig> e d in e f cum quadrato d b æquale qua- <marg>P<I>er</I> 6. <I>$ecun di</I> E<I>lem.</I></marg> drato b e, ex d e igitur in e f cum quadratis <marg>P<I>er</I> 47. <I>pri- mi</I> E<I>lem.</I></marg> d b & b a æquale quadrato d e. Quadratis <marg>P<I>er tandem.</I></marg> autem a b & b d æquale quadratum d e: <marg>P<I>er</I> 2. <I>$ecun di</I> E<I>lem.</I></marg> igitur ex d e in e f cum quadrato d a æqua- <marg>P<I>er</I> 17. <I>$ex- ti</I> E<I>lem.</I></marg> le quadrato d e. At quadratum d e æquale e$t his quæ ex d e in e f, & f d igitur detra- <marg>P<I>er</I> 2. <I>$ecun di</I> E<I>lem.</I></marg> cto communi ex d e in e f, erit quadratum d e æquale ei quod ex d e in d f, igitur d e ad <marg>P<I>er</I> 35. <I>ter tij</I> E<I>lem.</I></marg> d a, ut d a ad d f. Similiter quod fit ex h d in <marg>P<I>er</I> 47. <I>pri mi</I> E<I>lem.</I></marg> d g, æquale e$t ei quod fit ex h g in g d cum quadrato d g, at quod fit ex h g in g d e$t æquale ei quod fit ex c g in g a, erit quod fit ex c g in g a cum quadrato d g &ecedil;quale ei quod fit ex d h in d g. Quadratum autem d g e$t æquale quadratis d b, b g igi- <marg>P<I>er</I> 5. <I>$ecun di</I> E<I>lem.</I></marg> tur d h in d g æquale e$t ei quod fit ex g a in c g cum quadratis b d b g, at quod fit ex a g in g c cum quadrato b g e$t æquale quadrato <foot>T b a</foot> <p n=>218</p> b a igitur quod fit ex d h in d g e$t &ecedil;quale quadratis d b, b a qu&ecedil; $unt &ecedil;qualia quadrato a d, igitur quadratum a d e$t &ecedil;quale ei quod fit ex <marg>P<I>er</I> 17. <I>$ex ti</I> E<I>lem.</I></marg> h d in d g, quare proportio h d ad d a ut d a ad a g. Quia ergo pro- <marg>P<I>er</I> 16. <I>&</I> 17. <I>$exti</I> E<I>lement.</I></marg> portio d e ad d a ut d a ad d f, & d h ad d a ut d a ad d g, erit d e ad d h ut d g ad d f.</P> <P>Vnde manife$tum e$t omnes has lineas in $uam interiorem par- <marg>C<I>or</I>^{m}.</marg> tem ductas rectangulum con$tituere &ecedil;quale quadrato quod circu- lo eidem in$cribitur.</P> <P>Propo$itio cente$imanonage$imatertia.</P> <P>Rationem ponderis triplicem explicare.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Superius declaratum e$t quòd id quod quie$cit, habet motum <marg>P<I>ropo$.</I> 26. <I>&</I> 38.</marg> occultum. Quærit autem Ari$toteles cur $ecuris pondere pre$$a nõ diuidit lignum, minore uerò $ed moto $ed modo diuidit? Diximus <marg>Q<I>uæ$t.</I> 19. M<I>echan.</I></marg> motum ine$$e qui perpetuo augetur, indicium e$t, quod $i ex a de- $cendat, maior&etilde; facit ictum, quoniam plurimus aër coadiuuat, ex d autem occultum $olũ, et eum qui fit ratione grauitatis, me- <fig> dium ex medijs locis. Omitto modo de motu aucto per uim humanam, de quo uidetur quærere Ari$toteles, quili- bet enim aër addit $uper motum iam acqui$itum & fit hoc argumentum centies ac millies maius, quoniam m e$t qui diuidit, pondus autem non ponetrat. Sicut ergo cuneus magis diuidit lignum quam claua, ita quod mouetur $ine proportione (ut ita dicam) non $olum ob impetũ nece$$e e$t ut uehementer diuidat lignum aut lapidem $ubiectum, & non in proportione di$tanti&ecedil;. Sicut $i pondus in forma $ecuris, & ip$a $ecuris diuidit longe magis ligna quam cla- uis maioris ponderis & maiore ui de$cendens: ita pondus motum quam immotum. Hoc adeò per$picuam habet cau$$am, ut quanto plura uerba addererentur, eo redderetur res difficilior. Habet ergo propriam $olum grauitatem & motum occultum. C&ecedil;terum e$t ter- tium, genus mediũ, cum idem pondus appen$um e$t, ue- <fig> lut f quod dico e$$e maius & minus occultum quam $i ia- ceret in plano, quoniam $icut tuber & cauitas in qua iacet $imul tempore $unt, natura tamen tuber e$t prius cauitate, ita pondus appen$um prius e$t, contrà nixum uinculi na- tura & quodammodo tempore, $emper enim grauat, & illud $em- per re$i$tit $upra illius grauitatem: Sed pondus quod e$t in plano occultam omnino habet actionem bifariam<03> di$ting uitur a pon- dere $u$pen$o: Primum quòd pondus quod quie$cit & contra in- tendi principium $imul non $olum $unt tempore $ed etiam natu- ra. Sed in appen$o, ut dixi, pondus prius grauat quam uincu- <foot>Ium</foot> <p n=>219</p> lum contranitatur. Secundò, quia pondus in plano non inchoat motum $ed pendens inchoat, ideo quòd e$t in plano habet pror- $us occultum, quod pendet non: & $i $it lignum eiu$dem molis & duritiei cui appen$um $it f & cui in$ideat, magis atteretur id cui ap- <fig> penditur, & prius<08> cui in$idet. Cæterúm quod ad grauitatem attinet æqualia $unt, nam aër in utroque pellit deor$um, ac magis quod quie$cit in plano: $olum enim planum re$i$tit, in pendu- lo onere etiam aer $uppo$itus, quo fit ut quod pendet, minus graue $it. Sed æqualia uidentur.</P> <P>Propo$itio cente$imanonage$imaquarta.</P> <P>Proportionem ponderis longioris in medio $u$pen$i ad breuius. illi æquale & in medio $u$pen$um, declarare.</P> <marg>Q<I>uæ$t.</I> 27.</marg> <P>Hanc generaliter propo$uit Ari$toteles in Mechanicis, o$tendi&ttilde; e&mtilde; quod $i a b in e, & d e in f æqualia pondera in medio $u$pendãtur, quod <fig> grauius erit a b quam d e. Et hoc e$t certum quia a & b extrema plus di- $tant ab hypomochlio. Sit igitur g h re$ecta æqualis hiccinde d e, pondus e$t æquale a b, erit g h minus pondere d e in k, igitur per communem animi $ententiam k e$t æquale uerò ponderi a g & h b, igitur cum a g & h b plus ponderent in $itu $uo quam in $itu d e, patet propo$itum quoad Ari$totelem attinet, $cilicet quod a b e$t grauior d e.</P> <P>Vt modò o$tendam proportionem, erit proportio h b ad g h ut ponderis h b ad totum põdus g b, eadem ratione a g ad g h ut pon- <marg>P<I>er</I> 92. <I>hu- ius.</I></marg> deris a g ad totum a h, a h autem e$t æqualis g b & a g æqualis h b ex communi animi $ent&etilde;tia, & pondus a h &ecedil;quale ponderi b g, quia $unt æquales & in eodem $itu: igitur a g, h b ad g h, ut ponderum a g h b ad pondus g b. Et ita patet quod quanto longior e$t a b in comparatione ad d e, tanto a g & h b in comparatione ad g h, igitur tanto maior proportio ponderum a g h b ad pondus a h. rur$us e$t tanto maius quanto a b e$t longior per demõ$trata in prima parte, igitur multo maius e$t pondus a g h b, quanto longior a b in com- paratione ad d e.</P> <P>Exemplũ $it ponderis a b 12 ponderis lõgitudinis pedũ quatuor, d e pondus 12 longitudinis duorũ pedum, eruntigi&ttilde; a g, g e, c h, h b unius pedis $ingul&ecedil;. Et quia a g & b h $unt dimidiũ g h erunt ambæ pariter æquales g h & ideo pondus a g h b æqualia g b ponderi, $ed pondus g b e$t librarum nouem, quia g b e$t dodratus a b, igi- tur tota a b e$t ponderis quindecim, nam g h e$t ponderis $ex, e$t er- go pondus a b quadrante maius d e.</P> <foot>T 2 Propo-</foot> <p n=>220</p> <P>Propo$itio cente$imanonage$imaquinta.</P> <P>Si lectus fiat dupla longitudine ad latitudinem melius $uffulcie- tur re$tibus ex medio ad angulos, & eis æquidi$tantibus quam $e- cundum longitudinem & latitudinem.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>H&ecedil;c proponitur à Philo$opho in mechanicis, & dico quod $i a b <marg>Q<I>uæ$t.</I> 25.</marg> $it dupla a c, & <G>a b a g</G> dupla, & diuidantur a b a c & <G>a b a g</G> in quotuis partes &ecedil;quales inuicem, nam $upponitur a b &ecedil;qualis <G>a b</G> & a c æqua- lis <G>a g</G>, & ducantur rectæ lineæ decu$$atim & ad rectos angulos, & $ecundũ id $tatuantur re$tes, quod decu$$a- <fig> tim po$itæ utiliores erũt, omitto quod de- centius ob $patiorum minorem differenti- am. Adducam $olùm tres Philo$ophi ratio- nes: prima, quoniam ligna non adeò facilè finduntur nec incuruantur tran$uer$im tra- cta, ut recta & $ecundum longitudinem, Et <fig> ideò longè plus durabit <G>a b g d</G> quã a b c d, & cum $pondis rectoribus, & ideò etiam cum re$tibus magis intentis: & erit firmior & pulchrior. Secunda ratio e$t, quod cum re$tes in $ecunda con$titutione æquales inuicem $int, in prima quæ $ecundum latitudinem dupl&ecedil;, qu&ecedil; longiores erunt magis laxabun- tur tran$uer$alibus, & ita turpiores & incommodæ breui redden- tur, & in $ecunda con$titutione &ecedil;qualiter $u$tinebunt pondus & re- uolutionem cubantis, tum ob æqualitatem longitudinis inter $e, tum ob $itum $imilem inter $e, tum ad humanum decubitum di$si- mil&etilde;, nam (ut o$ten$um e$t) in præcedenti magis grauat pondus in extremis quam in medio, & magis laxantur ob id quæ $unt $ecun- dum eundem fitum. Et hanc cau$$am expo$itores non intellexe- runt multi, multo minus tertiam, in qua faciunt demon$trationem Geometricam & computantrem numeris. Deinde non animaduer tunt quod in $ecunda figura a$$umunt quin<01> lineas, cum in prima tantum a$$ump$i$$ent quatuor. Peius omnibus e$t quod demon- $tratio hæc cum de tran$uer$is ad magis tran$uer$as lineas $it non e$t ad propo$itum Ari$totelis, qui in duabus primis rationibus tran$uer$as comparauit his, quæ à latere ad latus & à capite ad ca- put deducuntur, ita ubi trifariam decepti $unt, ibi maximè glori- antur. Mi$erum nunc philo$ophandi genus: uolunt<03> $upercilium e$$e loco doctrinæ. Sint igitur lineæ ductæ ut uides, dico omnes pariter acceptas in prima figura, e$$e longiores omnibus pariter ac- <marg><*> 34. <I>pri <*></I> E<I>lem.</I></marg> ceptis in $ecunda figura, quod intendit demõ $trare Ari$toteles. O- $ten$o ergo de duabus, idem $uppo$ito numero equali de omnibus <foot>con$tat.</foot> <p n=>221</p> con$tat. Demon$trandum e$t ergo a b & g q'maiores e$$e <G>a<24> & <24>b</G>, nam <G>ag & g<24></G> $unt æquales & <G><24>d & db</G> ex $uppo$ito, quare <G>a<24> & <24>b</G> æquales $unt pote$tate quadrato, <G>ab</G> igitur ambæ iunctæ lineæ me- <marg>P<I>er</I> 47. <I>pri- mi &</I> 4. <I>$e- cundi</I> E<I>lem.</I></marg> diæ inter duplum <G>ab</G> & ip$am <G>ab</G>, quadratum enim <G>a<24> & <24>b</G> coniun- ctarum e$t duplum quadratis uniu$cuius<03> earum pariter acceptis, <marg>P<I>er</I> 17. <I>$exti</I> E<I>lem.</I></marg> uelut & quadratum mediæ inter duplum <G>ab</G> & ip$am <G>ab</G>, at quadra- tum coniunctæ ex a b & a c e$t æquale duplo quadrati a b cum qua <marg>P<I>er</I> 4. <I>$ecun di</I> E<I>lem.</I></marg> drato a c, igitur $uperat duplum quadrati <G>a b</G> in quadrato a c, $ed <marg>P<I>er eandem.</I></marg> quod pote$t in duplum quadrati <G>ab</G> e$t aggregatum <G>a<24> & <24>b</G>, igitur a b & a d $unt longiores iunctæ <G>a<24> & zb</G> quia po$$unt eo plus quan- <marg>P<I>er eandem.</I></marg> tum e$t quadratum a c.</P> <P>Propo$itio cente$imanonage$ima$exta.</P> <P>Si duo circuli $uper eodem centro eodem motu transferuntur, æquale $patiu m $uperant.</P> <P>Sint duo circuli a b, c d $uper eodem centro e qui transferantur <fig> <marg>C<I>o</I>_{m}.</marg> $uper axe per $patiũ c g dum re$oluitur c d, tum ergo a erit in f, quia c d contingit pla- num c g, igitur e c e$t ad perp&etilde;diculum c g, <marg>P<I>er</I> 18. <I>ter tij</I> E<I>lem.</I></marg> ergo punctum a e$t in f & a f æqualis c g, <marg>P<I>er</I> 34. <I>pri- mi</I> E<I>lem.</I></marg> igitur a b circulus $olum reuolutus e$t $e- mel, & tantum perambulauit $pacij quan- tum e d & æquali uelo citate, cùm tamen $eor$um $it proportio $pa- tij ad $patiũ ut circuli ad circulum. Hæc e$t $ubtili$sima quæ$tionũ <marg>Q<I>uæ$t.</I> 25.</marg> propo$itarũ ab Ari$to tele in mechanicis, quam $ic quidam $oluunt. Supponunt duo: primũ $i quid ab aliquo mouetur nihil conferens <fig> ad illum motum, ex$e ip$o per tan tum mouebitur $patiũ, per quan- tum ab illo mo- tore mouebitur: Secundum, ead&etilde; potentia in eod&etilde; tempore diuer$o modo duo mobi lia mouebit &ecedil;qua lia, cum unũ mo- tui a$$entietur aliud nõ. quod $i hæc mobilia $eiuncta fui$$ent, quod aptitudinem haberet $eiunctũ uelo cius moueretur, quàm dum con iunctum e$t. Cum ergo inquiunt circulus c d moueatur ab a b cir- culo, nec conferat quic<08> ad motum, ideo tantum tran$ibit $pacium <foot>T 3 c d</foot> <p n=>222</p> c d quantum a b per primum $uppo$itum. Sed quoniam propofi- to circulo alio non circa idem centrum, utpote k l reuoluetur & perueniet ad h ex demon$tratis. Re$ponde&ttilde; ad hoc, quod idem e$t, quia unus circulus tantum per $e mouetur circa centrum, reliqui omnes non per$e circa centrum, $ed ab alio circulo primo mouen- tur, ideò nihil refert $eu $int circa idem centrum $eu circa aliud, hoc enim fortuitum e$t. Ideo ad argumentum re$pondent cauillo$am e$$e hãc di$putationem, cum $upponatidem ambobus circulis per $e centrum e$$e. Sed non e$t per$e, uerùm per accid&etilde;s. Attamen de- miror de huiu$modi $olutione. Primum quod ip$emet. Ari$toteles de hoc nos docuit in primo Po$teriorum dicens. Non e$t igitur ex uno in aliud genus tran$c&etilde;dentem demon$trare, ut Geometricum Arithmetica. Et Auerro&etilde;s in Commento magno inquit, ea uerba exponens. Fieri non pote$t, ut demon$tratio transferatur de arte in artem. Et ibidem docet, quod neque ut ambæ præmi$- $æ $int communes, neque etiam maior tantum, $icut exponebat Al- pharabices. Verùm dicit, $olum licet in artibus, quæ $unt in com- paratione generis ad $peciem, ut $it conclu$io ueluti phy$ica ma- ior propo$itio, in $ubiecta $cientia ueluti medicina. Vnde cõcludit Philo$ophus. Propter hoc Geometri&ecedil; non licet demon$trare quod contrariorum una e$t $cientia: $ed ne<01> quod duo cubi cubus, ne<01> alij $cientiæ quod alterius: ni$i in his quæ ita inter $e habent ut alte- ra $ub altera $it, ueluti per$pectiua ad Geometricam, & harmonica ad Arithmeticã. Et po$t docet quod etiam non licet demon$trare ex communibus: hæc igitur ratio e$t ex alienis genere at<01> communi- bus. Quid, quòd non $oluit difficultatem qu&ecedil; mathematica tota e$t & innititur manife$tis principijs. Debuit enim o$ten dere quomo- do tardius moueatur circulus maior ip$o minore: hoc enim e$t ne- ce$$e $i eodem tempore debent æqualia $patia pertran$ire. Accipia- mus ergo quod manife$tum e$t, $cilicet uectionem e$$e hanc in qua e centrum perpetuò per æquidi$tantem lineam fertur in m, nullum autem circulum progre$$us centri e$$e cau$am ni$i ut rota mouet currum & currus axem, reuolutio ergo notæ efficit ut $patium c g pertran$eat nota, & ideo motus ille circularis non e$t, quia circula- ris motus fit manente centro, $ed e$t circulus progrediens uelut & punctum e: at in circulo, hoc e$t di$crimen quòd puncta, uariantur centrum autem non. Dico ergo ut melius intelligas quòd talis mo- tus e$t uelut famulorum fabrorum qui rotam circunducant domũ impellentes, talis enim motus, e$t rectus, & e$t impul$ionis non au- tem circularis. Et ideò omnia puncta æqualiter mouentur, & per æquale $patium, accidit autem ut hic motus fiat circunuertendo, <foot>$icut</foot> <p n=>223</p> $icut etiam $i traheretur fune. Et $i quis obijciat quod hæc re$pon- $io e$t eadem cum illa qu&ecedil; tribuitur Ari$toteli, dico quod non, quia in illa $upponuntur duo fal$a, unum quod principium motus ali- quando $it in c d, aliquando in a b, quod pro $ecunda parte fal$um e$t: nam nunquàm principium pote$t e$$e in a b, nam $i intelliga- mus de modo motus, non mouetur nec a b nec c d motu circulari, quoniam (ut dixi) motus e$t uectio, $eu tractio, non circularis. Sin autem de cau$a motus rotæ illa e$t in circulo $emper maximo, $cili- cet c d & non a b. Et cau$a erroris horum fuit duplex: cum enim $ci- rent hanc rationem, dubitarunt an circulus c d motus e$$et potius cau$a motus circuli a b, an contrà, ideò protulerunt ambos, $icut illi quibus $ublata e$t res aliqua, ut non errent, dicunt hic, uel hic $ubri- puit rem meam. Secunda fuit, quia ne$ciuerunt di$tinguere inter motum per circulum & motum circularem, cum $it magnum di$cri men: motus enim rotæ e$t per circulum, quia per circumferentiam eius, quæ e$t circulus, non autem circularis. Et$i $uperius appella- uerim circularem, cum di$tinxi in triplicem motum $ph&ecedil;r&ecedil; circum- uolutionem, tunc non curaui de uerbis, quia uerba tum non erant cau$a erroris.</P> <P>Ex hoc patet unum, quod e$t difficilius, $cilicet quia certum e$t, <marg>C<I>or</I>^{m}.</marg> quòd tam c d quàm a b mouentur $uper rectas, & ita ut $ingula puncta c d tangant $ingula puncta c g, & a b $ingula puncta a f, & tamen c d circumferentia, aut non e$t æqualis rectæ c g, aut circum- ferentia a b non e$t æqualis rectæ a f, aliter $i ambæ circumferentiæ ambabus rectis e$$ent æquales, cum rectæ $int æquales, ut demon- $tratum e$t, e$$ent circumferentiæ etiam a b & c d, æquales maior minori, quod e$t impo$sibile. Non ergo ualet argumentum, i$te cir culus circumfertur $uper rectam aliquam, ita ut cum redit ad idem punctum rectam perambulauit ad unguem, ergo illius peripheria e$t æqualis illi rectæ.</P> <P>Melius ergo fui$$et huius reddere rationem, in quo e$t tota dif- <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> ficultas, nam illa (ut dixi) de motu circulari nulla e$t, $i quis tam pe- nitus intro$piciat. Sit igitur ut rotæ axis c, tran$eat in f, & quia e a & f g æquales $unt a centro ad circumferentiam, & a g æquidi$tans b c, erit per demon$trata punctum g in linea fh, & ponamus quod punctum fuerit m, quod translatum, & retro reuolutum peruene- rit ad h, & $ecet e m a b circulum in n, dico quod n e$t punctum g, in quo etiam e$t animaduertendum de $tupore horum $cribentium, nec aduertentium quod puncta circulorum a b & c d retro cedunt, uer$us a & c, & non uer$us o & p, & hoc e$t quod decipit illos. <foot>T 4 Quia</foot> <p n=>224</p> Quia ergo m e$t h & e f, igi&ttilde; cum n $it in linea e m, erit in linea f h, $ed n e$t etiã in circulo a b, igitur cũ nullũ $it punctũ aliud in li- nea fh, et circulo g q, <08> g e$t n cõmu- nis $ectio, igitur n peruenit in g. Vi- des ergo quod m <fig> retroce$sit per angulum m g h, n autem antece$sit per angulum n g f, qui e$t æqualis angulo m g h. Ex quo liquet cau$a dictorum, & quod non intellexerunt quæ$tionis fundamentum cum ferantur $ingula puncta in una reuolutione æqualiter cum centro motu re- cto: & motu circumuolutionis $unt immobilia, quia tantum retro- cedunt in una medietate, quantum procedunt in alia.</P> <P>Propo$itio cente$imanon age$ima$eptima.</P> <P>Curlances ad locũ $uũ $u$p&etilde;$i redeãt impend&etilde;tes nõ, demõ$trare.</P> <marg>C<I>o</I>_{m}.</marg> <P>Aliâs cum uiderem apud Ari$totelem & eius expo$itores hoc <marg>Q<I>ue$t.</I> 7. M<I>echan.</I></marg> problema non $um au$us, quia ex proprijs non mihi occurrebat demon$tratio, rationem reddere, at confecta dialectica $tatim appa ruit modus. Sit ergo libra a b appen$a ex trutina c d, & $it per pon- <fig> dus educta loco e f, & $ublato reuertitur ad locum priorem: Et rur$us eadem $i immineat g d $u$ten taculo nõ mouetur: igitur palam e$t quod in trutina d e gra- uior e$t quã d fin$i$tens g d, nõ e$t adeo grauis, aut omnino non grauior. Ne<01> pote$t id accidere quod in primo ca$u angulus e d c acutus, $it in $ecundo obtu $us, nam $i ob angulum e d c acutum de$c&etilde;dit in primo ca$u e, in $e- cundo ca$u de$cendet f, quia pariter f d g acutus e$t, & æqualis e d c, hoc autem non contingit. Mira ne dicam $tultitia an audacia eorũ, qui nihil intelligentes au$i $unt, hæc pertractare, $perantes in tot $e- culis nullum futurum, qui ignorantiam $uam & impo$tura depre- hendat, dicunt enim quod in primo ca$u producta quadam recta ad perpendiculum, & quæ $it h k maiorem reddi d e quàm d f, ne <01> quomodo id fiat o$tendunt, & $i (ut dixi) maior $it quã d fin primo ca$u maior d f quam d e in $ecũdo ca$u: ergo $i in primo ca$u d e de- $cendit, in $ecundo de$cendet magis d f, at hoc non accidit $ed $tat. <foot>Oportet</foot> <p n=>225</p> Oportet igitur hoc e$$e principium ex Dialectica, quod o$tend at e grauiorem e$$e f in primo ca$u, in $ecundo non e$$e grauiorem, aut leuiorem, ut ne<01> ad angulum refugere po$simus. Ergo $upponere oportet quæ manife$ta $unt, e e$$e grauiorem f, aliter enim non de- $cenderet: non prohiberi autem in primo ca$u motum prohiberi in $ecundo, aliter uel grauior fieret f, uel maneret eadem grauitas: $i- quidem maneret grauitas, nec impediretur de$cendere e in $e- cundo ca$u, ut in primo, at non de$cendit. Si grauitas mutaretur, igi tur f de$cenderet $ecundo ca$u magis quam in primo. Quod $i di- cas non tanto fieri grauiorem, igitur f magis depre$$a de$cendet $altem, at nunquam de$cendit, igitur grauior e$t $emper e quàm f, $ed in $ecundo ca$u impeditur motus non in primo. Cau$a grauita- tis e$t, quoniam d e$t centrum grauitatis, quia medium. igitur cum <marg>P<I>ropo$.</I> 45.</marg> c & d con$pirent contra f, nece$$e e$t e de$cendere per $uperius de- mon$trata, igitur e de$cendet in primo ca$u, quia grauius e$t ut do- cui nec impeditum. At in $ecundo ca$u e & d $unt grauiora, $ed d e$t impeditum, quia non habet motum, ni$i occultum in$idet enim <marg>P<I>rop.</I> 193.</marg> g d, igitur tantum ponderat e quam f, ergo pror$us non mouebun- tur, facit & ad hoc quòd quæuis latitudo d, $u$tentaculi prohibet motum, at dee$$e uix pote$t. Vides ergo illos nugas palam agere. Primum dee$t illis dialectica, deinde ingenium acre, deinde quod maius e$t, uolunt confe$tim tran$ire ex principijs ad remota theore- mata, quod fieri non pote$t.</P> <P>Propo$itio cente$imanonage$imaoctaua.</P> <P>Cur $olidum quod cubus uoca&ttilde;, pyramide $tabilius $it, o$tendere.</P> <head>LEMMA PRIMVM.</head> <P>Si intra circulum triangulus æquilaterus de$cribatur, & ab uno angulorum per centrum rectà ducatur, angulum per æqualia diui- det, & trianguli latus, & ad angulos rectos ei in$i$tet, ip$a uerò quæ ex centro per æqualia uici$sim à trianguli latere diuidetur.</P> <fig> <marg>C<I>o</I><*>.</marg> <P>Sit a b c æquilaterus circulo in$criptus, <marg>P<I>er</I> 8. <I>pri- mi</I> E<I>lem.</I></marg> cuius centrum d, ducatur<03> ad e f rectà per centrum, & ducantur d b & d c, erit<03> ex hoc <marg>P<I>er</I> 26. <I>ter- tij</I> E<I>lem.</I></marg> triangulus a b d &ecedil;quilaterus triangulo a c d, <marg>P<I>er</I> 28. <I>eiu$ dem.</I></marg> quare angulus b a d æqualis c a d, igitur ar- cus b e æqualis c e, igitur arcus b e e$t $exta <marg>P<I>er</I> C<I>or</I>m. 15. <I>quarti</I> E<I>lem.</I></marg> pars circuli, quare b e recta latus exagoni, quare b e erit æqualis d e, igitur cum anguli <marg>P<I>er</I> 4. <I>primi</I> E<I>lem.</I></marg> a d f $int utrin <01> recti, crit d f æqualis f e, ita<01> <marg>P<I>er</I> 47. <I>p <*> i</I> E<I>lem.</I></marg> f d, tertia pars fa & fb dimidium a b quia b c. <foot>LEMMA</foot> <p n=>226</p> <head>LEMMA SECVNDVM.</head> <P>Quadratum lateris trianguli æquilateri $e habet ad illius $uperfi ciem, ut latus eius ad mediam lineam inter latus dodrantis, & qua- drantis proportione duplicata.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Quadratum a b e$t æquale quadratis a f, fb, & quadruplum qua <marg>P<I>er</I> 27. <I>pri mi</I> E<I>lement.</I></marg> drato b f, igitur quadratum a f e$t do drans quadrati a b. Quod ue- rò fit ex a fin f b e$t medium proportione inter quadrata a f, f b, re- <marg>P<I>er</I> 1. <I>$ex<*>i</I> E<I>lem.</I></marg> ctangulum igitur ex a fin fb, e$t ex lateribus dodrantis a f, & qua- <marg>P<I>er eandem &</I> 11. <I>quin ti</I> E<I>lem.</I></marg> drantis b f quadrati a b, quare cum mediæ inter a f & fb æquale fa- ciat quadratum rectangulo a fin fb, erit proportio quadrati a b ad quadratum mediæ inter a f, fb, ut lateris trianguli ad mediam inter <marg>P<I>er</I> 17. <I>&</I> 20. <I>$exti</I> E<I>l.</I></marg> latera dodrantis, & quadrantis quadrati lateris ip$ius duplicata: re- <marg>P<I>er</I> 41. <I>pri- mi</I> E<I>lem.</I></marg> ctangulum autem a fin fb e$t æquale triangulo a b c, igitur propor tio quadrati a b ad triangulum a b c e$t uelut lateris a b ad mediam inter latera dodrantis & quadrantis duplicata.</P> <head>LEMMA TERTIVM.</head> <P>Propo$itio quadrati cubi $phæræ inclu$i ad triangulum pyrami dis eidem $phæræ inclu$æ, e$t uelut lateris pyramidis $eu trianguli eius ad cathetum $uum.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Proponatur enim $phæræ diameter g, & latus pyramidis b a, & <marg>P<I>er</I> C<I>or</I>^{m}. 13. <I>decimi- tertij</I> E<I>lem.</I></marg> latus cubi b h, quæ corpora illi $phæræ includuntur: igitur g erit pote$tate $exquialtera ad a b, & tripla ad b h, igitur b a e$t pote$tate <marg>P<I>er</I> C<I>or</I>^{m}. 15. <I>decimi- tertij</I> E<I>lem.</I></marg> dupla ad b h, quod igitur fit ex b a in dimidium $uum, e$t æquale quadrato b h, igitur b h e$t media inter b a & b f, b f enim e$t dimi- dium b a, ut probatum e$t. Quadratum igitur a b $e habet ad trian- <marg>P<I>er</I> 17. <I>$ex ti</I> E<I>lem.</I> L<I>emmate</I> 1.</marg> gulum a b c, ut a b ad mediam inter a f & fb duplicata: Quadratum quo<01> a b $e habet ad quadratum h b, ut a b ad mediam inter a b & b f, duplicata igitur proportio quadrati b h ad triangulum a b c, e$t <marg>P<I>er</I> 67.</marg> uelut lateris a b ad cathetum a f.</P> <head>LEMMA QVARTVM.</head> <P>Proportio lateris pyramidis ad axem illius e$t pote$tate $ex- quialtera.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Intelligatur ba$is pyramidis triangulus a b c, & conus pyrami- <marg>P<I>er</I> 47. <I>pri mi</I> E<I>lem.</I> L<I>emmate</I> 1.</marg> dis k, & quæ per centrum $phæræ tran$it ex cono k d, cum<03> k d a angulus rectus $it, erit quadratum k a æquale quadratis k d, d a, at d a e$t dupla d f, ut probatum e$t, igitur pote$tate $exquitertia f b, k a uerò e$t quadrupla pote$tate fb, quia fb e$t dimidium k a, igitur k a e$t tripla pote$tate a d, igitur k a pote$tate $exquialtera k d, quod erat demon$trandum.</P> <marg>C<I>or</I>^{m}.</marg> <P>Ex hoc patet quod proportio axis pyramidis ad latus cubi ea- dem $phæra circum$criptorum e$t pote$tate $exquitertia.</P> <foot>Quia</foot> <p n=>227</p> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Quia enim k a e$t pote$tate dupla ad b b, & $e$quialtera pote$ta te ad k d, nece$$e e$t ut k d $it $exquitertia pote$tate ad b h.</P> <head>LEMMA QVINTVM.</head> <P>Pri$ma altitudinem habens pyramidis & triangulum eiu$dem ba$im, æquale e$t cubo eidem $phæræ in$cripto.</P> <marg>C<I>o</I>_{m}.</marg> <P>Cum enim proportio quadrati b h ad triangulum a b c $it uelut <marg>P<I>er</I> 3 <I>lem- ma.</I> L<I>emmate</I> 2.</marg> a b ad a f, a b autem ad a f $it $ex quitertia pote$tate ex demon$tratis, erit quadratum b h ad triangulum a b c $ex quitertium pote$tate: at cubi b h altitudo e$t ip$a b h, pri$matis autem a b c altitudo e$t k d, k d autem potentia $exquitertia ad b h, igitur pri$ma a b c e$t &ecedil;quale cubo b h, quod fuit propo$itum.</P> <P>Ex hoc $equitur, quod cum pri$ma $it triplum $uæ pyramidi, ut <marg>C<I>or</I>^{m}.</marg> ab Euclide habetur, quod cubus e$t triplus pyramidi, quam eadem <marg>P<I>er</I> C<I>or</I>^{m}. <I>lemmatis</I> 4.</marg> $phæra circum$cribit.</P> <marg>P<I>er</I> 34. <I>un- decimi</I> E<I>lem.</I></marg> <P>Nunc uenio ad demon$trationem propo$itionis, & dico quod corpus difficile e$t ad motum, uel ob magnitudinem ba$is, cui in$i- <marg>E<I>x</I> 7. <I>duode cimi</I> E<I>lem.</I></marg> det, uel ob pondus, uel ob formam: nam corpus quod forma e$t <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> contracta, difficilè mouetur, ut pyramis, contrà, quod prominet à la teribus, facile reuoluitur, ut corpus duodecim ba$ium pentagona- rum, & uiginti triangularum: ergo cubi $edes e$t maior quàm $ua pyramis, & pondus triplo maius, & etiam non prominet cubus, ideò pro re $tabili po$itum e$t corpus eiu$modi. Eo quod ob gra- uitatem etiam, ut dixi, $it $tabilius pyramide eiu$dem $ph&ecedil;r&ecedil;. Quod $i etiam a$$umeres pyramidem, cuius ba$is e$$et æqualis quadrato cubi, ip$a $e haberet ad pyramidem $phæræ in grauitate, uelut latus trianguli ad $uum cathetum, & ideo proportio ponderis cubi ad pyramidem e$$et, uelut tredecim ad quin<01> fermè: ergo ratione pon deris e$$et longè $tabilior cubus ip$a pyramide. At in alijs corpori- bus, quæ rationalia uocantur, non e$t tanta proportio ponderis, & ba$is e$t minor & forma prominet.</P> <P>Propo$itio cente$imanonage$imanona.</P> <P>Rationem remorum nauim impellentium inuenire.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Sit a remi extremum, quod manu apprehenditur, b $calmus cui remus in$idet: c extremum aliud latius remi, quod uocant pal- mam, transferatur nixu manus, & motu corporis a in d, ut c per- <marg>P<I>er</I> 15. <I>pri- mi</I> E<I>lem.</I></marg> ueniat in e, $unt enim æquales a b, d b, b c, b e etiam & angu- li a d b contrapo$iti, quare trianguli a b d & c b e $imiles, igitur primum quanto maior propo$itio c b ad b a, tanto maior propor- <marg>P<I>er</I> 4. <I>$exti</I> E<I>lem.</I></marg> tio c ad a d, & ita ex æquali motu longius transferetur remus, $eu palma. Secundum, cum motus a d fiat nixu brachiorum & corpo- ris, quanto magis transfertur corpus eo minus opus erit brachio- <foot>rum</foot> <p n=>228</p> rum nixu, & ita minus laborabunt. Et <marg>P<I>rop.</I> 188.</marg> quo minus laborabunt brachia, plus corpus laborabit. Etideò, ut declara- tum e$t $uprà, minor labor erit cum æ- qualiter ambo laborabunt. Tertium, quo minor erit proportio c b ad b a, eo maius $patium pertran$ibit remex, qui mouet ex a in d, $ed tanto facilius <marg>P<I>ropo$.</I> 71.</marg> mouebit, quia labor motus b c minue- <fig> tur, ut $uprà ui$um e$t per longitudinem a b & d b, ut $uprà demon $trauimus. Quartum, cùm remus tran$ierit quoddam $patium iuxta robur, puta ex c in e, nece$$e e$t ut eleuetur $uper aquam, tum quia impediret motum pro gre$$us nauis, tum ut transferatur ante: aliter $i transferretur ante $ub aqua difficilius multo, quam per aë- rem transferretur, & retroageret tantundem nauim, quantum an- tea retroactam impulit. His per $e notis dico, quòd translato remo ex c in e, nece$$e e$t nauim contrà transferri ex f in g: nam quia impe dimentum ex aqua tran$itur c in e, maius e$t quam nauis $uper a- quam, & remus debet transferri ex a in d, & non pote$t transferri ni$i uel $tante naui, & translato c in e, uel $tante a b c remo, & tran$- lata naui: & tunc nece$$e e$t, ut e pro grediatur ad h, ita de$$ecabit a- quam ch, ergo difficultas manet eadem fermè, ex his fit motus com po$itus, ut palma non redeat u$<01> ad e, $ed maneat remus minus in- clinatus, & qua$i ad perpendiculum in h. Et manife$tum e$t, &qring;d erit motus compo$itus ex retro ce$$u remi & pro ce$$u nauis. Qui etiam remiges circa medium $unt minus laborarent, $i remus æqualiter promineret extra $calmum, $ed magis laborant, quia proportio e$t eadem, & a b e$t longior, & cra$sior remus, ut minus flectatur ob longitudinem, aliter $i e$$et æqualis cra$situdinis, & multo longior flecteretur aut frangeretur, ideò robu$tiores remiges ponuntur in medio triremis. Iuuatur præterea motus nauis pror$um ex percu$- $ione remi, & impetu iam aqui$ito cum nixu remi in aduer$um $u- peruenie<*>. Rur$us cum nauis transferatur eodem tempore antè quò a progreditur ad d, manife$tum e$t quòd magna pars e$t ex motu nauis, non nixu corporis aut uirium: & ita quod celerius mo uetur ex c in h, ab initio dum nauis quie$cit, aut tardius mouetur, tardius autem dum nauis progreditur.</P> <P>Propo$itio ducente$ima.</P> <P>Cur temo cũ paruus $it magnam nauim agere pote$t: & cur cum uarietas $it in prora, ip$e con$tituatur in puppi. Et cum tran$uer$im ab aqua prematur, rectà nauim dirigat?</P> <foot>Dixi</foot> <p n=>229</p> <P>Dixi quod in hipomochlio parua uarietas fit in motu: igitur à <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> leui cau$a magnum nauigium impellitur aut uariatur. Cum enim a trãsfertur ad b, fit minima uarietas in e, igitur a parua poterit tran$- <fig> ferri, tum uero quod debuit trãsferri ad c, tran sfertur ad d, nam motus ip$e ab alia cau$a fit, uelut u&etilde;to aut remis, ita non e$t difficultas ni$i propter motum aquæ, $cilicet ut tabula $cindat illam. Ad hoc autem contulit illud quod intra nauim prominet ut uectis rationem habeat, & ob id facilius uerti.</P> <P>Similiter uarietas in puppi exigua e$t cau$a magnæ uarietatis in prora, quod autem pote$t fieri paucioribus & faciliori modo id debet fieri, hac igitur cau$a in pup- pi temonem con$tituere oportet $eu guberna culum.</P> <P>Cum autem impellatur à mari, nece$$e e$t, ut à latere excipiat aquam ita ut tantum pendeat in unam partem, quantum nauis in aduer$am, nam $i nauis non penderet, gubernaculum rectè dirige- <fig> ret<*> Vt ergo ex duobus obliquis unũ rectum con$titui tur, ita ex naui & gubernaculo, nam $int a b & c b & im- pellatur ad d, impelletur per mediam lineam b e & non per a b neque c b, igitur oportet temonem pendere ex ad uer$o inclinationis nauis. E$t etiam alia ratio, quoniam nauis $ecurior redditur, nam quemadmodum quod in medio e$t, facilius impellitur tran$uer$im, quàm quod pendet in contrarium, ita & in gubernaculo. E$t & id ob nece$sitatem, quoni- am motus aquæ plerumque e$t in partem, uelut & uentus ad la- tus eius $itus, $ecundum quem moueri debet nauis. Sicut igitur & uela & malus inclinantur, ut motum directum efficiant, quia aliò dirigitur nauis quam qui mouet uentus, ita de temone compara- tione aquæ.</P> <P>Propo$itio ducente$imaprima.</P> <P>Si duæ lineæ non $ecantes circuli peripheriam in unũ punctũ, ex ea coëant, exterius nece$$e e$t illas peripheria cõtenta e$$e maiores.</P> <head>LEMMA PRIMVM.</head> <P>Si fuerit proportio primi ad $ecundum maior quàm tertij ad quartum, erit primi ad tertium maior quàm $ecundi ad quartum.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Quamuis hoc demon$tretur à Campano, quia <marg>P<I>er</I> 10. <I>quin ti</I> E<I>lem.</I></marg> tamen facile e$t hic adijcietur. Sit igitur maior a ad b quam c ad d, dico maiorem e$$e a ad c quam <fig> <marg>P<I>er</I> 16. <I>eiu$ dem.</I></marg> b ad d, quia enim maior e$t a ad b quam c ad d fiat e ad b ut c ad e <marg>P<I>er</I> 8. <I>eiu$- dem.</I></marg> erit<03> e minu$quam a, eigitur ad c ut b ad d $ed maior a ad c quam e ad e igitur maior a ad c quam b ad d.</P> <marg>P<I>er</I> 11. <I>eiu$ dem.</I></marg> <foot>V LEM-</foot> <p n=>230</p> <head>LEMMA SECVNDVM.</head> <P>Si fuerint quatuor quanti- <marg>P<I>er</I> 8. <I>quin- ti</I> E<I>lem. par tes ambas.</I></marg> tates, quarum exce$$us primæ $upra $ecundam, fit minor ex- <fig> ce$$u terti&ecedil; $upra quartam, $it<03> prima non minor tertia, erit propor <marg>P<I>er</I> 10. <I>quin ti</I> E<I>lem.</I></marg> tio primæ ad $ecundam minor quàm tertiæ ad quartam.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Sit exce$$us a $upra b c, g b minor exce$$u d $upra e f qui $it h e, di- <marg>P<I>er</I> 19. <I>eiu$ dem.</I></marg> co quod proportio a ad b c e$t minor proportione d ad e f. Quia enim a e$t maior d, & b g minor h e, erit maior proportio a ad b g <marg>P<I>er</I> 8. <I>eiu$- dem.</I></marg> quàm d ad h e, igitur fiat a ad g k ut d ad h e, erit ergo g k maior g b <marg>P<I>er</I> 11. <I>quin ti</I> E<I>lem.</I></marg> quare k e minor b c ex communi animi $ententia, e$t autem a ad k c ut d ad e f, minor autem a ad c b quàm ad k c, igitur minor a ad b c quam d ad e f.</P> <P>Si intra circulum æquicurium, & $uper eandem ba$im figura æ- quilatera & æquiangula cõ$tituatur, erũt omnia illius latera pariter accepta minora duobus trianguli lateribus.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Sit ut proponitur, & producantur b d & c e quæ concurrent intra triangulum, quia anguli d b c & e c b $upponuntur &ecedil;quales, & ducta d e producantur d fl, & e g l quæ con- curr&etilde;t intra triangulum k d e ut propter ean- dem cau$am, igitur a b & a c $unt maiores k b & k c, ergo maiores k d, d b, & k e, e c quia $unt eædem. Duct&ecedil; quo que de $imili modo <fig> k d & d e, $unt maiores l d & l e, igitur l f, f d & l g, g e, igitur a b & a c maiores $unt b d, d f, f l c e e g g l pariter acceptis. Rur$us ducta f g: f l & l g maiores $unt m f & m g, igitur a b & a c $unt maiores omni- bus lateribus figuræ in$criptæ.</P> <marg>C<I>or</I>^{m}. 1.</marg> <P>Ex hoc patet quod latera polygoniæ fi- guræ &ecedil;quilateræ & æquiangulæ in$cript&ecedil; portioni circuli $unt minora lateribus tra- pezij circun$cripti eidem peripheriæ.</P> <fig> <P>Sit ergo trapezium a g h b circa periphe <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> riã a b, & in ea in$cripta figura polygonia æquilatera & æquiangula a c, d f b. Et quia trapezium e$t figura cuius oppo$ita duo latera $unt &ecedil;qualia, & duo anguli $upra ba $im æquales: item<03> duo in $ummitate inui cem &ecedil;quales, tãget in medio peripheriam <marg>P<I>er</I> 4. <I>pri- mi, &</I> 16. <I>tertij</I> E<I>lem.</I></marg> quod patet ductis lineis ex centro ad ex- <fig> trema trapezij. Et ideo etiam punctũ medium polygoniæ, quare ex <foot>hoc</foot> <p n=>231</p> hoc leminate duo latera g d & g a deducta ad æquicrurium, erunt maiora lateribus polygoni&ecedil;, & $imiliter duo latera h d maiora late- ribus polygoniæ inclu$æ, ergo latera trapezij erunt maiora omni- bus lateribus polygoniæ inclu$æ.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Ex hoc habetur demon$tratio propo$itionis: $int duæ lineæ a b & a c quæ comprehendant portionem cir- culi b c, dico eas e$$e maiores b c portione, $i enim a b & a c $unt æquales diui$o arcu b c per æqualia in f, ducam contingentem <marg>P<I>er</I> 2. <I>&</I> 1. <I>primi</I> E<I>lem.</I></marg> h f k, $i non faciant trian gulum æquicruri- um b c d $uper b c, & cuius ambo latera pa riter accepta $int æqualia a b & a c. Et du- cam contingentem & habebo trapezium <marg>P<I>er</I> 5. <I>eiu$- dem.</I></marg> h b, c k. Quare $i peripheria circuli b c e$t <fig> minor d b & d c pariter acceptis, habeo intentũ, $i non toties diuidã peripheriam per æqualia ut fiat figura polygonia $uper b c æquila- tera & æquiangula, cuius differentia a peripheria $it minor differen tia d b & d c à trapezio b h, k c, id e$t, tribus eius lateribus, nam cum d h & d k $int maiores h k, con$tat quod d b & d e $unt maiores h b, & k c & h k igitur $it differentia illa l, & differ&etilde;tia peripheri&ecedil; à lineis polyg oniæ minorl: igitur cum peripheria $it æqualis aut maior d b & d c, & differentia a lateribus polygoniæ minor quàm d b & d c, a b, h b, h k, k c, erit minor proportio peripheriæ ad latera poly- <marg>P<I>er</I> 20. <I>pri- mi</I> E<I>lem.</I></marg> goniæ quàm d b & d c ad tria latera trapezij, quare minor propor- <marg>P<I>er</I> 2 <I>lemma.</I></marg> tio peripheriæ ad d b & d c quàm laterum polygoniæ ad tria latera <marg>P<I>er</I> 1 <I>lemma.</I></marg> trapezij, $ed latera polygoniæ $unt minora tribus laterib. trapezij, <marg>P<I>er</I> C<I>or</I>^{m}. 3 <I>lemmatis.</I></marg> igitur peripheria b c e$t minor d b & d e, quod erat demon$trandũ.</P> <head>SCHOLIVM.</head> <P>Hanc propo$itionem non $crip$i quòd e$$et magni momenti, $ed propter modum probandi, $i enim re$picis ex uno oppo$ito $cilicet quod peripheria circuli $it maior trianguli lateribus, o$tendo de- mon$tratione non ducente ad inconueniens, $ed $implici quod ip$a peripheria e$t minor trianguli lateribus, & hoc nunquam fuit factũ ab aliquo, imò uidetur plane impo$sibile. Et e$t res admirabilior quæ inuenta $it ab orbe condito, $cilicet o$tendere aliquid ex $uo oppo$ito, demon$tratione non ducente ad impo$sibile & ita, ut nõ po$sit demon$trari ea demõ $tratione ni$i per illud $uppo$itũ quod e$t contrarium conclu$ioni, uelut $i quis demon$traret quòd So- crates e$t albus quia e$t niger, & non po$$et demon$trare aliter, & ideo e$t longè maius Chry$ippeo Syllogi$mo.</P> <marg>C<I>or</I>^{m}. 2.</marg> <P>Ex hoc patet quod pars lineæ exterioris quæ tangit circulum <foot>V 2 inter-</foot> <p n=>232</p> intercepta à linea ex centro longior e$t peripheria, $imiliter in- tercepta.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Sit portio circuli a e, & linea a b intercepta à linea c b ex centro, <fig> dico ab e$$e longiorem a e, ducatur b e æqualis a b, ad <marg>P<I>er</I> 8. <I>tertij</I> E<I>lement.</I></marg> circumferentiam, quæ illi obuiabit, ducantur<03> c a, c e <marg>P<I>er</I> 8. <I>primi</I> E<I>lem.</I></marg> erit<03> angulus e c b æqualis a c b, igitur arcus a d, æ- qualis d c, quare a d erit dimidiũ a e, & a b dimidium <marg>P<I>er</I>|26. <I>ter- tij</I> E<I>lem.</I></marg> a b, b e, facta enim fuit b e æqualis a b, cum ergo per præ$entem duæ lineæ a b, b e, $int maiores a e, igitur per commu- nem animi $ententiam a b maior a d.</P> <P>Propo$itio ducente$ima$ecunda.</P> <P>Rationem $trepitus o$tendere.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Fit $trepitus ob multitudinem aëris percu$si, uelut cum tabulis percutimus: & cauitatum cau$a, unde ligna & tabulæ leues magis $trepunt, & illud Virgilij:</P> <P>—Sonitum<03> dedere cauernæ.</P> <P>Tum uerò ob ictus impetum, impetus aut&etilde; partim uelocitatis cau- $a, partim angu$tiæ loci. Fulmen edit tonitru in quo & caua nebula excipit aërem, & multum impetu<03> maximo delatum, ob$trepũt au tem metalla magis quam ligna eo quòd magis ob continuitat&etilde; par tes moueantur. Indicio e$t, quod intenta ut æs & tenuia maior&etilde; $tre pitum edunt: & dum $onant tremunt, aurum autem parum $onat, quoniam den$i$simum e$t, et minus intentum arg&etilde;tum, minus den $um, & magis intentum, quod autem intentum e$t totum $imul mo uetur, & ob id $tridet: lignum aut&etilde; & tabula $onat, non quia ut me- tallum percutiat aërem, $ed quia in eo aër percutitur. Cra$$um aut&etilde; metallum & lignum non adeò $onant: metallum quoniam non mo uet aërem, non enim mouetur: lignum quoniam non mouetur, nec in eo qui e$t inclu$us aër, aër autem facilè mouetur, & ob id in ligno cauo, etiam$i cra$$um $it, $trepitus magnus editur. Ergo et$i tenue $it metallum, quod infixum e$t tabul&ecedil;, re$onat multum: nõ quia mo ueatur, $ed quoniam a&etilde;rem in tabula cõ cutit. Ne<01> enim tabula per $e $ola, quæ etiam nimis tunderetur $onum edere magnum pote$t quoniam cedit: Oportet aut&etilde; non cedere quod re$onat, ne<01> metal- lum $i cra$$um, $ed hebetem $onũ etiam tabul&ecedil; infixum reddit, quo- niam ne<01> moueri pote$t infixum & cra$$um, nec cauerno$um e$t, & tamen excipit ictum, ne lignum re$onet. Velox autem ictus nõ acu- tum $onũ reddit, & $i cum impetu $it: indicio e$t tonitru & machin&ecedil; bellicæ igne&ecedil;, contrà angu$ta fi$tula acutũ $onum reddit, etiã remi$- $è inflata. Igitur aër $oni cau$a e$t $ecundum motũ, ubi ergo multus aër & magnus motus ibi $onus magnus. Multus quidem aut in ca- <foot>uerno$o</foot> <p n=>233</p> uerno$o corpore, qui graui$simũ edit $onũ interclu$us, ut etiã in uo cibus, aut quia à magno corpore $tridulus efficitur, aut inter duo corpora, qui grauitate medius e$t. Impetu uerò effici&ttilde; inten$us non magnus, nam tonitrus <04>cul audimus noni$tum quamuis celerri- mum, acutum uerò ob angu$tiam loci. At<01> h&ecedil; cau$&ecedil; $unt $onorum.</P> <P>Propo$itio ducente$imatertia.</P> <P>Cur $cytalis onera portentur facilius, explorare.</P> <fig> <P>Demiror nõ exactè cau$am manife$ti$simã <marg>C<I>o</I>_{m}.</marg> Ari$totelem non a$$ecutũ fui$$e, aut potius ad <marg>P<I>rop.</I> 114.</marg> nos corruptã $cripturam perueni$$e: nam qui expo nũt multo minus intelligũt. Sit ergo cur rus humilis $cytalis iucumb&etilde;s a b c. Diximus aut&etilde; $uprà quid e$$et $cytala & currus rotis, &qtilde; $untlonge maiores $cytalis e f g h, demõ$tran dũ e$t $cytalã, quamuis minoris ambitus ma- gis mouere <08> rotam, cũ ergo de una demon- $trauerimus, de oĩbus erit intelligendũ. Quia ergo $cytala k l m habet hypomo chlion in k et m, & põdus premit in l, igi&ttilde; rota uer$atilis mo <marg>P<I>ropo$.</I> 71</marg> uebi&ttilde; tanto facilius <04>cedendo, quanta e$t lõ gitudo l m & l k, $ed & rotul&ecedil; ill&ecedil; uer$abũt hypomochlion, &qring;d e$t l cõparatione k & m col- lopum, igi&ttilde; facilius multo uer$abi&ttilde; currus à $cytalis <08> rotis. Et hoc e$t quod dixit Philo$ophus. In utri$<01>. n. his reuolui&ttilde; circulus et mo tus impelli&ttilde;, intelligit mutuã commutation&etilde; hypomochlij cum col lopibus, nam ut trahãtur rotul&ecedil; &qtilde; $unt hypomochlij loco, collopes terminan&ttilde; in medio: ut aũt uerta&ttilde; axis, qui & hypomochlion in me- dio collopũ initium $int rotulæ. Ex quo $equi&ttilde;, &qring;d quanto lõgiores erunt l k l t & l m, tanto facilius mouebun&ttilde; currus, at quanto humi- liores, modò non obruantur in terra, quoniam tardius mouentur, quæ minorem habent circuitum, quæ autem tardius mouentur, fa cilius mouentur, ut $uprà $æpius demon$tratum e$t: Ob has ergo duas cau$as pondera facilius feruntur curribus cum $cytalis, quàm cum rotis magnis modò terra non obruantur.</P> <P>Propo$itio ducente$imaquarta.</P> <P>Cur pluribus trochleis pondera facilius eleuentur o$ten dere.</P> <P>Dictum e$t $atis de hoc in lib. de Subtilitate, at nunc quod ad de- <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> mon$trationem attinet eorũ $ubij ciam. Quia. n. $ingul&ecedil; rotul&ecedil; diffi culter mouen&ttilde;, igitur nece$$e e$t $ingulas participes e$$e grauitatis, igitur & totam grauitat&etilde; e$$e diui$am: quare ut in pr&ecedil;ced&etilde;ti facilius moueri. Habent & rotul&ecedil; ip$&ecedil; centrum $eu axem hypomochlij, $eu <marg>P<I>ropo$.</I> 71.</marg> fulcimenti loco, ambitum aũt iuxta $emidiam etrum, uelut collopes <foot>V 3 $eu</foot> <p n=>234</p> $eu uectes, quare tanto facilius mouebuntur quanto maiores erũt, <fig> & ut plures. Vna enim alterius loco fungitur uectis. Trochlea qui- dem e$t, ut uides, in$trumentum longum $uprà angu$tius, $ed non, cra$$um, in quo plures orbiculi $olent collo cari, unde $æpe numero trochleæ nomine intelligimus orbiculos ei in clu$os, circa quos fu- nis uo catur, ut in tro chleis & orbiculi & funes in cluduntur. Succu- lis etiam $olent capita funium trahi: ut uectis auxilio imò nonnun- quàm rotarum facilius pondera eleuantur.</P> <marg>8. <I>de</I> R<I>epub.</I></marg> <P>Propo$itio ducente$ima quinta, $uper uerbis Platonis, de fine Reipub.</P> <P>“E$t autem ei quod diuinitus generandum e$t circuitus, quem nu merus cõtinet perfectus. Humanæ uerò, in quo primum argumen tationes $uperantes, ut $uperatæ tres di$tantiæ: quatuor autem ter- minos accipientes, $imilium & di$similium, ab undantiũ & deficien tium cuncta corre$pondentia, & rationem habentia inuicem effece runt. Quorum $exquitertium fundamentum quinario iunctũ duas efficit harmonias ter aucta quidem: æqualem æqualiter centum to ties, quandam autem æqualem quidem, longitudine aũt $ingulum quidem numerorum à diametris ration&etilde; habentibus quinarij indi gentibus uno $ingulis: non habentibus rationem aũt duobus, cen- tum autem cuborum ternarij. Totus autem hic numerus geometri cus talem authoritatem habet ad potiorem deteriorem<03> genera- tion&etilde;. Quem locum Ari$toteles ita declarat. Quorum $exquiter- tium fundamentum quinario coniunctum duas exhibet harmo- nias, inqui&etilde;s, quãdo numerus diagrammatis huius efficia&ttilde; $olidus.”</P> <marg>Q<I>uin</I> P<I>olyt.</I> C<I>ap.</I> 12.</marg> <P><G>*gusqmh\<19></G> fundam&etilde;tum interpretatus $um, quod radix pro latere in hac materia accipi po$$et. Par e$t ut in diuina generatione numerus <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> accipere&ttilde; perfectus: ut intelligat generationem confe$tim $equi cor ruptionem: nam $ermo e$t de corruptione, corrumpitur aũt unum- quod<03> ut aliud generetur, malum enim e$t ob bonum, non contrà. Liquet autem ex Euclide talem numerum e$$e octies mille centũ ui- ginti octo. Et hic e$t finis omniũ urbium diuinus, cuius quadruplũ uelut in cœli re$titutionibus, ac continuato ordine $olet ob$eruari, e$t propè annus magnus: ueri$imile e$t enim tãto tempore cõfundi decima, $cilicet totius circuitus parte. Humanæ uerò intelligit qua- <table> <row><col>8</col></row> <row><col>12</col></row> <row><col>18</col></row> <row><col>27</col></row> </table> tuor à monade numeros, aut in quauis ratione principium li- neam $uperficiem corpus, ut unũ, duo, quatuor, octo pariter octo: duo decim decem octo uiginti $ept&etilde;: inter hæc $unt tria $patia, & octo cum uiginti $eptem $unt di$similia & deficien- tia: maiora e&mtilde; $unt $uis partibus à quibus numerantur. Contrà de- cemocto & duodecim $unt $imilia at<01> ab undãtia, & corre$ponden <foot>tem</foot> <p n=>235</p> tem habent rationem inuicem. Hæc Ari$toteles omittit, ut ad in- troductionem, non rem pertinentia, uelut & finem tanquàm ex præcedentibus notum. Vnde uerba Ari$totelis $unt ad unguem eadem uerbis Platonis, $cilicet: “Quorum $exquitertium funda- mentum quinario iunctum duas efficit harmonias: loco autem ter aucta quidem, $cribit Ari$toteles: efficiatur $olidus, id e$t cubus, ut in quadratum $uum ducatur: loco autem uerborum æqualem æ- qualiter centum centies, u$que illuc à diametris rationem habenti- bus quinarij ponit numerum diagrammatis.” E$t autem diagram- ma, quod Plato uocat diametrum, cum numerus pote$t fermè du- plum numeri alterius, ut 3 duplum 2, & 7 duplum 5, & 17 duplum 12, & $emper numerus hic dimetiens, excedit duplum alterius uno, quod ex his patet, quæ ab Euclide demon$trata $unt in decimo li- bro. Quare $i debet e$$e quadratum eius monade maius duplo, al- terius quadrati, & duplum|alterius quadrati e$t par, igitur addi- ta monade erit impar, ergo latus eius dimetiens impar $emper: la- tera autem ip$a quadratorum, quæ duplicantur aliquando pa- ria $unt ut 2, & tunc quadratum dimetientis e$t unum plus duplo ut 9 e$t maius 8 monade, $i uerò latera imparia $int, erit quadratum dimetientis uno minus duplo, ut 49 quadratum 7 e$t minus uno 50, duplo 25, quadrati 5. Ex quo patet agnatio, ut ita dicam in- ter 7 & 5.</P> <P>Cum ergo dicit, quorum $exquitertia e$t, ac $i diceret, ex horum numerorum $erie $umemus $eptenarium principium epitrite, & di- metientem 5, quos $imul iungemus.</P> <P>Propo$itio ducente$ima$exta.</P> <fig> <P>Rhombi pa$siones qua$dam declarare.</P> <P>Sit a d recta diui$a in k per æqualia, cui $u- <marg>C<I>o</I>_{m}.</marg> per$tent k b & k c ad perpendiculum inter $e æquales, & $ingulæ earũ minores k a & k d, <marg>P<I>er</I> 4. <I>primi</I> E<I>lem.</I></marg> & perficia&ttilde; figura quadrilatera a b d c, cuius latera erunt omnia æqualia inuicem, & angu li a & d oppo$iti, & b & c oppo$iti etiam inui cem &ecedil;quales. Sed b & c maiores erunt a & d: <marg>P<I>er</I> 25. <I>pri- mi</I> E<I>lem.</I></marg> & ideo talem figuram appellauit Ari$toteles rhombum à pi$cis $i- militudine in medio latioris quã in extremis, cuius tam&etilde; longitudo latitudine maior e$t. Dicit ergo Ari$toteles, &qring;d $i rhombus ip$e cir- <marg>Q<I>uæ$t.</I> 23<*> M<I>ech.</I></marg> cumuoluatur, ita ut b tran$iret per b a c, & a per a c d, a maius $pa- tium tran$iret ex recta, $cilicet a k d quàm b, quod tran$iret b k c. Et ad hoc a$$umit, quòd cum angulus c $it maior a, igitur duæ lineæ a c d $unt minus curuæ quam duæ b a c, igitur b a c habent ratio- <foot>V 4 nem</foot> <p n=>236</p> nem currui, & a c d recti. Ergo $i in æquali t&etilde;poris $patio b, $uperet b a c & a, a c d, magis per rectam feretur a quàm b, $ed quod rectum e$t maius occupat $patium: igitur uelocius fertur a in d compara- tione habita ad a d quàm b in c, comparatione habita ad b c.</P> <P>Pro intellectu reliquorum ab eo dictorum, & quorundam mira- bilium, proponatur alius rhombus illi &ecedil;qualis, in tabula pictus deli neatis lateribus & diametris, qui fit l m o n, & diametri l p o & m p n, & ab$cindatur hic ex $uperficie, & $uperponatur ita, ut puncta l m o n ordinatim cadant, & aptentur pũctis a b d c, & p aptetur ip$i k. Et tunc $i rhombus l o totus moueretur, nece$$e e$t, ut moueatur $e- cundum latus aliquod, ut pote l m, & &ecedil;quidi$tans a b, igitur dicetur <fig> moueri $uper latus aliquod, $cilicet a c: at<01> hic e$t mo tus, quem Ari$toteles uocat motũ a b $uper latus a c. Si aũt fingamus quie$cere latus aliquod l o, uel pars lateris, non po$$et omnino moueri in $uperficie a d rhombi: et ita nõ perinde e$$et ac $i a d rhombus mo ueretur, quod tamen $upponit Ari$toteles. Ne<01> etiã $i quie$ceret punctum aliud quam p haberet ratio- nem motus regularis, quod ab illo $upponitur: reli- quum e$t igitur, ut rhombus l o moueatur uice rhombi a d $eruan- do centrum, id e$t punctum p in puncto k. Dicamus ergo primum de motu compo$ito Ari$totelis, & pò$t de no$tro.</P> <P>Moueatur l m $uper a c, æquidi$tans $emper a b, ut $eruet $itum quem habebat ita, quod extremũ lineæ l m $it $emper in linea a c, & l punctum quod gerit uicem a, de$cendat tantum in linea l m, quan- tum l extremum in linea a c: dicit Philo$ophus, quod a $eu l $emper de$cendet in linea a d, & erit in e a. Supponatur <09> latus l m fit f g, & erit l n, f t, ducatur aũt ex r puncto $ectionis diametri, & lateris l m li <marg>P<I>er</I> 24. <I>$exti</I> E<I>lem.</I></marg> near q, æquidi$tans a f, igi&ttilde; rhombus a q r f e$t $imilis rhombo toti a b d c, & <04>portio a f ad fr, ut a c ad c d, $ed a c e$t &ecedil;qualis c d, igi&ttilde; a f e$t æqualis f r, $ed l de$cendit in l m, quantũ e$t a f ex $uppo$ito, igi&ttilde; punctũ l $emper erit in linea a d. Po$t deficiunt quædam uerba: ob quæ nemo intellexit $ententiam Philo$ophi, & tam&etilde; au$i $unt impo nere lectoribus, tan<08> intellexi$$ent, tres $imul errores admittendo, $cilicet Ari$totelem ob propriam ignorantiam, ut $tultum accu$an- do, qui fal$a dicat, & demon$trare nitatur: produnt $eip$os cum $ua impudentia. Et lectoribus imponere conantur, debet ergo $ic legi (“b in ip$a b c diametro latum, ubi latus b d moueatur in late- re b a, & b æqualiter uer$us d in b d, æqualis enim e$t ip$a b e”) Tunc enim con$tat ut hic dixi, m moueri per b c rectam ut l per a d: Dicit ergo cũ b d mouea&ttilde; in b a, tran$it unico motu totã b a, & pun <foot>ctum</foot> <p n=>237</p> ctũ tamen b, quod moue&ttilde; duobus motibus, non pertran$it ni$i b c, quæ pote$t e$$e minor b a: nam cõ$tat quod quãdo m erit in a, o erit in e, & quia m de$cendit in o, in eodem tempore, ergo o erit in c, & trã$iuit $emper per rectam b c: igitur m e$t minus motũ duobus mo tibus quàm m l unico tantũ. Et quia aliquis dicere potui$$et non e$t mirum, quod m $it minus motum duobus motibus quàm l m latus unico tantum: quia m mouetur motu contrario motui lateris: nam latus m o mouetur in latere b a a$cendendo, et punctum m uer$us o in ip$o m o de$cendendo. Dicit Philo$ophus, hoc e$t mirum, quia cum idem contingat in motu l, cuius latus mouetur per a c, & l per l m recedendo in partem contrariam, nihilominus uelocius motum e$t l, quàm latus l m, quia a d e$t longior a c. Ex quo patet, <09> qu&ecedil;$tio Philo$ophi e$t una tantum, & non duæ. Et e$t cur motum duobus motibus in rhombo, in uno mouetur uelocius latere tantum moto uno motu, in alio tardius? Et quia aliquis dicere po$$et, &qring;d b c po$- $et e$$e lõgior a c: Dicit Philo$ophus, uerum e$t, $ed ego po$$um in- uenire talem rhombum, qui etiam habeat a clongiorem, & tunc ni- hilominus $equi&ttilde; quod dico. Aliud aũt, quod docet ex hac demon- $tratione, e$t <09> ex duobus motibus rectis diuer$is pote$t fieri unus motus rectus diuer$us: igitur idem punctum, puta formica poteric $imul, & $emel moueri duobus motibus rectis diuer$is. Et hoc e$t, quia primus motus e$t rectus $olum $ecundum formam, & non $e- cundum materiam: & alter $ecundus, $cilicet mi$tus e$t $ecundum materiam & non $ecundum formam per rectam.</P> <P>Ex hoc $equi&ttilde; aliud magis mirũ, et e$t iuxta no$trũ motum rhom bi l o in rhombo a d, fixo centro p in centro k, & mouea&ttilde; quomodo libet, l, dico quod l f $emper æqualis erit a f, quia e&mtilde; k l & k a $unt æ- <fig> quales, cũ e$$ent una linea ante motum ducta, l a erit angulus k l a, æqualis angulo k a l, $ed angulus k a c <marg>P<I>er</I> 5. <I>pri- mi</I> E<I>lem.</I></marg> e$t æqualis angulo k l m, cum angulus k l m e$$et id&etilde; angulo k a b, & angulus k a b e$t æ&qtilde;lis angulo k a c, <marg>P<I>er</I> 34. <I>pri- mi</I> E<I>lem.</I></marg> igitur angulus k l m e$t æqualis angulo k a c, igi&ttilde; re$i duus fl a e$t æqualis re$iduo f a l, quare f a æqualis <marg>P<I>er</I> 6. <I>primi</I> E<I>lem.</I></marg> fl. Si igitur quantum procedit latus m l in a c, tãtum de$cendat punctum in linea l m punctum perpetuo, erit in linea a c, & per eam mouebitur. Vnde $equitur quod</P> <P>Quod punctũ l mouebi&ttilde; duob. motib. uno recto in linea, $cilicet <marg>C<I>or</I>^{m}. 1.</marg> l m, & altero circulari. $. circa centrũ k, & tñ mouebi&ttilde; uerè motu re- cto t&mtilde; in alia linea, $cilicet a c, & hoc e$t primũ admirabile. Aliud e$t</P> <P>Quod punctũ l mouebi&ttilde; duobus motibus, & per ip$os mouebi&ttilde; <marg>C<I>or</I>^{m}. 2.</marg> ad ungu&etilde; uno motu &ecedil;quali uni eorũ, ita &qring;d alius motus nihil addet <foot>nec</foot> <p n=>238</p> necminuet. Patet quia mouebitur, gratia exempli, primo motu ex l in f, & pò$t motu circulari, & uerè erit motum ex a in f, qui motus e$t æqualis motui priori propriò, & $olo ex l in f.</P> <P>Propo$itio ducente$ima$eptima.</P> <P>Proportionem agentium naturalium in tran$mutatione con- $yderare.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Sit latitudo a b ad conuer$ionem terræ in aurum me- dium perfectionis a b $it c, & medium a c d b, cuius dimi- dium $it e b. Et fiat commutatio a c in f g, tempore dimi- dium f g, g h in g h deberet peruenire ad perfectionem d, quoniam ratio a c ad c d, ut f g ad g h. At uerò dum tran$i- ret terra ad perfectionem c tota re$i$tebat, iam adepta per- fectione a c non re$i$tit, ni$i pro medietate, at proportio cu iuslibet quantitatis ad dimidium alterius producitur ex proportione eadem & dupla, dupla igitur e$t proportio agentis ad imperfectionem a c ei quæ e$t ad a b, igitur in di midio temporis g h acquiret perfectionem c d, & $it g k di midium g h, erit ergo tempus totum fk, in quo acquiret a d. At ratio hæc con$tare non pote$t, nam $i diuidatur $p a <fig> tium a b in trientes fient trientes duo, & quarta pars in perfectione a d: $ed iam multo citius acquiret quam in fk tempore, quod e$t di- midium & octaua pars. Sed hoc non cogit, quoniam partes primæ $unt $emper contumaciores, & ut di$ponuntur fiunt magis obedi- entes, non iuxta proportionem $impliciter, $ed ut $unt in materia, & ideò hæc actio e$t $imilior proportioni exce$$us, & e$t Arithme- tica quam capacitatis $cilicet Geometricæ.</P> <marg>C<I>or</I>^{m}.</marg> <P>Ex hoc patet, quod res quæ ad $ummam maturitatem perueni- unt, maximè acquirũt perfectionem in exiguo tempore, ut gemm&ecedil;, aurum, infans. Ergo oportet maximè iuxta finem cauere, ne detur occa$io ulla accelerandi partum.</P> <P>Propo$itio ducente$imaoctaua.</P> <P>Mota res à centro grauitatis per priorem motum in reditu uelo- cius mouetur, quam $i quieuerit.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Sit a b c lectus pen$ilis, in quo ho mo aut patera, in qua aqua uel ui- nũ, & $it c&etilde;trum grauitatis d, quod nece$$ariò e$t in linea loci, cui anne xus e$t lectus a g, & in patera lo ci medij manus continentis pateram cũ centro quæ $it a g, quibus $tan- tibus o$tendendum e$t primo.</P> <fig> <foot>LEM-</foot> <p n=>239</p> <head>LEMMA PRIMVM.</head> <P>Omne graue motũ à centro grauitatis, re$tituto ad eundem $itum pondere mobili aut inmobili, continente ultra centrum grauitatis naturalis uiolenter fertur.</P> <P>Seu $it pondus per $e non fluctuans in pen$ili lecto, $eu humor in <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> patera, quum põdus moueatur $olum ratione una, $cilicet lecti pen- $ilis homo uel plumbum, humor autem aqua uel uinum bifariam & ratione pateræ $i mobilis $it in a laxa manu, & etiam per humo- rem ip$um redeuntem ad locum $uũ: adeò quòd $i e$$et & immobi- lis patera, humor $altem reflueret propria inundatione ad locum $uum centri grauitatis, licet in patera e$$et immobilis locus grauita- tis uelocius & maiore cum impetu, adeò ut tran$eat uer$us e, cũ fu erit motus primus ex e in f, et re$titutio ex fin e: $eu in immobili pon dere mobilis continenti, ut in lecto pen$ili: $eu in immobili conti- nente, $cilicet po$tquàm ad locum $uum re$titutum fuerit per uim retenta patera à manu iuxta $itum priorem in a, mobili autem con- tento, id e$t, humore, multo autem magis contento, & continente mobilibus. Vt $i patera & humor ip$e $imul moueãtur, nam & pate ra tran$gredietur locum $uum, & humor duplici motu $uperau- <marg>P<I>ropo$.</I> 3 <I>o<*></I></marg> ctus tran$gredietur motum naturalem. Cum enim a d e$t remotum a g, & e$t in f, mouetur maiore impetu, quam $it pro ratione pon- deris, ut demon$tratum e$t, igitur tran$ibit ad e, cum ergo redeat ad g motu naturali, nece$$e e$t ut motus uiolentus $it ualidior ea parte naturalis, qua d re$i$tit, dum e$t in g, ne dimoueatur à g, $i igi- tur tractum ad c, $uperauit uim qua manet in g, in eo quod moue- tur ad f, igitur in reditu mouebitur tantum ultra g uer$us e, quan- tum e$t acqui$itum ex ui tran$itus ultra g uer$us f, quanto ergo ma- ior e$t arcus e d, tanto maior e$t d f, & quanto maior e$t arcus d f, tanto maior d h.</P> <P>Ex quo patet, quod quanto magis remouetur d à g, tanto maio- <marg>C<I>or</I>^{m}. <*></marg> re impetu fertur uer$us extremum aliud & ultra medium.</P> <head>LEMMA SECVNDVM.</head> <P>Omne pondus appen$um e$t graue comparatione medij graui- tatis, ad hoc ut ab eo remoueatur, quantum e$t pro ratione anguli ex quo appen$um e$t.</P> <P>Sit d appen$um in a & in b, & $it angulus c b d, triplus angu- <marg>C<I>o</I>_{m}.</marg> lo c a d, dico quod tripla e$t uis quæ transfert d in c ex b, ei quæ transfert ex a, quoniam enim mixtus e$t in b & a, igitur a d æqua- <marg>P<I>er</I> 16. <I>pri mi</I> E<I>lem.</I></marg> lia $patia æquales uires exigentur: igitur uirium proportio ut angulorum, at quanto maior e$t a d in proportione ab b d tanto maior e$t proportio anguli c b d ad angulũ c a d, igitur quanto ma- <foot>ior</foot> <p n=>240</p> <fig> ior e$t a d tanto facilius remouet &ecedil;quali $pa <marg>P<I>er <*>lt. $ex- <*></I> E<I>lem.</I></marg> tio d uer$us e. Et licet remoueantur ab ip$o d, $emper eadem proportio manebit, ma- <marg>P<I>er</I> 11. <I>quin <*></I> E<I>lem.</I></marg> nente eadem longitudine b d & a d, nam <marg>P<I>er</I> 16. <I>eiu$ <*>.</I></marg> proportio d f ad d c, e$t uelut f b d ad c b d, & ut d f ad d e, ita f a d ad c a d, quare fb d ad c b d, uelut f a d ad c a d, quare fb d ad f a d, ut c b d ad c a d, quod fuit pro- po$itum.</P> <head>LEMMA TERTIVM.</head> <P>Grauitatem ponderis appen$i aut fluidi in comparatione ad remotionem à centro grauitatis inuenire.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Nam cum d trahetur per planum ut $u$pen$um, & non tractum <marg>P<I>er</I> 16. <I>hu- <*>.</I></marg> a d, erit dimidium ponderis appen$i, igitur ex lemmate $ecundo, pa tebit proportio laboris in remouendo d à loco proprio in quan- cun<01> partem & di$tantiam, & in quouis loco $it appen$um.</P> <P>Ex hoc $equitur, quod poterit annulus tam altè appendi, utiuxta <marg>C<I>or</I>^{m}. 2.</marg> proportionem angulí & leuitatem propriam cum filo tenui$simo, & ut fuerit latus, & po$itus è regione oris, ut ex $ermone circum- agatur quaqua uer$us, & percutiat labra ua$is aqua pleni fermè, ut uideatur plane re$pon$a dare.</P> <head>LEMMA QVARTVM.</head> <P>Quanto magis remotum fuerit pondus ex eodem centro à recta linea, tanto maiore impetu agetur, ut ultra locum medium feratur non æquali, $ed producta proportione.</P> <P>Sit a b, & ut dictum e$t, non e$t ei pondus, ni$i quatenus remoue- <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> tur a recta, & in c $ummam habeat grauitatem, & d $it medium b c, <fig> dico ergo quod multo maiore impetu feretur ex cin b quam ex d, nam cum c $it $umma grauitas, erit $al- tem dupla grauitati d, $ed d grauitas e$t penè infinita, ut demon$tratum e$t in comparatione ad b, ut iuxta $itum remotionis à linea b, cum ergo proportio $in- <marg>L<I>emmate</I> 2.</marg> gularum partium c d ad $ingulas d b medietate b c di$tantes $it ma- <fig> ior dupla augendo, erit proportio c d ad d b, uelut pro- po$ita h k dupla g f, & h e dupla e f, e k h ad e g f quadru- pla, igitur & eo maior quo acqui$itus e$t impetus ex de- mon$tratis, quare proportio motus & impetus ex c in <marg>P<I>er</I> 30. <I>hu ius.</I></marg> b, e$t multo maior impetu ex d in b quadrupla pro- portione.</P> <foot>Ex his</foot> <p n=>241</p> <P>Ex his omnibus concluditur propo$itum in prima figura, & e$t <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> quod $i b c inclinetur uer$us e, mouebitur a d, certo impetu uer$us e. Et quia $i prius b c inclinatum fuerit in f, redit a d, dum b c reuer- titur ad proprium $itum ultra lineam a d g u$que ad h per primum lemma. Et cum b c inclinatur ad b f peruenit, quantum b c inclina- ta ad f, $cilicet ad e, igitur ex motibus b c in f & in e tanto plus mo- uetur d ultra e, quantum e$t productum d e in d h, ‘ideo multo plus quam $i $olum motum fui$$et d ex recta a g, etiam quod non moue- retur b c. Multo plus ergo moto etiam b c, ut diximus.</P> <P>Propo$itio ducente$imanona.</P> <P>Si $uperficies rectangula in duas partes æquales diui$a intelli- gatur, quæ amb&ecedil; quadratæ $int, item<03> in duas inæquales, erit pa- rallelipedum ex latere mediæ partis in totum $uperficiem maius ag <fig> gregato parallelipedorum ex par- tibus inæqualibus, in latera alte- rius partis mutuo in eo, quod fit ex differentia lateris minoris par- tis a mediæ latere in differentiam maioris partis $uperficiei à media $uperficie bis, & ex differentia am- borum laterum inæqualium iun- ctorum ad ambo latera æqualia iuncta in minorem partem $uperficiei.</P> <P>Proponatur a g diui$a in duo quadrata æqualia a h, h b, & late- <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> ra erunt a c, c b, & in duo inæqualia a d d g, quarum latera $int b c, a f, dico quod parallelipeda a c in c g, & c b in c k, & $unt æqualia pa rallelipedo ex a c in a g, excedunt <table> <row><col>1 a f in a h</col><col>f c in a h bis</col></row> <row><col>2 a f in h d</col><col>f e in d k</col></row> <row><col>3 a f in d k</col><col></col></row> <row><col>4 f c in d k</col><col></col></row> <row><col>5 c e in d k</col><col></col></row> <row><col>1 a f in a h</col><col>4 f c in d k</col></row> <row><col>2 a f in d h</col><col>5 c e in d k</col></row> <row><col>3 a f in d k</col><col></col></row> </table> parallelipeda ex a f in d g, & b c in d k, in duplo f c in d h, cum eo quod fit ex f e in d k $emel. Quia ergo parallelipedum ex a e in a g e$t æquale parallelipedis a f & f c in a h, h d, h k, quare parallelipe- dis a f in a h, h d, d k, & f c in d k, & c e in d k, & f e in d k, & f e in d h bis. Ad parallelipedum a fin d g, e$t æquale parallelipedis a fin a h, h d. Et parallelipedum b e in d k, parall elipedis a f, f e, c e in d k. Detractis $imilibus relinquetur f c in d l, l e, e h bis, quod e$t f c in d h bis, cum eo quod fit ex e f in d k $i- mul, quod e$t propo$itum.</P> <foot>X SCHO-</foot> <p n=>242</p> <head>SCHOLIVM.</head> <P>Dico etiam, quòd duæ lineæ b e & af $unt minores duabus a c, c b $imul iunctis, nam quia d b, e b, c b, $unt in eadem proportione, & d b e$t maior e b, erit maior differentia d b ad e b, quam e b ad <marg>P<I>er conuer- $am qua$i</I> 8. <I>quinti</I> E<I>lem.</I></marg> c b, igitur maior d e quam e c, quare e c e$t minor medietate d c, & ideo multo minor medietate a c. Et $imiliter, quia a c e$t maior af, & a c, a f, a d $unt in continua proportione, maior erit c f quam fd, & ideò con$tat quamuis longum e$$et, $i quis uellet demon- $trare perfectè, quod b e & a fiunctæ $unt minores tota a b $eu du- plo a c.</P> <P>Exemplum, $int h b & h a 25, & a e, c b 5, producta mutua 250, $itqúe g d 49, & erit b e 7, $it autem d k 1, & erit a f 1, quia ergo a f e$t 1, a e 5, erit f c 4, & quia e b e$t 7, & b c 5, erit e c 2, quare etiam ef2, productum ergo ex e b in d k e$t 7, & ex a f in d g 49, totum ag- gregatum 56, differentia a 250, e$t 194, qui $it ex duplo fc, quod e$t 8 in d h, quæ e$t 24, & fit 192, & exfe, quæ e$t 2, in d k, quæ e$t 1, & fit: quod additum ad 192 facit 194. Similiter capio 450, cuius di- midium e$t 225, c g & c k 225, & c a & c b 15 $ingulæ. Et ponatur d g 441, eritqúe e b 21, & d k 9, & erit a f 3, igitur cum b e $it 21, & b c 15, erit c e 6, a f uerò e$t 3, igitur f e e$t 6. Producta mu- tua æqualia 6750, inæqualia 1521, differentia 5238, quia er- go f c e$t 12, duplum eius e$t 24, ductum in d h, quæ e$t 216, nam d k ex $uppo$ito e$t 9, fiet ergo 5184, cui $i addam, quod fit ex f e, quæ e$t 6, in d k, quæ e$t 9, fitqúe 54, erit totum 5238, quod erat propo$itum.</P> <marg>C<I>or</I>^{m}.</marg> <P>Ex hac demon$tratione liquet, quod $i linea in duas partes æ- quales diuidatur, & duas inæquales, quòd parallelipeda æqua- lium $ectionum pariter accepta excedent parallelipeda inæqua- lium $ectionum, $imul iuncta in eo quod fit ex tota linea in quadra- tum differentiæ partium æqualium ab inæ qualibus.</P> <P>Propo$itio ducente$imadecima.</P> <P>Si duæ lineæ ad æquales angulos ab eodem puncto peripheriæ circulirefle ctantur, nece$$e e$t angulos cum dimetiente factos æ- quales e$$e. Vnde manife$tum e$t protractam diametrum angu- lum $uppo$itum per æqualia diuidere.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Re$iliat radius d b c ad æquales angulos, ut fert natura rerum <foot>dum</foot> <p n=>243</p> dum à plano re$ilit (licet refragante Plutarcho) ita ut anguli c b e, & d b f $int æquales, dico angulos ibidem d b a, & c b a æquales e$$e: <fig> & quod $i trahatur latus a b u$<01> ad g, quod anguli d b g & c b g etiam erunt &ecedil;quales. Primum patet, quia an- guli a b e & a b c & a b f æquales $unt, $unt enim re$i- dui ad angulos contactus eiu$dem circuli & rectæ, igi tur additis æqualibus ex $uppo$ito c b e, d b f erunt <marg>P<I>er</I> 16. <I>ter tij</I> E<I>lem.</I></marg> per communem animi $ententiam a b c & a b d æqua- les. Secundum, cum $int a b c & a b d æquales, & duo anguli a b c, c b g æquales duobus rectis: item<03> a b d, d b g duobus rectis æquales: Et omnes recti inuicem æquales ex <marg>P<I>er</I> 13. <I>pri- mi</I> E<I>lem.</I></marg> petitione Euclidis erunt per communem animi $ententiam, æqua- les re$idui quo<01> c b g & d b g.</P> <P>Ex hoc patet, eam quæ re$ilit lineam $emper ultra lineam à cen- <marg>C<I>or</I>^{m}. 1.</marg> tro ad punctum, ex quo re$ilit ductam ferri.</P> <P>Con$tat quia linea ex centro diuidit angulum per æqualia, ergo <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> cadit media inter illa quæ incidit, & quæ re$ilit.</P> <P>Ex hac etiam patet, quòd con$tituto angulo in cen- <marg>C<I>or</I>m. 2.</marg> tro a b c, & ducta linea a d à puncto a, $ciemus quo re$i- $ilit in linea b c: ducta enim c d, faciemus angulum c d e <marg>P<I>er</I> 23. <I>pri mi</I> E<I>lem.</I></marg> æqualem a b c, & erit angulus a d g æqualis angulo e d h, igitur d e re$ilit ex a b a d linea.</P> <fig> <P>Propo$itio ducente$imaun decima.</P> <P>Si duæ lineæ ex duobus punctis peripheriam contingentes in eandem partem protrahantur, $emper magis di$tabunt inuicem ea ex parte, & nunquam concurrent.</P> <fig> <P>Duæ $emidiametri a b, a c ex terminis earum <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> duæ contingentes b f, c e, dico quod quanto magis protrahentur in partem e f, tantò magis di$tabunt, nunquàm concurrent: Nam angu- lus a c g rectus e$t: angulus uerò c a d, $i $it re- <marg>P<I>er</I> 29. <I>pri- mi</I> E<I>lem.</I></marg> ctus e g, nun<08> concurret cum a d, æquidi$ta- bit enim ei: $in aut $it maior recto aut ex altera <marg>P<I>er</I> 13. <I>pri- mi</I> E<I>lem.</I></marg> parte erit minor, & ita concurret, ergo in alte- <marg>P<I>er</I> 6. & 4. <I>$exti</I> E<I>lem.</I></marg> ram partem ductæ nunquàm concurrent, $ed perpetuo magis di- $tabunt. Si ergo minorrecto $it angulus c a b, igitur e c ex eadem <marg>P<I>er</I> 5. <I>petit.</I> E<I>uclid.</I></marg> parte concurret cum a d: concurrat ergo in g: & quia e g cadit ex- <marg>P<I>er</I> 6. <I>ter- tij</I> E<I>lem.</I></marg> tra circulum, igitur diuidet b f, quæ tangit circulum. Sit ergo ut di- <foot>X 2 uidat</foot> <p n=>244</p> uidat in h, igitur h e & h f cùm angulum con$tituant, quanto magis protrahentur eo magis di$tabunt, nec unquam concurrent.</P> <P>Propo$itio ducente$imaduodecima.</P> <P>Si ab eodem puncto ad circuli peripheriam, lineæ quotuis du- cantur, tres inuenire lineas, quæ nõ in alium punctum reflectentur.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Quouis con$tituto puncto ueluti a extra circu lum b c d, dico po$$e trahi tres lineas ad ip$am cir- culi peripheriam, uelut a b, a c, a d, quæ ad alium punctum non reflectentur. Ducantur ergo a e ad <marg>P<I>er</I> 17. <I>ter- tij</I> E<I>lem.</I></marg> centrum, & a b & a d ad contingentes illius peri- pheriam, quas con$tat non reflecti $ed progredi, <marg>P<I>er</I> 61. <I>ter tij</I> E<I>lem.</I></marg> a c autem reflectitur in $eip$am per demon$trata <marg>P<I>rop.</I> 210.</marg> $uperius, igitur con$tat propo$itum.</P> <fig> <marg>C<I>or</I>m. 1.</marg> <P>Ex hoc patet, quod omnia puncta $ub linea contingente po$$unt reflecti ad ip$um per arcum interceptum à contingente, & ea quæ ad centrum.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Id e$t, quod omnia puncta infra lineam a b f ductam quantum- libet po$$unt reflecti per arcum b c ad punctum a æqualibus an- gulis. Quoniam ex a per c b reflectuntur ad quælibet puncta infra a b f, eo quòd termini $unt punctum a, per ea quæ $unt hic demon- $trata, & a b f, ip$a ergo $i extrema in extremis, media in medijs con- tinentur per regulam illam Dialecticam: igitur omnia puncta $ub a b f etiam in infinitum producta continentur in reflexione à pun- cto a per arcum b c.</P> <marg>C<I>or</I>^{m}. 2.</marg> <P>Et rur$us, $i à circulo ad circulum extremæ ducantur, nec illæ re- flectentur, $ed tran$ibunt: mediæ autem omnes reflecti poterunt à quouis puncto.</P> <fig> <P>Quia $i a b $it Sol, c d Luna, Sole minor extremum in utro<01> lumina- ri a c, b d quæ contingant utrunque circulum, quod facile fiat, ductis a c & b d ex punctis non oppo$itis, æ- quidi$tarent enim, $ed iuxta quan- titatem dimetientis minoris. Erit er- go ut h e non reflectantur, aliæ o- mnes mediæ reflectentur per demon$trata à quolibet puncto, ergo idem de totis circulis & punctis.</P> <head>SCHOLIVM.</head> <P>Propo$itis duobus circulis lineam ambos cõtingentem ducere.</P> <foot>Propo$itorum</foot> <p n=>245</p> <P>Propo$itorum circulorum a & b centra iungam recta a b, $uper <marg>C<I>o</I>_{m}.</marg> quam ut $emidiametrum de$cribo circulum b c, & ex puncto a ad <marg>P<I>er</I> 11. <I>primi</I> E<I>lement.</I></marg> perpendiculum a d, ex quo ab$cindo æqualem $emidiametro b e li- <marg>P<I>er</I> 3. <I>pri- mi</I> E<I>lem.</I></marg> <fig> neam d f, ex f duco a d perpendi- culum f g, ex g in a duco a g, & æ- qualem angulo g a d, b a h ab$cin do h k &ecedil;qual&etilde; d f $eu b e, duco aũt <marg>P<I>er</I> 23. <I>pri- mi</I> E<I>lem.</I></marg> b e, ut $it æquidi$tãs h k, duco h e, <marg>P<I>er</I> 31. <I>pri mi</I> E<I>lem.</I></marg> quã dico contangere utrun<01> cir- culũ b k: <04>duco b k, & quia duæ lineæ b a & a k $unt &ecedil;quales duo- bus lineis a g & a f, duæ enim prodeunt ab eodem centro, reli- quæ $unt re$idua æqualium d f & h k, & angulus b a k æqualis <marg>P<I>er</I> 4. <I>primi</I> E<I>lem.</I></marg> g a f, ex $uppo$ito erit angulus g f a æqualis angulo b k a, g f a au- tem rectus fuit, quia g f ad perpendiculum erecta fuit, itaque b k a rectus e$t, & ideo b k h rectus, quare cũ b e & k h $int æquales, & æ- <marg>P<I>er</I> 13. <I>pri- mi</I> E<I>lem.</I></marg> quidi$tantes, erit angulus e oppo$itus b h k rectus, igitur duo angu li e b k & e h k duobus rectis æquales, quare cum $int æquales inui <marg>P<I>er</I> 33. <I>pri- mi</I> E<I>lem.</I></marg> cem, quia oppo$iti in parallelogrammo uterque eorum rectus erit. <marg>P<I>er</I> 32. <I>pri mi</I> E<I>lem.</I></marg> Recti ergo $unt anguli e & h, & lineæ b e & a h ex centris circulo- rum, & angulos Illos con$tituit lineæ e h, igitur e h contangit u- <marg>P<I>er</I> 16. <I>ter- tij</I> E<I>lem.</I></marg> trunque circulum.</P> <P>Propo$itio ducente$imatertiadecima.</P> <P>Propo$ito circulo at<01> in eius peripheria puncto $ignato lineas contingentes ultra citra<01>, & etiam ab ip$omet deducere.</P> <fig> <P>Sit circulus b c d, & in eius peripheria c <marg>C<I>o</I>m.</marg> punctum de$criptum, & $umatur b d por- tio minor quadrante, in qua punctum c, & ducantur a b, a c, & ducantur b e, c f, d g, ad <marg>P<I>er</I> 11. <I>pri- mi</I> E<I>l<*>m.</I></marg> perpendiculum, & con$tat propo$itum, & quod nunquam ex eadem parte conuenient <marg>P<I>er</I> 221.</marg> ex eadem parte ex demon$tratis $uprà.</P> <P>Propo$itio ducente$ima quartadecima.</P> <P>Si extra circulum duo puncta &ecedil;qualiter à centro di$tantia $ignen tur, erit punctum reflexionis æqualis, in medio arcus intercepti in- ter lineas, quæ à centro ducuntur ad illa puncta. Si uerò unum cen tro proximius fuerit altero punctum æqualitatis in peripheria, tan to longius uer$us breuiorem lineam, quanto punctum aliud à cen- tro magis di$teterit.</P> <foot>X 3 Sint</foot> <p n=>246</p> <marg>C<I>o</I>_{m}.</marg> <P>Sint puncta b c, æqualiter di$tantia à cen <marg>P<I>er</I> 21. <I>ter- tij</I> E<I>lem.</I></marg> tro a circuli d e, & reflectantur c f, b f, dico f <marg>P<I>er</I> 4. <I>primi</I> E<I>lem.</I></marg> e$$e in medio arcus d e: producta enim f a, erunt anguli d a f & e a f æquales: $upponi- tur enim primũ f e$$e in medio: igitur cum a b & a c $int æquales, & a f communis, erit a f c æqualis a f b, igitur reflectentur æqua- liter: ergo $i &ecedil;qualiter reflectentur, ex f re- flectentur, ut ex $ecunda parte: quare ex medio.</P> <fig> <marg>P<I>er</I> 210. P<I>ropo$.</I></marg> <P>Sumatur rur$us punctum g, remotius ab a quam b, dico quòd reflexio erit in arcu f e. Nam non in e, quoniam fic g e d e$$et æqualis b e k, cui rur$us e$t æ- qualis b e d, ergo g e d æqualis b e d, pars toti. Sed ne<01> ultra e, nam multo magis pars æqualis e$$et toti aut maior etiam. Sed ne<01> ex f, nam eadem ratione pars e$$et maior toto. Neque in toto arcu f d: nam $it punctum l, & ducantur al, g f, igitur g l a maior g f a, g f a au tem maior e f a, igitur g l a maior c f a, &ecedil;qualis ex $uppo$ito b f a, b f a <marg>P<I>er</I> 21. <I>pri mi</I> E<I>lem.</I></marg> rur$us maior b l a: multo igitur maior g l a quam b l a, non ergo re- flexio æqualis e$$e pote$t. Cum ergo reflexio fiat, & non ex arcu d f, <marg>P<I>er</I> 1 C<I>or</I>_{m}. <I>præcedentis.</I></marg> nec puncto f, nec e, nec ultra e, nec extra d, erit nece$$arium, ut fiat ex puncto in arcu e f.</P> <marg>C<I>or</I>^{m}. 1.</marg> <P>Ex hoc patet, quod linea a puncto ducta, quo longius fertur, eo etiam longius re$ilit.</P> <fig> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Cum enim a c b maior $it a d b, & angulus e c b <marg>P<I>er</I> 21. <I>tertij</I> E<I>lem.</I></marg> æqualis a c b & f d b æqualis a d b, erunt duo an- guli a c b & e c b, maiores a d b & f d b, quare reliquus f d a maior a c e, igitur'd f re$ilit latius quam c e.</P> <marg>C<I>or</I>^{m}. 2.</marg> <P>Ex hoc patet, quod tales lineæ quæ re$iliunt nunquam concurrent.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Scilicet c e & d f nam con$tat ducta c d, angulos e c d f & d e, ma- <marg>P<I>er conuer- $am</I> 5. <I>petit.</I> E <I>uclid.</I></marg> iores e$$e duobus rectis, ergo non concurrentin partem e f.</P> <P>Propo$itio ducente$imaquintadecima.</P> <P>Punctum reflexionis punctorum inæqualiter di$tantium à cen- tro, æqualiter di$tat à lineis ductis à centro ad puncta, æqualiter di $tantia alterutrin<01>.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Sint g h a & b h a æquales, & ab$cindatur h f æqualis h b, & pro- ducatur h b u$que a d c, ut $it h c æqualis h g, & producantur f a & <foot>c a, quæ</foot> <p n=>247</p> c a, quæ $ecent peripheriam in d & e, dico quod punctum h e$t medium inter e & l, item inter d & <marg>P<I>er</I> 210.</marg> k. Nam cum h f & h b $int æquales ex $uppo$ito, <marg>P<I>er</I> 4. <I>pri- mi</I> E<I>lem.</I></marg> & anguli b h a & g h a æquales, & linea h a com- <marg>P<I>er</I> 26. <I>ter- tij</I> E<I>lem.</I></marg> munis, erit angulus b a h æqualis f a h, igitur ar- cus h l æqualis arcui h e. Similiter angulus g h a e$t æqualis e h a & c h æqualis h g ex$uppo$ito, & a h communis, igitur ut $uprà angulus c a h æqua- lis g a h, igitur per eandem arcus h k æqualis arcui h d, quare h punctum in medio d & k, & in medio etiam e & l, quod e$t probandum.</P> <fig> <P>Propo$itio ducente$ima$extadecima.</P> <P>Si fuerint circuli duo inæquales, & extra utrun<01> punctum a d il- lud ex minore reflexè per magnam partem minoris à maiore perue nire poterunt.</P> <fig> <P>Sint duo circuli, maior a b, mi- <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> nor c d, & punctũ g, extra utrun- que, dico quod a d g ex c d pote- rũt reflexè produci a b in c d, quia enim ex a b quibu$uis punctis po$$unt duci lineæ reflexè ex c d, & ideo cum puncta in a b uarient reflexionem ex c d, aliter pars e$- $et æqualis toti, patet intentum.</P> <P>Ex hoc patet, quod oculus in <marg>C<I>or</I>_{m}. 1.</marg> quauis parte terræ con$titutus, in qua Lunam uidere po$sit, poterit eam uidere per radios reflexos à Sole.</P> <P>Ex hoc rur$us patet, quod eod&etilde; modo oculus poterit uidere $u- <marg>C<I>or</I>_{m}. 2.</marg> perficiei Lun&ecedil; illuminat&ecedil; part&etilde; p radios reflexos à Solis corpore.</P> <P>Hoc patet, quoniam $i circuli Solis $inguli, qui illuminant Lunã <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> o$tendunt per primum corrolarium huius part&etilde; circuli Lunæ per radios Solis reflexos ab ip$a Luna, putà $ecundum portionem cir- culi e f, igitur cum liceat in Sole accipere magnam partem $uperfi- ciei eius, quæ Lunam illuminat, in qua continentur infinitæ por- tiones circulorum, & hæ $ingulæ mittunt radios reflexos ex Luna ad punctum g, igitur g uidebit portionem $uperficiei Lunæ $ecun- dum longitudinem e f per radios Solares à Luna reflexos: quod e$t propo$itum.</P> <foot>X 4 Propo$itio</foot> <p n=>248</p> <P>Propo$itio ducente$imadecima$eptima.</P> <P>Oculus uidet partem $uperficiei Lunæ illuminatam à Sole per radios reflexos à Solis corpore: nec tamen pote$t uidere imaginem ip$ius in Luna tanquam in $peculo.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Quoniam per illos, ut demõ$tratum e$t, pote$t uidere, & illi $unt <marg>I<I>n præceden ti.</I></marg> robu$tiores, ergo per illos uidet, omnis enim operatio tribuitur di- gniori cau$æ & potentiori. Item, quoniam uidemus Lunam in no- cte immittere radios per fene$tram uelut Sol: irradiare autem non e$t ni$i habentis tantum lumen ex $e, ut hoc po$sit facere, aut ut $par gantur, aut ut reflectantur: ex $e tantum non habet ut adparet hora deliquij: ne<01> $pargit, $ic enim non impediret Solem hora deliquij, Solis ergo reflectis. Ergo uidemus per radios reflexos. Non tam&etilde; per eam uidemus Solem, ut in $peculo obiecto, quoniam Luna pri mũ lucet proprio lumine, & rubro $icut pruna, quod autem debet fungi uice $peculi, oportet ut careat colore, & $it uelut aqua, & ut $it purum. Deinde, quia Sol e$t maior Luna, ideò uidetur ut paries in $peculo, uidetur enim non res reflexa, $ed quod ip$um $peculum $it paries, & ita Sol uidetur, ut totum quoddam, & non pote$t obid cogno$ci. Et etiam magnitudo luminis per quam oculus non po- te$t di$tinguere Lunam ab imagine Solis: nam ea his quæ per$pe- culum uidentur, oportet duo cogno$cere, $peculum, & rem quæ ui detur, $ed magnitudo luminis prohibet $peculum uideri, ergo non poterit uideri aliud tanquam in $peculo, $ed $olum $peculum cum lumine tanquam res una. Et ita de Luna. Acce dit magnitudo di- $tantiæ: nam in $uperflua di$tantia non cogno$citur $uperficies $pe- culi, $ed $olum rei obiectæ imago, & illa habetur pro $uperficie $pe- culi, ergo oculus non di$tinguit inter $peculum, & rem ui$am, ideò non uidet tan quam è $peculo. Ex quo $equitur, quod Luna iudica- bitur longiùs abe$$e quàm ab$it, quia quod uidemus ex ea e$t So- lis imago, quæ longius multo abe$t à nobis ip$a Lunæ $uperficie. Cum ergo $int quatuor cau$æ, quarum unaquæ<01> impedire po$$et, quominus Sol non uideatur in Luna tanquàm in $peculo, quanto magis cùm omnes ad$int in Luna, & $imul concurrant.</P> <P>Propo$itio ducente$imadecimao ctaua.</P> <P>Rationem maculæ Lunæ indagare.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Supponamus primum quæ $unt manife$ta, inde addamus quæ $unt ueri$imilia ualde, po$t ueri$imiliora ex dubijs, ubi ratio utrin<01> pugnare uidetur, demum dicemus de quæ$ito. Manife$tum e$t igi- tur, quod Luna di$tat à nobis circiter <20> X MP. dimetiens igitur or bis Lunæ e$t circiter CCC<18><18> MP. igitur ambitus <21>MP. igitur in hora <foot>circuit</foot> <p n=>249</p> circuit circiter XLII MP. Ergo in ictu in$en$ili penè, id e$t, tempore ictus pul$us infantis laborantibus acuti$sima febre II MP. quoniam quinque tales ictus continentur penè in ictu uno uiri temperatæ naturæ, & <23> ictus pul$us fermè uiri temperati complent $patium horæ. Igitur Luna mouetur rapidi$simo motu & $imili motui ful- guris. Ex quo patet quod e$t corpus expers grauitatis & perfe- ctum, quare nec mi$tum, nec uitiatum.</P> <P>E$t etiam rotunda, tamet$i enim ob di$tantiam maximam po$- $et uideri rotunda, etiam quod non e$$et, ueri$imile tamen e$t, cum umbram talem efficiat in deliquio Solis, & cum exit è tenebris ter- ræ, tum quia perfecta e$t quod $it rotũda, aut prope rotunditatem, $ed quod e$t perfectum & diuinum (quia $eruat æqualitatem, hoc enim demon$tratum e$t, quod æquale $olum reperitur in diuinis quod ad motum attinet) exactè tale e$t, igitur Luna e$t exactè ro- tunda in circuitu $ecundum $uperficiem orbis. Ergo etiam unde- qua<01> & $ecundum profunditatem: nam in commutatione nõ po$- $et latere inæqualitas. Et etiam non e$t ueri$imile ullo modo, quod corpus perfectum & diuinum $it informe. E$$et autem nece$$ario eiu$modi, $i e$$et exactè rotunda $ecundum longitudinem & latitu- dinem, & $ecundum profunditatem alterius figuræ. Veri$imilius e$t ergo, Lunam e$$e ut ignem qu&etilde;dam den$um per $elucidum, $ed inæqualiter lumino$um, non $olum ob $ub$tantiæ den$itatem, $ed copiam luminis & puritatem, quæ impuritas non illi accidit, quia mi$ta, $ed quoniam e$t inæqualium partium partium rararum ac den- $arum & mediarum. Ne<01> $olum collu$tratur à lumine ex his quæ diximus, tum etiam quia collu$trata non lucent procul, ut neque montes, qui plurimum ab$unt, quamuis non tale procul ut Luna, imò nec nix qu&ecedil; illis in$idet, $ed nix e$t multo cãdidior per $e quàm Luna, quam con$tat lumine Solis de$titutam e$$e rubrã, ergo Luna relucet radijs Solaribus eli$is uelut à $peculo. Et $i quis in orbe Lu- næ e$$et media die $erena, non uideret terram lumino$am, quæ mul to maior e$t Luna, & paulo plus à Sole di$tat, & quando <01> illi pro- pior e$t quàm Luna. Macula autem Lunæ e$t qualis depingitur cum ore, oculis & na$o, $ed quod magis $pectatur e$t os ip$um: <fig> adeò ut Plutarchus non de macula Lunæ, $ed de ore Lu- næ in$crip$erit. Non uerti autem Lunam, ex hoc probat <marg>T<I>ex.</I> 49.</marg> Philo$ophus $ecundo de Cœlo. Igi&ttilde; ab Oriente in Occi- dent&etilde; uerti $ub, & $uprà nece$$e e$t. Scilicet ut oculi infrà os $upra appareat. Videtur autem magis in plenilunio ob differentiã luminis, & tota quoniam pars uer$us nos etiam tota illu$tratur. Et ex illo loco apparet, quod Auerroes ne$ciuit Geo- <foot>metriam,</foot> <p n=>250</p> metriam, ficut $emper fuit mos Philo$ophorum cõtentio$orum, ut nil $ciant, $ed $olum garrire. audierat hoc ab aliquo malo Geome- tra, & repo$uitin $uos libros: nam nos, ut $uprà uidi$ti, demon$tra- uimus oppo$itum. Quod uerò $it macula illa ex umbra terræ, ue- rum non e$t, quoniam una e$$et & non diui$a, & occuparet totam il lius faciem: nec e$t uerum quod mutaret $itum, quia $uperficies ter- ræ e$t nonupla $uperficiei Lunæ. Sicut terræ $uperficies e$t minor trige$ima parte $uperficiei Solis. Nec $pargitur lumen Solis in Lu- na, nam $ic e$$et ambitus ut uia lactea: cum autem Luna delin- quit in Oriente, e$t glauca & purpurea, cum in cœli medio rubra, cum in Occidente nigra uidetur, nam ab utra<01> parte tenebris ope- ritur: ex Oriente ab umbra terræ, ab Occidente ab ob$curitate loci. In medijs locis medijs coloribus, quos A$trologi terraticis tribu- unt: hoc autem quandiu tota delituerit, quod tempus horam uix implere pot e$t. Ergo partes peruiæ non remittunt lumen, ideò ob- $curæ apparent, quod in uitreis $peculis à quorum partibus plum- bum excidit: nam nigræ illæ apparent, reliquæ $plendidæ, obid $y- dera aliquando per illam relucent, & aliquando non. Et Solaris eclyp$is tempore, non lux tota Solis perit: at<01> ideo ut uidemus, & uariant colores eo tempore, non tam&etilde; collu$trat $plendidè Sol ob <marg>2. A<I>poteles</I> P<I>tolem.</I></marg> cra$sitiem Lunaris corporis hæc inferiora, tum etiam ob diuer$ita- tem partium, & ad $itum. Nam $i Sol $it ad $itum a b, tran$ibunt mul <fig> ti radij, $i c d pauci$simi aut nulli, $ed ut ubi tenuior e$t Luna in ambitu, & Solis radij den$iores tran$eunt, & $ydera pellucent contrarijs cau$is minus, ut iuxta medium nequaquàm. At Lunæ maculam radij effi- ciunt, etiam $i tota $ubtus opaca e$$et, cum peruia uel tantillum fuerit in $uperficie, ut uenis opus non $it. Etiuxta hoc macula illa, ut liquet, ad perfectio- nem corporis Lunæ pertinet magis quam pars $plendida, quam- uis prima cogitatione oppo$itum uideatur. E$t enim duplex perfe- ctionis genus in cœle$tibus corporibus, & ob den$itatem cum re- mittit, & ob per$picuitatem cum à Sole, ut uniuer$ali quo dam prin ci pio illuminatur.</P> <P>Propo$itio ducente$imadecimanona.</P> <P>Ratio nem eorum quæ apparent circa Solem $peculo in aqua po $ito declarare.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Sit peluis a b aqua plena: $peculum in ea c d e f quadratum, aut perfecte, aut oblongum $u bmer$um in ea: Sol primum $olus in g <foot>o culus</foot> <p n=>251</p> oculus ex aduer$o in h, ita ut ad æquales angulos po$sit uide- re Sol&etilde; in k, dico &qring;d depre$$o oculo in m, uidebit alium Solem maiorem uer$us mar ginem aduer$um in l, & longè $plendidio- rem: quia enim radij reflectũtur ex k, ut ro bu$ti & à medio den $iore ad rarius, qui non inflecten&ttilde;, erunt pauci, & ideò Sol in k minor apparebit, et languidior: maior au <fig> tem pars deflectetur à perp&etilde;diculari ad m, igitur Sol apparebit ma- ior & ualidior longè $plendentibus radijs, adeò ut uix ferri po$sit. Sed quoniam angulus ex $uppo$ito m l $ maior e$t h k e, igitur cum oculus iudicet $e uidere a d æquales angulos, uidebitur g depre$- $ior & propior labro in t, $icut n m e$t infra h, ita t infra g, quare etiã ut angulus m l $ $it æqualis angulo t l f, nece$$e e$t ut l $it ultra k: ali- ter t uideretur qua$i tangere aquam. In hora autem deliquij Solis, uelut hodie v. Idus Aprilis hora $exta diei, cũ diligenti$simi $tatue- rint medium eclip$is in quinta, & $uppo$ita fuerit ob$curatio à Io- anne Stadio partium nouem cum be$$e, & tempus horæ unius & m: 26, fuit tamen maior & longior: quoniam luminaria fuerũt pro- piora una parte caudæ Draconis, quam ip$e po$uerit in tabulis, & hoc quia $upponit &ecedil;quinoctium tardius diebus duobus quã apud Alphon$um: & for$an $ufficiebat una dies, $cilicet ut e$$et die deci- ma Martij horis decemocto à meridie: nam tunc omnia re$pon- dent ob$eruationi: in qua apparuerunt quatuor Lunæ: & quidem ab initio fuerunt duæ orientaliores è regione, $cilicet o p, & una o c cidentalior n, & tantum di$tabat n a k quantum o: Et clarum erat quòd p erat, $icut $ecunda iris parua & non candida, $ed rubra pur- pureo mi$ta, quoniam ex reflexu o oriebatur: apparebat autem a la tere illo, quoniam Luna dextram partem obtegebat, ideo illa erat minus lumino$a, & uerus Sol erat in k, modò Lunæ, modò Solis imaginem referens ubi tran$i$$et eclip$is medium, non amplius tres illæ Lunæ apparuerunt à dextra & à $ini$tra, $ed una ultra nos <foot>in q</foot> <p n=>252</p> in q, & duæ uer$us nos in r & n & quæ erat in F, erat $imiliter parua & purpurea rubra<03>, & mutato $peculo uariebatur $i- tus q & r u, id e$t, ut modo e$- $ent qua$i in medio laterum e & f, quando que tran$uer$æ. Et hoc contigit ob mutation&etilde; lo- ci k propter $peculi uariation&etilde;.</P> <fig> <P>Cau$a e$t, quoniam Luna cũ permeet Solem non è regione recta lineæ oppo$itæ no$tro ui $ui, & $olum mom&etilde;to, & in lon gis temporũ interuallis po$sit obtegere illum. Sit ergo ut Sol obtegatur à Luna medijs par- tibus, & $int radij extremi in $peculo: a c & a d, igitur erunt tanquam duo Soles, $ed uter<01> illorum geminatur, ideò fiunt tres: medius enim ob Lunæ per$picuitatem integer, appa- ret, ideò modò $ub forma So- lis, modò Lunæ laterones am- bo $ub forma Lunæ: ideò erũt tres, quib. ad dita Luna p, quæ e$t reflexa a $ecunda, fient qua- tuor. At dices cur non fit refle- xus $ecundum directum oculi, ut Lunæ appareant ultra citra- que Solem? Dico quod Luna diuidente orbem reflexus fit ad latera, quia radij tran$uer$im ferun- tur: cum autem non diuiditur fit pror$um & retror$um. Sed cur di- ces Lunari forma? quoniam partes Solis quæ uigent, eiu$mo di for- ma apparent, Iconem uides à latere.</P> <P>Propo$itio ducente$imauige$ima.</P> <P>Cau$am cur Sol æ$tiuis diebus exoriens umbram ad meridiem, cum in meridie ad boream mittat, explorare.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Dico quod ubicunque terrarum in no$tro hemi$pherio, Sol ubi fuerit in Oriente $eu Occidente uidebitur, cum $ub circulo æquino ctij fuerit èregione, nobis etiã $i homo $ub arctico circulo habitet, <foot>& ita</foot> <p n=>253</p> & ita re$picienti ad polum umbra erit à dextra in $ini$tram, dum o- ritur & à $ini$tra in dextram dum occidit. Et quod dum erit in me- ridie umbra uerget ad Septentrionem. Tertiò dico, quòd in his qui habitant uer$us Septentrionem à tropico cancri umbra in Me- ridie, quo cun<01> tempore anni borealis erit. Quarto, quòd ij$dem toto dimidio anni ab æquinoctio uerno ad autumnale, umbræ o- riente & occidente Sole $unt meridianæ tran$uer$æ: & muri re$pi- cientes boream illuminantur. Sit finitor a b c d in regione boreali, cuius uertex e & f polus, eleuatio poli $upra finitorem a f, æquino- ctij circulus b q d, cui parallelus borealior Solis uia per cancri ini- tium, g h l m n, circulus magnus per uerticem, & inter$ectiones æ- quinoctij, & finitoris b h e m d, Meridiei $emicirculus $uperior a f e l q c. Cum ergo uertex regionis $it in e, & circulus magnus b h d tran$iens per uerticem, tran$eat per centrum terræ ex diffinitione circuli magni, & linea à uertice grauium habitantium $ub uertice e, <fig> tendat ad centrum terræ ex de- mon$tratis ab Ari$totele, & $up po$itis ab A$trologis, &qring;d gra- uia omnia tendunt ad centrum terræ, erit quodlibet graue$eu murus $eu homo, $eu per ulti- mam petition&etilde;, $eu per demon- <marg>F<I>ropo$.</I> 1</marg> $trata in undecimo ab Euclide murus, & homo quiuis inco- laregionis in $uperficie circuli uerticalis b e d. Igitur dum Sol e$t in b uel d, umbræ erũt à dex tro in $ini$trum, uel contrario modo, & ita Sol uidebitur e$$e è regione nobis: & murus faciet um bram oriental&etilde; uel occidentalem. Et hoc e$t primum. Et quoniam cum Sol erit in Meridie, tum erit in q, igitur erit umbra ad Septen- trionem, cum e $it loco gnomonis & murus. Et hoc e$t $ecun dum. Tertium etiam patet, quia Sol nun quam tran$ibit punctũ l in Me- ridie uer$us boream, $ed regio $upponitur borealior l, igitur tempo re meridiei umbra $emper hic borealis erit. Et quoniam b h e m d $ecat parallelos, qui $unt in Septentrione ut puta tropicum in h & m, igitur oriente Sole, & occidente rur$us per totum arcum g h & m n, uidebitur borealior quàm in b uel d parte arcus magni in- tercepti inter arcum magnum tran$euntem per uerticem & locum Solis, ubi $ecat finitorem & puncta b, & d: & ita erunt umbræ Me- ridionales toto hoc tempore, & hoc e$t quartum.</P> <foot>Y Ex quo</foot> <p n=>254</p> <marg>C<I>or</I>^{m}. 1.</marg> <P>Ex quo $equitur, quod in hoc toto tempore ueris & æ$tatis, cùm Sol in Meridie uideatur e$$e po$t tergum, & in Meridie, & dum ori tur à parte Septentrionis. Ergo ab ortu Solis ad Meridiem uidebi- tur ferri motu diurno, linea obliqua à Sept&etilde;trione in Meridiem: & à Meridie ad Occa$um, alia obliqua linea à Meridie in Septentrio- nem: ut in figura, ut $i Sol $it in a in Oriente, b in Meridie, cin Occi- dente, & uertex nobis in e.</P> <marg>C<I>or</I>^{m}. 2.</marg> <P>Sequitur etiam, quòd $i tempore æ$tatis <fig> po$$emus in media nocte uidere Solem, in cœli medio uideretur, tantundem uer$us bo ream declinare, quantum in Meridie ad Me ridi&etilde;. Et hoc quia circulus æquinoctij b q d, tanto borealior e$t in parte inferiore circulo per uerticem, quanto in $uperiori e$t au$tra- lior: quoniam circuli magni $e $ecant per æ- qualia. Et $i hoc e$t uerum de Sole $ub æqui- noctij circulo, quãto magis erit uerum de Sole $ub tropico æ$tiuo?</P> <marg>C<I>or</I>^{m}. 3.</marg> <P>Ex præcedenti patet, &qring;d Sol in media nocte borealior uideretur $ub æquinoctij circulo tanto, quãto uidetur au$tralior $eip$o, dum e$t $ub tropico cancri, quia circuli $e $ecant ad angulos oppo$itos æquales: igitur $i uerticis circulus maiorem facit angulum $uperio- <fig> rem cum æquinoctij quam tro <marg>P<I>er funilem</I> 15. P<I>ropo$. pri- mi</I> E<I>lem.</I></marg> pici borealis circulo, igitur & inferiorem: homo autem & ui- $us iudicat au$trale & boreale iuxta in clinationem circuli du cti per locũ Solis ad circulum ductum per locum uerticis.</P> <P>Propo$itio CCXXL</P> <P>Magnitudo Lunæ & cæte- rorum a$trorũ digno$citur ex proportione aliorum ad eam iuxta di$tantiam: ip$ius uerò iuxta rationem pupill&ecedil; ad Lu- nam di$tantiæ ratione.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Sit pupilla a b, quæ in circu- lo l m, po$ita in eodem centro, comprehendat portionem no tam l m, ideo clau$o oculo alte- ro eandem portionem uidebit totius cœli, ut liquet ex demon <foot>$tratis</foot> <p n=>255</p> $tratis in Elementis Euclidis, igitur nota l m nota erit pupillæ, & ideo g h quanta $it portio cœli, quia k e$t etiam qua$i centrum cœ- li Lunæ, $it ergo Luna c d, erit<03> tanta portio g h notæ, quanta e f pars pupillæ, per quam uidetur ip$ius a b: e f autem $imiliter e$t no- ta in n o, igitur & c d in comparatione ad totum cir culum. Quia ue- ro g h e$t nota, & in Sole con$picitur arcus notus æqualis, ergo erit nota diuer$itas a$pectu ob di$tantiam no$tram à terræ centro, qua- re altitudo Lunæ nota, & eius magnitudo, eius enim ad $emidiame trum oculi, ut c d ad ef. Hoc autem e$t cra$$a Minerua additum, ut quis intelligat difficiliora e$$e quæ cra$$a uidentur, quàm quæ ela- borata. huiu$modi autem diuina, de quibus mox dicendum erit.</P> <head>SECVNDA PARS DESVPER</head> <P>Principia.</P> <head>DIFFINITIO PRIMA.</head> <P>Proportio imperfecta $eu pote$tate e$t duarum quantitatũ, quæ $ic $e habent, ut nullæ duæ aliæ in eodem genere inueniri queant.</P> <head>DIFFINITIO SECVNDA.</head> <P>Proportio media e$t comparatio rei non habentis quantitatem, quæ tamen mutari po$sit ad rem, quæ quantitatem habeat.</P> <head>DIFFINITIO TERTIA.</head> <P>Proportio $ublimis $eu ordo dicitur duarum $ub$tantiarum, qu&ecedil; quantitatem non habeant, comparatio.</P> <head>PETITIO PRIMA.</head> <P>Infinitum quod imaginem habet quãtitatis, quantitatem autem non habet, ne<01> e$t quantitas.</P> <head>PETITIO SECVNDA.</head> <P>Repugnans e$t $uper quod nulla e$t potentia.</P> <head>PETITIO TERTIA.</head> <P>Non po$$e $uper ea quæ repugnãt, nullam declarat imperfectio- nem, ne<01> infinitum non e$$e negat.</P> <head>PETITIO QVARTA.</head> <P>Infinitum infinito maius e$$e non pote$t.</P> <P>Propo$itio ducente$imauige$ima$ecunda.</P> <P>Quantitates quæ æquales e$$e nõ po$$unt in eodem genere, ma- ius tamen & minus recipiunt, $unt in proportione pote$tatis.</P> <P>Sint propo$iti duo anguli, gratia exempli, a rectilineus, b uerò in <marg>C<I>o</I>m.</marg> circumfer&etilde;tia circuli, qui pote$t e$$e maior, & minor rectilineo pro- po$ito, & nunquàm pote$t e$$e æqualis, ut declaratum e$t $uprà, di- co proportionem b ad a e$$e pote$tate, nam ut ui$um e$t, pote$t e$$e maior & minor, & e$t maius & minus uerè, & ideò $unt in eodem genere, & uterque e$t continua quantitas, igitur in tran$itu nece$$e e$t, ut $int æquales aliquando $ed non actu, hoc enim repugnat, igi- tur pote$tate.</P> <foot>Y 2 Propo$itio</foot> <p n=>256</p> <P>Propo$itio ducente$imauige$imatertia.</P> <P>Quantitates quæ actu æquales e$$e non po$$unt, in nulla pro- portione actu e$$e po$$unt.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Sint duæ quantitates quæ æquales e$$e non po$sint, ut in priore exemplo a & b, dico quod non po$$unt e$$e in aliqua proportione in actu, aliter $int in proportione c, & ducatur cin b, fiat d, erunt er- go d & a æquales, quod e$t contra $uppo$itum, nam $upponitur quod nulla quantitas ex genere b $it æqualis a, $ed d e$t ex genere <marg>P<I>er</I> 9. <I>quin- ti</I> E<I>lem.</I></marg> b & æquale a, & ideo $uppo$itum non manet, igitur a & b non $unt in aliqua proportione in actu.</P> <P>Propo$itio ducente$imauige$imaquarta.</P> <P>Ne<01> temporis totius ut imaginamur ip$um e$$e infinitum, ne<01> æui uitarum proportio ulla e$t ad tempus quod pote$tate e$t, ut po tè diem uel men$em.</P> <marg>C<I>o</I>m.</marg> <P>Tempus ip$um ut infinitũ e$t, aut in actu e$t, aut refert quippiam in actu, pars autem temporis $olùm e$t pote$tate, quia nullum tem- pus in actu e$t, ne<01> annus, ne<01> men$is, ne<01> dies, ne<01> hora aut mo- mentum, $ed $i totum tempus non e$$et actu, nihil e$$et actu, ne<01> to tum ne<01> partes. Igitur totũ tempus, uel aliquid loco eius e$t actu, partes autem pote$tate, $ed ut ui$um proportio infiniti nulla e$t, & ad rem quæ actu non e$t, igitur tempus nullam habet proportio- nem ad annos, ne<01> men$es uel dies. Quare qui dicunt, quod mille anni $unt unus dies, in philo$ophia errant, $ecus apud Apo$tolum, ubi de diuinitate agitur. Ergo anni $unt longũ tempus, & dies bre- ue, quia dicuntur in comparatione inter $e, & non $ecundum pro- portionem ad infinitum. Quia $it infinitum a, & d uæ quantitates b maior, & c minor, uel ergo proportio a ad b c, e$t una uel diuer$a, $i <marg>P<I>er</I> 9. <I>quin- ti</I> E<I>lem.</I></marg> una, ergo b c erunt æquales, $i maior e$t ad c quam ad b, ergo infi- nitum e$t maius infinito, ergo non e$t infinitum, quod e$t con- <marg>4. P<I>etit.</I></marg> tra petita.</P> <P>Propo$itio ducente$imauige$imaquinta.</P> <P>Proportio media non e$t ex ratione agentis $ed patientis.</P> <fig> <P>Proponatur a quantitas, qu&ecedil; debeat mutari ab uir- <marg>C<I>o</I>m.</marg> tute quæ non fit in materia, & palam e$t quod non po terit permutari in in$tanti, quia $imul e$$et, & non e$$et ergo repugnaret, ne<01> etiam pote$t non e$$e, ut demon$tratum e$t in Hyperchen, quia repugnant nece$$ario & e$$entiæ Dei, ne<01> mo- uetur à certa proportione, quia b caret omni quantitate, ergo ni- <marg>P<I>er</I> 3. P<I>etit.</I></marg> hil o$tendit uim ip$ius b e$$e finitam, quod ergo moueatur tardè ce <foot>leriter</foot> <p n=>257</p> leriter paruum magnum, i$tud contingit totum ex conditionibus a, id e$t, materiæ & quantitatis: uelut, gratia exempli, $i a e$$et in ua- $culo palmi, non po$$et implere iugerum, & hoc nõ o$tendit ullam imperfectionem in b. Et $icut homines omnes $unt in carcere huius mundi, & tamen uidentur e$$e $ibiliberi, & appellant $olũ illos e$$e in carcere qui $unt in erga$tulo, ita omnis materia, & omnis quan- titas habet conditiones, per quas (ut ita dicã) con$tringitur, & repu gnat eas mutari, & ideò uitã agunt $ine ulla proportione. Quod ue rò dictum e$t, $upra dictum fuit, per exemplum dictum e$t, nõ quia ita $it, finge ergo quod in aliquo pariete, non $it albitudo, ni$i unius gradus, illa non operabitur ni$i per unum gradũ, etiam $i calx e$$et infinitè alba, & $imiliter de luce Solis, ergo omnes mentes mouent $ine proportione, & non po$$unt dici finitæ uel infinitæ, quia ip$æ $unt expertes omnis quantitatis, imò omnis relationis ad quantita tem, & hoc e$t quod latuit multos, & maximè propter dictum Phi- lo$ophi, e$t ergo omnis operatio iuxta id quod e$t in materia, & non quod una mens maiores habeat uires, alia cum non $it in eis, ne<01> maius ne<01> minus.</P> <P>Propo$itio ducente$imauige$ima$exta.</P> <P>Proportio $ublimis non con$i$tit in magnitudine, $ed ordine iuxta quem differentia e$t eius quod e$t ante & po$t.</P> <P>Non enim pote$t e$$e comparatio iuxta magnitudines motas, <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> quoniam uel $unt corpora cœle$tia, uel elementaria, elem&etilde;taria e$$e non po$$unt, quia illa cum $int corruptioni obnoxia, id e$t, tran$mu tationi, $ecundum qualitatem nõ po$$unt e$$e $ubiecta in corporca- rum $ub$tantiarum, ne<01> à primis $ub$tantijs moueri, ne<01> etiam ex- cipere primò lumen $uum, $ed mouentur per uim influxam à cœle- $tibus corporibus, ne<01> etiam per motum corporum cœle$tiũ, nam illa non mouentur $ecundum proportionem mentis ad corpus, $ed iuxta rationem finis, à qua circum$cribuntur, & ideo quod Satur- nus moueatur uelo ciore motu, quàm Iuppiter ab Oriente in Occi- dentem, hoc non e$t, quia uitæ quæ mouet Saturnum fit robu$tior uita qu&ecedil; mouet Iouem, cum $int una & eadem: uel $i dicas quod $int diuer$æ uita Saturni, non tamen e$t ualidior in comparatione ad $uum cœlum, uita Iouis non moueret celerius Saturnum ab Occi- dente in Orientem, quàm uita Iouis Iouem, quod e$t fal$um, $ed ta- lis motus uelo citas e$t ratione finis, quia oportet ut pariter mouea- tur eo motu, & quia cœlum Saturni e$t maius, ideo celerius moue- tur quam Iouis, & hoc ratione corporis mobilis, & nõ ratione pro- portionis ad corpus. Dico etiam, quod non habent poteftatem aliam, per quam $ubeant proportionem, nam qu&ecedil;ritur cuius com- <foot>Y 3 paratione</foot> <p n=>258</p> paratione illa proportio oriatur, nam non ad corpora, quia neque ad cœle$tia, ne<01> mortalia, ut dictum e$t, ni$i fin gamus alia corpora, quod e$t ab$urdum, ne<01> etiam ratione incorporeorum, nam non po$$unt de$truere $e inuicem, quia inferior non pote$t tollere $upe- riorem, ne<01> multo minus pote$t uelle. Hoc e$t enim nefas cogita- re, neque $uperior inferiorem, quam producit quam amat: & ideo dico, quod $unt in proportione $ublimium, id e$t, ordine perfectio- nis, qui con$i$tit in propinquitate ad primam cau$am. exemplum, Sol e$t longe perfectior $ua luce, quæ e$t ei propria, quia Sol e$t $ub$tantia, & lux e$t proprium, & lux Solis e$t multo perfectior lu- mine, cum $it (ut dixi) lux proprium & in Sole, tanquam in $ubie- cto, lumen autem extra & accidens. Nec tamen dicendum e$t, quod Sol $it potentior luce, aut lux lumine, idem dico de anima & facul- tatibus eius, & functionibus, inter quas nulla cadit proportio per- fectionis, tamen differentia con$picua e$t, & ideo poterit impediri functio, & non facultas, et facultas tolli remanente anima. For$an di ces, quod i$t&ecedil; non $unt $ub$tantiæ, & ideò oporteret, ut omnia in- corporea Deo $olo excepto e$$ent accidentia, dico quod in incor- poreis non e$t $icut in anima, quæ e$t iuncta corpori, ne<01> ut in So- le quod e$t corpus, $ed tanta e$t perfectio producti incorporei, quod ip$um e$t $ub$tantia. Et ratio e$t quia $ub$tantia differt ab ac- cidente uel ratione corporis, ut aqua à frigiditate, & hoc non e$t in incorporeis, ut manife$tum e$t, uel quia unum $it $ubiectum alte- rius, & ideò $ub$tantia, ut e$t principium comparationis, & in $e ip$a dicitur $ub$tantia, & ut comparatur ad extra & ad operatio- nem $uam, cuius e$t principium dicitur facultas: uelut uita cœle- $tis $ub$tantia e$t, ut uerò cœlum pulchritudine illius delectatum mouetur ad ob$equium, dicitur facultas in illa uita, & non e$t ni$i $ub$tantia, tamen ip$ius uitæ adeo ut $ola ratione differant. Tertia differentia e$t, quia $ub$tantia non e$t in $ubiecto, $ed facultas e$t in $ubiecto, uerùm in incorporeis, ut dixi, non differunt ni$i $ola ra- tione, uelut pater & homo, nam pater nece$$ariò e$t homo, & e$t $ub$tantia, ut ad aliud comparatur. Quarta differentia e$t ratione propriæ naturæ quæ non dependet, nam $ub$tantia non pendet $icut accidens & facultas, uerùm ubi genita fuit non amplius pen- det: re$pondeo, quod in incorporeis producitur, & non repugnet productio $ub$tantiæ, quia $i non repugnat generatio hominis, quod $it $ub $tantia, multo minus etiam incorporeorum. Relinqui- tur ut obijcias, quoniam $ub$tantiæ incorporeæ $emper fiunt, er- go nunquam $unt ueræ $ub$tantiæ: ad hoc re$pon dendum e$t per interemptionem, nam de uera re$pon$ione non e$t hic locus, quod <foot>cadem</foot> <p n=>259</p> cadem ratione qua producuntur uitæ, producuntur etiam cœli, at cœlum nihilominus e$t uerè $ub$tantia, & magis i$tis mortalibus, ergo uel talis productio non e$t perpetua, uel, ut uerius dicam, e$t $impliciter productio circum$cripta ab omni tempore præ$enti, præterito & futuro. Quare erit magis uera productio quam $ub- $tantiæ mortalis, ideo contingit hic error ex di$similitudine eo- rum quæ maximè $imilia e$$e uidentur, nam cùm accidentia pro- ducantur in tribus temporibus, & incorporea in nullo, $ub$tantia autem mortales $olum in uno tempore, ideò productio incorpo- reorum uidetur e$$e $imilis productioni accidentium, cum tamen productio $ub$tantiæ mortalis $it uerè media inter illas, nam $ub- $tantia mortalis producitur in uno tempore, accidens in omni $ub$tantia immortalis in nullo, nece$$e e$t autem extrema magis differre inter $e quàm à media, igitur $ub$tantiæ in corporeæ ordi- ne & perfectione differunt, non tamen proportionem habent. Et $i quis dicát, quod ultima $ub$tantia e$$et &ecedil;què potens, ut Deus: re- $pondeo quod non e$t uerum, quia uel loqueris de perfectione, & ita demon$tratum e$t, quod Deus e$t ip$a perfectio, ultima $ub- $tantia e$t imperfecti$sima: uel loqueris de magnitudine, & ita non $unt æquales prima & ultima $ub$tantia, quia non po$$unt com- parari, $icut lumen non pote$t comparari lumini, quod $it dul- cius uel amarius, grauius uel leuius, maius enim & minus, & æ- quales $unt differenti&ecedil; quantitatum, uitæ autem non habent quan- titatem operationis, quia, ut dixi, e$t ab$oluti$sima ratione finis, ne- que potentiam ad aliquid, quia $unt in æterno actu, & hoc $ecun- dum philo$ophos, & iuxta rationem numinis naturalis, nam $e- cus religio & fides tenent, quia $upponunt mundum e$$e creatum, & $ic potentia differentiæ ab actu, quia Deus nunc creauit, & antea non creauerat, & tamen poterat creare.</P> <P>Ex hoc patet, quod nulla $ub$tantia incorporea e$t finita nec infi <marg>C<I>or</I>^{m}.</marg> nita, nec exten$a nec contracta, quia omnia i$ta pertinent ad quan- titatem, quarum ill&ecedil; omnino $unt expertes.</P> <P>Propo$itio ducente$imauige$ima$eptima.</P> <P>Vitæ iuxta numerum perfectionum in comparatione ad cogita- tionem no$tram proportionem quandam habent.</P> <P>Velut Deus e$t per $e primo ab$olutum, & cau$a omnium bo- <marg>C<I>o</I>m.</marg> norum, & e$$e, $apientia uerò quæ generatur à primo bono, non e$t cau$a omnium bonorum, quia $ic produceret primum bonum, & produceretur e$t tamen per $e primo & ab$olutum bonum, <foot>Y 4 amor</foot> <p n=>260</p> amor autem e$t cau$a omnium bonorum po$teriorum, & ab$olu- tum, & per $e $ed non primò, & ita de uita quæ regit mundum, ip$a non e$t ab$oluta, ne<01> per $e primò, $ed $olum cau$a omnium bono- rum, e$t tamen ab$oluta in ordine bonorũ, quæ retinuit, & hoc mo- do dicimus e$$e plures per$onas in diuinis plures mentes, & $ub- $tantias incorporeas.</P> <P>Propo$itio ducente$imauige$imaoctaua.</P> <P>Proportionem $cientiæ futurorum & cæterorum occultorum con$iderare.</P> <P>Septem licet $int modi futura & occulta prægno$cendi, qu&ecedil;dam <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> tamen $unt communia omnibus, quædam multis: uaria quoque e$t ratio horum, alia enim e$t proportio $ciendi, at<01> hæc duplex, uel ex ratione intelligendi quæ ortum habet ex comparatione animæ ad magnitudinem & difficultatem eorum, quæ cogno$cũtur, qu&ecedil;dam ad modum quo iudicãtur. Alia rur$us e$t ratio proportionis modi ad animam ip$am, ut qui$que propior fuerit ip$i aut remotior, alia demum e$t differentiæ $ignorũ aut cau$arum, ergo ut à propinqui- tate initium ducam, $eptem uidentur e$$e ordines, qui etiam ad per- fectionem dijudicandi pertinent. Primus e$t eorum quæ agimus quibus prudentia dominatur, atque hic admodum certus e$t, ut in negotijs publicis priuatis <03> uidemus, e$t aut&etilde; duplex, ciuilis & mili taris. Secundus e$t naturalium, e$t autem maximè euidens in tribus medicina, agricultura & nauigatione. Tertius e$t eorum quæ $unt $ecundum naturam, $ed non per cau$as, uelut a$trologia & phy$io- gnomia. Eius aũt tres $unt partes phy$iognomia, metopo$copia & chiromantia, nam<01> a$trologia et$i per cau$as $it, magis tamen per $igna o$tendere uidetur, nam quod Iuppiter in a$cendente bonos præbeat mores, cur magis hoc in loco uel illo, magna e$t quæ$tio. Quartus e$t con$en$us omnium nobi$cum at<01> fatale uin culum, in quo genere ponuntur fulgrum ca$us, exta, & augurium & hygro- mantia. In quinto modo ponuntur ea quæ cum anima no$tra con- $en$um habent, eiu$mo di $unt uitæ aut genij aut eroes. Sextus uerò e$t ex origine, uelut $unt Prophetæ & uates Sybillæ<03>, quorum uis alia in $eip$is, ut prophetarum, alia uaporis ut Delphici oraculi, alia aqu&ecedil; uelut in Colophonio oraculo. Vltimum e$t præ$tanti$simum idem<03> remoti$simũ, quod à Deo per preces cõ$equimur. In omni- bus ergo his iuuat præ$tantia modi non au$picium, & exta paruam habent $ignificationem, quæ uero à Deo maximam, alia enim e$t proportio agentis, ut Dei alia modi agendi, uelut quæ per cau$as fit melior quàm quæ per $igna, alia impre$sionis lucis aut efficacis, alia coniunctionis naturæ nobi$cum. Quod uerò ad nos attinet, <foot>aliud</foot> <p n=>261</p> aliud e$t ex peritia artis, aliud ex iudicio acri, aliud ex diligentia. Differentia autem cogno$cendi $unt multorum aut paucorum ex- actæ, uel non exactæ, $ecuræ aut dubiæ, at<01> horum omnium cau$a e$t magnitudo proportionis, aut in origine ad $ignificandũ, aut in anima ad intellig&etilde;dum. At<01> originis, ut dixi, multiplex e$t ratio, $ci licet modi uel cau$æ uel efficaciæ, cùm uerò hæc omnia in unum conuenerint, certi$sima & exacti$sima fiet diuinatio, cum pauca & minus ualida, ut pote di$cur$us & iudicium dubia, debilis & pauc o rum. Quæ uerò nugantur Porphyrius & Iamblicus de his, omni- no fabulis $imilia $unt, uidetur<03> Iamblicus Porphyrio indixi$$e bellum, $ed cum ignauo ho$te, ip$e longe deterior.</P> <P>Propo$itio ducente$imauige$imanona.</P> <P>Incorporea omnia unum $unt, ne<01> numerus e$t eorum.</P> <P>Videbitur ab initio paradoxum, $ed ubi & modum & demon- <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> $trationem ip$am deprehenderis, intelliges ita e$$e iuxta luminis na turalis rationem, tum uerò maximè, cum id adiecero non prohibe- re me, quin ut partes in homine numerentur. Sed aliud e$t partes in homine dinumerare, quæ numero ip$o non di$tinguuntur, $ed $i plures homines $eor$um de earum numero interroges $inguli di- uer$a, nec exiguõ interuallo differentia re$pondebunt, $ed unus de- cem puta, alius centum, alius innumerabiles pronunciabit. Quin etiam qui$<01> qua ratione uelis illas di$tinguere interrogabit, at non $ic de numero gregis pauidum, aut de pecunijs, in quibus nemo ab altero di$$entiet, ni$i cum in numerando errorem admi$erit. Igitur dico non e$$e numerum in incorporeis, nam finitus erit uel infini- tus: $i infinitus, numerus non erit, quoniam primum nullus Deus erit nulla prima $ub$tantia: nam quomodo Deus erit aut Domi- nus infinitorum, aut primus ubi non e$t ultimum? Sed ne<01> nume- rus aliquis certus earum e$$e pote$t, cum primum non magis hic quàm ille: ne<01> enim definiuntur ullo termino, $eu centum, $eu mil- le aut millies mille: nec cum $ubij ciantur quantitati continuæ pote- runt $ubijci numero, uel alteri cuipiam accidenti. Sed omnia $unt unum, ita tamen quod perfectius e$t at<01> imperfectius diffu$um ab ip$o infinito, cuius in extremo cohærent mentes no$træ & animæ, & cœlum, quæ communicatæ inferioribus atque corporibus illa agunt, mutant & $eruant. Ip$um quàm ultimum e$$e, e$t in mundo, quod e$t corpus, & eius pars præ cipua cœlum deinde reliqua. Omnia<03> mouentur & transferuntur immobili primo principio, quod cum illis coniunctũ e$t: nam reliqua incorporea ab ip$o pro- $luunt. E$t & ratio Ari$totelis in tertio decimo Theologicorum $er <marg>S<I>up.</I> 5.</marg> monum, Deus non e$t unus numeri ratione, $ed ita ut non $it plura, <foot>igitur</foot> <p n=>262</p> igitur in mundo toto incorporeo non e$t numerus. Si enim Deus e$$et unus numero, non po$$et e$$e ens commune, & uniuer$im am- plectens cuncta, & accidens contineret, quæ omnia $unt fal$a, ab$ur da, nefaria & impia, licet tamen (ut dixi) menti humanæ quæ omnia reducit ad $imilitudinem $en$ilium, à quibus originem traxit $uæ operationis fingere numeros, $icut in partibus hominis, aut cœli, aut aeris iuxta $itum, aut magnitudinem. E$t etiam alius modus iuxta quem Ari$toteles numerauit mentes quæ mouent corpora cœle$tia, quod ab$urdum non e$t, uelut $i quis numeret digitos, in pul$ante chelim, erunt quatuor aut $ex, non tamen e$t numerus ille uerè plurium, cum ad unum hominem referuntur. Et cum $it mun- <marg><*>. 7. <I>cap.</I> 4.</marg> dus hic imago $uperioris, ut ille dicebat, & inferior pote$tate conti- neat infinitas partes, infinitas ordinis ratione $uperior continebit. Sed non infinitas numero. Exempli gratia, proponamus quod So lis uis dirigatur ad nos u$<01> impedita per nebulas, ut nõnunquam contingit: erit ergo perfectio una, $ed ordinata omnium radiorum: adeò quod $i infinita ua$a applicarentur aqua plena infinitæ ratio- nes iridis apparerent, quæ omnes continerentur pote$tate in radijs illis ratione comparationis ad ua$a & irides, per $e autem, ut $unt perfectiones e$$ent in actu.</P> <P>Propo$itio ducente$imatrige$ima.</P> <P>Proportio incorporeorum a$cendentium $emper maior e$t.</P> <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> <P>Cum proportio illa $it qua$i $imilis decori, & ideo mu$icæ geo- <marg>P<I>rop.</I> 171.</marg> metrica maior e$t in maioribus ac magnitudinibus, ut $uprà docui- mus. Sed non e$t ne<01> geometrica, ne<01> arithmetica, nec mu$ica, nec per recen$um, e$$ent enim quantitates quæ compararen&ttilde;: unaqu&ecedil;<03> enim harum inter quantitates con$tituta: at illa e$t ut producentis ad productum. Et non comparantur quoad æternitatem, quia ut aliâs declaraui, omnis $ub$tantia e$t æterna: quanto magis incor- porea. Quia ergo primum per præced&etilde;tem habet rationem totius, & e$t infinitum, $ecundũ ea parte qua recedit, quia primum non e$t, plus di$tat a primo quam à tertio, igitur de$cendendo u$que ad pri- ma elementa. Sed obijcies de qualitatibus & accidentibus: dico quod habent mediũ e$$e, licet tempore infinito uin cantur à $ub$tan tijs, ill&ecedil; tamen etiam uin cuntur & ab$<01> participatione perfectionis illius cum accid&etilde;tia participent e$$entia & tempore, & $i quis dicat, cur ergo Sol & lupiter nõ $unt locati in $upremis orbibus, cum $int nobiliores & maiores & potentiores cæteris erraticis: dieo quòd fuit ob mundum inferiorem, quoniam $i fui$$ent altiores mundus inferior frigore corrumperetur, quando quidem uel $ic frigore pre- mantur, in hyeme etiam $ub torrida plaga, & $ub polis ac iuxta eos <foot>$emper.</foot> <p n=>263</p> $emper. Et orbes $uperiores nõ indigebant lumine Solis, quod ap- paret in nocte $erena, cum etiam adeò à nobis di$tent. Vnde $i cani- cula e$$et in cœlo Lunæ, plus luminis afferret centuplo quàm Lu- na, cùm di$tantia $it quingentupla di$tantiæ Lunæ à terra. Et $i Sol e$$et factus adeo maior, ut in orbe Saturni con$i$tens calefaceret ter ram æqualiter, ut non exureretur in æ$tate, hyeme nece$$e e$$et, ut ni mium gela$ceret. Sin autem æquale e$$et frigus in hyeme, exurere- tur terra per æ$tatem, quando quidem nec $ic illam pati po$sint, qui in torrida plaga habitant. Et $i Sol e$$et ubi e$t Luna, & eo minor non illuminarentur orbes $uperiores. Ideo no bilitas non e$t in or- bibus ob altitudinem, $ed ob $ub$tantiam incorpoream quæ illi do minatur. Et e$t in loco congruenti toti corpus, uita autem non e$t in loco.</P> <head>LEMMA.</head> <fig> <P>Et proponantur a & b in proportione dupla alti- tudinum & magnitudinum, & cõparentur ad d, erit ergo angulus a d c maior b d c, quare $i $unt æquales uires in a b, refrigerabitur magis d ab a quam b, & ita patet utra<01> pars dicti in fine propo$itionis.</P> <P>Propo$itio ducente$imatrige$imaprima.</P> <P>Tres e$$e mundos, atque inter ip$os nullam e$$e proportionem: nec numero eos definiri.</P> <P>Cum palam $it e$$e corporeum mundum ut elementa, & incor- <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> poreum ut Dei, & medium e$$e nece$$e e$t uitarum & hominum ac cœle$tium, quòd primum $en$u patet, ut cœli, hominum & anima- lium, at<01> plantarum, & ratione etiam, quoniam extrema contraria nõ propriè medio copulantur, ut incorporeum ac corporeum. Di- co igitur nullam e$$e inter hos proportionem at<01> numerum face- re: nam de numero con$tat, quoniam non $unt tres, quia $int in ordi ne numerorum, $ed ut principium, medium, finis, & perfectum, per- fectius, perfecti$simum: $cilicet po$itiuum, comparatiuum & $uper- latiuum. Et quoniam $unt extrema cum medio, ideò $unt in propor tione $ublimi etiam & non propria. Quod $i e$$ent maximè mun- di uitalis ad corpora, $ed corpora nõ mouentur ni$i iuxta finem ui- tæ, & non uim: ip$a enim $i po$$et habere uoluntatem infinitam mo ueret in in$tanti: quia corpora non reluctantur animabus $uis, $ed quantus e$t actus in animabus & uitis, tanta e$t pot&etilde;tia ad unguem in corporibus, ergo non contingit proportio in mundo uitarum uera ni$i illa $ublimis. Ne<01> enim finita e$t quæ nullis circum$cribi- tur terminis, ne<01> infinita quo finitam pr&ecedil;$upponit, $ed neque inter mundum & incorporeum & uitarum cùm mentes non moueant, <foot>uitæ</foot> <p n=>264</p> uitæ moueant: & quod mouet nece$$ariò mouet, & quod non po- te$t mouere, quoniam omnia æterna $unt: & in &ecedil;ternis idem e$t e$$e ac po$$e: igitur inter mundum incorporeum & uitarum nulla e$t proportio uera, $ed $olum $ublimis, nec numerus: ni$i ut à nobis fin gitur. Velut $i dicamus in tabula, & in negocio e$t principium me- dium finis, & hæc po$$unt dici tria quatenus di$tinguuntur: $ed nõ ob hoc dicendum e$t tabulam, aut negocium habere tres partes, multo minus e$$e tria negocia aut tres tabulas.</P> <P>Propo$itio ducente$imatrige$ima$ecunda.</P> <P>Omnis motus naturalis, quanto uelocior e$t, tanto propior e$t, & magis $imillimus quieti.</P> <P>Hæc propo$itio primo intuitu uidetur e$$e fal$a, quoniam cùm <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> motus $it contrarius quieti, & efficiat actiones quieti contrarias, quantò uelo cior erit tanto remotior à natura quietis & magis di$si milis, propterea intelligere oportet primum, in quo $en$u uerba $int accipienda, nam hæc propo$itio, & authoritate, & $en$u & du- plici ratione euidenti manife$ta e$t. Oportet igitur primũ $cire quo ad locum attinet tria e$$e di$crimina: quietem in eodem: tran$itum ad alium per medium: & tran$itum ad alium $ine medio. Duorum primorũ exempla noti$sima $unt, tertij e$t hoc, $i urceus aqua ple- nus exponatur Soli, & efficiatur iridis imago in tab ula: inde $ubla- ta tabula eadem iris appareat in muro, erit tran$itus $ine media, quia quod $it eadem dubium non e$t, ijdem radij & idem corpus $pecu- lare, quod uerò tran$eat $ine medio, primũ $en$us docet, $ecundum ratio, quia fit in in$tanti, ut Secundo de Anima. Rur$us Sol illu$tret <marg>T<I>ex.</I> 121.</marg> urceum aqua plenum: appareat ex hoc iris in muro, interponatur aliquid, & transferatur urceus, apparebit iris alia loco, & non tran- $iuit per medium, uidetur idem de intellectu, & ui imaginandi, qui- bus ex Germania tran$eo in Indiam $ubitò: & eodem modo ex ani- ma $alicis, in hac planta fit tran$itus in proximam ne<01> per medium, quod etiam uidemus in igne & ellychnio proximo, & id $æpe acci- dit tum præ$ertim cum nuper extinctum fuerit.</P> <P>Iam ergo id $upponamus, quod etiam ad rem parum facit, $ed ad intelligentiam $atis, uideamus <03>, quare $it quod motus opponatur quieti, & manife$tũ e$t, quod differentia loci e$t cau$a, nam in quiete res manet in eodem loco, in motu tran$it ad alium locum, & quan- tò medium e$t maius, tantò motus e$t manife$tior, unde $equitur, quod in his quæ ualde lentè mouentur, illa uidentur quie$cere, & po$t aliquot tempus deprehendimus mota fui$$e, nunquàm tamen moueri, $icut in Sole, Luna, $tellis, unde illa opinio Philo$ophorũ exi$timantium omnia $emper moueri, nõ omnino pote$t tam bene <foot>reprobari,</foot> <p n=>265</p> reprobari, quia licet $en$us nõ cogno$cat moueri, cogno$cit tamen mota e$$e, & id $ufficit: multa ergo cogno$cuntur mota e$$e quæ nõ cogno$cuntur moueri, uelut lapis grauis $uper$tans terræ, quem ui demus po$t annum de$cendi$$e per duos digitos, & tamen $emper uidetur quie$cere. Igitur cum in pari tempore qu&ecedil; uelo citer mouen tur plus $patij $uperent, maius etiam relinquunt medium inter lo- cum, & locum, & ob id magis remota $unt à quiete, & magis illi cõ- traria: hæc igitur e$t ratio cur quæ uelo cius moueantur, minus quie ti $imilia aut proxima exi$timentur. Dico ergo, quod illa quæ natu- raliter uelo ci$simè mouentur, $unt magis $imilia & magis proxima ip$is quie$centibus quàm quæ tardè: cum enim omnis motus natu ralis nece$$ariò etiã $it regularis, ut qui à uirtute Dei fiat, erit uel per lineam obliquam aut rectã. Quoniam uerò multarũ recta e$t per- fecti$sima, & obliquarum circularis, erit omnis motus naturalis cir cularis aut rectus: dico ergo quòd in utro<01> uerũ e$t quod dicitur. Et primũ in circulari ille motus e$t propinquior quieti, in quo par- tes $unt propinquiores $uo loco, $ed $i ueloci$simus $it motus, nun- quàm ita $unt extra $uum locum, qui enim in pote$tate $int proxi- mæ ei: ergo partes ill&ecedil; inde $e habent ac $i quiefcerent. Secunda ra- tio, quia quod uelo ci$simè moue&ttilde;, ab$<01> dubio tanto tempore quie $cit in $uo loco quantò quod tardè: exemplum. Luna in triginta an nis quie$cit in principio arietis quadring&etilde;teis per $ex horas, id e$t, centum diebus in quadringentis uicibus, Saturnus c&etilde;tum diebus $ed $emel tantum: ergo tantum Luna quie$cit, quantum Saturnus, cõparatione ad idem tempus addita pari ratione in alijs partibus, $ed cum uelo cius moueatur Luna quàm Saturnus minus quie$ce- re uidebitur Luna in alijs partibus quàm Saturnus, & tantundem in principio arietis Luna ut Saturnus, ergo cum Luna tantundem in principio arietis quie$cat, quantum Saturnus in triginta annis, & in alijs partibus minus quàm Saturnus, igitur ab$olutè Luna plus quie$cit in principio arietis, quàm Saturnus dato tempore æquali triginta annorũ. Et formatur demon$tratio hoc modo: Luna quan do e$t in loco ip$o, puta in principio arietis, ibidem e$t actu, & quie $cit per tantundem temporis quantũ Saturnus, & in omnibus alijs locis data paritate, e$t $emper propior ip$i principio arietis pote$ta te quam Saturnus, igitur Luna plus quie$cit in principio arietis quam Saturnus, quia dum ibidem $unt æqualiter quie$cũt, & dum $unt extra, Luna $emper e$t propior & pote$tate magis in illo loco, igitur Luna magis quie$cit in principio arietis quàm Saturnus. Pr&ecedil; terea, $i Luna & Saturnus mouerentur in æquali tempore, & Luna in paruo circulo, & Saturnus in magno, dubium non e$$et, quin <foot>Z Luna</foot> <p n=>266</p> Luna non diceretur magis quie$cere in $uo loco, & diutius quàm Saturnus, nam Luna $emper e$$et propelocum $uum, & Saturnus per$æpe uideretur procul. Sed $i moueantur in eodem circulo, & Luna moueatur uelo ci$simè, Saturnus tardè: perinde erit, ac $i Lu- na moueatur in paruo circulo, & Saturnus in magno, ergo quod uelo ci$simè mouetur e$t proximius quieti quàm quod tardè. Illud etiam idem manife$tius erit in extremis, nam quod minimo $patio mouetur propemodum non mouetur. Sicut, $i quid circa centrum moueatur, adeò ut ip$um tangat, non dicetur moueri, $ed quie$cere ibi, $ed quod uelo ci$sime mouetur, $emper uer$atur circa idem, quia nunquam multum abe$t, quia ibi non quie$cit, igitur quod uelo ci$- $imè mouetur motu naturali circular$ e$t proximius quieti quam quod tardè. Demum, $i aliquid moueretur in finita uelo citate motu circulari, $emper e$$et in eodem $itu $ecundum partes & immobile, igitur quod infinita uelo citate mouetur, & quie$cit. Ergo quod ue- lo ci$simè mouetur cum magis di$tet ab oppo$ito eius, quod infini- ta tarditate mouetur, quàm quod tardè, magis etiam appropinqua bit pote$tate in efficaci infinitæ uelo citati quàm quod tardè, igitur quod uelo ci$simè mouetur propius e$t quie$centi quam quod tar- dè. Demon$tratum e$t enim in Dialecticis, argumentum o$tendere ab eo quod e$t $impliciter tale ad id &qring;d natura illi quo quo modo tale e$t & cõuer$o modo. O$tendo modò quod $imillimus: quoniã illud e$t $imilius quieti in quo quod fertur non pote$t digno$ci di- $tantia à priore loco, $ed in uelo ci$simè motis hæc di$tantia non po te$t digno$ci, igitur uelo ci$simè mota uidentur planè quie$cere, quod idem patet duobus experimentis manife$tis. Primum $i quis uideat rotas quibus acuuntur gladij moueri u$<01> ad certam uelo ci- tatem, augeri uidetur motus ille, uerùm cum adeo cõcitatus fuerit, ut $en$us non po$sit di$cernere, ne<01> comprehendere illam uelo ci- tatem, & rota non fuerit mota ab axe, ita ut titubet nec fuerit ulla in- æqualitas, uidebitur omnino quie$cere, & ita oculus dijudicat, & longè magis dijudicaret, ubi ad tantam motus perueniret uelo cita tem, ut nullo modo initium à fine di$tingui po$$et, $icut e$t in motu cœli, qui comparatus ad quemuis motum uelo ci$simum artificio factum, in$en$ilem habet proportionem ob magnitudinem, & ideo talis motus cœle$tis e$t $imillimus quieti. Secundum experim&etilde;tum e$t, $i e$$ent duo homines habitantes Bononiæ, quorum unus iret Mutinam, paulatim quie$cendo in quolibet loco per unam diem, adeò ut in unoquo<01> anno maneret Mutinæ, & prope per $ex men $es, & prope Bononiam per $ex alios men$es in diuer$is locis, & una die tantum Bononiæ: alius uerò iret Mutinam $ingulo die, & <foot>per</foot> <p n=>267</p> per omnia loca $icut hirundo uolans quater & quater rediret Bo- noniam, nemini dubium e$t, quod hic $ecundus uideretur magis quie$cere Bononiæ quàm primus, & hoc quia in anno quilibet eo- rum quie$ceret per unam diem Bononiæ, & in hoc e$$ent æquales, $ed $ecundus uideretur frequentius Bononiæ quàm primus, & eti- am e$$et pote$tate propior illi, adeò utliceret cuilibet illum conue- nire qualibet die magis quam primum: ergo duabus de cau$is ui- deretur $ecundus magis quie$cere Bononiæ quam primus, & in ter tia æqualiter.</P> <P>Modò dico de recto motu, quoniam quanto celerius fertur per medium ad $uum locum, tanto minus temporis in$umit, ergo diu- tius quie$cit in loco, minus e$t etiam tempus per quod mouetur in comparatione ad quietem & $impliciter, ergo in motu recto pro- pius e$t quieti, quod uelo ci$simè mouetur, pr&ecedil;terea inter duas quie tes motus uelo ci$simus e$t imperceptibilis. Ergo motus uelo ci$si- mus e$t $imilior quieti quàm minus uelox. Accedit manife$ti$simè illud quod ab initio diximus, $cilicet, quia motus uelo ci$simus e$t medius inter motum tardum & $ubitam mutationem, hoc enim e$t manife$ti$simum, adeò ut dubitemus in motibus uelo ci$simis, an mobile tran$ierit per medium, e$t enim primùm motus lentus, qui fit ex tran$itu in longo tempore, & uelo ci$simus in paruo, & muta- tio $ine tempore. Rur$us con$tituamus alium ordinem quietis mo- tus, & $ubitæ mutationis: & ex dictis $ubita mutatio e$t propior quieti quã motus: quo- <marg>Subit. Mut. Motus uelo ci$. Motus Tar. Quies $ubita Mut. Motus</marg> niam $i motus e$$et me- dius inter quietem & $ubitam mutationem, non e$$et, ut dictum e$t, $ubita mutatio quæ- dam quies: nam in $ubita mutatione non pertran$itur medium: in quiete non pertran$itur medium, in motu pertran$itur medium, igi tur quies e$t propior $ubitæ mutationi quàm motui. Sed $ubita mu tatio e$t propior motui uelo ci$simo quàm tardo, igitur quies e$t propior motui uelo ci$simo quam tardo.</P> <P>Videtur & hoc $en$us manife$tè o$tendere, quoniam cum lapis de$cendit $umma cum uelo citate, adeò ut non percipiatur, uidetur quie$cere, & non motus e$$e, & hæc fuit $ententia multorum nobi- liorum antiquorum, & propterea oportet ut o$tendamus difficul- tates, quæ contingunt in his.</P> <P>Dico igitur, quod motus naturales $unt duorum generum, ut di ctũ e$t, $cilicet rectus & circularis: & motus differt à quiete in duo- bus, in eo quod mutat locum, et in eo quod tran$it per medium mo tus, ergo rectus ueloci$simus in eo quod tran$it per medium ma- <foot>Z 2 gis</foot> <p n=>268</p> gis di$tat à quiete in eo quod plus de medio $uperat quàm tardus, & e$t propinquior quieti in eo quod celerius quie$cit. At motus cir cularis ueloci$simus e$t propior quieti in tran$itu medij, & in redi- tu ad locum priorem: de reditu ad locum priorem clarum e$t per $e: de tran$itu medij, dico quod cum in prima medietate magis remo- ueatur à medio quam motus tardus, & in $ecunda medietate tan- tundem, uelocius redeat. Ergo in $ecũda medietate e$t $emper pro- ximior motus uelo ci$simus ip$i quieti, $ed in prima medietate &qring;d mouetur motu ueloci$simo propius e$t $ecundæ medietati $emper quam quod mouetur tardo motu, igitur quod mouetur ueloci$si- mè circulariter e$t propius quie$centi, quam quod mouetur tardè. Et hoc e$t quia in &ecedil;ternis motus e$t quies, & ideo habent quandam $imilitudinem iuxta perfection&etilde; $uam, $icut $i e$$ent in circulo hoc <fig> modo. Mutatio ergo cõue- nit in corporeis qu&ecedil; pend&etilde;t à corpore, $icut lumini: qua- tenus enim $unt ex corpo- reo, occupãt diuer$um locũ, quatenus e$t in corporei id, agit $ine tran$itu per mediũ & in in$tanti, ergo in corpo- rea $impliciter mutationem recipiunt, non in tempore ne<01> in loco. Videtur aut&etilde; uelo ci$simũ dupliciter etiã nobis iuxta $en$um, id<03> e$t in quo $en$us medij tran$itum non percipit, & natura quod e$t pri- mi mobilis. At dubitare quis pote$t circa hoc, nam proprium mo- tus e$t tangentia concutere, quietis autem minime: concutit autem maximè quod uelo ci$simè mouetur, ob hoc arbitrati $unt homi- nes quod uelo ci$simus motus multò plus di$taret à natura quietis quam tardus, $ed hoc e$t quia non eadem e$t ratio uiolenti & natu- ralis: uiolenta enim non redeunt in $eip$a, nec habent rationem cir- cularis, $ed potius recti & infiniti, & ideò in his quæ mouentur mo tu recto naturali cadit uiolentia, non autem in his quæ mouentur motu circulari naturali: cõ cu$sio ergo e$t in motu uiolento, & qua- li$cun<01> motus uiolentus, quanto magis augetur tantò magis re- cedit à contrario, tantò magis remouetur à natura contrarij, & ha- bet actiones contrarias ualidiores.</P> <P>E$t etiam aliud penè $imile argumentum in figuris ip$is, circulus enim unica linea continetur, nulla tamen figura ab ea magis natura <foot>remota</foot> <p n=>269</p> remota e$t triangulo: $iquidem circulus capaci$simus e$t, triangu- lus omnium rectilin earũ minimè capax: ut contrà polygoni&ecedil;, quan to plurium $unt laterum eo capaciores $unt, adeò ut octagona qua- drangula, & quæ e$t $exdecim laterum æqualium, & æquiangula- rium plus contineat octagona, & forma etiam $it $imilior circulo, adeò ut cum excreuerit in multiplicem numerum rectangula figu- ra huiu$modi, $cilicet æquilatera, & æquiangula omnino $en$um fallat, uideatur<03> pror$us circulus. Et tam&etilde; figura plurium laterum, quãto plurium laterum fuerit rem otior e$t à natura circuli, qui una tantum linea continetur: plus enim di$tat centum ab uno quàm de- cem, & mille quàm centum. Cau$a igitur e$t, quia (ut dixi) etiam in naturalibus omnis natura rerum e$t, ut qua$i clanculum redeat in $eip$am: nam circularis figura per triangulum ex rectis multum à natura $ua recedit & ambitu & $imilitudine: eadem per figuras qu&ecedil; ex pluribus rectis con$tant ad $ui $imilitudinem redit, nunquàm ta men explet eandem naturam perfectè, cùm nulla poligonya figura pro circulo exacto $it: ita uidetur in naturalibus ad id&etilde; redire, quod e$t pote$tate $olum quadam generali di$simile: actu uerò non idem ad unguem. Sed obijcies de motu quòd $i tempus fiat breuius, ma- gnitudo autem con$tet, erit (ut diximus) quod mouetur $imile quie $centi: at ubi tempus idem $it, $ed magnitudo perpetuò augeatur, non idem ut in cœlo: ueri$imile e$t enim quicquid e$t quod moue- tur ulterius quam id quod cernitur nihilominus in uiginti quatu- or horis, non autem celerius moueri: propterea cùm $patium tem- poris prolixum $it, non uidebitur quie$cere. Nec ob$tat quòd qui$- piam proportionem obijciat, $i quidem multo minus uidebuntur propiora centro quie$cere, nam<01> illa tardius ex confe$$o mouen- tur, at quod tardius mouetur, ut dictum e$t, moueri magis uidetur, ideò proportionem illam ad aliud mobile referre oporteret, cum nullum tale $it. Dicimus ergo quòd apud illas non uidetur motus tardus, quia comprehendunt motum ante tempus, nobis aut&etilde; hæc accidunt, quia comprehen dimus tempus ante motum. Et etiã quia circa polos qua$i quie$cit, & quod non pote$t aliquid comprehen- di, $imul moueri & quie$cere, ut do cebimus. Et etiam quia motus e$t ab illis, $icut in nobis cum mouemur: nõ enim ut mouemur nos moueri deprehendimus, $ed ut moti ideò in his, non quod appa- ret, $ed quod e$t $pectare oportet: at ita e$t ut quæ uelociter ualde mouentur, perinde $unt qua$i ac $i quie$cerent, adeò ut motus $i in in$tanti fieret e$$et quies, & quies in incorporeis e$t motus, non in tempore. Videntur etiam a$tra quie$cere nobis, quoniam (ut dixi) lineæ a e & b e non po$$unt uideri moueri in e, oculus autem iudi- <foot>Z 3 cat</foot> <p n=>270</p> <fig> cat moueri debere in e, non ex c in d, ubi e$t amplum $patium terræ comprehen$um, ergo a e quie$cere uidetur in e, igitur & in a. Quòd autem uideatur in e quie$cere, patet, quia quod mo tum uideri debet, oportet ut in in$en$ili tempore $patium $en- $ile pertran$ierit: in$en$ile au- tem tempus e$t minus motu ue loci$simo pul$us, hic autem ma ius exigit t&etilde;pus cente$ima par- te cente$imæ partis hor&ecedil;, igitur diei ducente$ima quadrage$ima mille$imæ partis, & in hoc oportet ut pertran$eat $en$ile $patium, quod e$t quinquage$ima parte ulnæ $altem maius. Ergo $i fiat in$trumentum quing&etilde;tarum ulnarum am bitus, &qring;d in uigintiquatuor horis circumuoluatur, adeò lentè mo- uebitur, ut quie$cere uideatur: tum uerò magis ob id quod dixi, quoniam in centro quie$cere uidebitur, ergo in peripheria, ubi di- $tantia deprehendi po$sit. Ergo nulla machina quæ uideatur mo- ueri, con$titui pote$t, quæ in horis XXIIII cir cumuertatur: quia non tam magna fieri pote$t, ut $patium à centro ad cir cumferentiam ocu lo non po$sit deprehendi.</P> <P>Et hoc uoluimus declarare ut intelligamus, quæ $unt nece$$aria ad mundum incorporeum.</P> <P>Propo$itio ducente$imatrige$imatertia.</P> <P>Quod e$t in mundo incorporeo æternum, e$t beatum, $ecurum immutabile $ecundum locum $olum iuxta e$$entiam fit, iuxta quod uelut à leui $u$urro aquæ & aura æ$tiua demulcetur.</P> <P>Quod e$t ibi non e$t pars nec totum, e$$et enim quantum, aut nu <marg>C<I>o</I>^{m}.</marg> mero di$cretum, nec mutationem loci aut temporis habet, cum in nullo eorum $it, ideò nec habere pote$t, nec amittere, non e$t ibi infi nitum, cuius nullus finis $it, $ed dum emanat à priore $ecundum or- dinem e$t $umma uoluptas, qualis in his qui ad cognitionem & feli citatem deueniũt. Qu&ecedil; in illis cum æterna $it & $ecura, recipit quan dam uariationem, in qua delectatur, uelut mortalia ex cõtrarijs cau $is naturæ contrarijs affectibus: & hoc e$t perpetuò nouum, quia $emper pendet & recipit. Et ob id e$t unum & actu $empiterno, quod uerò e$t extra, e$t potentia, ideò infinitum, quod imaginatur anima, quia in ordinatum priore ordine, qui e$t ante limit&etilde; omnem, ne<01> enim dubium e$t, quin infinitum non $it cau$a, ut non po$sit <foot>e$$e</foot> <p n=>271</p> e$$e ordo ille $ecundus: $ed nos loquimur de primo. Et ideò anima no$tra ob materiæ coniunctionem appetit ordinem, & lætatur in eo ut inueniat finem in rebus, uelut in multis proprietatibus nume rorum e$t manife$tum. Potentia enim e$t cau$a imaginandi infini- tum, quia $emper ultra aliquid e$$e po$$e putamus, e$t igitur poten- tia actus imperfectus. Anima ergo no$tra conuer$a e$t à Deo, res po$t $e in quibus inuenit potentia imperfectionem <G>a)tacian</G> pericu- lum & infinitum ad de$perationem tandem, quod quilibet uidere poterit, qui $e à diuinis auerterit: quantò enim plura habet, plura de$unt. Multiplic&etilde;tur filij, opes, honores, nil ni$i laborem & anxie- tatem aucta inuenies. Quomodo autem quod infinitum non e$t, infinitam faciat potentiam? uides in repræ$entatione Solis qu&ecedil; infi nita e$$et, $i cœlum e$$et infinitum. Dubitatione autem dignum e$- $et, an $i cœlum infinitum e$$et ubi<01> Sol illuminaret: $eu quia quæ- $itum nullum $it, ui$it de eo quod non e$t, nihil autem non e$$e po- te$t, aut quod non po$$et, quoniam uirtus corporea e$t. Corporeo autem omni finem ad e$$e nece$$e e$t. Hanc nouitatem ergo alij tri- pudium, alij mu$icam & $onum cœle$tem interpretati $unt.</P> <P>Manife$tum e$t igitur $ub$tantiam incorporei mundi, e$$e in <marg>C<I>or</I>^{m}.</marg> quadam mutatione perpetua ordinis, & $ine motu, tempore & lo- co: unde amor & uoluptas mutua, & totum unum, $icut anima cum cogno$cit Deum, & cum cogno$cit cœlum de$cendit, & fit alia or- dine. Et hæc beatitudo in mundo illo e$t tanta, ut in com- parabilis $it no$træ, quæ e$t umbra eius, etiam quando e$t & pura, etiam $i e$$et per- petua. Igitur hic finis no- $ter Diuin&ecedil; naturæ & libri.</P> <head>LIBRI DE PROPORTIONI- BVS FINIS.</head>