Mercurial > hg > mpdl-xml-content
view texts/archimedesOldCVSRepository/archimedes/raw/newto_philo_01_la_1713.raw @ 10:d7b79f6537bb
Version vom 2009-02-14
| author | Klaus Thoden <kthoden@mpiwg-berlin.mpg.de> |
|---|---|
| date | Thu, 02 May 2013 11:08:12 +0200 |
| parents | 22d6a63640c6 |
| children |
line wrap: on
line source
<pb> <C>PHILOSOPHIÆ NATURALIS PRINCIPIA MATHEMATICA.</C> <C>AUCTORE ISAACO NEWTONO, EQUITE A RATO.</C> <C>EDITIO SECUNDA AUCTIOR ET EMENDATIOR.</C> <FIG> <C>CANTABRIGIÆ, MDCCXIII.</C> <pb> <C>ILLUSTRISSIMÆ SOCIETATI REGALI, A SERENISSIMO REGE CAROLO II AD PHILOSOPHIAM PROMOVENDAM FUNDATÆ, ET AUSPICIIS AUGUSTISSIMÆ REGINÆ ANNÆ FLORENTI,</C> <C>TRACTATUM HUNC D.D.D.</C> <p><I>JS. NEWTONUS.</I> <pb> <C>IN VIRI PRÆSTANTISSIMI ISAACI NEWTONI OPUS HOCCE MATHEMATICO PHYSICUM</C> <C><I>Sæculi Genti$que no$træ Decus egregium.</I></C> <p>EN tibi norma Poli, & divæ libramina Molis,<lb> Computus en Jovis; & quas, dum primordia rerum.<lb> Conderet, omnipotens $ibi Leges ip$e Creator<lb> Dixerit, atque operum quæ fundamenta locarit.<lb> Intima panduntur victi penetralia Cæli,<lb> Nec latet, extremos quæ Vis circumrotet Orbes.<lb> Sol $olio re$idens ad $e jubet omnia prono<lb> Tendere de$cen$u, nec recto tramite currus<lb> Sidereos patitur va$tum per inane moveri;<lb> Sed rapit immotis, $e centro, $ingula gyris.<lb> Hinc patet, horrificis qua $it via flexa Cometis:<lb> Di$cimus hinc tandem, qua cau$a argentea Phœbe<lb> Pa$$ibus haud æquis eat, & cur $ubdita nulli<lb> Hactenus A$tronomo numerorum fræna recu$et:<lb> Cur remeent Nodi, curque Auges progrediantur.<lb> Di$cimus, & quantis refluum vaga Cynthia Pontum<lb> Viribus impellat; fe$$is dum fluctibus ulvam<lb> De$erit, ac nautis $u$pectas nudat arenas;<lb> Alterni$ve ruens $pumantia littora pul$at.<lb> <pb> Quæ toties animos veterum tor$ere Sophorum,<lb> Quæque Scholas hodie rauco certamine vexant,<lb> Obvia con$picimus; nubem pellente Mathe$i:<lb> Quæ $uperas penetrare domos, atque ardua Cæli,<lb> NEWTONI au$picils, jam dat contingere Templa.<lb> Surgite Mortales, terrenas mittite curas;<lb> Atque hinc cæligenæ vites cogno$cite Mentis,<lb> A pecudum vita longe longeque remotæ.<lb> Qui $criptis primus Tabulis compe$cere Cædes,<lb> Furta & Adulteria, & perjuræ crimina Fraudis;<lb> Quive vagis populis circumdare mœnibus Urbes<lb> Auctor erat; Cereri$ve beavit munere gentes;<lb> Vel qui curarum lenimen pre$$it ab Uva;<lb> Vel qui Niliaca mon$travit arundine pictos<lb> Con$ociare $onos, oculi$que exponere Voces;<lb> Humanam $ortem minus extulit; utpote pauca<lb> In commune ferens mi$eræ $olatia vitæ.<lb> Jam vero Superis convivæ admittimur, alti<lb> Jura poli tractare licet, jamque abdita diæ<lb> Clau$tra patent Naturæ, & rerum immobilis ordo;<lb> Et quæ præteritis latuere incognita $æclis.<lb> Talia mon$trantem ju$tis celebrate Camænis,<lb> Vos qui cæle$ti gaudetis nectare ve$ci,<lb> NEWTONUM clau$i re$erantem $crinia Veri,<lb> NEWTONUM Mu$is carum, cui pectore puro<lb> Phœbus ade$t, totoque ince$$it Numine mentem:<lb> Nec fas e$t propius Mortali attingere Divos.<lb> <I>EDM. HALLET.</I><lb> <pb> <C>AUCTORIS PRÆFATIO AD LECTOREM.</C> <p><I>CUM Veteres</I> Mechanicam (<I>uti Auctor e$t</I> Pappus) <I>in rerum Naturalium inve$tigatione maximi fecerint; & Recentiores, mi$$is formis $ub$tautialibus & qualitatibus occultis, Phænomena Naturæ ad leges Mathematicas revocare aggre$$i fint: Vi$um e$t in hoc Tractatu</I> Mathe$in <I>excolere, quatenus ea ad</I> Philo$ophiam <I>$pectat.</I> Mechanicam <I>vero duplicem Veteres con$tituerunt</I>: Ra- tionalem <I>quæ per Demon$trationes accurate procedit, &</I> Practi- cam. <I>Ad <*>acticam $pectant Artes omnes Manuales, a quibus utique</I> Mechanica <I>nomen mutuata e$t. Cum autem Artifices pa- rum accurate operari $oleant, fit ut</I> Mechanica <I>omnis a</I> Geome- tria <I>ita di$tinguatur, ut quicquid accuratum $it ad</I> Geometriam <I>referatur, quicquid minus accuratum ad</I> Mechanicam. <I>Attamen errores non $unt Artis $ed Artificum. Qui minus accurate ope- ratur, imperfectior e$t Mechanicus, & $i quis accurati$$ime ope- rari po$$et, hic foret Mechanicus omnium perfecti$$imus. Nam & Linearum rectarum & Circulorum de$criptiones in quibus</I> Geo- metria <I>fundatur, ad</I> Mechanicam <I>pertinent. Has lineas de$cri- bere</I> Geometria <I>non docet $ed po$tulat. Po$tulat enim ut Tyro ea$dem accurate de$cribere prius didicerit quam linen atting at</I> Geometriæ; <I>deia, quomodo per has operationes Problemata $ol- uantur, docet. Rectas & Circulos de$cribere Problemata $unt,</I> <pb> <I>$ed non Geometrica. Ex</I> Mechanica <I>po$lulatur horum $olutio, in</I> Geometria <I>docetur $olutorum u$us. Ac gloriatur</I> Geometria <I>quod tam paucis principiis aliunde petitis tam multa præ$tet. Fun- datur igitur</I> Geometria <I>in praxi Mechanica, & nihil aliud e$t quam</I> Mechanicæ univer$alis <I>pars illa quæ artem men$urandi ac- curate proponit ac demon$trat. Cum autem artes Manuales in corporibus movendis præcipue ver$entur, fit ut</I> Geometria <I>ad mag- nitudinem,</I> Mechanica <I>ad motum vulgo referatur. Quo $en$u</I> Me- chanica rationalis <I>erit Scientia Motuum qui ex viribus quibu$- cunque re$ultant, & Virium quæ ad motus quo$cunque requirun- tur, accurate propo$ita ac demon$trata. Pars hæc</I> Mechanicæ <I>a Veteribus in</I> Potentiis quinque <I>ad artes manuales $pectantibus exculta fuit, qui Gravitatem (cum potentia manualis non $it) vix aliter quam in ponderibus per potentias illas movendis con$iderarunt. Nos autem non Artibus $ed Philo$ophiæ con$ulentes, deque poten- tiis non manualibus $ed naturalibus $cribentes, ea maxime tracta- mus quæ ad Gravitatem, Levitatem, vim Ela$ticam, re$i$tentiam Fluidorum & eju$modi vires $eu attractivas $eu impul$ivas $pe- ctant: Et ea propter, hæc no$tra tanquam Philo$ophiæ principia Mathematica proponimus. Omnis enim Philo$ophiæ difficultas in eo ver$ari videtur, ut a Phænomenis motuum inve$tigemus vires Naturæ, deinde ab his viribus demon$tremus phænomena <*>liquæ. Et huc $pectant Propo$itiones generales quas Libro primo & $ecundo pertractavimus. In Libro autem tertio Exemplum hujus rei propo- $uimus per explicationem Sy$tematis mundaui. Ibi enim, ex phæ- nomenis cæleflibus, per Propo$itiones in Libris prioribus Mathe- matice aemon$tratas, derivantur vires Gravitatis quibus corpora ad Solem & Planetas $ingulos tendunt. Deinde ex his viribus per Propo$itiones etiam Mathematicas, deducuntur motus Planeta- rum, Cometarum, Lunæ & Maris. Utinam cætera Naturæ phæ- nomena ex principiis Mechanicis eodem argumentandi genere deri- vare liceret. Nam multa me movent ut nonnihil $u$picer e<*> om-</I> <pb> <I>nia ex viribus quibu$dam pendere po$$e, quibus corporum particulæ per cau$as nondum cognitas vel in $e mutuo impelluntur & $e- cundum figuras regulares cohærent, vel ab invicem fugantur & recedunt: quibus viribus ignotis, Philo$ophi hactenus Naturam fru- $tra tentarunt. Spero autem quod vel huic Philo$ophandi modo, vel veriori alicui, Principia hic po$ita lucem aliquam præbebunt.</I> <p><I>In his edendis, Vir acuti$$imus & in omni literarum genere eruditi$$imus</I> Edmundus Halleius <I>operam navavit, nec $olum Typothetarum Sphalmata correxit & Schemata incidi curavit, $ed etiam Auctor fuit ut horum editionem aggrederer. Quippe cum demon$tratam a me Figuram Orbium cæle$tium impetraverat, ro- gare non de$titit ut eandem cum</I> Societate Regali <I>communicarem, Quæ deinde hortatibus & benignis $uis au$piciis effecit ut de ea- dem in lucem emittenda cogitare inciperem. At po$tquam Mo- tuum Lunarium inæqualitates aggre$$us e$$em, deinde etiam ælia tentare cæpi$$em quæ ad leges & men$uras Gravitatis & aliarum virium, & Figuras a corporibus $ecundum datas qua$cunque leges attractis de$cribendas, ad motus corporum plurium inter $e, ad motus corporum in Mediis re$i$tentibus, ad vires, den$itates & motus Mediorum, ad Orbes Cometarum & $imilia $pectant, edi- tionem in aliud tempus differendam e$$e putavi, ut cætera rima- rer & una in publicum darem. Quæ ad motus Lunares $pectant, (imperfecta cum $int,) in Corollariis Propo$itionis</I> LXVI. <I>$imul complexus $um, ne $ingula methodo prolixiore quam pro rei digni- tate proponere, & $igillatim demon$trare tenerer, & $eriem reli- quarum Propo$itionum interrumpere. Nonnulla $ero inventa lo- cis minus idoneis in$erere malui, quam numerum Propo$itionum & citationes mutare. Ut omnia candide legantur, & defectus, in materia tam difficili non tam reprehendantur, quam novis Le- ctorum conatibus inve$tigentur, & benigne $uppleantur, enixe rogo.</I> <p>Dabam <I>Cantabrigiæ,</I> e Collegio <I>S. Trinitatis,</I> Maii 8. 1686. <p><I>IS. NEWTON.</I> <pb> <p><I>IN hac Secunda Principiorum Editione, multa $par$im emen- dantur & nonnulla adjiciuntur. In Libri primi Sectione</I> II, <I>Inventio virium quibus corpora in Orbibus datis revolvi po$$int, facilior redditur & amplior. In Libri $ecundi Sectione</I> VII, <I>Theoria re$i$tentiæ Fluidorum accuratius inve$tigatur & novis Experimentis confirmatur. In Libro tertio Theoria Lunæ & Præ- ce$$io Æquinoctiorum ex Principiis $uis plenius deducuntur, & Theoria Cometarum pluribus & accuratius computatis Orbium exemplis confirmatur.</I> <p>Dabam <I>Londini,</I> Mar. 28. 1713. <p><I>IS. NEWTON.</I> <pb> <C>EDITORIS PRÆFATIO.</C> <p>NEWTONIANÆ Philo$ophiæ novam tibi, Lector benevole, diuque de$ideratam Editionem, plurimum nunc emenda- tam atque auctiorem exhibemus. Quæ poti$$imum conti- neantur in hoc Opere celeberrimo, intelligere potes ex Indicibus adjectis: quæ vel addantur vel immutentur, ip$a te fere docebit Auctoris Præfatio. Reliquum e$t, ut adjiciantur nonnulla de Me- thodo hujus Philo$ophiæ. <p>Qui Phy$icam tractandam $u$ceperunt, ad tres fere cla$$es re- vocari po$$unt. Extiterunt enim, qui $ingulis rerum $peciebus Quali- tates $pecificas & occultas tribuerint; ex quibus deinde corporum $ingulorum operationes, ignota quadam ratione, pendere volue- runt. In hoc po$ita e$t $umma doctrinæ Schola$ticæ, ab <I>Ari$totele</I> & Peripateticis derivatæ: Affirmant utique $ingulos Effectus ex corporum $ingularibus Naturis oriri; at unde $int illæ Naturæ non docent; nihil itaque docent. Cumque toti $int in rerum no- minibus, non in ip$is rebus; Sermonem quendam Philo$ophicum cen$endi $unt adinveni$$e, Philo$ophiam tradidi$$e non $unt cen- $endi. <p>Alii ergo melioris diligentiæ laudem con$equi $perarunt, rejecta Vocabulorum inutili farragine. Statuerunt itaque Materiam uni- ver$am homogeneam e$$e, omnem vero Formarum varietatem, quæ in corporibus cernitur, ex particularum componentium $implici$$i- mis quibu$dam & intellectu facillimis affectionibus oriri. Et recte quidem progre$$io in$tituitur a $implicioribus ad magis compo$ita, $i particularum primariis illis affectionibus non alios tribuunt mo- dos, quam quos ip$a tribuit Natura. Verum ubi licentiam $ibi a$$umunt, ponendi qua$cunque libet ignotas partium figuras & magnitudines, incerto$que $itus & motus; quin & fingendi Fluida quædam occulta, quæ corporum poros liberrime permeent, omni- potente prædita $ubtilitate, motibu$que occultis agitata; jam ad $omnia delabuntur, neglecta rerum con$titutione vera: quæ fane fru$tra petenda e$t ex fallacibus conjecturis, cum vix etiam per certi$$imas Ob$ervationes inve$tigari po$$it. Qui $peculationum <pb> $uarum fundamentum de$umunt ab Hypothe$ibus, etiam$i deinde $ecundum leges Mechanicas accurati$$ime procedant; Fabulam qui- dem elegantem forte & venu$tam, Fabulam tamen concinnare di- cendi $unt. <p>Relinquitur adeo tertium genus, qui Philo$ophiam $cilicet Ex- perimentalem profitentur. Hi quidem ex $implici$$imis quibus po$$unt principiis rerum omnium cau$as derivandas e$$e volunt: nihil autem Principii loco a$$umunt, quod nondum ex Phænome- nis comprobatum fuerit. Hypothe$es non commini$cuntur, neque in Phy$icam recipiunt, ni$i ut Quæ$tiones de quarum veritare di$- putetur. Duplici itaque Methodo incedunt, Analytica & Syn- thetica. Naturæ vires lege$que virium $impliciores ex $electis quibu$dam Phænomenis per Analy$in deducunt, ex quibus deinde per Synthe$in reliquorum con$titutionem tradunt. Hæc illa e$t Philo$ophandi ratio longe optima, quam præ ceteris merito am- plectendam cen$uit Celeberrimus Auctor no$ter. Hanc $olam uti- que dignam judicavit, in qua excolenda atque adornanda operam $uam collocaret. Hujus igitur illu$tri$$imum dedit Exemplum, Mundani nempe Sy$tematis explicationem e Theoria Gravitatis felici$$ime deductam. Gravitatis virtutem univer$is corporibus in- e$$e, $u$picati $unt vel finxerunt alii: primus Ille & folus ex Ap- parentiis demon$trare potuit, & $peculationibus egregiis firmi$$i- mum ponere fundamentum. <p>Scio equidem nonnullos magni etiam nominis Viros, præjudiciis quibu$dam plus æquo occupatos, huic novo Principio ægre a$$en- tiri potui$$e, & certis incerta identidem prætuli$$e. Horum famam vel- licare non e$t animus: Tibi potius, Benevole Lector, illa paucis ex- ponere lubet, ex quibus Tute ip$e judicium non iniquum feras. <p>Igitur ut Argumenti $umatur exordium a $implici$$imis & pro- ximis; de$piciamus pauli$per qualis $it in Terre$tribus natura Gra- vitatis, ut deinde tutius progrediamur ubi ad corpora Cæle$tia, lon- gi$$ime a $edibus no$tris remota, perventum fuerit. Convenit jam inter omnes Philo$ophos, corpora univer$a circumterre$tria gra- vitare in Terram. Nulla dari corpora vere levia, jamdudum confirmavit Experientia multiplex. Quæ dicitur Levitas relativa, non e$t vera Levitas, $ed apparens $olummodo; & oritur a præ- pollente Gravitate corporum contiguorum. <p>Porro, ut corpora univer$a gravitant in Terram, ita Terra vici$- $im in corpora æqualiter gravitat; Gravitatis enim actionem e$$e mutuam & utrinque æqualem, $ic o$tenditur. Di$tinguatur Terræ <pb> totius moles in binas qua$cunque partes, vel æquales vel utcunque inæquales: jam $i pondera partium non e$$ent in $e mutuo æqua- lia; cederet pondus minus majori, & partes conjunctæ pergerent recta moveri ad in$initum, ver$us plagam in quam tendit pondus majus: omnino contra Experientiam. Itaque dicendum erit, pon- dera partium in æquilibrio e$$e con$tituta: hoc e$t, Gravitatis actionem e$$e mutuam & utrinque æqualem. <p>Pondera corporum, æqualiter a centro Terræ di$tantium, $unt ut quantitates materiæ in corporibus. Hoc utique colligitur ex æquali acceleratione corporum omnium, e quiete per ponderum vires cadentium: nam vires quibus inæqualia corpora æqualiter accelerantur, debent e$$e proportionales quantitatibus materiæ movendæ. Jam vero corpora univer$a cadentia æqualiter acce- lerari, ex eo patet, quod in Vacuo <I>Boyliano</I> temporibus æqualibus æqualia $patia cadendo de$cribunt, $ublata $cilicet Aeris re$i$tentia: accuratius autem comprobatur per Experimenta Pendulorum. <p>Vires attractivæ corporum, in æqualibus di$tantiis, $unt ut quantitates materiæ in corporibus. Nam cum corpora in Ter- ram & Terra vici$$im in corpora momentis æqualibus gravitent; Terræ pondus in unumquodque corpus, $eu vis qua corpus Ter- ram attrahit, æquabitur ponderi corporis eju$dem in Terram. Hoc autem pondus erat ut quantitas materiæ in corpore: itaque vis qua corpus unumquodque Terram attrahit, $ive corporis vis ab$oluta, erit ut eadem quantitas materiæ. <p>Oritur ergo & componitur vis attractiva corporum integrorum ex viribus attractivis partium: $iquidem aucta vel diminuta mole materiæ, o$ten$um e$t, proportionaliter augeri vel diminui ejus vir- tutem. Actio itaque Telluris ex conjunctis partium Actionibus conflari cen$enda erit; atque adeo corpora omnia Terre$tria $e mutuo trahere oportet viribus ab$olutis, quæ $int in ratione ma- teriæ trahentis. Hæc e$t natura Gravitatis apud Terram: videa- mus jam qualis $it in Cælis. <p>Corpus omne per$everare in $tatu $uo vel quie$cendi vel movendi uniformiter in directum, ni$i quatenus a viribus impre$$is cogitur $tatum illum mutare; Naturæ lex e$t ab omnibus recepta Philo$o- phis. Inde vero $equitur, corpora quæ in Curvis moventur, atque adeo de lineis rectis Orbitas $uas tangentibus jugiter abeunt, Vi aliqua perpetuo agente retineri in itinere curvilineo. Planetis igitur in Orbibus curvis revolventibus nece$$ario aderit Vis aliqua, per cujus actiones repetitas inde$inenter a Tangentibus deflectantur. <pb> <p>Jam illud concedi æquum e$t, quod Mathematicis rationibus colligitur & certi$$ime demon$tratur; Corpora nempe omnia, quæ moventur in linea aliqua curva in plano de$cripta, quæque radio ducto ad punctum vel quie$cens vel utcunque motum de$cribunt areas circa punctum illud temporibus proportionales, urgeri a Viribus quæ ad idem punctum tendunt. Cum igitur in confe$$o $it apud A$tronomos, Planetas primarios circum Solem, $ecunda- rios vero circum $uos primarios, areas de$cribere temporibus pro- portionales; con$equens e$t ut Vis illa, qua perpetuo detorquen- tur a Tangentibus rectilineis, & in Orbitis curvilineis revolvi ce- guntur, ver$us corpora dirigatur quæ $ita $unt in Orbitarum cen- tris. Hæc itaque Vis non inepte vocari pote$t, re$pectu quidem corporis revolventis, Centripeta; re$pectu autem corporis cen- tralis, Attractiva; a quacunque demum cau$a oriri fingatur. <p>Quin & hæc quoque concedenda $unt, & Mathematice demon- $trantur: Si corpora plura motu æquabili revolvantur in Circulis concentricis, & quadrata temporum periodicorum $int ut cubi di- $tantiarum a centro communi; Vires centripetas revolventium fore reciproce ut quadrata di$tantiarum. Vel, $i corpora revol- vantur in Orbitis quæ $unt Circulis finitimæ, & quie$cant Orbita- rum Ap$ides; Vires centripetas revolventium fore reciproce ut quadrata di$tantiarum. Obtinere ca$um alterutrum in Planetis univer$is con$entiunt A$tronomi. Itaque Vires centripetæ Plane- tarum omnium $unt reciproce ut quadrata di$tantiarum ab Or- bium centris. Si quis objiciat Planetarum, & Lunæ præ$ertim, Ap$ides non penitus quie$cere; $ed motu quodam lento ferri in con$equentia: re$ponderi pote$t, etiam$i concedamus hunc mo- tum tardi$$imum exinde profectum e$$e quod Vis centripetæ pro- portio aberret aliquantum a duplicata, aberrationem illam per computum Mathematicum inveniri po$$e & plane in$en$ibilem e$$e. Ip$a enim ratio Vis centripetæ Lunaris, quæ omnium ma- xime turbari debet, paululum quidem duplicatam $uperabit; ad hanc vero $exaginta fere vicibus propius accedet quam ad tripli- catam. Sed verior erit re$pon$io, $i dicamus hanc Ap$idum progre$- $ionem, non ex aberratione a duplicata proportione, $ed ex alia pror$us diver$a cau$a oriri, quemadmodum egregie common$tratur in hac Philo$ophia. Re$tat ergo ut Vires centripetæ, quibus Pla- netæ primarii tendunt ver$us Solem & $ecundarii ver$us primarios $uos, $int accurate ut quadrata di$tantisrum reciproce. <pb> <p>Ex iis quæ hactenus dicta $unt, con$tat Planetas in Orbitis $uis retineri per Vim aliquam in ip$os perpetuo agentem: con$tat Vim illam dirigi $emper ver$us Orbitarum centra: con$tat hujus efficaciam augeri in acce$$u ad centrum, diminui in rece$$n ab eo- dem: & augeri quidem in eadem proportione qua diminuitur qua- dratum di$tantiæ, diminui in eadem proportione qua di$tantiæ quadratum augetur. Videamus jam, comparatione in$tituta inter Planetarum Vires centripetas & Vim Gravitatis, annon eju$dem forte $int generis. Eju$dem vero generis erunt, $i deprehendan- tur hinc & inde leges eædem eædemque affectiones. Primo ita- que Lunæ, quæ nobis proxima e$t, Vim centripetam expendamus. <p>Spatia rectilinea, quæ a corporibus e quiete demi$$is dato tem- pore $ub ip$o motus initio de$eribuntur, ubi a viribus quibu$cun- que urgentur, proportionalia $unt ip$is viribus: Hoc utique con- $equitur ex ratiociniis Mathematicis. Erit igitur Vis centripeta Lunæ in Orbita $ua revolventis, ad Vim Gravitatis in $uperficie Terræ, ut $patium quod tempore quam minimo de$criberet Luna de$cendendo per Vim centripetam ver$us Terram, $i circulari om- ni motu privari fingeretur, ad $patium quod eodem tempore quam minimo de$cribit grave corpus in vicinia Terræ, per Vim gravita- tis $uæ cadendo. Horum $patiorum prius æquale e$t arcus a Luna per idem tempus de$cripti $inui ver$o, quippe qui Lunæ tran$la- tionem de Tangente, factam a Vi centripeta, metitur; atque adeo computari pote$t ex datis tum Lunæ tempore periodico tum di- $tantia ejus a centro Terræ. Spatium po$terius invenitur per Ex- perimenta Pendulorum, quemadmodum docuit <I>Hugenius.</I> Inito itaque calculo, $patium prius ad $patium pofterius, $eu vis cen- tripeta Lunæ in Orbita $ua revolventis ad vim Gravitatis in $u- perficie Terræ, erit ut quadratum $emidiametri Terræ ad Orbitæ $emidiametri quadratum. Eandem habet rationem, per ea quæ $uperius o$tenduntur, vis centripeta Lunæ in Orbita $ua revol- venris ad vim Lunæ centripetam prope Terræ $uperficiem. Vis itaque centripeta prope Terræ $uperficiem æqualis e$t vi Gravita- tis. Non ergo diver$æ $unt vires, $ed una atque eadem: $i enim diver$æ e$$ent, corpora viribus conjunctis duplo celerius in Ter- ram caderent quam ex vi $ola Gravitatis. Con$tat igitur Vim illam centripetam, qua Luna perpetuo de Tangente vel trahitur vel impellitur & in Orbita retinetur, ip$am e$fe vim Gravitatis terre$tris ad Lunam u$que pertingentem. Et rationi quidem con- $entaneum e$t ut ad ingentes diftantias illa $e$e Virtus extendat, <pb> cum nullam ejus $en$ibilem imminutionem, vel in alti$$imis montium cacuminibus, ob$ervare licet. Gravitat itaque Luna in Terram: quin & actione mutua, Terra vici$$im in Lunam æqualiter gravitat: id quod abunde quidem confirmatur in hac Philo$ophia, ubi agi- tur de Maris æ$tu & Æquinoctiorum præce$$ione, ab actione tum Lunæ tum Solis in Terram oriundis. Hinc & illud tandem edo- cemur, qua nimirum lege vis Gravitatis decre$cat in majoribus a Tellure di$tantiis. Nam cum Gravitas non diver$a $it a Vi cen- tripeta Lunari, hæc vero $it reciproce proportionalis quadrato di$tantiæ; diminuetur & Gravitas in eadem ratione. <p>Progrediamur jam ad Planetas reliquos. Quoniam revolu- tiones primariorum circa Solem & $ecundariorum circa Jovem & Saturnum $unt Phænomena generis eju$dem ac revolutio Lunæ circa Terram, quoniam porro demon$tratum e$t vires centripetas primariorum dirigi ver$us centrum Solis, $ecundariorum ver$us centra Jovis & Saturni, quemadmodum Lunæ vis centripeta ver$us Terræ centrum dirigitur; adhæc, quoniam omnes illæ vires $unt reciproce ut quadrata di$tantiarum a centris, quemadmodum vis Lunæ e$t ut quadratum di$tantiæ a Terra: concludendum erit eandem e$$e naturam univer$is. Itaque ut Luna gravitat in Ter- ram, & Terra vici$$im in Lunam; $ic etiam gravitabunt omnes $ecundarii in primarios $uos, & primarii vici$$im in $ecundarios; $ic & omnes primarii in Solem, & Sol vici$$im in primarios. <p>Igitur Sol in Planetas univer$os gravitat & univer$i in Solem. Nam $ecundarii dum primarios $uos comitantur, revolvuntur in- terea circum Solem una cum primariis. Eodem itaque argumento, utriu$que generis Planetæ gravitant in Solem, & Sol in ip$os. Secundarios vero Planetas in Solem gravitare abunde in$uper con$tat ex inæqualitatibus Lunaribus; quarum accurati$$imam Theoriam, admiranda $agacitate patefactam, in tertio hujus Operis libro expo$itam habemus. <p>Solis virtutem attractivam quoquover$um propagari ad ingen- tes u$que di$tantias, & $e$e diffundere ad $ingulas circumjecti $pa- tii partes, aperti$$ime colligi pote$t ex motu Cometarum; qui ab immen$is intervallis profecti feruntur in viciniam Solis, & non- nunquam adeo ad ip$um proxime accedunt ut Globum ejus, in Periheliis $uis ver$antes, tantum non contingere videantur. Ho- rum Theoriam ab A$tronomis antehac fru$tra quæ$itam, no$tro tandem $æculo feliciter inventam & per Ob$ervationes certi$- $ime demon$tratam, Præ$tanti$$imo no$tro Auctori debemus. Patet <pb> igitur Cometas in Sectionibus Conicis umbilicos in centro Solis habentibus moveri, & radiis ad Solem ductis areas temporibus proportionales de$cribere. Ex hi$ce vero Phænomenis manife- $tum e$t & Mathematice comprobatur, vires illas, quibus Cometæ retinentur in orbitis $uis, re$picere Solem & e$$e reciproce ut qua- drata di$tantiarum ab ip$ius centro. Gravitant itaque Cometæ in Solem: atque adeo Solis vis attractiva non tantum ad corpora Planetarum in datis di$tantiis & in eodem fere plano collocata, $ed etiam ad Cometas in diver$i$$imis Cælorum regionibus & in diver$i$$imis di$tantiis po$itos pertingit. Hæc igitur e$t natura corporum gravitantium, ut vires $uas edant ad omnes di$tantias in omnia corpora gravitantia. Inde vero $equitur, Planetas & Co- metas univer$os $e mutuo trahere, & in $e mutuo graves e$$e: quod etiam confirmatur ex perturbatione Jovis & Saturni, A$tro- nomis non incognita, & ab actionibus horum Planetarum in $e in- vicem oriunda; quin & ex motu illo lenti$$imo Ap$idum, qui $u- pra memoratus e$t, quique a cau$a con$imili profici$citur. <p>Eo demum pervenimus ut dicendum $it, & Terram & Solem & corpora omnia cæle$tia, quæ Solem comitantur, $e mutuo attrahere. Singulorum ergo particulæ quæque minimæ vires $uas attractivas habebunt, pro quantitate materiæ pollentes; quemadmodum $u- pra de Terre$tribus o$ten$um e$t. In diver$is autem di$tantiis, erunt & harum vires in duplicata ratione di$tantiarum reciproce: nam ex particulis hac lege trahentibus componi debere Globos eadem lege trahentes, Mathematice demon$tratur. <p>Conclu$iones præcedentes huic innituntur Axiomati, quod a nullis non recipitur Philo$ophis; Effectuum $cilicet eju$dem ge- neris, quorum nempe quæ cogno$cuntur proprietates eædem $unt, ea$dem e$$e cau$as & ea$dem e$$e proprietates quæ nondum cog- no$cuntur. Quis enim dubitat, $i Gravitas $it cau$a de$cen$us Lapidis in <I>Europa,</I> quin eadem $it cau$a de$cen$us in <I>America?</I> Si Gravitas mutua fuerit inter Lapidem & Terram in <I>Europa</I>; quis negabit mutuam e$$e in <I>America?</I> Si vis attractiva Lapidis & Terræ componatur, in <I>Europa,</I> ex viribus attractivis partium; quis negabit $imilem e$$e compo$itionem in <I>America?</I> Si attractio Terræ ad omnia corporum genera & ad omnes di$tantias propa- getur in <I>Europa</I>; quidni pariter propagari dicamus in <I>America?</I> In hac Regula fundatur omnis Philo$ophia: quippe qua $ublata nihil affirmare po$$imus de Univer$is. Con$titutio rerum $ingula- rum innote$cit per Ob$ervationes & Experimenta: inde vero non <pb> ni$i per hanc Regulam de rerum univer$arum natura judica- mus. <p>Jam cum Gravia $int omnia corpora, quæ apud Terram vel in Cælis reperiuntur, de quibus Experimenta vel Ob$ervationes in- $tituere licet; omnino dicendum erit, Gravitatem corporibus uni- ver$is competere. Et quemadmodum nulla concipi debent cor- pora, quæ non $int Exten$a, Mobilia, & Impenetrabilia; ita nulla concipi debere, quæ non $int Gravia. Corporum Exten$io, Mobi- litas, & Impenetrabilitas non ni$i per Experimenta innote$cunt: eodem plane modo Gravitas innote$cit. Corpora omnia de qui- bus Ob$ervationes habemus, Exten$a $unt & Mobilia & Impene- trabilia: & inde concludimus corpora univer$a, etiam illa de qui- bus Ob$ervationes non habemus, Exten$a e$$e & Mobilia & Im- penetrabilia. Ita corpora omnia $unt Gravia, de quibus Ob$er- vationes habemus: & inde concludimus corpora univer$a, etiam illa de quibus Ob$ervationes non habemus, Gravia e$$e. Si quis dicat corpora Stellarum inerrantium non e$$e Gravia, quandoqui- dem eorum Gravitas nondum e$t ob$ervata; eodem argumento dicere licebit neque Exten$a e$$e, nec Mobilia, nec Impenetrabilia, cum hæ Fixarum affectiones nondum $int ob$ervatæ. Quid opus e$t verbis? Inter primarias qualitates corporum univer$orum vel Gravitas habebit locum; vel Exten$io, Mobilitas, & Impenetra- bilitas non habebunt. Et natura rerum vel recte explicabitur per corporum Gravitatem, vel non recte explicabitur per corpo- rum Exten$ionem, Mobilitatem, & Impenetrabilitatem. <p>Audio nonnullos hanc improbare conclu$ionem, & de occultis qualitatibus ne$cio quid mu$$itare. Gravitatem $cilicet Occultum e$$e quid, perpetuo argutari $olent; occultas vero cau$as pro- cul e$$e ablegandas a Philo$ophia. His autem facile re$pon- detur; occultas e$$e cau$as, non illas quidem quarum exi$tentia per Ob$ervationes clari$$ime demon$tratur, $ed has $olum quarum occulta e$t & ficta exi$tentia nondum vero comprobata. Gravitas ergo non erit occulta cau$a motuum cæle$tium; $iquidem ex Phæ- nomenis o$ten$um e$t, hanc virtutem revera exi$tere. Hi potius ad occultas confugiunt cau$as; qui ne$cio quos Vortices, materiæ cuju$dam pror$us fictitiæ & $en$ibus omnino ignotæ, motibus ii$dem regendis præficiunt. <p>Ideone autem Gravitas occulta cau$a dicetur, eoque nomine rejicietur e Philo$ophia, quod cau$a ip$ius Gravitatis occulta e$t & nondum inventa? Qui $ic $tatuunt, videant nequid $tatu- <pb> ant ab$urdi, unde totius tandem Philo$ophiæ fundamenta convel- lantur. Etenim cau$æ continuo nexu procedere $olent a compo- $itis ad $impliciora: ubi ad cau$am $implici$$imam perveneris, jam non licebit ulterius progredi. Cau$æ igitur $implici$$imæ nulla dari pote$t mechanica explicatio: $i daretur enim, cau$a non- dum e$$et $implici$$ima. Has tu proinde cau$as $implici$$imas appellabis occultas, & exulare jubebis? $imul vero exulabunt & ab his proxime pendentes & quæ ab illis porro pendent, u$que dum a cau$is omnibus vacua fuerit & probe purgata Phi- lo$ophia. <p>Sunt qui Gravitatem præter naturam e$$e dicunt, & Miraculum perpetuum vocant. Itaque rejiciendam e$$e volunt, cum in Phy- $ica præternaturales cau$æ locum non habeant. Huic ineptæ pror$us objectioni diluendæ, quæ & ip$a Philo$ophiam $ubruit univer$am, vix operæ pretium e$t immorari. Vel enim Gravita- tem corporibus omnibus inditam e$$e negabunt, quod tamen dici non pote$t: vel eo nomine præter naturam e$$e affirmabunt, quod ex aliis corporum affectionibus atque adeo ex cau$is Mechanicis originem non habeat. Dantur certe primariæ corporum affecti- ones; quæ, quoniam $unt primariæ, non pendent ab aliis. Vide- rint igitur annon & hæ omnes $int pariter præter naturam, eo- que pariter rejiciendæ: viderint vero qualis $it deinde futura Philo$ophia. <p>Nonnulli $unt quibus hæc tota Phy$ica cæle$tis vel ideo minus placet, quod cum <I>Carte$ii</I> dogmatibus pugnare & vix conciliari po$$e videatur. His $ua licebit opinione frui; ex æquo autem agant oportet: non ergo denegabunt aliis eandem libertatem quam $ibi concedi po$tulant. NEWTONIANAM itaque Philo$ophi- am, quæ nobis verior habetur, retinere & amplecti licebit, & cau$as $equi per Phænomena comprobatas, potius quam fictas & nondum comprobatas. Ad veram Philo$ophiam pertinet, rerum naturas ex cau$is vere exi$tentibus derivare: eas vero leges quærere, qui- bus voluit Summus opifex hunc Mundi pulcherrimum ordinem $tabilire; non eas quibus potuit, $i ita vi$um fui$$et. Rationi enim con$onum e$t, ut a pluribus cau$is, ab invicem nonnihil diver$is, idem po$$it Effectus profici$ci: hæc autem vera erit cau$a, ex qua vere atque actu profici$citur; reliquæ locum non habent in Philo- $ophia vera. In Horologiis automatis idem Indicis horarii mo- tus vel ab appen$o Pondere vel ab intus conclu$o Elatere oriri po- te$t. Quod $i oblatum Horologium revera $it in$tructum Pondere; <pb> ridebitur qui finget Elaterem, & ex Hypothe$i $ic præpropere con- ficta motum Indicis explicare $u$cipiet: oportuit enim internam Machinæ fabricam penitius per$crutari, ut ita motus propo$iti prin- cipium verum exploratum habere po$$et. Idem vel non ab$imile feretur judicium de Philo$ophis illis, qui materia quadam $ubti- li$$ima Cælos e$$e repletos, hanc autem in Vortices inde$inenter agi voluerunt. Nam $i Phænomenis vel accurati$$ime $atisfacere po$$ent ex Hypothe$ibus $uis; veram tamen Philo$ophiam tradi- di$$e, & veras cau$as motuum cæle$tium inveni$$e nondum di- cendi $unt; ni$i vel has revera exi$tere, vel $altem alias non ex- i$tere demon$traverint. Igitur $i o$ten$um fuerit, univer$orum corporum Attractionem habere verum locum in rerum natura; quinetiam o$ten$um fuerit, qua ratione motus omnes cæle$tes ab- inde $olutionem recipiant; vana fuerit & merito deridenda objectio, $i quis dixerit eo$dem motus per Vortices explicari debere, etiam$i id fieri po$$e vel maxime conce$$erimus. Non autem concedimus: Nequeunt enim ullo pacto Phænomena per Vortices explicari; quod ab Auctore no$tro abunde quidem & clari$$imis rationibus evincitur; ut $omniis plus æquo indulgeant oporteat, qui inep- ti$$imo figmento re$arciendo, novi$que porro commentis ornando infelicem operam addicunt. <p>Si corpora Planetarum & Cometarum circa Solem deferantur a Vorticibus; oportet corpora delata & Vorticum partes proxime ambientes eadem velocitate eademque cur$us determinatione mo- veri, & eandem habere den$itatem vel eandem Vim inertiæ pro mole materiæ. Con$tat vero Planetas & Cometas, dum ver$an- tur in ii$dem regionibus Cælorum, velocitatibus variis variaque cur$us determinatione moveri. Nece$$ario itaque $equitur, ut Fluidi cæle$tis partes illæ, quæ $unt ad ea$dem di$tantias a Sole, revolvantur eodem tempore in plagas diver$as cum diver$is ve- locitatibus: etenim alia opus erit directione & velocitate, ut tran- $ire po$$int Planetæ; alia, ut tran$ire po$$int Cometæ. Quod cum explicari nequeat; vel fatendum erit, univer$a corpora cæle$tia non deferri a materia Vorticis; vel dicendum erit, eorundem mo- tus repetendos e$le non ab uno eodemque Vortice, $ed a pluribus qui ab invicem diver$i $int, idemque $patium Soli circumjectum pervadant. <p>Si plures Vortices in eodem $patio contineri, & $e$e mutuo pe- netrare, motibu$que diver$is revolvi ponantur; quoniam hi mo- tus debent e$$e conformes delatorum corporum motibus, qui <pb> $unt $umme regulares, & peraguntur in Sectionibus Conicis, nunc valde eccentricis, nunc ad Circulorum proxime formam acceden- tibus; jure quærendum erit, qui fieri po$$it, ut iidem integri con- $erventur, nec ab actionibus materiæ occur$antis per tot $æcula quicquam perturbentur. Sane $i motus hi fictitii $unt magis com- po$iti & difficilius explicantur, quam veri illi motus Planetarum & Cometarum; fru$tra mihi videntur in Philo$ophiam recipi: omnis enim Cau$a debet e$$e E$fectu $uo $implicior. Conce$$a Fabularum licentia, affirmaverit aliquis Planetas omnes & Cometas circumcingi Atmo$phæris, adin$tar Telluris no$træ; quæ quidem Hypothe$is rationi magis con$entanea videbitur quam Hypothe- $is Vorticum. Affirmaverit deinde has Atmo$phæras, ex natura $ua, circa Solem moveri & Sectiones Conicas de$cribere; qui $ane motus multo facilius concipi pote$t, quam con$imilis motus Vorticum $e invicem permeantium. Denique Planetas ip$os & Cometas circa Solem deferri ab Atmo$phæris $uis credendum e$$e $tatuat, & ob repertas motuum cæle$tium cau$as triumphum agat. Qui$quis autem hanc Fabulam rejiciendam e$$e putet, idem & alte- ram Fabulam rejiciet: nam ovum non e$t ovo $imilius, quam Hy- pothe$is Atmo$phærarum Hypothe$i Vorticum. <p>Docuit <I>Galilæus,</I> lapidis projecti & in Parabola moti deflexio- nem a cur$u rectilineo oriri a Gravitate lapidis in Terram, ab oc- culta $cilicet qualitate. Fieri tamen pote$t ut alius aliquis, na$i acutioris, Philo$ophus cau$am aliam commini$catur. Finget igi- tur ille materiam quandam $ubtilem, quæ nec vi$u, nec tactu, neque ullo $en$u percipitur, ver$ari in regionibus quæ proxime contingunt Telluris $uperficiem. Hanc autem materiam, in di- ver$as plagas, variis & plerumque contrariis motibus ferri, & li- neas Parabolicas de$cribere contendet. Deinde vero lapidis de- flexionem pulchre $ic expediet, & vulgi plau$um merebitur. La- pis, inquiet, in Fluido illo $ubtili natat; & cur$ui ejus ob$equen- do, non pote$t non eandem una $emitam de$cribere. Fluidum vero movetur in lineis Parabolicis; ergo lapidem in Parabola moveri nece$$e e$t. Quis nunc non mirabitur acuti$$imum huju$ce Philo$ophi ingenium, ex cau$is Mechanicis, materia $cilicet & motu, phænomena Naturæ ad vulgi etiam captum præclare de- ducentis? Quis vero non $ub$annabit bonum illum <I>Galilæum,</I> qui magno molimine Mathematico qualitates occultas, e Philo$ophia feliciter exclu$as, denuo revocare $u$tinuerit? Sed pudet nugis diutius immorari. <pb> <p>Summa rei huc tandem redìt: Cometarum ingens e$t numerus; motus eorum $unt $umme regulares, & ea$dem leges cum Plane- tarum motibus ob$ervant. Moventur in Orbibus Conicis, hi or- bes $unt valde admodum eccentrici. Feruntur undique in omnes Cælorum partes, & Planetarum regiones liberrime pertran$eunt, & $æpe contra Signorum ordinem incedunt. Hæc Phænomena certi$$ime confirmantur ex Ob$ervationibus A$tronomicis: & per Vortices nequeunt explicari: Imo, ne quidem cum Vorticibus Planetarum con$i$tere po$$unt. Cometarum motibus omnino lo- cus non erit; ni$i materia illa fictitia penitus e Cælis amo- veatur. <p>Si enim Planetæ circum Solem a Vorticibus devehuntur; Vor- ticum partes, quæ proxime ambiunt unumquemque Planetam, eju$- dem den$itatis erunt ac Planeta; uti $upra dictum e$t. Itaque materia illa omnis quæ contigua e$t Orbis magni perimetro, pa- rem habebit ac Tellus den$itatem: quæ vero jacet intra Orbem magnum atque Orbem Saturni, vel parem vel majorem habebit. Nam ut con$titutio Vorticis permanere po$$it, debent partes mi- nus den$æ centrum occupare, magis den$æ longius a centro abire. Cum enim Planetarum tempora periodica $int in ratione $e$qui- plicata di$tantiarum a Sole, oportet partium Vorticis periodos eandem rationem $ervare. Inde vero $equitur, vires centrifugas harum partium fore reciproce ut quadrata di$tantiarum. Quæ igitur majore intervallo di$tant a centro, nituntur ab eodem re- cedere minore vi: unde $i minus den$æ fuerint, nece$$e e$t ut ce- dant vi majori, qua partes centro propiores a$cendere conantur. A$cendent ergo den$iores, de$cendent minus den$æ, & locorum fiet invicem permutatio; donec ita fuerit di$po$ita atque ordinata materia fluida totius Vorticis, ut conquie$cere jam po$$it in æqui- librio con$tituta. Si bina Fluida, quorum diver$a e$t den$itas, in eodem va$e continentur; utique futurum e$t ut Fluidum, cu- jus major e$t den$itas, majore vi Gravitatis infimum petat locum: & ratione non ab$imili omnino dicendum e$t, den$iores Vorticis partes majore vi centrifuga petere $upremum locum. Tota igi- tur illa & multo maxima pars Vorticis, quæ jacet extra Telluris orbem, den$itatem habebit atque adeo vim inertiæ pro mole ma- teriæ, quæ non minor erit quam den$itas & vis inertiæ Telluris: inde vero Cometis trajectis orietur ingens re$i$tentia, & valde ad- modum $en$ibilis; ne dicam, quæ motum eorundem penitus $i$tere atque ab$orbere po$$e merito videatur. Con$tat autem ex motu Co- <pb> metarum pror$us regulari, nullam ip$os re$i$tentiam pati quæ vel minimum $entiri pote$t; atque adeo neutiquam in materiam ul- lam incur$are, cujus aliqua $it vis re$i$tendi, vel proinde cujus ali- qua $it den$itas $eu vis Inertiæ. Nam re$i$tentia Mediorum ori- tur vel ab inertia materiæ fluidæ, vel a defectu lubricitatis. Quæ oritur a defectu lubricitatis, admodum exigua e$t; & $ane vix ob$ervari pote$t in Fluidis vulgo notis, ni$i valde tenacia fuerint adin$tar Olei & Mellis. Re$i$tentia quæ $entitur in Aere, Aqua, Hydrargyro, & huju$modi Fluidis non tenacibus fere tota e$t prioris generis; & minui non pote$t per ulteriorem quemcunque gradum $ubtilitatis, manente Fluidi den$itate vel vi inertiæ, cui $emper proportionalis e$t hæc re$i$tentia; quemadmodum clari$- $ime demon$tratum e$t ab Auctore no$tro in peregregia Re$i$ten- tiarum Theoria, quæ paulo nunc accuratius exponitur, hac $e- cunda vice, & per Experimenta corporum cadentium plenius confirmatur. <p>Corpora progrediendo motum $uum Fluido ambienti paulatim communicant, & communicando amittunt, amittendo autem re- tardantur. E$t itaque retardatio motui communicato proportio- nalis; motus vero communicatus, ubi datur corporis progredientis velocitas, e$t ut Fluidi den$itas; ergo retardatio $eu re$i$tentia erit ut eadem Fluidi den$itas; neque ullo pacto tolli pote$t, ni$i a Fluido ad partes corporis po$ticas recurrente re$tituatur motus ami$$us. Hoc autem dici non poterit, ni$i impre$$io Fluidi in cor- pus ad partes po$ticas æqualis fuerit impre$$ioni corporis in Flui- dum ad partes anticas, hoc e$t, ni$i velocitas relativa qua Flui- dum irruit in corpus a tergo, æqualis fuerit velocitati qua cor- pus irruit in Fluidum, id e$t, ni$i velocitas ab$oluta Fluidi re- currentis duplo major fuerit quam velocitas ab$oluta Fluidi pro- pul$i; quod fieri nequit. Nullo igitur modo tolli pote$t Flui- dorum re$i$tentia, quæ oritur ab corundem den$itate & vi in- ertiæ. Itaque concludendum erit; Fluidi cæle$tis nullam e$$e vim inertiæ, cum nulla $it vis re$i$tendi: nullam e$$e vim qua motus communicetur, cum nulla $it vis inertiæ: nullam e$$e vim qua mutatio quælibet vel corporibus $ingulis vel pluribus indu- catur, cum nulla $it vis qua motus communicetur: nullam e$$e omnino efficaciam, cum nulla $it facultas mutationem quamlibet inducendi. Quidni ergo hanc Hypothe$in, quæ fundamento plane de$tituitur, quæque naturæ rerum explicandæ ne minimum quidem in$ervit, inepti$$imam vocare liceat & Philo$opho pror- <pb> $us indignam. Qui Cælos materia fluida repletos e$$e volunt, hanc vero non inertem e$$e $tatuunt; Hi verbis tollunt Vacuum, re ponunt. Nam cum huju$modi materia fluida ratione nulla $ecerni po$$it ab inani Spatio; di$putatio tota fit de rerum no- minibus, non de naturis. Quod $i aliqui $int adeo u$que de- diti Materiæ, ut Spatium a corporibus vacuui nullo pacto ad- mittendum credere velint; videamus quo tandem oporteat illos pervenire. <p>Vel enim dicent hanc, quam confingunt, Mundi per omnia pleni con$titutionem ex voluntate Dei profectam e$$e, propter eum finem, ut operationibus Naturæ $ub$idium præ$ens haberi po$$et ab Æthere $ubtili$$imo cuncta permeante & implente; quod tamen dici non pote$t, $iquidem jam o$ten$um e$t ex Co- metarum phænomenis, nullam e$$e hujus Ætheris efficaciam: vel dicent ex voluntate Dei profectam e$$e, propter finem aliquem ignotum; quod neque dici debet, $iquidem diver$a Mundi con- $titutio eodem argumento pariter $tabiliri po$$et: vel denique non dicent ex voluntate Dei profectam e$$e, $ed ex nece$$itate quadam Naturæ. Tandem igitur delabi oportet in $æces $ordi- das Gregis impuri$$imi. Hi $unt qui $omniant Fato univer$a regi, non Providentia; Materiam ex nece$$itate $ua $emper & ubi- que extiti$$e, infinitam e$$e & æternam. Quibus po$itis, erit etiam undiquaque uniformis: nam varietas formarum cum nece$- $itate omnino pugnat. Erit etiam immota: nam $i nece$$ario moveatur in plagam aliquam determinatam, cum determinata ali- qua velocitate; pari nece$$itate movebitur in plagam diver$am cum diver$a velocitate; in plagas autem diver$as, cum diver$is velocitatibus, moveri non pote$t; oportet igitur immotam e$$e. Neutiquam profecto potuit oriri Mundus, pulcherrima forma- rum & motuum varietate di$tinctus, ni$i ex liberrima voluntate cuncta providentis & gubernantis Dei. <p>Ex hoc igitur fonte promanarunt illæ omnes quæ dicuntur Naturæ leges: in quibus multa $ane $apienti$$imi con$ilii, nulla nece$$itatis apparent ve$tigia. Has proinde non ab incertis con- jecturis petere, $ed Ob$ervando atque Experiendo addi$cere de- bemus. Qui veræ Phy$icæ principia Lege$que rerum, $ola men- tis vi & interno rationis lumine fretum, invenire $e po$$e confi- dit; hunc oportet vel $tatuere Mundum ex nece$$itate fui$le, Le- ge$que propo$itas ex eadem nece$$itate $equi; vel $i per volun- tatem Dei con$titutus $it ordo Naturæ, $e tamen, homuncionem <pb> mi$ellum, quid optimum factu $it per$pectum habere. Sana om- nis & vera Philo$ophia fundatur in Phænomenis rerum: quæ $i nos vel invitos & reluctantes ad huju$modi principia deducunt, in quibus clari$$ime cernuntur Con$ilium optimum & Dominium $ummum $apienti$$imi & potenti$$imi Entis; non erunt hæc ideo non admittenda principia, quod quibu$dam for$an hominibus minus grata $int futura. His vel Miracula vel Qualitates occultæ dicantur, quæ di$plicent: verum nomina malitio$e indita non $unt ip$is rebus vitio vertenda; ni$i illud fateri tandem velint, utique debere Philo$ophiam in Athei$mo fundari. Horum hominum gratia non erit labefactanda Philo$ophia, $iquidem rerum ordo non vult immutari. <p>Obtinebit igitur apud probos & æquos Judices præ$tanti$$ima Philo$ophandi ratio, quæ fundatur in Experimentis & Ob$erva- tionibus. Huic vero, dici vix poterit, quanta lux accedat, quanta dignitas, ab hoc Opere præclaro Illu$tri$$imi no$tri Auctoris; cujus eximiam ingenii felicitatem, difficillima quæque Problemata eno- dantis, & ad ea porro pertingentis ad quæ nec $pes erat humanam mentem a$$urgere potui$$e, merito admirantur & $u$piciunt qui- cunque paulo profundius in hi$ce rebus ver$ati $unt. Clau$tris ergo re$eratis, aditum Nobis aperuit ad pulcherrima rerum my- $teria. Sy$tematis Mundani compagem eleganti$$imam ita tan- dem patefecit & penitius per$pectandam dedit; ut nec ip$e, $i nunc revivi$ceret, Rex <I>Alphon$us</I> vel $implicitatem vel harmoniæ gratiam in ea de$ideraret. Itaque Naturæ maje$tatem propius jam licet intueri, & dulci$$ima contemplatione frui, Conditorem vero ac Dominum Univer$orum impen$ius colere & venerari, qui fructus e$t Philo$ophiæ multo uberrimus. Cæcum e$$e oportet, qui ex optimis & $apienti$$imis rerum $tructuris non $tatim videat Fabri- catoris Omnipotentis infinitam $apientiam & bonitatem: in$anum, qui profiteri nolit. <p>Extabit igitur Eximium NEWTONI Opus adver$us Atheorum impetus muniti$$imum præ$idium: neque enim alicunde felicius, quam ex hac pharetra, contra impiam Catervam tela depromp$eris. Hoc $en$it pridem, & in pereruditis Concionibus Anglice Latineque editis, primus egregie demon$travit Vir in omni Literarum genere præclarus idemque bonarum Artium fautor eximius RICHARDUS BENTLEIUS, Sæculi $ui & Academiæ no$træ magnum Orna- mentum, Collegii no$tri <I>S. Trinitatis</I> Magi$ter digni$$imus & in- tegerrimus. Huic ego me pluribus nominibus ob$trictum fateri <pb> debeo: Huic & Tuas quæ debentur gratias, Lector benevole, non denegabis. Is enim, cum a longo tempore Celeberrimi Auctoris amicitia intima frueretur, (qua etiam apud Po$teros cen$eri non minoris æ$timat, quam propriis Scriptis quæ literato orbi in de- liciis $unt inclare$cere) Amici $imul famæ & $cientiarum incre- mento con$uluit. Itaque cum Exemplaria prioris Editionis rari$- $ima admodum & immani pretio coemenda $upere$$ent; $ua$it Ille crebris efflagitationibus & tantum non objurgando perpulit deni- que Virum Præ$tanti$$imum, nec mode$tia minus quam eruditi- one $umma In$ignem, ut novam hanc Operis Editionem, per om- nia elimatam denuo & egregiis in$uper acce$$ionibus ditatam, $uis $umptibus & au$piciis prodire pateretur: Mihi vero, pro jure $uo, pen$um non ingratum demandavit, ut quam po$$et emendate id fieri curarem. <p><I>Cantabrigiæ,</I> Maii 12. 1713. <p>ROGERUS COTES Collegii <I>S. Trinitatis</I> Socius, A$tronomiæ & Philo$ophiæ Experimentalis Profe$$or <I>Plumianus.</I> <pb> <C>INDEX CAPITUM TOTIUS OPERIS.</C> <p>PAG. <p>DEFINITIONES. 1 <p>AXIOMATA, SIVE LEGES MOTUS. 12 <C>DE MOTU CORPORUM LIBER PRIMUS.</C> <p>SECT. I. <I>DE Methodo rationum primarum & ultima- rum.</I> 24 <p>SECT. II. <I>De inventione Virium centripetarum.</I> 34 <p>SECT. III. <I>De motu corporum in Conicis $ectionibus eccentri- cis.</I> 48 <p>SECT. IV. <I>De inventione Orbium Ellipticorum, Parabolicorum & Hyperbolicorum ex Umbilico dato.</I> 59 <p>SECT. V. <I>De inventione Orbium ubi Umbilicus neuter datur.</I> 66 <p>SECT. VI. <I>De inventione Motuum in Orbibus datis.</I> 97 <p>SECT. VII. <I>De corporum A$cen$u & De$cen$u rectilineo.</I> 105 <p>SECT. VII. <I>De inventione Orbium in quibus corpora Viribus quibu$cunque centripetis agitata revolvuntur.</I> 114 <p>SECT. IX. <I>De Motu corporum in Orbibus mobilibus, deque Motu Ap$idum.</I> 121 <p>SECT. X. <I>De Motu corporum in Superficiebus datis, deque Funependulorum Motu reciproco.</I> 132 <p>SECT. XI. <I>De Motu corporum Viribus centripetis $e mutuo pe- tentium.</I> 147 <p>SECT. XII. <I>De corporum Sphæricorum Viribus attractivis.</I> 173 <pb> <p>SECT. XIII. <I>De corporum non Sphæricorum Viribus attracti- vis.</I> 192 <p>SECT. XIV. <I>De Motu corporum Minimorum, quæ Veribus cen- tripetis ad $ingulas Magni alicujus corporis partes ten- dentibus agitantur.</I> 203 <C>DE MOTU CORPORUM LIBER SECUNDUS.</C> <p>SECT. I. <I>DE Motu corporum quibus re$i$titur in ratione Velocitatis.</I> 211 <p>SECT. II. <I>De Motu corporum quibus re$i$titur in duplicata ra- tione Velocitatis.</I> 220 <p>SECT. III. <I>De Motu corporum quibus re$i$titur partim in ratione Velocitatis, partim in eju$dem ratione duplicata.</I> 245 <p>SECT. IV. <I>De corporum Circulari motu in Mediis re$i$tentibus.</I> 253 <p>SECT. V. <I>De den$itate & compre$$ione Fluidorum, deque Hy- dro$tatica.</I> 260 <p>SECT. VI. <I>De Motu & Re$i$tentia corporum Funependulorum.</I> 272 <p>SECT. VII. <I>De motu Fluidorum & re$i$tentia Projectilium.</I> 294 <p>SECT. VIII. <I>De motu per Fluida propagato.</I> 329 <p>SECT. IX. <I>De motu Circulari Fluidorum.</I> 345 <C>DE MUNDI SYSTEMATE LIBER TERTIUS.</C> <p>REGULÆ PHILOSOPHANDI 357 <p>PHÆNOMENA 359 <p>PROPOSITIONES 362 <p>SCHOLIUM GENERALE. 481 <pb> <C>PHILOSOPHIÆ NATURALIS Principia MATHEMATICA.</C> <HR> <C>DEFINITIONES.</C> <HR> <C>DEFINITIO I.</C> <C><I>Quantitas Materiæ e$t men$ura eju$dem orta ex illius Den$itate & Magnitudine conjunctim.</I></C> <p>AER, den$itate duplicata, in $patio etiam duplicato fit qua- druplus; in triplicato $extuplus. Idem intellige de Nive & Pulveribus per compre$$ionem vel liquefactionem conden- $atis. Et par e$t ratio corporum omnium, quæ per cau$as qua$cun- que diver$imode conden$antur. Medii interea, $i quod fuerit, in- ter$titia partium libere pervadentis, hic nullam rationem habeo. Hanc autem Quantitatem $ub nomine Corporis vel Ma$$æ in $e- quentibus pa$$im intelligo. Innote$cit ea per corporis cuju$que Pondus. Nam Ponderi proportionalem e$$e reperi per experi- menta Pendulorum accurati$$ime in$tituta, uti po$thac docebitur. <C>DEFINITIO II.</C> <C><I>Quantitas Motus e$t men$ura eju$dem orta ex Velocitate & Quan- titate Materiæ conjunctim.</I></C> <p>Motus totius e$t $umma motuum in partibus $ingulis; adeoque in corpore duplo majore æquali cum velocitate duplus e$t, & du- pla cum velocitate quadruplus. <pb n=2> <C>DEFINITIO III.</C> <p><I>Materiæ Vis In$ita e$t potentia re$i$tendi, qua corpus unumquodque, quantum in $e e$t, per$everat in $tatu $uo vel quie$cendi vel movendi uniformiter in directum.</I> <p>Hæc $emper proportionalis e$t $uo corpori, neque differt quic- quam ab Inertia ma$$æ, ni$i in modo concipiendi. Per inertiam materiæ, fit ut corpus omne de $tatu $uo vel quie$cendi vel moven- di difficulter deturbetur. Unde etiam vis in$ita nomine $ignifican- ti$$imo Vis Inertiæ dici po$$it. Exercet vero corpus hanc vim $olum- modo in mutatione $tatus $ui per vim aliam in $e impre$$am facta; e$tq; exercitium ejus $ub diver$o re$pectu & Re$i$tentia & Impetus: re$i$tentia, quatenus corpus ad con$ervandum $tatum $uum relucta- tur vi impre$$æ; impetus, quatenus corpus idem, vi re$i$tentis ob- $taculi difficulter cedendo, conatur $tatum ejus mutare. Vulgus re$i$tentiam quie$centibus & impetum moventibus tribuit: $ed mo- tus & quies, uti vulgo concipiuntur, re$pectu $olo di$tinguuntur ab invicem; neq; $emper vere quie$cunt quæ vulgo tanquam quie- $centia $pectantur. <C>DEFINITIO IV.</C> <C><I>Vis Impre$$a e$t actio in corpus exercita, ad mutandum ejus $tatum vel quie$cendi vel movendi uniformiter in directum.</I></C> <p>Con$i$tit hæc vis in actione $ola, neque po$t actionem permanet in corpore. Per$everat enim corpus in $tatu omni novo per $olam vim inertiæ. E$t autem vis impre$$a diver$arum originum, ut ex Ictu, ex Pre$$ione, ex vi Centripeta. <C>DEFINITIO V.</C> <C><I>Vis Centripeta e$t, qua corpora ver$us punctum aliquod tanquam ad Centrum undique trahuntur, impelluntur, vel utcunq tendunt.</I></C> <p>Hujus generis e$t Gravitas, qua corpora tendunt ad centrum ter- ræ; Vis Magnetica, qua ferrum petit magnetem; & Vis illa, quæcunq; $it, qua Planetæ perpetuo retrahuntur a motibus rectili- neis, & in lineis curvis revolvi coguntur. Lapis, in funda circum- <pb n=3> actus, a circumagente manu abire conatur; & conatu $uo fundam di$tendit, eoq; fortius quo celerius revolvitur; &, quamprimum di- mittitur, avolat. Vim conatui illi contrariam, qua funda lapidem in manum perpetuò retrahit & in orbe retinet, quoniam in manum ceu orbis centrum dirigitur, Centripetam appello. Et par e$t ratio corporum omnium, quæ in gyrum aguntur. Conantur ea omnia a centris orbium recedere; & ni$i ad$it vis aliqua conatui i$ti contra- ria, qua cohibeantur & in orbibus retineantur, quamque ideò Centri- petam appello, abibunt in rectis lineis uniformi cum motu. Pro- jectile, $i vi Gravitatis de$titueretur, non deflecteretur in terram, $ed in linea recta abiret in cælos; idque uniformi cum motu, $i modo aeris re$i$tentia tolleretur. Per gravitatem $uam retrahitur a cur$u rectilineo & in terram perpetuo flectitur, idque magis vel minus pro gravitate $ua & velocitate motus. Quo minor erit ejus gravitas pro quantitate materiæ vel major &c. vel major velocitas quacum projicitur, eo minus deviabit a cur$u rectilineo & longius perget. Si Globus plumbeus, data cum velo- citate $ecundum lineam horizontalem a montis alicujus vertice vi pulveris tormentarii projectus, pergeret in linea curva ad di$tantiam duorum milliarium, priu$quam in terram decideret: hic dupla cum velocitate qua$i duplo longius pergeret, & decupla cum velocitate qua$i decuplo longius: $i modo aeris re$i$tentia tolleretur. Et augendo velocitatem augeri po$$et pro lubitu di$tantia in quam projiceretur, & minui curvatura lineæ quam de$criberet, ita ut tandem caderet ad di$tantiam graduum decem vel triginta vel nonaginta; vel eriam ut terram totam circuiret priu$quam caderet; vel denique ut in terram nunquam caderet, $ed in cælos abiret & motu abeundi per- geret in infinitum. Et eadem ratione, qua Projectile vi gravitatis in orbem flecti po$$et & terram totam circuire, pote$t & Luna vel vi gravitatis, $i modo gravis $it, vel alia quacunque vi, qua in ter- ram urgeatur, retrahi $emper a cur$u rectilineo terram ver$us, & in orbem $uum flecti: & ab$que tali vi Luna in orbe $uo retineri non pote$t. Hæc vis, $i ju$to minor e$$et, non $atis flecteret Lunam de cur$u rectilineo: $i ju$to major, plus $atis flecteret, ac de orbe terram ver$us deduceret. Requiritur quippe, ut $it ju$tæ magnitudinis: & Mathematicorum e$t invenire Vim, qua corpus in dato quovis orbe data cum velocitate accurate retineri po$$it; & vici$$im inve- nire Viam curvilineam, in quam corpus e dato quovis loco data cum velocitate egre$$um a data vi flectatur. E$t autem vis hujus cen- tripetæ Quantitas trium generum, Ab$oluta, Acceleratrix, & Motrix. <pb n=4> <MARG>NI- ES.</MARG> <C>DEFINITIO VI.</C> <C><I>Vis centripetæ Quantitas Ab$oluta e$t men$ura eju$dem major vel minor pro Efficacia cau$æ eam propagantis a centro per regiones in circuitu.</I></C> <p>Ut vis Magnetica pro mole magnetis vel inten$ione virtutis major in uno magnete, minor in alio. <C>DEFINITIO VII.</C> <C><I>Vis centripetæ Quantitas Acceleratrix e$t ip$ius men$ura Velocitati proportionalis, quam dato tempore generat.</I></C> <p>Uti Virtus magnetis eju$dem major in minori di$tantia, minor in majori: vel vis Gravitans major in vallibus, minor in cacumini- bus præaltorum montium, atque adhuc minor (ut po$thac patebit) in majoribus di$tantiis a globo terræ; in æqualibus autem di$tan- tiis eadem undique, propterea quod corpora omnia cadentia (gra- via an levia, magna an parva) $ublata Aeris re$i$tentia, æqualiter accelerat. <C>DEFINITIO VIII.</C> <C><I>Vis centripetæ Quantitas Motrix e$t ip$ius men$ura proportionalis. Motui, quem dato tempore generat.</I></C> <p>Uti Pondus majus in majore corpore, minus in minore; inque corpore eodem majus prope terram, minus in cælis. Hæc Quantitas e$t corporis totius centripetentia $eu propen$io in centrum, & (ut ita dicam) Pondus; & innote$cit $emper per vim ip$i contrariam & æ- qualem, qua de$cen$us corporis impediri pote$t. <p>Ha$ce virium quantitates brevitatis gratia nominare licet vires motrices, acceleratrices, & ab$olutas; & di$tinctionis gratia referre ad Corpora, centrum petentia, ad corporum Loca, & ad Centrum virium: nimirum vim motricem ad Corpus, tanquam conatum & propen$io- nem totius in centrum ex propen$ionibus omnium partium compo$i- tam; & vim acceleratricem ad Locum corporis, tanquam efficaciam quandam, de centro per loca $ingula in circuitu diffu$am, ad movenda corpora quæ in ip$is $unt; vim autem ab$olutam ad Centrum, tan- quam cau$a aliqua præditum, $ine qua vires motrices non propa- gantur per regiones in circuitu; $ive cau$a illa $it corpus aliquod centrale (quale e$t Magnes in centro vis magneticæ, vel Terra in <pb n=5> centro vis gravitantis) $ive alia aliqua quæ non apparet. Mathe- maticus duntaxat e$t hic conceptus. Nam virium cau$as & $edes phy- $icas jam non expendo. <p>E$t igitur vis acceleratrix ad vim motricem ut celeritas ad mo- tum. Oritur enim quantitas motus ex celeritate ducta in quanti- tatem materiæ, & vis motrix ex vi acceleratrice ducta in quantita- tem eju$dem materiæ. Nam $umma actionum vis acceleratricis in $ingulas corporis particulas e$t vis motrix totius. Unde juxta $uperficiem Terræ, ubi gravitas acceleratrix $eu vis gravitans in corporibus univer$is eadem e$t, gravitas motrix $eu pondus e$t ut corpus: at $i in regiones a$cendatur ubi gravitas acceleratrix fit mi- nor, pondus pariter minuetur, eritque $emper ut corpus in gravitatem acceleratricem ductum. Sic in regionibus ubi gravitas acceleratrix duplo minor e$t, pondus corporis duplo vel triplo minoris erit quadruplo vel $extuplo minus. <p>Porro attractiones & impul$us eodem $en$u acceleratrices & mo- trices nomino. Voces autem Attractionis, Impul$us, vel Propen- $ionis cuju$cunque in centrum, indifferenter & pro $e mutuo pro- mi$cue u$urpo; has vires non Phy$ice $ed Mathematice tantum con- $iderando. Unde caveat lector, ne per huju$modi voces cogitet me $peciem vel modum actionis cau$amve aut rationem Phy$icam ali- cubi definire, vel centris (quæ $unt puncta Mathematica) vires vere & Phy$ice tribuere; $i forte aut centra trahere, aut vires cen- trorum e$$e dixero. <C><I>Scholium.</I></C> <p>Hactenus voces minus notas, quo $en$u in $equentibus acci- piendæ $int, explicare vi$um e$t. Nam Tempus, Spatium, Locum & Motum, ut omnibus noti$$ima, non definio. Notandum tamen, quod vulgus quantitates ha$ce non aliter quam ex relatione ad $en$ibilia concipiat. Et inde oriuntur præjudicia quædam, quibus tollendis convenit ea$dem in ab$olutas & relativas, veras & apparentes, ma- thematicas & vulgares di$tingui. <p>I. Tempus Ab$olutum, verum, & mathematicum, in $e & natura $ua ab$q; relatione ad externum quodvis, æquabiliter fluit, alioq; nomine dicitur Duratio: Relativum, apparens, & vulgare e$t $en$ibilis & externa quævis Durationis per motum men$ura ($eu accurata $eu inæquabilis) qua vulgus vice veri temporis utitur; ut Hora, Dies, Men$is, Annus. <pb n=6> <MARG>NI- ES.</MARG> <p>II. Spatium Ab$olutum, natura $ua ab$que relatione ad externum quodvis, $emper manet $imilare & immobile: Relativum e$t $patii hujus men$ura $eu dimen$io quælibet mobilis, quæ a $en$ibus no$tris per $itum $uum ad corpora definitur, & a vulgo pro $patio immo- bili u$urpatur: uti dimen$io $patii $ubterranei, aerei vel cæle$tis definita per $itum $uum ad Terram. Idem $unt $patium ab$olutum & relativum, $pecie & magnitudine; $ed non permanent idem $em- per numero. Nam $i Terra, verbi gratia, movetur; $patium Aeris no$tri, quod relative & re$pectu Terræ $emper manet idem, nunc erit una pars $patii ab$oluti in quam Aer tran$it, nunc alia pars ejus; & $ic ab$olute mutabitur perpetuo. <p>III. Locus e$t pars $patii quam corpus occupat, e$tq; pro ratione $patii vel Ab$olutus vel Relativus. Pars, inquam, $patii; non Situs corporis, vel Superficies ambiens. Nam $olidorum æqualium æquales $emper $unt loci; Superficies autem ob di$$imilitudinem figurarum ut plurimum inæquales $unt; Situs vero proprie loquen- do quantitatem non habent, neq; tam $unt loca quam affectiones locorum. Motus totius idem e$t cum $umma motuum partium, hoc e$t, tran$latio totius de $uo loco eadem e$t cum $umma tran$la- tionum partium de locis $uis; adeoq; locus totius idem cum $umma locorum partium, & propterea internus & in corpore toto. <p>IV. Motus Ab$olutus e$t tran$latio corporis de loco ab$oluto in locum ab$olutum, Relativus de relativo in relativum. Sic in navi quæ velis pa$$is fertur, relativus corporis Locus e$t navigii regio illa in qua corpus ver$atur, $eu cavitatis totius pars illa quam corpus implet, quæq; adeo movetur una cum navi: & Quies relativa e$t perman$io corporis in eadem illa navis regione vel parte cavita- tis. At quies Vera e$t perman$io corporis in eadem parte $patii illius immoti in qua navis ip$a una cum cavitate $ua & contentis univer$is movetur. Unde $i Terra vere quie$cit, corpus quod rela- tive quie$cit in navi, movebitur vere & ab$olute ea cum velocitate qua navis movetur in Terra. Sin Terra etiam movetur; orietur verus & ab$olutus corporis motus, partim ex Terræ motu vero in $patio immoto, partim ex navis motu relativo in Terra: & $i cor- pus etiam movetur relative in navi; orietur verus ejus motus, par- tim ex vero motu Terræ in $patio immoto, partim ex relativis mo- tibus tum navis in Terra, tum corporis in navi; & ex his motibus relativis orietur corporis motus relativus in Terra. Ut $i Terræ pars illa, ubi navis ver$atur, moveatur vere in orientem cum velocitate partium 10010; & velis ventoq; feratur navis in occidentem cum velocitate partium decem; Nauta autem ambulet in navi ori- <pb n=7> entem ver$us cum velocitatis parte una: movebitur Nauta vere & ab$olute in $patio immoto cum velocitatis partibus 10001 in o- rientem, & relative in terra occidentem ver$us cum velocitatis partibus novem. <p>Tempus Ab$olutum a relativo di$tinguitur in A$tronomia per Æ- quationem temporis vulgi. Inæquales enim $unt dies Naturales, qui vulgo tanquam æquales promen$ura temporis habentur. Hanc inæqualitatem corrigunt A$tronomi, ut ex veriore tempore men$urent motus &c. motus cæle$tes. Po$$ibile e$t, ut nullus $it motus æquabilis quo Tempus accurate men$uretur. Accelerari & retardari po$$unt motus omnes, $ed fluxus temporis Ab$oluti mutari nequit. Eadem e$t du- ratio $eu per$everantia exi$tentiæ rerum; $ive motus $int celeres, $ive tardi, $ive nulli: proinde hæc a men$uris $uis $en$ibilibus merito di$tinguitur, & ex ii$dem colligitur per Æquationem A$tronomi- cam. Hujus autem æquationis in determinandis Phænomenis ne- ce$$itas, tum per experimentum Horologii O$cillatorii, tum etiam per eclip$es Satellitum Jovis evincitur. <p>Ut partium Temporis ordo e$t immutabilis, $ic etiam ordo par- tium Spatii. Moveantur hæ de locis $uis, & movebuntur (ut ita dicam) de $eip$is. Nam tempora & $patia $unt $ui ip$orum & rerum omnium qua$i Loca. In Tempore quoad ordinem $ucce$$i- onis; in Spatio quoad ordinem $itus locantur univer$a. De illo- rum e$$entia e$t ut $int Loca: & loca primaria moveri ab$urdum e$t. Hæc $unt igitur ab$oluta Loca; & $olæ tran$lationes de his lo- cis $unt ab$oluti Motus. <p>Verum quoniam hæ Spatii partes videri nequeunt, & ab invi- cem per $en$us no$tros di$tingui; earum vice adhibemus men$uras $en$ibiles. Ex po$itionibus enim & di$tantiis rerum a corpore ali- quo, quod $pectamus ut immobile, de$inimus loca univer$a: deinde etiam & omnes motus æ$timamus cum re$pectu ad prædicta loca, quatenus corpora ab ii$dem transferri concipimus. Sic vice loco- rum & motuum ab$olutorum relativis utimur; nec incommode in rebus humanis: in Philo$ophicis autem ab$trahendum e$t a $en$ibus. Fieri etenim pote$t, ut nullum revera quie$cat corpus, ad quod loca motu$que referantur. <p>Di$tinguuntur autem Quies & Motus ab$oluti & relativi ab invi- cem per Proprietates $uas & Cau$as & Effectus. Quietis proprietas e$t, quod corpora vere quie$centia quie$cunt inter $e. Ideoque cum po$$ibile $it, ut corpus aliquod in regionibus Fixarum, aut longe ultra, quie$cat ab$olute; $ciri autem non po$$it ex $itu corporum ad invicem in regionibus no$tris, horumne aliquod ad longin- <pb n=8> <MARG>NI- ES.</MARG> quum illud datam po$itionem $ervet necne; quies vera ex horum $itu inter $e definiri nequit. <p>Motus proprietas e$t, quod partes, quæ datas $ervant po$itiones ad tota, participant motus eorundem totorum. Nam Gyrantium partes omnes conantur recedere ab axe motus, & Progredientium impetus oritur ex conjuncto impetu partium $ingularum. Motis igitur corporibus ambientibus, moventur quæ in ambientibus rela- tive quie$cunt. Et propterea motus verus & ab$olutus definiri ne- quit per tran$lationem e vicinia corporum, quæ tanquam quie$cen- tia $pectantur. Debent enim corpora externa non $olum tanquam qui- e$centia $pectari, $ed etiam vere quie$cere. Alioquin inclu$a om- nia, præter tran$lationem e vicinia ambientium, participabunt etiam ambientium motus veros; & $ublata illa tran$latione non vere quie$cent, $ed tanquam quie$centia $olummodo $pectabun- tur. Sunt enim ambientia ad inclu$a, ut totius pars exterior ad partem interiorem, vel ut cortex ad nucleum. Moto autem cor- tice, nucleus etiam, ab$q; tran$latione de vicinia corticis, ceu pars totius movetur. <p>Præcedenti proprietati affinis e$t, quod moto Loco movetur una Locatum: adeoque corpus, quod de loco moto movetur, participat etiam loci $ui motum. Motus igitur omnes, qui de locis motis fiunt, $unt partes $olummodo motuum integrorum & ab$olutorum: & motus omnis integer componitur ex motu corporis de loco $uo primo, & motu loci hujus de loco $uo, & $ic deinceps; u$que dum perveniatur ad locum immotum, ut in exemplo Nautæ $upra me- morato. Unde motus integri & ab$oluti non ni$i per loca immota definiri po$$unt: & propterea hos ad loca immota, relativos ad mo- bilia $upra retuli. Loca autem immota non $unt, ni$i quæ omnia ab infinito in infinitum datas $ervant po$itiones ad invicem; atque adeo $emper manent immota, $patiumque con$tituunt quod Immo- bile appello. <p>Cau$æ, quibus motus veri & relativi di$tinguuntur ab invicem, $unt Vires in corpora impre$$æ ad motum generandum. Motus verus nec generatur nec mutatur, ni$i per vires in ip$um corpus mo- tum impre$$as: at motus relativus generari & mutari pote$t ab$q; viribus impre$$is in hoc corpus. Sufficit enim ut imprimantur in alia $olum corpora ad quæ fit relatio, ut iis cedentibus mutetur relatio illa in qua hujus quies vel motus relativus con$i$tit. Rur- $um motus verus a viribus in corpus motum impre$$is $emper muta- tur; at motus relativus ab his viribus non mutatur nece$$ario. Nam $i eædem vires in alia etiam corpora, ad quæ $it relatio, $ic impri- <pb n=9> mantur ut $itus relativus con$ervetur, con$ervabitur relatio in qua motus relativus con$i$tit. Mutari igitur pote$t motus omnis relati- vus ubi verus con$ervatur, & con$ervari ubi verus mutatur; & prop- terea motus verus in eju$modi relationibus minime con$i$tit. <p>Effectus quibus motus ab$oluti & relativi di$tinguuntur ab invi- cem, $unt vires recedendi ab axe motus circularis. Nam in motu circulari nude relativo hæ vires nullæ $unt, in vero autem & ab$o- luto majores vel minores pro quantitate motus. Si pendeat $itula a filo prælongo, agaturque perpetuo in orbem, donec filum a con- tor$ione admodum rige$cat, dein impleatur aqua, & una cum aqua quie$cat; tum vi aliqua $ubitanea agatur motu contrario in orbem, & filo $e relaxante, diutius per$everet in hoc motu; $uperficies a- quæ $ub initio plana erit, quemadmodum ante motum va$is: at po$tquam, vi in aquam paulatim impre$$a, effecit vas, ut hæc quoque $en$ibiliter revolvi incipiat; recedet ip$a paulatim a medio, a$cen- detque ad latera va$is, figuram concavam induens, (ut ip$e exper- tus $um) & incitatiore $emper motu a$cendet magis & magis, do- nec revolutiones in æqualibus cum va$e temporibus peragendo, quie$cat in eodem relative. Indicat hic a$cen$us conatum rece- dendi ab axe motus, & per talem conatum innote$cit & men$ura- tur motus aquæ circularis verus & ab$olutus, motuique relativo hic omnino contrarius. Initio, ubi maximus erat aquæ motus rela- tivus in va$e, motus ille nullum excitabat conatum recedendi ab axe: aqua non petebat circumferentiam a$cendendo ad latera va- $is, $ed plana manebat, & propterea motus illius circularis verus nondum inceperat. Po$tea vero, ubi aquæ motus relativus decre- vit, a$cen$us ejus ad latera va$is indicabat conatum recedendi ab axe; atque hic conatus mon$trabat motum illius circularem verum perpetuo cre$centem, ac tandem maximum factum ubi aqua quie- $cebat in va$e relative. Igitur conatus i$te non pendet a tran$la- tione aquæ re$pectu corporum ambientium, & propterea motus cir- cularis verus per tales tran$lationes definiri nequit. Unicus e$t cor- poris cuju$que revolventis motus vere circularis, conatui unico tan- quam proprio & adæquato effectui re$pondens: motus autem rela- tivi pro variis relationibus ad externa innumeri $unt; & relationum in$tar, effectibus veris omnino de$tituuntur, ni$i quatenus verum illum & unicum motum participant. Unde & in Sy$temate eorum qui Cælos no$tros infra Cælos Fixarum in orbem revolvi volunt, & Planetas $ecum deferre; $ingulæ Cælorum partes, & Planetæ qui relative quidem in Cælis $uis proximis quie$cunt, moven- <pb n=10> <MARG>NI- ES.</MARG> tur vere. Mutant enim po$itiones $uas ad invicem ($ecus quam fit in vere quie$centibus) unaque cum cælis delati participant eorum motus, & ut partes revolventium totorum, ab eorum axibus rece- dere conantur. <p>Igitur quantitates relativæ non $unt eæ ip$æ quantitates, quarum nomina præ $e ferunt, $ed earum men$uræ illæ $en$ibiles (veræ an errantes) quibus vulgus loco quantitatum men$uratarum utitur. At $i ex u$u definiendæ $unt verborum $ignificationes; per nomina il- la Temporis, Spatii, Loci & Motus proprie intelligendæ erunt hæ men$uræ; & $ermo erit in$olens & pure Mathematicus, $i quantita- tes men$uratæ hic intelligantur. Proinde vim inferunt Sacris Literis, qui voces ha$ce de quantitatibus men$uratis ibi interpre- tantur. Neque minus contaminant Mathe$in & Philo$ophiam, qui quantitates veras cum ip$arum relationibus & vulgaribus men- furis confundunt. <p>Motus quidem veros corporum $ingulorum cogno$cere, & ab apparentibus actu di$criminare, difficillimum. e$t propterea quod partes $patii illius immobilis, in quo corpora vere moventur, non incurrunt in $en$us. Cau$a tamen non e$t pror$us de$perata. Nam $uppetunt argumenta, partim ex motibus apparentibus qui $unt motuum verorum differentiæ, partim ex viribus quæ $unt mo- tuum verorum cau$æ & effectus. Ut $i globi duo, ad datam ab in- vicem di$tantiam filo intercedente connexi, revolverentur circa commune gravitatis centrum; innote$ceret ex ten$ione fili cona- tus globorum recedendi ab axe motus, & inde quantitas motus circularis computari po$$et. Deinde $i vires quælibet æquales in alternas globorum facies ad motum circularem augendum vel mi- nuendum $imul imprimerentur, innote$ceret ex aucta vel diminuta fili ten$ione augmentum vel decrementum motus; & inde tandem inveniri po$$ent facies globorum in quas vires imprimi deberent, ut motus maxime augeretur; id e$t, facies po$ticæ, $ive quæ in mo- tu circulari $equuntur. Cognitis autem faciebus quæ $equuntur, & faciebus oppo$itis quæ præcedunt, cogno$ceretur determinatio motus. In hunc modum inveniri po$$et & quantitas & determi- natio motus hujus circularis in vacuo quovis immen$o, ubi nihil extaret externum & $en$ibile quocum globi conferri po$$ent. Si jam con$tituerentur in $patio illo corpora aliqua longinqua datam inter $e po$itionem $ervantia, qualia $unt Stellæ Fixæ in regionibus no$tris: $ciri quidem non po$$et ex relativa globorum tran$latione inter corpora, utrum his an illis tribuendus e$$et motus. At $i <pb n=11> attenderetur ad filum, & deprenderetur ten$ionem ejus illam ip$am e$$e quam motus globorum requireret; concludere liceret mo- tum e$$e globorum, & corpora quie$cere; & tum demum ex tran$latione globorum inter corpora, determinationem hujus motus colligere. Motus autem veros ex eorum cau$is, effecti- bus, & apparentibus differentiis colligere; & contra ex motibus $eu veris $eu apparentibus eorum cau$as & effectus, docebitur fu$ius in $equentibus. Hunc enim in finem Tractatum $equentem compo$ui. <pb n=12> <MARG>TA,</MARG> <C>AXIOMATA, SIVE LEGES MOTUS.</C> <HR> <C>LEX I.</C> <p><I>Corpus omne per$everare in $tatu $uo quie$cendi vel movendi uni- formiter in directum, ni$i quatenus a viribus impre$$is cogitur $tatum illum mutare.</I> <p>PRojectilia per$everant in motibus $uis, ni$i quatenus a re$i- $tentia aeris retardantur, & vi gravitatis impelluntur deor$um. Trochus, cujus partes cohærendo perpetuo retrahunt $e$e a mo- tibus rectilineis, non ce$$at rotari, ni$i quatenus ab aere retardatur. Majora autem Planetarum & Cometarum corpora motus $uos & progre$$ivos & circulares in $patiis minus re$i$tentibus factos con- $ervant diutius. <C>LEX II.</C> <C><I>Mutationem motus proportionalem e$$e vi motrici impre$$æ, & fieri $ecundum lineam rectam qua vis illa imprimitur.</I></C> <p>Si vis aliqua motum quemvis generet; dupla duplum, tripla tri- plum generabit, $ive $imul & $emel, $ive gradatim & $ucce$$ive im- pre$$a fuerit. Et hic motus (quoniam in eandem $emper plagam cum vi generat<*>ice determinatur) $i corpus antea movebatur, mo- tui ejus vel con$piranti additur, vel contrario $ubducitur, vel obli- quo oblique adjicitur, & cum eo $ecundum utriu$que determina- tionem componitur. <pb n=13> <C>LEX III.</C> <p><I>Actioni contrariam $emper & æqualem e$$e reactionem: $ive cor- porum duorum actiones in $e mutuo $emper e$$e æquales & in par- tes contrarias dirigi.</I> <p>Quicquid premit vel trahit alterum, tantundem ab eo premitur vel trahitur. Si quis lapidem digito premit, premitur & hujus digitus a lapide. Si equus lapidem funi alligatum trahit, retrahe- tur etiam & equus (ut ita dicam) æqualiter in lapidem: nam funis utrinque di$tentus eodem relaxandi $e conatu urgebit equum ver- $us lapidem, ac lapidem ver$us equum; tantumque impediet pro- gre$$um unius quantum promovet progre$$um alterius. Si corpus aliquod in corpus aliud impingens, motum ejus vi $ua quomodo- cunque mutaverit, idem quoque vici$$im in motu proprio eandem mutationem in partem contrariam vi alterius ob æqualitatem pre$- $ionis mutuæ) $ubibit. His actionibus æquales fiunt mutationes, non velocitatum, $ed motuum; $cilicet in corporibus non aliunde impeditis. Mutationes enim velocitatum, in contrarias itidem partes factæ, quia motus æqualiter mutantur, $unt corporibus re- ciproce proportionales. Obtinet etiam hæc Lex in Attractionibus, ut in Scholio proximo probabitur. <C>COROLLARIUM I.</C> <C><I>Corpus viribus conjunctis diagonalem parallelogrammi eodem tem- pore de$cribere, quo latera $eparatis.</I></C> <p>Si corpus dato tempore, vi $ola <FIG> <I>M</I> in loco <I>A</I> impre$$a, ferretur uni- formi cum motu ab <I>A</I> ad <I>B</I>; & vi $ola <I>N</I> in eodem loco impre$$a, fer- retur ab <I>A</I> ad <I>C:</I> compleatur pa- rallelogrammum <I>ABDC,</I> & vi utra- que feretur id eodem tempore in diagonali ab <I>A</I> ad <I>D.</I> Nam quo- niam vis <I>N</I> agit $ecundum lineam <I>AC</I> ip$i <I>BD</I> parallelam, hæc vis per Legem 11 nihil mutabit velocitatem accedendi ad lineam illam <I>BD</I> a vi altera genitam. Accedet igitur corpus eodem tempore ad lineam <I>BD,</I> $ive vis <I>N</I> imprimatur, $ive non; atque adeo in fine illius tempo- ris reperietur alicubi in linea illa <I>BD.</I> Eodem argumento in fine tem- poris eju$dem reperietur alicubi in linea <I>CD,</I> & idcirco in utriu$que lineæ concur$u <I>D</I> reperiri nece$$e e$t. Perget autem motu rectili- neo ab <I>A</I> ad <I>D</I> per Legem 1. <pb n=14> <MARG>TA, E</MARG> <C>COROLLARIUM II.</C> <p><I>Et hinc patet compo$itio vis directæ</I> AD <I>ex viribus quibu$vis obliquis</I> AB <I>&</I> BD, <I>& vici$$im re$olutio vis cuju$vis directæ</I> AD <I>in obliquas qua$cunque</I> AB <I>&</I> BD. <I>Quæ quidem compo$itio & re$olutio abunde confirmatur ex Mechanica.</I> <p>Ut $i de rotæ alicujus centro <I>O</I> exeuntes radii inæquales <I>OM, ON</I> filis <I>MA, NP</I> $u$tineant pondera <I>A</I> & <I>P,</I> & quærantur vi- res ponderum ad movendam rotam: Per centrum <I>O</I> agatur recta <I>KOL</I> filis perpendiculariter occurrens in <I>K</I> & <I>L,</I> centroque <I>O</I> & intervallorum <I>OK, OL</I> majore <I>OL</I> <FIG> de$cribatur circulus occurrens filo <I>MA</I> in <I>D:</I> & actæ rectæ <I>OD</I> pa- rallela $it <I>AC,</I> & perpendicularis <I>DC.</I> Quoniam nihil refert, utrum filorum puncta <I>K, L, D</I> affixa $int an non affixa ad planum rotæ; pon- dera idem valebunt, ac $i $u$pende- rentur a punctis <I>K</I> & <I>L</I> vel <I>D</I> & <I>L.</I> Ponderis autem <I>A</I> exponatur vis to- ta per lineam <I>AD,</I> & hæc re$olvetur in vires <I>AC, CD,</I> quarum <I>AC</I> trahendo radium <I>OD</I> directe a cen- tro nihil valet ad movendam rotam; vis autem altera <I>DC,</I> trahen- do radium <I>DO</I> perpendiculariter, idem valet ac $i perpendiculari- ter traheret radium <I>OL</I> ip$i <I>OD</I> æqualem; hoc e$t, idem atque pondus <I>P,</I> $i modo pondus illud $it ad pondus <I>A</I> ut vis <I>DC</I> ad vim <I>DA,</I> id e$t (ob $imilia triangula <I>ADC, DOK,</I>) ut <I>OK</I> ad <I>OD</I> $eu <I>OL.</I> Pondera igitur <I>A</I> & <I>P,</I> quæ $unt reciproce ut radii in directum po$iti <I>OK</I> & <I>OL,</I> idem pollebunt, & $ic con$i- $tent in æquilibrio: quæ e$t proprietas noti$$ima Libræ, Vectis, & Axis in Peritrochio. Sin pondus alterutrum $it majus quam in hac ratione, erit vis ejus ad movendam rotam tanto major. <p>Quod $i pondus <I>p</I> ponderi <I>P</I> æquale partim $u$pendatur filo <I>Np,</I> partim incumbat plano obliquo <I>pG:</I> agantur <I>pH, NH,</I> prior ho- rizonti, po$terior plano <I>pG</I> perpendicularis; & $i vis ponderis <I>p</I> deor$um tendens, exponatur per lineam <I>pH,</I> re$olvi pote$t hæc in vires <I>pN, HN.</I> Si filo <I>pN</I> perpendiculare e$$et planum aliquod <I>pQ,</I> $ecans planum alterum <I>pG</I> in linea ad horizontem paral- lela; & pondas <I>p</I> his planis <I>pQ, pG</I> $olummodo incumberet; ur- <pb n=15> geret illud hæc plana viribus <I>pN, HN</I> perpendiculariter, nimirun planum <I>pQ</I> vi <I>pN,</I> & planum <I>pG</I> vi <I>HN.</I> Ideoque $i tollatur pla- num <I>pQ,</I> ut pondus tendat filum; quoniam filum $u$tinendo pon dus jam vicem præ$tat plani $ublati, tendetur illud eadem vi <I>pN,</I> qua planum antea urgebatur. Unde ten$io fili hujus obliqui erit ad ten$ionem $ili alterius perpendicularis <I>PN,</I> ut <I>pN</I> ad <I>pH.</I> Id. eoque $i pondus <I>p</I> $it ad pondus <I>A</I> in ratione quæ componitur <*> ratione reciproca minimarum di$tantiarum $uorum $uorum <I>pN, AM</I> a centro rotæ, & ratione directa <I>pH</I> ad <I>pN</I>; pondera idem valebunt ad rotam movendam, atque adeo $e mutuo $u$tinebunt, ut quilibet experiri pote$t. <p>Pondus autem <I>p,</I> planis illis duobus obliquis incumbens, rationem habet cunei inter corporis fi$$i facies internas: & inde vires cunei & mallei innote$cunt: utpote cum vis qua pondus <I>p</I> urget planum <I>pQ</I> $it ad vim, qua idem vel gravitate $ua vel ictu mallei impellitur $ecundum lineam <I>pH</I> in plano, &c. ut <I>pN</I> and <I>pH</I>; atque ad vim, qua urget planum alterum <I>pG,</I> ut <I>pN</I> ad <I>NH.</I> Sed & vis Cochleæ per $imilem virium divi$ionem colligitur; quippe quæ cuneus e$t a ve- cte impul$us. U$us igitur Corollarii hujus lati$$ime patet, & late patendo veritatem $uam evincit; cum pendeat ex jam dictis Mecha- nica tota ab Auctoribus diver$imode demon$trata. Ex hi$ce enim facile derivantur vires Machinarum, quæ ex Rotis, Tympanis, Trochleis, Vectibus, nervis ten$is & ponderibus directe vel obli- que a$cendentibus, cæteri$que potentiis Mechanicis componi $o- lent, ut & vires Tendinum ad animalium o$$a movenda. <C>COROLLARIUM III.</C> <p><I>Quantitas motus quæ colligitur capiendo $ummam motuum factorum ad eandem partem, & differentiam factorum ad contrarias, non mutatur ab actione corporum inter $e.</I> <p>Etenim actio eique contraria reactio æquales $unt per Legem 111, adeoque per Legem 11 æquales in motibus efficiunt mutationes ver- $us contrarias partes. Ergo $i motus fiunt ad eandem partem; quic- quid additur motui corporis fugientis, $ubducetur motui corporis in$equentis $ic, ut $umma maneat eadem quæ prius. Sin corpora ob- viam eant; æqualis erit $ubductio de motu utriu$que, adeoque diffe- rentia motuum factorum in contrarias partes manebit eadem. <p>Ut $i corpus $phæricum <I>A</I> $it triplo majus corpore $phærico <I>B,</I> ha- beatque duas velocitatis partes; & <I>B</I> $equatur in eadem recta cum ve- <pb n=16> <MARG>TA,</MARG> locitatis partibus decem, adeoque motus ip$ius <I>A</I> $it ad motum ip$ius <I>B,</I> ut $ex ad decem: ponantur motus illis e$$e partium $ex & par- tium decem, & $umma erit partium $exdecim. In corporum igitur concur$u, $i corpus <I>A</I> lucretur motus partes tres vel quatuor vel quinque, corpus <I>B</I> amittet partes totidem, adeoque perget corpus <I>A</I> po$t reflexionem cum partibus novem vel decem vel undecim, & <I>B</I> cum partibus $eptem vel $ex vel quinque, exi$tente $emper $um- ma partium $exdecim ut prius. Si corpus <I>A</I> lucretur partes novem vel decem vel undecim vel duodecim, adeoque progrediatur po$t concur$um cum partibus quindecim vel $exdecim vel $eptendecim vel octodecim; corpus <I>B,</I> amittendo tot partes quot <I>A</I> lucratur, vel cum una parte progredietur ami$$is partibus novem, vel qui- e$cet ami$$o motu $uo progre$$ivo partium decem, vel cum una par- te regredietur ami$$o motu $uo & (ut ita dicam) una parte amplius, vel regredietur cum partibus duabus ob detractum motum progre$- $ivum partium duodecim. Atque ita $ummæ motuum con$pirantium 15+1 vel 16+c, & differentiæ contrariorum 17-1 & 18-2 $emper erunt partium $exdecim, ut ante concur$um & reflexionem. Cogni- tis autem motibus quibu$cum corpora po$t reflexionem pergent, in- venietur cuju$que velocitas, ponendo eam e$$e ad velocitatem ante reflexionem, ut motus po$t e$t ad motum ante. Ut in ca$u ultimo, ubi corporis <I>A</I> motus erat partium $ex ante reflexionem & partium octo- decim po$tea, & velocitas partium duarum ante reflexionem; in- venietur ejus velocitas partium $ex po$t reflexionem, dicendo, ut motus partes $ex ante reflexionem ad motus partes octodecim po$t- ea, ita velocitatis partes duæ ante reflexionem ad velocitatis partes $ex po$tea. <p>Quod $i corpora vel non Sphærica vel diver$is in rectis moventia incidant in $e mutuo oblique, & requirantur eorum motus po$t refle- xionem; cogno$cendus e$t $itus plani a quo corpora concurrentia tan- guntur in puncto concur$us: dein corporis utriu$que motus (per Corol.11.) di$tinguendus e$t in duos, unum huic plano perpendicu- larem, alterum eidem parallelum: motus autem paralleli, propter- ea quod corpora agant in $e invicem $ecundum lineam huic plano perpendicularem, retinendi $unt iidem po$t reflexionem atque an- tea; & motibus perpendicularibus mutationes æquales in partes con- trarias tribuendæ $unt $ic, ut $umma con$pirantium & differentia contrariorum maneat eadem quæ prius. Ex huju$modi reflexio- nibus oriri etiam $olent motus circulares corporum circa centra pro- pria. Sed hos ca$us in $equentibus non con$idero, & nimis longum e$$et omnia huc $pectantia demon$trare. <pb n=18> <MARG>IATA, VF.</MARG> mutat $tatum $uum; & reliquorum, quibu$cum actio illa non in- tercedit, commune gravitatis centrum nihil inde patitur; di$tantia autem horum duorum centrorum dividitur a communi corporum omnium centro in partes $ummis totalibus corporum quorum $unt centra reciproce proportionales; adeoque centris illis duobus $tatum $uum movendi vel quie$cendi $ervantibus, commune omni- um centrum $ervat etiam $tatum $uum: manife$tum e$t quod com- mune illud omnium centrum ob actiones binorum corporum inter $e nunquam mutat $tatum $uum quoad motum & quietem. In tali autem $y$temate actiones omnes corporum inter $e, vel inter bina $unt corpora, vel ab actionibus inter bina compo$itæ; & propterea communi omnium centro mutationem in $tatu motus ejus vel quie- tis nunquam inducunt. Quare cum centrum illud ubi corpora non agunt in $e invicem, vel quie$cit, vel in recta aliqua progreditur uni- formiter; perget idem, non ob$tantibus corporum actionibus inter $e, vel $emper quie$cere, vel $emper progredi uniformiter in dire- ctum; ni$i a viribus in $y$tema extrin$ecus impre$$is deturbetur de hoc $tatu. E$t igitur $y$tematis corporum plurium Lex eadem quæ cor- poris $olitarii, quoad per$everantiam in $tatu motus vel quietis. Mo- tus enim progre$$ivus $eu corporis $olitarii $eu $y$tematis corporum ex motu centri gravitatis æ$timari $emper debet. <C>COROLLARIUM V.</C> <p><I>Corporum dato $patio inclu$orum iidem $unt motus inter $e, $ive $pa- tium illud quie$cat, $ive moveatur idem uniformiter in directum ab$que motu circulari.</I> <p>Nam differentiæ motuum tendentium ad eandem partem, & $um- mæ tendentium ad contrarias, eædem $unt $ub initio in utroq; ca$u (ex hypothe$i) & ex his $ummis vel differentiis oriuntur congre$$us & im- petus quibus corpora $e mutuo feriunt. Ergo per Legem 11 æquales e- runt congre$$uum effectus in utroq; ca$u; & propterea manebunt mo- tus inter $e in uno ca$u æquales motibus inter $e in altero. Idem com- probatur experimento luculento. Motus omnes eodem modo $e ha- bent in Navi, $ive ea quie$cat, $ive moveatur uniformiter in directum. <C>COROLLARIUM VI.</C> <p><I>Si corpora moveãtur quomodocunq; inter$e, & a viribus acceler atrici- bus æqualibus $ecundum lineas parallelas urgeantur; pergent omnia eodem modo moveri inter $e, ac $i viribus illis non e$$ent incitata.</I> <p>Nam vires illæ æqualiter (pro quantitatibus movendorum corpo- <pb n=19> rum) & $ecundum lineas parallelas agendo, corpora omnia æquali- ter (quoad velocitatem) movebunt per Legem 11. adeoque nunquam mutabunt po$itiones & motus eorum inter $e. <C><I>Scholium.</I></C> <p>Hactenus principia tradidi a Mathematicis recepta & experien- tia multiplici confirmata. Per Leges duas primas & Corollaria duo prima <I>Galilæus</I> invenit de$cen$um Gravium e$$e in duplicata ratione temporis, & motum Projectilium fieri in Parabola; con$pirante ex- perientia, ni$i quatenus motus illi per aeris re$i$tentiam aliquantu- lum retardantur. Ab ii$dem Legibus & Corollariis pendent de- mon$trata de temporibus o$cillantium Pendulorum, $uffragante Ho- rologiorum experientia quotidiana. Ex his ii$dem & Lege tertia <I>Chri$tophorus Wrennus</I> Eques Auratus, <I>Jobannes Walli$ius S.T.D.</I> & <I>Chri$tianus Hugenius,</I> hujus ætatis Geometrarum facile prin- cipes, regulas congre$$uum & reflexionum duorum corporum $e- or$im invenerunt, & eodem fere tempore cum <I>Societate Regia</I> communicarunt, inter $e (quoad has leges) omnino con$pirantes: & primus quidem <I>Walli$ius,</I> deinde <I>Wrennus</I> & <I>Hugenius</I> inven- tum prodiderunt. Sed & veritas comprobata e$t a <I>Wrenno</I> co- ram <I>Regia Societate</I> per experimentum Pendulorum: quod etiam <I>Clari$$imus Mariottus</I> libro integro exponere mox dignatus e$t. Ve- rum, ut hoc experimentum cum Theoriis ad amu$$im congruat, ha- benda e$t ratio cum re$i$tentiæ aeris, tum etiam vis Ela$ticæ con- currentium corporum. Pendeant corpora <I>A, B</I> filis parallelis & æqualibus <I>AC, BD,</I> a centris <I>C, D.</I> His centris & intervallis de- $cribantur $emicirculi <I>EAF, GBH</I> radiis <I>CA, DB</I> bi$ecti. Tra- hatur corpus <I>A</I> ad arcus <I>EAF</I> punctum quodvis <I>R,</I> & ($ubducto corpore <I>B</I>) demittatur inde, redeatque po$t unam o$cillationem ad punctum <I>V.</I> E$t <I>RV</I> re- <FIG> tardatio ex re$i$tentia aeris. Hujus <I>RV</I> fiat <I>ST</I> pars quar- ta $ita in medio, ita $cilicet ut <I>RS</I> & <I>TV</I> æquentur, $it- que <I>RS</I> ad <I>ST</I> ut 3 ad 2. Et i$ta <I>ST</I> exhibebit retarda- tionem in de$cen$u ab <I>S</I> ad <I>A</I> quam proxime. Re$tituatur corpus <I>B</I> in locum $uum. Cadat corpus <I>A</I> de puncto <I>S,</I> & velo- citas ejus in loco reflexionis <I>A,</I> ab$que errore $en$ibili, tanta erit ae <pb n=20> $i in vacuo cecidi$$et de loco <I>T.</I> Exponatur igitur hæc velocitas <MARG><*>ATA, VE</MARG> per chordam arcus <I>TA.</I> Nam velocitatem Penduli in puncto in- fimo e$$e ut chordam arcus quem cadendo de$crip$it, Propo$itio e$t e$t Geometris noti$$ima. Po$t reflexionem perveniat corpus <I>A</I> ad locum <I>s,</I> & corpus <I>B</I> ad locum <I>k.</I> Tollatur corpus <I>B</I> & invenia- tur locus <I>v</I>; a quo $i corpus <I>A</I> demittatur & po$t unam o$cillatio- nem redeat ad locum <I>r,</I> $it <I>st</I> pars quarta ip$ius <I>rv</I> $ita in medio, ita videlicet ut <I>rs</I> & <I>tu</I> æquentur; & per chordam arcus <I>tA</I> ex- ponatur velocitas quam corpus <I>A</I> proxime po$t reflexionem habuit in loco <I>A.</I> Nam <I>t</I> erit locus ille vcrus & correctus, ad quem cor- pus <I>A,</I> $ublata aeris re$i$tentia, a$cendere debui$$et: Simili me- thodo corrigendus erit locus <I>k,</I> ad quem corpus <I>B</I> a$cendit, & in- veniendus locus <I>l,</I> ad quem corpus illud a$cendere debui$$et in va- cuo. Hoc pacto experiri licet omnia perinde ac $i in vacuo con- $tituti e$$emus. Tandem ducendum erit corpus <I>A</I> in chordam ar- cus <I>TA</I> (quæ velocitatem ejus exhibet) ut habeatur motus ejus in loco <I>A</I> proxime ante reflexionem; deinde in chordam arcus <I>tA,</I> ut habeatur motus ejus in loco <I>A</I> proxime po$t reflexionem. Et $ic corpus <I>B</I> ducendum erit in chordam arcus <I>Bb,</I> ut habeatur motus ejus proxime po$t reflexionem. Et $imili methodo, ubi corpora duo fimul demittuntur de locis diver$is, inveniendi $unt motus utriu$q; tam ante, quam po$t reflexionem; & tum demum conferendi $unt motus inter $e & colligendi effectus reflexionis. Hoc modo in Pendulis pedum decem rem tentando, idque in corporibus tam inæqualibus quam æqualibus, & faciendo ut corpora de intervallis ampli$$imis, puta pedum octo vel duodecim vel $exdecim, concurre- rent; reperi $emper $ine errore trium digitorum in men$uris, ubi corpora $ibi mutuo directe occurrebant, quod æquales erant muta- tiones motuum corporibus in partes contrarias illatæ, atque adeo quod actio & reactio $emper <FIG> erant æquales. Ut $i corpus <I>A</I> incidebat in corpus <I>B</I> cum novem partibus motus, & a- mi$$is $eptem partibus perge- bat po$t reflexionem cum du- abus; corpus <I>B</I> re$iliebat cum partibus i$tis $eptem. Si cor- pora obviam ibant <I>A</I> cum duodecim partibus & <I>B</I> cum $ex, & redibat <I>A</I> cum duabus; redi- bat <I>B</I> cum octo, facta detractione partium quatuordecim utrin- que. De motu ip$ius <I>A</I> $ubducantur partes duodecim, & re$tabit <pb n=21> nihil: $ubducantur aliæ partes duæ, & fiet motus duarum partium in plagam contrariam: & $ic de motu corporis <I>B</I> partium $ex $ub- ducendo partes quatuordecim, fient partes octo in plagam contra- riam. Quod $i corpora ibant ad eandam plagam, <I>A</I> velocius cum partibus quatuordecim, & <I>B</I> tardius cum partibus quinque, & po$t reflexionem pergebat <I>A</I> cum quinque partibus; pergebat <I>B</I> cum qua- tuordecim, facta tran$latione partium novem de <I>A</I> in <I>B.</I> Et $ic in reliquis. A congre$$u & colli$ione corporum nunquam muta- batur quantitas motus, quæ ex $umma motuum con$pirantium & differentia contrariorum colligebatur. Nam errorem digiti unius & alterius in men$uris tribuerim difficultati peragendi $ingula $atis accurate. Difficile erat, tum pendula $imul demittere fic, ut corpora in $e mutuo impingerent in loco infimo <I>AB</I>; tum loca <I>s, k</I> notare, ad quæ corpora a$cendebant po$t concur$um. Sed & in ip$is pilis inæqualis partium den$itas, & textura aliis de cau$is irre- gularis, errores inducebant. <p>Porro nequis objiciat Regulam, ad quam probandam inventum e$t hoc experimentum, præ$upponere corpora vel ab$olute dura e$$e, vel $altem perfecte ela$tica, cuju$modi nulla reperiuntur in compo$itionibus naturalibus; addo quod Experimenta jam de$crip- ta $uccedunt in corporibus mollibus æque ac in duris, nimirum a conditione duritiei neutiquam pendentia. Nam $i Regula illa in corporibus non perfecte duris tentanda e$t, debebit $olummodo reflexio minui in certa proportione pro quantitate vis Ela$ticæ. In Theoria <I>Wrenni</I> & <I>Hugenii</I> corpora ab$olute dura redeunt ab invi- cem cum velocitate congre$$us. Certius id affirmabitur de perfecte Ela$ticis. In imperfecte Ela$ticis velocitas reditus minuenda e$t $i- mul cum vi Ela$tica; propterea quod vis illa; (ni$i ubi partes cor- porum ex congre$$u læduntur, vel exten$ionem aliqualem qua$i $ub malleo patiuntur,) certa ac determinata $it (quantum $entio) faci- atque corpora redire ab invicem cum velocitate relativa, quæ $it ad relativam velocitatem concur$us in data ratione. Id in pilis ex lana arcte conglomerata & fortiter con$tricta $ic tentavi. Primum demit- tendo Pendula & men$urando reflexionem, inveni quantitatem vis Ela$ticæ; deinde per hanc vim determinavi reflexiones in aliis ca- $ibus concur$uum, & re$pondebant Experimenta. Redibant $emper pilæ ab invicem cum velocitate relativa, quæ e$$et ad velocitatem relativam concur$us ut 5 ad 9 circiter. Eadem fere cum velocitate redibant pilæ ex chalybe: aliæ ex $ubere cum paulo minore: in vi- treis autem proportio erat 15 ad 16 circiter. Atque hoc pacto Lex tertia quoad ictus & reflexiones per Theoriam comprobata e$t, quæ cum experientia plane congruit. <pb n=22> <MARG><*>ATA <*>E</MARG> <p>In Attractionibus rem $ic breviter o$tendo. Corporibus duobus quibu$vis <I>A, B</I> $e mutuo trahentibus, concipe ob$taculum quodvis interponi quo congre$$us eorum impediatur. Si corpus alterutrum <I>A</I> magis trahitur ver$us corpus alterum <I>B,</I> quam illud alterum <I>B</I> in prius <I>A,</I> ob$taculum magis urgebitur pre$$ione corporis <I>A</I> quam pre$$ione corporis <I>B</I>; proindeque non manebit in æquilibrio. Præ- valebit pre$$io fortior, facietque ut $y$tema corporum duorum & ob$taculi moveatur in directum in partes ver$us <I>B,</I> motuque in $patiis liberis $emper accelerato abeat in infinitum. Quod e$t ab$urdum & Legi primæ contrarium. Nam per Legem primam debebit $y$tema per$everare in $tatu $uo quie$cendi vel movendi uniformiter in di- rectum, proindeque corpora æqualiter urgebunt ob$taculum, & id- circo æqualiter trahentur in invicem. Tentavi hoc in Magnete & Ferro. Si hæc in va$culis propriis $e$e contingentibus $eor$im po- $ita, in aqua $tagnante juxta fluitent; neutrum propellet alterum, $ed æqualitate attractionis utrinque $u$tinebunt conatus in $e mu- tuos, ac tandem in æquilibrio con$tituta quie$cent. <p>Sic etiam gravitas inter Terram & ejus partes, mutua e$t. Se- cetur Terra <I>FI</I> plano quovis <I>EG</I> in partes duas <I>EGF</I> & <I>EGI:</I> & æqualia erunt harum pondera in $e mu- <FIG> tuo. Nam $i plano alio <I>HK</I> quod priori <I>EG</I> parallelum $it, pars major <I>EGI</I> $e- cetur in partes duas <I>EGKH</I> & <I>HKI,</I> quarum <I>HKI</I> æqualis $it parti prius ab- $ci$$æ <I>EFG:</I> manife$tum e$t quod pars media <I>EGKH</I> pondere proprio in neu- tram partium extremarum propendebit, $ed inter utramque in æquilibrio, ut ita dicam, $u$pendetur, & quie$cet. Pars autem extrema <I>HKI</I> toto $uo pondere incumbet in partem mediam, & urgebit illam in partom alteram extremam <I>EGF</I>; ideoque vis qua partium <I>HKI</I> & <I>EGKH</I> $umma <I>EGI</I> tendit ver$us partem tertiam <I>EGF,</I> æqualis e$t ponderi partis <I>HKI,</I> id e$t ponderi partis ter- tiæ <I>EGF.</I> Et propterea pondera partium duarum <I>EGI, EGF</I> in $e mutuo $unt æqualia, uti volui o$tendere. Et ni$i pondera illa æqualia e$$ent, Terra tota in libero æthere fluitans ponderi majori cederet, & ab eo fugiendo abiret in infinitum. <p>Ut corpora in concur$u & reflexione idem pollent, quorum ve- locitates $unt reciproce ut vires in$itæ: $ic in movendis In$tru- mentis Mechanicis agentia idem pollent & conatibus contrariis $e mutuo $u$tinent, quorum velocitates $ecundum determinationem <pb n=23> virium æ$timatæ, $unt reciproce ut vires. Sie pondera æquipollent ad movenda brachia Libræ, quæ o$cillante Libra $unt reciproce ut eorum velocitates $ur$um & deor$um: hoc e$t, pondera, $i recta a$cendunt & de$cendunt, æquipollent, quæ $unt reciproce ut pun- ctorum a quibus $u$penduntur di$tantiæ ab axe Libræ; $in planis obliquis alii$ve admotis ob$taculis impedi<*>a a$cendunt vel de$cen- dunt oblique, æquipollent quæ $unt reciproce ut a$cen$us & de$cen- $us, quatenus facti $ecundum perpendiculum: id adeo ob determi- nationem gravitatis deor$um. Similiter in Trochlea $eu Poly$pa$to vis manus funem directe trahentis, quæ $it ad pondus vel directe vel oblique a$cendens ut velocitas a$cen$us perpendicularis ad ve- locitatem manus funem trahentis, $u$tinebit pondus. In Horolo- giis & $imilibus in$trumentis, quæ ex rotulis commi$$is con$tructa $unt, vires contrariæ ad motum rotularum promovendum & impe- diendum, $i $unt reciproce ut velocitates partium rotularum in quas imprimuntur, $u$tinebunt $e mutuo. Vis Cochleæ ad premendum corpus e$t ad vim manus manubrium circumagentis, ut circularis velocitas manubrii ea in parte ubi a manu urgetur, ad velocitatem progre$$ivam cochleæ ver$us corpus pre$$um. Vires quibus Cu- neus urget partes duas ligni fi$$i $unt ad vim mallei in cuueum, ut progre$$us cunei $ecundum determinationem vis a malleo in ip$um impre$$æ, ad velocitatem qua partes <*>gni cedunt cuneo, $ecundum lineas faciebus cunei perpendiculares. Et par e$t ratio Machina- rum omnium. <p>Harum efficacia & u$us in eo $olo con$i$tit, ut diminuendo velo- citatem augeamus vim, & contra: Unde $olvitur in omni aptorum in$trumentorum genere Problema, <I>Datum pondus data vi moven- di,</I> aliamve datam re$i$tentiam vi data $uperandi. Nam $i Ma- chinæ ita formentur, ut velocitates Agentis & Re$i$tentis $ine reci- proce ut vires; Agens re$i$tentiam $u$tinebit: & majori cum veloci- tatum di$paritate eandem vincet. Certe $i tanta $ic velocitatum di$paritas, ut vincatur etiam re$i$tentia omnis, quæ tam ex conti- guorum & inter $e labentium corporum attritione, quam ex con- tinuorum & ab invicem $eparandorum cohæ$ione & elevandorum ponderibus orirj $olet; $uperata omni ea re$i$tentia, vis redun- dans accelerationem motus $ibi proportionalem, partim in parti- bus machinæ, partim in corpore re$i$tente producet. Ceterum Mechanicam tractare non e$t hujus in$tituti. Hi$ce volui tan- tum o$tendere, quam late pateat quamque certa $it Lex tertia Motus. Nam $i æ$timetur Agentis actio ex ejus vi & veloci- <pb n=24> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> tate conjunctim; & $imiliter Re$i$tentis reactio æ$timetur conjun- ctim ex ejus partium $ingularum velocitatibus & viribus re$i$tendi ab earum attritione, cohæ$ione, pondere, & acceleratione ori- undis; erunt actio & reactio, in omni in$trumentorum u$u, $ibi invicem $emper æquales. Et quatenus actio propagatur per in$trumentum & ultimo imprimitur in corpus omne re$i$tens, ejus ultima determinatio determinationi reactionis $emper erit contraria. <HR> <C>DE MOTU CORPORUM LIBER PRIMUS.</C> <HR> <C>SECTIO I.</C> <C><I>De Methodo Rationum primarum & ultimarum, cujus ope $equentia demon$trantur.</I></C> <C>LEMMA I.</C> <p><I>QUantitates, ut & quantitatum rationes, quæ ad æqualitatem tempore quovis finito con$tanter tendunt, & ante finem tempo- ris illius propius ad invicem accedunt quam pro data quavis diffe- tia, fiunt ultimo æquales.</I> <p>Si negas; fiant ultimò inequales, & $it earum ultima differentia <I>D.</I> Ergo nequeunt propius ad æqualitatem accedere quam pro data differentia <I>D:</I> contra hypothe$in. <pb n=2> <C>LEMMA II.</C> <p><I>Si in Figura quavis</I> AacE, <I>rectis</I> Aa, AE <I>& curva</I> acE <I>com preben$a, in$cribantur parallelogramma quotcunque</I> Ab, Bc, Cd &c. <I>$ub ba$ibus</I> AB, BC, CD, &c. <I>æqualibus, & lateribu</I> Bb, Cc, Dd, &c. <I>Figuræ lateri</I> Aa <I>pa- rallelis contenta; & compleantur paral-</I> <FIG> <I>lelogramma</I> aKbl, bLcm, cMdn, &c. <I>Dein boru<*> parallelogr ammorum lati- tudo minuatur, & numerus augeatur in infinitum: dico quod ultimæ rationes, quas babent ad $e invicem Figura in- $cripta</I> AKbLcMdD, <I>circum$cripta</I> AalbmcndoE, <I>& curvilinea</I> AbcdE, <I>$unt rationes æqualitatis.</I> <p>Nam Figuræ in$criptæ & circum$criptæ differentia e$t $umma pa- rallelogrammorum <I>Kl, Lm, Mn, Do,</I> hoc e$t (ob æquales om- nium ba$es) rectangulum $ub unius ba$i <I>Kb</I> & altitudinum $umma <I>Aa,</I> id e$t, rectangulum <I>ABla.</I> Sed hoc rectangulum, eo quod latitudo ejus <I>AB</I> in infinitum minuitur, fit minus quovis dato. Er- go (per Lemma 1) Figura in$cripta & circum$cripta & multo magis Figura curvilinea intermedia fiunt ultimo æquales. <I>Q.E.D.</I> <C>LEMMA III.</C> <p><I>Eædem rationes ultimæ $unt etiam rationes æqualitatis, ubi par al- lelogr ammorum latitudines</I> AB, BC, CD, &c. <I>$unt inæquales, & omnes minuuntur in infinitum.</I> <p>Sit enim <I>AF</I> æqualis latitudini maximæ, & compleatur paralle- logrammum <I>FAaf.</I> Hoc erit majus quam differentia Figuræ in- $criptæ & Figuræ circum$criptæ; at latitudine $ua <I>AF</I> in infinitum diminuta, minus fiet quam datum quodvis rectangulum. <I>Q. E. D.</I> <p><I>Corol.</I> 1. Hinc $umma ultima parallelogrammorum evane$centium coincidit omni ex parte cum Figura curvilinea. <p><I>Corol.</I> 2. Et multo magis Figura rectilinea, quæ chordis evane$- <pb n=26> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> centium arcuum <I>ab, bc, cd, &c.</I> comprehenditur, coincidit ultimo cum Figura curvilinea. <p><I>Corol.</I> 3. Ut & Figura rectilinea circum$cripta quæ tangentibus eorundem arcuum comprehenditur. <p><I>Corol.</I> 4. Et propterea hæ Figuræ ultimæ (quoad perimetros <I>acE,</I>) non $unt rectilineæ, $ed rectilinearum limites curvilinei. <C>LEMMA IV.</C> <p><I>Si in duabus Figuris</I> AacE, PprT, <I>in$cribantur (ut $upra) duæ parallelogrammorum $eries, $itque idem amborum numerus, & ubi latitudines in infinitum diminuuntur, rationes ultimæ parallelo- grammorum in una Figura ad parallelogramma in altera, $ingulorum ad fingula, $int eædem; dico quod Figuræ duæ</I> AacE, PprT, <I>$unt ad invicem in eadem illa ratione.</I> <FIG> <p>Etenim ut $unt parallelogramma $ingula ad $ingula, ita (compo- nendo) fit $umma omnium ad $ummam omnium, & ita Figura ad Figuram; exi$tente nimirum Figura priore (per Lemma 111) ad $um- mam priorem, & Figura po$teriore ad $ummam po$teriorem in ra- tione æqualitatis. <I>Q. E. D.</I> <p><I>Corol.</I> Hinc $i duæ cuju$cunque generis quantitates in eundem partium numerum utcunque dividantur; & partes illæ, ubi numerus earum augetur & magnitudo diminuitur in infinitum, datam obti- neant rationem ad invicem, prima ad primam, $ecunda ad $ecundam, cæteræque $uo ordine ad cæteras: erunt tota ad invicem in eadem illa data ratione. Nam $i in Lemmatis hujus Figuris $umantur pa- <pb n=27> rallelogramma inter $e ut partes, $ummæ partium $emper erunt ut $ummæ parallelogrammorum; atque adeo, ubi partium & paralle- logrammorum numerus augetur & magnitudo diminuitur in infini- tum, in ultima ratione parallelogrammi ad parallelogrammum, id e$t (per hypothe$in) in ultima ratione partis ad partem. <C>LEMMA V.</C> <p><I>Similium Figurarum latera omnia, quæ $ibi mutuo re$pondent, $unt proportionalia, tam curvilinea quam rectilinea; & areæ $unt in duplicata ratione laterum.</I> <C>LEMMA VI.</C> <p><I>Si arcus quilibet po$itione datus</I> AB <I>$ub-</I> <FIG> <I>tendatur chorda</I> AB, <I>& in puncto aliquo</I> A, <I>in medio curvaturæ continuæ, tangatur a recta utrinque producta</I> AD; <I>dein puncta</I> A, B <I>ad invicem accedant & coëant; dico quod angulus</I> BAD, <I>$ub chorda & tangente conten- tus, minuetur in infinitum & ultimo e- vane$cet.</I> <p>Nam $i angulus ille non evane$cit, continebit arcus <I>AB</I> cum tan- gente <I>AD</I> angulum rectilineo æqualem, & propterea curvatura ad ad punctum <I>A</I> non erit continua, contra hypothe$in. <C>LEMMA VII.</C> <p><I>Ii$dem po$itis; dico quod ultima ratio arcus, chordæ, & tangentis ad invicem est ratio æqualitatis.</I> <p>Nam dum punctum <I>B</I> ad punctum <I>A</I> accedit, intelligantur $emper <I>AB</I> & <I>AD</I> ad puncta longinqua <I>b</I> ac <I>d</I> product, & $ecanti <I>BD</I> parallela agatur <I>bd.</I> Sitque arcus <I>Ab</I> $emper $imilis arcui <I>AB.</I> Et punctis <I>A, B</I> coeuntibus, angulus <I>dAb,</I> per Lemma $uperius, evane$cet; adeoque rectæ $emper $initæ <I>Ab, Ad</I> & arcus interme- dius <I>Ab</I> coincident, & propterea æquales erunt. Unde & hi$ce $emper proportionales rectæ <I>AB, AD,</I> & arcus intermedius <I>AB</I> <pb n=28> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> evane$cent, & rationem ultimam habebunt æqualitatis. <I>Q.E.D.</I> <p><I>Corol.</I> 1. Unde $i per <I>B</I> ducatur tangenti parallela <I>BF,</I> rectam quamvis <I>AF</I> per <I>A</I> tran$e- <FIG> untem perpetuo $ecans in <I>F,</I> hæc <I>BF</I> ultimo ad arcum e- vane$centem <I>AB</I> rationem habebit æqualitatis, eo quod completo parallelogrammo <I>AFBD</I> rationem $emper habet æqua- litatis ad <I>AD.</I> <p><I>Corol.</I> 2. Et $i per <I>B</I> & <I>A</I> ducantur plures rectæ <I>BE, BD, AF, AG,</I> $ecantes tangentem <I>AD</I> & ip$ius parallelam <I>BF</I>; ratio ulti- ma ab$ci$$arum omnium <I>AD, AE, BF, BG,</I> chordæque & ar- cus <I>AB</I> ad invicem erit ratio æqualitatis. <p><I>Corol.</I> 3. Et propterea hæ omnes lineæ, in omni de rationibus ul- timis argumentatione, pro $e invicem u$urpari po$$unt. <C>LEMMA VIII.</C> <p><I>Si rectæ datæ</I> AR, BR <I>cum arcu</I> AB, <I>chorda</I> AB <I>& tangente</I> AD, <I>triangula tria</I> ARB, ARB, ARD <I>con$tituunt, dein puncta</I> A, B <I>accedunt ad invicem: dico quod ultima forma triangulorum evane$centium est $imilitudinis, & ultima ratio æqualitatis.</I> <p>Nam dum punctum <I>B</I> ad punctum <I>A</I> <FIG> accedit, intelligãtur $emper <I>AB, AD, AR</I> ad puncta longinqua <I>b, d</I> & <I>r</I> produci, ip$ique <I>RD</I> parallela agi <I>rbd,</I> & arcui <I>AB</I> $imilis $emper $it arcus <I>Ab.</I> Et coe- untibus punctis <I>A, B,</I> angulus <I>bAd</I> eva- ne$cet, & propterea triangula tria $emper finita <I>rAb, rAb, rAd</I> coincident, $unt- que eo nomine $imilia & æqualia. Unde & hi$ce $emper $imilia & proportionalia <I>RAB, RAB, RAD</I> $ient ultimo $ibi invicem $imilia & æqualia. <I>Q. E. D.</I> <p><I>Corol.</I> Et hinc triangula illa, in omni de rationibus ultimis argu- mentatione, pro $e invicem u$urpari po$$unt. <pb n=29> <C>LEMMA IX.</C> <p><I>Si recta</I> AE <I>& curva</I> ABC <I>po$itione datæ $e mutuo $ecent in angulo dato</I> A, <I>& ad rectam illam in alio dato angulo ordina- tim applicentur</I> BD, CE, <I>curvæ occurrentes in</I> B, C; <I>dein puncta</I> B, C <I>$imul accedant ad punctum</I> A: <I>dico quod areæ tri- angulorum</I> ABD, ACE <I>erunt ultimo ad invicem in duplicata ratione laterum.</I> <p>Etenim dum puncta <I>B, C</I> acce- <FIG> dunt ad punctum <I>A,</I> intelligatur $emper <I>AD</I> produci ad puncta lon- ginqua <I>d</I> & <I>e,</I> ut $int <I>Ad, Ae</I> ip- $is <I>AD, AE</I> proportionales, & e- rigantur ordinatæ <I>db, ec</I> ordina- tis <I>DB, EC</I> parallelæ quæ occur- rant ip$is <I>AB, AC</I> productis in <I>b</I> & <I>c.</I> Duci intelligatur, tum curva <I>Abc</I> ip$i <I>ABC</I> $imilis, tum recta <I>Ag,</I> quæ tangat curvam utramque in <I>A,</I> & $ecet ordinatim applica- tas <I>DB, EC, db, ec</I> in <I>F, G, f, g.</I> Tum manente longitudine <I>Ae</I> coeant puncta <I>B, C</I> cum puncto <I>A</I>; & angulo <I>cAg</I> evane$cente, coincident areæ curvilineæ <I>Abd, Ace</I> cum rectilineis <I>Afd, Age:</I> adeoque (per Lemma v) erunt in dupli- cata ratione laterum <I>Ad, A<*>:</I> Sed his areis proportionales $emper $unt areæ <I>ABD, ACE,</I> & his lateribus latera <I>AD, AE.</I> Ergo & areæ <I>ABD, ACE</I> $unt ultimo in duplicata ratione laterum <I>AD, AE. Q. E. D.</I> <C>LEMMA X.</C> <p><I>Spatia quæ corpus urgente quacunque Vi finita de$cribit, five Vis illa determinata & immutabilis $it, five eadem continuo auge- atur vel continuo diminuatur, $unt ip$o motus initio in duplica- ta ratione Temporum.</I> <p>Exponantur tempora per lineas <I>AD, AE,</I> & velocitates genitæ per ordinatas <I>DB, EC</I>; & $patia his velocitatibus de$cripta, erunt ut areæ <I>ABD, ACE</I> his ordinatis de$criptæ, hoc e$t, ip$o motus initio (per Lemma IX) in duplicata ratione remporum <I>AD, AE. Q. E. D.</I> <pb n=30> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> <p><I>Corol.</I> 1. Et hinc facile colligitur, quod corporum $imiles $imi- lium Figurarum partes temporibus proportionalibus de$cribentium Errores, qui viribus quibu$vis æqualibus ad corpora $imiliter ap- plicatis generantur, & men$urantur per di$tantias corporum a Fi- gurarum $imilium locis illis ad quæ corpora eadem temporibus ii$- dem proportionalibus ab$que viribus i$tis pervenirent, $unt ut qua- drata temporum in quibus generantur quam proxime. <p><I>Corol.</I> 2. Errores autem qui viribus proportionalibus ad $imiles Figurarum $imilium partes $imiliter applicatis generantur, $unt ut vires & quadrata temporum conjunctim. <p><I>Corol.</I> 3. Idem intelligendum e$t de $patiis quibu$vis quæ corpo- ra urgentibus diver$is viribus de$cribunt. Hæc $unt, ip$o motus ini- tio, ut vires & quadrata temporum conjunctim. <p><I>Corol.</I> 4. Ideoque vires $unt ut $patia, ip$o motus initio, de$cripta directe & quadrata temporum inver$e. <p><I>Corol.</I> 5. Et quadrata temporum $unt ut de$cripta $patia directe & vires inver$e. <C><I>Scholium.</I></C> <p>Si quantitates indeterminatæ diver$orum generum conferantur inter $e, & earum aliqua dicatur e$$e ut e$t alia quævis directe vel inver$e: $en$us e$t, quod prior augetur vel diminuitur in eadem ratione cum po$teriore, vel cum ejus reciproca. Et $i earum aliqua dicatur e$$e ut $unt aliæ duæ vel plures directe vel inver$e: $en$us e$t, quod prima augetur vel diminuitur in ratione quæ componitur ex rationibus in quibus aliæ vel aliarum reciprocæ augentur vel di- minuuntur. Ut $i A dicatur e$$e ut B directe & C directe & D in- ver$e: $en$us e$t, quod A augetur vel diminuitur in eadem ratione cum BXCX1/D, hoc e$t, quod A & (BC/D) $unt ad invicem in ratio- ne data. <C>LEMMA XI.</C> <p><I>Subten$a evane$cens anguli contactus, in curvis omnibus curvatu- ram finitam ad punctum contactus habentibus, est ultimo in ra- tione duplicata $ubten$æ arcus contermini.</I> <p><I>Ca$.</I> 1. Sit arcus ille <I>AB,</I> tangens ejus <I>AD,</I> $ubten$a anguli con- tactus ad tangentem perpendicularis <I>BD,</I> $ubten$a arcus <I>AB.</I> Huic $ubten$æ <I>AB</I> & tangenti <I>AD</I> perpendiculares erigantur <I>AG, BG,</I> <pb n=31> concurrentes in <I>G</I>; dein accedant puncta <I>D, B, G,</I> ad puncta <I>d, b, g,</I> $itque <I>J</I> inter$ectio linearum <I>BG, AG</I> ultimo facta ubi puncta <I>D, B</I> accedunt u$que ad <I>A.</I> Manife$tum e$t quod di$tantia <I>GJ</I> minor e$$e pote$t quam a$$ignata quævis. E$t autem (ex natura circulorum per puncta <I>ABG, Abg</I> tran$euntium) <I>ABquad.</I> <FIG> æquale <I>AGXBD,</I> & <I>Ab quad.</I> æquale <I>AgXbd,</I> adeoque ratio <I>AB quad.</I> ad <I>Ab quad.</I> compo- nitur ex rationibus <I>AG</I> ad <I>Ag</I> & <I>BD</I> ad <I>bd.</I> Sed quoniam <I>GJ</I> a$$umi pote$t minor longitu- dine quavis a$$ignata, fieri pote$t ut ratio <I>AG</I> ad <I>Ag</I> minus differat a ratione æqualitatis quam pro differentia quavis a$$ignata, adeoque ut ra- tio <I>AB quad.</I> ad <I>Ab quad.</I> minus differat a ra- tione <I>BD</I> ad <I>bd</I> quam pro differentia quavis a$$ignata. E$t ergo, per Lemma 1, ratio ultima <I>AB quad.</I> ad <I>Ab quad.</I> æqualis rationi ultimæ <I>BD</I> ad <I>bd. Q. E. D.</I> <p><I>Cas.</I> 2. Inclinetur jam <I>BD</I> ad <I>AD</I> in angulo quovis dato, & eadem $emper erit ratio ultima <I>BD</I> ad <I>bd</I> quæ prius, adeoque eadem ae <I>AB quad.</I> ad <I>Ab quad. Q. E. D.</I> <p><I>Cas.</I> 3. Et quamvis angulus <I>D</I> non detur, $ed recta <I>BD</I> ad da- tum punctum convergente, vel alia quacunque lege con$tituatur; tamen anguli <I>D, d</I> communi lege con$tituti ad æqualitatem $emper vergent & propius accedent ad invicem quam pro differentia qua- vis a$$ignata, adeoque ultimo æquales erunt, per Lem. <*> & prop- terea lineæ <I>BD, bd</I> $unt in eadem ratione ad invicem ac prius. <I>Q. E. D.</I> <p><I>Corol.</I> 1. Unde eum tangentes <I>AD, Ad,</I> arcus <I>AB, Ab,</I> & eo- rum $inus <I>BC, bc</I> fiant ultimo chordis <I>AB, Ab</I> æquales; erunt etiam illorum quadrata ultimo ut $ubten$æ <I>BD, bd.</I> <p><I>Corol.</I> 2. Eorundem quadrata $unt etiam ultimo ut $unt arcuum $agittæ quæ chordas bi$ecant & ad datum punctum conver gunt. Nam $agittæ illæ $unt ut $ubten$æ <I>BD, bd.</I> <p><I>Corol.</I> 3. Ideoque $agitta e$t in duplicata ratione temporis quo corpus data velocitate de$cribit arcum. <p><I>Corol.</I> 4. Triangula rectilinea <I>ADB, Adb</I> $unt ultimo in tripli- cata ratione laterum <I>AD, Ad,</I> inque $e$quiplicata laterum <I>DB, db</I>; utpote in compo$ita ratione laterum <I>AD,</I> & <I>DB, Ad</I> & <I>db</I> exi$tentia. Sic & triangula <I>ABC, Abc</I> $unt ultimo in triplicata ratione laterum <I>BC, bc.</I> Rationem vero Se$quiplicatam voco tri- plicatæ $ubduplicatam, quæ nempe ex $implici & $ubduplicata com- ponitur, quamque alias Se$quialteram dicunt. <pb n=32> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> <p><I>Corol.</I> 5. Et quoniam <I>DB, db</I> $unt ultimo parallelæ & in dupli- cata ratione ip$arum <I>AD, Ad:</I> erunt areæ ultimæ curvilineæ <I>ADB, Adb</I> (ex natura Parabolæ) duæ tertiæ partes triangulorum rectili- neorum <I>ADB, Adb</I>; & $egmenta <I>AB, Ab</I> partes tertiæ eo- rundem triangulorum. Et inde hæ areæ & hæc $egmenta erunt in triplicata ratione tum tangentium <I>AD, Ad</I>; tum chordarum & arcuum <I>AB, Ab.</I> <C><I>Scholium.</I></C> <p>Cæterum in his omnibus $upponimus angulum contactus nec in- finite majorem e$$e angulis contactuum, quos Circuli continent cum tangentibus $uis, nec ii$dem infinite minorem; hoc e$t, curvaturam ad punctum <I>A,</I> nec infinite parvam e$$e nec infinite magnam, $eu intervallum <I>AJ</I> finitæ e$$e magnitudinis. Capi enim pote$t <I>DB</I> ut <I>AD<SUP>3</SUP>:</I> quo in ca$u Circulus nullus per punctum <I>A</I> inter tangen- tem <I>AD</I> & curvam <I>AB</I> duci pote$t, proindeque angulus contactus erit infinite minor Circularibus. Et $imili argumento $i fiat <I>DB</I> $ucce$$ive ut <I>AD</I><SUP>4</SUP>, <I>AD</I><SUP>5</SUP>, <I>AD</I><SUP>6</SUP>, <I>AD</I><SUP>7</SUP>, &c. habebitur $eries an- gulorum contactus pergens in infinitum, quorum quilibet po$te- rior e$t infinite minor priore. Et $i fiat <I>DB</I> $ucce$$ive ut <I>AD</I><SUP>2</SUP>, <I>AD</I>3/2, <I>AD</I>4/3, <I>AD</I>5/4, <I>AD</I>6/5, <I>AD</I>7/6, &c. habebitur alia $eries infinita angulorum contactus, quorum primus e$t eju$dem generis cum Cir- cularibus, $ecundus infinite major, & quilibet po$terior infinite ma- jor priore. Sed & inter duos quo$vis ex his angulis pote$t $eries utrinque in infinitum pergens angulorum intermediorum in$eri, quorum quilibet po$terior erit infinite major minorve priore. Ut $i inter terminos <I>AD</I><SUP>2</SUP> & <I>AD</I><SUP>3</SUP> in$eratur $eries <I>AD</I>(13/6), <I>AD</I>(1<*>/5), <I>AD</I>9/4, <I>AD</I>7/3, <I>AD</I>5/2, <I>AD</I><*>/3, <I>AD</I>(11/4), <I>AD</I>(14/5), <I>AD</I>(17/6), &c. Et rur- $us inter binos quo$vis angulos hujus $eriei in$eri pote$t $eries no- va angulorum intermediorum ab invicem infinitis intervallis diffe- rentium. Neque novit natura limitem. <p>Quæ de curvis lineis deque $uperficiebus comprehen$is demon- $trata $unt, facile applicantur ad $olidorum $uperficies curvas & contenta. Præmi$i vero hæc Lemmata, ut effugerem tædium dedu- cendi perplexas demon$trationes, more veterum Geometrarum, ad ab$urdum. Contractiores enim redduntur demon$trationes per me- thodum Indivi$ibilium. Sed quoniam durior e$t Indivi$ibilium hy- pothe$is, & propterea methodus illa minus Geometrica cen$etur; malui demon$trationes rerum $equentium ad ultimas quantitatum <pb n=33> evane$centium $ummas & rationes, prima$que na$centium, id e$t, ad limites $ummarum & rationum deducere; & propterea limitum illorum demon$trationes qua potui brevitate præmittere. His enim idem præ$tatur quod per methodum Indivi$ibilium; & principiis de- mon$tratis jam tutius utemur. Proinde in $equentibus, $iquando quantitates tanquam ex particulis con$tantes con$ideravero, vel $i pro rectis u$urpavero lineolas curvas; nolim indivi$ibilia, $ed eva- ne$centia divi$ibilia, non $ummas & rationes partium determinata- rum, $ed $ummarum & rationum limites $emper intelligi; vimque talium demon$trationum ad methodum præcedentium Lemmatum $emper revocari. <p>Objectio e$t, quod quantitatum evane$centium nulla $it ultima proportio; quippe quæ, antequam evanuerunt, non e$t ultima, ubi evanuerunt, nulla e$t. Sed & eodem argumento æque contendi po$$et nullam e$$e corporis ad certum locum pervenientis velocitatem ul- timam: hanc enim, antequam corpus attingit locum, non e$$e ulti- mam, ubiattingit, nullam e$$e. Et re$pon$io facilis e$t: Per velocita- tem ultimam intelligi eam, qua corpus movetur neque antequam attingit locum ultimum & motus ce$$at, neque po$tea, $ed tunc cum attingit; id e$t, illam ip$am velocitatem quacum corpus attin- git locum ultimum & quacum motus ce$$at. Et $imiliter per ulti- mam rationem quantitatum evane$centium, intelligendam e$$e ratio- nem quantitatum non antequam evane$cunt, non po$tea, $ed qua- cum evane$cunt. Pariter & ratio prima na$centium e$t ratio qua- cum na$cuntur. Et $umma prima & ultima e$t quacum e$$e (vel augeri & minui) incipiunt & ce$$ant. Extat limes quem velocitas in fine motus attingere pote$t, non autem tran$gredi. Hæc e$t velocitas ultima. Et par e$t ratio limitis quantitatum & propor- tionum omnium incipientium & ce$$antium. Cumque hic limes $it certus & definitus, Problema e$t vere Geometricum eundem de- terminare. Geometrica vero omnia in aliis Geometricis determi- nandis ac demon$trandis legitime u$urpantur. <p>Contendi etiam pote$t, quod $i dentur ultimæ quantitatum eva- ne$centium rationes, dabuntur & ultimæ magnitudines: & $ic quan- titas omnis con$tabit ex Indivi$ibilibus, contra quam <I>Euclides</I> de Incommen$urabilibus, in libro decimo Elementorum, demon$travit. Verum hæc Objectio fal$æ innititur hypothe$i. Ultimæ rationes illæ quibu$cum quantitates evane$cunt, revera non $unt rationes quantitatum ultimarum, $ed limites ad quos quantitatum $ine limi- te decre$centium rationes $emper appropinquant; & quas propius a$$equi po$$unt quam pro data quavis differentia, nunquam vero <pb n=34> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> tran$gredi, neque prius attingere quam quantitates diminuuntur in infinitum. Res clarius intelligetur in infinite magnis. Si quantitates duæ quarum data e$t differentia auges ntur in infinitum, dabitur harum ultima ratio, nimirum ratio æqualitatis, nec tamen ideo da- buntur quantitates ultimæ $eu maximæ quarum i$ta e$t ratio. Igitur in $equentibus, $iquando facili rerum conceptui con$ulens dixero quantitates quam minimas, vel evane$centes, vel ultimas; cave in- telligas quantitates magnitudine determinatas, $ed cogita $emper diminuendas $ine limite. <C>SECTIO II.</C> <C><I>De Inventione Virium Centripetarum.</I></C> <C>PROPOSITIO I. THE OREMA I.</C> <p><I>Areas, quas corpora in gyros acta radiis ad immobile centrum virium ductis de$cribunt, & in planis immobilibus con$i$tere, & e$$e tem- poribus proportionales.</I> <p>Dividatur tempus in partes æquales, & prima temporis parte de- $eribat corpus vi in$ita rectam <I>AB.</I> Idem $ecunda temporis parte, $i nil impediret, recta <FIG> pergeret ad <I>c,</I> (per Leg. 1.) de$cribens lineam <I>Bc</I> æqualem ip$i <I>AB</I>; adeo ut ra- diis <I>AS, BS, cS</I> ad centrum actis, con- fectæ forent æqua- les areæ <I>ASB, BSc.</I> Verum ubi corpus venitad <I>B,</I> agat vis centripeta impul- $u unico $ed mag- no, efficiatque ut corpus de recta <I>Bc</I> declinet & pergat in recta <I>BC.</I> Ip$i <I>BS</I> parallela agatur <I>cC,</I> occurens <I>BC</I> in <I>C</I>; & completa $ecunda temporis parte, corpus (per Legum Corol. 1.) reperietur in <I>C,</I> in <pb n=35> eodem plano cum triangulo <I>ASB.</I> Junge <I>SC</I>; & triangulum <I>SBC,</I> ob parallelas <I>SB, Cc,</I> æquale erit triangulo <I>SBc,</I> atque adeo etiam triangulo <I>SAB.</I> Simili argumento $i vis centripeta $ucce$$ive agat in <I>C, D, E,</I> &c. faciens ut corpus $ingulis temporis particulis $in- gulas de$eribat rectas <I>CD, DE, EF,</I> &c. jacebunt hæ omnes in eodem plano; & triangulum <I>SCD</I> triangulo <I>SBC,</I> & <I>SDE</I> ip$i <I>SCD,</I> & <I>SEF</I> ip$i <I>SDE</I> æquale erit. Æqualibus igitur tempori- bus æquales areæ in plano immoto de$cribuntur: & componendo, $unt arearum $ummæ quævis <I>SADS, SAFS</I> inter $e, ut $unt tem- pora de$criptionum. Augeatur jam numerus & minuatur latitudo triangulorum in infinitum; & eorum ultima perimeter <I>ADF,</I> (per Corollarium quartum Lemmatis tertii) erit linea curva: adeoque vis centripeta, qua corpus a tangente hujus curvæ perpetuo retrahitur, aget inde$inenter; areæ vero quævis de$criptæ <I>SADS, SAFS</I> temporibus de$criptionum $emper proportionales, erunt ii$dem tem- poribus in hoc ca$u proportionales. <I>Q. E. D.</I> <p><I>Corol.</I> 1. Velocitas corporis in centrum immobile attracti e$t in $patiis non re$i$tentibus reciproce ut perpendiculum a centro illo in Orbis tangentem rectilineam demi$$um. E$t enim velocitas in locis illis <I>A, B, C, D, E,</I> ut $unt ba$es æqualium triangulorum <I>AB, BC, CD, DE, EF</I>; & hæ ba$es $unt reciproce ut perpendicula in ip$as demi$$a. <p><I>Corol.</I> 2. Si arcuum duorum æqualibus temporibus in $patiis non re$i$tentibus ab eodem corpore $ucce$$ive de$criptorum chordæ <I>AB, BC</I> compleantur in parallelogrammum <I>ABCU,</I> & hujus diagona- lis <I>BU</I> in ea po$itione quam ultimo habet ubi arcus illi in infini- tum diminuuntur, producatur utrinque; tran$ibit eadem per cen- trum virium. <p><I>Corol.</I> 3. Si arcuum æqualibus temporibus in $patiis non re$i$ten- tibus de$criptorum chordæ <I>AB, BC</I> ac <I>DE, EF</I> compleantur in parallelogramma <I>ABCU, DEFZ</I>; vires in <I>B</I> & <I>E</I> $unt ad invi- cem in ultima ratione diagonalium <I>BU, EZ,</I> ubi arcus i$ti in infi- nitum diminuuntur. Nam corporis motus <I>BC</I> & <I>EF</I> componun- tur (per Legum Corol. 1.) ex motibus <I>Bc, BU</I> & <I>Ef, EZ:</I> at- qui <I>BU</I> & <I>EZ,</I> ip$is <I>Cc</I> & <I>Ff</I> æquales, in Demon$tratione Pro- po$itionis hujus generabantur ab impul$ibus vis centripetæ in B & <I>E,</I> ideoque $unt his impul$ibus proportionales. <p><I>Corol.</I> 4. Vires quibus corpora quælibet in $patiis non re$i$tenti- bus a motibus rectilineis retrahuntur ac detorquentur in orbes cur- vos $unt inter $e ut arcuum æqualibus temporibus de$criptorum $a- gittæ illæ quæ convergunt ad centrum virium, & chordas bi$ecant <pb n=36> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> ubi arcus illi in infinitum diminuuntur. Nam hæ $agittæ $unt $e- mi$$es diagonalium de quibus egimus in Corollario tertio. <p><I>Corol.</I> 5. Ideoque vires eædem $unt ad vim gravitatis, ut hæ $a- gittæ ad $agittas horizonti perpendiculares arcuum Parabolicorum quos projectilia eodem tempore de$cribunt. <p><I>Corol.</I> 6. Eadem omnia obtinent per Legum Corol. IV, ubi plana in quibus corpora moventur, una cum centris virium quæ in ip$is fita $unt, non quie$cunt, $ed moventur uniformiter in directum. <C>PROPOSITIO II. THEOREMA II.</C> <p><I>Corpus omne, quod movetur in linea aliqua curva in plano de- $cripta, & radio ducto ad punctum vel immobile, vel motu rectili- neo uniformiter progrediens, de$cribit areas circa punctum illud temporibus proportionales, urgetur a vi centripeta tendente ad idem punctum.</I> <p><I>Cas.</I> 1. Nam corpus omne quod movetur in linea curva, detor- quetur de cur$u rectilineo per vim aliquam in ip$um agentem (per Leg. 1.) Et vis illa qua corpus de cur$u rectilineo detorquetur, & cogitur triangula quam minima <I>SAB, SBC, SCD,</I> &c. circa punctum immobile <I>S</I> temporibus æqualibus æqualia de$cribere, a- git in loco <I>B</I> $ecundum lineam parallelam ip$i <I>cC</I> (per Prop. XL, Lib. 1 Elem. & Leg. 11.) hoc e$t, $ecundum lineam <I>BS</I>; & in loco <I>C</I> $ecundum lineam ip$i <I>dD</I> parallelam, hoc e$t, $ecundum lineam <I>SC,</I> &c. Agit ergo $emper $ecundum lineas tendentes ad punctum illud immobile <I>S. Q. E. D.</I> <p><I>Cas.</I> 2. Et, per Legum Corollarium quintum, perinde e$t $ive quie$cat $uperficies in qua corpus de$cribit figuram curvilineam, $ive moveatur eadem una cum corpore, figura de$cripta, & puncto $uo <I>S</I> uniformiter in directum. <p><I>Corol.</I> 1. In Spatiis vel Mediis non re$i$tentibus, $i areæ non $unt temporibus proportionales, vires non tendunt ad concur$um radio- rum; $ed inde declinant in con$equentia $eu ver$us plagam in quam fit motus, $i modo arearum de$criptio acceleratur: $in retardatur, de- clinant in antecedentia. <p><I>Corol.</I> 2. In Mediis etiam re$i$tentibus, $i arearum de$criptio accele- ratur, virium directiones declinant a concur$u radiorum ver$us plagam in quam $it motus. <pb n=37> <C><I>Scholium.</I></C> <p>Urgeri pote$t corpus a vi centripeta compo$ita ex pluribus viri- bus. In hoc ca$u $en$us Propo$itionis e$t, quod vis illa quæ ex om- nibus componitur, tendit ad punctum <I>S.</I> Porro $i vis aliqua agat perpetuo $ecundum lineam $uperficiei de$criptæ perpendicularem; hæc faciet ut corpus deflectatur a plano $ui motus: $ed quantita- tem $uperficiei de$criptæ nec augebit nec minuet, & propterea in compo$itione virium negligenda e$t. <C>PROPOSITIO III. THEOREMA III.</C> <p><I>Corpus omne, quod radio ad centrum corporis alterius utcunque moti ducto de$cribit areas circa centrum illud temporibus proportiona- les, urgetur vi compo$ita ex vi centripeta tendente ad corpus il- lud alterum, & ex vi omni acceleratrice qua corpus illud alterum urgetur.</I> <p>Sit corpus primum <I>L</I> & corpus alterum <I>T:</I> & (per Legum Corol. VI.) $i vi nova, quæ æqualis & contraria $it illi qua corpus alterum <I>T</I> urgetur, urgeatur corpus utrumque $ecundum lineas parallelas; perget corpus primum <I>L</I> de$cribere circa corpus alterum <I>T</I> areas ea$dem ac prius: vis autem, qua corpus alterum <I>T</I> urgebatur, jam de$truetur per vim $ibi æqualem & contrariam; & propterea (per Leg. 1.) corpus illud alterum <I>T</I> $ibimet ip$i jam relictum vel qui- e$cet vel movebitur uniformiter in directum: & corpus primum <I>L</I> urgente differentia virium, id e$t, urgente vi reliqua perget areas temporibus proportionales circa corpus alterum <I>T</I> de$cribere. Ten- dit igitur (per Theor. 11.) differentia virium ad corpus illud alte- rum <I>T</I> ut centrum. <I>Q. E. D.</I> <p><I>Corol.</I> 1. Hinc $i corpus unum <I>L</I> radio ad alterum <I>T</I> ducto de- $cribit areas temporibus proportionales; atque de vi tota ($ive $im- plici, $ive ex viribus pluribus, juxta Legum Corollarium $ecundum, compo$ita,) qua corpus prius <I>L</I> urgetur, $ubducatur (per idem Le- gum Corollarium) vis tota acceleratrix qua corpus alterum urgetur: vis omnis reliqua qua corpus prius urgetur tendet ad corpus alte- rum <I>T</I> ut centrum. <p><I>Corol.</I> 2. Et, $i areæ illæ $unt temporibus quamproxime propor- tionales, vis reliqua tendet ad corpus alterum <I>T</I> quamproxime. <p><I>Corol.</I> 3. Et vice ver$a, $i vis reliqua tendit quamproxime ad <pb n=38> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> corpus alterum <I>T,</I> erunt areæ illæ temporibus quamproxime pro- portionales. <p><I>Corol.</I> 4. Si corpus <I>L</I> radio ad alterum corpus <I>T</I> ducto de$cri- bit areas quæ, cum temporibus collatæ, $unt valde inæquales; & corpus illud alterum <I>T</I> vel quie$cit vel movetur uniformiter in di- rectum: actio vis centripetæ ad corpus illud alterum <I>T</I> tendentis, vel nulla e$t, vel mi$cetur & componitur cum actionibus admodum potentibus aliarum virium: Vi$que tota ex omnibus, $i plures $unt vires, compo$ita, ad aliud ($ive immobile $ive mobile) centrum dirigitur. Idem obtinet, ubi corpus alterum motu quocunque mo- vetur; $i modo vis centripeta $umatur, quæ re$tat po$t $ubductio- nem vis totius in corpus illud alterum <I>T</I> agentis. <C><I>Scholium.</I></C> <p>Quoniam æquabilis arearum de$criptio Index e$t Centri, quod vis illa re$picit qua corpus maxime afficitur, quaque retrahitur a mo- tu rectilineo & in orbita $ua retinetur: quidni u$urpemus in $equen- tibus æquabilem arearum de$criptionem, ut Indicem Centri circum quod motus omnis circularis in $patiis liberis peragitur? <C>PROPOSITIO IV. THEOREMA IV.</C> <p><I>Corporum, quæ diver$os circulos æquabili motu de$cribunt, vires cen- tripetas ad centra eorundem circulorum tendere; & e$$e inter $e, ut $unt arcuum $imul de$criptorum quadrata applicata ad circulo- rum radios.</I> <p>Tendunt hæ vires ad centra circulorum per Prop.II. & Corol. II. Prop. 1; & $unt inter $e ut arcuum æqualibus temporibus quam mini- mis de$criptorum $inus ver$i per Corol. IV. Prop. I; hoc e$t, ut qua- drata arcuum eorundem ad diametros circulorum applicata per Lem. VII: & propterea, cum hi arcus $int ut arcus temporibus quibu$vis æqualibus de$cripti, & diametri $int ut eorum radii; vi- res erunt ut arcuum quorumvis $imul de$criptorum quadrata ap- plicata ad radios circulorum. <I>Q.E.D.</I> <p><I>Corol.</I> 1. Igitur, cum arcus illi $int ut velocitates corporum, vi- res centripetæ $unt ut velocitatum quadrata applicata ad radios circulorum: hoc e$t, ut cum Geometris loquar, vires $unt in ra- tione compo$ita ex duplicata ratione velocitatum directe & ratione $implici radiorum inver$e. <pb n=39> <p><I>Corol.</I> 2. Et, cum tempora periodica $int in ratione compo$ita ex ratione radiorum directe & ratione velocitatum inver$e, vires cen- tripetæ $unt reciproce ut quadrata temporum periodicorum appli- cata ad circulorum radios; hoc e$t, in ratione compo$ita ex ratione radiorum directe & ratione duplicata temporum periodicorum in- ver$e. <p><I>Corol.</I> 3. Unde, $i tempora periodica æquentur & propterea ve- locitates $int ut radii; erunt etiam vires centripetæ ut radii: & contra. <p><I>Cor.</I> 4. Si & tempora periodica & velocitates $int in ratione $ub- duplicata radiorum; æquales erunt vires centripetæ inter $e: & contra. <p><I>Corol.</I> 5. Si tempora periodica $int ut radii & propterea veloci- tates æquales; vires centriperæ erunt reciproce ut radii: & contra. <p><I>Corol.</I> 6. Si tempora periodica $int in ratione $e$quiplicata radio- rum & propterea velocitates reciproce in radiorum ratione $ubdu- plicata; vires centripetæ erunt reciproce ut quadrata radiorum: & contra. <p><I>Corol.</I> 7. Et univer$aliter, $i tempus periodicum $it ut Radii <I>R</I> pote$tas quælibet <I>R<SUP>n</SUP>,</I> & propterea velocitas reciproce ut Radii pote$tas <I>R<SUP>n-1</SUP></I>; erit vis centripeta reciproce ut Radii pote$tas <I>R<SUP>2n-1</SUP>:</I> & contra. <p><I>Corol.</I> 8. Eadem omnia de temporibus, velocitatibus, & viribus, qui- bus corpora $imiles figurarum quarumcunque $imilium, centraque in figuris illis $imiliter po$ita habentium, partes de$cribunt, con$e- quuntur ex Demon$tratione præcedentium ad ho$ce ca$us applicata. Applicatur autem $ub$tituendo æquabilem arearum de$criptionem pro æquabili motu, & di$tantias corporum a centris pro radiis u$ur- pando. <p><I>Corol.</I> 9. Ex eadem demon$tratione con$equitur etiam; quod ar- cus, quem corpus in circulo data vi centripeta uniformiter revolven- do tempore quovis de$cribit, medius e$t proportionalis inter dia- metrum circuli, & de$cen$um corporis eadem data vi eodem que tem- pore cadendo confectum. <C><I>Scholium.</I></C> <p>Ca$us Corollarii $exti obtinet in corporibus cæle$tibus, (ut $eor- $um collegerunt etiam no$trates <I>Wrennus, Hookius</I> & <I>Hallæus</I>) & propterea quæ $pectant ad vim centripetam decre$centem in dupli- cata ratione di$tantiarum a centris, decrevi fu$ius in $equentibus exponere. <pb n=40> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> <p>Porro præcedentis propo$itionis & corollariorum ejus beneficio, colligitur etiam proportio vis centripetæ ad vim quamlibet notam, qualis e$t ea Gravitatis. Nam $i corpus in circulo Terræ concen- trico vi gravitatis $uæ revolvatur, hæc gravitas e$t ip$ius vis centri- peta. Datur autem, ex de$cen$u gravium, & tempus revolutionis unius, & arcus dato quovis tempore de$criptus, per hujus Corol. IX. Et huju$modi propo$itionibus <I>Hugenius,</I> in eximio $uo Tracta- tu <I>de Horologio O$cillatorio,</I> vim gravitatis cum revolventium vi- ribus centrifugis contulit. <p>Demon$trari etiam po$$unt præcedentia in hunc modum. In cir- culo quovis de$cribi intelligatur Polygonum laterum quotcunque. Et $i corpus, in polygoni lateribus data cum velocitate movendo, ad ejus angulos $ingulos a circulo reflectatur; vis qua $ingulis re- flexionibus impingit in circulum erit ut ejus velocitas: adeoque $umma virium in dato tempore erit ut velocitas illa & numerus re- flexionum conjunctim: hoc e$t ($i polygonum detur $pecie) ut longi- tudo dato illo tempore de$cripta & longitudo eadem applicata ad Radium circuli; id e$t, ut quadratum longitudinis illius applicatum ad Radium: adeoque, $i polygonum lateribus infinite diminutis co- incidat cum circulo, ut quadratum arcus dato tempore de$cripti ap- plicatum ad radium. Hæc e$t vis centrifuga, qua corpus urget cir- culum: & huic æqualis e$t vis contraria, qua circulus continuo re- pellit corpus centrum ver$us. <C>PROPOSITIO. V. PROBLEMA I.</C> <p><I>Data quibu$cunque in locis velocitate, qua corpus figuram datam vi- ribus ad commune aliquod centrum tendentibus de$cribit, centrum illud invenire.</I> <p>Figuram de$criptam tangant rectæ tres <I>PT, TQV, VR</I> in punctis totidem <I>P, Q, R,</I> concurrentes in <I>T</I> & <I>V.</I> Ad tangentes erigantur perpendicula <I>PA, QB, RC,</I> velocitatibus corporis in punctis illis <I>P, Q, R</I> a quibus eriguntur reciproce proportionalia; id e$t, ita ut $it <I>PA</I> ad <I>QB</I> ut velocitas in <I>Q</I> ad velocitatem in <I>P,</I> & <I>QB</I> ad <I>RC</I> ut velocitas in <I>R</I> ad velocitatem in <I>Q.</I> Per perpendiculorum terminos <I>A, B, C</I> ad angulos rectos ducantur <I>AD, DBE, EC</I> concurrentes in <I>D</I> & <I>E:</I> Et actæ <I>TD, VE</I> concur- rent in centro q<*>$ito <I>S.</I> <pb n=41> <FIG> <p>Nam perpendicula a centro <I>S</I> in tangentes <I>PT, QT</I> demi$$a (per Corol. 1. Prop.I.) $unt reciproce ut velocitates corporis in punctis <I>P</I> & <I>V</I>; &c. adeoque per con$tructio- nem ut perpendicula <I>AP, BQ</I> di- recte, id e$t ut perpendicula a pun- cto <I>D</I> in tangentes demi$$a. Un- de facile colligitur quod puncta <I>S, D, T,</I> $unt in una recta. Et $imili argumento puncta <I>S, E, V</I> $unt eti- am in una recta; & propterea centrum <I>S</I> in concur$u rectarum <I>TD, VE</I> ver$atur. <I>Q.E.D.</I> <C>PROPOSITIO VI. THEOREMA V.</C> <p><I>Si corpus in $patio non re$i$tente circa centrum immobile in Orbe quocun- que revolvatur, & arcum quemvis jamjam na$centem tempore quàm minimo de$cribat, & $agitta arcus duci intelligatur quæ chor dam bi- $ecet, & producta tran$eat per centrum virium: erit vis centripeta in medio arcus, ut $agitta directe & tempus bis inver$e.</I> <p>Nam $agitta dato tempore e$t ut vis (per Corol.4 Prop.I,) & augen- do tempus in ratione quavis, ob auctum arcum in eadem ratione $a- gitta augetur in ratione illa duplicata (per Corol. 2 & 3, Lem. XI,) ad- eoque e$t ut vis $emel & tempus bis. Subducatur duplicata ratio tempo- ris utrinque, & fiet vis ut $agitta directe & tempus bis inver$e. <I>Q.E.D.</I> <p>Idem facile demon$tratur etiam per Corol. 4 Lem. X. <p><I>Corol.</I> 1. Si corpus <I>P</I> revolvendo <FIG> circa centrum <I>S</I> de$cribat lineam curvam <I>APQ,</I> tangat verò recta <I>ZPR</I> curvam illam in puncto quovis <I>P,</I> & ad tangentem ab alio quovis Curvæ puncto <I>Q</I> agatur <I>QR</I> di$tantiæ <I>SP</I> parallela, ac demittatur <I>QT</I> perpendicularis ad di$tantiam illam <I>SP:</I> vis cen- tripeta erit reciproce ut $olidum (<I>SP quad.XQT quad./QR</I>) $i modo $olidi illius ea $emper $umatur quan- titas, quæ ultimò fit ubi coeunt puncta <I>P</I> & <I>Q.</I> Nam <I>QR</I> æqualis <pb n=42> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> e$t $agittæ dupli arcus <I>QP,</I> in cujus medio e$t <I>P,</I> & duplum trian- guli <I>SQP</I> $ive <I>SPXQT,</I> tempori quo arcus i$te duplus de$cribitur proportionale e$t, ideoque pro temporis exponente $cribi pote$t. <p><I>Corol.</I> 2. Eodem argumento vis centripeta e$t reciprocè ut $olidum (<I>SYqXQPq/QR</I>), $i modo <I>SY</I> perpendiculum $it a centro virium in Or- bis tangentem <I>PR</I> demi$$um. Nam rectangula <I>SYXQP</I> & <I>SPXQT</I> æquantur. <p><I>Corol.</I> 3. Si Orbis vel circulus e$t, vel angulum contactus cum cir- culo quam minimum continet, eandem habens curvaturam eundem- que radium curvaturæ ad punctum contactus <I>P</I>; & $i <I>PV</I> chorda $it circuli hujus a corpore per centrum virium acta: erit vis centri- peta reciproce ut $olidum <I>SYqXPV.</I> Nam <I>PV</I> e$t (<I>QPq/QR</I>). <p><I>Corol.</I> 4. Ii$dem po$itis, e$t vis centripeta ut velocitas bis directe, & chorda illa inver$e. Nam velocitas e$t reciproce ut perpendicu- lum <I>SY</I> per Corol. I Prop. I. <p><I>Corol.</I> 5. Hinc $i detur figura quævis curvilinea <I>APQ,</I> & in ea detur etiam punctum <I>S</I> ad quod vis centripeta perpetuo dirigitur, inveniri pote$t lex vis centripetæ, qua corpus quodvis <I>P</I> a cur$u rectilineo perpetuò retractum in figuræ illius perimetro detinebitur eamque revolvendo de$cribet. Nimirum computandum e$t vel $o- lidum (<I>SPqXQTq/QR</I>) vel $olidum <I>SYqXPV</I> huic vi reciproce pro- portionale. Ejus rei dabimus exempla in Problematis $equentibus. <C>PROPOSITIO VII. PROBLEMA II.</C> <C><I>Gyretur corpus in circumferentia Circuli, requiritur Lex vis centri- petæ tendentis ad punctum quodcunque datum.</I></C> <p>E$to Circuli circumferentia <FIG> <I>VQPA,</I> punctum datum ad quod vis ceu ad centrũ $uũ ten- dit <I>S,</I> corpus in circumferentia latum <I>P,</I> locus proximus in quem movebitur <I>Q,</I> & circuli tangens ad locum priorem <I>PRZ.</I> Per punctum <I>S</I> ducatur chorda <I>PV,</I> & acta circuli diametro <I>VA</I> jun- gatur <I>AP,</I> & ad <I>SP</I> demittatur perpendiculum <I>QT,</I> quod productum occurrat tangenti <I>PR</I> in <I>Z,</I> <pb n=43> ac denique per punctum <I>Q</I> agatur <I>LR</I> quæ ip$i <I>SP</I> parallela $it & occurrat tum circulo in <I>L</I> tum tangenti <I>PZ</I> in <I>R.</I> Et ob $imilia triangula <I>ZQR, ZTP, VPA</I>; erit <I>RP quad.</I> hoc e$t <I>QRL</I> ad <I>QT quad.</I> ut <I>AV quad.</I> ad <I>PV quad.</I> Ideoque (<I>QRLXPV quad./AV quad.</I>) æquatur <I>QT quad.</I> Ducantur hæc æqualia in (<I>SP quad./QR</I>) &, punctis <I>P</I> & <I>Q</I> coeuntibus, $cribatur <I>PV</I> pro <I>RL.</I> Sic fiet (<I>SP quad.XPV cub./AV quad.</I>) æquale (<I>SP quad.XQT quad./QR</I>) Ergo (per Corol.1 & 5 Prop.VI.) vis centripeta e$t reciproce ut (<I>SPqXPV cub./AV quad</I>) id e$t, (ob datum <I>AV quad.</I>) reciproce ut quadratum di$tantiæ $eu altitudinis <I>SP</I> & cubus chordæ <I>PV</I> conjunctim. <I>Q.E.I.</I> <C><I>Idem aliter.</I></C> <p>Ad tangentem <I>PR</I> productam demittatur perpendiculum <I>SY,</I> & ob $imilia triangula <I>SYP, VPA</I>; erit <I>AV</I> ad <I>PV</I> ut <I>SP</I> ad <I>SY,</I> ideoque (<I>SPXPV/AV</I>) æquale <I>SY,</I> & (<I>SP quad.XPV cub./AV quad.</I>) æquale <I>SY quad.XPV.</I> Et propterea (per Corol.3 & 5 Prop.VI.) vis centri- peta e$t reciproce ut (<I>SPqXPV cub./AVq</I>) hoc e$t, ob datam <I>AV,</I> reci- proce ut <I>SPqXPV cub. Q. E. I.</I> <p><I>Corol.</I> 1. Hinc $i punctum datum <I>S</I> ad quod vis centripeta $em- per tendit, locetur in circumferentia hujus circuli, puta ad <I>V</I>; erit vis centripeta reciproce ut quadrato cubus altitudinis <I>SP.</I> <p><I>Corol.</I> 2. Vis qua corpus <I>P</I> in cir- <FIG> culo <I>APTV</I> circum virium centrum <I>S</I> revolvitur, e$t ad vim qua corpus idem <I>P</I> in eodem circulo & eodem tempore periodico circum aliud quod- vis virium centrum <I>R</I> revolvi pote$t, ut <I>RP quad.XSP</I> ad cubum rectæ <I>SG</I> quæ a primo virium centro <I>S</I> ad or- bis tangentem <I>PG</I> ducitur, & di$tan- tiæ corporis a $ecundo virium centro parallela e$t. Nam, per con$tructionem hujus Propo$itionis, vis prior e$t ad vim po$teriorem, ut <I>RPqXPT cub.</I> ad <I>SPqXPV cub.</I> <pb n=44> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> id e$t, ut <I>SPXRPq</I> ad (<I>SP cub.XPV cub/PT cub.</I>) $ive (ob $imilia triangula <I>PSG, TPV</I>) ad <I>SG cub.</I> <p><I>Corol.</I> 3. Vis, qua corpus <I>P</I> in Orbe quocunque circum virium centrum <I>S</I> revolvitur, e$t ad vim qua corpus idem <I>P</I> in eodem orbe eodemque tempore periodico circum aliud quodvis virium centrum <I>R</I> revolvi pote$t, ut <I>SPXRPq</I> contentum utique $ub di- $tantia corporis a primo virium centro <I>S</I> & quadrato di$tantiæ ejus a $ecundo virium centro <I>R</I> ad cubum rectæ <I>SG</I> quæ a primo vi- rium centro <I>S</I> ad orbis tangentem <I>PG</I> ducitur, & corporis a $e- cundo virium centro di$tantiæ <I>RP</I> parallela e$t. Nam vires in hoc Orbe, ad ejus punctum quodvis <I>P,</I> eædem $unt ac in Circulo eju$dem curvaturæ. <C>PROPOSITIO. VIII. PROBLEMA. III.</C> <p><I>Moveatur corpus in Circulo</I> PQA: <I>ad hunc effectum requiritur Lex vis centripetæ tendentis ad punctum adeo longinquum</I> S, <I>ut lineæ omnes</I> PS, RS <I>ad id ductæ, pro parallelis haberi po$$int.</I> <p>A Circuli centro <I>C</I> agatur $emidiameter <I>CA</I> parallelas i$tas perpendiculariter $ecans in <I>M</I> & <FIG> <I>N,</I> & jungatur <I>CP.</I> Ob $imilia triangula <I>CPM, PZT</I> & <I>RZQ</I> e$t <I>CPq</I> ad <I>PMq</I> ut <I>PRq</I> ad <I>QTq</I> & ex natura Circuli <I>PRq</I> æquale e$t rectangulo <I>QRX√RN+QN</I> &c. $ive coeuntibus punctis <I>P, Q</I> rect- angulo <I>QRX2PM.</I> Ergo e$t <I>CPq</I> ad <I>PM quad.</I> ut <I>QRX2PM</I> ad <I>QT quad.</I> adeoque (<I>QT quad./QR</I>) æquale (2<I>PM cub./CP quad.</I>), & (<I>QT quad.XSP quad./QR</I>) æquale (2<I>PM cub.XSP qu./CP quad.</I>) E$t ergo (per Corol. 1 & 5 Prop. VI.) vis centripeta reciproce ut (2<I>PMcub.XSP quad./CP quad.</I>) hoc e$t (neglecta ratione determinata (2<I>SP quad./CP quad.</I>)) reciproce ut <I>PM cub. Q. E. I.</I> <p>Idem facile colligitur etiam ex Propo$itione præcedente. <pb n=45> <C><I>Scholium.</I></C> <p>Et $imili argumento corpus movebitur in Ellip$i vel etiam in Hyperbola vel Parabola, vi centripeta quæ $it reciproce ut cu- bus ordinatim applicatæ ad centrum virium maxime longinquum tendentis. <C>PROPOSITIO IX. PROBLEMA IV.</C> <p><I>Gyretur corpus in Spirali</I> PQS <I>$ecante radios omnes</I> SP, SQ, <I>&c.</I> <FIG> <I>in angulo dato: requiritur Lex vis centripetæ tendentis ad centrum Spiralis.</I> <p>Detur angulus indefinite par- vus <I>PSQ,</I> & ob datos omnes angulos dabitur $pecie figura <I>SPQRT.</I> Ergo datur ratio (<I>QT/QR</I>), e$tque (<I>QT quad./QR</I>) ut <I>QT,</I> hoc e$t ut <I>SP.</I> Mutetur jam uteunque angulus <I>PSQ,</I> & recta <I>QR</I> angulum contactus <I>QPR</I> $ubtendens mutabitur (per Lemma XI.) in duplicata ratione ip$ius <I>PR</I> vel <I>QT.</I> Ergo manebit (<I>QT quad./QR</I>) eadem quæ prius, hoc e$t ut <I>SP.</I> Quare (<I>QTq.XSPq/QR</I>) e$t ut <I>SP cub.</I> adeoque (per Corol. 1 & 5 Prop. VI.) vis centripeta e$t reciproce ut cubus di$tantiæ <I>SP. Q. E. I.</I> <C><I>Idem aliter.</I></C> <p>Perpendiculum <I>SY</I> in tangentem demi$$um, & circuli Spiralem tangentis chorda <I>PV</I> $unt ad altitudinem <I>SP</I> in datis rationibus; ideoque <I>SP cub.</I> e$t ut <I>SYqXPV,</I> hoc e$t (per Corol. 3 & 5 Prop.VI.) reciproce ut vis centripeta. <C>LEMMA XII.</C> <C><I>Parallelogramma omnia, circa datæ Ellip$eos vel Hyperbolæ diametros qua$vis conjugatas de$cripta, e$$e inter $e æqualia.</I></C> <p>Con$tat ex Conicis. <pb n=46> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> <C>PROPOSITIO X. PROBLEMA. V.</C> <C><I>Gyretur corpus in Ellip$i: requiritur lex vis centripetæ tendentis ad centrum Ellip$eos.</I></C> <p>Sunto <I>CA, CB</I> $emiaxes Ellip$eos; <I>GP, DK</I> diametri conju- gatæ; <I>PF, Qt</I> perpendicula ad diametros; <I>Qv</I> ordinatim appli- cata ad diametrum <FIG> <I>GP</I>; & $i compleatur parallelogrammum <I>QvPR,</I> erit (ex Coni- cis) <I>PvG</I> ad <I>Qv quad.</I> ut <I>PC quad.</I> ad <I>CD quad.</I> & (ob $imilia triangula <I>Qvt, PCF</I>) <I>Qv quad.</I> e$t ad <I>Qt quad.</I> ut <I>PC quad.</I> ad <I>PF quad.</I> & conjun- ctis rationibus, <I>PvG</I> ad <I>Qt quad.</I> ut <I>PC quad.</I> ad <I>CD quad.</I> & <I>PC quad.</I> ad <I>PF quad.</I> id e$t, <I>vG</I> ad (<I>Qt quad./Pv</I>) ut <I>PC quad.</I> ad (<I>CDqXPFq/PCq</I>). Scribe <I>QR</I> pro <I>Pv,</I> & (per Lemma XII.) <I>BCXCA</I> pro <I>CDXPF,</I> nec non, punctis <I>P</I> & <I>Q</I> coeuntibus, 2<I>PC</I> pro <I>vG,</I> & ductis extremis & mediis in $e mutuo, fiet (<I>Qt quad.XPCq/QR</I>) æquale (2<I>BCqXCAq/PC</I>). E$t ergo (per Corol. 5 Prop. VI.) vis centri- peta reciproce ut (2<I>BCqXGAq;/PC</I>) id e$t (ob datum 2<I>BCqXCAq</I>) reciproce ut (1/<I>PC</I>); hoc e$t, directe ut di$tantia <I>PC. Q. E. I.</I> <C><I>Idem aliter.</I></C> <p>In <I>PG</I> ab altera parte puncti <I>t</I> po$ita intelligatur <I>tu</I> æqualis ip$i <I>tv</I>; deinde cape <I>uV</I> quæ $it ad <I>vG</I> ut e$t <I>DC quad.</I> ad <I>PC quad.</I> Et quoniam ex Conicis <*> <I>Qv quad.</I> ad <I>PvG,</I> ut <I>DC quad.</I> ad <I>PC quad:</I> erit <I>Qv quad.</I> æquale <I>PvXuV.</I> Unde quadratum chor- <pb n=47> dæ arcus <I>PQ</I> erit æquale rectangulo <I>VPv</I>; adeoque Circulus qui <MARG>LIBER PRIMUS.</MARG> tangit Sectionem Conicam in <I>P</I> & tran$it per punctum <I>Q,</I> tran$ibit etiam per punctum <I>V.</I> Coeant puncta <I>P</I> & <I>Q,</I> & hic circulus eju$dem erit curvaturæ cum $ectione conica in <I>P,</I> & <I>PV</I> æqualis erit (2<I>DCq/PC</I>). Proinde vis qua corpus <I>P</I> in Ellip$i revolvitur, erit reci- proce ut (2<I>DCq/PC</I>) in <I>PFq</I> (per Corol. 3 Prop. VI.) hoc e$t (ob datum 2<I>DCq</I> in <I>PFq</I>) directe ut <I>PC. Q. E. I.</I> <p><I>Corol.</I> 1. E$t igitur vis ut di$tantia corporis a centro Ellip$eos: & vici$$im, $i vis $it ut di$tantia, movebitur corpus in Ellip$i centrum habente in centro virium, aut forte in Circulo, in quem utique Ellip$is migrare pote$t. <p><I>Corol.</I> 2. Et æqualia erunt revolutionum in Ellip$ibus univer$is cir- cum centrum idem factarum periodica tempora. Nam tempora illa in Ellip$ibus $imilibus æqualia $unt per Corol. 3 & 8, Prop. IV: in Ellip$ibus autem communem habentibus axem majorem, $unt ad invicem ut Ellip$eon areæ totæ directe & arearum particulæ $imul de$criptæ inver$e; id e$t, ut axes minores directe & corporum ve- locitates in verticibus principalibus inver$e; hoc e$t, ut axes illi mi- nores directe & ordinatim applicatæ ad axes alteros inver$e; & prop- terea (ob æqualitatem rationum directarum & inver$arum) in ra- tione æqualitatis. <C><I>Scholium.</I></C> <p>Si Ellip$is, centro in infinitum abeunte vertatur in Parabolam, corpus movebitur in hac Parabola; & vis ad centrum infinite di- $tans jam tendens evadet æquabilis. Hoc e$t Theorema <I>Galilæi.</I> Et $i coni $ectio Parabolica, inclinatione plani ad conum $ectum mutata, vertatur in Hyperbolam, movebitur corpus in hujus pe- rimetro, vi centripeta in centrifugam ver$a. Et quemadmo- dum in Circulo vel Ellip$i, $i vires tendunt ad centrum figuræ in Ab$ci$$a po$itum, hæ vires augendo vel diminuendo Ordinatas in ratione quacunque data, vel etiam mutando angulum inclinationis Ordinatarum ad Ab$ci$$am, $emper augentur vel diminuuntur in ratione di$tantiarum a centro, $i modo tempora periodica maneant æqualia: $ic etiam in figuris univer$is, $i Ordinatæ augeantur vel di- minuantur in ratione quacunque data, vel angulus ordinationis ut- cunque mutetur, manente tempore periodico; vires ad centrum quodcunque in Ab$ci$$a po$itum tendentes a binis quibu$vis figurarum locis, ad quæ termi- nantur Ordinatæ corre$pondentibus Ab$ci$$arum punctis in$i$tentes, augentur vel &c. augentur vel diminuun- tur in ratione di$tantiarum a centro. <pb n=48> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> <C>SECTIO III.</C> <C><I>De motu Corporum in Conicis Sectionibus excentricis.</I></C> <C>PROPOSITIO XI. PROBLEMA VI.</C> <C><I>Revolvatur corpus in Ellip$i: requiritur Lex vis centripetæ tenden- tis ad umbilicum Ellip$eos.</I></C> <p>E$to Ellip$eos umbilicus <I>S.</I> Agatur <I>SP</I> $ecans Ellip$eos tum diametrum <I>DK</I> in <I>E,</I> tum ordinatim applicatam <I>Qv</I> in <I>x,</I> & compleatur parallelogrammum <I>QxPR.</I> Patet <I>EP</I> æqua- lem e$$e $emiaxi ma- <FIG> jori <I>AC,</I> eo quod acta ab altero Ellip- $eos umbilico <I>H</I> li- nea <I>HI</I> ip$i <I>EC</I> pa- rallela, (ob æquales <I>CS, CH</I>) æquentur <I>ES, EI,</I> adeo ut <I>EP</I> $emi$umma $it ip$a- rum <I>PS, PI,</I> id e$t (ob parallelas <I>HI, PR</I> & angulos æqua- les <I>IPR, HPZ</I>) ip$arum <I>PS, PH,</I> quæ cõjunctim axem totum 2<I>AC</I> adæ- quant. Ad <I>SP</I> de- mittatur perpendicularis <I>QT,</I> & Ellip$eos latere recto principali ($eu (2<I>BC quad./AC</I>)) dicto <I>L,</I> erit <I>LXQR</I> ad <I>LXPv</I> ut <I>QR</I> ad <I>Pv,</I> id e$t ut <I>PE</I> $eu <I>AC</I> ad <I>PC</I>; & <I>LXPv</I> ad <I>GvP</I> ut <I>L</I> ad <I>Gv</I>; & <I>GvP</I> ad <I>Qv quad.</I> ut <I>PC quad.</I> ad <I>CD quad</I>; & (per Corol. 2 Lem. VII.) <I>Qv quad.</I> ad <I>Qx quad,</I> punctis <I>Q</I> & <I>P</I> coeuntibus, e$t ratio æqualitatis; & <I>Qx quad.</I> $eu <I>Qv quad.</I> e$t ad <I>QT quad.</I> ut <I>EP quad.</I> ad <I>PF quad,</I> id e$t ut <I>CA quad.</I> ad <I>PF quad.</I> $ive (per Lem XII.) ut <I>CD quad.</I> ad <I>CB quad.</I> Et conjunctis his omnibus ratio- nibus, <I>LXQR</I> fit ad <I>QT quad.</I> ut <I>ACXLXPCq.XCDq.</I> $eu 2<I>CBq. XPCq.XCDq.</I> ad <I>PCXGvXCDq.XCBq.</I> $ive ut 2<I>PC</I> ad <I>Gv.</I> <pb n=49> Sed, punctis <I>Q</I> & <I>P</I> coeuntibus, æquãtur 2<I>PC</I> & <I>Gv.</I> Ergo & his pro- <MARG>LIBER PRIMUS.</MARG> portionalia <I>LXQR</I> & <I>QT quad.</I> æquantur. Ducantur hæc æqualia in (<I>SPq/QR</I>) & fiet <I>LXSPq.</I> æquale (<I>SPq.XQTq/QR</I>). Ergo (per Corol. 1 & 5 Prop. VI.) vis centripeta reciproce e$t ut <I>LXSPq.</I> id e$t, reci- proce in ratione duplicata di$tantiæ <I>SP. Q.E.I.</I> <C><I>Idem aliter.</I></C> <p>Cum vis ad centrum Ellip$eos tendens, qua corpus <I>P</I> in Ellip$i illa revolvi pote$t, $it (per Corol. I Prop. X) ut <I>CP</I> di$tantia cor- poris ab Ellip$eos centro <I>C</I>; ducatur <I>CE</I> parallela Ellip$eos tan- genti <I>PR:</I> & vis qua corpus idem <I>P,</I> circum aliud quodvis Ellip- $eos punctum <I>S</I> revolvi pote$t, $i <I>CE</I> & <I>PS</I> concurrant in <I>E,</I> erit ut (<I>PE cub./SPq</I>) (per Corol. 3 Prop. VII,) hoc e$t, $i punctum <I>S</I> $it umbili- cus Ellip$eos, adeoque <I>PE</I> detur, ut <I>SPq</I> reciproce. <I>Q.E.I.</I> <p>Eadem brevitate qua traduximus Problema quintum ad Parabo- lam, & Hyperbolam, liceret idem hic facere: verum ob dignita- tem Problematis & u$um ejus in $equentibus, non pigebit ca$us ce- teros demon$tratione confirmare. <C>PROPOSITIO XII. PROBLEMA. VII.</C> <C><I>Moveatur corpus in Hyperbola: requiritur Lex vis centripetæ ten- dentis ad umbilicum figuræ.</I></C> <p>Sunto <I>CA, CB</I> $emi-axes Hyperbolæ; <I>PG, KD</I> diametri con- jugatæ; <I>PF, Qt</I> perpendicula ad diametros; & <I>Qv</I> ordinatim applicata ad diametrum <I>GP.</I> Agatur <I>SP</I> $ecans cum diametrum <I>DK</I> in <I>E,</I> tum ordinatim applicatam <I>Qv</I> in <I>x,</I> & compleatur pa- rallelogrammum <I>QRPx.</I> Patet <I>EP</I> æqualem e$$e $emiaxi tran$- ver$o <I>AC,</I> eo quod, acta ab altero Hyperbolæ umbilico <I>H</I> linea <I>HI</I> ip$i <I>EC</I> parallela, ob æquales <I>CS, CH,</I> æquentur <I>ES, EI</I>; adeo ut <I>EP</I> $emidifferentia $it ip$arum <I>PS, PI,</I> id e$t (ob pa- rallelas <I>IH, PR</I> & angulos æquales <I>IPR, HPZ</I>) ip$arum <I>PS, PH,</I> quarum differentia axem totum 2<I>AC</I> adæquat. Ad <I>SP</I> de- mittatur perpendicularis <I>QT.</I> Et Hyperbolæ latere recto princi- pali ($eu (2<I>BCq/AC</I>)) dicto <I>L,</I> erit <I>LXQR</I> ad <I>LXPv</I> ut <I>QR</I> ad <I>Pv,</I> id e$t, ut <I>PE</I> $eu <I>AC</I> ad <I>PC</I>; Et <I>LXPv</I> ad <I>GvP</I> ut <I>L</I> ad <pb n=50> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> <I>Gv</I>; & <I>GvP</I> ad <I>Qv quad.</I> ut <I>PCq.</I> ad <I>CDq</I>; & (per Corol. 2. Lem. VII.) <I>Qv quad.</I> ad <I>Qx quad.</I> punctis <I>Q</I> & <I>P</I> coeuntibus fit ratio æqualitatis; & <I>Qx quad.</I> $eu <I>Qv quad.</I> e$t ad <I>QTq.</I> ut <I>EPq.</I> ad <I>PFq,</I> id e$t ut <I>CAq,</I> ad <I>PFq,</I> $ive (per Lem. XII.) ut <I>CDq,</I> ad <I>CBq:</I> & conjunctis his omnibus rationibus <I>LXQR</I> fit ad <I>QTq.</I> ut <I>ACXLXPCqXCDq</I> $eu 2<I>CBqXPCqXCDq</I> ad <I>PCXGvXCDqXCB quad.</I> $ive ut 2<I>PC</I> ad <I>Gv.</I> Sed punctis <I>P</I> & <I>Q</I> cocuntibus æquantur 2<I>PC</I> & <I>Gv.</I> Ergo & his propor- tionalia <I>LXQR</I> & <I>QTq.</I> æquantur. Ducantur hæc æqualia in (<I>SPq/QR</I>). & fiet <I>LXSPq.</I> æquale (<I>SPqXQTq/QR</I>). Ergo (per Corol. I <FIG> & 5 Prop. VI.) vis centripeta reciproce e$t ut <I>LXSPq,</I> id e$t reciproce in ratione duplicata di$tantiæ <I>SP. Q. E. I.</I> <pb n=51> <MARG>LIBER PRIMUS.</MARG> <C><I>Idem aliter.</I></C> <p>Inveniatur vis quæ tendit ab Hyperbolæ centro <I>C.</I> Prodibit hæc di$tantiæ <I>CP</I> proportionalis. Inde vero (per Corol. 3 Prop. VII.) vis ad umbilicum <I>S</I> tendens erit ut (<I>PEcub/SPq</I>), hoc e$t, ob datam <I>PE,</I> reciproce ut <I>SPq. Q.E.I.</I> <p>Eodem modo demon$tratur quod corpus, hac vi centripeta in centrifugam ver$a, movebitur in Hyperbola conjugata. <C>LEMMA XIII.</C> <p><I>Latus rectum Parabolæ ad verticem quemvis pertinens, e$t quadru- plum di$tantiæ verticis illius ab umbilico figuræ.</I> Patet ex Conicis. <C>LEMMA XIV.</C> <p><I>Perpendiculum quod ab umbilico Parabolæ ad tangentem ejus demitti- tur, medium e$t proportionale inter di$tantias umbilici a puncto con- tactus & a vertice principali figuræ.</I> <p>Sit enim <I>AQP</I> Parabola, <I>S</I> umbilicus ejus, <I>A</I> vertex principa- lis <I>P</I> punctum <FIG> contactus, <I>PO</I> ordinatim ap- plicata ad dia- metrum prin- cipalem, <I>PM</I> tangens dia- metro princi- pali occurrens in <I>M,</I> & <I>SN,</I> linea perpen- dicularis ab umbilico in tangentem. Jungatur <I>AN,</I> & ob æquales <I>MS</I> & <I>SP, MN</I> & <I>NP, MA</I> & <I>AO,</I> parallelæ erunt rectæ <I>AN</I> & <I>OP,</I> & inde triangulum <I>SAN</I> rectangulum erit ad <I>A</I> & $imile triangulis æqualibus <I>SNM, SNP:</I> Ergo <I>PS</I> e$t ad <I>SN,</I> ut <I>SN</I> ad <I>SA. Q.E.D.</I> <p><I>Corol.</I> 1. <I>PSq.</I> e$t ad <I>SNq.</I> ut <I>PS</I> ad <I>SA.</I> <p><I>Corol.</I> 2. Et ob datam <I>SA,</I> e$t <I>SNq.</I> ut <I>PS.</I> <pb n=52> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> <p><I>Corol.</I> 3. Et concur$us tangentis cuju$vis <I>PM</I> cum recta <I>SN,</I> quæ ab umbilico in ip$am perpendicularis e$t, incidit in rectam <I>AN,</I> quæ Parabolam tangit in vertice principali. <C>PROPOSITIO. XIII. PROBLEMA VIII.</C> <C><I>Moveatur corpus in perimetro Parabolæ: requiritur Lex vis centri- petæ tendentis ad umbilicum hujus figuræ.</I></C> <p>Maneat con$tructio Lemmatis, $itque <I>P</I> corpus in perimetro Pa- rabolæ, & a loco <I>Q</I> in quem corpus proxime movetur, age ip$i <I>SP</I> parallelam <I>QR</I> & perpendicularem <I>QT,</I> necnon <I>Qv</I> tangenti pa- rallelam & occurrentem tum diametro <I>YPG</I> in <I>v,</I> tum di$tantiæ <I>SP</I> in <I>x.</I> Jam ob $imilia triangula <I>Pxv, SPM</I> & æqualia unius latera <I>SM, SP,</I> æqualia $unt alterius latera <I>Px</I> $eu <I>QR</I> & <I>Pv.</I> Sed, ex Conicis, quadratum ordinatæ <I>Qv</I> æquale e$t rectangulo $ub latere recto & $egmento diametri <I>Pv,</I> id e$t (per Lem. XIII.) rectangu- lo 4 <I>PSXPv,</I> $eu 4 <I>PSXQR</I>; & punctis <I>P</I> & <I>Q</I> coeuntibus, ra- tio <I>Qv</I> ad <I>Qx</I> per (per Corol. 2 Lem. VII.) fit ratio æqualitatis. Er- go <I>Qxquad.</I> eo <FIG> in ca$u, æquale e$t rectangu- lo 4 <I>PSXQR.</I> E$t autem (ob $imilia trian- gula <I>QxT, SPN) Qxq.</I> ad <I>QTq.</I> ut <I>PSq.</I> ad <I>SNq.</I> hoc e$t (per Corol. 1. Lem. XIV.) ut <I>PS</I> ad <I>SA,</I> id e$t ut 4 <I>PSXQR</I> ad 4<I>SAXQR,</I> & inde (per Prop. IX. Lib. v. Elem.) <I>QTq.</I> & 4<I>SAXQR</I> æquantur. Ducantur hæc æqualia in (<I>SPq./QR</I>), & fiet (<I>SPq.XQTq./QR</I>) æquale <I>SPq.X4SA:</I> & propterea (per Corol. 1 & 5 Prop. VI.) vis centripeta e$t reciproce ut <I>SPq.X4SA,</I> id e$t, ob da- tam 4<I>SA,</I> reciproce in duplicata ratione di$tantiæ <I>SP. Q.E.I.</I> <pb n=53> <p><I>Corol.</I> 1. Ex tribus novi$$imis Propo$itionibus con$equens e$t, quod <MARG>LIBER PRIMUS.</MARG> $i corpus quodvis <I>P,</I> $ecundum lineam quamvis rectam <I>PR,</I> qua- cunque cum velocitate exeat de loco <I>P,</I> & vi centripeta quæ $it re- ciproce proportionalis quadrato di$tantiæ locorum a centro, $imul agitetur; movebitur hoc corpus in aliqua $ectionum Conicarum umbilicum habente in centro virium; & contra. Nam datis umbi- lico & puncto contactus & po$itione tangentis, de$cribi pote$t $ectio Conica quæ curvaturam datam ad punctum illud habebit. Datur autem curvatura ex data vi centripeta: & Orbes duo $e mutuo tan- gentes, eadem vi centripeta de$cribi non po$$unt. <p><I>Corol.</I> 2. Si velocitas, quacum corpus exit de loco $uo <I>P,</I> ea $it, qua lineola <I>PR</I> in minima aliqua temporis particula de$cribi po$$it, & vis centripeta potis $it eodem tempore corpus idem mo- vere per $patium <I>QR:</I> movebitur hoc corpus in Conica aliqua $e- ctione, cujus latus rectum principale e$t quantitas illa (<I>QTq./QR</I>) quæ ultimo fit ubi lineolæ <I>PR, QR</I> in infinitum diminuuntur. Circu- lum in his Corollariis refero ad Ellip$in, & ca$um excipio ubi cor- pus recta de$cendit ad centrum. <C>PROPOSITIO XIV. THEOREMA VI.</C> <p><I>Si corpora plura revolvantur circa centrum commune, & vis centri- peta $it reciproce in duplicata ratione di$tantiæ locorum a centro; dico quod Orbium Latera recta principalia $unt in duplicata ratio- one arearum quas corpora, radiis ad centrum ductis, eodem tempore de$cribunt.</I> <p>Nam, per Corol. 2. Prop. XIII, Latus rectum <I>L</I> æquale e$t quan- titati (<I>QTq./QR</I>) quæ ultimo fit ubi coeunt puncta <I>P</I> & <I>Q.</I> Sed linea minima <I>QR,</I> dato tempore, e$t ut vis centripeta generans, hoc e$t (per Hypothe$in) reciproce ut <I>SPq.</I> Ergo (<I>QTq./QR</I>) e$t ut <I>QTq.XSPq.</I> hoc e$t, latus rectum <I>L</I> in duplicata ratione areæ <I>QTXSP. Q.E.D.</I> <pb n=54> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> <p><I>Corol.</I> Hinc Ellip$eos area tota, eique proportionale rectangu- lum $ub axibus, e$t in ratione compo$ita ex $ubduplicata ratione lateris recti & ratione temporis periodici. Namque area tota e$t ut area <I>QTXSP,</I> quæ dato tempore de$cribitur, ducta in &c. ducta in tempus periodicum. <C>PROPOSITIO XV. THEOREMA VII.</C> <C><I>Ii$dem po$itis, dico quod Tempora periodica in Ellip$ibus $unt in ratione $e$quiplicata majorum axium.</I></C> <p>Namque axis minor e$t medius proportionalis inter axem majo- rem & latus rectum, atque adeo rectangulum $ub axibus e$t in ra- tione compo$ita ex $ubduplicata ratione lateris recti & $e$quiplicata ratione axis majoris. Sed hoc rectangulum, per Corollarium Prop. XIV. e$t in ratione compo$ita ex $ubduplicata ratione lateris recti & ratione periodici temporis. Dematur utrobique $ubduplicata ratio lateris recti, & manebit $e$quiplicata ratio majoris axis æqua- lis rationi periodici temporis. <I>Q.E.D.</I> <p><I>Corol.</I> Sunt igitur tempora periodica in Ellip$ibus eadem ac in Circulis, quorum diametri æquantur majoribus axibus Ellip$eon. <C>PROPOSITIO XVI. THEOREMA VIII.</C> <p><I>Ii$dem po$itis, & actis ad corpora lineis rectis, quæ ibidem tangant Or- bitas, demi$$i$que ab umbilico communi ad has tangentes perpendi- cularibus: dico quod Velocitates corporum $unt in ratione compo$i- ta ex ratione perpendiculorum inver$e & $ubduplicata ratione la- terum rectorum principalium directe.</I> <p>Ab umbilico <I>S</I> ad tangentem <I>PR</I> demitte perpendiculum <I>SY</I> & velocitas corporis <I>P</I> erit reciproce in $ubduplicata ratione quan- titatis (<I>SYq/L</I>). Nam velocitas illa e$t ut arcus quam minimus <I>PQ</I> in data temporis particula de$criptus, hoc e$t (per Lem. VII.) ut tangens <I>PR,</I> id e$t (ob proportionales <I>PR</I> ad <I>QT</I> & <I>SP</I> ad <I>SY</I>) ut (<I>SPXQT/SY</I>), $ive ut <I>SY</I> reciproce & <I>SPXQT</I> directe; e$tque <pb n=55> <I>SPXQT</I> ut area dato tempore de$cripta, id e$t, per Prop. XIV. <MARG>LIBER PRIMUS.</MARG> in $ubduplicata ratione lateris recti. <I>Q.E.D.</I> <FIG> <p><I>Corol.</I> 1. Latera recta principalia $unt in ratione compo$ita ex duplicata ratione perpendiculorum & duplicata ratione veloci- tatum. <p><I>Corol.</I> 2. Velocitates corporum in maximis & minimis ab umbi- lico communi di$tantiis, $unt in ratione compo$ita ex ratione di- $tantiarum inver$e & $ubduplicata ratione laterum rectorum princi- palium directe. Nam perpendicula jam $unt ip$æ di$tantiæ. <p><I>Corol.</I> 3. Ideoque velocitas in Conica $ectione, in maxima vel minima ab umbilico di$tantia, e$t ad velocitatem in Circulo in ea- dem à centro di$tantia, in $ubduplicata ratione lateris recti princi- palis ad duplam illam di$tantiam. <p><I>Corol.</I> 4. Corporum in Ellip$ibus gyrantium velocitates in medi- ocribus di$tantus ab umbilico communi $unt eædem quæ corporum gyrantium in Circulis ad ea$dem di$tantias; hoc e$t (per Corol 6. Prop. IV.) reciproce in $ubduplicata ratione di$tantiarum. Nam perpendicula jam $unt $emi-axes minores; & hi $unt ut mediæ proportionales inter di$tantias & latera recta. Componatur hæc ratio inver$e cum $ubduplicata ratione laterum rectorum directe, & fiet ratio $ubduplicata di$tantiarum inver$e. <p><I>Corol.</I> 5. In eadem figura, vel etiam in figuris diver$is, quarum <pb n=56> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> latera recta principalia $unt æqualia, velocitas corporis e$t reciproce ut perpendiculum demi$$um ab umbilico ad tangentem. <p><I>Corol.</I> 6. In Parabola, velocitas e$t reciproce in $ubduplicata ra- tione di$tantiæ corporis ab umbilico figuræ; in Ellip$i magis varia- <*>ur, in Hyperbola minus, quam in hac ratione. Nam (per Corol. 2. Lem. XIV.) perpendiculum demi$$um ab umbilico ad tangentem Parabolæ e$t in $ubduplicata ratione di$tantiæ. In Hyperbola per- pendiculum minus variatur, in Ellip$i magis. <p><I>Corol.</I> 7. In Parabola, velocitas corporis ad quamvis ab umbili- co di$tantiam, e$t ad velocitatem corporis revolventis in Circulo ad eandem a centro di$tantiam, in $ubduplicata ratione numeri bi- narii ad unitatem; in Ellip$i minor e$t, in Hyperbola major quam in hac ratione. Nam per hujus Corollarium $ecundum, velocitas in vertice Parabolæ e$t in hac ratione, & per Corollaria $exta hu- jus & Propo$itionis quartæ, $ervatur eadem proportio in omnibus di$tantiis. Hinc etiam in Parabola velocitas ubique æqualis e$t ve- locitati corporis revolventis in Circulo ad dimidiam di$tantiam, in Ellip$i minor e$t, in Hyperbola major. <p><I>Corol.</I> 8. Velocitas gyrantis in Sectione quavis Conica e$t ad ve- locitatem gyrantis in Circulo in di$tantia dimidii lateris recti princi- palis Sectionis, ut di$tantia illa ad perpendiculum ab umbilico in tangentem Sectionis demi$$um. Patet per Corollarium quintum. <p><I>Corol.</I> 9. Unde cum (per Corol. 6. Prop. IV.) velocitas gyrantis in hoc Circulo $it ad velocitatem gyrantis in Circulo quovis alio, reciproce in $ubduplicata ratione di$tantiarum; fiet ex æquo velo- citas gyrantis in Conica $ectione ad velocitatem gyrantis in Circulo in eadem di$tantia, ut media proportionalis inter di$tantiam illam communem & $emi$$em principalis lateris recti $ectionis, ad per- pendiculum ab umbilico communi in tangentem $ectionis de- mi$$um. <C>PROPOSITIO XVII. PROBLEMA. IX.</C> <p><I>Po$ito quod vis centripeta $it reciproce proportionalis quadrato di$tan- $tantiæ locorum a centro, & quod vis illius quantitas ab$oluta $it cognita; requiritur Linea quam corpus de$cribit, de loco dato, cum data velocitate, $ecundum datam rectam egrediens.</I> <p>Vis centripeta tendens ad punctum <I>S</I> ea $it qua corpus <I>p</I> in or- bita quavis data <I>pq</I> gyretur, & cogno$catur hujus velocitas in loco <I>p.</I> <pb n=57> De loco <I>P,</I> $ecundum lineam <I>PR,</I> exeat corpus <I>P,</I> cum data velo- <MARG>LIBER PRIMUS.</MARG> citate, & mox inde, cogente vi centripeta, deflectat illud in Coni- $ectionem <I>PQ.</I> Hanc igitur recta <I>PR</I> tanget in <I>P.</I> Tangat itidem recta aliqua <I>pr</I> Orbitam <I>pq</I> in <I>p,</I> & $i ab <I>S</I> ad eas tangentes demitti intelligantur perpendicula, erit (per Corol. 1. Prop. XVI.) latus re- ctum principale Coni$ectionis ad latus rectum principale Orbitæ, in ratione compo$ita ex duplicata ratione perpendiculorum & dupli- cata ratione velocitatum, atque adeo datur. Sit i$tud <I>L.</I> Da- tur præterea Coni$e- <FIG> ctionis umbilicus <I>S.</I> Anguli <I>RPS</I> com- plementum ad du- os rectos fiat angu- lus <I>RPH,</I> & dabi- tur po$itione linea <I>PH,</I> in qua umbilicus alter <I>H</I> locatur. De- mi$$o ad <I>PH</I> perpen- diculo <I>SK,</I> erigi intelligatur $emiaxis conjugatus <I>BC,</I> & erit <I>SPq.-2KPH+PHq.=SHq.=4CHq.=4BHq-4BCq.= ―SP+PH: quad. - LX―SP+PH=SPq.+2SPH+PHq. -LX―SP+PH.</I> Addantur utrobique 2<I>KPH-SPq-PHq +LX―SP+PH,</I> & fiet <I>LX―SP+PH=2SPH+2KPH,</I> $eu <I>SP+PH,</I> ad <I>PH,</I> ut 2<I>SP+2KP</I> ad <I>L.</I> Unde datur <I>PH</I> tam longitudine quam po$itione. Nimirum $i ea fit corporis &c. in <I>P</I> velocitas, ut latus rectum <I>L</I> minus fuerit quam 2 <I>SP+2KP,</I> jacebit <I>PH</I> ad eandem partem tangentis <I>PR</I> cum linea <I>PS,</I> adeoque figura erit Ellip$is, & ex datis umbilicis <I>S, H,</I> & axe principali <I>SP+PH,</I> dabitur: Sin tanta $it corporis velocitas ut latus rectum <I>L</I> æquale fuerit 2 <I>SP+2KP,</I> longitudo <I>PH</I> infi- nita erit, & propterea figura erit Parabola axem habens <I>SH</I> paral- lelum lineæ <I>PK,</I> & inde dabitur. Quod $i corpus majori adhuc cum velocitate de loco $uo <I>P</I> exeat, capienda erit longitudo <I>PH</I> ad alteram partem tangentis, adeoque tangente inter umbilicos per- gente, figura erit Hyperbola axem habens principalem æqualem dif- ferentiæ linearum <I>SP</I> & <I>PH,</I> & inde dabitur. <I>Q.E.I.</I> <p><I>Corol.</I> 1. Hinc in omni Coni$ectione ex dato vertice principali <I>D,</I> latere recto <I>L,</I> & umbilico <I>S,</I> datur umbilicus alter <I>H</I> capiendo <I>DH,</I> ad <I>DS</I> ut e$t latus rectum ad differentiam inter latus rectum & 4 <I>DS.</I> Nam proportio <I>SP+PH</I> ad <I>PH</I> ut 2 <I>SP+2KP</I> ad <I>L,</I> <pb n=58> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> in ca$u hujus Corollarii, $it <I>DS+DH</I> ad <I>DH</I> ut 4 <I>DS</I> ad <I>L,</I> & divi$im <I>DS</I> ad <I>DH</I> ut 4 <I>DS-L</I> ad <I>L.</I> <p><I>Corol.</I> 2. Unde $i datur corporis velocitas in vertice principali <I>D,</I> invenietur Orbita expedite, capiendo $cilicet latus rectum ejus, ad duplam di$tantiam <I>DS,</I> in duplicata ratione velocitatis hujus datæ ad velocitatem corporis in Circulo, ad di$tantiam <I>DS,</I> gyrantis (per Corol. 3. Prop. XVI.) dein <I>DH</I> ad <I>DS</I> ut latus rectum ad differen- tiam inter latus rectum & 4 <I>DS.</I> <p><I>Corol.</I> 3. Hinc etiam $i corpus moveatur in Sectione quacunque Conica, & ex Orbe $uo impul$u quocunque exturbetur; cogno$ci pote$t Orbis in quo po$tea cur$um $uum peraget. Nam componen- do proprium corporis motum cum motu illo quem impul$us $olus generaret, habebitur motus quocum corpus de dato impul$us loco, $ecundum rectam po$itione datam, exibit. <p><I>Corol.</I> 4. Et $i corpus illud vi aliqua extrin$ecus impre$$a conti- nuo perturbetur, innote$cet cur$us quam proxime, colligendo mu- tationes quas vis illa in punctis quibu$dam inducit, & ex $eriei ana- logia mutationes continuas in locis intermediis æ$timando. <C><I>Scholium.</I></C> <p>Si corpus <I>P</I> vi centripeta ad <FIG> punctum quodcunque datum <I>R</I> tendente moveatur in perimetro datæ cuju$cunque Sectionis co- nicæ cujus centrum $it <I>C,</I> & re- quiratur Lex vis centripetæ: du- catur <I>CG</I> radio <I>RP</I> paralle- la, & Orbis tangenti <I>PG</I> oc- currens in <I>G</I>; & vis illa (per Corol. 1 & Schol. Prop. X, & Corol. 3 Prop. VII.) erit ut (<I>CG cub./RP quad.</I>) <pb n=59> <MARG>LIBER PRIMUS.</MARG> <C>SECTIO IV.</C> <C><I>De Inventione Orbium Ellipticorum, Parabolicorum & Hyperbolico- rum ex umbilico dato.</I></C> <C>LEMMA XV.</C> <p><I>Si ab Ellip$eos vel Hyperbolæ cuju$vis umbilicis duobus</I> S, H, <I>ad punctum quodvis tertium</I> V <I>inflectantur rectæ duæ</I> SV, HV, <I>quarum una</I> HV <I>æqualis $it axi principali figuræ, altera</I> SV <I>a perpendiculo</I> TR <I>in $e demi$$o bi-</I> <FIG> <I>$ecetur in</I> T; <I>perpendiculum illud</I> TR <I>$ectionem Conicam alicubi tan- get: & contra, $i tangit, erit</I> HV <I>æqualis axi principali figuræ.</I> <p>Secet enim perpendiculum <I>TR</I> re- ctam <I>HV</I> productam, $i opus fuerit, in <I>R</I>; & jungatur <I>SR.</I> Ob æquales <I>TS, TV,</I> æquales erunt & rectæ <I>SR, VR</I> & anguli <I>TRS, TRV.</I> Unde punctum <I>R</I> erit ad Sectionem Conicam, & perpendiculum <I>TR</I> tanget eandem: & contra. <I>Q.E.D.</I> <C>PROPOSITIO XVIII. PROBLEMA X.</C> <p><I>Datis umbilico & axibus principalibus de$cribere Trajectorias Ellipti- cas & Hyperbolicas, quæ tran$ibunt per puncta data, & rectas po- $itione datas contingent.</I> <p>Sit <I>S</I> communis umbilicus figurarum; <I>AB</I> longitudo axis prin- cipalis Trajectoriæ cuju$vis; <I>P</I> punctum per quod Trajectoria de- bet tran$ire; & <I>TR</I> recta quam debet tangere. Centro <I>P</I> inter- vallo <I>AB-SP,</I> $i orbita $it Ellip$is, vel <I>AB+SP,</I> $i ea $it Hy- perbola, de$cribatur circulus <I>HG.</I> Ad tangentem <I>TR</I> demittatur perpendiculum <I>ST,</I> & producatur idem ad <I>V,</I> ut $it <I>TV</I> æqualis <I>ST</I>; centroque <I>V</I> & intervallo <I>AB</I> de$cribatur circulus <I>FH.</I> Hac <pb n=60> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> methodo $ive dentur duo puncta <I>P, p,</I> $ive duæ tangentes <I>TR, tr,</I> $ive punctum <I>P</I> & tangens <FIG> <I>TR,</I> de$cribendi $unt circuli duo. Sit <I>H</I> eorum inter$ectio com- munis, & umbilicis <I>S, H,</I> axe illo dato de$cribatur Trajectoria. Dico factum. Nam Trajecto- ctoria de$cripta (eo quod <I>PH +SP</I> in Ellip$i, & <I>PH-SP</I> in Hyperbola æquatur axi) tran$ibit per punctum <I>P,</I> & (per Lemma $uperius) tanget rectam <I>TR.</I> Et eodem argu- mento vel tran$ibit eadem per puncta duo <I>P, p,</I> vel tanget re- ctas duas <I>TR, tr. Q.E.F.</I> <C>PROPOSITIO XIX. PROBLEMA XI.</C> <C><I>Circa datum umbilicum Trajectoriam Parabolicam de$cribere, quæ tran$ibit per puncta data, & rectas po$itione datas continget.</I></C> <p>Sit <I>S</I> umbilicus, <I>P</I> punctum & <I>TR</I> tangens Trajectoriæ de$cri- bendæ. Centro <I>P,</I> intervallo <I>PS</I> de$cribe cir- <FIG> culum <I>FG.</I> Ab umbilico ad tangentem demit- te perpendicularem <I>ST,</I> & produc eam ad <I>V,</I> ut $it <I>TV</I> æqualis <I>ST.</I> Eodem modo de$cri- bendus e$t alter circulus <I>fg,</I> $i datur alterum punctum <I>p</I>; vel inveniendum alterum punctum <I>v,</I> $i datur altera tangens <I>tr</I>; dein ducenda re- <*>a <I>IF</I> quæ tangat duos circulos <I>FG, fg</I> $i dantur duo puncta <I>P, p,</I> vel tran$eat per duo puncta <I>V, v,</I> $i dantur duæ tangentes <I>TR, tr,</I> vel tangat circulum <I>FG</I> & tran$eat per punctum <I>V,</I> $i datur punctum <I>P</I> & tangens <I>TR.</I> Ad <I>FI</I> demitte perpendicula- rem <I>SI,</I> eamque bi$eca in <I>K</I>; & axe <I>SK,</I> vertice principali <I>K</I> de- $cribatur Parabola. Dico factum. Nam Parabola, ob æquales <I>SK</I> & <I>IK, SP</I> & <I>FP,</I> tran$ibit per punctum <I>P</I>; & (per Lem- matis XIV. Corol. 3.) ob æquales <I>ST</I> & <I>TV</I> & angulum rectum <I>STR,</I> tanget rectam <I>TR. Q.E.F.</I> <pb n=61> <MARG>LIBER PRIMUS.</MARG> <C>PROPOSITIO XX. PROBLEMA XII.</C> <p><I>Circa datum umbilicum Trajectoriam quamvis $pecie datam de$cribe- re, quæ per data puncta tran$ibit & rectas tanget pofitione datas.</I> <p><I>Cas.</I> 1. Dato umbilico <I>S,</I> de$cribenda $it Trajectoria <I>ABC</I> per puncta duo <I>B, C.</I> Quoniam Trajectoria datur $pecie, dabitur ra- tio axis principalis ad di$tantiam <FIG> umbilicorum. In ea ratione cape <I>KB</I> ad <I>BS,</I> & <I>LC</I> ad <I>CS.</I> Cen- tris <I>B, C,</I> intervallis <I>BK, CL,</I> de- $cribe circulos duos, & ad rectam <I>KL,</I> quæ tangat eo$dem in <I>K</I> & <I>L,</I> demitte perpendiculum <I>SG,</I> idemque $eca in <I>A</I> & <I>a,</I> ita ut $it <I>GA</I> ad <I>AS</I> & <I>Ga</I> ad <I>aS,</I> ut e$t <I>KB</I> ad <I>BS,</I> & axe &c. <I>Aa,</I> verticibus <I>A, a,</I> de$cribatur Trajectoria. Dico factum. Sit enim <I>H</I> umbilicus alter Figuræ de$criptæ, & cum $it <I>GA</I> ad <I>AS</I> ut <I>Ga</I> ad <I>aS,</I> erit di- vi$im <I>Ga-GA</I> $eu <I>Aa</I> ad <I>aS-AS</I> $eu <I>SH</I> in eadem &c. ratione, adeoque in ratione quam habet axis principalis Figuræ de$cribendæ ad di$tantiam umbilicorum ejus; & propterea Figura de$cripta e$t eju$dem $peciei cum de$cribenda. Cumque $int <I>KB</I> ad <I>BS</I> & <I>LC</I> ad <I>CS</I> in eadem ratione, tran$ibit hæc Figura per puncta <I>B, C,</I> ut ex Conicis manife$tum e$t. <p><I>Cas.</I> 2. Dato umbilico <I>S,</I> de$cribenda $it Trajectoria quæ rectas duas <I>TR, tr</I> alicubi contingat. Ab umbilico in tangentes demitte perpendicula <I>ST, St</I> & produc ea- <FIG> dem ad <I>V, v,</I> ut $int <I>TV, tv</I> æ- quales <I>TS, tS.</I> Bi$eca <I>Vv</I> in <I>O,</I> & erige perpendiculum infinitum <I>OH,</I> rectamque <I>VS</I> infinite pro- ductam $eca in <I>K</I> & <I>k</I> ita, ut $it <I>VK</I> ad <I>KS</I> & <I>Vk</I> ad <I>kS</I> ut e$t Trajectoriæ de$cribendæ axis prin- cipalis ad umbilicorum di$tantiam. Super diametro <I>Kk</I> de$cribatur circulus $ecans <I>OH</I> in <I>H</I>; & umbilicis <I>S, H,</I> axe principali ip$am <I>VH</I> æquante, de$cribatur Trajectoria. Dico factum. Nam bi$eca <I>Kk</I> in <I>X,</I> & junge <I>HX, HS, HV, Hv.</I> Quoniam e$t <I>VK</I> ad <I>KS</I> ut <I>Vk</I> ad <I>kS</I>; & compofite ut <I>VK+Vk</I> ad <I>KS+kS</I>; divi$imque <pb n=62> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> ut <I>Vk-VK</I> ad <I>kS-KS,</I> id e$t ut 2 <I>VX</I> ad 2 <I>KX</I> & 2 <I>KX</I> ad 2 <I>SX,</I> adeoque ut <I>VX</I> ad <I>HX</I> & <I>HX</I> ad <I>SX,</I> $imilia erunt tri- angula <I>VXH, HXS,</I> & propterea <I>VH</I> erit ad <I>SH</I> ut <I>VX</I> ad <I>XH,</I> adeoque ut <I>VK</I> ad <I>KS.</I> Habet igitur Trajectoriæ de$criptæ axis principalis <I>VH</I> eam rationem ad ip$ius umbilicorum di$tantiam <I>SH,</I> quam habet Trajectoriæ de$cribendæ axis principalis ad ip$ius um- bilicorum di$tantiam, & propterea eju$dem e$t $peciei. In$uper cum <I>VH, vH</I> æquentur axi principali, & <I>VS, vS</I> a rectis <I>TR, tr</I> perpendiculariter bi$ecentur, liquet, ex Lemmate XV, rectas illas Trajectoriam de$criptam tangere. <I>Q.E.F.</I> <p><I>Cas.</I> 3. Dato umbilico <I>S</I> de$cribenda $it Trajectoria quæ rect- am <I>TR</I> tanget in puncto dato <I>R.</I> In rectam <I>TR</I> demitte perpen- dicularem <I>ST,</I> & produc eandem ad <I>V,</I> ut $it <I>TV</I> æqualis <I>ST.</I> Junge <I>VR,</I> & rectam <I>VS</I> infinite productam $eca in <I>K</I> & <I>k,</I> ita ut $it <I>VK</I> ad <I>SK</I> & <I>Vk</I> ad <I>Sk</I> ut Ellip$eos de$cribendæ axis principalis ad di$tantiam umbilicorum; circuloque $uper diametro <I>Kk</I> de- $cripto, $ecetur producta recta <I>VR</I> in <I>H,</I> & umbilicis <I>S, H,</I> axe principali rectam <I>VH</I> æquante, de$cribatur Trajectoria. Dico fa- ctum. Namque <I>VH</I> e$$e ad <FIG> <I>SH</I> ut <I>VK</I> ad <I>SK,</I> atque adeo ut axis principalis Trajectoriæ de$cribendæ ad di$tantiam um- bilicorum ejus, patet ex demon- $lratis in Ca$u $ecundo, & prop- terea Trajectoriam de$criptam eju$dem e$$e $peciei cum de$cri- benda; rectam vero <I>TR</I> qua an- gulus <I>VRS</I> bi$ecatur, tangere Trajectoriam in puncto <I>R,</I> patet ex Conicis. <I>Q.E.F.</I> <p><I>Cas.</I> 4. Circa umbilicum <I>S</I> de$cribenda jam $it Trajectoria <I>APB,</I> quæ tangat rectam <I>TR,</I> tran$eatque per punctum quodvis <I>P</I> extra tangentem datum, quæque $imilis $it Figuræ <I>apb,</I> axe principali <I>ab</I> & umbilicis <I>s, h</I> de$criptæ. In tangentem <I>TR</I> demitte per- pendiculum <I>ST,</I> & produc idem ad <I>V,</I> ut $it <I>TV</I> æqualis <I>ST.</I> An- gulis autem <I>VSP, SVP</I> fac angulos <I>hsq, shq</I> æquales; cen- troque <I>q</I> & intervallo quod $it ad <I>ab</I> ut <I>SP</I> ad <I>VS</I> de$cribe circu- lum $ecantem Figuram <I>apb</I> in <I>p.</I> Junge <I>sp</I> & age <I>SH</I> quæ $it ad <I>sh</I> ut e$t <I>SP</I> ad <I>sp,</I> quæque angulum <I>PSH</I> angulo <I>psh</I> & angulum <I>VSH</I> angulo <I>psq</I> æquales con$tituat. Denique umbilicis <I>S, H,</I> & axe principali <I>AB</I> di$tantiam <I>VH</I> æquante, de$cribatur $ectio Conica. Dico factum. Nam $i agatur <I>sv</I> quæ $it ad <I>sp</I> ut e$t <I>sh</I> <pb n=63> ad <I>sq,</I> quæque con$tituat angulum <I>vsp</I> angulo <I>hsq</I> & angulum <MARG>LIBER PRIMUS.</MARG> <I>vsh</I> angulo <I>psq</I> æquales, triangula <I>svh, spq</I> erunt $imilia, & prop- terea <I>vh</I> erit ad <I>pq</I> ut e$t <I>sh</I> ad <I>sq,</I> id e$t (ob $imilia triangula <FIG> <I>VSP, hsq</I>) ut e$t <I>VS</I> ad <I>SP</I> $eu <I>ab</I> ad <I>pq.</I> Æquantur ergo <I>vh</I> & <I>ab.</I> Porro ob $imilia triangula <I>VSH. vsh,</I> e$t <I>VH</I> ad <I>SH</I> ut <I>vh</I> ad <I>sh,</I> id e$t, axis Conicæ $ectionis jam de$criptæ ad illius umbilicorum intervallum, ut axis <I>ab</I> ad umbilicorum inter- vallum <I>sh</I>; & propterea Figura jam de$eripta $imilis e$t Figuræ <I>apb.</I> Tran$it autem hæc Figura per punctum <I>P,</I> eo quod trian- gulum <I>PSH</I> $imile $it triangulo <I>psh</I>; & quia <I>VH</I> æquatur ip$ius axi & <I>VS</I> bi$ecatur perpendiculariter a recta <I>TR,</I> tangit eadem rectam <I>TR. Q.E.F.</I> <C>LEMMA XVI.</C> <C><I>A datis tribus punctis ad quartum non datum inflectere tres rectas quarum differentiæ vel dantur vel nullæ $unt.</I></C> <p><I>Cas.</I> 1. Sunto puncta illa data <I>A, B, C</I> & punctum quartum <I>Z,</I> quod invenire oportet; Ob datam differentiam linearum <I>AZ, BZ,</I> locabitur punctum <I>Z</I> in Hyperbola cujus umbilici $unt <I>A</I> & <I>B,</I> & principalis axis differentia illa data. Sit axis ille <I>MN.</I> Cape <I>PM.</I> <pb n=64> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> ad <I>MA</I> ut e$t <I>MN</I> ad <I>AB,</I> & erecta <I>PR</I> perpendiculari ad <I>AB,</I> demi$$aque <I>ZR</I> perpendiculari ad <I>PR</I>; erit, ex natura hujus Hy- perbolæ, <I>ZR</I> ad <I>AZ</I> ut e$t <I>MN</I> ad <I>AB.</I> Simili di$cur$u punctum <I>Z</I> locabitur in alia Hyperbola, cujus umbilici $unt <I>A, C</I> & princi- palis axis differentia inter <I>AZ</I> & <I>CZ,</I> ducique pote$t <I>QS</I> ip$i <I>AC</I> perpendicularis, ad quam $i ab Hyperbolæ hujus puncto quovis <I>Z</I> demittatur normalis <I>ZS,</I> hæc fuerit ad <I>AZ</I> ut e$t differentia inter <I>AZ</I> & <I>CZ</I> ad <I>AC.</I> Dantur ergo rationes ip$arum <I>ZR</I> & <I>ZS</I> ad <I>AZ,</I> & idcirco datur earun- <FIG> dem <I>ZR</I> & <I>ZS</I> ratio ad invicem; ideoque $i rectæ <I>RP, SQ</I> concur- rant in <I>T,</I> & agatur <I>TZ,</I> figura <I>TRZS,</I> dabitur $pecie, & recta <I>TZ</I> in qua punctum <I>Z</I> alicubi lo- catur, dabitur po$itione. Eadem methodo per Hyperbolam ter- tiam, cujus umbilici $unt <I>B</I> & <I>C</I> & axis principalis differentia re- ctarum <I>BZ, CZ,</I> inveniri pote$t alia recta in qua pũctum <I>Z</I> locatur. Habitis autem duobus Locis recti- lineis, habetur punctum quæ$itum <I>Z</I> in eorum inter$ectione. <I>Q.E.I.</I> <p><I>Cas.</I> 2. Si duæ ex tribus lineis, puta <I>AZ</I> & <I>BZ</I> æquantur, pun- ctum <I>Z</I> locabitur in perpendiculo bi$ecante di$tantiam <I>AB,</I> & lo- cus alius rectilineus invenietur ut $upra. <I>Q.E.I.</I> <p><I>Cas.</I> 3. Si omnes tres æquantur, locabitur punctum <I>Z</I> in centro Circuli per puncta <I>A, B, C</I> tran$euntis. <I>Q.E.I.</I> <p>Solvitur etiam hoc Lemma problematicum per Librum Tactio- num <I>Apollonii</I> a <I>Vieta</I> re$titutum. <C>PROPOSITIO XXI. PROBLEMA XIII.</C> <C><I>Trajectoriam circa datum umbilicum de$cribere, quæ tran$ibit per puncta data & rectas po$itione datas continget.</I></C> <p>Detur umbilicus <I>S,</I> punctum <I>P,</I> & tangens <I>TR,</I> & invenien- dus $it umbilicus alter <I>H.</I> Ad tangentem demitte perpendiculum <I>ST,</I> & produc idem ad <I>Y,</I> ut $it <I>TY</I> æqualis <I>ST,</I> & erit <I>YH</I> æ- qualis axi principali. Junge <I>SP, HP,</I> & erit <I>SP</I> differentia inter <I>HP</I> & axem principalem. Hoc modo $i dentur plures tangen- <pb n=65> tes <I>TR,</I> vel plura puncta <I>P,</I> devenietur $emper ad lineas totidem <MARG>LIBER PRIMUS.</MARG> <I>YH,</I> vel <I>PH,</I> a dictis punctis <I>Y</I> vel <FIG> <I>P</I> ad umbilicum <I>H</I> ductas, quæ vel æquantur axibus, vel datis longitu- dinibus <I>SP</I> differunt ab ii$dem, at- que adeo quæ vel æquantur $ibi invi- cem, vel datas habent differentias; & inde, per Lemma $uperius, datur umbi- licus ille alter <I>H.</I> Habitis autem um- bilicis una cum axis longitudine (quæ vel e$t <I>YH</I>; vel, $i Trajectoria Ellip$is e$t, <I>PH+SP</I>; $in Hy- perbola, <I>PH-SP</I>) habetur Trajectoria. <I>Q.E.I.</I> <C><I>Scholium.</I></C> <p>Ca$us ubi dantur tria puncta $ic $olvitur expeditius. Dentur puncta <I>B, C, D.</I> Junctas <I>BC, CD</I> produc ad <I>E, F,</I> ut $it <I>EB</I> ad <I>EC</I> ut <I>SB</I> ad <I>SC,</I> & <I>FC</I> ad <I>FD</I> ut <I>SC</I> ad <I>SD.</I> Ad <I>EF</I> ductam & productam demitte normales <I>SG, BH,</I> inque <I>GS</I> infinite producta cape <I>GA</I> ad <I>AS</I> & <I>Ga</I> ad <I>aS</I> ut e$t <I>HB</I> ad <I>BS</I>; & erit <I>A</I> vertex, & <I>Aa</I> axis principalis Trajectoriæ: quæ, perinde ut <I>GA</I> major, æqualis, vel minor fuerit quam <I>AS,</I> erit Ellip$is, Parabola vel Hyperbola; pun- <FIG> cto <I>a</I> in primo ca$u cadente ad eandem partem lineæ <I>GF</I> cum puncto <I>A</I>; in $ecundo ca$u abeunte in infinitum; in tertio cadente ad contrari- am partem lineæ <I>GF.</I> Nam $i demittantur ad <I>GF</I> perpendicula <I>CI, DK</I>; erit <I>IC</I> ad <I>HB</I> ut <I>EC</I> ad <I>EB,</I> hoc e$t, ut <I>SC</I> ad <I>SB</I>; & vi- ci$$im <I>IC</I> ad <I>SC</I> ut <I>HB</I> ad <I>SB</I> $ive ut <I>GA</I> ad <I>SA.</I> Et $imili argumento probabitur e$$e <I>KD</I> ad <I>SD</I> in eadem ratione. Jacent ergo puncta <I>B, C, D</I> in Coni$ectione circa umbilicum <I>S</I> ita de$cripta, ut rectæ omnes ab umbilico <I>S</I> ad $ingula Sectionis puncta ductæ, $int ad perpendicula a punctis ii$dem ad rectam <I>GF</I> demi$$a in data illa ratione. <p>Methodo haud multum di$$imili hujus problematis $olutionem tradit Clari$$imus Geometra <I>de la Hire,</I> Conicorum $uorum Lib. VIII. Prop. XXV. <pb n=66> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> <C>SECTIO V.</C> <C><I>Inventio Orbium ubi umbilicus neuter datur.</I></C> <C>LEMMA XVII.</C> <p><I>Si a datæ Conicæ Sectionis puncto quovis</I> P, <I>ad Trapezii alicujus</I> ABDC, <I>in Conica illa $ectione in$cripti, latera quatuor infinite producta</I> AB, CD, AC, DB, <I>totidem rectæ</I> PQ, PR, PS, PT <I>in datis angulis ducantur, $ingulæ ad $ingula: rectangulum duc- tarum ad oppo$ita duo latera</I> PQXPR, <I>erit ad rectangulum duc- tarum ad alia duo latera oppo$ita</I> PSXPT <I>in data ratione.</I> <p><I>Cas.</I> 1. Ponamus primo lineas ad <FIG> oppo$ita latera ductas parallelas e$- $e alterutri reliquorum laterum, puta <I>PQ</I> & <I>PR</I> lateri <I>AC,</I> & <I>PS</I> ac <I>PT</I> lateri <I>AB.</I> Sintque in$uper latera duo ex oppo$itis, puta <I>AC</I> & <I>BD,</I> $ibi invicem paralle- la. Et recta quæ bi$ecat paralle- la illa latera erit una ex diametris Conicæ $ectionis, & bi$ecabit eti- am <I>RQ.</I> Sit <I>O</I> punctum in quo <I>RQ</I> bi$ecatur, & erit <I>PO</I> ordinatim applicata ad diametrum illam. Produc <I>PO</I> ad <I>K</I> ut $it <I>OK</I> æqualis <I>PO,</I> & erit <I>OK</I> ordinatim applicata ad contrarias partes diametri. Cum igitur puncta <I>A, B, P</I> & <I>K</I> $int ad Conicam $ectionem, & <I>PK</I> $ecet <I>AB</I> in dato an- gulo, erit (per Prop.17 & 18 Lib. III Conicorum <I>Apollonii</I>) rectangu- lum <I>PQK</I> ad rectangulum <I>AQB</I> in data ratione. Sed <I>QK</I> & <I>PR</I> æquales $unt, utpote æqualium <I>OK, OP,</I> & <I>OQ, OR</I> differentiæ, & inde etiam rectangula <I>PQK</I> & <I>PQXPR</I> æqualia $unt; at- que adeo rectangulum <I>PQXPR</I> e$t ad rectangulum <I>AQB,</I> hoc e$t ad rectangulum <I>PSXPT</I> in data ratione. <I>Q.E.D.</I> <pb n=67> <p><I>Cas.</I> 2. Ponamus jam Trapezii latera oppo$ita <I>AC</I> & <I>BD</I> non <MARG>LIBIR PRIMUS.</MARG> e$$e parallela. Age <I>Bd</I> parallelam <I>AC</I> & occurrentem tum rectæ <I>ST</I> in <I>t,</I> tum Conicæ $ectioni in <I>d.</I> Junge <I>Cd</I> $ecantem <I>PQ</I> in <I>r,</I> & ip$i <I>PQ</I> parallelam age <I>DM</I> <FIG> $ecantem <I>Cd</I> in <I>M</I> & <I>AB</I> in <I>N.</I> Jam ob $imilia triangula <I>BTt, DBN</I>; e$t <I>Bt</I> $eu <I>PQ</I> ad <I>Tt</I> ut <I>DN</I> ad <I>NB.</I> Sic & <I>Rr</I> e$t ad <I>AQ</I> $eu <I>PS</I> ut <I>DM</I> ad <I>AN.</I> Ergo, ducendo antecedentes in antecedentes & con$equentes in con$equentes, ut rectangulum <I>PQ</I> in <I>Rr</I> e$t ad rectangulum <I>PS</I> in <I>Tt,</I> ita rectangulum <I>NDM</I> e$t ad rectangulum <I>ANB,</I> & (per Ca$.1) ita rectangulum <I>PQ</I> in <I>Pr</I> e$t ad rectangulum <I>PS</I> in <I>Pt,</I> ac divi$im ita rectangulum <I>PQXPR</I> e$t ad rectangulum <I>PSXPT. Q.E.D.</I> <p><I>Cas.</I> 3. Ponamus denique lineas <FIG> quatuor <I>PQ, PR, PS, PT</I> non e$$e parallelas lateribus <I>AC, AB,</I> $ed ad ea utcunque inclinatas. Ea- rum vice age <I>Pq, Pr</I> parallelas ip$i <I>AC</I>; & <I>Ps, Pt</I> parallelas ip$i <I>AB</I>; & propter datos angu- los triangulorum <I>PQq, PRr, PSs, PTt,</I> dabuntur rationes <I>PQ</I> ad <I>Pq, PR</I> ad <I>Pr, PS</I> ad <I>Ps,</I> & <I>PT</I> ad <I>Pt</I>; atque adeo rationes compo$itæ <I>PQXPR</I> ad <I>PqXPr,</I> & <I>PSXPT</I> ad <I>PsXPt.</I> Sed, per $uperius de- mon$trata, ratio <I>PqXPr</I> ad <I>PsXPt</I> data e$t: Ergo & ratio <I>PQXPR</I> ad <I>PSXPT. Q.E.D.</I> <C>LEMMA XVIII.</C> <p><I>Ii$dem po$itis, $i rectangulum ductarum ad oppo$ita duo latera Tra- pezii</I> PQXPR <I>$it adrectangulum ductarum ad reliqua duo late- ra</I> PSXPT <I>in data ratione; punctum</I> P, <I>a quo lineæ ducuntur, tanget Conicam $ectionem circa Trapezium de$criptam.</I> <pb n=68> <p>Per puncta <I>A, B, C, D</I> & aliquod infinitorum punctorum <I>P,</I> pu- <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> ta <I>p,</I> concipe Conicam $ectionem de$cribi: dico punctum <I>P</I> hanc $emper tangere. Si negas, <FIG> junge <I>AP</I> $ecantem hanc Conicam $ectionem alibi quam in <I>P,</I> $i fieri pote$t, puta in <I>b.</I> Ergo $i ab his punctis <I>p</I> & <I>b</I> ducantur in datis angulis ad latera Tra- pezii rectæ <I>pq, pr, ps, pt</I> & <I>bk, br, b$, bd</I>; erit ut <I>bkXb</I>r ad <I>b$Xbd</I> ita (per Lem. XVII) <I>pqXpr</I> ad <I>psXpt,</I> & ita (per Hypoth.) <I>PQXPR</I> ad <I>PSXPT.</I> E$t & prop- ter $imilitudinem Trapeziorum <I>bkA$, PQAS,</I> ut <I>bk</I> ad <I>b$</I> ita <I>PQ</I> ad <I>PS.</I> Quare, applicando terminos prioris proportionis ad terminos corre$pondentes hujus, erit <I>b</I>r ad <I>bd</I> ut <I>PR</I> ad <I>PT.</I> Er- go Trapezia æquiangula <I>Dr bd, DRPT</I> $imilia $unt, & eorum diagonales <I>Db, DP</I> propterea coincidunt. Incidit itaque <I>b</I> in inter$ectionem rectarum <I>AP, DP</I> adeoque coincidit cum puncto <I>P.</I> Quare punctum <I>P,</I> ubicunque $umatur, incidit in a$$ignatam Conicam $ectionem. <I>Q.E.D.</I> <p><I>Corol.</I> Hinc $i rectæ tres <I>PQ, PR, PS</I> a puncto communi <I>P</I> ad alias totidem po$itione datas rectas <I>AB, CD, AC,</I> $ingulæ ad $ingulas, in datis angulis ducantur, $itque rectangulum $ub duabus ductis <I>PQXPR</I> ad quadratum tertiæ <I>PS quad.</I> in data ratione: punctum <I>P,</I> a quibus rectæ ducuntur, locabitur in $ectione Conica quæ tangit lineas <I>AB, CD</I> in <I>A</I> & <I>C</I>; & contra. Nam coeat linea <I>BD</I> cum linea <I>AC</I> manente po$itione trium <I>AB, CD, AC</I>; de- in coeat etiam linea <I>PT</I> cum linea <I>PS:</I> & rectangulum <I>PSXPT</I> evadet <I>PS quad.</I> rectæque <I>AB, CD</I> quæ curvam in punctis <I>A</I> & <I>B, C</I> & <I>D</I> $ecabant, jam Curvam in punctis illis coeuntibus non am- plius $ecare po$$unt $ed tantum tangent. <C><I>Scholium.</I></C> <p>Nomen Conicæ $ectionis in hoc Lemmate late $umitur, ita ut $ectio tam Rectilinea per verticem Coni tran$iens, quam Circularis ba$i parallela includatur. Nam $i punctum <I>p</I> incidit in rectam, qua quævis ex punctis quatuor <I>A, B, C, D</I> junguntur, Conica $ectio <pb n=69> vertetur in geminas Rectas, quarum una e$t recta illa in quam pun- <MARG>LIBER PRIMUS.</MARG> ctum <I>p</I> incidit, & altera e$t recta qua alia duo ex punctis quatuor jun- guntur. Si Trapezii anguli duo oppo$iti $imul $umpti æquentur duobus rectis, & lineæ quatuor <I>PQ, PR, PS, PT</I> ducantur ad latera ejus vel perpendiculariter vel in angulis quibu$vis æqualibus, $itque rectangulum $ub duabus ductis <I>PQXPR</I> æquale rectangu- lo $ub duabus aliis <I>PSXPT,</I> Sectio conica evadet Circulus. Idem fiet $i lineæ quatuor ducantur in angulis quibu$vis & rectangulum $ub duabus ductis <I>PQXPR</I> $it ad rectangulum $ub aliis duabus <I>PSXPT</I> ut rectangulum $ub $inubus angulorum <I>S, T,</I> in quibus duæ ultimæ <I>PS, PT</I> ducuntur, ad rectangulum $ub $inubus angu- lorum <I>Q, R,</I> in quibus duæ primæ <I>PQ, PR</I> ducuntur. Cæteris in ca$ibus Locus puncti <I>P</I> erit aliqua trium figurarum quæ vulgo nominantur Sectiones Conicæ. Vice autem Trapezii <I>ABCD</I> $ub- $titui pote$t Quadrilaterum cujus latera duo oppo$ita $e mutuo in- $tar diagonalium decu$$ant. Sed & e punctis quatuor <I>A, B, C, D</I> po$$unt unum vel duo abire ad infinitum, eoque pacto latera fi- guræ quæ ad puncta illa convergunt, evadere parallela: quo in ca$u Sectio Conica tran$ibit per cætera puncta, & in plagas paralle- larum abibit in infinitum. <C>LEMMA XIX.</C> <p><I>Invenire punctũ</I> P, <I>a quo $irectæ</I> <FIG> <I>quatuor</I> PQ, PR, PS, PT, <I>ad alias totidem po$itione da tas rectas</I> AB, CD, AC, BD, <I>$ingulæ ad $ingulas in datis angulis ducantur, rectangulũ $ub duabus ductis,</I> PQXPR, <I>$it ad rectangulum $ub aliis duabus,</I> PSXPT, <I>in data ra- tione.</I> <p>Lineæ <I>AB, CD,</I> ad quas rectæ duæ <I>PQ, PR,</I> unum rectan- gulorum continentes ducuntur, conveniant cum aliis duabus po$i- tione datis lineis in punctis <I>A, B, C, D.</I> Ab eorum aliquo <I>A</I> age rectam quamlibet <I>AH,</I> in qua velis punctum <I>P</I> reperiri. Secet ea lineas oppo$itas <I>BD, CD,</I> nimirum <I>BD</I> in <I>H</I> & <I>CD</I> in <I>I,</I> & ob datos omnes angulos figuræ, dabuntur rationes <I>PQ</I> ad <I>PA</I> & <I>PA</I> <pb n=70> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> ad <I>PS,</I> adeoque ratio <I>PQ</I> ad <FIG> <I>PS.</I> Auferendo hanca data ra- tione <I>PQXPR</I> ad <I>PSXPT,</I> dabitur ratio <I>PR</I> ad <I>PT,</I> & addendo datas rationes <I>PI</I> ad <I>PR,</I> & <I>PT</I> ad <I>PH</I> dabitur ratio <I>PI</I> ad <I>PH</I> atque adeo punctum <I>P. Q.E.I.</I> <p><I>Corol.</I> 1. Hinc etiam ad Loci punctorum infinitorum <I>P</I> pun- ctum quodvis <I>D</I> tangens duci pote$t. Nam chorda <I>PD</I> ubi puncta <I>P</I> ac <I>D</I> conveniunt, hoc e$t, ubi <I>AH</I> ducitur per punctum <I>D,</I> tangens evadit. Quo in ca$u, ultima ratio evane$centium <I>IP</I> & <I>PH</I> invenietur ut $upra. Ip$i igitur <I>AD</I> due parallelam <I>CF,</I> occurrentem <I>BD</I> in <I>F,</I> & in ea ul- tima ratione $ectam in <I>E,</I> & <I>DE</I> tangens erit, propterea quod <I>CF</I> & evane$cens <I>IH</I> parallelæ $unt, & in <I>E</I> & <I>P</I> fimiliter $ectæ. <p><I>Corol.</I> 2. Hinc etiam Locus punctorum omnium <I>P</I> definiri pote$t. Per quodvis punctorum <I>A, B, C, D,</I> puta <I>A,</I> duc Loci tangentem <I>AE</I> & per aliud quodvis punctum <I>B</I> duc tangenti parallelam <I>BF</I> occurrentem Loco in <I>F.</I> Invenie- <FIG> tur autem punctum <I>F</I> per Lem. XIX. Bi$eca <I>BF</I> in <I>G,</I> & acta indefinita <I>AG</I> erit po$itio diametri ad quam <I>BG</I> & <I>FG</I> ordinatim applicantur. Hæc <I>AG</I> occurrat Loco in <I>H,</I> & erit <I>AH</I> diameter $ive latus tran$- ver$um, ad quod latus rectum erit ut <I>BGq.</I> ad <I>AGH.</I> Si <I>AG</I> nullibi occurrit Loco, linea <I>AH</I> exi$tente infinita, Locus erit Parabola & la- rum rectum ejus ad diametrum <I>AG</I> pertinens erit (<I>BGq./AG</I>) Sin ea alicubi occurrit, Locus Hyperbola erit ubi puncta <I>A</I> & <I>H</I> $ita $unt ad ea$dem partes ip$ius <I>G:</I> & Ellip$is, ubi <I>G</I> intermedium e$t, ni$i forte angulus <I>AGB</I> rectus $it & in$uper <I>BG quad.</I> æquale rectangulo <I>AGH,</I> quo in ca$u Circulus habebitur. <p>Atque ita Problematis Veterum de quatuor lineis ab <I>Euclide</I> incæp- ti & ab <I>Apollonio</I> continuati non calculus, $ed compo$itio Geometri- ca, qualem Veteres quærebant, in hoc Corollario exhibetur. <pb n=71> <MARG>LIBER PRIMUS.</MARG> <C>LEMMA XX.</C> <p><I>Si Parallelogr ammum quodvis</I> ASPQ <I>angulis duobus oppo$itis</I> A <I>&</I> P <I>tangit $ectionem quamvis Conicam in punctis</I> A <I>&</I> P; <I>&, lateri- bus unius angulorum illorum infinite productis</I> AQ, AS, <I>occurrit eidem $ectioni Conicæ in</I> B <I>&</I> C; <I>a punctis autem occur$uum</I> B <I>&</I> C <I>ad quintum quodvis $ectionis Conicæ punctum</I> D <I>agantur rec- tæ duæ</I> BD, CD <I>occurrentes alteris duobus infinite productis pa- rallelogrammi lateribus</I> PS, PQ <I>in</I> T <I>&</I> R: <I>erunt $emper ab$ci$$æ laterum partes</I> PR <I>&</I> PT <I>adinvicem in data ratione. Et contra, $i partes illæ ab$ci$$æ $unt ad invicem in data ratione, punctum</I> D <I>tan- get Sectionem Conicam per puncta quatuor</I> A, B, C, P <I>tran$euntem.</I> <p><I>Cas.</I> 1. Jungantur <I>BP, CP</I> & a puncto <I>D</I> agantur rectæ duæ <I>DG, DE,</I> quarum prior <FIG> <I>DG</I> ip$i <I>AB</I> parallela $it & occurrat <I>PB, PQ, CA</I> in <I>H, I, G</I>; altera <I>DE</I> paral- lela $it ipfi <I>AC</I> & occurrat <I>PC, PS, AB</I> in <I>F, K, E:</I> & erit (per Lemma XVII.) re- ctangulum <I>DEXDF</I> ad re- ctangulum <I>DGXDH</I> in ra- tione data. Sed e$t <I>PQ</I> ad <I>DE</I> ($eu <I>IQ</I>) ut <I>PB</I> ad <I>HB,</I> adeoque ut <I>PT</I> ad <I>DH</I>; & vici$$im <I>PQ</I> ad <I>PT</I> ut <I>DE</I> ad <I>DH.</I> E$t & <I>PR</I> ad <I>DF</I> ut <I>RC</I> ad <I>DC,</I> adeoque ut (<I>IG</I> vel) <I>PS</I> ad <I>DG,</I> & vici$$im <I>PR</I> ad <I>PS</I> ut <I>DF</I> ad <I>DG</I>; & conjunctis rationibus fit rectangulum <I>PQXPR</I> ad rectangulum <I>PSXPT</I> ut rectangulum <I>DEXDF</I> ad rectan- gulum <I>DGXDH,</I> atque adeo in data ratione. Sed dantur <I>PQ</I> & <I>PS</I> & propterea ratio <I>PR</I> ad <I>PT</I> datur. <I>Q.E.D.</I> <p><I>Cas.</I> 2. Quod $i <I>PR</I> & <I>PT</I> ponantur in data ratione ad invi- cem, tum $imili ratiocinio regrediendo, $equetur e$$e rectangulum <I>DEXDF</I> ad rectangulum <I>DGXDH</I> in ratione data, adeoque punctum <I>D</I> (per Lemma XVIII.) contingere Conicam $ectionem tran$euntem per puncta <I>A, B, C, P. Q.E.D.</I> <pb n=72> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> <p><I>Corol.</I> 1. Hinc $i agatur <I>BC</I> $ecans <I>PQ</I> in <I>r,</I> & in <I>PT</I> capiatur <I>Pt</I> in ratione ad <I>Pr</I> quam habet <I>PT</I> ad <I>PR:</I> erit <I>Bt</I> tangens Conicæ $ectionis ad punctum <I>B.</I> Nam concipe punctum <I>D</I> coire cum puncto <I>B</I> ita ut, chorda <I>BD</I> evane$cente, <I>BT</I> tangens eva- dat; & <I>CD</I> ac <I>BT</I> coincident cum <I>CB</I> & <I>Bt.</I> <p><I>Corol.</I> 2. Et vice ver$a $i <FIG> <I>Bt</I> fit tangens, & ad quod- vis Conicæ $ectionis punc- tum <I>D</I> conveniant <I>BD, CD</I>; erit <I>PR</I> ad <I>PT</I> ut ut <I>Pr</I> ad <I>Pt.</I> Et contra, $i $it <I>PR</I> ad <I>PT</I> ut <I>Pr</I> ad <I>Pt:</I> convenient <I>BD, CD</I> ad Conicæ Sectionis punc- um aliquod <I>D.</I> <p><I>Corol.</I> 3. Conica $ectio non $ecat Conicam $ectio- nem in punctis pluribus quam quatuor. Nam, $i fieri pote$t, tran$- eant duæ Conicæ $ectiones per quinque puncta <I>A, B, C, P, O</I>; ea$- que $ecet recta <I>BD</I> in punctis <I>D, d,</I> & ip$am <I>PQ</I> $ecet recta <I>Cd</I> in r. Ergo <I>PR</I> e$t ad <I>PT</I> ut <I>P</I>r ad <I>PT</I>; unde <I>PR</I> & <I>P</I>r $ibi invicem æquantur, contra Hypothe$in. <C>LEMMA XXI.</C> <p><I>Si rectæ duæ mobiles & infinitæ</I> BM, CM <I>per data puncta</I> B, C, <I>ceu polos ductæ, concur$u $uo</I> M <I>de$cribant tertiam po$itione da- tam rectam</I> MN; <I>& aliæ duæ infinitæ rectæ</I> BD, CD <I>cum prioribus duabus ad puncta illa data</I> B, C <I>datos angulos</I> MBD, MCD <I>efficientes ducantur; dico quod hæ duæ</I> BD, CD <I>concur$u $uo</I> D <I>de$cribent $ectionem Conicam per puncta</I> B, C <I>tran$euntem. Et vice ver$a, $i rectæ</I> BD, CD <I>concur$u $uo</I> D <I>de$cribant Sectionem Conicam per data puncta</I> B, C, A <I>tran$euntem, & $it angulus</I> DBM <I>$emper æqualis angulo dato</I> ABC, <I>angulu$que</I> DCM <I>$emper æqualis angulo dato</I> ACB: <I>punctum</I> M <I>continget rectam po$itione datam.</I> <pb n=73> <MARG>LIBER PRIMUS.</MARG> <p>Nam in recta <I>MN</I> detur punctum <I>N,</I> & ubi punctum mobile <I>M</I> incidit in immotum <I>N,</I> incidat punctum mobile <I>D</I> in immo- tum <I>P,</I> Junge <I>CN, BN,</I> <FIG> <I>CP, BP,</I> & a puncto <I>P</I> age rectas <I>PT, PR</I> occurrentes ip$is <I>BD, CD</I> in <I>T</I> & <I>R,</I> & fa- cientes angulum <I>BPT</I> æqualem angulo dato <I>BNM,</I> & angulum <I>CPR</I> æqualem angu- gulo dato <I>CNM.</I> Cum ergo (ex Hypothe$i) æquales $int anguli <I>MBD, NBP,</I> ut & anguli <I>MCD, NCP</I>; aufer communes <I>NBD</I> & <I>NCD,</I> & re$tabunt æquales <I>NBM</I> & <I>PBT, NCM</I> & <I>PCR:</I> adeoque triangula <I>NBM, PBT</I> $imilia $unt, ut & triangula <I>NCM, PCR.</I> Quare <I>PT</I> e$t ad <I>NM</I> ut <I>PB</I> ad <I>NB,</I> & <I>PR</I> ad <I>NM</I> ut <I>PC</I> ad <I>NC.</I> Sunt autem puncta <I>B, C, N, P</I> immobilia. Ergo <I>PT</I> & <I>PR</I> datam habent rationem ad <I>NM,</I> pro- indeque datam rationem inter $e; atque adeo, per Lemma xx, punctum <I>D</I> (perpetuus rectarum mobilium <I>BT</I> & <I>CR</I> concur$us) contingit $ectionem Conicam, per puncta <I>B, C, P</I> tran$euntem. <I>Q.E.D.</I> <p>Et contra, $i punctum mobile <I>D</I> contingat $ectionem Conicam tran$euntem per data puncta <I>B, C, A,</I> & $it angulus <I>DBM</I> $emper æqualis angulo dato <I>ABC,</I> & angulus <I>DCM</I> $emper æqualis angu- lo dato <I>ACB,</I> & ubi punctum <I>D</I> incidit $ucce$$ive in duo quævis $e- ctionis puncta immobilia <I>p, P,</I> punctum mobile <I>M</I> incidat $ucce$$ive in puncta duo immobilia <I>n, N:</I> per eadem <I>n, N</I> agatur Recta <I>n N,</I> & hæc erit Locus perpetuus puncti illius mobilis <I>M.</I> Nam, $i fieri pote$t, ver$etur punctum <I>M</I> in linea aliqua Curva. Tanget ergo punctum <I>D</I> $ectionem Conicam per puncta quinque <I>B, CA, p, P,</I> tran$euntem, ubi punctum <I>M</I> perpetuo tangit lineam Curvam. Sed & ex jam demon$tratis tanget etiam punctum <I>D</I> $ectionem Coni- cam per eadem quinque puncta <I>B, C, A, p, P</I> tran$euntem, ubi pun- <pb n=74> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> ctum <I>M</I> perpetuo tangit lineam Rectam. Ergo duæ $ectiones Co- nicæ tran$ibunt per eadem quinque puncta, contra Corol. 3. Lem. xx. Igitur punctum <I>M</I> ver$ari in linea Curva ab$urdum e$t. <I>Q.E.D.</I> <C>PROPOSITIO XXII. PROBLEMA. XIV.</C> <C><I>Trajectoriam per data quinque puncta de$cribere.</I></C> <p>Dentur puncta quinque <I>A, B, C, P, D.</I> Ab eorum aliquo <I>A</I> ad alia duo quævis <I>B, C,</I> quæ poli nominentur, age rectas <I>AB, AC,</I> <FIG> hi$que parallelas <I>TPS, PRQ</I> per punctum quartum <I>P.</I> De- inde a polis duobus <I>B, C</I> age per punctum quintum <I>D</I> infini- tas duas <I>BDT, CRD,</I> novi$$ime ductis <I>TPS, PRQ</I> (prio- rem priori & po$teriorem po$teriori) occurrentes in <I>T</I> & <I>R.</I> De- nique de rectis <I>PT, PR,</I> acta recta <I>tr</I> ip$i <I>TR</I> parallela, ab- $cinde qua$vis <I>Pt, Pr</I> ip$is <I>PT, PR</I> proportionales; & $i per earum terminos <I>t, r</I> & polos <I>B, C</I> actæ <I>Bt, Cr</I> concurrant in <I>d,</I> locabitur punctum illud <I>d</I> in Trajectoria quæ$ita. Nam punc- tum illud <I>d</I> (per Lemma xx) ver$atur in Conica Sectione per puncta quatuor <I>A, B, C, P</I> tran$eunte; &, lineis <I>Rr, Tt</I> evane- $centibus, coit punctum <I>d</I> cum puncto <I>D.</I> Tran$it ergo $ectio Co- nica per puncta quinque <I>A, B, C, P, D. Q.E.D.</I> <pb n=75> <C><I>Idem aliter.</I></C> <MARG>LIBER PRIMUS.</MARG> <p>E punctis datis junge tria quævis <I>A, B, C</I>; &, circum duo eorum <I>B, C</I> ceu polos, rotando angulos magnitudine datos <I>ABC, ACB,</I> applicentur cru- <FIG> ra <I>BA, CA</I> primo ad punctum <I>D,</I> deinde ad punctum <I>P,</I> & no- tentur puncta <I>M, N</I> in quibus altera crura <I>BL, CL</I> ca$u utroque $e decu$$ant. Agatur recta infinita <I>MN,</I> & rotentur anguli illi mo- biles circum polos $uos <I>B, C,</I> ea lege ut cru- rum <I>BL, CL</I> vel <I>BM, CM</I> inter$ectio quæ jam $it <I>m</I> incidat $emper in rectam illam infinitam <I>MN</I> & cru- rum <I>BA, CA,</I> vel <I>BD, CD</I> inter$ectio, quæ jam $it <I>d,</I> Trajecto- riam quæ$itam <I>PAD dB</I> delineabit. Nam punctum <I>d,</I> per Lem. XXI, continget $ectionem Conicam per puncta <I>B, C</I> tran$euntem; & ubi punctum <I>m</I> accedit ad puncta <I>L, M, N,</I> punctum <I>d</I> (per con- $tructionem) accedet ad puncta <I>A, D, P.</I> De$cribetur itaque $ec- tio Conica tran$iens per puncta quinque <I>A, B, C, P, D. Q.E.F.</I> <p><I>Corol.</I> 1. Hinc recta expedite duci pote$t quæ Trajectoriam quæ- $itam, in puncto quovis dato <I>B,</I> continget. Accedat punctum <I>d</I> ad punctum <I>B,</I> & recta <I>Bd</I> evadet tangens quæ$ita. <p><I>Corol.</I> 2. Unde etiam Trajectoriarum Centra, Diametri & Latera recta inveniri po$$unt, ut in Corollario $ecundo Lemmatis XIX. <C><I>Scholium.</I></C> <p>Con$tructio prior evadet paulo $implicior jungendo <I>BP,</I> & in ea, $i opus e$t, producta capiendo <I>Bp</I> ad <I>BP</I> ut e$t <I>PR</I> ad <I>PT</I>; & per <I>p</I> agendo rectam infinitam <I>p</I>d ip$i <I>SPT</I> parallelam, inque ea capiendo $emper <I>p</I>d æqualem <I>Pr</I>; & agendo rectas <I>Bd, Cr</I> con- currentes in <I>d.</I> Nam cum $int <I>Pr</I> ad <I>Pt, PR</I> ad <I>PT, pB</I> ad <I>PB, p</I>d ad <I>Pt</I> in eadem ratione; erunt <I>p</I>d & <I>Pr</I> $emper æqua- <pb n=76> les. Hac methodo puncta Trajectoriæ inveniuntur expediti$$ime, <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> ni$i mavis Curvam, ut in con$tructione $ecunda, de$eribere Me- chanice. <C>PROPOSITIO XXIII. PROBLEMA XV.</C> <C><I>Trajectoriam de$cribere quæ per data quatuor puncta tran$ibit, & rec- tam continget po$itione datam.</I></C> <p><I>Cas.</I> 1. Dentur tangens <I>HB,</I> punctum contactus <I>B,</I> & alia tria puncta <I>C, D, P.</I> Junge <I>BC,</I> & agendo <I>PS</I> parallelam <I>BH,</I> & <I>PQ</I> parallelam <I>BC,</I> comple parallelogrammum <I>BSPQ.</I> <FIG> Age <I>BD</I> $ecantem <I>SP</I> in <I>T,</I> & <I>CD</I> $ecantem <I>PQ</I> in <I>R.</I> De- nique, agendo quamvis <I>tr</I> ip$i <I>TR</I> parallelam, de <I>PQ, PS</I> ab$cinde <I>Pr, Pt</I> ip$is <I>PR, PT</I> proportionales re$pective; & actarum <I>Cr, Bt</I> concur$us <I>d</I> (per Lem. xx) incidet $emper in Trajectoriam de$cribendam. <pb n=77> <MARG>LIBER PRIMUS.</MARG> <C><I>Idem aliter.</I></C> <p>Revolvatur tum angulus magnitudine datus <I>CBH</I> circa polum <I>B,</I> tum radius quilibet rectilineus & utrinque productus <I>DC</I> cir- ca polum <I>C.</I> Notentur puncta <I>M, N</I> in quibus anguli crus <I>BC</I> $ecat radium illum ubi crus alterum <I>BH</I> concurrit cum eodem ra- dio in punctis <I>P</I> & <I>D.</I> Deinde ad actam infinitam <I>MN</I> con- <FIG> currant perpetuo radius ille <I>CP</I> vel <I>CD</I> & anguli crus <I>BC,</I> & cruris alterius <I>BH</I> concur$us cum radio delineabit Trajectoriam quæ$itam. <p>Nam $i in con$tructionibus Problematis $uperioris accedat punc- tum <I>A</I> ad punctum <I>B,</I> lineæ <I>CA</I> & <I>CB</I> coincident, & linea <I>AB</I> in ultimo $uo $itu fiet tangens <I>BH,</I> atque adeo con$tructiones ibi po- $itæ evadent eædem cum con$tructionibus hic de$criptis. Delinea- bit igitur cruris <I>BH</I> concur$us cum radio $ectionem Conicam per puncta <I>C, D, P</I> tran$euntem, & rectam <I>BH</I> tangentem in puncto <I>B. Q.E.F.</I> <p><I>Cas.</I> 2. Dentur puncta quatuor <I>B, C, D, P</I> extra tangentem <I>HI</I> $ita. Junge bina lineis <I>BD, CP</I> concurrentibus in <I>G,</I> tangen- <pb n=78> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> tique occurrentibus in <I>H</I> & <I>I.</I> Secetur tangens in <I>A,</I> ita ut $it <I>HA</I> ad <I>AI,</I> ut e$t rectan- <FIG> gulum $ub media proportio- nali inter <I>CG</I> & <I>GP</I> & me- dia proportionali inter <I>BH</I> & <I>HD,</I> ad rectangulum $ub me- dia proportionali inter <I>DG</I> & <I>GB</I> & media proportionali in- ter <I>PI</I> & <I>IC</I>; & erit <I>A</I> punc- tum contactus. Nam $i rectæ <I>PI</I> parallela <I>HX</I> Trajecto- riam $ecet in punctis quibu$- vis <I>X</I> & <I>Y:</I> erit (ex Conicis) punctum <I>A</I> ita locandum, ut fuerit <I>HA quad.</I> ad <I>AI quad.</I> in ra- tione compo$ita ex ratione rectanguli <I>XHY</I> ad rectangulum <I>BHD</I> $eu rectanguli <I>CGP</I> ad rectangulum <I>DGB</I> & ex ratione rectan- guli <I>BHD</I> ad rectangulum <I>PIC.</I> Invento autem contactus puncto <I>A,</I> de$cribetur Trajectoria ut in ca$u primo. <I>Q.E.F.</I> Capi autem pote$t punctum <I>A</I> vel inter puncta <I>H</I> & <I>I,</I> vel extra; & perinde Trajectoria dupliciter de$cribi. <C>PROPOSITIO XXIV. PROBLEMA XVI.</C> <C><I>Trajectoriam de$cribere quæ tran$ibit per data tria puncta & rectas duas po$itione datas continget.</I></C> <p>Dentur tangentes <I>HI, KL</I> & <FIG> puncta <I>B, C, D.</I> Per punctorum duo quævis <I>B, D</I> age rectam in- finitam <I>BD</I> tangentibus occur- rentem in punctis <I>H, K.</I> Deinde etiam per alia duo quævis <I>C, D</I> age infinitam <I>CD</I> tangentibus oc- currentem in punctis <I>I, L.</I> Actas ita $eca in <I>R</I> & <I>S,</I> ut $it <I>HR</I> ad <I>KR</I> ut e$t media proportionalis inter <I>BH</I> & <I>HD</I> ad mediam proportionalem inter <I>BK</I> & <I>KD</I>; & <I>IS</I> ad <I>LS</I> ut e$t media pro- portionalis inter <I>CI</I> & <I>ID</I> ad me- diam proportionalem inter <I>CL</I> <pb n=79> & <I>LD.</I> Seca autem pro lubitu vel inter puncta <I>K</I> & <I>H,</I> <MARG>LIBER PRIMUS.</MARG> <I>I</I> & <I>L,</I> vel extra eadem: dein age <I>RS</I> $ecantem tangentes in <I>A</I> & <I>P,</I> & erunt <I>A</I> & <I>P</I> puncta contactuum. Nam $i <I>A</I> & <I>P</I> $upponantur e$$e puncta contactuum alicubi in tangentibus $i- ta; & per punctorum <I>H, I, K, L</I> quodvis <I>I,</I> in tangente al- terutra <I>HI</I> $itum, agatur recta <I>IY</I> tangenti alteri <I>KL</I> paral- lela, quæ occurrat curvæ in <I>X</I> & <I>Y,</I> & in ea $umatur <I>IZ</I> me- dia proportionalis inter <I>IX</I> & <I>IY:</I> erit, ex Conicis, rectangulum <I>XIY</I> $eu <I>IZ quad.</I> ad <I>LP quad.</I> ut rectangulum <I>CID</I> ad rectan- gulum <I>CLD,</I> id e$t (per con$tructionem) ut <I>SI quad.</I> ad <I>SL quad:</I> atque adeo <I>IZ</I> ad <I>LP</I> ut <I>SI</I> ad <I>SL.</I> Jacent ergo punc- ta <I>S, P, Z</I> in una recta. Porro tangentibus concurrentibus in <I>G,</I> e- rit (ex Conicis) rectangulum <I>XIY</I> $eu <I>IZ quad.</I> ad <I>IA quad.</I> ut <I>GP quad</I> ad <I>GA quad:</I> adeoque <I>IZ</I> & <I>IA</I> ut <I>GP</I> ad <I>GA.</I> Jacent ergo puncta <I>P, Z</I> & <I>A</I> in una recta, adeoque puncta <I>S, P</I> & <I>A</I> $unt in una recta. Et eodem argumento probabitur quod puncta <I>R, P</I> & <I>A</I> $unt in una recta. Jacent igitur puncta contactuum <I>A</I> & <I>P</I> in recta <I>RS.</I> Hi$ce autem inventis, Trajectoria de$eribetur ut in ca$u primo Problematis $uperioris. <I>Q.E.F.</I> <C>LEMMA XXII.</C> <C><I>Figuras in alias eju$dem generis figur as mutare.</I></C> <p>Tran$mutanda $it figura quævis <I>HGI.</I> Ducantur pro lubitu rectæ duæ parallelæ <I>AO, BL</I> tertiam quamvis po$itione datam <I>AB</I> $ecantes in <I>A</I> & <I>B,</I> <FIG> & a figuræ puncto quo- vis <I>G,</I> ad rectam <I>AB</I> ducatur quævis <I>GD,</I> ip$i <I>OA</I> parallela. De- inde a puncto aliquo <I>O,</I> in linea <I>OA</I> dato, ad punctum <I>D</I> ducatur recta <I>OD,</I> ip$i <I>BL</I> oc- currens in <I>d,</I> & a puncto occur$us erigatur recta <I>dg</I> datum quemvis angulum cum recta <I>BL</I> continens, atque eam habens rationem ad <I>Od</I> quam habet <I>DG</I> ad <I>OD</I>; & erit <I>g</I> punc- tum in figura nova <I>hgi</I> puncto <I>G</I> re$pondens. Eadem ratione puncta $ingula figuræ primæ dabunt puncta totidem figura novæ. <pb n=80> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> Concipe igitur punctum <I>G</I> motu continuo percurrere puncta om- nia figuræ primæ, & punctum <I>g</I> motu itidem continuo percurret puncta omnia figuræ novæ & eandem de$cribet. Di$tinctionis gra- tia nominemus <I>DG</I> ordinatam primam, <I>dg</I> ordinatam novam; <I>AD</I> ab$ci$$am primam, <I>ad</I> ab$ci$$am novam; <I>O</I> polum, <I>OD</I> ra- dium ab$cidentem, <I>OA</I> radium ordinatum primum, & <I>Oa</I> (qno parallelogrammum <I>OABa</I> completur) radium ordinatum novum. <p>Dico jam quod, $i punctum <I>G</I> tangit rectam Lineam po$itione da- tam, punctum <I>g</I> tanget etiam Lineam rectam po$itione datam. Si punctum <I>G</I> tangit Conicam $ectionem, punctum <I>g</I> tanget etiam Conicam $ectionem. Conicis $ectionibus hic Circulum annumero. Porro $i punctum <I>G</I> tan- <FIG> git Lineam tertii ordinis Analytici, punctum <I>g</I> tanget Lineam tertii iti- dem ordinis; & $ic de curvis lineis $uperiorum ordinum. Lineæ duæ e- runt eju$dem $emper or- dinis Analytici quas pun- cta <I>G, g</I> tangunt. Et- enim ut e$t <I>ad</I> ad <I>OA</I> ita $unt <I>Od</I> ad <I>OD, dg</I> ad <I>DG,</I> & <I>AB</I> ad <I>AD</I>; adeoque <I>AD</I> æqualis e$t (<I>OAXAB/ad</I>), & <I>DG</I> æqualis e$t (<I>OAXdg/ad</I>). Jam $i punc- tum <I>G</I> tangit rectam Lineam, atque adeo in æquatione quavis, qua relatio inter ab$ci$$am <I>AD</I> & ordinatam <I>DG</I> habetur, in- determinatæ illæ <I>AD</I> & <I>DG</I> ad unicam tantum dimen$ionem a$cendunt, $cribendo in hac æquatione (<I>OAXAB/ad</I>) pro <I>AD,</I> & (<I>OAXdg/ad</I>) pro <I>DG,</I> producetur æquatio nova, in qua ab$ci$$a no- va <I>ad</I> & ordinata nova <I>dg</I> ad unicam tantum dimen$ionem a$cen- dent, atque adeo quæ de$ignat Lineam rectam. Sin <I>AD</I> & <I>DG</I> (vel earum alterutra) a$cendebant ad duas dimen$iones in æquati- one prima, a$cendent itidem <I>ad</I> & <I>dg</I> ad duas in æquatione $ecun- da. Et $ic de tribus vel pluribus dimen$ionibus. Indeterminatæ <I>ad, dg</I> in æquatione $ecunda & <I>AD, DG</I> in prima a$cendent $em- per ad eundem dimen$ionum numerum, & propterea Lineæ, quas puncta <I>G, g</I> tangunt, $unt eju$dem ordinis Analytici. <pb n=81> <p>Dico præterea quod $i recta aliqua tangat lineam curvam in fi- <MARG>LIBER PRIMUS.</MARG> gura prima; hæc recta eodem modo cum curva in figuram novam tran$lata tanget lineam illam curvam in figura nova: & contra. Nam $i Curvæ puncta quævis duo accedunt ad invicem & coeunt in fi- gura prima, puncta eadem tran$lata accedent ad invicem & coibunt in figura nova, atque adeo rectæ, quibus hæc puncta junguntur, $i- mul evadent curvarum tangentes in figura utraque. Componi po$- $ent harum a$$ertionum Demon$trationes more magis Geometrico. Sed brevitati con$ulo. <p>Igitur $i figura rectilinea in aliam tran$mutanda e$t, $ufficit rec- tarum a quibus conflatur inter$ectiones transferre, & per ea$dem in figura nova lineas rectas ducere. Sin curvilineam tran$mutare oportet, transferenda $unt puncta, tangentes & aliæ rectæ quarum ope curva linea definitur. In$ervit autem hoc Lemma $olutioni difficiliorum Problematum, tran$mutando figuras propo$itas in $im- pliciores. Nam rectæ quævis convergentes tran$mutantur in pa- rallelas, adhibendo pro radio ordinato primo, lineam quam- vis rectam quæ per concur$um convergentium tran$it: id adeo quia concur$us ille hoc pacto abit in infinitum, lineæ autem parallelæ $unt quæ ad punctum infinite di$tans tendunt. Po$tquam autem Problema $olvitur in figura nova, $i per inver$as operationes tran$- mutetur hæc figura in figuram primam, habebitur $olutio quæ$ita. <p>Utile e$t etiam hoc Lemma in $olutione Solidorum Problema- tum. Nam quoties duæ $ectiones Conicæ obvenerint, quarum in- ter$ectione Problema $olvi pote$t, tran$mutare licet earum alter- utram, $i Hyperbola $it vel Parabola, in Ellip$in: deinde Ellip$is facile mutatur in Circulum. Recta item & $ectio Conica, in con- $tructione Planorum Problematum, vertuntur in Rectam & Cir- culum. <C>PROPOSITIO XXV. PROBLEMA XVII.</C> <C><I>Trajectoriam de$cribere qua per data duo puncta tran$ibit & rectas tres continget po$itione datas.</I></C> <p>Per concur$um tangentium quarumvis duarum cum $e invicem, & concur$um tangentis tertiæ cum recta illa, quæ per puncta duo data tran$it, age rectam infinitam; eaque adhibita pro radio ordinato pri- mo, tran$mutetur figura, per Lemma $uperius, in figuram novam. In <pb n=82> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> hac figura tangentes illæ duæ evadent $ibi invicem parallelæ, & tan- gens tertia fiet parallela rectæ per <FIG> puncta duo data tran$eunti. Sunto <I>hi, kl</I> tangentes illæ duæ parallelæ, <I>ik</I> tangens tertia, & <I>hl</I> recta huic parallela tran$iens per puncta illa <I>a, b,</I> per quæ Conica $ectio in hac figura nova tran$ire debet, & pa- rallelogrammum <I>hikl</I> complens. Secentur rectæ <I>hi, ik, kl</I> in <I>c, d, e,</I> ita ut $it <I>hc</I> ad latus quadratum rectanguli <I>ahb, ic</I> ad <I>id,</I> & <I>ke</I> ad <I>kd</I> ut e$t $umma rectarum <I>hi</I> & <I>kl</I> ad $ummam trium linea- rum quarum prima e$t recta <I>ik,</I> & alteræ duæ $unt latera quadrata rectangulorum <I>ahb</I> & <I>alb</I> & erunt <I>c, d, e</I> puncta contactuum. Et- enim, ex Conicis, $unt <I>hc</I> quadratum ad rectangulum <I>ahb,</I> & <I>ic</I> quadratum ad <I>id</I> quadratum, & <I>ke</I> quadratum ad <I>kd</I> quadratum, & <I>el</I> quadratum ad rectangulum <I>alb</I> in eadem ratione; & propter- ea <I>hc</I> ad latus quadratum ip$ius <I>ahb, ic</I> ad <I>id, ke</I> ad <I>kd,</I> & <I>el</I> ad latus quadratum ip$ius <I>alb</I> $unt in $ubduplicata illa ratione, & compo$ite, in data ratione omnium antecedentium <I>hi</I> & <I>kl</I> ad omnes con$equentes, quæ $unt latus quadratum rectanguli <I>ahb</I> & recta <I>ik</I> & latus quadratum rectanguli <I>alb.</I> Habentur igitur ex data illa ratione puncta contactuum <I>c, d, e,</I> in figura nova. Per inver$as operationes Lemmatis novi$$imi transferantur hæc pun- cta in figuram primam & ibi, per Probl. XIV, de$cribetur Trajectoria. <I>Q.E.F.</I> Ceterum perinde ut puncta <I>a, b</I> ja- cent vel inter puncta <I>h, l,</I> vel extra, debent puncta <I>c, d, e</I> vel inter puncta <I>h, i, k, l</I> capi, vel extra. Si punctorum <I>a, b</I> al- terutrum cadit inter puncta <I>h, l,</I> & alterum extra, Problema im- po$$ibile e$t. <C>PROPOSITIO XXVI. PROBLEMA XVIII.</C> <C><I>Trajectoriam de$cribere quæ tran$ibit per punctum datum & rectas quatuor po$itione datas continget.</I></C> <p>Ab inter$ectione communi duarum quarumlibet tangentium ad inter$ectionem communem reliquarum duarum agatur recta infini- <pb n=83> ta, & eadem pro radio ordinato primo adhibita, tran$mutetur fi- <MARG>LIBER PRIMUS.</MARG> gura (per Lem. XXII) in figuram novam, & tangentes binæ, quæ ad radium ordinatum primum concurrebant, jam evadent parallelæ. Sun- to illæ <I>hi</I> & <I>kl, ik</I> & <I>hl</I> continentes parallelogrammum <I>hikl.</I> Sit- que <I>p</I> punctum in hac nova figura, puncto in figura prima dato re$pondens. Per figuræ centrum <I>O</I> agatur <I>pq,</I> & exi$tente <I>Oq</I> æ- quali <I>Op,</I> erit <I>q</I> punctum alterum per quod $ectio Conica in hac figura nova tran$ire debet. Per Lemmatis XXII operationem in- ver$am transferatur hoc punctum in figuram primam, & ibi habe- buntur puncta duo per quæ Trajectoria de$cribenda e$t. Per ea- dem vero de$cribi pote$t Trajectoria illa per Prob. XVII. <I>Q.E.F.</I> <C>LEMMA XXIII.</C> <p><I>Si rectæ duæ po$itione datæ</I> AC, BD <I>ad data puncta</I> A, B, <I>ter- minentur, datamque habeant rationem ad invicem, & recta</I> CD, <I>qua puncta indeterminata</I> C, D <I>junguntur, $ecetur in ra- tione data in</I> K: <I>dico quod punctum</I> K <I>locabitur in recta po$i- tione data.</I> <p>Concurrant enim rectæ <I>AC,</I> <FIG> <I>BD</I> in <I>E,</I> & in <I>BE</I> capiatur <I>BG</I> ad <I>AE</I> ut e$t <I>BD</I> ad <I>AC,</I> $it- que <I>FD</I> $emper æqualis datæ <I>EG</I>; & erit ex con$tructione <I>EC</I> ad <I>GD,</I> hoc e$t, ad <I>EF</I> ut <I>AC</I> ad <I>BD,</I> adeoque in ratione data, & propterea dabitur $pecie triangulum <I>EFC.</I> Secetur <I>CF</I> in <I>L</I> ut $it <I>CL</I> ad <I>CF</I> in ratio- ne <I>CK</I> ad <I>CD</I>; &, ob datam il- lam rationem, dabitur etiam $pecie triangulum <I>EFL</I>; proindeque punctum <I>L</I> locabitur in recta <I>EL</I> po$itione data. Junge <I>LK,</I> & $imilia erunt triangula <I>CLK, CFD</I>; &, ob datam <I>FD</I> & datam rationem <I>LK</I> ad <I>FD,</I> dabitur <I>LK.</I> Huic æqualis capiatur <I>EH,</I> & erit $emper <I>ELKH</I> parallelogrammum. Locatur igitur punc- tum <I>K</I> in parallelogrammi illius latere po$itione dato <I>HK. Q.E.D.</I> <pb n=84> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> <C>LEMMA XXIV.</C> <p><I>Si rectæ tres tangant quamcunque Coni$ectionem, quarum duæ pa- rallelæ $int ac dentur po$itione; dico quod Sectionis $emidia- meter hi$ce duabus parallela, $it media proportionalis inter ha- rum $egmenta, punctis contactuum & tangenti tertiæ inter- jecta.</I> <p>Sunto <I>AF, GB</I> pa- <FIG> rallelæ duæ Coni$ec- tionem <I>ADB</I> tan- gentes in <I>A</I> & <I>B; EF</I> recta tertia Coni$ec- tionem tangens in <I>I,</I> & occurrens prioribus tangentibus in <I>F</I> & <I>G</I>; $itque <I>CD</I> $emidiame- ter Figuræ tangenti- bus parallela: Dico quod <I>AF, CD, BG</I> $unt continue proportionales. <p>Nam $i diametri conjugatæ <I>AB, DM</I> tangenti <I>FG</I> occurrant in <I>E</I> & <I>H,</I> $eque mutuo $ecent in <I>C,</I> & compleatur parallelogram- mum <I>IKCL</I>; erit, ex natura Sectionum Conicarum, ut <I>EC</I> ad <I>CA</I> ita <I>CA</I> ad <I>CL,</I> & ita divi$im <I>EC-CA</I> ad <I>CA-CL,</I> $eu <I>EA</I> ad <I>AL,</I> & compo$ite <I>EA</I> ad <I>EA+AL</I> $eu <I>EL</I> ut <I>EC</I> ad <I>EC+CA</I> $eu <I>EB</I>; adeoque (ob $imilitudinem triangulorum <I>EAF, ELI, ECH, EBG) AF</I> ad <I>LI</I> ut <I>CH</I> ad <I>BG.</I> E$t itidem, ex natura Sectionum Conicarum, <I>LI</I> ($eu <I>CK</I>) ad <I>CD</I> ut <I>CD</I> ad <I>CH</I>; atque, adeo ex æquo perturbate, <I>AF</I> ad <I>CD</I> ut <I>CD</I> ad <I>BG. Q.E.D.</I> <p><I>Corol.</I> 1. Hinc $i tangentes duæ <I>FG, PQ</I> tangentibus parallelis <I>AF, BG</I> occurrant in <I>F</I> & <I>G, P</I> & <I>Q,</I> $eque mutuo $ecent in <I>O</I>; erit (ex æquo perturbate) <I>AF</I> ad <I>BQ</I> ut <I>AP</I> ad <I>BG,</I> & divi$im ut <I>FP</I> ad <I>GQ,</I> atque adeo ut <I>FO</I> ad <I>OG.</I> <p><I>Corol.</I> 2. Unde etiam rectæ duæ <I>PG, FQ</I> per puncta <I>P</I> & <I>G, F</I> & <I>Q</I> ductæ, concurrent ad rectam <I>ACB</I> per centrum Figuræ & puncta contactuum <I>A, B</I> tran$euntem. <pb n=85> <MARG>LIBER PRIMUS.</MARG> <C>LEMMA XXV.</C> <p><I>Si parallelogrammi latera quatuor infinite producta tangant Sectio- nem quamcunque Conicam, & ab$cindantur ad tangentem quamvis quintam; $umantur autem laterum quorumvis duorum contermi- norum ab$ci$$æ terminatæ ad angulos oppo$itos parallelogrammi: dico quod ab$ci$$a alterutra $it ad latus illud a quo est ab$ci$$a, ut pars lateris alterius contermini inter punctum contactus & latus tertium, est ad ab$ci$$arum alteram.</I> <p>Tangant parallelogrammi <I>MLIK</I> latera quatuor <I>ML, IK, KL, MI</I> $ectionem Conicam in <I>A, B, C, D,</I> & $ecet tangens quinta <I>FQ</I> hæc latera in <I>F, Q, H</I> <FIG> & <I>E</I>; $umantur autem laterum <I>MI, KI</I> ab- $ci$$æ <I>ME, KQ,</I> vel laterum <I>KL, ML</I> ab- $ci$$æ <I>KH, MF:</I> di- co quod $it <I>ME</I> ad <I>MI</I> ut <I>BK</I> ad <I>KQ</I>; & <I>KH</I> ad <I>KL</I> ut <I>AM</I> ad <I>MF.</I> Nam per Corollarium $e- cundum Lemmatis $uperioris, e$t <I>ME</I> ad <I>EI</I> ut (<I>AM</I> $eu) <I>BK</I> ad <I>BQ,</I> & componendo <I>ME</I> ad <I>MI</I> ut <I>BK</I> ad <I>KQ. Q.E.D.</I> Item <I>KH</I> ad <I>HL</I> ut (<I>BK</I> $eu) <I>AM</I> ad <I>AF,</I> & dividendo <I>KH</I> ad <I>KL</I> ut <I>AM</I> ad <I>MF. Q.E.D.</I> <p><I>Corol.</I> 1. Hinc $i datur parallelogramum <I>IKLM,</I> circa datam Sec- tionem Conicam de$eriptum, dabitur rectangulum <I>KQXME,</I> ut & huic æquale rectangulum <I>KHXMF.</I> <p><I>Corol.</I> 2. Et $i $exta ducatur tangens <I>eq</I> tangentibus <I>KI, MI</I> occurrens in <I>q</I> & <I>e</I>; rectangulum <I>KQXME</I> æquabitur rectan- gulo <I>KqXMe</I>; eritque <I>KQ</I> ad <I>Me</I> ut <I>Kq</I> ad <I>ME,</I> & divi$im ut <I>Qq</I> ad <I>Ee.</I> <p><I>Corol.</I> 3. Unde etiam $i <I>Eq, eQ</I> jungantur & bi$ecentur, & recta per puncta bi$ectionum agatur, tran$ibit hæc per centrum Sectio- nis Conicæ. Nam cum $it <I>Qq</I> ad <I>Ee</I> ut <I>KQ</I> ad <I>Me,</I> tran$ibit ea- <pb n=86> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> dem recta per medium omnium <I>Eq, eQ, MK</I>; (per Lem. XXIII) & medium rectæ <I>MK</I> e$t centrum Sectionis. <C>PROPOSITIO XXVII. PROBLEMA XIX.</C> <C><I>Trajectoriam de$cribere quæ rectas quinque po$itione datas continget.</I></C> <p>Dentur pofitione tangentes <I>ABG, BCF, GCD, FDE, EA.</I> Figuræ quadrilateræ $ub quatuor quibu$vis contentæ <I>ABFE</I> dia- gonales <I>AF, BE</I> bi$eca, & (per Corol. 3. Lem. XXV) recta <I>MN</I> per puncta bi$ectionum acta tran$ibit per centrum Trajectoriæ. Rur$us Figuræ quadrilateræ <I>BGDF,</I> $ub aliis quibu$vis quatuor <FIG> tangentibus contentæ, diagonales (ut ita dicam) <I>BD, GF</I> bi- $eca in <I>P</I> & <I>Q:</I> & recta <I>PQ</I> per puncta bi$ectionum acta tran$- ibit per centrum Trajectoriæ. Dabitur ergo centrum in concur$u bi- $ecantium. Sit illud <I>O.</I> Tangenti cuivis <I>BC</I> parallelam age <I>KL,</I> ad eam di$tantiam ut centrum <I>O</I> in medio inter parallelas locetur, & acta <I>KL</I> tanget Trajectoriam de$cribendam. Secet hæc tan- <pb n=87> gentes alias qua$vis duas <I>GCD, FDE</I> in <I>L</I> & <I>K.</I> Per harum <MARG>LIBER PRIMUS.</MARG> tangentium non parallelarum <I>CL, FK</I> cum parallelis <I>CF, KL</I> concur$us <I>C</I> & <I>K, F</I> & <I>L</I> age <I>CK, FL</I> concurrentes in <I>R,</I> & rec- ta <I>OR</I> ducta & producta $ecabit tangentes parallelas <I>CF, KL</I> in punctis contactuum. Patet hoc per Corol. 2. Lem. XXIV. Ea- dem methodo invenire licet alia contactuum puncta, & tum de- mum per Probl. XIV. &c. Trajectoriam de$cribere. <I>Q.E.F.</I> <C><I>Scholium.</I></C> <p>Problemata, ubi dantur Trajectoriarum vel centra vel A$ymp- toti, includuntnr in præcedentibus. Nam datis punctis & tangen- tibus una cum centro, dantur alia totidem puncta aliæque tangen- tes a centro ex altera ejus parte æqualiter di$tantes. A$ymptotos autem pro tangente habenda e$t, & ejus terminus infinite di$tans ($i ita loqui fas $it) pro puncto contactus. Concipe tangentis cu- ju$vis punctum contactus abire in infinitum, & tangens vertetur in A$ymptoton, atque con$tructiones Problematis XIV & Ca$us pri- mi Problematis XV vertentur in con$tructiones Problematum ubi A$ymptoti dantur. <p>Po$tquam Trajectoria de$cripta e$t, invenire licet axes & umbi- licos ejus hac methodo. In con$tructione & figura Lemmatis XXI, fac ut angulorum mobi- <FIG> lium <I>PBN, PCN</I> cru- ra <I>BP, CP,</I> quorum concur$u Trajectoria de- $cribebatur, $int $ibi invi- cem parallela, eumque $ervantia $itum revolvan- tur circa polos $uos <I>B, C</I> in figura illa. Interea ve- ro de$cribant altera an- gulorum illorum crura <I>CN, BN,</I> concur$u $uo <I>K</I> vel <I>k,</I> Circulum <I>IBKGC.</I> Sit Circuli hujus centrum <I>O.</I> Ab hoc centro ad Regulam <I>MN,</I> ad quam altera illa crura <I>CN, BN</I> interea concurrebant <pb n=88> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> dum Trajectoria de$cribebatur, demitte normalem <I>OH</I> Circulo oc- currentem in <I>K</I> & <I>L.</I> Et ubi crura illa altera <I>CK, BK</I> concur- runt ad punctum illud <I>K</I> quod Regulæ propius e$t, crura prima <I>CP, BP</I> parallela erunt axi majori, & perpendicularia minori; & contrarium eveniet $i crura eadem concurrunt ad punctum remo- tius <I>L.</I> Unde $i detur Trajectoriæ centrum, dabuntur axes. Hi$ce autem datis, umbilici $unt in promptu. <p>Axium vero quadrata $unt ad invicem ut <I>KH</I> ad <I>LH,</I> & inde facile e$t Trajectoriam <FIG> $pecie datam per data quatuor puncta de$cri- bere. Nam $i duo ex punctis datis con$titu- antur poli <I>C, B,</I> tertium dabit angulos mobiles <I>PCK, PBK</I>; his au- tem datis de$cribi pote$t Circulus <I>IBKGC.</I> Tum ob datam $pecie Trajectoriam, dabitur ratio <I>OH</I> ad <I>OK,</I> ad- eoque ip$a <I>OH.</I> Cen- tro <I>O</I> & intervallo <I>OH</I> de$cribe alium circulum, & recta quæ tangit hunc circulum, & tran$it per concur$um crurum <I>CK, BK,</I> ubi crura prima <I>CP, BP</I> concurrunt ad quartum da- tum punctum erit Regula illa <I>MN</I> cujus ope Trajectoria de$cri- betur. Unde etiam vici$$im Trapezium $pecie datum ($i ca$us qui- dam impo$$ibiles excipiantur) in data quavis Sectione Conica in- $cribi pote$t. <p>Sunt & alia Le<*>mata quorum ope Trajectoriæ $pecie datæ, datis punctis & tangentibus, de$cribi po$$unt. Ejus generis e$t quod, $i recta linea per punctum quodvis po$itione datum ducatur, quæ datam Coni$ectionem in punctis duobus inter$e- cet, & inter$ectionum intervallum bi$ecetur, punctum bi$ectionis tanget aliam Coni$ectionem eju$dem $peciei cum priore, atque axes habentem prioris axibus parallelos. Sed propero ad magis utilia. <pb n=89> <MARG>LIBER PRIMUS.</MARG> <C>LEMMA XXVI.</C> <p><I>Trianguli $pecie & magnitudine dati tres angulos ad rectas tot- idem po$itione datas, quæ non $unt omnes parallelæ, $ingulos ad $ingulas ponere.</I> <p>Dantur po$itione tres rectæ infinitæ <I>AB, AC, BC,</I> & opor- tet triangulum <I>DEF</I> ita locare, ut angulus ejus <I>D</I> lineam <I>AB,</I> angulus <I>E</I> lineam <I>AC,</I> <FIG> & angulus <I>F</I> lineam <I>BC</I> tangat. Super <I>DE, DF</I> & <I>EF</I> de$cribe tria circulorum $eg- menta <I>DRE, DGF, EMF,</I> quæ capiant angulos angulis <I>BAC, ABC, ACB</I> æquales re$pective. De$criban- tur autem hæc $egmen- ta ad eas partes linea- rum <I>DE, DF, EF</I> ut literæ <I>DRED</I> eodem ordine cum literis <I>BACB,</I> literæ <I>DGFD</I> eodem cum literis <I>ABCA,</I> & literæ <I>EMFE</I> eodem cum literis <I>ACBA</I> in orbem redeant; deinde com- pleantur hæc $egmenta in circulos integros. Se- cent circuli duo prio- res $e mutuo in <I>G,</I> $int- que centra eorum <I>P</I> & <I>Q.</I> Junctis <I>GP, PQ,</I> cape <I>Ga</I> ad <I>AB</I> ut e$t <I>GP</I> ad <I>PQ,</I> & cen- tro <I>G,</I> intervallo <I>Ga</I> de$cribe circulum, qui $ecet circulum primum <I>DGE</I> in <I>a.</I> Jungatur tum <I>aD</I> $ecans circulum $ecundum <I>DFG</I> in <I>b,</I> tum <I>aE</I> $ecans cir- <pb n=90> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> culum tertium <I>EMF</I> in <I>c.</I> Et compleatur Figura <I>ABC def</I> $imi- lis & æqualis Figuræ <I>abcDEF.</I> Dico factum. <p>Agatur enim <I>Fc</I> ip$i <I>aD</I> occurrens in <I>n,</I> & jungantur <I>aG, bG, QG, QD, PD.</I> Ex con$tructione e$t angulus <I>EaD</I> æqualis an- gulo <I>CAB,</I> & angulus <FIG> <I>acF</I> æqualis angulo <I>ACB,</I> adeoque trian- gulum <I>anc</I> triangulo <I>ABC</I> æquiangulum. Ergo angulus <I>anc</I> $eu <I>FnD</I> angulo <I>ABC,</I> adeoque angulo <I>FbD</I> æqualis e$t; & propter- ea punctum <I>n</I> incidit in punctum <I>b.</I> Porro an- gulus <I>GPQ,</I> qui di- midius e$t anguli ad centrum <I>GPD,</I> æqua- lis e$t angulo ad cir- cumferentiam <I>GaD</I>; & angulus <I>GQP,</I> qui dimidius e$t anguli ad centrum <I>GQD,</I> æ- qualis e$t complemen- to ad duos rectos an- guli ad circumferenti- am <I>GbD,</I> adeoque æ- qualis angulo <I>Gba</I>; funtque ideo triangu- la <I>GPQ, Gab</I> $imi- lia; & <I>Ga</I> e$t ad <I>ab</I> ut <I>GP</I> ad <I>PQ</I>; id e$t (ex con$tructione) ut <I>Ga</I> ad <I>AB.</I> Æquan- tur itaque <I>ab</I> & <I>AB</I>; & propterea triangula <I>abc, ABC,</I> quæ mo- do $imilia e$$e probavimus, $unt etiam æqualia. Unde, cum tan- gant in$uper trianguli <I>DEF</I> anguli <I>D, E, F</I> trianguli <I>abc</I> latera <I>ab, ac, bc</I> re$pective, compleri pote$t Figura <I>ABCdef</I> Figuræ <I>abc DEF</I> $imilis & æqualis, atque eam complendo $olvetur Pro- blema. <I>Q.E.F.</I> <pb n=91> <p><I>Corol.</I> Hinc recta duci pote$t cujus partes longitudine datæ rectis <MARG>LIBER PRIMUS.</MARG> tribus po$itione datis interjacebunt. Concipe Triangulum <I>DEF,</I> puncto <I>D</I> ad latus <I>EF</I> accedente, & lateribus <I>DE, DF</I> in di- rectum po$itis, mutari in lineam rectam, cujus pars data <I>DE</I> rec- tis po$itione datis <I>AB, AC,</I> & pars data <I>DF</I> rectis po$itione da- tis <I>AB, BC</I> interponi debet; & applicando con$tructionem præ- cedentem ad hunc ca$um $olvetur Problema. <C>PROPOSITIO XXVIII. PROBLEMA XX.</C> <C><I>Trajectoriam $pecie & magnitudine datam de$cribere, cujus partes da- tæ rectis tribus po$itione datis interjacebunt.</I></C> <p>De$cribenda $it Trajectoria quæ $it $imilis & æqualis Lineæ cur- væ <I>DEF,</I> quæque a rectis tribus <I>AB, AC, BC</I> po$itione datis, in <FIG> partes datis hujus partibus <I>DE</I> & <I>EF</I> $imiles & æquales $eca- bitur. <p>Age rectas <I>DE, EF, DF,</I> & trianguli hujus <I>DEF</I> pone an- los <I>D, E, F</I> ad rectas illas po$itione datas (per Lem. XXVI) Dein circa triangulum de$cribe Trajectoriam Curvæ <I>DEF</I> $imilem & æqualem. <I>Q.E.F.</I> <pb n=92> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> <C>LEMMA XXVII.</C> <p><I>Trapezium $pecie datum de$cribere cujus anguli ad rectas quatuor po- $itione datas, quæ neque omnes parallelæ $unt, neque ad commune punctum convergunt, $inguli ad $ingulas con$i$tent.</I> <p>Dentur po$itione rectæ quatuor <I>ABC, AD, BD, CE,</I> qua- rum prima $ecet $ecundam in <I>A,</I> tertiam in <I>B,</I> & quartam in <I>C:</I> & de$cribendum $it Trapezium <I>fghi</I> quod $it Trapezio <I>FGHI</I> <FIG> $imile, & cujus angulus <I>f,</I> angulo dato <I>F</I> æqualis, tangat rectam <I>ABC,</I> cæterique anguli <I>g, h, i,</I> cæteris angulis datis <I>G, H, I</I> æqua- les, tangant cæteras lineas <I>AD, BD, CE</I> re$pective. Jungatur <I>FH</I> & $uper <I>FG, FH, FI</I> de$cribantur totidem circulorum $eg- menta <I>FSG, FTH, FVI</I>; quorum primum <I>FSG</I> capiat angu- <pb n=93> lum æqualem angulo <I>BAD,</I> $ecundum <I>FTH</I> capiat angulum æ- <MARG>LIBER PRIMUS.</MARG> qualem angulo <I>CBD,</I> ac tertium <I>FVI</I> capiat angulum æqualem angulo <I>ACE.</I> De$cribi autem debent $egmenta ad eas partes li- nearum <I>FG, FH, FI,</I> ut literarum <I>FSGF</I> idem $it ordo circula- ris qui literarum <I>BADB,</I> utque literæ <I>FTHF</I> eodem ordine cum literis <I>CBDC,</I> & literæ <I>FVIF</I> eodem cum literis <I>ACEA</I> in or- bem redeant. Compleantur $egmenta in circulos integros, $itque <I>P</I> centrum circuli primi <I>FSG,</I> & <I>Q</I> centrum $ecundi <I>FTH.</I> Jungatur & utrinque producatur <I>PQ,</I> & in ea capiatur <I>QR</I> in ea ratione ad <I>PQ</I> quam habet <I>BC</I> ad <I>AB.</I> Capiatur autem <I>QR</I> ad eas partes puncti <I>Q</I> ut literarum <I>P, Q, R</I> idem $it ordo atque literarum <I>A, B, C:</I> centroque <I>R</I> & intervallo <I>RF</I> de$cribatur circulus quartus <I>FNc</I> $ecans circulum tertium <I>FVI</I> in <I>c.</I> Jungatur <I>Fc</I> $ecans circulum primum in <I>a</I> & $ecundum in <I>b.</I> Agantur <I>a G, b H, c I,</I> & Figuræ <I>abc FGHI</I> $imilis con$tituatur Figura <I>ABCfghi:</I> Eritque Trapezium <I>fghi</I> illud ip$um quod con$tituere oportebat. <p>Secent enim circuli duo primi <I>FSG, FTH</I> $e mutuo in <I>K.</I> Jungantur <I>PK, QK, RK, a K, b K, c K,</I> & producatur <I>QP</I> ad <I>L.</I> Anguli ad circumferentias <I>FaK, FbK, FcK</I> $unt $emi$$es an- gulorum <I>FPK, FQK, FRK</I> ad centra, adeoque angulorum illorum dimidiis <I>LPK, LQK, LRK</I> æquales. E$t ergo Figura <I>PQRK</I> Figuræ <I>abcK</I> æquiangula & $imilis, & propterea <I>ab</I> e$t ad <I>bc</I> ut <I>PQ</I> ad <I>QR,</I> id e$t, ut <I>AB</I> ad <I>BC.</I> Angulis in$uper <I>FaG, FbH, FcI</I> æquantur <I>fAg, fBh, fCi</I> per con$tructionem. Er- go Figuræ <I>abcFGHI</I> Figura $imilis <I>ABCfghi</I> compleri pote$t Quo facto Trapezium <I>fghi</I> con$tituetur $imile Trapezio <I>FGHI</I> & angulis $uis <I>f, g, h, i</I> tanget rectas <I>ABC, AD, BD, CE Q.E.F.</I> <p><I>Corol.</I> Hinc recta duci pote$t cujus partes, rectis quatuor po$i- tione datis dato ordine interjectæ, datam habebunt proportionem ad invicem. Augeantur anguli <I>FGH, GHI</I> u$que eo, ut rectæ <I>FG, GH, HI</I> in directum jaceant, & in hoc ca$u con$truendo Proble- ma, ducetur recta <I>fghi</I> cujus partes <I>fg, gh, hi,</I> rectis quatuor po- $itione datis <I>AB</I> & <I>AD, AD</I> & <I>BD, BD</I> & <I>CE</I> interjectæ, e- runt ad invicem ut lineæ <I>FG, GH, HI,</I> eundemque $ervabunt or- dinem inter $e. Idem vero $ic fit expeditius. <pb n=94> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> <p>Producantur <I>AB</I> ad <I>K,</I> & <I>BD</I> ad <I>L,</I> ut $it <I>BK</I> ad <I>AB</I> ut <I>HI</I> ad <I>GH</I>; & <I>DL</I> ad <I>BD</I> ut <I>GI</I> ad <I>FG</I>; & jungatur <I>KL</I> occurrens rectæ <I>CE</I> in <I>i.</I> Producatur <I>iL</I> ad <I>M,</I> ut $it <I>LM</I> ad <I>iL</I> ut <I>GH</I> ad <I>HI,</I> & agatur tum <I>MQ</I> ip$i <I>LB</I> parallela rectæque <I>AD</I> occurrens in <I>g,</I> tum <I>gi</I> $ecans <I>AB, BD</I> in <I>f, h.</I> Dico factum. <p>Secet enim <I>Mg</I> rectam <I>AB</I> in <I>Q,</I> & <I>AD</I> rectam <I>KL</I> in <I>S,</I> & agatur <I>AP</I> quæ $it ip$i <I>BD</I> parallela & occurrat <I>iL</I> in <I>P,</I> & erunt <I>gM</I> ad <I>Lh (gi</I> ad <I>hi, Mi</I> ad <I>Li, GI</I> ad <I>HI, AK</I> ad <I>BK</I>) & <I>AP</I> ad <I>BL</I> in eadem ratione. Secetur <I>DL</I> in <I>R</I> ut $it <FIG> <I>DL</I> ad <I>RL</I> in eadem illa ratione, & ob proportionales <I>gS</I> ad <I>gM, AS</I> ad <I>AP,</I> & <I>DS</I> ad <I>DL</I>; erit, ex æquo, ut <I>gS</I> ad <I>Lh</I> ita <I>AS</I> ad <I>BL</I> & <I>DS</I> ad <I>RL</I>; & mixtim, <I>BL-RL</I> ad <I>Lh-BL</I> ut <I>AS-DS</I> ad <I>gS-AS.</I> Id e$t <I>BR</I> ad <I>Bh</I> ut <I>AD</I> ad <I>Ag</I> ad- eoque ut <I>BD</I> ad <I>gQ.</I> Et vici$$im <I>BR</I> ad <I>BD</I> ut <I>Bh</I> ad <I>gQ,</I> $eu <I>fh</I> ad <I>fg.</I> Sed ex con$tructione linea <I>RL</I> eadem ratione $ecta fuit in <I>D</I> & <I>R</I> atque linea <I>FI</I> in <I>G</I> & <I>H:</I> ideoque e$t <I>BR</I> ad <I>BD</I> ut <I>FH</I> ad <I>FG.</I> Ergo <I>fh</I> e$t ad <I>fg</I> ut <I>FH</I> ad <I>FG.</I> Cum igitur $it etiam <I>gi</I> ad <I>hi</I> ut <I>Mi</I> ad <I>Li,</I> id e$t, ut <I>GI</I> ad <I>HI,</I> patet li- neas <I>FI, fi</I> in <I>g</I> & <I>h, G</I> & <I>H</I> $imiliter $ectas e$$e. <I>Q.E.F.</I> <pb n=95> <p>In con$tructione Corollarii hujus po$tquam ducitur <I>LK</I> $ecans <MARG>LIBER PRIMUS.</MARG> <I>CE</I> in <I>i,</I> producere licet <I>iE</I> ad <I>V,</I> ut $it <I>EV</I> ad <I>Ei</I> ut <I>FH</I> ad <I>HI,</I> & agere <I>Vf</I> parallelam ip$i <I>BD.</I> Eodem recidit $i centro <I>i,</I> in- tervallo <I>IH,</I> de$cribatur circulus $ecans <I>BD</I> in <I>X,</I> & producatur <I>iX</I> ad <I>Y,</I> ut $it <I>iY</I> æqualis <I>IF,</I> & agatur <I>Yf</I> ip$i <I>BD</I> parallela. <p>Problematis hujus $olutiones alias <I>Wrennus</I> & <I>Walli$ius</I> olim ex- cogitarunt. <C>PROPOSITIO XXIX. PROBLEMA XXI.</C> <C><I>Trajectoriam $pecie datam de$cribere, quæ a rectis quatuor po$itione datis in partes $ecabitur, ordine, $pecie & proportione datas.</I></C> <FIG> <p>De$cribenda $it Trajectoria <FIG> <I>fghi,</I> quæ $imilis $it Lincæ curvæ <I>FGHI,</I> & cujus partes <I>fg, gh, hi</I> illius partibus <I>FG, GH, HI</I> $i- miles & proportionales, rectis <I>AB</I> & <I>AD, AD</I> & <I>BD, BD</I> & <I>CE</I> po$itione datis, prima pri- mis, $ecunda $ecundis, tertia ter- tiis interjaceant. Actis rectis <I>FG, GH, HI, FI,</I> de$cribatur (per Lem. XXVII.) Trapezium <I>fghi</I> quod $it Trapezio <I>FGHI</I> $imile & cujus anguli <I>f, g, h, i</I> tangant rectas illas po$itione datas <I>AB, AD, BD, CE,</I> $inguli $ingulas dicto ordine. Dein circa hoc Trapezium de$cribatur Trajectoria curvæ Lineæ <I>FGHI</I> con$imilis. <pb n=96> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> <C><I>Scholium.</I></C> <p>Con$trui etiam pote$t hoc Problema ut $equitur. Junctis <I>FG, GH, HI, FI</I> produc <I>GF</I> ad <I>V,</I> jungeque <I>FH, IG,</I> & angulis <I>FGH, VFH</I> fac angulos <I>CAK, DAL</I> æquales. Concurrant <I>AK, AL</I> cum recta <I>BD</I> in <I>K</I> & <I>L,</I> & inde agantur <I>KM, LN,</I> quarum <I>KM</I> con$tituat angulum <I>AKM</I> æqualem angulo <I>GHI,</I> $itque ad <I>AK</I> ut e$t <I>HI</I> ad <I>GH</I>; & <I>LN</I> con$tituat angulum <I>ALN</I> æqualem angulo <I>FHI,</I> $itque ad <I>AL</I> ut <I>HI</I> ad <I>FH.</I> Du- cantur autem <I>AK, KM, AL, LN</I> ad eas partes linearum <I>AD, AK, AL,</I> ut literæ <I>CAKMC, ALKA, DALND</I> eodem ordine cum literis <I>FGHIF</I> in orbem redeant; & act <I>MN</I> oc- currat rectæ <I>CE</I> in <I>i.</I> Fac angulum <I>iEP</I> æqualem angulo <I>IGF,</I> <FIG> $itque <I>PE</I> ad <I>Ei</I> ut <I>FG</I> ad <I>GI;</I> & per <I>P</I> agatur <I>PQf,</I> quæ cum recta <I>ADE</I> contineat angulum <I>PQE</I> æqualem angulo <I>FIG,</I> rectæque <I>AB</I> occurrat in <I>f,</I> & jungatur <I>fi.</I> Agantur au- rem <I>PE</I> & <I>PQ</I> ad eas partes linearum <I>CE, PE,</I> ut literarum <I>PEiP</I> & <I>PEQP</I> idem $it ordo circularis qui literarum <I>FGHIF,</I> & $i $uper linea <I>fi</I> eodem quoque literarum ordine con$tituatur Trapezium <I>fghi</I> Trapezio <I>FGHI</I> $imile, & circum$cribatur Tra- jectoria $pecie data, $olvetur Problema. <p>Hactenus de Orbibus inveniendis. Supere$t ut Motus corpo- rum in Orbibus inventis determinemus. <pb n=97> <MARG>LIBER PRIMUS.</MARG> <C>SECTIO VI.</C> <C><I>De Inventione Motuum in Orbibus datis.</I></C> <C>PROPOSITIO XXX. PROBLEMA XXII.</C> <C><I>Corporis in data Trajectoria Parabolica moti invenire locum ad tempus a$$ignatum.</I></C> <p>Sit <I>S</I> umbilicus & <I>A</I> vertex principa- <FIG> lis Parabolæ, $itque 4 <I>ASXM</I> æquale areæ Parabolicæ ab$cindendæ <I>APS,</I> quæ radio <I>SP,</I> vel po$t exce$$um cor- poris de vertice de$cripta fuit, vel an- te appul$um ejus ad verticem de$cri- benda e$t. Innote$cit quantitas areæ il- lius ab$cindendæ ex tempore ip$i pro- portionali. Bi$eca <I>AS</I> in <I>G,</I> erigeque perpendiculum <I>GH</I> æquale 3 M, & Circulus centro <I>H,</I> intervallo <I>HS</I> de$criptus $ecabit Parabolam in loco quæ$ito <I>P.</I> Nam, demi$$a ad axem perpendiculari <I>PO</I> & ducta <I>PH,</I> e$t <I>AGq+GHq (=HP q=―AO-AG: quad.+―PO-GH: quad.)= AOq+POq-2 GAO-2GHXPO+AGq+GHq.</I> Unde 2 <I>GHXPO (=AOq+POq-2GAO)=AOq+1/4 POq.</I> Pro <I>AOq</I> $cribe (<I>AOXPOq/4AS</I>); &, applicatis terminis omnibus ad 3<I>PO</I> ducti$que in 2<I>AS,</I> fiet 4/3 <I>GHXAS(=1/6AOXPO+1/2 ASXPO =(AO+3AS/6)XPO=(4AO-3SO/6)XPO</I>=areæ ―<I>APO-SPO)</I> =areæ <I>APS.</I> Sed <I>GH</I> erat 3 M, & inde 4/3 <I>GHXAS</I> e$t 4 <I>AS</I>XM. Ergo area ab$ci$$a <I>APS</I> æqualis e$t ab$cindendæ 4<I>ASXM. Q.E.D.</I> <p><I>Corol.</I> 1. Hinc <I>GH</I> e$t ad <I>AS,</I> ut tempus quo corpùs de$crip- $it arcum <I>AP</I> ad tempus quo corpus de$crip$it arcum inter verti- cem <I>A</I> & perpendiculum ad axem ab umbilico <I>S</I> erectum. <p><I>Corol.</I> 2. Et Circulo <I>ASP</I> per corpus motum <I>P</I> perpetuo tran$- eunte, velocitas puncti <I>H</I> e$t ad velocitatem quam corpus habuit <pb n=98> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> in vertice <I>A,</I> ut 3 ad 8; adeoque in ea etiam ratione e$t linea <I>GH</I> ad lineam rectam quam corpus tempore motus $ui ab <I>A</I> ad <I>P,</I> ea cum velocitate quam habuit in vertice <I>A,</I> de$cribere po$$et. <p><I>Corol.</I> 3. Hinc etiam vice ver$a inveniri pote$t tempus quo cor- pus de$crip$it arcum quemvis a$$ignatum <I>AP.</I> Junge <I>AP</I> & ad medium ejus punctum erige perpendiculum rectæ <I>GH</I> occur- rens in <I>H.</I> <C>LEMMA XXVIII.</C> <p><I>Nulla extat Figura Ovalis cujus area, rectis pro lubitu ab$ci$$a, po$$it per æquationes numero terminorum ac dimen$ionum finitas genera- liter inveniri.</I> <p>Intra Ovalem detur punctum quodvis, circa quod ceu polum re- volvatur perpetuo linea recta, uniformi cum motu, & interea in rec- ta illa exeat punctum mobile de polo, pergatque $emper ea cum velocitate, quæ $it ut rectæ illius intra Ovalem quadratum. Hoc motu punctum illud de$cribet Spiralem gyris infinitis. Jam $i areæ Ovalis a recta illa ab$ci$$æ incrementum per finitam æquationem inveniri pote$t, invenietur etiam per eandem æquationem di$tantia puncti a polo, quæ huic areæ proportionalis e$t, adeoque om- nia Spiralis puncta per æquationem finitam inveniri po$$unt: & propterea rectæ cuju$vis po$itione datæ inter$ectio cum Spirali in- veniri etiam pote$t per æquationem finitam. Atqui recta omnis infinite producta Spiralem $ecat in punctis numero infinitis, & æqua- tio, qua inter$ectio aliqua duarum linearum invenitur, exhibet ea- rum inter$ectiones omnes radicibus totidem, adeoque a$cendit ad rot dimen$iones quot $unt inter$ectiones. Quoniam Circuli duo $e mutuo $ecant in punctis duobus, inter$ectio una non invenietur ni$i per æquationem duarum dimen$ionum, qua inter$ectio altera etiam inveniatur. Quoniam duarum $ectionum Conicarum quatuor e$$e po$$unt inter$ectiones, non pote$t aliqua earum generaliter in- veniri ni$i per æquationem quatuor dimen$ionum, qua omnes $i- mul inveniantur. Nam $i inter$ectiones illæ $eor$im quærantur, quo- niam eadem e$t omnium lex & conditio, idem erit calculus in ca$u unoquoque & propterea eadem $emper conclu$io, quæ igitur de- bet omnes inter$ectiones $imul complecti & indifferenter exhibere. <pb n=99> Unde etiam inter$ectiones Sectionum Conicarum & Curvarum ter- <MARG>LIBER PRIMUS.</MARG> tiæ pote$tatis, eo quod $ex e$$e po$$unt, $imul prodeunt per æqua- tiones $ex dimen$ionum, & inter$ectiones duarum Curvarum tertiæ pote$tatis, quia novem e$$e po$$unt, $imul prodeunt per æqua- tiones dimen$ionum novem. Id ni$i nece$$ario fieret, reducere licc- ret Problemata omnia Solida ad Plana, & plu$quam Solida ad Soli- da. Loquor hic de Curvis pote$tate irreducibilibus. Nam $i æqua- tio per quam Curva definitur, ad inferiorem pote$tatem reduci po$$it: Curva non erit unica, $ed ex duabus vel pluribus compo$i- ta, quarum inter$ectiones per calculos diver$os $eor$im inveniri po$$unt. Ad eundem modum inter$ectiones binæ rectarum & $ecti- onum Conicarum prodeunt $emper per æquationes duarum dimen- $ionum; ternæ rectarum & Curvarum irreducibilium tertiæ pote$tatis per æquationes trium, quaternæ rectarum & Curvarvm irreducibi- lium quartæ pote$tatis per æquationes dimen$ionum quatuor, & $ic in infinitum. Ergo rectæ & Spiralis inter$ectiones numero infinitæ, cum Curva hæc $it $implex & in Curvas plures irreducibilis, requirunt æ- quationes numero dimen$ionum & radicum infinitas, quibus omnes po$$unt $imul exhiberi. E$t enim eadem omnium lex & idem calculus. Nam $i a polo in rectam illam $ecantem demittatur perpendiculum, & perpendiculum illud una cum $ecante revolvatur circa polum, in- ter$ectiones Spiralis tran$ibunt in $e mutuo, quæque prima erat $eu proxima, po$t unam revolutionem $ecunda erit, po$t duas tertia, & $ic deinceps: nec interea mutabitur æquatio ni$i pro mutata mag- nitudine quantitatum per quas po$itio $ecantis determinatur. Unde cum quantitates illæ po$t $ingulas revolutiones redeunt ad magni- tudines primas, æquatio redibit ad formam primam, adeoque una eademque exhibebit inter$ectiones omnes, & propterea radices ha- bebit numero infinitas, quibus omnes exhiberi po$$unt. Nequit ergo inter$ectio rectæ & Spiralis per æquationem finitam generali- ter inveniri, & idcirco nulla extat Ovalis cujus area, rectis impe- ratis ab$ci$$a, po$$it per talem æquationem generaliter exhiberi. <p>Eodem argumento, $i intervallum poli & puncti, quo Spiralis de- $cribitur, capiatur Ovalis perimetro ab$ci$$æ proportionale, pro- bari pote$t quod longitudo perimetri nequit per finitam æquatio- nem generaliter exhiberi. De Ovalibus autem hic loquor quæ non tanguntur a figuris conjugatis in infinitum pergentibus. <pb n=100> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> <C><I>Corollarium.</I></C> <p>Hinc area Ellip$eos, quæ radio ab umbilico ad corpus mobile ducto de$cribitur, non prodit ex dato tempore, per æquationem finitam; & propterea per de$criptionem Curvarum Geometrice ra- tionalium determinari nequit. Curvas Geometrice rationales ap- pello quarum puncta omnia per longitudines æquationibus defini- tas, id e$t, per longitudinum rationes complicatas, determinari po$$unt; cætera$que (ut Spirales, Quadratrices, Trochoides) Geo- metrice irrationales. Nam longitudines quæ $unt vel non $unt ut numerus ad numerum (quemadmodum in decimo Elementorum) $unt Arithmetice rationales vel irrationales. Aream igitur Ellip$eos tempori proportionalem ab$cindo per Curvam Geometrice irratio- nalem ut $equitur. <C>PROPOSITIO XXXI. PROBLEMA XXIII.</C> <C><I>Corporis in data Trajectoria Elliptica moti invenire locum ad tempus a$$ignatum.</I></C> <p>Ellip$eos <I>APB</I> $it <I>A</I> vertex principalis, <I>S</I> umbilicus, & <I>O</I> centrum, $itque <I>P</I> corporis locus inveniendus. Produc <I>OA</I> ad <I>G,</I> ut $it <I>OG</I> ad <I>OA</I> ut <I>OA</I> ad <I>OS.</I> Erige perpendiculum <I>GH,</I> centroque <FIG> <I>O</I> & intervallo <I>OG</I> de$cribe circulum <I>EFG,</I> & $uper regula <I>GH,</I> ceu fundo, progrediatur Rota <I>GEF</I> revolvendo circa axem $uum, & interea puncto $uo <I>A</I> de$cribendo Trochoidem <I>ALI.</I> <pb n=101> Quo facto, cape <I>GK</I> in ratione ad Rotæ perimetrum <I>GEFG,</I> ut <MARG>LIBER PRIMUS.</MARG> e$t tempus quo corpus progrediendo ab <I>A</I> de$crip$it arcum <I>AP,</I> ad tempus revolutionis unius in Ellip$i. Erigatur perpendiculum <I>KL</I> occurrens Trochoidi in <I>L,</I> & acta <I>LP</I> ip$i <I>KG</I> parallela occurret Ellip$i in corporis loco quæ$ito <I>P.</I> <p>Nam centro <I>O,</I> intervallo <I>OA</I> de$cribatur $emicirculus <I>AQB,</I> & arcui <I>AQ</I> occurrat <I>LP</I> producta in <I>Q,</I> junganturque <I>SQ, OQ.</I> Arcui <I>EFG</I> occurrat <I>OQ</I> in <I>F,</I> & in eandem <I>OQ</I> demittatur per- pendiculum <I>SR.</I> Area <I>APS</I> e$t ut area <I>AQS,</I> id e$t, ut diffe- rentia inter $ectorem <I>OQA</I> & triangulum <I>OQS,</I> $ive ut differen- tia rectangulorum 1/2 <I>OQXAQ</I> & 1/2 <I>OQXSR,</I> hoc e$t, ob datam 1/2 <I>OQ,</I> ut differentia inter arcum <I>AQ</I> & rectam <I>SR,</I> adeoque (ob æqualitatem datarum rationum <I>SR</I> ad $inum arcus <I>AQ, OS</I> ad <I>OA, OA</I> ad <I>OG, AQ</I> ad <I>GF,</I> & divi$im <I>AQ-SR</I> ad <I>GF</I>-$in. arc. <I>AQ</I>) ut <I>GK</I> differentia inter arcum <I>GF</I> & $inum arcus <I>AQ. Q. E. D.</I> <C><I>Scholium.</I></C> <p>Cæterum, cum difficilis $it hujus Curvæ de$criptio, præ$tat $olu- tionem vero proximam adhibere. Inveniatur tum angulus quidam B, qui $it ad angulum graduum 57,29578, quem arcus radio æqualis $ubtendit, ut e$t umbilicorum di$tantia <I>SH</I> ad Ellip$eos diame- trum <I>AB</I>; tum etiam longitudo quædam L, quæ $it ad radium in eadem ratione inver$e. Quibus $emel inventis, Problema deinceps confit per $equentem Analy$in. Per con$tructionem quamvis (vel. utcunque conjec- <FIG> turam faciendo) cogno$catur cor- poris locus <I>P</I> pro- ximus vero ejus lo- co <I>p.</I> Demi$$aque ad axem Ellip$eos or- dinatim applicata <I>PR,</I> ex propor- tione diametrorum Ellip$eos, dabitur Circuli circum$cri- pti <I>AQB</I> ordinatim applicata <I>RQ,</I> quæ $inus e$t anguli <I>AOQ</I> exi- $tente <I>AO</I> radio. Sufficit angulum illum rudi calculo in numeris proximis invenire. Cogno$catur etiam angulus tempori propor- <pb n=102> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> tionalis, id e$t, qui $it ad quatuor rectos, ut e$t tempus quo corpus de$crip$it arcum <I>Ap,</I> ad tempus revolutionis unius in Ellip$i. Sit angulus i$te N. Tum capiatur & angulus D ad angulum B, ut e$t $inus i$te anguli <I>AOQ</I> ad radium, & angulus E ad angulum N-<I>AOQ</I>+D, ut e$t longitudo L ad longitudinem eandem L co$inu anguli <I>AOQ</I> diminutam, ubi angulus i$te recto minor e$t, auctam ubi major. Po$tea capiatur tum angulus F ad angulum B, ut e$t $inus anguli <I>AOQ</I>+E ad radium, tum angulus G ad angu- lum N-<I>AOQ</I>-E+F ut e$t longitudo L ad longitudinem ean- dem co$inu anguli <I>AOQ</I>+E diminutam ubi angulus i$te recto mi- nor e$t, auctam ubi major. Tertia vice capiatur angulus H ad an- gulum B, ut e$t $inus anguli <I>AOQ</I>+E+G ad radium; & angu- lus I ad angulum N-<I>AOQ</I>-E-G+H, ut e$t longitudo L ad eandem longitudinem co$inu anguli <I>AOQ</I>+E+G diminutam, ubi angulus i$te re- <FIG> cto minor e$t, auc- tam ubi major. Et $ic pergere licet in infinitum. Deni- que capiatur angu- lus <I>AOq</I> æqualis angulo <I>AOQ</I>+E +G+I+&c. e t ex co$inu ejus <I>Or</I> & ordinata <I>pr,</I> quæ e$t ad $inum ejus <I>qr</I> ut Ellip$eos axis minor ad axem majorem, habebitur corporis locus correctus <I>p.</I> Si quando angulus N-<I>AOQ</I>+D negativus e$t, debet $ignum+ip$ius E ubique mutari in-, & $ignum-in+. Idem intelligendum e$t de $ignis ip$orum G & I, ubi anguli N-<I>AOQ</I>-E+F, & N-<I>AOQ</I>-E-G+H negativi prodeunt. Convergit autem $eries infinita <I>AOQ</I>+E+G+I+&c. quam celerrime, adeo ut vix unquam opus fuerit ultra progredi quam ad terminum $ecundum E. Et fundatur calculus in hoc Theore- mate, quod area <I>APS</I> $it ut differentia inter arcum <I>AQ</I> & rectam ab umbilico <I>S</I> in Radium <I>OQ</I> perpendiculariter de- mi$$am. <p>Non di$$imili calculo conficitur Problema in Hyperbola. Sit ejus Centrum <I>O,</I> Vertex <I>A,</I> Umbilicus <I>S</I> & A$ymptotos <I>OK.</I> Cog- <pb n=103> no$catur quantitas areæ ab$cindendæ tempori proportionalis. Sit ea <MARG>LIBER PRIMUS.</MARG> A, & fiat conjectura de po$itione rectæ <I>SP,</I> quæ aream <I>APS</I> ab$cindat veræ proximam. Jun- <FIG> gatur <I>OP,</I> & ab <I>A</I> & <I>P</I> ad A$ymptoton agantur <I>AI, PK</I> A$ymptoto alteri parallelæ, & per Tabulam Logarithmorum dabi- tur Area <I>AIKP,</I> eique æqualis area <I>OPA,</I> quæ $ubducta de tri- angulo <I>OPS</I> relinquet aream ab- $ci$$am <I>APS.</I> Applicando areæ ab$cindendæ A & ab$ci$$æ <I>APS</I> differentiam duplam 2 <I>APS</I>-2 A vel 2 A-2 <I>APS</I> ad lineam <I>SN,</I> quæ ab umbilico <I>S</I> in tangentem <I>PT</I> perpendicularis e$t, orietur longitudo chordæ <I>PQ.</I> In$cri- batur autem chorda illa <I>PQ</I> inter <I>A</I> & <I>P,</I> $i area ab$ci$$a <I>APS</I> major $it area ab$cindenda A, $ecus ad puncti <I>P</I> contrarias partes: & punctum <I>Q</I> erit locus corporis accuratior. Et computatione repetita invenietur idem accuratior in perpetuum. <p>Atque his calculis Problema generaliter confit Analytice. Ve- rum u$ibus A$tronomicis accommodatior e$t calculus particularis qui $equitur. Exi$tentibus <I>AO, OB, OD</I> $emiaxibus Ellip$eos, & L ip$ius latere recto, ac D differentia inter $emiaxem minorem <I>OD</I> & lateris recti $emi$$em 1/2 L; quære tum angulum Y, cujus $inus $it ad Radium ut e$t rectangu- <FIG> lum $ub differentia illa D, & $emi$umma axium <I>AO+OD</I> ad quadratum axis majoris <I>AB</I>; tum angulum Z, cujus $inus $it ad Radium ut e$t duplum rectangulum $ub umbilicorum di$tantia <I>SH</I> & differentia illa D ad triplum quadratum $emiaxis majoris <I>AO.</I> His angulis $emel inventis; locus corporis $ic deinceps determinabitur. Sume angulum T proportionalem tempori quo arcus <I>BP</I> de$crip- tus e$t, $cu motui medio (ut loquuntur) æqualem; & angulum V (primam medii motus æquationem) ad angulum Y (æquatio- nem maximam primam) ut e$t $inus dupli anguli T ad Radium; <pb n=104> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> atque angulum X (æquationem $ecundam) ad angulum Z (æqua- tionem maximam $ecundam) ut e$t cubus $inus anguli T ad cubum Radii. Angulorum T, V, X vel $ummæ T+X+V, $i angulus T recto minor e$t, vel differentiæ T+X-V, $i is recto major e$t recti$que duobus minor, æqualem cape angulum <I>BHP</I> (motum medium æquatum;) &, $i <I>HP</I> occurrat Ellip$i in <I>P,</I> acta <I>SP</I> ab- $cindet aream <I>BSP</I> tempori proportionalem quamproxime. Hæc Praxis $atis expedita videtur, <FIG> propterea quod angulorum per- exiguorum V & X (in minutis $ecundis, $i placet, po$itorum) figuras duas ter$ve primas in- venire $ufficit. Sed & $atis ac- curata e$t ad Theoriam Planeta- rum. Nam in Orbe vel Martis ip$ius, cujus Æquatio centri ma- xima e$t graduum decem, error vix $uperabit minutum unum $ecundum. Invento autem angulo motus medii æquati <I>BHP,</I> an- gulus veri motus <I>BSP</I> & di$tantia <I>SP</I> in promptu $unt per <I>Wardi</I> methodum noti$$imam. <p>Hactenus de Motu corporum in lineis Curvis. Fieri autem po- te$t ut mobile recta de$cendat vel recta a$cendat, & quæ ad i$tiu$- modi Motus $pectant, pergo jam exponere. <pb n=105> <MARG>LIBER PRIMUS.</MARG> <C>SECTIO VII.</C> <C><I>De Corporum A$cen$u & De$cen$u Rectilineo.</I></C> <C>PROPOSITIO XXXII. PROBLEMA XXIV.</C> <p><I>Po$ito quod Vis centripeta $it reciproce proportionalis quadrato di- $tantiæ locorum a centro, Spatia definire quæ corpus recta cadendo datis temporibus de$cribit.</I> <p><I>Cas.</I> 1. Si Corpus non cadit perpendicu- <FIG> lariter de$cribet id, per Corol. 1. Prop. XIII, Sectionem aliquam Conicam cujus umbili- cus congruit cum centro virium. Sit Sec- tio illa Conica <I>ARPB</I> & umbilicus ejus <I>S.</I> Et primo $i Figura Ellip$is e$t, $uper hu- jus axe majore <I>AB</I> de$cribatur Semicirculus <I>ADB,</I> & per corpus decidens tran$eat rec- ta <I>DPC</I> perpendicularis ad axem; acti$que <I>DS, PS</I> erit area <I>ASD</I> areæ <I>ASP</I> at- que adeo etiam tempori proportionalis. Ma- nente axe <I>AB</I> minuatur perpetuo latitudo Ellip$eos, & $emper manebit area <I>ASD</I> tempori proportionalis. Minuatur latitudo illa in infinitum: &, Orbe <I>APB</I> jam coin- cidente cum axe <I>AB</I> & umbilico <I>S</I> cum axis termino <I>B,</I> de$cendet corpus in recta <I>AC,</I> & area <I>ABD</I> evadet tempori pro- portionalis. Dabitur itaque Spatium <I>AC,</I> quod corpus de loco <I>A</I> perpendiculariter cadendo tempore dato de$cribit, $i modo tempori proportiona- lis capiatur area <I>ABD,</I> & a puncto <I>D</I> ad rectam <I>AB</I> demit- tatur perpendicularis <I>DC. Q. E. I.</I> <pb n=106> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> <p><I>Cas.</I> 2. Si Figura illa <I>RPB</I> Hyperbola e$t, de$cribatur ad ean- dem diametrum principalem <I>AB</I> Hyperbola rectangula <I>BED:</I> & quoniam areæ <I>CSP, CBfP, SPfB</I> $unt ad areas <I>CSD, CBED, SDEB,</I> $ingulæ ad $ingulas, in data ratione altitudi- num <I>CP, CD</I>; & area <I>SPfB</I> <FIG> proportionalis e$t tempori quo corpus <I>P</I> movebitur per arcum <I>PfB</I>; erit etiam area <I>SDEB</I> ei- dem tempori proportionalis. Minuatur latus rectum Hyper- bolæ <I>RPB</I> in infinitum ma- nente latere tran$ver$o, & coibit arcus <I>PB</I> cum recta <I>CB</I> & um- bilicus <I>S</I> cum vertice <I>B</I> & recta <I>SD</I> cum recta <I>BD.</I> Proinde a- rea <I>BDEB</I> proportionalis erit tempori quo corpus <I>C</I> recto de$cen$u de$cribit lineam <I>CB. Q. E. I.</I> <p><I>Cas.</I> 3. Et $imili argumento $i Figura <I>RPB</I> Parabola e$t, & eodem vertice principali <I>B</I> de- $cribatur alia Parabola <I>BED,</I> quæ $emper maneat data interea dum Parabola prior in cujus perimetro corpus <I>P</I> movetur, dimi- nuto & in nihilum redacto ejus latere recto, conveniat cum linea <I>CB</I>; fiet $egmentum Parabolicum <I>BDEB</I> proportionale tempori quo corpus illud <I>P</I> vel <I>C</I> de$cendet ad centrum <I>S</I> vel <I>B. Q. E. I.</I> <C>PROPOSITIO XXXIII. THEOREMA IX.</C> <p><I>Po$itis jam inventis, dico quod corporis cadentis Velocitas in loco quo- vis</I> C <I>est ad velocitatem corporis centro</I> B <I>intervallo</I> BC <I>Circu- lum de$cribentis, in $ubduplicata ratione quam</I> AC, <I>di$tantia cor- poris a Circuli vel Hyperbolæ rect angulæ vertice ulteriore</I> A, <I>habet ad Figuræ $emidiametrum principalem</I> 1/2 AB. <p>Bi$ecetur <I>AB,</I> communis utriu$que Figuræ <I>RPB, DEB</I> dia- meter, in <I>O</I>; & agatur recta <I>PT</I> quæ tangat Figuram <I>RPB</I> in <I>P,</I> atque <pb n=107> etiam $ecet communem illam diametrum <I>AB</I> ($i opus e$t productam) <MARG>LIBER PRIMUS.</MARG> in <I>T</I>; $itque <I>SY</I> ad hanc rectam, & <I>BQ</I> ad <FIG> hanc diametrum perpendicularis, atque Figu- ræ <I>RPB</I> latus rectum ponatur L. Con$tat per Cor. 9. Prop. XVI, quod corporis in linea <I>RPB</I> circa centrum <I>S</I> moventis velo- citas in loco quovis <I>P</I> $it ad velocitatem cor- poris intervallo <I>SP</I> circa idem centrum Cir- culum de$cribentis in $ubduplicata ratione rec- tanguli 1/2 LX<I>SP</I> ad <I>SY</I> quadratum. E$t au- tem ex Conicis <I>ACB</I> ad <I>CPq</I> ut 2 <I>AO</I> ad L, adeoque (2<I>CPqXAO/ACB</I>) æquale L. Ergo ve- locitates illæ $unt ad invicem in $ubduplicata ratione (<I>CPqXAOXSP/ACB</I>) ad <I>SY quad.</I> Por- ro ex Conicis e$t <I>CO</I> ad <I>BO</I> ut <I>BO</I> ad <I>TO,</I> & compo$ite vel divi$im ut <I>CB</I> ad <I>BT.</I> Unde vel dividendo vel componendo fit <I>BO</I>-vel+<I>CO</I> ad <I>BO</I> ut <I>CT</I> ad <I>BT,</I> id e$t <I>AC</I> ad <I>AO</I> ut <I>CP</I> ad <I>BQ</I>; indeque (<I>CPqXAOXSP/ACB</I>) æquale e$t (<I>BQqXACXSP/AOXBC.</I>) Minuatur jam in infinitum Figuræ <I>RPB</I> latitu- do <I>CP,</I> $ic ut punctum <I>P</I> coeat cum puncto <I>C,</I> punctumque <I>S</I> cum puncto <I>B,</I> & linea <I>SP</I> cum linea <I>BC,</I> lineaque <I>SY</I> cum linea <I>BQ</I>; & corporis jam recta de$cendentis in linea <I>CB</I> velocitas fiet ad velocitatem corporis centro <I>B</I> intervallo <I>BC</I> Circulum de$cribentis, in $ubduplicata ratione ip$ius (<I>BQqXACXSP/AOXBC</I>) ad <I>SYq,</I> hoc e$t (neg- lectis æqualitatis rationibus <I>SP</I> ad <I>BC</I> & <I>BQq</I> ad <I>SYq</I>) in $ub- duplicata ratione <I>AC</I> ad <I>AO</I> $ive 1/2 <I>AB. Q. E. D.</I> <p><I>Corol.</I> 1. Punctis <I>B</I> & <I>S</I> coeuntibus, fit <I>TC</I> ad <I>TS</I> ut <I>AC</I> ad <I>AO.</I> <p><I>Corol.</I> 2. Corpus ad datam a centro di$tantiam in Circulo quo- vis revolvens, motu $uo $ur$um ver$o a$cendet ad duplam $uam a centro di$tantiam. <pb n=108> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> <C>PROPOSITIO XXXIV. THEOREMA X.</C> <p><I>Si Figura</I> BED <I>Parabola e$t, dico</I> <FIG> <I>quod corporis cadentis Veloci- tas in loco quovis</I> C <I>æqualis e$t velocitati qua corpus centro</I> B <I>dimidio intervalli $ui</I> BC <I>Cir- culum uniformiter de$cribere potest.</I> <p>Nam corporis Parabolam <I>RPB</I> circa centrum <I>S</I> de$cri- bentis velocitas in loco quovis <I>P</I> (per Corol. 7. Prop. XVI) æ- qualis e$t velocitati corporis di- midio intervalli <I>SP</I> Circulum cir- ca idem centrum <I>S</I> uniformiter de$cribentis. Minuatur Parabolæ latitudo <I>CP</I> in infinitum eo, ut arcus Parabolicus <I>PfB</I> cum rec- ta <I>CB,</I> centrum <I>S</I> cum vertice <I>B,</I> & intervallum <I>SP</I> cum intervallo <I>BC</I> coincidat, & con$tabit Pro- po$itio. <I>Q. E. D.</I> <C>PROPOSITIO XXXV. THEOREMA XI.</C> <p><I>Ii$dem po$itis, dico quod area Figuræ</I> DES, <I>radio indefinito</I> SD <I>de- $cripta, æqualis $it areæ quam corpus, radio dimidium lateris recti Figuræ</I> DES <I>æquante, circa centrum</I> S <I>uniformiter gyrando, eo- dem tempore de$cribere potest.</I> <p>Nam concipe corpus <I>C</I> quam minima temporis particula lineo- lam <I>Cc</I> cadendo de$cribere, & interea corpus aliud <I>K,</I> uniformi- ter in Circulo <I>OKk</I> circa centrum <I>S</I> gyrando, arcum <I>Kk</I> de$cri- bere. Erigantur perpendicula <I>CD, cd</I> occurrentia Figuræ <I>DES</I> in <I>D, d.</I> Jungantur <I>SD, Sd, SK, Sk</I> & ducatur <I>Dd</I> axi <I>AS</I> oc- rens in <I>T,</I> & ad eam demittatur perpendiculum <I>SY.</I> <pb n=109> <p><I>Ca$.</I> 1. Jam $i Figura <I>DES</I> Circulus e$t vel Hyperbola, bi$ece- <MARG>LIBER PRIMUS.</MARG> tur ejus tran$ver$a diameter <I>AS</I> in <I>O,</I> & erit <FIG> <I>SO</I> dimidium lateris recti. Et quoniam e$t <I>TC</I> ad <I>TD</I> ut <I>Cc</I> ad <I>Dd,</I> & <I>TD</I> ad <I>TS</I> ut <I>CD</I> ad <I>SY,</I> erit ex æquo <I>TC</I> ad <I>TS</I> ut <I>CDXCc</I> ad <I>SYXDd.</I> Sed per Corol. 1. Prop. XXXIII, e$t <I>TC</I> ad <I>TS</I> ut <I>AC</I> ad <I>AO,</I> puta $i in coitu punctorum <I>D, d</I> capiantur linearum rationes ultimæ. Ergo <I>AC</I> e$t ad (<I>AO</I> $eu) <I>SK</I> ut <I>CDXCc</I> ad <I>SYXDd.</I> Porro corporis de$cendentis velocitas in <I>C</I> e$t ad velocitatem corporis Circulum intervallo <I>SC</I> circa cen- trum <I>S</I> de$cribentis in $ubduplicata ratione <I>AC</I> ad (<I>AO</I> vel) <I>SK</I> (per Prop. XXXIII.) Et hæc velocitas ad velocitatem corporis de$cri- bentis Circulum <I>OKk</I> in $ubduplicata ratione <I>SK</I> ad <I>SC</I> per Cor. 6. Prop. IV, & ex æquo velo- citas prima ad ultimam, hoc e$t lineola <I>Cc</I> ad arcum <I>Kk</I> in $ubduplicata ratione <I>AC</I> ad <I>SC,</I> id e$t in ratione <I>AC</I> ad <I>CD.</I> Quare e$t <I>CDXCc</I> æquale <I>ACXKk,</I> & propterea <I>AC</I> ad <I>SK</I> ut <I>ACXKk</I> ad <I>SYXDd,</I> indeq; <I>SKXKk</I> æqua- le <I>SYXDd,</I> & 1/2 <I>SKXKk</I> æquale 1/2 <I>SYXDd,</I> id e$t area <I>KSk</I> æqualis areæ <I>SDd.</I> Singulis igitur temporis particulis generantur arearum duarum particulæ <I>KSk,</I> & <I>SDd,</I> quæ, $i mag- nitudo earum minuatur & numerus augeatur in infinitum, ratio- nem obtinent æqualitatis, & propterea (per Corollarium Lem- matis IV) areæ totæ $imul genitæ $unt $emper æquales, <I>Q. E. D.</I> <p><I>Ca$.</I> 2. Quod $i Figura <I>DES</I> Parabola $it, invenietur e$$e ut $u- pra <I>CDXCc</I> ad <I>SYXDd</I> ut <I>TC</I> ad <I>TS,</I> hoc e$t ut 2 ad 1, ad- eoque 1/4 <I>CDXCc</I> æquale e$$e 1/2 <I>SYXDd.</I> Sed corporis caden- tis velocitas in <I>C</I> æqualis e$t velocitati qua Circulus intervallo 1/2 <I>SC</I> uniformiter de$cribi po$$it (per Prop. XXXIV) Et hæc velocitas ad ve- locitatem qua Circulus radio <I>SK</I> de$cribi po$$it, hoc e$t, lineola <I>Cc</I> ad arcum <I>Kk</I> (per Corol. 6. Prop. IV) e$t in $ubduplicata ratione <I>SK</I> ad 1/2 <I>SC,</I> id e$t, in ratione <I>SK</I> ad 1/2 <I>CD.</I> Quare e$t 1/2 <I>SKXKk</I> æquale 1/4 <I>CDXCc,</I> adeoque æquale 1/2 <I>SYXDd,</I> hoc e$t, area <I>KSk</I> æqualis areæ <I>SDd,</I> ut $upra. <I>Q. E. D.</I> <pb n=110> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> <C>PROPOSITIO XXXVI. PROBLEMA XXV.</C> <FIG> <p><I>Corporis de loco dato</I> A <I>cadentis determinare Tem- pora de$cen$us.</I> <p>Super diametro <I>AS</I> (di$tantia corporis a cen- tro $ub initio) de$cribe Semicirculum <I>ADS,</I> ut & huic æqualem Semicirculum <I>OKH</I> circa centrum <I>S.</I> De corporis loco quovis <I>C</I> erige ordinatim ap- plicatam <I>CD.</I> Junge <I>SD,</I> & areæ <I>ASD</I> æqua- lem con$titue $ectorem <I>OSK.</I> Patet per Prop- XXXV, quod corpus cadendo de$cribet $patium <I>AC</I> eodem Tempore quo corpus aliud uniformiter cir- ca centrum <I>S</I> gyrando, de$cribere pote$t arcum <I>OK. Q. E. F.</I> <C>PROPOSITIO XXXVII. PROBLEMA XXVI.</C> <C><I>Corporis de loco dato $ur$um vel deor$um projecti definire Tempora a$cen$us vel de$cen$us.</I></C> <p>Exeat corpus de loco dato <I>G</I> $ecundum <FIG> lineam <I>ASG</I> cum velocitate quacunque. In duplicata ratione hujus velocitatis ad uniformem in Circulo velocitatem, qua cor- pus ad intervallum datum <I>SG</I> circa centrum <I>S</I> revolvi po$$et, cape <I>GA</I> ad 1/2 <I>AS.</I> Si ratio illa e$t numeri binarii ad unita- tem, punctum <I>A</I> infinite di$tat, quo ca- $u Parabola vertice <I>S,</I> axe <I>SC,</I> latere quo- vis recto de$cribenda e$t. Patet hoc per Prop. XXXIV. Sin ratio illa minor vel ma- jor e$t quam 2 ad 1, priore ca$u Circulus, po$teriore Hyperbola rectangula $uper di- ametro <I>SA</I> de$cribi debet. Patet per Prop. XXXIII. Tum centro <I>S,</I> intervallo æquante dimidium lateris recti, de$cribatur Circulus <I>HKk,</I> & ad corporis a$cenden- tis vel de$cendentis loca duo quævis <I>G, C,</I> erigantur perpendicula <I>GI, CD</I> occurren- tia Conicæ Sectioni vel Circulo in <I>I</I> ac <I>D.</I> <pb n=111> Dein junctis <I>SI, SD,</I> fiant $egmentis <I>SEIS, SEDS,</I> $ec- <MARG>LIBER PRIMUS.</MARG> tores <I>HSK, HSk</I> æquales, & per Prop. XXXV, corpus <I>G</I> de$cri- bet $patium <I>GC</I> eodem Tempore quo corpus <I>K</I> de$cribere po- te$t arcum <I>Kk. Q. E. F.</I> <C>PROPOSITIO XXXVIII. THEOREMA XII.</C> <p><I>Po$ito quod Vis centripeta proportionalis $it altitudini $eu di$tantiæ lo- corum a centro, dico quod cadentium Tempora, Velocitates & Spa- tia de$cripta $unt arcubus, arcuumque finibus rectis & $inibus ver$is re$pective proportionalia.</I> <p>Cadat corpus de loco quovis <I>A</I> $ecun- <FIG> dum rectam <I>AS</I>; & centro virium <I>S,</I> in- tervallo <I>AS,</I> de$cribatur Circuli quadrans <I>AE,</I> $itque <I>CD</I> $inus rectus arcus cuju$- vis <I>AD</I>; & corpus <I>A,</I> Tempore <I>AD,</I> ca- dendo de$cribet Spatium <I>AC,</I> inque loco <I>C</I> acquiret Velocitatem <I>CD.</I> <p>Demon$tratur eodem modo ex Propo$i- tione X, quo Propo$itio XXXII, ex Propo- $itione XI demon$trata fuit. <p><I>Corol.</I> 1. Hinc æqualia $unt Tempora quibus corpus unum de loco <I>A</I> cadendo pervenit ad centrum <I>S,</I> & corpus aliud revolvendo de- $cribit arcum quadrantalem <I>ADE.</I> <p><I>Corol.</I> 2. Proinde æqualia $unt Tempora omnia quibus corpora de locis quibu$vis ad u$que centrum cadunt. Nam revolventium tem- pora omnia periodica (per Corol. 3. Prop. IV.) æquantur. <pb n=112> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> <C>PROPOSITIO XXXIX. PROBLEMA XXVII.</C> <p><I>Po$ita cuju$cunque generis Vi centripeta, & conce$$is figurarum curvilinearum quadraturis, requiritu, corporis recta a$cenden- tis vel de$cendentis tum Velocitas in locis $ingulis, tum Tempus quo corpus ad locum quemvis perveniet: Et contra.</I> <p>De loco quovis <I>A</I> in recta <I>ADEC</I> cadat corpus <I>E,</I> deque loco ejus <I>E</I> erigatur $emper perpendicularis <I>EG,</I> vi centripetæ in loco illo ad centrum <I>C</I> tendenti proportio- <FIG> nalis: Sitque <I>BFG</I> linea curva quam punctum <I>G</I> perpetuo tangit. Coinci- dat autem <I>EG</I> ip$o motus initio cum perpendiculari <I>AB,</I> & erit corporis Ve- locitas in loco quovis <I>E</I> ut areæ cur- vilineæ <I>ABGE</I> latus quadratum. <I>Q. E. I.</I> <p>In <I>EG</I> capiatur <I>EM</I> lateri quadra- to areæ <I>ABGE</I> reciproce proportio- nalis, & $it <I>ALM</I> linea curva quam punctum <I>M</I>perpetuotangit, & erit Tem- pus quo corpus cadendo de$cribit li- neam <I>AE</I> ut area curvilinea <I>ALME. Q. E. I.</I> <p>Etenim in recta <I>AE</I> capiatur linea quam minima <I>DE</I> datæ longitudinis, $itque <I>DLF</I> locus lineæ <I>EMG</I> ubi corpus ver$abatur in <I>D</I>; & $i ea $it vis centripeta, ut areæ <I>ABGE</I> latus quadratum $it ut de$cendentis velocitas, erit area ip$a in du- plicata ratione velocitatis, id e$t, $i pro velocitatibus in <I>D</I> & <I>E</I> $cribantur V & V+I, erit area <I>ABFD</I> ut VV, & area <I>ABGE</I> ut VV+2 VI+II, & divi$im area <I>DFGE</I> ut 2 VI+II, adeoque (<I>DFGE/DE</I>) ut (2VI+II/<I>DE</I>), id e$t, $i primæ quantitatum na$centium rationes $umantur, longitudo <I>DF</I> ut quantitas (2VI/<I>DE</I>), adeoque e- tiam ut quantitatis hujus dimidium (IXV/<I>DE</I>). E$t autem tempus quo <pb n=113> corpus cadendo de$cribit lineolam <I>DE,</I> ut lineola illa directe & <MARG>LIBER PRIMUS.</MARG> velocitas V inver$e, e$tque vis ut velocitatis incrementum I directe & tempus inver$e, adeoque $i primæ na$centium rationes $uman- tur, ut (IXV/<I>DE</I>), hoc e$t, ut longitudo <I>DF.</I> Ergo Vis ip$i <I>DF</I> vel <I>EG</I> proportionalis facit ut corpus ea cum Velocitate de$cendat quæ $it ut areæ <I>ABGE</I> latus quadratum. <I>Q. E. D.</I> <p>Porro cum tempus, quo quælibet longitudinis datæ lineola <I>DE</I> de$cribatur, $it ut velocitas inver$e adeoque ut areæ <I>ABFD</I> latus quadratum inver$e; $itque <I>DL,</I> atque adeo area na$cens <I>DLME,</I> ut idem latus quadratum inver$e: erit tempus ut area <I>DLME,</I> & $umma omnium temporum ut $umma omnium arearum, hoc e$t (per Corol. Lem. IV) Tempus totum quo linea <I>AE</I> de$cribitur ut area tota <I>AME. Q. E. D.</I> <p><I>Corol.</I> 1. Si <I>P</I> $it locus de quo corpus cadere debet, ut, urgen- te aliqua uniformi vi centripeta nota (qualis vulgo $upponitur Gravitas) velocitatem acquirat in loco <I>D</I> æqualem velocitati quam corpus aliud vi quacunque cadens acqui$ivit eodem loco <I>D,</I> & in perpendiculari <I>DF</I> capiatur <I>DR,</I> quæ $it ad <I>DF</I> ut vis illa uniformis ad vim alteram in loco <I>D,</I> & compleatur rectangulum <I>PDRQ,</I> eique æqualis ab$cindatur area <I>ABFD;</I> erit <I>A</I> locus de quo corpus alterum cecidit. Namque completo rectangulo <I>DRSE,</I> cum $it area <I>ABFD</I> ad aream <I>DFGE</I> ut VV ad 2VI, adeoque ut 1/2 V ad I, id e$t, ut $emi$$is velocitatis totius ad incrementum velocitatis corporis vi inæquabili cadentis; & $i- militer area <I>PQRD</I> ad aream <I>DRSE</I> ut $emi$$is velocitatis to- tius ad incrementum velocitatis corporis uniformi vi cadentis; $intque incrementa illa (ob æqualitatem temporum na$centium) ut vires generatrices, id e$t, ut ordinatim applicatæ <I>DF, DR,</I> adeoque ut areæ na$centes <I>DFGE, DRSE</I>; erunt (ex æquo) areæ totæ <I>ABFD, PQRD</I> ad invicem ut $emi$$es totarum ve- locitatum, & propterea (ob æqualitatem velocitatum) æquantur. <p><I>Corol.</I> 2. Unde $i corpus quodlibet de loco quocunque <I>D</I> data cum velocitate vel $ur$um vel deor$um projiciatur, & detur lex vis centripetæ, invenietur velocitas ejus in alio quovis loco <I>e,</I> erigen- do ordinatam <I>eg,</I> & capiendo velocitatem illam ad velocitatem in loco <I>D</I> ut e$t latus quadratum rectanguli <I>PQRD</I> area curvili- nea <I>DFge</I> vel aucti, $i locus <I>e</I> e$t loco <I>D</I> inferior, vel diminuti, $i is $uperior e$t, ad latus quadratum rectanguli $olius <I>PQRD,</I> id e$t, ut √<I>PQRD</I>+vel-<I>DFge</I> ad √<I>PQRD.</I> <pb n=114> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> <p><I>Corol.</I> 3. Tempus quoque innote$cet erigendo ordinatam <I>em</I> re- ciproce proportionalem lateri quadrato ex <I>PQRD</I>+vel-<I>DFge,</I> & capiendo tempus quo corpus de$crip$it lineam <I>De</I> ad tempus quo corpus alterum vi uniformi cecidit a <I>P</I> & cadendo pervenit ad <I>D,</I> ut area curvilinea <I>DLme</I> ad rectangulum 2<I>PDXDL.</I> Nam- que tempus quo corpus vi uniformi de$cendens de$crip$it lineam <I>PD</I> e$t ad tempus quo corpus idem de$crip$it lineam <I>PE</I> in $ub- duplicata ratione <I>PD</I> ad <I>PE,</I> id e$t (lineola <I>DE</I> jamjam na$cen- te) in ratione <I>PD</I> ad <I>PD</I>+1/2 <I>DE</I> $eu 2<I>PD</I> ad 2<I>PD+DE,</I> & divi$im, ad tempus quo corpus idem de$crip$it lineolam <I>DE</I> ut 2<I>PD</I> ad <I>DE,</I> adeoque ut rectangulum 2<I>PDXDL</I> ad aream <I>DLME</I>; e$tque tempus quo corpus utrumque de$crip$it lineo- lam <I>DE</I> ad tempus quo corpus alterum inæquabili motu de$crip- $it lineam <I>De</I> ut area <I>DLME</I> ad aream <I>DLme,</I> & ex æquo tempus primum ad tempus ultimum ut rectangulum 2<I>PDXDL</I> ad aream <I>DLme.</I> <C>SECTIO VIII.</C> <C><I>De Inventione Orbium in quibus corpora Viribus quibu$cunque cen- tripetis agitata revolvuntur.</I></C> <C>PROPOSITIO XL. THEOREMA XIII.</C> <p><I>Si corpus, cogente Vi quacunque centripeta, moveatur utcunque, & corpus aliud recta a$cendat vel de$cendat, $intque eorum Velocita- tes in aliquo æqualium altitudinum ca$u æquales, Velocitates eorum in omnibus æqualibus altitudinibus erunt æquales.</I> <p>De$cendat corpus aliquod ab <I>A</I> per <I>D, E,</I> ad centrum <I>C,</I> & moveatur corpus aliud a <I>V</I> in linea curva <I>VIKk,</I> Centro <I>C</I> in- tervallis quibu$vis de$cribantur circuli concentrici <I>DI, EK</I> rectæ <I>AC</I> in <I>D</I> & <I>E,</I> curvæque <I>VIK</I> in <I>I</I> & <I>K</I> occurrentes. Junga- tur <I>IC</I> occurrens ip$i <I>KE</I> in <I>N;</I> & in <I>IK</I> demittatur perpendi- culum <I>NT</I>; $itque circumferentiarum circulorum intervallum <I>DE</I> vel <I>IN</I> quam minimum, & habeant corpora in <I>D</I> & <I>I</I> velocita- <pb n=115> tes æquales. Quoniam di$tantiæ <I>CD, CI</I> æquantur, erunt vi- <MARG>LIBER PRIMUS.</MARG> res centripetæ in <I>D</I> & <I>I</I> æquales. Exponantur hæ vires per æ- quales lineolas <I>DE, IN</I>; & $i vis una <I>IN</I> (per Legum Corol. 2.) re$olvatur in duas <I>NT</I> & <I>IT,</I> vis <I>NT,</I> agendo $ecundum lineam <I>NT</I> corporis cur$ui <I>ITK</I> perpendicularem, nil mutabit velocita- tem corporis in cur$u illo, $ed retrahet $olummodo corpus a cur- $u rectilineo, facietque ip$um de Orbis tangente perpetuo deflecte- re, inque via curvilinea <I>ITKk</I> progredi. In hoc effectu produ- cendo vis illa tota con$umetur: vis autem altera <I>IT,</I> $ecundum corporis cur$um agendo, tota accelerabit illud, ac dato tem- pore quam minimo accelerationem generabit $ibi ip$i proportiona- lem. Proinde corporum in <I>D</I> & <I>I</I> accelerationes æqualibus tem- poribus factæ ($i $umantur linearum na$centium <I>DE, IN, IK, IT, NT</I> rationes primæ) $unt ut lineæ <I>DE, IT:</I> temporibus au- tem inæqualibus ut lineæ illæ & tempora conjunctim. Tempora autem quibus <I>DE</I> & <I>IK</I> de$cribuntur, ob æqualitatem velocita- <FIG> tum $unt ut viæ de$criptæ <I>DE</I> & <I>IK,</I> adeoque accelerationes, in cur$u corporum per lineas <I>DE</I> & <I>IK,</I> funt ut <I>DE</I> & <I>IT, DE</I> & <I>IK</I> conjunctim, id e$t ut <I>DE quad</I> & <I>ITXIK rectangulum.</I> Sed <I>rectangulum ITXIK</I> æquale e$t <I>IN quadrato,</I> hoc e$t, æquale <I>DE quadrato;</I> & propterea accelerationes in tran$itu corporum a <I>D</I> & <I>I</I> ad <I>E</I> & <I>K</I> æquales gcnerantur. Æquales igitur $unt cor- <pb n=116> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> porum velocitates in <I>E</I> & <I>K</I> & eodem argumento $emper reperi- entur æquales in $ub$equentibus æqualibus di$tantiis. <I>Q. E. D.</I> <p>Sed & eodem argumento corpora æquivelocia & æqualiter a cen- tro di$tantia, in a$cen$u ad æquales di$tantias æqualiter retarda- buntur. <I>Q.E.D.</I> <p><I>Corol.</I> 1. Hinc $i corpus vel funipendulum o$cilletur, vel im- pedimento quovis politi$$imo & perfecte lubrico cogatur in li- nea curva moveri, & corpus aliud recta a$cendat vel de$cendat, $intque velocitates eorum in eadem quacunque altitudine æquales: erunt velocitates eorum in aliis quibu$cunque æqualibus altitudi- nibus æquales. Namque impedimento va$is ab$olute lubrici idem præ$tatur quod vi tran$ver$a <I>NT.</I> Corpus eo non retardatur, non acceleratur, $ed tantum cogitur de cur$u rectilineo di$cedere. <FIG> <p><I>Corol.</I> 2. Hinc etiam $i quantitas P $it mazima a centro di$tan- tia, ad quam corpus vel o$cillans vel in Trajectoria quacunque re- volvens, deque quovis Trajectoriæ puncto, ea quam ibi habet velocitate $ur$um projectum a$cendere po$$it; $itque quantitas A di$tantia corporis a centro in alio quovis Orbitæ puncto, & vis centripeta $emper $it ut ip$ius A dignitas quælibet A<SUP><I>n</I>-1</SUP>, cujus Index <I>n</I>-1 e$t numerus quilibet <I>n</I> unitate diminutus; velocitas corporis in omni altitudine A erit ut √P<SUP><I>n</I></SUP>-A<SUP><I>n</I></SUP>, atque adeo da- tur. Namque velocitas recta a$cendentis ac de$cendentis (per Prop. XXXIX) e$t in hac ip$a ratione. <pb n=117> <MARG>LIBER PRIMUS.</MARG> <C>PROPOSITIO XLI. PROBLEMA XXVIII.</C> <p><I>Po$ita cuju$cunque generis Vi centripeta & conce$$is Figurarum curvilinearum quadraturis, requiruntur tum Trajectoriæ in qui- bus corpora movebuntur, tum Tempora motuum in Trajectoriis inventis.</I> <p>Tendat vis quælibet ad centrum <I>C</I> & invenienda $it Trajectoria <I>VITKk.</I> Detur Circulus <I>VXY</I> centro <I>C</I> intervallo quovis <I>CV</I> de$criptus, centroque eodem de$cribantur alii quivis circuli <I>ID, KE</I> Trajectoriam $ecantes in <I>I</I> & <I>K</I> rectamque <I>CV</I> in <I>D</I> & <I>E.</I> Age tum rectam <I>CNIX</I> $ecantem circulos <I>KE, VY</I> in <I>N</I> & <I>X,</I> tum rectam <I>CKY</I> occurrentem circulo <I>VXY</I> in <I>Y.</I> Sint autem puncta <I>I</I> & <I>K</I> $ibi invicem vicini$$ima, & pergat corpus ab <I>V</I> per <I>I, T</I> & <I>K</I> ad <I>k;</I> $itque punctum <I>A</I> locus ille de quo corpus aliud cadere debet ut in loco <I>D</I> velocitatem acquirat æqualem veloci- tati corporis prioris in <I>I</I>; & $tantibus quæ in Propo$itione XXXIX, lineola <I>IK,</I> dato tempore quam minimo de$cripta, erit ut ve- locitas atque adeo ut latus quadratum areæ <I>ABFD,</I> & triangu- lum <I>ICK</I> tempori proportionale dabitur, adeoque <I>KN</I> erit reci- proce ut altitudo <I>IC,</I> id e$t, $i detur quantitas aliqua Q, & alti- tudo <I>IC</I> nominetur A, ut Q/A. Hanc quantitatem Q/A nominemus Z, & ponamus eam e$$e magnitudinem ip$ius Q ut $it in aliquo ca$u √ <I>ABFD</I> ad Z ut e$t <I>IK</I> ad <I>KN,</I> & erit in omni ca$u √<I>ABFD</I> ad Z ut <I>IK</I> ad <I>KN,</I> & <I>ABFD</I> ad ZZ ut <I>IKq.</I> ad <I>KNq.</I> & divi$im <I>ABFD</I>-ZZ ad ZZ ut <I>IN quad</I> ad <I>KN quad,</I> ad- eoque √<I>ABFD</I>-ZZ ad (Z $eu)Q/A ut <I>IN</I> ad <I>KN,</I> & propterea AX<I>KN</I> æquale (QX<I>IN/√ABFD</I>-ZZ). Unde cum <I>YXXXC</I> $it ad AX<I>KN</I> ut <I>CXq</I> ad AA, erit rectangulum <I>YXXXC</I> æquale (QX<I>INXCX quad.</I>/AA√<I>ABFD</I>-ZZ). Igitur $i in perpendiculo <I>DF</I> capiantur $emper <I>Db, Dc</I> ip$is (Q/2√<I>ABFD</I>-ZZ) & (QX<I>CX quad.</I>/2AA√<I>ABFD</I>-ZZ) æquales re$pective, & de$cribantur curvæ lineæ <I>ab, cd</I> quas <pb n=118> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> puncta <I>b, c</I> perpetuo tangunt; deque puncto <I>V</I> ad lineam <I>AC</I> eri- gatur perpendiculum <I>Vad</I> ab$cindens areas curvilineas <I>VDba, VDcd,</I> & erigantur etiam ordinatæ <I>Ez, Ex:</I> quoniam rectan- gulum <I>DbXIN</I> $eu <I>DbzE</I> æquale e$t dimidio rectanguli AX<I>KN,</I> $eu triangulo <I>ICK</I>; & rectangulum <I>DcXIN</I> $eu <I>DcxE</I> æquale e$t dimidio rectanguli <I>YXXXC,</I> $eu triangulo <I>XCY;</I> hoc e$t, quoniam arearum <I>VDba, VIC</I> æquales $emper $unt na$centes particulæ <I>DbzE, ICK,</I> & arearum <I>VDcd, VCX</I> æquales $emper $unt na$centes particulæ <I>DcxE, XCY,</I> erit area genita <I>VDba</I> æqualis areæ genitæ <I>VIC,</I> adeoque tem- pori proportionalis, & area genita <I>VDcd</I> æqualis Sectori ge- nito <I>VCX.</I> Dato igitur tempore quovis ex quo corpus di$ce$- $it de loco <I>V,</I> dabitur area ip$i proportionalis <I>VDba,</I> & inde dabitur corporis altitudo <I>CD</I> vel <I>CI</I>; & area <I>VDcd,</I> eique æqualis Sector <I>VCX</I> una cum ejus angulo <I>VCI.</I> Datis autem angulo <I>VCI</I> & altitudine <I>CI</I> datur locus <I>I,</I> in quo corpus com- pleto illo tempore reperietur. <I>Q.E.I.</I> <p><I>Corol.</I> 1. Hinc maximæ minimæque corporum altitudines, id e$t Ap$ides Trajectoriarum expedite inveniri po$$unt. Sunt enim Ap$ides puncta illa in quibus recta <I>IC</I> per centrum ducta incidit perpendiculariter in Trajectoriam <I>VIK:</I> id quod $it ubi rectæ <I>IK</I> & <I>NK</I> æquantur, adeoque ubi area <I>ABFD</I> æqualis e$t ZZ. <p><I>Corol.</I> 2. Sed & angulus <I>KIN,</I> in quo Trajectoria alibi $ecat lineam illam <I>IC,</I> ex data corporis altitudine <I>IC</I> expedite inveni- tur; nimirum capiendo $inum ejus ad radium ut <I>KN</I> ad <I>IK,</I> id e$t, ut Z ad latus quadratum areæ <I>ABFD.</I> <p><I>Corol.</I> 3. Si centro <I>C</I> & vertice principali <I>V</I> de$cribatur Sectio quæ- libet Conica <I>VRS,</I> & a quovis ejus puncto <I>R</I> agatur Tangens <I>RT</I> occurrens axi infinite producto <I>CV</I> in puncto <I>T;</I> dein juncta <I>CR</I> ducatur recta <I>CP,</I> quæ æqualis $it ab$ci$$æ <I>CT,</I> angulumque <I>VCP</I> Sectori <I>VCR</I> proportionalem con$tituat; tendat autem ad centrum <I>C</I> Vis centripeta Cubo di$tantiæ locorum a centro reciproce propor- tionalis, & exeat corpus de loco <I>V</I> ju$ta cum Velocitate $ecundum lineam rectæ <I>CV</I> perpendicularem: progredietur corpus illud in Trajectoria quam punctum <I>P</I> perpetuo tangit; adeoque $i Conica $ectio <I>CVRS</I> Hyperbola $it, de$cendet idem ad centrum: Sin ea Ellip$is $it, a$cendet illud perpetuo & abibit in infinitum. Et con- tra, $i corpus quacunque cum Velocitate exeat de loco <I>V,</I> & perin- de ut incæperit vel oblique de$cendere ad centrum, vel ab eo ob- <pb n=119> lique a$cendere, Figura <I>CVRS</I> vel Hyperbola $it vel Ellip$is, in- <MARG>LIBER PRIMUS.</MARG> veniri pote$t Trajectoria augendo vel minuendo angulum <I>VCP</I> in data aliqua ratione. Sed &, Vi centripeta in centrifugam ver$a, <FIG> a$cendet corpus oblique in Trajectoria <I>VPQ</I> quæ invenitur capi- endo angulum <I>VCP</I> Sectori Elliptico <I>CVRC</I> proportionalem, & longitudinem <I>CP</I> longitudini <I>CT</I> æqualem ut $upra. Con$equun- tur hæc omnia ex Propo$itione præcedente, per Curvæ cuju$dam quadraturam, cujus inventionem, ut $atis facilem, brevitatis gratia mi$$am facio. <C>PROPOSITIO XLII. PROBLEMA XXIX.</C> <p><I>Data lege Vis centripetæ, requiritur motus corporis de loco dato data cum Velocitate $ecundum datam rectam egre$$i.</I> <p>Stantibus quæ in tribus Propo$itionibus præcedentibus: exeat corpus de loco <I>I</I> $ecundum lineolam <I>IT,</I> ea cum Velocitate quam corpus aliud, vi aliqua uniformi centripeta, de loco <I>P</I> cadendo ac- quirere po$$et in <I>D:</I> $itque hæc vis uniformis ad vim qua corpus <pb n=120> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> primum urgetur in <I>I,</I> ut <I>DR</I> ad <I>DF.</I> Pergat autem corpus ver$us <I>k;</I> centroque <I>C</I> & intervallo <I>Ck</I> de$cribatur circulus <I>ke</I> occurrens rectæ <I>PD</I> in <I>e,</I> & erigantur curvarum <I>ALMm, BFGg, abzv, dcxw</I> <FIG> ordinatim applicatæ <I>em, eg, ev, ew.</I> Ex dato rectangulo <I>PDRQ,</I> dataque lege vis centripetæ qua corpus primum agitatur, dantur cur- væ lineæ <I>BFGg, ALMm,</I> per con$tructionem Problematis XXVII, & ejus Corol. 1. Deinde ex dato angulo <I>CIT</I> datur proportio na$cen- tium <I>IK, KN,</I> & inde, per con$tructionem Prob. XXVIII, datur quantitas Q, una cum curvis lineis <I>abzv, dcxw:</I> adeoque com- pleto tempore quovis <I>Dbve,</I> datur tum corporis altitudo <I>Ce</I> vel <I>Ck,</I> tum area <I>Dcwe,</I> eique æqualis Sector <I>XCy,</I> angulu$que <I>ICk</I> & locus <I>k</I> in quo corpus tunc ver$abitur. <I>Q.E.I.</I> <p>Supponimus autem in his Propo$itionibus Vim centripetam in rece$$u quidem a centro variari $ecundum legem quamcunque quam quis imaginari pote$t, in æqualibus autem a centro di$tantiis e$$e undeque eandem. Atque hactenus Motum corporum in Orbibus immobilibus con$ideravimus. Supere$t ut de Motu eorum in Orbi- bus qui circa centrum virium revolvuntur adjiciamus pauca. <pb n=121> <MARG>LIBER PRIMUS.</MARG> <C>SECTIO IX.</C> <C><I>De Motu Corporum in Orbibus mobilibus, deque motu Apfidum.</I></C> <C>PROPOSITIO XLIII. PROBLEMA XXX.</C> <p><I>Efficiendum est ut corpus in Trajectoria quacunque circa centrum Virium revolvente perinde moveri po$$it, atque corpus aliud in eadem Trajectoria quie$cente.</I> <p>In Orbe <I>VPK</I> po- <FIG> $itione dato revolvatur corpus <I>P</I> pergendo a <I>V</I> ver$us <I>K.</I> A centro <I>C</I> agatur $emper <I>Cp,</I> quæ $it ip$i <I>CP</I> æqualis, angulumque <I>VCp</I> an- gulo <I>VCP</I> proportio- nalem con$tituat; & a- rea quam linea <I>Cp</I> de- $cribit erit ad aream <I>VCP</I> quam linea <I>CP</I> $imul de$cribit, ut velo- citas lineæ de$cribentis <I>Cp</I> ad velocitatem li- neæ de$cribentis <I>CP</I>; hoc e$t, ut angulus <I>VCp</I> ad angulum <I>VCP,</I> adeoque in data ra- tione, & propterea tempori proportionalis. Cum area tempori proportionalis $it quam linea <I>Cp</I> in plano immobili de$cribit, ma- nife$tum e$t quod corpus, cogente ju$tæ quantitatis Vi centripeta, revolvi po$$it una cum puncto <I>p</I> in Curva illa linea quam punctum idem <I>p</I> ratione jam expo$ita de$cribit in plano immobili. Fiat angu- lus <I>VCu</I> angulo <I>PCp,</I> & linea <I>Cu</I> lineæ <I>CV,</I> atque Figura <I>uCp</I> Fi- guræ <I>VCP</I> æqualis, & corpus in <I>p</I> $emper exi$tens movebitur in <pb n=122> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> perimetro Figuræ revolventis <I>uCp,</I> eodemque tempore de$cribet arcum ejus <I>up</I> quo corpus aliud <I>P</I> arcum ip$i $imilem & æqualem <I>VP</I> in Figura quie$cente <I>VPK</I> de$cribere pote$t. Quæratur igi- tur, per Corollarium quintum propo$itionis VI, Vis centripeta qua corpus revolvi po$$it in Curva illa linea quam punctum <I>p</I> de$cribit in plano immobili, & $olvetur Problema. <I>Q.E.F.</I> <C>PROPOSITIO XLIV. THEOREMA XIV.</C> <p><I>Differentia Virium, quibus corpus in Orbe quie$cente, & corpus a- liud in eodem Orbe revolvente æqualiter moveri po$$unt, est in triplicata ratione communis altitudinis inver$e.</I> <p>Partibus Orbis quie- <FIG> $centis <I>VP, PK</I> $unto $imiles & æquales Or- bis revolventis partes <I>up, pk</I>; & punctorum <I>P, K</I> di$tantia intelli- gatur e$$e quam mini- ma. A puncto <I>k</I> in re- ctam <I>pC</I> demitte per- pendiculum <I>kr,</I> idem- que produc ad <I>m,</I> ut $it <I>mr</I> ad <I>kr</I> ut angulus <I>VCp</I> ad angulum <I>VCP.</I> Quoniam corporum al- titudines <I>PC</I> & <I>pC, KC</I> & <I>kC</I> $emper æquan- tur, manife$tum e$t quod linearum <I>PC</I> & <I>pC</I> incrementa vel decrementa $emper $int æqualia, ideoque $i corporum in locis <I>P</I> & <I>p</I> exi$tentium diftinguantur motus $inguli (per Legum Corol. 2.) in binos, quorum hi ver$us centrum, $ive $ecundum lineas <I>PC, pC</I> determinentur, & alteri prioribus tran$ver$i $int, & $ecundum lineas ip$is <I>PC, pC</I> perpendiculares directionem habeant; motus ver$us centrum erunt æquales, & motus tran$- ver$us corporis <I>p</I> erit ad motum tran$ver$um corporis <I>P,</I> ut mo- tus angularis lineæ <I>pC,</I> ad motum angularem lineæ <I>PC,</I> id e$t, <pb n=123> ut angulus <I>VCp</I> ad angulum <I>VCP.</I> Igitur eodem tempore quo <MARG>LIBER PRIMUS.</MARG> corpus <I>P</I> motu $uo utroque pervenit ad punctum <I>K,</I> corpus <I>p</I> æ- quali in centrum motu æqualiter movebitur a <I>p</I> ver$us <I>C,</I> adeoque completo illo tempore reperietur alicubi in linea <I>mkr,</I> quæ per punctum <I>k</I> in lineam <I>pC</I> perpendicularis e$t; & motu tran$ver$o acquiret di$tantiam a linea <I>pC,</I> quæ $it ad di$tantiam quam cor- pus alterum <I>P</I> acquirit a linea <I>PC,</I> ut e$t motus tran$ver$us cor- poris <I>p</I> ad motum tran$ver$um corporis alterius <I>P.</I> Quare cum <I>kr</I> æqualis $it di$tantiæ quam corpus <I>P</I> acquirit a linea <I>PC,</I> $itque <I>mr</I> ad <I>kr</I> ut angulus <I>VCp</I> ad angulum <I>VCP,</I> hoc e$t, ut motus tran$ver$us corporis <I>p</I> ad motum tran$ver$um corporis <I>P,</I> manife- $tum e$t quod corpus <I>p</I> completo illo tempore reperietur in loco <I>m.</I> Hæc ita $e habebunt ubi corpora <I>p</I> & <I>P</I> æqualiter $ecundum lineas <I>pC</I> & <I>PC</I> moventur, adeoque æqualibus Viribus $ecundum lineas illas urgentur. Capiatur autem angulum <I>pCn</I> ad angulum <I>pCk</I> ut e$t angulus <I>VCp</I> ad angulus <I>VCP,</I> $itque <I>nC</I> æqualis <I>kC,</I> & corpus <I>p</I> completo illo tempore revera reperietur in <I>n</I>; ad- eoque Vi majore urgetur quam corpus <I>P,</I> $i modo angulus <I>mCp</I> angulo <I>kCp</I> major e$t, id e$t $i Orbis <I>upk</I> vel movetur in con- $equentia, vel movetur in antecedentia majore celeritate quam $it dupla ejus qua linea <I>CP</I> in con$equentia fertur; & Vi mino- re $i Orbis tardius movetur in antecedentia. E$tque Virium dif- ferentia ut locorum intervallum <I>mn,</I> per quod corpus illud <I>p</I> ip$ius actione, dato illo temporis $patio, transferri debet. Centro <I>C</I> intervallo <I>Cn</I> vel <I>Ck</I> de$cribi intelligatur Circulus $ecans lineas <I>mr, mn</I> productas in <I>s</I> & <I>t,</I> & erit rectangulum <I>mnXmt</I> æ- quale rectangulo <I>mkXms,</I> adeoque <I>mn</I> æquale (<I>mkXms/mt</I>). Cum autem triangula <I>pCk, pCn</I> dentur magnitudine, $unt <I>kr</I> & <I>mr,</I> earumque differentia <I>mk</I> & $umma <I>ms</I> reciproce ut altitudo <I>pC,</I> adeoque rectangulum <I>mkXms</I> e$t reciproce ut quadratum altitudi- nis <I>pC.</I> E$t & <I>mt</I> directe ut 1/2 <I>mt,</I> id e$t, ut altitudo <I>pC.</I> Hæ $unt primæ rationes linearum na$centium; & hinc fit (<I>mkXms/mt</I>), id e$t lineola na$cens <I>mn,</I> eique proportionalis Virium differentia reci- proce ut cubus altitudinis <I>pC. Q. E. D.</I> <p><I>Corol.</I> 1. Hinc differentia virium in locis <I>P</I> & <I>p</I> vel <I>K</I> & <I>k,</I> e$t ad vim qua corpus motu Circulari revolvi po$$it ab <I>R</I> ad <I>K</I> eodem tempore quo corpus <I>P</I> in Orbe immobili de$cribit arcum <I>PK,</I> ut lineola na$cens <I>mn</I> ad $inum ver$um arcus na$centis <I>RK,</I> id e$t <pb n=124> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> ut (<I>mkXms/mt</I>) ad (<I>rkq/2kC</I>), vel ut <I>mkXms</I> ad <I>rk</I> quadratum; hoc e$t, $i capiantur datæ quantitates F, G in ea ratione ad invicem quam habet angulus <I>VCP</I> ad angulum <I>VCp,</I> ut GG-FF ad FF. Et propterea, $i centro <I>C</I> intervallo quovis <I>CP</I> vel <I>Cp</I> de$cribatur Sector circularis æqualis areæ toti <I>VPC,</I> quam corpus <I>P</I> tempore quovis in Orbe immobili revolvens radio ad centrum ducto de- $crip $it: differentia virium, quibus corpus <I>P</I> in Orbe immobili & corpus <I>p</I> in Orbe mobili revolvuntur, erit ad vim centripetam qua corpus aliquod radio ad centrum ducto Sectorem illum, eodem tem- pore quo de$cripta $it area <I>VPC</I> uniformiter de$eribere potui$$et, ut GG-FF ad FF. Namque Sector ille & area <I>pCk</I> $unt ad in- vicem ut tempora quibus de$cribuntur. <p><I>Corol.</I> 2. Si Orbis <I>VPK</I> Ellip$is $it umbilicum habens <I>C</I> & Ap- $idem $ummam <I>V;</I> eique $imilis & æqualis ponatur Ellip$is <I>upk,</I> ita ut $it $emper <I>pC</I> æqualis <I>PC,</I> & angulus <I>VCp</I> $it ad angulum <I>VCP</I> in data ratione G ad F; pro altitudine autem <I>PC</I> vel <I>pC</I> $cribatur A, & pro Ellip$eos latere recto ponatur 2 R: erit vis qua corpus in Ellip$i mobili revolvi pote$t, ut (FF/AA)+(RGG-RFF/A <I>cub.</I>) & contra. Exponatur enim vis qua corpus revolvatur in immota Ellip$i per quantitatem (FF/AA), & vis in <I>V</I> erit (FF/<I>CV quad.</I>). Vis au- tem qua corpus in Circulo ad di$tantiam <I>CV</I> ea cum velocitate revolvi po$$et quam corpus in Ellip$i revolvens habet in <I>V,</I> e$t ad vim qua corpus in Ellip$i revolvens urgetur in Ap$ide <I>V,</I> ut dimidium lateris recti Ellip$eos. ad Circuli $emidiametrum <I>CV,</I> adeoque valet (RFF/<I>CV cub.</I>): & vis quæ $it ad hanc ut GG-FF ad FF, valet (RGG-RFF/<I>CV cub.</I>): e$tque hæc vis (per hujus Corol. 1.) differentia virium in <I>V</I> quibus corpus <I>P</I> in Ellipfi immota <I>VPK,</I> & corpus <I>p</I> in Ellip$i mobili <I>upk</I> revolvuntur. Unde cum (per hanc Prop.) differentia illa in alia quavis altitudine A $it ad $e- ip$am in altitudine <I>CV</I> ut (1/A <I>cub.</I>) ad (1/<I>CV cub.</I>), eadem differentia in omni altitudine. A valebit (RGG-RFF/A <I>cub.</I>). Igitur ad vim (FF/AA) qua corpus revolvi pote$t in Ellip$i immobili <I>VPK,</I> addatur ex- ce$$us (RGG-RFF/A <I>cub.</I>) & componetur vis tota (FF/AA)+(RGG-RFF/A <I>cub.</I>) <pb n=125> qua corpus in Ellip$i mobili <I>upk</I> ii$dem temporibus revolvi <MARG>LIBER PRIMUS.</MARG> po$$it. <p><I>Corol.</I> 3. Ad eundem modum colligetur quod, $i Orbis immo- bilis <I>VPK</I> Ellip$is $it centrum habens in virium centro <I>C</I>; ei- que $imilis, æqualis & concentrica ponatur Ellip$is mobilis <I>upk;</I> $itque 2 R Ellip$eos hujus latus rectum principale, & 2T latus tran$ver$um $ive axis major, atque angulus <I>VCp</I> $emper $it ad angulum <I>VCP</I> ut G ad F; vires quibus corpora in Ellip$i im- mobili & mobili temporibus æqualibus revolvi po$$unt, erunt ut (FFA/T <I>cub.</I>) & (FFA/T <I>cub.</I>)+(RGG-RFF/A <I>cub.</I>) re$pective. <p><I>Corol.</I> 4. Et univer$aliter, $i corporis altitudo maxima <I>CV</I> no- minetur T, & radius curvaturæ quam Orbis <I>VPK</I> habet in <I>V,</I> id e$t radius Circuli æqualiter curvi, nominetur R, & vis centripeta qua corpus in Trajectoria quacunque immobili <I>VPK</I> revolvi po- te$t, in loco <I>V</I> dicatur (VFF/TT), atque aliis in locis <I>P</I> indefinite dica- tur X, altitudine <I>CP</I> nominata A, & capiatur G ad F in data ratione anguli <I>VCp</I> ad angulum <I>VCP:</I> erit vis centripeta qua corpus idem eo$dem motus in eadem Trajectoria <I>upk</I> circula- riter mota temporibus ii$dem peragere pote$t, ut $umma virium X+(VRGG-VRFF/A <I>cub.</I>). <p><I>Corol.</I> 5. Dato igitur motu corporis in Orbe quocunque immo- bili, augeri vel minui pote$t ejus motus angularis circa centrum virium in ratione data, & inde inveniri novi Orbes immobiles in quibus corpora novis viribus centripetis gyrentur. <p><I>Corol.</I> 6. Igitur $i ad rectam <I>CV</I> po- <FIG> $itione datam erigatur perpendiculum <I>VP</I> longitudinis indeterminatæ, jun- gaturque <I>CP,</I> & ip$i æqualis agatur <I>Cp,</I> con$tituens angulum <I>VCp,</I> qui $it ad angulum <I>VCP</I> in data ratione; vis qua corpus gyrari pote$t in Curva illa <I>Vpk</I> quam punctum <I>p</I> perpetuo tangit, erit reciproce ut cubus altitu- dinis <I>Cp.</I> Nam corpus <I>P,</I> per vim inertiæ, nulla alia vi urgente, uniformiter progredi pote$t in recta <I>VP.</I> Addatur vis in centrum <I>C,</I> cubo altitudinis <I>CP</I> vel <I>Cp</I> reciproce proportionalis, & (per jam demon$trata) detorquebitur motus ille rectilineus in lineam <pb n=126> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> curvam <I>Vpk.</I> E$t autem hæc Curva <I>Vpk</I> eadem cum Curva illa <I>VPQ</I> in Corol. 3. Prop. XLI inventa, in qua ibi diximus corpora huju$modi viribus attracta oblique a$cendere. <C>PROPOSITIO XLV. PROBLEMA XXXI.</C> <C><I>Orbium qui $unt Circulis maxime $initimi requiruntur motus Ap- $idum.</I></C> <p>Problema $olvitur Arithmetice faciendo ut Orbis, quem corpus in Ellip$i mobili (ut in Propo$itionis $uperioris Corol. 2, vel 3) revolvens de$cribit in plano immobili, accedat ad formam Orbis cujus Ap$ides requiruatur, & quærendo Ap$ides Orbis quem cor- pus illud in plano immobili de$cribit. Orbes autem eandem ac- quirent formam, $i vires centripetæ quibus de$cribuntur, inter $e collatæ, in æqualibus altitudinibus reddantur proportionales. Sit punctum <I>V</I> Ap$is $umma, & $cribantur T pro altitudine maxima <I>CV,</I> A pro altitudine quavis alia <I>CP</I> vel <I>Cp,</I> & X pro alti- titudinum differentia <I>CV-CP</I>; & vis qua corpus in Ellip$i circa umbilicum $uum <I>C</I> (ut in Corollario 2.) revolvente move- tur, quæque in Corollario 2. erat ut (FF/AA)+(RGG-RFF/A <I>cub.</I>), id e$t ut (FFA+RGG-RFF/A <I>cub.</I>), $ub$tituendo T-X pro A, erit ut (RGG-RFF+TFF-FFX/A <I>cub.</I>). Reducenda $imiliter e$t vis alia quævis centripeta ad fractionem cujus denominator $it A <I>cub.,</I> & numeratores, facta homologorum terminorum collatione, $tatuendi $unt analogi. Res Exemplis patebit. <p><I>Exempl.</I> 1. Ponamus vim centripetam uniformem e$$e, adeoque ut (A <I>cub.</I>/A <I>cub.</I>), $ive ($cribendo T-X pro A in Numeratore) ut (T <I>cub.</I>-3TTX+3TXX-X <I>cub.</I>/A <I>cub.</I>); & collatis Numeratorum ter- minis corre$pondentibus, nimirum datis cum datis & non datis cum non datis, fiet RGG-RFF+TFF ad T <I>cub.</I> ut-FFX ad -3TTX+3TXX-X<I>cub.</I> $ive ut-FF ad-3TT+3TX -XX. Jam cum Orbis ponatur Circulo quam maxime finitimus, coeat Orbis cum Circulo; & ob factas R, T æquales, atque X in infi- <pb n=127> nitum diminutam, rationes ultimæ erunt RGG ad T <I>cub.</I> ut-FF <MARG>LIBER PRIMUS.</MARG> ad-3TT $eu GG ad TT ut FF ad 3TT & vici$$im GG ad FF ut TT ad 3 TT id e$t, ut 1 ad 3; adeoque G ad F, hoc e$t angulus <I>VCp</I> ad angulum <I>VCP,</I> ut 1 ad √3. Er- go cum corpus in Ellip$i immobili, ab Ap$ide $umma ad Ap- $idem imam de$cendendo conficiat angulum <I>VCP</I> (ut ita di- cam) gradum 180; corpus aliud in Ellip$i mobili, atque adeo in Orbe immobili de quo agimus, ab Ap$ide $umma ad Ap$idem imam de$cendendo conficiet angulum <I>VCp</I> gradum (180/√3): id adeo ob $imilitudinem Orbis hujus, quem corpus agente uniformi vi centripeta de$cribit, & Orbis illius quem corpus in Ellip$i re- volvente gyros peragens de$cribit in plano quie$cente. Per $u- periorem terminorum collationem $imiles redduntur hi Orbes, non univer$aliter, $ed tunc cum ad formam circularem quam maxime appropinquant. Corpus igitur uniformi cum vi centripeta in Orbe propemodum circulari revolvens, inter Ap$idem $ummam & Ap$idem imam conficiet $emper angulum (180/√3) graduum, $eu 103 <I>gr.</I> 55 <I>m.</I> 23 <I>$ec.</I> ad centrum; perveniens ab Ap$ide $umma ad Ap$idem imam ubi $emel confecit hunc angulum, & inde ad Ap$i- dem $ummam rediens ubi iterum confecit eundem angulum; & $ic deinceps in infinitum. <p><I>Exempl.</I> 2. Ponamus vim centripetam e$$e ut altitudinis A dig- nitas quælibet A<SUP><I>n</I>-3</SUP> $eu (A<SUP><I>n</I></SUP>/A<SUP>3</SUP>): ubi <I>n</I>-3 & <I>n</I> $ignificant digni- tatum indices quo$cunque integros vel fractos, rationales vel irratio- nales, affirmativos vel negativos. Numerator ille A<SUP><I>n</I></SUP> $eu ―T-X<SUP><I>n</I></SUP> in $eriem indeterminatam per Methodum no$tram Serierum conver- gentium reducta, evadit T<SUP><I>n</I></SUP>-<I>n</I>XT<SUP><I>n</I>-1</SUP>+(<I>nn-n</I>/2)XXT<SUP><I>n</I>-2</SUP> &c. Et collatis hujus terminis cum terminis Numeratoris alterius RGG-RFF+TFF-FFX, fit RGG-RFF+TFF ad T<SUP><I>n</I></SUP> ut-FF ad-<I>n</I>T<SUP><I>n</I>-1</SUP>+(<I>nn-n</I>/2)XT<SUP><I>n</I>-2</SUP> &c. Et $umendo ratio- nes ultimas ubi Orbes ad formam circularem accedunt, fit RGG ad T<SUP><I>n</I></SUP> ut-FF ad-<I>n</I>T<SUP><I>n</I>-1</SUP>, $eu GG ad T<SUP><I>n</I>-1</SUP> ut FF ad <I>n</I>T<SUP><I>n</I>-1</SUP>, & vici$$im GG ad FF ut T<SUP><I>n</I>-1</SUP> ad <I>n</I>T<SUP><I>n</I>-1</SUP> id e$t ut 1 ad <I>n</I>; adeoque G ad F, id e$t angulus <I>VCp</I> ad angulum <I>VCP,</I> <pb n=128> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> ut 1 ad √<I>n.</I> Quare cum angulus <I>VCP,</I> in de$cen$u corporis ab Ap$ide $umma ad Ap$idem imam in Ellip$i confectus, $it graduum 180; conficietur angulus <I>VCp,</I> in de$cen$u corporis ab Ap$ide $umma ad Ap$idem imam, in Orbe propemodum Cir- culari quem corpus quodvis vi centripeta dignitati A<SUP><I>n</I>-3</SUP> pro- portionali de$cribit, æqualis angulo graduum (180/√<I>n</I>); & hoc angulo repetito corpus redibit ab Ap$ide ima ad Ap$idem $ummam, & $ic deinceps in infinitum. Ut $i vis centripeta $it ut di$tantia cor- poris a centro, id e$t, ut A $eu (A<SUP>4</SUP>/A<SUP>3</SUP>), erit <I>n</I> æqualis 4 & √<I>n</I> æqualis 2; adeoque angulus inter Ap$idem $ummam & Ap$idem imam æ- qualis (180/2) <I>gr.</I> $eu 90 <I>gr.</I> Completa igitur quarta parte revolutio- nis unius corpus perveniet ad Ap$idem imam, & completa alia quarta parte ad Ap$idem $ummam, & $ic deinceps per vices in infinitum. Id quod etiam ex Propo$itione x. manife$tum e$t. Nam corpus urgente hac vi centripeta revolvetur in Ellip$i immobili, cujus centrum e$t in centro virium. Quod $i vis centripeta $it reci- proce ut di$tantia, id e$t directe ut 1/A $eu (A<SUP>2</SUP>/A<SUP>3</SUP>), erit <I>n</I> æqualis 2, ad- eoque inter Ap$idem $ummam & imam angulus erit graduum (180/√2) $eu 127 <I>gr.</I> 16 <I>m.</I> 45 <I>$ec.</I> & propterea corpus tali vi revolvens, perpe- tua anguli hujus repetitione, vicibus alternis ab Ap$ide $umma ad imam & ab ima ad $ummam perveniet in æternum. Porro $i vis centripeta $it reciproce ut latus quadrato-quadratum undecimæ dignitatis altitudinis, id e$t reciproce ut A (11/4), adeoque directe ut (1/A<SUP>11/4</SUP>) $eu ut (A<SUP>1/4</SUP>/A<SUP>3</SUP>) erit <I>n</I> æqualis 1/4, & (180/√<I>n</I>) <I>gr.</I> æqualis 360 <I>gr.</I> & prop- terea corpus de Ap$ide $umma di$cedens & $ubinde perpetuo de- $cendens, perveniet ad Ap$idem imam ubi complevit revolutionem integram, dein perpetuo a$cen$u complendo aliam revolutionem in- regram, redibit ad Ap$idem $ummam: & $ic per vices in æternum. <p><I>Exempl.</I> 3. A$$umentes <I>m</I> & <I>n</I> pro quibu$vis indicibus dignitatum Altitudinis, & <I>b, c</I> pro numeris quibu$vis datis, ponamus vim cen- tripetam e$$e ut (<I>b</I>A<SUP><I>m</I></SUP>+<I>c</I>A<SUP><I>n</I></SUP>/A <I>cub.</I>), id e$t, ut (<I>b</I> in ―T-X<SUP><I>m</I></SUP>+<I>c</I> in ―T-X<SUP><I>n</I></SUP>/A <I>cub.</I>) $eu (per eandem Methodum no$tram Serierum convergentium) ut (<I>b</I>T<SUP><I>m</I></SUP>+<I>c</I>T<SUP><I>n</I></SUP>-<I>mb</I>XT<SUP><I>m</I>-1</SUP>-<I>nc</I>XT<SUP><I>n</I>-1</SUP>+(<I>mm-mb</I>/2)XXT<SUP><I>m</I>-2</SUP>+(<I>nn-nc</I>/2)XXT<SUP><I>n</I>-2</SUP> <I>&c.</I>/A <I>cub.</I>) <pb n=129> & collatis numeratorum terminis, fiet RGG-RFF+TFF <MARG>LIBER PRIMUS.</MARG> ad <I>b</I>T<SUP><I>m</I></SUP>+<I>c</I>T<SUP><I>n</I></SUP>, ut - FF ad - <I>mb</I>T<SUP><I>m</I>-1</SUP>-<I>nc</I>T<SUP><I>n</I>-1</SUP> +(<I>mm-m</I>/2)<I>b</I>XT<SUP><I>m</I>-2</SUP>+(<I>nn-n</I>/2)<I>c</I>XT<SUP><I>n</I>-2</SUP> &c. Et $umendo rationes ulti- mas quæ prodeunt ubi Orbes ad formam circularem accedunt, fit GG ad <I>b</I>T<SUP><I>m</I>-1</SUP>+<I>c</I>T<SUP><I>n</I>-1</SUP>, ut FF ad <I>mb</I>T<SUP><I>m</I>-1</SUP>+<I>nc</I>T<SUP><I>n</I>-1</SUP>, & vici$$im GG ad FF ut <I>b</I>T<SUP><I>m</I>-1</SUP>+<I>c</I>T<SUP><I>n</I>-1</SUP> ad <I>mb</I>T<SUP><I>m</I>-1</SUP>+<I>nc</I>T<SUP><I>n</I>-1</SUP>. Quæ proportio, exponendo altitudinem maximam <I>CV</I> $eu T Arith- metice per Unitatem, fit GG ad FF ut <I>b+c</I> ad <I>mb+nc,</I> adeoque ut 1 ad (<I>mb+nc/b+c</I>). Unde e$t G ad F, id e$t angulus <I>VCp</I> ad angulum <I>VCP,</I> ut 1 ad √(<I>mb+nc/b+c</I>). Et propterea cum angulus <I>VCP</I> inter Ap$idem $ummam & Ap$idem imam in Ellip$i immobili $it 180 <I>gr.</I> erit angulus <I>VCp</I> inter ea$dem Ap$ides, in Orbe quem corpus vi centripeta quantitati (<I>b</I>A<SUP><I>m</I></SUP>+<I>c</I>A<SUP><I>n</I></SUP>/A <I>cub.</I>) proportionali de$cribit, æqua- lis angulo graduum 180 √(<I>b+c/mb+nc</I>). Et eodem argumento $i vis cen- tripeta $it ut (<I>b</I>A<SUP><I>m</I></SUP>-<I>c</I>A<SUP><I>n</I></SUP>/A <I>cub.</I>), angulus inter Ap$ides invenietur graduum 180 √(<I>b-c/mb-nc</I>). Nec $ecus re$olvetur Problema in ca$ibus diffi- cilioribus. Quantitas cui vis centripeta proportionalis e$t, re- $olvi $emper debet in Series convergentes denominatorem ha- bentes A <I>cub.</I> Dein pars data numeratoris qui ex illa operatione provenit ad ip$ius partem alteram non datam, & pars data nu- meratoris hujus RGG-RFF+TFF-FFX ad ip$ius partem alteram non datam in eadem ratione ponendæ $unt: Et quantitates $uperfluas delendo, $cribendoque Unitatem pro T, obtinebitur proportio G ad F. <p><I>Corol.</I> 1. Hinc $i vis centripeta $it ut aliqua altitudinis digni- tas, inveniri pote$t dignitas illa ex motu Ap$idum; & contra. Nimirum $i motus totus angularis, quo corpus redit ad Ap$idem eandem, $it ad motum angularem revolutionis unius, $eu graduum 360, ut numerus aliquis <I>m</I> ad numerum alium <I>n,</I> & altitudo no- minetur A: erit vis ut altitudinis dignitas illa A<SUP>(<I>nn/mm</I>)-3</SUP>, cujus In- <pb n=130> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> dex e$t (<I>nn/mm</I>)-3. Id quod per Exempla $ecunda manife$tum e$t. Unde liquet vim illam in majore quam triplicata altitudinis ratione, in rece$$u a centro, decre$cere non po$$e: Corpus tali vi revolvens deque Ap$ide di$cedens, $i cæperit de$cendere nunquam perveniet ad Ap$idem imam $eu altitudinem minimam, $ed de$cendet u$que ad centrum, de$cribens Curvam illam lineam de qua egimus in Cor. 3. Prop. XLI. Sin cæperit illud, de Ap$ide di$cedens, vel minimum a$cendere; a$cendet in infinitum, neque unquam perveniet ad Ap- $idem $ummam. De$cribet enim Curvam illam lineam de qua ac- tum e$t in eodem Corol. & in Corol. 6, Prop. XLIV. Sic & ubi vis, in rece$$u a centro, decre$cit in majore quam triplicata ratione altitudinis, corpus de Ap$ide di$cedens, perinde ut cæperit de$cen- dere vel a$cendere, vel de$cendet ad centrum u$que vel a$cendet in infinitum. At $i vis, in rece$$u a centro, vel decre$cat in minore quam triplicata ratione altitudinis, vel crefcat in altitudinis ratione quacunque; corpus nunquam de$cendet ad centrum u$que, $ed ad Ap$idem imam aliquando perveniet: & contra, $i corpus de Ap$i- de ad Ap$idem alternis vicibus de$cendens & a$cendens nunquam appellat ad centrum; vis in rece$$u a centro aut augebitur, aut in minore quam triplicata altitudinis ratione decre$cet: & quo ci- tius corpus de Ap$ide ad Ap$idem redierit, eo longius ratio virium recedet a ratione illa triplicata. Ut $i corpus revolutionibus 8 vel 4 vel 2 vel 1 1/2 de Ap$ide $umma ad Ap$idem $ummam alterno de- $cen$u & a$cen$u redierit; hoc e$t, $i fuerit <I>m</I> ad <I>n</I> ut 8 vel 4 vel 2 vel 1 1/2 ad 1, adeoque (<I>nn/mm</I>)-3 valeat (1/64)-3 vel (1/16) - 3 vel 1/4-3 vel 4/9-3: erit vis ut A<SUP>(1/64)-3</SUP> vel A<SUP>(1/16)-3</SUP> vel A<SUP>1/4-3</SUP> vel A<SUP>4/9-3</SUP>, id e$t, reciproce ut A<SUP>3-(1/64)</SUP> vel A<SUP>3-(1/16)</SUP> vel A<SUP>3-1/4</SUP> vel A<SUP>3-4/9</SUP>. Si corpus $ingulis revolutionibus redierit ad Ap$idem eandem immo- tam; erit <I>m</I> ad <I>n</I> ut 1 ad 1, adeoque A (<I>nn/mm</I>)-3 æqualis A<SUP>-2</SUP> $eu (1/AA<*>) & propterea decrementum virium in ratione duplicata altitudinis, ut in præcedentibus demon$tratum e$t. Si corpus partibus revo- lutionis unius vel tribus quartis, vel duabus tertiis, vel una ter- tia, vel una quarta, ad Ap$idem eandem redierit; erit <I>m</I> ad <I>n</I> ut 1/4 vel 2/3 vel 1/3 vel 1/4 ad 1, adeoque A(<I>nn/mm</I>)-3 æqualis A<SUP>(16/9)-3</SUP> vel A<SUP>9/4-3</SUP> vel A<SUP>9-3</SUP> vel A<SUP>16-3</SUP>; & propterea vis aut reciproce ut <pb n=131> A<SUP>(11/9)</SUP> vel A<SUP>1/4</SUP>, aut directe ut A<SUP>6</SUP> vel A <SUP>13</SUP>. Denique $i corpus pergendo <MARG>LIBER PRIMUS.</MARG> ab Ap$ide $umma ad Ap$idem $ummam confecerit revolutionem in- tegram, & præterea gradus tres, adeoque Ap$is illa $ingulis corporis revolutionibus confecerit in con$equentia gradus tres; erit <I>m</I> ad <I>n</I> ut 363 <I>gr.</I> ad 360<I>gr.</I> $ive ut 121 ad 120, adeoque A<SUP>(<I>nn/mm</I>)-3</SUP> erit æquale A<SUP>-(29523/14641)</SUP>; & propterea vis centripeta reciproce ut A <SUP>(29523/14641)</SUP> $eu re- ciproce ut A<SUP>2 (4/2+3)</SUP> proxime. Decre$cit igitur vis centripeta in ratio- ne paulo majore quam duplicata, $ed quæ vicibus 59 3/4 propius ad duplicatam quam ad triplicatam accedit. <p><I>Corol.</I> 2. Hinc etiam $i corpus, vi centripeta quæ $it reciproce ut quadratum altitudinis, revolvatur in Ellip$i umbilicum haben- te in centro virium, & huic vi centripetæ addatur vel auferatur vis alia quævis extranea; cogno$ci pote$t (per Exempla tertia) motus Ap$idum qui ex vi illa extranea orietur: & contra. Ut $i vis qua corpus revolvitur in Ellip$i $it ut (1/AA), & vis extranea ab- lata ut <I>c</I> A, adeoque vis reliqua ut (A-<I>c</I> A<SUP>4</SUP>/A <I>cub.</I>); erit (in Exemplis ter- tiis) <I>b</I> æqualis 1, <I>m</I> æqualis 1, <I>n</I> æqualis 4, adeoque angulus revo- lutionis inter Ap$ides æqualis angulo graduum 180 √(1-<I>c</I>/1-4<SUP><I>c</I></SUP>). Po- natur vim illam extraneam e$$e 357,<SUP>45</SUP> partibus minorem quam vis altera qua corpus revolvitur in Ellip$i, id e$t <I>c</I> e$$e (100/35745), exi$tente A vel T æquali 1; & 180 √(1-<I>c</I>/1-4<SUP><I>c</I></SUP>) evadet 180 √(35645/35345), $eu 180, 7623, id e$t, 180 <I>gr.</I> 45 <I>m.</I> 44 <I>$.</I> Igitur corpus de Ap$ide $umma di$ce- dens, motu angulari 180 <I>gr.</I> 45 <I>m.</I> 44. <I>$.</I> perveniet ad Ap$idem imam, & hoc motu duplicato ad Ap$idem $ummam redibit: adeo- que Ap$is $umma $ingulis revolutionibus progrediendo conficiet 1 <I>gr.</I> 31 <I>m.</I> 28 <I>$ec.</I> <p>Hactenus de Motu corporum in Orbibus quorum plana per centrum Virium tran$eunt. Supere$t ut Motus etiam determine- mus in planis excentricis. Nam Scriptores qui Motum gravium tractant, con$iderare $olent a$cen$us & de$cen$us ponderum, tam obliquos in planis quibu$cunque datis, quam perpendicu- lares: & pari jure Motus corporum Viribus quibu$cunque cen- <pb n=132> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> tra petentium, & planis excentricis innitentium hic con$iderandus venit. Plana autem $upponimus e$$e politi$$ima & ab$olute lubrica ne corpora retardent. Quinimo, in his demon$trationibus, vi- ce planorum quibus corpora incumbunt quæque tangunt incum- bendo, u$urpamus plana his parallela, in quibus centra corpo- rum moventur & Orbitas movendo de$cribunt. Et eadem lege Motus corporum in $uperficiebus Curvis peractos $ubinde de- terminamus. <C>SECTIO X.</C> <C><I>De Motu Corporum in Superficiebus datis, deque Funipendulorum Motu reciproco.</I></C> <C>PROPOSITIO XLVI. PROBLEMA XXXII.</C> <p><I>Po$ita cuju$cunque generis Vi centripeta, datoque tum Virium cen- tro tum Plano quocunque in quo corpus revolvitur, & conce$- $is Figurarum curvilinearum quadraturis: requiritur Motus cor- poris de loco dato, data cum Velocitate, $ecundum rectam in Plano illo datam egre$$i.</I> <p>Sit <I>S</I> centrum Virium, <I>SC</I> di$tantia minima centri hujus a Plano dato, <I>P</I> corpus de loco <I>P</I> $ecundum rectam <I>PZ</I> egrediens, <I>Q</I> corpus idem in Trajectoria $ua revolvens, & <I>PQR</I> Trajectoria illa, in Plano dato de$cripta, quam invenire oportet. Jungantur <I>CQ QS,</I> & $i in <I>QS</I> capiatur <I>SV</I> proportionalis vi centripetæ qua corpus trahitur ver$us centrum <I>S,</I> & agatur <I>VT</I> quæ fit parallela <I>CQ</I> & occurrat <I>SC</I> in <I>T:</I> Vis <I>SV</I> re$olvetur (per Legum Corol. 2.) in vires <I>ST, TV;</I> quarum <I>ST</I> trahendo corpus $ecundum lineam plano perpendicularem, nil mutat motum ejus in hoc plano. Vis autem altera <I>TV,</I> agendo $ecundum po$itionem plani, trahit cor- pus directe ver$us punctum <I>C</I> in plano datum, adeoque facit illud in hoc plano perinde moveri ac $i vis <I>ST</I> tolleretur, & corpus vi $ola <I>TV</I> revolveretur circa centrum <I>C</I> in $patio libero. Data autem <pb n=133> vi centripeta <I>TV</I> qua corpus <I>Q</I> in $patio libero circa centrum <MARG>LIBER PRIMUS.</MARG> datum <I>C</I> revolvitur, datur per Prop. XLII, tum Trajectoria <I>PQR</I> quam corpus de$cribit, tum locus <I>Q</I> in quo corpus ad datum quod- vis tempus ver$abitur, tum denique velocitas corporis in loco illo <I>Q</I>; & contra. <I>Q. E. I.</I> <C>PROPOSITIO XLVII. THEOREMA XV.</C> <p><I>Po$ito quod Vis centripeta proportionalis $it di$tantiæ corporis a centro; corpora omnia in planis quibu$cunque revolventia de- $cribent Ellip$es, & revolutiones Temporibus æqualibus peragent; quæque moventur in lineis rectis, ultro citroque di$currendo, $ingulas eundi & redeundi periodos ii$dem Temporibus ab$ol- vent.</I> <p>Nam, $tantibus quæ <FIG> in $uperiore Propo$itio- ne, vis <I>SV</I> qua corpus <I>Q</I> in plano quovis <I>PQR</I> revolvens trahitur ver- $us centrum <I>S</I> e$t ut di- ftantia <I>SQ;</I> atque adeo ob proportionales <I>SV</I> & <I>SQ, TV</I> & <I>CQ,</I> vis <I>TV</I> qua corpus trahi- tur ver$us punctum <I>C</I> in Orbis plano datum, e$t ut di$tantia <I>CQ.</I> Vi- res igitur, quibus cor- pora in plano <I>PQR</I> ver$antia trahuntur ver- $us punctum <I>C,</I> $unt pro ratione di$tantiarum æquales viribus quibus corpora undiquaque trahuntur ver$us centrum <I>S</I>; & propterea corpora movebuntur ii$- dem Temporibus, in ii$dem Figuris, in plano quovis <I>PQR</I> circa punctum <I>C,</I> atque in $patiis liberis circa centrum <I>S</I>; adeoque (per Corol. 2. Prop. X, & Corol. 2. Prop. XXXVIII) Temporibus $emper <pb n=134> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> æqualibus, vel de$cribent Ellip$es in plano illo circa centrum <I>C,</I> vel periodos movendi ultro citroque in lineis rectis per centrum <I>C</I> in plano illo ductis, complebunt. <I>Q. E. D.</I> <C><I>Scholium.</I></C> <p>His affines $unt a$cen$us ac de$cen$us corporum in $uperficiebus curvis. Concipe lineas curvas in plano de$cribi, dein circa axes quo$vis datos per centrum Virium tran$euntes revolvi, & ea revo- lutione $uperficies curvas de$cribere; tum corpora ita moveri ut eorum centra in his $uperficiebus perpetuo reperiantur. Si cor- pora illa oblique a$cendendo & de$cendendo currant ultro citroque peragentur corum motus in planis per axem tran$euntibus, atque adeo in lineis curvis quarum revolutione curvæ illæ $uperficies ge- nitæ $unt. I$tis igitur in ca$ibus $ufficit motum in his lineis cur- vis con$iderare. <C>PROPOSITIO XLVIII. THEOREMA XVI.</C> <p><I>Si Rota Globo extrin$ecus ad angulos rectos in$i$tat, & more ro- tarum revolvendo progrediatur in circulo maximo; longitudo Itineris curvilinei, quod punctum quodvis in Rotæ perimetro da- tum, ex quo Globum tetigit, confecit, (quodque Cycloidem vel Epicycloidem nominare licet) erit ad duplicatum $inum ver$um arcus dimidii qui Globum ex eo tempore inter eundum tetigit, ut $umma diametrorum Globi & Rotæ ad $emidiametrum Globi.</I> <C>PROPOSITIO XLIX. THEOREMA XVII.</C> <p><I>Si Rota Globo concavo ad rectos angulos intrin$ecus in$i$tat & re- volvendo progrediatur in circulo maximo; longitudo Itineris curvilinei quod punctum quodvis in Rotæ perimetro datum, ex quo Globum tetigit, confecit, erit ad duplicatum $inum ver$um arcus dimidii qui Globum toto hoc tempore inter eundum teti- git, ut differentia diametrorum Globi & Rotæ ad $emidiame- trum Globi.</I> <pb n=135> <p>Sit <I>ABL</I> Globus, <I>C</I> centrum ejus, <I>BPV</I> Rota ei in$i$tens, <I>E</I> <MARG>LIBER PRIMUS.</MARG> centrum Rotæ, <I>B</I> punctum contactus, & <I>P</I> punctum datum in pe- rimetro Rotæ. Concipe hanc Rotam pergere in circulo maximo <I>ABL</I> ab <I>A</I> per <I>B</I> ver$us <I>L,</I> & inter cundum ita revolvi ut ar- cus <I>AB, PB</I> $ibi invicem $emper æquentur, atque punctum illud <I>P</I> in perimetro Rotæ datum interea de$cribere Viam curvilineam <I>AP.</I> Sit autem <I>AP</I> Via tota curvilinea de$cripta ex quo Rota Globum tetigit in <I>A,</I> & erit Viæ hujus longitudo <I>AP</I> ad duplum <FIG> $inum ver$um arcus 1/2 <I>PB,</I> ut 2 <I>CE</I> ad <I>CB.</I> Nam recta <I>CE</I> ($i opus e$t producta) occurrat Rotæ in <I>V,</I> junganturque <I>CP, BP, EP, VP,</I> & in <I>CP</I> productam demittatur normalis <I>VF.</I> Tan- gant <I>PH, VH</I> Circulum in <I>P</I> & <I>V</I> concurrentes in <I>H,</I> $ecetque <I>PH</I> ip$am <I>VF</I> in <I>G,</I> & ad <I>VP</I> demittantur normales <I>GI, HK.</I> <pb n=136> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> Centro item <I>C</I> & intervallo quovis de$cribatur circulus <I>nom</I> $e- cans rectam <I>CP</I> in <I>n,</I> Rotæ perimetrum <I>BP</I> &c. in <I>o,</I> & Viam curvi- lineam <I>AP</I> in <I>m;</I> centroque <I>V</I> & intervallo <I>Vo</I> de$cribatur circu- lus $ecans <I>VP</I> productam in <I>q.</I> <p>Quoniam Rota eundo $emper revolvitur circa punctum con- tactus <I>B,</I> manife$tum e$t quod recta <I>BP</I> perpendicularis e$t ad <FIG> lineam illam curvam <I>AP</I> quam Rotæ punctum <I>P</I> de$cribit, atque adeo quod recta <I>VP</I> tanget hanc curvam in puncto <I>P.</I> Circuli <I>nom</I> radius $en$im auctus vel diminutus æquetur tandem di$tantiæ <I>CP</I>; &, ob $imilitudinem Figuræ evane$centis <I>Pnomq</I> & Figuræ <I>PFGVI,</I> ratio ultima lineolarum evane$centium <I>Pm, Pn, Po, Pq,</I> <pb n=137> id e$t, ratio mutationum momentanearum curvæ <I>AP,</I> rectæ <MARG>LIBER PRIMUS.</MARG> <I>CP,</I> arcus circularis <I>BP,</I> ac rectæ <I>VP,</I> eadem erit quæ linea- rum <I>PV, PF, PG, PI</I> re$pective. Cum autem <I>VF</I> ad <I>CF</I> & <I>VH</I> ad <I>CV</I> perpendiculares $unt, angulique <I>HVG, VCF</I> prop- terea æquales; & angulus <I>VHG</I> (ob angulos quadrilateri <I>HVEP</I> ad <I>V</I> & <I>P</I> rectos) angulo <I>CEP</I> æqualis e$t, $imilia erunt tri- angula <I>VHG, CEP</I>; & inde fiet ut <I>EP</I> ad <I>CE</I> ita <I>HG</I> ad <I>HV</I> $eu <I>HP</I> & ita <I>KI</I> ad <I>KP,</I> & compo$ite vel divi$im ut <I>CB</I> ad <I>CE</I> ita <I>PI</I> ad <I>PK,</I> & duplicatis con$equentibus ut <I>CB</I> ad 2 <I>CE</I> ita <I>PI</I> ad <I>PV,</I> atque ita adeo <I>Pq</I> ad <I>Pm.</I> E$t igitur decremen- tum lineæ <I>VP,</I> id e$t, incrementum lineæ <I>BV-VP</I> ad incremen- tum lineæ curvæ <I>AP</I> in data ratione <I>CB</I> ad 2 <I>CE,</I> & prop- terea (per Corol. Lem. IV.) longitudines <I>BV-VP</I> & <I>AP,</I> in- crementis illis genitæ, $unt in eadem ratione. Sed, exi$tente <I>BV</I> ra- dio, e$t <I>VP</I> co-$inus anguli <I>BVP</I> $eu 1/2 <I>BEP,</I> adeoque <I>BV-VP</I> $inus ver$us eju$dem anguli; & propterea in hac Rota, cujus radius e$t 1/2 <I>BV,</I> erit <I>BV-VP</I> duplus $inus ver$us arcus 1/2 <I>BP.</I> Ergo <I>AP</I> e$t ad duplum $inum ver$um arcus 1/2 <I>BP</I> ut 2 <I>CE</I> ad <I>CB. Q. E. D.</I> <p>Lineam autem <I>AP</I> in Propo$itione priore Cycloidem extra Globum, alteram in po$teriore Cycloidem intra Globum di$tincti- onis gratia nominabimus. <p><I>Corol.</I> 1. Hinc $i de$cribatur Cyclois integra <I>ASL</I> & bi$ecetur ea in <I>S,</I> erit longitudo partis <I>PS</I> ad longitudinem <I>VP</I> (quæ du- plus e$t $inus anguli <I>VBP,</I> exi$tente <I>EB</I> radio) ut 2 <I>CE</I> ad <I>CB,</I> atque adeo in ratione data. <p><I>Corol.</I> 2. Et longitudo $emiperimetri Cycloidis <I>AS</I> æquabitur lineæ rectæ quæ e$t ad Rotæ diametrum <I>BV,</I> ut 2 <I>CE</I> ad <I>CB.</I> <C>PROPOSITIO L. PROBLEMA XXXIII.</C> <C><I>Facere ut Corpus pendulum o$cilletur in Cycloide data.</I></C> <p>Intra Globum <I>QVS,</I> centro <I>C</I> de$criptum, detur Cyclois <I>QRS</I> bi$ecta in <I>R</I> & punctis $uis extremis <I>Q</I> & <I>S</I> $uperficiei Globi hinc inde occurrens. Agatur <I>CR</I> bi$ecans arcum <I>QS</I> in <I>O,</I> & produca- tur ea ad <I>A,</I> ut $it <I>CA</I> ad <I>CO</I> ut <I>CO</I> ad <I>CR.</I> Centro <I>C</I> in- <pb n=138> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> tervallo <I>CA</I> de$eribatur Globus exterior <I>ABD,</I> & intra hunc Glo- bum a Rota, cujus diameter $it <I>AO,</I> de$cribantur duæ Semicycloides <I>AQ, AS,</I> quæ Globum interiorem tangant in <I>Q</I> & <I>S</I> & Globo ex- teriori occurrant in <I>A.</I> A puncto illo <I>A,</I> Filo <I>APT</I> longitudinem <I>AR</I> æquante, pendeat corpus <I>T,</I> & ita intra Semicycloides <I>AQ, AS</I> o$cilletur, ut quoties pendulum digreditur a perpendiculo <I>AR,</I> <FIG> Filum parte $ui $uperiore <I>AP</I> applicetur ad Semicycloidem illam <I>APS</I> ver$us quam peragitur motus, & circum eam ceu ob$tacu- lum flectatur, parteque reliqua <I>PT</I> cui Semicyclois nondum obji- citur, protendatur in lineam rectam; & pondus <I>T</I> o$cillabitur in Cycloide data <I>QRS. Q. E. F.</I> <p>Occurrat enim Filum <I>PT</I> tum Cycloidi <I>QRS</I> in <I>T,</I> tum circulo <I>QOS</I> in <I>V,</I> agaturque <I>CV;</I> & ad Fili partem rectam <I>PT,</I> e punctis extremis <I>P</I> ac <I>T,</I> erigantur perpendicula <I>PB, TW,</I> occurrentia re- ctæ <I>CV</I> in <I>B</I> & <I>W.</I> Patet, ex con$tructione & gene$i $imilium Fi- gurarum <I>AS, SR,</I> perpendicula illa <I>PB, TW</I> ab$cindere de <I>CV</I> lon- gitudines <I>VB, VW</I> Rotarum diametris <I>OA, OR</I> æquales. E$t igi- tur <I>TP</I> ad <I>VP</I> (duplum $inum anguli <I>VBP</I> exi$tente 1/2 <I>BV</I> ra- <pb n=139> dio) ut <I>BW</I> ad <I>BV,</I> $eu <I>AO+OR</I> ad <I>AO,</I> id e$t (cum $int <I>CA</I> <MARG>LIBER PRIMUS.</MARG> ad <I>CO, CO</I> ad <I>CR</I> & divi$im <I>AO</I> ad <I>OR</I> proportionales,) ut <I>CA+CO</I> ad <I>CA</I> vel, $i bi$ecetur <I>BV</I> in <I>E,</I> ut 2 <I>CE</I> ad <I>CB.</I> Proinde, per Corol. 1. Prop. XLIX, longitudo partis rectæ Fili <I>PT</I> æquatur $emper Cycloidis arcui <I>PS,</I> & Filum totum <I>APT</I> æquatur $emper Cycloidis arcui dimidio <I>APS,</I> hoc e$t (per Corol. 2. Prop. XLIX) longitudini <I>AR.</I> Et propterea vici$$im $i Filum manet $em- per æquale longitudini <I>AR</I> movebitur punctum <I>T</I> in Cycloide data <I>QRS. Q. E. D.</I> <p><I>Corol.</I> Filum <I>AR</I> æquatur Semicycloidi <I>AS,</I> adeoque ad $emi- diametrum <I>AC</I> eandem habet rationem quam $imilis illi Semicy- clois <I>SR</I> habet ad $emidiametrum <I>CO.</I> <C>PROPOSITIO LI. THEOREMA XVIII.</C> <p><I>Si Vis centripeta tendens undique ad Globi centrum</I> C <I>$it in locis $ingulis ut di$tantia loci cuju$que a centro, & hac $ola Vi a- gente corpus</I> T <I>o$cilletur (modo jam de$cripto) in perimetro Cy- cloidis</I> QRS: <I>dico quod o$cillationum utcunque inæqualium æqualia erunt Tempora.</I> <p>Nam in Cycloidis tangentem <I>TW</I> infinite productam cadat per- pendiculum <I>CX</I> & jungatur <I>CT.</I> Quoniam vis centripeta qua cor- pus <I>T</I> impellitur ver$us <I>C</I> e$t ut di$tantia <I>CT,</I> atque hæc (per Legum Corol. 2.) re$olvitur in partes <I>CX, TX,</I> quarum <I>CX</I> impellen- do corpus directe a <I>P</I> di$tendit filum <I>PT</I> & per ejus re$i$tentiam tota ce$$at, nullum alium edens effectum; pars autem altera <I>TX,</I> urgendo corpus tran$ver$im $eu ver$us <I>X,</I> directe accelerat motum ejus in Cycloide; manife$tum e$t quod corporis acceleratio, huic vi acceleratrici proportionalis, $it $ingulis momentis ut longitudo <I>TX,</I> id e$t, (ob datas <I>CV, WV</I> ii$que proportionales <I>TX, TW,</I>) ut longitudo <I>TW,</I> hoc e$t (per Corol. 1. Prop. XLIX,) ut longitudo arcus Cycloidis <I>TR.</I> Pendulis igitur duobus <I>APT, Apt</I> de per- pendiculo <I>AR</I> inæqualiter deductis & $imul dimi$$is, acceleratio- nes eorum $emper erunt ut arcus de$cribendi <I>TR, tR.</I> Sunt au- tem partes $ub initio de$criptæ ut accelerationes, hoc e$t, ut totæ $ub initio de$cribendæ, & propterea partes quæ manent de$criben- <pb n=140> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> dæ & accelerationes $ub$equentes, his partibus proportionales, $unt etiam ut totæ; & $ic deinceps. Sunt igitur accelerationes atque adeo velocitates genitæ & partes his velocitatibus de$criptæ par- te$que de$cribendæ, $emper ut totæ; & propterea partes de$criben- dæ datam $ervantes rationem ad invicem $imul evane$cent, id e$t, corpora duo o$cillantia $imul pervenient ad perpendiculum <I>AR.</I> Cumque vici$$im a$cen$us perpendiculorum de loco in$imo <I>R,</I> per eo$dem arcus Cycloidales motu retrogrado facti, retardentur in locis $ingulis a viribus ii$dem a quibus de$cen$us accelerabantur, patet velocitates a$cen$uum ac de$cen$uum per eo$dem arcus fa- ctorum æquales e$$e, atque adeo temporibus æqualibus fieri; & propterea, cum Cycloidis partes duæ <I>RS</I> & <I>RQ</I> ad utrumque per- pendiculi latus jacentes $int $imiles & æquales, pendula duo o$cil- lationes $uas tam totas quam dimidias ii$dem temporibus $emper peragent. <I>Q. E. D.</I> <p><I>Corol.</I> Vis qua corpus <I>T</I> in loco quovis <I>T</I> acceleratur vel retar- tur in Cycloide, e$t ad totum corporis eju$dem Pondus in loco alti$$imo <I>S</I> vel <I>Q,</I> ut Cycloidis arcus <I>TR</I> ad eju$dem arcum <I>SR</I> vel <I>QR.</I> <C>PROPOSITIO LII. PROBLEMA XXXIV.</C> <p><I>Definire & Velocitates Pendulorum in locis $ingulis, & Tempora quibus tum o$cillationes totæ, tum $ingulæ o$cillationum partes peraguntur.</I> <p>Centro quovis <I>G,</I> intervallo <I>GH</I> Cycloidis arcum <I>RS</I> æquante, de$cribe $emicirculum <I>HKMG</I> $emidiametro <I>GK</I> bi$ectum. Et $i vis centripeta, di$tantiis locorum a centro proportionalis, tendat ad centrum <I>G,</I> $itque ea in perimetro <I>HIK</I> æqualis vi centripetæ in perimetro Globi <I>QOS (Vide Fig. Prop.</I> L.) ad ip$ius cen- trum tendenti; & eodem tempore quo pendulum <I>T</I> dimittitur e loco $upremo <I>S,</I> cadat corpus aliquod <I>L</I> ab <I>H</I> ad <I>G:</I> quoniam vires quibus corpora urgentur $unt æquales $ub initio & $patiis de$cribendis <I>TR, LG</I> $emper proportionales, atque adeo, $i æ- quantur <I>TR</I> & <I>LG,</I> æquales in locis <I>T</I> & <I>L</I>; patet corpora illa de$cribere $patia <I>ST, HL</I> æqualia $ub initio, adeoque $ubinde per- gere æqualiter urgeri, & æqualia $patia de$cribere. Quare, per Prop. XXXVIII, tempus quo corpus de$cribit arcum <I>ST</I> e$t ad tempus <pb n=141> o$cillationis unius, ut arcus <I>HI</I> (tempus quo corpus <I>H</I> perveniet <MARG>LIBER PRIMUS.</MARG> ad <I>L</I>) ad $emiperipheriam <I>HKM</I> (tempus quo corpus <I>H</I> per- veniet ad <I>M.</I>) Et velocitas corporis penduli in loco <I>T</I> e$t ad ve- loc tatem ipfius in loco infimo <I>R,</I> (hoc e$t, velocitas corporis <I>H</I> in loco <I>L</I> ad velocitatem ejus in loco <I>G,</I> $eu incrementum momenta- neum lineæ <I>HL</I> ad incrementum momentaneum lineæ <I>HG,</I> arcu- bus <I>HI, HK</I> æquabili fluxu cre$centibus) ut ordinatim applicata <I>LI</I> ad radium <I>GK,</I> $ive ut √<I>SRq.-TRq.</I> ad <I>SR.</I> Unde cum, in o$cillationibus inæqualibus, de$cribantur æqualibus temporibus arcus totis o$cillationum arcubus proportionales; habentur, ex da- tis temporibus, & velocitates & arcus de$cripti in o$cillationibus univer$is. Quæ erant primo invenienda. <p>O$cillentur jam Funipendula <FIG> corpora in Cycloidibus diver$is intra Globos diver$os, quorum diver$æ $unt etiam Vires ab$olu- tæ, de$criptis: &, $i Vis ab$olu- ta Globi cuju$vis <I>QOS</I> dicatur V, Vis acceleratrix qua Pendulũ urge- tur in circumferentia hujus Globi, ubi incipit directe ver$us centrum ejus moveri, erit ut di$tantia Cor- poris penduli a centro illo & Vis ab$oluta Globi conjunctim, hoc e$t, ut <I>CO</I>XV. Itaque lineola <I>HY,</I> quæ $it ut hæc Vis accelera- trix <I>CO</I>XV, de$cribetur dato tempore; &, $i erigatur normalis <I>YZ</I> circumferentiæ occurrens in <I>Z,</I> arcus na$cens <I>HZ</I> denotabit datum illud tempus. E$t autem arcus hic na$cens <I>HZ</I> in $ubduplicata ra- tione rectanguli <I>GHY,</I> adeoque ut √<I>GHXCO</I>XV. Unde Tem- pus o$cillationis integræ in Cycloide <I>QRS</I> (cum $it ut $emiperi- pheria <I>HKM,</I> quæ o$cillationem illam integram denotat, directe, utque arcus <I>HZ,</I> qui datum tempus $imiliter denotat, inver$e) fiet ut <I>GH</I> directe & √<I>GHXCO</I>XV inver$e, hoc e$t, ob æquales <I>GH</I> & <I>SR,</I> ut √(<I>SR/CO</I>XV), $ive (per Corol. Prop. L) ut √(<I>AR/AC</I>XV). Itaque O$cillationes in Globis & Cycloidibus omnibus, quibu$- cunque cum Viribus ab$olutis factæ, $unt in ratione quæ compo- nitur ex $ubduplicata ratione longitudinis Fili directe, & $ubdu- plicata ratione di$tantiæ inter punctum $u$pen$ionis & centrum <pb n=142> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> Globi inver$e, & $ubduplicata ratione Vis ab$olutæ Globi etiam inver$e. <I>Q. E. I.</I> <p><I>Corol.</I> 1. Hinc etiam O$cillantium, Cadentium & Revolventium corporum tempora po$$unt inter $e conferri. Nam $i Rotæ, qua Cy- clois intra globum de$cribitur, diameter con$tituatur æqualis $emi- diametro globi, Cyclois evadet Linea recta per centrum globi tran- $iens, & O$cillatio jam erit de$cen$us & $ub$equens a$cen$us in hac recta. Unde datur tum tempus de$cen$us de loco quovis ad centrum, tum tempus huic æquale quo corpus uniformiter cir- ca centrum globi ad di$tantiam quamvis revolvendo arcum qua- drantalem de$cribit. E$t enim hoc tempus (per Ca$um $ecun- dum) ad tempus $emio$cillationis in Cycloide quavis <I>QRS</I> ut 1 ad √(<I>AR/AC</I>). <p><I>Corol.</I> 2. Hinc etiam con$ectantur quæ <I>Wrennus</I> & <I>Hugenius</I> de Cycloide vulgari adinvenerunt. Nam $i Globi diameter augeatur in infinitum: mutabitur ejus $uperficies $phærica in planum, Vi$que centripeta aget uniformiter $ecundum lineas huic plano perpendi- culares, & Cyclois no$tra abibit in Cycloidem vulgi. I$to autem in ca$u longitudo arcus Cycloidis, inter planum illud & punctum de$cribens, æqualis evadet quadruplicato $inui ver$o dimidii arcus Rotæ inter idem planum & punctum de$cribens; ut invenit <I>Wren- nus:</I> Et Pendulum inter duas eju$modi Cycloides in $imili & æ- quali Cycloide temporibus æqualibus O$cillabitur, ut demon$travit <I>Hugenius.</I> Sed & De$cen$us gravium, tempore O$cillationis unius, is erit quem <I>Hugenius</I> indicavit. <p>Aptantur autem Propo$itiones a nobis demon$tratæ ad veram con$titutionem Terræ, quatenus Rotæ eundo in ejus circulis maxi- mis de$cribunt motu Clavorum, perimetris $uis infixorum, Cycloi- des extra globum; & Pendula inferius in fodinis & cavernis Terra $u$pen$a, in Cycloidibus intra globos O$cillari debent, ut O$cilla- tiones omnes evadant I$ochronæ. Nam Gravitas (ut in Libro tertio docebitur) decre$cit in progre$$u a $uperficie Terræ, $ur- $um quidem in duplicata ratione di$tantiarum a centro ejus, de or$um vero in ratione $implici. <pb n=143> <MARG>LIBER PRIMUS.</MARG> <C>PROPOSITIO LIII. PROBLEMA XXXV.</C> <p><I>Conce$$is Figurarum curvilinearum quadraturis, invenire Vires qui- bus corpora in datis curvis lineis O$cillationes $emper I$ochro- nas peragent.</I> <p>O$cilletur corpus <I>T</I> in curva quavis linea <I>STRQ,</I> cujus axis $it <I>OR</I> tran$iens per virium centrum <I>C.</I> Agatur <I>TX</I> quæ curvam il- lam in corporis loco quovis <I>T</I> contingat, inque hac tangente <I>TX</I> <FIG> capiatur <I>TY</I> æqualis arcui <I>TR.</I> Nam longitudo arcus illius ex Fi- gurarum quadraturis (per Methodos vulgares) innote$cit. De pun- cto <I>Y</I> educatur recta <I>YZ</I> tangenti perpendicularis. Agatur <I>CT</I> per- pendiculari illi occurrens in <I>Z,</I> & erit Vis centripeta proportiona- lis rectæ <I>TZ. Q. E. I.</I> <pb n=144> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> <p>Nam $i vis, qua corpus trahitur de <I>T</I> ver$us <I>C,</I> exponatur per rectam <I>TZ</I> captam ip$i proportionalem, re$olvetur hæc in vires <I>TY, YZ</I>; quarum <I>YZ</I> trahendo corpus $ecundum longitudinem Fili <I>PT,</I> motum ejus nil mutat, vis autem altera <I>TY</I> motum ejus in curva <I>STRQ</I> directe accelerat vel directe retardat. Proinde cum hæc $it ut via de$cribenda <I>TR,</I> accelerationes corporis vel re- tardationes in O$cillationum duarum (majoris & minoris) parti- bus proportionalibus de$cribendis, erunt $emper ut partes illæ, & propterea facient ut partes illæ $imul de$cribantur. Corpora autem quæ partes totis $emper proportionales $imul de$cribunt, $imul de- $cribent totas. <I>Q. E. D.</I> <p><I>Corol.</I> 1. Hinc $i corpus <I>T</I> Filo rectilineo <I>AT</I> a centro <I>A</I> pen- dens, de$cribat arcum circularem <I>STRQ,</I> & interea urgeatur $e- cundum lineas parallelas deor$um a vi aliqua, quæ $it ad vim uni- formem Gravitatis, ut arcus <I>TR</I> ad ejus $inum <I>TN:</I> æqualia e- runt O$cillationum $ingularum tempora. Etenim ob parallelas <I>TZ, AR,</I> $imilia erunt triangula <I>ATN, ZTY</I>; & propterea <I>TZ</I> erit ad <I>AT</I> ut <I>TY</I> ad <I>TN</I>; hoc e$t, ($i Gravitatis vis unifor- mis exponatur per longitudinem datam <I>AT</I>) vis <I>TZ,</I> qua O$cil- lationes evadent I$ochronæ, erit ad vim Gravitatis <I>AT,</I> ut arcus <I>TR</I> ip$i <I>TY</I> æqualis ad arcus illius $inum <I>TN.</I> <p><I>Corol.</I> 2. Igitur in Horologiis, $i vires a Machina in Pendulum ad motum con$ervandum impre$$æ ita cum vi Gravitatis componi po$$int, ut vis tota deor$um $emper $it ut linea quæ oritur appli- cando rectangulum $ub arcu <I>TR</I> & radio <I>AR</I> ad $inum <I>TN,</I> O$cillationes omnes erunt I$ochronæ. <C>PROPOSITIO LIV. PROBLEMA XXXVI.</C> <p><I>Conce$$is Figurarum curvilinearum quadraturis, invenire Tempora quibus corpora Vi qualibet centripeta in lineis quibu$cunque cur- vis, in plano per centrum Virium tran$eunte de$criptis, de$cen- dent & a$cendent.</I> <p>De$cendat corpus de loco quovis <I>S</I> per lineam quamvis curvam <I>STtR,</I> in plano per virium centrum <I>C</I> tran$eunte datam. Junga- tur <I>CS</I> & dividatur eadem in partes innumeras æquales, $itque <I>Dd</I> <pb n=145> partium illarum aliqua. Centro <I>C,</I> intervallis <I>CD, Cd</I> de$criban- <MARG>LIBER PRIMUS.</MARG> tur circuli <I>DT, dt,</I> lineæ curvæ <I>STtR</I> occurrentes in <I>T</I> & <I>t.</I> Et ex data tum lege vis centripetæ, tum <FIG> altitudine <I>CS</I> de qua corpus cecidit; dabitur velocitas corporis in alia qua- vis altitudine <I>CT,</I> per Prop. XXXIX. Tempus autem, quo corpus de$cribit lineolam <I>Tt,</I> e$t ut lineolæ hujus lon- gitudo (id e$t ut $ecans anguli <I>tTC</I>) directe, & velocitas inver$e. Tempori huic proportionalis $it ordinatim appli- cata <I>DN</I> ad rectam <I>CS</I> per punctum <I>D</I> perpendicularis, & ob datam <I>Dd</I> erit rectangulum <I>DdXDN,</I> hoc e$t area <I>DNnd,</I> eidem tempori propor- tionale. Ergo $i <I>SNn</I> $it curva illa li- nea quam punctum <I>N</I> perpetuo tangit, erit area <I>SNDS</I> proportionalis tem- pori quo corpus de$cendendo de$crip- $it lineam <I>ST</I>; proindeque ex inventa illa area dabitur Tempus. <I>Q.E.I.</I> <C>PROPOSITIO LV. THEOREMA XIX.</C> <p><I>Si corpus movetur in $uperficie quacunque curva, cujus axis per centrum Virium tran$it, & a corpore in axem demittatur per- pendicularis, eique parallela & æqualis ab axis puncto quovis dato ducatur: dico quod parallela illa aream tempori proportio- nalem de$cribet.</I> <p>Sit <I>BSKL</I> $uperficies curva, <I>T</I> corpus in ea revolvens, <I>STtR</I> Trajectoria quam corpus in eadem de$cribit, <I>S</I> initium Trajecto- riæ, <I>OMNK</I> axis $uperficiei curvæ, <I>TN</I> recta a corpore in axem perpendicularis, <I>OP</I> huic parallela & æqualis a puncto <I>O</I> quod in axe datur educta, <I>AP</I> ve$tigium Trajectoriæ a puncto <I>P</I> in lineæ volubilis <I>OP</I> plano <I>AOP</I> de$criptum, <I>A</I> ve$tigii initium puncto <I>S</I> re$pondens, <I>TC</I> recta a corpore ad centrum ducta; <I>TG</I> pars ejus vi centripetæ qua corpus urgetur in centrum <I>C</I> proportionalis; <I>TM</I> recta ad $uperficiem cutvam perpendicularis, <I>TI</I> pars ejus vi pre$$ionis, qua corpus urget $uperficiem vici$$imque urgetur ver$us <I>M</I> <pb n=146> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> a $uperficie, proportiona- <FIG> lis; <I>PHTF</I> recta axi parallela per corpus tran- $iens, & <I>GF, IH</I> rectæ a punctis <I>G</I> & <I>I</I> in pa- rallelam illam <I>PHTF</I> perpendiculariter demi$- $æ. Dico jam quod area <I>AOP,</I> radio <I>OP</I> ab ini- tio motus de$cripta, $it tempori proportionalis. Nam vis <I>TG</I> (per Le- gum Corol. 2.) re$olvitur in vires <I>TF, FG</I>; & vis <I>TI</I> in vires <I>TH, HI:</I> Vires autem <I>TF, TH</I> agendo $ecundum lineam <I>PF</I> plano <I>AOP</I> per- pendicularem mutant $o- lummodo motum cor- poris quatenus huic plano perpendicularem. Ideoque motus ejus quatenus $ecundum po$itionem plani factus, hoc e$t, motus pun- cti <I>P</I> quo Trajectoriæ ve$tigium <I>AP</I> in hoc plano de$cri- bitur, idem e$t ac $i vires <I>TF, TH</I> tollerentur, & corpus $olis vi- ribus <I>FG, HI</I> agitaretur; hoc e$t, idem ac $i corpus in plano <I>AOP,</I> vi centripeta ad centrum <I>O</I> tendente & $ummam virium <I>FG</I> & <I>HI</I> æquante, de$criberet curvam <I>AP.</I> Sed vi tali de$cribi- tur area <I>AOP</I> (per Prop. 1.) tempori proportionalis. <I>Q.E.D.</I> <p><I>Corol.</I> Eodem argumento $i corpus a viribus agitatum ad centra duo vel plura in eadem quavis recta <I>CO</I> data tendentibus, de$cri- beret in $patio libero lineam quamcunque curvam <I>ST</I>; foret area <I>AOP</I> tempori $emper proportionalis. <C>PROPOSITIO LVI. PROBLEMA XXXVII.</C> <p><I>Conce$$is Figurarum curvilinearum quadraturis, dati$que tum lege Vis centripetæ ad centrum datum tendentis, tum $uperficie cur- va cujus axis per centrum illud træn$it; invenieuda est Traje- ctoria quam corpus in eadem $uperficie de$cribet, de loco dato, data cum Velocitate, ver$us plagam in $uperficie illa datam egre$$um.</I> <pb n=147> <p>Stantibus quæ in $uperiore Propo$itione con$tructa $unt, exeat <MARG>LIBER PRIMUS.</MARG> corpus de loco <I>S</I> in Trajectoriam inveniendam <I>STtR</I>; &, ex da- ta ejus velocitate in altitudine <I>SC,</I> dabitur ejus velocitas in alia quavis altitudine <I>TC.</I> Ea cum velocitate, dato tempore quam minimo, de$cribat corpus Trajectoriæ $uæ particulam <I>Tt,</I> $itque <I>Pp</I> ve$tigium ejus in plano <I>AOP</I> de$criptum. Jungatur <I>Op,</I> & Circelli centro <I>T</I> intervallo <I>Tt</I> in $uperficie curva de$cripti $it <I>PpQ</I> ve$tigium Ellipticum in eodem plano <I>OAPp</I> de$criptum. Et ob datum magnitudine & po$itione Circellum, dabitur Ellip$is illa <I>PpQ.</I> Cumque area <I>POp</I> $it tempori proportionalis, atque ad- eo ex dato tempore detur, dabitur <I>Op</I> po$itione, & inde dabitur communis ejus & Ellip$eos inter$ectio <I>p,</I> una cum angulo <I>OPp,</I> in quo Trajectoriæ ve$tigium <I>APp</I> $ecat lineam <I>OP.</I> Inde au- tem invenietur Trajectoriæ ve$tigium illud <I>APp,</I> eadem methodo qua curva linea <I>VIKk,</I> in Propo$itione XLI, ex $imilibus datis inventa fuit. Tum ex $ingulis ve$tigii punctis <I>P</I> erigendo ad pla- num <I>AOP</I> perpendicula <I>PT</I> $uperficiei curvæ occurrentia in <I>T,</I> dabuntur $ingula Trajectoriæ puncta <I>T. Q.E.I.</I> <C>SECTIO XI.</C> <C><I>De Motu Corporum Viribus centripetis $e mutuo petentium.</I></C> <p>Hactenus expo$ui Motus corporum attractorum ad centrum Im- mobile, quale tamen vix extat in rerum natura. Attractiones enim fieri $olent ad corpora; & corporum trahentium & attractorum actiones $emper mutuæ $unt & æquales, per Legem tertiam: ad- eo ut neque attrahens po$$it quie$cere neque attractum, $i duo $int corpora, $ed ambo (per Legum Corollarium quartum) qua$i at- tractione mutua, circum gravitatis centrum commune revolvantur: & $i plura $int corpora (quæ vel ab unico attrahantur vel omnia $e mutuo attrahant) hæc ita inter $e moveri debeant, ut gravitatis centrum commune vel quie$cat vel uniformiter moveatur in direc- tum. Qua de cau$a jam pergo Motum exponere corporum $e mu- tuo trahentium, con$iderando Vires centripetas tanquam Attractio- nes, quamvis forta$$e, $i phy$ice loquamur, verius dicantur Im- pul$us. In Mathematicis enim jam ver$amur, & propterea mi$$is di$putationibus Phy$icis, familiari utimur $ermone, quo po$$imus a Lectoribus Mathematicis facilius intelligi. <pb n=148> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> <C>PROPOSITIO LVII. THEOREMA XX.</C> <C><I>Corpora duo $e invicem trahentia de$cribunt, & circum commune centrum gravitatis, & circum $e mutuo, Figuras $imiles.</I></C> <p>Sunt enim di$tantiæ a communi gravitatis centro reciproce pro- portionales corporibus, atque adeo in data ratione ad invicem, & componendo, in data ratione ad di$tantiam totam inter corpora. Feruntur autem hæ di$tantiæ circum terminos $uos communi motu angulari, propterea quod in directum $emper jacentes non mutant inclinationem ad $e mutuo. Lineæ autem rectæ, quæ $unt in data ratione ad invicem, & æquali motu angulari circum terminos $uos feruntur, Figuras circum eo$dem terminos (in planis quæ una cum his terminis vel quie$cunt vel motu quovis non angulari moven- tur) de$cribunt omnino $imiles. Proinde $imiles $unt Figuræ quæ his di$tantiis circumactis de$cribuntur. <I>Q.E.D.</I> <C>PROPOSITIO LVIII. THEOREMA XXI.</C> <p><I>Si corpora duo Viribus quibu$vis $e mutuo trahunt, & interea re- volvuntur circa gravitatis centrum commune: dico quod Fi- guris, quas corpora $ic mota de$cribunt circum $e mutuo, potest Figura $imilis & æqualis, circum corpus alterutrum immotum, Viribus ii$dem de$eribi.</I> <p>Revolvantur corpora <I>S, P</I> circa commune gravitatis centrum <I>C,</I> pergendo de <I>S</I> ad <I>T</I> deque <I>P</I> ad <I>Q.</I> A dato puncto <I>s</I> ip$is <FIG> <I>SP, TQ</I> æquales & parallelæ ducantur $emper <I>sp, sq</I>; & Curva <I>pqv</I> quam punctum <I>p,</I> revolvendo circum punctum immotum <I>s,</I> <pb n=149> de$cribit, erit $imilis & æqualis Curvis quas corpora <I>S, P</I> de$cri- <MARG>LIBER PRIMUS.</MARG> bunt circum $e mutuo: proindeque (per Theor. XX) $imilis Curvis <I>ST</I> & <I>PQV,</I> quas eadem corpora de$cribunt circum commune gravitatis centrum <I>C:</I> id adeo quia proportiones linearum <I>SC, CP</I> & <I>SP</I> vel. <I>sp</I> ad invicem dantur. <p><I>Cas.</I> 1. Commune illud gravitatis centrum <I>C,</I> per Legum Co- rollarium quartum, vel quie$cit vel movetur uniformiter in direc- tum. Ponamus primo quod id quie$cit, inque <I>s</I> & <I>p</I> locentur cor- pora duo, immobile in <I>s,</I> mobile in <I>p,</I> corporibus <I>S</I> & <I>P</I> $imilia & æqualia. Dein tangant rectæ <I>PR</I> & <I>pr</I> Curvas <I>PQ</I> & <I>pq</I> in <I>P</I> & <I>p,</I> & producantur <I>CQ</I> & <I>sq</I> ad <I>R</I> & <I>r.</I> Et, ob $imilitudi- nem Figurarum <I>CPRQ, sprq,</I> erit <I>RQ</I> ad <I>rq</I> ut <I>CP</I> ad <I>sp,</I> ad- eoque in data ratione. Proinde $i vis qua corpus <I>P</I> ver$us cor- pus <I>S,</I> atque adeo ver$us centrum intermedium <I>C</I> attrahitur, e$$et ad vim qua corpus <I>p</I> ver$us centrum <I>s</I> attrahitur in eadem illa ra- tione data; hæ vires æqualibus temporibus attraherent $emper cor- pora de tangentibus <I>PR, pr</I> ad arcus <I>PQ, pq,</I> per intervalla ip$is proportionalia <I>RQ, rq;</I> adeoque vis po$terior efficeret ut corpus <I>p</I> gyraretur in Curva <I>pqv,</I> quæ $imilis e$$et Curvæ <I>PQV,</I> in qua vis prior efficit ut corpus <I>P</I> gyretur, & revolutiones ii$dem tem- poribus complerentur. At quoniam vires illæ non $unt ad invi- cem in ratione <I>CP</I> ad <I>sp,</I> $ed (ob $imilitudinem & æqualitatem corporum <I>S</I> & <I>s, P</I> & <I>p,</I> æqualitatem di$tantiarum <I>SP, sp</I>) $ibi mutuo æquales; corpora æqualibus temporibus æqualiter tra- hentur de tangentibus: & propterea, ut corpus po$terius <I>p</I> trahatur per intervallum majus <I>rq,</I> requiritur tempus majus, idque in $ub- duplicata ratione intervallorum; propterea quod (per Lemma de- cimum) $patia, ip$o motus initio de$cripta, $unt in duplicata ratione temporum. Ponatur igitur velocitas corporis <I>p</I> e$$e ad velocita- tem corporis <I>P</I> in $ubduplicata ratione di$tantiæ <I>sp</I> ad di$tantiam <I>CP,</I> eo ut temporibus quæ $int in eadem $ubduplicata ratione de- $cribantur arcus <I>pq, PQ,</I> qui $unt in ratione integra: Et corpora <I>P, p</I> viribus æqualibus $emper attracta de$cribent circum centra quie$centia <I>C</I> & <I>s</I> Figuras $imiles <I>PQV, pqv,</I> quarum po$terior <I>pqv</I> $imilis e$t & æqualis Figuræ quam corpus <I>P</I> circum corpus mobile <I>S</I> de$cribit. <I>Q.E.D.</I> <p><I>Cas.</I> 2. Ponamus jam quod commune gravitatis centrum, una cum $patio in quo corpora moventur inter $e, progreditur unifor- miter in directum; &, per Legum Corollarium $extum, motus omnes in hoc $patio peragentur ut prius, adeoque corpora de$cri- <pb n=150> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> bent circum $e mutuo Figuras ea$dem ac prius, & propterea Figuræ <I>pqv</I> $imiles & æquales. <I>Q.E.D.</I> <p><I>Corol.</I> 1. Hinc corpora duo Viribus di$tantiæ $uæ proportionali- bus $e mutuo trahentia, de$cribunt (per Prop. X,) & circum com- mune gravitatis centrum, & circum $e mutuo, Ellip$es concentri- cas: & vice ver$a, $i tales Figuræ de$cribuntur, $unt Vires di$tan- tiæ proportionales. <p><I>Corol.</I> 2. Et corpora duo Viribus quadrato di$tantiæ $uæ recipro- ce proportionalibus de$cribunt (per Prop. XI, XII, XIII) & circum commune gravitatis centrum, & circum $e mutuo, Sectiones conicas umbilicum habentes in centro circum quod Figuræ de$cribuntur. Et vice ver$a, $i tales Figuræ de$cribuntur, Vires centripetæ $unt qua- drato di$tantiæ reciproce proportionales. <p><I>Corol.</I> 3. Corpora duo quævis cirum gravitatis centrum com- mune gyrantia, radiis & ad centrum illud & ad $e mutuo ductis, de$cribunt areas temporibus proportionales. <C>PROPOSITIO LIX. THEOREMA XXII.</C> <p><I>Corporum duorum</I> S <I>&</I> P <I>circa commune gravitatis centrum</I> C <I>revolventium Tempus periodicum e$$e ad Tempus periodicum cor- poris alterutrius</I> P, <I>circa alterum immotum</I> S <I>gyrantis & Figu- ris quæ corpora circum $e mutuo de$cribunt Figuram $imilem & æqualem de$cribentis, in $ubduplicata ratione corporis alterins</I> S, <I>ad $ummam corporum</I> S+P. <p>Namque, ex demon$tratione $uperioris Propo$itionis, tempora quibus arcus quivis $imiles <I>PQ</I> & <I>pq</I> de$cribuntur, $unt in $ub- duplicata ratione di$tantiarum <I>CP</I> & <I>SP</I> vel <I>sp,</I> hoc e$t, in $ub- duplicata ratione corporis <I>S</I> ad $ummam corporum <I>S+P.</I> Et com- ponendo, $ummæ temporum quibus arcus omnes $imiles <I>PQ</I> & <I>pq</I> de$cribuntur, hoc e$t, tempora tota quibus Figuræ totæ $imiles de- $cribuntur, $unt in eadem $ubduplicata ratione. <I>Q.E.D.</I> <pb n=151> <C>PROPOSITIO LX. THEOREMA XXIII.</C> <MARG>LIBER PRIMUS.</MARG> <p><I>St corpora duo</I> S <I>&</I> P, <I>Viribus quadrato di$tantiæ $uæ reciproee proportionalibus $e mutuo trahentia, revalvuntur circa gravi- tatis centrum commune: dico quod Ellip$eos, quam corpus al- terutrum</I> P <I>hoc motu circa alterum</I> S <I>de$cribit, Axis principa- lis erit ad Axem principalem Ellip$eos, quam corpus idem</I> P <I>circa alterum quie$cens</I> S <I>eodem tempore periodico de$cribere po$$et, ut $umma corporum duorum</I> S+P <I>ad primam duarum medie proportionalium inter hanc $ummam & corpus illud al- terum</I> S. <p>Nam $i de$criptæ Ellip$es e$$ent $ibi invicem æquales, tempora periodica (per Theorema $uperius) forent in $ubduplicata ratione corporis <I>S</I> ad $ummam corporum <I>S+P.</I> Minuatur in hac ratione tempus periodicum in Ellip$i po$teriore, & tempora periodica eva- dent æqualia; Ellip$eos autem axis prineipalis (per Prop. XV.) minu- etur in ratione cujus hæc e$t $e$quiplicata, id e$t in ratione, cujus ratio <I>S</I> ad <I>S+P</I> e$t triplicata; adeoque erit ad axem principalem Ellip$eos alterius, ut prima duarum medie proportionalium inter <I>S+P</I> & <I>S</I> ad <I>S+P.</I> Et inver$e, axis principalis Ellip$eos circa corpus mobile de$criptæ erit ad axem principalem de$criptæ circa immobile, ut <I>S+P</I> ad primam duarum medie proportionalium in- ter <I>S+P</I> & <I>S. Q.E.D.</I> <C>PROPOSITIO LXI. THEOREMA XXIV.</C> <p><I>Si corpora duo Viribus quibu$vis $e mutuo trabentia, neque alias agitata vel impedita, quomodocunque moveantur; motus eo- rum perinde $e habebunt ac $i non traherent $e mutuo, $ed u- trumque a corpore tertio in communi gravitatis centro con$tituto Viribus ii$dem traberetur: Et Virium trahentium eadem erit Lex re$pectu di$tantiæ corporum a centro illo communi atque re$pe- ctu di$tantiæ totius inter corpora.</I> <p>Nam vires illæ, quibus corpora $e mutuo trahunt, tendendo ad corpora, tendunt ad commune gravitatis centrum interme- <pb n=152> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> dium, adeoque eædem $unt ac $i a corpore intermedio mana- rent. <I>Q.E.D.</I> <p>Et quoniam data e$t ratio di$tantiæ corporis utriu$vis a centro illo communi ad di$tantiam corporis eju$dem a corpore altero, da- bitur ratio cuju$vis pote$tatis di$tantiæ unius ad eandem pote$ta- tem di$tantiæ alterius; ut & ratio quantitatis cuju$vis, quæ ex una di$tantia & quantitatibus datis utcunque derivatur, ad quantitatem aliam, quæ ex altera di$tantia & quantitatibus totidem datis da- tamque illam di$tantiarum rationem ad priores habentibus $imiliter derivatur. Proinde $i vis, qua corpus unum ab altero trahitur, $it directe vel inver$e ut di$tantia corporum ab invicem; vel ut quæ- libet hujus di$tantiæ pote$tas; vel denique ut quantitas quævis ex hac di$tantia & quantitatibus datis quomodocunque derivata: erit eadem vis, qua corpus idem ad commune gravitatis centrum tra- hitur, directe itidem vel inver$e ut corporis attracti di$tantia a cen- tro illo communi, vel ut eadem di$tantiæ hujus pote$tas, vel de- nique ut quantitas ex hac di$tantia & analogis quantitatibus da- tis $imiliter derivata. Hoc e$t, Vis trahentis eadem erit Lex re$pe- ctu di$tantiæ utriu$que. <I>Q.E.D.</I> <C>PROPOSITIO LXII. PROBLEMA XXXVIII.</C> <p><I>Corporum duorum quæ Viribus quadrato di$tantiæ $uæ reciproce proportionalibus $e mutuo trahunt, ac de locis datis demittun- tur, determinare Motus.</I> <p>Corpora (per Theorema novi$$imum) perinde movebuntur ac $i a corpore tertio, in communi gravitatis centro con$tituto, trahe- rentur; & centrum illud ip$o motus initio quie$cet per Hypothe- $in; & propterea (per Legum Corol. 4.) $emper quie$cet. Deter- minandi $unt igitur motus corporum (per Prob. XXV,) perinde ac $i a viribus ad centrum illud tendentibus urgerentur, & habe- buntur motus corporum $e mutuo trahentium. <I>Q.E.I.</I> <C>PROPOSITIO LXIII. PROBLEMA XXXIX.</C> <p><I>Corporum duorum quæ Viribus quadrato di$tantiæ $uæ reciproce pro- proportionalibus $e mutuo trahunt, deque locis datis, $ecundum datas rectas, datis cum Velocitatibus exeunt, determinare Motus.</I> <pb n=153> <p>Ex datis corporum motibus $ub initio, datur uniformis motus <MARG>LIBER PRIMUS.</MARG> centri communis gravitatis, ut & motus $patii quod una cum hoc centro movetur uniformiter in directum, nec non corporum mo- tus initiales re$pectu hujus $patii. Motus autem $ub$equentes (per Legum Corollarium quintum, & Theorema novi$$imum) perinde fiunt in hoc $patio, ac $i $patium ip$um una cum commu- ni illo gravitatis centro quie$ceret, & corpora non traherent $e mutuo, $ed a corpore tertio $ito in centro illo traherentur. Cor- poris igitur alterutrius in hoc $patio mobili, de loco dato, $ecun- dum datam rectam, data cum velocitate exeuntis, & vi centripeta ad centrum illud tendente correpti, determinandus e$t motus per Problema nonum & vice$imum $extum: & habebitur $imul mo- tus corporis alterius e regione. Cum hoc motu componendus e$t uniformis ille Sy$tematis $patii & corporum in eo gyrantium motus progre$$ivus $upra inventus, & habebitur motus ab$olutus corporum in $patio immobili. <I>Q.E.I.</I> <C>PROPOSITIO LXIV. PROBLEMA XL.</C> <p><I>Viribus quibus Corpora $e mutuo trahunt cre$centibus in $implici ra- tione di$tantiarum <*> centris: requiruntur Motus plurium Cor- porum inter $e.</I> <p>Ponantur primo corpora duo <I>T</I> & <I>L</I> commune habentia gravi- tatis centrum <I>D.</I> De$cribent hæc (per Corollarium primum Theo- rematis XXI) Ellip$es centra habentes in <I>D,</I> quarum magnitudo ex Problemate V, innote$cit. <p>Trahat jam corpus tertium <FIG> <I>S</I> priora duo <I>T</I> & <I>L</I> viri- bus acceleratricibus <I>ST, SL,</I> & ab ip$is vici$$im trahatur. Vis <I>ST</I> (per Legum Cor. 2.) re$olvitur in vires <I>SD, DT</I>; & vis <I>SL</I> in vires <I>SD, DL.</I> Vires autem <I>DT, DL,</I> quæ $unt ut ip$arum $umma <I>TL,</I> atque adeo ut vires accelera- trices quibus corpora <I>T</I> & <I>L</I> $e mutuo trahunt, additæ his viri- bus corporum <I>T</I> & <I>L,</I> prior priori & po$terior po$teriori, com- ponunt vires di$tantiis <I>DT</I> ac <I>DL</I> proportionales, ut prius, $ed <pb n=154> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> viribus prioribus majores; adeoque (per Corol. 1. Prop. X. & Corol. 1 & 8. Prop, IV) efficiunt ut corpora illa de$cribant Ellip$es ut prius, $ed motu celeriore. Vires reliquæ acceleratrices <I>SD</I> & <I>SD,</I> actio- nibus motricibus <I>SDXT</I> & <I>SDXL,</I> quæ $unt ut corpora, tra- hendo corpora illa æqualiter & $ecundum lineas <I>TI, LK,</I> ip$i <I>DS</I> parallelas, nil mutant $itus eorum ad invicem, $ed faciunt ut ip$a æqualiter accedant ad lineam <I>IK</I>; quam ductam concipe per me- dium corporis <I>S,</I> & lineæ <I>DS</I> perpendicularem. Impedietur au- tem i$te ad lineam <I>IK</I> acce$$us faciendo ut Sy$tema corporum <I>T</I> & <I>L</I> ex una parte, & corpus <I>S</I> ex altera, ju$tis cum velocitatibus, gyren- tur circa commune gravitatis centrum <I>C.</I> Tali motu corpus <I>S</I> (eo quod $umma virium motricium <I>SDXT</I> & <I>SDXL,</I> di$tan- tiæ <I>CS</I> proportionalium, tendit ver$us centrum <I>C</I>) de$cribit El- lip$in circa idem <I>C;</I> & punctum <I>D,</I> ob proportionales <I>CS, CD,</I> de$cribet Ellip$in con$imilem e regione. Corpora autem <I>T</I> & <I>L</I> viribus motricibus <I>SDXT</I> <FIG> & <I>SDXL,</I> (prius priore, po$terius po$teriore) æqua- liter & $ecundum lineas pa- rallelas <I>TI</I> & <I>LK</I> (ut dic- tum e$t) attracta, pergent (per Legum Corollarium quintum & $extum) circa cen- trum mobile <I>D</I> Ellip$es $uas de$cribere, ut prius. <I>Q.E.I.</I> <p>Addatur jam corpus quartum <I>V,</I> & $imili argumento conclude- tur hoc & punctum <I>C</I> Ellip$es circa omnium commune centrum gravitatis <I>B</I> de$cribere; manentibus motibus priorum corporum <I>T, L</I> & <I>S</I> circa centra <I>D</I> & <I>C,</I> $ed paulo acceleratis. Et eadem methodo corpora plura adjungere licebit. <I>Q.E.I.</I> <p>Hæc ita $e habent ubi corpora <I>T</I> & <I>L</I> trahunt $e mutuo viribus acceleratricibus majoribus vel minoribus quam quibus trahunt cor- pora reliqua pro ratione di$tantiarum. Sunto mutuæ omnium at- tractiones acceleratrices ad invicem ut di$tantiæ ductæ in corpo- ra trahentia, & ex præcedentibus facile deducetur quod corpora omnia æqualibus temporibus periodicis Ellip$es varias, circa om- nium commune gravitatis centrum <I>B,</I> in plano immobili de$cri- bunt. <I>Q.E.I.</I> <pb n=155> <C>PROPOSITIO LXV. THEOREMA XXV.</C> <MARG>LIBER PRIMUS.</MARG> <p><I>Corpora plura, quorum Vires decre$cunt in duplicata ratione di- $tantiarum ab eorundem centris, moveri po$$e inter $e in El- lip$ibus; & radiis ad umbilicos ductis areas de$cribere tempo- ribus proportionales quam proxime.</I> <p>In Propo$itione $uperiore demon$tratus e$t ca$us ubi motus plu- res peraguntur in Ellip$ibus accurate. Quo magis recedit Lex vi- rium a Lege ibi po$ita, eo magis corpora perturbabunt mutuos motus; neque fieri pote$t ut corpora, $ecundum Legem hic po$itam $e mutuo trahentia, moveantur in Ellip$ibus accurate, ni$i $ervando certam proportionem di$tantiarum ab invicem. In $equentibus au- tem ca$ibus non multum ab Ellip$ibus errabitur. <p><I>Cas.</I> 1. Pone corpora plura minora circa maximum aliquod ad varias ab eo di$tantias revolvi, tendantque ad $ingula vires ab$olu- tæ proportionales ii$dem corporibus. Et quoniam omnium com- mune gravitatis centrum (per Legum Corol. quartum) vel quie- $cit vel movetur uniformiter in directum, fingamus corpora mi- nora tam parva e$$e, ut corpus maximum nunquam di$tet $en$ibi- liter ab hoc centro: & maximum illud vel quie$cet vel movebitur uniformiter in directum, ab$que errore $en$ibili; minora autem re- volventur circa hoc maximum in Ellip$ibus, atque radiis ad idem ductis de$cribent areas temporibus proportionales; ni$i quatenus errores inducuntur, vel per errorem maximi a communi illo gravi- tatis centro, vel per actiones minorum corporum in $e mutuo. Di- minui autem po$$unt corpora minora u$que donec error i$te & ac- tiones mutuæ $int datis quibu$vis minores, atque adeo donec Orbes cum Ellip$ibus quadrent, & areæ re$pondeant temporibus, ab$que errore qui non $it minor quovis dato. <I>Q.E.O.</I> <p><I>Cas.</I> 2. Fingamus jam Sy$tema corporum minorum modo jam de$cripto circa maximum revolventium, aliudve quodvis duorum circum $e mutuo revolventium corporum Sy$tema progredi unifor- miter in directum, & interea vi corporis alterius longe maximi & ad magnam di$tantiam $iti urgeri ad latus. Et quoniam æquales vires acceleratrices, quibus corpora $ecundum lineas parallelas ur- gentur, non mutant $itus corporum ad invicem, $ed ut Sy$tema totum, $ervatis partium motibus inter $e, $imul transferatur effici- unt: manife$tum e$t quod, ex attractionibus in corpus maximum, <pb n=156> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> nulla pror$us orietur mutatio motus attractorum inter $e, ni$i vel ex attractionum acceleratricum inæqualitate, vel ex inclinatione li- nearum ad invicem, $ecundum quas attractiones fiunt. Pone ergo attractiones omnes acceleratrices in corpus maximum e$$e inter $e reciproce ut quadrata di$tantiarum; &, augendo corporis maximi di$tantiam, donec rectarum ab hoc ad reliqua ductarum differen- tiæ re$pectu earum longitudinis & inclinationes ad invicem mino- res $int quam datæ quævis, per$everabunt motus partium Sy$tema- tis inter $e ab$que erroribus qui non $int quibu$vis datis minores. Et quoniam, ob exiguam partium illarum ab invicem di$tantiam, Sy$tema totum ad modum corporis unius attrahitur; movebitur idem hac attractione ad modum corporis unius; hoc e$t, centro $uo gravitatis de$cribet circa corpus maximum Sectionem aliquam Conicam (<I>viz.</I> Hyperbolam vel Parabolam attractione languida, Ellip$in fortiore,) & Radio ad maximum ducto de$cribet areas temporibus proportionales, ab$que ullis erroribus, ni$i quas par- tium di$tantiæ (perexiguæ $ane & pro lubitu minuendæ) valeant efficere. <I>Q.E.O.</I> <p>Simili argumento pergere licet ad ca$us magis compo$itos in in- finitum. <p><I>Corol.</I> 1. In ca$u $ecundo; quo propius accedit corpus omnium maximum ad Sy$tema duorum vel plurium, eo magis turbabuntur motus partium Sy$tematis inter $e; propterea quod linearum a cor- pore maximo ad has ductarum jam major e$t inclinatio ad invicem, majorque proportionis inæqualitas. <p><I>Corol.</I> 2. Maxime autem turbabuntur, ponendo quod attractio- nes acceleratrices partium Sy$tematis ver$us corpus omnium maxi- mum, non $int ad invicem reciproce ut quadrata di$tantiarum a corpore illo maximo; præ$ertim $i proportionis hujus inæqualitas major $it quam inæqualitas proportionis di$tantiarum a corpore maximo: Nam $i vis acceleratrix, æqualiter & $ecundum lineas pa- rallelas agendo, nil perturbat motus inter $e, nece$$e e$t ut ex acti- onis inæqualitate perturbatio oriatur, majorque $it vel minor pro majore vel minore inæqualitate. Exce$$us impul$uum majorum, agendo in aliqua corpora & non agendo in alia, nece$$ario muta- bunt $itum eorum inter $e. Et hæc perturbatio, addita perturbatio- ni quæ ex linearum inclinatione & inæqualitate oritur, majorem reddet perturbationem totam. <p><I>Corol.</I> 3. Unde $i Sy$tematis hujus partes in Ellip$ibus vel Cir- culis $ine perturbatione in$igni moveantur; manife$tum e$t, quod <pb n=157> eædem a viribus acceleratricibus ad alia corpora tendentibus, aut <MARG>LIBER PRIMUS.</MARG> non urgentur ni$i levi$$ime, aut urgentur æqualiter & $ecundum li- neas parallelas quamproxime. <C>PROPOSITIO LXVI. THEOREMA XXVI.</C> <p><I>Si Corpora tria, quorum Vires decre$cunt in duplicata ratione di- $tantiarum, $e mutuo trahant, & attractiones acceleratrices bi- norum quorumcunque in tertium $int inter $e reciproce ut qua- drata di$tantiarum; minora autem circa maximum revolvan- tur: Dico quod interius circa intimum & maximum, radiis ad ip$um ductis, de$cribet areas temporibus magis proportio- nales, & Figuram ad formam Ellip$eos umbilicum in concur- $u radiorum habentis magis accedentem, $i corpus maximum his attractionibus agitetur, quam $i maximum illud vel a mi- noribus non attractum quie$cat, vel multo minus vel multo ma- gis attractum aut multo minus aut multo magis agitetur.</I> <p>Liquet fere ex demon$tratione Corollarii $ecundi Propo$itionis præcedentis; $ed argumento magis di$tincto & latius cogente $ie evincitur. <p><I>Cas.</I> 1. Revolvantur <FIG> corpora minora <I>P</I> & <I>S</I> in eodem plano circa maximum <I>T,</I> quorum <I>P</I> de$cribat Orbem in- teriorem <I>PAB,</I> & <I>S</I> exteriorem <I>SE.</I> Sit <I>SK</I> mediocris di$tan- tia corporum <I>P</I> & <I>S</I>; & corporis <I>P</I> ver$us <I>S</I> attractio acceleratrix in mediocri illa di$tantia exponatur per e- andem. In duplicata ratione <I>SK</I> ad <I>SP</I> capiatur <I>SL</I> ad <I>SK,</I> & e- rit <I>SL</I> attractio acceleratrix corporis <I>P</I> ver$us <I>S</I> in di$tantia quavis <I>SP.</I> Junge <I>PT,</I> eique parallelam age <I>LM</I> occurrentem <I>ST</I> in <I>M,</I> & attractio <I>SL</I> re$olvetur (per Legum Corol 2.) in attractiones <I>SM, LM.</I> Et $ic urgebitur corpus <I>P</I> vi acceleratrice triplici: <pb n=158> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> una tendente ad <I>T</I> & oriunda a mutua attractione corporum <I>T</I> & <I>P.</I> Hac vi $ola corpus <I>P</I> circum corpus <I>T,</I> $ive immotum $ive hac attractione agitatum, de$cribere deberet & areas, radio <I>PT,</I> tem- poribus proportionales, & Ellip$in cui umbilicus e$t in centro cor- poris <I>T.</I> Patet hoc per Prop. XI. & Corollaria 2 & 3 Theor. XXI. Vis altera e$t attractionis <I>LM,</I> quæ quoniam tendit a <I>P</I> ad <I>T,</I> $uperad- dita vi priori coincidet cum ip$a, & $ic faciet ut areæ etiamnum tem- poribus proportionales de$cribantur per Corol. 3. Theor. XXI. At quoniam non e$t quadrato di$tantiæ <I>PT</I> reciproce proportionalis, componet ea cum vi priore vim ab hac proportione aberrantem, id- que eo magis quo major e$t proportio hujus vis ad vim priorem, cæteris paribus. Proinde cum (per Prop. XI, & per Corol. 2. Theor. XXI) vis qua Ellip$is circa umbilicum <I>T</I> de$cribitur tendere debeat ad umbilicum illum, & e$$e quadrato di$tantiæ <I>PT</I> reciproce proportionalis; vis illa <FIG> compo$ita, aberrando ab hac proportione, fa- ciet ut Orbis <I>PAB</I> aberret a forma Ellip- $eos umbilicum haben- tis in <I>S;</I> idque eo ma- gis quo major e$t ab- erratio ab hac propor- tione; atque adeo eti- am quo major e$t proportio vis $ecundæ <I>LM</I> ad vim primam, cæ- teris paribus. Jam vero vis tertia <I>SM,</I> trahendo corpus <I>P</I> $ecun- dum lineam ip$i <I>ST</I> parallelam, componet cum viribus prioribus vim quæ non amplius dirigitur a <I>P</I> in <I>T,</I> quæque ab hac determi- natione tanto magis aberrat, quanto major e$t proportio hujus ter- tiæ vis ad vires priores, cæteris paribus; atque adeo quæ faciet ut corpus <I>P,</I> radio <I>TP,</I> areas non amplius temporibus proportiona- les de$cribat, atque aberratio ab hac proportionalitate ut tanto ma- jor $it, quanto major e$t proportio vis hujus tertiæ ad vires cæte- ras. Orbis vero <I>PAB</I> aberrationem a forma Elliptica præfata hæc- vis tertia duplici de cau$a adaugebit, tum quod non dirigatur a <I>P</I> ad <I>T,</I> tum etiam quod non $it proportionalis quadrato di$tantiæ <I>PT.</I> Quibus intellectis, manife$tum e$t quod areæ temporibus tum max- ime fiunt proportionales, ubi vis tertia, manentibus viribus cæte- ris, fit minima; & quod Orbis <I>PAB</I> tum maxime accedit ad præ- fatam formam Ellipticam, ubi vis tam $ecunda quam tertia, $ed præ- cipue vis tertia, fit minima, vi prima manente. <pb n=159> <p>Exponatur corporis <I>T</I> attractio acceleratrix ver$us <I>S</I> per lineam <MARG>LIBER PRIMUS.</MARG> <I>SN;</I> & $i attractiones acceleratrices <I>SM, SN</I> æquales e$$ent; hæ, trahendo corpora <I>T</I> & <I>P</I> æqualiter & $ecundum lineas parallelas, nil mutarent $itum eorum ad invicem. Iidem jam forent corporum illorum motus inter $e (per Legum Corol. 6.) ac $i hæ attractio- nes tollerentur. Et pari ratione $i attractio <I>SN</I> minor e$$et at- tractione <I>SM,</I> tolleret ip$a attractionis <I>SM</I> partem <I>SN,</I> & ma- neret pars $ola <I>MN,</I> qua temporum & arearum proportionalitas & Orbitæ forma illa Elliptica perturbaretur. Et $imiliter $i attra- ctio <I>SN</I> major e$$et attractione <I>SM,</I> oriretur ex differentia $ola <I>MN</I> perturbatio proportionalitatis & Orbitæ. Sic per attractio- nem <I>SN</I> reducitur $emper attractio tertia $uperior <I>SM</I> ad attra- ctionem <I>MN,</I> attractione prima & $ecunda manentibus pror$us im- mutatis: & propterea areæ ac tempora ad proportionalitatem, & Orbita <I>PAB</I> ad formam præfatam Ellipticam tum maxime acce- dunt, ubi attractio <I>MN</I> vel nulla e$t, vel quam fieri po$$it mini- ma; hoc e$t, ubi corporum <I>P & T</I> attractiones acceleratrices, fa- ctæ ver$us corpus <I>S,</I> accedunt quantum fieri pote$t ad æqualita- tem; id e$t, ubi attractio <I>SN</I> non e$t nulla, neque minor minima attractionum omnium <I>SM,</I> $ed inter attractionum omnium <I>SM</I> maximam & minimam qua$i mediocris, hoc e$t, non multo major neque multo minor attractione <I>SK. Q.E.D.</I> <p><I>Cas.</I> 2. Revolvantur jam corpora minora <I>P, S</I> circa maximum <I>T</I> in planis diver$is; & vis <I>LM,</I> agendo $ecundum lineam <I>PT</I> in pla- no Orbitæ <I>PAB</I> $itam, eundem habebit effectum ac prius, neque corpus <I>P</I> de plano Orbitæ $uæ deturbabit. At vis altera <I>NM,</I> agendo $ecundum lineam quæ ip$i <I>ST</I> parallela e$t, (atque adco, quando corpus <I>S</I> ver$atur extra lineam Nodorum, inclinatur ad planum Orbitæ <I>PAB</I>;) præter perturbationem motus in Longitu- dinem jam ante expo$itam, inducet perturbationem motus in Lati- tudinem, trahendo corpus <I>P</I> de plano $uæ Orbitæ. Et hæc per- turbatio, in dato quovis corporum <I>P</I> & <I>T</I> ad invicem $itu, erit ut vis illa generans <I>MN,</I> adeoque minima evadet ubi <I>MN</I> e$t mini- ma, hoc e$t (uti jam expo$ui) ubi attractio <I>SN</I> non e$t multo ma- jor, neque multo minor attractione <I>SK. Q.E.D.</I> <p><I>Corol.</I> 1. Ex his facile colligitur quod, $i corpora plura minora <I>P, S, R,</I> &c. revolvantur circa maximum <I>T,</I> motus corporis inti- mi <I>P</I> minime perturbabitur attractionibus exteriorum, ubi corpus maximum <I>T</I> pariter a cæteris, pro ratione virium acceleratricum, attrahitur & agitatur atque cætera a $e mutuo. <pb n=160> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> <p><I>Corol.</I> 2. In Sy$temate vero trium corporum <I>T, P, S,</I> $i attracti- ones acceleratrices binorum quorumcunque in tertium $int ad invi- cem reciproce ut quadrata di$tantiarum; corpus <I>P,</I> radio <I>PT,</I> are- am circa corpus <I>T</I> velocius de$cribet prope Conjunctionem <I>A</I> & Op- po$itionem <I>B,</I> quam prope Quadraturas <I>C, D.</I> Namque vis omnis qua corpus <I>P</I> urgetur & corpus <I>T</I> non urgetur, quæque non agit $ecundum lineam <I>PT</I> accelerat vel retardat de$criptionem areæ, perinde ut ip$a in con$equentia vel in antecedentia dirigitur. Talis e$t vis <I>NM.</I> Hæc in tran$itu corporis <I>P</I> a <I>C</I> ad <I>A</I> tendit in con- $equentia, motumque accelerat; dein u$que ad <I>D</I> in antecedentia, & motum retardat; tum in con$equentia u$que ad <I>B,</I> & ultimo in antecedentia tran$eundo a <I>B</I> ad <I>C.</I> <p><I>Corol.</I> 3. Et eodem argumento patet quod corpus <I>P,</I> cæteris pa- ribus, velocius movetur in Conjunctione & Oppo$itione quam in Quadraturis. <p><I>Corol.</I> 4. Orbita corporis <I>P,</I> cæteris paribus, curvior e$t in Qua- draturis quam in Conjunctione & Oppo$itione. Nam corpora ve- lociora minus deflec- <FIG> tunt a recto tramite. Et præterea vis <I>KL</I> vel <I>NM,</I> in Conjunctione & Oppo$itione, con- traria e$t vi qua cor- pus <I>T</I> trahit corpus <I>P,</I> adeoque vim illam mi- nuit; corpus autem <I>P</I> minus deflectet a recto tramite, ubi minus urgetur in corpus <I>T.</I> <p><I>Corol.</I> 5. Unde corpus <I>P,</I> cæteris paribus, longius recedet a cor- pore <I>T</I> in Quadraturis, quam in Conjunctione & Oppo$itione. Hæc ita $e habent exclu$o motu Excentricitatis. Nam $i Orbita corpo- ris <I>P</I> excentrica $it: Excentricitas ejus (ut mox in hujus Corol. 9. o$tendetur) evadet maxima ubi Ap$ides $unt in Syzygiis; indeque fieri pote$t ut corpus <I>P,</I> ad Ap$idem $ummam appellans, ab$it lon- gius a corpore <I>T</I> in Syzygiis quam in Quadraturis. <p><I>Corol.</I> 6. Quoniam vis centripeta corporis centralis <I>T,</I> qua cor- pus <I>P</I> retinetur in Orbe $uo, augetur in Quadraturis per additio- nem vis <I>LM,</I> ac diminuitur in Syzygiis per ablationem vis <I>KL,</I> & ob magnitudinem vis <I>KL,</I> magis diminuitur quam augetur; e$t au- tem vis illa centripeta (per Corol. 2, Prop. IV.) in ratione compo- $ita ex ratione $implici radii <I>TP</I> directe & ratione duplicata tempo- <pb n=161> ris periodici inver$e: patet hanc rationem compo$itam diminui per <MARG>LIBER PRIMUS.</MARG> actionem vis <I>KL,</I> adeoque tempus periodicum, $i maneat Orbis radius <I>TP,</I> augeri, idque in $ubduplicata ratione qua vis illa cen- tripeta diminuitur: auctoque adeo vel diminuto hoc Radio, tem- pus periodicum augeri magis, vel diminui minus quam in Radii hu- jus ratione $e$quiplicata, per Corol. 6. Prop. IV. Si vis illa corporis centralis paulatim langue$ceret, corpus <I>P</I> minus $emper & minus attractum perpetuo recederet longius a centro <I>T</I>; & contra, $i vis illa augeretur, accederet propius. Ergo $i actio corporis longin- qui <I>S,</I> qua vis illa diminuitur, augeatur ac diminuatur per vices; augebitur $imul ac diminuetur Radius <I>TP</I> per vices, & tempus pe- riodicum augebitur ac diminuetur in ratione compo$ita ex ratione $e$quiplicata Radii & ratione $ubduplicata qua vis illa centripeta corporis centralis <I>T,</I> per incrementum vel decrementum actionis corporis longinqui <I>S,</I> diminuitur vel augetur. <p><I>Corol.</I> 7. Ex præmi$$is con$equitur etiam quod Ellip$eos a cor- pore <I>P</I> de$criptæ Axis, $eu Ap$idum linea, quoad motum angula- rem progreditur & regreditur per vices, $ed magis tamen progre- ditur, & in $ingulis corporis revolutionibus per exce$$um progre$- $ionis fertur in con$equentia. Nam vis qua corpus <I>P</I> urgetur in corpus <I>T</I> in Quadraturis, ubi vis <I>MN</I> evanuit, componitur ex vi <I>LM</I> & vi centripeta qua corpus <I>T</I> trahit corpus <I>P.</I> Vis prior <I>LM,</I> $i augeatur di$tantia <I>PT,</I> augetur in eadem fere ratione cum hac di$tantia, & vis po$terior decre$cit in duplicata illa ratione, adeo- que $umma harum virium decre$cit in minore quam duplicata ra- tione di$tantiæ <I>PT,</I> & propterea (per Corol. 1. Prop. XLV) efficit ut Aux, $eu Ap$is $umma, regrediatur. In Conjunctione vero & Oppo$itione, vis qua corpus <I>P</I> urgetur in corpus <I>T</I> differentia e$t inter vim qua corpus <I>T</I> trahit corpus <I>P</I> & vim <I>KL</I>; & differen- tia illa, propterea quod vis <I>KL</I> augetur quamproxime in ratione di$tantiæ <I>PT,</I> decre$cit in majore quam duplicata ratione di$tan- tiæ <I>PT,</I> adeoque (per Corol. 1. Prop.XLV) efficit ut Aux progre- diatur. In locis inter Syzygias & Quadraturas pendet motus Au- gis ex cau$a utraque conjunctim, adeo ut pro hujus vel alterius exce$$u progrediatur ip$a vel regrediatur. Unde cum vis <I>KL</I> in Syzygiis $it qua$i duplo major quam vis <I>LM</I> in Quadraturis, ex- ce$$us in tota revolutione erit penes vim <I>KL,</I> transferetque Au- gem $ingulis revolutionibus in con$equentia. Veritas autem hujus & præcedentis Corollarii facilius intelligetur concipiendo Sy$tema corporum duorum <I>T, P</I> corporibus pluribus <I>S, S, S,</I> &c, in Or- be <I>ESE</I> con$i$tentibus, undique cingi. Namque horum actioni- <pb n=162> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> bus actio ip$ius <I>T</I> minuetur undique, decre$cetque in ratione plu$- quam duplicata di$tantiæ. <p><I>Corol.</I> 8. Cum autem pendeat Ap$idum progre$$us vel regre$$us a decremento vis centripetæ facto in majori vel minori quam du- plicata ratione di$tantiæ <I>TP,</I> in tran$itu corporis ab Ap$ide ima ad Ap$idem $ummam; ut & a $imili incremento in reditu ad Ap- $idem imam; atque adeo maximus $it ubi proportio vis in Ap$ide $umma ad vim in Ap$ide ima maxime recedit a duplicata ratione di$tantiarum inver$a: manife$tum e$t quod Ap$ides in Syzygiis $uis, per vim ablatitiam <I>KL</I> $eu <I>NM-LM,</I> progredientur ve- locius, inque Quadraturis $uis tardius recedent per vim addititiam <I>LM.</I> Ob diuturnitatem vero temporis quo velocitas progre$$us vel tarditas regre$$us continuatur, fit hæc inæqualitas longe maxima. <p><I>Corol.</I> 9. Si corpus aliquod vi reciproce proportionali quadrato di$tantiæ $uæ a centro, revolveretur circa hoc centrum in El- lip$i, & mox, in de$cen$u ab Ap$ide $umma $eu Auge ad Ap$idem imam, vis illa per acce$$um perpetuum vis novæ augeretur in ra- tione plu$quam dupli- <FIG> cata di$tantiæ diminu- tæ: manife$tum e$t quod corpus, perpe- tuo acce$$u vis illius novæ impul$um $em- per in centrum, magis vergeret in hoc cen- trum, quam $i urge- retur vi $ola cre$cente in duplicata ratione di$tantiæ diminutæ, adeoque Orbem de$cri- beret Orbe Elliptico interiorem, & in Ap$ide ima propius acce- deret ad centrum quam prius. Orbis igitur, acce$$u hujus vis no- væ, fiet magis excentricus. Si jam vis, in rece$$u corporis ab Ap$ide ima ad Ap$idem $ummam, decre$ceret ii$dem gradibus qui- bus ante creverat, rediret corpus ad di$tantiam priorem, adeoque $i vis decre$cat in majori ratione, corpus jam minus attractum a$- cendet ad di$tantiam majorem & $ic Orbis Excentricitas adhuc ma- gis augebitur. Igitur $i ratio incrementi & decrementi vis centri- petæ $ingulis revolutionibus augeatur, augebitur $emper Excentri- citas; & e contra, diminuetur eadem $i ratio illa decre$cat. Jam vero in Sy$temate corporum <I>T, P, S,</I> ubi Ap$ides Orbis <I>PAB</I> $unt in Quadraturis, ratio illa incrementi ac decrementi minima e$t, <pb n=163> & maxima fit ubi Ap$ides $unt in Syzygiis. Si Ap$ides con$tituan- <MARG>LIBER PRIMUS.</MARG> tur in Quadraturis, ratio prope Ap$ides minor e$t & prope Syzy- gias major quam duplicata di$tantiarum, & ex ratione illa majori oritur Augis motus veloci$$imus, uti jam dictum e$t. At $i con- $ideretur ratio incrementi vel decrementi totius in progre$$u inter Ap$ides, hæc minor e$t quam duplicata di$tantiarum. Vis in Ap- $ide ima e$t ad vim in Ap$ide $umma in minore quam duplicata ratione di$tantiæ Ap$idis $ummæ ab umbilico Ellip$eos ad di- $tantiam Ap$idis imæ ab eodem umbilico: & e contra, ubi Ap$ides con$tituuntur in Syzygiis, vis in Ap$ide ima e$t ad vim in Ap$ide $umma in majore quam duplicata ratione di$tantiarum. Nam vires <I>LM</I> in Quadraturis additæ viribus corporis <I>T</I> compo- nunt vires in ratione minore, & vires <I>KL</I> in Syzygiis $ubductæ viribus corporis <I>T</I> relinquunt vires in ratione majore. E$t igi- tur ratio decrementi & incrementi totius, in tran$itu inter Ap$ides, minima in Quadraturis, maxima in Syzygiis: & propterea in tran- $itu Ap$idum a Quadraturis ad Syzygias perpetuo augetur, auget- que Excentricitatem Ellip$eos; inque tran$itu a Syzygiis ad Quadraturas perpetuo diminuitur, & Excentricitatem diminuit. <p><I>Corol.</I> 10. Ut rationem ineamus errorum in Latitudinem, finga- mus planum Orbis <I>EST</I> immobile manere; & ex errorum expo- $ita cau$a manife$tum e$t quod, ex viribus <I>NM, ML,</I> quæ $unt cau$a illa tota, vis <I>ML</I> agendo $emper $ecundum planum Orbis <I>PAB,</I> nunquam perturbat motus in Latitudinem; quodque vis <I>NM,</I> ubi Nodi $unt in Syzygiis, agendo etiam $ecundum idem Orbis planum, non perturbat hos motus; ubi vero $unt in Quadraturis eos maxime perturbat, corpu$que <I>P</I> de plano Orbis $ui perpetuo trahendo, minuit inclinationem plani in tran$itu corporis a Qua- draturis ad Syzygias, augetque vici$$im eandem in tran$itu a Syzy- giis ad Quadraturas. Unde fit ut corpore in Syzygiis exi$tente in- clinatio evadat omnium minima, redeatque ad priorem magnitudi- nem circiter, ubi corpus ad Nodum proximum accedit. At $i Nodi con$tituantur in Octantibus po$t Quadraturas, id e$t, inter <I>C</I> & <I>A, D</I> & <I>B,</I> intelligetur ex modo expo$itis quod, in tran$itu corporis <I>P</I> a Nodo alterutro ad gradum inde nonage$imum, inclinatio pla- ni perpetuo minuitur; deinde in tran$itu per proximos 45 gradus, u$que ad Quadraturam proximam, inclinatio augetur, & po$tea de- nuo in tran$itu per alios 45 gradus, u$que ad Nodum proximum, diminuitur. Magis itaque diminuitur inclinatio quam augetur, & propterea minor e$t $emper in Nodo $ub$equente quam in præce- <pb n=164> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> dente. Et $imili ratiocinio, inclinatio magis augetur quam diminui- tur ubi Nodi $unt in Octantibus alteris inter <I>A</I> & <I>D, B</I> & <I>C.</I> In- clinatio igitur ubi Nodi $unt in Syzygiis e$t omnium maxima. In tran$itu corum a Syzygiis ad Quadraturas, in $ingulis corporis ad Nodos appul$ibus, diminuitur, fitque omnium minima ubi Nodi $unt in Quadraturis & corpus in Syzygiis: dein cre$cit ii$dem gra- dibus quibus antea decreverat, Nodi$que ad Syzygias proximas ap- pul$is ad magnitudinem primam revertitur. <p><I>Corol.</I> 11. Quoniam corpus <I>P</I> ubi Nodi $unt in Quadraturis per- petuo trahitur de plano Orbis $ui, idque in partem ver$us <I>S,</I> in tran$itu $uo a Nodo <I>C</I> per Conjunctionem <I>A</I> ad Nodum <I>D</I>; & in contrariam partem in tran$itu a Nodo <I>D</I> per Oppo$itionem <I>B</I> ad Nodum <I>C</I>; manife$tum e$t quod in motu $uo a Nodo <I>C,</I> corpus perpetuo recedit ab Orbis $ui plano primo <I>CD,</I> u$que dum per- ventum e$t ad Nodum proximum; adeoque in hoc Nodo, longi$$i- me di$tans a plano illo primo <I>CD,</I> tran$it per planum Orbis <I>EST</I> non in plani illius Nodo altero <I>D,</I> $ed in puncto quod inde vergit ad partes corporis <I>S,</I> quodque proinde novus e$t Nodi locus in an- teriora vergens. Et $imili argumento pergent Nodi recedere in tran$itu corporis de hoc Nodo in Nodum proximum. Nodi igi- tur in Quadraturis con$tituti perpetuo recedunt; in Syzygiis (ubi motus in Latitudinem nil perturbatur) quie$cunt; in locis inter- mediis, conditionis utriu$que participes, recedunt tardius; adeoque, $emper vel retrogradi vel $tationarii, $ingulis revolutionibus ferun- tur in antecedentia. <p><I>Corol.</I> 12. Omnes illi in his Corollariis de$cripti Errores $unt pau- lo majores in Conjunctione corporum <I>P, S</I> quam in eorum Op- po$itione, idque ob majores vires generantes <I>NM</I> & <I>ML.</I> <p><I>Corol.</I> 13. Cumque rationes horum Corollariorum non pendeant a magnitudine corporis <I>S,</I> obtinent præcedentia omnia, ubi corporis <I>S</I> tanta $tatuitur magnitudo ut circa ip$um revolvatur corporum duo- rum <I>T</I> & <I>P</I> Sy$tema. Et ex aucto corpore <I>S</I> auctaque adeo ip$ius vi centripeta, a qua errores corporis <I>P</I> oriuntur, evadent errores illi omnes (paribus di$tantiis) majores in hoc ca$u quam in altero, ubi corpus <I>S</I> circum Sy$tema corporum <I>P</I> & <I>T</I> revolvitur. <p><I>Corol.</I> 14. Cum autem vires <I>NM, ML,</I> ubi corpus <I>S</I> longin- quum e$t, $int quamproxime ut vis <I>SK</I> & ratio <I>PT</I> ad <I>ST</I> con- junctim, hoc e$t, $i detur tum di$tantia <I>PT,</I> tum corporis <I>S</I> vis ab$oluta, ut <I>ST cub.</I> reciproce; $int autem vires illæ <I>NM, ML</I> cau$æ errorum & effectuum omnium de quibus actum e$t in præce- <pb n=165> dentibus Corollariis: manife$tum e$t quod effectus illi omnes, $tan- <MARG>LIBER PRIMUS.</MARG> te corporum <I>T</I> & <I>P</I> Sy$temate, & mutatis tantum di$tantia <I>ST</I> & vi ab$oluta corporis <I>S,</I> $int quamproxime in ratione compo$ita ex ratione directa vis ab$olutæ corporis <I>S</I> & ratione triplicata inver$a di$tantiæ <I>ST.</I> Unde $i Sy$tema corporum <I>T</I> & <I>P</I> revolvatur cir- ca corpus longinquum <I>S,</I> vires illæ <I>NM, ML</I> & earum effectus erunt (per Corol. 2. & 6. Prop. IV.) reciproce in duplicata ratione temporis periodici. Et inde etiam, $i magnitudo corporis <I>S</I> propor- tionalis $it ip$ius vi ab$olutæ, erunt vires illæ <I>NM, ML</I> & earum effectus directe ut cubus diametri apparentis longinqui corporis <I>S</I> e corpore <I>T</I> $pectati, & vice ver$a. Namque hæ rationes eædem $unt atque ratio $uperior compo$ita. <p><I>Corol.</I> 15. Et quoniam $i, manentibus Orbium <I>ESE</I> & <I>PAB</I> forma, proportionibus & inclinatione ad invicem, mutetur eorum magnitudo, & $i corporum <I>S</I> & <I>T</I> vel maneant vel mutentur vires in data quavis ratio- <FIG> ne, hæ vires (hoc e$t, vis corporis <I>T</I> qua cor- pus <I>P</I> de recto trami- te in Orbitam <I>PAB</I> deflectere, & vis cor- poris <I>S</I> qua corpus idem <I>P</I> de Orbita illa deviare cogitur) agunt $emper eodem mo- do & eadem proportione: nece$$e e$t ut $imiles & proportiona- les $int effectus omnes & proportionalia effectuum tempora; hoc e$t, ut errores omnes lineares $int ut Orbium diametri, angulares vero iidem qui prius, & errorum linearium $imilium vel angularium æqualium tempora ut Orbium tempora periodica. <p><I>Corol.</I> 16. Unde, $i dentur Orbium formæ & inclinatio ad invi- cem, & mutentur utcunque corporum magnitudines, vires & di- $tantiæ; ex datis erroribus & errorum temporibus in uno Ca$u, col- ligi po$$unt errores & errorum tempora in alio quovis, quam pro- xime: Sed brevius hac Methodo. Vires <I>NM, ML,</I> cæteris $tan- tibus, $unt ut Radius <I>TP,</I> & harum effectus periodici (per Corol.2, Lem. X) ut vires & quadratum temporis periodici corporis <I>P</I> con- junctim. Hi $unt errores lineares corporis <I>P</I>; & hinc errores an- gulares e centro <I>T</I> $pectati (id e$t, tam motus Augis & Nodorum, quam omnes in Longitudinem & Latitudinem errores apparentes) $unt, in qualibet revolutione corporis <I>P,</I> ut quadratum temporis <pb n=166> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> revolutionis quam proxime. Conjungantur hæ rationes cum ratio- nibus Corollarii 14, & in quolibet corporum <I>T, P, S</I> Sy$temate, ubi <I>P</I> circum <I>T</I> $ibi propinquum, & <I>T</I> circum <I>S</I> longinquum re- volvitur, errores angulares corporis <I>P,</I> de centro <I>T</I> apparentes, erunt, in $ingulis revolutionibus corporis illius <I>P,</I> ut quadratum temporis periodici corporis <I>P</I> directe & quadratum temporis pe- riodici corporis <I>T</I> inver$e. Et inde motus medius Augis erit in da- ta ratione ad motum medium Nodorum; & motus uterque erit ut tempus periodicum corporis &c. quadratum temporis periodici corporis <I>P</I> directe & quadratum temporis periodici corporis <I>T</I> inver$e. Augendo vel minuendo Excentricitatem & Inclinationem Orbis <I>PAB</I> non mutantur mo- tus Augis & Nodorum $en$ibiliter, ni$i ubi eædem $unt nimis magnæ. <p><I>Corol.</I> 17. Cum autem linea <I>LM</I> nunc major $it nunc minor quam radius <I>PT,</I> exponatur vis mediocris <I>LM</I> per radium il- lum <I>PT</I>; & erit hæc ad <FIG> vim mediocrem <I>SK</I> vel <I>SN</I> (quam expo- nere licet per <I>ST</I>) ut longitudo <I>PT</I> ad lon- gitudinem <I>ST.</I> E$t au- tem vis mediocris <I>SN</I> vel <I>ST,</I> qua corpus <I>T</I> retinetur in Orbe $uo circum <I>S,</I> ad vim qua corpus <I>P</I> retinetur in Orbe $uo circum <I>T,</I> in ratione compo$ita ex ratione radii <I>ST</I> ad radium <I>PT,</I> & ratione duplicata temporis pe- riodici corporis <I>P</I> circum <I>T</I> ad tempus periodicum corporis <I>T</I> circum <I>S.</I> Et ex æquo, vis mediocris <I>LM,</I> ad vim qua corpus <I>P</I> retinetur in Orbe $uo circum <I>T</I> (quave corpus idem <I>P,</I> eo- dem tempore periodico, circum punctum quodvis immobile <I>T</I> ad di$tantiam <I>PT</I> revolvi po$$et) e$t in ratione illa duplicata periodi- corum temporum. Datis igitur temporibus periodicis una cum di- $tantia <I>PT,</I> datur vis mediocris <I>LM</I>; & ea data, datur etiam vis <I>MN</I> quamproxime per analogiam linearum <I>PT, MN.</I> <p><I>Corol.</I> 18. Ii$dem legibus quibus corpus <I>P</I> circum corpus <I>T</I> re- volvitur, fingamus corpora plura fluida circum idem <I>T</I> ad æqua- les ab ip$o di$tantias moveri; deinde ex his contiguis factis confla- ri Annulum fluidum, rotundum ac corpori <I>T</I> concentricum; & $ingulæ Annuli partes, motus $uos omnes ad legem corporis <I>P</I> per- <pb n=167> agendo, propius accedent ad corpus <I>T,</I> & celerius movebuntur <MARG>LIBER PRIMUS.</MARG> in Conjunctione & Oppo$itione ip$arum & corporis <I>S,</I> quam in Quadraturis. Et Nodi Annuli hujus $eu inter$ectiones ejus cum plano Orbitæ corporis <I>S</I> vel <I>T,</I> quie$cent in Syzygiis; extra Syzy- gias vero movebuntur in anteccdentia, & veloci$$ime quidem in Quadraturis, tardius aliis in locis. Annuli quoque inclinatio varia- bitur, & axis ejus $ingulis revolutionibus o$cillabitur, completaque revolutione ad pri$tinum $itum redibit, ni$i quatenus per præce$$i- onem Nodorum circumfertur. <p><I>Corol.</I> 19. Fingas jam Globum corporis <I>T,</I> ex materia non fluida con$tantem, ampliari & extendi u$que ad hunc Annulum, & alveo per circuitum excavato continere Aquam, motuque eodem perio- dico circa axem $uum uniformiter revolvi. Hic liquor per vices acceleratus & retardatus (ut in $uperiore Corollario) in Syzygiis velocior erit, in Quadraturis tardior quam $uperficies Globi, & $ic fluet in alveo refluet que ad modum Maris. Aqua revolvendo cir- ca Globi centrum quie$cens, $i tollatur attractio corporis <I>S</I> nullum acquiret motum fluxus & refluxus. Par e$t ratio Globi uniformiter progredientis in directum & interea revolventis circa centrum $uum (per Legum Corol. 5.) ut & Globi de cur$u rectilineo uni- formiter tracti, per Legum Corol. 6. Accedat autem corpus <I>S,</I> & ab ip$ius inæquabili attractione mox turbabitur Aqua. Etenim major erit attractio aquæ propioris, minor ea remotioris. Vis autem <I>LM</I> trahet aquam deor$um in Quadraturis, facietque ip- $am de$cendere u$que ad Syzygias; & vis <I>KL</I> trahet eandem $ur- $um in Syzygiis, $i$tetque de$cen$um ejus & faciet ip$am a$cendere u$que ad Quadraturas. <p><I>Corol.</I> 20. Si Annulus jam rigeat & minuatur Globus, ce$$a- bit motus fluendi & refluendi; $ed O$cillatorius ille inclinationis motus & præce$$io Nodorum manebunt. Habeat Globus eundem axem cum Annulo, gyro$que compleat ii$dem temporibus, & $uper- ficie $ua contingat ip$um interius, eique inhæreat; & participando motum ejus, compages utriu$que O$cillabitur & Nodi regredien- tur. Nam Globus, ut mox dicetur, ad $u$cipiendas impre$$iones omnes indifferens e$t. Annuli Globo orbati maximus inclinationis angulus e$t ubi Nodi $unt in Syzygiis. Inde in progre$$u Nodo- rum ad Quadraturas conatur is inclinationem $uam minuere, & i$to conatu motum imprimit Globo toti. Retinet Globus motum im- pre$$um u$que dum Annulus conatu contrario motum hunc tollat, imprimatque motum novum in contrariam partem: Atque hac ra- <pb n=168> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> tione maximus decre$centis inclinationis motus fit in Quadraturis Nodorum, & minimus inclinationis angulus in Octantibus po$t Quadraturas; dein maximus reclinationis motus in Syzygiis, & maximus angulus in Octantibus proximis. Et eadem e$t ratio Glo- bi Annulo nudati, qui in regionibus æquatoris vel altior e$t paulo quam juxta polos, vel con$tat ex nateria paulo den$iore. Sup- plet enim vicem Annuli i$te materiæ in æquatoris regionibus exce$- $us. Et quanquam, aucta utcunque Globi hujus vi centripeta, tendere $upponantur omnes ejus partes deor$um, ad modum gra- vitantium partium telluris, tamen Phænomena hujus & præceden- tis Corollarii vix inde mutabuntur. <p><I>Corol.</I> 21. Eadem ratione qua materia Globi juxta æquatorem redundans efficit ut Nodi regrediantur, atque adeo per hujus in- crementum augetur i$te regre$$us, p<*> diminutionem vero diminui- tur & per ablationem tollitur; $i materia plu$quam redundans tol- latur, hoc e$t, $i Globus juxta æquatorem vel depre$$ior reddatur vel rarior quam juxta polos, orietur motus Nodorum in con- $equentia. <p><I>Corol.</I> 22. Et inde vici$$im, ex motu Nodorum innote$cit con$ti- tutio Globi. Nimirum $i Globus polos eo$dem con$tanter $ervat, & motus fit in antecedentia, materia juxta æquatorem redundat; $i in con$equentia, deficit. Pone Globum uniformem & perfecte circinatum in $patiis liberis primo quie$cere; dein impetu quocun- que oblique in $uperficiem $uam facto propelli, & motum inde concipere partim circularem, partim in directum. Quoniam Glo- bus i$te ad axes omnes per centrum $uum tran$euntes indifferenter $e habet, neque propen$ior e$t in unum axem, unumve axis $itum, quam in alium quemvis; per$picuum e$t quod is axem $uum axi$- que inclinationem vi propria nunquam mutabit. Impellatur jam Globus oblique, in eadem illa $uperficiei parte qua prius, impul$u quocunque novo; & cum citior vel $erior impul$us effectum nil mutet, manife$tum e$t quod hi duo impul$us $ucce$$ive impre$$i eundem producent motum ac $i $imul impre$$i fui$$ent, hoc e$t, eundem ac $i Globus vi $implici ex utroque (per Legum Corol. 2.) compo$ita impul$us fui$$et, atque adeo $implicem, circa axem in- clinatione datum. Et par e$t ratio impul$us $ecundi facti in lo- cum alium quemvis in æquatore motus primi; ut & impul$us pri- mi facti in locum quemvis in æquatore motus, quem impul$us $e- cundus ab$que primo generaret; atque adeo impul$uum amborum factorum in loca quæcunque: Generabunt hi eundem motum cir- <pb n=169> cularem ac $i $imul & $emel in locum inter$ectionis æquatorum <MARG>LIBER PRIMUS.</MARG> motuum illorum, quos $eor$im generarent, fui$$ent impre$$i. Globus igitur homogeneus & perfectus non retinet motus plures di$tinctos, $ed impre$$os omnes componit & ad unum reducit, & quatenus in $e e$t, gyratur $emper motu $implici & uniformi circa axem unicum, inclinatione $emper invariabili datum. Sed nec vis centripeta inclinationem axis, aut rotationis velocitatem mutare pote$t. Si Globus plano quocunque, per centrum $uum & cen- trum in quod vis dirigitur tran$eunte, dividi intelligatur in duo he- mi$phæria; urgebit $emper vis illa utrumque hemi$phærium æqua- liter, & propterea Globum, quoad motum rotationis, nullam in partem inclinabit. Addatur vero alicubi inter polum & æquato- rem materia nova in formam montis cumulata, & hæc, perpetuo conatu recedendi a centro $ui motus, turbabit motum Globi, fa- cietque polos ejus errare per ip$ius $uperficiem, & circulos circum $e punctumque $ibi oppo$itum perpetuo de$cribere. Neque corrige- tur i$ta vagationis enormitas, ni$i locando montem illum vel in polo alterutro, quo in Ca$u (per Corol. 21) Nodi æquatoris progredien- tur; vel in æquatore, qua ratione (per Corol. 20) Nodi regredi- entur; vel denique ex altera axis parte addendo materiam novam, qua mons inter movendum libretur, & hoc pacto Nodi vel pro- gredientur, vel recedent, perinde ut mons & hæcce nova materia $unt vel polo vel æquatori propiores. <C>PROPOSITIO LXVII. THEOREMA XXVII.</C> <p><I>Po$itis ii$dem attractionum legibus, dico quod corpus exterius</I> S, <I>circa interiorum</I> P, T <I>commune gravitatis centrum</I> C, <I>radiis ad centrum illud ductis, de$cribit areas temporibus magis pro- portionales & Orbem ad formam Ellip$eos umbilicum in centro eodem habentis magis accedentem, quam circa corpus intimum & maximum</I> T, <I>radiis ad ip$um ductis, de$cribere potest.</I> <p>Nam corporis <I>S</I> attractiones ver$us <I>T</I> & <I>P</I> componunt ip$ius at- tractionem ab$olutam, quæ magis dirigitur in corporum <I>T</I> & <I>P</I> com- mune gravitatis centrum <I>C,</I> quam in corpus maximum <I>T,</I> quæque quadrato di$tantiæ <I>SC</I> magis e$t proportionalis reciproce, quam quadrato di$tantiæ <I>ST:</I> ut rem perpendenti facile con$tabit. <pb n=170> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> <C>PROPOSITIO LXVIII. THEOREMA XXVIII.</C> <p><I>Po$itis ii$dem attractionum legibus, dico quod corpus exterius</I> S, <I>circa interiorum</I> P & T <I>commune gravitatis centrum</I> C, <I>ra- diis ad centrum illud ductis, de$cribit areas temporibus magis proportionales, & Orbem ad formam Ellip$eos umbilicum in centro eodem habentis magis accedentem, $i corpus intimum & maximum his attractionibus perinde atque cætera agitetur, quam $i id vel non attractum quie$cat, vel multo magis aut multo minus attractum aut multo magis aut multo minus agitetur.</I> <p>Demon$tratur eo- <FIG> dem fere modo cum Prop. LXVI, $ed ar- gumento prolixiore, quod ideo prætereo. Suffecerit rem $ic æ$ti- mare. Ex demon$tra- tione Propo$itionis novi$$imæ liquet cen- trum in quod corpus <I>S</I> conjunctis viribus urgetur, proximum e$$e communi centro gra- vitatis duorum illorum. Si coincideret hoc centrum cum centro illo communi, & quie$ceret commune centrum gravitatis corporum trium; de$criberent corpus <I>S</I> ex una parte, & commune centrum aliorum duorum ex altera parte, circa commune omnium centrum quie$cens, Ellip$es accuratas. Liquet hoc per Corollarium $ecun- dum Propo$itionis LVIII collatum cum demon$tratis in Propo$. LXIV & LXV. Perturbatur i$te motus Ellipticus aliquantulum per di$tantiam centri duorum a centro in quod tertium <I>S</I> attrahitur. Detur præterea motus communi trium centro, & augebitur per- turbatio. Proinde minima e$t perturbatio ubi commune trium centrum quie$cit, hoc e$t, ubi corpus intimum & maximum <I>T</I> lege cæterorum attrahitur: fitque major $emper ubi trium commune il- lud centrum, minuendo motum corporis <I>T,</I> moveri incipit & ma- gis deinceps magi$que agitatur. <pb n=171> <p><I>Corol.</I> Et hinc, $i corpora plura minora revolvantur circa maxi- <MARG>LIBER PRIMUS.</MARG> mum, colligere licet quod Orbitæ de$criptæ propius accedent ad Ellipticas, & arearum de$criptiones fient magis æquabiles, $i cor- pora omnia viribus acceleratricibus, quæ $unt ut eorum vires ab- $olutæ directe & quadrata di$tantiarum inver$e, $e mutuo trahant agitentque, & Orbitæ cuju$que umbilicus collocetur in communi centro gravitatis corporum omnium interiorum (nimirum umbi- licus Orbitæ primæ & intimæ in centro gravitatis corporis maxi- mi & intimi; ille Orbitæ $ecundæ, in communi centro gravi- tatis corporum duorum intimorum; i$te tertiæ, in communi cen- tro gravitatis trium interiorum; & $ic deinceps) quam $i corpus intimum quie$cat & $tatuatur communis umbilicus Orbitarum omnium. <C>PROPOSITIO LXIX. THEOREMA XXIX.</C> <p><I>In Sy$temate corporum plurium</I> A, B, C, D, <I>&c. $i corpus aliquod</I> A <I>trahit cætera omnia</I> B, C, D, <I>&c. viribus acceler atricibus quæ $unt reciproce ut quadrata di$tantiarum a trahente; & corpus aliud</I> B <I>trahit etiam cætera</I> A, C, D, <I>&c. viribus quæ $unt reciproce ut quadrata di$tantiarum a trahente: erunt Ab- $olutæ corporum trahentium</I> A, B <I>vires ad invicem, ut $unt ip$a corpora</I> A, B, <I>quorum $unt vires.</I> <p>Nam attractiones acceleratrices corporum omnium <I>B, C, D</I> ver- $us <I>A,</I> paribus di$tantiis, $ibi invicem æquantur ex Hypothe$i; & $imiliter attractiones acceleratrices corporum omnium ver$us <I>B,</I> paribus di$tantiis, $ibi invicem æquantur. E$t autem ab$oluta vis attractiva corporis <I>A</I> ad vim ab$olutam attractivam corporis <I>B,</I> ut attractio acceleratrix corporum omnium ver$us <I>A</I> ad attractionem acceleratricem corporum omnium ver$us <I>B,</I> paribus di$tantiis; & ita e$t attractio acceleratrix corporis <I>B</I> ver$us <I>A,</I> ad attractionem acceleratricem corporis <I>A</I> ver$us <I>B.</I> Sed attractio acceleratrix cor- poris <I>B</I> ver$us <I>A</I> e$t ad attractionem acceleratricem corporis <I>A</I> ver$us <I>B,</I> ut ma$$a corporis <I>A</I> ad ma$$am corporis <I>B</I>; propterea quod vires motrices, quæ (per Definitionem $ecundam, $epti- mam & octavam) ex viribus acceleratricibus in corpora attracta ductis oriuntur, $unt (per motus Legem tertiam) $ibi invicem æqua- <pb n=172> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> les. Ergo ab$oluta vis attractiva corporis <I>A</I> e$t ad ab$olutam vim attractivam corporis <I>B,</I> ut ma$$a corporis <I>A</I> ad ma$$am corpo- ris <I>B. Q.E.D.</I> <p><I>Corol.</I> 1. Hinc $i $ingula Sy$tematis corpora <I>A, B, C, D,</I> &c. $eor$im $pectata trahant cætera omnia viribus acceleratricibus quæ $unt reciproce ut quadrata di$tantiarum a trahente; erunt corpo- rum illorum omnium vires ab$olutæ ad invicem ut $unt ip$a cor- pora. <p><I>Corol.</I> 2. Eodem argumento, $i $ingula Sy$tematis corpora <I>A, B, C, D,</I> &c. $eor$im $pectata trahant cætera omnia viribus acceleratricibus quæ $unt vel reciproce vel directe in ratione dig- nitatis cuju$cunque di$tantiarum a trahente, quæve $ecundum Le- gem quamcunque communem ex di$tantiis ab unoquoque trahente definiuntur; con$tat quod corporum illorum vires ab$olutæ $unt ut corpora. <p><I>Corol.</I> 3. In Sy$temate corporum, quorum vires decre$cunt in ratione duplicata di$tantiarum, $i minora circa maximum in Ellip$i- bus umbilicum communem in maximi illius centro habentibus quam fieri pote$t accurati$$imis revolvantur, & radiis ad maximum illud ductis de$cribant areas temporibus quam maxime proportionales: erunt corporum illorum vires ab$olutæ ad invicem, aut accurate aut quamproxime in ratione corporum; & contra. Patet per Corol. Prop. LXVIII collatum cum hujus Corol. 1. <C><I>Scholium.</I></C> <p>His Propo$itionibus manuducimur ad analogiam inter vires cen- tripetas & corpora centralia, ad quæ vires illæ dirigi $olent. Ra- tioni enim con$entaneum e$t, ut vires quæ ad corpora diriguntur pendeant ab eorundem natura & quantitate, ut fit in Magneticis. Et quoties huju$modi ca$us incidunt, æ$timandæ erunt corporum attractiones, a$$ignando $ingulis eorum particulis vires proprias, & colligendo $ummas virium. Vocem Attractionis hic generaliter u$urpo pro corporum conatu quocunque accedendi ad invicem; $ive conatus i$te fiat ab actione corporum, vel $e mutuo petentium, vel per Spiritus emi$$os $e invicem agitantium, $ive is ab actione Ætheris, aut Aeris, Mediive cuju$cunque $eu corporei $eu incorpo- rei oriatur corpora innatantia in $e invicem utcunque impellentis. Eodem $en$u generali u$urpo vocem Impul$us, non $pecies virium <pb n=173> & qualitates Phy$icas, $ed quantitates & proportiones Mathema- <MARG>LIBER PRIMUS.</MARG> ticas in hoc Tractatu expendens, ut in Definitionibus explicui. In Mathe$i inve$tigandæ $unt virium quantitates & rationes illæ, quæ ex conditionibus quibu$cunque po$itis con$equentur: deinde, ubi in Phy$icam de$cenditur, conferendæ $unt hæ rationes cum Phæ- nomenis, ut innote$cat quænam virium conditiones $ingulis cor- porum attractivorum generibus competant. Et tum demum de vi- rium $peciebus, cau$is & rationibus Phy$icis tutius di$putare lice- bit. Videamus igitur quibus viribus corpora Sphærica, ex particu- lis modo jam expo$ito attractivis con$tantia, debeant in $e mutuo- agere, & quales motus inde con$equantur. <C>SECTIO XII.</C> <C><I>De Corporum Sphæriccrum Viribus attractivis.</I></C> <C>PROPOSITIO LXX. THEOREMA XXX.</C> <p><I>Si ad Sphæricæ $uperficiei puncta $ingula tendant vires æquales cen- tripetæ decre$centes in duplicata ratione di$tantiarum a punctis: dico quod corpu$culum in<*>$uperficiem con$titutum his viri- bus nullam in partem attrahitur.</I> <p>Sit <I>HIKL</I> $uperficies illa Sphæri- <FIG> ca, & <I>P</I> corpu$culum intus con$titu- tum. Per <I>P</I> agantur ad hanc $uper- ficiem lineæ duæ <I>HK, IL,</I> arcus quam minimos <I>HI, KL</I> intercipi- entes; &, ob triangula <I>HPI, LPK</I> (per Corol. 3. Lem. VII) $imilia, arcus illi erunt di$tantiis <I>HP, LP</I> pro- portionales; & $uperficiei Sphæricæ particulæ quævis ad <I>HI</I> & <I>KL,</I> rec- tis per punctum <I>P</I> tran$euntibus un- dique terminatæ, erunt in duplicata illa ratione. Ergo vires harum particularum in corpus <I>P</I> exercitæ $unt inter $e æquales. Sunt enim ut particulæ directe & quadrata di$tantiarum inver$e. Et hæ duæ rationes componunt rationem <pb n=174> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> æqualitatis. Attractiones igitur, in contrarias partes æqualiter fac- tæ, $e mutuo de$truunt. Et $imili argumento, attractiones omnes per totam Sphæricam $uperficiem a contrariis attractionibus de- $truuntur. Proinde corpus <I>P</I> nullam in partem his attractionibus impellitur. <I>Q.E.D.</I> <C>PROPOSITIO LXXI. THEOREMA XXXI.</C> <p><I>Ii$dem po$itis, dico quod corpu$culum extra Sphæricam $uperficiem con$titutum attrahitur ad centrum Sphæræ, vi reciproce propor- tionali quadrato di$tantiæ $uæ ab eodem centro.</I> <p>Sint <I>AHKB, ahkb</I> æquales duæ $uperficies Sphæricæ, centris <I>S, s,</I> diametris <I>AB, ab</I> de$criptæ, & <I>P, p</I> corpu$cula $ita extrin- $ecus in diametris illis productis. Agantur a corpu$culis lineæ <FIG> <I>PHK, PIL, phk, pil,</I> auferentes a circulis maximis <I>AHB, ahb,</I> æquales arcus <I>HK, hk</I> & <I>IL, il:</I> Et ad eas de- mittantur perpendicula <I>SD, sd; SE, se; IR, ir;</I> quorum <I>SD, sd</I> $ecent <I>PL, pl</I> in <I>F</I> & <I>f:</I> Demittantur etiam ad diame- tros perpendicula <I>IQ, iq.</I> Evane$cant anguli <I>DPE, dpe:</I> & (ob æquales <I>DS</I> & <I>ds, ES</I> & <I>es,</I>) lineæ <I>PE, PF</I> & <I>pe, pf</I> & lineolæ <I>DF, df</I> pro æqualibus habeantur; quippe quarum ra- tio ultima, angulis illis <I>DPE, dpe</I> $imul evane$centibus, e$t æ- qualitatis. His itaque con$titutis, erit <I>PI</I> ad <I>PF</I> ut <I>RI</I> ad <I>DF,</I> & <I>pf</I> ad <I>pi</I> ut <I>df</I> vel <I>DF</I> ad <I>ri</I>; & ex æquo <I>PIXpf</I> ad <I>PFXpi</I> ut <I>RI</I> ad <I>ri,</I> hoc e$t (per Corol. 3. Lem. VII,) ut arcus <I>IH</I> ad arcum <I>ih.</I> Rur$us <I>PI</I> ad <I>PS</I> ut <I>IQ</I> ad <I>SE,</I> & <I>ps</I> and <I>pi</I> ut <I>se</I> vel <I>SE</I> ad <I>iq;</I> & ex æquo <I>PIXps</I> ad <I>PSXpi</I> ut <I>IQ</I> ad <I>iq.</I> ET conjunctis rationibus <I>PI quad.XpfXps</I> ad <I>pi quad.XPFXPS,</I> ut <I>IHXIQ</I> ad <I>ihXiq;</I> hoc e$t, ut $uperficies circularis, quam <pb n=175> arcus <I>IH</I> convolutione $emicirculi <I>AKB</I> circa diametrum <I>AB</I> <MARG>LIBER PRIMUS.</MARG> de$cribet, ad $uperficiem circularem, quam arcus <I>ih</I> convolutione $emicirculi <I>akb</I> circa diametrum <I>ab</I> de$cribet. Et vires, quibus hæ $uperficies $ecundum lineas ad $e tendentes attrahunt corpu$cu- la <I>P</I> & <I>p,</I> $unt (per Hypothe$in) ut ip$æ $uperficies applicatæ ad quadrata di$tantiarum $uarum a corporibus, hoc e$t, ut <I>pfXps</I> ad <I>PFXPS.</I> Suntque hæ vires ad ip$arum partes obliquas quæ (facta per Legum Corol. 2. re$olutione virium) $ecundum lineas <I>PS, ps</I> ad centra tendunt, ut <I>PI</I> ad <I>PQ,</I> & <I>pi</I> ad <I>pq;</I> id e$t (ob $imilia triangula <I>PIQ</I> & <I>PSF, piq</I> & <I>psf</I>) ut <I>PS</I> ad <I>PF</I> & <I>ps</I> ad <I>pf.</I> Unde, ex æquo, fit attractio corpu$culi hujus <I>P</I> ver$us <I>S</I> ad attractionem corpu$culi <I>p</I> ver$us <I>s,</I> ut (<I>PFXpfXps/PS</I>) ad (<I>pfXPFXPS/ps</I>), hoc e$t, ut <I>ps quad.</I> ad <I>PS quad.</I> Et $imili argu- mento vires, quibus $uperficies convolutione arcuum <I>KL, kl</I> de- $criptæ trahunt corpu$cula, erunt ut <I>ps quad.</I> ad <I>PS quad.</I>; inque eadem ratione erunt vires $uperficierum omnium circularium in quas utraque $uperficies Sphærica, capiendo $emper <I>sd</I> æqualem <I>SD</I> & <I>se</I> æqualem <I>SE,</I> di$tingui pote$t. Et, per compo$itionem, vires totarum $uperficierum Sphæricarum in corpu$cula exercitæ erunt in eadem ratione. <I>Q. E. D.</I> <C>PROPOSITIO LXXII. THEOREMA XXXII.</C> <p><I>Si ad Sphæræ cuju$vis puncta $ingula tendant vires æquales cen- tripetæ decre$centes in duplicata ratione di$tantiarum a punctis, ac detur tum Sphæræ den$itas, tum ratio diametri Sphæræ ad di$tantiam corpu$culi a centro ejus; dico quod vis qua corpu$- culum attrahitur proportionalis erit $emidiametro Sphæræ.</I> <p>Nam concipe corpu$cula duo $eor$im a Sphæris duabus attrahi, unum ab una & alterum ab altera, & di$tantias eorum a Sphæra- rum centris proportionales e$$e diametris Sphærarum re$pective, Sphæras autem re$olvi in particulas $imiles & $imiliter po$itas ad corpu$cula. Et attractiones corpu$culi unius, factæ ver$us $ingulas particulas Sphæræ unius, erunt ad attractiones alterius ver$us ana- logas totidem particulas Sphæræ alterius, in ratione compo$ita ex ratione particularum directe & ratione duplicata di$tantiarum in- <pb n=176> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> ver$e. Sed particulæ $unt ut Sphæræ, hoc e$t, in ratione triplicata diametrorum, & di$tantiæ $unt ut diametri, & ratio prior directe una cum ratione po$teriore bis inver$e e$t ratio diametri ad diame- trum. <I>Q. E. D.</I> <p><I>Corol.</I> 1. Hinc $i corpu$cula in Circulis, circa Sphæras ex materia æqualiter attractiva con$tantes, revolvantur; $intque di$tantiæ a cen- tris Sphærarum proportionales earundem diametris: Tempora peri- odica erunt æqualia. <p><I>Corol.</I> 2. Et vice ver$a, $i Tempora periodica $unt æqualia; di$tantiæ erunt proportionales diametris. Con$tant hæc duo per Corol. 3. Prop. IV. <p><I>Corol.</I> 3. Si ad Solidorum durorum quorumvis $imilium & æquali- ter den$orum puncta $ingula tendant vires æquales centripetæ de- cre$centes in duplicata ratione di$tantiarum a punctis: vires qui- bus corpu$cula, ad Solida illa duo $imiliter $ita, attrahentur ab ii$- dem, erunt ad invicem ut diametri Solidorum. <C>PROPOSITIO LXXIII. THEOREMA XXXIII.</C> <p><I>Si ad Sphæræ alicujus datæ puncta $ingula tendant æquales vires centripetæ decre$centes in duplicata ratione di$tantiarum a pun- ctis: dico quod corpu$culum intra Sphæram con$titutum attra- bitur vi proportionali di$tantiæ $uæ ab ip$ius centro.</I> <p>In Sphæra <I>ABCD,</I> centro <I>S</I> de$cripta, <FIG> locetur corpu$culum <I>P</I>; & centro eodem <I>S,</I> intervallo <I>SP,</I> concipe Sphæram interiorem <I>PEQF</I> de$cribi. Manife$tum e$t, per Prop. LXX, quod Sphæricæ $uperficies concentri- cæ ex quibus Sphærarum differentia <I>AEBF</I> componitur, attractionibus per attractiones contrarias de$tructis, nil agunt in corpus <I>P.</I> Re$tat $ola attractio Sphæræ interioris <I>PEQF.</I> Et per Prop. LXXII, hæc e$t ut di$tantia <I>PS. Q. E. D.</I> <C><I>Scholium.</I></C> <p>Superficies ex quibus $olida componuntur, hic non $unt pure Mathematicæ, $ed Orbes adeo tenues ut eorum cra$$itudo in$tar <pb n=177> nihili $it; nimirum Orbes evane$centes ex quibus Sphæra ultimo <MARG>LIBER PRIMUS.</MARG> con$tat, ubi Orbium illorum numerus augetur & cra$$itudo minui- tur in infinitum. Similiter per Puncta, ex quibus lineæ, $uperficies & $olida componi dicuntur, intelligendæ $unt particulæ æquales magnitudinis contemnendæ. <C>PROPOSITIO LXXIV. THEOREMA XXXIV.</C> <p><I>Ii$dem po$itis, dico quod corpu$culum extra Sphæram con$titutum attrabitur vi reciproce proportionali quadrato di$tantiæ $uæ ab ip$ius centro.</I> <p>Nam di$tinguatur Sphæra in $uperficies Sphæricas innumeras concentricas, & attractiones corpu$culi a $ingulis $uperficiebus oriundæ erunt reciproce proportionales quadrato di$tantiæ cor- pu$culi a centro, per Prop. LXXI. Et componendo, fiet $um- ma attractionum, hoc e$t attractio corpu$culi in Sphæram totam, in eadem ratione. <I>Q. E. D.</I> <p><I>Corol.</I> 1. Hinc in æqualibus di$tantiis a centris homogenearum Sphærarum, attractiones $unt ut Sphæræ. Nam per Prop. LXXII, $i di$tantiæ $unt proportionales diametris Sphærarum, vires erunt ut diametri. Minuatur di$tantia major in illa ratione; &, di$tan- tiis jam factis æqualibus, augebitur attractio in duplicata illa ratio- ne, adeoque erit ad attractionem alteram in triplicata illa ratione, hoc e$t, in ratione Sphærarum. <p><I>Corol.</I> 2. In di$tantiis quibu$vis attractiones $unt ut Sphæræ ap- plicatæ ad quadrata di$tantiarum. <p><I>Corol.</I> 3. Si corpu$culum, extra Sphæram homogeneam po$itum, trahitur vi reciproce proportionali quadrato di$tantiæ $uæ ab ip$ius centro, con$tet autem Sphæra ex particulis attractivis; decre$cet vis particulæ cuju$que in duplicata ratione di$tantiæ a particula. <C>PROPOSITIO LXXV. THEOREMA XXXV.</C> <p><I>Si ad Sphæræ datæ puncta $ingula tendant vires æquales centripe- tæ, decre$centes in duplicata ratione di$tantiarum a punctis; dico quod Sphæra quævis alia $imilaris ab eadem attrahitur vi reci- proce proportionali quadrato di$tantiæ centrorum.</I> <p>Nam particulæ cuju$vis attractio e$t reciproce ut quadratum di- $tantiæ $uæ a centro Sphæræ trahentis, (per Prop. LXXIV) & prop- <pb n=178> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> terea eadem e$t ac $i vis tota attrahens manaret de corpu$culo uni- co $ito in centro hujus Sphæræ. Hæc autem attractio tanta e$t quanta foret vici$$im attractio corpu$culi eju$dem, $i modo illud a $ingulis Sphæræ attractæ particulis eadem vi traheretur qua ip$as attrahit. Foret autem illa corpu$culi attractio (per Prop. LXXIV) reciproce proportionalis quadrato di$tantiæ $uæ a centro Sphæ- ræ; adeoque huic æqualis attractio Sphæræ e$t in eadem ratio- ne. <I>Q. E. D.</I> <p><I>Corol.</I> 1. Attractiones Sphærarum, ver$us alias Sphæras homoge- neas, $unt ut Sphæræ trahentes applicatæ ad quadrata di$tantiarum centrorum $uorum a centris earum quas attrahunt. <p><I>Corol.</I> 2. Idem valet ubi Sphæra attracta etiam attrahit. Nam- que hujus puncta $ingula trahent $ingula alterius, eadem vi qua ab ip$is vici$$im trahuntur, adeoque cum in omni attractione urgea- tur (per Legem III) tam punctum attrahens, quam punctum at- tractum, geminabitur vis attractionis mutuæ, con$ervatis propor- tionibus. <p><I>Corol.</I> 3. Eadem omnia, quæ $uperius de motu corporum circa umbilicum Conicarum Sectionum demon$trata $unt, obtinent ubi Sphæra attrahens locatur in umbilico & corpora moventur extra Sphæram. <p><I>Corol.</I> 4. Ea vero quæ de motu corporum circa centrum Co- nicarum Sectionum demon$trantur, obtinent ubi motus peraguntur intra Sphæram. <C>PROPOSITIO LXXVI. THEOREMA XXXVI.</C> <p><I>Si Sphæræ in progre$$u a centro ad circumferentiam (quoad mate- riæ den$itatem & vim attractivam) utcunque di$$imilares, in progre$$u vero per circuitum ad datam omnem a centro di$tan- tiam $unt undique $imilares, & vis attractiva puncti cuju$que decre$cit in duplicata ratione di$tantiæ corporis attracti: dico quod vis tota qua huju$modi Sphæra una attrahit aliam $it reci- proce proportionalis quadrato di$tantiæ centrorum.</I> <p>Sunto Sphæræ quotcunque concentricæ $imilares <I>AB, CD, EF,</I> &c. quarum interiores additæ exterioribus componant materiam <pb n=179> den$iorem ver$us centrum, vel $ubductæ relinquant tenuiorem; & <MARG>LIBER PRIMUS.</MARG> hæ (per Prop. LXXV) trahent Sphæras alias quotcunque concentri- cas $imilares <I>GH, IK, LM,</I> &c. $ingulæ $ingulas, viribus reci- proce proportionalibus quadrato di$tantiæ <I>SP.</I> Et componendo vel dividendo, $umma virium illarum omnium, vel exce$$us ali- quarum $upra alias, hoc e$t, vis quas Sphæra tota ex concen- tricis quibu$cunque vel concentricarum differentiis compo$ita <I>AB,</I> trahit totam ex concentricis quibu$cunque vel concentricarum dif- ferentiis compo$itam <I>GH,</I> erit in eadem ratione. Augeatur nu- merus Sphærarum concentricarum in infinitum $ic, ut materiæ den- $itas una cum vi attractiva, in progre$$u a circumferentia ad cen- trum, $ecundum Legem quamcunque cre$cat vel decre$cat: &, ad- <FIG> dita materia non attractiva, compleatur ubivis den$itas deficiens, eo ut Sphæræ acquirant formam quamvis optatam; & vis qua harum una attrahet alteram erit etiamnum (per argumentum $uperius) in eadem illa di$tantiæ quadratæ ratione inver$a. <I>Q. E. D.</I> <p><I>Corol.</I> 1. Hinc $i eju$modi Sphæræ complures, $ibi invicem per omnia $imiles, $e mutuo trahant; attractiones acceleratrices $ingula- rum in $ingulas erunt, in æqualibus quibu$vis centrorum di$tantiis, ut Sphæræ attrahentes. <p><I>Corol.</I> 2. Inque di$tantiis quibu$vis inæqualibus, ut Sphæræ attra- hentes applicatæ ad quadrata di$tantiarum inter centra. <p><I>Corol.</I> 3. Attractiones vero motrices, $eu pondera Sphærarum in Sphæras erunt, in æqualibus centrorum di$tantiis, ut Sphæræ attra- hentes & attractæ conjunctim, id e$t, ut contenta $ub Sphæris per multiplicationem producta. <p><I>Corol.</I> 4. Inque di$tantiis inæqualibus, ut contenta illa applicata ad quadrata di$tantiarum inter centra. <pb n=180> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> <p><I>Corol.</I> 5. Eadem valent ubi attractio oritur a Sphæræ utriu$que virtute attractiva, mutuo exercita in Sphæram alteram. Nam viri- bus ambabus geminatur attractio, proportione $ervata. <p><I>Corol.</I> 6. Si huju$modi Sphæræ aliquæ circa alias quie$centes re- volvantur, $ingulæ circa $ingulas, $intque di$tantiæ inter centra re- volventium & quie$centium proportionales quie$centium diame- tris; æqualia erunt Tempora periodica. <p><I>Corol.</I> 7. Et vici$$im, $i Tempora periodica $unt æqualia; di$tan- tiæ erunt proportionales diametris. <p><I>Corol.</I> 8. Eadem omnia, quæ $uperius de motu corporum circa umbilicos Conicarum Sectionum demon$trata $unt, obtinent ubi Sphæra attrahens, formæ & conditionis cuju$vis jam de$criptæ, lo- catur in umbilico. <p><I>Corol.</I> 9. Ut & ubi gyrantia $unt etiam Sphæræ attrahentes, con- ditionis cuju$vis jam de$criptæ. <C>PROPOSITIO LXXVII. THEOREMA XXXVII.</C> <p><I>Si ad $ingula Sphærarum puncta tendant vires centripetæ, proper- tionales di$tantiis punctorum a corporibus attractis: dico quod vis compo$ita, qua Sphæræ duæ $e mutuo trahent, est ut di- $tantia inter centra Sphærarum.</I> <p><I>Cas.</I> 1. Sit <I>AEBF</I> Sphæra, <I>S</I> <FIG> centrum ejus, <I>P</I> corpu$culum at- tractum, <I>PASB</I> axis Sphæræ per centrum corpu$culi tran$iens, <I>EF, ef</I> plana duo quibus Sphæra $e- catur, huic axi perpendicularia & hinc inde æqualiter di$tantia a centro Sphæræ; <I>G, g</I> inter$ectio- nes planorum & axis, & <I>H</I> pun- ctum quodvis in plano <I>EF.</I> Pun- cti <I>H</I> vis centripeta in corpu$culum <I>P,</I> $ecundum lineam <I>PH</I> exer- cita, e$t ut di$tantia <I>PH</I>; & (per Legum Corol. 2.) $ecundum li- neam <I>PG,</I> $eu ver$us centrum <I>S,</I> ut longitudo <I>PG.</I> Igitur pun- ctorum omnium in plano <I>EF,</I> hoc e$t plani totius vis, qua corpu$- culum <I>P</I> trahitur ver$us centrum <I>S,</I> e$t ut numerus punctorum ductus in di$tantiam <I>PG:</I> id e$t, ut contentum $ub plano ip$o <I>EF</I> & di$tantia illa <I>PG.</I> Et $imiliter vis plani <I>ef,</I> qua corpu$culum <I>P</I> <pb n=181> trahitur ver$us centrum <I>S,</I> e$t ut planum illud ductum in di$tantiam <MARG>LIBER PRIMUS.</MARG> $uam <I>Pg,</I> $ive ut huic æquale planum <I>EF</I> ductum in di$tantiam illam <I>Pg</I>; & $umma virium plani utriu$que ut planum <I>EF</I> duc- tum in $ummam di$tantiarum <I>PG+Pg,</I> id e$t, ut planum illud ductum in duplam centri & corpu$culi di$tantiam <I>PS,</I> hoc e$t, ut duplum planum <I>EF</I> ductum in di$tantiam <I>PS,</I> vel ut $umma æ- qualium planorum <I>EF+ef</I> ducta in di$tantiam eandem. Et $i- mili argumento, vires omnium planorum in Sphæra tota, hinc in- de æqualiter a centro Sphæræ di$tantium, $unt ut $umma planorum ducta in di$tantiam <I>PS,</I> hoc e$t, ut Sphæra tota ducta in di$tan- tiam centri $ui <I>S</I> a corpu$culo <I>P. Q. E. D.</I> <p><I>Cas.</I> 2. Trahat jam corpu$culum <I>P</I> Sphæram <I>AEBF.</I> Et eo- dem argumento probabitur quod vis, qua Sphæra illa trahitur, erit: ut di$tantia <I>PS. Q. E. D.</I> <p><I>Cas.</I> 3. Componatur jam Sphæra altera ex corpu$culis innume- ris <I>P</I>; & quoniam vis; qua corpu$culum unumquodque trahitur, e$t ut di$tantia corpu$culi a centro Sphæræ primæ ducta in Sphæ- ram eandem, atque adeo eadem e$t ac $i prodiret tota de corpu$- culo unico in centro Sphæræ; vis tota qua corpu$cula omnia in Sphæra $ecunda trahuntur, hoc e$t, qua Sphæra illa tota trahitur, eadem erit ac $i Sphæra illa traheretur vi prodeunte de corpu$culo unico in centro Sphæræ primæ, & propterea proportionalis e$t di- $tantiæ inter centra Sphærarum. <I>Q. E. D.</I> <p><I>Cas.</I> 4. Trahant Sphæræ $e mutuo, & vis geminata proportio- nem priorem $ervabit. <I>Q. E. D.</I> <p><I>Cas.</I> 5. Locetur jam corpu$culum <I>p</I> intra Sphæram <I>AEBF</I>; & quoniam vis plani <I>ef</I> in corpu$culum e$t ut contentum $ub plano illo & di$tantia <I>pg</I>; & vis contraria plani <I>EF</I> ut contentum $ub plano illo & di$tantia <I>pG</I>; erit vis ex utraque compo$ita ut diffe- rentia contentorum, hoc e$t, ut $umma æqualium planorum ducta in $emi$$em differentiæ di$tantiarum, id e$t, ut $umma illa ducta in <I>pS</I> di$tantiam corpu$culi a centro Sphæræ. Et $imili argumento, attractio planorum omnium <I>EF, ef</I> in Sphæra tota, hoc e$t, at- tractio Sphæræ totius, e$t ut $umma planorum omnium, $eu Sphæra tota, ducta in <I>pS</I> di$tantiam corpu$culi a centro Sphæræ. <I>Q. E. D.</I> <p><I>Cas.</I> 6. Et $i ex corpu$culis innumeris <I>p</I> componatur Sphæra nova, intra Sphæram priorem <I>AEBF</I> $ita; probabitur ut prius quod attractio, $ive $implex Sphæræ unius in alteram, $ive mutua utriu$que in $e invicem, erit ut di$tantia centrorum <I>pS. Q.E.D.</I> <pb n=182> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> <C>PROPOSITIO LXXVIII. THEOREMA XXXVIII.</C> <p><I>Si Sphæræ in progre$$u a centro ad circumferentiam $int utcunque di$$imilares & inæquabiles, in progre$$u vero per circuitum ad datam omnem a centro di$tantiam $int undique $imilares; & vis attractiva puncti cuju$que $it ut di$tantia corporis attracti: dico quod vis tota qua huju$modi Sphæræ duæ $e mutuo trahunt $it proportionalis di$tantiæ inter centra Sphærarum.</I> <p>Demon$tratur ex Propo$itione præcedente, eodem modo quo Propo$itio LXXVI ex Propo$itione LXXV demon$trata fuit. <p><I>Corol.</I> Quæ $uperius in Propo$itionibus X & LXIV de motu corporum circa centra Conicarum Sectionum demon$trata $unt, valent ubi attractiones omnes fiunt vi Corporum Sphæricorum conditionis jam de$criptæ, $untque corpora attracta Sphæræ con- ditionis eju$dem. <C><I>Scholium.</I></C> <p>Attractionum Ca$us duos in$igniores jam dedi expo$itos; nimi- rum ubi Vires centripetæ decre$cunt in duplicata di$tantiarum ra- tione, vel cre$cunt in di$tantiarum ratione $implici; efficientes in utroque Ca$u ut corpora gyrentur in Conicis Sectionibus, & componentes corporum Sphæricorum Vires centripetas eadem Lege, in rece$$u a centro, decre$centes vel cre$centes cum $eip$is: Quod e$t notatu dignum. Ca$us cæteros, qui conclu$iones minus ele- gantes exhibent, $igillatim percurrere longum e$$et. Malim cunctos methodo generali $imul comprehendere ac determinare, ut $equitur. <C>LEMMA XXIX.</C> <p><I>Si de$cribantur centro</I> S <I>circulus quilibet</I> AEB, <I>& centro</I> P <I>cir- culi duo</I> EF, ef, <I>$ecantes priorem in</I> E, e, <I>lineamque</I> PS <I>in</I> F, f; <I>& ad</I> PS <I>demittantur perpendicula</I> ED, ed: <I>dico quod, fi di$tantia arcuum</I> EF, ef <I>in infinitum minui intelligatur, ra- tio ultima lineæ evane$centis</I> Dd <I>ad lineam evane$centem</I> Ff <I>ea $it, quæ lineæ</I> PE <I>ad lineam</I> PS. <pb n=183> <p>Nam $i linea <I>Pe</I> $ecet arcum <I>EF</I> in <I>q</I>; & recta <I>Ee,</I> quæ cum <MARG>LIBER PRIMUS.</MARG> arcu evane$cente <I>Ee</I> coincidit, producta occurrat rectæ <I>PS</I> in <I>T</I>; & ab <I>S</I> demittatur in <I>PE</I> normalis <I>SG:</I> ob $imilia triangula <I>DTE, dTe, DES</I>; erit <I>Dd</I> ad <I>Ee,</I> ut <I>DT</I> ad <I>TE,</I> $eu <I>DE</I> ad <FIG> <I>ES</I>; & ob triangula <I>Eeq, ESG</I> (per Lem. VIII, & Corol. 3. Lem. VII) $imilia, erit <I>Ee</I> ad <I>eq</I> $eu <I>Ff,</I> ut <I>ES</I> ad <I>SG</I>; & ex æquo, <I>Dd</I> ad <I>Ff</I> ut <I>DE</I> ad <I>SG</I>; hoc e$t (ob $imilia triangula <I>PDE, PGS</I>) ut <I>PE</I> ad <I>PS. Q. E. D.</I> <C>PROPOSITIO LXXIX. THEOREMA XXXIX.</C> <p><I>Si $uperficies ob latitudinem infinite diminutam jamjam evane$cens</I> EF fe, <I>convolutione $ui circa axem</I> PS, <I>de$cribat $olidum Sphæricum concavo convexum, ad cujus particulas $ingulas æqua- les tendant æquales vires centripetæ: dico quod Vis, qua $oli- dum illud trahit corpu$culum $itum in</I> P, <I>est in ratione compo- ta ex ratione $olidi</I> DE<I>q</I>XFf <I>& ratione vis qua particula data in loco</I> Ff <I>traheret idem corpu$culum.</I> <p>Nam $i primo con$ideremus vim $uperficiei Sphæricæ <I>FE,</I> quæ convolutione arcus <I>FE</I> generatur, & a linea <I>de</I> ubivis $ecatur in <I>r</I>; erit $uperficiei pars annularis, convolutione arcus <I>rE</I> genita, ut lineola <I>Dd,</I> manente Sphæræ radio <I>PE,</I> (uti demon$travit <I>Ar- chimedes</I> in Lib. de <I>Sphæra</I> & <I>Cylindro.</I>) Et hujus vis $ecundum li- neas <I>PE</I> vel <I>Pr</I> undique in $uperficie conica $itas exercita, ut hæc ip$a $uperficiei pars annularis; hoc e$t, ut lineola <I>Dd</I> vel, quod perinde e$t, ut rectangulum $ub dato Sphæræ radio <I>PE</I> & <pb n=184> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> lineola illa <I>Dd:</I> at $ecundum lineam <I>PS</I> ad centrum <I>S</I> tendentem minor, in ratione <I>PD</I> ad <I>PE,</I> adeoque ut <I>PDXDd.</I> Dividi jam intelligatur linea <I>DF</I> in particulas innumeras æquales, quæ $ingulæ nominentur <I>Dd</I>; & $uperficies <I>FE</I> dividetur in totidem æquales annulos, quorum vires erunt ut $umma omnium <I>PDXDd,</I> hoc e$t, ut 1/2 <I>PFq</I>-1/2<I>PDq,</I> adeoque ut <I>DE quad.</I> Ducatur <FIG> jam $uperficies <I>FE</I> in altitudinem <I>Ef</I>; & fiet $olidi <I>EFfe</I> vis ex- ercita in corpu$culum <I>P</I> ut <I>DEqXFf:</I> puta $i detur vis quam particula aliqua data <I>Ff</I> in di$tantia <I>PF</I> exercet in corpu$culum <I>P.</I> At $i vis illa non detur, fiet vis $olidi <I>EFfe</I> ut $olidum <I>DEqXFf</I> & vis illa non data conjunctim. <I>Q. E. D.</I> <C>PROPOSITIO LXXX. THEOREMA XL.</C> <p><I>Si ad Sphæræ alicujus</I> ABE, <I>centro</I> S <I>de$criptæ, particulas $ingu- las æquales tendant æquales vires centripetæ, & ad Sphæræ axem</I> AB, <I>in quo corpu$culum aliquod</I> P <I>locatur, erigantur de punctis $ingulis</I> D <I>perpendicula</I> DE, <I>Sphæræ occurrentia in</I> E, <I>& in ip$is capiantur longitudines</I> DN, <I>quæ $int ut quantitas</I> (DE<I>q</I>XPS/PE) <I>& vis quam Sphæræ particula $ita in axe ad di- $tantiam</I> PE <I>exercet in corpu$culum</I> P <I>conjunctim: dico quod Vis tota, qua corpu$culum</I> P <I>trahitur ver$us Sphæram, est ut area comprehen$a $ub axe Sphæræ</I> AB <I>& linea curva</I> ANB, <I>quam punctum</I> N <I>perpetuo tangit.</I> <pb n=185> <p>Etenim $tantibus quæ in Lemmate & Theoremate novi$$imo <MARG>LIBER PRIMUS.</MARG> con$tructa $unt, concipe axem Sphæræ <I>AB</I> dividi in particulas innumeras æquales <I>Dd,</I> & Sphæram totam dividi in totidem laminas Sphæricas concavo-convexas <I>EFfe</I>; & erigatur perpen- diculum <I>dn.</I> Per Theorema $uperius, vis qua lamina <I>EFfe</I> trahit corpu$culum <I>P</I> e$t ut <I>DEqXFf</I> & vis particulæ unius ad di$tantiam <I>PE</I> vel <I>PF</I> exercita conjunctim. E$t autem per Lem- ma novi$$imum, <I>Dd</I> ad <I>Ff</I> ut <I>PE</I> ad <I>PS,</I> & inde <I>Ff</I> æqualis (<I>PSXDd/PE</I>); & <I>DEqXFf</I> æquale <I>Dd</I> in (<I>DEqXPS/PE</I>), & propter- ea vis laminæ <I>EFfe</I> e$t ut <I>Dd</I> in (<I>DEqXPS/PE</I>) & vis particulæ ad di$tantiam <I>PF</I> exercita conjunctim, hoc e$t (ex Hypothe$i) ut <I>DNXDd,</I> $eu area evane$cens <I>DNnd.</I> Sunt igitur laminarum omnium vires in corpus <I>P</I> exercitæ, ut areæ omnes <I>DNnd,</I> hoc e$t, Sphæræ vis tota ut area tota <I>ABNA. Q.E.D.</I> <p><I>Corol.</I> 1. Hinc $i vis centripeta, ad particulas $ingulas tendens, eadem $emper maneat in omnibus di$tantiis, & fiat <I>DN</I> ut (<I>DEqXPS/PE</I>): erit vis tota qua corpu$culum a Sphæra attrahitur, ut area <I>ABNA.</I> <p><I>Corol.</I> 2. Si particularum vis centripeta $it reciproce ut di$tantia corpu$culi a $e attracti, & fiat <I>DN</I> ut (<I>DEqXPS/PEq</I>): erit vis qua corpu$culum <I>P</I> a Sphæra tota attrahitur ut area <I>ABNA.</I> <p><I>Corol.</I> 3. Si particularum vis centripeta $it reciproce ut cubus di- $tantiæ corpu$culi a $e attracti, & fiat <I>DN</I> ut (<I>DEqXPS/PEqq</I>): erit vis qua corpu$culum a tota Sphæra attrahitur ut area <I>ABNA.</I> <p><I>Corol.</I> 4. Et univer$aliter $i vis centripeta ad $ingulas Sphæræ particulas tendens ponatur e$$e reciproce ut quantitas V, fiat au- tem <I>DN</I> ut (<I>DEqXPS/PEXV</I>); erit vis qua corpu$culum a Sphæra tota attrahitur ut area <I>ABNA.</I> <pb n=186> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> <C>PROPOSITIO LXXXI. PROBLEMA XLI.</C> <C><I>Stantibus jam po$itis, men$uranda est Area</I> ABNA.</C> <p>A puncto <I>P</I> ducatur recta <I>PH</I> Sphæram tangens in <I>H,</I> & ad axem <I>PAB</I> demi$$a normali <I>HI,</I> bi$ecetur <I>PI</I> in <I>L;</I> & erit (per Prop. 12, Lib. 2. Elem.) <I>PEq</I> æquale <I>PSq + SEq</I> + 2<I>PSD.</I> E$t autem <I>SEq</I> $eu <I>SHq</I> (ob $imilitudinem triangu- lorum <I>SPH, SHI</I>) æquale rectangulo <I>PSI.</I> Ergo <I>PEq</I> æquale e$t contento $ub <I>PS</I> & <I>PS+SI</I>+2<I>SD,</I> hoc e$t, $ub <I>PS</I> & 2<I>LS</I>+2<I>SD,</I> id e$t, $ub <I>PS</I> & 2<I>LD.</I> Porro <I>DE quad</I> æquale e$t <I>SEq-SDq,</I> $eu <I>SEq - LSq</I>+2<I>SLD-LDq,</I> id e$t, 2<I>SLD-LDq-ALB.</I> Nam <I>LSq-SEq</I> $eu <I>LSq-SAq</I> <FIG> (per Prop. 6, Lib. 2. Elem.) æquatur rectangulo <I>ALB.</I> Scriba- tur itaque 2<I>SLD - LDq - ALB</I> pro <I>DEq</I>; & quantitas (<I>DEqXPS/PEXV</I>), quæ $ecundum Corollarium quartum Propo$itionis præcedentis e$t ut longitudo ordinatim applicatæ <I>DN,</I> re$olvet $e$e in tres partes (2<I>SLDXPS/PE</I>XV)-(<I>LDqXPS/PE</I>XV)-(<I>ALBXPS/PE</I>XV): ubi $i pro V $cribatur ratio inver$a vis centripetæ, & pro <I>PE</I> me- dium proportionale inter <I>PS</I> & 2<I>LD</I>; tres illæ partes evadent ordinatim applicatæ linearum totidem curvarum, quarum areæ per Methodos vulgatas innote$cunt. <I>Q. E. F.</I> <pb n=187> <MARG>LIBER PRIMUS.</MARG> <p><I>Exempl.</I> 1. Si vis centripeta ad $ingulas Sphæræ particulas ten- dens $it reciproce ut di$tantia; pro V $cribe di$tantiam <I>PE</I>; dein 2<I>PSXLD</I> pro <I>PEq,</I> & fiet <I>DN</I> ut <I>SL-1/2LD-(ALB/2LD).</I> Pone <I>DN</I> æqualem duplo ejus 2<I>SL-LD-(ALB/LD)</I>: & ordinatæ pars data 2<I>SL</I> ducta in longitudinem <I>AB</I> de$cribet aream rectan- gulam 2<I>SLXAB</I>; & pars indefinita <I>LD</I> ducta normaliter in eandem longitudinem per motum continuum, ea lege ut inter mo- vendum cre$cendo vel decre$cendo æquetur $emper longitudini <I>LD,</I> de$cribet aream (<I>LBq-LAq</I>/2), id e$t, aream <I>SLXAB</I>; quæ $ubducta de area priore 2<I>SLXAB</I> relinquit aream <I>SLXAB.</I> Pars autem tertia (<I>ALB/LD</I>) ducta itidem per motum localem norma- liter in eandem longitudinem, de$cribet <FIG> aream Hyperbolicam; quæ $ubducta de area <I>SLXAB</I> relinquet aream quæ$itam <I>ABNA.</I> Unde talis emergit Proble- matis con$tructio. Ad puncta <I>L, A, B</I> erige perpendicula <I>Ll, Aa, Bb,</I> quorum <I>Aa</I> ip$i <I>LB,</I> & <I>Bb</I> ip$i <I>LA</I> æquetur. A$ymptotis <I>Ll, LB,</I> per puncta <I>a, b</I> de- $cribatur Hyperbola <I>ab.</I> Et acta chor- da <I>ba</I> claudet aream <I>aba</I> areæ quæ$itæ <I>ABNA</I> æqualem. <p><I>Exempl.</I> 2. Si vis centripeta ad $ingulas Sphæræ particulas ten- dens $it reciproce ut cubus di$tantiæ, vel (quod perinde e$t) ut cubus ille applicatus ad planum quodvis datum; $cribe (<I>PEcub/2ASq</I>) pro V, dein 2<I>PSXLD</I> pro <I>PEq</I>; & fiet <I>DN</I> ut <I>(SLXASq/PSXLD)-(ASq/2PS) -(ALBXASq/2PSXLDq),</I> id e$t (ob continue proportionales <I>PS, AS, SI</I>) ut <I>(LSI/LD)-1/2SI-(ALBXSI/2LDq).</I> Si ducantur hujus partes tres in longitudinem <I>AB,</I> prima (<I>LSI/LD</I>) generabit aream Hyper- <pb n=188> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> bolicam; $ecunda 1/2<I>SI</I> aream 1/2<I>ABXSI</I>; tertia (<I>ALBXSI/2LDq</I>) are- am <I>(ALBXSI/2LA)-(ALBXSI/2LB),</I> id e$t 1/2<I>ABXSI.</I> De prima $ub- ducatur $umma $ecundæ & tertiæ, & <FIG> manebit area quæ$ita <I>ABNA.</I> Un- de talis emergit Problematis con$tru- ctio. Ad puncta <I>L, A, S, B</I> erige perpendicula <I>Ll, Aa, Ss, Bb,</I> quo- rum <I>Ss</I> ip$i <I>SI</I> æquetur, perque pun- ctum <I>s</I> A$ymptotis <I>Ll, LB</I> de$cri- batur Hyperbola <I>asb</I> occurrens per- pendiculis <I>Aa, Bb</I> in <I>a</I> & <I>b</I>; & rect- angulum 2<I>ASI</I> $ubductum de area Hyperbolica <I>AasbB</I> reliquet aream quæ$itam <I>ABNA.</I> <p><I>Exempl.</I> 3. Si Vis centripeta, ad $ingulas Sphæræ particulas tendens, decre$cit in quadruplicata ratione di$tantiæ a particulis; $cribe (<I>PEqq/2AScub</I>) pro V, dein √2<I>PSXLD</I> pro <I>PE,</I> & fiet <I>DN</I> ut <I>(SIqXSL/√2SI)X(1/√LDc),-(SIq/2√2SI)X(1/√LD),-(SIqXALB/2√2SI)X(1/√LDqc).</I> Cujus tres partes ductæ in longitudinem <I>AB,</I> producunt areas tot- idem, <I>viz. (2SIqXSL/√2SI</I>) in <I>(1/√LA)-(1/√LB); (SIq/√2SI)</I> in <I>√LB-√LA</I>; & (<I>SIqXALB/3√2SI</I>) in <I>(1/√LAcub)-(1/√LBcub).</I> Et hæ po$t debitam redu- ctionem fiunt <I>(2SIqXSL/LI), SIq,</I> & <I>SIq+(2SIcub/3LI).</I> Hæ vero, $ub- ctis po$terioribus de priore, evadunt (<I>4SIcub/3LI</I>). Igitur vis tota, qua corpu$culum <I>P</I> in Sphæræ centrum trahitur, e$t ut <I>(SIcub/PI),</I> id e$t, reciproce ut <I>PS cubXPI. Q. E. I.</I> <p>Eadem Methodo determinari pote$t Attractio corpu$culi $iti in- tra Sphæram, $ed expeditius per Theorema $equens. <pb n=189> <MARG>LIBER PRIMUS.</MARG> <C>PROPOSITIO LXXXII. THEOREMA XLI.</C> <p><I>In Sphæra centro</I> S <I>intervallo</I> SA <I>de$cripta, $i capiantur</I> SI, SA, SP <I>continue proportionales: dico quod corpu$culi intra Sphæ- ram in loco quovis</I> I <I>attractio est ad attractionem ip$ius extra Sphæram in loco</I> P, <I>in ratione compo$ita ex $ubduplicata ratione di$tantiarum a centro</I> IS, PS <I>& $ubduplicata ratione virium centripetarum, in locis illis</I> P <I>&</I> I, <I>ad centrum tendentium.</I> <p>Ut $i vires centripetæ particularum Sphæræ $int reciproce ut di- $tantiæ corpu$culi a $e attracti; vis, qua corpu$culum $itum in <I>I</I> trahitur a Sphæra tota, erit ad vim qua trahitur in <I>P,</I> in ratione <FIG> compo$ita ex $ubduplicata ratione di$tantiæ <I>SI</I> ad di$tantiam <I>SP</I> & ratione $ubduplicata vis centripetæ in loco <I>I,</I> a particula aliqua in centro oriundæ, ad vim centripetam in loco <I>P</I> ab eadem in cen- tro particula oriundam, id e$t, ratione $ubduplicata di$tantiarum <I>SI, SP</I> ad invicem reciproce. Hæ duæ rationes $ubduplicatæ componunt rationem æqualitatis, & propterea attractiones in <I>I</I> & <I>P</I> a Sphæra tota factæ æquantur. Simili computo, $i vires particu- larum Sphæræ $unt reciproce in duplicata ratione di$tantiarum, col- ligetur quod attractio in <I>I</I> $it ad attractionem in <I>P,</I> ut di$tantia <I>SP</I> ad Sphæræ $emidiametrum <I>SA:</I> Si vires illæ $unt reciproce in tr- plicata ratione di$tantiarum, attractiones in <I>I</I> & <I>P</I> erunt ad invi- <pb n=190> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> cem ut <I>SP quad</I> ad <I>SA quad:</I> Si in quadruplicata, ut <I>SP cub</I> ad <I>SA cub.</I> Unde cum attractio in <I>P,</I> in hoc ultimo ca$u, inventa fuit reciproce ut <I>PS cubXPI,</I> attractio in <I>I</I> erit reciproce ut <I>SA cubXPI,</I> id e$t (ob datum <I>SA cub</I>) reciproce ut <I>PI.</I> Et $imilis e$t progre$$us in infinitum. Theorema vero $ic demon- $tratur. <p>Stantibus jam ante con$tructis, & exi$tente corpore in loco quovis <I>P,</I> ordinatim applicata <I>DN</I> inventa fuit ut (<I>DEqXPS/PEXV</I>). Ergo $i agatur <I>IE,</I> ordinata illa ad alium quemvis locum <I>I,</I> mu- tatis mutandis, evadet ut (<I>DEqXIS/IEXV</I>). Pone vires centripetas, e Sphæræ puncto quovis <I>E</I> manantes, e$$e ad invicem in di$tantiis <I>IE, PE,</I> ut <I>PE<SUP>n</SUP></I> ad <I>IE<SUP>n</SUP>,</I> (ubi numerus <I>n</I> de$ignet indicem pote$tatum <I>PE</I> & <I>IE</I>) & ordinatæ illæ fient ut (<I>DEqXPS/PEXPE<SUP>n</SUP></I>) & (<I>DEqXIS/IEXIE<SUP>n</SUP></I>), quarum ratio ad invicem e$t ut <I>PSXIEXIE<SUP>n</SUP></I> ad <I>ISXPEXPE<SUP>n</SUP>.</I> Quoniam ob $imilia triangula <I>SPE, SEI,</I> fit <I>IE</I> ad <I>PE</I> ut <I>IS</I> ad <I>SE</I> vel <I>SA</I>; pro ratione <I>IE</I> ad <I>PE</I> $cribe rationem <I>IS</I> ad <I>SA</I>; & ordinatarum ratio evadet <I>PSXIE<SUP>n</SUP></I> ad <I>SAXPE<SUP>n</SUP>.</I> Sed <I>PS</I> ad <I>SA</I> $ubduplicata e$t ratio di$tantiarum <I>PS, SI</I>; & <I>IE<SUP>n</SUP></I> ad <I>PE<SUP>n</SUP></I> $ubduplicata e$t ratio virium in di$tan- tiis <I>PS, IS.</I> Ergo ordinatæ, & propterea areæ quas ordinatæ de$cribunt, hi$que proportionales attractiones, $unt in ratione com- po$ita ex $ubduplicatis illis rationibus. <I>Q. E. D.</I> <C>PROPOSITIO LXXXIII. PROBLEMA XLII.</C> <C><I>Invenire vim qua corpu$culum in centro Sphæræ locatum ad ejus Segmentum quodcunque attrahitur.</I></C> <p>Sit <I>P</I> corpus in centro Sphæræ, & <I>RBSD</I> Segmentum ejus plano <I>RDS</I> & $uperficie Sphærica <I>RBS</I> contentum. Superfi- cie Sphærica <I>EFG</I> centro <I>P</I> de$cripta $ecetur <I>DB</I> in <I>F,</I> ac di- $tinguatur Segmentum in partes <I>BREFGS, FEDG.</I> Sit autem $uperficies illa non pure Mathematica, $ed Phy$ica, pro- funditatem habens quam minimam. Nominetur i$ta profundi- <pb n=191> <MARG>LIBER PRIMUS.</MARG> tas O, & erit hæc $uperficies (per de- <FIG> mon$trata <I>Archimedis</I>) ut <I>PFXDFXO.</I> Ponamus præterea vires attractivas par- ticularum Sphæræ e$$e reciproce ut di$tantiarum dignitas illa cujus Index e$t <I>n</I>; & vis qua $uperficies <I>FE</I> trahit corpus <I>P</I> erit ut (<I>DFXO/PF<SUP>n-1</SUP></I>). Huic pro- portionale $it perpendiculum <I>FN</I> duc- tum in O; & area curvilinea <I>BDLIB,</I> quam ordinatim applicata <I>FN</I> in lon- gitudinem <I>DB</I> per motum continuum ducta de$cribit, erit ut vis tota qua Segmentum totum <I>RBSD</I> trahit corpus <I>P. Q. E. I.</I> <C>PROPOSITIO LXXXIV. PROBLEMA XLIII.</C> <C><I>Invenire vim qua corpu$culum, extra centrum Sphæræ in axe Seg- menti cuju$vis locatum, attrahitur ab eodem Segmento.</I></C> <p>A Segmento <I>EBK</I> trahatur corpus <I>P</I> (Vide Fig. Prop. LXXIX, LXXX, LXXXI) in ejus axe <I>ADB</I> locatum. Centro <I>P</I> interval- lo <I>PE</I> de$cribatur $uperficies Sphærica <I>EFK,</I> qua di$tinguatur Segmentum in partes duas <I>EBKF</I> & <I>EFKD.</I> Quæratur vis par- tis prioris per Prop. LXXXI, & vis partis po$terioris per Prop. LXXXIII; & $umma virium erit vis Segmenti totius <I>EBKD. Q. E. I.</I> <C><I>Scholium.</I></C> <p>Explicatis attractionibus corporum Sphæricorum, jam pergere liceret ad Leges attractionum aliorum quorundam ex particulis at- tractivis $imiliter con$tantium corporum; $ed i$ta particulatim tractare minus ad in$titutum $pectat. Suffecerit Propo$itiones qua$dam generaliores de viribus huju$modi corporum, deque mo- tibus inde oriundis, ob earum in rebus Philo$ophicis aliqualem u$um, $ubjungere. <pb n=192> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> <C>SECTIO XIII.</C> <C><I>De Corporum non Sphæricorum viribus attactivis.</I></C> <C>PROPOSITIO LXXXV. THEOREMA XLII.</C> <p><I>Si corporis attracti, ubi attrahenti contiguum est, attractio longe fortior $it, quam cum vel minimo intervallo $eparantur ab in- vicem: vires particularum trahentis, in rece$$u corporis attrac- ti, decre$cunt in ratione plu$quam duplicata di$tantiarum a particulis.</I> <p>Nam $i vires decre$cunt in ratione duplicata di$tantiarum a par- ticulis; attractio ver$us corpus Sphæricum, propterea quod (per Prop. LXXIV) $it reciproce ut quadratum di$tantiæ attracti corpo- ris a centro Sphæræ, haud $en$ibiliter augebitur ex contactu; atque adhuc minus augebitur ex contactu, $i attractio in rece$$u corporis attracti decre$cat in ratione minore. Patet igitur Propo$itio de Sphæris attractivis. Et par e$t ratio Orbium Sphæricorum conca- vorum corpora externa trahentium. Et multo magis res con$tat in Orbibus corpora interius con$tituta trahentibus, cum attractiones pa$$im per Orbium cavitates ab attractionibus contrariis (per Prop. LXX) tollantur, ideoque vel in ip$o contactu nullæ $unt. Quod $i Sphæris hi$ce Orbibu$que Sphæricis partes quælibet a loco con- tactus remotæ auferantur, & partes novæ ubivis addantur: mu- tari po$$unt figuræ horum corporum attractivorum pro lubitu, nec tamen partes additæ vel $ubductæ, cum $int a loco contactus re- motæ, augebunt notabiliter attractionis exce$$um qui ex contactu oritur. Con$tat igitur Propo$itio de corporibus Figurarum om- nium. <I>Q. E. D.</I> <pb n=193> <MARG>LIBER PRIMUS.</MARG> <C>PROPOSITIO LXXXVI. THEOREMA XLIII.</C> <p><I>Si particularum, ex quibus corpus attractivum componitur, vires in rece$$u corporis attracti decre$cunt in triplicata vel plu$quam triplicata ratione di$tantiarum a particulis: attractio longe for- tior erit in contactu, quam cum attrahens & attractum inter- vallo vel minimo $eparantur ab invicem.</I> <p>Nam attractionem in acce$$u attracti corpu$culi ad huju$modi Sphæram trahentem augeri in infinitum, con$tat per $olutionem Pro- blematis XLI, in Exemplo $ecundo ac tertio exhibitam. Idem, per Exempla illa & Theorema XLI inter $e collata, facile colligitur de attractionibus corporum ver$us Orbes concavo-convexos, $ive corpora attracta collocentur extra Orbes, $ive intra in eorum cavi- tatibus. Sed & addendo vel auferendo his Sphæris & Orbibus ubi- vis extra locum contactus materiam quamlibet attractivam, eo ut corpora attractiva induant figuram quamvis a$$ignatam, con$tabit Propo$itio de corporibus univer$is. <I>Q. E. D.</I> <C>PROPOSITIO LXXXVII. THEOREMA XLIV.</C> <p><I>Si corpora duo $ibi invicem $imilia, & ex materia æqualiter attra- ctiva con$tantia, $eor$im attrahant corpu$cula $ibi ip$is proporti- onalia & ad $e $imiliter po$ita: attractiones acceleratrices cor- pu$culorum in corpora tota erunt ut attractiones acceleratrices corpu$culorum in eorum particulas totis proportionales & in to- tis $imiliter po$itas.</I> <p>Nam $i corpora di$tinguantur in particulas, quæ $int totis pro- portionales & in totis $imiliter $itæ; erit, ut attractio in particulam quamlibet unius corporis ad attractionem in particulam corre$pon- dentem in corpore altero, ita attractiones in particulas $ingulas primi corporis ad attractiones in alterius particulas $ingulas corre$- pondentes; & componendo, ita attractio in totum primum corpus ad attractionem in totum $ecundum. <I>Q. E. D.</I> <p><I>Corol.</I> 1. Ergo $i vires attractivæ particularum, augendo di$tan- tias corpu$culorum attractorum, decre$cant in ratione dignitatis <pb n=194> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> cuju$vis di$tantiarum: attractiones acceleratrices in corpora tota erunt ut corpora directe & di$tantiarum dignitates illæ inver$e. Ut $i vires particularum decre$cant in ratione duplicata di$tantiarum a corpu$culis attractis, corpora autem $int ut <I>A cub.</I> & <I>B cub.</I> ad- eoque tum corporum latera cubica, tum corpu$culorum attracto- rum di$tantiæ a corporibus, ut <I>A</I> & <I>B:</I> attractiones acceleratri- ces in corpora erunt ut (<I>Acub./Aquad.</I>) & (<I>Bcub./Bquad.</I>) id e$t, ut corporum la- tera illa cubica <I>A</I> & <I>B.</I> Si vires particularum decre$cant in ra- tione triplicata di$tantiarum a corpu$culis attractis; attractiones acceleratrices in corpora tota erunt ut (<I>Acub./Acub.</I>) & (<I>Bcub./Bcub.</I>), id e$t, æqua- les. Si vires decre$cant in ratione quadruplicata; attractiones in corpora erunt ut (<I>Acub./Aqq.</I>) & (<I>Bcub./Bqq.</I>) id e$t, reciproce ut latera cubi- ca <I>A</I> & <I>B.</I> Et $ic in cæteris. <p><I>Corol.</I> 2. Unde vici$$im, ex viribus quibus corpora $imilia tra- hunt corpu$cula ad $e $imiliter po$ita, colligi pote$t ratio decre- menti virium particularum attractivarum in rece$$u corpu$culi at- tracti; $i modo decrementum illud $it directe vel inver$e in ratione aliqua di$tantiarum. <C>PROPOSITIO LXXXVIII. THEOREMA XLV.</C> <p><I>Si particularum æqualium Corporis cuju$cunque vires attractivæ $int ut di$tantiæ locorum a particulis: vis corporis totius ten- det ad ip$ius centrum gravitatis; & eadem erit cum vi Globi ex materia con$imili & æquali con$tantis & centrum habentis in ejus centro gravitatis.</I> <p>Corporis <I>RSTV</I> particulæ <I>A, B</I> trahant corpu$culum aliquod <FIG> <I>Z</I> viribus quæ, $i particulæ æ- quantur inter $e, $int ut di$tan- tiæ <I>AZ, BZ</I>; $in particulæ $ta- tuantur inæquales, $int ut hæ par- ticulæ in di$tantias $uas <I>AZ, BZ</I> re$pective ductæ. Et exponan- tur hæ vires per contenta illa <I>AXAZ</I> & <I>BXBZ.</I> Jungatur <I>AB,</I> & $ecetur ea in <I>G</I> ut $it <I>AG</I> ad <I>BG</I> ut particula <I>B</I> ad particulam <I>A</I>; <pb n=195> & erit <I>G</I> commune centrum gravitatis particularum <I>A</I> & <I>B.</I> Vis <MARG>LIBER PRIMUS.</MARG> <I>AXAZ</I> (per Legum Corol.2.) re$olvitur in vires <I>AXGZ</I> & <I>AXAG</I> & vis <I>BXBZ</I> in vires <I>BXGZ</I> & <I>BXBG.</I> Vires autem <I>AXAG</I> & <I>BXBG,</I> ob proportionales <I>A</I> ad <I>B</I> & <I>BG</I> ad <I>AG,</I> æquantur; adeoque cum dirigantur in partes contrarias, $e mutuo de$truunt. Re$tant vires <I>AXGZ</I> & <I>BXGZ.</I> Tendunt hæ ab Z ver$us cen- trum <I>G,</I> & vim ―<I>A+BXGZ</I> componunt; hoc e$t, vim eandem ac $i particulæ attractivæ <I>A</I> & <I>B</I> con$i$terent in eorum communi gra- vitatis centro <I>G,</I> Globum ibi componentes. <p>Eodem argumento, $i adjungatur particula tertia <I>C,</I> & compo- natur hujus vis cum vi ―<I>A+BXGZ</I> tendente ad centrum <I>G</I>; vis inde oriunda tendet ad commune centrum gravitatis Globi illius <I>G</I> & particulæ <I>C</I>; hoc e$t, ad commune centrum gravitatis trium par- ticularum <I>A, B, C</I>; & eadem erit ac $i Globus & particula <I>C</I> con$i- $terent in centro illo communi, Globum majorem ibi componentes. Et $ic pergitur in infinitum. Eadem e$t igitur vis tota particula- rum omnium corporis cuju$cunque <I>RSTV</I> ac $i corpus illud, $er- vato gravitatis centro, figuram Globi indueret. <I>Q. E. D.</I> <p><I>Corol.</I> Hinc motus corporis attracti <I>Z</I> idem erit ac $i corpus attrahens <I>RSTV</I> e$$et Sphæricum: & propterea $i corpus illud attrahens vel quie$cat, vel progrediatur uniformiter in directum; corpus attractum movebitur in Ellip$i centrum habente in attra- hentis centro gravitatis. <C>PROPOSITIO LXXXIX. THEOREMA XLVI.</C> <p><I>Si Corpora $int plura ex particulis æqualibus con$tantia, quarum vi- res $unt ut di$tantiæ locorum a $ingulis: vis ex omnium viri- bus compo$ita, qua corpu$culum quodcunque trahitur, tendet ad trahentium commune centrum gravitatis, & eadem erit ac $i trahentia illa, $ervato gravitatis centro communi, coirent & in Globum formarentur.</I> <p>Demon$tratur eodem modo, atque Propo$itio $uperior. <p><I>Corol.</I> Ergo motus corporis attracti idem erit ac $i corpora tra- hentia, $ervato communi gravitatis centro, coirent & in Globum formarentur. Ideoque $i corporum trahentium commune gravita- tis centrum vel quie$cit, vel progreditur uniformiter in linea recta: corpus attractum movebitur in Ellip$i, centrum habente in com- muni illo trahentium centro gravitatis. <pb n=196> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> <C>PROPOSITIO XC. PROBLEMA XLIV.</C> <p><I>Si ad $ingula Circuli cuju$cunque puncta tendant vires æquales cen- tripetæ, decre$centes in quacunque di$tantiarum ratione<*> inve- nire vim qua corpu$culum attrahitur ubivis po$itum in recta quæ plano Circuli ad centrum ejus perpendiculariter in$i$tit.</I> <p>Centro <I>A</I> intervallo quovis <I>AD,</I> in plano cui recta <I>AP</I> per- pendicularis e$t, de$cribi intelligatur Circulus; & invenienda $it vis qua corpu$culum quodvis <I>P</I> in eundem attrahitur. A Circuli puncto quovis <I>E</I> ad corpu$culum attractum <I>P</I> agatur recta <I>PE:</I> In re- cta <I>PA</I> capiatur <I>PF</I> ip$i <I>PE</I> æ- <FIG> qualis, & erigatur normalis <I>FK,</I> quæ $it ut vis qua punctum <I>E</I> tra- hit corpu$culum <I>P.</I> Sitque <I>IKL</I> curva linea quam punctum <I>K</I> per- petuo tangit. Occurrat eadem Cir- culi plano in <I>L.</I> In <I>PA</I> capiatur <I>PH</I> æqualis <I>PD,</I> & erigatur per- pendiculum <I>HI</I> curvæ prædictæ occurrens in <I>I</I>; & erit corpu$- culi <I>P</I> attractio in Circulum ut area <I>AHIL</I> ducta in altitudinem <I>AP. Q. E. I.</I> <p>Etenim in <I>AE</I> capiatur linea quam minima <I>Ee.</I> Jungatur <I>Pe,</I> & in <I>PE, PA</I> capiantur <I>PC, Pf</I> ip$i <I>Pe</I> æquales. Et quoniam vis, qua annuli punctum quodvis <I>E</I> trahit ad $e corpus <I>P,</I> ponitur e$$e ut <I>FK,</I> & inde vis qua punctum illud trahit corpus <I>P</I> ver$us <I>A</I> e$t ut (<I>APXFK/PE</I>), & vis qua annulus totus trahit corpus <I>P</I> ver$us <I>A,</I> ut annulus & (<I>APXFK/PE</I>) conjunctim; annulus autem i$te e$t ut rectan- gulum $ub radio <I>AE</I> & latitudine <I>Ee,</I> & hoc rectangulum (ob pro- portionales <I>PE</I> & <I>AE, Ee</I> & <I>CE</I>) æquatur rectangulo <I>PEXCE</I> $eu <I>PEXFf</I>; erit vis qua annulus i$te trahit corpus <I>P</I> ver$us <I>A,</I> ut <I>PEXFf</I> & (<I>APXFK/PE</I>) conjunctim, id e$t, ut contentum <I>FfXFKXAP,</I> $ive ut area <I>FKkf</I> ducta in <I>AP.</I> Et propterea $umma virium, quibus annuli omnes in Circulo, qui centro <I>A</I> & in- <pb n=197> tervallo <I>AD</I> de$cribitur, trahunt corpus <I>P</I> ver$us <I>A,</I> e$t ut area <MARG>LIBER PRIMUS.</MARG> tota <I>AHIKL</I> ducta in <I>AP. Q. E. D.</I> <p><I>Corol.</I> 1. Hinc $i vires punctorum decre$cunt in duplicata di- $tantiarum ratione, hoc e$t, $i $it <I>FK</I> ut (1/<I>PFquad.</I>), atque adeo a- rea <I>AHIKL</I> ut (1/<I>PA</I>-1/<I>PH</I>); erit attractio corpu$culi <I>P</I> in Circu- lum ut (1-<I>PA/PH</I>), id e$t, ut (<I>AH/PH</I>). <p><I>Corol.</I> 2. Et univer$aliter, $i vires punctorum ad di$tantias D $int reciproce ut di$tantiarum dignitas quælibet D<SUP><I>n</I></SUP>, hoc e$t, $i $it <I>FK</I> ut (1/D<SUP><I>n</I></SUP>), adeoque area <I>AHIKL</I> ut (1/<I>PA<SUP>n-1</SUP></I>-1/<I>PH<SUP>n-1</SUP></I>); erit attra- ctio corpu$culi <I>P</I> in Circulum ut (1/<I>PA<SUP>n-2</SUP></I>-<I>PA/PH<SUP>n-1</SUP></I>). <p><I>Corol</I> 3. Et $i diameter Circuli augeatur in infinitum, & nume- rus <I>n</I> $it unitate major; attractio corpu$culi <I>P</I> in planum totum infinitum erit reciproce ut <I>PA<SUP>n-2</SUP>,</I> propterea quod terminus al- ter (<I>PA/PH<SUP>n-1</SUP></I>) evane$cet. <C>PROPOSITIO XCI. PROBLEMA XLV.</C> <p><I>Invenire attractionem corpu$culi $iti in axe Solidi rotundi, ad cujus puncta $ingula tendunt vires æquales centripetæ in quacunque di$tantiarum ratione decre$centes.</I> <p>In Solidum <I>ADEFG</I> tra- <FIG> hatur corpu$culum <I>P,</I> $itum in ejus axe <I>AB.</I> Circulo quoli- bet <I>RFS</I> ad hunc axem per- pendiculari $ecetur hoc Solidum, & in ejus diametro <I>FS,</I> in pla- no aliquo <I>PALKB</I> per axem tran$eunte, capiatur (per Prop. XC) longitudo <I>FK</I> vi qua cor- pu$culum <I>P</I> in circulum illum attrahitur proportionalis. Tangat autem punctum <I>K</I> curvam line- am <I>LKI,</I> planis extimorum circulorum <I>AL</I> & <I>BI</I> occurrentem in <I>L</I> & <I>I</I>; & erit attractio corpu$culi <I>P</I> in Solidum ut area <I>LABI. Q. E. I.</I> <pb n=198> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> <p><I>Corol.</I> 1. Unde $i Solidum <FIG> Cylindrus $it, parallelogrammo <I>ADEB</I> circa axem <I>AB</I> revo- luto de$criptus, & vires centri- petæ in $ingula ejus puncta ten- dentes $int reciproce ut quadra- ta di$tantiarum a punctis: erit attractio corpu$culi <I>P</I> in hunc Cylindrum ut <I>AB-PE+PD.</I> Nam ordinatim applicata <I>FK</I> (per Corol. 1. Prop. XC) erit ut 1-(<I>PF/PR</I>). Hujus pars 1 ducta in lon- gitudinem <I>AB,</I> de$cribit aream 1X<I>AB</I>; & pars altera (<I>PF/PR</I>) ducta in longitudinem <I>PB,</I> de$cribit aream 1 in ―(<I>PE-AD</I>) (id quod ex curvæ <I>LIK</I> quadratura facile o$tendi pote$t:) & $imiliter pars eadem ducta in longitudinem <I>PA</I> de$cribit aream 1 in ―(<I>PD-AD</I>), ductaque in ip$arum <I>PB, PA</I> differentiam <I>AB</I> de$cribit arearum differentiam 1 in ―(<I>PE-PD</I>). De contento primo 1X<I>AB</I> aufe- ratur contentum po$tremum 1 in ―(<I>PE-PD</I>), & re$tabit area <I>LABI</I> æqualis 1 in ―(<I>AB-PE+PD</I>). Ergo vis, huic areæ proportiona- lis, e$t ut <I>AB-PE+PD.</I> <p><I>Corol.</I> 2. Hinc etiam <FIG> vis innote$cit qua Sphæ- rois <I>AGBCD</I> attrahit corpus quodvis <I>P,</I> exte- rius in axe $uo <I>AB</I> $i- tum. Sit <I>NKRM</I> Se- ctio Conica cujus ordi- natim applicata <I>ER,</I> ip$i <I>PE</I> perpendicularis, æ- quetur $emper longitu- dini <I>PD,</I> quæ ducitur ad punctum illud <I>D,</I> in quo applicata i$ta Sphæroidem $ecat. A Sphæroidis verticibus <I>A, B</I> ad ejus axem <I>AB</I> erigantur perpendicula <I>AK, BM</I> ip$is <I>AP, BP</I> æqualia re$pective, & propterea Sectioni Conicæ occurrentia in <I>K</I> & <I>M</I>; & jungatur <I>KM</I> auferens ab eadem $egmentum <I>KMRK.</I> Sit autem Sphæroidis centrum <I>S</I> & $emidiameter maxima <I>SC:</I> & vis <pb n=199> qua Sphærois trahit corpus <I>P</I> erit ad vim qua Sphæra, diametro <I>AB</I> <MARG>LIBER PRIMUS.</MARG> de$cripta, trahit idem corpus, ut (<I>ASXCSq-PSXKMRK/PSq+CSq-ASq</I>) ad (<I>AS cub/3PS quad</I>). Et eodem computandi fundamento invenire licet vires $egmentorum Sphæroidis. <p><I>Corol.</I> 3. Quod $i corpu$culum intra Sphæroidem, in data qua- vis eju$dem diametro, collocetur; attractio erit ut ip$ius di$tantia a centro. Id quod facilius colligetur hoc argumento. Sit <I>AGOF</I> Sphærois attrahens, <I>S</I> centrum ejus & <I>P</I> corpus attractum. Per corpus illud <I>P</I> agantur tum $emidiameter <I>SPA,</I> tum rectæ duæ quævis <I>DE, FG</I> Sphæroidi hinc inde occurrentes in <I>D</I> & <I>E, F</I> & <I>G:</I> Sintque <I>PCM, HLN</I> $uperficies Sphæroidum duarum in- teriorum, exteriori $imilium & concentricarum, quarum prior tran$- eat per corpus <I>P</I> & $ecet rectas <I>DE</I> & <I>FG</I> in <I>B</I> & <I>C,</I> po$terior $ecet ea$dem rectas in <I>H, I</I> & <I>K, L.</I> Habeant autem Sphæroides omnes axem communem, & erunt rect- <FIG> arum partes hinc inde interceptæ <I>DP</I> & <I>BE, FP</I> & <I>CG, DH</I> & <I>IE, FK</I> & <I>LG</I> $ibi mutuo æquales; propterea quod rectæ <I>DE, PB</I> & <I>HI</I> bi$ecan- tur in eodem puncto, ut & rectæ <I>FG, PC</I> & <I>KL.</I> Concipe jam <I>DPF, EPG</I> de$ignare Conos oppo$itos, an- gulis verticalibus <I>DPF, EPG</I> infi- nite parvis de$criptos, & lineas etiam <I>DH, EI</I> infinite parvas e$$e; & Conorum particulæ Sphæroidum $uperficiebus ab$ci$$æ <I>DHKF, GLIE,</I> ob æqualitatem linearum <I>DH, EI,</I> erunt ad invicem ut quadrata di$tantiarum $uarum a corpu$culo <I>P,</I> & propterea corpu$culum illud æqualiter trahent. Et pari ratione, $i $uperficiebus Sphæroidum innumerarum $imilium concentricarum & axem communem habentium dividantur $patia <I>DPF, EGCB</I> in particulas, hæ omnes utrinque æqualiter tra- hent corpus <I>P</I> in partes contrarias. Æquales igitur $unt vires Coni <I>DPF</I> & $egmenti Conici <I>EGCB,</I> & per contrarietatem $e mutuo de$truunt. Et par e$t ratio virium materiæ omnis extra Sphæ- roidem intimam <I>PCBM.</I> Trahitur igitur corpus <I>P</I> a $ola Sphæ- roide intima <I>PCBM,</I> & propterea (per Corol. 3. Prop. LXXII) at- tractio ejus e$t ad vim, qua corpus <I>A</I> trahitur a Sphæroide tota <I>AGOD,</I> ut di$tantia <I>PS</I> ad di$tantiam <I>AS. Q. E. D.</I> <pb n=200> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> <C>PROPOSITIO XCII. PROBLEMA XLVI.</C> <C><I>Dato Corpore attractivo, invenire rationem decrementi virium cen- tripetarum in ejus puncta $ingula tendentium.</I></C> <p>E Corpore dato formanda e$t Sphæra vel Cylindrus aliave figu- ra regularis, cujus lex attractionis, cuivis decrementi rationi con- gruens (per Prop. LXXX, LXXXI, & XCI) inveniri pote$t. Dein fa- ctis experimentis invenienda e$t vis attractionis in diver$is di$tan- tiis, & lex attractionis in totum inde patefacta dabit rationem de- crementi virium partium $ingularum, quam invenire oportuit. <C>PROPOSITIO XCIII. THEOREMA XLVII.</C> <p><I>Si Solidum ex una parte planum, ex reliquis autem partibus infini- tum, con$tet ex particulis æqualibus æqualiter attractivis, qua- rum vires in rece$$u a Solido decre$cunt in ratione pote$tatis cu- ju$vis di$tantiarum plu$quam quadraticæ, & vi Solidi totius cor- pu$culum ad utramvis plani partem con$titutum trahatur: dico quod Solidi vis illa attractiva, in rece$$u ab ejus $uperficie pla- na, decre$cet in ratione pote$tatis, cujus latus est di$tantia cor- pu$culi a plano, & Index ternario minor quam Index pote$ta- tis di$tantiarum.</I> <p><I>Cas.</I> 1. Sit <I>LGl</I> planum <FIG> quo Solidum terminatur. Jaceat Solidum autem ex parte plani hujus ver$us <I>I,</I> inque plana innumera <I>mHM, nIN,</I> &c. ip$i <I>GL</I> parallela re$olvatur. Et primo collocetur corpus at- tractum <I>C</I> extra Solidum. Agatur autem <I>CGHI</I> pla- nis illis innumeris perpendicularis, & decre$cant vires attractivæ punctorum Solidi in ratione pote$tatis di$tantiarum, cujus index $it numerus <I>n</I> ternario non minor. Ergo (per Corol. 3. Prop. XC) <pb n=201> vis qua planum quodvis <I>mHM</I> trahit punctum <I>C</I> e$t reciproce ut <MARG>LIBER PRIMUS.</MARG> <I>CH<SUP>n-2</SUP>.</I> In plano <I>mHM</I> capiatur longitudo <I>HM</I> ip$i <I>CH<SUP>n-2</SUP></I> re- ciproce proportionalis, & erit vis illa ut <I>HM.</I> Similiter in planis $in- gulis <I>lGL, nIN, oKO,</I> &c. capiantur longitudines <I>GL, IN, KO,</I> &c. ip$is <I>CG<SUP>n-2</SUP>, CI<SUP>n-2</SUP>, CK<SUP>n-2</SUP>,</I> &c. reciproce proportionales; & vi- res planorum eorundem erunt ut longitudines captæ, adeoque $umma virium ut $umma longitudinum, hoc e$t, vis Solidi totius ut area <I>GLOK</I> in infinitum ver$us <I>OK</I> producta. Sed area illa (per notas quadraturarum methodos) e$t reciproce ut <I>CG<SUP>n-3</SUP>,</I> & prop- terea vis Solidi totius e$t reciproce ut <I>CG<SUP>n-3</SUP>. Q. E. D.</I> <p><I>Cas.</I> 2. Collocetur jam corpu$culum <I>C</I> ex parte plani <I>lGL</I> in- tra Solidum, & capiatur di$tantia <I>CK</I> æqualis di$tantiæ <I>CG.</I> Et So- lidi pars <I>LGloKO,</I> planis parallelis <I>lGL, oKO</I> terminata, cor- pu$culum <I>C</I> in medio $itum nullam in partem trahet, contrariis op- po$itorum punctorum actionibus $e mutuo per æqualitatem tollenti- bus. Proinde corpu$culum <I>C</I> $ola vi Solidi ultra planum <I>OK</I> $iti tra- hitur. Hæc autem vis (per Ca$um primum) e$t reciproce ut <I>CK<SUP>n-3</SUP>,</I> hoc e$t (ob æquales <I>CG, CK</I>) reciproce ut <I>CG<SUP>n-3</SUP>. Q. E. D.</I> <p><I>Corol.</I> 1. Hinc $i Solidum <I>LGIN</I> planis duobus infinitis pa- rallelis <I>LG, IN</I> utrinque terminetur; innote$cit ejus vis attra- ctiva, $ubducendo de vi attractiva Solidi totius infiniti <I>LGKO</I> vim attractivam partis ulterioris <I>NICO,</I> in infinitum ver$us <I>KO</I> productæ. <p><I>Corol.</I> 2. Si Solidi hujus infiniti pars ulterior, quando attractio e- jus collata cum attractione partis citerioris nullius pene e$t momen- ti, rejiciatur: attractio partis illius citerioris augendo di$tantiam de- cre$cet quam proxime in ratione pote$tatis <I>CG<SUP>n-3</SUP>.</I> <p><I>Corol.</I> 3. Et hinc $i corpus quodvis finitum & ex una parte pla- num trahat corpu$culum e regione medii illius plani, & di$tantia inter corpu$culum & planum collata cum dimen$ionibus corpo- ris attrahentis perexigua $it, con$tet autem corpus attrahens ex particulis homogeneis, quarum vires attractivæ decre$cunt in ratione pote$tatis cuju$vis plu$quam quadruplicatæ di$tantiarum; vis attractiva corporis totius decre$cet quamproxime in ratione pote$tatis, cujus latus $it di$tantia illa perexigua, & Index terna- rio minor quam Index pote$tatis prioris. De corpore ex particulis con$tante, quarum vires attractivæ decre$cunt in ratione pote$tatis triplicatæ di$tantiarum, a$$ertio non valet; propterea quod, in hoc ca$u, attractio partis illius ulterioris corporis infiniti in Corollario $ecundo, $emper e$t infinite major quam attractio partis citerioris. <pb n=202> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> <C><I>Scholium.</I></C> <p>Si corpus aliquod perpendiculariter ver$us planum datum tra- hatur, & ex data lege attractionis quæratur motus corporis: Sol- vetur Problema quærendo (per Prop. XXXIX) motum corporis recta de$cendentis ad hoc planum, & (per Legum Corol. 2.) componen- do motum i$tum cum uniformi motu, $ecundum lineas eidem plano parallelas facto. Et contra, $i quæratur Lex attractionis in planum $ecundum lineas perpendiculares factæ, ea conditione ut corpus at- tractum in data quacunque curva linea moveatur, $olvetur Proble- ma operando ad exemplum Problematis tertii. <p>Operationes autem contrahi $olent re$olvendo ordinatim appli- catas in Series convergentes. Ut $i ad ba$em A in angulo quovis dato ordinatim applicetur longitudo B, quæ $it ut ba$is dignitas quælibet A<SUP><I>m/n</I></SUP>; & quæratur vis qua corpus, $ecundum po$itionem ordinatim applicatæ, vel in ba$em attractum vel a ba$i fugatum, moveri po$$it in curva linea quam ordinatim applicata termi- no $uo $uperiore $emper attingit: Suppono ba$em augeri parte quam minima O, & ordinatim applicatam ―(A+O)<I>m/n</I> re$olvo in Seriem infinitam A<SUP><I>m/n</I></SUP>+<I>m/n</I> OA<SUP>(<I>m-n/n</I>)</SUP>+(<I>mm-mn/2nn</I>) OOA<SUP>(<I>m-2n/n</I>)</SUP> &c. at- que hujus termino in quo O duarum e$t dimen$ionum, id e$t, ter- mino (<I>mm-mn/2nn</I>) OOA<SUP>(<I>m-2n/n</I>)</SUP> vim proportionalem e$$e $uppono. E$t igitur vis quæ$ita ut (<I>mm-mn/nn</I>)A<SUP>(<I>m-2n/n</I>)</SUP>, vel quod perinde e$t, ut (<I>mm-mn/nn</I>)B<SUP>(<I>m-2n/m</I>)</SUP>. Ut $i ordinatim applicata Parabolam attingat, exi$tente <I>m</I>=2, & <I>n</I>=1: fiet vis ut data 2B°, adeoque dabi- tur. Data igitur vi corpus movebitur in Parabola, quemad- modum <I>Galilæus</I> demon$travit. Quod $i ordinatim applicata Hyperbolam attingat, exi$tente <I>m</I>=o-1, & <I>n</I>=1; fiet vis ut 2A<SUP>-3</SUP> $eu 2B<SUP>3</SUP>: adeoque vi, quæ $it ut cubus ordinatim applicatæ, corpus movebitur in Hyperbola. Sed mi$$is huju$modi Propo$iti- onibus, pergo ad alias qua$dam de Motu, quas nondum attigi. <pb n=203> <MARG>LIBER PRIMUS.</MARG> <C>SECTIO XIV.</C> <C><I>De Motu corporum minimorum, quæ Viribus centripetis ad $ingulas magni alicujus corporis partes tendentibus agitantur.</I></C> <C>PROPOSITIO XCIV. THEOREMA XLVIII.</C> <p><I>Si Media duo $imilaria, $patio planis parallelis utrinque terminato, di$tinguantur ab invicem, & corpus in tran$itu per hoc $patium attrahatur vel impellatur perpendiculariter ver$us Medium alter- utrum, neque ulla alia vi agitetur vel impediatur: Sit autem attractio, in æqualibus ab utroque plano di$tantiis ad eandem ip$ius partem captis, ubique eadem: dico quod $inus incidentiæ in planum alterutrum erit ad $inum emergentiæ ex plano altero in ratione data.</I> <p><I>Cas.</I> 1. Sunto <I>Aa, Bb</I> <FIG> plana duo parallela. Inci- dat corpus in planum pri- us <I>Aa</I> $ecundum lineam <I>GH,</I> ac toto $uo per $pati- um intermedium tran$itu attrahatur vel impellatur ver$us Medium inciden- tiæ, eaque actione de$cri- bat lineam curvam <I>HI,</I> & emergat $ecundum line- am <I>IK.</I> Ad planum emer- gentiæ <I>Bb</I> erigatur per- pendiculum <I>IM,</I> occur- rens tum lineæ inciden- tiæ <I>GH</I> productæ in <I>M,</I> tum plano incidentiæ <I>Aa</I> in <I>R</I>; & linea emergentiæ <I>KI</I> producta occurrat <I>HM</I> in <I>L.</I> Centro <I>L</I> intervallo <I>LI</I> de$cribatur Circulus, <pb n=204> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> $ecans tam <I>HM</I> in <I>P</I> & <I>Q,</I> quam <I>MI</I> productam in <I>N,</I> & primo $i attractio vel impul$us ponatur uniformis, erit (ex demon$tratis <I>Galilæi</I>) curva <I>HI</I> Parabola, cujus hæc e$t proprietas, ut rectan- gulum $ub dato latere recto & linea <I>IM</I> æquale $it <I>HM</I> quadrato; $ed & linea <I>HM</I> bi$ecabitur in <I>L.</I> Unde $i ad <I>MI</I> demittatur perpendiculum <I>LO,</I> æ- <FIG> quales erunt <I>MO, OR</I>; & additis æqualibus <I>ON, OI,</I> fient totæ æquales <I>MN, IR.</I> Proinde cum <I>IR</I> detur, datur etiam <I>MN</I>; e$tque rectangu- lum <I>NMI</I> ad rectangu- lum $ub latere recto & <I>IM,</I> hoc e$t, ad <I>HMq,</I> in data ratione. Sed rect- angulum <I>NMI</I> æquale e$t rectangulo <I>PMQ,</I> id e$t, differentiæ quadrato- rum <I>MLq,</I> & <I>PLq</I> $eu <I>LIq</I>; & <I>HMq</I> datam rationem habet ad $ui ip$ius quartam partem <I>MLq:</I> ergo datur ratio <I>MLq-LIq</I> ad <I>MLq,</I> & divi$im, ratio <I>LIq</I> ad <I>MLq,</I> & ratio dimidiata <I>LI</I> ad <I>ML.</I> Sed in omni triangulo <I>LMI,</I> $inus angulorum $unt proportionales lateribus oppo$itis. Ergo datur ratio $inus anguli incidentiæ <I>LMR</I> ad $inum anguli emergen- tiæ <I>LIR. Q. E. D.</I> <FIG> <p><I>Cas.</I> 2. Tran$eat jam corpus $ucce$$ive per $patia plura paralle- lis planis terminata, <I>AabB, BbcC,</I> &c. & agitetur vi quæ $it in <pb n=205> $ingulis $eparatim uniformis, at in diver$is diver$a; & per jam de- <MARG>LIBER PRIMUS.</MARG> mon$trata, $inus incidentiæ in planum primum <I>Aa</I> erit ad $inum emergentiæ ex plano $ecundo <I>Bb,</I> in data ratione; & hic $inus, qui e$t $inus incidentiæ in planum $ecundum <I>Bb,</I> erit ad $inum emergentiæ ex plano tertio <I>Cc,</I> in data ratione; & hic $inus ad $inum emergentiæ ex plano quarto <I>Dd,</I> in data ratione; & $ic in infinitum: & ex æquo, $inus incidentiæ in planum primum ad $i- num emergentiæ ex plano ultimo in data ratione. Minuantur jam planorum intervalla & augeatur numerus in infinitum, eo ut attra- ctionis vel impul$us actio, $ecundum legem quamcunque a$$ignatam, continua reddatur; & ratio $inus incidentiæ in planum primum ad $inum emergentiæ ex plano ultimo, $emper data exi$tens, etiam- num dabitur. <I>Q. E. D.</I> <C>PROPOSITIO XCV. THEOREMA XLIX.</C> <p><I>Ii$dem po$itis; dico quod velocitas corporis ante incidentiam ect ad ejus velocitatem poct emergentiam, ut $inus emergentiæ ad $inum incidentiæ.</I> <p>Capiantur <I>AH, Id</I> æquales, & erigantur perpendicula <I>AG, dK</I> occurrentia lineis incidentiæ & emergentiæ <I>GH, IK,</I> in <I>G</I> & <I>K.</I> In <I>GH</I> capiatur <I>TH</I> æqualis <I>IK,</I> & ad planum <I>Aa</I> demittatur normaliter <I>Tv.</I> Et (per Legum Corol. 2) di$tinguatur motus cor- poris in duos, unum planis <I>Aa, Bb, Cc,</I> &c. perpendicularem, al- terum ii$dem parallelum. Vis attractionis vel impul$us, agendo $e- cundum lineas perpendiculares, nil mutat motum $ecundum paralle- las, & propterea corpus hoc motu conficiet æqualibus temporibus æqualia illa $ecundum parallelas intervalla, quæ $unt inter lineam <I>AG</I> & punctum <I>H,</I> interque punctum <I>I</I> & lineam <I>dK</I>; hoc e$t, æqualibus temporibus de$cribet lineas <I>GH, IK.</I> Proinde velo- citas ante incidentiam e$t ad velocitatem po$t emergentiam, ut <I>GH</I> ad <I>IK</I> vel <I>TH,</I> id e$t, ut <I>AH</I> vel <I>Id</I> ad <I>vH,</I> hoc e$t (re$pectu radii <I>TH</I> vel <I>IK</I>) ut $inus emergentiæ ad $inum inci- dentiæ. <I>Q. E. D.</I> <pb n=206> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> <C>PROPOSITIO XCVI. THEOREMA L.</C> <p><I>Ii$dem po$itis & quod motus ante incidentiam velocior $it quam po$tea: dico quod corpus, inclinando lineam incidentiæ, refle- ctetur tandem, & angulus reflexionis fiet æqualis angulo inci- dentiæ.</I> <p>Nam concipe corpus inter parallela plana <I>Aa, Bb, Cc,</I> &c. de- $cribere arcus Parabolicos, ut $upra; $intque arcus illi <I>HP, PQ, QR,</I> &c. Et $it ea lineæ incidentiæ <I>GH</I> obliquitas ad planum pri- mum <I>Aa,</I> ut $inus incidentiæ $it ad radium circuli, cujus e$t $inus, in ea ratione quam habet idem $inus incidentiæ ad $inum emer- gentiæ ex plano <I>Dd,</I> in $patium <I>DdeE:</I> & ob $inum emergen- tiæ jam factum æqualem radio, angulus emergentiæ erit rectus, ad- eoque linea emergentiæ coincidet cum plano <I>Dd.</I> Perveniat cor- pus ad hoc planum in puncto <I>R</I>; & quoniam linea emergentiæ coincidit cum eodem <FIG> plano, per$picuum e$t quod corpus non po- te$t ultra pergere ver- $us planum <I>Ee.</I> Sed nec pote$t idem perge- re in linea emergentiæ <I>Rd,</I> propterea quod perpetuo attrahitur vel impellitur ver$us Medium incidentiæ. Re- vertetur itaque inter plana <I>Cc, Dd,</I> de$cribendo arcum Parabolæ <I>QRq,</I> cujus vertex principalis (juxta demon$trata <I>Galilæi</I>) e$t in <I>R</I>; $ecabit planum <I>Cc</I> in eodem angulo in <I>q,</I> ac prius in <I>Q</I>; dein pergendo in arcubus parabolicis <I>qp, ph,</I> &c. arcubus prioribus <I>QP, PH</I> $imilibus & æqualibus, $ecabit reliqua plana in ii$dem angulis in <I>p, h,</I> &c. ac prius in <I>P, H,</I> &c. emergetque tandem ea- dem obliquitate in <I>h,</I> qua incidit in <I>H.</I> Concipe jam planorum <I>Aa, Bb, Cc, Dd, Ee,</I> &c. intervalla in infinitum minui & nume- rum augeri, eo ut actio attractionis vel impul$us $ecundum legem quamcunque a$$ignatam continua reddatur; & angulus cmergen- tiæ $emper angulo incidentiæ æqualis exi$tens, eidem etiamnum manebit æqualis. <I>Q. E. D.</I> <pb n=207> <MARG>LIBER PRIMUS.</MARG> <C><I>Scholium.</I></C> <p>Harum attractionum haud multum di$$imiles $unt Lucis reflexi- ones & refractiones, factæ $ecundum datam Secantium rationem, ut invenit <I>Snellius,</I> & per con$equens $ecundum datam Sinuum ratio- nem, ut expo$uit <I>Carte$ius.</I> Namque Lucem $ucce$$ive propagari & $patio qua$i $eptem vel octo minutorum primorum a Sole ad Terram venire, jam con$tat per Phænomena Satellitum <I>Jovis,</I> Ob- $ervationibus diver$orum A$tronomorum confirmata. Radii autem in aere exi$tentes (uti dudum <I>Grimaldus,</I> luce per foramen in te- nebro$um cubiculum admi$$a, invenit, & ip$e quoque expertus $um) in tran$itu $uo prope corporum vel opacorum vel per$picuo- rum angulos (quales $unt nummorum ex auro, argento & ære cu- $orum termini rectanguli circulares, & cultrorum, lapidum aut fra- ctorum vitrorum acies) incurvantur circum corpora, qua$i attracti in eadem; & ex his radiis, qui in tran$itu illo propius accedunt ad corpora incurvantur magis, qua- <FIG> $i magis attracti, ut ip$e etiam dili- genter ob$ervavi. In figura de$ig- nat <I>s</I> aciem cultri vel cunei cuju$vis <I>AsB</I>; & <I>gowog, fnunf, emtme, dlsld,</I> $unt radii, arcubus <I>owo, nun, mtm, lsl</I> ver$us cultrum incurvati; idque magis vel mi- nus pro di$tantia eorum a cultro. Cum autem talis incurvatio radio- rum fiat in aere extra cultrum, de- bebunt etiam radii, qui incidunt in cultrum, prius incurvari in aere quam cultrum attingunt. Et par e$t ratio incidentium in vitrum. Fit igitur refractio, non in puncto incidentiæ, $ed paulatim per continuam incurvationem radiorum, factam partim in aere ante- quam attingunt vitrum, partim (ni fallor) in vitro, po$tquam illud ingre$$i $unt: uti in radiis <I>ckzkc, biyib, ahxha</I> incidentibus ad <I>r, q, p,</I> & inter <I>k</I> & <I>z, i</I> & <I>y, h</I> & <I>x</I> incurvatis, delineatum e$t. Igitur ob analogiam quæ e$t inter prop-gationem radiorum lucis & progre$$um corporum, vi$um e$t Propo$itiones $equentes in u$us Opticos $ubjungere; interea de natura radiorum (utrum $int cor- pora necne) nihil omnino di$putans, $ed Trajectorias corporum Trajectoriis radiorum per$imiles $olummodo determinans. <pb n=208> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> <C>PROPOSITIO XCVII. PROBLEMA XLVII.</C> <p><I>Po$ito quod $inus incidentiæ in $uperficiem aliquam $it ad $inum e- mergentiæ in data ratione, quodque incurvatio viæ corporum juxta $uperficiem illam fiat in $patio brevi$$imo, quod ut pun- ctum con$iderari po$$it; determinare $uperficiem quæ corpu$cula omnia de loco dato $ucce$$ive manantia convergere faciat ad alium locum datum.</I> <p>Sit <I>A</I> locus a quo corpu$cula divergunt; <I>B</I> locus in quem con- vergere debent; <I>CDE</I> curva linea quæ circa axem <I>AB</I> revoluta de$cribat $uperficiem quæ$itam; <I>D, E</I> curvæ illius puncta duo quæ- vis; & <I>EF, EG</I> perpendicula in corporis vias <I>AD, DB</I> demi$$a. Accedat punctum <I>D</I> ad punctum <I>E</I>; & lineæ <I>DF</I> qua <I>AD</I> au- getur, ad lineam <I>DG</I> qua <I>DB</I> diminuitur, ratio ultima erit ea- dem quæ $inus incidentiæ ad $inum emergentiæ. Datur ergo ratio <FIG> incrementi lineæ <I>AD</I> ad decrementum lineæ <I>DB</I>; & propterea $i in axe <I>AB</I> $umatur ubivis <*> punctum <I>C,</I> per quod curva <I>CDE</I> tran$ire debet, & capiatur ip$ius <I>AC</I> incrementum <I>CM,</I> ad ip$ius <I>BC</I> decrementum <I>CN</I> in data illa ratione; centri$que <I>A, B,</I> & in- tervallis <I>AM, BN</I> de$cribantur circuli duo $e mutuo $ecantes in <I>D:</I> punctum illud <I>D</I> tanget curvam quæ$itam <I>CDE,</I> eandemque ubivis tangendo determinabit. <I>Q. E. I.</I> <p><I>Corol.</I> 1. Faciendo autem ut punctum <I>A</I> vel <I>B</I> nunc abeat in in- finitum, nunc migret ad alteras partes puncti <I>C,</I> habebuntur Fi- guræ illæ omnes quas <I>Carte$ius</I> in Optica & Geometria ad Refra- ctiones expo$uit. Quarum inventionem cum <I>Carte$ius</I> maximi fecerit & $tudio$e celaverit, vi$um fuit hac propo$itione expo- nere. <pb n=209> <p><I>Corol.</I> 2. Si corpus in $uperficiem quamvis <I>CD,</I> $ecundum lineam <MARG>LIBER PRIMUS.</MARG> rectam <I>AD</I> lege quavis ductam incidens, emergat $ecundum aliam quamvis rectam <I>DK,</I> <FIG> & a puncto <I>C</I> duci in- telligantur Lineæ curvæ <I>CP, CQ</I> ip$is <I>AD, DK</I> $emper perpendiculares: erunt incrementa linea- rum <I>PD, QD,</I> atq; ad- eo lineæ ip$æ <I>PD, QD,</I> incrementis i$tis genitæ, ut $inus incidentiæ & e- mergentiæ ad invicem: & contra. <C>PROPOSITIO XCVIII. PROBLEMA XLVIII.</C> <p><I>Ii$dem po$itis, & circa axem</I> AB <I>de$cripta $uperficie quacunque attractiva</I> CD, <I>regulari vel irregulari, per quam corpora de loco dato</I> A <I>exeuntia tran$ire debent: invenire $uperficiem $e- cundam attractivam</I> EF, <I>quæ corpora illa ad locum datum</I> B <I>convergere faciat.</I> <p>Juncta <I>AB</I> $ecet $uperficiem primam in <I>C</I> & $ecundam in <I>E,</I> puncto <I>D</I> utcunque a$$umpto. Et po$ito $inu incidentiæ in $uper- ficiem primam ad $inum emergentiæ ex eadem, & $inu emergentiæ e $uperficie $ecunda ad $inum incidentiæ in eandem, ut quantitas aliqua data M ad aliam datam N; produc tum <I>AB</I> ad <I>G</I> ut $it <I>BG</I> ad <I>CE</I> ut M-N ad N, tum <I>AD</I> ad <I>H</I> ut $it <I>AH</I> æqualis <I>AG,</I> tum etiam <I>DF</I> ad <I>K</I> ut $it <I>DK</I> ad <I>DH</I> ut N ad M. Junge <I>KB,</I> & centro <I>D</I> intervallo <I>DH</I> de$cribe circulum occurrentem <I>KB</I> pro- ductæ in <I>L,</I> ip$ique <I>DL</I> parallelam age <I>BF:</I> & punctum <I>F</I> tan- get Lineam <I>EF,</I> quæ circa axem <I>AB</I> revoluta de$cribet $uperfi- ciem quæ$itam. <I>Q. E. F.</I> <p>Nam concipe Lineas <I>CP, CQ</I> ip$is <I>AD, DF</I> re$pective, & Li- neas <I>ER, ES</I> ip$is <I>FB, FD</I> ubique perpendiculares e$$e, adeoque <I>QS</I> ip$i <I>CE</I> $emper æqualem; & erit (per Corol. 2. Prop. XCVII) <I>PD</I> ad <I>QD</I> ut M ad N, adeoque ut <I>DL</I> ad <I>DK</I> vel <I>FB</I> ad <I>FK</I>; <pb n=210> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> & divi$im ut <I>DL-FP</I> $eu <I>PH-PD-FB</I> ad <I>FD</I> $eu <I>FQ-QD</I>; & compo$ite ut <I>PH-FB</I> ad <I>FQ,</I> id e$t (ob æquales <I>PH</I> & <I>CG, QS</I> & <I>CE) <FIG> CE+BG-FR</I> ad <I>CE-FS.</I> Verum (ob proportionales <I>BG</I> ad <I>CE</I> & M-N ad N) e$t etiam <I>CE+BG</I> ad <I>CE</I> ut M ad N: adeoque divi$im <I>FR</I> ad <I>FS</I> ut M ad N, & propterea per Corol. 2. Prop. XCVII, $uperficies <I>EF</I> cogit cor- pus, in ip$am $ecundum lineam <I>DF</I> incidens, pergere in linea <I>FR</I> ad locum <I>B. Q. E. D.</I> <C><I>Scholium.</I></C> <p>Eadem methodo pergere liceret ad $uperficies tres vel plures. Ad u$us autem Opticos maxime accommodatæ $unt figuræ Sphæ- ricæ. Si Per$picillorum vitra Objectiva ex vitris duobus Sphæri- ce figuratis & Aquam inter $e claudentibus conflentur; fieri pote$t ut a refractionibus Aquæ errores refractionum, quæ fiunt in vitro- rum $uperficiebus extremis, $atis accurate corrigantur. Talia au- tem vitra Objectiva vitris Ellipticis & Hyperbolicis præferenda $unt, non $olum quod facilius & accuratius formari po$$int, $ed etiam quod Penicillos radiorum extra axem vitri $itos accurativs refringant. Verum tamen diver$a diver$orum radiorum Refrangi- bilitas impedimento e$t, quo minus Optica per Figuras vel Sphæ- ricas vel alias qua$cunque perfici po$$it. Ni$i corrigi po$$int er- rores illinc oriundi, labor omnis in cæteris corrigendis imperite collocabitur. <pb n=211> <MARG>LIBER SECUNDUS.</MARG> <C>DE MOTU CORPORUM LIBER SECUNDUS.</C> <HR> <C>SECTIO I.</C> <C><I>De Motu Corporum quibus re$i$titur in ratione Velocitatis.</I></C> <C>PROPOSITIO I. THEOREMA I.</C> <C><I>Corporis, cui re$i$titur in ratione velocitatis, motus ex re$i$tentia ami$$us ect ut $patium movendo confectum.</I></C> <p>NAm cum motus $ingulis temporis particulis æqualibus ami$$us $it ut velocitas, hoc e$t, ut itineris confecti particula: erit, componendo, motus toto tempore ami$$us ut iter totum. <I>Q.E.D.</I> <p><I>Corol.</I> Igitur $i corpus, gravitate omni de$titutum, in $patiis libe- ris $ola vi in$ita moveatur; ac detur tum motus totus $ub initio, tum etiam motus reliquus po$t $patium aliquod confectum: dabitur $pa- tium totum quod corpus infinito tempore de$cribere pote$t. Erit enim $patium illud ad $patium jam de$criptum, ut motus totus $ub initio ad motus illius partem ami$$am. <C>LEMMA I.</C> <C><I>Quantitates differentiis $uis proportionales, $unt continue propor tionales.</I></C> <p>Sit A ad A-B ut B ad B-C & C ad C-D, &c. & dividendo fiet A ad B ut B ad C & C ad D, &c. <I>Q.E.D.</I> <pb n=212> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> <C>PROPOSITIO II. THEOREMA II.</C> <p><I>Si Corpori re$i$titur in ratione velocitatis, & idem $ola vi in$ita per Medium $imilare moveatur, $umantur autem tempora æqua- lia: velocitates in principiis $ingulorum temporum $unt in pro- gre$$ione Geometrica, & $patia $ingulis temporibus de$cripta $unt ut velocitates.</I> <p><I>Cas.</I> 1. Dividatur tempus in particulas æquales; & $i ip$is parti- cularum initiis agat vis re$i$tentiæ impul$o unico, quæ $it ut velo- citas: erit decrementum velocitatis $ingulis temporis particulis ut eadem velocitas. Sunt ergo velocitates differentiis $uis proportio- nales, & propterea (per Lem. I. Lib. II.) continue proportionales. Proinde $i ex æquali particularum numero componantur tempora quælibet æqualia, erunt velocitates ip$is temporum initiis, ut ter- mini in progre$$ione continua, qui per $altum capiuntur, omi$$o pa$$im æquali terminorum intermediorum numero. Componuntur autem horum terminorum rationes ex æqualibus rationibus termi- norum intermediorum æqualiter repetiti<*> & propterea $unt æqua- les. Igitur velocitates, his terminis proportionales, $unt in pro- gre$$ione Geometrica. Minuantur jam æquales illæ temporum par- ticulæ, & augeatur earum numerus in infinitum, eo ut re$i$tentiæ impul$us reddatur continuus; & velocitates in principiis æqualium temporum, $emper continue proportionales, erunt in hoc etiam ca$u continue proportionales. <I>Q.E.D.</I> <p><I>Cas.</I> 2. Et divi$im velocitatum differentiæ, hoc e$t, earum partes $ingulis temporibus ami$$æ, $unt ut totæ: Spatia autem $ingulis temporibus de$cripta $unt ut velocitatum partes ami$$æ, (per Prop. I. Lib II.) & propterea etiam ut totæ. <I>Q. E. D.</I> <p><I>Corol.</I> Hinc $i A$ymptotis rectangulis <I>ADC, CH</I> de$cribatur Hyperbola <I>BG,</I> $intque <I>AB, DG</I> ad A$ymptoton <I>AC</I> perpen- diculares, & exponatur tum corporis velocitas tum re$i$tentia Me- dii, ip$o motus initio, per lineam quam- <FIG> vis datam <I>AC,</I> elap$o autem tempore ali- quo per lineam indefinitam <I>DC:</I> exponi pote$t tempus per aream <I>ABGD,</I> & $pa- tium eo tempore de$criptum per lineam <I>AD.</I> Nam $i area illa per motum puncti <I>D</I> augeatur uniformiter ad modum tempo- <pb n=213> ris, decre$cet recta <I>DC</I> in ratione Geometrica ad modum veloci- <MARG>LIBER SECUNDUS.</MARG> tatis, & partes rectæ <I>AC</I> æqualibus temporibus de$criptæ decre- $cent in eadem ratione. <C>PROPOSITIO III. PROBLEMA I.</C> <p><I>Corporis, cui dum in Medio $imilari recta a$cendit vel de$cendit, re$i$titur in ratione velocitatis, quodque ab uniformi gravitate urgetur, definire motum.</I> <p>Corpore a$cendente, ex- <FIG> ponatur gravitas per datum quodvis rectangulum <I>BC,</I> & re$i$tentia Medii initio a$- cen$us per rectangulum <I>BD</I> $umptum ad contrarias par- tes. A$ymptotis rectangulis <I>AC, CH,</I> per punctum <I>B</I> de- $cribatur Hyperbola $ecans per- pendicula <I>DE, de</I> in <I>G, g;</I> & corpus a$cendendo, tempore <I>DGgd,</I> de$cribet $patium <I>EGge,</I> tem- pore <I>DGBA</I> $patium a$cen$us totius <I>EGB</I>; tempore <I>AB</I>2<I>G</I>2<I>D</I> $patium de$cen$us <I>BF</I>2<I>G,</I> atque tempore 2<I>D</I>2<I>G</I>2<I>g</I>2<I>d</I> $patium de$cen$us 2<I>GF</I>2<I>e</I>2<I>g</I>: & velocitates corporis (re$i$tentiæ Medii proportionales) in horum temporum periodis erunt <I>ABED, ABed,</I> nulla, <I>ABF</I>2<I>D, AB</I>2<I>e</I>2<I>d</I> re$pective; atque maxima velocitas, quam corpus de$cendendo pote$t acquirere, erit <I>BC.</I> <p>Re$olvatur enim rectan- <FIG> gulum <I>AH</I> in rectangula innumera <I>Ak, Kl, Lm, Mn,</I> &c. quæ $int ut incrementa velocitatum æqualibus tot- idem temporibus facta; & e- runt nihil, <I>Ak, Al, Am, An,</I> &c. ut velocitates totæ, at- que adeo (per Hypothe$in) ut re$i$tentiæ Medii princi- pio $ingulorum temporum æqualium. Fiat <I>AC</I> ad <I>AK</I> vel <I>ABHC</I> ad <I>ABkK,</I> ut vis gra- vitatis ad re$i$tentiam in principio temporis $ecundi, deque vi gravi- <pb n=214> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> tatis $ubducantur re$i$tentiæ, & manebunt <I>ABHC, KkHC, LlHC, NnHC,</I> &c. ut vires ab$olutæ quibus corpus in principio $ingu- lorum temporum urgetur, atque adeo (per motus Legem 11) ut incrementa velocitatum, id e$t, ut rectangula <I>Ak, Kl, Lm, Mn,</I> &c; & propterea (per Lem. I. Lib. II) in progre$$ione Geometrica. Qua- re $i rectæ <I>Kk, Ll, Mm, Nn,</I> &c. productæ occurrant Hyperbolæ in <I>q, r, s, t,</I> &c. erunt areæ <I>ABqK, KqrL, LrsM, MstN,</I> &c. æquales, adeoque tum temporibus tum viribus gravitatis $emper æqualibus analogæ. E$t autem area <I>ABqK</I> (per Corol. 3. Lem. VII, & Lem. VIII, Lib. I) ad aream <I>Bkq</I> ut <I>Kq</I> ad 1/2 <I>kq</I> $eu <I>AC</I> ad 1/2 <I>AK,</I> hoc e$t, ut vis gravitatis ad re$i$tentiam in medio temporis primi. Et $imili argumento areæ <FIG> <I>qKLr, rLMs, sMNt,</I> &c. $unt ad areas <I>qklr, rlms, smnt,</I> &c. ut vires gravi- tatis ad re$i$tentias in me- dio temporis $ecundi, ter- tii, quarti, &c. Proinde cum areæ æquales <I>BAKq, qKLr, rLMs, sMNt,</I> &c. $int vi- ribus gravitatis analogæ, e- runt areæ <I>Bkq, qklr, rlms, smnt,</I> &c. re$i$tentiis in mediis $ingulorum temporum, hoc e$t (per Hypothe$in) velocitatibus, atque adeo de$criptis $patiis analogæ. Sumantur analogarum $ummæ, & erunt areæ <I>Bkq, Blr, Bms, Bnt,</I> &c. $patiis totis de$criptis analogæ; necnon areæ <I>ABqK, ABrL, ABsM, ABtN,</I> &c. temporibus. Corpus igitur inter de$cenden- dum, tempore quovis <I>ABrL,</I> de$cribit $patium <I>Blr,</I> & tempore <I>LrtN</I> $patium <I>rlnt. Q.E.D.</I> Et $imilis e$t demon$tratio motus expo$iti in a$cen$u. <I>Q.E.D.</I> <p><I>Corol.</I> 1. Igitur velocitas maxima, quam corpus cadendo pote$t acquirere, e$t ad velocitatem dato quovis tempore acqui$itam, u<*> vis data gravitatis qua perpetuo urgetur, ad vim re$i$tentiæ qua i<*> fine temporis illius impeditur. <p><I>Corol.</I> 2. Tempore autem aucto in progre$$ione Arithmetica, $umm<*> velocitatis illius maximæ ac velocitatis in a$cen$u (atque etiam earun dem differentia in de$cen$u) decre$cit in progre$$ione Geometrica. <p><I>Corol.</I> 3. Sed & differentiæ $patiorum, quæ in æqualibus tempo rum differentiis de$cribuntur, decre$cunt in eadem progre$$ion Geometrica. <pb n=215> <p><I>Corol.</I> 4. Spatium vero a corpore de$criptum differentia e$t duo- <MARG>LIBER SECUNDUS.</MARG> rum $patiorum, quorum alterum e$t ut tempus $umptum ab initio de$cen$us, & alterum ut velocitas, quæ etiam ip$o de$cen$us initio æquantur inter $e. <C>PROPOSITIO IV. PROBLEMA II.</C> <p><I>Po$ito quod vis gravitatis in Medio aliquo $imilari uniformis $it, ac tendat perpendiculariter ad planum Horizontis; definire mo- tum Projectilis in eodem, re$i$tentiam velocitati proportionalem patientis.</I> <p>Eloco quovis <I>D</I> egrediatur Pro- <FIG> jectile $ecundum lineam quam- vis rectam <I>DP,</I> & per longitu- dinem <I>DP</I> exponatur eju$dem velocitas $ub initio motus. A puncto <I>P</I> ad lineam Horizonta- lem <I>DC</I> demittatur perpendi- culum <I>PC,</I> & $ecetur <I>DC</I> in <I>A</I> ut $it <I>DA</I> ad <I>AC</I> ut re$i$tentia Medii, ex motu in altitudinem $ub initio orta, ad vim gravi- tatis; vel (quod perinde e$t) ut $it rectangulum $ub <I>DA</I> & <I>DP</I> ad rectangulum $ub <I>AC</I> & <I>CP</I> ut re$i$tentia tota $ub initio mo- tus ad vim gravitatis. A$ymptotis <I>DC, CP,</I> de$cribatur Hyperbo- la quævis <I>GTBS</I> $ecans perpen- dicula <I>DG, AB</I> in <I>G</I> & <I>B</I>; & compleatur parallelogrammum <I>DGKC,</I> cujus latus <I>GK</I> $ecet <I>AB</I> in <I>Q.</I> Capiatur linea N in ratione ad <I>QB</I> qua <I>DC</I> $it ad <I>CP</I>; & ad rectæ <I>DC</I> pun- ctum quodvis <I>R</I> erecto perpen- diculo <I>RT,</I> quod Hyperbolæ in <I>T,</I> & rectis <I>EH, GK, DP</I> in <I>I, t</I> & <I>V</I> occurrat; in eo cape <I>Vr</I> æqualem (<I>tGT</I>/N), vel quod per- <pb n=216> <MARG>DE MOTU CORPORUN</MARG> inde e$t, cape <I>Rr</I> æqualem (<I>GTIE</I>/N); & Projectile tempore <I>DRTG</I> perveniet ad punctum <I>r,</I> de$cribens curvam lineam <I>DraF,</I> quam punctum <I>r</I> $emper tangit, perveniens autem ad maximam altitudi- nem <I>a</I> in perpendiculo <I>AB,</I> & po$tea $emper appropinquans ad A- $ymptoton <I>PLC.</I> E$tque velocitas ejus in puncto quovis <I>r</I> ut Cur- væ Tangens <I>rL. Q. E. I.</I> <p>E$t enim N ad <I>QB</I> ut <I>DC</I> ad <I>CP</I> $eu <I>DR</I> ad <I>RV,</I> adeoque <I>RV</I> æqualis (<I>DRXQB</I>/N), & <I>Rr</I> (id e$t <I>RV-Vr</I> $eu (<I>DRXQB-tGT</I>/N)) æqualis (<I>DRXAB-RDGT</I>/N). Exponatur jam tempus per are- am <I>RDGT,</I> & (per Legum <FIG> Corol. 2.) di$tinguatur motus corporis in duos, unum a$cen- $us, alterum ad latus. Et cum re$i$tentia $it ut motus, di$tin- guetur etiam hæc in partes duas partibus motus proportionales & contrarias: ideoque longitu- do, a motu ad latus de$cripta, e- rit (per Prop. 11. hujus) ut linea <I>DR,</I> altitudo vero (per Prop. 111. hujus) ut area <I>DRXAB -RDGT,</I> hoc e$t, ut linea <I>Rr.</I> Ip$o autem motus initio area <I>RDGT</I> æqualis e$t rectangulo <I>DRXAQ,</I> ideoque linea illa <I>Rr</I> ($eu (<I>DRXAB-DRXAQ</I>/N)) tunc e$t ad <I>DR</I> ut <I>AB-AQ</I> $eu <I>QB</I> ad N, id e$t, ut <I>CP</I> ad <I>DC</I>; atque adeo ut motus in altitudinem ad motum in longitudinem $ub initio. Cum igitur <I>Rr</I> $emper $it ut altitu- do, ac <I>DR</I> $emper ut longi- tudo, atque <I>Rr</I> ad <I>DR</I> $ub initio ut altitudo ad longitudinem: nece$$e e$t ut <I>Rr</I> $emper $it ad <I>DR</I> ut altitudo ad longitudinem, & propterea ut corpus movea- tur in linea <I>DraF,</I> quam punctum <I>r</I> perpetuo tangit. <I>Q.E.D.</I> <pb n=217> <p><I>Corol.</I> 1. E$t igitur <I>Rr</I> æqualis (<I>DRXAB</I>/N)-(<I>RDGT</I>/N), ideoque <MARG>LIBER SECUNDUS.</MARG> $i producatur <I>RT</I> ad <I>X</I> ut $it <I>RX</I> æqualis (<I>DRXAB</I>/N), (id e$t, $i compleatur parallelogrammum <I>ACPY,</I> jungatur <I>DY</I> $ecans <I>CP</I> in <I>Z,</I> & producatur <I>RT</I> donec occurrat <I>DY</I> in <I>X</I>;) erit <I>Xr</I> æqua- lis (<I>RDGT</I>/N), & propterea tempori proportionalis. <p><I>Corol.</I> 2. Unde $i capiantur innumeræ <I>CR</I> vel, quod perinde e$t, innumeræ Z<I>X,</I> in progre$$ione Geometrica; erunt totidem <I>Xr</I> in progre$$ione Arithmetica. Et hinc Curva <I>DraF</I> per tabulam Lo- garithmorum facile delineatur. <p><I>Corol.</I> 3. Si vertice <I>D,</I> diametro <I>DE</I> deor$um producta, & La- tere recto quod $it ad 2<I>DP</I> ut re$i$tentia tota, ip$o motus initio, ad vim gravitatis, Parabola con$truatur: velocitas quacum corpus exire debet de loco <I>D</I> $ecundum rectam <I>DP,</I> ut in Medio uni- formi re$i$tente de$cribat Curvam <I>DraF,</I> ea ip$a erit quacum ex- ire debet de eodem loco <I>D,</I> $ecundum eandem rectam <I>DP,</I> ut in $patio non re$i$tente de$cribat Parabolam. Nam Latus re- ctum Parabolæ hujus, ip$o motus initio, e$t (<I>DVquad./Vr</I>) & <I>Vr</I> e$t (<I>tGT</I>/N) $eu (<I>DRXTt</I>/2N). Recta autem quæ, $i duceretur, Hy- perbolam <I>GTB</I> tangeret in <I>G,</I> parallela e$t ip$i <I>DK,</I> ideoque <I>Tt</I> e$t (<I>CKXDR/DC</I>) & N erat (<I>QBXDC/CP</I>). Et propterea <I>Vr</I> e$t (<I>DRqXCKXCP/2DCqXQB</I>), id e$t, (ob proportionales <I>DR</I> & <I>DC, DV</I> & <I>DP</I>) (<I>DVqXCKXCP/2DPqXQB</I>), & Latus rectum (<I>DVquad./Vr</I>) prodit (2<I>DPqXQB/CKXCP</I>), id e$t (ob proportionales <I>QB</I> & <I>CK, DA</I> & <I>AC</I>) (2<I>DPqXDA/ACXCP</I>), adeoque ad 2 <I>DP,</I> ut <I>DPXDA</I> ad <I>CPXAC</I>; hoc e$t, ut re$i$tentia ad gravitatem. <I>Q.E.D.</I> <p><I>Corol.</I> 4. Unde $i corpus de loco quovis <I>D,</I> data cum velocitate, $ecundum rectam quamvis po$itione datam <I>DP</I> projiciatur; & re- $i$tentia Medii ip$o motus initio detur: inveniri pote$t Curva <I>DraF,</I> quam corpus idem de$cribet. Nam ex data velocitate <pb n=218> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> datur latus rectum Parabolæ, ut notum e$t. Et $umendo 2<I>DP</I> ad latus illud rectum, ut e$t vis gravitatis ad vim re$i$tentiæ, datur <I>DP.</I> Dein $ecando <I>DC</I> in <I>A,</I> ut $it <I>CPXAC</I> ad <I>DPXDA</I> in eadem illa rati- one gravitatis ad re$i$tentiam, dabitur punctum <I>A.</I> Et inde datur Curva <I>DraF.</I> <p><I>Corol.</I> 5. Et contra, $i datur <FIG> Curva <I>DraF,</I> dabitur & ve- locitas corporis & re$i$tentia Medii in locis fingulis <I>r.</I> Nam ex data ratione <I>CPXAC</I> ad <I>DPXDA,</I> datur tum re$i$ten- tia Medii $ub initio motus, tum latus rectum Parabolæ: & inde datur etiam velocitas $ub initio motus. Deinde ex longitudine tangentis <I>rL,</I> datur & huic proportionalis velocitas, & ve- locitati proportionalis re$i$ten- tia in loco quovis <I>r.</I> <p><I>Corol.</I> 6. Cum autem longitu- do <*><I>DP</I> $it ad latus rectum Parabolæ ut gravitas ad re$i$tentiam in <I>D</I>; & ex aucta velocitate angeatur re$i$tentia in eadem ratione, at latus rectum Parabolæ au- geatur in ratione illa duplicata: patet longitudinem 2<I>DP</I> augeri in ratione illa $implici, adeoque velocitati $emper proportionalem e$$e, neque ex angulo <I>CDP</I> mutato augeri vel minui, ni$i mu- tetur quoque velocitas. <p><I>Corol.</I> 7. Unde liquet methodus determinandi Curvam <I>DraF</I> ex Phænomenis quamproxime, & inde colligendi re$i$tentiam & velocitatem quacum corpus projicitur. Projiciantur corpora duo $imilia & æqualia eadem cum veloci<*>, de loco <I>D,</I> $ecundum angulos diver$os <I>GDP, cD<*></I> (mino$<*> literarum locis fub- intellectis) & cogno$ca<*> loc<*> <I>F, f,</I> abi incidunt in horizontale pl<*>um <I>DC.</I> Tum, a$$u<*> <*>unque longitudine pro <I>D<*></I> vel <I>Dp,</I> fingatur q<*>od re$<*> in <I>D</I> $<*>ad gravit<*>em in ra- <pb n=219> tione qualibet, & exponatur ratio illa per longitudinem quamvis <MARG>LIBER SECUNDUS.</MARG> <I>SM.</I> Deinde per computationem, ex longitudine illa a$$umpta <I>DP,</I> inveniantur longitudines <I>DF, Df,</I> ac de ratione (<I>Ef/DF</I>) per calculum inventa, auferatur ratio eadem <FIG> per expe<*> inve<*>ta, & exp<*>tur differentia per perpendiculum <I>MN.</I> Idem fac iterum ac tertio, a$$umendo $emper novam re$i$tentiæ ad gravitatem rationem <I>SM,</I> & colligendo novam differentiam <I>MN.</I> Ducantur autem differentiæ affirmativæ ad unam partem rectæ <I>SM,</I> & negativæ ad alteram; & per puncta <I>N, N, N</I> agatur ourva regularis <I>NNN</I> $ecans rectam <I>SMMM</I> in <I>X,</I> & erit <I>SX</I> vera ratio re$i$tentiæ ad gravitatem, quam invenire oportuit. Ex hac ratione colligenda e$t longitudo <I>DF</I> per calculum; & longi- tudo quæ $it ad a$$umptam longitudinem <I>DP,</I> at longitudo <I>DF</I> per experimentum cognita ad longitudinem <I>DF</I> modo inventam, erit vera longitudo <I>DP.</I> Qua inventa, habetur tum Curva linea <I>DraF</I> quam corpus de$cribit, tum corporis velocitas & re$i$ten- tia in locis $ingulis. <C><I>Scholium.</I></C> <p>Cæterum, re$i$tentiam corporum e$$e in ratione velocitatis<*> Hy- pothe$is e$t magis Mathematica quam Naturalis<*> Obtinet hæc ra- tio quamproxime ubi corpora in Mediis rigore aliquo præditis tar- di$$ime moventur. In Mediis antem quæ rigore omni vacant re- $i$tentiæ corporum $unt in duplicata ratione velocitatum. Etenim actione corporis velocioris communicatur eidem Medii quantitati, tempore minore, motus major in ratione majoris velocitatis; ad- eoque tempore æquali (ob majorem Medii quantitatem perturba- tam) communicatur motus in duplicata ratione major; e$t que re- $i$tentia (per motus Legem II & III) ut motus communicatus. Videamus igitur quades oriantur motus ex hac lege Re$i$tentiæ. <pb n=220> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> <C>SECTIO II.</C> <C><I>De motu Corporum quibus re$i$titur in duplicata ra- tione Velocitatum.</I></C> <C>PROPOSITIO V. THEOREMA III.</C> <p><I>Si Corpori re$i$iitur in velocitatis ratione duplicata, & idem $ola vi in$ita per Medium $imilare movetur; tempora vero $uman- tur in progre$$ione Geometrica a minoribus terminis ad majores pergente: dico quod velocitates initio $ingulorum temporum $unt in eadem progre$$ione Geometrica inver$e, & quod $patia $unt æqualia quæ $ingulis temporibus de$cribuntur.</I> <p>Nam quoniam quadrato velocita- <FIG> tis proportionalis e$t re$i$tentia Me- dii, & re$i$tentiæ proportionale e$t decrementum velocitatis; $i tempus in particulas innumeras æquales divi- datur, quadrata velocitatum $ingulis temporum initiis erunt velocitatum earundem differentiis proportionalia. Sunto temporis particulæ illæ <I>AK, KL, LM,</I> &c. in recta <I>CD</I> $umptæ, & erigantur perpendicula <I>AB, Kk, Ll, Mm,</I> &c. Hyperbolæ <I>BklmG,</I> centro <I>C</I> A$ymptotis rectangulis <I>CD, CH</I> de$criptæ, occurrentia in <I>B, k, t, m,</I> &c. & erit <I>AB</I> ad <I>Kk</I> ut <I>CK</I> ad <I>CA,</I> & divi$im <I>AB-Kk</I> ad <I>Kk</I> ut <I>AK</I> ad <I>CA,</I> & vici$$im <I>AB-Kk</I> ad <I>AK</I> ut <I>Kk</I> ad <I>CA,</I> adeoque ut <I>ABXKk</I> ad <I>ABXCA.</I> Unde, cum <I>AK</I> & <I>ABXCA</I> dentur, erit <I>AB-Kk</I> ut <I>ABXKk</I>; & ultimo, ubi coeunt <I>AB</I> & <I>Kk,</I> ut <I>ABq.</I> Et $imili argumento erunt <I>Kk-Ll, Ll-Mm,</I> &c. ut <I>Kkq, Llq,</I> &c. Linearum igitur <I>AB, Kk, Ll, Mm</I> <pb n=221> quadrata $unt ut earundem differentiæ; & idcirco cum quadrata ve- <MARG>LIBER SECUNDUS.</MARG> locitatum fuerint etiam ut ip$arum differentiæ, $imilis erit amba- rum progre$$io. Quo demon$trato, con$equens e$t etiam ut areæ his lineis de$criptæ $int in progre$$ione con$imili cum $patiis quæ velocitatibus de$cribuntur. Ergo $i velocitas initio primi tempo- ris <I>AK</I> exponatur per lineam <I>AB,</I> & velocitas initio $ecundi <I>KL</I> per lineam <I>Kk,</I> & longitudo primo tempore de$cripta per aream <I>AKkB</I>; velocitates omnes $ub$equentes exponentur per lineas $ub$equentes <I>Ll, Mm,</I> &c. & longitudines de$criptæ per areas <I>Kl, Lm,</I> &c. Et compo$ite, $i tempus totum exponatur per $um- mam partium $uarum <I>AM,</I> longitudo tota de$cripta exponetur per $ummam partium $uarum <I>AMmB.</I> Concipe jam tempus <I>AM</I> ita dividi in partes <I>AK, KL, LM,</I> &c. ut $int <I>CA, CK, CL, CM,</I> &c. in progre$$ione Geometrica; & erunt partes illæ in eadem pro- gre$$ione, & velocitates <I>AB, Kk, Ll, Mm,</I> &c. in progre$$ione ea- dem inver$a, atque $patia de$cripta <I>Ak, Kl, Lm,</I> &c. æqualia. <I>Q.E.D.</I> <p><I>Corol.</I> 1. Pater ergo quod, $i tempus exponatur per A$ymptoti partem quamvis <I>AD,</I> & velocitas in principio temporis per ordi- natim applicatam <I>AB</I>; velocitas in fine temporis exponetur per ordinatam <I>DG,</I> & $patium totum de$criptum per aream Hyper- bolicam adjacentem <I>ABGD</I>; necnon $patium quod corpus ali- quod eodem tempore <I>AD,</I> velocitate prima <I>AB,</I> in Medio non re$i$tente de$cribere po$$et, per rectangulum <I>ABXAD.</I> <p><I>Corol.</I> 2. Unde datur $patium in Medio re$i$tente de$criptum, ca- piendo illud ad $patium quod velocitate uniformi <I>AB</I> in medio non re$i$tente $imul de$cribi po$$et, ut e$t area Hyperbolica <I>ABGD</I> ad rectangulum <I>ABXAD.</I> <p><I>Corol.</I> 3. Datur etiam re$i$tentia Medii, $tatuendo eam ip$o mo- tus initio æqualem e$$e vi uniformi centripetæ, quæ in cadente cor- pore, tempore <I>AC,</I> in Medio non re$i$tente, generare po$$et velo- citatem <I>AB.</I> Nam $i ducatur <I>BT</I> quæ tangat Hyperbolam in <I>B,</I> & occurrat A$ymptoto in <I>T</I>; recta <I>AT</I> æqualis erit ip$i <I>AC,</I> & tempus exponet quo re$i$tentia prima uniformiter continuata tolle- re po$$et velocitatem totam <I>AB.</I> <p><I>Corol</I> 4. Et inde datur etiam proportio hujus re$i$tentiæ ad vim gravitatis, aliamve quamvis datam vim centripetam. <p><I>Corol.</I> 5. Et vicever$a, $i datur proportio re$i$tentiæ ad datam quamvis vim centripetam; datur tempus <I>AC,</I> quo vis centripeta re$i$tentiæ æqualis generare po$$it velocitatem quamvis <I>AB</I>; & in- <pb n=222> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> de datur punctum <I>B</I> per quod Hyperbola, A$ymptoris <I>CH, CD,</I> de$cribi debet; ut & $patium <I>ABGD,</I> quod corpus incipiende motum $uum cum v<*>citate illa <I>AB,</I> tempore quovis <I>AD,</I> in Me- dio $imilari re$i$tente de$cribere pote$t. <C>PROPOSITIO VI. THEOREMA IV.</C> <p><I>Corpora Spherica homogemea & æqualia, re$i$tentiis in duplicata ratione velocitatum impodita, & $olis viribus in$itis incitata, temporibus quæ $unt reciproce ut velocitates $ub initio, de$cri- bunt $emper æqualia $patia, & annittunt partes velocitatuns pro- pertionales totis.</I> <p>A$ymptotis rectangulis <I>CD, <FIG> CH</I> de$cripta Hyperbola qua- vis <I>BbEe</I> $ecante perpendicula <I>AB, ab, DE, de,</I> in <I>B, b, E, e,</I> exponantur velocitates initi- ales per perpendicula <I>AB, DE,</I> & tempora per lineas <I>Aa, Dd.</I> E$t ergo ut <I>Aa</I> ad <I>Dd</I> ita (per Hypothe$in) <I>DE</I> ad <I>AB,</I> & ita (ex natura Hy- perbolæ) <I>CA</I> ad <I>CD</I>; & com- ponendo, ita <I>Ca</I> ad <I>Cd.</I> Ergo areæ <I>ABba, DEed,</I> hoc e$t, $patia de$cripta æquamtur inter $e, & velocitates primæ <I>AB, DE</I> $unt ultimis <I>ab, de,</I> & propterea (dividendo) partibus etiam $uis ami$$is <I>AB-ab, DE-de</I> pro- portionales. <I>Q.E.D.</I> <C>PROPOSITIO VII. THEOREMA V.</C> <p><I>Corpora Sphærica quibus re$i$titur in duplicata ratione velocitatum, temporibus quæ $unt ut motus primi directe & re$i$tentiæ pri- mæ inver$e, ainittent partes motuum proportionales totis, & $patia de$cribent temporibus i$tis in velocitates primas ductis proportionalia.</I> <p>Namque motuum partes ami$$æ $unt ut re$i$tentiæ & tempora <pb n=223> conjunctim. Igitur ut partes illæ $int totis proportionales, debe- <MARG>LIBER SECUNDUS.</MARG> bit re$i$tentia & tempus conjunctim e$$e ut motus. Proinde tem- pus erit ut motus directe & re$i$tentia inver$e. Quare temporam particulis in ea ratione $umptis, corpora amittem $emper parti- culas motuum proportionales totis, adeoque retinebunt velocita- tes in ratione prima. Et ob datam velocitatum rationem, de$cri- bent $emper $patia quæ $unt ut velocitates primæ & tempora con- junctim. <I>Q.E.D.</I> <p><I>Corol.</I> 1. Igitur $i æquivelocibus corporibus re$i$titur in duplicata ratione diametrorum: Globi homogenei quibu$cunque cum velocita- tibus moti, de$cribendo $patia diametris $uis proportionalia, amit- tent partes motuum proportionales totis. Motus enim Globi cu- ju$que erit ut ejus velocitas & Ma$$a conjunctim, id e$t, ut veloci- tas & cubus diametri; re$i$tentia (per Hypothe$in) erit ut quadra- tum diametri & quadratum velocitatis conjunctim; & tempus (per hanc Propo$itionem) e$t in ratione priore directe & ratione po$te- riore inver$e, id e$t, ut diameter directe & velocitas inver$e; ad- eoque $patium (tempori & velocitati proportionale) e$t ut dia- meter. <p><I>Corol.</I> 2. Si æquivelocibus corporibus re$i$titur in ratione $e$quial- tera diametrorum: Globi homogenei quibu$cunque cum velocitati- bus moti, de$cribendo $patia in $e$quialtera ratione diametrorum, amittent partes motuum proportionales totis. <p><I>Corol.</I> 3. Et univer$aliter, $i æquivelocibus corporibus re$i$titur in ratione dignitatis cuju$cunque diametrorum: $patia quibus Globi homogenei, quibu$cunque cum velocitatibus moti, amittent partes motuum proportionales totis, erunt ut cubi diametrorum ad digni- tatem illam applicati. Sunto diametri D & E; & $i re$i$tentiæ, ubi velocitates æquales ponuntur, $int ut D<SUP><I>n</I></SUP> & E<SUP><I>n</I></SUP>: $putia quibus Globi quibu$cunque cum velocitatibus moti, amitteus partes mo- tuum proportionales totis, erunt ut D<SUP>3-<I>n</I></SUP> & E<SUP>3-<I>n</I></SUP>. Igitur de$cri- bendo $patia ip$is D<SUP>3-<I>n</I></SUP> & E<SUP>3-<I>n</I></SUP> proportionalia, retinebunt veloci- tates in eadem ratione ad invicem ac $ub initio. <p><I>Corol.</I> 4. Quod $i Globi non $int homogenei, $patium a Globo den$iore de$eriptum augeri debet in ratione den$itatis. Motus enim, $ub pari velocitare, major e$t in ratione den$itatis, & tempus (per lianc Propo$itionem) augetur in ratione motus directe, ac $patium de$criptum in ratione temporis. <pb n=224> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> <p><I>Corol.</I> 5. Et $i Globi moveantur in Mediis diver$is; $patium in Medio, quod cæteris paribus magis re$i$tit, diminuendum erit in ratione majoris re$i$tentiæ. Tempus enim (per hanc Propo$itio- nem) diminuetur in ratione re$i$tentiæ auctæ, & $patium in ra- tione temporis. <C>LEMMA II.</C> <p><I>Momentum Genitæ æquatur Momentis laterum $ingulorum gene- rantium in eorundem laterum indices dignitatum & coefficien- tia continue ductis.</I> <p>Genitam voco quantitatem omnem quæ ex lateribus vel termi- nis quibu$cunque, in Arithmetica per multiplicationem, divi$ionem, & extractionem radicum; in Geometria per inventionem vel con- tentorum & laterum, vel extremarum & mediarum proportionalium, ab$que additione & $ubductione generatur. Eju$modi quantita- tes $unt Facti, Quoti, Radices, Rectangula, Quadrata, Cubi, Latera quadrata, Latera cubica, & $imiles. Has quantitates ut indeterminatas & in$tabiles, & qua$i motu fluxuve perpetuo cre$centes vel decre- $centes, hic con$idero; & earum incrementa vel decrementa momen- tanea $ub nomine Momentorum intelligo: ita ut incrementa pro momentis addititiis $eu affirmativis, ac decrementa pro $ubductitiis $eu negativis habeantur. Cave tamen intellexeris particulas fini- tas. Particulæ finitæ non $unt momenta, $ed quantitates ip$æ ex momentis genitæ. Intelligenda $unt principia jamjam na$centia fi- nitarum magnitudinum. Neque enim $pectatur in hoc Lemmate magnitudo momentorum, $ed prima na$centium proportio. Eo- dem recidit $i loco momentorum u$urpentur vel velocitates incre- mentorum ac decrementorum, (quas etiam motus, mutationes & fluxiones quantitatum nominare licet) vel finitæ quævis quanti- tates velocitatibus hi$ce proportionales. Lateris autem cuju$que generantis Coefficiens e$t quantitas, quæ oritur applicando Geni- tam ad hoc latus. <p>Igitur $en$us Lemmatis e$t, ut, $i quantitatum quarumcunque perpetuo motu cre$centium vel decre$centium A, B, C, &c. mo- menta, vel mutationum velocitates dicantur <I>a, b, c,</I> &c. momentum vel mutatio geniti rectanguli AB fuerit <I>a</I>B+<I>b</I>A, & geniti con- tenti ABC momentum fuerit <I>a</I>BC+<I>b</I>AC+<I>c</I>AB: & genitarum <pb n=225> dignitatum A<SUP>3</SUP>, A<SUP>3</SUP>, A<SUP>4</SUP>, A<SUP>1/2</SUP>, A<SUP>1/3</SUP>, A<SUP>1/3</SUP>, A<SUP>2/3</SUP>, A<SUP>-1</SUP>, A<SUP>-2</SUP>, & A<SUP>-1/2</SUP> momenta <MARG>LIBER SECUNDUS.</MARG> 2<I>a</I>A, 3<I>a</I>A<SUP>2</SUP>, 4<I>a</I>A<SUP>3</SUP>, 1/2<I>a</I>A<SUP>-1/2</SUP>, 3/2<I>a</I>A<SUP>1/2</SUP>, 1/3<I>a</I>A<SUP>-2/3</SUP>, 2/3<I>a</I>A<SUP>-1/3</SUP>, -<I>a</I>A<SUP>-2</SUP>, -2<I>a</I>A<SUP>-3</SUP>, & -1/2<I>a</I>A<SUP>-1/2</SUP> re$pective. Et generaliter, ut dignitatis cuju$cunque A<SUP><I>n/m</I></SUP> momentum fuerit <I>n/m a</I>A<SUP>(<I>n-m/m</I>)</SUP>. Item ut Genitæ A<SUP>2</SUP>B momentum fuerit 2<I>a</I>AB+<I>b</I>A<SUP>2</SUP>; & Genitæ A<SUP>3</SUP>B<SUP>4</SUP>C<SUP>2</SUP> momen- tum 3<I>a</I>A<SUP>2</SUP>B<SUP>4</SUP>C<SUP>2</SUP>+4<I>b</I>A<SUP>3</SUP>B<SUP>3</SUP>C<SUP>2</SUP>+2<I>c</I>A<SUP>3</SUP>B<SUP>4</SUP>C; & Genitæ (A<SUP>3</SUP>/B<SUP>2</SUP>) $i- ve A<SUP>3</SUP>B<SUP>-2</SUP> momentum 3<I>a</I>A<SUP>2</SUP>B<SUP>-2</SUP>-2<I>b</I>A<SUP>3</SUP>B<SUP>-3</SUP>: & $ic in cæteris. Demon$tratur vero Lemma in hunc modum. <p><I>Cas.</I> 1. Rectangulum quodvis motu perpetuo auctum AB, ubi de lateribus A & B deerant momentorum dimidia 1/2<I>a</I> & 1/2<I>b,</I> fuit A-1/2<I>a</I> in B-1/2<I>b,</I> $eu AB-1/2<I>a</I> B-1/2<I>b</I> A+1/4<I>ab</I>; & quam pri- mum latera A & B alteris momentorum dimidiis aucta $unt, eva- dit A+1/2<I>a</I> in B+1/2<I>b</I> $eu AB+1/2<I>a</I> B+1/2<I>b</I> A+1/4<I>ab.</I> De hoc rectan- gulo $ubducatur rectangulum prius, & manebit exce$$us <I>a</I>B+<I>b</I>A. Igitur laterum incrementis totis <I>a</I> & <I>b</I> generatur rectanguli incre- mentum <I>a</I>B+<I>b</I>A. <I>Q.E.D.</I> <p><I>Cas.</I> 2. Ponatur AB $emper æquale G, & contenti ABC $eu GC momentum (per Cas. 1.) erit <I>g</I>C+<I>c</I>G, id e$t ($i pro G & <I>g</I> $cribantur AB & <I>a</I>B+<I>b</I>A) <I>a</I>BC+<I>b</I>AC+<I>c</I>AB. Et par e$t ra- tio contenti $ub lateribus quotcunque. <I>Q.E.D.</I> <p><I>Cas.</I> 3. Ponantur latera A, B, C $ibi mutuo $emper æqualia; & ip$ius A<SUP>2</SUP>, id e$t rectanguli AB, momentum <I>a</I>B+<I>b</I>A erit 2<I>a</I>A, ip- $ius autem A<SUP>3</SUP>, id e$t contenti ABC, momentum <I>a</I>BC+<I>b</I>AC +<I>c</I>AB erit 3<I>a</I>A<SUP>2</SUP>. Et eodem argumento momentum dignitatis cuju$cunque A<SUP><I>n</I></SUP> e$t <I>na</I>A<SUP><I>n</I>-1.</SUP> <I>Q.E.D.</I> <p><I>Cas.</I> 4. Unde cum 1/A in A $it 1, momentum ip$ius 1/A ductum in A, una cum 1/A ducto in <I>a</I> erit momentum ip$ius 1, id e$t, ni- hil. Proinde momentum ip$ius 1/A $eu ip$ius A<SUP>-1</SUP> e$t (-<I>a</I>/A<SUP>2</SUP>). Et ge- neraliter cum (1/A<SUP><I>n</I></SUP>) in A<SUP><I>n</I></SUP> $it 1, momentum ip$ius (1/A<SUP><I>n</I></SUP>) ductum in A<*> <pb n=226> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> una cum (1/A<SUP><I>n</I></SUP>) in <I>na</I>A<SUP><I>n</I>-1</SUP> erit nihil. Et propterea momentum ip- $ius (1/A<SUP><I>n</I></SUP>) $eu A<SUP>-<I>n</I></SUP> erit-(<I>na</I>/A<SUP><I>n</I></SUP>+1). <I>Q.ED.</I> <p><I>Cas.</I> 5. Et cum A<SUP>1/2</SUP> in A<SUP>1/2</SUP> $it A, momentum ip$ius A<SUP>1/2</SUP> ductum in 2A<SUP>1/2</SUP> erit <I>a,</I> per Cas. 3: ideoque momentum ip$ius A<SUP>1/2</SUP> erit (<I>a</I>/2A 1/2) $ive 1/2<I>a</I>A<SUP>-1/2</SUP>. Et generaliter $i ponatur A<SUP><I>m/n</I></SUP> æquale B, erit A<SUP><I>m</I></SUP> æ- quale B<SUP><I>n</I></SUP>, ideoque <I>ma</I>A<SUP><I>m</I>-1</SUP> æquale <I>nb</I>B<SUP><I>n</I>-1,</SUP> & <I>ma</I>A<SUP>-1</SUP> æqua- le <I>nb</I>B<SUP>-1</SUP> $eu <I>nb</I>A<SUP>-<I>m/n</I></SUP>, adeoque <I>m/n a</I>A<SUP>(<I>m-n/n</I>)</SUP> æquale <I>b,</I> id e$t, æquale momento ip$ius A<SUP><I>m/n</I></SUP>, <I>Q.E.D.</I> <p><I>Cas.</I> 6. Igitur Genitæ cuju$eunque A<SUP><I>m</I></SUP>B<SUP><I>n</I></SUP> momentum e$t mo- mentum ip$ius A<SUP><I>m</I></SUP> ductum in B<SUP><I>n</I></SUP>, una cum momento ip$ius B<SUP><I>n</I></SUP> du- cto in A<SUP><I>m</I></SUP>, id e$t <I>ma</I>A<SUP><I>m</I>-1</SUP>B<SUP><I>n</I></SUP>+<I>nb</I>B<SUP><I>n</I>-1</SUP>A<SUP><I>m</I></SUP>; idque $ive dignita- tum indices <I>m</I> & <I>n</I> $int integri numeri vel fracti, $ive affirmati- vi vel negativi. Et par e$t ratio contenti $ub pluribus dignitati- bus. <I>Q.E.D.</I> <p><I>Corol.</I> 1. Hinc in continue proportionalibus, $i terminus unus datur, momenta terminorum reliquorum erunt ut iidem termini multiplicati per numerum intervallorum inter ip$os & terminum datum. Sunto A, B, C, D, E, F continue proportionales; & $i detur terminus C, momenta reliquorum terminorum erunt inter $e ut-2A, -B, D, 2E, 3F. <p><I>Corol.</I> 2. Et $i in quatuor proportionalibus duæ mediæ dentur, momenta extremarum erunt ut eædem extremæ. Idem intelligen- dum e$t de lateribus rectanguli cuju$cunque dati. <p><I>Corol.</I> 3. Et $i $umma vel differentia duorum quadratorum detur, momenta laterum erunt reciproce ut latera. <C><I>Scholium.</I></C> <p>In literis quæ mihi cum Geometra periti$$imo <I>G.G. Leibnitio</I> an- nis abhinc decem intercedebant, cum $ignificarem me compotem e$$e methodi determinandi Maximas & Minimas, ducendi Tangen- tes, & $imilia peragendi, quæ in terminis $urdis æque ac in ratio- nalibus procederet, & literis tran$po$itis hanc $ententiam involven- <pb n=227> tibus [<I>Data Æquatione quotcunque Fluentes quantitates invelven-</I> <MARG>LIBER SECUNDUS.</MARG> <I>te, Fluxiones invenire, & vice ver$a</I>] eandem celarem: re$crip$it Vir Clari$$imus $e quoque in eju$modi methodum incidi$$e, & me- thodum $uam communicavit a mea vix abludentem præterquam in verborum & notarum formulis, & Idea generationis quantitatum. Utriu$que fundamentum continetur in hoc Lemmate. <C>PROPOSITIO VIII. THEOREMA VI.</C> <p><I>Si corpus in Medio uniformi, Gravitate uniformiter agente, recta a$cendat vel de$cendat, & $patium totum de$criptum di$tingua- tur in partes æquales, inque principiis $ingularum partium (addendo refi$tentiam Medii ad vim gravitatis, quando cor- pus a$cendit, vel $ubducendo ip$am quando corpus de$cendit) colligantur vires ab$olutæ; dico quod vires illæ ab$olutæ $unt in progre$$ione Geometrica.</I> <p>Exponatur enim vis gravitatis per datam lineam <I>AC</I>; re$i$ten- tia per lineam indefinitam <I>AK</I>; vis ab$oluta in de$cen$u corporis per differentiam <I>KC</I>; velocitas corporis per lineam <I>AP</I> (quæ $it media proportionalis inter <I>AK</I> & <I>AC,</I> ideoque in $ubduplicata ratione re$i$tentiæ;) incrementum re$i$tentiæ data temporis particu- la factum per lineolam <I>KL,</I> & contemporaneum velocitatis incre- mentum per lineolam <I>PQ</I>; & centro <I>C</I> A$ymptotis rectangulis <I>CA, CH</I> de$cribatur Hyperbola quævis <I>BNS,</I> erectis perpendi- culis <I>AB, KN, LO, PR, QS</I> occurrens in <I>B, N, O, R, S.</I> Quo- niam <I>AK</I> e$t ut <I>APq,</I> erit hujus momentum <I>KL</I> ut illius mo- mentum 2<I>APQ,</I> id e$t, ut <I>AP</I> in <I>KC.</I> Nam velocitatis incre- mentum <I>PQ,</I> (per motus Leg.11.) proportionale e$t vi generanti <I>KC.</I> Componatur ratio ip$ius <I>KL</I> cum rationc ip$ius <I>KN,</I> & fiet rect- angulum <I>KLXKN</I> ut <I>APXKCXKN</I>; hoc e$t, ob datum rect- angulum <I>KCXKN,</I> ut <I>AP.</I> Atqui areæ Hyperbolicæ <I>KNOL</I> ad rectangulum <I>KLXKN</I> ratio ultima, ubi coeunt puncta <I>K</I> & <I>L,</I> e$t æqualitatis. Ergo area illa Hyperbolica evane$cens e$t ut <I>AP.</I> Componitur igitur area tota Hyperbolica <I>ABOL</I> ex particulis <I>KNOL</I> velocitati <I>AP</I> $emper proportionalibus, & propterea $patio velocitate i$ta de$cripto proportionalis e$t. Dividatur jam area illa in partes æquales <I>ABMI, IMNK, KNOL,</I> &c. & vi- <pb n=228> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> res ab$olutæ <I>AC, IC, KC, LC,</I> &c. erunt in progre$$ione Geo- metrica. <I>Q.E.D.</I> Et $imili argumento, in a$cen$u corporis, $u- mendo, ad contrariam partem puncti <I>A,</I> æquales areas <I>ABmi, imnk, knol,</I> &c. con$tabit quod vires ab$olutæ <I>AC, iC, kC, lC,</I> &c. $unt continue proportionales. Ideoque $i $patia omnia in a$cen$u & de$cen$u capiantur æqualia; omnes vires ab$olutæ <I>lC, kC, iC, AC, IC, KC, LC,</I> &c. erunt continue proportionales. <I>Q.E.D.</I> <FIG> <p><I>Corol.</I> 1. Hinc $i $patium de$criptum exponatur per aream Hy- perbolicam <I>ABNK</I>; exponi po$$unt vis gravitatis, velocitas cor- poris & re$i$tentia Medii per lineas <I>AC, AP</I> & <I>AK</I> re$pective; & vice ver$a. <p><I>Corol.</I> 2. Et velocitatis maximæ, quam corpus in infinitum de$cen- dendo pote$t unquam acquirere, exponens e$t linea <I>AC.</I> <p><I>Corol.</I> 3. Igitur $i in data aliqua velocitate cogno$catur re$i$ten- tia Medii, invenietur velocitas maxima, $umendo ip$am ad veloci- <pb n=229> tatem illam datam in $ubduplicata ratione, quam habet vis Gravi- <MARG>LIBER SECUMDUS.</MARG> tatis ad Medii re$i$tentiam illam cognitam. <C>PROPOSITIO IX. THEOREMA VII.</C> <p><I>Po$itis jam demon$tratis, dico quod $i Tangentes angulorum $ecto ris Circularis & $ectoris Hyperbolici $umantur velocitatibus proportionales, exi$tente radio ju$tæ magnitudinis: erit tempus omne a$cen$us futuri ut $ector Circuli, & tempus omne de$cen- $us præteriti ut $ector Hyperbolæ.</I> <p>Rectæ <I>AC,</I> qua vis gravitatis exponitur, perpendicularis & æ- qualis ducatur <I>AD.</I> Centro <I>D</I> $emidiametro <I>AD</I> de$cribatur tum Circuli quadrans <I>AtE,</I> tum Hyperbola rectangula <I>AVZ</I> axem habens <I>AX,</I> verticem principalem <I>A</I> & A$ymptoton <I>DC.</I> Jun- gantur <I>Dp, DP,</I> & erit $ector Circularis <I>AtD</I> ut tempus a$cen$us omnis futuri; & $ector Hyperbolicus <I>ATD</I> ut tempus de$cen$us omnis præteriti. Si modo $ectorum Tangentes <I>Ap, AP</I> $int ut velocitates. <p><I>Cas.</I> 1. Agatur enim <I>Dvq</I> ab$cindens $ectoris <I>ADt</I> & trian- guli <I>ADp</I> momenta, $eu particulas quam minimas $imul de$crip- tas <I>tDv</I> & <I>pDq.</I> Cum particulæ illæ, ob angulum commu- nem <I>D,</I> $unt in duplicata ratione laterum, erit particula <I>tDv</I> ut (<I>qDp/pDquad</I>). Sed <I>pDquad.</I> e$t <I>ADquad+Apquad.</I> id e$t, <I>ADquad+ADXAk</I> $eu <I>ADXCk</I>; & <I>qDp</I> e$t 1/2 <I>ADXpq.</I> Ergo $ectoris particula <I>tDv</I> e$t ut (<I>pq/Ck</I>), id e$t, ut velocitatis de- crementum quam minimum <I>pq</I> directe & vis illa <I>Ck</I> quæ velo- citatem diminuit inver$e, atque adeo ut particula temporis decre- mento re$pondens. Et componendo fit $umma particularum om- nium <I>tDv</I> in $ectore <I>ADt,</I> ut $umma particularum temporis $ingulis velocitatis decre$centis <I>Ap</I> particulis ami$$is <I>pq</I> re$pon- dentium, u$que dum velocitas illa in nihilum diminuta eva- nuerit; hoc e$t, $ector totus <I>ADt</I> e$t ut a$cen$us totius futuri tempus. <I>Q.E.D.</I> <pb n=230> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> <p><I>Cas.</I> 2. Agatur <I>DQV</I> ab$cindens tum $ectoris <I>DAV,</I> tum tri- anguli <I>DAQ</I> particulas quam minimas <I>TDV</I> & <I>PDQ</I>; & e- runt hæ particulæ ad invicem ut <I>DTq.</I> ad <I>DPq.</I> id e$t ($i <I>TX</I> & <I>AP</I> parallelæ $int) ut <I>DXq.</I> ad <I>DAq.</I> vel <I>TXq.</I> ad <I>APq.</I> & divi$im ut <I>DXq-TXq</I> ad <I>DAq-APq.</I> Sed ex natura Hyperbolæ <I>DXq-TXq</I> e$t <I>ADq,</I> & per Hypothe$in <I>APq</I> e$t <I>ADXAK.</I> Ergo particulæ $unt ad invicem ut <I>ADq</I> ad <FIG> <I>ADq-ADXAK</I>; id e$t, ut <I>AD</I> ad <I>AD-AK</I> $eu <I>AC</I> ad <I>CK:</I> ideoque $ectoris particula <I>TDV</I> e$t (<I>PDQXAC/CK</I>), atque adeo ob datas <I>AC</I> & <I>AD,</I> ut (<I>PQ/CK</I>), id e$t, ut incrementum velocitatis directe utque vis generans incrementum inver$e, atque adeo ut par- ticula temporis incremento re$pondens. Et componendo $it $um ma particularum temporis, quibus omnes velocitatis <I>AP</I> particulæ <pb n=231> <I>PQ</I> generantur, ut $umma particularum $ectoris <I>ATD,</I> id e$t, <MARG>LIBER SECUNDUS.</MARG> tempus totum ut $ector totus. <I>Q.E.D.</I> <p><I>Corol.</I> 1. Hinc $i <I>AB</I> æquetur quartæ parti ip$ius <I>AC,</I> $patium quod corpus tempore quovis cadendo de$cribit, erit ad $patium quod corpus velocitate maxima <I>AC,</I> eodem tempore uniformiter progrediendo de$cribere pote$t, ut area <I>ABNK,</I> qua $patium cadendo de$criptum exponitur, ad aream <I>ATD</I> qua tempus ex- ponitur. Nam cum $it <I>AC</I> ad <I>AP</I> ut <I>AP</I> ad <I>AK,</I> erit (per Corol. 1, Lem. 11 hujus) <I>LK</I> ad <I>PQ</I> ut 2<I>AK</I> ad <I>AP,</I> hoc e$t, ut 2<I>AP</I> ad <I>AC,</I> & inde <I>LK</I> ad 1/2<I>PQ</I> ut <I>AP</I> ad (1/4<I>AC</I> vel) <I>AB</I>; e$t & <I>KN</I> ad (<I>AC</I> vel) <I>AD</I> ut <I>AB</I> ad <I>CK</I>; itaque ex æquo <I>LKN</I> ad <I>DPQ</I> ut <I>AP</I> ad <I>CK.</I> Sed erat <I>DPQ</I> ad <I>DTV</I> ut <I>CK</I> ad <I>AC.</I> Ergo rur$us ex æquo <I>LKN</I> e$t ad <I>DTV</I> ut <I>AP</I> ad <I>AC</I>; hoc e$t, ut velocitas corporis cadentis ad veloci- tatem maximam quam corpus cadendo pote$t acquirere. Cum igitur arearum <I>ABNK</I> & <I>ATD</I> momenta <I>LKN</I> & <I>DTV</I> $unt ut velocitates, erunt arearum illarum partes omnes $imul genitæ ut $patia $imul de$cripta, ideoque areæ totæ ab initio genitæ <I>ABNK</I> & <I>ATD</I> ut $patia tota ab initio de$cen$us de- $cripta. <I>Q.E.D.</I> <p><I>Corol.</I> 2. Idem con$equitur etiam de $patio quod in a$cen$u de- $cribitur. Nimirum quod $patium illud omne $it ad $patium, uni- formi cum velocitate <I>AC</I> eodem tempore de$criptum, ut e$t area <I>ABnk</I> ad $ectorem <I>ADt.</I> <p><I>Corol.</I> 3. Velocitas corporis tempore <I>ATD</I> cadentis e$t ad ve- locitatem, quam eodem tempore in $patio non re$i$tente acquire- ret, ut triangulum <I>APD</I> ad $ectorem Hyperbolicum <I>ATD.</I> Nam velocitas in Medio non re$i$tente foret ut tempus <I>ATD,</I> & in Medio re$i$tente e$t ut <I>AP,</I> id e$t, ut triangulum <I>APD.</I> Et velocitates illæ initio de$cen$us æquantur inter $e, perinde ut areæ illæ <I>ATD, APD.</I> <p><I>Corol.</I> 4. Eodem argumento velocitas in a$cen$u e$t ad velocita- tem, qua corpus eodem tempore in $patio non re$i$tente omnem $uum a$cendendi motum amittere po$$et, ut triangulum <I>ApD</I> ad $ectorem Circularem <I>AtD</I>; $ive ut recta <I>Ap</I> ad arcum <I>At.</I> <p><I>Corol.</I> 5. E$t igitur tempus quo corpus in Medio re$i$tente caden- do velocitatem <I>AP</I> acquirit, ad tempus quo velocitatem maximam <I>AC</I> in $patio non re$i$tente cadendo acquirere po$$et, ut $ector <I>ADT</I> ad triangulum <I>ADC</I>: & tempus, quo velocitatem <I>Ap</I> in <pb n=232> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> Medio re$i$tente a$cendendo po$$it amittere, ad tempus quo velo- citatem eandem in $patio non re$i$tente a$cendendo po$$et amit- tere, ut arcus <I>At</I> ad ejus tangentem <I>Ap.</I> <p><I>Corol.</I> 6. Hinc ex dato tempore datur $patium a$cen$u vel de- $cen$u de$criptum. Nam corporis in infinitum de$cendentis datur velocitas maxima, per Corol. 2, & 3, Theor. VI, Lib. 11; indeque datur tempus quo corpus velocitatem illam in $patio non re$i$tente cadendo po$$et acquirere. Et $umendo Sectorem <I>ADT</I> vel <I>ADt</I> ad triangulum <I>ADC</I> in ratione temporis dati ad tempus modo inventum; dabitur tum velocitas <I>AP</I> vel <I>Ap,</I> tum area <I>ABNK</I> vel <I>ABnk,</I> quæ e$t ad $ectorem <I>ADT</I> vel <I>ADt</I> ut $patium quæ- $itum ad $patium quod tempore dato, cum velocitate illa maxima jam ante inventa, uni$ormiter de$cribi pote$t. <p><I>Corol.</I> 7. Et regrediendo, ex dato a$cen$us vel de$cen$us $patio <I>ABnk</I> vel <I>ABNK,</I> dabitur tempus <I>ADt</I> vel <I>ADT.</I> <C>PROPOSITIO X. PROBLEMA III.</C> <p><I>Tendat uniformis vis gravitatis directe ad planum Horizontis, $itque re$i$tentia ut Medii den$itas & quadratum velocitatis conjunctim: requiritur tum Medii den$itas in locis $ingulis, quæ faciat ut corpus in data quavis linea curva moveatur, tum corporis velocitas & Medii re$i$tentia in locis $ingulis.</I> <p>Sit <I>PQ</I> planum illud pla- <FIG> no Schematis perpendicu- lare; <I>PFHQ</I> linea curva plano huic occurrens in punctis <I>P</I> & <I>Q; G, H, I, K</I> loca quatuor corporis in hac curva ab <I>F</I> ad <I>Q</I> pergentis; & <I>GB, HC, ID, KE</I> or- dinatæ quatuor parallelæ ab his punctis ad horizontem demi$$æ & lineæ horizontali <I>PQ</I> ad puncta <I>B, C, D, E</I> in$i$ten- tes; & $int <I>BC, CD, DE</I> di$tantiæ Ordinatarum inter $e æqua- les. A punctis <I>G</I> & <I>H</I> ducantur rectæ <I>GL, HN</I> curvam tan- gentes in <I>G</I> & <I>H,</I> & Ordinatis <I>CH, DI</I> $ur$um productis occur- rentes in <I>L</I> & <I>N,</I> & compleatur parallelogrammum <I>HCDM.</I> <pb n=233> Et tempora quibus corpus de$cribit arcus <I>GH, HI,</I> erunt in <MARG>LIBER SECUNDUS</MARG> $ubduplicata ratione altitudinum <I>LH, NI</I> quas corpus tempo- ribus illis de$cribere po$$et, a tangentibus cadendo: & velocitates erunt ut longitudines de$criptæ <I>GH, HI</I> directe & tempora in- ver$e. Exponantur tempora per T & <I>t,</I> & velocitates per (<I>GH</I>/T) & (<I>HI/t</I>): & decrementum velocitatis tempore <I>t</I> factum ex- ponetur per (<I>GH</I>/T)-(<I>HI/t</I>). Hoc decrementum oritur a re$i$tentia corpus retardante & gravitate corpus accelerante. Gravitas in corpore cadente & $patium <I>NI</I> cadendo de$cribente, generat ve- locitatem qua duplum illud $patium eodem tempore de$cribi po- tui$$et (ut <I>Galilæus</I> demon$travit) id e$t, velocitatem (2<I>NI/t</I>): at in corpore arcum <I>HI</I> de$cribente, auget arcum illum $ola longi- tudine <I>HI-HN</I> $eu (<I>MIXNI/HI</I>), ideoque generat tantum velo- citatem (2<I>MIXNI/tXHI</I>). Addatur hæc velocitas ad decrementum prædictum, & habebitur decrementum velocitatis ex re$i$tentia $ola oriundum, nempe (<I>GH</I>/T)-<I>(HI/t)+(2MIXNI/tXHI).</I> Proindeque cum gravitas eodem tempore in corpore cadente generet velocitatem (2<I>NI/t</I>); Re$i$tentia erit ad Gravitatem ut (<I>GH</I>/T)-<I>(HI/t)+(2MIXNI/tXHI)</I> ad (<I>2NI/t</I>), $ive ut (<I>tXGH</I>/T)-<I>HI+(2MIXNI/HI)</I> ad 2<I>NI.</I> <p>Jam pro ab$ci$$is <I>CB, CD, CE</I> $cribantur -<I>o, o,</I> 20. Pro Ordinata <I>CH</I> $cribatur P, & pro <I>MI</I> $cribatur $eries quælibet Q<I>o</I>+R<I>oo</I>+S<I>o</I><SUP>3</SUP>+&c. Et $eriei termini omnes po$t primum, nempe R<I>oo</I>+S<I>o</I><SUP>3</SUP>+&c. erunt <I>NI,</I> & Ordinatæ <I>DI, EK,</I> & <I>BG</I> erunt P-Q<I>o</I>-R<I>oo</I>-S<I>o</I><SUP>3</SUP>-&c, P-2Q<I>o</I>-4R<I>oo</I>-8S<I>o</I><SUP>3</SUP>-&c, & P+Q<I>o</I>-R<I>oo</I>+S<I>o</I><SUP>3</SUP>-&c. re$pective. Et quadrando diffe- rentias Ordinatarum <I>BG-CH</I> & <I>CH-DI,</I> & ad quadrata pro- deuntia addendo quadrata ip$arum <I>BC, CD,</I> habebuntur arcuum <I>GH, HI</I> quadrata <I>oo</I>+QQ<I>oo</I>+2QR<I>o</I><SUP>3</SUP>+&c, & <I>oo</I>+QQ<I>oo</I> +2QR<I>o</I> +&c. Quorum radices <I>o</I>√1+QQ-(QR<I>oo</I>/√1+QQ), & <pb n=234> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> <I>o</I>√1+QQ+(QR<I>oo</I>/√1+QQ) $unt arcus <I>GH</I> & <I>HI.</I> Præterea $i ab Ordinata <I>CH</I> $ubducatur $emi$umma Ordinatarum <I>BG</I> ac <I>DI,</I> & ab Ordinata <I>DI</I> $ubducatur $emi$umma Ordinatarum <I>CH</I> & <I>EK,</I> manebunt arcuum <I>GI</I> & <I>HK</I> $agittæ R<I>oo</I> & R<I>oo</I>+3S<I>o</I><SUP>3</SUP>. Et hæ $unt lineolis <I>LH</I> & <I>NI</I> proportionales, adeoque in du- plicata ratione temporum infinite parvorum T & <I>t,</I> & inde ratio <I>t</I>/T e$t √(R+3S<I>o</I>/R) $eu (R+3/2S<I>o</I>/R): & (<I>tXGH</I>/T)-<I>HI+(2MIXNI/HI),</I> $ub$tituendo ip$orum <I>t</I>/T, <I>GH, HI, MI</I> & <I>NI</I> valores jam in- ventos, evadit (3S<I>oo</I>/2R)√1+QQ. Et cum 2<I>NI</I> $it 2R<I>oo,</I> Re- $i$tentia jam erit ad Gravitatem ut (3S<I>oo</I>/2R)√1+QQ ad 2R<I>oo,</I> id e$t, ut 3S√1+QQ ad 4RR. <p>Velocitas autem ea e$t quacum corpus de loco quovis <I>H,</I> $e- cundum tangentem <I>HN</I> egrediens, in Parabola diametrum <I>HC</I> & latus rectum (<I>HNq/NI</I>) $eu (1+QQ/R) habente, deinceps in vacuo moveri pote$t. <p>Et re$i$tentia e$t ut Medii den$itas & quadratum velocitatis conjunctim, & propterea Medii den$itas e$t ut re$i$tentia directe & quadratum velocitatis inver$e, id e$t, ut (3S√1+QQ/4RR) directe & (1+QQ/R) inver$e, hoc e$t, ut (S/R√1+QQ). <I>Q.EI.</I> <p><I>Corol.</I> 1. Si tangens <I>HN</I> producatur utrinque donec occurrat Ordinatæ cuilibet <I>AF</I> in <I>T</I>: erit (<I>HT/AC</I>) æqualis √1+QQ, adeo- que in $uperioribus pro √1+QQ $cribi pote$t. Qua ratione Re$i$tentia erit ad Gravitatem ut 3SX<I>HT</I> ad 4RRX<I>AC,</I> Velo- citas erit ut (<I>HT/AC</I>√R), & Medii den$itas erit ut (SX<I>AC</I>/RX<I>HT</I>). <p><I>Corol.</I> 2. Et hinc, $i Curva linea <I>PFHQ</I> definiatur per rela- tionem inter ba$em $eu ab$ci$$am <I>AC</I> & ordinatim applicatam <pb n=235> <I>CH,</I> (ut moris e$t) & valor ordinatim applicatæ re$olvatur in $e- <MARG>LIBER SECUNDUS.</MARG> riem convergentem: Problema per primos $eriei terminos expe- dite $olvetur, ut in exemplis $equentibus. <p><I>Exempl.</I> 1. Sit Linea <I>PFHQ</I> Semicirculus $uper diametro <I>PQ</I> de$criptus, & requiratur Medii den$itas quæ faciat ut Projectile in hac linea moveatur. <p>Bi$ecetur diameter <I>PQ</I> in <I>A,</I> dic <I>AQ n, AC a, CH e,</I> & <I>CD o</I>: & erit <I>DIq</I> $eu <I>AQq-ADq=nn-aa-2ao-oo,</I> $eu <I>ee-2ao-oo,</I> & radice per methodum no$tram extracta, fiet <I>DI=e-(ao/e)-(oo/2e)-(aaoo/2e<SUP>3</SUP>)-(ao<SUP>3</SUP>/2e<SUP>3</SUP>)-(a<SUP>3</SUP>o<SUP>3</SUP>/2e<SUP>3</SUP>)</I>-&c. Hic $cribatur <I>nn</I> pro <I>ee+aa,</I> & evadet <I>DI=e-(ao/e)-(nnoo/2e<SUP>3</SUP>)-(anno<SUP>3</SUP>/2e<SUP>3</SUP>)</I>-&c. <p>Huju$modi $eries di$tinguo in terminos $ucce$$ivos in hunc mo- dum. Terminum primum appello in quo quantitas infinite par- va <I>o</I> non extat; $ecundum in quo quantitas illa e$t unius dimen- $ionis, tertium in quo extat <FIG> duarum, quartum in quo trium e$t, & $ic in infini- tum. Et primus terminus qui hic e$t <I>e,</I> denotabit $em- per longitudinem Ordinatæ <I>CH</I> in$i$tentis ad initium indefinitæ quantitatis <I>o</I>; $e- cundus terminus qui hic e$t (<I>ao/e</I>), denotabit differentiam inter <I>CH</I> & <I>DN,</I> id e$t, lineolam <I>MN</I> quæ ab$cinditur com- plendo parallelogrammum <I>HCDM,</I> atque adeo po$itionem tan- gentis <I>HN</I> $emper determinat: ut in hoc ca$u capiendo <I>MN</I> ad <I>HM</I> ut e$t (<I>ao/e</I>) ad <I>o,</I> $eu <I>a</I> ad <I>e.</I> Terminus tertius qui hic e$t (<I>nnoo/2e<SUP>3</SUP></I>) de$ignabit lineolam <I>IN</I> quæ jacet inter tangentem & cur- vam, adeoque determinat angulum contactus <I>IHN</I> $eu curvatu- ram quam curva linea habet in <I>H.</I> Si lineola illa <I>IN</I> finitæ e$t magnitudinis, de$ignabitur per terminum tertium una cum $e- quentibus in infinitum. At $i lineola illa minuatur in infinitum, <pb n=236> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> termini $ub$equentes evadent infinite minores tertio, ideoque neg- ligi po$$unt. Terminus quartus determinat variationem curva- turæ, quintus variationem variationis, & $ic deinceps. Unde obi- ter patet u$us non contemnendus harum Serierum in $olutione Problematum quæ pendent a tangentibus & curvatura curvarum. <p>Conferatur jam $eries <I>e-(ao/e)-(nnoo/2e<SUP>3</SUP>)-(anno<SUP>3</SUP>/2e<SUP>5</SUP>)</I>-&c, cum $erie P-Q<I>o</I>-R<I>oo</I>-S<I>o</I><SUP>3</SUP>-&c. & perinde pro P, Q, R & S $cribatur <I>e, (a/e), (nn/2e<SUP>3</SUP>)</I> & (<I>ann/2e<SUP>5</SUP></I>), & pro √1+QQ $cribatur √1+(<I>aa/ee</I>) $eu <I>n/e,</I> & prodibit Medii den$itas ut (<I>a/ne</I>), hoc e$t, (ob datam <I>n,</I>) ut <I>a/e,</I> $eu (<I>AC/CH</I>), id e$t, ut tangentis longitudo illa <I>HT</I> quæ ad $emidiame- trum <I>AF</I> ip$i <I>PQ</I> normaliter in$i$tentem terminatur: & re$i$ten- tia erit ad gravitatem ut 3<I>a</I> ad 2<I>n,</I> id e$t, ut 3 <I>AC</I> ad Circuli diametrum <I>PQ</I>: velocitas autem erit ut √<I>CH.</I> Quare $i corpus ju$ta cum velocitate $ecundum lineam ip$i <I>PQ</I> parallelam exeat de loco <I>F,</I> & Medii den$itas in $ingulis locis <I>H</I> $it ut longi- tudo tangentis <I>HT,</I> & re$i$tentia etiam in loco aliquo <I>H</I> $it ad vim gravitatis ut 3 <I>AC</I> ad <I>PQ,</I> corpus illud de$cribet Circuli quadrantem <I>FHQ. Q.E.I.</I> <p>At $i corpus idem de loco <I>P,</I> $ecundum lineam ip$i <I>PQ</I> per- pendicularem egrederetur, & in arcu $emicirculi <I>PFQ</I> moveri inciperet, $umenda e$$et <I>AC</I> $eu <I>a</I> ad contrarias partes centri <I>A,</I> & propterea $ignum ejus mutandum e$$et & $cribendum -<I>a</I> pro +<I>a.</I> Quo pacto prodiret Medii den$itas ut -<I>a/e</I>. Negativam autem den$itatem, hoc e$t, quæ motus corporum accelerat, Na- tura non admittit: & propterea naturaliter fieri non pote$t, ut corpus a$cendendo a <I>P</I> de$cribat Circuli quadrantem <I>PF.</I> Ad hunc effectum deberet corpus a Medio impellente accelerari, non a re$i$tente impediri. <p><I>Exempl.</I> 2. Sit linea <I>PFHQ</I> Parabola, axem habens <I>AF</I> ho- rizonti <I>PQ</I> perpendicularem, & requiratur Medii den$itas quæ faciat ut Projectile in ip$a moveatur. <p>Ex natura Parabolæ, rectangulum <I>PDQ</I> æquale e$t rectan- gulo $ub ordinata <I>DI</I> & recta aliqua data: hoc e$t, $i dicantur <pb n=237> recta illa <I>b, PC a, PQ c, CH e</I> & <I>CD o</I>; rectangulum <I>a+o</I> <MARG>LIBER SECUNDUS.</MARG> in <I>c-a-o</I> $eu <I>ac-aa-2ao+co-oo</I> æquale e$t rectangulo <I>b</I> in <I>DI,</I> adeoque <I>DI</I> æquale <I>(ac-aa/b)+(c-2a/b)o-(oo/b).</I> Jam $cri- bendus e$$et hujus $eriei $ecundus terminus <I>(c-2a/b)o</I> pro Q<I>o,</I> ter- tius item terminus (<I>oo/b</I>) pro R<I>oo.</I> Cum vero plures non $int ter- mini, debebit quarti coefficiens S evane$cere, & propterea quan- titas (S/R√1+QQ) cui Medii den$itas proportionalis e$t, nihil erit. Nulla igitur Medii den$itate movebitur Projectile in Para- bola, uti olim demon$travit <I>Galilæus, Q.E.I.</I> <p><I>Exempl.</I> 3. Sit linea <I>AGK</I> Hyperbola, A$ymptoton habens <I>NX</I> plano horizontali <I>AK</I> perpendicularem; & quæratur Medii den$itas quæ faciat ut Projectile moveatur in hac linea. <p>Sit <I>MX</I> A$ymptotos altera, ordinatim applicatæ <I>DG</I> productæ occurrens in <I>V,</I> & ex natura Hyperbolæ, rectangulum <I>XV</I> in <I>VG</I> dabitur. Datur autem ratio <I>DN</I> ad <I>VX,</I> & propterea datur etiam rectangulum <I>DN</I> in <I>VG.</I> Sit illud <I>bb</I>; & completo parallelogrammo <I>DNXZ,</I> dicatur <I>BN a, BD o, NX c,</I> & ratio data <I>VZ</I> ad <I>ZX</I> vel <I>DN</I> ponatur e$$e <I>m/n</I>. Et erit <I>DN</I> æqualis <I>a-o, VG</I> æqualis <I>(bb/a-o), VZ</I> æqualis <I>m/n―a-o,</I> & <I>GD</I> $eu <I>NX-VZ-VG</I> æ- qualis <I>c-m/n a+m/n o-(bb/a-o).</I> Re$olvatur terminus (<I>bb/a-o</I>) in $eriem convergentem <I>(bb/a)+(bb/aa)o+(bb/a<SUP>3</SUP>)oo+(bb/a<SUP>4</SUP>)o<SUP>3</SUP></I> &c. & $iet <I>GD</I> æqua- lis <I>c-m/n a-(bb/a)+m/n o-(bb/aa)o-(bb/a<SUP>3</SUP>)o<SUP>2</SUP>-(bb/a<SUP>4</SUP>)o<SUP>3</SUP></I> &c. Hujus $eriei termi- nus $ecundus <I>m/no-(bb/aa)o</I> u$urpandus e$t pro Q<I>o,</I> tertius cum $igno mutato <I>(bb/a<SUP>3</SUP>)o<SUP>2</SUP></I> pro R<I>o</I><SUP>2</SUP>, & quartus cum $igno etiam mutato <I>(bb/a<SUP>4</SUP>)o<SUP>1</SUP></I> pro S<I>o</I><SUP>3</SUP>, eorumque coefficientes <I>m/n-(bb/aa), (bb/a<SUP>3</SUP>)</I> & (<I>bb/a<SUP>4</SUP></I>) $cribendæ $unt in Regula $uperiore, pro Q, R & S. Quo facto prodit medii den$itas <pb n=238> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> ut (<I>(bb/a<SUP>4</SUP>)/(bb/a<SUP>3</SUP>)√1+(mm/nn)-(2mbb/naa)+(b<SUP>4</SUP>/a<SUP>4</SUP>)</I>) $eu (1/<I>√aa+(mm/nn)aa-(2mbb/n)+(b<SUP>4</SUP>/aa)</I>) id e$t, $i in <I>VZ</I> $umatur <I>VY</I> æqualis <I>VG,</I> ut (1/<I>XY</I>). Namque <I>aa</I> & <I>(mm/nn)aa-(2mbb/n)+(b<SUP>4</SUP>/aa)</I> $unt ip$arum <I>XZ</I> & <I>ZY</I> quadrata. Re$i$ten- tia autem invenitur in ratione ad gravitatem quam habet 3 <I>XY</I> ad <FIG> 2<I>YG</I> & velocitas ea e$t quacum corpus in Parabola pergeret verti- cem <I>G,</I> diametrum <I>DG,</I> & latus rectum (<I>XYquad./VG</I>) habente. Pona- tur itaque quod Medii den$itates in locis $ingulis <I>G</I> $int reciproce ut di$tantiæ <I>XY,</I> quodque re$i$tentia in loco aliquo <I>G</I> $it ad gra- vitatem ut 3<I>XY</I> ad 2<I>YG</I>; & corpus de loco <I>A,</I> ju$ta cum veloci- tate emi$$um, de$cribet Hyperbolam illam <I>AGK. Q.E.I.</I> <p><I>Exempl.</I> 4. Ponatur indefinite, quod linea <I>AGK</I> Hyperbola $it, centro <I>X</I> A$ymptotis <I>MX, NX</I> ea lege de$cripta, ut con$tructo rectangulo <I>XZDN</I> cujus latus <I>ZD</I> $ecet Hyperbolam in <I>G</I> & <pb n=239> A$ymptoton ejus in <I>V,</I> fuerit <I>VG</I> reciproce ut ip$ius <I>ZX</I> vel <I>DN</I> <MARG>LIBER SECUNDUS.</MARG> dignitas aliqua <I>DN<SUP>n</SUP>,</I> cujus index e$t numerus <I>n</I>: & quæratur Medii den$itas, qua Projectile progrediatur in hac curva. <p>Pro <I>BN, BD, NX</I> $cribantur A, O, C re$pective, $itque <I>VZ</I> ad <I>XZ</I> vel <I>DN</I> ut <I>d</I> ad <I>e,</I> & <I>VG</I> æqualis (<I>bb/DN<SUP>n</SUP></I>), & erit <I>DN</I> æqua- lis A-O, <I>VG</I>=(<I>bb</I>/―<SUP><I>n</I></SUP>A-O), <I>VZ</I>=<I>d/e</I>―A-O, & <I>GD</I> $eu <I>NX-VZ -VG</I> æqualis C-<I>d/e</I>A+<I>d/e</I>O-(<I>bb</I>/―<SUP><I>n</I></SUP>A-O). Re$olvatur terminus ille (<I>bb</I>/―<SUP><I>n</I></SUP>A-O) in $eriem infinitam (<I>bb</I>/A<SUP><I>n</I></SUP>)+(<I>nbb</I>/A<SUP><I>n</I>+1</SUP>)O+(<I>nn+n</I>/2A<SUP><I>n</I>+2</SUP>)<I>bb</I>O<SUP>2</SUP>+ (<I>n<SUP>3</SUP>+3nn+2n</I>/6A<SUP><I>n</I>+3</SUP>)<I>bb</I>O<SUP>3</SUP> &c. ac fiet <I>GD</I> æqualis C-<I>d/e</I>A-(<I>bb</I>/A<SUP><I>n</I></SUP>)+ <I>d/e</I>O-(<I>nbb</I>/A<SUP><I>n</I>+1</SUP>)O-(<I>+nn+n</I>/2A<SUP><I>n</I>+2</SUP>)<I>bb</I>O<SUP>2</SUP>-(<I>+n<SUP>3</SUP>+3nn+2n</I>/6A<SUP><I>n</I>+3</SUP>)<I>bb</I>O<SUP>3</SUP> &c. Hu- jus $eriei terminus $ecundus <I>d/e</I>O-(<I>nbb</I>/A<SUP><I>n</I>+1</SUP>)O u$urpandus e$t pro Q<I>o,</I> tertius (<I>nn+n</I>/2A<SUP><I>n</I>+2</SUP>)<I>bb</I>O<SUP>2</SUP> pro R<I>o</I><SUP>2</SUP>, quartus (<I>n<SUP>3</SUP>+3nn+2n</I>/6A<SUP><I>n</I>+3</SUP>)<I>bb</I>O<SUP>3</SUP> pro S<I>o</I><SUP>3</SUP>. Et inde Medii den$itas (S/R√1+QQ), in loco quovis <I>G,</I> fit (<I>n</I>+2/3√A<SUP>2</SUP>+(<I>dd/ee</I>)A<SUP>2</SUP>-(<I>2dnbb/e</I>A<SUP><I>n</I></SUP>)A+(<I>nnb</I><SUP>4</SUP>/A<SUP>2<I>n</I></SUP>)), adeoque $i in <I>VZ</I> capiatur <I>VY</I> æqualis <I>nXVG,</I> den$itas illa e$t reciproce ut <I>XY.</I> Sunt enim A<SUP>2</SUP> & (<I>dd/ee</I>)A<SUP>3</SUP>-(2<I>dnbb/e</I>A<SUP><I>n</I></SUP>)A+(<I>nnb</I><SUP>4</SUP>/A<SUP>2<I>n</I></SUP>) ip$arum <I>XZ</I> & <I>ZY</I> quadrata. Re$i$ten- tia autem in eodem loco <I>G</I> fit ad gravitatem ut 3S in (<I>XY</I>/A) ad 4RR, id e$t, <I>XY</I> ad (<I>2nn+2n/n+2)VG.</I> Et velocitas ibidem ea ip$a e$t qua- cum corpus projectum in Parabola pergeret, verticem <I>G,</I> diametrum <I>GD</I> & latus rectum (1+QQ/R) $eu (2<I>XYquad./―nn+n</I>in<I>VG</I>) habente. <I>Q.E.I.</I> <pb n=240> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> <C><I>Scholium.</I></C> <p>Eadem ratione qua prodiit den$itas Medii ut (SX<I>AC</I>/RX<I>HT</I>) in Co- rollario primo, $i re$i$tentia ponatur ut velocitatis V dignitas quæ- libet V<SUP><I>n</I></SUP> prodibit den$itas Medii ut (S/R(4-<I>n</I>/2))X(―<I>AC/HT</I>|<SUP><I>n</I>-1.</SUP>) <p>Et propterea $i Curva inveniri pote$t ea lege ut data fuerit ratio (S/R(4-<I>n</I>/2)) ad (―<I>HT/AC</I>|<SUP><I>n</I>-1</SUP>), vel (S<SUP>2</SUP>/R<SUP>4-<I>n</I></SUP>) ad (―1+QQ|<SUP><I>n</I>-1</SUP>): corpus move- bitur in hac Curva in uniformi Medio cum re$i$tentia quæ $it ut velocitatis dignitas V<SUP><I>n</I></SUP>. Sed redeamus ad Curvas $impliciores. <p>Quoniam motus non fit in Parabola ni$i in Medio non re$i$ten- te, in Hyperbolis vero hic de$criptis fit per re$i$tentiam perpetuam; per$picuum e$t quod Linea, quam projectile in Medio uniformiter re$i$tente de$cribit, propius accedit ad Hyperbolas ha$ce quam ad Parabolam. E$t utique linea illa Hyperbolici generis, $ed quæ circa verticem magis di$tat ab A$ymptotis; in partibus a vertice remotioribus propius ad ip$as accedit quam pro ratione Hyper- bolarum quas hic de$crip$i. Tanta vero non e$t inter has & illam differentia, quin illius loco po$$int hæ in rebus practicis non in- commode adhiberi. Et utiliores for$an futuræ $unt hæ, quam Hyperbola magis accurata & $imul magis compo$ita. Ip$æ vero in u$um $ic deducentur. <p>Compleatur parallelogrammum <I>XYGT,</I> & recta <I>GT</I> tanget Hyperbolam in <I>G,</I> ideoque den$itas Medii in <I>G</I> e$t reciproce ut tangens <I>GT,</I> & velocitas ibidem ut √(<I>GTq/GV</I>), re$i$tentia autem ad vim gravitatis ut <I>GT</I> ad <I>(2nn+2n/n+2)GV.</I> <p>Proinde $i corpus de loco <I>A</I> $ecundum rectam <I>AH</I> projectum de$cribat Hyperbolam <I>AGK,</I> & <I>AH</I> producta occurrat A$ymp- toto <I>MX</I> in <I>H,</I> actaque <I>AI</I> eidem parallela occurrat alteri A$ymp- toto <I>MX</I> in <I>I</I>: erit Medii den$itas in <I>A</I> reciproce ut <I>AH,</I> & cor- poris velocitas ut √(<I>AHq/AI</I>), ac re$i$tentia ibidem ad gravitatem ut <I>AH</I> ad (<I>2nn+2n/n+2</I>) in <I>AI.</I> Unde prodeunt $equentes Regulæ. <pb n=241> <p><I>Reg.</I> 1. Si $ervetur tum Medii den$itas in <I>A,</I> tum velocitas qua- <MARG>LIBER SECUNDUS.</MARG> cum corpus projicitur, & mutetur angulus <I>NAH</I>; manebunt lon- gitudines <I>AH, AI, HX.</I> Ideoque $i longitudines illæ in aliquo ca$u inveniantur, Hyperbola deinceps ex dato quovis angulo <I>NAH</I> expedite determinari pote$t. <p><I>Reg.</I> 2. Si $ervetur tum angulus <I>NAH,</I> tum Medii den$itas in <I>A,</I> & mutetur velocitas quacum corpus projicitur; $ervabitur longitudo <I>AH,</I> & mutabitur <I>AI</I> in duplicata ratione velocitatis reciproce. <p><I>Reg.</I> 3. Si tam angulus <I>NAH</I> quam corporis velocitas in <I>A,</I> gravita$que acceleratrix $ervetur, & proportio re$i$tentiæ in <I>A</I> ad <FIG> gravitatem motricem augeatur in ratione quacunque: augebitur proportio <I>AH</I> ad <I>AI</I> in eadem ratione, manente Parabolæ late- re recto, eique proportionali longitudine (<I>AHq/AI</I>); & propterea mi- nuetur <I>AH</I> in eadem ratione, & <I>AI</I> minuetur in ratione illa du- plicata. Augetur vero proportio re$i$tentiæ ad pondus, ubi vel gra- vitas $pecifica $ub æquali magnitudine fit minor, vel Medii den$i- tas major, vel re$i$tentia, ex magnitudine diminuta, diminuitur in minore ratione quam pondus. <pb n=242> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> <p><I>Reg.</I> 4. Quoniam denfitas Medii prope verticem Hyperbolæ major e$t quam in loco <I>A,</I> ut habeatur den$ites mediocris, debet ratio minimæ tangentium <I>GT</I> ad tangentem <I>AH</I> inveniri, & den$itas in <I>A</I> angeri in ratione paudo majore quam $emi$ummæ harum tangentium ad minimam tangentium <I>GT.</I> <p><I>Reg.</I> 5. Si dantur longitudines <I>AH, AI,</I> & de$oribenda $it Figu- ra <I>AGK:</I> produc <I>HN</I> ad <I>X,</I> ut $it <I>HX</I> æqualis facto $ub <I>n</I>+1 & <I>AI</I>; oentroque <I>X</I> & A$ymptotis <I>MX, NX</I> per punctum <I>A</I> de$criba- tur Hyperbola, ea lege, ut $it <I>AI</I> ad quamvis <I>VG</I> ut <I>XV<SUP>n</SUP></I> ad <I>XI<SUP>n</SUP>.</I> <p><I>Reg.</I> 6. Quo major e$t numerus <I>n,</I> eo magis accuratæ $unt hæ Hyperbolæ in a$cen$u corporis ab <I>A,</I> & minus accuratæ in ejus de- $cen$u ad <I>K</I>; & contra. Hyperbola Conica mediocrem rationem tenet, e$t que cæteris $implicior. Igitur $i Hyperbola $it hujus generis, & punctum <I>K,</I> ubi corpus projectum incidet in rectam quamvis <I>AN</I> per punctum <I>A</I> tran$euntem, quæratur: occurrat producta <I>AN</I> A$ymptotis <I>MX, NX</I> in <I>M</I> & <I>N,</I> & $umatur <I>NK</I> ip$i <I>AM</I> æqualis. <p><I>Reg.</I> 7. Et hinc liquet methodus expedita determinandi hanc Hyperbolam ex Phænomenis. Projiciantur corpora duo $imilia & æqualia, eadem velocitate, in angulis diver$is <I>HAK, hAk,</I> inci- dantque in planum Horizontis in <I>K</I> & <I>k</I>; & notetur proportio <I>AK</I> ad <I>Ak.</I> Sit ea <I>d</I> ad <I>e.</I> Tum erecto cuju$vis longitudinis perpen- diculo <I>AI,</I> a$$ume utcunque longitudinem <I>AH</I> vel <I>Ah,</I> & inde collige graphice longitudines <I>AK, Ak,</I> per Reg. 6. Si ratio <I>AK</I> ad <I>Ak</I> $it eadem cum ratione <I>d</I> ad <I>e,</I> longitudo <I>AH</I> recte a$$ump- ta fuit. Sin minus cape in recta infinita <I>SM</I> longitudinem <I>SM</I> æqualem a$$umptæ <I>AH,</I> & erige perpendiculum <I>MN</I> æquale ra- tionum differentiæ <I>(AK/Ak)-d/e</I> ductæ in rectam quamvis datam. Si- mili methodo ex a$$umptis pluribus longitudinibus <I>AH</I> invenien- da $unt plura puncta <I>N,</I> & per omnia a- <FIG> genda Curva linea regularis <I>NNXN,</I> $e- cans rectam <I>SMMM</I> in <I>X.</I> A$lumatur demum <I>AH</I> æqualie ab$ci$$æ <I>SX</I> & inde denuo inveniatur longitudo <I>AK</I>; & lon- gitudines, quæ $int ad a$$umptam longitu- dinem <I>AI</I> & hanc ultimam <I>AH</I> ut longitudo <I>AK</I> per experi- mentum cognita ad ultimo inventam longitudinem <I>AK,</I> erunt veræ illæ longitudines <I>AI</I> & <I>AH,</I> quas invenire oportuit. Hi$ce vero datis dabitur & re$i$tentia Medii in loco <I>A,</I> quippo quæ $it ad vim gravitatis ut <I>AH</I> ad 2<I>AI.</I> Augenda e$t autem den$itas. Medii per Reg. 4; & re$i$tentia modo inventa, $i in eadem ratione augeatur, fiet accuratior. <pb n=243> <p><I>Reg.</I> 8. Inventis longitudinibus <I>AH, HX</I>; $i jam de$ideretur <MARG>LIBER SECUNDUS.</MARG> po$itio rectæ <I>AH,</I> $ecundum quam Projectile, data illa cum veloci- tate emi$$um, incidit in punctum quodvis <I>K:</I> ad puncta <I>A</I> & <I>K</I> erigantur rectæ <I>AC, KF</I> horizonti perpendiculares, quarum <I>AC</I> deor$um tendat, & æquetur ip$i <I>AI</I> $eu 1/2<I>HX.</I> A$ymptotis <I>AK, KF</I> de$cribatur Hyperbola, cujus conjugata tran$eat per punctum <I>C,</I> centroque <I>A</I> & intervallo <I>AH</I> de$cribatur Circulus $ecans Hy- perbolam illam in puncto <I>H;</I> & Projectile $ecundum rectam <I>AH</I> emi$$um incidet in punctum <I>K. Q.E.I.</I> Nam punctum <I>H,</I> ob datam longitudinem <I>AH,</I> locatur alicubi in Circulo de$cripto. A- gatur <I>CH</I> occurrens ip$is <I>AK</I> & <I>KF,</I> illi in <I>E,</I> huic in <I>F;</I> & ob <FIG> parallelas <I>CH, MX</I> & æquales <I>AC, AI,</I> erit <I>AE</I> æqualis <I>AM,</I> & propterea etiam æqualis <I>KN.</I> Sed <I>CE</I> e$t ad <I>AE</I> ut <I>FH</I> ad <I>KN,</I> & propterea <I>CE</I> & <I>FH</I> æquantur. Incidit ergo punctum <I>H</I> in Hyperbolam A$ymptotis <I>AK, KF</I> de$criptam, cujus conju- gata tran$it per punctum <I>C,</I> atque adeo reperitur in communi in- ter$ectione Hyperbolæ hujus & Circuli de$cripti. <I>Q.E.D.</I> No- tandum e$t autem quod hæc operatio perinde $e habet, $ive recta <I>AKN</I> horizonti parallela $it, $ive ad horizontem in angulo quo- vis inclinata: quodque ex duabus inter$ectionibus <I>H, H</I> duo pro- deunt anguli <I>NAH, NAH</I>; & quod in Praxi mechanica $ufficit <pb n=244> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> Circulum $emel de$eribere, deinde regulam interminatam <I>CH</I> ita ap- plicare ad punctum <I>C,</I> ut ejus pars <I>FH,</I> Circulo & rectæ <I>FK</I> interje- cta, æqualis $it ejus parti <I>CE</I> inter punctum <I>C</I> & rectam <I>AK</I> $itæ. <p>Quæ de Hyperbolis dicta $unt fa- <FIG> cile applicantur ad Parabolas. Nam $i <I>XAGK</I> Parabolam de$ignet quam recta <I>XV</I> tangat in vertice <I>X,</I> $intque ordinatim applicatæ <I>IA, VG</I> ut quæ- libet ab$ci$$arum <I>XI, XV</I> dignitates <I>XI<SUP>n</SUP>, XV<SUP>n</SUP>;</I> agantur <I>XT, GT, AH,</I> quarum <I>XT</I> parallela $it <I>VG,</I> & <I>GT, AH</I> Parabolam tangant in <I>G</I> & <I>A:</I> & corpus de loco quovis <I>A,</I> $ecundum rectam <I>AH</I> productam, ju$ta cum velocitate projectum, de$cribet hanc Parabolam, $i modo den$itas Medii, in locis $ingulis <I>G,</I> $it reciproce ut tangens <I>GT.</I> Velocitas autem in <I>G</I> ea erit quacum Projectile per- geret, in $patio non re$i$tente, in Parabola Conica verticem <I>G,</I> dia- metrum <I>VG</I> deor$um productam, & latus rectum (<I>2GTq./nn-nXVG</I>) habente. Et re$i$tentia in <I>G</I> erit ad vim gravitatis ut <I>GT</I> ad <I>(2nn-2n/n-2) VG.</I> Unde $i <I>NAK</I> lineam horizontalem de$ignet, & manente tum den$itate Medii in <I>A,</I> tum velocitate quacum corpus projicitur, mutetur utcunque angulus <I>NAH;</I> manebunt longitu- dines <I>AH, AI, HX,</I> & inde datur Parabolæ vertex <I>X,</I> & po$itio rectæ <I>XI,</I> & $umendo <I>VG</I> ad <I>IA</I> ut <I>XV<SUP>n</SUP></I> ad <I>XI<SUP>n</SUP>,</I> dantur om- nia Parabolæ puncta <I>G,</I> per quæ Projectile tran$ibit. <pb n=245> <MARG>LIBER SECUNDUS.</MARG> <C>SECTIO III.</C> <C><I>De Motu Corporum quibus re$i$titur partim in ratione velocitatis, partim in eju$dem ratione duplicata.</I></C> <C>PROPOSITIO XI. THEOREMA VIII.</C> <p><I>Si Corpori re$i$titur partim in ratione velocitatis, partim in ve- locitatis ratione duplicata, & idem $ola vi in$ita in Medio $i- milari movetur, $umantur autem tempora in progre$$ione Arith- metica: quantitates velocitatibus reciproce proportionales, datâ quadam quantitate auctæ, erunt in progre$$ione Geometriea.</I> <p>Centro <I>C,</I> A$ymptotis rectan- <FIG> gulis <I>CADd</I> & <I>CH,</I> de$cribatur Hyperbola <I>BEeS,</I> & A$ympto- to <I>CH</I> parallelæ $int <I>AB, DE, de.</I> In A$ymptoto <I>CD</I> dentur puncta <I>A, G:</I> Et $i tempus ex- ponatur per aream Hyperbolicam <I>ABED</I> uniformiter cre$centem; dico quod velocitas exponi pote$t per longitudinem <I>DF,</I> cujus reci- proca <I>GD</I> una cum data <I>CG</I> com- ponat longitudinem <I>CD</I> in progre$$ione Geometrica cre$centem. <p>Sit enim areola <I>DEed</I> datum temporis incrementum quam minimum, & erit <I>Dd</I> reciproce ut <I>DE,</I> adeoque directe ut <I>CD.</I> Ip$ius autem (1/<I>G-D</I>) decrementum, quod (per hujus Lem. 11) e$t (<I>Dd/GDq</I>), erit ut (<I>CD/GDq</I>) $eu (<I>CG+GD/GDq</I>), id e$t, ut (1/<I>GD</I>)+(<I>CG/GDq</I>). Igitur tempore <I>ABED</I> peradditionem datarum particularum <I>ED de</I> uniformiter cre$cente, decre$cit (1/<I>GD</I>) in eadem ratione cum veloci- tate. Nam decrementum velocitatis e$t ut re$i$tentia, hoc e$t (per Hypothe$in) ut $umma duarum quantitatum, quarum una e$t ut <pb n=246> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> velocitas, altera ut quadratum velocitatis: & ip$ius (1/<I>GD</I>) decremen- tum e$t ut $umma quantitatum (1/<I>GD</I>) & (<I>CG/GDq</I>), quarum prior e$t ip$a (1/<I>GD</I>), & po$terior (<I>CG/GDq</I>) e$t ut (1/<I>GDq</I>). Proinde (1/<I>GD</I>), ob an- alogum decrementum, e$t ut velocitas. Et $i quantitas <I>GD,</I> ip$i (1/<I>GD</I>) reciproce proportionalis, quantitate data <I>CG</I> augeatur; $umma <I>CD,</I> tempore <I>ABED</I> uniformiter cre$cente, cre$cet in progre$$ione Geometrica. <I>Q.E.D.</I> <p><I>Corol.</I> 1. Igitur. $i, datis punctis <I>A, G,</I> exponatur tempus per aream Hyperbolicam <I>ABED,</I> exponi pote$t velocitas per ip$ius <I>GD</I> reciprocam (1/<I>GD</I>). <p><I>Corol.</I> 2. Sumendo autem <I>GA</I> ad <I>GD</I> ut velocitatis reciproca $ub initio, ad velocitatis reciprocam in fine temporis cuju$vis <I>ABED,</I> invenietur punctum <I>G.</I> Eo autem invento, velocitas ex dato quo- vis alio tempore inveniri pote$t. <C>PROPOSITIO XII. THEOREMA IX.</C> <p><I>Ii$dem po$itis, dico quod $i $patia de$cripta $umantur in progre$$io- ne Arithmetica, velocitates data quadam quantitate auctæ e- runt in progre$$ione Geometrica.</I> <p>In A$ymptoto <I>CD</I> detur pun- <FIG> ctum <I>R,</I> & erecto perpendiculo <I>RS,</I> quod occurrat Hyperbolæ in <I>S,</I> ex- ponatur de$criptum $patium per a- ream Hyperbolicam <I>RSED</I>; & velocitas erit ut longitudo <I>GD,</I> quæ cum data <I>CG</I> componit longi- tudinem <I>CD,</I> in progre$$ione Geo- metrica decre$centem, interea dum $patium <I>RSED</I> augetur in Arith- metica. <p>Etenim ob datum $patii incrementum <I>EDde,</I> lineola <I>Dd,</I> quæ <pb n=247> decrementum e$t ip$ius <I>GD,</I> erit reclproce ut <I>ED,</I> adeoque di- <MARG>LIBER SECUNDUS.</MARG> recte ut <I>CD,</I> hoc e$t, ut $umma eju$dom <I>GD</I> & longit udims datæ <I>CG.</I> Sed velocitatis decrementum, tumpore $ibi reciproce pro- portionali, quo data $patii particula <I>D de E</I> de$cribitur, e$t ut re- $i$tentia & tempus conjunctim, id o$t, directe ut $umma duarum quantitatum, quarum una e$t ut velocitas, altera ut velocitatis qua- dratum, & inver$e ut velocitas; adeoque directe ut $umma duarum quantitatum, quarum una datur, altora e$t ut velocitas. Igitur de- crementum tam velocitatis quam lineæ <I>GD,</I> e$t ut quantitas data & quantitas decre$cens conjunctim, & propter analoga decremen- ta, analogæ $emper crunt quantitates decre$centes: nimirum veloci- tas & linca <I>G.D. Q.E.D.</I> <p><I>Corol.</I> 1. Igitur $i velocitas exponatur per longitudinem <I>GD,</I> $pa- tium de$criptum erit ut area Hyperbolica <I>DESR.</I> <p><I>Corol.</I> 2. Et $i utcunque a$$umatur punctum <I>R,</I> invenietur pun- ctum <I>G,</I> capiendo <I>GR</I> ad <I>GD,</I> ut e$t velocitas $ab initio ad ve- locitatem po$t $patium quodvis <I>RSED</I> de$criptum. Invento au- tem puncto <I>G,</I> datur $patium ex data velocitate, & contra. <p><I>Corol.</I> 3. Unde cum, per Prop. XI. detur velocitas ex dato rem- pore, & per hanc Propofitionem detur $patium ex data velooitate; dabitur fpatium ex dato tempore: & contra. <C>PROPOSITIO XIII. THE OREMA X.</C> <p><I>Po$ito quod Corpus ab uniformi gravitate deor$um attractum recta: a$cendit vel de$cendit, & quod eidem re$i$titur partim in ra- tione velocitatis, partim in eju$dem ratione daplicata: dico quod $i Circuli & Hyperbolæ diametris parallelæ rectæ per conjuga- tarum diametrorum terminos ducantur, & velocitates $int ut $egmenta quædam parallelarum a dato puncto ducta, Tempora erunt ut arearum Sectores, rectis a centro ad $egmentorum ter- minos ductis ab$ci$$i: & contra.</I> <p><I>Ca$.</I> 1. Ponamus primo quod corpus a$cendit, centroque <I>D</I> & $emidiametro quovis <I>DB</I> de$cribatur Circuli quadrans <I>BETF,</I> & per $omidiametri <I>DB</I> terminum <I>B</I> agatur infinita <I>BAP,</I> $emidia- metro <I>DF</I> parallela. In ea detur punctum <I>A,</I> & capiatur $egmen- tum <I>AP</I> velocitati proportionale. Et cum re$i$tentiæ pars aliqua $it <pb n=248> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> ut velocitas & pars altera ut <FIG> velocitatis quadratum, fit re- $i$tentia tota in <I>P</I> ut <I>AP quad</I> +2 <I>BAP.</I> Jungantur <I>DA, DP</I> Circulum $ecantes in <I>E</I> ac <I>T,</I> & exponatur gravitas per <I>DA quad,</I> ita ut $it gravitas ad re$i$tentiam in <I>P</I> ut <I>DAq</I> ad <I>APq</I>+2<I>BAP:</I> & tempus a$cen$us omnis $uturi erit ut Circuli $ector <I>EDTE.</I> <p>Agatur enim <I>DVQ,</I> ab- $cindens & velocitatis <I>AP</I> momentum <I>PQ,</I> & Sectoris <I>DET</I> momentum <I>DTV</I> da- to temporis momento re$pondens: & velocitatis decrementum il- lud <I>PQ</I> erit ut $umma virium gravitatis <I>DAq</I> & re$i$tentiæ <I>APq</I>+2<I>BAP,</I> id e$t (per Prop. 12, Lib. 2. Elem.) ut <I>DPquad.</I> Proinde area <I>DPQ,</I> ip$i <I>PQ</I> proportionalis, e$t ut <I>DP quad</I>; & area <I>DTV,</I> (quæ e$t ad aream <I>DPQ</I> ut <I>DTq</I> ad <I>DPq</I>) e$t ut datum <I>DTq.</I> Decre$cit igitur area <I>EDT</I> uniformiter ad mo- dum temporis futuri, per $ubductionem datarum particularum <I>DTV,</I> & propterea tempori a$cen$us $uturi proportionalis e$t. <I>Q.E.D.</I> <p><I>Ca$.</I> 2. Si veloci- <FIG> tas in a$cen$u cor- poris exponatur per longitudinem <I>AP</I> ut prius, & re$i$ten- tia ponatur e$$e ut <I>APq</I>+2<I>BAP,</I> & $i vis gravitatis mi- nor $it quam quæ per <I>DAq</I> exponi po$- $it; capiatur <I>BD</I> e- jus longitudinis, ut $it <I>ABq-BDq</I> gravitati proportio- nale, $itque <I>DF</I> ip$i <I>DB</I> perpendicularis & æqualis, & per verticem <I>F</I> de$cribatur Hy- perbola <I>FTVE</I> cujus $emidiametri conjugatæ $int <I>DB</I> & <I>DF,</I> quæque $ecet <I>DA</I> in <I>E,</I> & <I>DP, DQ</I> in <I>T</I> & <I>V</I>; & crit tempus a$cen$us futuri ut Hyperbolæ $ector <I>TDE.</I> <pb n=249> <p>Nam velocitatis decrementum <I>PQ,</I> in data temporis particula <MARG>LIBER SECUNDUS.</MARG> factum, e$t ut $umma re$i$tentiæ <I>APq</I>+2<I>BAP</I> & gravitatis <I>ABq-BDq,</I> id e$t, ut <I>BPq-BDq.</I> E$t autem area <I>DTV</I> ad aream <I>DPQ</I> ut <I>DTq</I> ad <I>DPq</I> adeoque, $i ad <I>DF</I> demitta- tur perpendiculum <I>GT,</I> ut <I>GTq</I> $eu <I>GDq-DFq</I> ad <I>BDq</I> utque <I>GDq</I> ad <I>BPq</I> & divi$im ut <I>DFq</I> ad <I>BPq-BDq.</I> Quare cum area <I>DPQ</I> $it ut <I>PQ,</I> id e$t, ut <I>BPq-BDq</I>; erit area <I>DTV</I> ut datum <I>DFq.</I> Decre$cit igitur area <I>EDT</I> unifor- miter $ingulis temporis particulis æqualibus, per $ubductionem par- ticularum totidem datarum <I>DTV,</I> & propterea tempori propor- tionalis e$t. <I>Q.E.D.</I> <p><I>Ca$.</I> 3. Sit <I>AP</I> velocitas in de$cen$u corporis, & <I>APq+2BAP</I> re$i$tentia, & <I>BDq-ABq</I> vis gravitatis, exi$tente angulo <I>DBA</I> recto. Et $i centro <I>D,</I> vertice <FIG> principali <I>B,</I> de$cribatur Hy- perbola rectangula <I>BETV</I> $ecans productas <I>DA, DP</I> & <I>DQ</I> in <I>E, T</I> & <I>V</I>; erit Hy- perbolæ hujus $ector <I>DET</I> ut tempus de$cen$us. <p>Nam velocitatis increm&etilde;tum <I>PQ,</I> eique proportionalis area <I>DPQ,</I> e$t ut exce$$us gravita- tis $upra re$i$tentiam, id e$t, ut <I>BDq-ABq-2BAP-APq</I> $eu <I>BDq-BPq.</I> Et area <I>DTV</I> e$t ad aream <I>DPQ</I> ut <I>DTq</I> ad <I>DPq,</I> adeoque ut <I>GTq</I> $eu <I>GDq-BDq</I> ad <I>BPq</I> utque <I>GDq</I> ad <I>BDq</I> & divi$im ut <I>BDq</I> ad <I>BDq-BPq.</I> Quare cum area <I>DPQ</I> $it ut <I>BDq-BPq,</I> erit area <I>DTV</I> ut datum <I>BDq.</I> Cre$cit igitur area <I>EDT</I> uniformiter $ingulis temporis particulis æquali- bus, per additionem totidem datarum particularum <I>DTV,</I> & prop- terea tempori de$cen$us proportionalis e$t. <I>Q.E.D.</I> <p><I>Corol.</I> Igitur velocitas <I>AP</I> e$t ad velocitatem quam corpus tem- pore <I>EDT,</I> in $patio non re$i$tente, a$cendendo amittere vel de- $cendendo acquirere po$$et, ut area trianguli <I>DAP</I> ad aream $e- ctoris centro <I>D,</I> radio <I>DA,</I> angulo <I>ADT</I> de$cripti; ideoque ex dato tempore datur. Nam velocitas, in Medio non re$i$tente, tem- <pb n=250> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> pori atque adeo $ectori huic proportionalis e$t; in Medio re$i$ten- te e$t ut triangulum; & in Medio utroque, ubi quam minima e$t, ac- cedit ad rationem æqualitatis, pro more $ectoris & trianguli. <C>PROPOSITIO XIV. THEOREMA XI.</C> <p><I>Ii$dem po$itis, dico quod $patium a$cen$u vel de$cen$u de$criptum, ect ut differentia areæ per quam tempus exponitur, & areæ cu- ju$dam alterius quæ augetur vel diminuitur in progre$$ione A- rithmetica; $i vires ex re$i$tentia & gravitate compo$itæ $u- mantur in progre$$ione Geometrica.</I> <p>Capiatur <I>AC</I> (in Fig. tribus ultimis,) gravitati, & <I>AK</I> re$i- $tentiæ proportionalis. Capiantur autem ad ea$dem partes pun- cti <I>A</I> $i corpus de$cendit, aliter ad contrarias. Erigatur <I>Ab</I> quæ $it ad <I>DB</I> ut <I>DBq</I> ad 4 <I>BAC:</I> & area <I>AbNK</I> augebitur vel diminuetur in progre$$ione Arithmetica, dum vires <I>CK</I> in pro- gre$$ione Geometrica $umuntur. Dico igitur quod di$tantia cor- poris ab ejus altitudine maxima $it ut exce$$us areæ <I>AbNK</I> $upra aream <I>DET.</I> <p>Nam cum <I>AK</I> $it ut re$i$tentia, id e$t, ut <I>APq+2BAP</I>: a$$umatur data quævis quantitas Z, & ponatur <I>AK</I> æqualis (<I>APq+2BAP</I>/Z); & (per hujus Lemma 11.) erit ip$ius <I>AK</I> mo- mentum <I>KL</I> æquale (2<I>APQ+2BAXPQ</I>/Z) $eu (2<I>BPQ</I>/Z), & areæ <I>AbNK</I> momentum <I>KLON</I> æquale (2<I>BPQXLO</I>/Z) $eu (<I>BPQXBD cub.</I>/2ZX<I>CRXAB</I>). <p><I>Ca$.</I> 1. Jam $i corpus a$cendit, $itque gravitas ut <I>ABq+BDq</I> exi$tente <I>BET</I> Circulo, (in Fig. Ca$. 1. Prop. XIII.) linea <I>AC,</I> quæ gravitati proportionalis e$t, erit (<I>ABq+BDq</I>/Z), & <I>DPq</I> $eu <I>APq+2BAP+ABq+BDq</I> erit <I>AK</I>XZ+<I>AC</I>XZ $eu <I>CK</I>XZ; ideoque area <I>DTV</I> erit ad aream <I>DPQ</I> ut <I>DTq</I> vel <I>DBq</I> ad <I>CK</I>XZ. <pb n=251> <p><I>Ca$.</I> 2. Sin corpus a$cendit, & gravitas $it ut <I>ABq-BDq</I> <MARG>LIBER SECUNDUS.</MARG> linea <I>AC</I> (Fig. Ca$. 2. Prop. XIII) erit (<I>ABq-BDq</I>/Z), & <I>DTq</I> erit ad <I>DPq</I> ut <I>DFq</I> $eu <I>DBq</I> ad <I>BPq-BDq</I> $eu <I>APq+ 2BAP+ABq-BDq,</I> id e$t, ad <I>AK</I>XZ+<I>AC</I>XZ $eu <I>CK</I>XZ. Ideoque area <I>DTV</I> erit ad aream <I>DPQ</I> ut <I>DBq</I> ad <I>CK</I>XZ. <p><I>Ca$.</I> 3. Et eodem argumento, $i corpus de$cendit, & propterea gravitas $it ut <I>BDq-ABq,</I> & linea <I>AC</I> (Fig. Ca$.3. Prop. præced.) æquetur (<I>BDq-ABq</I>/Z) erit area <I>DTV</I> ad aream <I>DPQ</I> ut <I>DBq</I> ad <I>CK</I>XZ: ut $upra. <p>Cum igitur areæ illæ $emper $int in hac ratione; $i pro area <I>DTV,</I> qua momentum temporis $ibimet ip$i $emper æquale ex- ponitur, $cribatur determinatum quodvis rectangulum, puta <I>BDXm,</I> erit area <I>DPQ,</I> id e$t, 1/2<I>BDXPQ</I>; ad <I>BDXm</I> ut <I>CK</I>XZ ad <I>BDq.</I> Atque inde fit <I>PQXBD cub.</I> æquale 2<I>BDXmXCK</I>XZ, & areæ <I>AbNK</I> momentum <I>KLON</I> $u- perius inventum, fit (<I>BPXBDXm/AB</I>). Auferatur areæ <I>DET</I> mo- mentum <I>DTV</I> $eu <I>BDXm,</I> & re$tabit (<I>APXBDXm/AB</I>). E$t igi- tur differentia momentorum, id e$t, momentum differentiæ area- rum, æqualis (<I>APXBDXm/AB</I>); & propterea (ob datum (<I>BDXm/AB</I>)) ut velocitas <I>AP,</I> id e$t, ut momentum $patii quod corpus a$cen- dendo vel de$cendendo de$cribit. Ideoque differentia arearum & $patium illud, proportionalibus momentis cre$centia vel decre- $centia & $imul incipientia vel $imul evane$centia, $unt proportio- nalia. <I>Q. E. D.</I> <p><I>Corol.</I> Igitur $i longitudo aliqua V $umatur in ea ratione ad du- plum longitudinis M, quæ oritur applicando aream <I>DET</I> ad <I>BD,</I> quam habet linea <I>DA</I> ad lineam <I>DE</I>; $patium quod corpus a$cen- $u vel de$cen$u toto in Medio re$i$tente de$cribit, erit ad $patium quod in Medio non re$i$tente eodem tempore de$cribere po$$et, ut arearum illarum differentia ad (<I>BD</I>XV<SUP>2</SUP>/4<I>AB</I>), ideoque ex dato tem- pore datur. Nam $patium in Medio non re$i$tente e$t in dupli- cata ratione temporis, $ive ut V<SUP>2</SUP>, & ob datas <I>BD</I> & <I>AB,</I> ut <pb n=252> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> (<I>BD</I>XV<SUP>2</SUP>/4<I>AB</I>). Momentum hujus areæ $ive huic æqualis (<I>DAqXBD</I>XM<SUP>2</SUP>/<I>DEqXAB</I>) e$t ad momentum differentiæ arearum <I>DET</I> & <I>AbNK,</I> ut (<I>DAqXBD</I>X2MX<I>m</I>/<I>DEqXAB</I>) ad (<I>APXBDXm/AB</I>), hoc e$t, ut (<I>DAqXBD</I>XM/<I>DEq</I>) ad 1/2<I>BDXAP,</I> $ive ut (<I>DAq/DEq</I>) in <I>DET</I> ad <I>DAP</I>; adeoque ubi areæ <I>DET</I> & <I>DAP</I> quam minimæ $unt, in ratione æqualitatis. Æqualis igitur e$t area quam minima (<I>BD</I>XV<SUP>2</SUP>/4<I>AB</I>) differentiæ quam minimæ arearum <I>DET</I> & <I>AbNK.</I> Unde cum $patia in Me- dio utroque, in principio de$cen$us vel fine a$cen$us $imul de$crip- ta accedunt ad æqualitatem, adeoque tunc $unt ad invicem ut area (<I>BD</I>XV<SUP>2</SUP>/4<I>AB</I>) & arearum <I>DET</I> & <I>AbNK</I> differentia; ob eorum ana- loga incrementa nece$$e e$t ut in æqualibus quibu$cunque tempo- ribus $int ad invicem ut area illa (<I>BD</I>XV<SUP>2</SUP>/4<I>AB</I>) & arearum <I>DET</I> & <I>AbNK</I> differentia. <I>Q. E. D.</I> <pb n=253> <C>SECTIO IV.</C> <MARG>LIBER SECUNDUS.</MARG> <C><I>De Corporum Circulari Motu in Mediis re$i$tentibus.</I></C> <C>LEMMA III.</C> <p><I>Sit</I> PQRr <I>Spiralis quæ $ecet radios omnes</I> SP, SQ, SR, <I>&c. in æqualibus angulis. Agatur recta</I> PT <I>quæ tangat eandem in puncto quovis</I> P, <I>$ecetque radium</I> SQ <I>in</I> T; <I>& ad Spiralem erectis perpendiculis</I> PO, QO <I>concurrentibus in</I> O, <I>jungatur</I> SO. <I>Dico quod $i puncta</I> P <I>&</I> Q <I>accedant ad invicem & co- eant, angulus</I> PSO <I>evadet rectus, & ultima ratio rectanguli</I> TQX2PS <I>ad</I> PQ<I>quad. erit ratio æqualitatis.</I> <p>Etenim de angulis rectis <I>OPQ, OQR</I> fubducantur anguli æquales <I>SPQ, SQR,</I> & manebunt anguli æquales <I>OPS, OQS.</I> Ergo Circulus qui tran$it <FIG> per puncta <I>O, S, P</I> tran$- ibit etiam per punctum <I>Q.</I> Coeant puncta <I>P</I> & <I>Q,</I> & hic Circulus in loco co- itus <I>PQ</I> tanget Spiralem, adeoque perpendiculariter $ecabit rectam <I>OP.</I> Fiet igitur <I>OP</I> diameter Cir- culi hujus, & angulus <I>OSP</I> in $emicirculo re- ctus. <I>Q. E. D.</I> <p>Ad <I>OP</I> demittantur perpendicula <I>QD, SE,</I> & linearum ratio- nes ultimæ erunt huju$modi: <I>TQ</I> ad <I>PD</I> ut <I>TS</I> vel <I>PS</I> ad <I>PE,</I> $eu 2<I>PO</I> ad 2<I>PS.</I> Item <I>PD</I> ad <I>PQ</I> ut <I>PQ</I> ad 2<I>PO.</I> Et ex æquo perturbate <I>TQ</I> ad <I>PQ</I> ut <I>PQ</I> ad 2<I>PS.</I> Unde fit <I>PQq</I> æquale <I>TQX2PS. Q. E. D.</I> <pb n=254> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> <C>PROPOSITIO XV. THEOREMA XII.</C> <p><I>Si Medii den$itas in locis $ingulis $it reciproce ut di$tantia locorum a centro immobili, $itque vis centripeta in duplicata ratione den- $itatis: dico quod corpus gyrari potest in Spirali, quæ radios omnes a centro illo ductos inter$ecat in angulo dato.</I> <p>Ponantur quæ in $uperiore Lemmate, & producatur <I>SQ</I> ad <I>V,</I> ut $it <I>SV</I> æqualis <I>SP.</I> Tempore quovis, in Medio re$i$tente, de- $cribat corpus arcum quam minimum <I>PQ,</I> & tempore duplo ar- cum quam minimum <I>PR</I>; & decrementa horum arcuum ex re$i- $tentia oriunda, $ive defe- <FIG> ctus ab arcubus qui in Me- dio non re$i$tente ii$dem temporibus de$criberen- tur, erunt ad invicem ut quadrata temporum in quibus generantur: E$t itaque decrementum arcus <I>PQ</I> pars quarta decre- menti arcus <I>PR.</I> Unde etiam, $i areæ <I>PSQ</I> æ- qualis capiatur area <I>QSr,</I> erit decrementum arcus <I>PQ</I> æquale dimidio lineolæ <I>Rr</I>; adeoque vis re$i$tentiæ & vis cen- tripeta $unt ad invicem ut lineolæ 1/2<I>Rr</I> & <I>TQ</I> quas $imul generant. Quoniam vis centripeta, qua corpus urgetur in <I>P,</I> e$t reciproce ut <I>SPq,</I> & (per Lem. X. Lib. 1,) lineola <I>TQ,</I> quæ vi illa generatur, e$t in ratione compo$ita ex ratione hujus vis & ratione duplicata tem- poris quo arcus <I>PQ</I> de$cribitur, (Nam re$i$tentiam in hoc ca$u, ut infinite minorem quam vis centripeta, negligo) erit <I>TQXSPq</I> id e$t (per Lemma novi$$imum) 1/2<I>PQqXSP,</I> in ratione duplicata temporis, adeoque tempus e$t ut <I>PQX√SP</I>; & corporis veloci- tas, qua arcus <I>PQ</I> illo tempore de$cribitur, ut (<I>PQ/PQX√SP</I>) $eu (1/√<I>SP</I>), hoc e$t, in $ubduplicata ratione ip$ius <I>SP</I> reciproce. Et $i- mili argumento, velocitas qua arcus <I>QR</I> de$cribitur, e$t in $ub- <pb n=255> duplicata ratione ip$ius <I>SQ</I> reciproce. Sunt autem arcus illi <I>PQ</I> <MARG>LIBER SECUNDUS.</MARG> & <I>QR</I> ut velocitates de$criptrices ad invicem, id e$t, in $ubdupli- cata ratione <I>SQ</I> ad <I>SP,</I> $ive ut <I>SQ</I> ad √<I>SPXSQ</I>; & ob æqua- les angulos <I>SPQ, SQr</I> & æquales areas <I>PSQ, QSr,</I> e$t ar- cus <I>PQ</I> ad arcum <I>Qr</I> ut <I>SQ</I> ad <I>SP.</I> Sumantur proportionalium con$equentium differentiæ, & fiet arcus <I>PQ</I> ad arcum <I>Rr</I> ut <I>SQ</I> ad <I>SP-√SPXSQ,</I> $eu 1/2<I>VQ</I>; nam punctis <I>P</I> & <I>Q</I> coeunti- bus, ratio ultima <I>SP-√SPXSQ</I> ad 1/2<I>VQ</I> $it æqualitatis. Quoniam decrementum arcus <I>PQ,</I> ex re$i$tentia oriundum, $ive hujus duplum <I>Rr,</I> e$t ut re$i$tentia & quadratum temporis con- junctim; erit re$i$tentia ut (<I>Rr/PQqXSP</I>). Erat autem <I>PQ</I> ad <I>Rr,</I> ut <I>SQ</I> ad 1/2<I>VQ,</I> & inde (<I>Rr/PQqXSP</I>) fit ut (1/2<I>VQ/PQXSPXSQ</I>) $ive ut (1/2<I>OS/OPXSPq</I>). Namque punctis <I>P</I> & <I>Q</I> coeuntibus, <I>SP</I> & <I>SQ</I> coincidunt, & angulus <I>PVQ</I> fit rectus; & ob $imilia triangula <I>PVQ, PSO,</I> fit <I>PQ</I> ad 1/2<I>VQ</I> ut <I>OP</I> ad 1/2<I>OS.</I> E$t igitur (<I>OS/OPXSPq</I>) ut re$i$tentia, id e$t, in ratione den$itatis Medii in <I>P</I> & ratione duplicata velocitatis conjunctim. Auferatur duplicata ratio velocitatis, nempe ratio (1/<I>SP</I>), & manebit Medii den$itas in <I>P</I> ut (<I>OS/OPXSP</I>). Detur Spiralis, & ob datam rationem <I>OS</I> ad <I>OP,</I> den$itas Medii in <I>P</I> erit ut (1/<I>SP</I>). In Medio igitur cujus den$itas e$t reciproce ut di$tantia a centro <I>SP,</I> corpus gyrari po- te$t in hac Spirali. <I>Q. E. D.</I> <p><I>Corol.</I> 1. Velocitas in loco quovis <I>P</I> ea $emper e$t quacum cor- pus in Medio non re$i$tente gyrari pote$t in Circulo, ad eandem a centro di$tantiam <I>SP.</I> <p><I>Corol.</I> 2. Medii den$itas, $i datur di$tantia <I>SP,</I> e$t ut (<I>OS/OP</I>), $in di$tantia illa non datur, ut (<I>OS/OPXSP</I>). Et inde Spiralis ad quam- libet Medii den$itatem aptari pote$t. <p><I>Corol.</I> 3. Vis re$i$tentiæ in loco quovis <I>P,</I> e$t ad vim centripe- <pb n=256> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> tam in eodem loco ut 1/2<I>OS</I> ad <I>OP.</I> Nam vires illæ $unt ad invi- vicem ut 1/4<I>Rr</I> & <I>TQ</I> $ive ut (1/4<I>VQXPQ/SQ</I>) & (1/2<I>PQq/SP</I>), hoc e$t, ut 1/2<I>VQ</I> & <I>PQ,</I> $eu 1/2<I>OS</I> & <I>OP.</I> Data igitur Spirali datur proportio re- $i$tentiæ ad vim centripetam, & vicever$a ex data illa proportione datur Spiralis. <p><I>Corol.</I> 4. Corpus itaque gyrari nequit in hac Spirali, ni$i ubi vis re$i$tentiæ minor e$t quam dimidium vis centripetæ. Fiat re$i$ten- tia æqualis dimidio vis centripetæ & Spiralis conveniet cum linea recta <I>PS,</I> inque hac recta corpus de$cendet ad centrum, ea cum velocitate quæ $it ad velocitatem qua probavimus in $uperioribus in ca$u Parabolæ (Theor. X, Lib. I,) de$cen$um in Medio non re$i- $tente fieri, in $ubduplicata ratione unitatis ad numerum binarium. Et tempora de$cen$us hic erunt reciproce ut velocitates, atque adeo dantur. <p><I>Corol.</I> 5. Et quoniam in æqualibus a centro di$tantiis velocitas eadem e$t in Spirali <I>PQR</I> atque in recta <I>SP,</I> & longitudo Spi- ralis ad longitudinem rectæ <I>PS</I> e$t in data ratione, nempe in ratione <I>OP</I> ad <I>OS</I>; tempus de$cen$us in Spirali erit ad tem- pus de$cen$us in recta <I>SP</I> in eadem illa data ratione, proinde- que datur. <p><I>Corol.</I> 6. Si centro <I>S</I> intervallis duobus quibu$cunque datis de$cri- bantur duo Circuli; & manentibus hi$ce Circulis, mutetur utcun- que angulus quem Spiralis continet cum radio <I>PS:</I> numerus revo- lutionum quas corpus intra Circulorum circumferentias, pergendo in Spirali a circumferentia ad circumferentiam, complere pote$t, e$t ut (<I>PS/OS</I>), $ive ut Tangens anguli illius quem Spiralis continet cum radio <I>PS</I>; tempus vero revolutionum earundem ut (<I>OP/OS</I>), id e$t, ut Secans anguli eju$dem, vel etiam reciproce ut Medii den$itas. <p><I>Corol.</I> 7. Si corpus, in Medio cujus den$itas e$t reciproce ut di- $tantia locorum a centro, revolutionem in Curva quacunque <I>AEB</I> circa centrum illud fecerit, & Radium primum <I>AS</I> in eodem an- gulo $ecuerit in <I>B</I> quo prius in <I>A,</I> idque cum velocitate quæ fue- rit ad velocitatem $uam primam in <I>A</I> reciproce in $ubduplica- ta ratione di$tantiarum a centro (id e$t, ut <I>AS</I> ad mediam pro- portionalem inter <I>AS</I> & <I>BS</I>) corpus illud perget innume- ras con$imiles revolutiones <I>BFC, CGD</I> &c. facere, & inter$e- <pb n=257> ctionibus di$tinguet Radium <I>AS</I> in partes <I>AS, BS, CS, DS,</I> &c. <MARG>LIBER SECUNDUS.</MARG> continue proportionales. Revolutionum vero tempora erunt ut <FIG> perimetri Orbitarum <I>AEB, BFC, CGD,</I> &c. directe, & veloci- tates in principiis <I>A, B, C,</I> inver$e; id e$t, ut <I>AS</I><SUP>1/2</SUP>, <I>BS</I><SUP>1/2</SUP>, <I>CS</I><SUP>1/2</SUP>. At- que tempus totum, quo corpus perveniet ad centrum, erit ad tem- pus revolutionis primæ, ut $umma omnium continue proportiona- lium <I>AS</I><SUP>1/2</SUP>, <I>BS</I><SUP>1/2</SUP>, <I>CS</I><SUP>1/2</SUP> pergentium in infinitum, ad terminum pri- mum <I>AS</I><SUP>1/2</SUP>; id e$t, ut terminus ille primus <I>AS</I><SUP>1/2</SUP> ad differentiam du- orum primorum <I>AS</I><SUP>1/2</SUP>-<I>BS</I><SUP>1/2</SUP>, $ive ut 2/3<I>AS</I> ad <I>AB</I> quam proxime. Unde tempus illud totum expedite invenitur. <p><I>Corol.</I> 8. Ex his etiam præter propter colligere licet motus cor- porum in Mediis, quorum den$itas aut uniformis e$t, aut aliam quamcunque legem a$$ignatam ob$ervat. Centro <I>S,</I> intervallis con- tinue proportionalibus <I>SA, SB, SC,</I> &c. de$cribe Circulos quot- cunque, & $tatue tempus revolutionum inter perimetros duorum quorumvis ex his Circulis, in Medio de quo egimus, e$$e ad tempus revolutionum inter eo$dem in Medio propo$ito, ut Medii propo- $iti den$itas mediocris inter hos Circulos ad Medii, de quo egimus, den$itatem mediocrem inter eo$dem quam proxime: Sed & in ea- dem quoque ratione e$$e Secantem anguli quo Spiralis præfinita, in Medio de quo egimus, $ecat radium <I>AS,</I> ad Secantem anguli <pb n=258> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> quo Spiralis nova $ecat radium eundem in Medio propo$ito: At- que etiam ut $unt eorundem angulorum Tangentes ita e$$e numeros revolutionum omnium inter Circulos eo$dem duos quam proxime. Si hæc fiant pa$$im inter Circulos binos, continuabitur motus per Circulos omnes. Atque hoc pacto haud difficulter imaginari po$$i- mus quibus modis ac temporibus corpora in Medio quocunque re- gulari gyrari debebunt. <p><I>Corol.</I> 9. Et quamvis motus excentrici in Spiralibus ad formam Ovalium accedentibus peragantur; tamen concipiendo Spiralium illarum $ingulas revolutiones ii$dem ab invicem intervallis di$tare, ii$demque gradibus ad centrum accedere cum Spirali $uperius de- $cripta, intelligemus etiam quomodo motus corporum in huju$mo- di Spiralibus peragantur. <C>PROPOSITIO XVI. THEOREMA XIII.</C> <p><I>Si Medii den$itas in locis $ingulis $it reciproce ut di$tantia loco- rum a centro immobili, $itque vis centripeta reciproce ut dig- nitas quælihet eju$dem di$tantiæ: dico quod corpus gyrari potest in Spirali quæ radios omnes a centro illo ductos inter$ecat in angulo dato.</I> <p>Demon$tratur eadem methodo cum Propo$itione $uperiore. Nam $i vis centripeta in <I>P</I> $it reciproce ut di$tantiæ <I>SP</I> dignitas quælibet <I>SP<SUP>n</I>+1</SUP> cujus index e$t <I>n</I>+1; colligetur ut $upra, quod tempus quo corpus de$cribit arcum quemvis <I>PQ</I> erit ut <I>PQXSP</I><SUP>1/2<I>n</I></SUP>, & re$i$tentia in <I>P</I> ut (<I>Rr/PQqXSP<SUP>n</SUP></I>), $ive ut (―1-1/2<I>nXVQ/PQXSP<SUP>n</SUP>XSQ</I>), adeoque ut (―1-1/2<I>nXOS/OPXSP<SUP>n+1</SUP></I>), hoc e$t, ob datum (―1-1/2<I>nXOS/OP</I>), recipro- ce ut <I>SP<SUP>n+1</SUP>.</I> Et propterea, cum velocitas $it reciproce ut <I>SP</I><SUP>1/2<I>n</I></SUP>, den$itas in <I>P</I> erit reciproce ut <I>SP.</I> <p><I>Corol.</I> 1. Re$i$tentia e$t ad vim centripetam, ut ―1-1/2<I>nXOS</I> ad <I>OP.</I> <p><I>Corol.</I> 2. Si vis centripeta $it reciproce ut <I>SPcub,</I> erit 1-1/2<I>n=o</I>; adeoque re$i$tentia & den$itas Medii nulla erit, ut in Propo$itione nona Libri primi. <p><I>Corol.</I> 3. Si vis centripeta $it reciproce ut dignitas aliqua radii <I>SP</I> cujus index e$t major numero 3, re$i$tentia affirmativa in nega- tivam mutabitur. <pb n=259> <C><I>Scholium.</I></C> <MARG>LIBER SECUNDUS.</MARG> <p>Cæterum hæc Propo$itio & $uperiores, quæ ad Media inæquali- ter den$a $pectant, intelligendæ $unt de motu corporum adeo par- vorum, ut Medii ex uno corporis latere major den$itas quam ex al- tero non con$ideranda veniat. Re$i$tentiam quoque cæteris paribus den$itati proportionalem e$$e $uppono. Unde in Mediis quorum vis re$i$tendi non e$t ut den$itas, debet den$itas eo u$que augeri vel diminui, ut re$i$tentiæ vel tollatur exce$$us vel defectus $uppleatur. <C>PROPOSITIO XVII. PROBLEMA IV.</C> <p><I>Invenire & vim centripetam & Medii re$i$tentiam qua corpus in data Spirali, data velocitatis Lege, revolvi potest.</I> <p>Sit Spiralis illa <I>PQR.</I> Ex velocitate qua corpus percurrit ar- cum quam minimum <I>PQ</I> dabitur tempus, & ex altitudine <I>TQ,</I> quæ e$t ut vis centripeta & quadratum temporis, dabitur vis. De- inde ex arearum, æqualibus temporum particulis confectarum <I>PSQ</I> & <I>QSR,</I> differentia <I>RSr,</I> dabitur corporis retardatio, & ex re- tardatione invenietur re$i$tentia ac den$itas Medii. <C>PROPOSITIO XVIII. PROBLEMA V.</C> <C><I>Data Lege vis centripetæ, invenire Medii den$itatem in locis $in- gulis, qua corpus datam Spiralem de$cribet.</I></C> <p>Ex vi centripeta invenienda e$t velocitas in locis $ingulis, de- inde ex velocitatis retardatione quærenda Medii den$itas: ut in Propo$itione $uperiore. <p>Methodum vero tractandi hæc Problemata aperui in hujus Pro- po$itione decima, & Lemmate $ecundo; & Lectorem in huju$modi perplexis di$qui$itionibus diutius detinere nolo. Addenda jam $unt aliqua de viribus corporum ad progrediendum, deque den$i- tate & re$i$tentia Mediorum, in quibus motus hactenus expo$iti & his affines peraguntur. <pb n=260> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> <C>SECTIO V.</C> <C><I>De Den$itate & Compre$$ione Fluidorum, deque Hydro$tatica.</I></C> <C>Definitio Fluidi.</C> <p><I>Fluidum e$t corpus omne cujus partes cedunt vi cuicunque illatæ, & cedendo facile moventur inter $e.</I> <C>PROPOSITIO XIX. THEOREMA XIV.</C> <p><I>Fluidi homogenei & immoti quod in va$e quocunque immoto clau- ditur & undique comprimitur, partes omnes ($epo$ita conden- $ationis, gravitatis & virium omnium centripetarum con$ide- ratione) æqualiter premuntur undique, & ab$que omni motu a pre$$ione illa orto permanent in locis $uis.</I> <p><I>Ca$.</I> 1. In va$e $phærico <I>ABC</I> claudatur & uniformiter com- primatur fluidum undique: dico quod eju$dem pars nulla ex illa pre$$ione movebitur. Nam $i pars aliqua <I>D</I> <FIG> moveatur, nece$$e e$t ut omnes huju$modi partes, ad eandem a centro di$tantiam un- dique con$i$tentes, $imili motu $imul move- antur; atque hoc adeo quia $imilis & æ- qualis e$t omnium pre$$io, & motus omnis exclu$us $upponitur, ni$i qui a pre$$ione il- la oriatur. Atqui non po$$unt omnes ad centrum propius accedere, ni$i fluidum ad centrum conden$etur; contra Hypothe$in. Non po$$unt longius ab eo recedere, ni$i fluidum ad circumferentiam conden$etur; etiam contra Hypothe$in. Non po$$unt $ervata $ua a centro di- $tantia moveri in plagam quamcunque, quia pari ratione movebun- tur in plagam contrariam; in plagas autem contrarias non pote$t <pb n=261> pars eadem, eodem tempore, moveri. Ergo fluidi pars nulla de lo- <MARG>LIBER SECUNDUS</MARG> co $uo movebitur. <I>Q. E. D.</I> <p><I>Ca$.</I> 2. Dico jam quod fluidi hujus partes omnes $phæricæ æqua- liter premuntur undique: $it enim <I>EF</I> pars $phærica fluidi, & $i hæc undique non premitur æqualiter, augeatur pre$$io minor, u$- que dum ip$a undique prematur æqualiter; & partes ejus, per Ca$um primum, permanebunt in locis $uis. Sed ante auctam pre$- $ionem permanebunt in locis $uis, per Ca$um eundum primum, & additione pre$$ionis novæ movebuntur de locis $uis, per definitio- nem Fluidi. Quæ duo repugnant. Ergo fal$o dicebatur quod Sphæ- ra <I>EF</I> non undique premebatur æqualiter. <I>Q. E. D.</I> <p><I>Ca$.</I> 3. Dico præterea quod diver$arum partium $phæricarum æ- qualis $it pre$$io. Nam partes $phæricæ contiguæ $e mutuo pre- munt æqualiter in puncto contactus, per motus Legem III. Sed &, per Ca$um $ecundum, undique premuntur eadem vi. Partes igitur duæ quævis $phæricæ non contiguæ, quia pars $phærica intermedia tangere pote$t utramque, prementur eadem vi. <I>Q. E. D.</I> <p><I>Ca$.</I> 4. Dico jam quod fluidi partes omnes ubique premuntur æqualiter. Nam partes duæ quævis tangi po$$unt a partibus Sphæ- ricis in punctis quibu$cunque, & ibi partes illas Sphæricas æquali- ter premunt, per Ca$um 3. & vici$$im ab illis æqualiter premuntur, per Motus Legem tertiam. <I>Q. E. D.</I> <p><I>Ca$.</I> 5. Cum igitur fluidi pars quælibet <I>GHI</I> in fluido reliquo tanquam in va$e claudatur, & undique prematur æqualiter, partes autem ejus $e mutuo æqualiter premant & quie$cant inter $e; ma- nife$tum e$t quod Fluidi cuju$cunque <I>GHI,</I> quod undique premi- tur æqualiter, partes omnes $e mutuo premunt æqualiter, & qui- e$cunt inter $e. <I>Q. E. D.</I> <p><I>Ca$.</I> 6. Igitur $i Fluidum illud in va$e non rigido claudatur, & undique non prematur æqualiter, cedet idem pre$$ioni fortiori, per Definitionem Fluiditatis. <p><I>Ca$.</I> 7. Idcoque in va$e rigido Fluidum non $u$tinebit pre$$io- nem fortiorem ex uno latere quam ex alio, $ed eidem cedet, idque in momento temporis, quia latus va$is rigidum non per$equitur li- quorem cedentem. Cedendo autem urgebit latus oppo$itum, & $ic pre$$io undique ad æqualitatem verget. Et quoniam Fluidum, quam primum a parte magis pre$$a recedere conatur, inhibetur per re$i$tentiam va$is ad latus oppo$itum; reducetur pre$$io undique ad æqualitatem, in momento temporis, ab$que motu locali: & $ub- inde partes fluidi, per Ca$um quintum, $e mutuo prement æqua- liter, & quie$cent inter $e. <I>Q. E. D.</I> <pb n=262> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> <p><I>Corol.</I> Unde nec motus partium fluidi inter $e, per pre$$ionem fluido ubivis in externa $uperficie illatam, mutari po$$unt, ni$i qua- tenus aut figura $uperficiei alicubi mutatur, aut omnes fluidi partes inten$ius vel remi$$ius $e$e premendo difficilius vel facilius labun- tur inter $e. <C>PROPOSITIO XX. THEOREMA XV.</C> <p><I>Si Fluidi Sphærici, & in æqualibus a centro di$tantiis homogenei, fundo Sphærico concentrico incumbentis partes $ingulæ ver$us centrum totius gravitent; $u$tinet fundum pondus Cylindri, cu- jus ba$is æqualis est $uperficiei fundi, & altitudo eadem quæ Fluidi incumbentis.</I> <p>Sit <I>DHM</I> $uperficies $undi, & <I>AEI</I> <FIG> $uperficies $uperior fluidi. Superficiebus $ohæricis innumeris <I>BFK, CGL</I> di$tin- guatur fluidum in Orbes concentricos æ- qualiter cra$$os; & concipe vim gravita- tis agere $olummodo in $uperficiem $upe- riorem Orbis cuju$que, & æquales e$$e a- ctiones in æquales partes $uperficierum om- nium. Premitur ergo $uperficies $uprema <I>AE</I> vi $implici gravitatis propriæ, qua & omnes Orbis $upremi partes & $uperficies $ecunda <I>BFK</I> (per Prop. XIX.) pro men$ura $ua æqualiter pre- muntur. Premitur præterea $uperficies $ecunda <I>BFK</I> vi propriæ gravitatis, quæ addita vi priori facit pre$$ionem duplam. Hac pre$$ione, pro men$ura $ua, & in$uper vi propriæ gravitatis, id e$t pre$$ione tripla, urgetur $uperficies tertia <I>CGL.</I> Et $imiliter pre$- $ione quadrupla urgetur $uperficies quarta, quintupla quinta, & $ic deinceps. Pre$$io igitur qua $uperficies unaquæque urgetur, non e$t ut quantitas $olida fluidi incumbentis, $ed ut numerus Or- bium ad u$que $ummitatem fluidi; & æquatur gravitati Orbis infi- mi multiplicatæ per numerum Orbium: hoc e$t, gravitati $olidi cu- jus ultima ratio ad Cylindrum præfinitum, ($i modo Orbium au- geatur numerus & minuatur cra$$itudo in infinitum, $ic ut actio gravitatis a $uperficie infima ad $upremam continua reddatur) fiet ratio æqualitatis. Su$tinet ergo $uperficies infima pondus Cylindri <pb n=263> præfiniti. <I>Q. E. D.</I> Et $imili argumentatione patet Propo$itio, <MARG>LIBER SECUNDUS.</MARG> ubi gravitas decre$cit in ratione quavis a$$ignata di$tantiæ a centro, ut & ubi Fluidum $ur$um rarius e$t, deor$um den$ius. <I>Q.E.D.</I> <p><I>Corol.</I> 1. Igitur fundum non urgetur a toto fluidi incumbentis pondere, $ed eam $olummodo ponderis partem $u$tinet quæ in propo$itione de$cribitur; pondere reliquo a fluidi figura fornicata $u$tentato. <p><I>Corol.</I> 2. In æqualibus autem a centro di$tantiis eadem $emper e$t pre$$ionis quantitas, $ive $uperficies pre$$a $it Horizonti parallela vel perpendicularis vel obliqua; $ive fluidum, a $uperficie pre$$a $ur- $um continuatum, $urgat perpendiculariter $ecundum lineam rectam, vel $erpit oblique per tortas cavitates & canales, ea$que regulares vel maxime irregulares, amplas vel angu$ti$$imas. Hi$ce circum- $tantiis pre$$ionem nil mutari colligitur, applicando demon$tratio- nem Theorematis hujus ad Ca$us $ingulos Fluidorum. <p><I>Corol.</I> 3. Eadem Demon$tratione colligitur etiam (per Prop. XIX) quod fluidi gravis partes n<*>m, ex pre$$ione ponderis incumben- tis, acquirunt motum inter $e, $i modo excludatur motus qui ex conden$atione oriatur. <p><I>Corol.</I> 4. Et propterea $i aliud eju$dem gravitatis $pecificæ cor- pus, quod $it conden$ationis expers, $ubmergatur in hoc fluido, id ex pre$$ione ponderis incumbentis nullum acquiret motum: non de$cendet, non a$cendet, non cogetur figuram $uam mutare. Si $phæricum e$t manebit $phæricum, non ob$tante pre$$ione; $i qua- dratum e$t manebit quadratum: idque $ive molle $it, $ive fluidi$$i- mum; $ive fluido libere innatet, $ive fundo incumbat. Habet e- nim fluidi pars quælibet interna rationem corporis $ubmer$i, & par e$t ratio omnium eju$dem magnitudinis, figuræ & gravitatis $peci- ficæ $ubmer$orum corporum. Si corpus $ubmer$um $ervato pon- dere lique$ceret & indueret formam fluidi; hoc, $i prius a$cende- ret vel de$cenderet vel ex pre$$ione figuram novam indueret, etiam nunc a$cenderet vel de$cenderet vel figuram novam induere coge- retur: id adeo quia gravitas ejus cæteræque motuum cau$æ per- manent. Atqui, per Ca$. 5. Prop. XIX, jam quie$ceret & figuram retineret. Ergo & prius. <p><I>Corol.</I> 5. Proinde corpus quod $pecifice gravius e$t quam Flui- dum $ibi contiguum $ub$idebit, & quod $pecifice levius e$t a$cen- det, motumque & figuræ mutationem con$equetur, quantum ex- ce$$us ille vel defectus gravitatis efficere po$$it. Namque exce$$us ille vel de$ectus rationem habet impul$us, quo corpus, alias in <pb n=264> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> æquilibrio cum fluidi partibus con$titutum, urgetur; & comparari pote$t cum exce$$u vel defectu ponderis in lance alterutra libræ. <p><I>Corol.</I> 6. Corporum igitur in fluidis con$titutorum duplex e$t Gra- vitas: altera vera & ab$oluta, altera apparens, vulgaris & compa- rativa. Gravitas ab$oluta e$t vis tota qua corpus deor$um tendit: relativa & vulgaris e$t exce$$us gravitatis quo corpus magis tendit deor$um quam fluidum ambiens. Prioris generis Gravitate partes $luidorum & corporum omnium gravitant in locis $uis: ideoque conjunctis ponderibus componunt pondus totius. Nam totum omne grave e$t, ut in va$is liquorum plenis experiri licet; & pon- dus totius æquale e$t ponderibus omnium partium, ideoque ex ii$- dem componitur. Alterius generis Gravitate corpora non gravi- tant in locis $uis, id e$t, inter $e collata non prægravant, $ed mu- tuos ad de$cendendum conatus impedientia permanent in locis $uis, perinde ac $i gravia non e$$ent. Quæ in Aere $unt & non prægravant, vulgus gravia non judicat. Quæ prægravant vulgus gravia judicat, quatenus ab Aeris pondere non $u$tinentur. Pon- dera vulgi nihil aliud $unt quam exce$$us verorum ponderum $u- pra pondus Aeris. Unde & vulgo dicuntur levia, quæ $unt mi- nus gravia, Aerique prægravanti cedendo $uperiora petunt. Com- parative levia $unt, non vere, quia de$cendunt in vacuo. Sic & in Aqua, corpora, quæ ob majorem vel minorem gravitatem de- $cendunt vel a$cendunt, $unt comparative & apparenter gravia vel levia, & eorum gravitas vel levitas comparativa & apparens e$t ex- ce$$us vel defectus quo vera eorum gravitas vel $uperat gravita- tem aque vel ab ea $uperatur. Quæ vero nec prægravando de- $cendunt, nec prægravanti cedendo a$cendunt, etiam$i veris $uis ponderibus adaugeant pondus totius, comparative tamen & in $en- $u vulgi non gravitant in aqua. Nam $imilis e$t horum Ca$uum Demon$tratio. <p><I>Corol.</I> 7. Quæ de gravitate demon$trantur, obtinent in aliis qui- bu$cunque viribus centripetis. <p><I>Corol.</I> 8. Proinde $i Medium, in quo corpus aliquod movetur, urgeatur vel a gravitate propria, vel ab alia quacunque vi centri- peta, & corpus ab eadem vi urgeatur fortius: differentia virium e$t vis illa motrix, quam in præcedentibus Propo$itionibus ut vim centripetam con$ideravimus. Sin corpus a vi illa urgeatur levius, differentia virium pro vi centrifuga haberi debet. <p><I>Corol.</I> 9. Cum autem fluida premendo corpora inclu$a non mutent eorum Figuras externas, patet in$uper, per Corollarium <pb n=265> Prop. XIX, quod non mutabunt $itum partium internarum inter <MARG>LIBER SECONDUS.</MARG> $e: proindeque, $i Animalia immergantur, & $en$atio omnis a mo- tu partium oriatur; nec lædent corpora immer$a, nec $en$atio- nem ullam excitabunt, ni$i quatenus hæc corpora a compre$$ione conden$ari po$$unt. Et par e$t ratio cuju$cunque corporum Sy- $tematis fluido comprimente circundati. Sy$tematis partes omnes ii$dem agitabuntur motibus, ac $i in vacuo con$tituerentur, ac $o- lam retinerent gravitatem $uam comparativam, ni$i quatenus flui- dum vel motibus earum nonnihil re$i$tat, vel ad ea$dem compre$$i- one conglutinandas requiratur. <C>PROPOSITIO XXI. THEOREMA XVI.</C> <p><I>Sit Fluidi cuju$dam den$itas compre$$ioni proportionalis, & partes ejus a vi centripeta di$tantiis $uis a centro reciproce proportio- nali deor$um trabantur: dico quod, fi di$tantiæ illæ $umantur continue proportionales, den$itates Fluidi in ii$dem di$tantiis e- runt etiam continue proportionales.</I> <p>De$ignet <I>ATV</I> fundum Sphæricum cui fluidum incumbit, <I>S</I> centrum, <I>SA, SB, SC, SD, SE,</I> &c. di$tantias continue propor- tionales. Erigantur perpendicula <I>AH, BI, CK, DL, EM, &c.</I> quæ $int ut den$itates Medii in locis <I>A, B, C, D, E</I>; & $pecificæ gravitates in ii$dem locis erunt ut <I>(AH/AS), (BI/BS), (CK/CS),</I> &c. vel, quod perinde e$t, ut <I>(AH/AB), (BI/BC), (CK/CD),</I> &c. Finge pri- <FIG> mum has gravitates uniformiter continuari ab <I>A</I> ad <I>B,</I> a <I>B</I> ad <I>C,</I> a <I>C</I> ad <I>D,</I> &c. factis per gradus decrementis in punctis <I>B, C, D,</I> &c. Et hæ gravitates ductæ in altitudines <I>AB, BC, CD,</I> &c. conficient pre$$iones <I>AH, BI, CK,</I> quibus fundum <I>ATV</I> (juxta Theorema XV.) urgetur. Su$tinet ergo particula <I>A</I> pre$$iones omnes <I>AH, BI, CK, DL,</I> pergendo in infinitum; & particula <I>B</I> pre$$iones omnes præter primam <I>AH</I>; & particula <I>C</I> omnes præter duas primas <I>AH, BI</I>; & $ic deinceps: adeoque parti- culæ primæ <I>A</I> den$itas <I>AH</I> e$t ad particulæ $ecundæ <I>B</I> den$i- <pb n=266> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> tatem <I>BI</I> ut $umma omnium <I>AH+BI+CK+DL,</I> in infini- tum, ad $ummam omnium <I>BI+CK+DL,</I> &c. Et <I>BI</I> den- $itas $ecundæ <I>B,</I> e$t ad <I>CK</I> den$itatem tertiæ <I>C,</I> ut $umma om- nium <I>BI+CK+DL,</I> &c. ad $ummam omnium <I>CK+DL,</I> &c. Sunt igitur $ummæ illæ differentiis $uis <I>AH, BI, CK,</I> &c. pro- portionales, atque adeo continue proportionales, per hujus Lem. I. proindeque differentiæ <I>AH, BI, CK,</I> &c. $ummis proportionales, $unt etiam continue proportionales. Quare cum den$itates in locis <I>A, B, C,</I> &c. $int ut <I>AH, BI, CK,</I> &c. erunt etiam hæ continue propor- tionales. Pergatur per $altum, & (ex æquo) in di$tantiis <I>SA, SC, SE</I> continue proportionalibus, erunt den$itates <I>AH, CK, EM</I> continue proportionales. Et eodem argumento, in di$tantiis qui- bu$vis continue proportionalibus <I>SA, SD, SG,</I> den$itates <I>AH, DL, GO</I> erunt continue proportionales. Coeant jam puncta <I>A, B, C, D, E,</I> &c. eo ut progre$$io gravitatum $pecificarum a fundo <I>A</I> ad $ummitatem Fluidi continua reddatur, & in di$tantiis quibu$vis con- tinue proportionalibus <I>SA, SD, SG,</I> den$itates <I>AH, DL, GO,</I> $emper exi$tentes continue proportionales, manebunt etiamnum continue proportionales. <I>Q. E. D.</I> <p><I>Corol.</I> Hinc $i detur den$itas Fluidi in duobus locis, puta <I>A</I> & <I>E,</I> colligi pote$t ejus den$itas <FIG> in alio quovis loco <I>Q.</I> Centro <I>S,</I> A$ymptotis rectangulis <I>SQ, SX,</I> de$cribatur Hyperbola $e- cans perpendicula <I>AH, EM, QT</I> in <I>a, e, q,</I> ut & perpendicu- la <I>HX, MY, TZ,</I> ad A$ymp- toton <I>SX</I> demi$$a, in <I>h, m</I> & <I>t.</I> Fiat area <I>ZYmtZ</I> ad aream da- tam <I>YmhX</I> ut area data <I>EeqQ</I> ad aream datam <I>EeaA</I>; & li- nea <I>Zt</I> producta ab$cindet li- neam <I>QT</I> den$itati proportio- nalem. Namque $i lineæ <I>SA, SE, SQ</I> $unt continue proportiona- les, erunt areæ <I>EeqQ, EeaA</I> æquales, & inde areæ his propor- tionales <I>YmtZ, XhmY</I> etiam æquales, & lineæ <I>SX, SY, SZ,</I> id e$t <I>AH, EM, QT</I> continue proportionales, ut oportet. Et $i lineæ <I>SA, SE, SQ</I> obtinent alium quemvis ordinem in $erie continue proportionalium, lineæ <I>AH, EM, QT,</I> ob proportionales areas Hyp<*>as, obtinebunt eundem ordinem in alia $erie quantita- tum continue proportionalium. <pb n=267> <MARG>LIBER SECUNDUS.</MARG> <C>PROPOSITIO XXII. THEOREMA XVII.</C> <p><I>Sit Fluidi cuju$dam den$itas compre$$ioni proportionalis, & partes ejus a gravitate quadratis di$tantiarum $uarum a centro reci- proce proportionali deor$um trabantur: dico quod, $i di$tantiæ $umantur in progre$$ione Mu$ica, den$itates Fluidi in bis di- $tantiis erunt in progre$$ione Geometrica.</I> <p>De$ignet <I>S</I> centrum, & <I>SA, SB, SC, SD, SE</I> di$tantias in pro- gre$$ione Geometrica. Erigantur perpendicula <I>AH, BI, CK,</I> &c. quæ $int ut Fluidi den$itates in locis <I>A, B, C, D, E,</I> &c. & ip$ius <FIG> gravitates $pecificæ in ii$dem locis erunt <I>(AH/SAq), (BI/SBq), (CK/SCq),</I> &c. Fin- ge has gravitates uniformiter continuari, primam ab <I>A</I> ad <I>B,</I> $e- cundam a <I>B</I> ad <I>C,</I> tertiam a <I>C</I> ad <I>D,</I> &c. Et hæ ductæ in altitu- dines <I>AB, BC, CD, DE,</I> &c. vel, quod perinde e$t, in di$tantias <I>SA, SB, SC,</I> &c. altitudinibus illis proportionales, conficient ex- ponentes pre$$ionum <I>(AH/SA), (BI/SB), (CK/SC),</I> &c. Quare cum den$itates $int ut harum pre$$ionum $ummæ, differentiæ den$itatum <I>AH-BI, BI-CK,</I> &c. erunt ut $ummarum differentiæ <I>(AH/SA), (BI/SB), (CK/SC),</I> &c. <pb n=268> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> Centro <I>S,</I> A$ymptotis <I>SA, Sx,</I> de$cribatur Hyperbola quæ- vis, quæ $ecet perpendicula <I>AH, BI, CK,</I> &c. in <I>a, b, c,</I> &c. ut & perpendicula ad A$ymptoton <I>Sx</I> demi$$a <I>Ht, Iu, Kw</I> in <I>h, i, k</I>; & den$itatum differentiæ <I>tu, uw,</I> &c. erunt üt <I>(AH/SA), (BI/SB),</I> &c. Et rectangula <I>tuXth, uwXui,</I> &c. $eu <I>tp, uq,</I> &c. ut <I>(AHXtb/SA), (BIXui/SB),</I> &c. id e$t, ut <I>Aa, Bb,</I> &c. E$t enim, ex natura Hyperbolæ, <I>SA</I> ad <I>AH</I> vel <I>St,</I> ut <I>th</I> ad <I>Aa,</I> adeoque (<I>AHXth/SA</I>) æquale <I>Aa</I> <FIG> Et $imili argumento e$t (<I>BIXui/SB</I>) æquale <I>Bb,</I> &c. Sunt autem <I>Aa, Bb, Cc,</I> &c. continue proportionales, & propterea differentiis $u- is <I>Aa-Bb, Bb-Cc,</I> &c. proportionales; ideoque differentiis hi$ce proportionalia $unt rectangula <I>tp, uq,</I> &c. ut & $ummis diffe- rentiarum <I>Aa-Cc</I> vel <I>Aa-Dd</I> $ummæ rectangulorum <I>tp+uq</I> vel <I>tp+uq+wr.</I> Sunto eju$modi termini quam plurimi, & fum- ma omnium differentiarum, puta <I>Aa-Ff,</I> erit $ummæ omnium rectangulorum, puta <I>zthn,</I> proportionalis. Augeatur numerus terminorum & minuantur di$tantiæ punctorum <I>A, B, C,</I> &c. in in- nitum, & rectangula illa evadent æqualia areæ Hyperbolicæ <I>zthn,</I> adeoque huic areæ proportionalis e$t differentia <I>Aa-Ff.</I> Suman- <pb n=269> tur jam di$tantiæ quælibet, puta <I>SA, SD, SF</I> in progre$$ione Mu- <MARG>LIBER SECUNDUS</MARG> $ica, & differentiæ <I>Aa-Dd, Dd-Ff</I> erunt æquales; & propter- ea differentiis hi$ce proportionales areæ <I>thlx, xlnz</I> æquales erunt inter $e, & den$itates <I>St, Sx, Sz,</I> id e$t, <I>AH, DL, FN,</I> conti- nue proportionales. <I>Q. E. D.</I> <p><I>Corol.</I> Hinc $i dentur Fluidi den$itates duæ quævis, puta <I>AH</I> & <I>CK,</I> dabitur area <I>thkw</I> harum differentiæ <I>tw</I> re$pondens; & inde invenietur den$itas <I>FN</I> in altitudine quacunque <I>SF,</I> $umen- do aream <I>thnz</I> ad aream illam datam <I>thkw</I> ut e$t differentia <I>Aa-Ff</I> ad differentiam <I>Aa-Cc.</I> <C><I>Scholium.</I></C> <p>Simili argumentatione probari pote$t, quod $i gravitas particu- larum Fluidi diminuatur in triplicata ratione di$tantiarum a centro; & quadratorum di$tantiarum <I>SA, SB, SC,</I> &c. reciproca (nem- pe <I>(SAcub./SAq), (SAcub./SBq), (SAcub./SCq)</I>) $umantur in progre$$ione Arithme- tica; den$itates <I>AH, BI, CK,</I> &c. erunt in progre$$ione Geome- trica. Et $i gravitas diminuatur in quadruplicata ratione di$tan- tiarum, & cuborum di$tantiarum reciproca (puta <I>(SAqq/SAcub), (SAqq/SBcub), (SAqq/SCcub.),</I> &c.) $umantur in progre$$ione Arithmetica; den$itates <I>AH, BI, CK,</I> &c. erunt in progre$$ione Geometrica. Et $ic in infinitum. Rur$us. $i gravitas particularum Fluidi in omnibus di- $tantiis eadem $it, & di$tantiæ $int in progre$$ione Arithmetica, den$itates erunt in progre$$ione Geometrica, uti Vir Cl. <I>Edmundus Hælleius</I> invenit. Si gravitas $it ut di$tantia, & quadrata di$tantia- rum $int in progre$$ione Arithmetica, den$itates erunt in progre$- $ione Geometrica. Et $ic in infinitum. Hæc ita $e habent ubi Fluidi compre$$ione conden$ati den$itas e$t ut vis compre$$ionis, vel, quod perinde e$t, $patium a Fluido occupatum reciproce ut hæc vis. Fingi po$$unt aliæ conden$ationis Leges, ut quod cubus vis com- primentis $it ut quadrato-quadratum den$itatis, feu triplicata ra- tio Vis æqualis quadruplicatæ rationi den$itatis. Quo in ca$u, $i gra- vitas e$t reciproce ut quadratum di$tantiæ a centro, den$itas erit reciproce ut cubus di$tantiæ. Fingatur quod cubus vis compri- mentis $it ut quadrato-cubus den$itatis, & $i gravitas e$t reciproce ut quadratum di$tantiæ, den$itas erit reciproce in $u$quiplicata ra- <pb n=270> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> tione di$tantiæ. Fingatur quod vis comprimens $it in duplicata ratione den$itatis, & gravitas reciproce in ratione duplicata di$tan- tiæ, & den$itas erit reciproce ut di$tantia. Ca$us omnes percurre- re longum e$$et. <C>PROPOSITIO XXIII. THEOREMA XVIII.</C> <p><I>Si Fluidi ex particulis $e mutuo fugientibus compo$iti den$itas $it ut compre$$io, vires centrifugæ particularum $unt reciproce pro- portionales di$tantiis centrorum $uorum. Et vice ver$a, par- ticulæ viribus quæ $unt reciproce proportionales di$tantiis cen- trorum $uorum $e mutuo fugientes componunt Fluidum Ela$ti- cum, cujus den$itas est compre$$ioni proportionalis.</I> <p>Includi intelligatur Fluidum in $patio cubico <I>ACE,</I> dein com- pre$$ione redigi in $patium cubicum minus <I>ace</I>; & particularum, $imilem $itum inter $e in utro- <FIG> que $patio obtinentium, di$tan- tiæ erunt ut cuborum latera <I>AB, ab</I>; & Medii den$itates reciproce ut $patia continentia <I>AB cub.</I> & <I>ab cub.</I> In latere cubi majoris <I>ABCD</I> capiatur quadratum <I>DP</I> æquale lateri cubi minoris <I>db</I>; & ex Hypo- the$i, pre$$io qua quadratum <I>DP</I> urget Fluidum inclu$um, erit ad pre$$ionem qua latus illud quadratum <I>db</I> urget Fluidum inclu$um ut Medii den$itates ad invicem, hoc e$t, ut <I>ab cub.</I> ad <I>ABcub.</I> Sed pre$$io qua quadratum <I>DB</I> urget Fluidum inclu$um, e$t ad pre$$i- onem qua quadratum <I>DP</I> urget idem Fluidum, ut quadratum <I>DB</I> ad quadratum <I>DP,</I> hoc e$t, ut <I>AB quad.</I> ad <I>ab quad.</I> Ergo, ex æquo, pre$$io qua latus <I>DB</I> urget Fluidum, e$t ad pre$$ionem qua latus <I>db</I> urget Fluidum, ut <I>ab</I> ad <I>AB.</I> Planis <I>FGH, fgh,</I> per media cuborum ductis, di$tinguatur Fluidum in duas partes, & hæ $e mutuo prement ii$dem viribus, quibus premuntur a planis <I>AC, ac,</I> hoc e$t, in proportione <I>ab</I> ad <I>AB:</I> adeoque vires centrifugæ, qui- bus hæ pre$$iones $u$tinentur, $unt in eadem ratione. Ob eundem particularum numerum $imilemque $itum in utroque cubo, vires quas particulæ omnes $ecundum plana <I>FGH, fgh</I> exercent in om- <pb n=271> nes, $unt ut vires quas $ingulæ exercent in $ingulas. Ergo vires, <MARG>LIBER SECUNDUS.</MARG> quas $ingulæ exercent in $ingulas $ecundum planum <I>FGH</I> in cubo majore, $unt ad vires quas $ingulæ exercent in $ingulas $ecundum planum <I>fgh</I> in cubo minore ut <I>ab</I> ad <I>AB,</I> hoc e$t, reciproce ut di$tantiæ particularum ad invicem. <I>Q. E. D.</I> <p>Et vice ver$a, $i vires particularum $ingularum $unt reciproce ut di$tantiæ, id e$t, reciproce ut cuborum latera <I>AB, ab</I>; $ummæ virium erunt in eadem ratione, & pre$$iones laterum <I>DB, db</I> ut $ummæ virium; & pre$$io quadrati <I>DP</I> ad pre$$ionem lateris <I>DB</I> ut <I>ab quad.</I> ad <I>AB quad.</I> Et, ex æquo, pre$$io quadrati <I>DP</I> ad pre$- $ionem lateris <I>db</I> ut <I>ab cub.</I> ad <I>AB cub.</I> id e$t, vis compre$$ionis ad vim compre$$ionis ut den$itas ad den$itatem. <I>Q. E. D.</I> <C><I>Scholium.</I></C> <p>Simili argumento, $i particularum vires centrifugæ $int reciproce in duplicata ratione di$tantiarum inter centra, cubi virium compri- mentium erunt ut quadrato-quadrata den$itarum. Si vires centri- fugæ $int reciproce in triplicata vel quadruplicata ratione di$tantia- rum, cubi virium comprimentium erunt ut quadrato-cubi vel cubo- cubi den$itatum. Et univer$aliter, $i D ponatur pro di$tantia, & E pro den$itate Fluidi compre$$i, & vires centrifugæ $int reciproce ut di$tantiæ dignitas quælibet D<SUP><I>n</I></SUP>, cujus index e$t numerus <I>n</I>; vi- res comprimentes erunt ut latera cubica dignitatis E<SUP><I>n</I>+2</SUP>, cujus index e$t numerus <I>n</I>+2: & contra. Intelligenda vero $unt hæc omnia de particularum Viribus centrifugis quæ terminantur in par- ticulis proximis, aut non longe ultra diffunduntur. Exemplum habemus in corporibus Magneticis. Horum Virtus attractiva ter- minatur fere in $ui generis corporibus $ibi proximis. Magnetis virtus per interpo$itam laminam ferri contrahitur, & in lamina fere terminatur. Nam corpora ulteriora non tam a Magnete quam a lamina trahuntur. Ad eundem modum $i particulæ fugant alias $ui generis particulas $ibi proximas, in particulas autem remotiores virtutem nullam exerceant, ex huju$modi particulis componentur Fluida de quibus actum e$t in hac Propo$itione. Quod $i particulæ cuju$que virtus in infinitum propagetur, opus erit vi majori ad æqua- lem conden$ationem majoris quantitatis Fluidi. An vero Fluida Ela$tica ex particulis $e mutuo fugantibus con$tent, Quæ$tio Phy- $ica e$t. Nos proprietatem Fluidorum ex eju$modi particulis con- $tantium Mathematice demon$travimus, ut Philo$ophis an$am præ- beamus Quæ$tionem illam tractandi. <pb n=272> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> <C>SECTIO VI.</C> <C><I>De Motu & Re$i$tentia Corporum Funependulorum.</I></C> <C>PROPOSITIO XXIV. THEOREMA XIX.</C> <p><I>Quantitates materiæ in corporibus funependulis, quoruns centra o$cillationum a centro $u$pen$ionis æqualiter di$tant, $unt in ra- tione compo$ita ex ratione ponderum & ratione duplicata tem- porum o$cillationum in vacuo.</I> <p>Nam velocitas, quam data vis in data materia dato tempore ge- nerare pote$t, e$t ut vis & tempus directe, & materia inver$e. Quo major e$t vis vel majus tempus vel minor materia, eo major gene- rabitur velocitas. Id quod per motus Legem $ecundam manife- $tum e$t. Jam vero $i Pendula eju$dem $int longitudinis, vires mo- trices in locis a perpendiculo æqualiter di$tantibus $unt ut ponde- ra: ideoque $i corpora duo o$cillando de$cribant arcus æquales, & arcus illi dividantur in partes æquales; cum tempora quibus cor- pora de$cribant $ingulas arcuum partes corre$pondentes $int ut tempora o$cillationum totarum, erunt velocitates ad invicem in corre$pondentibus o$cillationum partibus, ut vires motrices & tota o$cillationum tempora directe & quantitates materiæ reciproce: adeoque quantitates materiæ ut vires & o$cillationum tempora di- recte & velocitates reciproce. Sed velocitates reciproce $unt ut tempora, atque adeo tempora directe & velocitates reciproce $unt ut quadrata temporum, & propterea quantitates materiæ $unt ut vires motrices & quadrata temporum, id e$t, ut pondera & quadra- ta temporum. <I>Q. E. D.</I> <p><I>Corol.</I> 1. Ideoque $i tempora $unt æqualia, quantitates materiæ in $ingulis corporibus erunt ut pondera. <p><I>Corol.</I> 2. Si pondera $unt æqualia, quantitates materiæ erunt ut quadrata temporum. <p><I>Corol.</I> 3. Si quantitates materiæ æquantur, pondera erunt reci- proce ut quadrata temporum. <pb n=273> <p><I>Corol.</I> 4. Unde cum quadrata temporum, cæteris paribus, $int ut <MARG>LIBER SECUNDUS.</MARG> longitudines pendulorum; $i & tempora & quantitates materiæ æ- qualia $unt, pondera erunt ut longitudines pendulorum. <p><I>Corol.</I> 5. Et univer$aliter, quantitas materiæ pendulæ e$t ut pon- dus & quadratum temporis directe, & longitudo penduli inver$e. <p><I>Corol.</I> 6. Sed & in Medio non re$i$tente quantitas materiæ pen- dulæ e$t ut pondus comparativum & quadratum temporis directe & longitudo penduli inver$e. Nam pondus comparativum e$t vis motrix corporis in Medio quovis gravi, ut $upra explicui; adeoque idem præ$tat in tali Medio non re$i$tente atque pondus ab$olutum in vacuo. <p><I>Corol.</I> 7. Et hinc liquet ratio tum comparandi corpora inter $e, quoad quantitatem materiæ in $ingulis; tum comparandi pondera eju$dem corporis in diver$is locis, ad cogno$cendam variationem gravitatis. Factis autem experimentis quam accurati$$imis inveni $emper quantitatem materiæ in corporibus $ingulis eorum ponderi proportionalem e$$e. <C>PROPOSITIO XXV. THEOREMA XX:</C> <p><I>Corpora Funependula quibus, in Medio quovis, re$i$titur in ratione momentorum temporis, & corpora Funependula quæ in eju$dem gravitatis $pecificæ Medio non re$i$lente moventur, o$cillatio- nes in Cycloide eodem tempore peragunt, & arcuum partes pro- portionales $imul de$cribunt.</I> <p>Sit <I>AB</I> Cycloidis <FIG> arcus, quem corpus <I>D</I> tempore quovis in Medio non re$i$tente o$cillando de$cribit. Bi$ecetur idem in <I>C,</I> ita ut <I>C</I> $it infimum ejus punctum; & erit vis acceleratrix qua corpus urgetur in lo- co quovis <I>D</I> vel <I>d</I> vel <I>E</I> ut longitudo arcus <I>CD</I> vel <I>Cd</I> vel <I>CE.</I> Exponatur vis illa per eundem arcum; & cum re$i$tentia $it ut momentum temporis, adeoque detur, expona- <pb n=274> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> tur eadem per datam arcus Cycloidis partem <I>CO,</I> & $umatur ar- cus <I>Od</I> in ratione ad arcum <I>CD</I> quam habet arcus <I>OB</I> ad arcum <I>CB:</I> & vis qua corpus in <I>d</I> urgetur in Medio re$i$tente, cum $it ex- ce$$us vis <I>Cd</I> $upra re$i$tentiam <I>CO,</I> exponetur per arcum <I>Od,</I> ad- eoque erit ad vim qua corpus <I>D</I> urgetur in Medio non re$i$tente, in loco <I>D,</I> ut arcus <I>Od</I> ad arcum <I>CD</I>; & propterea etiam in lo- co <I>B</I> ut arcus <I>OB</I> ad arcum <I>CB.</I> Proinde $i corpora duo, <I>D, d</I> exeant de loco <I>B,</I> & his viribus urgeantur: cum vires $ub initio $int ut arcus <I>CB</I> & <I>OB,</I> erunt velocitates primæ & arcus primo de$cripti in eadem ratione. Sunto arcus illi <I>BD</I> & <I>Bd,</I> & arcus reliqui <I>CD, Od</I> erunt in eadem ratione. Proinde vires, ip$is <I>CD, Od</I> proportionales, manebunt in eadem ratione ac $ub initio, & propterea corpora pergent arcus in eadem ratione $imul de$cri- bere. Igitur vires & <FIG> velocitates & arcus re- liqui <I>CD, Od</I> $emper erunt ut arcus toti <I>CB, OB,</I> & propterea ar- cus illi reliqui $imul de$cribentur. Quare corpora duo <I>D, d</I> $i- mul pervenient ad loca <I>C</I> & <I>O,</I> alterum qui- dem in Medio non re- $i$tente ad locum <I>C,</I> & alterum in Medio re$i$tente ad locum <I>O.</I> Cum autem velocitates in <I>C</I> & <I>O</I> $int ut arcus <I>CB, OB</I>; erunt arcus quos corpora ulterius pergendo $imul de$cribunt, in eadem ratione. Sunto illi <I>CE</I> & <I>Oe.</I> Vis qua corpus <I>D</I> in Medio non re$i$tente retardatur in <I>E</I> e$t ut <I>CE,</I> & vis qua corpus <I>d</I> in Medio re$i$tente retardatur in <I>e</I> e$t ut $umma vis <I>Ce</I> & re$i$tentiæ <I>CO,</I> id e$t ut <I>Oe</I>; ideoque vi- res, quibus corpora retardantur, $unt ut arcubus <I>CE, Oe</I> propor- tionales arcus <I>CB, OB</I>; proindeque velocitates, in data illa ratio- ne retardatæ, manent in eadem illa data ratione. Velocitates igitur & arcus ii$dem de$cripti $emper $unt ad invicem in data illa ratio- ne arcuum <I>CB</I> & <I>OB</I>; & propterea $i $umantur arcus toti <I>AB, aB</I> in eadem ratione, corpora <I>D, d</I> $imul de$cribent hos arcus, & in locis <I>A</I> & <I>a</I> motum omnem $imul amittent. I$ochronæ $unt igitur o$cillationes totæ, & arcubus totis <I>BA, Ba</I> proportionales $unt arcuum partes quælibet <I>BD, Bd</I> vel <I>BE, Be</I> quæ $imul de- $eribuntur. <I>Q. E. D.</I> <pb n=275> <p><I>Corol.</I> Igitur motus veloci$$imus in Medio re$i$tente non incidit <MARG>LIBER SECUNDUS.</MARG> in punctum infimum <I>C,</I> $ed reperitur in puncto illo <I>O,</I> quo arcus totus de$criptus <I>aB</I> bi$ecatur. Et corpus $ubinde pergendo ad <I>a,</I> ii$dem gradibus retardatur quibus antea accelerabatur in de$cen$u $uo a <I>B</I> ad <I>O.</I> <C>PROPOSITIO XXVI. THEOREMA XXI.</C> <p><I>Corporum Funependulorum, quibus re$i$titur in ratione velocitatum, o$cillationes in Cycloide $unt I$ochronæ.</I> <p>Nam $i corpora duo, a centris $u$pen$ionum æqualiter di$tantia, o$cillando de$cribant arcus inæquales, & velocitates in arcuum par- tibus corre$pondentibus $int ad invicem ut arcus toti: re$i$tentiæ velocitatibus proportionales, erunt etiam ad invicem ut iidem ar- cus. Proinde $i viribus motricibus a gravitate oriundis, quæ $int ut iidem arcus, auferantur vel addantur hæ re$i$tentiæ, erunt dif- ferentiæ vel $ummæ ad invicem in eadem arcuum ratione: cumque velocitatum incrementa vel decrementa $int ut hæ differentiæ vel $ummæ, velocitates $emper erunt ut arcus toti: Igitur velocitates, $i $int in aliquo ca$u ut arcus toti, manebunt $emper in eadem ra- tione. Sed in principio motus, ubi corpora incipiunt de$cendere & arcus illos de$cribere, vires, cum $int arcubus proportionales, ge- nerabunt velocitates arcubus proportionales. Ergo velocitates $em- per erunt ut arcus toti de$cribendi, & propterea arcus illi $imul de- $cribentur. <I>Q. E. D.</I> <C>PROPOSITIO XXVII. THEOREMA XXII.</C> <p><I>Si Corporibus Funependulis re$i$titur in duplicata ratione veloci- tatum, differentiæ inter tempora o$cillationum in Medio re$i- $tente ac tempora o$cillationum in eju$dem gravitatis $pecificæ Medio non re$i$tente, erunt arcubus o$cillando de$criptis pro- portionales, quam proxime.</I> <p>Nam pendulis æqualibus in Medio re$i$tente de$cribantur arcus inæquales A, B; & re$i$tentia corporis in arcu A, erit ad re$i$ten- tiam corporis in parte corre$pondente arcus B, in duplicata ratio- ne velocitatum, id e$t, ut AA ad BB, quam proxime. Si re$i- <pb n=276> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> $tentia in arcu B e$$et ad re$i$tentiam in arcu A ut AB ad AA; tempora in arcubus A & B forent æqualia, per Propo$itionem $u- periorem. Ideoque re$i$tentia AA in arcu A, vel AB in arcu B, efficit exce$$um temporis in arcu A $upra tempus in Medio non re$i$tente; & re$i$tentia BB efficit exce$$um temporis in arcu B $upra tempus in Medio non re$i$tente. Sunt autem exce$$us illi ut vires efficientes AB & BB quam proxime, id e$t, ut arcus A & B. <I>Q. E. D.</I> <p><I>Corol.</I> 1. Hinc ex o$cillationum temporibus, in Medio re$i$tente, in arcubus inæqualibus factarum, cogno$ci po$$unt tempora o$cilla- tionum in eju$dem gravitatis $pecificæ Medio non re$i$tente. Nam differentia temporum erit ad exce$$um temporis in arcu minore $u- pra tempus in Medio non re$i$tente, ut differentia arcuum ad ar- cum minorem. <p><I>Corol.</I> 2. O$cillationes breviores $unt magis I$ochronæ, & bre- vi$$imæ ii$dem temporibus peraguntur ac in Medio non re$i$tente, quam proxime. Earum vero quæ in majoribus arcubus fiunt, tem- ra $unt paulo majora, propterea quod re$i$tentia in de$cen$u cor- poris qua tempus producitur, major $it pro ratione longitudinis in de$cen$u de$criptæ, quam re$i$tentia in a$cen$u<*>$ub$equente qua tempus contrahitur. Sed & tempus o$cillationum tam brevium quam longarum nonnihil produci videtur per motum Medii. Nam corporibus tarde$centibus paulo minus re$i$titur, pro ratione velo- citatis, & corporibus acceleratis paulo magis quam iis quæ unifor- miter progrediuntur: id adeo quia Medium, eo quem a corporibus accepit motu, in eandem plagam pergendo, in priore ca$u magis agitatur, in po$teriore minus; ac proinde magis vel minus cum corporibus motis con$pirat. Pendulis igitur in de$cen$u magis re- $i$tit, in a$cen$u minus quam pro ratione velocitatis, & ex utraque cau$a tempus producitur. <C>PROPOSITIO XXVIII. THEOREMA XXIII.</C> <p><I>Si Corpori Funependulo in Cycloide o$cillanti re$i$tisur in ratione momentorum temporis, erit ejus re$i$tentia ad vim gravitatis ut exce$$us arcus de$cen$u toto de$cripti $upra arcum a$cen$u $ub$equente de$criptum, ad penduli longitudinem duplicatam.</I> <p>De$ignet <I>BC</I> arcum de$cen$u de$criptum, <I>Ca</I> arcum a$cen$u de- $criptum, & <I>Aa</I> differentiam arcuum: & $tantibus quæ in Propo- <pb n=277> $itione XXV con$tructa & demon$trata $unt, erit vis qua corpus <MARG>LIBER SECUNDUS.</MARG> olcnlans urgetur in loco quovis <I>D,</I> ad vim re$i$tentiæ ut arcus <I>CD</I> ad arcum <I>CO,</I> qui $emi$$is e$t differentiæ illius <I>Aa.</I> Ideoque vis qua corpus o$cillans urgetur in Cycloidis principio $eu puncto alti$$imo, id e$t, vis gravitatis, erit ad re$i$tentiam ut arcus Cy- cloidis inter punctum illud $upremum & punctum infimum <I>C</I> ad arcum <I>CO</I>; id e$t ($i arcus duplicentur) ut Cycloidis totius arcus, $eu dupla penduli longitudo, ad arcum <I>Aa. Q. E. D.</I> <C>PROPOSITIO XXIX. PROBLEMA VI.</C> <p><I>Po$ito quod Corpori in Cycloide o$cillanti re$i$titur in duplicata ra- tione velocitatis: invenire re$i$tentiam in locis $ingulis.</I> <p>Sit <I>Ba</I> (Fig. Prop. XXV) arcus o$cillatione integra de$criptus, $itque <I>C</I> infimum Cycloidis punctum, & <I>CZ</I> $emi$$is arcus Cycloi- dis totius, longitudini Penduli æqualis; & quæratur re$i$tentia cor- <FIG> poris in loco quovis <I>D.</I> Secetur recta infinita <I>OQ</I> in punctis <I>O, C, P, Q,</I> ea lege, ut ($i erigantur perpendicula <I>OK, CT, PI, QE,</I> centroque <I>O</I> & A$ymptotis <I>OK, OQ</I> de$cribatur Hyperbola <I>TIGE</I> $ecans perpendicula <I>CT, PI, QE</I> in <I>T, I</I> & <I>E,</I> & per punctum <I>I</I> agatur <I>KF</I> parallela A$ymptoto <I>OQ</I> occurrens A$ymptoto <I>OK</I> in <I>K,</I> & perpendiculis <I>CT</I> & <I>QE</I> in <I>L</I> & <I>F</I>) fuerit area Hyperboliea <I>PIEQ</I> ad aream Hyperbolicam <I>PITC</I> ut arcus <I>BC</I> de$cen$u cor- poris de$criptus ad arcum <I>Ca</I> a$cen$u de$criptum, & area <I>IEF</I> ad <pb n=278> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> aream <I>ILT</I> ut <I>OQ</I> ad <I>OC.</I> Dein perpendiculo <I>MN</I> ab$cindatur area Hyperbolica <I>PINM</I> quæ $it ad aream Hyperbolicam <I>PIEQ</I> ut arcus <I>CZ</I> ad arcum <I>BC</I> de$cen$u de$criptum. Et $i perpendicu- lo <I>RG</I> ab$cindatur area Hyperbolica <I>PIGR,</I> quæ $it ad aream <I>PIEQ</I> ut arcus quilibet <I>CD</I> ad arcum <I>BC</I> de$cen$u toto de- $criptum: erit re$i$tentia in loco <I>D</I> ad vim gravitatis, ut area <I>(OR/OQ)IEF-IGH</I> ad aream <I>PIENM.</I> <p>Nam cum vires a gravitate oriundæ quibus corpus in locis <I>Z, B, D, a</I> urgetur, $int ut arcus <I>CZ, CB, CD, Ca,</I> & arcus illi $int ut areæ <I>PINM, PIEQ, PIGR, PITC</I>; exponantur tum arcus tum vi- res per has areas re$pective. Sit in$uper <I>Dd</I> $patium quam minimum a corpore de$cendente de$criptum, & exponatur idem per aream quam minimam <I>RGgr</I> parallelis <I>RG, rg</I> comprehen$am; & pro- <FIG> ducatur <I>rg</I> ad <I>h,</I> ut $int <I>GHhg,</I> & <I>RGgr</I> contemporanea arearum <I>IGH, PIGR</I> decrementa. Et areæ <I>(OR/OQ)IEF-IGH</I> incremen- tum <I>GHhg-(Rr/OQ)IEF,</I> $eu <I>RrXHG-(Rr/OQ)IEF,</I> erit ad areæ <I>PIGR</I> decrementum <I>RGgr</I> $eu <I>RrXRG,</I> ut <I>HG-(IEF/OQ)</I> ad <I>RG</I>; adeoque ut <I>ORXHG-(OR/OQ)IEF</I> ad <I>ORXGR</I> $eu <I>OPXPI,</I> hoc e$t (ob æqualia <I>ORXHG, ORXHR-ORXGR, ORHK-OPIK, PIHR</I> & <I>FIGR+IGH</I>) ut <I>PIGR+ IGH-(OR/OQ)IEF</I> ad <I>OPIK.</I> Igitur $i area <I>(OR/OQ)IEF-IGH</I> <pb n=279> dicatur Y, atque areæ <I>PIGR</I> decrementum <I>RGgr</I> detur, erit <MARG>LIBER SECUNDUS.</MARG> incrementum areæ Y ut <I>PIGR</I>-Y. <p>Quod $i V de$ignet vim a gravitate oriundam, arcui de$cribendo <I>CD</I> proportionalem, qua corpus urgetur in <I>D:</I> & R pro re$i$ten- tia ponatur: erit V-R vis tota qua corpus urgetur in <I>D.</I> E$t itaque incrementum velocitatis ut V-R & particula illa temporis in qua factum e$t conjunctim: Sed & velocitas ip$a e$t ut incre- mentum contemporaneum $patii de$cripti directe & particula ea- dem temporis inver$e. Unde, cum re$i$tentia (per Hypothe$in) $it ut quadratum velocitatis, incrementum re$i$tentiæ (per Lem. II) erit ut velocitas & incrementum velocitatis conjunctim, id e$t, ut momentum $patii & V-R conjunctim; atque adeo, $i momen- tum $patii detur, ut V-R; id e$t, $i pro vi V $eribatur ejus ex- ponens <I>PIGR,</I> & re$i$tentia R exponatur per aliam aliquam are- am Z, ut <I>PIGR</I>-Z. <p>Igitur area <I>PIGR</I> per datorum momentorum $ubductionem uniformiter decre$cente, cre$cunt area Y in ratione <I>PIGR</I>-Y, & area Z in ratione <I>PIGR</I>-Z. Et propterea $i areæ Y & Z $i- mul incipiant & $ub initio æquales $int, hæ per additionem æqua- lium momentorum pergent e$$e æquales, & æqualibus itidem mo- mentis $ubinde decre$centes $imul evane$cent. Et vici$$im, $i $imul incipiunt & $imul evane$cunt, æqualia habebunt momenta & $em- per erunt æquales: id adeo quia $i re$i$tentia Z augeatur, veloci- tas una cum arcu illo <I>Ca,</I> qui in a$cen$u corporis de$cribitur, dimi- nuetur; & puncto in quo motus omnis una cum re$i$tentia ce$$at propius accedente ad punctum <I>C,</I> re$i$tentia citius evane$cet quam area Y. Et contrarium eveniet ubi re$i$tentia diminuitur. <p>Jam vero area Z incipit de$initque ubi re$i$tentia nulla e$t, hoc e$t, in principio & fine motus, ubi arcus <I>CD, CD</I> arcubus <I>CB</I> & <I>Ca</I> æquantur, adeoque ubi recta <I>RG</I> incidit in rectas <I>QE</I> & <I>CT.</I> Et area Y $eu <I>(OR/OQ)IEF-IGH</I> incipit de$initque ubi nulla e$t, ad- eoque ubi <I>(OR/OQ)IEF</I> & <I>IGH</I> æqualia $unt: hoc e$t (per con- $tructionem) ubi recta <I>RG</I> incidit in rectas <I>QE</I> & <I>CT.</I> Proin- deque areæ illæ $imul incipiunt & $imul evane$cunt, & propterea $emper $unt æquales. Igitur area <I>(OR/OQ)IEF-IGH</I> æqualis e$t areæ Z, per quam re$i$tentia exponitur, & propterea e$t ad aream <I>PINM</I> per quam gravitas exponitur, ut re$i$tentia ad gravita- tem. <I>Q. E. D.</I> <pb n=280> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> <p><I>Corol.</I> 1. E$t igitur re$i$tentia in loco infimo <I>C</I> ad vim gravitatis, ut area <I>(OP/OQ) IEF</I> ad aream <I>PINM.</I> <p><I>Corol.</I> 2. Fit autem maxima, ubi area <I>PIHR</I> e$t ad aream <I>IEF</I> ut <I>OR</I> ad <I>OQ.</I> Eo enim in ca$u momentum ejus (nimirum <I>PIGR</I>-Y) evadit nullum. <p><I>Corol.</I> 3. Hinc etiam innote$cit velocitas in locis $ingulis: quippe quæ e$t in $ubduplicata ratione re$i$tentiæ, & ip$o motus initio æ- quatur velocitati corporis in eadem Cycloide ab$que omni re$i$ten- tia o$cillantis. <p>Cæterum ob difficilem calculum quo re$i$tentia & velocitas per hanc Propo$itionem inveniendæ $unt, vi$um e$t Propo$itionem $e- quentem $ubjungere, quæ & generalior $it & ad u$us Philo$ophi- cos abunde $atis accurata. <C>PROPOSITIO XXX. THEOREMA XXIV.</C> <p><I>Si recta</I> aB <I>æqualis $it Cycloidis arcui quem corpus o$cillando de- $cribit, & ad $ingula ejus puncta</I> D <I>erigantur perpendicula</I> DK, <I>quæ $int ad longitudinem Penduli ut re$i$tentia corporis in ar- cus punctis corre$pondentibus ad vim gravitatis: dico quod differentia inter arcum de$cen$u toto de$criptum, & arcum a$cen$u toto $ub$equente de$criptum, ducta in arcuum eorundem $emi$ummam, æqualis erit areæ</I> BKaB <I>a perpendiculis omnibus</I> DK <I>occupatæ.</I> <p>Exponatur enim tum Cycloidis arcus, o$cillatione integra de- $criptus, per rectam illam $ibi æqualem <I>aB,</I> tum arcus qui de$cribe- retur in vacuo per longitudinem <I>AB.</I> Bi$ecetur <I>AB</I> in <I>C,</I> & pun- ctum <I>C</I> repræ$entabit infimum Cycloidis punctum, & erit <I>CD</I> ut vis a gravitate oriunda, qua corpus in <I>D</I> $ecundum tangentem Cycloidis urgetur, eamque habebit rationem ad longitudinem Pen- duli quam habet vis in <I>D</I> ad vim gravitatis. Exponatur igitur vis illa per longitudinem <I>CD,</I> & vis gravitatis per longitudinem pen- duli, & $i in <I>DE</I> capiatur <I>DK</I> in ea ratione ad longitudinem <pb n=281> penduli quam habet re$i$tentia ad gravitatem, erit <I>DK</I> exponens <MARG>LIBER SECUNDUS</MARG> re$i$tentiæ. Centro <I>C</I> & intervallo <I>CA</I> vel <I>CB</I> con$truatur Semi- circulus <I>BEeA.</I> De$cribat autem corpus tempore quam minimo $patium <I>Dd,</I> & erectis perpendiculis <I>DE, de</I> circumferentiæ oc- currentibus in <I>E</I> & <I>e,</I> erunt hæc ut velocitates quas corpus in va- cuo, de$cendendo a puncto <I>B,</I> acquireret in locis <I>D</I> & <I>d.</I> Patet hoc per Prop. LII. Lib. 1. Exponantur itaque hæ velocitates per perpendicula illa <I>DE, de</I>; $itque <I>DF</I> velocitas quam acquirit in <I>D</I> cadendo de <I>B</I> in Medio re$i$tente. Et $i centro <I>C</I> & inter- vallo <I>CF</I> de$cribatur Circulus <I>FfM</I> occurrens rectis <I>de</I> & <I>AB</I> in <I>f</I> & <I>M,</I> erit <I>M</I> locus ad quem deinceps ab$que ulteriore re$i$ten- tia a$cenderet, & <I>df</I> velocitas quam acquireret in <I>d.</I> Unde etiam $i <I>Fg</I> de$ignet velocitatis momentum quod corpus <I>D,</I> de$cribendo $patium quam minimum <I>Dd,</I> ex re$i$tentia Medii amittit; & $u- matur <I>CN</I> æqualis <I>Cg:</I> erit <I>N</I> locus ad quem corpus deinceps ab$que ulteriore re$i$tentia a$cenderet, & <I>MN</I> erit decrementum a$cen$us ex velocitatis illius ami$$ione oriundum. Ad <I>df</I> demitta- tur perpendiculum <I>Fm,</I> & velocitatis <I>DF</I> decrementum <I>Fg</I> a re$i$tentia <I>DK</I> genitum, erit ad velocitatis eju$dem incrementum <I>fm</I> a vi <I>CD</I> genitum, ut vis generans <I>DK</I> ad vim generantem <I>CD.</I> Sed & ob $imilia <FIG> triangula <I>Fmf, Fhg, FDC,</I> e$t <I>fm</I> ad <I>Fm</I> $eu <I>Dd,</I> ut <I>CD</I> ad <I>DF</I>; & ex æquo <I>Fg</I> ad <I>Dd</I> ut <I>DK</I> ad <I>DF.</I> Item <I>Fh</I> ad <I>Fg</I> ut <I>DF</I> ad <I>CF</I>; & ex æquo perturbate, <I>Fh</I> $eu <I>MN</I> ad <I>Dd</I> ut <I>DK</I> ad <I>CF</I> $eu <I>CM</I>; ideoque $umma omnium <I>MNXCM</I> æqualis erit $ummæ omnium <I>DdXDK.</I> Ad punctum mobile <I>M</I> erigi $emper intelli- gatur ordinata rectangula æqualis indeterminatæ <I>CM,</I> quæ motu continuo ducatur in totam longitudinem <I>Aa</I>; & trapezium ex illo motu de$criptum $ive huic æquale rectangulum <I>Aa</I>X1/2<I>aB</I> æquabitur $ummæ omnium <I>MNXCM,</I> adeoque $ummæ omnium <I>DdXDK,</I> id e$t, areæ <I>BKkVTa. Q.E.D.</I> <p><I>Corol.</I> Hinc ex lege re$i$tentiæ & arcuum <I>Ca, CB</I> differentia <I>Aa,</I> colligi pote$t proportio re$i$tentiæ ad gravitatem quam proxime. <pb n=282> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> <p>Nam $i uniformis $it re$i$tentia <I>DK,</I> Figura <I>aBKkT</I> rectangu- lum erit $ub <I>Ba</I> & <I>DK</I>; & inde rectangulum $ub 1/2 <I>Ba</I> & <I>Aa</I> erit æquale rectangulo $ub <I>Ba</I> & <I>DK,</I> & <I>DK</I> æqualis erit 1/2 <I>Aa.</I> Quare cum <I>DK</I> $it exponens re$i$tentiæ, & longitudo penduli ex- ponens gravitatis, erit re$i$tentia ad gravitatem ut 1/2 <I>Aa</I> ad longi- tudinem Penduli; omnino ut in Prop. XXVIII demon$tratum e$t. <p>Si re$i$tentia $it ut velocitas, Figura <I>aBKkT</I> Ellip$is erit quam provime. Nam $i corpus, in Medio non re$i$tente, o$cillatione integra de$criberet longitudinem <I>BA,</I> velocitas in loco quovis <I>D</I> foret ut Circuli diametro <I>AB</I> de$cripti ordinatim applicata <I>DE.</I> Proinde cum <I>Ba</I> in Medio re$i$tente, & <I>BA</I> in Medio non re$i- $tente, æqualibus circiter temporibus de$cribantur; adeoque velo- citates in $ingulis ip$ius <FIG> <I>Ba</I> punctis, $int quam proxime ad velocitates in punctis corre$pon- dentibus longitudinis <I>BA,</I> ut e$t <I>Ba</I> ad <I>BA</I>; erit velocitas <I>DK</I> in Medio re$i$tente ut Cir- culi vel Ellip$eos $uper diametro <I>Ba</I> de$cripti ordinatim applicata; adeoque Figura <I>BKVTa</I> Ellip$is, quam pro- xime. Cum re$i$tentia velocitati proportionalis $upponatur, $it <I>OV</I> exponens re$i$tentiæ in puncto Medio <I>O</I>; & Ellip$is <I>aBRVS,</I> centro <I>O,</I> $emiaxibus <I>OB, OV</I> de$cripta, Figuram <I>aBKVT,</I> eique æquale rectangulum <I>AaXBO,</I> æquabit quamproxime. E$t igitur <I>AaXBO</I> ad <I>OVXBO</I> ut area Ellip$eos hujus ad <I>OVXBO</I>: id e$t, <I>Aa</I> ad <I>OV</I> ut area $emicirculi ad quadratum radii, $ive ut 11 ad 7 circiter: Et propterea (1/11) <I>Aa</I> ad longitudinem penduli ut corporis o$cillantis re$i$tentia in <I>O</I> ad eju$dem gravitatem. <p>Quod $i re$i$tentia <I>DK</I> $it in duplicata ratione velocitatis, Fi- gura <I>BKVTa</I> Parabola erit verticem habens <I>V</I> & axem <I>OV,</I> id- eoque æqualis erit rectangulo $ub 2/3 <I>Ba</I> & <I>OV</I> quam proxime. E$t igitur rectangulum $ub 1/2 <I>Ba</I> & <I>Aa</I> æquale rectangulo $ub 2/3 <I>Ba</I> & <I>OV,</I> adeoque <I>OV</I> æqualis 1/4 <I>Aa:</I> & propterea corporis o$cillan- tis re$i$tentia in <I>O</I> ad ip$ius gravitatem ut 1/4 <I>Aa</I> ad longitudi- nem Penduli. <p>Atque has conclu$iones in rebus practicis abunde $atis accuratas e$$e cen$eo. Nam cum Ellip$is vel Parabola <I>BRVSa</I> congruat <pb n=283> cum Figura <I>BKVTa</I> in puncto medio <I>V,</I> hæc $i ad partem al- <MARG>LIBER SECUNDUS.</MARG> terutram <I>BRV</I> vel <I>VSa</I> excedit Figuram illam, deficiet ab eadem ad partem alteram, & $ic eidem æquabitur quam proxime. <C>PROPOSITIO XXXI. THEOREMA XXV.</C> <p><I>Si Corporis o$cillantis re$i$tentia in $ingulis arcuum de$criptorum partibus proportionalibus augeatur vel minuatur in data ratio- ne; differentia inter arcum de$cen$u de$criptum & arcum $ub- $equente a$cen$u de$criptum, augebitur vel diminuetur in eadem ratione.</I> <p>Oritur enim differentia illa ex retardatione Penduli per re$i- $tentiam Medii, adeoque e$t ut retardatio tota eique proportio- nalis re$i$tentia retardans. In $uperiore Propo$itione rectangu- lum $ub recta 1/2 <I>aB</I> & arcuum illorum <I>CB, Ca</I> differentia <I>Aa,</I> æqualis erat areæ <I>BKT.</I> Et area illa, $i maneat longitudo <I>aB,</I> augetur vel diminuitur in ratione ordinatim applicatarum <I>DK</I>; hoc e$t, in ratione re$i$tentiæ, adeoque e$t ut longitudo <I>aB</I> & re$i$tentia conjunctim. Proindeque rectangulum $ub <I>Aa</I> & 1/2 <I>aB</I> e$t ut <I>aB</I> & re$i$tentia conjunctim, & propterea <I>Aa</I> ut re$i$ten- tia. <I>Q.E.D.</I> <p><I>Corol.</I> 1. Unde $i re$i$tentia $it ut velocitas, differentia arcuum in eodem Medio erit ut arcus totus de$criptus: & contra. <p><I>Corol.</I> 2. Si re$i$tentia $it in duplicata ratione velocitatis, diffe- rentia illa erit in duplicata ratione arcus totius: & contra. <p><I>Corol.</I> 3. Et univer$aliter, $i re$i$tentia $it in triplicata vel alia quavis ratione velocitatis, differentia erit in eadem ratione arcus totius: & contra. <p><I>Corol.</I> 4. Et $i re$i$tentia $it partim in ratione $implici velocita- tis, partim in eju$dem ratione duplicata, differentia erit partim in ratione arcus totius & partim in ejus ratione duplicata: & contra. Eadem erit lex & ratio re$i$tentiæ pro velocitate, quæ e$t differen- tiæ illius pro longitudine arcus. <p><I>Corol.</I> 5. Ideoque $i, pendulo inæquales arcus $ucce$$ive de$cri- bente, inveniri pote$t ratio incrementi ac decrementi differentiæ hu- jus pro longitudine arcus de$cripti; habebitur etiam ratio incrementi ac decrementi re$i$tentiæ pro velocitate majore vel minore. <pb n=284> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> <C><I>Scholium Generale.</I></C> <p>Ex his Propo$itionibus, per o$cillationes Pendulorum in Mediis quibu$cunque, invenire licet re$i$tentiam Mediorum. Aeris vero re$i$tentiam inve$tigavi per Experimenta $equentia. Globum lig- neum pondere unciarum <I>Romanarum</I> (57 7/22), diametro digitorum <I>Londinen$ium</I> 6 7/8 fabricatum, filo tenui ab unco $atis firmo $u$pen- di, ita ut inter uncum & centrum o$cillationis Globi di$tantia e$$et pedum 10 1/2. In filo punctum notavi pedibus decem & uncia una a centro $u$pen$ionis di$tans; & e regione puncti illius collocavi Regulam in digitos di$tinctam, quorum ope notarem longitudi- nes arcuum a Pendulo de$criptas. Deinde numeravi o$cillationes quibus Globus octavam motus $ui partem amitteret. Si pendu- lum deducebatur a perpendiculo ad di$tantiam duorum digitorum, & inde demittebatur; ita ut toto $uo de$cen$u de$criberet arcum duorum digitorum, totaque o$cillatione prima, ex de$cen$u & a$cen- $u $ub$equente compo$ita, arcum digitorum fere quatuor: idem o$cillationibus 164 ami$it octavam motus $ui partem, $ic ut ultimo $uo a$cen$u de$criberet arcum digiti unius cum tribus partibus quartis digiti. Si primo de$cen$u de$crip$it arcum digitorum qua- tuor; ami$it octavam motus partem o$cillationibus 121, ita ut a$cen- $u ultimo de$criberet arcum digitorum 3 1/2. Si primo de$cen$u de- $crip$it arcum digitorum octo, $exdecim, triginta duorum vel $exa- ginta quatuor; ami$it octavam motus partem o$cillationibus 69, 35 1/2, 18 1/2, 9 2/3, re$pective. Igitur differentia inter arcus de$cen$u primo & a$cen$u ultimo de$criptos, erat in ca$u primo, $ecundo, tertio, quarto, quinto, $exto, digitorum 1/4, 1/2, 1, 2, 4, 8 re$pective. Divi- dantur eæ differentiæ per numerum o$cillationum in ca$u unoquo- que, & in o$cillatione una mediocri, qua arcus digitorum 3 1/4, 7 1/2, 15, 30, 60, 120 de$criptus fuit, differentia arcuum de$cen$u & $ub- $equente a$cen$u de$criptorum, erit (1/656), (1/242), (1/69), (4/71), (8/37), (24/29) partes di- giti re$pective. Hæ autem in majoribus o$cillationibus $unt in du- plicata ratione arcuum de$criptorum quam proxime, in minoribus vero paulo majores quam in ea ratione; & propterea (per Corol. 2. Prop. XXXI Libri hujus) re$i$tentia Globi, ubi celerius movetur, e$t in duplicata ratione velocitatis quam proxime; ubi tardius, pau- lo major quam in ea ratione. <pb n=285> <p>De$ignet jam V velocitatem maximam in o$cillatione quavis, <MARG>LIBER SECUNDUS.</MARG> $intque A, B, C quantitates datæ, & fingamus quod differentia arcuum $it AV+BV 1/2+CV<SUP>2</SUP>. Cum velocitates maximæ $int in Cycloide ut $emi$$es arcuum o$cillando de$criptorum, in Circu- lo vero ut $emi$$ium arcuum illorum chordæ; adeoque paribus arcubus majores $int in Cycloide quam in Circulo, in ratione $emi$$ium arcuum ad eorundem chordas; tempora autem in Cir- culo $int majora quam in Cycloide in velocitatis ratione reci- proca; patet arcuum differentias (quæ $unt ut re$i$tentia & qua- dratum temporis conjunctim) ea$dem fore, quamproxime, in utra- que Curva: deberent enim differentiæ illæ in Cycloide augeri, una cum re$i$tentia, in duplicata circiter ratione arcus ad chordam, ob velocitatem in ratione illa $implici auctam; & diminui, una cum quadrato temporis, in eadem duplicata ratione. Itaque ut reductio fiat ad Cycloidem, eædem $umendæ $unt arcuum differentiæ quæ fuerunt in Circulo ob$ervatæ, velocitates vero maximæ ponen- dæ $unt arcubus dimidiatis vel integris, hoc e$t, numeris 1/2, 1, 2, 4, 8, 16 analogæ. Scribamus ergo in ca$u $ecundo, quarto & $ex- to numeros 1, 4 & 16 pro V; & prodibit arcuum differentia (1/2/121)=A+B+C in ca$u $ecundo; (2/35 1/2)=4A+8B+16C in ca$u quarto; & (8/9 2/3)=16A+64B+256C in ca$u $exto. Et ex his æ- quationibus, per debitam collationem & reductionem Analyticam, fit A=0,0000916, B=0,0010847, & C=0,0029558. E$t igitur differentia arcuum ut 0,0000916V+0,0010847V1/2+0,0029558V<SUP>2</SUP>: & propterea cum (per Corollarium Propo$itionis XXX) re$i$tentia Globi in medio arcus o$cillando de$cripti, ubi velocitas e$t V, $it ad ip$ius pondus ut (7/11)AV+(16/23)BV1/2+1/4CV<SUP>2</SUP> ad longitudinem Penduli; $i pro A, B & C $cribantur numeri inventi, fiet re$i$tentia Globi ad ejus pondus, ut 0,0000583V+0,0007546V1/2+0,0022169V<SUP>2</SUP> ad longitudinem Penduli inter centrum $u$pen$ionis & Regulam, id e$t, ad 121 digitos. Unde cum V in ca$u $ecundo de$ignet 1, in quarto 4, in $exto 16: erit re$i$tentia ad pondus Globi in ca$u $ecundo ut 0,0030298 ad 121, in quarto ut 0,0417402 ad 121, in $exto ut 0,61675 ad 121. <p>Arcus quem punctum in filo notatum in ca$u $exto de$crip$it, erat 120-(8/9 2/3) $eu (119 5/29) digitorum. Et propterea cum radius e$$et 121 digitorum, & longitudo Penduli inter punctum $u$pen$ionis <pb n=286> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> & centrum Globi e$$et 126 digitorum, arcus quem centrum Globi de$crip$it erat (124 1/31) digitorum. Quoniam corporis o$cillantis ve- locitas maxima, ob re$i$tentiam Aeris, non incidit in punctum infi- mum arcus de$cripti, $ed in medio fere loco arcus totius ver$atur: hæc eadem erit circiter ac $i Globus de$cen$u $uo toto in Medio non re$i$tente de$criberet arcus illius partem dimidiam digitorum (62 1/62), idque in Cycloide, ad quam motum Penduli $upra reduxi- mus: & propterea velocitas illa æqualis erit velocitati quam Glo- bus, perpendiculariter cadendo & ca$u $uo de$cribendo altitudinem arcus illius $inui ver$o æqualem, acquirere po$$et. E$t autem $inus ille ver$us in Cycloide ad arcum i$tum (62 1/62) ut arcus idem ad pen- duli longitudinem duplam 252, & propterea æqualis digitis 15,278. Quare velocitas ea ip$a e$t quam corpus cadendo & ca$u $uo $pa- tium 15,278 digitorum de$cribendo acquirere po$$et. Tali igitur cum velocitate Globus re$i$tentiam patitur, quæ $it ad ejus pondus ut 0,61675 ad 121, vel ($i re$i$tentiæ pars illa $ola $pectetur quæ e$t in velocitatis ratione duplicata) ut 0,56752 ad 121. <p>Experimento autem Hydro$tatico inveni quod pondus Globi hu- jus lignei e$$et ad pondus Globi aquei magnitudinis eju$dem, ut 55 ad 97: & propterea cum 121 $it ad 213,4 in eadem ratione, erit re$i$tentia Globi aquei præfata cum velocitate progredientis ad ip- $ius pondus, ut 0,56752 ad 213,4 id e$t, ut 1 ad (376 1/50). Unde cum pondus Globi aquei, quo tempore Globus cum velocitate unifor- miter continuata de$cribat longitudinem digitorum 30,556, veloci- tatem illam omnem in Globo cadente generare po$$et; manife$tum e$t quod vis re$i$tentiæ eodem tempore uniformiter continuata tol- lere po$$et velocitatem minorem in ratione 1 ad (376 1/50), hoc e$t, ve- locitatis totius partem (1/(376 1/50)). Et propterea quo tempore Globus, ea cum velocitate uniformiter continuata, longitudinem $emidiame- tri $uæ, $eu digitorum (3 7/16), de$cribere po$$et, eodem amitteret mo- tus $ui partem (1/3342). <p>Numerabam etiam o$cillationes quibus Pendulum quartam mo- tus $ui partem ami$it. In $equente Tabula numeri $upremi deno- tant longitudinem arcus de$cen$u primo de$cripti, in digitis & par- tibus digiti expre$$am: numeri medii $ignificant longitudinem ar- cus a$cen$u ultimo de$cripti; & loco infimo $tant numeri o$cilla- tionum. Experimentum de$crip$i tanquam magis accuratum quam cum motus pars tantum octava amitteretur. Calculum tentet qui volet. <pb n=287> <MARG>LIBER SECUNDUS.</MARG> <TABLE> <TR> <TD><I>De$cen$us primus</I></TD> <TD ALIGN="RIGHT">2</TD> <TD ALIGN="RIGHT">4</TD> <TD ALIGN="CENTER">8</TD> <TD>16</TD> <TD>32</TD> <TD>64</TD> </TR> <TR> <TD><I>A$cen$us ultimus</I></TD> <TD ALIGN="RIGHT">1 1/2</TD> <TD ALIGN="RIGHT">3</TD> <TD ALIGN="CENTER">6</TD> <TD>12</TD> <TD>34</TD> <TD>48</TD> </TR> <TR> <TD><I>Numerus O$cillat.</I></TD> <TD ALIGN="RIGHT">374</TD> <TD ALIGN="RIGHT">272</TD> <TD ALIGN="CENTER">162 1/2</TD> <TD>83 1/3</TD> <TD>41 2/3</TD> <TD>22 2/3</TD> </TR> </TABLE> <p>Po$tea Globum plumbeum, diametro digitorum 2, & pondere unciarum <I>Romanarum</I> 26 1/4, $u$pendi filo eodem, $ic ut inter cen- trum Globi & punctum $u$pen$ionis intervallum e$$et pedum 10 1/2, & numerabam o$cillationes quibus data motus pars amitteretur. Tabularum $ub$equentium prior exhibet numerum o$cillationum quibus pars octava motus totius ce$$avit; $ecunda numerum o$cil- lationum quibus eju$dem pars quarta ami$$a fuit. <TABLE> <TR> <TD><I>De$cen$us primus</I></TD> <TD ALIGN="RIGHT">1</TD> <TD ALIGN="RIGHT">2</TD> <TD ALIGN="RIGHT">4</TD> <TD ALIGN="RIGHT">8</TD> <TD ALIGN="RIGHT">16</TD> <TD ALIGN="RIGHT">32</TD> <TD ALIGN="RIGHT">64</TD> </TR> <TR> <TD><I>A$cen$us ultimus</I></TD> <TD ALIGN="RIGHT">7/8</TD> <TD ALIGN="RIGHT">7/4</TD> <TD ALIGN="RIGHT">3 1/2</TD> <TD ALIGN="RIGHT">7</TD> <TD ALIGN="RIGHT">14</TD> <TD ALIGN="RIGHT">28</TD> <TD ALIGN="RIGHT">56</TD> </TR> <TR> <TD><I>Numerus O$cillat.</I></TD> <TD ALIGN="RIGHT">226</TD> <TD ALIGN="RIGHT">228</TD> <TD ALIGN="RIGHT">193</TD> <TD ALIGN="RIGHT">140</TD> <TD ALIGN="RIGHT">90 1/2</TD> <TD ALIGN="RIGHT">53</TD> <TD ALIGN="RIGHT">30</TD> </TR> <TR> <TD></TD> <TD></TD> <TD></TD> <TD></TD> <TD></TD> <TD></TD> <TD></TD> <TD></TD> </TR> <TR> <TD><I>De$cen$us primus</I></TD> <TD ALIGN="RIGHT">1</TD> <TD ALIGN="RIGHT">2</TD> <TD ALIGN="RIGHT">4</TD> <TD ALIGN="RIGHT">8</TD> <TD ALIGN="RIGHT">16</TD> <TD ALIGN="RIGHT">32</TD> <TD ALIGN="RIGHT">64</TD> </TR> <TR> <TD><I>A$cen$us ultimus</I></TD> <TD ALIGN="RIGHT">3/4</TD> <TD ALIGN="RIGHT">1 1/2</TD> <TD ALIGN="RIGHT">3</TD> <TD ALIGN="RIGHT">6</TD> <TD ALIGN="RIGHT">12</TD> <TD ALIGN="RIGHT">24</TD> <TD ALIGN="RIGHT">48</TD> </TR> <TR> <TD><I>Numerus O$cillat.</I></TD> <TD ALIGN="RIGHT">510</TD> <TD ALIGN="RIGHT">518</TD> <TD ALIGN="RIGHT">420</TD> <TD ALIGN="RIGHT">318</TD> <TD ALIGN="RIGHT">204</TD> <TD ALIGN="RIGHT">121</TD> <TD ALIGN="RIGHT">70</TD> </TR> </TABLE> <p>In Tabula priore $eligendo ex ob$ervationibus tertiam, quintam & $eptimam, & exponendo velocitates maximas in his ob$erva- tionibus particulatim per numeros 1, 4, 16 re$pective, & genera- liter per quantitatem V ut $upra: emerget in ob$ervatione tertia (1/2/193)=A+B+C, in quinta (2/90 1/2)=4A+8B+16C, in $eptima (8/30)=16A+64B+256C. Hæ vero æquationes reductæ dant A=0,001414, B=0,000297, C=0,000879. Et inde prodit re$i- $tentia Globi cum velocitate V moti, in ea ratione ad pondus $uum unciarum 26 1/4, quam habet 0,0009V+0,000207V1/2+0,000659V<SUP>2</SUP> ad penduli longitudinem 121 digitorum. Et $i $pectemus eam $o- lummodo re$i$tentiæ partem quæ e$t in duplicata ratione velocitatis, hæc erit ad pondus Globi ut 0,000659V<SUP>2</SUP> ad 121 digitos. Erat au- tem hæc pars re$i$tentiæ in experimento primo ad pondus Globi lignei unciarum (57 7/22), ut 0,002217V<SUP>2</SUP> ad 121: & inde fit re$i$tentia Globi lignei ad re$i$tentiam Globi plumbei (paribus eorum velocita- tibus) ut (57 7/22) in 0,002217 ad 26 1/4 in 0,000659, id e$t, ut 7 1/3 ad 1. Diametri Globorum duorum erant 6 7/8 & 2 digitorum, & harum quadrata $unt ad invicem ut 47 1/4 & 4, $eu (11 11/16) & 1 quamproxime. Ergo re$i$tentiæ Globorum æquivelocium erant in minore ratione quam duplicata diametrorum. At nondum con$ideravimus re$i- <pb n=288> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> $tentiam fili, quæ certe permagna erat, ac de pendulorum inventa re$i$tentia $ubduci debet. Hanc accurate definire non potui, $ed majorem tamen inveni quam partem tertiam re$i$tentiæ totius mi- noris penduli; & inde didici quod re$i$tentiæ Globorum, dempta fili re$i$tentia, $unt quam proxime in duplicata ratione diametro- rum. Nam ratio 7 1/3-1/3 ad 1-1/3, $eu 10 1/2 ad 1, non longe abe$t a diametrorum ratione duplicata (11 11/16) ad 1. <p>Cum re$i$tentia fili in Globis majoribus minoris $it momenti, tentavi etiam experimentum in Globo cujus diameter erat 18 1/4 di- gitorum. Longitudo penduli inter punctum $u$pen$ionis & cen- trum o$cillationis erat digitorum 122 1/2, inter punctum $u$pen$ionis & nodum in filo 109 1/2 dig. Arcus primo penduli de$cen$u a no- do de$criptus, 32 dig. Arcus a$cen$u ultimo po$t o$cillationes quinque ab eodem nodo de$criptus, 28 dig. Summa arcuum $eu arcus totus o$cillatione mediocri de$criptus, 60 dig. Differentia arcuum 4 dig. Ejus pars decima $eu differentia inter de$cen$um & a$cen$um in o$cillatione mediocri 2/5 dig. Ut radius 109 1/2 ad radi- um 122 1/2, ita arcus totus 60 dig. o$cillatione mediocri a nodo de- $criptus, ad arcum totum 67 1/8 dig. o$cillatione mediocri a centro Globi de$criptum: & ita differentia 2/5 ad differentiam novam 0,4475. Si longitudo penduli, manente longitudine arcus de$cripti, augere- tur in ratione 126 ad 122 1/2; tempus o$cillationis augeretur & velo- citas penduli diminueretur in ratione illa $ubduplicata, maneret vero arcuum de$cen$u & $ub$equente a$cen$u de$criptorum diffe- rentia 0,4475. Deinde $i arcus de$criptus augeretur in ratione (124 1/31) ad 67 1/8, differentia i$ta 0,4475 augeretur in duplicata illa ra- tione, adeoque evaderet 1,5295. Hæc ita $e haberent, ex hy- pothe$i quod re$i$tentia Penduli e$$et in duplicata ratione velo- citatis. Ergo $i pendulum de$criberet arcum totum (124 1/31) di- gitorum, & longitudo ejus inter punctum $u$pen$ionis & cen- trum o$cillationis e$$et 126 digitorum, differentia arcuum de- $cen$u & $ub$equente a$cen$u de$criptorum foret 1,5295 digito- rum. Et hæc differentia ducta in pondus Globi penduli, quod erat unciarum 208, producit 318,136. Rur$us ubi pendulum $uperius ex Globo ligneo con$tructum, centro o$cillationis, quod a puncto $u$pen$ionis digitos 126 di$tabat, de$cribebat arcum totum (124 1/31) digitorum, differentia arcuum de$cen$u & a$cen$u de$criptum fuit (126/121) in (8/9 2/3), quæ ducta in pondus Globi, quod erat unciarum (57 1/22), producit 49,396. Duxi autem differentias ha$ce in pondera Glo- borum ut invenirem eorum re$i$tentias. Nam differentiæ ori- <pb n=289> untur ex re$i$tentiis, $untque ut re$i$tentiæ directe & pondera in- <MARG>LIBER SECUNDUS.</MARG> ver$e. Sunt igitur re$i$tentiæ ut numeri 318,136 & 49,396. Pars autem re$i$tentiæ Globi minoris, quæ e$t in duplicata ratione velo- citatis, erat ad re$i$tentiam totam, ut 0,56752 ad 0,61675, id e$t, ut 45,453 ad 49,396; & pars re$i$tentiæ Globi majoris propemodum æquatur ip$ius re$i$tentiæ toti; adeoque partes illæ $unt ut 318,136 & 45,453 quamproxime, id e$t, ut 7 & 1. Sunt autem Globorum diametri 18 1/4 & 6 7/8; & harum quadrata (351 9/16) & (47 17/64) $unt ut 7,438 & 1, id e$t, ut Globorum re$i$tentiæ 7 & 1 quamproxime. Diffe- rentia rationum haud major e$t quam quæ ex fili re$i$tentia oriri po- tuit. Igitur re$i$tentiarum partes illæ quæ $unt, paribus Globis, ut quadrata velocitatum; $unt etiam, paribus velocitatibus, ut qua- drata diametrorum Globorum. <p>Cæterum Globorum, quibus u$us $um in his experimentis, max- imus non erat perfecte Sphæricus, & propterea in calculo hic allato minutias qua$dam brevitatis gratia neglexi; de calculo accurato in experimento non $atis accurato minime $ollicitus. Optarim itaque (cum demon$tratio Vacui ex his dependeat) ut experimenta cum Globis & pluribus & majoribus & magis accuratis tentarentur. Si Globi $umantur in proportione Geometrica, puta quorum diametri $int digitorum 4, 8, 16, 32; ex progre$$ione experimentorum col- ligetur quid in Globis adhuc majoribus evenire debeat. <p>Jam vero conferendo re$i$tentias diver$orum Fluidorum inter $e tentavi $equentia. Arcam ligneam paravi longitudine pedum qua- tuor, latitudine & altitudine pedis unius. Hanc operculo nuda- tam implevi aqua fontana, fecique ut immer$a pendula in medio aquæ o$cillando moverentur. Globus autem plumbeus pondere 166 1/6 unciarum, diametro 3 5/8 digitorum, movebatur ut in Tabula $equente de$crip$imus, exi$tente videlicet longitudine penduli a puncto $u$pen$ionis ad punctum quoddam in filo notatum 126 di- gitorum, ad o$cillationis autem centrum 134 1/8 digitorum. <TABLE> <TR> <TD><I>Arcus de$cen$u primo a puncto in filo notato de$criptus, digitorum</I></TD> <TD ALIGN="RIGHT">64</TD> <TD ALIGN="RIGHT">32</TD> <TD ALIGN="RIGHT">16</TD> <TD ALIGN="RIGHT">8</TD> <TD ALIGN="RIGHT">4</TD> <TD ALIGN="RIGHT">2</TD> <TD ALIGN="RIGHT">1</TD> <TD ALIGN="RIGHT"><*></TD> <TD ALIGN="RIGHT">1/4</TD> </TR> <TR> <TD><I>Arcus a$cen$u ultimo de$criptus, digitorum</I></TD> <TD ALIGN="RIGHT">48</TD> <TD ALIGN="RIGHT">24</TD> <TD ALIGN="RIGHT">12</TD> <TD ALIGN="RIGHT">6</TD> <TD ALIGN="RIGHT">3</TD> <TD ALIGN="RIGHT">1 1/4</TD> <TD ALIGN="RIGHT">1/4</TD> <TD ALIGN="RIGHT">1/8</TD> <TD ALIGN="RIGHT">(1/16)</TD> </TR> <TR> <TD><I>Arcuum differentia motui ami$$o proportionalis, digitorum</I></TD> <TD ALIGN="RIGHT">16</TD> <TD ALIGN="RIGHT">8</TD> <TD ALIGN="RIGHT">4</TD> <TD ALIGN="RIGHT">2</TD> <TD ALIGN="RIGHT">1</TD> <TD ALIGN="RIGHT">1/2</TD> <TD ALIGN="RIGHT">1/4</TD> <TD ALIGN="RIGHT">1/8</TD> <TD ALIGN="RIGHT">(1/16)</TD> </TR> <TR> <TD><I>Numerus O$cillationum in aqua</I></TD> <TD></TD> <TD></TD> <TD ALIGN="RIGHT">(29/60)</TD> <TD ALIGN="RIGHT">1 1/5</TD> <TD ALIGN="RIGHT">3</TD> <TD ALIGN="RIGHT">7</TD> <TD ALIGN="RIGHT">11 1/4</TD> <TD ALIGN="RIGHT">12 <*>/3</TD> <TD ALIGN="RIGHT">13 1/3</TD> </TR> <TR> <TD><I>Numerus O$cillationum in aere</I></TD> <TD ALIGN="RIGHT">85 1/2</TD> <TD></TD> <TD ALIGN="RIGHT">287</TD> <TD ALIGN="RIGHT">535</TD> <TD></TD> <TD></TD> <TD></TD> <TD></TD> <TD></TD> </TR> </TABLE> <pb n=290> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> <p>In experimento columnæ quartæ, motus æquales o$cillationibus 535 in aere, & 1 1/5 in aqua ami$$i $unt. Erant quidem o$cillationes in aere paulo celeriores quam in aqua. At $i o$cillationes in aqua in ea ratione accelerarentur ut motus pendulorum in Medio utro- que fierent æquiveloces, maneret numerus idem o$cillationum 1 1/5 in aqua, quibus motus idem ac prius amitteretur; ob re$i$tentiam auctam & $imul quadratum temporis diminutum in eadem ratione illa duplicata. Paribus igitur pendulorum velocitatibus motus æ- quales in aere o$cillationibus 535 & in aqua o$cillationibus 1 1/5 ami$$i $unt; ideoque re$i$tentia penduli in aqua e$t ad ejus re$i$tentiam in aere ut 535 ad 1 1/5. Hæc e$t proportio re$i$tentiarum totarum in ca$u columnæ quartæ. <p>De$ignet jam AV+CV differentiam arcuum in de$cen$u & $ub- $equente a$cen$u de$criptorum a Globo, in Aere cum velocitate maxi- ma V moto; & cum velocitas maxima, in ca$u columnæ quartæ, $it ad velocitatem maximam in ca$u columnæ primæ, ut 1 ad 8; & diffe- rentia illa arcuum, in ca$u columnæ quartæ, ad differentiam in ca$u columnæ primæ ut (2/535) ad (16/85 1/2), $eu ut 85 1/2 ad 4280: $eribamus in his ca$ibus 1 & 8 pro velocitatibus, atque 85 1/2 & 4280 pro dif- ferentiis arcuum, & fiet A+C=85 1/2 & 8A+64C=4280 $eu A+8C=535; indeque per reductionem æquationum proveniet 7C=449 1/2 & C=(64 1/14) & A=21 1/7: atque adeo re$i$tentia, cum $it ut (7/11) AV+1/4 CV<SUP>2</SUP>, erit ut (13 6/11)V+(48 1/56)V<SUP>2</SUP>. Quare in ca$u co- lumnæ quartæ, ubi velocitas erat 1, re$i$tentia tota e$t ad partem $uam quadrato velocitatis proportionalem, ut (13 6/11)+(48 <*>/56) $eu (61 12/17) ad (48 9/56); & idcirco re$i$tentia penduli in aqua e$t ad re$i$ten- tiæ partem illam in aere quæ quadrato velocitatis proportionalis e$t, quæque $ola in motibus velocioribus con$ideranda venit, ut (61 12/17) ad (48 9/56) & 535 ad 1 1/5 conjunctim, id e$t, ut 571 ad 1. Si penduli in aqua o$cillantis filum totum fui$$et immer$um, re$i$tentia ejus fui$$et adhuc major; adeo ut penduli in aere o$cillantis re$i$tentia illa quæ velocitatis quadrato proportionalis e$t, quæque $ola in corporibus velocioribus con$ideranda venit, $it ad re$i$tentiam e- ju$dem penduli totius, eadem cum velocitate, in aqua o$cillantis, ut 800 vel 900 ad 1 circiter, hoc e$t, ut den$itas aquæ ad den$ita- tatem aeris quamproxime. <p>In hoc calculo $umi quoque deberet pars illa re$i$tentiæ penduli in aqua, quæ e$$et ut quadratum velocitatis, $ed (quod mirum for- te videatur) re$i$tentia in aqua augebatur in ratione velocitatis <pb n=291> plu$quam duplicata. Ejus rei cau$am inve$tigando, in hanc in- <MARG>LIBER SECUNDUS.</MARG> cidi, quod Arca nimis angu$ta e$$et pro magnitudine Globi pen- duli, & motum aquæ cedentis præ angu$tia $ua nimis impedic- bat. Nam $i Globus pendulus, cujus diameter erat digiti u- nius, immergeretur; re$i$tentia augebatur in duplicata ratione ve- locitatis quam proxime. Id tentabam con$truendo pendulum ex Globis duobus, quorum inferior & minor o$cillaretur in aqua, $u- perior & major proxime $upra aquam filo affixus e$$et, & in Aere o$cillando, adjuvaret motum penduli eumque diuturniorem redde- ret. Experimenta autem hoc modo in$tituta $e habebant ut in Ta- bula $equente de$cribitur. <TABLE> <TR> <TD><I>Arcus de$cen$u primo de$criptus</I></TD> <TD ALIGN="CENTER">16</TD> <TD ALIGN="CENTER">8</TD> <TD ALIGN="CENTER">4</TD> <TD ALIGN="CENTER">2</TD> <TD ALIGN="CENTER">1</TD> <TD ALIGN="CENTER">1/2</TD> <TD ALIGN="CENTER">1/4</TD> </TR> <TR> <TD><I>Arcus a$cen$u ultimo de$criptus</I></TD> <TD ALIGN="CENTER">12</TD> <TD ALIGN="CENTER">6</TD> <TD ALIGN="CENTER">3</TD> <TD ALIGN="CENTER">1 1/2</TD> <TD ALIGN="CENTER">1/4</TD> <TD ALIGN="CENTER">1/8</TD> <TD ALIGN="CENTER">(1/16)</TD> </TR> <TR> <TD><I>Arcuum diff. motui ami$$o proport.</I></TD> <TD ALIGN="CENTER">4</TD> <TD ALIGN="CENTER">2</TD> <TD ALIGN="CENTER">1</TD> <TD ALIGN="CENTER">1/2</TD> <TD ALIGN="CENTER">1/4</TD> <TD ALIGN="CENTER">1/8</TD> <TD ALIGN="CENTER">(1/16)</TD> </TR> <TR> <TD><I>Numerus O$cillationum</I></TD> <TD ALIGN="CENTER">3 1/8</TD> <TD ALIGN="CENTER">6 1/2</TD> <TD ALIGN="CENTER">(12 1/12)</TD> <TD ALIGN="CENTER">21 1/5</TD> <TD ALIGN="CENTER">34</TD> <TD ALIGN="CENTER">53</TD> <TD ALIGN="CENTER">62 1/5</TD> </TR> </TABLE> <p>Conferendo re$i$tentias Mediorum inter $e, effeci etiam ut pen- dula ferrea o$cillarentur in argento vivo. Longitudo fili ferrei erat pedum qua$i trium, & diameter Globi penduli qua$i tertia pars di- giti. Ad filum autem proxime $upra Mercurium affixus erat Glo- bus alius plumbeus $atis magnus ad motum penduli diutius conti- nuandum. Tum va$culum, quod capiebat qua$i libras tres argenti vivi, implebam vicibus alternis argento vivo & aqua communi, ut pendulo in Fluido utroque $ucce$$ive o$cillante, invenirem propor- tionem re$i$tentiarum: & prodiit re$i$tentia argenti vivi ad re$i- $tentiam aquæ, ut 13 vel 14 ad 1 circiter: id e$t, ut den$itas argen- ti vivi ad den$itatem aquæ. Ubi Globum pendulum paulo majo- rem adhibebam, puta cujus diameter e$$et qua$i 1/3 vel <*>/3 partes di- giti, prodibat re$i$tentia argenti vivi in ea ratione ad re$i$tentiam aquæ quam habet numerus 12 vel 10 ad 1 circiter. Sed experi- mento priori magis fidendum e$t, propterea quod in his ultimis Vas nimis angu$tum fuit pro magnitudine Globi immer$i. Am- pliato Globo, deberet etiam Vas ampliari. Con$titueram quidem huju$modi experimenta in va$is majoribus & in liquoribus tum Metallorum fu$orum, tum aliis quibu$dam tam calidis quam fri- gidis repetere: $ed omnia experiri non vacat, & ex jam de$criptis $atis liquet re$i$tentiam corporum celeriter motorum den$itati Flu- idorum in quibus moventur proportionalem e$$e quam proxime. Non dico accurate. Nam Fluida tenaciora, pari den$itate, procul- <pb n=292> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> dubio magis re$i$tunt quam liquidiora, ut Oleum frigidum quam calidum, calidum quam aqua pluvialis, aqua quam Spiritus Vini. Verum in liquoribus qui ad $en$um $atis fluidi $unt, ut in Aere, in Aqua $eu dulci $eu $al$a, in Spiritibus Vini, Terebinthi & Salium, in Oleo a fæcibus per de$tillationem liberato & calefacto, Oleoque Vitrioli & Mercurio, ac Metallis liquefactis, & $iqui $int alii, qui tam fluidi $unt ut in va$is agitati motum impre$$um diutius con- $ervent, effu$ique liberrime in guttas decurrendo re$olvantur, nul- lus dubito quin regula allata $atis accurate obtineat: præ$ertim $i experimenta in corporibus pendulis & majoribus & velocius motis in$tituantur. <p>Denique cum recepti$$ima Philo$ophorum ætatis hujus opinio $it, Medium quoddam æthereum & longe $ubtili$$imum extare, quod omnes omnium corporum poros & meatus liberrime per- meet; a tali autem Medio per corporum poros fluente re$i$tentia oriri debeat: ut tentarem an re$i$tentia, quam in motis corporibus experimur, tota $it in eorum externa $uperficie, an vero partes eti- am internæ in $uperficiebus propriis re$i$tentiam notabilem $enti- ant, excogitavi experimentum tale. Filo pedum undecim longitu- dinis, ab unco chalyoeo $atis firmo, mediante annulo chalybeo, $u- $pendebam pyxidem abiegnam rotundam, ad con$tituendum pen- dulum longitudinis prædictæ. Uncus $ur$um præacutus erat acie concava, ut annulus arcu $uo $uperiore aciei innixus liberrime mo- veretur. Arcui autem inferiori annectebatur filum. Pendulum ita con$titutum deducebam a perpendiculo ad di$tantiam qua$i pedum $ex, idque $ecundum planum aciei unci perpendiculare, ne annu- lus, o$cillante pendulo, $upra aciem unci ultro citroque laberetur. Nam punctum $u$pen$ionis, in quo annulus uncum tangit, immo- tum manere debet. Locum igitur accurate notabam, ad quem de- duxeram pendulum, dein pendulo demi$$o notabam alia tria loca ad quæ redibat in fine o$cillationis primæ, $ecundæ ac tertiæ. Hoc re- petebam $æpius, ut loca illa quam potui accurati$$ime invenirem. Tum pyxidem plumbo & gravioribus, quæ ad manus erant, me- tallis implebam. Sed prius ponderabam pyxidem vacuam, una cum parte fili quæ circum pyxidem volvebatur ac dimidio par- tis reliquæ inter uncum & pyxidem pendulam tendebatur. (Nam filum ten$um dimidio ponderis $ui pendulum a perpendiculo digre$$um $emper urget.) Huic ponderi addebam pondus Aeris quem pyxis capiebat. Et pondus totum erat qua$i pars $eptuage- $ima octava pyxidis metallorum plenæ. Tum quoniam pyxis me- <pb n=293> tallorum plena, pondere $uo tendendo filum, augebat longitudi- <MARG>LIBER SECUNDUS.</MARG> nem penduli, contrahebam filum ut penduli jam o$cillantis eadem e$$et longitudo ac prius. Dein pendulo ad locum primo notatum retracto ac dimi$$o, numerabam o$cillationes qua$i $eptuaginta & $eptem, donec pyxis ad locum $ecundo notatum rediret, totidem- que $ubinde donec pyxis ad locum tertio notatum rediret, atque rur$us totidem donec pyxis reditu $uo attingeret locum quartum. Unde concludo quod re$i$tentia tota pyxidis plenæ non majorem habebat proportionem ad re$i$tentiam pyxidis vacuæ quam 78 ad 77. Nam $i æquales e$$ent ambarum re$i$tentiæ, pyxis plena ob vim $uam in$itam $eptuagies & octies majorem vi in$ita pyxidis vacuæ, motum $uum o$cillatorium tanto diutius con$ervare debe- ret, atque adeo completis $emper o$cillationibus 78 ad loca illa notata redire. Rediit autem ad eadem completis o$cillationibus 77. <p>De$ignet igitur A re$i$tentiam pyxidis in ip$ius $uperficie exter- na, & B re$i$tentiam pyxidis vacuæ in partibus internis; & $i re$i- $tentiæ corporum æquivelocium in partibus internis $int ut mate- ria, $eu numerus particularum quibus re$i$titur: erit 78 B re$i$ten- tia pyxidis plenæ in ip$ius partibus internis: adeoque pyxidis va- cuæ re$i$tentia tota A+B erit ad pyxidis plenæ re$i$tentiam to- tam A+78 B ut 77 ad 78, & divi$im A+B ad 77 B, ut 77 ad 1, indeque A+B ad B ut 77X77 ad 1, & divi$im A ad B ut 5928 ad 1. E$t igitur re$i$tentia pyxidis vacuæ in partibus internis quinquies millies minor quam eju$dem re$i$tentia in externa $uper- ficie, & amplius. Sic vero di$putamus ex Hypothe$i quod ma- jor illa re$i$tentia pyxidis plenæ, non ab alia aliqua cau$a latente oriatur, $ed ab actione $ola Fluidi alicujus $ubtilis in metallum inclu$um. <p>Hoc experimentum recitavi memoriter. Nam charta, in qua il- lud aliquando de$crip$eram, intercidit. Unde fractas qua$dam nu- merorum partes, quæ memoria exciderunt, omittere compul$us $um. Nam omnia denuo tentare non vacat. Prima vice, cum un- co infirmo u$us e$$em, pyxis plena citius retardabatur. Cau$am quærendo, reperi quod uncus infirmus cedebat ponderi pyxidis, & ejus o$cillationibus ob$equendo in partes omnes flectebatur. Para- bam igitur uncum firmum, ut punctum $u$pen$ionis immotum ma- neret, & tunc omnia ita evenerunt uti $upra de$crip$imus. <pb n=294> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> <C>SECTIO VII.</C> <C><I>De Motu Fluidorum & Re$i$tentia Projectilium.</I></C> <C>PROPOSITIO XXXII. THEOREMA XXVI.</C> <p><I>Si Corporum Sy$temata duo $imilia ex æquali particularum numero con$tent, & partioulæ corre$pondentes $imiles $int & propor- tionales, $ingulæ in uno Sy$temate $ingulis in altero, & $imiliter $itæ inter $e, ac datam habeant rationem den$itatis ad invicem, & inter $e temporibus proportionalibus $imiliter moveri inci- piant, (eæ inter $e quæ in uno $unt Sy$temate & eæ inter $e quæ $unt in altero) & $i non tangant $e mutuo quæ in eodem $unt Sy$temate, ni$i in momentis reflexionum, neque attrahant vel fu- gent $e mutuo, ni$i viribus acceleratricibus quæ $int ut particu- larum corre$pondentium diametri inver$e & quadrata velocita. tum directe: dico quod Sy$tematum particulæ illæ pergent inter $e temporibus proportionalibus $imiliter moveri.</I> <p>Corpora $imilia & $imiliter $ita temporibus proportionalibus in- ter $e $imiliter moveri dico, quorum $itus ad invicem in fine tem- porum illorum $emper $unt $imiles: puta $i particulæ unius Sy$te- matis cum alterius particulis corre$pondentibus conferantur. Un- de tempora erunt proportionalia, in quibus $imiles & proportiona- les Figurarum $imilium partes a particulis corre$pondentibus de- $cribuntur. Igitur $i duo $int eju$modi Sy$temata, particulæ cor- re$pondentes, ob $imilitudinem incæptorum motuum, pergent $i- militer moveri u$que donec $ibi mutuo occurrant. Nam $i nullis agitantur viribus, progredientur uniformiter in lineis rectis per mo- tus Leg. 1. Si viribus aliquibus $e mutuo agitant, & vires illæ $int ut particularum corre$pondentium diametri inver$e & quadrata ve- locitatum directe; quoniam particularum $itus $unt $imiles & vires proportionales, vires totæ quibus particulæ corre$pondentes agi- tantur, ex viribus $ingulis agitantibus (per Legum Corollarium <pb n=295> fecundum) compo$itæ, $imiles habebunt determinationes, perin- <MARG>LIBER SECUNDUS.</MARG> de ac $i centra inter particulas $imiliter $ita re$picerent; & erunt vires illæ totæ ad invicem ut vires $ingulæ componentes, hoc e$t, ut corre$pondentium particularum diametri inver$e, & quadrata velocitatum directe: & propterea efficient ut corre$pondentes par- ticulæ figuras $imiles de$eribere pergant. Hæc ita $e habebunt per Corol. 1, & 8 Prop. IV, Lib. 1. $i modo centra illa quie$cant. Sin moveantur, quoniam ob tran$lationum $imilitudinem, $imiles manent eorum $itus inter Sy$tematum particulas; $imiles indu- centur mutationes in figuris quas particulæ de$cribunt. Similes igi- tur erunt corre$pondentium & $imilium particularum motus u$- que ad occur$us $uos primos, & propterea $imiles occur$us, & $i- miles reflexiones, & $ubinde (per jam o$ten$a) $imiles motus in- ter $e donec iterum in $e mutuo inciderint, & $ic deinceps in in- finitum. <I>Q.E.D.</I> <p><I>Corol.</I> 1. Hinc $i corpora duo quævis, quæ $imilia $int & ad Sy$tematum particulas corre$pondentes $imiliter $ita, inter ip$as temporibus proportionalibus $imiliter moveri incipiant, $intque eorum magnitudines ac den$itates ad invicem ut magnitudines ac den$itates corre$pondentium particularum: hæc pergent tempori- bus proportionalibus $imiliter moveri. E$t enim eadem ratio par- tium majorum Sy$tematis utriu$que atque particularum. <p><I>Corol.</I> 2. Et $i $imiles & $imiliter po$itæ Sy$tematum partes om- nes quie$cant inter $e: & earum duæ, quæ cæteris majores $int, & $ibi mutuo in utroque Sy$temate corre$pondeant, $ecundum lineas $imiliter $itas $imili cum motu utcunque moveri incipiant: hæ $i- miles in reliquis Sy$tematum partibus excitabunt motus, & pergent inter ip$as temporibus proportionalibus $imiliter moveri; atque adeo $patia diametris $uis proportionalia de$cribere. <C>PROPOSITIO XXXIII. THEOREMA XXVII.</C> <p><I>Ii$dem po$itis, dico quod Sy$tematum partes majores re$i$tituntur in ratione compo$ita ex duplicata ratione velocitatum $uarum & duplicata ratione diametrorum & ratione den$itatis partium Sy$tematum.</I> <p>Nam re$i$tentia oritur partim ex viribus centripetis vel centri- fugis quibus particulæ Sy$tematum $e mutuo agitant, partim ex occur$ibus & reflexionibus particularum & partium majorum. <pb n=296> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> Prioris autem generis re$i$tentiæ $unt ad invicem ut vires totæ mo- trices a quibus oriuntur, id e$t, ut vires totæ acceleratrices & quan- titates materiæ in partibus corre$pondentibus; hoc e$t (per Hy- pothe$in) ut quadrata velocitatum directe & di$tantiæ particula- rum corre$pondentium inver$e & quantitates materiæ in partibus corre$pondentibus directe: ideoque (cum di$tantiæ particularum Sy- $tematis unius $int ad di$tantias corre$pondentes particularum alte- rius, ut diameter particulæ vel partis in Sy$temate priore ad dia- metrum particulæ vel partis corre$pondentis in altero, & quantita- tes materiæ $int ut den$itates partium & cubi diametrorum) re$i- $tentiæ $unt ad invicem ut quadrata velocitatum & quadrata dia- metrorum & den$itates partium Sy$tematum. <I>Q.E.D.</I> Po$te- rioris generis re$i$tentiæ $unt ut reflexionum corre$pondentium nu- meri & vires conjunctim. Numeri autem reflexionum $unt ad in- vicem ut velocitates partium corre$pondentium directe, & $patia inter earum reflexiones inver$e. Et vires reflexionum $unt ut ve- locitates & magnitudines & den$itates partium corre$pondentium conjunctim; id e$t, ut velocitates & diametrorum cubi & den$ita- tes partium. Et conjunctis his omnibus rationibus, re$i$tentiæ partium corre$pondentium $unt ad invicem ut quadrata veloci- tum & quadrata diametrorum & den$itates partium conjunctim. <I>Q.E.D.</I> <p><I>Corol.</I> 1. Igitur $i Sy$temata illa $int Fluida duo Ela$tica ad modum Aeris, & partes eorum quie$cant inter $e: corpora autem duo $imilia & partibus fluidorum quoad magnitudinem & den$ita- tem proportionalia, & inter partes illas $imiliter po$ita, $ecundum lineas $imiliter po$itas utcunque projiciantur; vires autem acce- leratrices, quibus particulæ Fluidorum $e mutuo agitant, $int ut corporum projectorum diametri inver$e, & quadrata velocitatum directe: corpora illa temporibus proportionalibus $imiles excita- bunt motus in Fluidis, & $patia $imilia ac diametris $uis propor- tionalia de$cribent. <p><I>Corol.</I> 2. Proinde in eodem Fluido projectile velox re$i$tentiam pa- titur quæ e$t in duplicata ratione velocitatis quam proxime. Nam $i vires, quibus particulæ di$tantes $e mutuo agitant, augerentur in duplicata ratione velocitatis, re$i$tentia foret in eadem ratione du- plicata accurate; ideoque in Medio, cujus partes ab invicem di$tan- tes $e$e viribus nullis agitant, re$i$tentia e$t in duplicata ratione ve- locitatis accurate. Sunto igitur Media tria <I>A, B, C</I> ex partibus $imilibus & æqualibus & $ecundum di$tantias æquales regulariter <pb n=297> di$po$itis con$tantia. Partes Mediorum <I>A</I> & <I>B</I> fugiant $e mutuo <MARG>LIBER SECUNDUS.</MARG> viribus quæ $int ad invicem ut <I>T</I> & <I>V,</I> illæ Medii <I>C</I> eju$mo- di viribus omnino de$tituantur. Et $i corpora quatuor æqualia <I>D, E, F, G</I> in his Mediis moveantur, priora duo <I>D</I> & <I>E</I> in pri- oribus duobus <I>A</I> & <I>B,</I> & altera duo <I>F</I> & <I>G</I> in tertio <I>G</I>; $itque ve- locitas corporis <I>D</I> ad velocitatem corporis <I>E,</I> & velocitas corpo- ris <I>F</I> ad velocitatem corporis <I>G,</I> in $ubduplicata ratione virium <I>T</I> ad vires <I>V</I>: re$i$tentia corporis <I>D</I> erit ad re$i$tentiam corporis <I>E,</I> & re$i$tentia corporis <I>F</I> ad re$i$tentiam corporis <I>G,</I> in velocitatum ratione duplicata; & propterea re$i$tentia corporis <I>D</I> erit ad re$i- $tentiam corporis <I>F</I> ut re$i$tentia corporis <I>E</I> ad re$i$tentiam corpo- ris <I>G.</I> Sunto corpora <I>D</I> & <I>F</I> æquivelocia ut & corpora <I>E</I> & <I>G</I>; & augendo velocitates corporum <I>D</I> & <I>F</I> in ratione quacunque, ac diminuendo vires particularum Medii <I>B</I> in eadem ratione duplicata, accedet Medium <I>B</I> ad formam & conditionem Medii <I>C</I> pro lubi- tu, & idcirco re$i$tentiæ corporum æqualium & æquivelocium <I>E</I> & <I>G</I> in his Mediis, perpetuo accedent ad æqualitatem, ita ut ea- rum differentia evadat tandem minor quam data quævis. Proinde cum re$i$tentiæ corporum <I>D</I> & <I>F</I> $int ad invicem ut re$i$tentiæ cor- porum <I>E</I> & <I>G,</I> accedent etiam hæ $imiliter ad rationem æqualita- tis. Corporum igitur <I>D</I> & <I>F,</I> ubi veloci$$ime moventur, re$i$ten- tiæ $unt æquales quam proxime: & propterea cum re$i$tentia cor- poris <I>F</I> $it in duplicata ratione velocitatis, erit re$i$tentia corporis <I>D</I> in eadem ratione quam proxime. <p><I>Corol.</I> 3. Igitur corporis in Fluido quovis Ela$tico veloci$$ime moti eadem fere e$t re$i$tentia ac $i partes Fluidi viribus $uis centrifugis de$tituerentur, $eque mutuo non fugerent: $i modo Fluidi vis Ela$tica ex particularum viribus centrifugis oriatur, & velocitas adeo magna $it ut vires non habeant $atis temporis ad agendum. <p><I>Corol.</I> 4. Proinde cum re$i$tentiæ $imilium & æquivelocium cor- porum, in Medio cujus partes di$tantes $e mutuo non fugiunt, $int ut quadrata diametrorum; $unt etiam æquivelocium & celerrime motorum corporum re$i$tentiæ in Fluido Ela$tico ut quadrata diametrorum quam proxime. <p><I>Corol.</I> 5. Et cum corpora $imilia, æqualia & æquivelocia, in Mediis eju$dem den$itatis, quorum particulæ $e mutuo non fu- giunt, $ive particulæ illæ $int plures & minores, $ive pauciores & majores, in æqualem materiæ quantitatem temporibus æqualibus inpingant, eique æqualem motus quantitatem imprimant, & vi- <pb n=298> <MARG>DE MOTU CORPORUM.</MARG> ci$$im (per motus Legem tertiam) æqualem ab eadem reactionem patiantur, hoc e$t, æqualiter re$i$tantur: manife$tum e$t etiam quod in eju$dem den$itatis Fluidis Ela$ticis, ubi veloci$$ime mo- ventur, æquales $int eorum re$i$tentiæ quam proxime; $ive Fluida illa ex particulis cra$$ioribus con$tent, $ive ex omnium $ubtili$$i- mis con$tituantur. Ex Medii $ubtilitate re$i$tentia projectilium ce- lerrime motorum non multum diminuitur. <p><I>Corol.</I> 6. Hæc omnia ita $e habent in Fluidis, quorum vis Ela- $tica ex particularum viribus centrifugis originem ducit. Quod $i vis illa aliunde oriatur, veluti ex particularum expan$ione ad in$tar Lanæ vel ramorum Arborum, aut ex alia quavis cau$a, qua motus particularum inter $e redduntur minus liberi: re$i$tentia, ob mi- norem Medii fluiditatem, erit major quam in $uperioribus Co- rollariis. <C>PROPOSITIO XXXIV. THEOREMA XXVIII.</C> <p><I>Si Globus & Cylindrus æqualibus diametris de$cripti, in Medio raro ex particulis æqualibus & ad æquales ab invicem di$tan- tias libere di$po$itis con$tante, $ecundum plagam axis Cylindri, æquali cum velocitate moveantur: erit re$i$tentia Globi duplo minor quam re$i$tentia Cylindri.</I> <p>Nam quoniam actio Medii in corpus eadem e$t (per Legum Corol, 5.) $ive corpus in Medio quie$cente moveatur, $ive Medii particulæ eadem cum velocitate impingant in corpus quie$cens: con$ideremus corpus tanquam quie$cens, & videamus quo impetu urgebitur a Medio movente. <FIG> De$ignet igitur <I>ABKI</I> cor- pus Sphæricum centro <I>C</I> $e- midiametro <I>CA</I> de$criptum, & incidant particulæ Medii data cum velocitate in cor- pus illud Sphæricum, $ecun- dum rectas ip$i <I>AC</I> paralle- las: Sitque <I>FB</I> eju$modi recta. In ea capiatur <I>LB</I> $emidiametro <I>CB</I> æqualis, & ducatur <I>BD</I> quæ Sphæram tangat in <I>B.</I> In <I>KC</I> & <I>BD</I> de- <pb n=299> mittantur perpendiculares <I>BE, DL,</I> & vis qua particula Medii, <MARG>LIBER SECUNDUS.</MARG> $ecundum rectam <I>FB</I> oblique incidendo, Globum ferit in <I>B,</I> erit ad vim qua particula eadem Cylindrum <I>ONGQ</I> axe <I>ACI</I> circa Globum de$criptum perpendiculariter feriret in <I>b,</I> ut <I>LD</I> ad <I>LB</I> vel <I>BE</I> ad <I>BC.</I> Rur$us efficacia hujus vis ad movendum Globum $ecundum incidentiæ $uæ plagam <I>FB</I> vel <I>AC,</I> e$t ad eju$- dem efficaciam ad movendum Globum $ecundnm plagam determi- nationis $uæ, id e$t, $ecundum plagam rectæ <I>BC</I> qua Globum di- recte urget, ut <I>BE</I> ad <I>BC.</I> Et conjunctis rationibus, efficacia particulæ, in Globum $ecundum rectam <I>FB</I> oblique incidentis, ad movendum eundem $ecundum plagam incidentiæ $uæ, e$t ad effi- caciam particulæ eju$dem $ecundum eandem rectam in Cylindrum perpendiculariter incidentis, ad ip$um movendum in plagam ean- dem, ut <I>BE</I> quadratum ad <I>BC</I> quadratum. Quare $i ad Cylin- dri ba$em circularem <I>NAO</I> erigatur perpendiculum <I>bHE,</I> & $it <I>bE</I> æqualis radio <I>AC,</I> & <I>bH</I> æqualis (<I>BE quad/CB</I>): erit <I>bH</I> ad <I>bE</I> ut effectus particulæ in Globum ad effectum particulæ in Cylin- drum. Et propterea $olidum quod à rectis omnibus <I>bH</I> occu- patur erit ad $olidum quod à rectis omnibus <I>bE</I> occupatur, ut effectus particularum omnium in Globum ad effectum particu- larum omnium in Cylindrum. Sed $olidum prius e$t Parabolois vertice <I>C,</I> axe <I>CA</I> & latere recto <I>CA</I> de$criptum, & $olidum po$terius e$t Cylindrus Paraboloidi circum$criptus: & notum e$t quod Parabolois $it $emi$$is Cylindri circum$cripti. Ergo vis tota Medii in Globum e$t duplo minor quam eju$dem vis tota in Cylindrum. Et propterea $i particulæ Medii quie$cerent, & Cylindrus ac Globus æquali cum velocitate moverentur, foret re- $i$tentia Globi duplo minor quam re$i$tentia Cylindri. <I>Q.E.D.</I> <C><I>Scholium.</I></C> <p>Eadem methodo Figuræ aliæ inter $e quo- <FIG> ad re$i$tentiam comparari po$$unt, eæque in- veniri quæ ad motus $uos in Mediis re$i$ten- tibus continuandos aptiores $unt. Ut $i ba$e circulari <I>CEBH,</I> quæ centro <I>O,</I> radio <I>OC</I> de$cribitur, & altitudine <I>OD,</I> con$truen- dum $it fru$tum Coni <I>CBGF,</I> quod omni- um eadem ba$i & altitudine con$tructorum & $ecundum plagam <pb n=300> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> axis $ui ver$us <I>D</I> progredientium fru$torum minime re$i$tatur: bi- $eca altitudinem <I>OD</I> in <I>Q</I> & produc <I>OQ</I> ad <I>S</I> ut $it <I>QS</I> æqua- lis <I>QC,</I> & erit <I>S</I> vertex Coni cujus fru$tum quæritur. <p>Unde obiter, cum angulus <I>CSB</I> $emper $it acutus, con$equens e$t, quod $i $olidum <I>ADBE</I> convolutione $iguræ Ellipticæ vel Ovalis <I>ADBE</I> circa axem <I>AB</I> facta generetur, & tangatur figura generans à rectis tribus <I>FG, GH, HI</I> in punctis <I>F, B</I> & <I>I,</I> ea lege ut <I>GH</I> $it perpendicularis ad axem in puncto contactus <I>B,</I> & <I>FG, HI</I> cum eadem <I>GH</I> contineant angulos <I>FGB, BHI</I> graduum 135: $olidum, quod convolutione figuræ <I>ADFGHIE</I> circa axem eundem <I>CB</I> generatur, minus re$i$titur quam $olidum prius; $i modo utrumque $ecundum plagam axis $ui <I>AB</I> progre- diatur, & utriu$que terminus <I>B</I> præcedat. Quam quidem propo$i- tionem in con$truendis Navibus non inutilem futuram e$$e cen$eo. <p>Quod $i Figura <I>DNFG</I> eju$modi $it curva ut, $i ab <FIG> ejus puncto quovis <I>N</I> ad axem <I>AB</I> demittatur per- pendiculum <I>NM,</I> & à pun- cto dato <I>G</I> ducatur recta <I>GR</I> quæ parallela $it rectæ figuram tangenti in <I>N,</I> & axem productum $ecet in <I>R,</I> fuerit <I>MN</I> ad <I>GR</I> ut <I>GR cub</I> ad 4 <I>BRXGBq</I>: Solidum quod figuræ hujus revolutione circa axem <I>AB</I> facta de- $cribitur, in Medio raro prædicto ab <I>A</I> ver$us <I>B</I> movendo, minus re$i$tetur quam aliud quodvis eadem longitudine & latitudine de- $criptum Solidum circulare. <C>PROPOSITIO XXXV. PROBLEMA VII.</C> <p><I>Si Medium rarum ex particulis quam minimis quie$centibus æqua- libus & ad æquales ab invicem di$tantias libere di$po$itis con- $tet: invenire re$i$tentiam Globi in hoc Medio uniformitor pro- gredientis.</I> <p><I>Cas.</I> 1. Cylindrus eadem diametro & altitudine de$criptus pro- gredi intelligatur eadem velocitate $ecundum longitudinem axis $ui in eodem Medio. Et ponamus quod particulæ Medii in quas <pb n=301> Globus vel Cylindrus incidit, vi reflexionis quam maxima re$iliant. <MARG>LIBER SECUNDUS.</MARG> Et cum re$i$tentia Globi (per Propo$itionem novi$$imam) $it duplo minor quam re$i$tentia Cylindri, & Globus $it ad Cylindrum ut duo ad tria, & Cylindrus incidendo perpendiculariter in particulas ip$a$que quam maxime reflectendo, duplam $ui ip$ius velocitatem ip$is communicet: Cylindrus quo tempore dimidiam longitudinem axis $ui de$cribit communicabit motum particulis qui $it ad totum Cylindri motum ut den$itas Medii ad den$itatem Cylindri; & Glo- bus quo tempore totam longitudinem diametri $uæ de$cribit, com- municabit motum eundem particulis; & quo tempore duas tertias partes diametri $uæ de$cribit communicabit motum particulis qui $it ad totum Globi motum ut den$itas Medii ad den$itatem Globi. Et propterea Globus re$i$tentiam patitur quæ $it ad vim qua totus ejus motus vel auferri po$$it vel generari quo tempore duas tertias partes diametri $uæ de$cribit, ut den$itas Medii ad den$itatem Globi. <p><I>Cas.</I> 2. Ponamus quod particulæ Medii in Globum vel Cylin- drum incidentes non reflectantur; & Cylindrus incidendo perpen- diculariter in particulas $implicem $uam velocitatem ip$is commu- nicabit, ideoque re$i$tentiam patitur duplo minorem quam in pri- ore ca$u, & re$i$tentia Globi erit etiam duplo minor quam prius. <p><I>Cas.</I> 3. Ponamus quod particulæ Medii vi reflexionis neque ma- xima neque nulla, $ed mediocri aliqua re$iliant a Globo; & re$i- $tentia Globi erit in eadem ratione mediocri inter re$i$tentiam in primo ca$u & re$i$tentiam in $ecundo. <I>Q.E.I.</I> <p><I>Corol.</I> 1. Hinc $i Globus & particulæ $int infinite dura, & vi om- ni ela$tica & propterea etiam vi omni reflexionis de$tituta: re- $i$tentia Globi erit ad vim qua totus ejus motus vel auferri po$$it vel generari, quo tempore Globus quatuor tertias partes diametri $uæ de$cribit, ut den$itas Medii ad den$itatem Globi. <p><I>Corol.</I> 2. Re$i$tentia Globi, cæteris paribus, e$t in duplicata ra- tione velocitatis. <p><I>Corol.</I> 3. Re$i$tentia Globi, cæteris paribus, e$t in duplicata ra- tione diametri. <p><I>Corol.</I> 4. Re$i$tentia Globi, cæteris paribus, e$t ut den$itas Medii. <p><I>Corol.</I> 5. Re$i$tentia Globi e$t in ratione quæ componitur ex du- plicata ratione velocitatis & duplicata ratione diametri & ratione den$itatis Medii. <pb n=302> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> <p><I>Corol.</I> 6. Et motus Globi cum ejus re$i$tentia $ic exponi pote$t. Sit <I>AB</I> tempus quo Globus per re$i$tentiam $uam uniformiter con- tinuatam totum $uum motum amit- <FIG> tere pote$t. Ad <I>AB</I> erigantur per- pendicula <I>AD, BC.</I> Sitque <I>BC</I> motus ille totus, & per punctum <I>C</I> A$ymptotis <I>AD, AB</I> de$cribatur Hyperbola <I>CF.</I> Producatur <I>AB</I> ad punctum quodvis <I>E.</I> Erigatur per- pendiculum <I>EF</I> Hyperbolæ occur- rens in <I>F.</I> Compleatur parallelo- grammum <I>CBEG,</I> & agatur <I>AF</I> ip$i <I>BC</I> occurrens in <I>H.</I> Et $i Globus tempore quovis <I>BE,</I> motu $uo primo <I>BC</I> uniformiter continuato, in Medio non re$i$tente de- $cribat $patium <I>CBEG</I> per aream parallelogrammi expo$itum, idem in Medio re$i$tente de$cribet $patium <I>CBEF</I> per aream Hyper- bolæ expo$itum, & motus ejus in fine temporis illius exponetur per Hyperbolæ ordinatam <I>EF,</I> ami$$a motus ejus parte <I>FG.</I> Et re$i$tentia ejus in fine temporis eju$dem exponetur per longitudi- nem <I>BH,</I> ami$$a re$i$tentiæ parte <I>CH.</I> Patent hæc omnia per Corol. 1. Prop. v. Lib. II. <p><I>Corol.</I> 7. Hinc $i Globus tempore T per re$i$tentiam R unifor- miter continuatam amittat motum $uum totum M: idem Globus tem- pore <I>t</I> in Medio re$i$tente, per re$i$tentiam R in duplicata velocitatis ratione decre$centem, amittet motus $ui M partem (<I>t</I>M/T+<I>t</I>), manente parte (TM/T+<I>t</I>), & de$cribet $patium quod $it ad $patium motu uni- formi M eodem tempore <I>t</I> de$criptum, ut Logarithmus numeri (T+<I>t</I>/T) multiplicatus per numerum 2,302585092994 e$t ad nume- rum <I>t</I>/T. Nam area Hyperbolica <I>BCFE</I> e$t ad rectangulum <I>BCGE</I> in hac proportione. <C><I>Scholium.</I></C> <p>In hac Propo$itione expo$ui re$i$tentiam & retardationem Pro- jectilium Sphæricorum in Mediis non continuis, & o$tendi quod hæc re$i$tentia $it ad vim qua totus Globi motus vel tolli po$$it vel <pb n=303> generari quo tempore Globus duas tertias diametri $uæ partes, ve- <MARG>LIBER SECUNDUS.</MARG> locitate uniformiter continuata de$cribat, ut den$itas Medii ad den$itatem Globi, $i modo Globus & particulæ Medii $int $umme ela$tica & vi maxima reflectendi polleant: quodque hæc vis $it duplo minor ubi Globus & particulæ Medii $unt infinite dura & vi reflectendi pror$us de$tituta. In Medus autem continuis qualia $unt Aqua, Oleum calidum, & Argentum vivum, in quibus Globus non incidit immediate in omnes fluidi particulas re$i$tentiam gene- rantes, $ed premit tantum proximas particulas & hæ premunt alias & hæ alias, re$i$tentia e$t adhuc duplo minor. Globus utique in huju$modi Mediis fluidi$$imis re$i$tentiam patitur quæ e$t ad vim qua totus ejus motus vel tolli po$$it vel generari quo tempore, motu illo uniformiter continuato, partes octo tertias diametri $uæ de$cribat, ut den$itas Medii ad den$itatem Globi. Id quod in $e- quentibus conabimur o$tendere. <C>PROPOSITIO XXXVI. PROBLEMA VIII.</C> <p><I>Aquæ de va$e Cylindrico per foramen in fundo factum effluentis definire motum.</I> <p>Sit <I>ACDB</I> vas cylindricum, <I>AB</I> ejus orificium $uperius, <I>CD</I> fundum horizonti parallelum, <I>EF</I> foramen circulare in medio fundi, <I>G</I> centrum foraminis, & <I>GH</I> axis cylindri horizonti per- pendicularis. Et concipe cylindrum gla- <FIG> ciei <I>APQB</I> eju$dem e$$e latitudinis cum cavitate va$is, & axem eundem ha- bere, & uniformi cum motu perpetuo de$cendere, & partes ejus quam primum attingunt $uperficiem <I>AB</I> lique$cere, & in aquam conver$as gravitate $ua defluere in vas, & cataractam vel columnam aquæ <I>ABNFEM</I> cadendo formare, & per foramen <I>EF</I> tran$ire, idemque adæquate implere. Ea vero $it uniformis veloci- tas glaciei de$cendentis ut & aquæ con- tiguæ in circulo <I>AB,</I> quam aqua caden- do & ca$u $uo de$cribendo altitudinem <I>IH</I> acquirere pote$t; & jaceant <I>IH</I> & <I>HG</I> in directum, & per punctum <I>I</I> ducatur recta <I>KL</I> horizonti parallela & lateribus gla- <pb n=304> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> ciei occurrens in <I>K</I> & <I>L.</I> Et velocitas aquæ effluentis per fora- men <I>EF</I> ea erit quam aqua cadendo ab <I>I</I> & ca$u $uo de$cribendo altitudinem <I>IG</I> acquirere pote$t. Ideoque per Theoremata <I>Galilæi</I> erit <I>IG</I> ad <I>IH</I> in duplicata ratione velocitatis aquæ per foramen effluentis ad velocitatem aquæ in circulo <I>AB,</I> hoc e$t, in dupli- cata ratione circuli <I>AB</I> ad circulum <I>EF</I>; nam hi circuli $unt re- ciproce ut velocitates aquarum quæ per ip$os, eodem tempore & æquali quantitate, adæquate tran$eunt. De velocitate aquæ hori- zontem ver$us hic agitur. Et motus horizonti parallelus quo par- tes aquæ cadentis ad invicem accedunt, cum non oriatur a gravi- tate, nec motum horizonti perpendicularem à gravitate oriundum mutet, hic non con$ideratur. Supponimus quidem quod partes aquæ aliquantulum cohærent, & per cohæ$ionem $uam inter ca- dendum accedant ad invicem per motus horizonti parallelos, ut unicam tantum efforment cataractam & non in plures cataractas dividantur: $ed motum horizonti parallelum, a cohæ$ione illa ori- undum, hic non con$ideramus. <p><I>Cas.</I> 1. Concipe jam cavitatem totam in va$e, in circuitu aquæ cadentis <I>ABNFEM,</I> glacie plenam e$$e, ut aqua per glaciem tanquam per infundibulum tran$eat. Et $i aqua glaciem tantum non tangat vel, quod perinde e$t, $i tangat & per glaciem propter $ummam ejus polituram quam liberrime & $ine omni re$i$tentia la- batur; hæc defluet per foramen <I>EF</I> eadem velocitate ac prius, & pondus totum columnæ aquæ <I>ABNFEM</I> impendetur in deflu- xum ejus generandum uti prius, & fundum va$is $u$tinebit pon- dus glaciei columnam ambientis. <p>Lique$cat jam glacies in va$e; & effluxus aquæ quoad velocita- tem, idem manebit ac prius. Non minor erit, quia glacies in aquam re$oluta conabitur de$cendere: non major, quia glacies in aquam re$oluta non pote$t de$cendere ni$i impediendo de$cen$um aquæ alterius de$cen$ui $uo æqualem. Eadem vis eandem aquæ effluen- tis velocitatem generare debet. <p>Sed foramen in fundo va$is, propter obliquos motus particula- rum aquæ effluentis, paulo majus e$$e debet quam prius. Nam par- ticulæ aquæ jam non tran$eunt omnes per foramen perpendicula- riter; $ed a lateribus va$is undique confluentes & in foramen con- vergentes, obliquis tran$eunt motibus; & cur$um $uum deor$um flectentes in venam aquæ exilientis con$pirant, quæ exilior e$t pau- lo infra foramen quam in ip$o foramine, exi$tente ejus diametro ad diametrum foraminis ut 5 ad 6, vel 5 1/2 ad 6 1/2 quam proxime, $i <pb n=305> modo diametros recte dimen$us $um. Parabam utique laminam <MARG>LIBER SECUNDUS.</MARG> planam pertenuem in medio perforatam, exi$tente circularis fora- minis diametro partium quinque octavarum digiti. Et ne vena aquæ exilientis cadendo acceleraretur & acceleratione redderetur angu$tior, hanc laminam non fundo $ed lateri va$is affixi $ic, ut vena illa egrederetur $ecundum lineam horizonti parallelam. Dein ubi vas aquæ plenum e$$et, aperui foramen ut aqua efflueret; & venæ diameter, ad di$tantiam qua$i dimidii digiti â $oramine quam accurati$$ime men$urata, prodiit partium viginti & unius quadrage$i- marum digiti. Erat igitur diameter foraminis hujus circularis ad diametrum venæ ut 25 ad 21 quamproxime. Per experimenta vero con$tat quod quantitas aquæ quæ per foramen circulare in fundo va$is factum effluit, ea e$t quæ, pro diametro venæ, cum velocitate prædicta effluere debet. <p>In $equentibus igitur, plano foraminis parallelum duci intelliga- tur planum aliud $uperius ad di$tantiam diametro foraminis æqua- lem vel paulo majorem & foramine majore pertu$um, per quod utique vena cadat quæ adæquate impleat <FIG> foramen inferius <I>EF,</I> atque adeo cujus diameter $it ad diametrum foraminis in- ferioris ut 25 ad 21 circiter. Sic enim vena per foramen inferius perpendicu- lariter tran$ibit; & quantitas aquæ ef- fluentis, pro magnitudine foraminis hu- jus, ea erit quam $olutio Problematis po- $tulat quamproxime. Spatium vero quod planis duobus & vena cadente clauditur, pro fundo va$is haberi pote$t. Sed ut $olutio Problematis $implicior $it & ma- gis Mathematica, præ$tat adhibere pla- num $olum inferius pro fundo va$is, & fingere quod aqua quæ per glaciem ceu per infundibulum deflue- bat, & è va$e per foramen <I>EF</I> egrediebatur, motum $uum per- petuo $ervet & glacies quietem $uam etiam$ in aquam fluidam re$olvatur. <p><I>Cas.</I> 2. Si foramen <I>EF</I> non $it in medio fundi va$is, $ed fun- dum alibi perforetur: aqua effluet eadem cum velocitate ac prius, $i modo eadem $it foraminis magnitudo. Nam grave majori qui- dem tempore de$cendit ad eandem profunditatem per lineam ob- liquam quam per lineam perpendicularem, $ed de$cendendo ean- <pb n=306> <MARG>DE MOTU CORPORUM.</MARG> dem velocitatem acquirit in utroque ca$u, ut <I>Galilæus</I> demon- $travit. <p><I>Cas.</I> 3. Eadem e$t aquæ velocitas effluentis per foramen in la- tere va$is. Nam $i foramen parvum $it, ut intervallum inter $uper- ficies <I>AB</I> & <I>KL</I> quoad $en$um evane$cat, & vena aquæ hori- zontaliter exilientis figuram Parabolicam efformet: ex latere recto hujus Parabolæ colligetur, quod velocitas aquæ effluentis ea $it quam corpus ab aquæ in va$e $tagnantis altitudine <I>HG</I> vel <I>IG</I> ca- dendo acquirere potui$$et. Facto utique experimento inveni quod, $i altitudo aquæ $tagnantis $upra foramen e$$et viginti digitorum & altitudo foraminis $upra planum horizonti parallelum e$$et quo- que viginti digitorum, vena aquæ pro$ilientis incideret in planum illud ad di$tantiam digitorum 37 circiter à perpendiculo quod in planum illud à foramine demittebatur captam. Nam $ine re$i$ten- tia vena incidere debui$$et in planum illud ad di$tantiam digitorum 40, exi$tente venæ Parabolicæ latere recto digitorum 80. <p><I>Cas.</I> 4. Quinetiam aqua effluens, $i $ur$um feratur, eadem egre- ditur cum velocitate. A$cendit enim aquæ exilientis vena parva motu perpendiculari ad aquæ in va$e $tagnantis altitudinem <I>GH</I> vel <I>GI,</I> ni$i quatenus a$cen$us ejus ab aeris re$i$tentia aliquantu- lum impediatur; ac proinde ea effluit cum velocitate quam ab al- titudine illa cadendo acquirere potui$$et. <FIG> Aquæ $tagnantis particula unaquæque undique premitur æqualiter, per Prop. XIX. Lib. II, & pre$$ioni cedendo æquali impetu in omnes partes fertur, $ive de- $cendat per foramen in fundo va$is, $ive horizontaliter effluat per foramen in ejus latere, $ive egrediatur in canalem & inde a$cendat per foramen parvum in $uperiore canalis parte factum. Et velocitatem qua aqua effluit, eam e$$e quam in hac Pro- po$itione a$$ignavimus, non $olum rati- one colligitus, $ed etiam per experimenta noti$$ima jam de$cripta manife$tum e$t. <p><I>Cas.</I> 5. Eadem e$t aquæ effluentis velocitas $ive figura foraminis $it circularis $ive quadrata vel triangularis aut alia quæcunque cir- culari æqualis. Nam velocitas aquæ effluentis non pendet à figura foraminis $ed ab ejus altitudine infra planum <I>KL.</I> <p><I>Cas.</I> 6. Si va$is <I>ABDC</I> pars inferior in aquam $tagnantem im- <pb n=307> mergatur, & altitudo aquæ $tagnantis $upra fundum va$is $it <I>GR</I>: <MARG>LIBER SECUNDUS.</MARG> velocitas quacum aqua quæ in va$e e$t, effluet per foramen <I>EF</I> in aquam $tagnantem, ea erit quam aqua cadendo & ca$u $uo de- $cribendo altitudinem <I>IR</I> acquirere pote$t. Nam pondus aquæ omnis in va$e quæ inferior e$t $uperficie aquæ $tagnantis, $u$tine- bitur in æquilibrio per pondus aquæ $tagnantis, ideoque motum aquæ de$cendentis in va$e minime accelerabit. Patebit etiam & hic Ca$us per Experimenta, men$urando $cilicet tempora qui- bus aqua effluit. <p><I>Corol.</I> 1. Hinc $i aquæ altitudo <I>CA</I> producatur ad <I>K,</I> ut $it <I>AK</I> ad <I>CK</I> in duplicata ratione areæ foraminis in quavis fundi parte facti, ad aream circuli <I>AB</I>: velocitas aquæ effluentis æqualis erit velocitati quam aqua cadendo & ca$u $uo de$cribendo altitudinera <I>KC</I> acquirere pote$t. <p><I>Corol.</I> 2. Et vis qua totus aquæ exilientis motus generari pote$t, æqualis e$t ponderi Cylindricæ columnæ aquæ cujus ba$is e$t fora- men <I>EF,</I> & altitudo 2<I>GI</I> vel 2<I>CK.</I> Nam aqua exiliens quo tempore hanc columnam æquat, pondere $uo ab altitudine <I>GI</I> ca- dendo, velocitatem $uam qua exilit, acquirere pote$t. <p><I>Corol.</I> 3. Pondus aquæ totius in va$e <I>ABDC,</I> e$t ad ponderis partem quæ in defluxum aquæ impenditur, ut $umma circulorum <I>AB</I> & <I>EF,</I> ad duplum circulum <I>EF.</I> Sit enim <I>IO</I> media pro- portionalis inter <I>IH</I> & <I>IG</I>; & aqua per foramen <I>EF</I> egrediens, quo tempore gutta cadendo ab <I>I</I> de$cribere po$$et altitudinem <I>IG,</I> æqualis erit Cylindro cujus ba$is e$t circulus <I>EF</I> & altitudo e$t 2<I>IG,</I> id e$t, Cylindro cujus ba$is e$t circulus <I>AB</I> & altitudo e$t 2<I>IO,</I> nam circulus <I>EF</I> e$t ad circulum <I>AB</I> in $ubduplicata ratione altitudinis <I>IH</I> ad altitudinem <I>IG,</I> hoc e$t, in $implici ratione me- diæ proportionalis <I>IO</I> ad altitudinem <I>IG</I>: & quo tempore gutta cadendo ab <I>I</I> de$cribere pote$t altitudinem <I>IH,</I> aqua egrediens æqualis erit Cylindro cujus ba$is e$t circulus <I>AB</I> & altitudo e$t 2<I>IH</I>: & quo tempore gutta cadendo ab <I>I</I> per <I>H</I> ad <I>G</I> de$cribit altitudinum differentiam <I>HG,</I> aqua egrediens, id e$t, aqua tota in $olido <I>ABNFEM</I> æqualis erit differentiæ Cylindrorum, id e$t, Cylindro cujus ba$is e$t <I>AB</I> & altitudo 2<I>HO.</I> Et propterea aqua tota in va$e <I>ABDC</I> e$t ad aquam totam cadentem in $olido <I>ABNFEM</I> ut <I>HG</I> ad 2<I>HO,</I> id e$t, ut <I>HO+OG</I> ad 2<I>HO,</I> $eu <I>IH+IO</I> ad 2<I>IH.</I> Sed pondus aquæ totius in $olido <I>ABNFEM</I> in aquæ defluxum impenditur: ac pro- <pb n=308> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> inde pondus aquæ totius in va$e e$t ad ponderis partem quæ in defluxum aquæ impenditur, ut <I>IH+IO</I> ad 2<I>IH,</I> atque adeo ut $umma circulorum <I>EF</I> & <I>AB</I> ad duplum circulum <I>EF.</I> <p><I>Corol.</I> 4. Et hinc pondus aquæ totius in va$e <I>ABDC,</I> e$t ad ponderis partem alteram quam fundum va$is $u$tinet, ut $umma circulorum <I>AB</I> & <I>EF,</I> ad differentiam eorundem circulorum. <p><I>Corol.</I> 5. Et ponderis pars quam fundum va$is $u$tinet, e$t ad ponderis partem alteram quæ in defluxum aquæ impenditur, ut differentia circulorum <I>AB</I> & <I>EF,</I> ad duplum circulum minorem <I>EF,</I> $ive ut area fundi ad duplum foramen. <p><I>Corol.</I> 6. Ponderis autem pars qua $ola fundum urgetur, e$t ad pondus aquæ totius quæ fundo perpendiculariter incumbit, ut cir- culus <I>AB</I> ad $ummam circulorum <I>AB</I> & <I>EF,</I> $ive ut circulus <I>AB</I> ad exce$$um dupli circuli <I>AB</I> $upra fundum. Nam ponderis pars qua $ola fundum urgetur, e$t ad pondus aquæ totius in va$e, ut differentia circulorum <I>AB</I> & <I>EF,</I> ad $ummam eorundem cir- culorum, per Cor.4; & pondus aquæ totius in va$e e$t ad pondus aquæ totius quæ fundo perpendiculariter incumbit, ut circulus <I>AB</I> ad differentiam circulorum <I>AB</I> & <I>EF.</I> Itaque ex æquo perturbate, ponderis pars qua $ola fundum urgetur, e$t ad pondus aquæ totius quæ fundo perpendiculariter incumbit, ut circulus <I>AB</I> ad $ummam circulorum <I>AB</I> & <I>EF</I> vel exce$$um dupli cir- culi <I>AB</I> $upra fundum. <p><I>Corol.</I> 7. Si in medio foraminis <I>EF</I> <FIG> locetur Circellus <I>PQ</I> centro <I>G</I> de$cri- ptus & horizonti parallelus: pondus aquæ quam circellus ille $u$tinet, majus e$t pondere tertiæ partis Cylindri a- quæ cujus ba$is e$t circellus ille & al- titudo e$t <I>GH.</I> Sit enim <I>ABNFEM</I> cataracta vel columna aquæ cadentis axem habens <I>GH</I> ut $upra, & conge- lari intelligatur aqua omnis in va$e, tam in circuitu cataractæ quam $upra cir- cellum, cujus fluiditas ad prompti$$imum & celerrimum aquæ de$cen$um non requiritur. Et $it <I>PHQ</I> co- lumna aquæ $upra circellum congelata, verticem habens <I>H</I> & alti- tudinem <I>GH.</I> Et quemadmodum aqua in circuitu cataractæ con- gelata <I>AMEC, BNFD</I> convexa e$t in $uperficie interna <I>AME, BNF</I> ver$us cataractam cadentem, $ic etiam hæc columna <I>PHQ</I> <pb n=309> convexa erit ver$us cataractam, & propterea major Cono cujus ba- <MARG>LIBER SECUNDUS.</MARG> $is e$t circellus ille <I>PQ</I> & altitudo <I>GH,</I> id e$t, major tertia parte Cylindri eadem ba$e & altitudine de$cripti. Su$tinet autem cir- cellus ille pondus hujus columnæ, id e$t, pondus quod pondere Coni $eu tertiæ partis Cylindri illius majus e$t. <p><I>Corol.</I> 8. Pondus aquæ quam circellus v<*> parvus <I>PQ</I> $u$tinet, minor e$t pondere duarum tertiarum partium Cylindri aquæ cujus ba$is e$t circellus ille & altitudo e$t <I>HG.</I> Nam $tantibus jam po- $itis, de$cribi intelligatur dimidium Sphæroidis cujus ba$is e$t cir- cellus ille & $emiaxis $ive altitudo e$t <I>HG.</I> Et hæc figura æqualis erit duabus tertiis partibus Cylindri illius & comprehendet colum- nam aquæ congelatæ <I>PHQ</I> cujus pondus circellus ille $u$tinet. Nam ut motus aquæ $it maxime directus, columnæ illius $uper- ficies externa concurret cum ba$i <I>PQ</I> in angulo nonnihil acuto, propterea quod aqua cadendo perpetuo acceleratur & propter ac- celerationem fit tenuior; & cum angulus ille $it recto minor, hæc columna ad inferiores ejus partes jacebit intra dimidium Sphæroi- dis. Eadem vero $ur$um acuta erit $eu cu$pidata, ne horizontalis motus aquæ ad verticem Sphæroidis $it infinite velocior quam ejus motus horizontem ver$us. Et quo minor e$t circellus <I>PQ</I> eo acutior erit vertex columnæ; & circello in infinitum diminuto, an- gulus <I>PHQ</I> in infinitum diminuetur, & propterea columna ja- cebit intra dimidium Sphæroidis. E$t igitur columna illa minor dimidio Sphæroidis, $eu duabus tertiis partibus Cylindri cujus ba$is e$t circellus ille & altitudo <I>GH.</I> Su$tinet autem circellus vim aquæ ponderi hujus columnæ æqualem, cum pondus aquæ ambientis in defluxum ejus impendatur. <p><I>Corol.</I> 9. Pondus aquæ quam circellus valde parvus <I>PQ</I> $u$ti- net, æquale $et ponderi Cylindri aquæ cujus ba$is e$t circellus ille & altitudo e$t 1/2<I>GH</I> quamproxime. Nam pondus hocce e$t me- dium Arithmeticum inter pondera Coni & Hemi$phæroidis præ- dictæ. At $i circellus ille non $it valde parvus, $ed augeatur donec æquet foramen <I>EF</I>; hic $u$tinebit pondus aquæ totius $ibi per- pendiculariter imminentis, id e$t, pondus Cylindri aquæ cujus ba- $is e$t circellus ille & altitudo e$t <I>GH.</I> <p><I>Corol.</I> 10. Et (quantum $entio) pondus quod circellus $u$tinet, e$t $emper ad pondus Cylindri aquæ cujus ba$is e$t circellus ille & altitudo e$t 1/2<I>GH,</I> ut <I>EFq</I> ad <I>EFq</I>-1/2<I>PQq,</I> $ive ut circulus <I>EF</I> ad exce$$um circuli hujus $upra $emi$$em circelli <I>PQ</I> quam- proxime. <pb n=310> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> <C>LEMMA IV.</C> <p><I>Cylindri, qui $ecundum longitudinem $uam uniformiter progreditur, re$i$tentia ex aucta vel diminuta ejus longitudine non mutatur; ideoque cadem e$t cum re$i$tentia Circuli eadem diametro de- $cripti & eadem velocitate $ecundum lineam rectam plano ip- $ius perpendicularem progredientis.</I> <p>Nam latera Cylindri motui ejus minime opponuntur: & Cy- lindrus, longitudine ejus in infinitum diminuta, in Circulum vertitur. <C>PROPOSITIO XXXVII. THEOREMA XXIX.</C> <p><I>Cylindri, qui in fluide compre$$o infinito & non ela$tico $ecundum longitudinem $uam uniformiter progreditur, re$i$tentia quæ ori- tur a magnitudine $ectionis tran$ver$æ, e$t ad vim qua totus ejus motus interea dum quadruplum longitudinis $uæ de$cribit, vel tolli po$$it vel generari, ut den$itas Medii ad den$itatem Cylindri quamproxime.</I> <p>Nam $i vas <I>ABDC</I> fundo $uo <I>CD</I> $uperficiem aquæ $tagnan- tis tangat, & aqua ex hoc va$e per ca- <FIG> nalem Cylindricum <I>EFTS</I> horizonti perpendicularem in aquam $tagnantem effluat, locetur autem Circellus <I>PQ</I> ho- rizonti parallelus ubivis in medio ca- nalis, & producatur <I>CA</I> ad <I>K,</I> ut $it <I>AK</I> ad <I>CK</I> in duplicata ratione quam habet exce$$us orificii canalis <I>EF</I> $upra circellum <I>PQ</I> ad circulum <I>AB</I>: mani- fe$tum e$t (per Ca$.5, Ca$.6, & Cor. 1. Prop.XXXVI.) quod velocitas aquæ tran- $euntis per $patium annulare inter cir- cellum & latera va$is, ea erit quam aqua cadendo & ca$u $uo de$cribendo altitudinem <I>KC</I> vel <I>IG</I> acquirere pote$t. <pb n=311> <p>Et (per Cor. 10, Prop.XXXVI) $i va$is latitudo $it infinita, ut li- <MARG>LIBER SECUNDUS.</MARG> neola <I>HI</I> evane$cat & altitudines <I>IG, HG</I> æquentur: vis aquæ defluentis in circellum erit ad pondus Cylindri cujus ba$is e$t cir- cellus ille & altitudo e$t 1/2 <I>IG,</I> ut <I>EFq</I> ad <I>EFq</I>-1/2 <I>PQq</I> quam proxime. Nam vis aquæ, uniformi motu defluentis per totum ca- nalem, eadem erit in circellum <I>PQ</I> in quacunque canalis parte locatum. <p>Claudantur jam canalis orificia <I>EF, ST,</I> & a$cendat circellus in fluido undique compre$$o & a$cen$u $uo cogat aquam $uperiorem de$cendere per $patium annulare inter circellum & latera cana- lis: & velocitas circelli a$cendentis erit ad velocitatem aquæ de$cendentis ut differentia circulorum <I>EF</I> & <I>PQ</I> ad circulum <I>PQ,</I> & velocitas circelli a$cendentis ad $ummam velocitatum, hoc e$t, ad velocitatem relativam aquæ de$cendentis qua præ- terfluit circellum a$cendentem, ut differentia circulorum <I>EF</I> & <I>PQ</I> ad circulum <I>EF,</I> $ive ut <I>EFq-PQq</I> ad <I>EFq.</I> Sit illa velocitas relativa æqualis velocitati qua $upra o$ten$um e$t aquam tran$ire per idem $patium annulare dum circellus interea immotus manet, id e$t, velocitati quam aqua cadendo & ca$u $uo de$cribendo altitudinem <I>IG</I> acquirere pote$t: & vis aquæ in cir- cellum a$cendentem eadem erit ac prius, per Legum Cor. 5, id e$t, Re$i$tentia circelli a$cendentis erit ad pondus Cylindri aquæ cujus ba$is e$t circellus ille & altitudo e$t 1/2 <I>IG,</I> ut <I>EFq</I> ad <I>EFq</I>-1/2 <I>PQq</I> quamproxime. Velocitas autem circelli erit ad velocitatem quam aqua cadendo & ca$u $uo de$cribendo altitudinem <I>IG</I> acquirit, ut <I>EFq-PQq</I> ad <I>EFq.</I> <p>Augeatur amplitudo canalis in infinitum: & rationes illæ inter <I>EFq-PQq</I> & <I>EFq,</I> interque <I>EFq</I> & <I>EFq</I>-1/2 <I>PQq</I> acce- dent ultimo ad rationes æqualitatis. Et propterea Velocitas cir- celli ea nunc erit quam aqua cadendo & ca$u $uo de$cribendo al- titudinem <I>IG</I> acquirere pote$t, Re$i$tentia vero ejus æqualis eva- det ponderi Cylindri cujus ba$is e$t circellus ille & altitudo di- midium e$t altitudinis <I>IG,</I> a qua Cylindrus cadere debet ut velo- citatem circelli a$cendentis acquirat; & hac velocitate Cylindrus, tempore cadendi, quadruplum longitudinis $uæ de$cribet. Re$i- $tentia autem Cylindri, hac velocitate $ecundum longitudinem $uam progredientis, eadem e$t cum Re$i$tentia circelli per Lemma IV; ideoque æqualis e$t Vi qua motus ejus, interea dum quadruplum longitudinis $uæ de$cribit, generari pote$t quamproxime. <pb n=312> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> <p>Si longitudo Cylindri augeatur vel minuatur: motus ejus ut & tempus quo quadruplum longitudinis $uæ de$cribit, augebitur vel minuetur in eadem ratione; adeoque Vis illa qua motus auctus vel diminutus, tempore pariter aucto vel diminuto, generari vel tolli po$$it, non mutabitur; ac proinde etiamnum æqualis e$t re$i- $tentiæ Cylindri, nam & hæc quoque immutata manet per Lem- ma IV. <p>Si den$itas Cylindri augeatur vel minuatur: motus ejus ut & Vis qua motus eodem tempore generari vel tolli pote$t, in eadem ratione augebitur vel minuetur. Re$i$tentia itaque Cylindri cu- ju$cunque erit ad Vim qua totus ejus motus, interea dum quadru- plum longitudinis $uæ de$cribit, vel generari po$$it vel tolli, ut den$itas Medii ad den$itatem Cylindri quamproxime. <I>Q.E.D.</I> <p>Fluidum autem comprimi debet ut $it continuum, continuum vero e$$e & non ela$ticum ut pre$$io omnis quæ ab ejus compre$$i- one oritur propagetur in in$tanti &, in omnes moti corporis partes æqualiter agendo, re$i$tentiam non mutet. Pre$$io utique quæ a motu corporis oritur, impenditur in motum partium fluidi gene- randum & Re$i$tentiam creat. Pre$$io autem quæ oritur a com- pre$$ione fluidi, utcunque fortis $it, $i propagetur in in$tanti, nul- lum generat motum in partibus fluidi continui, nullam omnino in- ducit motus mutationem; ideoque re$i$tentiam nec auget nec mi- nuit. Certe Actio fluidi, quæ ab ejus compre$$ione oritur, fortior e$$e non pote$t in partes po$ticas corporis moti quam in ejus par- tes anticas, ideoque re$i$tentiam in hac Propo$itione de$criptam minuere non pote$t: & fortior non erit in partes anticas quam in po$ticas, $i modo propagatio ejus infinite velocior $it quam motus corporis pre$$i. Infinite autem velocior erit & propagabitur in in- $tanti, $i modo fluidum $it continuum & non ela$ticum. <p><I>Corol.</I> 1. Cylindrorum, qui $ecundum longitudines $uas in Mediis continuis infinitis uniformiter progrediuntur, re$i$tentiæ $unt in ra- tione quæ componitur ex duplicata ratione velocitatum & dupli- cata ratione diametrorum & ratione den$itatis Mediorum. <p><I>Corol.</I> 2. Si amplitudo canalis non augeatur in infinitum, $ed Cy- lindrus in Medio quie$cente inclu$o $ecundum longitudinem $uam progrediatur, & interea axis ejus cum axe canalis coincidat: Re$i- $tentia ejus erit ad vim qua totus ejus motus, quo tempore qua- druplum longitudinis $uæ de$cribit, vel generari po$$it vel tolli, in ratione quæ componitur ex ratione <I>EFq</I> ad <I>EFq</I>-1/2 <I>PQq</I> <pb n=313> $emel, & ratione <I>EFq</I> ad <I>EFq-PQq</I> bis, & ratione den$itatis <MARG>LIBER SECUNDUS.</MARG> Medii ad den$itatem Cylindri. <p><I>Corol.</I> 3. Ii$dem po$itis, & quod longitudo L $it ad quadru- plum longitudinis Cylindri in ratione quæ componitur ex ratione <I>EFq</I>-1/2 <I>PQq</I> ad <I>EFq</I> $emel, & ratione <I>EFq-PQq</I> ad <I>EFq</I> bis: re$i$tentia Cylindri erit ad vim qua totus ejus motus, interea dum longitudinem L de$cribit, vel tolli po$$it vel generari, ut den$itas Medii ad den$itatem Cylindri. <C><I>Scholium.</I></C> <p>In hac Propo$itione re$i$tentiam inve$tigavimus quæ oritur a $ola magnitudine tran$ver$æ $ectionis Cylindri, neglecta re$i$tentiæ parte quæ ab obliquitate motuum oriri po$$it. Nam quemadmo- dum in ca$u primo Propo$itionis XXXVI, obliquitas motuum qui- bus partes aquæ in va$e, undique convergebant in foramen <I>EF,</I> impedivit effluxum aquæ illius per foramen: $ic in hac Propo$iti- one, obliquitas motuum quibus partes aquæ ab anteriore Cylindri termino pre$$æ, cedunt pre$$ioni & undique divergunt, retardat eo- rum tran$itum per loca in circuitu termini illius antecedentis ver- $us po$teriores partes Cylindri, efficitque ut fluidum ad majorem di$tantiam commoveatur & re$i$tentiam auget, idque in ea fere ratione qua effluxum aquæ e va$e diminuit, id e$t, in ratione du- plicata 25 ad 21 circiter. Et quemadmodum, in Propo$itionis illius ca$u primo, effecimus ut partes aquæ perpendiculariter & maxima copia tran$irent per foramen <I>EF,</I> ponendo quod aqua omnis in va$e quæ in circuitu cataractæ congelata fuerat, & cujus motus obliquus erat & inutilis, maneret $ine motu: $ic in hac Propo$i- tione, ut obliquitas motuum tollatur, & partes aquæ motu maxime directo & brevi$$imo cedentes facillimum præbeant tran$itum Cy- lindro, & $ola maneat re$i$tentia quæ oritur a magnitudine $ecti- onis tran$ver$æ, quæque diminui non pote$t ni$i diminuendo dia- metrum Cylindri, concipiendum e$t quod partes fluidi quarum motus $unt obliqui & inutiles & re$i$tentiam creant, quie$cant in- ter $e ad utrumque Cylindri ter- <FIG> minum, & cohæreant & Cylindro jungantur. Sit <I>ABCD</I> rectan- gulum, & $int <I>AE</I> & <I>BE</I> arcus duo Parabolici axe <I>AB</I> de$cripti, latere autem recto quod $it ad $pa- <pb n=314> <MARG>DE MOTU CORPORUM.</MARG> tium <I>HG,</I> de$cribendum a Cylindro <FIG> cadente dum velocitatem $uam ac- quirit, ut <I>HG</I> ad 1/2 <I>AB.</I> Sint etiam <I>CF</I> & <I>DF</I> arcus alii duo Para- bolici, axe <I>CD</I> & latere recto quod $it prioris lateris recti qua- druplum de$cripti; & convolutione figuræ circum axem <I>EF</I> ge- neretur $olidum cujus media pars <I>ABDC</I> $it Cylindrus de quo agimus, & partes extremæ <I>ABE</I> & <I>CDF</I> contineant partes $luidi inter $e quie$centes & in corpora duo rigida concretas, quæ Cy- lindro utrinque tanquam caput & cauda adhæreant. Et $olidi <I>EACFDB,</I> $ecundum longitudinem axis $ui <I>FE</I> in partes ver- $us <I>E</I> progredientis, re$i$tentia ea erit quamproxime quam in hac Propo$itione de$crip$imus, id e$t, quæ rationem illam habet ad vim qua totus Cylindri motus, interea dum longitudo 4 <I>AC</I> motu illo uniformiter continuato de$cribatur, vel tolli po$$it vel generari, quam den$itas Fluidi habet ad den$itatem Cylindri quamproxime. Et hac vi Re$i$tentia minor e$$e non pote$t quam in ratione 2 ad 3, per Corol. 7. Prop. XXXVI. <C>LEMMA V.</C> <p><I>Si Cylindrus, Sphæra & Sphærois, quorum latitudines $unt æqua- les, in medio canalis Cylindrici ita locentur $ucce$$ive ut eo- rum axes cum axe canalis coincidant: hæc corpora fluxum aquæ per canalem æqualiter impedient.</I> <p>Nam $patia inter Canalem & Cylindrum, Sphæram, & Sphæroi- dem per quæ aqua tran$it, $unt æqualia: & aqua per æqualia $pa- tia æqualiter tran$it. <C>LEMMA VI.</C> <p><I>Ii$dem po$itis, corpora prædicta æqualiter urgentur ab aqua per canalem fluente.</I> <p>Patet per Lemma v & Motus Legem tertiam. Aqua utique & corpora in $e mutuo æqualiter agunt. <pb n=315> <MARG>LIBER SECUNDUS.</MARG> <C>LEMMA VII.</C> <p><I>Si aqua quie$cat in canali, & hæc corpora in partes contrarias æquali velocitate per canalem ferantur: æquales erunt eorum re$i$tentiæ inter $e.</I> <p>Con$tat ex Lemmate $uperiore, nam motus relativi iidem inter $e manent. <C><I>Scholium.</I></C> <p>Eadem e$t ratio corporum omnium convexorum & rotundo- rum, quorum axes cum axe canalis coincidunt. Differentia aliqua ex majore vel minore frictione oriri pote$t; $ed in his Lemmatis corpora e$$e politi$$ima $upponimus, & Medii tenacitatem & frictio- nem e$$e nullam, & quod partes fluidi, quæ motibus $uis obliquis & $uperfluis fluxum aquæ per canalem perturbare, impedire, & re- tardare po$$unt, quie$cant inter $e tanquam gelu con$trictæ, & cor- poribus ad ip$orum partes anticas & po$ticas adhæreant, perinde ut in Scholio Propo$itionis præcedentis expo$ui. Agitur enim in $equentibus de re$i$tentia omnium minima quam corpora rotunda, datis maximis $ectionibus tran$ver$is de$cripta, habere po$$unt. <p>Corpora fluidis innatantia, ubi moventur in directum, efficiunt ut fluidum ad partem anticam a$cendat, ad po$ticam $ub$idat, præ- $ertim $i figura $int obtu$a; & inde re$i$tentiam paulo majorem $entiunt quam $i capite & cauda $int acutis. Et corpora in fluidis ela$ticis mota, $i ante & po$t obtu$a $int, fluidum paulo magis conden$ant ad anticam partem & paulo magis relaxant ad po$ticam; & inde re$i$tentiam paulo majorem $entiunt quam $i capite & cau- da $int acutis. Sed nos in his Lemmatis & Propo$itionibus non agimus de fluidis ela$ticis, $ed de non ela$ticis; non de in$identibus fluido, $ed de alte immer$is. Et ubi re$i$tentia corporum in fluidis non ela$ticis innote$cit, augenda erit hæc re$i$tentia aliquantulum tam in fluidis ela$ticis, qualis e$t Aer, quam in $uperficiebus fluido- rum $tagnantium, qualia $unt maria & paludes. <pb n=316> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> <C>PROPOSITIO XXXVIII. THEOREMA XXX.</C> <p><I>Globi, in Fluido compre$$o infinito & non ela$tico uniformiter progre- dientis, re$i$tentia e$t ad vim qua totus ejus motus, quo tempore octo tertias partes diametri $uæ de$cribit, vel tolli po$$it vel generari, ut den$itas Fluidi ad den$itatem Globi quamproxime.</I> <p>Nam Globus e$t ad Cylindrum circum$criptum ut duo ad tria; & propterea Vis illa, quæ tollere po$$it motum omnem Cylindri interea dum Cylindrus de$cribat longitudinem quatuor diametro- rum, Globi motum omnem tollet interea dum Globus de$cribat duas tertias partes hujus longitudinis, id e$t, octo tertias partes diametri propriæ. Re$i$tentia autem Cylindri e$t ad hanc Vim quamproxime ut den$itas Fluidi ad den$itatem Cylindri vel Globi, per Prop.XXXVII; & Re$i$tentia Globi æqualis e$t Re$i$tentiæ Cy- lindri, per Lem. V, VI, VII. <I>Q.E.D.</I> <p><I>Corol.</I> 1. Globorum, in Mediis compre$$is infinitis, re$i$tentiæ $unt in ratione quæ componitur ex duplicata ratione velocitatis, & du- plicata ratione diametri, & duplicata ratione den$itatis Mediorum. <p><I>Corol.</I> 2 Velocitas maxima quacum Globus, vi ponderis $ui com- parativi, in fluido re$i$tente pote$t de$cendere, ea e$t quam acqui- rere pote$t Globus idem, eodem pondere, ab$que re$i$tentia caden- do & ca$u $uo de$cribendo $patium quod $it ad quatuor tertias partes diametri $uæ ut den$itas Globi ad den$itatem Fluidi. Nam Globus tempore ca$us $ui, cum velocitate cadendo acqui$ita, de- $cribet $patium quod erit ad octo tertias diametri $uæ, ut den$itas Globi ad den$itatem Fluidi; & vis ponderis motum hunc generans, erit ad vim quæ motum eundem generare po$$it quo tempore Glo- bus octo tertias diametri $uæ eadem velocitate de$cribit, ut den$itas Fluidi ad den$itatem Globi: ideoque per hanc Propo$itionem, vis ponderis æqualis erit vi Re$i$tentiæ, & propterea Globum accele- rare non pote$t. <p><I>Corol.</I> 3. Data & den$itate Globi & velocitate ejus $ub initio motus, ut & den$itate fluidi compre$$i quie$centis in qua Globus movetur; datur ad omne tempus & velocitas Globi & ejus re$i- ftentia & $patium ab eo de$criptum, per Corol. 7. Prop. XXXV. <pb n=317> <p><I>Corol.</I> 4. Globus in fluido compre$$o quie$cente eju$dem $ecum <MARG>LIBER SECUNDUS.</MARG> den$itatis movendo, dimidiam motus $ui partem prius amittet quam longitudinem duarum ip$ius diametrorum de$crip$erit, per idem Corol. 7. <C>PROPOSITIO XXXIX. THEOREMA XXXI.</C> <p><I>Globi, per Fluidum in canali Cylindrico clau$um & compre$$um uni- formiter progredientis, re$i$tentia e$t ad vim qua totus ejus motus, interea dum octo tertias partes diametri $uæ de$cribit, vel ge- nerari po$$it vel tolli, in ratione quæ componitur ex ratione ori- ficii canalis ad exce$$um bujus orificii $upra dimidium circuli maximi Globi, & ratione duplicata orificii canalis ad exce$$um hujus orificii $upra circulum maximum Globi, & ratione den- $itatis Fluidi ad den$itatem Globi quamproxime.</I> <p>Patet per Corol. 2. Prop. XXXVII; procedit vero demon$tratio quemadmodum in Propo$itione præcedente. <C>PROPOSITIO XL. PROBLEMA IX.</C> <p><I>Globi, in Medio fluidi$$imo compre$$o progredientis, invenire re$i- $tentiam per Phænomena.</I> <p>Sit A pondus Globi in vacuo, B pondus ejus in Medio re$i- $tente, D diameter Globi, F $patium quod $it ad 4/3 D ut den$itas Globi ad den$itatem Medii, id e$t, ut A ad A-B, G tempus quo Globus pondere B ab$que re$i$tentia cadendo de$cribit $patium F, & H velocitas quam Globus hocce ca$u $uo acquirit. Et erit H velocitas maxima quacum Globus, pondere $uo B, in Medio re$i- $tente pote$t de$cendere, per Corol. 2, Prop. XXXVIII; & re$i- $tentia quam Globus ea cum velocitate de$cendens patitur, æqua- lis erit ejus ponderi B: re$i$tentia vero quam patitur in alia qua- cunque velocitate, erit ad pondus B in duplicata ratione velo- citatis hujus ad velocitatem illam maximam <I>H,</I> &c. G, per Corol. 1, Prop. XXXVIII. <pb n=318> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> <p>Hæc e$t re$i$tentia quæ oritur ab inertia materiæ Fluidi. Ea vero quæ oritur ab ela$ticitate, tenacitate, & frictione partium ejus, $ic inve$tigabitur. <p>Demittatur Globus ut pondere $uo B in Fluido de$cendat; & $it P tempus cadendi, idque in minutis $ecundis $i tempus G in minutis $ecundis habeatur. Inveniatur numerus ab$o- lutus N qui congruit Logarithmo 0,4342944819(2P/G), $itque L Logarithmus numer; (N+1/N): & velocitas cadendo acqui$ita erit (N-1/N+1)H, altitudo autem de$cripta erit (2PF/G)-1,3862943611 F+ 4,605170186LF. Si Fluidum $atis profundum $it, negligi pote$t terminus 4,605170186LF; & erit (2PF/G)-1,3862943611 F altitude de$cripta quamproxime. Patent hæc per Libri $ecundi Propo- $itionem nonam & ejus Corollaria, ex Hypothe$i quod Glo- bus nullam aliam patiatur re$i$tentiam ni$i quæ oritur ab inertia materiæ. Si vero aliam in$uper re$i$tentiam patiatur, de$cen- $us erit tardior, & ex retardatione innote$cet quantitas hujus re- $i$tentiæ. <p>Ut corporis in Fluido cadentis velocitas & de$cen$us facilius in- note$cant, compo$ui Tabulam $equentem, cujus columna prima denotat tempora de$cen$us, $ecunda exhibet velocitates cadendo acqui$itas exi$tente velocitate maxima 100000000, tertia exhibet $patia temporibus illis cadendo de$cripta, exi$tente 2 F $patio quod corpus tempore G cum velocitate maxima de$cribit, & quarta ex- hibet $patia ii$dem temporibus cum velocitate maxima de$cripta. Numeri in quarta columna $unt (2P/G), & $ubducendo numerum 1,3862944-4,6051702 L, inveniuntur numeri in tertia columna, & multiplicandi $unt hi numeri per $patium F ut habeantur $patia cadendo de$cripta. Quinta his in$uper adjecta e$t columna, quæ continet $patia de$cripta ii$dem temporibus a corpore, vi ponderis $ui comparativi B, in vacuo cadente. <pb n=319> <MARG>LIBER SECUNDUS.</MARG> <TABLE BORDER> <TR> <TD ALIGN="CENTER"><I>Tempora</I> P</TD> <TD ALIGN="CENTER"><I>Velocitates cadentis in fluido</I></TD> <TD ALIGN="CENTER"><I>Spatia caden- do de$cripta in fluido</I></TD> <TD ALIGN="CENTER"><I>Spatia motu maximo de- $cripta.</I></TD> <TD ALIGN="CENTER"><I>Spatia caden- do de$cripta in vacuo.</I></TD> </TR> <TR> <TD>0,001G</TD> <TD> (99999 29/30)</TD> <TD>0,000001F</TD> <TD>0,002F</TD> <TD>0,000001F</TD> </TR> <TR> <TD>0,01G</TD> <TD> 999967</TD> <TD>0,0001F</TD> <TD>0,02F</TD> <TD>0,0001F</TD> </TR> <TR> <TD>0,1G</TD> <TD> 9966799</TD> <TD>0,0099834F</TD> <TD>0,2F</TD> <TD>0,01F</TD> </TR> <TR> <TD>0,2G</TD> <TD>19737532</TD> <TD>0,0397361F</TD> <TD>0,4F</TD> <TD>0,04F</TD> </TR> <TR> <TD>0,3G</TD> <TD>29131261</TD> <TD>0,0886815F</TD> <TD>0,6F</TD> <TD>0,09F</TD> </TR> <TR> <TD>0,4G</TD> <TD>37994896</TD> <TD>0,1559070F</TD> <TD>0,8F</TD> <TD>0,16F</TD> </TR> <TR> <TD>0,5G</TD> <TD>46211716</TD> <TD>0,2402290F</TD> <TD>1,0F</TD> <TD>0,25F</TD> </TR> <TR> <TD>0,6G</TD> <TD>53704957</TD> <TD>0,3402706F</TD> <TD>1,2F</TD> <TD>0,36F</TD> </TR> <TR> <TD>0,7G</TD> <TD>60436778</TD> <TD>0,4545405F</TD> <TD>1,4F</TD> <TD>0,49F</TD> </TR> <TR> <TD>0,8G</TD> <TD>66403677</TD> <TD>0,5815071F</TD> <TD>1,6F</TD> <TD>0,64F</TD> </TR> <TR> <TD>0,9G</TD> <TD>71629787</TD> <TD>0,7196609F</TD> <TD>1,8F</TD> <TD>0,81F</TD> </TR> <TR> <TD>1G</TD> <TD>76159416</TD> <TD>0,8675617F</TD> <TD>2F</TD> <TD>1F</TD> </TR> <TR> <TD>2G</TD> <TD>96402758</TD> <TD>2,6500055F</TD> <TD>4F</TD> <TD>4F</TD> </TR> <TR> <TD>3G</TD> <TD>99505475</TD> <TD>4,6186570F</TD> <TD>6F</TD> <TD>9F</TD> </TR> <TR> <TD>4G</TD> <TD>99932930</TD> <TD>6,6143765F</TD> <TD>8F</TD> <TD>16F</TD> </TR> <TR> <TD>5G</TD> <TD>99990920</TD> <TD>8,6137964F</TD> <TD>10F</TD> <TD>25F</TD> </TR> <TR> <TD>6G</TD> <TD>99998771</TD> <TD>10,6137179F</TD> <TD>12F</TD> <TD>36F</TD> </TR> <TR> <TD>7G</TD> <TD>99999834</TD> <TD>12,6137073F</TD> <TD>14F</TD> <TD>49F</TD> </TR> <TR> <TD>8G</TD> <TD>99999980</TD> <TD>14,6137059F</TD> <TD>16F</TD> <TD>64F</TD> </TR> <TR> <TD>9G</TD> <TD>99999997</TD> <TD>16,6137057F</TD> <TD>18F</TD> <TD>81F</TD> </TR> <TR> <TD>10G</TD> <TD>99999999 1/5</TD> <TD>18,6137056F</TD> <TD>20F</TD> <TD>100F</TD> </TR> </TABLE> <C><I>Scholium.</I></C> <p>Ut re$i$tentias Fluidorum inve$tigarem per Experimenta, paravi vas ligneum quadratum, longitudine & latitudine interna digito- rum novem pedis <I>Londinen$is,</I> profunditate pedum novem cum $emi$$e, idemque implevi aqua pluviali; & globis ex cera & plum- bo inclu$o formatis, notavi tempora de$cen$us globorum, exi$tente de$cen$us altitudine 112 digitorum pedis. Pes $olidus cubicus <I>Londinen$is</I> continet 76 libras <I>Romanas</I> aquæ pluvialis, & pedis hu- jus digitus $olidus continet (19/36) uncias libræ hujus $eu grana 253 1/3; & globus aqueus diametro digiti unius de$criptus continet grana <pb n=320> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> 132,645 in Medio aeris, vel grana 132,8 in vacuo; & globus qui- libet alius e$t ut exce$$us ponderis ejus in vacuo $upra pondus ejus in aqua. <p><I>Exper.</I> 1. Globus, cujus pondus erat 156 1/4 granorum in aere & 77 granorum in aqua, altitudinem totam digitorum 112 tempore minutorum quatuor $ecundorum de$crip$it. Et experimento repe- tito, globus iterum cecidit eodem tempore minutorum quatuor $e- cundorum. <p>Pondus globi in vacuo e$t (156 11/38) <I>gran,</I> & exce$$us hujus ponde- ris $upra pondus globi in aqua e$t (79 11/38) <I>gran.</I> Unde prodit globi diameter 0,84224 partium digiti. E$t autem ut exce$$us ille ad pondus globi in vacuo, ita den$itas aquæ ad den$itatem globi, & ita partes octo tertiæ diametri globi (<I>viz.</I> 2,24597 <I>dig.</I>) ad $pa- tium 2 F, quod proinde erit 4,4256 <I>dig.</I> Globus tempore minuti unius $ecundi, toto $uo pondere granorum (156 11/38), cadendo in va- cuo de$cribet digitos 193 1/3; & pondere granorum 77, eodem tem- pore, ab$que re$i$tentia cadendo in aqua de$cribet digitos 95,219; & tempore G, quod $it ad minutum unum $ecundum in $ubduplicata ratione $patii F $eu 2,2128 <I>dig.</I> ad 95,219 <I>dig,</I> de$cribet 2,2128 <I>dig.</I> & velocitatem maximam H acquiret quacum pote$t in aqua de- $cendere. E$t igitur tempus G 0″,15244. Et hoc tempore G, cum velocitate illa maxima H, globus de$cribet $patium 2 F digi- torum 4,4256; ideoque tempore minutorum quatuor $ecundo- rum de$cribet $patium digitorum 116,1245. Subducatur $patium 1,3862944 F $eu 3,0676 <I>dig.</I> & manebit $patium 113,0569 digito- rum quod globus cadendo in aqua, in va$e ampli$$imo, tempore minutorum quatuor $ecundorum de$cribet. Hoc $patium, ob an- gu$tiam va$is lignei prædicti, minui debet in ratione quæ compo- nitur ex $ubduplicata ratione orificii va$is ad exce$$um orificii hu- jus $upra $emicirculum maximum globi & ex $implici ratione ori- ficii eju$dem ad exce$$um ejus $upra circulum maximum globi, id e$t, in ratione 1 ad 0,9914. Quo facto, habebitur $patium 112,08 digitorum, quod Globus cadendo in aqua in hoc va$e ligneo tem- pore minutorum quatuor $ecundorum per Theoriam de$eribere debuit quamproxime. De$crip$it vero digitos 112 per Experi- mentum. <p><I>Exper.</I> 2. Tres Globi æquales, quorum pondera $eor$im erant 76 1/3 granorum in aere & (5 1/16) granorum in aqua, $ucce$$ive demitte- bantur; & unu$qui$que cecidit in aqua tempore minutorum $ecun- dorum quindecim, ca$u $uo de$cribens altitudinem digitorum 112. <pb n=321> <p>Computum ineundo prodcunt pondus globi in vacuo (76 1/12) <I>gran,</I> <MARG>LIBER SECUNDUS.</MARG> exce$$us hujus ponderis $upra pondus in aqua (71 17/48) <I>gran,</I> diameter globi 0,81296 <I>dig,</I> octo tertiæ partes hujus diametri 2,16789 <I>dig,</I> $patium 2 F 2,3217 <I>dig,</I> $patium quod globus pondere (5 1/16) <I>gran,</I> tempore 1″, ab$que re$i$tentia cadendo de$cribat 12,808 <I>dig,</I> & tempus G 0′,301056. Globus igitur, velocitate maxima quacum pote$t in aqua vi ponderis (5 1/16) <I>gran.</I> de$cendere, tempore 0′,301056 de$cribet $patium 2,3217 <I>dig.</I> & tempore 15″ $patium 115,678 <I>dig.</I> Subducatur $patium 1,3862944 F $eu 1,609 <I>dig.</I> & manebit $patium 114,069 <I>dig.</I> quod proinde globus eodem tempore in va$e lati$li- mo cadendo de$cribere debet. Propter angu$tiam va$is no$tri de- trahi debet $patium 0,895 <I>dig.</I> circiter. Et $ic manebit $patium 113,174 <I>dig.</I> quod globus cadendo in hoc va$e, tempore 15″ de- $cribere debuit per Theoriam quamproxime. De$crip$it vero digi- tos 112 per Experimentum. Differentia e$t in$en$ibilis. <p><I>Exper.</I> 3. Globi tres æquales, quorum pondera $eor$im erant 121 <I>gran.</I> in aere & 1 <I>gran.</I> in aqua, $ucce$$ive demittebantur; & cadeoant in aqua temporibus 46″, 47″, & 50″, de$cribentes alti- tudinem digitorum 112. <p>Per Theoriam hi globi cadere debuerunt tempore 40″ circiter. Quod tardius ceciderunt, vel bullulis nonnullis globo adhærenti- bus, vel rarefactioni ceræ ad calorem vel tempe$tatis vel manus globum demittentis, vel erroribus in$en$ibilibus in ponderandis globis in aqua, vel denique minori proportioni re$i$tentiæ quæ a vi inertiæ in tardis motibus oritur ad re$i$tentiam quæ oritur ab aliis cau$is, tribuendum e$$e puto. Ideoque pondus globi in aqua debet e$$e plurium granorum ut experimentum certum & fide dig- num reddatur. <p><I>Exper.</I> 4. Experimenta hactenus de$cripta cæpi ut inve$tigarem re$i$tentias fluidorum antequam Theoria, in Propo$itionibus pro- xime præcedentibus expo$ita, mihi innote$ceret. Po$tea, ut Theo- riam inventam examinarem, paravi vas ligneum latitudine interna digitorum 8 2/3, profunditate pedum quindecim cum triente. De- inde ex cera & plumbo inclu$o globos quatuor formavi, $ingulos pondere 139 1/4 granorum in aere & 7 1/8 granorum in aqua. Et hos demi$i ut tempora cadendi in aqua per pendulum, ad $emi-minuta $ecunda o$cillans, men$urarem. Globi, ubi ponderabantur & po- $tea cadebant, frigidi erant & aliquamdiu frigidi man$erant; quia calor ceram rarefacit, & per rarefactionem diminuit pondus globi in aqua, & cera rarefacta non $tatim ad den$itatem pri$tinam per <pb n=322> <MARG>DE MOTU CORPORUM.</MARG> frigus reducitur. Antequam caderent, immergebantur penitus in aquam; ne pondere partis alicujus ex aqua extantis de$cen$us eo- rum $ub initio acceleraretur. Et ubi penitus immer$i quie$cebant, demittebantur quam cauti$$ime, ne impul$um aliquem a manu de- mittente acciperent. Ceciderunt autem $ucce$$ive temporibus o$cillationum 47 1/2, 48 1/2, 50 & 51, de$cribentes altitudinem pedum quindecim & digitorum duorum. Sed tempe$tas jam paulo frigi- dior erat quam cum globi ponderabantur, ideoque iteravi experi- mentum alio die, & globi ceciderunt temporibus o$cillationum 49, 49 1/2, 50 & 53, ac tertio temporibus o$cillationum 49 1/2, 50, 51 & 53. Et experimento $æpius capto, Globi ceciderunt maxima ex parte temporibus o$cillationum 49 1/2 & 50. Ubi tardius ce- cidere, $u$picor eo$dem retardatos fui$$e impingendo in latera va$is. <p>Jam computum per Theoriam ineundo, prodeunt pondus globi in vacuo 139 2/5 granorum. Exce$$us hujus ponderis $upra pondus globi in aqua (132 11/40) <I>gran.</I> Diameter globi 0,99868 <I>dig.</I> Octo ter- tiæ partes diametri 2,66315 <I>dig.</I> Spatium 2 F 2,8066 <I>dig.</I> Spatium quod globus pondere 7 1/8 granorum, tempore minuti unius $e- cundi ab$que re$i$tentia cadendo de$cribit 9,88164 <I>dig.</I> Et tempus G 0″,376843. Globus igitur, velocitate maxima quacum pote$t in aqua vi ponderis 7 1/8 granorum de$cendere, tempore 0″,376843 de- $cribit $patium 2,8066 digitorum, & tempore 1″ $patium 7,44766 di- gitorum, & tempore 25″ $eu o$cillationum 50 $patium 186,1915 <I>dig.</I> Subducatur $patium 1,386294 F, $eu 1,9454 <I>dig.</I> & manebit $pa- tium 184,2461 <I>dig.</I> quod globus eodem tempore in va$e lati$$imo de$cribet. Ob angu$tiam va$is no$tri, minuatur hoc $patium in ra- tione quæ componitur ex $ubduplicata ratione orificii va$is ad exce$$um hujus orificii $upra $emicirculum maximum globi, & $im- plici ratione eju$dem orificii ad exce$$um ejus $upra circulum ma- ximum globi; & habebitur $patium 181,86 digitorum, quod glo- bus in hoc va$e tempore o$cillationum 50 de$cribere debuit per Theoriam quamproxime. De$crip$it vero $patium 182 digitorum tempore o$cillationum 49 1/2 vel 50 per Experimentum. <p><I>Exper.</I> 5. Globi quatuor pondere 154 1/8 <I>gran.</I> in aere & 21 1/2 <I>gran.</I> in aqua, $æpe demi$$i, cadebant tempore o$cillationum 28 1/2, 29, 29<*> & 30, & nonnunquam 31, 32 & 33, de$cribentes altitudinem pedum quindecim & digitorum duorum. <p>Per Theoriam cadere debuerunt tempore o$cillationum 29 quamproxime. <pb n=323> <p><I>Exper.</I> 6. Globi quinque pondere 212 1/8 <I>gran.</I> in aere & 79 1/2 in <MARG>LIBER SECUNDUS.</MARG> aqua, $æpe demi$$i, cadebant tempore o$cillationum 15, 15 1/2, 16, 17 & 18, de$cribentes altitudinem pedum quindecim & digitorum duorum. <p>Per Theoriam cadere debuerunt tempore o$cillationum 15 quamproxime. <p><I>Exper.</I> 7. Globi quatuor pondere 293 1/8 <I>gran.</I> in aere & 35 1/8 <I>gran.</I> in aqua, $æpe demi$$i, cadebant tempore o$cillationum 29 1/2, 30, 30 1/2, 31, 32 & 33, de$cribentes altitudinem pedum quindecim & digiti unius cum $emi$$e. <p>Per Theoriam cadere debuerunt tempore o$cillationum 28 quamproxime. <p>Cau$am inve$tigando cur globorum, eju$dem ponderis & magni- tudinis, aliqui citius alii tardius caderent, in hanc incidi; quod glo- bi, ubi primum demittebantur & cadere incipiebant, o$cillarent cir- cum centra, latere illo quod forte gravius e$$et, primum de$cen- dente, & motum o$cillatorium generante. Nam per o$cillationes $uas, globus majorem motum communicat aquæ, quam $i $ine o$cil- lationibus de$cenderet; & communicando, amittit partem motus proprii quo de$cendere deberet: & pro majore vel minore o$cil- latione, magis vel minus retardatur. Quinetiam globus recedit $emper a latere $uo quod per o$cillationem de$cendit, & receden- do appropinquat lateribus va$is & in latera nonnunquam impin- gitur. Et hæc o$cillatio in globis gravioribus fortior e$t, & in majoribus aquam magis agitat. Quapropter, ut o$cillatio globo- rum minor redderetur, globos novos ex cera & plumbo con$truxi, infigendo plumbum in latus aliquod globi prope $uperficiem ejus; & globum ita demi$i, ut latus gravius, quoad fieri potuit, e$$et in- fimum ab initio de$cen$us. Sic o$cillationes factæ $unt multo mi- nores quam prius, & globi temporibus minus inæqualibus cecide- runt, ut in experimentis $equentibus. <p><I>Exper.</I> 8. Globi quatuor pondere granorum 139 in aere & 6 1/2 in aqua, $æpe demi$$i, ceciderunt temporibus o$cillationum non plu- rium quam 52, non pauciorum quam 50, & maxima ex parte tempore o$cillationum 51 circiter, de$cribentes altitudinem digi- torum 182. <p>Per Theoriam cadere debuerunt tempore o$cillationum 52 circiter. <p><I>Exper.</I> 9. Globi quatuor pondere granorum 273 1/4 in aere & 140 1/4 in aqua, $æpius demi$$i, ceciderunt temporibus o$cillationum <pb n=324> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> non pauciorum quam 12, non plurium quam 13, de$cribentes al- titudinem digitorum 182. <p>Per Theoriam vero hi globi cadere debuerunt tempore o$cilla- tionum 11 1/3 quamproxime. <p><I>Exper.</I> 10. Globi quatuor pondere granorum 384 in aere & 119 1/2 in aqua, $æpe demi$$i, cadebant temporibus o$cillationum 17 1/4, 18, 18 1/2 & 19, de$cribentes altitudinem digitorum 181 1/2. Et ubi ceciderunt tempore o$cillationum 19, nonnunquam audivi im- pul$um eorum in latera va$is antequam ad fundum pervenerunt. <p>Per Theoriam vero cadere debuerunt tempore o$cillationum 15 3/9 quamproxime. <p><I>Exper.</I> 11. Globi tres æquales, pondere granorum 48 in aere & (3 29/32) in aqua, $æpe demi$$i, ceciderunt temporibus o$cillationum 43 1/2, 44, 44 1/2, 45 & 46, & maxima ex parte 44 & 45, de$cribentes altitudinem digitorum 182 1/2 quamproxime. <p>Per Theoriam cadere debuerunt tempore o$cillationum 46 5/9 circiter. <p><I>Exper.</I> 12. Globi tres æquales, pondere granorum 141 in aere & 4 3/8 in aqua, aliquoties demi$$i, ceciderunt temporibus o$cillatio- num 61, 62, 63, 64 & 65, de$cribentes altitudinem digitorum 182. <p>Et per Theoriam cadere debuerunt tempore o$cillationum 64 1/2 quamproxime. <p>Per hæc Experimenta manife$tum e$t quod, ubi globi tarde ceci- derunt, ut in experimentis $ecundis, quartis, quintis, octavis, un- decimis ac duodecimis, tempora cadendi recte exhibentur per Theoriam: at ubi globi velocius ceciderunt, ut in experimentis $extis, nonis ac decimis, re$i$tentia paulo major extitit quam in duplicata ratione velocitatis. Nam globi inter cadendum o$cillant aliquantulum; & hæc o$cillatio in globis levioribus & tardius ca- dentibus, ob motus languorem cito ce$$at; in gravioribus autem & majoribus, ob motus fortitudinem diutius durat, & non ni$i po$t plures o$cillationes ab aqua ambiente cohiberi pote$t. Quinetiam globi, quo velociores $unt, eo minus premuntur a fluido ad po- $ticas $uas partes; & $i velocitas perpetuo augeatur, $patium va- cuum tandem a tergo relinquent, ni$i compre$$io fluidi $imul au- geatur. Debet autem compre$$io fluidi (per Prop. XXXII & XXXIII) augeri in duplicata ratione velocitatis, ut re$i$tentia $it in eadem duplicata ratione. Quoniam hoc non fit, globi velociores paulo minus premuntur a tergo, & defectu pre$$ionis hujus, re$i$tentia corum fit paulo major quam in duplicata ratione velocitatis. <pb n=325> <p>Congruit igitur Theoria cum phænomenis corporum caden- <MARG>LIBER SECUNDUS.</MARG> tium in Aqua, reliquum e$t ut examinemus phænomena caden- tium in Aere. <p><I>Exper.</I> 13. A culmine Eccle$iæ <I>S<SUP>ti</SUP> Pauli,</I> in urbe <I>Londini,</I> globi duo vitrei $imul demittebantur, unus argenti vivi plenus, alter aeris; & cadendo de$cribebant altitudinem pedum <I>Londinen$ium</I> 220. Tabula lignea ad unum ejus terminum polis ferreis $u$pen- debatur, ad alterum pe$$ulo ligneo incumbebat; & globi duo huic Tabulæ impo$iti $imul demittebantur, $ubtrahendo pe$$ulum, ut Ta- bula polis ferreis $olummodo innixa $uper ii$dem devolveretur, & codem temporis momento pendulum ad minuta $ecunda o$cillans, per filum ferreum a pe$$ulo ad imam Eccle$iæ partem tendens, dimitteretur & o$cillare inciperet. Diametri & pondera globorum ac tempora cadendi exhibentur in Tabula $equente. <TABLE BORDER> <TR> <TD COLSPAN="3" ALIGN="CENTER"><I>Globorum mercurio plenorum.</I></TD> <TD COLSPAN="3" ALIGN="CENTER"><I>Globorum aere plenorum.</I></TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="CENTER"><I>Pondera</I></TD> <TD ALIGN="CENTER"><I>Diametri</I></TD> <TD ALIGN="CENTER"><I>Tempora cadendi.</I></TD> <TD ALIGN="CENTER"><I>Pondera</I></TD> <TD ALIGN="CENTER"><I>Diametri</I></TD> <TD ALIGN="CENTER"><I>Tempora cadendi.</I></TD> </TR> <TR> <TD>908 <I>gran.</I></TD> <TD>0,8 <I>digit.</I></TD> <TD>4″</TD> <TD>510 <I>gran.</I></TD> <TD>5,1 <I>digit.</I></TD> <TD>8″ 1/2</TD> </TR> <TR> <TD>983</TD> <TD>0,8</TD> <TD>4-</TD> <TD>642</TD> <TD>5,2</TD> <TD>8</TD> </TR> <TR> <TD>866</TD> <TD>0,8</TD> <TD>4</TD> <TD>599</TD> <TD>5,1</TD> <TD>8</TD> </TR> <TR> <TD>747</TD> <TD>0,75</TD> <TD>4+</TD> <TD>515</TD> <TD>5,0</TD> <TD>8 <*>/4</TD> </TR> <TR> <TD>808</TD> <TD>0,75</TD> <TD>4</TD> <TD>483</TD> <TD>5,0</TD> <TD>8 <*></TD> </TR> <TR> <TD>784</TD> <TD>0,75</TD> <TD>4+</TD> <TD>641</TD> <TD>5,2</TD> <TD>8</TD> </TR> </TABLE> <p>Cæterum tempora ob$ervata corrigi debent. Nam globi mer- curiales (per Theoriam <I>Galilæi</I>) minutis quatuor $ecundis de$cribent pedes <I>Londinen$es</I> 257, & pedes 220 minutis tantum 3″ 42‴. Ta- bula lignea utique, detracto pe$$ulo, tardius devolvebatur quam par erat, & tarda $ua devolutione impediebat de$cen$um globorum $ub initio. Nam globi incumbebant Tabulæ prope medium ejus, & paulo quidem propiores erant axi ejus quam pe$$ulo. Et hinc tempora cadendi prorogata fuerunt minutis tertiis octodecim cir- citer, & jam corrigi debent detrahendo illa minuta, præ$ertim in globis majoribus qui Tabulæ devolventi paulo diutius incumbe- bant propter magnitudinem diametrorum. Quo facto, tempora quibus globi $ex majores cecidere, evadent, 8″, 12‴, 7″ 42‴, 7″ 42‴, 7″ 57‴, 8″ 12‴, & 7″ 42‴. <pb n=326> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> <p>Globorum igitur aere plenorum quintus, diametro digitorum quinque pondere granorum 483 con$tructus, cecidit tempore 8″ 12‴, de$cribendo altitudinem pedum 220. Pondus aquæ huic globo æqualis, e$t 16600 granorum; & pondus aeris eidem æqualis e$t (<*>66 -<*>/860) <I>gran.</I> $eu (19 3/10) <I>gran</I>; ideoque pondus globi in vacuo e$t (502 3/10) <I>gran</I>; & hoc pondus e$t ad pondus aeris globo æqualis, ut (502 3/10) ad (19 3/10), & ita $unt 2 F ad octo tertias partes diametri glo- bi, id e$t, ad (13 1/3) digitos. Unde 2 F prodeunt 28 <I>ped.</I> 11 <I>dig.</I> Glo- bus cadendo in vacuo, toto $uo pondere (502 3/10) granorum, tempore minuti unius $ecundi de$cribit digitos 193 1/3 ut $upra, & pondere 483 <I>gran.</I> de$cribit digitos 185,905, & eodem pondere 483 <I>gran.</I> etiam in vacuo de$cribit $patium F $eu 14 <I>ped.</I> 5 1/2 <I>dig.</I> tempore 57‴ 58‴, & velocitatem maximam acquirit quacum po$$it in aere de$cendere. Hac velocitate globus, tempore 8″ 12‴, de$cribet $pa- tium pedum 245 & digitorum 5 1/3. Aufer 1,3863 F $eu 20 <I>ped.</I> 0 1/2 <I>dig.</I> & manebunt 225 <I>ped.</I> 5 <I>dig.</I> Hoc $patium igitur globus, tempore 8″ 12‴, cadendo de$cribere debuit per Theoriam. De- $crip$it vero $patium 220 pedum per Experimentum. Differentia in$en$ibilis e$t. <p>Similibus computis ad reliquos etiam globos aere plenos appli- catis, confeci Tabulam $equentem. <TABLE BORDER> <TR> <TD ALIGN="CENTER"><I>Globorum pondera</I></TD> <TD ALIGN="CENTER"><I>Dia- metri</I></TD> <TD COLSPAN="2"><I>Tempora ca- dendi ab al- titudine pe- dum</I> 220.</TD> <TD COLSPAN="2" ALIGN="CENTER"><I>Spatia de$criben- da per Theoriam.</I></TD> <TD COLSPAN="2" ALIGN="CENTER"><I>Exce$$us</I></TD> </TR> <TR> <TD>510 <I>gran.</I></TD> <TD>5,1 <I>dig.</I></TD> <TD>8″</TD> <TD>12‴</TD> <TD>226 <I>ped.</I></TD> <TD>11 <I>dig.</I></TD> <TD>6 <I>ped.</I></TD> <TD>11 <I>dig.</I></TD> </TR> <TR> <TD>642</TD> <TD>5,2</TD> <TD>7</TD> <TD>42</TD> <TD>230</TD> <TD>9</TD> <TD>10</TD> <TD>9</TD> </TR> <TR> <TD>599</TD> <TD>5,1</TD> <TD>7</TD> <TD>42</TD> <TD>227</TD> <TD>10</TD> <TD>7</TD> <TD>10</TD> </TR> <TR> <TD>515</TD> <TD>5</TD> <TD>7</TD> <TD>57</TD> <TD>224</TD> <TD>5</TD> <TD>4</TD> <TD>5</TD> </TR> <TR> <TD>483</TD> <TD>5</TD> <TD>8</TD> <TD>12</TD> <TD>225</TD> <TD>5</TD> <TD>5</TD> <TD>5</TD> </TR> <TR> <TD>641</TD> <TD>5,2</TD> <TD>7</TD> <TD>42</TD> <TD>230</TD> <TD>7</TD> <TD>10</TD> <TD>7</TD> </TR> </TABLE> <p>Globorum igitur tam in Aere quam in Aqua motorum re$i- $tentia prope omnis per Theoriam no$tram recte exhibetur, ac den$itati fluidorum, paribus globorum velocitatibus ac magnitudi- nibus, proportionalis e$t. <pb n=327> <p>In Scholio quod Sectioni $extæ $ubjunctum e$t, o$tendimus per <MARG>LIBER SECUNDUS.</MARG> experimenta pendulorum quod globorum æqualium & æquivelo- cium in Aere, Aqua, & Argento vivo motorum re$i$tentiæ $unt ut fluidorum den$itates. Idem hic o$tendimus magis accurate per experimenta corporum cadentium in Aere & Aqua. Nam pendula $ingulis o$cillationibus motum cient in fluido motui penduli re- deuntis $emper contrarium, & re$i$tentia ab hoc motu oriunda, ut & re$i$tentia fili quo pendulum $u$pendebatur, totam Penduli re- $i$rentiam majorem reddiderunt quam re$i$tentia quæ per experi- menta corporum cadentium prodiit. Etenim per experimenta pendulorum in Scholio illo expo$ita, globus eju$dem den$itatis cum Aqua, de$cribendo longitudinem $emidiametri $uæ in Aere, amittere deberet motus $ui partem (1/3342). At per Theoriam in hac $eptima Sectione expo$itam & experimentis cadentium confirma- tam, globus idem de$cribendo longitudinem eandem, amittere de- beret motus $ui partem tantum (1/4586), po$ito quod den$itas Aquæ $it ad den$itatem Aeris ut 860 ad 1. Re$i$tentiæ igitur per experi- menta pendulorum majores prodiere (ob cau$as jam de$criptas) quam per experimenta globorum cadentium, idque in ratione 4 ad 3 circiter. Attamen cum pendulorum in Aere, Aqua, & Argento vivo o$cillantium re$i$tentiæ a cau$is $imilibus $imiliter augeantur, proportio re$i$tentiarum in his Mediis, tam per experimenta pen- dulorum, quam per experimenta corporum cadentium, $atis recte exhibebitur. Et inde concludi pote$t quod corporum in fluidis quibu$cunque fluidi$$imis motorum re$i$tentiæ, cæteris paribus, $unt ut den$itates fluidorum. <p>His ita $tabilitis, dicere jam licet quamnam motus $ui partem globus quilibet, in fluido quocunque projectus, dato rempore amit- tet quamproxime. Sit D diameter globi, & V velocitas ejus $ub initio motus, & T tempus quo globus velocitate V in vacuo de- $cribet $patium quod $it ad $patium 2/3D ut den$itas globi ad den$i- tatem fluidi: & globus in fluido illo projectus, tempore quovis alio <I>t,</I> amittet velocitatis $uæ partem (<I>t</I>V/T+<I>t</I>), manente parte (TV/T+<I>t</I>), & de$cribet $patium quod $it ad $patium uniformi velocitate V eo- dem tempore de$criptum in vacuo, ut logarithmus numeri (T+<I>t</I>/T) multiplicatus per numerum 2,302585093 e$t ad numerum <I>t</I>/T, per <pb n=328> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> Corol. 7, Prop.XXXV. In motibus tardis re$i$tentia pote$t e$$e pau- lo minor, propterea quod figura Globi paulo aptior $it ad motum quam figura Cylindri eadem diametro de$cripti. In motibus ve- locibus re$i$tentia pote$t e$$e paulo major, propterea quod ela$ti- citas & compre$$io fluidi non augeantur in duplicata ratione ve- locitatis. Sed huju$modi minutias hic non expendo. <p>Et quamvis Aer, Aqua, Argentum vivum & $imilia fluida, per divi$ionem partium in infinitum, $ubtiliarentur & fierent Media in- finite fluida; tamen globis projectis haud minus re$i$terent. Nam re$i$tentia, de qua agitur in Propo$itionibus præcedentibus, oritur ab inertia materiæ; & inertia materiæ corporibus e$$entialis e$t & quantitati materiæ $emper proportionalis. Per divi$ionem partium fluidi, re$i$tentia quæ oritur a tenacitate & frictione partium, di- minui quidem pote$t: $ed quantitas materiæ per divi$ionem par- tium ejus non diminuitur; & manente quantitate materiæ, manet ejus vis inertiæ cui re$i$tentia, de qua hic agitur, $emper proportio- nalis e$t. Ut hæc re$i$tentia diminuatur, diminui debet quantitas materiæ in $patiis per quæ corpora moventur. Et propterea $pa- tia Cœle$tia, per quæ globi Planetarum & Cometarum in omnes partes liberrime & ab$que omni motus diminutione $en$ibili per- petuo moventur, fluido omni corporeo de$tituuntur, $i forte vapo- res longe tenui$$imos & trajectos lucis radios excipias. <p>Projectilia utique motum cient in fluidis progrediendo, & hic motus oritur ab exce$$u pre$$ionis fluidi ad projectilis partes anti- cas $upra pre$$ionem ad ejus partes po$ticas, & non minor e$$e po- te$t in Mediis infinite fluidis quam in Aere, Aqua, & Argento vivo pro den$itate materiæ in $ingulis. Hic autem pre$$ionis exce$$us, pro quantitate $ua, non tantum motum ciet in fluido, $ed etiam agit in projectile ad motum ejus retardandum: & propterea re$i- $tentia in omni fluido, e$t ut motus in fluido a projectili excita- tus, nec minor e$$e pote$t in Æthere $ubtili$$imo pro den$itate Ætheris, quam in Aere, Aqua, & Argento vivo pro den$itatibus horum fluidorum. <pb n=329> <MARG>LIBER SECUNDUS.</MARG> <C>SECTIO VIII.</C> <C><I>De Motu per Fluida propagato.</I></C> <C>PROPOSITIO XLI. THEOREMA XXXII.</C> <p><I>Pre$$io non propagatur per Fluidum $ecundum lineas rectas, ni$i ubi particulæ Fluidi in directum jacent.</I> <p>Si jaceant particulæ <I>a, b, c, d, e</I> in linea recta, pote$t quidem pre$$io directe propagari ab <I>a</I> ad <I>e</I>; at <FIG> particula <I>e</I> urgebit particulas oblique po- $itas <I>f</I> & <I>g</I> oblique, & particulæ illæ <I>f</I> & <I>g</I> non $u$tinebunt pre$$ionem illatam, ni$i fulciantur a particulis ulterioribus <I>h</I> & <I>k</I>; quatenus autem fulciuntur, premunt par- ticulas fulcientes; & hæ non $u$tinebunt pre$$ionem ni$i fulciantur ab ulterioribus <I>l</I> & <I>m</I> ea$que premant, & $ic deinceps in infinitum. Pre$$io igi- tur, quam primum propagatur ad particulas quæ non in directum jacent, divaricare incipiet & oblique propagabitur in infinitum; & po$tquam incipit oblique propagari, $i inciderit in particulas ulteriores, quæ non in directum jacent, iterum divaricabit; id- que toties, quoties in particulas non accurate in directum ja- centes inciderit. <I>Q.E.D.</I> <p><I>Corol.</I> Si pre$$ionis, a dato puncto per Fluidum propagatæ, pars aliqua ob$taculo intercipiatur; pars reliqua, quæ non intercipitur, divaricabit in $patia pone ob$taculum. Id quod $ic etiam de- mon$trari pote$t. A puncto <I>A</I> propagetur pre$$io quaquaver- $um, idque $i fieri pote$t $ecundum lineas rectas, & ob$taculo <I>NBCK</I> perforato in <I>BC,</I> intercipiatur ea omnis, præter par- tem Coniformem <I>APQ,</I> quæ per foramen circulare <I>BC</I> tran$it. Planis tran$ver$is <I>de, fg, hi</I> di$tinguatur conus <I>APQ</I> in fru$ta; & interea dum conus <I>ABC,</I> pre$$ionem propagando, urget fru- <pb n=330> <MARG>DE MOTU CORPORUM.</MARG> $tum conicum ulterius <I>degf</I> in $uperficie <I>de,</I> & hoc fru$tum urget fru$tum proximum <I>fgih</I> in $uperficie <I>fg,</I> & fru$tum illud urget fru$tum tertium, & $ic deinceps in infinitum; manife$tum e$t (per motus Legem tertiam) quod fru$tum primum <I>defg,</I> re- actione $ru$ti $ecundi <I>fghi,</I> tantum urgebitur & premetur in $u- perficie <I>fg,</I> quantum urget & premit fru$tum illud $ecundum. Fru$tum igitur <I>degf</I> inter conum <I>Ade</I> & fru$tum <I>fhig</I> com- primitur utrinque, & propterea (per Corol. 6. Prop. XIX.) figu- ram $uam $ervare nequit, ni$i vi eadem comprimatur undique. <FIG> Eodem igitur impetu quo premitur in $uperficiebus <I>de, fg,</I> cona- bitur cedere ad latera <I>df, eg</I>; ibique (cum rigidum non $it, $ed omnimodo Fluidum) excurret ac dilatabitur, ni$i Fluidum am- biens ad$it, quo conatus i$te cohibeatur. Proinde conatu excur- rendi, premet tam Fluidum ambiens ad latera <I>df, eg</I> quam fru$tum <I>fghi</I> eodem impetu; & propterea pre$$io non minus propagabi- tur a lateribus <I>df, eg</I> in $patia <I>NO, KL</I> hinc inde, quam pro- pagatur a $uperficie <I>fg</I> ver$us <I>PQ. Q.E.D.</I> <pb n=331> <MARG>LIBER SECUNDUS.</MARG> <C>PROPOSITIO XLII. THEOREMA XXXIII.</C> <p><I>Motus omnis per Fluidum propagatus divergit a recto tramite in $patia immota.</I> <p><I>Cas.</I> 1. Propagetur motus a puncto <I>A</I> per foramen <I>BC,</I> per- gatque ($i $ieri pote$t) in $patio conico <I>BCQP,</I> $ecundum li- neas rectas divergentes a puncto <I>C.</I> Et ponamus primo quod motus i$te $it undarum in $uperficie $tagnantis aquæ. Sintque <I>de, fg, hi, kl,</I> &c. undarum $ingularum partes alti$$imæ, valli- bus totidem intermediis ab invicem di$tinctæ. Igitur quoniam aqua in undarum jugis altior e$t quam in Fluidi partibus immo- tis <I>LK, NO,</I> defluet eadem de jugorum terminis <I>e, g, i, l,</I> &c. <I>d, f, h, k,</I> &c. hinc inde, ver$us <I>KL</I> & <I>NO</I>: & quoniam in un- darum vallibus depre$$ior e$t quam in Fluidi partibus immotis <I>KL, NO</I>; defluet eadem de partibus illis immotis in undarum valles. Defluxu priore undarum juga, po$teriore valles hinc inde dilatantur & propagantur ver$us <I>KL</I> & <I>NO.</I> Et quo- niam motus undarum ab <I>A</I> ver$us <I>PQ</I> fit per continuum de- fluxum jugorum in valles proximos, adeoque celerior non e$t quam pro celeritate de$cen$us; & de$cen$us aquæ, hinc inde, ver- $us <I>KL</I> & <I>NO</I> eadem velocitate peragi debet; propagabitur dilatatio undarum, hinc inde, ver$us <I>KL</I> & <I>NO,</I> eadem velo- citate qua undæ ip$æ ab <I>A</I> ver$us <I>PQ</I> recta progrediuntur. Proindeque $patium totum hinc inde, ver$us <I>KL</I> & <I>NO,</I> ab undis dilatatis <I>rfgr, shis, tklt, vmnv,</I> &c. occupabitur. <I>Q. E. D.</I> Hæc ita $e habere quilibet in aqua $tagnante expe- riri pote$t. <p><I>Cas.</I> 2. Ponamus jam quod <I>de, fg, hi, kl, mn</I> de$ignent pul- $us a puncto <I>A,</I> per Medium Ela$ticum, $ucce$$ive propagatos. Pul$us propagari concipe per $ucce$$ivas conden$ationes & rare- factiones Medii, $ic ut pul$us cuju$que pars den$i$$ima $phæricam occupet $uperficiem circa centrum <I>A</I> de$criptam, & inter pul$us $ucce$$ivos æqualia intercedant intervalla. De$ignent autem lineæ <I>de, fg, hi, kl,</I> &c. den$i$$imas pul$uum partes, per foramen <I>BC</I> propagatas. Et quoniam Medium ibi den$ius e$t quam in $patiis hinc inde ver$us <I>KL</I> & <I>NO,</I> dilatabit $e$e tam ver$us $patia illa <I>KL, NO</I> utrinque $ita, quam ver$us pul$uum rariora intervalla; <pb n=332> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> eoque pacto rarius $emper evadens e regione intervallorum ac den$ius e regione pul$uum, participabit eorundem motum. Et quoniam pul$uum progre$$ivus motus oritur a perpetua relaxa- tione partium den$iorum ver$us antecedentia intervalla rariora; & pul$us eadem fere celeritate $e$e in Medii partes quie$centes <I>KL, NO</I> hinc inde relaxare debent; pul$us illi eadem fere cele- ritate $e$e dilatabunt undique in $patia immota <I>KL, NO,</I> qua propagantur directe a centro <I>A</I>; adeoque $patium totum <I>KLON</I> occupabunt. <I>Q.E.D.</I> Hoc experimur in Sonis, qui vel monte interpo$ito audiuntur, vel in cubiculum per fene$tram admi$$i $e$e in omnes cubiculi partes dilatant, inque angulis omnibus audiun- tur, non tam reflexi a parietibus oppo$itis, quam a fene$tra directe propagati, quantum ex $en$u judicare licet. <FIG> <p><I>Cas.</I> 3. Ponamus denique quod motus cuju$cunque generis propagetur ab <I>A</I> per foramen <I>BC</I>: & quoniam propagatio i$ta non fit, ni$i quatenus partes Medii centro <I>A</I> propiores urgent commoventque partes ulteriores; & partes quæ urgentur fluidæ $unt, ideoque recedunt quaquaver$um in regiones ubi minus pre- <pb n=333> muntur: recedent eædem ver$us Medii partes omnes quie$centes, <MARG>LIBER SECUNDUS.</MARG> tam laterales <I>KL</I> & <I>NO,</I> quam anteriores <I>PQ,</I> eoque pacto motus omnis, quam primum per foramen <I>BC</I> tran$iit, dilatari in- cipiet & abinde, tanquam a principio & centro, in partes omnes directe propagari. <I>Q.E.D.</I> <C>PROPOSITIO XLIII. THEOREMA XXXIV.</C> <p><I>Corpus omne tremulum in Medio Ela$tico propagabit motum pul- $uum undique in directum; in Medio vero non Ela$tico motum circularem excitabit.</I> <p><I>Cas.</I> 1. Nam partes corporis tremuli vicibus alternis eundo & redeundo, itu $uo urgebunt & propellent partes Medii $ibi proxi- mas, & urgendo compriment ea$dem & conden$abunt; dein re- ditu $uo $inent partes compre$$as recedere & $e$e expandere. Igi- tur partes Medii corpori tremulo proximæ ibunt & redibunt per vices, ad in$tar partium corporis illius tremuli: & qua ratione partes corporis hujus agitabant ha$ce Medii partes, hæ $imilibus tremoribus agitatæ agitabunt partes $ibi proximas, eæque $imiliter agitatæ agitabunt ulteriores, & $ic deinceps in infinitum. Et quemadmodum Medii partes primæ eundo conden$antur & re- deundo relaxantur, $ic partes reliquæ quoties eunt conden$abun- tur, & quoties redeunt $e$e expandent. Et propterea non omnes ibunt & $imul redibunt ($ic enim determinatas ab invicem di$tan- tias $ervando, non rarefierent & conden$arentur per vices) $ed ac- cedendo ad invicem ubi conden$antur, & recedendo ubi rarefiunt, aliquæ earum ibunt dum aliæ redeunt; idque vicibus alternis in infinitum. Partes autem euntes & eundo conden$atæ, ob motum $uum progre$$ivum quo feriunt ob$tacula, $unt pul$us; & propte- rea pul$us $ucce$$ivi a corpore omni tremulo in directum propaga- buntur; idque æqualibus circiter ab invicem di$tantiis, ob æqua- lia temporis intervalla, quibus corpus tremoribus $uis $ingulis $ingulos pul$us excitat. Et quanquam corporis tremuli par- tes eant & redeant $ecundum plagam aliquam certam & determi- natam, tamen pul$us inde per Medium propagati $e$e dilatabunt ad latera, per Propo$itionem præcedentem; & a corpore illo tre- mulo tanquam centro communi, $ecundum $uperficies propemo- dum $phæricas & concentricas, undique propagabuntur. Cujus <pb n=334> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> rei exemplum aliquod habemus in Undis, quæ $i digito tremulo excitentur, non $olum pergent hinc inde $ecundum plagam motus digiti, $ed, in modum circulorum concentricorum, digitum $tatim cingent & undique propagabuntur. Nam gravitas Undarum $up- plet locum vis Ela$ticæ. <p><I>Cas.</I>2. Quod $i Medium non $it Ela$ticum: quoniam ejus partes a corporis tremuli partibus vibratis pre$$æ conden$ari nequeunt, pro- pagabitur motus in in$tanti ad partes ubi Medium facillime ce- dit, hoc e$t, ad partes quas corpus tremulum alioqui vacuas a tergo relinqueret. Idem e$t ca$us cum ca$u corporis in Medio quocunque projecti. Medium cedendo projectilibus, non rece- dit in infinitum; $ed in circulum eundo, pergit ad $patia quæ corpus relinquit a tergo. Igitur quoties corpus tremulum per- git in partem quamcunque, Medium cedendo perget per circu- lum ad partes quas corpus relinquit; & quoties corpus regredi- tur ad locum priorem, Medium inde repelletur & ad locum $uum priorem redibit. Et quamvis corpus tremulum non $it firmum, $ed modis omnibus flexile, $i tamen magnitudine datum maneat, quoniam tremoribus $uis nequit Medium ubivis urgere, quin alibi eidem $imul cedat; efficiet ut Medium, recedendo a partibus ubi premitur, pergat $emper in orbem ad partes quæ eidem ce- dunt <I>Q.E.D.</I> <p><I>Corol.</I> Hallucinantur igitur qui credunt agitationem partium Flammæ ad pre$$ionem, per Medium ambiens, $ecundum lineas rectas propagandam conducere. Debebit eju$modi pre$$io non ab agitatione $ola partium Flammæ, $ed a totius dilatatione deri- vari. <C>PROPOSITIO XLIV. THEOREMA XXXV.</C> <p><I>Si aqua in Canalis oruribus erectis</I> KL, MN <I>vicibus alternis a$cendat & de$cendat; con$truatur autem Pendulum cujus longitudo inter punctum $u$pen$ionis & centrum o$cillationis æquetur $emi$$i longitudinis aquæ in Canali: dico quod aqua a$cendet & de$cendet ii$dem temporibus quibus Pendulum o$cillatur.</I> <p>Longitudinem aquæ men$uro $ecundum axes canalis & crurum, eandem $ummæ horum axium æquando; & re$i$tentiam aquæ quæ <pb n=335> oritur ab attritu canalis, hic non con$idero. De$ignent igitur <I>AB, <MARG>LIBER SECUNDUS.</MARG> CD</I> mediocrem altitudinem aquæ in crure utroque; & ubi aqua in crure <I>KL</I> a$cendit ad altitudinem <I>EF,</I> de$cenderit aqua in crure <I>MN</I> ad altitudinem <I>GH.</I> Sit autem <I>P</I> corpus pendulum, <I>VP</I> filum, <I>V</I> punctum $u$pen$ionis, <I>SPQR</I> Cyclois quam Pen- dulum de$cribat, <I>P</I> ejus punctum infimum, <I>PQ</I> arcus altitudini <I>AE</I> æqualis. Vis, qua motus aquæ alternis vicibus acceleratur <FIG> & retardatur, e$t exce$$us ponderis aquæ in alterutro crure $upra pondus in altero, ideoque, ubi aqua in crure <I>KL</I> a$cendit ad <I>EF,</I> & in crure altero de$cendit ad <I>GH,</I> vis illa e$t pondus duplica- tum aquæ <I>EABF,</I> & propterea e$t ad pondus aquæ totius ut <I>AE</I> $eu <I>PQ</I> ad <I>VP</I> $eu <I>PR.</I> Vis etiam, qua pondus <I>P</I> in loco quovis <I>Q</I> acceleratur & retardatur in Cycloide, (per Corol. Prop. LI.) e$t ad ejus pondus totum, ut ejus di$tantia <I>YQ</I> a loco infimo <I>P,</I> ad Cycloidis longitudinem <I>PR.</I> Quare aquæ & pen- duli, æqualia $patia <I>AE, PQ</I> de$cribentium, vires motrices $unt ut pondera movenda; ideoque, $i aqua & pendulum in princi- pio quie$cunt, vires illæ movebunt eadem æqualiter tempori- bus æqualibus, efficientque ut motu reciproco $imul eant & re- deant. <I>Q.E.D.</I> <p><I>Corol.</I> 1. Igitur aquæ a$cendentis & de$cendentis, $ive motus in- ten$ior $it $ive remi$$ior, vices omnes $unt I$ochronæ. <p><I>Corol.</I> 2. Si longitudo aquæ totius in canall $it pedum <I>Pari$ien- $ium</I> 6 1/9: aqua tempore minuti unius $ecundi de$cendet, & tem- pore minuti alterius $ecundi a$cendet; & $ic deinceps vicibus al- ternis in infinitum. Nam pendulum pedum (3 1/18) longitudinis, tempore minuti unius $ecundi o$cillatur. <pb n=336> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> <p><I>Corol.</I> 3. Aucta autem vel diminuta longitudine aquæ, auge- tur vel diminuitur tempus reciprocationis in longitudinis ratione $ubduplicata. <C>PROPOSITIO XLV. THEOREMA XXXVI.</C> <C><I>Undarum velocitas e$t in $ubduplicata ratione latitudinum.</I></C> <p>Con$equitur ex con$tructione Propo$itionis $equentis. <C>PROPOSITIO XLVI. PROBLEMA X.</C> <C><I>Invenire velocitatem Undarum.</I></C> <p>Con$tituatur Pendulum cujus longitudo, inter punctum $u$pen- $ionis & centrum o$cillationis, æquetur latitudini Undarum: & quo tempore pendulum illud o$cillationes $ingulas peragit, eodem Un- dæ progrediendo latitudinem $uam propemodum conficient. <p>Undarum latitudinem voco men$uram tran$ver$am, quæ vel val- libus imis, vel $ummis culminibus interjacet. De$ignet <I>ABCDEF</I> $uperficiem aquæ $tagnantis, undis $ucce$$ivis a$cendentem ac de$- cendentem; $intque <I>A, C, E,</I> &c. undarum culmina, & <I>B, D, F,</I> &c. valles intermedii. Et quoniam motus undarum fit per aquæ $uc- ce$$ivum a$cen$um & de$cen$um, $ic ut ejus partes <I>A, C, E,</I> &c. quæ nunc alti$$imæ $unt, mox fiant in$imæ; & vis motrix, qua partes alti$$imæ de$cendunt & infimæ a$cendunt, e$t pondus aquæ elevatæ; alternus ille a$cen$us & de$cen$us analogus erit motui re- ciproco aquæ in canali, ea$demque temporis leges ob$ervabit: & propterea (per Prop. XLIV) $i di$tantiæ inter undarum loca alti$- $ima <I>A, C, E</I> & infima <I>B, D, F</I> æquentur duplæ penduli longitu- dini; partes alti$$imæ <I>A, C, E,</I> tempore o$cillationis unius evadent infircæ, & tempore o$cillationis alterius denuo a$cendent. Igitur inter tran$itum Undarum $ingularum tempus erit o$cillationum duarum; hoc e$t, Unda de$cribet latitudinem $uam, quo tempore pendulum illud bis o$cillatur; $ed eodem tempore pendulum, cu- jus longitudo quadrupla e$t, adeoque æquat undarum latitudinem, o$cillabitur $emel. <I>Q.E.I.</I> <p><I>Corol.</I> 1. Igitur Undæ, quæ pedes <I>Pari$ien$es</I> (3 1/18) latæ $unt, tempore minuti unius $ecundi progrediendo latitudinem $uam con- ficient; adeoque tempore minuti unius primi percurrent pedes 183 1/3, & horæ $patio pedes 11000 quamproxime. <pb n=337> <FIG> <p><I>Corol.</I> 2. Et undarum majorum vel minorum ve- <MARG>LIBER SECUNDUS.</MARG> locitas augebitur vel diminuetur in $ubduplicata rationc latitudinis. <p>Hæc ita $e habent ex Hypothe$i quod partes aquæ recta a$cendunt vel recta de$cendunt; $ed a$cen$us & de$cen$us ille verius fit per circulum, ideoque tempus hac Propo$itione non ni$i quam- proxime definitum e$$e affirmo. <C>PROP. XLVII. THEOR. XXXVII.</C> <p><I>Pul$ibus per Fluidum propagatis, $ingulæ Fluidi particulæ, motu reciproco brevi$$imo euntes & redeuntes, accelerantur $emper & retardantur pro lego o$cillantis Penduli.</I> <FIG> <p>De$ignent <I>AB, BC, CD,</I> &c. pul$uum $ucce$$ivorum æquales di$rantias; <I>ABC</I> plagam motus pul$uum ab <I>A</I> ver$us <I>B</I> propagati; <I>E, F, G</I> puncta tria Phy$ica Me- dii quie$centis, in recta <I>AC</I> ad æquales ab invicem di- $tantias $ita; <I>Ee, Ff, Gg,</I> $patia æqualia perbrevia per quæ puncta illa motu reciproco $ingulis vibratio- nibus eunt & redeunt; <G>e, f, g</G> loca quævis inter- media eorundem punctorum; & <I>EF, FG</I> lineolas Phy$icas $eu Medii partes lineares punctis illis in- terjectas, & $ucce$$ive tran$latas in loca <G>ef, fg</G> & <I>ef, fg.</I> Rectæ <I>Ee</I> æqualis ducatur recta <I>PS.</I> Bi$ecetur eadem in <I>O,</I> centroque <I>O</I> & intervallo <I>OP</I> de$cribatur circulus <I>SIPi.</I> Per hujus cir- cumferentiam totam cum partibus $uis exponatur tempus totum vibrationis unius cum ip$ius parti- bus proportionalibus; $ic ut completo tempore quovis <I>PH</I> vel <I>PHSh,</I> $i demittatur ad <I>PS</I> perpendiculum <I>HL</I> vel <I>hl,</I> & capiatur <I>E</I><G>e</G> æqua- lis <I>PL</I> vel <I>Pl,</I> punctum Phy$icum <I>E</I> reperiatur <pb n=338> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> in <G>e</G>. Hac lege punctum quodvis <I>E,</I> eundo ab <I>E</I> <FIG> per <G>e</G> ad <I>e,</I> & inde redeundo per <G>e</G> ad <I>E,</I> ii$dem accelerationis ac retardationis gradibus vibratio- nes $ingulas peraget cum o$cillante Pendulo. Pro- bandum e$t quod $ingula Medii puncta Phy$ica tali motu agitari debeant. Fingamus igitur Me- dium tali motu a cau$a quacunque cieri, & videa- mus quid inde $equatur. <p>In circumferentia <I>PHSh</I> capiantur æquales ar- cus <I>HI, IK</I> vel <I>hi, ik,</I> eam habentes rationem ad circumferentiam totam quam habent æquales rectæ <I>EF, FG</I> ad pul$uum intervallum totum <I>BC.</I> Et demi$$is perpendiculis <I>IM, KN</I> vel <I>im, kn</I>; quoniam puncta <I>E, F, G</I> motibus $imili- bus $ucce$$ive agitantur, & vibrationes $uas integras ex itu & reditu compo$itas interea peragunt dum <FIG> pul$us transfertur a <I>B</I> ad <I>C</I>; $i <I>PH</I> vel <I>PHSh</I> $it tem- pus ab initio motus puncti <I>E,</I> erit <I>PI</I> vel <I>PHSi</I> tem- pus ab initio motus puncti <I>F,</I> & <I>PK</I> vel <I>PHSk</I> tem- pus ab initio motus puncti <I>G</I>; & propterea <I>E<G>e</G>, F<G>f</G>, G</I><G>g</G> erunt ip$is <I>PL, PM, PN</I> in itu punctorum, vel ip$is <I>Pl, Pm, Pn</I> in punctorum reditu, æqua- les re$pective. Unde <G>eg</G> $eu <I>EG+G<G>g</G>-E</I><G>e</G> in itu punctorum æqualis erit <I>EG-LN,</I> in re- ditu autem æqualis <I>EG+ln.</I> Sed <G>eg</G> latitudo e$t $eu expan$io partis Medii <I>EG</I> in loco <G>eg</G>; & propterea expan$io partis illius in itu, e$t ad ejus expan$ionem mediocrem, ut <I>EG-LN</I> ad <I>EG</I>; in reditu autem ut <I>EG+ln</I> $eu <I>EG+LN</I> ad <I>EG.</I> Quare cum $it <I>LN</I> ad <I>KH</I> ut <I>IM</I> ad radium <I>OP,</I> & <I>KH</I> ad <I>EG</I> ut circumferentia <I>PHShP</I> ad <I>BC,</I> id e$t ($i ponatur V pro ra- dio circuli circumferentiam habentis æqualem in- tervallo pul$uum <I>BC</I>) ut <I>OP</I> ad V; & ex æ- quo <I>LN</I> ad <I>EG,</I> ut <I>IM</I> ad V: erit expan$io partis <I>EG</I> punctive Phy$ici <I>F</I> in loco <G>eg</G>, ad ex- <pb n=339> pan$ionem mediocrem quam pars illa habet in loco $uo primo <MARG>LIBER SECUNDUS.</MARG> <I>EG,</I> ut V-<I>IM</I> ad V in itu, utque V+<I>im</I> ad V in reditu. Unde vis ela$tica puncti <I>F</I> in loco <G>eg</G>, e$t ad vim ejus ela$ticam medio- crem in loco <I>EG,</I> ut (I/V-<I>IM</I>) ad I/V in itu, in reditu vero ut (I/V+<I>im</I>) ad I/V. Et eodem argumento vires ela$ticæ punctorum Phy$icorum <I>E</I> & <I>G</I> in itu, $unt ut (I/V-<I>HL</I>) & (I/V-<I>KN</I>) ad I/V; & virium differentia ad Medii vim ela$ticam mediocrem, ut (<I>HL-KN</I>/VV-VX<I>HL</I>-VX<I>KN+HLXKN</I>) ad I/V. Hoc e$t, ut (<I>HL-KN</I>/VV) ad I/V, $ive ut <I>HL-KN</I> ad V, $i modo (ob angu- $tos limites vibrationum) $upponamus <I>HL</I> & <I>KN</I> indefinite minores e$$e quantitate V. Quare cum quantitas V detur, diffe- rentia virium e$t ut <I>HL-KN,</I> hoc e$t (ob proportionales <I>HL-KN</I> ad <I>HK,</I> & <I>OM</I> ad <I>OI</I> vel <I>OP,</I> data$que <I>HK</I> & <I>OP</I>) ut <I>OM</I>; id e$t, $i <I>Ff</I> bi$ecetur in <G>*w</G>, ut <G>*wf</G>. Et eodem argumento differentia virium ela$ticarum punctorum Phy$icorum <G>e</G> & <G>g</G>, in reditu lineolæ Phy$icæ <G>eg</G> e$t ut <G>*wf</G>. Sed differentia illa (id e$t, exce$$us vis ela$ticæ puncti <G>e</G> $upra vim ela$ticam pun- cti <G>g</G>,) e$t vis qua interjecta Medii lineola Phy$ica <G>eg</G> acceleratur; & propterea vis acceleratrix lineolæ Phy$icæ <G>eg</G>, e$t ut ip$ius di- $tantia a medio vibrationis loco <G>*w</G>. Proinde tempus (per Prop. XXXVIII. Lib. 1.) recte exponitur per arcum <I>PI</I>; & Medii pars linearis <G>eg</G> lege præ$cripta movetur, id e$t, lege o$cillantis Pen- duli: e$tque par ratio partium omnium linearium ex quibus Me- dium totum componitur. <I>Q.E.D.</I> <p><I>Corol.</I> Hinc patet quod numerus pul$uum propagatorum idem $it cum numero vibrationum corporis tremuli, neque multiplica- tur in eorum progre$$u. Nam lineola Phy$ica <G>eg</G>, quamprimum ad locum $uum primum redierit, quie$cet; neque deinceps move- bitur, ni$i vel ab impetu corporis tremuli, vel ab impetu pul$uum qui a corpore tremulo propagantur, motu novo cieatur. Quie- $cet igitur quamprimum pul$us a corpore tremulo propagari de$inunt. <pb n=340> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> <C>PROPOSITIO XLVIII. THEOREMA XXXVIII.</C> <p><I>Pul$uum in Fluido Ela$tico propagatorum velocitates, $unt in ra- tione compo$ita ex $ubduplicata ratione vis Ela$ticæ directe & $ubduplicata ratione den$itatis inver$e; $i modo Fluidi vis Ela$tica eju$dem conden$ationi proportionalis e$$e $upponatur.</I> <p><I>Ca$.</I> 1. Si Media $int homogenea, & pul$uum di$tantiæ in his Mediis æquentur inter $e, $ed motus in uno Medio inten$ior $it: contractiones & dilatationes partium analogarum erunt ut iidem motus. Accurata quidem non e$t hæc proportio. Verum tamen ni$i contractiones & dilatationes $int valde inten$æ, non errabit $en$ibiliter, ideoque pro Phy$ice accurata haberi pote$t. Sunt autem vires Ela$ticæ motrices ut contractiones & dilatationes; & velocitates partium æqualium $imul genitæ $unt ut vires. Ideoque æquales & corre$pondentes pul$uum corre$pondentium partes, itu⋅ & reditus $uos per $patia contractionibus & dilatationibus proportionalia, cum velocitatibus quæ $unt ut $patia, $imul pera- gent: & propterea pul$us, qui tempore itus & reditus unius lati- tudinem $uam progrediendo conficiunt, & in loca pul$uum pro- xime præcedentium $emper $uccedunt, ob æqualitatem di$tantia- rum, æquali cum velocitate in Medio utroque progredientur. <p><I>Ca$.</I> 2. Sin pul$uum di$tantiæ $eu longitudines $int majores in uno Medio quam in altero; ponamus quod partes corre$ponden- tes $patia latitudinibus pul$uum proportionalia $ingulis vicibus eundo & redeundo de$cribant: & æquales erunt earum contra- ctiones & dilatationes. Ideoque $i Media $int homogenea, æqua- les erunt etiam vires illæ Ela$ticæ motrices quibus reciproco motu agitantur. Materia autem his viribus movenda, e$t ut pul$uum latitudo; & in eadem ratione e$t $patium per quod $ingulis vici- bus eundo & redeundo moveri debent. E$tque tempus itus & reditus unius in ratione compo$ita ex ratione $ubduplicata mate- riæ & ratione $ubduplicata $patii, atque adeo ut $patium. Pul$us autem temporibus itus & reditus unius eundo latitudines $uas conficiunt, hoc e$t, $patia temporibus proportionalia percurrunt; & propterea $unt æquiveloces. <p><I>Ca$</I> 3 In Mediis igitur den$itate & vi Ela$tica paribus, pul$us omnes $unt æquiveloces. Quod $i Medii vel den$itas vel vis Ela- $tica intendatur, quoniam vis motrix in ratione vis Ela$ticæ, & materia movenda in ratione den$itatis augetur; tempus quo mo- <pb n=341> tus iidem peragantur ac prius, augebitur in $ubduplicata ratione <MARG>LIBER SECUNDUS.</MARG> den$itatis, ac diminuetur in $ubduplicata ratione vis Ela$ticæ. Et propterea velocitas pul$uum erit in ratione compo$ita ex ratione $ubduplicata den$itatis Medii inver$e & ratione $ubduplicata vis Ela$ticæ directe. <I>Q. E. D.</I> <p>Hæc Propo$itio ulterius patebit ex con$tructione $equentis. <C>PROPOSITIO XLIX. PROBLEMA XI.</C> <p><I>Datis Medii den$itate & vi Ela$tica, invenire velocitatem pul- $uum.</I> <p>Fingamus Medium ab incumbente pondere, pro more Aeris no$tri comprimi; $itque A altitudo Medii homogenei, cujus pon- dus adæquet pondus incumbens, & cujus den$itas eadem $it cum den$itate Medii compre$$i, in quo pul$us propagantur. Con$ti- tui autem intelligatur Pendulum, cujus longitudo inter punctum $u$pen$ionis & centrum o$cillationis $it A: & quo tempore Pen- dulum illud o$cillationem integram ex itu & reditu compo$itam peragit, eodem pulfus eundo conficiet $patium circumferentiæ circuli radio A de$cripti æquale. <p>Nam $tantibus quæ in Propo$itione XLVII con$tructa $unt, $i linea quævis Phy$ica <I>EF,</I> $ingulis vibrationibus de$cribendo $patium <I>PS,</I> urgeatur in extremis itus & reditus cuju$que locis <I>P</I> & <I>S,</I> a vi Ela$tica quæ ip$ius ponderi æquetur; peraget hæc vibrationes $ingulas quo tempore eadem in Cycloide, cujus peri- meter tota longitudini <I>PS</I> æqualis e$t, o$cillari po$$et: id adeo quia vires æquales æqualia corpu$cula per æqualia $patia $imul im- pellent. Quare cum o$cillationum tempora $int in $ubduplicata ratione longitudinis Pendulorum, & longitudo Penduli æquetur dimidio arcui Cycloidis totius; foret tempus vibrationis unius ad tempus o$cillationis Penduli cujus longitudo e$t A, in $ubdupli- cata ratione longitudinis 1/2 <I>PS</I> $eu <I>PO</I> ad longitudinem A. Sed vis Ela$tica qua lineola Phy$ica <I>EG,</I> in locis $uis extremis <I>P, S</I> exi$tens, urgetur, erat (in demon$tratione Propo$itionis XLVII) ad ejus vim totam Ela$ticam ut <I>HL-KN</I> ad V, hoc e$t (cum punctum <I>K</I> jam incidat in <I>P</I>) ut <I>HK</I> ad V: & vis illa tota, hoc e$t pondus incumbens, quo lineola <I>EG</I> comprimitur, e$t ad pondus lineolæ ut ponderis incumbentis altitudo A ad line- olæ longitudinem <I>EG</I>; adeoque ex æquo, vis qua lineola <I>EG</I> in locis $uis <I>P</I> & <I>S</I> urgetur, e$t ad lineolæ illius pondus ut <I>HK</I>XA ad VX<I>EG,</I> $ive ut <I>PO</I>XA ad VV, nam <I>HK</I> erat ad <I>EG</I> ut <pb n=342> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> <I>PO</I> ad V. Quare cum tempora, quibus æqualia corpora per æqualia $patia impelluntur, $int reciproce in $ubduplicata ratione virium, erit tempus vibrationis unius urgente vi illa Ela$tica, ad tempus vibrationis urgente vi ponderis, in $ubduplicata ratione VV ad <I>PO</I>XA, atque adeo ad tempus o$cillationis Penduli cu- jus longitudo e$t A, in $ubduplicata ratione VV ad <I>PO</I>XA, & $ubduplicata ratione <I>PO</I> ad A conjunctim; id e$t, in ratione in- tegra V ad A. Sed tempore vibrationis unius ex itu & reditu com- po$itæ, pul$us progrediendo conficit latitudinem $uam <I>BC.</I> Ergo tempus quo pul$us percurrit $patium <I>BC,</I> e$t ad tempus o$cillati- onis unius ex itu & reditu compo$itæ, ut V ad A, id e$t, ut <I>BC</I> ad circumferentiam circuli cujus radius e$t A. Tempus autem, quo pul$us percurret $patium <I>BC,</I> e$t ad tempus quo percurret longitudinem huic circumferentiæ æqualem, in eadem ratione; ideoque tempore talis o$cillationis pul$us percurret longitudinem huic circumferentiæ æqualem. <I>Q.E.D.</I> <p><I>Corol.</I> 1. Velocitas pul$uum ea e$t quam acquirunt Gravia, æqua- liter accelerato motu cadendo, & ca$u $uo de$cribendo dimidium altitudinis A. Nam tempore ca$us hujus, cum velocitate cadendo acqui$ita, pul$us percurret $patium quod erit æquale toti altitu- dini A, adeoque tempore o$cillationis unius ex itu & reditu com- po$itæ, percurret $patium æquale circumferentiæ circuli radio A de$cripti: e$t enim tempus ca$us ad tempus o$cillationis ut radius circuli ad eju$dem circumferentiam. <p><I>Corol.</I> 2. Unde cum altitudo illa A $it ut Fluidi vis Ela$tica di- recte & den$itas eju$dem inver$e; velocitas pul$uum erit in ratione compo$ita ex $ubduplicata ratione den$itatis inver$e & $ubdupli- cata ratione vis Ela$ticæ directe. <C>PROPOSITIO L. PROBLEMA XII.</C> <C><I>Invenire pul$uum di$tantias.</I></C> <p>Corporis, cujus tremore pul$us excitantur, inveniatur numerus Vibrationum dato tempore. Per numerum illum dividatur $pa- tium quod pul$us eodem tempore percurrere po$$it, & pars in- venta erit pul$us unius latitudo. <I>Q.E.I.</I> <C><I>Scholium.</I></C> <p>Spectant Propo$itiones novi$$imæ ad motum Lucis & Sonorum. Lux enim cum propagetur $ecundum lineas rectas, in actione $ola <pb n=343> (per Prop. XLI. & XLII.) con$i$tere nequit. Soni vero propterea <MARG>LIBER SECUNDUS.</MARG> quod a corporibus tremulis oriantur, nihil aliud $unt quam aeris pul$us propagati, per Prop. XLIII. Confirmatur id ex tremoribus quos excitant in corporibus objectis, $i modo vehementes $int & graves, quales $unt $oni Tympanorum. Nam tremores celeriores & breviores difficilius excitantur. Sed & $onos quo$vis, in chor- das corporibus $onoris uni$onas impactos, exeitare tremores noti$- $imum e$t. Confirmatur etiam ex velocitate $onorum. Nam cum pondera $peci$ica Aquæ pluvialis & Argenti vivi $int ad invicem ut 1 ad 13 2/3 circiter, & ubi Mercurius in <I>Barometro</I> altitudinem attingit digitorum <I>Anglicorum</I> 30, pondus $pecificum Aeris & aquæ pluvialis $int ad invicem ut 1 ad 870 circiter: erunt pon- dera $pecifica aeris & argenti vivi ut 1 ad 11890. Proinde cum altitudo argenti vivi $it 30 digitorum, altitudo aeris uniformis, cujus pondus aerem no$trum $ubjectum comprimere po$$et, erit 356700 digitorum, $eu pedum <I>Anglicorum</I> 29725. E$tque hæc altitudo illa ip$a quam in con$tructione $uperioris Problematis no- minavimus A. Circuli radio 29725 pedum de$cripti circumferen- tia e$t pedum 186768. Et cum Pendulum digitos 39 1/5 longum, o$cillationem ex itu & reditu compo$itam, tempore minutorum duorum $ecundorum, uti notum e$t, ab$olvat; Pendulum pedes 29725, $eu digitos 356700 longum, o$cillationem con$imilem tem- pore minutorum $ecundorum 190 3/4 ab$olvere debebit. Eo igitur tempore $onus progrediendo con$iciet pedes 186768, adeoque tempore minuti unius $ecundi pedes 979. <p>Cæterum in hoc computo nulla habetur ratio cra$$itudinis $oli- darum particularum aeris, per quam $onus utique propagatur in in$tanti. Cum pondus aeris $it ad pondus aquæ ut 1 ad 870, & $ales $int fere duplo den$iores quam aqua; $i particulæ aeris po- nantur e$$e eju$dem circiter den$itatis cum particulis vel aquæ vel $alium, & raritas aeris oriatur ab intervallis particularum: diameter particulæ aeris erit ad intervallum inter centra parti- cularum, ut 1 ad 9 vel 10 circiter, & ad intervallum inter par- ticulas ut 1 ad 8 vel 9. Proinde ad pedes 979 quos $onus tem- pore minuti unius $ecundi juxta calculum $uperiorem conficiet, addere licet pedes (979/9) $eu 109 circiter, ob cra$$itudinem particu- larum aeris: & $ie $onus tempore minuti unius $ecundi conficiet pedes 1088 circiter. <p>His adde quod vapores in aere latentes, cum $int alterius ela- teris & alterius toni, vix aut ne vix quidem participant motum aeris veri quo $oni propagantur. His autem quie$centibus, mo- <pb n=344> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> tus ille celerius propagabitur per $olum aerem verum, idque in $ubduplicata ratione minoris materiæ. Ut $i Atmo$phæra con- $tet ex decem partibus aeris veri & una parte vaporum, motus $onorum celerior erit in $ubduplicata ratione 11 ad 10, vel in in- tegra circiter ratione 21 ad 20, quam $i propagaretur per undecim partes aeris veri: ideoque motus $onorum $upra inventus, augen- dus erit in hac ratione. Quo pacto $onus, tempore minuti unius $ecundi, con$ieiet pedes 1142. <p>Hæc ita $e habere debent tempore verno & autumnali, ubi aer per calorem temperatum rare$cit & ejus vis ela$tica nonnihil in- tenditur. At hyberno tempore, ubi aer per frigus conden$atur, & ejus vis ela$tica remittitur, motus $onorum tardior e$$e debet in $ubduplicata ratione den$itatis; & vici$$im æ$tivo tempore debet e$$e velocior. <p>Con$tat autem per experimenta quod $oni tempore minuti uni- us $ecundi eundo, conficiunt pedes <I>Londinen$es</I> plus minus 1142, <I>Pari$ien$es</I> vero 1070. <p>Cognita $onorum velocitate innote$cunt etiam intervalla pul- $uum. Invenit utique <I>D. Sauveur</I> (factis a $e experimentis) quod fi$tula aperta, cujus longitudo e$t pedum <I>Pari$ien$ium</I> plus minus quinque, $onum edit eju$dem toni cum $ono chordæ quæ tempore minuti unius $ecundi centies recurrit. Sunt igitur pul$us plus mi- nus centum in $patio pedum <I>Pari$ien$ium</I> 1070, quos $onus tem- pore minuti unius $ecundi percurrit; adeoque pul$us unus occu- pat $patium pedum <I>Pari$ien$ium</I> qua$i 10 (7/10), id e$t, duplam circi- ter longitudinem fi$tulæ. Unde ver$imile e$t quod latitudines pul$uum, in omnium apertarum fi$tularum $onis, æquentur duplis longitudinibus fi$tularum. <p>Porro cur $oni ce$$ante motu corporis $onori $tatim ce$$ant, ne- que diutius audiuntur ubi longi$$ime di$tamus a corporibus $ono- ris, quam cum proxime ab$umus, patet ex Corollario Propo$itio- nis XLVII Libri hujus. Sed & cur $oni in Tubis $tenterophoni- cis valde augentur, ex allatis principiis manife$tum e$t. Motus enim omnis reciprocus $ingulis recur$ibus a cau$a generante augeri $olet. Motus autem in Tubis dilatationem $onorum impedienti- bus, tardius amittitur & fortius recurrit, & propterea a motu novo $ingulis recur$ibus impre$$o, magis augetur. Et hæc $unt præcipua Phænomena Sonorum. <pb n=345> <MARG>LIBER SECUNDUS.</MARG> <C>SECTIO IX.</C> <C><I>De motu Circulari Fluidorum.</I></C> <C>HYPOTHESIS.</C> <p><I>RE$i$tentiam, quæ oritur ex defectu lubricitatis partium Fluidi, cæteris paribus, proportionalem e$$e velocitati, qua partes Fluidi $eparantur ab invicem.</I> <C>PROPOSITION LI. THEOREMA XXXIX.</C> <p><I>Si Cylindrus $olidus infinite longus in Fluido uniformi & infinito circa axem po$itione datum uniformi cum motu revolvatur, & ab hujus impul$u $olo agatur Fluidum in orbem, per$everet autera Fluidi pars unaquæque uniformiter in motu $uo; dico quod tempora periodica partium Fluidi $unt ut ip$arum di$tantiæ ab axe Cylindri.</I> <p>Sit <I>AFL</I> Cylindrus uni- <FIG> formiter circa axem <I>S</I> in or- bem actus, & circulis con- centricis <I>BGM, CHN, DIO, EKP,</I> &c. di$tin- guatur Fluidum in Orbes cy- lindricos innumeros concen- tricos $olidos eju$dem cra$$i- tudinis. Et quoniam homo- geneum e$t Fluidum, im- pre$$iones contiguorum Or- bium in $e mutuo factæ, erunt (per Hypothe$in) ut eorum tran$lationes ab invicem & $uperficies contiguæ in quibus impre$$iones fiunt. Si impre$$io in Orbem aliquem major e$t vel <pb n=346> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> minor ex parte concava quam ex parte convexa; prævalebit im- pre$$io fortior, & motum Orbis vel accelerabit vel retardabit, prout in eandem regionem cum ip$ius motu vel in contrariam di- rigitur. Proinde ut Orbis unu$qui$que in motu $uo uniformiter per$everet, debent impre$$iones ex parte utraque $ibi invicem æqua- ri, & fieri in regiones contrarias. Unde cum impre$$iones $unt ut contiguæ $uperficies & harum tran$lationes ab invicem, erunt tran- $lationes inver$e ut $uperficies, hoc e$t, inver$e ut $uperficierum di- $tantiæ ab axe. Sunt autem differentiæ motuum angularium circa axem ut hæ tran$lationes applicatæ ad di$tantias, $ive ut tran$lati- ones directe & di$tantiæ inver$e; hoc e$t (conjunctis rationibus) ut quadrata di$tantiarum inver$e. Quare $i ad infinitæ rectæ <I>SABCDEQ</I> partes $in- <FIG> gulas erigantur perpendicula <I>Aa, Bb, Cc, Dd, Ee,</I> &c. ip$arum <I>SA, SB, SC, SD, SE,</I> &c. quadratis reciproce proportionalia, & per ter- minos perpendicularium du- ci intelligatur linea curva Hyperbolica; erunt $ummæ differentiarum, hoc e$t, mo- tus toti angulares, ut re- $pondentes $ummæ linearum <I>Aa, Bb, Cc, Dd, Ee</I>: id e$t, $i ad con$tituendum Me- dium uniformiter fluidum, Orbium numerus augeatur & latitudo minuatur in infinitum, ut areæ Hyperbolicæ his $ummis analogæ <I>AaQ, BbQ, CcQ, DdQ, EeQ,</I> &c. Et tempora motibus an- gularibus reciproce proportionalia, erunt etiam his areis reciproce proportionalia. E$t igitur tempus periodicum particulæ cuju$vis <I>D</I> reciproce ut area <I>DdQ,</I> hoc e$t, (per notas Curvarum qua- draturas) directe ut di$tantia <I>SD. Q.E.D.</I> <p><I>Corol.</I> 1. Hinc motus angulares particularum fluidi $unt reci- proce ut ip$arum di$tantiæ ab axe cylindri, & velocitates ab$o- lutæ $unt æquales. <p><I>Corol.</I> 2. Si fluidum in va$e cylindrico longitudinis infinitæ con- tineatur, & cylindrum alium interiorem contineat, revolvatur autem cylindrus uterque circa axem communem, $intque revolu- <pb n=347> tionum tempora ut ip$orum $emidiametri, & per$everet fluidi pars <MARG>LIBER SECUNDUS.</MARG> unaquæque in motu $uo: erunt partium $ingularum tempora peri- odica ut ip$arum di$tantiæ ab axe cylindrorum. <p><I>Corol.</I> 3. Si cylindro & fluido ad hunc modum motis addatur vel auferatur communis quilibet motus angularis; quoniam hoc novo motu non mutatur attritus mutuus partium fluidi, non mu- tabuntur motus partium inter $e. Nam tran$lationes partium ab invicem pendent ab attritu. Pars quælibet in eo per$everabit motu, qui, attritu utrinque in contrarias partes facto, non magis acceleratur quam retardatur. <p><I>Corol.</I> 4. Unde $i toti cylindrorum & fluidi Sy$temati auferatur motus omnis angularis cylindri exterioris, habebitur motus fluidi in cylindro quie$cente. <p><I>Corol.</I> 5. Igitur $i fluido & cylindro exteriore quie$centibus, re- volvatur cylindrus interior uniformiter; communicabitur motus circularis fluido, & paulatim per totum fluidum propagabitur; nec prius de$inet augeri quam fluidi partes $ingulæ motum Corol- lario quarto definitum acquirant. <p><I>Corol.</I> 6. Et quoniam fluidum conatur motum $uum adhuc latius propagare, hujus impetu circumagetur etiam cylindrus exterior ni$i violenter detentus; & accelerabitur ejus motus quoad u$que tempora periodica cylindri utriu$que æquentur inter $e. Quod $i cylindrus exterior violenter detineatur, conabitur is motum fluidi retardare; & ni$i cylindrus interior vi aliqua extrin$ecus impre$$a motum illum con$ervet, efficiet ut idem paulatim ce$$et. <p>Quæ omnia in Aqua profunda $tagnante experiri licet. <C>PROPOSITIO LII. THEOREMA XL.</C> <p><I>Si Sphæra $olida, in Fluido uniformi & infinito, circa axem po$i- tione datum uniformi cum motu revolvatur, & ab hujus im- pul$u $olo agatur Fluidum in orbem; per$everet autem Fluidi pars unaquæque uniformiter in motu $uo: dico quod tem- pora periodica partium Fluidi erunt ut quadrata di$tantiarum à centro Sphæræ.</I> <p><I>Cas.</I> 1. Sit <I>AFL</I> Sphæra uniformiter circa axem <I>S</I> in orbem acta, & circulis concentricis <I>BGM, CHN, DIO, EKP,</I> &c. <pb n=348> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> di$tinguatur Fluidum in Orbes innumeros concentricos eju$dem cra$$itudinis. Finge autem Orbes illos e$$e $olidos; & quoniam homogeneum e$t Fluidum, impre$$iones contiguorum Orbium in $e mutuo factæ, erunt (per Hypothe$in) ut eorum tran$lationes ab invicem & $uperficies contiguæ in quibus impre$$iones fiunt. Si impre$$io in Orbem aliquem major e$t vel minor ex parte con- eava quam ex parte convexa; prævalebit impe$$io fortior, & velo- citatem Orbis vel accelerabit vel retardabit, prout in eandem regi- onem cum ip$ius motu vel in contrariam dirigitur. Proinde ut Orbis unu$qui$que in motu $uo per$everet uniformiter, debebunt impre$$iones ex parte utraque $ibi invicem æquari, & fieri in re- giones contrarias. Unde cum impre$$iones $int ut contiguæ $u- perficies & harum tran$lationes ab invicem; erunt tran$lationes inver$e ut $uperficies, hoc e$t, inver$e ut quadrata di$tantiarum $u- perficierum à centro. Sunt autem differentiæ motuum angularium circa axem ut hæ tran$lationes applicatæ ad di$tantias, $ive ut tran$lationes directe & di$tantiæ inver$e; hoc e$t (conjunctis ra- tionibus) ut cubi di$tantiarum inver$e. Quare $i ad rectæ infi- nitæ <I>SABCDEQ</I> partes $ingulas erigantur perpendicula <I>Aa, Bb, Cc, Dd, Ee,</I> &c. ip$arum <I>SA, SB, SC, SD, SE,</I> &c. cubis reciproce proportionalia, erunt $ummæ differentiarum, hoc e$t, motus toti angulares, ut re$pondentes $ummæ linearum <I>Aa, Bb, Cc, Dd, Ee</I>: id e$t ($i ad con$tituendum Medium uniformi- ter fluidum, numerus Orbium augeatur & latitudo minuatur in in- finitum) ut areæ Hyperbolicæ his $ummis analogæ <I>AaQ, BbQ, CcQ, DdQ, EeQ,</I> &c. Et tempora periodica motibus angu- laribus reciproce proportionalia, erunt etiam his areis reciproce proportionalia. E$t igitur tempus periodicum Orbis cuju$vis <I>DIO</I> reciproce ut area <I>DdQ,</I> hoc e$t, (per notas Curvarum quadraturas) directe ut quadratum di$tantiæ <I>SD.</I> Id quod vo- lui primo demon$trare. <p><I>Cas.</I> 2. A centro Sphæræ ducantur infinitæ rectæ quam pluri- mæ, quæ cum axe datos contineant angulos, æqualibus differen- tiis $e mutuo $uperantes; & his rectis circa axem revolutis concipe Orbes in annulos innumeros $ecari; & annulus unu$qui$que habe- bit annulos quatuor $ibi contiguos, unum interiorem, alterum ex- teriorem & duos laterales. Attritu interioris & exterioris non pote$t annulus unu$qui$que, ni$i in motu juxta legem ca$us primi facto, æqualiter & in partes contrarias urgeri. Patet hoc ex de- mon$tratione ca$us primi. Et propterea annulorum $eries quælibet <pb n=349> a Globo in infinitum recta pergens, movebitur pro lege ca$us pri- <MARG>LIBER SECUNDUS.</MARG> mi, ni$i quatenus impeditur ab attritu annulorum ad latera. At in motu hac lege facto, attritus annulorum ad latera nullus e$t; neque adeo motum, quo minus hac lege fiat, impediet. Si an- nuli, qui a centro æqualiter di$tant, vel citius revolverentur vel tardius juxta polos quam juxta æquatorem; tardiores accelera- rentur, & velociores retardarentur ab attritu mutuo, & $ic verge- rent $emper tempora periodica ad æqualitatem, pro lege ca$us primi. Non impedit igitur hic attritus quo minus motus fiat $e- cundum legem ca$us primi, & propterea lex illa obtinebit: hoc e$t, annulorum $ingulorum tempora periodica erunt ut quadrata di$tantiarum ip$orum à centro Globi. Quod volui $ecundo de- mon$trare. <p><I>Cas.</I> 3. Dividatur jam annulus unu$qui$que $ectionibus tran$- ver$is in particulas innumeras con$tituentes $ub$tantiam ab$olute & uniformiter fluidam; & quoniam hæ $ectiones non $pectant ad legem motus circularis, $ed ad con$titutionem Fluidi $olummodo conducunt, per$everabit motus circularis ut prius. His $ectionibus annuli omnes quam minimi a$peritatem & vim attritus mutui aut non mutabunt aut mutabunt æqualiter. Et manente cau$arum proportione manebit effectuum proportio, hoc e$t, proportio mo- tuum & periodicorum temporum. <I>Q.E.D.</I> Cæterum cum motus circularis, & abinde orta vis centrifuga, major $it ad Eclipticam quam ad Polos; debebit cau$a aliqua ade$$e qua particulæ $ingulæ in circulis $uis retineantur; ne materia quæ ad Eclipticam e$t, rece- dat $emper à centro & per exteriora Vorticis migret ad Polos, in- deque per axem ad Eclipticam circulatione perpetua revertatur. <p><I>Corol.</I> 1. Hinc motus angulares partium fluidi circa axem globi, $unt reciproce ut quadrata di$tantiarum à centro globi, & veloci- tates ab$olutæ reciproce ut eadem quadrata applicata ad di$tantias ab axe. <p><I>Corol.</I> 2. Si globus in fluido quie$cente $imilari & infinito circa axem po$itione datum uniformi cum motu revolvatur, communi- cabitur motus fluido in morem Vorticis, & motus i$te paulatim propagabitur in infin tum; neque prius ce$$abit in $ingulis fluidi partibus accelerari, quam tempora periodica $ingularum partium $int ut quadrata di$tantiarum à centro globi. <p><I>Corol.</I> 3. Quoniam Vorticis partes interiores ob majorem $uam velocitatem atterunt & urgent exteriores, motumque ip$is ea acti- <pb n=350> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> one perpetuo communicant, & exteriores illi eandem motus quan- titatem in alios adhuc exteriores $imul tranoferunt, eaque actione $ervant quantitatem motus $ui plane invariatam; patet quod mo- tus perpetuo trans$ertur à centro ad circumferentiam Vorticis, & per infinitatem circumferentiæ ab$orbetur. Materia inter $phæri- cas duas qua$vis $uperficies Vortici concentricas nunquam accele- rabitur, eo quod motum omnem à materia interiore acceptum transfert $emper in exteriorem. <p><I>Corol.</I> 4. Proinde ad con$ervationem Vorticis con$tanter in eo- dem movendi $tatu, requiritur principium aliquod activum, à quo globus candem $emper quantitatem motus accipiat, quam imprimit in materiam Vorticis. Ab$que tali principio nece$$e e$t ut globus & Vorticis partes interiores, propagantes $emper motum $uum in exteriores, neque novum aliquem motum recipientes, tarde$cant paulatim & in orbem agi definant. <p><I>Corol.</I> 5. Si globus alter huic Vortioi ad certam ab ip$ius centro di$tantiam innataret, & interea circa axem inclinatione datum vi aliqua con$tanter revolveretur; hujus motu raperetur fluidum in Vorticem: & primo revolveretur hic Vortex novus & exiguus una cum globo circa centrum alterius, & interea latius $erperet ip$ius motus, & paulatim propagaretur in infinitum, ad modum Vorticis primi. Et eadem ratione qua hujus globus raperetur motu Vorti- cis alterius, raperetur etiam globus alterius motu hujus, $ic ut globi duo circa intermedium aliquod punctum revolverentur, $e- que mutuo ob motum illum circularem fugerent, ni$i per vim aliquam cohibiti. Po$tea $i vires con$tanter impre$$æ, quibus globi in motibus $uis per$everant, ce$$arent, & omnia legibus Me- chanicis permitterentur, langue$ceret paulatim motus globorum (ob rationem in Corol. 3. & 4. a$$ignatam) & Vortices tandem conquie$cerent. <p><I>Corol.</I> 6. Si globi plures datis in locis circum axes po$itione da- tos certis cum velocitatibus con$tanter revolverentur, fierent Vor- tices totidem in infinitum pergentes. Nam globi $inguli, eadem ratione qua unus aliquis motum $uum propagat in infinitum, pro- pagabunt etiam motus $uos in infinitum, adeo ut fluidi infiniti pars unaquæque eo agitetur motu qui ex omnium globorum acti- onibus re$uitat. Unde Vortices non definientur certis <*>bus, $ed in $e mutuo pauiatim excurrent; globique per actiones Vorti- cum in $e mutuo, perpetuo movebuntur de locis <*> in Corollario $uperiore expo$itum e$t; neque certam quam<*> <pb n=351> po$itionem $ervabunt, ni$i per vim aliquam retenti. Ce$$antibus <MARG>LIBER SECUNDUS.</MARG> autem viribus illis quæ in globos con$tanter impre$$æ con$ervant ho$ce motus, materia ob rationem in Corollario tertio & quarto a$$ignatam, paulatim requie$cet & in Vortices agi de$inet. <p><I>Corol.</I> 7. Si fluidum $imilare claudatur in va$e $phærico, ac globi in centro con$i$tentis uniformi rotatione agatur in Vorticem, globus autem & vas in eandem pa<*>tem cirea axem eundem revol- vantur, $intque eorum tempora periodica ut quadrata $emidiame- trorum: partes fluidi non pr<*>s per$everabunt in motibus $uis $ine acceleratione & retardatione, quam $in<*> eorum tempora periodica ut quadrata di$tantiarum à centro Vorticis. Alia nulla Vorticis con$titutio pote$t e$$e permanens. <p><I>Corol.</I> 8. Si vas, fluidum inclu$um & globus $ervent hunc mo- tum, & motu præterea communi angulari circa axem quemvis da- tum revolvantur; quoniam hoc motu novo non mutatur attritus partium fluidi in $e invicem, non mutabuntur motus partium in- ter $e. Nam tran$lationes partium inter $e pendent ab attritu. Pars quælibet in eo per$everabit motu, quo fit ut attritu ex uno latere non magis tardetur quam acceleretur attritu ex altero. <p><I>Corol.</I> 9. Unde $i vas quie$cat ac detur motus globi, dabitur motus fluidi. Nam concipe planum tran$ire per axem globi & motu contrario revolvi; & pone $ummam temporis revolutionis hujus & revolutionis globi e$$e ad tempus revolutionis globi, ut quadratum $emidiametri va$is ad quadratum $emidiametri globi: & tempora periodica partium fluidi re$pectu plani hujus, erunt ut quadrata di$tantiarum $uarum à centro globi. <p><I>Corol.</I> 10. Proinde $i vas vel circa axem eundem cum globo, vel circa diver$um aliquem, data cum velocitate quacunque movea- tur, dabitur motus fluidi. Nam $i Sy$temati toti auferatur v $is motus angularis, manebunt motus omnes iidem inter $e qui prius, per Corol. 8. Et motus i$ti per Corol. 9. dabuntur. <p><I>Corol.</I> 11. Si vas & fluidum quie$cant & globus uniformi cum motu revolvatur, propagabitur motus paulatim per fluidum torum in vas, & circumagetur vas ni$i violenter d<*>tentum, neque prius de$inent fluidum & vas accelerari, quam $int eorum tempora peri- odica æqualia temporibus periodicis globi. Quod $i vas vi aliqua detineatur vel revolvatur motu quovis con$tanti & uniformi, de- vemet Medium paulatim ad $tatum motus in Corollariis 8. 9 & 10. definiti, nes in alio unquam $tatu quocunque per$everabit. De- inde vero $i, viribus illis ce$$antibus quibus vas & globus certis <pb n=352> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> motibus revolvebantur, permittatur Sy$tema totum Legibus Me- chanicis; vas & globus in $e invicem agent mediante fluido, ne- que motus $uos in $e mutuo per fluidum propagare prius ce$$a- bunt, quam corum tempora periodica æquentur inter $e, & Sy$te- ma totum ad in$tar corporis unius $olidi $imul revolvatur. <C><I>Scholium.</I></C> <p>In his omnibus $uppono fluidum ex materia quoad den$itatem & fluiditatem uniformi con$tare. Tale e$t in quo globus idem codem cum motu, in eodem temporis intervallo, motus $imiles & æqualcs, ad æquales $emper à $e di$tantias, ubivis in fluido con$ti- tutus, propagare po$$it. Conatur quidem materia per motum $uum circularem recedere ab axe Vorticis, & propterea premit materiam omnem ulteriorem. Ex hac pre$$ione fit attritus par- tium fortior & $eparatio ab invicem difficilior; & per con$equens diminuitur materiæ fluiditas. Rur$us $i partes fluidi $unt alicubi cra$$iores $eu majores, fluiditas ibi minor erit, ob pauciores $uper- ficies in quibus partes $eparentur ab invicem. In huju$modi ca$i- bus deficientem fluiditatem vel lubricitate partium vel lentore alia- ve aliqua conditione re$titui $uppono. Hoc ni$i fiat, materia ubi minus fluida e$t magis cohærebit & $egnior erit, adeoque motum tardius recipiet & longius propagabit quam pro ratione $uperius a$$ignata. Si figura va$is non $it Sphærica, movebuntur particulæ in lineis non circularibus $ed conformibus eidem va$is figuræ, & tempora periodica erunt ut quadrata mediocrium di$tantiarum à centro quamproxime. In partibus inter centrum & circumferen- tiam, ubi latiora $unt $patia, tardiores erunt motus, ubi angu$tiora velociores, neque tamen particulæ velociores petent circumferen- tiam. Arcus enim de$cribent minus curvos, & conatus recedendi à centro non minus diminuetur per decrementum hujus curva- turæ, quam augebitur per incrementum velocitatis. Pergendo a $patiis angu$tioribus in latiora recedent paulo longius a centro, $ed i$to rece$$u tarde$cent; & accedendo po$tea de latioribus ad angu$tiora accelerabuntur, & $ic per vices tarde$cent & accelera- buntur particulæ $ingulæ in perpetuum. Hæc ita $e habebunt in va$e rigido. Nam in fluido infinito con$titutio Vorticum innote- $eit per Propo$itionis hujus Corollarium $extum. <p>Proprietates autem Vorticum hac Propo$itione inve$tigare co- natus $um, ut pertentarem $iqua ratione Phænomena cœle$tia per <pb n=353> Vortices explicari po$$int. Nam Phænomenon e$t, quod Planeta- <MARG>LIBER SECUNDUS.</MARG> rum circa Jovem revolventium tempora periodica $unt in ratione $e$quiplicata di$tantiarum a centro Jovis; & eadem Regula obti- net in Planetis qui circa Solem revolvuntur. Obtinent autem hæ Regulæ in Planetis utri$que quam accurati$$ime, quatenus ob$er- vationes A$tronomicæ hactenus prodidere. Ideoque $i Planetæ illi à Vorticibus circa Jovem & Solem revolventibus deferantur, debebunt etiam hi Vortices eadem lege revolvi. Verum tempora periodica partium Vorticis prodierunt in ratione duplicata di$tan- tiarum a centro motus: neque pote$t ratio illa diminui & ad ra- tionem $e$quiplicatam reduci, ni$i vel materia Vorticis eo fluidior $it quo longius di$tat a centro, vel re$i$tentia, quæ oritur ex de- fectu lubricitatis partium fluidi, ex aucta velocitate qua partes fluidi $eparantur ab invicem, augeatur in majori ratione quam ea e$t in qua velocitas augetur. Quorum tamen neutrum rationi con$entaneum videtur. Partes cra$$iores & minus fluidæ (ni$i gra- ves $int in centrum) circumferentiam petent; & veri$imile e$t quod, etiam$i Demon$trationum gratia Hypothe$in talem initio Sectionis hujus propo$uerim ut Re$i$tentia velocitati proportiona- lis e$$et, tamen Re$i$tentia in minori $it ratione quam ea velocita- tis e$t. Quo conce$$o, tempora periodica partium Vorticis erunt in majori quam duplicata ratione di$tantiarum ab ip$ius centro. Quod $i Vortices (uti aliquorum e$t opinio) celerius moveantur prope centrum, dein tardius u$que ad certum limitem, tum denuo celerius juxta circumferentiam; certe nec ratio $e$quiplicata neque alia quævis certa ac determinata obtinere pote$t. Viderint itaque Philo$ophi quo pacto Phænomenon illud rationis $e$quiplicatæ per Vortices explicari po$$it. <C>PROPOSITIO LIII. THEOREMA XLI.</C> <p><I>Corpora quæ in Vortice delata in orbem redeunt, eju$dem $unt den- $itatis cum Vortice, & eadem lege cum ip$ius partibus (quoad velocitatem & cur$us determinationem) moventur.</I> <p>Nam $i Vorticis pars aliqua exigua, cujus particulæ $eu puncta phy$ica datum $ervant $itum inter $e, congelari $upponatur: hæc, quoniam neque quoad den$itatem $uam, neque quoad vim in$itam aut figuram $uam mutatur, movebitur eadem lege ac prius: & <pb n=354> <MARG>DE MOTU CORPORUM</MARG> contra, $i Vorticis pars congelata & $olida eju$dem $it den$itatis cum reliquo Vortice, & re$olvatur in fluidum; movebitur hæc ea- dem lege ac prius, ni$i quatenus ip$ius particulæ jam fluidæ factæ moveantur inter $e. Negligatur igitur motus particularum inter $e, tanquam ad totius motum progre$$ivum nil $pectans, & motus totius idem erit ac prius. Motus autem idem erit cum motu alia- rum Vorticis partium a centro æqualiter di$tantium, propterea quod $olidum in Fluidum re$olutum fit pars Vorticis cæteris parti- bus con$imilis. Ergo $olidum, $i $it eju$dem den$itatis cum ma- teria Vorticis, eodem motu cum ip$ius partibus movebitur, in ma- teria proxime ambiente relative quie$oens. Sin den$ius $it, jam magis conabitur recedere à centro Vorticis quam prius; adeoque Vorticis vim illam, qua prius in Orbita $ua tanquam in æquilibrio con$titutum retinebatur, jam $uperans, recedet a centro & revol- vendo de$cribet Spiralem, non amplius in eundem Orbem rediens Et eodem argumento $i rarius $it, accedet ad centrum. Igitur non redibit in eundem Orbem ni$i $it eju$dem den$itatis cum fluido Eo autem in ca$u o$ten$um e$t, quod revolveretur eadem lege cum partibus fluidi à centro Vorticis æqualiter di$tantibus. <I>Q.E.D.</I> <p><I>Corol.</I> 1. Ergo $olidum quod in Vortice revolvitur & in eundem Orbem $emper redit, relative quie$oit in fluido cui innatat. <p><I>Corol.</I> 2. Et $i Vortex $it quoad den$itatem uniformis, corpus idem ad quamlibet a centro Vorticis di$tantiam revolvi pote$t. <C><I>Scholium.</I></C> <p>Hinc liquet Planetas à Vorticibus corporeis non deferri. Nan<*> Planetæ $ecundum Hypothe$in <I>Copernicæam</I> circa Solem delati re<*> volvuntur in Ellip$ibus umbilicum habentibus in Sole, & radiis a<*> Solem ductis areas de$cribunt temporibus proportionales. At par<*> tes Vorticis tali motu revolvi nequeunt. De$ignent <I>AD, BE, CF</I><*> Orbes tres circa Solem <I>S</I> de$criptos, quorum extimus <I>CF</I> circulu<*> fit Soli concentricus, & interiorum duorum Aphelia $int <I>A, B</I> <*> Perihelia <I>D, E.</I> Ergo corpus quod revolvitur in Orbe <I>CF,</I> radi<*> ad Solem ducto areas temporibus proportionales de$cribendo, m<*> vebitur uniformi cum motu. Corpus autem quod revolvitur i<*> Orbe <I>BE,</I> tardius movebitur in Aphelio <I>B</I> & velocius in Per<*> helio <I>E,</I> $ecundum leges A$tronomicas; cum tamen $ecundum l<*> ges Mechanicas materia Vorticis in $patio angu$tiore inter <I>A</I> &<*> <pb n=355> velocius moveri debeat quam in $patio latiore inter <I>D</I> & <I>F</I>; id <MARG>LIBER SECUNDUS.</MARG> e$t, in Aphelio velocius quam in Perihelio. Quæ duo repugnant inter $e. Sic in principio Signi <FIG> Virginis, ubi Aphelium Martis jam ver$atur, di$tantia inter or- bes Martis & Ve<*> e$t ad di- $tantiam <*>rund<*> orbium in principio Signi Pi$cium ut tria ad duo circiter, & p<*>opterea materia Vorticis inter Orbes il- los in principio Pi$cium debet e$$e velocior quam in principio Virginis in ratione trium ad duo. Nam quo angu$tius e$t $patium per quod eadem Materiæ quan- titas eodem revolutionis unius tompore tran$it, eo majori cum velocitate tran$ire debet. Igitur $i Terra in hac Materia cœ$e- $ti relative quie$cens ab ea deferretur, & una circa Solem <*>- volveretur, foret hujus velocitas in principio Pi$cium ad eju$dem velocitatem in principio Virginis in ratione $e$quialtera. Unde Solis motus diurnus apparens in principio Virginis major e$$et quam minutorum primorum $eptuaginta, & in principio Pi$cium minor quam minutorum quadraginta & octo: cum tamen (expe- rientia te$te) apparens i$te Solis motus major $it in principio Pi- $cium quam in principio Virginis, & propterea Terra velocior in principio Virginis quam in principio Pi$cium. Itaque Hypothe$is Vorticum cum Phænomenis A$tronomicis omnino pugnat, & non tam ad explicandos quam ad perturbandos motus cœle$tes, con- ducit. Quomodo vero motus i$ti in $patiis liberis ab$que Vorti- cibus peraguntur intelligi pote$t ex Libro primo, & in Mundi Sy$temate plenius docebitur. <pb n=356> <C>DE MUNDI SYSTEMATE LIBER TERTIUS.</C> <p>IN Libris præcedentibus principia Philo$ophiæ tradidi, non ta- men Philo$ophica $ed Mathematica tantum, ex quibus vide- licet in rebus Philo$ophicis di$putari po$$it. Hæc $unt mo- tuum & virium leges & conditiones, quæ ad Philo$ophiam ma- xime $pectant. Eadem tamen, ne $terilia videantur, illu$travi Scholiis quibu$dam Philo$ophicis, ea tractans quæ generalia $unt, & in quibus Philo$ophia maxime fundari videtur, uti corporum den$itatem & re$i$tentiam, $patia corporibus vacua, motumque Lucis & Sonorum. Supere$t ut ex ii$dem principiis doceamus con- $titutionem Sy$tematis Mundani. De hoc argumento compo$ue- ram Librum tertium methodo populari, ut a pluribus legeretur. Sed quibus Principia po$ita $atis intellecta non fuerint, ii vim con- $equentiarum minime percipient, neque præjudicia deponent qui- bus a multis retro annis in$ueverunt: & propterea ne res in di$pu- tationes trahatur, $ummam libri illius tran$tuli in Propo$itiones, more Mathematico, ut ab iis $olis legantur qui Principia prius evolverint. Veruntamen quoniam Propo$itiones ibi quam pluri- mæ occurrant, quæ Lectoribus etiam Mathematice doctis moram nimiam injicere po$$int, author e$$e nolo ut qui$quam eas omnes evolvat; $uffecerit $iquis Definitiones, Leges motuum & $ectiones tres priores Libri primi $edulo legat, dein tran$eat ad hunc Li- brum de Mundi Sy$temate, & reliquas Librorum priorum Propo- $itiones hic citatas pro lubitu con$ulat. <pb n=357> <C>REGULÆ PHILOSOPHANDI.</C> <HR> <C>REGULA I.</C> <p><I>Cau$as rerum naturalium non plures admitti debere, quam quæ & veræ $int & earum Phænomenis explicandis $ufficiant.</I> <p>DIcunt utique Philo$ophi: Natura nihil agit fru$tra, & fru$tra fit per plura quod fieri pote$t per pauciora. Natura enim $implex e$t & rerum cau$is $uperfluis non luxuriat. <C>REGULA II.</C> <p><I>Ideoque Effectuum naturalium eju$dem generis eædem $unt Cau$æ.</I> <p>Uti re$pirationis in Homine & in Be$tia; de$cen$us lapidum in <I>Europa</I> & in <I>America</I>; Lucis in Igne culinari & in Sole; reflexi- onis Lucis in Terra & in Planetis. <C>REGULA III.</C> <p><I>Qualitates corporum quæ intendi & remitti nequeunt, quæque corporibus omnibus competunt in quibus experimenta in$tituere licet, pro qualitatibus corporum univer$orum habendæ $unt.</I> <p>Nam qualitates corporum non ni$i per experimenta innote$cunt; ideoque generales $tatuendæ $unt quotquot cum experimentis ge- neraliter quadrant; & quæ minui non po$$unt, non po$$unt au- ferri. Certe contra experimentorum tenorem $omnia temere con- fingenda non $unt, nec a Naturæ ana logia recedendum e$t, cum <pb n=358> <MARG>DE MUNDI SYSTEMATE</MARG> ea $implex e$$e $oleat & $ibi $emper con$ona. Exten$io corporum non ni$i per $en$us innote$cit, nec in omnibus $entitur: $ed quia $en$ibilibus omnibus competit, de univer$is affirmatur, Corpora plura dura e$$e experimur. Oritur autem durities totius a duritie partium, & inde non horum tantum corporum quæ $entiuncur, $ed aliorum etiam omnium particulas indivi$as e$$e duras merito concludimus. Corpora omnia impenetrabilia e$$e non ratione $ed $en$u colligimus. Quæ tractamus, impenetrabilia inveniuntur, & inde concludimus impenetrabilitatem e$$e proprietatem corporum univer$orum. Corpora omnia mobilia o$$e, & viribus quibu$dam (quas vires inertiæ vocamus) per$everare in motu vel quiete, ex hi$ce corporum vi$orum proprietatibus colligimus. Excen$io, du- rities, impenetrabilitas, mobilitas & vis inertiæ totius, oritur ab exten$ione, duritie, impenetrabilitate, mobilitate & viribus iner- tiæ partium: & inde concludimus omnes omnium corporum pa<*>- tes minimas extendi & duras e$$e & impenetrabiles & mobiles <*> viribus inertiæ præditas. Et hoc e$t fundamentum Philo$ophiæ totius. Porro corporum partes divi$as & $ibi mutuo contiguas ab invicem $eparari po$$e, ex Phænomenis novimus, & partes indi- vi$as in partes minores ratione di$tingui po$$e ex Mathematica certum e$t. Utrum vero partes illæ di$tinctæ & nondum divi$æ per vires Naturæ dividi & ab invicem $eparari po$$int, incertum e$t. At $i vel unico con$taret experimento quod particula aliqua indivi$a, frangendo corpus durum & $olidum, divi$ionem patere- tur: concluderemus vi hujus Regulæ, quod non $olum partes di- vi$æ $eparabiles e$$ent, $ed etiam quod indivi$æ in infinitum dividi po$$ent. <p>Denique $i corpora omnia in circuitu Terræ gravia e$$e in Ter- ram, idque pro quantitate materiæ in $ingulis, & Lunam gravem e$$e in Terram pro quantitate materiæ $uæ, & vici$$im mare no- $trum grave e$$e in Lunam, & Planetas omnes graves e$$e in $e mutuo, & Cometarum $imilem e$$e gravitatem, per experimenta & ob$ervationes A$tronomicas univer$aliter con$tet: dicendum erit per hanc Regulam quod corpora omnia in $e mutuo gravitant. Nam & fortius erit argumentum ex Phænomenis de gravitate uni- ver$ali, quam de corporum impenetrabilitate: de qua utique in corporibus Cœle$tibus nullum experimentum, nullam pror$us ob- $ervationem habemus. <pb n=359> <C>PHÆNOMENA.</C> <MARG>LIBER TERTIUS.</MARG> <HR> <C>PHÆNOMENON I.</C> <p><I>Planetas Circumjoviales, radiis ad centrum Jovis ductis, areas de$cribere temporibus proportionales, corumque tempora periodica e$$e in ratione $e$quiplicata di$tantiarum ab ip$ius centro.</I> <p>COn$tat ex ob$ervationibus A$tronomicis. Orbes horum Pla- netarum non differunt $en$ibiliter a circulis Jovi concentri- cis, & motus eorum in his circulis uniformes deprehenduntur. Tempora vero periodica e$$e in $e$quiplicata ratione $emidiame- trorum Orbium con$entiunt A$tronomi; & idem ex Tabula $e- quente manife$tum e$t. <TABLE> <CAPTION ALIGN="TOP"><I>Satellitum Jovialium tempora periodica.</I></CAPTION> <TR> <TD>1<SUP>d</SUP>.18<SUP>h</SUP>.27′.34″.</TD> <TD>3<SUP>d</SUP>.13<SUP>h</SUP>.13′.42″.</TD> <TD>7<SUP>d</SUP>.3<SUP>h</SUP>.42′.36″.</TD> <TD>16<SUP>d</SUP>.16<SUP>h</SUP>.32′.9″.</TD> </TR> </TABLE> <TABLE BORDER> <CAPTION ALIGN="TOP"><I>Di$tantiæ Satellitum a centro Jovis.</I></CAPTION> <TR> <TD><I>Ex ob$ervationibus</I></TD> <TD ALIGN="CENTER">1</TD> <TD ALIGN="CENTER">2</TD> <TD ALIGN="CENTER">3</TD> <TD ALIGN="CENTER">4</TD> <TD></TD> </TR> <TR> <TD>Borelli</TD> <TD>5 2/3</TD> <TD>8 2/3</TD> <TD>14</TD> <TD>24 2/3</TD> <TD ROWSPAN="4">Semidiam. Jovis</TD> </TR> <TR> <TD>Townlei <I>per Microm.</I></TD> <TD>5,52</TD> <TD>8,78</TD> <TD>13,47</TD> <TD>24,72</TD> </TR> <TR> <TD>Ca$$ini <I>per Tele$cop.</I></TD> <TD>5</TD> <TD>8</TD> <TD>13</TD> <TD>23</TD> </TR> <TR> <TD>Ca$$ini <I>per Eclip$. Satell.</I></TD> <TD>5 <*>/3</TD> <TD>9</TD> <TD>(14 <*>/60)</TD> <TD>(25 1/10)</TD> </TR> <TR> <TD><I>Ex temporibus periodicis.</I></TD> <TD>5,667</TD> <TD>9,017</TD> <TD>14,384</TD> <TD>25,299</TD> </TR> </TABLE> <C>PHÆNOMENON II.</C> <p><I>Planetas Circum$aturnios, radiis ad Saturnum ductis, areas de$cri- bere temporibus proportionales, & eorum tempora periodica e$$e in ratione $e$quiplicata di$tantiarum ab ip$ius centro.</I> <p><I>Ca$$inus</I> utique ex ob$ervationibus $uis di$tantias corum a centro Saturni & periodica tempora huju$modi e$$e $tatuit. <pb n=360> <MARG>DE MUNDI SYSTEMATE</MARG> <TABLE> <CAPTION ALIGN="TOP"><I>Satellitum Saturniorum tempora periodica.</I></CAPTION> <TR> <TD>1<SUP>d</SUP>.21<SUP>h</SUP>.19′.</TD> <TD>2<SUP>d</SUP>.17<SUP>h</SUP>.41′.</TD> <TD>4<SUP>d</SUP>.13<SUP>h</SUP>.47′.</TD> <TD>15<SUP>d</SUP>.22<SUP>h</SUP>.41′.</TD> <TD>79<SUP>d</SUP>.22<SUP>h</SUP>.4′.</TD> </TR> </TABLE> <TABLE> <CAPTION ALIGN="TOP"><I>Di$tantiæ Satellitum a centro Saturni in $emidiametris Annuli</I></CAPTION> <TR> <TD><I>Ex ob$ervationibus</I></TD> <TD>(1 19/20).</TD> <TD>2 1/2.</TD> <TD>3 1/2.</TD> <TD>8.</TD> <TD>24.</TD> </TR> <TR> <TD><I>Ex temporibus periodicis</I></TD> <TD>1,95.</TD> <TD>2,5.</TD> <TD>3,52,</TD> <TD>8,09.</TD> <TD>23,71.</TD> </TR> </TABLE> <C>PHÆNOMENON III.</C> <p><I>Planetas quinque primarios Mercurium, Venerem, Martem, Jo- vem & Saturnum Orbibus $uis Solem cingere.</I> <p>Mercurium & Venerem circa Solem revolvi ex eorum pha$ibus lunaribus demon$tratur. Plena facie lucentes ultra Solem $iti $unt, dimidiata è regione Solis, falcata cis Solem; per di$cum ejus ad modum macularum nonnunquam tran$euntes. Ex Martis quoque plena facie prope Solis conjunctionem, & gibbo$a in quadraturis, certum e$t quod is Solem ambit. De Jove etiam & Saturno idem ex eorum pha$ibus $emper plenis demon$tratur. <C>PHÆNOMENON IV.</C> <p><I>Planetarum quinque primariorum, & (vel Solis circa Terram vel) Terræ circa Solem tempora periodica e$$e in ratione $e$quipli- cata mediocrium di$tantiarum à Sole.</I> <p>Hæc à <I>Keplero</I> inventa ratio in confe$$o e$t apud omnes. Ea- dem utique $unt tempora periodica, eædemque orbium dimen- $iones, $ive Sol circa Terram, $ive Terra circa Solem revolvatur. Ac de men$ura quidem temporum periodicorum convenit inter A$tronomos univer$os. Magnitudines autem Orbium <I>Keplerus</I> & <I>Bullialdus</I> omnium diligenti$$ime ex Ob$ervationibus determina- verunt: & di$tantiæ mediocres, quæ temporibus periodicis re$pon- dent, non differunt $en$ibiliter à di$tantiis quas illi invenerunt, $untque inter ip$as ut plurimum intermediæ; uti in Tabula $e- quente videre licet. <pb n=361> <MARG>LIBER TERTIUS.</MARG> <TABLE> <CAPTION ALIGN="TOP"><I>Planetarum ac Telluris di$tantiæ mediocres à Sole.</I></CAPTION> <TR> <TD></TD> <TD ALIGN="CENTER"><FIG></TD> <TD ALIGN="CENTER"><FIG></TD> <TD ALIGN="CENTER"><FIG></TD> <TD ALIGN="CENTER"><FIG></TD> <TD ALIGN="CENTER"><FIG></TD> <TD ALIGN="CENTER"><FIG></TD> </TR> <TR> <TD>Secundum <I>Keplerum</I></TD> <TD>951000.</TD> <TD>519650.</TD> <TD>152350.</TD> <TD>100000.</TD> <TD>72400.</TD> <TD>38806.</TD> </TR> <TR> <TD>Secundum <I>Bullialdum</I></TD> <TD>954198.</TD> <TD>522520.</TD> <TD>152350.</TD> <TD>100000.</TD> <TD>72398.</TD> <TD>38585.</TD> </TR> <TR> <TD>Secundum tempora periodica</TD> <TD>953806.</TD> <TD>520116.</TD> <TD>152399.</TD> <TD>100000.</TD> <TD>72333.</TD> <TD>38710.</TD> </TR> </TABLE> <p>De di$tantiis Mercurii & Veneris a Sole di$putandi non e$t locus, cum hæ per corum Elongationes à Sole determinentur. De di- $tantiis etiam $uperiorum Planetarum à Sole tollitur omnis di$pu- tatio per Eclip$es Satellitum Jovis. Etenim per Eclip$es illas de- terminatur po$itio umbræ quam Jupiter projicit, & eo nomine habetur Jovis longitudo Heliocentrica. Ex longitudinibus autem Heliocentrica & Geocentrica inter $e collatis determinatur di$tan- tia Jovis. <C>PHÆNOMENON V.</C> <p><I>Planetas primarios, radiis ad Terram ductis, areas de$cribere tem- poribus minime proportionales; at radiis ad Solem ductis, areas temporibus proportionales percurrere.</I> <p>Nam re$pectu Terræ nunc progrediuntur, nunc $tationarii $unt, nunc etiam regrediuntur: At Solis re$pectu $emper progrediuntur, idque propemodum uniformi cum motu, $ed paulo celerius tamen in Periheliis ac tardius in Apheliis, $ic ut arearum æquabilis $it de- $criptio. Propo$itio e$t A$tronomis noti$$ima, & in Jove apprime demon$tratur per Eclip$es Satellitum, quibus Eclip$ibus Helio- centricas Planetæ hujus longitudines & di$tantias à Sole determi- nari diximus. <C>PHÆNOMENON VI.</C> <p><I>Lunam radio ad centrum Terræ ducto, aream tempori proporti- onalem de$cribere.</I> <p>Patet ex Lunæ motu apparente cum ip$ius diametro apparente collato. Perturbatur autem motus Lunaris aliquantulum à vi So- lis, $ed errorum in$en$ibiles minutias in hi$ce Phænomenis negligo. <pb n=362> <MARG>DE MUNDI SYSTEMATE</MARG> <C>PROPOSITIONES.</C> <HR> <C>PROPOSITIO I. THEOREMA I.</C> <p><I>Vires, quibus Plauetæ Circumjoviales perpetuo retrahuntur à me- tibus rectilineis & in Orbibus $uis retinentur, re$picere c<*>- trum Jovis, & e$$e reciproce ut quadrata di$tantiarum loco- rum ab eodem centro.</I> <p>PAtet pars prior Propofitionis per Phænomenon primum, & Propo$itionem $ecundam vel tertiam Libri primi: & pars po$terior per Phænomenon primum, & Corollarium $extum Pro- po$itionis quartæ eju$dem Libri. <p>Idem intellige de Planetis qui Saturnum comitantur, per Phæ- nomenon $ecundum. <C>PROPOSITIO II. THEOREMA II.</C> <p><I>Vires, quibus Planetæ primarii perpetuo retrahuntur à motibus rectilineis, & in Orbibus $uis retinentur, re$picere Solem, & e$$e reciproce ut quadrata di$tantiarum ab ip$ius centro.</I> <p>Patet pars prior Propo$itionis per Phænomenon quintum, & Propo$itionem $ecundam Libri primi: & pars po$terior per Phæ- nomenon quartum, & Propo$itionem quartam eju$dem Libri. Accurati$$ime autem demon$tratur hæc pars Propo$itionis per quietem Apheliorum. Nam aberratio quam minima à ratione duplicata (per Corol. 1. Prop. XLV. Lib. I.) motum Ap$idum in $ingulis revolutionibus notabilem, in plunibus enormem efficere deberet. <pb n=363> <C>PROPOSITIO III. THEOREMA III.</C> <MARG>LIBER TERTIUS.</MARG> <p><I>Vim qua Luna retinetur in Orbe $uo re$picere Terram, & e$$e re- citroce ut quadratum di$tantiæ locorum ab ip$ius centro.</I> <p>Patet a$$ertionis pars prior per Phænomenon $extum, & Propo- po$itionem $ecundam vel tertiam Libri primi: & pars po$terior per motum tardi$$imum Lunaris Apogæi. Nam motus ille, qui $ingulis revolutionibus e$t graduum tantum trium & minutorum trium in con$equentia, contemni pote$t. Patet enim (per Corol. 1. Prop. XLV. Lib.I.) quod $i di$tantia Lunæ a centro Terræ $it ad $emidiametrum Terræ ut D ad 1; vis a qua motus talis oriatur $it reciproce ut D (2 4/243), id e$t, reciproce ut ea ip$ius D dignitas cu- jus index e$t (2 4/243), hoc e$t, in ratione di$tantiæ paulo majore quam duplicata inver$e, $ed quæ partibus 59 1/4 propius ad duplicatam quam ad triplicatam accedit. Oritur vero ab actione Solis (uti po$thac dicetur) & propterea hic negligendus e$t. Actio Solis quatenus Lunam di$trahit a Terra, e$t ut di$tantia Lunæ a Terra quamproxime; ideoque (per ea quæ dicuntur in Corol. 2. Prop. XLV. Lib. I.) e$t ad Lunæ vim centripetam ut 2 ad 357,45 circi- ter, $eu 1 ad (178 29/40). Et neglecta Solis vi tantilla, vis reliqua qua Luna retinetur in Orbe erit reciproce ut D<SUP>2</SUP>. Id quod etiam plenius con$tabit conferendo hanc vim cum vi gravitatis, ut fit in Propo$itione $equente. <p><I>Corol.</I> Si vis centripeta mediocris qua Luna retinetur in Orbe, augeatur primo in ratione (177 29/40) ad (178 29/40), deinde etiam in rati- one duplicata $emidiametri Terræ ad mediocrem di$tantiam centri Lunæ a centro Terræ: habebitur vis centripeta Lunaris ad $uper- ficiem Terræ, po$ito quod vis illa de$cendendo ad $uperficiem Terræ, perpetuo augeatur in reciproca altitudinis ratione du- plicata. <C>PROPOSITIO IV. THEOREMA IV.</C> <p><I>Lunam gravitare in Terram, & vi gravitatis retrahi $emper a motu rectilineo, & in Orbe $uo retineri.</I> <p>Lunæ di$tantia mediocris a Terra in Syzygiis e$t $emidiametro- rum terre$trium, $ecundum plero$que A$tronomorum 59, $ecun- dum <I>Vendelinum</I> 60, $ecundum <I>Copernicum</I> 60 1/3, & $ecundum <I>Ty-</I> <pb n=364> <MARG>DE MUNDI SYSTEMATE</MARG> <I>chonem</I> 56 1/2. A$t <I>Tycho,</I> & quotquot ejus Tabulas refractionum $equuntur, con$tituendo refractiones Solis & Lunæ (omnino con- tra naturam Lucis) majores quam Fixarum, idque $crupulis qua$i quatuor vel quinque, auxerunt parallaxin Lunæ $crupulis totidem, hoc e$t, qua$i duodecima vel decima quinta parte totius paralla- xeos. Corrigatur i$te error, & di$tantia evadet qua$i 60 1/2 $emi- diametrorum terre$trium, fere ut ab aliis a$$ignatum e$t. A$$uma- mus di$tantiam mediocrem $exaginta $emidiametrorum; & Luna- rem periodum re$pectu Fixarum compleri diebus 27, horis 7, mi- nutis primis 43, ut ab A$tronomis $tatuitur; atque ambitum Terræ e$$e pedum Pari$ien$ium 123249600, uti a <I>Gallis</I> men$urantibus de- finitum e$t: Et $i Luna motu omni privari fingatur ac dimitti ut, urgente vi illa omni qua in Orbe $uo retinetur, de$cendat in Ter- ram; hæc $patio minuti unius primi cadendo de$cribet pedes Pari- $ien$es (15 1/12). Colligitur hoc ex calculo vel per Propo$itionem XXXVI. Libri primi, vel (quod eodem recidit) per Corollarium nonum Propo$itionis quartæ eju$dem Libri, confecto. Nam ar- cus illius quem Luna tempore minuti unius primi, medio $uo motu, ad di$tantiam $exaginta $emidiametrorum terre$trium de- $cribat, $inus ver$us e$t pedum Pari$ien$ium (15 1/12) circiter. Unde cum vis illa accedendo ad Terram augeatur in duplicata di$tantiæ ratione inver$a, adeoque ad $uperficiem Terræ major $it partibus 60X60 quam ad Lunam; corpus vi illa in regionibus no$tris ca- dendo, de$cribere deberet $patio minuti unius primi pedes Pari- $ien$es 60X60X(15 1/12), & $patio minuti unius $ecundi pedes (15 1/12). Atqui corpora in regionibus no$tris vi gravitatis cadendo, de$cri- bunt tempore minuti unius $ecundi pedes Pari$ien$es (15 1/12), uti <I>Hugenius</I> factis pendulorum experimentis & computo inde inito, demon$travit: & propterea (per Reg. 1. & 11.) vis qua Luna in Orbe $uo retinetur, illa ip$a e$t quam nos Gravitatem dicere $ole- mus. Nam $i Gravitas ab ea diver$a e$t, corpora viribus utri$que conjunctis Terram petendo, duplo velocius de$cendent, & $patio minuti unius $ecundi cadendo de$cribent pedes Pari$ien$es 30 1/6: omnino contra Experientiam. <p>Calculus hic fundatur in hypothe$i quod Terra quie$cit. Nam $i Terra & Luna circum Solem moveantur, & interea quoque cir- cum commune gravitatis centrum revolvantur: di$tantia centro- rum Lunæ ac Terræ ab invicem erit 60 1/2 $emidiametrorum ter- re$trium; uti computationem (per Prop. LX. Lib. I.) incunti patebit. <pb n=365> <C>PROPOSITIO V. THEOREMA V.</C> <MARG>LIBER TERTIUS.</MARG> <p><I>Planetas Circumjoviales gravitare in Jovem, Circum$aturnios in Saturnum, & Circum$olares in Solem, & vi gravitatis $uæ retrahi $emper à motibus rectilineis, & in Orbibus curvili- neis retineri.</I> <p>Nam revolutiones Planetarum Circumjovialium circa Jovem, Cir- cum$aturniorum circa Saturnum, & Mercurii ac Veneris reliquo- rumque Circum$olarium circa Solem $unt Phænomena eju$dem ge- neris cum revolutione Lunæ circa Terram; & propterea per Reg. 11. à cau$is eju$dem generis dependent: præ$ertim cum de- mon$tratum $it quod vires, à quibus revolutiones illæ dependent, re$piciant centra Jovis, Saturni ac Solis, & recedendo à Jove, Sa- turno & Sole decre$cant eadem ratione ac lege, qua vis gravitatis decre$cit in rece$$u à Terra. <p><I>Corol.</I> 1. Gravitas igitur datur in Planetas univer$os. Nam Ve- nerem, Mercurium, cætero$que e$$e corpora eju$dem generis cum Jove & Saturno, nemo dubitat. Et cum attractio omnis (per mo- tus Legem tertiam) mutua $it, Jupiter in Satellites $uos omnes, Saturnus in $uos, Terraque in Lunam, & Sol in Planetas omnes primarios gravitabit. <p><I>Corol.</I> 2. Gravitatem, quæ Planetam unumquemque re$picit, e$$e reciproce ut quadratum di$tantiæ locorum ab ip$ius centro. <p><I>Corol.</I> 3. Graves $unt Planetæ omnes in $e mutuo per Corol. 1. & 2. Et hinc Jupiter & Saturnus prope conjunctionem $e invicem attrahendo, $en$ibiliter perturbant motus mutuos, Sol perturbat motus Lunares, Sol & Luna perturbant Mare no$trum, ut in $equentibus explicabitur. <C>PROPOSITIO VI. THEOREMA VI.</C> <p><I>Corpora omnia in Planetas $ingulos gravitare, & pondera eorum in eundem quemvis Planetam, paribus di$tantiis à centro Pla- netæ, proportionalia e$$e quantitati materiæ in $ingulis.</I> <p>De$cen$us gravium omnium in Terram (dempta $altem inæquali retardatione quæ ex Aeris perexigua re$i$tentia oritur) æqualibus <pb n=366> <MARG>DE MUNDI SYSTEMATE</MARG> temporibus fieri, jamdudum ob$ervarunt alii; & accurati$$ime qui- dem notare licet æqualitatem temporum in Pendulis. Rem tentavi in Auro, Argento, Plumbo, Vitro, Arena, Sale communi, Ligno, Aqua, Tritico. Comparabam pyxides duas ligneas rotundas & æquales. Unam implebam Ligno, & idem Auri pondus $u$pende- bam (quam potui exacte) in alterius centro o$cillationis. Pyxides ab æqualibus pedum undecim filis pendentes, con$tituebant Pen- dula, quoad pondus, figuram, & acris re$i$tentiam omnino paria: Et paribus o$cillationibus, juxta po$itæ, ibant una & redibant di- uti$$ime. Proinde copia materiæ in Auro (per Corol. 1. & 6. Prop. XXIV. Lib. II.) erat ad copiam materiæ in Ligno, ut vis motricis actio in totum Aurum ad eju$dem actionem in totum Lignum; hoc e$t, ut pondus ad pondus. Et $ic in cæteris. In corporibus eju$- dem ponderis differentia materiæ, quæ vel minor e$$et quam pars mille$ima materiæ totius, his experimentis manife$to deprehendi potuit. Jam vero naturam gravitatis in Planetas eandem e$$e atque in Terram, non e$t dubium. Elevari enim fingantur corpora hæc Terre$tria ad u$que Orbem Lunæ, & una cum Luna motu omni privata demitti, ut in Terram $imul cadant; & per jam ante o$ten$a certum e$t quod temporibus æqualibus de$cribent æqualia $patia cum Luna, adeoque quod $unt ad quantitatem materiæ in Luna, ut pondera $ua ad ip$ius pondus. Porro quoniam Satellites Jovis temporibus revolvuntur quæ $unt in ratione $e$quiplicata di$tanti- arum à centro Jovis, erunt eorum gravitates acceleratrices in Jo- vem reciproce ut quadrata di$tantiarum à centro Jovis; & prop- terea in æqualibus a Jove di$tantiis, corum gravitates acceleratrices evaderent æquales. Proinde temporibus æqualibus ab æqualibus altitudinibus cadendo, de$criberent æqualia $patia; perinde ut fit in gravibus, in hac Terra no$tra. Et eodem argumento Planetæ circum$olares ab æqualibus à Sole di$tantiis demi$$i, de$cen$u $uo in Solem æqualibus temporibus æqualia $patia de$criberent. Vires autem, quibus corpora inæqualia æqualiter accelerantur, $unt ut corpora; hoc e$t, pondera ut quantitates materiæ in Planetis. Porro Jovis & ejus Satellitum pondera in Solem proportionalia e$$e quantitatibus materiæ corum, patet ex motu Satellitum quam maxime regulari; per Corol. 3. Prop. LXV. Lib. I. Nam $i ho- rum aliqui magis traherentur in Solem, pro quantitate materiæ $uæ, quam cæteri: motus Satellitum (per Corol. 2. Prop. LXV. Lib. I.) ex inæqualitate attractionis perturbarentur. Si (paribus à Sole di$tantiis) Satelles aliquis gravior e$$et in Solem pro quan- <pb n=367> titate materiæ $uæ, quam Jupiter pro quantitate materiæ $uæ, in <MARG>LIBER TERTIUS.</MARG> ratione quacunque data, puta <I>d</I> ad <I>e</I>: di$tantia inter centrum So- lis & centrum Orbis Satellitis, major $emper $oret quam di$tantia inter centrum Solis & centrum Jovis in ratione $ubduplicata quam proxime; uti calculis quibu$dam initis inveni. Et $i Satelles mi- nus gravis e$$et in Solem in ratione illa <I>d</I> ad <I>e,</I> di$t<*> centri Orbis Satellitis à Sole minor foret quam di$tantia centri Jovis à Sole in ratione illa $ubduplicata. Igitur $i in æqualibus à Sole di$tantiis, gravitas acceleratrix Satellitis cuju$vis in Solem major e$$et vel minor quam gravitas acceleratrix Jovis in Solem, parte tantum mille$ima gravitatis totius, foret di$tantia centri Orbis Satellitis à Sole major vel minor quam di$tantia Jovis à Sole parte (7/2000) di$tantiæ totius, id e$t, parte quinta di$tantiæ Satellitis extimi à centro Jovis: Quæ quidem Orbis eccentricitas foret &c. valde $en$ibilis. Sed Orbes Satellitum $unt Jovi concentrici, & propte- rea gravitates acceleratrices Jovis & Satellitum in Solem æquantur inter $e. Et eodem argumento pondera Saturni & Comitum ejus in Solem, in æqualibus à Sole diftantiis, $unt ut quantitates mate- riæ in ip$is: Et pondera Lunæ ac Terræ in Solem vel nulla $unt, vel earum ma$$is accurate proportionalia. Aliqua autem $unt per Corol. 1. & 3. Prop. V. <p>Quinetiam pondera partium $ingularum Planetæ cuju$que in alium quemcunque, $unt inter $e ut materia in partibus $ingulis. Nam $i partes aliquæ plus gravita<*>ent, aliæ minus, quam pro quan- titate materiæ: Planeta totus, pro genere partium quibus maxime abunde<*>, gravita<*>et magis vel minos quam pro quantitate materiæ totius. Sed nec <*>e$ert utrum partes illæ externa $iat vel int<*>æ. Nam $i verbi gratia corpora Te<*>ia, quæ apud nos $unt, in Orbem Lunæ elevari fingantur, & conferantur cum corporo Lunæ: Si horum pondera e$$ent ad pondera partium externarum Lunæ ut quantitates materiæ in ii$dem, ad pondera vero partium in- ternarum in majori vel minori ratione, forent eadem ad pondus Lunæ totius in majori vel minori ratione: contra quam $upra o$ten$um e$t. <p><I>Corol.</I> 1. Hinc pondera corporum non pendent ab corum for- mis & <*>euturis. Nam $i cum formis variari po$$ent; forent ma- jora vel minora, pro varietate formarum, in æquali materia: om- nino contra Experientiam. <pb n=368> <MARG>DE MUNDI SYSTEMATE</MARG> <p><I>Corol.</I> 2. Corpora univer$a quæ circa Terram $unt, gravia $unt in Terram; & pondera omnium, quæ æqualiter à centro Terræ di$tant, $unt ut quantitates materiæ in ii$dem. Hæc e$t qualitas omnium in quibus experimenta in$tituere licet, & propterea per Reg.111. de univer$is affirmanda e$t. Si Æther aut corpus aliud quodcunque vel gravitate omnino de$titueretur, vel pro quantitate materiæ $uæ minus gravitaret: quoniam id (ex mente <I>Ari$totelis, C<*></I> ab aliis corporibus ni$i in form<*> materiæ, pon<*> idem per mutationem formæ gradatim tran$mutari in corpus eju$dem conditionis cum iis quæ, pro quantitate materiæ, quam maxime gravitant, & vici$$im corpora maxime gravia, fer- mam illius gradatim induendo, po$$ent gravitatem $uam gradatim amittere. Ac proinde pondera penderent à formis corporum, po$$entque cum formis variari, contra quam probatum e$t in Corollario $uperiore. <p><I>Corol.</I> 3. Spatia omnia non $unt æqualiter plena. Nam $i $patia omnia æqualiter plena e$$ent, gravitas $pecifica fluidi quo regio aeris impleretur, ob $ummam den$itatem materiæ, nil cederet gra- vitati $pecificæ argenti vivi, vel auri, vel corporis alterius cuju$- cunque den$i$$imi; & propterea nec aurum neque aliud quod- cunque corpus in aere de$cendere po$$et. Nam corpora in flui- dis, ni$i $pecifice graviora $int, minime de$cendunt. Quod $i quantitas materiæ in $patio dato per rarefactionem quamcunque diminui po$$it, quidni diminui po$$it in infinitum? <p><I>Corol.</I> 4. Si omnes omnium corporum particulæ $olidæ $int eju$- dem den$itatis, neque ab$que poris rarefieri po$$int, Vacuum da- tur. Eju$dem den$itatis e$$e dico, quarum vires inertiæ $unt ut magnitudines. <p><I>Corol.</I> 5. Vis gravitatis diver$i e$t generis à vi magnetica. Nam attractio magnetica non e$t ut materia attracta. Corpora aliqua magis trahuntur, alia minus, plurima non trahuntur. Et vis mag- netica in uno & eodem corpore intendi pote$t & remitti, e$tque nonnunquam longe major pro quantitate materiæ quam vis gra- vitatis, & in rece$$u à Magnete decre$cit in ratione di$tantiæ non duplicata, $ed fere triplicata, quantum ex cra$$is quibu$dam ob$er- vationibus animadvertere potui. <pb n=369> <C>PROPOSITIO VII. THEOREMA VII.</C> <MARG>LIBER TERTIUS.</MARG> <p><I>Gravitatem in corpora univer$a fieri, eamque proportionalem e$$e quantitati materiæ in $ingulis.</I> <p>Planetas omnes in $e mutuo graves e$$e jam ante probavimus, ut & gravitatem in unumquemque $eor$im $pectatum e$$e reci- proce ut quadratum di$tantiæ locorum à centro Planetæ. Et inde con$equens e$t, (per Prop. LXIX. Lib. I. & ejus Corollaria) gra- vitatem in omnes proportionalem e$$e materiæ in ii$dem. <p>Porro cum Pianetæ cuju$vis <I>A</I> partes omnes graves $int in Pla- netam quemvis <I>B,</I> & gravitas partis cuju$que $it ad gravitatem totius, ut materia partis ad materiam totius, & actioni omni re- actio (per motus Legem tertiam) æqualis $it; Planeta <I>B</I> in partes omnes Planetæ <I>A</I> vici$$im gravitabit, & erit gravitas $ua in par- tem unamquamque ad gravitatem $uam in totum, ut materia par- tis ad materiam totius. <I>Q.E.D.</I> <p><I>Corol.</I> 1. Oritur igitur & componitur gravitas in Planetam to- tum ex gravitate in partes $ingulas. Cujus rei exempla habemus in attractionibus Magneticis & Electricis. Oritur enim attractio omnis in totum ex attractionibus in partes $ingulas. Res intelli- getur in gravitate, concipiendo Planetas plures minores in unum Globum coire & Planetam majorem componere. Nam vis totius ex viribus partium componentium oriri debebit. Siquis objiciat quod corpora omnia, quæ apud nos $unt, hac lege gravitare de- berent in $e mutuo, cum tamen cju$modi gravitas neutiquam $en- tiatur: Re$pondeo quod gravitas in hæc corpora, cum $it ad gra- vitatem in Terram totam ut $unt hæc corpora ad Terram totam, longe minor e$t quam quæ $entiri po$$it. <p><I>Corol.</I> 2. Gravitatio in $ingulas corporis particulas æquales e$t reciproce ut quadratum di$tantiæ locorum à particulis. Patet per Corol. 3. Prop. LXXIV. Lib. I. <pb n=370> <MARG>DE MUNDI SYSTEMATE</MARG> <C>PROPOSITIO VIII. THEOREMA VIII.</C> <p><I>Si Globorum duorum in $e mutuo gravitantium materia undique, in regionibus quæ à centris æqualiter di$tant, homogenea $it: erit pondus Globi alterutrius in alterum reciproce ut quadra- tum di$tantiæ inter centra.</I> <p>Po$tquam inveni$$em gravitatem in Planetam totum oriri & componi ex gravitatibus in partes; & e$$e in partes $ingulas reci- proce proportionalem quadratis di$tantiarum a partibus<*> dubita- bam an reciproca illa proportio duplicata obtineret accurate in vi tota ex viribus pluribus compo$ita, an vero quam proxime. Nam fieri po$$et ut proportio, quæ in majoribus di$tantiis $atis accu- rate obtineret, prope $uperficiem Planetæ ob inæquales particu- larum di$tantias & $itus di$$imiles, notabiliter erraret. Tandem vero, per Prop. LXXV. & LXXVI. Libri primi & ip$arum Corol- laria, intellexi veritatem Propo$itionis de qua hic agitur. <p><I>Corol.</I> 1. Hinc inveniri & inter $e comparari po$$unt pondera corporum in diver$os Planetas. Nam pondera corporum æqua- lium circum Planetas in circulis revolventium $unt (per Corol. 2. Prop. IV. Lib.I.) ut diametri circulorum directe & quadrata tem- porum periodicorum inver$e; & pondera ad $uperficies Planeta- rum, alia$ve qua$vis a centro di$tantias, majora $unt vel minora (per hanc Propo$itionem) in duplicata ratione di$tantiarum in- ver$a. Sic ex temporibus periodicis Veneris circum Solem die- rum 224 & horarum 16 1/4, Satellitis extimi circumjovialis circum Jovem dierum 16 & horarum (16 1/15), Satellitis Hugeniani circum Saturnum dierum 15 & horarum 22 2/3, & Lunæ circum Terram dierum 27, hor. 7. min. 43, collatis cum di$tantia mediocri Vene- ris a Sole & cum elongationibus maximis heliocentricis Satellitis extimi circumjovialis a centro Jovis 8′. 21 1/2″, Satellitis Hugeniani a centro Saturni 3′. 20″, & Lunæ a Terra 10′, computum ineundo inveni quod corporum æqualium & a Sole, Jove, Saturno ac Terra æqualiter di$tantium pondera in Solem, Jovem, Saturnum ac Ter- ram forent ad invicem ut 1, (1/1033), (1/2411), & (1/227512) re$pective. E$t enim parallaxis Solis ex ob$ervationibus novi$$imis qua$i 10″, & <I>Hal- leius</I> no$ter per emer$iones Jovis & Satellitum e parte ob$cura <pb n=371> Lunæ, determinavit quod elongatio maxima heliocentrica Satelli- <MARG>LIBER TERTIUS.</MARG> tis extimi Jovialis a centro Jovis in mediocri Jovis a Sole di$tan- tia $it 8′. 21 1/2″, & diameter Jovis 41″. Ex duratione Eclip$eon Satellitum in umbram Jovis incidentium prodit hæc diameter qua$i 40″, atque adeo $emidiameter 20″. Men$uravit autem <I>Hu- genius</I> elongationem maximam heliocentricam Satellitis a $e de- tecti 3′. 20″ a centro Saturni, & hujus elongationis pars quarta, nempe 50″, e$t diameter annuli Saturni e Sole vi$i, & diameter Sa- turni e$t ad diametrum annuli ut 4 ad 9, ideoque $emidiameter Saturni e Sole vi$i e$t 11″. Subducatur lux erratica quæ haud minor e$$e $olet quam 2″ vel 3″: Et manebit $emidiameter Saturni qua$i 9″. Ex hi$ce autem & Solis $emidiametro mediocri 16′. 6″ computum ineundo prodeunt veræ Solis, Jovis, Saturni ac Terræ $emidiametri ad invicem ut 10000, 1077, 889 & 104. Unde, cum pondera æqualium corporum 2 centris Solis, Jovis, Saturni ac Terræ æqualiter di$tantium, $int in Solem, Jovem, Saturnum ac Terram, ut 1, (1/1033), (1/2411), & (1/227512) re$pective, & auctis vel dimi- nutis di$tantiis pondera diminuantur vel augeantur in duplicata ratione: pondera æqualium corporum in Solem, Jovem, Satur- num ac Terram in di$tantiis 10000, 1077, 889, & 104 ab eorum centris, atque adeo in eorum $uperficiebus, erunt ut 10000, 835, 525, & 410 re$pective. Quanta $int pondera corporum in $uper- ficie Lunæ dicemus in $equentibus. <p><I>Corol.</I> 2. Innote$cit etiam quantitas materiæ in Planetis $ingulis. Nam quantitates materiæ in Planetis $unt ut eorum vires in æqua- libus di$tantiis ab eorum centris, id e$t, in Sole, Jove, Saturno ac Terra $unt ut 1, (1/1033), (1/2411), & (1/227512) re$pective. Si parallaxis Solis $tatuatur major vel minor quam 10″, debebit quantitas materiæ in Terra augeri vel diminui in triplicata ratione. <p><I>Corol.</I> 3. Innote$cunt etiam den$itates Planetarum. Nam pon- dera corporum æqualium & homogeneorum in Sphæras homoge- neas $unt in $uperficiebus Sphærarum ut Sphærarum diametri, per Prop. LXXII. Lib. I. ideoque Sphærarum heterogenearum den$i- tates $unt ut pondera illa applicata ad Sphærarum diametros. Erant autem veræ Solis, Jovis, Saturni ac Terræ diametri ad invi- cem ut 10000, 1077, 889, & 104, & pondera in eo$dem ut 10000, 835, 525, & 410, & propterea den$itates $unt ut 100, 78, 59, & 396. Den$itas Terræ quæ prodit ex hoc computo non pendet a parallaxi Solis, $ed determinatur per parallaxin Lunæ, & prop- <pb n=372> <MARG>DE MUNDI SYITEMATE</MARG> terea hic recte definitur. E$t igitur Sol paulo den$ior quam Jupi- ter, & Jupiter quam Saturnus, & Terra quadruplo den$ior quam Sol. Nam per ingentem $uum calorem Sol rare$cit. Luna vero den$ior e$t quam Terra, ut in $equentibus patebit. <p><I>Corol.</I> 4. Den$iores igitur $unt Planetæ qui $unt minores, cæ- teris paribus. Sic enim vis gravitatis in eorum $uperficiebus ad æqualitatem magis accedit. Sed & den$iores $unt Planetæ, cæte- ris paribus, qui $unt Soli propiores; ut Jupiter Saturno, & Terra Jove. In diver$is utique di$tantiis a Sole collocandi erant Planetæ ut quilibet pro gradu den$itatis calore Solis majore vel minore frueretur. Aqua no$tra, $i Terra locaretur in orbe Saturni, rige- $ceret, $i in orbe Mercurii in vapores $tatim abiret. Nam lux Solis, cui calor proportionalis e$t, $eptuplo den$ior e$t in orbe Mercurii quam apud nos: & Thermometro expertus $um quod $eptuplo Solis æ$tivi calore aqua ebullit. Dubium vero non e$t quin materia Mercurii ad calorem accommodetur, & propterea den$ior $it hac no$tra; cum materia omnis den$ior ad operationes Naturales obeundas majorem calorem requirat. <C>PROPOSITIO IX. THEOREMA IX.</C> <p><I>Gravitatem pergendo a $uperficiebus Planetarum deor$um de- cre$cere in ratione di$tantiarum a centro quam proxime.</I> <p>Si materia Planetæ quoad den$itatem uniformis e$$et, obtineret hæc Propo$itio accurate: per Prop. LXXIII. Lib. I. Error igitur tantus e$t, quantus ab inæquabili den$itate oriri po$$it. <C>PROPOSITIO X. THEOREMA X.</C> <C><I>Motus Planetarum in Cœlis diuti$$ime con$ervari po$$e.</I></C> <p>In Scholio Propo$itionis XL. Lib. II. o$ten$um e$t quod globus Aquæ congelatæ in Aere no$tro, libere movendo & longitudinem $emidiametri $uæ de$cribendo, ex re$i$tentia Aeris amitteret motus $ui partem (1/4586). Obtinet autem eadem proportio quam proxime in globis utcunque magnis & velocibus. Jam vero Globum Terræ no$træ den$iorem e$$e quam $i totus ex Aqua con$taret, $ic colligo. Si Globue hicce totus e$$et aqueus, quæcunque rariora e$$ent quam aqua, ob minorem $pecificam gravitatem emergerent & $upernata- <pb n=373> rent. Eaque de cau$a Globus terreus aquis undique coopertus, <MARG>LIBER TERTIUS.</MARG> $i rarior e$$et quam aqua, emergeret alicubi, & aqua omnis inde defluens congregaretur in regione oppo$ita. Et par e$t ratio Terræ no$træ maribus magna ex parte circumdatæ. Hæc $i den- $ior non e$$et, emergeret ex maribus, & parte $ui pro gradu levi- tatis extaret ex Aqua, maribus omnibus in regionem oppo$itam confluentibus. Eodem argumento maculæ Solares leviores $unt. quam materia lucida Solaris cui $upernatant. Et in formatione qualicunque Planetarum, materia omnis gravior, quo tempore ma$$a tota fluida erat, centrum petebat. Unde cum Terra com- munis $uprema qua$i duplo gravior $it quam aqua, & paulo infe- rius in fodinis qua$i triplo vel quadruplo aut etiam quintuplo gra- vior reperiatur: veri$imile e$t quod copia materiæ totius in Terra qua$i quintuplo vel $extuplo major $it quam $i tota ex aqua con- $taret; præ$ertim cum Terram qua$i quintuplo den$iorem e$$e quam Jovem jam ante o$ten$um $it. Igitur $i Jupiter paulo den- $ior $it quam aqua, hic $patio dierum triginta, quibus lon gitudinem 459 $emidiametrorum $uarum de$cribit, amitteret <*> Medio eju$dem den$itatis cum Aere no$tro motus $ui partem <*> decimam. Verum cum re$i$tentia Mediorum minuatur in <*> ponderis ac den$itatis, $ic ut aqua, quæ partibus 13 2/3 levior e$t quam argentum vivum, minus re$i$tat in eadem ratione; & aer, qui partibus 850 levior e$t quam aqua, minus re$i$tat in eadem ratione: $i a$cendatur in cœlos ubi pondus Medii, in quo Planetæ moventur, diminuitur in immen$um, re$i$tentia prope ce$$abit. <C>HYPOTHESIS I.</C> <C><I>Centrum Sy$tematis Mundani quie$cere.</I></C> <p>Hoc ab omnibus conce$$um e$t, dum aliqui Terram alii Solem in centro Sy$tematis quie$cere contendant. Videamus quid inde $equatur. <C>PROPOSITIO XI. THEOREMA XI.</C> <p><I>Commune centrum gravitatis Terræ, Solis & Planetarum om- nium quie$cere.</I> <p>Nam centrum illud (per Legum Corol. 4.) vel quie$cet vel progredietur uniformiter in directum. Sed centro illo $emper <pb n=374> <MARG>DE MUNDI SYSTEMATE</MARG> progrediente, centrum Mundi quoque movebitur contra Hy- pothe$in. <C>PROPOSITIO XII. THEOREMA XII.</C> <p><I>Solem motu perpetuo agitari, $ed nunquam longe recedere a com- muni gravitatis centro Planetarum omnium.</I> <p>Nam cum (per Corol. 2. Prop. VIII.) materia in Sole $it ad materiam in Jove ut 1033 ad 1, & di$tantia Jovis a Sole $it ad $emidiametrum Solis in ratione paulo majore; incidet commune centrum gravitatis Jovis & Solis in punctum paulo $upra $uper- ficiem Solis. Eodem argumento cum materia in Sole $it ad ma- teriam in Saturno ut 2411 ad 1, & di$tantia Saturni a Sole $it ad $emidiametrum Solis in ratione paulo minore: incidet commune centrum gravitatis Saturni & Solis in punctum paulo infra $uper- ficiem Solis. Et eju$dem calculi ve$tigiis in$i$tendo $i Terra & Planetæ omnes ex una Solis parte con$i$terent, commune omnium centrum gravitatis vix integra Solis diametro a centro Solis di- $taret. Aliis in ca$ibus di$tantia centrorum $emper minor e$t. Et propterea cum centrum illud gravitatis perpetuo quie$cit, Sol pro vario Planetarum $itu in omnes partes movebitur, $ed à cen- tro illo nunquam longe recedet. <p><I>Corol.</I> Hinc commune gravitatis centrum Terræ, Solis & Pla- netarum omnium pro centro Mundi habendum e$t. Nam cum Terra, Sol & Planetæ omnes gravitent in $e mutuo, & propte- rea, pro vi gravitatis $uæ, $ecundum leges motus perpetuo agi- tentur: per$picuum e$t quod horum centra mobilia pro Mundi centro quie$cente haberi nequeunt. Si corpus illud in centro locandum e$$et in quod corpora omnia maxime gravitant (uti vulgi e$t opinio) privilegium i$tud concedendum e$$et Soli. Cum autem Sol moveatur, eligendum erit punctum quie$cens, a quo centrum Solis quam minime di$cedit, & a quo idem ad- huc minus di$cederet, $i modo Sol den$ior e$$et & major, ut minus moveretur. <pb n=375> <MARG>LIBER TERTIUS.</MARG> <C>PROPOSITIO XIII. THEOREMA XIII.</C> <p><I>Planetæ moventur in Ellipfibus umbilicum habentibus in centro Solis, & radiis ad centrum illud ductis areas de$cribunt temporibus proportionales.</I> <p>Di$putavimus $upra de his motibus ex Phænomenis. Jam cog- nitis motuum principiis, ex his colligimus motus cœle$tes a pri- ori. Quoniam pondera Planetarum in Solem $unt reciproce ut quadrata di$tantiarum a centro Solis; $i Sol quie$ceret & Planetæ reliqui non agerent in $e mutuo, forent orbes eorum Elliptici, Solem in umbilico communi habentes, & areæ de$criberentur tem- poribus proportionales (per Prop. I. & XI, & Corol. I. Prop. XIII Lib. I.) Actiones autem Planetarum in $e mutuo perexiguæ $unt (ut po$$int contemni) & motus Planetarum in Ellip$ibus circa Solem mobilem minus perturbant (per Prop. LXVI. Lib. I.) quam $i motus i$ti circa Solem quie$centem peragerentur. <p>Actio quidem Jovis in Saturnum non e$t omnino contemnenda. Nam gravitas in Jovem e$t ad gravitatem in Solem (paribus di- $tantiis) ut 1 ad 1033; adeoque in conjunctione Jovis & Saturni, quoniam di$tantia Saturni a Jove e$t ad di$tantiam Saturni a Sole fere ut 4 ad 9, erit gravitas Saturni in Jovem ad gravitatem Sa- turni in Solem ut 81 ad 16X1033 $eu 1 ad 204 circiter. Et hinc oritur perturbatio orbis Saturni in $ingulis Planetæ hujus cum Jove conjunctionibus adeo $en$ibilis ut ad eandem A$tronomi hæreant. Pro vario $itu Planetæ in his conjunctionibus, Eccen- tricitas ejus nunc augetur nunc diminuitur, Aphelium nunc pro- movetur nunc forte retrahitur, & medius motus per vices accele- ratur & retardatur. Error tamen omnis in motu ejus circum So- lem a tanta vi oriundus (præterquam in motu medio) evitari fere pote$t con$tituendo umbilicum inferiorem Orbis ejus in communi centro gravitatis Jovis & Solis (per Prop. LXVII. Lib. I.) & prop- terea ubi maximus e$t, vix $uperat minuta duo prima. Et error maximus in motu medio vix $uperat minuta duo prima annuatim. In conjunctione autem Jovis & Saturni gravitates acceleratrices Solis in Saturnum, Jovis in Saturnum & Jovis in Solem $unt fere ut 16, 81 & (16X81X2411/25) $eu 124986, adeoque differentia gravi- tatum Solis in Saturnum & Jovis in Saturnum e$t ad gravitatem <pb n=376> <MARG>DE MUNDI SYSTEMATE</MARG> Jovis in Solem ut 65 ad 124986 $eu 1 ad 1923. Huic autem dif- ferentiæ proportionalis e$t maxima Saturni efficacia ad perturban- dum motum Jovis, & propterea perturbatio orbis Jovialis longe minor e$t quam ea Saturnii. Reliquorum orbium perturbationes $unt adhuc longe minores, præterquam quod Orbis Terræ $en$i- biliter perturbatur a Luna. Commune centrum gravitatis Terræ & Lunæ, Ellip$in circum Solem in umbilico po$itum percurrit, & radio ad Solem ducto areas in eadem temporibus proportionales de$cribit, Terra vero circum hoc centrum commune motu men- $truo revolvitur. <C>PROPOSITIO XIV. THEOREMA XIV.</C> <C><I>Orbium Aphelia & Nodi quie$cunt.</I></C> <p>Aphelia quie$cunt, per Prop. XI. Lib. I. ut & Orbium plana, per eju$dem Libri Prop. 1. & quie$centibus planis quie$cunt Nodi. Attamen a Planetarum revolventium & Cometarum actionibus in $e invicem orientur inæqualitates aliquæ, $ed quæ ob parvitatem hic contemni po$$unt. <p><I>Corol.</I> 1. Quie$cunt etiam Stellæ fixæ, propterea quod datas ad Aphelia Nodo$que po$itiones $ervant. <p><I>Corol.</I> 2. Ideoque cum nulla $it earum parallaxis $en$ibilis ex Terræ motu annuo oriunda, vires earum ob immen$am corporum di$tantiam nullos edent $en$ibiles effectus in regione Sy$tematis no$tri. Quinimo Fixæ in omnes cæli partes æqualiter di$per$æ contrariis attractionibus vires mutuas de$truunt, per Prop. LXX. Lib. I. <C><I>Scholium.</I></C> <p>Cum Planetæ Soli propiores (nempe Mercurius, Venus, Terra, & Mars) ob corporum parvitatem parum agant in $e invicem: horum Aphelia & Nodi quie$cent, ni$i quatenus a viribus Jovis, Saturni, & corporum $uperiorum turbentur. Et inde colligi po- te$t per theoriam gravitatis, quod horum Aphelia moventur ali- quantulum in con$equentia re$pectu fixarum, idque in proporti- one $e$quiplicata di$tantiarum horum Planetarum a Sole. Ut $i Aphelium Martis in annis centum conficiat 35′ in con$equentia re$pectu fixarum; Aphelia Terræ, Veneris, & Mercurii in annis centum conficient 18′. 36″, 11′. 27″, & 4′. 29″ re$pective. Et hi motus, ob parvitatem, negliguntur in hac Propo$itione. <pb n=377> <MARG>LIBER TERTIUS.</MARG> <C>PROPOSITIO XV. PROBLEMA I.</C> <C><I>Invenire Orbium principales diametros.</I></C> <p>Capiendæ $unt hæ in ratione $ub$e$quiplicata temporum perio- dicorum, per Prop. XV. Lib. I. deinde $igillatim augendæ in rati- one $ummæ ma$$arum Solis & Planetæ cuju$que revolventis ad primam duarum medie proportionalium inter $ummam illam & Solem, per Prop. LX. Lib. I. <C>PROPOSITIO XVI. PROBLEMA II.</C> <C><I>Invenire Orbium Eccentricitates & Aphelia.</I></C> <p>Problema confit per Prop. XVIII. Lib. I. <C>PROPOSITIO XVII. THEOREMA XV.</C> <p><I>Planetarum motus diurnos uniformes e$$e, & librationem Lunæ ex ip$ius motu diurno oriri.</I> <p>Patet per motus Legem I, & Corol. 22. Prop. LXVI. Lib. I. Quoniam vero Lunæ, circa axem $uum uniformiter revolventis, dies men$truus e$t; hujus facies eadem ulteriorem umbilicum or- bis ip$ius $emper re$piciet, & propterea pro $itu umbilici illius deviabit hinc inde a Terra. Hæc e$t libratio in longitudinem. Nam libratio in latitudinem orta e$t ex inclinatione axis Lunaris ad planum orbis. Porro hæc ita $e habere, ex Phænomenis mani- fe$tum e$t. <C>PROPOSITIO XVIII. THEOREMA XVI.</C> <p><I>Axes Planetarum diametris quæ ad eo$dem axes normaliter du- cuntur minores e$$e.</I> <p>Planetæ $ublato omni motu circulari diurno figuram Sphæricam, ob æqualem undique partium gravitatem, affectare deberent. Per motum illum circularem fit ut partes ab axe recedentes juxta æquatorem a$cendere conentur. Ideoque materia $i fluida $it <pb n=378> <MARG>DE MUNDI SYSTEMATE</MARG> a$cen$u $uo ad æquatorem diametros adaugebit, axem vero de- $cen$u $uo ad polos diminuec. Sic Jovis diameter (con$entienti- bus A$tronomorum ob$ervationibus) brevior deprehenditur inter polos quam ab oriente in occidentem. Eodem argumento, ni$i Terra no$tra paulo altior e$$et $ub æquatore quam ad polos, Ma- ria ad polos $ub$iderent, & juxta æquatorem a$cendendo, ibi om- nia inundarent. <C>PROPOSITIO XIX. PROBLEMA III.</C> <C><I>Invenire proportionem axis Planetæ ad diametros eidem perpendiculares.</I></C> <p><I>Picartus</I> men$urando arcum gradus unius & 22′. 55″ inter <I>Ambianum</I> & <I>Malvoi$inam,</I> invenit arcum gradus unius e$$e hexa- pedarum Pari$ien$ium 57060. Unde ambitus Terræ e$t pedum Pari$ien$ium 123249600, ut $upra. Sed cum error quadringente- $imæ partis digiti, tam in fabrica in$trumentorum quam in ap- plicatione eorum ad ob$ervationes capiendas, $it in$en$ibilis, & in Sectore decempedali quo <I>Galli</I> ob$ervarunt Latitudines loco- rum re$pondeat minutis quatuor $ecundis, & in $ingulis ob$erva- tionibus incidere po$$it tam ad centrum Sectoris quam ad ejus circumferentiam, & errores in minoribus ar- cubus $int majoris momenti:<note>Vide Hi$toriam Aca- demiæ Regiæ $cientiarum anno 1700.</note> ideo <I>Ca$$inus</I> ju$$u Regio men$uram Terræ per majora loco- rum intervalla aggre$$us e$t, & $ubinde per di$tantiam inter Ob$ervatorium Regium <I>Pari$ien$e</I> & villam <I>Coli- oure</I> in <I>Rou$$illon</I> & Latitudinum differentiam 6<SUP>gr.</SUP> 18′, $uppo- nendo quod figura Terræ $it Sphærica, invenit gradum unum e<*>e hexapedarum 57292, prope ut <I>Norwoodus</I> no$ter antea invenerat. Hic enim circa annum 1635, men$urando di$tantiam pedum Lon- dinen$ium 905751 inter <I>Londinum</I> & <I>Eboracum,</I> & ob$ervando differentiam Latitudinum 2<SUP>gr.</SUP> 28′, collegit men$uram gradus unius e$$e pedum Londinen$ium 367196, id e$t, hexapedarum Pari$ien- $ium 57300. Ob magnitudinem intervalli a <I>Ca$$ino</I> mon$urati, pro men$ura gradus unius in medio intervalli illius, id e$t, inter La- titudines 45<SUP>gr.</SUP> & 46<SUP>gr.</SUP> u$urpabo hexapedas 57292. Unde, $i Terra $it Sphærica, $emidiameter ejus erit pedum Pari$ien$ium 19695539. <pb n=379> <p>Penduli in Latitudine <I>Lutetiæ Pari$iorum</I> ad minuta $ecunda <MARG>LIBER TERTIUS.</MARG> o$cillantis longitudo e$t pedum trium Pari$ien$ium & linearum 8 5/9. Et longitudo quod grave tempore minuti unius $ecundi cadendo de$cribit, e$t ad dimidiam longitudinem penduli hujus, in duplicata ratione circumferentiæ circuli ad diametrum ejus (ut indicavit <I>Hugenius</I>) ideoque e$t pedum Pari$ien$ium 15, dig. 1, lin. (2 1<*>), $eu linearum (2174 1/<*>). <p>Corpus in circulo, ad di$tantiam pedum 19695539 a centro, $ingulis diebus $idereis horarum 23. 56′. 4″ uniformiter revolvens, tempore minuti unius $ecundi de$cribit arcum pedum 1436,223, cujus $inus ver$us e$t pedum 0,05236558, $eu linearum 7,54064. Ideoque vis qua gravia de$cendunt in Latitudine <I>Lutetiæ,</I> e$t ad vim centri$ugam corporum &c. in Æquatore, a Terræ motu diurno oriundam, ut (2174 1/18) ad 7,54064. <p>Vis centrifuga corporum in Æquatore, e$t ad vim centrifugam qua corpora directe tendunt a Terra in Latitudine <I>Lutetiæ</I> gra- duum 48. 50′, in duplicata ratione Radii ad $inum complementi Latitudinis illius, id e$t, ut 7,54064 ad 3,267. Addatur hæc vis ad vim qua gravia de$cendunt in Latitudine <I>Lutetiæ,</I> & corpus in Latitudine <I>Lutetiæ</I> vi tota gravitatis cadendo, tempore minuti unius $ecundi de$criberet lineas 2177,32, $eu pedes Pari$ien$es 15, dig. 1, & lin. 5,32. Et vis tota gravitatis in Latitudine illa, erit ad vim centri$ugam corporum &c. in Æquatore Terræ, ut 2177,32 ad 7,54064, $eu 289 ad 1. <p>Unde $i <I>APBQ</I> figuram Terræ de$ignet jom non amplius Sphæricam $ed revolutione Ellip$eos circum axem minorem <I>PQ</I> genitam, $itque <I>ACQqca</I> canalis aquæ ple- <FIG> na, a polo <I>Qq</I> ad centrum <I>Cc,</I> & inde ad Æquatorem <I>Aa</I> pergens: debebit pondus aquæ in canalis crure <I>ACca,</I> e$$e ad pondus aquæ in crure altero <I>QCcq</I> ut 289 ad 288, eo quod vis centrifuga ex circulari motu orta partem unam e ponderis partibus 289 $u$tinebit ac detrahet, & pondus 288 in al- tero crure $u$tinebit reliquas. Porro (ex Propo$itionis XCI. Corollario $ecundo, Lib.I.) computationem ineundo, invenio quod $i Terra con$taret ex uni- formi materia, motuque omni privaretur, & e$$et ejus axis <I>PQ</I> <pb n=380> <MARG>DE MUNDI SYSTEMATE</MARG> ad diametrum <I>AB</I> ut 100 ad 101: gravitas in loco <I>Q</I> in Terram, foret ad gravitatem in eodem loco <I>Q</I> in Sphæram centro <I>C</I> radio <I>PC</I> vel <I>QC</I> de$criptam, ut 126 ad 125. Et eodem argumento gravitas in loco <I>A</I> in Sphæroidem, convolutione Ellip$eos <I>APBQ</I> circa axem <I>AB</I> de$criptam, e$t ad gravitatem in eodem loco <I>A</I> in Sphæram centro <I>C</I> radio <I>AC</I> de$criptam, ut 125 ad 126. E$t au- tem gravitas in loco <I>A</I> in Terram, media proportionalis inter gravitates in dictam Sphæroidem & Sphæram: propterca quod Sphæra, diminuendo diametrum <I>PQ</I> in ratione 101 ad 100, vertitur in figuram Terræ; & hæc figura diminuendo in eadem ratione diametrum tertiam, quæ diametris duabus <I>AB, PQ</I> per- pendicularis e$t, vertitur in dictam Sphæroidem; & gravitas in <I>A,</I> in ca$u utroque, diminuitur in eadem ratione quam proxime. E$t igitur gravitas in <I>A</I> in Sphæram centro <FIG> <I>C</I> radio <I>AC</I> de$criptam, ad gravitatem in <I>A</I> in Terram ut 126 ad 125 1/2, & gravitas in loco <I>Q</I> in Sphæram centro <I>C</I> radio <I>QC</I> de$criptam, e$t ad gravitatem in loco <I>A</I> in Sphæram centro <I>C</I> radio <I>AC</I> de$criptam, in ratione diametrorum (per Prop. LXXII. Lib. I.) id e$t, ut 100 ad 101. Conjungan- tur jam hæ tres rationes, 126 ad 125, 126 ad 125 1/2, & 100 ad 101: & fiet gravitas in loco <I>Q</I> in Terram, ad gravitatem in loco <I>A</I> in Terram, ut 126X126X100 ad 125X125 1/2X101, $eu ut 501 ad 500. <p>Jam cum (per Corol. 3. Prop. XCI. Lib. I.) gravitas in canalis crure utrovis <I>ACca</I> vel <I>QCcq</I> $it ut di$tantia locorum a centro Terræ; $i crura illa $uperficiebus tran$ver$is & æquidi$tantibus di- $tinguantur in partes totis proportionales, erunt pondera partium $ingularum in crure <I>ACca</I> ad pondera partium totidem in crure altero, ut magnitudines & gravitates acceleratrices conjunctim; id e$t, ut 101 ad 100 & 500 ad 501, hoc e$t, ut 505 ad 501. Ac proinde $i vis centrifuga partis cuju$que in crure <I>ACca</I> ex motu diurno oriunda, fui$$et ad pondus partis eju$dem ut 4 ad 505, eo ut de pondere partis cuju$que, in partes 505 divi$o, partes qua- tuor detraheret; manerent pondera in utroque crure æqualia, & propterea fluidum con$i$teret in æquilibrio. Verum vis centrifuga partis cuju$que e$t ad pondus eju$dem ut 1 ad 289, hoc e$t, vis centrifuga quæ deberet e$$e ponderis pars (4/<*>05) e$t tantum pars (1/289). <pb n=381> Et propterea dico, $ecundum Regulam auream, quod $i vis cen- <MARG>LIBER TERTIUS.</MARG> trifuga (4/505) faciat ut altitudo aquæ in crure <I>ACca</I> $uperet altitu- dinem aquæ in crure <I>QCcq</I> parte cente$ima totius altitudinis: vis centri$uga (1/289) faciet ut exce$$us altitudinis in crure <I>ACca</I> $it altitudinis in crure altero <I>QCcq</I> pars tantum (1/229). E$t igitur dia- meter Terræ $ecundum æquatorem ad ip$ius diametrum per polos ut 230 ad 229. Ideoque cum Terræ $emidiameter mediocris, juxta men$uram <I>Ca$$ini,</I> $it. pedum Pari$ien$ium 19695539, $eu milliarium 3939 (po$ito quod milliare $it men$ura pedum 5000) Terra altior erit ad Æquatorem quam ad Polos exce$$u pedum 85820, $eu milliarum 17 1/6. <p>Si Planeta major $it vel minor quam Terra manente ejus den- $itate ac tempore periodico revolutionis diurnæ, manebit pro- portio vis centrifugæ ad gravitatem, & propterea manebit etiam proportio diametri inter polos ad dimetrum $ecundum æquato- rem. At $i motus diurnus in ratione quacunque acceleretur vel retardetur, augebitur vel minuetur vis centrifuga in duplicata illa ratione, & propterea differentia diametrorum augebitur vel mi- nuetur in eadem duplicata ratione quamproxime. Et $i den$itas Planetæ augeatur vel minuatur in ratione quavis, gravitas etiam in ip$um tendens augebitur vel minuetur in eadem ratione, & differentia diametrorum vici$$im minuetur in ratione gravitatis auctæ vel augebitur in ratione gravitatis diminutæ. Unde cum Terra re$pectu fixarum revolvatur horis 23. 56′, Jupiter autem horis 9. 56′, $intque temporum quadrata ut 29 ad 5, & den$itates ut 5 ad 1: differentia diametrorum Jovis erit ad ip$ius diame- trum minorem ut (29/5)X<*>/1X(1/229) ad 1, $eu 1 ad 8 quamproxime. E$t igitur diameter Jovis ab oriente in occidentem ducta, ad ejus dia- metrum inter polos ut 9 ad 8 quamproxime, & propterea diame- ter inter polos e$t 35 1/2″. Hæc ita $e habent ex hypothe$i quod uniformis $it Planetarum materia. Nam $i materia den$ior $it ad centrum quam ad circumferentiam; diameter quæ ab oriente in occidentem ducitur, erit adhuc major. <p>Jovis vero diametrum quæ polis ejus interjacet minorem e$$e diametro altera <I>Ca$$inus</I> dudum ob$ervavit, & Terræ diametrum inter polos minorem e$$e diametro altera patebit per ea quæ dicentur in Propo$itione $equente. <pb n=382> <MARG>DE MUNDI SYSTEMATE</MARG> <C>PROPOSITIO XX. PROBLEMA IV.</C> <p><I>Invenire & inter $e comparare Pondera corporum in Terræ hujus regionibus diver$is.</I> <p>Quoniam pondera inæqualium crurum canalis aqueæ <I>ACQqca</I> æqualia $unt; & pondera partium, cruribus totis proportionalium & $imiliter in totis $itarum, $unt ad invicem ut pondera totorum, adeoque etiam æquantur inter $e; erunt pondera æqualium & in cruribus $imiliter $itarum partium reciproce ut crura, id e$t, reci- proce ut 230 ad 229. Et par e$t ratio homogeneorum & æqua- lium quorumvis & in canalis cruribus $imiliter $itorum corporum. Horum pondera $unt reciproce ut crura, id e$t, reciproce ut di- $tantiæ corporum a centro Terræ. Proinde $i corpora in $upre- mis canalium partibus, $ive in $uperficie Terræ con$i$tant; erunt pondera eorum ad invicem reciproce ut di$tantiæ eorum a centro. Et eodem argumento pondera, in aliis quibu$cunque per totam Terræ $uperficiem regionibus, $unt reciproce ut di$tantiæ locorum a centro; & propterea, ex Hypothe$i quod Terra Sphærois $it, dantur proportione. <p>Unde tale confit Theorema, quod incrementum ponderis per- gendo ab Æquatore ad Polos, $it quam proxime ut $inus ver$us Latitudinis duplicatæ, vel, quod perinde e$t, ut quadratum $inus recti Latitudinis. Et in eadem circiter ratione augentur arcus graduum Latitudinis in Meridiano. Ideoque cum Latitudo <I>Lu- tetiæ Pari$iorum</I> $it 48<SUP>gr.</SUP> 50′, ea locorum $ub Æquatore 00<SUP>gr.</SUP> 00′, & ea locorum ad Polos 90<SUP>gr.</SUP> & duplorum $inus ver$i $int 11334, 00000 & 20000, exi$tente Radio 10000, & gravitas ad Polum $it ad gravitatem $ub Æquatore ut 230 ad 229, & exce$$us gravi- tatis ad Polum ad gravitatem $ub Æquatore ut 1 ad 229: erit ex- ce$$us gravitatis in Latitudine <I>Lutetiæ</I> ad gravitatem $ub Æquatore, ut 1X(11334/20000) ad 229, $eu 5667 ad 2290000. Et propterea gravitates totæ in his locis erunt ad invicem ut 2295667 ad 2290000. Quare cum longitudines pendulorum æqualibus temporibus o$cillantium $int ut gravitates, & in Latitudine <I>Lutetiæ Pari$iorum</I> longitudo penduli $ingulis minutis $ecundis o$cillantis $it pedum trium Pa- ri$ien$ium & linearum 8 <*>/9: longitudo penduli $ub Æquatore $u- perabitur a longitudine $ynchroni penduli <I>Pari$ien$is,</I> exce$$u li- neæ unius & 87 partium mille$imarum lineæ. Et $imili computo confit Tabula $equens. <pb n=383> <MARG>LIBER TERTIUS.</MARG> <TABLE BORDER> <TR> <TD ALIGN="CENTER"><I>Latitudo Loci</I></TD> <TD COLSPAN="2" ALIGN="CENTER"><I>Longitudo Penduli</I></TD> <TD ALIGN="CENTER"><I>Men$ura Gradus unius in Meridiano</I></TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="CENTER">Gr.</TD> <TD ALIGN="CENTER">Ped.</TD> <TD ALIGN="CENTER">Lin.</TD> <TD ALIGN="CENTER">Hexaped.</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">0</TD> <TD>3.</TD> <TD>7,468</TD> <TD ALIGN="CENTER">56909</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">5</TD> <TD>3.</TD> <TD>7,482</TD> <TD ALIGN="CENTER">56914</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">10</TD> <TD>3.</TD> <TD>7,526</TD> <TD ALIGN="CENTER">56931</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">15</TD> <TD>3.</TD> <TD>7,596</TD> <TD ALIGN="CENTER">56959</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">20</TD> <TD>3.</TD> <TD>7,692</TD> <TD ALIGN="CENTER">56996</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">25</TD> <TD>3.</TD> <TD>7,811</TD> <TD ALIGN="CENTER">57042</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">30</TD> <TD>3.</TD> <TD>7,948</TD> <TD ALIGN="CENTER">57096</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">35</TD> <TD>3.</TD> <TD>8,099</TD> <TD ALIGN="CENTER">57155</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">40</TD> <TD>3.</TD> <TD>8,261</TD> <TD ALIGN="CENTER">57218</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">1</TD> <TD>3.</TD> <TD>8,294</TD> <TD ALIGN="CENTER">57231</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">2</TD> <TD>3.</TD> <TD>8,327</TD> <TD ALIGN="CENTER">57244</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">3</TD> <TD>3.</TD> <TD>8,361</TD> <TD ALIGN="CENTER">57257</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">4</TD> <TD>3.</TD> <TD>8,394</TD> <TD ALIGN="CENTER">57270</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">45</TD> <TD>3.</TD> <TD>8,428</TD> <TD ALIGN="CENTER">57283</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">6</TD> <TD>3.</TD> <TD>8,461</TD> <TD ALIGN="CENTER">57296</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">7</TD> <TD>3.</TD> <TD>8,494</TD> <TD ALIGN="CENTER">57309</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">8</TD> <TD>3.</TD> <TD>8,528</TD> <TD ALIGN="CENTER">57322</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">9</TD> <TD>3.</TD> <TD>8,561</TD> <TD ALIGN="CENTER">57335</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">50</TD> <TD>3.</TD> <TD>8,594</TD> <TD ALIGN="CENTER">57348</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">55</TD> <TD>3.</TD> <TD>8,756</TD> <TD ALIGN="CENTER">57411</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">60</TD> <TD>3.</TD> <TD>8,907</TD> <TD ALIGN="CENTER">57470</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">65</TD> <TD>3.</TD> <TD>9,044</TD> <TD ALIGN="CENTER">57524</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">70</TD> <TD>3.</TD> <TD>9,162</TD> <TD ALIGN="CENTER">57570</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">75</TD> <TD>3.</TD> <TD>9,258</TD> <TD ALIGN="CENTER">57607</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">80</TD> <TD>3.</TD> <TD>9,329</TD> <TD ALIGN="CENTER">57635</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">85</TD> <TD>3.</TD> <TD>9,372</TD> <TD ALIGN="CENTER">57652</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">90</TD> <TD>3.</TD> <TD>9,387</TD> <TD ALIGN="CENTER">57657</TD> </TR> </TABLE> <p>Con$tat autem per hanc Tabulam, quod graduum inæqualitas tam parva $it, ut in rebus Geographicis figura Terræ pro Sphæ- rica haberi po$$it, quodque inæqualitas diametrorum Terræ faci- lius & certius per experimenta pendulorum deprehendi po$$it vel etiam per Eclip$es Lunæ, quam per arcus Geographice men$uratos in Meridiano. <pb n=384> <MARG>DE MUNDI SYSTEMATE</MARG> <p>Hæc ita $e habent ex hypothe$i quod Terra ex uniformi ma- teria con$tat. Nam $i materia ad centrum paulo den$ior $it quam ad $uperficiem, differentiæ pendulorum & graduum Meridiani paulo majores erunt quam pro Tabula præcedente, propterea quod $i materia ad centrum redundans qua den$itas ibi major redditur, $ubducatur & $eor$im $pectetur, gravitas in Terram re- liquam uniformiter den$am, erit reciproce ut di$tantia ponderis a centro; in materiam vero redundantem reciproce ut quadratum di$tantiæ a materia illa quamproxime. Gravitas igitur $ub æqua- tore minor e$t in materiam illam redundantem quam pro com- puto $uperiore: & propterea Terra ibi, propter defectum gravita- tis, paulo altius a$cendet, & exce$$us longitudinum Pendulorum & graduum ad polos paulo majores erunt quam in præcedentibus definitum e$t. <p>Jam vero A$tronomi aliqui in longinquas regiones ad ob$erva- tiones A$tronomicas faciendas mi$$i, invenerunt quod horologia o$cillatoria tardius moverentur prope Æquatorem quam in regi- onibus no$tris. Et primo quidem <I>D. Richer</I> hoc ob$ervavit anno 1672 in in$ula <I>Cayennæ.</I> Nam dum ob$ervaret tran$itum Fixarum per meridianum men$e <I>Augu$to,</I> reperit horologium $uum tardius moveri quam pro medio motu Solis, exi$tente differentia 2′. 28″ $ingulis diebus. Deinde faciendo ut Pendulum $implex ad minuta $ingula $ecunda per horologium optimum men$urata o$cillaret, notavit longitudinem Penduli $implicis, & hoc fecit $æpius $ingu- lis $eptimanis per men$es decem. Tum in <I>Galliam</I> redux contulit longitudinem hujus Penduli cum longitudine Penduli <I>Pari$ien$is</I> (quæ erat trium pedum Pari$ien$ium, & octo linearum cum tribus quintis partibus lineæ) & reperit breviorem e$$e, exi$tente diffe- rentia lineæ unius cum quadrante. At ex tarditate horologii o$cillatorii in <I>Cayenna,</I> differentia Pendulorum colligitur e$$e lineæ unius cum $emi$$e. <p>Po$tea <I>Halleius</I> no$ter circa annum 1677 ad in$ulam <I>S<SUP>sa</SUP> Hel- lenæ</I> navigans, reperit horologium $uum o$cillatorium ibi tardius moveri quam <I>Londini,</I> $ed differentiam non notavit. Pendulum vero brevius reddidit plu$quam octava parte digiti, $eu linea una cum $emi$$e. Et ad hoc efficiendum, cum longitudo cochleæ in ima parte penduli non $ufficeret, annulum ligneum thecæ cochleæ & ponderi pendulo interpo$uit. <p>Deinde anno 1682 <I>D. Varin</I> & <I>D. Des Hayes</I> invenerunt lon- gitudinem Penduli $ingulis minutis $ecundis o$cillantis in Ob$er- <pb n=385> vatorio Regio <I>Pari$ien$i</I> e$$e ped. 3. lin. 8 1/9. Et in in$ula <I>Gorea</I> <MARG>LIBER TERTIUS.</MARG> eadem methodo longitudinem Penduli $ynchroni invenerunt e$$e ped. 3. lin. 6 5/9, exi$tente longitudinum differentia lin. 2. Et eodem anno ad in$ulas <I>Guadaloupam</I> & <I>Martinicam</I> navigantes, invenerunt longitudinem Penduli $ynchroni in his in$ulis e$$e ped. 3. lin. 6 1/3. <p>Po$thac <I>D. Couplet</I> filius anno 1697 men$e <I>Julio,</I> horologium $uum o$cillatorium ad motum Solis medium in Ob$ervatorio Regio <I>Pari$ien$i</I> $ic aptavit, ut tempore $atis longo horologium cum motu Solis congrueret. Deinde <I>Uly$$ipponem</I> navigans invenit quod men$e <I>Novembri</I> proximo horologium tardius iret quam prius, exi$tente differentia 2′. 13″ in horis 24. Et men$e <I>Martio</I> $e- quente <I>Paraibam</I> navigans invenit ibi horologium $uum tardius ire quam <I>Pari$iis,</I> exi$tente differentia 4′. 12″ in horis 24. Et affirmat Pendulum ad minuta $ecunda o$cillans brevius fui$$e <I>Uly$- $ipponi</I> lineis 2 1/2 & <I>Paraibæ</I> lineis 3 2/3 quam <I>Pari$iis.</I> Rectius po- $ui$$et differentias e$$e 1 1/3 & 2 5/9. Nam hæ differentiæ differen- tiis temporum 2′. 13″, & 4′. 12″ re$pondent. Cra$$ioribus hujus Ob$ervationibus minus fidendum e$t. <p>Annis proximis (1699 & 1700) <I>D. Des Hayes</I> ad <I>Americam</I> denuo navigans, determinavit quod in in$ulis <I>Cayennæ</I> & <I>Granadæ</I> longitudo Penduli ad minuta $ecunda o$cillantis, e$$et paulo minor quam ped. 3. lin. 6 1/2, quodque in in$ula <I>S. Chri$tophori</I> longitudo illa e$$et ped. 3. lin. 6 1/4, & quod in in$ula <I>S. Dominici</I> eadem e$$et ped. 3. lin. 7. <p>Annoque 1704. <I>P. Feuelleus</I> invenit in <I>Porto-belo</I> in <I>America</I> longitudinem Penduli ad minuta $ecunda o$cillantis, e$$e pedum trium Pari$ien$ium & linearum tantum (5 7/12), id e$t, tribus fere li- neis breviorem quam <I>Lutetiæ Pari$iorum,</I> $ed errante Ob$erva- tione. Nam deinde ad in$ulam <I>Martinicam</I> navigans, invenit lon- gitudinem Penduli i$ochroni e$$e pedum tantum trium Pari$ien- $ium & linearum (5 10/12). <p>Latitudo autem <I>Paraibæ</I> e$t 6<SUP>gr.</SUP> 38′ ad au$trum, & ea <I>Porto- beli</I> 9<SUP>gr.</SUP> 33′ ad boream, & Latitudines in$ularum <I>Cayennæ, Goreæ, Guadaloupæ, Martinicæ, Granadæ, S<SUP>ti.</SUP> Chri$tophori,</I> & <I>S<SUP>ti.</SUP> Domi- nici</I> $unt re$pective 4<SUP>gr.</SUP> 55′, 14<SUP>gr.</SUP> 40′, 14<SUP>gr.</SUP> 00′, 14<SUP>gr.</SUP> 44′, 12<SUP>gr.</SUP> 6′, 17<SUP>gr.</SUP> 19′, & 19<SUP>gr.</SUP> 48′ ad boream. Et exce$$us longitudinis Pen- duli <I>Pari$ien$is</I> $upra longitudines Pendulorum i$ochronorum in his latitudinibus ob$ervatas, $unt paulo majores quam pro Ta- bula longitudinum Penduli $uperius computata. Et propterea Terra aliquanto altior e$t $ub Æquatore quam pro $uperiore cal- <pb n=386> <MARG>DE MUNDI SYSTEMATE</MARG> culo, & den$ior ad centrum quam in fodinis prope $uperficiem, ni$i forte calores in Zona torrida longitudinem Pendulorum ali- quantulum auxerint. <p>Ob$ervavit utique <I>D. Picartus</I> quod virga ferrea, quæ tempore hyberno ubi gelabant frigora erat pedis unius longitudine, ad ignem calefacta eva$it pedis unius cum quarta parte lineæ. De- inde <I>D. de la Hire</I> ob$ervavit quod virga ferrea quæ tempore con$imili hyberno $ex erat pedum longitudinis, ubi Soli æ$tivo exponebatur eva$it $ex pedum longitudinis cum duabus tertiis partibus lineæ. In priore ca$u calor major fuit quam in po$te- riore, in hoc vero major fuit quam calor externarum partium corporis humani. Nam metalla ad Solem æ$tivum valde incale- $cunt. At virga penduli in horologio o$cillatorio nunquam ex- poni $olet calori Solis æ$tivi, nunquam calorem concipit calori externæ $uperficiei corporis humani æqualem. Et propterea virga Penduli in horologio tres pedes longa, paulo quidem longior erit tempore æ$tivo quam hyberno, $ed exce$$u quartam partem lineæ unius vix $uperante. Proinde differentia tota longitudinis pendulorum quæ in diver$is regionibus i$ochrona $unt, diver$o calori attribui non pote$t. Sed neque erroribus A$tronomorum è <I>Gallia</I> mi$$orum tribuenda e$t hæc differentia. Nam quamvis eorum ob$ervationes non perfecte congruant inter $e, tamen erro- res $unt adeo parvi ut contemni po$$int. Et in hoc concordant omnes, quod i$ochrona pendula $unt breviora $ub Æquatore quam in Ob$ervatorio Regio <I>Pari$ien$i,</I> exi$tente differentia duarum cir- citer linearum $eu $extæ partis digiti. Per ob$ervationes <I>D. Ri- cher</I> in <I>Cayenna</I> factas, differentia fuit lineæ unius cum $emi$$e. Error $emi$$is lineæ facile committitur. Et <I>D. des Hayes</I> po$tea per ob$ervationes $uas in eadem in$ula factas errorem correxit, inventa differentia linearum (2 1/18). Sed & per ob$ervationes in in- $ulis <I>Gorea, Guadaloupa, Martinica, Granada, S. Chri$tophori,</I> & <I>S. Dominici</I> factas & ad Æquatorem reductas, differentia illa pro- diit haud minor quam (1 19/20) lineæ, haud major quam 2 1/2 linearum. Et inter hos limites quantitas mediocris e$t (2 9/40) linearum. Prop- ter calores locorum in Zona torrida negligamus (9/40) partes lineæ, & manebit differentia duarum linearum. <p>Quare cum differentia illa per Tabulam præcedentem, ex hy- pothe$i quod Terra ex materia uniformiter den$a con$tat, $it tan- tum (1 87/1000) lineæ: exce$$us altitudinis Terræ ad æquatorem $upra altitudinem ejus ad polos, qui erat milliarium 17 1/6, jam auctus in <pb n=387> ratione differentiarum, fiet milliarium (31 7/18). Nam tarditas Pen- <MARG>LIBFR TERTIUS.</MARG> duli $ub Æquatore defectum gravitatis arguit; & quo levior e$t materia eo major e$$e debet altitudo ejus, ut pondere $uo mate- riam $ub Polis in æquilibrio $u$tineat. <p>Hinc figura umhræ Terræ per Eclip$es Lunæ determinanda, non erit omnino circularis, $ed diameter ejus ab oriente in occidentem ducta major erit quam diameter ejus ab au$tro in boream ducta, exce$$u 55″ circiter. Et parallaxis maxima Lunæ in Longitudi- nem paulo major erit quam ejus parallaxis maxima in Latitudi- nem. Ac Terræ $emidiameter maxima erit podum Pari$ien$ium 19767630, minima pedum 19609820 & mediocris pedum 1968<*>725<SUP>1</SUP> quamproxime. <p>Cum gradus unus men$urante <I>Picarto</I> $it hexapedarum 57060, men$urante vero <I>Ca$$ino</I> $it hexapedarum 57292: $u$picantur ali- qui gradum unumquemque, pergenda per <I>Gallies</I> au$tr<*> ver$us majorem e$$e gradu præcedente hexapedia plus minus: 72, $eu parte octingente$ima gradus unius; exi$tente Perra Sphæroide ob- longa cujus partes ad polos $unt alti$$imæ. Quo po$ito, corpora omnia ad polos Terræ leviora forent quam ad Æquatorem, & altitudo Terræ ad polos $uperaret altitudinem ejus ad æquatorem milliaribus fere 95, & pendula i$ochrona longiora forent ad Æ- quatorem quem in Ob$ervatorio Regio <I>Pari$ieu$i</I> exce$$u $emi$$is digiti circiter; ut con$erenti proportiones hic po$itas cum pro- portionibus in Tabula præcedente po$itis, facile con$tabit. Sed & diameter umbræ Terræ quæ ab au$tro in boream ducitur, ma- jor foret quam diameter ejus quæ ab oriente in occidentem duci- tur, exce$$u 2′. 46″, $eu parte duodecima diametri Lunæ. Qui- bus omnibus Experientia contrariatur. Certe <I>Ca$$inus,</I> definiendo gradum unum e$$e hexapedarum 57292, medium inter men$uras $uas omnes, ex hypothe$i de æqualitate graduum a$$ump$it. Et quamvis <I>Picartus</I> in <I>Galliæ</I> limite boreali invenit gradum paulo minorem e$$e, tamen <I>Norwoodus</I> no$ter in regionibus magis bore- alibus, men$urando majus intervallum, invenit gradum paulo majo- rem e$$e quam <I>Ca$$inus</I> invenerat. Et <I>Ca$$inus</I> ip$e men$uram <I>Picarti,</I> ob parvitatem intervalli men$urati, non $atis certam & exactam e$$e judicavit ubi men$uram gradus unius per intervallum longe majus definire aggre$$us e$t. Differentiæ vero inter men$uras <I>Ca$$ini, Pi- carti,</I> & <I>Norwoodi</I> $unt prope in$en$ibiles, & ab in$en$ibilibus ob- $ervationum erroribus facilo oriri potuere, ut Nutationem axis Terræ præteream. <pb n=388> <MARG>DE MUNDI SYSTEMATE</MARG> <C>PROPOSITIO XXI. THEOREMA XVII.</C> <p><I>Puncta Æquinoctialia regredi, & axem Terræ $ingulis revoluti- onibus annuis nutando bis inclinari in Eclipticam & bis re- dire ad po$itionem priorem.</I> <p>Patet per Corol. 20. Prop. LXVI. Lib. I. Motus tamen i$te nutandi perexiguus e$$et debet, & vix aut ne vix quidem $en- $ibilis. <C>PROPOSITIO XXII. THEOREMA XVIII.</C> <p><I>Motus omnes Lunares, omne$que motuum inæqualitates ex alla- tis Principiis con$equi.</I> <p>Planetas majores, interea dum circa Solem feruntur, po$$e alios minores circum $e revolventes Planetas deferre, & minores illos in Ellip$ibus, umbilicos in centris majorum habentibus, revolvi de- bere patet per Prop. LXV. Lib. I. Actione autem Solis perturba- buntur eorum motus multimode, ii$que adficientur inæqualitati- bus quæ in Luna no$tra notantur. Hæc utique (per Corol. 2, 3, 4, & 5. Prop. LXVI.) velocius movetur, ac radio ad Terram ducto de$cribit aream pro tempore majorem, Orbemque habet minus curvum, atque adeo propius accedit ad Terram, in Syzygiis quam in Quadraturis, ni$i quatenus impedit motus Eccentricitatis. Eccentricitas enim maxima e$t (per Corol. 9. Prop. LXVI.) ubi Apogæum Lunæ in Syzygiis ver$atur, & minima ubi idem in Qua- draturis con$i$tit; & inde Luna in Perigæo velocior e$t & nobis propior, in Apogæo autem tardior & remotior in Syzygiis quam in Quadraturis. Progreditur in$uper Apogæum, & regrediuntur Nodi, $ed motu inæquabili. Et Apogæum quidem (per Corol. 7. & 8. Prop. LXVI.) velocius progreditur in Syzygiis $uis, tardius regreditur in Quadraturis, & exce$$u progre$$us $upra regre$$um annuatim fertur in con$equentia. Nodi autem (per Corol. 11. Prop. LXVI.) quie$cunt in Syzygiis $uis, & veloci$$ime regrediun- tur in Quadraturis. Sed & major e$t Lunæ latitudo maxima in ip$ius Quadraturis (per Corol. 10. Prop. LXVI.) quam in Syzy- giis: & motus medius tardior in Perihelio Terræ (per Corol. 6. <pb n=389> Prop. LXVI,) quam in ip$ius Aphelio. Atque hæ $unt inæquali- <MARG>LIBER TERTIUS.</MARG> tates in$igniores ab A$tronomis notatæ. <p>Sunt etiam aliæ quædam nondum ob$ervatæ inæqualitates, qui- bus motus Lunares adeo perturbantur, ut nulla hactenus lege ad Regulam aliquam certam reduci potuerint. Velocitates enim $eu motus horarii Apogæi & Nodorum Lunæ, & eorundem æquati- ones, ut & differentia inter Eccentricitatem maximam in Syzygiis & minimam in Quadraturis, & inæqualitas quæ Variatio dicitur, augentur ac diminuuntur annuatim (per Corol. 14. Prop. LXVI.) in triplicata ratione diametri apparentis Solaris. Et Variatio præ- terea augetur vel diminuitur in duplicata ratione temporis in- ter quadraturas quam proxime (per Corol. 1. & 2. Lem. X. & Corol. 16. Prop. LXVI. Lib. I.) Sed hæc inæqualitas in calculo A$tronomico, ad Pro$thaphære$in Lunæ referri $olet, & cum ea confundi. <C>PROPOSITIO XXIII. PROBLEMA V.</C> <p><I>Motus inæquales Satellitum Jovis & Saturni à motibus Luna- ribus derivare.</I> <p>Ex motibus Lunæ no$træ motus analogi Lunarum $eu Satelli- tum Jovis $ic derivantur. Motus medius Nodorum Satellitis ex- timi Jovialis, e$t ad motum medium Nodorum Lunæ no$træ, in ra- tione compo$ita ex ratione duplicata temporis periodici Terræ circa Solem ad tempus periodicum Jovis circa Solem, & ratione $implici temporis periodici Satellitis circa Jovem ad tempus perio- dicum Lunæ circa Terram: (per Corol. 16. Prop. LXVI.) adeoque annis centum conficit Nodus i$te 8<SUP>gr.</SUP> 24′. in antecedentia. Motus medii Nodorum Satellitum interiorum $unt ad motum hujus, ut illorum tempora periodica ad tempus periodicum hujus, per idem Corollarium, & inde dantur. Motus autem Augis Satellitis cu- ju$que in con$equentia, e$t ad motum Nodorum ip$ius in antece- dentia, ut motus Apogæi Lunæ no$træ ad hujus motum Nodo- rum, (per idem Corol.) & inde datur. Diminui tamen debet motus Augis $ic inventus in ratione 5 ad 9 vel 1 ad 2 circiter, ob cau$am quam hic exponere non vacat. Æquationes maximæ No- dorum & Augis Satellitis cuju$que fere $unt ad æquationes maxi- mas Nodorum & Augis Lunæ re$pective, ut motus Nodorum & Augis Satellitum tempore unius revolutionis æquationum prio- <pb n=390> <MARG>DE MUNDI SYSTEMATE</MARG> rum, ad motus Nodorum & Apogæi Lunæ tempore unius revo- lutionis æquationum po$teriorum. Variatio Satellitis è Jove $pe- ctati, e$t ad Variationem Lunæ, ut $unt ad invicem toti motus No- dorum temporibus quibus Satelles & Luna ad Solem revolvuntur, per idem Corollarium; adeoque in Satellite extimo non $uperat 5″. 12‴. <C>PROPOSITIO XXIV. THEOREMA XIX.</C> <C><I>Fluxum & refluxum Maris ab actionibus Solis ac Lunæ oriri.</I></C> <p>Mare $ingulis diebus tam Lunaribus quam Solaribus bis intu- me$cere debere ac bis defluere, patet per Corol. 19. Prop. LXVI. Lib.I. ut & aquæ maximam altitudinem, in maribus profundis & liberis, appul$um Luminarium ad Meridianum loci, minori quam $ex horarum $patio $equi, uti fit in Maris <I>Atlantici</I> & <I>Æthiopici</I> tractu toto orientali inter <I>Galliam</I> & Promontorium <I>Bonæ Spei,</I> ut & in Maris <I>Pacifici</I> littore <I>Chilen$t</I> & <I>Peruvia<*></I>: in quibus omnibus littoribus æ$tus in horam circiter tertiam in- cidit, ni$i ubi motus per loca vado$a propagatus aliquantulum re- tardatur. Horas numero ab appul$u Luminaris utriufque ad Me- ridianum loci, tam infra Horizontem quam $upra, & per horas diei Lunaris intelligo vige$imas quartas partes temporis quo Luna motu apparente diurno ad Meridianum loci revolvitur. <p>Motus autem bini, quos Luminaria duo excitant, non oern<*> tur di$tincte, $ed motum quendam mixtum efficient. In Lumina- rium Conjunctione vel Oppo$itione conjungentur eorum effectus, & componetur fluxus & refluxus maximus. In Quadraturis Sol attollet aquam ubi Luna deprimit, deprimetque ubi Sol attollit; & ex effectuum differentia æ$tus omnium minimus orietus. Et quoniam, experientia te$te, major e$t effectus Lunæ quam Solis, incidet aquæ maxima altitudo in horam tertiam Lunarem. Ex- tra Syzygias & Quadraturas, æ$tus maximus qui $ola vi Lunari incidere $emper deberet in horam tertiam Lunarem, & $ola Solari in tertiam Solarem, compo$itis viribus incidet in tempus aliquod intermedium quod tertiæ Lunari propinquius e$t; adeoque in tran$itu Lunæ a Syzygiis ad Quadraturas, ubi hora tertia Solaris præcedit tertiam Lunarem, maxima aquæ altitudo præcedet etiam <pb n=391> tertiam Lunarem, ideque maximo intervallo paulo po$t Octantes <MARG>LIBER TERTIUS.</MARG> Lunæ; & paribus intervallis æ$tus maximus $equetur horam ter- tiam Lunatem in tran$itu Lunæ a Quadraturis ad Syzygias. Hæc ita $unt in Mari aperto. Nam in o$tiis Fluviorum fluxus majo- res cæteris paribus tardius ad <G>a)kmlw\</G> venient. <p>Pendent autem effectus Luminarium ex eorum di$tantiis a Terra. In minoribus enim di$tantiis majores $unt eorum effectus, in ma- joribus minores, idque in triplicata ratione diametrorum appa- rentium. Igitur Sol tempore hyberno, in Perigæo exi$tens, ma- jores edit effectus, efficitque ut æ$tus in Syzygiis paulo majores $int, & in Quadraturis paulo minores (cæteris paribus) quam tempore æ$tivo; & Luna in Perigæo $ingulis men$ibus majores ciet æ$tus quam ante vel po$t dies quindecim, ubi in Apogæo ver- $atur. Vnde fit ut æ$tus duo omnino maximi in Syzygiis con- tinuis $e mutuo non $equantur. <p>Pendet etiam effectus utriu$que Luminaris ex ip$ius Declina- tione $eu di$tautia ab Æquatore. Nam $i Luminare in polo con- $titueretur, traheret illud $ingulas aquæ partes con$tanter, ab$que actionis inten$ione & remi$$ione, adeoque nullam motus recipro- cationem cieret. Igitur Luminaria recedendo ab æquatore polum ver$us, effectus $uos gradatim amittent, & propterea minores cie- bunt æ$tus in Syzygiis Sol$titialibus quam in Æquinoctialibus. In Quadraturis autem Sol$titialibus majores ciebunt æ$tus quam in Quadraturis Æquinoctialibus; eo quod Lunæ jam in æquatore con$titutæ effectus maxime $uperat effectum Solis Incidunt igi- tur æ$tus maximi in Syzygias & minimi in Quadraturas Lumina- rium, circa tempora Æquinoctii utriu$que. Et æ$tum maximum in Syzygiis comitatur $emper minimus in Quadraturis, ut experi- entia compertum e$t. Per minorem autem di$tantiam Solis a Terra, tempore hyberno quam tempore æ$tivo, fit ut æ$tus ma- ximi & minimi $æpius præcedant Æquinoctium vernum quam $equantur, & $æpius $equantur autumnale quam præcedant. <p>Pendent etiam effectus Luminarium ex locorum latitudine. De- $ignet <I>ApEP</I> Tellurem aquis profundis undique coopertam; <I>C</I> centrum ejus; <I>P, p</I> polos, <I>AE</I> Æquatorem; <I>F</I> locum quemvis extra Æquatorem; <I>Ff</I> parallelum loci; <I>Dd</I> parallelum ei re- $pondentem ex altera parte æquatoris; <I>L</I> locum quem Luna tri- bus ante horis occupabat; <I>H</I> locum Telluris ei perpendiculariter <pb n=392> <MARG>DE MUNDI SYSTEMATE</MARG> $ubjectum; <I>h</I> locum huic oppo$itum; <I>K, k</I> loca inde gradibus 90 di$tantia, <I>CH, Ch</I> Maris altitudines maximas men$uratas a cen- tro Telluris; & <I>CK, Ck</I> altitudines minimas: & $i axibus <I>Hh, Kk</I> de$cribatur Ellip$is, deinde Ellip$eos hujus revolutione circa axem majorem <I>Hh</I> de$cribatur Sphærois <I>HPKhpk</I>; de$ignabit hæc figuram Maris quam <FIG> proxime, & erunt <I>CF, Cf, CD, Cd</I> altitudines Maris in locis <I>F, f, D, d.</I> Quin- etiam $i in præfata Ellip$eos revolutione punctum quod- vis <I>N</I> de$cribat circulum <I>NM,</I> $ecantem parallelos <I>Ff, Dd</I> in locis quibu$vis <I>R, T,</I> & æquatorem <I>AE</I> in <I>S</I>; erit <I>CN</I> altitudo Maris in locis omnibus <I>R, S, T,</I> $itis in hoc circulo. Hinc in revolu- tione diurna loci cuju$vis <I>F,</I> affluxus erit maximus in <I>F,</I> hora tertia po$t appul$um Lunæ ad Meridianum $upra Horizontem; po$tea defluxus maximus in <I>Q</I> hora tertia po$t occa$um Lunæ; dein affluxus maximus in <I>f</I> hora tertia po$t appul$um Lunæ ad Meridianum infra Horizontem; ultimo defluxus maximus in <I>Q</I> hora tertia po$t ortum Lunæ; & affluxus po$terior in <I>f</I> erit mi- nor quam affluxus prior in <I>F.</I> Di$tinguitur enim Mare totum in duos omnino fluctus Hemi$phæricos, unum in Hemi$phærio <I>KHkC</I> ad Boream vergentem, alterum in Hemi$phærio oppo- $ito <I>KhkC</I>; quos igitur fluctum Borealem & fluctum Au$tralem nominare licet. Hi fluctus $emper $ibi mutuo oppo$iti, veniunt per vices ad Meridianos locorum $ingulorum, interpo$ito inter- vallo horarum Lunarium duodecim. Cumque regiones Boreales magis participant fluctum Borealem, & Au$trales magis Au$tra- lem, inde oriuntur æ$tus alternis vicibus majores & minores, in locis $ingulis extra æquatorem, in quibus luminaria oriuntur & occidunt. Æ$tus autem major, Luna in verticem loci declinante, incidet in horam circiter tertiam po$t appul$um Lunæ ad Meri- dianum $upra Horizontem, & Luna declinationem mutante verte- tur in minorem. Et fluxuum differentia maxima incidet in tem- pora Sol$titiorum; præ$ertim $i Lunæ Nodus a$cendens ver$atur in principio Arietis. Sic experientia compertum e$t, quod æ$tus matutini tempore hyberno $uperent ve$pertinos & ve$pertini tem- <pb n=395> Solem. Ea componitur ex partibus <I>SM, LM,</I> quarum <I>LM</I> & <MARG>LIBER TERTIUS.</MARG> ip$ius <I>SM</I> pars <I>TM</I> perturbat motum Lunæ, ut in Libri primi Prop. LXVI. & ejus Corollariis expo$itum e$t. Quatenus Terra & Luna circum commune gravitatis centrum revolvuntur, pertur- babitur etiam motus Terræ circa centrum illud a viribus con$imi- libus; $ed $ummas tam virium quam motuum referre licet ad Lu- nam, & $ummas virium per lineas ip$is analogas <I>TM</I> & <I>ML</I> de$ignare. Vis <I>ML</I> (in mediocri $ua quantitate) e$t ad vim centripetam, qua Luna in Orbe $uo circa Terram quie$centem ad di$tantiam <I>PT</I> revolvi po$$et, in duplicata ratione temporum periodicorum Lunæ circa Terram & Terræ circa Solem, (per Corol. 17. Prop. LXVI. Lib.I.) hoc e$t, in duplicata ratione die- rum 27. <I>hor.</I>7. <I>min.</I>43. ad dies 365. <I>hor.</I> 6. <I>min.</I> 9. id e$t, ut 1000 ad 178725, $eu 1 ad (178 39/40). Invenimus autem in Propo$itione quarta quod, $i Terra & Luna circa commune gravitatis centrum revolvantur, earum di$tantia mediocris ab invicem erit 60 1/2 $emi- diametrorum mediocrium Terræ quamproxime. Et vis qua Luna in Orbe circa Terram quie$centem, ad di$tantiam <I>PT</I> $emidiame- trorum terre$trium 60 1/2 revolvi po$$et, e$t ad vim, qua eodem tempore ad di$tantiam $emidiametrorum 60 revolvi po$$et, ut 60 1/2 ad 60; & hæc vis ad vim gravitatis apud nos ut 1 ad 60X60 quamproxime. Ideoque vis mediocris <I>ML</I> e$t ad vim gravitatis in $uperficie Terræ, ut 1X60 1/2 ad 60X60X60X(178 29/40), $eu 1 ad 638092, 6. Vnde ex proportione linearum <I>TM, ML,</I> datur etiam vis <I>TM:</I> & hæ $unt vires Solis quibus Lunæ motus perturbantur. <I>Q.E.I.</I> <C>PROPOSITIO XXVI. PROBLEMA VII.</C> <p><I>Invenire incrementum borarium areæ quam Luna, radio ad Ter- ram ducto, in Orbe circulari de$cribit.</I> <p>Diximus aream, quam Luna radio ad Terram ducto de$cribit, e$$e tempori proportionalem, ni$i quatenus motus Lunaris ab actione Solis turbatur. Inæqualitatem momenti (vel incrementi horarii) hic inve$tigandam proponimus. Ut computatio facilior reddatur, fingamus orbem Lunæ circularem e$$e, & inæqualitates omnes negligamus, ea $ola excepta, de qua hic agitur. Ob in- gentem vero Solis di$tantiam, ponamus etiam lineas <I>SP, ST</I> $ibi invicem parallelas e$$e. Hoc pacto vis <I>LM</I> reducetur $emper <pb n=396> <MARG>DE MUNDI SYSTEMATE</MARG> ad mediocrem $uam quantitatem <I>TP,</I> ut & vis <I>TM</I> ad medio- crem $uam quantitatem 3 <I>PK.</I> Hæ vires, per Legum Corol. 2. componunt vim <I>TL</I>; & hæc vis, $i in radium <I>TP</I> demittatur perpendiculum <I>LE,</I> re$olvitur in vires <I>TE, EL,</I> quarum <I>TE,</I> agendo $emper $ecundum radium <I>TP,</I> nec accelerat nec retardat de$criptionem areæ <I>TPC</I> radio illo <I>TP</I> factam; & <I>EL</I> agendo $ecundum perpendiculum, accelerat vel retardat ipfam, quan- tum accelerat vel retardat Lunam. Acceleratio illa Lunæ, in tran$itu ip$ius a Quadratura <I>C</I> ad Conjunctionem <I>A,</I> $ingulis temporis momentis facta, e$t ut ip$a vis accelerans <I>EL,</I> hoc e$t, ut (<I>3PKXTK/TP</I>). Exponatur tempus per motum medium Luna- rem, vel (quod eodem fere recidit) per angulum <I>CTP,</I> vel <FIG> ctiam per arcum <I>CP.</I> Ad <I>CT</I> erigatur normalis <I>CG</I> ip$i <I>CT</I> æqualis. Et divi$o arcu quadrantali <I>AC</I> in particulas innumeras æquales <I>Pp,</I> &c. per quas æquales totidem particulæ temporis exponi po$$int, ductaque <I>pk</I> perpendiculari ad <I>CT,</I> jungatur <I>TG</I> ip$is <I>KP, kp</I> productis occurrens in <I>F</I> & <I>f</I>; & erit <I>Kk</I> ad <I>PK</I> ut <I>Pp</I> ad <I>Tp,</I> hoc e$t in data ratione, adeoque <I>FKXKk</I> $eu area <I>FKkf,</I> ut (<I>3PKXTK/TP</I>), id e$t, ut <I>EL</I>; & compo$ite, area tota <I>GCKF</I> ut $umma omnium virium <I>EL</I> tempore toto <I>CP</I> impre$$arum in Lunam, atque adeo etiam ut velocitas hac <pb n=397> $umma genita, id e$t, ut acceleratio de$criptionis areæ <I>CTP,</I> $eu <MARG>LIBER TERTIUS.</MARG> incrementum momenti. Vis qua Luna circa Terram quie$centem ad di$tantiam <I>TP,</I> tempore $uo periodico <I>CADBC</I> dierum 27. <I>hor.</I> 7. <I>min.</I> 43. revolvi po$$et, efficeret ut corpus, tempore <I>CT</I> cadendo, de$criberet longitudinem 1/2 <I>CT,</I> & velocitatem $imul acquireret æqualem velocitati, qua Luna in Orbe $uo movetur. Patet hoc per Corol. 9. Prop. IV. Lib. I. Cum autem perpen- diculum <I>Kd</I> in <I>TP</I> demi$$um $it ip$ius <I>EL</I> pars tertia, & ip- $ius <I>TP</I> $eu <I>ML</I> in Octantibus pars dimidia, vis <I>EL</I> in Octan- tibus, ubi maxima e$t, $uperabit vim <I>ML</I> in ratione 3 ad 2, adeoque erit ad vim illam, qua Luna tempore $uo periodico circa Terram quie$centem revolvi po$$et, ut 100 ad 2/3X17872 1/2 $eu 11915, & tempore <I>CT</I> velocitatem generare deberet quæ e$$et pars (100/11915) velocitatis Lunaris, tempore autem <I>CPA</I> velocitatem majorem generaret in ratione <I>CA</I> ad <I>CT</I> $eu <I>TP.</I> Exponatur vis maxima <I>EL</I> in Octantibus per aream <I>FKXKk</I> rectangulo 1/2 <I>TPXPp</I> æqualem. Et velocitas, quam vis maxima tempore quovis <I>CP</I> generare po$$et, erit ad velocitatem quam vis omnis minor <I>EL</I> eodem tempore generat, ut rectangulum 1/2 <I>TPXCP</I> ad aream <I>KCGF</I>: tempore autem toto <I>CPA,</I> velocitates ge- nitæ erunt ad invicem ut rectangulum 1/2<I>TPXCA</I> & triangulum <I>TCG,</I> $ive ut arcus quadrantalis <I>CA</I> & radius <I>TP.</I> Ideoque (per Prop. IX. Lib. V. Elem.) velocitas po$terior, toto tempore genita, erit pars (100/11915) velocitatis Lunæ. Huic Lunæ velocitati, quæ areæ momento mediocri analoga e$t, addatur & auferatur dimidium velocitatis alterius; & $i momentum mediocre expona- tur per numerum 11915, $umma 11915+50 $eu 11965 exhi- bebit momentum maximum areæ in Syzygia <I>A,</I> ac differentia 11915-50 $eu 11865 eju$dem momentum minimum in Quadra- turis. Igitur areæ temporibus æqualibus in Syzygiis & Quadra- turis de$criptæ, $unt ad invicem ut 11965 ad 11865. Ad mo- mentum minimum 11865 addatur momentum, quod $it ad mo- mentorum differentiam 100 ut trapezium <I>FKCG</I> ad triangu- lum <I>TCG</I> (vel quod perinde e$t, ut quadratum Sinus <I>PK</I> ad quadratum Radii <I>TP,</I> id e$t, ut <I>Pd</I> ad <I>TP</I>) & $umma exhi- bebit momentum areæ, ubi Luna e$t in loco quovis interme- dio <I>P.</I> <p>Hæc omnia ita $e habent, ex Hypothe$i quod Sol & Terra qui- e$cunt, & Luna tempore Synodico dierum 27. <I>hor.</I>7. <I>min.</I>43. re- volvitur. Cum autem periodus Synodica Lunaris vere $it die- <pb n=398> <MARG>DE MUNDI SYSTEMATE</MARG> rum 29. <I>hor.</I> 12. & <I>min.</I> 44. augeri debent momentorum incre- menta in ratione temporis, id e$t, in ratione 1080853 ad 1000000. Hoc pacto incrementum totum, quod erat pars (100/11915) momenti mediocris, jam fiet eju$dem pars (100/11023). Ideoque momentum areæ in Quadratura Lunæ erit ad ejus momentum in Syzygia ut 11023-50 ad 11023+50, $eu 10973 ad 11073, & ad ejus momentum, ubi Luna in alio quovis loco intermedio <I>P</I> ver$atur, ut 10973 ad 10973+<I>Pd,</I> exi$tente videlicet <I>TP</I> æquali 100. <p>Area igitur, quam Luna radio ad Terram ducto $ingulis tem- poris particulis æqualibus de$cribit, e$t quam proxime ut $umma numeri 219,46 & Sinus ver$i duplicatæ di$tantiæ Lunæ a Quadra- tura proxima, in circulo cujus radius e$t unitas. Hæc ita $e ha- bent ubi Variatio in Octantibus e$t magnitudinis mediocris. Sin Variatio ibi major $it vel minor, augeri debet vel minui Sinus ille ver$us in eadem ratione. <C>PROPOSITIO XXVII. PROBLEMA VIII.</C> <C><I>Ex motu horario Lunæ invenire ip$ius di$tantiam a Terra.</I></C> <p>Area, quam Luna radio ad Terram ducto, $ingulis temporis momentis, de$cribit, e$t ut motus horarius Lunæ & quadratum di$tantiæ Lunæ a Terra conjunctim; & propterea di$tantia Lunæ a Terra e$t in ratione compo$ita ex $ubduplicata ratione Areæ di- recte & $ubduplicata ratione motus horarii inver$e. <I>Q.E.I.</I> <p><I>Corol.</I> 1. Hinc datur Lunæ diameter apparens: quippe quæ $it reciproce ut ip$ius di$tantia a Terra. Tentent A$tronomi quam probe hæc Regula cum Phænomenis congruat. <p><I>Corol.</I> 2. Hinc etiam Orbis Lunaris accuratius ex Phænomenis quam antehac definiri pote$t. <C>PROPOSITIO XXVIII. PROBLEMA IX.</C> <C><I>Invenire diametros Orbis in quo Luna, ab$que eccentricitate, moveri deberet.</I></C> <p>Curvatura Trajectoriæ, quam mobile, $i $ecundum Trajectoriæ illius perpendiculum trahatur, de$cribit, e$t ut attractio directe & quadratum velocitatis inver$e, Curvaturas linearum pono e$$e in- <pb n=399> ter $e in ultima proportione Sinuum vel Tangentium angulorum <MARG>LIBER TERTIUS.</MARG> contactuum ad radios æquales pertinentium, ubi radii illi in infi- nitum diminuuntur. Attractio autem Lunæ in Terram in Syzy- giis e$t exce$$us gravitatis ip$ius in Terram $upra vim Solarem 2 <I>PK</I> (Vide <I>Figur. pag.</I> 394) qua gravitas acceleratrix Lunæ in Solem $uperat gravitatem acceleratricem Terræ in Solem. In Qua- draturis autem attractio illa e$t $umma gravitatis Lunæ in Terram & vis Solaris <I>KT,</I> qua Luna in Terram trahitur. Et hæ attra- ctiones, $i (<I>AT+CT</I>/2) dicatur N, $unt ut (178725/<I>ATq</I>)-(2000/<I>CTXN</I>) & (178725/<I>CIq</I>)+(1000/<I>ATXN</I>) quam proxime; $eu ut 178725NX<I>CTq</I> -2000 <I>ATqXCT</I> & 178725 NX<I>ATq</I>+1000 <I>CTqXAT.</I> Nam $i gravitas acceleratrix Lunæ in Terram exponatur per numerum 178725, vis mediocris <I>ML,</I> quæ in Quadraturis e$t <I>PT</I> vel <I>TK</I> & Lunam trahit in Ter- <FIG> ram, erit 1000, & vis me- diocris <I>TM</I> in Syzygiis erit 3000; de qua, $i vis medio- cris <I>ML</I> $ubducatur, mane- bit vis 2000 qua Luna in Syzygiis di$trahitur a Terra, quamque jam ante nominavi 2 <I>PK.</I> Velocitas autem Lu- næ in Syzygiis <I>A</I> & <I>B</I> e$t ad ip$ius velocitatem in Qua- draturis <I>C</I> & <I>D,</I> ut <I>CT</I> ad <I>AT</I> & momentum areæ quam Luna radio ad Terram du- cto de$cribit in Syzygiis ad momentum eju$dem areæ in Quadraturis conjunctim; i.e. ut 11073 <I>CT</I> ad 10973 <I>AT.</I> Sumatur hæc ratio bis in- ver$e & ratio prior $emel directe, & fiet curvatura Orbis Lu- naris in Syzygiis ad eju$dem curvaturam in Quadraturis ut 120406729X178725 <I>ATqXCTq</I>XN-120406729X2000 <I>ATqq XCT</I> ad 122611329X178725 <I>ATqXCTq</I>XN+122611329X 1000 <I>CTqqXAT, i.e.</I> ut 2151969 <I>ATXCT</I>XN-24081 <I>AT cub.</I> ad 2191371 <I>ATXCT</I>XN+12261 <I>CT cub.</I> <pb n=400> <MARG>DE MUNDI SYSTEMATE</MARG> <p>Quoniam Figura orbis Lunaris ignoratur, hujus vice a$$uma- mus Ellip$in <I>DBCA,</I> in cujus centro <I>T</I> Terra collocetur, & cu- jus axis major <I>DC</I> Quadraturis, minor <I>AB</I> Syzygiis interja- ceat. Cum autem planum Ellip$eos hujus motu angulari circa Terram revolvatur, & Trajectoria cujus curvaturam con$ideramus, de$cribi debet in plano quod omni motu angulari omnino de$ti- tuitur: con$ideranda erit Figura, quam Luna in Ellip$i illa revol- vendo de$cribit in hoc plano, hoc e$t Figura <I>Cpa,</I> cujus puncta $ingula <I>p</I> inveniuntur capiendo punctum quodvis <I>P</I> in Ellip$i, quod locum Lunæ repre$entet, & ducendo <I>Tp</I> æqualem <I>TP,</I> ea lege ut angulus <I>PTp</I> æqualis $it motui apparenti Solis a tem- pore Quadraturæ <I>C</I> confecto; vel (quod eodem fere recidit) ut angulus <I>CTp</I> $it ad angulum <FIG> <I>CTP</I> ut tempus revolutio- nis Synodicæ Lunaris ad tem- pus revolutionis Periodicæ $eu 29<SUP>d.</SUP> 12<SUP>h.</SUP> 44′, ad 27<SUP>d.</SUP> 7<SUP>h.</SUP> 43′. Capiatur igitur angulus <I>CTa</I> in eadem ratione ad angu- lum rectum <I>CTA,</I> & $it longitudo <I>Ta</I> æqualis lon- gitudini <I>TA</I>; & erit <I>a</I> Ap$is ima & <I>C</I> Ap$is $um- ma Orbis hujus <I>Cpa.</I> Ra- tiones autem ineundo inve- nio quod differentia inter curvaturam Orbis <I>Cpa</I> in vertice <I>a,</I> & curvaturam Cir- culi centro <I>T</I> intervallo <I>TA</I> de$cripti, $it ad differentiam inter curvaturam Ellip$eos in vertice <I>A</I> & curvaturam eju$dem Circuli, in duplicata ratione an- guli <I>CTP</I> ad angulum <I>CTp</I>; & quod curvatura Ellip$eos in <I>A</I> $it ad curvaturam Circuli illius, in duplicata ratione <I>TA</I> ad <I>TC</I>; & curvatura Circuli illius ad curvaturam Circuli centro <I>T</I> in- tervallo <I>TC</I> de$cripti, ut <I>TC</I> ad <I>TA</I>; hujus autem curvatura ad curvaturam Ellip$eos in <I>C,</I> in duplicata ratione <I>TA</I> ad <I>TC</I>; & differentia inter curvaturam Ellip$eos in vertice <I>C</I> & curvaturam Circuli novi$$imi, ad differentiam inter curvaturam Figuræ <I>Tpa</I> in vertice <I>C</I> & curvaturam eju$dem Circuli, in duplicata ratione <pb n=401> anguli <I>CTp</I> ad angulum <I>CTP.</I> Quæ quidem rationes ex $inu- <MARG>LIBER TERTIUS.</MARG> bus angulorum contactus ac differentiarum angulorum facile colli- guntur. His autem inter $e collatis, prodit curvatura Figuræ <I>Cpa</I> in <I>a</I> ad ip$ius curvaturam in <I>C,</I> ut <I>AT cub</I>+(16824/100000)<I>CTqXAT</I> ad <I>CT cub</I>+(16824/100000) <I>ATqXCT.</I> Ubi numerus (16824/100000) de$ignat differentiam quadratorum angulorum <I>CTP</I> & <I>CTp</I> appli- catam ad quadratum anguli minoris <I>CTP,</I> $eu (quod per- inde e$t) differentiam quadratorum temporum 27<SUP>d.</SUP> 7<SUP>h.</SUP> 43′, & 29<SUP>d.</SUP> 12<SUP>h.</SUP> 44′, applicatam ad quadratum temporis 27<SUP>d.</SUP> 7<SUP>h.</SUP> 43′, <p>Igitur cum <I>a</I> de$ignet Syzygiam Lunæ, & <I>C</I> ip$ius Quadratu- ram, proportio jam inventa eadem e$$e debet cum proportione curvaturæ Orbis Lunæ in Syzygiis ad eju$dem curvaturam in Quadraturis, quam $upra invenimus. Proinde ut inveniatur pro- portio <I>CT</I> ad <I>AT,</I> duco extrema & media in $e invicem. Et termini prodeuntes ad <I>ATXCT</I> applicati, fiunt 2062, 79 <I>CTqq</I> -2151969 NX<I>CTcub</I>+368676 NX<I>ATXCTq</I>+36342 <I>ATq XCTq</I> - 362047 NX<I>ATqXCT</I>+2191371 NX<I>AT cub</I>+ 4051, 4 <I>ATqq</I>=0. Hic pro terminorum <I>AT</I> & <I>CT</I> $emi$um- ma N $cribo 1, & pro eorundem $emidifferentia ponendo <I>x,</I> fit <I>CT</I>=1+<I>x,</I> & <I>AT</I>=1-<I>x</I>: quibus in æquatione $criptis, & æquatione prodeunte re$oluta, obtinetur <I>x</I> æqualis 0,00719, & inde $emidiameter <I>CT</I> fit 1,00719, & $emidiameter <I>AT</I> 0,99281, qui numeri $unt ut (70 1/24) & (69 1/24) quam proxime. E$t igitur di- $tantia Lunæ a Terra in Syzygiis ad ip$ius di$tantiam in Quadra- turis ($epo$ita $cilicet Eccentricitatis con$ideratione) ut (69 1/24) ad (70 1/24), vel numeris rotundis ut 69 ad 70. <C>PROPOSITIO XXIX. PROBLEMA X.</C> <C><I>Invenire Variationem Lunæ.</I></C> <p>Oritur hæc inæqualitas partim ex forma Elliptica orbis Luna- ris, partim ex inæqualitate momentorum areæ, quam Luna radio ad Terram ducto de$cribit. Si Luna <I>P</I> in Ellip$i <I>DBCA</I> circa Terram in centro Ellip$eos quie$centem moveretur, & radio <I>TP</I> ad Terram ducto de$criberet aream <I>CTP</I> tempori proportiona- lem; e$$et autem Ellip$eos $emidiameter maxima <I>CT</I> ad $emi- diametrum minimam <I>TA</I> ut 70 ad 69: foret tangens anguli <I>CTP</I> ad tangentem anguli motus medii a Quadratura <I>C</I> compu- tati, ut Ellip$eos $emidiameter <I>TA</I> ad eju$dem $emidiametrum <pb n=402> <MARG>DE MUNDI SYSTEMATE</MARG> <I>TC</I> $eu 69 ad 70. Debet autem de$criptio areæ <I>CTP,</I> in pro- gre$$u Lunæ a Quadratura ad Syzygiam, ea ratione accelerari, ut ejus momentum in Syzygia Lunæ $it ad ejus momentum in Qua- dratura ut 11073 ad 10973, utque exce$$us momenti in loco quovis intermedio <I>P</I> $upra momentum in Quadratura $it ut qua- dratum $inus anguli <I>CTP.</I> Id quod $atis accurate fiet, $i tan- gens anguli <I>CTP</I> diminuatur in $ubduplicata ratione numeri 10973 ad numerum 11073, id e$t, in ratione numeri 68,6877 ad numerum 69. Quo pacto <FIG> tangens anguli <I>CTP</I> jam e- rit ad tangentem motus me- dii ut 68,6877 ad 70, & an- gulus <I>CTP</I> in Octantibus, ubi motus medius e$t 45<SUP>gr.</SUP> invenietur 44<SUP>gr.</SUP> 27′. 28″. qui $ubductus de angulo motus medii 45<SUP>gr.</SUP> relinquit Varia- tionem maximam 32′. 32″. Hæc ita $e haberent $i Luna, pergendo a Quadratura ad Syzygiam, de$criberet angu- lum <I>CTA</I> graduum tantum nonaginta. Vcrum ob mo- tum Terræ, quo Sol in con- $equentia motu apparente transfertur, Luna, priu$quam Solem a$$equitur, de$cribit angulum <I>CTa</I> angulo recto majorem in ratione temporis revo- lutionis Lunaris Synodicæ ad tempus revolutionis Periodicæ, id e$t, in ratione 29<SUP>d.</SUP> 12<SUP>h.</SUP> 44′. ad 27<SUP>d.</SUP> 7<SUP>h.</SUP> 43′. Et hoc pacto an- guli omnes circa centrum <I>T</I> dilatantur in eadem ratione, & Va- riatio maxima quæ $ecus e$$et 32′. 32″, jam aucta in eadem ratione fit 35′. 10″. <p>Hæc e$t ejus magnitudo in mediocri di$tantia Solis a Terra, neglectis differentiis quæ a curvatura Orbis magni majorique So- lis actione in Lunam falcatam & novam quam in gibbo$am & plenam, oriri po$$int. In aliis di$tantiis Solis a Terra, Variatio maxima e$t in ratione quæ componitur ex duplicata ratione tem- poris revolutionis Synodicæ Lunaris (dato anni tempore) directe, & triplicata ratione di$tantiæ Solis a Terra inver$e. Ideoque in <pb n=403> Apogæo Solis, Variatio maxima e$t 33′. 14″, & in ejus Perigæo <MARG>LIBER TERTIUS.</MARG> 37′. 11″, $i modo Eccentricitas Solis $it ad Orbis magni $emidia- metrum tran$ver$am ut (16 <*>/16) ad 1000. <p>Hactenus Variationem inve$tigavimus in Orbe non eccentrico, in quo utique Luna in Octantibus $uis $emper e$t in mediocri $ua di$tantia a Terra. Si Luna propter eccentricitatem $uam, magis vel minus di$tat a Terra quam $i locaretur in hoc Orbe, Variatio paulo major e$$e pote$t vel paulo minor quam pro Regula hic allata: $ed exce$$um vel defectum ab A$tronomis per Phænomena determinandum relinquo. <C>PROPOSITIO XXX. PROBLEMA XI.</C> <C><I>Invenire motum borarium Nodorum Lunæ in Orbe circulari.</I></C> <p>De$ignet <I>S</I> Solem, <I>T</I> Terram, <I>P</I> Lunam, <I>NPn</I> Orbem Lunæ, <I>Npn</I> ve$tigium Orbis in plano Eclipticæ; <I>N, n</I> Nodos, <I>nTNm</I> <FIG> lineam Nodorum infinite productam; <I>PI, PK</I> perpendicula de- mi$$a in lineas <I>ST, Qq; Pp</I> perpendiculum demi$$um in planum <pb n=404> Eclipticæ; <I>Q, q</I> Quadraturas Lunæ in plano Eclipticæ, & <I>p K</I> <MARG>DE MUNDI SYSTEMATE</MARG> perpendiculum in lineam <I>Qq</I> Quadraturis interjacentem. Vis Solis ad perturbandum motum Lunæ (per Prop.xxv.) duplex e$t, altera lineæ <I>LM,</I> altera lineæ <I>MT</I> proportionalis. Et Luna vi priore in Terram, po$teriore in Solem $ecundum lineam rectæ <I>ST</I> a Terra ad Solem ductæ parallelam trahitur. Vis prior <I>LM</I> agit $ecundum planum orbis Lunaris, & propterea $itum plani nil mutat. Hæc igitur negligenda e$t. Vis po$terior <I>MT</I> qua planum Orbis Lunaris perturbatur eadem e$t cum vi 3<I>PK</I> vel 3<I>IT.</I> Et hæc vis (per Prop.xxv.) e$t ad vim qua Luna in circulo circa <FIG> Terram quic$centem tempore $uo periodico uniformiter revolvi po$$et, ut 3<I>IT</I> ad Radium circuli multiplicatum per numerum 178,725, $ive ut <I>IT</I> ad Radium multiplicatum per 59,575. Cæte- rum in hoc calculo & eo omni qui $equitur, con$idero lineas om- nes a Luna ad Solem ductas tanquam parallelas lineæ quæ a Terra ad Solem ducitur, propterea quod inclinatio tantum fere minuit effectus omnes in aliquibus ca$ibus, quantum auget in aliis; & Nodorum motus mediocres quærimus, neglectis i<*>iu$modi minu- tiis, quæ calculum nimis impeditum redderent. <pb n=405> <p>De$ignet jam <I>PM</I> arcum, quem Luna dato tempore quam <MARG>LIBER TLRTIUS.</MARG> minimo de$cribit, & <I>ML</I> lineolam quam Luna, impellente vi præfata 3<I>IT,</I> eodem tempore de$cribere po$$et. Jungantur <I>PL, MP,</I> & producantur eæ ad <I>m</I> & <I>l,</I> ubi $ecent planum E- clipticæ; inque <I>Tm</I> demittatur perpendiculum <I>PH.</I> Et quo- niam recta <I>ML</I> parallela e$t plano Eclipticæ, ideoque cum recta <I>ml</I> quæ in plano illo jacet concurrere non pote$t, & tamen ja- cent hæ rectæ in plano communi <I>LMP ml</I>; parallelæ erunt hæ- rectæ, & propterea $imilia erunt triangula <I>LMP, Lmp.</I> Jam cum <I>MPm</I> $it in plano Orbis, in quo Luna in loco <I>P</I> moveba- tur, incidet punctum <I>m</I> in lineam <I>Nn</I> per Orbis illius Nodos. <I>N, n</I> dictam. Et quoniam vis qua lineola <I>LM</I> generatur, $i tota $imul & $emel in loco <I>P</I> impre$$a e$$et, efficeret ut Luna moveretur in arcu, cujus chorda e$$et <I>LP,</I> atque adeo trans- ferret Lunam de plano <I>MPmT</I> in planum <I>LPIT</I>; motus an- gularis Nodorum a vi illa genitus, æqualis erit angulo <I>mTl.</I> E$t autem <I>ml</I> ad <I>mP</I> ut <I>ML</I> ad <I>MP,</I> adeoque cum <I>MP</I> ob da- tum tempus data $it, e$t <I>ml</I> ut rectangulum <I>MLXmP,</I> id e$t, ut rectangulum <I>ITXmP.</I> Et angulus <I>mTl,</I> $i modo angulus <I>Tml</I> rectus $it, e$t ut (<I>ml/Tm</I>), & propterea ut (<I>ITXPm/Tm</I>), id e$t, (ob proportionales <I>Tm</I> & <I>mP, TP</I> & <I>PH</I>) ut (<I>ITXPH/TP</I>), adeoque ob datam <I>TP,</I> ut <I>ITXPH.</I> Quod $i angulus <I>Tml,</I> $eu <I>STN</I> obliquus fit, erit angulus <I>mTl</I> adhuc minor, in rati- one $inus anguli <I>STN</I> ad Radium. E$t igitur velocitas No- dorum ut <I>ITXPHXAZ,</I> $ive ut contentum $ub $inubus trium angulorum <I>TPI, PTN</I> & <I>STN.</I> <p>Si anguli illi, Nodis in Quadraturis & Luna in Syzygia exi$ten- tibus, recti $int, lineola <I>ml</I> abibit in infinitum, & angulus <I>mTl</I> evadet angulo <I>mPl</I> æqualis. Hoc autem in ca$u, angulus <I>mPl</I> e$t ad angulum <I>PTM,</I> quem Luna eodem tempore motu $uo apparente circa Terram de$cribit ut 1 ad 59,575. Nam angulus <I>mPl</I> æqualis e$t angulo <I>LPM,</I> id e$t, angulo deflexionis Lunæ a recto tramite, quem $ola vis præfata Solaris 3<I>IT</I> $i tum ce$$a- ret Lunæ gravitas dato illo tempore generare po$$et; & angulus <I>PTM</I> æqualis e$t angulo deflexionis Lunæ a recto tramite, quem vis illa, qua Luna in Orbe $uo retinetur, $i tum ce$$aret vis Sola- ris 3<I>IT</I> eodem tempore generaret. Et hæ vires, ut $upra dixi- <pb n=406> mus, $unt ad invicem ut 1 ad 59,575. Ergo cum motus medius <MARG>DE MUNDI SYSTEMATE</MARG> horarius Lunæ (re$pectu fixarum) $it 32′. 56″. 27‴. 12<SUP>iv</SUP>1/2, motus horarius Nodi in hoc ca$u erit 33″. 10‴. 33<SUP>iv</SUP>. 12<SUP>v</SUP>. Aliis autem in ca$ibus motus i$te horarius erit ad 33″. 10‴. 33<SUP>iv</SUP>. 12<SUP>v</SUP>. ut conten- tum $ub $inubus angulorum trium <I>TPI, PTN,</I> & <I>STN</I> ($eu di$tantiarum Lunæ a Quadratura, Lunæ a Nodo, & Nodi a Sole) ad cubum Radii. Et quoties $ignum anguli alicujus de affirmativo in negativum, deque negativo in affirmativum mutatur, debebit motus regre$$ivus in progre$$ivum & progre$$ivus in regre$$ivum mutari. Unde fit ut Nodi progrediantur quoties Luna inter Qua- draturam alterutram & Nodum Quadraturæ proximum ver$atur. Aliis in ca$ibus regrediuntur, & per exce$$um regre$$us $upra pro- gre$$um, $ingulis men$ibus $eruntur in antecedentia. <p><I>Corol.</I> 1. Hinc $i a dati arcus quam minimi <I>PM</I> terminis <I>P</I> & <I>M</I> ad lineam Quadraturas jungentem <I>Qq</I> demittantur perpen- dicula <I>PK, Mk,</I> eademque producantur donec $ecent lineam Nodorum <I>Nn</I> in <I>D</I> & <I>d</I>; erit motus borarius Nodorum ut area <I>MPDd</I> & quadratum lineæ <I>AZ</I> conjunctim. Sunto enim <FIG> <I>PK, PH</I> & <I>AZ</I> prædicti tres $inus. Nempe <I>PK</I> $inus di- $tantiæ Lunæ a Quadratura, <I>PH</I> $inus di$tantiæ Lunæ a Nodo, & <I>AZ</I> $inus di$tantiæ Nodi a Sole: & erit velocitas Nodi ut conten- tum <I>PKXPHXAZ.</I> E$t autem <I>PT</I> ad <I>PK</I> ut <I>PM</I> ad <I>Kk,</I> adeoque ob datas <I>PT</I> & <I>PM</I> e$t <I>Kk</I> ip$i <I>PK</I> proportionalis. E$t & <I>AT</I> ad <I>PD</I> ut <I>AZ</I> ad <I>PH,</I> & propterea <I>PH</I> rectangulo <pb n=407> <I>PDXAZ</I> proportionalis, & conjunctis rationibus, <I>PKXPH</I> <MARG>LIBER TIRTIUS.</MARG> e$t ut contentum <I>KkXPDXAZ,</I> & <I>PKXPHXAZ</I> ut <I>KkXPDXAZ qu.</I> id e$t, ut area <I>PDdM</I> & <I>AZqu.</I> con- junctim. <I>Q. E. D.</I> <p><I>Corol</I> 2. In data quavis Nodorum po$itione, motus horarius mediocris e$t $emi$$is motus horarii in Syzygiis Lunæ, ideoque e$t ad 16″. 35‴. 16<SUP>iv</SUP>. 36<SUP>v</SUP>. ut quadratum $inus di$tantiæ Nodorum a Syzygiis ad quadratum Radii, five ut <I>AZqu.</I> AD <I>AT.qu.</I> Nam $i Luna uniformi cum motu perambulet $emicirculum <I>QAq,</I> $um- ma omnium arearum <I>PDdM,</I> quo tempore Luna pergit a <I>Q</I> ad <I>M,</I> erit area <I>QMdE</I> quæ ad circuli tangentem <I>QE</I> termina- tur; & quo tempore Luna attingit punctum <I>n,</I> $umma illa erit area tota <I>EQAn</I> quam linea <I>PD</I> de$cribit, dein Luna pergente ab <I>n</I> ad <I>q,</I> linea <I>PD</I> cadet extra circulum, & aream <I>nqe</I> ad circuli tangentem <I>qe</I> terminatam de$cribet; quæ, quoniam Nodi prius regrediebantur, jam vero progrediuntur, $ubduci debet de area priore, & cum æqualis $it areæ <I>QEN,</I> relinquet $emicircu- lum <I>NQAn.</I> Igitur $umma omnium arearum <I>PDdM,</I> quo tempore Luna $emicirculum de$cribit, e$t area $emicirculi; & $umma omnium quo tempore Luna circulum de$cribit e$t area cir- culi totius. At area <I>PDdM,</I> ubi Luna ver$atur in Syzygiis, e$t rectangulum $ub arcu <I>PM</I> & radic <I><*>T</I>; & $umma omnium huic æqualium arearum, quo tempore Luna circulum de$cribit, e$t rectangulum $ub circumferentia tota & radio circuli; & hoc rectangulum, cum $it æquale duobus circulis, duplo majus e$t quam rectangulum prius. Proinde Nodi, ea cum velocitate uni- formiter continuata quam habent in Syzygiis Lunaribus, $patium duplo majus de$criberent quam revera de$cribunt; & propterea motus mediocris quocum, $i uniformiter continuaretur, $patium a $e inæquabili cum motu revera confectum de$cribere po$$ent, e$t $emi$$is motus quem habent in Syzygiis Lunæ. Unde cum mo- tus horarius maximus, $i Nodi in Quadraturis ver$antur, $it 33″. 10‴. 33<SUP>iv</SUP>. 12<SUP>v</SUP>, motus mediocris horarius in hoc ca$u erit 16″. 35‴. 16<SUP>iv</SUP>. 36<SUP>v</SUP>. Et cum motus horarius Nodorum $emper $it ut <I>AZqu.</I> & area <I>PDdM</I> conjunctim, & propterea motus ho- rarius Nodorum in Syzygiis Lunæ ut <I>AZqu.</I> & area <I>PDdM</I> conjunctim, id e$t (ob datam aream <I>PDdM</I> in Syzygiis de- $criptam) ut <I>AZqu.</I> erit etiam motus mediocris ut <I>AZqu.</I> atque adeo hic motus, ubi Nodi extra Quadraturas ver$antur, erit ad 16″. 35‴. 16<SUP>iv</SUP>. 36<SUP>v</SUP>. ut <I>AZqu.</I> ad <I>ATqu. Q.E.D.</I> <pb n=408> <MARG>DE MUNDI SYSTEMATE</MARG> <C>PROPOSITIO XXXI. PROBLEMA XII.</C> <C><I>Invenire motum horarium Nodorum Lunæ in Orbe Elliptico.</I></C> <p>De$ignet <I>Qpmaq</I> Ellip$in, axe majore <I>Qq,</I> minore <I>ab</I> de- $criptam, <I>QAq</I> Circulum circum$criptum, <I>T</I> Terram in utriu$que centro communi, <I>S</I> Solem, <I>p</I> Lunam in Ellip$i motam, & <I>pm</I> ar- cum quem data temporis particula quam minima de$cribit, <I>N</I> & <I>n</I> Nodos linea <I>Nn</I> junctos, <I>pK</I> & <I>mk</I> perpendicula in axem <I>Qq</I> demi$$a & hinc inde producta, donec occurrant Circulo in <I>P</I> & <I>M,</I> <FIG> & lineæ Nodorum in <I>D</I> & <I>d.</I> Et $i Luna, radio ad Terram du- cto, aream de$cribat tempori proportionalem, erit motus Nodi in Ellip$i ut area <I>pDdm.</I> <p>Nam $i <I>PF</I> tangat Circulum in <I>P,</I> & producta occurrat <I>TN</I> in <I>F,</I> & <I>pf</I> tangat Ellip$in in <I>p</I> & producta occurrat eidem <I>TN</I> <pb n=409> in <I>f,</I> conveniant autem hæ tangentes in axe <I>TQ</I> ad <I>Y</I>; & $i <MARG>LIBER TERTIUS.</MARG> <I>ML</I> de$ignet $patium quod Luna in Circulo revolvens, interea dum de$cribit arcum <I>PM,</I> urgente & impellente vi prædicta 3<I>IT,</I> motu tran$ver$o de$cribere po$$et, & <I>ml</I> de$ignet $patium quod Luna in Ellip$i revolvens eodem tempore, urgente etiam vi 3<I>IT,</I> de$cribere po$$et; & producantur <I>LP</I> & <I>lp</I> donec occurrant plano Eclipticæ in <I>G</I> & <I>g</I>; & jungantur <I>FG</I> & <I>fg,</I> quarum <I>FG</I> producta $ecet <I>pf, pg</I> & <I>TQ</I> in <I>c, e</I> & <I>R</I> re$pective, & <I>fg</I> pro- ducta $ecet <I>TQ</I> in <I>r</I>: Quoniam vis 3<I>IT</I> $eu 3<I>PK</I> in Circulo e$t ad vim 3<I>IT</I> $eu 3<I>pK</I> in Ellip$i, ut <I>PK</I> ad <I>pK,</I> $eu <I>AT</I> ad <I>aT</I>; erit $patium <I>ML</I> vi priore genitum, ad $patium <I>ml</I> vi po- $teriore genitum, ut <I>PK</I> ad <I>pK,</I> id e$t, ob $imiles figuras <I>PYKp</I> & <I>FYRc,</I> ut <I>FR</I> ad <I>cR.</I> E$t autem <I>ML</I> ad <I>FG</I> (ob $imilia triangula <I>PLM, PGF</I>) ut <I>PL</I> ad <I>PG,</I> hoc e$t (ob parallelas <I>Lk, PK, GR</I>) ut <I>pl</I> ad <I>pe,</I> id e$t, (ob $imilia trian- gula <I>plm, cpe</I>) ut <I>lm</I> ad <I>ce</I>; & inver$e ut <I>LM</I> e$t ad <I>lm,</I> $eu <I>FR</I> ad <I>cR,</I> ita e$t <I>FG</I> ad <I>ce.</I> Et propterea $i <I>fg</I> e$$et ad <I>ce</I> ut <I>fY</I> ad <I>cY,</I> id e$t, ut <I>fr</I> ad <I>cR</I> (hoc e$t, ut <I>fr</I> ad <I>FR</I> & <I>FR</I> ad <I>cR</I> conjunctim, id e$t, ut <I>fT</I> ad <I>FT</I> & <I>FG</I> ad <I>ce</I> conjunctim,) quo- niam ratio <I>FG</I> ad <I>ce</I> utrinque ablata relinquit rationes <I>fg</I> ad <I>FG</I> & <I>fT</I> ad <I>FT,</I> foret <I>fg</I> ad <I>FG</I> ut <I>fT</I> ad <I>FT</I>; atque adeo anguli, quos <I>FG</I> & <I>fg</I> $ubtenderent ad Terram <I>T,</I> æquarentur inter $e. Sed anguli illi (per ca quæ in præcedente Propo$itione expo$ui- mus) $unt motus Nodorum, quo tempore Luna in Circulo ar- cum <I>PM,</I> in Ellip$i arcum <I>pm</I> percurrit: & propterea motus Nodorum in Circulo & Ellip$i æquarentur inter $e. Hæc ita $e haberent, $i modo <I>fg</I> e$$et ad <I>ce</I> ut <I>fY</I> ad <I>cY,</I> id e$t, $i <I>fg</I> æqua- lis e$$et (<I>ceXfY/cY</I>). Verum ob $imilia triangula <I>fgp, cep,</I> e$t <I>fg</I> ad <I>ce</I> ut <I>fp</I> ad <I>cp</I>; ideoque <I>fg</I> æqualis e$t (<I>ceXfp/cp</I>); & propterea angulus, quem <I>fg</I> revera $ubtendit, e$t ad angulum priorem, quem <I>FG</I> $ubtendit, hoc e$t, motus Nodorum in Ellip$i ad motum Nodorum in Circulo, ut hæc <I>fg</I> $eu (<I>ceXfp/cp</I>) ad priorem <I>fg</I> $eu (<I>ceXfY/cY</I>), id e$t, ut <I>fpXcY</I> ad <I>fYXcp,</I> $eu <I>fp</I> ad <I>fY</I> & <I>cY</I> ad <I>cp,</I> hoc e$t, $i <I>ph</I> ip$i <I>TN</I> parallela occurrat <I>FP</I> in <I>h,</I> ut <I>Fh</I> ad <I>FY</I> & <I>FY</I> ad <I>FP</I>; hoc e$t, ut <I>Fh</I> ad <I>FP</I> $eu <I>Dp</I> ad <I>DP,</I> adeoque ut area <I>Dpmd</I> ad aream <I>DPMd.</I> Et propterea, cum area po- <pb n=410> <MARG>DE MUNDI SYSTEMATE</MARG> $terior proportionalis $it motui Nodorum in Circulo, erit area prior proportionalis motui Nodorum in Ellip$i. <I>Q.E.D.</I> <p><I>Corol.</I> Igitur cum, in data Nodorum po$itione, $umma omnium arearum <I>pDdm,</I> quo tempore Luna pergit a Quadratura ad lo- cum quemvis <I>m,</I> $it area <I>mpQEd,</I> quæ ad Ellip$eos tangentem <I>QE</I> terminatur; & $umma omnium arearum illarum, in revolu- tione integra, $it area Ellip$eos totius: motus mediocris Nodorum in Ellip$i erit ad motum mediocrem Nodorum in Circulo, ut El- lip$is ad Circulum; id e$t, ut <I>Ta</I> ad <I>TA,</I> $eu 69 ad 70. Et propterea, cum motus mediocris horarius Nodorum in Circulo $it ad 16″. 35‴. 16<SUP>iv</SUP>. 36<SUP>v</SUP>. ut <I>AZqu.</I> ad <I>ATqu.</I> $i capiatur angu- lus 16″. 21‴. 3<SUP>iv</SUP>. 30<SUP>v</SUP>. ad angulum 16″. 35‴. 16<SUP>iv</SUP>. 36<SUP>v</SUP>. ut 69 ad 70, erit motus mediocris horarius Nodorum in Ellip$i ad 16″. 21‴. 3<SUP>iv</SUP>. 30<SUP>v</SUP>. ut <I>AZq</I> ad <I>ATq</I>; hoc e$t, ut quadratum $inus di$tantiæ Nodi a Sole ad quadratum Radii. <p>Cæterum Luna, radio ad Terram ducto, aream velocius de$cri- bit in Syzygiis quam in Quadraturis, & eo nomine tempus in Sy- zygiis contrahitur, in Quadraturis producitur; & una cum tem- pore motus Nodorum augetur ac diminuitur. Erat autem mo- mentum areæ in Quadraturis Lunæ ad ejus momentum in Syzygiis ut 10973 ad 11073, & propterea momentum mediocre in Octan- tibus e$t ad exce$$um in Syzygiis, defectumque in Quadraturis, ut numerorum $emi$umma 11023 ad eorundem $emidifferentiam 50. Unde cum tempus Lunæ in $ingulis Orbis particulis æqualibus $it reciproce ut ip$ius velocitas, erit tempus mediocre in Octantibus ad exce$$um temporis in Quadraturis, ac defectum in Syzygiis, ab hac cau$a oriundum, ut 11023 ad 50 quam proxime. Pergendo autem a Quadraturis ad Syzygias, invenio quod exce$$us momen- torum areæ in locis $ingulis, $upra momentum minimum in Qua- draturis, $it ut quadratum $inus di$tantiæ Lunæ a Quadraturis quam proxime; & propterea differentia inter momentum in loco quocunque & momentum mediocre in Octantibus, e$t ut diffe- rentia inter quadratum $inus di$tantiæ Lunæ a Quadraturis & quadratum $inus graduum 45, $eu $emi$$em quadrati Radii; & incrementum temporis in locis $ingulis inter Octantes & Quadra- turas, & decrementum ejus inter Octantes & Syzygias, e$t in ea- dem ratione. Motus autem Nodorum, quo tempore Luna per- currit $ingulas Orbis particulas æquales, acceleratur vel retardatur in duplicata ratione temporis. E$t enim motus i$te, dum Luna <pb n=411> percurrit <I>PM,</I> (cæteris paribus) ut <I>ML,</I> & <I>ML</I> e$t in dupli- <MARG>LIBER TERTIUS.</MARG> cata ratione temporis. Quare motus Nodorum in Syzygiis, eo tempore confectus quo Luna datas Orbis particulas percurrit, di- minuitur in duplicata ratione numeri 11073 ad numerum 11023; e$tque decrementum ad motum reliquum ut 100 ad 10973, ad motum vero totum ut 100 ad 11073 quam proxime. Decre- mentum autem in locis inter Octantes & Syzygias, & incremen- tum in locis inter Octantes & Quadraturas, e$t quam proxime ad hoc decrementum, ut motus totus in locis illis ad motum totum in Syzygiis & differentia inter quadratum $inus di$tantiæ Lunæ a Quadratura & $emi$$em quadrati Radii ad $emi$$em quadrati Ra- dii, conjunctim. Unde $i Nodi in Quadraturis ver$entur, & ca- piantur loca duo æqualiter ab Octante hinc inde di$tantia, & alia duo a Syzygia & Quadratura ii$dem intervallis di$tantia, deque decrementis motuum in locis duobus inter Syzygiam & Octantem, $ubducantur incrementa motuum in locis reliquis duobus, quæ $unt inter Octantem & Quadraturam; decrementum reliquum æquale erit decremento in Syzygia: uti rationem ineunti facile con$tabit. Proindeque decrementum mediocre, quod de Nodo- rum motu mediocri $ubduci debet, e$t pars quarta decrementi in Syzygia. Motus totus horarius Nodorum in Syzygiis (ubi Luna radio ad Terram ducto aream tempori proportionalem de$cribere $upponebatur) erat 32″. 42‴. 7<SUP>iv</SUP>. Et decrementum motus Nodo- rum, quo tempore Luna jam velocior de$cribit idem $patium, diximus e$$e ad hunc motum ut 100 ad 11073; adeoque decre- mentum illud e$t 17‴. 43<SUP>iv</SUP>. 11<SUP>v</SUP>, cujus pars quarta 4‴. 25<SUP>iv</SUP>. 48<SUP>v</SUP>, motui horario mediocri $uperius invento 16″. 21‴. 3<SUP>iv</SUP>. 30<SUP>v</SUP>. $ub- ducta, relinquit 16″. 16‴. 37<SUP>iv</SUP>. 42<SUP>v</SUP>. motum mediocrem horarium correctum. <p>Si Nodi ver$antur extra Quadraturas, & $pectentur loca bina a Syzygiis hinc inde æqualiter di$tantia; $umma motuum Nodo- rum, ubi Luna ver$atur in his locis, erit ad $ummam motuum, ubi Luna in ii$dem locis & Nodi in Quadraturis ver$antur, ut <I>AZqu.</I> ad <I>ATqu.</I> Et decrementa motuum, a cau$is jam expo- $itis oriunda, erunt ad invicem ut ip$i motus, adeoque motus reli- qui erunt ad invicem ut <I>AZqu.</I> ad <I>ATqu.</I> & motus mediocres ut motus reliqui. E$t itaque motus mediocris horarius correctus, in dato quocunque Nodorum $itu, ad 16″. 16‴. 37<SUP>iv</SUP>. 42<SUP>v</SUP>. ut. <I>AZqu.</I> ad <I>ATqu.</I>; id e$t, ut quadratum $inus di$tantiæ Nodorum a Sy- zygiis ad quadratum Radii. <pb n=412> <MARG>DE MUNDI SYSTEMATE</MARG> <C>PROPOSITIO XXXII. PROBLEMA XIII.</C> <C><I>Invenire motum medium Nodorum Lunæ.</I></C> <p>Motus medius annuus e$t $umma motuum omnium horariorum mediocrium in anno. Concipe Nodum ver$ari in <I>N,</I> & $ingulis horis completis retrahi in locum $uum priorem, ut non ob$tante motu $uo proprio, datum $emper $ervet $itum ad Stellas Fixas. Interea vero Solem <I>S,</I> per motum Terræ, progredi a Nodo, & cur$um annuum apparentem uniformiter complere. Sit autem <I>Aa</I> arcus datus quam minimus, quem recta <I>TS</I> ad Solem $emper ducta, inter$ectione $ui & circuli <I>NAn,</I> dato tempore quam mi- nimo de$cribit: & motus horarius mediocris (per jam o$ten$a) erit ut <I>AZq,</I> id e$t (ob proportionales <I>AZ, ZY</I>) ut rectan- gulum $ub <I>AZ</I> & <I>ZY,</I> hoc e$t, ut area <I>AZYa.</I> Et $umma om- nium horariorum motuum mediocrium ab initio, ut $umma om- nium arearum <I>aYZA,</I> id e$t, ut area <I>NAZ.</I> E$t autem maxima <FIG> <I>AZYa</I> æqualis rectangulo $ub arcu <I>Aa</I> & radio circuli; & prop- terea $umma omnium rectangulorum in circulo toto ad $ummam totidem maximorum, ut area circuli totius ad rectangulum $ub circumferentia tota & radio; id e$t, ut 1 ad 2. Motus autem ho- rarius, rectangulo maximo re$pondens, erat 16″. 16‴. 37<SUP>iv</SUP>. 42<SUP>v</SUP>. Et hic motus, anno toto $idereo dierum 365. <I>hor.</I> 6. <I>min.</I> 9 fit 39<SUP>gr.</SUP> 38′. 7″. 50‴. Ideoque hujus dimidium 19<SUP>gr.</SUP> 49′. 3″. 55‴. e$t mo- <pb n=413> tus medius Nodorum circulo toti re$pondens. Et motus Nodo- <MARG>LIBER. TERTIUS.</MARG> rum, quo tempore Sol pergit ab <I>N</I> ad <I>A,</I> e$t ad 19<SUP>gr.</SUP> 49′. 3″. 55‴. ut area <I>NAZ</I> ad circulum totum. <p>Hæc ita $e habent, ex Hypothe$i quod Nodus horis $ingulis in locum priorem retrahitur, lic ut Sol anno toto completo ad No- dum eundem redeat a quo $ub initio digre$$us fuerat. Verum per motum Nodi fit ut Sol citius ad Nodum revertatur, & compu- tanda jam e$t abbreviatio temporis. Cum Sol anno toto conficiat 360 gradus, & Nodus motu maximo eodem tempore conficeret 39<SUP>gr.</SUP> 38′. 7″. 50‴, $eu 39,6355 gradus; & motus mediocris. Nodi in loco quovis <I>N</I> $it ad ip$ius motum mediocrem in Quadraturis $uis, ut <I>AZq</I> ad <I>ATq</I>: erit motus Solis ad motum Nodi in <I>N,</I> ut 360 <I>ATq</I> ad 39,6355 <I>AZq</I>; id e$t, ut 9,0827646 <I>ATq</I> ad <I>AZq.</I> Unde $i circuli totius circumferentia <I>NAn</I> dividatur in particu- las æquales <I>Aa,</I> tempus quo Sol percurrat particulam <I>Aa,</I> $i cir- culus quie$ceret, erit ad tempus quo percurrit eandem parti- culam, $i circulus una cum Nodis circa centrum <I>T</I> revolvatur, reciproce ut 9,0827646 <I>ATq.</I> ad 9,0827646 <I>ATq+AZq.</I> Nam tempus e$t reciproce ut velocitas qua particula percurritur, & hæc velocitas e$t $umma velocitatum Solis & Nodi. Igitur $i tem- pus, quo Sol ab$que motu Nodi percurreret arcum <I>NA,</I> expo- natur per Sectorem <I>NTA,</I> & particula temporis quo percurreret. arcum quam minimum <I>Aa,</I> exponatur per Sectoris particulam <I>ATa</I>; & (perpendiculo <I>aY</I> in <I>Nn</I> demi$$o) $i in <I>AZ</I> capiatur <I>dZ,</I> ejus longitudinis ut $it rectangulum <I>dZ</I> in <I>ZY</I> ad Sectoris particulam <I>ATa</I> ut <I>AZq</I> ad 9,0827646 <I>ATq+AZq,</I> id e$t, ut $it <I>dZ</I> ad 1/2 <I>AZ</I> ut <I>ATq</I> ad 9,0827646 <I>ATq+AZq</I>; rectangu- lum <I>dZ</I> in <I>ZY</I> de$ignabit decrementum temporis ex motu Nodi oriundum, tempore toto quo arcus <I>Aa</I> percurritur. Et $i pun- ctum <I>d</I> tangit Curvam <I>NdGn,</I> area curvilinea <I>NdZ</I> erit decre- mentum totum, quo tempore arcus totus <I>NA</I> percurritur; & propterea exce$$us Sectoris <I>NAT</I> $upra aream <I>NdZ</I> erit tempus illud totum. Et quoniam motus Nodi tempore minore minor e$t in ratione temporis, debebit etiam area <I>AaYZ</I> diminui in eadem ratione. Id quod fiet $i capiatur in <I>AZ</I> longitudo <I>eZ,</I> quæ $it ad longitudinem <I>AZ</I> ut <I>AZq</I> ad 9,0827646 <I>ATq+AZq.</I> Sic enim rectangulum <I>eZ</I> in <I>ZY</I> erit ad aream <I>AZYa</I> ut decremen- tum temporis quo arcus <I>Aa</I> percurritur, ad tempus totum quo percurreretur $i Nodus quie$ceret: Et propterea rectangulum illud re$pondebit decremento motus Nodi. Et $i punctum <I>e</I> tangat <pb n=414> <MARG>DE MUNDI SYSTEMATE</MARG> Curvam <I>NeFn,</I> area tota <I>NeZ,</I> quæ $umma e$t omnium decre- mentorum, re$pondebit decremento toti, quo tempore arcus <I>AN</I> percurritur; & area reliqua <I>NAe</I> re$pondebit motui reliquo, qui verus e$t Nodi motus quo tempore arcus totus <I>NA,</I> per Solis & Nodi conjunctos motus, percurritur. Jam vero area $emicirculi e$t ad aream Figuræ <I>NeFnT,</I> per methodum Serierum infinita- rum quæ$itam, ut 793 ad 60 quamproxime. Motus autem qui re$pondet Circulo toti erat 19<SUP>gr.</SUP> 49′. 3″. 55‴; & propterea motus, qui Figuræ <I>NeFnT</I> duplicatæ re$pondet, e$t 1<SUP>gr.</SUP> 29′. 58″. 2‴. Qui de motu priore $ubductus relinquit 18<SUP>gr.</SUP> 19′. 5″. 53‴. motum totum Nodi inter $ui ip$ius Conjunctiones cum Sole; & hic mo- tus de Solis motu annuo graduum 360 $ubductus, relinquit 341<SUP>gr.</SUP> 40′. 54″. 7‴. motum Solis inter ea$dem Conjunctiones. I$te au- tem motus e$t ad motum annuum 360<SUP>gr.</SUP> ut Nodi motus jam in- ventus 18<SUP>gr.</SUP> 19′. 5″. 53‴. ad ip$ius motum annuum, qui propterea erit 19<SUP>gr.</SUP> 18′. 1″. 23‴. Hic e$t motus medius Nodorum in anno Sidereo. Idem per Tabulas A$tronomicas e$t 19<SUP>gr.</SUP> 21′. 21″. 50‴. Differentia minor e$t parte trecente$ima motus totius, & ab Or- bis Lunaris Eccentricitate & Inclinatione ad planum Eclipticæ oriri videtur. Per Eccentricitatem Orbis motus Nodorum nimis acceleratur, & per ejus Inclinationem vici$$im retardatur aliquan- tulum, & ad ju$tam velocitatem reducitur. <C>PROPOSITIO XXXIII. PROBLEMA XIV.</C> <C><I>Invenire motum verum Nodorum Lunæ.</I></C> <p>In tempore quod e$t ut area <I>NTA-NdZ, (in Fig. præced.)</I> motus i$te e$t ut area <I>NAeN,</I> & inde datur. Verum ob nimiam calculi difficultatem, præ$tat $equentem Problematis con$tructio- nem adhibere. Centro <I>C,</I> intervallo quovis <I>CD,</I> de$cribatur circulus <I>BEFD.</I> Producatur <I>DC</I> ad <I>A,</I> ut $it <I>AB</I> ad <I>AC</I> ut motus medius ad $emi$$em motus veri mediocris, ubi Nodi $unt in Quadraturis, (id e$t, ut 19<SUP>gr.</SUP> 18′. 1″. 23‴. ad 19<SUP>gr.</SUP> 49′. 3″. 55‴, atque adeo <I>BC</I> ad <I>AC</I> ut motuum differentia 0<SUP>gr.</SUP> 31′. 2″. 32‴, ad motum po$teriorem 19′<SUP>gr.</SUP> 49. 3″. 55‴) hoc e$t, ut 1 ad (38 1/10) dein per punctum <I>D</I> ducatur infinita <I>Gg,</I> quæ tangat circulum in <I>D</I>; & $i capiatur angulus <I>BCE</I> vel <I>BCF</I> æqualis duplæ di$tantiæ Solis a loco Nodi, per motum medium invento; <pb n=415> & agatur <I>AE</I> vel <I>AF</I> $ecans perpendiculum <I>DG</I> in <I>G</I>; & ca- <MARG>LIBER TERTIUS.</MARG> piatur angulus qui $it ad motum totum Nodi inter ip$ius Syzy- gias (id e$t, ad 9<SUP>gr.</SUP> 11′. 3″.) ut tangens <I>DG</I> ad circuli <I>BED</I> circumferentiam totam; atque angulus i$te (pro quo angulus <I>DAG</I> u$urpari pote$t) ad motum medium Nodorum addatur ubi Nodi <FIG> tran$eunt a Quadraturis ad Syzygias, & ab eodem motu medio $ubducatur ubi tran$eunt a Syzygiis ad Quadraturas; habebitur eorum motus verus. Nam motus verus $ic inventus congruet quam proxime cum motu vero qui prodit exponendo tempus per aream <I>NTA-NdZ,</I> & motum Nodi per aream <I>NAeN</I>; ut rem perpendenti & computationes in$tituenti con$tabit. Hæc e$t æquatio $eme$tris motus Nodorum. E$t & æquatio men$trua, $ed quæ ad inventionem Latitudinis Lunæ minime nece$$aria e$t. Nam cum Variatio Inclinationis Orbis Lunaris ad planum Eclipticæ du- plici inæqualitati obnoxia $it, alteri $eme$tri, alteri autem men- $truæ; &c. hujus men$trua inæqualitas & æquatio men$trua Nodorum ita $e mutuo contemperant & corrigunt, ut ambæ in determinan- da Latitudine Lunæ negligi po$$int. <p><I>Corol.</I> Ex hac & præcedente Propo$itione liquet quod Nodi in Syzygiis $uis quie$cunt, in Quadraturis autem regrediuntur motu horario 16″. 19‴. 26<SUP>iv</SUP>. Et quod æquatio motus Nodorum in Octantibus $it 1<SUP>gr.</SUP> 30′. Quæ omnia cum Phænomenis cœle$tibus probe quadrant. <pb n=416> <MARG>DE MUNDI SYSTEMATE</MARG> <C>PROPOSITIO XXXIV. PROBLEMA XV.</C> <C><I>Invenire Variationem horariam Inclinationis Orbis Lunaris ad planum Eclipticæ.</I></C> <p>De$ignent <I>A</I> & <I>a</I> Syzygias; <I>Q</I> & <I>q</I> Quadraturas; <I>N</I> & <I>n</I> No- dos; <I>P</I> locum Lunæ in Orbe $uo; <I>p</I> ve$tigium loci illius in plano Eclipticæ, & <I>mTl</I> motum momentaneum Nodorum ut $upra. Et $i ad lineam <I>Tm</I> demittatur perpendiculum <I>PG,</I> jungatur <I>pG,</I> & producatur ea donec occurrat <I>Tl</I> in <I>g,</I> & jungatur etiam <I>Pg</I>: erit angulus <I>PGp</I> Inclinatio orbis Lunaris ad planum Eclipticæ, <FIG> ubi Luna ver$atur in <I>P</I>; & angulus <I>Pgp</I> Inclinatio eju$dem po$t momentum temporis completum; adeoque angulus <I>GPg</I> Variatio momentanea Inclinationis. E$t autem hic angulus <I>GPg</I> ad an- gulum <I>GTg,</I> ut <I>TG</I> ad <I>PG</I> & <I>Pp</I> ad <I>PG</I> conjunctim. Et prop- terea $i pro momento temporis $ub$tituatur hora; cum angulus <I>GTg</I> (per Propo$it. xxx.) $it ad angulum 33″. 10‴. 33<SUP>iv</SUP>. ut <pb n=417> <I>ITXPGXAZ</I> ad <I>ATcub,</I> erit angulus <I>GPg</I> ($eu Inclinationis <MARG>LIBER TERTIUS.</MARG> horaria Variatio) ad angulum 33″. 10‴. 33<SUP>iv</SUP>, ut <I>ITXAZXTG X(Pp/PG)</I> ad <I>ATcub. Q.EI.</I> <p>Hæc ita $e habent ex Hypothe$i quod Luna in Orbe Circulari uniformiter gyratur. Quod $i Orbis ille Ellipticus $it, motus me- diocris Nodorum minuetur in ratione axis minoris ad axem majo- rem; uti $upra expo$itum e$t. Et in eadem ratione minuetur etiam Inclinationis Variatio. <p><I>Corol.</I> 1. Si ad <I>Nn</I> erigatur perpendiculum <I>TF,</I> $itque <I>pM</I> motus horarius Lunæ in plano Eclipticæ; & perpendicula <I>pK, Mk</I> in <I>QT</I> demi$$a & utrinque producta occurrant <I>TF</I> in <I>H</I> & <I>h</I>: erit <I>IT</I> ad <I>AT</I> ut <I>Kk</I> ad <I>Mp,</I> & <I>TG</I> ad <I>Hp</I> ut <I>TZ</I> ad <I>AT;</I> ideoque <I>ITXTG</I> æquale (<I>KkXHpXTZ/Mp</I>), hoc e$t, æquale areæ <I>HpMh</I> ductæ in rationem (<I>TZ/Mp</I>): & propterea Inclinationis Varia- tio horaria ad 33″. 10‴. 33<SUP>iv</SUP>, ut <I>HpMh</I> ducta in <I>AZX(TZ/Mp)X(Pp/PG)</I> ad <I>AT cub.</I> <p><I>Corol.</I> 2. Ideoque $i Terra & Nodi $ingulis horis completis re- traherentur à locis $uis novis, & in loca priora in in$tanti $emper reducerentur, ut $itus eorum, per men$em integrum periodicum, datus maneret; tota Inclinationis Variatio tempore men$is illius foret ad 33″. 10‴. 33<SUP>iv</SUP>, ut aggregatum omnium arearum <I>Hp Mh,</I> in revolutione puncti <I>p</I> genitarum, & $ub $ignis propriis + & - conjunctarum, ductum in <I>AZXTZX(Pp/PG)</I> ad <I>MpXAT cub.</I> id e$t, ut circulus totus <I>QAqa</I> ductus in <I>AZXTZX(Pp/PG)</I> ad <I>MpX ATcub.</I> hoc e$t, ut circumferentia <I>QAqa</I> ducta in <I>AZXTZX(Pp/PG)</I> ad 2 <I>MpXAT quad.</I> <p><I>Corol.</I> 3. Proinde in dato Nodorum $itu, Variatio mediocris horaria, ex qua per men$em uniformiter continuata Variatio illa men$trua generari po$$et, e$t ad 33″. 10‴. 33<SUP>iv</SUP>, ut <I>AZXTZ X(Pp/PG)</I> ad 2 <I>ATq,</I> $ive ut <I>PpX(AZXTZ/1/2AT)</I> ad <I>PGX4AT,</I> id <pb n=418> <MARG>DE MUNDI SYSTEMATE</MARG> e$t (cum <I>Pp</I> $it ad <I>PG</I> ut $inus Inclinationis prædictæ ad ra- dium, & (<I>AZXTZ/1/2AT</I>) $it ad 4<I>AT</I> ut $inus duplicati anguli <I>ATn</I> ad radium quadruplicatum) ut Inclinationis eju$dem $inus ductus in $inum duplicatæ di$tantiæ Nodorum a Sole, ad quadruplum quadratum radii. <p><I>Corol.</I> 4. Quoniam Inclinationis horaria Variatio, ubi Nodi in Quadraturis ver$antur, e$t (per hanc Propo$itionem) ad angu- lum 33″. 10‴. 33<SUP>iv</SUP> ut <I>ITXAZXTGX(Pp/PG)</I> ad <I>ATcub.</I> id e$t, ut <I>(ITXTG/1/2AT)X(Pp/PG)</I> ad 2<I>AT</I>; hoc e$t, ut $inus duplicatæ di- $tantiæ Lunæ à Quadraturis ductus in (<I>Pp/PG</I>) ad radium duplica- tum: $umma omnium Variationum horariarum, quo tempore Luna in hoc $itu Nodorum tran$it à Quadratura ad Syzygiam, (id e$t, $patio horarum 177 1/6,) erit ad $ummam totidem angulo- rum 33″. 10‴. 33<SUP>iv</SUP>, $eu 5878″, ut $umma omnium $inuum dupli- catæ di$tantiæ Lunæ à Quadraturis ducta in (<I>Pp/PG</I>) ad $ummam to- tidem diametrorum; hoc e$t, ut diameter ducta in (<I>Pp/PG</I>) ad cir- cumferentiam; id e$t, $i Inclinatio $it 5<SUP>gr.</SUP> 1′, ut 7X(<*>74/10000) ad 22, $eu 278 ad 10000. Proindeque Variatio tota, ex $umma om- nium horariarum Variationum tempore prædicto conflata, e$t 163″, $eu 2′. 43″. <C>PROPOSITIO XXXV. PROBLEMA XVI.</C> <C><I>Dato tempore invenire Inclinationem Orbis Lunaris ad planum Eclipticæ.</I></C> <p>Sit <I>AD</I> $inus Inclinationis maximæ, & <I>AB</I> $inus Inclinatio- nis minimæ. Bi$ecetur <I>BD</I> in <I>C,</I> & centro <I>C,</I> intervallo <I>BC,</I> de$cribatur Circulus <I>BGD.</I> In <I>AC</I> capiatur <I>CE</I> in ea ratione ad <I>EB</I> quam <I>EB</I> habet ad 2<I>BA:</I> Et $i dato tempore con$ti- tuatur angulus <I>AEG</I> æqualis duplicatæ di$tantiæ Nodorum à <pb n=419> Quadraturis, & ad <I>AD</I> demittatur perpendiculum <I>GH</I>: erit <MARG>LIBER TERTIUS.</MARG> <I>AH</I> $inus Inclinationis quæ$itæ. <p>Nam <I>GEq</I> æquale e$t <I>GHq+HEq=BHD+HEq= HBD+HEq-BHq=HBD+BEq</I>-2<I>BHXBE= BEq</I>+2<I>ECXBH</I>=2<I>ECXAB</I>+2<I>ECXBH</I>=2<I>ECXAH.</I> Ideoque cum 2<I>EC</I> detur, e$t <I>GEq</I> ut <I>AH.</I> De$ignet jam <I>AEg</I> duplicatam di$tantiam Nodorum à Quadraturis po$t datum ali- quod momentum temporis completum, & arcus <I>Gg.,</I> ob datum <FIG> angulum <I>GEg,</I> erit ut di$tantia <I>GE.</I> E$t autem <I>Hh</I> ad <I>Gg</I> ut <I>GH</I> ad <I>GC,</I> & propterea <I>Hh</I> e$t ut contentum <I>GHXGg,</I> $eu <I>GHXGE</I>; id e$t, ut <I>(GH/GE)XGEq</I> $eu <I>(GH/GE)XAH,</I> id e$t, ut <I>AH</I> & $inus anguli <I>AEG</I> conjunctim. Igitur $i <I>AH</I> in ca$u aliquo $it $inus Inclinationis, augebitur ea ii$dem incremen- tis cum $inu Inclinationis, per Corol. 3. Propo$itionis $uperioris, & propterea $inui illi æqualis $emper manebit. Sed <I>AH</I> ubi punctum <I>G</I> incidit in punctum alterutrum <I>B</I> vel <I>D</I> huic $inui æqualis e$t, & propterea eidem $emper æqualis manet. <I>Q.E.D.</I> <p>In hac demon$tratione $uppo$ui angulum <I>BEG,</I> qui e$t du- plicata di$tantia Nodorum à Quadraturis, uniformiter augeri. Nam omnes inæqualitatum minutias expendeve non vacat. Con- cipe jam angulum <I>BEG</I> rectum e$$e, & in hoc ea$e <I>Gg</I> e$$e augmentum horarium duplæ di$tantiæ Nodorum <*> Solis ab invi- cem; & Inclinationis Variatio horaria in eodem ca$u (per Corol. 3. Prop. novi$$imæ) erit ad 33′. 10‴. 33<SUP>iv</SUP>. ut contentum $ub In- clinationis $inu <I>AH</I> & $inu anguli recti <I>BEG,</I> qui e$t dupli- cata di$tantia Nodorum a Sole, ad quadruplum quadratum radii; id. e$t, ut mediocris Inclinationis $inus <I>AH</I> ad radium quadru- plicatum; hoc e$t (cum Inclinatio illa mediocris $it quafi 5<SUP>gr.</SUP> 8′1/2) ut ejus $inus 896 ad radium quadruplicatum 40000, $ive ut 224 ad 10000. E$t autem Variatio tota, $inuum differentiæ <I>BD</I> re$pondens, ad Variationem illam horariam ut diameter <I>BD</I> ad <pb n=420> <MARG>DE MUNDI SYSTEMATE</MARG> arcum <I>Gg</I>; id e$t, ut diameter <I>BD</I> ad $emicircum ferentiam <I>BGD</I> & tempus horarum (2079 1/10), quo Nodus pergit à Quadra- turis ad Syzygias, ad horam unam conjunctim; hoc e$t, ut 7 ad 11 & (2079 7/10) ad 1. Quare $i rationes omnes conjungantur, fiet Variatio tota <I>BD</I> ad 33″. 10‴. 33<SUP>ix</SUP> ut 224X7X2079 (7/10) ad 110000, id e$t, ut 29645 ad 1000, & inde Variatio illa <I>BD</I> prodibit 16′. 23″ 1/2. <p>Hæc e$t Inclinationis Variatio maxima quatenus locus Lunæ in Orbe $uo non con$ideratur. Nam Inclinatio, $i Nodi in Syzygiis ver$antur, nil mutatur ex vario $itu Lunæ. At $i Nodi in Qua- draturis con$i$tunt, Inclinatio minor e$t ubi Luna ver$atur in Sy- zygiis, quam ubi ea ver$atur in Quadraturis, exce$$u 2′. 43″; uti in Propo$itionis $uperioris Corollario quarto indicavimus. Et hujus exce$$us dimidio 1′. 21″ 1/2. Variatio tota mediocris <I>BD</I> in Quadraturis Lunaribus diminuta fit 15′, 2″, in ip$ius autem Syzy- giis aucta fit 17′. 45″. Si Luna igitur in Syzygiis con$tituatur, Variatio tota, in tran$itu Nodorum à Quadraturis ad Syzygias, erit 17′. 45″: adeoque $i Inclinatio, ubi Nodi in Syzygiis ver$an- tur, $it 5<SUP>gr.</SUP> 17′. 20″; eadem, ubi Nodi $unt in Quadraturis, & Luna in Syzygiis, erit 4<SUP>gr.</SUP> 59′. 35″. Atque hæc ita $e habere confirmatur ex Ob$ervationibus. <FIG> <p>Si jam defideretur Orbis Inclinatio illa, ubi Luna in Syzygiis & Nodi ubivis ver$antur; fiat <I>AB</I> ad <I>AD</I> ut $inus graduum 4. 59′. 35″ ad $inum graduum <*>. 17′, 20″, & capiatur angulus <I>AEG</I> æqualis duplicatæ di$tantiæ Nodorum à Quadraturis; & erit <I>AH</I> $inus Inclinationis quæ$itæ. Huic Orbis Inclinationi æqualis e$t eju$dem Inclinatio, ubi Luna di$tat 90<SUP>gr.</SUP> à Nodis. In aliis Lunæ locis inæqualitas men$trua, quam Inclinationis variatio admittit, in calculo Latitudinis Lunæ compen$atur & quodammodo tolli- tur per inæqualitatem men$truam motus Nodorum, (ut $upra dixi- mus) adeoque in calculo Latitudinis illius negligi pote$t. <pb n=421> <MARG>LIBER TERTIUS.</MARG> <C><I>Scholium.</I></C> <p>Hi$ce motuum Lunarium computationibus o$tendere volui, quod motus Lunares, per Theoriam Gravitatis, a cau$is $uis com- putari po$$int. Per eandem Theoriam inveni præterea quod Æ- quatio Annua medii motus Lunæ oriatur a varia dilatatione Or- bis Lunæ per vim Solis, juxta Corol. 6. Prop. LXVI. Lib. I. Hæc vis in Perigæo Solis major e$t, & Orbem Lunæ dilatat; in Apo- gæo ejus minor e$t, & Orbem illum contrahi permittit. In Orbe dilatato Luna tardius revolvitur, in contracto citius; & Æquatio Annua per quam hæc inæqualitas compen$atur, in Apogæo & Perigæo Solis nulla e$t, in mediocri Solis a Terra di$tantia ad 11′. 50″ circiter a$cendit, in aliis locis Æquationi centri Solis proportionalis e$t; & additur medio motui Lunæ ubi Terra per- git ab Aphelio $uo ad Perihelium, & in oppo$ita Orbis parte, $ub- ducitur. A$$umendo radium Orbis magni 1000 & Eccentricita- tem Terræ 16 7/8, hæc Æquatio ubi maxima e$t, per Theoriam Gra- vitatis prod<*> 11′. 49″. Sed Eccentricitas Terræ paulo major e$$e videtur, & aucta Eccentricitate hæc Æquatio augeri debet in ea- dem ratione. Sit Eccentricitas (16 11/16), & Æquatio maxima erit 11′. 52″. <p>Inveni etiam quod in Perihelio Terræ, propter majorem vim Solis, Apogæum & Nodi Lunæ velocius moventur quam in Aphe- lio ejus, idque in triplicata ratione di$tantiæ Terræ a Sole inver$e, Et inde oriuntur Æquationes Annuæ horum motuum Æquationi centri Solis proportionales. Motus autem Solis e$t in duplicata ratione di$tantiæ Terræ a Sole inver$e, & maxima centri Æquatio quam hæc inæqualitas generat, e$t 1<SUP>gr.</SUP> 56′. 26″ prædictæ Solis Eccentricitati (16 15/16) congruens. Quod $i motus Solis e$$et in tri- plicata ratione di$tantiæ inver$e, hæc inæqualitas generaret Æqua- tionem maximam 2<SUP>gr.</SUP> 56′. 9″. Et propterea Æquationes maxi- mæ quas inæqualitates motuum Apogæi & Nodorum Lunæ gene- rant, $unt ad 2<SUP>gr.</SUP> 56′. 9″, ut motus medius diurnus Apogæi & motus medius diurnus Nodorum Lunæ $unt ad motum medium diurnum Solis. Unde prodit Æquatio maxima medii motus Apogæi 19′. 52″: & Æquatio maxima medii motus Nodorum 9′. 27″. Additur vero Æquatio prior & $ubducitur po$terior, ubi Terra pergit a Perihelio $uo ad Aphelium: & contrarium fit in oppo$ita Orbis parte. <pb n=422> <MARG>DE MUNDI SYSTEMATE</MARG> <p>Per Theoriam Gravitatis con$titit etiam quod actio Solis in Lunam paulo major $it ubi tran$ver$a diameter Orbis Lunaris tran$it per Solem, quam ubi eadem ad rectos e$t angulos cum linea Terram & Solem jungente: & propterea Orbis Lunaris paulo major e$t in priore ca$u quam in po$teriore. Et hinc ori- tur alia Æquatio motus medii Lunaris, pendens a $itu Apogæi Lunæ ad Solem, quæ quidem maxima e$t cum Apogæum Lunæ ver$atur in Octante cum Sole; & nulla cum illud ad Quadraturas vel Syzygias pervenit: & motui medio additur in tran$itu Apo- gæi Lunæ a Solis Quadratura ad Syzygiam, & $ubducitur in tran- $itu Apogæi a Syzygia ad Quadraturam. Hæc Æquatio quam Seme$trem vocabo, in Octantibus Apogæi quando maxima e$t, a$cendit ad 3′. 45″ circiter, quantum ex Phænomenis colligere potui. Hæc e$t ejus quantitas in mediocri Solis di$tantia a Terra. Augetur vero ac diminuitur in triplicata ratione di$tantiæ Solis inver$e, adeoque in maxima Solis di$tantia e$t 3′. 34″, & in mi- nima 3′. 56″ quamproxime: ubi vero Apogæum Lunæ $itum e$t extra Octantes, evadit minor; e$tque ad Æquationem maximam, ut $inus duplæ di$tantiæ Apogæi Lunæ a proxima Syzygia vel Quadratura ad radium. <p>Per eandem Gravitatis Theoriam actio Solis in Lunam paulo major e$t ubi linea recta per Nodos Lunæ ducta tran$it per So- lem, quam ubi linea ad rectos e$t angulos cum recta Solem ac Terram jungente. Et inde oritur alia medii motus Lunaris Æqua- tio, quam Seme$trem $ecundam vocabo, quæque maxima e$t ubi Nodi in Solis Octantibus ver$antur, & evane$cit ubi $unt in Syzy- giis vel Quadraturis, & in aliis Nodorum po$itionibus proportio- nalis e$t $inui duplæ di$tantiæ Nodi alterutrius a proxima Syzygia aut Quadratura: additur vero medio motui Lunæ dum Nodi tran$eunt a Solis Quadraturis ad proximas Syzygias, & fubduci- tur in eorum tran$itu a Syzygiis ad Quadraturas; & in Octanti- bus ubi maxima e$t, a$cendit ad 47″ in mediocri Solis di$tantia a Terra, uti ex Theoria Gravitatis colligo. In aliis Solis di$tantiis hæe Æquatio, in Octantibus Nodorum, e$t reciproce ut cubus di- $tantiæ Solis a Terra, ideoque in Perigæo Solis ad 45″ in Apo- gæo ejus ad 49″ circiter a$cendit. <p>Per eandem Gravitatis Theoriam Apogæum Lunæ progreditur quam maxime ubi vel cum Sole conjungitur vel eidem opponitur, & regreditur ubi cum Sole Quadraturam facit. Et Eccentrici<*>as fit maxima in priore ca$u & minima in po$teriore, per Corol. <pb n=423> 7, 8 & 9. Prop. LXVI. Lib. I. Et hæ inæqualitates per cadem <MARG>LIBER TERTIUS.</MARG> Corollaria permagnæ $unt, & Æquationem principalem Apogæi generant, quam Seme$trem vocabo. Et Æquatio maxima Seme- $tris e$t 12<SUP>gr.</SUP> 18′ circiter, quantum ex Ob$ervationibus colligere potui. <I>Horroxius</I> no$ter Lunam in Ellip$i circum Terram, in ejus umbilico inferiore con$titutam, revolvi primus $tatuit. <I>Halleius</I> centrum Ellip$eos in Epicyclo locavit, cujus centrum uniformiter revolvitur circum Terram. Et ex motu in Epicyclo oriuntur in- æqualitates jam dictæ in progre$$u & regre$$u Apogæi & quanti- tate Eccentricitatis. Dividi intelligatur di$tantia mediocris Lunæ a Terra in partes 100000, & referat <I>T</I> Terram & <I>TC</I> Eccentri- citatem mediocrem Lunæ partium 5505. Producatur <I>TC</I> ad <I>B,</I> ut $it <I>CB</I> $inus Æquationis maximæ Seme$tris 12<SUP>gr.</SUP> 18′ ad ra- dium <I>TC,</I> & circulus <I>BDA</I> centro <I>C</I> intervallo <I>CB</I> de$criptus, erit Epicyclus ille in quo centrum Orbis Lunaris locatur & $e- cundum ordinem literarum <I>BDA</I> revolvitur. Capiatur angulus <I>BCD</I> æqualis duplo argumento annuo, $eu duplæ di$tantiæ veri loci Solis ab Apogæo Lunæ $emel æquato, & erit <I>CTD</I> Æquatio <FIG> Seme$tris Apogæi Lunæ & <I>TD</I> Eccentricitas Orbis ejus in Apo- gæum $ecundo æquatum tendens. Habitis autem Lunæ motu medio & Apogæo & Eccentricitate, ut & Orbis axe majore par- tium 200000; ex his eruetur verus Lunæ locus in Orbe & di- $tantia ejus a Terra, idque per Methodos noti$$imas. <p>In Perihelio Terræ, propter majorem vim Solis, centrum Or- bis Lunæ velocius movetur circum centrum <I>C</I> quam in Aphelio, idque in triplicata ratione di$tantiæ Terræ a Sole inver$e. Ob Æquationem centri Solis in Argumento annuo comprehen$am, cen- trum Orbis Lunæ velocius movetur in Epicyclo <I>BDA</I> in du- plicata ratione di$tantiæ Terræ a Sole inver$e. Ut idem adhuc velocius moveatur in ratione $implici di$tantiæ inver$e; ab Orbis centro <I>D</I> agatur recta <I>DE</I> ver$us Apogæum Lunæ, $eu rectæ <I>TC</I> parallela, & capiatur angulus <I>EDF</I> æqualis exce$$ui Argu- <pb n=424> <MARG>DE MUNDI SYSTEMATE</MARG> menti annui prædicti $upra di$tantiam Apogæi Lunæ a Perigæo Solis in con$equentia; vel quod perinde e$t, capiatur angulus <I>CDF</I> æqualis complemento Anomaliæ veræ Solis ad gradus 360. Et $it <I>DF</I> ad <I>DC</I> ut dupla Eccentricitas Orbis magni ad di$tan- tiam mediocrem Solis a Terra, & motus medius diurnus Solis ab Apogæo Lunæ ad motum medium diurnum Solis ab Apogæo proprio conjunctim, id e$t, ut 33 7/8 ad 1000 & 52′. 27″. 16‴ ad 59′. 8″. 10‴ conjunctim, $ive ut 3 ad 100. Et concipe centrum Orbis Lunæ locari in puncto <I>F,</I> & in Epicyclo cujus centrum e$t <I>D</I> & radius <I>DF</I> interea revolvi dum punctum <I>D</I> progreditur in circumferentia circuli <I>DABD.</I> Hac enim ratione velocitas qua centrum Orbis Lunæ in linea quadam curva circum centrum <I>C</I> de$cripta movebitur, erit reciproce ut cubus di$tantiæ Solis a Terra quamproxime, ut oportet. <p>Computatio motus hujus difficilis e$t, $ed facilior reddetur per approximationem $equentem. Si di$tantia mediocris Lunæ a Terra $it partium 100000, & Eccentricitas <I>TC</I> $it partium 5505 ut $u- pra: recta <I>CB</I> vel <I>CD</I> invenietur partium 1172 1/4, & recta <I>DF</I> <FIG> partium 35 1/3. Et hæc recta ad di$tantiam <I>TC</I> $ubtendit angulum ad Terram quem tran$latio centri Orbis a loco <I>D</I> ad locum <I>F</I> ge- nerat in motu centri hujus: & eadem recta duplicata in $itu paral- lelo ad di$tantiam $uperioris umbilici Orbis Lunæ a Terra, $ubten- dit eundem angulum, quem utique tran$latio illa generat in motu umbilici, & ad di$tantiam Lunæ a Terra $ubtendit angulum quem eadem tran$latio generat in motu Lunæ, quique propterea Æqua- tio centri Secunda dici pote$t. Et hæc Æquatio in mediocri Lunæ di$tantia a Terra, e$t ut $inus anguli quem recta illa <I>DF</I> cum recta a puncto <I>F</I> ad Lunam ducta continet quamproxime, & ubi ma- xima e$t evadit 2′. 25″. Angulus autem quem recta <I>DF</I> & recta a puncto <I>F</I> ad Lunam ducta comprehendunt, invenitur vel $ub- ducendo angulum <I>EDF</I> ab Anomalia media Lunæ, vel addendo di$tantiam Lunæ a Sole ad di$tantiam Apogæi Lunæ ab Apogæo <pb n=425> Solis. Et ut radius e$t ad $inum anguli $ic inventi, ita 2′. 25″ <MARG>LIBER TERTIUS.</MARG> $unt ad Æquationem centri Secundam, addendam $i $umma illa $it minor $emicirculo, $ubducendam $i major. Sic habebitur ejus Longitudo in ip$is Luminarium Syzygiis. <p>Si computatio accuratior de$ideretur, corrigendus e$t locus Lunæ in Orbe ut $upra inventus per Variationem duplicem. De Variatione Prima & principali diximus $upra, hæc maxima e$t in Octantibus Lunæ. Variatio altera maxima e$t in Quadrantibus, & oritur a varia Solis actione in Orbem Lunæ pro varia po$itione Apogæi Lunæ ad Solem, computatur vero in hunc modum. Ut radius ad $inum ver$um di$tantiæ Apogæi Lunæ a Perigæo Solis in con$equentia, ita angulus quidam P ad quartum propor- tionalem. Et ut radius ad $inum di$tantiæ Lunæ a Sole, ita $um- ma hujus quarti proportionalis & anguli cuju$dam alterius Q ad Variationem Secundam, $ubducendam $i Lunæ lumen augetur, ad- dendam $i diminuitur. Sic habebitur locus verus Lunæ in Orbe, & per Reductionem loci hujus ad Eclipticam habebitur Longi- tudo Lunæ. Anguli vero P & Q ex Ob$ervationibus determi- nandi $unt. Et interea $i pro angulo P u$urpentur 2′, & pro angulo Q 1′, non multum errabitur. <p>Cum Atmo$phæra Terræ ad u$que altitudinem milliarium 35 vel 40 refringat lucem Solis, & refringendo $pargat eandem in Umbram Terræ, & $pargendo lucem in confinio Umbræ dilatat Umbram: ad diametrum Umbræ quæ per Parallaxim prodit, addo minutum unum primum in Eclip$ibus Lunæ, vel minutum unum cum triente. <p>Theoria vero Lunæ primo in Syzygiis, deinde in Quadraturis, & ultimo in Octantibus per Phænomena examinari & $tabiliri de- bet. Et opus hocce aggre$$urus motus medios Solis & Lunæ ad tempus meridianum in Ob$ervatorio Regio <I>Grenovicen$i,</I> die ul- timo men$is <I>Decembris</I> anni 1700. $t. vet. non incommode $e- quentes adhibebit: nempe motum medium Solis <FIG> 20<SUP>gr.</SUP> 43′. 40″, & Apogæi ejus <FIG> 7<SUP>gr.</SUP> 44′. 30″, & motum medium Lunæ <FIG> 15<SUP>gr.</SUP> 20′. 00″, & Apogæi ejus <FIG> 8<SUP>gr.</SUP> 20′. 00″, & Nodi a$cendentis <FIG> 27<SUP>gr.</SUP> 24′. 20″; & differentiam meridianorum Ob$ervatorii hu- jus & Ob$ervatorii Regii <I>Pari$ien$is</I> 0<SUP>hor.</SUP> 9<SUP>min.</SUP> 20<SUP>$ec.</SUP>. <pb n=426> <MARG>DE MUNDI SYSTEMATE</MARG> <C>PROPOSITIO XXXVI. PROBLEMA XVII.</C> <C><I>Invenire vim Solis ad Mare movendum.</I></C> <p>Solis vis <I>ML</I> $eu <I>PT,</I> in Quadraturis Lunaribus, ad pertur- bandos motus Lunares, erat (per Prop. XXV. hujus) ad vim gravitatis apud nos, ut 1 ad 638092, 6. Et vis <I>TM-LM</I> $eu 2<I>PK</I> in Syzygiis Lunaribus, e$t duplo major. Hæ autem vires, $i de$cendatur ad $uperficiem Terræ, diminuuntur in ratione di- $tantiarum a centro Terræ, id e$t, in ratione 60 1/2 ad 1; adeo- que vis prior in $uperficie Terræ, e$t ad vim gravitatis, ut 1 ad 38604600. Hac vi Mare deprimitur in locis quæ 90 gradibus di$tant <FIG> a Sole. Vi altera quæ duplo major e$t, Mare elevatur & $ub Sole & in regione Soli oppo$ita. Summa virium e$t ad vim gravitatis ut 1 ad 12868200. Et quoniam vis eadem eundem ciet motum, $ive ea deprimat Aquam in regionibus quæ 90 gradibus di$tant à Sole, $ive elevet eandem in regionibus $ub Sole & Soli oppo$itis, hæc $umma erit tota Solis vis ad Mare agitandum; & eundem habebit effectum ac $i tota in regionibus $ub Sole & Soli oppo- $itis Mare elevaret, in regionibus autem quæ 90 gradibus di$tant a Sole nil ageret. <p>Hæc e$t vis Solis ad Mare ciendum in loco quo vis dato, ubi Sol tam in vertice loci ver$atur quam in mediocri $ua di$tantia a Terra. In aliis Solis po$itionibus vis ad Mare accollendum, e$t ut $inus ver$us duplæ altitudinis Solis $upra horizontem loci di- recte & cubus di$tantiæ Solis a Terra inver$e. <p><I>Corol.</I> Cum vis centrifuga partium Terræ à diurno Terræ motu oriunda, quæ e$t ad vim gravitatis ut 1 ad 289, efficiat ut alti- <pb n=427> tudo Aquæ $ub Æquatore $uperet ejus altitudinem $ub Polis men- <MARG>LIBER TERTIUS.</MARG> $ura pedum Pari$ien$ium 85820; vis Solaris de qua egimus, cum $it ad vim gravitatis ut 1 ad 12868200, atque adeo ad vim illam centrifugam ut 289 ad 12868200 $eu 1 ad 44527, efficiet ut al- titudo Aquæ in regionibus $ub Sole & Soli oppo$itis, $uperet alti- tudinem ejus in locis quæ 90 gradibus di$tant a Sole, men$ura tantum pedis unius Pari$ien$is & digitorum undecim cum octava parte digiti. E$t enim hæc men$ura ad men$uram pedum 85820 ut 1 ad 44527. <C>PROPOSITIO XXXVII. PROBLEMA XVIII.</C> <C><I>Invenire vim Lunæ ad Mare movendum.</I></C> <p>Vis Lunæ ad Mare movendum colligendà e$t ex ejus propor- tione ad vim Solis, & hæc proportio colligenda e$t ex propor- tione motuum Maris, qui ab his viribus oriuntur. Ante o$tium fluvii <I>Avonæ</I> ad lapidem tertium infra <I>Bri$toliam,</I> tempore verno & autumnali totus Aquæ a$cen$us in Conjunctione & Oppo$itione Luminarium (ob$ervante <I>Samuele Sturmio</I>) e$t pedum plus mi- nus 45, in Quadraturis autem e$t pedum tantum 25. Altitudo prior ex $umma virium, po$terior ex earundem differentia oritur. Solis igitur & Lunæ in Æquatore ver$antium & mediocriter a Terra di$tantium $unto vires S & L, & erit L+S ad L-S ut 45 ad 25, $eu 9 ad 5. <p>In portu <I>Plymuthi</I> Æ$tus maris (ex ob$ervatione <I>Samuelis Cole- pre$$i</I>) ad pedes plus minus $exdecim altitudine mediocri attolli- tur, ac tempore verno & autumnali altitudo Æ$tus in Syzygiis $u- perare pote$t altitudinem ejus in Quadraturis, pedibus plus $eptem vel octo. Si maxima harum altitudinum differentia $it pedum no- vem, erit L+S ad L-S ut 20 1/2 ad 11 1/2 $eu 41 ad 23. Quæ proportio $atis congruit cum priore. Ob magnitudinem Æ$tus in portu <I>Bi$toliæ,</I> ob$ervationibus <I>Sturmii</I> magis fidendum e$$e vi- detur, ideoque donec aliquid certius con$titerit, proportionem 9 ad 5 u$urpabimus. <p>Cæterum ob aquarum reciprocos motus, Æ$tus maximi non in- cidunt in ip$as Luminarium Syzygias, $ed $unt tertii a Syzygiis ut dictum fuit, $eu proxime $equuntur tertium Lunæ po$t Syzy- gias appul$um ad meridianum loci, vel potius (ut a <I>Sturmio</I> no- tatur) $unt tertii po$t diem novilunii vel plenilunii, $eu po$t ho- <pb n=428> <MARG>DE MUNDI SYSTEMATE</MARG> ram a novilunio vel plenilunio plus minus duodecimam, adeoque incidunt in horam a novilunio vel plenilunio plus minus quadra- ge$imam tertiam. Incidunt vero in hoc portu in horam $epti- mam circiter ab appul$u Lunæ ad meridianum loci; ideoque pro- xime $equuntur appul$um Lunæ ad meridianum, ubi Luna di$tat a Sole vel ab oppo$itione Solis gradibus plus minus octodecim vel novendecim in con$equentia. Æ$tas & Hyems maxime vigent, non in ip$is Sol$titiis, $ed ubi Sol di$tat a Sol$titiis decima circi- ter parte totius circuitus, $eu gradibus plus minus 36 vel 37. Et $imiliter maximus Æ$tus maris oritur ab appul$u Lunæ ad meri- dianum loci, ubi Luna di$tat a Sole decima circiter parte motus totius ab Æ$tu ad Æ$tum. Sit di$tantia illa graduum plus mi- nus 18 1/2. Et vis Solis in hac di$tantia Lunæ a Syzygiis & Qua- draturis, minor erit ad augendum & ad minuendum motum ma- ris a vi Lunæ oriundum, quam in ip$is Syzygiis & Quadraturis, in ratione radii ad $inum complementi di$tantiæ hujus duplicatæ $eu anguli graduum 37, hoc e$t, in ratione 10000000 ad 7986355. Ideoque in analogia $uperiore pro S $cribi debet 0, 7986355 S. <p>Sed & vis Lunæ in Quadraturis, ob declinationem Lunæ ab Æquatore, diminui debet. Nam Luna in Quadraturis, vel potius in gradu 18 1/2 po$t Quadraturas, in declinatione graduum plus minus 22. 13′ ver$atur. Et Luminaris ab Æquatore declinantis vis ad Mare movendum diminuitur in duplicata ratione $inus complementi declinationis quamproxime. Et propterea vis Lunæ in his Quadraturis e$t tantum 0,8570327 L. E$t igitur L+0,7986355 S ad 0,8570327 L-0,7986355 S ut 9 ad 5. <p>Præterea diametri Orbis in quo Luna ab$que Eccentricitate mo- veri deberet, $unt ad invicem ut 69 ad 70; ideoque di$tantia Lunæ a Terra in Syzygiis e$t ad di$tantiam ejus in Quadraturis, ut 69 ad 70, cæteris paribus. Et di$tantiæ ejus in gradu 18 1/2 a Syzygiis ubi Æ$tus maximus generatur, & in gradu 18 1/2 a Qua- draturis ubi Æ$tus minimus generatur, $unt ad mediocrem ejus di$tantiam, ut 69,098747 & 69,897345 ad 69 1/2. Vires autem Lu- næ ad Mare movendum $unt in triplicata ratione di$tantiarum in- ver$e, ideoque vires in maxima & minima harum di$tantiarum $unt ad vim in mediocri di$tantia, ut 0,9830427 & 1,017522 ad 1. Unde fit 1,017522 L+0,7986355 S ad 0,9830427X0,8570327 L-0,7986355 S ut 9 ad 5. Et S ad L ut 1 ad 4,4815. Itaque cum vis Solis fit ad vim gravitatis ut 1 ad 12868200, vis Lunæ erit ad vim gravi- tatis ut 1 ad 2871400. <pb n=429> <p><I>Corol.</I> 1. Cum Aqua vi Solis agitata a$cendat ad altitudinem <MARG>LIBER TERTIUS.</MARG> pedis unius & undecim digitorum cum octava parte digiti, eadem vi Lunæ a$cendet ad altitudinem octo pedum & digitorum octo, & vi utraque ad altitudinem pedum decem cum $emi$$e, & ubi- Luna e$t in Perigæo ad altitudinem pedum duodecim cum $emi$$e & ultra, præ$ertim ubi Æ$tus ventis $pirantibus adjuvatur. Tanta autem vis ad omnes Maris motus excitandos abunde $ufficit, & quantitati motuum probe re$pondet. Nam in maribus quæ ab Oriente in Occidentem late patent, uti in Mari <I>Pacifico,</I> & Maris <I>Atlantici</I> & <I>Æthiopici</I> partibus extra Tropicos, aqua attolli $o- let ad altitudinem pedum $ex, novem, duodecim vel quindecim. In Mari autem <I>Pacifico,</I> quod profundius e$t & latius patet, Æ$tus dicuntur e$$e majores quam in <I>Atlantico</I> & <I>Æthiopico.</I> Etenim ut plenus $it Æ$tus, latitudo Maris ab Oriente in Occidentem non minor e$$e debet quàm graduum nonaginta. In Mari <I>Æthiopico,</I> a$cen$us aquæ intra Tropicos minor e$t quam in Zonis tempera- tis, propter angu$tiam Maris inter <I>Africam</I> & Au$tralem partem <I>Americæ.</I> In medio Mari aqua nequit a$cendere, ni$i ad littus utrumque & orientale & occidentale $imul de$cendat: cum tamen vicibus alternis ad littora illa in Maribus no$tris angu$tis de$cen- dere debeat. Ea de cau$a fluxus & refluxus in In$ulis, quæ à littoribus longi$$ime ab$unt, perexiguus e$$et $olet. In Portubus quibu$dam, ubi aqua cum impetu magno per loca vado$a, ad Sinus alternis vicibus implendos & evacuandos, influere & effluere cogitur, fluxus & refluxus debent e$$e $olito majores, uti ad <I>Plymuthum</I> & pontem <I>Chep$towæ</I> in <I>Anglia</I>; ad montes S. <I>Mi- chaelis</I> & urbem <I>Abrincatuorum</I> (vulgo <I>Auranches</I>) in <I>Normania</I>; ad <I>Cambaiam</I> & <I>Pegu</I> in <I>India</I> orientali. His in locis mare, magna cum velocitate accedendo & recedendo, littora nunc in- undat nunc arida relinquit ad multa milliaria. Neque impetus influendi & remeandi prius frangi pote$t, quam aqua attollitur vel deprimitur ad pedes 30, 40, vel 50 & amplius. Et par e$t ratio fretorum oblongorum & vado$orum, uti <I>Magellanici</I> & ejus quo <I>Anglia</I> circundatur. Æ$tus in huju$modi portubus & fretis, per impetum cur$us & recur$us $upra modum augetur. Ad littora vero quæ de$cen$u præcipiti ad mare profundum & apertum $pectant, ubi aqua $ine impetu effluendi & remeandi attolli & $ub$idere pote$t, magnitudo Æ$tus re$pondet viribus Solis & Lunæ. <pb n=430> <MARG>DE MUNDI SYSTEMATE</MARG> <p><I>Corol.</I> 2. Cum vis Lunæ ad Mare movendum, $it ad vim gravi- tatis ut 1 ad 2871400, per$picuum e$t quod vis illa $it longe minor quam quæ vel in experimentis Pendulorum, vel in Staticis aut Hydro$taticis quibu$cunque $entiri po$$it. In Æ$tu $olo ma- rino hæc vis $en$ibilem edit effectum. <p><I>Corol.</I> 3. Quoniam vis Lunæ ad Mare movendum, e$t ad Solis vim con$imilem ut 4,4815 ad 1, & vires illæ (per Corol. 14. Prop. LXVI. Lib. I.) $unt ut den$itates corporum Lunæ & Solis & cubi diametrorum apparentium conjunctim; den$itas Lunæ erit ad den$itatem Solis, ut 4,4815 ad 1 directe & cubus diametri Lunæ ad cubum diametri Solis inver$e: id e$t (cum diametri me- diocres apparentes Lunæ & Solis $int 31′. 16 1/2″ & 32′. 12″) ut 4891 ad 1000. Den$itas autem Solis erat ad den$itatem Terræ, ut 100 ad 396; & propterea den$itas Lunæ e$t ad den$itatem Terræ, ut 4891 ad 3960 $eu 21 ad 17. E$t igitur corpus Lunæ den$ius & magis terre$tre quam Terra no$tra. <p><I>Corol.</I> 4. Et cum vera diameter Lunæ (ex Ob$ervationibus A$tronomicis) $it ad veram diametrum Terræ, ut 100 ad 365; erit ma$la Lunæ ad ma$$am Terræ, ut 1 ad 39,371. <p><I>Corol.</I> 5. Et gravitas acceleratrix in $uper$icie Lunæ, erit qua$i triplo minor quam gravitas acceleratrix in $uperficie Terræ. <p><I>Corol.</I> 6. Et di$tantia centri Lunæ a centro Terræ, erit ad di- $tantiam centri Lunæ a communi gravitatis centro Terræ & Lunæ, ut 40,371 ad 39,371. <p><I>Corol.</I> 7. Et mediocris di$tantia centri Lunæ a centro Terræ, erit $emidiametrorum maximarum Terræ 60 1/4 quamproxime. Nam $emidiameter maxima Terræ fuit pedum Pari$ien$ium 19767630, & mediocris di$tantia centrorum Terræ & Lunæ ex huju$modi $emidiametris 60 1/4 con$tans, æqualis e$t pedibus 1190999707. Et hæc di$tantia (per Corollarium $uperius) e$t ad di$tantiam centri Lunæ a communi gravitatis centro Terræ & Lunæ, ut 40,371 ad 39,371, quæ proinde e$t pedum 1161498340. Et cum Luna re- volvatur re$pectu Fixarum, diebus 27, horis 7 & minutis primis 43 1/5; $inus ver$us anguli quem Luna, tempore minuti unius primi motu $uo medio, circa commune gravitatis centrum Terræ & Lunæ de- $cribit, e$t 1275235, exi$tente radio 100,000000,000000, Et ut radius e$t ad hunc $inum ver$um, ita $unt pedes 1161498340 ad pedes 14,811833. Luna igitur vi illa qua retinetur in Orbe, ca- dendo in Terram, tempore minuti unius primi de$cribet pedes 14,811833. Et $i hæc vis augeatur in ratione (177 29/40) ad (178 29/40), ha- <pb n=431> bebitur vis tota gravitatis in Orbe Lunæ, per Corol. Prop. III. <MARG>LIBER TERTIUS.</MARG> Et hac vi Luna cadendo, tempore minuti unius primi de$cribere deberet pedes 14,89517. Et ad $exage$imam partem hujus di- $tantiæ, id e$t, ad di$tantiam pedum 19849995 a centro Terræ, corpus grave cadendo, tempore minuti unius $ecundi de$cribere deberet etiam pedes 14,89517. Diminuatur hæc di$tantia in $ub- duplicata ratione pedum 14,89517 ad pedes 15,12028, & habebitur di$tantia pedum 19701678 a qua grave cadendo, eodem tempore minuti unius $ecundi de$cribet pedes 15,12028, id e$t, pedes 15, dig 1, lin. 5,32. Et hac vi gravia cadunt in $uperficie Terræ, in Latitudine urbis <I>Lutetiæ Pari$iorum,</I> ut $upra o$ten$um e$t. E$t autem di$tantia pedum 19701678 paulo minor quam $emidiame- ter globi huic Terræ æqualis, & paulo major quam Terræ hujus $emidiameter mediocris, ut oportet. Sed differentiæ $unt in$en$i- biles. Et propterea vis qua Luna retinetur in Orbe $uo, ad di- $tantiam maximarum Terræ $emidiametrorum 60 1/4, ea e$t quam vis Gravitatis in $uperficie Terræ requirit. <p><I>Corol.</I> 8. Di$tantia mediocris centrorum Terræ & Lunæ, e$t me- diocrium Terræ $emidiametrorum 60 1/2 quamproxime. Nam $e- midiameter mediocris, quæ erat pedum 19688725, e$t ad $emi- diametrum maximam pedum 19767630, ut 60 1/4 ad 60 1/2 quam- proxime. <p>In his computationibus Attractionem magneticam Terræ non con$ideravimus, cujus utique quantitas perparva e$t & ignotatur. Siquando vero hæc Attractio inve$tigari poterit, & men$uræ gra- duum in Meridiano, ac longitudines Pendulorum i$ochronorum in diver$is parallelis, lege$que motuum Maris, & parallaxis Lunæ cum diametris apparentibus Solis & Lunæ ex Phænomenis accu- ratius determinatæ fuerint: licebit calculum hunc omnem acc<*>ra- tius repetere. <C>PROPOSITIO XXXVIII. PROBLEMA XIX.</C> <C><I>Invenire Figuram corporis Lunæ.</I></C> <p>Si corpus Lunare fluidum e$$et ad in$tar Maris no$tri, vis Terræ ad fluidum illud in partibus & citimis & ultimis elevandum, e$$et ad vim Lunæ, qua Mare no$trum in partibus & $ub Luna & Lunæ oppo$itis attollitur, ut gravitas acceleratrix Lunæ in Terram ad gravitatem acceleratricem Terræ in Lunam & diameter Lunæ ad <pb n=432> <MARG>DE MUNDI SYSTEMATE</MARG> diametrum Terræ conjunctim; id e$t, ut 39,371 ad 1 & 100 ad 365 conjunctim, $eu 1079 ad 100. Unde cum Mare no$trum vi Lunæ attollatur ad pedes 8 2/3, fluidum Lunare vi Terræ attolli de- beret ad pedes 93 1/2. Eaque de cau$a Figura Lunæ Sphærois e$$et, cujus maxima diameter producta tran$iret per centrum Terræ, & $uperaret diametros perpendiculares exce$$u pedum 187. Talem igitur Figuram Luna affectat, eamque $ub initio induere debuit. <I>Q. E. I.</I> <p><I>Corol.</I> Inde vero fit ut eadem $emper Lunæ facies in Terram obvertatur. In alio enim $itu corpus Lunare quie$cere non po- te$t, $ed ad hunc $itum o$cillando $emper redibit. Attamen o$cil- lationes, ob parvitatem virium agitantium, e$$ent longè tardi$$imæ: adeo ut facies illa, quæ Terram $emper re$picere deberet, po$$it alterum orbis Lunaris umbilicum, ob rationem in Prop. XVII. alla- tam re$picere, neque $tatim abinde retrahi & in Terram converti. <C>LEMMA I.</C> <p><I>Si</I> APEp <I>Terram de$ignet uniformiter den$am, centroque C & Polis</I> P, p <I>& Æquatore</I> AE <I>delineatam; & $i centro</I> C <I>radio</I> CP <I>de$cribi intelligatur Sphæra</I> Pape; <I>$it autem</I> QR <I>pla- num, cui recta a centro Solis ad centrum Terræ ducta normaliter in$i$tit; & Terræ totius exterioris</I> PapAPepE, <I>quæ Sphæra modo de$cripta altior e$t, particulæ $ingulæ conentur recedere hinc inde a plano</I> QR, <I>$itque conatus particulæ cuju$que ut eju$dem di$tantia a plano: Dico primo, quod tota particularum omnium, in Æquatoris circulo</I> AE, <I>extra globum uniformiter per totum cir- cuitum in morem annuli di$po$itarum, vis & efficacia ad Terram circum centrum ejus rotandam, $it ad totam particularum totidem in Æquatoris puncto</I> A, <I>quod a plano</I> QR <I>maxime di$tat, con- fi$tentium vim & efficaciam, ad Terram con$imili motu circulari circum centrum ejus movendam, ut unum ad duo. Et motus i$te circularis circum axem, in communi $ectione Æquatoris & plani</I> QR <I>jacentem, peragetur.</I> <p>Nam centro <I>C</I> diametro <I>BD</I> de$cribatur $emicirculus <I>BAFDC.</I> Dividi intelligatur $emicircum ferentia <I>BAD</I> in <pb n=433> partes innumeras æquales, & a partibus $ingulis <I>F</I> ad diame- <MARG>LIBER TERTIUS.</MARG> trum <I>BD</I> demittantur $inus <I>FY.</I> Et $umma quadratorum ex $inibus omnibus <I>FY</I> æqualis erit $ummæ quadratorum ex $inibus omnibus <I>CY,</I> & $umma utraque æqualis erit $ummæ quadrato- rum ex totidem $emidiametris <I>CF</I>; adeoque $umma quadrato- rum ex omnibus <I>FY,</I> erit duplo minor quam $umma quadrato- rum ex totidem $emidiametris <I>CF.</I> <FIG> <p>Jam dividatur perimeter circuli <I>AE</I> in particulas totidem æ- quales, & ab earum unaquaque <I>F</I> ad planum <I>QR</I> demittatur perpendiculum <I>FG,</I> ut & a puncto <I>A</I> perpendiculum <I>AH.</I> Et vis qua particula <I>F</I> recedit a plano <I>QR,</I> erit ut perpendiculum illud <I>FG</I> per hypothe$in, & hæc vis ducta in di$tantiam <I>CG,</I> erit efficacia particulæ <I>F</I> ad Terram circum centrum ejus con- vertendam. Adeoque efficacia particulæ in loco <I>F,</I> erit ad effi- caciam particulæ in loco <I>A,</I> ut <I>FGXGC</I> ad <I>AHXHC,</I> hoc e$t, ut <I>FCq</I> ad <I>ACq</I>; & propterea efficacia tota particularum omnium in locis $uis <I>F,</I> erit ad efficaciam particularum totidem in loco <I>A,</I> ut $umma omnium <I>FCq</I> ad $ummam totidem <I>ACq,</I> hoc e$t, (per jam demon$trata) ut unum ad duo. <I>Q.E.D.</I> <p>Et quoniam particulæ agunt recedendo perpendiculariter a plano <I>QR,</I> idque æqualiter ab utraque parte hujus plani: eædem convertent circumferentiam circuli Æquatoris, eique inhærentem Terram, circum axem tam in plano illo <I>QR</I> quam in plano Æqua- toris jacentem. <pb n=434> <MARG>DE MUNDI SYSTEMATE</MARG> <C>LEMMA II.</C> <p><I>Ii$dem po$itis: Dico $ecundo quod vis & efficacia tota parti- cularum omnium extra globum undique $itarum, ad Terram cir- cum axem eundem rotandam, $it ad vim totam particularum toti- dem, in Æquatoris circulo</I> AE, <I>uniformiter per totum circuitum in morem annuli di$po$itarum, ad Terram con$imili motu circulari movendam, ut duo ad quinque.</I> <p>Sit enim <I>IK</I> circulus quilibet minor Æquatori <I>AE</I> parallelus, $intque <I>L, l</I> particulæ duæ quævis æquales in hoc circulo extra globum <I>Pape</I> $itæ. Et $i in planum <I>QR,</I> quod radio in Solem ducto perpendiculare e$t, demittantur perpendicula <I>LM, lm:</I> vires totæ quibus particulæ illæ fugiunt planum <I>QR,</I> proporti- onales erunt perpendiculis illis <I>LM, lm.</I> Sit autem recta <I>Ll</I> plano <I>Pape</I> parallela & bi$ecetur eadem in <I>X,</I> & per pun- ctum <I>X</I> agatur <I>Nn,</I> quæ parallela $it plano <I>QR</I> & perpendi- <FIG> culis <I>LM, lm</I> occurrat in <I>N</I> ac <I>n,</I> & in planum <I>QR</I> demit- tatur perpendiculum <I>XT.</I> Et particularum <I>L</I> & <I>l</I> vires con- trariæ, ad Terram in contrarias partes rotandam, $unt ut <I>LMXMC</I> & <I>lmXmC,</I> hoc e$t, ut <I>LNXMC+NMXMC</I> & <I>lnXmC-nmXmC,</I> $eu <I>LNXMC+NMXMC</I> & <I>LNXmC</I> <pb n=435> -<I>NMXmC</I>: & harum differentia <I>LNXMm-NMX―MC+mC,</I> <MARG>LIBER TERTIUS.</MARG> e$t vis particularum ambarum $imul $umptarum ad Terram rotandam. Hujus differentiæ pars affirmativa <I>LNXMm</I> $eu 2<I>LNXNX,</I> e$t ad particularum duarum eju$dem magnitudi- nis in <I>A</I> con$i$tentium vim 2<I>AHXHC,</I> ut <I>LXq</I> ad <I>ACq.</I> Et pars negativa <I>NMX―MC+mC</I> $eu 2<I>XYXCY,</I> ad parti- cularum earundem in <I>A</I> con$i$tentium vim 2<I>AHXHC,</I> ut <I>CXq</I> ad <I>ACq.</I> Ac proinde partium differentia, id e$t, par- ticularum duarum <I>L</I> & <I>l</I> $imul $umptarum vis ad Terram rotan- dam, e$t ad vim particularum duarum ii$dem æqualium & in loco <I>A</I> con$i$tentium, ad Terram itidem rotandam, ut <I>LXq-CXq</I> ad <I>ACq.</I> Sed $i circuli <I>IK</I> circumferentia <I>IK</I> dividatur in par- ticulas innumeras æquales <I>L,</I> erunt omnes <I>LXq</I> ad totidem <I>IXq</I> ut 1 ad 2, (per Lem. I.) atque ad totidem <I>ACq,</I> ut <I>IXq</I> ad 2<I>ACq</I>; & totidem <I>CXq</I> ad totidem <I>ACq</I> ut 2<I>CXq</I> ad 2<I>ACq.</I> Quare vires conjunctæ particularum omnium in circuitu circuli <I>IK,</I> $unt ad vires conjunctas particularum totidem in loco <I>A,</I> ut <I>IXq</I>-2<I>CXq</I> ad 2<I>ACq</I>: & propterea (per Lem. I.) ad vires conjunctas particularum totidem in circuitu circuli <I>AE,</I> ut <I>IXq</I>-2<I>CXq</I> ad <I>ACq.</I> <p>Jam vero $i Sphæræ diameter <I>Pp</I> dividatur in partes innume- ras æquales, quibus in$i$tant circuli totidem <I>IK</I>; materia in peri- metro circuli cuju$que <I>IK</I> erit ut <I>IXq</I>: ideoque vis materiæ illius ad Terram rotandam, erit ut <I>IXq</I> in <I>IXq</I>-2<I>CXq.</I> Et vis materiæ eju$dem, $i in circuli <I>AE</I> perimetro con$i$teret, e$$et ut <I>IXq</I> in <I>ACq.</I> Et propterea vis particularum omnium ma- teriæ totius, extra globum in perimetris circulorum omnium con- $i$tentis, e$t ad vim particularum totidem in perimetro circuli maximi <I>AE</I> con$i$tentis, ut omnia <I>IXq</I> in <I>IXq</I>-2<I>CXq</I> ad totidem <I>IXq</I> in <I>ACq,</I> hoc e$t, ut omnia <I>ACq-CXq</I> in <I>ACq</I>-3<I>CXq</I> ad totidem <I>ACq-CXq</I> in <I>ACq,</I> id e$t, ut omnia <I>ACqq</I>-4<I>ACqXCXq</I>+3<I>CXqq</I> ad totidem <I>ACqq -ACqXCXq,</I> hoc e$t, ut tota quantitas fluens cujus fluxio e$t <I>ACqq</I>-4<I>ACqXCXq</I>+3<I>CXqq,</I> ad totam quantitatem flu- entem cujus fluxio e$t <I>ACqq-ACqXCXq</I>; ac proinde per Me- thodum Fluxionum, ut <I>ACqqXCX</I>-4/3<I>ACqXCXcub</I>+<*>/<*><I>CXqc</I> ad <I>ACqqXCX</I>-1/3<I>ACqXCXcub,</I> id e$t, $i pro <I>CX</I> $cribatur tota <I>Cp</I> vel <I>AC,</I> ut (4/15)<I>ACqc</I> ad 2/3<I>ACqc,</I> hoc e$t, ut duo ad quinque. <I>Q. E. D.</I> <pb n=436> <MARG>DE MUNDI SYSTEMATE</MARG> <C>LEMMA III.</C> <p><I>Ii$dem po$itis: Dico tertio quod motus Terræ totius circum axem jam ante de$criptum, ex motibus particularum omnium compo$i- tus, erit ad motum annuli prædicti circum axem eundem, in ra- tione quæ componitur ex ratione materiæ in Terra ad materiam in annulo, & ratione trium quadratorum ex arcu quadrantali circuli cuju$cunque ad duo quadrata ex diametro; id e$t, in ra- tione materiæ ad materiam & numeri</I> 925275 <I>ad numerum</I> 1000000. <p>E$t enim motus Cylindri circum axem $uum immotum revol- ventis, ad motum Sphæræ in$criptæ & $imul revolventis, ut quæ- libet quatuor æqualia quadrata ad tres ex circulis $ibi in$criptis: & motus Cylindri ad motum annuli tenui$$imi, Sphæram & Cy- lindrum ad communem eorum contactum ambientis, ut duplum materiæ in Cylindro ad triplum materiæ in annulo; & annuli motus i$te circum axem Cylindri uniformiter continuatus, ad eju$dem motum uniformem circum diametrum propriam, eodem tempore periodico factum, ut circumferentia circuli ad duplum diametri. <C>HYPOTHESIS II.</C> <p><I>Si annulus prædictus Terra omni reliqua $ublata, $olus in Orbe Terræ, motu annuo circa Solem ferretur, & interea circa axem $uum, ad planum Eclipticæ in angulo graduum</I> 23 1/2 <I>inclinatum, motu diurno revolveretur: idem foret motus Punctorum Æqui- noctialium $ive annulus i$te fluidus e$$et, $ive is ex materia rigida & firma con$taret.</I> <pb n=437> <C>PROPOSITIO XXXIX. PROBLEMA XX.</C> <MARG>LIBER TERTIUS.</MARG> <C><I>Invenire Præce$$ionem Æquinoctiorum.</I></C> <p>Motus mediocris horarius Nodorum Lunæ in Orbe circulari, ubi Nodi $unt in Quadraturis, erat 16″. 35‴. 16<SUP>iv</SUP>. 36<SUP>v</SUP>. & hujus dimidium 8′. 17‴. 38<SUP>iv</SUP>. 18<SUP>v</SUP>. (ob rationes $upra explicatas) e$t mo- tus medius horarius Nodorum in tali Orbe; fitque anno toto $idereo 20<SUP>gr.</SUP> 11′. 46″. Quoniam igitur Nodi Lunæ in tali Orbe conficerent annuatim 20<SUP>gr.</SUP> 11′. 46″. in antecedentia; & $i plures e$$ent Lunæ motus Nodorum cuju$que, per Corol. 16. Prop. LXVI. Lib. I. forent ut tempora periodica; $i Luna $patio diei $iderei juxta $uperficiem Terræ revolveretur, motus annuus Nodorum foret ad 20<SUP>gr.</SUP> 11′. 46″. ut dies $idereus horarum 23. 56′. ad tempus periodicum Lunæ dierum 27. 7 hor. 43′; id e$t, ut 1436 ad 39343. Et par e$t ratio Nodorum annuli Lunarum Terram ambientis; $ive Lunæ illæ $e mutuo non contingant, $ive lique$cant & in annulum continuum formentur, $ive denique an- nulus ille rige$cat & inflexibilis reddatur. <p>Fingamus igitur quod annulus i$te, quoad quantitatem materiæ, æqualis $it Terræ omni <I>PapAPepE</I> quæ globo <I>Pape</I> $uperior e$t; (<I>Vid. Fig. pag.</I> 434.) & quoniam globus i$te e$t ad Terram illam $uperiorem ut <I>aCqu.</I> ad <I>ACqu.-aCqu.</I> id e$t (cum Terræ diameter minor <I>PC</I> vel <I>aC</I> $it ad diametrum majorem <I>AC</I> ut 229 ad 230,) ut 52441 ad 459; $i annulus i$te Terram $ecundum Æquatorem cingeret & uterque $imul circa diametrum annuli revolveretur, motus annuli e$$et ad motum globi interioris (per hujus Lem. III.) ut 459 ad 52441 & 1000000 ad 925275 conjunctim, hoc e$t, ut 4590 ad 485223; ideoque motus annuli e$$et ad $ummam mo- tuum annuli ac globi, ut 4590 ad 489813. Unde $i annulus glo- bo adhæreat, & motum $uum quo ip$ius Nodi $eu puncta Æqui- noctialia regrediuntur, cum globo communicet: motus qui re$ta- bit in annulo erit ad ip$ius motum priorem, ut 4590 ad 489813; & propterea motus punctorum Æquinoctialium diminuetur in eadem ratione. Erit igitur motus annuus punctorum Æqui- noctialium corporis ex annulo & globo compo$iti, ad motum <pb n=438> <MARG>DE MUNDI SYSTEMATE</MARG> 20<SUP>gr.</SUP> 11′. 46″, ut 1436 ad 39343 & 4590 ad 489813 conjun- ctim, id e$t, ut 100 ad 292369. Vires autem quibus Nodi Lu- narum (ut $upra explicui) atque adeo quibus puncta Æquinoctia- lia annuli regrediuntur (id e$t vires 3<I>IT, in Fig. pag.</I>403 & 404.) $unt in $ingulis particulis ut di$tantiæ particularum à plano <I>QR,</I> & his viribus particulæ illæ planum fugiunt; & propterea (per Lem. II.) $i materia annuli per totam globi $uperficiem, in mo- rem figuræ <I>PapAPepE,</I> ad $uperiorem illam Terræ partem con$tituendam $pargeretur, vis & efficacia tota particularum om- nium ad Terram circa quamvis Æquatoris diametrum rotandam, atque adeo ad movenda puncta Æquinoctialia, evaderet minor quam prius in ratione 2 ad 5. Ideoque annuus Æquinoctiorum regre$$us jam e$$et ad 20<SUP>gr.</SUP> 11′. 46″, ut 10 ad 73092: ac proinde fieret 9″. 56‴. 50<SUP>iv</SUP>. <p>Cæterum hic motus, ob inclinationem plani Æquatoris ad pla- num Eclipticæ, minuendus e$t, idque in ratione $inus 91706 (qui $inus e$t complementi graduum 23 1/2) ad Radium 100000. Qua ratione motus i$te jam fiet 9″. 7‴. 20<SUP>iv</SUP>. Hæc e$t annua Præce$$io Æquinoctiorum a vi Solis oriunda. <p>Vis autem Lunæ ad Mare movendum erat ad vim Solis, ut 4,4815 ad 1 circiter. Et vis Lunæ ad Æquinoctia movenda, e$t ad vim Soiis in eadem proportione. Indeque prodit annua Æ- quinoctiorum Præce$$io a vi Lunæ oriunda 40″. 52‴. 52<SUP>iv</SUP>; ac tota Præce$$io annua a vi utraque oriunda 50″. 00‴. 12<SUP>iv</SUP>. Et hic mo- tus cum Phænomenis congruit. Nam Præce$$io Æquinoctiorum ex Ob$ervationibus A$tronomicis e$t minutorum $ecundorum plus minus quinquaginta. <p>Si altitudo Terræ ad Æquatorem $uperet altitudinem ejus ad Polos, milliaribus pluribus quam 17 1/6, materia ejus rarior erit ad circumferentiam quam ad centrum: & Præce$$io Æquinoctiorum ob altitudinem illam augeri, ob raritatem diminui debet. <p>De$crip$imus jam Sy$tema Solis, Terræ, Lunæ, & Planetarum: $upere$t ut de Cometis nonnulla adjiciantur. <pb n=439> <C>LEMMA IV.</C> <MARG>LIBER TERTIUS.</MARG> <C><I>Cometas e$$e Luna $uperiores & in regione Planetarum ver$ari.</I></C> <p>Ut defectus Parallaxeos diurnæ extulit Cometas $upra regiones $ublunares, $ic ex Parallaxi annua convincitur eorum de$cen$us in regiones Planetarum. Nam Cometæ qui progrediuntur $ecun- dum ordinem $ignorum $unt omnes, $ub exitu apparitionis, aut $olito tardiores aut retrogradi, $i Terra e$t inter ip$os & Solem; at ju$to celeriores $i Terra vergit ad oppo$itionem. Et e contra, qui pergunt contra ordinem $ignorum $unt ju$to celeriores in fine apparitionis, $i Terra ver$atur inter ip$os & Solem; & ju$to tar- diores vel retrogradi $i Terra $ita e$t ad contrarias partes. Con- tingit hoc maxime ex motu Terræ in vario ip$ius $itu, perinde ut fit in Planetis, qui, pro motu Terræ vel con$pirante vel contra- rio, nunc retrogradi $unt, nunc tardius progredi videntur, nunc vero celerius. Si Terra pergit ad eandem partem cum Cometa, & motu angulari circa Solem tanto celerius fertur, ut recta per Terram & Cometam perpetuo ducta convergat ad partes ultra Cometam, Cometa e Terra $pectatus, ob motum $uum tardiorem, apparet e$$e retrogradus; $in Terra tardius fertur, motus Cometæ, <FIG> (detracto motu Terræ) fit $altem tardior. At $i Terra pergit in contrarias partes, Cometa exinde velocior apparet. Ex accele- ratione autem vel retardatione vel motu retrogrado di$tantia Co- metæ in hunc modum colligitur. Sunto <I>r QA, r QB, r QC</I> ob$ervatæ tres longitudines Cometæ, $ub initio motus, $itque <I>r QF</I> longitudo ultimo ob$ervata, ubi Cometa videri de$init. <pb n=440> <MARG>DE MUNDI SYSTEMATE</MARG> Agatur recta <I>ABC,</I> cujus partes <I>AB, BC</I> rectis <I>QA</I> & <I>QB, QB</I> & <I>QC</I> interjectæ, $int ad invicem ut tempora inter ob$er- vationes tres primas. Producatur <I>AC</I> ad <I>G,</I> ut $it <I>AG</I> ad <I>AB</I> ut tempus inter ob$ervationem primam & ultimam, ad tempus inter ob$ervationem primam & $ecundam, & jungatur <I>QG.</I> Et $i Cometa moveretur uniformiter in linea recta, atque Terra vel quie$ceret, vel etiam in linea recta, uniformi cum motu, progre- deretur; foret angulus <I>r QG</I> longitudo Cometæ tempore Ob- $ervationis ultimæ. Angulus igitur <I>FQG,</I> qui longitudinum dif- ferentia e$t, oritur ab inæqualitate motuum Cometæ ac Terræ. Hic autem angulus, $i Terra & Cometa in contrarias partes mo- ventur, additur angulo <I>rQG,</I> & $ic motum apparentem Co- metæ velociorem reddit: Sin Cometa pergit in ea$dem partes cum Terra, eidem $ubducitur, motumque Cometæ vel tardiorem reddit, vel forte retrogradum; uti modo expo$ui. Oritur igitur hic angulus præcipue ex motu Terræ, & idcirco pro parallaxi Co- metæ merito habendus e$t, neglecto videlicet ejus incremento vel decremento nonnullo, quod a Cometæ motu inæquabili in Orbe proprio oriri po$$it. Di$tantia vero Cometæ ex hac parallaxi $ic colligitur. De$ignet <I>S</I> Solem, <I>acT</I> Orbem magnum, <I>a</I> locum Terræ in ob$ervatione prima, <I>c</I> locum <FIG> Terræ in ob$ervatione tertia, <I>T</I> locum Terræ in ob$ervatione ultima, & <I>Tr</I> li- neam rectam ver$us principium Arietis ductam. Sumatur angulus <I>rTV</I> æqua- lis angulo <I>rQF,</I> hoc e$t, æqualis lon- gitudini Cometæ ubi Terra ver$atur in <I>T.</I> Jungatur <I>ac,</I> & producatur ea ad <I>g,</I> ut $it <I>ag</I> ad <I>ac</I> ut <I>AG</I> ad <I>AC,</I> & erit <I>g</I> locus quem Terra tempore ob$er- vationis ultimæ, motu in recta <I>ac</I> uni- formiter continuato, attingeret. Ideo- que $i ducatur <I>g r</I> ip$i <I>Tr</I> parallela, & capiatur angulus <I>rgV</I> angulo <I>rQG</I> æqualis, erit hic angulus <I>rgV</I> æqualis longitudini Cometæ e loco <I>g</I> $pectati; & angulus <I>TVg</I> parallaxis erit, quæ oritur a tran$latione Terræ de loco <I>g</I> in locum <I>T</I>: ac proinde <I>V</I> locus erit Cometæ in plano Eclipticæ. Hic autem locus <I>V</I> Orbe Jovis inferior e$$e $olet. <pb n=441> <p>Idem colligitur ex curvatura viæ Cometarum. Pergunt hæc <MARG>LIBER TERTIUS.</MARG> corpora propemodum in circulis maximis quamdiu moventur cele- rius; at in fine cur$us, ubi motus apparentis pars illa quæ à pa- rallaxi oritur, majorem habet proportionem ad motum totum ap- parentem, deflectere $olent ab his circulis, & quoties Terra mo- vetur in unam partem, abire in partem contrariam. Oritur hæc deflexio maxime ex Parallaxi, propterea quod re$pondet motui Terræ; & in$ignis ejus quantitas, meo computo, collocavit di$pa- rentes Cometas $atis longe infra Jovem. Unde con$equens e$t quod in Perigæis & Periheliis, ubi propius ad$unt, de$cendunt $æpius infra orbes Martis & inferiorum Planetarum. <p>Confirmatur etiam propinquitas Cometarum ex luce capitum. Nam corporis cœle$tis a Sole illu$trati & in regiones longinquas abeuntis, diminuitur $plendor in quadruplicata ratione di$tantiæ: in duplicata ratione videlicet ob auctam corporis di$tantiam a Sole, & in alia duplicata ratione ob diminutam diametrum appa- rentem. Unde $i detur & lucis quantitas & apparens diameter Cometæ, dabitur di$tantia, dicendo quod di$tantia $it ad di$tan- tiam Planetæ, in ratione diametri ad diametrum directe & ratione $ubduplicata lucis ad lucem inver$e. Sic minima capillitii Co- metæ anni 1682 diameter, per Tubum opticum $exdecim pedum a <I>Flam$tedio</I> ob$ervata & Micrometro men$urata, æquabat 2′. 0″. Nucleus autem $eu $tella in medio capitis vix decimam partem la- titudinis hujus occupabat, adeoque lata erat tantum 11″ vel 12″. Luce vero & claritate capitis $uperabat caput Cometæ anni 1680, $tella$que primæ vel $ecundæ magnitudinis æmulabatur. Ponamus Saturnum cum annulo $uo qua$i quadruplo lucidiorem fui$$e: & quoniam lux annuli propemodum æquabat lucem globi inter- medii, & diameter apparens globi $it qua$i 21″, adeoque lux globi & annuli conjunctim æquaret lucem globi, cujus diameter e$$et 30″: erit di$tantia Cometæ ad di$tantiam Saturni ut 1 ad √ 4 inver$e, & 12″ ad 30″ directe, id e$t, ut 24 ad 30 $eu 4 ad 5. Rur$us Cometa anni 1665 men$e <I>Aprili,</I> ut author e$t <I>Hevelius,</I> claritate $ua pene Fixas omnes $uperabat, quinetiam ip$um Satur- num, ratione coloris videlicet longe vividioris. Quippe lucidior erat hic Cometa altero illo, qui in fine anni præcedentis apparu- erat & cum $tellis primæ magnitudinis conferebatur. Latitudo capillitii erat qua$i 6′, at nucleus cum Planetis ope Tubi optici collatus, plane minor erat Jove, & nunc minor corpore interme- <pb n=442> <MARG>DE MUNDI SYSTEMATE</MARG> dio Saturni, nunc ip$i æqualis judicabatur. Porro cum diameter capillitii Cometarum raro $uperet 8′ vel 12′, diameter vero nu- clei $eu $tellæ centralis $it qua$i decima vel forte decima quinta pars diametri capillitii, patet Stellas ha$ce ut plurimum eju$dem e$$e apparentis magnitudinis cum Planetis. Unde cum lux earum cum luce Saturni non raro conferri po$$it, eamque aliquando $u- peret; manife$tum e$t quod Cometæ omnes in Periheliis vel in- fra Saturnum collocandi $int, vel non longe $upra. Errant igitur toto cœlo qui Cometas in regionem Fixarum prope ablegant: qua certe ratione non magis illu$trari deberent a Sole no$tro, quam Planetæ, qui hic $unt, illu$trantur a Stellis fixis. <p>Hæc di$putavimus non con$iderando ob$curationem Cometa- rum per $umum illum maxime copio$um & cra$$um, quo caput circundatur, qua$i per nubem obtu$e $emper lucens. Nam quan- to ob$curius redditur corpus per hunc fumum, tanto propius ad Solem accedat nece$$e e$t, ut copia lucis a $e reflexa Planetas æmu- letur. Inde veri$imile fit Cometas longe infra $phæram Saturni de$cendere, uti ex Parallaxi probavimus. Idem vero quam ma- xime confirmatur ex Caudis. Hæ vel ex reflexione fumi $par$i per Æthera, vel ex luce capitis oriuntur. Priore ca$u minuenda e$t di$tantia Cometarum, ne fumus a capite $emper ortus per $patia nimis ampla incredibili cum velocitate & expan$ione pro- pagetur. In po$teriore referenda e$t lux omnis tam caudæ quam capillitii ad nucleum capitis. Igitur $i concipiamus lucem hanc omnem congregari & intra di$cum nuclei coarctari, nucleus ille jam certe, quoties caudam maximam & fulgenti$$imam emittit, Jovem ip$um $plendore $uo multum $uperabit. Minore igitur cum diametro apparente plus lucis emittens, multo magis illu$tra- bitur a Sole, adeoque erit Soli multo propior. Quinetiam capita $ub Sole delite$centia, & caudas cum maximas tum fulgenti$$imas in$tar trabium ignitarum nonnunquam emittentia, eodem argu- mento infra orbem Veneris collocari debent. Nam lux illa omnis $i in $tellam congregari $upponatur, ip$am Venerem ne dicam Ve- neres plures conjunctas quandoque $uperaret. <p>Idem denique colligitur ex luce capitum cre$cente in rece$$u Cometarum a Terra Solem ver$us, ac decre$cente in eorum rece$$u a Sole ver$us Terram. Sic enim Cometa po$terior Anni 1665 (ob$ervante <I>Hevelio,</I>) ex quo con$pici cœpit, remittebat $emper <pb n=443> de motu $uo apparente, adeoque præterierat Perigæum; Splen- <MARG>LIBER TERTIUS.</MARG> dor vero capitis nihilominus indies cre$cebat, u$que dum Cometa radiis Solaribus obtectus de$iit apparere. Cometa Anni 1683, ob$ervante eodem <I>Hevelio,</I> in fine Men$is <I>Julii</I> ubi primum con- $pectus e$t, tardi$$ime movebatur, minuta prima 40 vel 45 circi- ter $ingulis diebus in Orbe $uo conficiens. Ex eo tempore motus ejus diurnus perpetuo augebatur u$que ad <I>Sept.</I> 4. quando eva$it graduum qua$i quinque. Igitur toto hoc tempore Cometa ad Terram appropinquabat. Id quod etiam ex diametro capitis Micrometro men$urata colligitur: quippe quam <I>Hevelius</I> reperit <I>Aug.</I> 6. e$$e tantum 6′. 5″ inclu$a coma, at <I>Sept.</I> 2. e$$e 9′. 7″. Caput igitur initio longe minus apparuit quam in $ine motus, at initio tamen in vicinia Solis longe lucidius extitit quam circa finem, ut refert idem <I>Hevelius.</I> Proinde toto hoc tempore, ob rece$$um ip$ius a Sole, quoad lumen decrevit, non ob$tante ac- ce$$u ad Terram. Cometa Anni 1618 circa medium Men$is <I>De- cembris,</I> & i$te Anni 1680 circa finem eju$dem Men$is, celerrime movebantur, adeoque tunc erant in Perigæis. Verum $plendor maximus capitum contigit ante duas fere $eptimanas, ubi modo exierant de radiis Solaribus; & $plendor maximus caudarum paulo ante, in majore vicinitate Solis. Caput Cometæ prioris, juxta ob$ervationes <I>Cy$ati, Decemb.</I> 1. majus videbatur $tellis pri- mæ magnitudinis, & <I>Decemb.</I> 16. (jam in Perigæo exi$tens) mag- nitudine parum, $plendore $eu claritate luminis plurimum defe- cerat. <I>Jan.</I> 7. <I>Keplerus</I> de capite incertus finem fecit ob$ervandi. Die 12 men$is <I>Decemb.</I> con$pectum & a <I>Flam$tedio</I> ob$ervatum e$t caput Cometæ po$terioris, in di$tantia novem graduum a Sole; id quod $tellæ tertiæ magnitudinis vix conce$$um fui$$et. <I>Decemb.</I> 15. & 17 apparuit idem ut $tella tertiæ magnitudinis, diminutum utique $plendore Nubium juxta Solem occidentem. <I>Decemb.</I> 26. veloci$$ime motus, inque Perigæo propemodum exi$tens, cedebat ori Pega$i, Stellæ tertiæ magnitudinis. <I>Jan.</I> 3. apparebat ut Stella quartæ, <I>Jan.</I> 9. ut Stella quintæ, <I>Jan.</I> 13. ob $plendorem Lunæ cre$centis di$paruit. <I>Jan.</I> 25. vix æquabat Stellas magnitudinis $eptimæ. Si $umantur æqualia a Perigæo hinc inde tempora, ca- pita quæ temporibus illis in longinquis regionibus po$ita, ob æquales a Terra di$tantias, æqualiter lucere debui$$ent, in plaga Solis maxime $plenduere, ex altera Perigæi parte evanuere. Igi- tur ex magna lucis in utroque $itu differentia, concluditur magna Solis & Cometæ vicinitas in $itu priore. Nam lux Cometarum <pb n=444> <MARG>DE MUNDI SYSTEMATE</MARG> regularis e$$e $olet, & maxima apparere ubi capita veloci$$ime moventur, atque adeo $unt in Perigæis; ni$i quatenus ea major e$t in vicinia Solis. <p><I>Corol.</I> 1. Splendent igitur Cometæ luce Solis a $e reflexa. <p><I>Corol.</I> 2. Ex dictis etiam intelligitur cur Cometæ tantopere fre- quentant regionem Solis. Si cernerentur in regionibus longe ultra Saturnum, deberent $æpius apparere in partibus Soli oppo- $itis. Forent enim Terræ viciniores qui in his partibus ver$a- rentur, & Sol interpo$itus ob$curaret cæteros. Verum percur- rendo hi$torias Cometarum, reperi quod quadruplo vel quintuplo plures detecti $unt in Hemi$phærio Solem ver$us, quam in He- mi$phærio oppo$ito, præter alios procul dubio non paucos quos lux Solaris obtexit. Nimirum in de$cen$u ad regiones no$tras neque caudas emittunt, neque adeo illu$trantur a Sole, ut nudis oculis $e prius detegendos exhibeant, quam $int ip$o Jove pro- piores. Spatii autem tantillo intervallo circa Solem de$cripti pars longe major $ita e$t a latere Terræ quod Solem re$picit; inque parte illa majore Cometæ, Soli ut plurimum viciniores, magis illuminari $olent. <p><I>Corol.</I> 3. Hinc etiam manife$tum e$t, quod Cœli re$i$tentia de- $tituuntur. Nam Cometæ vias obliquas & nonnunquam cur$ui Planetarum contrarias $ecuti, moventur omnifariam liberrime, & motus $uos etiam contra cur$um Planetarum, diuti$$ime con$er- vant. Fallor ni genus Planetarum $int, & motu perpetuo in or- bem redeant. Nam quod Scriptores aliqui Meteora e$$e volunt, argumentum a capitum perpetuis mutationibus ducentes, funda- mento carere videtur. Capita Cometarum Atmo$phæris ingen- tibus cinguntur; & Atmo$phæræ inferne den$iores e$$e debent. Unde nubes $unt, non ip$a Cometarum corpora, in quibus muta- tiones illæ vi$untur. Sic Terra $i e Planetis $pectaretur, luce nu- bium $uarum proculdubio $plenderet, & corpus firmum $ub nu- bibus prope delite$ceret. Sic cingula Jovis in nubibus Planetæ illius formata e$t, quæ $itum mutant inter $e, & firmum Jovis corpus per nubes illas difficilius cernitur. Et multo magis cor- pora Cometarum $ub Atmo$phæris & profundioribus & cra$$iori- bus ab$condi debent. <pb n=445> <C>PROPOSITIO XL. THEOREMA XX.</C> <MARG>LIBER TERTIUS.</MARG> <p><I>Cometas in Sectionibus Conicis umbilicos in centro Solis haben- tibus moveri, & radiis ad Solem ductis areas temporibus pro- portionales de$cribere.</I> <p>Patet per Corol. 1. Propo$. XIII. Libri primi, collatum cum Prop. VIII, XII & XIII. Libri tertii. <p><I>Corol.</I> 1. Hinc $i Cometæ in orbem redeunt: Orbes erunt Ellip- $es, & tempora periodica erunt ad tempora periodica Planetarum in axium principalium ratione $e$quiplicata. Ideoque Cometæ maxima ex parte $upra Planetas ver$antes, & eo nomine Orbes axibus majoribus de$cribentes, tardius revolventur. Ut $i axis Or- bis Cometæ $it quadruplo major axe Orbis Saturni, tempus revo- lutionis Cometæ erit ad tempus revolutionis Saturni, id e$t, ad annos 30, ut 4 √ 4 ($eu 8) ad 1, ideoque erit annorum 240. <p><I>Corol.</I> 2. Orbes autem erunt Parabolis adeo finitimi, ut eorum vice Parabolæ, ab$que erroribus $en$ibilibus, adhiberi po$$int. <p><I>Corol.</I> 3. Et propterea, per Corol. 7. Prop. XVI. Lib. I. velo- citas Cometæ omnis, erit $emper ad velocitatem Planetæ cuju$vis circa Solem in circulo revolventis, in $ubduplicata ratione duplæ di$tantiæ Planetæ a centro Solis, ad di$tantiam Cometæ a centro Solis quamproxime. Ponamus radium Orbis magni, $eu Ellip$eos in qua Terra revolvitur $emidiametrum maximam, e$$e partium 100000000: & Terra motu $uo diurno mediocri de$cribet partes 1720212, & motu horario partes 71675 1/2. Ideoque Cometa in eadem Telluris a Sole di$tantia mediocri, ea cum velocitate quæ $it ad velocitatem Telluris ut √ 2 ad 1, de$cribet motu $uo diurno partes 2432747, & motu horario partes 10136. In majoribus autem vel minoribus di$tantiis, motus tum diurnus tum horarius erit ad hunc motum diurnum & horarium in $ubduplicata ratione di$tantiarum reciproce, ideoque datur. <p><I>Corol.</I> 4. Unde $i Latus rectum Parabolæ quadruplo majus $it radio Orbis magni, & quadratum radii illius ponatur e$$e partium 100000000: area quam Cometa radio ad Solem ducto $ingulis die- bus de$cribit, erit partium 1216373 1/4, & $ingulis horis area illa erit partium 50682 1/4. Sin latus rectum majus $it vel minus in ra- tione quavis, erit area diurna & horaria major vel minor in ea- dem ratione $ubduplicata. <pb n=446> <MARG>DE MUNDI SYSTEMATE</MARG> <C>LEMMA V.</C> <C><I>Invenire lineam curvam generis Parabolici, quæ per data quotcunque puncta tran$ibit.</I></C> <p>Sunto puncta illa <I>A, B, C, D, E, F,</I> &c. & ab ii$dem ad rectam quamvis po$itione datam <I>HN</I> demitte perpendicula quotcunque <I>AH, BI, CK, DL, EM, FN.</I> <p><I>Ca$.</I> 1. Si punctorum <I>H, I, K, L, M, N</I> æqualia $unt inter- valla <I>HI, IK, KL,</I> &c. collige perpendiculorum <I>AH, BI, CK,</I> &c. differentias primas <I>b,</I> 2<I>b,</I> 3<I>b,</I> 4<I>b,</I> 5<I>b,</I> &c. $ecundas <I>c,</I> 2<I>c,</I> 3<I>c,</I> 4<I>c,</I> &c. tertias <I>d,</I> 2<I>d,</I> 3<I>d,</I> &c. id e$t, ita ut $it <I>AH-BI=b, BI-CK=2b, CK-DL=3b, DL+EM=4b,-EM+FN=5b,</I> <FIG> &c. dein <I>b-2b=c,</I> &c. & $ic pergatur ad diffe- rentiam ultimam quæ hic e$t <I>f.</I> Deinde erecta qua- cunque perpendiculari <I>RS,</I> quæ fuerit ordina- tim applicata ad curvam quæ$itam: ut inveniatur hujus longitudo, pone intervalla <I>HI, IK, KL, LM,</I> &c. unitates e$$e, & dic <I>AH=a,-HS=p, 1/2p</I> in -<I>IS=q, 1/3q</I> in +<I>SK=r, 1/4r</I> in +<I>SL=s, 1/5s</I> in +<I>SM=t</I>; pergendo videlicet ad u$que penultimum perpendiculum <I>ME,</I> & præponendo $igna negativa terminis <I>HS, IS,</I> &c. qui jacent ad partes puncti <I>S</I> ver- $us <I>A,</I> & $igna affirmativa terminis <I>SK, SL,</I> &c. qui jacent ad alteras partes puncti <I>S.</I> Et $ignis probe ob$ervatis, erit <I>RS=a+bp+cq+dr+es+ft,</I> &c. <p><I>Ca$.</I> 2. Quod $i punctorum <I>H, I, K, L,</I> &c. inæqualia $int inter- valla <I>HI, IK,</I> &c. collige perpendiculorum <I>AH, BI, CK,</I> &c. differentias primas per intervalla perpendiculorum divi$as <I>b,</I> 2<I>b,</I> 3<I>b,</I> 4<I>b,</I> 5<I>b</I>; $ecundas per intervalla bina divi$as <I>c,</I> 2<I>c,</I> 3<I>c,</I> 4<I>c,</I> &c. tertias per intervalla terna divi$as <I>d,</I> 2<I>d,</I> 3<I>d,</I> &c. quartas per <pb n=447> intervalla quaterna divi$as <I>e,</I> 2<I>e,</I> &c. & $ic deinceps; id e$t, ita <MARG>LIBER TERTIUS.</MARG> ut $it <I>b=(AH-BI/HI), 2b=(BI-CK/IK), 3b=(CK-DL/KL),</I> &c. dein <I>c=(b-2b/HK), 2c=(2b-3b/IL), 3c=(3b-4b/KM),</I> &c. Po$tea <I>d=(c-2c/HL), 2d=(2c-3c/IM),</I> &c. Inventis differentiis, dic <I>AH=a, -HS=p, p</I> in -<I>IS=q, q</I> in +<I>SK=r, r</I> in +<I>SL=s, s</I> in +<I>SM=t</I>; pergendo $cilicet ad u$que perpendiculum penultimum <I>ME,</I> & erit ordinatim applicata <I>RS=a+bp+cq+dr+es+ft,</I> &c. <p><I>Corol.</I> Hinc areæ curvarum omnium inveniri po$$unt quampro- xime. Nam $i curvæ cuju$vis quadrandæ inveniantur puncta ali- quot, & Parabola per eadem duci intelligatur: erit area Parabolæ hujus eadem quam proxime cum area curvæ illius quadrandæ. Pote$t autem Parabola, per Methodos noti$$imas, $emper quadrari Geometrice. <C>LEMMA VI.</C> <C><I>Ex ob$ervatis aliquot locis Cometæ invenive locum ejus ad tempus quodvis intermedium datum.</I></C> <p>De$ignent <I>HI, IK, KL, LM</I> tempora inter ob$ervationes, <I>(in Fig. præced.) HA, IB, K<*> LD, ME</I> ob$ervatas quinque longitudines Cometæ, <I>HS</I> tempus datum inter ob$ervationem pri- mam & longitudinem quæ$itam. Et $i per puncta <I>A, B, C, D, E</I> duci intelligatur curva regularis <I>ABCDE</I>; & per Lemma $upe- rius inveniatur ejus ordinatim applicata <I>RS,</I> erit <I>RS</I> longitudo quæ$ita. <p>Eadem methodo ex ob$ervatis quinque latitudinibus invenitur latitudo ad tempus datum. <p>Si longitudinum ob$ervatarum parvæ $int differentiæ, puta gra- duum tantum 4 vel 5; $uffecerint ob$ervationes tres vel quatuor ad inveniendam longitudinem & latitudinem novam. Sin majores $int differentiæ, puta graduum 10 vel 20, debebunt ob$ervationes quinque adhiberi. <pb n=448> <MARG>DE MUNDI SYSTEMATE</MARG> <C>LEMMA VII.</C> <p><I>Per datum punctum</I> P <I>ducere rectam lineam</I> BC, <I>cujus partes</I> PB, PC, <I>rectis duabus po$itione datis</I> AB, AC <I>ab$ci$$æ, da- tam habeant rationem ad invicem.</I> <FIG> <p>A puncto illo <I>P</I> ad rectarum al- terutram <I>AB</I> ducatur recta quævis <I>PD,</I> & producatur eadem ver$us rectam alteram <I>AC</I> u$que ad <I>E,</I> ut $it <I>PE</I> ad <I>PD</I> in data illa ratione. Ip$i <I>AD</I> parallela $it <I>EC</I>; & $i agatur <I>CPB,</I> erit <I>PC</I> ad <I>PB</I> ut <I>PE</I> ad <I>PD. Q.E.F.</I> <C>LEMMA VIII.</C> <p><I>Sit</I> ABC <I>Parabola umbilicum habens</I> S. <I>Chorda</I> AC <I>bi$ecta in</I> I <I>ab$cindatur $egmentum</I> ABCI, <I>cujus diameter $it</I> I <G>m</G> <I>& vertex</I> <G>m</G>. <I>In</I> I <G>m</G> <I>producta capiatur</I> <G>m</G> O <I>æqualis dimidio ip$ius</I> <FIG> I <G>m</G>. <I>Jungatur</I> OS, <I>& producatur ea ad <G>c</G>, ut $it</I> S <G>c</G> <I>æqualis</I> 2SO. <I>Et $i Cometa</I> B <I>moveatur in arcu</I> CBA, <I>& agatur</I> <G>c</G> B <I>$ecans</I> AC <I>in</I> E: <I>dico quod punctum</I> E <I>ab$cindet de chordo</I> AC <I>$egmentum</I> AE <I>tempori proportionale quamproxime.</I> <pb n=449> <p>Jungatur enim <I>EO</I> $ecans arcum Parabolicum <I>ABC</I> in <I>Y,</I> & aga- <MARG>LIBER TERTIUS.</MARG> tur <G>m</G><I>X</I> quæ tangat eundem arcum in vertice <G>m</G> & actæ <I>EO</I> occur- rat in <I>X</I>; & erit area curvilinea <I>AEX<G>m</G>A</I> ad aream curvilineam <I>ACY<G>m</G>A</I> ut <I>AE</I> ad <I>AC.</I> Ideoque cum triangulum <I>ASE</I> $it ad triangulum <I>ASC</I> in eadem ratione, erit area tota <I>ASEX<G>m</G>A</I> ad aream totam <I>ASCY<G>m</G>A</I> ut <I>AE</I> ad <I>AC.</I> Cum autem <G>c</G><I>O</I> $it ad <I>SO</I> ut 3 ad 1, & <I>EO</I> ad <I>XO</I> in eadem ratione, erit <I>SX</I> ip$i <I>EB</I> parallela: & propterea $i jungatur <I>BX,</I> erit triangulum <I>SEB</I> triangulo <I>XEB</I> æquale. Unde $i ad aream <I>ASEX<G>m</G>A</I> addatur triangulum <I>EXB,</I> & de $umma auferatur triangulum <I>SEB,</I> manebit area <I>ASBX<G>m</G>A</I> areæ <I>ASEX<G>m</G>A</I> æqualis, atque adeo ad aream <I>ASCY<G>m</G>A</I> ut <I>AE</I> ad <I>AC.</I> Sed areæ <I>ASBX<G>m</G>A</I> æqualis e$t area <I>ASBY<G>m</G>A</I> quamproxime, & hæc area <I>ASBY<G>m</G>A</I> e$t ad aream <I>ASCY<G>m</G>A,</I> ut tempus de$cripti arcus <I>AB</I> ad tempus de$cripti arcus totius <I>AC.</I> Ideoque <I>AE</I> e$t ad <I>AC</I> in ratione temporum quamproxime. <I>Q.E.D.</I> <p><I>Corol.</I> Ubi punctum <I>B</I> incidit in Parabolæ verticem <G>m</G>, e$t <I>AE</I> ad <I>AC</I> in ratione temporum accurate. <C><I>Scholium.</I></C> <p>Si jungatur <G>mc</G> $ecans <I>AC</I> in <G>d</G> & in ea capiatur <G>c</G><I>n</I> quæ $it ad <G>m</G><I>B</I> ut 27 <I>MI</I> ad 16 <I>M</I><G>m</G>: acta <I>Bn</I> $ecabit chordam <I>AC</I> in ratione temporum magis accurate quam prius. Jaceat autem punctum <I>n</I> ultra punctum <G>c</G>, $i punctum <I>B</I> magis di$tat a vertice principali Parabolæ quam punctum <G>m</G>; & citra, $i minus di$tat ab eodem vertice. <C>LEMMA IX.</C> <p><I>Rectæ</I> I<G>m</G> & <G>m</G>M <I>& longitudo (AIC/4S<G>m</G>) æquantur inter $e.</I> <p>Nam 4<I>S</I><G>m</G> e$t latus rectum Parabolæ pertinens ad verti- cem <G>m</G>. <pb n=450> <MARG>DE MUNDI SYSTEMATE</MARG> <C>LEMMA X.</C> <p><I>Si producatur</I> S<G>m</G> <I>ad</I> N & P, <I>ut</I> <G>m</G>N <I>$it pars tertia ip$ius</I> <G>m</G>I, & SP <I>$it ad</I> SN <I>ut</I> SN <I>ad</I> S<G>m</G>. <I>Cometa, quo tempore de$cri- bit arcum</I> A<G>m</G>C, <I>$i progrederetur ea $emper cum velocitate quam habet in altitudine ip$i</I> SP <I>æquali, de$criberet longitudi- nem æqualem chordæ</I> AC. <p>Nam $i Cometa velccitate quam habet in <G>m</G>, eodem tempore progrederetur uniformiter in recta quæ Parabolam tangit in <G>m</G>; area quam radio ad punctum <I>S</I> ducto de$criberet, æqualis e$$et areæ Parabolicæ <I>ASC</I><G>m</G>. Ideoque contentum $ub longitudine in tangente de$cripta & longitudine <I>S</I><G>m</G>, e$$et ad contentum $ub longitudinibus <I>AC</I> & <I>SM,</I> ut area <I>ASC</I><G>m</G> ad triangulum <I>ASCM,</I> id e$t, ut <I>SN</I> ad <I>SM.</I> Quare <I>AC</I> e$t ad longitudi- nem in tangente de$criptam, ut <I>S</I><G>m</G> ad <I>SN.</I> Cum autem velocitas <FIG> Cometæ in altitudine <I>SP</I> $it (per Corol. 6. Prop. XVI. Lib. I.) ad velocitatem in altitudine <I>S</I><G>m</G>, in $ubduplicata ratione <I>SP</I> ad <I>S</I><G>m</G> inver$e, id e$t, in ratione <I>S</I><G>m</G> ad <I>SN</I>; longitudo hac velo- citate eodem tempore de$cripta, erit ad longitudinem in tangente de$criptam, ut <I>S</I><G>m</G> ad <I>SN,</I> Igitur <I>AC</I> & longitudo hac nova ve- locitate de$cripta, cum $int ad longitudinem in tangente de$crip- tam in eadem ratione, æquantur inter $e. <I>Q.E.D.</I> <p><I>Corol.</I> Cometa igitur ea cum velocitate, quam habet in altitudine <I>S</I><G>m</G>+2/3<I>I</I><G>m</G>, eodem tempore de$criberet chordam <I>AC</I> quamproxime. <pb n=451> <MARG>LIBER TERTIUS.</MARG> <C>LEMMA XI.</C> <p><I>Si Cometa motu omni privatus de altitudine</I> SN <I>$eu</I> S<G>m</G>+1/3I<G>m</G> <I>demitteretur, ut caderet in Solem, & ea $emper vi uniformiter continuata urgeretur in Solem, qua urgetur $ub initio; idem $e- mi$$e temporis quo in Orbe $uo de$cribat arcum</I> AC, <I>de$cen$u $uo de$criberet $patium longitudini</I> I<G>m</G> <I>æquale.</I> <p>Nam Cometa quo tempore de$cribat arcum Parabolicum <I>AC,</I> eodem tempore ea cum velocitate quam habet in altitudine <I>SP</I> (per Lemma novi$$imum) de$cribet chordam <I>AC,</I> adeoque (per Corol. 7. Prop. XVI. Lib. I.) eodem tempore in Circulo cujus $emi- diameter e$$et <I>SP,</I> vi gravitatis $uæ revolvendo, de$criberet arcum cujus longitudo e$$et ad arcus Parabolici chordam <I>AC,</I> in $ubdu- plicata ratione unius ad duo. Et propterea eo cum pondere quod habet in Solem in altitudine <I>SP,</I> cadendo de altitudine illa in Solem, de$criberet $emi$$e temporis illius (per Corol.9. Prop. IV. Lib. I.) $patium æquale quadrato $emi$$is chordæ illius applicato ad quadruplum altitudinis <I>SP,</I> id e$t, $patium (<I>AIq/4SP</I>). Unde cum pondus Cometæ in Solem in altitudine <I>SN,</I> $it ad ip$ius pondus in Solem in altitudine <I>SP,</I> ut <I>SP</I> ad <I>S</I><G>m</G>: Cometa pondere quod habet in altitudine <I>SN</I> eodem tempore, in Solem caden- do, de$cribet $patium (<I>AIq/4S<G>m</G></I>), id e$t, $patium longitudini <I>I</I><G>m</G> vel <I>M</I><G>m</G> æquale. <I>Q.E.D.</I> <C>PROPOSITIO XLI. PROBLEMA XXI.</C> <C><I>Cometæ in Parabola moti Trajectoriam ex datis tribus Ob$ervationibus determinare.</I></C> <p>Problema hocce longe difficillimum multimode aggre$lus, com- po$ui Problemata quædam in Libro primo quæ ad ejus $olutio- nem $pectant. Po$tea $olutionem $equentem paulo $impliciorem excogitavi. <p>Seligantur tres ob$ervationes æqualibus temporum intervallis ab invicem quamproxime di$tantes. Sit autem temporis intervallum illud ubi Cometa tardius movetur paulo majus altero, ita videlicet <pb n=452> <MARG>DE MUNDI SYSTEMATE</MARG> ut temporum differentia $it ad $ummam temporum, ut $umma tem- porum ad dies plus minus $excentos; vel ut punctum <I>E</I> incidat in punctum <I>M</I> quamproxime, & inde aberret ver$us <I>I</I> potius quam ver$us <I>A.</I> Si tales ob$ervationes non præ$to $int, inveniendus e$t novus Cometæ locus per Lemma $extum. <p>De$ignent <I>S</I> Solem, <I>T, t,</I> <G>t</G> tria loca Terræ in Orbe magno, <I>TA, tB, <G>t</G>C</I> ob$ervatas tres longitudines Cometæ, V tempus in- ter ob$ervationem primam & $ecundam, W tempus inter $ecun- dam ac tertiam, X longitudinem quam Cometa toto illo tempore, ea cum velocitate quam habet in mediocri Telluris à Sole di$tan- tia, de$cribere po$$et, quæque per Corol. 3. Prop. XL, Lib. III. invenienda e$t, & <I>tV</I> perpendiculum in chordam <I>T</I><G>t</G>. In longi- <FIG> tudine media <I>tB</I> $umatur utcunque punctum <I>B</I> pro loco Co- metæ in plano Eclipticæ, & inde ver$us Solem <I>S</I> ducatur linea <I>BE,</I> quæ $it ad $agittam <I>tV,</I> ut contentum $ub <I>SB</I> & <I>St quad.</I> ad cubum hypotenu$æ trianguli rectanguli, cujus latera $unt <I>SB</I> & tangens latitudinis Cometæ in ob$ervatione $ecunda ad radium <I>tB.</I> <pb n=453> Et per punctum <I>E</I> agatur (per hujus Lem. VII.) recta <I>AEC,</I> <MARG>LIBER TERTIUS.</MARG> cujus partes <I>AE, EC</I> ad rectas <I>TA</I> & <G>t</G><I>C</I> terminatæ, $int ad invicem ut tempora V & W: & erunt <I>A</I> & <I>C</I> loca Cometæ in plano Eclipticæ in ob$ervatione prima ac tertia quamproxime, $i modo <I>B</I> $it locus ejus recte a$$umptus in ob$ervatione $ecunda. <p>Ad <I>AC</I> bi$ectam in <I>I</I> erige perpendiculum <I>Ii.</I> Per punctum <I>B</I> age occultam <I>Bi</I> ip$i <I>AC</I> parallelam. Junge occultam <I>Si</I> $ecan- tem <I>AC</I> in <G>l</G>, & comple parallelogrammum <I>iI</I><G>lm</G>. Cape <I>I</I><G>s</G> æqua- lem 3<I>I</I><G>l</G>, & per Solem <I>S</I> age occultam <G>sc</G> æqualem 3<I>S</I><G>s</G>+3<I>i</I><G>l</G>, Et deletis jam literis <I>A, E, C, I,</I> a puncto <I>B</I> ver$us punctum <G>c</G> duc occultam novam <I>BE,</I> quæ $it ad priorem <I>BE</I> in duplicata ratione di$tantiæ <I>BS</I> ad quantitatem <I>S</I><G>m</G>+1/3<I>i</I><G>l</G>. Et per punctum <I>E</I> iterum duc rectam <I>AEC</I> eadem lege ac prius, id e$t, ita ut ejus partes <I>AE</I> & <I>EC</I> $int ad invicem, ut tempora inter ob$ervationes V & W. Et erunt <I>A</I> & <I>C</I> loca Cometæ magis accurate. <p>Ad <I>AC</I> bi$ectam in <I>1</I> erigantur perpendicula <I>AM, CN, IO,</I> quarum <I>AM</I> & <I>CN</I> $int tangentes latitudinum in ob$ervatione prima ac tertia ad radios <I>TA</I> & <G>t</G><I>C.</I> Jungatur <I>MN</I> $ecans <I>IO</I> in <I>O.</I> Con$tituatur rectangulum <I>iI</I><G>lm</G> ut prius. In <I>IA</I> pro- ducta capiatur <I>ID</I> æqualis <I>S</I><G>m</G>+2/3<I>i</I><G>l</G>, & agatur occulta <I>OD.</I> Deinde in <I>MN</I> ver$us <I>N</I> capiatur <I>MP,</I> quæ $it ad longitudinem $upra inventam X, in $ubduplicata ratione mediocris di$tantiæ Tel- luris a Sole ($eu $emidiametri Orbis magni) ad di$tantiam <I>OD.</I> Si punctum <I>P</I> incidat in punctum <I>N</I>; erunt <I>A, B, C</I> tria loca Co- metæ, per quæ Orbis ejus in plano Eclipticæ de$cribi debet. Sin punctum <I>P</I> non incidat in punctum <I>N</I>; in recta <I>AC</I> capiatur <I>CG</I> ip$i <I>NP</I> æqualis, ita ut puncta <I>G</I> & <I>P</I> ad ea$dem partes rectæ <I>NC</I> jaceant. <p>Eadem methodo qua puncta <I>E, A, C, G,</I> ex a$$umpto puncto <I>B</I> inventa $unt, inveniantur ex a$$umptis utcunque punctis aliis <I>b</I> & <G>b</G> puncta nova <I>e, a, c, g,</I> & <G>e, a, x, g</G>. Deinde $i per <I>G, g,</I> <G>g</G> ducatur circumferentia circuli <I>Gg</I><G>g</G>, $ecans rectam <G>t</G><I>C</I> in <I>Z</I>: erit <I>Z</I> locus Cometæ in plano Eclipticæ. Et $i in <I>AC, ac,</I> <G>ax</G> capi- antur <I>AF, af,</I> <G>af</G> ip$is <I>CG, eg,</I> <G>xg</G> re$pective æquales, & per puncta <I>F, f,</I> <G>f</G> ducatur circumferentia circuli <I>Ff</I><G>f</G>, $ecans rectam <I>AT</I> in <I>X;</I> erit punctum <I>X</I> alius Cometæ locus in plano Eclipticæ. Ad puncta <I>X</I> & <I>Z</I> erigantur tangentes latitudinum Cometæ ad ra- dios <I>TX</I> & <G>t</G><I>Z</I>; & habebuntur loca duo Cometæ in Orbe proprio. Denique (per Prop. XIX. Lib. I.) umbilico <I>S,</I> per loca illa duo de- $cribatur Parabola, & hæc erit Trajectoria Cometæ. <I>Q.E.I.</I> <pb n=454> <MARG>DE MUNDI SYSTEMATE</MARG> <p>Con$tructionis hujus demon$tratio ex Lemmatibus con$equitur: quippe cum recta <I>AC</I> $ecetur in <I>E</I> in ratione temporum, per Lemma VII, ut oportet per Lem. VIII: & <I>BE</I> per Lem. XI. $it pars rectæ <I>BS</I> vel <I>B</I><G>c</G> in plano Eclipticæ arcui <I>ABC</I> & chordæ <I>AEC</I> interjecta; & <I>MP</I> (per Corol. Lem. X.) longi- tudo $it chordæ arcus, quem Cometa in Orbe proprio inter ob- $ervationem primam ac tertiam de$cribere debet, ideoque ip$i <I>MN</I> æqualis fuerit, $i modo <I>B</I> $it verus Cometæ locus in plano Eclipticæ. <FIG> <p>Cæterum puncta <I>B, b,</I> <G>b</G> non quælibet, $ed vero proxima eli- gere convenit. Si angulus <I>AQt,</I> in quo ve$tigium Orbis in plano Eclipticæ de$criptum $ecat rectam <I>tB,</I> præterpropter in- note$cat; in angulo illo ducenda erit recta occulta <I>AC,</I> quæ $it ad 4/3<I>T</I><G>t</G> in $ubduplicata ratione <I>SQ</I> ad <I>St.</I> Et agendo rectam <I>SEB</I> cujus pars <I>EB</I> æquetur longitudini <I>Vt,</I> determinabitur punctum <I>B</I> quod prima vice u$urpare licet. Tum recta <I>AC</I> de- leta & $ecundum præcedentem con$tructionem iterum ducta, & <pb n=455> inventa in$uper longitudine <I>MP</I>; in <I>tB</I> capiatur punctum <I>b,</I> <MARG>LIBER TERTIUS.</MARG> ea lege, ut $i <I>TA, <G>t</G>C</I> $e mutuo $ecuerint in <I>Y,</I> $it di$tantia <I>Yb</I> ad di$tantiam <I>YB,</I> in ratione compo$ita ex ratione <I>MP</I> ad <I>MN</I> & ratione $ubduplicata <I>SB</I> ad <I>Sb.</I> Et eadem methodo inveni- endum erit punctum tertium <G>b</G>, $i modo operationem tertio repe- tere lubet. Sed hac methodo operationes duæ ut plurimum $uf- fecerint. Nam $i di$tantia <I>Bb</I> perexigua obvenerit; po$tquam inventa $unt puncta <I>F, f</I> & <I>G, g,</I> actæ rectæ <I>Ff</I> & <I>Gg</I> $ecabunt <I>TA</I> & <G>t</G><I>C</I> in punctis quæ$itis <I>X</I> & <I>Z.</I> <C><I>Exemplum.</I></C> <p>Proponatur Cometa anni 1680. Hujus motum a <I>Flam$tedio</I> ob$ervatum Tabula $equens exhibet. <TABLE BORDER> <TR> <TD></TD> <TD></TD> <TD COLSPAN="2" ALIGN="CENTER">Tem.appar.</TD> <TD COLSPAN="3" ALIGN="CENTER">Temp. verum</TD> <TD COLSPAN="3" ALIGN="CENTER">Long. Solis</TD> <TD COLSPAN="3" ALIGN="CENTER">Long. Cometæ</TD> <TD COLSPAN="3" ALIGN="CENTER">Lat. Cometæ</TD> </TR> <TR> <TD></TD> <TD></TD> <TD ALIGN="RIGHT">h.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">′</TD> <TD ALIGN="RIGHT">h.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">′</TD> <TD ALIGN="RIGHT">″</TD> <TD ALIGN="RIGHT">gr.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">′</TD> <TD ALIGN="RIGHT">″</TD> <TD ALIGN="RIGHT">gr.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">′</TD> <TD ALIGN="RIGHT">″</TD> <TD ALIGN="RIGHT">gr.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">′</TD> <TD ALIGN="RIGHT">″</TD> </TR> <TR> <TD ROWSPAN="6" ALIGN="RIGHT" VALIGN="TOP">1680 <I>Dec.</I></TD> <TD ALIGN="RIGHT">12</TD> <TD ALIGN="RIGHT">4.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">46</TD> <TD ALIGN="RIGHT">4.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">46.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">0</TD> <TD ALIGN="RIGHT"><FIG> 1.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">51.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">23</TD> <TD ALIGN="RIGHT"><FIG> 6.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">31.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">21</TD> <TD ALIGN="RIGHT">8.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">26.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">0</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">21</TD> <TD ALIGN="RIGHT">6.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">32 1/2</TD> <TD ALIGN="RIGHT">6.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">36.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">59</TD> <TD ALIGN="RIGHT">11.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">6.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">44</TD> <TD ALIGN="RIGHT"><FIG> 5.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">7.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">38</TD> <TD ALIGN="RIGHT">21.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">45.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">30</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">24</TD> <TD ALIGN="RIGHT">6.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">12</TD> <TD ALIGN="RIGHT">6.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">17.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">52</TD> <TD ALIGN="RIGHT">14.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">9.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">26</TD> <TD ALIGN="RIGHT">18.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">49.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">10</TD> <TD ALIGN="RIGHT">25.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">23.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">24</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">26</TD> <TD ALIGN="RIGHT">5.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">14</TD> <TD ALIGN="RIGHT">5.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">20.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">44</TD> <TD ALIGN="RIGHT">16.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">9.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">22</TD> <TD ALIGN="RIGHT">28.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">24.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">6</TD> <TD ALIGN="RIGHT">27.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">0.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">57</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">29</TD> <TD ALIGN="RIGHT">7.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">55</TD> <TD ALIGN="RIGHT">8.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">3.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">2</TD> <TD ALIGN="RIGHT">19.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">19.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">43</TD> <TD ALIGN="RIGHT"><FIG> 13.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">11.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">45</TD> <TD ALIGN="RIGHT">28.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">10.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">5</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">30</TD> <TD ALIGN="RIGHT">8.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">2</TD> <TD ALIGN="RIGHT">8.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">10.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">26</TD> <TD ALIGN="RIGHT">20.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">21.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">9</TD> <TD ALIGN="RIGHT">17.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">39.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">5</TD> <TD ALIGN="RIGHT">28.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">11.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">12</TD> </TR> <TR> <TD ROWSPAN="6" ALIGN="RIGHT" VALIGN="TOP">1681 <I>Jan.</I></TD> <TD ALIGN="RIGHT">5</TD> <TD ALIGN="RIGHT">5.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">51</TD> <TD ALIGN="RIGHT">6.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">1.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">38</TD> <TD ALIGN="RIGHT">26.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">22.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">18</TD> <TD ALIGN="RIGHT"><FIG> 8.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">49.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">10</TD> <TD ALIGN="RIGHT">26.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">15.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">26</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">9</TD> <TD ALIGN="RIGHT">6.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">49</TD> <TD ALIGN="RIGHT">7.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">0.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">53</TD> <TD ALIGN="RIGHT"><FIG> 0.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">29.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">2</TD> <TD ALIGN="RIGHT">18.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">43.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">18</TD> <TD ALIGN="RIGHT">24.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">12.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">42</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">10</TD> <TD ALIGN="RIGHT">5.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">54</TD> <TD ALIGN="RIGHT">6.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">6.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">10</TD> <TD ALIGN="RIGHT">1.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">27.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">43</TD> <TD ALIGN="RIGHT">20.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">40.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">57</TD> <TD ALIGN="RIGHT">23.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">44.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">0</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">13</TD> <TD ALIGN="RIGHT">6.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">56</TD> <TD ALIGN="RIGHT">7.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">8.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">55</TD> <TD ALIGN="RIGHT">4.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">33.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">20</TD> <TD ALIGN="RIGHT">25.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">59.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">34</TD> <TD ALIGN="RIGHT">22.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">17.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">36</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">25</TD> <TD ALIGN="RIGHT">7.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">44</TD> <TD ALIGN="RIGHT">7.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">58.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">42</TD> <TD ALIGN="RIGHT">16.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">45.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">36</TD> <TD ALIGN="RIGHT"><FIG> 9.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">35.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">48</TD> <TD ALIGN="RIGHT">17.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">56.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">54</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">30</TD> <TD ALIGN="RIGHT">8.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">7</TD> <TD ALIGN="RIGHT">8.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">21.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">53</TD> <TD ALIGN="RIGHT">21.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">40.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">58</TD> <TD ALIGN="RIGHT">13.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">19.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">36</TD> <TD ALIGN="RIGHT">16.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">40.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">57</TD> </TR> <TR> <TD ROWSPAN="2" ALIGN="RIGHT" VALIGN="TOP"><I>Feb.</I></TD> <TD ALIGN="RIGHT">2</TD> <TD ALIGN="RIGHT">6.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">20</TD> <TD ALIGN="RIGHT">6.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">34.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">51</TD> <TD ALIGN="RIGHT">24.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">46.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">59</TD> <TD ALIGN="RIGHT">15.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">13.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">48</TD> <TD ALIGN="RIGHT">16.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">2.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">2</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">5</TD> <TD ALIGN="RIGHT">6.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">50</TD> <TD ALIGN="RIGHT">7.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">4.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">41</TD> <TD ALIGN="RIGHT">27.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">49.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">51</TD> <TD ALIGN="RIGHT">16.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">59.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">52</TD> <TD ALIGN="RIGHT">15.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">27.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">23</TD> </TR> </TABLE> <p>His adde Ob$ervationes qua$dam e no$tris. <TABLE BORDER> <TR> <TD></TD> <TD></TD> <TD COLSPAN="2" ALIGN="CENTER">Temp. appar.</TD> <TD COLSPAN="3" ALIGN="CENTER">Cometæ Longit.</TD> <TD COLSPAN="2" ALIGN="CENTER">Com. Lat.</TD> </TR> <TR> <TD ROWSPAN="2" ALIGN="RIGHT" VALIGN="TOP"><I>Febr.</I></TD> <TD ALIGN="RIGHT">25</TD> <TD ALIGN="RIGHT">8<SUP>h</SUP>.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">30′</TD> <TD ALIGN="RIGHT"><FIG> 26<SUP>gr.</SUP>.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">18′.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">17″</TD> <TD ALIGN="RIGHT">12<SUP>gr.</SUP>.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">46′ 7/8</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">27</TD> <TD ALIGN="RIGHT">8.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">15</TD> <TD ALIGN="RIGHT">27.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">4.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">24</TD> <TD ALIGN="RIGHT">12.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">36 1/5</TD> </TR> <TR> <TD ROWSPAN="4" ALIGN="RIGHT" VALIGN="TOP"><I>Mart.</I></TD> <TD ALIGN="RIGHT">1</TD> <TD ALIGN="RIGHT">11.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">0</TD> <TD ALIGN="RIGHT">27.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">53.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">6</TD> <TD ALIGN="RIGHT">12.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">24 6/7</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">2</TD> <TD ALIGN="RIGHT">8.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">0</TD> <TD ALIGN="RIGHT">28.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">12.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">27</TD> <TD ALIGN="RIGHT">12.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">20</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">5</TD> <TD ALIGN="RIGHT">11.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">30</TD> <TD ALIGN="RIGHT">29.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">20.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">51</TD> <TD ALIGN="RIGHT">12.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">3 1/2</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">9</TD> <TD ALIGN="RIGHT">8.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">30</TD> <TD ALIGN="RIGHT"><FIG> 0.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">43.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">4</TD> <TD ALIGN="RIGHT">11.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">45 7/8</TD> </TR> </TABLE> <p>Hæ Ob$ervationes Tele$copio $eptupedali, & Micrometro fili$- que in $oco Tele$copii locatis peractæ $unt: qulbus in$trumentis <pb n=456> <MARG>E MUNDI STEMATE</MARG> & po$itiones fixarum inter $e & po$itiones Cometæ ad fixas de- terminavimus. De$ignet <I>A</I> $tellam in $ini$tro calcaneo Per$ei <I>(Bayero o) B</I> $tellam $equentem in $ini$tro pede (<I>Bayero</I> <G>z</G>) & <I>C, D, E, F, G, H, I, K, L, M, N, O</I> $tellas alias minores in eo- dem pede. Sintque <I>P, Q, R, S, T</I> loca Cometæ in ob$ervati- onibus $upra de$criptis: & exi$tente di$tantia <I>AB</I> partium (80 7/12), erat <I>AC</I> partium 52 1/4, <I>BC</I> 58 5/6, <I>AD</I> (57 5/12), <I>BD</I> (82 6/11), <I>CD</I> 23 2/3, <I>AE</I> 29 4/7, <I>CE</I> 57 1/2, <I>DE</I> (49 11/12), <I>AI</I> (27 7/12), <I>BI</I> 52 1/6, <I>CI</I> (36 7/12), <FIG> <I>DI</I> (53 5/11), <I>AK</I> 38 2/3, <I>BK</I> 43, <I>CK</I> 31 5/9, <I>FK</I> 29, <I>FB</I> 23, <I>FC</I> 36 1/4, <I>AH</I> 18 6/<*>, <I>DH</I> 50 7/8, <I>BN</I> (46 5/12), <I>CN</I> 31 1/3, <I>BL</I> (45 5/12), <I>NL</I> 31 5/7. <I>HO</I> erat ad <I>HI</I> ut 7 ad 6 & producta tran$ibat inter $tellas <*> & <I>E,</I> $ic ut di$tantia $tellæ <I>D</I> ab hac recta e$$et 1/6<I>CD. LM</I> <*>at ad <I>LB</I> ut 2 ad 9 & producta tran$ibat per $tellam <I>H.</I> His interminabantur po$itiones fixarum inter $e. <p>Die Veneris <I>Feb.</I> 25. St. vet. Hor. 8 1/2 P. M. Cometæ in <I>p</I> ex- i$tentis di$tantia a $tella <I>E</I> erat minor quam (3/13) <I>AE,</I> major quam 3/5 <I>AE,</I> adeoque æqualis (3/14)<I>AE</I> proxime; & angulus <I>ApE</I> non- nihil obtu$us erat, $ed fere rectus. Nempe $i demitteretur ad <I>pE</I> perpendiculum ab <I>A,</I> di$tantiæ Cometæ a perpendiculo illo erat 1/5<I>pE.</I> <p>Eadem nocte, hora 9 1/2, Cometæ in <I>P</I> exi$tentis di$tantia a $tella <I>E</I> erat major quam (1/(4 1/2))<I>AE,</I> minor quam (1/(5 1/4))<I>AE,</I> adeoque æqua- <pb n=457> lis (1/(4 7/8))<I>AE,</I> $eu (1/39)<I>AE</I> quamproxime. A perpendiculo autem a <MARG>LIBER TERTIUS.</MARG> $tella <I>A</I> ad rectam <I>PE</I> demi$$o, di$tantia Cometæ erat 4/5<I>PE.</I> <p>Die <FIG><SUP>is</SUP>, <I>Feb.</I> 27. hor. 8 1/4 P.M. Cometæ in <I>Q</I> exi$tentis di- $tantia a $tella <I>O</I> æquabat di$tantiam $tellarum <I>O</I> & <I>H,</I> & recta <I>QO</I> producta tran$ibat inter $tellas <I>K</I> & <I>B.</I> Po$itionem hujus rectæ ob nubes intervenientes, magis accurate definire non potui. <p>Die <FIG><SUP>tis</SUP>, <I>Mart</I> 1, hor. 11. P.M. Cometa in <I>R</I> exi$tens, $tellis <I>K</I> & <I>C</I> accurate interjacebat, & rectæ <I>CRK</I> pars <I>CR</I> paulo major erat quam 1/3<I>CK,</I> & paulo minor quam 1/3<I>CK</I>+1/8<I>CR,</I> adeoque æqualis 1/3<I>CK</I>+(1/16)<I>CR</I> $eu (16/45)<I>CK.</I> <p>Die <FIG><SUP>ii</SUP>, <I>Mart.</I> 2. hor. 8. P.M. Cometæ exi$tentis in <I>S,</I> di- $tantia a $tella <I>C</I> erat 4/9<I>FC</I> quamproxime. Di$tantia $tellæ <I>F</I> a recta <I>CS</I> producta erat (1/24)<I>FC</I>; & di$tantia $tellæ <I>B</I> ab eadem recta, erat quintuplo major quam di$tantia $tellæ <I>F.</I> Item recta <I>NS</I> producta tran$ibat inter $tellas <I>H</I> & <I>I,</I> quintuplo vel $extuplo pro- pior exi$tens $tellæ <I>H</I> quam $tellæ <I>I.</I> <p>Die <FIG><SUP>ni</SUP>, <I>Mart.</I> 5. hor. 11 1/2. P. M. Cometa exi$tente in <I>T,</I> recta <I>MT</I> æqualis erat 1/2<I>ML,</I> & recta <I>LT</I> producta tran$ibat inter <I>B</I> & <I>F,</I> quadruplo vel quintuplo propior <I>F</I> quam <I>B,</I> au- ferens a <I>BF</I> quintam vel $extam ejus partem ver$us <I>F.</I> Et <I>MT</I> producta tran$ibat extra $patium <I>BF</I> ad partes $tellæ <I>B,</I> quadru- plo propior exi$tens $tellæ <I>B</I> quam $tellæ <I>F.</I> Erat <I>M</I> $tella pere- xigua quæ per Tele$copium videri vix potuit, & <I>L</I> $tella major qua$i magnitudinis octavæ. <p>Ex huju$modi ob$ervationibus per con$tructiones figurarum & computationes (po$ito quod $tellarum <I>A</I> & <I>B</I> di$tantia e$$et 2<SUP>gr.</SUP> 6′. 46″, & $tellæ <I>A</I> longitudo <FIG> 26<SUP>gr.</SUP> 41′. 50″ & latitudo borealis 12<SUP>gr.</SUP> 8′ 1/2, $tellæque <I>B</I> longitudo <FIG> 28<SUP>gr.</SUP> 40′. 24″ & lati- tudo borealis 11<SUP>gr.</SUP> (17′ 9/10);) derivabam longitudines & latitudines Cometæ. Micrometro parum affabre con$tructo u$us $um, $ed longitudinum tamen & latitudinum errores (quatenus ab ob- $ervationibus no$tris oriantur) dimidium minuti unius primi vix $uperant, præterquam in ob$ervatione ultima <I>Mart.</I> 9. ubi po$i- tiones $tellarum minus accurate determinare potui. <I>Ca$$inus</I> qui a$cen$ionem rectam Cometæ eodem tempore ob$ervavit, decli- nationem ejus tanquam invariatam manentem parum diligenter definivit. Nam Cometa (juxta ob$ervationes no$tras) in fine <pb n=458> <MARG>DE MUNDI SYSTEMATE</MARG> motus $ui notabiliter deflectere cœpit boream ver$us, a paral- lelo quem in fine Men$is <I>Februarii</I> tenuerat. <p>Jam ad Orbem Cometæ determinandum; $elegi ex ob$ervatio- nibus hactenus de$criptis tres, quas <I>Flam$tedius</I> habuit <I>Dec.</I> 21, <I>Jan.</I> 5, & <I>Jan.</I> 25. Ex his inveni <I>St</I> partium 9842,1 & <I>Vt</I> par- tium 455, quales 10000 $unt $emidiameter Orbis magni. Tum ad operationem primam a$$umendo <I>tB</I> partium 5657, inveni <I>SB</I> 9747, <I>BE</I> prima vice 412, <I>S</I><G>m</G> 9503, <I>i</I><G>l</G> 413: <I>BE</I> $ecun- da vice 421, <I>OD</I> 10186, X 8528,4, <I>MP</I> 8450, <I>MN</I> 8475, <I>NP</I> 25. Unde ad operationem $ecundam collegi di$tantiam <I>tb</I> 5640. Et per hanc operationem inveni tandem di$tantias <I>TX</I> 4775 & <G>t</G><I>Z</I> 11322. Ex quibus Orbem definiendo, inveni Nodos ejus de$cendentem in <FIG> & a$cendentem in <FIG> 1<SUP>gr.</SUP> 53′; Inclinationem plani ejus ad planum Eclipticæ 61<SUP>gr.</SUP> 20′ 2/3; verti- cem ejus ($eu Perihelium Cometæ) di$tare a Nodo 8<SUP>gr.</SUP> 38′, & e$$e in <FIG> 27<SUP>gr.</SUP> 43′ cum latitudine au$trali 7<SUP>gr.</SUP> 34′; & ejus latus rectum e$$e 236,8, areamque radio ad Solem ducto $ingulis diebus de$criptam 93585, quadrato $emidiametri Orbis magni po$ito 100000000; Cometam vero in hoc Orbe $ecundum $eriem $igno- rum proce$$i$$e, & <I>Decemb.</I> 8<SUP>d</SUP>. 0<SUP>h</SUP>. 4′. P. M. in vertice Orbis $eu Perihelio fui$$e. Hæc omnia per $calam partium æqualium & chordas angulorum ex Tabula $inuum naturalium collectas, deter- minavi Graphice; con$truendo Schema $atis amplum, in quo vide- licet $emidiameter Orbis magni (partium 10000) æqualis e$$et digitis 16 2/3 pedis Anglicani. <p>Tandem ut con$taret an Cometa in Orbe $ic invento vere mo- veretur, collegi per operationes partim Arithmeticas partim Gra- phicas, loca Cometæ in hoc Orbe ad ob$ervationum quarundam tempora: uti in Tabula $equente videre licet. <TABLE BORDER> <TR> <TD></TD> <TD></TD> <TD ALIGN="CENTER">Di$tant.Co- metæ a Sole</TD> <TD COLSPAN="2" ALIGN="CENTER">Long.Collect.</TD> <TD COLSPAN="2" ALIGN="CENTER">Lat. Collect.</TD> <TD COLSPAN="2" ALIGN="CENTER">Long. Ob$.</TD> <TD COLSPAN="2" ALIGN="CENTER">Lat. Ob$.</TD> <TD ALIGN="CENTER">Differ Long.</TD> <TD ALIGN="CENTER">Differ. Lat.</TD> </TR> <TR> <TD></TD> <TD></TD> <TD></TD> <TD ALIGN="CENTER">gr.</TD> <TD ALIGN="CENTER">′</TD> <TD ALIGN="CENTER">gr.</TD> <TD ALIGN="CENTER">′</TD> <TD ALIGN="CENTER">gr.</TD> <TD ALIGN="CENTER">′</TD> <TD ALIGN="CENTER">gr.</TD> <TD ALIGN="CENTER">′</TD> <TD ALIGN="CENTER">′</TD> <TD ALIGN="CENTER">′</TD> </TR> <TR> <TD ROWSPAN="2" VALIGN="TOP"><I>Dec.</I></TD> <TD ALIGN="RIGHT">12</TD> <TD ALIGN="RIGHT">2792</TD> <TD ALIGN="RIGHT"><FIG> 6.</TD> <TD>32</TD> <TD ALIGN="RIGHT">8.</TD> <TD>18 1/2</TD> <TD ALIGN="RIGHT"><FIG> 6.</TD> <TD>31 1/3</TD> <TD ALIGN="RIGHT">8.</TD> <TD>26</TD> <TD>+ 1</TD> <TD>- 7 1/2</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">29</TD> <TD ALIGN="RIGHT">8403</TD> <TD ALIGN="RIGHT"><FIG> 13.</TD> <TD>13 2/3</TD> <TD ALIGN="RIGHT">28.</TD> <TD>0</TD> <TD ALIGN="RIGHT"><FIG> 13.</TD> <TD>11 3/4</TD> <TD ALIGN="RIGHT">28.</TD> <TD>(10 1/12)</TD> <TD>+ 2</TD> <TD>-(10 1/12)</TD> </TR> <TR> <TD><I>Febr.</I></TD> <TD ALIGN="RIGHT">5</TD> <TD ALIGN="RIGHT">16669</TD> <TD ALIGN="RIGHT"><FIG> 17.</TD> <TD>0</TD> <TD ALIGN="RIGHT">15.</TD> <TD>29 2/3</TD> <TD ALIGN="RIGHT"><FIG> 16.</TD> <TD>59 7/8</TD> <TD ALIGN="RIGHT">15.</TD> <TD>27 2/5</TD> <TD>+ 0</TD> <TD>+ 2 1/4</TD> </TR> <TR> <TD><I>Mar.</I></TD> <TD ALIGN="RIGHT">5</TD> <TD ALIGN="RIGHT">21737</TD> <TD ALIGN="RIGHT">29.</TD> <TD>19 1/4</TD> <TD ALIGN="RIGHT">12.</TD> <TD>4</TD> <TD ALIGN="RIGHT">29.</TD> <TD>20 6/7</TD> <TD ALIGN="RIGHT">12.</TD> <TD>3 1/2</TD> <TD>- 1</TD> <TD>+ 1/2</TD> </TR> </TABLE> <p>Po$tea vero <I>Halleius</I> no$ter Orbitam, per calculum Arithmeti- cum, accuratius determinavit quam per de$eriptiones linearum fieri licuit; & retinuit quidem locum Nodorum in <FIG> & <FIG> 1<SUP>gr.</SUP> 53′, & Inclinationem plani Orbitæ ad Eclipticam 61<SUP>gr.</SUP> 20′ 1/3, ut & tem- pus Perihelii Cometæ <I>Decemb.</I> 8<SUP>d</SUP>. O<SUP>h</SUP>. 4′: di$tantiam vero Peri- <pb n=459> helii a Nodo a$cendente, in Orbita Cometæ men$uratam, invenit <MARG>LIBER TERTIUS.</MARG> e$$e 9<SUP>gr</SUP> 20′, & Latus rectum Parabolæ e$$e 243 partium, ex- i$tente mediocri Solis a Terra di$tantia partium 10000. Et ex his datis, calculo itidem Arithmetico accurate in$tituto, loca Cometæ ad ob$ervationum tempora computavit, ut $equitur. <TABLE BORDER> <TR> <TD COLSPAN="5" ALIGN="CENTER">Tempus verum</TD> <TD ALIGN="CENTER">Di$tantia</TD> <TD COLSPAN="3" ALIGN="CENTER">Long. comp.</TD> <TD COLSPAN="4" ALIGN="CENTER">Lat. comp.</TD> <TD COLSPAN="4" ALIGN="CENTER">Errores in</TD> </TR> <TR> <TD></TD> <TD></TD> <TD></TD> <TD></TD> <TD></TD> <TD ALIGN="CENTER">Cometæ a <FIG></TD> <TD></TD> <TD></TD> <TD></TD> <TD></TD> <TD></TD> <TD></TD> <TD></TD> <TD COLSPAN="2" ALIGN="CENTER">Long.</TD> <TD COLSPAN="2" ALIGN="CENTER">Lat.</TD> </TR> <TR> <TD></TD> <TD ALIGN="CENTER">d.</TD> <TD ALIGN="CENTER">h.</TD> <TD ALIGN="CENTER">′</TD> <TD ALIGN="CENTER">″</TD> <TD></TD> <TD ALIGN="CENTER">gr.</TD> <TD ALIGN="CENTER">′</TD> <TD ALIGN="CENTER">″</TD> <TD ALIGN="CENTER">gr.</TD> <TD ALIGN="CENTER">′</TD> <TD ALIGN="CENTER">″</TD> <TD></TD> <TD ALIGN="CENTER">′</TD> <TD ALIGN="CENTER">″</TD> <TD ALIGN="CENTER">′</TD> <TD ALIGN="CENTER">″</TD> </TR> <TR> <TD ROWSPAN="6" ALIGN="RIGHT" VALIGN="TOP"><I>Dec.</I></TD> <TD ALIGN="RIGHT">12.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">4.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">46.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">0</TD> <TD ALIGN="RIGHT">28028</TD> <TD ALIGN="RIGHT"><FIG> 6.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">29.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">25</TD> <TD ALIGN="RIGHT">8.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">26.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">0</TD> <TD ROWSPAN="16" VALIGN="TOP">Bor.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">-1.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">56</TD> <TD ALIGN="RIGHT">+0.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">0</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">21.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">6.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">36.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">59</TD> <TD ALIGN="RIGHT">61076</TD> <TD ALIGN="RIGHT"><FIG> 5.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">6.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">30</TD> <TD ALIGN="RIGHT">21.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">43.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">20</TD> <TD ALIGN="RIGHT">-1.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">8</TD> <TD ALIGN="RIGHT">-2.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">10</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">24.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">6.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">17.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">52</TD> <TD ALIGN="RIGHT">70008</TD> <TD ALIGN="RIGHT">18.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">48.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">20</TD> <TD ALIGN="RIGHT">15.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">22.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">40</TD> <TD ALIGN="RIGHT">-0.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">50</TD> <TD ALIGN="RIGHT">-0.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">44</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">26.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">5.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">20.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">44</TD> <TD ALIGN="RIGHT">75576</TD> <TD ALIGN="RIGHT">28.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">22.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">45</TD> <TD ALIGN="RIGHT">27.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">1.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">36</TD> <TD ALIGN="RIGHT">-1.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">21</TD> <TD ALIGN="RIGHT">+0.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">39</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">29.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">8.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">3.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">2</TD> <TD ALIGN="RIGHT">84021</TD> <TD ALIGN="RIGHT"><FIG> 13.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">12.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">40</TD> <TD ALIGN="RIGHT">28.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">10.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">10</TD> <TD ALIGN="RIGHT">+0.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">55</TD> <TD ALIGN="RIGHT">+0.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">5</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">30.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">8.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">10.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">26</TD> <TD ALIGN="RIGHT">86661</TD> <TD ALIGN="RIGHT">17.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">40.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">5</TD> <TD ALIGN="RIGHT">28.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">11.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">20</TD> <TD ALIGN="RIGHT">+1.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">0</TD> <TD ALIGN="RIGHT">+0.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">8</TD> </TR> <TR> <TD ROWSPAN="6" ALIGN="RIGHT" VALIGN="TOP"><I>Jan.</I></TD> <TD ALIGN="RIGHT">5.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">6.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">1.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">38</TD> <TD ALIGN="RIGHT">101440</TD> <TD ALIGN="RIGHT"><FIG> 8.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">49.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">49</TD> <TD ALIGN="RIGHT">26.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">15.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">15</TD> <TD ALIGN="RIGHT">+0.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">39</TD> <TD ALIGN="RIGHT">-0.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">11</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">9.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">7.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">0.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">53</TD> <TD ALIGN="RIGHT">110959</TD> <TD ALIGN="RIGHT">18.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">44.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">36</TD> <TD ALIGN="RIGHT">24.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">12.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">54</TD> <TD ALIGN="RIGHT">+1.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">18</TD> <TD ALIGN="RIGHT">+0.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">12</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">10.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">6.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">6.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">10</TD> <TD ALIGN="RIGHT">113162</TD> <TD ALIGN="RIGHT">20.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">41.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">0</TD> <TD ALIGN="RIGHT">23.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">44.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">10</TD> <TD ALIGN="RIGHT">+0.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">3</TD> <TD ALIGN="RIGHT">+0.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">10</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">13.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">7.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">8.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">55</TD> <TD ALIGN="RIGHT">120000</TD> <TD ALIGN="RIGHT">26.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">0.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">21</TD> <TD ALIGN="RIGHT">22.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">17.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">30</TD> <TD ALIGN="RIGHT">+0.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">47</TD> <TD ALIGN="RIGHT">-0.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">6</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">25.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">7.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">58.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">42</TD> <TD ALIGN="RIGHT">145370</TD> <TD ALIGN="RIGHT"><FIG> 9.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">33.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">40</TD> <TD ALIGN="RIGHT">17.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">57.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">55</TD> <TD ALIGN="RIGHT">-2.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">8</TD> <TD ALIGN="RIGHT">+1.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">1</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">30.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">8.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">21.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">53</TD> <TD ALIGN="RIGHT">155303</TD> <TD ALIGN="RIGHT">13.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">17.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">41</TD> <TD ALIGN="RIGHT">16.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">42.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">7</TD> <TD ALIGN="RIGHT">-1.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">55</TD> <TD ALIGN="RIGHT">+1.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">10</TD> </TR> <TR> <TD ROWSPAN="3" ALIGN="RIGHT" VALIGN="TOP"><I>Feb.</I></TD> <TD ALIGN="RIGHT">2.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">6.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">34.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">51</TD> <TD ALIGN="RIGHT">160951</TD> <TD ALIGN="RIGHT">15.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">11.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">11</TD> <TD ALIGN="RIGHT">16.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">4.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">15</TD> <TD ALIGN="RIGHT">-2.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">37</TD> <TD ALIGN="RIGHT">+2.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">13</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">5.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">7.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">4.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">41</TD> <TD ALIGN="RIGHT">166686</TD> <TD ALIGN="RIGHT">16.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">58.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">25</TD> <TD ALIGN="RIGHT">15.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">29.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">13</TD> <TD ALIGN="RIGHT">-1.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">27</TD> <TD ALIGN="RIGHT">+1.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">50</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">25.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">8.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">19.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">0</TD> <TD ALIGN="RIGHT">202570</TD> <TD ALIGN="RIGHT">26.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">15.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">46</TD> <TD ALIGN="RIGHT">12.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">48.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">0</TD> <TD ALIGN="RIGHT">-2.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">31</TD> <TD ALIGN="RIGHT">+1.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">8</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT"><I>Mar.</I></TD> <TD ALIGN="RIGHT">5.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">11.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">21.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">0</TD> <TD ALIGN="RIGHT">216205</TD> <TD ALIGN="RIGHT">29.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">18.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">35</TD> <TD ALIGN="RIGHT">12.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">5.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">40</TD> <TD ALIGN="RIGHT">-2.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">16</TD> <TD ALIGN="RIGHT">+2.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">10</TD> </TR> </TABLE> <p>Apparuit etiam hic Cometa men$e <I>Novembri</I> præcedente, & die undecimo hujus men$is $tylo veteri, ad horam quintam ma- tutinam, <I>Cantuariæ</I> in <I>Anglia,</I> vi$us fuit in <FIG> 12 1/2 cum latitudine boreali 2<SUP>gr.</SUP> circiter. Cra$$i$$ima fuit hæc <*>$ervatio: meliores $unt quæ $equuntur. <p><I>Nov.</I> 17, $t. vet. <I>Pontbæus</I> & $ocii hora $exta matutina <I>Romæ</I> (id e$t, hora 5, 10′ <I>Londini</I>) filis ad fixas applicatis Cometam ob$ervarunt in <FIG> 8. 30′, cum latitudine au$trali 0<SUP>gr.</SUP> 40′. Extant eorum Ob$ervationes in tractatu quem <I>Penthæus,</I> de hoc Cometa, in lucem edidit. <I>Cellius</I> qui aderat & ob$ervationes $uas in Epi- $tola ad <I>D. Ca$$inum</I> mi$it, Cometam <*>dem hora vidit in <FIG> 8 <SUP>gr.</SUP> 30′ cum latitudine au$trali 0<SUP>gr.</SUP> 30′. Eadem hora <I>Galletius</I> etiam Cometam vidit in <FIG> 8<SUP>gr.</SUP> $ine latitudine. <p><I>Nov.</I> 18. hora matutina 6. 30′ <I>Romæ</I> (id e$t, hora 5, 40′ <I>Lon- dini) Ponthæus</I> Cometam vidit in <FIG> 13<SUP>gr.</SUP> 30′ cum latitudine au- $trali 1<SUP>gr.</SUP> 20′. <I>Cellius</I> in <FIG> 13<SUP>gr.</SUP> 00′, cum latitudine au$trali 1<SUP>gr.</SUP> 00′. <I>Galletius</I> autem hora matutina 5. 30′ <I>Romæ,</I> Cometam vidit in <FIG> 13<SUP>gr.</SUP> 00′, cum latitudine au$trali 1<SUP>gr.</SUP> 00′. Et <I>R. P. Ango</I> in Academia <I>Flexien$i</I> apud <I>Galles,</I> hora quinta matutina (id e$t, hora 5, 9′ <I>Londini</I>) Cometam vidit in medio inter $tellas <pb n=460> <MARG>DE MUNDI SYSTEMATE</MARG> duas parvas, quarum una media e$t trium in recta linea in Virgi- nis au$trali manu, & altera e$t extrema alæ. Unde Cometa tunc fuit in <FIG> 12. 46′, cum latitudine au$trali 50′. Eodem die <I>Bo- $toniæ</I> in <I>Nova-Anglia</I> in Latitudine 42 1/2 graduum, hora quinta matutina, (id e$t <I>Londini</I> hora matutina 9. 44′) Cometa vi$us e$t prope <FIG> 14, cum latitudine au$trali 1<SUP>gr.</SUP> 30′, uti a <I>Cl. Hal- leio</I> accepi. <p><I>Nov.</I> 19. hora mat. 4 1/2 <I>Cantabrigiæ,</I> Cometa (ob$ervante ju- vene quodam) di$tabat a Spica <FIG> qua$i 2<SUP>gr.</SUP> Boreazephyrum ver$us. Eodem die hor. 5. mat. <I>Bo$toniæ</I> in <I>Nova-Anglia,</I> Co- meta di$tabat a Spica <FIG> gradu uno, differentia latitudinum ex- i$tente 40′. Eodem die in In$ula <I>Jamaica,</I> Cometa di$tabat a Spica intervallo qua$i gradus unius. Et ex his ob$ervationibus inter $e collatis colligo, quod hora 9. 44′. <I>Londini,</I> Cometa erat in <FIG> 18 <SUP>gr.</SUP> 40′, cum latitudine au$trali 1 <SUP>gr.</SUP> 18′ circiter. Eodem die D. <I>Ar- thurus Storer</I> ad fluvium <I>Patuxent,</I> prope <I>Hunting-Creek</I> in <I>Mary- Land,</I> in confinio <I>Virginiæ</I> in Lat. 38 1/2<SUP>gr.</SUP> hora quinta matutina (id e$t, hora 10<SUP>2</SUP> <I>Londini</I>) Cometam vidit $upra Spicam <FIG>, & cum Spica propemodum conjunctum, exi$tente di$tantia inter eo$- dem qua$i 3/4<SUP>gr.</SUP>. Ob$ervator idem, eadem hora diei $equentis, Cometam vidit qua$i 2<SUP>gr.</SUP> inferiorem Spica. Congruent hæ ob- $ervationes cum ob$ervationibus in <I>Nova-Anglia</I> & <I>Jamaica</I> factis, $i modo di$tantiæ (pro motu diurno Cometæ) nonnihil augean- tur, ita ut Cometa die priore $uperior e$$et Spica <FIG>, altitudine 1 <SUP>gr.</SUP> circiter, ac die po$teriore inferior eadem $tella, altitudine per- pendiculari 3 <SUP>gr.</SUP> 40′. <p><I>Nov.</I> 20. D. <I>Montenarus</I> A$tronomiæ Profe$$or <I>Paduen$is,</I> hora $exta matutina <I>Venetiis</I> (id e$t, hora 5. 10′ <I>Londini</I>) Cometam vidit in <FIG> 23 <SUP>gr.</SUP>, cum latitudine au$trali 1 <SUP>gr.</SUP> 30′. Eodem die <I>Bo$toniæ,</I> di$tabat Cometa a Spica <FIG>, 4<SUP>gr.</SUP> longitudinis in orien- tem, adeoque erat in <FIG> 23 <SUP>gr.</SUP> 24′ circiter. <p><I>Nov.</I> 21. <I>Ponthæus</I> & $ocii hor. mat. 7 1/4 Cometam ob$erva- runt in <FIG> 27<SUP>gr.</SUP> 50′, cum latitudine au$trali 1 <SUP>gr.</SUP> 16′; <I>Ango</I> hora quinta matutina in <FIG> 27<SUP>gr.</SUP> 45′, <I>Montenarus</I> in <FIG> 27<SUP>gr.</SUP> 51′. Eo- dem die in In$ula <I>Jamaica,</I> Cometa vi$us e$t prope principium Scorpii, eandemque circiter latitudinem habuit cum Spica Virgi- nis, id e$t, 2<SUP>gr.</SUP> 2′. <p><I>Nov.</I> 22. Cometa vi$us e$t a <I>Montenaro</I> in <FIG> 2. 33′. <I>Bo$toniæ</I> autem in <I>Nova-Anglia</I> apparuit in <FIG> 3<SUP>gr.</SUP> circiter, eadem fere cum latitudine ac prius, id e$t, 1 <SUP>gr.</SUP> 30′. Eodem die <I>Londini,</I> <pb n=461> hora mat. 6 1/2 <I>Hookius</I> no$ter Cometam vidit in <FIG> 3<SUP>gr.</SUP> 30′ cir- <MARG>LIBER TERTIUS.</MARG> citer, idque in linea recta quæ tran$it per Spicam Virginis & Cor Leonis, non exacte quidem, $ed a linea illa paululum defle- ctentem ad boream. <I>Montenarus</I> itidem notavit quod linea a Cometa per Spicam ducta, hoc die & $equentibus tran$ibat per au$trale latus Cordis Leonis, interpo$ito perparvo intervallo inter Cor Leonis & hanc lineam. Linea recta per Cor Leonis & Spicam Virginis tran$iens, Eclipticam $ecuit in <FIG> 3<SUP>gr.</SUP> 46′, in an- gulo 2<SUP>gr.</SUP> 51′. Et $i Cometa locatus fui$$et in hac linea in <FIG> 3 <SUP>gr.</SUP>, ejus latitudo fui$$et 2 <SUP>gr</SUP> 26′. Sed cum Cometa con$entientibus <I>Hookio</I> & <I>Montenaro,</I> nonnihil di$taret ab hac linea boream ver- $us, latitudo ejus fuit paulo minor. Die 20. ex ob$ervatione <I>Mon- tenari,</I> latitudo ejus propemodum æquabat latitudinem Spicæ <FIG>, eratque 1<SUP>gr.</SUP> 30′ circiter, & con$entientibus <I>Hookio, Montenaro</I> & <I>Angone</I> perpetuo augebatur, ideoque jam $en$ibiliter major erat quam 1<SUP>gr.</SUP> 30′. Inter limites autem jam con$titutos 2<SUP>gr.</SUP> 26′ & 1<SUP>gr.</SUP> 30′, magnitudine mediocri latitudo erit 1<SUP>gr.</SUP> 58′ circiter. Cauda Cometæ, con$entientibus <I>Hookio</I> & <I>Montenaro,</I> dirigebatur ad Spicam <FIG>, declinans aliquantulum a Stella i$ta, juxta <I>Hookium</I> in au$trum, juxta <I>Montenarum</I> in boream; ideoque declinatio illa vix fuit $en$ibilis, & Cauda Æquatori fere parallela exi$tens, ali- quantulum deflectebatur ab oppo$itione Solis boream ver$us. <p><I>Nov.</I> 24. Ante ortum Solis Cometa vi$us e$t a <I>Montenaro</I> in <FIG> 12<SUP>gr.</SUP> 52′, ad boreale latus rectæ quæ per Cor Leonis & Spicam Virginis ducebatur, ideoque latitudinem habuit paulo minorem quam 2<SUP>gr.</SUP> 38′. Hæc latitudo uti diximus, ex ob$ervationibus <I>Montenari, Angonis</I> & <I>Hookii,</I> perpetuo augebatur; ideoque jam paulo major erat quam 1<SUP>gr.</SUP> 58′; & magnitudine mediocri, ab$que notabili errore, $tatui pote$t 2<SUP>gr.</SUP> 18′. Latitudinem <I>Ponthæus</I> & <I>Galletius</I> jam decrevi$$e volunt, & <I>Cellius</I> & Ob$ervator in <I>Nova- Anglia</I> eandem fere magnitudinem retinui$$e, $cilicet gradus unius vel unius cum $emi$$e. Cra$$iores $unt ob$ervationes <I>Ponthæi</I> & <I>Cellii,</I> eæ præ$ertim quæ per Azimuthes & Altitudines capieban- tur, ut & eæ <I>Galletii</I>: meliores $unt eæ quæ per po$itiones Co- metæ ad fixas a <I>Montenaro, Hookio, Angone</I> & Ob$ervatore in <I>Nova-Anglia,</I> & nonnunquam a <I>Ponthæo</I> & <I>Cellio</I> $unt factæ. <p>Jam collatis Ob$ervationibus inter $e, colligere videor quod Cometa hoc men$e circulum fere maximum de$crip$it, $ecantem Eclipticam in <FIG> 25. 12′, idque in angulo 3<SUP>gr.</SUP> 12′ quamproxime. Nam & <I>Montenarus</I> Orbitam ab Ecliptica in au$trum, tribus $al- <pb n=462> <MARG>DE MUNDI SYSTEMATE</MARG> tem gradibus declina$$e dicit. Et cognita cur$us po$itione, lon- gitudines Cometæ ex oblervationibus collectæ, ad incudem jam revoeari po$$unt & melius nonnunquam determinari, ut $it in $e- quentibus. <I>Cellius</I> Novemb. 17. ob$ervavit di$tantiam Cometæ a Spica <FIG>, æqualem e$$e di$tantiæ ejus a $tella lucida in dextra ala Corvi: & hinc locandus e$t Cometa in inter$ectione hujus circuli quem Cometa motu apparente de$crip$it, cum circulo maximo qui a fixis illis duabus æqualiter di$tat, atque adeo in <FIG> 7<SUP>gr.</SUP> 54′, cum latitudine au$trali 43′. Præterea <I>Montenarus, Novemb.</I> 20. hora $exta matutina <I>Venetiis,</I> Cometam vidit non totis quatuor gradibus di$tantiam a Spica; dicitque hanc di$tantiam, vix æqua$$e di$tantiam $tellarum duarum lucidarum in alis Corvi, vel duarum in juba Leonis, hoc e$t 3<SUP>gr.</SUP> & 30′ vel 32′. Sit igitur di$tantia Cometæ a Spica 3<SUP>gr.</SUP> 30′, & Cometa locabitur in <FIG> 22<SUP>gr.</SUP> 48′, cum latitudine au$trali 1<SUP>gr.</SUP> 30′. Adhæc <I>Montenarus, Novemb.</I> 21, 22, 24 & 25 ante ortum Solis, Sextante æneo quintupedali ad mi- nuta prima & $emiminuta divi$o & vitris Tele$copicis armato, di$tantias men$uravit Cometæ a Spica 8<SUP>gr</SUP> 28′, 13<SUP>gr.</SUP> 10′, 23<SUP>gr.</SUP> 30′, & 28<SUP>gr.</SUP> 13′: & has di$tantias, per refractionem nondum cor- rectas, addendo longitudini Spicæ, collegit Cometam his tempo- ribus fui$$e in <FIG> 27<SUP>gr.</SUP> 51′, <FIG> 2<SUP>gr.</SUP> 33′, <FIG> 12<SUP>gr.</SUP> 52′ & <FIG> 17<SUP>gr.</SUP> 45′. Si di$tantiæ illæ per refractiones corrigantur, & ex di$tantiis cor- rectis differentiæ longitudinum inter Spicam & Cometam probe deriventur, locabitur Cometa his temporibus <*> <FIG> 27<SUP>gr.</SUP> 52′, <FIG> 2<SUP>gr.</SUP> 36′, <FIG> 12<SUP>gr.</SUP> 58′ & <FIG> 17<SUP>gr.</SUP> 53′ circiter. Latitudines au- tem ad has longitudines in via Cometæ captas, prodeunt 1 <SUP>gr.</SUP> 45′, 1<SUP>gr.</SUP> 58′, 2<SUP>gr.</SUP> 22′ & 2<SUP>gr.</SUP> 31′. Harum quatuor ob$ervationum ho- ras matutinas <I>Montenarus</I> non po$uit. Priores duæ ante ho- ram $extam, po$teriores (ob viciniam Solis) po$t $extam factæ videntur. Die 22, ubi Cometa ex ob$ervatione <I>Montenari</I> loca- tur in <FIG> 2<SUP>gr.</SUP> 36′, <I>Hookius</I> no$ter eundem locavit in <FIG> 3<SUP>gr.</SUP> 30′ ut $upra. <I>Montenarus</I> in defectu, <I>Hookius</I> in exce$$u erra$$e viden- tur. Nam Cometa, ex $erie ob$ervationum, jam fuit in <FIG> 3<SUP>gr.</SUP> 56′ vel <FIG> 3<SUP>gr.</SUP> circiter. <p>Ob$ervationum $uarum ultimam inter vapores & diluculum captam, <I>Montenarus</I> $u$pectam habebat. Et <I>Cellius</I> eodem tem- pore (id e$t, <I>Novem.</I> 25) Cometam per ejus Altitudinem & Azi- muthum locavit in <FIG> 15<SUP>gr.</SUP> 47′, cum latitudine au$trali qua$i gra- dus uni<*> Sed <I>Cellius</I> ob$ervavit etiam eodem tempore, quod Cometa <*>t in linea recta cum $tella lucida in dextro $em<*> <pb n=463> Virginis & cum Lance au$trali Libræ, & hæc linea $ecat viam <MARG>LIBER TERTIUS.</MARG> Cometæ in <FIG> 18<SUP>gr.</SUP> 36′. <I>Ponthæus</I> etiam eodem tempore ob$er- vavit, quod Cometa erat in recta tran$eunte per Chelam au$tri nam Scorpii & per $tellam quæ Lancem borealem $equitur: & hæc recta $ecat viam Cometæ in <FIG> 16<SUP>gr.</SUP> 3<*>. Ob$ervavit etiam, quod Cometa erat in recta tran$eunte per $tellam $upra Lancem au$tralem Libræ & $tellam in principio pedis $ecundi Scorpii: & hæc recta $ecat viam Cometæ in <FIG> 17<SUP>gr.</SUP> 55′. F<*>inter longitu- dines ex his tribus Ob$ervationibus $ic derivatas, longitudo me- diocris e$t <FIG> 17<SUP>gr.</SUP> 42′, quæ cum ob$ervatione <I>Montenari</I> $atis congruit. <p>Erravit igitur <I>Cellius</I> jam locando Cometam in <FIG> 15<SUP>gr.</SUP> 47′, per ejus Azimuthum & Altitudinem. Et $imilibus Azimuthorum & Altitudinum ob$ervationibus, <I>Cellius</I> & <I>Ponthæus</I> non minus erraverunt locando Cometam in <FIG> 20 & <FIG> 24 diebus duobus $equentibus, ubi $tellæ fixæ ob diluculum vix aut ne vix quidem apparuere. Et corrigendæ $unt hæ ob$ervationes per additionem duorum graduum, vel duorum cum $emi$$e. <p>Ex omnibus autem Ob$ervationibus inter $e collatis & ad meri- dianum <I>Londini</I> reductis, colligo Cometam huju$modi cur$um quamproxime de$crip$i$$e. <TABLE BORDER> <TR> <TD COLSPAN="4" ALIGN="CENTER">Temp. med. $t. vet.</TD> <TD COLSPAN="2" ALIGN="CENTER">Long. Cometæ</TD> <TD COLSPAN="3" ALIGN="CENTER">Lat. Cometæ</TD> </TR> <TR> <TD></TD> <TD ALIGN="RIGHT">d.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">h.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">′</TD> <TD ALIGN="RIGHT">gr.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">′</TD> <TD ALIGN="RIGHT">gr.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">′</TD> <TD></TD> </TR> <TR> <TD ROWSPAN="9" ALIGN="RIGHT" VALIGN="TOP"><I>Nov.</I></TD> <TD ALIGN="RIGHT">15.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">17.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">10</TD> <TD ALIGN="RIGHT"><FIG> 8.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">0</TD> <TD ALIGN="RIGHT">0.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">44</TD> <TD ROWSPAN="9" ALIGN="RIGHT" VALIGN="TOP">Au$t.</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">17.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">17.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">10</TD> <TD ALIGN="RIGHT">12.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">52</TD> <TD ALIGN="RIGHT">1.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">0</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">18</TD> <TD ALIGN="RIGHT">21.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">44</TD> <TD ALIGN="RIGHT">18.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">40</TD> <TD ALIGN="RIGHT">1.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">18</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">19</TD> <TD ALIGN="RIGHT">17.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">10</TD> <TD ALIGN="RIGHT">22.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">48</TD> <TD ALIGN="RIGHT">2.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">30</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">20.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">17</TD> <TD ALIGN="RIGHT">fere</TD> <TD ALIGN="RIGHT">27.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">52</TD> <TD ALIGN="RIGHT">1.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">48</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">22.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">17</TD> <TD ALIGN="RIGHT">fere</TD> <TD ALIGN="RIGHT"><FIG> 2.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">56</TD> <TD ALIGN="RIGHT">1.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">38</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">27.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">17 1/4</TD> <TD ALIGN="RIGHT">$ere</TD> <TD ALIGN="RIGHT">12.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">58</TD> <TD ALIGN="RIGHT">2.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">20</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">24.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">17 1/2</TD> <TD ALIGN="RIGHT">$ere</TD> <TD ALIGN="RIGHT">17.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">53</TD> <TD ALIGN="RIGHT">2.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">23</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">26.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">18.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">00</TD> <TD COLSPAN="2" ALIGN="CENTER">26 vel 27<SUP>gr.</SUP></TD> <TD ALIGN="RIGHT">2.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">4<*></TD> </TR> </TABLE> <p>Loea mi<*>ometæ in Orbe Parabolice compu<*>ta <*> $e habent. <TABLE BORDER> <TR> <TD COLSPAN="4" ALIGN="CENTER">Temp. verum</TD> <TD ALIGN="CENTER">Di$t.Com. a <FIG></TD> <TD COLSPAN="3" ALIGN="CENTER">Long. comp.</TD> <TD COLSPAN="4" ALIGN="CENTER">Lac. comp.</TD> </TR> <TR> <TD></TD> <TD ALIGN="CENTER">d.</TD> <TD ALIGN="CENTER">h.</TD> <TD ALIGN="CENTER">′</TD> <TD></TD> <TD ALIGN="CENTER">gr.</TD> <TD ALIGN="CENTER">′</TD> <TD ALIGN="CENTER">″</TD> <TD ALIGN="CENTER">gr.</TD> <TD ALIGN="CENTER">′</TD> <TD ALIGN="CENTER">″</TD> <TD></TD> </TR> <TR> <TD ROWSPAN="5" ALIGN="RIGHT" VALIGN="TOP"><I>Nov.</I></TD> <TD ALIGN="RIGHT">16.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">17.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">0</TD> <TD ALIGN="CENTER">83920</TD> <TD ALIGN="RIGHT"><FIG> 8.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">0.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">25</TD> <TD ALIGN="RIGHT">0.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">43.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">20</TD> <TD ROWSPAN="6" ALIGN="RIGHT" VALIGN="TOP">Au$t.</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">18.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">21.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">34</TD> <TD ALIGN="CENTER">78020</TD> <TD ALIGN="RIGHT">18.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">41.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">50</TD> <TD ALIGN="RIGHT">1.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">17.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">30</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">20.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">16.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">50</TD> <TD ALIGN="CENTER">73012</TD> <TD ALIGN="RIGHT">27.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">59.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">40</TD> <TD ALIGN="RIGHT">1.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">44.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">25</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">23.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">17.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">5</TD> <TD ALIGN="CENTER">64206</TD> <TD ALIGN="RIGHT"><FIG> 13.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">19.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">15</TD> <TD ALIGN="RIGHT">2.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">21.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">8</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">26.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">17.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">0</TD> <TD ALIGN="CENTER">54<*>99</TD> <TD ALIGN="RIGHT">26.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">46.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">30</TD> <TD ALIGN="RIGHT">2.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">42.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">30</TD> </TR> </TABLE> <pb n=464> <MARG>DE MUNDI SYSTEMATE</MARG> <p>Congruunt igitur Ob$ervationes A$tronomicæ, tam men$e <I>No- vembri</I> quam men$ibus quatuo<*>entibus, cum motu Cometæ circum Solem in Trajectoria hacce Parabolica, atque adeo unum & cundem Cometam fui$$e, qui men$e <I>Novembri</I> ad Solem de$cen- dir, & men$ibus $equentibus ab vodem a$cendit, abunde confir- mant, ut & hunc Cometam in Trajectoria hacce Parabolica dela- tum fui$$e quamproxime. Men$ibas <I>Decembri, Januario, Fe- bruario</I> & <I>Martio,</I> ubi Ob$ervationes hujus Cometæ $unt $atis ac- curatæ, congruunt eædem cum motu ejus in hac Trajectoria, non minus accurate quam ob$ervationes Planetarum congruere $olent cum eorum Theoriis. Men$e <I>Novembri,</I> ubi ob$ervationes $unt cra$$æ, errores non $unt majores quam qui cra$$itudini ob$erva- tionum tribuantur. Trajectoria Cometæ bis $ecuit planum Eclip- ticæ, & propterea non fuit rectilinea. Eclipticam $ecuit non in oppo$itis cœli partibus, $ed in fine Virginis & principio Capri- corni, intervallo graduum 98 circiter; ideoque cur$us Cometæ plurimum deflectebatur a Circulo maximo. Nam & men$e <I>No- vembri</I> cur$us ejus tribus $altem gradibus ab Ecliptica in au$trum declinabat, & po$tea men$e <I>Decembri</I> gradibus 29 vergebat ab Ecliptica in $eptentrionem, partibus duabus Orbitæ in quibus Cometa tendebat in Solem & redibat a Cole, angulo apparente graduum plus triginta ab invicem declinantibus, ut ob$ervavit <I>Montenarus.</I> Pergebat hic Cometa per $igna fere novem, a Vir- ginis $cilicet duodecimo gradu ad principium Geminorum, præ- ter $ignum Leonis per quod pergebat antequam videri cœpit: & nu<*>xtat Theoria, qua Cometa tantam Cœli part<*>otu <*> percurrat. Motus ejus fuit maxime inæquabilis. Nam circa diem vige$imum <I>Novembris,</I> de$crip$it gradus circiter quin- que $ingulis diebus; dein motu retardato inter <I>Novemb.</I> 26 & <I>Decemb.</I> 12, $patio $cilicet dierum quindecim cum $emi$$e, de- $crip$it gradus tantum 40; po$tea vero motu iterum accelerato, de$crip$it gradus fere quinque $ingulis diebus, antequam motus iterum retardari cœpir. Et Theoria quæ motui tam inæquabili per maximam cœli partem probe re$pondet, quæque ea$dem ob- $ervat leges cum Theoria Planetarum, & cum accuratis ob$erva- tionibus A$tronomicis accurate congruit, non pote$t non e$$e vera. Cometa tamen $ub finem motus deviabat aliquantulum ab hac Trajectoria Parabolica ver$us axem Parabolæ, ut ex erroribus mi- <*>i unius primi duorumve in latitudinem men$e <I>Februario</I> & <I><*>io</I> con$pirantibus, colligere videor; & propterea in Orbe El- <pb> <FIG> <pb n=465> liptico circum Solem movebatur, $patio annorum plu$quam quin- <MARG>LIBER TERTIUS.</MARG> gentorum, quantum ex erroribus illis judicare licuit, revolutio- nem peragens. <p>Cæterum Trajectoriam quam Cometa de$crip$it, & Caudam veram quam $ingulis in locis projecit, vi$um e$t annexo $chemate in plano Trajectoriæ optice delineatas exhibere: Ob$ervationibus $equentibus in Cauda definienda adhibitis. <p><I>Nov.</I> 17 Cauda gradus amplius quindecim longa <I>Ponthæo</I> ap- paruit. <I>Nov.</I> 18 Cauda 30<SUP>gr.</SUP> longa, Solique directe oppo$ita in <I>Nova-Anglia</I> cernebatur, & protendebatur u$que ad $tellam <FIG>, quæ tunc erat in <*> 54′. <I>Nov.</I> 19 in <I>Marr-Land</I> cauda vi$a fuit gradus 15 vel 20 longa. <I>Dec.</I>10 Cauda (ob$ervante <I>Flam$tedio</I>) tran$ibat per medium di$tantiæ inter caudam $erpentis Ophiuchi & $tellam <G>d</G> in Aquilæ au$trali ala, & de$inebat prope $tellas <I>A, <G>w</G>, b</I> in Tabulis <I>Bayeri.</I> Terminus igitur erat in <FIG> 19 1/2<SUP>gr.</SUP> cum latitudine boreali 34 1/4<SUP>gr.</SUP> circiter. <I>Dec.</I> 11 $urgebat ad u$que caput Sagittæ (<I>Bayero,</I> <G>a, b</G>,) de$inens in <FIG> 26<SUP>gr.</SUP> 43′, cum latitudine boreali 38<SUP>gr.</SUP> 34′. <I>Dec.</I>13 tran$ibat per medium Sagittæ, nec longe ultra protendebatur, de$inens in=4<SUP>gr.</SUP>, cum latitudine boreali 42 1/2<SUP>gr.</SUP> circi- ter. Intelligenda $unt hæc de longitudine caudæ clarioris. Nam luce ob$curiore, in cœlo for$an magis $ereno, cauda <I>Dec.</I> 12, hora 5, 40′ <I>Romæ</I> (ob$ervante <I>Ponthæo</I>) $upra Cygni Uropygium ad gradus 10 $e$e extulit; atque ab hac $tella ejus latus ad occa$um & boream min. 45 de$titit. Lata autem erat cauda his diebus gradus 3, juxta terminum $uperiorem, ideoque medium ejus di$tabat a Stella illa 2<SUP>gr</SUP> 15′ au$trum ver$us, & terminus $uperior erat in <FIG> 22<SUP>gr.</SUP> cum latitudine boreali 61<SUP>gr.</SUP>. <I>Dec.</I> 21 $urgebat fere ad cathedram <I>Ca$$io- peiæ,</I> æqualiter di$tans a <G>b</G> & <I>Schedir,</I> & di$tantiam ab utraque di$tantiæ earum ab invicem æqualem habens, adeoque de$inens in <FIG> 24<SUP>gr.</SUP> cum latitudine 47 1/2<SUP>gr.</SUP>. <I>Dec.</I> 29 tangebat <I>Scheat</I> $itam ad $ini$tram, & intervallum $tellarum duarum in pede boreali <I>Andro- medæ</I> accurate complebat, & longa erat 54<SUP>gr.</SUP> adeoque de$inebat in 8 19<SUP>gr.</SUP> cum latitudine 35<SUP>gr.</SUP>. <I>Jan.</I> 5 tetigit $tellam <G>p</G> in pectore <I>Andromedæ,</I> ad latus $uum dextrum, & $tellam <G>m</G> in ejus cingulo ad latus $ini$trum; & (juxta Ob$ervationes no$tras) longa erat 40<SUP>gr.</SUP>; curva autem erat & convexo latere $pectabat ad au$trum. Cum circulo per Solem & caput Cometæ tran$eunte angulum confecit graduum 4 juxta caput Cometæ; at juxta terminum al- terum inclinabatur ad circulum illum in angulo 10 vel 11 graduum, & chorda caudæ cum circulo illo continebat angulum graduum <pb n=466> <MARG>DE MUNDI SYSTEMATE</MARG> octo. <I>Jan.</I> 13 Cauda luce $atis $en$ibili terminabatur inter <I>Ala- mech</I> & <I>Algol,</I> & luce tenui$$ima de$inebat e regione $tellæ <G>x</G> in latere <I>Per$ei.</I> Di$tantia termini caudæ a circulo Solem & Come- tam ungente erat 3<SUP>gr.</SUP> 50′, & inclinatio chordæ caudæ ad circu- lum illum 8 1/2<SUP>gr</SUP>. <I>Jan.</I> 25 & 26 luce tenui micabat ad longitu- dinem graduum 6 vel 7; & ubi cœlum valde $erenum erat, luce tenui$$ima & ægerrime $en$ibili attingebat longitudinem graduum duodecim & paulo ultra. Dirigebatur autem ejus axis ad Luci- dam in humero orientali Aurigæ accurate, adeoque declinabat ab oppo$itione Solis boream ver$us in angulo graduum decem. De- nique <I>Feb.</I> 10 Caudam oculis armatis a$pexi gradus duos lon- gam. Nam lux prædicta tenuior per vitra non apparuit. <I>Pon- thæus</I> autem <I>Feb.</I> 7 $e caudam ad longitudinem graduum 12 vidi$$e $cribit. <p>Orbem jam de$criptum $pectanti & reliqua Cometæ hujus Phæ- nomena in animo revolventi, haud difficulter con$tabit quod cor- pora Cometarum $unt $olida, compacta, fixa ac durabilia ad in- $tar corporum Planetarum. Nam $i nihil aliud e$$ent quam vapo- res vel exhalationes Terræ, Solis & Planetarum, Cometa hicce in tran$itu $uo per viciniam Solis $tatim di$$ipari debui$$et. E$t enim calor Solis ut radiorum den$itas, hoc e$t, reciproce ut quadratum di$tantiæ locorum a Sole. Ideoque cum di$tantia Cometæ a cen- tro Solis <I>Decemb.</I> 8 ubi in Perihelio ver$abatur, e$$et ad di$tan- tiam Terræ a centro Solis ut 6 ad 1000 circiter, calor Solis apud Cometam eo tempore erat ad calorem Solis æ$tivi apud nos ut 1000000 ad 36, $eu 28000 ad 1. Sed calor aquæ ebullientis e$t qua$i triplo major quam calor quem terra arida concipit ad æ$ti- vum Solem, ut expertus $um: & calor ferri candentis ($i recte conjector) qua$i triplo vel quadruplo major quam calor aquæ ebul- lientis; adeoque calor quem terra arida apud Cometam in Peri- helio ver$antem ex radiis Solaribus concipere po$$et, qua$i 2000 vicibus major quam calor ferri candentis. Tanto autem calore vapores & exhalationes, omni$que materia volatilis itatim con$umi ac di$$ipari debui$$ent. <p>Cometa igitur in Perihelio $uo calorem immen$um ad Solem concepit, & calorem illum diuti$$ime con$ervare pote$t. Nam globus ferri candentis digitum unum latus, calorem $uum omnem $patio horæ unius in aere con$i$tens vix amitteret. Globus autem major calorem diutius con$ervaret in ratione diametri, propterea quod $uperficies (ad cujus men$uram per contactum aeris ambi- <pb n=467> entis refrigeratur) in illa ration minor e$t pro quantitate mate- <MARG>LIBER TERTIUS.</MARG> riæ $uæ calidæ inclu$æ. Ideoque globus ferri candentis huic Terræ æqualis, id e$t, pedes plus minus 40000000 latus, diebus totidem, & idcirco annis 50000, vix refrige$ceret. Su$picor ta- men quod duratio Caloris, ob cau$as latentes, augeatur in mincre ratione quam ea diametri: & optarim rationem veram per experi- menta inve$tigari. <p>Porro notandum e$t quod Cometa Men$e <I>Decembri,</I> ubi ad Solem modo incaluerat, caudam emittebat longe majorem & $plendidiorem quam antea Men$e <I>Novembri,</I> ubi Periheliunt non- dum attigerat. Et univerfaliter caudæ omnes maximæ & fulgen- ti$$imæ e Cometis oriuntur, $tatim po$t tran$itum eorum per regi- onem Solis. Conducit igitur calefactio Cometæ ad magnitudi- nem caudæ. Et inde colligere videor quod cauda nihil aliud fit quam vapor longe tenui$$imus, quem caput $eu nucleus Cometæ per calorem $uum emittit. <p>Cæterum de Cometarum caudis triplex e$t opinio; eas vel jubar e$$e Solis per tran$lucida Cometarum capita propagatum, vel oriri ex refractione lucis in progre$$u ip$ius a capite Comeræ in Ter- ram, vel denique nubem e$$e $eu vaporem a capite Comeræ jugi- ter $urgentem & abeuntem in partes a Sole aver$as. Opinio pri- ma eorum e$t qui nondum imbuti $unt $cientia rerum Opticarum. Nam jubar Solis in cubiculo tenebro$o non cernitur, ni$i quatenus lux reflectitur e pulverum & fumorum particulis per aerem $em- per volitantibus: adeoque in aere fumis cra$$ioribus infecto $plen- didius e$t, & $en$um fortius ferit; in aere clariore tenuius e$t & ægrius $entitur: in cœlis autem ab$que materia refiectente nullum e$$e pote$t. Lux non cernitur quatenus in jubare e$t, $ed quatenus inde re$tectitur ad oculos no$tros. Nam vi$io non $it ni$i per radios quiin oculos impingunt. Requiritur igitur materia aliqua reflectens in regione caudæ, ne cœlum totum luce Solis illu$tratum unifor- miter $plendeat. Opinio $ecunda multis premitur difficultatibus. Caudæ nunquam variegantur coloribus: qui tamen refractionum $olent e$$e comites in$eparabiles. Lux Fixarum & Planetarum di- $tincte ad nos tran$mi$$a, demon$trat medium cœle$tc nulla vi re- fractiva pollere. Nam quod dicitur Fixas ab <I>Ægyptiis</I> comatas nonnunquam vi$as fui$$e, id quoniam rari$$ime contingit, a$cri- bendum e$t nubium refractioni fortuitæ. Fixarum quoque radia- tio & $cintillatio ad refractiones tum Oculorum tum Aeris tre- muli referendæ $unt: quippe quæ admotis oculo Tele$copiis <pb n=468> <MARG>DE MUNDI SYSTEMATE</MARG> evane$cunt, Aeris & a$cendentium vaporum tremore fit ut radii facile de angu$to pupillæ $patio per vices detorqueantur, de lati- ore autem vitri objectivi apertura neutiquam. Inde e$t quod $cintillatio in priori ca$a generetur, in po$teriore autem ce$$et: & ce$$atio in po$teriore ca$u demon$trat regularem tran$mi$$ionem lucis per cœlos ab$que omni refractione $en$ibili. Nequis con- tendat quod caudæ non $oleant videri in Cometis cum eorum lux non e$t $atis fortis, quia tunc radii $ecunda<*>i non habent $itis vi- rium ad oculos movendos, & propterea cau<*> Fix<*>m non cerni: $ciendum e$t quod lux Fixarum plus centum vicibus augeri pote$t mediantibus Tele$copiis, nec tamen caudæ cernuntur Planeta- rum quoque lux copio$ior e$t, caudæ vero nunæ: Comeræ autem $æpe caudati$$imi $unt, ubi capitum lux tenuis e$t & valde obtu$a: $ic enim Cometa Anni 1680, Men$e <I>Decembri,</I> quo tempore ca- put luce $ua vix æquabat $tellas $ecundæ magnitudinis, caudam emittebat $plendore notabili u$que ad gradus 40, 50, 60 longi- tudinis & ultra: po$tea <I>Jan.</I> 27 & 28 caput apparebat ut $tella $eptimæ tantum magnitudinis, cauda vero luce quidem pertenui $ed $atis $en$ibili longa erat 6 vel 7 gradus, & luce ob$curi$$ima, quæ cerni vix po$$et, porrigebatur ad gradum u$que duodecimum vel paulo ultra: ut $upra dictum e$t. Sed & <I>F<G>e</G>b.</I> 9 & 10 ubi caput nudis oculis videri de$ierat, caudam gradus duos longam per Tele$copium contemplatus $um. Porro $i cauda oriretur ex refractione materiæ cœle$tis, & pro figura cœlorum deflecteretur de Solis oppo$itione, deberet deflexio illa in ii$dem cœli regioni- bus in eandem $emper partem fieri. Atqui Cometa Anni 1680 <I>Decemb.</I> 28. hora 8 1/2 P.M. <I>Londini,</I> ver$abatur in <FIG> 8<SUP>gr.</SUP> 41′ cum latitudine boreali 28<SUP>gr.</SUP> 6′, Sole exi$tente in <FIG> 18<SUP>gr.</SUP> 26′. Et Co- meta Anni 1577, <I>Dec.</I> 29 ver$abatur in <FIG> 8<SUP>gr.</SUP> 41′ cum latitu- dine boreali 28<SUP>gr.</SUP> 40′, Sole etiam exi$tente in <FIG> 18<SUP>gr.</SUP> 26′ circi- ter. Utroque in ca$u Terra ver$abatur in eodem loco, & Co- meta apparebat in eadem cœli parte: in priori tamen ca$u cauda Cometæ (ex meis & aliorum Ob$ervationibus) declinabat angulo graduum 4 1/2 ab oppo$itione Solis aquilonem ver$us; in po$te- riore vero (ex Ob$ervationibus <I>Tychonis</I>) declinatio erat gra- duum 21 in au$trum. Igitur repudiata cœlorum refractione, $upere$t ut Phænomena Caudarum ex materia aliqua reflectente deriventur. <p>Caudas autem a capitibus oriri & in regiones a Sole aver$as a$cendere con$irmatur ex legibus quas ob$ervant. Ut quod in <pb n=469> planis Orbium Cometarum per Solem tran$euntibus jacentes, de- <MARG>LIBER TERTIUS.</MARG> viant a<*> oppo$itione Solis in eas $emper partes, quas capita in Orbibus iilis progredientia relinquunt. Quod $pectatori in his planis con$tituto apparent in partibus a Sole directe aver$is; di- grediente autem $pe$tatore de his planis, deviatio paulatim $en- titur, & indies apparet major. Quod deviatio cæteris paribus minor e$t ubi cauda obliquior e$t ad Orbem Cometæ, ut & ubi caput Cometæ ad Solem propius accedit; præ$ertim $i $pectetur deviationis angulus juxta caput Cometæ. Præterea quod caudæ non deviantes apparent rectæ, deviantes autem incurvantur. Quod curvatura major e$t ubi major e$t deviatio, & magis $en$ibilis ubi cauda cæteris paribus longior e$t: nam in brevioribus curvatura ægre animadvertitur. Quod deviationis angulus minor e$t juxta caput Cometæ, major juxta caudæ extremitatem alteram, atque adeo quod cauda convexo $ui latere partes re$picit a quibus $it deviatio, quæque in recta $unt linea a Sole per caput Cometæ in infinitum ducta. Et quod caudæ quæ prolixiores $unt & latiores, & luce vegetiore micant, $int ad latera convexa paulo $plendi- diores & limite minus indi$tincto terminatæ quam ad concava. Pendent igitur Phænomena caudæ a motu capitis, non autem a regione cœli in qua caput con$picitur; & propterca non fiunt per refractionem cœlorum, $ed a capite $uppeditante materiam ori- untur. Etenim ut in Aere no$tro fumus corporis cuju$vis igniti petit $uperiora, idque vel perpendiculariter $i corpus quie$cat, vel oblique $i corpus moveatur in latus: ita in Cœlis ubi corpora gravitant in Solem, fumi & vapores a$cendere debent à Sole (uti jam dictum e$t) & $uperiora vel recta petere, $i corpus fumans quie$cit; vel oblique, $i corpus progrediendo loca $emper de$erit a quibus $uperiores vaporis partes a$cenderant. Et obliquitas i$ta minor erit ubi a$cen$us vaporis velocior e$t: nimirum in vicinia Solis & juxta corpus fumans. Ex obliquitatis autem diver$itate incurvabitur vaporis columna: & quia vapor in columnæ latere præcedente paulo recentior e$t, ideo etiam is ibidem aliquanto den$ior erit, lucemque propterea copio$ius reflectet, & limite mi- nus indi$tincto terminabitur. De Caudarum agitionibus $ubita- neis & incertis, deque earum figuris irregularibus, quas nonnulli quandoque de$cribunt hic nihil adjicio; propterea quod vel a mutationibus Aeris ne$tri, & motibus nubium caudas aliqua ex parte ob$curantium oriantur; vel forte a partibus Viæ Lacteæ, quæ cum caudis prætereuntibus confundi po$$int, ac tanquam ea- rum partes $pectari. <pb n=470> <MARG>DE MUNDI SYSTEMATE</MARG> <p>Vapores autem, qui $patiis tam immen$is implendis $ufficiant, ex Cometarum Atmo$phæris oriri po$$e, intelligetur ex ratitate Aeris no$tri. Nam Aer juxta $uperficiem Terræ $patium occupat quail 850 partibus majus quam Aqua eju$dem ponderis, ideoque Aeris columna cylindrica pedes 850 alta, eju$dem e$t ponderis cum Aquæ columna pedali latitudinis eju$dem. Columna autem Aeris ad $ummitatem Atmo$phæræ a$$urgens æquat pondere $uo colurnnam Aquæ pedes 33 altam circiter; & propterea $i colum- næ totius Aereæ pars inferior pedum 850 altitudinis dematur, pars reliqua $uperior æquabit pondere $uo columnam Aquæ altam pedes 32. <*>nde vero (ex Hypothe$i multis experimentis confir- mata, quod compre$$io Aeris $it ut pondus Atmo$phæræ incum- bentis, quodque gravitas $it reciproce ut quadratum di$tantiæ lo- corum a centro Terræ) computationem per Corol. Prop. XXII. Lib. II. ineundo, inveni quod Aer, $i a$cendatur a $uperficie Terræ ad altitudinem $emidiametri unius terre$tris, rarior $it quam apud nos in ratione longe majori, quam $patii omnis infra Or- bem Saturni ad globum diametro digiti unius de$criptum. Ideo- que globus Aeris no$tri digitum unum latus, ea cum raritate quam haberet in altitudine $emidiametri unius terre$tris, impleret omnes Planetarum regiones ad u$que $phæram Saturni & longe ultra. Proinde cum Aer adhuc altior in immen$um rare$cat; & coma $eu Atmo$phæra Cometæ, a$cendendo ab illius centro, qua$i decuplo altior $it quam $uperficies nuclei, deinde cauda adhuc altius a$cendat, debebit cauda e$$e quam rari$$ima. Et quamvis, ob longe cra$$iorem Cometarum Atmo$phæram, magnamque cor- porum gravitationem Solem ver$us, & gravitationem particula- rum Aeris & vaporum in $e mutuo, fieri po$$it ut Aer in $patiis cœleftibus inque Cometarum caudis non adeo rare$cat; perexi- guam tamen quantitatem Aeris & vaporum, ad omnia illa cauda- rum Phœnomena abunde $ufficere, ex hac computatione per$pi- cuum e$t. Nam & caudarum in$ignis raritas colligitur ex a$tris pes eas tran$lucentibus. Atmo$phæra terre$tris luce Solis $plen- dens, cra$$itudine $ua paucorum milliarium, & aftra omnia & ip- $am Lunam ob$curat & extinguit penitus: per immen$am vero caudarum cra$$itudinem, luce pariter Solari illu$tratam, a$tra mi- nima ab$que claritatis detrimento tran$lucere no$cuntur. Neque major e$$e $olet caudarum plurimarum $plendor, quam Aeris no- $tri in tenebro$o cubiculo latitudine digiti unius duorumve, lucem Solis in jubare reflectentis. <pb n=471> <p>Quo temporis $patio vapor a capite ad terminum caudæ a$cen- <MARG>LIBER TERTIUS.</MARG> dit, cogno$ci fere pote$t ducendo rectam a termino caudæ ad So- lem, & notando locum ubi recta illa Trajectoriam $ecat. Nam vapor in termino caudæ, $i recta a$cendat a Sole, a$cendere cœpit a capite quo tempore caput erat in loco inter$ectionis. At vapor non recta a$cendit à Sole, $ed motum Cometæ, quem aute a$cen- $um $uum habebat, retinendo, & cum motu a$cen$us $ui eundem componendo, a$cendit oblique. Unde verior erit Problematis $olutio, ut recta illa quæ Orbem $ecat, parallela $it longitudini caudæ, vel potius (ob motum curvilineum Cometæ) ut eadem a linea caudæ divergat. Hoc pacto inveni quod vapor qui erat in termino caudæ <I>Jan.</I> 25, a$cendere cœperat a capite ante <I>Dec.</I> 11, adeoque a$cen$u $uo toto dies plus 45 con$ump$erat. At cauda illa omnis quæ <I>Dec.</I> 10 apparuit, a$cenderat $patio dicrum illo- rum duorum, qui a tempore Perihelii Cometæ eiap$i fuerant. Vapor igitur $ub initio in vicinia Solis celerrime a$cendebat, & po$tea cum motu per gravitatem $uam $omper retardato a$cen- dere pergebat; & a$cendendo augebat longitudinem caudæ: cauda autem quamdiu apparuit ex vapore fere omni con$tabat qui a tempore Perihelii a$cenderat; & vapor, qui primus a$cendit, & terminum caudæ compo$uit, non prius evanuit quam ob nimiam $uam tam a Sole illu$trante quam ab oculis no$tris di$tantiam vi- deri de$iit. Unde etiam caudæ Cometarum aliorum quæ breves $unt, non a$cendunt motu celeri & perpetuo a capitibus & mox evane$cunt, $ed $unt permanentes vaporum & exhalationum co- lumnæ, a capitibus lenti$$imo multorum dierum motu propagatæ, quæ, participando motum illum capitum quem habuere $ub initio, per cœlos una cum capitibus moveri pergunt. Et hinc rur$us col- ligitur $patia cœle$tia vi re$i$tendi de$titui; utpote in quibus non $olum $olida Planetarum & Cometarum corpora, $ed etiam rari$- $imi caudarum vapores motus $uos veloci$$imos liberrime peragunt ac diuti$$ime con$ervant. <p>A$cen$um caudarum ex Atmo$phæris capitum & progre$$um in partes a Sole aver$as <I>Keplerus</I> a$cribit actioni radiorum lucis ma- teriam caudæ $ecum rapientium. Et auram longe tenui$$imam in $patiis liberrimis actioni radiorum cedere, non e$t a ratione pror- $us alienum, non ob$tante quod $ub$tantiæ cra$$æ, impediti$$imis in regionibus no$tris, a radiis Solis $en$ibiliter propelli nequeant. Alius particulas tam leves quam graves dari po$$e exi$timat, & materiam caudarum levitare, perque levitatem $uam a Sole a$cen- <pb n=472> <MARG>DE MUNDI SYSTEMATE</MARG> dere. Cum autem gravitas corporum terre$trium $it ut materia in corporibus, ideoque $ervata quantitate materiæ intendi & re- mitti nequeat, $u$picor a$cen$um illum ex rarefactione materiæ caudarum potius oriri. A$cendit fumus in camino impul$u Aeris cui innatat. Aer ille per calorem ra<*>factus a$cendit, ob diminu- tam $uam gravitatem $pecificam, & fumum implicatum rapit $e- cum. Quidni cauda Cometæ ad eundem modum a$cenderit a Sole? Nam radii Solares non agitant Media quæ permeant, ni$i in reflexione & refractione. Particulæ reflectentes ea actione cale- factæ calefacient auram ætheream cui implicantur. Illa calore $ibi communicato rarefiet, & ob diminutam ea raritate gravitatem $uam $pecificam qua prius tendebat in Solem, a$cendet & $ecum rapiet particulas reflectentes ex quibus cauda componitur: Ad a$cen$um vaporum conducit etiam quod hi gyrantur circa Solem & ea actione conantur a Sole recedere, at Solis Atmo$phæra & materia cœlorum vel plane quie$cit, vel motu $olo quem a Solis rotatione acceperint, tardius gyratur. Hæ $unt cau$æ a$cen$us caudarum in vicinia Solis, ubi Orbes curviores $unt, & Cometæ intra den$iorem & ea ratione graviorem Solis Atmo$phæram con- $i$tunt, & caudas quam longi$$imas mox emittunt. Nam caudæ quæ tunc na$cuntur, con$ervando motum $uum & interea ver$us Solem gravitando, movebuntur circa Solem in Ellip$ibus pro more capitum, & per motum illum capita $emper comitabuntur & iis liberrime adhærebunt. Gravitas enim vaporum in Solem non magis efficiet ut caudæ po$tea decidant a capitibus Solem ver- $us, quam gravitas capitum efficere po$$it ut hæc decidant a cau- dis. Communi gravitate vel $imul in Solem cadunt, vel $imul in a$cen$u $uo retardabuntur; adeoque gravitas illa non impedit, quo minus caudæ & capita po$itionem quamcunque ad invicem a cau$is jam de$criptis, aut aliis quibu$cunque, facillime accipiant & po$tea liberrime $ervent. <p>Caudæ igitur quæ in Cometarum Periheliis na$cuntur, in regi- ones longinquas cum eorum capitibus abibunt, & vel inde po$t longam annorum $eriem cum ii$dem ad nos redibunt, vel potius ibi rarefactæ paulatim evane$cent. Nam po$tea in de$cen$u capi- tum ad Solem caudæ novæ breviu$culæ lento motu a capitibus propagari debebunt, & $ubinde, in Periheliis Cometarum illorum qui adu$que Atmo$phæram Solis de$cendunt, in immen$um au- geri. Vapor enim in $patiis illis liberrimis perpetuo rare$cit ac dilatatur. Qua ratione fit ut cauda omnis ad extremitatem $upe- <pb n=473> riorem latior $it quam juxta caput Cometæ. Ea autem rarefacti- <MARG>LIBER TERTIUS.</MARG> one vaporem perpetuo dilatatum dif$undi tandem & $pargi per cœlos univer$os, deinde paulatim in Planetas per gravitatem $uam attrahi & cum corum Atmo$phæris mi$ceri, rationi con$entaneum videtur. Nam quemadmodum Maria ad con$titutionem Terræ hujus omnino requiruntur, idque ut ex iis per calorem Solis va- pores copio$e $atis excitentur, qui vel in nubes coacti decidant in pluviis, & terram omnem ad procreationem vegetabilium irri- gent & nutriant; vel in frigidis montium verticibus conden$ati (ut aliqui cum ratione philo$ophantur) decurrant in fontes & flumina $ic ad con$ervationem marium & humorum in Planetis, requiri videntur Cometæ, ex quorum exhalationibus & vapori- bus conden$atis, quicquid liquoris per vegetationem & putre- factionem con$umitur & in terram aridam convertitur, continuo $uppleri & refici po$$it. Nam vegetabilia omnia ex liquoribus omnino cre$cunt, dein magna ex parte in terram aridam per pu- trefactionem ateunt, & limus ex liquoribus putrefactis perpetuo decidit. Hinc moles Terræ aridæ indies augetur, & liquores, ni$i aliunde augmentum $umerent, perpetuo decre$cere deberent, ac tandem deficere. Porro $u$picor Spiritum illum, qui Aeris no$tri pars minima e$t $ed $ubtili$$ima & optima, & ad rerum omnium vitam requiritur, ex Cometis præcipue venire. <p>Atmo$phæræ Cometarum in de$cen$u eorum in Solem, excur- rendo in caudas, diminuuntur, & (ea certe in parte quæ Solem re$picit) angu$tiores redduntur: & vici$$im in rece$$u eorum a Sole, ubi jam minus excurrunt in caudas, ampliantur; $i modo Phænomena eorum <I>Hevelius</I> recte notavit. Minimæ autem ap- parent ubi capita jam modo ad Solem calefacta in caudas maximas & fulgenti$$imas abiere, & nuclei fumo for$an cra$$iore & nigriore in Atmo$phærarum partibus infimis circundantur. Nam fumus omnis ingenti calore excitatus, cra$$ior & nigrior e$$e $olet. Sic caput Cometæ de quo egimus, in æqualibus a Sole ac Terra di- $tantiis, ob$curius apparuit po$t Perihelium $uum quam antea. Men$e enim <I>Decembri</I> cum $tellis tertiæ magnitudinis conferri $ole- bat, at Men$e <I>Novembri</I> cum $tellis primæ & $ecundæ. Et qui utrumque viderant, majorem de$cribunt Cometam priorem. Nam Juveni cuidam <I>Cantabrigien$i, Novemb.</I> 19, Cometa hicce luce $ua quantumvis plumbea & obtu$a, æquabat Spicam Virginis, & cla- rius micabat quam po$tea. Et <I>D. Storer</I> literis quæ in manus no- $tras incidere, $crip$it caput ejus Men$e <I>Decembri,</I> ubi caudam <pb n=474> <MARG>DE MUNDI SYSTEMATE</MARG> maximam & fulgenti$$imam emittebat, parvum e$$e & magnitu- dine vi$ibili longe cedere Cometæ, qui Men$e <I>Novembri</I> ante Solis ortum apparuerat. Cujus rei rationem e$$e conjectabatur, quod materia capitis $ub initio copio$ior e$$et, & pauiatim con- $umeretur. <p>Eodem $pectare videtur quod capita Cometarum aliorum, qui caudas maximas & fulgenti$$imas emi$erunt, apparuerint $ubob- $cura & exigua. Nam Anno 1668 <I>Mart.</I> 5. St. nov. hora $eptima ve$pertina <I>R. P. Vaientinus E$tancius, Bra$iliæ</I> agens, Cometam vidit Horizonti proximum ad occa$um Solis brumalem, capite minimo & vix con$oicuo, cauda vero $upra modum fulgente, ut $tantes in littore $peciem ejus e mari reflexam facile cernerent. Speciem utique habebat trabis $plendentis longitudine 23 gra- duum, ab occidente in au$trum vergens, & Horizonti fere para- lela. Tantus autem $plendor tres $olum dies durabat, $ubinde notabiliter decre$cens; & interea decre$cente $plendore aucta e$t magnitudine cauda. Unde etiam in <I>Portugallia</I> quartam fere cœli partem (id e$t, gradus 45) occupa$$e dicitur, ab occidente in orientem $plendore cum in$igni proten$a; nec tamen tota apparuit, capite $emper in his regionibus infra Horizontem delite$cente. Ex incremento caudæ & decremento $plendoris manife$tum e$t quod caput a Sole rece$$it, eique proximum fuit $ub initio, pro more Cometæ anni 1680. Et $imilis legitur Cometa anni 1101 vel 1106, <I>cujus Steila erat parva & ob$cura</I> (ut ille anni 1680) <I>$ed $plendor qui ex ea exivit valde clarus & qua$i ingens trabs ad Orientem & Aquilonem tendebat,</I> ut habet <I>Hevelius</I> ex <I>Simeone Dunelmen$i</I> Monacho. Apparuit initio Men$is <I>Februarii,</I> circa ve- $peram, ad occa$um Solis brumalem. Inde vero & ex $itu caudæ col- ligitur caput fui$$e Soli vicinum. <I>A Sole,</I> inquit Matthæus Pari- $ien$is, <I>di$tabat qua$i cubito uno, ab hora tertia</I> [rectius $exta] <I>u$- que ad horam nonam radium ex $e longum emittens.</I> Talis etiam erat ardenti$$imus ille Cometa ab <I>Ari$totele</I> de$criptus Lib. l. Meteor. 6. <I>cujus caput primo die non con$pectum e$t, eo quod ante Solem vel $altem $ub radiis $olaribus oceidi$$et, $equente vero die quantum potuit vi$um e$t. Nam quam minima fieri pote$t di$tantia Solem reliquit, & mox occubuit. Ob nimium ardorem</I> [caudæ $cili- cet] <I>nondum apparebat capitis $par$us ignis, $ed procedente tem- pore</I> (ait Ari$toreles) <I>cum</I> [cauda] <I>jam minus flagraret, reddita e$t</I> [capiti] <I>Cometæ $ua facies. Et $plendorem $uum ad tertiam u$que cæli partem</I> [id e$t, ad 60<SUP>gr.</SUP>] <I>extendit. Apparuit autem</I> <pb n=475> <I>tempore hyberno, & a$cendens u$que ad cingulum Orionis ibi evanuit.</I> <MARG>LIBER TERTIUS.</MARG> Cometa ille anni 1618, qui c radiis Solaribus caudati$$imus emer$it, $tellas primæ magnitudinis æquare vel paulo $uperare videbatur, $ed majores apparuere Cometæ non pauci qui caudas breviores habuere. Horum aliqui Jovem, alii Venerem vel etiam Lunam æqua$$e traduntur. <p>Diximus Cometas e$$e genus Planetarum in Orbibus valde ec- centricis circa Solem revolventium. Et quemadmodum e Plane- tis non caudatis, minores e$$e $olent qui in Orbibus minoribus & Soli propioribus gyrantur, $ic etiam Cometas, qui in Perihcliis $uis ad Solem propius accedunt, ut plurimum minores e$$e, <*> Solem attractione $ua nimis agitent, rationi con$entaneum videtur. Orbium vero tran$ver$as diametros & revolutionum tempora periodica, ex collatione Cometarum in ii$dem Orbibus po$t longa temporum intervalla redeuntium, determinanda relinquo. Interea huic negotio Propo$itio $equens lumen accendere pote$t. <C>PROPOSITIO XLII. PROBLEMA XXII.</C> <C><I>Trajectoriam Cometæ Graphice inventam corrigere.</I></C> <p><I>Oper.</I> 1. A$$umatur po$itio plani Trajectoriæ, per Propo$itio- nem $uperiorem Graphice inventa; & $eligantur tria loca Cometæ ob$ervationibus accurati$$imis de$inita, & ab invicem quam ma- xime di$tantia; $itque A tempus inter primam & $ecundam, ac B tempus inter $ecundam ac tertiam. Cometam autem in eorum aliquo in Perigæo ver$ari convenit, vel $altem non longe a Peri- gæo abe$$e. Ex his locis apparentibus inveniantur, per opera- tiones Trigonometricas, loca tria vera Cometæ in a$$umpto illo plano Trajectoriæ. Deinde per loca illa inventa, circa centrum Solis ceu umbilicum, per operationes Arithmeticas, ope Prop. XXI. Lib. I. in$titutas, de$cribatur Sectio Conica<*> & ejus areæ, radiis a Sole ad loca inventa ductis terminatæ, $unto D & E; nempe D area inter ob$ervationem primam & $ecundam, & E area inter $ecundam ac tertiam. Sitque T tempus totum quo area tota D+E, velocitate Cometæ per Prop. XVI. Lib. I. in- venta, ce$cribi debet. <p><I>Oper.</I> 2. Augeatur longitudo Nodorum Plani Trajectoriæ, ad- ditis ad longitudinem illam 20′ vel 30′, quæ dicantur P; & $er- vetur plani illius inclinatio ad planum Eclipticæ. Dcinde ex <pb n=476> <MARG>DE MUNDI SYSTEMATE</MARG> prædictis tribus Cometæ locis ob$ervatis, inveniantur in hoc novo plano loca tria vera (at $upra:) deinde etiam Orbis per loca illa tran$iens, & eju$dem areæ duæ inter ob$ervationes de$criptæ, quæ $int <I>d</I> & <I>e,</I> ne<*> non tempus totum <I>t</I> quo area tota <I>d+e</I> de- $cribi debeat. <p><I>Oper.</I> 3. Servetur Longitudo Nodorum in operatione prima, & augeatur inclinatio Plani Trajectoriæ ad planum Eclipticæ, addi- tis ad inclinationem illam 20′ vel 30′, quæ dicantur Q. Deinde ex ob$ervatis prædictis tribus Cometæ locis apparentibus, inve- niantur in hoc novo Plano loca tria vera, Orbi$que per loca illa tran$iens, ut & eju$dem areæ duæ inter ob$ervationes de- $criptæ, quæ $int <G>d</G> & <G>e</G>, & tempus totum <G>t</G> quo area tota <G>d</G>+<G>e</G> de$cribi debeat. <p>Jam $it C ad <*> ut A ad B, & G ad 1 ut D ad E, & <I>g</I> ad 1 ut <I>d</I> ad <I>e,</I> & <G>g</G> ad 1 ut <G>d</G> ad <G>e</G>; $itque S tempus verum inter ob$erva- tionem primam <*> tertiam; & $ignis + & - probe ob$ervatis quærantur numeri <I>m</I> & <I>n,</I> ea lege, ut $it 2G-2C=<I>m</I>G-<I>mg+ n</I>G-<I>n</I><G>g</G>, & 2T-2S æquale <I>m</I>T-<I>mt+n</I>T-<I>n</I><G>t</G>. Et $i, in operatione prima, I de$ignet inclinationem plani Trajectoriæ ad planum Eclipticæ, & K longitudinem Nodi alterutrius, erit I+<I>n</I>Q vera inclinatio Plani Trajectoriæ ad Planum Eclipticæ, & K+<I>m</I>P vera longitudo Nodi. Ac denique $i in operatione prima, $ecunda ac tertia, quantitates R, <I>r</I> & <G>r</G> de$ignent Latera recta Trajectoriæ, & quantitates 1/L, 1/<I>l,</I> 1/<G>l</G> eju$dem Latera tran$- ver$a re$pective: erit R+<I>mr-m</I>R+<I>n<G>r</G>-n</I>R verum Latus re- ctum, & (1/L+<I>ml-m</I>L+<I>n<G>l</G>-n</I>L) verum Latus tran$ver$um Tra- jectoriæ quam Cometa de$cribit. Dato autem Latere tran$ver$o datur etiam tempus periodicum Cometæ. <I>Q.E.I.</I> <p>Cæterum Cometarum revolventium tempora periodica, & Or- bium latera tran$ver$a, haud $atis accurate determinabuntur, ni$i per collationem Cometarum inter $e, qui diver$is temporibus ap- parent. Si plures Cometæ, po$t æqualia temporum intervalla, eundem Orbem de$crip$i$$e reperiantur, concludendum crit hos omnes e$$e unum <FIG> eundem Cometam, in eodem Orbe revolven- tem. Et tum demum ex revolutionum temporibus, dabuntur Or- bium latera tran$ver$a, & ex his lateribus determinabuntur Or- bes Elliptici. <pb n=477> <p>In hunc finem computandæ $unt igitur Cometarum plurium <MARG>LIBER TERTIUS.</MARG> Traiectoriæ, ex hypothe$i quod $int Parabolicæ. Nam huju$- modi Trajectoriæ cum Phænomenis $emper congruent quam- proxime. Id liquet, non tantum ex Trajectoria Parabolica Co- metæ anni 1680, quam cum ob$ervationibus $upra contuli, $ed etiam ex ea Cometæ illius in$ignis, qui annis 1664 & 1665 appa- ruit, & ab <I>Hevelio</I> ob$ervatus fuit. Is ex ob$ervationibus $uis longitudines & latitudines hujus Cometæ computavit, $ed minus accurate. Ex ii$dem ob$ervationibus, <I>Halleius</I> no$ter loca Co- metæ hujus denuo computavit, & tum demum ex locis $ic inven- tis Trajectoriam Cometæ dererminavit. Invenit autem ejus No- dum a$cendentem in II 21<SUP>gr.</SUP> 13′. 55″, Inclinationem Orbitæ ad planum Eclipticæ 21<SUP>gr.</SUP> 18′. 40″, di$tantiam Perihelii a <*>do <*> Orbita 49<SUP>gr.</SUP> 27′. 30″. Perihelium in <FIG> 8<SUP>gr.</SUP> 40′. 30′ cum Lati- tudine au$trina heliocentrica 16<SUP>gr.</SUP> 1′. 45″. Cometam in Perihelio <I>Novemb.</I> 24<SUP>d</SUP>. 11<SUP>h</SUP>. 52′. P. M. tempore æquato <I>Londini,</I> vel 13<SUP>h</SUP>. 8′ <I>Gedani,</I> $tylo veteri, & Latus rectum Parabolæ 410286, exi$tente mediocri Terræ a Sole di$tantia 100000. Quam probe loca Cometæ in hoc Orbe computata, congruunt cum ob$ervationibus, patebit ex Tabula $equente ab <I>Halleio</I> $upputata. <TABLE BORDER> <TR> <TD COLSPAN="3" ALIGN="CENTER">Temp. Appar. <I>Gedani</I></TD> <TD COLSPAN="4" ALIGN="CENTER">Ob$ervata Cometæ di$tantia</TD> <TD COLSPAN="4" ALIGN="CENTER">Loca ob$ervata</TD> <TD COLSPAN="4" ALIGN="CENTER">Loca compu- tata in Orbe</TD> </TR> <TR> <TD></TD> <TD></TD> <TD></TD> <TD></TD> <TD ALIGN="RIGHT">gr.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">′</TD> <TD ALIGN="RIGHT">″</TD> <TD></TD> <TD ALIGN="RIGHT">gr.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">′</TD> <TD ALIGN="RIGHT">″</TD> <TD></TD> <TD ALIGN="RIGHT">gr.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">′</TD> <TD ALIGN="RIGHT">″</TD> </TR> <TR> <TD COLSPAN="3" ALIGN="CENTER"><I>Decemb.</I></TD> <TD>a Corde Leonis</TD> <TD ALIGN="RIGHT">46.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">24.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">20</TD> <TD>Long. <FIG></TD> <TD ALIGN="RIGHT">7.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">1.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">0</TD> <TD><FIG></TD> <TD ALIGN="RIGHT">7.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">1.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">29</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">3d.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">18<SUP>h</SUP>.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">29 1/2</TD> <TD>a Spica Virginis</TD> <TD ALIGN="RIGHT">22.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">52.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">10</TD> <TD>L<*>au$t.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">21.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">39.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">0</TD> <TD></TD> <TD ALIGN="RIGHT">21.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">38.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">50</TD> </TR> <TR> <TD ROWSPAN="2" ALIGN="RIGHT">4.</TD> <TD ROWSPAN="2" ALIGN="RIGHT">18.</TD> <TD ROWSPAN="2" ALIGN="RIGHT">1 1/2</TD> <TD>a Corde Leonis</TD> <TD ALIGN="RIGHT">46.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">2.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">45</TD> <TD>Long. <FIG></TD> <TD ALIGN="RIGHT">6.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">15.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">0</TD> <TD><FIG></TD> <TD ALIGN="RIGHT">6.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">16.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">5</TD> </TR> <TR> <TD>a Spica Virginis</TD> <TD ALIGN="RIGHT">23.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">52.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">40</TD> <TD>Lat. a.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">22.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">24.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">0</TD> <TD></TD> <TD ALIGN="RIGHT">22.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">24.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">0</TD> </TR> <TR> <TD ROWSPAN="2" ALIGN="RIGHT">7.</TD> <TD ROWSPAN="2" ALIGN="RIGHT">17.</TD> <TD ROWSPAN="2" ALIGN="RIGHT">48</TD> <TD>a Corde Leonis</TD> <TD ALIGN="RIGHT">44.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">48.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">0</TD> <TD>Long. <FIG></TD> <TD ALIGN="RIGHT">3.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">6.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">0</TD> <TD><FIG></TD> <TD ALIGN="RIGHT">3.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">7.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">33</TD> </TR> <TR> <TD>a Spica Virginis</TD> <TD ALIGN="RIGHT">27.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">56.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">40</TD> <TD>Lat. a.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">25.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">22.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">0</TD> <TD></TD> <TD ALIGN="RIGHT">25.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">21.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">40</TD> </TR> <TR> <TD ROWSPAN="2" ALIGN="RIGHT">17.</TD> <TD ROWSPAN="2" ALIGN="RIGHT">14.</TD> <TD ROWSPAN="2" ALIGN="RIGHT">43</TD> <TD>a Corde Leonis</TD> <TD ALIGN="RIGHT">53.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">15.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">15</TD> <TD>Long. <FIG></TD> <TD ALIGN="RIGHT">2.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">56.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">0</TD> <TD><FIG></TD> <TD ALIGN="RIGHT">2.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">56.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">0</TD> </TR> <TR> <TD>ab Humero Orionis dext.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">45.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">43.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">30</TD> <TD>Lat. a.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">49.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">25.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">0</TD> <TD></TD> <TD ALIGN="RIGHT">49.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">25.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">0</TD> </TR> <TR> <TD ROWSPAN="2" ALIGN="RIGHT">19.</TD> <TD ROWSPAN="2" ALIGN="RIGHT">9.</TD> <TD ROWSPAN="2" ALIGN="RIGHT">25</TD> <TD>a Procyone</TD> <TD ALIGN="RIGHT">35.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">13.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">50</TD> <TD>Long. II</TD> <TD ALIGN="RIGHT">28.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">40.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">30</TD> <TD>II</TD> <TD ALIGN="RIGHT">28.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">43.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">0</TD> </TR> <TR> <TD>a Lucid. Mandio. Geti</TD> <TD ALIGN="RIGHT">52.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">56.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">0</TD> <TD>Lat. a.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">45.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">48.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">0</TD> <TD></TD> <TD ALIGN="RIGHT">45.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">46.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">0</TD> </TR> <TR> <TD ROWSPAN="2" ALIGN="RIGHT">20.</TD> <TD ROWSPAN="2" ALIGN="RIGHT">9.</TD> <TD ROWSPAN="2" ALIGN="RIGHT">53 1/2</TD> <TD>a Procyone</TD> <TD ALIGN="RIGHT">40.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">49.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">0</TD> <TD>Long. II</TD> <TD ALIGN="RIGHT">13.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">3.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">0</TD> <TD>II</TD> <TD ALIGN="RIGHT">13.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">5.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">0</TD> </TR> <TR> <TD>a Lucid. Mandib. Ceti</TD> <TD ALIGN="RIGHT">40.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">4.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">0</TD> <TD>Lat. a.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">39.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">54.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">0</TD> <TD></TD> <TD ALIGN="RIGHT">39.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">53.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">0</TD> </TR> <TR> <TD ROWSPAN="2" ALIGN="RIGHT">21.</TD> <TD ROWSPAN="2" ALIGN="RIGHT">9.</TD> <TD ROWSPAN="2" ALIGN="RIGHT">9 1/2</TD> <TD>ab Hum. dext. Orionis</TD> <TD ALIGN="RIGHT">26.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">21.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">25</TD> <TD>Long. II</TD> <TD ALIGN="RIGHT">2.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">16.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">0</TD> <TD>II</TD> <TD ALIGN="RIGHT">2.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">18.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">30</TD> </TR> <TR> <TD>a Lucid. Mandib. Ceti</TD> <TD ALIGN="RIGHT">29.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">28.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">0</TD> <TD>Lat. a.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">33.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">41.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">0</TD> <TD></TD> <TD ALIGN="RIGHT">33.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">39.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">40</TD> </TR> <TR> <TD ROWSPAN="2" ALIGN="RIGHT">22.</TD> <TD ROWSPAN="2" ALIGN="RIGHT">9.</TD> <TD ROWSPAN="2" ALIGN="RIGHT">0</TD> <TD>ab Hum. dext. Orionis</TD> <TD ALIGN="RIGHT">29.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">47.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">0</TD> <TD>Long. <FIG></TD> <TD ALIGN="RIGHT">24.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">24.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">0</TD> <TD><FIG></TD> <TD ALIGN="RIGHT">24.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">27.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">0</TD> </TR> <TR> <TD>a Lucid. Mandib. Ceti</TD> <TD ALIGN="RIGHT">20.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">29.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">30</TD> <TD>Lat. a.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">27.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">45.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">0</TD> <TD></TD> <TD ALIGN="RIGHT">27.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">46.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">0</TD> </TR> <TR> <TD ROWSPAN="2" ALIGN="RIGHT">26.</TD> <TD ROWSPAN="2" ALIGN="RIGHT">7.</TD> <TD ROWSPAN="2" ALIGN="RIGHT">58</TD> <TD>a Lucida Arietis</TD> <TD ALIGN="RIGHT">23.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">20.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">0</TD> <TD>Long. <FIG></TD> <TD ALIGN="RIGHT">9.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">0.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">0</TD> <TD><FIG></TD> <TD ALIGN="RIGHT">9.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">2.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">28</TD> </TR> <TR> <TD>ab Aldebaran</TD> <TD ALIGN="RIGHT">26.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">44.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">0</TD> <TD>Lat. a.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">12.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">36.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">0</TD> <TD></TD> <TD ALIGN="RIGHT">12.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">34.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">13</TD> </TR> </TABLE> <pb n=478> <MARG>DE MUNDI SYSTEMATE</MARG> <TABLE BORDER> <TR> <TD COLSPAN="3" ALIGN="CENTER">Temp. Appar. <I>Gedani</I></TD> <TD COLSPAN="4" ALIGN="CENTER">Ob$ervata Cometæ di$tantia</TD> <TD COLSPAN="4" ALIGN="CENTER">Loca ob$ervata</TD> <TD COLSPAN="4" ALIGN="CENTER">Loca compu- tata in Orbe.</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="CENTER">d.</TD> <TD ALIGN="CENTER">h.</TD> <TD ALIGN="CENTER">′</TD> <TD></TD> <TD ALIGN="RIGHT">gr.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">′</TD> <TD ALIGN="RIGHT">″</TD> <TD></TD> <TD ALIGN="RIGHT">gr.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">′</TD> <TD ALIGN="RIGHT">″</TD> <TD></TD> <TD ALIGN="RIGHT">gr.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">′</TD> <TD ALIGN="RIGHT">″</TD> </TR> <TR> <TD ROWSPAN="2" ALIGN="RIGHT">27.</TD> <TD ROWSPAN="2" ALIGN="RIGHT">6.</TD> <TD ROWSPAN="2">45</TD> <TD>a Lucida Arictis</TD> <TD ALIGN="RIGHT">20.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">45.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">0</TD> <TD>Long. <FIG></TD> <TD ALIGN="RIGHT">7.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">5.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">40</TD> <TD><FIG></TD> <TD ALIGN="RIGHT">7.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">8.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">54</TD> </TR> <TR> <TD>ab Aldebaran</TD> <TD ALIGN="RIGHT">28.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">10.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">0</TD> <TD>Lat. a.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">10.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">23.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">0</TD> <TD></TD> <TD ALIGN="RIGHT">10.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">23.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">13</TD> </TR> <TR> <TD ROWSPAN="2" ALIGN="RIGHT">28.</TD> <TD ROWSPAN="2" ALIGN="RIGHT">7.</TD> <TD ROWSPAN="2">39</TD> <TD>a Lucida Arictis</TD> <TD ALIGN="RIGHT">18.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">29.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">0</TD> <TD>Long. <FIG></TD> <TD ALIGN="RIGHT">5.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">24.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">45</TD> <TD><FIG></TD> <TD ALIGN="RIGHT">5.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">27.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">52</TD> </TR> <TR> <TD>a Palilicio</TD> <TD ALIGN="RIGHT">29.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">37.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">0</TD> <TD>Lat. a.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">8.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">22.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">50</TD> <TD></TD> <TD ALIGN="RIGHT">8.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">23.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">37</TD> </TR> <TR> <TD ROWSPAN="2" ALIGN="RIGHT">31.</TD> <TD ROWSPAN="2" ALIGN="RIGHT">6.</TD> <TD ROWSPAN="2">45</TD> <TD>a Cing. Androm.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">30.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">48.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">10</TD> <TD>Long. <FIG></TD> <TD ALIGN="RIGHT">2.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">7.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">40</TD> <TD><FIG></TD> <TD ALIGN="RIGHT">2.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">8.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">20</TD> </TR> <TR> <TD>a Palilicio</TD> <TD ALIGN="RIGHT">32.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">53.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">30</TD> <TD>Lat. a.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">4.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">13.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">0</TD> <TD></TD> <TD ALIGN="RIGHT">4.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">16.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">25</TD> </TR> <TR> <TD COLSPAN="3" ALIGN="CENTER"><I>Jan.</I></TD> <TD>a Cing. Androm.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">25.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">11.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">0</TD> <TD>Long. <FIG></TD> <TD ALIGN="RIGHT">28.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">24.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">47</TD> <TD><FIG></TD> <TD ALIGN="RIGHT">28.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">24.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">0</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">7.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">7.</TD> <TD>37 1/2</TD> <TD>a Palilicio</TD> <TD ALIGN="RIGHT">37.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">12.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">25</TD> <TD>Lat. bor.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">0.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">54.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">0</TD> <TD></TD> <TD ALIGN="RIGHT">0.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">53.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">0</TD> </TR> <TR> <TD ROWSPAN="2" ALIGN="RIGHT">24.</TD> <TD ROWSPAN="2" ALIGN="RIGHT">7.</TD> <TD ROWSPAN="2">29</TD> <TD>a Palilicio</TD> <TD ALIGN="RIGHT">40.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">5.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">0</TD> <TD>Long. <FIG></TD> <TD ALIGN="RIGHT">26.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">29.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">15</TD> <TD><FIG></TD> <TD ALIGN="RIGHT">26.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">28.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">50</TD> </TR> <TR> <TD>a Cing. Androm.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">20.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">32.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">15</TD> <TD>Lat. bor.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">5.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">25.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">50</TD> <TD></TD> <TD ALIGN="RIGHT">5.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">26.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">0</TD> </TR> <TR> <TD COLSPAN="3" ALIGN="CENTER"><I>Mar.</I></TD> <TD COLSPAN="4">Cometa ab <I>Hookio</I> prope $ecundam Arictis ob$ervabatur, <I>Mar.</I> 1<SUP>d.</SUP> 7<SUP>h.</SUP> 0′ <I>Loudini,</I> cum</TD> <TD>Long. <FIG></TD> <TD ALIGN="RIGHT">29.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">17.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">20</TD> <TD><FIG></TD> <TD ALIGN="RIGHT">29.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">18.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">20</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">1.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">8</TD> <TD>6</TD> <TD>Lat. bor.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">8.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">37.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">10</TD> <TD></TD> <TD ALIGN="RIGHT">8.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">36.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">12</TD> </TR> </TABLE> <p>Apparuit hic Cometa per men$es tres, $ignaque fere $ex de- $crip$it, & uno die gradus fere viginti confecit. Cur$us ejus a circulo maximo plurimum deflexit, in boream incurvatus; & motus ejus $ub finem ex retrogrado factus e$t directus. Et non ob$tante cur$u tam in$olito, Theoria a principio ad finem cum ob$ervationibus non minus accurate congruit, quam Theoriæ Planetarum cum eorum ob$ervationibus congruere $olent, ut in- $picienti Tabulam patebit. Subducenda tamen $unt minuta duo prima circiter, ubi Cometa veloci$$imus fuit; id quod fiet au- ferendo duodecim minuta $ecunda. prima ab angulo inter Nodum a$cen- dentem & Perihelium, $eu con$tituendo angulum illum 49<SUP>gr.</SUP> 27′. 18″. Cometæ utriu$que (& hujus & $uperioris) parallaxis annua in$ignis fuit, & inde demon$tratur motus annuus Terræ in Orbe magno. <p>Confirmatur etiam Theoria per motum Cometæ qui apparuit anno 1683. Hic fuit retrogradus in Orbe cujus planum cum plano Eclipticæ angulum fere rectum continebat. Hujus Nodus a$cendens (computante <I>Halleio</I>) erat in <FIG> 23<SUP>gr</SUP> 23′; Inclinatio Orbitæ ad Eclipticam 83<SUP>gr.</SUP> 11′; Perihelium in II 25<SUP>gr.</SUP> 29′. 30″; Di$tantia perihelia a Sole 56020, exi$tente radio Orbis magni 100000, & tempore Perihelii <I>Julii</I> 2<SUP>d</SUP>. 3<SUP>h</SUP>. 50′. Loca autem Co- metæ in hoc Orbe ab <I>Halleio</I> computata, & cum locis a <I>Flam- $tedio</I> ob$ervatis collata, exhibentur in Tabula $equente. <pb n=479> <TABLE BORDER> <TR> <TD COLSPAN="4" ALIGN="CENTER">1683</TD> <TD COLSPAN="4" ALIGN="CENTER">Locus Solis</TD> <TD COLSPAN="4" ALIGN="CENTER">Cometæ</TD> <TD COLSPAN="3" ALIGN="CENTER">Lat. Bor.</TD> <TD COLSPAN="4" ALIGN="CENTER">Cometæ</TD> <TD COLSPAN="3" ALIGN="CENTER">Lat. Bor.</TD> <TD COLSPAN="2" ALIGN="CENTER">Differ.</TD> <TD COLSPAN="2" ALIGN="CENTER">Differ.</TD> </TR> <TR> <TD COLSPAN="4" ALIGN="CENTER">Temp. Æquat.</TD> <TD></TD> <TD COLSPAN="4" ALIGN="CENTER">Long. Comp.</TD> <TD COLSPAN="3" ALIGN="CENTER">Comp.</TD> <TD COLSPAN="4" ALIGN="CENTER">Long. Ob$.</TD> <TD COLSPAN="3" ALIGN="CENTER">Ob$er.</TD> <TD COLSPAN="2" ALIGN="CENTER">Long.</TD> <TD COLSPAN="2" ALIGN="CENTER">Lat.</TD> </TR> <TR> <TD></TD> <TD ALIGN="RIGHT">d.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">h.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">′</TD> <TD></TD> <TD ALIGN="RIGHT">gr.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">′</TD> <TD ALIGN="RIGHT">″</TD> <TD></TD> <TD ALIGN="RIGHT">gr.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">′</TD> <TD ALIGN="RIGHT">″</TD> <TD ALIGN="RIGHT">gr.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">′</TD> <TD ALIGN="RIGHT">″</TD> <TD></TD> <TD ALIGN="RIGHT">gr.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">′</TD> <TD ALIGN="RIGHT">″</TD> <TD ALIGN="RIGHT">gr.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">′</TD> <TD ALIGN="RIGHT">″</TD> <TD ALIGN="RIGHT">′</TD> <TD ALIGN="RIGHT">″</TD> <TD ALIGN="RIGHT">′</TD> <TD ALIGN="RIGHT">″</TD> </TR> <TR> <TD ROWSPAN="7" VALIGN="TOP"><I>Jul.</I></TD> <TD ALIGN="RIGHT">13.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">12.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">55</TD> <TD ROWSPAN="11" VALIGN="TOP"><FIG></TD> <TD ALIGN="RIGHT">1.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">2.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">30</TD> <TD ROWSPAN="5" VALIGN="TOP"><FIG></TD> <TD ALIGN="RIGHT">13.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">5.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">42</TD> <TD ALIGN="RIGHT">29.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">28.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">13</TD> <TD ROWSPAN="5" VALIGN="TOP"><FIG></TD> <TD ALIGN="RIGHT">13.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">6.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">42</TD> <TD ALIGN="RIGHT">29.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">28.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">20</TD> <TD ALIGN="RIGHT">+ 1.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">0</TD> <TD ALIGN="RIGHT">+ 0.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">7</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">15.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">11.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">15</TD> <TD ALIGN="RIGHT">2.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">53.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">12</TD> <TD ALIGN="RIGHT">11.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">37</TD> <TD ALIGN="RIGHT">48</TD> <TD ALIGN="RIGHT">29.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">34.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">0</TD> <TD ALIGN="RIGHT">11.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">39.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">43</TD> <TD ALIGN="RIGHT">29.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">34.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">50</TD> <TD ALIGN="RIGHT">+ 1.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">55</TD> <TD ALIGN="RIGHT">+ 0.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">50</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">17.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">10.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">20</TD> <TD ALIGN="RIGHT">4.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">45.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">45</TD> <TD ALIGN="RIGHT">10.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">7.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">6</TD> <TD ALIGN="RIGHT">29.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">33.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">30</TD> <TD ALIGN="RIGHT">10.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">8.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">40</TD> <TD ALIGN="RIGHT">29.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">34.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">0</TD> <TD ALIGN="RIGHT">+ 1.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">34</TD> <TD ALIGN="RIGHT">+ 0.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">30</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">23.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">13.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">40</TD> <TD ALIGN="RIGHT">10.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">38.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">21</TD> <TD ALIGN="RIGHT">5.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">10.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">27</TD> <TD ALIGN="RIGHT">28.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">51.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">42</TD> <TD ALIGN="RIGHT">5.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">11.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">30</TD> <TD ALIGN="RIGHT">28.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">50.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">28</TD> <TD ALIGN="RIGHT">+ 1.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">3</TD> <TD ALIGN="RIGHT">- 1.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">14</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">25.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">14.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">5</TD> <TD ALIGN="RIGHT">12.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">35.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">28</TD> <TD ALIGN="RIGHT">3.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">27.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">53</TD> <TD ALIGN="RIGHT">24.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">24.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">47</TD> <TD ALIGN="RIGHT">3.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">27.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">0</TD> <TD ALIGN="RIGHT">28.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">23.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">40</TD> <TD ALIGN="RIGHT">- 0.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">53</TD> <TD ALIGN="RIGHT">- 1.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">7</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">31.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">9.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">42</TD> <TD ALIGN="RIGHT">18.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">9.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">22</TD> <TD ROWSPAN="8" VALIGN="TOP">II</TD> <TD ALIGN="RIGHT">27.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">55.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">3</TD> <TD ALIGN="RIGHT">26.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">22.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">52</TD> <TD ROWSPAN="8" VALIGN="TOP">II</TD> <TD ALIGN="RIGHT">27.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">54.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">24</TD> <TD ALIGN="RIGHT">26.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">22.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">25</TD> <TD ALIGN="RIGHT">- 0.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">39</TD> <TD ALIGN="RIGHT">- 0.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">27</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">31.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">14.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">55</TD> <TD ALIGN="RIGHT">18.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">21.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">53</TD> <TD ALIGN="RIGHT">27.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">41.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">7</TD> <TD ALIGN="RIGHT">26.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">16.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">57</TD> <TD ALIGN="RIGHT">27.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">41.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">8</TD> <TD ALIGN="RIGHT">26.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">14.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">50</TD> <TD ALIGN="RIGHT">+ 0.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">1</TD> <TD ALIGN="RIGHT">- 2.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">7</TD> </TR> <TR> <TD ROWSPAN="11" VALIGN="TOP"><I>Aug.</I></TD> <TD ALIGN="RIGHT">2.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">14.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">56</TD> <TD ALIGN="RIGHT">20.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">17.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">16</TD> <TD ALIGN="RIGHT">25.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">29.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">32</TD> <TD ALIGN="RIGHT">25.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">16.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">19</TD> <TD ALIGN="RIGHT">25.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">28.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">46</TD> <TD ALIGN="RIGHT">25.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">17.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">28</TD> <TD ALIGN="RIGHT">- 0.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">46</TD> <TD ALIGN="RIGHT">+ 1.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">9</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">4.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">10.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">49</TD> <TD ALIGN="RIGHT">2<*>.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">2.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">50</TD> <TD ALIGN="RIGHT">23.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">18.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">20</TD> <TD ALIGN="RIGHT">24.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">10.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">49</TD> <TD ALIGN="RIGHT">23.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">16.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">55</TD> <TD ALIGN="RIGHT">24.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">12.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">19</TD> <TD ALIGN="RIGHT">- 1.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">25</TD> <TD ALIGN="RIGHT">+ 1.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">30</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">6.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">10.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">9</TD> <TD ALIGN="RIGHT">23.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">56.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">45</TD> <TD ALIGN="RIGHT">20.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">42.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">23</TD> <TD ALIGN="RIGHT">22.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">47.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">5</TD> <TD ALIGN="RIGHT">20.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">40.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">32</TD> <TD ALIGN="RIGHT">22.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">49.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">5</TD> <TD ALIGN="RIGHT">- 1.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">51</TD> <TD ALIGN="RIGHT">+ 2.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">0</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">9.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">10.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">26</TD> <TD ALIGN="RIGHT">26.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">50.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">52</TD> <TD ALIGN="RIGHT">16.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">7.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">57</TD> <TD ALIGN="RIGHT">20.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">6.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">37</TD> <TD ALIGN="RIGHT">16.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">5.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">55</TD> <TD ALIGN="RIGHT">20.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">6.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">10</TD> <TD ALIGN="RIGHT">- 2.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">2</TD> <TD ALIGN="RIGHT">- 0.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">27</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">15.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">14.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">1</TD> <TD ROWSPAN="7" VALIGN="TOP"><FIG></TD> <TD ALIGN="RIGHT">2.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">47.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">13</TD> <TD ALIGN="RIGHT">3.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">30.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">48</TD> <TD ALIGN="RIGHT">11.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">37.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">33</TD> <TD ALIGN="RIGHT">3.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">26.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">18</TD> <TD ALIGN="RIGHT">11.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">32.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">1</TD> <TD ALIGN="RIGHT">- 4.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">30</TD> <TD ALIGN="RIGHT">- 5.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">32</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">16.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">15.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">10</TD> <TD ALIGN="RIGHT">3.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">48.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">2</TD> <TD ALIGN="RIGHT">0</TD> <TD ALIGN="RIGHT">43.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">7</TD> <TD ALIGN="RIGHT">9.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">34.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">16</TD> <TD ALIGN="RIGHT">0.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">41.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">55</TD> <TD ALIGN="RIGHT">9.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">34.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">13</TD> <TD ALIGN="RIGHT">- 1.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">12</TD> <TD ALIGN="RIGHT">- 0.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">3</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">18.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">15.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">44</TD> <TD ALIGN="RIGHT">5.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">45.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">33</TD> <TD ROWSPAN="4" VALIGN="TOP"><FIG></TD> <TD ALIGN="RIGHT">24.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">52.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">53</TD> <TD ALIGN="RIGHT">5.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">11.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">15</TD> <TD ROWSPAN="4" VALIGN="TOP"><FIG></TD> <TD ALIGN="RIGHT">24.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">49.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">5</TD> <TD ALIGN="RIGHT">5.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">9.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">11</TD> <TD ALIGN="RIGHT">- 3.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">48</TD> <TD ALIGN="RIGHT">- 2.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">4</TD> </TR> <TR> <TD></TD> <TD></TD> <TD></TD> <TD></TD> <TD></TD> <TD></TD> <TD></TD> <TD></TD> <TD></TD> <TD COLSPAN="3" ALIGN="CENTER">Au$tr.</TD> <TD></TD> <TD></TD> <TD></TD> <TD COLSPAN="3" ALIGN="CENTER">Au$tr.</TD> <TD></TD> <TD></TD> <TD></TD> <TD></TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">22.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">14.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">44</TD> <TD ALIGN="RIGHT">9.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">35.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">49</TD> <TD ALIGN="RIGHT">11.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">7.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">14</TD> <TD ALIGN="RIGHT">5.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">16.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">53</TD> <TD ALIGN="RIGHT">11.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">7.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">12</TD> <TD ALIGN="RIGHT">5.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">16.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">50</TD> <TD ALIGN="RIGHT">- 0.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">2</TD> <TD ALIGN="RIGHT">- 0.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">3</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">23.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">15.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">52</TD> <TD ALIGN="RIGHT">10.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">36.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">48</TD> <TD ALIGN="RIGHT">7.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">2.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">18</TD> <TD ALIGN="RIGHT">8.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">17.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">9</TD> <TD ALIGN="RIGHT">7.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">1.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">17</TD> <TD ALIGN="RIGHT">8.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">16.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">41</TD> <TD ALIGN="RIGHT">- 1.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">1</TD> <TD ALIGN="RIGHT">- 0.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">28</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">26.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">16.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">2</TD> <TD ALIGN="RIGHT">13.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">31.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">10</TD> <TD><FIG></TD> <TD ALIGN="RIGHT">24.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">45.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">31</TD> <TD ALIGN="RIGHT">16.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">38.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">0</TD> <TD><FIG></TD> <TD ALIGN="RIGHT">24.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">44.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">0</TD> <TD ALIGN="RIGHT">16.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">38.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">20</TD> <TD ALIGN="RIGHT">- 1.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">31</TD> <TD ALIGN="RIGHT">+ 0.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">20</TD> </TR> </TABLE> <MARG>LIBER TERTIUS.</MARG> <p>Confirmatur etiam Theoria per motum Cometæ retrogradi qui apparuit anno 1682. Hujus Nodus a$cendens (computante <I>Hal- leio</I>) erat in 8 21<SUP>gr.</SUP> 16′. 30″. Inclinatio Orbitæ ad planum Eclip- t<*>cæ 17<SUP>gr.</SUP> 56′. 0″. Perihelium in = 2<SUP>gr.</SUP> 52′. 50″. Di$tantia peri- helia a Sole 58328. Et tempus æquatum Perihelii <I>Sept.</I> 4<SUP>d</SUP>. 7<SUP>h</SUP>. 39′. Loca vero ex ob$ervationibus <I>Flam$tedii</I> computata, & cum locis per Theoriam computatis collata, exhibentur in Tabula $e- quente. <TABLE BORDER> <TR> <TD COLSPAN="4" ALIGN="CENTER">1682</TD> <TD COLSPAN="4" ALIGN="CENTER">Locus Solis</TD> <TD COLSPAN="4" ALIGN="CENTER">Cometæ</TD> <TD COLSPAN="3" ALIGN="CENTER">Lat. Bor.</TD> <TD COLSPAN="4" ALIGN="CENTER">Cometæ</TD> <TD COLSPAN="3" ALIGN="CENTER">Lat. Bor.</TD> <TD COLSPAN="2" ALIGN="CENTER">Differ.</TD> <TD COLSPAN="2" ALIGN="CENTER">Differ.</TD> </TR> <TR> <TD COLSPAN="4" ALIGN="CENTER">Temp. Appar.</TD> <TD></TD> <TD COLSPAN="4" ALIGN="CENTER">Long. Comp.</TD> <TD COLSPAN="3" ALIGN="CENTER">Comp.</TD> <TD COLSPAN="4" ALIGN="CENTER">Long. Ob$.</TD> <TD COLSPAN="3" ALIGN="CENTER">Ob$er.</TD> <TD COLSPAN="2" ALIGN="CENTER">Long.</TD> <TD COLSPAN="2" ALIGN="CENTER">Lat.</TD> </TR> <TR> <TD></TD> <TD ALIGN="RIGHT">d.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">h.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">′</TD> <TD></TD> <TD ALIGN="RIGHT">gr.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">′</TD> <TD ALIGN="RIGHT">″</TD> <TD></TD> <TD ALIGN="RIGHT">gr.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">′</TD> <TD ALIGN="RIGHT">″</TD> <TD ALIGN="RIGHT">gr.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">′</TD> <TD ALIGN="RIGHT">″</TD> <TD></TD> <TD ALIGN="RIGHT">gr.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">′</TD> <TD ALIGN="RIGHT">″</TD> <TD ALIGN="RIGHT">gr.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">′</TD> <TD ALIGN="RIGHT">″</TD> <TD ALIGN="RIGHT">′</TD> <TD ALIGN="RIGHT">″</TD> <TD ALIGN="RIGHT">′</TD> <TD ALIGN="RIGHT">″</TD> </TR> <TR> <TD ROWSPAN="6" VALIGN="TOP"><I>Aug.</I></TD> <TD ALIGN="RIGHT">19.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">16.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">38</TD> <TD ROWSPAN="11" VALIGN="TOP"><FIG></TD> <TD ALIGN="RIGHT">7.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">0.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">7</TD> <TD ROWSPAN="3" VALIGN="TOP"><FIG></TD> <TD ALIGN="RIGHT">18.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">14.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">28</TD> <TD ALIGN="RIGHT">25.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">50</TD> <TD ALIGN="RIGHT">7</TD> <TD ROWSPAN="3" VALIGN="TOP"><FIG></TD> <TD ALIGN="RIGHT">18.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">14.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">40</TD> <TD ALIGN="RIGHT">25.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">49.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">55</TD> <TD ALIGN="RIGHT">- 0.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">12</TD> <TD ALIGN="RIGHT">+ 0.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">12</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">20.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">15.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">38</TD> <TD ALIGN="RIGHT">7.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">55.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">52</TD> <TD ALIGN="RIGHT">24.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">46.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">23</TD> <TD ALIGN="RIGHT">26.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">14</TD> <TD ALIGN="RIGHT">42</TD> <TD ALIGN="RIGHT">24.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">46.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">22</TD> <TD ALIGN="RIGHT">26.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">12.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">52</TD> <TD ALIGN="RIGHT">+ 0.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">1</TD> <TD ALIGN="RIGHT">+ 1.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">50</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">21.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">8.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">21</TD> <TD ALIGN="RIGHT">8.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">36.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">14</TD> <TD ALIGN="RIGHT">29.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">37.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">15</TD> <TD ALIGN="RIGHT">26.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">20.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">3</TD> <TD ALIGN="RIGHT">29.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">38.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">2</TD> <TD ALIGN="RIGHT">26.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">17.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">37</TD> <TD ALIGN="RIGHT">- 0.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">47</TD> <TD ALIGN="RIGHT">+ 2.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">26</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">22.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">8.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">8</TD> <TD ALIGN="RIGHT">9.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">33.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">55</TD> <TD><FIG></TD> <TD ALIGN="RIGHT">6.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">29.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">53</TD> <TD ALIGN="RIGHT">26.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">8.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">42</TD> <TD><FIG></TD> <TD ALIGN="RIGHT">6.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">30.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">3</TD> <TD ALIGN="RIGHT">26.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">7.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">12</TD> <TD ALIGN="RIGHT">- 0.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">10</TD> <TD ALIGN="RIGHT">+ 1.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">30</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">29.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">8.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">20</TD> <TD ALIGN="RIGHT">16.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">22.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">40</TD> <TD ROWSPAN="6" VALIGN="TOP"><FIG></TD> <TD ALIGN="RIGHT">12.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">37</TD> <TD ALIGN="RIGHT">54</TD> <TD ALIGN="RIGHT">18.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">37.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">47</TD> <TD ROWSPAN="6" VALIGN="TOP"><FIG></TD> <TD ALIGN="RIGHT">12.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">37.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">49</TD> <TD ALIGN="RIGHT">18.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">34.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">5</TD> <TD ALIGN="RIGHT">+ 0.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">5</TD> <TD ALIGN="RIGHT">+ 3.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">42</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">30.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">7.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">45</TD> <TD ALIGN="RIGHT">17.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">19.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">41</TD> <TD ALIGN="RIGHT">15.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">36.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">1</TD> <TD ALIGN="RIGHT">17.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">26.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">43</TD> <TD ALIGN="RIGHT">15.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">35.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">18</TD> <TD ALIGN="RIGHT">17.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">27.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">17</TD> <TD ALIGN="RIGHT">+ 0.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">43</TD> <TD ALIGN="RIGHT">- 0.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">34</TD> </TR> <TR> <TD ROWSPAN="5" VALIGN="TOP"><I>Sept.</I></TD> <TD ALIGN="RIGHT">1.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">7.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">33</TD> <TD ALIGN="RIGHT">19.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">16.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">9</TD> <TD ALIGN="RIGHT">20.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">30.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">53</TD> <TD ALIGN="RIGHT">15.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">13.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">0</TD> <TD ALIGN="RIGHT">20.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">27.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">4</TD> <TD ALIGN="RIGHT">15.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">9.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">49</TD> <TD ALIGN="RIGHT">+ 3.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">49</TD> <TD ALIGN="RIGHT">+ 3.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">11</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">4.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">7.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">22</TD> <TD ALIGN="RIGHT">22.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">11.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">28</TD> <TD ALIGN="RIGHT">25.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">42.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">0</TD> <TD ALIGN="RIGHT">12.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">23.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">48</TD> <TD ALIGN="RIGHT">25.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">40.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">58</TD> <TD ALIGN="RIGHT">12.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">22.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">0</TD> <TD ALIGN="RIGHT">+ 1.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">2</TD> <TD ALIGN="RIGHT">+ 1.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">43</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">5.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">7.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">32</TD> <TD ALIGN="RIGHT">23.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">10.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">29</TD> <TD ALIGN="RIGHT">27.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">0.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">46</TD> <TD ALIGN="RIGHT">11.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">33.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">8</TD> <TD ALIGN="RIGHT">26.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">59.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">24</TD> <TD ALIGN="RIGHT">11.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">33.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">51</TD> <TD ALIGN="RIGHT">+ 1.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">22</TD> <TD ALIGN="RIGHT">- 0.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">43</TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">8.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">7.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">16</TD> <TD ALIGN="RIGHT">26.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">5.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">58</TD> <TD ALIGN="RIGHT">29.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">58.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">44</TD> <TD ALIGN="RIGHT">9.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">26.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">46</TD> <TD ALIGN="RIGHT">29.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">58.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">45</TD> <TD ALIGN="RIGHT">9.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">26.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">43</TD> <TD ALIGN="RIGHT">- 0.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">1</TD> <TD ALIGN="RIGHT">+ 0.</TD> <TD ALIGN="RIGHT"><*></TD> </TR> <TR> <TD ALIGN="RIGHT">9.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">7.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">26</TD> <TD ALIGN="RIGHT">27.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">5.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">9</TD> <TD><FIG></TD> <TD ALIGN="RIGHT">0.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">44.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">10</TD> <TD ALIGN="RIGHT">8.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">49.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">10</TD> <TD><FIG></TD> <TD ALIGN="RIGHT">0.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">44.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">4</TD> <TD ALIGN="RIGHT">8.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">48.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">25</TD> <TD ALIGN="RIGHT">+ 0.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">6</TD> <TD ALIGN="RIGHT">+ 0.</TD> <TD ALIGN="RIGHT">45</TD> </TR> </TABLE> <p>His exemplis abunde $atis manife$tum e$t, quod motus Come- tarum per Theoriam a nobis expo$itam nor <*>inus accurate ex- <pb n=480> <MARG>DE MUNDI SYSTEMATE</MARG> hibentur, quam $olent motus Planetarum per eorum Theovias. Et propterca Orbes Cometarum per hanc Theoriam enumerari po$- $unt, & tempus periodicum Cometæ in quolibet Orbe revolventis tandem $ciri, & tum demum Orbium Ellipticorum latera tran$- ver$a & Apheliorum altitudines innote$cent. <p>Cometa retrogradus qui apparuit anno 1607, de$crip$it Orbem cujus Nodus a$cendens (computante <I>Halleio</I>) erat in 8 20<SUP>gr.</SUP> 21′. Inclinatio plani Orbis ad planum Eclipticæ erat 17<SUP>gr.</SUP> 2′. Peri- helium erat in = 2<SUP>gr.</SUP> 16′, & di$tantia perihelia a Sole erat 58680, exi$tente radio Orbis magni 100000. Et Cometa erat in Peri- helio <I>Octob.</I> 16<SUP>d</SUP>. 3<SUP>h</SUP>. 50′. Congruit hic Orbis quamproxime cum Orbe Cometæ qui apparuit anno 1682. Si Cometæ hi duo fue- rint unus & idem, revolvetur hic Cometa $patio annorum 75, & axis major Orbis ejus erit ad axem majorem Orbis magni, ut √<I>c</I>:75X75 ad 1, $eu 1778 ad 100 circiter. Et di$tantia aphe- lia Cometæ hujus a Sole, erit ad di$tantiam mediocrem Terræ a Sole, ut 35 ad 1 circiter. Quibus cognitis, haud difficile fuerit Orbem Ellipticum Cometæ hujus determinare. Atque hæc ita $e habebunt $i Cometa, $patio annorum $eptuaginta quinque, in hoc Orbe po$thac redierit. Cometæ reliqui majori tempore re- volvi videntur & altius a$cendere. <p>Cæterum Cometæ, ob magnum eorum numerum, & magnam Apheliorum a Sole di$tantiam, & longam moram in Apheliis, per gravitates in $e mutuo nonnihil turbari debent, & eorum eccen- tricitates & revolutionum tempora nunc augeri aliquantulum, nunc diminui. Proinde non e$t expectandum ut Cometa idem, in eodem Orbe & ii$dem temporibus periodicis, accurate redeat. Sufficit $i mutationes non majores obvenerint, quam quæ a cau$is prædictis oriantur. <p>Et hinc ratio redditur cur Cometæ non comprehendantur Zo- diaco (more Planetarum) $ed inde migrent & motibus variis in omnes cœlorum regiones ferantur. Scilicet eo fine, ut in Apheliis $uis ubi tardi$$ime moventur, quam longi$$ime di$tent ab invicem & $e mutuo quam minime trahant. Qua de cau$a Cometæ qui altius de$cendunt, adeoque tardi$$ime moventur in Apheliis, de- bent altius a$cendere. <p>Cometa qui anno 1680 apparuit, minus di$tabat a Sole in Peri- helio. $uo quam parte $exta diametri Solis; & propter $ummam velocitatem in vicinia illa, & den$itatem aliquam Atmo$phæræ So- lis, re$i$tentiam nonnullam $entire debuit, & aliquantulum retar- <pb n=481> dari & propius ad Solem accedere: & $ingulis revolutionibus ac- <MARG>LIBER TERTIUS.</MARG> cedendo ad Solem, incidet is tandem in corpus Solis. Sed & in Aphelio ubi tardi$$ime movetur, aliquando per attractionem alio- rum Cometarum retardari pote$t & $ubinde in Solem incidere. Sic etiam Stellæ fixæ quæ paulatim expirant in lucern & vapores, Cometis in ip$as incidentibus refici po$$unt, & novo alimento accen$æ pro Stellis Novis haberi. Vapores autem qui ex Sole & Stellis fixis & caudis Cometarum oriuntur, incidere po$$unt per gravitatem $uam in Atmo$phæras Planetarum, & ibi conden$ari & converti in aquam & $piritus humidos, & $ubinde per lentum calorem in $ales, & $ulphura, & tincturas, & limum, & lutum, & argillam, & arenam, & lapides, & coralla, & $ub$tantias alias terre$tres paulatim migrare. Decre$cente autem corpore Solis motus medii Planetarum circum Solem paulatim tarde$cent, & cre$cente Terra motus medius Lunæ circum Terram paulatim au- gebitur. Et collatis quidem ob$ervationibus Eclip$ium <I>Babyloni- cis</I> cum iis <I>Albategnii</I> & cum hodiernis, <I>Halleius</I> no$ter motum medium Lunæ cum motu diurno Terræ collatum, paulatim acce- lerari, primus omnium quod $ciam deprehendit. <C><I>SCHOLIUM GENERALE.</I></C> <p>Hypothe$is Vorticum multis premitur difficultatibus. Ut Pla- neta unu$qui$que radio ad Solem ducto areas de$cribat tempori proportionales, tempora periodica partium Vorticis deberent e$$e in duplicata ratione di$tantiarum a Sole. Ut periodica Plane- tarum tempora $int in proportione $e$quiplicata di$tantiarum a Sole, tempora periodica partium Vorticis deberent e$$e in eadem di$tantiarum proportione. Ut Vortices minores circum Satur- num, Jovem & alios Planetas gyrati con$erventur & tranquille natent in Vortice Solis, tempora periodica partium Vorticis So- laris deberent e$$e æqualia. Revolutiones Solis & Planetarum cir- cum axes $uos ab omnibus hi$ce proportionibus di$crepant. Mo- tus Cometarum $unt $umme regulares, & ea$dem leges cum Pla- netarum motibus ob$ervant, & per Vortices explicari nequeunt. Feruntur Cometæ motibus valde eccentricis in omnes cælorum partes, quod fieri non pote$t ni$i Vortices tollantur. <p>Projectilia, in aere no$tro, $olam aeris re$i$tentiam $entiunt. Sublato aere, ut fit in Vacuo <I>Boyliano,</I> re$i$tentia ce$$at, $iqui- dem pluma tenuis & aurum $olidum æquali cum velocitate in hoc <pb n=482> <MARG>DE MUNDI SYSTEMATE</MARG> Vacuo cadunt. Et par e$t ratio $patiorum cæle$tium quæ $unt $upra atmo$phæram Terræ. Corpora omnia in i$tis $patiis liber- rime movcri debent; & propterea Planetæ & Cometæ in orbi- bus $pecie & po$itione datis, $ecundum leges $upra expo$itas, per- petuo revolvi. Per$everabunt quidem in orbibus $uis per leges gravitatis, $ed regularem orbium $itum primitus acquirere per leges ha$ce minime potuerunt. <p>Planetæ $ex principales revolvuntur circum Solem in circulis Soli concentricis, eadem motus directione, in eodem plano quam- proxime. Lunæ decem revolvuntur circum Terram, Jovem & Sa- turnum in circulis concentricis, eadem motus directione, in planis orbium Planetarum quamproxime. Et hi omnes motus regulares originem non habent ex cau$is Mechanicis; $iquidem Cometæ in Orbibus valde eccentricis, & in omnes cælorum partes libere feruntur. Quo motus genere Cometæ per Orbes Planetarum ce- lerrime & facillime tran$eunt, & in Apheliis $uis ubi tardiores $unt & diutius morantur, quam longi$$ime di$tant ab invicem, & $e mutuo quam minime trahunt. Eleganti$$ima hæcce Solis, Planetarum & Cometarum compages non ni$i con$ilio & dominio Entis intelligentis & potentis oriri potuit. Et $i Stellæ fixæ $int centra $imilium $y$tematum; hæc omnia $imili con$ilio con$tructa, $uberunt <I>Unius</I> dominio: præ$ertim cum lux Fixarum $it ciu$dem naturæ ac lux Solis, & $y$temata omnia lucem in omnia invicem immittant. <p>Hic omnia regit, non ut Anima mundi, $ed ut univer$orum Do- minus; & propter dominium $uum Dominus Deus <note>Id e$t, <I>Impe- <*>r aniver$alu.</I></note> <G>pantik<*>t<*>r</G> dici $olet. Nam <I>Deus</I> e$t vox relativa & ad $ervos refertur: & <I>Deitas</I> e$t dominatio Dei non in corpus proprium, $ed in $ervos. <I>Deus $ummus</I> e$t Ens æternum, in$initum, ab$olute perfectum; $ed Ens utcunque per- fectum $ine dominio, non e$t <I>Dominus Deus.</I> Dicimus enim <I>Deus meus, Deus ve$ter, Deus I$raelis:</I> $ed non dicimus <I>Æternus meus, Æternus ve$ter, Æternus I$raelis</I>; non dicimus <I>Infinitus meus, Infinitus ve$ter, Infinitus I$raelis</I>; non dicimus <I>Perfectus meus, Per- fectus ve$ter, Perfectus I$raelis.</I> Hæ appellationes relationem non habent ad $ervos. Vox <I>Deus</I> pa$$im $ignificat <I>Dominum,</I> $ed omnis Dominus non e$t Deus. Dominatio Entis $piritualis <I>Deum</I> con$tituit, vera verum, $umma fummum, ficta fictum. Et ex do- minatione vera $equitur, Deum verum e$$e vivum, intelligentem & potentem; ex reliquis perfectionibus $ummum e$$e vel $umme per- <pb n=483> fectum. <I>Æternus</I> e$t & <I>Infinitus, Omnipotens</I> & <I>Omni$ciens,</I> id <MARG>LIBER TERTIUS.</MARG> e$t, durat ab æterno in æternum & ade$t ab infinito in infinitum, omnia regit & omnia cogno$cit quæ fiunt aut $ciri po$$unt. Non e$t æternitas vel infinitas, $ed æternus & infinitus; non e$t duratio vel $patium, $ed durat & ade$t. Durat $emper & ade$t ubique, & exi$tendo $emper & ubique durationem & $patium, æternitatem & infinitatem con$tituit. Cum unaquæque $patii particula $it <I>$emper,</I> & unumquodque durationis indivi$ibile momentum <I>ubique</I>; certe rerum omnium Fabricator ac Dominus non erit <I>nunquam nu$quam.</I> Omnipræ$ens e$t nen per <I>virtutem</I> $olam, $ed etiam per <I>$ub$tantiam</I>: nam virtus $ine $ub$tantia $ub$i$tere non pote$t. In ip$o<note>Ita $entiebant veteres, <I>Aratus</I> in Phænom: $ub ini- tio. <I>Paulus</I> in Act. 7. 27, 28. <I>Mo$es</I> Deut.4. 39 & 10. 14. <I>D<*>id</I> P$al. 139. 7, 8. <I>Solo- mon</I> Reg. 8. 27. <I>Job.</I> 22. 12. <I>Jeremias</I> Prophcta 23. 23, 24.</note> continentur & moventur univer$a, $ed ab$que mutua <I>pa$- $ione.</I> Deus nihil patitur ex corporum moti- bus: illa nullam $entiunt re$i$tentiam ex om- nipræ$entia Dei. Deum $ummum nece$$ario exi$tere in con$e$$o e$t: Et eadem nece$$itate <I>$emper</I> e$t & <I>ubique.</I> Unde etiam totus e$t $ui $imilis, totus oculus, totus auris, totus cerebrum, totus brachium, totus vis $entiendi, intelligendi & agendi; $ed more minime humano, more minime corporeo, more nobis pror$us incognito. Ut cæcus ideam non habet colorum, $ic nos ideam non habemus modorum quibus Deus $apienti$$imus $entit & intelligit omnia. Corpore omni & figura corporea pror$us de$tituitur, ideoque videri non pote$t, nec audiri, nec tangi, nec $ub $pecie rei alicujus corporei coli de- bet. Ideas habemus attributorum ejus, $ed quid $it rei alicujus Sub$tantia minime cogno$cimus. Videmus tantum corporum figu- ras & colores, audimus tantum $onos, tangimus tantum $uper- ficies externas, olfacimus odores $olos, & gu$tamus $apores; In- timas $ub$tantias nullo $en$u, nulla actione reflexa cogno$cimus, & multo minus ideam habemus $ub$tantiæ Dei. Hunc cogno$cimus $olummodo per proprietates $uas & attributa, & per $apienti$$i- mas & optimas rerum $tructuras, & cau$as finales; veneramur au- tem & colimus ob dominium. Deus enim $ine dominio, provi- dentia, & cau$is finalibus, nihil aliud e$t quam Fatum & Na- tura. Et hæc de Deo; de quo utique ex Phænomenis di$$erere, ad <I>Philo$ophiem Experimentalem</I> pertinet. <p>Hactenus Phænomena cælorum & maris no$tri per Vim gravi- tatis expo$ui, $ed cau$am Gravitatis nondum a$$ignavi. Oritur utique hæc Vis a cau$a aliqua quæ penetrat ad u$que centra Solis <pb n=484> <MARG>DE MUNDI SYSTEMATE</MARG> & Planetarum, $ine virtutis diminutione; quæque agit non pro quantitate <I>$uperficierum</I> particularum in quas agit (ut $olent cau$æ Mechanicæ,) $ed pro quantitate materiæ <I>$olidæ</I>; & cujus actio in immen$as di$tantias undique extenditur, decre$cendo $emper in duplicata ratione di$tantiarum. Gravitas in Solem componitur ex gravitatibus in $ingulas Solis particulas, & recedendo a Sole decre$cit accurate in duplicata ratione di$tantiarum ad u$que or- bem Saturni, ut ex quiete Apheliorum Planetarum manife$tum e$t, & ad u$que ultima Cometarum Aphelia, $i modo Aphelia illa quie$cant. Rationem vero harum Gravitatis proprietatum ex Phænomenis nondum potui deducere, & Hypothe$es non $ingo. Quicquid enim ex Phænomenis non deducitur, <I>Hypothe$is</I> vo- canda e$t; & Hypothe$es $eu Metaphy$icæ, $eu Phy$icæ, $eu Qua- litatum occultarum, $eu Mechanicæ, in <I>Philo$ophia Experimentali</I> locum non habent. In hac Philo$ophia Propo$itiones deducun- tur ex Phænomenis, & redduntur generales per Inductionem. Sie impenetrabilitas, mobilitas, & impetus corporum & leges motuum & gravitatis innotuerunt. Et $atis e$t quod Gravitas revera ex- i$tat, & agat $ecundum leges a nobis expo$itas, & ad corporum cæle$tium & maris no$tri motus omnes $ufficiat. <p>Adjicere jam liceret nonnulla de Spiritu quodam $ubtili$$imo cor- pora cra$$a pervadente, & in ii$dem latente; cujus vi & actionibus particulæ corporum ad minimas di$tantias $e mutuo attrahunt, & contiguæ factæ cohærent; & corpora Electrica agunt ad di- $tantias majores, tam repellendo quam attrahendo corpu$cula vi- cina; & Lux emittitur, reflectitur, refringitur, inflectitur, & cor- pora calefacit; & Sen$atio omnis excitatur, & membra Anima- lium ad voluntatem moventur, vibrationibus $cilicet hujus Spiri- tus per $olida nervorum capillamenta ab externis $en$uum orga- nis ad cerebrum & a cerebro in mu$culos propagatis. Sed hæc paucis exponi non po$$unt; neque ade$t $ufficiens copia Experi- mentorum, quibus leges actionum hujus Spiritus accurate deter- minari & mon$trari debent. <C><I>FINIS.</I></C> <pb> <C>INDEX RERUM ALPHABETICUS.</C> <p>N.B. <I>Citationes factæ $unt ad normam $equentis Exempli.</I> III, 10: 444, 20: 471, 28 <I>de$ignant Libri tertii Propo$itionem decimam: Paginæ</I> 444<*> <I>lineam</I> 20<I><SUP>æm</SUP>: Paginæ</I> 471<I><SUP>æm</SUP> lineam</I> 28<I><SUP>æm</SUP></I>. <cb> <C>A.</C> <p>ÆQuinoctiorum præce$$io <p>cau$æ hujus motus indicantur III, 21 <p>quantitas motus ex cau$is computatur III, 39 Aeris <p>den$itas ad quamlibet altitudinem colligitur ex Prop. 22. Lib. II. quanta $it ad altitu- dinem unius $emidiametri Terre$tris o$ten- ditur 470, 11 <p>ela$tica vis quali cau$æ tribui po$$it II, 23 <p>gravitas cum Aquæ gravitate collata 470, 3 <p>re$i$tentia quanta $it, per Experimenta Pen- dulorum colligitur 286, 28; per Experi- menta corporum cadentium & Theoriam accuratius invenitur 327, 13 <p>Anguli contactus non $unt omne; eja$dem gene- ris, $ed alii aliis in$inite minores p. 32 <p>Ap$idum motus expendltur I, Sect. 9 <p>Areæ quas corpora in gyros acta, radiis ad con- trum virium ductis, de$cribunt, conferuntur cum temporibus de$criptionum I, 1, 2, 3, 58, <*>5 <p>Attractio corporum univer$orum demon$tratur III, 7; qualis $it hujus demon$trationis certi- tudo o$tenditur 358, 28: 484, 11 <p>Attractionis cau$am vel modum nullibi definit Author 5, 17: 147, 32: 172, 31: 483, 34. <C>C.</C> <p>Cali <p>re$i$tentia de$tituuntur III, 10: 444, 20: 471, 28; & propterea Fluido omni corpo- rco 328, 18 <p>tran$itum Luci præbent ab$que ulla refracti- one 467, 33 <p>Calore virga ferrea comperta e$t augeri longi- tudine 386, 4 <p>Calor Solis quantus $it in diver$is a Sole di$tantiis 466, 20 <p>quantus apud Mercurium 372, 12 <cb> <p>quantus apud Cometam anni 1680 in Peri- helio ver$antem 466, 22 <p>Centrum commune gravitatis corporum plu- rium, ab actionibus corporum inter $e, non mutat $tatum $uum vel motus vel quietis p. 17 <p>Centrum commune gravitatis Terræ, Solis & Planctarum omnium quic$cere III, 11; con- fir matur ex Cor. 2. Prop. 14. Lib. III. <p>Centrum commune gravitatis Terræ & Lunæ motu annuo percurrit Orbem magnum 376, 6 quibur intervallis di$tata Terra & Luna 430, 22 <p>Centrun Virium quibus corpora revolventia in Orbibus retinentur <p>quali Arearum indicio invenitur 38, 14 <p>qua ratione ex datis revolventium velocitati- bus invenitur I, 5 <p>Circuli circum$erentia, qua lege vis centripetæ tendentis ad punctum quodcunque datum de- $cribi pote$t a corpore revolvente I, 4, 7, 8 <p>Cometæ <p>Genus $unt Planetarum, non Meteororum 444, 24: 466, 15 <p>Luna $uperiores $unt, & in regione Planeta- rum ver$antur p. 439 <p>Di$tantia corum qua ratione per Ob$ervatio- nes colligi pote$t quamproxime 439, 21 <p>Plures ob$ervati $unt in hemi$phærio Solem ver$us, quam in hemi$phærio oppo$ito; & unde hoc fiat 444, 5 <p>Splendent luce Solis a $e reflexa 444, 4; Lux illa quanta e$$et $olet 441, 12 <p>Cinguntur Atmo$phæris ingentibus 442, 12: 444, 27 <p>Qui ad Solem propius accedunt ut plurimum minores e$$e exi$timantur 475, 7 <p>Quo fine non comprehenduntur Zodiaco (more Planetarum) $ed in omnes tælorum regiones varie feruntur 480, 30 <p>Po$$unt aliquando in Solem incidere & no- vum illi alimentum ignis præbere 480, 37 <p>U$us corum $<*>ggeritur 473, 1: 481, 7 <pb> <cb> <p>Cometaram caudr <p>avertuntur a Sole <*>8, 39 <p>maximæ $unt & $ulgenti$$imæ $tatim po$t tran$itum per vicinam Solis 467, 8 <p>in$ignis earum raritas 470, 32 <p>origo & natura earundem 442. 19: 467, 13 <p>quo tempori; $patio a capite a$<*>endunt 471, 1 <p>Com<*>æ <p>Moventur in Sectionibus Conicis umbilicos in centro Solis habentibus, & radiis ad So- lem ductis de$cribunt areas temporibus pro- portionales. Et quidem in Ellip$ibus mo- ventur $i in Orbem redeunt, hæ tamen Parabolis erunt m<*> $initimæ III, 40 <p>Trajectoria Paral olica ex datis tribus Ob$er- vationibus invenitur III, 41; Inventa cor- <*>igitur III, 42 <p>Locus in Parabola invenitur ad tempus da- tum 445, 30: I, 30 <p>Velocitas cum velocitate Planetarum con$er- <*>r 445, 17 <p><*>meta annorum 1664 & 1665 <p>H<*>s motus ob$ervatus expenditur, & cum Theoria accurate congruere deprehenditur p. 477 <p>Cometa annorum 1680 & 1681 <p>Hujus motus ob$ervatus cum Theoria accu- rate congruere invenitur p. 455 & $eqq. <p>Videbatur in Ellip$i revolvi $patio annorum plu$quam quingentorum 464, 37 <p>Trajectoria illius & Cauda $ingulis in locis delineantur p. 465 <p>Cometa anni 1682 <p>Hajus motus accurate te$pondet Theoriæ p. 479 <p>Comparui$$e vi$us e$t anno 1607, iterumque re- diturus videtur per<*> 75 annorum 480, 6 <p>Cometa anni 1683 <p>Hujus motus accurate re$pondet Theoriæ p. 478 <p>Curvæ di$tinguuntur in Geometrice rationales & Geometrice irrationales 100, 5 <p>Curvatura figurarum qua ratione æ$timanda $it 235, 28: 398, 33 <p>C<*>cloidis $eu Epicycloidis rectificatio I, 48, 49: 142, 18 <p>ëvoluta I, 5<*>: 142, 22 <p>Cylindri attractio ex particulis trahentibus com- po$iti quarum vires $unt reciproce ut qua- drata di$tantiarum 198, 1 <C>D.</C> <p>Dei Natura p. 482 & 483 <p>De$cen$us graviuni in vacuo quantus $it, ex lon- gitudine Penduii colligitur 379, 1 <p>De$<*> vel A$cen$us rectilinci $patia de$cri- pta, tempora de$criptionum & velocitates ac- <cb> qui$itæ conferuntur, po$ita cuju$cunque ge- neris vi centripeta I, Sect. 7 <p>De$cen$us & A$cen$us corporum in Mediis re- $i$tentibus II, 3, 8, 9, 40, 13, 14 <C>E.</C> <p>Ellip$is <p>qua lege vis contripetæ tendentis ad centrum figuræ de$cribitur a corpore revolvente I, 10, 64 <p>qua lege vis centripetæ tendentis ad umbili- cum figuræ de$cribitur a corpore revol- vente I, 11 <C>F.</C> <p>Fleidi definitio p. 260 <p>Flaidorum den$itas & compre$$io quas leges ha- bent, o$tenditur II, Sect. 5 <p>Fluidorum per foramen in va$e factum effluen- tium determinatur motus II, 36 <p>Fumi in camino a$cen$us obiter explicatur 472, 4 <C>G.</C> <p>Graduum in Meridiano Terre$tri men$ura exhi- betur, & quam $it exigua inæqualitas o$ten- ditur ex Theoria III, 20 <p>Gravitas <p>diver$i e$t generis a vi Magnetica 368, 29 <p>mutua e$t inter Terram & ejus partes 22, 18 <p>ejus cau$a non a$$ignatur 483, 34 <p>datur in Planetas univer$os 365, 15; & per- gendo a $uperficiebus Planetarum $ur$um decre$cit in duplicata ratione di$tantiarum a centro III, 8, deor$um decre$cit in $im- plici ratione quamproxime III, 9 <p>datur in corpora omnia, & proportionalis e$t quantitati materiæ in $ingulis III, 7 <p>Gravitatem e$$e vim illam qua Luna retinetur in Orbe III, 4, computo accuratiori com- probatur 430, 25 <p>Gravitatem e$$e vim illam qua Planetæ primarii & Satellites Jovis & Saturni retinentur in Orbibus III, 5 <C>H.</C> <p>Hydro$taticæ principia traduntur II, Sect. 5 <p>Hyperbola <p>qua lege vis centrifugæ tendentis a figuræ cen- tro de$cribitur a corpore revolvente 47, 26 <p>qua lege vis centrifugæ tendentis ab umbilico figuræ de$cribitur a corpore revolvente 51, 6 <p>qua lege vis centripetæ tendentis ad umbilicum figuræde$cribitur a corpore revolvente I, 12 <p>Hypothe$es cuju$cunque generis rejiciuntur ab hac Philo$ophia 484, 8. <pb> <cb> <C>I.</C> <p>Inertiæ vis de$initur p. 2 <p>Jovis <p>di$tantia a Sole 361, <p>$emidiameter apparens 371, 3 <p>$emidiameter vera 371, 14 <p>attractiva vis quanta $it 370, 33 <p>pondus corporum in ejus $uperficie 371, 19 <p>deniitas 371, 37 <p>quantitas materiæ 3: 1, 27 <p>perturbatio a Saturno quanta $it 375, 33 <p>diametrorum proportio computo exhibetur 381, 27 <p>conver$io citcum axem quo tempore ab$olvi- tur 381, 25 <p>cingulæ cau$a $ubindicatur 444 32. <C>L.</C> <p>Locus definitur, & di$tinguitur in ab$olutum & relativum 6, 12 <p>Loca corporum in Sectionibus conicis moto- rum inveniuntur ad tempus a$$ignatum I, Sect. 6 <p>Lucis <p>propagatio non e$t in$tant<*>ea 207, 5; non fit per agitationem Medii alicujus Ætherci 342, 36 <p>velocitas in diver$is Mediis diver$a I, 95 <p>re<*>exio quædam explicatur I, 96 <p>refractio explicatur I, 94; non $it in puncto $olum incidentiæ 207, 29 <p>incurvatio prope corporum terminos Expe- rimentis ob$ervata 207, 8 <p>Lunæ <p>corporis figura computo colligitur III, 38 <p>in<*> cau$a patefacta, cur candem $emper fa- ciem in Terram obvertat 432, 9 <p>& libra ioncs explicantur III, 17 <p>diameter meliocris apparens 430, 12 <p>diameter <*> 43<*>, 17 <p>pondus corporum in ejus $uperficie 430, 20 <p>den$itas 430, 15 <p>quantitas materiæ 430, 19 <p>di$tantia mediocris a Terra quot continet maximas Terræ $emidiametros 430, 25, quot mediocres 431, 18 <p>parallaxis maxima in longitudinem paulo ma- jor e$t quam paraliaxis maxima in latitu- dinem 387, 8 <p>vis ad Mare movendum quanta $it III, 37; non $entiri pote$t in Experimentis pendu- lorum, vel in Staticis aut Hydro$taticis quibu$cunque 430, 1 <p>tempus periodicum 430, 32 <p>tempus revolutionis $ynodicæ 398, 1 <p>motus medius cum diurno motu Terræ col- <cb> latus paulatim accelerari deprehenditur ab <I>Helleio</I> 481, 16 <p>Lunæ motus & motuum inæqualitates a cau$is $<*> derivantur III, 22: p. 421 & $eqq. <p>tardius revolvitur Luna dilatato Orbe, in pe- rihelio Terræ, citius in ophelio, contracto Orbe III, 22: 421, 6 <p>tardius revolvitur, dilatato Orbe, in Apogæi Syzygiis cum Sole; citius in Quadraturis Apogæi, contracto Orbe 422, 1 <p>tardius revolvitur, dilatato Orbe, in Syzygiis Nodi cum Sole; citius in Quadraturis No- di, contracto Orbe 422, 21 <p>tardius movetur in Quadraturis $uis cum Sole, citius in Syzygiis; & radio ad Terram ducto de$eribit aream pro tempere mino- rem in priore ca$u, majorem in po$teriore III, 22: Inæqualitas harum Arearum com- putatur III, 26. Orbem in$uper habet ma- gis curvum & longius a Terra recedit in priore ca$u, minus curvum habet Orbem & propius ad Terram accedit in po$teriore III, 22. Orbis hujus figura & proportio diametrorum ejus computo colligitur III, 28. Et $abinde proponitur methodus in- veniendi di$tantiam Lunæ a Terra ex motu ejus horario III, 27 <p>Apogæum tardius movetur in Aphelio Terræ, velocius in Perihclio III, 22: 421, 21 <p>Apogæum ubi e$t in Solis Syzygiis, maxime progreditur; in Quadraturis regreditur III, 22: 422, 37 <p>Eccentricitas maxima e$t in Apogæi Syzygiis cum Sole, minima in Quadraturis III, 22: 422, 39 <p>Nodi tardius moventur in Aphelio Terræ, ve- locius in Perihelio III, 22: 421, 21 <p>Nodi quie$cunt in Syzygiis $uis cum Sole, & veloci$$ime regrediuntur in Quadraturis III, 22. Nodorum motus & inæqualitates motuum computantur ex Theoria Gravi- tatis III, 30, 31, 3<*> 33 <p>In<*>tio Oibis ad Ec$ipticam maxima e$t in Syzygiis Nodorum cum Sole, minima in Quadraturis I, 66 Cor. 10. Inclinationis va- riationes computantur ex Theoria Gravita- tis III, 34, 35 <p>Lunarium motuum Æquationes ad u$us A$tro- nomicos p. 421 & $eqq. <p>Motus medii Lunæ <p>Æquatio annua 421, 4 <p>Æquatio $eme$tris prima 412, 1 <p>Æquatio $eme$tris $ecunda 422, 21 <p>Æquatio centri prima 423, 20: p. 101 & $eqq. <p>Æquatio centri $ecunda 424, 15 <p>Variatio prima III, 29 <p>Variatio $ecunda 425, 5 <pb> <cb> <p>Motus medii Apogæi <p>Æquatio annua 421, 21 <p>Æquatio $eme$tris 422, 37 <p>Eccentricitatis <p>Æquatio $eme$tris 422, 37 <p>Motus medii Nodorum <p>Æquatio annua 421, 21 <p>Æquatio $eme$tris III, 33 <p>Inclinationis Orbitæ ad Eclipticam <p>Æquatio $eme$tris 420, 22 <p>Lunarium motuum Theoria, qua Methodo $ta- bilienda $it per Ob$ervationes 425, 33. <C>M.</C> <p>Magnetica vis 22, 13: 271, 25: 368, 29: 431, 23 <p>Maris æ$tus a cau$is $uis derivatur III, 24, 36, 37 <p>Martis <p>di$tan<*>ia a Sole 361, 1 <p>Aphelii motus 376, 33 <p>Materi<*> <p>quan<*>itas definitur p. 1 <p>vis in$ita $eu vis inertiæ definitur p. 2 <p>vis impre$$a definitur p. 2 <p>exten$io, durities, impenetrabilitas, mobilitas, vis inertiæ, gravitas, qua ratione innote$- cunt 357, 16: 484, 10 <p>divi$ibilitas nondum con$tat 358, 18 <p>Materia $ubtilis <I>Carte$ianorum</I> ad examen quod- dam revocatur 292, 12 <p>Materia vel $ubtiii$$ima Gravitate non de$titui- tur 368, 1 <p>Mechanicæ, quæ dicuntur, Potentiæ explicantur & demon$trantur p. 14 & 15: p. 23 <p>Mercurii <p>di$tantia a Sole 361, 1 <p>Aphelii motus 376, 33 <p>Methodus <p>Rationum primarum & ultimarum I, Sect. 1 <p>Tran$mutandi figuras in alias quæ $unt eju$- dem Ordinis Analytici I, Lem. 22. pag. 79 <p>Fluxionum II, Lem. 2. p. 224 <p>Differentialis III, Lemm. 5 & 6. pagg. 446 & 447 <p>Inveniendi Curvarum omnium quadraturas proxime veras 447, 8 <p>Serierum convergentium adhibetur ad $olu- tionem Problematum difficiliorum p. 127: 128: 202: 235: 414 <p>Motus quantitas definitur p. 1 <p>Motus ab$olutus & relativus p. 6: 7: 8: 9 2b invicem $ecerni po$$unt, exemplo demon$tra- tur p. 10 <p>Motus Leges p. 12 & $eqq. <p>Motuum compo$itio & re$olutio p. 14 <p>Motus corporum congredientium po$t reflexio- nem, quali Experimento recte colligi po$$unt, <cb> o$tenditur 19, 21 <p>Motus corporum <p>in Conicis $ectionibus eccentricis I, Sect. 3 <p>in Orbibus mobilibus I, Sect. 9 <p>in Super$iciebus datis & Funependulorum motus reciprocus I, Sect. 10 <p>Motus corporum viribus centripetis $e mutuo petentium I, Sect. 11 <p>Motus corporum Minimorum, quæ viribus cen- tripetis ad $ingulas Magni alicujus corporis partes tendentibus agitantur I, Sect. 14 <p>Motus corporum quibus re$i$titur <p>in ratione velocitatis II, Sect. 1 <p>in duplicata ratione velocitatis II, Sect. 2 <p>partim in ratione velocitatis, partim in eju$- dem ratione duplicata II, Sect. 3 <p>Motus <p>corporum $ola vi in$ita progredientium in Mediis re$i$tentibus II, 1, 2, 5, 6, 7, 11, 12: 302, 1 <p>corporum recta a$cendentium vel de$cenden- tium in Mediis re$i$tentibus, agente vi Gra- vitatis uniformi II, 3, 8, 9, 40, 13, 14 <p>corporum projectorum in Mediis re$iftenti- bus, agente vi Gravitatis unifor mi II, 4, 10 <p>corporum circumgyrantium in Mediis re$i- $tentibus II, Sect. 4 <p>corporum Funependulorum in Mediis re$i- $tentibus II, Sect. 6 <p>Motus & re$i$tentia Fluidorum II, Sect. 7 <p>Motus per Fluida propagatus II, Sect. 8 <p>Motus circularis $eu Vortico$us Fluidorum II, Sect. 9 <p>Mundus originem non habet ex cau$is Mecha- nicis p. 482, 12. <C>N.</C> <p>Navium con$tructioni Propo$itio non inutilis 300, 4. <C>O.</C> <p>Opticarum ovalium inventio quam <I>Carte$ius</I> ce- laverat I, 97. <I>Carte$iani</I> Problematis genera- lior $olutio I, 98 <p>Orbitarum inventio <p>quas corpora de$cribunt, de loco dato data cum velocitate, $ecundum datum rectam egre$$a; ubi vis centripeta e$t reciproce ut quadratum di$tantiæ & vis illius quantitas ab$oluta cogno$citur I, 17 <p>quas corpora de$cribunt ubi vires centripetæ $unt reciproce ut cubi di$tantiarum 45, 18: 118, 27: 125, 25 <p>quas corpora viribus quibu$cunque centripetis agitata de$cribunt I, Sect. 8. <pb> <cb> <C>P.</C> <p>Parabola, qua lege vis centripetæ tendentis ad umbilicum figuræ, de$cribitur a corpore revol- vente I, 13 <p>Pendulorum affectiones explicantur I, 50, 51, 52, 53: II, Sect. 6. <p>Pendulotum i$ochronorum longitudines diver$æ in diver$is locorum Latitudinibus inter $e con$eruntur, tum per Ob$ervatienes, tum per Theoriam Gravitatis III, 20 <p>Philo$ophandi Regulæ p. 357 <p>Planetæ <p>non deferuntur a Vorticibus corporeis 352, 37: 354, 25: 481, 21 <p>Primarii <p>Solem cingunt 360, 7 <p>moventur in Ellip$ibus umbilicum habenti- bus in centro Solis III, 13 <p>radiis ad Solem ductis de$cribunt areas tem- poribus proportionales 361, 15: III, 13 <p>temporibus periodicis revolvuntur quæ $unt in $e$quiplicata ratione di$tantiarum a Sole 360, 17: III, 13 & I, 15 <p>retinentur in Orbibus $uis a vi Gravitatis quæ re$picit Solem, & e$t reciproce ut quadratum di$tantiæ ab ip$ius centro III, 2, 5 <p>Secundarii <p>moventur in Ellip$ibus umbilicum habenti- bus in centro Primariorum III, 22 <p>radiis ad Primarios $uos ductis de$cribunt areas temporibus proportionales 359, 3, 22: 361, 27: III, 22 <p>temporibus periodicis revolvuntur quæ $unt in $e$quiplicata ratione di$tantiarum a Primariis $uis 359, 3, 22: III, 22 <*> I, 15 <p>retinentur in Orbibus $uis a vi Gravitatis quæ re$picit Primarios, & e$t reciproce ut quadratum di$tantiæ ab corum centris III, 1, 3, 4, 5 <p>Planetarum <p>di$tantiæ a Sole 361, 1 <p>Orbium Aphelia & Nodi prope quie$cunt III, 14 <p>Orbes determinantur III, 15, 16 <p>loca in Orbibus inveniuntur I, 31 <p>den$itas calo<*>i quem a Sole recipiunt, ac- commodatur 372, 7 <p>conver$iones diurnæ $unt æquabiles III. <*> <p>axes $unt minores diametris quæ ad <*> axes normaliter ducuntur III, 18 <p>Pondera corporum <p>in Terram vel Solem vel Planetam quemvis, paribus di$tantiis ab eorum centris, $unt ut quantitates materiæ in corporibus III, 6 <p>non pendent ab eorum formis & texturis 367, 35 <cb> <p>in diver$is Terræ regionibus inveniuntur & inter $e comparantur III, 20 <p>Problematis <p><I>Kepleriani</I> $olutio per Trochoidem & per Approximationes I, 31 <p><I>Veterum</I> de quatuor lineis, a <I>Pappo</I> memorati, a <I>Carte$io</I> par calculum Analyticum tentati, compo$itio Geometrica 70, 19 <p>Projectilia, $epo$ita Medii re$i$tentia, moveri in Parabola colligitur 47, 23: 202, 23: 236, 29 <p>Projectilium motus in Mediis re$i$tentibus II, 4, 10 <p>Pul$uam Aeris, quibes Soni propagantur, deter- minantur intervalla $eu latitudines II, 50: 344, 18. Hæc intervalla in apertarum Fi$tularum $onis æquari duplis longitudinibus Fi$tularum vero$imile e$t 344, 26 <C>Q.</C> <p>Quadratura generalis Ovalium dari non pote$t per finitos terminos I, Lem, 28. p. 98 <p>Qualitates corporum qua ratione innote$cunt & admittuntur 357, 16 <p>Quies vera & relativa p. 6, 7, 8, 9. <C>R.</C> <p>Re$i$tentiæ quantitas <p>in Mediis non continuis II, 35 <p>in Mediis continuis II, 38 <p>in Mediis cuju$cunque generis 302, 32 <p><*> $i$tentiarum Theoria confirmatur <p>per Experimenta Pendulorum II, 30, 31, S<*>h. Gen. p. 284 <p>per Experimenta corporum cadentium II, 40, Sch. p. 319 <p>Re$i$tentia Mediorum <p>e$t ut eorundem den$itas, cæteris paribu, 290, 29: 291, 35: II, 33, 35, 38: 327, 14 <p>e$t in duplicata ratione velocitatis corporum quibus re$i$titur, cæteris paribus 219, 24: 284, 33; II, 33, 35, 38: 324, 23 <p>e$t in duplicata ratione diametri corporum Sphæricorum quibus re$i$titur, cæteris pa- ribus 288, 4: 289, 11: II, 33, 35, 38: Sch. p. 319 <p>non minuitur ab actione Fluidi in partes po- $ticas corporis moti 312, 23 <p>Re$i$tentia Fluidorum duplex e$t; oriturque vel ab Inertia materiæ fluidæ, vel ab Ela$ticitate, Tenacitate & Frictione partium ejus 318, 1. Re$i$tentia quæ $entitur in Fluidis fere tota e$t prioris generis 326, 32, & minui non po- te$t per $ubtilitatem partium Fluidi, manente den$itate 328, 7 <p>Re$i$tentiæ Globi ad re$i$tentiam Cylindri pro- portio, in Mediis non continuis II, 34 <pb> <cb> <p>Re$i$tentia quam patitur a Fluido $ru$tum Co- nicum, qua ratione fiat minima 299, 30 <p>Re$i$tentiæ minimæ Solidum 300, 15. <C>S.</C> <p>Satelliti<*> <p>Jovialis extimi elongatio maxima heliocentrica a centro Jovis 370, 35 <p><I>Hugeniani</I> elongatio maxima heliocentrica a centro Saturni 371, 5 <p>Satel<*>itum <p>Jovialium tempora periodica & di$tantiæ a centro Jovis 359, 12 <p>Saturniorum tempora periodica & di$tantiæ a centro Saturni 360, 1 <p>Jorialium & Saturniorum inæquales motus a motibus Lanæ derivari po$$e o$$enditur III, 23 <p>Saturni <p>di$tantia a Sole 361, 1 <p>$emidiameter apparens 371, 9 <p>$emidiameter vera 371, 14 <p>vis attractiva quanta $it 370, 33 <p>pondus corporum in ejus $uperficie 371, 19 <p>den$itas 371, 37 <p>quantitas materiæ 371, 27 <p>perturbatio a Jove quanta $it 375, 16 <p>diameter apparens Annuli quo cingitur 371, 8 <p>Sectiones Conicæ, qua lege vis centripetæ ten- dentis ad punctum quodcunque datum, de$cri- buntur a corporibus revolventibus 58, 20 <p>Sectionum Conicarum de$criptio Geometrica <p>ubi dantur Umbilici I, Sect. 4 <p>ubi non dantur Umbilici I, Sect. 5. ubi dan- tur Centra vel A$ymptoti 87, 9 <p>Se$quiplicata ratio definitur 31, 40 <p>Sol <p>circum Planetarum omnium commune gravi- tatis centrum movetur III, 12 <p>$emidiameter ejus mediocris apparens 371, 12 <p>$emidiameter vera 371, 14 <p>parallaxis ejus horizontalis 370, 33 <p>parallaxis men$trua 376, 4 <p>vis ejus attractiva quanta $it 370, 33 <p>pondus corporum in ejus $uperficie 371, 19 <p>den$itas ejus 371, 37 <p>quantitas mater æ 371, 27 <p>vis ejus <*> perturbandos motus Lunæ 363, 15: III, 25 <p>vis ad Mare movendum III, 36 <p>Soaorum <p>natura explicatur II, 43, 47, 48, 49, 50 <p>propagatio divergit a recto tramite 332, 9, fit per agitationem Aeris 343, 1 <p>velocitas computo colligitur 343. 8, paulu- lum major e$$e debet Æ$tivo quam Hyber- no tempore, per Thecriam 344, 11 <p>ce$$atio fit $tatim ubi ce$$at motus corporis $onori 344, 29 <cb> <p>augmentatio per tubos $tenterophonicos 344, 32 <p>Spatium <p>ab$olutum & relativum p. 6, 7 <p>non e$t æqualiter plenum 368, 16 <p>Sphæroidis attractio, cujus particularum vires $unt reciproce ut quadrata di$tantiarum 198, 21 <p>Spiralis quæ $ecat radios $uos omnes in angulo dato, qua lege vis centripetæ tendenti ad centrum Spiralis de$cribi pote$t a corpore revolvente, o$tenditur I, 9: II, 15, 16 <p>Spiritum quendam corpora pervadentem & in corporibus latentem, ad plurima naturæ phæ- nomena $olvenda, requiri $uggeritur 484, 17 <p>Stellarum fixarum <p>quies demon$tratur 376, 18 <p>radiatio & $cintillatio quibus cau$is referendæ $int 467, 38 <p>Stellæ Novæ unde oriri po$$int 481, 5 <p>Sub$tantiæ rerum omnium occultæ $unt 483, 22 <C>T.</C> <p>Tempus ab$olutum & relativum p. 5, 7 <p>Temporis Æquatio A$tronomica per Horol<*>- gium o$cillatorium & Eclip$es Satellitum Jo- vis comprobatur 7, 15 <p>Tempora periodica corporum revolventium in Ellip$ibus, ubi vires centripetæ ad umbilicum tendunt I, 15 <p>Terræ <p>dimen$io per <I>Picartum</I> 378, 11, per <I>Ca$$inum</I> 378, 21, per <I>Norwoodum</I> 378, 28 <p>figura invenitur, & proportio diametrorum, & men$ura graduum in Meridiano III, 19, 20 <p>altitudinis ad Æquatorem $upra altitudinem ad Polos quantus $it exce$$us 381, 7: 387, 1 <p>$emidiameter maxima, minima & mediocris 387, 10 <p>globus den$ior e$t quam $i totus <*> Aqua con- $taret 372, 31 <p>globus den$ior e$t ad centrum quam ad $uper- ficiem 386, 1 <p>molem indies augeri vero$imile e$t 473, 18 481, 13 <p>axis nutatio III, 21 <p>motus annuus in Orbe magno demon$tratur III, 12, 13: 478, 26 <p>Eccentricitas quanta $it 421, 15 <p>Aphelii motus quantus $it 376, 33. <C>V.</C> <p>Vacuum datur, vel $patia omnia ($i dicantur e$$e plena) non $unt æqualiter plena 328, 18: 368, 25 <pb> <cb> <p>Velo<*>itas maxima quam Globus, in Medio re- $i$tente cadendo, pote$t acquirere II, 38, Cor. 2 <p>Velocitates corporum in Sectionibus conicis mo- torum, ubi vires centripetæ ad umbilicum tendunt I, 16 <p>Veneris <p>di$tantia a Sole 361, 1 <p>tempus periodicum 370, 23 <p>Aphelii motus 376, 33 <p>Virium compo$itio & re$olutio p. 14 <p>Vires attractivæ corporum <p>$phæricorum ex particulis quacunque lege trahentibus compo$it<*>um, expenduntur I, Sect. 12 <p>non $phæricorum ex particulis quacunque lege trahentibus compo$itorum, expendun- tur I, Sect. 13 <p>Vis centrifuga corporum in Æquatore Terræ quanta $it 379. 22 <p>Vis centripeta de$initur p. 2 <p>quantitas ejus ab$oluta definitur p. 4 <p>quantitas acceleratrix definitur, p. 4 <p>quantitas mot<*>x definitur p. 4 <p>proportio ejus ad vim quamlibet notam, qua ratione colligenda $it, o$tenditur 40, 1 <p>Virium centripetarum inventio, ubi corpus in $patio non re$i$tente, circa c<*>rum immo- bile, in Orbe quocunque revoi<*>itur I, 6: I, Sect. 2 & 3 <p>Viribus centripetis datis ad quodcunque pun- ctum tendentibus, quibus Figura quævis a <cb> corpore revolvente de$cribi pote$t; dantur vires centripetæ ad aliud quodvis punctum tendentes, quibus eadem Figura eodem tem- pore periodico de$cribi pote$t 44, 3 <p>Viribus centripetis datis quibus Figura qurvis de$cribitur a corpore revolvente; dantur vires quibus Figura nova de$cribi pote$t, $i Ordi- natæ augeantur vel minuantur in ratione qua- cunque data, vel angulus Ordinationis utcun- que mutetur, manente tempore periodico 47, 28 <p>Viribus centripetis in duplicata ratione di$tantia- rum decre$centibus, quænam Figura de$cribi po$$unt, o$tenditur 53, 1: 150, 8 <p>Vicentripeta <p>quæ $it reciproce ut cubus ordinatim applica- tæ tendentis ad centrum virium maxime longinquum, corpus movebitur in data quavis coni $ectione 45, 1 <p>quæ $it ut cubus ordinatim applicatæ tenden- tis ad centrum virium maxime longinquum, corpus movebitur in Hyperbola 202, 26 <p>Umbra Terre$tris in Eclip$ibus Lunæ augenda e$t, propter Atmo$phæræ refractionem 425, 27 <p>Umbræ Terre$tris dian etri non $unt æquales; quanta $it differentia o$tenditur 387, 8 <p>Undarum in aquæ $tagtantis $uperficie propa- gatarum velocitas invenitur II, 46 <p>Vorticum natura & con$titutio ad examen re- vocatur II, Sect. 9: 481, 21 <p><I>Ut.</I> Hujus voculæ fignificatio Mathematica de- fiuitur 30, 19. <C><I>FINIS.</I></C>