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Version vom 2009-02-14
| author | Klaus Thoden <kthoden@mpiwg-berlin.mpg.de> |
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| date | Thu, 02 May 2013 11:08:12 +0200 |
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<pb id="p.0001"> <HEAD>DE GLI ELEMENTI MECHANICI</HEAD> <FIG> La $tatera. Leua. Raggi nell'a$$e. Rote vettiue Taglia. Rote motiue. Cugno. Vite. <HEAD><I>DI C. ANTONIO STELLIOLA.</I></HEAD> <FIG> <HEAD>IN NAPOLI, Nella Stamparia à Porta Regale M. D. XCVII.</HEAD> <p n=>1</p> <HEAD><I>PROPOSITIONE di tutta l'opera.</I></HEAD> <p>Cerchiamo come po$$a la potenza minore vincer di forza la maggiore: e la potenza piu tarda, vincer di mo- uimento la piu veloce. e que$to con Leue, Taglie, Viti, Rote, e tutti in$trumenti che moltiplicar po$$ono il momento, o della forza, o della velocità. Qual $oggetto communemente gli antichi chiamarono Mechaniche. Il che tut- to $i tratterà $econdo le $uppo$itioni fatte de mo- menti, o per linee parallelle, o per linee con- correnti ad vn ponto, o per circonferenze d'in- torno vn centro i$te$$o: e $econdo il $olito v$o de mathematici deducendo le dimo$trationi, e cau­ $e de gli effetti, dalli primi e proprij principij. <FIG> <foot>A</foot> <p n=>2</p> <HEAD><I>DEFINITIONI.</I> I.</HEAD> <p>Centro di pe$o diciamo il ponto, per cui il corpo co- munque $o$pe$o, non muta po$itione. <HEAD>II.</HEAD> <p>Corpo egualmente di$te$o diciamo, che comunque tagliato con pianezze parallele, fa figure $uperficiali eguali e $imili. <HEAD>III.</HEAD> <p>Applicar$i diciamo vn corpo ad vna linea, quando detto corpo vgualmente di$te$o occupi la lunghezza di detta linea. <HEAD>IIII.</HEAD> <p>Linea di momento diciamo, per cui il centro di pe- $o della grauezza da impedimento libera $i moue. <HEAD>V.</HEAD> <p>Libra ò $tatera diciamo la linea a cui $i applicano, ò appendono le grauezze: e che $ia $u$pe$a da vn $ol ponto. <HEAD>VI.</HEAD> <p>E leua diciamo la linea $o$tenuta da due ponti, o $o- $tenuta da vn ponto e mo$$a da vna po$$anza. <HEAD>VII.</HEAD> <p>Ponto di momento diciamo nella $tatera e leua, il ponto, nel quale s'incontra la linea del momento, con la linea della $tatera. <HEAD>VIII.</HEAD> <p>E ponto di appen$ione: il ponto, onde perde la gra- <p n=>3</p> uezza $taccata dalla $tatera, o leua, nelquale i$te$$o pon- to s'intende hauer il $uo momento. <HEAD>IX.</HEAD> <p>Et Horizonte de pe$i la $uperficie in cui le linee de momenti tutte vanno perpendicolarmente. <HEAD><I>Appendice.</I></HEAD> <p>Dalche è manife$to, che l'Horizonte de' momenti pa- ralleli, $ia $uperficie piana: e delli concorrenti $ia $uper- cie sferica. <HEAD><I>POSITIONI.</I> I.</HEAD> <p>Pigliamo nelli corpi egualmente di$te$i il centro del pe$o e$$er nella $uperficie, che diuide egualmente la lunghezza di detto corpo. <HEAD>II.</HEAD> <p>Che grauezze eguali appe$e o nell'i$te$$o ponto, o in ponti della libra egualmente di$tanti dalla $u$pen$ione della $tatera, habbiano momento eguale. <HEAD>III.</HEAD> <p>Che nelli corpi di vna i$te$$a natura $ia proportionale il pe$o alla quantità delli corpi. <HEAD>IIII.</HEAD> <p>E, che la grauezza appe$a non $i fermi, $in che il c&etilde;- tro del pe$o non $ia nella perpendicolare del ponto del $o$tenimento. <foot>A 2</foot> <p n=>4</p> <HEAD><I>PROPOSITIONE.</I> I.</HEAD> <p>Se $i togliono due quantità da due altre, che $iano eguali, e tra di loro, & alla compo$ta delle due tolte: di- co che le re$tanti alle tolte $cambieuolmente $ono egua­ li. <FIG> <HEAD><I>Dimo$tratione.</I></HEAD> <p><I>Siano le due quantità, A & B, & alla compo$ta di ambe $iano egua li, la C D, & la E F; e dalla C D, toglia$i eguale ad A, che $ia, C G, e dalla E F toglia$i eguale a B, che $ia E H. dico che la re$tan- te H F, è vguale ad A; e la G D, eguale a B. Si mo$tra perciò che e$$endo C D, eguale ad A e B in$ieme: tolti dall'vna e l'altra $um- male A, e C G eguali: le re$tanti, B, e G D di con$eguenza $o- no eguali. Similmente perche la E F $i pone vguale alle A, & B gionte in$ieme; tolte la E H, & B vguali: le re$tanti, H F, e A $o- no di con$eguenza eguali. è adunque la H F eguale a C G: e la G D eguale ad E H. il che hauea da mo$trar$i.</I> <HEAD><I>Appendice.</I></HEAD> <p>Dalche è manife$to, che le i$te$$e re$tanti $cambieuol­ mente $ono proportionali alle tolte. <p n=>5</p> <p>Percioche e$$endo le C G H F eguali. e le G D E H anco eguali: ma le eguali $ono proportionali: $ono dũque come C G ad E H, co$i H F ad G D: ilche hauea da mo- $trar$i. <HEAD><I>PROPOSITIONE.</I> II.</HEAD> <p>Se alla linea della $tatera $i applicano continuatamen- te due corpi: li centri delli corpi applicati, $ono di$tanti dal centro ditutto il compo$to, di di$tanze proportio- nali alli pe$i, pigliati reciprocamente. <FIG> <HEAD><I>Dimo$tratione.</I></HEAD> <p><I>Sia la linea della $tatera, A B, l'vn delli corpi applicati $ia B C, l'altro $ia C A, e l'applicatione del corpo B C occupi la parte di li- nea B D, e del corpo C A, la parte A D, e diuida$i B D, in par- ti vguali al ponto E: & A D in parti eguali il ponto F: è manifesto che del corpo applicato à B D, il ponto del momento $ia E, e del cor- po applicato a D A, il ponto del momento $ia F, dico che diui$a B A tutta per metà nel ponto G, che è ponto di mom&etilde;to della grauezza tut­ ta compo$ta di ambedue: c'habbia la di$tanza F G a G E la ragione che'lpe$o di B C al pe$o di C A. Si mo$tra percioche la ragione del pe$o di B C, al pe$o di C A, e l'i$te$$a che delli corpi: e delli corpi</I> <p n=>6</p> <I>vgualmente di$te$i, e l'i$te$$a che delle linee: qual è della linea B D a D A. e delle loro metà di E D a D F cioè di F G, a G E: & perche $e due quantità compongono quantità, e le metà del- le componenti, compongono la metà della tutta: ma le metà delle li- nee componenti $ono A F, e B E, la metà della tutta, e co$i la B G come la A G. perciò togliendo due quantità A F B E dalle due, A G, G E eguali tra di loro, & alla compo$ta di A F, B E. le re$tanti $cambieuolmente $ono proportionali, e perciò F G, a G E $arà nell'i$te$$a ragione di B E, ad A F, cioè della doppia, B D, a D A: qual è l'i$te$$a del corpo, B C, a C A: e della grauezza di B C, a C A. la di$tanza dunque F G, alla di$tanza E G, ha la ragione che'l pe$o di B C, al pe$o di C A, il che $i hauea da mo$trare.</I> <HEAD><I>PROPOSITIONE.</I> III.</HEAD> <p>Se ad vn vna $tatera $iano appe$e due grauezze, e l' interuallo delli ponti della $o$pen$ione $i diuida nella ragione delle grauezze: $o$pe$a la $tateradal ponto del- la diui$ione, $ta in equilibrio. <FIG> <HEAD><I>Dimo$tratione.</I></HEAD> <p><I>Sia la $tatera A B: le grauezze in e$$a $o$pe$e: C, & D: la C, dal ponto, A, & la D, dal ponto, ‘B, & in quellaragione che ha la gra- uezza D, alla grauezza C, $i diuida A B nelponto E dico che $o$pe$a</I> <p n=>7</p> <I>la $tatera nel ponto E, $ta in equilibrio. Si mo$tra alla linea, B E, ta- gli$i eguale la linea A F, dunque giunta communemente, F E, $arà B F, vguale ad A E, e perciò haurà B F, ad F A, l'i$te$$a ragione, che D, a C. faccia$i alla B F, vguale, B G, & alla A F, vguale A H, dunque $e alla linea, G F, s'intenda applicato un corpo eguale di pe$o alla grauezza D, e tal corpo $i allunghi nella iste$$a gro$$ezza fin ad H, $arà il corpo applicato ad F H, uguale di pe$o a C: percio che hauendo G F, ad F H, l'i$te$$a ragione che D, a C, e li corpi applicati l'i$te$- $a delle linee: $ono perciò come la grauezza D alla C, co$i il cor- po applicato ad F G, al corpo applicato ad H F: dunque mutando, $o- no anco proportionali: ma il corpo applicato a G F, è di pe$o uguale al D, dunque l'applicato ad F H è vguale di pe$o a C: & è delli due ap- plicati, il commune punto di momento in E. Dunque delli D C in$ie- me pigliati il commun momento è nel ponto i$te$$o: & percio la $tatera $o$tenuta in E, $ta in equilibrio, ilche $i hauea da mo$trare.</I> <HEAD><I>Appendice.</I> I.</HEAD> <p>Dal che è manife$to che'l centro commune di due pe$i è il ponto che diuide l'interuallo de'centri loro, re- ciprocamente. <HEAD><I>Appendice.</I> II.</HEAD> <p>E $e due grauezze diui$amente $i appendono: che di- ui$o l'interuallo nella ragione delle grauezze recipro- camente: dette grauezze, fanno l'i$te$$o effetto nel mo­ m&etilde;to, che $e in detto ponto giuntam&etilde;te fu$$ero appe$e. <HEAD><I>PROPOSITIONE.</I> IIII.</HEAD> <p>Se due grauezze appe$e in due ponti facciano equi- pondio: e di nuouo appe$e in due altri ponti facciano <p n=>8</p> equipondio; l'interualli delle $o$pen$ioni mutate, $ono proportionali con li pe$i reciprocamente. <FIG> <HEAD><I>Dimo$tratione.</I></HEAD> <p><I>Sia la $tatera A B: il ponto della $o$pen$ione C, li ponti onde $one appe$e le grauezze che fanno equipondio A & B. le grauezze appe$e D & E. Quali di nuouo appe$e nelli ponti F & G faccino equipondio: dico che la F A interuallo delle due $o$pen$ioni di D, a B G, inter- uallo delle $u$p&etilde;$ioni di E; ha quella ragione che la grauezza c alla gra- uezza D. Si mo$tra perche D et E grauezze nella $u$p&etilde;$ion prima han- no equipondio: dunque la ragione della grauezza D ad E, è l'i$te$$a che di B C a C A: e nella $econda $u$pen$ione la ragione di D ad E e l'i$te$- $a che di G C a C F. e perciò come B C à C A, co$i G C à C F, e per che da due $i togliono due altre nell'i$te$$a ragione, le re$tanti anco $ono nel- l'i$te$$a ragione. è dunque B G ad F A, come D ad E, ilche hauea da mo$trar$i.</I> <HEAD><I>PROPOSITIONE.</I> V.</HEAD> <p>Se due grauezze facciano equipondio, e gionte ò tol- te due altre grauezze facciano anco equipondio: le gion­ te ancora ò le tolte $ono nell'i$te$$a raggione. <p n=>9</p> <FIG> <HEAD><I>Dimo$tratione.</I></HEAD> <p><I>Sia la $tatera A B: il ponto della $u$pen$ione C: le grauezze appe- $e D et E: che facciano equipondio: e di nouo aggiuntoui due altre F e G facciano anco equipondio. dico che la grauezza F a G, ha la ragione che D ad E: qual'è l'i$te$$a che di B C a C. A. $i mo$tra perche D & E, fanno equipondio. & F e G fanno equipondio: perciò $arà, come B C à C A co$i D F ad E G e nell'i$te$$a era D ad E dunque le re$tanti F e G $ono anco nell'i$te$$a ragione: e non altrimente che nella $uppo$ition del la compo$ta, $i mo$tra nella $uppo$ition delli re$idui. Ha$$i dunque l'in- tento.</I> <HEAD><I>PROPOSITIONE.</I> VI.</HEAD> <p>Date quante $i voglia grauezze appe$e in vn'i$te$$a $tatera, ritrouare il ponto del momento commune. <HEAD><I>Dimo$tratione.</I></HEAD> <p><I>Sia la $tatera A B dalli cui ponti A e B $iano $o$pe$e le grauezze C D e $iano in altri ponti $o$pe$i altri pe$i, come E nel ponto F: $i cerca il pon­ to del momento commune. diuida$i la B A nella ragione di C a D reci- procamente $e dunque il detto punto uiene in F e$$endo F il ponto del</I> <foot><I>B</I></foot> <p n=>10</p> <FIG> <I>momento delle C D pigliate in$ieme, $arà ponto di momento commu ne delle grauezze C E D, tutte. Et harra$$i l'intento.</I> <p><I>Ma $e'l dato ponto ca$chi altroue come in H, perche le grauezze D, & C appe$e in A e B fanno l'i$te$$o effetto che $e giuntamente fu$$e­ ro appe$e in H: perciò $e quella ragione che hà il compo$to di C D ad E habbia reciprocamente F G a G H, $arà G ponto di momento commune di tutti. con l'i$te$$o ordine $i ritrouerà il centro di quante altre $i uogliano, il che $i hauea da trouare.</I> <HEAD><I>PROPOSITIONE</I> VII.</HEAD> <p>Delle grauezze che fanno equipõdio, compo$te le ra­ gioni delle grauezze e delle di$tanze, li e$tremi termini $ono eguali. <HEAD><I>Dimo$tratione.</I></HEAD> <p><I>Sia la $tatera A B il ponto del $ostenimento C le due grauezze che fanno equipõdio D & E: de quali la D $ia $o$pe$a dal ponto A la E dal põ to B: dico che compo$tala ragione della grauezza D ad E: e della di$tãza A C a C B: cioè fatto che la quãtità F a G $ia come la grauezza D ad E e la quantità G ad H come la di$tanza A C alla C B, che F & H</I> <p n=>11</p> <FIG> <I>e$tremi termini $iano uguali. $i mo$tra: perche A C a C B $i è po$ta co- me G ad H: dunque riuoltando H à G, è come B C à C A. e per l'e- quipondio, come la di$tanza B C a C A co$i la grauezza D ad E, & come D ad E co$i $i è pigliato F a G: dnnque F a G e come B C a C A, e nell'i$te$$a ragione era H a G. hanno dunque li due termini F et H l'i- $te$$a ragione al termine G. e perciò li F & H $ono eguali tra di loro: il che $i hauea da mo$trare.</I> <HEAD><I>PROPOSITIONE</I> VIII.</HEAD> <p>Li momenti delle grauezze uguali, appe$e in di$tan­ ze ineguali, hanno fra di loro la proportione che le di- $tanze. <HEAD><I>Dimo$tratione.</I></HEAD> <p><I>Sia la $tatera A B, il ponto del $o$tenimento C, le grauezze uguali D & E. de quali il D $ia appe$o in A, & l'c in F. dico che il momento di D al momento di E, hà quella ragione che l'interuallo di A C all'- interuallo di F C. $i mo$tra, pigliato dall' altra parte del $e$tem- mento C, qual $i uoglia ponto B: intenda$i in e$$a appe$e due grauzze,</I> <foot><I>B</I> 2</foot> <p n=>12</p> <FIG> <I>vna che faccia equipōdio a D & $ia G: et vn'altra che faccia equipōdio ad E. & $ia H. perche dunque G a D ha quella ragione che A C a C B & D ouero E ad H, hala ragione di B C a C F. dunque di pari il pri- mo termine A C all'ultimo F C, ha quella ragione, che il primo ter- mine G, al terzo H. $e dunque G ad H hal'i$te$$a ragione che la di$tan­ za A C alla di$tanza F C: & il momento di G è uguale al momento di D appe$o in A, & il momento di H vguale al momento di E appe$o in F. dunque il momento di D al momento di E ha quella ragione che la di$tanza A C alla di$tanza F C. il che $i bauea da mo$trare.</I> <HEAD><I>PROPOSITIONE.</I> IX.</HEAD> <p>Li momenti delle grauezze $o$pe$e in qual $i uoglia ponti della $tatera, han tra di loro la ragion compo$ta, della ragion delle grauezze, e delle di$tanze. <HEAD><I>Dimostratione.</I></HEAD> <p><I>Sia la $tatera A B il pōto del $o$tenim&etilde;to C le grauezze appe$e D dal pōto A, & E dal ponto F. dico che la ragione del mom&etilde;to D al mom&etilde; to E, e compo$ta di due ragioni cioè della ragione della grauezza D alla grauezza E, e della di$tanza di A C alla F C. $i mo$tra appenda $i da B la grauezza G che faccia equipondio. a D, & il pe$o H che fac­</I> <p n=>13</p> <FIG> <I>cia equipōdio all' E: dico prima che la grauezza G alla grauezza H G ha la ragion compo$ta, di D ad E, e di A C ad F C. per il che da mo$trare: in|- tenda$i nell' A $o$pe$a la grauezza I uguale alla grauezza E, è manife$to che'l momento I al momento E, hà quella ragione che l'interuallo A C all'interuallo F C come nel pa$$ato habbiamo mo$trato: & il mo- mento di D al momento d'I hà la ragione che la grauezza D alla gra- uezza I: perche $ono da un'i$te$$o ponto $o$pe$i. e$$endo dunque tre ter mini in continua habitudine il momento D, il momento I, & il mom&etilde;­ to E: la ragione del primo termine al terzo è compo$ta della ragione di primo a $econdo e della ragione di $econdo a terzo: ma di primo a $econdo è di grauezza a grauezza: di$econdo a terzo è d'interuallo ad'interuallo. dunque, la ragione delli mom&etilde;ti di D ad E, che è l'i$te$$a che della portione G alla portione H: è compo$ta della ragione delle grauezze e della ragione delle di$tanze. Il che $i hauea da mo$trare.</I> <HEAD><I>PROPOSITIONE.</I> X.</HEAD> <p>Data qual $i uoglia grauezza, e li ponti della $o$pen|- $ion della $tatera, e della grauezza: e dato il pe$o del marco, ritrouare il luogo, oue detto marco faccia e- quipondio con la grauezza data. <p n=>14</p> <FIG> <HEAD><I>Dimo$tratione.</I></HEAD> <p><I>Sia la $tatera A B il ponto della $o$pen$ione C, la grauezza data D, qual poniamo che $i $o$penda in A: il marco dato di pe$o E: $i cerca il ponto oue detto marco appe$o faccia equipondio. per que$to: faccia$i che quella ragione che hà il pe$o E al pe$o D, quella habbia la linea A C a C F, dico che appe$o il marco in F fa equipondio, cioè che'l pon|- to del momento commune delle grauezze D & e$ia il ponto della $o- $pen$ione C: il che è manife$to, percioche $ono li pe$i reciprochi al- le di$tanze. Ha$$i dunque l'intento.</I> <HEAD><I>PROPOSITIONE.</I> XI.</HEAD> <p>Data una $tatera, a cui $ia ugualmente applicato un corpo, e data una grauezza $o$pe$a da un dato ponto, e dato il pe$o del marco, ritrouare il ponto onde detto marco $o$pe$o faccia equipondio con la grauezza. <HEAD><I>Dimo$tratione.</I></HEAD> <p><I>Sia la $tatera A B il ponto del $o$tenimento C, il corpo applicato A D E B, la grauezza $o$pe$a H I; il ponto onde la grauezza è appe- $a in A: il marco L, $i cerca il ponto onde $o$pe$o il marco, faccia e- quipondio con H I, Per que$to: faccia$i alla linea A C uguale la C F,</I> <p n=>15</p> <FIG> <I>dunque il corpo D F applicato ad A F $tà in equilibrio nel ponto della $o$pen$ione C. et diui$a F B re$tante per metà nel ponto G: del re$tan- te corpo F E applicato alla linea F B, $arà G, il ponto di momento. $e dunque la ragione che hà C F ad F G, habbia la grauezza E F alla parte del pe$o I, $tarà il corpo F E in equipōdio con I, e perciò $e di nuo|- uo la ragione che hà, il marco al re$tante H habbia la parte de $tate ra A C, a C M, $o$pe$o il marco L da M, farà equipondio con H: & il corpo F E facea equipondio con I: $tarà dunque ogni co$a in equilibrio. $i è dunque ritrouato il ponto M, onde $o$pe$o il marco faccia equipondio con la grauezza data. Il che $i hauea da ritrouare.</I> <HEAD><I>PROPOSITIONE.</I> XII.</HEAD> <p>Fatta alla linea della $tatera application di corpo, e $o$pe$e in e$$a più grauezze che $o$tentino un pe$o, ri|- trouare cia$cuna grauezza quanto portion di pe$o $o- $tenti. <HEAD><I>Dimo$tratione.</I></HEAD> <p><I>Sia la linea della $tatera A B il ponto del $o$tentimento C & alla</I> <p n=>16</p> <FIG> <I>linea A B $ia fatta application di corpo et in e$$a appe$e le grauezze D E, F: D in A, E in G, F in H: e dette grauezze $o$tentine il pe$o I K L M: il cui momento $ia nel ponto B: $i cerca cia$cuna di dette gra- uezze D, E, F, quanta portione di pe$o $o$tenti. faccia$i per que$to alla linea B C uguale la C N: e la re$tante N A $i diuida in parti uguali nel pōto O, e quella ragione che hà B C a C O quell'habbia il corpo della $ta|- tera applicato ad N A ad M: $arà dũque equipõderãte cõ M: c la par te applicata ad N C è equiponderãte alla applicata à B C: dũque il cor- po della $tatera $tà in equipõdio con la portione del pe$o M: e le ragioni delle grauezze D, E, F, e delle di$tanze A C, G C, H C, cioè la ragio- ne della grauezza Dad F con la ragione della di$tanza A C a G C, compongon la ragion di P a Q. & la ragione della grauezza E ad F, con la ragione della di$tanza G C ad H C, compongon la ragione</I> <p n=>17</p> <I>di Q ad R, & in quella ragione che $ono le tre quantità, P Q R, po$te in continua habitudine, nella i$te$$a $i di$tribui$ca il pe$o I K L: è manife$to per quel che $i è visto, che, D fa equiponderanza con I, lo E co'l K, e lo F con lo L: ilche $i cercaua.</I> <HEAD><I>PROPOSITIONE.</I> XIII.</HEAD> <p>La $tatera di grauezze appe$e, che facciano equipon|- dio: quantunque dal $ito orizontale mo$$a $i $tà. <FIG> <HEAD><I>Dimostratione.</I></HEAD> <p><I>Sia la $tatera nel $ito orizontale A B, il ponto della $o$pen$ione C, li pe$ie $ue centri D & E, il centro commune di ambe le grauezze F; e mo$$a la statera del $ito orizontale, pa$$i il ponto A in G, il B in H,</I> <foot><I>C</I></foot> <p n=>18</p> <I>$i che habbia la $tatera la po$itione di G C H: li pe$i e $ui centri di, I e K: dico, che la $tatera G H $tarà, e non $i mouerà di $ito. $i mo$tra percioche e$$endo la grauezza I appe$a, inalzata, il centro $uo gi- rando verrà nella perpendicolare del ponto della $o$pen$ione: e perciò I, verrà nella perpendicolare del ponto G e K del ponto H. $ono dunque, G I H K parallele. e perche il centro commune de pe$i, diui- de nell'i$te$$a ragione la I K, & la D E, e$$endo la ragione delli pe$i vn'i$te$$a, & la C F nell'vna, e nell'altra $o$pen$ione perpendicolare, e parallela, co$i alle A D E B, come alle G I, K H. perciò diuidendo C F perpendicolare $imilmente la D E, & la I K: $arà il ponto F luo- go del centro nell'vna, luogo anco di centro nell'altra. e$$endo dunque il centro del pe$o commune nella perpendicolare della $o$pen$ione, $ta- rà. Ilche $i hauea da mo$trare.</I> <HEAD><I>PROPOSITIONE.</I> XV.</HEAD> <p>La $tatera di grauezze attaccate, che facciano equi- pondio, $e'l ponto della $o$pen$ione, non $ia nella linea delli centri: mo$$a dal $ito orizontale non $tarà, ma ri- tornarà nell'i$te$$o. <FIG> <HEAD><I>Dimo$tratione.</I></HEAD> <p><I>Sia la linea della $tatera, che $tia nel $ito horizontale A B, li pe- $i attaccati, & li lor centri C e D, e diuida$i G D $econdo li pe$ireci-</I> <p n=>19</p> <I>pro camente nel ponto E: è manife$to che'l ponto E $ia il centro com- mune di ambi li pe$i, e che mentre la $tatera $ta, che $ia detto centro nella perpendicolare, che cala dal ponto F. perche dunque li pe$i $ono alla statera affi$$i, e non mutano li centri po$itura con la linea A B, e $empre fanno con e$$a angoli retti le C A, D B, E F, perciò mo$$a la $tatera dal $ito horizontale, non $arà E centro cōmune nella perpen- dicolare della $o$pen$ione: ma girando v$cirà di detta perpendicolare, e perciò la $tatera non $tarà, $in che di nuouo il detto ponto non torne nella perpendicolare.</I> <FIG> <foot>C 2</foot> <p n=>20</p> <HEAD>VETTE, E LEVA.</HEAD> <HEAD><I>DEFINITION.</I> I.</HEAD> <p>Vette diciamo la linea, che $o$tiene grauezza, qual $ia nelli $ue ponti e$tremi $o$tenuta. <HEAD><I>DEFINITION.</I> II.</HEAD> <p>Et altrimente, vette motiua e leua, la linea che $o- $tenga grauezza, $tabilita in vn ponto che $otto leua diciamo, & in vn'altro ponto da po$$anza, o mo$$a, o $o$tenuta. <HEAD><I>POSITION.</I> I.</HEAD> <p>Mi$uriamo la po$$anza con vna grauezza equiualen|- te, o appe$a nell'i$te$$o ponto della po$$anza, o nell'al- tro ponto egualmente dal $ottoleua di$co$to. <HEAD><I>POSITION.</I> II.</HEAD> <p>Cia$cuna po$$anza in quanto $o$tiene, e$$ere egua- le al pe$o $o$tenuto. <FIG> <p n=>21</p> <HEAD><I>PROPOSITION.</I> I.</HEAD> <p>S'il $ottoleua $tia tra la grauezza, e la po$$anza che $o$tenga detta grauezza; $arà tra la po$$anza, & il pe- $o la ragione, che è tra le parti della leua, reciprocamen|- te. <FIG> <HEAD><I>Dimo$tratione.</I></HEAD> <p><I>Sia la linea A B, il ponto del $ottoleua C, la grauezza D $oste- nuta nel ponto della leua A; la po$$anza che $o$tenga detta graue z- za in B: dico che la po$$anza B al pe$o D, ha quella ragione che ha la parte di leua A C alla C B, qual è ragion reciproca. $i mo$tra: inten|- da$i attaccato in B il pe$o che faccia equipondio con D: è manife$to che detto pe$o E $ia equiualente alla forza B, ma il pe$o E al pe$o Dhala ragione che A C a C B, che è la ragione reciproca di grauezza, e di- $tanze: dunque, la potenza ancora haue l'i$te$$a ragione. ilche$i ha- uea da mo$trare.</I> <HEAD><I>PROPOSITION.</I> II.</HEAD> <p>Se due potenze $o$tentino vna grauezza con vn vet- te, cia$cuna $o$tentarà la $ua portione, $econdo l'inter- uallo del pe$o dalle potenze, pigliato reciprocamente. <p n=>22</p> <FIG> <HEAD><I>Dimo$tratione.</I></HEAD> <p><I>Sia il vette A B, dal cui ponto D, penda il pe$o C: le potenze che $o$tengono dette grauezze $iano A & B: dico che'l B, e lo A $o$ten- tano portioni proportionali all'interualli reciprocamente: cio è che quella ragione c'ha l'interuallo, B D, a D A, quella hàbbia la por- tione $o$tentata dall' A, alla portione $o$tentata dal B, $i dimo$tra: tagli$i ad A D uguale B E, accoppiata dunque communemente la D E, $arà A E uguale a B D: ag giunga$i all' A e la A G, che le $ia egua- le, & ad E B la B F che $imilmente le $ia eguale. $arà di tutta la G F, il ponto mezzano D, & della G E, il ponto mezzano A, & della E F, il ponto mezzano B. applicata dunque a tutta la G F, una grauez- za che $ia uguale a C, $arà di detta grauezza il ponto di momento in D & $arà equiualente nella $ua operatione alla grauezza C, & di e$$a la parte applicata a G E ha il $uo momento in A, c la parte applica- ta ad E ha il $uo momento in B. dunque della grauezza applicata la potenza A, ne $o$tentarà la portione applicata a G E: e la potenza B, la portione applicata ad E F. Ma G E ad E F, ha la ragione che l'interuallo B D, a D A che è reciproca. dunque le potenze $o$tenta- no le portioni de'pe$i proportionali, reciprocamente pigliate con l'inter ualli. ilche $i hauea da mo$trare.</I> <p n=>23</p> <HEAD><I>PROPOSITIONE.</I> III.</HEAD> <p>Se il $ottoleua $ia fuori della grauezza, e della po$- $anza, $arà la ragion della po$$anza alla grauezza l'i$te$ $a, che dell'interualli da e$se al $ottoleua reciprocam&etilde;- te pigliati <FIG> <HEAD><I>Dimo$tratione.</I></HEAD> <p><I>Sia la leua A B il $otto lcua A, la grauezza C, il $uo momento in D, la po$$anza che $o$tiene in B: dico che la po$$anza alla grauezza ha la ragione, che D A ad A B, che è la ragion delle di$tanze piglia- te dal $ottoleua reciprocamente: $i mo$tra: perche il pe$o C, e $o$ten- tato dalla leua B A, e la leua è $o$tentata in due ponti B & A. dunque il pe$o è $o$tentato dalle potenze in B & A compartitamente, cio<*> la po$$anza B $o$tenta tal portion di pe$o, qual'è la di$tanza A D di A B, & A, tal portione qual'è D B, di B A, e perche la po$$anza $o- $tenente è uguale al pe$o che $o$tiene, $ono ambe le po$$anze B & A giuntamente pigliate uguali al pe$o E; e la portione $o$tentata da B: al tutto harrà quella ragione che la portion della leua D A a tutta la leua A B. qual è l'i$te$$a che della di$tanza della grauezza, alla di- $tanza della potenza. $i ha dunque l'intento.</I> <p n=>24</p> <HEAD><I>PROPOSITIONE.</I> IV.</HEAD> <p>Se vna grauezza $ia con vna leua $o$tenuta da due ponti; & accrefciuta la leua dall altra parte $i appenda grauezza equiponderante, & $i tra $muti in $tatera: $o- itentarà il $o$tenimento in tal commutatione pe$o mag giore, quale al pe$o di prima $o$tenuto, ha ragione com po$ta della ragione delle portioni di tutta la linea accre $ciuta communicanti, alle portioni interuallate: fat- te le due diui$ioni al ponto del $ottoleua, & al ponto del primo momento. <FIG> <HEAD><I>Dimo$tratione.</I></HEAD> <p><I>Sia la leua A B, il $ottoleua in A: lagrauezza $o$tenuta in C, la po$$anza che'l $o$tiene in B. & allungata la B A in vn D, appenda- $i in D, vna grauezza che $o$tenti la grauezza C. dico che in que$ta commutatione il $ottoleua A $o$tenti pe$o maggiore, & che ilpe$o $o$tenuto in detta commutatione, alpe$o $o$tenuto di prima, ha la ra­ gion compo$ta delle D C, A D, parti communicanti, alle D A, a C B, parti interuallate. $i mo$tra: perche la parte del pe$o $o$tenuto da A, a tutto il pe$o C, ha la ragione, che B C a B A: &. il pe$o C, ad ambi li pe$i C & D, ha la ragione che D A a D C, ma la ragione del-</I> <p n=>25</p> <I>la portione $o$tenuta da A, alla grauezza C, & di C, ad ambe CD, $ot trattone il termine mezzano, compongono la ragione della portione $o$te nuta da A, ad ambe le C D, & la ragione di B C a BA, & di D A a D C, fanno la ragione compo$ta delle parti communicanti alle interuallate. Ha$$i dunque l'intento: che'l pe$o di prima $o$tenuto, al pe$o $o$tenuto dopo la commutatione, ha la ragion compo$ta delle parti interuallate alle communicanti. Ilche $i hauea da mo$trare.</I> <HEAD><I>PROPOSITIONE.</I> V.</HEAD> <p>Date nell' e$tremità del vette due po$sanze c'habbia- no qual$iuoglia ragione tra di loro; e dato vn pe$o, a det- te po$$anze giuntamente pigliate vguale, ritrouare il ponto del vette, onde il dato pe$o $o$pe$o, $ia da det te po$$anze $o$tenuto. <FIG> <HEAD><I>Dimo$tratione.</I></HEAD> <p><I>Sia il vette AB: le po$$anze nelli ponti A e B, c'habbiano tradi lo- ro qual$iuoglia ragione: & il pe$o ad ambe po$$anze giuntamente pi- gliate vguale $ia C: $i cerca il ponto, onde detto pe$o $ia da dette po<32>ã ze $o$tenuto. per il che dico: che $e in quella ragione, c' ha la po$$an-</I> <foot><I>D</I></foot> <p n=>26</p> <I>za B, $i diuida la vette AB in D, e $ia come la po$$anza Aalla B: così, la portione di vette B D a D A: dico che po$to il pe$o C, in D: $arà, $o$tenuto da dette po$$anze: percioche grauando il pe$o nelli ponti B: & A, cbe $o$tentano compartitamente, $econdo la ragion di BD a DA: & hauendo la portion che graua in A, alla portion che graua in B, la ragion che B D a D A: qual'è l'i$te$$a che della po$$anza A alla po$$anza B: dunqne la portione che graua in, A alla portione che graua in B, e come la po$$anza A, alla B: e permutãdo la portion che graua in A, a la po$$anza A, $arà come la portione che graua in B alla po$$anza B, e componendo li antecedenti, tutto il pe$o C, ad ambe le po$$anze giun te, harrà l'i$te$$a ragione che vna advna: ma il pe$o tutto C, è vgua- le ad ambe le po$$anze giuntamente pigliate: dunque diui$amente le portioni, cia$cuna alla po$$anza oue graua, $arà vguale: e percio $a- rà del pe$o $o$tenuto, la portione che graua in A, vguale alla po$$anza in A: e la portione che graua in B, vguale alla pò$$anza iu B: e percio le po$$anze $o$tentaranno il detto pe$o nel ponto D. Il che $i hauea da mo$trare,</I> <HEAD><I>Appendice.</I></HEAD> <p>Et è manife$to che in ogni altro ponto del detto vet te, il pe$o non $arà $o$tenuto, ma aggrauerà più l'vna ò l'aitra po$$anza, ver$o oue $arà portato. <HEAD><I>PROPOSITIONE.</I> VI.</HEAD> <p>Se una leua $ia inalzata, oba$$ata $otto l'orizonte: & da un ponto fuori di e$$a, $i tireranno due perpendi- colari, l'vna ad e$$a leua, e l'altra all'orizonte: faran no le due perpendicolari angolo tra di loro, vguale all' angolo della leua con l'orizonte. <p n=>27</p> <FIG> <HEAD><I>Dimo$tratione.</I></HEAD> <p><I>Sia la linea orizontale A B, la leua $opra di e$$a inalzata o de$pre$- $a A C. il ponto fuori della leua E: da cui $i tirino due perpendicolari l'vna alla leua DE, l'altra all'orizonte D F, che $eghi la leua in F, & la linea orizontale in G. dico che l'angolo fatto dalle due D E, D F $ia vguale allangolo fatto, dalle due A B, A C: $i mo$tra: percioche le due A C, D G, $i $egano nel ponto F, $aranno l'angoli A F G, et D F E, d'incontr vguali: e gli angoli ad E & G $ono retti: dunque il tri- angolo D F E, è equiangolo al triangolo A F G, e l'angolo F D E, v- guale a l'angolo F A G. Il che $i hauea da mò$trare.</I> <HEAD><I>Appendice,</I></HEAD> <p>Et è manife$to che e$$endo detto ponto di $opra la li nea della leua inalzata, e di $otto della leua ba$$ata; $e- cherà detta linea in ponto più dalla po$$anza lontano. e per cõtrario pigliando$i detto ponto, o $otto dell'alza- tà, o$opra della ba$$ata, $egherà in ponti più à detta pos- $anza vicini. <foot>D 2</foot> <p n=>28</p> <HEAD><I>PROPOSITIONE.</I> VII.</HEAD> <p>Se'l centro del pe$o attaccato ad e$$a leua $ia $opra della leua, inalzata la leua, la po$$anza $o$tentarà minor pe$o. <FIG> <HEAD><I>Dimo$tratione.</I></HEAD> <p><I>Sia la leua A B, a cui $ia attaccata vna grauezza, il cui centro $ia C: & intenda$i detta leua in $ito dall'orizonte eleuato: dico che la po- tenza B, $o$tenta del pe$o della grauezza minor portione, che nel $ito orizontale. $i mo$tra: tirin$i dal ponto C linee, l'vna perpendicolare alla leua che $ia C D, & l'altra perpendicolare all'orizonte, che $ia C E, che $eghi la leua nel ponto E: è manife$to che'l detto ponto $arà più di$co$to dalla po$$anza, e più vicino al ponto del $ottoleua. $e dunque per lo ponto C, $i tiri la linea G C F, parallela all'orizonte, & per li ponti B & A, lelinee B F, A G, perpendicolari all'orizõte è mani fe$to, che l'i$te$$o effetto fa la po$$anza in F che $e fu$$e in B, e lo $o$tegno in A l'i$teffo che $e fu$$e in C: percioche cia$cun momento opera $econ da la $ua perpendicolare: perche dunque po$ta la po$$anza in F, e lo $o-</I> <p n=>29</p> <I>$tegno in G, la po$$anza F, $o$tiene tal portione di tutto ilpe$o, qual portione è G C, di G F: e qual'è G C, di tutta G F, tal'è A E di tutta A B, perche le A G, C E, B F, $ono parallele: $o$tenta dunque la po$- $anza B, del pe$o tal portione, qual'è A E ditutta A B: $e dunque A E è minor portione di A B, che la A D, dell'i$te$$a A B: la po$$an za con la leua inalzata il cui centro del pe$o è $opra, $o$tenta minor portione che nel $ito orizontale. Il che $i hauea damo$trare.</I> <HEAD><I>Appendice. I.</I></HEAD> <p>E per l'i$te$$o mezzo $i mo$trerà che quanto più la le ua s'inalza, tanto minor pe$o $o$tiene. <HEAD><I>Appendice. II.</I></HEAD> <p>E che po$to il centro della grauezza $otto la leua, quanto più s'inalzi, magior portione di pe$o $o$tenga. <HEAD><I>Appendice. III.</I></HEAD> <p>E che nelle leue ba$$ate $otto l'orizonte, auuenga a contrario. <HEAD><I>PROPOSITIONE.</I> VIII.</HEAD> <p>Dato nella leua il ponto di momento di una grauez- za, e data qual$ivoglia ragione di po$$anza a grauez- za, ritrouar nella leua il ponto, oue la data po$$anza $o $tenga la data grauezza. <p n=>30</p> <FIG> <HEAD><I>Dimo$tratione.</I></HEAD> <p><I>Sia nella leua A B, il ponto del $ottoleua in A: il ponto di momen- to della data grauezza in C. et la ragion della po$$anza data alla grauez za, come di E a D: $i cerca nella leua il ponto, oue po$ta la data po$- $anza $o$tenga la data grauezza. per que$to: faccia$i come E a D, così A C ad A F: & intenda$i la po$$anza in F. dico che detta po$$anza in F $o$tiene la grauezza in C. $i mo$tra: percioche e$$endo la ragion del- la po$$anza alla grauezza come E a D, e la ragion dell'interuallo del la grauezza A C, all'interuallo della po$$anza A F, l'i$te$$a reciproca mente: $o$tentarà dunque la data po$$anza in F, la grauezza in C. Il che $i cercaua.</I> <HEAD><I>Appendice.</I></HEAD> <p>Et è manife$to che in qual $i uoglia altro ponto oltre del termine del $o$tenimento, la data po$$anza mouerà la data grauezza: e tanto più facilmente quanto più $i $co$tarà. <FIG> <p n=>31</p> <HEAD>RAGGINELL ASSE.</HEAD> <HEAD><I>SVPPOSITIONE.</I></HEAD> <p>Svpponiamo, in vno i$te$$o a$$e, due rag gic'habbiano nelli $uoi $tremi li centri de pe$i. <p>E detti raggi, o in vna pianezza, e che non facciano angolo, o in due, e che facciano angolo. <HEAD><I>POSITIONE.</I></HEAD> <p>Pigliamo, il momento di cia$cun pe$o, $econdo il pon to, oue la perpendicolare del momento taglia la linea orizontale, che pa$$a per l'a$$e. <FIG> <HEAD><I>PROPOSITIONE.</I> I.</HEAD> <p>Delle grauezze po$te in raggi che non fanno tra di loro angolo, in qualunque $ito po$te, li momenti tra di loro hanno l'i$te$$a ragione. <HEAD><I>Dimo$tratione.</I></HEAD> <p><I>Sial'a$$e A, a cui $iano affi$$i li raggi A B, A C, qualis'intenda-</I> <p n=>32</p> <FIG> <I>no e$$ere nel$ito orizontale, & moua$i dal detto $ito, sì che il B uen gain D, & il C venga in E: dico che li momenti delle grauezze in det ti raggi quantunque mo$$i di $ito, $iano nell'i$te$$a ragione tra di loro. $i mo$tra: tiri$iper D la perpendicolare D F & per E la perpendicola re E G; perche dunque F A ad A G, ha la ragione che D A ad A E, perciò che $ono D F, E G, parallele: ma come D A ad A E, così B A ad A C: perche $ono l'i$te$$i raggi, come dunque B A ad A C, così F A ad A G: e perche la ragion delli momentie compo$ta della ragion delle grauezze, e della ragion delle di$tanze dal centro: ma la ragione delle grauezze è l'i$te$$a: e la ragione delle di$tãze è l'i$te$$a: dunque la ragion di ambe compo$te, è anco l'i$te$$a. Il che $i hauea da mo$trare.</I> <p n=>33</p> <HEAD><I>PROPOSITIONE.</I> II.</HEAD> <p>Date qual $i uoglia due grauezze, nelli raggiche fac- ciano angolo dato, ritrouar nelle loro circolationi, pon- ti oue facciano equipondio. <FIG> <HEAD><I>Dimo$tratione.</I></HEAD> <p><I>Sia l'a$$e A: li raggi che facciano ãgolo dato A C, B A: & int&etilde;da$inel- li ponti B e C, e$$er li c&etilde;tri delle grauezze: & le circonferenze che det- ti ponti girando attorno fanno, $iano E B, C F: $i cercano in dette cir-</I> <foot><I>E</I></foot> <p n=>34</p> <I>conferenze li ponti, oue e$$endo dette grauezze, facciano equipondio. Diuida$i la B C interuallo de centri, $iche qual ragione ha la grauczza, B, alla C, tal habbia la linea C D alla, D B: e tiri$i A D: e tirata per A, la A E B perpendicolare all'Orizonte, faccia$i all'angolo D A B, vguale lo E A G: & allo D A C, vguale E A H: dico che'l ponto G, è oue portato il B, & H, oue portato il C, fanno equipondio. E prima che portato il B in G, venga il C in H, è manife$to: percioche l'ango B A C è vguale al G A H: e perl'i$te$$a ragione, è manife$to che nell' i$te$$o tempo il ponto D, $ia nella A E. ma il põto D è il centro commu- ne di pe$o di dette due grauezze. E dunque il centro commune nel la perpendicolare del $o$tenimento: e perciò le grauezze $tanno. Jl che $i cercaua.</I> <HEAD><I>Appendice. I.</I></HEAD> <p>Et è manife$to che nelli due ponti, oppo$ti alli ritroua ti, facciano equipondio: & non altroue: percioche in o- gni altra po$itura oltre di dette due, il centro commune e fuori del perpendicolo. <HEAD><I>Appendice. II.</I></HEAD> <p>Et è manife$to che nell'arco $otto il ponto dell'equi pondio la grauezza ha momento maggiore: e nell'arco $oprail ponto dell'equipondio ha momento minore. <HEAD><I>PROPOSITIONE.</I> I.</HEAD> <p>Dàte qual $i uoglia due grauezze nelli dati raggi, che fanno dato angolo: ritrouar nelle loro circolationi, pon- <p n=>35</p> ti oue ilmomento dell'uno, al mom&etilde;to dell'altro habbia qual $i voglia data ragione. <FIG> <HEAD><I>Dimo$tratione.</I></HEAD> <p><I>Siano le date grauezze A & B: liraggi AC, BC, fi$$i nell'a$$e C: che facciano dato ãgolo: e la circolation di A $ia, AD: di B $ia B E.e la data qual$iuoglia ragione $ia diFaG: $icercano nella circolatione DA e nella BE, ponti oue habbian li momenti di A e B, ragion di F a G. In|- tenda$i nella ragion di A a B, la quantità F ad H. e nella re$tante ra- gione di H a G, $i diuida A B in L. & all'angolo L C A faccia$i vgua-</I> <foot><I>D</I> 2</foot> <p n=>36</p> <I>le il D C M, & allo L C B eguale il DCN: èmanife$to, che portato A in M: B verrà in N. & il ponto L nella perpendicolare C D. e$e per il ponto C. $i tiri la P C Q parallela all'Orizonte: e dalli ponti M & N $i tirino a que$ta, perpendicolari le MQ NP: $arà il momento della grauezza in M, al momento della grauezza in N di ragion compo $ta della grauezza A alla grauezza B, e della distanza Q C, alla CP, che è l'i$te$$a che di A L ad L B.percioche que$ta è l'i$te$$a che di M O ad O N: cioè della compo$ta delle ragioni di F ad H, e di H a G: ciò è di F a G. harrãno dunque li mom&etilde;ti di A & B, mentre $iano po$ti nelli ponti M & N la ragiondata di F a G. Il che $i cercaua.</I> <HEAD><I>Appendice.</I></HEAD> <p>Et è manife$to che prodotte le linee del centro nelli ponti oppo$ti delle dette circonferenze, hauranno iui li momenti delle date grauezze l'i$te$$a ragione: enon altroue. <FIG> <p n=>37</p> <HEAD>MOMENTI CENTRALI</HEAD> <p>Eqvanto delli momenti paralleli habbiamo mo$trato, tutto $i adatterà anco alli momenti con- correnti à centro: $e in vece di linee dritte con$ideria- mo le circolari d'intorno il centro oue li momenti con- corrono: & in dettecircolari $i faccia l'i$te$$a partitione: e $e in vece delli corpi terminati, da $uperficie parallele, s'intendano altri corpi terminati, parte da $uperficie sfe riche c'habbiano detto centro: parte da $uperficie pia ne che pa$$ino per e$$o. <FIG> <p n=>38</p> <HEAD>ROTE VET- TIVE.</HEAD> <HEAD><I>SVPPOSITIONE.</I></HEAD> <p>Svpponiamo vna, o più rote congiogate, muouer$i per piano, che $ia, o di po$itura orizontale, o inchinata. <HEAD><I>DEFINITION.</I> I.</HEAD> <p>Cogiogation $emplice, diciamo dellerote, che $ono sù di vn'i$te$$o a$$e. <HEAD>I.</HEAD> <p>Molteplice, delle rote che $ono in più a$$i. <HEAD>III.</HEAD> <p>Portioni terminate dal $o$tenimento diciamo nel cir colo, le fatte dalla linea perpendicolare per lo ponto del contatto, all'orizonte: e nel cilindro, dalla $uperficie pia na per la linea del contatto, perpendicolare $imilmente all'orizonte. <p n=>39</p> <HEAD><I>POSITIONE.</I> I.</HEAD> <p>Poniamo ogni forza, o trattiua, o pul$iua, giunger mo mento uer$o quella parte, oue tira, o $pinge. <HEAD>II.</HEAD> <p>E $e'l centro del pe$o $ia nell'i$te$$a linea dell'appendi mento, o $o$tenimento: che la grauezza non habbia mo mento, ne uer$o l'vna, ne uer$o l'altra parte. <FIG> <HEAD><I>PROPOSITIONE.</I> I.</HEAD> <p>Dellarota vettiua, che $i moue $opra di vn piano ori- zontale, il centro del pe$o $empre è nella perpendicola- re del $o$tenimento. <FIG> <p n=>40</p> <HEAD><I>Dimo$tratione.</I></HEAD> <p><I>Sia la linea Orrzontale A B: il circolo che rappre $enta la rota, CD: il ponto, oue detta rota tocca il piano C: da cui $i cacci ad angoli ret- ti la linea C D, è manife$to che detta linea, è la perpendicolare del $o$te nimento: & perquelche nelli libri Giometrici $i mo$tra: che pa$$a per il centro del circolo, che è il centro della rota e grauezza: perilche diui- de il circolo il parti vguali, & equeponderanti: è dunque il centro del pe$o nella perpendicolare del $o$tenimento. Il che $i hauea da mo$trare,</I> <HEAD><I>Appendice. I.</I></HEAD> <p>Et il $imile $i mo$tra, nelle $emplici rote congiogate, $opra l'a$$e de quali, po$i la grauezza. <HEAD><I>Appendice, II.</I></HEAD> <p>Et è manife$to nelle rote, sù l'a$$e de quali po$i la grauezza: che nel piano orizõ tale, non habbian momen­ to ne ver$o l'vna, ne ver$o l'altra parte. <HEAD><I>Appendice. III.</I></HEAD> <p>E che perciò qual $i voglia po$$anza, le porterà così nell'vna, come nell'altra parte, <p n=>41</p> <HEAD><I>PROPOSITIONE.</I> II.</HEAD> <p>Nella rota che $i porta per piano inchinato, il centro del pe$o, è fuori della perpendicolare del $o$tenimento. et il momento della rota appoggiata al piano, al momen­ to della rota $o$pe$a, la ha ragione, che l'ecce$$o delle portioni del circolo, al circolo tutto. <FIG> <foot>F</foot> <p n=>42</p> <HEAD><I>Dimo$tratione.</I></HEAD> <p><I>Sia la linea che rappre $enta il piano orizontale A B: la linea del pia no inchinato A C: il circolo della rota D E FG: il toccamento D: e dal ponto D, tiri$i perpendicolare all'orizonte B D F: è manife$to che detta linea, $ia la perpendicolare del $o$tenimento: dico che'l centro del pe$o è fuori di detta linea. Si mo$tra: perche del triangolo D B A: l'angolo, E, che fa la perpendicolare con l'orizonte, è retto: re$ta l'angolo B D A, a cuto: e perciò la portione D G F, e maggiore del $emicircolo; & in e$ $a $arà il centro del circolo, che è anco centro di pe$o. è dunque il cen- tro del pe$o fuori della linea del $o$tenim&etilde;to. De $criua$i alla D E, la por tione di cir colo D H F, $imile a D E F; $aranno dette portioni vgua- li, e faranno equipondio. re$ta dunque la figura lunare $enza equi pondio: & il momento della rota appoggiata $arà meno che della ro ta $o$pe$a, $econdo la ragione della figura lunare a tutto il circolo: cio è $econdo la ragione dell'ecce$$o delle portioni, al circolo tutto. Il che $i hauea da mo$trare.</I> <HEAD><I>Appendice. I.</I></HEAD> <p>E l'i$te$$o che si è mo$trato nella rota c'ha grauezza; si mo$tra nelle rote al cui a$$e appoggi altro pe$o. <p><I>Percio che $e in vece delpe$o appoggiato all'a$$e, intendiamo dar$i l'i$te$$o pe$o alle rote: e$$endo pe$i vguali con loro centri nell'i$te$$e li- nee, & la linea del $o$tenimento l'i$te$$a, harranno li pe$i l'i$te$$i mom&etilde;ti</I> <HEAD><I>Appendice, II.</I></HEAD> <p>Et è manife$to che detta rota correrà ver$o la parte del piano inferiore. <p><I>Percioche tirata dal centro I, la IG K perpendicolare del momento tutto $in che s'incõtri col piano per oue camina: $arà il ponto G della cir</I> <p n=>43</p> <I>conferenza di$co$to dal põto K del piano per oue camina la rota: e tãto maggiorm&etilde;te il põto oue s'incõtra la perp&etilde;dicolare del c&etilde;tro di pe$o del la figura lunare: la cui di$tãza dalla linea del $o$tenim&etilde;to, è maggior che la di$tanza del centro del circolo, $econdo la ragion di tutto il circolo al la figura lunare.</I> <HEAD><I>PROPOSITIONE.</I> III.</HEAD> <p>Se vn pe$o $ia portato da due cõgiogationi di rote, $arà il pe$o $o$tenuto dalli due a$$i compartitamente, $e- condo la ragione delle di$tanze del momento da gli a$$i, reciprocamente. <FIG> <HEAD><I>Dimo$tratione.</I></HEAD> <p><I>Siano le due congiogationi di rote rappre$entate con li due circoli, de quali gli c&etilde;tri $ono A e B ponti, che rappre$entano li due a$$i: e dal ponto A al B, tiri$i la A B. & intenda$i il centro del pe$o tutto appo giato a detti due a$$i hauere il momento nel ponto C della detta linea.</I> <foot><I>F</I> 2</foot> <p n=>44</p> <I>Dico che'ldetto pe$o è $o$tenuto da detti a$$i compartitamente, $econdo la ragione delle BC, AC: cioè che di tutto il pe$o l'a$$e A. ne $o$ten- terà tal portione qual'è BC di B A, e B tale qual'è AC di AB, Si mo $tra intenda$i prolõgata la AB nell'vna e l'altra banda, far$i ad AC vguale la BD: & alla BC, vguale la AE: $aranno le EC, DC vguali: e di nuouo fatto alla AC uguale la AE, $aranno le DB, BF, e le AE AF, vguali: epercio $e alla linea DE, s'intenda fatta application di corpo: il momento di tutto $arà nel ponto C. di cui il detto a$$e A ne $o$tentarà la portione applicata ad EF: e l'a$$e B la portione applicata a DF, la ragion de quali è l'i$te$$a: che di BC ad AC: ma del corpo ap plicato il centro del pe$o è l'i$te$$o, dall'i$te$$i ponti $o$tenuto. $o$tengono dunque gli a$$i il pe$o compartitamente $econdo la ragion di BC a C- A. Il che $i hauea da mostrare.</I> <HEAD><I>PROPOSITIONE.</I> IIII.</HEAD> <p>Se'l pe$o sia portato da due congiõgationi di rote per piano inchinato: $o$t&etilde;ntarà l'a$$e dellerote inferiori di detto pe$o, ma ggior portione che $e fu$$e nel piano ori zontale. <HEAD><I>Dimo$tratione.</I></HEAD> <p><I>Sia la linea del piano orizontale AB: del piano inchinato AC: li centri de circoli delle rote D, & E: il centro della grauezza che sù gli a$$i di dette rote appoggia F: Dico che di detta grauezza, dall'a$$e D, ne $arà $ostentata maggior portione: e dall'a$$e E, minore, che $e portata fu$$e per piano Orizontale. Si mo$tra: tiri$i da F perpendico lare alla DE, che $ia FG: e perpendicolare all'orizonte che $ia FH: $a rà il ponto G, il ponto del momento nel $ito orizontale. & H, nell'in chinato: e perche EH, è maggior portione di ED: che EG, e DH,</I> <p n=>45</p> <I>minore che DG: $o$tentarà la rota inferiore $econdo la ragione di EH, ad ED; e la $uperiore $ecodo la ragione di DH ad ED: $o$tenta dũ que la rota inferiore, maggior portione di pe$o: e la $uperiore minor porti one, che $e nel $ito orizontale fu$$ero. Il che $i hauca da mo$trare.</I> <FIG> <HEAD><I>PROPOSITIONE.</I> V.</HEAD> <p>Data la rota che affõdi in cõcauita $otto il piano orizõ <p n=>46</p> tale: e data qual si uoglia grauezza: ritrouare in vn rag-| gio la di$tanza oltre di cui detta grauezza appe$a, $ol- leui detta rota. <FIG> <HEAD><I>Dimostratione.</I></HEAD> <p><I>Sia la linea del piano orizontale ABCD: la concauità in e$$a BE C: la rota che affondi BCF: la grauezza data G. $i cerca in vn raggio della rota, ponto oltre di cui $o$pe$a la G, $olleui detta rota. Sia il cen- tro H: la linea del raggio prodotto HFI: qual $ia parallela all'ori- zonte: e dal põto C, $i tiri la CK perpendicolare che affrõti la HF, in K: e la ragion c'ha la grauezza G al pe$o della rota, habbia HK a KI: è manife$to perche KC, è perdendicolare del $o$tenimento, che dal ponto I la grauezza G, fa equipondio allarota. e che da ogni ponto oltre, la $ol leui, il che $i cercaun.</I> <p n=>47</p> <HEAD>TAGLIA. <I>SVPPOSITIONE.</I></HEAD> <p>Svpponiamo la taglia c'habbia in $e una, o più girelle, o sia in vno o più ordini. Et delle taglie, $ta bile diciamo, il cui collo sia legato ad vn termine: mo- bile il cui collo sia legato al pe$o. Et altrim&etilde;te mobile la guidata da vna potenza, e che ad vn capo di e$$a $ia attac cato il pe$o. In oltre $upponiamo della corda auuolta il capo andare, o alla taglia, o ad'vn termine fi$$o, o a pof- $anza, ò a pe$o. <HEAD><I>POSITIONE</I> I.</HEAD> <p>Poniamo della girella a cui sia auuolta corda data a pesi, & a po$$anze, mentre detta girella non volta il mo mento de capi e$$ere vguale. <HEAD>II.</HEAD> <p>Ma $e la girella volta, il momento di quella corda e$- $er maggiore, ver$o di cui volta. <HEAD>III.</HEAD> <p>E poniamo nelle girelle, di po$$anze e pe$i vguali, li momenti e$$ere vguali. <p n=>48</p> <HEAD><I>PROPOSITIONE.</I> I.</HEAD> <p>Se delli due capi della girella, l'vna $o$tenti pe$o, l'al tro $ia dato a po$$anza: la po$$anza del capo $arà di mo mento eguale al pe$o. e la po$$anza della taglia $o$tenta rà il doppio. <HEAD><I>Dimo$tratione.</I></HEAD> <p><I>Sia la taglia AB: li capi della fune auuolta</I> <FIG> <I>A C, B D: dequali A C, $o$tenti il pe$o C: e B D, $ia dato alla po$$anza in D: dico che la po$$anza in D è di momento eguale al pefo: e che la po$$anza in E, $o$tenta il doppio. Si mo$tra: e prima che'l momento di D, $ia v- guale al momento di C. è manife$to: perche $e l'vn di loro fu$$e maggiore, la girella volte rebbe ver$o detto momento: Jl che è contro il $uppo$to. Dico hora che la<*>$$<*>za della taglia $ia doppia del pe$o: percioche e$$endo la po$$anza di D, equiualente al pe$o C: ambi C e D, $ono il aoppio di e$$o C: ma la po$sãza in E, in quanto $o$tiene, è vguale ad ambi: dun- que è doppia di vn di loro. Ha$$i dunque il propo$to, che la po<32>anza D, $ia vguale al mo mento di C: e che la E, $o$tenti il doppio di e$$o.</I> <p n=>49</p> <HEAD><I>PROPOSITIONE.</I> II.</HEAD> <p>Se li due capi di girella mobile, $iano raccomanda- ti a due po$$anze: $o$tentarà così l'vna, come l'altra po$ $anza, la metà del pe$o. <HEAD><I>Dimo$tratione.</I></HEAD> <p><I>Sia la taglia A B, a cui $ia attaccato il pe</I> <FIG> <I>$o <*>: li due capi della corda auuolta alla gi- rella A D, B E: le po$$anze in D, et E: dico che così l'vna, come l'altra po$$anza $o$ten ta la metà del pe$o. $i mo$tra: percioche $tan­ do la girella s&etilde;za voltare, $ecõdo il $up: $ara di con$eguenza il momento dell'vn capo v- guale al momento dell'altro: e perciò le po$ $anze anco eguali. e perche ambe $o$tenta- no il pe$o C: e le po$$anze, in quanto $o$ten- gono, $ono eguali alli pe$i. $ono dunque am be eguali al pe$o C: e perciò diui$amente l'v na e l'altra $arà la metà di detto pe$o- al che $i hauea da mo$trare.</I> <foot><I>G</I></foot> <p n=>50</p> <HEAD><I>Appendice,</I></HEAD> <p>E perciò anco se l'vn capo sia raccomandato ad vn termine fi$$o, l'altro a po$$anza: $o$terrà la po$$anza la metà del pe$o. <p><I>Percioche mutato il termine in un'altra po$$anza: la po$$anza $uppo $ta $o$terrà l'i$te$$a altra quantità di pe$o che prima.</I> <HEAD><I>PROPOSITIONE.</I> III.</HEAD> <p>Delle corde, che dalla taglia $u periore, & dalla po$$anza alla ta <FIG> glia inferiore peruengono: cia$cu na $o$tiene egual parte dipe$o. <HEAD><I>Dimo$tratione.</I></HEAD> <p><I>Sia la taglia $uperiore A B: l'inferiore C D: la corda auuolta no tata con l'i$te<32>e let tere: e di lei l'vn termine vada a $o$tenere la taglia inferiore in E: l'altro $ia dato al- la po$$anza in F. Dico che cia$cuna corda $o$tiene egual parte di pe$o. Si mo$tra: perche $tando la girella A B, il momento del capo B D è eguale al momento del ca- po A E: e del capo C F, al capo B D, per la girella C D: $ono dũque tutte di momen­ to eguali: perciò cia$cuna $o$tentarà e- gual parte di pe$o. e $e il capo A E non fu$ $e ligato alla taglia, ma ad altro termine, $a rebbe l'i$te$$o, ma il numero delle corde di vna meno. Il che $i hauea da mo$trare.</I> <p n=>51</p> <HEAD><I>PROPOSITIONE.</I> IIII.</HEAD> <p>Se l'vn capo della fune auuolta <FIG> a girelle, $ia raccomandato alla ta glia $uperiore: il pe$o $o$tenuto è di$tribuito in parti di numero pare. <HEAD><I>Dimostratione.</I></HEAD> <p><I>Sia la taglia inferiore e mobile AC B D: la $uperiore E F G H: la fune auuolta nota, ta, cõ l'iste$$e lettere: il termine del capo C 1, attaccato alla taglia $uperiore, s'int&etilde;da e$$e re in I: l'altro termine raccomandato alla po$$anza s'intenda e$$ere o in K del capo B K, che vien dalla taglia inferiore, o in L, del capo G L, che vien dalla taglia $uperiore. Dico che, e nell'vno, e nell'altro modo, il pe $o è di$tribuito in parti di numero pare. Si mo$tra: percioche venendo alla girella C D due corde, l'vna da taglia, l'altra da- girella E F: $aranno detti capi di momen­ ti eguali: perche $i pone la girella non vol tare. $imilmente perche alla girella A B vengono due corde, l'vna dalla girella EF, che è la corda E A, l'altra dalla po<32>anza K, che è la corda KB: $aranno dette corde di mom&etilde;ti eguali. ma la DF, è di momento eguale alla A E, e alla B K: $ono dunque tutte tra di loro di momento eguale: e $ono di numero pare: percioche a cia-</I> <foot><I>G</I> 2</foot> <p n=>52</p> <I>$cuna girella ne vengono due. perche dunque il pe$o è $o$tenuto da dette corde di mom&etilde;to eguale: perciò, mentre l'vn capo $ia attac cato alla taglia $uperiore, l'altro dato alla po$$anza, il mom&etilde;to del pe$o è di $tribuito in parti di numero pare: ne altro auuiene, $e la po<32>anza $ia in L, nel capo, che viene dalla taglia $uperiore: percioche il numero del le corde, che alla taglia inferiore peruengono è l'i$te$$o.</I> <HEAD><I>Appendice. I</I></HEAD> <p>Et è manife$to, che po$ta vna girella meno nella ta- glia $uperiore, $i $o$terrà dalla po$$anza l'i$te$$o che $e fu$$ero le girelle $uperiori di numero eguale alle in- feriori, è che per detta girella aggiunta, si muta $o lamente l'un momento nell'altro di $pezie contraria. <HEAD><I>PROPOSITIONE.</I> V.</HEAD> <p>Se l'vn capo della fune auuolta a girelle, $ia racco- mandato alla taglia inferiore: il pe$o $o$tenuto è di$tri buito in parti di numero $pare. <HEAD><I>Dimo$tratione.</I></HEAD> <p><I>Sia la taglia $uperiore e stabile AB, CD: l'inferiore e mobile E- F, G H: la fune auuolta notata con l'i$te$$e lettere: e di e$$a l'vn ter- mine I, che è del capo C I, $ia attaccato alla taglia inferiore: etil termi ne K, del capo E K, rac comandato alla po$$anza in K: dico che'l pe$o è</I> <p n=>53</p> <I>di$tribuito in parti dinumero $pare. Si</I> <FIG> <I>mo$tra: percioche vengono due capi dalla girella C D, alla taglia inferiore, e due dalla A B, e $imilmente da qual $i voglia altra girella: $ono dunque li capi, che dal le girelle alla taglia vengono, di numero pare. et euui in oltre il capo della po$$an za: $ono dunque tutti di numero $pare. e $ono, per quel che $i è detto nelle prece denti, tutte di momento eguale: dunque il pe$o è di$tribuito in parti di numero $pare. Jl che $i hauea da mo$trare.</I> <HEAD><I>Appendice. I.</I></HEAD> <p>Et è manife$to, che aggionta alla taglia $uperiore vna girel- la, si commuta $olamente il mo- mento della po$$anza, in mo- mento di $pezie contraria. <HEAD><I>Appendice. II.</I></HEAD> <p>E raccogliamo, che ligato l'vn capo alla taglia $uperiore, puote $tar detta taglia con vna girella meno: e ligata all'inferiore con vna girella più. <p n=>54</p> <HEAD><I>PROPOSITIONE.</I> VI</HEAD> <p>Se vn capo della taglia $upe <FIG> riore sia raccomandato ad vn termine fi$$o: $arà il pe$o di$tri buito in parti di numero pare. <HEAD><I>Dimo$tratione.</I></HEAD> <p><I>Sia la taglia $uperiore A B C D, l'- inferiore E F G H: la fune auuolta a gi rellenotata con l'i$te$$e lettere: di cui il capo D I dalla girella C D della taglia $uperiore $ia raccomandato ad I termi ne fi$$o: & il capo F K, dalla girella E F, della taglia inferiore, raccomandato al la po$$anza in K. Dico che'l pe$o è di$tri buito in parti di numero pare. Si mo- $tra: percio che venendo alla taglia infe riore le corde $olo delle girelle, & da cia $cuna girella due corde, quali tutte $i è mo$trato che $o$tentino egual momento: $arà il pe$o di$tribuito in corde di nume ro pare, che egualmente $o$tentano: e perciò $arà di$tribuito in dette parti. Il che $i hauea da mo$trare.</I> <HEAD><I>Correlario. I.</I></HEAD> <p>E manife$to dunque che li gatoil capo di $opra alla taglia <p n=>55</p> inferiore, il pe$o è di$tribuito in parti di numero $pare, et comunque altrimente, in parti di numero pare. <HEAD><I>Correlario. II.</I></HEAD> <p>Et attaccato il capo di girella inferiore alla taglia $u periore, o à qual si voglia termine fi$$o: che la taglia in feriore habbia vna girella più. <HEAD><I>PROPOSITIONE.</I> VII.</HEAD> <FIG> <p>Se'l pe$o sia mo$$o con ta glie, quanto il pe$o è moltepli ce della po$$anza $o$tenente, tanto lo $patio, che detta po$- sãza camina, è molteplice del lo $patio caminato dal pe$o. <HEAD><I>Dimostratione.</I></HEAD> <p><I>Sia la girella dellataglia $uperiore A B: della inferiore nella prima po- $itione $ia C D: e lapo$$anza che $o$tie ne il capo $ia in E: della $econda po$i tione $ia in G H, e la po$$anza in I. Di co che lo $patio caminato dalla taglia mobile e pe$o, è talparte dello $patio E I, qual la po$$anza $o$tenente in E è parte del pe$o. Si mo$tra: perche quante $ono la corde, che alla taglia</I> <p n=>56</p> <I>inferiore peruengono, $econdo tal numero la po$$anza che $o$tiene è parte del pe$o: e perche nel mouimento della taglia cia$cuna corda $i abbreuia egualmente, portata C D, in H G: le C G, D H parti del la corda auuolta, quante $i $iano, pigliate in$ieme, $arano di lunghezza tanto molteplici dello $patio caminato, quanto è il numero delle cor de. ma la corda E A B D C F, è vguale alla I A B H G: dunque tol tone di commune la F G H B A E, re$ta le E I, eguale alla G C D H: e percto E I, $arà altre tanto molteplice dello $patio caminato, quan to erano le corde C G, D H. ciò è il pe$o tutto del pe$o da vna corda $ostenuto. Il che $i hauea da mo$trare.</I> <HEAD><I>PROPOSITIONE.</I> VIII.</HEAD> <p><I>Problema. I.</I> <p>Data qual si voglia grauezza, e po$$anza: ritroua re il minor numero di girelle nella taglia, con quali la data po$$anza moua il dato pe$o. <HEAD><I>Dimo$tratione.</I></HEAD> <p><I>Sia la data grauezza A, la po$$anza B: a cui $i pigli vn pe$o e- quiualente C: e moltiplichi$i C, $in che la prima volta ecceda la grauezza A, il che $ia per il numero D. $e dunque D è pare piglin $i nella taglia inferiore altre tante girelle, quante vnità $ono nella inetà del numero: è manife$to che la po$$anza mouerà il pe$o con le date girelle: ma $e D $ia $pare, toltane vnità, piglin$i girelle quan te vnità $ono nella metà del re$to, e lighe$i vn delli capi alla taglia: è manifesto $i milmente che mouerà la po$$anza la data grauezza. Il che $i cercaua.</I> <p n=>57</p> <HEAD><I>PROPOSITIONE.</I> VIII.</HEAD> <p><I>Problema. II.</I> <p>Data qual $i voglia velocità, e data la tardità della po$sanza: applicar o vna taglia di più girelle, o più ta glie di vna girella, $i che la po$$anza moua il dato pe- $o in velocità magior della data. <HEAD><I>Dimo$tratione.</I></HEAD> <p><I>Pigli$i lo $patio che nel dato tem-</I> <FIG> <I>po camini la po$$anza: e lo $patio che vogliamo che la co$a camini, e $i mol tiplichi il minore fin che la prima vol ta auanzi, e quanto que$to è molte- plice, tante corde $iano nella taglia $u periore, pigliando la metà di girelle $e $ia pare, & $e $ia $pare, ligando vn ca po ad e$$a taglia $uperiore. Ligato dun que il pe$o ad vn capo, la po$$anza, che tira la taglia, tirerà anco il pe$o: e ca- minerà lo $patio moltiplice al moui- mento di e$$a po$$anza. Ma, $e vo gliamo far ciò con piú taglie di vna gi rella, radoppi$i lo $patio, e di nuouo il fatto dal radoppiamento $i radoppÿ: e ciò $i torni a fare, si che l'ultimo radop piamento auanzi lo $patio maggiore. Se dunque, quante volte $i è radoppia- to, tanto numero ditaglie $i pigli, si mo uer à ispe$o $econdo la ragion del radop piamento dello $patio, e perciò $i mo- uerà con maggior velocità della data.</I> <foot><I>H</I></foot> <p n=>58</p> <HEAD>ROTE MO TIVE.</HEAD> <FIG> <HEAD><I>SVTPOSITION.</I> I.</HEAD> <p>Svpponiamo il mouimento di rote in a$$i che $tanno co'l toccamento, communicar$i l'vna all'altrail mouimento: e che'l momento della po$$an- za $ia per linea chefaccia angolo retto co'l raggio di e$$arota: e de momenti altri e$$er concorrenti, altri contrarij. <HEAD><I>DEFINITION.</I> I.</HEAD> <p>Concorrenti momenti diciamo quelli, che portan­ do ver$o l'i$te$$a parte, $i accre$cono. <HEAD>II.</HEAD> <p>Contrarij quelli, che s'impedi$cono portando in contrario. <HEAD><I>POSITION.</I> I.</HEAD> <p>Poniamo, po$$anze eguali in circonferenze direte eguali, hauer momenti eguali. <p n=>59</p> <HEAD><I>POSITION.</I> II.</HEAD> <p>Et in rote ineguali hauer momento ineguale, $econ do la ragion de $emidiametrj. <HEAD>III.</HEAD> <p>E gli momenti contrarij, per quanto $i annullano, l' vno e$$ere eguale all'altro. <HEAD><I>PROPOSITION.</I> I.</HEAD> <p>Se quante $i voglia rote, vna per a$$e, $i tocchino: e po$te le po$$anze l'vna nella circonferenza della pri ma, e l'altra dell'vltima, $i rattengano: $aranno le po$ $anze egualj. <FIG> <foot>H 2</foot> <p n=>60</p> <HEAD><I>Dimostratione.</I></HEAD> <p><I>Siano quante $i voglia rote ne gli a$$i A, B, C, che $i tocchino: ciò è che la A tocchi la B nelponto D: e la B tocchila C nel ponto E: & intenda$i nella circonferenza di A e$$er la potenza F: e nella cir conferenza di C la potenza G: che l'una rattenga l'altra. Dico che le potenze $ono eguali. Si mo$tra: percio che la po<32>anza in F, è dell'- i$te$$o momento, che $e fu$$e in D, dell'i$te$$a rota A: ma il ponto D, è ponto commune a due rote: e la po$$anza in D della rota B, è quanto fu$$e in E: $arà dunque la po$$anza in F l'i$te$$o che $i fu$$e in E: perche dũque la po$$anza in F $i annulla con la po$$anza in G, $o no li loro momenti eguali. Ma le po$$anze che $ono in un'i$te$$a rota di momenti eguali, $ono eguali: dunque la po$$anza in F è uguale alla po$$anza in G. Jl che $i hauea da mo$trare.</I> <HEAD><I>PROPOSITION.</I> II.</HEAD> <p>Delle due rote in vno a$$e la po$$anza, che fa egual momento nella rota magiore è di valor minore: e nel la minore è di valor maggiore, nella ragione de $emi diametri reciproca. <HEAD><I>Dimostratione.</I></HEAD> <p><I>Siano $u l' a$$e A le rote A B, A C: & intenda$i la po$$anza B, in circonferenza della rota maggiore, hauere egual momento alla po$$anza C in circonferenza della rota minore. Dico che la po$$an- za B è minore della po$$anza C, $econdo la ragione di C A ad A B. Si mo$tra: intenda$i nell circonferenza di A C e$$er po$$anza eguale a B, che $ia D: $arà il momento di B al momento di D, nella ragion</I> <p n=>61</p> <FIG> <I>della linea dritta B A alla D A: ma il momento di B, è uguale al momento di C: dunque il momento di C al momento di D, è come B A ad A D. Se dimque le po$$anze dell'i$te$$a rota $ono tra di loro nella ragione delli momenti: $arà di con$eguenza la po$$anza in D alla po$$anza in C, come il $emidiametro D A, al $emidiame- tro A B, e del diametro tutto a tutto. Il che $i hauea da mo- $trare.</I> <p n=>62</p> <HEAD><I>PROPOSITION.</I> III.</HEAD> <p>Se le rote, po$te a due in cia$cun a$$e, $i tocchino: e le po$$anze, po$te l'vna nella prima, l'altra nell'vl- tima rota, $i rattengano: $arà la ragion dell'vna po$$an za all'altra l'i$te$$a, che la ragion compo$ta delli $emi diametri, che $ono $u l'i$te$$o a$$e, pigliate reciproca- mente. <HEAD><I>Dimo$tratione.</I></HEAD> <p><I>Siano $u l'a$$e A, le due rote A B, A C: e $u l'a$$e D, le rote D C D F: & intenda$i la rota D C, e$$er toccata dalla A C nel ponto C: c l'una po$$anza e$$ere in B l'altra in E. Dicoche la po$$anza in B,</I> <FIG> <I>alla po$$anza in F ha la ragion compo$ta delle ragioni di F D a D C,</I> <p n=>63</p> <I>e di C A ad A B, che $ono le ragioni de $emidiametri reciprocamen te pigliati. Si mo$tra: percioche e$$endo il momento in B uguale al momento in C, perche $ono in vno i$te$$o a$$e: & il momento in C al momento in F, per l'iste$$a ragione: & è la po$$anza in F, alla po$$anza in C, come il diametro C D a D F: e la po$$anza in C, alla po$$anza in B, co me B A ad A C. Dunque la po$$anza in F alla po$$anza in B, ha la ragion compo$ta di C D a D F c di B A ad A C, che è la ragion compo$ta delle ragioni de diametri reciprocamente pigliati. Jl che $i hauea da mo$trare.</I> <HEAD><I>DEFINITIONE.</I></HEAD> <p>Momento della rota diciamo, il momento del pon to po$to nella circonferenza di e$$a rota. <HEAD><I>PROPOSITION.</I> IIII.</HEAD> <p>Se in vna congiogation di rote ineguali, o in più, che la minor dell'vna congiogatione tocchi la mag- gior dell'altra, $i ponga la po$$anza in vna di dette rote: $arà il momento dell'vltima minor rota, maggior del momento della prima maggior rota, $econdo la ra­ gion compo$ta delli diametri. e la velocità $arà mino re, $econdo l'i$te$$a ragion de diametri. <HEAD><I>Dimo$tratione.</I></HEAD> <p><I>Siano le congiogationi di rote, de quali gli a$si $iano A e B: & in|- tenda$i $u l'a$$e A e$$er la rota maggiore A C, e la minore A D,</I> <p n=>64</p> <FIG> <I>e $u l' a$$e B, e$$er la maggiore D B, e la minore B E: e $ia il contat to della minore di vn'ordine, con la maggiore dell'altro, il ponto D: e $upponga$i prima la po$$anza por$i nella cir conferenza di A C. Dico che'l momento della rota A D, è maggiore del momento di A C, secondo la ragione della linea C A ad A D. Si mo$tra: per cioche po$ta in D una po$$anza di mom&etilde;to eguale alla po$$anza in C, $arà detta po$$anza in D, maggiore, che la po$$anza in C: ma ilmo mento della rota, oue è po$ta la po$$anza, è uguale ad e$$a po$$an- za: $arà dunque il mom&etilde;to della rota A D maggiore che della rota A C $econdo la ragion de diametri: que$to in una congiogatione & in più: per che il momento della circonferenza di A D è l'i$te$$o che della circonferenza di B D, per lo contatto, che fa communi- canza: ma il momento della circonferenza di B E, è di forza maggiore che di B D $ecõdo la ragione del diametro, B D a B E: dunque fatta compo$itione de ragioni il momento della circonferen za di B E, è maggiore del momento della circonferenza di C A $e condo la ragion compo$ta di B D a B E, e di C A ad A D. Il che $i hauea da mo$trare.</I> <p><I>Dico che la uelocità è minore nella i$te$$a ragione: il che è mani-</I> <p n=>65</p> <I>fe$to: percĩoche la velocità delle rote, che nell'i$te$$o tempo fini$cono il circuito, è proportionale alle circonferenze di e$$e rote: e le circon ferenze $ono di quantità proportionale alli diametri. Sono dunque le velocità delle rote proportionali alli diametri. Jl che $i hauea da mo$trare.</I> <HEAD><I>PROPOSITION.</I> V.</HEAD> <p>Date due po$$anze di momento contrario, l'vna mi nore, el'altra maggiore: e data la ragione dell'vna al- l'altra delle due rote congiogate: ritrouar il minor nu- mero de congiogationi, $iche la data po$$anza minore vinca la maggiore. <FIG> <foot>I</foot> <p n=>96</p> <HEAD><I>Dimostratione.</I></HEAD> <p><I>Siano le date po$$anze di momento contrario A, B: De quali A $ia la maggiore, c B la minore.: la ragion delle rote congiogate $ia di C a D: $i cerca il minor numero de congiogationi, $iche la po$$anza B minore vinca la A maggiore. Piglin$i nella ragione di C a D con tinuamente le C, D, E, F: $iche la C ad F habbia maggior ragione che l' A a B: & eguale di numero all'interualli de termini $i piglino le congiogationi di rote G, H, I: e $iano $u l'a$$e G, le rote G K, G L, $u l'a$$e H le rote H L, H M: e $u l'a$$e I le rote M I, I N. E ma nife$to che'l momento della po$sãza in K, al momento $uo in N, ha la ragion compo$ta delle ragioni de $emidiametri: e perciò po$ta la po$- $anza maggiore A in N: e la minore B in K: $ara il momento della B in K, maggiore che'l momento dell' A in N. Il che $i hauea da trouare.</I> <HEAD><I>PROPOSITION.</I> VI.</HEAD> <p>Data qual$ivoglia tardità di po$$anza, & qual$ivo glia velocità: e data la ragion de diametri delle rote cõ giogate: ritrouar vn minimo numero de congiogatio ni, $i che la data po$$anza moua la co$a con velocità maggiore della data. <HEAD><I>Dimostratione.</I></HEAD> <p><I>Sia la po$$anza tarda A, la veloce B, lo $patio caminato da A in vn dato tempo $ia C, lo C caminato da B nell'i$te$$o tempo $ia D: la ragion de diametri congiogati $ia di E, ad F: bi$ogna ritrouare il</I> <p n=>67</p> <FIG> <I>minimo numero de cõgiogationi, col quale la tarda A moua con ve locità maggior che'l B. Piglin$i le E, F, G, continuate nella ragion de diametri, che la prima volta l'interuallo della prima all'vltima dico di G ad E, $ia maggiore che di C a D: e quanti interualli $ono il E, F, G: tante congiogationi di rote $i piglino nella i$te$$a ragione: l'a $e de quali $iano H, I: e nello a$$e H, la minor rota $ia H K, la maggio re H L: e nell'a$$e I laminore I L, la maggiore L M. il contatto del l'vna congiogatione all'altra il ponto L: è manife$to che la veloci- tà del ponto M, alla velocità del ponto K, è compo$ta della ragion del li diametri M I, ad I L, & H L ad H K: che è l'i$te$$a, che di G ad E: ma G ad E, è di maggior interuallo che di D a C. Dũque, po$ta la po$$an za tarda in K, la co$a mo$$a con la rirconferenza M, $i mouerà cõ mag gior velocità della data. Il che $i hauea da trouare.</I> <foot><I>I</I> 2</foot> <p n=>68</p> <HEAD><I>MOMENTI ACQVISTATI.</I></HEAD> <p>Poniamo degli momenti, altri e$$er intrin$echi: al tri acqui$tati, & altri mi$ti: & intrin$echi quelli, che non da mouimento precedente dipendono: come $ono gli mouimenti delle grauezze in giù, e del corpo leggiero dentro l'humor più graue in sù. Acqui$tati quelli, che $e- guono l'impre$sion fatta da precedente mouimento: come il mouimento della co$a lanciata, che $egue il mouim&etilde;to del braccio, o della corda. Mi$ti, come il mouimento delle grauezze dopo l'hauer dato principio a mouer$i: per il che veggiamo li pe$i di vicino la$ciati, mouer$i con minor mo- mento, che la$ciati di lontano: e molte co$e portate dalla propria grauezza nell'aria penetrar $otto l'accqua, con- tro di quel che porta l'intrin$eco momento: onde dopo l'e$$ere affondate da $e $te$si ritornar á galla. Et il momen­ to intrin$eco e$$er l'i$te$$o $empre. l'acqui$tato, mancando la cau$a di poner$i, e con il tempo, e dall'impedimento che le faccia re$i$tenza. <I>CVGNO.</I> <p>Il cugno perco$$o, con$iderato in vn modo, rappre$enta un piano inchinato, che $i $pinga $otto il pe$o. Et altrimen te rappre$enta due leue, che nelle loro $tremità, facciano l'vna all'altra $ottoleua, & habbiano il pe$o tra la po$$anza, e'l $ottoleua. Et altrimente rappre$enta leua nel cui $tremo $ia il pe$o, & il $ottoleua tramezzo. <I>VITE E CHIOCCIA.</I> <p>La vite, o chioccia rappre$enta vno o più piani auuolti ad vn fu$ello. Sono e ma$chia, e femina: de quali vna $tan­ do ferma, l'altra che gira $o$tiene il pe$o. acqui$ta dunque for za, $ecõdo la detta inchinazione, e $econdo la lunghezza del raggio che $e le accompagna. Vite perpetua diciamo vn <*>ympano con denti a vite, che girando tocchi rota dentata. Per il che accre$ce la forza, e per la proprieta della vite, e della congiogatione delle rote. <HEAD><I><*>L FINS.</I></HEAD>