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Version vom 2009-02-14
| author | Klaus Thoden <kthoden@mpiwg-berlin.mpg.de> |
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| date | Thu, 02 May 2013 11:08:12 +0200 |
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<pb id="p.0001"> <HEAD>LE MECHANICHE DELL'ILLVSTRISS SIG.</HEAD> <HEAD>GVIDO VBALDO DE' MARCHESI DEL MONTE: TRADOTTE IN VOL GARE DAL SIG. FILIPPO PIGAFETTA: Nellequali $i contiene la vera Dottrina di rutti gli I$trumenti principali da mouer pe$i grandis$imi con picciola forza.</HEAD> <HEAD><I>A beneficio di chi $i diletta di que$ta nobili$$ima scionza; & ma$$imamente di Capitani di guerra, Ingegnieri, Architetti, & d'ogni Artefice, che intenda per via di Machine far opre marauiglio$e, e qua$i $opra naturali.</I></HEAD> <HEAD>Et $i dichiarano i vocaboli, & luoghi più difficili.</HEAD> <fig> <HEAD><I>In Venetia, Appre$$o France$co di France$chi Sane$e. MD LXXXI.</I></HEAD> <pb> <fig> <HEAD>ALL'ILLVSTRISSIMO SIGNOR GIVLIO SAVOR GNANO, CONTE DI BELGRADO. &c.</HEAD> <HEAD>Signore o$$eruandi$$imo.</HEAD> <fig> <p>C<I>onciosia co$a, che la $cienza delle Mecha- niche gioui $ommamente à molte, & importan- ti attioni della no$tra vita, à gran ragione fu ella da i Filo$ofi, & da i Rè antichi $timata degna di laudi $ingularißime; & i Matematici vi han- no impiegato lo $tudio, & l'opera più che meza- namente, & i Principi fauoriti gl'ingegnieri ec cellenti, & arricchiti. Ben è per certo di alti$- $ima $peculatione, & di $ottile manifattura; imperoche tocca quella par- te della Filo$ofia, che tratta de gli elementi in vniuer$ale, & del moto, & della quiete de' corpi, $econdo i luoghi $uoi, a$$egnando la cagione in certo modo de' loro mouimenti naturali; & anco sforzandoli, per via di machi- ne à partir$i da proprij $iti, gli tra$porta all'insù, & per ogni lato in mo- uimenti contrari alla natura loro.</I> <p><I>Mena ella ad effetto ambedue que$te intentioni con le propo$itioni che na$cono, & $ono congiunte con la materia $te$$a, & co' difici, & i$trumen ti, che forma artificialmente. La onde egli è dibi$ogno con$iderare que$ta</I> <foot><I>a 2</I></foot> <pb> <I>dottrina in due manìere; l'vna ìn quanto và $peculando, & con ragione di$correndo $opra le co$e, che s'hanno à $are, $eruendo$i dell' Arithmetica, della Geometria, dell' A$trologia, & della Filo$ofia naturale: & l'altra che po$cia le manda ad e$ecutione, & haue nece$sita dell'e$$ercitio, & lauoro delle mani, v$ando l'Architettura, la Pittura, il di$egno, l'arte de' fabri, de'legnaiuoli, de'muratori, & d'altri me$tieri tali, per modo che ella vie- ne ad e$$ere me$colata, & in parte compo$ta della naturale Filo$ofia, delle Matematiche, & delle arti manuali. Per laqual co$a chiunque $i troua dotato d'ingegno acuto, & da fanciullo hà incominciato ad apprendere le già dette $cienze, & $a di$egnare, & lauorare di $ua mano, potrà nel vero ottimo Mechanico, & inuētore, & facitore di opere marauiglio$e riu$cire.</I> <p><I>Infinite parti, & vtilißime à gli huomini comprende que$la noti- tia, & in guerra, & in pace, ne i commodi della città, della villa, & della mercatantia, & in altri; peroche la Medicina toglie da lei i difici per ri- porre le o$$a $mo$$e, & rotte ne i $iti $uoi. Onde pone Oriba$io nel libro delle Machine, diuer$i i$trumenti pre$i dalla Mechanica, & cõuertiti nell'v$o del la Medicina, come il Tri$pa$ton di Archimede: l'arte del nauigare ricono- $ce anco diuer$i aiuti, come il timone, co'l quale, collocato di dietro, ouero alle bande del nauilio ageuolmente lo moue, & dirizza, quantunque per ri$petto à tutto il corpo del va$ello piccioli$simo $ia. I remi, che à gui$a di leua lo $pingono innanzi, & l'arbore, & la vela $ono pur di $ua inuentio ne. I molini, i quali $i girano co'l vento, con l'acqua, & con la forza vi- ua: & i pi$trini, le carra, gli aratri, & altri ordigni di villa; il pe$are con la bilancia, & con la $tadera; il cauare l'acqua da pozzi con le grù, ouero cicogne, dette da latini to$senoni, che $ono come grandis$ime bilancie, & con le rote, & altre co$e tali $i riducono alla Mechanica. La ragione pa- rimente del condurre le acque, & da profondis$ime valli in alto farle $ur gere uà $otto lei. Chiamarono gli antichi coloro Mechanici ancora, i quali co'l fiato, ò vento, ouero acqua, ò corde, ò nerui faceuano vedere, & vdi re effetti miracolo$i; come $uoni diuer$i, & canti d'augelli, & fin ad e$pri- mere la voce humana in parole: & quelli che con horologi, i quali $i mo- uono da $e $tes$i con rote, ò da acqua, ò da $ole il tempo mi$urarono, & di- $tin$ero in hore. Appartengono alla Mechanica gli facitori delle Sfere compartite ne'$uoi cieli, co'l mouimento de'Pianeti, & di tutti i corpi cele$tiali à $embianza dell'vniuer$o mondo, & ciò mediante il mouimen- to eguale, & in giro, che loro daua l'acqua, di cui la fama $uona e$$ere $tato Archimede Siracu$ano il primo mae$tro. il mouere etiandio con poca</I> <pb> <I>forza pe$i grandis$imi con i$trumenti, & ingegni diuer$i è principale of- ficio della Mechanica, come Bilancie, Stadere, Leue, Taglie, Cunei, Moli- nelli, Rote co' denti & $enza, Viti d'ogni $orte, Argani, Mangani, Triuel le, & altri molti, i quali da que$ti $i compongono: & $econdo Ari$totele tutti $iriducono alla Leua, & al cerchio, & alla machina ritonda, laquale quanto è maggiore, tanto più velocemente $i moue. L'arte del fortificare le piazze, & i $iti, & del difendergli, laquale acconciamente $i puote chia mare Architettur a militare, è pro$es$ione Mechanica: peroche per via di Cortine, & di Baloardi, & d'altri ripari, qua$i con ma<*>hine, & i$tr umen- ti s'ingegna l'huomo con po hi $oldati di ributtarne in dietro molti, & mantener$i con vantaggio. Il fabricare, & adoprare oltre à c<*>ò gli i$tru menti da guerra è proprio dono di que$ta $cienza, come Bali$te, ò Bale$tre, Catapulte, Scorpioni, Fionde, & $imili, che da lontano gittano foco, & $aßi, & ma$$e di ferro pe$anti dugento cinquanta, & più libre, & Moli da molino $econdo Silio Italico, & Vitruuio, per di$tanza di for$e</I> 300. <I>pas$i à mi$ura con ruin $o colpo; & $aette, & verettoni, & falariche grandi à gui$a di traui: & quelli che percoteudno con l'vrto da pre$$o, come Arie ti, Onagri, Te$tugini, & $imili; & in altri v$i, come Sãbuche, Corui, Mani di ferro, & gli altri maritimi, & Angoni, Monangoni, Tollenoni, $cale $no- date, ponti, torri mobili, & $imili difici antichi, i quali $ono $tati poi ri fiutati, $uccedendo in $uo luogo le Artiglierie, da e$$ere anch'e$$e ordinate nell' ampiezza della con$ideratione Mechanica, facendo elle còn sì poca mæ teria acce$a, tanto horribile perco$$a.</I> <p><I>Que$ta $cienza, che fuor di quanto $i è detto, abbraccia innumerab ili altri v$i, & diletteuoli, & nece$$ari à mortali, in diuer$i tempi hebbe in $orte vari $tati, per ri$petto à gli artefici, che la e$ercitarono: peroche, di là cominciando, ne gli antichis$imi $ecoli, che pa$$arono auanti la guer ra di Troia vi$$e Dedalo Athenie$e gran mae$tro di Mechanica, ilquale trouò il primiero la $ega, l'a$cia, il piombino da torre le diritture, la tri- uella, l'albero, l'antenna, la vela, & altri or digni: di$egnò in Creta poi quell'intricato labirinto, & alla fine gli conuenne fabricare per $e, & per Icaro $uo figlio due paia d'ali, & volar$ene via per l'aere à gui$a d'au- gelli, come cantano i Poeti.</I> <p><I>Nella fabrica del tempio di Salomone, che fu la maggiore per grandez za, per mae$tria d' Architettura, & ornamento, di quanie ne $iano $tate fatte giamai; & delle piramidi, & di tanti altri difici di quei $eco'i, che hanno riempito il mondo di $tupore, egli $i può credere, che interueni$$ero</I> <pb> <I>curamente: & del pre$entare al nemico il fatto d'arme con vantaggio: Del fortificare, & difendere i $iti, & offenderli con le mine, con le trin- cee, con le artiglierie, con gli a$$alts, & con tutti gli altri sforzi; & d'o- gni parte della militare $cienza.</I> <p><I>Ritornati in pace i Prencipi Chri$tiani, $i dedicò al $eruigio de' Sereniß. $uoi Signori, oue ne i più importanti carichi, & maggiori, & in due guer re haue e$$a aggiunto cinquanta anni di noua, & ottima $eruitù all'an- tica di qua$i dugento anni, continua, & fedeli$s. fattagli da i $uoi pre- dece$$ori Sauorgnani, fabricando nello $patio di que$to tempo in diuc<*>$e pro uincie de' $uoi $tati pre$$o che cinquanta Baloardi, con eccellentißima ra- gione inte$i, & con vero magi$terio lauorati, & notabilißimo ri$parmio del publico danaro.</I> <p><I>Ma per tornare alle Mechaniche dico, che quando gli anni pa$$ati io venni à vi$it arla ad O$opo $ua fortezza, $entì $ommo piacere in $corgere quel monte, che circonda più d'un miglio, $ituato alla foce del fiume Ta- gliamento, oue dalle $trettezze di quei gioghi s'allarga nelle pianure del Friuli, d'ogn'intorno alto pre$$o che $e$$anta paßi à mi$ura, tutto di ma- cigno duro, & di$co$ce$e, & erto sì, che rende la $alita impoßibile fornito attorno di baloardi cauati nel $a$$o, & di molti tagli, & canoniere per ferire gli aduer$ari, & di artiglierie, & d'arme d'ogni $orte à $u$$icienza, da cui $i hà vi$ta di qua$i tutto il Friuli, & è $<*>udo, & riparo, come al- tra volta fù, contra l'empito delle genti nemiche, lequali in Italia tenta$ $ero di $oendere da quella parte; po$to di co$ta alla $trada principale, che conduce in Lamagna, per laqual vanno, & vengono Signori, & Principi, & Amba$ciadori, & infinite mercatantie; onde ella, che tiene $empre le guardie, & vedette sù quel monte, quando pa$$ano Signori principali, hà per co$tume di $alutargli con le $ue artiglterie, & conuitarg'i anco <*>el $uo alloggiamento d'O$opo, oue tutto l'anno $oggiorna, quantunque habbia & Belgrado, & Aris, & Ca$telnouo, & Sauorgnano, & villaggi a$$ai: percioche l'aere vi è purißimo, & $pende il $uo tempo in ocio con ne gocio, di continuo vi$itata da Gentil'huomini, & Signori diuer$i; ta che la $ua ca$a viene ad e$$ere vn ridotto di per$one virtuo$e, & vn'albergo di $ol dati, & di dottori. lui $i caualca, tenendo ella vna $talla piena di buoni$- $imi caualli, $i armeggia, $i và alla caccia, & in ogni attione $i e$ercita vi- ta cauallere$ca. Oltre à quanto hò diui$ato, pre$i anco diletto in vedere la $ua habitatione e$$ere à gui$a d'vna bottega d'arme politamente à $uoi luoghi $erbate: & vn magazino di machine bellico$e, & da mouer pe$i,</I> <pb> <I>eccellenti Mechanici, per leuare in alto le pietre $mi$urate, & per altre opere, lequali à condurgli à fine $i ricercauano. Nacquero dapoi Eudo$ $o, & Archita Tarentino, ambidue valenti ingegnieri; & di Archita $i legge, che lauorò di legno vna colomba con tanta mae$tria temperata, & gonfiata, che da $e volaua per l'aria à gui$a di viua colomba. Seguì co- $toro il Filo$ofo Ari$totele, ilquale certe poche, ma bellis$ime que$tioni Me- chaniche, la$ciò $critte. A lui venne appre$$o Demetrio Rè, nominato il pigliatore, ò di$truggitore delle città, peroche fabricaua machine, & difi- ci, co' quali per di$opra vi montaua, & $e ne faceua padrone, lequali per auentura furono $imiglianti alla machina detta Cauallo, con cui li Greci pre$ero la famo$a Troia; di che ragionando Pau$ania nell' Attica, dice che giudica e$pre$$a mattezza il credere, che fo$$e vn cauallo, & non machina bellico$a per acco$tare alle muraglie, & prenderle. Que$to Rè cominciò ad aumentare la Mechanica in qualche honore. Ma Archimede, che fù il megliore artefice di quanti fecero giamai que$ta profes$ione innanzi, & dopo lui, & qua$i vn lume, che poi ha illu$trato tutto il mondo, accrebbe in colmo la riputatione della Mechanica, & di pouera arte, & vile, che pri ma era, come vuole Plutarco nella vita di Marcello, nel numero delle arti nobili, & pregiate alla militia pertinenti la ripo$e. Imperoche combat- tendo Marcello Sir acu$a patria $ua per mare, & per terra con grande ho$te di Romani, egli co'$uoi diuer$i ingegni, & machine differenti, ribut- tò $empre gli sforzi, con graue lor danno, & vergogna; come Liuio, Plutar co, & altri nominando i difici che v$aua, diffu$amente raccontano. Per- cioche quando Marcello s'auicinaua aile muraglie per conqui$tar le con la Sambuca, il buon Archimede co'l Tollenone, & con le mani di ferro la al- zaua di pe$o in aere, & poi $nodando quegli vncini $uoi, la faceua cadere da alto, in mare $ommergendola; il mede$imo effetto adoprando eontra gli altri nauili, sì fattamente, che gli conuenne allontanare l'armata ben to $to dalle mura. Ne ce$sò tuttauia d'infe$tare il nemico: ma $i come nota Galeno nel terzo libro de' temper amenti, & Giouanni Zonara, & Tze$es confermano, allegando Diodoro, & Dione, compo$e certi $pecchi grandi & concaui, $econdo la proportione della di$t anza di quei va$elli dalla mu- raglia, & opponendogli à raggi del Sole in diritta linea qua$i per miraco- lo, gli bru$ciaua. Dalla parte della terra $imilmente offendeua gli aduer- $ari con arme diuer$e da gittare. Per laqual co$a nè in mare, nè in terra da gl'ingegni di quell'eccellente Mechanico $i poteua egli $chermire, nuoui ripari, & horribili offe$e apparecchiando $empre. Pappo Ale$$andrino</I> <pb> <I>allega il quar ante$imo trouato <*> Archimode, per dichiarare, che almeno i $uoi difici al numero di quaranta a$cendeuano. La onde Marcello, veg- gendo, che niuno profitto apportauano all'impre$a gli a$$alti $uoi, & che erano vn mettere le genti ad euidente pericolo, per cagione di quel $olo valoro$o vecchio, gli nacque vna tal opinione, & à tutto l'e$ercito, che da po$$anza diuina fo$$e gouernato in quella dife$a, & mutò la ragione del guerreggiare, dando$i all'aßedio, & al vietare $tret tißimamente le vitto- uaglie a quella città.</I> <p><I>Que$te furono le cagioni, che la Mechanica $alì in tanta gloria, & che i Romani le a$$egnarono dapoi grado honoreuolißimo ne gli e$erciti lo- ro, come $i legge nel primo libro della guerra ciuile, che Ce$are $e prigione il Capitano de' fabri di Pompeio, nomato Magio Cremona, & Vitruuio fu Capitano delle Bali$te di Ce$are Augu$to, che $arebbe nella militia moder- na, come Capitano generale dell' artiglieria. La qual gloria $ucceßiua- mente le fu mantenuta poi da molti dottißimi $crittori, & mae$tri di Mechani a, come da Cte$ibio Ale$$andrino, da Herone Ale$$andrino, da un'altro Herone, da Ateneo, da Bione, da Pappo Ale$$andrino, che allega Carpo di Antiochia, da Eliodoro, da Oriba$io, & da altri Greci, i quali fio rirono in diuer$i tempi, in$egnando la ragione, la mi$ura, & l'v$o de gli i$trumenti bellico$i non $olo, ma di tutti gli altri, che le pertengono. Fra Latini antichi Varrone $cri$$e dell' Architettura, & per con$eguente douet te anco far mentione della Mechanica: & Vitruuio, & Vegetio, & qual- che altro hanno fauellato d'intorno alla fabrica delle machine militari, & da mouer pe$i, & aiutato à con$eruare fra gli huomini viua la digni- tà della Mechanica.</I> <p><I>Ma ruinando l'Imperio di Romani, & $uccedendo i barbari in Italia, in Grecia, in Egitto, & in ogni contrada, oue $i e$er cita$$ero le buone lette re, caddero mi$erabilmente, & $i perderono qua$i del tutto le $cienze, & in $pecialità re$tò la Mechanica lunghißimo tempo negletta, non cono$cen- do$i in guerra altri difici, che Bricole, Trabucchi, Mangani, Martinelli, & certi i$trumenti tali, finche $ouragiun$e l'artiglieria, laquale à poco à po- co gli fe di$u$are à fatto: & di quella parte altre$i della Mechanica, laqua le s'adopra al mouer pe$i, ben picciolo intendimento rima$e. Vera co$a è, che $embra da vn tempo in quà le arti, & le dottrine più nobili, come le belle lettere appellate humane, la Filo$ofia, la Medicina, l'A$trologia, l'A- rithmetica con la Mu$ica, la Geometria, l'Architettura, la Scoltura, la Pit tura con molte altre: & $pecialmente la Mechanica e$$ere dalle o$cure te-</I> <pb> <I>nebre, oue giaccudno $epolte, alla thiara luce ri$u$citate: Percioche ri- $tringendomi alle Mechaniche Giordano, che $<*>ri$$e de' pe$i, la incominciò à $olleuare alquanto, & poi Leon Batti$ta Alberti nella $ua Architettu- ra: il Tartaglia aper$e anco la via à molte $peculationi Mechaniche: Vitto rio Fau$to nell' Arzanà di Vene<*>ia m<*>$trò d'e$$ere buon Mechanico: Mon- $ig. Reuerendi$s. barbaro eletto d' Aquileia ne' Commentari del decimo di Vitruuio nominò gli i$trumenti da mouer pe$i: Georgio Agricola nel $e$to de' Metalli raccol$e a$$ai machine da leuar pe$i, & qualched'vn'altro: & nuoua m&etilde;te l'Autoredi que$t'opera, ilquale ben d'altra maniera in ciò pro ce lette, che gli autori nominati, peroche con ordine ammir abile, & con vere, & certe ragioni ha in$egnato $olo fra Latini ottimamente que$tæ $cienza tutta da mouer pe$i.</I> <p><I>Ma $i come i moderni da me ricordati, & principalmente l'Autore del pre$ente libro hanno ornata & e$altata la Mechanica con le parole, & co i volumi; co$i V. S. Illu$triß. l'hà celebrata, & magnificata co' di$cor$i, & con le operationi i$te$$e, & co' fattire$a famigliare, & dome$tica, diuer$e machine fabricando con profondißima dottrina, & facendone e$perten- ze nel mouere qualunque gran pe$o, di cui $i po$$a l'huomo in ogni bi$ogno $eruire. Talche ben $i puote con verità affermare, che per vna pa<*>te e$$a, & l'Autore di que$ti trattati per l'altra, habbiate alla Mechanica il pri$ti no honore re$tituito, che da i tempi antichi in quà le cra $marrito.</I> <p><I>S<*>no $or$e quaran a anni gia $cor$i, che per i$cherzare con Nicolò Tar taglia, per$ona à $uoi tempi molto $timata in que$ta profeßone, & che $i dile ttaua di andare $oluendo que$tioni $ottili di Mechanica, & di Mathe matica, & ne' $uoi dialoghi introduceua à fauellare per$onaggi grandi: & alcuna fiata gli faceua dire qualche co$a, di cui eßi prendeuano onta, V. S. Illu$triß. gliene propo$e for$e quaranta Mechaniche qua$i tu<*>te, & difficili: alcune delle quali egli prouò di $oluere, delle altre $i $cusò con di re, che à cia$cheduna di loro $arebbe $tato me$tieri vn volume intero, co- me $i legge ne' $uoi lib i $tampati della noua $cientia.</I> <p><I>Hor non è punto di marauiglia, che ella habbia penetrato con l'inten- dimento tãto dentro, & $aputo co$i bene operare nelle Mechaniche, & $ia fatta padrona in tut<*>o dell'arte del fortificare i $iti, & d'ogni altra parte della militia: peroche fu dall'ottimo $uo padre alleuata in compagnia di huomini $cientiati, & d'alio affare, tra quali fu vn tempo Con$tantino La$cari nobilißimo huomo Greco, & piono di dottrina, da cui $ucceßi- uamente imparò, oltra le altre lettere, Arithmetica, Geometria, A$tro-</I> <pb> <I>logia, Geogra$ia; à ài$egnare, & lauorare manualmente in me$tieri diuer- $i; à caualcare, à maneggiare le arme, à tirare d'archibugio, & d'artiglie ria, & à cõporre fochi artificiati, & l'arte per eccellenza detta del bom bardiero; à viuere $obriamente, & le fatiche rolerare al caldo, al freddo, & ad ogni di$agio, co$e tutte, che di$pongono l'animo, & indurano il corpo alla militia. Giunta poi all' età di $edici anni, fu inutata con dodici caual li qua$i tutti Turchi, & con prouedimento conuene<*>ole di denari à vede- re tutta quella guerra, che pa$sò in Italia dalla pre$ura del Rè France$co Primo di Francia, fin alla pace generale, che $eguì l'anno</I> 1529. <I>Nella- quale interuennero qua$i tutti i mouimenti militari, che $i po$$ano ima- ginare, sì per gli e$erciti grandi, che erano à front<*> l'vn contra l'altro, sì per la qualità, & quantità delle impre$e fatte, & per mille altri acciden ti importantißimi, & $tratagemi auenuti, & sì principalmente; percio- che nell'vn campo, & l'altro in varie $tagioni militarono i primi guer- rieri del mondo, & in gran numero, i quali con prudenza, a$tutia, & brauura contendeuano à gara, & per honore di $oura$tare, & e$$ere vinci tori. Et veramente chi ben con$idera, fin da i tempi antichi, rarißime vol te è $tato con numero maggiore di Capitani famo$i, ò con più copia d'im- pre$e grandi guerreggiato, che in quegli anni: Peroche furono fatti prigio- ni due de' maggiori Prencipi del mondo, $i a$$ediò Milano, & per forza fu- rono pre$e tre città, Roma, Cremona, & Pauia; $i videro più fatti d'ar- me, & gli e$erciti $i andarono per$eguitando da Milano à Roma; $i che Pia cenza, Parma, Bologna, & Fiorenza guardaròn$i dalle armi nemiche.</I> <p><I>Nello $plendore dunque della $cola del Duca France$co Maria d'V rbino, ilquale era Capitano generale della Lega, & di quegli altri valentißim<*> Capitani, andaua V. S. Illu$triß. come di $ua libertà, & benißimo à ca- uallo, con chi le piaceua, & $i trouaua à quelle fattioni, che volea, $eguen do le più volte il Sig. Giouanni de' Medici, & Paulo Luzza$co, che erano $empre de$ti, & arditi, & come l'occhio dell'e$ercito. Quì non è mia in- tentione di narrare gli auenimenti di quella guerra, ma $i bene di auerti re, che chi la vide, & appre$e da buon $enno i $uoi moti; & $eppe manda- re à memoria quei $atti marauiglio$i, ben puote meritamente vantar$i di hauer mirato ca$i memorabili, i quali nè anche in migliaia d'anni $o- gliono accadere; come ella, che e$$endo giouine di viuace $pirito, & am- mae$trata nclle arti nece$$arie al$oldato, & volentern$ißima d'imparare, hebbe opportu<*>a occa$ione di far$i prattica d<*>ll'ordinare, de<*>'e$ercitare, del far marciare in battaglia, dell'alloggiare in campagna gli e$erciti $i-</I> <foot><I>b</I></foot> <pb> <I>hauendone ella fabricate di $ua indu$tria for$e dodici di maniere differen ti, parte da $tra $cinare, & parte da alzare con pochißima forza $mi$u- rati pe$i: come quella, che hà vna $ola rota co' denti, & ali'erta tira cin- que de' $uoi canoni con la po$$anza di Grada$$o $uo Nano: & quell'altra, la quale con vna oncia di forza $ola, po$ta nel manico, che la volge, dà il me to à quattordici mila libre di pe$o: che $e al detto manico $i attribui$ce la forza, che comunalmente haue l'huomo con la mano, cioè libre cinquan ta, egli è manife$to la predetta machina hauere po$$anza di mouere, co$a incredibile, molto più di otto millioni di libre. Que$te machine portabi- li da vn mulo, & alcune anche da vn'huomo $ono à diuer$i affari nece$$a- rijßime, & maßimamente à maneggiare, & condurrei pezzi großi del- l'artiglieria. & per certo $e l'anno</I> 1529. <I>il Conte di San Polo Capitano France$e nel ritirar$i dall'a$$edio di Milano inuer$o Piemonte con l'e$er- cito, & con l'artiglieria, haue$$e portato $eco vno de' minimi i$trumenti d'O$opo, non $arcbbe $cor$o in quello $tremo infortunio, percioche in mar ciando fu da vn graue canone rotto il ponte, che trauer$aua il $o$$o della $trada, & il pezzo cadè nel fango. Onde formoßi il campo per non la- $ciarlo à dietro, & non hauendo ingegno da cauarlo fuori, $i con$umò tan- to tempo, che $opragiun$e Antonio da Leua con le $ue genti, & ritrouan do l'e$$ercito nemico $eparato, & in quel di$ordine, lo mi$e in rotta, & fè preda delle bagaglie, delle artiglierie, & del Capitano mede$mo. Non hà troppo iempo, che il Duca France$co di Gui$a, allhor che di Francia guidò l'e$ercito in Abruzzo, douendo partire, volle $piegare prima la fanteria, & cauælleria $ua in ordinanza à fronte del nemico, qua$i à battaglia sfi- dandolo; ma poi nel ritorno $caualco$si vn pezzo d'artiglieria, & s'arre- $tò tutta la ma$$a delle genti, & quei Prencipi France$i $montati da ca- uallo, penarono buona pezza auanti, che lo ripone$$ero $u le rote, con ri$chio di patir danno da gli aduer$ari, che haue$$ero con quella occa$ione $pinto innanzi. Di quc$ti e$empi non mancano per l'hi$torie.</I> <p><I>Hora che è pace V. S. Illu$triß. è andata inue$tigando per $uo diporto molte, & varie $orti di ordigni da mouer pe$i, affine di valer$ene nelle fabriche, & nell'argine di pietre, che fa per ritenere l'impeto del Taglia- mento, che n<*>n gua$ti i colti di O$opo, & per douer$ene anco $eruire, quan do che $ia in guerra. Si come fece Archimede, ilquale, $econdo Plutarco, $tan do in pace à petitione di Hierone Rè, compo$e quelle tãie Machine per giuo- co, & i$ch<*>rzo di Geometria, l<*>quali poi $oprauenendo la guerra, le $eppe cõ uertire opportunamente contra Romani. Et $e egli, come te$tificano diuer$i</I> <foot><I>b 2</I></foot> <pb> <I>autori, $edendo con certa machina detta, $econdo Oriba$io, Tri$pa$ton, per che $i maneggiaua con tre cor de, tirò dal mare in terra quella gran naue del Rè $uo; & con la forza della mano $ini$tra mo$$e mediante l'i$tru- mento vn pe$o di cinque mila $taia ò moggia, sì fattamente che diputan- do à cia$cuno $taio quarantacinque libre di pe$o, a$cenderebbono alla $om- ma di dugento venticinque mila libre; & pre$umeua$i di hauer potuto mouere la terra, trouando doue fermar$i con la leua, ò con quella $ua ma- china de$critta da Pappo nell'ottauo libro delle raccolte matematiche, la quale hauea cinque rote co' $uoi as$i, & vna vite perpetua co'l manico: Io mi rendo certo, che ella s'ingegnerebbe di $ormare i$trumenti per adoprare altretanto.</I> <p><I>Hauendo io dunque veduti, & i$perimentati que$ti vari difici ad O$o- po; & es$endomi $tato da lei mo$trato la prima volta il pre$ente libro, & commendato $ommamente, mi propo$i nell' animo, che vtile $arebbe il ri durlo in volgare, accioche coloro i quali $ono atti per altro ad intenderlo, ma non hanno cono$<*>enza del Latino, pote$sero, farne $uo profitto. Co$i compiuta l'opera, & fattala $tampare, la mando à V. S. Illu$tri$s. che po$ $ede e$qui$it amente que$ta materia, & $econda i $tudi delle buone lette- re, i quali, $e dopo Iddio, non vengono fauoriti da i gran Signori, nulla va gliono. Che $e in qualche parte haurò à gli amatori delle Mechani<*>he re- cata ageuolezza, & vtilità con le mie fatiche, douranno eglino $aper' à lei buon grado, che di que$ta fattura è $tata cagione. Di Venetia à</I> 28. <I>di Giugno</I> 1581. <p><I>Di V. S. Illu$tri$s.</I> <p><I>Affettionatiß. $cruidore Filippo Pigafetta.</I> <pb> <HEAD>AI LETTORI</HEAD> <p>Il prefente libro contiene $ei trattati, il primo de quali è della Bilancia con la Stadera, l'altro della Leua, il terzo della Taglia, il quarto dell' A$$e nel- la rota, il quinto del Cuneo, & l'vltimo della Vite, che tutti $ono i$trumenti Mechanici. Intitula$i le Mechaniche. Ma percioche que$ta parola Mechaniche non ver rà for $e int e$a da cia$cheduno perlo $uo vero $ignificato, anzi troueran$i di quelli, che $timeranno lei e$$ere voce d'ingiuria, $olendo$i in molte parti d'Italia dire ad altrui Mechanico per i$cherno, & villania; & alcuni per e$$ere chiamati Ingegnieri $i prendono $degno: non $arà per auentura fuori di propo$ito il ricordare, che Mechanico è vocabolo honorati$$imo, dimo$tran te, $econdo Plutarco, me$tiero alla Militia pertinente, & conue neuole ad huomo di alto affare, & che $appia con le $ue mani, & co'l $enno mandare ad e$ecutione opre marauiglio$e à $ingu lare vtilità, & diletto del viuere humano. <p>Fù, per nomiuarne alcuno tra molti Filo$ofi, & Prencipi de' preteriti $ecoli, Archita Tarentino, & Eudo$$o cõpagni di Pla- tone, & valenti$$imi Ingegnieri, & Mechanici, che $ono vna me de$ma co$a, di cui fa Plutarco mentione nella vita di Marcello: & Demetrio Rè, inuentore $ottili$$imo di Machine bellico$e, & ne lauoraua di $ua mano ancora: & fra Greci di Sicilia Me- chanico, & Ingegniere famo$is$imo Archimede Siracu$ano, il quale era di grã legnaggio, & parente di Hierone Rè di Sicilia. <p>Et quantunque Plutarco nell'i$te$$a vita affermi, che egli di $pregia$$e le Mechaniche, come bas$i & vili, & materiali, nè di loro degna$$e $criuere giamai, & che non per opera principale, ma per vn cotale $ollazzo, & giuoco di Geometria impiegaua la fatica nelle Mechaniche, pregato da quel Rè; sì leggiamo noi tuttauia in altri autori, lui hauere dettato vn libro della mi $ura, & proportione d'ogni maniera di va$ello, diui$ando la for ma della gran naue fabricata da Hierone, à cui nulla manca- ua: & Pappo Ale$$andrino allega il libro della Bilancia di Ar- chimede, che è pur Mechanico tutto: & l'i$te$$o nell'ottauo del le raccolte Matematiche pone vn'i$trumento da mouer pe$i, <pb> tentato l'Autore di manife$tare per hora, & il primo de Latini con dimo$trationi ageuoli, & piane, in$egnare $olamente la ra- gion dello intendere, & maneggiare gli $ei predetti l$trumenti Mechanici; à quali $i riducono tutti gli altri, come à $uoi prin- cipil, & fondamenti; & da'quali $i po$$ono comporne diuer$e ma niere, accozzandone in$ieme due, tre, & più, come l'A$$e nella rota con la Taglia, la Vite co'l detto A$$e, & con la Leua, & $uc- ces$iuamente de gli altri ad arbitrio di chiunque in varie opre $e ne sà con giudicio valere, come nota l'Autore nel fine di que$to volume. <p>Hor come che l'Autore con bella via, & chiara, & con ordine ammirabile di que$ti difici habbia ragionato, & la co$a per $e molto o$cura non $ia ad intender$i: nondimeno ben ricerca ella tutto l'intelletto dell'huomo, & che con $i$$a $peculatione $i leg- gano attentis$imamente più d'vna volta le dimo$trationi. <p>Doue $i vede in alcuni luoghi di que$ti trattati cotale $orte di lettere picciole, differente dalle altre, come la pre$ente; auer- ta$i che non vi $ono co$e dettate dall' Autore di que$to libro di Mechaniche, ma notate da colui che l'hà volgarizato, à fine di chiarire qualche pa$$o difficile, & ageuolare l'intendimento à' Lettori non co$i prattichi nelle Scole de' Filo$ofi. <p>Ponga$i anco mente, che à carte 121. nel trattato della Vite, è po$to fra i detti dell' Autore il Problema di Pappo, ilquale do- uea e$$ere $tampato con lettere differenti dalle altre, ma per in- auertenza è $tato me$$o co' caratteri $te$$i delle propo$itioni del l' Autore, che è difetto. Non è $tato pos$ibile $chluare alcuni falli nello $tampare. Onde correggan$i in que$ta maniera. Nel la Lettera à carte 1. faccia 2. ver$i 25. to$$enoni, leggi tollenoni. car. 43. ver. 22. dell'angolo, all'angolo. carte 48. f. 2. nella po- $tilla, per la 2. di que$to; della 2. di que$to. carte 87. f. 2. ver. 14. dalla, alla. carte 93. ver. 32. cni, cui. carte 115. ver. 20. Hlici, Helici. Gli altri errori di lettere meno importanti, & che non mouono il $en$o alla, di$cretione del giudicio$o Lettore $i ri mettono. <pb> <p>mo$trando e$$ere il quarante$imo trouato d' Archimede, per cui di$$e; Dami oue io mi fermi, ch'io mouerò la terra; & Carpo Mechanico $c ri$$e, che Archimede compo$e vn libro del modo del fare le Sfere, che è fattura Mechanica. Ma più il mede$imo Archimede, non vna $ola volta cita $e $te$$o, nel libro della Qua dratura della Parabola, con parole tali. Imperoche egli è dimo- $trato nelle Mechaniche; accennando alcune propo$itioni del $uo libro delle co$e, che egualmente pe$ano, ilquale è tutto Me- chanico. Oltre à ciò vna parte del libro della Quadratura della Parabola, & il $econdo delle co$e, che $tanno $opra l'acqua, oue- ro à galla $ono Mechanici. Da que$ti luoghi vede$i e$pre$$o, che non $olamente Archimede fece opre Mechaniche, ma ne $cri$$e anco molti trattati; & confe$$a Plutarco per niuna altra dottri- na e$$ere tanto in riputatione $alito Archimede, quanto per le impre$e Mechaniche; anzi veramente co'l mezo loro hauer$i egli all'hora procacciato fama non di $cienza humana, ma di $apien- za diuina. Per la qual co$a egli è ben da con$iderare, come Plu- tarco $i $ia la$ciato tra$correr' à dire, che Archimede le Mechani che di$preggia$$e, nè di loro degna$$e $criuere: & per certo egli forte d'opinione $arebbe$i ingãnato, $e haue$$e poco $timata quel la facultà, che lo fè guadagnare gloria di gran lunga maggio- re, che qualunque altra $cienza $i po$$ede$$e. Vitruuio de i Latini fù buon Mechanico, & $eruì per Capitano delle Bali$te, & delle altre machine da guerra Ottauiano Ce$are, & gli intitu- lò le $ue fatiche dell' Architettura, & ne diuenne ricco. <p>L'e$$ere Mechanico dunque, & Ingegniero con l'e$empio di tanti valent'huomini, è officio da per$ona degna, & $ignorile: & Mechanica è voce Greca $ignificante co$a fatta con artificio da mouere, come per miracolo, & fuori dell'humana po$$anza grandis$imi pe$i con picciola forza, & in generale comprende cia$cun Dificio, Ordigno, I$trumento, Argano, Mangano, oue- ro ingegno mae$treuolmente ritrouato, & lauorato per cotali ef fetti, & $imili altri infiniti in qual $i voglia $cienza, arte, & e$er- citio. Laquale hò de$critta co$i materialmente per darne vn cer to $aggio accommodato al gu$to del più de gli huomini; trala- $ciando le accurate di$$initioni à miglior tempo. <p>Aggiunga$i, che $otto que$to vniuer$ali$$imo titolo $i è con- <pb n=1> <HEAD>LIBRODI MECHANICHE, DELL'ILLVSTRISSIMO SIGNORE, II. S. GVIDO VBALDO DE' MARCHESI DEL MONTE.</HEAD> <fig> <HEAD>Diffinitioni.</HEAD> <p>Il centro della grauezza di cia$cun corpo e vn certo punto po$to dentro, dal quale $e con la imaginatione s'intende e$$erui appe$o il gra- ue, mentre è portato $ta fermo, & mantiene quel $ito, che egli hauea da principio, ne in quel portamento $i và riuolgendo. <p><I>Que$ta diffinitione del centro della grauezza in$egnò Pappo Ale$$andrino nell'ottauo libro delle raccolte ma- thematiche. Ma Federico Comandino nel libro del cen- tro della grauezza de' corpi $olidi dichiarò l'i$te$$o centro in questa maniera de$cri- uendolo.</I> <p>Il centro della grauezza di cia$cuna figura $olida è quel punto po$to dentro, d'intorno alquale le parti di momenti eguali da ogni parte $i fermano. Peroche $e per tale centro $arà condotto vn piano, che $eghi in qual $i voglia modo la figura, $empre la diuiderà in parti, che pe$eranno egualmente. <foot>A</foot> <pb> <HEAD>NOTITIE COMVNI.</HEAD> <HEAD>I.</HEAD> <p>Se da co$e egualmente pe$anti $i leneranno co$e, che pur egualmente pe$ino, le re$tanti pe$eranno egualmente. <HEAD>II.</HEAD> <p>Se à co$e egualmente pe$anti $i aggiungeranno co$e, che pur egualm&etilde; te pe$ino, tutte in$ieme pe$eranno egualmente. <HEAD>III.</HEAD> <p>Le co$e, che all'i$te$$o $ono eguali in pe$o, $ono tra loro anco gra- ui egualmente. <HEAD>PRESVPPOSTE.</HEAD> <HEAD>I.</HEAD> <p>Di vno corpo è vn $olo centro della grauezza. <HEAD>II.</HEAD> <p>Il centro della grauezza di vn corpo è $empre nel mede$imo $ito per ri$petto al $uo corpo. <HEAD>III.</HEAD> <p>I Pe$i $ono portati in giu $econdo il centro della grauezza. <p>DIFFINITIONI. La diffinitione è vn breue parlare, che manife$ta, & inte- ramente dichiara la co$a propo$ta, $i fattamente che non $i po$$a trouare condi- tione, ouero accidente alcuno principale in e$$a co$a, $e la diffinitione è buona, che non $ia in virtù compre$a, & detta da lui; come per e$empio l'Autore qui di $opra da ad inten dere che $ia il centro della grauezza con due diffinitioni. <p>Le Notitie comuni poi $ono certe $entenze manife$te al $en$o comune de gli huomi- ni, lequali pur che vi $i ponga mente, $ubito vdite, $i intendono, & $e le pre$ta il con$entimento. <p>Ma la Pre$uppo$ta è diuer$a, peroche mette per vero la co$a co$i e$$ere, come $i pro- pone $enza altro di$cor$o per farla cono$cere. <pb> <HEAD>TRATTATI IN QVEST'OPERA CONTENVTI.</HEAD> <TABLE> <ROW><COL>I.</COL><COL>Della Bilancia, con la Stadera à carte</COL><COL>1</COL></ROW> <ROW><COL>II.</COL><COL>Della Leua.</COL><COL>35</COL></ROW> <ROW><COL>III.</COL><COL>Della Taglia.</COL><COL>56</COL></ROW> <ROW><COL>IIII.</COL><COL>Dell' A$$e nella Rota.</COL><COL>102</COL></ROW> <ROW><COL>V.</COL><COL>Del Cuneo.</COL><COL>107</COL></ROW> <ROW><COL>VI.</COL><COL>Della Vite.</COL><COL>115</COL></ROW> </TABLE> <pb n=2> <HEAD>DELLA BILANCIA</HEAD> <p>Avanti che $i faccia mentione della Bilancia, accioche la co$a re$ti più chiara, $ia la Bilancia AB in linea diritta, & CD la Truttina della Bilancia, laquale $econdo la con$uetu dine comune $tà $empre à piombo dell'orizonte. & il punto C im mobile, d'intorno alquale $i volge la Bilancia, $i chiami il centro del la bilancia, $ia pur collo- cato di $opra della bilan cia, ò di $otto, benche non propriamente, che non fa nulla Ma il CA, & il CB $iano le di$tan ze, & braccia della Bilan cia, co$i nomate. & $e dal centro della bilancia collocato di $opra, ò di $otto della Bilancia, $arà tirata vna linea à piom- bo di AB, que$ta $i chia merà perpendicolo, che $o$terrà la Bilancia AB, & $empre $tarà à piom- bo di e$$a Bilancia, mo- ua$i ella in qual $i voglia modo. <fig> <p>Concio$ia che in que$to trattato della Bilancia, & ne gli altri ancora l'Autore v$i alcune parole, lequali non $i $ono potute tra$portare commodamente in v olga- re, per non e$$ere e$$e anco $tate accettate in que$ta lingua, ne inte$e da ognuno, io le ho la$ciate co$i latine. Ma accioche non facciano difficultà à coloro, i quali non intendono il latino, le andrò per tutto à fuoi luoghi dichiarando. <p>Nel re$to poi delle parole mi $ono attenuto più al chiaro, & all'v$ato, che $ia pos$i- bile, & ho po$to angolo retto, & linea retta in cambio di angolo diritto, & linea diritta, & linea della direttione in lo co di linea della dirittura, & co$i diretto per diritto, & alcuna volta magnitudine in vece di grandezza, & angolo mi$to per me$colato, & angolo curuilineo per di linee torte, & linea curua per torta, & $oli- do per $odo, & for$e qualche altro vocabolo poco v$ato in que$ta no$tra fauella, $timando che cote$te parole $iano per dimo$trare maggiormente la co$a, & la in- tentione dell' Autore: & etiandio de$iderando, che $i rendano famigliari, & dome $tiche in que$ta $cienza, talche ognuno le po$$a ageuolmente intendere. <p>Trutina è quella co$a, che $o$tiene tutta la Bilancia, laquale Trutina pigli a il Perno, ouero l'A$$etto, & noma$i in que$ti pae$i Gioa, altroue Giouola, ouero l'o recchie della Bilancia, & in altre contrade Scocca, talche non $i troua $in hora vocabolo, <foot>A 2</foot> <pb> che in Italia communcmente vi $i confaccia, ne alcuno di qne$ti $arebbe inte$o per tutto. Onde io ho $critto co$i la Trutina, $perando, che $i habbia à fare termi ne, & parola generale à tutte le nationi d'Italia. <p>Perpendicolo vuol dire quella linea, che $porge in fuori dal centro della Bilancia al mezo di detta Bilancia, ilqual Perpendicolo è $olamente nelle Bilancie, lequali han no il centro di fuori della Bilancia, o $ia di $otto, ò $ia di $opra. Ma quando il cen- tro della Bilancia è nel mezo di e$$a, all'hora non vi è que$to Perpendicolo per e$ $ere il centro della Bilancia, & il mezo di e$$a vn'i$te$$o punto. Et que$to Perpen- dicolo è co$a imaginata dall' Autore $olamente, & non da altri, per ageuolare al- cune dimo$trationi della Bilancia, che di nouo ha inue$tigate: & non è la linguet- ta, ne meno la linea della direttione, ò dirittura che $i habbia à dire. <HEAD>LEMMA.</HEAD> <p>Sia la linca AB à piombo dell'orizonte, & col diametro AB $i de$cri- ua il cerchio AEBD, il cui centro $ia C. Dico il punto B e$$ere l'infimo luogo della circonferenza del cerchio AEBD, & il pun- to A il piu alto, & quali $i voglian punti, come DE, i quali $iano però egualmente di$tanti da A e$$ere egualmente po$ti di $otto, & quelli che $tanno piu da pre$$o ad e$$o A, e$$ere più alti di quelli, che $ono più da lunge. <p><marg><I>Per la ottaua del terzo.</I></marg><I>Allunghi$i la linea AB fin al centro del mondo, che $ia F. Dapoi $ia pre$o nella circonferenza del cerchio qual $i voglia punto, come G, & $i congiungano le linee FG FD FE. Hor per- cioche BF è la minima linea di tutte quelle, che dal punto F $ono tirate alla circonferenza AEBD, $arà la BF minore della FG. Per laqual co$a il punto B $arà piu da pre$$o al pun- to F, che il G. Et per cotesta ragione $i dimo- strerà, che il punto B $ta più da pre$$o al centro del mondo di qual $i voglia altro punto della cir- conferenza del cerchio AEBD. Sarà dunque il punto B l'infimo luogo della circon$erenza del cerchio AEBD. Dapoi perche AF tirata per lo centro è maggiore di GF, $arà il punto A più alto non $olamente di G, ma etiandio di qual $i voglia altro punto della circon$erenza del cer- chio AEBD. Oltre à ciò perche DF, & FE $ono eguali, i punti DE $aranno egualmente di stanti dal centro del mondo. Et e$$endo DF maggiore di FG, $arà il punto D, che è più da pre$$o al punto A, più alto del punto G, lequali co$e tutte erano da mo$trar$i.</I> <fig> <pb n=3> <p>Que$to vocabolo Lemma greco v$ato da tutti i volgarizatori di Euclide, & da gli altri Scrittori di Mathematica ancora, hò accettato anch'io. Ma ben con tutto ciò $timo che egli habbia me$tieri di vn poco di lume per e$$er inte$o; & viene à dire, $i come nota Cicerone nel $econdo della Diuinatione, co$a che prima $i prende per render facile l'intendimento delle co$e, lequali $i hanno dapoi à mo$trare, & nõ è Pre$uppo$ta, perche ella nõ $i proua cõ ragione, ma $uppon$i; ma il Lemma $i dimo$tra, come in que$to luogo, che prende il punto B e$$ere po$to nell'infimo $ito della circonferenza del cerchio, & lo proua per douer$ene valere nelle $eguen ti dimo$trationi. <p>Doue in que$to Lemma $i dice, che la linea AB è à piombo dell'orizonte, intenda$i per orizonte il piano della campagna, & del terreno $ottopo$to, volendo dire ori zonte parola greca vn cerchio, che termina la no$tra veduta, & abbraccia & diui de la metà della terra tutta. Quando dunque $i troua in que$ti libri vna linea, oue- ro altra quantità e$$ere à piombo, ouero egualmente di$tante, ò inchinata all'ori- zonte, intenda$i per l'orizonte il piano della campagna, ò del terreno. <HEAD>PROPOSITIONE I.</HEAD> <p>Se il pe$o $arà $o$tenuto nel centro della $ua grauezza da linea diritta non $i fermerà giamai, $e quella i$te$$a linea non $arà à piombo del l'orizonte. <fig> <p><I>Sia il pe$o A, & il centro della $ua grauezza B, ilqual pe$o venga $o $tenuto dalla linea CB. Dico che il pe$o non è per fermar$i giamai, $e CB non $arà à piombo dell'o- rizonte. Sia il punto C immobi- le, e$$endo co$i nece$$ario, accio il pe$o $ia $o$tenuto: & e$$endo il pun to C immobile, $e il pe$o A de- ue$i mouere, il punto B de$criuerà la circonferenza di vn cerchio, il cui mezo diametro $arà CB. Per laqual co$a $u'l centro A & con lo $patio BC $i de$criua il cerchio BFDE. & $ia di prima BC à piombo dell'orizonte, & $ia tirata $in à D, & il punto C $tia di $ot to al punto B. Hor percioche il pe$o A $i moue in giù $econdo il centro della gra-</I> <marg><I>Per la terza pre$upposta di questo.</I></marg> <I>uezza, il punto B $i mouerà in giù, oue naturalmente inchina ver$o il centro del mon do per la linea diritta BD: tutto il pe$o A dunque con B $uo centro della gra- uezza, grauerà $opra la linea diritta BC, & concio$ia che il pe$o venga $o$tenuto dalla linea CB, la linea CB $o$terrà tutto il pe$o A, $opra laquale non puote mo</I> <pb> <I>uer$i in giù, e$$endogliene da e$$a vietato. Per la diffinitione dun- que del centro della grauezza, il punto B & il pe$o A $taranno in que$to $ito. & quantunque <*>il B $ia piu alto di qual $i voglia al- tro punto del cerchio, t<*>tauia non $i mouerà in giù da que$to $ito per la circonferenza del cerchio, pero- che non $i inchinerà più ver$o lo F, che ver$o lo E, per e$$ere nell'vna parte & nell'altra eguale la di$ce- $a: ne il pe$a A piu $tà pendente in vna parte che nell'altra, ilche non auiene in qual $i voglia altro punto della circon$erenza del cer- chin, eccettuato il D. Sia il centro <fig> della grauezza dell'i$te$$o pe$o, come in F, concio$ia che la di$ce$a $ia dal punto F ver$o il D, & la a$ce$a ver$o il B, però il punto F mouera$$i in giù: & per- cioche non $i puote mouere al centro del mondo per linea diritta, per e$$er<*> impe- dito dal punto C immobile per cau$a della linea CF, ma ben $i mouerà $empre in giù come richiede la $ua natura: & e$$endo il D il luogo infimo, $i mouerà per la circonferenza FD finche peruenga in D, nelqual $ito fermera$$i il pe$o, & re$terà immobile, sì perche non $i puote più mouere in giù per e$$ere attaccato al punto C, sì anche percioche egli è $o$tenuto nel $uo centro della grauezza. Et quando F $arà in D, $arà $imilmente la FC in DC, & in$ieme à piombo dell'orizonte. il pe$o dunque non $i fermerà giamai finche la linea CF non $tia à piombo dell'orizonte, che bi$ognaua prouare.</I> <p>Di quì $i puote cauare, che il pe$o $ia pur $o$tenuto in vn dato punto in qual $i voglia modo, non $tarà fermo giamai, $e non quando la linea tirata dal centro della grauezza del pe$o à quel punto, $tia à piombo dell'orizonte. <pb n=4> <p><I>Come, po$te le co$e i$te$$e, $ia $o$tenuto il pe$o dalle linee CG CH. Dico che $e la tirata linea BC $arà à piombo dell'orizonte, il pe$o $tarà fermo: ma $e la tirata linea CF non $arà à piombo dell'orizonte, il punto F $imouerà in giù fin al D, nel qual $ito $tarà fermo il pe$o, & la tirata linea CD $arà à piom- bo dell'orizonte. Le quali co$e tutte con laragione mede$ima $i pro- uerebbono.</I> <fig> <HEAD>PROPOSITIONE II.</HEAD> <p>La bilancia egualmente di$tante dall'orizonte, il cui centro $tia $opra la detta bilancia, & che habbia i pe$i eguali nelle $tremità, & egual- mente di$tanti dal perpendicolo, $e da cotale $ito $arà mo$$a, & nell'i$te$$o di nuouo la$ciata, ritornerà, & iui re$terà. <fig> <p><I>Sia la bilancia AB in linea diritta egualmen te di$tante dall'orizon te, il cui centro C $ia $opra la bilancia, & $ia CD il perpendi- colo, il quale $arà à piombo dell'orizonte: & la di$tanza DA $ia eguale alla di$tan- za DB: & $iano i pe$i in AB eguali, i centri della grauez- za de' quali $iano ne i punti AB. Moua$i da que$to $ito la bi- lancia AB come in EF, dapoi $ia la$ciata. Dico che la bilancia EF ritor- neràin AB di$tante egualmente dall'orizonte, & iui rimanerà. Hora percioche</I> <pb> <I>il punto C $tà immobì le mentre la bilancia $i moue, il punto D veni rà à de$criuere vna cir- con$erenza di cerchio, il cui mezo diametro $a- rà CD. Per laqual co$a co'lcentro D, & lo $patio CD de$cri- ua$i il cerchio DGH. Et perche CD $empre $tà à piombo della bi- lancia, mentre la bilan cia $arà in EF, la li- nea CD $arà in CG $i fattamente, che CG <fig> venga ad e$$ere à piombo di EF: & concio$ia che AB $ia diui$a in due parti</I> <marg><I>Per la quarta del primo di Archimede delle co$e che pe$ano egualmente.</I></marg> <I>eguali nel punto D, & i pe$iin AB $iano eguali, $arà etiandio il centro della grauezza della magnitudine compo$ta di que$ti due corpi AB nel mezo, cioè in D: & quando la bilancia in$ieme co i pe$i $arà in EF, $arà parimente G il cen tro della grauezza della magnitudine compo$ta di e$$i AB: & percioche CG non è à piombo dell'orizonte, la grandezza compo$ta de i pe$i EF non rimarrà</I> <marg><I>Per la prima di questo.</I></marg> <I>in questo $ito, ma $i mouerà in giù $econdo il centro della grauezza $ua, che è in G, per la circonferenza GD, finche $i faccia à piombo dell'orizonte, cioè finche CG ritorni in CD. Et quando CG $arà in CD, la linea EF (perche $em- pre $tà ad angoli retti con CG) $arà in AB, nelqual $ito $tarà $erma. La bi-</I> <marg><I>Per la prima di questo.</I></marg> <I>lancia dunque EF ritornerà in AB, laquale è di$tante egualmente dall'orizon- te, & iui rimarrà, che bi$ognaua dimo$trare.</I> <HEAD>PROPOSITIONE III.</HEAD> <p>La bilancia egualmente di$tante dall'orizonte, che habbia nelle $tre- mità pe$i eguali, & egualmente lontani dal perpendicolo, e$$endo collocato il centro di $otto, rimarrà in que$to $ito. Ma $e indi $arà mo$$a, & la$ciata à ba$$o, $i mouerà $econdo la parte piu ba$$a. <pb n=5> <fig> <p><I>Sia la bilancia AB in linea diritta, egual- mente di$tante dall'ori zonte, il cui centro C $ia di $otto alla bilan- cia, & $ia CD il per- pendicolo, ilquale $arà à piombo dell'orizon- te, & la di$tanza AD $ia eguale alla distan- za DB, & $iano in AB pe$i eguali, i cen- tri della grauezza de' quali $iano ne' punti AB. Dico primiera- mente che la bilancia AB $tarà $erma in que$to $ito. Hor percioche AB $i diuide in parti eguali nel punto D, & i pe$i po$ti in AB $ono eguali, $egue, che il punto D $ia il centro della grauez- za della magnitudine compo$ta di ambedue i corpi me$$i in AB; & il CD che</I> <marg><I>Per la quar ta del primo d' Archimede delle co$e che pe$ano egualm&etilde;te.</I></marg> <I>$ostiene la bilancia $tà à piombo dell'orizonte: Adunque la bilancia AB in que$to $ito rimarrà ferma. Ma da que$to $ito moua$i la bilancia AB come in EF, & la$<*>i$i dapoi. Dico che la bilancia EF $i mouerà dalla parte dello F. Et percioche il CD $tà $empre à piombo della bilancia, mentre la bilancia $arà in EF verrà ad e$$ere anche il CD in CG à piombo di EF, & il punto</I> <marg><I>Per la prima di questo.</I></marg> <I>G della magnitudine composta di EF $arà il centro della grauezza, ilquale men tre $i moue de$criuerà la circonferenza del cerchio DGH, il cui mezo diametro è CD, & il centro C. Ma perche CG non $tà à piombo dell'orizonte, la grandezza compo$ta de i pe$i EF non rimarrà in questo $ito, ma $econdo il cen- tro della $ua grauezza $i mouerà in giù per la circonferenza GH. La bilancia dunque EF $i mouerà in giù dalla parte dello F, che bi$ognaua mo$trare.</I> <HEAD>PROPOSITIONE IIII.</HEAD> <p>La bilancia egualmente di$tante dall'orizonte, & che habbia nelle $tre mità pe$i eguali, & egualmente di$tanti dal centro collocato in e$$a bilancia. Se ella indi $arà mo$$a, ò non, douunque ella $arà la$cia- ta, rimarrà. <foot><I>B</I></foot> <pb> <p><I>Sia la bilancia nella linea diritta AB egualmen te di$tante dall'orizon- te, il cui centro C $ia nella i$te$$a linea AB, & la di$tanza CA $ia eguale alla distanza CB, & $iano i pe$i AB eguali, i cui cen- tri della grauezza $tia no ne i punti AB. Mo ua$i la bilancia come in DE, & iui $ia la$cia- ta. Dico primamen- <fig> te che la bilancia DE non $i mouerà, & rimarrà in quel $ito. Hor percioche i pe$i AB $ono eguali, $arà il centro della grauezza della magnitudine compo$ta delli due pe$i A & B in C. Per laqual co$a l'i$te$$o punto C $arà il centro della bilancia, & il centro della grauezza di tutto il pe$o. Et percioche il centro della bilancia che è C, mentre la bilancia AB in$ieme co'pe$i $i moue in DE, rimane immobile, non $i mouerà ne anche il centro della grauezza, che è l'i$te$$o C. Adunque ne anche la bilancia DE $i mouerà per la diffinitione del centro della grauezza, e$$endo in e$$o appiccata. L'i$te$$o accade parimente $tando la bilancia AB egualmente di$tante dall'orizonte, ouero e$$endo in qual $i voglia altro $ito. Rimarrà dunque la bilancia oue $arà la$ciata, che bi$ognaua mo$trare.</I> <p><I>Benche habbiamo con$iderato nelle co$e predette le grauezze $olamente delle magni- tudini, le quali $ono po$te nelle $tremità della bilancia, $enza la grauezza della bi- lancia; niente di manco per e$$ere anche le braccia della bilancia eguali, auenir à lo i$te$$o alla bilancia, con$iderata la $ua grauezza in$ieme co' pe$i, ouero $enza pe$i, percioche il centro iste$$o della grauezza $enza pe$i $arà anco centro della grauez- za della bilancia $ola. Similmente $e li pe$i $aranno appiccati nelle $tremità del- la bilancia, come $uole far$t, aùerrà l'iste$$o, purche le linee tirate da i punti oue $o- no attaccati i pe$i ver$o i centri delle grauezze, (moua$i la bilancia in qual $i vo- gliamodo) vadano à concorrere nel centro del mondo, peroche doue $ono attaccati i pe$i in questa maniera, iui grauano, come $e in quegli $te$$i punti baue$$ero i cen tri delle grauezze. Oltre à ciò poßiamo con$iderare le co$e che $eguono in tut- to al modo i$te$$o.</I> <p><marg><I>Giord. de' pe$i. Il Car dano della $ottigliezza. Il Tartaglia de' que$iti, & inu&etilde;tioni</I></marg><I>Ma percioche à que$ta vltima conchiu$ione molte co$e dette da alcuni, che $entono al- tramente, paiono contra$tare; però in cote$ta parte egli $arà bi$ogno dimorare alquanto, & $econdo le mie forze non $olo farò opra di difendere la propria mia $entenza, ma Archimede ancora, ilquale $embra e$$ere $tato in que$to i$te$- $o parere.</I> <pb n=6> <p><I>Po$te le co$e i$te$$e, $ia tirata la linea FCG à piombo di AB, & dell'orizonte: & col centro C, & lo $pa- tio CA $ia de$crit- to il cerchio ADFB EG: $aranno i punti ADBE nella circon ferenza del cerchio, per e$$ere le braccia della bilancia eguali. & percioche conuen- gono que$ti autori in vna $entenza, affer- mando, che la bilan- cia DE non $i moue in FG, ne rimane in</I> <fig> <I>DE, maritornanellalinea AB egualmente di$tante dall'orizonte, mo$trerò que $ta loro opinione non potere à modo alcuno $tare. Percioche $e egli è vero quel che dicono, ouero auenir à questo effetto per e$$ere il pe$o D più graue del pe$o E, ouero $e li pe$i $ono eguali, le di$tanze nelle quali $ono po$ti, non $aranno eguali, cioè la CD non $arà eguale alla CE, ma più grande. Ma che i pe$i col- locati in DE $iano eguali, & la di$tanza CD $ia eguale alla di$tanza CE, è chiaro dalla pre$uppo$ta. Hor perche dicono che il pe$o po$to in D in quel $i- to è più graue del pe$o po$to in E nell altro $ito da ba$$o: mentre i pe$i $ono in DE, non $arà il punto C piu centro della grauezza, imperoche non stanno fer- mi $e $ono attaccati al C, ma $arà nella linea CD per la terza del primo di At chimede delle co$e che pe$ano egualmente. Non $arà già nella CE per e$$ere il pe$o D più graue del pe$o E: $ia dunque in H, nelquale $e $aranno attacca- ti, rimarranno. Et percioche il centro della grauezza de' pe$i congiunti in AB $tà nel punto C: ma de' pe$i po$tiin DE il punto è H: mentre dunque i pe$i AB $i muouono in DE, il centro della grauezza C moueraßi ver$o D, & s'appre$$er à più da vicino al D, ilche è impoßibile, per mantenere i pe$i vname- de$ima di$tanza fra loro: peroche il centro della grauezza di cia$cun corpo $tà $em- pre nel mede$imo $ito per ri$petto al $uo corpo. Et quantunque il punto C $ia il</I> <marg><I>Per la $ecom da $upposta di questo.</I></marg> <I>centro della grauezza di due corpi A. & B, tuttauia per e$$ere mediante la bi- lancia co$i giunti in$ieme, che $empre $i trouano nell'iste$$o modo; però il punto C</I> <marg><I>Per la quar ta del primo di Archime de delle co$e che pe$ano egualmente.</I></marg> <I>$arà co$i centro della grauezza loro, come $e fo$$e vna $ola magnitudine; percio- che la bilancia in$ieme co' pe$i fa vn $olo corpo continuo, il cui centro della grauez za $empre $tarà nel mezo. Non è dunque il pe$o po$to in D più graue del pe- $o po$to in E. Che $e dice$$ero il centro della grauezza non nella linea CD, ma</I> <foot><I>B</I> 2</foot> <pb> <I>nella CE douer e$$ere, auerrà l'i$te$$o $allo.</I> <p><I>Di più $e il pe$o D $i mouer à in giù, mouer à il pe$o E in sù. Adunque vn pe$o più graue di E nel mede$imo $ito pe$erà tanto quanto il pe$o D, & auerr à che co$e graui di$uguali, po$te in eguale distanza pe$eranno egualmente. Aggiun- ga$i dunque al pe$o E qualche co$a graue, $i $attamente, che contrape$i al D $e nel C $aranno attac cati. Ma e$$endo $ta- to di $opra mo$trato il punto C e$$ere il cè-</I> <marg><I>Per laterza del primo di Archimede delle co$e che pe$ano egual mente.</I></marg> <I>tro della grauezza di pe$i eguali po$ti in DE; $e dunque il pe- $o. E $arà più graue del pe$o D, $arà anche il centro della grauez za nella linea CE. & $ia que$to centro il</I> K. <I>Ma per la diffi- nitione del centro del la grauezza, $e li pe$i $aranno appiccati al</I> K, <I>staranno fermi. Dunque $e $aranno</I> <fig> <I>appiccati al C, non $taranno fermi, che è contra la pre$uppo$ta: ma il pe$o E $i</I> <marg><I>Per la prima $upposta di questo.</I></marg> <I>mouer à in giù. Che $e appiccati al C pe$a$$ero ancora egualmente, na$cerebbe che di vna magnitudine, due $arebbono i centri della grauezza, che è impo$$ibile. Adunque il pe$o po$to in E più graue di quello che è in D, non pe$er à tanto quanto il D attaccando$i al punto C. I pe$i dunque eguali po$ti in DE, attac- cati nel centro della loro grauezza pe$eranno egualmente, & $taranno immobili, che $u proposto di mo$trare.</I> <p><marg><I>Il Tartaglia nella $esta propo$itione del quate li bre.</I></marg> <I>A que$ta vltima $conueneuolezza ri$pondono, dicendo e$$ere impo$$ibile aggiungere al lo E $i picciolo pe$o, che in ogni modo $e ben $i appiccano al C, il pe$o E non $i moua $empre in giù ver$o il G. La qual co$a habbiamo noi pre$uppo$to poter$i fare, & credeuamo poter$i fare: Peroche quel che è di più del pe$o D $opra il pe$o E, hauendo ragione, & parte di quantità, $i imaginauamo non $olamente e$$ere minimo, ma ancora poter$i diuidere in infinito, il che eßi per certo non $ola- mente minimo, ma ne anche e$$ere minimo, non potendo$i ritrouare, $i s$orzano di mo$tr are in que$ta maniera.</I> <pb n=7> <p><I>Pongan$i le co$e iste$$e & da<*>i punti DE $iano tirate le linee DHE</I>K <I>à piombo dell'orizonte, & $ia vn'altro cerchio L DM, il cui centro $ia N, ilquale toc</I> <marg><I>Per la $ecen da del terzo</I></marg> <I>chi FDG nel pun to D, & $ia eguale</I> <marg><I>Per la vige $imanona del prim<*>.</I></marg> <I>ad FDG. Sarà NC linea retta: & perche l'angolo</I> K <I>EC è eguale all'an- golo HDN, & l'angolo CEG è pa rimente eguale al- l'angolo NDM,</I> <fig> <I>peroche egli è contenuto da mezi diametri, & da circonferenze eguali: $arà il re- stante angolo & mi$to</I> K<I>EG eguale al re$tante angolo & mi$to HDM. Et per- cioche pre$uppongono, che quanto è minore l'angolo contenuto dalla linea tirata à piombo dell'orizonte, & dalla circonferenza, tanto in quel $ito e$$ere anco più gra ue il pe$o. Talche $i come l'angolo contenuto da HD, & dalla circonferenza DG, è minore dell'angolo</I> K<I>EG, cioè dell'angolo HDM, co$i $econdo que$ta proportione il pe$o po$to in D $ia più graue di quello che $tà in E. Mala pro- portione dell'angolo MHD all'angolo HDG è minore di qual $i voglia altra proportione, che $i troui tra la maggiore, & minore quantità: Adunque la pro- portione de i pe$i DE $arà la minima di tutte le proportioni, anzinon $arà qua$i ne anche proportione, e$$endo la minima di tutte le proportioni. Che la propor- tione di MDH ver$o HDG $ia di tutte la minima, mo$trano con que$ta ne- ce$$aria ragione, peroche MHD $upera HDG con angolo di linea curua, che è MGD, ilquale angolo è il minimo di tutti gli angoli fatti di linee rette: ne po- tendo$i dare angolo minore di MGD $arà la proportione di MDH ver$o HDG la minima di tutte le proportioni. Laqual ragione pare e$$ere grandemente friuo- la, peroche quantunque l'angolo MDG $ia di tutti gli angoli fatti di linee rette il minore, non perciò $egue totalmente egli e$$ere di tutti gli angoli il minimo, im-</I> <marg><I>Per la decima ottaua del terzo.</I></marg> <I>peroche $ia dal punto D tirata la linea DO à piombo di NC, ambedue que- ste toccberanno le circonferenze LDMFDG nel punto D. Ma percioche le circonferenze $ono eguali, $arà l'angolo MDO misto eguale all'angolo ODG mi- $to. L'vno de gli angoli dunque, cioè ODG $arà minore di MDG, cioè minore</I> <marg><I>Per la ottaua del quinto.</I></marg> <I>del minimo. Dapoi l'angolo ODH $arà minore dell'angolo MDH. Per laqual co$a ODH haurà proportione minore all'angolo HDG, che MDH all'i$te$$o</I> <pb> <I>HDG. Dara$$i dunque la proportione anco minore della minima, laquale mostre- remo dauantaggio in in$inito minore in questo modo. De$criua$i il cerchio DR, il cui centro $ia E, & il mezo diametro ED, la circonferentia DR tocche-</I> <marg><I>Per la vnde cima del ter zo.</I></marg> <I>rà la circonferenza DG nel punto D, & la linea DO nel</I> <marg><I>Per la decima ottaua del terzo.</I></marg> <I>punto D. Per laqual co$a minore $arà l'an golo RDG dell'an- golo ODG, & $i- milmente l'angolo R DH dell'angolo O DH. Adunque ha- uer à minore propor- tione RDH ad HD G di quel che haurà ODH ad HDG. Pigli$i dapoi tra E & C, come $i vuo- le, il punto P, dal quale nella di$tanza</I> <fig> <I>di PD $i de$criua vn'altra circonferenza DQ, laquale toccherà la circonferen- tia DR, & la circonferentia DG nel punto D, & l'angolo QDH $arà mi nore dell'angolo RDH. Adunque QDH haurà proportione minore ad HDG che RDH ad HDG, & nell'i$te$$o modo in tutto, $e tra il C & il P $i tor- rà vn'altro punto, & tra que$to, & il C vn'altro, & co$i $ucceßiuamente $i de- $criueranno infinite circonferentie tra DO, & la circonferenza DG: dalle quali troueremo $empre la proportione minore in infinito: & co$i $egue, che la propor- tione del pe$o po$to in D al pe$o po$to in E non $ia tanto picciola, che non $i po$$a ritrouarla $empre minore in infinito. Et perche l'angolo MDG $i puote diuidere in infinito, $i potrà anche diuidere quel più di grauezza che ha il D $o- pra lo E in infinito.</I> <pb n=8> <p><I>Ne bi$ogna trala$ciare, che eglino hanno pre$upp o$to nella demo$tratione l'ango lo</I> K<I>EG e$$er maggiore del l'angolo HDC, come co $a nota: il che ben è vero $e DHE</I>K <I>$ono fra loro e- gualmente di$tanti. Ma percioche, come eßi pari- mente pre$uppongono, le linee DHE</I>K <I>$i vanno à trouare nel centro del mon do, le linee DHE</I>K <I>non $aranno egualmente di$tan ti giamai, et l'ãgolo</I> K<I>EG non $olo non $arà maggio- re dall'angolo HDG, ma minore. Come per gra- tia di e$$empio, $ia tirata la linea FG $in al centro del mondo, che $ia S, & con giungan$i DS ES. Egli è da mostrare l'angolo SE G e$$ere minore dell'ango lo SDG. Tiri$i dal punto E la linea ET, che toc- chi il cerchio DGEF, & dall'i$te$$o punto $ia tirata la EV egualmente di$tan</I> <fig> <I>te da DS: Percioche dunque EVDS $ono traloro egualmente di$tanti, $imil- mente ET DO $ono egualmente di$tanti: $arà l'angolo VET eguale all'ango- lo SDO: & l'angolo TEG eguale all'angolo ODM, per e$$ere contenuto da linee toccanti la circonferenza, & da circonferenze eguali. Tutto l'angolo dun- que VEG $arà eguale all'angolo SDM. Leui$i via dall'angolo SDM l'ango lo di linee curue MDG: & dall'angolo VEG leui$i via l'angolo VES, & l'angolo VES fatto di linee rette è maggiore dell'angolo MDG fatto di linee curue; $arà il re$tante angolo SEG minore dell'angolo SDG. Per laqual co$a dalle pre$uppo$te loro non $olo il pe$o posto in D $arà più graue del pe$o po$to in E, ma per lo contrario il pe$o E $arà più graue dell'i$te$$o D.</I> <pb> <p><I>Producono tutta via ragioni con le quali $i sforzano di mo- $trare, che la bilan- cia DE ritorna per neceßità in AB e- gualmente distante dall'orizonte. Pri- ma dimo$trano l'i- $te$$o pe$o e$$ere più graue in A, che in altro $ito, che chiamano $ito della egualità, e$$endo la linea AB egual- mente di$tante dal- l'orizonte. Da- poi quanto è più da</I> <fig> <I>pre$$o allo A, tanto e$$ere piu graue di qual $i voglia altro più da lontano, cioè il pe$o po$to in A e$$ere più graue, che in D; & in D, che in L: & $imil- mente in A più graue, che in N; & in N più graue, che in M. Con$ide-</I> <marg><I>Il Cardano nel primo della $ottigliezza.</I></marg> <I>rando $olamente vn pe$o in vno delle braccia in sù, ouero in giù mo$$o. Percio- che dicono, po$ta la trutina della bilancia in CF, il pe$o me$$o in A è più lunge dalla trutina che in D; & in D più lunge, che in L: peroche tirate le linee DO</I> <marg><I>Giordano nella quarta propo$itione</I></marg> <I>LP à piombo di CF, la linea AC re$ta maggiore di DO, & DO di e$$a LP, & auiene l'i$te$$o ne i punti NM. Dapoi dicono da qual luogo il pe$o $i mo- ue più velocemente, iui è più graue: ma egli $i moue più velocemente dallo</I> <marg><I>Il Tartaglia nella quinta propo$itione.</I></marg> <I>A, che da altro $ito; adunque egli è più graue nello A. Con $imile mo- do, quanto più egli è da pre$$o allo A, tanto più velocemente $i moue: adunque nel D $arà più graue, che in L. L'altra cagione poi che cauano dal mo-</I> <marg><I>Il Cardano. Giordano al la propo$itio ne quarta.</I></marg> <I>uimento più diritto, & più torto è, che quanto il pe$o di$cende più diritto in archi eguali, pare e$$er anco più graue; concio$ia che il pe$o e$$endo libero, & $ciolto, $i moua di $ua propria natura per lo diritto; ma in A egli di$cende più dirittamen</I> <marg><I>Il Tartaglia alla pro po$itione</I> 5.</marg> <I>te; dunque in A $arà più graue, & dimo$trano ciò pigliando l'arco AN egua- le all'arco LD. & da i punti NL $iano tirate le linee NRLQ egualmente di- $tanti dalla linea FG, laquale chiamano anche della direttione; & quelle altre $e- gheranno le linee ABDO in QR, & dal punto N $ia tirata la NT à piombo di FG: Dimo$trano veramente LQ e$$ere eguale à PO, & NR ad e$$a CT, & la linea NR e$$er maggiore di LQ. Hor percioche la di$ce$a del pe$o dallo A fin ad N per la circonferentia di AN trapa$$a maggior parte della linea FG, (che eßi chiamano pigliare di diritto) che la di$ce$a di L in D per la circonferenza LD; concio$ia che la di$ce$a AN trapaßi la linea CT, ma la di$ce$a LD la linea</I> <pb n=9> <I>PO, & CT è maggiore di PO, la di$ce$a di AN $arà più diritta, che la di- $ce$a di LD: $arà dunque più graue il pe$o po$to in A, che in L, ouero in qual $i voglia altro $ito, & nell'i$te$$o modo dimo$trano, che quanto il pe$o è più vicino allo A, è più graue; cioè $iano le circonferenze LD DA traloro eguali, & dal punto D $ia tirata la linea DR à piombo di AB; $arà la DR eguale al-</I> <marg><I>Per la trige $imaquarta del primo.</I></marg> <I>la CO. & dimo- $trano po$cia, che la linea DR è mag giore della LQ, & dicono che la $ce$a di DA prende più di $ce$a diritta, che non fa LD, pe- roche è maggiore la linea CO, che la OT<*> Per la- qual co$a<*> pe$o $a rà più graue in D, che in L, ilche pa rimente auiene ne punti NM. & co$i il pre$uppo$to, per loquale dimo-</I> <fig> <I>$trano la bilancia DE ritornare in AB a$fermano come noto, & manife$to; cioè</I> <marg><I>Giordane nella quarta pre $apoosta</I></marg> <I>che $econdo il $ito il pe$o è tanto più graue, quanto nel mede$imo $ito manco tor- ta è la $ce$a: & la cagione di cotal ritorno dicono e$$ere que$ta; peroche la $ce$a del pe$o po$to in D è più diritta della $ce$a del pe$o po$to in E, per pigliare il pe$o</I> <marg><I>Giordano nella $econda propo$iti<*> ne.</I></marg> <I>di E manco della direttione in de$cendendo che non fa il pe$o di D pur nel di$cen dere: Come $e l'arco EV $ia eguale à DA, & $iano tirate VHET à piom bo di FG; $arà maggiore DR di TH. Per laqual co$a per la pre$uppo$ta il pe</I> <marg><I>Il Tartaglia nella quinta propo$icione.</I></marg> <I>$o me$$o in D per ri$petto al $ito $arà più graue del pe$o me$$o in E. Adunque il pe$o me$$o in D e$$endo più graue $i mouerà in giù, & il pe$o po$to in E in $u fin che la bilancia DE ritorni in AB.</I> <p><I>L'altra ragione ancora di que$to ritorno è, che quãdo la trutina della bilancia è $opra</I> <marg><I>Il Cardano.</I></marg> <I>dilei in CF; la linea CG è la meta: & percio che l'angolo GCD è maggiore dell'angolo GCE, & l'angolo maggiore dalla meta rende più graue il pe$o: adun- que $tando la trutina della bilancia di $opra $arà più graue il pe$o in D, che in E, & perciò il D ritorner à nello A, & lo E nel B.</I> <p>Meta è pur voce Latina co$tumata da gli antichi ne i giuo chi, & conte$e fatte ne i cer chi murati, & ne i Theatri, percio che il principio, oue $i dauano le mo$$e a' corri- tori, $i chiamaua Carcere, & il fine Meta; di modo, che meta viene à dire termine & fine: & piu in altro $ignificato il luogo piu ba$$o, & in$imo. Hor qui $i puote <foot><I>C</I></foot> <pb> intendere ad ambidue i modi, cioè che la linea CG $ia la meta, cioè il termine & fine, nelquale ha da peruenire il pe$o collo cato nella bilancia; ouero il luogo infimo della circonferenza, alquale capita il pe$o per natura. Doue $criue l'Auto re l'angolo maggiore dalla Meta, vuol dire l'angolo, che fa il braccio della bilan- cia con la Meta CG. <p><I>Et co$i cõ que$te ragioni $i sforzano dimo$trare la bilancia DE ritornare in AB; le quali al parer mio $i po$$ono ageuolmente $oluere.</I> <p><I>Primieramente dunque in quanto s'appartiene alle ragioni, che dicono il pe$o me$$o in A e$$ere piu graue, che in altro $ito, lequali cauano dalla di$tanza piu da lonta- no, & piu da pre$$o della linea FG, & dal mouimento piu veloce, & piu diritto dal punto A. In prima non dimo$trano veramente perche il pe$o $i moua piu velo- cemente dallo A, che da al tro $ito. ne perche $ia maggiore CA di DO, & DO di LP, per que$to, come per vera cagione, $egue il pe$o po$to in A e$$ere piu gra- ue di quello, che è in D, & quello di D, di quel che $tà in L, percioche non $i queta l'intelletto, $e di ciò altra cagione non $i dimo$tra, parendo $egno piu to$to, che vera cagione. Quello ste$$o accade parimente all'altra ragione, laquale adducono dal mouimento piu diritto, & piu torto. Oltre à ciò tutte quelle co$e, che per$uadono per via del mouim&etilde; to piu veloce, & piu tardo il pe$o in A e$$ere piu graue, che in D, non per- ciò dimo $trano, che il pe$o in A, in quã to è in A, $ia piu graue del pe$o D, in quanto è in D, ma in quanto $i parte da i punti DA. Onde, auãti che piu oltre $i proceda, pri ma dimo$trerò, che il pe$o quanto egli è piu da pre$$o ad FG manco graua, $i in quanto egli $tà nel $ito, oue $i ritro</I> <fig> <I>ua, come anche in quanto $i parte da quello: & in$ieme, che egli è fal$o il pe$o e$$ere piu graue in A, che in altro $ito.</I> <p><I>Tiri$i la FG fin al centro del mondo, che $ia in S, & dal punto S tiri$i anco vna linea, che tocchi il cerchio AFBG. non potrà già questa linea tirata dal punto S toc- care il cerchio nel punto A; imperoche tirata la linea AS, il triangolo ACS ver</I> <pb n=10> <I>rebbe ad hauere due angoli retti, cioè SAC, & ACS, che è impoßibile: ne me no toccherà $opra il punto A nella circonferenza AF; peroche $egherebbe il cer-</I> 2<marg><I>Per la deci ma ottau<*> del terzo</I></marg> <I>chio. Toccherà dunque $otto, & $ia SO: $iano dapoi congiunte le lince SD SL, lequali $eghino la circonferenza AOG ne' punti</I> K<I>H, & $iano ancho congiunte le linee C</I>K <I>CH. Et percioche il pe$o, quanto egli è piu da pre$$o di F, tanto piu an- co $tà $opra il centro; come il pe$o in D preme, & $tà piu $opra il punto del volgi- mento C, come à centro, cioè in D piu graua $opra la linea CD, che $e egli fo$$e in A $opra la linea CA: & dauantaggio piu in L $opra la linea CL. imperoche e$$endo li tre angoli di cia$cun triangolo eguali à due angoli retti, & l'angolo DC</I>K <I>del triangolo DC</I>K, <I>che è di due lati eguali $ia minore dell'angolo LCH del triãgolo LCH, che è pur di due lati eguali: $aranno gli altri alla ba$e, cioè CD</I>K <I>C</I>K<I>D in$ieme pre$i maggiori de gli altri CLH CHL; & le metà di que$ti, cioè l'angolo CDS $arà mag giore dell'angolo CLS. E$$endo adunque CLS minore, la linea CL piu $i acco$terà al mouimento naturale del pe$o me$$o in L del tutto $ciolto; cioè à dire alla linea LS, che CD al mouimento DS: percioche il pe $o po$to in L libero, & $ciolto $i mouerebbe ver$o il centro del mondo per LS, & il pe- $o po$to in D per DS. Ma perche il pe$o me$$o in L graua tutto $opra LS, & quello che è in D $opra DS, il pe$o in L grauerà pu $opra la linea CL, che quello, che $tà in D $opra la linea DC. Adunque la linea CL $o$terrà piu il pe$o, che lalinea CD, & nel modo iste$$o quanto piu il pe$o $arà da pre$$o ad F, $i dimo strerà piu e$$er $o$tenuto dalla linea CL per cotesta cagione, peroche $empre l'angolo CLS $arebbe minore, la- qual co$a etiandio èmanife$ta; perche $e le li nee CL, & LS s'incontra$$ero in vna li nea, ilche auiene in FCS, all'hora la linea CF $o$terrebbe tutto il pe$o, che è in F, & lo renderebbe immobile, nè haurebbe niuna grauezza in tutto nella circonferenza del cer chio. Li$te$$o pe$o dunque per la diuer$ità</I> <fig> <I>de' $iti $arà piu graue, & piu lieue. & que$to non già percio che per ragione del $ito alcuna volta egli acqui$ti veramente grauezza maggiore, & alcuna volta la perda, e$$endo $empre della i$te$$a grauezza, troui$i douunque $i voglia: ma percioche egli</I> <foot><I>C</I> 2</foot> <pb> <I>graua piu, & meno nella circonferenza, come in D piu graua $opra la circonferenza DA, che in L $opra la circonferenza LD: cioè $e il pe$o $arà $o$tenuto dalle circon ferenze, & dalle linee diritte; la circonferenza AD $o$terrà piu il pe$o po$to in D, che la circonferenza DL, $tando il pe$o in L; peroche meno aiuta CD, che CL. Oltre à ciò quando il pe$o è in L, $e egli fo$$e del tutto libero & $ciolto, $i mouerebbe in giu per LS, $e non gliene fu$$e vietato dalla linea CL, laquale sforza il pe$o po$to in L à mouer$i oltre la linea LS per la circonferenza LD, & lo caccia in certo mo do, & in cacciandolo viene in parte à $o$tenerlo; percioche $e non lo $o$tene$$e, & gli face$$e re$i$tenza, $i mouerebbe in giu per la linea LS, ma non già per la cir- conferenza LD. Similmente la CD fa re$i$tenza al pe$o po$to in D, sforzan- dolo à mouer$i per la circonferenza DA. Nell'iste$$o modo $tando il pe$o in A, la linea CA con$tringerà il pe$o à mouer$i oltre la linea AS per la circoferenza AO; peroche l'angolo CAS è acuto, e$$endo lo angolo ACS retto. Adunque le linee CA CD in qualche parte, ma non già e- gualmente fanno re$istenza al pe$o. & qua lunque volta l'angolo, che è nella circonfe- renza del cerchio fatto dalle linee che e$cono dal centro del monde S, & dal centro C $a- rà acuto, dimo$treremo auenire l'i$te$$o. Hor percioche l'angolo mi$to CLD è eguale à l'angolo CDA, per e$$ere conteuuto da mezi diametri, & dall'i$te$$a circonferenza; & l'angolo CLS è minore dell'angolo CDS; $arà il reflante SLD maggiore del re$tante SDA. Per laqual co$a la cir conferenza DA, cioè la di$ce$a del pe$o in D $ara piu da pre$$o al mouimento natu- rale del pe$o $ciolto me$$o in D, cioè della li- nea DS, che la circonferenza LD della linea LS. Meno dunque farà re$i$tenza la linea CD al pe$o po$to in D, che la linea CL al pe$o po$to in L. Però la linea CD $o$terrà meno, che CL, & il pe$o $arà piu libero in D, che in L: mouendo$i piu naturalmente il pe$o per DA, che per LD. Per laqual co$a piu graue $arà in D, che in L. Similmente dimo$treremo, che CA man co$o$tiene, che CD & che il pe$o piu in A, che in D è libero, & piu graue. Dopo dalla</I> <fig> <I>parte di $otto per l'i$te$$e cagioni, quanto il pe$o $arà piu da pre$$o al G, $arà piu ri-</I> <pb n=11> <I>tenuto, come in H dalla linea CH, che in</I> K <I>dalla linea C</I>K: <I>percioche e$$en</I> <marg><I>Per la</I> 21. <I>del prim.</I></marg> <I>do l'angolo CHS maggiore dell'angolo C</I>K<I>S, le linee CH HS, $i acco$te- ranno piu alla direttione, che C</I>K K<I>S. & per que$to $arà piu ritenuto il pe$o da CH, che da C</I>K; <I>percioche $e CH HS $i incontra$$ero in vna linea, come auie- ne $tando il pe$o in G, allbora la linea CG $o$terrebbe tutto il pe$o in G, per modo che $tarebbe immobile. Quanto minore dunque $arà l'angolo contenuto dal la linea CH, & dalla di$ce$a del pe$o $ciolto, cioè dalla linea HS, tanto meno anco quella linea ritenirà il pe$o, & doue $arà manco ritenuto, iui $arà piu libero, & piu graue. Oltre à ciò $e il pe$o fo$$e libero in K, & $ciolto, $i mouerebbe per la li- nea KS, ma egli è impedito dalla linea CK, laquale sforza il pe$o a mouer$i di qua dalla linea KS per la circonferenza KH; percio che lo ritira in certo modo, & in ritirandolo viene a $o$tenerlo, peroche $e non lo $o$tene$$e, $i mouerebbe il pe- $o in giu per la linea diritta KS, ma non per la circonferenza KH. Similmente la CH ritiene il pe$o, sforzandolo a mouer$i per la circonferenza HG. Et percio- che l'angolo CHS è maggiore dell'angolo CKS, leuati via gli angoli eguali CHG, C</I>K<I>H, $arà il re$tante SHG maggiore del re$tante S</I>K<I>H. Adunque la circonferenza KH, cioè la di$ce$a del pe$o po$to in K $arà piu da pre$$o al mo- uimento naturale del pe$o po$to in K $ciolto, cioè alla linea KS, che la circonfe- renza HG alla linea HS. Per laqual co$a meno ritiene la linea CK, che CH, mouend o$i il pe$o piu naturalmente per KH, che per HG, Con ragione $imile anco $i mo$trerà, che quanto minore $arà l'angolo SKH, la linea CK $o$terrà meno. Stando dunque il pe$o in O, percioche l'angolo SOC non $olamente è minore dell'angolo CKS, ma anco il minimo di tutti gli angoli, che e$con da i pun ti CS, & hanno la cima nella circonferenza OKG; $arà l'angolo SOK il mi nimo $i dell'angolo SKH, come de tutti gli altri co$i fatti. Adunque la di$ce$a del pe$o po$to in O $arà piu da pre$$o al mouimento naturale di e$$o pe$o $ciolto in O, che in altro $ito della circonferenza OKG: & la linea CO meno $o$tenirà il pe$o, che $e egli fo$$e in qual $i voglia altro $ito della i$te$$a circonferenza OG. Similmente perche l'angolo del toccamento SOK è minore $i dell'angolo SDA, $i dello SAO, & $i di qual $i voglia altro $imile; $arà la $ce$a del pe$o me$$o in O piu da pre$$o al mouimento naturale di e$$o pe$o $ciolto in O, che in altro $ito del- la circõfer&etilde;za ODF. Oltre a ciò perche la linea CO no puote $pingere il pe$o po$to in O mentre egli $i moue in giu, per modo che egli $i moua oltre la linea OS, per cioche la linea OS non taglia il cerchio, ma lo tocca; & l'angolo SOC è retto & non acuto, il pe$o po$to in O non grauerà niente $opra la linea CO, ne $tarà $opra il centro, come accaderebbe in qual $i voglia altro punto $opra l'O. Sarà dun- que il pe$o po$to in O per que$te cagioni libero, & $ciolto piu in que$to $ito, che in qual $i voglia altro della circonferenza FOG; & perciò in que$to $arà piu graue, cioè a dire piu grauerà, che in altro $ito. Et quanto $arà piu da pre$$o ad O, $arà piu graue di quello, che $e fo$$e piu da lunge: & la linea CO $arà egualmente di- $tante dall'orizonte: non pero all'orizonte del punto C (come $timano e$$i) ma del pe$o po$to in O, douendo$i prendere l'orizonte dal centro della grauezza del pe $o. Lequali co$e tutte bi$ognaua mo$trare.</I> <pb> <p><I>Ma $e il braccio della bilancia fo$$e maggiore di CO, come per la quantità di CD; $arà parimente il pe$o me$$o in O piu gra- ue. De$criua$i il cerchio OH, il cui centro $ia D, & il mezo diametro DO. il cerchio OH toccherà il cerchio FOG nel punto O, & toccherà anche la linea</I> <marg><I>Per la</I> 11. <I>del terzo</I></marg> <I>OS nel punto mede$imo, laquale è la $ce- $a naturale, & diritta del pe$o po$to in O.</I> <marg><I>Per la</I> 18. <I>del terzo.</I></marg> <I>Et percioche l'angolo SOH è minore del l'angolo SOG, $arà la $ce$a del pe$o po$to in O per la circonferenza OH piu dapre$ $o al mouimento naturale OS, che per la circonferenza OG. Piu libero dunque & $ciolto, & per con$equente piu graue $a- ràin O, $tante il centro della bilancia in D, che in C. Similmente $i mo$trerà, che quanto piu grande $arà il braccio DO, il pe$o po$to in O $arà d'auantaggio piu graue.</I> <fig> <p><I>Ma $e l'iste$$o cerchio AFBG co'l $uo centro R $arà piu da pre$$o ad S centro del mondo, & dal punto S $ia tirata vna linea, che tocchi il cerchio ST, il pun- to T, (doue il pe$o è piu graue) $arà piu lontano dal punto A, che il punto O: percioche $iano tirate da i punti OT le linee OMTN à piombo di CS, & congiungan $i RT, & $ia il centro R nella linea CS, & la linea ARB $ia egualmente di$tante ad ACB. Percioche dunque i triangoli COS RTS $ono</I> <marg><I>Per la <*>ttaua del $esto.</I></marg> <I>di angoli retti, $arà SC à CO, come CO à CM. Similmente SR ad</I> <marg><I>Per la ottaua del quito</I></marg> <I>RT, come RT ad RN. E$$endo dunque RT eguale à CO, & SC mag giore di RS: haurà proportione maggiore SC à CO, che SR ad RT. on</I> <marg><I>Per la decima del q<*> to.</I></marg> <I>de baurà parimente proportione maggiore CO à CM, che RT ad RN. $a rà dunque minore CM, che RN. Tagli$i dunque RN in P $i fattamen-</I> <pb n=12> <I>te, che RP $ia eguale à CM; & dal pũto P $ia tirata la linea PQ egual mente di$tante dalle linee MONT, laquale tagli la circõfer&etilde;za AT in Q, & in fine cõgiõgan$i la RQ. Hor per cioche le due CO CM $ono eguali à le due RQ RP, & l'angolo CMO</I> <marg><I>Per la</I> 7. <I>del $esto.</I></marg> <I>è eguale all'angolo RPQ; $arà an- che l'angolo MCO eguale all'angolo PRQ. Ma l'angolo MCA retto è eguale all'angolo PRA retto; a- dunque il re$tante OCA al restante</I> <marg><I>Per la</I> 26. <I>del terzo.</I></marg> <I>QRA $arà eguale, & la circonferen- za OA parimente eguale alla circon ferenza QA. Però il punto T per e$$ere piu di$tante dal punto A, che Q, $arà anco piu di$tante dal punto A, che il punto O. Dimo$trera$$i pa rimente, che quanto piu il cerchio $arà vicino al centro del mondo, che egli $a rà anco piu lontano. Et co$i come pri- ma dimo$trera$$i il pe$o nella cir confe- renza TAF $tar $opra il centro R, ma nella circonferenza TG e$$ere ri- tenuto dalla linea, & ritrouar$i piu gra ue nel punto T.</I> <fig> <pb> <p><I>Che $e il punto G fo$$e nel centro del mondo; allhora quanto piu il pe$o $arà da pre$$o al G, $arà piu graue: & douunque $ia po$to il pe$o, fuor che nel G $empre $tarà $opra il centro C, come in</I> K<I>: Imperoche tirata la linea G</I>K; <I>que$ta ($e condo laqua le $i fa il mouimento naturale del pe$o) in$ieme co'l braccio della bilancia</I> K<I>C farà vn'angolo acuto, peroche gli angoli posti alla ba$e in</I> K <I>& G del triangolo di due la ti eguali C</I>K<I>G $ono $empre acuti. Hor $iano paragonate in$ieme que$te due co$e, cioè il pe$o posto in</I> K, <I>& quello, che è po$to in D, $arà il pe$o in K piu graue, che quello in D; imperoche tirata la li- nea DG, e$$endo che li tre an goli di cia$cuno triangolo $iano eguali à due angoli retti, & l'angolo DCG del triangolo CDG di due lati eguali $ia maggiore dell'angolo KCG del triangolo CKG di due lati eguali; $aranno gli altri an goli alla ba$e DGC GDC pre$i in$ieme minori de gli al- tri KGC GKC pre$i in$ie</I> <fig> <I>me; & la metà di questi, cioè l'angolo CDG $arà minore dell'angolo CKG: Per laqual co$a mouendo$i il pe$o po$to in K $ciolto naturalmente per KG, & il pe$o po$to in D per DG come per $patij, per i quali $ono portati nel centro del mondo; la linea CD, cioè il braccio della bilancia $i acco$terà piu al mouimento naturale del pe$o po$to in D totalm&etilde;te $ciolto, alla linea cioè DG, che CK al mouimento $atto $econdo KG. So$tenterà dunque piu la linea CD, che CK. & perciò il pe$o po$to in K per le co$e di $opra dette $arà piu graue, che in D. Ol- tre à ciò, perche $e il pe$o po$to in K fo$$e del tutto libero, & $ciolto, $i mouerebbe in giu per KG, $e egli non fo$$e impedito dalla linea CK, laquale sforza il pe$o à mouer$i oltra la linea KG per la circonferenza KH; la linea KG $o$tente- rà il pe$o in parte, & gli farà re$istenza, sforzandolo à mouer$i per la circonferenza KH. Et percioche l'angolo CDG è minore dell'angolo CKG, & l'angolo CDK è eguale all'angolo CKH, $arà l'angolo re$tante GDK maggiore del re $tante GKH. Dunque la circonferenza KH $arà piu da pre$$o al mouimento naturale del pe$o $ciolto po$to in K, cioè alla linea KG, che la circonferenza DK alla linea DG. Per laqual co$a la linea CD $a piu re$i$tenza al pe$o po$to in D, che la linea CK al pe$o posto in K. Adunque il pe$o po$to in K $arà</I> <pb n=13> <I>piu graue, che in D. Similmente mostrera$$i, che quanto il pe$o $arà piu da pre$$o ad F, come in L manco grauerà; ma quanto piu da pre$$o $i trouerà al G, co- me in H, e$$ere piu graue.</I> <p><I>Che $e il centro del mondo fo$$e in S fra i punti CG; Primieramente $i mo$trerà nel modo i$te$$o, che il pe$o in qualunque luogo po$to starà $opra il centro C, come in H: peroche tirate le li- nee HG HS, l'angolo che è alla ba$e GHC del triãgolo di due lati eguali CHG è $empre acuto: Perlaqual co$a anco SHC minor di lui $arà parimen te $empre acuto. ma $ia ti rata dal punto S la linea SK à piombo di CS. Dico che il pe$o è piu gra- ue in</I> K, <I>che in alcun'al tro $ito della circonferen za FKG; & quanto piu da pre$$o $arà allo F, ouero al G meno graue- rà. Prendan$i ver$o lo F i punti DL, & con giungã$i le linee LC LS DC DS, & $iano al-</I> <fig> <I>lungate le linee LS DS KS HS fin'alla circõferenza del cerchio in EM NO; & $iano cõgiunte CE, CM, CN, CO. Hor percioche LE DM $i taglia- <*>o in$ieme in S, $arà il rettangolo LSE eguale al rettangolo DSM. Onde $i co</I> <marg><I>Per la</I> 35. <I>del terzo.</I></marg> <I>me è la LS ver$o la DS, co$i $arà la SM ver$ola SE; ma è maggior la LS della DS; & la SM di e$$a SE. Dunque LS SE pre$e in$ieme $aranno mag-</I> <marg><I>Per la</I> 16. <I>del $esto.</I></marg> <I>giori delle DS SM. & per la ragion i$te$$a $i mo$trerà la KN e$$er minore di DM. Di piu percioche il rettangolo OSH è eguale alrett'angolo KSN; per la mede$i-</I> <marg><I>Per la</I> 7. <I>del terzo.</I></marg> <I>ma ragione la HO $arà maggiore della KN. & nell'i$te$$o modo in tutto la</I> <marg><I>Per la</I> 25. <I>del quinte.</I></marg> <I>KN $i dimostrerà minore di tutte le altre linee, che pa$$ino per lo punto S. Et percioche de i triangoli di due lati eguali CLE DCM i lati LC CE $ono e- guali a i lati DC CM; & la ba$e LE è maggiore di DM: $arà l'angolo LCE maggiore dell'angolo DCM. Per laqual co$a gli angoli CLE CEL po</I> <marg><I>Per la</I> 25. <I>del primo.</I></marg> <I>sti alla ba$e tolti in$ieme $aranno minori de gli angoli CDM CMD; & le me- tà di que$ti, cioè l'angolo CLS $arà minore dell'angolo CDS. Dunque il pe$o po $to in L $opra la linea LC grauerà piu, che po$to in D $opra la DC; & piu $tarà $opra il centro in L, che in D. Similmente $i mo$trerà, che il pe$o in D</I> <foot><I>D</I></foot> <pb> <I>$tarà piu $opra il centro C, che in K. Adunque il pe$o po$to in K $arà piu graue, che in D, & in D, che in L. & con la mede$ima ragione in tutto, pero- che KN è minore di HO, $arà l'angolo CKS maggiore dell'angolo CHS. Per laqual cofa il pe$o posto in H $tarà piu $opra il centro C, che in</I> K; <I>& in que- $ta maniera $i mostrerà, che douunque $ia il pe$o nella circonferenza FDG, manco starà $opra il centro quando $arà po$to in K, che in altro $ito: & quanto piu da pre$$o egli $arà ad F, ouero à G piu $tarà $opra. Dopo percioche l'angolo CKS è maggiore del CDS, & CDK è eguale à CKH: $arà il re$tante SKH mi- nore del re$tante SDK. Per laqual co$a la circonferenza KH $arà piu da pre$$o al mouimento naturale diritto del pe$o po$to in K $ciolto, cioè alla li- nea KS, che la circon ferenza DK al moui- mento DS. & perciò la linea CD $a piu re$i $tenza al pe$o po$to in D che la CK al pe$o me$- $o in</I> K. <I>& per que$ta ragione $i mo$trera l'an- golo SHG e$$er mag- giore dello SKH; & per con$equente la linea CH $are piu re$i$tenza al pe$o po$to in H, che CK al pe$o me$$o in K. Similmente dimo$trera$$i che la linea CL piu $o- $tenterà il pe$o, che CD:</I> <fig> <I>& per le, cagioni i$te$$e $i prouerà, che il pe$o me$$o in K grauerà meno $opra la li- nea CK, che in qual $i voglia altro $ito della circon$erenza FDG: & quanto piu da pre$$o $arà ad F, ouero à G, manco grauerà. dunque piu graue $ara in K, che in altro $ito: & $arà meno graue quanto piu da pre$$o $tara ad F, ouero a G.</I> <p><I>Se in fine il centro C fo$$e nel centro del mondo, egli è manife$to, che il pe$o po$to doue</I> <marg><I>Per la pri<*>ua di questo.</I></marg> <I>$i voglia $tarà fermo. Come posto il pe$o in D la linea CD $o$terrà tutto il pe$o, per e$$er a piombo dell'orizonte di e$$o pe$o po$to in D. Dunque $tarà fermo il pe$o.</I> <p><I>Hor percioche nelle co$e, che fin qui $ono $tate dimostrate non habbiamo fatto mentio- ne alcuna della grauezza del braccio della bilancia, però $e vorremo anco con$idera- re la grauezza del detto braccio, $i potrà ritrouare il centro della grauezza della ma</I> <pb n=14> <I>gnitudine fatta dal pe$o, & dal braccio, & $i de$criuerãno le circonferenze de' cerch; $econdo la di$tanza dal centro della bilancia ad e$$o centro della grauezza, come $e in e$$o (come è veramente) fo$$e posto il pe$o, Et le co$e che $enza la con$ideratio ne della grauezza del braccio della bilancia habbiamo trouato, tutte nell'i$te$$o mo- do con$iderando ancora tal grauit à le ritrouaremo.</I> <p><I>Dalle co$e dette dunque, con$iderãdo la bilancia, come ella è lontana dal centro del mondo nel modo che e$$i hanno fatto, come etiandio è in atto, appare la fal$it à di coloro, che dico- no il pe$o po$to in A e$$ere piu graue, che in altro $ito; & in$ieme e$$er fal$o, che quan- to piu il pe$o è lontano dalla linea FG, tan- to e$$ere piu graue: imperoche il punto O è piu da pre$$o alla FG, che il punto A; percioche la linea tirata a piombo dal pun-</I> <marg><I>Per la</I> 15. <I>del terzo.</I></marg> <I>to O ad FG è minore della CA. Da poi egli è parimente fal$o, che il pe$o dal punto A $i moua piu velocemente, che da altro $ito. peroche dal punto O $i mouerà piu ve locemente, che dal punto A, concio$ia che in O $ia piu libero e $ciolto, che in altro $ito; & la $ce$a dal punto O $ia piu da pre$$o al mouimento naturale diritto, che qual $i vo- glia altra di$ce$a.</I> <fig> <foot><I>D</I> 2</foot> <pb> <p><I>Oltre a ciò quando mo$trano per via della piu diritta, & della piu torta di$ce$a, che il pe- $o è piu graue in A, che in D, & in D, che in L. Primier amente per certo e$tima no il fal$o, che $e alcun pe$o $arà collocato in qual $i voglia $ito della circonferenza, come in D, la $ua vera di$ce$a douer$i fare per la linea diritta DR egualmente di- $tante da e$$a FG, come $econdo il mouimento naturale, $i come prima è $tato det- to. Percioche in qual $i voglia $ito $i collochi alcun pe$o, $e riguardiamo il mouimen to $uo naturale al proprio luogo, alquale $i moue dirittamente per $ua natura, pre$up po$ta tutta la figura dell'vniuer$o mondo, $arà tale, che $empre lo $patio, per lo qua- le $i moue naturalmente, parerà hauere ragione di linea tirata dalla circonferenza al centro. Adunque le na turali di$ce$e diritte di qual $i voglia pe$o $ciol to non $i po$$ono fare per linee tra loro egual mente di$tanti, per an- dar$i à trouar tutte nel centro del mondo. pre $uppongono da poi, che il pe$o mo$$o da D in A per linea diritta ver $o il centro del mondo $ia della quãtità i$te$$a, come $e egli fo$$e da O in C $i fattamente, che il pũto A $ia egual mente di$tante dal cen- tro del mondo, come C; ilche è parimente fal$o:</I> <fig> <marg><I>Per la</I> 18. <I>del primo.</I></marg> <I>Imperoche il punto A è piu da lontano dal centro del mondo, che C: percioche maggior è la linea tirata dal centro del mondo fin ad A, che quella del centro del mondo fin a C, concio$ia che vna linea dal centro del mondo fin ad A $i di$tenda $otto vn'angolo retto contenuto dalle linee AC, & dal punto C al centro del mondo. Dalle quali co$e non $olo rie$ce vana quella pre$uppo$ta, laquale dimostra, che la bilancia DE ritorna in AB, ma anco cadono tutte le loro dimo$trationi; $e for$e non dice$$ero, che que$te co$e tutte per la grandi$$ima di$tanza, che è fra il cen tro del mondo, & noi $ono co$i in$en$ibili, che per cagione di que$ta in$en$ibilità, $i po$$ano pre$upponere, come vere; concio$ia, che tutti quelli, iquali hanno trattato que$te co$e, le habbiano pre$uppo$te, come note; ma$$imamente, percioche quello e$$ere in$en$ibile non fà, che la di$ce$a del pe$o da L in D (per v$are le loro paro- le) non pigli meno del diretto, che la di$ce$a DA. Similmente l'arco DA piglie- rà piu del diretto, che la circon$erenza EV. onde $arà vera la pre$uppo$ta, & le altre dimo$trationi rimarranno nella $ua $ua forza. Concediamo etiandio, che il pe</I> <pb n=15> <I>$o po$to in A $ia piu graue, che in altro $ito; & che la di$ce$a diritta del pe$o $i deb ba fare per linea diritta egualmente di$tante da FG, & quali$i voglian punti pre$i nelle linee egualmente di$tanti dall'orizonte e$$ere egualmente lontani dal centro del mondo: non $eguiter à gia per que$to, che la loro dimostratione $ia vera, con la- quale vengono a dire, che il pe$o posto in A è piu grane, che in altro $ito, come in L. Percioche $e egli fo$$e vero, che quanto piu il pe$o in que$ta maniera di$cende piu al diritto, iui fo$$e piu graue; $eguirebbe etiandio, che quanto l'iste$$o pe$o de- $cende$$e egualmente in archi eguali al diritto, che ne i luoghi mede$imi haue$$e gra- uezza eguale, ilche in que$to modo e$$er fal$o $i dimo$tra.</I> <p><I>Siano le circonferenze AL AM tra loro eguali, & congiunga$i LM, laquale ta- gli AB in X; $arà LM egualmente di$tante da FG, & à piombo di AB,</I> <marg><I>Per la terza del terzo.</I></marg> <I>& XM $arà eguale ad XL. Se dunque il pe$o da L $arà mo$$o in A per la cir- conferenza LA, il mouimento $uo diritto $arà $econdo la linea LX. Ma $e egli $i mouerà da A in M per la circonferenza AM, il $uo mouimento $arà $econdo la linea diritta XM. Per laqual co$a la $ce$a da L in A $arà eguale alla $ce$a da A in M, $i per cau$a delle circonferenze eguali, & $i per le linee rette eguali, & à piombo di e$$a AB. Adunque il pe$o mede$imo po$to in L grauerà egualmente, come in A, ilche è fal$o, concio$ia, che egli è di gran lunga piu graue in A, che in L.</I> <p><I>Et benche AMLA prendano, $econdo e$$i, egualmente del diretto, diranno for$e, nondimeno perche il principio della $ce$a da L, cioè LD piglia meno del diretto, che il principio della $ce$a da A, cioè AN, il pe$o in A $arà piu graue, che in L. Imperoche e$$endo (come è $tato di $opra po$to) la circonferenza AN eguale ad LD, laquale ($econdo eßi) piglia di diretto CT; ma LD piglia di diretto PO, però il pe$o $arà piu graue in A, che in L. ilche $e fo$$e vero, $eguirebbe, che l'i$te$- $o pe$o nel mede$imo $ito, in diuer$o modo $olamente con$iderato, ver$o il mede$imo $ito fo$$e & piu graue, & piu lieue; ilche è impo$$ibile. cioè $e con$ideriamo la $ce$a del pe$o po$to in L in quanto egli de$cende da L in A $arà piu graue, che $e con$ide reremo la $ce$a del pe$o i$te$$o da L in D $olamente. ne po$$ono negare per i mede $imi detti $uoi, che la di$ce$a del pe$o da L in A non pigli del diretto LX, ouero PC. Et che $imilmente la $ce$a AM non prenda di diretto XM: pigliando cßi ancora à que$to modo, & co$i nece$$ario $ia di pigliare. percioche $e vogliono dimo$trare, che la bilancia DE ritorni in AB paragonando la $ce$a del pe$o po$to in D con la $ce$a del pe$o posto in E, egli è nece$$ario, che mo$trino, che la diritta $ce$a OC ri$pondente alla circonferenza DA $ia maggiore della $ce$a diritta TH ri$ponden- te alla circonferenza EV. peroche $e piglia$$ero $olamente vna parte di tutta la $ce $a da D in A, come D</I>K, <I>& dimo$tra$$ero, che piu di diretto piglia la $ce$a D</I>K, <I>che la eguale portione della $ce$a dal punto E, $eguirebbe il pe$o po$to in D, $econ- do eßi, e$$ere piu graue del pe$o po$to in E, & mouer$i in giu fin al K $olamente. per modo che la bilancia $ia mo$$a in KI. Similmente $e vogliono mo$trare, che la bilancia KI ritorni in AB pigliando vna portione della $ce$a da K in A, cioè KS, & mo$tra$$ero, che KS pigli piu di diretto, che la $ce$a eguale, che è dirimpetto dal punto I: $eguirebbe con $imile modo il pe$o po$to in K e$$ere piu graue, che in I, &</I> <pb> <I>mouer$i $olamente fin ad S. Et $e di nouo mo$tra$$ero vna portione della $ce$a da S in A, & co$i $ucceßiuamente e$$ere piu diritta della $ce$a eguale del pe$o oppo$to; $empre $eguirà, che la bilancia SI andarà piu da pre$$o ad AB, ma non dimostre- rãno giamai che per uenga in AB. Se dunque vogliono di mo$trare, che la bilã cia DE ritorni in AB, egli è nece$$a- rio, che pre$upponga no, che la $ce$a del pe$o da D in A pr&etilde; da di diretto la quan tità della linea tira- ta dal punto D ad AB ad angoli ret- ti; & co$i, $e para- goneremo le $ce$e e- guali di DA AN fra loro, lequali pr&etilde; dono di diretto OC CT, accaderà, che</I> <fig> <I>il pe$o i$te$$o $arà in D graue egualmente, come in A. Ma $e le portioni $olamente piglieremo da DA, $arà piu graue in A, che in D. Adunque dalla diuer$ità $o- lamente del modo del con$iderare, auerrà, che il pe$o mede$imo $arà & piu graue, & piu leggiero; & non per la natura della co$a. Di piu la pre$uppo$ta loro non afferma, che il pe$o $econdo il $ito $ia piu graue, quanto nel $ito mede$imo il principio della $ua di$ce$a è meno obliquo. La pre$upposta dunque di $opra addotta, cioè che $econdo il $ito il pe$o è piu graue quanto nell'i$te$$o $ito meno obliqua è la di$ce$a, non $olamente non $i puote concedere à modo alcuno, per le co$e, che habbiamo dette; ma anco percioche non è co$a difficile il dimo$trare tutto l'oppo$to, cioè il pe$o mede$i mo in eguali circonferenze quanto meno obliqua è la di$ce$a, iui meno grauare.</I> <p><I>Siano come prima le circonferenze AL AM tra loro eguali; & $ia il punto L vici no ad F, & congiunga$i LM, la quale $arà à piombo di AB & LX $arà anco eguale ad XM. Dapoi pre$$o ad M tra M & G $ia pre$o come $i vuole, il pun</I> <marg><I>Per la</I> 27. <I>del terzo</I></marg> <I>to P, & $ia fatta la circonferenza PO eguale alla circonferenza AM, $arà il punto O pre$$o ad A. & $iano congiunte le linee CL, CO, CM, CP, OP.</I> <marg><I>Per la</I> 32. <I>del primo</I></marg> <I>& dal punto P tiri$i la PN a piombo di OC. & percioche la circonferenza. AM è eguale alla circonferentia OP; $arà l'angolo ACM eguale all'angolo</I> <marg><I>Per la</I> 26. <I>del primo.</I></marg> <I>OCP, & l'angolo CXM retto eguale al retto CNP, $arà anco il re$tante angolo XMC del triangolo MXC eguale al re$tante NPC del triangolo PCN.</I> <pb n=16> <I>Ma il lato ancora CM è eguale al lato CP, dunque il triangolo MCX è egua le al triangolo PCN, & il lato MX eguale al lato NP. Onde la linea PN $arà eguale ad LX. Tiri$i oltre a ciò dal punto O la linea OT egualmente di- $tante da AC, laquale tagli NP in V. & $ia anco tirata dal punto P vna linea a piombo di OT, la quale per certo non puote cadere tra OV, perche e$$endo l'angolo ONV retto, $arà acu</I> <marg><I>Per la</I> 13. <I>del primo.</I></marg> <I>to lo OVN. Per la qualco$a OVP $arà ottu$o. Non caderà dunque la linea tirata dal punto P tra OV à piombo di OT: pe- roche due angoli d'uno triãgolo $arebbono l'u- no retto, & l'altro ot- tu$o, che è impoßibile. Caderà dun que nella li nea OT nellaparte di VT, et $ia PT. $arà $e condo e$$i, PT la di</I> <fig> <I>ritta $ce$a della circonferenza OP. Percioche dunque l'angolo ONV è retto,</I> <marg><I>Per la</I> 19. <I>del primo.</I></marg> <I>$arà la linea OV maggiore della ON. Onde la OT $arà parimente maggiore della ON. & co$i di$tendendo$i la linea OP $otto gli angoli retti ONP, OTP, $arà il quadrato di OP eguale alli quadrati ON NP in$ieme pre$i, $i</I> <marg><I>Per la</I> 47. <I>del primo.</I></marg> <I>milmente eguale a i quadrati di OT TP in$ieme. per laqual co$a li quadrati in$ie- me di ON NP $aranno eguali a i quadrati in$ieme di OT TP. Ma il quadrato di OT è maggiore del quadrato di ON. per e$$ere maggiore la linea OT della ON. Adunque il quadrato di NP $ara maggiore del quadrato TP & perciò la linea TP $arà minore della linea PN, & della linea LX. Meno obliqua dunque $arà la $ce$a dell'arco LA, che dell'arco OP. Dunque il pe$o po- sto in L, per i loro detti, $arà piu graue, che in O, il che, per le co$e, che di $opra habbiamo detto, è manife$tamente fal$o. concio$ia, che il pe$o po$to in O $ia piu graue, che in L. Non $i puote dunque raccogliere dal piu diritto, & piu torto mouimento in quel modo pigliato, e$$ere il pe$o tanto piu graue $econ- do il $ito, quanto nel mede$imo $ito è meno torta la $ce$a. & quinci na$ce tutto qua$i il $uo errore & inganno in cote$ta co$a. Imperoche quantunque per acciden- te alle volte dalle co$e fal$e ne $egua il vero, tutta via per $e $te$$e principalmente dalle fal$e ne $egue il fal$o, $i come dalle vere $empre il vero ne $egue. Non è pero da mar auigliar$i, $e mentre e$$i prendono co$e fal$e, & $tanno $opra quelle, come ve</I> <pb> <I>ri$$ime, raccolgono, & conchiudono co$e in tutto fal$i$$ime. $ono oltre a ciò inganna- ti, mentre pigliano a contemplare la bilancia $emplicemente per via di matematica, e$$endo la con$ideratione $ua mechanica affatto, ne di lei $i po$$a ragionare a modo al cuno $enza il vero mouimento, & $enza i pe$i, che $ono in tutto co$e naturali, $en- za le quali non $i po$$ono ritrouare per niuna maniera le vere cagioni di quelle co$e, che accadono alla bilancia.</I> <p><I>Oltre a ciò $e anche con cederemo la pre$up- po$ta, $i partono tut tauia molto lũge dal la cõ$ideratione della bilancia, mentre di- $corrono; che in quel la maniera debba la bilancia DE ritor- nare in AB: percio che $empre pigliano vn di due pe$i $epara tamente come D, ouero E, come $e hor l'uno, hor l'altro fo$ $e po$to nella bilan- cia, non congiunti in $ieme ambidue in modo veruno, e$$en-</I> <fig> <I>doche nondimeno bi$ogni fare tutto all'oppo$ito di ciò, ne $i puote con$iderare dirit- tamente l'uno $enza l'altro, e$$endoche $i ragiona di loro nella bilancia collocati. Concio$ia che quando dicono la di$ce$a del pe$o po$to in D e$$ere meno torta, che la di$ce$a del pe$o po$to in E, co$i $arà il pe$o in D, per la pre$uppo$ta, piu graue del pe$o po$to in E; onde per e$$ere piu graue, eglie nece$$ario, che $i moua in giu, & che la bilancia DE ritorni in AB: Cote$to di$cor$o non è di momento alcu- no. Primieramente $empre argomentano come $e i pe$i in DE debbano $cende- re, con$iderando la $ce$a di vno $olameute $enza la compagnia, & congiungimen- to dell'altro. Vltimamente nondimeno e$$i per la comparatione delle di$ce$e de'pe- $i conchiudono il pe$o posto in D mouer$i in giu, & il po$to in E in $u, prenden- do l'uno, & l'altro pe$o congiunti in$ieme fra loro nella bilancia. Ma da $uoi me- de$imi principij, i quali v$ano, & dalle $ue dimo$trationi $i puote cauare ageuoli$$i-</I> <marg><I>Per la</I> 15. <I>del primo.</I></marg> <I>mamente l'oppo$ito di quel che $i faticano di difendere. Imperoche $e $i paragona la di$ce$a del pe$o po$to in D con la $alita del pe$o po$to in E, come tirate le'linee E</I>K <I>DH a piombo di AB, e$$endo l'angolo DCH eguale all'angolo ECK,</I> <marg><I>Per la</I> 25. <I>del primo.</I></marg> <I>& l'angolo DHC retto eguale al retto E</I>K<I>C, & il lato DC eguale al lato CE; $arà il triangolo CDH eguale al triangolo CEK, & il lato DH egua</I> <pb n=17> <I>le al lato EK: & e$$endo l'angolo DCA eguale all'angolo ECB, $arà anco la circonferenza DA eguale alla circonferenza BE. Mentre dunque il pe$o po- sto in D $cende per la circonferenza DA, il pe$o po$to in E $ale per la circon- ferenza EB eguale a DA, & la $ce$a del pe$o po$to in D prenderà, ($econdo il co$tume loro) di diretto DH: & la $alita del pe$o E prenderà di diretto EK eguale a DH: $arà dunque la $ce$a del pe$o posto in D eguale alla $alita del pe$o po$to in E: & quale $arà la inclinatione d'uno al mouimento in giù, tale $arà etian dio la re$i$tenza dell'altro al mouimento in sù, cioè la re$istentia della violenza del pe$o po$to in E nella a$ce$a, contra$tando $i oppone alla naturale po$$anza del pe- $o po$to in D per e$$ere a lei eguale; percioche quanto il pe$o po$to in D per la na- tural po$$anza de$cende piu velocemente in giù, in tanto il pe$o po$to in E più tar- do $ale violentemente. Per laqual co$a niuno di loro due pe$era piu dell'altro, non procedendo attione da eguale. il pe$o po$to in D dunque non mouerà il pe$o po$to in E in $u$o, peroche $e lo moue$$e, $arebbe nece$$ario, che il pe$o po$to in D ha- ue$$e virtu maggiore in di$cendendo, che il pe$o po$to in E in $alendo, ma que$te co- $e $ono eguali: adunque $taranno $ermi i pe$i, & la grauezza del pe$o po$to in D $a- rà eguale alla grauezza del pe$o po$to in E. Oltre a ciò perche pre$uppongono, che quanto il pe$o è piu di$tante dalla linea FG della dirittura, tanto e$$ere piu graue. però tirate parimente da i punti DE le linee DO, EI apiombo di FG, con modo $imile $i dimostrerà il triangolo CDO e$$ere eguale al triangolo CEI: & la linea DO e$$ere eguale ad EI. Tanto dunque è di$tante il pe$o po$to in D dalla linea FG, quanto il pe$o po$to in E. Dalle ragioni loro dunque, & dalle $ue pre$uppo$te li pe$i me$$i in DE $ono graui egualmente. Di piu, che vieta che non $i di mo$tri la bi lancia DE mouer$i per nece$$ità in FG con $imile ragione? Primie- ramente $i puote raccogliere dalle loro mede$ime dimo$trationi, la $alita del pe$o po- $to in E ver$o il B e$$ere piu diritta della $alita del pe$o po$to in D ver$o lo F, cioè manco prendere di diretto la $alita del pe$o po$to in D in archi eguali, che la $alita del pe$o po$to in E. Pre$upponga$i dunque, che il pe$o $ia piu leggiero $econ- do il $ito tanto quanto nel $ito mede$imo meno diritta è la $ua $alita: Laqual pre- $upposta pare tanto manife$ta, quanto l'altraloro. percioche dunque la $alita del pe$o po$to in E è piu diritta della $alita del pe$o po$to in D, per la pre$uppo$ta il pe$o po$to in D $arà piu leggiero del pe$o po$to in E. Adunque il pe$o po$to in D $i mouerà in sù dal pe$o po$to in E, $i $attamente che la bilancia peruenga in FG, & co$i potra$si dimo$trare la bilancia DE mouer$i in FG, laqual dimo$tratio- ne è del tutto veramente friuola, & pati$ce le difficultà mede$ime. Percioche quan- tunque $i conceda, come vero, che il pe$o po$to in E $alendo $ia piu graue del pe$o in D $imilmente $alendo, non perciò da que$to $egue, che il pe$o po$to in E de- $cendendo $ia piu graue del pe$o posto in D $alendo. Niuna dunque di que$te due dimo$trationi, che dicono la bilancia DE ritornare in AB, ouero mouer$i in FG, è vera.</I> <p><I>Oltre a ciò $e e$amineremo la loro pre$uppo$ta, & la $orza delle loro parole, vedremo per certo che altro $entimento hanno. Imperoche e$$endo che $empre lo $patio per lo</I> <foot><I>E</I></foot> <pb> <I>quale il pe$o natur alm&etilde;te $i moue, $i deue prendere dal centro della grauezza di e$- $o pe$o ver$o il centro del mondo à $embianza di vna linea diritta tirata dal centro della grauezza al centro del mondo, tanto $i dir à que$ta co$i fatta di$ce$a del pe$o piu, & meno obliqua, quanto, $econdo lo $patio di$$egnato, a $embianza della pre- detta linea piu ò meno $i mouerà, (andando pero $empre a trouare il luogo $uo natu rale, & vie piu $empre auicinandoui$i.) talche tanto piu obliqua $i dica la $ce$a quã to $i parte da cotale $patio: & piu diritta quanto a lui $i acco$ta. & in que$to $entimento quella pre$upposta non deue partorire difficulta ad alcuno, percioche co- $i è la verita $ua chiara, & conforme alla ragione, che non pare hauer me$tieri di e$- $er $atta in alcun modo manife$ta.</I> <p><I><*>e dunque il pe$o $ciolto, collocato nel $i- to di D $i deue mouere al luogo pro- prio, $enza dubbio, po$to S centro del mondo, $i mouerà per la linea DS, $i- milm&etilde;te il pe$o po$to in E $ciolto $i mo uerà per la linea ES. Per laqual co- $a $e, (come è vero) la $ce$a del pe$o $i dirà piu, ò meno obliqua, $econdo lo al lontanar$i, ouero appre$$ar$i a gli $patij di$segnati per le linee DS ES, per ri $petto a'loro naturali mouimenti ver$o iproprij luoghi, egli è chiaro, che meno obliqua è la $ce$a di E per EG, che di D per DA, per e$$ere stato di $opra mo$trato che l'angolo SEG è minore dell'angolo SDA. Per laqual co$a piu grauer à il pe$o in E, che in D, il che totalmente è il contrario di quel- lo, che e$si $i $ono s$orzati di prouare. Leueran$i per auuentura contra di noi dicendo. Se dundue il pe$o po$to in E è piu graue del pe$o po$to in D, la bi- lancia DE non $tar à giamai in que- $to $ito, laqual co$a noi habbiamo pro- po$to di mantenere, ma $i mouer à in F G. Allequali co$e ri$pondiamo. che im- porta a$$ai, $e noi con$ideriamo i pe$i o- uero in quanto $ono $eparati l'uno dal- l'altro, ouero in quanto $ono traloro congiunti: perche altra è la ragione del</I> <fig> <I>pe$o po$to in E $enza il congiungimento del pe$o po$to in D, & altra di lui con l'altro pe$o congiunto, $i fattamente che l'uno $enza l'altro non $i po$$a mouere. Im</I> <pb n=18> <I>peroche la diritta, & naturale di$ce$a dal pe$o po$to in E, inquanto egli è $enza al- tro congiungimento di pe$o, $i fa per la linea ES. ma inquanto egli è congiunto col pe$o D, la $ua naturale di$ce$a non $arà piu per la linea ES, ma per vna li- nea egualmente di$tante da CS. percioche la magnitudine compo$ta de i pe$i ED. & della bilancia DE il cui centro della grauezza è C, $e in ne$$un luogo non $a- rà $o$tenuta, $i mouerà naturalmente in giu nel modo che $i troua, $econdo la gra- uezza del centro per la linea diritta tirata dal centro della grauezza C al centro del mondo S, finche il centro C peruenga nel centro S. La bilancia dunque DE in$ieme co'pe$i, in quella maniera, che $i troua $i mouerà in giu per modo tale, che il punto C $i moua per la linea CS, fin che C peruenga in S, & la bilancia DE in HK; & habbia la bilancia in HK la po$itione i$te$$a, che prima hauea; cio è, che la HK $ia egualmente distante da DE. Congiungan$i dunque DH EK. egli è manife$to, che mentre la bilancia DE $i moue in HK, mouer$i an- che ipunti DE per le linee DH EK, come quelle che $ono & $ra $e, & ad</I> <marg><I>Per la</I> 35. <I>del primo.</I></marg> <I>e$$a CS eguali, & egualmente di$tanti. Per la qual co$a i pe$i posti in DE, in quanto $ono $ra loro congiunti, $e riguarderemo il mouimento loro naturale $imoue ranno non $econdo le linee DS, ES, ma $econdo LDH MEK egualmente di$tanti da e$$a CS. Ma la naturale inclinatione del pe$o po$to in E libero, & $ciolto $arà per ES, & del pe$o po$to in D $imilm&etilde;te $ciolto $arà per DS. & per- cio non è $conueneuole, che il pe$o mede$imo hora in E, hora in D, $ia piu graue in E, che in D. Ma$e i pe$i po$ti in ED $ono l'un l'altro fra $e congiunti, & gli con$idereremo in quanto $ono congiunti, $arà la naturale inclinatione del pe- $o po$to in E per la linea MEK, percioche la grauezza dell'altro pe$o po$to in D fa $i, che il pe$o po$to in E non graui $opra la linea ES, ma nella EK. Ilche fa parimente la grauezza del pe$o po$to in E, cioè, che il pe$o po$to in D non graui per la linea retta DS, ma $econdo DH, per impedir$i ambedue l'uno l'altro che non vadino à propri luoghi. Concio$ia dunque che la naturale $ce$a dirit- ta de i pe$i po$ti in DE $ia $econdo LDH, MEK, $arà $imilmente la naturale $alita diritta loro $econdo le i$te$$e linee HDL KEM. & la naturale $alita del pe$o po$to in E $i dirà più, & meno torta, quanto che $econdo lo $patio $i mouerà più, & meno pre$$o la linea MK. & a que$to modo in tutto $i ha da pigliare & la $a lita & la di$ce$a del pe$o po$to in D $econdo la linea LH, $e dunque il pe$o po$to in E $i moue$$e in giù per la linea EG, mouerebbe il pe$o po$to in D in sù per DF. & percioche l'angolo CEK è eguale all'angolo CDL, & l'angolo CEG</I> <marg><I>Per la</I> 29. <I>del primo.</I></marg> <I>è eguale all'angolo CDF; $arà il re$tãte angolo GEK al re$tante LDF egua le. & e$$endo quella pre$uppo$ta, che dice il pe$o e$$er più graue $econdo il $ito, quanto in quel mede$imo $ito la di$ce$a è meno obliqua per chiara, & manife$ta ri- ceuuta, $arà anche da e$$ere accettata $enza dubbio que$t' altra, cioè, che il pe$o $arà più graue $econdo il $ito, quanto nel $ito mede$imo meno obliqua $arà la $alita; per non e$$ere manco manife$ta, ne meno conforme alla ragione. $arà dunque eguale la $ce$a del pe$o po$to in E alla $alita del pe$o po$to in D, percioche la $ce$a del pe $o po$to in E tiene tanto di obliquo, quanto la $alita del pe$o po$to in D. & quale</I> <foot><I>E</I> 2</foot> <pb> <HEAD>PROPOSITIONE V.</HEAD> <p>Due pe$i attaccati nella bilancia, $e la bilancia $arà tra loro in modo diui$a, chele parti ri$pondano $cambieuolmente à pe$i; pe$eranno tanto ne'punti doue $ono attaccati, quanto $el'uno & l'altro fo$$e pendente dal punto della diui$ione. <fig> <p><I>Siala bilancia AB, il cui centro $ia C, & $iano due pe$i EF pendenti da' punti BG: & diuida$i BG in H, $i fattamente, che BH ad HG habbia la pro- portione iste$$a, che hà il pe$o E al pe$o F. Dico ipe$i EF pe$are tanto in BG, quanto $e amendue pende$$ero dal punto H. faccia$i AC eguale à CH. & $i come AC à CG, co$i $accia$i il pe$o E al pe$o L. $imilmente come AC à CB, co$i faccia$i il pe$o F al pe$o M. & $iano attaccati ipe$i LM al punto A. Horpercioche AC è eguale à CH, $arà BC ver$o CH come il pe$o M alpe$o F. & percioche piu grande è BC di CH; $arà anche il pe$o M</I> <marg><I>Per la</I> 17. <I>del quinto.</I></marg> <I>maggiore di F. Diuida$i dunque il pe$o M in due parti QR, & $iala parte di</I> <marg><I>Per la con- $egu&etilde;za del la</I> 4. <I>del</I> 5.</marg> <I>Q eguale ad F; $arà BC à CH, come RQ à Q: & diuidendo, come BH ad HC, co$i R à Q. Dapoi conuertendo, come CH ad HB, co$i Q ad</I> <marg><I>Per la</I> 17. <I>del quinto.</I></marg> <I>R. Oltre à ciò perche CH è eguale à CA, $arà HC ver$o CG come il pe$o E al pe$o L: maè piu grande HC di CG, però $arà anche il pe$o E maggio-</I> <marg><I>Per la con$e gu&etilde;za della</I> 4. <I>del</I> 5.</marg> <I>re del pe$o L. Onde diuida$i il pe$o E in due parti NO, $i fattamente, che la parte di O $ia eguale ad L, $arà HC à CG come tutto lo NO ad O; & diuidendo, come HG à GC, co$i N ad O. & conuertendo, come CG à</I> <marg><I>Per la</I> 18. <I>del quinto.</I></marg> <I>GH, co$i O ad N. & di nuouo componendo, come CH ad HG, co$i ON</I> <marg><I>Per la</I> 16. <I>del quinto.</I></marg> <I>ad N. & come GH ad HB, co$i è F ad ON. Per la qual co$a per la pro portione vguale come CH ad HB, co$i F ad N. Ma come CH ad HB</I> <marg><I>Per la</I> 11. <I>del quinto.</I></marg> <I>co$i è Q ad R: $arà dunque Q ad R come F ad N. & permutando co- me Q ad F; co$i R ad N. ma la parte di Q è egual ad e$$o F. per la qual</I> <marg><I>Per la</I> 16. <I>del quinto.</I></marg> <I>co$a la parte di R ancora $arà eguale ad N. e$$endo dunque il pe$o L eguale</I> <pb n=30> <I>ad O, & il pe$o F eguale parimente al Q, & la parte di R eguale ad N; $a ranno ipe$i LM eguali a i pe$i EF. & percioche $i come AC ver$o CG, co</I> <marg><I>Perla</I> 6. <I>del primo di<*>r chimede del le co$e che pe $ano egualmente.</I></marg> <I>$i è il pe$o E al pe$o L, ipe$i EL pe$eranno egualmente. $imilmente percioche $i come AC è ver$o CB, co$i il pe$o F è alpe$o M, i pe$i FM pe$eranno anco egualmente. i pe$i dunque LM pe$eranuo egualmente co'pe$i EF attacca- ti in BG. & e$$endo la di$tanza CA eguale alla di$tanza CH, $e dunque am bidue i pe$i EF $ar anno attaccati in H, i pe$i LM pe$er anno egualmente co'</I> <marg><I>Per lo</I> 2. <I>cõ. della not di questo.</I></marg> <I>pe$i EF attaccati in H. Ma LM pe$a ancora egualmente con EF in GB. Adunque $ar anno egualmente graui i pe$i EF in GB attaccati come in H. pe</I> <marg><I>Per la</I> 3. <I>cõ. della not ai questo.</I></marg> <I>$eranno dunque tanto in BG quanto attaccati in H.</I> <fig> <p><I>Ma $iano i pe$i EF attaccati in CB; & $ia C il centro della bilancia, & diuida$i CB in H, per modo che CH ver$o HB $ia come il pe$o F al pe$o E. Dico che i pe$i EF pe$er anno tanto in CB quanto nel punto H. faccia$i CA egua le à CH, & come CA ver$o CB; co$i faccia$i il pe$o F ver$o vn'altro, che $ia D, ilquale $i appicchi in A. Hor percioche CH è eguale à CA, $arà CH ver$o CB, come F à D; & ben è maggiore CB di CH, però il pe$o D $a rà maggiore del pe$o F. Diuida$i dunque il D in due parti GK, & $ia il G</I> <marg><I>Per la</I> 17. <I>del quinto.</I></marg> <I>eguale allo F; $arà BC à CH come GK ver$o il G; et diuidendo, come BH ad HC, co$i K ver$o G; & conuertendo come CH ad HB, co$i G ver-</I> <marg><I>Per la con$e gu&etilde;za della</I> 4. <I>del</I> 5.</marg> <I>$o K. & come CH ad HB, co$i è F ver$o E. Dunque come G ver- $o K co$i è F ad E. & permutando come G ad F, co$i K ad E. & per-</I> <marg><I>Per la</I> 11. <I>del quinto.</I></marg> <I>che GF $ono eguali, $aranno anche KE tra loro eguali. Concio$ia dunque che la parte G $ia eguale ad F, & il K ad e$$o E; $arà tutto il GK eguale a i pe</I> <marg><I>Per la</I> 16. <I>del quinto.</I></marg> <I>$i EF. & percioche AC è eguale à CH; $e dunque i pe$i EF $aranno penden ti dal punto H, il pe$o D pe$erà egualmente co'pe$i EF attaccati in H. Ma pe$a anche egualmente con eßi in CB, cioè F in B, & E in C; per e$$ere come AC ver$o CB, co$i F ver$o D: percioche il pe$o E pendente da C. centro della bilancia non è cau$a, che la bilancia $i moua in alcuna delle due parti. tanto $aranno dunque graui i pe$i EF in CB, quanto in H appicati.</I> <foot><I>H</I> 2</foot> <pb> <fig> <p><I>Sia finalm&etilde;te la bilãcia AB, & da i pũti AB $iano p&etilde;denti ipe$i EF, & $idil centro della bilancia C fra ipe$i, & diuida$i la AB in D, talche AD ver$o DB $ia come il pe$o F alpe$o E. Dico che i pe$i EF pe$ano tanto in AB, quan to $e ambidue $o$$ero pendenti dal punto D. faccia$i CG eguale à CD; & co- me DC à CA, co$i faccia$i il pe$o E ad vn'altro pe$o H, ilquale $ia attac cato in D. & come GC ver$o CB, co$i faccia$i il pe$o F ad vn'altro che $ia K, & attachi$i K in G. Horpercioche, come il BC è ver$o il CG, cioè ver$o il CD, co$i il pe$o K ad F; $arà il K maggiore del pe$o F. Per laqual co$a diuida$i il pe$o K in L & in MN, & $accia$i la parte L eguale ad F,</I> <marg><I>Per la</I> 17. <I>del quinto.</I></marg> <I>$arà come BC à CD, co$i tutto LMN ad L; & diuidendo, come BD</I> <marg><I>Per la</I> 23. <I>del quinto.</I></marg> <I>ver$o DC, co$i la parte MN alla parte L. come dunque BD à DC, co$i la parte MN ad F. & come AD à DB, co$i F ad E. Per laqual co$a</I> <marg><I>Per la</I> 17. <I>del quinto.</I></marg> <I>per la egual proportione, come AD ver$o DC, co$i MN ad E. & e$$endo AD</I> <marg><I>Corollario della quarta del quinto.</I></marg> <I>maggiore di CD; $arà anco la parte MN maggiore del pe$o E. Diuida$i dun que MN in due parti MN, & $ia M eguale ad E. $arà come AD à</I> <marg>11. <I>del</I> 5.</marg> <I>DC, co$i NM ad M; & diuidendo, come AC ver$o CD, co$i N ad M:</I> <marg>16. <I>del</I> 5.</marg> <I>& conuertendo, come DC ver$o CA, co$i M ad N. & come DC à</I> <marg><I>Per la</I> 6. <I>del</I> 1. <I>di Archi mede delle co fa che egual m&etilde;te pe$ano.</I></marg> <I>CA, co$i è E ad H; $arà dunque M ad N come E ad H; & permutan do come M ad E, co$i N ad H. Ma per e$$ere ME traloro eguali, $aran- no anche NH tra $e eguali. & percioche co$i è AC ver$o CD, come H ad E: i pe$i HE pe$eranno egualmente. $imilmente percioche, come è GC à CB, co$i F ver$o K, i pe$i etiandio KF pe$eranno egualmente. Adunque i pe$i</I> <marg><I>Per la</I> 2. <I>no titia commu ne di que$io.</I></marg> <I>EK HF nella bilancia AB, il cui centro $ia C pe$eranno egualmente. & con cio$ia che GC $ia eguale à CD, & il pe$o H $ia pur eguale ad N, ipe$i NH</I> <pb n=31> <I>pe$eranno egualmente. & percioche tutti pe$ano egualmente, tolti via i pe$i HN, iquali pe$ano egualmente, i re$tanti pe$eranno egualmente; cioè i pe$i EF, & il pe</I> <marg><I>Per la commune notitia di questo.</I></marg> <I>$o LM pendenti dal centro C della bilancia. Ma percioche la parte L è egua- le ad F, & la parte M è eguale alla parte E; $arà tutto LM eguale a i pe$i FE in$ieme pre$i. & e$$endo CG eguale à CD, $e i pe$i EF $aranno $atti pendenti dal punto D, ipe$i EF appiccati in D pe$eranno egualm&etilde;te con LM. Per laqual co$a LM pe$erà egualmēte tāto ad eßi EF appiccati in AB, quā- to $e fo$$ero appiccati nel punto D; peroche la bilancia rimane $empre nell'i$te$$o</I> <marg><I>Per la com munenotitia di questo.</I></marg> <I>modo. Adunque i pe$i EF pe$eranno tanto in AB quanto nel punto D; che bi$ognaua mo$trare.</I> <p>Ma que$te co$e tutte dimo$treremo in altra maniera, & piu Mechani camente. <fig> <p><I>Sia la bilancia AB, & il $uo centro C, & $iano, come nel primo ca$o, due pe$i EF pendenti da i punti BG: & $ia GH ad HB, come il pe$o F al pe$o E. Di- co che ipe$i EF pe$eranno tanto in GB, quanto $e ambidue $te$$ero pendenti dal punto H della diui$ione. Siano di$po$te le mede$ime co$e, cioè faccia$i AC eguale à CH, & dal punto A $iano appe$i due pe$i LM, per modo che il pe $o E ver$o il pe$o L $ia come CA ver$o CG; & come CB ver$o CA, co $i $ia il pe$o M ver$o il pe$o F. Ipe$i LM pe$eranno egualmente (come è detto di $opra) conlipe$i EF appiccati in GB. Siano dapoi due punti NO li centri della grauezza de' pe$i EF; & $iano congiunte le linee GN BO; & $ia con- giunta NO, laquale $arà come bilancia; laquale etiandio faccia sì, che le linee GN BO $iano traloro egualmente di$tanti; & dal punto H $ia tirata la HP à piombo dell'orizonte, laquale tagli NO nel P, & $ia egualmente distante dal le linee GN BO. In fine congiunga$i GO, laquale tagli HP in R. Percio</I> <marg><I>Per la $ecom da del $esta.</I></marg> <I>che dunque HR è egualmente di$tante dal lato BO del triangolo GBO; $arà la GH ver$ola HB, come GR ad RO. Similmente percioche RP è egual</I> <pb> <fig> <I>mente di$tante dal lato GN del triangolo OGN; $arà GR ver$o RO, come NP ver$o PO. Per laqual co$a come GH ad HB, così è NP ver$o PO.</I> <marg><I>Per la</I> 11. <I>del quinto</I></marg> <I>Ma come GH ver$o HB, così è il pe$o F ver$o il pe$o E; adunque come NP ver$o PO, così è il pe$o F ver$o il pe$o E. Dunque il punto P $arà il centro</I> <marg><I>Per la $esta del primo di Archimede d'lle co$e, che pe$ano egual mente.</I></marg> <I>della grauezza della magnitudine compo$ta di ambidue i pe$i EF. Intendan$i dunque i pe$i EF e$$ere in maniera dalla bilancia NO annodati, come $e fo$$e vna grandezza $ola d'ambidue ipe$i EF composta, & attacata ne i punti BG, $e dun- que $ar anno $cioltii legamenti BG de' pe$i; rimarr anno i pe$i EF p&etilde;denti da HP; $i come prima $tauane in GB. Ma i pe$i EF appiccati in GB pe$ano egualmente co'ipe$i LM, & ipe$i EF pendenti dal punto H hanno l'i$te$$a di$po$itione ver</I> <marg><I>Per la</I> 1. <I>di questo.</I></marg> <I>$o la bilancia AB, come $e $o$$ero appiccati in BG: Gli isteßi pe$i dunque EF pendenti da H pe$aranno egualmente con gli i$te$$i pe$i LM. Sono dunque egual- mente graui i pe$i EF attaccati in GB, come attaccati in H.</I> <fig> <pb n=32> <p><I>Similmente dimo$treraßi, che i pe$i EF pe$eranno tanto appiccati in qual $i voglia al- tro punto, quanto $e l'vno, & l'altro $o$$e pendente dal punto H della diui$ione. Percioche$e, come di $opra habbiamo in$egnato, $i troueranno ipe$i nella bilancia, à i quali i pe$i EF pe$ino egualmente; gliisteßi pe$i EF pendenti da H pe$eranno egualmente co' mede$imi pe$i trouati; per e$$ere il punto P $empre il centro della grauezzaloro; & la HP a piombo dell'orizonte.</I> <HEAD>PROPOSITIONE VI.</HEAD> <p>I pe$i eguali nella bilancia appiccati hanno in grauezza quella pro- portione, che hanno le di$tanze, dalle quali $tanno pendenti. <fig> <p><I>Sia la bilancia BAC $o$pe$a nel punto A; & $ia $egata la AC, come pare in D. & da i punti DC $iano attaccati EF pe$i eguali. Dico, che il pe$o F ver$o il pe$o E ba quella proportione in grauezza, che hala di$tanza CA alla di$tanza AD. Per- cioche faccia$i come CA ver$o AD, co$i il pe$o F ver$o vn'altro pe$o, che $ia G. Dico primai p $i GF pendenti dal punto C tanto pe$are, quanto i pe$i EF penden ti da punti DC. Tagli$i DC in due parti eguali in H, & da H $iano fatti pendere ambidue i pe$i EF. Pe$eranno EF pre$i in$ieme in quel $ito tanto quanto pe$ano</I> <marg><I>Per la</I> 5. <I>di questo.</I></marg> <I>in DC. Ponga$i BA eguale ad AH, & $itagli BA in K, di modo, che KA $ia eguale ad AD: dapoi dal punto B $ia $atto pendente il pe$o L, ilquale $ia il dop pio del pe$o F, cioè eguale a i due pe$i EF, ilqual pe$erà egualmente co'pe$i EF ap piccati in H, cioè appiccati in DC. Percioche dunque, come CA ver$o AD, così è ilpe$o F ver$o il pe$o G, $arà componendo come CA AD ver$o AD, cioè come CK ver$o AD, così ipe$i FG ver$o il pe$o G. Ma per e$$er come CA ver$o AD,</I> <marg><I>Per la</I> 18. <I>del quinto.</I></marg> <I>così il pe$o F al pe$o G, $arà anche conuertendo, come DA ver$o AC, così il pe$o G ver$o il pe$o F; & i doppi de icon$eguenti, come DA alla doppia di e$$a AC, così il pe$o G al doppio del pe$o F, cioè al pe$o L. Per laqual co$a come CK ver$o</I> <marg><I>Per la con$e guenza della quartadel quinto.</I></marg> <I>DA, così ipe$i FG al pe$o G; & come AD alla doppia di AC, così il pe$o G al pe$o L, adunque dalla egual proportione come CK alla doppia di AC, così ipe$i FG al pe$o L. Ma come CK alla doppia di AC, così la metà di CK, cioè AH, cioè</I> <marg><I>Per la</I> 22. <I>del quinto.</I></marg> <I>BA ver$o AC. Adunque come BA ver$o AC, così FG pe$i al pe$o L. Per laqual</I> <pb> <I>co$a per la $e$ta dell'i$te$$o primo di Archimede, i due pe$i FG pendenti dal punto C</I> <marg><I>Per la $ettima del</I> 5.</marg> <I>pe$eranno tanto, quanto il pe$o L pendente dal B; cioè quanto i pe$i EF pen- denti da i punti DC. Così percioche i pe$i FG tanto pe$ano quanto ipe$i EF, leuato via il pe$o comune F, tanto pe$er à il pe$o G appicato in C, quanto il pe</I> <fig> <I>$o E in D. Et perciò il pe$o F al pe$o E hà quella proportione in grauezza, che hà al pe$o G. Ma il pe$o F ver$o il G era come CA ver$o AD. adun que il pe$o F ancora ver$o il pe$o E hauerà quella proportione in grauczza, che ha CA ver$o AD che bi$ognaua mo$trare.</I> <p><I>Ma $e nella bilancia BAC $i faranno pendenti da i punti BC, i pe$i EF eguali; Dico $imilmente, che il pe$o E ver$o il pe$o F hà quella proportione in grauezza, che ha la di$tanza CA alla di$tanza AB. faccia$i AD eguale ad AB, & dal punto D $ia fatto pēdente il pe $o G eguale al pe $o F, ilquale etiā-</I> <fig> <I>dio $arà eguale ad E. Et percioche AD è eguale ad AB; i pe$i FG pe$eran no egualmente, & hauranno la mede$ima grauezza. Et concio$ia, che la grauezza del pe$o E ver$o la grauezza del pe$o G $ia come CA ad AD; $arà la gra- uezza del pe$o E ver$o la grauezza del pe$o F, come CA ad AD, cioè CA ad AB, che parimente era da mo$trare.</I> <HEAD>Altramente.</HEAD> <p><I>Sia la bilancia BAC, col$uo centro A: & ne i punti BC $iano appiccati pe$i eguali GF, & $ia prima il centro A, come $i vuole, fra B, & C. Dico, che il pe$o F ver$o il pe$o G hà quella proportione in grauezza, che ha la di$tanza CA alla di$tanza AB. Faccia$i come BA ver$o AC, co$i il pe$o F ad vn-</I> <pb n=33> <I>altro H, ilquale $ia appiccato in B: i pe$i HF pe$eranno egualmente de A.</I> <marg><I>Per la</I> 6. <I>del prime di Ar chimede del le co$e che pe $ano egualmente.</I></marg> <I>Ma e$$endo i pe$i FG eguali, haurà il pe$o H ver$o il pe$o G la proportione me de$ima, che ha ad F. Come dunque CA ver$o AB, co$i è H ver$o G: & come H ver$o G, co$i è lagrauezza di H alla grauezza di G, per e$$ere attac cati nell i$te$$o punto B. Per laqual co$a come CA ad AB, co$i la grauezza del pe$o H alla grauezza del pe$o G. Et concio$ia che la grauezza del pe$o F attacato in G $ia</I> <marg><I>Per la</I> 7. <I>del quinto.</I></marg> <I>eguale alla grauez- za del pe$o Hattac cato in B, $arà la grauezza del pe$o F ver$o la grauezza del pe$o G, come CA ver$o AB, cioè come la di$tan- za alla di$tanza, che bi$ognaua mostrare.</I> <fig> <p><I>Ma $e la bilancia BAC fo$$e tagliata, come $i vuole in D, & appicchin$i in DC i pe$i EF eguali. Dico $imilmente co$i e$$ere la grauezza del pe$o F alla gra- uezza del pe$o E, come la di$tanza CA alla di$tanza AD. Faccia$i AB eguale ad AD & $ia appicca- to in B il pe$o G eguale al pe $o E, & alpe $o F. Hor percioche AB è eguale ad A D; ipe$i GE</I> <fig> <I>pe$eranno egualmente. Ma per e$$ere la grauezza del pe$o F ver$o la grauezza del pe$o G, come CA ad AB, & la grauezza del pe$o E $ia eguale alla grauezza del pe$o G; $arà la grauezza del pe$o F ver$o la grauezza del pe$o E, come CA ad AB, cioè CA ad AD, che bi$ognaua mo$trare.</I> <HEAD>COROLLARIO.</HEAD> <p>Da que$to è manife$to, che quanto il pe$o è piu di$tante dal centro della bilancia, tanto egli è anco piu graue, & per con$eguente mo- uer$i piu velocemente. <p>Quinci oltre à ciò $i mo$trerà facilmente anche la ragione della Sta- dera. <foot><I>I</I></foot> <pb> <p>Corollario vocabolo Latino co$tumato da tutti gli altri Scrittori Italiani in cotal ma teria, nè di$piacque à Dante nel 28. cap. del Purgatorio. “Dirotti vn corollario an- co per gratia.” vuol dire, $econdo Varrone nel primo libro della lingua Latina, quella giunta, & quel $opra piu, che $i dà oltre al pagamento, quando $i comp era qualche co$a. Al tempo antico allhor che i recitatori di Tragedie, Comedie, & altri Poemi nelle $cene $i portauano bene, & piaceuano à gli vditori, era loro do- nato oltra al prezzo a$$egnato, vn corollario per cia$cuno, cioè vna piccola coro na per douer$ene ornare le tempie per giunta, & $opra piu delle $ue mercedi. Co$i nelle $cienze matematiche v$a$i di aggiungere certe co$e, oltra le propo$itioni, qua$i giunte & con$equenze, le quali na$cono dalle co$e primieramente dimo$tra- te, & $ono loro corri$pondenti, & non $ono però nè propo$itioni, nè problemi, nè lemmi, ma alla $embianza predetta chiaman$i coro llarij, molti de i quali han- no congiunta la $ua dimo$tratione. <p><I>Hor $ia AB il fusto della Stadera, la cui trutina $ia in C; & $ia il marco della $ta</I> <marg><I>Ragione del la stadera.</I></marg> <I>dera E. Appicchi$i in A il pe$o D, che pe$i egualmente col marco E appic- cato in F. Appicchi$i parimente vn'altro pe$o G in A, ilqual anco pe$i egual- mente col marco E appiccato in B. Dico, la grauezza del pe$o D ver$o la gra- uezza del G e$$ere co $i, come CF ver$o CB. Hor per- cioche la grauezza del pe$o D è eguale al la grauez- za del pe- $o E at- taccato in F, & la</I> <fig> <I>grauezza del pe$o G è eguale alla grauezza del pe$o E po$to in B; $arà la grauez- za del pe$o D alla grauezza del pe$o E po$to in F, come la grauezza del pe$o G alla grauezza del pe$o E po$to in B; & permutando come la grauezza del pe$o D alla grauezza del pe$o G, co$i la grauezza di E po$to in F alla grauezza di E po$to in B; ma la grauezza del pe$o E in F alla grauezza di E in B po$to è come CF ver$o CB; come dunque la grauezza del pe$o D alla grauezza del pe$o G, co$i è CF ver$o CB. Se dunque la parte del fu$to CB diuidera$$i in parti eguali, po $to $olo il pe$o E & piu da pre$$o, & piu da lontano dal punto C; le grauezze de pe$i, lequali$tanno pendenti dal punto A $aranno traloro manife$te & note. Co- me$e la di$tanza CB $arà tripla della di$tanza CF, $arà parimente la grauezza di e$$o G tripla della grauezza di D, che bi$ognaua mo$trare.</I> <pb n=34> <p>In altro modo po$$iamo anco v$are la $tadera, affine che le grauezze de ipe$i $i facciano note. <p><I>Sia il fu$to della stadera AB, la cui trutina $ia in C, & $ia il marco della stadera E, ilquale $ia appiccato in A; & $iano i pe$i DG di$uguali, le proportioni delle grauezze de quali cerchia- mo: $ia appiccato il pe$o D in B talche pe$i egual- mente con E. Similmente appicchi$i il pe$o G in F, ilquale pe$i egualmente con l'i$te$$o pe$o E. Dico D ver$o G co$i e$$ere; come</I> <marg><I>Per la $esta del primo di Archimede d'lle co$e, che pe$ano egual mente.</I></marg> <I>CF ver$o CB. Hor perche i pe$i DE pe$ano egualmē</I> <fig> <I>te, $arà D ad E, come CA à CB. & concio$ia, che anche i pe$i GE pe$i- no egualmente, $arà il pe$o E ver$o il pe$o G, come FC à CA; Per laqual co$a per la proportion eguale il pe$o D al pe$o G, co$i $arà, come CF à CB. che parimente bi$ognaua mo$trare.</I> <marg><I>Per la</I> 23. <I>del quinto</I></marg> <HEAD>PROPOSITIONE VII.</HEAD> <HEAD>PROBLEMA.</HEAD> <p>Dati quanti $i vogliano pe$i nella bilancia, appiccati in qualluogo $i $ia, ritrouare il centro della bilancia, dal quale $e $arà fatta penden- te la bilancia, i dati pe$i $taranno fermi. <p>PROBLEMA. Sotto il nome di Propo$itione $i contiene il Problema ancora vo- cabolo greco; ma il Problema ha dauantaggio della Propo$itione in particolare, che ordina, & in$egna ad operare qualche effetto; doue la Propo$itione $uole $ta re nella nuda $peculatione $olamente. Et que$ta è la differenza tra la Propo$itio- ne, & il Problema. <foot><I>I</I> 2</foot> <pb> <fig> <p><I>Sia la bilancia AB, & $iano dati quanti $i vogliano pe$i CDEFG prendan$i nel la bilancia, a piacere i punti AHKLB, da quali $ian fatti pendenti i dati pe$i. Bi$ogna ritrouar il centro della bilancia, dal quale $e $i far à l'appiccamento, rim anga no i dati pe$i. Diuida$i AH in M, $i che HM ad MA $ia come la grauezza del pe$o C alla grauezza del pe$o D. Dapoi diuida$i anco BL in N, $i che LN ad NB $ia come la grauez <*> pe$o G alla grauezza del pe$o F. Et di- uida$i MN in O, $i che MO ver$o ON $ia come la grauezza de pe$i FG alla grauezza de'pe$i CD. Et in fine diuida$i KO in P, $i che KP ver$o PO $ia come la grauezza de'pe$i CD FG alla grauezza del pe$o E. Hor percio-</I> <marg><I>Per la</I> 5. <I>di questo.</I></marg> <I>che i pe$i CDFG tanto pe$ano in O, quanto CD in M, & FG in N; pe$eranno egualmente i pe$i CD in M, & FG in N, & il pe$o E in K, $e $aranno $o$pe$i nel punto P. Et concio$ia, che ipe$i CD tanto pe$ino in M, quanto in AH, & FG in N quanto in LB; ipe$i CDFG pendenti da' punti AHLB, & il pe$o E da K, $e da P $aranno $o$pe$i, pe$eranno egual- mente, & rimarranno. egli è dunque trouato il P centro della bilancia, dalquale rimangono i pe$i dati. Che bi$ogna operare.</I> <HEAD>COROLLARIO.</HEAD> <p>Da que$to è chiaro, che $ei centri della grauezza de' pe$i CDEFG fo$$ero ne' punti AHKLB, $arebbe il punto P il centro della grauezza della magnitudine compo$ta di tutti i pe$i CDEFG. <p><I>Que$to è manife$to dalla diffinitione del centro della grauezza, concio$ia che i pe$i ri- mangano, $e $ono $o$tenuti dal punto P.</I> <HEAD><I>Il fine della Bilancia.</I></HEAD> <pb n=35> <HEAD>DELLA LEVA.</HEAD> <fig> <HEAD>LEMMA.</HEAD> <p>Siano quattro grandezze ABCD; & $ia la A maggiore della B, & C maggiore della D. Dico, che A ver$o D hà proportione maggiore di quello che hà B ver$o C. <p><I>Hor percioche A ver$o C hà proportion maggio- re, che B ver$o C; & A parimente ver$o D</I> <marg><I>Per la</I> 8. <I>del quinto.</I></marg> <I>hà proportion maggiore di quel che ha ver$o C: Dunque A ver$o D l'hauer à maggiore, che B ver$o C, Che bi$ognaua mostrare.</I> <fig> <HEAD>PROPOSITIONE I.</HEAD> <p>La po$$anza, che $o$tiene il pe$o attaccato alla Leua, ha la proportio ne mede$ima al detto pe$o, che ha la di$tanza della Leua fra il $o$te gno po$ta, & lo attaccamento del pe$o, alla di$tanza, che è dal $o$te gno alla po$$anza. <p><I>Sia la leua AB, il cui $oftegno $ia C; & $iail pe$o D pendente da A con AH, $i che AH $ia $empre à piombo dell'orizonte: & $ia la po$$anza $oftenente il pe-</I> <fig> <I>$o in B. Dico che la po$$anza posta in B ver$o il pe$o D $ta co$i, come la CA</I> <pb> <marg><I>Per la</I> 6. <I>del</I> 1. <I>di Archi mede delleco $ache egual m&etilde;te pe$ano.</I></marg> <I>ver$o la CB. Faccia$i come la BC alla CA, co$i il pe$o D ad vn'altro pe$o E, talche $e egli in B $arà appiccato, pe$erà egualm&etilde;te con D, per e$$er il C cen tro della grauezza di ambidue. Per laqual co$a vna po$$anza eguale ad e$$o E po $ta nel mede$i mo lo go pe- $erà e- gual- mente con e$-</I> <fig> <I>$o D, nella leua AB, collocando il $o$tegno $uo in C, cioè impedirà, che il pe-</I> <marg><I>Per la</I> 7. <I>del quinto.</I></marg> <I>$o D non inchini in giu$o, $i come impedi$ce il pe$o E. Ma la po$$anza di B al pe$o D hàla mede$ima proportione, che il pe$o E ha all'iste$$o D: adunque la po$$anza di B ver$o il pe$o D $arà come CA ver$o CB; cioè la di$tanza del- la leua dal $ostegno al $o$tenimento del pe$o, alla di$tanza dal $ostegno alla po$$an- za, che bi$o gnaua mo$trare.</I> <p>Di quì ageuolmente $i puote mo$trare, che quãto il $o$tegno $arà piu vicino al pe$o, tanto minor po$$anza $i ricerca à $o$tenere il detto pe$o. <p><I>Poste le co$e mede$ime $ia il $o$tegno in F piu da pre$$o ad A, che C; & faccia$i come BF ad FA, co$i il pe$o D ad vn'altro pe$o G, ilquale $e in B $ia ap-</I> <marg><I>Per la mede $ima $esta.</I></marg> <I>piccato; i pe$i DG dal $o$tegno F pe$eranno egualmente. Hor percioche BF è mag- giore di BC, & CA</I> <marg><I>Per lo Lemma.</I></marg> <I>maggio re di AF; la propor- tione di</I> <fig> <I>BF ver$o FA $arà maggiore, che di BC ver$o CA: & perciò maggiore anco $arà la proportione del pe$o D alpe$o G, che de l'iste$$o D ad E: Dunque il</I> <marg><I>Per la</I> 10. <I>del quinto</I></marg> <I>pe$o G $arà minore del pe$o E. & concio$ia che la po$$anza po$ta in B eguale à G pe$i egualmente con D, auerrà, che minore po$$anza di quella, laquale è eguale al pe$o E $o$tenter à il pe$o D; e$$endo la leua AB, & il $o$tegno $uo doue è F, che $e egli $o$$e doue è C. Similmente anche mo$trera$$i, che quanto piu dapre$$o $a rà il $o$tegno al pe$o D, $empre vi $i ricercherà anco po$$anza minore per $o$tentare il detto pe$o D.</I> <pb n=36> <HEAD>COROLLARIO.</HEAD> <p>Onde $i puote raccogliere chiaramente, che e$$endo AF minore di FB, minor po$$anza anco $i ricerca in B per $o$tenere il pe$o D. & e$$endo eguale, eguale: & maggiore, maggiore. <HEAD>PROPOSITIONE II.</HEAD> <p>In altra maniera po$$iamo v$are la Leua. <p><I>Sia la leua AB, il cui $o$tegno $ia B, & il pe$o C $ia attaccato, come $i vuole, in D</I> <marg><I>Nella $esta di questo de la bilancia.</I></marg> <I>fra AB; & $ia la po$$anza in A che $ostiene il pe$o C. Dico, che $i come BD à BA; co$i è lapo$$anza di A' al pe$o C. Appicchi$i in A il pe$o E eguale al C; & come AB ver$o BD, co$i faccia$i il pe$o E ver$o vn'altro pe$o,</I> <marg><I>Dalla</I> 11. <I>del quinto.</I></marg> <I>come F. Et percioche i pe$i CE $ono tra$e eguali, $arà il pe$o C ver$o il pe$o F come AB ver$o BD. Attacchi$i parimente il pe$o F in A. & percioche il</I> <marg><I>Per la $esta della bilācia</I></marg> <I>pe$o E al pe$o F è come la grauez za del pe$o di E alla grauezza di F; & il pe$o E ad F è come AB à BD; come dũ que la grauezza del pe$o E alla</I> <marg><I>Per la</I> 29. <I>del quinto.</I></marg> <fig> <I>grauezza del pe$o F, co$i è AB ver$o BD. ma come AB à BD, co$i è la grauezza del pe$o E alla grauezza del pe$o C: Per laqual co$a la grauezza del pe$o E alla grauezza del pe$o F co$i $arà, come la grauezza del pe$o E alla gra- uezza del pe$o C. I pe$i dunque CF hanno la mede$ima grauezza: $i che pon- ga$i la po$$anza di A che $o$tenga il pe$o F, $arà la po$$anza di A eguale al pe$o F. & percioche il pe$o E attaccat<*> in A è graue egualmente, come il C appicca-</I> <marg><I>Per la $ettima del</I> 5.</marg> <I>to in D; hauer à la proportione i$te$$a la po$$anza di A ver$o la grauezza del pe$o F appiccato in A, che ha alla grauezza del pe$o C appiccato in D. Mala po$$an za di A eguale ad F $o$tiene il pe$o F; dunque la po$$anza di A $o$tenterà anco il pe$o C. Et co$i per e$$ere la po$$anza di A eguale al pe$o F, & il pe$o C ver$o il pe$o F $ia come AB à BD; $arà il pe$o C ver$o la po$$anza po$ta in A come AB à BD. & conuertendo, come BD à BA, co$i la po$$anza po$ta in A ver $o il pe$o C. Dunque la po$$anza ver$o il pe$o co$i $arà, come la di$tanza, che è fra</I> <marg><I>Per lo Corol lario della</I> 4 <I>del quinto.</I></marg> <I>il $o$tegno, & l'appiccamento del pe$o alla di$tanza, che è dal $o$tegno alla po$$an- za, che bi$ognaua mo$trare.</I> <pb> <HEAD>Altramente.</HEAD> <p><I>Sia la leua AB, il cui $o$tegno $ia B, & il pe$o E $ia pendente dal punto C, & $ia in A la forza, che $ostiene l pe$o E. Dico, che $i come BC à BA, co$i è</I> <fig> <I>anco la po$$anza di A ver$o il pe$o E. Allunghi$i AB in D, & faccia$i BD eguale à BC; & appicchi$i il pe$o F al punto D, che $ia eguale al pe$o E; & parimente dal punto A $i faccia pendere il punto G in modo, che il pe$o F hab bia la proportione i$te$$a ver$o il pe$o G, che ha AB à BD. ipe$i FG verranno à pe$ar egualmente: & concio$ia che CB $ia eguale à BD, anco i pe$i FE egua li pe$eranno egualmente. Ma ipe$i FEG nella bilancia, ouero nella leua DBA appiccati, il cui $o$tegno è B, non pe$eranno egualmente, ma inchineranno à ba$$o dalla parte di A. Per laqual co$a ponga$i in A tanta forza, che ipe$i FEG pe$i- no egualmente, $arà la po$$anza in A eguale al pe$o G; peroche i pe$i FE pe$a- no egualmente, & la forza in A niente altro deue fare, che $o$tenere il pe$o G, ac- cio che non de$cenda. Et percio che i pe$i FEG, & la po$$anza in A pe$ano egual mente, leuati dunque via i pe$i FG, i quali pe$ano egualmente, i re$tanti pe$eran- no pur egualmente, cioè la po$$anza in A co'l pe$o E, cioè la po$$anza in A $o- sterra ilpe$o E, $i che la leua AB rimanga, come era prima. Et per e$$ere la po$$anza in A eguale al pe$o G, & il pe$o E eguale al pe$o F, haurà la po$$anza in A la proportione iste$$a al pe$o E, che hà BD, cioè BC à BA, che bi$ogna ua mo$trare.</I> <HEAD>COROLLARIO I.</HEAD> <p>Da que$to etiandio, come prima, puote e$$ere manife$to, che $eil pe$o E $arà po$to piu vicino al $o$tegno B, come in H, minore po$$anza po$ta in A puote $o$tener il detto pe$o. <p><I>Percioche minor proportione ha HB à BA, che CB à BA. & quanto piu da</I> <marg><I>Per la</I> 8. <I>del quinto.</I></marg> <I>vicino il pe$o $arà al $o$tegno, $empre anco $i mo$trerà $imilmente minor po$$anza poter $o$tener il pe$o E.</I> <HEAD>COROLLARIO II.</HEAD> <p>Segue etiandio, che la po$$anza in A $empre è minore del pe$o E: <pb n=37> <p><I>Percioche pigli$i tra A & B qual punto $i voglia, come C, $empre BC $arà minore di BA.</I> <HEAD>COROLLARIO III.</HEAD> <p>Da que$to parimente $i puote cauare, che $e due $aranno le po$$anze, l'vna in A, & l'altra in B, & ambedue $o$tentino il pe$o E, la po$- $anza in A ver$o la po$$anza in B è come BC ver$o CA. <p><I>Percioche la leua BA fal'officio di due leue, & AB $ono come due $o$tegni, cioè quando AB è leua, & la forza che $o$tiene è in A, $arà il $uo $o$tegno B. Ma quando BA è leua, & la po$$anza $ta in B, il $o$tegno $arà A, & il pe$o $empre rimane appicca- to in C. Et percio che la po$$anza in A ver$o il pe$o E è come BC à</I> <marg><I>Per la</I> 22. <I>del primo.</I></marg> <I>BA, & come il pe$o E alla po$$anza, che è in B, co$i è BA ad AC, $arà per la propor</I> <fig> <I>tion eguale la po$$anza in A alla po$$anza in B come BC à CA, & à que $to modo facilmente ancora potremo cono$cere la proportione, laquale è po$ta de Ari$totele nelle que$tioni Mecaniche alla que$tione 29.</I> <HEAD>COROLLARIO IIII.</HEAD> <p>E manife$to etiandio, che ambedue le po$$anze in A, & in B pre$e in$ieme, $ono eguali al pe$o E. <p><I>Percioche il pe$o E alla po$$anza in A è come BA à BC, & l'i$te$$o pe$o E ver$o la po$$anza in B è come BA ad AC; Per laqual co$a il pe$o E ver- $o l'vna, & l'altra po$$anzain A, & in B pre$e in$ieme, è come AB ver$o BC, & CA in$ieme, cioè ver$o BA. il pe$o dunque E è eguale ad amen- due le po$$anze pre$e in$ieme.</I> <HEAD>PROPOSITIONE III.</HEAD> <p>In altro modo ancora po$$iamo v$are la Leua. <foot><I>K</I></foot> <pb> <p><I>Sia la leua AB, il cui $o$tegno $ia B. & $ia il pe$o C appiccato al punto A, & $ia la po$$anza in D, comunque $i voglia tra AB, $o$tenente il pe$o C. Di- co che come AB à BD, co$i è la po$$anza in D al pe$o C. Appicchi$i al punto D il pe$o E eguale à C; & come BD à BA, co$i $accia$i il pe$o E ad vn'altro pe$o, come F: & per e$$ere i pe$i CE traloro eguali, $arà an- co il pe$o C al pe$o F, come BD à BA. Appicchi$i $imil mente il pe$o F in D. & per- che il pe$o E ad F è come la gra uezza del pe$o E alla grauez- za del pe$o F; & il pe$o E al</I> <fig> <marg><I>Per la</I> 6. <I>di questo della bilancia.</I></marg> <I>pe$o F è come BD à BA. Come dunque la grauezza del pe$o E alla gra- uezza del pe$o F, co$i è BD à BA. Ma come BD à BA, co$i è la gra- uezza del pe$o E alla grauezza del pe$o C. Per laqual co$a la grauezza del</I> <marg><I>Per la</I> 6. <I>di questo della bilancia.</I></marg> <I>pe$o E alla grauezza del pe$o F ha la proportione mede$ima, che ha alla gra- uezza del pe$o C. i pe$i dunque CF hanno la grauezza mede$ma. Sia dunque</I> <marg><I>Per la</I> 9. <I>del quinto.</I></marg> <I>la po$$anza in D $o$tenente il pe$o F, che verrà ad e$$ere la detta po$$anza in D eguals al pe$o F. & percioche il pe$o F posto in D è graue egualmente come il pe$o C po$to in A; haur à la po$$anza in D la proportione mede$ima ver$o la grauezza del pe$o F, che ha alla grauezza del pe$o C. Ma la po$$anza in D $o$tiene il pe$o F, dunque la po$$anza in D $o$tenterà anco il pe$o C; & il pe$o C alla po$$anza in D $arà co$i come il pe$o C al pe$o F; & C ad F</I> <marg><I>Per la</I> 7. <I>del quinto.</I></marg> <I>è come BD à BA, $arà dunque il pe$o C alla po$$anza in D, come BD à BA: & conuertendo come AB à BD, co$i la po$$anza in D al pe$o C. La po$$anza dunque al pe$o, è come la di$tanza dal $ostegno allo appiccamento del pe- $o alla distanza dal $o$tegno alla po$$anza. che bi$ognaua mostrare.</I> <HEAD>Altramente.</HEAD> <p><I>Sia la leua AB, il cui $o$tegno $ia B. & dal punto A $ia fatto pendente il pe$o C, & $ia la po$$anza in D $o$tenente il pe$o C. Dico, che come AB à BD, co$i è la po$$anza in D al pe$o C. allunghi$ila AB in E, & faccia$i BE egua- le à BA, & al punto E $ia appiccato il pe$o F eguale al pe$o C; & come BD à BE co$i faccia$i il pe$o F ad vn'altro pe$o G, ilquale $ia appiccato al punto D, i pe$i FG pe$eranno egualmente. & percioche AB è eguale à BE, & i pe$i</I> <foot><I>FC</I></foot> <pb n=19> <I>mente non è della grauez za cagione? Di questo ef fetto mostrano di produ- cere in mezo que$ta cagio ne, perche CG è la mé- ta, & CF la trutina; $e (dicono e$$i) CG fo$ $e la trutina, & CF la méta, all'hora l'angolo FCE $arebbe cagione della grauezza, ma non già il DCG ad e$$o e- guale laquale ragione è al tutto fatta con la imagi- natione, & di voglia pro pria. Peroche, che puote importare che la trutina $ia ouero in CF, ouero in CG, e$$endo la bilan cia DE $empre $o$ten- tata nell'i$te$$o punto C? Ma affine che l'inganno loro re$ti più chiaro.</I> <fig> <p><I>Sia la mede$ima bilancia AB, il cui mezo C. dapoitutta la FG $ia la trutina, laquale $tia immobile, & $o$tenga la bilancia AB nel punto C. & moua$i la bilancia in DE. & per- cioche la trutina è $opra, & $otto la bilancia, quale ango lo $arà cagione della grauez za, e$$endo $o$tenuta la bi- lancia DE $empre nel pun to mede$imo? Diranno for- $e $e la trutina $arà $o$tenu- ta dalla po$$anza po$ta in F, allhora CG $arà tan- to quanto la méta, & l'an- golo DCG $arà della gra uezza cagione. Ma$e</I> <fig> <I>egli $arà $ostenuto in G, allhora FCE $arà cagione della grauezza, & la CF $arà tanto quanto la méta. della qual co$a niuna cagione pare poter$i addurre, $e nõ imaginata; peroche la méta (che dicono) non pare hauere à modo veruno nien te di virtù che tiri dalla parte dell'angolo maggiore alcuna volta, & alcuna dalla parte del minore. Ma $ia $o$tenuta la trutina da due po$$anze in F cioè, & in G, <pb> $arà la inclinatione dell'vno al moui- mento in giù, tale parimente $arà la re $istenza dell'altro al mouimento in sù. Adunque il pe$o po$to in E non mo- uerà in sù il pe$o po$to in D: ne il pe$o po$to in D: $i mouerà in giù $i fatta- mente, che moua in sù il pe$o po$to in E. imperoche e$$endo l'angolo CEB egualea CDA, & l'angolo CEM $ia eguale all'angolo CDH; $arà il re$tante MEB eguale al re$tante</I> <marg><I>Per la</I> 29. <I>del prime.</I></marg> <I>HDA. La $ce$a dunque del pe$o po- $to in D $arà eguale alla $alita del pe- $o po$to in E. Adunque il pe$o po$to in D non mouerà in sù il pe$o po$to in E. Dalle quali co$e $egue che i pe$i po$ti in DE, in quanto tra loro $o- no congiunti, $ono egualmente graui.</I> <fig> <p><I>L'altra ragione po$cia, con laquale vorrebbono mo$trare, che $imilmente la bilancia DE ritorna in AB, con dire, che e$$endo la trutina della bilancia CF, la méta viene ad e$$er CG. & percioche l'angolo DCG è maggiore dell'angolo ECG, <*> pe$o po$to in D $arà più graue del po$to in E; dunque la bilancia DE ritorne ra in AB; non conchiude nulla al parer mio; & que$ta fintione della trutina, & della méta è più to$to da trala$ciare, & pa$$arla con $ilentio, che farne pur vna paro la per confonderla, e$$endo del tutto co$a volontaria, percioche la nece$$aria ragione per laquale il pe$o po$to in D dall' angolo maggiore $ia più graue, & perche il mag giore angolo $ia cagione di grauezzamaggiore non appare in niun loco. che $e gli angoli $aranno tra loro paragonati, e$$endo l'angolo GCD eguale all'angolo FCE; $e l'angolo GCD è cau$a della grauezza, perche l'angolo FCE $imil- <pb> ilche $i puote fare per nece$$ità, come $e la po$$anza posta in F $o$$e tanto debile, che per $e $te$$a pote$$e $o$tentare $olamente la metà del pe$o & $ia la po$$anza posta in G eguale alla po$$anza po$ta in F, & ambedue in$ieme co' pe$i $o$tenga- no la bilancia. all'hora quale angolo $arà cagione della grauezza? non gia FCE, peroche la trutina è in CF, & è $o$tentata in F: ne meno il DCG, e$$en do la trutina in CG, & pa rimente $o$tentata in G. Non $aranno dunque gli an goli della grauezza cagione. Co$i ne anche la bilancia DE da que$to $ito per que $ta cagione $i mouerà. Ma</I> <marg><I>il Cardano.</I></marg> <I>que$ta loro $entenza pare e$$ere confermata da e$$i in due modi. Primieramente</I> <fig> <I>dicono Ari$totele nelle que$tioni mecaniche hauere propo$to que$te due que$tioni $o lamente, & le $ue dimo$trationi e$$ere fondate $i nel maggiore, & nel minore angolo, & $i nella giacitura della trutina della bilancia. Affermano dapoi que$to iste$$o in$egnare la e$perientia ancora, cioè, che la bilancia DE, $tando la $ua trutina in CF, ritorna in AB egualmente di$tante dall'orizonte. & quando la trutina $tà in CG, mouer$i in FG. Mane Ari$totele, ne la e$perienza fauo- ri$cono que$ta loro opinione, anzi più to$to le $ono contrarij. Peroche in quan- to appartiene alla e$perienza $i ingannano, e$$endo mani$e$to ciò per e$perienza accadere, all'hor che il centro ancora della bilancia $arà collocato ò $opra, ò $ot- to della bilancia, ma non già auenire que$to stando la trutina ò $opra $olamente, è $otto.</I> <pb n=20> <p><I>Imperoche $e la bilancia A B haue$$e il centro C $opra la bilancia, & fo$- $e la trutina CD $otto la bilancia, & $i moue$- $e la bilancia in EF, al lhora EF di nouo ri- tornerà in AB. egual- mente di$tante dall'o- rizonte. $imilmente $e la bilancia haue$$e il cen- tro C $otto la bilancia, & $o$$e la trutina CD $opra la bilancia, et $i mo ue$$e la bilancia in EF,</I> <marg><I>Per la terz<*> di questo.</I></marg> <I>egli è manife$to, che la bi lancia $i mouerà in giu dalla parte di F, $tan- do la trutina $opra la bi- lancia. & in qual $i vo- glia altro $ito che $ia la trutina, auerrà $empre il mede$imo. Adunque nõ è la trutina, ma il centro della bilancia cagione di cotali diuer$i effetti.</I> <fig> <p><I>Egli è pero d'auertire in que$ta parte che con di$$icultà $i puote lauora re vna bilancia materiale, che in vno punto $olamente $ia $o$tenuta, $i come con la mente la imagi- niamo, & habbia le braccia dal centro co$i eguali non $olamente in lunghezza, ma in larghezza, & in profundità, ò gro$$ezza, che tutte le parti di quà, & di là pe$i- no a punto egualmente. percio che la materia di$$icili$$imam ente pati$ce cotale giu- $ta mi$ura. Per laqual co$a $e con$idereremo il centro e$$ere in e$$a bilancia, non bi- $ogna ricorrere al $en$o, concio$ia, che le co$e artificiate non $i po$$ano ridurre a quel fommo grado di per$ettione. Ma nelle altre co$e la e$perienza veramente potrà in$e gnare le co$e che appaiono percioche quãtunque ilcentro della bilãcia $empre $ia vn punto, nondimeno quando egli $arà $opra la bilancia, poco importa, $e ben la bilancia non $ara $o$tenuta in quel punto co$i puntalmente però che per e$$ere $empre $opra la bilancia auerrà $empre il mede$imo. Con $imile modo, quando egli anco è $otto la bi- lancia, ilche tuttauia non accade stando il centro in e$$a bilancia, per che $e egli non $arà $o$tenuto $empre in quel mezo accuratamente, $ara differenza, e$$endo co$a faci li$$ima, che quel centro, muti il proprio $ito, mentre $i moue la bilancia.</I> <pb> <p><I>Ma che Ari$totele habbia propo$to due que$tioni $o lamente, cioè perche la trutina $tando $opra, $e la bilancia nõ $arà egual mente di$tante dall'ori- zonte in equilibrio, cioè egualmente di$tante dal orizonte ritorna, ma $e la trutina $ara po$ta $otto non ritorna, ma di piu $i moue $ecõdo la parte ba$ $a: egli è verò per certo. Ma non già per que$to le dimo$trationi $ue $ono $ondate nell'angolo mag giore, ò minore, & nella giacitura della trutina, come e$$i dicono: per cio- che in questo non com- prendono la m&etilde;te del filo $ofo, che a$$egna la ragio ne de gli effetti diuer$i de'mouimenti della bilan cia. peroche tanto è lon- tano, che il filo$o$o attri bui$ca que$ti diuer$i effet</I> <fig> <I>ti à gli angoli, che piu to$to dica e$$ere cagione l'ecce$$o, & quel $opra più della gran dezza che è dal perpendicolo dell'uno delle braccia della bilancia hor dall'una parte, hora dall'altra.</I> <p><I>Come stando la trutina $opra in CF, il perpendicolo $arà FCG, il quale $em- pre inchina, $econdo lui, ver$o il centro del mondo, il quale anco diuide la bilancia mo$ $a in DE in parti di$uguali: & la parte maggiore è ver$o il D, & quel che è piu, inchina in giu. Adunque dalla parte di D la bilancia $i mouerà in giu fin che ri- torni in AB. Ma $e la trutina $arà in CG di $otto, $arà GCF il perpendico- lo, ilquale diuiderà parimente la bilancia DE in parte di$uguali, & la parte mag giore $arà ver$o E; Per laqual co$a la bilancia $i mouerà in giu dalla parte di E. & accioche que$to $ia dirittamente compre$o, $appia$i, che quando la trutina è $o- pra la bilancia, $i ha da intendere, che anche il centro della bilancia $ia $opra la bi- lancia, & $e di $otto, anche il centro deue $tare di $otto, come piu a ba$$o manife$te- ra$$i, Altramente la dimo$tratione di Ari$totele non conchiuderebbe nulla, pero che stando il centro in e$$a bilancia, come in C moua$i la bilancia in qual $i voglia</I> <pb n=21> <I>modo, il perpendicolo FG non diuiderà giamai la bilancia $e non nel punto C, et in parti eguali. Onde la $entenza di Ari$totele non $olamente non gli $auori$ce, ma gli fa anche grandi$sima mente contra. il che non $olamente è chiaro dalla $econda & terza propo$itione di que$to li bro, ma anco percioche $tando il centro $opra la bilancia, il pe$o alzato acqui$ta grauezza mag giore per cau$a del $ito. Dalla qual co$a accade il ritorno della bilancia ad eguale di$tanza dall'ori- zonte. Ma per lo con- trario auiene quando il centro è $otto la bilan- cia. Le quali co$e tutte $i dimo$treranno in que- $ta maniera, pre$uppo- nendo le co$e, che di $o-</I> <fig> <I>pra furono dechiarate, cioè il pe$o $ar$i più graue da quelloco dal quale $cende piu dirittamente, & da quello che egli $ale piu dirittamente far$i parimente piu graue.</I> <foot><I>F</I></foot> <pb> <p><I>Sia la bilancia AB egualmente di$tante dall'orizonte, il cui centro C $ia $opra la bilancia, & $ia il perpendicolo CD: & $iano i centri della grauezza di pe$i eguali po$ti in AB: & la bilancia $ia mo$$a in EF. Dico, che il pe$o posto in E ha grauezzamaggiore, che il pe$o posto in F. & per- ciò la bilancia EF e$$e- re per ritornare in AB. $ia allungata prima la linea CD fin'al centro del mon do, che $ia S. Dapoi $ia- no congiunte le linee AC, CB, EC, CF, HS; & dai punti EF $iano ti- rate le linee EKGFL egual m&etilde;te di$tanti da HS. Per- cioche dunque la di$ce$a na turale diritta di tutta la grandezza, cioè della bilan cia EF co$i di$po$ta in$ie me co'pe$i è $econdo la gra- uezza del centro H per la dirittalinea HS; $arà pa rim&etilde;te la di$ce$a de'pe$ime$ $i in EF co$i di$po$ti $econ do le linee diritte E</I>K <I>FL egualmente distanti da HS, $i come di $opra habbiamo dimo$trato. La di$ce$a dunque, & la $ali- ta de i pe$i po$ti in EF $i dirà più, & meno obliqua $econdo la vicinanza, ò lon tananza diputata $econdo</I> <marg><I>Per la</I> 4. <I>del primo.</I></marg> <I>le linee EK FL. & per- cioche li due lati AD DC $ono eguali a i due lati BD</I> <fig> <I>DC; & gli angoli al D $ono retti, $arà il lato AC eguale al lato CB. & e$- $endo il punto C immobile; mentre, che i punti AB $imoueranno, de $criueran- no la circonferenza di vno cerchio, il cui mezo diametro $arà AC. Per laqual co</I> <marg><I>Per la</I> 28. <I>del terzo.</I></marg> <I>$a co'l centro C $ia de$critto il cerchio AE BF, i punti AB E</I>F <I>$aranno nel la circonferenza del cerchio. ma e$$endo EF eguale ad AB, $arà la circonfe- renza EAF eguale alla circonferenza AFB. Onde tolta via la comune AF</I> <pb n=22> <I>$arà la circonferenza EA eguale alla cir conferenza FB. Hor percioche l'ango- lo mi$to CEA è eguale al mi$to CFB, & HFB è maggiore di CFB, &</I> <marg><I>Per la</I> <*>. <I>del printo.</I></marg> <I>l'angolo HEA è minore di CEA; $arà l'angolo HFB maggiore dell'angolo HEA. Da quali $e $aranno leuati via gli angoli HFG HEK eguali, $arà l'an golo GFB maggiore dell'angolo KEA. Adunque la di$ce$a del pe$o po$to in E $arà meno obliqua della $alita del pe$o po$to in F. & quātunque il pe$o po$to in E de$cendendo, & il pe$o po$to in F $alendo $i mouino per eguali circonferenze, nondi meno percioche il pe$o po$to in E da que$to luogo di$cende piu dirittamente di quel che il pe$o F a$c&etilde;de:pero la naturale po$$anza del pe$o po$to in E $upererà la re$i$t&etilde; za della violentia del pe$o F. Onde grauezza maggiore hauerà il pe$o posto in E, che il pe$o po$to in F. Adunque il pe$o po$to in E $i mouerà in giù & il pe$o po$to in F in sù, fin che la bilancia EF ritorni in AB, che bi$ognaua mo$trare.</I> <p><I>La ragione di que$to effetto po$ta da Ari$totele qui $i puote vedere manife$ta. Percio-</I> <marg><I>Ragione de Aristotele.</I></marg> <I>che $ia il punto N doue le linee CS EF $i tagliano in$ieme. & percioche HE è eguale ad HF; $arà NE maggiore di NF. adunque la linea CS, che no- ma perpendicolo, diuiderà la bilancia EF in parti di$uguali. concio$ia dunque, che la parte della bilancia NE $ia maggiore della NF, & quel che è di più bi$o- gni, che $ia portato in giù, la bilancia EF dalla parte di E $i mouerà in giu finche ritorni in AB.</I> <p><I>Oltre à cio da quelle co$e, che fin hora $ono $tate dette, $i puote affermare, la bilan cia EF da quel $ito mo- uer$i piu velocemente in AB; d'onde la linea EF allungata a dirittura per- uenga nel centro del mon- do. come $ia EFS vna linea diritta. & percioche CD CK $ono tra loro eguali. $e dunque col cen- tro C, & con lo $patio CD $i de$criuerà il cerchio DHM, $aranno i punti DH nella circonferenza del cerchio. Ma perche la CH è à piombo di EF, toccherà la EHS il cer- chio DHM nel punto H. il pe$o dunque po$to in H, ($i come di $opra hab biamo prouato) $arà piu</I> <fig> <foot><I>F</I> 2</foot> <pb> <I>graue che in verun altro $ito del cerchio DHM. Adunque la grandezza fatta de' pe$i EF, & della bilancia EF, il cui centro della grauczza sta in H, in cote$to $ito grauerà più, che in qual $i voglia altro $ito del cerchio $i troui il punto H. Da que$to $ito adunque $i mouera piu velocemente che da qualunque altro. & $e lo H $arà piu da pre$$o al D manco grauerà, & me- no $i mouerà da quel $ito; peroche $empreè piu torta la $ce$a, & meno diritta. La bilancia dunque EF $i mouerà più velocemen- te da que$to $ito, che da altro $ito, & $e piu dapre$ $o acco$teraßi ad AB, d'indi $i mouerà meno poi quanto piu da lunge $arà di$tante il punto H dal punto C $i mouerà più ve locemente, il che non $olo da Ari$totele nel principio delle que$tioni mecaniche, & dai detti di $opra è ma nife$to, ma ancora da quel le co$e, che di $otto nella $e$ta propo$itione $iamo per dire, apparerà chiaro. La bilancia dunque EF quanto più $arà lontana dal $uo centro, $i mouerà anche piu velocemente.</I> <fig> <pb n=23> <p><I>Sia poi labilancia AB, il cui centro C stia $otto la bilancia, & $iano in AB pe$i eguali, & $ia mo$$a la bilancia in EF. Dico che il pe$o ha grauezza maggio- re in F, che in E. & perciò la bilancia EF e$$ere per mouer$i in giù dalla parte di F. $ia allun gata la linea DC dall'una parte, & dall'altra fin nel centro del mondo S, & fin ad O, & $ia tira tala linea HS, alla qua le dai punti EF $iano ti rate le linee GEK FL egualmente di$tanti, & $iano congiunte le CE CF: & dal centro C cõ lo $patio CE de$criua$i il cerchio AEO BF. $i dimo$trerà $imilmente i punti AB EF e$$e- re nella circonferenza del cerchio, & che la di$ce$a della bilancia EF in$ie- me co'pe$i $i fà diritta $e condo la linea HS: & de ipe$i po$ti in EF $e- condo le linee GK FL egualmente di$tanti da HS. Et percioche l'ango lo CFP è eguale all'an golo CEO $arà l'ango- lo HFP maggiore del- l'angolo HEO. ma l'an</I> <marg><I>Per la</I> 29. <I>del primo.</I></marg> <I>golo HFL è eguale al- l'angolo HEG. Da qua li $e $aranno leuati via gli angoli HFP HEO,</I> <fig> <I>$arà l'angolo LFP minore dell' angolo GEO. Per laqual co$a la $ce$a del pe$o po$to in F $arà piu diritta della a$ce$a del pe$o po$to in E. Adunque la po$$anza naturale del pe$o po$to in F $upererà la re$i$tenza della violentia del pe$o po$to in E. & percio hauerà maggior grauezza il pe$o di F, che il pe$o di E. Adunque il pe$o di F $imouer à in giù, & il pe$o di E $i mouerà in sù.</I> <pb> <p><marg><I>Ragione di Aristotele.</I></marg><I>La ragione di Ari$totele parimente qui è cbiara. Percioche $ia il punto N doue le linee CO EF $i tagliano in$ieme. $arà la NF maggiore della NE. & perche il perpendicolo CO, $e- condo lui, diuide in parti di$uguali la bilancia, & la parte maggiore è ver$o F, cioè NF; la bilan- cia EF $i mouerà in giù dalla parte di F, concio $ia che quel che è di piu venga portato à ba$$o.</I> <p><I>Similmente dalle co$e dette caueremo, che quāto piu la bilancia EF tenente il centro $otto la bilancia, $arà lõtana dal $ito AB $i mouerà piu velocemen te, percioche il centro del la grauezza H, quanto piu è di$tante dal punto D, tanto piu velocemen te il pe$o compo$to de<*> pe $i EF, & della bilancia EF $i mouerà, finche l'angolo CHS diuenga retto. & dauantaggio $i mouerà anche piu veloce mente quanto la bilancia $arà piu lontana dal cen- tro C.</I> <p><I>Oltre à ciò ne piace dalle $ue ragioni, & fal$e pre$uppo $te manife$tare, & pro durre gli effetti, & i moti già dichiarati della bilan cia, affine che appaia quā ta $ia la efficacia della ve- rità, come quella, che dalle co$e fal$e ancora $i sforza di ri$plendere.</I> <fig> <p><I>Pongan$i le co$e iste$$e, cioè $iail cerchio AE BF, & la bilancia AB, il cui cen- tro C $ia $opra la bilancia, moua$i in EF. Dico che il pe$o po$to in E hà iui grauezza maggiore, che il pe$o po$to in F; & che la bilācia EF ritornerà in AB</I> <pb n=42> <I>$iano tirate dai punti EF le linee EL FM à piombo di AB, le quali $aran-</I> <marg><I>Per la</I> 28. <I>d l primo.</I></marg> <I>no tra loro egualmente di$tanti, & $ia il punto N doue la AB, & la EF $i tagliano fra loro. Percioche dunque l'angolo FNM è eguale all'angolo ENL,</I> <marg><I>Per la</I> 15. <I>del primo.</I></marg> <I>& l'angolo FMN ret to è eguale ad ELN retto, & il re$tante NFM al re$tante</I> <marg><I>Per la</I> 29. <I>del primo.</I></marg> <I>NEL è etiandio egua- le; $arà il triangolo NLE $imile al triangolo NMF.</I> <marg><I>Per la</I> 4.<I>del $esto.</I></marg> <I>Si come dunque è la NE ver$o la EL, co$i NF</I> <marg><I>Per la</I> 16. <I>del quinto.</I></marg> <I>ad FM; & permut an- do, $i come EN ad NF, co$i EL ad FM. Ma e$$endo HE eguale ad HF, $arà EN mag- gior di NF. Per laqual co$a anco EL $arà mag</I> <fig> <I>giore <*>i FM. & percioche mentre il pe$o po$to in E de$cende per la circonferen- za EA, il pe$o po$to in F $ale per la circon$erenza FB eguale alla circonferen- za EA, & la di$ce$a del pe$o po$to in E piglia (come e$$i dicono) di diretto EL: & la $alita del pe$o po$to in F piglia di diretto FM, meno di diretto verrà a pi- gliare la $alita del pe$o po$to in F, che la di$ce$a del pe$o po$to in E. Dunque il pe $o po$to in E haurà grauezza maggiore, che il pe$o po$to in F.</I> <p><I>Sia allungata la linea CD dall una parte, & dall'altra in OP, laquale tagli la linea EF nel punto S. & percioche (come dicono) quanto piu è lontano il pe$o dalla linea della direttione OP, tanto $i fa piu graue; però con que$to mezo ancora pro- uera$$i il pe$o po$to in E hauer grauezza maggiore del pe$o po$to in F. Siano dai punti EF tirate le linee EQ FR a piombo di OP. Con $imile ragione mo$tre ra$$i, che il triangolo QES è $imile al triangolo RFS; & che la linea EQ è maggiore di RF. & co$i il pe$o po$to in E $arà piu lontano dalla linea OP, che il pe$o po$to in F; & per ciò il pe$o po$to in E hauerà grauezza maggiore del pe $o po$to in</I> F. <I>Dallequali co$e appare euidente il ritorno della bilancia E</I>F <I>in AB.</I> <pb> <p><I>Ma $e il centro della bilancia $arà $otto la bilancia, allhora $i mo$trerà con gli i$te$$i me zi, che il pe$o abba$$ato hauerà grauezza maggiore dall'alzato. $iano tirate dapun- ti EF le linee EL FM a piombo di AB. $imil mente$i prouerà EL e$ $ere maggiore di FM; et perciò la $ce$a del pe$o po sto in F prenderà meno di dirittura, che la $alita del pe$o po$to in E. On- de la re$i$tenza della vio- lentia del pe$o po$to in E $upererà la naturale incli- natione del pe$o po$to in F. Adunque il pe$o po$to in E $arà piu graue del pe$o posto in F.</I> <p><I>Sia allūgata etiandio la CD dall'una parte & l'altra</I> <fig> <I>in OP, & $iano tirate dai punti EF le linee EQ FR à piombo dilei. $i pro verà con l'i$te$$o modo in tutto, che la linea EQ è maggiore di FR. & percio il pe$o po$to in E $arà piu lontano dalla linea della dirittura OP, che il pe$o po$to in F. Adunque il pe$o po$to in E haurà grauezza maggiore del pe$o po$to in F. Dalle quali co$e $egue, che la bilancia EF $i moue in giù dalla parte di E.</I> <p><I>Si che Aristotele propo$e que$te due que$tioni $olamente, & la$ciò la terza, cioè quando il centro della bilancia $tà nella bilancia i$te$$a. Que$ta però trala$ciò egli, co- me nota, $i come egli $ole trala$ciare le co$e molto note. Imperoche à chi puote far dubbio, che $e il pe$o $arà $o$tentato nel centro della grauezza$ua, che non i$tia fermo? Mapotrebbe for$e alcuno riprendere quelle co$e che per $ua $ententia hab- biamo propo$to, affermando noi non hauere prodotto in mezo tutta la intera $enten za $ua. Imperoche proponendo egli nella $econda parte della que$tione $econda. “Perche la bilancia e$$endo posta la trutina di $otto, quando, portato il pe$o in giu, al cuno lo rimoue, non a$cende, ma rimane?” non afferma perciò la bilancia mouer$i in giù, ma rimanere, il che pare $imilmente hauere nella vltima conclu$ione raccolto. Ma que$to non $o larnente non ci $a contra, ma$e egli è ben' inte$o grandi$$imamen- te aiuta.</I> <p><I>Percioche $ia la bilancia AB egualmente di$tante dall'orizonte, il cui centro E $ia $otto la bilancia. & perche Ari$totele con$idera la bilancia come ella è in fatto, però egli è nece$$ario collocare la trutina, ouero qualche altra co$a $otto il centro E, co- me EF, che in ogni modo $arà trutina, per modo, che $o$tengail centro E. & $ia ECD il perpendicolo. & accioche la bilancia AB $i moua da que$to $ito, dice</I> <pb n=25> <I>Ari$totele, ponga$i il pe$o in B, ilquale e$$endo graue mouerà la bilancia dalla par- te B in giù, come in G, talche per l'impedimento non potrà egli piu mouer$i in giu, ma non dice gia Ari$totele, che $i moua la bilancia in giu dalla parte di B fin tanto che parerà, da poi $i la$ci, come noi di cemmo<*>ma ordina che $ia posto il pe$o in B, il quale di $ua natura $i mouera $empre in giù finche la bilancia $i appog- gi alla trutina, ouerò a qualche altra co$a. & quando il B $a- rà nel G, la bilan- cia $arà in GH, nel qual $ite leuato via il pe$o, rimarrà: per e$$ere la maggior par te della bilancia dal perpendicolo uer$o il</I> <fig> <I>G, che è DG, che DH. ne piu mouera$$i in giu, imperoche la bilancia $tar à $opra la trutina, ouero qualche altra co$a, che $o$tenga il centro della bilancia. peroche $e a cote$ta non $i appoggia$$e, verrebbe la bilancia à mouer$i, $econdo la $ua opinione, in giù dalla parte di G, concio$ia, che quello che è di piu, cioè DG debba e$$ere per nece$$ità in giu portato.</I> <p><I>Ma potrebbe dauantagio dire alcuno, $e in B $arà collocato vn pe$o picciolo, $i mo- uerà ben la bilancia in giu, ma non gia fin al G; nel qual $ito, $econdo Aristo- tele, leuato via il pe$o, deue remanere. ilche è manife$to per la e$perientia, inchi- nando$i la bilãcia più, & meno, quando in vna e$tremita della bilancia $olamente vi è po$to il pe$o, che $ia ò maggiore, ò minore. ilche è veri$$imo allhora che il centro è collocato $opra la bilancia, ma non già $otto, ne in e$$a bilancia, come per gratia di e$empio.</I> <pb> <p><I>Sia la bilancia AB egualmente di$tante dall'orizonte, il cui centro C $ia $opra la bi lancia, & il perpendicolo CD a piombo dell' ori- zonte, il quale da la par- te D $ia allungato in H. Hor percioche con$idera ta la grauezza della bi- lancia, $arà il punto D il centro della grauezza della bilancia. $e dunque vn piccolo pe$o $arà po- $to nel B, il cui centro della grauezza $ia nel pũ to B; gia piu non $arà il centro della grauezza D della magnitudine</I> <marg><I>Per la</I> 6. <I>del primo. di. drch. del le co$e cgual m&etilde;se pesāti.</I></marg> <I>compo$ta della bilancia</I> <fig> <I>AB, & del pe$o po$to in B, ma $arà nella linea DB, come in K: per modo che DE ad EB $ia come il pe$o po$to in B alla grauezza della bilancia AB. congiunga$i la CE. & percioche il punto C è immobile, mentre la bilancia $i moue, il punto E de$criuerà la circonferenza del cerchio EFG, il cui mezo dia- metro è CE, & il centro C. Ma perche CD $tà a piombo dell' orizonte, la li nea CE non $arà gia ella à piombo dell' orizonte. Per laqual co$a la grandez- za composta di AB, & del pe$o po$to in B non rimarrà in questo $ito; ma $i mouerà in giu $econdo il centro E della $ua grauezza per la circonferenza EFG,</I> <marg><I>Per la</I> 1. <I>di questo.</I></marg> <I>finche CE diuenti a piombo dell' orizonte, cioè finche la CE peruenga in CDF. & allhora la bilancia AB $arà mo$$ain KL, nel qual $ito la bilancia rimarrà in$ieme co'l pe$o, ne d'auantaggio $i mouerà in giù. che $e in B $arà po$to vn pe$o piu graue, il centro'della grauezza di tutta la magnitudine $arà piu dappre$$o al B, come in M. & allhora la bilancia $i mouerà in giu, finche la congiunta linea CM peruenga nella linea CDH. Dal por$i dunque pe$o maggiore ò minore in B, la bilancia $i inchinerà piu ò meno. Da che $egue che il pe$o B de$criuerà $empre vna circonferenza minore della quarta parte d'un cerchio, per e$$ere l'angolo FCE $em pre acuto:ne il punto B peruenirà gia mai fin alla linea CH, percioche $empre il centro della grauezza del pe$o, & dalla bilancia in$ieme $arà fra BD. tuttauia quā to $arà il pe$o po$to in B piu graue, de$criuerà anche circonferenza maggiore, ve- nendo$i per que$to il punto B ad acco$tare piu alla linea CH.</I> <p><I>Mi habbia la bilancia AB il centro C nella i$te$$a bilancia, & nel $uo mezo, $arà il C centro ancora della grauezza della bilancia, dal quale $ia tirata la li- nea FCG a piombo di e$$a AB, & dell' orizonte. Ponga$i dapoi in B qual pe$o $i voglia; $arà il centro di tutta la grauezza, come in E; $i fattamente che la CE ver$o EB $ia come il pe$o po$to in B alla grauezza della bilancia. & per</I> <pb n=26> <I>cioche la CE non è a piombo dell' orizonte, la bilancia AB, & il pe$o po$to in B non rimaranno in que- $to $ito gia mai; ma $i mo- ueranno in giu dalla par- te di B, fin che CE $i $accia à piombo dell' ori- zonte; cioè fin che la bilan- cia AB peruenga in FG. Onde è chiaro, che cia$cun pe$o po$to in B, $empre de$criue la quarta parte d'un cerchio.</I> <fig> <p><I>Ma $ia il centro C $otto la bilancia AB, & $ia DCE il perpendicolo. $imilmente per e$$er il pe$o posto in B, $arà il centro della grauezza della magnitudine compe $ta di AB bilancia, & del pe$o po$to in B nella linea DB, come in F; $i fattamē te che come DF $i ha ver$o FB co$i $ia il pe$o po$to in B al pe$o della bilan- cia. congiunga$i CF. & percioche CD è a piombo dell' orizonte, non $arà gia la linea CF a piombo del l'orizonte. Per laqual co$a la magnitudine compo$ta della bilancia AB, & del pe$o po$to in B in que$to $ito non $tarà mai ferma; ma in giu mouera$$i $e alcu na co$a non la impedi$ce, finche CF peruenga in DCE, nel qual $ito la bi- lancia rimarrà in$ieme co'l</I> <fig> <I>pe$o. & il punto B $arà come in G, & il punto A in H, & la bilancia GH non hauerà piu il centro di $otto, ma $opra e$$a. La qual co$a hauerà $empre, quan- tunque $i ponga vn minimo pe$o in B. Auanti che dunque il B peruenga al G, egli è nece$$ario, che la bilancia incontri la trutina po$ta di $otto, ouero alcuna altra co$a, che $o$tenti il centro C, & iui s'appoggi. Da que$to $egue, che il pe$o B $em pre $i moue oltre la linea DK, & de$criue $empre vna circonferenza maggiore del la quarta parte del cerchio, per e$$ere l'angolo FCE $empre ottu$o, & l'angolo DCF $empre acuto. & quanto il pe$o posto in B $arà piu leggiero, de$criuerà tut- tauia anche circonferenza maggiore. Imperoche quanto il pe$o po$to in G $arà piu leggiero, tanto piu il pe$o detto posto in G $i alzerà; & la bilancia GA s'acco$te</I> <foot><I>G</I> 2</foot> <pb n=27> <p><I>Ma $ia il centro della bilancia AB $opra il C in F; & $ia FC à piombo di AB, & dell' orizonte: & $e la bilancia $arà mo$$a in</I> <marg><I>Per la prima di questo.</I></marg> <I>DE, la linea CF $arà mo$$a in FG, la quale per non e$$ere à piombo dell' orizonte, la bilancia DE $imouerà in giu dalla parte di D, finche FG ritorni in FC: & allho ra la bilancia DE $arà in AB, nel qual $ito an che rim<*>rà.</I> <fig> <p><I>Che $e il centro F della bi- lancia $arà $otto la bilē- cia, & $iala bilancia mo$</I> <marg><I>Per la prima di questo.</I></marg> <I>$a in DE primier amen te egli è manife$to che la bilancia rimarrà in AB: & in DE mouera$$i in giu dalla parte di E, per non e$$ere la linea FG à piombo dell' orizonte.</I> <fig> <I>rà piu pre$$o al $ito egualmente di$tante dall'orizonte. Le quali co$e tutte re$tano ma ni$e$te da quelle che di $opra $ono $tate dette.</I> <p><I>Prouate que$te co$e, egli è chia ro, che il centro della bilan- cia è cagione de gli effetti di uer$i della bilancia. & $i ve de ancora che tutte le pro- po$itioni di Archimede del le co$e, che egualmente pe$a no, a ciò pertinenti, in ogni $ito $ono vere. cioè, $ia pur la bilancia di$tante egualm&etilde; te dall'orizonte, ouero non, pur che il centro della bilan cia $ia collocato in e$$a bilā cia, $i come egli la con$ide-</I> <fig> <I>rà. & quantunque la bilancia habbia difuguali le braccia, auerrd tutt auia l'i$te$$o, & $i dimo$trerà co'l modo i$te$$o in tutto, che il centro della bilancia collocato in diuer $e maniere produrrà vari effetti.</I> <p><I>Percioche $ia la bilancia AB egualmente di$tan te dall'orizonte; & $iano in AB pe$i di$uguali, il centro della grauezza dei quali $ia in C, & $ia attacata la bilancia nell'i$te$$o punto di C, & moua$i la bilancia in</I> <marg><I>Per la diffi ni ione del centro della grauezza.</I></marg> <I>DE; egliè manife$to, che la bilancia rimarrà non $olamente in DE, ma in qual $i voglia altre $ito.</I> <fig> <p><I>Da que$te co$e co$i terminate, $e la bilancia fo$$e inarcata, ouero, che le braccia della bi lancia forma$$ero vn'angolo, & $i di$poneße il centro diuer$amente, (ben che que- $ta propriamente non $arebbe bilancia,) potremo nondimeno anche dimo$trare di lei vary effetti. Come $ia la bilancia ACB, il cui centro, d'intorno al quale $i volge, $i a C, & tiratala linea AB, $ia l'arco ouerò l'angolo ACB $opra la linea AB; & pongan$i in AB icentri della grauezza de'pe$i, i quali rimangano in que$to $ito. Moua$i poi la bilācia da que$to $ito, come in ECF. Dico che la bilancia ECF ritornerà in ACB. Ritroui$i il centro della grauczza di tutta la magnitudine D, & $ia congiunta la CD. Hor percio</I> <marg><I>Per la prima di questo.</I></marg> <I>che i pe$i AB stanno fermi, lali- nea CD $arà à piombo dell' orizon-</I> <fig> <I>ie. Quando dunque la bilancia $arà in ECF, la linea CD $arà come in CG; la quale per non e$$ere à piombo dell' orizonte, la bilancia ECF ritornerà in ACB. ilche parimente auenir à, $e il centro C $arà me$$o $opra la bilancia, co- me in H.</I> <p><I>Che $e l'arco, ouero l'angolo ACB $arà $otto la linea AB, nel modo i$te$$o mo$treremo, la bi- lancia ECF, il cui centro $ia ouero in C, ouero in H, do- uer$i mouere in giu dalla parte di F.</I> <fig> <pb n=28> <fig> <p><I>Et $e l'angolo ACB fo$$e $oprala linea AB, & il centro della bilancia H; & & lalinea CH $o$tene$$e la bilancia; & $imoue$$e la bilancia in EKF; la bilan cia EKF ritornerà in ACB.</I> <p><I>Ma $e il centro della bilancia $arà D, moua$i in qualunque modo la bilancia, doue $i la$cierà, iui rimarrà.</I> <p><I>Se poi il punto H $arà $otto la linea AB; allhora la bilancia EKF $i mouerà in giu dalla parte di F.</I> <p><I>Et con $imile ragione in tutto, $e l'ango- lo ACB $arà $otto la linea AB; & $ia il centro della bilancia H, & $ia la bilancia $o$tentata dalla linea CH; $e la bilancia moueraßi da que$to $ito, $i mouerà in giu dalla parte del pe $o più ba$$o. & $e il centro della bilan- cia $ia D; rimarrà doue $i la$cierà. che $e $arà in K; & da cotale $ito $i mo uerà, ritornerà ad ogni modo nello i$te$ $o. Le quali co$e tutte da quel che in</I> <fig> <I>principio dicemmo $ono mani$este. $imilmente $e il centro della bilancia $arà po$to in vno della bracia della bilancia, ò dentro, ò $uori, ò in qual $i voglia modo trouere mo le co$e i$te$$e.</I> <p>In que$to luogo egli conuiene auertire, il che potcua$i anco fare di $opra à carte cin que pre$$o la fine della $econda faccia oue è $critto. oltre à ciò po$siamo con$ide- rare le co$e che $eguono in tutto al modo i$te$$o. Che que$to autore è $tato il primo à con$iderare e$qui$itamente la bilancia, & intenderla dalla natura, & dal vero e$$er $uo; pero che egli il primiero di tutti ha manife$tato chia ramente il mo do del trattarla, & in$egnarla, con proporre tre centri da e$$ere con$iderati in que $ta $peculatione; l'uno è il centro del mondo, l'altro il centro della bilancia, & il terzo il centro della grauezza della bilancia, che in e$$a era vn na$co$to $ecreto di natura. Senza que$ti tre centri, chiara co$a è, che non $i puote ve nire in cono$ci- mento per$etto, ne dimo$trare gli effetti varij della bilancia, i quali na$cono dalla diuer$ità del collo care il centro della bilancia in tre modi, cioè quando il centro della bilancia $ta $opra il centro della grauezza di e$$a, ouero quando è di $otto, o pure allhorche il centro della bilancia è nell'i$te$$o centro della gra- uezza di lei; $i come l'autore in$egna nella tre precedenti dimo$trationi, cioè nella $ecõda, nella terza, & nella quarta propo$itione: peroche nella $econda mo- $tra quando la bilancia torna $empre egualmente di$tante dall'orizonte; nella ter- za quando non $olo non ritorna, ma $i moue al contrario; nella quarta, che e$$endo la bilancia $o$tenuta nel $uo centro dalla grauezza $ta ferma douunque el la $i troua, il quale effetto in particolare non è piu $tato tocco, ne veduto, ne man co da niuno manife$tato, fuor che dall'autore: anzi fin hora tenuto fal$o, & impo$ $ibile da tutti gli prede ce$$ori no$tri; i quali con molte ragioni $i $ono sforzati di prouare non $olamente il contrario, ma hanno etiandio affermato per certo, che la $períenza mo$tra la bilancia non dimorare gia mai ferma $e non quando ella è egualmente di$tante dall'oritonte. Laqual co$a in tutto è contraria alla ragione prima, per e$$ere la dimo$tratione della $udetta quarta propo$itione tanto chiara, facile, & vera, che non sò, come $e le po$$a in modo alcuno contradire: & poial- l'e$perienza concio$ia che l'autore habbia fatto $ottili$simamente lauorare bilan- cie giu$te a po$ta per chiarire que$ta verità, vna delle quali hò io veduto in mano dell'Illu$tre Signor Gio. Vicenzo Pinello, mandatagli dall'i$te$$o autore, la quale per e$$ere $o$tenuta nel centro della $u a grauezza, mo$$a douunque $i vuole, & poi la$ciata, $tà ferma in ogni $ito doue ella vien la$ciata. Ben è egli vero, che non bi $ogna, nel fare cote$ta e$perienza, correr co$i a furia, per e$$ere co$a oltra modo difficile, come dice l'áutore di $opra, il fare vna bilancia, la quale $ia nel mezo del le $ue braccia $o$tenuta à punto, & nel centro proprio della $ua grauezza. Per la qual co$a egli è da por m&etilde;te, che qual'hora alcuno $i mette$$e à far cotale e$perien ra, & non gli riu$ci$$e, non perciò $i deue $gomentare, anzi dica pur fermamente di non hauer bene operato, & vn'altra volta ritorni à farne la $perienza, fin chela bilancia $ia giu$ta, & eguale, & venga $o$tenuta à punto nel centro della grauez- za $ua. Et benche da altri $iano $tate to cche le altre due predette $peculationi, cioè quando la bilancia ritorna $empre egualmente di$tante dall'orizonte, & quando $i moue al contrario di que$to $ito, tuttauia non $i è piu inte$a que$ta verità gia mai apertamente, $e non dall'autore no$tro; peroche gli altri non hanno co'l $en- no penetrato in ciò tanto auanti, che habbiano $aputo con di$tintione con$idera re il centro della bila ncia in tre modi, come hò narrato. Che $e hanno pur diui$a to qualche co$a d'intorno à que$to, l'hanno fatto confu$i$simamente, & con ma le dimo$trationi, dalle quali non $i puote cauare ferma cõchiufione, & chiara. Que <*> predece$$ori no$tri han$i da intendere i moderni $crittori di cotal materia alle- gati in diuer$i luoghi dall'autore, fra quali Giordano, che $cri$$e de'pe$i fù riputa- <pb n=29> to a$$ai, & $in qui è $tato $eguito molto nella $ua dottrina. Hor l'autore no$tro hà procurato con ogni $tudi o di caminare per la via de' buoni Greci antichi, mae$tri delle $cienze, & in particolare di Archimede Sira cu$ano prencipe delle ma thematiche famo $i$simo, & di Pappo Ale$$andrino, come egli dice, leggendogli nella $ua propria fauella, non tradotti; peroche il piu delle volte $ono co$i mal trattati, che à gran pen a'$i puote trarre da loro frutto veruno. & affine che que$ta noua opinion $ua, dimo$trata à pien o nella predetta quarta propo$itione, re$ti to- talmente chiara, non $i è gia cont&etilde;tato egli d'hauerla dimo$trata con viue ragioni, & certe $olamente, ma come buon filo$ofo, procedente con via di reale dottrina, & di fon data $cienza, (imitando Ari$totele, ilqual ne' principii de $uoi libri, inue- $tigando dottrina migliore, hà datto contra la opinione de gli antichi, $oluendo le ragioni addotte da loro:) hà ben voluto, e$$endo la verità vna $ola, proporre le opinioni de'$uoi predece$$ori, & e$aminare le loro ragioni, lequali $embrano pro uar il contrario, & $oluerle, la loro fallenza dimo$trãdo co'l pre$ente di$cor$o, che incomincia, come è detto à carte cinque nella faccia $econda, & qui fini$ce ilqua le di$cor$o $eruirà in que$ta materia, $econdo che $i $uole dire per la opinione de gli antichi. Et percio che egli contiene co$e di alti$sima $peculatione, ma$simamen- te d'intorno al con$iderare doue $ia piu graue vn pe$o $olo po$to in vno braccio della bilancia, bi$ogna in ogni modo, per bene intendere, leggerlo, & i$tudiarlo con accurati$sima diligenza. Ma per certo l'autore è $tato non $olo il primo à tro uare que$ta verità, ma il primo etiandio a dim o$trare in qual maniera $ia me$tieri con$iderare, & $peculare interamente la pre$ente materia tutta. Con laquale $p ecu- latione proua di nouo, & confermai varij effetti, & accidenti della bilancia già di mo$trati nelle pro$sime tre propo$itioni; mo$trando ancora, come $in qui cote$te co$e $iano da gli altri $tate malamente con$iderate, & con principij fal$i. Anzi di piu per confermatione della verità $oggiunge, che que$ti tali non hanno $aputo fa re le loro demo$trationi; poi che co'l proprio modo di $peculare v$ato da loro, & con le loro mede$ime ragioni proua la $ua intentione, & $entenza e$$ere veri$si ma, appoggiando $i alla dottrina di Ari$totele $empre, & facendo toccar con ma- no, che egli con e$$o lui è d'accordo nelle que$tioni mechaniche. In trattando que$ta materia moue l'autore alcuni dubbi molto belli, & curio$i, & poi chiara- ment e gli $olue. In vltimo, accioche non manca$$e nulla al compiuto cono$cimen to di que$to $oggetto, egli hà trattato delle bilancie, che hanno le braccia di$ugua li, & di quelle che hanno le dette braccia piegate, & torte. In $omma $i può ben affermare, che in cote$to di$cor$o $iano compre$e tutte quelle co$e, che po$$ono e$ $ere diui$ate d'intorno à materia tale. Le quali $ono di belli$s ima & $ottili$sima $pe culatione, & à chiunque $i diletta, & attende à que$ti no bili $tudi nece$$arij $sime, & da e$$ere, come hò ricordato piu d'una volta, con molta attentione vedute, & con$iderate. <p>Doue $i legge que$to vocabolo latino Equilibrio, intenda$i per eguale contrape$o, cio è che pe$a tanto da vna banda, quanto dallaltra in pari lance, ò libra, ò bilancia che $i dica. <p><I>Librar congiu$te lance.</I> <p>Di$$e il Petrarcha. <foot><I>H</I></foot> <pb n=38> <p><I>FC $ono eguali, $imilmente i pe$i FC pe$eranno egualmente, ma i pe$i FGC ap- piccati nella leua EBA, il cui $o$tegno è in B non pe$eranno egualmente; ma in- chineranno in giu$o dalla parte di A. Ponga$i dunque in D tanta forza, che i pe$i FGC pe$ino egualmente; $arà la po$$anza in D eguale al pe$o G; peroche</I> <fig> <I>i pe$i FG pe$ano egualmente, & la po$$anza in D niente altro deue fare, che $o$tenere il pe$o G che non di$cenda. & percioche i pe$i FGC, & la po$$anza in D pe$ano egualmente, leuati via dunque i pe$i FG, i quali pe$ano egualmente, i re$tanti pe$eranno egualmente, cioè la po$$anza in D co'l pe$o C, cioè la po$$an za in D $o$terrà il pe$o C, talche la leua AB stia come prima. & per e$$ere la po$$anza in D eguale al pe$o G, & il pe$o C eguale al pe$o, hauerà la po$$an zaposta in D la proportione mede$ima al pe$o C, che EB, cioè AB à BD. che bi$ognaua mostrare.</I> <HEAD>COROLLARIO I.</HEAD> <p>Da que$to è chiaro ancora, come prima, che $e $arà po$to il pe- $o più vicino al $o$tegno B, come in H, il pe$o douer$i $o- $tenere da forza minore. <p><I>Percioche HB ha proportione minore à BD, che AB à BD. & quanto più</I> <marg><I>Per la</I> 8. <I>del quinto.</I></marg> <I>da vicino $arà al $o$tegno, $empre anco minore forza vi $i ricercherà.</I> <HEAD>COROLLARIO II.</HEAD> <p>Egli è parimente manife$to, che la po$$anza in D è $empre maggiore del pe$o C. <p><I>Perche $e tra AB $i piglia qual $i voglia punto, come D, $empre AB $arà mag giore di BD.</I> <p><I>El è da auertire, che que$te dimo$trationi lequali habbiamo prodotte in mezo, $i po$$o- no à tutte que$te co$e commodamente adattare non $olamente e$$endo le leue egual- mente distanti dall'orizonte, ma anche inchinate le dette leue all'orizonte. ilche è chiaro da quel che nella bilancia $i è diui$ato.</I> <foot>K 2</foot> <pb> <HEAD>PROPOSITIONE IIII.</HEAD> <p>Se la po$$anza mouerà il pe$o appiccato nella leua, $arà lo $patio della po$$anza mo$$a allo $patio del pe$o mo$$o, come la di$tan za dal $o$tegno alla po$$anza, alla di$tanza dall'i$te$$o $o$tegno fin allo appiccamento del pe$o. <p><I>Sia la leua AB, il cui $o$tegno C, & $ia il pe$o D attaccato al punto B, & $ia la po$$anza in A mouente il pe$o D conlaleua AB. Dico lo $patio della po$- $anza in A allo $patio del pe$o e$$ere co$i come CA à CB. Moua$i la leua AB, & affine che il pe$o D $i moua in sù, bi$ogna che B $i moua in sù, & A in giù. & percioche C è punto immobile; però mentre A, & B $i mouono, de- $criueranno circonferenze di cerchi. Moua$i dunque AB in EF; $aranno AEBF circonferenze di cerchi, i me- zi diametri de' quali $ono CA CB. compi$ca$i tutta la cir- conferenza AGE, & tut- ta la BHF, & $iano KH i punti doue AB, & EF ta- gliano il cerchio BHF. Hor percioche l'angolo BCF è</I> <marg><I>Per la</I> 15. <I>del primo.</I></marg> <I>eguale all'ango<*> HCK, $a- rà la circonferenza KH egua</I> <marg><I>Per la</I> 26. <I>del terzo.</I></marg> <I>le alla circonferenza BF, & concio$ia, che le circonferen- ze AEKH $iano $otto l'i- $te$$o angolo ACE, & la circonferenza AE à tutta la circonferenza AGE $ia come l'angolo ACE à quat tro retti, & come l'i$te$$o an- golo HCK à quattro retti, co$i anche è la circonferenza HK à tutta la circonferentia HBK, $arà la circonferentia</I> <fig> <I>AE à tutta la circonferentia AGE, come la circonferentia KH à tutta la</I> <marg><I>Per la</I> 16. <I>del</I> 15.</marg> <I>KFH. & permutando come la circonferentia AE alla circonferenza KH, cioè BF, co$i tutta la circonferenza AGE à tutta la circonferenza BHF; ma tut-</I> <marg><I>Per la</I> 23. <I>del</I> 8. <I>di Pap po.</I></marg> <I>ta la circonferenza AGE co$i $i ha à tutta la BHF, come il diametro del cer- chio AEG al diametro del cerchio BHF. Come dunque la circonferenza AE</I> <pb n=39> <I>ver$o la circonferenza BF, co$i è il diametro del cerchio AGE al diametro del</I> <marg><I>Per la</I> 11. <I>del quinto.</I></marg> <I>cerchio BHF: ma come il diametro al diametro, co$i è anche il mezo diametro al mezo diametro, cioè CA à CB. Per laqual co$a come la circonferenza AE alla circonferenza BF, co$i CA à CB: ma la circonferenza AE è lo $patio della po$$anza mo$$a, & la circonferenza BF è eguale allo $patio di D pe- $o mo$$o, peroche lo $patio del mouimento del pe$o D $empre è eguale allo $patio del mouimento del punto B, per e$$ere attaccato in B. Lo $patio dunque della po$ $anza mo$$a allo $patio del pe$o mo$$o è come CA à CB; cioè come la di$tan- za dal $o$tegno alla po$$anza, alla distanza dall'i$te$$o all'appiccamento del pe$o. che bi$ognaua mo$trare.</I> <p><I>Ma $ia la leua AB, il cui $o$tegno B, & la po$$anza mouente in A, & il pe$o in C. Dico lo $patio della po$$anza mo$$a allo $patio del pe$o tra$portato co$i e$- $ere, come BA à BC. Moua$i la leua, & accioche il pe$o $ia alzato in sù, egli è nece$$ario, che anche i pun ti CA $imouano in sù. Moua$i dunque A in sù fin'in D; & $ia il mouimen to della leua BD. mo$tre- remo nel modo i$te$$o, come prima è detto, che i punti CA de$criuono circonferen ze di cerchi, i cui mezi dia- metri $ono BA BC. & di- mo$treremo $imilmente co$i e$$ere AD à CE, come il mezo diametro AB al me- zo diametro BC.</I> <p><I>Et per la ragione i$te$$a, $e la po$$anza fo$$e in C, & il pe$o in A $i prouerà co$i e$$ere CE ver$o AD, co-</I> <fig> <I>me BC à BA, cioè la di$tanza dal $o$tegno alla po$$anza; alla di$tanza dal- l'iste$$o allo attaccamento del pe$o. che bi$ognaua mo$trare.</I> <HEAD>COROLLARIO.</HEAD> <p>Da que$te co$e è manife$to, che maggiore proportione ha lo $pa tio della po$$anza, che moue allo $patio del pe$o mo$$o, che il pe$o alla mede$ima po$$anza. <p><I>Percioche lo $patio della po$$anza allo $patio del pe$o ha la mede$ima proportione, che il pe$o alla po$$anza, che $o$liene il detto pe$o. Ma la po$$anza, che $ostie- ne è minore della po$$anza che moue, però il pe$o haurà proportione minore alla po$$anza che lo moue, che alla po$$anza, che lo $ostiene. Lo $patio dunque della</I> <marg><I>Per la</I> 8. <I>del quinto.</I></marg> <I>po$$anza che moue allo $patio del pe$o haur à proportione maggiore, che il pe$o al- l'i$le$$a po$$anza.</I> <HEAD>PROPOSITIONE V.</HEAD> <p>La po$$anza che in qual $i voglia modo $o$tenga il pe$o con la le- ua hauerà la proportione mede$ima ad e$$o pe$o, che la di$tan za frapo$ta dal $o$tegno al punto, doue dal centro della gra- uezza del pe$o tirata vna linea à piombo all'orizonte tagli la leua, alla di$tanza che è fra il $o$tegno, & la po$$anza. <p><I>Sia la leua AB egualmente di$tante dall'orizonte, col $uo $o$tegno N. $ia dopo il pe $o AC, il cui centro della grauezza $ia D, ilquale $ia prima $otto la leua: ma il pe$o $ia appiccato à i punti AO. & dal punto D $ia tirata la linea DE à piomho dell' orizonte, & di AB. Che $e vi $aranno altre leue ancora AF AG, i cui $o- stegni, $iano H K, & il pe$o A C $ia ap piccato nella le- ua AG ne i pun ti AQ, & nella leua A F ne' pũ ti AP: & la li- nea DE allunga-</I> <fig> <I>ta tagli AF in L, & AC in M. Dico che la po$$anza in F $o$tenente il pe$o AC ha quella proportione ad e$$o pe$o, che ha KL à KF; & la po$$anza in D ha quella proportione al pe$o, che ha NE ad NB; & la po$$anza in G al pe$o quella, che ha HM ad HG. Hor percioche DL $tà à piombo dell' orizonte, il pe$o AC venga ap-</I> <pb n=40> <I>piccato doue $i voglia nella linea DL, rimarrà nel modo i$te$$o che $i troua. Per la- qual co$a $e nella leua AB $i $cioglieranno gli appiccamenti, che $ono ad AO, il pe$o AC appiccato in E rimarr à nell'i$te$$o modo, come hora rimane, cioè leuato via il punto A, & la linea QO, nell'i$te$$o modo il pe$o appiccato in E rimarrà, come era $o$tenuto da punti i$te$$i AO, come $i proua per lo commentario di Federico Commandino nella $esta propo$itione di Archimede della quadratura della parabo la, & dalla prima di que$to della bilancia. Co$i percio che il pe$o AC ha $empre la i$te$$a di$po$itione ver$o la bilancia, $ia pur in AO $ostentato, ouero pendente dal punto E; la po$$anza mede$ima in B $o$tenterà il pe$o i$te$$o AC pendente, ouero da E, ouero da AO. ma la po$$anza in B $o$tenente il pe$o AC appiccato in E co$i $i hà ad e$$o pe$o, come NE ad NB; La po$$anza dunque in B $o$tenente il pe$o AC da punti AO pendente $arà co$i ad e$$o pe$o, come NE ad NB. Non altra-</I> <marg><I>Per la prima di questo.</I></marg> <I>mente $i mo$trerà, che il pe$o AC pendente dal punto L rimane, come $e $o$$e $oste nuto da punti AP; & la po$$anza in F ad e$$o pe$o e$$ere co$i come</I> KL <I>à KF. Ma nella leua AG il pe$o AC appiccato in M co$i rimanere, come egli è $o$tenuto da punti AQ; & la po$$anza di G co$i e$$ere al pe$o AC, come HM ad HG, cioè co- me la di$tanza dal $o$tegno al punto, doue la linea tirata à piombo dell' orizonte dal centro della grauezza del pe$o taglia la leua, alla di$tanza dal $o$tegno alla po$- $anza. che bi$ognaua mo$trare.</I> <p><I>Che $e FBG $o$$ero i $o$tegni delle leue, & le po$$anze fo$$ero in KNH $o$tenenti il pe $o, con $imile modo $i mo$trerà la po$$anza in H, co$i e$$ere al pe$o, come GM à GH, et la po$sāzaī N al pe$o, come BE à BN, et la po$sāza ī K al pe$o come FL ad FK.</I> <p><I>Et $e le leue AB AF AG haue$$ero i $o$legni in A, & il pe$o fo$$e NO; poi dal centro D del la $ua gra- uezza fo$$e tirata la li- nea DME L à piombo di AB, & dell' orizon te, & fo$$e- ro le po$$an ze in FB G; $imilm&etilde; re mo$tre- ra$$i la po$ $anza di G $o$tenente il pe$o N</I> <fig> <I>O co$i e$$ere ad e$$o pe$o, come AM ad AG, & la po$$anza in B come AE ad AB; & la po$$anza in F come AL ad AF.</I> <p><I>Sia dapoi la leua AB egualmente di$tante dall'orizonte, il cui $o$tegno $ia D, & $ia BE il pe$o, il cui centro della grauezza $ia F $opra la leua; & dal punto F riri$i la linea FH à piombo, & dell' orizonte, & di e$$a AB; & $ia $o$tenuto il pe$o dal punto B, & da PQ. $iano po$cia altre leue BLBM, i cui $o$tegni $iano NO; & la linea FH allungatatagli BM in K, & BL in G; & venga $o$tenuto il pe$o</I> <fig> <I>nella leua BL ne'punti BP; & nella leua BM dal punto B, & PR. Dico, che la po$$anza in L $o$tenente il pe$o BE nella leua BL ha quella proportione ad e$$o pe$o, che NG ad NL; & la po$$anza in A al pe$o ha quella proportio- ne, che DH à DA; & la po$$anza di M al pe$o ha quella proportione, che OK ad OM. Hor percioche la linea KF tirata dal centro della grauezza F è</I> <marg><I>Per la prima di questo della bilancia.</I></marg> <I>à piombo dell' orizonte, $ia pur $ostenuto il pe$o da qual $i voglia punto della linea KF, egli rimarrà, come hora $i troua. Se dunque $arà $ostenuto in H, rimarrà co me prima, cioè leuato via il punto B, & PQ, i quali $o$tengono il pe$o, rimarrà il pe$o BE nel modo che da e$$i era $o$tenuto. Per la qual co$a grauerà nella le- ua AB in H, & haurà alla leua quella di$po$itione mede$ima, che prima, & per- ciò $arà come $e fo$$e appiccato in H. La mede$ma po$$anza dunque $o$terrà il me de$imo pe$o BE $o$tentato ouero in H, ouero in B & Q. Ma la po$$anza in A</I> <marg><I>Per la prima di questo.</I></marg> <I>$o$tenente il pe$o BE appiccato in H con la leua AB hal'i$te$$a proportione ad e$- $o pe$o, che DH à DA; l'i$te$$a po$$anza dunque in A $o$tenente il pe$o BE ne' punti BQ $o$tentato, $arà ad e$$o pe$o come DH à DA. Similmente $i mo$trer à il pe$o BE, $e in G $arà $o$tenuto, rimanere come egliera $o$tenuto da punti BP: & nel punto K, come dapunti BR. Per la qual co$a la po$$anza in L $o$tenente</I> <pb n=41> <I>il pe$o BE ad e$$o pe$o co$i $arà come NG ad NL. ma la po$$anza in M al pe $o, come OK ad OM; cioè come la di$tanza dal $o$tegno al punto, doue dal cen tro della grauezza del pe$o la linea tirata à piombo dell' orizonte taglia la leua, alla di$tanza dal $o$tegno alla po$$anza. che bi$ognaua mo$trare.</I> <p><I>Che $e LAM fo$$ero i $o$tegni, & le po$$anze in NDO; $imilmente mo$trera$$i la po$$anza in N co$i e$$ere al pe$o, come LG ad LN; & la po$$anza in D, come AH ad AD, & la po$$anza in O come MK ad MO.</I> <p><I>Et $e le leue BA BL BM haue$$ero i $o$tegni in B, & il pe$o fo$$e NO $opra la leua, & dal centro F della grauezza fo$$e tirata la linea FD EG à piombo di AB, & dell' orizonte; & fo$$ero le po$$anze in LAM, $imilmente proue-</I> <fig> <I>ra$$i la po$$anza in L $o$tenente il pe$o co$i e$$ere ad e$$o pe$o, come BD à BL; & la po$$anza in A al pe$o come BE à BA, & la po$$anza in M come BG à BM.</I> <foot><I>L</I></foot> <pb> <p><I>Sia vltimamente la leua. AB egualmente di$tante dall'orizonte, il cui $ostegno $ia C, & il pe$o DE habb<*>a il centro della graueza F nella leua AB; & $iano alla fine altre leue GHKL, co i $o$tegni $uoi MN; & il pe$o nella leua GH $ia $o$tentato da i punti GO, & nella leua AB da punti AT, & nella leua KL da punti KQ, & il centro F della grauezza $ia parimente in amendue le le-</I> <fig> <I>ue GH</I> K<I>L, & $iano le po$$anze in HBL. Dico la po$$anza in H co$i e$$ere al pe$o, come N</I>F <I>ad NH; & la po$$anza in B alpe$o, come C</I>F <I>à CB, & la po$ $anza in L alpe$o, come M</I>F <I>ad ML. Hor percioche F è il centro della grauez- za del pe$o DE, $e dunque in</I> F <I>$arà $o$tenuto, $tarà il pe$o DE come prima, per la diffinitione del centro della grauezza; & $arà come $e egli fo$$e appiccato in</I> F; <I>& $tarà nella leua in quel modo i$te$$o, $o$tenga$i pure ò da punti AP, ouero dal punto</I> F. <I>ilche parimente auerrà nelle leue GH KL, cioè che il pe$o re$terà nel mo do i$te$$o, $o$tenti$i pur ò in</I> F, <I>ouero in GO ouero in KQ. La mede$ma po$$anza dunque in B $o$tenterà il pe$o i$te$$o DE appiccato, ouero in</I> F, <I>ouero in AP: & quando egli è appiccato in</I> F, <I>è ad e$$o pe$o come CF à CB, dunque la po$$anza $o- $tenente il pe$o DE appiccato ad AP $arà ad e$$o pe$o come C</I>F <I>à CB. & nel mo do i$te$$o lã po$$anza in H $arà al pe$o appiccato in OG co$i, come N</I>F <I>ad NH. & la po$$anza in L $arà al pe$o appiccato in KQ, come M</I>F <I>ad ML. ilche anco bi$o- gnaua mo$trare.</I> <p><I>Ma $e li $o$tegni fo$$ero HBL, & le po$$anze fo$$ero in NCM; $imilmente prouera$$i la po$$anza in N co$i e$$ere al pe$o, come HF ad HN & la po$$anza in C come BF à BC; & la po$$anza in M come LF ad LM.</I> <pb n=42> <p><I>Et $e le leue BA BC BD haue$$ero i $o$tegni in B, & fo$$ero i pe$i in EF GH KL, di modo che i loro centri della grauezza MNO fo$$ero nelle leue, & le</I> <fig> <I>po$$anze fo$$ero in CAD. Similmente prouera$$i, che la po$$anza in C co$i è al pe$o EF, come BM à BC, & la po$$anza in A al pe$o GH, come BN à BA, & la po$$anza in D al pe$o KL, come BO à BD.</I> <HEAD>PROPOSITIONE VI.</HEAD> <p>Sia AB linea retta, ad angoli retti, dellaquale $tia AD, la- quale dalla parte di D $ia allungata come $i vuole fin'al C, & $ia congiunta la CB, laquale parimente allunghi$i dalla parte di B fin ad E. Dapoi $iano dal punto B tirate altre linee, come $i vuole BF BG eguali ad AB tra AB BE; & da i punti FG $iano tirate le linee FH GK à piombo delle $udette, lequali $i facciano eguali fra loro, & ad e$$a A D come $e BA AD fo$$ero mo$$e in BF FH, & in BG GH; & congiungan$i CH CK, lequali taglino le linee BF BG ne'punti MN. Dico che BN è minore di BM, & BM di e$$a BA. <foot><I>L</I> 2</foot> <pb> <p><I>Congiungan$i BD BH B</I>K, <I>& percioche due linee DA AB $ono eguali à due</I> <marg><I>Per la</I> 4. <I>del primo.</I></marg> <I>HF FB, & l'angolo DAB retto è anco eguale al retto HFB; $aranno i re$tanti angoli eguali à i re$tanti angoli, & HB eguale ad e$$a DB. Similmen- te mo$trera$$i il triangolo BKG e$$ere eguale al triangolo BHF. Per laqual co $a co'l centro B, & con l'in teruallo di vna di e$$e de$cri- ua$i il cerchio DH</I> K<I>E, il quale tagli le linee CH CK ne' punti OP; & congiun- gan$i OB PB. Percioche dunque il punto K è più vi- cino ad E, che H; $arà la</I> <marg><I>Per la</I> 8. <I>del serzo.</I></marg> <I>linea CK maggiore di CH, & CP minore di CO: dun que PK $arà maggiore di OH. Ma perche il triangolo BKP di due lati eguali ha i $uoi lati BK BP eguali à i lati BH BO del triangolo BHO di due lati eguali, ma ben la ba$e KP maggiore della ba$e HO, $arà l'ango- lo KBP maggiore dell' an</I> <marg><I>Per la</I> 25. <I>del</I> 5.</marg> <I>golo HBO. dunque i restan ti angoli alla ba$e, cioè KPB PKB pre$i in$ieme, i quali tra loro $ono eguali, $aranno minori de i re$tanti angol i al- la ba$e po$ti, cioè OHB HOB, iquali etiandio tra lo ro $ono eguali e$$endo che tut ti gli angoli di cia$cuno trian</I> <marg><I>Per la</I> 5. <I>del primo.</I></marg> <I>golo $iano eguali à due angoli retti. Per laqual co$a anche le metà di que$ti, cioè NKB $arà minore di MHB. Et</I> <marg><I>Per la</I> 26. <I>del primo.</I></marg> <I>concio$ia, che l'angolo BKG</I> <fig> <I>$ia eguale all'angolo BHF, $arà NKG maggiore di MHF. Se dunque nel punto K $i $accia l'angolo GKQ eguale ad FHM $i $arà il triangolo GKQ eguale al triangolo FHM; Imperoche due angoli in FH divno $ono eguali à due in GK d'vn'altro, & il lato FH è eguale al lato GK, $arà GQ eguale ad FM. Adunque GN $arà maggiore di FM. & co$i per e$$ere BG egua-</I> <pb n=43> <I>le à BF, $arà BN minore di e$$a BM. ma che BM $ia minore di e$$a BA è manife$to, percioche BM, è minore di e$$a BF, laquale è eguale à BA. che bi$ognaua mo$trare.</I> <p><I>Di più $e tra BG BE $i tiri à piacere vn'altra linea eguale à BG; & faccia$i l'ope ratione, come di $opra è stato detto, prouera$$i $imilmente la linea BR e$$er mi- nore di BN. & quanto più da vicino $arà ad e$$a BE, $arà anche $empre minore.</I> <p>Che $e i triangoli eguali BFH BGK fo$$ero di $otto fra BC BA collocati; & fo$$ero congiunte le linee HC KC, le- quali taglia$$ero le linee BF BG allungate dalla parte di FG ne' punti MN, $arà la BN maggiore del la BM, & la BM di e$$a BA. <p><I>Imperoche allunghi$i CH CK fin alla circonferenza in OP, & congiungan$i BO BP; con $imile modo mo$trera$$i la linea PK e$$ere maggiore ai OH, & l'angolo PKB e$ $ere minore dell ãgolo OHB. & percioche l'angolo BHF è eguale dell' angolo BKG, $a rà tutto l'angolo PKG mi- nore dell' angolo OHF. Per laqual co$a il re$tante GKN $arà maggiore del re$tante FHM. Se dũque fara$$i l'an golo GKQ eguale ad FHM la linea KQ taglier à in modo la GN, che GQ diuenterà eguale ad FM. Per laqual co$a maggiore $arà GN, che FM; allequali $e $ar anno ag giunte le eguali BF BG, $a- rà BN maggiore di BM. & per e$$ere BM maggiore di FB, $arà anco maggiore di BA. $imilmente prouera$$i che quãto più da vicino $arà BG à BC, la linea BN $em pre $arà maggiore.</I> <fig> <HEAD>PROPOSITIONE VII.</HEAD> <p>Sia la linea retta AB, à cui $tia à piombo AD, laquale allun- ghi$i dalla parte di D come pare $in'à C, & congiunga$i C B, laquale etiandio $i allunghi fin'ad E; & $imilmente tra AB BE $iano, come pare, tirate BF BG eguali ad e$$a AB, & da punti FG $iano tirate le linee FH GK pur eguali ad e$$a AD, & à piombo di BF BG, come $e BA AD fo$- $ero mo$$e in BF FH BG GK: & congiun- gan$i CH CK, lequali taglino le linee allunga te BF BG ne' punti MN. Dico che BN è maggiore di BM, & BM di e$$a BA. <fig> <p><I>Congiungan$i BD BH BK, & co'l centro B, & conlo $patio BD de$criua$i it cerchio. $imil- mente come nella precedente, di- mo$treremo ipunti KHDOP e$$ere nella circonferenza del cer chio; & itriāgoli ABD FBH GBK e$$ere tra loro eguali, & la linea PK e$$ere maggiore della OH, & l'angolo PKB e$$ere minore dell'angolo OHB. Percioche dũque l'angolo BHF è eguale all'angolo BKG, $arà tutto l'angolo PKG minore dell'angolo OHF. Per laqual co$a il re$tante G</I>K<I>N $arà maggiore del re$tante FHM. Se dũque $i $arà l'angolo G</I>K<I>Q</I> <pb n=44> <I>eguale ad e$$o FHM, $arà il triangolo GKQ eguale al triangolo FHM, & illato GQ al lato FM eguale; $arà dunque maggiore GN di e$$a FM; & perciò BN maggiore $arà di BM. & BM $arà maggiore di BA; impe- roche BM èmaggiore di e$$ai BE. Che bi$ognaua mo$trare.</I> <p><I>Et nel modo i$te$$o in tutto, quanto più da pre$$o $arà BG ad e$$a BE, $empre la li- nea BN $i dimo$trerà e$$er maggiore.</I> <p>Che $e $aranno po$ti di $otto i triangoli BF HB GK tra AB BC, & $iano tiratele linee CHO GKP, lequali taglino le li- nee BF BG ne' pun ti MN: $arà la linea BN minore di e$$a BM, & BM di e$sa BA. <fig> <p><I>Congiungan$i BO BP. $imilmen te prouera$$i, che l'angolo P KB è minore dell' angolo OH B. Hor percioche l'angolo F HB è eguale all'angolo GKB; $arà l'angolo GKN maggio- re dell'angolo FHM: per la qual co$a la linea GN $arà maggiore di e$$a FM. & per- ciò la linea BN $arà minore della linea BM. & concio- $ia che maggiore $ia BF di BM; $arà BM minore di BA. & con $imile modo proueraßi, che quanto più B G $arà dapre$$o ad e$$a BC, la linea BN $empre $arà minore.</I> <HEAD>PROPOSITIONE VIII.</HEAD> <p>La po$$anza $o$tenente il pe$o che habbia il centro della grauez- za fopra la leuà egualmente di$tante dall'orizonte, quanto più il pe$o $i inalzerà da que$to $ito con la leua $empre haurà bi$ogno di po$sanza minore per e$sere $o$tenuto: ma $e $arà abba$sato di maggiore. <p><I>Sia la leua AB egualmente di$tante dall'orizonte, il cui $o$tegno $ia C, & il pe$o BD il centro della grauezza delquale $ia doue è H $opra la leua; & $ia la po$$an</I> <fig> <I>za $o$tenente in A. Moua$i dapoi la leua AB in EF, & $ia il pe$o mo$$o in FG. Dico primieramente che minore po$$anza po$ta in E $o$tenir à il pe$o FG con la leua EF, che la po$$anza in A il pe$o BD con la leua AB. $ia il K il centro della grauezza del pe$o FG. Dapoi $iano tirate sì da H, come</I> <pb n=45> <I>da K le linee HL KM à piombo de'loro orizonti, lequali $i andaranno à tro- uare nel tentro del mondo, & $ia HL à piom<*>o anche di e$$a AB. Dapoi $ia tirata la linea KN à piom<*>, di EF, laquale $arà eguile ad HL, & la CN eguale ad e$$a CL. Hor percioche HL è à piombo dell'orizonte, la po$$anza in A $o$tenente il pe$o BD haurà quella proportione ad e$$o pe$o, che CL à</I> <marg><I>Per la quin ta di questo.</I></marg> <I>CA. Di nuouo, percioche KM è à piombo dell'orizonte, la po$$anza in E $o- $tenente il pe$o FG co$i $arà al pe$o come CM à CE. & per e$$ere CN NK eguali ad e$$e CL LH, & contenere angoliretti, $arà CM minore di e$$a CL;</I> <marg><I>Per la</I> 6. <I>di questo.</I></marg> <I>Dunque CM à CA haurà proportione minore, che CL à CA; & CA è eguale à CE, dunque haurà CM proportione minore à CE, che CL à</I> <marg><I>Per la otta ua del quinto.</I></marg> <I>CA: & per e$$erei pe$i BD FG eguali, però che è il pe$o mede$imo. Dun- que $arà minore proportione della po$$anza in E $o$tenente il pe$o FG ad e$$o pe$o, che della po$$anza in A $o$tenente il pe$o BD ad e$$o pe$o. Per laqual co$a minore po$$anza po$ta in E $o$tenterà il pe$o FG, che la po$$anza in A</I> <marg><I>Per la</I> 10. <I>del quinto.</I></marg> <I>il pe$o BD. & quanto più $arà inalzato il pe$o, $empre $i mo$trerà po$$anza</I> <marg><I>Per la</I> 6. <I>di questo.</I></marg> <I>anche minore douer $o$tenere il pe$o, per e$$ere la linea PC minore della CM. Sia dapoi la leua in QR, & il pe$o in QS, il cui centro della grauezza $ia O. Dico che po$$anza maggiore $i richiede in R per $o$tenere il pe$o QS, che in A per $ostentare il pe$o BD. Tiri$i dal centro O della grauezza la linea OT a piombo dell'orizonte. & percioche le linee HL OT $e $aranno allungate dal- la parte di L, & di T $i andranno à ritrouare nel centro del mondo, $arà la CT mag giore della CL: & è la CA eguale ad e$$a CR, dunque la TC haurà pro-</I> <marg><I>Per la</I> 6. <I>di questo.</I></marg> <I>portione maggiore à CR, che LC à CA. Maggiore dunque $arà la po$$an-</I> <marg><I>Per la otta ua del</I> 5.</marg> <I>za in R $o$tenente il pe$o QS, che in A $o$tenente il BD. Similmente mo- $trera$$i, che quanto la leua RQ abba$$ando$i, $arà più di$tante dalla leua AB,</I> <marg><I>Per la</I> 10. <I>del quinto.</I></marg> <I>$empre più $i ricercherà po$$anza mag giore à $o$tenere il pe$o: peroche la di$tanza</I> <marg><I>Per la</I> 6. <I>di questo.</I></marg> <I>CV è più lunga di CT. Quanto dunque il pe$o $i alzerà più dal $ito egualmente di$tante dall'orizonte, $arà $empre $o$tenuto da po$$anza minore; & quanto più $i ab<*>a$$erà, di po$$anza maggiore haurà me$tieri per e$$er $o$tentato. che bi$ogna- ua mo$trare.</I> <p>Quinci facilmente $i caua, che la pos$anza in A alla po$sanza in E co$i è, come CL à CM. <p><I>Imperoche co$iè LC à CA, come la po$$anza in A al pe$o; & come CA, cioè CE à CM, co$i è il pe$o alla po$$anza in E; Per laqual co$a per la pro-</I> <marg><I>Per la</I> 22. <I>del quinto.</I></marg> <I>portion eguale, la po$$anza in A alla po$$anza in E $arà come CL à CM.</I> <p><I>Con $imile ragione mo$treraßi non $olamente che la po$$anza in A co$i è alla po$- $anza in R, come CL à CT, ma che la po$$anza in E ancora alla po$$anza in R è co$i, come CM à CT, & co$i nel re$to.</I> <foot><I>M</I></foot> <pb> <p><I>Sia poila leua AB egualmente di$tante dall'orizonte, il cui $o$tegno $ia B, & il centro H della grauezza del pe$o CD $ia $opra la leua; & moua$i la leua in BE, & il pe$o in FG. Dico che minore po$$anza po$ta in E $o$tiene il pe$o FG con la leua EB, che la po$$anza in A il pe$o CD con la leua AB. Sia K il centro della grauezza del pe$o FG, & da i centri delle grauezze HK $iano</I> <fig> <marg><I>Per la</I> 6. <I>di questo.</I></marg> <I>tirate le linee HL</I> K<I>M à piombo de'loro orizonti. Hor percioche dalle co$e di $opra mo$trate BM è minore di BL, & BE è eguale à BA, haurà pro-</I> <marg><I>Per la</I> 8. <I>del quinto.</I></marg> <I>portione minore BM à BE, che BL à BA: ma come BM à BE, co$i</I> <marg><I>Per la</I> 5. <I>di questo.</I></marg> <I>è la po$$anza in E $o$tenente il pe$o FG ad e$$o pe$o, & come BL a BA, co$i la po$$anza in A al pe$o CD; la po$$anza in E al pe$o FG haur à propor-</I> <marg><I>Per la</I> 10. <I>del quinto.</I></marg> <I>tione minore, che la po$$anza in A al pe$o CD. Dunque la po$$anza in E $a- rà minore della po$$anza in A. Similmente mo$trera$$i quanto più il pe$o $i alze- rà, $empre minore po$$anza $o$tenere il pe$o, ma $ia la leua in BO, & il pe$o in BQ, il cui centro della grauezza $ia R. Dico, che maggior po$$anza $i ricerca in O per $o$tenere il pe$o PQ con la leua BO, che per $o$tenere il pe$o CD con la leua BA. Sia tirata dal punto R la linea RS à piombo dell'orizonte. &</I> <marg><I>Per la</I> 6. <I>di questo.</I></marg> <I>percioche BS è maggiore di BL, haurà BS proportione maggiore à BO, che BL à BA; Per laqual co$a la po$$anza in O $o$tenente il pe$o PQ $arà maggio re della po$$anza in A $o$tenente il pe$o CD. & à que$to modo $i mo$trerà an- cora che quanto la leua BO abba$$an lo$i, $arà più di$tante dalla leua AB $em- pre vi vorrà po$$anza maggiore à $o$iener il pe$o.</I> <p><I>Di qui parimente, come di $opra è mani$e$to, che la po$$anza in A è alla po$$anza in</I> <pb n=46> <I>B, come BL à BM: & la po$$anza in A alla po$$anza in O, come BL à BS. & la po$$anza in E alla po$$anza in O, come BM à BS.</I> <p><I>Oltre à ciò $e $i intenderà vn'altra po$$anza in B, per modo che due $iano le po$$an- ze, che $o$tentino il pe$o, minore $arà la po$$anza in B, che $o$tiene il pe$o PQ con la leua BO, che il pe$o CD con la leua BA. ma per lo contrario $i ri- cerca po$$anza maggiore in B per $o$tenere il pe$o FG con la leua BE, che il pe$o CD con la leua AB: percioche tirata la linea KN à piombo di EB, $arà EN eguale ad AL: Per laqual co$a EM $arà maggiore di LA. Dun</I> <marg><I>Per la</I> 8. <I>del quinto.</I></marg> <I>que EM haurà proportione maggiore ad EB, che LA ad AB, & LA maggiore ad AB, che SO ad OB, lequali $ono proportioni della po$$anza</I> <marg><I>Per la</I> 5. <I>di questo.</I></marg> <I>al pë$o.</I> <p><I>Similmente prouera$$i, che la po$$anza in B $o$tenente il pe$o con la leua AB è al- la po$$anza $o$tenente po$ta nell'i$te$$o punto B con la leua EB, come LA ad EM; & co$i e$$ere anche alla po$$anza di B $o$tenente il pe$o con la leua OB, come AL ad OS. Ma quelle po$$anze che $o$tengono con le leue EB OB $ono co$itraloro come EM ad OS.</I> <p><I>Dapoi mo$treremo come nelle co$e che di $opra $ono $tate dette, che la po$$anza in B ha quella proportione alla po$$anza in E, che EM ad MB; & la po$$anza</I> <marg><I>Per il</I> 3. <I>ce roll ario.</I></marg> <I>in B co$i e$$ere alla po$$anza in A, come AL ad LB, & la po$$anza in B alla po$$anza in O, come OS ad SB.</I> <marg><I>Per la</I> 2. <I>di questo.</I></marg> <p><I>Ma $ia la leua AB e- gualmente di$tante dall'orizonte, il cui $o$tegno $ia B, & il centro H della grauezza del pe$o AC $ia $opra la leua: & moua$i la leua in BE, & il pe$o in EF, & la po$$anza in G. di mo$trera$$i parimen te, come di $opra, che la po$$anza in G $o $tenente il pe$o EF è minore della po$- $anza in D $o$te-</I> <fig> <I>nente il pe$o AC. percioche e$$endo minore BM di BL haurà minore pro- portione MB à BG, che LB à BD. & à que$to modo proueraßi, che quan to il pe$o più $i alzerà con la leua, $empre minore po$$anza $i ricerca à $o$tenere</I> <foot><I>M</I> 2</foot> <pb> <I>il detto pe$o. $imilmente $e la leua $i moue in BO, & la po$$anza $o$tenente $ia in N, $i mo$trerà la po$$anza in N e$- $ere maggiore della po$$anza in D. pe- roche SB ha pro- portione maggiore à BN che LB à BD. Mo$tre- raßi ancora, che quanto il pe$o più s'abb a$$erà, $empre ricercar$i po$$anza maggiore à $o$tene- re il pe$o. che bi$o- gnaua mo$trare.</I> <fig> <p><I>Di quì parimēte è chia ro, che le po$$anze in GDN co$itraloro $ono, come BM à BL, & come BL à BS, & vlti- mamente come BM à BS.</I> <HEAD>COROLLARIO</HEAD> <p>Da que$te co$e è manife$to, che $e la po$sanza con la leua moue rà in sù il pe$o, il cui centro della grauezza $ia $opra la leua, quanto più $arà alzato il pe$o, $empre vi vorrà po$sanza mi- nore per mouere il pe$o. <p><I>Percioche doue la po$$anza $o$tenente il pe$o è $empre minore, $arà parimente la po$- $anza, che lo moue $empre minore.</I> <p><I>Da que$te co$e dimo$treraßi etiandio, $ia pur il centro della grauezza del pe$o mede$i- mo ò più da pre$$o, ò più da lunge della leua AB egualmente di$tante dall' ori- zonte, che la po$$anza mede$ima in A $o$terrà nondimeno il pe$o: come $e il cen tro H della grauezza del pe$o BD $ia più da lunge dalla leua BA, che il cen- tro N della grauezza del pe$o PV, pur che la linea HL tirata dal punto H à piombo dell'orizonte, & della leua AB paßi per N, & $ia il pe$o PV eguale al pe$o BD; $arà sì il pe$o BD, & sì il pe$o PV come $e ambidue $o$- $ero appiccati ad L; & $ono eguali per e$$ere pre$i in luogo di vn pe$o $olo, dun- que la i$te$$a po$$anza in A $o$ienente il pe$o BD $o$terrà anche il pe$o PV.</I> <pb n=47> <I>Ma nella leua EF quanto il centro della grauezza $arà più da lunge dalla leua. tanto più egualmente la po$$anza $o$tenter à il pe$o mede$imo, come $e il centro K della grauezza del pe$o FG $o$$e più da lunge dalla leua EF, che il centro X dalla grauezza del pe$o <G>*u</G>Z; in modo però, che la lineatirata dal punto</I> K <I>à piombo della leua FE paßi per X; & $ia il pe$o FG eguale al pe$o <G>*u</G>Z; & da punti KX $iano tirate le linee KM X<36> à piombo de loro orizonti; $a-</I> <fig> <I>rà la C<36> maggiore di CM; & perciò il pe$o FG $arà nella leua co$i come $e fo$$e appiccato in M, & il pe$o <G>*u</G>Z come fo$$e appiccato in <36>. Hor per-</I> <marg><I>Per la</I> 8. <I>del quinto.</I></marg> <I>cioche C<36> ha proportione maggiore à CE, che CM à CE, maggiore $arà la po$$anza po$ta in E, che $o$terrà il pe$o <G>*u</G>Z, che FG. Manella leua QR per lo contrario $i dimo$trerà, cioè che quanto il centro della grauezza del pe $o mede$imo è più da lunge dalla leua, tanto più anche maggiore è la po$$anza che $o$tiene il pe$o. peroche maggiore è CT di CI, & perciò CT hauerà proportio- ne maggiore à CR, che CI à CR. $imilmente dimo$treraßi, $e il pe$o $arà col locato fra la po$$anza, & il $o$tegno, ouero la po$$anza po$ta fra il $o$tegno, & il pe$o, il che mede$imamente auuenirà alla po$$anzà che moue peroche doue po$$anza minore $o$tiene il pe$o, iui po$$anza minore lo mouerà: & doue $iricerca po$$anza maggiore in $o$tenere, iui anche maggiore vi vuole in mouere.</I> <HEAD>PROPOSITIONE IX.</HEAD> <p>La po$$anza $o$tenente il pe$o, che habbia il centro della $ua gra uezza $otto la leua egualmente di$tante dall'orizonte, quanto più il pe$o $arà alzato da que$to $ito con la leua, haurà egli $em preanco me$tieri di po$$anza maggiore ad e$$ere $o$tenuto; Ma $e abba$$ato, di minore. <p><I>Sia la leua AB egualmente di$tāte dall'orizonte, il cui $o$tegno $ia C, & $ia il pe$o AD, il cui centro L della grauezza $ia $otto la leua, & $ia in B la po$$anza $o$tenen- te il pe$o AD: moua$i dopo la leua in FG, & il pe$o in FH. Dico prima, che po$$anza maggiore $i ricerca in G per $o$tenere il pe$o FH con la leua FG, di quel che $iala po$$anza in B e$$endo il pe$o AD, ma con la leua AB. $ia</I> <fig> <I>M il centro della grauezza del pe$o FH, & da punti LM $iano tirate le linee</I> <marg><I>Per la</I> 7. <I>di qu sto.</I></marg> <I>LK MN à piombo de'loro orizonti; & $iatirata la linea MS à piombo di FG, che $arà eguale ad LK, & CK $arà etiandio eguale ad e$$a CS. Percioche dun</I> <marg><I>Per la</I> 8. <I>del quinto.</I></marg> <I>que CN è maggiore di CK haurà NC proportione maggiore à CG, che CK à CB; & la po$$anza in B al pe$o AD ha la mede$ma proportione, che KC</I> <marg><I>Per la</I> 5. <I>di questo.</I></marg> <I>à CB: & come la po$$anza in G al pe$o FH, co$i è NC à CG; dunque la</I> <marg><I>Per la</I> 10. <I>del quinto.</I></marg> <I>po$$anza in G hauer à maggiore proportione al pe$o FH, che la po$$anza in B al pe$o AD. Maggiore dunque è la po$$anza in G della po$$anza in B. che$e</I> <pb n=48> <I>la leua $arà in OP, & il pe$o in OQ; $arà la po$$anza po$ta in B maggiore, che in P: percioche $i dimo$trerà nell'i$te$$o modo CR e$$ere minore di CK, & CR hauere proportione minore a CP, che CK a CB; & perciò la po$$anza po$ta in B e$$ere maggiore della po$$anza po$ta in P. & a que$to modo mo$tre- ra$$i che quanto più il pe$o $i alzerà dal $ito AB, $empre vi vorrà po$$anza mag- giore à $o$tenerlo. ma per lo contrario accaderà $e egli $arà abba$$ato. che bi$o- gnaua mo$trare.</I> <p><I>Di quà ancora $i puote ageuolmente cauare, che le po$$anze po$te in PBG $ono in modo di$po$te fraloro, come CR à CK; & come CK à CN, & come CN à CR.</I> <p><I>Sia dopo la leua AB egualmente di$tante dall'orizonte, co'l $uo $o$tegno B; & il pe$o CD habbia il centro O della grauezza $otto la leua, & $ia in A la po$- $anza $o$tenente il pe$o CD. Moua$i dapoi la leua in BE, & BF, & $i tra- $porti il pe$o in GH KL. Dico, che maggiore po$$anza per $o$tenere il pe$o $i</I> <fig> <I>ricerca in E, che in A; & maggiore in A che in F $iano tirate da i centri delle grauezze le linee NM OP QR à piombo de gli orizonti, lequali allun gate da la parte di NOQ $i andranno à trouare nel centro del mondo. Mo$tre- ra$$i parimente come di $opra, che BM è maggiore di BP, & BP maggio-</I> <marg><I>Per la</I> 7. <I>di questo.</I></marg> <I>re di BR; & che BM ha proportione maggiore à BE, che BP à BA; & BP à BA maggiore che BR à BF: & per que$to la po$$anza in E mag- giore è della po$$anza in A; & la po$$anza in A maggiore della po$$anza in</I> F. <I>& quanto la leua $i alzerà più dal $ito AB, mo$trera$$i $empre, che mag- <pb> giore po$$anza vi vuole à $o$tenere il pe$o: ma $e abba$$eraßi, minore.</I> <p><I>Di quì è chiaro etiandio che le po$$anze po$te in EAF co$itraloro $ono, come BM à BP, & come BP à BR, & come BM à BR.</I> <p><I>Di più $e in B $arà vn'altra po$$anza, per modo, che due po$$anze $iano quelle che $o$tengano il pe$o. Di maggiore po$$anza è bi$ogno in B per $o$tenere il pe$o KL con la leua BF, che per $o$tenere il pe$o CD con la leua AB. & dauan-</I> <fig> <I>taggio anco maggiore con la leua AB, che con la leua BE: peroche RF ha proportione maggiore ad FB, che PA ad AB; & PA ad AB mag- giore, che EM ad EB.</I> <p><I>Similmente mo$treraßi, che le po$$anze in B $o$tenenti il pe$o con le leue traloro co$i e$$ere, come EM ad AP, & come AP ad FR, & come EM ad FR.</I> <p><marg><I>Per lo</I> 3. <I>co<*>llario.</I></marg> <I>Oltre à ciò la po$$anza in B co$i $arà alla po$$anza in F, come RF ad RB; & la po$$anza in B alla po$$anza in A come PA à PB, & la po$$anza in B al-</I> <marg><I><*>er la</I> 2. <I>di <*>esto.</I></marg> <I>la po$$anza in E come EM ad MB.</I> <pb n=49> <p><I>Ma$ia la leua AB egualmente di$tante dall'orizõte, col $uo $o$tegno B, & il pe$o AC, il cui centro della grauezza $ia $ot- to la leua, & $ia la po$$anza $o$te- nēce il pe$o in D, & moua$i la le- ua in BE BF, & la po$$anza in GH; $imil- mente mo$trera$ $i, che la po$$an- za in G è mag giore della po$$an za in D, & la po$$anza in D maggiore della</I> <fig> <I>po$$anza in H. percioche KB ha proportione maggiore à BG, che BL à BD, & BL à BD maggiore che MB à BH. & à questa maniera mo$trera$$i che quanto la leua più $i alzerà dal $ito AB, dauantaggio douere $empre e$$ere mag gior la po$$anza per $o$tenere il pe$o: & quanto più s'abba$$a, minore. che dimo $trare era me$tieri.</I> <p><I>Similmente in que$te, le po$$anze poste in GDH co$itraloro $aranno, come BK à BL, & come BL à BM, & alla $ine come BK à BM.</I> <HEAD>COROLLARIO.</HEAD> <p>Da que$te co$e etiandio è pale$e, che $e la po$$anza mouerà con la leua in sù vn pe$o, che habbia il centro della grauezza $otto la leua; Quanto più il pe$o $arà alzato, $empre vi vorrà po$- $anza maggiore per mouere il pe$o. <p><I>Imperoche $e la po$$anza $o$tenente il pe$o è $empre maggiore, $arà parimente la po$$anza che moue il pe$o $empre maggiore.</I> <foot><I>N</I></foot> <pb> <p><I>Da que$te co$e anco $i cauerà facilmente $e $arà il centro della grauezza dell'i$te$$o pe $o ò più da pre$$o, ò più da lunge dalla leua AB egualmente di$tante dall'orizon te, che la po$$anza mede$ima po$ta in B $o$terrà il pe$o. come $e il centro L della grauezza del pe$o AD fo$$e più da lunge dalla leua BA, che il centro N della grauezza del pe$o PV, pur che la linea LK tirata dal punto L à piom bo dell orizonte, & della leua AB pa$$i per N: $imilmente come nella prece-</I> <fig> <I>dente $i mo$trerà, che la po$$anza mede$ima in B $ostiene & il pe$o AD, & il pe$o PV. Ma nella leua EF quanto il centro della grauezza $arà più da lun ge dalla leua, tanto haur à me$tieri di po$$anza maggiore per $ostenere il pe$o. co- me il centro M della grauezza del pe$o FH $ia più da lunge dalla leua EF, che il centro S della grauezza del pe$o XZ. $iano tirate da i punti MS le linee MI SG à piombo de gli orizonti; $arà CI maggiore di CG: & perciò la po$$an za di E deue e$$ere maggiore $o$tenendo il pe$o FH, che il pe$o XZ. Maper lo contrario $i mo$trerà nella leua OR, cioè che quanto il centro della grauezza dell'i$te$$o pe$o è più dalunge dalla leua, il pe$o viene $o$tentato da po$$anza mino re. peroche minore è C<G>*u</G> de CT. & in modo $imile demo$traraßi ancora $tan do il pe$o fra la po$$anza, & il $o$tegno, ouero la po$$anzatra il $ostegno, & il</I> <pb n=50> <I>pe$o, ilche parimente auerrà alla po$$anza che moue; peroche doue po$$anza mino- re $o$tien il pe$o, iui minore po$$anza lo mouerà. & doue vuole po$$anza maggio- re in $o$tentare, iui anco ella $arà maggiore in mouere.</I> <HEAD>PROPOSITIO NE X.</HEAD> <p>La po$$anza $o$tenente il pe$o che habbia il centro della grauez- za nella i$te$$a leua, $ia pure in qual $i voglia modo tra$porta- to il pe$o con la leua; vi $arà $empre me$tieri della po$$anza i$te$$a, acciò $ia $o$tenuto. <p><I>Sia la leua AB egualmente di$tante dall'orizonte, co'l luo $o$tegno C, & E cen- tro della grauezza del pe$o $ia in e$$a leua. Moua$i dapoi la leua in FG, & HK,</I> <fig> <I>& il centro della grauezza in LM. Dico che la mede$ima po$$anza di KBG $em-</I> <marg><I>Per la</I> 5. <I>di questo.</I></marg> <I>pre $o$terrà l'iste$$o pe$o. Hor percioche il pe$o nella leua AB è $i fattamen- te di$po$to, come $e egli fo$$e appiccato in E; & nella leua GF come $e eglifo$ $e appiccato in L; & nella leua HK, come $e egli fo$$e appiccato in M; & le</I> <foot><I>N</I> 2</foot> <pb> <I>distanze CL CE CM $ono traloro eguali; & parimente CK CB CG pur tra loro eguali; $arà la po$$anza in B al pe$o, come CE à CB; & la po$$an- za in K al pe$o, come CM à CK, & la po$$anza in G al pe$o, come CL</I> <fig> <I>à CG. La po$$anza mede$ma dunque in KBG $osterrà il pe$o mede$mo tra$por tato in vari $iti. che bi$ognaua mo$trare.</I> <p><I>Similmente prouera$$i, $e il pe$o fo$$e tra la po$$anza, & il $o$tegno; ouero la po$- $anza tra il $o$tegno, & il pe$o, che il mede$imo auerrà alla po$$anza, che moue.</I> <HEAD>PROPOSITIONE XI.</HEAD> <p>Se la di$tanza della leua tra il $o$tegno, & la po$$anza haurà pro- portione maggiore alla di$tanza trapo$ta dal $o$tegno al pun- to, doue dal centro della grauezza del pe$o tirata vna linea à piombo dell'orizonte taglia la leua che non ha il pe$o alla po$ $anza; il pe$o veramente $arà mo$$o dalla po$$anza. <p><I>Sia la leua AB, & dal punto A appicchi$i il pe$o C; cioè il punto A $empre $ia quel punto, doue la linea tirata à piombo dal centro della grauezza del pe$o ta- gli la leua; & $ia la po$$anza in B, & il $ostegno D; & DB habbia à DA</I> <pb n=51> <I>proportione maggiore, che il pe$o C alla po$$anza in B. Dico che il pe$o C $a- rà mo$$o dalla po$$anza in B. Faccia$i come BD à DA, co$i il pe$o E alla</I> <marg><I>Per la prima di questo.</I></marg> <I>po$$anza in B; & appicchi$i parimente il pe$o E in A: egliè chiaro che la po$- $anza in B pe- $a egualmēte cõ e$$o E; cioè che $o$tiene il detto pe$o E. & per- cioche BD ha proportion mag giore à DA che C alla po$$anza in B. & come BD à DA, co$i</I> <fig> <I>è il pe$o F. alla po$$anza: adunque E haurà proportione maggiore alla po$$an-</I> <marg><I>Per la</I> 10. <I>del quinto.</I></marg> <I>za, che il pe$o C alla po$$anza i$te$$a. Per laqual co$a il pe$o E $arà maggiore del pe$o C. & perche la po$$anza pe$a egualmente cone$$o E; dunque la po$$an za non pe$erà egualmente cone$$o C, ma per la forza $ua inchinerà al ba$$o. àun que il pe$o C $arà mo$$o dalla po$$anza in B con la leua AB, il cui $o$tegno è in D.</I> <p><I>Ma $e la leua fo$$e AB, & il $o$tegno A, & il pe$o C appiccato in D, & la po$$anza in B, & BA haue$$e proportione maggiore ad AD, che il pe$o C alla po$$anza in B. Dico che il pe$o C mouera$$i dalla po$$anza in B. faccia$i co</I> <marg><I>Per la</I> 2. <I>di questo.</I></marg> <I>me BA ad AD, co$i il pe- $o E alla po$$anza in B: & $e E $arà appiccato in D, la po$$anza in B $o$tenterà il pe- $o E. Ma per hauere BA pro- portione maggiore ad AD, che il pe$o C alla po$$anza in B; & come BA ad AD, co$i è il pe$o E alla po$$anza in B; dunque il pe$o E haurà pro portione maggiore alla po$$an</I> <marg><I>Per la</I> 10. <I>del quinto.</I></marg> <fig> <I>za che è in B, che il pe$o C all'i$te$$a po$$anza: & perciò il pe$o E $arà maggio re del pe$o C; & la po$$anza in B $o$tiene il pe$o E; dunque la po$$anza in B con la leua AB mouerà il pe$o C minore del pe$o E appiccato in D, il cui $o- stegno è A.</I> <p><I>Sia da capo la leua AB, & il $uo $o$tegno A, & il pe$o C $ia appiccato in B, & $ia la po$$anza in D: & DA habbia proportione maggiore ad AB, che il pe$o C al- la po$$anza, che è in D. Di co che il pe$o C $arà mo$$o dal la poßāza che è in D. Fac- cia$i come D A ad AB, co$i il pe$o E alla po$$anza,</I> <fig> <I>che è in D; & $ia il pe$o E pendente dal punto B: la po$$anza in D $o$ter- rà il pe$o E. Ma DA tiene proportione maggiore ad AB, che C alla po$- $anza in D. & come DA ad AB, co$i è il pe$o E alla po$$anza in D; dunque il pe$o E haurà proportione maggiore alla po$$anza che è in D, che il pe$o C alla i$te$$a po$$anza. Per laqual co$a il pe$o E è maggiore del pe$o C. Et percioche la po$$anza in D $o$tiene il pe$o E, dunque la detta po$$anza in D mouerà il pe$o C appiccato in B con la leua AB, il cui $o$tegno è A. che bi$ognaua prouare.</I> <HEAD>Altramente.</HEAD> <p><I>Sia la leua AB, & il pe$o C appiccato in A, & la po$$anza in B, & $ia il $o$tegno D; & DB habbia proportione maggiore à DA, che il pe$o C alla po$$anza in B. Dico che il pe- $o C $arà mo$ $o dalla po$$an- za in B. Fac- cia$i BE ad EA, come il</I> <fig> <I>pe$o C $i ha inuer$o la po$$anza, $arà il punto E tra BD: percioche egli è me-</I> <marg><I>Per la</I> 1. <I>di questo.</I></marg> <I>$tieri che BE habbia proportione minore ad EA, che DB à DA; & però BE $arà minore di BD. & percioche la po$$anza in B $o$tiene il pe$o C ap- piccato in A con la leua AB, che hà il $o$tegno E; dunque minore po$$an- za po$ta in B, che la data $o$terrà il pe$o mede$imo nel $o$tegno D. La po$$an- za data dunque po$ta in B mouerà il pe$o C con la leua AB, che ha il $o$te- gno in D.</I> <pb n=52> <p><I>Sia dapoila leua AB, & il $uo $o$tegno in A, & il pe$o C appiccato in D, & $iala po$$anza in B; & AB habbia proportione maggiore ad AD, che il pe$o C alla po$$anza in B. Di co che il pe$o C $i mouerà dalla po$$anza in B. Faccia$i AB ad AE, come il pe$o C alla po$ $anza; $arà $imilmente il punto E tra BD, percioche egli è nece$$a-</I> <marg><I>Per la otta ua del</I> 5.</marg> <I>rio che AE $ia maggiore di A D. & $e il pe$o C fo$$e appicca</I> <marg><I>Per la</I> 2. <I>di questo.</I></marg> <fig> <I>to in E, la po$$anza in B lo $o$tentarebbe. ma po$$anza minore po$ta in B, che la data $o$tiene il pe$o C appiccato in D; dunque la data po$$anza in B mo-</I> <marg><I>Per il</I> 1. <I>corollario del la</I> 2. <I>di que sto.</I></marg> <I>uerà il pe$o C appiccato in D con la leua AB, che ha il $uo $o$tegno A.</I> <p><I>Sia da capo la leua AB co'l $o$tegno $uo A; & il pe$o C $ia appiccato in B, & $ia la po$$anza in D. & DA habbia proportione maggiore ad AB, che il pe $o C alla po$$anza in D. Dico che il pe$o C</I> <marg><I>Per la</I> 8. <I>del quinto.</I></marg> <I>$arà mo$$o dalla po$$an- za in D. faccia$i come il pe$o C a'la po$$anza, co$i DA $ia ad AE;</I> <marg><I>Per la</I> 3. <I>di questo.</I></marg> <I>$arà AE maggiore di</I> <fig> <I>AB; per e$$ere proportione maggiore da DA ad AB, che da DA ad AE.</I> <marg><I>Per il</I> 1. <I>corollario del la</I> 3. <I>di que sto.</I></marg> <I>Che $e il pe$o C $arà appiccato in E, egli è chiaro, che la po$$anza in D $o$ter- rà il pe$o C appiccato in E. Ma po$$anza minore che la data $o$tiene l'i$te$$o pe $o C in B; dunque la data po$$anza in D mouerà il pe$o C appiccato in B, con la leua AB che hà il $o$tegno $uo A. come bi$ognaua mo$trare.</I> <HEAD>PROPOSITIONE XII.</HEAD> <HEAD>PROBLEMA.</HEAD> <p>Fare che vna data po$$anza, moua vn pe$o dato con vna data le- ua. <p><I>Sia il pe$o A come cento, & la po$$anza che ha da mouere $ia come diece; & $ia la data leua BC. Egli è bi$ogno che la po$$anza, che è diece moua il pe$o A, che è cento, con la leua BC. Diuida$i BC in D con $i fatta maniera che CD hab bia la propor tione mede$ima à DB, che ha cento à diece, cioè diece ad vno; per-</I> <fig> <marg><I>Per la</I> 1. <I>di questo.</I></marg> <I>cioche $e D $i face$$e $o$tegno, egli è mani$e$to, che la po$$anza in C come diece pe$erà egualmente co'l pe$o A appiccato in B, cioè che $o$terrà il pe$o A. Pren</I> <marg><I>Per lo lein ma di questo.</I></marg> <I>da$i tra BD qual $i voglia punto, come E, & faccia$i E il $o$tegno. Hor per- cioche maggiore è la proportione di CE ad EB, che di CD à DB; CE haurà proportione maggiore ad EB, che il pe$o A alla po$$anza di diece po$ta in C; dunque la po$$anza di diece po$ta in C mouer à il pe$o A, che è cento, appiccato</I> <marg><I>Per la</I> 11. <I>di questo.</I></marg> <I>in B con la leua BC, che ha il $uo $o$tegno E.</I> <p><I>Ma $e la leua fo$$e BC, & il $o$tegno B. diuida$i CB in D per $i fatta maniera, che CB habbia la proportione i$te$$a à BD, che ha cento à diece: & $e il pe$o A $arà appic cato in D, & la po$$anza in C, la po$$an-</I> <marg><I>Per la</I> 2. <I>di questo.</I></marg> <I>za in C come diece $o$terrà anco il pe$o A appiccato</I> <fig> <I>in D. Prenda$i qual $i uoglia punto tra DB, come E, & ponga$i il pe$o A in</I> <marg><I>Per la ottaua del quinto.</I></marg> <I>E; & per e$$ere proportione maggiore da CB à BE, che da BC à BD; CB haurà proportione maggiore à BE, che il pe$o A di cento alla po$$anza di diece. Dunque la po$$anza d<*> diece po$ta in C mouerà il pe$o A di cento appiccato in E</I> <marg><I>Per la</I> 11. <I>di questo.</I></marg> <I>con la leua BC, che ha il $o$tegno $uo B. che bi$ognaua menar ad effetto.</I> <p><I>Ma ciò non $i puote mandar' ad e$ecutione con la leua BC, che habbia il $o$tegno $uo in B, & il pe$o A di cento $ia appiccato in C. Percioche ponga$i la po$$anza $o$tenente il pe$o A comunque $i $ia tra BC, come in D; $empre la po$$anza $arà maggiore del pe$o A. Per laqual co$a egli è me$tieri che $empre la data po$-</I> <pb n=53> <I>$anza $ia maggiore del pe$o A. Sia dunque la po$$anza data, come cento cin-</I> <marg><I>Per il</I> 2. <I>corollario della</I> 3. <I>di questo.</I></marg> <I>quanta. Diuida$i BC in D $i fattamente che CB $ia à BD come cento cin- quanta à cento, cioè tre à due: & $e la po$$anza $arà po$ta in D, egli è chiaro, che la po$$anza in D $o$ter- rà il pe$o A appiccato i<*> C.</I> <marg><I>Per la</I> 3. <I>di questo.</I></marg> <I>& co$i prenda$i tra DC qual $i voglia punto, come E, & ponga$i la po$$aaza mouente in E, & per e$$ere proportion maggiore da EB à BC, che da DB à BC; haurà EB proportione mag giore à BC, che il pe$o A</I> <marg><I>Per la</I> 8. <I>del quinto.</I></marg> <fig> <I>alla po$$anza in E. Dunque la po$$anza di cento cinquanta po$ta in E mouerà il pe$o A di cento appiccato in C con la leua BC che hà il $o$tegno B. come bi-</I> <marg><I>Per la</I> 11. <I>di questo.</I></marg> <I>$ognaua oprare.</I> <HEAD>COROLLARIO.</HEAD> <p>Di qui è manife$to, $e la data po$$anza $arà maggiore del dato pe$o, que$to poter$i fare, ouero $tando in maniera la leua, che il $o$tegno $uo $ia fra il pe$o, & la po$$anza; ouero che el- la habbia il pe$o fra il $o$tegno, & la po$$anza; ouero alla fine e$$endo po$ta la po$$anza fra il pe$o, & il $o$tegno. <p>Ma $e la data po$$anza $arà minore, ouero eguale al dato pe$o, egli è parimente chiaro, che il mede$imo $i puote mandare ad e$ecutione $olamente $tando la leua in maniera, che il $o$te- gno $uo $ia tra il pe$o, & la po$$anza; ouero che ella habbia il pe$o fra il $o$tegno, & la po$$anza. <HEAD>PROPOSITIONE XIII.</HEAD> <HEAD>PROBLEMA.</HEAD> <p>Dati quanti $i vogliã pe$i appiccati douunque $i $iano nella leua il cui $o$tegno parimente $ia dato, ritrouare vna po$$anza la quale $o$tenga i dati pe$i in vn punto dato. <foot><I>O</I></foot> <pb> <p><I>Siano i dati pe$i ABC nella leua DE, & il $o$tegno $uo F, douunque ne' pun- ti DGH $iano appiccati, & habbia$i à collocare la po$$anza nel punto E. egli è me$tieri trouare la po$$anza, laquale $o$tenga in E i dati pe$i ABC con la le ua DE. diuida$i DG in K $i fattamente, che DK $ia à KG come il pe- $o B al pe$o A; dapoi diuida$i KH in L $i fattamente, che KL $ia ad LH come il pe$o C à i pe$i BA, & come FE ad FL, co$i $accian$i i pe$i ABC</I> <fig> <I>tutti in$ieme alla po$$anza, laquale ponga$i in E. dico, che la po$$anza in E. $o-</I> <marg><I>Per la</I> 1. <I>di questo.</I></marg> <I>$tenterà i dati pe$i ABC appiccati in DGH con la leua DE che ha il $o$te-</I> <marg><I>Per la</I> 5. <I>di questo della bilancia.</I></marg> <I>gno $uo F. Hor percioche $e i pe$i ABC $o$$ero appiccati in$ieme in L, la po$ $anza in E $o$terrebbe i dati pe$i appiccati in L; ma i pe$i ABC pe$ano tan- to in L, quanto $e C in H, & BA in$ieme $o$$ero appiccati in K; & AB</I> <marg><I>Per la</I> 2. <I>di questo.</I></marg> <I>nel K tanto pe$ano, quanto $e A in D, & B in G fo$$ero appiccati; dun- què la po$$anza in E $o$tenterà i dati pe$i ABC appiccati in DGH con la leua DE che ha il $o$tegno F. Che $e la po$$anza haue$$e ad e$$ere po$ta in qual $i voglia altro punto dalla leua DE fuor che in F, come in K; faccia$i come FK ad FL, co$ii pe$i ABC $iano alla po$$anza: $imilmente dimo$treremo, che la po$$anza in K $o$terrà i pe$i ABC ne' punti DGH appiccati. come bi$ognaua fare.</I> <p><I>Da que$ta, & dalla quinta di que$to, $e i pe$i ABC $aranno po$ti in qual $i voglia modo nella leua DE, & che bi$ogni ritrouare la po$$anza, la quale debba $o$te- nere in E i dati pe$i $iano tirate da i centri delle grauezze de i pe$i le linee AB C à piombo de gli orizonti, lequali taglino la leua DE ne' punti DGH; &</I> <pb n=54> <I>$i operino le altre co$e nell'i$te$$o modo: egli è manife$to, che la po$$anza in E,</I> <fig> <I>ouero in K $o$tenterà i dati pe$i, percioche egli è l'i$te$$o come $e i pe$i fo$$ero appiccati in DGH.</I> <HEAD>PROPOSITIONE XIIII.</HEAD> <HEAD>PROBLEMA.</HEAD> <p>Fare che vna data po$$anza moua quanti pe$i $i vogliano, po$ti douunque, & in qualunque modo $i $ia in vna data leua. <p><I>Sia la data leua DE, & $iano i dati pe$i, come è po$to nel precedente corollario, & $ia A come cento, B come cinquanta, & C come trenta; & la data po$$an- za $ia come trenta. $iano po$te le co$e mede$ime, & ritroui$i il punto L; dapoi</I> <fig> <I>diuida$i LE in F, $i $attamente che FE ad FL $ia come cento ottanta à trenta, cioè $ei ad vno, & $e F $i face$$e $o$tegno, la po$$anza come trenta</I> <foot><I>O</I> 2</foot> <pb> <marg><I>Per la</I> 13. <I>di questo.</I></marg> <I>in E $o$terrebbe i pe$i ABC. pigli$i dunque tra LF qualunque punto come M, & faccia$i M il $o$tegno: egli è manife$to, che la po$$anza po$ta in E co-</I> <fig> <marg><I>Per la</I> 11. <I>di questo.</I></marg> <I>me trenta mouerài pe$i ABC come cento ottanta con la leua DE. che bi$o- gnaua mo$trare.</I> <p><I>Ma ciò non potremo già vniuer$almente menare ad ef$etto, $e il $o$tegno $o$$e nelle $tremità della leua, come in D; peroche la proportione di DE à DL, cioè la proportione de' pe$i ABC alla po$$anza, laquale ha da $o$tenere i pe$i $empre è data. Laqual co$a molto meno anco $i potrebbe fare, $e la po$$anza $i haue$$e à porre tra DL.</I> <HEAD>PROPOSITIONE XV.</HEAD> <HEAD>PROBLEMA.</HEAD> <p>Ma percioche mentre i pe$i $i mouono con la leua, ha la leua an- cora grauezza, della quale infin qui non $i è fatto mentione alcuna: però dimo$triamo primieramente in che modo $i tro ui la po$$anza, la quale $o$tenga nel dato punto la leua data, il cui $o$tegno $ia parimente dato. <p><I>Sia la leua data AB, il cui $o$tegno C $ia dato: & $ia il punto D nelquale $i hab bia à collocare la po$$anza, che debba $o$tentare la leua AB, $i $attamente che re$ti immobile. $ia dal punto C tirata la linea CE à piombo dell'orizonte la quale diuida la leua AB in due parti AE EF; & della parte AE $ia il centro G della grauezza, & della parte EF il centro del'a grauezza $ia H, & dai punti GH $iano tirate le linee GK HL à piombo de gli orizonti, le</I> <pb n=55> <I>quali taglino la linea AF ne' punti KL. Hor percioche la leua AB è diui- $a dalla linea CE in due parti, cioè AE EF; però la leua AB, niente altro $arà, che due pe$i AE EF nella leua, ouero bilancia AF po$ti; il cui appicca mento, ouero $o$tegno è C. Per laqual co$a i pe$i AE EF $aranno co$i po$ti,</I> <fig> <I>come $e fo$$ero appiccati in KL. Diuida$i dunque KL in M, $i fattamente, che KM $ia ad ML come la grauezza della parte EF alla grauezza della parte AE; & come CA à CM, co$i $accia$i la grauezza di tutta la leua AB alla po$$anza, laquale $e in D $arà collocata (pur che DA $ia à piombo</I> <marg><I>Per la</I> 13. <I>di questo.</I></marg> <I>dell'orizonte) pe$erà egualmente con la leua; cioè $o$terrà la leua AB premendo in giù, che bi$ognaua trouare.</I> <p><I>Che $e la po$$anza $i haue$$e à porre nel punto B. Faccia$i come CF à CM, co$i il pe$o AB alla po$$anza. Con $imile modo prouera$$i che la po$$anza in B $o$terrà la leua AB. & l'i$te$$o d mo$trera$$i in qualunque altro $ito s'haue$- $e à porre la po$$anza, (fuor che in E) come in N. peroche faccia$i CO à CM come AB alla po$$anza, laquale $e $i porrà in N $o$tenterà la leua AB.</I> <p>Ma aggiunga $i il pe$o appiccato, ouero po$to nella leua; come, po$te le co$e i$te$fe, fia il pe$o P appiccato in A; & la po$- $anza s'habbia à porre in B, $i fattamente che $o$tenghi la le ua AB in$ieme col pe$o P. <p><I>Diuida$i AM in Q, $i $attamente, che AQ $ia à QM, come la grauezza</I> <marg><I>Per la</I> 13 <I>di questo.</I></marg> <I>della leua AB alla grauezza del pe$o P; dapoi come CF à CQ, co$i fac-</I> <marg><I>Per la</I> 6. <I><*> Archirnc<*> dells col che egual meiue pe$e no.</I></marg> <I>cia$i la grauezza AB, & P in$ieme alla po$$anza, la quale ponga$i in B: e<*>li è manife$to, che la po$$anza in B $o$terrà la leua AB in$ieme co'l pe$o P. Che $e fo$$e CA à CM, come AB à P; $arebbe il punto C il loro centro della grauezza, & perciò la leua AB in$ieme co'l pe$o P $enza la po$$anza po$ta in <pb> B $tarà $erma. Ma $e il centro della grauezza de' pe$i fo$$e tra CF, come in O. Faccia$i come CF à CO, co$i AB & P in$ieme alla po$$anza, laqua- le in B $o$tenterà sì la leua AB come il pe$o P.</I> <fig> <p><I>Similmente mo$trera$$i il mede$imo $e fo$$ero più pe$i nella leua AB douunque, & in qual modo $i $ia di$po$ti.</I> <p><I>Oltre à ciò da que$te co$e $i puote cono$cere, come nella decimaquarta propo$itione di que$to habbiamo in$egnato, in che modo cioè po$$iamo mouere i dati pe$i po$ti do uunque $i voglia nella leua, con vna data po$$anza, e con vna data leua, ilche po$- $iamo fare nell'i$te$$o modo non $olamente con$iderando la grauezza della leua; ma anco gli altri accidenti, iquali $ono $tati di $opra mo$trati $enza la grauezza del- la leua; con $imile modo con$iderata la grauezza della leua in$ieme co' pe$i, ouero $enza pe$i $i mo$treranno.</I> <HEAD>IL FINE DELLA LEVA.</HEAD> <pb n=56> <fig> <HEAD>DELLA TAGLIA.</HEAD> <fig> <p>Con l'in$trumento della Taglia $i può mouere il pe $o in molti modi: ma percioche in tutti è la ragio- ne mede$ima: però affine che la co$a re$ti più chia- ra, intenda$i in quello che $i ha da dire, che il pe- $o $empre $i habbia da mouere all'insù ad angoli retti al piano dell'orizonte in que$to modo. <p><I>Sia il pe$o A ilquale $i habbia ad alzare in sù ad angoli retti al piano dell'orizonte: & come $i co$tuma di fare: $ia aitaccata di $opra vna taglia, che habbia due girelle, gli a$$etti de<*>lequali $iano in BC: & $ia anche legata vn'altra taglia al pe$o, laquale $imilmente habbia due girelle, gli a$$etti delle qua- li $<*>no in DE: & per tutte le girelle d'ambedue le taglie $ia condo<*>a intorno la corda, la- quale in vno de i capi, come in F deue e$$ere legata. Ponga$i ancorala po$$anza che moue in G, laquale mentre di$cende, il pe$o A per lo contrario $arà le- uato in $u$o, $i come afferma Pa po nell'ottauo libro delle rac- colte matematiche, & Vitruuio nel decimo dell'architettura, & altri.</I> <fig> <p>Hor in che modo que$to in$trumento della ta- glia $i riduca alla leua, & perche vn pe$o gran- de $i moua da piccola forza, & in qual modo, & in quanto tempo; & perche la corda debba e$$ere legata da vn ca- po: & quale debba e$- $ere l'officio della ta- glia, che è po$ta di $ot- to, & quale di quella, che $tà di $opra, & in che modo $i po$$a tro- uare ogni proportio- ne data ne i numeri tra la po$$anza, & il pe$o, diciamo. <pb n=57> <HEAD>LEMMA.</HEAD> <p>Siano due linee rette AB CD egualmente di$tanti, lequali tocchino il cerchio ACE ne' punti AC, il centro delqual cerchio $ia F, & $i congiunghino FA & FC. dico chela linea AFC è retta. <p><I>Tiri$i la linea FE egualmente di$tante dal-</I> <marg><I>Per la</I> 18. <I>del terzo.</I></marg> <I>le linee AB CD. Et percioche AB & FE $ono egualmente di$tanti, &</I> <marg><I>Per la</I> 29. <I>del primo.</I></marg> <I>l'angolo BAF èretto: $arà anco A FE retto, & all'ifte$$o modo CFE $a</I> <marg><I>Per la</I> 14. <I>del primo.</I></marg> <I>rà retto: adunque la linea AFC èret- ta, ilche s'hauea à dimo$trare.</I> <fig> <HEAD>PROPOSITIONE I.</HEAD> <p>Se la corda $i condurrà intorno alla girella della taglia, che $ia attaccata di $opra, & che vno delli $uoi capi $i leghi al pe$o, & l'altro tratanto $ia pre$o dalla po$sanza, che $o$tiene il detto pe$o; la po$sanza $arà eguale al pe$o. <foot><I>P</I></foot> <pb> <p><I>Sia il pe$o A alquale venga legata la corda à B: & la taglia, che habbia la girella CEF il cui centro D appicchi$i di $opra: & $ia parimente D il centro dell'a$ $etto, & d'intorno alla girella volga$i la corda BCEFG: & $ia in G la po$- $anza, che $o$tiene il pe$o A. Dico la po$$anza po$tain G e$$ere eguale al pe- $o A. $ia FG egualmente di- $tante da CB. Percioche dū- que il pe$o A $ta fermo, $a-</I> <marg><I>Per la</I> 8. <I>di questo della bilancia.</I></marg> <I>rà CB à piom bo del piano dell'orizonte.</I> <marg><I>Per la <*>ta <*>a dell'vndecimo.</I></marg> <I>onde FG $a- rà al piano i$te$$o à piom- bo. Siano i punti CF nel- la girella, da quali le corde CB FG $cen dano nel pia- no dell'orizon te ad angoli retti, tocche- ranno le dette corde BC FG la girella CE</I> <fig> <I>F ne'punti CF peroche non po$$ono $egare la girella. Siano congiunte le li-</I> <marg><I>Per la</I> 18. <I>del terzo.</I></marg> <I>nee DC DF. $arà retta la linea CF & $aranno anche retti gli ang oli DCB DFG. Ma percioche BC $ta à piombo sì all'orizonte, come ad e$$a CF $arà</I> <marg><I>Per la</I> 28. <I>del primo.</I></marg> <I>la detta CF egualmente di$tante dall'orizonte. & concio$ia che il pe$o $ia attac- cato in CB & la po$$anza $ia in G ch'è il mede$imo, come $e ella fo$$e in F:</I> <marg><I>Per la</I> 1. <I>del</I> 1. <I>d'Archimede delle co$e che pe$ano egual mem<*>:.</I></marg> <I>$arà CF tanto quanto vna bilancia, ouero vna leua, il cui centro, ouero $o$tegno $arà D, imperoche la girella è $o$tenuta nell'a$$etto, & il punto D per e$$ere centro dell'a$$etto, & della girellarimane immobile, $eben l'vno, & l'altro $ivol gono intorno. Per laqual co$a e$$endo la di$tanza DC eguale alla di$tanza DF, & la po$$anza che è in F contrape$i egualmente al pe$o A attaccato in C $o- $tenendo il pe$o in modo, che non cala al ba$$o, $arà la po$$anza a$$egnata in F oue ro in G che è tutt'vno, eguale al pe$o A: percioche po$ta in G fal'i$te$$o effet to che $e nel mede$imo G $o$$e appiccato vn'altro pe$o eguale al pe$o A, liquali pe$i attaccati in CF contrape$erann<*> egualmente. Oltre à ciò non facendo$i moto</I> <pb n=58> <I>in niuna delle parti, $arà l'i$te$$o e$$endo circondata in que$to modo la girella intor- no con vna corda $ola BC e FG come $e $u$$ero due corde BC FG legate alla leua, ouero alla bilancia CF.</I> <HEAD>COROLLARIO.</HEAD> <p>Da que$to può e$$ere manife$to, che il mede$imo pe$o dalla i$te$- $a po$$anza puote e$$ere tuttauia $o$tenuto $enza anche alcu- no aiuto di que$ta taglia. <p><I>Percioche $ia il pe$o H eguale al pe$o A à cui $ia legata la corda KL & $iala po$$anza, che $o$tiene il pe$o H in L. Hor concio$ia che volendo $o$tenere al- cun pe$o $enza aiuto veruno vi bi$ogni tanta forza, quanta $ia eguale al pe$o; la po$$anza che è in L $arà eguale al pe$o H, ma il pe$o H è po$to eguale al pe$o A, alquale è anco eguale la po$$anza G. $arà dun- que la po$$anza in G eguale alla po$$anza in L che è l'i$te$$o, come $e la i$te$$a po$$anza $o$tene$$e il pe$o mede$imo. Oltre à ciò $e le po$$an ze, lequali $ono in G & in L $o$ $ero eguali fra loro, & poi $epara- tamente dai pe$i minori, è co$a chia ra, che le dette po$$anze non $areb bono $ufficienti à $o$tenere quei pe$i che $e que$te po$$anze $aranno mag giori, egli è manife$to, che e$$e mo- ueranno i pe$i. & co$i la po$$anza in L col pe$o H venirà ad e$$e- re nella proportione mede$ima, co- me la po$$anza in G col pe$o A.</I> <fig> <p><I>Ma perche nella dimo$tratione è $tato pre$uppo$to che l'a$$etto $i volga in torno, ilquale il più delle volte $tà immobile, però $tando anche immobile il detto a$$etto dimo$tri$i li$te$$o.</I> <foot><I>P</I> 2</foot> <pb> <p><I>Sia la girella della taglia CEF, il cui centro $ia D, & $ia l'a$$etto GHK, il cen- tro delquale $ia mede$imamenie D: Tiri$i il diametro CGDKF egualmente di$tante dall'orizonte. et percioche mē tre la girella $i volge, la circonferenza del cerchio CEF $empre va egual- mente di$tante alla circonferenza del- l'a$$etto GHK: percioche ella $i volge intorno à l'a$$etto, & le circonfe renze de' cerchi egualmente di$tanti hanno il centro mede$imo, $arà il pun- to D $empre centro & della girella, & dell'a$$etto. Per laqual co$a e$$en- do DC eguale à DF & DG ad e$$o DK, $arà GC ad e$$o KF egua le. Se dunque nella leua, ouero bilan- cia CF $i attaccheranno pe$i eguali, contrape$eranno egualmente, peroche la di$tanza CG è eguale alla di$tan- za KF, & l'a$$etto GHK immobi le $erue per centro, ouero per $o$tegno. Stando dunque immobile l'a$$etto, $e la po$$anza $i metterà in F che $o$tenga il pe$o appiccato in C, $arà la po$$anza in F ad e$$o pe$o eguale, ilche era da mo$trare.</I> <fig> <p><I>Et concio$ia che del tutto $ia il mede$imo, che l'a$$etto ouero $i volga intorno, ò non $i volga: però $ialecito nelle co$e, che $i hanno à dire, prendere in loco dello a$$etto il centro $olamente.</I> <HEAD>PROPOSITIONE II.</HEAD> <p>Se la corda $i condurrà intorno alla girella della taglia, che $ia legata al pe$o, legando l'vn de' capi $uoi in qualche loco, & l'altro $ia pre$o dalla po$$anza, che $o$tiene il pe$o, $arà la po$- $anza la metà meno del pe$o. <p><I>Sia il pe$o A. $ia BCD la girella della taglia legata al pe$o, il cui centro $ia E, $ia dapoi inuolta d'intorno la girella la corda FBCDG, & legata in F, & $ia la po$$anza in G che $o$tiene il pe$o A. Dico che la po$$anza in G è la metà meno del pe$o A. Siano le corde FB GD perpendicolari all' orizonte del pun</I> <marg><I>Per la $esta dell'vndecimo.</I></marg> <I>to E, lequali $aranno fra loro egualmente di$tanti: & tocchino le dette corde FBGD, il cerchio BCD ne i punti BD: congiunga$i la linea BD ella pa$-</I> <pb n=59> <I>$erà per E centro, & $arà egualmente di$tante dall'orìzonte di e$$o centro, &</I> <marg><I>Per la procedense.</I></marg> <I>concio$ia che la G po$$anza debba $o$tenere il pe$o A con la taglia; bi$ogna, che la corda $ia legata dal'vno de' capi, come in</I> F, <I>$i fattamente, che F fac- cia re$i$tenza egualmente almeno alla po$$anza, ch'è in G, altramente e$$a po$$an zain G non potrebbe à modo alcuno $o$tenere il pe$o. Et perche la po$$anza</I> <fig> <I>$o$tiene la girella mediante la corda, & la girella $o$tiene la parte re$tante della taglia mediante l'a$$etto, allaqual taglia il pe$o è appiccato, pe$erà que$ta parte del- la taglia nell'a$$etto, cioè nel centro E: onde il pe$o A pe$erà $imilmente nel me de$imo centro E, come $e egli fo$$e appiccato in E. Po$ta dunque la po$$auza che stà in G doue è D (perche egli è totalmente il mede$imo) $arà BD come vna lèua, il cui $o$tegno $arà B, & il pe$o attaccato in E, & la po$$anzain D: & e$$endo la corda FB immobile, conueneuolmente il B puote $eruire per $o- $tegno. Ma ciò più chiaramente apparerà dapoi. Hora percioche la po$$anza al</I> <marg><I>Per la</I> 8. <I><*> questo nella leua.</I></marg> <I>pe$o ha la proportione mede$ima, che hà BE à BD, & BE in proportione è la metà manco di BD: dunque la po$$anza che è in G $arà la metà meno del pe$o A. Che bi$ognaua dimo$trare.</I> <p><I>Que$to dunque $tà nell'i$te$$o modo con vna corda $ola FBCDG condotta intor- no alla girella, come $e $o$$ero due corde BF GD legate alla leua BD, il cui</I> <fig> <I>$o$tegno $arà B, & il pe$o fo$$e attaccato in E & la po$$anza, che lo $o$tiene $o$$e in D, ouero in G che è l'iste$$o.</I> <HEAD>COROLLARIO I.</HEAD> <p>Da que$to dunque è manife$to, che il pe$o è $o$tenuto à que$to modo da po$$anza minore in proportlone della metà meno, di quel che $arebbe $enza aiuto veruno di cotale taglia. <pb n=60> <p><I>Come $ia il pe$o H eguale al pe$o A, alquale $ia lega- tala corda KL, & la po$- $anza, che è in L $o$ten- gail pe$o H, $arà la po$- $anza in L $eparatamente eguale al pe$o H, & al pe$o A; ma la po$$an- za, che è in G in propor- tione è la metà manco del pe$o A. Per laqual co$a la po$$anzache è in G $a- rà la metà meno in propor- tione della po$$anza, che è in L, & in que$to modo ne gli altri tutti di que$ta maniera $i potrà ritrouare la proportione.</I> <fig> <HEAD>COROLLARIO II.</HEAD> <p>Egli è manife$to ancora, $e $aranno due po$$anze l'vna in G & l'altra in F, lequali $o$tengano il pe$o A, che l'vna, & l'al- tra in$ieme $aranno eguali al pe$o A, & cia$cheduna di loro $o$terrà la metà del pe$o A. <p><I>Et que$to è mani$e$to dal terzo & dal quarto corollario del $econdo di que$tonel trat. tato della leua.</I> <HEAD>COROLLARIO III.</HEAD> <p>Oltre à ciò que$to parimente $i fa noto, perche cioè la corda debba e$$ere legata nell'vno de' capi. <HEAD>PROPOSITIONE III.</HEAD> <p>Se à cia$cuna dell'vna, & l'altra girella delle due taglie, l'vna del le quali $ia po$ta di $opra, & l'altra di $otto, & que$ta $ia lega- ta al pe$o; $arà condotta intorno la corda: legando l'vno de' capi in qualche loco, & l'altro $ia tenuto dalla po$$anza, che $o$tiene il pe$o, $arà la po$$anza la metà meno del pe$o. <p><I>Sia il pe$o A, $ia BCD la girella della taglia, che $ia legata al pe$o A, il cui centro $ia K, & EFG $ia la girella della taglia appiccata di opra, il cui cen- tro $ia H, dapoi $ia condotta intorno le girelle la corda LBCDMEFGN laquale $ia legata in L, & $ia la po$- $anza, che $o$tiene il pe$o A in N. Dico la po$$anza, che $ta in N e$$e- re la metà meno del pe$o A. Percio- che $e la po$$anza, che $o$tiene il pe$o</I> <marg><I>Per la</I> 8. <I>di questo.</I></marg> <I>A fo$$e collocata doue $ta M, $areb- be per certo la po$$anza in M la metà</I> <marg><I>Per la</I> 1. <I>di questo.</I></marg> <I>meno del pe$o A: & alla po$$anza in M è eguale la forza di N, percioche egli è come $e la po$$anza in M $o$te- ne$$e la metà del pe$o A $enza taglia, alquale egualmente contrape$a il pe$o che è in N per e$$ere eguale alla metà del pe$o A. Per laqual co$ala forza in N che è alla metà del pe$o A eguale, $o- $tenirà e$$o A. La po$$anza dunque in N che $o$tiene il pe$o A, è la metà meno di e$$o A. che bi$ognaua mo. <*>rare.</I> <fig> <pb n=61> <p><I>Ma $e, come nella $econda figura, la cor da BCDEFGHKL $arà inuolta d'intorno à le girelle, & legata in B: & la po$$anza in L $o$tenga il pe$o A, $arà $imilmente la po$$an za in L la metà meno del pe$o: Peroche la girella della taglia di $o- pra, & la taglia i$te$$a $ono del tut- to inutili: & è il mede$imo, come $e la corda fo$$e legata in F, & che la po$$anza in L $o$tene$$e il pe$o con la $ola taglia legata al pe$o, la qual po$$anza è $tata dimo$trata e$- $ere la metà meno del pe$o A.</I> <fig> <HEAD>COROLLARIO.</HEAD> <p>Seguita da que$te co$e, che $e $aranno due po$$anze in BL, am- bedue tra loro $aranno eguali. <p><I>Perciocheogn'vna di loro da per $e è la metàmeno di e$$o A.</I> <foot><I>Q</I></foot> <pb> <HEAD>PROPOSITIONE IIII.</HEAD> <p>Sia la leua AB, il cui $o$tegno $ia A, laqual leua $ia diui$a in due parti eguali in D, & $ia il pe$o C appiccato in D, & $iano due po$$anze eguali in BD, che $o$tengano il pe$o C. Dico, che ogn'vna di que$te po$$anze po$te in BD è vn ter- zo del pe$o C. <p><I>Hor percioche vna delle due po$$anze è collocata in D, & il pe$o C $tà appiccato all'i$te$$o punto D. La po$$anza in D $o$ienirà la parte del pe$o C, che $arà eguale ad e$$a po$$an- za D. Per laqual co $ala po$$anza in B $o $tenirà l'altra parte re $tante, laqual parte $a rà il doppio tāto, quan to è la po$$anza di B, e$$endo che il pe$o ver $o la po$$anza ha la proportione i$te$$a, che</I> <fig> <I>ha AB ad AD: & le po$$anze po$te in BD $ono eguali, adunque la po$- $anza, che è in B $o$tenirà il doppio più di quello, che $o$tenirà la po$$anza, che è in D. Diuida$i dunque il pe$o C in due parti, l'vna delle quali $ia il doppio del- l'altra: ilche $i farà, $e lo diuideremo in tre parti eguali EFG, & all'hora FG $arà il doppio di E. Co$i la po$$anzain D $o$tenirà la parte E, & la po$$anza in B le altre due parti FG. Ambedue dunque le po$$anze po$te in BD tra loro eguali $o$terrãno in$ieme tutto il pe$o C. & perche la po$$anza in D $o$tie- ne la parte E, laquale è la terza parte del pe$o C, & ad e$$o è eguale, $arà la po$- $anza in D vn terzo del pe$o C: & concio$ia che la po$$anza di B $o$tenga le parti FG, la po$$anza dellequali po$ta in B è la metà meno: $arà la po$$anza in B all'vna delle parti FG, come alla G eguale. & il G è la terza parte del pe$o C. La po$$anza dunque in B $arà il terzo del pe$o C. Cia$cuna delle po$$anze dunque in BD è vnterzo del pe$o C, che bi$ognaua dimo$trare.</I> <pb n=62> <p><I>Et $e fo$$ero due leue AB EF diui$e in due parti eguali in GD, i $o$tegni delle- quali fo$$ero AF, & il pe$o C fo$$e appiccato all'vna, & l'altra leua in DG</I> <fig> <I>$i fattamente, però che pe$a$$e egualmente nell'vna, & l'altra: & $o$$ero due po$- $anze eguali in BG. Si dimo$trerà con ragione in tutto mede$ima, che ogn'vna delle po$$anze po$tein B & G è vn terzo del pe$o C.</I> <HEAD>PROPOSITIONE V.</HEAD> <p>Se all'vna & l'altra, di cia$cuna girella di due taglie, l'vna delle quali $ia po$ta di $opra, & l'altra di $otto, & legata al pe$o; $a- rà condotta intornò la corda, legando vno de'$uoi capi alla taglia di $otto, & l'altro $ia tenuto dalla po$$anza, che $o$tie- ne il pe$o: $arà la po$$anza vn terzo del pe$o. <foot><I>Q</I> 2</foot> <pb> <p><I>Sia il pe$o A, $ia BCD la girella della taglia legata al pe$o A, il cui centro $ia E, & $ia FGH l'altra girella della taglia appiccata di $opra, il cui centro $ia K: $ia condotta intorno alle girelle la corda LFGHBCDM, laquale $ia lega ta alla taglia di $otto in L; & la po$ $anza, che $o$tiene il pe$o A $ia in M. Dico che la po$$anza in M è vn terzo del pe$o A. Siano tirate le li- nee FH BD per li centri KE egual mente di$tanti dall'orizonte, $i come nelle precedenti è detto. Hor percio- che la corda FL $o$tiene la taglia di $otto, laquale $o$tiene la girella nel $uo centro E: $arà la corda di L come po$$anza che $o$tiene la girella, tanto quanto $e fo$$e in e$$o E centro: & la po$$anza di M è come $e $te$$e in</I> <marg><I>Per la</I> 2. <I>di questo</I></marg> <I>D; $i farà dunque DB come leua, il cui $o$tegno $arà B: ma il pe$o A, come di $opra fù dimo$trato, appicca- to in E viene $o$tenuto da due po$- $anze, l'vna po$ta in D, & l'altra in E. & concio$ia, che nel $o$tenere i pe$i $tiano le leue FH BD immobi- li, $e li pe$i $aranno appiccati alle cor-</I> <marg><I>Per la</I> 1. <I>di questo.</I></marg> <I>de FL HB $aranno que$ti i$te$$i egua li, per hauere laleua FH il $o$tegno nel mezo; altramente dall'vna delle parti $i farebbe il mouimento à ba$$o, co$a che tuttauia non accade; Adun- que tanto $o$tiene la corda FL, quan to la HB. Di più percioche dal me- zo della leua BD il pe$o pende at- taccato, però $e fo$$ero due po$$anze in BD che $o$tene$$ero il pe$o, $areb- bon fra loro eguali: & benche la cor-</I> <marg><I>Per la</I> 3. <I>co rollario di questo.</I></marg> <I>da FL $o$tenga e$$a ancora il pe$o, poiche ella $ta in loc<*> de la po$$anza</I> <marg><I>Per la</I> 2. <I>di questo della leua.</I></marg> <I>E, nondimeno percioche $o$tiene da quel mede$imo punto, doue è appicca- to il pe$o, non farà però che le po$-</I> <fig> <I>$anze, lequali $ono in BD non $iano traloro eguali, peroche aiuta tanto all'v- na, quanto all'altra. Ma le po$$anze che $ono in BD $ono le i$te$$e, come $<*></I> <pb n=63> <I>fu$$ero in HM. Per laqual co$a tanto $o$terrà la corda MD quanto la HB: ma co$i $o$tiene HB come FL; adunque la corda MD co$i $o$tenirà, come FL, cioè come $e in D & in L fo$$ero appiccati pe$i eguali. Concio$ia co$a dunque, che pe$i eguali $ian $o$tenuti da po$$anze vguali, le po$$anze in ML $aranno egua li, delle quali è in tutto vna ragione iste$$a, come $e ambedue fo$$ero in DE. Onde, e$$endo che il pe$o A $tia attaccato nel mezo della leua BD, & che due po$$anze po$te in DE $o$tenente il pe$o $iano eguali: $arà B il $o$tegno, & cia$cheduna po$$anza po$ta in DE ouero in ML $arà vn terzo del pe$o A. Adunquela po$$anza in M $o$tenente il pe$o $arà vn terzo del pe$o A. che</I> <marg><I>Per la</I> 4. <I>di questo.</I></marg> <I>bi$ognaua mo$trare.</I> <HEAD>COROLLARIO.</HEAD> <p>Da que$to è manife$to, che ogn'vna delle corde MD FL HB $o$tiene la terza parte del pe$o A. <p><I>Oltre à ciò $e da M $ar à la corda portata intor- no ad vn'altra girella po$ta più $u nella ta- glia, che $imilmente $ia attaccata di $opra, il cui centro $ia N $i fattamente che peruen gain O, & iui $ia tenuta dalla po$$anza; $a rà la po$$anza che in O $o$tiene il pe$o A parimente vn terzo del pe$o. Percioche la corda MD $o$tiene tanto di pe$o, come $e in D fo$$e appiccato il pe$o eguale alla terza</I> <marg><I>Per la</I> 1. <I>di questo.</I></marg> <I>parte del pe$o A, alla quale è pari la po$- $anza in O ad e$$a eguale, cioè vnterzo del pe$o A. La po$$anza dunque in O è vn terzo del pe$o A.</I> <p><I>Et accioche non $i ritorni à dire $pe$$e volte il mede$imo, egli fà me$tiero $apere, che lapo$ $anza in O è $empre eguale à quella, che $tain M. come $arebbe à dire, $e la po$$an- zain M fo$$e vn quarto, ouero vn quinto, ò $imile co$a di e$$o pe$o, la po$$anza parimen te in O $arà vn quarto, ouero vn quinto, & co$i di mano in mano dell'i$te$$o pe$o, nel modo che è di$po$ta la po$$anza di M.</I> <fig> <p>Potrebbbe for$e alcuno dubitare in alcune dimo$trationi delle taglie come in que$ta quinta p<*>opo$itione, tolta da me per e$$empio per e$$ere piu $chietta delle altre, che in fatto con la e$perientia non riu$ci$$ero in proportione le forze a' pe$i, co- <pb n=64> mela ragione dimo$tra; peroche pre$up ponendo $i nelle dimo$trationi matemati che le linee $enza larghezza, & profondità, & co$i le altre co$e imaginando $i $e- parate dalla materia, ageuolmente $i per$uadiamo e$$ere vere come dicono. Ma la e$perientia poi molte volte mo$tra diuer$ità, & $i trouiamo ingannati, facendo la materia gran demente variare le co$e. In que$ta propo$itione $i narra, che rauol gendo d'intorno à due girelle di due taglie vna corda, & quel che $egue, la forza $arà vn terzo del pe$o, cioè $e il pe$o $ara trecento, egli verrà $o$tenuto dalla po$ $anza di cento. Direbbe alcuno ciò e$$ere dubbio$o, peroche le girelle, gli a$$etti $uoi, le funi, & il pe$o della taglia di $otto fanno re$i$tenza alla forza, & grauano sì, che ella non potrà $o$tenere il pe$o. Si ri$ponde che que$te co$e ben farebbo- no re$i$tenza nel mouere il pe$o, ma non già nel $o$tentarlo: & bi$ogna notaro con diligenza che l'autore in que$te dimo$trationi parla $empre del $o$tenere $o- lamente con le forze i pe$i che non calino al ba$$o, non del mouere. Però con- $ideri$i, che quando li pe$i $i hanno da far mouere con le po$$anze, allhora le gi- relle, & gli altri impedimenti faranno re$i$tenza; ma quando $i ha da far $olamen- te che il pe$o $tia fermo, & habbia il $uo contrape$o $emplicemente $enza porre in con$ideratione altri ri$petti, che è officio della po$$anza $o$tenente; all'horz nè le girelle, nè altro danno re$i$tenza veruna, & la proua fondata $u la ragione torna $empre per eccellentia, anzi pare che quanto piu re$i$tenza vi $ia, tanto piu facilmente la forza $o$tenga. Auertendo con tutto ciò, che nel fare la e$perienza bi$ogna hauere riguardo alla taglia di $otto, & alla corda, lequali hanno la $ua grauezza $i fattamente, che $e il pe$o come nell'e$$empio propo$to, $arà trecento libre, & la forza cento, & la taglia di $otto con la $ua fune quattordici, è me$tieri che alla po$$anza di M $i aggiungano quattro libre, & due terzi di forza, ac- cioche po$$a $o$tenere tutto il pe$o, & co$i verrà ad e$$ere in M po$$anza vn ter- zo giu$tamente del pe$o. Ma per $apere quanta forza bi$ogni aggiungere alla po$ $anza, accioche per ri$petto alla taglia di $otto, & alla fune, $o$tenghi il pe$o tut- to, faccia$i que$ta ragione. La taglia di $otto con parte della fune, per gratia di e$$empio, è quattordici libre, il pe$o è trecento, & la po$$anza cento. Hor per la regola detta del tre. Se trecento danno cento, che daranno quattordici? Tro- ueran$i quattro libre, & due terzi da e$$ere aggiunte alla po$$anza di M, per $o$tenere il pe$o A. “Laqual co$a tocca in $o$tanza l'auttore più à ba$$o dicendo.$rdquo; & $i come habbiamo ciò con$iderato nella decimaquinta, & quel, che $egue. ilqual loco bi$ogna intendere in que$ta maniera, che le taglie non $i deuono pigliare ad vn'i$te$$o modo $empre, ma diuer$amente, come graua- no, ilche na$ce dall'e$$ere in vari luoghi, & le po$$anze, & i pe$i collocati, & fer- mate le taglie. Hor nella $econda propo$itione di que$to trattato has$i da inten- dere la po$$anza e$$ere la meta meno del pe$o, prendendo perlo pe$o, & il pe$o, & la taglia di $otto in$ieme, à cui $tà attaccato, come $i vede chiaro nella dimo$tra tione della detta $econda propo$itione, doue $i proua che la po$$anza $o$tiene la gi rella, laquale $o$tiene anche il re$to della taglia nell'a$$etto, alla qual taglia è attac- cato il pe$o, oue $i cono$ce e$pre$$o, che la taglia, & il pe$o s'hanno à pigliare per tutto il pe$o. Per la qual co$a, $e in quel ca$o il pe$o in$ieme con la taglia pe- $eranno vinti, la po$$anza che gli $o$tenterà $arà dieci. Et per vn'altro e$$empio nella nona propo$<*>ione di que$to nel primo ca$o, $e il pe$o con la taglia di $otto pe$eranno vinticinque, la po$$anza $o$tenente $arà cinque. & co$i egli è me$t<*>eri hauer con$ideratione nelle altre, cioè di$tinguere doue è la grauezza della taglia, quando graua di $otto $olamente, come nelle allegate propo$itioni, & $imili: & quando $olamente di $opra, come nelle propo$itioni 17. & 18. & $imili: & quan do ambedue le taglie grauano di $opra, & di $otto, come nelle propo$itioni 20. 22. & 23. & $imili: & quando anche nel'vna taglia, ne l'altra grauano, come nella prima propo$itione & nella 19. anzi in e$$a 19. la taglia di $otto aiuta la po$sãza ad e$$ere piu leggiera: & nel $econdo ca$o dopo il corollario della 16. propo$itione, & $imili. & oltre à ciò deue$i por mente alle corde ancora, la grauezza delle qua- li non hà $empre da e$$ere con$iderata, peroche grauano nelle propo$itioni 15. 17. ma non grauano già nella 19. <p>Ne parmi etiandio che $i habbia ad hauere punto di riguardo alla picciolezza, & grandezza delle girelle po$te nelle taglie, & de gli a$$etti $uoi, credendo che per neces$ità habbiano da e$$ere lauorati con mi$ura tale, & proportione co$i ac<*>u- rata, che mancando da quella non rie$cano le dimo$trationi alla e$perientia; per roche, $i come nota l'autore poco appre$$o, ba$ta che con certa conueneuole mi$n ra, & proportione le girelle nelle taglie $iano maggiori l'vna dell'altra $i fattamen te, che le corde non $i to cchino, & freghino fra loro, & co$i vengano ad impedi re i mouimenti delle po$$anze, & de' pe$i. <HEAD>PROPOSITIONE VI.</HEAD> <p>Siano due leue AB CD diui$e in due parti eguali in EF, li $o$tegni delle quali $iano in BD; & $ia il pe$o G in EF ap piccato all'vna, & l'altra leua $i fattamente, che pe$i dall'vna, & dall'altra egualmente: & $iano due po$$anze in AC egua- li, che $o$tengano il pe$o. Dico, che ogn'vna delle po$$anze in AC è vn quarto del pe$o G. <p><marg><I>Per la</I> 2. <I>di questo nella leua.</I></marg> <I>Concio$ia che le po$$anze po- $te in AC $o$tengano tut to il pe$o G, & la po$$an- za di A ver$ola parte del pe$o, che $o$tiene, $ia come BE à BA, & la po$$an- zain C alla parte di e$$o G pe$o $o$tenuto da lei $ia co$i, come DF à DC, & come BE à BA, co$i è DF à DC: $ar à lapo$$an za po$ta in A ver$o la par te del pe$o, che $o$tiene, co-</I> <fig> <I>me la po$$anza di C ver$o la parte di e$$o pe$o, che $o$tiene: & le po$$anze po$ie in AC $ono eguali; $aranno dunque le parti del pe$o G eguali, lequali $ono $o-</I> <pb n=65> <I>$tenute dalle po$$anze. Per laqual co$a cia$cuna po$$anza po$ta in AC $o$terrà la metà del pe$o G. Mala po$$anza in A è la metà meno del pe$o, che $o$tie- ne; adunque la po$$anza in A $arà per lo mezo della metà, cioè eguale alla quar ta portione del pe$o G; & però $arà il quarto del pe$o G, nè altramente $i di- mo$trerà la po$$anza in C e$$ere vn quarto dell'i$te$$o pe$o G. che bi$ognaua mo$trare.</I> <p><I>Ma $e $aranno tre leue AB CD EF diui$e in due parti eguali in GHK, li $o$tegni delle quali $iano BDF, & il pe$o L $ia nell'i$te$$o modo appicca- to in GHK: & $iano tre po$$anze in ACE eguali, che $o$tengano il pe$o: $i mo$trerà $imil- mente cia$cuna po$$anza e$$ere vn $e$to del pe$o L: & con questo ordi- ne $e fo$$ero quattro le- ue, & quattro po$$anze, cia$cuna po$$anza $arà la ottaua parte del pe$o, & co$i di mano in mano in infinito.</I> <fig> <HEAD>PROPOSITIONE VII.</HEAD> <p>Se à tre girelle di due taglie, l'vna delle quali po$ta di $opra hab bia vna $ola girella, & l'altra di $otto ne habbia due, & $ia lega ta al pe$o; $ia po$ta d'intorno la corda; legando l'vn de' capi $uoi in qualche loco, & l'altro $ia tenuto dalla po$$anza, che $o$tiene il pe$o. La po$$anza $arà vn quarto del pe$o. <foot><I>R</I></foot> <pb> <p><I>Sia il pe$o A: $iano le tre girelle, il centro dellequali $ia BCD: & la girella, il cui centro è D, $ia della taglia appiccata di $opra: ma quelle girelle, il cui centro è in B C $iano della taglia legata al pe$o A: & la corda EFGHKLNOP $ia condotta intorno à tutte le girelle, & legata in E: & $ia la forza che $o$tiene il pe$o A in P. Dicola po$$anza in P e$$ere vn quarto del pe$o A. Siano tirate le linee KL GF ON per li centri delle girelle, $i che $iano egual- mente di$tanti dall'orizonte; le quali per le co $e, che già $ono dette, $aranno come leue. & percioche per cagione della leua, ouero bilan- cia KL, il cui $o$tegno, ouero centro è nel</I> <marg><I>Per la</I> 1. <I>di questo.</I></marg> <I>mezo, tanto $o$tiene la corda KG, quanto la NL non $i $acendo mouimento in niu- na delle parti: Di più per cau$a della leua GF dal cui mezo, come $o$pe$o dipende il pe$o; $e fo$$ero due po$$anze in GF, oue-</I> <marg><I>Per il</I> 2. <I>co rollario della</I> 2. <I>di questo.</I></marg> <I>ro in HE, (percioche $i come è $tato più volte detto, la ragione dell'vno, & dell'al- tro $ito è pari) $arebbono per certo que$te tali po$$anze eguali fraloro. Onde co$i $o- $tiene la corda HG, come EF: $imilmen te $imo$trerà tanto $o$tenere la corda PO, quanto la NL. Per laqual co$a le corde PO KG EF LN $o$tengono egualmen- te. Adunque $o$tiene egualmente sì la cor- da PO, come la KG. Se dunque s'inten- de$$ero e$$ere due po$$anze in OG, ouero in PH, che è il mede$imo, lequali tuttauia $o- $tenghino il pe$o, come $o$tengono le corde, $arebbono per certo eguali: & GF ON baurebbono le $orze di due leue, il $o$tegno delle quali $aranno FN & il pe$o A $a rà appiccato in BC, che è il mezo delle le- ue. & percioche tutte le corde $o$tengo- no egualmente, tanto $o$teniranno le due</I> <fig> <I>PO LN quanto le due KG EF. tanto dunque $o$terrà la leua ON, quan-</I> <marg><I>Per la</I> 6. <I>di questo.</I></marg> <I>to la leua GF. Onde nell'vna, & l'altra leua ON GF pe$erà egualmente il pe$o. $arà dunque ogni po$$anza che è in PH vn quarto del pe$o A. & e$$en</I> <pb n=66> <I>do, che la corda KG $i prenda in loco di po$$anza, come quella, che non $o$tiene altramente di quel che faccia PO, $arà la po$$anza di P, che $o$tiene il pe$o A vn quarto di e$$o pe$o. che bi$ognaua mo$trare.</I> <HEAD>COROLLARIO I.</HEAD> <p>Di qui è manife$to, che cia$cuna corda EF GK LN OP $o- $tiene la quarta parte del pe$o A. <HEAD>COROLLARIO II.</HEAD> <p>E chiaro ancora, che non meno $o$tiene la girella il cui centro è C, di quello che faccia la girella, il centro dellaquale è B. <foot><I>R</I> 2</foot> <pb> <HEAD>Altramente.</HEAD> <p><I>Po$te ancora le co$e mede$ime, $e fo$$ero due po$$anze eguali, che $o$tene$$ero</I> <marg><I>Per la</I> 4. <I>di questo.</I></marg> <I>il pe$o A, l'vna in O, & l'altrain C: $arebbe cia$cuna delle dette po$$in- ze vnterzo del pe$o A. Ma perche la leua GF, il cui $o$tegno è F, è diui$a in due parti eguali nel C. $e dun que $i porrà la po$$anza in G che $o- $tenga l'i$te$$o pe$o, come la po$$anza di C, $arà la po$$anza di G la metà della po$$anza, che fo$$e in C; per- cioche $e la po$$anza di C per $e $te$$a $o$tene$$e il pe$o, che è appiccato in C, $arebbe per certo eguale ad e$$o pe$o; et $e l'i$te$$o pe$o fo$$e $o$tenuto dalla po$ $anza di G, $arebbe il doppio di e$$a G po$$anza, & la po$$anza di C $areb-</I> <marg><I>Per la</I> 3. <I>di questo della leua.</I></marg> <I>be vn terzo del pe$o A; dunque la po$$anza di G $arebbe vn $e$to della po$$anza del pe$o A. Per laqual co $a, e$$endo, che la po$$anza di O $ia vn terzo del pe$o A, & la po$$anza di G vn $e$to: $ara l'vna, & l'altra po$- $anza in$ieme po$te in OG la metà del pe$o A, percioche la terza par- te con la $e$ta $à la metà. Ma per- cioche la po$$anza di OG, ouero di PH, (come prima è detto) $ono fra loro eguali, & l'vna, & l'altra in$ie- me $ono la metà del pe$o A, $arà ogn'vna delle po$$anze po$te in PH vn quarto di e$$o A. Adunque la po$$anza di P che $o$tiene il pe$o A $arà vn quarto di e$$o pe$o A. che era da mo$trare.</I> <fig> <pb n=67> <p><I>Ma $e'la corda $arà legata in E, & $ia dauantaggio inuolta intor no à quattro girelle, et per uenga in P, $imo$trerà $i milmēte, che la po$$anza di P $arà vn quarto del pe$o A; peroche egli è il mede$i- mo, come $e la corda fo$- $e legata in L, & che la po$$anza $o- $tene$$e il pe $o con la cor- da inuolta in torno à tre gi relle $olamen te, i centri delle quali fo$ $ero BCQ, percioche la girella, il cui centro è D, del tutto è inutile.</I> <fig> <HEAD>PROPOSITIONE VIII.</HEAD> <p>Siano due leue AB CD diui$e in due parti eguali EF, i $o- $tegni delle quali $iano AC, & $ia appiccato il pe$o G ne' punti EF all'vna, & l'altra leua, $i fattamente, che dall'vno, & l'altro pe$i egualmente: & $iano tre po$$anze eguali in BD E che $o$tenghino il pe$o G. Dico, che cia$cuna delle det- te po$$anze $eparatamente è vn quinto del pe$o G. <p><I>Percioche il pe$o G $ta appiccato in EF, & $ono le tre po$$anze in EBD egua- li: però la po$$anza di E $o$terrà la parte $olamente del pe$o G, che $arà eguale ad e$$a po$$anza di E, ma le po$$anze di BD $o$terran no la parte re$tante, & la</I> <marg><I>Per la</I> 4. <I>di questa nella leua.</I></marg> <I>parte, che è da B $o$tenu- ta, $arà il doppio di e$$o: ma la parte $o$tenuta da D $a- rà $imilmente il doppio di e$ $o D per cau$a della pro- portione di BA ver$o AE, & di DC ver$o CF. Con cio$ia dunque, che le po$$an-</I> <marg><I>Per la</I> 6. <I>di questo.</I></marg> <I>ze di BD $iano eguali, $a- ranno anche (per quel che di $opra è detto) le parti del pe</I> <fig> <I>$o G, lequali $ono $o$tenute dalle po$$anze di BD, $ra loro eguali, & ogni vna $ar à il doppio di quella tal parte, che è $o$tenuta dalla po$$anza di E. Diuida$i dunque il pe$o G in tre parti, delle quali due $iano fra loro eguali, & di più ogni vna di loro $eparatamente $ia il doppio dell'altra terza parte, ilche accaderà, $e in cinque parti eguali HKLMN $arà diui$o: percioche la parte compo$ta di due parti KL è il doppio della parte H, & la parte ancora di MN è $imilmen- te il doppio della parte i$te$$a H. Per laqual co$a anche la parte KL $arà egua- le alla parte MN. Ma $o$tenga la po$$anza di E la parte di H; & la po$$an za di B le parti di KL: & la po$$anza di D le parti MN; adunque le tre po$$anze eguali po$te in BDE $o$terranno tutto il pe$o G: & ogn'vna delle po$$anze di BD $o$terrà il doppio di quel che $o$tiene la po$$anza di E. Però e$$endo che la po$$anza di E $o$tenga la parte di H, laquale è la quinta parte del pe$o G, & $ia ad e$$o eguale, $arà la po$$anza di E vn quinto del pe$o G. & percioche la po$$anza di B $o$tiene le parti di KL, lequali $ono il doppio & del-</I> <pb n=68> <I>la po$$anza di B, & della parte di H, $arà ancora la po$$anza di B ad e$$o H eguale. Per laqual co$a $arà vn quinto del pe$o G. Ne altrimente $i dimo$tre- rà, che la po$$anza di D è vn quinto del pe$o G. cia$cuna po$$anza dunque in BDE è vn quinto del pe$o G. che bi$ognaua dimo$trare.</I> <fig> <p><I>Che $e $aranno tre leue AB CD EF diui$e in due parti eguali in GHK, i $o$tegni dellequali $iano A CE, & il pe$o L nel mo do i$te$$o $ia appiccato in GHK, & $iano quattro po$$anze eguali in BD FG che $o$tengano il pe- $o L; $i mo$trerà con $imi- gliante modo, che cia$cuna po$$anza in BD FG $a- rà vn $ettimo del pe$o L: & $e quattro fo$$ero le le- ue, & cinque le po$$anze eguali $o$tenenti il pe$o; con l'i$te$$o modo ancora $i mo$trerebbe che ogni vna del- le po$$anze $arebbe vn nono del pe$o, & co$i di mano in mano $ucce$$iuamente.</I> <HEAD>PROPOSITIONE IX.</HEAD> <p>Se à quattro girelle di due taglie, l'vna delle quali $ia po$ta di $opra, & l'altra di $otto legata al pe$o, $ia condotta intorno la corda, legando l'vno de'$uoi capi alla taglia di $otto, & l'al- tro $ia ritenuto dalla po$$anza, che $o$tiene il pe$o. $arà la po$- $anza vn quinto del pe$o. <p><I>Sia il pe$o A, alquale $ia legata la taglia, che habbia due girel- le, i cui centri $iano BC: & $ia la taglia appiccata di $opra, che habbia due altre girelle, i cui centri $iano DE, & la corda $ia tirata intorno à tutte le girelle, laquale $ia legata al- la taglia di $otto in F: & $ia la po$$anza in G che $o$tiene il pe$o A. Dico che la po$$an za di G è vn quinto del pe$o A. Siano tirate le linee HK LM per li centri BC egual- mente di$tanti dall'orizonte, le quali nel modo i$te$$o, che di $opra è $tato detto, dimo$trere- mo e$$ere come leue, i $o$tegni delle quali $ono KM, & il pe $o A pende attaccato nel me- zo BC dell'vna, & l'altra le- ua, & le tre po$$anze LHC, che $o$tengono il pe$o, lequali con $imile modo mo$treremo e$$ere eguali: percioche le corde fanno l'i$ie$$o officio, come $e fo$$ero po$$anze: & percioche il pe$o dall'vna, & l'altra leua HK LM pe$a egualmente, ilche $i dimo$trerà ancora, come nelle precedenti è $tato dimo$trato:</I> <marg><I>Per la</I> 8. <I>di questo.</I></marg> <I>$arà ogni po$$anza po$ta sì in L ouero in G, che è il mede$imo; & sì in H & in C, cioè in F vn quinto del pe$o A. La po$ $anza dunque di G, che $o$tie- ne il pe$o A. $arà vn quinto di e$$o pe$o A. che bi$ognaua mo$trare.</I> <fig> <pb n=69> <p><I>Che $e dauantaggio $i traporterà la cor- da in F d'intorno ad vn'altra girella, il cui centro $ia N, & $ia legata in O, $i prouerà $imilmente per due ragioni, come nella $ettima propo$i- tione di que$to, che la po$$anza di G che $o$tiene il pe$o A, è vn $e$to</I> <marg><I>Per la</I> 6. <I>di questo</I></marg> <I>di e$$o pe$o A. Percioche prima dal le treleue LM HK FP licui $o- stegni $ono in KP, & il pe$o è ap- piccato nel mezo delle leue, & le tre po$$anze po$te in LHF che $o$ten-</I> <marg><I>Per la</I> 8. <I>di questo.</I></marg> <I>gono il pe$o $ono eguali: poi dalle po$ $anze di LHN cia$cuna delle quali $arebbe vn quinto del pe$o A, per- cioche ambedue le po$$anze in$ieme po$te in LH $arebbono $otto doppie $e$ quialtere al pe$o, & la po$$anza di F $arebbe vn decimo, e$$endo la metà di e$$a N. Ma due quinte parti con vna decima parte fanno la metà, la qual metà $e $arà diui$a per tre, ri- $ponderà la $e$ta parte del pe$o à cia- $cuna delle po$$anze po$te in LHF. Dalle quali co$e è manife$to la po$$an- za di G e$$ere vn $e$to del pe$o A; & $i dimo$trerà $imilmente che cia- $cuna girella $o$tiene eguale portione del pe$o.</I> <fig> <foot>S</foot> <pb> <p>In que$to trattato della taglia, $i come in tutti gli altri an cora, l'autore pre$uppone, che qualunque per$ona $i mette à leggere il $uo libro delle Mechaniche $ia inten- dente di numeri, & di Geometria, & però ha $empre mantenuto quello accurato $tile, & dimo $tratiuo co$tumato da buoni Matematici, v$ando i vocaboli proprij della $cienza, alcuni de' quali io hò ben potuto volgarizare facilmente, $i che ogn'vno gli po$$a intendere, come per e$$empio, nelle proportioni duplum, tri- plum, quadruplum, & gli altri $imili, ponendo in vece loro due volte tanto, tre volte tanto, & quattro volte tanto: & co$i per 'oppo$ito $ub duplum, $ubtriplu, & $ub quadruplum, la metà, vn terzo, & vn quarto: & parimente $e$quialterum, $e$quitertium, & $e$quiquartum, & gli altri $imili, che vogliono dire vna volta & meza, vna volta, & vn terzo, & vna volta & vn quarto. Que$ti dico s'hanno po tuto ben dire, & facilmente nella no$tra lingua. Ma nell'ampiezza delle propor- tioni trouando$i altri vocaboli a$$ai, i quali non è pos$ibile co$i adattare alla no- $tra lingua, tra quali alcuni $i trouano po$ti dall'autore in que$to trattato della ta glia, & io $ono $tato sforzato à la$ciargli co$i, come erano, per mancamento di pa role, che nella no$tra fauella gli po$$ano e$primere; hò giudicato douer e$$ere co $a vtile il dichiarare tuttii predetti vocaboli pertinenti alle proportioni, che ha il pe$o alla po$$anza, & la po$$anza al pe$o $critti dall'autore in que$to trattato della taglia, accio che quelle per$one lequali non po$$edono que$ti termini, non habbia no fatica di andare $tudiando iloro $ignificati. <p>Dico dunque vna quantità poter$i paragonare, & hauere proportione con vn'altra in tre modi principali, la$ciando hora le più $ottili di$tintioni. Primieramente come maggiore ver$o la minore, dapoi come minore ver$o la maggiore, & in fi- ne come eguale ver$o la eguale. Tutta la dottrina delle'proportioni, con$i$te in que$ti riguardi, cioè dal maggiore al minore, dal min ore al maggiore, & dall'e- quale all'equale. Hor quando vna quantità, che $ia maggiore è paragonata con vn'altra, che $ia minore, che $i dice proportione di maggiore di$uguaglianza, na- $cono cinque generi di proportioni, l'vno è il moltiphce $chietto, il $econdo è il $opraparticolare, il rerzo il $o prapartiente, il quarto il moltiplice $opraparticola- re, & il quinto & vltimo il moltiplice $oprapartiente. Ma quando $i fa compara- tione della minore quantità ver$o la maggiore, all'hora $i producono cinque altri generi oppo$ti apunto à i predetti cinque, & $i dicono di minore di$uguaglian- za, à i quali per fargli differenti da loro $i aggiunge da Latini il $ub, cioè $otto, $criuendo$t $otto moltiplice, $otto$opra particolare, $otto $oprapartiente, $otto moltiplice $opra particolare, & $otto moltiplice $oprapartiente. Tutte le propor- tioni dunque $ono compre$e in vniuer$ale da que$ti diece generi oppo$ti fra $e l'vn l'altro, cia$cheduno de quali poi ha le $ue $petie differenti di proportioni. Ma io non hò qui intentione di numerarle, nè dichiarare diffu$amente que$ta materia delle proportioni, ma $olamente li vocaboli po$ti dall'autore nel pre$ente libro della taglia, ba$tando mi hauerne dato in generale vna rozza cognitione. Ma chi di ciò de$idera hauere intero cono$cimento legga tra i $crittori della lingua Ita- liana Fra Luca dal Borgo, il Tartaglia ne i libri della Arithmetica, & il dottis$imo Zarlino nella prima parte delle In$titutioni Harmoniche. Dice l'autore in que$to loco. Percio che $arebbono ambedue le po$$anze infieme in LH $otto doppie $e$quialtere di e$$o pe$o. Cioè le due po$$anze po$te in LH haurebbono quella proportione ver$o il pe$o, che ha 2. à 5. cioè $e il pe$o fo$$e come cinque, le po$- $anze larebbono come 2. che è la proportione $otto dop pia $e$quialtera. Segue <pb n=70> poi, Ma due quinte con vna decima fanno la me tà, cioè à $ommare in$ieme due quinti, & vn decimo fanno la metà di cinque, pero che li due quinti $ono due parti del cinque, & la deci ma parte è la metà di vn quinto, tanto che met- tono in$ieme due, & mezo, che $ono la metà di cin que. Che $e que$ta metà poi $arà diui$a per <*>re, ne riu$cirà la $e$ta parte da e$$ere attribuita à cia$cheduna delle tre po$$anze po$te in LHF. Il modo del diuidere la metà per tre è facile, & fas$i in que$ta maniera ponendo tre di $opra, & vno di $otto; & vno di $opra, & due di $otto cõ la $ua linea nel mezo, come $i co$tuma, & mol- tiplicando il tre intero co'l due denominatore della metà, ne viene 6, alquale di $opra $i ag- giunge vno, & è vn $e$to. <p><I>Che $e come nella terza figura la corda $i allunghe rà in O, & $i condarrà intorno ad vn'altra gi- rella, il cui centro $ia Q, la qual corda poi $i leghi in R alla taglia di $otto; $arà la po$$an- za di G vn $ettimo del pe$o. & co$i proceden do in in$inito, la proportione della po$$anza al pe</I> <marg><I>Per la</I> 8. <I>di questo.</I></marg> <I>$o, quanto $i voglia $otto moltiplice ver$o il pe- $o $i potrà trouare. Dapoi $i mo$trerà $empre, come nelle precedenti, che $e la po$$anza, la- quale $o$tiene il pe$o $arà vn quarto, ouero vn quinto, ouero in qual $i voglia altro modo $arà di$po$ta ver$o il pe$o, che $imilmente cia$cuna corda $o$terrà la quarta, ò la quinta, ouero qual $i voglia altra parte del pe$o, $i come la i$te$$a po$$anza: peroche le corde fanno il mede$imo, come $e fo$$ero tante po$$anze: & le girelle co- me $e fo$$ero tante leue.</I> <p>Sotto moltiplice. Que$to è il primo genere delle proportioni, che $i riguardano dal minore al maggiore, detto di minore di$uguaglianza, il quale $otto di $e tiene a$$ais$ime $petie, & è op- po$to come ho ricordato, al moltiplice. Dice l'autore: & co$i procedendo in infinito $i potrà ritrouare qual $i voglia proportione $otto mol tiplice. Percio che la po$$anza è minore del pe $o, & però ver$o lui ha proportione $otto mol tiplice, come di vno ver$o due, & di due ver- $o quattro per darne e$$empio, & co$i de gli al- tri numeri tali. <fig> <foot>S 2</foot> <pb> <HEAD>COROLLARIO</HEAD> <p>Di qui è manife$to, che le girelle della taglia, allaquale è legato il pe$o, fanno sì, che il pe$o è $o$tenuto da po$$anza minore, di quel che $ia e$$o pe$o, co$a che veramente non fanno le gi- relle della taglia di $opra. <p><I>Egli nondimeno conuiene $apere, che come $uole $ar$i, la girella della taglia di $otto, il cui centro è N, deue e$$ere minore di quella girella, il cui centro è C, & que $ta anche minore di quella, che ha il centro in B: & in $omma $e $aranno più gi relle nella taglia di $otto legata al pe$o, $empre quella girella deue e$$ere maggiore delle altre, che è più vicina al pe$o attaccato: ma al contrario hanno à di$por$i le girelle nella taglia di $opra, ilche $i co$tuma di fare, acciò che le corde fra loro non $i intrichino; peroche in quanto alle girelle, $iano ò grandi, ò picciole, non importa nulla, $eguendone $empre l'i$te$$o.</I> <p><I>Di più è da notare, ilche etiandio dalle co$e dette facilmente appare, che grandi$$ima differenza na$ce trala po$$anza, & il pe$o dal legare la corda ouero in R della ta glia di $otto, ouero in S, percioche $e $i legherà in S, la po$$anza di G $arà vn $e$to del pe$o; ma $e in R vn $ettimo, co$a che non accade alla taglia di $opra: percioche leghi$i la corda, come nella precedente figura, ouero in T, ouero in O, $empre la po$$anza di G $arà vn $e$to di e$$o pe$o.</I> <p><I>Dopo que$te co$e egli è da con$iderare in che modo la forza moua il pe$o, & di più lo $patio, & il tempo della po$$anza, che moue, & del pe$o che è mo$$o.</I> <p>“Di piu egli è da notare ilche etiandio è manife$to dalle co$e dette &c. Qui potreb- be for$e ad alcuno parere difficile in che modo po$$a e$$ere, che dal legare la cor- da in R, ouero in S, come $i vede in que$ta figura, na$ca tanta differenza. Onde noti$i che legando la corda in S, la girella Q re$ta del tutto inutile, & è come $e ella non vifo$$e; & la corda per non e$$ere attaccata in R alla taglia di $otto, ma in S fuori non $o$tiene la taglia, talche la forza di G viene ad e$$ere $olamen te vn $e$to del pe$o. $oggiunge poi ilche non auiene alla taglia di $opra.” Doue auerta$i che mentre $i ha tenuto propo$ito delle lettere S & R, ha bi$ognato guar dare nella qui $opra$critta figura, ma in parlando di TO, egli è me$tieri per in- tendere que$to loco mirare nella figura precedente, che è la $econda della nona propo$itione, peroche iui$ono le lettere TO. La ragione per la quale non na$ca differenza nella po$$anza à legare la corda in T ouero in O, ma $ia tutto vno, è che la taglia di $opra $ta $empre ferma, per modo, che non importa nulla il le- gare la corda in O nella taglia di $opra, ouero in T fuori di e$$a, poiche am- bidue i luoghi $ono immobili, & iui la corda $ta ferma. Lequali tutte co$e l'auto re hà toccato breuis$imamente per e$$ere que$to trattato della taglia lungo, la- $ciando al lettore ancora qualche co$a da $peculare per $e mede$imo. <pb n=71> <HEAD>PROPOSITIONE X.</HEAD> <p>Se la corda $arà inuolta intorno alla girella della taglia applcca- ta di $opra, all'vno de'capi, dellaqual corda $ia attaccato il pe $o, & all'altro po$ta la po$$anza, che moue. La detta po$$anza mo uerà con la leua $empre egualmente di$tante dall'orizonte. <p><I>Sia il pe$o A. $ia la girella della taglia appiccata di $opra, che habbia il centro K. Sia dapoi la corda HB CDEF legata al pe$o A in H, & $ia inuolta d'intor no alla girella; & $ia la taglia per modo appiccata in L, che non habbia alcun altro mouimento $uor che il volgimento libero della girella d'intorno al $uo a$$etto, & $ia la po$$anza in F che moua il pe$o A. Dico, che la po$$anza di F mouerà $empre il pe$o A con la leua egualmente di$tan- te dall'orizonte. $ia tirata la linea BKE egual- mente di$tante dall'orizonte, & $iano i punti BE</I> <marg><I>Per la</I> 2. <I>di questo.</I></marg> <I>doue le corde BH & EF toccano il cerchio: $arà BKE la leua, il $o$tegno dellaquale è nel $uo mezo, che è K, come di $opra è detto. Men- tre che dunque la forza di F inchina al ba$$o ver $o M, la leua EB $i mouerà, mouendo$i tut- ta la girella, cioè volgendo$i attorno. Mentre che dunque F $ta in M $ia il punto E della leua mo$$o fin ad I, & il B $in'al C, di mo- do, che la leua $ia in CI. Dapoi $i faccia la li nea NM eguale ad e$$a FE: & quando il punto E, $arà in I all'hora il punto della cor da, ilquale era in E $arà in N, & quello,</I> <fig> <I>che era in B $arà in C di modo, che tirata la linea CI pa$$erà per lo centro K. Hormentre il B $ta in C $ia il punto H in G, & $arà BH al CBG eguale, e$$endo la mede$ima corda. & percioche mentre EF inchina in MN rimane pur $empre EFM à piombo dell'orizonte, & tocca il cerchio nel punto E di modo, che la linea tirata dal punto E per lo centro K $ia $empre egualmen te di$tante dall'orizonte, ilche mede$imamente auiene alla corda BG & al pun- <pb> to B. Mentre dunque il cerchio, ouero la girella $i volge intorno, $empre $i mo- ue la leua EB, & $em- pre ancora rimane vn'al- tra leua in EB, e$$endo che per natura di e$$a gi- rella, nellaquale $empre, mentre $i moue, re$ti il diametro da B in E, (ilquale è in loco di le- ua) auuiene che parten do$ene vna, $ucceda l'altra $empre, durando però cotale aggiramen- to; & co$i accade, che la po$$anza moua il pe $o $empre con la leua EB egualmente di$tan te dall'orizonte, ilche bi$ognaua mo$trare.</I> <fig> <p>Po$te le co$e i$te$$e, lo $patio della po$$anza, che moue il pe$o, è eguale allo $patio dello i$te$$o pe$o, che è mo$$o. <p><I>Percioche egli è $tato dimo$trato, che mentre F $tà in M, il pe$o A, cioè il punto H è in G: & concio$ia che la corda HBCDEF $ia eguale alla GBCDEN FM per e$$ere la corda i$te$$a: leuata via dunque la commune GBCDENF $arà la HG alla FM eguale, & $imilmente $i mo$trerà la di$ce$a di F e$$ere $empre eguale alla $alita di H. Adunque lo $patio della po$$anza è eguale allo $patio del pe$o. che era da dimo$trare.</I> <p>Oltre à ciò la po$$anza moue il pe$o i$te$$o per i$patio eguale in tempo eguale, tanto con la corda inuolta intorno alla girella della taglia appiccata di $opra, quanto $enza taglia, pur che li mouimenti di e$$a po$$anza in velocità $iano eguali. <pb n=72> <p><I>Stando le co$e i$te$$e, $ia vn'altro pe$o P eguale al pe$o A, alquale $ia legata la cor da TQ à piombo dell'orizonte: & $ia TQ eguale ad e$$a HB: & muoua la po$$anza di Q il pe$o P all'insù ad angoli retti all'orizon te, come $i moue il pe $o A. Dico, che per eguale $patio, & in vno i$te$$o tempo la po$$anza di Q. mo- ue il pe$o P, & la po$$anza di</I> F <I>il pe- $o A: ilche è il me- de$imo, come $e l'i- $te$$o pe$o fo$$e mo$- $o in tempo eguale, $econdo che habbia- mo propo$to. Sia allungata la EF in S, & la TQ in R, & $iano le QRFS fatte eguali non $olo fra $e, ma etiandio ad e$$a BH. Hor concio$ia che le TQ QR $iano eguali ad e$$e HB FS, & la $orza di Q mo- ua il pe$o P per la linea retta TQ R: & dall'altro</I> <fig> <I>canto la forza di F moua A per la retta HB, & le velocità de i mouimenti dell'una, & l'altra po$$anza $iano eguali, all'hor che nell'i$te$$o tempo la po$$anza di Q $arà in R, & la po$$anza di F $arà in S, e$$endo gli $patij eguali: & men tre la po$$anza di Q è in R, il pe$o P, cioè il punto T $arà in Q, per e$$e- rela TQ eguale ad e$$a QR, & mentre che la po$$anza di F $ta in S, il pe- $o A, cioè il punto H $arà in B; ma lo $patio TQ è eguale allo $patio HB: adunque le po$$anze di FQ mo$$e egualmente moueranno i pe$i PA eguali per eguali $patij in tempo eguale. che era da mo$trare.</I> <HEAD>PROPOSITIONE XI.</HEAD> <p>Se la corda $arà inuolta intorno alla girella della taglia legata al pe$o, laqual corda con vno de' $uoi capi $ia legata in qualche luogo, & con l'altro pre$a dalla po$$anza che moue il pe$o; La po$$anza mouerà $empre con la leua egualmente di$tante dal l'orizonte. <p><I>Sia il pe$o A: $ia la girella CED della taglia legata al pe$o A, da KH, & $ia KH ad ango- li retti dell'orizonte, di modo the il pe$o $egua $empre il mo- uimento della taglia, $ia pur fat- to all'insù, ouero all'ingiù, & $ia il centro della girella K, & la corda inuolta intorno alla gi- rella $ia BCDEF, la quale $ia legata in B, di modo che $tia immobile in B<*> & $ia in F la po$$anza, che moue il pe$o A. Dico che la po$$anza di F mo- ue $empre il pe$o A con la le- ua egualmente di$tante dall'ori- zonte. Siano BC EF egual mente di$tanti sì fra loro, come ad e$$a KH, & à piombo al-</I> <marg><I>Per la</I> 1. <I>di questo.</I></marg> <I>l'orizonte della i$te$$a KH, & toccanti il cerchio CED ne i punti EC, & $ia congiunta la EC laquale pa$$erà per lo cen tro K, & $arà egualmente di $tante dall'orizonte, $i come pri- ma è detto. Hor percioche la girella CED $i volge d'intor- no K $uo centro, però mentre la forza di F tira sù il punto E dourebbe di$cendere il punto C & tirare in giù B: mala cor- da po$ta in B è immobile, on- de BC non può di$cendere. Per laqual co$a mentre la po$-</I> <fig> <pb n=73> <I>$anza di F tira sùlo E, tutta la girella $i mouerà in sù, & per con$equenza tut- ta la taglia, & il pe$o; & EKC $arà come leua, il cui $o$tegno $arà C: pero-</I> <marg><I>Per la</I> 2. <I>di questo.</I></marg> <I>che il punto C per cau$a di BC qua$i è immobile, ma la po$$anza che moue la leua è in F con la corda EF, & il pe$o $ta appiccato in K. Che $e il punto C fo$$e del tutto immobile, & $i moua la leua EC in NC, & $i diuida NC in due parti eguali in L: $aranno CL LN eguali ad e$$e CK KE. Per la qual co$a $e la leua EC fo$$e in CN, il punto K $arebbe in L: & $e $i con duce$$e la linea LM à piombo dell'orizonte, laquale $ia anche eguale alla KH, $arebbe il pe$o A, cioè il punto H in M. Ma percioche la po$$anza di F men tre và in $u$o mouendo la girella $empre $i moue $opra la linea retta EFG, laquale è anco egualmente di$tante $empre da BC, $arà nece$$ario, che la girella della ta- glia $empre $i trouitra le linee EG BC, & il centro K $tando nel mezo, $i mo- uerà $empre $opra la linea retta HKT. Sia condotta adunque per L la linea PT LQ egualmente di$tante sì dall orizonte, come dalla EC, laquale $eghi la HK allu<*>gatain T, & co'l centro T, & lo $patio TQ $i formi il cerchio QR PS, ilquale $arà eguale al cerchio CED; & li punti PQ toccheranno le cor- de FE BC ne i punti PQ. Peroche il rettangolo PECQ & la PT & la TQ $ono eguali ad e$$e EK KC. Dapoi per T $ia tirato RTS diametro del cerchio PQS egualmente di$tante ad e$$a NC, & $ia fatta TO eguale</I> <marg><I>Per la</I> 34. <I>del pri<*>o.</I></marg> <I>alla KH. Hor mentre il centro K $arà mo$$o fin alla linea PQ all'hora il cen- tro K $arà in T. Maegliè $tato dimo$trato, che il centro della girella $i moue $empre per la linearetta HT. Onde accioche il centro K $ia nella linea PQ egual- mente di$tante ad e$$a EC, egli è nece$$ario, che e$$o $ia in T: & accioche an- chora la leua EC $i alzinell'angolo ECN egli è nece$$ario, che $ia in RS & non in CN percioche l'angolo RSE all'angolo NCE è eguale & co$i il $o-</I> <marg><I>Per la</I> 29. <I><*></I></marg> <I>$tegno C non è del tutto immobile, mouendo$i tutta la girella all'insù, & tutta mutt'il luogo: nondimeno il C ha ragione di $o$tegno, peroche meno $i moue C di quel che fà K & E, percioche $i moue il punto E fin ad R, & il K fin al T, ma il punto C fin ad S $olamente. Per laqual co$a mentre il centro K $i troua in T, il $ito della girella $arà QRPS: & il pe$o A, cioè il punto H $arà in O, e$$endo TO eguale à KH; ma il $ito di EC, cioè della leua mo$$a, $arà RS: & la po$$anza di F $arà mo$$a in $u$o per la rettalinea EFG: ma nel- <*>i$te$$o tempo, che K $arà in T, $ia la po$$anza in G; & mentre la leua EC in que$to modo $i moue, rimangono pur $empre GPBQ fraloro egua mente di- $tanti, & à piombo dell'orizonte, talche doue toccano la girella, come ne' punti PQ, $empre la linea PQ $arà il diametro della girella & come leua egualmen- te di$tante dall'orizonte. Mentre dunque la girella $i moue, & và attorno, $em pre anche $i moue la leua EC, & $empre rimane vn'altra leua nellagirella egual mente di$tante dall'orizonte, come PQ, per modo, che la po$$anza di F <*>ona il pe$o, $tando la leua egualmente di$tante all'orizonte, il cui $o$tegno $acà $e<*>pre nellalinea CB, & il pe$o nel mezo della leua appiccato: & la po$$anza nella li- nea EG, che era da mo$trare.</I> <foot><I>T</I></foot> <pb> <p>Stando le co$e i$te$$e. Lo $patio della po$$anza, che moue il pe- $o è il doppio dello $patio dell'i$te$$o pe$o mo$$o. <p><I>E$$endo $tato dimo$trato, che mentre il K $tà nel T, il pe$o A cioè il punto H e$$ere in O: & nell'i$te$$o tempo ancora la po$$anza di F e$$ere in G: & per- cioche la corda BCDEF eguale è alla corda EQSPG, peroche è la mede$ima corda: & la corda che è inuolta intorno al mezo cerchio CDE eguale è alla cor- da, che $ta d'intorno al mezo cerchio QSP: tolti via dunque li due pezzi di cor da communi BQ, & FP: $arà il re$lante della corda FG eguale ad e$$i due pezzi di corda rima$i CQ & EP in$ieme pre$i. Ma EP eguale è al TK, & il CQ $arà anche eguale ad e$$o TK, peroche $ono PK & TC parallelo- grammi rettangoli. Per laqual co$a le linee EPCQ in$ieme $ono due volte tan to, quanto è TK. Adunque la corda FC $arà due volte tanto quanto la TK. & percioche la KH è eguale alla TO, leuando via la corda commune KO $a rà la KT eguale ad e$$a KO. Per laqual co$a la corda FG $arà due volte tan- to quanto e$$a HO: cioè lo $patio d'lla po$$anza due volte tanto quanto lo $pa- tio del pe$o, che era da mo$tra<*>e.</I> <p>“Parallelogrammi rettangoli. Vuol dire $igure di linee egualmente diftanti fra loro, lequali formino angoli retti à differenza di altre figure, che $e ben $ono di linee egualmente di$tanti, non formano tuttauia angoli retti. <p>Dapoi la po$$anza mouerà il pe$o i$te$$o in tempo eguale per la metà dello $patio, con la corda inuolta d'intorno alla girella della taglia legata al pe$o, che $enza taglia; pur che le veloci- tà de' mouimenti di e$$a po$$anza $iano eguali. <pb n=74> <p><I>Peroche $ia, $tando le co$e i$te$$e, vn'altro pe$o V eguale al pe$o A al quale $ia legata la corda <36>X & $ia in X la po$$anza, che moue il pe$o V, Dico, $e le ve locità de' mouimenti dell'vna, & l'altra po$$anza $aranno eguali, che la po$$anza</I> <fig> <I>di</I> F <I>mouerà il pe$o A nell'i$te$$o tempo per la metà dello $patio, per lo quale il pe$o V $arà mo$$o dalla po$$anza di X, che è il mede$imo, come $el'i$te$$o pe- $o in tempo eguale fo$$e mo$$o. Moua la po$$anza di X il pe$o V, & la po$$an- za peruenga in <G>*u</G>; & $ia X<G>*u</G> eguale ad e$$a FG: & $i faccia <G>*u</G>Z eguale à X<36>, talche quando la po$$anza di X $arà in <G>*u</G>, $ia il pe$o V cioè il punto <36></I> <foot><I>T</I> 2</foot> <pb> <I>in Z; ma <36>Z è eguale ad FG, e$$endo eguale ad X<G>*u</G>: dunque <36>Z $arà due volte tanto, quanto OH. Per laqual co$a mentre le po$$anze $aranno in G<G>*u</G>, i pe$i AV $aranno in OZ. Hor nell'i$te$$o tempo $aranuo le po$$anze in G<G>*u</G>, peroche le vetocità de mouimenti $ono eguali: onde la forza di F mouerà il pe- $o A nel mede$imo tempo per la metà di quello $patio, per loquale il pe$o V $a</I> <fig> <I>rà mo$$o dalla po$$anza di X: & li pe$i $ono eguali, adunque la po$$anza moue- rà il pe$o i$l e$$o in tempo eguale per la metà dello $patio, con la corda, & la taglia legata in que$to modo al pe$o, che $enza taglia; purche le velocità della po$$anza de'mouimenti $iano eguali, che era da mo$trar$i.</I> <pb n=75> <HEAD>PROPOSITIONE XII.</HEAD> <p>Se la corda $arà riuolta d'intorno à più girelle, legando l'vno de' capi $uoi in qualche loco, & l'altro $ia tenuto dalla po$$anza, che moue il pe$o: La po$$anza mouerà con le leue $empre egualmente di$tanti dall'orizonte. <p><I>Siail pe$o A. $ia la girella CED della taglia legata al pe$o da KS ad angoli ret ti all'orizonte; di modo, che il pe$o $egua $empre il $uo mouimento ò $u$o, ò giu$o, che $ia fatto. Sia dapoi la girella intorno al centro L della taglia appiccata di $opra; & $iala corda BCDEHMNO riuol- ta d'intorno alle girelle, laquale $ia legata in B; & $ia in O la forza mouente il pe$o A, mouendo$i al ba$$o per OP. Di- co che la po$$anza di O mouerà $empre il pe$o A con le leue $empre egualmente di$tanti dall'orizonte. $ia tirata la linea NH per lo centro L egualmente di$tan- te dall'orizonte, che $arà la leua della girel-</I> <marg><I>Per la</I> 1. <I>&</I> 10. <I>di questo.</I></marg> <I>la, il cui centro è L: $ia tirata da poi la EC per lo centro K, $imilmente di$tan-</I> <marg><I>Per la</I> 11. <I>di questo.</I></marg> <I>te egualmente dall'orizonte, la quale $arà anche la leua della girella, il cui centro è</I> <marg><I>Par la</I> 10. <I>di questo.</I></marg> <I>K. Moua$i la po$$anza di O in giu$o, la quale mentre in giu$o $i moue, mouerà la leua NH, & mentre la leua $i moue, la N $i mouerà in giu$o, & la H in $u$o, come è detto di $opra. Mamentre la H $i moue in $u$o, moue etiandio in $u$o la E, & la leua EC, il cui $o$tegno è C, ma il $o$tegno C non puote mouere in giu$o il B; però la girella il cui centro è K mo uera$$i in $u$o, & per con$equenza la ta- glia, & il pe$o A, come nella preceden- te è stato detto. & perche per la mede$i- ma cau$a, che è stata a$$egnata nelle pre- cedenti, rimangono $empre le leue egual- mente distanti dall'orizonte in HN, &</I> <fig> <I>in EC, la po$$anza dun- que mouente il pe$o A lo mouerà $empre $tando le leue egualmente distan- ti dall'orizonte; che erada mo$trar$i.</I> <p><I>Et $e la corda $arà riuolta d'in torno à più girelle; $imil- mente $i dimo$trerà la po$- $anza mouere il pe$o con le leue $empre egualmente di$tanti dall'orizonte: & le leue delle girelle della ta glia di $opra $empre e$$e- re come HN, i $o$tegni delle quali $aranno $empre nel mezo: ma le leue delle girelle della taglia di $otto $empre e$$ere, come EC; li cui $o$tegni $aranno nel- le $tremità delle leue.</I> <p>Stando le co$e i$te$$e, lo $patio della po$- $anza, è il doppio dello $patio del pe- $o. <fig> <p><I>Sia mo$$o il centro K fin al centro R; & $ia la girella FTG: poi $ia per lo cen- tro R condotta la linea GF egualmente di$tante da e$$a EC: le corde EH CB toccheranno la girella ne i punti GF. Faccia$i alla fine RQ eguale à KS. Mentre dunque K $arà in R, il pe$o A, cioè il punto S $arà in Q,</I> <pb n=76> <I>& mentre il centro della girella è in R, $ia la po$$anza di O mo$$a in P. & percioche la corda BCDEHMNO eguale è alla corda BFTGHMNP per e$$er la corda iste$$a, & FTG è eguale à CDE; leuate via dunque le com- muni BF & GHMNO, $arà la re$tante OP eguale ad e$$e FC EG pre- $e in$ieme: & per con$equenza due volte tanto, quanto è KR, & QS. & e$- $endo OP lo $patio della po$$anza mo$$a, & SQ lo $patio del pe$o mo$$o; $arà lo $patio della po$$anza due volte tanto quanto lo $patio del pe$o. che era da mostrar$i.</I> <p>Oltre à ciò la po$$anza mouerà il pe$o i$te$$o in tempo eguale per la metà dello $patio, con vna corda riuolta d'intorno à due girelle, l'una delle quali $ia della taglia di $opra, & l'altra $ia della taglia legata al pe$o; che $enza taglie: pur che i mo- uimenti di e$$a po$$anza $iano egualmente veloci. <p><I>Percioche $tando le co- $e i$te$$e, $ia il pe$o V eguale ad e$$o A, alquale $ia legata la corda X<36>; & $ia la po$$anza in X che moue il pe$o V; la quale mentre moue il pe$o, peruenga in <G>*u</G>: & $iano fatte X<G>*u</G> Z<36> eguali ad e$$a OP; $arà Z<36> due volte tanto qua- to QS. & $e le velocità de' moui- menti dell'vna, & l'altra po$$anza $a- ranno eguali; egli è manife$to, che il pe- $o V trapa$$a due volte tanto $patio nell'i$te$$o tempo, di quel che trapa$$i il pe$o A: percioche nel tempo mede$imo la po$$anza di X per- uiene ad <G>*u</G>, & la po$$anza di O à P; & li pe$i $imilmen- te in ZQ. che era da mo$trar$i.</I> <fig> <HEAD>PROPOSITIONE XIII.</HEAD> <p>Riuolgendo la corda d'intorno à due girelle di due taglie, I'vna dellequali $ia di $opra, & l'altra di $otto, & legata al pe$o; e$- $endo anche l'vno de' capi di detta corda legato alla taglia di $otto, & l'altro tenuto dalla po$$anza che moue; $arà lo $patio cor$o della po$$anza, che tira, tre volte tanto quanto lo $pati del pe$o mo$$o. <pb n=77> <p><I>Sia il pe$o A; $ia BCD la girel- la della taglia legata al pe$o A, attaccato da EQ, & $ia E il centro della girella; $ia dapoi F GH la girella della taglia appic- cata di $opra, il cui centro K; & $ia la corda LFGHDBCM ri- uolta intorno à tutte le girelle, & legata alla taglia di $otto in L: & $ia in M la po$$anza, che moue. Dico lo $patio cor$o dalla po$$anza di M, mentre moue il pe$o, e$$ere triplo dello $patio del pe$o mo$$o A. Moua$i la po$$an za di M fin ad N; & il centro E $ia mo$$o fin ad O; & L fin à P; & il pe$o A, cioè il pun- to Q fin ad R; & la girella mo$$a $ia TSV. Siano condot- te per EO le linee ST BD egualmente di$tanti dall'orizonte, lequali $aranno anche tra loro e- gualmente di$tanti. Ma percio- che mentre E $ta in O, il pun- to Q $ta in R; $arà EQ egua le ad OR, & EO ade$$o QR eguale; $imilmente LQ $arà eguale à PR, & LP ad e$$o QR eguale. Adunque le tre QR EO LP fra loro $aranno eguali; à cui $ono etiandio eguali BS DT. Et percioche la corda LFGHDCBM è eguale alla corda PFGHTVSN e$$en- do vna corda i$te$$a, & la corda, che è intorno al mezo cerchio TVS è eguale alla corda, che è intorno al mezo cerchio BCD; tolte via dunque le communi PF GHT, & SM; $arà la re$tan- te MN eguale alle tre BS LP DT pre$e in$ieme. ma BS LP DT in$ieme $ono tre volte tanto, quanto</I> <fig> <foot><I>V</I></foot> <pb> <I>EQ, & per con$e- quenza QR. Lo $patio dunque MN della traportata po$ $anza è tre volt<17> tanto, quanto lo $pa tio QR del pe$o mo$$o. che era da mo$trar$i.</I> <p><I>Il tempo ancora di que sto mouimento è mani$e$to, percio- che la po$$anza i$te$ $a in tempo eguale mouerà l'i$te$$o pe- $o in i$patio tre co- tanto maggiore $en- za tali taglie, di quel che $arebbe con e$$e taglie à que $to modo commoda te. Lo $patio del pe$o mo$$o $enza le taglie è eguale allo $patio della po$$an- za. & in que$to modo ritrouaremo in tutte il tempo.</I> <fig> <pb n=78> <HEAD>PROPOSITIONE XIIII.</HEAD> <p>Legando la corda d'intorno à tre girelle di due taglie, l'vna del- lequali $ia di $opra, & habbia vna $ola girella, & l'altra di $ot- to, & ne habbia due, & $ia lega ta al pe$o; laqual corda $ia le- gata con l'vno de' capi $uoi in qualche loco, & l'altro tenu- to dalla po$$anza, che moue il pe$o: $arà lo $patio cor$o dal- la po$$anza, che tira, quattro volte tanto, quanto è lo $patio del pe$o mo$$o. <p><I>Sia il pe$o A, $iano le due girelle, i cui cen tri</I> K <I>I della taglia legata al pe$o con K<G>a</G>; dimodo, che il pe$o $empre $egua il mouimento della taglia in $u$o, ouero in giu$o: $ia dapoi la girella il cui centro L della taglia appe$a di $opra in <G>d</G>; & $ia la corda BCDEFGHZMNO riuolta intorno à tutte le girelle, & legata in B; & $ia in O la po$$anza, che moue il pe- $o A. Dico lo $patio, ilquale la po$$an za di O mouendo trapa$$a, e$$ere quat- tro volte tanto, quanto lo $patio del pe- $o A mo$$o. Mouan$i le girelle della taglia legata al pe$o; & mentre il centro K è in R, il centro I $ia in S, & il pe$o A, cioè il punto <G>a</G> in <G>b</G>: $aranno IS KR <G>ab</G> tra $e eguali, & parimen- te KI ad e$$a RS eguale: percioche le girelle mantengono fra $e la di$tanza me de$ima $empre; & K<G>a</G> $arà eguale ad e$ $a R<G>b</G>. $iano condotte per li centri delle girelle le linee FHQTECVXNZ egualmente distanti dall orizonte, lequa li tocchino le corde ne i puntl FH QT</I> <fig> <foot><I>V</I> 2</foot> <pb> <I>EC VX NZ che parimente $aranno fra loro egualmente di$tanti: & EQ CT VN XZ non $olamente fra $e, ma ancora ad e$$e IS KR <G>ab</G> $aranno e- guali: & mentre li centri KI $ono in RS, la po$$anza di O $ia mo$$a in P. Et percioche la corda BCDEFGHZ MNO è eguale alla corda BT<36>QF GHX<G>*u</G>VP e$$endo vna corda mede- $ima, & le corde d'intorno à mezi cerchi T<36>Q X<G>*u</G>V $ono eguali alle corde, che $ono d'intorno à CDE ZMN; tolte via dunque le communi BT, QFGHX, & VO; $arà OP eguale ad e$$e VN XZ CT QE pre$e tutte in$ieme. male quattro VN ZX CT QE $ono tra$e eguali, & in$ieme quattro volte tanto quanto KR & <G>ab</G>. Per laqual co$a OP $arà quattro volte tanto quanto è e$$a <G>ab</G>. Adunque lo $patio della po$$anza è quattro volte tanto quanto è lo $palio del pe$o. che era da mo$trare.</I> <p><I>Et $e la corda in P $arà dauantaggio ri- uolta d'intorno ad vn'altra girella ver$o il <G>d</G>, & la po$$anza mouendo$i in giù mo ua in sù il pe$o: $imilmente $i mo$trerà lo $patio della po$$anza e$$ere quattro volte tanto quanto lo $patio del pe$o.</I> <fig> <p><I>Ma$e la corda in B $i riuolgerà d'intorno ad vn'altra girella, laqual corda $ilegbi da</I> <marg><I>Per la</I> 9. <I>di questo.</I></marg> <I>poi alla taglia di $otto; $arà la po$$anza di O, che $o$tiene il pe$o A vn quinto dal pe$o. & $e in O $arà la po$$anza, che moua il pe$o A; $imilmète $i dimo$tre rà lo $patio della po$$anza po$ta in O e$- $ere cinque volte tanto quanto lo $patio del pe$o A.</I> <p><I>Et $e la corda $i adatterà in modo d'intorno alle girelle, che la po$$anza di O $o$tenen te il pe$o $ia vn $e$to del pe$o; & in loco della po$$anza $o$tenente il pe$o, $i met- ta in O la po$$anza, che lo moua; nell'i$te$$o modo $i mo$trerà lo $patio della po$- $anza e$$ere $ei volte tanto quanto lo $patio del pe$o mo$$o. & co$i procedendo in</I> <pb n=79> <I>infinito $i troueranno le proportioni dello $patio della po$$anza allo $patio del pe- $o mo$$o quanto $i vogliano moltiplici.</I> <p>Et co$i procedendo in infinito $i troueranno le proportioni dello $patio della po$- $anza allo $patio del pe$o mo$$o quanto $i vorrà moltiplici. Già è detto che mol tiplice è il primo genere delle proportioni nelle quantità paragonate dal mag- giore al minore, però qui vuol dire, che con tale regola $i ritroueranno le pro- portioni dello $patio del pe$o allo $patio della po$$anza in infinito, dou&etilde;do e$$ere lo $patio della po$$anza mouente moltiplice, cioè molte volte maggiore dello $patio del pe$o mo$$o, come appare nel pre$ente e$$empio, che è $ei volte più, come $ei ad vno; & que$to è il $ignifi cato di moltiplice. <HEAD>COROLLARIO I.</HEAD> <p>Da que$te co$e è manife$to, co$i hauer$i il pe$o ver$o la po$$an- za, che lo $o$tiene, come lo $patio della po$$anza che moue al- lo $patio del pe$o mo$$o. <p><I>Come $e il pe$o A $arà cinque volte tanto quanto la po$$anza di O, che $o$tiene il detto pe$o A; $arà anche lo $patio OP della po$$anza mouente il pe$o cin- que volte tanto quanto lo $patio <G>a b</G> del pe$o mo$$o.</I> <HEAD>COROLLARIO II.</HEAD> <p>E manife$to ancora per le co$e dette, che le girelle della taglia, laquale è legata al pe$o, fanno sì, che minore $patio è quello, ilquale è de$critto dal pe$o mo$$o, che dalla po$$anza che tira; & che in tempo maggiore $i de$criua vn dato $patio eguale, che $enza loro: ilche veramente non fanno le girelle della ta- glia di $opra. <p><I>Mo$trata la proportione moltiplice, che ha il pe$o ver$o la po$$anza, hora $i mo$triper lo contrario la proportione moltiplice, che haue la po$$anza ver$o il pe$o.</I> <HEAD>PROPOSITIONE XV.</HEAD> <p>Se la corda $arà inuolta d'intorno alla girella della taglia tenu- ta di $opra dalla po$$anza; l'vn capo dellaquale $ia legato in qualche loco, ma all'altro $ia appiccato il pe$o, $arà la po$$an- za due volte tanto quanto il pe$o. <p><I>Sia la taglia, che habbia la girella co'l $uo centro A; & $ia il pe$o B legato alla corda CDEFG, laquale $ia in uol- ta d'intorno alla girella, & alla fine legata in G; & $ia la po$$anza, che $o$tiene il pe$o in H. Dico, che la po$$anza di H è due volte tanto quan to il pe$o B. Sia condotta la linea DF per lo centro A egualmente di $tante dall'orizonte. Percioche dun- que la po$$anza di H $o$tiene la ta- glia, laquale $o$tiene la girella nel $uo centro A, laqual girella $o$liene il pe $o; $arà la po$$anza, che $o$tiene la gi- rella, come $e fo$$e po$ta in A; $tan- do dunque e$$a in A, & il pe$o ap- piccato in D, & legato alla corda CD; $arà la DF come leua, il cui $o$tegno $arà F, il pe$o in D & la</I> <marg><I>Per la</I> 3. <I>di questo nella leua.</I></marg> <I>po$$anza in A. Ma la po$$anza ver- $o il pe$o è come DF ad FA, & DF è il doppio di FA: adunque la po$$anza di A ouero di H, che è l'i$te$$o, $arà due volte tanto, quanto il pe$o B. che bi$ognaua mo$trare.</I> <fig> <p><I>Oltre à ciò occorre à con$iderare, $tando ferme tutte que$te co$e, che egli è l'i$te$$o, e$- $endo vna corda $ola CDEFG in que$to modo inuolta d'intorno alla girella, co- me $e fo$$ero due corde CDFG legate nella leua, ouero nella bilancia DF.</I> <HEAD>Altramente.</HEAD> <p><I>Stando le mede$ime co$e, $e in G $o$$e appiccato un pe$o K eguale al pe$o B, li pe$i BK pe$erebbono egualmente nella bilancia DF, il cui centro A. Ma la po$- $anza di H, laquale $o$tiene i pe$i BK è eguale ad ambidue pre$i in$ieme, & i pe$i BK $ono due volte tanto quanto è e$$o B. Adunque la po$$anza di H $a- rà due volte tanto quanto è il B. & percioche la corda legata in G non fa al- tro niente, $e non che $o$tiene il pe$o B, che non di$cenda, laqual co$a parimente fà il pe$o K appiccato in G: la po$$anza dunque di H, che $o$tiene il pe$o B, e$$endo la corda legata in G, è due volte tanto quanto il pe$o B. che bi$ognaua mostrare.</I> <pb n=80> <HEAD>PROPOSITIONE XVI.</HEAD> <p>Po$te le co$e i$te$$e, $e in H $arà la po$$anza che moue il pe$o, mouerà ella con la leua egualmente di$tante dall'orizonte. <p><I>Que$to etiandio $i mo$trerà, co- me è detto di $opra. Moua$i la girella in sù, & habbia il $ito di MNO, il cui centro L: & per L $ia condotta la linea MLO egualmente di- $tante da e$$a DF, & dall'o rizonte. & percioche le cor- de toccano il cerchio MON ne i punti MO; però e$$en- do che la po$$anza di A, oue ro di H, che è l'i$te$$o, mo- ua il pe$o B appiccato in D con la leua DF, il cui $o$te- gno è F; $empre rimarrà da uantaggio vn'altra leua, co- me MO egualmente di$tan- te dall'orizonte, di modo che $empre la po$$anza moua il pe $o, $tando la leua egualmente di$tante dall'orizonte, il cui $o$tegno $empre è nella linea OG, & il pe$o in MC, & la po$$anza nel centro della girella.</I> <fig> <p>Po$te le co$e mede$ime, lo $patio del pe$o mo$$o è due volte tan to quanto lo $patio della po$$anza, che moue. <p><I>Sia mo$$a la girella dal centro A fin al centro L; & il pe$o B, cioè il punto e, nell'i$te$$o tempo $ia mo$$o nel P; & la po$$anza di H fin in K; farà AH ad e$$a LK eguale, & AL ad e$$a HK: & percioche le corda CDE FG eguale è alla corda PMNOG, peroche è vna corda i$te$$a, & la corda d'intorno al mezo cerchio MNO eguale è alla corda d'intorno al me zo cerchio DEF: tolte via dunque le communi corde DP FG, $arà PC eguale à DM FO pre$e in$ieme, lequali cor- de $ono due volte tanto quanto è e$$a AL & per con$eguenza e$$a HK. Lo $patio dunque del pe- $o mo$$o CP è due vol- te tanto, quanto è lo $pa- tio della po$$anza HK. che bi$ognaua mostrare.</I> <fig> <HEAD>COROLLARIO</HEAD> <p>Da que$to è manife$to, l'i$te$$o pe$o e$$ere tirato dalla i$te$$a po$ $anza in tempo eguale per due volte tanto $patio con la taglia in que$to modo accommodata, che $enza taglia; pur che i mouimenti di e$$a po$$anza $iano eguali in velocità. <p><I>Percioche lo $patio del pe$o mo$$o $enza taglia è vguale allo $patio della po$$anza.</I> <pb n=81> <p><I>Che $e la corda $arà in G riuolta d'intorno ad vn'altra girella, il cia centro K; & $ia la taglia di cotale girella attaccata di $otto, laquale non habbia alcuno altro mouimento, $e non il libero riuolgimento della girella d'intorno all'a$$etto $uo; & la corda $i leghi in M; $arà la po$$anza di H che $o$tiene il pe$o B. $imilmente due vol te tanto, quanto è e$$o pe$o. il che per certo è manife$to, con- cio$ia, che egli $ia in tutto vna co$a i$te$$a, $e ouero la corda $ia in M ouero in G legata, per- cioche la girella del centro K non fà nulla, & è totalmente inutile.</I> <p><I>Ma $e la po$$anza che $o$tiene il pe$o B $arà in M, & la ta glia di $opra $ia appiccata in sù; $arà la po$$anza di M e- guale al pe$o B.</I> <p><I>Percioche la po$$anza di G, che</I> <marg><I>Per la</I> 1. <I>di questo.</I></marg> <I>$o$tiene il pe$o B è eguale al pe$o B; & ad e$$a po$$anza di G è eguale la po$$anza di L; percioche GL è leua, il cui $o$iegno è K; & la di- $tanza GK è eguale alla di$tan za KL; $arà dunque la po$- $anza di L, ouero (che è il me de$imo,) di M eguale al pe$o B.</I> <fig> <p><I>Que$to tale mouimento $i fà nel- le leue DF LG i cui $o$tegni $ono KA, & il pe$o in D, & la po$$anza in F; ma nella leua LG la po$$an za $tà in L, & il pe$o come $e fu$$e in G.</I> <p><I>Se poi $arà in M la po$$anza, che moue il pe$o, & $i tra$porti, la po$$anza in N & il pe$o $ia mo$$o fin ad O; $arà lo $patio MN della po$$anza eguale allo $patio di CO pe$o; percioche e$$endo la corda MLGFDC eguale alla corda NLG FDO, peroche è vna i$te$$a corda; leuata via la commune MLGFDO, $arà lo $patio MN della po$$anza eguale allo $patio CO del pe$o.</I> <p><I>Et $e la corda in M $arà inuolta intorno à più girelle, $empre la po$$anza, che in vno delli $uoi e$tremi $o$terrà il pe$o $arà eguale ad e$$o pe$o: & gli $patij del pe$o, & della po$$anza che moue $empre $i mo$treranno e$$ere eguali.</I> <foot><I>X</I></foot> <pb> <HEAD>PROPOSITIONE XVII.</HEAD> <p>Se à cia$cuna delle due girelle di due taglie, l'vna delle quali $ia $o $tenuta di $opra dalla po$$anza, & l'altra $ia po$ta di $otto, & iui attaccata, $i condurrà intorno la corda; con l'vno de' $uoi capi legato alla taglia di $opra, & l'altro appiccato al pe$o; la po$$anza $arà tre volte tanto quanto il pe$o. <p><I>Sia la girella co'l centro A della taglia all accaia di $otto; & $ia la corda BCDEFG inuolta intor no non $olamente à cote$ta girel la, ma etiandio alla girella della taglia di $opra, che ha il centro K; & $ia la cordalegata in B della taglia di $opra; & in G $ia at- taccato il pe$o H; & la po$$an- zain L $o$tenga il pe$o H. Di- co che la po$$anza in L ètre vol te tanto quanto il pe$o H, per- cioche $e fo$$ero due po$$anze, che $o$tenne$$ero il pe$o H vna in K, & l'altra in B, $arebbono ambe- due in$ieme tre volte tanto quan-</I> <marg><I>Per la</I> 15. <I>di questo. Nella prece dente.</I></marg> <I>to il pe$o H: percioche la po$$an za in K è due volte tanto quan- to il pe$o H, & la po$$anza in B è eguale ad e$$o pe$o. & per cioche la $ola po$$anza in L è eguale ad ambedue le po$$anze in KB, peroche la po$$anza in L $o- $tiene sì la po$$anza po$ta in K, come la po$$anza po$ta in B; & la detta po$$anza in L fa l'i$te$$o, come $e fu$$ero due po$$anze, l'v- na in K & l'altra in B. Sarà dunque tre volte tanto la po$$an- za in L quanto il pe$o H. Che bi$ognaua mo$trare.</I> <fig> <pb n=82> <p>Ma $e in L $arà la po$$anza, che moue il pe$o. Dico lo $patio del pe$o mo$$o e$$ere tre volte tanto, quanto lo $patio della po$$anza mo$$a. <p><I>Moua$i il centro della girella K fin ad M, lo $patio delquale mouimento è ve- ramente eguale allo $patio della po$$anza mo$$a, co- me è detto di $opra: &</I> <marg><I>Nella precede<*>e.</I></marg> <I>quando K $arà in M, B $arà in N, & NB $a rà eguale ad MK; & mentre K è in M, fia il pe$o H, cioè il punto G mo$$o in O; & per MK $iano condotte le linee EF PQ egualmente di$tanti dall'orizonte; $arà cia$cu- na delle EP BN FQ eguale ad e$$a KM. Et perciochela co da BCD EFG eguale è alla corda NCDPQO; e$$endo vna mede$ima corda; & la corda po$ta intorno al mezo cerchio ERF e- guale è alla corda po$ta in torno al mezo cerchio PSQ; tolte via dunque le corde communi BC DE, & FO, $arà OG eguale alle tre corde QF NB PE pre$e in$ieme. ma QF NB PE in- $ieme $ono tre volte tanto quanto MK, cioè lo $pa- tio della po$$anza mo$$a; lo $patio dunque GO del pe$o H mo$$o, è tre vol- te tanto quanto è lo $pa- tio della po$$anza mo$$a. che bi$egn<*>a mo$trare.</I> <fig> <foot><I>X</I> 2</foot> <pb> <HEAD>PROPOSITIONE XVIII.</HEAD> <p>Se ad ambedue le girelle delle due taglie: l'vna delle quali $ia $o $tenuta di $opra dalla po$$anza, & l'altra $ia po$ta di $otto, & iui attaccata, $arà inuolta intorno la corda; con l'vno de' ca- pi $uoi in qualche luogo legato, ma non già nella taglia di $o- pra, & all'altro $ia appiccato il pe$o; la po$$anza $arà quattro volte tanto quanto il pe$o. <p><I>Sia la taglia di $otto, che habbia due gi- relle con li centri $uoi AB; & $ia la taglia di $opra, che $imilmente hab- bia due girelle con li centri $uoi CD: & $ia la corda EFGHKLMNOP riuolta d'intorno à tutte le girelle, che $ia legata poi in E, & $ia appicca- to in P il pe$o Q: & $ia la po$$an- za in R. Dico la po$$anza di R e$- $ere quattro volte tanto quanto il pe- $o Q: concio$ia che $e $i intenderan-</I> <marg><I>Per la</I> 16. <I>di questo.</I></marg> <I>no due po$$anze, l'vnain K & l'al- train D, la po$$anza in K che $o $tiene il pe$o Q con la corda KLM NOP $arà eguale al pe$o; & $aran no le due po$$anze in$ieme l'vna in D & l'altra in K $ostenenti il pe$o Q tre volte tanto quanto l'i$te$$o pe$o. Ma la po$$anza di C è due volte tan to quanto la po$$anza di K, & per con</I> <marg><I>Per la</I> 15. <I>di questo.</I></marg> <I>$equenza del pe$o Q; peroche egli è la me de$ima co$a, come $e in K fo$$e appiccato vn pe$o eguale al pe$o Q, delquale è due volte tanto la po$$anza di C. Adunque due po$$anze po$te in DC $ono quattro volte tanto quan to è il pe$o Q. & concio$ia, che la po$$anza di R $o$tenga con le girelle il pe$o Q, $arà la po$$anza di R co- me $e fo$$ero due po$$anze l'vna in D</I> <fig> <pb n=83> <I>& l'altra in C: & l'vna, & l'altra in$ieme $o$tene$$e il pe$o Q. La po$$anza dunque di R è quattro volte tanto quanto il pe$o Q. che bi$ognaua dimo$trare.</I> <HEAD>COROLLARIO</HEAD> <p>Dalla qual co$a è manife$to, che $e la corda $arà legata in G, & riuolta d'intorno alle girelle, i cui centri $ono BCD; $arà la po$$anza di R che $o$tiene quat tro volte tanto, $imilmente quan- to il pe$o Q. Percioche la girel- la il cui centro è A non fà nulla. <p>Che $e la po$$anza mouènte il pe$o $a rà in R. Dico lo $patio del pe$o mo$$o e$$ere quattro volte tanto quanto lo $patio della po$$anza. <fig> <p><I>Siano mo$$i i centri CD delle girelle fin ad ST; $aranno per le co$e di $opra dette CS DT eguali allo $patio della po$$anza; & per SDT $iano condotte le linee HK VX NO <G>*u</G>Z egualmente di$tanti dall'orizonte; & mentre li centri CD $ono in ST, $ia il pe$o Q, cioè il punto P mo$$o in <36>. & percioche la corda EFGHKLMNOP eguale è al la corda EFGVXLM<G>*u</G>Z<36>; e$$endo vna mede$ima corda: & le corde po$te d'intorno à mezi cerchi NIOH<G>a</G>K $iano egua i alle cor de, lequali $ono intorno à i mezi cerchi <G>*ud</G>Z V<G>b</G>X; tolte via dunque le communi EFGH KLMN & O<36>; $arà P<36> eguale ad e$$e N<G>*u</G> ZO VH XK in$ieme pre$e, ma le quat tro N<G>*u</G> ZO VH XK tutte in$ieme $ono quattro volte tanto quanto DT cioè lo $pa- tio della po$$anza. Lo $patio dunque PQ del pe$o è quattro volte tanto quanto lo $patio della po$$anza. che era da mo$trar$i.</I> <p><I>Ma $e la corda $a rà rilegata in E della taglia di $opra, & la po$$anza di R $o$tenga il pe- $o Q; $arà la po$$anza di R cinque volte tanto quanto il pe$o Q. & $e in R $arà la po$$anza, che moue il pe $o $arà lo $pa tio del pe$o mo$$o cinque volte tanto, quanto lo $pa- tio della po$- $anza. Lequa- li co$e tutte $i dimo$trer anno con modo $imi le, come nelle precedenti è $tato fatto.</I> <fig> <pb n=84> <p><I>Ma $e la po$$anza di R $o- $tene$$e il pe$o Q hauen- do la taglia tre girelle, i cui centri $iano ABC; & $ia vn'altra taglia di $otto, che habbia due, ò tre girel- le, i cui centri $iano DEF; & $ia la corda riuolta d'in torno à tutte le girelle, & $ia legatain G ouero in H; $imilmente mo$trera$$i la po$$anza di R e$$ere $ei volte tanto quanto il pe$o Q. & $e in R $arà la forza mouente il pe$o, $i mo$trer<*> lo $patio del pe$o mo$$o e$$ere $ei volte tan- to quanto lo $patio della po$$anza.</I> <fig> <p><I>Et $e la corda $arà legata in K della taglia di $opra, & in R $ia la po$$anza che $o$tiene il pe$o; con modo $imile $i prouerà la po$$an- za di R e$$ere $ette volte tanto quanto il pe$o Q.</I> <p><I>Et $e in R $arà la po$$anza che moue, $i mo$trerà lo $pa tio del pe$o Q e$$ere $ette volte tanto quanto lo $pa- tio della po$$anza. & co$t in infinito ogni proportio- ne molteplice della po$$an- za ver$o il pe$o potra$$i trouare. & $i mo$trerà $empre, co$i e$$ere il pe$o ver$o la po$$anza che lo $o- $tiene, come lo $patio della po$$anza che moue il pe$o, allo $patio del pe$o mo$$o.</I> <p><I>Hor il mouimento delle leue delle gi relle in que$te $i fà in cotal modo, cioè le leue delle girelle della taglia di $opra $i mouo- no, come è detto, nella decima$e$ta di que$to; cioè han no il $o$tegno nel- le $tremità, la po$- $anza nel mezo, & il pe$o nell'al- tra $tremità ap- piccato. Ma le leue della taglia di $otto hanno il $o- $tegno nel mezo, & il pe$o, & la po$$anzanelle $tro mità.</I> <fig> <pb n=85> <HEAD>COROLLARIO</HEAD> <p>In que$te co$e è manife$to, che le girelle della taglia di $opra $o- no cagione, che il pe$o $i moua da po$$anza maggio re di e$$o pe$o, & per maggiore $patio di quel che è lo $patio di e$$a po$ $anza, & per eguale in manco tempo: co$a che veramente non fanno le girelle della taglia di $otto. <p><I>In altro modo ancora po$$iamo ritrouare que$ta proportione moltiplice della po$$an- za ver$o il pe$o.</I> <HEAD>PROPOSITIONE XIX.</HEAD> <p>Se à cia$cuna delle girelle dell'vna, & l'altra delle due taglic, l'v- na delle quali $ia appiccata di $opra, & l'altra di $otto ritenu- ta dalla po$$anza, che $o$tiene, $i riuolga intorno la corda; con l'vno de' capi $uoi legato in qualche loco, & con l'altro attac- cato al pe$o: la po$$anza $arà due volte tanto quanto il pe$o. <foot><I>Y</I></foot> <pb> <p><I>Sia la girella della taglia appiccata di $opra, il cui centro $ia A; & BCD $ia del- la taglia di $otto; $ia dapoi la corda EBCDFGHL rilegata in E; & in L $ia appiccato il pe$o M; & $ia la po$ $anza che $ostiene il pe$o M po$ta in N. Dico la po$$anza di N e$$ere</I> <marg><I>Per la</I> 3. <I>di questo.</I></marg> <I>due volte tanto quanto il pe$o M. Per cioche e$$endo $tato di $opra mo$trato la po$$anza di L, laquale per gratia di e$$empio, $o$teaga il pe$o O ap- piccato in N, e$$ere la metà meno di e$$o pe$o; adunque la po$$anza di N, che è eguale al pe$o O $o$tenirà il pe- $o M, che è eguale alla po$$anza di L; & $arà detta po$$anza due volte tan- to quanto il pe$o M. che bi$ognaua mo$trare.</I> <fig> <HEAD>Altramente.</HEAD> <p><I>Po$te le co$e i$te$$e. Percioche la po$$an- za di F, ouero di D, che è l'i$te$$o,</I> <marg><I>Per la</I> 1. <I>di questo.</I></marg> <I>è eguale al pe$o M: & BD è vna leua, il cui $o$tegno è B, & la po$- $anza di N è come $e ella fo$$e nel mezo della leua, & il pe$o eguale ad e$$o M $tà come $e egli fu$$e in D per cau$a della corda FD, che è l'i- $te$$o, come $e BCD fo$$e la girella della taglia di $opra, & il pe$o fo$$e appiccato nella corda DF, $i come nella decimaquinta, & nella decima- $e$ta è detto. La po$$anza dunque di N è due volte tanto, quanto il pe$o M. che era da mo$trar$i.</I> <p><I>Ma $e in N $arà la po$$anza, che moue il pe$o M, $arà lo $patio del pe$o M due volte tanto quanto la po$$anza po$ta in N, ilche è mani$e$to dalla duodecima di que$to; percioche lo $patio del punto L che inchina in giu$o, è due volte tanto quanto lo $patio di N che và in $u$o; $arà dunque per lo contrario lo $patio del- la po$$anza di N che inchina in giù la metà meno dello $patio del pe$o M mo$- $a all'in sù.</I> <p><I>Hor $i come dalla terza, dalla quinta, & dalla $ettima di que$to &c. $i po$$ono rac-</I> <pb n=86> <I>cogliere le ragioni del pe$o O, $iano quanto $i voglia molteplici ad e$$a po$$anza po$ta in L, con l'i$te$$o modo parimente $i potranno mo$trare le ragioni quanto $i voglia molteplici della po$$anza po$ta in N, che $o$tiene il pe$o M. & co$i dalla decnnaterza, & dalla decimaquarta $i mo$treranno le ragioni quanto $i voglia molteplici allo $patio del pe$o M, allo $patio della po$$anza po$ta in N.</I> <p><I>Si potrà ancora dalla decima$ettima, & dalla decimaottaua di que$to ritrouare la proportione molteplice, laquale ha la po$$anza, che $o$tiene il pe$o ver$o l'i$te$$o pe$o, $i come la proportione della po$$anza di N al pe$o M $i dimo$traua nel- la propo$itione decimaquinta, & decima$e$ta: & $i trouerà co$i e$$ere il pe$o alla po$$anza, che $o$tiene il pe$o; come lo $patio della po$$anza, che moue allo $patio del pe$o.</I> <p><I>Li mouimenti delle leue in que$te $i fà in cotal modo, cioè le leue delle girelle della ta- glia di $otto $i mouono, come della leua BD, laquale $i moue, come $e B fo$$e il $o$tegno, & il pe$o $te$$e in D, & la po$$anza nel mezo. Ma le leue delle girel- le della taglia di $opra $i mouono, come FH, il cui $o$tegno è nel mezo, il pe$o in H & la po$$anza in F.</I> <HEAD>COROLLARIO.</HEAD> <p>Da que$to è manife$to, che le girelle della taglia di $otto in que- $te fanno effetto tale, che il pe$o vien mo$$o da po$$anza mag- giore, di quel che $ia e$$o pe$o, & per maggiore $patio dello $patio di e$$a po$$anza, & per eguale in manco tempo. Co$a che non fanno già le girelle della taglia di $opra. <p><I>Cono$ciute le proportioni molteplici, hor egli è da accostar$i alle $opra particolari.</I> <p>Cono$ciute le proportioni molteplici, già egli è da venire alle $opraparticolari. Il genere $opraparticolare è il $econdo propo$to di $opra, quando cio è $i paragona vna quantità maggiore ver$o vna minore $i fattamente, che e$$a maggiore con- tenga la minore vna ò piu volte, & di piu parte di e$$a, che la pos$i numerare in- teramente: come per e$$empio, il tre contiene il due vna volta, & più la metà di e$$o due, cioè vno, ilquale puote numerare il tre. Intende dunque l'autore d'in- ue$tīgare la proportione $opraparticolare, che hà il pe$o alla po$$anza. <foot><I>Y</I> 2</foot> <pb> <HEAD>PROPOSITIONE XX.</HEAD> <p>Se à cia$cuna delle girelle dell'vna & l'altra delle due taglie, l'v- na delle quali $ia $o$tenuta di $opra dalla po$$anza, & di $otto $ia po$ta, & legata al pe$o, $arà inuolta d'intorno la corda; con l'vno de' $uoi capi legato in qualche loco, & l'altro attac- cato alla taglia di $otto; il pe$o $arà vna volta & meza tanto quanto la po$$anza. <p><I>Sia ABC la girella della taglia di $opra, & DEF quella della taglia di $otto legata al pe$o G; & $ia la corda HABCDEFK inuolta d'intorno alle, girellel aqual corda $ia legata in K, & in H alla taglia di $otto; & $ia in L la po$$anza che $o$tiene il pe$o G. Dico, che il pe$o è vna volta & meza tanto quanto la po$$anza. Hor percio-</I> <marg><I>Per il corol lario della</I> 5. <I>di que$io.</I></marg> <I>che l'vna, & l'altra corda CD AH $o$tiene la terza parte del pe$o G; $arà ogn'vna delle po$- $anze po$te in DH vn terzo del pe$o G; alle quali tutte pre$e in$ieme è eguale la po$$anza di</I> <marg><I>Per la</I> 15. <I>di questo.</I></marg> <I>L: peroche la detta po$$anza di L è due volte tanto quanto è la po$$anza di D, & di quella che $ta in H. Per laqual co$a la po$$anza di L viene ad e$$ere $otto $e$quialtera del pe$o G. Adunque il pe$o G ver$o la po$$anza di L è co- me tre à due. cioè vna volta & meza. che bi$o- gnaua mo$trare.</I> <fig> <p>“Per laqual co$a la po$$anza di L è $otto $e$quialtera del pe$o G. Hò detto, che il $opraparticolare è il $econdo genere de'moltiplici, la prima $petie del quale è tre à due, che è $e$quialtera, cioè vna volta & meza. Hor chi fà comparatione al contrario di due à tre na$ce la $otto $e$quialtera, hauendo forza quella voce $otto di paragonare la minore quantita con la maggiore. La po$$anza dunque di L $arà in proportione co'l pe$o G come dueà tre, & in que$ta gui$a deue$i in- tendere $empre tale vocabolo. <pb n=87> <p>Ma $e la po$$anza che moue il pe$o $arà in L: Dico lo $patio della po$$anza e$$ere vna volta & meza tanto, quanto lo $pa- tio del pe$o. <p><I>Stando le co$e ifle$$e, peruenga la girella ABC fin ad MNO, & la girella DEF fin à PQR; & H in S; & il pe$o G fin in T. Et perche la corda HABCDEFK è eguale alla corda SMNOPQRK e$$endo la corda i$te$$a; & le corde che $ono d'in- torno à mezi cerchi ABCMNO $o no tra loro eguali, & quelle, che $ono d'intorno alli mezi cerchi DEF PQR $imilmente $ono tra loro eguali; tolte via dunque le corde AS CP RK communi, $aranno le due CO MA e- guali alle tre DP HS FR. ma l'v- na, & l'altra di CO AM $eparata- mente è eguale allo $patio della po$$an- za mo$$a. Per laqual co$a le due CO MA in$ieme $aranno due volte tanto quanto lo $patio della po$$anza; & le tre DP HS FR in$ieme con $imile modo $aranno tre volte tanto quanto lo $patio del pe$o mo$$o. Ma la metà, cioè lo $patio della po$$anza mo$$a, al- la terza parte, cioè allo $patio del pe$o mo$$o, ha proportione tale quale è dal doppio della metà al doppio del terzo, cioè come il tutto à duo terzi, che è come tre à due. Lo $patio dunque della po$$an za po$ta in L è vna volta & meza tan to quanto lo $patio del pe$o G mo$$o. che bi$ognaua mo$trare.</I> <fig> <HEAD>PROPOSITIONE XXI.</HEAD> <p>Se à tre girelle di due taglie, l vna delle quali $ia $o$tenuta dalla po$$anza di $opra con vna $ola girella, & l'altra con due girel- le $ia po$ta di $otto, & legata al pe$o, $arà inuolta d'intorno la corda, con l'vno de' $uoi capi legato in qualche luogo, & l'altro legato nella taglia di $opra; il pe$o $arà vna volta, & vn terzo tanto quanto la po$$anza. <p><I>Sia il pe$o A legato alla taglia di $otto, laquale habbia due girelle, i cui centri $iano BC, & la taglia di $opra habbia la girella co'l centro D; & $ia la corda EFGHKL MN riuolta d'intorno à tuttele gi- relle, laquale $ia legata in N, & in E dalla taglia di $opra; & $ia la po$$anza in O, che $o$tenga il pe $o A. Dico che il pe$o è vna volta & vn terzo tanto quanto è la po$$an za. Et percioche cia$cheduna delle</I> <marg><I>Per il</I> 1. <I>co volario della</I> V. <I>di que$to.</I></marg> <I>corde NM HG EF KL $o$tie- ne la quarta parte del pe$o A; & tutte in$ieme $o$tengono tutto il pe- $o; le tre HG EF KL in$ieme $o$ierranno le tre parti del pe$o A. Per laqual co$a il pe$o A ver$o tut te que$te in$ieme $arà come quattro à tre: & concio$ia che la po$$anza di O faccia il mede$imo, che $anno le corde HG EF KL tutte in$ie- me; peroche le $o$tiene tutte; $arà la po$$anza di O eguale à le tre HG EF KL in$ieme; & perciò il pe$o A ver$o la po$$anza di O $arà co- me quattro à tre, cioè vna volta, & vn cerzo. che bi$ognaua mo$trare.</I> <fig> <pb n=88> <p>Ma $e in O $arà la po$$an- za che moua il pe$o A. Dico lo $patio cor$o dal- la po$$anza di O e$$ere vna volta & vn terzo tan- to quanto è lo $patio del pe$o A mo$$o. <p><I>Stando le co$e mede$ime, $ia il centro B mo$$o in P; & C fin in Q; & D in R; & E in S nel- l'i$te$$o tempo: & $iano per li cen- tri condotte le linee ML<36>ZFG TV HK X<G>*u</G> egualmente di$tan ti, & dall' orizonte, & fra $e $te$- $e: $imilmente, come nella prece- dente $i dimo$trerà, le tre corde XH SE <G>*u</G>K e$$ere eguali alle quattro TG VF ZL <36>M. & percioche le tre XH SE <G>*u</G>K $o- no in$ieme tre volte tanto quanto lo $patio della po$$anza: ma le quattro TG VF ZL <36>M in- $ieme $ono quattro volte tāto quan to lo $patio del pe$o mo$$o; $arà lo $patio della po$$anza ver$o lo $pa- tio del pe$o, come la terza parte alla quarta parte. Ma la terza parte ver$o la quarta parte è come tre terzi à tre quarti, cioè come il tutto ver$o tre quarti, che è come quattro ver$o tre. Lo $patio dun- que della po$$anza allo $patio del pe$o mo$$o hà proportione di vna volta & vn terzo. che era damo- $trar$i.</I> <fig> <p><I>Ma $e la corda in E $arà inuolta d'in torno vn'altra girella, laqual cor-</I> <pb n=89> <HEAD>PROPOSITIONE XXII.</HEAD> <p>Se all'vna & l'altra di cia$cuna girella delle due taglie, l'vna del- le quali $ia $o$tenuta di $opra dalla po$$anza, & l'altra po$ta di $otto, & legata al pe$o, $arà condotta d'intorno la corda; con l'vno de $uoi capi legato in qualche luogo, & l'altro attaccato alla taglia di $opra. $arà la po$$anza vna volta & meza tanto quanto il pe$o. <p><I>Sia la girella ABC della taglia legata al pe$o D; & EFG la girella del- la taglia di $opra, il cui centro $ia H; $ia dapoi la corda KABCEFGL ri- uolta d'intorno alle girelle, & legata in L & in K alla taglia di $opra; & $ia in M la po$$anza, che $o$tiene il</I> <marg><I>Per la</I> 2. <I>di questo.</I></marg> <I>pe$o D. Dico che la po$$anza è vna volta & meza quanto è il pe$o. Hor</I> <marg><I>Per la</I> 15. <I>di questo.</I></marg> <I>percioche la po$$anza di E $o$tenente il pe$o D è la metà meno del pe$o D;</I> <marg><I>Per il</I> 2. <I>co rollario del la</I> 2. <I>di questo.</I></marg> <I>& la po$$anza di H è due volte quan to la po$$anza po$ta in E; $arà la po$- $anza di H eguale al pe$o D; & con cio$ia, che la po$$anza di K $ia la me- tà meno del pe$o D; $aranno ambe- due le po$$anze in$ieme po$te in HK vna volta & meza quanto il pe$o D. e$$endo adunque la po$$anza di M egua- le à due po$$anze in HK pre$e in$ie- me, $i come di $opra è $tato dichiarato; $arà la po$$anza di M vna volta & meza quanto il pe$o D. che bi$ogna- ua mo$trare.</I> <fig> <p><I>Ma $e la po$$anza che moue il pe$o $arà in M, $i mo$trerà $imilmente, come nelle precedenti, lo $patio del pe$o e$$ere vna volta & meza tanto quanto lo $patio della po$$anza.</I> <foot><I>Z</I></foot> <pb> <p><I>Et $e la corda in K $arà inuolta d'interno ad vn'altra girella, il cui centro $ia N; laquale dapoi $ta rilegata alla taglia di $otto in O; & la po$$anza di M $o$ten- ga il pe$o D. Dico la proportione della po$$anza al pe$o e$$ere vna volta, & vn terzo.</I> <p><I>Hor percioche la po$$anza di E che</I> <marg><I>Per la</I> 5. <I>di questo.</I></marg> <I>$o$tiene il pe$o D conla corda EC BAKPO è vn terzo di e$$o D,</I> <marg><I>Dalla</I> 15. <I>di questo.</I></marg> <I>& la po$$anza di H è due volte tanto quanto e$$o E; $arà la po$- $anza di H $otto $e$quialtera al pe- $o D. & nel modo iste$$o, per- cioche la po$$anza di O, laquale è come $e fo$$e nel centro della gi- rella ABC è vn terzo del pe$o</I> <marg><I>Per la</I> 3. <I>&</I> 15. <I>di questo.</I></marg> <I>D, & la po$$anza di N è due volte tanto quanto è e$$o O. $arà parimente la po$$anza di N $otto $e$quialtera al pe$o D. Per laqual co$a due po$$anze in$ieme po$te in HN $uperano il pe$o D d'vna terza parte, & $ono ver$o il detto D in ragione di vna volta & vn terzo. & concio$ia, che la po$$an- za di M $ia eguale alle due po$$an ze di HN pre$e in$ieme, $upere- ra mede$imamente la detta po$$an- za di M il pe$o D di vn terzo. Adunque la proportione della po$- $anza po$ta in M ver$o il pe$o D è vna volta, & vn terzo. che bi- $ognaua mo$trare.</I> <fig> <p><I>Che $e la po$$anza mouente il pe$o $a- rà in M, con modo $imile proue- ra$$i lo $patio del pe$o D e$$ere vna volta & vn terzo tanto quanto la po$$anza di M.</I> <p><I>Et $e la corda in O $arà inuolta d'in- torno ad vn'altra girella, laquale dapoi $ia legata alla taglia di $opra; nell'i$te$$o modo dimo$treremo la proportione della po$$anza M, che $o$tiene il pe$o e$$ere vna volta & vn quarto tanto quanto il pe$o. & $e in M $arà la po$$anza che moue, $imilmente mo$treraßilo $patio del pe$o e$$ere vna volta & vn quarto tan</I> <pb n=90> <I>to quanto lo $patio della po$$anza. & co$i procedendo in infinito ritrouereme qual $i voglia proportione $opraparticolare della po$$anza al pe$o, & $empre mostreremo la po$$anza, che $o$tiene il pe$o co$i e$$ere ver$o il pe$o, come lo $pa- tio del pe$o allo $patio della po$$anza, che moue il pe$o.</I> <p><I>Ma il mouimento della leua EG è come $e G $o$$e il $o$tegno, e$$endo la corda legata in L, & il pe$o, come $e fo$$e appiccato in E, & la po$$anza nel mezo. Ma della leua CA il $o$tegno è A, il pe$o nelmezo, & la po$$anza in C. & il K è il $o$tegno della leua PK, il pe$o in P, & la po$$anza nel mezo. Le qua- li co$e tutte $i dimo$treranno, come nelle precedenti.</I> <HEAD>PROPOSITIONE XXIII.</HEAD> <p>Se all'vna, & l'altra delle due girelle di due taglie, l'vna dellequa li $ia $o$tenuta di $opra dalla po$$anza, & l'altra po$ta à ba$$o, & legata al pe$o, $ia menata intorno la corda, legando am- bidue li $uoi capi in qualche luogo, non già nelle taglie; la po$$anza $arà eguale al pe$o. <foot><I>Z</I> 2</foot> <pb> <p><I>Sia la girella della taglia di $o pra ABC, il cui centro D; & la girella della taglia le- gata al pe$o H $ia EFG; il cui centro K; & $ia la cor da LEFGABCM ri- uolta d'intorno alle girelle & legatain LM; & $ia in N la po$$anza che $o- $tiene il pe$o H. Dico che la po$$anza di N è egua- le al pe$o H. Prenda$i il punto O douunque $i $ia nella corda AG. Hor percioche $e la po$$anza, che $o$tiene il pe$o H fo$</I> <marg><I>Per la</I> 2. <I>di questo.</I></marg> <I>$e in O, $arebbe la metà meno del pe$o H, & la</I> <marg><I>Per la</I> 15. <I>di questo.</I></marg> <I>po$$anza po$ta in D è due volte quanto è quella di O, ouero (che è l'i$te$$o) di N; $arà la po$$anza di N e- guale al pe$o H. che bi- $ognaua mo$trare.</I> <fig> <p>Et $e in N $arà la po$ $anza, che moue il pe$o. Dico, che lo $patio della po$$an- za po$ta in N è e- guale allo $patio del pe$o H mo$$o. <p><marg><I>Per la</I> 11. <I>di questo.</I></marg> <I>Percio che lo $patio del punto O mo$$o è due volte tanto quanto è lo $patio sì del pe</I> <marg><I>Per la</I> 16. <I>di questo.</I></marg> <I>$o H mo$$o, come della po$$anza N mo$$a; $arà lo $patio della po$$anza N allo $patio del pe$o H eguale.</I> <pb n=91> <HEAD>Altramente.</HEAD> <p><I>Stando le co$e i$te$$e. $ia tra- portato il centro della gi- rella ABC fin à P; & la girella habbia il $ito in QRS. Dapoi nell'i$te$$o tempo la girella EFG $ia in TVX, il cui centro $ia <G>*u</G>, & il pe$o $ia per uenuto in Z. $iano tira- te per i centri delle girel- le le linee GETX AC QS egualmente di$tanti dall' orizonte. & $i come nelle altre fu dimo$trato, le due corde AQ CS $a ranno eguali alle due cor- de XG TE; ma AQ CS in$ieme $ono due vol te tanto quanto lo $patio della po$$anza mo$$a; & le due XG TE in$ieme $imilmente $ono due vol- te tanto quanto lo $patio del pe$o; $arà dunque lo $patio della po$$anza egua le allo $patio del pe$o. che bi$ognaua mostrare.</I> <fig> <p><I>Che $e l'vna, & l'altra taglia haurà etiandio due girelle, i cui centri $iano ABCD, & la corda $ia inuolta d'intorno à tutte, la quale $ia rilegata in LM; $imilmen- te $i mo$trerà, che la po$$an- za di N è eguale al pe$o H. Peroche cia$cuna po$$anza po$ta in EF $o$tenente il pe$o è vn quarto del pe$o; & le po$$anze di CD $ono due volte tanto quanto quelle, che $ono in EF; $arà cia- $cuna po$$anza di CD la metà del pe$o H. Per la- qual co$a le po$$anze di CD pre$e in$ieme $aranno eguali al pe$o H. Et percioche la po$$anza di N è eguale à due po$$anze po$te in CD; $arà la po$$anza di N egua le al pe$o H.</I> <fig> <p><I>Et $e la po$$anza che moue $a- rà in N, con modo $imile $i mo$trerà lo $patio della po$ $anza e$$ere eguale allo $pa- tio del pe$o.</I> <p><I>Ma $e l'vna & l'altra taglia ha- uerà tre, ò quattro, oue- ro quante $i voglia girelle, $empre $i dimostrerà la po$- $anza di N e$$ere eguale al pe$o H; & lo $patio della po$$anza mouente il pe$o e$- $ere eguale allo $patio del pe $o mo$$o.</I> <p><I>Ma i mouimenti delle leue in que$ta maniera $ono di$po$ti, che il $o$tegno delle girelle della taglia di $opra, come AC della figura preceden- te è in C, il pe$o appiccato in A, & la po$$anza nel mezo in D. ma le leue delle girelle della taglia di $otto co$i $i mouono, che di e$$o GE il $o$tegno $ia E, il pe$o appiccato nel mezo, & la po$$anza in G.</I> <pb n=92> <HEAD>PROPOSITIONE XXIIII.</HEAD> <p>Se à tre girelle di due taglie, l'vna delle quali, che habbia vna gi rella $olamente $ia $o$tenuta di $opra dalla po$$anza, & l'altra po$ta di $otto con due girelle, & legata al pe$o, $arà girata in- torno la corda: e$$endo li due $uoi capi legat in qualche luo go, ma non già nella taglia di $opra: il pe$o $arà il doppio del la po$$anza. <p><I>Siano AB i centri delle girelle della taglia legata al pe$o C: & il D $ia il centro della girella di $opra; $ia dapoi la corda riuolta d'intorno à tutte le girelle, & rilegata in EF; & $ia in G la po$$anza, che $o- $tiene il pe$o C. Dico, che il pe$o C è due volte tanto quanto la po$$anza G. Hor percioche $e in HK fo$$ero due po$$anze, che $o- $tene$$ero il pe$o con due corde ri- uolte d'intorno alle girelle $olamen te della taglia di $otto, $arebbe per certo l'vna & l'altra po$$anza po-</I> <marg><I>Dalla</I> 7. <I>di questo.</I></marg> <I>$ta in KH vn quarto del pe$o C; Mala po$$anza di G è eguale alle po$$anze di HK pre$e in$ieme:</I> <marg><I>Dalla</I> 15. <I>di questo.</I></marg> <I>percioche è due volte tanto quan- to cia$cuna delle po$$anze di H, & K; $arà la po$$anza di G la metà del pe$o C. il pe$o dunque $arà il doppio della po$$anza. che bi$ognaua mo$trare.</I> <fig> <p>Et $e in G $arà la po$$anza mouente il pe$o. Dico che lo $patio della po$$an za è il doppio dello $pa- tio del pe$o. <fig> <p><I>Stando le co$e i$te$$e. $iano mo$$e le gi relle; $i dimo$trerà $imilmente am- bedue quelle corde LM NO e$- $ere eguali alle quattro PQ RS TV X<G>*u</G>. Ma LM NO in- $ieme $ono il doppio dello $patio della po$$anza di G mo$$a; & le quattro PQ RS TV X<G>*u</G> in$ieme $ono quattro volte tanto quanto lo $patio del pe$o mo$$o. Lo $patio dunque della po$$anza ver$o lo $patio del pe$o è come la metà ad vn quarto. Sarà dunque lo $patio della po$$anza allo $patio del pe$o il doppiò.</I> <pb n=93> <p><I>Di qui egli è da con$iderare in che modo $i faccia il mo uimento; percioche e$$en- do legata la corda in F, la leua NO nella prima figura haurà il $o$tegno in O, il pe$o nel mezo, & la po$$anza in N. $rmil. mente percioche la corda è rilegata in E, la leua PQ haurà il $o$tegno in P, & il pe$o ne, nezo, & la po$$anza in Q. On de le parti delle girelle di N & Q $i moueranno in sù; adunque le girelle $i moueranno non ad vna parte, ma in contrarie par ti, cioè vna alla de$tra, & l'altra alla $ini$tra. & percioche le po$$anze di NQ $on<*>le i$te$$e, che $ono in LM; le po$$an- ze dunque di LM e$$en- do eguali $i moueranno in sù. La leua dunque LM non $i mouerà in niuna delle parti. Per la qual co$a no anche la gi- rella $i girerà intorno. Co$i LM $arà come bi- lancia, il cni centro D, & li pe$i appiccati in LM $aranno eguali alla quar-</I> <fig> <I>ta parte del pe$o C; peroche cia$cheduna corda in LN MQ $o$tiene la quar ta parte del pe$o C; $i mouerà dunque tuttala girella, il cui centro è D in sù, ma non già voltera$$i intorno.</I> <foot><I>A a</I></foot> <pb> <p><I>Et $e la corda po$ta in F $iriuolgerà d'intorno à due altre girelle, i cui centri $iano HK l'aquale dapoi $ia rilegata in L; $arà la proportione del pe$o alla po$$anza vna volta & meza.</I> <p><marg><I>Per la</I> 9. <I>di questo.</I></marg> <I>Percioche $e fo$$ero quattro po$$anze in MNOI, cia$cheduna di loro $areb be vn $e$to del pe$o C. Per laqual co$a quattro po$$anze in$ieme in MN OI $aranno quattro $e$ti del pe$o C. & percioche due po$$anze in$ieme po $te in HD $ono eguali à quattro po$ $anze po$te in MNOI; & la po$- $anza di G è eguale alle po$$anze di DH; $arà la po$$anza di G egua- le à quattro po$$anze in$ieme po$te in MNOI; & perciò $arà quat- tro $e$ti del pe$o C. La proportio- ne dunque del pe$o C alla po$$anza di G è vna volta & meza.</I> <fig> <p><I>Et $e in G $arà la po$$anza, che moue, con modo $imile $i mo$trerà lo $patio della po$$anza e$$ere vna volta & meza tanto quanto lo $patio del pe$o.</I> <p><I>Et $e la corda di L $arà dauantaggio riuolta d'intorno due altre girelle, $i- milmente $i dimo $trerà la proportio- ne del pe$o alla po$$anza e$$ere vna volta, & vn terzo. Che $e in G $arà la po$$anza che moue, $i mo$tre- rà lo $patio della po$$anza e$$ere vna volta, & vn terzo quanto lo $patio del pe$o, & co$i di mano in mano procedendo in infinito ritroueremo qual $i voglia proportione $oprapar- ticolare del pe$o alla po$$anza. & $empre ritroueremo co$i e$$ere il pe$o ver$o la po$$anza che lo $o$tiene, co- me lo $patio della po$$anza che moue allo $patio del pe$o mo$$o dalla po$- $anza.</I> <pb n=94> <p><I>Il mouimento delle leue $i fa in que$to modo, la leua <G>*u</G> Z, e$$endo la corda legata in E ha il $o$tegno in <G>*u</G>, il pe$o attaccato in B nel mezo, & la po$$anza in Z. & la leua PQ hail $ostegno in P, la po$$anza nel mezo, & il pe$o in Q. Percioche bi$ogna, che le girelle, i cui centri $ono BD, $i mouano nella parte i$te$$a, cioè che QZ $i mouano all'insu. & percioche la corda è rilegata in L, $ara il T il $o$iegno della leua ST, che hail pe$o nel mezo, & la po$$anza in S; & percioche S $i moue all'insù, è co$a nece$$aria, che R anchora $i moua all'insù; & però, F $arà il $o$tegno della leua FR, & il pe$o $arà in R, & la po$$anza nel mezo. Le girelle dunque, i cui centri $ono HK $i mouono in parti contrarie di quelle, le quali hanno i centri BD; Per laqual co$a le parti del- le girelle PF nelle girelle inchineranno al ba$$o, cioè ver$o XV. La leua dun que VX non $i mouerà nè in vna, nè in altra parte, mouendo$i P & F al ba$$o; & VX $arà come leua, nel cui mezo $ia appiccato il pe$o, & in VX due po$$anze eguali alla $e$ta parte del pe$o C. Percioche le po$$anze di MO, cioè le corde PV FX $o$tengono la $e$ta parte del pe$o C. Adunque tutta la girella, il cui centro è A $i mouerà in sù in$ieme con la taglia, ma non già $i volgerà intorno.</I> <HEAD>PROPOSITIONE XXV.</HEAD> <p>Se à tre girelle di due taglie, l'vna delle quali habbia due girel- le, & $ia tenuta di $opra dalla po$$anza; & l'altra habbia vna $o la girella, & $ia po$ta di $otto, & legata al pe$o, $arà inuolta in torno la corda: e$$endo legato l'vn & l'altro de'$uoi capi in qualche luogo, ma non già nella taglia di $otto. La pos$anza $arà due volte tanto quanto il pe$o. <foot><I>A a</I> 2</foot> <pb> <p><I>Sia il pe$o A legato alla taglia di $otto, laquale habbia la girella $uä co'l centro B; ma la taglia di $opra habbia due girelle, i cui centri $iano CD, & $ia la corda inuolta d'intorno à tutte le girelle, & rilegata in EF; & la po$$anza che fo$tie- ne il pe$o $ia in G. Di- co la po$$anza di G e$$e- re due volte tanto quanto</I> <marg><I>Per il</I> 2. <I>co rollario del la</I> 2. <I>di questo.</I></marg> <I>il pe$o. A. Percioche $e in HK $o$$ero due po$$an ze, che $o$tene$$ero il pe- $o, l'vna & l'altra $areb-</I> <marg><I>Per la</I> 15. <I>di questo.</I></marg> <I>be la metà del pe$o A: ma la po$$anza di D è due volte tanto quanto la po$- $anza di H, & la po$$an za di C è due volte tanto quanto la po$$anza di K; Per laqual co$a due po$- $anze in$ieme po$te in CD $aranno il doppio di ambe- due le po$$anze di HK pre $e in$ieme. Male po$$an- ze di HK $ono eguali al pe$o A & le po$$anze di CD $ono etiandio eguali ad e$$a po$$anza di G; la po$$anza dunque di G $a- rà il doppio del pe$o A, che bi$ognaua mo$trare.</I> <fig> <p><I>Ma $e in G $arà la po$$anza mouente il pe$o, $imilmen te $i mo$trerà, come nella precedente lo $patio del pe$o e$$ere il doppio dello $patio della po$$anza.</I> <p><I>Qui parmente è da con$ide- rare, che la leua PQ non $i moue, peroche la leua LM hà il $o$tegno in L, la po$$anza nel mezo, & il pe$o in M. Mala leua NO hà il $o$tegno in O, la po$ $anza nel mezo, & il pe$o in N. Per laqual co$a M, & N $i moueranno all'in sù. Le girelle dunque, lequali hanno i centri CD $i mouono in parti contrarie. Onde la leua PQ non $i mouerà nè all'vna, nè all'altra parte; & $arà come $e fo$$e appiccato il pe$o nel mezo, & in PQ due po$$anze fu$$ero eguali alla metà del pe$o A. Peroche l'vna & l'altra po$$anza di HK è la metà del pe$o A.</I> <pb n=95> <I>Tutta la girella dunque il cui centro è B $i mouerà all'insù, ma non già $i volge- rà intorno.</I> <p>Et $e la corda di F $i volge$$e ancora d'intorno à due al- tre girelle, i cui centri $o$- $ero HK, laqual corda poi $ia legata in L; $arà la proportione della po$$an- za po$ta in G vna volta & meza quanto il pe$o A. <fig> <p><I>Percioche $e in MN OP fo$$ero quat tro po$$anze $o$tenenti il pe$o, cia-</I> <marg><I>Per la</I> 7. <I><*> questo.</I></marg> <I>$cheduna di loro $arebbe il quarto del pe$o A: ma concio$ia che la po$$an</I> <marg><I>Per la</I> 15. <I><*> questo.</I></marg> <I>za di K $ia il doppio della po$$anza di N; $arà la po$$anza di K vn quarto del pe$o A. & percioche la po$$anza po$ta in D è eguale al le due po$$anze MO; $arà ancho- rala po$$anza di D vn quarto del pe$o A. Et di più e$$endo la po$- $anza di C vn quarto della po$$an- za di P, $arà $imilmente la po$$an za di C vn quarto del pe$o A. Tre po$$anze dunque po$te in CDK $ono eguali à tre metà del pe$o A. Ma percioche la po$$anza di G è eguale alle po$$anze di CDK, $a- rà la po$$anza di G eguale alle tre metà del pe$o A. La proportio- ne dunque della po$$anza al pe$o è vna volta, & meza.</I> <p><I>Che $e in G $arà la po$$anza, che mo- ue, $arà lo $patio del pe$o vna volta & meza tanto quanto lo $patio del- la po$$anza.</I> <p><I>Et $e la eorda in L $arà inuolta da<*>an- <pb> tag gio d'intorno à due altre girelle, $imilmente $i mostrerà la proportio- ne della po$$anza al pe$o e$$ere vna volta & vn terzo. & co$i in infini to ritroueremo tutte le proportioni $opraparticolari della po$$anza al pe $o. & mo$treremo la po$$anza che $o$tiene il pe$o e$$ere co$i ver$o il pe- $o, come lo $patio d l pe$o mo$$o allo $patio della po$$anza che mo- ue il pe$o.</I> <fig> <p><I>Il mouimento delle leue $i farà in que- $to modo, cioè il Q $arà il $o$tegn<*> della leua QR, la po$$anza nel me zo, il pe$o in R; & della leua Z <36> il $o$tegno $arà il Z, il pe$o nel mezo, & la po$$anza in <36>. $imil- mente lo X $arà il $o$tegno della le ua VX, la po$$anza nel mezo, & il pe$o in V. & percioche lo V $i moue all'insù, $i mouerà all in sù lo <G>*u</G> ancora, & della leua <G>*u</G> F il $o- $tegno $arà F. Per laqual co$a F & Z nelle girelle $i moueranno in giù. & perciò la leua ST non $i mouerà nè in vna, nè in altna par- te; & ST $arà come bilancia, il cui centro $arà D, & i pe$i po$ti in ST $aranno eguali alla quarta parte del pe$o A. Peroche cia$cu- na corda SZ TF $o$tiene la quar- ta parte del pe$o A. La girellá dunque del centro D $i monerà al- l'insù, ma non $i volgerà intorno.</I> <p><I>Fin qui, $ono $tate dichiarate le propor tioni molteplici, & $otto molteplici che ha il pe$o alla po$$anza; & da- poi le proportioni $opraparticolari, & $otto $opraparticolari. Hora re- $ta, che $i manife$tino le proportio-</I> <pb n=96> <I>ni tra il pe$o, & la po$$anza $oprapartienti, & molteplici $opraparticolari, & molteplici $oprapartienti.</I> <p>Et dapoi le $opraparticolari, & le $otto $opraparticolari furono dichiarate. “Dal co no$cimento del $opraparticolare $i intende ageuolmente il $otto $opraparticolare che gli è oppo$to; pero che paragonando come è detto il 3. co'l 2. na$ce il $o- praparticolare, & per lo contrario il 2. co'l 3. $i produce il $otto $opraparticolare per la forza di quella voce $otto. <p>Hora re$ta &c. “Qui propone di trattare delle proportioni, che il pe$o hà con la po$ $anza nel genere $oprapartiente, & nel genere compo$to del molteplice $oprapar ticolare, & del molteplice $oprapa<*>tiente. il genere $o prapartiente è diuer$o dal $opraparticolare, che doue nel $opraparticolare vna quantità contiene l'altra vna ò più volte, & più parte, che può interamente numerare & l'vna, & l'altra: nel $oprapartiente contiene vna, ò più<*>volte, & dauantaggio parte che non le puo- te numerare, & mi$urare perfettamente, come il cinque contiene il 3. vna volta, & piu parte di e$$o, che è il 2. il quale non è mi$ura commune di ambidue loro, & $i denomina $oprabipartiente terze, pero che contiene vna volta, & piu due terze parti del contenuto. <p>Segue poi. Et le molteplici $opraparti<*>olari, che hò di $opra mo$trato. “Componen do due generi in$ieme il molteplice, & il $o praparticolare na$ce que$to moltepli- ce $o praparticolare, nelquale vna quantità contiene l'altra molte volte, & più par te di e$$a, che è mi$ura commune di<*>ambedue. La primiera $ua $petie è il 5. pa- ragonato co'l due, che lo contiene due volte, & piu la metà di lui, cioè vno, mi- $ura di ambedue. Chiama$i que$ta proportione doppia $e$quialtera. Mettendo parimente in$ieme il genere molteplice co'l $oprapartiente, $i fa il molteplice $o- prapartiente, il quale è differente dal $o pradetto per ri$petto che in lui la maggior quantità contiene la minore molte volte, & piu parte di e$$a, che non puote e$$e- re loro mi$ura commune; la prima $petie del qual genere è come 8. à 3. peroche l'otto contiene il 3. due volte, & piu parte di e$$o 3. cioè 2. che non gli puo mi$u rare ambidue, concio$ia che il 2. non puo mi$urare il 3. come fà l'otto per e$$ere que$ti due numeri 8. & 3. tra $e primi. & chiama$i proportione doppia $oprabi- partiente. Vuole dunque l'autore andar inue$tigando le proportioni fra il pe$o, & la po$$anza ne i predetti generi an cora, come hà fatto ne gli altri. <p>Da que$te poche co$e, lequali hò qui narrato per ageuolare l'intédimento de i voca- boli pertinenti alle proportioni po$te da l'autore, $i potrà facilmente con qual- che $tudio comprendere tutta la $omma delle vltime dimo $trationi della taglia, nelle quali $ono que$ti vocaboli di proportioni, quantunque in ogni loco qua$i con gli e$$empi $tes$i de' numeri $iano dall'autore manife$tate. <HEAD>PROPOSITIONE XXVI.</HEAD> <HEAD>PROBLEMA.</HEAD> <p>Se vogliamo trouare la proportione $oprapartiente, come $e la proportione, laquale hà il pe$o alla po$$anza che $o$tiene il pe $o $arà $oprabipartiente, come il cin que à tre. <p><marg><I>Per la</I> 9. <I>di questo.</I></marg> <I>Ponga$i la po$$anza in A, the $o- $tenga il pe$o B, & il pe$o B habbia proportione alla po$$an- za A, come cinque ad vno; cioè $ia la po$$anza di A vn quin to del pe$o B: dapoiriuolgendo la corda i$te$$a d'intorno ad altre</I> <marg><I>Per la</I> 17. <I>di questo.</I></marg> <I>girelle, ritroui$i la po$$anza di C, laquale $ia tre volte tanto quan- to la po$$anza di A. Et percio che il pe$o B alla po$$anza po- $ta in A è come cinque ad vno; & la po$$anza di A alla po$$an za di C è come vno ver$o tre, $a rà il pe$o B ver$o la po$$anza di C come cinque à tre, cioè $o- prabipartiente.</I> <fig> <p><I>Et à que$to modo tutte le proportio- ni $oprapartienti del pe$o alla po$ $anza $i troueranno; come $e la proportione $opratrepartiente vor rà alcuno trouare, proceda con l'ordine iste$$o: cioè $accia$i che la po$$anza di A $ostenente il pe- $o B $ia vn $ettimo del pe$o B; Dapoi $i faccia, che la po$$anza di C $ia quattro volte tanto quan to è quella di A; $arà il pe$o B ver$o la po$$anza di C, come $et te à quattro; cioè $opratrepar- tiente.</I> <p>Ma $e in C $arà la po$$an- za mouente il pe$o, $arà lo $patio della po$$anza $oprabipartiente allo $pa tio del pe$o. <p><marg><I>Per la</I> 17. <I>di questo.</I></marg> <I>Per cioche lo $patio della po$$anza po$ta in C è la terza parte della $patio della po$$anza po$ta in A,</I> <pb n=97> <I>cioè, che co$i $ono tra loro, come il cinque al quindici: & lo $patio della po$$anza</I> <marg><I>Per la</I> 14. <I>di questo.</I></marg> <I>di A è cinque volte tanto quanto lo $patio del pe$o B, cioè come quindici à tre. $arà dunque lo $patio della po$$anza posta in C ver$o lo $patio del pe$o B come cinque à tre; cioè $oprabipartiente: & $empre dimostreremo, co$i e$$ere lo $patio della po$$anza che moue allo $patio del pe$o; come il pe$o alla po$$anza che lo $o- $tiene.</I> <p><I>Et con ragione del tutto $imile ritroueremo la proportione $oprapartiente della po$$an za al pe$o. Peroche $e C fo$$e di $otto, & in e$$o fo$$e appiccato il pe$o; & il B di $opra, nelquale fo$$e la po$$anza che in C $o$tiene il pe$o, $arebbe la po$- $anza di B $oprabipartiente al pe$o appiccato in C: e$$endo il B allo A come</I> <marg><I>Per la</I> 18. <I>& per la</I> 5. <I>di questo.</I></marg> <I>cinque ad vno; ma A al C come l'vno al tre.</I> <p>Ma $e vorremo trouare la proportione molteplice $oprapartico- lare; come $e la proportione, laquale ha il pe$o alla po$$anza, che lo $o$tiene $ia doppia $e$quialtera, come cinque à due. <p><I>Nell'i$te$$o modo, co'l quale ritrouiamo le $oprapartienti, ritroueremo ancora tutte que ste molteplici $opraparticolari. Come faccia$i il pe$o po$to in B alla po$$anza di A,</I> <marg><I>Per la</I> 9. <I>di questo.</I></marg> <I>come il cinque all'vno; & la po$$anza di C alla po$$anza di A come il due all'vno; co$a che $i farà, $ela corda $arà rilegata in D, ouero in E; ma non già alla ta-</I> <marg><I>Per la</I> 15. <I>&</I> 16. <I>di questo.</I></marg> <I>glia di $opra; $arà il pe$o B alla po$$anza di C, come il cinque al due, cioè dop- pio $e$quialtero.</I> <p><I>Et per lo contrario ritrouaremo la proportione molteplice $opraparticolare della po$- $anza al pe$o; & come nelle altre $i mo$trerà co$i e$$ere lo $patio della po$$anza che moue allo $patio del pe$o, come il pe$o alla po$$anza, che lo $ośtiene.</I> <p>Con l'i$te$$o modo ritrouaremo ancora ogni proportione $opra- partiente; come $e la proportione, laquale ha la po$$anza co'l pe$o, $arà doppia $oprabipartiente, come l'otto al tre. <p><I>Faccia$i la po$$anza po$ta in A $o$tenente il pe$o B vn'ottauo del pe$o B, &</I> <marg><I>Per la</I> 9. <I>di questo.</I></marg> <I>la po$$anza di C $ia vn terzo della po$$anza di A; $arà il pe$o B alla po$$an za di C, come l'otto al tre. & per lo contrario ritroueremo ogni proportione mol</I> <marg><I>Per la</I> 17. <I>di questo.</I></marg> <foot><I>B b</I></foot> <pb> <I>replice $oprapartiente della po$$anza al pe$o. & come nelle altre ritrouaremo co$i e$$ere il pe$o alla po$$anza che lo $o$tiene, come lo $patio della po$$anza che moue allo $patio del pe$o.</I> <p><I>Ma egli è da notare, che benche più volte $ia $tato detto nelle demo$irationi prece- denti, la po$$anza $o$tenente il pe$o e$$ere due volte tanto quanto e$$o pe$o, ò tre, & co$i di mano in mano, come nella decimaquinta di questo è $tato mo$trato; non- dimeno percioche la po$$anza $o$liene non $olamente il pe$o, ma la taglia ancora, però egli pare, che $ia me$tieri porre la po$$anza di molto maggiore virtù, & di pro- portione maggiore ver$o il pe$o. ilche è vero, $<*> vogliamo con$iderare etiandio la grauezza della taglia. Ma percioche cerchiamo la proportione che è fra la po$- $anza & il pe$o, però habbiamo trala$ciato cote$ta grauezza della taglia, laquale $e alcuno vorrà anche con$iderare, alla po$$anza potrà aggiungere $orza che $ia eguale alla taglia. ilche mede$imamente $i potrà o$$eruare nella corda. & $i co- me habbiamo <*>ò con$iderato nella decimaquinta, l'i$te$$o parimente nelle altre po- tremo con$iderare.</I> <pb n=98> <p><I>Egli è me$tieri $apere etiandio, che $i come tut- te le proportioni tra la po$$anza, & il pe$o $ono $tate ritrouate con vna $ola corda: co$i ancora potranno$i le i$te$$e ritrouare con più corde, & con più taglie. come $e vorremo ritrouare la proportione molteplice $oprapar ticolare con più corde, cioè $e la proportio- ne, laquale hà il pe$o alla po$$anza che lo $o $tiene $arà doppia $e$quialtera, come cinque à due; bi$ogna comporre que$ta proportione da più proportioni come per gratia di e$$em- pio dalla proportione $e$quiquarta, che è il cinque al quattro, & dalla doppia, che è il quattro al due. Ponga$i dunque la po$$an-</I> <marg><I>Per la</I> 21. <I>di questo.</I></marg> <I>za di A che $o$tenga il pe$o B, alla qua- le il pe$o habbia la proportione di vna volta & vn quarto, come cinque à quattro: da</I> <marg><I>Per la</I> 2. <I>di questo.</I></marg> <I>poi con vn'altra corda $i troui la po$$anza di C, della quale $ia doppia la po$$anza di A. & percioche il B all' A è come cin- que à quattro: & l' A. al C come il quat- tro al due: $arà la po$$anza di B alla po$- $anza di C come il cinque al due; cioè ha- urà la proportione doppia $e$quialtera.</I> <fig> <p><I>Et è da ßotare pote $i trouar' anche que$ta pro- portione, $e comporremo la proportione di cinque à due da più, come cinque à quindici, & il quindici al venti, & il venti al due. Et in que$to modo ritroueremo non $olo ogni al- tra proportione, ma qualunque $i $ia in mol- ti, & in$initi modi ritroueremo. percioche ogni proportione $i può comporre di propor- tioni in$inite. come è manife$to nel commen- tario di Eutocio nella quarta propo$itione del $econdo libro di Archimede della s$era, & Cilindro.</I> <p>Po$$iamo ancora v$are più corde: & adoperare le taglie di $otto $ola- mente, ouero quelle di $opra. <foot>B b 2</foot> <pb n=99> <p><I>Sia poi il pe$o A legato alla fune, la- quale $ia inuolta d'intorno alla girel- la della taglia di $opra, & rilegata in B, & $ia la po$$anza di C che $o $tenga il pe$o A; $arà la po$$anza di C due volte tanto quanto il pe$o</I> <marg><I>Per la</I> 15. <I>di questo.</I></marg> <I>A: dapoi C $ia rilegata ad vn'al- tra fune, laquale $ia rinuolta d'intor no la girella d'vn'altra taglia, & ri- legata in D; $arà la po$$anza di E</I> <marg><I>Per la isse$ $a.</I></marg> <I>due volte tanto quanto la po$$anza di C. Per laqual co$a la po$$anza di E $arà quattro volte tanto quan- to il pe$o A. Et $e dauantaggio lo E $i rilegherà ad vn'altra fune, laquale $ia inuolta dintorno' alla gi- rella d'vn'altra taglia ancora, & $ia rilegata in F; $arà la po$$anza di G due volte tanto quanto la po$$anza di E. Adunque la po$$anza po$ta in G è otto volte tanto quanto il pe $o A; & co$i in in$inito ritrouere- mo $empre la po$$anza e$$ere due vol te tanto quanto la po$$anza prece- dente.</I> <fig> <p><I>Ma $e in G fo$$e la po$$anza che moue, $arà lo $patio del pe$o otto volte tan to quanto lo $patio della po$$anza po $tain G: percioche lo $patio del pe-</I> <marg><I>Per la</I> 16. <I>di questo.</I></marg> <I>$o A è due volte tanto quanto lo $patio della po$$anza posta in C, & il C è due volte tanto quanto è lo $patio di e$$o E. Per laqual co$a lo $patio del pe$o A $arà quattro vol te tanto quanto lo $patio della po$$an za di E. $imilmente percioche lo $patio di E è due volte tanto quan- to è lo $patio della po$$anza po$ta in G; $arà dunque lo $patio del pe$o A otto volte tanto quanto lo $patio della po$$anza po$ta in G.</I> <HEAD>COROLLARIO.</HEAD> <p>Da que$te co$e è manife$to, che $empre lo $patio della po$$anza che moue ha proportione maggiore ver$o lo $patio del pe$o mo$$o, di quel che ha il pe$o ver$o la mede$ima po$$anza. <p><I>Que$to è chiaro da quelle co$e lequali $ono $tate dette nel corollario della quarta pro- po$itione di que$to nella leua.</I> <HEAD>PROPOSITIONE XXVII.</HEAD> <HEAD>PROBLEMA.</HEAD> <p>Che $i moua vn pe$o dato da vna po$$anza data con le taglie. <p><I>La po$$anza data ò che ella è maggiore, ouero eguale, ò pure minore del pe$o dato.</I> <p><I>Se è maggiore, all'hora la po$- $anza, $enza altro $tromen- to, ò fune inuolta d'intor- no alla girella della taglia</I> <marg><I>Per la</I> 1. <I>di questo.</I></marg> <I>appiccata di $opra, mouerà il pe$o dato. percio che po$ $anza minore della data pe $a tanto quanto il pe$o, adunque la data, che è mag giore mouerà. L'i$te$$o $i può fare in tutte le propo- $itioni nelle quali la po$$an- za, che $o$tiene il pe$o è $ta ta dimo$trata ò eguale, ò minore del pe$o.</I> <fig> <pb n=100> <p><I>Ma $e eguale mouerà il pe$o e$$endo la fune inuolta d'intorno al la girella della ta- glia legata al pe$o,</I> <marg><I>Per la</I> 2. <I>di questo.</I></marg> <I>percio che la po$$an- za che $o$tiene il pe $o è la metà del pe- $o. la po$$anza dun- que eguale al. pe$o mouerà il pe$o da- to. ilche parimen- te $i puote fare $e- condo le propo$itio- ni, nellequali $i è mo$trato la po$$an- za e$$ere minore del pe$o.</I> <fig> <p><I>Che $e è minore, $ia il pe$o dato come $e$$anta, & la po$$anza che moue $ia da- ta come tredici. Troui$i la po$$anza di A, che $o $tenga il pe$o B, laquale</I> <marg><I>Per la</I> 9. <I>di questo.</I></marg> <I>$ia vn quinto del pe$o B. & percioche la po$$anza di A che $o$tiene il pe$o è come dodici; adunque po$$anza maggiore di do- dici po$ta in A mouerà il pe$o B. Per laqual c<*> $ala po$$anza come tredi- ci po$ta in A mouerà il pe$o B. che bi$ognaua fare.</I> <fig> <p><I>Egli è parimente da auerti- re nel mouere i pe$i, che la po$$anza alcuna volta meglio for$e moue mouen- do$i in giù, che mouendo$i in sù. come volga$i dauan taggio la fune d'intorno ad vn'altra girella della ta- glia di $opra, il cui centro $ia C, & la fune per- uenga in D; $arà la po$-</I> <marg><I>Per la</I> 5. <I>di questo.</I></marg> <I>$anza di D $o$tenente il pe$o B $imilmente dodi- ci, $i come ella erain A. Però la po$$anza di tredici po$ta in D mouerà il pe- $o B. & percioche $i moue in giù, for$e tirerà più facilmente, che $e fo$- $e po$ta in A, ma il tem po è l'i$te$$o, $i come egli era etiandio in A.</I> <pb n=101> <HEAD>PROPOSITIONE XXVIII.</HEAD> <HEAD>PROBLEMA.</HEAD> <p>Sia propo$to à noi il fare, che la po$$anza mouente il pe$o, & il pe$o $i mouano per gli $patij dati, i quali $ia- no fra loro commen- $urabili. <p><I>Sia dato lo $patio della po$$anza</I> <marg><I>Per la.</I> 22. <I>di questo.</I></marg> <I>come tre, & del pe$o come quattro. ritroui$i la po$$anza di A $o$tenente il pe$o B, la quale $ia vna volta, & vn ter- zo quanto il pe$o, come quat- tro à tre. Se dunque in A</I> <marg><I>Per <*>istof-fa.</I></marg> <I>fo$$e la po$$anza mouente il pe$o; $arebbe lo $patio del pe- $o vna volta, & vn terzo quanto lo $patio della po$$an- za, cioè come quattro à tre; che bi$ognaua fare.</I> <fig> <p><I>Ciò po$$iamo menar ad effetto con vna $ola fune per le co$e det- te nella vige$ima $econda, & nella vige$ima quinta di que- $to. che $e ciò vorremo fare con più funi, potremo porlo in opra non $olo con molti, ma con modi infiniti, come di $opra è detto. Per laqual co- $a ciò ben po$siamo affermare,</I> <marg><I>Nella</I> 26. <I>di questo.</I></marg> <I>che pare co$a marauiglio$a, cioè.</I> <HEAD>CROLLARIO I.</HEAD> <p>Da que$te co$e e$$ere manife$to, Qualunque data proportione ne i numeri tra il pe$o, & la po$$anza; & tra lo $patio del pe$o mo$$o, & lo $patio della po$$anza mo$$a; poter$i trouare con le taglie in modi infiniti. <HEAD>COROLLARIO II.</HEAD> <p>Dalle co$e dette è manife$to etiandio che quanto più facilmen- te $i moue il pe$o, tanto maggiore e$$ere etiandio il tempo; ma quanto più difficilmente, tanto minore e$$ere: & co$i per lo contrario. <HEAD>IL FINE DELLA TAGLIA.</HEAD> <pb n=102> <HEAD>DELL'ASSE</HEAD> <HEAD>NELLA ROTA.</HEAD> <fig> <p>La fabrica, & compo$itione di que$to i$trumento in$egna Pappo nell'ottauo libro delle raccolte ma- tematiche: & chiama a$$e AB, & timpano CD d'intorno al centro mede$imo (che noi diremo ro- ta) & noma$citale quei ba$toni i quali $ono fic- cati ne'buchi della rota notate per EFGH, & le altre $uc- ce$$iuamente, che noi pur diremo raggi. talche la po$$anza, <foot><I>Cc</I> 2</foot> <pb> laquale è $empre ne i raggi, come in F, mentre ella volge intorno la rota, & l'a$$e, moua anco in sù il pe$o K appicca- to all'a$$e con la corda LM riuolta d'intorno all'a$$e. A noi re$ta dunque, di mo$trare, perche i gran pe$i da piccola forza, <fig> & in che modo etiandio $i mouano con que$to i$trumento: & di più manife$tare la ragione del tempo, & dello $patio del- la po$$anza mouente, & del pe$o mo$$o fra loro, & ridurre l'v- $o di cote$to i$trumento alla leua. <pb n=103> <HEAD>PROPOSITIONE I.</HEAD> <p>La po$$anza $o$tenente il pe$o con l'a$$e nella rota, ha la propor- tione mede$ima al pe$o, che il mezo diametro dell'a$$e al me- zo diametro della rota in$ieme co'l raggio. <fig> <p><I>Sia il diametro dell'a$$e AB, & il $uo centro C; $ia il diametro della rota DCE d'intorno al centro mede$imo; & $iano AB DE nell i$te$$a linea retta; $iano dopo li raggi eguali tra loro, & egualmente di$tanti DF GH, & gli altri ne' bu- chi della rota; & $ia FE egualmente di$tante dall'orizonte, & il pe$o K $ia <pb> appiccato alla corda BL volubile d'intorno all'a$$e. & la po$$anza po$ta in F $o$tenga il pe$o K. Dico che la po$$anza in F co$i $i hà al pe$o K, come CB à CF. Faccia$i come CF à CB, co$i il pe$o K ad vn altro pe$o come M, il quale $ia appi<*>ato in F. & percioche i pe$i MK $ono appiccati in - FB; $arà FB come leua, ouero bilancia; ma percioche il C è punto immobile, d'intorno</I> <fig> <marg><I>Per la</I> 6. <I>del</I> 1. <I>d' Ar chimede del le co$e che pe$anoegual mense.</I></marg> <I>alquale l'a$$e, & la rota $i riuolgono; $arà C il $o$tegno della leua FB, ouero il centro della bilancia. & per e$$ere co$i CF à CB come K ad M, i pe$i KM pe$eranno egualmente. La po$$anza dunque di F $o$tenente il pe$o K contra- pe$erà egualmente con e$$o pe$o K accioche egli non chini al ba$$o, & $arà eguale ad M. Percioche la po$$anza opera il mede$imo che il pe$o M. dunque il pe$o K</I> <pb n=104> <I>$arà alla po$$anza di F, come CF à CB, & conuertendo la po$$anza $arà al pe$o, come CB à CF, cioè il mezo diametro dell'a$$e al mezo diametro della rota</I> <marg><I>Per lo corol lario della</I> 4. <I>del</I> 5.</marg> <I>in$ieme co'l raggio DF. $imilmente mo$trera$$i anco, che $e la po$$anza $o$tenente il pe$o fo$$e in Q, all'hora $o$terrebbe con la leua CQ; & haurebbe quella pro-</I> <marg><I>Per la</I> 2. <I>di questo della leua.</I></marg> <I>portione al pe$o, che CB haue à CQ; cioè il mezo diametro dell'a$$e al mezo dia- metro della rota in$ieme co'l raggio EQ, che bi$ognaua dimo$trare.</I> <HEAD>COROLLARIO.</HEAD> <p>Egli è manife$to che la po$$anza $empre è minore del pe$o. <p><I>Percio che il mezo diametro dell'a$$e $empre è minore del mezo diametro della rota. & la po$$anza in tanto è minore del pe$o, in quanto il mezo diametro dell'a$$e è mi nore del mezo diametro della rota in$ieme co'l raggio. Per laqual co$a quanto è più lungo CF, ouero CQ; & quanto è più corto CB, tanto anco $empre minore po$$an za po$ta in F, ouero in Q, $o$tenterà il pe$o K. percioche quanto minore è CB, tanto il mezo diametro dell'a$$e, haurà proportione minore al mezo diametro della rota in$ieme co'l raggio.</I> <p><I>In que$to loco occorre da e$$ere con$iderato, che $e il pe$o $arà appiccato in vn'altro raggio, come in T, che $o$tenga il pe$o K, in modo cioè, che il pe$o appiccato in T, & il pe$o K po$to d'intorno all'a$$e rimangano; $arà il pe$o in T più graue del pe$o M appiccato in F. Percioche $ia congiunta TB, & dal punto C $ia tirata la CI à piombo dell'orizonte, laquale tagli la TB in I; & alla fine con giunga$i TC, laquale $arà eguale à CF. Et percioche i pe$i $ono appiccati in TB $i haueranno in modo come $e haue$$ero i centri delle grauezze loro in TB, come dianzi fu detto. & percbe rimangono, $arà il punto I per la prima di que- $to della bilancia, il centro della grauezza di ambidue in$ieme, per e$$ere CI à piom</I> <marg><I>Per la</I> 29. <I>del primo.</I></marg> <I>bo dell'orizonte. Ma percioche l'angolo BCI è retto, $ara BIC acuto, & la linea BI $arà maggiore di e$$a BC. Per laqual co$a l'angolo CIT $arà ottu$o,</I> <marg><I>Per la</I> 13. <I>del primo.</I></marg> <I>& perciò la linea CT $arà maggiore di TI. Et concio$ia che CT $ia maggiore di TI, & IB maggiore di BC; haurà TC proportione maggiore à CB, che TI ad IB; & conuertendo BC haurà proportione minore à CT, cioè à CF, che BI ad IT, come per la vige$ima$e$ta del quinto de gli elementi; ($econdo il Commandino) è mani$e$to. Ma percioche il punto I è centro della grauezza de' pe$i $tanti in TB, $arà il pe$o po$to in T al pe$o po$to in B, come</I> <marg><I>Per la</I> 6. <I>del</I> 1. <I>di Ar chimede del le co$e che pe$ano egual mente.</I></marg> <I>BI ad IT. ma il pe$o in F $i hà al pe$o mede$imo in B, come BC à CF; dunque il pe$o in T haurà proportione maggiore al pe$o in B, che il pe$o in F a'li$te$$o pe$o in B. adunque $arà più graue il pe$o in T, che il pe$o in F.</I> <p><I>Che $e in loco del pe$o in T $i porrà vna po$$anza animata, che $o$tenga il pe$o K, laquale in maniera $i inchini, come $e vole$$e andare al centro del mondo, come di</I> <marg><I>Per la</I> 10. <I>del</I> 5.</marg> <I>$ua propria natura $à il pe$o appiccato in T; $arà que$ta $te$$a eguale al pe$o ap- <pb> piccato in T, altramente non $o$tentarebbe, laquale veramente $arà maggiore della po$$anza collocata in F. percioche $i come $i ha il pe$o di T al pe$o di F, co$i ha$$i anco la po$$anza di T alla po$$anza di F, per e$$ere le po$$anze eguali a' pe$i. Ma $e cia$cheduna po$$anza pre$a $eparatamente $o$tenente il pe$o tanto in T quanto in F, $econdo la circonferenza THFN, $i vole$$e mouere, come $e il raggio fo$$e pre$o con vna mano; all'hora la mede$ima po$$anza po$ta in F, ouero in T, potrà $o$tenere l'i$te$$o pe$o K; concio$ia, che ponga$i pure nella $tre mità di qual $i voglia raggio, $empre verrà ad e$$ere egualmente di$tante dall'i$te$- $o centro C, & ad hauere la $ua inclinatione $econdo la circon$erenza i$te$$a egual mente di$tante $empre dal centro mede$imo. ne come fa il pe$o di $ua propria na- tura più de$idera e$$ere portata nel centro, che mouer$i in cerchio: percioche riguar- da l'vno, & l'altro, ouero qual $i voglia altro mouimento $enza veruna differenza in tutto. Per laqual co$a non i$ta il fatto nel modo i$te$$o, $e ouero i pe$i, ouero le po$$anze animate $aranno po$te ne' luoghi mede$imi per far l'i$te$$o officio.</I> <p><I>Mala po$$anza moue il pe$o con la leua FB, cioè mentre la po$$anza di F volge in- torno la rota, gira intorno anche l'a$$e, & FB $i fà come leua, il cui $o$tegno è C; la po$$anza mouente in F, & il pe$o è appiccato in B: & mentre il punto F peruiene in N il punto H $arà in F, & il punto B $arà in O; per modo che la tirata linea NO pa$$i per C; & nell'i$te$$o tempo il pe$o K $arà mo$$o in P, per modo che OBP $ia eguale ad e$$o BL, e$$endo la i$te$$a corda.</I> <p><I>Dapoi dalla quarta di que$to della leua ageuolmente caueremo co$i e$$ere lo $patio del la po$$anza che moue allo $patio del pe$o mo$$o, come il mezo diametro della rota in$ieme co'l raggio al mezo diametro dell'a$$e, cioè come CF à CB; per e$$ere</I> <marg><I>Per la</I> 4. <I>di questo della leua.</I></marg> <I>la circonferenza FN ver$o BO, come CF à CB. Et percioche BL è egua le ad OBP, leuata via la commune BP, $arà OB eguale ad e$$a PL. Per la qual co$a FN che è lo $patio della po$$anza ver$o PL $patio del pe$o, $arà come CF à CB, cioè il mezo diametro della rota in$ieme co'l raggio al mezo diametro del- <*>a$$e. Laqual co$a parimente mo$trera$$i, $tando la po$$anza in Q, ouero in qual $i voglia altro raggio, come in S. concio$ia, che e$$endo li raggi fra lcro eguali, & egualmente di$tanti; $ia doue $i voglia la po$$anza mo$$a con velocità eguale, tra- pa$$erà $empre in tempo eguale $patio eguale, cioè da Q in R, ouero da S in T $i mouerà nel mede$imo tempo, che da F in N. ma in quel tempo che la po$$anza $i moue da F in N, nel mede$imo in tutto anco il pe$o K da L $i moue in P. adunque $ia doue $i voglia la po$$anza, $arà lo $patio della po$$anza allo $patio del pe$o mo$$o, come CF à CB, cioè come il mezo diametro della rota co'l raggio al mezo diametro dell'a$$e.</I> <pb n=105> <HEAD>COROLLARIO I.</HEAD> <p>Da que$te co$e è manife$to, che co$i è il pe$o alla po$$anza $o$te- nente il pe$o, come lo $patio della po$$anza mouente allo $pa tio del pe$o mo$$o. <fig> <HEAD>COROLLARIO II.</HEAD> <p>Egli è manife$to etiandio, che lo $patio della po$$anza mouen- te hà $empre maggiore proportione allo $patio del pe$o mo$- $o, che il pe$o alla $te$$a po$$anza. <foot><I>Dd</I></foot> <pb> <p><I>Oltre à ciò quanto il cerchio FHN d'intorno à i raggi è più grande, tanto anco $i con$umerà più tempo in mouere il pe$o, pur che la po$$anza $i moua con eguale ve-</I> <marg><I>Per la</I> 23. <I>dell'estano li bre di Pappe.</I></marg> <I>locità; & il tempo tanto $arà maggiore quanto il diametro dell'vno $arà maggiore del diametro dell'altro; percioche le circonferenze de'cerchi $i hanno come i diame tri. & concio$ia, che per la trige$ima $e$ta del quarto libro di Pappo delle raccolte</I> <fig> <I>matematiche po$$iamo ritrouare le circonferenze eguali di due cerchi di$uguali; per- ciò ritroueremo anche il tempo à que$to modo delle portioni di$uguali de' cerchi. Ma per lo contrario quanto $arà maggiore la circonferenza dell'a$$e, il pe$o mouera$$i più pre$to in sù, percioche maggior parte della corda BL in vno giro compiuto, $i riuolge d'intorno al cerchio ABO, che $e fo$$e minore, per e$$ere la corda inuolta eguale alla circonferenza del cerchio, d'intorno alquale $i riuolge.</I> <pb n=106> <HEAD>COROLLARIO.</HEAD> <p>Da que$te co$e è manife$to, che quanto più ageuolmente $i mo ue il pe$o, tanto il tempo è anco maggiore; & quanto più ma- lageuolmente, tanto il tempo e$$ere minore. & co$i per lo contrario. <HEAD>PROPOSITIONE II.</HEAD> <HEAD>PROBLEMA.</HEAD> <p>Far che $i moua vn dato pe$o, con l'a$$e nella rota da vna data po$$anza. <p><I>Sia il dato pe$o $e$$anta, & la po$$anza come dieci. Faccia$i vna linea retta AB, laquale $i diuida in C, $i fattamente che AC habbia la proportione i$te$$a à CB, che ha $e$$anta à diece. & $e CB fo$$e il mezo diametro del- l'a$$e, & CA il mezo dia</I> <marg><I>Per la prece dente.</I></marg> <I>metro della rota co'raggi; egli è chiaro, che la po$$an- za come dieci po$ta in A</I> <marg><I>Per il lemma nella pri ma di questo della leua.</I></marg> <I>pe$erebbe egualmente co'l</I> <fig> <I>pe$o $e$$anta po$to in B. ma pigli$i tra BC qual $i voglia punto, & $ia D; & faccia$i BD il mezo diametro dell'a$$e, & DA il mezo diametro della rota co'rag gi, & ponga$i il pe$o $e$$anta in B con vna corda inuolta d'intorno all'a$$e, & la po$</I> <marg><I>Per la</I> 11. <I>di questo della leua.,</I></marg> <I>$anza in A. Hor percioche AD ha proportione maggiore à DB, che AC à CB: haur à proportione maggiore AD à DB, che il pe$o $e$$anta appiccato in B alla po$$anza di dieci posta in A. Per laqual co$a la po$$anza di A mouerà il pe$o di $e$$anta con l'a$$e nella rota, il mezo diametro delquale è BD, & DA è il mezo diametro della rota co'raggi. ilche era da far$i.</I> <foot><I>Dd</I> 2</foot> <pb> <HEAD>Altramente.</HEAD> <p>Ma Mecanicamente meglio $arà in que$to modo. <p><I>Ponga$i l'a$$e, il cui mezo diametro $ia BD, & il centro $uo C, ilquale a$$e $ta- tuiremo maggiore, ò minore, come la grandezza, & grauezza del pe$o ricerca. Allunghi$i po$cia la li- nea BD fin ad A; & faccia$i BC à CA, co me diece à $e$$anta., & $e CA fo$$e il mezo dia metro della rota co'rag gi, la po$$anza di diece</I> <fig> <I>po$ta in A pe$erebbe egualmente co'l pe$o di $e$$anta po$to in B. Ma allunghi$i, BA dalla parte di A, & in que$ta allungata linea prenda$i qual $i voglia punto come E, & faccia$i CE il mezo diametro della rota co'raggi; & pong a$i la po$- $anza di diece in E; haurà EC a CB proportione maggiore, che il pe$o $e$$anta po$to in B alla po$$anza di diece po$ta in E. Dunque la po$$anza di diece po$ta in E mouerà il pe$o $e$$anta appiccato in B, con la corda inuolta d'intorno all'a$$e, il cui mezo diametro è CB, & CE è il mezo diametro della rota co i raggi. che bi- $ognaua fare.</I> <p>Sotto que$ta $orte d'i$trumento $ono gli argani, i molinelli, le tri uelle, i timpani, ò rote co' $uoi a$$i, ò $iano dentate, ò nò, & $imili. <p><I>Ma la triuella tiene anco non $o che della vite; pero che mentre moue il pe$o, cioè men- tre fora, per $ua qua$i natura $empre trapa$$a viè più oltre: percioche ha qua$i le helici de$critte come d'intorno ad vn cono. ma perche ella ha la cima acuta, $i puo- te anche ridurre commodamente alla ragione del cuneo.</I> <pb n=107> <fig> <p>L'Autore hà qui me$$o que$te cinque figure, lequali rappre$entano cinque i$trumen ti da mouer pe$i, iquali $i riducono $otto que$ta facultà, accio che $i vegga es$i e$- $er vna co$a mede$ima con l'i$trumento dell'a$$e nella rota già dichiarato; & vi hà po$to le lettere ABC con le $ue linee, per dar ad intendere, che il pe$o hà la proportione mede$ima alla po$$anza, che lo $o$tiene, che hà AC à CB, & $e $arà mo$$o il pe$o da vna po$$anza mouente, lo $patio della po$$anza $arà $imil- mente allo $patio del pe$o, come AC à CB; laqual po$$anza deue$i intendere po$ta in cima de i manichi delle $tanghette di$co$to dal centro tanto quanto è CA. Il pe$o has$i poi da intendere legato ad vna corda, che $ia auolta d'intorno all'a$$e, ilquale $arà lontano dal centro tanto quanto è CB: & co$i per le co$e dette in que$to Trattato, la po$$anza che $o$tien haurà quella proportione al pe$o, <*>e ha CB à CA. Con $imile modo s'ha da intendere la figura, che hà il timpano, con$iderando che $e la forza fo$$e nella $tremità del timpano, & il pe$o $arebbe auolto d'intorno all'a$$e. Quanto alla triuella, ò $ucchiello che $i nomi, per e$- $ore vn'i$trumento fatto non per $o$tenere, ma per mouere, egli è bi$ogno, che la po$$anza habbia proportione maggiore al pe$o di quel che ha CB à CA per la vndecima propo$itione di que$to nella leua. <HEAD>IL FINE DE LL'ASSE NELLA ROTA.</HEAD> <HEAD>DEL CVNEO.</HEAD> <fig> <p>Aristotele nelle que$tioni mecaniche nella que$tione 17. afferma, che il cuneo nel fendere vn pe$o fa l'officio totalmente di due le ue contrarie l'vna all'altra fra loro in que$to modo. <p><I>Sia il cuneo ABC, & la $ua cima B, & $ia AB eguale à BC, & quel che s'ha da fendere $ia DE FG; & $ia la par te del cuneo HBK fra DE FG, & HB $ia eguale ad e$$a BK. Percuo- ta$i, come $uol far$i, il cuneo in AC, mentre il cuneo viè perco$$o in AC, $i fà AB leua, il cui $o$tegno è in H, & il pe$o in B. & nel modo i$te$$o CB $i fa leua, il cui $o$te- gno è K, & il pe- $o $imilmente in B. Ma mentre il cu- neo è perco$$o, egli entra in e$$o DE</I> <fig> <I>FG anco con portione di $e maggiore di quel che fo$$e prima: & $ia questa por- tione MBL; & $ia MB eguale ad e$$a BL. & per e$$ere MB, & BL mag- giori di HB BK, $arà anco ML maggiore di HK. Mentre dunque ML $arà nel $ito di HK; egli è me$tieri che la fe$$a $i faccia maggiore; & che D $i moua</I> <pb n=108> <I>ver$o O, & G ver$o N; & quanto maggior parte del cuneo entra fra DEFG, tanto maggior fe$$a $i $accia; & DG $empre più $aranno cacciati ver$o ON. dunque la parte KG che $i fende mouera$$i dalla leua AB, ilcui $o$tegno è in H, & il pe$o in B; $iche il punto B di e$$a leua AB cacci la parte KG: & la parte HD mouera$$i dalla leua CB, il cui $o$tegno è K, $i che B con la leua CB cacci la parte HD.</I> <p>Ma trouando$i tre maniere di leue, come è $tato di $opra mo- $trato. però $arà for$e più conueneuole con$iderare il cuneo in que$to modo. <p><I>Po$te le co$e iste$$e, intenda$i la leua AB, & il $o$tegno $uo B, & il pe$o in H, come nella $econda di questo nella leua dicemmo. $imilmente $ia la leua CB co'l $uo $o$tegno B, & il pe$o in K; $iche la parte HD $i moua dalla leua AB, il cui $o$tegno è B, & il pe$o in H; $iche il punto H di e$$a leua AB cacci la parte HD. & con modo $imile la parte KG moua$i dalla leua CB, il cut $o$te- gno è B, & il pe$o in K, $iche il K di e$$a leua CB mouala parte KG. ilche $arà $or$e più conforme alla ragione.</I> <p><I>Percioche $ia il cuneo ABC; & $iano due pe$i $eparati DEFG, & HIKL, fra quali $ia la parte DBH del cuneo, la cui cima B tenga il mezo tral'vno, & l'al- tro $ito. Percota$i il cu neo in modo, che anche dauantaggio più $ia cac ciato fra i pe$i, come pri maè stato detto; per- cioche $ono que$ti pe$i come $e $o$$ero vno con- tinuo $olamente GF KL, che bi$ogna$$e fen dere: percioche nel mo- do iste$$o la parte DG mentre il cuneo è più ol tre cacciato, $i mouerà ver$o M, & la parte HL ver$o N. Moua$i dunque la parte DG ver$o M, & la parte HL ver$o N; & il B</I> <fig> <I>mentre trapa$$a più oltre, $empre rimanga nel mezo tra l'vn pe$o, & l'altro. Hor mentre D G è mo$$o dal cuneo in uer$o M; egli è manife$to, che B non moue la parte DG inuer$o M con la leua CB, il cui $o$tegno è H, perche il punto B non tocca il pe$o; ma DG moueraßi dal punto D della leua con e$$a leua AB, che ha per $o$tegno B; pereche il punto D tocca il pe$o. & gli i$trumenti mouono per toccamento. $imilmente HL moueraßi da H con la leua CB, che ha per $o$te- gno B; & ambedue le leue $i fanno re$i$tenza l'vna all'altra fra loro in B, talche B faccia più tosto officio di $o$tegno, che di mouere il pe$o. laqual co$a anco ma- nife$teraßi in que$ta maniera.</I> <pb n=109> <p><I>Sia quel che s'ha da fendere vnparallelo grammo rettangolo ABCD; & $iano due leue eguali EF GF, & le parti delle leue HF KF $iano tra AB CD; & $ia HF eguale ad FK, & $ia HA eguale à KB. & faccia me$tieri con le leue EF FG fendere AB CD $enza perco$$a, cioè $iano le po$$anze mouenti in EG eguali. Ma per e$$ere fe$$a AB CD, egli è me$tieri che la parte HA $i mo ua ver$o M; & KB ver$o N: ma mentre le leue $i mouono, co- me per e$$empio l'vna in M, & l'altrain N; egli è nece$$ario, che il punto F rimanga immobi le, perche in e$$o $i fa l'incontro del le leue. Per laqual co$a F $arà il $o$tegno dell'vna, & l'altra leua; & FG mouerà la parte KB, il</I> <fig> <I>cui $o$tegno $arà F, & la po$$anza mouente in G; & il pe$o in K. $imilmente la parte HA moueraßi dalla leua EF, il cui $o$tegno è F, & la po$$anza in E, & il pe$o in H.</I> <p><I>Che $e KH fo$$ero i $o$tegni immobili, & i pe$i in F; mentre la leua FG $i sforza di mouere il pe$o po$to in F, all'hora le fa re$i$tenza la leua EF, laquale parimente $i sforza di mouere il pe$o po$to in F in uer$o la parte oppo$ta; ma percioche le po$- $anze $ono eguali, & le altre co$e eguali: dunque non $i farà mouimento in F; percioche l'eguale non moue l'eguale. Egli è dunque pale$e, che in F $i fà grandißima re$i$tenza dalle leue, che iui fra loro $i incontrano, talche F viene ad e$$ere vn cer- to che immobile. Per laqual co$a con$iderando il cuneo come moue con le leue fra loro contrarie, egli per auentura le v$a più to$to à que$to $econdo modo, che al primo.</I> <p>Ma percioche tutto il cuneo $i moue nel fendere, però po$$iamo con$iderarlo anche in vn'altro modo, cioè mentre che entra in quel che viene fe$$o, niente altro e$$ere, che vn mouere vn pe$o $opra vn piano inchinato all'orizonte. <foot><I>Ee</I></foot> <pb> <p><I>Sia il piano egualmente di$tante dall'orizonte, che paßi per AB; $ia anco il cuneo CDB; & $ia CD eguale ad e$$a DB: & il lato del cuneo DB $ia $empre nel $ottopo$to piano. $ia dopo il pe$o AEFG immobile in A; & $ia la parte del cuneo EDH $otto AEFG. Hor percioche mentre il cuneo è perco$$o in CB, maggior parte del detto cuneo entra $otto AEFG, di quel che $ia EDH; $ia</I> <fig> <I>que$ta parte IDH. & perche illato del cuneo DB è $empre nel piano $ottopo- $to tirato per AB egualmente di$tante dall'orizonte, allhora quando la parte del cuneo KDI $arà $otto AEFG; $arà il punto K in H, & I $otto E, ma IK è maggiore di HE: dunque il punto E $arà mo$$o in sù. & mentre il cuneo entra $otto AEFG, il punto E $i mouerà in sù $opra il lato EI del cuneo; & nel mo do i$te$$o, $e il cuneo trapa$$erà più oltre, il punto E moueraßi $empre $opra il la- to DC del cuneo; dunque il punto E del pe$o $i mouerà $opra il piano DC in- chinato all orizonte, la cui inclinatione è l'angolo BDC. che bi$ognaua mo$trare.</I> <p><I>In que$to e$$empio con$iderand<*> il cuneo, che moue à $embianza dileua, egli è manife$to che il cuneo BCD moue il pe$o AEFG conla leua CD: $i che D $ia il $o$te- gno, & il pe$o po$to in E: ma non già con la leua BD, il cui $o$tegno $ia H, & il pe$o po$to in D.</I> <pb n=110> <p>Ma accioche la co$a re$ti più chiara v$iamo altro e$$empio. <p><I>Sia vn piano egualmente di$tante dall'orizonte, che paßi per AB: $ia ilcuneo CAB, il cui lato AB $ia $empre nel $ottopo$to piano; & $ia il pe$o AEFG, che non habbia verun'altro moto $e non in sù, & in giù ad ang oli retti all'orizonte: talcbe</I> <fig> <I>tirata la linea IGK à piombo del piano $ottopo$to, & di e$$a AB, il punto G venga ad e$$ere $empre nella linea IGK. & percio che mentre il cuneo è perco$$o in CB, egli trapa$$a tutto più oltre $opra AB; il pe$o AEFG $i leuerà, come per le co$e predette $i è mo$trato. Moua$i il cuneo in modo, che E alla fine peruen ga in C, & la giacitura del cuneo ABC venga ad e$$ere MNO, & la giaci- tura del pe$o AEFG $ia PMQI, & G $ia in I. co$i perche mentre il cuneo $i moue $opra la linea BO, il pe$o AEFG $i moue in sù dalla linea AC. & mentre il cuneo ABC trapa$$a più oltre, il pe$o AEFG $empre più dal lato del cuneo AC $i leua: dunque il pe$o AEFG $i mouerà $opra il piano del cuneo AC; ilche veramente altro non è, $e non vn piano inchinato all'orizonte, la cui inclinatione è l'angolo BAC.</I> <p><I>Que$to mouimento $i riduce ageuolmente alla bilancia, & alla leua; percioche quel che $i moue $opra il piano inchinato all'orizonte, $i riduce alla bilancia per la nona propo$itione di Pappo dell'ottauo libro delle raccolte matematiche. percioche è vna i$te$$a ragione, che ouero $tando fermo il cuneo, il pe$o $i moua $opra il lato del cu- neo; ouero che e$$endo egli mo$$o, $i moua anco il pe$o $opra il $uo lato, come $o- pra vn piano inchinato all'orizonte.</I> <p>La propo$itione di Pappo allegata qui dall'Autore, & in altri luoghi di que$to li- bro, hò ripo$ta in loco conueneuole nel Trattato della Vite, $timando, che per auentura ella $ia per tornare più al propo$ito della Vite, & $eruirle in più chiarez- <*>a, che al Cuneo. Laquale pro po$itione mi fù man data dall'Autore, & io $e ben non le manca nulla, la hò rincontrata accuratamente co'l Pappo Greco del Sig. Pinello, per modo che $i haurà perfettis$ima ad vtile, & diletto di coloro, i qua- li niuna co$a di Pappo $crittore marauiglio$o di Mecaniche hanno nè veduto, nè letto giamai. <foot><I>Ee</I> 2</foot> <pb> <p>Hora mo$triamo in che modo, quelle co$e lequali $ono fe$$e, $i mouano come $opra piani inchinati all'orizonte. <p><I>Sia il cuneo ABC, & AB $ia eguale ad e$$a BC. Diuida$i AC in due partii<*> D, & $ia congiunta BD. $ia dopo la linea EF, per laquale paßi il piano egual- mente di$tante dall'orizonte, & $ia BD nella mede$ima linea EF; & mentre il</I> <fig> <I>cuneo è perco$$o, & mentre $i moue in ver$o E, $empre BD $ia nella linea EF. & quel che $i hada fendere $ia GHLM, dentro alquale $ia la parte del cuneo KBI: egli è mani$e$to, che mentre il cuneo $i moue in ver$o E, la parte KG mo- uer$i in ver$o N; & la parte HI in ver$o O. percota$i il cuneo per modo che la linea AC $ia nella linea NO; allhora K $arà in A, & I in C: & K perle co$e $udette $arà mo$$o $opra KA, & I $opra IC. Per laqual co$a mentre $i mo ue il cuneo, la parte KG $i mouerà $opra il lato BA del cuneo, & la parte IH $opra il lato BC. La parte dunque KG $i mouerà $opra il piano inchinato all'o- rizonte, la cui inclinatione è l'angolo FBA. $imilmente IH $i moue $opra il piano BC nell'angolo FBC. le parti dunque di quel che $i $ende moueran$i $o- pra piani inchinati all'orizonte. & quantun que il piano BC $ia $otto l'orizonte; tutta via la parte IH $i moue $opra IC, come $e BC $o$$e $opra l'orizonte nel- l'angolo DBC: percioche le parti di quel che $i fende $i mouono nel tempo me- de$imo dall'i$te$$a po$$anza. $arà dunque la mede$ima ragione del mouimento della parte IH, & della parte KG. $imilmente è l'i$te$$a ragione $e EF è egualmente di$tante dall'orizonte, ouero $e è à piombo dell'orizonte, ouero in altro modo: pe roche egli è nece$$ario, che la po$$anza, laquale moue il cuneo, $ia la mede$ima, re- $tando le altre co$e le mede$ime. $arà dunque la $te$$a ragione.</I> <pb n=111> <p><I>Dopo que$te co$e egli è da con$iderare, quali $iano quelle co$e, lequali fanno sì, che più ageuolmente alcuna co$a $i moua, ouero $i $enda, lequali $ono due.</I> <p>Primieramente quel che opera in modo, che alcuna co$a più ageuolmente $ia fe$$a. ilche più appartiene etiandio alla e$- $enza del cuneo, è l'angolo po$to alla cima del cuneo: pero che quanto minore è l'angolo, tanto più ageuolmente moue, & fende. <p><I>Siano due cunei ABC DEF, & l'angolo ABC po$to alla cima $ia minore dell'an golo DEF. Dico che alcuna co$a più ageuolmente $i moue, ò fende dal cuneo ABC, che da DEF. Diuidan$i AC DF in due parti eguali ne'punti GH; & $iano congiunte BG & EH. Hor percioche le parti di quello, che $i fen de dal cuneo ABC $i mouono $opra il piano inchinato all'orizonte, la cui inclinatione è GBA; & quelle che dal cuneo DEF $i mouono $opra il piano inchinato all'orizonte, la cui inclinatione è HED, & l'angolo GBA è minore dell'angolo HED; per e$$ere GBA minore di DEF: & per la nona di Pappo dell'ottauo libro delle raccolte matematiche, quel che $i moue $opra il piano AB, $i mo uerà più facilmente, & da po$$anza minore, che $opra ED. Quel che $i $ende dunque dal cuneo ABC più</I> <fig> <I>ageuolmente, & da po$$anza minore $i fende, che dal cuneo DEF. $imilmente mo$trera$$i, che quanto più acuto $arà l'angolo po$to alla cima del cuneo, tanto più ageuolmente mouera$$i, & fendera$$i alcuna co$a. che bi$ognaua mo$trare.</I> <p>Pos$iamo dimo$trare que$to etiandio con altra ragione, con$i- derando il cuneo come egli moue con le leue contrarie l'vna all'altra fra loro, fi come nel $econdo modo fù detto. ma bi$o gna prima dimo$trare que$to. <p><I>Sia la leua AB, che habbia il $uo $o$tegno B immobile, & quel che s'ha da mouere $ia CD EF rettangolo, co$i di$po$to, che non po$$a mouer$i in giù dalla parte di FE; & il punto E $ia immobile, & come centro; $iche il punto D $i moua per la circonferenza del cerchio DH, il cui centro $ia E. & C per la circonferenza CL, $i che la linea congiunta CE $ia il $uo mezo diametro. di più CDEF tocchi la le ua AB in C, & la leua AB moua il pe$o CDEF, & la po$$anza mouente $ia in A, il $o$tegno in B, & il pe$o in C. $ia dapoi vn'al traleua MCN, laquale etiandio moua CD EF, il cui $o$tegno immobile $ia N; la po$$anza mouente in M, & il pe$o $imilmente in C; & $ia CN eguale ad</I> <fig> <I>e$$a CB, & CM ad e$$a CA; & moua$i alternamente il pe$o CDEF con le leue AB MN. Dico che CDEF più ageuolmente $i mouerà dall'i$te$$a po$$an za con la leua AB, che con la leua MN.</I> <p><I>Faccia$i il centro B, & con lo $patio BC de$criua$i la circonferenza CO. $imilmen- te co'l centro N, & lo $patio NC de$criua$i la circonferenza CP. Hor percio- che mentre la leua AB moue CD EF, il punto della leua C $i moue $opra la circonferenza CO, per e$$ere B $o$tegno, & centro immobile. $imilmente men- tre la leua MN moue CD EF, il punto C $i moue per la circonferenza CP: mentre dunque la leua AB moue CD EF, $i s$orza mouere il punto C del pe$o $opra la circonferenza CO; ilche non può già fare, perche C $i moue $opra la cir- conferenza CL. Per laqual co$a nel mouimento della leua AB $econdo la parte</I> <pb n=112> <I>che le ri$ponde, & nel mouimento del pe$o fatto $econdo C, ne na$ce vn certo con- tra$to: percioche $i mouono in diuer$e parti. $imilmente mentre la leua MN mo ue CD EF, $i sforza mouere il C $opra la circonferenza CP: & però in que$to ancora na$ce in ambidue i mouimenti vn $imile contra$to. Et perche la circon$eren za CO è più da pre$$o alla circonferenza CL, che non è CP, cioè più da pre$$o al mouimento, che fa il punto C del pe$o; però il contra$to tra il mouimento della le ua AB, & il mouimento del pe$o C $arà minore, che tra il mouimento della leua MN, & il mouimento dell'i$te$$o C, ilche etiandio è chiaro, $e $i intenda che CF $ia à piombo dell'orizonte; percioche all'hora la circonferenza CP più inchina al ba$$o, che CO: & CL và in sù. & perciò $i fa contra$to minore tra la leua AB, & il mouimento C, che fra la leua MN, & il mouimento C. Ma doue è conte$a minore, iui è più ageuolezza. Dunque $i mouerà più facilmente CDEF con la leua AB, che con la leua MN. che bi$ognaua mo$trare.</I> <HEAD>COROLLARIO</HEAD> <p>Da que$to è chiaro, che quanto minore è l'angolo contenuto dalla linea CF, ouero CE, ouero CD; cioè quanto minore è l'angolo BCF, ouero BCE, ouero anche BCD; tanto più ageuolmente il pe$o è mo$$o. ilche mo$treras$i nel- l'i$te$$o modo. <p><I>Siano li cunei ABC DEF, & l'angolo ABC $ia minore dell'angolo DEF, & AB BC DE EF $iano tra loro eguali. $iano dapoi quattro pe$i eguali GH IL NO QR rettangoli; & $iano LM KH nella mede$ima linea retta. $imilmente</I> <marg><I>Per la</I> 28. <I>del primo.</I></marg> <I>RS PO in linea retta; $aranno GK IM egualmente di$tanti, & NP QS an co egualmente di$tanti. $ia IBG la parte del cuneo fraipe$i GH IL; & la par te del cuneo QEN fra i pe$i NOQR; & $iano IB BG QE EN traloro eguali. Dico che i pe$i GH IL più ageuolmente $aranno dalla po$$anza i$te$$a co'l cuneo ABC mo$si, che i pe$i NO QR dal cuneo DEF.</I> <p><I>Diuidan$i AC DF in due parti eguali in TV, & congiungan$i TBVE, $aranno gli angoli po$ti al T, & V retti. congiunga$i IG, laquale tagli BT in X. Hor</I> <fig> <marg><I>Per la</I> 2. <I>del $esto.</I></marg> <I>percioche IB è eguale à BG, & BA eguale à BC: $arà IA eguale ad e$$a</I> <marg><I>Per la</I> 9. <I>del primo.</I></marg> <I>GC. Per laqual co$a BI ad IA è co$i, come BG à GC; dunque IG è egualmen te di$tante ad e$$a AC: & perciò gli angoli ad X $ono retti; ma gli angoli XGK</I> <marg><I>Per la</I> 28. <I>del primo.</I></marg> <I>XIM $ono retti, peroche GM è rettangolo. Per laqual co$a TB è egualmente di- $tante da GKIM. dunque l'angolo TBC è eguale all'angolo BGK, & TBA è eguale ad e$$o BIM. $imilmēte mo$treremo che l'angolo VEF è eguale ad ENP, & VED eguale ad EQS. & per e$$ere l'angolo ABC minore dell'angolo DEF; $arà anco l'angolo TBC minore di VEN. Per laqual co$a BGK $arà anche mi- nore di ENP. con $imile modo BIM è minore di EQS. Hor percioche il cuneo ABC moue con due leue AB BC, che hanno i $o$tegni $uoi in B, & i pe$i in GI. $imilmente il cuneo DEF moue con due altre leue DE EF, i cui $o$tegni $o- no in E; & i pe$i in NQ: per la precedente i pe$i GH IL $i moueranno più ageuol mente con le leue AB BC, che i pe$i NO QR conle leue DE EF. i pe$i dunque GH IL, $i moueranno più ageuolmente co'lcuneo ABC, che i pe$i NO QR co'l</I> <pb n=113> <I>euneo DEF. & perche è la ragione i$le$$a nel mouere & nel fendere; però più age uolmente $i fenderà alcuna co$a co'l cuneo ABC, che co'l cuneo DE</I>F. <I>Et dimo- $trera$$i mede$imamente che quanto minore è l'angolo po$to alla cima del cuneo, tan to più ageuolmente $i moue alcuna co$a, ouero $i fende, che bi$ognaua mostrare.</I> <p><I>Oltre à ciò quelle co$e, lequali $ono mo$$e dal cuneo DEF, $i mouono per maggiori $patij che quelle che $ono mo$$e dal cuneo ABC. Imperoche affine che D</I>F <I>$ia tra QN, & affine che AC $ia trà IG, egli è nece$$ario che QN $i mouano per maggiori $patij, cioè l'vno alla de$tra, l'alrro alla $ini$tra, che IG, per e$$ere D</I>F <I>maggiore di AC: pur che tutto il cuneo entri fra i pe$i. Ma dalla po$$anza più facilmente $i moue per minor $patio alcuna co$a nel mede$imo tempo, che per mag- giore: pur che le altre co$e con le quali $i fà il mouimento $iano eguali: $e dunque AC D</I>F <I>peruerranno nell'i$te$$o tempo in IG QN, e$$endo A I CG DQ</I>F<I>N tra loro eguali; più facilmente dalla po$$anza $imoueranno GI co'l cuneo ABC, che QN co'l cuneo DE</I>F. <I>per laqual co$a i pe$i GHIL $i moueranno più facil- mente dalla po$$anza co'l cuneo ABC, che i pe$i NO QR co'l cuneo DE</I>F. <I>& $imilmente $i mostrerà, che quanto l'angolo po$to alla cima del cuneo $arà mino re, tanto più ageuolmente $i moueranno i pe$i, ouero $i fenderanno.</I> <p>La $econda co$a laquale è cagione, che alcuna co$a $i fenda più ageuolmente è la perco$$a, mediante laquale è mo$$o il cuneo & moue, cioè vien perco$$o, & fende. <foot><I>Ff</I></foot> <pb> <p><I>Sia il cuneo A, quel che s'hada fendere B, & quel che per cuote C; ilquale ouero da $e $te$$o percuote, & moue; ouero dalla po$$an- za che lo regge, & moue. che $e da $e $te$$o, prima s ha da auertire, che quan- to più $arà graue, tanto $i farà la per co$$a maggiore. & oltre à ciò quanto più $arà lunga la di- stanzatra AC, fa raßi parimente mag giore perco$$a: pe- roche cia$cuna co$a graue, mentre $i mo ue, prende più di gra uezza mo$$a, che $tando ferma, & dauantaggio anco più, quanto più da lontano è mo$$a.</I> <fig> <p><I>Che $e C $arà mo$$o da qualche po$$anza, come per lo manico DE $ia mo$$o. Pri ma quanto C $arà più graue; dapoi quanto $arà più lungo DE, tanto la perco$$a faraßimaggiore: percioche $e la po$$anza mouente $arà posta in E, $arà il C più di$tante dal centro, & pe rò moueraßi più tosto, come Ari$to- tele dimostra nelle questioni mecani- che; & puote e$$ere anco chiaro da quelle co$e, che furono dette nel trat- tato della bilancia, che quanto più il</I> <fig> <pb n=114> <I>pe$o C è di$tante dal centro, tanto più far$i graue, & vrterà etiandio con più ga- gliard'empito, e$$endo la forza in E più po$$ente.</I> <p><I>Ma que$ta è la $ecõda co$a, laqual è cagione che con que$to i$trumento $imouano gran pe$i, & $i fendano. Percioche la perco$$a è vna forza gagliardißima, come è ma- nife$to da la decimanona delle questioni mec aniche di Ari$totele: peroche $e $o- pra il cuneo $i imporrà vn pe$o grandißi- mo, allhora il cuneo non farà nulla à pa- ragone $petialmente della perco$$a. che $e anco $i adatta$$e al cuneo vna leua, ouero vna vite, ò qualche altro tale $tromento per cacciare il cuneo più à dentro nel pe$o, non auenir à effetto qua$i di momento niu no, ri$petto alla perco$$a. della qual co$a puote e$$ere inditio, che $e fo$$e il corpo A di pietra, da cui alcuno vole$$e leuar via</I> <fig> <I>qualche parte, come vn pezzo dell'angolo B, allhora potrebbe rompere ageuolmen te con vno martello di ferro, $enza altro $tromento, percotendo in B, qualche pezzo dell'angolo B: ilche non potrà fare con ne$$uno altro $tromento, che $ia priuo di per- co$$a, $e non con difficultà grandißima, $ia ò leua, ò vite, ò qual $i voglia altra co$a tale. La onde la perco$$a è cagione, che $i fendano i gran pe$i. & hauendo la per- co$$a co$i gran forza, $e le ag giungeremo qualche $tromento accommodato à moue- re, & fendere, vedremo per certo co$e marauiglio$e. Cote$to $tromento è il cuneo, nel quale due co$e, inquanto s'ap partiene alla $ua forma, occor- rono ad e$$ere con$iderate: L'v- na, che il cuneo è attißimo à ri- ceuere, & $o$tenere la perco$$a: l'altra è, che per la $ua $ottigliez za nell vna delle parti facilmēte entra ne'corpi, come e$pre$$a- mente $i vede. Il cuneo dunque opera$i con la $ua perco$$a, che vediamo qua$i miracoli nel fen- dere i corpi.</I> <fig> <foot><I>Ff</I> 2</foot> <pb> <p><I>Alla facoltà di cotale $tromento $i po$$ono etiandio ridurre commodamente quelle co $e tutte, lequali con perco$$a, ouero $pinta tagliano, diuidono, $orano, & fanno al tri cotali e$fetti, come $pade, punte, coltelli, $curi, & $imili. La $ega ancora $i ridurrà à que$to: peroche i $uoi denti percotono, & $ono à $emb ianza di cuneo.</I> <HEAD>IL FINE DEL CVNEO.</HEAD> <pb n=115> <HEAD>DELLA VITE.</HEAD> <fig> <p>Pappo nell'i$te$$o ottauo libro trattando mol- te co$e della vite, in$egna come ella $i deue fa- bricare; & come con cotale $tromento $i moua- no grandi pe$i: & di più mette altre $peculatio- ni molto vtili alla cognitione di lei. Ma per- cioche tra le altre co$e egli promette di voler mo$trare la vi- te niente altro e$$ere, che vn cuneo pre$o $enza la perco$$a, il quale faccia il mouimento $uo con la leua. & que$to in lui $i de$idera: però noi $i sforzeremo di mo$trare ciò. & di più ridurre la detta vite alla leua, & alla bilancia, accioche alla fi- ne $e n'habbia compiuta cognitione. <p>Hò ritonuto nel tradurre le parole Cilindro, & Helice i vocaboli i$tes$i, come l'Au- tore gli ha po$ti, percioche la no$tra lingua pouera ancora di que$te voci, non ne hà fin hora approuata alcuna per buona, & communemente in te$a in tutta Italia per $ignificare le predette due co$e Cilindro, & Helice. Però io, affine di dome- $ticarle, hò voluto farne e$perientia, la$ciandole co$i, $e per auentura pote$$ero e$$er accettate. Cilindro, voce Greca, è quel ba$tone lauorato al torno, nel quale $i intagliano quei rileui co' $uoi concaui, che vanno montando in $u$o à lumaca, ò chio cciola, & $i dicono vite, ouero in qualche contrada d'Italia vermi, ò chioc ciole, & l'Autore qui noma Hlici. Ba$ta che la co$a re$ti chiara, non que$tionan- do de' nomi, & $i intenda che voglia dire Cilindro, & Helice. La Vite in latino $i chiama Cochlea à $imiglianza cied'io dell'animale che $i mãgia detto lumaca, ò bouolo, ò chiocciola, che è più $imile à Cochlea latino, talche la vite, $tando sù inomi, viene ad hauere pre$o il nome da quell'animale, che nella ca$a, la quale $em pre porta $eco $i ra$$embra, mas$imamente nel fondo di e$$a, in certo modo al rile uo, ò verme, ouero helice della vite. Onde ben $i potrebbe con ragione dire chiocciola alla vite, volgarizando il vocabolo latino cochlea, come $i appellane chiocciole le $cale che a$cendono à vite. <p><I>Sia il cuneo ABC, ilquale $iriuolga d'intorno al Cilindro DE, & $ia IGH il cu- neo riuolto d'intorno al cilindro, la cui cima $ia I. $ia dapoi il cilindro in$ieme co'lcu neo po$toui d'intorno accomm o dato in modo, che $enza alcuno impedimento $ipo$$a volgere intorno co'l manico KF attaccato all'a$$e: & $ia LMNO quel che s'ha da fendere, ilquale etiandio dalla parte di MN $ia immobile, $i come $uole far$i in quelle co$e, che $i fendono. & $ia la cima I'tra RS. Volga$i intorno KF, &</I> <fig> <I>peruenga à KP; & mentre che KF $i volge intorno, tutto il cilindro DE anc<*> ra $i volge intorno, & il cuneo IGH. per laqual co$a mentre KF $arà in KP, la cima I non $arà più tra RS, ma altr a parte del cuneo, come TV: ma TV è maggiore di RS; peroche la parte del cuneo, laquale è più di$tante dalla cima, $em- pre è mag giore di quella, che è più ad e$$a vicina. accioche dunque TV $ia tra RS, bi$ogna che R ceda, & $i moua ver$o X, & S in ver$o Z, come fanno le co$e, che $i fendono. tutto dunque LMNO $i fenderà. Similmente dimo$treremo, che men tre il manico KP $arà in KQ, allhora GH $arà fra RS: & mentre GH $arà tra RS, egli è nece$$ario che R $ia in X, & S in Z. talche XZ $ia eguale à GH; & $empre LM NO $i fenderà dauantaggio. co$i dunque è manife$to, che mentre KF $i volge intorno, $empre R $i moue in ver$o X, & S in ver$o Z: & R mo- <*>er$i $empre $opra ITG, & S $opra IVH, cioè $opra i lati del cuneo volti d'intorno al cilindro.</I> <pb n=116> <HEAD>PROPOSITIONE I.</HEAD> <p>Il cuneo accommodato in que$to modo d'intorno al cilindro, niente altro è, che la vite, laquale habbia due helici congiun te fra loro in vno punto. <p><I>Sia il cuneo ABC; & AB $ia eguale à BC. diuida$i AC in due parti in D, & congiunga$i BD; $arà BD à piombo di AC: & AD eguale à DC, & il triangolo ABD eguale al triangolo CBD. Faccia$i dapoi i triangoli rettangoli EFG HIK non $olo tra loro eguali, ma etiandio eguali ad ambidue i triang oli</I> <fig> <I>ADB, & CDB. & $ia il cilindro LMNO, la cui linea che lo circonda detto Perimetro $ia eguale ad ambedue FGKI: & LMNO $ia parallelo gram- mo per l'a$$e. & faccia$i MP eguale ad FE, & PN eguale ad HI. & pon ga$i HI in NP, & inuolga$i il triangolo HIK d'intorno al cilindro; & $ia de $critta la helice NQR $econdo KH, come in$egna anche Pappo nell'ottauo libro alla propo$itione vige$ima quarta. & $imilmente ponga$i EF in MP, & in- uolga$i il triangolo EFG d'intorno al cilindro, & de$criua$i per EG la helice PRM. & co$i per e$$ere PM PN eguali ad EF HI, $arà MN eguale ad e$$a AC, & per e$$ere le helici PRM PQN eguali alle linee EG HK; $a-</I> <p><I>Similm ente $e la vite haurà più helici co- me nella $econda $i- gura, il pe$o A, men tre la vite $i volge intorno, $empre $i mouerà $opr a le he- lici BCD EFG; pur che il pe$o A in modo $i adatti, che non po$$a mo- uer$i $e non $opra la retta linea HI e- gualmente di$tante da e$$o cilindro. Per cioche nell'i$te$$o mo do, che $i moue $o- pra la prima helice, $i moue etiandio $o- pra la $econda, & $o pra la terza, et $opra le altre. Percioche quante $i vogliāheli ci che $iano, non $on altro niente, che vn lato del cuneo inuol- to d'intorno all'i$te$-</I> <fig> <I>$o cilindro vna, & più volte. et $ia la vite ouero à piombo dell'orizonte, ouero egual mente di$tante dall orizonte, ouero in altro modo collocata, nonimporta nulla; per- cioche $empre valerà l'i$te$$a ragione.</I> <pb n=117> <p><I>che non po$$ano mouer$i $e non $opra la diritta linea LO, laquale $ia egualmente di$tante dail'a$$e del cilindro; & $iano MN pre$$o la cima I del cuneo. Volga$i intorno KF, & peruenga in KP: & mentre KF $arà in KP, allhora TV $a rà fra i pe$i MN, $i come di $opra habbiamo detto. dunque M $i mouerà ver$o</I> <fig> <I>L, & N ver$o O. Similmente mo$trera$$i, che mentre KP $arà in KQ, allho- ra GH $arà tra i pe$i MN; & M $arà in X, & N in Z; $i che XZ $arà eguale <*> GH. Per laqual co$a mentre KF $i volge intorno, $empre il pe$o N $i moue in ver$o O, & $opra la helice IRS; & M $opra l'altra helice.</I> <foot><I>Gg</I></foot> <pb> <p><I>ranno dunque le dette helici eguali ad e$$e AB BC. dunque il cuneo. ABC $arà tutto inuolt<G>q</G> d'intorno al cilindro LMNO. Siano tagliate da poile helici, come in$egna Pappo, $econdo la larghezza del cuneo; & à que$lo modo il cuneo in$ieme</I> <fig> <I>co'l cilindro niente altro $arà, che la vite, laquale habbia due helici PRM PQN congiunte fra loro d'intorno al cilindro LN in vno $olo punto. che bi$ognaua mo$trare.</I> <HEAD>COROLLARIO.</HEAD> <p>Di qui puote e$$ere manife$to, come $i po$$ano de$criuere le he lici nella vite. <p>Hora dimo$triamo, come $i mouano i pe$i $opra le helici della vite. <p><I>Sia come prima il cuneo IGH inuolto d'intorno al cilindro DE, la cui cima $ia I, & $i adatti il ciliadro in modo, che $i po$$a volgere liberamente con l'a$$e $uo. & $ia- no due pe$i MN di qualunque figura vogliamo, commodati nondimeno in modo</I> <pb n=118> <p><I>Che $e come nella terza figura, $i imporrà alcuna co$a $opra la vite, come B, che è no mata Tilo di$po$to in modo, che dalla parte di $otto egli habbia le helici concaue adattate <*>olto acconciamente ad e$$a vite. egli potrà e$$ere a$$ai chiaro, che e$$o B, mentre la vite $i volge intorno, mouera$$i à quel modo in tutto $opra le helici della</I> <fig> <I>vite, come $i moueua il pe$o $econdo la prima figura; purche il tilo $i accommo- di, come in$egna Pappo nell'ottauo libro, in maniera cioè, che egli $i moua egual- mente di$tante dall'a$$e del cilindro auanti, ouero indietro $olamente.</I> <foot><I>Gf</I> 2</foot> <pb> <p><I>Et $e in luogo del tilo, che hà le helici concaue nella parte di $otto, $i ponga, come nel la quarta figura il cilindro concauo, come D, & nella $ua concaua $uperficie $i de- $criuano le helici, & $i taglino in modo, che acconciamente $i adattino alla vite; (percioche nel mede$imo modo $i de$criueranno le helici nella $uperficie concaua del cilindro, come $i fà nella conue$$a) $e la vite poi $arà $ermata ne' poli $uoi, cioè nel</I> <fig> <I>$uo a$$e, & volga$i intorno, egli è manife$to, che D $i mouerà al mouimento del giro della vite, come $a il tilo. & di più $e D $i $ermerà in EF, $i che rimanga im mobile, mentre la vite $i volge intorno, mouera$$i $opra le helici del cilindro D $e- condo il mouimento del giro $uo, fatto alla de$tra, ouero alla $ini$tra, sì all'innan- zi, come all'indtetro, & il cilindro D in que$ta maniera accommedato, $i chiama volgarmente la madre, ouero la femina della vite.</I> <pb n=119> <p><I>Che $e alla vite (come nella quinta figura) $arà po$ta la rota C co' dentìtorti, come in$egna Pappo nel mede$imo ottauo libro, ouero anche diritti; ma in modo $atti, che $i adattino facilmente con la vite. egli è $imilmente manife$to, che al mo uimen</I> <fig> <I>to della vite moueraßi etiandio intorno la rota C. & nell'i$te$$a maniera $i moue- rannoi denti della rota C $opra le helici della vite. & que$ta $i dice vite perpetua, percioche sì la vite, come la rota mentre $i riuolgono $tanno $empre nel modo i$te$$o.</I> <p><I>Que$te co$e habbiamo detto, accioche $ia pale$e, che la vite nel mouere il pe$o fà l'officio del cuneo $enza perco$$a. percio che lo rimoue dal luogo oue era, $i come il cuneo rimoue quelle co$e che moue, & $ende. & que$ie co$e tutte $i mouono dalla vite come il pe$o A nella $econda figura, & lo M nella prima.</I> <p><I>Hor percioche habbiamo dimo$trato poter$i con$iderare con due ragioni il cuneo, che moue, cioè come moue con le leue, ouero come è vn piano inchinato all' orizonie, però con$ideraremo anco la vite in due modi.</I> <p><I>Et prima come ella moue conle leue; come nella prima figura. giri$i intorno KF, &</I> <fig> <I>peruenga in KP, allhora, $i come è detto, TV $arà fra pe$i MN. & $i come con$ideriamo le leue nel cuneo, co$i le po$siamo parimente con$ider are nella vite in que$ta maniera, cioè $arà IVH la leua co'l $o$tegno $uo I, & il pe$o po$to in V. $imilmente ITG la leua co'l $o$tegno $uo I, & il pe$o in T. & le po$$an- ze mouenti dourebbono e$$ere in GH; ma $i come nel cuneo la po$$anza mouen te è la perco$$a, laquale moue il cuneo; però $arà doue la po$$anza moue la vite, co- me in P colmanico KP; peroche la vite $i moue $enza perco$$a. Ma que$ta con $ideratione parerà for$e impropria per cau$a delle leue piegate. Onde $e $i inten- derà, quello che è mo$$o dalla vite, e$$ere mo$$o $opra vn piano inchinato all' orizõte; per certo cotale con$ideratione $arà più conforme alla figura di e$$a vite, ma$sima- mente conuenendo anche al cuneo.</I> <pb n=120> <HEAD>PROPOSITIONE II.</HEAD> <p>Se $arà la vite AB, c'habbia le helici CDEFG eguali: Di- co che e$$e non $ono altro niente, che vn piano inchinato al- l'orizonte, riuolto d'intorno al cilindro. <p><I>Sia la vite AB à piombo dell'orizonte, che habbia due helici CDEFG. Ponga$i HI eguale à GC, laquale diuida$i in due parti in K. $aranno HK KI non $o- lamente fra loro, ma etiandio ad e$$e GEEC eguali, & tiri$i ad e$$a HI la li-</I> <fig> <I>nea LI ad angoliretti; & intenda$i per LI vn piano egualmente di$tante dall'o- rizonte: & $ia LI due volte tanto quanto la linea che gira intorno al cilindro AB che dice$i Perimetro, laquale diuida$i in due parti eguali in M; $ar anno IM ML eguali al Perimetro del cilindro. Congiunga$i HL, & da punto M $ia ti- <pb> rata la linea MN egualmente di$tante da HI, & congiunga$i KN. Hor per- cioche i triangoli HIL NML $ono $imili fra loro, per e$$ere NM egualmen-</I> <marg><I>Per la</I> 4. <I><*> questo.</I></marg> <I>te di$tante da HI; $arà LI ad IH, come LM ad MN: & permutando co- me IL ad LM, co$i HI ad NM. Ma IL è due volte tanto quanto LM; dun que anco HI $arà il doppio di MN. ma ella è il doppio anche di KI; per laqual</I> <fig> <I>co$a KI NM $ono tra $e eguali. & percioche gli angoli po$ti ad MI $ono retti, $ar à KM vn parallelò grammo rettangolo, & KN $arà eguale ad IM. Per la- q<*> al co$a KN $arà eguale al Perimetro del cilindro AB. Co$i ponga$i HI in GC <*> HK in GE. Volga$i in giro dapoi il triangolo HKN d'intorno al ci- lind. o AP, de$criuerà HN la helice GFE; per e$$ere NK eguale al Perime- tro del cilindro, & il punto N $arà in E & MN in CE. & percioche ML è eguale al Perimetro del cilindro. Vo ga$i di nuouo in giro il triangolo NML d'in torno al cilindro AB NI, de$criuerà la he ice EDC. Per laqual co$a tutta la LH de$cr uerà due helici CDEFG. egli è dunque chiaro che que$te helici della vite niente altro $ono $e non il piano inchinato all'orizonte, la cui inclinatione è l'ango lo HLI inuolto intorno al cilindro, $opra ilquale moue$i il pe$o. che bi$ognaua mo$trare.</I> <pb n=121> <p><I>Ma in che maniera ciò $i riduca alla bilancia è manife$to per la nona dell ottauo libre dell'i$te$$o Pappo.</I> <p>Ma in che maniera ciò $i riduca alla bilancia. &c. <p>L'Autore in tutti que$ti $uoi libri delle Mechaniche non hà voluto trappore co$a al- cuna detta da altri, & che non $ia to talmente $ua, però hà la$ciata la propo$itio- ne di Pappo quì allegata da lui, laquale facendo mirabilmente al propo$ito per dichiarare dauantaggio quanto egli in que$to luogo propone, hò giudicato e$$ere conueneuole l'aggiungeruela. <HEAD>PROBLEMA DI PAPPO ALESSANDRINO nell'ottauo libro delle raccolte Mathematiche.</HEAD> <p><*>o$$o vn dato pe$o da vna po$$anza in vn piano egualmente di- $tante dall'orizonte, & dato vn'altro piano inchinato, ilquale faccia vn'angolo dato co'l $ottopo$to piano; trouar vna po$ $anza, dallaquale $ia mo$$o il dato pe$o nel piano inchinato. <p><I>Pa$$i il $ottoposto piano egualmente di$tante dall'orizonte per la linea MN. ma per KM pa$si il piano inchinato à que$to nel dato angolo KMN. & $ia il pe$o A mo$$o dalla po$$anza C nel $ottopo$to piano. & in vece di A intenda$i vna s$e-</I> <fig> <I>ra egualmente graue intorno al centro E; laqual $i collochi nel piano por MK, & lo tocchi in L. la linea dunque tirata EL è à piombo al piano, $i come è $tato di- mo$trato nel quarto teorema de i Sferici. et però ella è perpendicolare alla linea KM. Tiri$i EH equidi$iante alla MN. & dal punto L $i tiri ad EH la perpendico- lare LF. Hor percioche l'angolo EHL è dato per e$$er eguale al dato angolo acu to KMN; $arà ancora l'angolo ELF dato, cioè eguale all'angolo EHL e$$en</I> <foot><I>Hh</I></foot> <pb> <I>do che il triangolo ELF $ia equiangolo al triangolo EHL. adunque il triangolo ELF è dato in $pecie; & la proportione di EL, cioè di EG ad EF è data. per laqual co$a, & la proportion della restante FG ad EF $arà data. Faccia$i come GF ad FE, co$i il pe$o A al pe$o B; & la po$$anza C alla po$$anza D. Ma la po$$anza del pe$o A è C; adunque la po$$anza del pe$o B nel mede$imo piano $arà D. & perche co$i è laretta linea GF ad FE, come il pe$o A al pe$o B:</I> <fig> <I>$e li pe$i AB $aranno po$ti ne i centri EG appiccati nel punto F, pe$eranno egual mente; come $ostentati dalla ba$e LF, laquale è à piombo all'orizonte. Ma è po $to il pe$o A intorno al centro E. percioche in $uo luogo è la s$era. dunque il pe- $o B posto intorn'al G, pe$erà egualmente; di modo che la s$era per la inclinatio- ne del piano non de$cender à al ba$$o; ma$tarà $erma, come $e ella fo$$e nel $ottopo- $to piano. & perche nel $ottopo$to piano ella $arebbe mo$$a dalla po$$anza C; adun- que nel piano inclinato $arà mo$$a dall'vna el'altra, cioè dalla po$$anza C, & dal la po$$anza del pe$o B, cioè dalla po$$anza D. & la po$$anza D è data.</I> <p><I>La ri$olutione adunque del problema è $tata geometricamente dimo$trata. ma accioche con vn e$empio facciamo & la con$trutione, & la dimostratione. $ia il pe$o A, per e- $empio, di ducento talenti, condotto nel piano equidi$tante all'orizonte dalla po$$anza C mouente; cioè $iano quaranta huomini, che lo mouano. ma l'angolo KMN, cioè EHL $ia due terzi di vn retto: $arà ilre$tante FLH vn terzo d'vn retto. ma l'angolo ELH èretto, adunque & lo ELF è due terzi d'vn retto. & di quali parti quattro retti contengono</I> 360. <I>di tali l'angolo ELF, ne contiene</I> 60. <I>ma di quali due retti contengono</I> 360. <I>di tali l'angolo ELF ne contiene</I> 120. <I>per laqual co$a de$critto vn cerchio intorn' al triangolo rettangolo ELF; $arà la circon$eren- za, allaquale è $ottoposta la retta linea EF,</I> 120. <I>di quelle parti, delle quali tutto</I> <pb n=122> <I>il cerchio è</I> 360. <I>& la retta linea EF è qua$i</I> 104. <I>di quelle parti, dellequali EL diametro del cerchio è</I> 120. <I>Si come que$te $ono co$e chiare dalla tauola delle linee rette, che $i de$criuono nel cerchio, appre$$o Tolomeo nel primo libro delle co$e Ma- tematiche. La proportione adunque della retta imea EL, cioè di EG ad EF è quel- la, che ha</I> 120. <I>à</I> 104. <I>& però la proportione della re$tante GF ad FE è quella che hà</I> 16. <I>à</I> 104. <I>Mala mede$ima è del pe$o A al pe$o B, & della po$$anza C alla po$$anza D. Ma il pe$o A è di</I> 200. <I>talenti, & la po$$anza C, che lo moue, è di</I> 40. <I>huomini; adunque il pe$o B $arà di mille, e trecento talenti. mala po$$an- za D di ducento & $e$$anta huomini. percioche come</I> 16. <I>à</I> 104. <I>co$i è</I> 200. <I>à</I> 1300 <I>&</I> 40. <I>à</I> 260. <I>$i che e$$endo che primamente il pe$o di ducento talenti $ia mo$$o da quaranta huomini nel piano egualmente distante dall'orizonte: $arà mo$- $o l'i$te$$o pe$o da gli huomini gia detti; cioè da trecent'huomininel piano inchina- to all'orizonte $econdo l'angolo KMN. ilquale è po$to e$$er due terzi di vn retto.</I> <p><I>Poiche habbiamo veduto in che modo $i mouono i pe$i con que$to istrumento; hora egli è da con$iderare quali $iano quelle co$e, lequali operano sì, che ipe$i $i mouano fa- cilmente, & que$te $ono due.</I> <foot><I>Hh</I> 2</foot> <pb> <p>Primieramente quel che fa sì che più facilmente il pe$o $i moue, & che più appartiene etiandio alla e$$entia della vite, è la he- lice po$ta d'intorno alla vite. Come $e d'intorno alla data vi- te AB $aranno due helici di$pari CDAEFG, & $ia AC minore di EG. Dico che il pe$o mede$imo $i mouerà più fa cilmente $opra la helice CDA, che $opra EFG <p><I>Compia$i il cuneo AD CHI, cioè de$criua$i la helice CHI eguale à CDA, & $ia la cima del cuneo C. $imilmente compia$i il cuneo GFEKL, la cui cima $ia E. pon</I> <fig> <I>ga$i dapoi la linea retta MN, laquale $ia eguale ad AC, à piombo dellaquale $ia</I> <marg><I>Per la</I> 1. <I>di <*>esto.</I></marg> <I>tirata la liuea NP, che $ia eguale al Perimetro del cilindro AB: & congiun- ga$i PM; $arà PM perle co$e dette, eguale ad e$$a CDA. Allunghi$i po$cia</I> <marg><I>Per la</I> 1. <I>di <*>esto.</I></marg> <I>MN in O, et $accia$i ON eguale ad MN, et congiunga$i OP; $arà il cuneo OPM eguale al cuneo ADCHI. & $imilmente faccia$i il cuneo STQ eguale</I> <pb n=123> <I>ai cuneo GFEKL; $arà TR eguale ad e$$a PN, & al Perimetro del cilindro & QR eguale à GE. & pere$$ere GE maggiore di AC, $arà anco RQ mag giore di MN. tagli$i RQ in V, & $accia$i RV eguale ad e$$a MN, & con- giunga$i TV: $arà il triangolo TVR eguale al triangolo MPN; percioche le due linee TRRV $ono eguali alle due PN NM, & gli angoli i quali conten- gono $ono eguali, cioè retti. dunque l'angolo RTV $arà eguale all'angolo NPM.</I> <marg><I>Per la</I> 4. <I>del primo.</I></marg> <I>Per laqual co$a l'angolo MPN è minore dell'angolo QTR; & i doppi di que$ti, cioè l'angolo MPO è minore dell'angolo QTS. Horpercioche il cuneo, ilquale hà l'angolo alla cima minore più facilmente moue, & fende, che quello che l'hamaggio re. dunque il cuneo MPO più facilmente mouerà, che QTS. piu facilmente dun que $arà mo$$o il pe$o dal cuneo ADCHI, che dal cuneo GFEKL. dunque il pe$o più $acilmente $arà mo$$o $oprala helice CDA, che $opra la EFG. & nel modo i$te$$o prouera$$i, che quanto minore $arà AC tanto più ageuolmente $i mo uerà il pe$o. il che bi$ogncua mo$trare.</I> <HEAD>Altramente.</HEAD> <p><I>Sia data la vite AB, che habbia due helici eguali CDEFG; $ia dapoi vn'altro ci- lindro <G>a b</G> eguale ad e$$o AB, nel quale prenda$i OP eguale à CG; & diuida$i OP in tre parti eguali OR RT TP; & de$criuan$i tre helici OQ RS TV P; $arà cia$cuna delle OR RT TP minore di CE, & di EG; percioche la terza</I> <fig> <I>parte è minore della metà. dico, che il pe$o mede$imo $i mouerà più facilmente $o- prale helici OQRS TVP, che $opra CDEFG. faccia$i HIL triangolo di an goli retti, in modo che HI $ia eguale à CG, & IL $ia eguale al doppio del Peri- metro del cilindro AB, & per LI $i intenda vn piano egualmente di$tante dall'o-</I> <marg><I>Per la</I> 2. <I>di<*>esto.</I></marg> <I>rizonte; $arà HL eguale à CDEFG, & HLI $arà l'angolo della inclinatione. faccia$i $imilmente il triangolo X<G>*u</G>Z di angoli retti, in modo che XZ $ia egualc</I> <pb n=124> <I>ad e$$a OP, laquale $arà etiandio eguale à CG, & ad HI; & $ia Z<G>*u</G> tre volte tanto quanto è il Perimetro del cilindro: $arà X<G>*u</G> eguale ad OQRSTVP. di- uida$i Z<G>*u</G> in tre parti eguali in <G>g d</G>, $arà cia$cuna delle linee Z <G>g g d d *u</G> egua- le al Perimetro del cilindro <G>a b</G>, lequali etiandio $aranno eguali al Perimetro del cilindro AB; & per con$eguente ad e$$e IM, & ML. congiunga$i X <G>d</G>. & percioche le due linee HI IL $ono eguali alle due XZ Z<G>d</G>, & l'angolo HIL ret to è eguale all'angolo XZ<G>d</G> retto; $arà il triangolo HIL eguale al triangolo XZ<G>d</G>; & l'angolo HLI eguale all'angolo X<G>d</G>Z; & X<G>d</G> eguale ad HL. ma perche l'angolo X <G>d</G> Z è maggiore dell'angolo X<G>*u</G>Z; $arà l'angolo HLI maggiore del-</I> <marg><I>Per la</I> 21. <I>del prime.</I></marg> <I>l'angolo X <G>*u</G>Z. & perciò il piano HL più inchina all'orizonte, che X <G>*u</G>. Per la qual co$a il pe$o mede$imo da po$$anza minore $opra il piano X<G>*u</G> $arà mo$$o, che $o pra il piano HL; come anco facilmente $i caua dalla $te$$a nona di Pappo. & per non e$$ere nient'altro le helici OQRSTVP, che il piano X<G>*u</G> inchinato all' ori- zonte nell'angolo X <G>*u</G> Z d'intorno al cilindro <G>a b</G> inuolto; & $imilmente per non e$$ere niente altro le helici CDEFG, che il piano HL inchinato all'orizonte nel- l'angolo HLI d'intorno al cilindro AB inuolto; dunque più facilmente mouera$$i il pe$o $opra le helici OQRS TVP, che $opra le helici CDEFG.</I> <p><I>Che $e OP diuidera$$i in quattro parti eguali, & $i de$criueranno d'intorno <G>a b</G> quat- tro helici, $i mouerà anco più facilmente il pe$o $opra queste quattro, che $opra le tre OQRS TVP, & quanto più helici $aranno, tanto più facilmente $i mouerà il pe$o. ilche bi$ognaua mostrare.</I> <p><I>Ma il tempo di que$to mouimento facilmente $i fa chiaro, perochele helici CDEFG $ono eguali ad HL: & le helici OQRS TVP $ono eguali ad X<G>*u</G>; ma X<G>*u</G> è maggiore di HL; però $accia$i <G>*u c</G> eguale ad HL: $e dunque due pe$i $i moueran</I> <marg><I>Per la</I> 18. <I>del primo.</I></marg> <I>no $oprale linee LH <G>*u</G>X, & le velocità de' mouimenti $iano eguali, più to$to pa$ $er à quel che $i moue $opra LH, di quel che $i moue $opra <G>*u</G>X: peroche nel tempo</I> <marg><I>Per la</I> 48. <I>del primo.</I></marg> <I>i$te$$o $aranno in H<G>e</G>. Per laqual co$a il tempo di quel che $i moue $opra le helici</I> <marg><I>Per la prima delle da te. & per la</I> 6. <I>del</I> 1. <I>del Monteregie de i tri<*> goli.</I></marg> <I>OQRSTVP $aràmaggiore di quello che è mi$ura di quello che moue$i $opra CD EFG, & quanto più helici $aranno, tanto maggiore $arà il tempo. & e$$endo date le linee HI XZ, & IL Z<G>*u</G>; percioche già $ono date le viti AB <G>a b</G>, & dati gli angoli ad IZ retti, $arà data HL. $imilmente anco X<G>*u</G> $arà data. Per la- qual co$a $arà data anco la loro proportione. La proportione dunque de' tempi delle co$e lequali $ono mo$$e $opra le helici, $arà data.</I> <p>L'altra co$a, la quale è cagione che i pe$i ageuolmente $i muouo- no $ono le $tanghe, ouero i manichi, co' quali $i volge intorno la vite. <p><I>Sia la vite che habbia le helici ABCD, & habbia anche le $tanghe EF GH po$te ne'buchi della vite. $ia $otto le helici il cilindro MN nel quale non $iano intaglia te le belici; & d'intorno al cilindro volga$i la corda, che tiri il pe$o O, ilquale $i mo ua $econdo il mouimento delle $tanghe EF GH, come $e fo$$e tirato con lo $tro- mento dell'argano. $ia tirata (per quelle co$e, che prima $ono $tate dette dell'a$$e</I> <fig> <I>nella rota) la linea LK eguale alla $tanga, & à piombo dell'a$$e del cilindro, & che lo tagli in I: egli è manife$to, che quanto $arà più lunga LI, & quanto più cor ta IK, che il pe$o O più facilmente $i mouerà. ma egli è da auertire che mentre la vite moue il pe$o, $e $i imaginerà, che in luogo di tirare il pe$o O con la corda, ella moua il detto pe$o $opra le helici ABCD, mouerà etiandio il pe$o in K, ilquale</I> <marg><I><*>l corolla <*>.</I></marg> <I>$ia R più ageuolmente $opra le helici. percioche LK è leua, il cui $o$tegno è I; e$ $endo che $i volga la vite d'intorno all'a$$e, & la po$$anza mouente $ia in L, & il</I> <marg><I>Per la</I> 1. <I>di<*>sto del <*>ua.</I></marg> <I>pe$o in K; peroche $imoue più facilmente il pe$o con la leua LK, che $enza la le- ua; percioche LI $empre è maggiore di IK. Onde intenda$i, che $tando $erma la</I> <pb n=125> <I>vite $i moua il pe$o R dalla po$$anza di L con la leua LK $opra la helice CK, oue ro che è il mede$imo, $i come anco di $opra dicemmo, $e il pe$o R $arà in maniera ac- commodato, che non po$$a mouer$i $e non $opra la linearetta PQ egualmente di- $tante dall'a$$e del cilindro: & $ia riuolta intorno la vite, $tando la po$$anza in L: mouera$$i il pe$o R $opra la helice CD nell'i$te$$o modo, come $e fo$$e mo$$a dalla leua LK. percioche egli è il mede$imo, che ouero $tando $erma la vite il pe$o $imo ua $opra la helice, ouero che la helice $i volga intorno, in modo che il pe$o $i moua $o pra lei per e$$ere mo$$o dall'i$te$$a po$$anza di L. $imilmente mo$treraßi, che quan-</I> <marg><I>Per la</I> 1. <I>di questo della leua.</I></marg> <I>to più lunga è LI, dauantaggio anco mouer$i $empre piu $acilmente il pe$o, pero- che $i mouerebbe da po$$anza minore. che era il propo$ito.</I> <p><I><*>tempo di que$to moto parimente è mani$e$to, percioche quanto è più longa LI tanto il tempo $arà maggiore, pur che le po$$anze de i mouimenti $iano eguali in velocità, $i come è detto dell'a$$e nella rota.</I> <HEAD>COROLLARIO.</HEAD> <p>Da que$te co$e è manife$to, che quante più helici $ono, & quan to più $ono lunghe le $tanghe, ouero i manichi, il pe$o ben più facilmente $i moue, ma più tardo. <p>Et alla fine di qui $i farà manife$ta la virtù della po$$anza che mo ue, che è po$ta nelle $tanghe. <foot><I>Ii</I></foot> <pb> <p><I>Sia dato il pe$o A come cento, $ia CD vn piano inchinato all'orizonte nell'angolo DCE. Troui$i per la i$te$$a nona di Pappo con quanta $orza il pe$o A $i moue $o pra CD, che $ia diece. Faccia$i la vite LM, che habbia le helici GHIK & le altre nell'angolo ECD per le co$e che $ono dette, la po$$anza di diece mouerà il pe$o A $opra le helici GHIK. Ma $e con que$ta vite vogliamo mouere il pe$o A,</I> <fig> <I>& la po$$anza mouente $ia come due. Tiri$i la linea NP à piombo dell'a$$e della</I> <marg><I>Per la</I> 1. <I>di<*>esto del<*>.</I></marg> <I>vite, che tagli quell a$$e in O; & faccia$i PO ad ON, come vno à cinque, cioè due à diece. Hor percioche la po$$anza che moue il pe$o A in P, cioè $opra le he- lic, è come diece, allaquale po$$anza re$iste, & è eguale la po$$anza di N, come due, percioche NP è vnaleua, il cui $o$tegno è O. dunque la po$$anza come due po$ta in N mouerà il pe$o A $oprale helici della vite. Faccian$i dunque che le $tanghe, ouero i manichi peruengano fin ad N. egli è mani$e$to, che la po$$an- za di due in que$te mouerà'l pe$o di cento con la vite LM.</I> <p><I>Se dunque $arà la vite QR, che habbia le helici nell'angolo DCE, & d'intorno ad</I> <pb n=126> <I>e$$a $ia la $ua madre S, laquale $e pe$erà cento, aggiunga$i ST che $ia certo mani co, ò $tanga, di modo che T $ia di$tante dall'a$$e del cilindro nella proportione i$te$$a, che è NOP; egli è manife$to, che la po$$anza di due in T moue S $opra le helici della vite; peroche niente altro è S che il pe$o mo$$o $oprale helici della vi te, $imilmente $e S $arà immobile volti$i intorno la vite co'l manico, ouero con la $tanga QX fatta nella proportione mede$ima; & $e $arà la vite cento di pe$o, (la quale ben da $e $te$$a, ouero co'l pe$o V attaccato alla vite, ouero co'l pe$o <G>*u</G> po$to $opra la vite pe$erà cento) egli è manife$to, che la po$$anza di due in X mouerà la vite QR $opra le helici intagliate nella madre della vite. & co$i nelle altre co$e, lequali co'l d<*>ficio della vite $i mouono, ritroueremo la proportione del pe$o alla po$- $anza.</I> <HEAD>COROLLARIO.</HEAD> <p>Da que$to è chiaro come vn dato pe$o $i moua da vna data po$- $anza con la vite. <foot><I>Ii</I> 2</foot> <pb> <p><I>Oltre à ciò parimente in que$to luogo occorre ad e$$ere o$$eruato, che quanto più heli- ci $aranno nella madre della vite, tanto meno pati$ce la vite nel mouere i pe$i, che $e la madre haurà vn'helice $ola, allhora il pe$o di cento $arà $o$tenuto da vna $ola helice della vite, ma $e più $arà anco compartita la grauezza del pe$o in più, & in</I> <fig> <I>tante quante $aranno le helici della vite; come $e conterrà quattro helici, allhora quattro helici della vite, l'vna aiutando l'altra fra loro pre$teranno l'opera à $o$te- nere tutto il pe$o; percioche cia$cuna di loro $o$tenterà la quarta parte del pe$o tut to. che $e dauantaggio contenirà più helici, $i compartirà an<*>o in più portioni, & perciò minori, tuttala grauezza del pe$o.</I> <p>Egli è $tato dunque dimo$trato, che il pe$o $i moue dalla vite, come da cuneo $enza perco$$a: peroche ella in vece di perco$ $a moue con la leua, cioè con la $tanga, ouero manico. <pb n=127> <p>Dimo$trate cote$te co$e, egliè manife$to in qual modo $i po$$a mouere vn dato pe$o da vna data po$$anza. che $e con la leua ciò vogliamo menar ad effetto; po$$iamo & con vna data leua mouere vn dato pe$o con vna data po$$anza. La qual co$a non $i puote già fare del tutto da ne$$uno de gli altri di$ici, $ia ouero la vite, ouero l'a$$e nella rota, ò pur la taglia, per- cioche nè con le taglie date, nè con vn dato a$$e nella rota, nè meno con vna data vite, $i puote mouere vn pe$o dato da vna po$$anza data; per e$$ere in loro $empre determinata la po$$anza. Se dunque la po$$anza, che habbia à mouere il pe- $o, $arà data minore di que$ta, non mouerà il pe$o giamai. nondimeno po$$iamo dato l'a$$e, & la rota $enza i raggi moue re vn pe$o dato con vna data po$$anza: potendo noi adattare i raggi in modo, che il mezo diametro della rota data in$ieme con la lunghezza del raggio habbia al mezo diametro dell'a$- $e la proportione data. la qual co$a i$te$$a puote accadere alla vite ancora; cioè mouere vn dato pe$o con vna data vite $en- za il manico, ò $tanga con vna data po$$anza. percioche cono $ciuta la po$$anza, la quale habbia da mouere il pe$o $opra le he lici, po$$iamo di$porre in maniera il manico, ò $tanga, che la data po$$anza nella $tanga habbia la forza mede$ima, che la po$$anza mouente il pe$o $opra le helici. & concio$ia, che que $to non po$$a per niun modo auenire alle date taglie; tuttauia po$$iamo mouere vn dato pe$o con le date taglie, & con la da ta po$$anza in modi in finiti. Ma con lo $tromento del cuneo egli pare e$$ere chiaro che non $i puote già mouere vn pe$o dato con vna data po$$anza: percioche vna data po$$anza non puote mouere vn dato pe$o $opra vn piano inchinato all'ori- zonte: nè da vna po$$anza data $i mouerà vn dato pe$o con le leue contrarie fra loro, $i come $ono nel cuneo; concio$ia che non $i po$$a nelle leue del cuneo manten<*>re la propria, & ve- ra proportione della leua: percioche i $o<*> gni delle leue non $ono immobili per mouer$i tutto il cunco. <pb> <p>Potrà dapoi cia$cuno fabricare machine, & comporle di più $or ti, come di taglie, & molinelli, ò di argani, ouero di più rote co' denti, ouero in qual $i voglia altro modo; & da quelle co- $e che habbiamo detto ageuolmente ritrouare la proportio- ne tra il pe$o, & la po$$anza. <p>In que$to loco è da por mente, che $e l'Autore non hà $eruato il modo di con$ide- rare que$ti due vltimi i$trumenti, cioè il cuneo, & la vite, come hà fatto la leua, la taglia, & l'a$$e nella rota, ne'quali puntalmente hà dimo$trato la proportione della forza co'l pe$o; che ciò hà egli fatto per e$$ere que$ti due i$trumenti, cioè il cuneo, & la vite per $e $tes$i non atti ad e$$ere con$iderati in quanto $o$tengo- no il pe$o, ma ben in quanto lo mouono. Percioche e$$endo, che le po$$anze lo quali mouono po$$ano e$$ere infinite, non $ene puo a$$egnare ferma regola, co- me $i farebbe della po$$anza, che $o$tiene, laquale è vna $ola, & determinata. Hor che il cuneo non $ia atto ad e$$ere con$iderato in quanto $o$tiene, que$to è chia- ro per $e $te$$o: $imilmente che la vite non $ia atta ad e$$ere con$iderata in quan- to $o$tiene, ciò pur $i vede manife$to nelle viti ordinarie da mouer pe$i. Come per e$empio nella figura po$ta quì di $opra, imaginiamoci che la madre <*> della det- ta vite QR $tia ferma; poi $ia il pe$o V attaccato alla vite di che grauezza $i vo- glia, & hora maggiore, & hora minore, con tutto ciò il pe$o V non farà giamai sì, che la vite QK <*>ali al <*>a$$o volgendo$i nella madre. Doue e$pre$$amente $i vede, che non $i può fare il pe$o V di tal $orte, & grandezza che la vite $tia ferma, talche per ogni minima aggiunta che $i face$$e al pe$o ella an da$$e al ba$$o; percio che, $i come è detto, $empre re$terebbe ferma. L'Autore dunque hà trattato de i due predetti vltimi $tromenti per quanto comportaua la natura loro, $i come pa- ragonando in$ieme tutti cinque gli $trumenti da mouere pe$i per conclu$i one dell'o pera, dice. “Dimo$trate que$te co$e egli re$ta chiaro, & quel che $egue $in'al $ine. <HEAD>IL FINE.</HEAD>