Mercurial > hg > mpdl-xml-content

<pb>
<head>FEDERICI
COMMANDINI
VRBINATIS</head>
<head>LIBER DE CENTRO
GRAVITATIS
SOLIDORVM.</head>
<fig>
<head>CVM PRIVILEGIO IN ANNOS X.</head>
<head>BONONIAE,</head>
<head>Ex Officina Alexandri Benacii.</head>
<head>M D LXV.</head>
<pb>
<head>ALEXANDRO FARNESIO
CARDINALI AMPLISSIMO.
ET OPTIMO.</head>
<P>Cvm mult&aelig; res in mathematicis
di$ciplinis nequaquam $atis ad-
huc explicat&aelig; $int, tum perdif-
ficilis, &amp; perob$cura qu&aelig;$tio
e$t de centro grauitatis corpo-
rum $olidorum; qu&aelig;, &amp; ad co-
gno$cendum pulcherrima e$t,
&amp; ad multa, qu&aelig; &agrave; mathematicis proponuntur, pr&aelig;-
clare intelligenda maximum affert adiumentum. de
qua neminem ex mathematicis, neque no$tra, neque
patrum no$trorum memoria $criptum reliqui$$e $ci-
mus. &amp; quamuis in earum monumentis literarum n&otilde;
nulla reperiantur, ex quibus in hanc $ententiam addu
ci po$$umus, vt exi$timemus hanc rem ab ij$d&etilde; vber-
rime tractatam e$$e; tamen ne$cio quo fato adhuc
in eiu$modi librorum ignoratione ver$amur. Archi-
medes quidem mathematicor&utilde; princeps in libello,
cuius in$criptio e$t, <G>ke/ttraba/rwg ipipe/dwg,</G> de centro pla-
norum copio$i$sime, atque acuti$sime con$crip$it: &amp;
in co explicando fumm&atilde; ingenii, &amp; $cienti&aelig; glori&atilde; e$t
c&otilde;$ecutus. Sed de cognitione c&etilde;tri grauitatis corpor&utilde;
$olidor&utilde; nulla in eius libris litera inuenitur. non mul
tos abhinc annos MARC<*>LLVS <*>I. PONT. MAX<*>
<pb>
cum adhuc Cardinalis e$$et, mihi, qu&aelig; $ua erat hu-
manitas, libros ciu$dem Archimedis de ijs, qu&aelig; ve-
huntur in aqua, latine redditos dono dedit. hos cum
ego, ut aliorum $tudia incitarem, emend&atilde;dos, &amp; c&otilde;-
mentariis illu$trandos $u$cepi$$em, animaduerti dubi
tari non po$$e, quin Archimedes vel de hac materia
$crip$i$$et, vel aliorum mathematicorum $cripta per-
legi$$et. nam in iis tum alia nonnulla, tum maxime
illam propo$itionem, ut cuidentem, &amp; ali&agrave;s proba-
tam a$$umit, Centr&utilde; grauitatis in portionibus conoi
dis rectanguli axem ita diuidere, vt pars, qu&aelig; ad verti
cem terminatur, alterius partis, qu&aelig; ad ba$im dupla
$it. Verum h&aelig;c ad cam partem mathematicarum
di$ciplinarum pr&aelig;cipue refertur, in qua de centro
grauitatis corporum $olidorum tractatur. non e$t au
tem con$entaneum Archimedem illum admirabilem
virum hanc propo$itionem $ibi argumentis con-
firmandam exi$timaturum non fui$$e, ni$i eam vel
aliis in locis probaui$$et, vel ab aliis probatam e$$e
comperi$$et. quamobrem nequid in iis libris intel-
ligendis de$iderari po$$et, $tatui hanc etiam partem
vel &agrave; veteribus pr&aelig;termi$$am, vel tractatam quidem,
fed in tenebris iacentem, non intactam relinquere;
atque ex a$sidua mathematicorum, pr&aelig;$ertim Archi-
medis lectione, qu&aelig; mihi in mentem venerunt, ea in
medium afferre; ut centri grauitatis corporum $oli-
dorum, $i non perfectam, at certe aliquam noti-
<pb>
tiam haberemus. Qucm meum laborem n&otilde; mathe-
maticis $olum, verum iis etiam, qui natur&aelig; ob$curi-
tate delectantur, n&otilde; iniucundam fore $peraui: multa
enim <G>problh/mxta</G> cognitione digni$sima, qu&aelig; ad vtr&atilde;-
que $cientiam attinent, $e$e legentibus obtuli$$ent.
neque id vlli mirandum videri debet. vt enim in cor-
poribus no$tris omnia membra, ex quibus certa qu&aelig;
dam officia na$cuntur, diuino quodam ordine inter
$e implicata, &amp; colligata $unt: in iis&qacute;; admirabilis il-
la con$piratio, quam <G>tn/mpnoixn</G> gr&aelig;ci vocant, eluce$cit,
ita tres ill&aelig; Philo$ophi&aelig; (ut Ari$totelis verbo vtar)
qu&aelig; veritatem $olam propo$itam habent, licet qui-
bu$dam qua$i finibus $uis regantur: tamen ear&utilde; vna-
qu&aelig;que per $e ip$am quodammodo imperfecta e$t:
neque altera $ine alterius auxilio plene comprehen-
di pote$t. complures pr&aelig;terca mathematicorum no-
di ante hac explicatu difficillimi nullo negotio expe
diti e$$ent: atque (ut vno verbo complectar) ni$i
mea vaide amo, tractationem hanc meam $tudio$is
non mediocrem vtilitatem, &amp; magnam volupta-
tem allaturam e$$e mihi per$ua$i. cum autem ad hoc
$cribendum aggre$$us e$sem, allatus e$t ad me liber
Franci$ci Maurolici Me$$anen$is, in quo vir ille do-
cti$simus, &amp; in iis di$ciplinis exercitati$simus af-
firmabat $e de centro grauitatis corporum $olido-
rum co<*>$crip$i$$e. cum hoc intellexi$$em, $u$tinui
me pauli$per: tacitus'que expectaui, dum opus cla-
<pb>
ris$imi uiri, quem $emper honoris cau$$a nomino,
in lucem proferretur: mihi enim exploratis$imum
erat: Franci$cum Maurolicum multo doctius, &amp;
exqui$itius hoc di$ciplinarum genus $criptis $uis tra
diturum. $ed cum id tardius fieret, hoc e$t, ut ego
interpretor, diligentius, mihi diutius hac $criptione
non $uper$edendum e$$e duxi, pr&aelig;$ertim cum iam li-
bri Archimedis de iis, qu&aelig; uehuntur in aqua, opera
mea illu$trati typis excud&etilde;di e$$ent. nec me alia cau$
$a impuli$$et, ut de centro grauitatis corporum $oli-
dorum $criberem, ni$i ut hac etiam ratione lux eis
qu&agrave;m maxime fieri po$let afferretur. atq; id e&ograve; mihi
faciendum exi$timaui, qu&ograve;d in $pem ueniebam fore,
ut cum ego ex omnibus mathematicis primus, hanc
materiam explicandam $u$cepi$$em; $i quid errati for
te &agrave; me commi$$um e$$et, boni uiri potius id me&aelig; de
$tudio$is hominibus bene mer&etilde;di cupiditati, qu&agrave;m
arroganti&aelig; a$criberent. re$tabat ut con$iderarem, cui
potis$imum ex principibus uiris contemplationem
hanc, nunc primum memori&aelig;, ac literis proditam de
dicarem. harum mearum cogitationum $umma fa-
cta, exi$timaui nemini conuenientius de centro graui
tatis corporum opus dicari oportere, qu&agrave;m ALE-
XANDRO FARNESIO grauis$imo, ac prudentis$i-
mo Cardinali, quo in uiro $umma fortuna $emper c&utilde;
$umma uirtute certauit. quid enim maxime in te ad-
mirati debeant homines, ob$curum e$t; u$um'ne re-
<pb>
rum, qui pueriti&aelig; tempus extremum principium ha||
bui$ti, &amp; imperior&utilde;, &amp; ad Reges, &amp; Imperatores ho-
norificenti$simarum legationum; an excellentiam
in omni genere literarum, qui vix adole$c&etilde;tulus, qu&aelig;
homines iam confirmata &aelig;tate $ummo $tudio, diu-
turnis&qacute;; laboribus didicerunt, $cientia, &amp; cognitione
comprehendi$ti: an con$ilium, &amp; $apientiam in re-
gendis, &amp; gubern&atilde;dis Ciuitatibus, cuius graui$sim&aelig;
$ententi&aelig; in $ancti$simo Reip. Chr$tian&aelig; con$ilio di-
ct&aelig;, potius diuina oracula, qu&agrave;m $ententi&aelig; habit&aelig;
$unt, &amp; habentur. pr&aelig;termitto liberalitatem, &amp; mu-
nificentiam tuam, quam in $tudio$i$simo quoque ho
ne$tando quotidie magis o$tendis, ne videar auribus
tuis potius, qu&agrave;m veritati $eruire. quamuis &agrave; te in tot
pr&aelig;claros viros tanta beneficia collata $unt, &amp; confe-
r&utilde;tur, vt omnibus te$tatum $it, nihil tibi e$$e charius,
nihil iucundius, qu&agrave;m eximia tua liberalitate homi-
nes ad amplexandam virtutem, licet currentes incita-
re. nihil dico de ceteris virtutibus tuis, qu&aelig; tant&aelig;
$unt, quant&aelig; ne cogitatione quidem comprehendi
po$$unt. Quamobrem hac pr&aelig;cipue de cau$$a te hu-
ius me&aelig; lucubrationis patronum e$$e volui, quam ea,
qua $oles, humanitate accipies. te enim $emper ob
diuinas virtutes tuas colui, &amp; ob$eruaui: nihil&qacute;; mi-
hi fuit optatius; qu&agrave;m tibi per$pectum e$$e meum
erga te animum; $ingularem&qacute;; ob$eruantiam. c&oelig;-
lum igitur digito attingam, $i po$t graui$simas oc-
<pb>
cupationes tuas legendo Federici tui libro aliquid
impertiri temporis non grauaberis: cum&qacute;; in iis, qui
tibi $emper addicti erunt, numerare. Vale.</P>
<P>Federicus Commandinus.</P>
<p n=>1</p>
<head>FEDERICI COMMANDINI
VRBINATIS LIBER DE CENTRO
GRAVITATIS SOLIDORVM.</head>
<head>DIFFINITIONES.</head>
<marg>1</marg>
<P>Centrvm grauitatis, Pappus
Alexandrinus in octauo ma-
thematicarum collectionum
libro ita diffiniuit.</P>
<P><G>le/gomen de/ ne/ntron ba/rons i/a/<*>ton da/
matos <*>einai <*>mei<*>on ti aei/menon e/nto/s, a/f<*>
on<*> kat'e/po<*>nian a\rtn<*>e/n to/ ba/ros n/mer<*>
fero/menon, nai\ fula/ssei to/n i/x a/r<*>sri-
sin, on\ mn\ peritrep o/menon i/nt<*> fora<*>.</G> hoc e$t,</P>
<P>Dicimus autem centrum grauitatis uniu$cu-
iu$que corporis punctum quoddam intra po$i-
tum, &agrave; quo $i graue appen$um mente concipia-
tur, dum fertur quie$cit; &amp; $eruat eam, quam in
principio habebat po$itionem: neque in ip$a la-
tione circumuertitur.</P>
<P>Po$$umus etiam hoc modo diffinire.</P>
<P>Centrum grauitatis uniu$cuiu$que $olid&aelig; figu
r&aelig; e$t punctum illud intra po$itum, circa quod
undique partes &aelig;qualium momentorum con$i-
$tunt. $i enim per tale centrum ducatur planum
figuram quomodocunque $ecans $emper in par-
<foot>A</foot>
<pb>
tes &aelig;queponderantes ip$am diuidet.</P>
<marg>2</marg>
<P>Pri$matis, cylindri, &amp; portionis cylindri axem
appello rectam lineam, qu&aelig; oppo$itorum plano-
rum centra grauitatis coniungit.</P>
<marg>3</marg>
<P>Pyramidis, coni, &amp; portionis coni axem dico li
neam, qu&aelig; &agrave; uertice ad centrum grauitatis ba$is
perducitur.</P>
<marg>4</marg>
<P>Si pyramis, conus, portio coni, uel conoidis $e-
cetur plano ba$i &aelig;quidi$tante, pars, qu&aelig; e$t ad ba-
$im, fru$tum pyramidis, coni, portionis coni, uel
conoidis dicetur; quorum plana &aelig;quidi$tantia,
qu&aelig; opponuntur $imilia $unt, &amp; in&aelig;qualia: axes
uero $unt axium figurarum partes, qu&aelig; in ip$is
comprehenduntur.</P>
<head>PETITIONES.</head>
<marg>1</marg>
<P>Solidarum figurarum fimilium centra grauita-
tis $imiliter $unt po$ita.</P>
<marg>2</marg>
<P>Solidis figuris $imilibus, &amp; &aelig;qualibus inter $e
aptatis, centra quoque grauitatis ip$arum inter $e
aptata crunt.</P>
<head>THEOREMA I. PROPOSITIO I.</head>
<P>Omnis figur&aelig; rectiline&aelig; in circulo de$cript&aelig;,
qu&aelig; &aelig;qualibus lateribus, &amp; angulis contine-
<*>
<p n=>2</p>
tur, centrum grauitatis e$t idem, quod circuli cen
trum.</P>
<P>Sit primo triangulum &aelig;quilaterum a b c in circulo de-
$criptum: &amp; diui$a a c bi$ariam in d, ducatur b d. erit in li-
nea b d centrum grauitatis tri&atilde;guli a b c, ex tertia decima
primi libri Archimedis de centro grauitatis planorum. Et
<fig>
quoniam linea a b e$t &aelig;qualis
line&aelig; b c; &amp; a d ip$i d c; e$t&qacute;;
b d utrique communis: trian-
<marg><*></marg>
gulum a b d &aelig;quale erit trian
gulo c b d: &amp; anguli angulis &aelig;-
quales, qui &aelig;qualibus lateri-
<marg><*></marg>
bus $ubtenduntur. ergo angu
li ad d utriq; recti $unt. qu&ograve;d
cum linea b d $ecet a e bifa-
<marg><*></marg>
riam, &amp; ad angulos rectos; in
ip$a b d e$t centrum circuli.
quare in eadem b d linea erit
centrum grauitatis trianguli, &amp; circuli centrum. Similiter
diui$a a b bi$ariam in e, &amp; ducta c e, o$tendetur in ip$a utr&utilde;
que centrum contineri. ergo ea erunt in puncto, in quo li-
ne&aelig; b d, c e conueniunt. trianguli igitur a b c centrum gra
uitatis e$t idem, quod circuli centrum.</P>
<fig>
<P>Sit quadratum a b c d in cir-
culo de$criptum: &amp; ducantur
a c, b d, qu&aelig; conueniant in e. er-
go punctum e e$t centrum gra
uitatis quadrati, ex decima eiu$
dem libri Archimedis. Sed cum
omnes anguli ad a b c d recti
<marg>3<*></marg>
$int; erit a b c femicirculus:
item&qacute;; b c d: &amp; propterea li-
ne&aelig; a c, b d diametri circuli:
<pb>
qu&aelig; quidem in centro conucniunt. idem igitur e$t centrum
grauitatis quadrati, &amp; circuli centrum.</P>
<P>Sit pentagonum &aelig;quilaterum, &amp; &aelig;quiangulum in circu-
<fig>
lo de$criptum a b c d e. &amp; iun-
cta b d, bifariam&qacute;; in f diui$a,
ducatur c f, &amp; producatur ad
circuli circumferentiam in g;
qu&aelig; lineam a e in h $ecet: de-
indeiungantur a c, c c. Eodem
modo, quo $upra demon$tra-
bimus angulum b c f &aelig;qualem
e$$e. angulo d c f; &amp; angulos
ad f utro$que rectos: &amp; idcir-
co lineam c f g per circuli cen
trum tran$ire. Quoniam igi-
tur latera c b, b a, &amp; c d, d e &aelig;qualia $unt; &amp; &aelig;quales anguli
<marg>4. Primi.</marg>
c b a, c d e: erit ba$is c a ba$i: c e, &amp; angulus b c a angulo
d c e &aelig;qualis. ergo &amp; reliquus a c h, reliquo e c h. e$t au-
tem c h utrique triangulo a c h, e c h communis. quare
ba$is a h &aelig;qualis e$t ba$i h c: &amp; anguli, qui ad h recti: $unt&qacute;;
<marg>28. primi.</marg>
recti, qui ad f. ergo line&aelig; a e, b d inter $e $e &aelig;quidi$tant.
Itaque cum trapezij a b d e latera b d, a e &aelig;quidi$tantia &agrave; li
nea fh bifariam diuidantur; centrum grauitatis ip$ius erit
<marg>13. Archi-
medis.</marg>
in linea fh, ex ultima eiu$dem libri Archimedis. Sed trian-
guli b c d centrum grauitatis e$t in linea c f. ergo in eadem
linea c h e$t centrum grauitatis trapezij a b d e, &amp; trian-
guli b c d: hoc e$t pentagoni ip$ius centrum: &amp; centrum
circuli. Rur$us $i iuncta a d, bifariam&qacute;; $ecta in k, duca-
tur e k l: demon$trabimus in ip$a utrumque centrum in
e$$e. Sequitur ergo, ut punctum, in quo line&aelig; c g, e l con-
ueniunt, idem $it centrum circuli, &amp; centrum grauitatis
pentagoni.</P>
<P>Sit hexagonum a b c d e f &aelig;quilaterum, &amp; &aelig;quiangulum
in circulo de$ignatum: iungantur&qacute;; b d, a e: &amp; bifariam $e-
<foot><*></foot>
<p n=>3</p>
cta b d in g puncto, ducatur c g; &amp; protrahatur ad circuli
u$que circumferentiam; qu&aelig; $ecet a e in h. Similiter conclu
demus c g per centrum circuli tran$ire: &amp; bifariam $ecate
lineam a e; item&qacute;; lineas b d, a e inter $e &aelig;quidi$tantes e$$e.
Cumigitur c g per centrum circuli tran$eat; &amp; ad punct&utilde;
f perueniat nect$$e e$t: qu&ograve;d c d e f $it dimidium circumfe
<fig>
<marg>13<*>
m<*>
9.</marg>
renti&aelig; circuli. Quare in eadem
diametro c f erunt centra gra
uitatis triangulorum b c d,
a f e, &amp; quadrilateri a b d e, ex
quibus con$tat hexagonum a b
c d e f. per$picuum e$tigitur in
ip$a c f e$$e circuli centrum, &amp;
centrum grauitatis hexagoni.
Rur$us ducta altera diamctro
a d, ei$dem rationibus o$tende-
mus in ip$a utrumque c&etilde;trum
ine$$e. Centrum ergo grauita-
tis hexagoni, &amp; centrum circuli idem erit.</P>
<P>Sit heptagonum a b c d e f g &aelig;quilaterum atque &aelig;quian||
<fig>
gulum in circulo de$criptum:
&amp; iungantur c e, b f, a g: di-
ui$a autem c e bifariam in p&utilde;
cto h: &amp; iuncta d h produca-
tur in k. non aliter demon-
$trabimus in linea d k e$$e cen
trum circuli, &amp; centrum gra-
uitatis trianguli c d e, &amp; tra-
peziorum b c e f, a b f g, hoc
e$t centrum totius heptago-
ni: &amp; rur$us eadem centra in
alia diametro c l $imiliter du-
cta contineri. Quare &amp; centrum grauitatis heptagoni, &amp;
centrum circuli in idem punctum conueniunt. Eodem mo
<pb>
do in reliquis figuris &aelig;quilateris, &amp; &aelig;quiangulis, qu&aelig; in cir-
culo de$cribuntur, probabimus c&etilde;trum grauitatis carun<*>,
&amp; centrum circuli idem e$$e. quod quidem demon$trare
oportebat.</P>
<P>Ex quibus apparet cuiuslibet figur&aelig; rectilinc&aelig;
in circulo plane de$cript&aelig; centrum grauitatis id&etilde;
e$$e, quod &amp; circuli centrum.</P>
<marg><G><*>wr&iacute;mw</G><*></marg>
<P>Figuram in circulo plane de$criptam appella-
mus, cuiu$modi e$t ea, qu&aelig; in duodecimo elemen
torum libro, propo$itione $ecunda de$cribitur.
ex &aelig;qualibus enim lateribus, &amp; angulis con$tare
per$picuum e$t.</P>
<head>THEOREMA II, PROPOSITIO II.</head>
<P>Omnis figur&aelig; rectiline&aelig; in ellip$i plane de$cri-
pt&aelig; centrum grauitatis e$t idem, quod ellip$is
centrum.</P>
<P>Quo modo figura rectilinea in ellip$i plane de$cribatur,
docuimus in commentarijs in quintam propo$itionem li-
bri Archimedis de conoidibus, &amp; $ph&aelig;roidibus.</P>
<P>Sit ellip$is a b c d, cuius maior axis a c, minor b d: iun-
gantur&qacute;; a b, b c, c d, d a: &amp; bifariam diuidantur in pun-
ctis e f g h. &agrave; centro autem, quod $it k duct&aelig; line&aelig; k e, k f,
k g, k h u$que ad $ectionem in puncta l m n o protrahan-
tur: &amp; iungantur l m, m n, n o, o l, ita ut a c $ecet li-
neas l o, m n, in z <G>f</G> punctis; &amp; b d $ecet l m, o n in <G>x y.</G>
erunt l k, k n linea una, item&qacute;ue linea unaip$&aelig; m k, k o:
&amp; line&aelig; b a, c d &aelig;quidi$tabunt line&aelig; m o: &amp; b c, a d ip$i
l n. rur$us l o, m n axi b d &aelig;quidi$tabunt: &amp; l m,
<foot>o n</foot>
<p n=>4</p>
o n ip$i a c. Quoniam enim triangulorum a b k, a d k, latus
b k e$t &aelig;quale lateri k d, &amp; a k utrique commune; anguli&qacute;;
<marg>8.<*></marg>
ad k recti. ba$is a b ba$i a d; &amp; reliqui anguli reliquis an-
gulis &aelig;quales erunt. eadem quoqueratione o$tendetur b c
<fig>
&aelig;qualis c d; &amp; a b ip$i
b c. quare omnes a b,
b c, c d, d a $unt &aelig;qua-
les. &amp; quoniam anguli
ad a &aelig;quales $unt angu
lis ad c; erunt anguli b
a c, a c d coalterni inter
$e &aelig;quales; item&qacute;; d a c,
a c b. ergo c d ip$i b a;
&amp; a d ip$i b c &aelig;quidi-
$tat. Atuero cum line&aelig;
a b, c d inter $e &aelig;quidi-
$tantes bifariam $ecen-
tur in punctis e g; erit li
nea l e k g n diameter $e
ctionis, &amp; linea una, ex
demon$tratis in uige$i-
maoctaua $ecundi coni
corum. Et eadem ratione linea una m f k h o. Sunt aut&etilde; a d,
b c inter $e $e &aelig;quales, &amp; &aelig;quidi$tantes. quare &amp; earum di-
<marg>33<*></marg>
midi&aelig; a h, b f; item&qacute;; h d, f e; &amp; qu&aelig; ip$as coniungunt rect&aelig;
line&aelig; &aelig;quales, &amp; &aelig;quidi$tantes erunt. &aelig;quidi$t&atilde;t igitur b a,
c d diametro m o: &amp; pariter a d, b c ip$i l n &aelig;quidi$tare o-
$tendemus. Si igitur man&etilde;te diametro a c intelligatur a b c
portio ellip$is ad portionem a d c moueri, cum primum b
applicuerit ad d, c&otilde;gruet tota portio toti portioni, linea&qacute;;
b a line&aelig; a d; &amp; b c ip$i c d congruet: punctum uero e ca-
det in h; f in g: &amp; linea k e in lineam k h: &amp; k f in k g. qua
re &amp; e l in h o, et f m in g n. Atip$a l z in z o; et m <G>f</G> in <G>f</G> n
cadet. congruet igitur triangulum l k z triangulo o k z: et
<pb>
triangulum m k <G>f</G> triangulo n k <G>f.</G> ergo anguli l z k, o z k,
m <G>f</G> k, n <G>f</G> k &aelig;quales $unt, ac recti. qu&ograve;d cum etram recti
<marg>28. primi.</marg>
$int, qui ad k; &aelig;quidi$tabunt line&aelig; l o, m n axi b d. &amp; ita
denion$trabuntur l m, o n ip$i a c &aelig;quidi$tare. Rurfus $i
iungantur a l, l b, b m, m c, c n, n d, d o, o a: &amp; bitariam di
uidantur: &agrave; centro autem k ad diui$iones duct&aelig; line&aelig; pro-
trahantur u$que ad $ectionem in puncta p q r s t u x y: &amp; po
ftremo p y, q x, r u, s t, q r, p s, y t, x u coniungantur. Simili-
<fig>
ter o$tendemus lineas
p y, q x, r u, s t axi b d &aelig;-
quidi$tantes e$$e: &amp; q r,
p s, y t, x u &aelig;quidi$tan-
tesip$i a c. Itaque dico
harum figurarum in el-
lip$i de$criptarum cen-
trum grauitatis e$$e p&utilde;-
ctum k, idem quod &amp; el
lip$is centrum. quadri-
lateri enim a b c d cen-
trum e$t k, ex decima e-
iu$dem libri Archime-
dis, quippe c&utilde; in eo om
nes diametri c&otilde;ueni&atilde;t.
Sedin figura a l b m c n
<marg>13. Archi
medis.</marg>
do, quoniam trianguli
a l b centrum grauitatis
<marg>Vltima.</marg>
e$t in linea l e: trapezij&qacute;; a b m o centrum in linea e k: trape
zij o m c d in k g: &amp; trianguli c n d in ip$a g n: erit magnitu
dinis ex his omnibus con$tantis, uidelicet totius figur&aelig; cen
trum grauitatis in linea l n: &amp; o b candem cau$$am in linea
o m. e$t enim trianguli a o d centrum in linea o h: trapezij
a l n d in h k: trapezij l b c n in k f: &amp; trianguli b m c in fm.
cum ergo figur&aelig; a l b m c n d o centrum grauitatis $it in li-
nea l n, &amp; in linea o m; erit centrum ip$ius punctum k, in
<p n=>5</p>
quo $cilicet l n, o m conueniunt. Po$tremo in figura
a p l q b r m s c t n u d x o y centrum grauitatis trian
guli p a y, &amp; trapezii p l o y e$t in linea a z: trapeziorum
uero l q x o, q b d x centrum e$t in linea z k: &amp; trapezior&utilde;
b r u d, r m n u in k <G>f:</G> &amp; denique trapezii m s t n; &amp; triangu
li s c t in <G>f</G> c. quare magnitudinis ex his compo$it&aelig; centr&utilde;
in linea a c con$i$tit. Rur$us trianguli q b r, &amp; trapezii q l
m r centrum e$t in linea b <G>x.</G> trapeziorum l p s m, p a c s,
a y t c, y o n t in linea <G>x f:</G> trapeziiq; o x u n, &amp; trianguli
x d u centrum in <G>y</G> d. totius ergo magnitudinis centrum
e$t in linea b d. ex quo $equitur, centrum grauitatis figur&aelig;
a p l q b r m s c t n u d x o y e$$e punct&utilde; K, lineis $cilicet a c,
b d commune, qu&aelig; omnia demon$trare oportebat.</P>
<head>THEOREMA III. PROPOSITIO III.</head>
<P>Cuiuslibet portio-
nis circuli, &amp; ellip$is,
qu&aelig; dimidia non $it
maior, centrum graui
tatis in portionis dia-
metro con$i$tit.</P>
<fig>
<P>H O C eodem pror$us
modo demon$trabitur,
quo in libro de centro gra
uitatis planorum ab Ar-
chimede demon$trat&utilde; e$t,
in portione c&otilde;tenta recta
linea, &amp; rectanguli coni $e
ctione grauitatis c&etilde;trum
e$$e in diametro portio-
nis. Etita demon$trari po
<fig>
<foot>B</foot>
<pb>
te$t in portione, qu&aelig; recta linea &amp; obtu$ianguli coni $e-
ctione, $eu hyperbola continetur.</P>
<head>THEOREMA IIII. PROPOSITIO IIII.</head>
<P>IN circulo &amp; ellip$i idem e$t figur&aelig; &amp; graui-
tatis centrum.</P>
<P>SIT circulus, uel ellip$is, cuius centrum a. Dico a gra-
uitatis quoque centrum e$$e. Si enim fieri pote$t, $it b cen-
trum grauitatis: &amp; iuncta a b extra figuram in c produca
tur: quam uero proportionem habet linea c a ad a b, ha-
beat circulus a ad alium circulum, in quo d; uel ellip$is ad
aliam ellip$im: &amp; in circulo, uel ellip$i $igura rectilinea pla-
ne de$cribatur adco, ut tandem relinquantur portiones
qu&aelig;dam minores circulo, uel ellip$i d; qu&aelig; figura $it e f g
h k l m n. Illud uero in circulo fieri po$$e ex duodecimo
elementorum libro, propo$itione $ecunda manife$te con-
<fig>
ftat; at in ellip$i nos demon$tra-
uinms in commentariis in quin-
tam propo$itionem Archimedis
de conoidibus, &amp; $ph&aelig;roidibus.
erit igitur a centrum grauitatis
ip$ius figur&aelig;, quod proxime o$t&etilde;
dimus. Itaque quoniam circulus
a ad circulum d, uel ellip$is a ad
ellip$im d candem proportion&etilde;
habet, quam linea c a ad a b:
portiones uero $unt minores cir
<marg>8. quinti</marg>
culo uel ellip$i d: habebit circu-
lus, uel ellip$is ad portiones ma-
iorem proportionem, qu&agrave;m c a
<marg>19. quinti
apud C&atilde;
panum.</marg>
ad a b: &amp; diuidendo figura recti-
linea e f g h k l m n ad portiones
<foot>habebit</foot>
<p n=>6</p>
<fig>
habebit maiorem proportion&etilde;,
quam c b ad b a. fiat o b ad b a,
ut figura rectilinea ad portio-
nes. cum igitur &agrave; circulo, uel el-
lip$i, cuius grauitatis centrum
e$t b, auferatur figura rectilinea
e f g h k l m n, cuius centrum a;
reliqu&aelig; magnitudinis ex portio
<marg>8.<*>
m<*></marg>
nibus compo$it&aelig; centrum graui
tatis erit in linea a b producta,
&amp; in puncto o, extra figuram po
$ito. quod quidem fieri nullo mo
do po$$e per$picuum e$t. $equi-
tur ergo, ut circuli &amp; ellip$is cen
trum grauitatis $it punctum a,
idem quod figur&aelig; centrum.</P>
<head>ALITER.</head>
<P>Sit circulus, uel ellip$is a b c d,
cuius diameter d b, &amp; centrum e: ducaturq; per e rectall
nea a c, $ecans ip$am d b ad rectos angulos. erunt a d c,
a b c circuli, uel ellip$is dimidi&aelig; portiones. Itaque quo-
<fig>
niam por
ti&otilde;is a d c
c&etilde;tr&utilde; gra-
uitatis e$t
in diame-
tro d e: &amp;
portionis
a b c cen-
trum e$t &itilde;
ip$a e b: to
tius circu
li, uel ellip$is grauitatis centrum erit in diametro d b.
Sit autem portionis a d c c&etilde;trum grauitatis f: &amp; $umatur
<foot>B <*></foot>
<pb>
in linea e b punct&utilde; g, itaut fit g e &aelig;qualis e f. erit g por-
tionis a b c centrum. nam $i h&aelig; portiones, qu&aelig; &aelig;quales
&amp; $imiles $unt, inter $e $e aptentur, ita ut b e cadat in d e,
&amp; punctum b in d cadet, &amp; g in f: figuris autem &aelig;quali-
bus, &amp; $imilibus inter $e aptatis, centra quoque grauitatis
ip$arum inter $e aptata crunt, ex quinta petitione Archi-
medis in libro de centro grauitatis planorum. Quare cum
portionis a d c centrum grauitatis $it f: &amp; portionis
a b c centrum g: magnitudinis; qu&aelig; ex utri$que efficitur:
hoc e$t circuli uel ellip$is grauitatis centrum in medio li-
ne&aelig; f g, quod e$t e, con$iftet, ex quarta propo$itione eiu$-
dem libri Archimedis. ergo circuli, uel ellip$is centrum
grauitatis e$t idem, quod figur&aelig; centrum. atque illud e$t,
quod demon$trare oportebat.</P>
<P>Ex quibus $equitur portionis circuli, uel ellip-
$is, qu&aelig; dimidia maior $it, centrum grauitatis in
diametro quoque ip$ius con$i$tere.</P>
<fig>
<P>Sit enim maior portio a b c, cu<I>i</I>us diameter b d, &amp; com-
<*>
<p n=>7</p>
metrum habens c d. Quoniam igitur circuli uel ellip$is
a e c b grauitatis centrum e$t in diametro b e, &amp; portio-
nis a e c centrum in linea e d: reliqu&aelig; portionis, uidelicet
a b c centrum grauitatis in ip$a b d con$i$tat nece$$e e$t, ex
octaua propo$itione eiu$dem.</P>
<head>THEOREMA V. PROPOSITIO V.</head>
<P>SI pri$ma $ecetur plano oppo$itis planis &aelig;qui
di$tante, $ectio erit figura &aelig;qualis &amp; $imilis ei,
qu&aelig; e$t oppo$itorum planorum, centrum graui
tatis in axe habens.</P>
<P>Sit pri$ina, in quo plana oppo$ita $int triangula a b c,
d e f; axis g h: &amp; $ecetur plano iam dictis planis &aelig;quidi$t&atilde;
te; quod faciat $ectionem k l m; &amp; axi in p&utilde;cto n occurrat.
Dico k l m trian gulum &aelig;quale e$$e, &amp; fimile triangulis a b c
d e f; atque eius grauitatis centrum e$$e punctum n. Quo-
<fig>
niam enim plana a b c
K l m &aelig;quidi$tantia $ec&atilde;
<marg><*>
ci<*></marg>
tur a plano a e; rect&aelig; li-
ne&aelig; a b, K l, qu&aelig; $unt ip
$orum c&otilde;munes $ectio-
nes inter $e $e &aelig;quidi-
$tant. Sed &aelig;quidi$tant
a d, b e; cum a e $it para
lelogrammum, ex pri$-
matis diffinitione. ergo
&amp; al parallelogramm&utilde;
erit; &amp; propterea linea
<marg><*></marg>
k l, ip$i a b &aelig;qualis. Si-
militer demon$trabitur
l m &aelig;quidi$tans, &amp; &aelig;qua
<*>
<pb>
Itaque quoniam du&aelig; line&aelig; K l, l m $e $e tangentes, duab us
lineis $e $e tangentibus a b, b c &aelig;quidi$tant; nec $unt in e o-
dem plano: angulus k l m &aelig;qualis e$t angulo a b c: &amp; ita an
<marg>10. unde
cimi</marg>
gulus l m k, angulo b c a, &amp; m k lip$i c a b &aelig;qualis prob abi
tur. triangulum ergo k l m e$t &aelig;quale, &amp; $imile triang ulo
a b c. quare &amp; triangulo d e f. Ducatur linea c g o, &amp; per ip
$am, &amp; per c f ducatur planum $ecans pri$ma; cuius &amp; paral
lelogram<*> a e communis $ectio $it o p q. tran$ibit linea
fq per h, &amp; m p per n. nam cum plana &aelig;quidi$tantia $ecen
tur &agrave; plano c q, communes eorum $ectiones c g o, m p, f q
$ibi ip$is &aelig;quidi$tabunt. Sed &amp; &aelig;quidi$tant a b, k l, d e. an-
<marg>10. unde-
cimi</marg>
guli ergo a o c, k p m, d q f inter $e &aelig;quales $unt: &amp; $unt
&aelig;quales qui ad puncta a k d con$tituuntur. quare &amp; reliqui
reliquis &aelig;quales; &amp; triangula a c o, K m p, d f q inter $e $imi
<marg>4. $exti</marg>
lia erunt. Vtigitur c a ad a o, ita fd ad d q: &amp; permutando
ut c a ad f d, ita a o ad d q. e$t autem c a &aelig;qualis f d. ergo &amp;
a o ip$i d q. eadem quoque ratione &amp; a o ip$i K p &aelig;qualis
demon$trabitur. Itaque $i triangula, a b c, d e f &aelig;qualia &amp;
<fig>
$imilia inter $e apt&etilde;tur,
cadet linea f q in lineam
<marg>pe<*> 5. pe-
titionem
Archime
dis.</marg>
c g o. Sed &amp; centr&utilde; gra
uitatis h in g centr&utilde; ca-
det. tr&atilde;$ibit igitur linea
f q per h: &amp; planum per
c o &amp; c f duct&utilde; per ax&etilde;
g h ducetur: idcircoq; li
neam m p eti&atilde; per n tr&atilde;
$ire nece$$e erit. Quo-
niam ergo fh, c g &aelig;qua-
les $unt, &amp; &aelig;quidi$t&atilde;tes:
itemq; h q, g o; rect&aelig; li-
ne&aelig;, qu&aelig; ip$as c&otilde;nect&utilde;t
c m f, g n h, o p q &aelig;qua-
<*>
<p n=>8</p>
&aelig;quidi$tant autem c g o, m n p. ergo parallelogr&atilde;ma $unt
o n, g m, &amp; linea m n &aelig;qualis c g; &amp; n p ip$i g o. aptatis igi-
tur k l m, a b c tri&atilde;gulis, qu&aelig; &aelig;qualia &amp; $imilia s&utilde;t; linea m p
in c o, &amp; punctum n in g cadet. Qu&ograve;d c&utilde; g $it centrum gra-
uitatis trianguli a b c, &amp; n trianguli k l m grauitatis cen-
trum erit id, quod demon$trandum relinquebatur. Simili
ratione idem contingere demon$trabimus in aliis pri$ma-
tibus, $iue quadrilatera, $iue plurilatera habeant plana,
qu&aelig; opponuntur.</P>
<head>COROLLARIVM.</head>
<P>Exiam demon$tratis per$picue apparet, cuius
Iibet pri$matis axem, parallelogrammorum lat eri
bus, qu&aelig; ab oppo$itis planis duc&utilde;tur &aelig;quidi$tare.</P>
<head>THE OREMA VI. PROPOSITIO VI.</head>
<P>Cuiuslibet pri$matis centrum grauitatis e$t in
plano, quod oppo$itis planis &aelig;quidi$tans, reli-
quorum planorum latera bifariam diuidit.</P>
<P>Sit pri$ma, in quo plana, qu&aelig; opponuntur $int trian-
gula a c e, b d f: &amp; parallelogrammorum latera a b, c d,
e f bifariam diuid&atilde;tur in punctis g h k: per diui$iones au-
<marg>33.<*></marg>
tem planum ducatur; cuius $ectio figura g h K. erit linea
g h &aelig;quidi$tans lineis a c, b d &amp; h k ip$is c e, d f. quare ex
decimaquinta undecimi elementorum, planum illud pla
nis a c e, b d f &aelig;quidi$tabit, &amp; faciet $ectionem figu-
<marg>5. b<*></marg>
ram ip$is &aelig;qualem, &amp; $imilem, ut proxime demon$tra-
uimus. Dico centrum grauitatis pri$matis e$$e in plano
g h k. Si enim fieri pote$t, $it eius centrum l: &amp; ducatur
l m u$que ad planum g h k, qu&aelig; ip$i a b &aelig;quidi$tet.
<pb>
<marg>1. decimi</marg>
ergo linea a g continenter in duas partes &aelig;quales diui-
$a, relinquetur t&atilde;dem pars aliqua n g, qu&aelig; minor erit l m.
Vtraque uero linearum a g, g b diuidatur in partes &aelig;qua-
les ip$i n g: &amp; per puncta diui$ionum plana oppo$itis pla-
<marg>5 huius</marg>
nis &aelig;quidi$tantia ducantur. erunt $ectiones figur&aelig; &aelig;qua-
les, ac $imiles ip$is a c e, b d f: &amp; totum pri$ma diui$um erit
in pri$mata &aelig;qualia, &amp; $imilia: qu&aelig; cum inter $e congru&atilde;t;
&amp; grauitatis centra $ibi ip$is congruentia, re$pondentiaq;
<fig>
habebunt. Itaq:
$unt magnitudi-
nes qu&aelig;d&atilde; &aelig;qua-
les ip$i n h, &amp; nu-
mero pares, qua-
rum centra gra-
uitatis in ead&etilde;re
cta linea con$ti-
tuuntur: du&aelig; ue-
ro medi&aelig; &aelig;qua-
les $unt: &amp; qu&aelig; ex
utraque parte i-
p$arum $imili- -
ter &aelig;quales: &amp; &aelig;-
quales rect&aelig; li-
ne&aelig;, qu&aelig; inter
grauitatis centra
interiiciuntur.
quare ex corolla-
rio quint&aelig; pro-
po$itionis primi
libri Archimedis
d e centro graui-
tatis planorum; magnitudinis ex his omnibus compo$it&aelig;
centrum grauitatis e$t in medio line&aelig;, qu&aelig; magnitudi-
num mediarum centra coniungit. at qui non ita res ha-
<foot>bet,</foot>
<p n=>9</p>
bet, $i quidem l extra medias magnitudines po$itum e$t.
Con$tat igitur centrum granitatis pri$matis e$$e in plano
<fig>
g h k, quod nos demon$trandum propo$uimus. At$i op-
po$ita plana in pri$mate $int quadrilatera, uel plurilatera,
eadem erit in omnibus demon$tratio.</P>
<head>THEOREMA VII. PROPOSITIO VII.</head>
<P>Cuiuslibet cylindri, &amp; cuiuslibet cylindri por
tionis centrum grauitatis e$t in plano, quod ba$i-
bus &aelig;quidi$tans, parallelogrammi per axem late-
ra bifariam $ecat.</P>
<pb>
<P>SIT cylindrus, uel cylindri portio a c: &amp; plano per a<*>
xem ducto $ecetur; cuius fectio $it parallelogrammum ab
c d: &amp; bifariam diui$is a d, b c parallelogrammi lateribus,
per diui$ionum puncta e f planum ba$i &aelig;quidi$tans duca-
tur; quod faciet $ectionem, in cylindro quidem circulum
&aelig;qualem iis, qui $unt in ba$ibus, ut demon$trauit Serenus
in libro cylindricorum, propo $itione quin ta: in cylindr
uero portione ellip$im &aelig;qualem, &amp; $imilem eis, qu&aelig; $unt
<fig>
in oppo$itis planis, quod nos
demon$trauimus in commen
tariis in librum Archimedis
de conoidibus, &amp; $ph&aelig;roidi-
bus. Dico centrum grauita-
tis cylindri, uel cylindri por-
tionis e$$e in plano e f. Si en&itilde;
fieri pote$t, fit centrum g: &amp;
ducatur g h ip$i a d &aelig;quidi-
$tans, u$que ad e f planum.
Itaque linea a e continenter
diui$a bifariam, erit tandem
pars aliqua ip$ius k e, minor
g h. Diuidantur ergo line&aelig;
a e, e d in partes &aelig;quales ip$i
k e: &amp; per diui$iones plana ba
$ibus &aelig;quidi$tantia duc&atilde;tur.
eruntiam $ectiones, figur&aelig; &aelig;-
quales, &amp; $imiles eis, qu&aelig; $unt
in ba$ibus: atque erit cylindrus in cylindros diui$us: &amp; cy
lindri portio in portiones &aelig;quales, &amp; $imiles ip$i k f. reli-
qua $imiliter, ut $uperius in pri$mate concludentur.</P>
<P><*></P>
<p n=>10</p>
<fig>
<head>THEOREMA VIII. PROPOSITIO VIII.</head>
<P>Cuiuslibet pri$matis, &amp; cuiuslibet cylindri, uel
cylindri portionis grauitatis centrum in medio
ip$ius axis con$i$tit.</P>
<P>Sit primum a f pri$ma &aelig;quidi$tantibus planis contcnt&utilde;,
quod $olidum parallelepipedum appellatur: &amp; oppo$ito-
rum planorum c f, a h, d a, f g latera bifariam diuidantur in
punctis k l m n o p q r s t u x: &amp; per diui$iones ducantur
plana k n, o r, s x. communes autem eorum planorum $e-
ctiones $int line&aelig; y z, <G>q f, x y:</G> qu&aelig; in puncto <G>w</G> conueni&atilde;t.
erit ex decima eiu$dem libri Archimedis parallelogrammi
c f centrum grauitatis punctum y; parallelogrammi a h
<foot>C 2</foot>
<pb>
centrum z: paraliclogram mi <*> d, <G>q:</G> parallclogrammi f g, <G><*>:</G>
<fig>
parallclogrammi d h, <G>x:</G> &amp;
parallclogrammi c g centr&utilde;
<G>y:</G> atque erit <G>w</G> punctum me
dium uniu$cuiu$que axis, ui
delicet eius line&aelig; qu&aelig; oppo
$itorum planor&utilde; centra con
iungit. Dico <G>w</G> centrum e$$e
grauitatis ip$ius $olidi. e$t
<marg>6 huius</marg>
enim, ut demon$trauimus,
$olidi a f centrum grauitatis
in plano K n; quod oppo$i-
tis planis a d, g f &aelig;quidi$tans
reliquorum planorum late-
ra bifariam diuidit: &amp; $imili
ratione idem centrum e$t in plano o r, &aelig;quidi$tante planis
a e, b f oppo$itis. ergo in communi ip$orum $ectione: ui-
delicet in linea y z. Sed e$t etiam in plano t u, quod quid&etilde;
y z $ecatin <G>w.</G> Con$tatigitur centrum grauitatis $olidi e$$e
punctum <G>w,</G> medium $cilicet axium, hoc e$t linearum, qu&aelig;
planorum oppo$itorum centra coniungunt.</P>
<P>Sit aliud prima a f; &amp; in eo plana, qu&aelig; opponuntur, tri-
angula a b c, d e f: diui$isq; bifariam parallelogrammorum
lateribus a d, b e, c f in punctis g h k, per diui$iones plan&utilde;
ducatur, quod oppo$itis planis &aelig;quidi$tans faciet $ection&etilde;
triangulum g h x &aelig;quale, &amp; $imile ip$is a b c, d e f. Rur$us
diuidatur a b bi$ariam in l: &amp; iuncta c l per ip$am, &amp; per
c K f planum ducatur pri$ma $ecans, cuius, &amp; parallelogr&atilde;
mi a e communis $ectio $it l m n. diuidet punctum m li-
neam g h bifariam; &amp; ita n diuidet lineam d e: quoniam
<marg>5.huius</marg>
triangula a c l, g <G>k</G> m, d f n &aelig;qualia $unt, &amp; $imilia, ut $upra
demon$trauimus. Iam ex iis, qu&aelig; tradita $unt, con$tat cen
trum greuitatis pri$matis in plano g h <G>k</G> contineri. Dico
ip$um e$$e in linea k m. Si enim fieri potc$t, $it o centrum;
<foot>&amp; per</foot>
<p n=>11</p>
&amp; per o ducatur o p ad k m ip$i h g &aelig;quidi$tans. Itaquc li
nea h m bifari&atilde; u$que c&ograve; diuidatur, quoad reliqua $it pars
qu&aelig;dam q m, minor o p. deinde h m, m g diuidantur in
partes &aelig;quales ip$i m q: &amp; per diui$iones line&aelig; ip$i m K
&aelig;quidi$tantes ducantur. puncta uero, in quibus h&aelig; trian-
gulorum latera $ecant, coniungantur ductis lineis r s, t u,
<fig>
x y; qu&aelig; ba$i g h &aelig;quidi$tabunt. Quoniam enim line&aelig; g z,
h <G>a</G> $unt &aelig;quales: itemq; &aelig;quales g m, m h: ut m g ad g z,
ita erit m h, ad h <G>a:</G> &amp; diuidendo, ut m z ad z g, ita m <G>a</G> ad
<marg>2. $e<*>
. q<*></marg>
<G>a</G> h. Sed ut m z ad z g, ita k r ad r g: &amp; ut m <G>a</G> ad <G>a</G> h, ita k s
ad s h. quare ut k r ad r g, ita <G>k</G> s ad s h. &aelig;quidi$tant igitur
<marg>2. $e<*></marg>
inter $e $e r s, g h. eadem quoque ratione demon$trabimus
<pb>
t u, x y ip$i g h &aelig;quidi$tare. Et quoniam triangula, qu&aelig;
fiunt &agrave; lineis K y, y u, u s, s h &aelig;qualiz funt inter $e, &amp; $imilia
<marg><*>. $exti</marg>
triangulo K m h: habebit triangulum K m h ad triangul&utilde;
K <G>d</G> y duplam proportioncm eius, qu&aelig; e$t line&aelig; <G>k</G> h ad K y.
$ed K h po$ita e$t quadrupla ip$ius k y. ergo triangulum
k m h ad triangulum K <G>d</G> y e&atilde;dem proportionem habcbit,
quam $exdecim ad un&utilde;: &amp; ad quatuor triangula k <G>d</G> y, y u,
u s, s <G>a</G> h habebit eandem, quam $exdecim ad quatuor, hoc
e$t quam h K ad k y: &amp; $imiliter eandem habere demon$tra
<fig>
bitur trian-
gulum k m g
ad quatuor
tri&atilde;gula K <G>d</G>
x, x <G>g</G> t, t <G>b</G> r,
<marg>uel 127
utnti.</marg>
r z g. quare
totum trian
gulum K g h
ad omnia tri
angula g z r,
r <G>b</G> t, t <G>g</G> x, x <G>d</G>
K, K <G>d</G> y, y u,
u s, s <G>a</G> h ita
erit, ut h k ad
k y, hoc e$t
ut h m ad m
q. Siigitur in
triangulis a b c, d e f de$cribantur figur&aelig; $imiles ei, qu&aelig; de-
$cripta e$t in g h K triangulo: &amp; per lineas $ibi re$ponden-
tes plana ducantur: totum pri$ma a f diui$um erit in tria
$olida parallelepipeda y <G>g,</G> u <G>b,</G> s z, quorum ba$es $unt &aelig;qua
les &amp; $imiles ip$is parallelogrammis y <G>g,</G> u <G>b,</G> s z: &amp; in octo
pri$mata g z r, r <G>b</G> t, t <G>g</G> x, x <G>d</G> K, k <G>d</G> y, y u, u s, s <G>a</G> h: quorum
item ba$es &aelig;quales, &amp; $imiles $unt dictis triangulis; altitu-
<*>
<p n=>12</p>
Itaque $olidi parallelepipedi y <G>g</G> centrum grauitatis e$t in
linea <G>d <*>:</G> $olidi <G><*> b</G> centrum e$t in linea <G><*>:</G> &amp; $olidi s z in li
nea <*> m, qu&aelig; quidem line&aelig; axes $unt, cum planorum oppo
$itorum centra coniungant. ergo magnitudinis ex his $oli
dis compo$it&aelig; centrum grauitatis e$t in linea <G>d</G> m, quod $it
<G>q;</G> &amp; iuncta <G>q</G> o producatur: &agrave; puncto autem h ducatur h <G>a</G>
ip$i m k &aelig;quidi$tans, qu&aelig; cum <G>q</G> o in <G>m</G> conueniat. triangu
lum igitur g h k ad omnia triangula g z r, r <G>b</G> t, t <G>g</G> x, x <G>d</G> k,
k <G>d</G> y, y u, u s, s <G>a</G> h eandem habet proportionem, quam h m
ad m q; hoc e$t, quam <G>m q</G> <*> <G>q l:</G> nam $i h m, <G>y q</G> produci in
telligantur, quou$que coeant; erit ob linearum q y, m k &aelig;<*>
quidi$tantiam, ut h q ad q m, ita <G>m l</G> ad ad <G>l q:</G> &amp; componen
do, ut h m ad m q, ita <G>m q</G> ad <G>q l.</G> linea uero <G>q</G> o maior e$t,
<marg>3.<*></marg>
qu&agrave;m <G>q l:</G> habebit igitur <G>m q</G> ad <G>q l</G> maiorem proportio-
nem, qu&agrave;m ad <G>q</G> o. quare triangulum ctiam g h <G>k</G> ad omnia
iam dicta triangula maiorem proportion&etilde; habebit, qu&agrave;m
<G>m q</G> ad <G>q</G> o. $ed ut triangul&utilde; g h <G>k</G> ad omnia triangula, ita to-
t&utilde; pri$ma a fad omnia pri$mata g z r, r <G>b</G> t, t <G>g</G> x, x <G>d k, k d</G> y,
y u, u s, s <G>a</G> h: quoniam enim $olida parallelepipeda &aelig;que al
ta, eandem inter $e proportionem habent, quam ba$es; ut
ex trige$ima$ecunda undecimi elementorum con$tat. $unt
<marg>28.<*>
cin<*></marg>
autem $olida parallelepipeda pri$matum triangulares ba-
<marg>15.<*></marg>
$es habentium dupla: $equitur, ut etiam huiu$modi pri$-
mata inter $e $int, $icut eorum ba$es. ergo totum pri$ma ad
omnia pri$mata maiorem proportionem habet, quam <G>m q</G>
<marg>19.<*>
apu<*>
pan<*></marg>
ad <G>q</G> o: &amp; diuidendo $olida parallelepipeda y <G>g,</G> u <G>b,</G> s z ad o-
mnia pri$mata proportionem habent maiorem, qu&agrave;m <G>m</G> o
ad o <*>. fiat <G>n</G> o ad o <G>q,</G> ut $olida parallelepipeda y <G>g,</G> u <G>b,</G> s z ad
omnia pri$mata. Itaque cum &agrave; pri$mate a f, cuius c&etilde;trum
grauitatis e$t o, auferatur magnitudo ex $olidis parallelepi
pedis y <G>g,</G> u <G>b,</G> s z con$tans: atque ipfius grauitatis centrum
$it <G>q:</G> reliqu&aelig; magnitudinis, qu&aelig; ex omnibus pri$matibus
con$tat, grauitatis centrum erit in linea <G>q</G> o producta: &amp;
<*>
<pb>
medis. ergo punctum <G>n</G> extra p ri$ma a f po$itum, centr&utilde;
erit magnitudinis c&otilde;po$it&aelig; e x omnibus pri$matibus g z r,
r <G>b</G> t, t <G>g</G> x, x <G>d</G> k, k <G>d</G> y, y u, u s, s <G>a</G> h, quod fieri nullo modo po
te$t. e$t enim ex diffinitione centr um grauitatis $olid&aelig; figu
r&aelig; intra ip$am po$itum, non extra. quare relinquitur, ut c&etilde;
trum grauitatis pri$matis $it in linea K m. Rur$us b c bifa-
riam in diuidatur: &amp; ducta a <G>x,</G> per ip$am, &amp; per lineam
a g d plan um ducatur; quod pri$ma $ecet: faciatq; in paral
lelogrammo b f $ectionem <G>x p</G> diuidet punctum <G>p</G> lineam
quoque c f bifariam: &amp; erit p lani eius, &amp; trianguli g h K
communis $ectio g u; qu&ograve;d p&utilde;ctum u in medio line&aelig; h K
<fig>
po$itum $i t. Similiter demon$trabimus centrum grauita-
tis pri$m atis in ip$a g u ine$$e. $it autem planorum c f n l,
a d <G>p x</G> communis $ectio linea <G>r s t;</G> qu&aelig; quidem pri$matis
axis erit, cum tran$eat per centra grauitatis triangulorum
a b c, g h <G>k,</G> d e f, ex quartadecima eiu$dem. ergo centrum
grauitatis pri$matis a f e$t punctum <G>s,</G> centrum $cilicet
<p n=>13</p>
trianguli g h K, &amp; ip$ius <G>r t</G> axis medium.</P>
<P>Sit pri$ma a g, cuius oppo$ita plana $int quadrilatera
a b c d, e f g h: $ecenturq; a c, b f, c g, d h bifariam: &amp; per di-
ui$iones planum ducatur; quod $ectionem faciat quadrila-
terum K l m n. Deinde iuncta a c per lineas a c, a e ducatur
planum $ec&atilde;s pri$ma, quod ip$um diuidet in duo pri$mata
triangulares ba$es habentia a b c e f g, a d c e h g. Sint aut&etilde;
<fig>
triangulorum a b c, e f g gra-
uitatis centra o p: &amp; triangu-
lorum a d c, e h g centra q r:
iunganturq; o p, q r; qu&aelig; pla-
no k l m n occurrant in pun-
ctis s t. erit ex iis, qu&aelig; demon
$trauimus, punctum s grauita
tis centrum trianguli <G>k</G> l m; &amp;
ip$ius pri$matis a b c e f g: pun
ctum uero t centrum grauita
tis trianguli K n m, &amp; pri$ma-
tis a d c, e h g. iunctis igitur
o q, p r, s t, erit in linea o q c&etilde;
trum grauitatis quadrilateri
a b c d, quod $it u: &amp; in linea
p r c&etilde;trum quadrilateri e f g h
$it autem x. denique iungatur
u x, qu&aelig; $ecet lineam $ t in y. $e||
cabit enim cum $int in eodem
<marg>5.h<*></marg>
plano: atq; erit y grauitatis centrum quadrilateri K l m n.
Dico idem punctum y centrum quoque gra uitatis e$$e to-
tius pri$matis. Quoniam enim quadrilateri k l m n graui-
tatis centrum e$t y: linea s y ad y t ean dem proportionem
habebit, quam triangulum <G>k</G> n m ad triangulum k l m, cx 8
Archimedis de centro grauitatis planorum. Vt autem tri&atilde;
gulum <G>k</G> n m ad ip$um <G>k</G> l m, hoc e$t ut triangulum a d c ad
triangulum a b c, &aelig;qualia enim $unt, ita pri$ma a d c e h g
<foot>D</foot>
<pb>
ad pri$ma a b c e f g. quare linea s y ad y t eandem propor-
tionem habet, quam pri$ma a d c e h g ad pri$ma a b c e f g.
Sed pri$matis a b c e f g centrum grauitatis e$t s: &amp; pri$ma-
tis a d c e h g centrum t. magnitudinis igitur ex his compo
$it&aelig; hoc e$t totius pri$matis a g centrum grauitatis e$t pun
ctum y; medium $cilicet axis u x, qui oppo$itorum plano-
rum centra coniungit.</P>
<P>Rur$us $it pri$ma ba$im habens pentagonum a b c d e:
&amp; quod ei opponitur $it f g h K l: $ec enturq; a f, b g, c h,
d k, e l bi$ariam: &amp; per diui$iones ducto plano, $ectio $it p&etilde;
tagon&utilde; m n o p q. deinde iuncta e b per lineas l e, e b aliud
<fig>
planum ducatur, diuid&etilde;s pri$
ma a k in duo pri$mata; in pri$
ma $cilicet al, cuius plana op-
po$ita $int triangula a b e f g l:
&amp; in prima b k cuius plana op
po$ita $int quadrilatera b c d e
g h k l. Sint autem triangulo-
rum a b e, f g l centra grauita
tis puncta r $: &amp; b c d e, g h k l
quadrilaterorum centra t u:
iunganturq; r s, t u occurren-
tes plano m n o p q in punctis
x y. &amp; itidem iung&atilde;tur r t, $u,
x y. erit in lincar t c&etilde;trum gra
uitatis pentagoni a b c d e;
quod $it z: &amp; in linea $u cen-
trum pentagoni f g h <G>k</G> l:$it au
tem <G>x:</G> &amp; ducatur z <G>x,</G> qu&aelig; di-
cto plano in <G>y</G> occurrat. Itaq;
punctum x e$t centrum graui
tatis trianguli m n q, ac pri$-
matis a l: &amp; y grauitatis centrum quadrilateri n o p q, ac
pri$matis b k. quare y centrum erit pentagoni m n o p q. &amp;
<foot>fimiliter</foot>
<p n=>14</p>
$imiliter demon$irabitur totius pri$matis a K grauitatis ef
$e centrum. Simili ratione &amp; in aliis pri$matibus illud
idem facile demon$trabitur. Quo autem pacto in omni
figura rectilinea centrum grauitatis inueniatur, docuimus
in commentariis in $extam propo$itionem Archimedis de
quadratura parabol&aelig;.</P>
<P>Sit cylindrus, uel cylindri portio c e cuius axis a b: $ece-
turq, plano per axem ducto; quod $ectionem faciat paral-
lelogrammum c d e f: &amp; diui$is c f, d e bifariam in punctis
<fig>
g h, per ea ducatur planum ba$i &aelig;quidi$tans. erit $ectio g h
circulus, uel ellip$is, centrum habens in axe; quod $it K at-
<marg>4. hu<*></marg>
que erunt ex iis, qu&aelig; demon$trauimus, centra grauitatis
planorum oppo$itorum puncta a b: &amp; plani g h ip$um k in
quo quidem plano e$t centrum grauitatis cylindri, uel cy-
lindri portionis. Dico punctum K cylindri quoque, uel cy
lindri portionis grauitatis centrum e$$e. Si enim fieri po-
te$t, $it l centrum: ducaturq; k l, &amp; extra figuram in m pro-
ducatur. quam ucro proportionem habet linea m K ad k l
<foot><*></foot>
<pb>
habcat circulus, uel ellip$is g h ad aliud $pacium, in quo u:
&amp; in cit culo, uel ellip$i plane de$cribatur rectilinea figura,
ita ut t&atilde;dem relinqu&atilde;tur portiones minores $pacio u, qu&aelig;
$it o p g q r s h t: de$criptaq; $imili figura in oppo$itis pla-
nis c d, f e, per lineas $ibi ip$is re$pondentes plana duc&atilde;tur.
Itaque cylindrus, uel cylindri portio diuiditur in pri$ma,
cuius quidem ba$is e$t figura rectilinea iam dicta, centrum
que grauitatis punctuni K: &amp; in multa $olida, qa&aelig; pro ba$i
bus habent relictas portiones, quas nos $olidas portiones
appellabimus. cum igitur portiones $int minores $pacio
u, circulus, uel ellip$is g h ad portiones maiorem propor-
tionem habebit, qu&agrave;m linea m k ad K l. fiat n <G>k</G> ad K l, ut
circulus uel ellip$is g h ad ip$as portiones. Sed ut circulus
uel ellip$is g h ad figuram rectilincam in ip$a de$cri-
ptam, ita e$t cylindrus uel cylindri portio c c ad pri$ma,
quod rectilineam figuram pro ba$i habet, &amp; altitudinem
&aelig;qualem; id, quod infra demon$trabitur. crgo per conuer
$ionem rationis, ut circulus, uel ellip$is g h ad portioncs re
lictas, ita cylindrus, uel cylindri portio c e ad $olidas por-
tiones, quate cylindrus uel cylindri portio ad $olidas por-
tiones eandem proportionem habet, quam linea n <G>k</G> ad k
&amp; diuidendo pri$ma, cuius ba$is e$t rectilinea figura ad $o-
lidas portiones candem proportionem habet, quam n l ad
l k &amp; quoniam a cylindro uel cylindri portione, cuius gra-
uitatis centrum e$t l, aufertur pri$ma ba$im habens rectili-
neam figur&atilde;, cuius centr&utilde; grauitatis e$t K: re$idu&aelig; magnitu
dinis ex $olidis portionibus c&otilde;po$it&aelig; grauitatis c&etilde;tr&utilde; crit
in linea k l protracta, &amp; in puncto n; quod e$t ab$urd&utilde;. relin
quitur ergo, ut c&etilde;trum grauitatis cylindri; uel cylindri por
tionis $it punct&utilde; k. qu&aelig; omnia demon$tr&atilde;da propo$uimus.</P>
<P>At uero cylindrum, uel cylindri portion&etilde; ce
ad pri$ma, cuius ba$is e$t rectilinea figura in $pa-
cio g h de$cripta, &amp; altitudo &aelig;qualis; eandem ha-
<foot>bere</foot>
<p n=>15</p>
here proportionem, quam $pacium g h ad dict&atilde;
figuram, hoc modo demon$trabimus.</P>
<P>Intelligatur circulus, uel ellip$is x &aelig;qualis figur&aelig; rectili-
ne&aelig; in g h $pacio de$cript&aelig;. &amp; ab x con$tituatur conus, uel
<fig>
coni portio, altitudin&etilde; habens eand&etilde;, qu&atilde; cylindrus uel cy
lindri portio c e. Sit deinde rectilinea figura, in qua y eade,
qu&aelig; in $pacio g h de$cripta e$t: &amp; ab hac pyramis &aelig;qucalta
con$tituatur. Dico con&utilde; uel coni portione x pyramidi y &aelig;-
qual&etilde; e$$e. ni$i enim $it &aelig;qualis, uel maior, uel minor crit.</P>
<P>Sit primum maior, et exuperet $olido z. Itaque in circu
lo, uel ellip$i x de$cribatur figura rectilinea; &amp; in ea pyra-
mis candem, quam conus, uel coni portio altitudinem ha-
bens, ita ut portiones relict&aelig; minores $int $olido z, quem-
admodum docetur in duodecimo libro elementorum pro
po$itione undecima. erit pyramis x adhuc pyramide y ma
ior. &amp; quoniam piramides &aelig;que alt&aelig; inter $e $unt, $icuti ba
<marg>6. duo<*>
m.<*></marg>
$es; pyramis x ad piramidem y eandem proportionem ha-
bet, qu&agrave;m figura rectilinea x ad figuram y. Sed figura recti
<pb>
<fig>
linea x cum $it minor circulo, uel cllip$i, e$t etiam minor fi-
gura rectilinca y. ergo pyramis x pyramide y minor erit.
Sed &amp; maior; quod ficri n&otilde; pote$t. At $i conus, uel coni por
tio x ponatur minor pyramide y: $it alter conus &aelig;que al-
tus, uel altera coni portio X ip$i pyramidi y &aelig;qualis. crit
eius ba$is circulus, uel ellip$is maior circulo, uel ellip$i x,
quorum exce$$us $it $pacium <G>w.</G> Si igitur in circulo, uel eili-
p$i X figura rectilinea de$cribatur, ita ut portiones relict&aelig;
$int <G>w</G> $pacio minores, ciu$modi figura adhuc maior erit cir
culo, uel ellip$i x, hoc e$t figura rectilinea y. &amp; pyramis in
ca con$tituta minor cono, uel coni portione X, hoc e$t mi-
nor pyramide y. e$t ergo ut X figura rectilinea ad figuram
rectilineam y, ita pyramis X ad pyramidem y. quare cum
figura rectilinea X $it maior figura y: erit &amp; pyramis X py-
ramide y maior. $ed erat minor; quod rur$us fieri non po-
te$t. non e$t igitur conus, uel coni portio x neque maior,
neque minor pyramide y. ergo ip$i nece$$ario e$t &aelig;qualis.
Itaque quoniam ut conus ad conum, uel coni portio ad co
<foot>ni</foot>
<p n=>16</p>
<fig>
ni portionem, ita e$t cylindrus ad cylindrum, uel cylin-
dri portio ad cylindri portionem: &amp; ut pyramis ad pyra-
midem, ita pri$ma ad pri$ma, cum eadem $it ba$is, &amp; &aelig;qua
lis altitudo; crit cylindrus uel cylindri portio x pri$ma-
ti y &aelig;qualis. e$tq; ut $pacium g h ad $pacium x, ita cylin-
drus, uel cylindri portio c e ad cylindrum, uel cylindri por-
tionem x. Con$tat igitur cylindrum uel cylindri portion&etilde;
c e, ad pri$ma y, quippe cuius ba$is e$t figura rectilinea in
<marg>7. q<*></marg>
$pacio g h de$cripta, eandem proportionem habere, quam
$pacium g h habet ad $pacium x, hoc e$t ad dictam figuram.
quod demon$trandum fuerat.</P>
<head>THEOREMA IX. PROPOSITIO IX.</head>
<P>Si pyramis $ecetur plano ba$i &aelig;quidi$tante; $e-
ctio erit figura $imilis ei, qu&aelig; e$t ba$is, centrum
grauitatis in axe habens.</P>
<pb>
<P>SIT pyramis, cuius ba$is triangulum a b c; axis d c: &amp;
$ecetur plano ba$i &aelig;quidi$tante; quod $ection&etilde; $aciat f g h;
occurratq; axi in puncto <G>k.</G> Dico f g h triangulum e$$e, ip$i
a b c $imile; cuius grauitatis centrum e$t K. Quoni&atilde; enim
duo plana &aelig;quidi$tantia a b c, f g h $ecantur &agrave; plano a b d;
communes corum $ectiones a b, f g &aelig;quidi$tantes erunt: &amp;
cadem ratione &aelig;quidi$tantes ip$&aelig; b c, g h: &amp; c a, h f. Qu&ograve;d
cum du&aelig; line&aelig; f g, g h, duabus a b, b c &aelig;quidi$tent, nec
fintin eodem plano; angulus ad g &aelig;qualis e$t angulo ad
b. &amp; $imiliter angulus ad h angulo ad c: angulusq; ad f ci,
qui ad a e$t &aelig;qualis. triangulum igitur f g h $imile e$t tri-
angulo a b c. Atuero punctum <G>k</G> centrum e$$e grauita-
tis trianguli f g h hoc modo o$tendemus. Ducantur pla-
na per axem, &amp; per lineas d a, d b, d c: erunt communes $e-
ctiones f K, a e &aelig;quidi$tantes: pariterq; <G>k</G> g, e b; &amp; <G>k</G> h, e c:
quare angulus <G>k</G> f h angulo e a c; &amp; angulus <G>k</G> f g ip$i e a b
<fig>
e$t &aelig;qualis. Eadem ratione
anguli ad g angulis ad b: &amp;
anguli ad h iis, qui ad c &aelig;-
quales erunt. ergo puncta
e K in triangulis a b c, f g h
$imiliter $unt po$ita, per $e-
xtam po$itionem Archime-
dis in libro de centro graui-
tatis planorum. Sed cum e
$it centrum grauitatis trian
guli a b c, erit ex undecima
propo$itione eiu$dem libri,
&amp; K trianguli f g h grauita
tis centrum. id quod demon$trare oportebat. Non aliter
in ceteris pyramidibus, quod propo$itum e$t demon$tra-
<*></P>
<p n=>17</p>
<head>PROBLEMA I. PROPOSITIO X.</head>
<P>DATA qualibet pyramide, fieri pote$t, ut fi-
gura $olida in ip$a in $cribatur, &amp; altera circ&utilde;$cri-
batur ex pri$matibus &aelig;qualem altitudinem ha-
b&etilde;tibus, ita ut circum$cripta in$criptam excedat
magnitudine, qu&aelig; minor $it quac&utilde;que $olida ma
gnitudine propo$ita.</P>
<fig>
<P>Sit pyramis, cuius ba$is
triangul&utilde; a b c; axis d e.
Sitq; pri$ma, quod eand&etilde;
ba$im habeat, &amp; axem eun
dem. Itaque hoc pri$ma-
te continenter $ecto bifa-
riam, plano ba$i &aelig;quidi$t&atilde;
te, <*>relinquetur t&atilde;dem pri$
ma quoddam minus pro-
po$ita magnitudine: quod
quidem ba$im eandem ha
beat, quam pyramis, &amp; a-
xem e f. diuidatur d e in
partes &aelig;quales ip$i e f in
punctis g h <G>k</G> l m n: &amp; per
diui$iones plana duc&atilde;tur:
qu&aelig; ba$ibus &aelig;quidi$tent,
erunt $ectiones, triangula
ip$i a b c $imilia, ut proxi-
me o$tendimus. ab uno
quoque aut&etilde; horum trian
gulorum duo pri$mata c&otilde;
$truantur; unum quidem
ad partes e; alterum ad
<foot><*></foot>
<pb>
partes d. in pyramide igitur in$cripta erit qu&aelig;dam figura,
ex pri$matibus &aelig;qualem altitudinem habentibus c&otilde;$tans,
ad partes e: &amp; altera circum$cripta ad partes d. Sed unum-
quodque eorum pri$matum, qu&aelig; in figura in$cripta conti-
nentur, &aelig;quale e$t pri$mati, quod ab eodem fit triangulo in
figura circum&iacute;cripta: nam pri$ma p q pri$mati p o e$t &aelig;-
quale; pri$ma s t &aelig;quale pri$mati s r; pri$ma x y pri$mati
x u; pri$ma <G><*> q</G> pri$mati <G><*></G> z; pri$ma <G>m <*></G> pri$mati <G>m l;</G> pri$-
ma <G>r s</G> pri$mati <G>r p;</G> &amp; pri$ma <G>f x</G> pri$mati <G>f t</G> &aelig;quale. re-
linquitur ergo, ut circum$cripta figura exuperet in$cript&atilde;
pri$mate, quod ba$im habet a b c triangulum, &amp; axem e f.
Illud uero minus e$t $olida magnitudine propo$ita. Ead&etilde;
ratione in$cribetur, &amp; circum$cribetur $olida figura in py-
ramide, qu&aelig; quadrilateram, uel plurilater&atilde; ba$im habeat.</P>
<head>PROBLEMA II. PROPOSITIO XI.</head>
<P>DATO cono, fieri pote$t, ut figura $olida in-
$cribatur, &amp; altera circum$cribatur ex cylindris
&aelig;qualem habentibus altitudinem, ita ut circum-
$cripta $uperet in$criptam, magnitudine, qu&aelig; $o-
lida magnitudine propo$ita $it minor.</P>
<P>SIT conus, cuius axis b d: &amp; $ecetur plano per axem
ducto, 'ut$ectio $it triangulum a b c: intelligaturq; cylin-
drus, qui ba$im eandem, &amp; eundem axem habeat. Hocigi-
tur cylindro continenter bifariam $ecto, relinquetur cylin
drus minor $olida magnitudine propo$ita. Sit autem is cy
lindrus, qui ba$im habet circulum circa diametrum a c, &amp;
axem d e. Itaque diuidatur b d in partes &aelig;quales ip$i d e
in punctis f g h K l m: &amp; per ea ducantur plana conum $e-
cantia; qu&aelig; ba$i &aelig;quidi$tent. erunt $ectiones circuli, cen-
train axi habentes, ut in primo libro conicorum, propo$i-
<p n=>18</p>
tione quarta Apollonius demon$trauit. Si igitur &agrave; $ingu-
lis horum circulorum, duo cylindri fiant; unus quidem ad
ba$is partes; alter ad partes uerticis: in$cripta erit in co-
no $olida qu&aelig;dam figura, &amp; altera circum$cripta ex cylin-
dris &aelig;qualem altitudinem habentibus con$tans; quorum
<fig>
unu$qui$que, qui in
figura in$cripta con-
tinetur &aelig;qualis e$t ei,
qui ab eodem fit cir-
culo in figura circ&utilde;-
$cripta. Itaque cylin
drus o p &aelig;qualis e$t
cylindro o n; cylin-
drus r s cyl&itilde;dro r q;
cylindrus u x cylin-
dro u t e$t &aelig;qualis;
&amp; alii aliis $imiliter.
quare con$tat circ&utilde;-
$criptam figuram $u-
perare in$criptam cy
lindro, cuius ba$is e$t
circulus circa diametrum a c, &amp; axis d e. atque hic e$t mi-
nor $olida magnitudine propo$ita.</P>
<head>PROBLEMA III. PROPOSITIO XII.</head>
<P>DATA coni portione, pote$t $olida qu&aelig;dam
figura in$cribi, &amp; altera circum$cribi ex cylindri
portionibus &aelig;qualem altitudinem habentibus;
ita ut circum$cripta in$criptam exuperet, magni
tudine, qu&aelig; minor fit $olida magnitudine pro-
po$ita.</P>
<foot>E 2</foot>
<pb>
<P>Figuram ciu$modi, &amp; in$cribemus, &amp; circ&utilde;$cribemus, ita
ut in cono dictum e$t.</P>
<fig>
<head>PROBLEMA IIII. PROPOSITIO XIII.</head>
<P>DATA $ph&aelig;r&aelig; portione, qu&aelig; dimidia $ph&aelig;-
ra maior non $it, pote$t $olida qu&aelig;dam portio in-
$cribi &amp; altera circum$cribi ex cylindris &aelig;qualem
altitudinem habentibus, ita ut circum$cripta in-
$criptam excedat magnitudine, qu&aelig; $olida ma-
gnitudine propo$ita $it minor.</P>
<P>HOC etiam codem pror$us modo $iet: atque ut ab
Archimedc traditum e$t in conoidum, &amp; $ph&aelig;roidum por
tionibus, propo$itione ulge$imaprima libri de conoidi-
bus, &amp; $ph&aelig;roidibus.</P>
<foot>THEO</foot>
<p n=>19</p>
<fig>
<head>THEOREMA X. PROPOSITIO XIIII.</head>
<P>Cuiuslibet pyramidis, &amp; cuiuslibet coni, uel
coni portionis, centrum grauitatis in axe c&otilde;$i$tit.</P>
<P>SIT pyramis, cuius ba$is triangulum a b c: &amp; axis d e.
Dico in linea d e ip$ius grauitatis centrum ine$$e. Si enim
fieri pote$t, $it centrum f: &amp; ab f ducatur ad ba$im pyrami
dis linea f g, axi &aelig;quidi$tans: iunctaq; e g ad latera trian-
guli a b c producatur in h. quam uero proportionem ha-
bet linea h e ad e g, habeat pyramis ad aliud $olidum, in
quo K: in$cribaturq; in pyramide $olida figura, &amp; altera cir
cum$cribatur ex pri$matibus &aelig;qualem habentibus altitu-
dinem, ita ut circum$cripta in$criptam exuperet magnitu-
dine, qu&aelig; $olido k $it minor. Et quoniam in pyramide pla
num ba$i &aelig;quidi$tans ductum $ectionem facit figuram $i-
milem ei, qu&aelig; e$t ba$is; centrumq; grauitatis in axe haben
tem: erit pri$matis s t grauitatis centr&utilde; in linear q; pri$-
matis u x centrum in linea q p, pri$inatis y z in linea p o;
pri$matis <G>h q</G> in linea o n; pri$matis <G>l <*></G> in linea n m; pri$-
matis <G>n p</G> in m l; &amp; denique pri$matis <G>p s</G> in l e. quare to-
<pb>
da $igura, &amp; altera circum$cribatur ex cylindris, uel cylin-
dri portionibus, $icuti dictum e$t, ita ut exce$$us, quo $igu-
ra circum$cripta in$criptam $uperat, $it $olido g minor.
Itaque centrum grauitatis cylindri, uel cylindri portionit
q r e$t in linea p o; cylindri, uel cylindri portionis s t cen-
trum in linea o n; centrum u x in linea n m; y z in m b; <G>n q</G>
in l k; <G>l m</G> in K h; &amp; denique <G>v p</G> centrum in h d. ergo figu-
<fig>
r&aelig; in$cript&aelig; centrum e$t in linea p d. Sit autem <G>r</G>: &amp; iun-
cta <G>r</G> e protendatur, ut cum linea, qu&aelig; &agrave; p&utilde;cto c ducta $ue-
rit axi &aelig;quidi$tans, conueniat in <G>s.</G> erit <G>s r</G> ad <G>r</G> e, ut c d
ad d f: &amp; conus, $eu coni portio ad exce$$um, quo circum-
$cripta figura in$criptam $uperat, habebit maiorem pro-
portionem, qu&agrave;m <G>t r</G> ad <G>r</G> e. ergo ad partem exce$$us, qu&aelig;
intra ip$ius $uperficiem comprehenditur, multo m aiorem
proportionem habebit. habeat eam, quam <G>t r</G> ad <G>r</G> e. erit
<foot>diuidendo</foot>
<p n=>21</p>
diuidendo figura $olida in$cripta ad dictam exce$$us par-
tem, ut <G>t e</G> ad c <G>p.</G> &amp; quoniam &agrave; cono, $cu coni portione,
cuius grauitatis centrum e$t e, au$ertur figura in$cripta,
cuius centrum <G>r:</G> re$idu&aelig; magnitudinis compo$it&aelig; cx par
te exce$$us, qu&aelig; intra coni, uel coni portionis $uper$iciem
continetur, centrum grauitatis erit in linea e protracta,
atque in puncto t. quod c$t ab$urdum. c&otilde;$tat ergo centr&utilde;
grauitatis coni, uel coni portionis, e$$e in axc b d: quod de
mon$trandum propo$uimus.</P>
<head>THEOREMA XI. PROPOSITIO XV.</head>
<P>Cuiuslibet portionis $ph&aelig;r&aelig; uel $ph&aelig;roidis,
qu&aelig; dimidia maior non $it:item&qacute;; cuiuslibet por
tionis conoidis, uel ab$ci$$&aelig; plano ad axem recto,
uel non recto, centrum grauitatis in axe con-
$i$tit.</P>
<P>Demon$tratio $imilis erit ei, quam $upra in cono, uel co
ni portione attulimus, ne toties eadem fru$tra iterentur.</P>
<fig>
<foot>F</foot>
<pb>
<head>THEOREMA XII. PROPOSITIO XVI.</head>
<P>In $ph&aelig;ra, &amp; $ph&aelig;roidc idem e$t grauitatis, &amp;
figur&aelig; centrum.</P>
<P>Secetur $ph&aelig;ra, uel $ph&aelig;roides piano per axem ducto;
quod $ectionem $aciat circulum, uel cllip$im a b c d, cuius
diameter, &amp; $ph&aelig;r&aelig;, uel $ph&aelig;roidis axis d b; &amp; centrum e.
Dico e grauitatis etiam centrum e$$e. $ecetur enim altero
plano per e, ad planum $ecans recto, cuius $ectio $it circu-
lus cir ca diametrum a &ccedil;. erunt a d c, a b c dimidi&aelig; portio-
nes $ph&aelig;r&aelig;, uel $ph&aelig;roidis. &amp; quoniam portionis a d c gra
uitatis centrum e$i in linead, &amp; centrum portionis a b c in
ip$a b c; totius $ph&aelig;r&aelig;, uel $ph&aelig;roidis grauitatis centrum
in a<*> c d b con$i$iet, Qu&ograve;d $i portionis a d c centrum grau&itilde;
tatis ponatur e$$c f &amp; fiatip$i f e &aelig;qualis e g. punct&utilde; g por
<fig>
<marg>per 2. pe-
tition<*>m</marg>
tionis a b c centrum crit. $olidis cnim figuris $imilibus &amp;
&aelig;q<*> alibus inter $e aptatis, &amp; c. ntra g. auitatis ip$arum in-
<marg>4 Arcl -
medis.</marg>
ter <*>e aptentur nece$le e$t. ex quo fit, ut magnitudinis, qu&aelig;
ex utilique c&otilde;$lat, hoc e$t ip$ius $ph&aelig;r&aelig;, uel $ph&aelig;roidis gra
uitatis centrum $it in medio linc&aelig; f g uid li<*> t in c. Sph&aelig;-
r&aelig; igitur, uel $ph&aelig;roidis grauitatis centrum e$tidem, quod
centrum figur&aelig;.</P>
<foot>Ex</foot>
<p n=>22</p>
<P>Ex demon$tratis per$picue apparet, portioni
$ph&aelig;r&aelig; uel $ph&aelig;roidis, qu&aelig; dimidia maier e$t, c&etilde;
trum grauitatis in axe con$i$tere.</P>
<fig>
<P>Data cnim
qualibet maio
ri porti&otilde;e, quo
ni&atilde; totius $ph&aelig;
r&aelig;, uel $ph&aelig;roi
dis grauitatis
centrum e$t in
axe; e$t autem
&amp; in axe cen-
trum portio-
nis minoris:
reliqu&aelig; portionis uidelicet maioris centrum in axe nece$-
$ario con$i$tet.</P>
<head>THEOREMA XIII. PROPOSITIO XVII.</head>
<fig>
<P>Cuiuslibet pyramidis tri&atilde;
gularem ba$im hab&etilde;tis gra
uitatis centrum e$t in pun-
cto, in quo ip$ius axes con-
ueniunt.</P>
<P>Sit pyramis, cuius ba$is trian
gulum a b c, axis d e: $itq; trian
guli b d c grauitatis centrum f:
&amp; iungatur a $. crit &amp; a faxis eiu$
dem pyramidis ex tertia diffini-
tione huius. Itaque quoniam centrum grauitatis e$t in
axe d e; e$t autem &amp; in axe a f; &qgrave;uod proxime demon$traui
<pb>
mus: erit utique grauitatis centrum pyramidis punctum
g. in quo $cilicet ip$i axes conueniunt.</P>
<head>THEOREMA XIIII. PROPOSITIO XVIII.</head>
<P>SI $olidum parallelepipedum $ecetur plano
ba$ibus &aelig;quidi$tante; erir $olidum ad $olidum,
$icut altitudo ad altitudinem, uel $icut axis ad
axem.</P>
<fig>
<P>Sit $olidum parallelepipe
dum a b c d e f g h, cuius axis
k l: $eceturq; plano ba$ibus
&aelig;quidi$tante, quod faciat
$ectionem m n o p; &amp; axi in
&ptilde;uncto q occurrat. Dico
$olidum g m ad $olidum m c
eam proportionem habere,
quam altitudo $olidi g m ha-
bet ad $olidi m c altitudi-
nem; uel quam axis <G>k</G> q ad
axem q l. Si enim axis K l ad
ba$is planum $it perpendicu
laris, &amp; linea g c, qu&aelig; ex quin
ta huius ip$i k l &aelig;quidi$tat,
perpendicularis erit ad id&etilde;
planum, &amp; $olidi altitudi-
<marg><*> undeci
<*>.</marg>
nem dimetietur. Itaque $o-
lidum gm ad $olidum m c
eam proportionem habet,
quam parallelogram n&utilde; g n
ad parallelo grammum n c,
<marg>$ext&itilde;.</marg>
hoce$t quam linea g o, qu&aelig;
<foot>e$t</foot>
<p n=>23</p>
e$t $olidi g m altitudo ad o e altitudinem $olidi m c, uel qu&atilde;
axis k q ad q l axem. Si uero axis k l non $it perpendicularis
ad planum ba$is; ducatur a puncto <G>k</G> ad idem planum per
pendicularis <G>k</G> r, occurr&etilde;s plano m n o p in s. $imiliter de-
m&otilde;$trabimus $olidum g m ad $olid&utilde; m c ita e$$e, ut axis k q
ad axem q l. Sed ut K q ad q l, ita <G>k</G> s altitudo ad altitudi-
<marg>17.<*>
cin<*></marg>
nem s r; nam line&aelig; K l, K r &agrave; planis &aelig;quidi$tantibus in ea$-
dem proportiones $ecantur. ergo $olidum g m ad $olidum
m c eand&etilde; proportionem habet, quam altitudo ad altitu||
din&etilde;, uel quam axis ad axem. quod dem&otilde;$trare oportebat.</P>
<head>THEOREMA XV. PROPOSITIO XIX.</head>
<P>Solida parallelepipeda in eadem ba$i, uel in
&aelig;qualibus ba$ibus con$tituta eam inter $e propor
tionem habent, quam altitudines: &amp; $i axes ip$o-
rum cum ba$ibus &aelig;quales angulos contineant,
eam quoque, quam axes proportionem habeb&utilde;t.</P>
<P>Sint $olida parallelepipeda in ead&etilde; ba$i c&otilde;$tituta a b c d,
a b e f: &amp; $it $olidi a b c d altitudo minor: producatur au-
tem planum c d adeo, ut$olidum a b e f $ecet; cuius $ectio
<fig>
<marg>29.1<*>
cim<*></marg>
$it gh. cr&utilde;t $oli
da a b c d, a b g h
in eadem ba$i,
&amp; &aelig;quali altitu||
dine inter $e &aelig;-
qualia. Quoni&atilde;
igitur $olidum
a b e f $ecatur
plano ba$ibus
&aelig;quidi$t&atilde;te, erit
<marg>18.<*></marg>
$olidum g h e f
adip$um a b g h
<pb>
ut altitudo ad altitudinem: &amp; componendo conuertendo
<marg>7. quinti.</marg>
que $olidum a b g h, hoc e$t $olidum a b c d ip$i &aelig;quale, ad-
$olidum a b e f, ut altitudo $olidi a b c d ad $olidi a b e f al-
titudinem.</P>
<P>Sint $olida parallelcpipeda a b, c d in &aelig;qualibus ba$ibus
con$tituta: $itq; b e altitudo $olidi a b: &amp; $olidi c d altitudo
d f; qu&aelig; quidem maior $it, qu&agrave;m b e. Dico $olidum a b ad
$olidum c d eandem habere proportionem, quam b e ad
d f. ab$cindatur enim &agrave; linea d f &aelig;qualis ip$i b e, qu&aelig; $it g f:
&amp; per g ducatur planum $ecans $olidum c d; quod ba$ibus
&aelig;quidi$tet, faciatq; $ection&etilde; h. K. crunt $olida a b, c <G>k</G> &aelig;que
<marg>31. unde
cimi</marg>
<fig>
alta inter
$e &aelig;qualia
c&utilde; &aelig;qua-
les ba$es
habeant.
<marg>18. huius</marg>
Sed $olid&utilde;
h d ad $oli
dum c K
e$t, ut alti
tudo d g
ad g falti-
tudin&etilde;; $e
catur enim $olidum c d plano ba$i
<fig>
bus &aelig;quidi$tante: &amp; rur$us c&otilde;po-
nende, conuertendoq; $olid&utilde; c k
<marg>7. quinti.</marg>
ad $olidum c d, ut g f ad f d. ergo
$olidum a b, quod e$t &aelig;quale ip$i
c <G>k</G> ad $olidum c d eam proportio
nem habet, quam altitudo g f, hoc
e$t b e ad d f altitudinem.</P>
<P>Sint deinde $olida parallelepipe
da a b, a c in cadem ba$i; quorum
axes d e, $ e cum ip$a &aelig;quales angu
<foot>los</foot>
<p n=>24</p>
los contineant. Dico $olidum a b ad $olidum a c e idem ha
bere proportionem, quam axis d e ad axem e f. Si enini
axes in eadem recta linea fuerint con$tituti, b&aelig;c dao lo'i-
da, in unum, atque idem $olidum conuenient. quare <*>x
iis, qu&aelig; proxime tradita $unt, habebit $olidum a b ad $o-
lidum a c candem proportionem, quam axis d e ad e f
axem. Si uero axes non $int in eadem recta linea, demittan
tur a punctis d, $ perpendiculares ad ba$is planum, d g, fh:
&amp; jungantur e g, e h. Quoniam igitur axes cum ba$ibus
&aelig;quales angulos continent, erit d e g angulus &aelig;qualis an-
<fig>
gulo f e h: &amp; $unt
anguli ad g h re-
cti, quare &amp; re-
liquus e d g &aelig;qua
lis erit reliquo
e fh: &amp; triangu-
lum d e g tri&atilde;gu-
lo f e h $imile. er-
go g d ad d e e$t',
ut h f ad fe: &amp; per
mutando g d ad
h f, ut d e ad c f.
Sed $olidum a b
ad $olidum a c
candem propor-
tionem habet,
quam d g altitu-
do ad altitudin&etilde;
f h. ergo &amp; ean-
d&etilde; habebit, qu&atilde;
axis d e a l e <*> ax&etilde;</P>
<P>Po$tremo $int
$olidi paral le pi
peda a b, c d in
<pb>
&aelig;qualibus ba$ibus, quorum axes cum ba$ibus &aelig;quales an
gulos faciant. Dico $olidum a b ad$olid&utilde; c d ita e$$e, ut axis
e f ad axem g h: nam $i axes ad planum ba$is recti $int, il-
lud per$picue con$tat: quoniam eadem linea, &amp; axem &amp; $oli
di altitudinem determinabit. Si uero $int inclinati, &agrave; pun-
ctis e g ad $ubiectum planum perpendiculares ducantur
e k, g l: &amp; iungantur fk, h l. rur$us quoniam axes cum ba
$ibus &aelig;quales faciunt angulos, eodem modo demon$trabi
tur, triangulum e f K triangulo g h l $imile e$$e: &amp; e <G>k</G> ad g l,
ut e f ad g h. Solidum autem a b ad $olidum c d e$t, ut
e K ad g l. ergo &amp; ut axis e f ad axem g h. qu&aelig; omnia de
mon$trarc oportebat.</P>
<P>Ex iis qu&aelig; demon$trata $unt, facile con$tare
pote$t, pri$mata omnia &amp; pyramides, qu&aelig; trian-
gulares ba$es habent, $iue in ei$dem, $iue in &aelig;qua
<marg>15. quinti</marg>
libus ba$ibus con$tituantur, eandem proportio-
nem habere, quam altitudines: &amp; $i axes cum ba
$ibus &aelig;quales angulos contineant, $imiliter ean-
dem, quam axes, habere proportionem: $unt
<marg>28. unde-
cimi.</marg>
enim $olida parallelepipeda pri$matum triangula
<marg>7. duode-
cimi.</marg>
res ba$es habenti&utilde; dupla; &amp; pyramidum $extupla.</P>
<head>THEOREMA XVI. PROPOSITIO XX.</head>
<P>Pri$mata omnia &amp; pyramides, qu&aelig; in ei$dem,
uel &aelig;qualibus ba$ibus con$tituuntur, eam inter
$e proportionem habent, quam altitudines: &amp; $i
axes cum ba$ibus faciant angulos &aelig;quales, eam
etiam, quam axes habent proportionem.</P>
<foot>Sint</foot>
<p n=>25</p>
<P>Sint duo pri$mata a e, a f, quorum eadem ba$is quadri-
latera a b c d: $itq; pri$matis a e altitudo e g; &amp; pri$matis
a f altitudo f h. Dico pri$ma a e ad pri$ma a f eam habere
proportionem, quam e g ad f h. iungatur enim a c: &amp; in
unoquoque pri$mate duo pri$mata intelligantur, quorum
<fig>
ba$es $int triangu
la a b c, a c d. habe
bunt duo pri$ma-
te in eadem ba$i
a b c con$tituta,
proportionem e&atilde;
dem, quam ip$o-
rum altitudines e
g, f h, ex iam de-
mon$tratis. &amp; $i-
militer alia duo,
qu&aelig; $unt in ba$i a
<marg><*>2. qu<*></marg>
c d. quare totum pri$ma a e ad pri$ma a f eandem propor
tionem habebit, quam altitudo e g ad f h altitudinem.
Qu&ograve;d cum pri$mata $int pyramidum tripla, &amp; ip$&aelig; pyrami
des, quarum eadem e$t ba$is quadrilatera, &amp; altitudo pri$-
matum altitudini &aelig;qualis, eam inter $e proportionem ha-
bebunt, quam altitudines.</P>
<P>Si uero pri$mata ba$es &aelig;quales habeant, n&otilde; ea$dem, $int
duo eiu$modi pri$mata a e, f l: &amp; $it ba$is pri$matis a e qua
drilaterum a b c d; &amp; pri$matis f l quadrilaterum f g h k.
Dico pri$ma a e ad pri$ma f l ita e$$e, ut altitudo illius ad
huius altitudinem. nam $i altitudo $it eadem, intellig&atilde;tur
<marg>6. du<*>
cimi<*></marg>
du&aelig; pyramides a b c d e, f g h k l. qu&aelig; &itilde;tcr$e &aelig;quales er&utilde;t,
cum &aelig;quales ba$es, &amp; altitudinem eandem habeant. quare
<marg>15. qu<*></marg>
&amp; pri$mata a e, f l, qu&aelig; $unt har&utilde; pyramidum tripla, &aelig;qua-
lia $int nece$$e e$t. ex quibus per$picue con$tat propo$it&utilde;.
Si uero altitudo pri$matis f l $it maior, &agrave; pri$mate f l ab-
$cindatur pri$ma fm, quod &aelig;que altum $it, atq; ip$um a e.
<foot>G</foot>
<pb>
<fig>
erunt e&aelig;dem ra-
tione pri$mata a
e, f m inter $e &aelig;-
qualia. quare $i-
militer demon-
$trabitur pri$ma
f m ad pri$ma f l
eandem habere
proportionem,
quam pri$matis
f m altitudo ad
altitudinem ip-
$ius f l. ergo &amp; pri$ma a e ad pri$ma f l eandem propor-
tionem habebit, quam altitudo ad altitudinem. $equitur
igitur ut &amp; pyramides, qu&aelig; in &aelig;qualibus ba$ibus con$titu&utilde;
tur, candem inter $e $e, quam altitudines, proportionem
habeant.</P>
<fig>
<P>Sint deinde pri$mata a e, a f in eadem ba$i a b c d; quor&utilde;
axes cum ba$ibus &aelig;quales angulos contineant: &amp; $it pri$-
<foot>matis</foot>
<p n=>26</p>
matis a e axis g h; &amp; pri$matis a f axis l h. Dico pri$ma
a e ad pri$ma a f eam proportionem habere, quam g h ad
h l. ducantur &agrave; punctis g l perpendiculares ad ba$is pla-
<fig>
num g K, l m: &amp; iungantur k h,
h m. Itaque quoniam anguli g h
k, l h m $unt &aelig;quales, $imiliter ut
$upra demon$trabimus, triangu-
la g h K, l h m $imilia e$$e; &amp; ut g
K ad l m, ita g h ad h l. habet au
tem pri$ma a e ad pri$ma a f ean
dem proportionem, quam altitu||
do g K ad altitudinem l m, $icuti
demon$tratum e$t. ergo &amp; can-
dem habebit, quam g h, ad h l. py
ramis igitur a b c d g ad pyrami-
dem a b c d l eandem proportio-
nem habebit, quam axis g h ad h l axem.</P>
<fig>
<P>Denique $int pri$mata a e, <G>k</G> o in &aelig;qualibus ba$ibus a b
c d, k l m n con$tituta; quorum axes cum ba$ibus &aelig;quales
faciant angulos: $itq; pri$matis a e axis f g, &amp; altitudo f h:
pri$matis autem k o axis p q, &amp; altitudo p r. Dico pri$ma
a e ad pri$ma <G>k</G> o ita e$$e, ut f g ad p q. iunctis enim g h,
<foot>G 2</foot>
<pb>
q r, eodem, quo $upra, modo o$tendemns f g ad p q, ut f h
ad p r. $ed pri$ma a e ad ip$um <G>k</G> o e$t, ut f h ad p r. ergo
&amp; ut f g axis ad axem p q. ex quibus $it, ut pyramis a b c d f
<fig>
ad pyrami-
d&etilde; <G>k</G> l m n p
eandem ha
beat pro -
portion&etilde;,
qu&atilde; axis ad
ax&etilde;. quod
demon$tr&atilde;
d&utilde; $uerat.</P>
<P>Simili ra
tione in a-
liis pri$ma-
tibus &amp; py
ramidibus eadem demon$trabuntur.</P>
<head>THEOREMA XVII. PROPOSITIO XXI.</head>
<P>Pri$mata omnia, &amp; pyramides inter $e propor
tionem habent compo$itam ex proportione ba-
$ium, &amp; proportione altitudinum.</P>
<P>Sint duo pri$mata a e, g m: $itq; pri$matis a e ba$is qua
drilaterum a b c d, &amp; altitudo e f: pri$matis uero g m ba-
$is quadrilaterum g h K l, &amp; altitudo m n. Dico pri$ma a e
ad pri$ma g m proportionem habere compo$itam ex pro
portione ba$is a b c d ad ba$im g h k l, &amp; ex proportione
altitudinis e f, ad altitudinem m n.</P>
<P>Sint enim primum e f, m n &aelig;quales: &amp; ut ba$is a b c d
ad ba$im g h <G>k</G> l, ita fiat linea, in qua o ad lineam, in qua p:
ut autem e f ad m n, ita linea p ad lineam q. erunt line&aelig;
p q inter $e &aelig;quales. Itaque pri$ma a e ad pri$ma g m e&atilde;
<foot>pro</foot>
<p n=>27</p>
proportionem habet, quam ba$is a b c d ad ba$im g h <G>k</G> l:
$i enim intelligantur du&aelig; pyramides a b c d e, g h k l m, ha-
bebunt h&aelig; inter $e proportionem eandem, quam ip$ar um
ba$es ex $exta duodecimi elementorum. Sed ut ba$is a b c d
ad g h K l ba$im, ita linea o ad lineam p; hoc e$t ad lineam q
ei &aelig;qualem. ergo pri$ma a e ad pri$ma g m e$t, ut linea o
ad lineam q. proportio autem o ad q copo$ita e$t ex pro-
portione o ad p, &amp; ex proportione p ad q. quare pri$ma
a e ad pri$ma g m, &amp; idcirco pyramis a b c d e, ad pyrami-
dem g h K l m proportionem habet ex ei$dem proportio-
nibus compo$itam, uidelicet ex proportione ba$is a b c d
ad ba$im g h K l, &amp; ex proportione altitudinis e f ad m n al
titudinem. Qu&ograve;d $i line&aelig; e f, m n in&aelig;quales ponantur, $it
e f minor: &amp; ut e f ad m n, ita fiat linea p ad lineam u: de
<fig>
inde ab ip$a m n ab$cindatur r n &aelig;qualis e f: &amp; per r duca-
tur planum, quod oppo$itis planis &aelig;quidi$tans faciat $e-
ctionem s t. erit pri$ma a e, ad pri$ma g t, ut ba$is a b c d
ad ba$im g h k l; hoc e$t ut o ad p: ut autem pri$ma g t ad
<marg>20. h<*></marg>
pri$ma g m, ita altitudo r n; hoc e$te f ad altitudine m n;
uidelicet linea p ad lineam u. ergo ex &aelig;quali pri$ma a e ad
pri$ma g m e$t, ut linea o ad ip$am u. Sed proportio o ad
u c&otilde;po$ita e$t ex proportione o ad p, qu&aelig; e$t ba$is a b c d
ad ba$im g h <G>k</G> l; &amp; ex proportione p ad u, qu&aelig; e$t altitudi-
nis e f ad altitudinem m n. pri$ma igitur a e ad pri$ma g m
<foot><*></foot>
<pb>
compo$itam proportionem habet ex proportione ba$i&utilde;,
&amp; proportione altitudinum. Quare &amp; pyramis, cuius ba-
$is e$t quadrilaterum a b c d, &amp; altitudo e f ad pyramidem,
<fig>
cuius ba$is quadrilaterum g h K l, &amp; altitudo m n, compo$i
tam habet proportionem ex proportione ba$ium a b c d,
g h k l, &amp; ex proportione altitudinum e f, m n. quod qui-
dem demon$tra$$e oportebat.</P>
<P>Ex iam demon$tratis per$picuum e$t, pri$ma
ta omnia, &amp; pyramides, in quibus axes cum ba$i-
bus &aelig;quales angulos continent, proportionem
habere compo$itam ex ba$ium proportione, &amp;
proportione axium. demon$ttatum e$t enim, a-
xes inter $e eandem proportionem habere, quam
ip$&aelig; altitudines.</P>
<head>THEOREMA XVIII. PROPOSITIO XXII.</head>
<P>CVIVSLIBEt pyramidis, &amp; cuiuslibet coni,
<foot>uel</foot>
<p n=>28</p>
uel coni portionis axis &agrave; centro grauitatis ita diui
ditur, ut pars, qu&aelig; terminatur ad uerticem reli-
qu&aelig; partis, qu&aelig; ad ba$im, $it tripla.</P>
<P>Sit pyramis, cuius ba$is triangulum a b c; axis d e; &amp; gra
uitatis centrum K. Dico lineam d k ip$ius K e triplam e$$e.
trianguli enim b d c centrum grauitatis $it punctum f; tri&atilde;
guli a d c centr&utilde; g; &amp; trianguli a d b $it h: &amp; iungantur a f,
b g, c h. Quoniam igitur centr&utilde; grauitatis pyramidis in axe
<marg>17<*></marg>
c&otilde;$i$tit: $untq; d e, a f, b g, c h eiu$d&etilde; pyramidis axes: conue
nient omnes in id&etilde; punct&utilde; k, quod e$t grauitatis centrum.
Itaque animo concipiamus hanc pyramidem diui$am in
quatuor pyramides, quarum ba$es $int ip$a pyramidis
<marg><I>ucrfex</I></marg>
<fig>
triangula; &amp; <U>axis</U> pun-
ctum k qu&aelig; quidem py-
ramides inter $e &aelig;quales
$unt, ut dem&otilde;$trabitur.
Ducatur en&itilde; per lineas
d c, d e planum $ec&atilde;s, ut
$it ip$ius, &amp; ba$is a b c c&otilde;
munis $ectio recta linea
c e l: eiu$d&etilde; uero &amp; tri&atilde;-
guli a d b $it linea d h l.
erit linea al &aelig;qualis ip$i
l b: nam centrum graui-
tatis trianguli con$i$tit
in linea, qu&aelig; ab angulo
ad dimidiam ba$im per-
ducitur, ex tertia deci-
ma Archimedis. quare
<marg><*></marg>
triangulum a c l &aelig;quale
e$t triangulo b c l: &amp; propterea pyramis, cuius ba$is trian-
gulum a c l, uer tex d, e$t &aelig;qualis pyramidi, cuius ba$is b c l
<marg>5. d<*>
cim<*></marg>
triangulum, &amp; idem uertex. pyramides enim, qu&aelig; ab eod&etilde;
<pb>
$unt uertice, eandem proportionem habent, quam ip$ar&utilde;
ba$es. eadem ratione pyramis a c l k pyramidi b c l <G>k:</G> &amp; py
ramis a d l k ip$i b d l <G>k</G> pyramidi &aelig;qualis erit. Itaque $i a py
ramide a c l d auferantur pyramides a c l k, a d l k: &amp; &agrave; pyra
mide b c l d aufer&atilde;tur pyramides b c l <G>k,</G> d b l K: qu&aelig; relin-
quuntur erunt &aelig;qualia. &aelig;qualis igitur e$t pyramis a c d <G>k</G>
pyramidi b c d K. Rur$us $i per lineas a d, d e ducatur pla-
num quod pyramidem $ccet: $itq; eius &amp; ba$is communis
$ectio a e m: $imiliter o$tendetur pyramis a b d K &aelig;qualis
pyramidi a c d k. ducto denique alio plano per lineas c a,
a f: ut eius, &amp; trianguli c d b communis $ectio $it c fn, py-
ramis a b c k pyramidi a c d <G>k</G> &aelig;qualis demon$trabitur. c&utilde;
ergo tres pyramides b c d k, a b d k, a b c k uni, &amp; eidem py
ramidi a c d k $int &aelig;quales, omnes inter $e $e &aelig;quales er&utilde;t.
Sed ut pyramis a b c d ad pyramidem a b c <G>k,</G> ita d e axis ad
axem <G>k</G> e, ex uige$ima propo$itione huius: $unt enim h&aelig;
pyramides in eadem ba$i, &amp; axes cum ba$ibus &aelig;quales con
tinent angulos, qu&ograve;d in eadem recta linea con$tituantur.
quare diuidendo, ut tres pyramides a c d k, b c d K, a b d K
ad pyramidem a b c K, ita d k ad K e. con$tat igitur lineam
d K ip$ius K e triplam e$$e. $ed &amp; a <G>k</G> tripla e$t K f: itemque
b K ip$ius K g: &amp; c <G>k</G> ip$ius <G>k</G> l tripla. quod eodem modo
demon$trabimus.</P>
<P>Sit pyramis, cuius ba$is quadrilaterum a b c d; axis e f:
&amp; diuidatur e fin g, ita ut e g ip$ius g f $it tripla. Dico cen-
trum grauitatis pyramidis e$$e punctum g. ducatur enim
linea b d diuidens ba$im in duo triangula a b d, b c d: ex
quibus intellig&atilde;tur c&otilde;$titui du&aelig; pyramides a b d e, b c d e:
$itque pyramidis a b d e axis e h; &amp; pyramidis b c d e axis
e K: &amp; iungatur h K, qu&aelig; per f tran$ibit: e$t enim in ip$a h K
centrum grauitatis magnitudinis compo$it&aelig; ex triangulis
a b d, b c d, hoc e$t ip$ius quadrilateri. Itaque centrum gra
uitatis pyramidis a b d e $it punctum l: &amp; pyramidis b c d e
<marg>2. fexti.</marg>
$it m. ducta igitur l m ip$i h m line&aelig; &aelig;quidi$tabit. nam el ad
<foot>lh</foot>
<p n=>29</p>
lbeandem habet proportionem, quam e m ad m k, uideli-
cet triplam. quare lineal m ip$am e f $ecabit in punctog:
etenim e g ad g f e$t, ut el adlh. pr&aelig;terea quoniam h k, l m
&aelig;quidi$tant, erunt triangula h e f, l e g $imilia: itemq; inter
$e $imilia fe <G>k,</G> gem: &amp; ut e fad e g, itah fad l g: &amp; ita f K ad
gm. ergo uth fadl g, ita f <G>k</G> ad g m: &amp; permutando uth f
ad f K, ital g ad gm. $ed cum h $it centrum trianguli a b d;
&amp; <G>k</G> tri&atilde;guli b c d punct&utilde; uero f totius quadrilateri a b c d
centrum: erit ex 8. Archimedis de centro grauitatis plano
rum h fad f <G>k,</G> ut triangulum b c d ad triangulum a b d: ut,
autem bcd triangulum ad triangulum a b d, ita pyramis
<fig>
b c d e ad pyramidem a b d e. ergo
linea lg ad gm erit, ut pyramis
b c d e ad pyramid&etilde; a b d e. ex quo
$equitur, ut totius pyramidis
a b c d e punctum g $it grauitatis
centrum. Rur$us $it pyramis ba-
$im habens pentagonum a b c d e:
&amp; axem f g: diuidaturq; axis in p&utilde;
cto h, ita ut fh ad h g triplam habe
at proportionem. Dico h grauita-
tis centr&utilde; e$$e pyramidis a b c d e f.
iungatur enim e b: intelligaturq;
pyramis, cuius uertex f, &amp; ba$is
triangulum a b e: &amp; alia pyramis
intelligatur eundem uerticem ha-
bens, &amp; ba$im b c d e quadrilater&utilde;:
$it autem pyramidis a b e faxis f <G>k,</G>
&amp; grauitatis centrum l: &amp; pyrami
dis b c d e faxis f m, &amp; centrum gra
<*> iunganturq; <G>k</G> m, ln;
qu&aelig; per puncta g h tran$ibunt.
Rur$us eodemmodo, quo $up ra,
demon$trabimus lineas K g m, l h n $ibiip$is &aelig;quidi$tare:
<foot>H</foot>
<pb>
&amp; denique punctum h pyramidis a b c d e f grauitatis e$$e
centrum, &amp; ita in alils.</P>
<P>Sit conus, uel coni portio axem habens b d: $eceturque
plano per axem, quod $ectionem faciat triangulum a b c:
&amp; b d axis diuidatur in c, ita ut be ip$ius ed $it tripla.
Dico punctum e coni, uel coni portionis, grauitatis
e$$e centrum. Sienim fieri pote$t, $itcentrum f: &amp; pro-
ducatur e f extra figuram in g. quam uero proportionem
habet g e ad e f, habeat ba$is coni, uelconi portionis, hoc
e$t circulus, uel ellip$is circa diametrum ac ad aliud $pa-
cium, in quo h. Itaque in circulo, uel ellip$i plane de$cri-
batur rectilinea figura a x l m c n o p, ita ut qu&aelig; relinqu&utilde;-
tur portiones $int minores $pacio h: &amp; intelligatur pyra-
mis ba$im habens rectilineam figuram a K l m c n o p, &amp;
axem b d; cuius quidem grauitatis centrum erit punctum
e, utiam demon$trauimus. Et quoniam portiones $unt
minores $pacio h, circulus, uel ellip$is ad portiones ma-
<fig>
iorem proportionem habet, quam g e ad e f. $ed ut circu-
lus, uel ellip$is ad figuram rectilineam $ibi in$criptam, ita
conus, uel coni portio ad pyramidem, qu&aelig; figuram rectili-
neam pro ba$i habet; &amp; altitudinem &aelig;qualem: etenim $u-
<foot>pra</foot>
<p n=>30</p>
<marg>8 h<*></marg>
pra demon$tratum e$t, ita e$$e cylindrum, uel cylindri por-
tionem ad pri$ma, cuius ba$is rectilinea figura, &amp; &aelig;qua-
lis altitudo. ergo per conuer$ionem rationis, ut circulus,
uel ellip$is ad portiones, ita conus, uel coni portio ad por-
tiones $olidas. quare conus uel coni portio ad portiones
$olidas maiorem habet proportionem, quam g e ad e f: &amp;
diuidendo, pyramis ad portiones $olidas maiorem pro-
portionem habet, quam g f ad f e. fiatigitur q f ad f e
ut pyramis ad dictas portiones. Itaque quoniam a cono
uel coni portione, cuius grauitatis centrum e$t f, aufer-
tur pyramis, cuius centrum e; reliqu&aelig; magnitudinis,
qu&aelig; ex $olidis portionibus con$tat, centrum grauitatis
erit in linea e f protracta, &amp; in puncto q. quod fieri
non pote$t: e$t enim centrum grauitatis intra. Con$tat
igitur coni, uel coni portionis grauitatis centrum e$$e pun
ctum e. qu&aelig; omnia demon$trare oportebat.</P>
<head>THEOREMA XIX. PROPOSITIO XXIII.</head>
<P>QVODLIBET fru$tum &agrave; pyramide, qu&aelig;
triangularem ba$im habeat, ab$ci$$um, diuiditur
in tres pyramides proportionales, in ea proportio
ne, qu&aelig; e$t lateris maioris ba$is ad latus minoris
ip$i re$pondens.</P>
<P>Hoc demon$trauit Leonardus Pi$anus in libro, qui de-
praxi geometri&aelig; in$cribitur. Sed quoniam is adhuc im-
pre$$us non e$t, nos ip$ius demon$trationem breuiter
per$tringemus, rem ip$am $ecuti, non uerba. Sit fru-
$tum pyramidis a b c d e f, cuius maior ba$is triangulum
a b c, minor d e f: &amp; iunctis ae, cc, cd, per, line-
as a e, e c ducatur planum $ecans fru$tum: itemque per
lineas e c, c d; &amp; per cd, da alia plana ducantur, qu&aelig;
diuident fru$tum in trcs pyramides a b c e, a d c e, d e f c.
<foot>H 2</foot>
<pb>
Dico eas proportionales e$$e in proportione, qu&aelig; e$t la-
teris a b adlatus d e, itaut earum maior $it a b c e, me-
dia a d c e, &amp; minor d e f c. Quoniam enim line&aelig; d e,
a b &aelig;quidi$tant; &amp; interip$as $unt triangula a b e, a d e;
<marg>1. $exti.</marg>
<fig>
erit triangulum a b e
ad triangulum a b e,
utlinea a b ad lineam
d e. ut autem triangu
lum a b e ad triangu-
<marg>5. duodeci
mi.</marg>
lum a b e, ita pyramis
a b e c ad pyramidem
a d e c: habent enim
altitudinem eandem,
qu&aelig; e$t&agrave; puncto c ad
planum, in quo qua-
<marg>11. quinti.</marg>
drilaterum a b e d. er-
go ut a b ad d e, ita pyramis a b e c ad pyramidem a d e c.
Rur$us quoniam &aelig;quidi$tantes $unt a c, d f; erit eadem
<marg>4 $exti.</marg>
ratione pyramis a d c e ad pyramidem c d fe, ut ac ad
d f. Sed ut a c a l d f, ita a b ad d e, quoniam triangula
a b c, d e f $imilia $unt, ex nona huius. quare ut pyramis
a b c e ad pyramidem a b c e, ita pyramis a d c e ad ip$an<*>
d e f c. fru$tum igitur a b c d e f diuiditur in tres pyramides
proportionales in ea proportione, qu&aelig; e$t lateris a b ad d e
latus, &amp; earum maior e$t c a b e, media a d c e, &amp; minor
d e f c. quod demon$trare oportebat.</P>
<head>PROBLEMA V. PROPOSITIO XXIIII.</head>
<P>QVODLIBET fru$tum pyramidis, uel coni,
uel coni portionis, plano ba$i &aelig;quidi$tanti ita $e-
care, ut $ectio $it proportionalis inter maiorem,
&amp; minorem ba$im.</P>
<foot>Sit</foot>
<p n=>31</p>
<P>SIT fru$tum pyramidis a e, cuius maior ba$is triangu-
lum a b c, minor d e f: &amp; oporteat ip$um plano, quod ba$i
&aelig;quidi$tet, ita $ecare, ut $ectio $it proportionalis inter tri&atilde;
gula a b c, d e f. Inueniatur inter lineas a b, d e media pro-
portionalis, qu&aelig; $it b g: &amp; &agrave; puncto g erigatur g h &aelig;quidi-
$tans b e, $ecansq; a d in h: deinde per h ducatur planum
ba$ibus &aelig;quidi$tans, cuius $ectio $it triangulum h k l. Dico
triangulum h K l proportionale e$$e inter triangula a b c,
<fig>
d e f, hoc e$t triangulum a b c ad
triangulum h K l eandem habere
proportionem, quam tri&atilde;gulum
h K l ad ip$um d e f. Quoni&atilde; enim
<marg>16.<*>
cim<*></marg>
line&aelig; a b, h K &aelig;quidi$tantium pla
norum $ectiones inter $e &aelig;quidi-
$tant: atque &aelig;quidi$tant b k, gh:
<marg>34. l<*></marg>
linea h k ip$i g b e$t &aelig;qualis: &amp; pro
pterea proportionalis inter a b,
d e. quare ut a b ad h K, ita e$t h <G>k</G>
ad de. fiat ut h k ad d e, ita d e
ad aliam lineam, in qua $it m. erit
ex &aelig;quali ut a b ad d e, ita h k ad
<marg>9<*> hu<*>
coin<*></marg>
m. Et quoniam triangula a b c,
h K l, d e f $imilia $unt; triangul&utilde;
<marg>20. $<*></marg>
a b c ad triangulum h <G>k</G> l e$t, ut li-
nea a b ad lineam d e: triangul&utilde;
<marg>11. q<*></marg>
autem h <G>k</G> l adip$um d e f e$t, ut h k ad m. ergo triangulum
a b c ad triangulum h k l eandem proportionem habet,
quam triangulum h K l ad ip$um d e f. Eodem modo in a-
liis fru$tis pyramidis idem demon$trabitur.</P>
<P>Sit fru$tum coni, uel coni portionis a d: &amp; $ecetur plano
per axem, cuius $ectio $it a b c d, ita ut maior ip$ius ba$is $it
circulus, uel ellip$is circa diametrum a b; minor circa c d.
Rur$us inter lineas a b, c d inueniatur proportionalis b e:
&amp; ab e ducta e f &aelig;quidi$tante b d, qu&aelig; lineam c a in f $ecet,
<pb>
per f planum ba$ibus &aelig;quidi$tans ducatur, ut $it $ectio cir
culus, uel ellip$is circa diametrum f g. Dico $ectionem a b
ad $ectionem f g eandem proportionem habere, quam f g
ad ip$am c d. Simili enim ratione, qua $upra, demon$trabi-
tur quadratum a b ad quadratum f g ita e$$e, ut quadrat&utilde;
<marg>2. duode
<*>imi</marg>
f g ad c d quadratum. Sed circuli inter $e candem propor-
tionem habent, quam diametrorum quadrata. ellip$es au-
tem circa a b, f g, c d, qu&aelig; $imiles $unt, ut o$tendimus in c&otilde;-
mentariis in principium libri Archimedis de conoidibus,
&amp; $ph&aelig;roidibus, eam hab&etilde;t proportionem, quam quadrar
ta diametrorum, qu&aelig; eiu$dem rationis $unt, ex corollaio-
<fig>
$eptim&aelig; propo$itionis eiu$dem li-
bri. ellip$es enim nunc appello ip-
$a $pacia ellip$ibus contenta. ergo
circulus, uel ellip$is a b ad circul&utilde;,
uel ellip$im f g eam proportionem
habet, quam circulus, uel ellip$is
f g ad circulum uel ellip$im c d.
quod quidem faciendum propo-
$uimus.</P>
<head>THEOREMA XX. PROPOSITIO XXV.</head>
<P>QVODLIBET fru$tum pyramidis, uel coni,
uel coni portionis ad pyramidem, uel conum, uel
coni portionem, cuius ba$is eadem e$t, &amp; &aelig;qualis
altitudo, eandem proportion&etilde; habet, quam utr&aelig;
que ba$es, maior, &amp; minor $imul $umpt&aelig; vn&agrave; c&utilde;
ca, qu&aelig; inter ip$as $it proportionalis, ad ba$im ma
iorem.</P>
<foot>Sit</foot>
<p n=>32</p>
<P>SIT fru$t&utilde; pyramidis, uel coni, uel coni portionis a d,
cuius maior ba$is a b, minor c d. &amp; $ecetur altero plano
ba$i &aelig;quidi$tante, ita ut $ectio e f $it proportionalis inter
ba$es a b, c d. con$tituatur aut&etilde; pyramis, uel conus, uel co-
ni portio a g b, cuius ba$is $it eadem, qu&aelig; ba$is maior fru-
<fig>
$ti, &amp; altitudo &aelig;qualis. Di-
co fru$tum a d ad pyrami-
dem, uel conum, uel coni
portionem a g b eandem
proportion&etilde; habere, qu&atilde;
utr&aelig;que ba$es, a b, c d un&agrave;
cum e f ad ba$im a b. e$t
enim fru$tum a d &aelig;quale
pyramidi, uel cono, uel co-
ni portioni, cuius ba$is ex
tribus ba$ibus a b, e f, c d
con$tat; &amp; altitudo ip$ius
altitudini e$t &aelig;qualis: quod mox o$tendemus. Sed pyrami
<fig>
des, coni, uel coni porti&otilde;es,
qu&aelig; $unt &aelig;quali altitudine,
e&atilde;dem inter $e, quam ba$es,
proportionem habent, $icu-
ti demon$tratum e$t, partim
<marg>6. 11.<*>
decin<*></marg>
ab Euclide in duodecimo li-
bro elementorum, partim &agrave;
nobis in c&otilde;mentariis in un-
decimam propo$ition&etilde; Ar-
chimedis de conoidibus, &amp;
$ph&aelig;roidibus. quare pyra-
mis, uel conus, uel coni por-
tio, cuius ba$is e$t tribus illis
ba$ibus &aelig;qualis ad a g b eam
habet proportionem, quam
ba$es a b, e f, c d ad a b ba$im. Fru$tum igitur a d ad a g b
<foot><*></foot>
<pb>
pyramidem, uel conuni, uel coni portionem candem pro-
portionem habet, quam ba$es a b, c d un&agrave; cum e f ad ba-
$im a b. quod demon$trare uolebamus.</P>
<P>Fru$tum uero a d &aelig;quale e$$e pyramidi, uel co
no, uel coni portioni, cuius ba$is con$tat ex ba$i-
bus a b, c d, e f, &amp; altitudo fru$ti altitudini e$t &aelig;-
qualis, hoc modo o$tendemus.</P>
<P>Sit fru$tum pyramidis a b c d e f, cuius maior ba$is trian-
gulum a b c; minor d e f: &amp; $ecetur plano ba$ibus &aelig;quidi-
$tante, quod $ectionem faciat triangulum g h <G>k</G> inter trian-
gula a b c, d e f proportionale. Iam ex iis, qu&aelig; demon$trata
$unt in 23. huius, patet fru$tum a b c d e f diuidi in tres pyra
mides proportionales; &amp; earum maiorem e$$e pyramid&etilde;
a b c d minor&etilde; uero d e f b. ergo pyramis &agrave; triangulo g h k
con$tituta, qu&aelig; altitudinem habeat fru$ti altitudini &aelig;qua-
lem, proportionalis e$t inter pyramides a b c d, d e f b: &amp;
idcirco fru$tum a b c d e f tribus dictis pyramidibus &aelig;qua
<fig>
le erit. Itaque $i intelligatur alia pyra-
mis &aelig;que alta, qu&aelig; ba$im habeat ex tri
bus ba$ibus a b c, d e f, g h k con$tan-
tem; per$picuum e$t ip$am ei$dem py-
ramidibus, &amp; propterea ip$i fru$to &aelig;-
qualem e$$e.</P>
<P>Rur$us $it fru$tum pyramidis a g, cu
ius maior ba$is quadrilaterum a b c d,
minor e f g h: &amp; $ecetur plano ba$i-
bus &aelig;quidi$tante, ita ut fiat $ectio qua-
drilaterum K l m n, quod $it proportio
nale inter quadrilatera a b c d, e f g h. Dico pyramidem,
cuius ba$is $it &aelig;qualis tribus quadrilateris a b c d, k l m n,
e f g h, &amp; altitudo &aelig;qualis altitudini fru$ti, ip$i fru$to a g
&aelig;qualem e$$e. Ducatur enim planum per lincas f b, h d,
<foot>quod</foot>
<p n=>33</p>
quod diuidat fru$tum in duo fru$ta triangulares ba$es ha-
bentia, uidelicet in fru$tum a b d e f h, &amp; in fru$t&utilde; b c d f g h.
erit triangulum <G>k</G> l n proportionale inter triangula a b d,
e f h: &amp; triangulum l m n proportionale inter b c d, f g h.
$ed pyramis &aelig;que alta, cuius ba$is con$tat ex tribus trian-
<fig>
gulis a b d, k l n, e f h, demon$trata
e$t fru$to a b d c f h &aelig;qualis. &amp; $i-
militer pyramis, cuius ba$is con-
$tat ex triangulis b c d, l m n, f g h
&aelig;qualis fru$to b c d f g h: compo-
nuntur autem tria quadrilatera a
b c d, k l m n, e f g h &egrave; $ex triangu-
lis iam dictis. pyramis igitur ba-
$im habens &aelig;qualem tribus qua-
drilateris, &amp; altitudinem eandem
ip$i fru$to a g e$t &aelig;qualis. Eodem
modo illud dem&otilde;$trabitur in aliis
eiu$modi fru$tis.</P>
<P>Sit fru$tum coni, uel coni portionis a d; cuius maior ba-
$is circulus, uel ellip$is circa diametrum a b; minor circa
c d: &amp; $ecetur plano, quod ba$ibus &aelig;quidi$tet, faciatq; $e-
ctionem circulum, uel ellip$im circa diametrum e f, ita ut
inter circulos, uel ellip$es a b, c d $it proportionalis. Dico
conum, uel coni portionem, cuius ba$is e$t &aelig;qualis tribus
circulis, uel tribus ellip$ibus a b, e f, c d; &amp; altitudo eadem,
qu&aelig; fru$ti a d, ip$i fru$to &aelig;qualem e$$e. producatur enim
fru$ti $uperficies quou$que coeat in unum punctum, quod
$it g: &amp; coni, uel coni portionis a g b axis $it g h, occurrens
planis a b, e f, c d in punctis h k l: circa circulum uero de-
$cribatur quadratum m n o p, &amp; circa ellip$im rectangul&utilde;
m n o p, quod ex ip$ius diametris con$tat: iunctisq; g m,
g n, g o, g p, ex eodem uertice intelligatur pyramis ba$im
habens dictum quadratum, uel rectangulum: &amp; plana in
quibus $unt circuli, uel ellip$es e f, c d u$que ad eius latera
<foot>I</foot>
<pb>
preducantur. Quoniam igitur pyramis $ecatur planis ba$i
<marg>9 huius</marg>
&aelig;quidi$tantibus, $ectiones $imiles erunt: atque erunt qua-
drata, uel rectangula circa circulos, uel ellip$es de$cripta,
quemadmodum &amp; in ip$a ba$i. Sed cum circuli inter $e e&atilde;
<marg>2. duode-
cnni.</marg>
proportionem habeant, quam diametrorum quadrata:
itemq; ellip$es eam quam rectangula ex ip$arum diametris
<marg>7. de co-
noidibus
&amp; $ph&aelig;-
roidibus</marg>
con$tantia: &amp; $it circulus, uel ellip$is circa diametrum e f
<fig>
proportionalis inter circulos, uel ellip$es a b, c d; erit re-
ctangulum e f etiam inter rectangula a b, c d proportio-
nale: per rectangulum enim nunc breuitatis cau$a eti&atilde; ip-
$um quadratum intelligemus. quare ex iis, qu&aelig; proxime
dicta $unt, pyramis ba$im habens &aelig;qualem dictis rectangu
lis, &amp; altitudinem eandem, quam fru$tum a d, ip$i fru$to &agrave;
pyramide ab$ci$$o &aelig;qualis probabitur. ut autem rectangu
lum c d ad rectangul&utilde; e f, ita circulus, uel ellip$is c d ad e f
circulum, uel ellip$im: componendoq; ut rectangula c d,
e f, ad e f rectangulum, ita circuli, uel ellip$es e d, e f, ad e f:
&amp; ut rectangulum e f ad rectangulum a b, ita circulus, uel
ellip$is e f ad a b circulum, uel ellip$im. ergo ex &aelig;quali, &amp;
componendo, ut rect&atilde;gula c d, e f, a b ad ip$um a b, ita cir-
<foot>culi,</foot>
<p n=>34</p>
culi, uel ellip$es c d, e f a b ad circulum, uel ellip$im a b. In-
telligatur pyramis q ba$im habens &aelig;qualem tribus rectan
gulis a b, e f, c d; &amp; altitudinem e&atilde;dem, quam fru$tum a d.
intelligatur ctiam conus, uel coni portio q, eadem altitudi||
ne, cuius ba$is $it tribus circulis, uel tribus ellip$ibus a b,
e f, c d &aelig;qualis. po$tremo intelligatur pyramis a l b, cuius.
ba$is $it rectangulum m n o p, &amp; altitudo eadem, qu&aelig; fru-
$ti: itemq, intelligatur conus, uel coni portio a l b, cuius
ba$is circulus, uel ellip$is circa diametrum a b, &amp; eadem al
<marg>6. II. duo
decimi</marg>
titudo. utigitur rectangula a b, e f, c d ad rectangulum a b,
ita pyramis q ad pyramidem a l b; &amp; ut circuli, uel ellip-
$es a b, e f, c d ad a b circulum, uel ellip$im, ita conus, uel co
ni portio q ad conum, uel coni portionem a l b. conus
igitur, uel coni portio q ad conum, uel coni portionem
a l b e$t, ut pyramis q ad pyramidem a l b. $ed pyramis
a l b ad pyramidem a g b e$t, ut altitudo ad altitudinem, ex
20. huius: &amp; ita e$t conus, uel coni portio al b ad conum,
uel coni portionem a g b ex 14. duodccimi elementorum,
&amp; ex iis, qu&aelig; nos demon$trauimus in commentariis in un-
decimam de conoidibus, &amp; $ph&aelig;roidibus, propo$itione
quarta. pyramis autem a g b ad pyramidem c g d propor-
tionem habet compo$itam ex proportione ba$ium &amp; pro
portione altitudinum, ex uige$ima prima huius: &amp; $imili-
ter conus, uel coni portio a g b ad conum, uel coni portio-
nem c g d proportionem habet compo$it&atilde; ex ei$dem pro-
port&iacute;onibus, per ea, qu&aelig; in dictis commentariis demon-
$trauimus, propo$itione quinta, &amp; $exta: altitudo enim in<*>
utri$que eadem e$t, &amp; ba$es inter $e $e eandem habent pro-
portionem. ergo ut pyramis a g b ad pyramidem c g d, ita
e$t conus, uel coni portio a g b ad a g d conum, uel coni
portionem: &amp; per conuer$ion&etilde; rationis, ut pyramis a g b
ad $ru$t&utilde; &agrave; pyramide ab$ci$$um, ita conus uel coni portio
a g b ad fru$tum a d. ex &aelig;quali igitur, ut pyramis q ad fru-
$tum &agrave; pyramide ab$ci$$um, ita conus uel coni portio q ad
<foot>I 2</foot>
<pb>
fru$tum a d. Sed pyramis q &aelig;qualis e$t fru$to &agrave; pyramide
ab$ci$$o, ut demon$trauimus. ergo &amp; conus, uel coni por-
tio q, cuius ba$is ex tribus circulis, uel ellip$ibus a b, e f, c d
con$tat, &amp; altitudo eadem, qu&aelig; fru$ti: ip$i fru$to a d e$t &aelig;-
qualis. atque illud e$t, quod demon$trare oportebat.</P>
<head>THEOREMA XXI. PROPOSITIO XXVI.</head>
<P>CVIVSLIBET fru$ti &agrave; pyramide, uel cono,
uel coni portione ab$cis$i, centrum grauitatis e$t
in axe, ita ut eo primum in duas portiones diui-
$o, portio $uperior, qu&aelig; minorem ba$im attingit
ad portionem reliquam eam habeat proportio-
nem, quam duplum lateris, uel diametri maioris
ba$is, vn&agrave; cum latere, uel diametro minoris, ip$i
re$pondente, habet ad duplum lateris, uel diame-
tri minoris ba$is vn&agrave; c&utilde; latere, uel diametro ma-
ioris: deinde &agrave; puncto diui$ionis quarta parte $u
perioris portionis in ip$a $umpta: &amp; rur$us ab in-
ferioris portionis termino, qui e$t ad ba$im maio
rem, $umpta quarta parte totius axis: centrum $it
in linea, qu&aelig; his finibus continetur, atque in eo li
ne&aelig; puncto, quo $ic diuiditur, ut tota linea ad par
tem propinquiorem minori ba$i, e&atilde;dem propor-
tionem habeat, quam fru$tum ad pyramid&etilde;, uel
conum, uel coni portionem, cuius ba$is $it ea-
dem, qu&aelig; ba$is maior, &amp; altitudo fru$ti altitudini
&aelig;qualis.</P>
<foot>Sit</foot>
<p n=>35</p>
<P>Sit fru$tum a e a pyramide, qu&aelig; triangularem ba$im ha-
beat ab$ci$$um: cuius maior ba$is triangulum a b c, minor
d e f; &amp; axis g h. ducto autem plano per axem &amp; per line&atilde;
d a, quod $ectionem faciat d a <G>k</G> l quadrilaterum; puncta
K l lineas b c, e f bifariam $ecabunt. nam cum g h $it axis
fru$ti: erit h centrum grauitatis trianguli a b c: &amp; g
<fig>
<marg>3. diffi. hu
ius.</marg>
centrum trianguli d e f: cen-
trum uero cuiuslibet triangu
li e$t in recta linea, qu&aelig; ab an-
gulo ip$ius ad dimidi&atilde; ba$im
ducitur ex decimatertia primi
libri Archimedis de c&etilde;tro gra
<marg>Vltima e-
iu$d&etilde; libri
Archime-
dis.</marg>
uitatis planorum. quare cen-
tr&utilde; grauitatis trapezii b c f e
e$t in linea K l, quod $it m: &amp; &agrave;
puncto m ad axem ducta m n
ip$i a k, uel d l &aelig;quidi$tante;
erit axis g h diui$us in portio-
nes g n, n h, quas diximus: ean
dem enim proportionem ha-
bet g n ad n h, qu&atilde; l m ad m k.
At l m ad m K habet eam, qu&atilde;
duplum lateris maioris ba$is
b c una cum latere minoris e f
ad duplum lateris e f un&agrave; cum
latere b c, ex ultima eiu$dem
libri Archimedis. Itaque &agrave; li-
nea n g ab$cindatur, quarta
pars, qu&aelig; fit n p: &amp; ab axe h g ab$cindatur itidem
quarta pars h o: &amp; quam proportionem habet fru$tum ad
pyramidem, cuius maior ba$is e$t triangulum a b c, &amp; alti-
tudo ip$i &aelig;qualis; habeat o p ad p q. Dico centrum graui-
tatis fru$ti e$$e in linea p o, &amp; in puncto q. namque ip$um
e$$e in linea g h manife$te con$tat. protractis enim fru$ti pla
<pb>
nis, quou$que in unum punctum r conueniant; erit pyra-
midis a b c r, &amp; pyramidis d e f r grauitatis centrum in li-
nca r h. ergo &amp; reliqu&aelig; magnitudinis, uidelicet fru$ti cen-
trum in eadem linea nece$lario comperietur. Iungantur
d b, d c, d h, d m: &amp; per lineas d b, d c ducto altero plano
intelligatur fru$tum in duas pyramides diui$um: in pyra-
midem quidem, cuius ba$is e$t triangulum a b c, uertex d:
&amp; in eam, cuius idem uertex, &amp; ba$is trapezium b c f e. erit
igitur pyramidis a b c d axis d h, &amp; pyramidis b c f e d axis
d m: atque erunt tres axes gh, d h, d m in eodem plano
d a K l. ducatur pr&aelig;terea per o linea $t ip$i a K &aelig;quidi$t&atilde;s,
qu&aelig; lineam d h in u $ecet: per p uero ducatur x y &aelig;quidi-
<fig>
$tans eidem, $ecansque d m in
z: &amp; iungatur z u, qu&aelig; $ecet
g h in <G>*f.</G> tran$ibit ea per q: &amp;
erunt <G>*f</G> q unum, atque idem
punctum; ut inferius appare-
bit. Quoniam igitur linea u o
<marg>2. $exti.</marg>
&aelig;quidi$tat ip$i d g, erit d u ad
u h, ut g o ad o h. Sed g o tri-
pla e$t o h. quare &amp; d u ip$ius
u h e$t tripla: &amp; ideo pyrami-
dis a b c d centrum grauitatis
erit punctum u. Rur$us quo-
niam z y ip$i d l &aelig;quidi$tat, d z
ad z m e$t, ut l y ad y m: e$tque
l y ad y m, ut g p ad p n. ergo
d z ad z m e$t, ut g p ad p n.
Qu&ograve;d cum g p $it tripla p n;
erit etiam d z ip$ius z m tri-
pla. atque ob candem cau$-
$am punctuniz e$t centr&utilde; gra-
uitatis pyramidis b c f e d. iun
ctaigitur z u, in ea erit c&etilde;trum
<foot>gra-</foot>
<p n=>36</p>
grauitatis magnitudinis, qu&aelig; ex utri$que pyramidibus c&otilde;
$tat; hoc e$t ip$ius fru$ti. Sed fru$ti centrum e$t etiam in a-
xe g h. ergo in puncto <G>*f,</G> in quo line&aelig; z u, g h conu<*>niunt.
<marg><*>. primi
libri Ar-
chunedis
de c&etilde;tro
gr<*>u ta-
tis plano
tu<*>n</marg>
Itaque u <*> ad <G>*f</G> z eam proportionem habet, quam pyramis
b c f e d ad pyramidem a b c d. &amp; componendo u z ad z <G>*f</G>
eam habet, quam fru$tum ad pyramidem a b c d. Vtuero
u z ad z <*>, ita o p ad p <G>*f</G> ob $imilitudinem triangulorum,
u o <*>, z p <G>*f.</G> quare o p ad p <G>*f</G> e$t ut fru$tum ad pyramidem
a b c d. $ed ita erat o p ad p q. &aelig;quales igitur $unt p <*>, p q: <*>
<marg>7. quinti.</marg>
q <G>*f</G> unum atque idem pun ctum. ex quibus $equitur lineam.
z u $ecare o p in q: &amp; propterea p&utilde;ctum q ip$ius fru$ti gra-
uitatis centrum e$$e.</P>
<P>Sit fru$tum a g &agrave; pyramide, qu&aelig; quadrangularem ba$im
habeat ab$ci$$um, cuius maior ba$is a b c d, minor e f g h,
&amp; axis <G>k</G> l. diuidatur autem prim&utilde; k l, ita ut quam propor-
tionem habet duplum lateris a b un&agrave; cum latere e f ad du
plum lateris e f un&agrave; cum a b; habeat k m ad m l. deinde &agrave;
p&utilde;cto m ad k $umatur quarta pars ip$ius m <G>k,</G> qu&aelig; $it m n.
&amp; rur$us ab l $umatur quarta pars totius axis l k, qu&aelig; $it
l o. po$tremo fiat o n ad n p, ut fru$tum a g ad pyramid&etilde;,
cuius ba$is $it eadem, qu&aelig; fru$ti, &amp; altitudo &aelig;qualis. Dico
punctum p fru$ti a g grauitatis centrum e$$e. ducantur
enim a c, e g: &amp; intelligantur duo fru$ta triangulares ba-
$es habentia, quorum alterum l f ex ba$ibus a b c, e f g c&otilde;-
$tet; alterum l h ex ba$ibus a c d, e g h. Sitq; fru$ti l f axis
q r; in quo grauitatis centrum s: fru$ti uero l h axis t u, &amp;
x grauitatis centrum: deinde iungantur u r, t q, x s. tran$i-
bit u r per l: quoniam l e$t centrum grauitatis quadran-
guli a b c d: &amp; puncta r u grauitatis centra triangulorum
a b c, a c d; in qu&aelig; quadrangulum ip$um diuiditur. eadem
quoque ratione t q per punctum k tran$ibit. At uero pro
portiones, ex quibus fru$torum grauitatis centra inquiri-
mus, e&aelig;dem $unt in toto fru$to a g, &amp; in fru$tis l f, l h. Sunt
enim per octauam huius quadrilatera a b c d, e f g h $imilia:
<pb>
itemq; $imilia triangula a b c, e f g: &amp; a c d, e g h. idcir-
coq; latera $ibi ip$is re$pondentia eandem inter $e$e pro-
portionem $eruant. Vt igitur duplum lateris a b un&agrave;
cum latere e f ad duplum lateris e f un&agrave; cum a b, ita e$t
<fig>
duplum a d late-
ris una cum late-
re e h ad duplum
e h un&agrave; cum a d:
&amp; ita in aliis.
Rur$us fru$tum
a g ad pyramid&etilde;,
cuius eadem e$t
ba$is, &amp; &aelig;qualis
altitudo eandem
proportion&etilde; ha
bet, quam fru$t&utilde;
l f ad pyramid&etilde;,
qu&aelig; e$t ead&etilde; ba-
$i, &amp; &aelig;quali alti-
tudine: &amp; $imili-
ter quam l h fru-
$tum ad pyrami-
dem, qu&aelig; ex ea-
d&etilde; ba$i, &amp; &aelig;quali
altitudine con-
$tat. nam $i inter
ip$as ba$es me-
di&aelig; proportio-
nales con$tituan
tur, tres ba$es $imul $umpt&aelig; ad maiorem ba$im in om-
nibus codem modo $e habebunt. Vnde fit, ut axes K l,
q r, t u &agrave; punctis p s x in eandem proportionem $ecen-
<marg>a. $exti.</marg>
tur. ergo linea x s per p tran$ibit: &amp; line&aelig; r u, s x, q t in-
ter $e &aelig;quidi$tantes erunt. Itaque cum fru$ti a g latera pro-
<foot>ducta</foot>
<p n=>37</p>
ducta $uerint, ita ut in unum punctum y cocant, erunt tri&agrave;
gala u y l, x y p, t y k inter $e $imilia: &amp; $imilia etiam triangu
la l y r, p y s, k y q. quare ut in 19 huius, demon$trabitur
x p, ad p s: itemq; t <G>k</G> ad k q candem habere proportion&etilde;,
quam u l ad l r. Sed ut u l ad l <*>, ita e$t triangulum a b c ad
triangulum a c d: &amp; ut t k ad K q, ita triangulum e f g ad
triangulum e g h. Vt autem triangulum a b c ad triangu-
lum a c d, ita pyramis a b c y ad pyramidem a c d y. &amp; ut
triangulum e f g ad triangulum e g h, ita pyramis e f g y
ad pyramidem e g h y; ergo ut pyramis a b c y ad pyramid&etilde;
<marg>19. quinti</marg>
a c d y, ita pyramis e f g y ad pyramidem e g h y. reliquum
igitur fru$t&utilde; l f ad reliquum fru$t&utilde; l h e$t ut pyramis a b c y
ad pyramidem a c d y, hoc e$t ut u l ad l r, &amp; ut x p ad p s.
Qu&ograve;d cum fru$ti l f centrum grauitatis $its: &amp; fru$ti l h $it
<marg>8. Archi-
medis.</marg>
centrum x: con$tat punctum p totius fru$ti a g grauitatis
e$$e centrum. Eodem modo fret demon$tratio etiam in
aliis pyramidibus.</P>
<P>Sit fru$tum a d &agrave; cono, uel coni portione ab$ci$$um, eu-
ius maior ba$is circulus, uel ellip$is circa diametrum a b;
minor circa diametrum c d: &amp; axis e f. diuidatur aut&etilde; e f
in g, ita ut e g ad g f eandem proportionem habeat, quam
duplum diametri a b un&agrave; cum diametro e d ad duplum c d
un&agrave; cum a b. Sitq; g h quarta pars line&aelig; g e: &amp; $it $ K item
quarta pars totius f e axis. Rur$us quam proportionem
habet fru$tum a d ad conum, uel coni portionem, in cad&etilde;
ba$i, &amp; &aelig;quali altitudine, habeat linea K h ad h l. Dico pun-
ctum l fru$ti a d grauitatis centrum e$$e. Si enini fieri po-
te$t, $it m centrum: producaturq; l m extra fru$tum in n:
&amp; ut n l ad l m, ita fiat circulus, uel ellip$is circa diametr&utilde;
a b ad aliud $pacium, in quo $it o. Itaque in circulo, uel
ellip$i circa diametrum a b rectilinea figura plane de$cri-
batur, ita ut qu&aelig; relinquuntur portiones $int o $pacio mi-
nores: &amp; intelligatur pyramis a p b, ba$im habens rectili-
neam figuram in circulo, uel ellip$i a b de$criptam: &agrave; qua
<foot><*></foot>
<pb>
fru$tum pyramidis $it ab$ci$$um. erit ex iis qu&aelig; proxime
tradidimus, fru$ti pyramidis a d ceutrum grauitatis l. Quo
niam igitur portiones $pacio o minores $unt; habebit cir
<fig>
culus, uel ellip$is a b ad
portiones dictas maior&etilde;
proportionem, qu&agrave;m n l
ad l m. $ed ut circulus, uel
ellip$is a b ad portiones,
ita a p b conus, uel coni
portio ad $olidas portio-
nes, id quod $upra demon
$tratum e$t: &amp; ut circulus
<marg>22. huius</marg>
uel ellip$is c d ad portio-
nes, qu&aelig; ip $i in$unt, ita co
nus, uel coni portio c p d
ad $olidas ip$ius portio-
nes. Qu&ograve;d cum figur&aelig; in
circulis, uel ellip$ibus a b
c d de$cript&aelig; $imiles $int,
erit proportio circuli, uel
ellip$is a b ad $uas portio
nes, ead&etilde;, qu&aelig; circuli uel
ellip$is c d ad $uas. ergo
conus, uel coni portio a p
b ad portiones $olidas e&atilde;-
dem habet proportion&etilde;,
quam conus, uel coni por
tio c p d ad $olidas ip$ius
<marg>19. qu&iacute;nti</marg>
portiones. reliquum igi-
tur coni, uel coni portionis fru$t&utilde;, $cilicet a d ad reliquas
portiones $olidas in ip$o contentas eandem proportion&etilde;
habet, quam conus, uel coni portio a p b ad $olidas portio
nes: hoc e$t eandem, quam circulus, uel ellip$is a b ad por
tiones planas. quare fru$tum coni, uel coni portionis a d
<foot>ad</foot>
<p n=>38</p>
ad portiones $olidas maiorem habet proportion&etilde;, qu&agrave;m
n l ad l m: &amp; diuidendo fru$tum pyramidis ad dictas por-
tiones maiorem proportionem habet, qu&agrave;m n m ad m l.
fiat igitur ut fru$tum pyramidis ad portiones, ita q m ad
m l. Itaque quoniam &agrave; fru$to coni, uel coni portionis a d,
cuius grauitatis centrum e$tm, au$ertur fru$tum pyrami-
dis habens centrum l; erit reliqu&aelig; magnitudinis, qu&aelig; ex
portionibus $olidis con$tat; grauitatis c&etilde;trum in linea l m
producta, atque in puncto q, extra figuram po$ito: quod
fieri nullo modo pote$t. relinquitur ergo, ut punctum l $it
fru$ti a d grauitatis centrum. quz omnia demon$tranda
proponebantur.</P>
<head>THEOREMA XXII. PROPOSITIO XXVII.</head>
<P>OMNIVM $olidorum in $ph&aelig;ra de$cripto-
rum, qu&aelig; &aelig;qualibus, &amp; $imilibus ba$ibus conti-
nentur, centrum grauitatis e$t idem, quod $ph&aelig;-
r&aelig; centrum.</P>
<P>Solida eiu$modi corpora regularia appellare $olent, de
quibus agitur in tribus ultimis libris elementorum: $unt
autem numero quinque, tetrahedrum, uel pyramis, hexa-
hedrum, uel cubus, octahedrum, dodecahedrum, &amp; ico$a-
hedrum.</P>
<P>Sit primo a b c d pyramis &itilde; $ph&aelig;ra de$cripta, cuius $ph&aelig;
r&aelig; centrum $it e. Dico e pyramidis a b c d grauitatis e$$e
centrum. Si enim iuncta d c producatur ad ba$im a b c in
f; exiis, qu&aelig; demon$trauit Campanus in quartodecimo li
bro elementorum, propo$itione decima quinta, &amp; decima
feptima, erit f centrum circuli circa triangulum a b c de-
fcripti: atque erit e f $exta pars ip$ius $ph&aelig;r&aelig; axis. quare
ex prima huius con$tat trianguli a b c grauitatis centrum
e$$e punctum f: &amp; idcirco lineam d f e$$e pyramidis axem.
<foot>K 2 <*></foot>
<pb>
<fig>
At cum e f $it $exta pars axis
$ph&aelig;r&aelig;, crit d e tripla e f. ergo
punctum e e$t grauitatis cen-
trum ip$ius pyramidis: quod
in uige$ima $ecunda huius de-
mon$tratum $uit. Sed e e$t cen
trum $ph&aelig;r&aelig;. Sequitur igitur,
ut centrum grauitatis pyrami-
dis in $ph&aelig;ra de$cript&aelig; idem
$it, quod ip$ius $ph&aelig;r&aelig; cen-
trum.</P>
<P>Sit cubus in $ph&aelig;ra de$criptus a b, &amp; oppo$itorum pla-
norum lateribus bifariam diui$is, per puncta diui$ionum
plana ducantur, ut communis ip$orum $ectio $it rectali-
nea c d. Itaque $i ducatur a b, $olidi $cilicet diameter, line&aelig;
a b, c d ex trige$iman onaun decimi$e$e bifariam $ecabunt.
<fig>
$ecent autem in puncto e. erit,
e centr&utilde; grauitatis $olidi a b,
id quod demon$tratum e$t in
octaua huius. Sed quoniam ab
e$t $ph&aelig;r&aelig; diametro &aelig;qualis,
ut in decima quinta propo$i-
tione tertii decimilibri elem&etilde;
torum o$tenditur: punctum e
$ph&aelig;r&aelig; quoque centrum erit.
Cubi igitur in $ph&aelig;ra de$cri-
pti grauitatis centrum idem
e$t, quod centrum ip$ius $ph&aelig;r&aelig;.</P>
<P>Sit octahedrum a b c d e f, in $ph&aelig;ra de$criptum, cuius
$ph&aelig;r&aelig; centrum $itg. Dico punctum g ip$ius octahedri
grauitatis centrum e$$e. Con$tat enim ex iis, qu&aelig; demon-
$trata $unt &agrave; Campano in quinto decimo libro elemento-
rum, propo$itione $extadecima eiu$modi $olidum diuidi
in duas pyramides &aelig;quales, &amp; $imiles; uidelicet in pyrami-
<foot>dem,</foot>
<p n=>39</p>
dem, cuius ba$is e$t quadratum a b c d, &amp; altitudo e g: &amp;
in pyramidem, cuius ead&etilde; ba$is, altitudoq; f g; ut $int e g,
g f $emidiametri $ph&aelig;r&aelig;, &amp; linea una. C&utilde;igitur g $it $ph&aelig;-
r&aelig; centrum, erit etiam centrum circuli, qui circa quadrat&utilde;
a b c d de$cribitur: &amp; propterea eiu$dem quadrati grauita
tis centrum: quod in prima propo$itione huius demon-
$tratum e$t. quare pyramidis a b c d e axis erit e g: &amp; pyra
midis a b c d f axis f g. Itaque $ith centrum grauitatis py-
ramidis a b c d e, &amp; pyramidis a b c d f centrum $it <I>K:</I> per-
$picuum e$t ex uige$ima $ecunda propo$itione huius, line&atilde;
<fig>
c h triplam e$$e h g: c&otilde;
ponendoq; e g ip$ius g
h quadruplam. &amp; ead&etilde;
ratione f g quadrupl&atilde;
ip$ius g <G>k.</G> quod cum e
g, g f $int &aelig;quales, &amp; h
g, g <I>K</I> nece$$ario &aelig;qua-
les erunt. ergo ex quar
ta propo$itione primi
libri Archimedis de c&etilde;-
tro grauitatis planor&utilde;,
totius octahedri, quod
ex dictis pyramidibus
con$tat, centrum graui
tatis erit punctum g idem, quod ip$ius $ph&aelig;r&aelig; centrum.</P>
<P>Sit ico$ahedrum a d de$criptum in $ph&aelig;ra, cuius centr&utilde;
$it g. Dico g ip$ius ico$ahedri grauitatis e$$e centrum. Si
enim ab angulo a per g ducatur recta linea u$que ad $ph&aelig;
r&aelig; $uperficiem; con$tat ex $exta decima propo$itione libri
tertii decimi elementorum, cadere eam in angulum ip$i a
oppo$itum. cadat in d: $itq; una aliqua ba$is ico$ahedri tri-
angulum a b c: &amp; iunct&aelig; b g, c g producantur, &amp; cadant in
angulos e f, ip$is b c oppo$itos. Itaque per triangula
a b c<*> d e f ducantur plana $ph&aelig;ram $ecantia<*> erunt <*> $e-
<pb>
ctiones circuli ex prima propo$itione $ph&aelig;ricorum Theo
do$ii: unus quidem circa triangulum a b c de$criptus: al-
ter uero circa d e f: &amp; quoniam triangula a b c, d e f &aelig;qua-
lia $unt, &amp; $imilia; erunt ex prima, &amp; $ecunda propo$itione
duodecimi libri clementorum, circuli quoque inter $e $e
&aelig;quales. po$tremo a centro g ad circulum a b c perpendi
cularis ducatur g h; &amp; alia perpendicularis ducatur ad cir
culum d e f, qu&aelig; $it g k; &amp; iungantur a h, d <G>k.</G> per$picuum
e$t ex corollario prim&aelig; $ph&aelig;ricorum Theodo$ii, punctum
h centrum e$$e circuli a b c, &amp; <G>k</G> centrum circuli d e f. Quo
niam igitur triangulorum g a h, g d K latus a g e$t &aelig;quale la
teri g d; $unt enim &agrave; centro $ph&aelig;r&aelig; ad $uperficiem: atque
e$t a h &aelig;quale d k: &amp; ex $exta propo$itione libri primi $ph&aelig;
ricorum Theodo$ii g h ip$i g K: triangulum g a h &aelig;quale
erit, &amp; $imile g d <G>k</G> triangulo: &amp; angulus a g h &aelig;qualis an-
<marg>13. primi</marg>
gulo d g <I>K.</I> $ed anguli a g h, h g d $unt &aelig;quales duobus re-
ctis. crgo &amp; ip$i h g d, d g <G>k</G> duobus rectis &aelig;quales erunt.
<marg>14. primi</marg>
&amp; idcirco h g, g <I>K</I> una, atque eadem erit linea. cum autem
<fig>
h $it centr&utilde; circuli, &amp; tri-
anguli a b c grauitatis cen
tr&utilde; probabitur exiis, qu&aelig;
in prima propo$itione hu
ius tradita $unt. quare g h
erit pyramidis a b c g axis.
&amp; ob eandem cau$$am g k
axis pyramidis d e f g. lta-
que centrum grauitatls py
ramidis a b c g $it p&utilde;ctum
l, &amp; pyramidis d e f g $it m.
Simillter ut $upra demon-
$trabimus m g, g linter $e &aelig;quales e$$e, &amp; punctum g graui
tatis centrum magnitudinis, qu&aelig; ex utri$que pyramidibus
con$tat. eodem modo demon$trabitur, quarumcunque
duarum pyramidum, qu&aelig; opponuntur, grauitatis centr&utilde;
<foot><*></foot>
<p n=>40</p>
e$$e punctum g. Sequitur ergo utico$ahedri centrum gra
uitatis $it idem, quod ip$ius $ph&aelig;r&aelig; centrum.</P>
<P>Sit dodecahedrum a f in $ph&aelig;ra de$ignatum, $itque $ph&aelig;
r&aelig; centrum m. Dico m centrum e$$e grauitatis ip$ius do-
decahedri. Sit enim pentagonum a b c d e una ex duode-
cim ba$ibus $olidi a f: &amp; iuncta a m producatur ad $ph&aelig;r&aelig;
$uperficiem. cadet in angulum ip$i a oppo$itum; quod col-
ligitur ex decima $eptima propo$iticne tertiidecimi libri
clementorum. cadat in f. at $i ab aliis angulis b c d e per c&etilde;
trum itidem line&aelig; ducantur ad $uperficiem $ph&aelig;r&aelig; in pun
cta g h <G>k</G> l; cadent h&aelig; in alios angulos ba$is, qu&aelig; ip$i a b c d
ba$i opponitur. tran$eant ergo per pentagona a b c d e,
f g h K l plana $ph&aelig;ram $ecantia, qu&aelig; facient $ectiones cir-
culos &aelig;quales inter $e $e: po$tea ducantur ex centro $ph&aelig;r&aelig;
<fig>
m perpendiculares ad pla-
na dictorum circulor&utilde;; ad
circulum quidem a b c d e
perpendicularis m n: &amp; ad
circulum f g h K l ip$a m o,
<marg>corol. pri
m&aelig; fph&aelig;
ricorum
Theod.</marg>
erunt puncta n o circulor&utilde;
centra: &amp; line&aelig; m n, m o in
ter $e &aelig;quales: qu&ograve;d circu-
<marg>6. primi
ph&aelig;rico
rum.</marg>
li &aelig;quales $int. Eodem mo
do, quo $upra, demon$trabi
mus lineas m n, m o in un&atilde;
atque eandem lineam con-
uenire. ergo cum puncta n o $int centra circulorum, con-
$tat ex prima huius &amp; pentagonor&utilde; grauitatis e$$e centra:
idcircoq; m n, m o pyramidum a b c d e m, f g h <I>K</I> l m axes.
ponatur a b c d e m pyramidis grauitatis centrum p: &amp; py
ramidis f g h <G>k</G> l m ip$um q centrum. erunt p m, m q &aelig;qua-
les, &amp; punctum m grauitatis centrum magnitudinis, qu&aelig;
ex ip$is pyramidibus con$tat. eod&etilde; modo probabitur qua-
rumlibet pyramidum, qu&aelig; &egrave; regione opponuntur, centr&utilde;
<pb>
grauitatis e$$e punctum m. patetigitur totius dodecahe-
dri, centrum grauitatis id&etilde; e$$e, quod &amp; $ph&aelig;r&aelig; ip$um com
prehendentis centrum. qu&aelig; quidem omnia demon$tra$$e
oportebat.</P>
<head>PROBLEMA VI. PROPOSITIO XXVIII.</head>
<P>DATA qualibet portione conoidis rectangu
li, ab$ci$$a plano ad axem recto, uel non recto; fie-
ri pote$t, ut portio $olida in$cribatur, uel circum-
$cribatur ex cylindris, uel cylindri portionibus,
&aelig;qualem habentibus altitudinem, ita ut recta li-
nea, qu&aelig; inter centrum grauitatis portionis, &amp;
figur&aelig; in$cript&aelig;, uel circum$cript&aelig; interiicitur,
$it minor qualibet recta linea propo$ita.</P>
<P>Sit portio conoidis rectanguli a b c, cuius axis b d, gra-
uitatisq; centrum e: &amp; $it g recta linea propo$ita. quam ue
ro proportionem habet linea b e ad lineam g, eandem ha-
beat portio conoidis ad $olidum h: &amp; circum$cribatur por
tioni figura, $icuti dictum e$t, ita ut portiones reliqu&aelig; $int
$olido h minores: cuius quidem figur&aelig; centrum grauitatis
$it punctum <G>k.</G> Dico line&atilde; k e minorem e$$e linea g propo-
$ita. ni$i enim $it minor, uel &aelig;qualis, uel maior erit. &amp; quo-
niam figura circum$cripta ad reliquas portiones maiorem
<marg>8. qu&iacute;nti.</marg>
proportionem habet, qu&agrave;m portio conoidis ad $olidum h;
hoc e$t maiorem, qu&agrave;m b c ad g: &amp; b e ad g non minorem
habet proportionem, qu&agrave;m ad k e, propterea quod k e non
ponitur minor ip$a g: habcbit figura circum$cripta ad por
tiones reliquas maiorem proportionem qu&agrave;m b e ad e k:
<marg>29. qu&iacute;nti
ex tradi-
tione C&atilde;-
l ani.</marg>
&amp; diuidendo portio conoidis ad reliquas portiones habe-
bit maiorem, qu&agrave;m b <G>k</G> ad K e. quare $i fiat ut portio co-
<foot>noidis</foot>
<p n=>41</p>
noidis ad portiones reliquas, ita alia linea, qu&aelig; $it l <G>k</G> ad
<G>k</G> e: erit l k maior, quam b k: &amp; ideo punctum l extra por-
<fig>
tionem cadet. Quoni&atilde;
igitur &agrave; figura circum-
$cripta, cuius grauitatis
centrum e$t k, aufertur
portio conoidis, cuius
centrum e. habetq; l K
ad K e eam proportio-
nem, quam portio co-
noidis ad reliquas por-
tiones; erit punctum l
extra portionem cad&etilde;s,
centrum magnitudinis
ex reliquis portionibus compo$it&aelig;. illud autem fieri nullo
modo pote$t. quare con$tat lineam k e ip$a g linea propo$i
ta minorem e$$e.</P>
<P>Rur$us in$cribatur portioni figura, uidelicet cylindr us
<fig>
m n, ut $it ip$ius altitudo
&aelig;qualis dimidio axis b d:
&amp; quam proportionem
habet b e ad g, habeat m n
cylindrus ad $olidum o.
in$cribatur deinde eidem
alia figura, ita ut portio-
nes reliqu&aelig; $int $olido o
minores: &amp; centrum gra
uitatis figur&aelig; $it p. Dico
lineam p e ip$a g minor&etilde;
e$$e. $i enim n<*>n $it mi-
nor, codem, quo $upra modo demon$trabimus figuram in
$criptam ad reliquas portiones maiorem proportionem
habere, qu&agrave;m b e ad e p. &amp; $i fiat alia linea l e ad e p, ut e$t
figura in$cripta ad reliquas portiones, p&utilde;ctum l extra por
<foot>L</foot>
<pb>
tionem cadet: Itaque cum &agrave; portione conoidis, cuius gra-
uitatis centrum e auferatur in$cripta figura, centrum ha-
bens p: &amp; $itl e ad e p, ut figura in$cripta ad portiones reli
quas: erit magnitudinis, qu&aelig; ex reliquis portionibus con
$tat, centrum grauitatis punctum l, extra portionem ca-
dens. quod ficrinequit. ergo linca p e minor e$tip$a g li-
nea propo$ita.</P>
<P>Ex quibus per$picuum e$t centrum grauitatis
figur&aelig; in$cript&aelig;, &amp; circum$cript&aelig; eo magis acce
dere ad portionis centrum, quo pluribus cylin-
dris, uel cylindri portionibus con$tet: fiat&qacute;; figu
rain$cripta maior, &amp; circum$cripta minor. &amp;
quanquam continenter ad portionis centr&utilde; pro-
pius admoueatur: nunquam tamen ad ip$um per
ueniet. $equeretur enim figuram in$criptam, n&otilde;
$olum portioni, $ed etiam circum$cript&aelig; figur&aelig;
&aelig;qualem e$$e. quod e$t ab$urdum.</P>
<head>THEOREMA XXIII. PROPOSITIO XXIX.</head>
<P>CVIVSLIBET portionis conoidis rectangu-
li axis &agrave; c&etilde;tro grauitatis ita diuiditur, ut pars qu&aelig;
terminatur ad uerticem, reliqu&aelig; partis, qu&aelig; ad ba
$im $it dupla.</P>
<P>SIT portio conoidis rectanguli uel ab$ci$$a plano ad
axem recto, uel non recto: &amp; $ecta ip$a altero plano per ax<*>
$it $uperficici $ectio a b crectanguli coni $ectio, uel parabo
le; plani ab$cindentis portionem $ectio $it recta linea a c:
axis portionis, &amp; $ectionis diameter b d. Sumatur autem
in linea b d punctum e, ita ut b e $itip$ius e d dupla. Dico
<foot>e por-</foot>
<p n=>42</p>
<fig>
e portionis a b
c grauitatis e$$e
centrum. Diui-
datur enim b d
bifariam in m:
&amp; rur$us d m, m
b bifariam diui-
dantur in pun-
ctis n, o: in$cri-
baturq; portio-
ni figura $olida,
&amp; altera circum
$cribatur ex cy-
lindris &aelig;qualem
altitudinem ha-
bentibus, ut$u-
perius dict&utilde; e$t'.
Sit autem pri-
mum figura in-
$cripta cyl&itilde;drus
f g: &amp; circ&utilde;$cri-
pta ex cylindris
a h, K<*> con$tet.
<marg>7. huius</marg>
punctum n erit
centrum graui-
tatis figur&aelig; in-
fcript&aelig;, medi&utilde;
$cilicet ip$ius d
m axis: atq; id&etilde;
erit centrum cy
lindri ah: &amp; cy-
lindri <G>k</G> l centr&utilde;
o, axis b m me-
dium. quare $i li
<foot>L 2</foot>
<pb>
<fig>
neam o n ita di
ui$c<*>imus in p,
ut qu&atilde; propor-
tion&etilde; habet cy-
lindrus a h ad
cylindrum <G>k</G> l,
habeat linea o p
<marg><*>imi
<*> Ar-
<*>dis</marg>
ad p n: centrum
grauitatis toti-
us figur&aelig; circ&utilde;-
$cript&aelig; erit pun
<marg><*>o.
<*>li.</marg>
ctum p. Sed cy-
lindri, qui $unt
&aelig;quali altitudi-
ne, eandem in-
ter $e $e, quam
ba$es propor&mdash;
tionem habent:
e$tq; ut linea d b
ad b m, ita qua-
drat&utilde; line&aelig; a d
ad quadrat&utilde; ip-
$ius K m, ex uige
$ima primi libri
<marg><*>inti</marg>
conicor&utilde; &amp; ita
quadratum a c
ad quadrat&utilde; K
<marg><*>de-</marg>
g: hoc e$t circu-
lus circa diame
trum a c ad cir-
culum circa dia
metrum k g. du
pla e$t autem li-
nca d b line&aelig;
<foot>b m.</foot>
<p n=>43</p>
b m. crgo circulus a c circuli k g: &amp; idcirco cylindrus
a h cylindri k. l duplus erit. quare &amp; linea o p dupla
ip$ius p n. Deinde in$cripta &amp; circum$cripta portioni
alia figura, ita ut in$cripta con$tituatur ex tribus cylin-
dris q r, s g, t u: circum$cripta uero ex quatuor a x, y z,
K <G>g, q l:</G> diuidantur b o, o m, m n, n d bifariam in punctis
<G>m g p r.</G> Itaque cylindri <G>q l</G> centrum grauitatis e$t punctum
<G>m:</G> &amp; cylindri <G>k <*></G> centrum <G>g.</G> ergo $i linea <G>m g</G> diuidatur in <G>s,</G>
ita ut <G>m s</G> ad <G>s g</G> proportion&etilde; ea habeat, quam cylindrus K <G><*></G>
ad cylindrum <G>q l,</G> uidelicet quam quadratum <G>k</G> nr ad qua-
<marg>20. primi
conicor</marg>
dratum <*> o, hoc e$t, quam linea m b ad b o: erit <G>s</G> centrum
magnitudinis compo$it&aelig; ex cylindris <G>k g, q l.</G> &amp; cum linca
m b $it dupla b o, erit &amp; <G>m s</G> ip$ius <G>s g</G> dupla. pr&aelig;terea quo-
niam cylindri y z centrum grauitatis e$t <G>p,</G> linea <G>s p</G> ita diui
$ain <G>t,</G> ut <G>s t</G> ad <G>t p</G> eam habeat proportionem, quam cylin
drus y z ad duos cylindros K <G>g, q l:</G> crit <G>t</G> centrum magnitu
dinis, qu&aelig; ex dictis tribus cylindris con$tat. cylindrus au-
t&etilde; y z ad cylindrum <G>q l</G> e$t, utlinea n b ad b o, hoc e$t ut 3
ad 1: &amp; ad cylindrum k <G><*>,</G> ut n b ad b m, uidelicet ut 3 ad 2.
quare y z cyl&itilde;drus duobus cylindris k <G>g, q l</G> &aelig;qualis erit. &amp;
propterea linea <G>s t</G> &aelig;qualis ip$i <G>t p.</G> denique cylindri a x
centrum grauitatis e$t punctum <G>r.</G> &amp; cum <G>t r</G> diui$a fuerit
in e&atilde; proportionem, quam habet cylindrus ax ad tres cy-
lindros y z, k <G>g, q l:</G> erit in eo puncto centrum grauitatis
totius figur&aelig; circ&utilde;$cript&aelig;. Sed cylindrus a x ad ip$um y z
e$t ut linea d b ad b n: hoc e$t ut 4 ad 3: &amp; duo cylindri k <G>h
q l</G> cylindro y z $unt &aelig;quales. cylindrus igitur a x ad tres
iam dictos cylindros e$t ut 2 ad 3. Sed quoni&atilde; <G>m s</G> e$t dua-
rum partium, &amp; <G>s g</G> unius, qualium <G>m p</G> e$t $ex; erit <G>s p</G> par-
tium quatuor: proptereaq; <G>t p</G> duarum, &amp; <G>g p,</G> hoc e$t <G>p r</G>
trium. quare $equitur ut punctum <G>p</G> totius figur&aelig; circum
$cript&aelig; $it centrum. Itaque fiat <G>g u</G> ad <G>u p,</G> ut <G>m s</G> ad <G>s g.</G> &amp; <G>u r</G>
bifariam diuidatur in <G>f.</G> Similiter utin circum$cripta figu
ra o$tendetur centrum magnitudinis compo$it&aelig; ex cylin-
<pb>
<fig>
dris s g, tu e$$e
punctum <G>u:</G> &amp;
totius figur&aelig; in
$cript&aelig;, qu&aelig; c&otilde;-
$tat ex cylindris
q r, $ g, t u e$$e <G>f</G>
centrum. Sunt
enim hi cylindri
&aelig;quales &amp; $imi-
les cylindris y z,
K <G>h, q l,</G> figur&aelig;
circum$cript&aelig;.
Quoni&atilde; igitur
ut b e ad e d, ita
e$t o p ad p n;
utraq; enim u-
triu$que e$t du-
pla: erit compo
nendo, ut b d ad
d e, ita o n ad n
p; &amp; permutan
do, ut b d ad o
n, ita d e ad n p.
Sed b d dupla
e$t o n. ergo &amp;
e d ip$ius n p du
pla erit. qu&ograve;d $i
e d bifariam di-
uidatur &itilde; <G>x,</G> erit
<G>x</G> d, uel e <G>x</G> &aelig;-
qualis n p: &amp;
$ublata e n, qu&aelig;
e$t c&otilde;munis u-
trique e <G>x,</G> p n,
<foot>relin-</foot>
<p n=>44</p>
relinquetur p e ip$i n <G>x</G> &aelig;qualis. cum autem b e $it dupla
e d, &amp; o p dupla p n, hoc e$tip$ius e <G>x,</G> &amp; reliquum, uideli-
<marg>1<*> quinti</marg>
cet b o un&agrave; cum p e ip$ius reliqui <G>x</G> d duplnm erit. e$tque
b o dupla <G>r</G> d. ergo p e, hoc e$t n <G>x</G> ip$ius <G>x r</G> dupla. $ed d n
dupla e$t n <G>r.</G> reliquaigitur d <G>x</G> dupla reliqu&aelig; <G>x</G> n. $unt au-
tem d <G>x,</G> p n inter $e &aelig;quales: itemq; &aelig;quales <G>x</G> n, p e. qua-
re con$tat n p ip$ius p e duplam e$$e. &amp; idcirco p e ip$i e n
&aelig;qualem. Rur$us cum $it <G>m g</G> duplao <G><*>,</G> &amp; <G>m s</G> dupla <G>s g;</G> erit
etiam reliqua <G>g s</G> reliqu&aelig; <G>s</G> o dupla. Eadem quoque ratione
c&otilde;cludetur <G>p u</G> dupla <G>u</G> m. ergo ut <G>g s</G> ad <G>s</G> o, ita <G>p u</G> ad <G>u</G> m:
componendoq;, &amp; permutando, ut <G>g</G> o ad <G>p</G> m, ita o <G>s</G> ad
m <G>u:</G> &amp; $unt &aelig;quales <G>g</G> o, <G>p</G> m. quare &amp; o <G>s,</G> m <G>u</G> &aelig;quales. pr&aelig;
terea <G>s p</G> dupla e$t <G>p t,</G> &amp; <G>g p</G> ip$ius <G>p</G> m. reliquaigitur <G>s g</G> re
liqu&aelig; m <G>t</G> dupla. atque erat <G>g s</G> dupla <G>s</G> o. ergo m <G>t, s</G> o &aelig;-
quales $unt: &amp; ita &aelig;quales m <G>u,</G> n <G>f.</G> at o <G>s,</G> e$t &aelig;qualis
m <G>u.</G> Sequitur igitur, ut omnes o <G>s,</G> m <G>t,</G> m <G>u,</G> n <G>f</G> in-
ter $e $int &aelig;quales. Sed ut <G>r p</G> ad <G>p t,</G> hoc e$t ut 3 ad 2, ita n d
ad d <G>x:</G> permut&atilde;doq; ut <G>r p</G> ad n d, ita <G>p t</G> ad d <G>x.</G> &amp; $&utilde;t &aelig;qua
les <G>r p,</G> n d. ergo d <G>x,</G> hoc e$t n p, &amp; <G>p t</G> &aelig;quales. Sed etiam &aelig;-
quales n <G>p, p</G> m. reliqua igitur <G>p</G> preliqu&aelig; m <G>t,</G> hoc e$t ip$i
n <G>f</G> &aelig;qualis erit. quare dempta p <G>p</G> ex p e, &amp; <G>f</G> n dempta ex
n e, relinquitur p e &aelig;qualis e <G>f.</G> Itaque <G>p, f</G> centra figurar&utilde;
$ecundo loco de$criptarum a primis centris p n &aelig;quali in-
teruallo recedunt. qu&ograve;d $i rur$us ali&aelig; figur&aelig; de$cribantur,
codem modo demon$trabimus earum centra &aelig;qualiter ab
his recedere, &amp; ad portionis conoidis centrum propius ad
moueri. Ex quibus con$tat lineam <G>p f</G> &agrave; centro grauitatis
portionis diuidi in partes &aelig;quales. Si enim fieri pote$t, non
$it centrum in puncto e, quod e$t line&aelig; <G>p f</G> medium: $ed in
<G>y:</G> &amp; ip$i <G>p y</G> &aelig;qualis fiat <G>f <*>.</G> Cumigitur in portione $olida
qu&aelig;dam figura in$cribi pos$it, ita utlinea, qu&aelig; inter cen-
trum grauitatis portionis, &amp; in$cript&aelig; figur&aelig; interiicitur,
qualibet linea propo$ita $it minor, quod proxime demon-
$trauimus: perueniet tandem <G>f</G> centrum in$cript&aelig; figur&aelig;
<pb>
<fig>
<p n=>45</p>
ad punctum <G>w.</G> Sed quoniam <G>p</G> circum$criptaitidem alia
figura &aelig;quali interuallo ad portionis centrum accedit, ubi
primum <G>f</G> applicuerit $e ad <G>w,</G> &amp; <G>p</G> ad punct&utilde; <G>y,</G> hoc e$t ad
portionis centrum $e applicabit. quod fieri nullo modo
po$$e per$picuum e$t. non aliter idem ab$urdum $equetur,
fi ponamus centrum portionis recedere &agrave; medio ad par-
tes <G>w;</G> e$$et enim aliquando centrum figur&aelig; in$cript&aelig; idem
quod portionis centr&utilde;. ergo punctum e centrum erit gra
uitatis portionis a b c. quod demon$trare oportebat.</P>
<P>Quod autem $upra dem&otilde;$tratum e$t in portione conoi-
dis recta per figuras, qu&aelig; ex cylindris &aelig;qualem altitudi-
dinem habentibus con$tant, idem $imiliter demon$trabi-
mus per figuras ex cylindri portionibus con<*>antes in ea
portione, qu&aelig; plano non ad axem recto ab$cinditur. ut
enim tradidimus in commentariis in undecimam propo$i
tionem libri Archimedis de conoidibus &amp; $ph&aelig;roidibus.
portiones cylindri, qu&aelig; &aelig;quali $unt altitudine eam inter $e
$e proportionem habent, quam ip$arum ba$es: ba$es aut&etilde;
<marg>corol. <*>
de conoi-
dibus &amp;
$ph&aelig;roi-
dibus.</marg>
qu&aelig; $unt ellip$es $imiles eandem proportionem habere,
quam quadrata diametrorum eiu$dem rationis, ex corol-
lario $eptlm&aelig; propo$itionis libri de conoidibus, &amp; $ph&aelig;-
roidibus, manife$te apparet.</P>
<head>THEOREMA XXIIII. PROPOSITIO XXX.</head>
<P>Sr &agrave; portione conoidis rectanguli alia portio
ab$cindatur, plano ba$i &aelig;quidi$tante; habebit
portio tota ad eam, qu&aelig; ab$ci$$a e$t, duplam pro
portion em eius, qu&aelig; e$t ba$is maioris portionis
ad ba$i m minoris, uel qu&aelig; axis maioris ad axem
minoris.</P>
<foot>M</foot>
<pb>
<P>ABSCINDATVR &agrave; portione conoidis rectanguli
a b c alia portio e b f, plano ba$i &aelig;quidi$tante: &amp; eadem
portio $ecetur alio plano per axem; ut $uperficiei $ectio $it
parabole a b c: planor&utilde; portiones ab$cindentium rect&aelig;
linc&aelig; a c, e f: axis autem portionis, &amp; $ectionis diameter
b d; quam linea e fin puncto g $ecet. Dico portionem co-
noidis a b c ad portionem e b f duplam proportionem ha-
bere eius, qu&aelig; e$t ba$is a c ad ba$im e f; uel axis d b ad b <*>
axem. Intelligantur enim duo coni, $eu coni portiones
a b c, e b f, e&atilde;dem ba$im, quam portiones conoidis, &amp; &aelig;qua
lem habentes altitudinem. &amp; quoniam a b c portio conoi
dis fe$quialtera e$t coni, $eu portionis coni a b c; &amp; portio
e b f coni feu portionis coni e b f e$t $e$quialtera, quod de-
<fig>
mon$trauit Archimedes in propo$itionibus 23, &amp; 24 libri
de conoidibus, &amp; $ph&aelig;roidibus: erit conoidis portio ad
conoidis portionem, ut conus ad conum, uel ut coni por-
tio ad coni portionem. Sed conns, nel coni portio a b c ad
conum, uel coni portionem e b f compo$itam proportio-
nem habet ex proportione ba$is a c ad ba$im e f, &amp; ex pro-
portione altitudinis coni, uel coni portionis a b c ad alti-
tudinem ipfius e b f, ut nos demon$trauimus in com men-
tariis in undecimam propo$itionem eiu$dem libri A rchi-
medis: altitudo autem ad altitudinem c$t, ut axis ad axem.
quod quidem in conis rectis per$picuum e$t, in $calenis ue
<foot><*></foot>
<p n=>46</p>
ro ita demon$trabitur. Ducatur &agrave; puncto b ad planum ba-
$is a c perpendicularis linea b h, qu&aelig; ip$am e fin K $ecet.
erit b h altitudo coni, uel coni portionis a b c: &amp; b K altitu||
<marg>16. unde-
cim<*></marg>
do efg. Quod cum line&aelig; a c, e f inter $e &aelig;quidi$tent, $unt
enim planorum &aelig;quidi$tantium $ectiones: habebit d b ad
<marg>4 <*>.</marg>
b g proportionem eandem, quam h b ad b <G>k.</G> quare por-
tio conoidis a b c ad portionem e f g proportionem habet
compo$itam ex proportione ba$is a c ad ba$im e f; &amp; ex
<marg>2. duode
cimi</marg>
proportione d b axis ad axem b g. Sed circulus, uel
ellip$is circa diametrum a c ad circulum, uel ellip$im
<marg>7. de co-
noidibus
&amp; $ph&aelig;-
roidibus</marg>
circa e f, e$t ut quadratum a c ad quadratum e f; hoc e$t ut
quadrat&utilde; a d ad quadrat&utilde; e g. &amp; quadratum a d ad quadra
tum e g e$t, ut linea d b ad lineam b g. circulus igitur, uel el
<marg><*>. quinti</marg>
lip$is circa diametrum a c ad circul&utilde;, uel el<*>$im circa e f,
<marg>20. p<*>mi
comcor&utilde;</marg>
hoc e$t ba$is ad ba$im eandem proportion<*>t, qu&atilde;
d b axis ad axem b g. ex quibus $equitur por<*>em a b c
ad portionem e b f habere proportionem duplam eius,
qu&aelig; e$t ba$is a c ad ba$im e f: uel axis d b ad b g axem. quod
demon$trandum proponebatur.</P>
<head>THEOREMA XXV. PROPOSITIO XXXI.</head>
<P>Cuiuslibet fru$ti &agrave; portione rectanguli conoi
dis ab$cis$i, centrum grauitatis e$t in axe, ita ut
demptis primum &agrave; quadrato, quod fit ex diame-
tro maioris ba$is, tertia ip$ius parte, &amp; duabus
tertiis quadrati, quod fit ex diamerro ba$is mino-
ris: deinde &agrave; tertia parte quadrati maioris ba$is
rur$us dempta portione, ad quam reliquum qua
drati ba$is maioris un&agrave; cum dicta portione dupl&atilde;
proportionem habeat eius, qu&aelig; e$t quadrati ma-
<foot>M 2</foot>
<pb>
ioris ba$is ad quadratum minoris: centrum $it in
eo axis puncto, quo ita diuiditur ut pars, qu&aelig; mi
norem ba$im attingit ad alteram partem eandem
proportionem habeat, quam dempto quadrato
minoris ba$is &agrave; duabus tertiis quadrati maioris,
habet id, quod reliquum e$t un&agrave; cum portione &agrave;
tertia quadrati maioris parte dempta, ad reliqu&atilde;
eiu$dem terti&aelig; portionem.</P>
<P>SIT fru$tum &agrave; portione rectanguli conoidis ab$ci$$um
a b c d, cuius maior ba$is circulus, uel ellip$is circa diame-
trum b c, minor circa diametrum a d; &amp; axis e f. de$criba-
tur<*>atem portio conoidis, &agrave; quo illud ab$ci$$um e$t, &amp; pla-
<fig>
no per axem ducto $ecetur; ut $uperficiei $ectio $it parabo-
le b g c, cuius diameter, &amp; axis portionis g f: deinde g f diui
datur in puncto h, ita ut g h $it dupla h f: &amp; rur$us g e in ean
dem proportionem diuidatur: $itq; g k ip$ius k e dupla. I&atilde;
ex iis, qu&aelig; proxime demon$trauimus, con$tat centrum gra
uitatis portionis b g c e$$e h punctum: &amp; portionis a g c
punctum k. $umpto igitur infra h puncto l, ita ut <G>k</G> h ad h l
<foot>eam</foot>
<p n=>47</p>
eam proportionem habeat, quam a b c d fru$tum ad por-
tionem a g d; erit punctum l eius fru$ti grauitatis c&etilde;trum:
habebitq; componendo K l ad l h proportionem eandem,
<marg>20. 1. con<*>
corum.</marg>
quam portio conoidis b gc ad a g d portionem. Itaq; quo
niam quadratum b f ad quadratum a e, hoc e$t quadratum
b c ad quadratum a d e$t, ut linea fg ad ge: erunt du&aelig; ter-
ti&aelig; quadrati b c ad duas tertias quadrati a d, uth g ad g k:
&amp; $i &agrave; duabus tertiis quadrati b c dempt&aelig; fuerint du&aelig; ter-
ti&aelig; quadrati a d: erit diuid&etilde;do id, quod relinquitur ad duas
tertias quadrati a d, ut h k ad k g. Rur$us du&aelig; terti&aelig; quadra
ti a d ad duas tertias quadrati b c $unt, ut k g ad g h: &amp; du&aelig;
terti&aelig; quadrati b c ad terti&atilde; part&etilde; ip$ius, ut g h ad h f. ergo
ex &aelig;quali id, quod relinquitur ex duabus tertiis quadrati
b c, demptis ab ip$is quadrati a d duabus tertiis, ad terti&atilde;
partem quadrati b c, ut k h ad h f: &amp; ad portionem eiu$d&etilde;
terti&aelig; partis, ad quam un&agrave; cum ip$a portione, duplam pro
portionem habeat eius, qu&aelig; e$t quadrati b c ad quadrat&utilde;
a d, ut K l ad l h. habet enim K l ad l h candem proportio-
nem, quam conoidis portio b g c ad portionem a g d: por-
tio autem b g c ad portionem a g d duplam proportionem
habet eius, qu&aelig; e$t ba$is b c ad ba$im a d: hoc e$t quadrati
<marg>30 hui<*></marg>
b c ad quadratum a d; ut proxime demon$tratum e$t. quare
dempto a d quadrato &agrave; duabus tertiis quadrati b c, erit id,
quod relinquitur un&agrave; cum dicta portione terti&aelig; partis ad
reliquam eiu$dem portionem, ut e l ad l f. Cum igitur cen-
trum grauitatis fru$ti a b c d $it l, &agrave; quo axis e f in eam, qu&atilde;
diximus, proportionem diuidatur; con$tat uer&utilde; e$$e illud,
quod demon$trandum propo$uimus.</P>
<head>FINIS LIBRI DE CENTRO</head>
<head>GRAVITATIS SOLIDORVM.</head>
<P>Impre$$. Bononi&aelig; cum licentia Superiorum,
<*></P>
author	Klaus Thoden <kthoden@mpiwg-berlin.mpg.de>
date	Thu, 02 May 2013 11:08:12 +0200
parents	22d6a63640c6
children