Mercurial > hg > mpdl-xml-content
view texts/archimedesOldCVSRepository/archimedes/raw/cevag_geome_01_la_1692.raw @ 10:d7b79f6537bb
Version vom 2009-02-14
| author | Klaus Thoden <kthoden@mpiwg-berlin.mpg.de> |
|---|---|
| date | Thu, 02 May 2013 11:08:12 +0200 |
| parents | 22d6a63640c6 |
| children |
line wrap: on
line source
<pb> <FIG> <pb> <C>GEOMETRIA</C> <C>MOTUS</C> <C>OPVSCVLVM GEOMETRICVM</C> <C>A'</C> <C><I>IOANNE CEVA MEDIOLANENSI</I></C> <C>In gratiam Aquarum excogitatum.</C> <C>CONTINET DVOS LIBROS</C> <C>Primum de Simplici Motu, Alterum de Compo$ito.</C> <FIG> <C>BONONIÆ, M. DC. XCII.</C> <HR> <C>Typis HH. Antonij Pi$arij Superiorum permi$$u.</C> <pb> <C>SERENISSIMO</C> <C>MANTVÆ DUCI</C> <C>FERDINANDO CAROLO.</C> <p><I>ITerum, Sereni$$ime Princeps, tuis aduolutus genibus opu$culum exhibeo, in quo naturam motuum, pleniori methodo, quàm puto antea $it actum, geometricè exequor. Neceße habui hæc præmittere, quò viam aperirem, & quo- dammodo alueum $ternerem aquarum doctrinæ, quarum argumentum vtili$$imum, & profundæ indaginis iam diu meditor. Quam arduum $it, & per quas $alebras eun- dum, vt nouum aliquid luce dignum è latebris naturæ eruarur vtinam Cel$itudini tuæ aliquis veritatum non vulgarium indagator fidem faceret; $cio equidem, & laboris improbitas tangeret benigni$$imum animum tuum, & $imal naturæ inge- nium $u$piceres, quæ mentibus aliquorum vim inuentricem in$eruit, vt eorum iugi cogitatione humanis v$ibus prouide-</I> <pb> <I>ret. Et verò ($i in hoc genere de me quidquam confiteri decet) ni$i aduer$æ valetudinis experimento prudentior factus indo- lem meam huiu$cemodi $tudijs intemperanter addictam ali- quot ab hinc annis compe$cuißem; nec non quotidie munus à Cel$itudine Tua $ummo cum honore & beneficentia demanda- tum (adeo vt hoc etiam nomine Te$eruatorem meum appella- re po$$im) inde me reuoca$$et; eorum, credo equidem, ponderi, a$$iduæque contemplationi $uccumbere nece$$e erat. Vnde au- tem, Cel$i$$ime dux, huic $cientiæ tanta vis, vt quos $ibi $emet adiunxerit, nonni$i altiori ratione queat a $e ip$a dimittere? An quod forta$$e vbi animus publicæ vtilitati de$eruire cæpe- rit, veluti in nataræ concilium admi$$us, $ui quodammodo oblitus, propriam humilioremque $edem reui$ere dedignetur; an quia, cùm inter cæteras $cientias Geometria demon$trationem, hoc e$t veritatem $inceram, & quandam primi veri particu- lam profiteatur, hinc ne$cio quid diuinum habent $ibi propo$itũ, vnde nonni$i Deo impellente, vbi nimirum officia, potiorque ratio id po$tulant, ab eius intuitu retrahatur. Hoc equidem puto; atque hinc diuina Geometria iure optimo a docti$$imis, & clari$$imis viris pa$$im nuncupatur. Quamobrem nemo non eam <*>u$piciat, eiu$que cultores oppidò diligat; ob eamque causã huic etiam qualicunque opu$culo benignè annuas $pero, adeo vt iam Te in terris Dominum, Altorem, Seruatorem, Patro- numque appellare non dubitem, quam vna cum Cel$i$$ima do- mo mihi, tot tibi nominibus deuincto, $uperi vt $eruent $o$pi- tentque, enixè oro, ac omnibus votis exopto.</I> <p><I>Sereni$simæ Cel$itudinis Tuæ</I> <p><I>Humillimus, & Ob$equenti$$imus Seruus</I> <p>Ioannes Ceua. <pb n=1> <C>GEOMETRIA</C> <C>MOTVS.</C> <C>DEF. I.</C> <p>CVrrat mobile ab A in D $ecundùm rectam <MARG><I>Tab.</I> 1. <I>Fig.</I> 1.</MARG> AD, & linea BHI $it naturæ illius, vt dedu- ctis ad AD perpendicularibus AB, CH, DI ex punctis quibu$cunque A, C, D; veloci- tatum gradus, quos mobile $ortitur in ij$- dem punctis A, C, D men$urentur ab ip$is rectis AB, CH, CI. Figuram planam BADIHB apellabi- mus gene$im motus ab A in D. <C>DEF. II.</C> <p>II$dem manentibus, $it etiam alia linea EFG talis natu- <MARG><I>Tab.</I> 1. <I>Fig.</I> 2.</MARG> ræ, vt protractis rectis BA in E, HC in F, & ID in G ha- beat DG ad CF eandem reciprocè rationem, quam HC ad ID. Item $it CF ad HE vt reciprocè BA ad HC, vo- cabimus figuram planam ADGIEA imaginem tempo- ris motus ab A in D iuxta gene$im prædictam. <C>DEF. III.</C> <p>ADhuc po$ita illa gene$i, intelligatur linea PON eius <MARG><I>Tab.</I> 1. <I>Fig.</I> 3.</MARG> naturæ, vt $i $it KL ad LM vt tempus lationis ab A in C ad tempus ab eodem C in D, habeat $emper KP ad LO eandem rationem, quam AB ad CH; & LO ad NM eandem, quam HC ad ID: Figuram planam PKMNOP <pb n=2> vocabimus imaginem iuxta gene$im BADI motus ab A in D. <C><I>Corollarium.</I></C> <p><I>Patet, cum motus $unt æquabiles, gene$es, & imagines figu- ras eße parallelogrammas.</I> <C>DEF. IV.</C> <MARG><I>Tab.</I> 1. <I>Fig.</I> 4.</MARG> <p>SI $int duæ gene$es, aut imagines ABCD, FEG, ita vt cum gene$es $int, habeat AB ad FE eandem rationem, quam velocitas in A ad velocitatem in F, & cum imagines velocitatum, quarum tempora AD, FG, velocitas, quam habet mobile in$tanti A ad velocitatem alterius mobilis in$tanti F, $it vt AB ad FE, & demum ip$is figuris vt imagi- nibus temporum con$ideratis habeat velocitas in A ad velocitatem in F rationem eandem, quam AB ad FE, vo- cabuntur tum gene$es illæ, cum imagines inter $e homo- geneæ. <C>DEF. V.</C> <p>EAm planam Figuram, in qua ductæ quoteunque &ecedil;quidi$tantes eò deinceps decre$cunt, quò ad idem extremum propiores fiunt, acuminatam nuncupabimus. <C>DEF. VI. AX. I.</C> <p>INter maximam, & minimam eiu$dem imaginis veloci- tatem cadit quædam media, qua tantùm velocitate, $i conciperetur motus æquabilis, nihilominùs eodem tem- pore idem $patium curreretur, ac iuxta imaginem propo$i- tam: eam ergo mediam velocitatem dicimus propo$itæ imaginis æquatricem. <pb n=3> <C>AX. II.</C> <p>SPatium iuxta imaginem velocitatum quamcunque exactum, vel iuxta æquatricem imaginis e$t maius eo $patio, quod curreretur eodem tempore minima eiu$dem imaginis velocitate; $ed minus eo, quod velocitate ma- xima. <C>AX. III.</C> <p>TEmpus, quo curritur $patium iuxta quamlibet tem- poris imaginem, maius e$t eo, quo idem $patium curreretur maxima velocitate, $ed contra minus eo altero, quo ip$um $patium minima velocitate exigeretur, earum videlicet, quæ $unt in gene$i, aut imagine velocitatum pro- po$iti motus, cuius nempe illa e$t imago temporis. Fit er- go, vt tempus æquale ei, quo illud ip$um $patium currere- tur iuxta propo$itam imaginem, $it inter vtrumque dicto- rum temporum maximi, & minimi. <C>AX. IV.</C> <p>QVæcunque excogitetur figura plana, vel e$t paralle- logrammum, vel acuminata figura, aut ex his com- po$itum. Has tamen figuras inter binas volu- mus parallelas, ita vt vnum latus $it ip$as nectens normali- ter parallelas, quanquam etiam loco parallelarum po$$int e$$e puncta, nempè vbi de$inunt in acuminatas pror$us figuras. <C>PROP. I. THEOR. I.</C> <p>TEmpora, quibus duo motus complentur $unt in ra- <MARG><I>Tab.</I> 1. <I>Fig.</I> 5.</MARG> tione imaginum homogenearum ip$orum temporũ. <pb n=4> <p>Motus $int primò æquabiles, curratque mobile $patium AB tempore, cuius imago CAB, curratur item ab alio mo- bili $patium DE tempore, cuius imago DEF, & $int ip$æ <MARG><I>Def.</I> 4. <I>huius.</I></MARG> temporum imagines inter$e homogeneæ, $cilicet FD ad AC eandem habeat rationem, quam velocitas in A ad velocitatem in D. Dico, tempus per AB ad id per DE e$- <MARG><I>Cor. Def.</I> 3. <I>huius.</I></MARG> $e vt figura ABC, ad DEF. Cum motus æquabiles $int erunt figuræ dictarum imaginum rectangula, propterea il- lorum ratio componetur ex rationibus altitudinum AB ad <MARG><I>Gal. pr. S de motu æquab. Def.</I> 4. <I>huius.</I></MARG> DE, & ba$ium AC ad DF, ex ij$dem verò rationibus $pa- tiorum $cilicet, & reciproca velocitatum ($unt enim ima- gines inter $e homogeneæ) nectitur etiam ratio temporum, quibus percurrũtur ip$a $patia AB, DE iuxta gene$es ima- ginum ACB, DEF, ergo e$t eadem ratio inter illa tempo- ra, ac inter imagines $uas. <MARG><I>Tab.</I> 1. <I>fig.</I> 6. <I>Def.</I> 5. <I>huius.</I></MARG> <p>2. Sit motus vnus æquabilis, alter verò quicunque; $it tamen imago huius temporis figura acuminata vt ALGE, & alterius temporis prædicti motus æquabilis, $it HFM, <MARG><I>Cor. Def.</I> 3. <I>huius.</I></MARG> quæ rectangulum erit: Dico, imaginibus homogeneis exi- $tentibus, fore inter has eandem rationem, ac homologè inter tempora decur$uum ab A in E, & ab F in M iuxt&atail; gene$es imaginum temporum propo$itarum. Si enim non e$t ita, $it quædam alia magnitudo Y, maior, vel minor imagine acuminata ALGE, quæ ad imaginem FHM ha- beat eandem rationem, quam tempus per AE iuxta imagi- nem ALGE ad tempus per FM iuxta imaginem alteram FHM; $it verò magnitudinis Y differentia ab imagine ma- gnitudo Z. Secetur AE bifariam in C, pariterque $eg- menta AC, CE bifariam in B, D, & $ic vlteriùs progredia- tur, donec, $i compleatur rectangulum po$tremum, & ma- ximum DG, hoc minus exi$tat quam Z. Tum ductis reli- quis æquidi$tantibus CI, BK, & à punctis N, <*>, K, I alijs etiam æquidi$tantibus rectæ AE, efficiatur ip$i ALGE cir- cum$cripta figura, con$tans ex rectangulis æquealtis AK <pb n=5> BI, CN, DG, & in$cripta compo$ita ex rectangulis inter $e pariter æquealtis BL, CR, DI, EN. Cum circum$cript&atail; figura differat ab in$cripta exce$$u, quo rectangulum DG $uperat BL; (nam reliqua circum$cripta AK, BI, CN, re- liquis in$criptis æqualia $unt) $e quitur, exce$$um illum e$$e minorem magnitudine Z. Si ergo magnitudo Y ponatur maior magnitudine ALGE pro exce$$u Z, maior etiam erit circum$cripta AK, BI, CN, DG. Quòd $i contrà Y intelli- gatur minor ip$a ALGE ex defectu Z, erit quoque eadem Y minor, quàm in$cripta figura BL, CK, DI, EN. Itaque nunc, $i fieri pote$t, $it Y maior magnitudine ALGE per ip- $um exce$$um Z, & intelligantur tot motus, quot $unt re- ctangula in circum$cripta figura, $cilicet $int ip$i motus ab A in B, à B in C, à C in D, & à D in E $ecundum deinceps, temporum imagines AK, BI, CN, DG rectangula, quæ $int inter$e, & propo$itis imaginibus homogeneæ, qui motus erunt proptereà æquabiles. His po$itis, tempus <MARG><I>Cor. Def.</I> 3. <I>huius.</I></MARG> per FM iuxta imaginem MH ad tempus per AB iuxta ima- ginem rectangulum AK eandem habet rationem, quam re- ctangulum MH ad rectangulum AK, $imiliter idem tem- pus per FM $ecundùm ip$am imaginem rectangulum MH <MARG><I>Ex pramiß&atail; parte.</I></MARG> ad $ingula reliqua tempora per BC, CD, DE imaginibus deinceps rectangulis BI, CN, DG habet eandem rationem, quam rectangulum MH ad $ingula eodem ordine rectan- gula BI, CN, DG. Quo circa totidem rectangula ex MH, <MARG><I>Euang. Tor- ric. lem.</I> 18. <I>in libro de dim. parabolæ.</I></MARG> quot $unt illa, ex quibus con$tat circum$cripta figura, ha- bebunt ad ea ip$a circum$cripta rectangula, $eu ad eandem circum$criptam figuram AK, BI, CN, DG eandem ratio- nem, quam totidem tempora eiu$dem imaginis MH ad $i- mul tempora, quorum imagines $unt illa ip$a circum$cripta rectangula AK, BI, CN, DG. Quare etiam vnicum re- ctangulum MH ad circum$criptam figuram AK, BI, CN, DG erit in eadem ratione, in quo vnicum tempus per FM iuxta imaginem MH ad omnia $imul illa tempora iuxt&atail; <pb n=6> imagines, quæ $unt dicta circum$cripta rectangula. Et quoniam figura imaginis e$t acuminata, habetque vi def. 2. huius, applicatas, quæ $unt in ratione reciproca veloci- tatum, quibus nempe mobile afficitur in punctis $patij, à quibus deducuntur ip$æ applicatæ; hinc fit, vt earum ve- locitatum, quas mobile habet in decur$u rectæ AB, ea, qu&ecedil; in A maxima $it, & quæ in B minima. Eodem modo iuxta reliquas imagines BKIC, CIND, DNGE, quæ itidem acu- minatæ $unt, velocitates in fine decur$uum C, D, E ($unt enim omnes versùs A acuminatæ) minimæ erunt, & ma- ximæ initio dictorum $patiorum. Ideo tempora, qu&ecedil; im- <MARG><I>Ax.</I> 3. <I>huius.</I></MARG> penduntur iuxta illas imagines, $eu ip$am imagin&etilde; ALGE, cuius illæ $unt omnes partes, minora erunt temporibus, quæ decurrerent, $i illi decur$us forent æquabiles ex mini- mis illis velocitatibus exacti, vel quod in idem recidit, $i illi decur$us e$$ent iuxta imagines rectangulorum circum- $criptorum AK, BI, CN, DG; itaque rectangulum MH ad figuram circum$criptam AK, BI, CN, DG habebit mino- rem rationem, quàm tempus per FM imagine MH ad tem- pus per AE imagine ALGE, $eu quàm rectangulum MH habet ex hypothe$i ad magnitudinem Y; igitur circum$cri- pta figura, quæ priùs minor o$ten$a fuit magnitudine Y; nunc maior concluditur; quod cum $it ab$urdum, $equi- tur falsò nos po$ui$<*>e magnitudinem Y maiorem; quà&mtail; ALGE. At $i Y minor ponatur, quã magnitudo ALGE de- fectu Z; in$cripta, vt $upra, figura con$tante ex rectangulis æquè altis BL, CK, DI, EN, vt $cilicet differentia ab ima- gine $it minor magnitudine Z, liquebit, magnitudinem Y minorem e$$e in$cripta figura BL, CK, DI, EN; deind&etail; procedendo vt $upra, inueniemus rectangulum MH ad in- $criptam figuram BL, CK, DI, EN in eadem ratione, i&ntail; quo tempus per FM imagine MH ad omnia $imul decur- $uum tempora per AB, BC, CD, DE iuxta imagines re- ctangula in$cripta BL, CH, DI, EN; Hæc verò tempor&atail; <pb n=7> minora $unt temporibus iuxta imagines ALKB, BKIC, CIND, INGE (nam velocitates initio decur$uum per dictas rectas diximus e$$e maximas, & quibus con$iderã- tur illi motus æquabiles $ecundùm imagines ip$a illa re- ctangula in$cripta) ergo rectangulum MH ad in$cripta&mtail; figuram BL, CK, DI, EN habebit maiorem rationem, quã tempus per FM iuxta imaginem MH ad tempora $imul imaginibus ALKB, BKIC, CIND, DNGE, $iue ad tempus iuxta imaginem ALGE ex illis compo$itam. Ideoque re- ctangulum MH ad ip$am in$criptam figuram habebit ma- iorem rationem, quàm ad magnitudinem Y, idcirco Y, quæ minor o$ten$a fuit in$criptà figura BL, CK, DI, EN, nunc hac alia via maiorem inuenimus; ergo cum rur$us hoc $it ab$urdum, nece$$e e$t magnitudinem Y neque minore&mtail; e$$e magnitudine ALGE, propterea æquales inter $e erũt, atque adeo tempus per FM imagine MN ad tempus per AE imagine ALGE habebit eandem rationem, quam ima- go MH ad imaginem ALGE. Quod &c. <p>3. Imagines propo$itæ $int duæ acuminatæ. Dico ni- <MARG><I>Tab.</I> 1. <I>Fig.</I> 7.</MARG> hilominus, tempora iuxta illas imagines per AE, HI e$$e vt ip$æ imagines ALGE ad HIK, quæ $int inter $e homoge- neæ vt $emper $upponetur. Nam $i intelligatur alius mo- tus per MF iuxta imaginem rectangulum MFN, qui æqua- <MARG><I>Cor. Def.</I> 3 <I>huius.</I></MARG> bilis erit, manife$tum e$t ex $ecundo ca$u, tempus per AE iuxta imaginem ALGE ad tempus per FM iuxta imagin&etilde; rectangulum MH, habere eandem rationem, quam imago ALGE ad imaginem rectangulum MH; & $imiliter tem- pus per FM imagine rectangulum MN ad tempus per HI iuxta imaginem HKI habet eandem rationem, quam ima- go NM ad imaginem HKI, ergo ex æquali tempus per AE ad tempus per HI $ecundùm imagines propo$itas erit vt imago ip$a ALGE ad imaginem HKI. Quod &c. <p>4. Demum imagines $int quæcunque, modò $int ho- <MARG><I>Tab.</I> 1 <I>fig. <*></I></MARG> mogeneæ, ADFB, GHKL: Dico rur$us inter $e e$$e vt tem- <pb n=8> pora per AB, AK iuxta ip$a imagines. Vel enim hæ ima- gines $unt $implices, hoc e$t tantùm parallelogramm&ecedil;, aut tantùm acuminatæ, & tunc $upra o$tendimus propo$itum, quemadmodum etiam $i vna acuminata, altera parallelo- gramma; vel non $unt huiu$modi & componentur ex illis. <MARG><I>Ax.</I> 4. <I>huius.</I></MARG> Sint ergo in imagine ADFB partes ab æquidi$tantibus di- $tinctæ ADEN, OFB acuminatæ & NEFO paralellogram. <MARG><I>Def.</I> 4. <I>huius.</I></MARG> mum, erunt hæ procul dubio inter $e, totique imagini ho- mogeneæ; $int pariter in alia imagine partes GHCM, MCKL, per æquidi$tantem MC di$tinctæ inter $e acumi- <MARG><I>Def:</I> 4. <I>huius.</I></MARG> natæ, quæ itidem inter $e, & imagini, cuius $unt partes, ho- mogeneæ erunt. His acceptis, quoniam tempus per AN <MARG><I>Ex tertia parte huius.</I></MARG> iuxta imaginem ADEN acuminatam ad tempus per HC iuxta aliam imaginem item acuminatam HGMC, habet eandem rationem, ac imago ADEN ad imagin&etilde; GHCM. $imiliter tempus per HC iuxta imaginem GHCM ad tem- pus per CK iuxta imaginem acuminatam MCKL e$t vt illa ad hanc imaginem; componendo, inde per conuer$io- nem rationis, & conuertendo, tempus per HC $ecundùm imaginem GHCM ad tempora $imul per HC, CK, quorũ imagines GHCM, MCKL, hoc e$t ad tempus per HK iux- ta imaginem GHKL habebit eãdem rationem, quam ima- go GHCM ad imaginem GHCL; & ideo ex æquali tem- pus per AN, cuius imago ADEN, ad tempus per HK, iux- ta imaginem GHKL, erit in eadem ratione, in qua e$t ima- go ADEN ad imaginem GHKL. Præterea tempus per AN iuxta imaginem ADEN ad idem ip$um tempus habet eandem rationem, quam imago ADEN ad eandem ip$am; tempus per NO iuxta imaginem rectangulum NEPO ad <MARG><I>Ex</I> 2. <I>part&etail; huius.</I></MARG> tempus prædictum per AN e$t in eadem ratione imaginũ NEPO ad ADEN, & $imiliter tempus per OB iuxta ima- ginem OPFB habet ad tempus per AN eandem rationem, ac imago OPFB ad imaginem $æpè dictam ADEN; itaq; ex lem. 18. Toric. in lib. de dim: parabolæ, erunt tria t&etilde;pora per <pb n=9> AN, NO, OB iuxta imagines deinceps ADEN, NEPO, OPFB, hoc e$t erit tempus per AB iuxta imaginem ADFB ad $imul tria tempora per AN iuxta eandem imaginem ADEN, vt imago ADFB ad triplum imaginis ADEN, & cum tria æqualia tempora per AN ad vnicum ex illis $it vt triplum imaginis ADEN ad vnicam imaginem; $equi- tur ex æquali tempus per AB ad tempus per AN iuxt&atail; imaginem ADEN habere eandem rationem, quam imago ADFB ad imaginem ADEN: & o$ten$um fuit tempus per AN iuxta imaginem ADEN ad tempus per HK iuxta imaginem GHKL habere eandem rationem, quam imago ADEN ad imaginem GHKL, ergo rur$us, & tandem ex æquali, tempus per AB iuxta imaginem ADFB ad t&etilde;pus per HK iuxta imaginem GHKL habebit eandem ration&etilde;, quam imago ADFB ad imaginem GHKL. Quod &c. <C><I>Corollarium.</I></C> <p><I>Hinc colligitur, $i prima magnitudo ad $ecundam fuerit vt tertia ad quartam, item alia prima ad aliam $ecundam vt alia tertia ad aliam quartam, & $ic vlteriùs quoad vi$u&mtail; fuerit, $int præterea omnes primæ, item omnes tertiæ inter$e æquales, con$tat, inquam, primarum vnam ad omnes $ecun- das habere eandem rationem, ac vna tertiarum ad omnes quartas.</I> <C>PROP. II. THEOR. II.</C> <p>SSpatia, quæ curruntur iuxta qua$cunque homogeneas velocitatũ imagines, $unt inter$e, vt eædem illæ ima- gines. Sint primùm motus æquabiles, curraturque $pa- <MARG><I>Tab.</I> 1. <I>Fig.</I> 9. <I>Cor. Dif.</I> 3. <I>huius.</I></MARG> tium AB iuxta imaginem velocitatum, quæ rectangulum erit ILMK, $patium verò DE tran$igatur iuxta imagine&mtail; prædictæ homogeneam rectangulum FHNG (nam erunt <pb n=10> homogeneæ ip$æ imagines, $i vt ex Def. 4. huius IL ad HF erit vt velocitas in$tanti I ad velocitatem mobilis in$tanti F) Dico $patium AB ad DE e$$e vt imago rectangulu&mtail; ILMK ad imaginem rectangulum FHNG. Componuntur ip$a illa rectangula ex ratione altitudinum IK ad FG, & ex ea ba$ium IL ad FH; verùm ex ij$dem, ea nempe temporũ <MARG><I>Gil. de motu æquabili.</I></MARG> IK ad FG, atque ea velocitatum IL ad FH componitur etiam ratio $patiorum AB ad DE, ergo ip$a $patia erunt vt propo$it&ecedil; imagines. <MARG><I>Tab.</I> 1. <I>fig</I> 10.</MARG> <p>2. Sint nunc motus iuxta imagines, quarum altera acu- minata, altera rectangulum $it. Dico rur$us $patium AB, quod curritur iuxta imaginem ABCD ad $patium DE, quod curritur iuxta alteram imaginem, e$$e vt imago ABCD ad imaginem PHNG. Ni$i ita $it, erit alia magni- tudo Y maior, vel minor imagine ABCD, quæ quidem ad alteram imaginem HPGN habebit eandem rationem, quã $patium AB ad DE. Sit primùm maior exce$$u Z. Cir- cum$cribatur; vt egimus in $ecunda parte primæ huius, fi- gura imagini ABCD con$tans ex rectangulis æquè altis, excedatque imaginem ABCD exce$$u minori, quam Z; $it ergo circum$cripta illa AE, HF, IG, KG, quam primò fa- cilè o$tendemus minorem magnitudine Y; nam hæc exce$- $u magis di$tat ab imagine, quàm circum$cripta illa. Præ- terea $i intelligantur tot motus æquabiles, quot $unt rectã- gula circum$cripta, ij nempe, qui fierent temporibus AH, HI, IK, KD iuxta deinceps imagines ip$a rectangula AE, HF, IG, KC inter$e, & propo$itis imaginibus homogeneas, velocitates, quibus ijdem motus con$iderarentur, forent HE, IF, KG, DC, nimirum maximæ imaginum ABEH, HEFI, IFGK, KGCD; Cumque ita $it, longiora $patia cur- <MARG><I>Ax.</I> 2. <I>huius.</I></MARG> rerentur iuxta imagines rectangula circum$cripta, quam ij$dem temporibus, imaginibu$que po$tremis, hoc e$t quã tempore AD iuxta imaginem ABCD; obidque $patium AB ad DE, $eu magnitudo Y ad imaginem HPGN habe- <pb n=11> bit minorem rationem, quàm omnes illæ $imul imagines, <MARG><I>Cor. pr.</I> 1. <I>hu- ius.</I></MARG> $eu quam circum$cripta figura AE, HF, IG, KC ad ean- dem imaginem HPGN; quare Y, quæ priùs o$ten$a fuit maior, nunc reperitur minor eadem circum$cripta, quod cum fieri nequeat, impo$$ibile etiam e$t magnitudinem Y maiorem e$$e magnitudine imaginis ABCD. Sit ergo mi- nor, $i etiam fieri pote$t, & defectus ip$ius Y $upra ABCD $it Z. In$cribatur imagini figura ex rectangulis æquealtis, vt nempe deficiat ab imagine defectu minori Z; $ic enim ip$a in$cripta, quæ $it AB, IE, KF, DG erit magnitudine pro- pinquior imagini ABCD, quàm Y, ideoque Y minor erit dicta in$cripta figura. Deinde, quoniam, $i ponantur mo- tus æquabiles, quorum imagines rect angula in$cripta HB, IE, KF, DG, quæque inter $e, & propo$itis imaginibus $int homogeneæ; velocitates, quibus efficerentur dicti motus, e$$ent AB, IE, KF, DG, minimæ $cilicet imaginum ABEH HEFI, IFGK. KGCD, & ideo $patia, quæ percurrerentur temporibus HA, HI, IK, KD imaginibus illis, maiora e$- <MARG><I>Ex.</I> 2 <I>huius.</I></MARG> $ent, quàm quæ ij$dem temporibus tran$igerentur iuxt&atail; imagines prædictas rectangula circum$cripta, hinc fit vt $patium AB ad DE, $eu magnitudo Y ad imagine HPGN habeat maiorem rationem, quàm in$cripta figura ad ean- dem imaginem HPGN; quare Y, quæ minor erat in$cripta figura, modò re$ultat maior, non ergo Y minor e$$e pote$t imagine ABCD, $ed neque maior vt o$tendimus, ergo $pa- tium AB ad DE erit, vt imago ABCD ad imaginem PHNG. Quod &c. <p>3. & 4. Si verò imagines acuminatæ $int, aut demum quæ cumque, eodem prorsùs modo, quo prima propo$itio- ne, o$tendemus hoc etiam propo$itum, ergo patet omne intentum. <pb n=12> <C><I>Scholium.</I></C> <p><I>Cum prorsùs geometricè o$tenderimus $uperiores duas pro- po$itiones, vtili$$imum e$t ob$eruare, quomodo liceat vti tem- poris in$tantibus, non vt punctis prorsùs geometricis, $ed vt quantitatibus dicam minoribus quibu$cunque datis. Hinc oritur indiui$ibilium method<*>s, quæ intelligentiam affert faciliorem, ac $i rigori geometrico penitus in$i$teremus, quam- quam eæ tamen difficiliores Geometras mihi magis decer&etail; videantur.</I> <C>PROP. III. THEOR. III.</C> <MARG><I>Tab.</I> 2, <I>Fig.</I> 1.</MARG> <p>SPatia, quæ curruntur iuxta quaslibet homogeneas ve- locitatum imagines, nectuntur ex rationibus tempo- rum, ac æquatricum. <p>Velocitates æquatrices duorum motuum, quorum ima- gines velocitatum $int ABCD, EFHI ponantur AG, EL. Dico $patia, $eu ip$as imagines componi ex ratione tem- porum AD ad EI; & ex ea æquatricum AE ad EL. Nam $i motus, qui e$t iuxta imaginem ABCD per$eueret velo- citate AG, e$$et quidem æquabilis, idemque $patium illa <MARG><I>Def.</I> 6. <I>Ax.</I> 1.</MARG> velocitate, & tempore AD percurreretur, ac $ecundù&mtail; imaginem ABCD; Itaque exi$tente rectangulo DE, quod <MARG><I>Cor.</I> 3. <I>Def.</I> 3. <I>huius.</I></MARG> e$set imago velocitatum illius motus æquabilis, foret idem <MARG><I>Pr.</I> 2. <I>huius.</I></MARG> æquale imagini ABCD (nam imagines ABCD, & DG homogeneæ $unt) eodem modo imago rectangulum VL æquale e$set imagini EFHI. Cum ergo duæ imagines re- ctangula DE, IL componantur ex rationibus temporum AD ad EI, & ex ea æquatricum AG ad EL; ex ij$de&mtail; prorsùs rationibus etiam imagines propo$itæ prædictis re- ctangulis æquales nectentur. Et ideo $patia, quæ propo- $itis imaginibus tran$iguntur, quæque ip$is proportionalia <pb n=13> $unt, componentur ex rationibus temporum, & ex rationi- bus æquatricum. <C><I>Corollarium I.</I></C> <p><I>Hinc patet $i lineæ, quæ in imagine velocitatum tempus ex hibet, aplicetur rectangulum æquale propo$itæ imagini ve- locitatum, fore vt latitudo eiu$dem rect anguli, $it velocitas æquatrix propo$itæ imaginis.</I> <C><I>Corollarium II.</I></C> <p><I>Item const at, vbi tempora, vel æquatrices velocitates fue- rint æquales, rationem $patiorum e$$e eandem, quæ æquatri- cum, vel quæ temporum.</I> <C><I>LEMMA.</I></C> <p><I>Si quælibet ratio compo$ita $it ex quotcumque rationibus, harum quælibet nectetur ex propo$ita, & ex reliquis contra- riò $umptis rationibus. Sit A ad B compo$ita ex rationibus E æd F; G ad H; & I ad K. Dico quamlibet ist arum puta G ad K con$tare ex rationibus A ad B, & ex reliquis reciprocè $um- ptis F ad E, & I ad K. Vt E ad F, ita $it A ad C, & vt D ad B $ic I ad K; erit C ad D, vt G ad H; ideoq; C ad D, hoc e$t G ad</I> <TABLE> <TR><TD><I>A</I></TD><TD><I>E</I></TD><TD></TD><TD></TD></TR> <TR><TD><I>C</I></TD><TD><I>F</I></TD><TD><I>I.</I></TD><TD><I>K</I></TD></TR> <TR><TD><I>D</I></TD><TD><I>G</I></TD><TD></TD><TD></TD></TR> <TR><TD><I>B</I></TD><TD><I>H</I></TD><TD></TD><TD></TD></TR> </TABLE> <I>H nectetur ex C ad A, $eu F ad G, & ex rationibus A ad B, B ad D, $iue K ad I. Quod &c.</I> <pb n=14> <C>PROP. IV. THEOR. IV.</C> <p>TEmpora, quibus ab$oluuntur duo motus componun- tur ex ratione $patiorum, & ex reciproca æquatri- cum. Cum enim $patia componãtur ex ratione temporum, <MARG><I>Pr.</I> 3. <I>huius.</I></MARG> & ex ea velocitatum æquatricum, $equitur per prædictum Lenima, quòd tempora nectantur ex rationibus $patiorum, & reciproca æquatricum. <C><I>Corollarium.</I></C> <p><I>Manife$tum e$t $patia, vel æquatrices velocitates, $i $int æquales, e$$e tempora in reliqua ratione reciproca æquatri- cum, vel $patiorum non reciproca.</I> <C>PROP. V. THEOR. V.</C> <p>ÆQuatrices velocitates componuntur ex rationibus $patiorum, & reciproca temporum. <p>Cum $patia componantur ex rationibus temporum, & velocitatum æquatricum, manife$tum e$t ex eodem Lem- mate, velocitates ip$as necti ex rationibus $patiorum, & reciproca temporum. <C><I>Corollarium.</I></C> <p><I>Deducitur, æquatrices velocitates e$$e vt tempora reciprocè $umpta, vel vt $patia, $i altera ratio fuerit æqualitatis.</I> <C>D. E F. VII.</C> <MARG><I>Tab.</I> 2. <I>Fig.</I> 2.</MARG> <p>SI in gene$ibus homogeneis AEC, GFK exi$tente AB ad BC $icut GI ad IK, habeat AE ad BD eandem ra- <pb n=15> tionem, ac GF ad IH, motus, qui fiunt iuxta illas gene$es, vocentur inter $e $imiles, & ip$æ gene$es dicentur $imilium motuum; quod verò attinet ad rectas AE, BD, GF, IH apel- labimus applicatas ad homologa puncta A, B, G, I propor- tionales. <C>PROP. VI. THEOR. VI.</C> <p>SI in imaginibus temporum homogeneis, applicatæ v- nius fuerint ad homologa puncta, proportionales ap- plicatis alterius imaginis, motus, quorum $unt ip$æ imagi- nes, $imiles erunt. <p>Imagines temporum $int &MLABC, &ONGIK, quæ <MARG><I>Tab.</I> 2. <I>fig.</I> 3.</MARG> $int homogeneæ, & cum GI ad IK $it vt AB ad BC, habeat quoque AL ad BM eandem rationem, ac GN ad IO. Di- co, motus, quorum $unt illæ imagines temporum inter $e $i- miles e$$e. <p>Sint apud ip$as imagines eorundem motuum gene$es, $cilicet EAC, FGK inter$e homogeneæ. Exi$tente AL ad BM, vt GN ad IO, erit conuertendo BM ad AL vt IO ad GN; $ed vt BM ad AL ita ob gene$im EA ad DB, & vt IO <MARG><I>Def.</I> 2. <I>huius.</I></MARG> ad GN, $ic FG ad HI. ergo EA ad DB e$t vt FG ad HI, erat autem vt AB ad BC ita etiam GI ad IK, ergo motus $unt <MARG><I>Def.</I> 7. <I>huius.</I></MARG> $imiles, & ip$æ imagines $imilium motuum. <C>PROP. VII. THEOR. VII.</C> <p>SI in imaginibus velocitatum vnius, applicate fuerint ex <MARG><I>Tab.</I> 2. <I>fig.</I> 4.</MARG> punctis homologè $umptis proportionales applicatis alterius imaginis, motus iuxta ip$as imagines erunt $imi- les, ideoque ip$æ imagines $imilium motuum. <p>Velocitatum imagines $int ABCD, NPRT, $itque AB ad EF in eadem ratione, in qua NP ad TR; Dico exi$tenti- bus etiam BF ad FC, vt PQ ad QR e$$e propo$itas imagi- nes $imilium motuum. Intelligantur eorundem motuum <pb n=16> gene$es GHKL, YZ 43. & $it pariter HI ad IK, vt $egmen- tum ABFE ad EFCD. Sit $imiliter Z <*> ad <*> 4 vt $eg- mentum NPQV ad VQRT, ducti$que applicatis IM, QV, manife$tum e$t, vt velocitas AB æqualis e$t velocitati GH, $ic EF æqualem fore ip$i IM; nam quia $patium tran$actũ iuxta imaginem ABFE ad $patium tran$actum imagine <MARG><I>Pr.</I> 2. <I>huius.</I></MARG> EFCD e$t vt illa ad hanc imaginem, nempe vt HI ad IK, erit mobile in$tanti F in puncto I, & ideo inibi erit veloci- tas eadem, quam habet mobile in$tanti F, $cilicet æquales erunt EF, IM. Eodem modo erunt æquales QV, <*> 2, & $unt etiam æquales NP, YZ, ergo $icut $e habet AB ad EF, ita erit GH ad MI, & vt e$t NP ad VQ. ita erit YZ ad 2 <*> Præterea concipiatur figura OPRSXO $imilis ip$i ABCD, $cilicet $it CB ad PR vt AB ad OP, vel (cum $int BF ad FC ita PQ ad QR, vt EF ad homologam XQ, erit $eg- mentum ABFE ad $ibi $imile $egmentum OPQX in dupli- cata ratione laterum homologorum EF ad XQ, & item in ead&etilde; duplicata ratione erunt inter$e $imilia $egm&etilde;ta EFCD ad XQRS, $ed cum etiam OPQX $egmentum ad NPQV, & XQRS ad $egmentum VQRT $int in eadem ratione eiu$dem QX ad QV, erit ex æquali $egmentum ABFE ad $egmentum NPQV, vt $egmentum EFCD ad VQRT, & permutando, $egmentum ABFE ad $egmentum EFCD ha- bebit eandem rationem, ac $egmentum NPQV ad VQRT $cilicet erit HI ad IK vt Z <*> ad <*> 4, ob idque con$tat ge- ne$ium applicatas vnius proportionales e$$e applicatis al- terius, quare $imiles motus erunt, qui fiunt iuxta imagines velocitatum propo$itas. <C>PROP. VIII. THEOR. VIII.</C> <p>SPatia, quæ curruntur $imilibus motibus $unt in ratione compo$ita temporum, & homologarum velocitatum, interquas $unt extremæ, aut primæ. <pb n=17> <p>Imagines velocitatum $imilium motuum $int BCDE, <MARG><I>Tab.</I> 2. <I>Fig.</I> 5</MARG> GMKI, & iuxta eas percurrantur $patia A, F. Dico i$ta com- poni ex rationibus temporum BE ad GI, & ex ea veloci- tatem extremarum ED ad IK. Fiat vt BE ad GI, ita BC ad GH, intelligatur que GHLI figura $imilis ip$i BDE. Quo- <MARG><I>Pr.</I> 2. <I>huiu.</I></MARG> niam $patium A ad F, hoc e$t imago BCDE ad imaginem GMKI componitur ex ratione imaginis BCDE ad figu- ram $ibi $imilem GHLI, & ex ratione huius ad imaginem GMKI: prior ratio e$t duplicata homologorum lateru&mtail; BE ad GI, $eu e$t compo$ita ex BE ad GI, & ex huic $imi- li ratione ED ad IL, & ratio altera, imaginis $cilicet GHLI ad imaginem GMKI e$t, vt LI ad IK; ergo ex æquali ima- go BCDE ad imaginem GMKI, hoc e$t $patium A ad $pa- tium F, componetur ex ratione temporum BE ad GI, & ex rationibus ED ad LI, & IL ad IK, $cilicet nectetur ex ra- tione BE ad GI, & ED ad IK, quæ po$trema cum $it ratio velocitatum extremarum ED ad IK; con$tat, quod propo- $uimus, $patia $imilium motuum componi ex ratione tem- porum, & ex ratione homologarum velocitatum, hoc e$t extremarum. <C><I>Corollarium.</I></C> <p><I>Si tempora fuerint æqualia, $imilium motuum $patia erũt vt extremæ, vel $ummæ velocitates, & contra, $i i$tæ æquales $int, erunt $patia vt tempora.</I> <C><I>Corollarium II.</I></C> <p><I>Cum $patia $imilium motuum nect antur ex ratione tem- porum & ex ea velocitatum $ummarum, $eu earum, quæ sũt ad in$tantia $imiliter $umpta in rectis BE, GI, const at ex lem: infra cor.</I> 2. <I>pr.</I> 3. <I>huius tempora componi ex rationi- bus $patiorum $imilium motuum, & ex recìproca dictarum</I> <pb n=18> <I>velocitatum. Ex eadem ratione patet e$$e velocitates $um- mas, vel homologas vti diximus in ratione compo$ita dicto- rum $patiorum, & ip$orum temporum.</I> <C><I>Corollarium III.</I></C> <p><I>Quare $i alteræ de du<*>bus componentibus æqualis fuerit, reliqua tantùm computanda erit.</I> <C><I>Scholium.</I></C> <p><I>Hinc emergit <*>nis ferè doctrina grauium cum de$cendũt pror$us libera, aut $uper planis inclinatis ad horizonte&mtail;: nec accidit veritates iam patefact as huc rur$us lectoris tadio afferre, $ed libcat potius, rationem metiendarum imaginum, quamuis longitudine immen$arum, no$tra methodo exponere.</I> <C>DEF. VIII.</C> <MARG><I>Tab.</I> 2. <I>Fig.</I> 6.</MARG> <p>SInt inter binas parallelas AB, GH, et IK, PQ planæ fi- guræ ABHG, IKQP, & in altera earum ducta altitudi- ne RV, $int inter $e ip$æ figuræ talis naturæ, vt cum $it GABH ad $egmentum EABF factum per æquidi$tantem ip$i GH $icut VR ad RT, verificetur $emper (ducta æqui- di$tanti NTO ip$i PQ) e$$e GH ad EF vt reciprocè NO ad PQ. tunc huiu$modi figuras vocabimus inter $e auuer$as. <C><I>Corollarium.</I></C> <p><I>Sequitur ex vi nunc allatæ deffi<*>, lineam IK tunc e$$e in- finitam, cum AB fuerit punctum, & ideo $imul con$tat figu- ram IPQK immen$am e$$e longitudine versùs K aut I, aut vtrinque, $i nempe producerentur nunquam co<*>uræ lineæ QP, IK.</I> <pb n=19> <C>PROP. IX. THEOR. IX.</C> <p>REctangulum $ub altitudine, & ba$i vnius auuer$arum ad ip$am auuer$am figuram, eandem habet ration&etilde;, ac altera auuer$a figura ad rectangulum ex ba$i in altitudi- <MARG><I>Tab.</I> <*>. <I>fig.</I> 7.</MARG> nem eiu$dem huius figuræ. <p>Sint auuer$æ figuræ ACB, GFDEG. Dico rectangu- lum DF in DE ad figuram GFDEG, eandem habere ratio- nem ac figura ACBA ad rectangulum AB in BC. Sint pri- mùm ABC, FDE anguli recti, & ducta qualibet HI paral- <MARG><I>Def.</I> 8. <I>huius.</I></MARG> lela BC, $it BAC ad HIA vt DF ad KF, erit ob naturam auuer$arum KL ad DE vt BC ad HI; itaque $i ponatur e$$e quidam motus ab F in D iuxta imaginem velocitatũ BAC, <MARG><I>Def:</I> 2. <I>huius.</I></MARG> erit GFDEG imago temporis eiu$dem motus; nam imago <MARG><I>pr.</I> 2. <I>huius.</I></MARG> BAC ad imaginem HIA e$t vt $patium DF ad $patium FK & velocitas BC ad velocitat&etilde; HI vt reciprocè KL ad DE. Sit etiam alius motus, $ed æquabilis, cuius imago velocita- tum æqualis $it, & homogenea ip$i BAC, rectangulum n&etilde;- pe AB in BM, & ideo $i fiat BM ad BC $icut DE ad DN, concipiaturque rectangulum FD in DN, erit hoc imago <MARG><I>Def.</I> 2. <I>huius.</I></MARG> temporis dicti motus æquabilis, homogenea, & æqualis imagini GFDEG; nam t&etilde;pora, $cilicet imagines GFDEG, <MARG><I>pr.</I> 1. <I>huius.</I></MARG> FD in DN rectangulum componuntur ex rationibus $pa- <MARG><I>pr.</I> 4. <I>huius.</I></MARG> tiorum, hoc e$t imaginum velocitatum inter$e æqualium, ABM, ACB, & reciproca æquatricum pariter æqualium BM, BM. Cum igitur rectangulum FD in DN æquale $it <MARG><I>Cor. pr.</I> 3. <I>hu- ius.</I></MARG> imagini, $eu figuræ GFDEG, habebit eadem figur&atail; GFDEG ad rectangulum FD in DE eandem rationem, quam DN ad DE, hoc e$t quam BC ad BM, $eu quam re- ctangulum AB in BC ad rectangulum AB in BM, aut ad ei æqualem figuram ABC; & conuertendo, manife$tum e$t quod propo$uimus, nempe rectangulum FD in DE ad fi- guram GFDEG habere eandem ration&etilde;, ac figura ACBA <pb n=20> ad rectangulum AB in BC. quod erat demon$trandum primo loco. <p>2. Si verò propo$itæ figuræ $int quæcunque auuer$æ <MARG><I>Tab.</I> 2. <I>Fig.</I> 8.</MARG> DAE, QPLMQ poterunt hæ reuocari ad qua$dam alias FKG, RSZX, quæ $int inter ea$dem parallelas, queis com- prehenduntur propo$itæ figuræ, ad eo vt exi$tentibus re- ctis angulis KFG, RXZ $int ip$æ binæ figuræ ab ij$dem pa- rallelis interceptæ. inter $e æqualiter analogæ hoc e$t du- ctis æquidi$tantibus, vt vi$um fuerit IHBC, VTNO, $int $emper interiectæ lineæ IH, BC, & VT, NO æquales: hoc modo non tantùm liquet figuras FKG, DAE, nec no&ntail; RSZX, PQML æquales inter $e e$$e, verùm etiam FKG ad IKH e$$e in eadem ratione, in qua QPLMQ ad QPNOQ, quamobrem ex prima parte, rectangulum ZX in RM ad figuram SRXZS, hoc e$t rectangulum LM in altitudinem figuræ QPLMQ ad hanc ip$am figuram habebit eandem rationem, quam figura FKG ad rectangulum KF in FG, vel quam figura DAE ad rectangulum DE in altitudinem eiu$dem huius figuræ DAE; quo circa con$tat omne pro- po$itum. <C><I>Corollarium.</I></C> <p><I>Patet in prima parte repertum e$$e rectangulum FD i&ntail;</I> <MARG><I>Cor. pr.</I> 18. <I>huius.</I></MARG> <I>DN æquale figuræ GFDEG, licèt hæc immen$e longitudinis $it versùs G, & ob id manife$tum e$t, quòd quamuis aliqu&atail; figura $it $inè fiue longa, non ideo $emper magnitudinem ha- bet infinitam. Et $imul illud con$tat, vbi vna auuer$arum, $eu vbi imago velocitatum, aut temporis $it magnitudine termi- nata, etiam altera auuer$arum, vel imaginum erit huiu$- modi &c.</I> <pb n=21> <C>PROP. X. THEOR. X.</C> <p>IN quouis parallelogrammo BD $int deinceps diagona- <MARG><I>Tab.</I> 2. <I>Fig.</I> 9.</MARG> les AGC, AHC, AIC, ALC, aliæque numerò infinitæ, ita vt acta quælibet recta EF parallela BA $ec ãs ip$as dia- gonales in punctis G, L, H, I, $it $emper DA ad AF, vt CD, aut EF ad FG; quadratum ex DA ad quadratum AF vt EF ad FH; cubus ex DA ad cubum ex AF vt EF ad FI; quadroquadratum ex DA ad quadroquadratum ex AF vt EF ad FL; & $ic continuò procedendo per infinitas ex ordine pote$tates: Stephanus de Angelis Author $ubtilis, ac celeberrimus, libro $uo infin. parabolarum vocat trian- gulum rectilineum ABC parabolam primam, BAHC $e- cundam; tertiam BAIC, quartam BALC, & ita in infini- tum: His definitis docet ex Cauallerio parallelogrammum BD ad quancunque dictarum parabolarum $ibi in$cripta- rum e$$e vt numerus, vel exponens parabolæ vnitate au- ctus ad ip$um exponentem, $iue numerum parabol&ecedil;, qua- re ad primam habebit ip$um parallelogrammum eandem rationem, ac 2 ad 1; ad $ecundam vt 3 ad 2; ad tertiam vt 4 ad 3, & ita deinceps de reliquis; itaque per conuer$io- nem rationis habebit ip$um parallelogrammum ad exce$- $um illius $upra quancunque parabolarum dictarum, $cili- cet ad trilineum primum AGCD eandem rationem, quam 2 ad 1, ad $ecundum quam 3 ad 1, & $ic deinceps quam numerus trilinei vnitate auctus ad ip$am vnitatem. Sed e$t etiam admonendum verticem dictarum parabolarum e$$e punctum A, & per con$equens AB diametrum, & BC ordinatim aplicatam, $eu ba$im. <pb n=22> <C>PROP. XI. THEOR. XI.</C> <p>II$dem adhuc manentibus, idem de Angelis mon$trat eo- dem illo tractatu pr. 3. $i quæcunque ex dictis parabo- lis $ecta $it qualibet recta parallela ba$i BC, e$$e parabolam ad re$ectam portionem ver$us verticem, vt pote$tas ba$is, cuius exponens e$t numerus parabolæ vnitate auctus ad $imilem pote$tatem ex ba$i re$ectæ portionis; itaque i&ntail; prima parabola e$t vt quadratum ad quadratum, in $ecun- da vt cubus ad cubum, & $ic de cæteris. Similiter $i $ece- tur quodlibet ex infinitis trilineis linea GF ba$i CD paral- lela, erit trilineum ad $uperius $ui $egmentum vt pote$tas ex DA, cuius exponens e$t numerus trilinei vnitate auctus ad $imilem pote$tatem ex AF. quare trilineum primu&mtail; CAD ad GAF erit vt quadratum ex DA ad quadratum ex FA, $ecundum CHAD ad $egmentum HAF vt cubus ad cubum, & ita in cæteris eodem ordine. <C>PROP. XII. THEOR. XII.</C> <MARG><I>Tab.</I> 3. <I>fig.</I> 1.</MARG> <p>SIt modò ACD angulus rectus, & linea FE talis naturæ, vt deductis ad libitum rectis AF, BE parallelis ip$i CD, pote$tas ex CA ad $imilem pote$tatem ex CB $it reci- procè vt alia quædam pote$tas ex BE ad $imilem huic po- te$tatem ex AF; patet rectas CA, CD nondum iungi cum EF, quamuis in immen$um vnà producerentur. Ab hoc proprietate VValli$ius & Fermatius $ubtili$$imi authores vocauerunt curuam FE nouam hyperbolam, & eius a$- $ymptotos AC, CD. Omnes huiu$modi hyperbolæ, quæ infinitæ numero $unt, terminantur ad vnam partem ma- gnitudine, cum hyperbola cõmunis, $eu Apolloniaca $it in vtranque partem magnitudine infinita. Quod ergo exi- mium e$t, o$tenderunt ip$i authores rectangulum FA i&ntail; <pb n=23> AC ad $patium hyperbolicum quà finitum e$t, licèt $inè fine longum, eandem habere rationem, quam differentia exponentium pote$tatum hyperbolæ ad exponentem po- te$tatis minoris. Quare $i in hyperbola $it vt cubus CB ad cubum CA ita quadratum AF ad quadratum BE, erit prædictum rectangulum CA in AF dimidium Spatij $inè fine producti A & FA; at $i quadratum CB ad quadratum CA $it vt recta AF ad rectam BE, rectangulum ip$um CA in AF æquale erit $patio A & FA, quòd $i pote$tas CA vel CB non fuerit altior pote$tate ex BE, vel AF, tunc ip$um illud $patium, infinitum quoque erit magnitudine, etenim nullus exce$$us exponentis prædictæ pote$tatis ex CA $u- pra exponentem pote$tatis BE, habet ad numerum expo- nentis pote$tatis BE rationem infinitam. <C>DEMONSTRATIO.</C> <p>SVpradictum propo$itum habetur in commercio epi- $tolico Ioannis Valli$ij Epi$tola quarta, quem libellum vnà cum alijs docti$$imis $uis operibus Vincentius Viuia- nus ingens æui no$tri Geometra, antequam $umma cu&mtail; humanitate mi$i$$et, eidem ip$i quadraturam vnius ex di- ctis hyperbolis ex no$tris principijs deductam, ac excogi- tatam, indicauimus. Cum verò po$tea nobis eueni$$et vniuer$aliorem ad alias hyperbolas ($emper communi ex- cepta) accomodatam reperij$$e, huc debemus afferre, pri- mùm vt quendam fructum $cientiæ huius; deinde cum di- ctorum authorum ip$am propo$itionis demon$trationem non habuerimus, & demum quia ip$arum hyperbolarum men$ura, ac quadratura in aquarum rationibus erunt po- ti$$imum ex v$u. Sit igitur BC vna ex infinitis hyperbolis, <MARG><I>Tab.</I> 3. <I>Fig.</I> 3.</MARG> quarum a$lymptoti AE, EL; Sint etiam quæcunque apli- catæ AB, DC alsymptoto EL æquidi$tantes, & habeat DE ad EA eandem rationem v. g. quam cubus ex AB ad <pb n=24> <MARG><I>Tab.</I> 3. <I>fig</I> 2.</MARG> cubum DC. Patet $i proponeretur illi auuer$a figur&atail; <MARG><I>Def.</I> 8. <I>huius.</I></MARG> FGK, e$$etque AE ad DE vt figura GFK ad figuram IHK e$$e etiam FG ad IH vt DC ad AB, e$t autem cubus ex DC ad cubum ex AB vt AE ad ED; ergo etiam figur&atail; FGK ad IHK ($unt enim FG, IH parallel&ecedil;) habebit ean- dem rationem, ac cubus ex FG ad cubum ex IH: Itaqu&etail; GFK erit comunis parabola, hoc e$t quadratica, $eu $ecũ- <MARG><I>Pr.</I> 10. <I>huius.</I></MARG> da in $erie infinitarum parabolarum, & ob id eadem GFK <MARG><I>Pr.</I> 9. <I>huius.</I></MARG> parabola ad rectangulum GF in FK erit vt 2 ad 3, in qua ratione $e habebit quoque rectangulum BA in AE ad $pa- tium infinitè longum & BM, et erit vt 2 ad 1; $cilicet vt ex- ce$$us exponentis maioris pote$tatis, quæ cubica e$t, $uper numerum exponentis, qui hoc ca$u e$t tantùm vnitas ra- dicis, e$t ad hunc ip$um exponentem, $eu vnitatem lineæ indicantem, quod concordat cum propo$ita dictoru&mtail; authorum. <C><I>Exemplum aliud.</I></C> <MARG><I>In eadem fi- guræ.</I></MARG> <p>SIt etiam cubus ex DE ad cubum ex AE, $icut quadra- to quadratum AB ad quadroquadratum DC, & rur- $us propo$ita GKF auer$a huius hyperbolæ: patet $i $it AE ad DE vt figura GFK ad figuram IKH, e$$e etiam FG ad <MARG><I>Def.</I> 8. <I>huius.</I></MARG> IH vt DC ad AB; cumque $it cubus ex AE ad cubum ex DE $icut quadroquadratum ex DC ad quadroquadratũ ex AB, erit etiam quadroquadratum ex FG ad quadro- quadratum ex IH, vt cubus ex AE ad cubum ex DE; $i igitur intelligatur quædam ratio, quæ $it $ubduodecupla tam rationis quadroquadratorum quàm huic $imilis cu- borum prædictorum, erit porrò FG ad IH triplicata, & AE ad ED quadruplicata eiu$dem dictæ $ubduodecuplæ; quamobrem etiam ratio figuræ GFK ad figurã IHK, quæ e$$e debet vt AE ad ED, erit quadruplicata eiu$dem $ub- duodecuplæ: & ideò $i ponamus IK ad KI in ratione <pb n=25> eiu$dem $ubduodecuplæ, erit figura GFK illius naturæ, vt <MARG><I>Pr.</I> 10. <I>huius.</I></MARG> $it $emper cubus ex FK ad cubum ex KI $icut GF ad IH, & hoc modo eadem illa figura erit trilineum tertium, $eu cu- bicum, ex quo ergo $equitur, GFK ad HIK $it in eadem ra- tione, in qua quadroquadratum ex FK ad quadroqua- dratum ex KI, hoc e$t $it vt AE ad ED; $equiturque etiam <MARG><I>Pr.</I> 10. <I>huius.</I></MARG> ob hoc figuram GFK $ubquadruplam e$le circum$cripti rectanguli GF in FK; e$t autem vt trilineum GFK ad rectã- <MARG><I>Pr.</I> 9. <I>huius</I></MARG> gulum GF in FK circum$criptum, $ic rectangulum ABME ad auuer$am eidem trilineo figuram AB & EA, ergo re- ctangulum ABME $ubquadruplum erit eiu$dem figuræ AB & EA longitudinis infinitæ, quare ip$um rectangulum erit $ubtriplum portionis & BM & longitudinis pariter im- men$æ. Cum ita $it, con$tat exemplo hoc quoque, eand&etilde; illam rationem e$$e exce$$um maioris exponentis $upr&atail; minorem exponentem ad hoc ip$um, dictarum pote$tatũ hyperbolæ. <C>PROP. XIII. THEOR. XIII.</C> <p>SVperior demon$tratio effecta fui$$et ampli$$ima, $i pr&ecedil;- ponere volui$$emus quadraturã vt datam omnis ge- neris parabolarum, & trilineorum, verùm cum i$ta pars nõ $it plenè tradita, vt videre e$t quinto libro infinitarum pa- rabolarum eiu$dem de Angelis, $atius ideo duximus qua- draturam hyperbolarum à VVali$io, & Fermatio acuti$$i- mis illis viris propo$itam omnino veram admittere, vt indè eam parabolarum & trilineorumvniuer$alem, quam adhuc ab alijs non habemus, facillimè, compendiosèque depro- meremus. Hanc igitur ita proponimus vt $ubinde o$ten- damus. <p>Si $imiles pote$tates applicatarum fuerint in eadem ra- tione, ac $unt inter$e pote$tates quædam aliæ, & eiu$dem gradus diametrorum ab ip$is applicatis ab$ci$$arum v$que <pb n=26> ad verticem parabolarum, vel trilineorum; erit rectangu- lum ad parabolam $ibi in$criptam vt aggregatum expon&etilde;- tium vtriu$que pote$tatis ad exponentem altioris ip$arum pote$tatum parabolæ; & ad trilineum vt aggregatum ex- ponentium pote$tatum trilinei ad exponentem inferioris pote$tatis eiu$demmet trilinei. Sic enim in expo$ita figu- ra prædicta, $i e$$et quadratum ex FG ad quadratum ex IH, $icut cubus ex FK ad cubum ex IH, e$$et rectangulum GF in FK ad figuram GFK (quæ tunc foret trilineum, vt 5 ad 2; nam vbi pote$tas ab$ci$$arum maior e$t illa applica. tarum e$t $emper GF trilineum. Simili modo, $i $it vt qua- dratum ex FK ad quadratum ex KI ita cubocubus ex FG ad cubocubum ex IH; hoc e$t $i $it cubus ex FG ad cubũ ex IH, vt linea FK ad KI (tolluntur enim vtrinque ex $imi- libus $imiles rationes) erit $igura GFK parabola, ad quam $ibi circum$criptum rectangulum eandem habebit ration&etilde;, quam 4 ad 3, & $ic dicendum erit de omnibus alijs para- bolis atque trilineis. <C>DEMONSTRATIO.</C> <p>VErùm vt propo$itum o$tendamus, e$to quælibet ex parabolis GFK, nimirum quadratocubus ex FG ad quadratocubum ex IH habeat eandem rationem, qua&mtail; cubus ex FK ad cubum ex IK. Demon$tro, rectangulum GF in FK habere eandem rationem ad parabolam GFK, quam aggregatum exponentium 8 ad maiorem exponen- tem 5. Primùm, quam rationem habet rectangulum GF in FK ad parabolam GFK, eandem habebit rectangulum HI in IK ad parabolam HIK (hoc enim demon$trabimus in- frà) permutandoque, erit rectangulum GF in FK ad re- ctangulum HI in IK, vt parabola GFK ad parabolam HIK; componuntur verò illa rectangula ex rationibus GF ad IH, & FK ad IK, ergo etiam parabola ad parabolam com- <pb n=27> ponetur ex ij$dem rationibus; & quoniam ductis inuicem exponentibus po$$unt con$iderari quindecim rationes in- ter $e $imiles, ex quibus con$tet tam ratio dictorum cubo- rum, quàm huic $imilis altera quadratocuborum, & tunc GF ad IH erit triplicata, et FK ad KI quintuplicata eiu$d&etilde; $ubquindecuplæ rationis, quæ $it A ad B; ergo $imul ad- ditis ij$dem rationibus, quintuplicata $cilicet, & triplicata exiliet ratio octuplicata ip$ius A ad B; proptereaque pa- rabola GFK ad HIK, $eu $i con$ideremus figuram & BAEL auuer$am parabolæ GFK, ita vt AE ad ED $it vt para- <MARG><I>Def.</I> 8. <I>huius.</I></MARG> bola GFK ad parabolã HIK; AE ad ED erit pariter octu- plicata eiu$dem A ad B; & cum $it ob naturam auuer$arũ FG ad HI vt DC ad AB; erit DC ad AB triplicata eiu$d&etilde; rationis A ad B, qnare vt cubus AE ad cubum DE, it&atail; quadratocubocubus DC ad quadratocubocubum ex AB: rectangulum igitur ABME ad $patium hyperbolicum infin<*>è longum & BM & erit vt quinque ad tria, & ad vni- <MARG><I>Pr.</I> 12 <I>huius.</I></MARG> uer$um $pa ium & BAE & vt 5 ad 8, in qua nempe ratio- ne debet e$$e parabola GF<I>K</I> ad rectangulum GF in FK. <MARG><I>Pr.</I> 9. <I>huius.</I></MARG> Quod &c. <C><I>Corollarium.</I></C> <p><I>Con$tat $i fuerit ratio A ad B eò $ubmultiplicata rationis applicatarum, quoties e$t numerus exponentis pote$tatis ab- $ci$$arum eiu$dem parabolæ, e$$e ip$am parabolam ad $ui por- tionem in tam multiplicata ratione A ad B, ac e$t numerus aggregati exponentium ambarum pote$tatum parabola. Nam cum e$$et quadratocubus ex FG ad quadratocubum ex IH, $i- cut cubus ex FK ad cubum ex IK, propo$ita in$uper e$$et A ad B. $ubquindecupla alterius dictarum $imilium rationum ex pote$t atibus parabola, o$ten$um fuit rationem A ad B $ubtri- plicatam ip$ius GF ad IH, & $ubquintuplicatam alterius FK ad KI, & tandem o$tendimus parabolam GFK ad portionem</I> <pb n=28> <I>eius HIK eße in octuplicata ratione eiu$dem A ad B; quod idem omnino diceretur $i figura GFK trilineum e$$et. Ratio autem A ad B dicetur impo$terum logarithmica pote$tatum parabolæ, $eu trilinei, aut hyperbolæ.</I> <C>ASSVMPTVM.</C> <p>REliquum e$t vt o$tendamus, parabolam GFK ad portionem HIK e$$e vt rectangulum GF ad rectan- gulum HI in IK, $cilicet e$$e in ratione compo$ita ha$ium, & altitudinum parabolarum, quod nempe $ic o$tendetur, Sit vt $upra FGK parabola, eiu$que portio IHK; exi$tenti- bus verò applicatis FG, IH, fiat EG ad IE vt FK ad KI, $it- <MARG><I>Tab.</I> 3. <I>Fig.</I> 2.</MARG> que IE ba$is, et K vertex parabol&ecedil; IEK $imilis ip$i GFK pa- tet propter $imilitudinem figurarum, e$$e parabolam GFK ad parabolam IEK in eadem duplicata ratione FG ad IE, in qua nempe e$t rectangulum GF in FK ad $ibi $imile re- ctangulum EI in IK, ob idque rectangulum GF in FK ad rectangulum EI in IK, cum $int inter$e vt parabola GFK ad parabolam EIK, hæc verò parabola ad ip$am IHK habeat eandem rationem, ac IE ad IH; $eu ob eandem altitudinem IK vt rectangulum EI in IK ad rectangulum HI in IK, erit ex æquali parabola GFK ad parabolam HIK vt rectangu- lum GF in FK ad rectangulum HI in IK. Quod &c. <C>PROP. XIV. THEOR. XIV.</C> <MARG><I>Tab.</I> 2. <I>fig.</I> 3.</MARG> <p>IN quacunque hyperbola (excepta $emper conica) cu- ius a$$ymptoti EA, EM, $i $it pote$tas applicatarum DC AB altior pote$tate ab$ci$$arum AE, ED ($ic enim finit&atail; erit magnitudine $ecundum eam a$$ymptoton, quæ appli- catis parallela e$t) $patium ip$um hyperbolæ & BAE & ad $ui portionem & CDE & habebit eandem rationem, ac rectangulum BAE ad rectangulum CDE, $eu (a$$umpta <pb n=29> ratione logarithmica A ad B pote$tatum hyperbolæ) quã pote$tas ex A, cuius exponens e$t differentia exponentiũ pote$tatum hyperbolæ ad $imilem pote$tatem ex B. <C>DEMONSTRATIO.</C> <p>QVam rationem habet rectangulum BAE ad $patium & BAE &, eandem habet rectangulum CDE ad <MARG><I>Pr.</I> 12. <I>huius.</I></MARG> $patium & CDE, & permutando erit rectangu- lum BAE ad CDE, $icut $patium & BAE & ad $patiu&mtail; & CDE &; $i igitur in eadem propo$ita hyperbola $it po- te$tas applicatarum DC, AB quintuplicata ip$ius A ad B, & AE ad ED $eptuplicata $it eiu$dem; erit $eptuplicat&atail; applicatarum in eadem ratione, ac quintuplicata ab$ci$$a- rum; $cilicet quadratoquadratocubus ex DC ad $imilem pote$tatem ex AB erit vt quadratocubus ex AE ad qua- dratocubum ex DE, eritque $ic maior pote$tas applicata- rum, atque adeo componetur rectangulum EAB ad EDC ex $eptuplicata ip$ius A ad B, qualis e$t AE ad ED, & $ub- quintuplicata eiu$dem A ad B, quæ e$t AB ad DC; nimi- rùm erit rectangulum EAB ad EDC in duplicata tantum ratione ip$ius A ad B: quare $patium & BAE & ad id & CDE &, quæ $unt inter $e, vt ip$a rectangula, erit vt po- te$tas ex A, cuius exponens e$t differentia exponentium & S pote$tatum hyperbolæ ad $imilem pote$tatem ex B. Quod &c. <C>PROP. XV. THEOR. XV.</C> <p>SIab exponente pote$tatis applicatarum hyperbol&ecedil; de- trahatur exponens minoris pote$tatis ab$ci$$arum, po- te$tas reliqui exponetis erit applicatarum auuer$æ figuræ, in ab$ci$$is verò ade$t vtrobique eadem pote$tas. Itaque cum in $uperiori hyperbola re$idui exponentis pote$tas <pb n=30> quadratum e$$et, porrò in eius auuer$a e$$et pote$tas appli- catarum quadratica, & ab$ci$$arum quadratocubica. <C>DEMONSTRATIO.</C> <MARG><I>Tab.</I> 3. <I>Fig.</I> 3.</MARG> <p>ESto rur$us hyperbola & BAE &, et $icut dictum e$t AE ad ED $it in $eptuplicata ratione logarithmicæ rationis A ad B, at DC ad AB in quintuplicata, videlicet quadratocubus ex AE ad quadratocubum ex DE eandem habeat rationem, ac quadratoquadratocubus ex DC ad $imilem pote$tatem ex AB; Dico in auuer$a figura pote$ta- tem aplicatarum e$$e quadratum, cuius expon&etilde;s 2 e$t dif- ferentia exponentium pote$tatum hyperbolæ; pote$tatem verò ab$ci$$arum eandem e$$e, ab$ci$$arum eiu$dem hyper- bolæ. Sit vt $upra FK ad KI vt hyperbola & BAE & ad & CDE &, hoc e$t, $it vt pote$tas ex A, cuius exponens <MARG><I>Pr.</I> 14. <I>huius.</I></MARG> e$t differentia exponentium pote$tatum hyperbolæ ad $i- milem pote$tatem ex B, & ideo FK ad KI erit duplicata ip- $ius A ad B, $ed DC ad AB eiu$dem illius logarithmicæ quintuplicata; e$tque in hac eadem ratione etiam GF ad IH; ergo cum duplicata huius $it $imilis quintuplicatæ KF ad KI (nam vtraque ratio continet decies A ad B) pater, quadratum ex FG ad quadratum ex IH e$$e eam pote$ta- tem, quam propo$uimus euenire in applicatis auuer$æ, cum aliàs in ab$ci$$is $it vtrobique pote$tas eadem, nempe qua- dratocubi. Quod &c. <C><I>Corollarium.</I></C> <p><I>Patet ex noto trilineo, vel parabola FGK e$$e in auuer$a, $cilicet in hyperbola & BAE & (quæ tunc e$t $emper magnitu- dine finita iuxta a$symptoton EM &) pote$tatem applicatarũ, qua pro exponente habet $ummam exponentium pote$tatum parabolæ, aut trilinei; nam cum eßet in trilineo pracedenti</I> <pb n=31> <I>quadratum ex FG ad quadratum ex IH vt quadratocubus ex FK ad quadratocubum ex IK, fuit equidem in hyperbol&atail; quadratoquadratocubus ex DC<*> quadratoquadratocubum ex AB $icut quadratocubus ex AE ad $imilem pote$tatem ex DE, $cilicet inuariata pote$tate ab$cr$arum in ambabus au- uer$is. Quare ex pote$tatibus notis vnius auuer$arum fa- cilè inote$cent pote$tates alterius, atque etiam illius magnitu- do. Nunc redeamus ad motus, nouamque adhuc methodum, quam hoc loco re$eruauimus, afferamus.</I> <C>DEF. IX.</C> <p>SIt quædam Gene$is ACBH, cuius imago temporis & DCB &; item $it FCBK gene$is alterius motus ab <MARG><I>Tab.</I> 3. <I>fig.</I> 4.</MARG> eodem C in B; & actà rectà OIGE ip$i AFCD parallel&atail;, ponantur CD, GE loco minimorum temporum, ita vt t&etilde;- pore CD, dum mobile ex C affectum velocitate CA, currat minimum $patiolum indicatum per C, cui e$t æqua- le $patiolum aliud indicatum per G, quodque tran$igitur tempore GE velocitate GD (nam vt e$$ent illa $patia i&ntail; C, G æqualia, effectum fuit vt velocitas AC ad GD ean- dem reciprocè rationem haberet, ac tempus GE ad CD, id quod patet ex natura gene$is ACBH, & imaginis & DCB &) et hic rur$us notatu digni$$imum e$t nulli errori obnoxium e$$e, quòd æquabiles in illis minimis $patiolis intellexerimus motus, quamuis potius deberet videri, in ij$dem interuallis reperiri innumeras, ac inæquales veloci- tates, queis nempe efficerentur motus inæquabiles, quòd gene$es inæquabiles $int. Cur i$ta $e ita habeant, hic non e$t nobis di$putandum, ego enim puto, non ex indiui$ibili velocitates alijs $uccedere, $ed reuera minutulum tempo- ris con$iderari debere antequam motus diuer$imodè pro- cedat, nempe ac $i velocitas, quæ $uccedere debet priori, non ita $it in promptu, aut non ita $tatim mobile afficiat ad <pb n=32> motum $ibi proportionatum. Sed linquamus hæc alijs di$- putanda: $atis nobis $it, methodum no$tram, quoad no$trũ e$t, demon$trare. Ijs igitur vt $upra propo$itis, concipia- tur adhuc tempore CD velocitate FC $patiũ exigi quod- dam, item aliud tempore EG, velocitateque GI, & $ic per omnes qua$cunque applicatas: quæritur, quod $patiu&mtail; vltimò exactum e$$et, hoc e$t quam rationem id haberet ad illud alterum $patium, quod eodem tempore tran$igitur iu ta gene$im HACB, cuius imago temporis CD & B. I$ti duo motus in exemplo e$$ent, $i in quodam plano mo- ueretur formica, dum ip$um planum vna eius extremitate immobili circumduceretur, Sic formica difficiliùs a$c&etilde;de- ret prout ip$um planum magis ad horizontem erigeretur. Iam motus extremitatis plani circumactæ habet gene$im ACBH, cuius temporis imago & DCB &, et altera gene$is FCBK <*>ribueretur motui formicæ, nam vt dictũ e$t varius motus formicæ pendet ex latione plani, ideò velocitates eiu$dem (nam in plano immobili ponimus æquabiliter fer- ri) durant ij$dem temporibus, quibus velocitates præcipuæ gene$is ACBH. Sit denique LMSR imago velocitatum iuxta gene$im ACBH, cuius temporis imago CD & B; pa- tet $i $it MP ad PS $icut imago temporis CDEG ad ima- ginem & BGE &, fore LM ad PQ vt AC ad OG, & con- cepta etiam figura MNOTS inter parallelas LMN, RST ita vt $it $emper MN ad PO $icut FC ad GI, nec non LM ad MN vt AC ad FC. ($unt enim initio motuum in C, aut in$tanti M, velocitates gene$ium AC, CF, $cilicet LM, MN; & in G, hoc e$t in$tanti P $unt velocitates OC, GI; nimi- rum QP, PO) vocetur proinde gene$is FCBK $puria, ac ad$tricta imaginitemporis & DCB &, cuius imago veloci- tatum MNTS pariter $puria, homogenea tamen ip$i legiti- <*>æ LMSR. <pb n=33> <C>PROP. XVI. THEOR. XVI.</C> <p>SI $int duo motus iuxta gene$es legitimam, & $puriam, erunt mobilium exacta $patia, vt imagines inter$e homogeneæ velocitatum, legitima ad $puriam. <p>E$to gene$is legitima ACBH, cuius imago temporis <MARG><I>Tab.</I> 3. <I>Fig.</I> 4.</MARG> & DCA &, & imago velocitatum MLRS. Sit etiam gene- $is altera illi homogenea, $ed $puria, & ad$tricta imagini temporis & DCB &, cuius imago velocitatum $puria, prio- rique legitimæ homogenea NMST. Dico, $patia iuxta has imagines tran$acta e$$e vt ip$æ imagines legitima LMSR ad $puriam NMST. Cum temporis momenta M, P in- telligantur ex minimis temporibus, quæ proponi po$$unt, inter$e æqualibus, & quibus æquabiliter perdurant ve- locitates, quas mobile $ortitur in aduentu $uo in punctis C, G, erit vt velocitas FC ad velocitatem GI $ic inter$e <MARG><I>Pr.</I> 3. <I>huius.</I></MARG> $patia, quæ i$tis velocitatibus, temporibu$que illis æqua- libus percurrerentur, in qua ratione e$t etiam NM ad OP. Deinde momento M peragerentur $patia proportionalia velocitatibus FC, AC, $eu rectis NM, ML, momento autem P $patia proportionalia velocitatibus GI, GD, in qua ratione e$t etiam OP ad PQ, & $ic deinceps procedendo per $ingula temporis MR momenta, adeo vt, cum $patium velocitate FC exactum ad id veloci- tate CA, $it vt NM ad ML, $patium velocitate IG ad id exactum velocitate GD $it vt OP ad PQ, & $int præterea primæ inter$e, hoc e$t $patia velocitatibus FC, GI tran- $acta, proportionalia tertijs, $patijs videlicet tran$actis velocitatibus ML, PQ ergo vt omnes primæ ad omnes tertias quantitates, hoc e$t omnia $patia tran$acta iuxta gene$im FCBK ad omnia $patia iuxta gene$im ACB, ita erit $umma $ecundarum ad |omnes quartas, $cilicet i$ta erit imago NMST ad imaginem LMSR. Quod & c. <pb n=34> <C>LIBER ALTER</C> <C>DE</C> <C>Motu Compo$ito.</C> <p>MOtum appellamus compo$itum, vbi dum fer- tur mobile, con$ideratur habere plures i&ntail; diuer$as partes, vel etiã in eandem partem conatus, ex quibus oriatur tertia vis di$tin- cta ab illis. Hunc librum, cum expleueri- mus, non pauca vnà cum priori, dicta erunt de motu, erit- que ea methodus, qua $imul geometrica quædam, difficil- lima $citu $atis breuiter o$tendemus. Nam vibrationes pendulorum exigi temporibus; quæ $int in $ubduplicat&atail; ratione longitudinum eorundem, planè tandem con$tabit aliàs nobis di$$entientibus: aperiemus etiam, qua arte in- telligi queant anguli rectilinei curuilineis æquales; nec non exponemus parabolas quibu$dam $piralibus æquales, vt e$t vulgata $pirali Archimedeæ, cùm videlicet ba$is para- bolæ radio circuli $piralem continentis, & dimidium huius circumferentiæ circuli altitudini eiu$dem parabolæ, æqua- les $int. <C>PROP. I. THEOR. I.</C> <MARG><I>Tab.</I> 4. <I>Fig.</I> 1.</MARG> <p>SI in eadem recta linea currantur $patia temporibus æqualibus, & $int motus $implices, ac ad ea$dem par- tes tendentes, eadem illa $patia $imul motu compo$ito, ab eodemque mobili duabus illisgene$ibus affecto, vnicoque ex dictis temporibus æqualibus, excurrentur. <pb n=35> <p>Curratur LI iuxta imaginem velocitatum HAEF, et IO iuxta aliam dictæ homogeneam BAED. Dico LO $um- mam dictorum $patiorum LI, IO exactum iri vnico tem- pore AE, $i nempe mobile feratur $ecũdum vtranque ima- ginem. <p>Per quodlibet punctum, $eu temporis momentum M agatur recta GMC parallela HB, vel FD. Habebit mobi- le momento A, dũ $cilicet mouetur motu compo$ito duas $imul velocitates AH, AB, ide$t vnicam HB. Similiter mo- mento M habebit GC, & momento E ip$am FD. Itaque <MARG><I>Def.</I> 3. <I>prima.</I></MARG> erit HBDF imago velocitatum compo$iti motus, qui fiet tempore AE iuxta imaginem, quæ aggregatum e$t dictarũ HAEF, ABDE. E$t verò LI ad IO vt imago HAEF ad imaginem ABDE; ergo conuertendo, componendoqu&etail; erit vt LI ad LO, $ic imago HAEF ad imaginem HBDF; propterea quemadmodum $patium LI currebatur iuxt&atail; imaginem HAEF, $ic LO percurretur imagine HBDF $olo, eodemque tempore AE. Quod &c. <C><I>Corollarium.</I></C> <p><I>Hinc patet graue perpendiculariter, violenterque deiectum minimè ad terram venturum aggregato virium, quarum vna e$t ab impellente impreßa, altera verò à grauitate depend&etilde;s. Nam ex impartita vt celerior fit ca$us, quam vt graue in de- cur$u $uo po$$it ex acceler atione naturali eum gradum acqui- rere, quem certè $ponte $ua tantùm de$cendens in fine eiu$dem altitudinis adeptum e$$et. Hoc ita verum e$t, vt aliquando minimum inter$it, inter impetum ab ambabus cau$is proue- nientem, & eum, qui a $ola oritur grauitate, quamobrem pa- rum is proficeret, qui conaretur maiorem impetum componere in ca$u grauis, illi nempe adiecta vi, mobile idem in decur$u impellente, vltra nat<*>am grauitatem, quod tamen fieri haud dubiè po$$et, $i ca$us obliquus eßet.</I> <pb n=36> <p><I>Illud quoque hac occa$ione aperiendum e$t, graue naturali- ter de$cendens eò concitatiùs ferri, quoad potentia re$i$tentis aeris (validior namque i$ta fit, vbi mobilis ca$us e$t celerior) vi granitatis mobili inhærenti exaquatur, tunc enim cau$&atail; vlterioris accelerationis adempta e$t, con$umiturque in lucta- tione aeris contranitentis: quare tunc grane progrederetur aquabili motu, id quòd citiùs euenire deberet $i grane intr&atail; aquam de$cendat.</I> <C>PROP. II. THEOR. II.</C> <p>SI in eadem recta duos motus $ibi contrarios, fimplices, ac eodem tempore peractos intelligamus, mobile di- ferentiam illorum $patiorum, $i vtroque motu e$$et affe- ctum, percurreret. <MARG><I>Tab.</I> 4. <I>Fig.</I> 2.</MARG> <p>Curratur à puncto L $patium LO imagine velocitatum ABFG, & codem tempore curratur etiam recta OM ex puncto altero O, $cilicet contrario motu, & iuxta imagin&etilde; AHIG prædict&ecedil; homogeneam. Dico mobile, cõpo$ito ex vtri$que motu, & tempore ip$o AG cur$urum differentiam LM dictorum $patiorum LO, OM. <p>Primùm intra parallelas AB, GF non $e $ecent lineæ <MARG><I>Tab.</I> 4. <I>Fig.</I> 2.</MARG> BF, HI, & ducatur quælibet DC æquidi$tans AB, vel GF, quæ fecet HI in E. Manife$tum e$t, mobile, compo$ito motu feratur habere duplicem velocitatem, vnam AB al- teram illi oppo$itam AH, ob idque moueri ver$us O $ol&atail; velocitate HB differentia dictarum inter$e pugnantium velocitatum: pariter momento D feretur mobile veloci- tate EC differentia duarum DE, DC, & in$tanti G habebit <MARG><I>Def.</I> 3 <I>prima.</I></MARG> differentialem IF; ex quo $equitur figuram BHEIFCB, dif- ferentiam imaginum ABFG, HAGI, aptatam tempori AC imaginem e$$e velocitatum compo$iti motus. Hoc po- <MARG><I>Pr.</I> 2. <I>prim&atail; huius.</I></MARG> $ito habebit LM ad LO eandem rationem, ac BHIF ad ABFG; Propterea LM, quæ e$t differentia $patiorum LO, <pb n=37> MO curretur iuxta imaginem BHIF, nempe compo$ito motu, & tempore AG. <p>2. Se nunc $ecent lineæ BF, HI in C. Ducatur CD pa- <MARG><I>Tab.</I> 4. <I>fig.</I> 3.</MARG> rallela alteri æquidi$tantium AB, GF. Con$tat ex prima parte, quòd mobile compo$ito motu, & iuxta imaginem HBC feretur ver$us O tempore AD; $it ergo $patium, quod curreretur illa imagine, PR, & ob id LO ad PR eande&mtail; <MARG><I>Pr.</I> 2. <I>prima</I></MARG> habebit rationem quam imago ABFG ad imagine&mtail; HBC. <p>Similiter dum mobile mouetur tempore DG iuxta ima- gines DCIG, DCFG, feretur verè $ecundùm imagine&mtail; <MARG><I>Ex prim&atail; parte.</I></MARG> FCI ver$us L, quamobrem $i $patium, quod exigeretur hac imagine $it RQ, habebit i$tud ad LO eandem rationem, <MARG><I>Pr.</I> 2. <I>prima.</I></MARG> quam imago CFI ad imaginem ABFG, & ideo ex æquali QR ad PR $e habebit vt imago CFI ad imaginem HBC; $i igitur ponatur ABFG maior imagine AHIG, demptà co- muniter AHCFG relinquetur HBC maior imagine CEI, & ideo etiam PR maior QR: curritur verò PR versùs R tem- pore AD, & RQ versùs P tempore DG, ergo toto tempo- re AG curretur PQ differentia $patiorum PR, RQ. Cum verò HBC ad CFI, $it vt PR ad RQ, erit diuidendo vt ex- ce$$us imaginis HBC $upra imaginem FCI ad imagine&mtail; i$tam, ita PQ ad QR, & o$ten$um e$t QR ad LO, $icut ima- go FCI ad imaginem ABFG, ergo ex æquali exce$$us ima- ginis HBC $upra imaginem AHIG habebit eandem ratio- nem ad imaginem AHIG, ac PQ ad LO, at e$t in illa ead&etilde; ratione etiam LM ad LO (e$t enim LO ad MO vt imago ABFG ad imaginem AHIG) ergo PQ erit æqualis LM, atque adeo mobile dum currit vtroque motu, hoc e$t iux- ta $imul duas imagines propo$itas contrariorum motuum, peraget $patium LM versùs O $ecundùm imaginem, quæ differentia e$t propo$itarum ABFG, AHIG, tempore AG. Quod &c. <pb n=38> <C><I>Corollarium.</I></C> <p><I>Deducìtur, mobile nullum $patium emen$urum, vbi ima- gines $implicium motuum fuerint aquales.</I> <C>PROP. III. THEOR. III.</C> <MARG><I>Tab.</I> 4. <I>Fig.</I> 4.</MARG> <p>REperire eam velocitatem, eamque directionem, quæ orirentur, $i mobile pluribus eodem momento velo- citatibus, $eu conatibus affectum e$$et. Opportet autem non $olum has velocitates, verùm etiam earum directio- nes manife$tas e$$e. <p>Habeat mobile A, eodem momento conatum AB, quo tendat in R; AC; quo in C; & AD, quo in D. Quæritur ve- locitas, & directio, quas mobile habiturum e$$et in multi- plici illa affectione (Nam actu vnam velocitatem, vnam- que tantùm directionem $ortiri debet) Ex duabus qui- bu$que AD, AC intelligatur perfici parallelogrammum ACED, & ducta diametro AE fiat itidem aliud parallelo- grammum ABFE, cuius agatur diameter AF. Dico AF e$$e quæ$itam velocitatem, ac directionem, quibus mobile ex illis pluribus conatibus motum $uum in$titueret. <p>Si mobili A currendum e$$et æquabili motu $patium AE, pertran$iret eodem tempore tam rectam AD, quàm <MARG><I>C<*>l. pr. de mo- <*> aquab.</I></MARG> ip$am AC; nam cum fertur ab A in E verè de$cendit ab A in C, & ab A in D motu pariter æquabili; ergo AD ad AC, erit vt velocitas, qua curritur per AD ad velocitatem, qua curritur per AC. Itaque $i mobile dum e$t in A in- telligatur affectum velocitatibus AD, AC habentibus di- rectiones ip$as rectas AD, AC, perinde e$$et, ac $i $ola fo- ret mobili velocitas vnâ cum directione AE. Eadem ra- tione AF velocitas habens directionem AF, æquipollebit duabus velocitatibus AB, AE iuxta directiones rectas ea$- <pb n=39> dem ABAE; hoc æquiualebit tribus AB, AC, AD. Mo- bile igitur ex affectione trium illorum conatuum, vt $up- po$itum fuit, nitetur $ecundùm AF velocitate ip$a AF Quod &c. <C>DEF. I.</C> <p>ACcelerationem alicuius motus, tunc intelligimus, cũ velocitates, quæ $ubinde mobili adueniunt, non de- lentur, $ed pror$us integræ, atque indelebiles mobili in ip$o motu per$euerant. Ex quo $equitur motum $implicem di- ci, cum præteritæ velocitates protinus euane$cunt, illæ- que tantum con$iderantur, quæ mobili $ubinde oriun- tur. <C>PROP. IV. PROB. II.</C> <p>IMaginem accelerationis cuiu$cunque $implicis motus exhibere. <p>Imago velocitatum $implicis motus e$to rectangulum <MARG><I>Tab.</I> 4. <I>fig.</I> <*>.</MARG> AFDC: $ic motus e$t æquabilis, vt acceleretur debent in- <MARG><I>Cor. def.</I> 3. <I>pri- mi.</I></MARG> $tanti C vigere omnes velocitates in imagine AFDC cõ- prehen$æ, & item ducta quacunque BE parallela AF, vel <MARG><I>Def.</I> 1. <I>huius.</I></MARG> CD, erit mobile momento B affectum omnibus antece- dentibus velocitatibus, comprehen$is nempe ab imaginis portione AFEB; quare $i ponamus HLG imaginem e$$&etail; accelerationis, itaut nempe tempus GL æquale $it tempo- ri AC; item KL æquale tempori AB, erit vt figura CAFD ad figuram BAFE, $ic velocitas, qua mobile fertur mom&etilde;- to G ad velocitatem, quam habet in$tanti K; & ideo quia ponitur imago $implicis motus rectangulum AFDC, erit rectangulum CF ad BF, hoc e$t recta CA ad AB immò LG ad LK, vt GH ad KI; quamobrem GLH imago velo- <MARG><I>Def.</I> 3 <I>primi.</I></MARG> citatum huiu$modi motus, erit triangulum. Quod $i ima- <pb n=40> go $implicis motus fui$$et triangulum, imago velocitatum accelerationis foret trilineum $ecundum, & ita pro- portionaliter de infinitis numero accelerationibus. <C><I>Corollarium.</I></C> <p><I>Hinc obiter habemus, quo pacto imago velocitatum corpo- rum naturaliter de$cendentium triangulum $it. Nam quo- libet momento $ui ca$us habet graue idem in$e principiu&mtail; motus, $eu grauitas, ex qua concipitur imago $implicis motus $i nempe priores gradus velocitatis $ubinde deperirent, at quia in eius de$cen$u pror$us per$euerant (id enim $upponi- tur ab$trabendo ab aere) inde motus concitatur, & fit vti di- ximus imago accelerationis triangulum.</I> <C>AXIOMA</C> <p>QVælibet linea, vt fluxus puncti concipi po- te$t. <C>AX. II.</C> <p>VT propo$ita linea ex fluxu puncti exarètur, duò tan- tùm nece$$aria $unt, $cilicet motus, & puncti di- rectio. <C>PROP. V. THEOR. III.</C> <p>REcta, quæ priùs de$eripta e$t, pote$t alijs à primis velocitatibus, rur$us exarar<*>. <p>Nam punctum pote$t fluere $ecundum quamcunque rectam, quocunque motu, ergo illam pote$t etiam quibu$- cunque velocitatibus affectum rur$us exarare. <pb n=41> <C>PROP. VI. THEOR. IV.</C> <p>VT eadem recta ex fluxu puncti renouetur, opportet in quocunque illius puncto $eruari pri$tinas directio- nes, <p>Cum, vti diximus, ad de$criptionem lineæ duo tantùm <MARG><I>Ax.</I> 2. <I>buius. pr.</I> 5. <I>huius.</I></MARG> exigantur, nempe motus, & puncti directio; motus verò po- te$t e$$e quilibet, $equitur ergo directionem, alteram de duobus, $eruari debere. <C>DEF. II.</C> <p>LIneam dicimus curuam, in qua $umptis duobus ad- libitum punctis, recta, quæ ip$a puncta coniunge- ret, nullam cum propo$ita linea partem $it habitura com- munem. <C>PROP. VII. THEOR. V.</C> <p>DIrectiones puncti de$cribentis lineam, iuxta rectas lineas concipi debent. <p>Dum punctum fluere intelligimus, ine$t in eo $ingulis momentis certus, ac præfixus gradus velocitatis, quo tan- tùm attento, rectà, æquabiliq; motu in certam partem con- tenderet; at huiu$modi iter, aliud non e$t, quàm directio puncti, qua eius temporis momento profici$citur; ergo iux- ta rectas lineas, directiones omnes con$iderari opportet. <C>PROP. VIII. THEOR. VI.</C> <p>TAngens, & directio motus in quouis curuæ puncto e$t vna, atq; eadem recta. <p>Nam in de$criptione cuiu$cunq; rectæ procedit pun- <MARG><I>Pr.</I> 7. <I>huius.</I></MARG> <pb n=42> ctum iuxta tendentias rectas, obliquatur tamen ob $ub$e- quentes, aliò tendentes ni$us, & ob id di$trahitur punctum ip$um à priori tendentia, idem accidit ex alia parte $i re- flaxiffet idem punctum, nempe hinc inde vnicam rectam eandemque, continuantibus oppo$itis ad idem punctum directionibus, ergo directio, & tangens vna, & eadem e$t recta. <C><I>Corollarium.</I></C> <p><I>Hinc $equitur, vnicam lineam dicendam e$$e, cum à quo- cunque illius puncto vnica tantùm ex vtraque parte egre- ditur tangens.</I> <C>DEF. III.</C> <p>QVòd $i ex aliquo puncto duæ tangentes hinc inde egredientes angulum efficiant; tunc propo$itam li- neam inflexam dicemus, & punctum, in quo $unt contactus, inflexionis appellabitur. <C><I>Corollarium I.</I></C> <p><I>Ab hi$ce deffinitionibus, & priori coroll. manat artificium componendi duas curuas, vel curuam & rectam, adeout vni- cam lineam efforment, nullumque angulum; nempe cum $ic inuicem tuxgamus, vt taugentes ad punctum connexus, vnam tantùm rectam efficiant.</I> <C><I>Corollarium II.</I></C> <p><I>Sed & illud patet, quibus angulis inflectantur lineæ inui- cem compo$it<*>, $i ad punctum inflexionis angulum tangen- tium ob$eruauerimus, $unt enim inter$e æquales, licèt diuer- $a $peciei, <*> vnus $it curuilineus, & rectilineus alter.</I> <pb n=43> <C>PROP. IX. THEOR. VII.</C> <p>TAngens, $eu directio motus in quocunque curuæ puncto e$t illa recta, quæ vtrinque $tatim cadens extra curuæ conuexum ad eandem, quàm fieri pote$t ex vtraque parte accedit. <p>Nam alia quæque recta tran$iens per punctum conta- ctus ad $ectionem magis accedere nequit, quin ip$am illinc $ecet, ob id extra conuexum eius non cadet, ab altera ve- rò parte magis à propo$ita curua $eparabitur, quamobrem nulla alia recta, quàm tangens poterit $imul extra curuam e$$e, & quàm fieri pote$t ad ip$am accedere. <C>DEF. IV.</C> <p>LIneæ AC, AD occurrant $ibi in A, quod punctum in- <MARG><I>Tab.</I> 4. <I>fig.</I> 6.</MARG> telligatur transferri ab A in C vnà cum linea AD $emper $ibi parallela, quo tempore punctum A currat ip- $am latam lineam ex A in D. Manife$tum e$t idip$um punctum A de$cripturum e$$e motu compo$ito lineam quandam AB diagonalem $uperficiei parallelogrammæ ABCD. Vocamus ergo diagonalem illam $emitam com- po$iti motus, & AC, AD latera illius. <C><I>Corollarium I.</I></C> <p><I>Manife$tum e$t mobile dum currit AB tran$ire etiam AC, AD, licèt curuæ $int, nam verè transfertur illo tempore, tam ad lineam CB quam ad DB.</I> <C><I>Corollarium II.</I></C> <p><I>Præterea $i ducerentur, aut$int AC, CB, DA, DB, AB</I> <pb n=44> <I>rectæ lineæ, efficeretur ex ijs parallelogrammum ACBD, cu- ius diameter AB; quamobrem ex datis punctis C, A, D repe- riretur $tatim punctum B, $cilicet extremum $emitæ compo- $iti motus, cuius latera ip$æ curuæ, aut rectæ AC, AD</I> —. <C>PROP. X. PROB. III.</C> <p>EX datis quotcunq; lateribus compo$iti motus, huius <MARG><I>Tab.</I> 4. <I>Fig.</I> 7.</MARG> $emitæ terminum exhibere. <p>Si latera compo$iti motus e$$ent duo tantùm AB, AC. Facto parallelogrammo vt dictum e$t, inueniretur pun- ctum E extremum motus: & quæcunq; $it $emita, $eu mo- tus, pote$t idem E $upponi tanquam extremum alterius la- teris, adeoque, $i motus con$tet ex tribus lateribus AC, AB, AD, perinde $it ac $i foret duorum laterum AE, AD; nam AC, AD valent $imul ac $olum AE; cum ita $it, facto etiam parallelogrammo EADF ex datis punctis E, A, D, habebitur F extremum $emitæ, cuius $unt tria latera CA, AD, AB — <C><I>Corollarium.</I></C> <p><I>Deducitur artificium de$cribendæ $emitæ AE, vel AF, $i nempe a$$umptis partibus AG, AH, AI in dictis lateribus, quæ quidem $ciantur percurri temporibus æqualibus, $i per ip$as $ingulas mobile punctum ferretur eo modo, quo in com- po$ito motu nititur per ea$dem directiones; reperietur in- quam punctum K in $emita AE, atque L in $emita AF: qua- re hoc modo $umptis alijs, atque alijs partibus in ip$is lateri- bus, reperientur alia, atque alia puncta ad ip$am $emita&mtail; pertinentia, quorum tandem beneficio, facile erit qua$itam fermè $emitam exarare.</I> <pb n=45> <C>PROP. XI. PROB. IV.</C> <p>EX datis imaginibus velocitatum, iuxta quas $implici <MARG><I>Tab.</I> 4. <I>fig.</I> 8.</MARG> motu currantur latera compo$iti motus; datis item tangentibus ad quæcunque puncta ip$orum laterum, repe- rire $emitam compo$iti motus, nec non directiones, veloci- tate$q; puncti de$cribentis ip$am $emitam. <p>Opportet tamen latera ip$a, itemq; imagines prædictas, in imperatas $ecari po$$e rationes, quamquam nos non la- teat, in lateribus curuis hoc effici non po$$e, præterqua&mtail; aliquatenus in periphærijs circulorum. <p>Sint AB, AF latera compo$iti motus, quæ quidem $eor- $im currantur eodem tempore QM, $cilicet AB iuxta ima- ginem MNPQ, et AF iuxta imaginem alteram ei homoge- neam TMQR. Ponatur AB circuli arcus, quem tangat re- cta BC æqualis QB, at AF lineam', quæ parabola $it, con- tingat recta FG æqualis RQ. Reperiemus illicò punctum <MARG><I>Pr,</I> 10. <I>huius.</I></MARG> H extremum $emitæ compo$iti motus; $unt enim data pun- cta A, F, B. Cum igitur mobile venerit in H. Dico, eo temporis momento velocitatem, ac directionem HL, quæ recta diameter e$t parallelogrammi, cuius duo latera $unt dictæ lineæ HI, HK; Iam vti diximus punctum H e$t ex- tremum compo$iti motus, quare eo momento, quo pun- ctum mobile e$t in H, habet inibi ea$dem illas velocitates, quas haberet in B, et F, dum $eor$im illa latera excurri$$et; $cilicet con$ideratur ip$um mobile habens $imul velocita- tem HI æqualem, ac æquedirectam, $eu æquidi$tantem ip$i CB, cui e$t æqualis alia QP; & velocitatem HK æqua- lem, $imiliterque directam, ip$i GF æquali RQ. Cum ita <MARG><I>Ex pr.</I> 3. <I>hu.</I></MARG> $it erit HL velocitas, & directio quæ$ita momento Q. Eo- dem modo, $i $it, vel fiat vt imago PNMQ ad ONMV (ducta $cilicet applicata SVO) ita BA ad AX, et ONMV ad imaginem VMTS, vt XA ad AI, percurrentur AX, AI <MARG><I>Pr.</I> 2. <I>primi huius.</I></MARG> <pb n=46> eodem tempore MV, eritque ob id in X velocitas, & dire- ctio, tangens ip$a ZX æqualis VO, & in I velocitas, & di- rectio, tangens 2 I æqualis VS; Itaque datis punctis X, I, A <MARG><I>Cor.</I> 2. <I>def.</I> 3. <I>huius.</I></MARG> dabitur etiam Y extremum $emitæ compo$iti motus, cuius latera AX, AI, & ideo mobile dum e$t in Y momento V affectum erit duplici velocitate, hoc e$t Y 4 æquali ve- locitati ZX, $eu VO, ac æquidi$tante eidem ZX, et veloci- tate altera Y 3 æquali, & æquèdirecta ip$i 2 I: quare ex datis punctis 4, Y, 3 inuenietur punctum S quartus angu- lus parallelogrammi habentis diametrum YI, quæ quidem <MARG><I>Pr.</I> 3. <I>huius</I></MARG> erit directio, & velocitas mobilis currentis compo$ito mo- tu in$tanti V. Cumque alia quotcunque puncta eadem methodo reperire queamus, per quæ duci po$$it linea ferè quæ$itam $emitam repræ$entans, atq; emulans, patet idcir- co, quod propo$uimus. <C><I>Corollarium.</I></C> <p><I>Cum verò directiones $int idem, ac tangentes, liquet HL</I> <MARG><I>Pr.</I> 8 <I>huius.</I></MARG> <I>VS tangentes e$$e compo$iti motus.</I> <C>PROP. XII. THEOR. VIII.</C> <p>CVm imagines velocitatum, iuxta quas curruntur du&ecedil; <MARG><I>Tab.</I> 5. <I>Fig.</I> 1.</MARG> rectæ, quæ $int latera compo$iti motus, $unt paral. logrammum, & triangulum; tunc $emita compo$iti motus erit communis parabola. <p>Tempore HM curratur latus AC iuxta imaginem velo- citatum HILM rectangulum, & latus AB iuxta imaginem <MARG><I>pr.</I> 2. <I>primum huius.</I></MARG> triangulum HMN; erit CA ad AB, vt imago parallelogrã- mum HILM ad aliam imaginem triangulum NHM. Fiat <MARG><I>Pr.</I> 3. <I>huius.</I></MARG> parellogrãmum ACDB erit in D extremum $emitæ com- po$iti motus, quæ $i ponatur AFC; Dico e$$e parabolam. Sumatur in ip$a linea quoduis punctum F, ab ip$o dedu- <pb n=47> cta FE parallela AB, vti etiam FG parallela AC, erunt <MARG><I>Ex eadem.</I></MARG> AE, AG latera compo$iti motus, cuius $emita AF: Con- cipiatur modò P momentum, quo mobile ade$t in F, & ducta OPK parallela alteri HI, vel NL, erit imago MHIL ad <MARG><I>Pr.</I> 2. <I>huius.</I></MARG> imagin&etilde; PHIK, hoc e$t MH ad HP, vt CA ad AE, $eu vt BD ad GF. Pariter erit imago NHM ad imagin&etilde; OHP, hoc e$t quadratum ex MH ad quadratũ ex PH; immò id ex BO ad illud ex GF, vt BA ad AG; quamobrem punctum F cadet in curuam parabolicam communem, cuius diameter AB, & ba$is, $eu ordinatim applicata BD, $cilicet AFD erit ip$a curua parabolica. Quod &c. <C><I>Scholium.</I></C> <p><I>Quoniam graue, quod iaculatur extræ perpendiculum, li- berum ab omni obice, ni$i turbaretur eius motus à propri&atail; grauitate pergerct moueri æquabiliter iuxta directionem, ve- locitatemque ei traditam; habet verò coniunctam grauita- tem, qua, ni$i ab impre$$o impetu flecteretur motus, de$cen- deret iuxta perpendiculum motu naturaliter concitato, cuius imago velocitatum, triangulum e$t; Hinc propterea gran&etail; vltra perpendiculum proiectum de$cribit in cur$u $uo, motu $cilicet compo$ite, parabolam vulgatam. Verùm enim verò de$criptionem i$t am nece$$e aliquo pacto e$t ex duabus cau$is vitiari, hoc est ab aeris re$i$tentia, & perpendiculis non in- ter$e parallelis, quippe in idem, vnumq; punctum, vniuer$i centrum, conuergentibus.</I> <C>PROP. XIII. THEOR. IX.</C> <p>SI ab a$$umpto hyperbolæ puncto, recta axi primo pa- <MARG><I>Tab.</I> 5. <I>fig.</I> 2.</MARG> rallela deducatur, quæ ad $ecundam diametrum per- tingat; Quadrilineum comprehen$um ab ip$a curua hy- perbolica. & dictis tribus rectis, erit imago velocitatis il- <pb n=48> lius motus de$cribentis curuam parabolicam, cuius ba$is ad axem eius habet eandem rationem, quam duplus axis propo$itæ hyperbolæ ad ductam illam æquidi$tãtem inter eiu$dem hyperbolæ a$$ymptotos interiectam. <p>Hyperbolæ IRS $it centrum H, $emiaxis HI, a$$ymptoti HT, NH, et SN parallela HI; tùm ducta HM $ecunda dia- metro hyperbolæ, intelligatur de$criptio parabolæ AFD; itaut duplus axis hyperbolæ, hoc e$t quadruplum ip$ius HI ad NT eandem habeat rationem, quam DB ba$is pa- rabolæ ad BA axim eiu$dem. Dico quadrilineum HISM e$$e imaginem velocitatum, iuxta quam motu compo$ito de$cribitur parabola AFD; & cum $it homogenea imagi- <MARG><I>Def.</I> 7. <I>primi & pr.</I> 12. <I>pri- mi huius.</I></MARG> nibus HILM, HTM, e$$e quoque rectangulum HDLM ad imaginem ip$am HISM vt recta CA ad curuam AFD. Fiat rectangulum ACDB, et HM $it tempus, quo curritur <MARG><I>Cor. pr.</I> 4. <I>hu.</I></MARG> vtrunque latus AB, AC, nempe axis AB motu grauium iuxta imaginem triangulum HTM, alterum verò latus AC <MARG><I>Pr.</I> 2. <I>primi huius.</I></MARG> æquabili motu iuxta imaginem rectangulum HILM, quod quidem erit HILM; etenim AB ad $patium AC e$t vt ima- go triangulum HMT ad imaginem rectangulum HILM, $cilicet e$t vt MT ad duplam HI, vel vt NT ad quadru- plam HI, quemadmodum po$uimus. Iam mon$trauimus lineam, quæ curritur iuxta illas imagines motu compo$ito parabolam e$$e, cuius diameter AB, & ba$is BD; & pro- pterea erit ip$a AFD (nam vnica tantum parabola ex datis AB, BD po$itione, ac magnitudine, axi $cilicet, ac ba$i dari pote$t) Ducatur nunc à quolibet puncto F dictæ parabolæ rectæ FE, FG parallelogrammum con$tituentes AEFG; & P $it momentum, quo mobile punctum inueni- <MARG><I>Ex pr.</I> 12. <I>hu.</I></MARG> tur in F. Habebit inibi ip$o temporis momento P veloci- tatem PQ iuxta directionem GF, $unt verò i$tæ directiones $ibi ip$is perpendiculares; ergo recta, quæ diameter e$$et rectanguli AEFG, & ob id potentiâ æqualis duabus PK, <MARG><I>Pr.</I> 3. <I>huius.</I></MARG> PQ erit gradus velocitatis, quem mobile habet momen- <pb n=49> to F motu compo$ito currens; verùm quia quadratum ex PR &ecedil;quatur rectangulo ORQ vnà cum quadrato ex PQ, & <MARG><I>Pr.</I> 11. <I>l.</I> 2. <I>co- nic.</I></MARG> e$t ob hyperbolam rectangulum ORQ æquale quadrato ex HI, vel PK; ergo PR quadratum æquale erit duobus $i- mul quadratis PQ, PK; itaque PR erit gradus velocitatis prædicti mobilis in F momento P, compo$itoque motu currentis iuxta curuam parabolicam. Pariter momento M, cum mobile e$$et in D velocitas compo$iti motus foret MS pote$tate æqualis duabus MT, ML, ac demum in A initio motus velocitas e$t HI: quare HISM erit imago ve- locitatis motus compo$iti dum mobile punctum de$crip$e- <MARG><I>Def.</I> 3. <I>prima huius.</I></MARG> rit curuam parabolicam AFD, e$tque illa imago imagini- bus diui$orum, $eu $implicium, motuum homogenea; ergo con$tat ba$im etiam BD ad parabolam AFD eandem ha- bere rationem, quam rectangulum HILM ad quadrili- neum HISM. Quod &c. <C><I>Corollarium. I.</I></C> <p><I>Patet, cum latera compo$iti motus $int duo, & $ibi ip$is per- pendicularia, tunc gradum velocitatis eìu$dem motus compo- $iti æqualem e$$e potentiâ duobus $imul gradibus, quos habet mobile eodem momento, ac $i $eorfim intelligatur in ip$is ferri lateribus.</I> <C><I>Corollarium. II.</I></C> <p><I>Si verò con$iderentur imagines primi $ecundique Ca$us inter$e homogenea, erit vt quadrilineum HISM primi ad</I> <MARG><I>Pr</I> 2. <I>prim&atail; huius.</I></MARG> <I>quadrilineum ij$dem literis notatum $ecundi ca$us, vt cur- ua illa parabolica ad hanc $ecundi ca$us parabolam.</I> <pb n=50> <C><I>Corollarium. III.</I></C> <p><I>Illud etiam con$tat, e$$e in vtroque ca$u vt quadrilineum HIRP ad ip$um PRSM, ita AF ad FD.</I> <C>PROP. XIV. THEOR. X.</C> <p>PRopo$itis Spirali Archimedea primæ circulationis <MARG><I>Tab.</I> 5. <I>fig.</I> 3.</MARG> ABD, et AGF cõmuni parabola, $it FG ba$is huius æqualis radio DA, et GA $it dimidium circumferenti&ecedil; cir- culi AEG; erit parabola AGF axem habens GA æqualis propo$itæ $pirali. <p>Sit PNK communis hyperbola, cuius coniugati $emia- <MARG><I>Pr.</I> 13. <I>huius.</I></MARG> xes $int IK, IH, & a$$ymptotos IO. E$to etiam axis hy- perbolæ huius, dupla $cilicet IK, ad HO illi &ecedil;quidi$tantem vt FG ad AG. Iam con$tat quadrilineum IHPK fore ima- ginem velocitatum, iuxta quam curreretur parabola AGF tempore IH: $i modo o$tendimus hoc ip$um quadrilineũ e$$e pariter homogeneam imaginem alterius compo$iti motus, quo videlicet de$cribitur $piralis propo$ita ABD, <MARG><I>Pr. <*>. prima.</I></MARG> palam erit, ip$am parabolam eidem illi $pirali æqualem fu- turam. Ducatur recta KL, quæ æquidi$tet IH; item ex quouis puncto Q t&etilde;poris IH alia deducatur recta QRMN parallela IK: erit parallelogrammum rectangulum HIKL imago velocitatum, iuxta quam curritur FG, et HIO trian- gulum imago, qua curritur AG motu grauium de$cenden- tium: Verùm quia eodem tempore IH, $i mobile currat æquabili motu DA æqualem FG, e$t eius imago idem re- ctangulum IHKL, curriturque illo eodem tempore IH ($pi- rali exigente) omnis circuli circunferentia AGEA æqua- bili etiam motu ab extremitate A radij AD circumducti in de$criptione $piralis; ob idque factum e$t, vt IK ad HO e$- $et vt DA ad circunferentiam ip$am AGEA; nam hoc mo- <pb n=51> do rectangulum IH in HO e$t imago velocitatum eiu$- dem motus per AGEA. Ducatur nunc ex quocun- <MARG><I>Pr.</I> 2. <I>prima.</I></MARG> que momento Qlinea QRMN ip$i IK æquidi$tans, & au- $picato motu ex centro D momento I, vt nempe oriatur $piralis, intelligatur momento Qventum e$$e in B, quamo- brem ductâ DBE, erit rectangulum, $eu imago QIKR ad imaginem rectangulum HIKL, ita DB ad DE, in qua ra- tione, cum propter $piralem, $it etiam circunferentia AGE ad circunferentiam AGEA, erit rectangulum IQ in HO imago velocitatis per AGE, e$tque velocitas iuxta tangen- tem in E ad velocitatem iuxta tangentem circulum BC in B vt ED ad DB, $eu vt HO ad QM; ergo cum iuxta tang&etilde;- tem in A, hoc e$t in E velocitas $it HO, erit $ecundùm tan- gentem circulum BC in B, ip$a QM velocitas; propterea- que imago triangulum HIO, quæ in parabolæ de$criptio- ne erat per AG, nunc erit per omnes tangentes circulos $u- binde crc$centes ex D in E: $cilicet momento I, erit mobi- li puncto $ecundùm DA, velocitas IK; momento Q du&mtail; ade$t in B, erit $ecundùm BE velocitas QR, & iuxta tang&etilde;- tem in B circuli BC velocitas QM; quæ ambæ, hoc e$t ve- locitates QR, QM cum $int normaliter directæ, erit eidem <MARG><I>Pr.</I> 8. <I>huius & Cor. pr.</I> 13.</MARG> mobili in B iuxta $piralem velocitas QN potentia ip$is am- babus æqualis. Similiterque momento H cum mobil&etail; fuerit in A, erit velocitas iuxta $piralem, ip$a HP æqualis potentiâ duabus velocitatibus HL iuxta radium, et HO iuxta tangentem; & $ic omnino liquet, ip$um quadrilineum HIKP e$$e imaginem velocitatum tam in de$criptione pa- rabolæ AGF, quàm $piralis Archimedeæ DBA, & cum $it in ij$dem de$criptionibus homogenea $ibi ip$i, con$tat ip- <MARG><I>Pr.</I> 2. <I>huius.</I></MARG> $as curuis æquales e$$e. Nam vt imago illa ad $e ip$am ita parabola ad $piralem prædictam. Quod &c. <pb n=52> <C><I>Corollarium.</I></C> <p><I>Hinc aparet, $piralem DB ad $piralem DBG eandem habe- re rationem, quam quadrilineum QIKN ad quadrilineum HIKP; pariterque rectam DA ad eandem $piralem DCB ha- bere ip$am rationem, ac rectangulum HIKL ad dictum qua- drilineum HIKP. Eodem ferè modo exhiberi pißet ratio $pi- ralis ad $piralem, licèt plurium inter$e circulationum, eritque pror$us ea, quam habet vnum ad alterum eiu$dem illius na- turæ, quadrilineorum.</I> <C>PROP. XV. THEOR. XI.</C> <MARG><I>Tab.</I> 5. <I>Fig.</I> 4.</MARG> <p>SPiralis orta ex motu naturaliter accelerato per radiũ circuli comprehendentis $piralem ip$am, & ex motu æquabili circa circumferentiã eiu$dem circuli, æqualis e$t ei curuæ parabolicæ natæ ex motu compo$ito, cuius vnum latus curritur iuxta imaginem trianguli, nempe motu gra- uium, alterum verò latus iuxta imaginem trilinei $ecundi, habebitque parabola ip$a axim æqualem radio, & ba$i&mtail; tertiæ parti circunferentiæ eiu$dem circuli $piralem com- prehendentis. <p>E$to $piralis ACB, quæ $ignatur ex motu pũcti A æqua biliter lati circa circumferentiam ADA, dum nempe eod&etilde; tempore IF, punctum B currit à quiete lineam BA motu grauium de$cendentium; $it verò imago velocitatum dicti motus æquabilis per ADA rectangulum HGFI, & alte- <MARG><I>Cor. pr.</I> 4. <I>huius.</I></MARG> rius motus imago, (quæ triangulum erit) e$to FEIM. Pa- <MARG><I>Pr.</I> 2. <I>prim&atail;</I></MARG> tet, quia ip$æ imagines ponuntur homogeneæ, e$$e rectan- gulum HGFI ad triangulum IFM vt ADA circumferentia ad radium BA, & propterea IM ad IH erit vt BA ad dimi- dium circunferentiæ AEDA. Sumatur quodlibet mom&etilde;- tum K, & ducatur ONKL æquidi$tans HM, puteturque <pb n=53> eodem illo momento mobile v&etilde;tum e$$e in C $piralis pro- po$itæ BCA: agatur per ip$um punctum radius BCD, & $ic illo momento extremitas A currendo circa periphæriam reperietur in D, eritque circonferentia AED ad ip$am AEDA, vt imago rectangulum OGFK ad imagin&etilde; GHIF, hoc e$t erit vt KF ad FI; at BC ad BD erit vt imago trian- gulum KFL ad triangulum FIM, nempe vt quadratum KF ad quadratum FI, e$t autem vt BD ad BC ita velocitas iuxta tangentem in D ad velocitatem iuxta tangentem in C circulum, cuius radius BC; $cilicet ita velocitas IH ad velocitatem KN, quadrati nempe IF ad quadratum KF, & ob id velocitates, quæ $unt iuxta tangentes circulos $ubin- de cre$c&etilde;tes ex centro B, erũt expre$$æ in trilineo HNFIH $ecundo, cuius $cilicet indoles e$t vt ab$ci$$arum quadrata $int vt applicatæ. His compo$itis, intellecti$que erit in B, momento F, nulla velocitas, in C momento K duæ velo- citate<*> quarum vnà KI mobile iret iuxta CD, $ed cum al- tera $it KN iuxta tangentem circulum, cuius radius CB, ne- <MARG><I>Pr.</I> 8. <I>huius.</I></MARG> ctitur vna ex duabus illis, quibus ei$d&etilde; potentia e$t æqua- <MARG><I>Cor. prop.</I> 13. <I>huius.</I></MARG> lis, & qua idem mobile mouetur iuxta $piralem illo mo- mento K. Similiter cum mobile e$t in D, $cilicet momento I, habebit velocitatem potentia æqualem HI, qua dirigitur iuxta tangentem, & velocitati IM, qua $ecundùm radium, Itaque imago velocitatum mobilis de$cribentis $piralem propo$itis motibus tempore IF, ea erit, cuius applicatæ $unt vbique æquales potentia ijs applicatis, quæ ab eod&etilde; momento intelligi queunt in imaginibus $implicibus, nem- pe partialium motuum, HNFI, IFM. Cum præterea OT ponatur tertia pars e$$e circumferentiæ AEDA, & e$t etiã trilineum HFI vtpote $ecundum tertia pars parallelogrã- mi HGFI, erit triangulum IFM ad trilineum ip$um HFI vt <MARG><I>Pr.</I> 10. <I>primi huius.</I></MARG> BA, vel ei æqualis QO ad OT; curritur verò vt $upponi- tur OQ tempore IF iuxta imaginem triangulum IFM, ergo <MARG><I>Pr.</I> 2. <I>primi huius.</I></MARG> eodem tempore iuxta trilineum HNF curretur alterum la- <pb n=54> tus OT, $iue ba$is parabolæ QI. Si itaque parabola ip$a putetur e$$e ORI, in qua punctum R e$to vbi mobile ade$t momento K, deducantur verò ab eodem illo puncto RS parallela axi QO, et RP æquidi$tans QI, vel OT, profectò in O, momento F, $icuti in $pirali, nulla erit mobili veloci- tas, $ed cum e$t in R momento K habebit geminam veloci- tatem, KL $ecundùm SR, et KN iuxta PR perpendicularem ip$i SR, quæ duæ velocitates itidem component vnicam potentia $imul illis æqualem, & cum idem dicatur de qui- bu$cunque alijs punctis parabolæ, momentis temporis FI re$pondentibus, manife$tum e$t $pirali BCA, & parabolæ ORI vnicam, eandemque e$$e imaginem velocitatum, pro- pterquam quòd ip$æ curuæ, quòd $int vt imagines, erunt inter$e æquales. <MARG><I>Pr.</I> 2. <I>prima.</I></MARG> <C><I>Scholium.</I></C> <p><I>Exemplo traditarum curuarum, po$$unt innumeræ $pira- les $uis parabolis æquales excogitari, nec ideo res minùs de- mon$trabitur, $i loco rectarum, $eu laterum OT, OP compo$iti motus, $ub$tituantur circuli, aut circulorum arcus, qui ad re- ctos angulos $e $ecent, $cilicet cũ tangentes ad punctum infle- xionis, $eu occur$us ip$arum curuarum $ibi ip$is perpendicu- res fuerint. Quòd $i ip$a curua latera ad rectos angulos non $e $ecent curuæ nihilominus ab ip$o compo$ito motu na$cen- tes poterunt exhiberi curuas parabolicas exequantes, quarum itidem latera $int rectæ eundem angulum, quem pradictæ tã- gentes, comprehendentes. Sed de his $atis, nunc dicamus ea tempora, quibus duorum pendulorum $imiles vibrationes ab- $oluuntur, hoc e$t Galilei $ententiam demon$trabimus, quam quondam haud ruditer decepti fal$am credidimus.</I> <p><I>Vincentius Viuianus eximius no$tri æui Geometra vt tue- retur Galilei $ententiam, cuius digni$$imè $e fui$$e di$<*>ipu- lum profitetur, tradidit mihi per admodum Reuerendum, at-</I> <pb n=55> <I>que culti$$imum Patrem Io$eph Ferronum è Societate Ie$u, de- mon$trationem $uam verè pulcherrimam, ac di$erti$$imè exaratam, qua vna potui$$em de Galilei aßerto $atisfactus e$$e; eam demon$trationem, ij$dem pror$us verbis, ac figuris, quibus ad me peruenit hic duxi reponendam, ne gloria&mtail;, quam Vir tantus meretur, ip$i videremur no$tra, quam inde $ubdemus, demon$tratione, $ubripere.</I> <p><I>Inquit ergo.</I> <p>TEmpora naturalium de cur$uum $phærarum grauium <MARG><I>Tab.</I> 6. <I>fig.</I> 1. 2 3. 4.</MARG> per $imiles, $imiliterque ad horizontem inclinatos arcus curuarum linearum in planis, aut verticalibus, aut ad horizontem æqualiter inclinatis de$criptarum, & quæ totæ $int ad ea$dem partes cauæ, inter$e $unt in $ubdupli- cata ratione chordarum eorundem arcuum homologè $umptarum. <p>Ex puncto A ad curuam lineam BCD extra ip$am i&ntail; plano po$itam, & in totum ad ea$dem partes cauam, quæ- cunque ea $it (vel nimirum pars aliqua circumferentiæ circuli, vel alicuius ex infinitis ellip$ibus, aut parabolis, aut hyperbolis, aut $piralibus, aut cycloidibus, vel concoidis, vel ci$oidis, $eu alterius cuiu$cumque ex notis, vel ignotis curuis educantur omnes rectæ AB, AC, AD &c. quæ à punctis E, F, C, vel intra, vel extra eas $umptis proportio- nalibus $ecentur, ita vt $it AB ad AE, $icut AC ad AF, & $icut AD ad AG &c. & hoc $emper. Sic enim dubio pro- cul apparet, prout facillimum e$t o$tendere, lineam EFG tran$euntem per $ingula puncta E, F, G $ic inuenta, cur- uam quoq; e$$e, & eiu$dem penitus naturæ, ac data BCD eique $imilem, $imiliterque cum ip$a po$itam, atque in to- tum cauam ad ea$dem partes, ad quas ponitur caua ip$&atail; BCD. Concipiatur modò planum, in quo manent huiu$- modi $imilium curuarum $imiles arcus BCD, EFG, vel e$$e ad horizontem erectum, nempè verticale, vel ad ip$u&mtail; <pb n=56> horizontem inclinatum iuxta curuitates ip$orum arcuum BCD, EFG inflexas e$$e $uperficies eidem plano erectas, ita tamen, vt $uper has po$itis grauibus $phæris in A, E per ip$as $ic inflexas $uperficies eædem $phæræ naturaliter decurrere queant; id quod $anè accidet, cum arcus BCD totus fuerit infra horizontalem IL ex arcus $ubli- miori puncto B ductam, fuerintque ab hac continuati re- ce$$us, ac totus ad vnam partem perpendiculi BH: nam $ic talis quoque erit alter arcus EFG illi BCD $imilis, $imili- terque po$itus. His omnibus $ic manentibus: Dico tem- pus decur$us $phæræ grauis E per $imilem, $imiliterque po- $itum arcum EFG, e$$e in $ubduplicata ratione chordarum BO, EG arcus ip$os $ubtendentium. Secto enim b<*>fariam angulo BAD per rectam AC arcum BD $ecantem in C, atque arcum EFG in F, iungantur chordæ BC, CD, et EF, FG, quæ ex huiu$modi curuarum natura cadent totæ intra ip$os arcus, $ed in prima, & $ecunda figura ad partes poli A, in tertia verò, & quarta ad oppo$itas. <p>Et quoniam, ex talium curuarum gene$i, e$t vt BA ad AE, ita DA, ad AG, erit BD ip$i EG parallela, hoc e$t vtraque ad horizontem æqualiter inclinata, atque in ra- tione BA ad AE. Similiter cum $it, vt BA ad AE, ita CA ad AF, etiam BC, EF inter$e æquidi$tabunt, $eu ad hori- zontem æqualiter inclinabuntur, eruntque in ratione ea- dem, ac BA ad AE. Idemque o$tenditur de chordis CD, FG, quare ex magni Galilei $ententia de motu naturaliter accelerato indubitanter $equitur tempus decur$us $phæræ grauis ex B in D per binas chordas BC, CD ad tempus decur$us per vnicam BD, e$$e vt tempus decur$us grauis $phæræ ex E in G per binas EF, FG ad tempus decur$us per vnicam EG: cadem itidem ratione demon$tratur (an- gulis pariter BAC, CAD bifariam $ectis per rectas, quæ $imiles arcus BC, EF, ac CD, FG duas in partes diuidant) ex quatuor vtrinque arcuum horum cordis, illas inter$e <pb n=57> homologas, $imile$que arcus $ubtendentes ad horizonte m e$$e æqualiter inclinatas, ac alteram alteri in ratione ea- dem, in qua $unt rectæ AB, AE &c: ac propterea ex ea- dem Galilei $cientia con$tabit vtique, tempus decur$us ex B in C $phæræ grauis B per quatuor chordas quatuor par- tes arcus BCD $ubtendentes ad tempus decur$us per vni- cam BD, e$$e vt tempus decur$us $phæræ grauis E ex E in G per quatuor illis homologas chordas quatuor partes arcus EFG pariter $ubtendentes ad tempus decur$us per vnicam chordam EG: & hoc $emper ita euenire demon- $trabitur quantacunque, & maxima fuerit in perpetua an- gulorum bi$ectione æquèmultiplicitas in vtroque arcu talium chordarum homologè $umptarum, ac inter$e pro- portionalium, æqualiterque ad horizontem inclinatarum: Propterquam quòd $emper decur$us ex B in D per aggre- gatum chordarum omnium in arcu BCD ad tempus de- cur$us per $olam chordam BD e$$e vt tempus decur$us ex E in G per aggregatum totidem chordarum in arcu EFG ad tempus decur$us per vnicam chordam EG; adeo vt de- nique iure optimo educi po$$e videatur, tempus decur$us grauis ex B in D per aggregatum infinitarum chordarum totum arcum BCD con$tituentium, $eu tempus per ip$um arcum BCD ad tempus decur$us per $olam cordam BD e$$e vt tempus decur$us grauis ex E in G per aggregatum totidem infinitarum chordarum dictis homologè propor- tionalium, æqualiterque $ingulæ $ingulis ad horizonte&mtail; inclinatarum, ac totum arcum EFG conformantium, $iue vt tempus per ip$um arcum EFG per $olam chordam EG. Quocirca permutando, tempus, decur$us $phæræ grauis B per arcum BCD ad tempus decur$us $phæræ grauis E per arcum $imilem, $imiliterque po$itum EG erit vt tempus decur$us per chordam BD ad tempus decur$us per chor- dam EG; $ed ex eadem Galilaica $cientia de motu, tempus decur$us per chordam BD ad tempus decur$us per æqua- <pb n=58> iter inclinatam EG e$t in $ubduplicata ratione ip$aru&mtail; chordarum BD, EG; ergo tempus quoque decur$us ex B per arcum BCD ad tempus decur$us ex E per arcum EFG e$t in eadem $ubduplicata ratione chord&ecedil; BD ad chordam EG, quod o$tendendum propo$uimus. <C><I>Corollarium.</I></C> <p><I>Ex modò <*>sten$is $uper prima, ac $ecunda figura, manife- $tum fit celeberrimum illud magni Galilei pronuntiatum, quòd videlicet, ratio temporum $imilium vibrationum pen- dulorum $it $ubduplicata rationis longitudinum filorum ho- mologè $umptorum, non tantum verum e$$e de vibrationibus pendulorum per arcus $imiles, $imiliterque po$itos, $umptos ex circulorum quadrantibus ad perpendiculum v$que termi- nantes, $ed etiam de vibrationibus per arcus quo$cumque $i- miles quadrantum à perpendiculo $eiunctos: dummodo ip$i $imiles arcus $int quoque $imiliter po$iti: quales nimirùm ap- parent in figuris prima, ac $ecunda arcus BCD, EFG, dum grauia B, E ex filis, aut ha$tulis AB, AE circa punctum A conuertibilibus appen$a concipiantur.</I> <C><I>Scholium.</I></C> <p><I>Si curua BCD, EFG in prima, & $ecunda figura fuerint $imiles arcus ex circulis commune centrum A habentibus; ac in verticali plano po$itis, & in prima figura recta AB, AE fuerint fila aut ha$tulæ quædam circa clauum A conuertibi- les, in $ecunda verò recta AB, AE concipiantur, vt ha$tulæ inflexibiles, volubile$que circa imum punctum E, atque ex huiu$<*>odi filorum, aut ha$tularum terminis B, E pendeant graues $phæræ B, E (cum eadem $int tempora prout a$$umi- tur quoque ab ip$o met Ceua) tempora inquam decur$uum liberorum granium B, E per arcus BCD, EFG, ac tempor&atail;</I> <pb n=59> <I>de$cen$uum ip$orum grauium per eo$dem arcus (vel hac à filis pendeant, vel ab hastulis $ustineantur) erit quoque tem- pus de$cen$us, $eu vibrationis penduli B per arcum BCD ad tempus de$cen$us, $eu vibrationis penduli E per arcum EFD in $ubduplicata ratione chordæ BD ad chordam EG; $ed hæc ratio chordarum BD, EG eadem e$t, ac ratio filorum, aut ha- $tularum AB, AE; Ergo tempus vibrationis penduli AB per arcum BCD ad tempus vibrationis penduli AE per arcum il- li $imilem, $imiliterque po$itum EFG est quoque in $ubdupli- cata ratione longitudinum, vel filorum, aut ha$tularum, ex quibus eadem grauia pendula $imiles vibrationes ab$oluunt BCD, EFG.</I> <C><I>Scholium.</I></C> <p><I>Cæterùm non me latet con$tructionem, ac demonstratio-</I> <MARG><I>Tab.</I> 6 <I>fig.</I> 5.</MARG> <I>nem à nobis $uperiùs allatam nonnullis euidentiorem forta$$e eua$uram, $i ommi$$a illa continua bi$ectione angulorum $i- miles, $imiliterque po$itos arcus ab$cindentium ex $imilibus curuis ibidem de$criptis; atque ommi$$a pariter continua co- niunctione chordarum, vt ibi factum fuit, horum vice, vt in quinta figura, ex punctis B, D binæ tangentes curuam BCD ducantur BH, DH, quæ omninò mutuò $e $ecabunt in puncto H (ob conditiones in ip$a Theorematis expo$itione vltimo lo- co po$itas) atque ex E, G ip$is BH, DH agantur æquidistan- tes, quæ iunctæ, AH $imul occurrent in I, curuamque EFG contingent pariter ad E, G (quæ omnia $i opus fuerit, facilè demon$trabuntur) ac in$uper, $i à puncto C, in quo iunct&atail; AH $ecat arcum BCD, agatur tangens LM primas BH, DH $ecans in LM; Per F verò, in quo AICH $ecat arcum EFG agatur NO parallela tangenti LM, quæ curuam pariter EFG tanget ad F, ac tangentes EI, GI $ecabit ad NO: & $i iunctis in$uper AL, AM, eadem, quam nunc explicauimus, continue- tur con$tructio per alias, atque alias tangentes, ac parallelas</I> <pb n=60> <I>&c. $ic enim vnicuique harum curuarum circum$cribetur rectilineum, primò ex binis tangentibus, $ecundò ex tribus, tertiò ex quinque, quartò ex $eptem, & $ic vlteriùs iuxta re- liquos impares numeros $ucce$$iuè $umptos; atque omnia pa- ria talium æquidi$tantium tangentium eam $emper inter $e rationem $eruabunt, quam habent chorda BD, EG, $en quam habent rectæ BA, EA, eruntq; inter$e æqualiter inclinatæ; adeoq; tempora decur$uum grauium B, E tam per $ummas binarum tangentium BH, HD, EI, IG, quàm per minores $ummas, ex quinque $imul chordis vtrinque $umptas, aut quàm per alias $emper minores $ummas huiu$modi tangen- tium iuxta quantumuis maiorem numerum imparem æquè multipliciter $umptarum, erunt perpetuò proportionalia tem- poribus decur$uum per chordas BD, EG; & hoc $emper; etiam- $i per huiu$modi decrementa aggregaterum ex tangentibus vtrinque æquèmultipliciter $umptis, deueniatur ad vltim<*>s, ac breui$$imas ip$is arcubus circum$criptiones pol<*>gonorum ex lateribus numero innumerabiliter aquèmultiplicibus, hoc e$t ad ip$os $imiles, $imilitorque po$itos arcus BCD, EFG, quorum $ingula homologorum laterum, $eu punctorum paria, vt B, & E; C et F; D, et G &c. haberi poßunt tanquam <*> paria parallelarum, ac proportionalium tangentium ip$os $i- miles, ac $imiliter po$itos arcus con$tituentia. Quapropter ratio quoq; temporum decur$uum per ip$os arcus, $imilis erit rationi temporum decur$uum per chordas; $ed horum decur- $uum ratio $ubdupla e$t rationis inter ip$as chordas. Quare, & alia hac methodo con$taret propo$itum.</I> <p><I>Hactenus graui$$imus Vir; $upere$t modò, vt quemadmo- dum annuimus, veritatem eandem no$tra quoque methodo, confirmemus, vt ijs, quibus $atis probat demon$tratio allata, $it nostra, quam afferemus, in experimentum traditarum hùc v$q; rérum; & quibus $ecùs acciderit ex aliqua dubitatione, hæc per demon$trationes no$tras pror$us, $<*>atimq tollatur. Illud etiam admoneo, eam rem non tantum me o$ten$urum,</I> <pb n=61> <I>vt pulcherrima, vtilimaq; veritas pluribus demon$trationi- bus aperiatur; verùm potius vt ampli$$ima Methodus, qua tum vtemur, aliorum motuum demon$trandorum in exemplum veniat.</I> <C>PROP. XVI. THEOR. XII.</C> <p>IN eadem recta CD coeant duæ planæ, inter$eq; $imiles, <MARG><I>Tab.</I> 6. <I>fig.</I> 7.</MARG> ac pror$us æquales figuræ ADCA, BDCB, & quidem ita, vt ab eodem puncto M $i ducatur MH parallela CA, et ML ip$i CB, $it $emper MH æqualis ML, quemadmo- dum æquales $unt inter$e CA, CB. Dico ($i concipiatur $olidum eius indolis, vt ductis rectis BA, LH cadant i$tæ omninò in $olidi i$tius $uperficie; ip$um verò $olidum, quod $it BADC, $ecetur plano quolibet æquidi$tante figuræ BCD) fore, vt $ectio i$ta KFEIK, $it pror$us $imilis, æqua- li$que alteri conterminæ AEI; $ed opportet, vt palam e$t, coeuntes illæ figuræ non in eodem plano reperiantur. <p>Cum duo plana inuicem parallela KIE, BCD $ecent alia duo inter$e item parallela ACB, HML, erunt commu- nes $ectiones, inter$e omnes æquidi$tantes rectæ lineæ KI, GF, ML, CB. Cum verò ob naturam $olidi, $ectiones BAC, IHM triangula $int rectilinea, erit vt BC ad CA, ita KI ad IA. Sunt autem priores inter$e æquales, ergo & po$tremæ KI, AI inter$e æquabuntur. Eademque ratione $unt æquales HG, GF: & quoniam ob fimilitudinem figu- rarum angulus BCD æquatur angulo ACD, & angulus BCD æqualis angulo KIE (nam etiam CD, IE $unt rectæ æquidi$tantes, cum nempe $int communes $ectiones plani DCA $ecantis duo æquidi$tantia KIE, BCD) ergo cu&mtail; angulus pariter ACD æquet angulum AIE, erunt anguli KIE, AIE, et FGE, HGF æquales. Quod &c. <pb n=62> <C>PROP. XVII. THEOR. XIII.</C> <p>II$dem manentibus. Dico triangula ACB, LHM e$$&etail; $imilia. Sunt enim parallelæ &c. inter$e tam rectæ CB, ML, quàm CA, MH; ideo anguli ACB, HML inter$e æquabuntur, & $unt circa eos proportionalia latera, nem. pe BC ad CA, vt LM, MH; ergo con$tat propo$itum. <C><I>Corollarium.</I></C> <C><I>Simul con$tat rectas AB, LH inter$e æquidi$tare.</I></C> <C>PROP. XVIII. THEOR. XIV.</C> <p>II$dem vt $upra manentibus, ita tamen vt ACD $it an- gulus rectus ($ic enim DC perpendicularis erit duabus AC, CB) Dico $olidum huiu$modi ad pri$ma, cuius ba$is ABC, & altitudo CD eandem habere rationem, quam $o- lidum rotundum ortum ex rotatione figuræ CAD circ&atail; axem CD ad cylindrum genitum ex conuer$ione rectan- guli AC in CD circa eundem axem. <MARG><I>Tab.</I> 6. <I>Fig.</I> 8.</MARG> <p>Compleatur ip$um pri$ma, & $it quidem AQDPBC, quod $ecetur vnà cum propo$ito $olido per quoduis pla- num ba$i ACB æquidi$tans: fiet in pri$mate $ectio trian- gulum OMN $imile, æqualeque ip$i ACB, & in altero $o- lido triangulum LHM eidem ACB $imile. Triangulum ACB pri$matis ad triãgulum idem $olido propo$ito com- mune, e$t vt circulus radio CA de$criptus ad circulum eundem; Item triangulum NOM $ectio pri$matis e$t ad triangulum LHM $ectionem propo$iti $olidi, vt circulus ex radio MO de$criptus ad circulum radio MH. Cum dein- de idem dicatur de alijs omnibus $ectionibus pri$matis, & <pb n=63> propo$iti $olidi erunt omnes $imul primæ, quæ inter$&etail; <MARG><I>I<*>mma</I> 18. <I>in libro de dim. parab. Euang. T<*>rric<*>l.</I></MARG> æquales $unt, ad omnes $imul $ecundas vt omnes tertiæ, his partibus inter$e æqualibus, ad omnes quartas; $cilicet erunt omnia triangula pri$matis, $eu ip$um pri$ma ad om- nia triangula propo$iti $olidi, $eu ad ip$um $olidum, vt om- nes circuli eius cylindri, qui oritur ex conuer$ione figuræ ADCA circa axem CD, hoc e$t vt ip$um $olidum rotun- dum, $eu cylindrus ad omnes $imul circulos $olidi rotundi geniti ex rotatione figuræ AHDCA circa axem ipsũ CD, $eu ad ip$um propo$itum $olidum. Quod &c. <C>PROP. XIX. THEOR. XV.</C> <p>ET rur$us ip$a manente figura patet, $i ducantur HR, LS parallelæ MD, fore non $olum figuram AHDPA, $imilem, ac æqualem BLDQB; verùm etiam APRHA ip$i BLSQB: Cum ita $it, aio, eundem cylindrum ad $oli- dum rotundum genitum, ex volutatione figuræ APD cir- ca eundem axem CD eandem rationem habere, ac pri$ma prædictũ, cuius ba$is ACB, altitudo AP ad $olidum, quod $upere$t ex ip$o pri$mate, dempto $olido ACBLDHA. <p>Nam ex præterita propo$itione nouimus, dictum pri$ma ad $olidum eius partem ACBLDHA e$$e vt cylindrus or- tus ex conuer$ione rectanguli CP circa axem CD ad par- tem eius rotundum circa axem eundem CD conuer$a fi- gura ADC, ergo per conuer$ionem rationis, erit id quod propo$uimus. <C>DEF. IV.</C> <p>QVodcunque ex dictis propo$itis $olidis vocetur ab ea figura, iuxta quam intelligitur ortum. Scilicet ACBLDHA dicatur à figura AHDCA, & alte- rum, quod fuit re$iduum prædictum dicatur à figura AH- DPA. <pb n=64> <C>PROP. XX. THEOR. XVI.</C> <p>SI à quibu$cunque figuris fuerint duo $olida, hæc inter- <MARG><I>Tab.</I> 6. <I>Fig.</I> 9.</MARG> $e erunt vt $olida alia genita ex conuer$ione illarum figurarum circa communem $ectionem $imilium, æqua- lium, ac inter$e coeuntium figurarum. <p>Solidum à figura ABC $it CAFDBC, & quod e$t à fi- gura GLH e$to HGILH. Dico illud ad hoc $olidum e$$e vt rotundum natum ex conuer$ione figuræ ABC circ&atail; axem CE ad rotundum ortum ex cõuer$ione figuræ GLH circa axem HL. Opportet tamen angulos ACF, GHI æquales e$$e. Intelligantur pri$mata triangularia, quorum ba$es ACF, GHI, & altitudines CE, HL; hoc e$t $int ip$a $olida pri$matica AFCEBD, GIHLMK. Solidum à figu- <MARG>18. <I>huius.</I></MARG> ra ABC ad pri$ma AFCEBD habet eandem rationem, quam $olidum rotundum ortum ex conuer$ione $iguræ ABC circa axem CE ad cylindrum natum ex rotatione ABEC circa eundem axem CE; hic verò cylindrus ad cy- lindrum alium natum ex rotatione rectanguli GMLH cir- ca axem HL e$t vt pri$ma, cuius ba$is ACF, altitudineque CE ad alterum pri$ma ba$em habens GHI $imilem ip$i CF (nam circa angulos æquales H, C $unt latera etiam pro- portionalia, nempe æqualia) & altitudinem HL. Solidum præterea, hoc e$t pri$ma GKHM ad $olidum, quod e$t à <MARG><I>Ex eadem.</I></MARG> plano GLH habet eandem rationem, ac cylindrus, qui fit ex conuer$ione rectanguli HM circa axem HL ad $olidum rotundum ortum ex circumactione figuræ GLH circa ip- $um axem HL, ergo ex æquali erit $olidum à figura ABC ad $olidum à figura GLH, vt rotundum ex rotatione figu- ræ ABC circa axem CE ad rotundum alterum ex conuer- $ione alterius figuræ GLH circa axem HL. Quod &c. <pb n=65> <C>PROP. XXI. THEOR. XVI.</C> <p>PRopo$itis ij$dem $olidis, erunt inter $e, vt momenta fi- gurarum a quibus $unt, quæ tamen figuræ $u$pen$æ $int ex longitudinibus deductis ab ip$arum grauitatu&mtail; centris v$que ad coeuntium figurarum communes illas $e- ctiones. <p>Figuræ, à quibus $unt $olida, ponantur ABC, GLH, c&etilde;- <MARG><I>Tab.</I> 6. <I>fig.</I> 10.</MARG> tra grauitatum illarum M, N; axes, $iue communes $ectio- nes coeuntium binarum inter$e $imilium, ac æqualium fi- gurarum à quibus dicuntur ip$a $olida; & demum MO, NP perpendiculares $int ab ip$is centris ad illas communes $e- ctiones deductæ CE, HL. Dico, $olidum à plana figur&atail; ABC ad $olidum a plana GHL eandem habere rationem, ac momentum figuræ ABC pendentis ex MO ad momen- <MARG><I>pr.</I> 20. <I>huius.</I></MARG> tum alterius figuræ $u$pen$æ ex NP, $unt enim hæc $oli- da inter$e, vt rotunda, quorum genetrices figuræ ABC, GLH circa axes CE, HL, huiu$modi verò $olida $unt vt <MARG><I>Ter. lem.</I> 31. <I>in libro di- <*>. p<*> ab<*></I></MARG> momenta propo$ita; ergo $olidum à plana figura ABC ad $olidum à plana GLH, erit vt momentum figuræ ABC $u$pen$æ ex MO ad momentum GLH pendentis ex NP. Quod &c. <C><I>Corollarium.</I></C> <p><I>Cum ip$a illa momenta nectantur ex rationibus figurarum <MARG>Ex mechani- cis,</MARG> ABC, GLH, & ex longitudinibus, ex quibus pendent ip$æ fi- gura (nam habentur vt grauia) ex ij$dem etiam rationibus componentur $olida, qua $unt ab ip$is figuris—</I> <pb n=66> <C>PROP. XXII. THEOR. XVII.</C> <MARG><I>Tab.</I> 7. <I>fig.</I> 1.</MARG> <p>IMagines velocitatum, $eu $patia, quæ curruntur accele- ratis motibus, $unt vt $olida ab imaginibus $implicium motuum, ex quibus ip$i gignuntur accelerati. <p>Sint imagines $implicium motuum ABC, GLH, & $oli- da ab ip$is imaginibus (angulis ACQ, GHD $emper re- ctis, aut $altem æqualibus) intelligantur ABCRQ, GLHD. Dico, vt $unt inter$e i$ta $olida, $ic e$$e homologè $patium exactum tempore AC motu accelerato ex $implici motu imaginis ABC ad $patium tran$actum tempore GH motu item accelerato ex $implici imagine priori homogene&atail; GLH: $ecetur $olidum ABCRQ plano æquidi$tanti QCR, <MARG>16. <I>huius.</I></MARG> quod faciat in $olido ip$o $ectionem TSVX: erit hæc figu- ra pror$us $imilis, ac æqualis conterminæ ABVI; quare <MARG>4. <I>huius,</I></MARG> cum in accelerato motu velocitas, quæ habetur momen- to C ad velocitatem momento S $it vt imago ABC $im- <MARG>16. <I>huius.</I></MARG> plex ad $egmentum eius ABVS: erit etiam QCR æqualis ABC ad $ectionem $olidi TSVX, quæ æquatur ABVS, vt illa eadem velocitas momento C mobili inhærens ad ve- locitatem momento S alterius accelerati motus. E$t au- tem $ectio TSVX ad libitum $umpta; ergo $olidum ABC- <MARG><I>Def.</I> .3. <I>primi huius.</I></MARG> QR pote$t $umi merito vt imago velocitatum accelerati <MARG><I>& Def.</I> 1. <I>hu- ius vnà cum pr.</I> 4. <I>huius.</I></MARG> motus, cuius $implex imago ABC: & eodem modo $oli- dum alterum vicem geret imaginis velocitatum alterius motus ex $implici imagine GLH, itaque erit ob homoge- neitatem $patium tran$actum motu accelerato iuxta $im- plicem imaginem ABC ad $patium tran$actum motu ac- celerato iuxta $implicem imaginem GLH, t&etilde;poribus AC, GH, vt $olidum ABCQR ad ALHD, <pb n=67> <C>PROP. XXII. THEOR. XVIII.</C> <p>SInt nunc CE, HL communes $ectiones imaginum $im- <MARG><I>Tab.</I> 7. <I>Fig.</I> 2.</MARG> plicium ABC, GLH, $i extenderentur cum $ujs æqua- libus, ac $imilibus coeuntibus figuris. E$to pariter M cen- trum grauitatis imaginis ABC, et N grauitatis alterius ima- ginis GLH; actis demùm MO, NP perpendicularibus ad ip$as CE, HL. Dico, $patium accelerati motus ab imagine $implici ABC ad $patiũ accelerati alterius motus ab ima- gine $implici GLH componi ex ratione imaginis ABC ad imaginem GLH, & ex ea perpendicularis MO ad perpen- dicularem NP. Cum hæc ip$a $patia $int o$ten$a, vt $oli- <MARG>21. <I>huius.</I></MARG> da à figuris ABC, GLH; hæc verò $unt vt momenta ip$a- <MARG>20. <I>huius.</I></MARG> rum figurarum $u$pen$arum ex MO, NP. Ergo quemad- modum momenta i$ta nectuntur ex rationibus figurarum <MARG><I>Ex mechani- cis.</I></MARG> tanquam magnitudinum ABC ad LGH, & di$tantiarum MO ad NP, ita pariter ex his nectentur propo$ita $patia. <C><I>Corollarium.</I></C> <p><I>Patet communes $ectiones CE, HL e$$e æquidi$tantes ap- plicatis AB, HL, quæ in imaginibus $umuntur perpendicula- res rectis AC, GH. nam HL est recta, in quam coeunt figura</I> <MARG><I>Pr</I> 2. <I>prim&atail; huius.</I></MARG> <I>planæ $imiles, ac æquales.</I> <C>PROP. XXIV. THEOR. XIX.</C> <p>SI imagines $implicium motuum fuerint $imiles, $imili- terque $u$pen$æ, imagines velocitatum accelerato- rum motuum erunt in triplicata ratione temporum $impli- cium motuum, aut in triplicata homologarum, vel extre- marum velocitatum eorundem $implicium motuum. <p>Cum centra grauitatum $imilium imaginum, $eu figu- <MARG><I>Tab.</I> 7. <I>Fig.</I> 3.</MARG> <pb n=68> rarum, $int puncta in ij$dem figuris $imiliter po$ita, ponun- tur verò imagines $imiliter $u$pen$æ, ergo $equitur ip$as longitudines e$$e vt latera homologa dictarum imaginum, $cilicet vt tempus AC ad tempus FG, vel vt extremæ ve- locitates BC ad KE. Quamobrem imagines ip$æ, cum $int in duplicata ratione laterum homologorum, $i huic dupli- catæ addatur alia ratio $imilis rationi longitudinum, fiet ratio imaginum velocitatum, $eu $patiorum acceleratorum motuum ex $implicibus illis deriuantium triplicata tempo- rum, vel extremarum velocitatum $implicium motuum. <C>PROP. XXV. THEOR. XX.</C> <p>SI verò $implices motus extiterint $imiles, æqualibu$q; temporibus ab$oluantur, imagines acceleratorum <MARG><I>Tab.</I> 7. <I>fig.</I> 4.</MARG> motuum erunt in $ola ratione amplitudinum imaginum $implicium. <p>Sint imagines $imilium, ac $implicium motuum BAC, KFG, quarum grauitatis centra D, H, erunt ex hypothe$i <MARG>8 <I>primi huius</I></MARG> tempora AC, FG æqualia; & ideo $patia, $cilicet imagines <MARG>2 <I>primi huius</I></MARG> velocitatum BAC, KFG habebunt eandem rationem, quam $ummæ, aut extremæ motuum $implicium velocita- tes, $cilicet, quam amplitudines imaginum, $eu gene$um: $unt verò di$tantiæ DE, HI pariter æquales, quia AC, FG <MARG>23. <I>huius.</I></MARG> æquales $unt; ergo cum $patia acceleratorum motuum ne- ctantur ex imaginibus $implicium motuum ABC, KFG, & ex di$tantijs DE ad HI, liquet ip$a $patia e$$e in vnica, $o- laque ratione amplitudinum BC, KG, aut amplitudinum gene$um. <C>PROP. XXVI. THEOR. XX.</C> <p>AT$i $implicium, $imiliumque motuum fuerint imagi- nes æquè amplæ, imagines acceleratorum motuum, <pb n=69> $iue tempora erunt in duplicata ratione temporum i$to- rum, vel illorum motuum. <p>Amplitudines imaginum $implicium, velocitatumque <MARG><I>Tab.</I> 7. <I>fig.</I> 5.</MARG> BAC, KFG $unto BC, KG, quæ æquales $int. Dico $pa- tia acceleratorum motuum ab illis $implicibus imaginibus fore in duplicata ratione temporum AC ad FG (qu&ecedil; $em- per in acceleratis ponuntur eadem, ac in $implicibus, nec aliter e$$e po$$unt.) Vt FG ad GK, ita $it AC ad CL, & intelligatur LAC imago alterius motus $imilis motui, cuius imago BAC, vel KFG. Facilè demon$trabitur ip$am fi- <MARG><I>Def.</I> 7. <I>primi huius.</I></MARG> guram LAC $imilem e$$e ip$i KFG, & ad BAC eande&mtail; habere rationem, quam LC ad BC. Cum ergo imago BAC ad imaginem KFG componatur ex ratione imaginis BAC ad LAC (quæ $unt vt BC ad CL) & ex ratione imagi- nis ALC ad imaginem KFG, quæ $unt in ratione compo- $ita LC ad KG, et AC ad FG: priores verò duæ rationes componunt vnicam æqualitatis, ergo relinquitur, imagi- nem BAC ad imaginem KFG e$$e vt AC ad FG; $patium verò accelerati motus ex $implici imagine BAC ad accele- ratum ex $implici KFG nectitur ex ratione imaginum $im- <MARG>23. <I>huius.</I></MARG> plicium ip$arum, & ex ea di$tantiarum DE, HI à centris grauitatum deductarum D, H, et $unt hæ rectæ in eadem ratione, ac altitudines AC, FG (nam in figuris, $eu imagi- nibus $imilium motuum BAC, LAC centra grauitatum $unt in eadem recta parallela ip$i BC, & in LAC, KFG $unt in punctis $imiliter po$itis, adeout, $icut po$itum e$t, ratio ip$arum di$tantiarum in ip$is figuris LAC, KFG, $eu BAC, KEG eadem $it, ac laterum homologorum LC ad KG, vel AC ad FG) ergo $patium accelerati motus ex $im- plici imagine KFG, erit vt quadratum ex AC ad quadra- tum ex FG, nempe in duplicata ratione temporum $impli- cium motuum. <pb n=70> <C>PROP. XXVII. THEOR. XXI.</C> <MARG><I>Tab.</I> 7. <I>fig.</I> 6.</MARG> <p>DEmùm $i $int imagines, quæcunque velocitatnm $im- plicium, $imiliumque motuum, imagines accelera- torum motuum, $eu $patia ijs motibus exacta componen- tur ex duplicata temporum ratione, & ex ea amplitudi- num, vel applicatarum homologarum earundem imagi- num. <p>Imagines $imilium, $impliciumque motuum $int BAC, KFG. Dico, imagines acceleratorum motuum ab illis $im- plicibus deriuantium habere rationem compo$itam ex du- plicata temporum AC ad FG, & amplitudinum imaginum dictarum, vel gene$um. Intelligatur alius $imilis motus, cuius velocitatum imago $it DFG æquèampla, ac homo- genea ip$i BCA; nimirum $it DG æqualis BC. Quoniam imago accelerati motus ex $implici imagine BA ad imagi- nem accelerati ex $implici imagine KFG componitur ex ratione imaginis accelerati motus, cuius $implex imago BAC ad imaginem accelerati motus ex $implici DFG, & ex imagine huius accelerati motus ad accelerati imaginem à $implici KFG; e$t autem prior ratio imaginum, $eu $pa- tiorum acceleratis motibus percur$orum ip$a temporum <MARG><I>Pr.</I> 26 <I>huius.</I></MARG> duplicata AC ad FG, & altera dictarum imaginum, $eu $patiorum item acceleratis motibus confectorum, & quo- <MARG><*>5. <I>huius.</I></MARG> rum $implices imagines $unt DFG, KFG, e$t eadem, ac ra- tio amplitudinum DG, $eu BC ad KG. Ergo cum i$tæ amplitudines $int eædem, ac illæ gene$um, con$tar propo- $itam rationem acceleratorum motuum ex $implicibus imaginibus BAC, KFG habere rationem compo$itam ex duplicata temporum AC ad FG, & ex ea amplitudinum imaginum $implicium BC ad KG, $eu amplitudinum gene- $um. Quod &c. <pb n=71> <C>PROP. XXVIII. THEOR. XXII.</C> <p>SI gene$es $imilium, $impliciumque motuum fuerint æquèamplæ, imagines acceleratorum motuum erunt in duplicata ratione temporum, vel altitudinum ip$arum gene$um. <p>Gene$es $imilium, ac $implicium motuum $unto ABC, <MARG><I>Tab.</I> 7. <I>Fig.</I> 7.</MARG> DEF, quarum amplitudines æquales $int AC, DF. Dico, imagines, $iue $patia acceleratorum motuum e$$e in dupli- cata ratione temporum, vel altitudinum BC ad EF. Cum AC, DF $int gradus velocitatum in extremitatibus $impli- cium decur$uum, etiam imagines velocitatum, iuxta ip$as gene$es, quæ $int inter$e homogeneæ, erunt æquèamplæ, & $unt $imilium motuum; ergo imagines acceleratorum <MARG>26. <I>huius.</I></MARG> motuum, iuxta $implices illas gene$es, aut imagines æquè- amplas erunt in duplicata ratione temporum: $unt autem imagines velocitatum æquèamplæ, $imiliumque motuum, <MARG>26. <I>huius.</I></MARG> hoc e$t $patia BC ad EF vt ip$a tempora; ergo $patia acce- leratorum, propo$itorumque motuum erunt in ratione du- plicata altitudinum BC, EF $implicium gene$um, ABC, DEF. Quod &c. <C>PROP. XXIX. THEOR. XXIII.</C> <p>SI gene$es $imilium, $impliciumque motuum fuerint æquèaltæ, imagines, $iue $patia, acceleratorum mo- tuum erunt vt tempora, vel reciprocè vt amplitudines ge- ne$um ip$orum $implicium motuum. <p>Gene$es $imilium, $impliciumque motuum, ac inter$e <MARG><I>Tab.</I> 7. <I>fig.</I> 8.</MARG> homogeneæ $int BAC, DEF, quæ habeant altitudines AC, EF æquales. Dico, imagines acceleratorum motuum e$$e inter $e, vt tempora dictorum $implicium motuum, vel reciprocè vt amplitudines ip$arum gene$um. Concipian- <pb n=72> tur imagines velocitatum $impliciũ motuum, $cilicet GHI iuxta gene$im BAC, et MKL iuxta alterã gene$im DEF, & quia, vtpotè homogene&ecedil;, $unt inter $e vt $patia &ecedil;qualia AC ad EF, erũt ip$æ imagines &ecedil;quales inter $e, cũ verò ob $imili tudin&etilde; motuum eæ ip$æ imagines nectantur ex rationibus GI ad ML, & ex ea, quam habet HI ad KL, $equitur e$$e GI ad ML, vt KL ad IH, & demum quia acceleratorum motuum $patia à $implicibus imaginibus GHI, MKL ne- ctuntur ex duplicata temporum HI ad KL, & ex ea an pli- <MARG>27. <I>huius.</I></MARG> tudinum GI ad ML, $iue ex ea, quam habet KL ad HI, re- linquitur, $patia acceleratis illis motibus confecta e$<*> i&ntail; $ola, vnicaq; ratione temporum HI ad KL, vel in ei &ecedil;qua- li ratione, reciproca amplitudinum imaginum ML ad GI, vel gene$um DF ad BC. Quod &c, <C>PROP. XXX. THEOR. XXIV.</C> <p>QVæcunque fuerint gene$es $imilium, $impliciumque motuum, dum inter$e homogeneæ, $patia accelera- tis motibus ex illis $implicibus exacta nectentur ex duplicata ratione altitudinum, & reciproca amplitudi- num earundem $implicium gene$um, <p>Sint quæcunque $imilium motuum gene$es BAC, KFG. <MARG><I>Tab.</I> 7. <I>fig.</I> 6.</MARG> Dico, $patia acceleratorum motuum, ab ijs $implicibus de- riuantium, componi ex duplicata ratione altitudinum AC ad FG, & ex ratione extremarum velocitatum, $eu ampli- tudinum reciprocè $umptarum ip$arum gene$um: e$to alia gene$is DFG illis homogenea, & motu pariter $imilis cum ij$dem gene$ibus. Eadem $it amplitudine æqualis BAC, & altitudo eius $it FG, $patia acceleratorum motuum ex <MARG>28. <I>huius.</I></MARG> $implicibus gene$ibus æquales amplitudines haben<*>bus, & $imilium motuum BAC, DFG $unt in duplicata 'ratione rectarum, $eu altitudinum AC ad FG, & $patia accelera- <MARG>29. <I>huius.</I></MARG> <pb n=73> torum motuum ex $implicibus gene$ibus, quæ $int in ea- dem altitudine DFG, KFG, $unt in reciproca ratione am- plitudinum, $eu primarum vel ocitatum KG ad DG, vel BC; ex æquali igitur $patia acceleratorum motuum ex propo$itis $implicibus gene$ibus BAC, KFG nectentur ex ratione duplicata altitudinum AC ad FG, & reciproca amplitudinum KG ad BC earundem gene$um BAC, KFG. Quod &c. <C><I>Scholium.</I></C> <p><I>At quia in $patijs, quæ accelerato motu peraguntur; non $eruatur ratio altitudinum gene$um $implicium, ex quo ori- tur in hac methodo quædam percipiendi dificultas; ideo $e- quenti problemate, alij$que iam notis veritatibus, rem planè illu$trabimus, ac $imul doctrina v$um trademus.</I> <C>PROP. XXXI. PROB. VI.</C> <p>EX datis $patijs accelerato motu confectis, cogniti$- que primis, aut po$tremis $imilium, $impliciumque motuum velocitatibus, reperire tempora ip$orum de- cur$uum. <p>Spatia motibus acceleratis exacta $unt C, D, & velo- <MARG><I>Tab.</I> 8. <I>Fig.</I> 1.</MARG> tates, $eu amplitudines gene$um ponantur e$$e A, B, $cili- cet A principio motus per C, & B initio motus per D, quæ- ritur ratio temporum, quibus exiguntur propo$ita $patia. Vt A ad B, ita fiat C ad E, & inter E, et D $umatur F me- dia proportionalis. Dico ip$a tempora e$$e vt E ad F. Componuntur $patia acceleratis motibus exacta ex ratio- <MARG>27. <I>huiuij</I></MARG> ne quadratorum temporum, & ex ea amplitudinum, $eu homologarum velocitatum in $implicibus motibus, $imili- <MARG><I>lem. pr.</I> 3. <I>pri- mi huius.</I></MARG> bu$que $umptarum; & ideo temporum quadrata necten- tur ex ratione $patiorum C ad D, & ex reciproca ampli- <pb n=74> tudinum E ad C; temporum igitur quadrata erunt vt E ad D, ip$a verò tempora vt E ad F. Quod &c. <C>PROP. XXXII. PROB. VII.</C> <p>EXdatis $patijs accelerato motu tran$actis, datis item primis velocitatibus $imilium, $impliciumque mo- tuum, inuenire altitudines $implicium gene$um, ex quibus <MARG><I>Tab.</I> 7. <I>fig.</I> 1. 30. <I>huius.</I></MARG> propo$ita $patia effecta $unt. <p>Spatia $int E, D reliquis, vt $upra, manentibus: quoniam $patia accelerato motu tran$acta componuntur ex ratio- nibus amplitudinum gene$um $implicium, $imiliumqu&etail; motuum reciprocè $umptarum B ad A, $iue E ad C, & ex ea quadratorum altitudinum ip$arum gene$um; erit ratio dictarum altitudinum duplicata C ad D; quare F, $i $it me- dia proportionalis, non inter E, & D (vt antea po$uimus) $ed inter C ad D; erit $anè C ad F ratio altitudinum gene- $um $implicium, $imiliumque motuum, quam quereba- mus. <C><I>Exemplum primum.</I></C> <p>SI idem graue naturaliter cadens percurrerit à quiete duo $patia; tempora erunt in ratione $ubduplicat&atail; corundem $patiorum. <p>Ex Cor. pr: 4. huius con$tat rectangula e$$e gene$es $im- plicium motuum grauium naturaliter de$cendentium, & ex def. 7. primi liquet ea$dem gene$es e$$e motuum $imi- lium. Cumque eiu$dem mobilis naturaliter cadentis ve- locitas à quiete $it vna, eademque; $implices motus erunt ij, vt gene$um $imilium, $impliciumque motuum amplitu- dines æquales $int, proptereaque, vt in figura præcedentis propo$itionis æquales erunt C, E, atque adeo $patiu&mtail; C, $iue E ad D erit in duplicata ratione temporum E ad F. <pb n=75> <C><I>Exemplum II.</I></C> <C>PROP. XXXIV. THEOR. XXVII.</C> <p>TEmpora $imilium vibrationum $unt in $ubduplicata ratione arcuum exactorum, $eu longitudinum pen- dulorum, quorum $unt vibrationes. Sint grauia pendula LA, LF, quæ ab eadem recta LF di$cedentia currant $u$- <MARG><I>Tab.</I> 8. <I>fig.</I> 2.</MARG> pen$a ex L duos $imiles arcus circulares FI, AC. Dico tempora horum de$cen$uum e$$e in ratione $ubduplicat&atail; arcuum FI, AC, $eu longitudinum filorum, aut ha$tularum FA, LA. Ducamus quamcumque rectam LBG, erit AB ad BC, vt FG ad GI, & cum præterea velocitates pendu- lorum a quiete in A, F $int æquales, pariterque velocita- tes æquales a quiete in B, G; erit velocitas in A ad veloci- tatem in B, vt velocitas in F ad velocitatem in G, quare con$ideratis arcubus ABC, FGI, vt altitudines rect&ecedil;, (quæ item forent in B, G proportionaliter $ect&ecedil;) gene$um $imi- <MARG><I>Def.</I> 7. <I>pri<*></I></MARG> lium $impliciumque motuum, quarum amplitudines æqua les $unt, erunt $patia in acceleratis decur$ubus per FI, AC in ratione duplicata temporum, $cilicet ip$i arcus, aut lon- gitudines LF, LA erunt in ratione duplicata temporu&mtail;. Quod &c. <p>Idem demon$tratum e$$et beneficio imaginum, quæ vt- pote eorundem illorum motuum $implicium, forent etiam $imilium, & $unt amplitudines æquales, etenim eæde&mtail; $unt, ac gene$um ergo rur$us $patia, hoc e$t arcus ABC, FGI, nempe longitudines filorum IF, AC erunt in ratione duplicata temporum. Quod &c. <pb n=76> <C><I>Scholium.</I></C> <p><I>Vides, quàm breuiter rei di$ficillimæ demon$tr ationem at- tulimus, nec dubium, quin illa extendi queat ad qua$cum- que lineas decur$uum, dummodo $imiles, ac $imiliter po$itas in ij $dem, vel æqualibus ab horizonte planis elenatis, quemad- modum Dominus Viuianus pulcherrimè propo$uit.</I> <C><I>Exemplum III.</I></C> <C>PROP. XXXV. THEOR. XXVIII.</C> <p>TEmpora lationum à quiete per plana eandem eleua- <MARG><I>Tab.</I> 8. <I>fig.</I> 3.</MARG> tionem habentia $unt homologè vt longitudines planorum. <p>Sint plana AB, AC eandem eleuationem AD habentia. Dico tempus lationis per AC ad id per AB e$$e vt AC ad AB. (hæc Torricellij propo$itio, expo$itioq; e$t, hancque eandem veritatem ex no$tris principijs demon$trare visũ e$t, non vt de re illa dubitemus, immò contrà, quòd de e&atail; plenè $atisfacti $imus, ex eo rur$us demon$trandam $u$ce- pimus, vt exinde methodus no$tra, quàm vera $it, eluce$- cat) Momentum de$cen$us inplano AC ad id de$cen$us $u- <MARG><I>Tor. pr.</I> 2. <I>de motu grauiũ.</I></MARG> per plano AB e$t vt AB ad AC; $unt autem de$cendentiũ grauium, etiam $uper planis inclinatis motus, quos $impli- ces appellamus, inter $e $imiles, nempe quorum gene$es <MARG><I>Cor pr.</I> 4. <I>huius.</I></MARG> $unt rectangula; ergo habebimus $implices gene$es, vnam, cuius altitudo AC amplitudoque AB; alteram, cuius am- plitudo AC, altitudo autem AB; itaque propo$itis $patijs AC, AB, primi$que velocitatibus AB, AC, $i fiat AB ad AC vt CA ad EA, erit EA ad AB duplicata t&etilde;porum, & ideo <MARG>31. <I>i<*></I> 27. <I>hu.</I></MARG> ratio temporum per AC, AB erit CA ad AB. Quod &c. <pb n=77> <C><I>Exemplum IV.</I></C> <C>PROP. XXXVI. THEOR. XXIX.</C> <p>II$dem pror$us manentibus demon$trarunt Gallileus, ac Torricellius, gradus velocitatum acqui$itos in B, et C eiu$dem mobilis de$cendentis à quiete in A pares e$$e; idip$um nos o$tendemus. <p>Cum tempora $int vt AC ad AB, & velocitates à quie- te in ratione reciproca temporum, $cilicet vt AB ad AC, <MARG><I>Tab.</I> 8. <I>fig.</I> 4. 33. <I>huius.</I></MARG> $int deinde velocitates eæ vt amplitudines imaginum $im- plicium, $imiliumque illorum motuum (nam amplitudines imaginum velocitatum $unt pror$us eædem, ac illæ gene- $um) erunt ip$æ imagines $implicium motuum æquales; nam tempora, quæ $ummuntur vt altitudines imaginum reciprocantur, vt dictum e$t, amplitudinibus, $eu primis à <MARG>4. <I>huius.</I></MARG> quiete velocit atibus, at in motibus acceleratis ip$æ inte- græ imagines $implicium motuum $unt loco graduum ve- locitatum in extremo $patiorum acqui$itorum; ergo in B, et C gradus velocitatum æquales erunt. <C>PROP. XXXVII. THEOR. XXX.</C> <p>SI æqualia pondera, $u$pen$a $int ex filis, quorum par- tes inter$e æquales, præ tractione æqualiter elongen- ter tempora in reditu ip$orum filorum, cum ab ip$is graui- bus $tatim liberantur, æqualia erunt. Hoc primùm demõ- <MARG><I>Tab.</I> 8. <I>fig.</I> 5.</MARG> $trabimus alia via, tum methodo no$tra, vt de ea aliud exemplum tradamus. Sint funiculi AB, DC, & ex ijs pendeant æqualia grauia B, C, adeo vt $umptis hinc indè partibus æqualibus eorundem $uniculorum, con$tet ip$as æqualiter ab ip$is grauibus trahi, atque produci. Dico, $i elongationes $int HB, GC, & omnibus $ic $tantibus pon- <pb n=78> dera $ubmoueantur ex B, et C funiculis eæ$is, fore vt eæ- dem extremitates re$tituantur in H, et G æqualibus tem- poribus. Sit AE æqualis DC, erit porrò elongatio facta per idem graue B, quæ $it EF, æqualis GC; propterea li- beratis funiculis ad B, et C, eodem tempore re$tituetur C in G, ac E in F, quo tempore etiam B in H re$titutum fue- rit; nam vno puncto in primum $uum locum redito, etiam alia $ingula in $uum locum perueni$$e, opportebit. <C><I>Exemplum.</I></C> <p>HAc occa$ione de funiculis erit non iniucunda di$er- tatio, remque $ic adhuc intactam promouebimus, $imulque demon$trabimus. <p>Idip$um propo$itum no$tris principijs $ic demon$tra- mus. <p>Sint ead&etilde;, quæ $upra, $cilicet conceptis in filo AB quot- libet partibus inter$e æqualibus, lõgitudin&etilde;que totam im- plentibus, hæ $ingulæ æqualiter à pondere B trahentur, eritque BH $umma omnium dictarum partium elongatio- num, & eodem pacto EF erit $umma elongationum partiũ omnium in AE contentarum, ab eodemque pondere effe- ctarum; propterea vt AB ad BH, ita erit AE ad EF; quamo brem velocitas etiam puncti B $ublato pondere B erit ad velocit atem puncti E ob eandem detractionem, vt BH ad EF, vel BA ad EA (nam quot $unt partes concept&ecedil; i&ntail; vtraque fili longitudine, totidem $unt etiam impetus inter $e æquales) idem o$tenderemus $i loco ponderis B, minus quodcumque $u$penderemus, vt $cilicet puncta B, et E ad quemuis locum $uperius remanerent, librarenturque cum re$i$tentijs partiũ eò elongatarum, ergo tran$itus ex B in H, <MARG><I>pr.</I> 4. <I>huius.</I></MARG> & puncti E in F $ubducto pondere B erunt motus $imilium $impliciumque; $ed motus ex C in G exempto pondere C e$t pror$us idem, ac motus E in F, ergo motus $imiles, ac <pb n=79> $implices ex B in H, & ex C in G, ex quibus fiunt accele- rati, gene$es habebunt, quarum primæ velocitates, $eu am- plitudines proportionales $unt altitudinibus earundem, $patijs nimirum CG, BH accelerato motu exigendis; qua- mobrem componentur ex ratione ip$arum velocitatum, $eu amplitudinum CG ad BH, & ex ea quadratorum tem- porum, quæ proinde æqualitatis erit; itaque etiam huius $ubduplicata; hoc e$t tempora in tran$itibus accelarato motu exactis, erunt paria. <C><I>Corollarium.</I></C> <p><I>Hinc patet, vbi æquè cra$$is filis eiu$demque materiei vel cedentiæ $u$pen$a $int æqualia pondera, tunc primas velocita- tes, $ubductis ponderibus, fore in eadem ratione elongationũ, vel longitudinum filorum.</I> <C>PROP. XXXVIII. THEOR. XXXI.</C> <p>SI extremitatibus funiculorum ex vna parte firmatorũ, ac eandem cra$$itiem habentium, nec non eiu$dem cædentiæ exi$tentium, fuerint $u$pen$a æqualia pondera, quæ inde ij$dem longitudinibus $eruatis, quomodo opor- tet tollantur, erunt $patia recur$uum, temporibus $impli- cium motuum exacta in ratione longitudinum pendulo- rum. <p>Sit funiculus AC æquè cra$$us ac BD, & $u$pen$is hinc inde ponderibus æqualibus, elongatio primi funiculi $it CE, & alterius $it DF. Dico $patia temporibus $impli- cium imaginum, ab extremitatibus $olutis exacta, fore i&ntail; ratione longitudinum ip$orum funiculorum. <p>Iam con$tat CE ad DF e$$e, vt AC ad BD, in qua ratione $unt etiam velocitates à quiete, dum pondera $ubduceren- tur ex E, et F, vel ex alijs punctis quibu$cunque $i æqualia <pb n=80> pondera $u$pen$a fui$$ent maioris, vel minoris ponderis, $ic enim concipiuntur gene$es $imilium, $impliciumque motuum, quarum altitudines æquantur elongationibus funiculorum; propterea $patia recur$uum temporibus $im- plicium motuum exacta, nectentur ex rationibus duplicata CE ad DF, hoc e$t AC ad BD, & ex reciproca filorum, $cilicet BD ad AC, quæ ratio, vti diximus, e$t reciproc&atail; primarum velocitatum, $eu amplitudinum gene$um $impli- cium, ergo ip$a $patia in reditu filorum ab extremitatibus $olutis exacta, erunt vt AC ad BF, $eu vt CE ad DF. Quod &c. <C>PROP. XXXIX. THEOR. XXXI.</C> <p>TEmpora $implicium, $imiliumque dictorum motuum $unt æqualia. <p>Nam cor. 2. pr. 8. huius primi demon$tratum e$t, tem- pora $implicium, $imiliumque motuum componi ex ratio- ne $patiorum, $eu altitudinum gene$um, & reciproca pri- marum, aut extremarum velocitatum, $eu amplitudinum gene$um: $unt autem altitudines gene$um tractiones, $eu elongationes funiculorum, quæ $unt vt longitudines funi- culorum, ergo tempora æqualia erunt. <C><I>Corollarium.</I></C> <p><I>Con$tat, tempora a $implicium gene$um in tractionibus fu- niculorum, e$$e compo$ita ex ratione elongationum funiculo- rum, & ex reciproca primarum velocitatum.</I> <pb n=81> <C><I>Scholium.</I></C> <p><I>Superioris propo$itionis veritas concordat cum prop.</I> 37. <I>bu- ius, in eo tantùm variatur, quod ibi ponuntur data $pati&atail; elongitiones funiculorum, hic verò tempora $impliciu&mtail; motuum, & quia elungationes o$ten$æ $unt proportionales $pa tijs nunc exactis, manife$tum e$t, no$tri iuris e$$e modò $patia acceleratis motibus exact a ex temporibus $implicium motuũ datis concludere, modò contrà, ex $patijs altitudinibus gene- $um proportionalibus, qua item data $unt, tempora inuenire, qua proinde methodus mihi videtur ampli$$ima.</I> <C>PROP. XXXX. THEOR. XXXIII.</C> <p>SI eiu$dem cra$$itiei funiculis pondera dependeant, qu&ecedil; $int in ratione reciproca longitudinum ip$orum funi- culorum, $patia temporibus gene$um $implicium motuum exacta erunt in ratione duplicata elongationum. <MARG><I>Tab.</I> 8. <I>Fig.</I> 6.</MARG> <p>Nã $i $it põdus E ad F $icuti lõgitudo DB ad CA, & $int, cra$sities funiculorũ æquales erit $anè ratio, quæ cõponi- tur ex ratione funiculorũ, & ex ea põderum, æqualitatis; ob idque gene$es $impliciũ motuũ, quarũ altitudines CE, DF habebũt amplitudines, n&etilde;pe primas velocitates inter$e&ecedil;qua les (nam cum pondera erant æqualia, primæ velocitates proportionabantur longitudinibus funiculorũ, ideo, cum <MARG>28. <I>huius.</I></MARG> pondera reciprocantur longitudinibus ij$dem, $eu viribus funiculorum, fit vt primæ velocitates æquales reddantur) cum ergo ita $it, $patia recur$uum temporibus imaginu&mtail; $implicium & accelerato motu confecta erunt in ratione duplicata elongationum. <pb n=82> <C><I>Corollarium.</I></C> <p><I>Cum ex eadem pr.</I> 28. <I>huius, eadem $patia $int vt quadra- ta temporum, erunt ip$a tempera in ratione $ubduplicat&atail; elongationum.</I> <C>PROP. XXXXI THEOR. XXXIV.</C> <p>SI funiculis æqualem cra$$itiem habentibus fuerint $u$- <MARG><I>Tab.</I> 8. <I>Fig.</I> 6.</MARG> pen$a inæqualia pondera, $patia, quæ acceleratis mo- tibus, ac temporibus gene$um $implicium recurruntur ne- ctentur ex ratione duplicata elongationum, & ex duabus reciprocè $umptis rationibus, nempe longitudinum prima- rum funiculorum, antequam pondera $u$penderentur; & ip$orum ponderum. <p>In antecedenti figura illud primum $atis patet, quòd $i loco ponderis F $u$pen$um fui$$et pondus aliud grauius, aut leuius, prior velocitas in a$cen$u fili, $eu funiculi, aut chordæ aucta, vel imminuta fui$$et pro magnitudine pon- deris $ub$tituti; quamobrem priores velocitates ex inæqua litate ponderum eidem chordæ $u$pen$orum dependentes forent, vt ip$a pondera; verùm cum $uppo$itis funiculis æqualia pondera $u$pen$a veniunt, primæ velocitates $unt <MARG><I>Cor. pr.</I> 37. <I>huius.</I></MARG> vt longitudines funiculorum, ergo velocitates primæ, cum inæqualia $unt pondera, quæ $ubtrahuntur, nectentur ex ratione longitudinum funiculorum, & ex ea ponderum inæqualium: quæcumque igitur $it tractio DF, gene$es ha- bebimus $imilium $impliciumque motuum, vnam, cuius al- titudo CE, & alteram habentem altitudinem DF, & $unt earundem gene$um amplitudines, $eu primæ velocitates in ratione compo$ita funiculorum AC ad BD, & ponderis <MARG>30. <I>huius.</I></MARG> pendentis ex E ad pondus $u$pen$um in F; ergo $patia ac- celeratis motibus tran$acta temporibus gene$um $impliciũ <pb n=83> nectentur ex ratione dublicata elongationum, $iue altitu- dinum gene$um, & ex duabus rationibus reciprocè $um- ptis funiculorum AC ad BD, & ponderum E ad F. Quod &c. <C>PROP. XXXXII. THEOR. XXXV.</C> <p>II$dem po$itis, $i $patia recur$uum erunt ip$æ elongatio- nes, tempora, quibus ab extremitatibus $olutis recur- runtur, erunt in ratione $ubduplicata eorundem. Nam cum gene$es $imilium, $impliciumque motuum $int æquè am- plæ, erunt, tempora in ratione $ubduplicata imaginum, $eu $patiorum acceleratorum motuum, $unt verò $patia ip$æ elongationes; ergo &c. <C>PROP. XXXXIII. THEOR. XXXVI.</C> <p>CHordæ non eiu$dem cra$$itiei, eiu$dem tamen mate- riæ, ac longitudinis, tunc æquè trahentur <*>bi $u$p&etilde;- $a pondera cra$$itut inibus proportionalia fuerint. Nam cra$$ior chorda pote$t concipi compo$ita ex funiculis eiu$ dem cra$$itiei alterius chordæ, $i illa huius fuerit multiplex, & $i partes exilior funiculus fuerit alterius cra$$ioris, erit cra$$ities alicuius alterius funiculi, quæ pluries accept&atail; con$tituere poterit vtranque cra$$itiem funiculorum pro- po$itorum (hìc enim non accidit enumerare cra$$ities in- ter$e irrationales, quippe quia, quod de iam dictis o$ten- derimus, de his quoque facilè e$t iudicare, $ecùs e$$emus longi, quam par e$t, poti$$imùm cum hæc præter in$titutũ adijciantur, & quidem vt con$tet, quomodo methodus i$ta no$tra facilis $it, ac vtili$$ima) quapropter $i cuique acce- ptarum æqualium chordarum, pondera æqualia $u$pen$a $int, porrò hæc omnes æquè trahentur ab ip$is æqualibus ponderibus, & $ic etiam compo$ita, nempe choidæ pro- <pb n=84> po$itæ; $untque ita pondera in eadem ratione cra$$itierum, $icut propo$uimus; ergo patet propo$itum. <C>PROP. XXXXIV. THEOR. XXXVII.</C> <p>SI fuerint eiu$dem materiæ funiculi, & $int illis $u$pen$a pondera cra$$itiebus proportionalia, ratio $patiorum in reditibus accelerato motu exactorum, t&etilde;poribus $im- <MARG><I>Tab.</I> 8. <I>fig.</I> 6. 42. <I>huius.</I></MARG> plicium gene$um, erit eadem ac funiculorum. <p>Nam, vt in præcedenti figura, erit tractio CE ad DF ita <MARG><I>Cor. pr.</I> 37. <I>huius.</I></MARG> AC ad BD, vel AE ad BF, $unt autem primæ velocitates, $eu amplitudines gene$um $implicium, $imiliumque motuũ in ratione funiculorum, ergo decur$uum $patia motibus <MARG>27. <I>huius.</I></MARG> acceleratis exacta nectentur ex ratione duplicata altitu- dinum gene$um $implicium, nempe duplicata funiculorũ, & reciproca amplitudinum, $untque ip$æ amplitudines homologè vt longitudines funiculorum, ergo relinquitur vt ip$a $patia $int in vnica ratione longitudinum funicu- lorum. <p>Quòd $i $patia recur$uum ponantur ip$æ tractiones, vel longitudines funiculorum, o$tendetur tempora e$$e æqua- lia, quemadmodum æqualia $unt tempora $uperius pro- po$ita $implicium gene$um. <C>PROP. XXXXV. THEOR. XXXVIII.</C> <MARG><I>Tab.</I> 8. <I>fig.</I> 7.</MARG> <p>SI eiu$dem materiei quibu$cunque funiculis aligentur quæcunque pondera, ijs $ublatis a$cen$uum $patia ab extremitatibus $olutis exacta temporibus gene$um $impli- cium, ijs nempe quæ impenderentur in motibus iuxta $im- plices gene$es, erunt in ratione compo$ita quadratorum elongationum chordarum, ex ea cra$$itierum, & ex duabus reciprocè $umptis rationibus, nempe longitudinum fu- niculorum antequam traherentur; & $u$pen$orum ponde- rum. <pb n=85> <p>Funiculi AB, GH trahantur à ponderibus quibu$cunque C, I in C, et I. Dico $i exempta $int pondera, fore, vt $patia quæ acceleratis motibus exiguntur ab extremitatibus $o- lutis C, I $int in ratione compo$ita ex duplicata IH ad BC, cra$$itudinis ad cra$$itudinem funiculorum AB, GH; dein- de ex funiculi longitudine HG ad longitudinem AB, pon- deri$que I ad pondus C. Intelligatur funiculus, $eu chor- da, æque cra$$a, ac $imiliter cedens, quàm GH (id quod $emper intelligimus quoties funiculi, inter$e comparantur) $ed æquè longa, ac AB, $itque illi pondus F adiectum, ad quod C eandem habeat rationem, ac cra$$ities AB ad cra$- $itiem DE, con$tat elongationem EF æqualem fieri ip$i CB, & cum primæ velocitates, $eu amplitudines æquè al- tarum gene$um $imilium, $impliciumque motuum $int etiã æquales, $patia decur$uum acceleratis motibus exacta erũt pror$us æqualia; $unt verò funiculi DE, GH eiu$dem cra$- $itiei, ei$que $unt $u$pen$a duo'pondera inæqualia F, I; ergo decur$uum $patia ab extremitatibus $olutis exacta nect&etilde;- tur ex ratione duplicata elongationum FE, $eu CB ad IH, ex ratione, quam habent longitudines funiculorum HG ad DE, $eu AB, & ex ea ponderum I ad F; verùm pondera I ad F nectuntur ex rationibus ponderum I ad C et C ad F, quæ po$trema e$t ratio cra$$itiei funiculi AB ad craffitiem funiculi DE, $eu GH; ergo vt propo$uimus $patia accele- ratis motibus exacta, nectentur ex rationibus quadratorũ CB ad HI; cra$$itudinum funiculorum AB, GH; ponderũ I ad C, & longitudinum HG ad AB. Quod &c. <C>PROP. XXXXVI. THEOR. XXXIX.</C> <p>TEmpora gene$um $implicium, dum chordis $u$pen- duntur quæcunque grauia, nectuntur, ex ratione elongationum funiculorum, & ex contrariè $umptis ratio nibus, cra$$itudinum, longitudinumque funiculorum, nec <pb n=86> non ponderum funiculis $u$pen$orum. <p>Nam Cor: 2. pr. 8. primi demon$tratum e$t, tempor&atail; $implicium $imiliumque motuum componi ex ratione $pa- tiorum, $eu altitudinum gene$um, & reciproca primarum velocitatum, $eu amplitudinum gene$um, $unt autem alti- tudines gene$um tractiones, $eu elongationes funiculorum; velocitatesverò primæ nectuntur ex rationibus cra$$itudi- num, & ex ea longitudinum funiculorum antequam tra- herentur (hoc enim $ubinde o$tendemus) ergo tempora propo$ita $implicium gene$um, dum chordis alligãtur qu&ecedil;- cunque inæqualia pondera, componentur ex rationibus elongationum funiculorum, & ex contrariè $umptis cra$$i- tudinum, longitudinumque funiculorum, & ponderum. <C><I>Aßumptum.</I></C> <MARG><I>Tab.</I> 8. <I>fig.</I> 7.</MARG> <p>VErùm primæ velocitates in ij$dem chordis componi ex ratione cra$$itudinum, longitudinum funiculorũ, & $u$pen$orum ponderum, $ic o$tendemus, <p>Quoniam in eadem po$trema figura velocitas, qua&mtail; haberet funiculus AB ex liberatione ponderis e$t æqualis velocitati, quam haberet alius funiculus, vbi hic etiam li- <MARG>43. <I>huius.</I></MARG> beraretur à pondere, $cilicet cum pondera cra$$itiebus fu- niculorum proportionalia $unt, & ip$i funiculi æquè longi; velocitas funiculi DE à pondere F ad velocitatem eiu$d&etilde; <MARG><I>Ex</I> 41. <I>huius.</I></MARG> funiculi, $i loco ponderis F $ub$titutum e$$et aliud æquale ip$i I, e$$et vt pondus F ad $ub$titutum, $eu ad I, e$t autem velocitas eiu$dem funiculi DE, dum fui$$et pondus ei $u$- pen$um æquale I ad velocitatem funiculi GH a pondere I vt longitudo DE ad GH; ergo patet propo$itum. <pb n=87> <C><I>Scholium.</I></C> <p><I>Quod hucu$que ostendimus in funiculis ponderibus de- grauatis, non ab$imili modo præst abimus in chordis ad vtrã- que extremitatem firmatis, & adductis, hoc tantum di$crimi- ne, vt $i in ijs pondere $ublato, motus extremitatis $olutæ at- tendebatur, hìc media parte attractâ chordâ, & $ubinde $ui iuris relictâ, vibrationem eius ob$eruamus, & equidem illa omnia in hunc finem o$tendimus, quippe ab hac re, plurima vtili$$imæque veritates manere po$$unt. Nam de arcubus po$$es pulcherrima in$titui ratio, & qui vellet armonicorum $ono- rum, vel vocum per chordarum vibrationes editarum, tempo- ra, cum $oni ad aures perueniunt, inue$tigare, reor non aliam viam, quàm hanc ingredi nos debere, atque indè con$onantia- rum forta$$e naturam pertipere po$$e, vt primus <*>ui<*> Gal- lileus quamquam vibrationes ten$arum chordarum differãt ab ijs pendulorum.</I> <C><I>FINIS.</I></C> <pb n=88> <C>SPIEGATIONE</C> <C>di vna nuoua $pecie di Bale$tra.</C> <MARG><I>Tab.</I> 9.</MARG> <p>IN que$ta figura $i e$prime vna nuoua inu&etilde;- tione di Bale$tra, la quale, ma$$imamente in grande, per tirar granate, ò $a$$i può e$- $ere di gran con$eguenze nella militare, co- me dimo$trera$$i. <p>Dalle $ue parti $i verrà in cognitione del modo di fabbricarla, e $ono le $eguenti. <p>AM, MN $ono amendue le braccia. Il punto M è il cen- tro della machina. Per la cauità M deue pa$lar la pall&atail; $cagliata dalla corda; e per di $otto M $i ferma & inca$lra nel manico, al modo delle bale$tre communi. Ai due capi, ò $iano e$tremità A, N $i annette la fune. I punti A, E, F, G, I, K $ono in vna linea retta. Gl' interualli AE, EF, FG, GI, IK, $ono, benche non di nece$$ità, eguali. Le altezze, ò comme$$ure KL, IH, GD, FC, EB perpendiculari, nell' incuruar$i dell' arco, $i aprono intorno a' centri K, I, G, F, E. Donde ne $iegue, che prendendo la corda dal $uo mez- zo, e tirandola ver$o O; amendue le braccia $i aprono nel- le predette comme$$ure, come compare nell' vno d'e$$i $e- gnato a punti con le lettere corri$pondenti. Cia$cuna delle predette comme$$ure viene $trettamente rin$errat&atail; da vna molla, come $i vede in L, H, D, C, B; e que$te mol- le, quanto più $i auuicinano al centro M, deuono e$$ere più grandi e più ma$$iccie, in modo che, per cagione della grã- dezza opportuna, vengano ad aprir$i con egual facilità dell'altre, e per cagione della gro$$ezza, habbiano nel $er- rar$i maggior forza, ò $ia momento, per la ragione, che $ot- to $i dirà. <p>Ciò pre$uppo$to, è facil co$a dimo$trare i vantaggi di <pb n=89> que$ta machina $opra le ordinatie. <p>Primieramente nel triangolo ALK, e$$endo le altezz&etail; EB, FC, GD, IH, KL perpendicolari, e perciò paralelle; ne $iegue che le proportioni di AE ad EB, di AF ad FC, di AG a GD, di AI ad IH, di AK a KL $ieno tutte eguali; e douendo e$$ere parimente eguali le re$i$tenze delle molle in B, C, D, H, L, che $i $uppongono di egual neruo nell' aprir$i; ne $iegue ($econdo i principij della Meccanica) che attraendo$i con la fune l'e$tremità A, nel mede$imo tempo e con la mede$ima facilità vincera$$i l'equilibrio di tutte le molle; la re$i$tenza delle quali $i con$idera in ragione di pe$o, $i come le linee AE, EB; AF, FC; AG, GD; &c. $i con- $iderano come vetti, ò lieue, che hanno i loro ippomoclij, ò $iano centri in E, F, G, I, K, e la potenza in A, la quale è comune a tutte. <p>In $econdo luogo, hauendo il braccio AE al braccio EB (il $imile dica$i degli altri) hauendo, dico, gran proportio- ne, re$terà molto ageuolato il moto. <p>Terzo e$$endo molte le molle, e a prendo$i tutte, ne deue $eguire vn notabile incuruamento d'amendue le braccia; onde la$ciando l'arco in libertà, e chiudendo$i tutte le $u- det te molle nel mede$imo tempo, cioè qua$i in vn'attimo; dourà la corda, che era tirata ver$o O, pa$$are qua$i in i$tã- te ver$o M; il che non potendo$i fare $e non con $omma ve- locità, per la grandezza dello $patio; e a que$ta corri$pon- dendo la forza, ne $eguirà vn colpo molto con$iderabile, e vantaggio$o, come cia$cuno può arguire. <p>Re$tano hora a $eior$i alcune difficoltà. La prima è, che, quantunque $ia vero, che quella forza ba$tante in A per vincer l'equilibrio della molla B, quella mede$ima al- tre$i $ia $ufficiente a vincer l' equilibrio di tutte l'altre, per e$$ere eguali le proportioni delle vetti; ciò non o$tante, cõ- $iderando$i il braccio incuruato, come $i vede nell' arco KLA $egnato a punti, le proportioni rie$cono alterate; do- <pb n=90> uendo$i prendere per le lunghezze delle vetti $udette, non più le lunghezze di prima, ma bensi le applicate di detto arco, cioe af, ag, ai, ak; delle quali aK, e l' altre a lei più vicine $i abbreuiano molto più quando l' arco è incurua- to, che quando non è: Onde per tal ragione dourebbero le parti più vicine al centro M aprir$i meno dell'altre più vicine alle e$tremità. A ciò $i ri$ponde, che per e$$er la corda a o più obliqua alla lunghezza a e di quel che $ia all' altre più vicine al centro M, quindi ne $iegue, che per quel' altra cagione s' aprono più ageuolmente le parti vicine al centro; onde, temperata vna ragione con l' altra (quando l' arco non $ia e$tremamente incuruato) $i con$egui$ce vno $tato d'apertura opportuna. <p>La $econda difficoltà è che cia$cuna molla nel $uo re- $tringer$i, par che cagioni qualche effetto contrario all'in- tento. Imperoche, per e$empio, nella molla B il mezzo anello, che ri$guarda l'e$tremità A, nello $tringer$i fà ben$i il $uo douere, perche il $uo moto è ver$o il centro M; ma l' altra metà, che ri$guarda il $udetto centro M, nello $trin- ger$i, hauendo il $uo moto ver$o A, $i oppone al chiudi- mento della molla $eguente C; e il $imile dica$i dell' altre. A ciò $i è po$to rimedio col far più grandi, e più mafficcie le molle più vicine al centro M, accre$cendole, e ingro$$an- dole di mano in mano opportunamente. Quindi ne $egue che per la maggior grandezza cõ$entono egualmente all' aprir$i con facilità; ma all' incontro nel $errar$i, per e$$ere più ma$$iccie, e di maggior corpo, vengono ad hauere maggior momento delle men corpulenti, $uperando co&ntail; ciò non $olo il detto moto oppo$to, ma etiandio impri- mendo maggior moto al ferro dell'arco, con cui $i acco- muna il moto. <p>Auuerta$i, che quanto $aranno di maggior numero le cõme$lure, le molle di maggior pe$o, e l'arco più pouero di corpo, tanto riu$cirà il colpo a di$mi$ura maggiore, per l' <pb n=91> incuruamento notabile delle braccia, e per il maggior mo- mento delle molle; e ciò con adoperare la mede$ima forza. <p>Auuerta$i parimente, che il braccio AE, è il $uo corri$- pondente deuono e$$ere alquanto più corti, cioè A vna delle e$tremità dell'arco deue e$$ere più ver$o il centro di quel che $ia il concor$o delle linee LB, KE, come pure dall' altra parte; perche $i vede che aprendo$i meno le parti vi- cine ad A, l'altre molle fanno miglior effetto. <p>Finalmente la $perienza ha mo$trato, che e$$endo$i la- uorata vna tal machina con pochi$$imi nodi, ageuoli$$ima ad aprir$i, e $enza hauer ingrandite e ingro$late le molle, che più $i vanno auuicinando al centro M, come $i è det- to; con tutto ciò l' ordigno è riu$cito di forza molto $upe- riore a vna bale$tra grande, e difficilif$ima a inarcar$i. On- de non dubito, che, facendo$i con tutte ie regole accenna- te, non debba riu$cire vna machina di effetto marauiglio$o aggiungendo che per tirar granate dourebbero i bracci e$$er di legno, armati di ferro $ol doue $i richiede. <pb n=92> <C>Nouum genus Bali$tæ Explicatio.</C> <MARG><I>Tab.</I> 9.</MARG> <p>IN hac figura exprimitur nouum genus Bali- $tæ, quæ machina præ$ertim in mole maio- ri, non parum vtilitatis afferre pote$t rei mi- litari ad eiaculanda mi$$ilia, vt demon$tra- bitur. Ex eius verò partibus, quas $ubinde recen$eo, etiam modus $tructuræ apparebit. <p>AM, MX $unt brachia. Punctum M centrum machi- næ. Per <*>auitatem M tran$it telum emi$$um. Infra M in- $eritur manubrium, vt in bali$tis vulgaribus. Extremis capitibus A, N adnectitur funis. Puncta A, E, F, G, I, K $unt in linea recta. Interualla AE, EF, FG, GI, IK $unt (li- cèt non nece$$ariò) æqualia. Altitudinis, $eu commi$$uræ KL, IH, GD, FC, EB $unt perpendiculares rectæ occultæ KA. Singulæ autem, dum curuatur arcus, aperiuntur cer- ca centra K, I, G, F, E. Hinc $equitur vt funis ex medio dum attrahitur in O, aperiantur prædictæ commi$$uræ, $eu nodi, & curuentur vtraque brachia, vt in eorum altero ap- paret punctis notato. Quilibet ex his nodis arcti$limè $trin- gitur $upernè, a $uo elaterio, vt videre e$t in L, H, D, C, B. Elateria autem quò propinquiora centro M tanto maiora, & cra$$iora debent e$$e remotioribus: Hinc fit vt, propter molem opportunè auctam, æquè facilè aperiantur, ac cæ- tera; & vice ver$a, propter cra$$itiem maiorem, $ibi relicta validiùs re$tringantur. Cuius rei paulo infra rationem dabimus. <p>His po$itis facile e$t o$tendere, quantum præ$tet hu- iu$cemodi machina vulgaribus & communibus bali$tis. <p>Primùm, in Triangulo ALK cùm altitudines EB, FC, GD, IH, KL $int perpendiculares, ideoque parallelæ, hinc <pb n=93> $it vtrationes AE ad EB, AF ad FC, AG ad GD, AI ad IH, AK ad KL $int æquales. Sunt pariter æquales re$i- $tentiæ elateriorum in B, C, D, H, L (po$uimus enim ela- teria ita opportunè aucta vt æquè facile $ingula aperian- tur) ergo (ex primis principijs mecanicorum) dum attra- huntur fune extrema capita A, N, eodem tempore, eadem- que facili ate vincetur æquilibrium omnium elateriorum, quorum re$i$tentia in $ingulis con$ideratur in ratione pon- deris, quemadmodum lineæ AE, EB; AF, FC; AG, GD &c. con$iderantur vt vectes, quorum hippomoclia $eu c&etilde;- tra $unt in E, F, G, I, K, potentia autem con$ideratur in A communis omnibus. <p>Scundò, cùm AE ad EB (idem die de cæteris) habeant magnam proportionem, facilè aperientur nodi, & curuabi- tur arcus; quantumuis augeatur numerus nodorum. <p>Tertiò Cum $int plures nodi, atque omnes aperiantur, nece$$e e$t vt brachia arcus valdè incuruentur; quamobr&etilde; $i idem arcus $ibi relinquatur, prædicti nodi omnes, vi ela- teriorum, ictu oculi claudentur; e odemque puncto tempo- ris corda ex O percurret totum $patium v$que ad M: Quòd cùm fieri nequeat ni$i $umma velocitate, propter magni- tudinem prædicti $patij, & velocitati re$pondent vis, atque impetus, nece$$e e$t vt hinc $equatur ictus valde notabilis, vt facilè e$t vnicuique conijcere. <p>Super $unt nunc difficultates nonnullæ $oluendæ. Prima e$t, quòd licèt vis $ufficiens in A ad vincendum æquilibriũ elaterij B, illa eadem quoque $ufficiat ad vincendum æqui- librium cæterorum, propter æquales proportiones vectiũ; his tamen non ob$tantibus, $i con$ideretur brachium iam incuruatum, vt apparet in KLA punctis notato, proportio- nes illæ cernuntur notabiliter variatæ. Neque enim pro longitudinibus vectium $umi po$$unt longitudines priores, $ed loco ip$arum accipiendæ $unt applicatæ arcus, videli- cet af, ag, ai, ak quarum ak, eidemque propinquiores, quã- <pb n=94> do arcus incuruatur, breuiores fiunt, quàm e$$ent ante&atail;. Re$pondeo, quòd corda ao cùm $it obliquior re$pectu longitudinis ae, quàm re$pectu cæterarum centro propin- quiorum, hinc fit vt, quantùm e$t ex hac ratione, faciliùs aperiantur partes propinquiores centro; quamobrem, vtra- que ratione inuicem temperata, dummodo arcus non $it $ummè incuruatus omnes partes aperientur, quantum $a- tis e$t ad intentum. <p>Altera difficultas e$t, quod elaterium quodlibet dum re$tringitur videtur ob$tare motui elaterij $equentis. Nam, exempli gratia, in elaterio B $emiannulus re$piciens extre- mum A, dum $tringitur, optim è præ$tat $uum effectum, cũ eius motus $it versùs centrum M At è contrario reliqua pars, $eu $emiannulus re$piciens prædictum centrum M, cũ habeat $uum motum ver$us A videtur ob$tare, quo minus liberè claudatur $equens elaterium C. Aque idem de cæte- ris dicendum. Huic incommodo con$ultum e$t augendo magnitudinem, & cra$$itiem elateriorum, quò magis acce- dunt ad centrum M. Hinc enim $equitur vt propter ma- gnitudinem facilè con$entiant arcui, dum incuruatur; at dum idem arcus liberè $ibi relinquitur, cum $int corpulen- tiora & cra$$iora habent maius momentum, quàm cætera graciliora, ideoque non modo vincunt motum illum op- po$itum, $ed etiam imprimunt maiorem motum ferro ar- cus, cui ille motus communicatur. <p>Aduerte quod commi$$uræ $eu nodi, quò plures fuerint, elateria autem maioris ponderis, arcus denique corporis gracilioris equæ expeditioris, tanto ictus longat præ$tan- tior $equetur, tum propter notabilem curuaturam brachio- rum, tum propter momentum maius elateriorum, & quid&etilde; po$ita eadem potentia, aut etiam minori, pro vt longitudi- nes vectium $tatuuntur. <p>Aduerte etiam, longitudinem brachij AE, eiu$demqu&etail; corre$pondentis debere cæteris paribus nonnihil imminui, <pb n=95> quod fiet $i A, alterum extremum arcus, $it propriùs cen- tro M, quàm $it concur$us linearum LB, KE. Idem dicen- dum de altero extremo N. Nam cùm minus aperiantur partes propinquiores puncto A, cætera elateria, vt com- pertum e$t, meliorem effectum præ$tant. <p>Fauet denique experientia. Nam huiu$cemodi machi- na pauci$$imis nodis con$tructa, facillimæ curuaturæ, cum elaterijs eiu$dem pror$us molis & cra$$itudinis; nihilomi- nus longè $uperauit vim bali$tæ communis maximæ, & dif ficillimæ flexionis. Quamobrem non dubito quin, $i præ- cepta $uperiùs data exactè $eruentur, elaborari po$$it ma- china miræ vtilitatis. Adde po$tremo ad iacienda quædã mi$$ilia, vt e$t genus quoddam bolidum, vulgo <I>granate,</I> op- portuniora e$$e brachia lignea, tantummodo, vbi nece$$i- tas po$tulat, armata ferro. <C><I>FINIS.</I></C> <pb> <p><I>Vid. D. Bernardus Marchellus Re- ctor Pœnitent. in Metropol. Bonon. pro Illu$tri$s. & Reverendi$s. Domino D. Iacobo Boncompagno Archiepi$- copo, & Principe.</I> <p><I>Vid. Silue$ter Bonfiliolus Inqui$itionis reui$or, & imprimi po$$e cen$uit.</I> <p><I>Stante atte$tatione.</I> <C><I>Imprimatur.</I></C> <p><I>F. Io$eph Maria Agudius Vicarius Sancti Offi c ij Bononiæ.</I> <C>8 00 57</C> <pb> <CAP>BVLA I.</CAP> <FIG> <pb> <CAP>TABVLA I.</CAP> <FIG> <pb> <CAP>TABVLA II.</CAP> <FIG> <pb> <CAP>TABVLA III.</CAP> <FIG> <pb> <CAP>TABVLA VI.</CAP> <FIG> <pb> <CAP>TABVLA V.</CAP> <FIG> <pb> <CAP>TABVLA IV.</CAP> <FIG> <pb> <CAP>TABVLA VII.</CAP> <FIG> <pb> <CAP>TABVLA VIII.</CAP> <FIG> <pb> <FIG> <pb> <FIG> <CAP>TABVLA VIIII.</CAP>